Teorías de Colas Investigacion de Operaciones ll

UNIVERSIDAD DR. JOSÉ MATÍAS DELGADO FACULTAD DE INGENIERÍA

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II ING. RENE HERNÁN LINARES SILVA SECCIÓN 2-2 CICLO 01-2016

INVESTIGACIÓN BIBLIOGRÁFICA

SISTEMAS DE COLAS Integrantes de grupo: Escalante Membreño Jaime Rolando

2012-02821

Grijalva Barrientos Andrés Armando Machuca Flores Edgar Rolando

2009-01557 2006-02453

Fecha de Entrega jueves 11 de Febrero de 2016



INTRODUCCIÓN

La teoría de colas es el estudio matemático de las colas o líneas de espera. La formación de colas es, por supuesto, un fenómeno común que ocurre siempre que la demanda efectiva de un servicio excede a la oferta efectiva.

Con frecuencia, las empresas deben tomar decisiones respecto al caudal de servicios que debe estar preparada para ofrecer. Sin embargo, muchas veces es imposible predecir con exactitud cuándo llegarán los clientes que demandan el servicio y/o cuanto tiempo será necesario para dar ese servicio; es por eso que esas decisiones implican dilemas que hay que resolver con información escasa. Estar preparados para ofrecer todo servicio que se nos solicite en cualquier momento puede implicar mantener recursos ociosos y costos excesivos. Pero, por otro lado, carecer de la capacidad de servicio suficiente causa colas excesivamente largas en ciertos momentos. Cuando los clientes tienen que esperar en una cola para recibir nuestros servicios, están pagando un coste, en tiempo, más alto del que esperaban. Las líneas de espera largas también son costosas por tanto para la empresa ya que producen pérdida de prestigio y pérdida de clientes.

La teoría de las colas en si no resuelve directamente el problema, pero contribuye con la información vital que se requiere para tomar las decisiones concernientes prediciendo algunas características sobre la línea de espera: probabilidad de que se formen, el tiempo de espera promedio.

Pero si utilizamos el concepto de "clientes internos" en la organización de la empresa, asociándolo a la teoría de colas, nos estaremos aproximando al modelo de organización empresarial "just in time" en el que se trata de minimizar el costo asociado a la ociosidad de recursos en la cadena productiva.

.

INVESTIGACION DE OPERACIONES II

1



ÍNDICE Págs.



INTRODUCCIÓN

1



OBJETIVOS

3



SISTEMAS DE COLAS

4



NOTACIÓN GENERAL DE LA SITUACIÓN GENERAL DE COLAS

5



MEDIDAS DE RENDIMIENTO DE ESTADO ESTABLE  EJEMPLOS

7 8



MODELOS DE UN SOLO SERVIDOR

10



MODELOS DE UN SOLO SERVIDOR (M/M/1) : (GD/∞/∞)  EJEMPLOS MODELO DE UN SOLO SERVIDOR (M/M/1) : (GD/N/∞)  EJEMPLOS

11 12 15 16



MODELOS DE SERVIDORES MULTIPLES

19



MODELO DE SERVIDORES MULTIPLES (M/M/c) : (GD/∞/∞)  EJEMPLOS MODELO DE SERVIDORES MULTIPLES (M/M/c) : (GD/N/∞)  EJEMPLOS MODELO DE SERVIDORES MULTIPLES (M/M/∞) : (GD/∞/∞)  EJEMPLOS MODELO DE SERVICIO DE MAQUINAS (M/M/R) : (GD/K/K)  EJEMPLOS FORMULA POLLACZEEK-KHINTCHINE (P-K) (M/G/1) : (GD/∞/∞)  EJEMPLOS

19 20 24 25 28 29 32 33 36 37



CONCLUSIONES

39



BIBLIOGRAFÍA

40



ANEXOS

41



   


2



OBJETIVOS

General: Realizar una investigación bibliográfica sobre Teoría de colas y determinar cómo ayuda este sistema a mejorar el rendimiento en diferentes campos de operaciones industriales.

Especifico: 

Identificar los diferentes modelos empleados al estudio de colas.



Establecer criterios básicos sobre el sistema de colas.



Conocer los métodos matemáticos utilizados en la resolución de problemas de sistemas de colas.



Evaluar cada modelo con el fin de resolver diferentes tipos de problemas.


3



SISTEMAS DE COLAS

Una cola o línea de espera es el efecto resultante en un sistema, cuando la demanda de un servicio supera la capacidad de proporcionar dicho servicio. La teoría de colas es un conjunto de modelos matemáticos que describen sistemas particulares de líneas de espera. Tanto el ritmo de llegadas al sistema por unidad de tiempo, como el tiempo de servicio, son variables con un patrón aleatorio, de tal forma que se hace necesaria la utilización de modelos estocásticos que permitan el estudio de este tipo de sistemas. La teoría de colas es la rama de la investigación operativa que estudia las listas de espera (retardo/congestión). Un sistema de colas está formado por un origen de usuario, una cola de espera y posibilidades de servicio con uno o varios servidores paralelos idénticos. La red de colas es un conjunto de sistemas de colas conectados entre sí. Parámetros básicos de un sistema de colas:  Tasa de demanda  Capacidad (tasa de servicio)  Tiempos de demanda entre llegadas  Tiempos de servicio capacidad  Disciplina de la cola Estos modelos se usarán para responder preguntas como las siguientes:  ¿Cuánto tiempo está ocioso cada servidor?  ¿Cuál es el número esperado de clientes presentes en la cola?  ¿Cuál es el tiempo previsto que un cliente debe pasar en la cola?  ¿Cuál es la distribución de probabilidad del tiempo de espera de un cliente?  ¿Cuál es la distribución de probabilidad de la cantidad de clientes presentes en la cola?


4

NOTACIÓN GENERAL DE LA SITUACIÓN GENERAL



DE COLAS

La cantidad de clientes en el sistema se define para incluir los que están en el servicio y los que están en la cola. En cuanto a terminología, el estándar en la Teoría de Colas es el siguiente. Estado del sistema Longitud de la cola

= =

Número de clientes en el sistema Número de clientes que esperan servicio

N(t)

= número de clientes en el sistema de colas en el tiempo t probabilidad de que exactamente n clientes estén en el sistema en el Pn (t) = tiempo “c” ó “s” = servidores paralelos tasa media de llegadas de nuevos clientes cuando hay n clientes en el λn = sistema por unidad de tiempo tasa media de clientes en todo el sistema cuando hay n clientes en el µn = sistema por unidad de tiempo (tasa combinada de todos los servidores) Cuando estas tasas medias son constantes para toda n, pasan a denominarse λ y µ µn

= µ*c para n ≥ c

𝟏 𝛌

= tiempo esperado entre llegadas

𝟏 µ

= tiempo esperado de servicio

𝛌 𝐜µ

= Factor de utilización de la instalación del servicio

𝛒 =

Representación esquemática de un sistema de colas con c servidores paralelos:


5

La figura ilustra la situación de colas de Poisson especializadas con c servidores paralelos. Se selecciona un cliente de la cola para iniciar el servicio con el primer servidor disponible. La tasa de llegadas al sistema es de clientes por unidad de tiempo. Todos los servidores paralelos son idénticos, es decir que la tasa de servicio de cualquier servidor es de m clientes por unidad de tiempo. La cantidad de clientes en el sistema se define para incluir los que están en el servicio y los que están en la cola. Una notación conveniente para resumir las características de la situación de colas de la figura se da mediante el siguiente formato:

(a/b/c) : (d/e/f) Notación de Kendall Donde: a b c d e f

= = = =

Distribución de las llegadas Distribución de las salidas (tiempo de servicio) Cantidad de servidores paralelos (= 1,2,…,∞) Disciplina en las colas Número máximo (finito o infinito) permitido en el sistema (haciendo cola = o en servicio) = Tamaño de la fuente solicitante (finita o infinita)

