Solución ejercicios de micro

U  (t,  ( t, s) =

√ ts

• L = √ ts+ ts+λ (I  − P t t − P S  S s) √  L = √ s  − λP t  = 0 2 t √  ∂ L √ t  − λP s  = 0 = ∂s 2 s ∂ L =  I  − P t t − P S  S s  = 0 ∂  ∂t

(1) (2)

(3) ∂λ (1)  entre (2) √  s √  √  t √ t

=

2 2

s

(4) (4) I  I  I  (5)

− − −

λP t λP s

√  √  2 t

2

2( s)

( )2

=

P t P s

s t

=

P t P s

P t s  = P  t s en (3) P t P t t P S  S  P s t  = 0 P t t P t t  = 0 2P t t  = 0 I  t∗  = 2P  t

− −

(6) s∗  = t∗  = s∗  =

I  2P s

1 2(0. 2(0.1) = 5 1 2(0. 2(0.25) = 2

t∗ = 5 U  =

√ 5 × 2 = √ 10

s∗ = 2

• √ 5 × 2 = √ 10 √ 10 = I   × I  √ 10 = 0I .8 0.5

U  =

   

2

0.4

2

10 = 0I .4 0.4 10 =  I 2 4 = I 2 2 = I  t = 2.5 s∗  = 4

×

/

2 3

/

1 3

U  (w  ( wf , wc ) =  w f  wc I  =   = 300 P f  f  = 20 P C  C  = 4

L = wf / wc/ 2 3

α  =

(1) (2) (3)

1 3

2 3

+ λ (I  β  =  = 31

− P f f wf  − P cwc)

α 1 β ∂  wc ∂w f  =  αw f  ∂  α β 1  β wf  wc ∂w c = βw ∂  P f  f wf  ∂λ =  I 

−

L L L

 − λP f f  = 0 − − λP c  = 0  − P cwc  = 0

−

(1)  entre (2) α−1 β αwf  wc β

α βw f   w c −1

=

α β

   −    

(4)

wc  =

(4)

(3)

P f  f  P c

β α

− P f f wf  P c P P  I  − wf  P f   +  P f  f  + P  f  I 

(5)



P f  f  P c

f  f  c

∗= wf 

wc wf 

=

P f  f  P c

wf  β α

wf  = 0

β α

∗= wf 

P f  f  P c

I 

(P f f +P f f ( αβ ))

β α

I  (P f f +P f f ( αβ ))

300



− P f f wf  − P f f wf 

=0

(5) en (4) wc  =

I 

  = 10

20+20

1 3 2 3

wc∗ =

 β α

I 

(P c +P c ( αβ ))

 β α

=0

w∗ = c

  1 3 2 3

300

  = 25

4+4

1 3 2 3

wf 

• ∗= wf  wc∗ =

300



  = 20

10+10

  1 3 2 3

1 3 2 3

300

  = 25

4+4

1 3 2 3

• U a  = 102/3 251/3 = 13, 13 , 5 21 , 5 U b  = 202/3 251/3 = 21,

U  (c,  ( c, b) = 20c 20c

− c2 + 18b 18b − 3b2

• L = 20 20cc − c2 + 18b 18b − 3b2 (1) ∂ ∂cL = 20 − 2c = 0 (2) ∂ ∂bL = 18 − 6b = 0

(1) 20 = 22cc 10 =  c (2) 18 = 66bb 3 = b U  =   = 127

• •

c + b =  b  = 5

wc

20

− 2c = 18 − 6b −2c = −2 − 6b c  = 1 + 3b 3b 1 + 3b 3 b + b  + b =  = 5 1 + 4b 4 b = 5 4b = 4 b  = 1 c  = 1 + 3 (1) (1) c  = 4

U  (x,  ( x, y) =

x2 + y 2

P x  = $3

• L

 

U 2 = (x2 + y 2 ) + λ + λ (I 

− P xx − P y y)

L (1) ∂  λP x  = 0 ∂x = 2x ∂ L (2) ∂y = 2y λP y  = 0 L (3) ∂  P x x P y y  = 0 ∂λ =  I  (1)  entre (2) P x 2x 2y = P y

