UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN FACULTAD DE CIENCIA ECONOMICAS
“TEXTO:
EJERCICIOS RESUELTOS Y
PROPUESTOS PARA MICROECONOMIA I”
APROBADO POR: RESOLUCIÓN Nº 523-2011-R
ABRIL 2013
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ÍNDICE CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN CAPÍTULO II EJERCICIOS DE LA TEORÍA DE CONSUMIDOR 2.1 Las Preferencias del Consumidor Ejercicios Propuestos Solucionario 2.2 La Recta de Presupuesto Ejercicios Propuestos Solucionario 2.3 La Demanda del Consumidor Ejercicios Propuestos Solucionario 2.4 Medidas de Bienestar Ejercicios Propuestos Solucionario 2.5 Elasticidad de la demanda Ejercicios Propuestos Solucionario CAPÍTULO III EJERCICIOS DE LA TEORÍA DEL PRODUCTOR. 3.1 Producción
3.2
3 3 10 26 32 42 45 59 60 62 65
Ejercicios Propuestos Solucionario Producción y Costos Ejercicios Propuestos
73 75
Solucionario
90
CAPÍTULO IV 4.1
1
EJERCICIOS DE LA EMPRESA EN COMPETENCIA PERFECTA
El Beneficio de la empresa, Oferta y Demanda. Ejercicios Propuestos Solucionario
88
95 96 2
CAPÍTULO I
INTRODUCCIÓN
El Texto de “Ejercicios resueltos y propuestos para Microeconomía I”, se ha
desarrollado siguiendo la temática del desarrollo del curso que se imparte en clases en la Universidad y reúne los ejercicios que han sido propuestos en los textos de Microeconomía y en lo que concierne a la teoría del consumidor y a la teoría de la empresa en los temas referidos a las decisiones que toman en una estructura de mercado de competencia perfecta. Los ejercicios propuestos y desarrollados se caracterizan por tener un grado de dificultad básico, combinados con algunos ejercicios de un curso de nivel intermedio. Esta característica del texto obedece que los estudiantes se familiaricen con la metodología del análisis económico, su formalización analítica y la ayuda que constituye el análisis gráfico. La resolución de los ejercicios se inicia con el Capítulo de la teoría del Consumidor, el mismo que se ha desglosado en los temas que permiten el estudio y análisis del proceso que presenta el consumidor para que tome la decisión de consumir los bienes que maximizan su utilidad, así tenemos el tema de las Preferencias del Consumidor en la que se enfatiza el análisis y la interpretación de los gustos del consumidor para que se elabore el tipo de curva de indiferencia que la representa, asimismo se refresca el concepto de la teoría del consumidor mediante la interpretación de la pendiente de la curva de indiferencia que determina la relación de intercambio en la que el consumidor está dispuesto a realizar dado el valor que le asigna a los bienes, luego se desarrollan ejercicios de la recta de presupuesto de modo que el estudiante facilite su estudio y manera de establecer, ordenar y relacionar los datos para que en su interpretación se logre la resolución del ejercicio. En el desarrollo de los ejercicios del tema de la demanda se combina el análisis básico con el análisis intermedio dependiendo éstas de la dificultad de la función de utilidad que representa las preferencias del consumidor, sigue con las medidas de bienestar del consumidor mediante la determinación de la variación del excedente del consumidor, de la variación equivalente y la variación compensada utilizando los distintos métodos utilizando la función indirecta de utilidad, la función gasto y la propia función de demanda, termina la resolución de ejercicios en el capítulo del consumidor con ejercicios de la elasticidad de la demanda en la que se
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utilizan distintas funciones de demanda así como situaciones de la vida real para que el estudiante interprete y pueda establecer una solución al respecto. En el capítulo III se desarrollan los ejercicios de la Teoría del productor y tienen el propósito que el estudiante conozca y utilice las herramientas o métodos de análisis para tomar decisiones de producción y costos de la empresa que permiten decidir al productor el nivel de producción y la cantidad de demanda de los factores productivos en un uso eficiente de los mismos, se utilizan distintas funciones de producción y se determinan las productividades de los factores productivos y el manejo que debe realizar el productor para tomar la decisión que logre el objetivo de la empresa. El capítulo IV Ejercicios de la empresa en competencia perfecta, se unen los conocimientos anteriores y se relacionan con la estructura de mercado e que actúa la empresa determinándose la función de oferta de la empresa y las funciones de demanda de los factores productivos que le permitan maximizar su beneficio. Para el desarrollo de los ejercicios se utiliza el concepto de optimización y las características que deben tener las funciones de utilidad en el consumidor, de producción y costos en la empresa y de beneficio en el mercado de competencia perfecta, como son: continuidad y diferenciabilidad, monotocidad, homogeneidad, convexidad entre otros.
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CAPÍTULO II
EJERCICIOS DE LA TEORÍA DEL CONSUMIDOR
2.1 Las Preferencias del Consumidor Ejercicios Propuestos 1. Represente el mapa de indiferencia correspondiente a las siguientes preferencias: a. No como ni mantequilla ni mermelada por sí solas, pero me gustan los sandwiches con mantequilla y mermelada. b. X e Y son buenos sustitutivos, ya que siempre que se doble X, me resulta indiferente que Y se divida por la mitad. c. Lo que busco en un amigo es la honestidad, pero entre la gente honesta prefiero los que tienen sentido del humor. d. No me importa si tienen Heineken o San Miguel, lo único que me importa es que sea cerveza. e. Un avaro que solamente valora el dinero frente a los demás bienes. f.
Me da igual llevar un número determinado de monedas de 100 pesetas o llevar el mismo dinero en monedas de 25 pesetas porque el bolsillo de mis pantalones es muy grande.
2. A Carlitos le gustan los albaricoques y las bananas y no consume ninguna otra cosa. La cesta de consumo que representa el consumo de Carlitos de xA kilos de albaricoques al año y de xB kilos de bananas al año viene dada por (xA, xB). El año pasado Carlitos consumió 20 kilos de albaricoques y 5 kilos de bananas. A Carlitos le es indiferente consumir la cesta (20, 5) o cualesquiera otras cestas (xA, xB) tales que xB = 100 /xA. Además sabemos que Carlitos es indiferente entre la
cesta de consumo (10, 15) y cualquiera de las cestas(xA, xB) tales que xB = 150/xA.
a. En un gráfico, determina algunos puntos pertenecientes a la curva de indiferencia que atraviesa el punto (20, 5) y dibújala. Repite el procedimiento para la curva que atraviesa el punto (10, 15). b. Utiliza un lápiz para sombrear el conjunto de las cestas de consumo que Carlitos prefiere débilmente a la cesta (10, 15) y el conjunto de las cestas de consumo que prefiere débilmente a la cesta (20, 5).
3
c. Discrimina cuáles de las siguientes afirmaciones relativas a las preferencias de Carlitos son "verdaderas" o "falsas". C.1:
(30, 5) ~ (10, 15);
(1 0, 1 0);
C.4
(24, 4)
C.2:
(10, 15)
(20, 5);
(11, 9.1); C.5:
C.3:
(11, 14)
(20, 5)
(2, 49)
d. Un conjunto es convexo si para dos puntos cualesquiera, el segmento de la recta que une estos dos puntos pertenece también al conjunto. El conjunto de cestas de consumo que Carlitos prefiere débilmente a la cesta (20,5), ¿es un conjunto convexo? e. El conjunto de las cestas que a Carlitos le satisfacen menos que la cesta (20, 5), ¿es un conjunto convexo? f.
Recuerda que la curva de indiferencia de Carlitos que atraviesa el punto (10,10) corresponde a la ecuación
X B 100 / X A .
El que tenga conocimiento
del cálculo diferencial sabe que la pendiente de una curva en un punto no es otra cosa que su derivada, que en este caso es 100 / X A2 . Determina la relación marginal de sustitución (RMgS) de Carlitos que corresponde al punto (10,10). g. ¿Cuál es la relación marginal de sustitución de Carlitos que corresponde al punto (5, 20)? h. ¿Cuál es la relación marginal de sustitución de Carlitos que corresponde al punto (20, 5)? i.
Las curvas de indiferencia que has dibujado, ¿presentan una relación marginal de sustitución decreciente?
3. Ambrosio consume solamente nueces y boniatos que afortunadamente para él, le gustan mucho. La cesta de consumo en la cual Ambrosio consume 1x unidades de nueces a la semana y x2 unidades de boniatos a la semana viene dada por (x 1, x2). Ambrosio es indiferente entre la cesta de consumo (1,16) y cualquier cesta de consumo de la forma (x1, x2) tal que x1 > 0, x2 > 0, y x2 = 20 - 4 x 1. En otras ocasiones Ambrosio es indiferente entre la cesta de consumo (36, 0) y cualquier otra cesta del conjunto de las cestas de consumo de la forma (x 1,x2) tal que x2 > 0 y x2 = 24 - 4 (x1)0.5 a. En un gráfico, determina algunos puntos pertenecientes a la curva de indiferencia que atraviesa el punto (1, 16) y dibuja esta curva con color azul.
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Repite el procedimiento, ahora con color rojo, para la curva de indiferencia que atraviesa el punto (36, 0). b. ¿Cuál es la pendiente de la curva de indiferencia de Ambrosio en el punto (9, 8)? c. ¿Cuál es la pendiente de la curva de indiferencia en el punto (4, 12)? d. ¿Cuál es la pendiente de la curva de indiferencia en el punto (9, 12)? y, en el punto (4, 16)? e. Las curvas de indiferencia que has dibujado, ¿presentan una relación marginal de sustitución decreciente? f. ¿Tiene Ambrosio curvas de indiferencia convexas? 4. Sara Simpar tiene el hábito de beber cerveza todas las noches mientras ve "Lo mejor del 1,2,3" en la televisión. Como Sara tiene un dedo pulgar poderoso y una nevera espaciosa, no le preocupa cuál sea el tamaño de las latas que contengan la cerveza, a ella sólo le importa la cantidad de cerveza que puede consumir. a. Dibuja algunas de las curvas de indiferencia de Sara entre las latas de 1/4 de litro y las latas de 1/2 de litro. b. A Linda Quina por otra parte, le gusta beber cerveza mientras ve el programa "Su medio limón" en la televisión. Ella solamente se permite beber un 1/4 de litro cada noche. Como a su gato no le gusta la cerveza y ella detesta la cerveza macerada, si la capacidad de la lata es superior a 1/4 de litro, vierte la cantidad sobrante por la pila del fregadero. (Carece de escrúpulos morales sobre el desperdicio de la cerveza) Dibuja algunas de las curvas de indiferencia de Linda. (Piense en términos de consumo mensual o anual) 5. En una tórrida y polvorienta mañana de domingo, Eladio se encuentra enfrente de una máquina de Inca-Cola. La máquina no devuelve cambio: solamente se puede obtener una lata de Inca-Cola si se dispone de la cantidad exacta de dinero: 2 monedas de 25 pesetas y 1 de 10 pesetas. Ninguna otra combinación de monedas conseguirá hacer salir nada de la máquina. No hay ninguna tienda abierta ni nadie a la vista. Eladio tiene tanta sed que lo único que le importa es la cantidad de latas que puede adquirir con las monedas que tiene en su bolsillo, cuantas más mejor. Mientras Eladio se rebusca los bolsillos, tu tarea es dibujar algunas de las curvas de indiferencia relativas a las monedas que encontrará. 5
a. Si Eladio encuentra 2 monedas de 25 pesetas y 1 de 10 pesetas puede comprar 1 lata. ¿Cuántas latas comprará si encuentra 4 monedas de 25 y 2 de 10 pesetas? b. Sombrea con color rojo la superficie que corresponde a las combinaciones de monedas de 25 y de 10 que para Eladio son exactamente indiferentes a 2 de 25 y 1 de 10 pesetas. (Naturalmente, Eladio puede encontrar en su bolsillo fracciones de las monedas de 25 y de 10, pero son inservibles en este caso.) Advierte que las preferencias de Eladio están representadas por "bandas" y no por curvas de indiferencia. c. Las preferencias de Eladio relativas a las monedas de 25 y de 10 pesetas, ¿son convexas? d. ¿Prefiere Eladio siempre cantidades indefinidamente mayores de los dos tipos de monedas? e. ¿Tiene Eladio un punto de saturación? f. Si Eladio hubiera encontrado la máquina de Inca-Cola un sábado, la tienda de la calle de enfrente hubiera estado abierta. En esta tienda hay un contenedor de bebidas y hubiera podido comprar toda la Inca-Cola que hubiera querido al precio de 4 pesetas el decilitro, y la tendera hubiera aceptado cualquier combinación de monedas como pago. Supongamos que Eladio decide gastarse un sábado todo el dinero de su bolsillo en esta tienda. Supongamos que Eladio puede emplear cualquier fracción de las monedas. Describe verbalmente estas nuevas curvas de indiferencia. 6. Raimundo Ruano detesta estudiar tanto economía como historia. Cuanto más tiempo dedica a estudiar cada materia, más infeliz es. Sin embargo, Raimundo tiene preferencias estrictamente convexas. a. Dibuja una curva de indiferencia de Raimundo considerando que los dos bienes (males) son las horas a la semana que estudia economía y las horas a la semana que estudia historia. ¿Es la pendiente de las curvas de indiferencia positiva o negativa? b. Las curvas de indiferencia de Raimundo, ¿se hacen más inclinadas o menos inclinadas a medida que nos desplazamos a lo largo de una de ellas desde la izquierda hacia la derecha? 6
7. A Florita Tesoro le gusta pasar parte del tiempo estudiando y parte del tiempo saliendo con amigos. De hecho, sus curvas de indiferencia relativas a las horas semanales dedicadas al estudio y a las horas semanales dedicadas a los amigos, son círculos concéntricos en torno a su combinación favorita, 20 horas de estudio y 15 horas de amigos a la semana. Cuanto más se acerca a esta combinación favorita, tanto más feliz es. a. Supongamos que Florita está dedicando 25 horas al estudio a la semana y 3 horas semanales a los amigos. ¿Preferiría estar estudiando 30 horas a la semana y pasar 8 horas con los amigos a la semana?. (Pista: ¿recuerdas cómo se determina la distancia entre dos puntos de un plano?) b. En el gráfico correspondiente, representa algunas de las curvas de indiferencia de Florita de modo que ilustren cuál de las dos asignaciones discutidas anteriormente resultará la preferida. 8. El profesor Buencorazón siempre programa dos exámenes escritos en sus clases de contabilidad, y para evaluar a un estudiante solamente tiene en cuenta la puntuación más alta obtenida en uno de los dos exámenes. a. Natalia Buenaletra quiere maximizar su nota en este curso. Si xl es su puntuación en el primer examen y x2 es su puntuación en el segundo examen, ¿qué combinación de puntuaciones preferirá: x1 = 20 y=x70 2
ó
x
1
= 60 y x2 = 50?
b. Dibuja una curva de indiferencia que represente todas las combinaciones de puntuaciones que Natalia considera exactamente igual de buenas a xl = 20 y x2 = 70. Dibuja una curva de indiferencia que represente las combinaciones que Natalia considera tan buenas como x 1 = 60 y x2 = 60. c. Las preferencias de Natalia relativas a estas combinaciones, ¿son convexas? d. Natalia está asistiendo también a un curso de economía del profesor Castigo. El profesor Castigo también realiza dos exámenes, pero en lugar de descartar la puntuación más baja, descarta la más alta. Digamos que x1 es la nota del primer examen y que x2 es la nota del segundo. ¿Qué combinación de puntuaciones preferirá Natalia: x1 = 20 y x2 = 70 ó x1 = 60 y x2 = 50? e. Dibuja en el gráfico anterior, una curva de indiferencia que represente todas las combinaciones de puntuaciones de los exámenes de economía que Natalia 7
considera exactamente tan buenas como xl = 20 y x2 = 70. Dibuja una curva de indiferencia que represente las combinaciones que sean para Natalia tan buenas como x1 = 60 y x2 = 50. Las preferencias de Natalia relativas a estas combinaciones, ¿son convexas? 9. A Gabriela Granola le encanta consumir dos bienes, pomelos y aguacates (Ponga los pomelos en el eje vertical). a. La pendiente de una curva de indiferencia relativa a las combinaciones en las cuales Gabriela ha consumido más pomelos que aguacates es -2. ¿A cuántos pomelo(s) está Gabriela dispuesta a renunciar para conseguir un aguacate más, si ya está consumiendo más pomelos que aguacates? b. En el mismo gráfico, la pendiente de una curva de indiferencia relativa a las combinaciones en las cuales Gabriela ha consumido menos pomelos que aguacates es -1/2. ¿A cuántos pomelo(s) está Gabriela dispuesta a renunciar para conseguir un aguacate más, si ya está consumiendo menos pomelos que aguacates? c. Dibuja en el gráfico una curva de indiferencia que atraviese el punto (A,P) = (l0, 10) (A= aguacate y P= pomelo) y la que pasa por el punto (20, 20). d. ¿Son convexas las preferencias de Gabriela? 10. Timoteo Téllez goza de la máxima satisfacción cuando come 8 galletas y bebe 4 vasos de leche al día. Si dispone de una mayor cantidad de su elección favorita de cualquiera de los bienes esto no le produce más satisfacción. Por otra parte, si dispone de menor cantidad de su combinación favorita, el conseguir más sí le produce más satisfacción. Su madre le permite beber 7 vasos de leche pero solamente comer 2 galletas al día. Un día que su madre estaba fuera, la sádica hermana de Timoteo le obligó a comer 13 galletas con 1 solo vaso de leche, a pesar de que Timoteo protestaba amargamente sobre las últimas 5 galletas que tuvo que engullir y de que clamaba por más leche. Aunque Timoteo se quejó más tarde a su madre, tuvo que admitir que disfrutó más con la dieta que su hermana le había obligado a consumir que con la que su madre le tenía establecida. a. Dibuja con color negro algunas curvas de indiferencia de Timoteo que son coherentes con lo descrito.