La notación estándar para representar las distribuciones de las llegadas y salidas (símbolos a y b) es: Distribución markoviana (o de Poisson) de llegadas y salidas (o de forma M = equivalente distribución exponencial del tiempo entre llegadas y de servicio) D = Tiempo constante (determinístico) Distribución Erlang o gama del tiempo (o de forma equivalente, la suma Ek = de distribuciones exponenciales independientes) GI = Distribución general (genérica) del tiempo entre llegadas G = Distribución general (genérica) del tiempo de servicio La notación para la disciplina en colas (símbolo d) incluye FCFS = Primero en llegar, primero en ser servido LCFS = Último en llegar, primero en ser servido SIRO = Servicio en orden aleatorio GD = Disciplina general (es decir, cualquier tipo de disciplina) Para ilustrar el uso de la notación, el modelo (M/D/10): (GD/20/∞) utiliza llegadas Poisson (o tiempo entre llegadas exponencial), tiempo de servicio constante, y 10 servidores paralelos. La disciplina en colas es GD, y hay un límite de 20 clientes en todo el sistema. El tamaño de la fuente de donde llegan los clientes es infinito. INVESTIGACION DE OPERACIONES II

6



MEDIDAS DE RENDIMIENTO DE ESTADO ESTABLE

Las medidas de desempeño más comúnmente utilizadas en una situación de colas son: Ls

= Cantidad esperada de clientes en un sistema Ls  effecWs effec L s  Lq 



Lq

= Cantidad esperada de clientes en una cola

Lq  effecWq Wq Ws

= Tiempo de espera anticipado en la cola = Tiempo de espera en el sistema Ws  Wq 

1



c = Cantidad esperada de servidores ocupados La diferencia entre la cantidad promedio en el sistema, L s, y la cantidad promedio en la cola, Lq debe ser igual al promedio de servidores ocupados. Por lo tanto: effec c  L s  Lq   Se deduce que c Uso de la instalación  c = Factor de utilización de la instalación del servicio 𝛒 𝛒 =

𝛌 𝐜µ

𝐏𝐎 = 𝟏 − 𝛒 ; 𝛒 < 𝟏 𝐏𝐧 = 𝛒𝐧 ∗ 𝐏𝐨 ; 𝛒 < 𝟏 , n = 0, 1, 2, …


7

EJEMPLO 01 Suponga una estación de gasolina a la cual llegan en promedio 45 clientes por hora. Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora. Se sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola. Solución: La tasa media de llegadas  es 45 clientes por hora o 45/60 = 0.75 clientes por minuto La tasa media de servicio  es 60 clientes por hora o 60/60 = 1 cliente por minuto Wq  3 min 1  3   4 min 1  Ls  Ws  0.75  4  3 clientes Ws  Wq 

1

Lq  Wq  0.75  3  2.25 clientes

El factor de utilización del sistema si se mantuviera un servidor es  = / = 0.75/1 = 0.75 = 75% Con dos servidores (s = 2):  = /s = 0.75/(2*1) = 0.75/2 = 37.5%

EJEMPLO 02 Suponga un restaurante de comidas rápidas al cual llegan en promedio 100 clientes por hora. Se tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por hora. Se sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la cola. Calcule las medidas de desempeño del sistema. Solución: La tasa media de llegadas  es 100 clientes por hora o 100/60 = 1.67 clientes por min La tasa media de servicio  es 150 clientes por hora o 150/60 = 2.5 cliente por minuto Wq  2 min 1  5.5 min 2.5  Ls  Ws  1.67  5.5  9.185clientes W s  Wq 

1

 2

Lq  Wq  1.67  2  3.34 clientes


8

El factor de utilización del sistema si se mantuviera un servidor es  = / = 1.67/2.5 = 0.668 = 66.8% Con dos servidores (s = 2):  = /s = 1.67/(2*2.5) = 0.334 = 33.4%

EJEMPLO 03 Suponga un Call Center el cual atiende en promedio 79 llamadas por minuto Se tiene capacidad para atender en promedio a 125 llamadas por minuto Se sabe que los clientes esperan en promedio 7 segundos en la cola. Calcule las medidas de desempeño del sistema. Solución: La tasa media de llegadas  es 79 llamadas por minuto o 79/60 = 1.32 llamadas por seg La tasa media de servicio  es 125 llamadas por minuto o 125/60 = 2.08 llamadas por seg Wq  7 seg 1  7.48seg 2.08  Ls  Ws  1.32  7.48  9.87 llamadas Ws  Wq 

1

 7

Lq  Wq  1.32  7  9.24 llamadas

El factor de utilización del sistema si se mantuviera un servidor es  = / = 1.32/2.08 = 0.635 = 63.5% Con dos servidores (s = 2):

 = /s = 1.32/(2*2.08) = 0.317 = 31.7%


9



MODELOS DE UN SOLO SERVIDOR

Este modelo se trata solo de un servidor es decir c=1. Se hablaran de dos casos posibles:  

El primer caso no limita el número máximo en el sistema (M/M/1) : (GD/∞/∞) El segundo caso supone un numero finito en el sistema (M/M/1) : (GD/N/∞)

Ambos modelos suponen una capacidad infinita de la fuente es decir que siempre será abundante. En ambos las llegadas ocurren a razón de λ clientes por unidad de tiempo y con una tasa de servicio de µ clientes por unidad de tiempo. Los resultados de los dos modelos (y de hecho de todos los modelos restantes en la se derivan como casos especiales de los resultados del modelo generalizado. Se utilizará la notación ampliada de Kendall para caracterizar cada situación.


10



MODELOS DE UN SOLO SERVIDOR (M/M/1) : (GD/∞/∞)

Partiendo del modelo general, se tiene:

𝝀𝒏 = 𝝀 𝝁𝒏 = 𝝁 Como el número máximo permitido en el sistema es finito

𝝀𝒆𝒇𝒇𝒆𝒄 = 𝝀

𝒚

𝝀𝒑𝒆𝒓𝒅𝒊𝒅𝒂 = 𝟎

Las medidas de desempeño más comúnmente utilizadas en una situación de colas son: Ls

= Cantidad esperada de clientes en un sistema  Ls  1 

Lq

= Cantidad esperada de clientes en una cola Lq   W q 

Wq

= Tiempo de espera anticipado en la cola Wq  WS 

Ws

2 1 

1





  (1   )

= Tiempo de espera en el sistema 1 Ws   

c

= Cantidad esperada de servidores ocupados c  L s  Lq  

𝛒

= Factor de utilización de la instalación del servicio

ρ=λ/μ 𝑷𝑶 = 𝟏 − 𝝆 ; 𝝆 < 𝟏 𝑷𝒏 = (𝟏 − 𝝆) 𝝆^𝒏 ; 𝝆 < 𝟏 , 𝒏 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, …


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EJEMPLO 01 Un restaurante de comida rápida tiene una ventanilla para servicio en su auto. Los autos llegan según una distribución de Poisson a razón de 2 cada 5 minutos. El espacio enfrente de la ventanilla puede acomodar a lo sumo 10 autos, incluso el que se está atendiendo. Los demás autos pueden esperar afuera de este espacio si es necesario. El tiempo de servicio por cliente es exponencial, con una media de 1.5 minutos. Determine lo siguiente: Solución: (M/M/1) : (GD/∞/∞) 𝟐𝒂𝒖𝒕𝒐𝒔 𝝀 = 𝟓𝒎𝒊𝒏 = 𝟎. 𝟒 autos/min 𝝁 = 𝟎. 𝟔𝟔𝟔 autos/minutos 𝝀𝒆𝒇𝒆𝒄 = 𝝀 = 𝟎. 𝟒 autos/min 𝟎.𝟒

𝝆 = 𝟎.𝟔𝟔𝟔 = 𝟎. 𝟔𝟎𝟎𝟔 (𝝆 cumple la condición < 1 por lo tanto el sistema puede operar en condiciones de estado estable) λ 0.4

µ 0.666

c 1

Límite del sistema Infinito

Límite de la fuente Infinito

a) La probabilidad de que la ventanilla este ociosa. Po = 1 – ρ Po = 1 – 0.60 Po = 0.4 ó 40% b) La cantidad estimada de clientes que esperan ser atendidos Lq = Cantidad esperada de clientes en una cola 𝑳𝒒 =

𝝆𝟐 (𝟏−𝝆)