− − − −

(4) x =

P x P y y

(4) en(3) en(3) x I  P x P  P y y

− − P y y  = 0 P  I  − P  y − P y y  = 0 −y P P  + P y = −I  (5) y ∗  =  I   2

X





y

2

X y

P 2 X P y

+P y

(5) en (4) P x I  x∗  = P  P 2 y



x∗  =

X P y

+P y



IP x

(P x2 +P y2 ) y ∗  = 950 =8 ( 4 +4) 50×3 x∗  = (9+16)) =6 U  =

√  

82 + 62 = 10

P y = $4

I  = 50

•

U  = (g, v ) =  min

•

  g 2, v

g  = 2v

• g 2

=  v

g  = 2v I  =  P g g + P   + P v v I  =  P g 2v + P   +  P v v I  =  v (2P  (2P g  + P   +  P v ) I  ∗ (2P  (2P g +P v ) =  v 2I  ∗ (2P  (2P g +P v ) =  g

• V  (P g , P v , I ) =

g 2

=

2I  (2P  (2P g +P v )

I   × 21 = (2P  (2P  +P  ) g

v

• E  (P   (P g , P v , U ) = (2P  (2P g  + P   +  P v ) U  0.5

U ( U (x,y,z) x,y,z ) = x =  x 0.5 y0.5 (1 + z + z)) P x  = 0.25 P y = 1,P  1 ,P z = 2  , I  =  = 2

• 0.5 L = x0.5y0.5 (1 + z + z)) + λ (I  − P x x − P y y − P z ) 05 L −0.5 y 0.5 (1 + z (1) ∂  + z)) . − λP x  = 0 ∂x = 0.5x 0.5 L 0.5 −0.5 (2) ∂  y (1 + z + z)) − λP y  = 0 ∂y = 0.5x L − P xx − P y y − P z z  = 0 (3) ∂  ∂λ =  I 

(1)  entre (2)

0.5x−0.5 y0.5 (1+z (1+z )0.5 . . 0 5 − 0 5 0.5x y (1+z (1+z )0.5 (1+0.5)0.5 y (1+0. P x = P  x(1+0. (1+0.5)0.5 y y P x x = P y x (4) y  = P  P y x

=

P x P y

(4) en (3) x I  P x x P y P  P z z  = 0 P y x I  P x x P x x P z z  = 0 I  2P x x P z z  = 0 2P x x  = P   =  P z z I  I  x  = −P 2zP zx + 2P  x

− − − −

− − − − − −

x  = −P 2zP 0x + I  x  = 0 + 2P  x I  x∗  = 2P  x

I  2P x x

y ∗  =

I  2P y

2 x∗  = 2(0. 2(0.25) = 4 2 y ∗  = 2(1) =1 ∗ z  = 0 U  = 4 0.5 10.5 = 4

z  = 0.5 0.5 2 x  = −22× ×0.25  + 2×0.25 = 2 0 = 2 (0. (0.25 2) (2 0.5) y 0.5 = y 0.5 =  y 05 U 1  = 20.5 0.50.5 (1 + 0. 0.5) . = 1. 1 .22

−

−

× − ×

−

−

• • I  = 10 4

x = 16 16,,

z  = 1

(x, y)

(1 + z +  z))

P x x  = P   =  P y y  = P   =  P z z (1 + z + z)) 2P z (1 + z + z)) + P  + P z z  = I   =  I  3P z z  = I   =  I  2P z

−

z >  0

I >  2P   2 P z

U ( U (x, y) =  xα y 1−α

• L = xαy1−∂ Lα + λ (I  − P xx − P y y) (1) ∂x =  αx α−1 y 1−α − λP x  = 0 L − α) xαy−α − λP y  = 0 (2) ∂  ∂y = (1 L (3) ∂  ∂λ =  I  − P x x − P y y  = 0 (1)  entre (2) (4)

αxα−1 y 1−α (1 α)xα y−α

−

=

P x P y

I >  4

y=

  − −    − −   − ∗  ×       ×       ×  

(4) y∗  =

P x P y

1 α α

−

x

(4) en (3) 1−α x I  P x x P y P  x  = 0 P y α 1−α I  P x x P x α x  = 0 α I  xP x 1 + 1− =0 α I  ∗ x  = P  1+ 1−α ( α )) x( I  1−α y = P  1+ 1−α α ( α )) y(

V  (P x , P y , I ) =  U  [µ  [ µ (P x , P y , I )] )]

1 α

α

=

I  α P x (1+( 1− α ))

1 α α

I  α P y (1+( 1− α ))

