Texto de Trigonometría para secundaria

TRIGONOMETRÍA

____________________________

49

Longitud de Arco y Área de un sector circular 1.4 Longitud de Arco en un sector circular Un sector circular es una parte de un círculo donde un vértice es el centro del círculo y los otros dos son puntos de la circunferencia. Entre sus tres elementos se cumple las siguientes relaciones:

L  R

R  rad

L

R

L 



L R

 : nro. de radianes

R

L : longitud de arco R : radio del sec tor

1.5 Superficie de un sector circular El área de la región formada por un sector circular se puede calcular del siguiente modo:

R

A

A

 rad

L

A R

DOCENTE: HARRY LUQUE LUQUE

L R 2

  R2 2

A

L2 2

A : sup erficie del trapecio circular

TRIGONOMETRÍA

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50

Nota: Si interceptamos dos sectores circulares, se forma una figura que por su semejanza con el trapecio recibe en nombre de "Trapecio Circular". La superficie de esta figura se puede calcular del siguiente modo: h

A

b

Bb A  h  2 

B

A : sup erficie del trapecio circular h

1.6 Poleas, Engranajes y ruedas a) Poleas en contacto LONGITUDES RECORRIDAS IGUALES

L

R

 R  r

L



 R

r

r

b) Poleas unidas por una faja transportadora LONGITUDES RECORRIDAS IGUALES

N R  n r N : nro. de vueltas de la polea mayor n : nro. de vueltas de la polea menor


R

r

TRIGONOMETRÍA

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51

c) Poleas unidas a través de un eje ÁNGULOS GIRADOS IGUALES



d) Rueda en un plano horizontal

r  de vueltas 

L 2r

L

PRUEBA DE COMPROBACIÓN 1 1.- Un tramo de carretera está formado por dos arcos de circunferencia. El primero, tiene un radio de 18km y un ángulo central de 40º; el segundo, tiene un radio de 36km y un ángulo central de 50º. Calcular la longitud total de este tramo

22      7  

a) 12km b) 14km c) 33km d) 22km e) 44km


2.- Calcule el área sombreada. a)

36

b)

48

c)

54

d)

60

e)

72

6 r2

8

4r

r2

6

TRIGONOMETRÍA

3.- Sabiendo que el área de un cuadrado de lado 2m es igual al área de un sector circular cuyo radio es igual a la diagonal de dicho cuadrado, determine la longitud de arco de dicho sector circular: a) 2m

6.- ¿Qué espacio recorre una rueda de 4cm de radio, si da 15 vueltas al girar sin resbalar sobre un mismo plano? a) 60  cm b) 90  cm

b) 4 2 m c)

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52

c) 100  cm d) 105  cm

2m

d) 3 2 m

e) 120  cm

e) 2 2 m

4.- Determine el área del sector AOB en la figura mostrada: 8

C

E

A

O

7.- Del sistema mostrado, determinar cuántas vueltas gira la rueda "C" cuando la rueda "A" de 12 vueltas.

8

2

B

D

a) 2u2

a)

8

F

15

b)

25

c)

30

d) 8u2

d)

42

e) 10u2

e)

45

2

b) 4u

2

c) 6u

5.- Calcular la región sombreada, si el arco BD tiene centro en "C" y el triángulo ABC es isósceles. B

 2  b) 3  2

a) 2 

c) 4   d)   2 e)   3


2

5

8.- En la figura mostrada, calcular el perímetro del sector AOB. a) 22

c) 55 d) 66

D

B

a6

b) 36 2 2

A

C

A

C

e) 77

O

a rad a6

6a  25

TRIGONOMETRÍA

9.- Se tiene dos sectores circulares con las siguientes características: SECTOR ÁNGULO CENTRAL RADIO Nro 1 Nro 2

 Suplemento 

2r r

Si las áreas de ambos sectores son de igual medida, el valor de "" en radianes

b) c) d) e)

12.- Se tiene un sector circular con un ángulo central de º, un radio de "a" metros y una longitud de arco "L". Si el radio y el ángulo se triplican, la nueva longitud de arco en relación a la anterior es: a) b)

es: a)

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53

c)

 9  5  4  6  12

d) e)

Dos veces mayor Tres veces mayor Seis veces mayor Ocho veces mayor Nueve veces mayor R r

13.- Calcular

, sabiendo que la

longitud del arco AB es el triple del arco BC.

10.- Se tiene un sector circular de 6cm de radio y 12cm de longitud de arco. Si el radio aumenta en 2cm sin que el ángulo central varíe. ¿Cuál será la nueva longitud de arco?

1 b) 2 c) 3 a)

3 2 5 e) 3

d)

A

O2

r R

30º

r

B 60º

R

C

O1

a) 8cm b) 10cm c) 12cm d) 14cm e) 16cm

14.- Hallar el perímetro de la región sombreada, si 22   r  7 cm .     7  

11.- De la figura, calcular: E     2 a)

1 b) 2 a)

c)

1 d) 2 3 e) 2

b) c)

2

d) O

 rad


e)

120cm 121cm 132cm 123cm 137cm

2r

r

TRIGONOMETRÍA

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54

15.- Del problema anterior, calcular el área de la región sombreada. a) 306cm2 b) 308cm2 c) 310 cm2

18.- Calcular el radio del cuadrante ACD, sabiendo que la esferita al soltarse del punto B, llega al punto C; además AB     2 cm . a) 0,1cm b) 1cm c) 2cm d) 2,5cm e) 3,5cm

d) 312cm2 2

e) 314 cm

A

B

45º C

D

16.- En el esquema mostrado, calcular el valor de:

S1  3S 2 S1  S 2

C a) b) c) d) e)

1 2 3 4 5

A

B

S2 4

S1 5

O

D

19.- Del gráfico mostrado, calcular: "" si: mAC  45  mCD . (O: centro y OA  OB ).  Considerar :   22    7  

17.- Calcule el área de la región sombreada. 3

A

a) 1

D C

b) 2 c) 1,5

O

a) b) c) d) e)

18 21 24 27 30

12

8

d) 0,5 e) 1,2

3

B


B

2 rad 3

 rad O

A

TRIGONOMETRÍA

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55

20.- Una rueda se desplaza sobre un plano horizontal de A hacia B, barriendo 49  rad . Calcular "x"; 11    22  . Dato: r  0,5u .   7  

considerar

22.- Del gráfico adjunto, calcular el número de vueltas que da la rueda en ir de la posición "A" hasta la posición "C". Si: BC  2AB  3 r cm B

r

r

r

r A

x

A

a) 1,5 b) 1 c) 0,5 d) 3 e) 2,5

a) 6u b) 7u c) 8u d) 9u e) 10u

21.- Del gráfico: ABCD es un cuadrado; sea "S" el número que representa el área de la región sombreada. Calcular: S  42 , siendo FE un arco con centro en D. Dato: EC  3BE  12 a) 120  b) c) d) e)

9 130  9 140  9 150  9 160  9

C

B

23.- Del gráfico, dados los sectores circulares, calcular el área sombreada. Datos: AB  5 u , BC  4  u , AD  2  u . 

A

a) 7 u2 F

A

B

E

b) 10u2 c) 12u2 d) 15u2

D

53º


C

e) 20 u2

B

O D C

TRIGONOMETRÍA

56

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO OBJETIVOS Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de: 1. Identificar los elementos de un triángulo rectángulo y establecer las relaciones que existen entre sus lados y ángulos agudos. 2. Definir razón trigonométrica y conocer sus propiedades. 3. Calcular las razones trigonométricas de ángulos notables. 4. Aplicar el conocimiento de las razones trigonométricas en la solución de problemas gráficos y analíticos.