= 0.9 autos

c) El tiempo de espera hasta que un cliente llega a la ventanilla para hacer su pedido Wq = Tiempo de espera anticipado en la cola 𝝆 𝑾𝒒 = = 𝟐. 𝟐𝟓𝟐𝟐𝟓 𝝁(𝟏 − 𝝆)

n 0 1 2 3 4 5

d) La probabilidad de que la línea de espera exceda la capacidad de 10 espacios Probabilidad Probabilidad Probabilidad Pn n Probabilidad Pn Acumulada Acumulada 0.4000 0.4000 6 0.0186 0.9720 0.2400 0.6400 7 0.0112 0.9832 0.1440 0.7840 8 0.0067 0.9899 0.0864 0.8704 9 0.0040 0.9939 0.0518 0.9222 10 0.0024 0.9963 0.0311 0.9533

P𝑛 ≥ 11 = 1 - P10 = 1 - 0.9963 = 0.0036 para que la línea exceda de espacio


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EJEMPLO 02 John Macko estudia en la U de Ozark. Realiza trabajos peculiares para complementar sus ingresos. Las solicitudes para que realice un trabajo llegan cada 5 días, pero el tiempo entre solicitudes es exponencial. El tiempo para terminar un trabajo también es exponencial con media de 4 días. Solución: (M/M/1) : (GD/∞/∞) La tasa media de llegadas λ=1/5 trabajos/día La tasa media de servicio μ=1/4 trabajos/día ρ=λ/μ = (1/5)/(1/4) = 0.8 a) ¿Cuál es la probabilidad de que John se quede sin trabajos? Tomando en cuenta que si: ρ<1 → Po = 1 – ρ Po = 1 – ρ Po = 1 - 0.8 Po = 0.2 o 20% b) Si John gana aproximadamente $50 por trabajo, ¿cuál es su ingreso mensual promedio? Considerando que le pagan después del trabajo realizado. μ es la tasa promedio de trabajo realizado entonces: μ es la tasa promedio de trabajo = (30dias) * (1/4 trabajos / días) * ($50) μ es la tasa promedio de trabajo = $375 en 1 mes si la tasa de trabajo de entrada y salida se mantiene constante c) Si al final del semestre John decide subcontratar los trabajos pendientes a $40 cada uno, ¿cuánto, en promedio, debe esperar que le paguen? Lq = Cantidad esperada de trabajos en cola 𝑳𝒒 =

𝝆𝟐 (𝟏−𝝆)

= 3.2 trabajos

Si se pagara $40 por cada trabajo en cola (3.2 trabajos) se pagara $128 en promedio


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EJEMPLO 03 Durante años, el detective Columbo, del Departamento de Policía de Fayetteville, ha tenido un éxito fenomenal al resolver todos los casos criminales. Es sólo cuestión de tiempo antes de que cualquier caso se resuelva. Columbo admite que el tiempo por caso es “totalmente aleatorio”, pero, en promedio, cada investigación le lleva aproximadamente una semana y media. Los crímenes en el tranquilo Fayetteville no son muy comunes. Ocurren al azar a razón de un crimen por mes (4 semanas). El detective Columbo está solicitando que un asistente comparta la pesada carga de trabajo. Analice la petición de Columbo, en particular desde la perspectiva de los siguientes puntos: Solución: (M/M/1) : (GD/∞/∞) La tasa media de llegadas λ=1/4 crimen/semana La tasa media de servicio μ=1/1.5 crimen/semana ρ=λ/μ = (1/4)/(1/1.5) = 0.38 a) El promedio de casos en espera de ser investigados Lq = Cantidad esperada de trabajos en cola 𝑳𝒒 =

𝝆𝟐 (𝟏−𝝆)

= 0.23 casos en espera de ser investigados

b) El porcentaje del tiempo que el detective permanece ocupado

𝑷𝑶 = 𝟏 − 𝝆 Po = 0.62 Pn = 1 – Po Pn = 0.38 ó 38% de 1 semana c) El tiempo promedio necesario para resolver un caso T1  WS  Wq T1  T1 

1       (1   )

1



0.38

=1.5 1 1 1  (1  0.38) 1 .5 4 1 .5 Solución 1 caso en 1.5 semanas


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

MODELO DE UN SOLO SERVIDOR (M/M/1) : (GD/N/∞)

Este modelo difiere de (M/M/1):(GD/∞/∞) en que hay un límite N en el número en el sistema (longitud máxima de la cola = N - 1). Algunos ejemplos incluyen situaciones de manufactura en las que una máquina puede tener un espacio intermedio limitado y una ventanilla de servicio en su coche en un restaurante de comida rápida. No se permiten nuevas llegadas cuando la cantidad de clientes en el sistema llega a N. Por lo tanto: No se permiten nuevas llegadas cuando la cantidad de clientes en el sistema llega a N. Por lo tanto 𝛌𝒏 = 𝛌 ; n = 0, 1,…., N-1 𝛌𝒏 = 𝟎 ; n = N, N+1 𝝁𝒏 = 𝝁 ; n = 0, 1, 2,… 𝛌

Utilizando 𝝆 = 𝝁 el modelo generalizado:

𝟏−𝝆 ; 𝝆≠𝟏 𝟏 − 𝝆𝑵+𝟏 𝟏−𝝆 𝑷𝑶 = ; 𝝆=𝟏 𝟏 − 𝝆𝑵+𝟏 𝑷𝑶 =

𝑷𝒏 = 𝝆𝒏 ∗ 𝑷𝒐; 𝒏 ≤ 𝑵 𝑷𝒏 = 𝟎; 𝒏 > 𝑵 𝟏−𝝆 𝑷𝒏 = ∗ 𝝆𝒏 𝑵+𝟏 𝟏−𝝆 𝛌

El valor de 𝝆 = 𝝁 no tiene que ser menor que 1 en este modelo, porque el limite N controla las llegadas al sistema. Esto significa que 𝛌𝒆𝒇𝒆𝒄 es la tasa que importa en este caso.

𝛌𝒆𝒇𝒆𝒄 = 𝛌 − 𝛌𝒑𝒆𝒓𝒅𝒊𝒅𝒂 Ls

𝛌𝒑𝒆𝒓𝒅𝒊𝒅𝒂 = 𝛌𝝆𝑵 = 𝛌(𝟏 − 𝝆𝑵 ) se dice entonces 𝛌𝒆𝒇𝒆𝒄 < 𝝁

= Cantidad esperada de clientes en un sistema

𝑳𝒔 =

𝝆[𝟏−(𝑵+𝟏)𝝆𝑵 +𝑵𝝆𝑵+𝟏 ] (𝟏−𝝆)(𝟏−𝝆𝑵+𝟏 )

siempre que p sea distinto de 1


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EJEMPLO 01 Los pacientes llegan a la clínica de un médico de acuerdo con una distribución de Poisson a razón de 20 pacientes por hora. La sala de espera no puede acomodar más de 14 pacientes. El tiempo de consulta por paciente es exponencial, con una media de 8 minutos Solución: (M/M/1):(GD/15/∞) λ = 20 pacientes/hora 𝜇 = 7.5 pacientes/hora 20

𝜌 = 7.5 = 2.666 , N=14+1=15 𝜌15 =

(1−𝜌)𝜌𝑛 1−𝜌𝑁+1

= 0.6249

λ𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎 = λ𝜌𝑁 = 12.498 λ𝑒𝑓𝑒𝑐 = λ(1 − 𝜌15 ) = 7.5 𝐿𝑠 = 𝑊𝑠 =

𝜌[1−(𝑁+1)𝜌𝑁 +𝑁𝜌𝑁+1 ] (1−𝜌)(1−𝜌𝑁+1 ) 𝐿𝑠 λ𝑒𝑓𝑒𝑐

= 14.3997

= 1.9199 1

𝑊𝑞 = 𝑊𝑠 − 𝜇 = 1.7866 𝐿𝑞 = 7.5(1.7866) = 13.3997 n

Probabilidad n

0

0

Probabilidad Acumulada 0

n

Probabilidad n

8

0.00065

Probabilidad Acumulada 0.00103

1

0

0

9

0.00174

0.00277

2

0

0

10

0.00463

0.0074

3

0

0.00001

11

0.01236

0.01976

4

0.00001

0.00002

12

0.03296

0.05272

5

0.00003

0.00005

13

0.08789

0.14061

6

0.00009

0.00014

14

0.23438

0.37499

7

0.00024

0.00038

15

0.625

0.99999

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente que llegue no espere? 𝝆𝟎 = 𝟎 que un paciente que llegue no espere. b) ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente que llegue encuentre un asiento en la sala? 𝝆𝑵 ≤ 𝟏𝟒= 𝝆𝟎 + 𝝆𝟏 + 𝝆𝟐 + ⋯ + 𝝆𝟏𝟒 = 𝟎. 𝟑𝟕𝟓 que un paciente que llegue encuentre asiento. INVESTIGACION DE OPERACIONES II

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c) ¿Cuál es el tiempo total esperado que un paciente pasa en la clínica? 𝑾𝒔 = 𝟏. 𝟗𝟏𝟗𝟗 horas que pasa un paciente esperando en la clínica.