−

−

α

E  (P   (P x , P y , I ) =

•

∂e ∂P x ∂e ∂P x

•

I  α P x (1+( 1− α ))

I  α P y (1+( 1− α ))

1 α α

−

α 1

−

¯ =  α 1−α (1 α)α−1 P xα−1 P y1−α U  ¯ =  α −α (1 α)α P xα P y−α U 

− −

α

¯ U 

• E (P x , P y , U ) = 2P x0.5 P y0.5 U 

P x  = 1

P y  = 4,

U  = 2

E  =  = 8 E  =  = 12

•

8 2 = 12 3

E  =   = 8 = 2P  2P x0.5 40.5 3

P x0.5 =

P x  =

4 9

5 9

x  = 9

• α

E (P x , P y , U ) = 1.84 84P  P x0.3 P y0.7 U 9.71

P x = 1

P x  = 0.26

0.74 x  = 11 11..2

U ( U (x, y) =

yδ δ

xδ δ

+

yδ δ

+ λ (I 

• x y

=

 P x P y

1

δ −1

δ

L = xδ

− P xx − P y y) ∂ L δx − λP x = 0 ∂x = δ δy ∂ L − λP y = 0 ∂y = δ ∂ L ∂λ =  I  − P x x − P y y  = 0

(1)

+

δ −1

(2) (3) (1)  entre (2) δxδ−1 δ δy δ−1

=

δ

xα−1 y α−1 x y

•

=

=

δ−1

P x P y

P x P y

 P x P y

P y = 4

1

δ −1

δ  =  = 0

U  = 2

E  =

x y

=

  

x y

1 0−1

P x P y

P x P y P y P x

=

x y

−1

= (4) xP x  =P   = P y y P x x P y y

• P x x P y y

 P x P y

=

δ 

δ δ−1

•

     − − −  −  −     × 1

x y

δ −1

P x P y

=

1 δ 1

− =  α

=

P x P y

x  =

P x P y

x y

I  I  I 

α

y

α

P x P y

P x

P xα+1 P yα P xα+1 P yα

y

y

P y y  = 0

P y y  = 0

y

+ P y = 0

I 

y ∗  =

α+1 P x α P y

P x P y

x  =

x∗=

α

+P y

α

I 

α+1 P x α P y

+P y



I 



V  =

α+1 P y α P x



+P x



  

I α+1 P y α +P x P x 1+α α

E (U, P x , P y ) = U  U 

1+α

α

1+α 1+α α

    +

    1+α

I α+1 P x α +P y P y 1+α α

x∗−

1+α

α

y∗−

α

1+α

α

x0

x0

U ( U (x, y) = (x

•

α (I 

I 

 −  −

−

− x0)αyβ

I > P x x0 +  P x x0 P x x0 ) + P 

x

donde α + β   + β  =  = 1  (I  β  (I 

− P xx0)

x < x0 P x xo P x (x

P x xo

− x0) =  α(  α (I  − P x xo ),

P x x I 

• P x x  (1 + α +  α))P x x0 =  α +  α  + , I  I  P y y  β P x x0 =  β  I  I 

−

 →  → ∞) P I xx = α,  → ∞) P I y y = β  lim( lim(I  → lim( lim(I 

P y y  = β   =  β (I  P y y I 

− P xxo )

• 0.75 75x x + 2y 2y

• SiP x  < 83 P y

x  =

SiP x  > 83 P y

x  = 0

•

•

I  P x

y  = 0 y  =

I  P y

P y <

•

I  = $3 mantequilla de cacahuate (P mc $0.0.5 mc ) = $0. mermelada (P m ) = $0. $0.1

• mc = mc = 2m 0.05 05mc mc +  + 0. 0 .1m = 3 (0. (0.05 2m) + 0. 0 .1m  = 3 0.1m + 0. 0 .1m  = 3 0.2m  = 3 m  = 03.2 = 15 mc = mc = 2(15) = 30

×

•

P m  = $0 $0..15

0.05 05mc mc +  + 0. 0 .15 15m m  = 3 (0. (0.05 2m) + 0. 0 .15 15m m = 3 (0. (0.1m) + 0. 0 .15 15m m = 3 0.25 25m m = 3 m  = 0.325 = 12 mc = mc = 24

×

• m = 15

3(0. 3(0.15) + 6(0. 6(0.05) = 0. 0.75

mc = 30

8P x 3

•

•

P sand  +  P m sand  = 2P mc mc  + P  P sand sand  = 0.20 Qsan  = 15 P sand sand  = 0.25 Qsan  = 12 Qsand  =