8
b. La madre de Timoteo cree que la combinación óptima para su hijo es consumir 7 vasos de leche y 2 galletas y mide las desviaciones de estas cantidades en valores absolutos. Si Timoteo consume una cesta diferente, digamos (G,L), en donde G representa las galletas y L la leche, ella mide la desviación de la cesta óptima como D = |7 - L| + |2 - G|. La madre piensa que Timoteo estará tanto peor cuanto mayor sea el valor de D. Con color azul, representa en la gráfica anterior unas cuantas de las curvas de indiferencia de la señora Téllez relativas al consumo de Timoteo 11. Al entrenador Esteroide le gusta que sus jugadores sean pesados, rápidos y obedientes. Si el jugador A es mejor que el jugador B en dos de estas tres características, entonces Esteroide preferirá A a B, pero si B es mejor que A en dos de estas tres características, entonces prefiere B a A. De cualquier otra manera, es indiferente entre ellos. Wilbur Westinghouse pesa 160 kilos, no es muy veloz y es bastante obediente. Harold Hotpoint pesa 110 kilos, es muy veloz y es muy desobediente. Jerry Jacuzzi pesa 70 kilos, es medianamente veloz y es extremadamente obediente. a. ¿Prefiere Esteroide Westinghouse a Hotpoint o viceversa? b. ¿Prefiere Esteroide Hotpoint a Jacuzzi o viceversa? c. ¿Prefiere Esteroide Westinghouse a Jacuzzi o viceversa? d. ¿Son las preferencias de Esteroide transitivas? e. Después de haber perdido diversos campeonatos, Esteroide decide cambiar su método de evaluar a sus jugadores. De acuerdo con sus nuevas preferencias, Esteroide prefiere el jugador A al jugador B si A es mejor en todas las características ya mencionadas, y prefiere el jugador B al A, si el jugador B es mejor en todas las características. Es indiferente entre A y B si pesan lo mismo, si corren a la misma velocidad y si son igualmente obedientes. En todos los demás casos se limita a decir: "A y B no son comparables". f. ¿Las nuevas preferencias de Esteroide son completas, transitivas y reflexivas?
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Solucionario 1. Mapa de indiferencia de las preferencias: Ma
a) SANDWICH
b)
Y
S/Hu
- Y/X = - 0.5y/2X
c) HONESTIDAD
20
10 5 2.5
Me H
2 4
8
C/Hu
X
e)
Y
d) CERVEZA
16
AVARO
100
f) MONEDAS
10 10
10
S/.
SM
40
25
Las referencias son monótonas crecientes mas bienes mas utilidad
2. Carlitos, los albaricoques y las bananas. a. Curvas de Indiferencia con u = 100; u = 150. 50 Curvas de Indiferencia
20
(20,5): (10,15):
15
xb 100 / xa xb 150 / xa
10
U = 150
5 U = 100
5 7.5 10
15
20
25
b. La preferencia débil, significa que una canasta de consumo (x) es al menos tan buena como la otra (y),
x y ,
o lo que es lo mismo que la canastax es
igual o mejor de buena que la canasta y, lo cual implica que todas las canastas 10
que están en una curva de indiferencia (igual de preferidas, indiferentes) y las canastas que están por encima de la curva de indiferencia (mejores) representan la preferencia débil.
XB
XB
xb 100/ xa
50
50
20 10 5
20 15 5 2 5
10
20 75
XA
xb 150 / xa
3
30
7.5 10
XA
c. Afirmaciones "verdaderas" o "falsas". c.1
(30, 5) ~ (10, 15)
Verdadero: Ambas tienen la misma utilidad (150).
c.2
(10, 15) (20, 5) Verdadero (150 > 100) La utilidad de la primera canasta es mayor.
c.3
(20, 5) (10, 10) Falso
Estrictamente es indiferencia.
c.4
(24, 4) (11, 9.1) Falso.
(La cesta 24,4 es menos preferida: 96 < 100.1)
c.5
(11, 14)
(2, 49) Verdadero (154 > 98)
d. Sí, es convexa. Cumple con la condición que el segmento de la recta que une dos puntos de la curva de indiferencia pertenece también al conjunto. Analíticamente: X = (a,b) ~ (c,d) = Y: Uniendo estos dos puntos: X (1 )Y
=
(a, b) (1 )(c, d )
Donde: 1 > > 0
a (1 )c;b (1 )d X , Y
e. No es convexo. Se desconoce el tipo de conjunto que forman las canastas que son menos preferidas que la canasta (20,5). f. Si
X B 100 / X A la pendientes es: 100 / X A2 = RMgS.
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También tenemos que X B 100 / X A y es lo mismo que: 100 = U = XA * XB X U X A B = RMgS. XA U X B
En este caso la pendiente es:
La RMgS de Carlitos que corresponde al punto (10,10) es : RMgS = - 1 Significa que si adicionamos una unidad de X A debemos disminuir una unidad del bien XB y no varía el nivel de bienestar. g. ¿Cuál es la RMS de Carlitos que corresponde al punto (5, 20)? TMS = - 4 Si aumentamos una unidad el consumo de XA debemos disminuir en 4 unidades el consumo del bien X B y mantenemos el nivel de bienestar. h. ¿Cuál es la RMS de Carlitos que corresponde al punto (20, 5)? RMgS = - 1/4 Si aumentamos una unidad el consumo de X A debemos disminuir en 1/4 unidades el consumo del bien X B y mantenemos el nivel de bienestar. i. Las curvas de indiferencia que has dibujado, ¿presentan una relación marginal de sustitución decreciente? Rpta. Sí, la pendiente negativa indica que para consumir más de un bien y
mantener el mismo nivel de bienestar debo consumir menos del otro.
3. Ambrosio las nueces y los boniatos a. Gráfico de la curva de indiferencia con la cesta (1, 16) y las cestas indiferentes donde X2 = 20 - 4(X1)0.5 ( curva color azul). Otras Cestas indiferentes: X2 = 20 - 4(4)0.5
X2= 12:
Cesta: (4,12)
X2 = 20 - 4(16)0.5
X=2 4
Cesta: (16,4)
El mismo procedimiento para la curva de indiferencia que atraviesa el punto (36, 0) con cestas indiferentes tal que X2 = 24 - 4(X1)0.5(Curva color rojo).
12
X2
20 16 12 8
1 4 9
16
36
X1
b. La pendiente de la curva de indiferencia en el punto (9, 8), o RMgS es: 0.5 Como X2 = 20 - 4(X1)0.5 entonces la pendiente es: 2 x1
También, como 20 es el nivel de utilidad entonces la función de utilidad es: U 4 x10.5 x2 y su Pendiente =
Pendiente
2 9 0.5
U / x1 2 x 0.5 2 1 0.5 U / x 2 1 x1
2 3
Si aumenta el consumo de x1 en una unidad debe disminuir el consumo de x 2 en 2/3 de unidad para que no se altere el nivel de satisfacción, o lo que es lo mismo si aumenta el consumo de x 1 en 3 unidades debe disminuir el consumo de x2 en 2 unidades y el nivel de bienestar no cambia. c. Pendiente de la curva de indiferencia (RMgS) en el punto (4, 12)? Pendiente
2 4
0.5
1
Es decir, si aumenta el consumo del bien 1 en una unidad debe disminuir el consumo del bien 2 también en una unidad para mantener el mismo nivel de utilidad. d. Pendiente de la curva de indiferencia en el punto (9, 12) El punto está en la curva de indiferencia de la cesta (36,0) que tiene la siguiente función de curvas de indiferencia x 2 = 24 - 4 (x1)0.5, por lo que su pendiente o RMgS es:
2 x10.5
13
Pendiente en (9,12):
2 9 0.5
2 3
Pendiente en (4,16):
;
2 4
0.5
1
e. Las curvas de indiferencia presentan una relación marginal de sustitución decreciente, dado que la RMgS va disminuyendo en términos absolutos, que indica que cuanto más consumo de X1 menos sacrifico del otro bien. f. Las curvas de indiferencias son convexas, a este tipo de curvas se les denomina cuasilineales, dado que un punto al interior de una recta que se traza entre dos puntos de la curva es igual o preferido a las cestas de los puntos de los extremos de la recta que representan canastas indiferentes en la curva.
4. Sara Simpar que sólo le importa la cantidad de cerveza que puede consumir. a. Curvas de indiferencia de latas de 1/4 de litro y latas de 1/2 de litro. L1/4 CERVEZA Intercambio: 2L1/4 = 1L1/2 RMgS = 2
32
16
4
L1/2 2
8
16
b. Linda, le es indiferente consumir cerveza cada noche en latas de un 1/4 de litro o de una capacidad superior (Latas de 1/2 litro). L1/4 30
CERVEZA Intercambio: 1L1/4 = 1L1/2 El consumo es mensual (30 días)
L1/2 30
14
5. La sed de Eladio y la lata de Inca Kola que cuesta 2 monedas de 25 pesetas y 1 de 10 pesetas. a. Eladio compra con 4 monedas de 25 y 2 de 10 pesetas, 2 latas de Inca Cola. 1. ¿Qué me proporciona utilidad? El número de latas de inca cola que pueda comprar con mi ingreso, mientras más latas de inca cola más utilidad tiene Eladio. Las variables de la curva de indiferencia son: La moneda de 10 pesetas (bien 1 = x1) y la moneda de 25 pesetas (bien 2 = x2), su composición determina la canasta de consumo que se mide por el número de latas de inca cola que se obtiene que es el nivel de utilidad que se alcanza. Como las monedas (variables o bienes) se consumen juntos para lograr el nivel de utilidad, tenemos una función de utilidad de proporciones fijas: u min(2 x1 , x 2 )
U = U (Latas de inca cola) X2 = 25 ptas.
Lata de Inca-Cola 12 8 4
u = 2 latas
2
u = 1 lata 1
2
4
6
X1 = 10 ptas
2. ¿Cuál es mi restricción presupuestal? El ingreso es igual al gasto. El gasto es la suma de los bienes de consumo que se adquieren por su respectivo precio ( pi xi ), así tenemos que xi son los bienes de consumo (x1,x2) que representan a las monedas de 10 y 25 pesetas respectivamente y los precios pi son igual a 1, dado que se trata de monedas y su valor no debe ser alterado (1 peseta tiene un valor de 1 peseta): p1 = 1 para la moneda de 10 pesetas y p2 = 1 para la moneda de 25 pesetas. 15
En consecuencia tenemos: Ingreso = gasto Ingreso = 1 x monedas de 10 pesetas + 1 x monedas de 25 pesetas. Como X1 = monedas de 10 pesetas y X2 = monedas 25 de pesetas, tenemos:
M = X1 + X2 X2 = 25 ptas. Lata de Inca-Cola
6 2 latas
4
1 lata
2 1
2
6
15
X1 =
b. En el siguiente gráfico se observa que la superficie de color rojo corresponde a las combinaciones de monedas de 25 y de 10 que para Eladio son exactamente indiferentes, dado que no se altera el nivel de bienestar o lo que es lo mismo se obtiene la misma cantidad de latas de inca cola, a 2 monedas de 25 y 1 de 10 pesetas, debido que más monedas en fracciones de las monedas de 25 y de 10, le son inservibles para comprar latas de inca cola. La superficie de color azul corresponde a las combinaciones que para Eladio son exactamente indiferentes a 4 monedas de 25 y 2 de 10. Las preferencias de Eladio están representadas por "bandas" y no por curvas de indiferencia.
16
X2 = 25 ptas. Lata de Inca-Cola
8
4 latas
4 2
2 latas 1 lata 1
2
4
6
15
X1 = 10 tas
c. Las preferencias de Eladio relativas a las monedas de 25 y de 10 pesetas, ¿son convexas? Sí. Es convexa, porque al tomar un punto al interior de la recta que se traza de partir de 2 combinaciones de la curva obtenemos el mismo o un nivel mayor de satisfacción. d. ¿Prefiere Eladio siempre cantidades indefinidamente mayores de los dos tipos de monedas? Sí, dado que puede comprar más latas de inca cola, es una función monótona creciente y le permitiría combinar a libre elección mayor cantidad de sus monedas y obtener mayor cantidad de latas de Inca-Cola que son los beneficios del consumidor. e. ¿Tiene Eladio un punto de saturación? No. Dado el enunciado del problema de cuantas más mejor, es decir, que cuantas más latas de Inca-Cola consuma más satisfacción obtiene Eladio. Sin embargo, en la realidad habrá un límite de consumo de Inca cola, en determinado tiempo, que representa el punto de saturación donde obtiene la máxima satisfacción, más allá de este punto el consumo de Inca Cola es un des-bien. f. Si Eladio puede comprar en la tienda que vende la inca cola a 4 pesetas el decilitro. Las curvas de indiferencia de Eladio relativas a las monedas de 10 y de 25 pesetas que puede emplear en cualquier fracción coincide con la recta de 17
presupuesto. Por tanto las curvas de indiferencia serían lineales o de sustitutos perfectos. Por ejemplo para obtener 6 decilitros, se debe pagar 24 pesetas que se obtienen con la combinación de las fracciones de monedas de 10 pesetas y monedas de 25 pesetas, como sigue: (0,0.96); (2.4,0); (1.15,0.5); (1.4,0.4) Como se observa cada combinación de monedas fraccionadas nos indica que ante una disminución de las de monedas 25 pesetas debemos aumentar las de 10 pesetas para tener un mismo nivel de satisfacción (decilitros de Inca-Cola).
6. Raimundo Ruano detesta estudiar tanto economía como historia. Cuanto más tiempo dedica a estudiar cada materia, más infeliz es. Sin embargo, Raimundo tiene preferencias estrictamente convexas. a. Curva de indiferencia de Raimundo con los dos bienes (males): Horas a la semana que estudia economía y las horas a la semana que estudia historia. ¿Es la pendiente de las curvas de indiferencia positiva o negativa? Las curvas son:
H
Estrictamente convexas vistas desde arriba. - Más alejadas del srcen menos satisfacción produce. a. La pendiente de la curva es negativa b. En la medida que se avanza se hace menos inclinada. -
30
30
E
b. Las curvas de indiferencia de Raimundo se hacen menos inclinadas a medida que aumentamos las horas de estudio ya sea de economía o de historia.
7. Florita Tesoro, el tiempo de estudio y el tiempo de salir con amigos. Curvas de indiferencia. Círculos concéntricos a su combinación favorita: 20 horas de estudio y 15 horas de amigos a la semana (máxima satisfacción).
18
A
15
E
20
a. Florita y su tiempo semanal. La curva de indiferencia más cerca a la combinación favorita (20,15) le proporciona mayor satisfacción. a.1 Dedica 25 horas al estudio y 3 horas a los amigos (25,3). A Distancia de (25,3) a (20,15). 15
2
2 1/2
((25-20) + (15-3) )
= 13
3 20
25
E
a.2 Si estudia 30 horas y pasa 8 horas con los amigos (30,8). 2
2 1/2
Distancia de (30,8) al punto (20,15 = ((30-20) + (8-15) )
= 12.2
R. En consecuencia prefiere la combinación (30,8) que tiene una distancia de 12.2 al punto de felicidad que es menor a la distancia de 13 al punto de felicidad determinada por el punto (25,3) b. Gráfico que representa algunas de las curvas de indiferencia de Florita. El punto que tiene menor distancia a su combinación favorita es preferido, en razón que por esa combinación de horas se está en una curva de indiferencia de mayor utilidad.
19
H 2
2 1/2
= 13
2
2 1/2
= 12.2
A = ((15-3) + (25-20) ) B = ((15-8) + (30-20) ) 15 B
B
A, es decir la combinación
(30,8) es preferida a la (25,3),
8
dado que su distancia al punto A
de felicidad es menor.
3 20
25
E
30
8. El profesor Buencorazón, los dos exámenes escritos de contabilidad y la puntuación más alta. a. Natalia Buenaletra y la puntuaciones que prefiere: 1. X1 = 20 y X=2 70: 2. X1 = 60 y X2= 50:
(20,70)
ó
(60,50)
R. Prefiere 1, dado que en el segundo examen obtiene la puntuación más alta. b. La curva de indiferencia que representa todas las combinaciones de puntuaciones que Natalia considera exactamente igual de buenas a Xl = 20 y X2 = 70 son las combinaciones ( x1 ,70) donde x1 es la puntuación obtenida en el examen 1 tal que x1 = 0,1,…ó 70 y también es indiferente a las
combinaciones
(70, x 2 )
por la misma razón anterior.