EJEMPLO 02 En una peluquería hay un peluquero y un total de 10 asientos. Los tiempos de llegada tienen distribución exponencial, y llega un promedio de 20 clientes posibles por hora. Los que llegan cuando la peluquería está llena no entran. El peluquero tarda un promedio de 12 minutos en atender a cada cliente. Los tiempos de corte de pelo tienen distribución exponencial. Solución: (M/M/1):(GD/10/∞) a) En promedio ¿Cuántos cortes de pelo hará el peluquero? Una fracción de P10 de las llegas encuentra que la peluquería está llena. Por lo tanto, entrará a ella un promedio de λ(1-P10) por hora. Todos los clientes que desean que se les corte el cabello, y por lo tanto, el peluquero hará un promedio de λ(1-P10) cortes por hora. N = 10 , λ = 20 clientes por hora y µ = 5 clientes/hora. Entonces 𝜌 = 20/5 = 4

𝑃𝑛 =

1−𝜌 ∗ 𝜌𝑛 𝑁+1 1−𝜌

donde n = 1,2,....m Sustituyendo datos P10 = 0.75 Así, los cortes de pelo son en promedio 20(1-0.75) = 5 cortes/hora. b) En promedio ¿Cuánto tiempo pasará un cliente en la peluquería, cuando entra? Para calcular W = Ls/(λ(1-Pn)) 𝐿𝑠 =

𝐿𝑠 =

𝜌[1 − (𝑁 + 1)𝜌𝑁 + 𝑁𝜌𝑁+1 ] (1 − 𝜌)(1 − 𝜌𝑁+1 )

4[1 − (10 + 1)410 + 10𝑥410+1 ] = 9.67 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 (1 − 4)(1 − 𝜌1010+1 )

W = 9.67 / (20(1-0.75)) = 1.93 horas


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EJEMPLO 03 Una instalación de servicio consiste de una persona que puede atender un promedio de 2 clientes/h. Los tiempos de servicio son exponenciales. Llega un promedio de 3 clientes por hora, y se supone que los tiempos entre llegadas son exponenciales. La capacidad del sistema es de 3 clientes. Solución: (M/M/1):(GD/3/∞) λ=3clientes/hora μ=2clientes/hora N=3 p=3/2=1.5 a) En promedio, ¿Cuántos clientes potenciales entran al sistema cada hora?

1−𝜌 ∗ 𝜌𝑛 𝑁+1 1−𝜌 1 − 1.5 𝑃3 = ∗ 1.53 = 0.4154 3+1 1 − 1.5 𝑃𝑛 =

λ = λ (1-Pm) = λ(1-P3) = 3(1-0.4154) = 1.75 clientes por hora. b) ¿Cuál es la probabilidad de quien atiende esté ocupado? La probabilidad que este ocupado es Pocupado = 1-Po

1−𝜌 1 − 𝜌𝑁+1 1 − 1.5 𝑃0 = = 0.123 1 − 1.54 𝑃0 =

Por lo tanto que este ocupado es 1-0.123 = 0.876 Estará ocupado el 87.6% del tiempo


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

MODELOS DE SERVIDORES MULTIPLES

Esta sección considera tres modelos de colas con varios servidores paralelos. Los primeros dos modelos son las versiones de varios servidores. El tercer modelo trata el caso del autoservicio, el cual equivale a tener una cantidad infinita de servidores paralelos.

MODELO DE SERVIDORES MULTIPLES



(M/M/c) : (GD/∞/∞)

Este modelo se ocupa de c servidores paralelos idénticos. La tasa de llegadas es λ y la tasa de servicio por servidor es μ. En esta situación λefec = λ porque no hay límite en el número presente en el sistema. El efecto de utilizar c servidores idénticos paralelos es un incremento proporcional de tasa de servicio de la instalación. En términos del modelo generalizado λn y μn se definen por lo tanto como:

Así que:

𝛌

Si 𝝆 = 𝝁 y suponiendo que

𝝆 𝒄

≤ 𝟏el valor de Po se determina a partir de ∑∞ 𝒏=𝟎 𝑷𝒏 = 𝟏 la

cual da:


19

La expresión para Lq se determina como sigue:

Como 𝜆𝑒𝑓 = 𝜆 , entonces:

𝐿𝑠 = 𝐿𝑞 + 𝜌 Los valores de 𝑊𝑠 y 𝑊𝑞 se pueden determinar dividiendo 𝐿𝑠 y 𝐿𝑞 entre λ

EJEMPLO 01 Una pequeña oficina de correos tiene dos ventanillas abiertas. Los clientes llegan siguiendo una distribución de Poisson con la frecuencia de 1 cada 3 minutos. Sin embargo, solo el 80% de ellos deben ser atendidos en las ventanillas. El tiempo de servicio por cliente es exponencial, con 5 minutos de promedio. Así, ese 80% de los clientes que llegan se forman en una cola y llegan a las ventanillas disponibles en disciplina PLPS. Solución: (M/M/2):(GD/∞/∞) 𝟔𝟎 𝒄𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝟔𝟎 𝒄𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝝀= ∗ 𝟎. 𝟖 = 𝟏𝟔 , 𝝁= = 𝟏𝟐 𝟑 𝒉𝒐𝒓𝒂 𝟓 𝒉𝒐𝒓𝒂 𝝀 𝟏𝟔 𝒄 = 𝟐 , 𝝆 = 𝝁 = 𝟏𝟐 = 𝟏. 𝟑𝟑𝟑𝟑 a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega deba esperar en la fila (𝑷𝒏≥𝟐 )? −𝟏 𝒏

𝟐

𝟏𝟔 𝟏𝟔 (𝟏𝟐) 𝑷𝟎 = ∑ ( ) + 𝟏𝟐 𝒏! 𝟐! 𝟐−𝟏

𝒏=𝟎

{

𝟏𝟔 𝟏𝟐 (𝟏 − 𝟐 )}

= 𝟎. 𝟐𝟎

𝟏𝟔 𝟏 (𝟏𝟐)

(𝟎. 𝟐) = 𝟎. 𝟐𝟔𝟔𝟕 𝟏! = 𝟏 − (𝑷𝟎 + 𝑷𝟏 ) = 𝟏 − 𝟎. 𝟒𝟔𝟔𝟕 = 𝟎. 𝟓𝟑𝟑 La probabilidad es de 53.3% 𝑷𝟏 =

𝑷𝒏≥𝟐

𝟏

b) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos ventanillas estén vacías? 𝑷𝟎 = 𝟎. 𝟐𝟎 La probabilidad es de 20% INVESTIGACION DE OPERACIONES II

20

c) ¿Cuál es la longitud promedio de la cola? 𝟏𝟔𝟑 𝟏𝟐 (𝟎. 𝟐) = 𝟏. 𝟎𝟔𝟔𝟕 𝑳𝒒 = 𝟏𝟔 𝟐 (𝟐 − 𝟏)! (𝟐 − ) 𝟏𝟐 1 cliente d) ¿Sería posible ofrecer un servicio razonable solo con una ventanilla? Explique por qué. No, porque 𝝀 es mayor que 𝝁. Por lo tanto el mínimo de ventanas que puede haber en la 𝝀

𝟏𝟔

oficina de correos debe ser mayor o igual a 𝝆 = 𝝁 = 𝟏𝟐 = 𝟏. 𝟑𝟑𝟑𝟑, es decir que el número de ventanas actuales es el correcto.