CONTENIDO 2.1

Teorema del triángulo rectángulo.

2.2

Razón Trigonométrica.

2.3

Razones Trigonométricas Recíprocas.

2.4

Razones Trigonométricas de ángulos complementarios.

2.5

Propiedad fundamental de las Razones Trigonométricas.

2.6

Razones Trigonométricas de ángulos notables.

2.7

Resolución de Triángulos Rectángulos.

2.8

Área de un Triángulo.

2.9

Ángulos Verticales.

2.10

Aplicaciones.


TRIGONOMETRÍA

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57

2.1 Triángulo Rectángulo Es una figura geométrica que tiene tres lados y uno de sus ángulos es recto. Al lado mayor se le denomina hipotenusa y a los lados menores se les llama catetos. Entre dichos lados se cumple el Teorema de Pitágoras, el cual señala que "el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". Además. Los ángulos agudos del triángulo suman 90º, por lo que se denominan complementarios. B 2

a

2

a b  c

c

2

Ángulos Complementarios C

A

b

ˆ  90º ˆB A

Ejemplos: 1) Halle el lado que falta en cada triángulo: A)

B)

4

C)

6 5 3

2) Calcule el complemento de los siguientes ángulos: A) 40º B) 32º30’ C)  D) 90º -  E) 20º + 

Complemento: Complemento: Complemento: Complemento: Complemento:


5

7

TRIGONOMETRÍA

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58

2.2 Razón Trigonométrica de un ángulo agudo Es el cociente que se establece entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Se toma con referencia a uno de los ángulos agudos y en total son seis, cuyos nombres son: Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante. Es importante observar que las razones trigonométricas de un ángulo son cantidades numéricas. Cada una de ellas representa la razón de una longitud a otra y nunca deben considerarse como longitudes. Cuando se toma una razón trigonométrica se le denomina, por ejemplo: “Seno de A” y se le representa como SenA, donde se observa la unión del operador trigonométrico Sen y el ángulo A; pero esta unión no es una multiplicación. Errores comunes:  Sen20º Sen10º  Sen 20º  10º  

Tg 40º 4 Tg10º

 5 Cos   Cos 5  Sen 2 30º  Sen 900º Definamos las razones trigonométricas del ángulo A en el triángulo rectángulo ABC:

B c

a

a: cateto opuesto b: cateto adyacente

A

b

C

cateto o pues t o a  hipotenusa c

   1 cateto adyacente b  Cos A   hipotenusa c 

Sen A 

cateto o pues t o a  cateto adyacente b

    cualquier valor cateto adyacente b  Cos A   cateto o pues t o a 

TgA 


c: hipotenusa

hipotenusa c   cateto adyacente b  1 hipotenusa c  CscA   cateto o pues t o a 

SecA 

TRIGONOMETRÍA

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59

Ejemplo:

1) Halle todas las razones trigonométricas del ángulo ""

5  12

Sen  

Csc  

Cos  

Sec  

Tg  

Ctg  

2.3 Razones Trigonométricas Recíprocas Las razones recíprocas son aquellas cuyo valor es el inverso aritmético de la otra, por ejemplo:

3 4 y son razones que cumplen esta condición. En las 4 3

razones trigonométricas recíprocas, a saber:

Sen A 

a c

Cos A 

b c

TgA 

a b

encontramos

algunas

parejas

de

razones

c  a   c  y SecA   Razones Recíprocas b  b  y CtgA  a  y CscA 

Si efectuamos la multiplicación de dos razones recíprocas, encontramos que

el resultado es la unidad. Así: 3  4  1 , motivo por el cual deducimos la siguiente propiedad:

4

3

"El producto de dos razones recíprocas es siempre la unidad"


TRIGONOMETRÍA

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60

Sen A  CscA  1

Por lo tanto:

Cos A  SecA  1 TgA  CtgA  1

Nota: Obsérvese que los ángulos de las razones trigonométricas son los mismos. Ejemplos: 1) Sen  Csc  = 2) Cos  Sec  = 1  3) Tg  2x  12º  Ctg  x  14º   1  4) 5) 6)

1  Sen 6x 1  Sec8x Sen 2x Tg3x



2.4 Razones trigonométricas de ángulos complementarios Al definir las razones trigonométricas, hemos considerado a uno de los ángulos agudos, pero también se puede tomar las razones trigonométricas del otro ángulo o sea de su complemento y como se trata de los mismos lados encontramos algunas igualdades: B c A

b b  Cos A c a CosB   Sen A c

SenB 

TgB 

a: cateto opuesto

a

b  CtgA a


b: cateto adyacente c: hipotenusa

C

a  TgA b c SecB   CscA a CtgB 

Csc B 

c  SecA b

TRIGONOMETRÍA

61

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De estas igualdades deducimos la siguiente propiedad:

"La razón trigonométrica de un ángulo es igual a la co-razón trigonométrica de su ángulo complementario" Si : A  B  90º Razón trigonométrica  A   Co-razón trigonométrica  B 

Son Co-razones:

Seno y Coseno Tangente y Cotangente Secante y Cosecante

Ejemplos: 1) Sen 42º = 2) Ctg 34º 40' = 3) Tg  = 4) Csc  90º     5) Cos    20º   6) Sen 6x  Cos3x  7) Sec  3x  15º   Csc  x  25º   8) Tg2x  Tg3x  1 


TRIGONOMETRÍA

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62

2.5 Propiedad fundamental de las razones trigonométricas A continuación vamos a establecer de que dependen las razones  trigonométricas. Sea APO   un ángulo agudo, en la recta OP tome los puntos cualesquiera B y D trácense BC y DE perpendiculares a OA . Tome  también un punto F en OP y trácese la perpendicular FG . A

E C

O Del triángulo BOC: Del triángulo DOE: Del triángulo FOG:

B

D

F

P

BC OC DE Tg   OE FG Tg   OF Tg  

Pero los triángulos BOC, DOE y FOG tienen un ángulo común: 

BC DE FG   OC OE OF

Por consiguiente la tangente del ángulo "" es la misma ya sea que se obtenga del triángulo BOC, DOC o FOG. Una demostración similar puede hacerse para cada razón trigonométrica, por lo que deducimos: "Las razones trigonométricas de un ángulo agudo son independientes de los lados del triángulo rectángulo que las contiene y dependen únicamente de la magnitud de dicho ángulo".