La curva de indiferencia que representan las combinaciones que Natalia considera tan buenas como X1 = 60 y X2 = 50 son las combinaciones ( x1 ,60) y (60, x 2 )
Estas curvas de indiferencia se representan en el siguiente gráfico. X2
Curvas de indiferencia de Natalia
70 60 50
20 20
60 70
X1 20
c. Las preferencias de Natalia relativas a estas combinaciones, ¿son convexas? No, estas curvas son cóncavas al srcen d. Natalia y el profesor Castigo, dos exámenes de economía y la puntuación más baja. La combinación ( x1 , x 2 ) la calificación es la puntuación más baja. De la combinación (20,70) y la combinación (60,50) prefiere esta última dado que la menor puntuación con que sería calificada es 50 en cambio con la otra combinación su calificación sería 20. e. Gráfico de la curva de indiferencia que representa todas las combinaciones de puntuaciones de los exámenes de economía que Natalia considera exactamente tan buenas como (20,70) y la curva de indiferencia que representa las combinaciones que para Natalia son tan buenas como x 1 = 60 y x2 = 50. X2
Curvas de indiferencia de Natalia
70 60 50
20 20
50 60
70
X1
Las preferencias de Natalia relativas a estas combinaciones, ¿son convexas? No, son cóncavas.
9. Gabriela Granola, los pomelos y aguacates (Los pomelos van en el eje vertical). a. La pendiente de una curva de indiferencia relativa a las combinaciones en las cuales Gabriela ha consumido más pomelos que aguacates es -2. TMS = Y/X;
Pomelos/Aguacates
=-2
R. En esta situación, Gabriela está dispuesta a renunciar 2 pomelos para conseguir un aguacate más.
21
Significa que para aumentar una (1) unidad de consumo de Aguacates debe sacrificar dos (2) unidades de consumo de Pomelos. b. Si la pendiente de la curva de indiferencia relativa a las combinaciones en las cuales Gabriela ha consumido menos pomelos que aguacates es -1/2. R. Gabriela está dispuesta a renunciar a 0.5 pomelo para aumentar en una unidad el consumo de aguacate. c. Gráfico de una curva de indiferencia que atraviese el punto (A,P)=(l0, 10) (A= aguacate y P= pomelo) y la que pasa por el punto (20, 20). P Mientras más consuma de Aguacates menos estoy dispuesto a
20
sacrificar de pomelos
10
A 20 10
36
d. R. Sí, las curvas de indiferencia son convexas.
10. Timoteo Téllez, las galletas y la leche, la combinación (G,L). -
Máxima satisfacción (8,4) si aumenta uno de los bienes es insatisfacción.
-
Su madre le permite la combinación (2,7). Su hermana de da (13,1).
La combinación preferida de Timoteo es la combinación que se encuentra a menor distancia del punto de máxima satisfacción. Así tenemos: D1 ((2 8) 2 (7 4) 2 )1 / 2 6.7 D 2 ((13 8) 2 (1 4) 2 )1 / 2 5.8
En consecuencia la combinación (13,1)
(2,7).
a. Gráfico de curvas de indiferencia de Timoteo que son coherentes con lo descrito.
22
L Las curvas de indiferencia son círculos concéntricos y se observa que: (13,1) (2,7)
7
4 1
2
8
13
G
La parte de la curva de indiferencia que sale del plano es solo referencial y por tanto no se toma en cuenta.
b. Para la madre de Timoteo la combinación óptima es (2,7) - La madre mide las desviaciones de estas cantidades en valores absolutos. - D = |7 - L| + |2 - G|. Timoteo estará peor cuanto mayor es el valor de D. Gráfica de curvas de indiferencia de la Sra. Téllez sobre el consumo de Timoteo.
L Desviaciones: 7
|7 - 4| + |2 - 8| = 9 |7 - 1| + |2 - 13| = 17 (8,4)
(13,11)
4 1
2
8
13
G
11. El entrenador Esteroide, los jugadores sean pesados, rápidos y obedientes. -
Si jugador A tiene 2 características mejor que B entonces: A B o viceversa.
-
Cualquier otra manera es indiferente entre ellos.
23
En el siguiente cuadro de equivalencias se establecen las características de los jugadores y permite la comparación entre ellos para la elección según los gustos del entrenador. Cuadro de Equivalencias Características Jugador Wilbur Westinghouse
Peso
Velocidad
Obediencia
160
No es muy veloz
Bastante obediente
110 70
muy veloz EsEs Medianamente Veloz
Muy desobediente Extremadamente obediente
Harod Hotpoint Jerry Jacuzzi
a. R. Westinghouse tiene mayor peso y es más obediente que Hotpoint, por tanto Esteroide prefiere a Westinghouse que a Hotpoint W H b. R. Hotpoint tiene mayor peso y es más velos que Jacuzzi, por tanto Esteroide prefiere a Hotpoint que a Jacuzzi H J c. R. Jacuzzi es más veloz y obediente que Westinghouse, por tanto Esteroide prefiere a Jacuzzi que a Wstinghouse. J W d. Las preferencias de Esteroide no son transitivas: Para que sean transitivas debería resultar que: W J
W
H;
H
J
W
J
Sin embargo el resultado de la comparación de W y J es: J
W
e. Nuevas preferencias de Esteroide: - Si A tiene las 3 características mejores que B entonces A B y viceversa. - Son indiferentes si los jugadores tienen el mismo peso, la misma velocidad y son igualmente obedientes. Con los datos de las características de los jugadores como se han expresado en anteriormente, los jugadores no son comparables. Sin embargo, si los jugadores presentan las características de modo que sean comparables, como por ejemplo:
24
Características
Peso
Velocidad
A
160
Es muy veloz
B C
110 110
No es muy veloz No es muy veloz
Jugador
Obediencia Extremadamente obediente Bastante obediente Bastante obediente
f. Las preferencias son completas, transitivas y reflexivas.
25
2.2 La Recta de Presupuesto. Ejercicios Propuestos 1. Laurelio consume solamente cerveza y pan. Si se gasta todos sus ingresos sólo puede adquirir 20 botellines de cerveza y 5 barras de pan. Otra cesta de consumo que puede adquirir empleando todos sus ingresos consta de 10 botellines de cerveza y 10 barras de pan. Si el precio de un botellín de cerveza es 1 duro, ¿cuáles son los ingresos de Laurelio? Represente la Recta de Balance.
2. Dispones de una renta de 40 duros para adquirir dos bienes. El bien 1 cuesta 10 duros por unidad y el bien 2 cuesta 5 duros por unidad. a. Escribe tu ecuación presupuestaria. b. Si gastaras toda tu renta en adquirir el bien 1, ¿cuántas unidades podrías comprar? c. Si gastaras toda tu renta en adquirir el bien 2, ¿cuántas unidades podrías comprar?; Representa tu recta presupuestaria d. Cambios en las variables: d.1 Supongamos que el precio del bien 1 disminuye a 5 duros mientras que todo lo demás permanece constante. Escribe la ecuación de tu nueva restricción presupuestaria. En el gráfico anterior, traza la nueva recta presupuestaria. d.2 Supongamos que tu renta descienda a 30 duros mientras que los precios de ambos bienes se mantienen en 5 duros. Escribe la ecuación de tu recta presupuestaria en este caso. Representa estas rectas junto con la recta inicial (a). e. Sombrea con color rojo el área que corresponde a las cestas de consumo que puedes adquirir con el presupuesto del apartado. (d.2) pero que no puedes adquirir con el presupuesto del apartado (a) y, f. Sombrea con color verde el área que corresponde a las cestas de consumo que puedes adquirir con el presupuesto del apartado (a) pero que no puedes adquirir con el presupuesto del apartado (d.2).
3. Traza una recta presupuestaria para cada uno de los siguientes casos: 26
(a) p1 = 1, p2 = 1, m = 15;
(b) p1 = 1, p2 = 2, m = 20;
(c) pl = 0, p2 = 1 m =
l0 (d) p1 = p2 y m = 15p1.
4. Dispones de un presupuesto tal que, si gastaras toda tu renta, puedes adquirir o bien 4 unidades del bien x y 6 unidades del bien y o bien 12 unidades del bien x y 2 unidades del bien y. (a) Representa estas dos cestas de consumo y traza la recta presupuestaria. (b) ¿Cuál es la relación entre el precio de x y el precio de y? (c) Si empleas toda tu renta en adquirir el bien x, ¿cuántas unidades de x puedes comprar? (d) Si empleas toda tu renta en adquirir el bien y, ¿cuántas unidades de ypuedes comprar? (e) Escribe una ecuación que corresponda a esta recta presupuestaria, donde el precio de x sea 1. (f) Escribe otra ecuación presupuestaria que corresponda a esta misma recta, pero donde el precio de x sea igual a 3.
5. Mario consumía 100 unidades de X y 50 unidades de Y. El precio de X aumentó de 2 a 3. El precio de Y permaneció en 4. ¿En cuánto tendría que aumentar la renta de Mario para que pueda permitirse el continuar adquiriendo exactamente 100 unidades de X y 50 unidades de Y?
6. En un pequeño país próximo al mar Báltico hay solamente tres bienes de consumo: patatas, mandarinas y juanolas. Los precios se han mantenido espectacularmente estables durante los últimos 50 años. Un saco de patatas cuesta 2 coronas, un kilo de mandarinas cuesta 4 coronas y una cajita de juanolas cuesta 6 coronas. a. Escribe la ecuación presupuestaria de un ciudadano llamado Gunnar que tiene una renta de 360 coronas al año. Indicamos con P el número de sacos de patatas, M representa el número de kilos de mandarinas y J es el número de cajitas de juanolas que consume Gunnar anualmente. b. Los ciudadanos de este país son por lo general personas muy inteligentes,
pero no son muy diestras multiplicando por 2. Esto hace que la adquisición de 27
patatas sea especialmente dificultosa para muchos de ellos. Por consiguiente, se decidió introducir una nueva unidad monetaria, de tal forma que ésta fuera el bien numerario. Un saco de patatas cuesta ahora una unidad de la nueva moneda, mientras que los precios relativos a los otros bienes son los mismos de siempre.
c. ¿Cuál es el precio de las mandarinas con respecto a la nueva moneda?, ¿Cuál es el precio de las juanolas con respecto a la nueva moneda? d. ¿Cuáles tendrían que ser los ingresos de Gunnar, expresados en la nueva moneda, para que pudiera adquirir las mismas cestas de consumo que adquiría antes del cambio monetario? e. Escribe la nueva ecuación presupuestaria de Gunnar. ¿Hay alguna diferencia entre el nuevo conjunto presupuestario de Gunnar y el anterior?
7. Edmundo Sansegundo consume dos bienes: basura y vídeos de música punky. No es que él coma literalmente basura, pero la almacena en su jardín donde es consumida por varias cabras y diversos gusanos. La razón por la que acepta esta basura es que el vecindario le paga 2 duros por saco de basura que recoge de sus casas y puede conservar toda la que quiera en su jardín. No dispone de otra fuente de ingresos. Cada vídeo le cuesta 6 duros. a. Si Edmundo no recoge ningún saco de basura, ¿cuántas cintas de vídeo puede adquirir? b. Si recoge 15 sacos de basura, ¿cuántas cintas de vídeo puede adquirir? c. Escribe una ecuación para su recta presupuestaria. d. Traza la recta presupuestaria de Edmundo y sombrea su conjunto presupuestario.
8. Si pensabas que Edmundo era un individuo estrafalario, espera a ver a su hermano Emeterio. Emeterio consume discursos de políticos y de administradores universitarios. Recibe 1 peseta la hora por escuchar a los políticos y 2 pesetas la hora por escuchar a los administradores universitarios. (Emeterio está muy solicitado para ayudar a llenar los asientos vacíos en conferencias públicas por su distinguida presencia y su habilidad para abstenerse de hacer ruidos molestos.) Emeterio consume un bien por el cual tiene que pagar, y como hemos prometido no 28
revelar de qué bien se trata, sólo podemos decir que cuesta 15 pesetas por unidad y lo llamaremos bien X. Además de los ingresos que percibe por consumir discursos, Emeterio recibe una pensión de 50 pesetas semanales. a. Escribe una ecuación presupuestaria que exprese las combinaciones de los tres bienes: bien X, horas de discursos de políticos (P) y horas de discursos de administradores (A) que Emeterio puede consumir a la semana. b. Representa un diagrama de dos dimensiones que muestre el lugar geométrico de las cantidades de los dos tipos de discursos que podría escuchar si consumiera 10 unidades del bien X a la semana.
9. Jonathan Livingstone Yuppie es un próspero abogado que, según sus propias palabras, "sobrepasa los límites que definen el modelo de dos bienes". Jonathan consume tres bienes: puro whisky escocés, zapatillas de tenis de marca y comidas en restaurantes franceses de lujo. El precio de su marca de whisky favorita es 20 dólares la botella, el precio de las zapatillas de tenis de marca es 80 dólares el par y el precio de las comidas en un buen restaurante francés es 50 dólares por comida. Después de pagar todos sus impuestos y la pensión alimenticia a su ex familia, a Jonathan le quedan 400 dólares a la semana. a. Escribe la ecuación presupuestaria de Jonathan en donde W se refiera al número de botellas de whisky, T sea el número de pares de zapatillas de tenis y C el número de comidas que consume. b. Dibuja un diagrama de tres dimensiones que represente su conjunto presupuestario. Señala las intersecciones de este conjunto presupuestario con cada uno de los ejes. c. Supongamos que elige adquirir un par de zapatillas de tenis de marca a la semana. ¿Cuál es la ecuación que deben satisfacer en este caso las combinaciones de comidas en restaurantes y botellas de whisky que puede adquirir?
10. Miranda está preparando los exámenes de economía y sociología. Dispone de tiempo para estudiar, o bien 40 páginas de economía y 30 páginas de sociología o bien 30 páginas de economía y 60 páginas de sociología.
29
a. Suponiendo que el número de páginas por hora que puede estudiar de cada asignatura no depende del modo en el cual decida disponer de su tiempo, ¿cuántas páginas de sociología podría estudiar si decide emplear todo su tiempo en estudiar sociología y nada de economía? (Pista: tenemos dos puntos de su recta presupuestaria, por lo tanto podemos determinar la recta entera.) b. ¿Cuántas páginas de economía podría estudiar si decide emplear todo su tiempo en estudiar economía y nada de sociología?
11. En el planeta Mungo existen dos tipos de monedas: la moneda roja y la moneda azul. Cada bien tiene dos precios: un precio expresado en moneda roja y un precio expresado en moneda azul. Cada mungoniano tiene dos ingresos: un ingreso rojo y un ingreso azul. Para adquirir un objeto, un mungoniano tiene que pagar con moneda roja el precio rojo de tal objeto y con moneda azul el precio azul. (Todas las tiendas disponen de dos cajas registradoras y un cliente tiene que pasar por ambas a la hora de adquirir un objeto.) Está prohibido el intercambiar un tipo de moneda por la otra y la implacable y eficiente policia monetaria del planeta obliga a cumplir estrictamente esta prohibición. • Solamente hay dos bienes de consumo en Mungo, ambrosía y chicle. To dos
los mungonianos prefieren cantidades mayores de los dos bienes a cantidades menores. • Los precios azules son 1 uma (uma se refiere a "unidad monetaria azul") por
una unidad de ambrosía y 1 uma por una unidad de chicle. • Los precios rojos son 2 umr (u mr
se refiere a "unidad monetaria roja") por
una unidad de ambrosía y 6 umr por una unidad de chicle. a. En un gráfico, representa el presupuesto rojo (con color rojo) y el presupuesto azul (con color azul) para un mungoniano, de nombre Hércules, cuyo ingreso azul es 10 y cuyo ingreso rojo es 30. Sombrea el "conjunto presupuestario" que contiene todas las cestas de consumo que Hércules puede adquirir dadas sus dos restricciones presupuestarias. Recuerda que Hércules tiene que tener una cantidad 30
suficiente de moneda azul y una cantidad suficiente de moneda roja para pagar tanto el precio azul como el precio rojo de los bienes que desee consumir. b. Otra mungoniana, Gladiola, se enfrenta a los mismos precios que Hércules y tiene el mismo ingreso en moneda roja que él, pero su ingreso en moneda azul es 20. Explica por qué Gladiola nunca se gastará totalmente su ingreso azul independientemente de cuales sean sus gustos. (Pista: traza las rectas presupuestarias de Gladiola.)
12. Una compañía telefónica ofrece unas tarifas especiales opcionales para las llamadas regionales, según las cuales los primeros 50 minutos mensuales son gratuitos, los 100 siguientes cuestan 0,25$ el minuto, y el resto se rige por la tarifa normal de 0,50$ el minuto. Trace la restricción presupuestaria de un usuario que tiene una renta de 400$ al mes, entre llamadas regionales y bien compuesto.
13. Suponga que la ecuación presupuestaria es P 1X1 + P2X2 = M. El Gobierno decide establecer un impuesto de suma fija, u, un impuesto sobre la cantidad del bien 1 de t, y una subvención al bien 2 de s. Expresar algebraica y gráficamente la nueva restricción presupuestaria.
31
Solucionario 1. Laurelio y su consumo de solo cerveza y pan. Si x1 = botellines de cerveza y x2 = barras de pan. Combinación (x1,x2), entonces: (20,5) ~ (10,10) , p1 = 1 duro. Ingresos de Laurelio y Recta de Balance.
Ingresos. I = p1 x1 + p2 x2
x2 30
I = 20 + p25; I = 10 + p2 10;
Cesta 1 = (20,5) Cesta 2 = (10,10)
2 ecuaciones, 2 incógnitas
20
0 = 10 + p2(5-10) p2 = 2 I = 30
10
Recta de balance:
I = x1 + 2x2 5
10 15
x1
2. Datos: I = 40; p1 = 10 y p2 = 5. a. Ecuación presupuestaria. 40= I = 10x1 + 5x2 b. Gasto todo en x1, entonces se compra: 40 = 10x1 + 5(x2=0)
x1 = 4
c. Gasto todo x2, entonces se compra: 40 = 10(x1=0) + 5x2
x2 8
x2 = 8
Recta Presupuestaria de a.