EJEMPLO 02 Determine el mínimo de servidores paralelos necesarios en cada una de las siguientes situaciones (llegadas/salidas Poisson) que garantice que la operación de la situación de colas será estable (es decir, que la longitud de la cola no crezca de forma indefinida): a) Los clientes llegan cada 5 minutos y son atendidos a razón de 10 clientes por hora. λ=0.2 clientes / min μ=10 clientes / hora ó 0.17 clientes / min p=0.2/0.17=1.18 𝝀


𝝆 𝒄

≤𝟏

𝝆≤𝒄 𝟏. 𝟏𝟖 ≤ 𝒄 Se necesita de 1 servidor b) El tiempo entre llegadas promedio es de 2 minutos, y el tiempo de servicio promedio es de 6 minutos. λ=0.5 clientes / min μ=0.17 clientes / min p=0.5/0.17=2.97 𝝀


𝝆 𝒄

≤𝟏

𝝆≤𝒄 𝟐. 𝟗𝟕 ≤ 𝒄 Se necesita de 3 servidores c) La tasa de llegadas es de 30 clientes por hora, y la tasa de servicios por servidor es de 40 clientes por hora. INVESTIGACION DE OPERACIONES II

21

λ=30 clientes / hora μ=40 clientes / hora p=30/40=0.75 𝝀


𝝆 𝒄

≤𝟏

𝝆≤𝒄 𝟎. 𝟕𝟓 ≤ 𝒄 Se necesita de 1 servidor

EJEMPLO 03 Un banco tiene dos cajeros. Llegan al banco con un promedio de 80 clientes por hora y esperan en una sola cola para que los atiendan. El tiempo promedio que se necesita para atender a un cliente es 1.2 minutos. Suponga que los tiempos entre llegadas y los de servicio son exponenciales. Calcular. Solución: (M/M/2):(GD/∞/∞) k: número de servidores k = 2 cajeros λ = 80 clientes / hora μ = 1/1.2 cliente / minutos Al realizar la conversión μ = 50 clientes / hora

a) Número esperado de clientes en el banco. El número esperado de clientes en el sistema es Ls

𝜆 𝑘 (𝜆𝜇) ( ) 𝜆 𝜇 𝐿𝑠 = 𝑃0 + ( ) 2 (𝑘 − 1)! (𝑘𝜇 − 𝜆) 𝜇 para encontrar Ls hay tener primero

1

𝑃0 = [∑𝑘−1 𝑛=0

𝜆 𝑛 (𝜇 )

𝜆 𝑘 (𝜇) 𝜇𝑘 ]+[ ∗ ] 𝑛! 𝑘! 𝜇𝑘 − 𝜆


22

esta ecuación puede ser dividida en dos partes

𝑃𝑛 =

1 𝐴+𝐵

𝑛

80 0 80 1 ) ) ( ( 1 1.6 𝜇 50 50 𝐴=∑ = + = + = 2.6 0! 1! 𝑛! 1 1 𝑘−1 (𝜆 )

𝑛=0 𝑘

𝜆 80 2 (𝜇 ) ) ( (50 ∗ 2) 𝜇𝑘 50 𝐵= ∗ = + = 6.4 (50 ∗ 2) − 80 2! 𝑘! 𝜇𝑘 − 𝜆 𝑃0 =

1 1 1 = = = 0.1111 𝐴 + 𝐵 2.6 + 6.4 9 teniendo Po buscar Ls

80 2 ) 80 50 𝐿𝑠 = ∗ 0.111 + ) = 4.4416 ( (2 − 1)! (2 ∗ 50 − 80)2 50 (80 ∗ 50) (

Ls= 4.44 clientes. Esta cantidad de clientes se encuentran en el banco en promedio.

b) Tiempo esperado que pasa un cliente en el banco El tiempo esperado que pasa el cliente en el banco seria Ws

𝑊𝑠 =

𝐿𝑠 4.44 = = 0.055 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝜆 80

Un cliente pasa en el banco un promedio de Ws = 3.33 minutos.

c) La fracción del tiempo que determinado cajero está desocupado. El tiempo que el cajero está desocupado se define como la probabilidad de 0. Po = 0.1111 = 11.11% del tiempo estará desocupado.


23



MODELO DE SERVIDORES MULTIPLES (M/M/c) : (GD/N/∞)

Este modelo difiere del (M/M/c):(DG//) en que el límite del sistema es finito, igual a N. Eso quiere decir que el tamaño máximo de la cola es N-c. Las tasas de llegada y de servicio son λ y μ. La frecuencia efectiva de llegadas 𝜆𝑒𝑓 es menor que λ, a causa del límite N del sistema. En términos del modelo generalizado 𝜆𝑛 y 𝜇𝑛 para el modelo actual se define como sigue: 𝜆, 0 ≤ 𝑛 < 𝑁 𝜆𝑛 = { 0, 𝑛≥𝑁 𝜇𝑛 = { Sustituyendo 𝜆𝑛 y

𝑛𝜇, 0 ≤ 𝑛 < 𝑐 𝑐𝜇, 𝑐 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁

𝜇𝑛 en la ecuación general del modelo de colas de Poisson 𝜆

generalizado, y observando que 𝜌 = 𝜇 , se obtiene:

𝜌𝑛 𝑃0 , 𝑛! 𝑃𝑛 = { 𝑛 𝜌 𝑃, 𝑐! 𝑐 𝑛−𝑐 0

0≤𝑛<𝑐 𝑐≤𝑛≤𝑁

En donde: −1

𝜌 𝑁−𝑐+1 𝜌𝑐 (1 − ( 𝑐 ) ) 𝜌 (∑ + ) 𝜌 𝑛! 𝑐! (1 − ) 𝑛=0 𝑐 𝑃0 = −1 𝐶−1

𝑛

𝐶−1

(∑ {

𝑛=0

𝜌𝑛 𝜌𝑐 + (𝑁 − 𝑐 + 1)) 𝑛! 𝑐!

A continuación se calcula Lq para el caso en que

𝜌 𝑐

,

𝜌 ≠1 𝑐

,

𝜌 =1 𝑐

≠ 1 como sigue:

𝜌𝑐+1 𝜌 𝑁−𝑐+1 𝜌 𝜌 𝑁−𝑐 (𝑁 𝐿𝑞 = {1 − ( ) − − 𝑐 + 1) (1 − ) ( ) } 𝑃0 (𝑐 − 1)! (𝑐 − 𝜌)2 𝑐 𝑐 𝑐 Se puede demostrar que para

𝜌 𝑐

= 1, 𝐿𝑞 se reduce a


24

𝜌𝑐 (𝑁 − 𝑐)(𝑁 − 𝑐 + 1) 𝜌 𝑃0 , =1 2𝑐! 𝑐 Para determinar 𝑊𝑞 , y en consecuencia 𝑊𝑠 y 𝐿𝑠 , se calcula el valor de 𝜆𝑒𝑓 como sigue: 𝜆𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑜 = 𝜆𝑃𝑁 𝜆𝑒𝑓 = 𝜆 − 𝜆𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑜 = (1 − 𝑃𝑁 )𝜆 𝐿𝑞 =

EJEMPLO 01 En un pequeño taller de ajuste de motores ocupa a tres mecánicos. Cuando los clientes que llegan ven que el piso del taller está cubierto de trabajos en espera, van a otra parte. El piso del taller puede dar cabida cuando mucho a 15 segadoras o podadoras, además de las que reciben el servicio. Los clientes llegan al taller cada 15 minutos en promedio, y un mecánico tarda un promedio de 30 minutos en terminar cada trabajo. El tiempo entre llegadas y el tiempo de servicio tienen distribución exponencial. Solución: (M/M/3):(GD/18/∞) C=3 𝟔𝟎

𝝀 = 𝟏𝟓 = 𝟒

N=18

𝒑𝒐𝒅𝒂𝒅𝒐𝒓𝒂𝒔 𝒐 𝒔𝒆𝒈𝒂𝒅𝒐𝒓𝒂𝒔 𝒉𝒐𝒓𝒂

𝟒

𝟔𝟎

𝝁 = 𝟑𝟎 = 𝟐 𝝆

𝝆=𝟐=𝟐

𝒄

𝒑𝒐𝒅𝒂𝒅𝒐𝒓𝒂𝒔 𝒐 𝒔𝒆𝒈𝒂𝒅𝒐𝒓𝒂𝒔 𝒉𝒐𝒓𝒂

𝟐

=𝟑

a) Cantidad promedio de mecánicos sin trabajo Numero de mecánicos que no están trabajando = c – (Ls- Lq) 𝟐

𝟐𝒏 𝑷𝟎 = ∑ ( ) + 𝒏!