•

3 P S

∂x/∂I 

•

P x P y y x

•

∂x >  0 ∂I 

U ( U (x, y) = x =  x 0.3 y0.7

• x  = y  =

0.3I  P x 0.7I  P y

U  = 0. 0 .30.3 0.70.7 I P x−0.3 P y−0.7 =  βI  β I P x−0.3 P y−0.7 E  = β   =  β −1 U P x0.3 P y0.7

•

xC  =

∂E  = 0. 0 .3β −1 P x−0.7 P y−0.7 ∂P x

•

x,Px  = 1 x,I  = 1 xC ,P x  = 0.7 S x  = 0.3

− −

x,Px  =   =   xC ,P x S x x,I  1 = 0.7 (0. (0.3 1)

− S x  =

− × − − ×

P x x I 

•

Sx,I  =

Sx,I  =

∂P x x/I  ∂I 

∂s x ∂I 

× sI 

x,I 

x

−1

2

− P xx × I  =   − 1 × P  I x/I  = I P x∂x/∂I  x,I  2 I  P  x x

x

x,I  = 1.3 Sx,I  = 0. 0 .3

•

Sx,Px  =

Sx,Px  =

∂  (P   (P x x/I ) ∂P x

x,Px  = 0.73 Sx,Px  = 0.27

−

∂s x ∂P x

× P s x x

x,Px + 1

P x ∂x/∂P x  + x  +  x I  x × P P x/I  × x = x,Px + 1 = I  x

•

x,Px,Px  = x,Px  = +1

∂ (P x x) ∂P x

× ×1 x

x,Px,Px  =  = x,Px  = +1

•



∂s x S x ,P y  = ∂P y

x,Py S x ,P y  =

∂  (P   (P x x/I ) ∂P y

×

 P y sx



P x ∂x/∂P y P y I  ∂x  P y y × P P x/I  × × = = =   x,Py I  P  x ∂P  x x

x

y

• sx  =

1 1 + P  + P yk P x−k

k  =

δ 

δ 

−1 = 1−σ xC P x  =

sx ,P x  =



kP yk P x−k−1 1 + P  + P yk P x−k

θ  = P   =  P yk P x−k

x,Px  =   =   sx ,P x

  ×  2

P x 1 + P  + P yk P x k

−



=

kP yk P x−k 1 + P  + P yk P x−k

kθ − 1θ − 1 = 1 kθ  − 1= + θ + θ 1 + θ + θ

x,I  = 1 kθ θ 1 1 θ (k 1) xC P x  =   x,Px  + s  +  sx  = + = = (1 1 + θ + θ 1 + θ + θ 1 + θ + θ

− −

•

−(1 − sx)σ

−

− sx)(−σ)

I  (P h + P   +  P c ) ∂h I  h,Ph  = = 2 ∂P h (P h + P   +  P C  C ) h  =

−

h,Pc  =

−P h  +  P c )  ×  P h(P hI  + P  = (P   + P   +  P  ) h

c

−P c

(P h + P   +  P c ) P h  =  P c

h,Ph  =   h,Pc  =

−0.5

•

x,px  = 0

− sx  = −0.5

• P h  = 2P c

h,Ph  =

 −2 , 3

•

•

(σ  = 1) x y x,Px  +   +  y , P y =

−2

h,Pc  =

 −1 3

x,Px  = y,Py  =

−(1 − sx)σ − sx −sxσ − sy

x,Px  +   +  y,Py =

•

−σ − 1 −2

σ >  1 x,Px  +   +  y,Px  <

−2

σ <  1 x,Px  +   +  y,Px >

σ

σ

•

n i



•

 •

n j =1 P j

i,j =

∂x i I  = ∂I  xi

i,j  =

∂x i P j = ∂P j xi

n  +  i,j j =1 i,j  + 

=0

∂x i ∂x i + I  =0 ∂P j ∂I  1 x



−2

n j =1 si i,I 

=1

si

  

 =  I  i P i xi  = I  i P i

∂x i =1 ∂I 

n j =1 si i,I 

xi I  xi I  =1



•

 

i P i

∂x i + xj = 0 ∂p j P j I 

n j =1 si i,j

=

P x

•

×  xxi i

−sj P y

x

y

n j =1 si i,j  =

−sj P j