5
2
1.5 3
4
x1
32
d. Cambios en las variables: d.1 Si p1 = 5, ceteris paribus, entonces: La Ecuación de la recta es:
40 = 5X1 + 5X2
d.2 I = 30, p1 = p2 = 5. La ecuación de la recta presupuestaria en este caso. Representa esta recta. 30 = 5X1 + 5X2
8 6 d.2
c. d.1
4 6
8
e. El área que corresponde a las cestas de consumo que puedes adquirir con el presupuesto del apartado (e) pero que no puedes adquirir con el presupuesto del apartado (a). f. Sombrea el área que corresponde a las cestas de consumo que puedes adquirir con el presupuesto del apartado (a) pero que no puedes adquirir con el presupuesto del apartado (e).
8
(f)
6 e
4 6
3. La recta presupuestaria de de los siguientes casos: (a) p1 = 1, p2 = 1, m = 15; (b) p1 = 1, p2 = 2, m = 20;
(c) pl = 0, p2 = 1 m = l0
(d) p1 = p2 y m = 15p1
33
15 (a)
(c) (d) (b) 15
4. Dispones de un presupuesto tal que, si gastaras toda tu renta, puedes adquirir o bien 4 unidades del bien x y 6 unidades del bien y o bien 12 unidades del bien x y 2 unidades del bien y. a. Representa estas dos cestas de consumo y traza la recta presupuestaria.
I = PxX + PyY
I = Px(4) + Py(6)
Cesta 1 = (4,6)
I = Px(12) + Py(2)
Cesta 2 = (12,2) 8 6
0 = -8Px + 4Py Px/Py = 1/2
4,6
= Pendiente 12,2
2 4
12
16
b. ¿Cuál es la relación entre el precio de x y el precio de y? Px Py
1 2
(8/16)
c. Si empleas toda tu renta en adquirir el bien x, ¿cuántas unidades de x puedes comprar? Del Gráfico de 4:
X = 16
Forma analítica: Conociendo que X = I/Px, cuando todo su ingreso lo gasta en X. I = Px(4) + Py(6) Todo entre Px I/Px = (Px/Px)*(4) + (Py/Px)*(6) 34
I /Px = (1)*(4) + (2)*6 X = 16 d. Unidades de Y que se compran con toda la renta. Del gráfico de 4:
Y=8
Forma analítica: I = Px(4) + Py(6) Todo entre Py I/Py = (Px/Py)*(4) + (Py/Py)*(6) I /Py= (1/2)*(4) + 6
como: I/P y = Y cuando todo su ingreso se gasta solo en Y, entonces:
Y=8 e. Ecuación de la recta presupuestaria, donde el precio de x sea 1. Sabiendo que Px/Py = 1/2 , entonces: Py = 2 Px I = PxX + PyY I = 1X + 2Y I = X + 2Y
Si Px =1, Py = 2
f. Ecuación presupuestaria de esta misma recta, con el precio de x sea igual a 3. I = 3X + 6Y
5. Mario y su consumo de 100 unidades de X y 50 unidades de Y. -
El precio de X aumentó de 2 a 3. El precio de Y permaneció en 4.
Nueva renta de Mario para que continúe adquiriendo su canasta de consumo inicial. La pendiente que es igual a los precios relativos es: I = 100PX + 50PY I = 400……(a) I = 100(2) + 50(4) I = 500……(b) I = 100(3) + 50(4) El ingreso tendría que aumentar en 100 u.m. = (b) – (a)
35
6. El pequeño país próximo al mar Báltico y los tres bienes de consumo: patatas, mandarinas y juanolas. - Un saco de patatas cuesta 2 coronas, un kilo de mandarinas cuesta 4 coronas y una cajita de juanolas cuesta 6 coronas. a. La ecuación presupuestaria de Gunnar con: Renta = 360 coronas al año. P = número de sacos de patatas, M = número de kilos de mandarinas y J = número de cajitas de juanolas que consume Gunnar anualmente. 360 = 2P + 4M + 6J b. La nueva unidad monetaria. Un saco de patatas cuesta ahora una unidad de la nueva moneda, mientras que los precios relativos a los otros bienes son los mismos de siempre. R. Se divide el precio de las patatas entre 2 de modo que 1 u.m. nueva equivale a 2 coronas por tanto con la nueva moneda se pueden adquirir mandarinas y juanolas con unprecio expresado en la nueva u.m. de ½ *4 = 2 la mandarina y de 3 la juanola; asimismo el Ingreso expresado en la nueva u.m. es de 180 nuevas unidades monetarias. c. El precio de las mandarinas y de las juanolas con la nueva moneda. PP = 1
PM = 2
PJ = 3
d. El nuevo ingreso de Gunnar, con la nueva moneda, con la que adquiere las mismas cestas de consumo que adquiría antes del cambio monetario. I = 180 e. La nueva ecuación presupuestaria de Gunnar. 180 = P + 2M + 3J El nuevo conjunto presupuestario de Gunnar es igual al anterior.
7. Edmundo Sansegundo y sus dos bienes: basura y vídeos de música punky. - Recibe 2 duros por saco de basura (B) que recoge y es su única fuente de ingresos. - Cada vídeo (V) le cuesta 6 duros.
36
a. Si Edmundo no recoge ningún saco de basura (B = 0), no hay ingreso y por tanto no hay gasto y no puede adquirir cintas de vídeo (V = 0). b. Las cintas de vídeo que adquiere cuando recoge 15 sacos de basura. Si B = 15
I = 2*15 = 30
30 = 6V
V=5
c. Escribe una ecuación para su recta presupuestaria. I=g
I = PB*B = 2B;
g = PV*V = 6V
I=g
PB(B) = PV(V)
2B = 6V
V = (1/3) B
d. La recta presupuestaria de Edmundo y su conjunto presupuestario (sombreado). B 15 12
6
V
2 4 5
8. Emeterio el hermano de Edmundo. - Sus bienes de consumo: discursos de políticos y de administradores universitarios. - Recibe 1 peseta la hora por escuchar a los políticos (P P = 1) y 2 pesetas la hora por escuchar a los administradores universitarios (P A = 2). - Consume el bien X por el cual tiene que pagar 15 pesetas por unidad. - Además de los ingresos que percibe por consumir discursos, Emeterio recibe una pensión (PE) de 50 pesetas semanales. a. Ecuación presupuestaria que expresa las combinaciones de los tres bienes: bien X, horas de discursos de políticos (P) y horas de discursos de administradores (A) que Emeterio puede consumir a la semana. PP = 1
PA = 2
P=x 15
I = PPP + PAA + PE
g = P XX
I = P + 2A + 50
=g 15X
PE = 50
I = g
P + 2A + 50 = 15X 37
b. Diagrama de dos dimensiones que muestra el lugar geométrico de las cantidades de los dos tipos de discursos que podría escuchar si consumiera 10 unidades del bien X a la semana. P + 2A + 50 = 15(10)
P + 2A = 100
P 100
PP = 1 P A = 2 P + 2A = 100
50
A
9. El abogado Jonathan Livingstone y el whisky, las zapatillas y las comidas. -
El precio de su marca de whisky favorita (P W) es 20 dólares la botella, el precio de las zapatillas de tenis de marca (PT) es 80 dólares el par y el precio de las comidas en un buen restaurante francés (PC) es 50 dólares por comida.
-
Ingreso de 400 dólares a la semana para estos gastos.
a. Ecuación presupuestaria de Jonathan en donde: W = número de botellas de whisky, T = número de pares de zapatillas de tenis y, C = número de comidas que consume. 20W + 80T + 50C = 400
b. Diagrama de tres dimensiones que representa el conjunto presupuestario. T
Conjunto Presupuestario
5
20
W
8 C
38
c. Ecuación en la que adquiere un par de zapatillas de tenis de marca a la semana. 20W + 80T + 50C = 400 20W + 80(1) + 50C = 400 20W + 50C = 320
10. Miranda y los exámenes de economía y sociología. Tiempo para estudiar: 40 páginas de economía y 30 páginas de sociología o 30 páginas de economía y 60 páginas de sociología: (40,30) ~ (30,60). a. Nº páginas de sociología que podría estudiar si no estudia economía. La Recta Presupuestaria. Pendiente:
Y/X = - 30/10 = - 3
Y = a + bX
donde
Pendiente: Y/X = b
Y = Sociología, b=-3
X = Economía.
Y = a – 3X
30 = a - 3*40 60 = a - 3*30 90 = 2a –210
a = 150
Y = 150 –3X
Si X = 0
Y = 150
b. Páginas de economía que podría estudiar si no estudia sociología. – Y = 150 3X
Si Y = 0
X = 50
11. El planeta Mungo y sus monedas: la moneda roja y la moneda azul. - Cada bien tiene dos precios: un precio expresado en moneda roja y un precio expresado en moneda azul. - Cada mungoniano tiene dos ingresos: un ingreso rojo y un ingreso azul. - Para adquirir un objeto, un mungoniano tiene que pagar con moneda roja el precio rojo de tal objeto y con moneda azul el precio azul. - Está prohibido el intercambiar un tipo de moneda por la otra. - Solamente hay dos bienes de consumo en Mungo, ambrosía y chicle. - Los mungonianos tienen preferencias monótonas.
39
- Los precios azules son 1 uma (uma se refiere a "unidad monetaria azul") por una unidad de ambrosía y 1 uma por una unidad de chicle. - Los precios rojos son 2 umr (umr se refiere a "unidad monetaria roja") por una unidad de ambrosía y 6 umr por una unidad de chicle. a. Gráfico que representa el presupuesto rojo (con color rojo) y el presupuesto azul (con color azul) para un mungoniano. El Ingreso azul es 10 y el Ingreso rojo es 30. Ch 10 5 10
15
A
El "conjunto presupuestario" sombreado contiene todas las cestas de consumo que Hércules puede adquirir dadas sus dos restricciones presupuestarias. b. Otra mungoniana, Gladiola, se enfrenta a los mismos precios que Hércules y tiene el mismo ingreso en moneda roja que él, pero su ingreso en moneda azul es 20. Ch 20
5 15 20
A
Como los precios de cada bien se pagan en moneda azul y en moneda roja, entonces resulta que Gladiola al tener poca moneda roja no puede gastar toda la moneda azul que tiene.
12. La compañía telefónica y sus tarifas especiales para las llamadas regionales.
40
- Los primeros 50 minutos mensuales son gratuitos, los 100 siguientes cuestan 0,25$ el minuto, y el resto se rige por la tarifa normal de 0,50$ el minuto. La restricción presupuestaria de un usuario que tiene una renta de 400$ al mes, entre llamadas regionales y bien compuesto. M 400 375
LLR 50
150
900
Min.
13. Suponga que la ecuación presupuestaria es P1X1 + P2X2 = M. El Gobierno decide establecer un impuesto de suma fija, u, un impuesto sobre la cantidad del bien 1 de t, y una subvención al bien 2 de s. Expresar algebraica y gráficamente la nueva restricción presupuestaria. a. Impuesto de suma fija:
P1X1 + P2X2 = M – u
b. Impuesto a la cantidad del bien 1: P1X1 + P2X2 + tX=1 M - u
(P
1
+ t)X1 + P2 X2 = M – u
c. Subvención al bien 2: P1X1 + P2X2 – sX =M 2
(P
1+
t)X1 + (P2 – s)X2 = M – u
X2
(c)
(b)
(a)
RP0 X1
41
2.3 La Demanda del Consumidor Ejercicios Propuestos
1. Supongamos que Jesús consume los bienes x e y juntos y cuyas preferencias se pueden representar por la siguiente función de utilidad. U (x ,y ) Min x y,
Además supongamos que en el mercado los precios de los bienes son Px y Py y su ingreso es igual a I . a.
Halle las funciones de demanda ordinaria y la función de utilidad indirecta.
b. Partiendo de la función de utilidad indirecta, halle las funciones de demanda ordinaria mediante la Identidad de Roy. c. Plantee el problema dual de minimización del gasto y halle las funciones de demanda compensada a lo Hicks para ambos bienes. Verifique que las funciones de demanda compensada a lo Hicks son homogénes de grado uno en precios. d. Partiendo de la función de gasto mínimo halle las funciones de demanda compensada a lo Hicks mediante el Lema de Sphephard. Comparar con lo hallado en la parte c. e. Partiendo de la función de utilidad indirecta halle la función de gasto mínimo. Partiendo de la función de gasto mínimo halle la función de utilidad indirecta. Verifique, además que la función de gasto mínimo es homogénea de grado uno en los precios. f. Grafique la demanda compensada a lo Hicks y la demanda ordinaria para el primer bien en el plano ( x, px ) y explique por qué existen diferencias en sus representaciones. g. Derive la ecuación de Slutsky, identifique los efectos sustitución e ingreso y explique el significado de sus resultados. 2. Supongamos que las preferencias de un consumidor por educación (x) y alimentos (y) pueden representarse por medio de la siguiente función de utilidad cuasi lineal en (y). 42
U1x(,y
) xlny
Se sabe que este consumidor se enfrenta a los precios px y p y y su ingreso es igual a I . a. Halle las funciones de demanda ordinaria de ambos bienes. Halle también las funciones de demanda compensada a lo Hicks para ambos bienes. b. Muestre la derivación gráfica de la curva de demanda compensada a lo Hicks de lápices (x) y compárela con su correspondiente función de demanda ordinaria. Explique los resultados. c. Considere una compensación a la Slutsky (i.e. la variación en el ingreso es tal que permite al individuo adquirir la canasta inicial). Grafique. d. Suponga que el ingreso de este consumidor es de 100 unidades monetarias y que los precios son px 5 y p y 1, pero luego el precio de los lápices ( px ) aumenta a 15 unidades monetarias. Calcule las cantidades demandadas óptimas de lápices y alimentos antes y después de la subida de precios. e. Calcule los efectos sustitución e ingreso utilizando las funciones de demanda ordinaria y compensada a lo Hicks. f. Calcule los efectos ingreso y sustitución mediante la ecuación de Slutsky. 3. A Lourdes le gustan los triples ( x ) y las gaseosas ( y ) . Si el precio de los triples y las gaseosas es
px y p y
y el ingreso de Lourdes es igual a I de acuerdo con la
siguiente función de utilidad: U (x y, ) x y0.6
0.4
a. Hallar las funciones de demanda compensada a lo Hicks y verificar que son homogéneas de grado cero en precios. b. Hallar la función de utilidad indirecta así como la función de gasto mínimo. c. Suponga que el precio de los triples se incrementa en 30% debido al aumento del precio de la harina. Halle las cantidades óptimas de los bienes antes y después del incremento en el precio. Asuma que px 0 2, p y 0.5e I 20 .
43
Halle también las cantidades demandadas según la demanda compensada a lo Hicks. d. Con los datos de c), halle el monto monetario de la compensación a lo Hicks. (Utilice la función de gasto mínimo para señalar en cuánto tendrá que aumentar su ingreso ahora para mantener el nivel de utilidad anterior al cambio en el precio del triple). e. Con los datos de c), halle el monto monetario de la compensación a lo Slutsky. (Recuerde que la compensación a la Slutsky implica que Lourdes podría comprar la canasta srcinal a los nuevos precios). f.