(𝟐)𝟑

𝒏=𝟎

{

𝟐 𝟏𝟖−𝟑+𝟏 (𝟏 − (𝟑) ) 𝟐 𝟑! (𝟏 − 𝟑) }

−𝟏

= 𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟐

(𝟐)𝟏𝟖 ∗ 𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟑𝟗 𝟑! ∗ 𝟑𝟏𝟖−𝟑 = (𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟑𝟗) ∗ 𝟒 = 𝟑. 𝟗𝟗𝟖𝟔

𝑷𝟏𝟖 = 𝝀𝒆𝒇

𝟐𝟒 𝟐 𝟏𝟖−𝟑+𝟏 𝟐 𝟐 𝟏𝟖−𝟑 𝑳𝒒 = { {𝟏 − ( ) − (𝟏𝟖 − 𝟑 + 𝟏) (𝟏 − ) ( ) }} 𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟐 = 𝟎. 𝟖𝟕𝟕𝟒 𝟐! (𝟑 − 𝟐)𝟐 𝟑 𝟑 𝟑 𝑳𝒔 = 𝟎. 𝟖𝟕𝟕𝟒 + 𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟕 = 𝟏. 𝟖𝟕𝟕𝟏 # de mecánicos no trabajando = 3 - (1.8771-0.8774) = 2.0003


25

b) Porción del trabajo que va a la competencia en un día de 10 horas, por la capacidad limitada del taller. 𝛌𝐩𝐞𝐫𝐝𝐢𝐝𝐨 = 𝛌 − 𝛌𝐞𝐟 = 𝟒 − 𝟑. 𝟗𝟗𝟖𝟔 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟒 𝐭𝐫𝐚𝐛𝐚𝐣𝐨𝐬 𝐩𝐨𝐫 𝐡𝐨𝐫𝐚 En un día de 10 horas se pierden: 10x0.0014=0.014 trabajos. c) La probabilidad de que el siguiente cliente que llegue reciba servicio. 𝟐𝒏

𝟐𝒏

𝑷𝒏≤𝟏𝟕 = ∑𝟐𝒏=𝟎 𝒏! 𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟐 + ∑𝟏𝟕 𝒏=𝟑 𝟑!∗𝟑𝒏−𝟑 𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟐 =0.9998 La probabilidad es de 99.98% d) La probabilidad de que al menos un mecánico este sin trabajo. 𝟐

𝑷𝒏≤𝟐 = ∑ 𝒏=𝟎

𝟐𝒏 𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟐 = 𝟎. 𝟓𝟓𝟔 𝒏!

La probabilidad es de 55.60% e) La cantidad promedio de segadoras o podadoras que esperan servicio. 𝑳𝒒 = 𝟎. 𝟖𝟕𝟕𝟒 Esperan servicio 0.8774 segadoras o podadoras f) Productividad del taller=

𝑳𝒔 −𝑳𝒒 𝒄

=

𝟏.𝟖𝟕𝟕𝟏−𝟎.𝟖𝟕𝟕𝟒 𝟑

= 𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟐

La productividad es de 33.32%

EJEMPLO 02 Eat y Gas es una gasolinera con dos bombas. El carril que llega a ellas puede dar cabida cuando muchos a 5 automóviles, incluyendo los que llenan el tanque. Los que llegan cuando el carril está lleno van a otra parte. La distribución de los vehículos que llegan es de Poisson, con promedio de 20 por hora. El tiempo para llegar y pagar las compras es exponencial, con 6 min de promedio. Determine lo siguiente: Solución: (M/M/2):(GD/5/∞) C=2 N=5

λ= 20 v/h

µ= 10v/h

p=2

p/c = 1

a) La utilización porcentual de las dos bombas. 𝐿𝑆−𝐿𝑞

% utilización =100(

𝑐

)= (

2.727−1.091 2

)x 100% = 81.8%

b) La probabilidad de que un automóvil que llegue no reciba servicio de inmediato, sino que se forme encola. 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝑃2 + 𝑃3 + 𝑃4 = 0.54546 = 54.54%


26

EJEMPLO 03 Los alumnos de primer ingreso en la U de A se caracterizan porque tratan de llegar a clase en automóvil. Durante el primer par de semanas del semestre de otoño, en el campus prevalece una confusión de tráfico porque los alumnos tratan desesperadamente encontrar estacionamiento. Con una dedicación extraordinaria esperan pacientemente en los carriles del estacionamiento a que alguien salga, para poder estacionarse. Imaginémonos el siguiente escenario específico: el estacionamiento tiene 30 cajones, pero también pueden estacionar en forma permanente en los carriles. Esos 10 automóviles adicionales no se pueden estacionar en forma permanente en los carriles, y deben esperar que haya disponible uno de los 30 estacionamientos. Los alumnos de ingreso reciente llegan al estacionamiento siguiendo una distribución de Poisson, con 20 por hora de promedio. El tiempo de estacionamiento por automóvil es de 60 minutos en promedio, con 20 por hora de promedio. El tiempo de estacionamiento por automóvil es de 60 minutos en promedio, pero en realidad tiene una distribución exponencial. a) ¿Cuál es el porcentaje de alumnos que se salen por no caber en el estacionamiento? 𝑃40 = 0.00014 b) ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil que llegue ocupe el único cajón vacio en el estacionamiento? 𝑃29 = 0.01248 c) Calcule la cantidad promedio de estacionamientos ocupados 𝐿𝑠 − 𝐿𝑞 = 20.043 − 0.46 = 20 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜𝑠


27



MODELO DE SERVIDORES MULTIPLES (M/M/∞) : (GD/∞/∞)

En este modelo, la cantidad de servidores es ilimitada, porque el cliente también es un servidor. Un ejemplo característico es hacer la parte escrita de la prueba de manejo para obtener licencia. Las gasolineras de autoservicio y los cajeros automáticos no caen en la descripción de este modelo, porque en esos casos los servidores son las bombas de gasolina y los cajeros En el modelo se supone una llegada continua, con las tasas de servicio λ respectivamente.

y μ,

Y se tiene que:

𝑃0 = 𝑒 −𝜌 𝑒 −𝜌 𝜌𝑛 𝑃𝑛 = , 𝑛!

𝑛 = 0, 1, 2, …

Que es de Poisson con promedio 𝐿𝑠 = 𝜌. Como era de esperar, 𝐿𝑞 = 𝑊𝑞 = 0, porque es un modelo de autoservicio.


28

EJEMPLO 01 A los conductores nuevos se les pide pasar un examen por escrito, antes de hacer las pruebas de manejo. Los exámenes escritos suelen hacerse en el departamento de policía de la ciudad. Los registros de la ciudad de Springdale indican que la cantidad promedio de exámenes escritos es de 100 por día de 8 horas. El tiempo necesario para contestar el examen es de 30 minutos, más o menos. Sin embargo, la llegada real de los aspirantes y el tiempo que tarda cada uno en contestar son totalmente aleatorios. Solución: (M/M/∞):(GD/∞/∞) 𝟏𝟎𝟎 𝒆𝒙𝒂𝒎𝒆𝒏 = 𝟏𝟐. 𝟓 𝟖 𝒉𝒐𝒓𝒂 𝟔𝟎 𝒆𝒙𝒂𝒎𝒆𝒏 𝝁= =𝟐 𝟑𝟎 𝒉𝒐𝒓𝒂 a) La cantidad promedio de asientos que debe tener el departamento de policía en el salón de exámenes. 𝟏𝟐. 𝟓 𝑳𝒔 = = 𝟔. 𝟐𝟓 ≈ 𝟕 𝒂𝒔𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔. 𝟐 𝝀=

b) La probabilidad de que los aspirantes rebasen la cantidad promedio de asientos que hay en el salón de exámenes. 𝟕

𝑷𝒏≥𝟖

𝒆−𝟔.𝟐𝟓 ∗ 𝟔. 𝟐𝟓𝒏 =𝟏−∑ = 𝟎. 𝟐𝟗𝟏𝟏 𝒏! 𝒏=𝟎

c) La probabilidad de que un día no se haga examen alguno. 𝒆−𝟔.𝟐𝟓 ∗ 𝟔. 𝟐𝟓𝟎 𝑷𝒏=𝟎 = = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟗𝟑 𝟎!