TRIGONOMETRÍA

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63

2.6 Razones Trigonométricas de Ángulos Notables. a) Razones trigonométricas de 30º y 60º Construimos un triángulo equilátero, en el cual trazamos la altura y formamos dos triángulos rectángulos de 30º y 60º. Si uno de los lados del

triángulo equilátero es "L", los lados del triángulo rectángulo son L y 2

L 3 , de donde deducimos la propiedad: 2 30º 30º

L

Cateto opuesto a 30º  Mitad de la hipotenusa

L

L 3 2

Cateto opuesto a 60º   Mitad de la hipotenusa   3 60º

60º

L 2

L 2

Pero para tomar el valor de las razones trigonométricas de 30º y 60º, es más cómodo dar un valor a "L", pues las razones no dependen de la longitud de los lados. Así para L  2 , tenemos: Sen30º 

1  Cos 60º 2

Cos30º 

3  Sen 60º 2

Tg30º 

3   Ctg 60º 3 3

3 Ctg30º   1

Sec30º  Csc30º 

30º

1

2 3



2

3

3  Tg 60º

2 3  Csc 60º 3

2  2  Sec 60º 1


60º

1

TRIGONOMETRÍA

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64

b) Razones trigonométricas de 45º Construimos un triángulo rectángulo isósceles y a uno de los catetos le llamamos "L", luego la hipotenusa se calcula por Pitágoras y su valor es " L 2 ". Para obtener las razones trigonométricas de 45º, hacemos L  1 y tenemos:

45º

L 2

45º

2

L

45º

1

45º L

1

Sen 45º 

1



2  Cos 45º 2

2  1

2  Csc 45º

2 1 Tg 45º   1  Ctg 45º 1

Sec 45º 

c) Razones Trigonométricas de 37º y 53º Para obtener las razones trigonométricas de estos ángulos recurrimos a un triángulo rectángulo, donde sus lados son proporcionales a tres números consecutivos: 3, 4 y 5. Sus ángulos agudos son exactamente 36,87º y 53,13º los cuales aproximamos a 37º y 53º para fines prácticos.

37º 5L

37º 4L

53º

5

4

53º 3L


3

TRIGONOMETRÍA

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65

3  Cos 53º 5 4 Cos37º   Sen 53º 5 3 Tg37º   Ctg53º 4 4 Ctg37º   Tg53º 3 5 Sec37º   Csc53º 4 5 Csc37º   Sec53º 3 Sen37º 

2.7 Resolución de Triángulos Rectángulos Las aplicaciones de la Trigonometría en campos como la topografía y navegación requieren resolver triángulos rectángulos. La expresión "Resolver un triángulo" significa encontrar la longitud de cada lado y la medida de cada ángulo del triángulo. En esta sección veremos que podemos resolver

cualquier triángulo

rectángulo si se nos da: I. Las longitudes de dos lados. II. La longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo. I. Conociendo las longitudes de dos lados: Ejemplo: Resolver un triángulo rectángulo, sabiendo que sus catetos miden 1 y 2 respectivamente.

Resolución:  Para calcular "x", aplicamos el teorema de Pitágoras:  1 2   2 2  x 2  x 2  5 x 

5



x

1

 2


TRIGONOMETRÍA

 Para

____________________________

66

determinar

la

medida

del

ángulo

,

calculemos

una

razón

trigonométrica con los catetos de longitudes 1 y 2. Por decir: Tg   1    26º30' (aproximadamente) 2

Como:     90º    63º 30' Con lo cual el triángulo rectángulo queda resuelto. II. Conociendo un lado y la medida de un ángulo agudo A. Conociendo la longitud de la hipotenusa y un ángulo agudo incógnitas: x, y

a

 Cálculo de x: y

x  Cos   x  a Cos  a

 Cálculo de y:



y  Sen   y  a Sen  a

x

 En el  rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90º   Conclusión: a

a Sen 

 a Cos 

B. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto adyacente a dicho ángulo. incógnitas: x, y  Cálculo de x: y



x

x  Tg   x  a Tg  a

 Cálculo de y: a

y  Sec   y  a Sec  a

 En el  rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90º  


TRIGONOMETRÍA

____________________________

67

Conclusión: a Sec 

a Tg 



a

C. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto opuesto a dicho ángulo. incógnitas: x, y  Cálculo de x: y



a

x  Ctg   x  a Ctg  a

 Cálculo de y:

y  Csc   y  a Csc  a

x

 En el  rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90º   Conclusión: a Csc 

a

 a Ctg 

Ejemplos: 3Cos20º 20º

3Sen20º

20º

3

3

4

4 10º

4 Csc10º

4 Ctg10º

5 

10º

5  5 Csc 


5 Tg 

TRIGONOMETRÍA

____________________________

68

2.8 Área de una Región Triangular (S) El área de cualquier región triangular esta dado por el semi producto de dos de sus lados multiplicado por el seno del ángulo que forman dichos lados. Así tenemos:

B Del gráfico:

a

A

S



C

b

Demostración:

Por geometría S, se calcula así:

B

S h

a

A



bh 2

(h: altura relativa al lado "b")

En el triángulo rectángulo sombreado se tiene C

b

a b Sen  2

por resolución de triángulos que: h  a Sen 

Luego: S  b  a Sen  ; ( ba  ab ) 2

S 

a b Sen  2

2.9 ÁNGULOS VERTICALES A continuación enunciaremos algunos puntos que consideramos importantes para l desarrollo del tema: Línea Vertical: Vertical de un lugar es la línea que coincide con la dirección que marca la plomada. Línea Horizontal: Se denomina

así a toda aquella perpendicular a la

vertical. Plano Vertical: Es aquel que contiene a toda línea vertical. Línea Visual: Llamada también línea de mira, es aquella recta imaginaria que une el ojo del observador con el objeto a observarse.


TRIGONOMETRÍA

69

____________________________

Ángulos Verticales Son aquellos ángulos contenidos en un plano vertical formados por la línea de mira (o visual) y a línea horizontal. Que parten de la vista del observador. Ángulos de Elevación Es el ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por encima de la línea horizontal.

Observador



Línea Horizontal

 : Ángulo de elevación

Ángulos de Depresión Es aquel ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal. Observador



 : Ángulo de observación

 : Ángulo de depresión


TRIGONOMETRÍA

70

____________________________

Al ángulo formado por dos líneas de mira se denomina ángulo de observación o de visibilidad.



 : Ángulo de observación

2.10 Aplicaciones: a) Si: Tg   0, 4 . Calcule el valor de: Sen   Cos  Resolución: Del dato:

Tg  

4 2 CO   10 5 H

29

2

 5  2  5  Sen   Cos       29   29 

Luego: Sen   Cos  

10 29

b) Dado: Sen  2x  10º   Cos  x  5º  Determine el valor de: 2 2 2 K  Tg  3x  15º   4 Cos  2x  5º   3Sec  x  5º 


TRIGONOMETRÍA

____________________________

71

Resolución: Del dato: Sen  2x  10º   Cos  x  5º   razón = co-razón

  2x  10º    x  5º   90º

3x  75º x  25º

Reemplazando en la incógnita: 2

2

2

K  Tg 60º  4 Cos 45º  3Sec 30º 2

2  1   2  K   3  4   3   2  3

2

4 1 K  3  4    3  2 3 K 32 4 K9

c) Calcular el área de la región triangular ABC, sabiendo que AB  5 cm ; AC  6cm y el ángulo comprendido entre dichos lados es igual a 37º.

Resolución: Graficando tenemos: Nos piden: S

B

De la figura: S  1  5cm  6cm  Sen37º 2

5 cm

A

S

37º

6 cm

C


1 3  5 cm  6cm  2 5

 S  9 cm

2

TRIGONOMETRÍA

____________________________

72

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.-De la figura mostrada, Calcule "Tg ".