Analice gráficamente el efecto sustitución y el efecto ingreso a lo Hicks ocasionados por el aumento de p x en los planos ( x, y)y( , x p).X
44
Solucionario 1.
función de utilidad: U (x ,y ) Min x y, Ecuación de Presupuesto:
I px x p y y
(Ingreso = Gasto).
a. Las funciones de demanda ordinaria (Problema Primal). La demanda ordinaria (Marshalliana) de un bien se determina en términos del Ingreso que el consumidor destina a la compra de los bienes y de los precios. x = x (px,py,I)
Se determina maximizando la utilidad sujeta a la restricción del presupuesto: MaxU ( x, y) Min x, y s.a. px x p y y I
Como son bienes que se consumen juntos son bienes complementarios por lo que debe respetarse la proporcionalidad en el consumo de los bienes. Si: Minx, y
x y , luego la proporción
x 1. y
En consecuencia la proporción en el consumo es de uno a uno. Reemplazando x = y en la Restricción presupuestaria: px x p y x I ( px p y ) x
I
x
I px p y
El resultado es la función de demanda ordinaria (Marshalliana) de x. Donde el consumo de x depende del ingreso del consumidor (mientras más ingreso más consume de los dos bienes) y de los precios de los dos bienes (si aumenta el precio de uno o de ambos bienes menos consume de los bienes). De igual modo se procede con la demanda ordinaria del bien y: x
I px p y
La función de utilidad indirecta V (p xp, I y , ) :
45
Es la función de utilidad maximizada u( x, y) Min( x, y) en la que se reemplazan los bienes de consumo por su correspondiente demanda ordinaria, como sigue: V (p p Ux y( x , Iy , )
d
I I , px p y px p y
, Min ) d
Como cualquiera de los dos bienes en el óptimo representan el mínimo que da el nivel de utilidad, se toma uno de ellos. V (p xp, I y , )
I px p y
b. De la función de utilidad indirecta a las funciones de demanda ordinaria aplicando la Identidad de Roy. La identidad de Roy recupera la demanda ordinaria de los bienes: x
V / p x V / I
y
o
V / p y
donde:
V / I
V V ( px , p y , I )
Aplicando Roy a la función indirecta de utilidad: V (p px , Iy , U)
I px p y
Y recuperando la función de demanda ordinaria de x: V / p x
x
I
y
2 ( px p y )
V / I
I /( p x p y ) 2 V / p x I 1 /( p x p y ) px p y V / I
Del mismo modo con y:
y
1 ( px p y )
x
I px py
I px p y
Otra manera: Linealizando la función de utilidad indirecta (tomamos logaritmo) de modo que la función
V 1( px , p y , I )
es una transformación monotónica de
V (p xp, I y , ) : V 1 ( p x , p y , I ) ln V ( p x , p y , I ) ln I ln( p x p y )
V 1 ( p x , p y , I ) p x
1 ( px py )
y,
V 1 ( p x , p y , I ) I
1
I 46
Demanda ordinaria de x:
x
Igual se procede con y:
x
I px p y I px p y
c. Problema dual: Las funciones de demanda Compensada (Hicksiana) La demanda compensada (Hicksiana) de un bien se determina en términos de la utilidad que proporcionan los bienes al consumidor y de los precios. x = x (px,py,I) Se determina Minimizando el gasto sujeta a la restricción de utilidad. Min G px x p y y
s.aU . U ( x, y) Min x, y
Como se trata de bienes complementarios, se debe cumplir que: x = y, Por lo que el nivel de utilidad que alcanza el consumidor en el óptimo del consumo de los dos (2) bienes es la cantidad mínima de cualquiera de los bienes o lo que es lo mismo la cantidad mínima de consumo del consumidor es el nivel de utilidad que proporciona el consumo de los bienes: U Min x x, U Min y y,
xU yU
Por lo tanto, las funciones de demanda compensadas: xh U , y h U
Las funciones de demanda compensada a lo Hicks son homogéneas de grado cero en precios. Para verificarlo alteramos los precios en un > 0 (constante positiva) y cuyo resultado es una alteración del nivel de utilidad alcanzado: x h (p x , p y , U ) r U y h (p x , p y , U ) r U
Como las demandas no dependen de los precios, la función de demanda no se altera, por lo que la función es homogénea de grado cero (0). 47
d. La función de gasto mínimo Es la función de gasto optimizado g pi xih en la que se reemplazan los bienes de consumo por su correspondiente demanda compensada: g px xh p y y h g px U p y U
g px p y U
g p x p y U
Función de gasto mínimo:
Lema de Shepard h h El Lema de Shepard recupera demanda compensada a lo Hicks ( x , y ) .
Se deriva la función de gasto mínimo con respecto al precio del bien. g px p y U
p x U p y U g p x p x
x U
xU
Función de demanda compensada:
yU
e. De la función de utilidad indirecta a la función de gasto mínimo. En el óptimo la función de utilidad indirecta es igual a un nivel de utilidad dado U : Vp(pI x ,
y
I , ) U px p y
Entonces, de la función de utilidad indirecta obtenemos la función gasto, reemplazando I por g: V U
I px p y
I p Up U x
y
g p p U x
y
Asimismo, en el óptimo la función de gasto mínimo que permite alcanzar el nivel de utilidad U es equivalente al ingreso del consumidor. g px , p y U px p y U I
48
Entonces, de la función de gasto mínimo obtenemos la función de utilidad indirecta, reemplazando U por V : g px , p yU px p y U I V
px p y V I
I px p y
La función de gasto mínimo es homogénea de grado uno en precios. Si alteramos los precios en , veremos cómo se altera en la función de gasto mínimo.
r g p x p y U
donde: > 0
Vemos que r debe ser 1 para que la ecuación no se altere por lo que la función es homogénea de grado 1. La alteración proporcional de los precios altera el gasto mínimo en la misma proporción. f. Gráfico de la demanda compensada (Hicksiana) y de la demanda ordinaria (Marshalliana) para el primer bien en el plano ( x, p x )
En el gráfico de la derecha se observa que la curva de demanda compensada o Hicksiana es una línea vertical al eje de la abscisa que indica que al variar el precio del bien x la cantidad de demanda sigue siendo la misma y por tanto el nivel de utilidad no cambia es constante (recordemos que la función de demanda compensada no depende de los precios). En este caso de bienes complementarios el efecto sustitución es nulo por lo que el efecto ingreso constituye el efecto total.
49
La curva de demanda ordinaria o Marshalliana tiene pendiente negativa, que significa que la demanda varía de manera inversa a la variación del precio, a mayor precio menor es la cantidad demandad y viceversa, (Recordar que esta función presenta una relación inversa de precios y cantidad demandada). g. La ecuación de Slutsky, los efectos sustitución e ingreso. En el óptimo la demanda Ordinaria es igual a la demanda Hicksiana x h p,u x M p, I
p, I x h p,u x M p x p x x h p,u xM p, I x M p, I g p x p x I p x x M p, I p x
Efecto
Total
x h p, u p x
x M p, I I
x M p, I
Efecto
Efecto
Sustitución
Ingrreso
El resultado de la ecuación de slutsky identifica los efectos sustitución e ingreso de los cambios en la cantidad de demanda debido a los cambios en los precios y los ingresos de los bienes. Considerando la función de demanda ordinaria y compensada de los bienes complementarios del presente ejercicio. xd
I px p y
px
I px p y
xh U
,
U
p px x
I 0 ( px p y )2 Efecto Sustitución
I
I px p y
py
I
- I px py
Efecto total
I p x p y
Efecto Ingreso
I ( px p y ) 2
I ( px p y ) 2
50
2. Supongamos que las preferencias de un consumidor por educación (x) y alimentos (y)
pueden representarse por medio de la siguiente función de
utilidad: U1x(,y ) xlny
El precio de los bienes son
px y p y
y el ingreso del consumidor es igual a I .
a. Funciones de demanda ordinarias y compensadas a lo Hicks para ambos bienes.
Demanda ordinaria
Demanda Compensada
MaxU1 (,x y) ln x y
Min G px x p y y
s.a. px x p y y I 1
x
px py
x d ( px , p y , I ) px
py px
I py
px
s.a. ln x y U py px 1 x h (,px p y ,U ) py x px
py y U px
py y I
y d ( px , p y , I )
py
ln
1
py px
y h ( px ,,p y U ) U ln
b. Gráfica de la curva de demanda compensada a lo Hicks de estudios ( x) y comparación con su correspondiente curva de demanda ordinaria.
51
El efecto ingreso permite comprar la canasta inicial, solo hay efecto sustitución que determina el efecto total y las curvas de demanda ordinaria y compensada con las mismas. c. Gráfica de la compensación a lo Slutsky.
d. Si el ingreso del consumidor es 100 u.m y los precios son pero luego aumenta el precio de los estudios a
px 5 y p y 1 ,
p x' 15 .
Cantidades demandadas óptimas de estudios y alimentos antes y después de la subida de precios. Funciones de demanda ordinaria: xd ( px ,,p y I )
py px
,
(
,, y d px) p y I 1
Antes de la subida del precio 1 xd 5
100 0.2 , yd 1 99 1
I py
Después de la subida del precio 1 xd 15
0.07 , y d
100 1
1 99
e. El efecto sustitución e ingreso. Con las cantidades óptimas de las demandas ordinarias antes y después de la subida del precio y, las cantidades óptimas según la demanda compensada a lo Hicks antes y después de la subida de precio x h (,px p y ,U ) h
py px
, (, y
py px ,py )dU lnd ; U ln px
x
y
52
Antes de la subida del precio xh
1 5
Después de la subida del precio
0.2
xh
1 y h ln(0.2) 99 ln 5 y h ln(0.2) 99 ln(0.2) 99
1 15
0.07 py px 2
y h ln( x1d ) 99 ln
y h ln(0.2) 99 ln(0.07) 100.04
Por lo tanto tenemos: Antes de la subida Después
de
del precio
subida del precio
x d 0 0.2
x d 1 0.2
99
y d 1 99
Demanda Ordinaria
y
d 0
Demanda Compensada xh 0 0.2 (Hicks) y h 0 99
la
x h1 0.07 y h1 100.04
Debido a que no hay diferencia entre las cantidades óptimas de las funciones de demanda ordinarias no hay efecto ingreso, las diferencias entre las cantidades óptimas de las demandas compensadas determinan el efecto sustitución. Efecto Total = Efecto Sustitución + Efecto Ingreso h h 0.2 0.13 Efecto Sustitución: x 1 x 0 0.07
f. El efecto ingreso y sustitución mediante la ecuación de Slutsky. x h p, u p x
x d p, I p x
Efecto
Total
Efecto
p y / px
Total
py px
2
Efecto Total
Efecto
Sustitución
p y / px
p x
Efecto
x d p, I I
x d p, I
p y p y / px
p x
px
Efecto
py
px 2
Ingrreso
I
Sustitución
Efecto
Ingrreso
0 Efecto Ingreso
Efecto sustitución
53
py p x2
1 25
0.04
3. Lourdes, los triples x y las gaseosas y. Si el precio de los triples p x y de las gaseosas p y y el ingreso de Lourdes igual a I . La función de utilidad de Lourdes: U (x y, ) x y0.6
0.4
a. Hallar las funciones de demanda compensada a lo Hicks y verificar que son homogéneas de grado cero en precios. Min G=p x x p y y
s.a. U (x y, ) x y0.6
0.4
px 0.6 x 0.4 y 0.4 3 y p y 0.4 x 0.6 y 0.6 2 x
2 px 3 py
0.4
EnxU xx 0.6
y
U y 3 ypy 2 px
3 py
3 py
x ,x
2 px
0.4
2 px U 3 py
0.6
y
2 px
x
0.4
3 p y 2 px
U
y
0.4
y
3 py 2 px
h
x 2 p 3 p y
h
0.4
0.6
Las funciones de demanda compensada son homogéneas de grado cero con respecto a los precios: 3p y x p x , p y ,U 2p x h
3py r h x 2 px
0.4
U
0.4
U
Entonces: r = 0
b. La función de utilidad indirecta y la función de gasto mínimo, 0.6
0.4
Max U(x ,y ) x y s.a. px x p y y I
px 0.6 x0.4 y 0.4 3 y p y 0.4 x0.6 y 0.6 2 x
y
2 px 3 py
x,
x
3 py 2 px
y
En la recta de presupuesto
54
Px x p y
2 px
x I
y
5
3 py
2 px
3
3 p y 5 px
I
px x I
y d
3
xd
3
2 5 py
5 px
I
I
Función de utilidad indirecta: Vxy( U , x)y
(,
0.6
3 Id ) I 5p
d
x
Función de gasto mínimo
2 5p y
0.4
I px x h p y y h
3py I p x 2 px
0.4
2p U py x 5py
0.6
U
c. El precio de los triples se incrementa en 30%. Cantidades óptimas de los bienes antes y después del incremento en el precio. 0 Suponga que: p x 2, p y 0.5, I 20
Cantidades demandadas según la demanda compensada a lo Hicks. Demandas ordinarias: Antes de la subida del precio
Después de la subida del precio
xd yd
3 5 px 2 5 py
I
x d 0
I
y
d 0
3 5(2)
20
xd1
6
2 20 16
y d1
1 5 2
3 5(2.6) 2
1 5 2
20 4.6 20 16
Demandas compensadas a lo Hicks 0.6
0.4
3 py x U 2 px h
,
2p y x U 3 py h
55
Antes de la subida del precio
Después de la subida del precio
0.4
0.4
3(1/ 2) x h0 8.88 5.99 2(2)
3(1/ 2) 8.88 5.99 2(2,6)
x h1
0.6
0.6
2(2) y h0 8.88 15.99 3(1/ 2)
2(2.6) 8.88 18.72 3(1/ 2)
y h1
En Resumen Antes de la subida Después de la del precio subida del precio Demanda
x d 1 4.6
xd 6
Ordinaria
yd
Demanda Compensada (a lo Hicks)
100 1
y d 1 16
1 16
x 5.99
x h1 5.4
y h 0 15.99
y h1 18.72
h
d. Con los datos de c), halle el monto monetario de la compensación a lo Hicks. (Con la función de gasto mínimo se determina en cuánto tendrá que aumentar su ingreso ahora para mantener el nivel de utilidad anterior al cambio en el precio del triple). Con px 2, p y 0.5 e I 20 Calculamos la utilidad inicial de Lourdes: 0.6
Vxy( U , x)y (
d
d
,I )
3 2 I 5 px 5 p y
0.4
0.6
3 20 5(2)
2 5(0.5)
0.4
20
8.88
Utilizamos la función de gasto mínimo para saber qué nivel de ingreso requiere Lourdes para mantener su utilidad en 8.88 dado el nuevo precio: px 2,6,
p y 0.5
3(0.5) 2(2.6)
I comp.Hicks 2.6
0.4
2(2.6) 5(0.5)
8.88 (0.5)
0.6
8.88
56
I comp.Hicks 14.04 9.36 23.40
Por lo tanto la compensación a lo Hicks de Lourdes debe ser de 3.40 soles.
I H I comp.Hicks I 23.40 20 3.40 e. Con los datos de c), halle el monto monetario de la compensación a lo Slutsky. (Recuerde que la compensación a la Slutsky implica que Lourdes podría comprar la canasta srcinal a los nuevos precios). La compensación a la Slutsky implica que Lourdes está en condiciones de acceder a la canasta srcinal que había elegido
x0d , y0d a pesar de que los
precios no sean los mismos. La canasta srcinal de Lourdes es: xd 0 6
,
y d 0 16
Ante el cambio en el precio de x, para poder comprar esa canasta, Lourdes necesitaría un ingreso anual a: I comp.Hicks p x x0d p y y0d I comp.Slutsky 2.6(6) 0.5(16) 23.6
Por lo tanto, la compensación a lo Slutsky es igual a:
I S I comp.Slutsky I 23.6 20 3.60 f. Analice gráficamente el efecto sustitución y el efecto ingreso a lo Hicks ocasionados por el aumento de p x en los planos ( x,)y y( x, px ) .
57
X d1 6 X d 2 4.6 X h 2 5.4 ES 5.4 6 EI 4.6 5.4 ET 4.6 6
0.6 0.8 14
58
2.4 Medidas de Bienestar
Ejercicios Propuestos. 1. Determine la Variación del Excedente del Consumidor a. Con la función indirecta de utilidad b. Con la función gastos c. Con la demanda ordinaria 2. Determine la Variación Compensatoria a. Con la función indirecta de utilidad b. Con la función gastos c. Con la demanda hicksiana 3. Variación Equivalente a. Con la función indirecta de utilidad b. Con la función gastos c. Con la demanda hicksiana
59
Solucionario 1. Variación del Excedente del Consumidor a. Con la función indirecta de utilidad Diferencia de Ingresos por diferencia de precios y la utilidad inicial p0 I 0 1
p 20 0 p11 1 v - I
p 20 1 v
b. Con la función gastos Diferencia de gastos por diferencia de precios y la utilidad inicial VC g p 0 , u 0 g p 1 , u 1
p0 g 0 1
p 20 0 p1 p 0 u - g 1 1 2 u1
c. Con la demanda ordinaria Integrando la demanda ordinaria
I dp p1
1
1
x1M dp
0
I
0
1
P
dp1 ILn( P1 )0 I Ln( p10 ) LN ( p11 ) 1
1
2. Variación Compensatoria a. Con la función indirecta de utilidad Diferencia de Ingresos por diferencia de precios y la utilidad inicial p0 I 0 1
p 20 0 p11 1 v - I
p 20 0 v
b. Con la función gastos Diferencia de gastos por diferencia de precios y la utilidad inicial VC g p 0 , u 0 g p 1 , u 0
p0 g 0 1
p 20 0 p1 u - g1 1
p 20 0 u 60
c. Con la demanda hicksiana Integrando la demanda hicksiana con la utilidad inicial 0
1
1
x1H dp =
0
p2 0 u dp1 p1
=
1 1 0 p 2 u dp1 p1 0
1
1
0
= p 2 u 0 p11 1
==>
1 p 2 u 0 p10 1
1
1 1 1
p
3. Variación Equivalente a. Con la función indirecta de utilidad Diferencia de Ingresos por diferencia de precios y la utilidad final p0 I 0 1
p 20 1 v
p1 I 1 1
-
p 20 1 v
b. Con la función gastos Diferencia de gastos por diferencia de precios y la utilidad final VC g p 0 , u 1 g p 1 , u 1
p0 g 0 1
p 20 1 p1 p 0 u - g 1 1 2 u1
c. Con la demanda hicksiana Integrando la demanda hicksiana con la utilidad final 1
H 1
dp =
0
1 1 p2 1 u dp1 = p 2 u 1 dp1 p p1 1 0 0
1
x
1
p u 1 1 p 1 ==> p 1 u 1 p0 1 2 1 1 2 1 0
1
1 1 1
p
61
2.5 Elasticidades de la Demanda
Ejercicios Propuestos 1. Un consumidor gasta su ingreso en dos bienes (X,Y). Si la elasticidad ingreso del bien X es 1.5 y destina el 75% de su ingreso a dicho bien. ¿Se podría decir que el bien Y es inferior? 2. Dada la siguiente función de Demanda: X = 100 – 2P. Para que niveles de precios la elasticidad precio es unitaria, elástica e inelástica? 3. Dada la siguiente función de demanda de zapatos: X 40Px0.5 a. Halle la elasticidad precio de la demanda b. Si el precio se incrementa en 20% ¿Qué sucede con la cantidad demandada y con el gasto del consumidor en dicho bien? 4. Un productor de paltas consume menos de su producto cuando se reduce el precio de las paltas. Evaluar que tipo de bien puede ser considerado la palta para él. 5. En una playa del Sur, existe una elasticidad precio de -1.5 en el parqueo de autos con lunas polarizadas (no se aceptan la entrada de combis o camiones). Si el precio por hora de estacionamiento es de S/.2.50, determine en cuánto se deberá aumentar la tarifa para evitar las colas y dificultades que pasan generalmente los automovilistas que desean ingresar a tan deseado lugar. Si se sabe además que la escasez del espacio de la playa es de un 15% aproximadamente. 6. Muestre analíticamente que para un consumidor cualquiera no todos los bienes pueden ser inferiores. 7. Dada la siguiente función de demanda:
X
100
Px
¿Se podría concluir que siempre el individuo gastará lo mismo en el bien X para cualquier nivel de precio? 8. Si el consumo de carne de res es considerado como un bien superior, la curva de demanda ordinaria tendrá pendiente positiva. Comente.