EJEMPLO 02 Un inversionista invierte $1000 al mes, en promedio, en el mercado de valores. Debido a que el inversionista debe esperar una buena oportunidad para “comprar”, el tiempo real de compra es aleatorio. El inversionista suele conservar los valores durante unos 3 años en promedio pero los vende al azar cuando se le presenta una buena oportunidad para “vender”. Aunque al inversionista se le suele reconocer como un astuto corredor del mercado de valores, la experiencia pasada indica que alrededor de 25% de los valores declinan a 20% al año, aproximadamente. El 75% restante aumenta de valor a razón de 12% al año. Estime el capital accionario del inversionista (a largo plazo) promedio en el mercado de valores. Esta situación se puede tratar como un modelo (M/M/c):(GD/N/∞/∞) porque, para todos los propósitos prácticos, el inversionista no tiene que esperar en línea para comprar o INVESTIGACION DE OPERACIONES II

29

vender sus valores. El tiempo promedio entre colocaciones de pedidos es de 1 mes, lo que da λ = 12 valores por año. La tasa de venta de los valores es valor por año. Puede obtener los resultados del modelo con los siguientes datos de entrada: μ = 1/3 valor por año. Puede obtener los resultados del modelo con los siguientes datos de entrada: Solución: (M/M/∞):(GD/∞/∞)

EJEMPLO 03 Un inversionista coloca $1000 mensuales en ciertos títulos en el mercado de valores. Como debe esperar una buena oportunidad de compra, el tiempo real de la compra es totalmente independiente. El inversionista suele conservar los títulos durante un promedio de 3 años, pero los vende al azar cuando se presenta la oportunidad de vender,. Aunque en general se reconoce al inversionista como hábil en el manejo de valores, la experiencia indica que 25% de los títulos bajan más o menos el 20% anual. El 75% restante se aprecia con una rapidez aproximada de 12% por año. Calcule lo siguiente: Solución: (M/M/∞):(GD/∞/∞)


30

a) La probabilidad de que el inversionista venda todo

𝑃0 = 𝑒 −𝜌 𝑃0 = 𝑒 −36 = 2.31𝑥10−16 P0 = 0 b) La probabilidad de que el inversionista sea propietario de más de 10 títulos.

𝑒 −36 369 𝑃𝑛 = = 0.999993 9! Pn ≥ 10 = 1 – Pn ≤ 9 = 1

c) La probabilidad de que el inversionista posea entre 10 y 40 títulos, inclusive. Pn ≤ 40 – Pn ≤ 10 = 0.7771 – 0.13787 Pn ≤ 40 – Pn ≤ 10 = 0.63923


31



MODELO DE SERVICIO DE MAQUINAS (M/M/R) : (GD/K/K)

El entorno para este modelo es de un taller con K maquinas. Cuando se descompone una máquina, se llama a un mecánico para hacer la reparación. La frecuencia es La frecuencia es λ descomposturas por máquina y por unidad de tiempo, y un mecánico las repara a una tasa de μ maquinas por unidad de tiempo. Se supone que todas las descomposturas y los servicios siguen una distribución de Poisson. Este modelo se diferencia de todos los anteriores por tener una fuente finita de clientes. Eso se puede visualizar si se considera que cuando todas las maquinas del taller están descompuestas, no se pueden generar más llamadas o solicitudes de servicio. En esencia, solo las maquinas que están funcionando se pueden descomponer, por lo que tienen el potencial de generar llamadas de servicio. Dado que la frecuencia de descomposturas por maquina es λ, la frecuencia de descomposturas en todo el taller es proporcional a la cantidad de máquinas que están funcionando. También, si se tienen n maquinas en el sistema quiere decir que n máquinas están descompuestas (el sistema es las maquinas descompuestas, no el taller). Entonces, la frecuencia de descomposturas en todo el taller es: 𝜆𝑛 = (𝐾 − 𝑛)𝜆

,

0≤𝑛≤𝐾

En términos del modelo generalizado de colas de poisson (𝐾 − 𝑛)𝜆 , 0 ≤ 𝑛 < 𝐾 𝜆𝑛 = { 0 , 𝑛≥𝐾 𝑛𝜇 𝜇𝑛 = { 𝑅𝜇

, 0≤𝑛<𝑅 , 𝑅≤𝑛≤𝐾

Entonces, para el modelo generalizado se puede obtener 𝐾 𝐶 𝜌𝑛 𝑃0 𝑛 𝑃𝑛 = { 𝑛 𝐾 𝑛! 𝜌 𝑃 𝐶 𝑛 𝑅! 𝑅 𝑛−𝑅 0

𝑅

𝐾 𝑃0 = (∑ 𝐶 𝜌𝑛 𝑛 𝑛=0

,

0≤𝑛≤𝑅

,

𝑅≤𝑛≤𝐾

𝐾

𝑛 𝐾 𝑛! 𝜌 + ∑ 𝐶 ) 𝑛 𝑅! 𝑅 𝑛−𝑅

−1

𝑛=𝑅+1


32

En este modelo es difícil obtener una forma cerrada de Ls, y en consecuencia se debe calcular a partir de la siguiente definición básica: 𝜆𝑒𝑓 = 𝐸{𝜆(𝐾 − 𝑛)} = 𝜆(𝐾 − 𝐿𝑠 ) 𝐾

𝐿𝑠 = ∑ 𝑛𝑝𝑛 𝑛=0

𝑊𝑠 =

𝐿𝑠 𝜆𝑒𝑓

𝑊𝑞 = 𝑊𝑠 −

1 𝜇

EJEMPLO 01 Un operador atiende a 5 máquinas automáticas. Cuando una maquina termina un lote, el operador la debe restablecer para iniciar el siguiente lote. El tiempo para terminar un procesamiento de lote es exponencial, con 45 min de promedio. El tiempo de preparación de la maquina también es exponencial con un promedio de 8 min. λ = 60/45 = 1.33 maquinas/hr µ = 60/8 = 7.5 maquinas/hr R=1 K=5 (M/M/1) : (GD/5/5) 𝜆 = 1.33333 µ = 7.5 λ𝑒𝑓 = 4.99945 𝜌 = 0.17778

n

Probabilidad 𝑃𝑛

Prob. acumulada 𝑃𝑛

0 1 2 3 4 5

0.33341 0.29637 0.21075 0.11240 0.03996 0.00710

0.33341 0.62978 0.84053 0.95293 0.99290 1.00000


33

a) Determine el promedio de máquinas en espera de ser preparadas o que se están preparando. 𝐾


𝐿𝑠 = (0 ∗ 0.33341) + (1 ∗ 0.29637) + (2 ∗ 0.21075) + (3 ∗ 0.11240) + (4 ∗ 0.03996) + (5 ∗ 0.00710) 𝐿𝑠 = 1.25041 𝑀𝑎𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎𝑠 b) Calcule la probabilidad de que todas las máquinas estén funcionando. 𝑃0 = 0.33341 c) Determine el tiempo promedio que una máquina está detenida. 𝜆𝑒𝑓 = 𝜆(𝐾 − 𝐿𝑠 ) = 1.3333(5 − 1.25041) = 4.99945 𝑊𝑠 =

𝐿𝑠 1.25041 = = 0.25 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝜆𝑒𝑓 4.99945

EJEMPLO 02 Kleen All es una compañía de servicios que realiza varios trabajos peculiares, como jardinería, poda de árboles y pintura de casas. Los 4 empleados de la compañía salen de la oficina con la primera asignación del día. Después de completar una asignación, el empleado llama a la oficina para pedir instrucciones para el siguiente trabajo que se va a realizar. El tiempo para completar una asignación es exponencial con una media de 45 minutos. El tiempo de viaje entre los trabajos también es exponencial con una media de 20 minutos. λ = 60/45 = 1.33 maquinas/hr µ = 60/20 = 3 /hr R=4 K=4 (M/M/4) : (GD/4/4) 𝜆 = 1.33333 µ = 3.0 n 0 1 2 3 4