3.- La longitud de uno de los catetos de un triángulo rectángulo es el triple del otro. Calcule el valor del Seno del menor de sus ángulos. a)

a) 1



b) 1 c) d) e)

b) c)

2 1 3 2 3 3 4

d) 53º

10 1 10

10 10 3 10

e) 3 10 10

4.- Si "" es agudo y Csc   Tg 2 60º . Calcule

el

Sec 45º  Sec   Tg  

2.- En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), AB  3 y BC  7 . Si se prolonga BC hasta el punto D y ˆ  Tg ADB

1. 4

Calcule la longitud de CD.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

a) –2 b) –1 c) 1 d) 2 e) 3

5.- Si "" es agudo y además: Tg   Csc 30º  Cos 60º

Calcular:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6


valor

13  Sen   Cos  

de:

TRIGONOMETRÍA

6.- Siendo "" un ángulo agudo y:

____________________________

73

9.- Si:

Cos  a  b   Sec 26º  1

Sec   Sen  Csc   Sen30º

Calcular el valor de la expresión: 5  Csc   Ctg  

Tg  a  b   Ctg 74º  1

Calcular: Sen  a  3º  Sen b  6º  a) 5

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

b)

2 2 5

c) 1 d) 2 e) 4

7.- En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, para el cual se cumple:

10.-Si: Sec   Csc 2 ; hallar: M  Tg

2a  b  Sen A  Sen B c

 2    Sec 330º  3  6

Calcule el valor de: Sec 2A  Ctg B a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

8.- En un triángulo rectángulo ABC, recto en "C" se cumple que:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

11.- Calcule de la figura: Q  Sec   Tg 

3Sen ASen B  1

Calcule el valor de: Tg A  Tg B a) 1 b) 2 c) 3 d) 1 e)

3 1 9


a) 1 x2

b) 2 c) 3 d) 4 e) 5



1

x

TRIGONOMETRÍA

12.-De

la

figura,

1 Sen   Cos  4

calcule:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

____________________________

74

a2

15.-Del gráfico mostrado, calcule " Tg  " si se tiene que Tg  8 15

a) 3 8

b) c)



a

e) 5

d) e)

7 5 7 6 7 8 7 12 13





16.-Según el gráfico, calcule " Ctg  " 13.-En un triángulo rectángulo ABC, Tg A  2, 4 . Determine el perímetro del triángulo si además el lado mayor mide 39 cm.

a) 3  1 b) 3  1



a) 30 cm b) 60 cm c) 90 cm d) 120 cm e) 150 cm

c)

3 1 2

d)

3 1 2

14.-Calcular la altura de un árbol sabiendo que al cortarlo a 4m con respecto al suelo, al caer la punta del árbol forma con el suelo un ángulo agudo "", tal que Sen   0, 2 .

17.-Calcular la altura de un árbol sabiendo que al cortarlo a 4m con respecto al suelo, al caer la punta del árbol forma con el suelo un ángulo agudo "", tal que Sen   0, 2 .

a) 19 m b) 12 m c) 24 m d) 25 m e) 28 m


e) 2 3  1

a) 19 m b) 12 m c) 24 m d) 25 m e) 28 m

TRIGONOMETRÍA

18.-De la figura, calcule " Cos  " a)

6 6

b)

6 5

c)

6 3

d)

6 4

e)

6 2

____________________________

75

21.-Si "" y "" son agudos y además se cumple: Sen  Sec   Tg 9º Tg 36º Tg 54º Tg 81º

Calcular:

1

P

3 Ctg

  3   Tg   3   Cos  Csc 

3 

a) 1 b) 3 c) 2 d) 3 e) 4

PROBLEMAS PROPUESTOS (II)

19.-Calcular "x" en:

x  Tg 45º Sen 37º  3  x  Tg 45º Sen 37º  3

1.-Siendo "" un ángulo agudo y 3 además: Tg   . 5

a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5

Calcule: E  3Sen   5 Cos

20.- De la figura, calcule el valor de:

2.- Si "" es un ángulo agudo y

a) 3 b) 34 c) 5 d) 29 e) 4

Csc   2 Csc 

Sec  

a) 3

E

b) 4 c) 5 d) 6

11 

7 

e) 7


2

Tg 60º

.

7 Sen   Cos 

a) 1 b) 2 c) 3

d) 3 e)

2

2 Csc 45º

4 1 2

Calcular:

TRIGONOMETRÍA

3.- En un triángulo rectángulo se cumple que uno de los catetos es la tercera parte del otro cateto. Calcule la secante del menor ángulo agudo:

a)

10

b)

10 3

c)

2 2 3

____________________________

76

6.- ABCD es un trapecio de bases AD  28 cm y BC  6 cm . Hallar " Tg  ", si Cos  

a) 1 b) 2

e) 3 10

e) 5

Sec A  Sec C

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

5.- El perímetro de un triángulo rectángulo es 112 cm. Si el coseno de uno de los ángulos es 0,96, ¿cuál es el valor de del cateto mayor?




 D

A

7.- En un triángulo rectángulo ABC, recto en A se cumple que: Cos B  Cos C 

2 4

.

Hallar

la

altura

relativa a la hipotenusa BC, sabiendo que ésta mide 4 2 .

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 8.- En un triángulo rectángulo ABC recto en B, hallar su área, si: 2 2 2 a  b  c  1 y Tg A  5  Tg C a)

a) 50 cm b) 48 cm c) 24 cm d) 25 cm e) 14 cm

26cm

c) 3

d) 2 2

4.- En un triángulo acutángulo ABC se traza la altura BH. Si: AB  9 , BC  7 y Calcule el valor de: AH  3HC .

C

B

d) 4

10

5 13

b)

5 4 5

c)

5 5

d)

2 4

e)

5 25

TRIGONOMETRÍA

____________________________

77

9.- Del gráfico mostrado, calcular "

12.-Si: Tg 2x  Tg 4x  1 ; calcular: 2

Sen 3x  Sen 2x

Tg  ", si "C" es el centro del arco BD.

A

a) 1 a) 2

a) 1 b) 2

D

c) 1

b) 3 c) 4

d) 37º

B

C

2 3 2

e) 3

d) 5 13.-Siendo "x" un ángulo agudo, para el cual se cumple que: Cos  x  20º   Csc 3x  30º   1

Calcule el valor de: Sen 3x  2 Cos 2 3x

10.-En la figura, halle " Tg  "

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5



a) 1

2

b) 1

45º

3

c) 2 d)

3 2

e)

3 4

11.- Si



53º 2a

a

14.-Si: Tg 2a  b º Ctg  60  b º  1 . Calcular: Csc 2 a  b º 



se

tiene

 5 Sen Sen   Csc 1. Calcular 3 17 valor de: 2 Sen   1 Cos  2

a) 1 b) 2 c) 3

d) 3 2

e) 3


que: el

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Sen  3b º Cos 3a º

TRIGONOMETRÍA

____________________________

78

15.-Siendo: Sen   15 17

y "" es un

ángulo agudo. Calcule el valor de: "x" en la igualdad: x Cos   7  x Sen 

18.-Del gráfico mostrado, calcular: E

a) 1

a) 1 b)

a) 9 b) 8 c) 13 d) 15 e) 17

c) d)

16.-Calcule el valor de "x" en la igualdad:

2 1 3 1 4 1 5

11  Tg  Ctg  15

 6

120º

 8

19.-De la figura, hallar "x" en función de "a", y "".

2

x Sen 45º  Sec 45º Tg 37º  x Csc 45º

a

x

a) 1 b) 2 c) 2



a) a Sen 2 

d) 1

b) a Cos 2

2

c) a Sen  Cos 

2 2

e)

d) a Sen 2 Cos  e) a Cos 2 Sen 

17.-De la figura, hallar: Ctg   Tg 

20.- Hallar “x” en función de “” y “L”, si ABCD es un cuadrado.

a) 0

B

a) 1

L

b) 2 c) 1



2

d) 3

L

 A

a) L Sen 2  b) L Cos 2 c) L  Sen  Cos  d) L Sen 2  Cos  e) L Sen  Cos 2




D

C

x

TRIGONOMETRÍA

21.-Del gráfico adjunto hallar "h" en función de "" y "R".