62
9. Muestre que las demandas con igual pendiente tienen diferentes elasticidades precio de la demanda. 10. La elasticidad precio es -0.8. La elasticidad precio compensada es -0.4, entonces el bien podría ser superior se sabe que el 20% del ingreso se gasta en dicho bien. 11. Si la función de demanda del bien X es:
X I
Py Px
Donde es un parámetro, I es el nivel de ingreso, Px es el precio del bien X y Py es el precio del bien Y, entonces: a) X es un bien inferior; b) X e Y son bienes sustitutos; c) X e Y son bienes complementarios; d) X es un bien Giffen; e) N.A. 12. Si la curva de demanda es inelástica, entonces cuando el precio disminuye: a) El gasto no se altera; b) El gasto disminuye; c) El gasto aumenta; d) La demanda disminuye; e) La demanda aumenta. 13. Cuando el ingreso marginal es negativo: a) La curva de demanda es inelástica; b) La curva de demanda es semi-elástica; c) La curva de demanda es de elasticidad unitaria; d) La curva de demanda es elástica; e) La curva de demanda es semi - inelástica. 14. En el Perú se prevé que el ingreso aumentará en 3%. Se sabe además que la elasticidad ingreso de demanda por leche es 0.8 y que su producción aumenta en 1% ¿Será insuficiente la producción nacional para satisfacer la demanda interna? ¿Cuál es el porcentaje de déficit o superávit? Grafique. 15. Un econometrista ha estimado la siguiente función de demanda: X 10Px0.4 Py0.7 Pz0.6 I 0.5 donde X = demanda de carne de res, Px = precio de
la carne de res, Py = precio de la papa, Pz = precio del pollo, I = Ingreso del consumidor. a. Halle la elasticidad precio, ingreso y cruzada. b. Clasifique los bienes de acuerdo a sus elasticidades.
63
c. Si se incrementa el precio del pollo en 4% cuanto se modifica la demanda de carne de res. d. Si se da un aumento en el ingreso del consumidor en 16%, en cuanto aumenta la demanda de carne de res. e. Si se duplica todos los precios y el ingreso del consumidor ¿es de esperar que la cantidad también se duplique? 16. ¿Dada una elasticidad precio de la demanda < 1, que pasa con el ingreso de los ofertantes si incrementa la oferta de mercado? 17. ¿Si la papa es un “bien inferior”, un aumento en el ingreso de los demandantes, perjudica o beneficia a los agricultores de la Sierra?
64
Solucionario 1. Un consumidor gasta su ingreso en dos bienes (X,Y). Si la elasticidad ingreso del bien X es 1.5 y destina el 75% de su ingreso a dicho bien. ¿Se podría decir que el bien Y es inferior? Utilizando la agregación de Engels: 1
Px X X m m m X
Py Y Y m m m Y
1 w x x w y y 1 0.75 * 1.5 0.25 y
y 0.5
Si el ingreso aumenta en 1% el consumo disminuye en 0.5%, por tanto el bien Y es un bien inferior. 2. Dada la siguiente función de Demanda:
X = 100 – 2P.
Para que niveles de precios la elasticidad precio es unitaria, elástica e inelástica? Solución: Se observa que la función de demanda genera una curva de demanda lineal por lo que encontramos los puntos que unen la recta: Si P = 50
X = 0;
Si P = 0
P
X = 100
Elasticidad unitaria, se da en el punto medio del precio o de la
50
cantidad; En este caso cuando P =
25
25 o cuando la cantidad es 50 Q 50
100
Veamos: Con P = 25
Con X = 50 65
1
p
x 2
100 2 P 50 x 1 50 x 1
x 1 x
1
X
2
50 0.5 X
1
50
2
25
* *
1
x 1
La elasticidad precio es: Elástica:
P > 25
o
X < 50
Unitaria: Inelástica:
P = 25 P < 25
o o
X = 50 X > 50
3. Dada la siguiente función de demanda de zapatos: X 40Px0.5 a. Halle la elasticidad precio de la demanda Sabemos que: x % X
% Px
x
X Px Px X
X Px 0.5 Px 40 * 1.5 Px X Px 40Px0.5
X 0.5 40 * 1.5 Px Px
x 0.5
Si el precio aumenta en 1% la cantidad de consumo disminuye en 0.5% b. Si el precio se incrementa en 20% ¿Qué sucede con la cantidad demandada y con el gasto del consumidor en dicho bien? Se tiene en cuenta que la elasticidad es –0.5 por tanto si el precio se incrementa en 20%, disminuye el consumo del bien en 10%. Determinando la variación del gasto: g Px X
g g ' g Px' X ' Px X Px Px * X X Px X g 1 0.2 * 1 0.1 1 g ' g g
g 8%
Variación porcentual del gasto: % g
g' g
1
g 1.08 g
1 0.08
% g 8%
66
R. El gasto aumenta en 8% 4. Un productor de paltas consume menos de su producto cuando se reduce el precio de las paltas. Evaluar qué tipo de bien puede ser considerado la palta para él.
Otros
A B
C
Al reducirse el precio se reduce el ingreso del productor y por efecto ingreso (BC) reduce su consumo. El bien es Normal Paltas
Para el productor de paltas, la palta es un bien normal. 5. En una playa del Sur, existe una elasticidad precio de -1.5 en el parqueo de autos con lunas polarizadas (no se aceptan la entrada de combis o camiones). Si el precio por hora de estacionamiento es de S/.2.50, determine en cuánto se deberá aumentar la tarifa para evitar las colas y dificultades que pasan generalmente los automovilistas que desean ingresar a tan deseado lugar. Si se sabe además que la escasez del espacio de la playa es de un 15% aproximadamente. Es decir, en qué porcentaje debe aumentar el precio para disminuir en 15% la cantidad demandada, sabiendo que la elasticidad precios es de – 1.5. x
% X 15% 1.5 % p x % p x
% p x
15% 1.5
0.10
% p x 10% p ' p1 10% P
p ' 2.5 1.1
p ' 2.75
S
2.5 X
67
Otra forma: x
x p x 1.5 p x x
p x 0.15
2.5
x 0.15
2.5
p x
1.5
p x 0.25
1.5
p x' 2.75
6. Muestre analíticamente que para un consumidor cualquiera no todos los bienes pueden ser inferiores. Según la agregación de Engels: 1 wx x w y y
Un bien inferior tiene una elasticidad ingreso negativa por tanto si todos los bienes son inferiores la suma de las elasticidades ponderadas por el porcentaje de ingreso que se gasta en el bien tendría signo negativo y estaría en contradicción con la agregación de Engels. 7. Dada la siguiente función de demanda:
X
100
Px
¿Se podría concluir que siempre el individuo gastará lo mismo en el bien X para cualquier nivel de precio? x 100 p x 2
px 100 p x1
x 1
Si, a cualquier nivel de precio el gasto sería el mismo y de 100 u.m. X
100
Px
Px X 100
g 100
8. Si el consumo de carne de res es considerado como un bien superior, la curva de demanda ordinaria tendrá pendiente positiva. Comente. R. La curva de demanda tiene pendiente negativa y como es un bien superior su precio es alto para este bien. Es en la curva de Engels en la que el consumo del 68
bien tiene pendiente positiva significando que cuando aumenta el ingreso aumenta el consumo del bien por lo que el bien es un bien normal superior. 9. Muestre que las demandas con igual pendiente tienen diferentes elasticidades precio de la demanda. Las demandas con igual pendiente están refiriéndose a demandas lineales: Q = a –bP x b
Px Q
bPx a bPx
Como se observa la elasticidad depende además de la pendiente, del precio y del parámetro “a”. Si el precio aumenta el numerad or
de la elasticidad aumenta en
tanto que el denominador se reduce provocando que la elasticidad aumente. Con lo que se demuestra que la elasticidad de la demanda con la misma pendiente puede tener tramos de elasticidad diferentes. 10. La elasticidad precio es -0.8. La elasticidad precio compensada es -0.4, entonces el bien podría ser superior se sabe que el 20% del ingreso se gasta en dicho bien. La ecuación de slutsky en términos de elasticidad. x xh w x x x
0.4 0.2
0.8 0.4 0.2 x
x 2
Como la elasticidad ingreso es 2 entonces el bien es superior. 11. Si la función de demanda del bien X es:
X I
Py Px
Donde es un parámetro, I es el nivel de ingreso, Px es el precio del bien X y Py es el precio del bien Y, entonces: a) X es un bien inferior; b) X e Y son bienes sustitutos; c) X e Y son bienes complementarios; d) X es un bien Giffen; e) N.A. R. b) Si, son sustitutos al tener una relación directa el precio del bien Y y la demanda del bien X. Además el bien es un bien normal dado que el ingreso esta en relación directa con la demanda. 69
12. Si la curva de demanda es inelástica, entonces cuando el precio disminuye: a) El gasto no se altera; b) El gasto disminuye; c) El gasto aumenta; d) La demanda disminuye; e) La demanda aumenta. R. b) El gasto disminuye. Hay una relación directa entre el precio y el gasto. 13. Cuando el ingreso marginal es negativo: R. a) La demanda es inelástica de lo cual se tiene que al disminuir el precio aumenta la cantidad de demanda y disminuye el ingreso con lo que al aumentar la cantidad de demanda disminuye el ingreso disminuye Im g
I 0. X
14. En el Perú se prevé que el ingreso aumentará en 3%. Se sabe además que la elasticidad ingreso de demanda por leche es 0.8 y que su producción aumenta en 1% ¿Será insuficiente la producción nacional para satisfacer la demanda interna? ¿Cuál es el porcentaje de déficit o superávit? Grafique. x
% X % X 0.8 % I 3%
x
% X 1% 0.8 % I % I
% X 3% * 0.8 2.4%
1%
% I 0.8 1.3%
R. Se debería aumentar la producción (X) a 2.4% y dado que la producción aumenta en 1% entonces existiría un déficit de 1.4% en la producción. Si considera un incremento en la producción de 1% entonces está estimando que el ingreso aumentará en 1.3% y no en 3%. 15. Un econometrista ha estimado la siguiente función de demanda: X 10Px0.4 Py0.7 Pz0.6 I 0.5 Donde X = demanda de carne de res, Px = precio de
la carne de res, Py = precio de la papa, Pz = precio del pollo, I = Ingreso del consumidor. a. Halle la elasticidad precio, ingreso y cruzada.
70
x 0.4 Px1 X *
Px X
0.4
x , y 0.7 x , z 0.6 x
% X 0.5 % I
b. Clasifique los bienes de acuerdo a sus elasticidades. x 0.4
bien necesidad bienes complementarios
x, y 0.7 x, z 0.6 x 0.5
bienes bien
sustitutos normal
c. Si se incrementa el precio del pollo en 4% cuanto se modifica la demanda de carne de res. R. La cantidad de demanda de carne de res aumenta en 2.4% d. Si se da un aumento en el ingreso del consumidor en 16%, en cuanto aumenta la demanda de carne de res. R. la cantidad de demanda aumenta en 8%. e. Si se duplica todos los precios y el ingreso del consumidor ¿es de esperar que la cantidad también se duplique? X 102 Px
0.4
2Py 0.7
2 Pz
0.6
2I
0.5
X 2 010Px0.4 Py0.7 Pz0.6 I 0.5 X 10Px0.4 Py0.7 Pz0.6 I 0.5
R. No, la cantidad de demanda sería la misma. 16. ¿Dada una elasticidad precio de la demanda < 1, que pasa con el ingreso de los ofertantes si incrementa la oferta de mercado? R. Disminuyen los ingresos. Si aumenta la oferta disminuye el precio y aumenta la cantidad de demanda y al estar con una demanda inelástica el aumento de la cantidad de demanda por una disminución del precio disminuyen los ingresos. 71
17. ¿Si la papa es un “bien inferior”, un aumento en el ingreso de los demandantes, perjudica o beneficia a los agricultores de la Sierra? R. Perjudica a los agricultores. Si es un bien inferior entonces hay una relación inversa del ingreso y la demanda, si aumenta el ingreso disminuye la demanda y por tanto disminuye el precio de la papa y los ingresos del agricultor.
72
CAPÍTULO III
EJERCICIOS DE LA TEORÍA DEL PRODUCTOR
3.1 Producción.
Ejercicios Propuestos 1 Dadas las siguientes funciones de producción: Q f (K, L) AK L Q f (K, L) K2 L2 Q f (K, L) minaK,bL
a. Hallar la productividad marginal y la productividad media de ambos factores ¿Qué ocurre con estas productividades cuando el otro factor cambia? b. Grafique las productividades para la función cobb-douglas como sigue: i. Primer caso: 0 < < 1; caso: 1 < < 2;
ii. Segundo caso: = 1;
iii. Tercer
iv. Cuarto caso: = 2;
c. Grafique las productividades para las funciones cuando el caso: > 2 d. Calcular la elasticidad producto-factor e interprete. e. Hallar la tasa marginal de sustitución técnica para cada caso e interprete. f. ¿Tienen dichas funciones de producción rendimientos crecientes, constantes o decrecientes a escala? ¿Qué restricciones se deben imponer sobre A, a y b para cada tipo de rendimiento a escala? Interprete. g. Evalúe si las funciones de producción son homogéneas. Si lo son ¿de qué grado son? h. Hallar las elasticidades de sustitución para cada caso e interprete. 2 ¿Es posible observar una tecnología tal que cumpla con la ley de producto marginal decreciente y, al mismo tiempo, presente rendimientos a escala crecientes? Demuestre gráficamente. 3 Dada la siguiente función de producción: f (K, L) (K 4)2 (L 4)2
a. Determine la Tasa Sustitución de Técnica (TST). 73
b. Grafique la “zona de producción económica” ¿Cómo deben ser los productos marginales en ella? ¿Cómo debe ser la tasa marginal de sustitución técnica en la zona de producción económica? c. Para funciones homogéneas de grado uno con dos factores, muestre que la zona de producción económica ocurre cuando ambos productos marginales son decrecientes pero positivos. 4 Suponga que la función de producción de artefactos electrodomésticos está definida por: Q = f (K,L) = B1 K0.5 L0.5 + B2 K + B3 L
Donde Q representa la cantidad anual de artefactos electrodomésticos producidos, K es la cantidad anual de capital empleado (horas–máquina) y L es la cantidad anual de trabajo (horas–hombre). a. Suponga que el capital es igual a 9, determine la función de producción total a corto plazo y productividad media del trabajo ¿En qué nivel de trabajo alcanza esta productividad media un máximo? ¿Cuál es el nivel de producción en este punto? b. Suponiendo ahora que el nivel de capital es 4, determine la función de producto marginal del trabajo ¿En qué nivel de trabajo el PMgL es cero? c. Suponga que el capital aumenta a 16, ¿cómo cambian sus respuestas a las preguntas a y b? Compare los resultados obtenidos en esta sección con los anteriores e interprete. d. ¿Muestra la función de producción de artefactos electrodomésticos rendimientos a escala constante, creciente o decreciente? 5 A partir de la función CES genérica dada por f (K, L) K (1 )L], derive las formas funcionales correspondientes a las tecnologías de producción más conocidas (Cobb-Douglas, lineal y Leontief) variando el parámetro .
74
Solucionario 1 Dadas las siguientes funciones de producción: Q f (K, L) AK L Q f (K, L) K2 L2 Q f (K, L) minaK,bL
a. Hallar la productividad marginal y la productividad media de ambos factores ¿Qué ocurre con estas productividades cuando el otro factor cambia? PMgL
PMeL
PMgK
PMeK
Q f (K, L) AK L
−1 = (/)
−1 = /
−1 = (/)
−1 = /
Q f (K, L) K2 L2
2
2 + 2
2
2 + 2
Q f (K, L) minaK,bL
= :
= :
= : 0
= : /
= : 0
= : /
= :
= :
¿Qué ocurre cuando el otro factor cambia?