____________________________

79

23.- De la figura, encontrar " Sen  ", sabiendo que O es centro de la circunferencia de radio R.

R

O

h

O R 

a) R  1  Tg   a) 1

b) R  1  Sen  

b)

c) R  1  Cos  

c)

d) R  1  Sen  

d)

e) R  1  Cos  

e)

22.- Calcular el lado del triángulo equilátero ABC en función de "", siendo "O" centro y r  1m .

3 1 2 1 4 1 5 1 6

24.- Calcular la altura del reservorio mostrado si se conoce "" (que es el que hace la pared del reservorio con la vertical), también  y d.

B H



M 

O

 d

r A

N

a) 1  Sec 

C

a) d  Tg   Ctg   b) d  Tg   Sec  

b) 1  Csc 

c) d  Tg   Ctg   1

c) 2  Csc 

d) d  Ctg   Tg  

d)

3  2  Sec  

e) 2 3  2  Csc   3


e) d  Ctg   Ctg   1

TRIGONOMETRÍA

25.- Jaimito curiosamente desde la parte superior del octavo piso de un edificio, observa a Juanita que se encuentra a 21 metros del edificio con un ángulo de depresión de 53º; luego se pregunta cuánto mide la altura de cada piso, si todos son iguales.

a) 4,5 m b) 3 m c) 2,5 m d) 3,5 m e) 5,5 m

26.- El ángulo de elevación de un edificio es de 22º30', nos acercamos una distancia "m" y el nuevo ángulo de elevación es de 45º. Hallar "m" si la altura del edificio es de 10 metros.

a) 10 m b) 20 m c) 10 2 m d) 10 3 m e) 20 2 m


____________________________

80

27.- Una niña observa la cabeza de su padre con un ángulo de elevación de 53º y los pies con un ángulo de depresión de 30º, si las cabezas de ambos están distanciados 10 metros. ¿Hallar en metros la estatua del padre?

a) b) c) d) e)

6  3  4 2  3  2 4  3  22  3   4 3  2

28.- Una niña colocada a la orilla de un río, ve un árbol plantado sobre la rivera opuesta bajo un ángulo de 60º, se aleja 40 metros y este ángulo no mide más de 30º. ¿Cuál es la altura del árbol?

a) 43,6 b) 30,6 c) 34,6 d) 36,4 e) 38,4

TRIGONOMETRÍA

29.- Una torre está al pie de una colina cuya inclinación con respecto al plano horizontal es de 15º. Una persona se encuentra en la colina a 12 metros de la base de la torre y observa la parte más alta de la torre con un ángulo de inclinación de 45º. ¿Cuál es la altura de la torre?

a) 15 m

____________________________

81

31.-Desde un punto en el terreno se observa una torre con un ángulo de elevación ""; desde la mitad de la distancia el ángulo de elevación es el complemento del anterior. Calcular " Tg  ".

a) Sen 

b) 4 6 m

b)

c) 14 m

c)

d) 6 6 m e) 5 6 m

d) e)

30.- Una persona de 1,75m de estatura observa un árbol con un ángulo de depresión de 30º su base y con un ángulo de elevación de 60º su parte superior. Calcular la altura del árbol.

a) 5,25m b) 3,50m c) 7m d) 3 3 m e) 7 3 m


4  Sen 6  Sec 4  Sec 3  Sen 3

32.- Para calcular la altura de una montaña, un topógrafo observa la parte más alta con un ángulo de elevación "" luego se aleja una distancia "d" y observa el mismo punto con un ángulo de elevación "", si la altura del teodolito es "h", halle la altura de la montaña.

a) dCtg       h b) d  Ctg   Ctg    h c) d  Ctg   Ctg    h d)

d h Ctg   Ctg 

e)

d h Ctg   Ctg 

TRIGONOMETRÍA

____________________________

82

33.- Dos edificios de alturas H y h están separados cierta distancia. Desde el punto más alto del edificio de altura H se observa a los puntos más alto y más bajo del otro edificio con un ángulos de depresión de 30º y 60º respectivamente. Halle H . h

35.- Una torre está al pie de una colina cuya inclinación con respecto al plano horizontal es de 15º. Una persona se encuentra en la colina a 12 metros de la base de la torre y observa la parte más alta de la torre con un ángulo de inclinación de 45º. ¿Cuál es la altura de la torre?

a) 3 2

b) 1 c) 2

d) 1

2 5 e) 2

34.- Un avión que se encuentra a una altura "H" sufre un desperfecto y cae a tierra siguiendo una trayectoria recta que hace un ángulo con respecto a la horizontal de16º; además, una persona en tierra observa la caída con un ángulo de 53º. Calcular la distancia del choque con respecto a la horizontal.

a) 15 m b) 4 6 m c) 14 m d) 6 6 m e) 5 6 m

36.- A qué altura sobre el nivel del mar se encuentra un observador que divisa una embarcación bajo un ángulo de depresión "". Calcule dicha altura en términos de "" y el radio terrestre "R".

a) R  Csc   1  a) 3H b) c) d) e)

4 5H 4 117H 28 25H 7 19H 4


b) R  1  Sen   c) R  1  Cos   d) R  Sec   1  e) R Tg 

TRIGONOMETRÍA

83

____________________________

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD

OBJETIVOS Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de: 1.

Identificar, ubicar y definir las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal en el plano cartesiano.

2.

Definir las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.

3.

Reconocer los ángulos cuadrantales y resolución de problemas.

4.

Reconocer los ángulos coterminales y definir sus razones trigonométricas.

CONTENIDO 3.1. Sistema de coordenadas rectangulares. 3.2.Ángulos en posición normal. 3.3.Ángulos cuadrantales. 3.4.Razones trigonométricas de ángulos en posición normal. 3.5.Signo de las razones trigonométricas. 3.6.Razones trigonométricas de los ángulos coterminales. 3.7.Razones trigonométricas de los ángulos cuadrantales. 3.8.Aplicaciones.


TRIGONOMETRÍA 3.1

____________________________

84

Sistema de coordenadas rectangulares. Es el sistema que consta de dos rectas dirigidas (rectas numéricas) las cuales se cortan perpendicularmente en el número cero. Estas dos rectas numéricas se denominan ejes coordenados. y

 O : Origen de coordenadas  X'X : Eje de abscisas

II C

 Y'Y : Eje de ordenadas  OX : Semieje positivo de las abscisas  OX’: Semieje negativo de las abscisas

x'

IC x

O III C

IV C

 OY : Semieje positivo de las ordenadas Y’

 OY’ : Semieje negativo de las ordenadas

Al plano que contiene estás rectas numéricas se el denomina plano cartesiano y, como se puede observar, está dividido en cuatro regiones, denominados cuadrantes (I, II, III, IV). Se denomina coordenadas de un punto "P" al par ordenado  x ; y  en donde "x" es la abscisa e "y" la ordenada dependiendo de estos valores se sabrá a que cuadrante pertenece. Así por ejemplo:

y

P(-3;2)

observa: x'

-3

Al dibujar el punto P(-3;2) se

2

O

x

-3 : abscisa 2 : ordenada Y’

entonces: P(-3;2)  IIC


TRIGONOMETRÍA

85

____________________________

Observaciones: A. Ubicación de un punto Dado P(x;y) Si: x  0 ; y  0 entonces P  al I C Si:

x  0 ; y  0 entonces P  al II C

Si:

x  0 ; y  0 entonces P  al III C

Si:

x  0 ; y  0 entonces P  al IV C

Casos particulares: Si: x  0 ; y  0 entonces P  al origen de coordenadas Si:

x  0 ; y  0 entonces P  al eje de ordenadas

Si:

x  0 ; y  0 entonces P  al eje de abscisas

Ejemplos: 1) Indicar a qué cuadrante pertenecen los siguientes puntos:  1 ; 3    2 ; 5 

  3 ;  3  2;  2   0 ; 5   2 ; 0  B. Punto medio de un segmento El punto medio de un segmento del cual se conocen las coordenadas de sus extremos se calcula de la siguiente manera: B  x2 ; y2  M x ; y

x  x2 x 1 2 y1  y2 y 2

A  x1 ; y1 

Ejemplo: Hallar el punto medio del segmento PQ si P  3;  2 y Q 11 ; 8 


TRIGONOMETRÍA

86

____________________________

C. Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos A y B se calcula se la siguiente manera:

B  x2 ; y2 

d

d

 x2  x1 2   y2  y1 2

A  x1 ; y1 

Ejemplos: Hallar la distancia entre los puntos M  2 ; 2 y M 3;3 D. Cálculo del radio vector (R) La distancia de un punto P  x ; y  al origen de coordenadas se denomina radio vector el cual siempre será positivo y se calcula de la siguiente manera: R

x2  y2

en donde "x" e "y" son las coordenadas del punto P.

Ejemplo:

Hallar el radio vector del punto R si sus coordenadas son  5 ;12


TRIGONOMETRÍA 3.2

87

____________________________

Ángulos en Posición Normal Se denominan ángulos en posición normal, a alguien cuyo lado inicial coincide con el semieje positivo de las abscisas, su vértice con el origen de coordenadas y su lado final se encuentra en cualquier parte del plano (cuadrantes o sobre los ejes coordenados). A estos ángulos también se les denomina ángulos en posición estándar. A continuación se muestra algunos ejemplos de ángulos en posición normal. y

y

 x

x 

  pertenece al II C

  pertenece al III C

y

y

 x

x 

 ....................................


  pertenece al IV C

TRIGONOMETRÍA 3.3

____________________________

88

Ángulos Cuadrantales Se denominan ángulos cuadrantales, a aquellos ángulos en posición normal cuyo lado final coincide con algún semieje del sistema de coordenadas rectangulares. A continuación se muestra algunos ejemplos de ángulos cuadrantales. y

y 



x

x

Como se puede observar, todos los ángulos cuadrantales son de la forma 90º k  , donde k pertenece a los números enteros. Los principales ángulos cuadrantales son: 0º  0 rad

;

90º 

 rad ; 2

180º   rad

; 270º 

3 rad 2

; 360º  2 rad

Para determinar si un ángulo es cuadrantal se hace lo siguiente: El ángulo dado "x" se divide entre 90º ó

 rad dependiendo si "x" está en 2

grados sexagesimales o en radianes. Si el resultado es un número entero, entonces, dicho ángulo "x" es cuadrantal. Ejemplo: Determinar si los siguientes ángulos cuadrantales o no, y graficarlos. a)   1440º

b)    810º

c)   750º


TRIGONOMETRÍA

____________________________

89

Observación: Ubicación de un ángulo en el plano cartesiano Para poder ubicar el cuadrante al que pertenece un ángulo tomaremos como referencia un punto del lado final del ángulo. Conociendo un punto del lado final del ángulo se puede determinar el cuadrante al cual pertenece dicho ángulo. Para ello debemos tener en cuenta la observación 1 dado anteriormente (ubicación de un punto). Ejemplos: A qué cuadrante pertenece el ángulo "" si su lado final contiene el punto (-3;1), graficar:

A qué cuadrante pertenece el ángulo "" si su lado final contiene el punto (0;-4), graficar:

3.4

Razones Trigonométricas de los Ángulos en posición normal Sea P  x; y  un punto que pertenece al lado final del ángulo "" (ángulo en posición normal) y OP  R  radio vector tal como muestra la figura. y P  x; y 

R

R : radio vector de "P" x : abscisa de "P" y : ordenada de "P"

R  O


x2  y2

x

TRIGONOMETRÍA

____________________________

90

Se definen las razones trigonométricas de "" de la siguiente manera: Sen  

y ordenada  radio vector R

Ctg  

abscisa x  ordenada y

Cos  

abscisa x  radio vector R

Sec  

radio vector R  abscisa x

Csc  

radio vector R  ordenada y

Tg  

ordenada y  abscisa x

IMPORTANTE: Los signos de las razones trigonométricas dependen de los signos de la abscisa y ordenada del punto P. Además el radio vector "R" siempre es positivo.

Ejemplos: Hallar las razones trigonométricas de normal) si su lado final pasa por el punto 2) Hallar las razones trigonométricas de normal) si su lado final pasa por el punto 1)

3.5

un ángulo "" (en posición   5;  12  . un ángulo "" (en posición  7; 24  .

Signos de las razones trigonométricas.

90º II cuadrante eno Cosecante (+)

I cuadrante todas son ositivas (+)

III cuadrante

IV cuadrante

T

C

S

180º

P

oseno Secante (+)

angente Cotangente (+) 270º


0º

TRIGONOMETRÍA

Cuadrantes

Razones

____________________________

91

IC

II C

III C

IV C

+ + + + + +

+ +

+ + -

+ + -

SENO COSENO TANGENTE COTANGENTE SECANTE COSECANTE

Ejemplos: 1) Hallar el signo de las siguientes expresiones, si ""  II C y ""  III C

3.6

A) P 

Sen   Cos  Tg 

B) R 

Sec   Csc  Ctg 

C) E 

Sec   Cos   1 Tg   Ctg 

Razones trigonométricas de los ángulos coterminales Si "" y "" son dos ángulos coterminales, cumplen con las siguientes propiedades:  Poseen los mismos elementos (vértice, lado inicial y lado final)  Se diferencian en un número entero de vueltas  Las razones trigonométricas de "" son iguales a las razones trigonométricas de "" es decir: R.T.     R.T.   