−1 −1
−1 −1
−1 −1 −1 −1
= > 0
= >0
= > 0
= >0
Q K2 L2
0
2 > 0
0
2 > 0
Q minaK,bL
= : 0
= : 0
= : 0
= : 0
= : > 0
= : 0
= : > 0 = : 0
Q AK L
75
b. Gráfico de las productividades de la función cobb-douglas:
=
En los siguientes gráficos se muestran las curvas del Producto Marginal (como se verá, en todos los casos la función de PMe es igual a la de PMg, aunque en otra escala) para diferentes valores de uno de los exponentes (en todos los casos A = 4, = 0.5) de uno de los factores (para el otro factor es similar).
i. Primer caso: 0 < < 1 Por ejemplo, podemos tener un = 0.5, por lo que la función de producción sería: = 40.50.5
El Producto Marginal del Trabajo sería: 20.5−0.5 Las diferentes curvas se han obtenido para los siguientes valores de “la otra
variable”: 1, 2 y 4. Vemos que el PMg es decreciente, convexo y que a mayor cantidad del otro factor, la curva se desplaza hacia la derecha. El Producto Medio del Trabajo sería: 40.5−0.5 Se ve que la función PMe es idéntica a la de PMg, pero a una escala mayor.
ii. Segundo caso: = 1 La función de producción sería: = 40.5 El Producto Marginal del Trabajo sería: 40.5
76
Las diferentes curvas se han obtenido para los siguientes valores de “la otra variable”: 1, 2 y 4. Vemos que el PMg es constante y que a mayor cantidad del
otro factor, la curva se desplaza hacia arriba. El Producto Medio del Trabajo sería: 40.5 Se ve que la función PMe es idéntica a la de PMg.
iii. Tercer caso: 1 < < 21 Por ejemplo, podemos tener un = 1.5, por lo que la función de producción sería: = 40.51.5
El Producto Marginal del Trabajo sería: 60.50.5 Las diferentes curvas se han obtenido para los siguientes valores de “la otra variable”: 1, 2 y 4. Vemos que el PMg es creciente, cóncava y que a mayor
cantidad del otro factor, la curva se desplaza hacia arriba. El Producto Medio del Trabajo sería: 40.50.5 Se ve que la función PMe es parecida a la de PMg, pero a una escala menor.
1
Este caso tiene sentido porque para graficar la primera derivada parcial de la función producción (i.e. la función de PMg) necesitamos conocer su pendiente.
77
iv. Cuarto caso: = 2 La función de producción sería: = 40.52 El Producto Marginal del Trabajo sería: 80.5 Las diferentes curvas se han obtenido para los siguientes valores de “la otra variable”: 1, 2 y 4. Vemos que el PMg es creciente, recta y que a mayor
cantidad del otro factor, la curva se desplaza hacia arriba. El Producto Medio del Trabajo sería: 40.5 Se ve que la función PMe es parecida a la de PMg, pero a una escala menor.
c. Gráfico de las funciones para el caso: > 2; por ejemplo, podemos tener un = 2.5. 78
i. Con la función de producción sería: = 40.52.5 El Producto Marginal del Trabajo sería: 100.51.5 Las diferentes curvas se han obtenido para los siguientes valores de “la otra variable”: 1, 2 y 4. Vemos que el PMg es creciente, convexa y que a mayor
cantidad del otro factor, la curva se desplaza hacia arriba. El Producto Medio del Trabajo sería: 40.51.5 Se ve que la función PMe es parecida a la de PMg, pero a una escala menor.
ii. = 2 + 2 En los dos siguientes gráficos se muestran las curvas del Producto Marginal y del Producto Medio, respectivamente, con los siguientes valores de los parámetros: α = 0.5, β = 0.5.
Con dichos parámetros, la función de producción sería: = 0.52 + 0.52 El Producto Marginal del Trabajo sería: El Producto Marginal del Capital sería: Ambas funciones son parecidas. Por lo tanto, el gráfico representa la forma del PMg de cualquiera de los dos factores. Como se aprecia, la función de PMg es creciente (no se cumplen la Ley de los Rendimientos Marginales Decrecientes) y no se ve afectada por el valor del otro factor. El Producto Medio del Trabajo sería: 0.52+0.52 79
El Producto Medio del Capital sería: 0.52+0.52
La función de PMe sí se ve afectada por los valores del otro factor: a medida que se incrementa el otro factor, la curva de PMe se desplaza hacia arriba. Las diferentes curvas se han obtenido para los siguientes valores de “la otra variable”: 1, 2 y 4.
iii. = minaK,bL En los dos siguientes gráficos se muestran las curvas del Producto Marginal y del Producto Medio, respectivamente, con los siguientes valores de los parámetros: α = 1, β = 1. Con dichos parámetros, la función de producción sería: = minK,L El Producto Marginal del Trabajo sería (en el caso relevante): 1 El Producto Marginal del Capital sería (en el caso relevante): 1 El gráfico representa la forma del PMg de cualquiera de los dos factores. Como se aprecia, la función de PMg es constante y no se ve afectada por el valor del otro factor. El Producto Medio del Trabajo sería: min {, }= 1; /
El Producto Medio del Capital sería: min { , } = /; 1 La función de PMe sí se ve afectada por los valores del otro factor: a medida que se incrementa el otro factor, la curva de PMe se desplaza hacia la derecha. Vemos que el PMe será 1 para todos los valores del factor cuya función se grafica que son menores al valor del otro factor. Una vez 80
alcanzado el valor del otro factor, la PMe es decreciente. Las diferentes curvas se han obtenido para los siguientes valores de “la otra variable”: 1, 2 y
4. d. Calcular la elasticidad producto-factor e interprete. =
= = = =
= 2 + 2
= 2 2 + 2= 22 = 2 2 + 2= 22 2 2 + 2 + 2
= min{, }
= : = 1
= : = 0
= : = 0
= : = 1
=
En el primer caso, las elasticidades–producto son constantes. En el segundo caso dependen de los valores deK y L. En el último caso será constante también, uno o cero, dependiendo de cuál de los dos factores de producción es el mínimo. e. Hallar la tasa marginal de sustitución técnica para cada caso e interprete. =
= − = − = −
= 2 + 2
= − 2 2 = −
= min{
, }
= : = − 0 ≈ −∞ = : = − 0 = 0
En el primer caso, la TST va reduciéndose (en valor absoluto) a medida que se utiliza menos capital y más trabajo. Esto tiene sentido, pues a medida que un factor se hace más abundante, su PMg se reduce, mientras que la PMg del otro factor aumenta. En el segundo caso es al revés: la TST va aumentando (en valor absoluto) a medida que se usa más trabajo y menos capital. Esto tiene sentido porque anteriormente se mostró que esta función no cumple con la Ley de los Rendimientos Marginales Decrecientes. Es más, los Rendimientos son Crecientes.
81
En el último caso, la TST salta de infinito a cero. Esto tiene sentido, pues las funciones Leontief representan factores de producción complementarios, por lo que no hay ningún grado de sustitución entre ellos. f. ¿Tienen dichas funciones de producción rendimientos crecientes, constantes o decrecientes a escala? ¿Qué restricciones se deben imponer sobre A, y para cada tipo de rendimiento a escala? Interprete. =
Si multiplicamos a ambos factores de producción por un mismo escalar, obtenemos: () () = + = +
Por lo tanto, los Rendimientos a Escala de la función Cobb-Douglas dependerán de los valores de alfa y beta: Si + < 1:
Rendimientos Decrecientes a Escala
Si + = 1:
Rendimientos Constantes a Escala
Si + > 1:
Rendimientos Crecientes a Escala
= 2 + 2
Si multiplicamos a ambos factores de producción por un mismo escalar, obtenemos: ()2 + ()2 = 2(2 + 2) = 2 Por lo tanto, esta función tiene Rendimientos Crecientes a Escala. = min {, }
Si multiplicamos a ambos factores de producción por un mismo escalar, obtenemos: min { , } = min {, } = Por lo tanto, la función Leontief tiene Rendimientos Constantes a Escala. g. Evalúe si las funciones de producción son homogéneas. Si lo son ¿de qué grado son?
82
Del análisis anterior podemos concluir que la función Cobb –Douglas es homogénea de grado + , la segunda función es homogénea de grado 2 y la función Leontief es homogénea de grado 1. h. Hallar las elasticidades de sustitución para cada caso e interprete. Para hallar las elasticidades de sustitución es necesario expresar primero a K/L en función de la TST. Esto es relativamente sencillo para las dos primeras funciones. En el caso de la Leontief, vemos que la TST no tiene ninguna relación con K/L. =
= − ; = −
=2+2
= − = −
1
= (/) =− –/ =1 / /
=(/) = 1 / ()2 /
= 1
= 1 = −1 –/()
=min{,} =: ≈ −∞ =: = 0
= (/) = 0 /
Entonces, se observa que la elasticidad de sustitución de la función Cobb –Douglas es constante e igual a 1, es decir, un cambio en 1% en la TST conlleva a un incremento de 1% del ratio capital–trabajo. En la segunda función es –1: Un cambio en 1% en la TST conlleva a una reducción en 1% del ratio capital–trabajo. En la elasticidad de sustitución es cero en el caso de la función Leontief, lo cual tiene sentido ya que en este caso K y L son complementarios. 2 ¿Es posible observar una tecnología tal que cumpla con la ley de producto marginal decreciente y, al mismo tiempo, presente rendimientos a escala crecientes?.
83
Sí, por ejemplo, una función Cobb–Douglas en la cual + > 1, pero < 1 y < 1 tendrá Rendimientos a Escala Crecientes, pero sus respectivos PMg serán decrecientes: = (−1)−2 < 0 = (−1)−2 < 0
Como ejemplo y demostración gráfica, el lector puede realizar un gráfico de la función =40.60.6. En él debe mostrar la producción total, el PMe y el PMg en función de uno de los factores. Como se aprecia, el PMg es decreciente. 3 Dada la siguiente función de producción: f (K, L) = (K -4)2 + (L -4)2
a. Determine la TST. Definición: La “Zona de Producción Económica” es la zona en la cual las
PMg de ambos factores son positivas. Se halla entre el punto de máximo PMeL (cuando se cumple PMeL = PMgL) y el punto donde el PMgL = 0. Siguiendo la definición, las dos restricciones son: = = 2 ( – 4) > 0;
>4
= = 2 − 4 > 0; > 4
Por lo tanto, bajo estas condiciones, la TST sería: = − = - (L – 4) < 0 K-4
b. Grafique la “zona de producción económica” ¿Cómo deben ser los productos marginales en ella? ¿Cómo debe ser la tasa marginal de sustitución técnica en la zona de producción económica? Función de Producción de Corto Plazo, Producto Marginal y Producto Medio: En el gráfico se ha fijado el factor de producción en 4. Se observa que a partir de 4 del factor de producción de L (igual resulta fijándose L = 4), la función de producción es creciente y convexa, por lo que no se cumple la Ley de los Rendimientos Decrecientes. Esto es coherente con una curva de PMg 84
positiva a partir de 4 y de una curva de PMe creciente a partir de 4 (nótese que en 4 se cumple la condición PMe = PMg, pero no es el punto máximo del PMe; y se cumple PMg = 0). Por lo tanto, la Zona de Producción Económica se ubica desde el punto 4 a la derecha. i. Los productos marginales son crecientes ii. La Tasa técnica de sustitución es positiva. Q
PMe
f(L)
PMg
L,K
Isocuantas: El lector debe graficar la isocuanta. que resulta si se toma como “srcen” el
punto (4,4), el cuadrante superior derecho es la Zona de Producción Económica. 4 Suponga que la función de producción de artefactos electrodomésticos está definida por: Q = f (K,L) = B1 K0.5 L0.5 + B2 K + B3 L
Donde Q representa la cantidad anual de artefactos electrodomésticos producidos, K es la cantidad anual de capital empleado (horas–máquina) y L es la cantidad anual de trabajo (horas–hombre). a. Suponga que el capital es igual a 9, determine la función de producción total a corto plazo y productividad media del trabajo ¿En qué nivel de trabajo
85
alcanza esta productividad media un máximo? ¿Cuál es el nivel de producción en este punto?
Si K = 9, entonces la función de producción de corto plazo es: = 310.5 + 92 + 3
La función de PMeL es: = 31−0.5 + 92−1 + 3
La PMe tiende a su máximo en L = 0. El nivel de producción en ese punto es9B2. b. Suponiendo ahora que el nivel de capital es 4, determine la función de producto marginal del trabajo ¿En qué nivel de trabajo el PMgL es cero? Si K = 4, entonces la función de producción de corto plazo es: = 210.5 + 42 + 3
La función de PMgL es: = 1−0.5 + 3
El lector deberá Graficar las funciones: (se asume B1 = B2 = B3 = 1), en la que se observará que el PMgL nunca es cero, pues la curva de PMgL es asintótica a la recta de abscisas. c. Suponga que el capital aumenta a 16, ¿cómo cambian sus respuestas a las preguntas a y b? Compare los resultados obtenidos en esta sección con los anteriores e interprete. Si K = 16, entonces la función de producción de corto plazo es: = 410.5 + 162 + 3
La función de PMeL es: = 21−0.5 + 162−1 + 3 La función de PMgL es: = 21−0.5 + 3 Grafique el lector las productividades marginales (se asume B 1 = B2 = B3 = 1), en este caso se observará que el PMe tiende a su máximo cuando L tiende a 0. El nivel de producción en ese punto es 16B2. Por otro lado, El PMgL nunca es cero, pues la curva de PMgL es asintótica a la recta de abscisas. 86
d. ¿Muestra la función de producción de artefactos electrodomésticos rendimientos a escala constante, creciente o decreciente? Si multiplicamos a ambos factores de producción por un mismo escalar, obtenemos: Q = f(K,L) = B1 K0.5 L0.5 + B2K + B3L
1()0.5()0.5 + 2 + 3() = (10.50.5 + 2 + 3) =
Por lo tanto, esta función tiene Rendimientos Constantes a Escala.
A partir de la función CES genérica dada por f (K, L) K (1 )L] , derive las formas funcionales correspondientes a las tecnologías de producción más conocidas (Cobb-Douglas, lineal y Leontief) variando el parámetro . Comprobaremos indirectamente que la CES adquiere las formas funcionales pedidas por medio de la TST. Así, sabemos que la TST de la CES es: = − = −(1 − ) −1 K
En el siguiente cuadro se demuestra que la TST adquiere la forma de las TST de las funciones Cobb–Douglas, lineal y Leontief, respectivamente. →0
= −(1 − ) −1= − (1 − ) Cobb-Douglas: Q = f (K, L) KL
=1
= −(1 − ) 0 = − (1 − ) Lineal: Q = f (K, L) K (1 )L
→-∞
= − (1 − ) −∞ = − (1 − ) L
∞
= −∞, > 0, <
Leontief: Q = f (K, L) minK,(1 )L]
87
3.2 Producción y Costos Ejercicios Propuestos
1. Supongamos que la producción (Q) de matamoscas correspondiente a un determinado periodo puede representarse de la siguiente manera: Q = 600K2L2 – K3L3. a. Si el insumo capital (K) es fijo en 10 unidades, calcule el Producto Marginal del trabajo (PMgL). ¿Se cumple el supuesto de productividad marginal decreciente? b. Calcule el producto medio del Trabajo (PMe L). Grafique. c. ¿Cuándo se igualan PMgL y PMeL? 2. La RTS entre los factores de producción x1, x 2 es -3. Si se quiere mantener el nivel de producción, bajando el uso de x 1 en 5 unidades: ¿Cuánto deberá aumentar la cantidad utilizada de x 2? 3. Dada la siguiente función de producción Cobb Douglas: Q = K L ¿Cómo puede sustituirse capital por trabajo y mantener constante al mismo tiempo la producción? 4. Una empresa que produce palos de hockey tiene la siguiente función de producción Q = 2 (KL)1/2. A corto plazo, la cantidad de K es fija, K = 100. La tasa de alquiler de K es r= 1 y el salario es w = 4. a. Determine la función de coste total y costo medio a corto plazo de la empresa. b. ¿Cuál es la función de costo marginal a corto plazo de la empresa?. c.
¿Dónde corta la curva de costo marginal a la de costo medio?