Ejemplos: Graficar y hallar las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: 1) Sen 390º

y

30º O 390º

x

En el gráfico se observa que los ángulos 390º y 30º son coterminales son coterminales debido a que se diferencian en 360º (1 vuelta); por lo tanto: Sen 390º  Sen 30º 1 Sen390º  2


TRIGONOMETRÍA

____________________________

92

2) Cos 780º

y

En el gráfico se observa que los ángulos 780º y  son coterminales son coterminales debido a que se diferencian en  ( vueltas); por lo tanto:

x

O

Cos 780º  

3.7

Razones trigonométricas de los ángulos cuadrantales A continuación se mostrará las razones trigonométricas de los ángulos cuadrantales más importantes:

Ángulos Razones SENO COSENO TANGENTE COTANGEN TE SECANTE COSECANT E 3.8

0º

90º

0rad

 rad 2

0 1 0

1 0

180º

270º

360º

 rad

3 rad 2

2 rad

-1 0



0 -1 0



0 1 0



0



0



1



-1



1



1



-1



Aplicaciones. a) Si: 12Sen   11 y   IIQ; calcular: 23Tg    Sec   Tg   Solución:

y

Por sabe se sabe: 11

12

Sen  



 23


x

11 y  ; 12 R

y  11 ;

Por Pitágoras: x   23

R  12

TRIGONOMETRÍA

____________________________

93

Reemplazando las razones trigonométricas de "" en la pregunta: 1   11    12   11    11    11  23     11          23      23   23  23    23   23   23   23   

b) Si: Cos  

1 4

y Sen   0 , hallar:

Sec   Csc  1  Ctg 

Solución: Como Cos  es    y Sen  es    entonces   IV C y



1 4

Por dato se sabe:

x

Cos  

 15

1 x  4 R

Por Pitágoras: y   15 Reemplazando las razones trigonométricas de "" en la pregunta: 4  1  4   4 1        1  15  15    4 1 1   1  1    15 15  

PROBLEMAS PROPUESTOS

2.- Dado: Sen   0,8 ; Tg   0 . Calcular: Sec  Tg 

1.- Dado: Cos   0, 666 ; Sen   0 . Hallar: Csc   Ctg  a)

5

b) 

5 5

c)  5 d) 2 5 e)

5 5


a)

1 3

b) -3 c) 3 d) 3 31 e) 

1 3

TRIGONOMETRÍA

____________________________

94

3.- Si:   III Q; Tg   0,333 . Hallar: Sen   Cos 

6.- De la figura, calcular: y

Sen  Sen 

 2x;2y 

a) 0,3 b) 0,666 c) 0,333 d) 1 e) 0,6

a) -1

 x; y 

 

b) 1

x

c) 2 d)

1 2

e) 0

2 4.- Si: Sen   ;   II Q. 3 2 Hallar: 2Ctg   7 Sec 

a) 3 b) 10 c) 7 d) 4 e) 9

7.- Si el punto A(-3 ; 2) pertenece al lado final del ángulo "" en posición normal. Calcular:

Cos   Tg 2  Ctg  Sec 

5.- De la figura, hallar: 13Sen   3Tg 

a) 

3 5

b) 

5 13

y

 5;12 

c)  x

a) 10 b) 12



 3; 4 

c) 14 d) 16 e) 18 DOCENTE: HARRY LUQUE LUQUE

6 11

6 13 6 e)  13

d)

TRIGONOMETRÍA

8.- De la figura, hallar: 5 Sen   Tg   1;2 

11.- Determinar el signo de: Cos390º  Ctg 460º J Sen2190º  Sec220º

y



a) 2

x

b) 4 c)

1 4

d)

1 2

____________________________

95

a) (  ) b) (  ) c) (  ) d) Absurdo e) (  ) ó (  )

e) 1 3 ; 2 , indicar el signo 2

12.- Si:   de:

9.- Hallar el valor de:  3 Sen  2Cos   Sec2  Sen 2 2

a) 0 b) 2 c) 1 d) 3 e) 1,5

Sen   Cos      Tg 2

a) (  ) b) (  ) c) (  ) d) Absurdo e) (  ) ó (  ) 13.- Determinar el signo de la expresión de la expresión,   III Q y   IV Q .

A 10.- Simplificar:

Sec  Cos 0   Sen  Sen  

a) Sen1 b) 0 c) 1 d) Sec1 e) -1


a) (  ) b) (  ) c) (  ) d) Absurdo e) (  ) ó (  )

Sen   Cos   Tg  Csc   Ctg 

TRIGONOMETRÍA

14.- Si:  y  ángulos coterminales del 5 IIIQ, además: Tg   12 Sen   Cos  Calcular: Sec  85 204 85 b) 169 204 c) 85

a)

17.- Si:

204 169

1

5  13Cos 

 1;

270º    360º . Hallar el valor de: Sec   Tg 

18.- Si:

Sen   15.- En la figura mostrada. Hallar:

Sen   Tg 

a) 0

1

a) 1 b) 7 c) 3 d) 9 e) 5

d) 1 e)

____________________________

96

  2  ; 4  . Calcular: Sec   Ctg 

y

x



a) 5 b)

b) 0,5

c)

c) 1

d)

d) 1,5

e)

e) 2

 

16.- Si: f     Sen  Cos

 

Hallar: f  1   f  2  a) 0 b) 2 c) 1 d) -2 e) -1


1 1 1 1 1 1      15 35 63 99 143 195

2 15 2 7 2 17 2 11 2

19.- Sabiendo que:

2 Tg   1

1  4 Tg    Sen   0 .   32  Calcular: R  13Sen   5 Ctg 

a) 3 b) 9 c) 5 d) 11 e) 7

TRIGONOMETRÍA

2.- En la figura mostrada calcule:

20.- Si: Tg   Tg  ; Sec    Sec  y

____________________________

97

Csc   3 .

3Sen   Tg   13Cos   Ctg 

Calcular: Tg   Sec  a) 6

a) 1 8 b) c) d) e)

y

 3; 4 



b) 8

3  8 1  8 1 4 3 8

x

c) -6 d) -8



 12; 5 

e) -10 3.- De la figura adjunta, Calcule: " Tg  "

a)

PROBLEMAS PROPUESTOS (II)

b) c)

1.- De la figura, calcule " Sec  "

3;5 

y

3 4 3 5 5 3



x

3 5 5  3

d)  e)

a)  5 5 b)  2

c)  10 d) 

y

 1;2 

4.- De la figura, calcule:



10 2

e)  2

x

E  Tg   Ctg   a  b;b 

a) b) c)

2 5 5 2 3 2

d) 2 e) 1


y

x 

 a; a  b 

TRIGONOMETRÍA

5.- De la figura mostrada, calcule:

8.- Si se sabe que: Csc   

3Sen   Cos 

3    2 . Calcule: 2

y

b)

x 2

c) -1

 a; a

d)  2

a) 24 b) 10 c) 15 d) 12 e) 20

2

e) 3

9.- Dado:     2

6.- Dada la siguiente figura, Halle: " Ctg ". 8 3 3 8 3  8 8 3 1 2

a)  b) c) d) e)

4 y 3

R  14 Tg 2   8 Sen 



a) 1

____________________________

98

 a  b;b 

y

Cos   0, 6 .

Calcule el valor de: J

8 24 16   Sen  Cos  Tg 

y

x 

 a; a  b 

7.- Si "" es un ángulo en posición normal del segundo cuadrante, donde: 3 Tg    . 2

a) 18 b) 17 c) 16 d) 19 e) 20

10.- Si: Ctg    2 y Sen   Sen  . Calcule:

M

Calcule: 3  13  Sen   Cos   a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 DOCENTE: HARRY LUQUE LUQUE

a) 0 b) -1 c) 2 d) 4 e) 3

5  Sen   Cos  

TRIGONOMETRÍA

____________________________

99

11.- Si: Si: Tg   Sec   2 ;  IIQ y Sec   Csc  IIQ . Calcular: R  Sen 

14.- Si "" es un ángulo del segundo cuadrante y valor

de

Ctg2  

a) 15 b)

15 2

c)

15 3

d)

15 4

e)

15 5

12.- Si: Sen   

Csc   10 . Luego el

"m"

2

m  Sen  m  Cos 2 

en

la

expresión:

es:

a) 1 b) -1 c) -2 d) 2 e) -3

15.- Siendo:

15 . Calcule: 17

3

E  Tg   Tg   Tg     

Tg  

5 Ctg  

Ctg 

  IIQ .