5. Comente si las siguientes funciones tienen rendimientos constantes, crecientes o decrecientes a escala: a. y = 2 X1 X2 b. y = 2 X1 + 3 X2 c. y = m X1 X2 d. y = X10,5.X20,4 88
e. y = 5/X12 + 5/X22-1/2 6. Se sabe que el producto marginal del trabajo en el proceso de producción de una empresa es igual a 3 unidades de producción. Si la relación marginal de sustitución técnica, en valor absoluto, es 9, ¿cuál es el producto marginal del capital? 7. La RTS entre dos factores X2 y X1 es–3. Si se quiere mantener el nivel de producción, bajando el uso de x1 en 5 unidades: ¿cuánto deberá aumentar la cantidad utilizada de X2? 8. Dada la función de producción de producción de corto plazo: y = 3. x. a. Represente en un gráfico dicha función. b. ¿Cuál es el producto marginal del trabajo (PMg) cuando x= 3? c. ¿Cuál es el producto marginal del trabajo (PMg) cuando x= 5? d. ¿Cuál es el producto medio (PMe) cuando x= 3? e. ¿Qué característica tiene la función estudiada y que conclusión se deriva? 9. Dado un proceso de producción en el corto plazo, con el trabajo como único factor variable. Considere que para X 1 = 10 jornadas de trabajo, el producto marginal (PMg) tiene un valor de 12 y el producto medio (PMe) tiene un valor de 10. Si además se sabe que se cortan para X1 =11: a. Represente en un gráfico las curvas hipotéticas de ambas funciones. b. ¿Cómo será el valor del PMe cuando X1 = 11 en relación al valor del PMe de X1 = 10? 10. Dada la función de producción y = f(X1,X2) = X1X2 – 0,2X12 –0,8X22: a. Calcule el producto marginal del factor 1 (PMa1) y el PMa2. b. En el corto plazo X2 es fijo e igual a 10, para que valor de X1 se maximiza el PMg. 11. Calcule la RST de las funciones: a. y = 4. X1½. X23/2 b. y = (4/x1 – 3/x2)-1
89
Solucionario 1. Supongamos que la producción (Q) de matamoscas correspondiente a un determinado periodo puede representarse de la siguiente manera: Q = 600K2L2 – K3L3. a. Si el insumo capital (K) es fijo en 10 unidades, calcule el Producto Marginal del trabajo (PMgL). Se cumple el supuesto de productividad marginal decreciente? Q = 60000L2 – 1000L3 Q 120000L 3000L2 L PMg L PMg Max 0 PMg LMax : 120000 6000L 0 L 20 L L 2 PMg L 0 120000L 3000L 0 L(120000 3000L) 0 L 40
Con 20 unidades de L se obtiene el PMg máximo y aumentando las unidades de trabajo a 40 el PMg es 0, se demuestra que si tiene Productividad marginal del trabajo decreciente. b. Calcule el producto medio del Trabajo (PMe L). Grafique. PMe L
Q L
PMe Max L
60000L 1000L2 PMe L 0 L
PMe LMax : 60000 2000L 0
L 30
CMe, CMg 1’200,
900, 800,
20
30
40
L
c. ¿Cuándo se igualan PMgL y PMeL? Cuando se utilizan 30 unidades de trabajo. 90
2. La RTS entre los factores de producción x1, x2 es -3. Si se quiere mantener el nivel de producción, bajando el uso de x1 en 5 unidades: ¿Cuánto deberá aumentar la cantidad utilizada de x 2? RTS
PMg1 PMg 2
x2 3 x1
x2 3 5
x2 15
3. Dada la siguiente función de producción Cobb Douglas: Q = K L ¿Cómo puede sustituirse capital por trabajo y mantener constante al mismo tiempo la producción? La sustitución puede determinarse mediante la medida de RTS. RTS
K PMg L bK a Lb1 bK L PMg K aK a1 Lb aL
Lo que nos indica es que en determinada cantidad de uso de factores productivos en un nivel de producción se puede sustituir capital por trabajo de acuerdo a la medida que nos da la Relación de Sustitución Técnica determinada, o lo que es lo mismo, para aumentar L unidades del factor trabajo debo disminuir K unidades del factor capital para mantener el nivel de producción. 4. Una empresa que produce palos de hockey tiene la siguiente función de producción Q = 2 (KL)1/2. A corto plazo, la cantidad de K es fija, K = 100. La tasa de alquiler de K es r= 1 y el salario es w = 4. a. Determine la función de coste total y costo medio a corto plazo de la empresa. Q = 20L1/2 L = Q2/400
CT= wL + rK
CT = 4Q2/400 + 100
CT = Q2/100 + 100
CMe = Q/100 + 100/Q
b. ¿Cuál es la función de costo marginal a corto plazo de la empresa?. CMg c.
CT 2Q / 100 Q
CMg Q / 50
¿Dónde corta la curva de costo marginal a la de costo medio? CMg CMe
Q / 50 Q / 100 100 / Q
Q 100
Las curvas se cortan a un nivel de producción de 100 unidades cuando L = 25 En ese nivel de producto (Q = 100) el CMg = Cme = 2, CT = 200
91
5. Comente si las siguientes funciones tienen rendimientos constantes, crecientes o decrecientes a escala: a. Y = 2 X1 X2 trY = 2 tX1 tX2
trY = t22X1 X2
r=2
Rpta: Rendimientos crecientes a escala b. Y = 2 X1 + 3 X2 r
r
t Y = 2 tX1 + 3 tX2 t Y = t (2 X1 + 3 X2) r = 1 Rpta: Rendimientos constantes a escala c. y = m X1 X2 try = m (tX1) X2)
try = t m X1 X2 r
Rpta: Rendimientos dependen de la suma de + d. y = X10,5.X20,4 r = 0,9 Rpta: Rendimientos decrecientes a escala e. y = 5/X12 + 5/X22-1/2 try = (5/t2X 2 + X 2) 1
try = [1/t2(5/X X 2)]
2
1
try =(1/ t2) (5/X1 X22) try =(t2) (5/X1 X22)
2
r=1 Rpta: Rendimientos constantes a escala 6. Se sabe que el producto marginal del trabajo en el proceso de producción de una empresa es igual a 3 unidades de producción. Si la relación marginal de sustitución técnica, en valor absoluto, es 9, ¿cuál es el producto marginal del capital? RMST =
PMgL
3
PMgK
PMgK
= 9
PMgK = 3/9 = 1/3 = 0.33
Rpta: El PMgK es 0.33, es decir que una unidad adicional del factor Capital genera 0.33 unidades de producción. 7. La RTS entre dos factores X 2 y X1 es –3. Si se quiere mantener el nivel de producción, bajando el uso de X1 en 5 unidades: ¿cuánto deberá aumentar la cantidad utilizada de X2?
92
RTS = X2 = - 3 X1
X2
=-3
X2 = -3 * -5 = 15
-5
Rpta: El productor deberá aumentar el uso del factor X2 en 15 unidades. 8. Dada la función de producción de corto plazo: y = 3. x. a. Represente en un gráfico dicha función. PMg, PMe
Y
3 X
Pdte: 3 PMgL = Y/L = Y/X = 3
X
b. ¿Cuál es el producto marginal del trabajo (PMgL) cuando x= 3? En el supuesto que no esté produciendo entonces x = 3 representa una variación de x en 3 unidades, por tanto: PMgL = Y/L = Y/X = 3 Y = 3 * X
Y = 3 * 3 = 9
PMgL = Y/X
= 9/3 = 3
Rpta.: 3 c. ¿Cuál es el producto marginal del trabajo (PMgL) cuando x= 5? y
3
Rpta.: 3
x
d. ¿Cuál es el producto medio (PMe) cuando x= 3? PMe = y/x = 3 e. ¿Qué característica tiene la función estudiada y que conclusión se deriva? La función de producción es una línea recta de pendiente positiva constante donde el PMgL = PMeL es el mismo en todos sus puntos. Conclusión: Cada unidad adicional de trabajo siempre aumenta en 3 unidades la producción. 9. Dado un proceso de producción en el corto plazo, con el trabajo como único factor variable. Considere que para X1 = 10 jornadas de trabajo, el producto marginal (PMg ) tiene un valor de 12 y el producto medio (PMe ) tiene un valor 1
de 10. Si además se sabe que se cortan para X1 =11:
1
a. Represente en un gráfico las curvas hipotéticas de ambas funciones. Se sabe que antes del uso de 10 unidades del factor X 1 el PMg1 > PMe1 y el PMe1 va aumentando, entonces la función de producción de corto plazo se representa: 93
12 .? 10
X1 10 11
b. ¿Cómo será el valor del PMe cuando X1 = 11 en relación al valor del PMe de X1 = 10? R. El valor del PMe cuando X 1 = 11 es mayor al valor del PMe cuando X1 = 10 Además el PMe es máximo en ese punto. 10. Dada la función de producción y = f(X1,X2) = X1X2 – 0,2X12 –0,8X22: a. Calcule el producto marginal del factor 1 (PMg1) y el PMg2. Rpta.: Pmg1 = X2 – 0,4X1; PMa2 = X1 –1,6X2 b. En el corto plazo X2 es fijo e igual a 10, para que valor de X1 se maximiza el PMg1. y = f(X1,X2= 10) = 10X1 – 0,2X12 –80 PMg1 = X2/X1 = 10 – 0,4 X1 El PMg es máximo cuando su pendiente es igual a cero ( PMg1/X1)= 0, veamos: PMg1/X1 = - 0,4 = 0
No hay punto máximo siempre el producto marginal disminuye en 0,4 unidades cada vez que se incrementa en 1 unidad X1. 11. Calcule la RST de las funciones: a. y = 4 X11/2 X23/2 PMg1
x3/ 2 y 2 21/ 2 x1 x1
y 1/ 2 1/ 2 PMg 2 x1 6 x1 x2
RTS
x2 3x1
b. y = (4/X1 – 3/X2)-1 y 4 / x1 3 / x2 2 3 / x22 x2 y PMg1 4 / x1 3 / x2 2 4 / x12 x1 PMg 2
4 x RTS 2 3 x1
2
94
CAPÍTULO IV
EJERCICIOS DE LA EMPRESA EN COMPETENCIA PERFECTA.
4.1 El Beneficio de la Empresa, Oferta y Demanda. Ejercicios Propuestos 1. Con la siguiente función de producción: Q = 10L 1/2 + 10K1/2, de un negocio que se inicia, se pide: a. Encuentre la demanda condicionada de factores, función de costos de largo plazo, demanda no condicionada de factores, función de beneficios y función de oferta. Analice y comente sus resultados. b. Recupere la función de Oferta y demanda no condicionada de factores a partir de la función de beneficios. c. Compruebe lo siguiente y comente los resultados c.1 Que la función de beneficios es de grado uno en precio del producto y de los factores. c.2 Que la función de costos es de grado uno sólo en precios de los factores. c.3 Que la función de oferta es de grado cero en precios. d. Si tiene como objetivo producir 200 unidades de producto, encuentre el costo mínimo de producción, asumiendo que el w = r = 1. e. Si w = 2, r = 4, P = 12 2. Una empresa tiene la siguiente función de costos de corto plazo: C = 20 + 15q – 2q2 + q3 Se pide: a. Hallar el punto de cierre en el corto plazo.- Comente su respuesta. b. Si en la industria hay 50 empresas, encuentre la función de oferta para cada firma y la de mercado. c. Determine el nivel de producción que permite maximizar beneficios si el precio es S/.45. d. Realice un análisis costo-beneficio si el precio de mercado es de S/.13.8 e. Suponga que una empresa quiere entrar al mercado, cuál sería el precio mínimo que estaría dispuesto a recibir. Explique porqué? f. Si la demanda de la Industria es: Q = 300 – 5P, hallar el precio de equilibrio. 95
Solucionario 1. Con la siguiente función de producción: Q = 10L 1/2 + 10K1/2, de un negocio que se inicia, se pide: a. Encuentre la demanda condicionada de factores, función de costos de largo plazo, demanda no condicionada de factores, función de beneficios y función de oferta. Analice y comente sus resultados Demanda Condicionada de factores: Es la demanda que se establece dado el precio de los factores y un nivel de producto. De lo que se trata aquí es de minimizar costes dado un nivel de producto. Primero se determina la demanda no condicionada de factores y luego se reemplaza en la función costo de largo plazo. TMST = w/r
en Q
Q 1 10L1 / 2 L 2
Q 1 10K 1 / 2 K 2 K L
TMST w / r Q 10L1 / 2 10
L* o K*
w r
1/ 2
w r
en
K L
1/ 2
TMST Q
L1 / 2
Q r L* 10 w r
2
Q w K* 10 w r
2
Fn. Costos Largo plazo CT = wL* + rK*
C
Q 2 wr 100 w r
96
Con la función de costo a un nivel de producto determinamos la producción óptima de la empresa dado los precios de mercado. Función de Oferta de la empresa: P = CMg
CMg = CMg
Q wr
50 w
r
P = CMg
P
Q wr
50 w r
wr wr
Q s 50P
Demanda no condicionada de factores. De lo que se trata aquí es maximizar el beneficio, para ello determinamos primero la demanda no condicionada de factores que están en términos de los precios de mercado y luego lo incorporamos en la función de beneficio:
= P x Q - wL - rK = P x (10L1/2 + 10K1/2) - wL – rK máx:
L = 0
L =25(P/w)2
K = 25(P/r)
-1/2
5PL
-w=0
2
Función de Beneficios: Se reemplazan los factores de la función de beneficio con sus respectivas demandas no condicionadas = P x {10[25(P/W)2]1/2 + 10[25(P/r)2]1/2)} – w[25(P/w)2] – r[25(P/r)2] = 25P2((w + r)/wr)
b. Recupere la función de Oferta y demanda no condicionada de factores a partir de la función de beneficios. Recuperando la función de Oferta (Por Hotelling) 97
s
P = Q
wr wr
Q s 50P
Recuperando las demandas no condicionadas
w = L r = K
También podemos encontrar la Oferta del producto a partir de la demanda no condicionada d factores, reemplazando en la función de producción los factores productivos por la demanda no condicionada de factores: Q 10L1 / 2 10 K 1 / 2
1/ 2
2 10 25 p r P P s Q 50 50 w r w r s Q 50P wr
p w
Q s 10 25
2
1/ 2
c. Compruebe lo siguiente y comente los resultados c.1 Que la función de beneficios es de grado uno en el precio del producto y el precio de los factores. t r P 10L1 / 2 10K 1/2 tw L tr K t r P 10L1 / 2 10K 1 / 2 t wL rK
t r P 10L1 / 2 10K 1 / 2 wL rK r 1
R. Si aumenta el precio de los factores productivos y el precio del bien en la misma proporción el beneficio también aumenta en la misma proporción. c.2 Que la función de costos es de grado uno sólo en precios de los factores. t rC
Q 2 t 2 wr
100 t w r
t rC t
Q 2 wr 100 w r
r 1
98
R. Si aumenta el precio de los factores productivos en la misma proporción el costo aumenta en la misma proporción. c.3 Que la función de oferta es de grado cero en precios. t (w r ) 2 t wr
t r Q s 50tP
t rQs
t2 wr 50P t2 wr
r=0
R. Si aumentan los precios en la misma proporción, la producción no cambia. Si tiene como objetivo producir 200 unidades de producto, encuentre el costo mínimo de producción, asumiendo que el w = r = 1. C
Q 2 wr 100 w r
C
2002 1 100 2
C 200
R. El costo mínimo para producir 200 unidades del bien es de 200 u.m.
d. Si w = 2, r = 4, P = 12, cual es el nivel de producción óptimo de la empresa. wr wr
2 4 2*4
Q s 50P
Q s 50 *12
Q s 450
2. Una empresa tiene la siguiente función de costos de corto plazo C = 20 + 15q – 2q2 + q3
a. Hallar el punto de cierre de corto plazo.- Comente su respuesta Punto de cierre Corto Plazo CMg = CVMe ó CVMe mínimo CVMe = q2 - 2q +15 CVMemín: CVMeq = 0 2q - 2 = 0
q=1
CVme = 12 - 2*1 + 15 = 14
R. El punto de cierre de la empresa se da cuando se produce 1 unidad del bien a un costo variable medio de 14 u.m., por lo que esta empresa presenta una función de oferta del bien a partir de un precio de 14 u.m. b. Si en la industria hay 50 empresas, encuentre la función de oferta para cada firma y la de mercado 99
Función de Oferta para cada firma? P = 3q2 – 4q + 15
P = CMg 2
3q – 4q + (15 – P) = 0 s
q = 4 + (16-12(15-P)) 6
½
Función de Oferta de Mercado: Mercado: 50*qs = Qs. s
50 q =50 * 4 + (16-12(15 - P)) 6
½
Qs = 200 + 50*(16 - 12(15 - P)) ½ 6
c. Si el precio es de S/.45 ¿cuál es la producción? c.1 de la empresa s
½
q = 4 + (16 - 12(15-45)) 6 s
q = 4 + (376) 6
½
qs = 3.9
c.2 Producción total en el mercado s
50q = 50*3.9
Q
s
= 195
d. Realice un análisis costo-beneficio si el precio de mercado es de S/.13.8 s
½
q = 4 + (16 - 12(15 - 13.8)) 6 qs = 4 + (16 - 14.4)½ 6
qs = 4 + (1.6) ½ qs = 5.265 6 6
s
q = 0.8775
= P*q – CT 2
3
= 13.8*0.8775 – (20 + 15*0.8775 – 2*0.8775 + 0.8775 )
100
= -20.189
R. con el precio de S/.13.8, la empresa no cubre los costos fijos de S/.20 y parte de los costos variables por lo que se encuentra por debajo del punto de cierre que es de un precio de S/. 14 y debe cerrar operaciones. e. Suponga que una empresa quiere entrar al mercado, cuál sería el precio mínimo que estaría dispuesto a recibir. Explique por qué? CMg = CMe
ó
Cmemín.
R. El precio mínimo que estaría dispuesto a recibir es aquel que logre cubrir todos los costos de la empresa, incluida la ganancia que espera recibir el inversor, por lo que el precio debe ser igual al costo medio mínimo.
f. Si la demanda de la Industria es: Qd = 300 – 5P, hallar el precio de equilibrio. s
d
Q =Q
½
200 + 50*(16 - 12(15 - P)) = 300 – 5P 6 200 + 50*(16 - 12(15 - P))½ = 1800 – 30P (16 - 12(15 - P))½ = (1600 – 30P)/50 16 - 12(15 - P) = (32 – 3P/5)2 16 - 180 + 12P = 1024 – 38.4P + 9P2/25 2
9P /25 - 50.4P +1188 = 0
b b 2 4ac P
2a
P = 50.4 +- (2540.16 – 1710.72) 18/25 P = 50.4 +- (829.44) 18/25
½
½
101
P = 110 o 30 R. El precio de equilibrio es de S/. 30 donde la oferta y demanda vacían el mercado con 150 unidades del bien siendo la cantidad de producción de cada empresa de 3 unidades obteniendo unos beneficios de S/.16 cada una. qs = 4 + (16 - 12(15-30))½ = 3 6 2 3 = 30*3 – (20 + 15*3 – 2*3 + 3 ) = 16
El precio de 110 no es viable en esta industria dado que las cantidades de demanda y oferta de mercado a ese nivel de precio son diferentes como sigue: .Qd = 300 – 5P Qd = 300 5*110 – s
Q = 200 + 50*(16 - 12(15 - 110)) 6
Q ½
d
= – 250
s
Q = 316
El máximo precio de mercado donde la demanda corta la ordenada es de S/.60
Oferta y Demanda de Mercado
110
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