Calcule: 3Sen   2Cos 

y

a) 3,5



b) 3,75 c) -3,5

x 

d) -3,75

a) 0 b) 0,5 c) 1 d) 1,5 e) 2

e) -3,25 16.- Del gráfico, calcule " Ctg  ".

13.- Dado: Tg   0 y

Sen  

1 2

y

.

Calcule: E  Csc   3 Ctg 

b)

a) -1 b) 5 c) 1 d) 2 e) 3

c)


7 4 4  7 3  4 2  7 5  4

a) 

d) e)

37º

x 

TRIGONOMETRÍA

17.-

Dada

la relación: Sen  Cos   0 . Hallar el signo de la

expresión: Sen   Cos   Tg 

____________________________

100

20.- Dado: a  4  b Calcule el valor de:  a  b  2 Cos 0º   a  b  2 Sen 270º  a 3 Sen 540º 

a) (  ) b) (  ) c) (  ) d) (  ) ó (  ) e) Depende de ""

18.- Indicar el signo de: Tg     Sen  Cos   3   Sec   Csc  





 a 2 Csc 990º  b 2 Sec1080º  abSen 90º  b 3 Cos 540º

a) 0,5 b) 2 c) 0,25 d) 4 e) -0,25

21.- Reducir:

 a  b  2 Sen 450º  6ab Cos270º  4ab Cos 540º a 2 Cos 720º  b 2 Sen 810º  2abSen 630º

a) (  ) b) (  ) c) (  ) d) (  ) ó (  ) e) Depende de ""

19.- Indique la proposición verdadera (V) o falsa (F). I.

Sen 2  0

II.

Cos 3  0

III.

Tg 4  0

a) 1 b) 0 c) -1 d) 2 e) -2

22.- El lado final de un ángulo en posición normal "" pasa por el punto (-2 ; 3). Calcular: a) 7

2

b) 0 a) VVV b) VFF c) VFV d) FVV e) FFV DOCENTE: HARRY LUQUE LUQUE

c) 1

2 d) 5 2

e) 1

13  Sen  

Sec  13

TRIGONOMETRÍA

____________________________

101

23.- Siendo P(5, 3) un punto del lado

26.- Si: Sen   0, 3 y Cos   0 ;

final del ángulo "" en estándar. Hallar el valor de:

Calcular:

posición

2 2 Sec   Csc 

R  17  Cos   Sen    Ctg  2

2

a) 2 b) –2 c) 0 d) 6 e) –6

a) 19 b) c) d) e)

4 19 5 19 6 19 3 20 11

24.- Si: Sen   0, 96 y   II Q; hallar: E  Ctg   Sec   Tg 

c) d) e)

Se pide calcular: S  3Tg   11Sen  a) 0 b) 3 c) 8 d) 11 e) 113

a) 4 b)

27.- Si: Sec   3,6 y Tg   0

3 1 5 5 12 2 3 25  7

25.- Si: Tg   0, 3 ;   III Q, calcular: R

10  Sen   Cos  

a) 2 b) –2 c) 1 d) –1 e) 0


28.- Siendo "" un ángulo en posición normal:   IV Q que cumple: 41 Csc    9 Calcular: M

a) 6 b) 7 c) 5 d) 4 e) 3

 Cos   Sen  

41

Sec 60º

TRIGONOMETRÍA

1

29.- Si:

____________________________

102

1  5  13Cos 

1

2

Hallar: M  Sec   Tg  ;   IVQ. a) 1

5

32.- Si: 6Sen x  Sen x  1 ; x  IIIQ. Calcular: J  Ctg x  4 Cos x a) 2 2

b) 5

3

c)  1

b)  2 2

d) –5 e) 1

c) 2 2

5

30.-

3

Si:



III



Q

tal

que:

2

d) 1 e) 0

7

2Sen   1 

33.- Si:

1  Ctg   8 3

Calcular:  8Sec   .

a) 8

3

3 b) 8

63

63

3 c) 8

63

3 d)  8

3 63

e) 

8

63 63

2

4 Sen   13Sen   3  0 ;   III Q

Calcular el valor de: 1 M Ctg   Cos  15

a) 1

c) d) e)

2

2

1

1

2 1

y además:   II Q; Hallar " Tg  ". a) 1 b) –1 c) –2 d) 1 e) 2

6

31.- Siendo:

b)

1

2 1 3 1 4 1 5 1 6


34.- Si:     

  Cos    2

siendo:

7

b)  4 7 7 7 c)  27

d)  27 7 8

7

1

2    Sen      Cos  

3    2 . Luego el valor de: 2 " Ctg   Cos  " es:

a)  7

e)

1 1 2 1 2  2

TRIGONOMETRÍA

35.- Si:   II Q y se cumple que: 4 3

Tg  

____________________________

103

 5 Ctg  

Ctg 

Calcular: K  Sec   Tg 

38.- Evaluar:

Sen 810º  2Cos 540º  3Tg1440º

a) 5 b) 1 c) 3 d) –3 e) –2

a) 5 b) –5 c) 3 d) –3 e) 25

39.- Hallar:

2 2 " Tg "; si:

3Sen 90º  2Cos180º  Sen 270º 4 Cos360º  5 Cos180º  2Sen 90º

Sen   36.- Sabiendo que:  Sen  

Indicar

un

valor

de:

  2

a)  3 b) 1 c)  2

a) 1

7 b) 1 2 4 c) 7

d) 3 e) –1

d)  15 15 1 e)  2

40.- Simplificar la expresión: 3

37.- Calcular:

Sen   Sec 0  Ctg270º  Sec   Csc 90º  Cos   Tg180º  Cos 2

a) 1 b) –1 c) 2 d) –2 e) 0


3

2

a  b Cos  2 2  3 3 2 a Sen  abSen  b Cos  2 2

a) b) c) d) e)

ab ab 3

3

3

3

2

2

a b

a b

a  b  ab

TRIGONOMETRÍA

41.- Si: L  Cos 0  Sen 90º

3 2 g V  3Sec 400  6Cos   Sen 0  M  Cos   2Sen

Hallar: R 

L

M

V

a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 5

44.- El ángulo que no es coterminal a (-10º) es: a) –730º b) 1070º c) 350º d) 1420º e) 710º

24.- Dos ángulos coterminales están en la relación de 2 a 7. La diferencia de ellos es mayor de 1200º pero menor que 1500º. Hallar los ángulos.

42.- Dado: f x 

____________________________

104

Sen2x  Sen 4x  Sen 6x Cos2x  Cos 4x  Tg x  4Sec 4x

  ". 4

 Hallar: " f 

a) 1440º y 576º b) 2016º y 216º c) 1656º y 576º d) 2016º y 576º e) 2136º y 576º

a) 1

b) 1

2

c) –1 d) –2 e) – 1

2

43.- Simplificar "F", si 2x   y F

a) b) c) d) e)

2

2

a Sen x  b Sec 4x  ab  Cos2x  1  2  a  bSec2x   3b Cos 0º  a Sec2x

 ab

2 a  b 3ab ab 2

a b

2


25.- Dos ángulos coterminales se encuentran en una relación de 4 es a 3. Si el mayor de ellos es menor que 2900º pero mayor que 1860º, ¿en cuánto excede el mayor al menor? a) 720º b) 1080º c) 360º d) 1440º e) 1800º

Texto de Trigonometría para secundaria

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