Probabilidad 𝑃𝑛 0.22972 0.40839 0.27226 0.08067 0.00896

Prob. acumulada 𝑃𝑛 0.22972 0.63811 0.91037 0.99104 1.00000


34

a) Determine el promedio de empleados que viajan entre los trabajos. 𝐾


𝐿𝑠 = (0 ∗ 0.22972) + (1 ∗ 0.40839) + (2 ∗ 0.27226) + (3 ∗ 0.08067) + (4 ∗ 0.00896) 𝐿𝑠 = 1.23076 𝑀𝑎𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎𝑠 b) Calcule la probabilidad de que ningún empleado ande en camino. 𝑃0 = 0.22922

EJEMPLO 03 Toolco tiene un taller con 22 máquinas en total. Se sabe que cada máquina se descompone con una frecuencia promedio de una vez cada dos horas. Se necesita un promedio de 12 minutos para terminar una reparación. Tanto el tiempo entre descomposturas como el tiempo de reparación sigue una distribución exponencial. A Toolco le interesa determinar la cantidad de mecánicos necesarios para mantener el taller funcionando uniformemente. Calcular lo siguiente: a) Calcule la cantidad esperada de clientes sin trabajo si R=4 b) Calcule la probabilidad de que todos los mecánicos estén sin trabajo para R=3 c) Calcule la probabilidad de que la mayoría (más de la mitad) de los mecánicos estén sin trabajo para R=3 a) N° de mecánicos sin trabajo =4 – (Ls – Lq) =4 – (2.1 – 0.11) = 2.01 b) P0 = 0.10779 c) R = 3 P(2 o 3 sin trabajo) = P0 + P1 = 0.34492


35



FORMULA POLLACZEEK-KHINTCHINE (P-K) (M/G/1) : (GD/∞/∞)

Los modelos de cola en que las llegadas y las salidas no siguen la distribución de poisson son complicados. En general, en esos casos se aconseja usar la simulación como método alternativo para analizarlos Esta es una de las pocas colas que no son de poisson, para la cual se dispone de resultados. Es para el caso en el que el tiempo de servicio t se representa por una distribución de probabilidades con media E(t) y varianza var(t). Entre los resultados del modelo están las medidas básicas de desempeño 𝐿𝑠 , 𝐿𝑞 , 𝑊𝑠 𝑦 𝑊𝑞 . El modelo no proporciona una ecuación cerrada para 𝑃𝑛 debido a que no se puede manejar en forma analítica. Sea λ la frecuencia de llegadas a la instalación con un servidor. Dada E(t) y var(t) de la distribución del tiempo de servicio, y como λE(t)<1, se puede demostrar, mediante complicados análisis de probabilidades y cadenas de Markov, que 𝐿𝑠 = 𝜆𝐸{𝑡} +

𝜆2 (𝐸 2 {𝑡} + 𝑣𝑎𝑟{𝑡}) , 2(1 − 𝜆𝐸{𝑡})

𝜆𝐸{𝑡} < 1

La probabilidad que la instalación este vacía (sin trabajar) se calcula con 𝑃0 = 1 − 𝜆𝐸{𝑡} = 1 − 𝜌 Como 𝜆𝑒𝑓 = 𝜆, las medidas restantes de desempeño (Lq, Ws y Wq) se pueden obtener a partir de Ls 𝑊𝑠 =

𝐿𝑠 1 1 = = 𝜆 𝜇(1 − 𝜌) 𝜇 − 𝜆

𝑊𝑞 = 𝑊𝑠 −

1 𝜌 = 𝜇 𝜇(1 − 𝜌)

𝐿𝑞 = 𝜆𝑊𝑞 =

𝜌2 1−𝜌

𝐶̅ = 𝐿𝑠 − 𝐿𝑞 = 𝜌


36

EJEMPLO 01 Layson Roofing Inc. instala techos de tejas en casas nuevas y viejas en Arkansas. Los clientes potenciales solicitan el servicio al azar a razón de nueve trabajos por mes de 30 días y se les pone en una lista de espera para ser procesados sobre la base de FCFS. Los tamaños de las casas varían, pero es bastante razonable suponer que las áreas del techo están uniformemente distribuidas entre 150 y 300 metros cuadrados. Por lo común, la cuadrilla de trabajo puede completar 75 cuadrados al día. Determine lo siguiente: a) Los trabajos de techado pendientes promedio de Layson. 9 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑠 𝜆= 𝑥 = 0.3 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜𝑠/𝑑𝑖𝑎 𝑚𝑒𝑠 30 𝑑𝑖𝑎𝑠 1 𝐸{𝑡} = = 3.333 ≈ 3 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝜆 4 var{𝑡} = = 0.333 𝑑𝑖𝑎𝑠 12 𝜆2 (𝐸 2 {𝑡} + 𝑣𝑎𝑟{𝑡}) 𝐿𝑠 = 𝜆𝐸{𝑡} + , 2(1 − 𝜆𝐸{𝑡}) 𝐿𝑠 = (0.3 ∗ 3.333) +

𝜆𝐸{𝑡} < 1

(0.3)2 ((3.333)2 + 0.333)

= 5.14 2(1 − (0.3 ∗ 3.333)) b) El tiempo promedio que un cliente espera hasta que se completa el trabajo de techado. 𝑊𝑠 =

𝐿𝑠 5.14 = = 17.16 ≈ 17 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝜆 0.3

EJEMPLO 02 Un auto lavado puede atender un auto cada 12 minutos y la tasa media de llegadas es de 9 autos/hora,  = 2 min. Obtener las medidas de desempeño de acuerdo al modelo M/G/1, además la probabilidad de tener cero clientes en el sistema y la probabilidad de que un cliente tena que esperar por el servicio. 𝜆 9 = 0.75 𝜌= = 𝜇 12 2 = = 0.033 𝐻𝑜𝑟𝑎𝑠 60 𝜆2 2 + 𝜌2 92 0.0332 + 0.752 𝐿𝑞 = = = 1.31 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 2(1 − 𝜌) 2(1 − 0.75) INVESTIGACION DE OPERACIONES II

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𝐿𝑠 = 𝐿𝑞 + 𝜌 = 1.31 + 0.75 = 2.06 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝐿𝑞 𝑊𝑞 = = 0.145 𝐻𝑜𝑟𝑎𝑠 = 8.7 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝜆 1 𝑊𝑠 = 𝑊𝑞 + = 0.228 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 13.7 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝜇 𝑃0 = 1 − 𝜌 = 0.25 𝑃𝑤 = 𝜌 = 0.75

EJEMPLO 03 BDI Inc. Instala cámaras de seguridad en residenciales nuevas en Buenos Aires. Los clientes potenciales solicitan el servicio al azar a razón de 15 trabajos por mes de 30 días y se les pone en una lista de espera para ser procesados sobre la base de FCFS. Los tamaños de las casas varían, pero es bastante razonable suponer que en el perímetro donde habría que ubicar las cámaras uniformemente distribuidas estaría entre 150 y 300 metros cuadrados. Por lo común, el equipo técnico de instalación puede completar 75 cuadrados al día. Determine lo siguiente: a) Los trabajos de instalación pendientes promedio de BDI. 𝜆=

7 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑠 𝑥 = 0.23 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜𝑠/𝑑𝑖𝑎 𝑚𝑒𝑠 30 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝐸{𝑡} =

1 = 4.2863 ≈ 4 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝜆

var{𝑡} = 𝐿𝑠 = 𝜆𝐸{𝑡} +

4 = 0.333 𝑑𝑖𝑎𝑠 12

𝜆2 (𝐸 2 {𝑡} + 𝑣𝑎𝑟{𝑡}) , 2(1 − 𝜆𝐸{𝑡})

𝐿𝑠 = (0.23 ∗ 4) +

𝜆𝐸{𝑡} < 1

(0.23)2 ((4)2 + 0.333) 2(1 − (0.23 ∗ 4))

= 6.32

b) El tiempo promedio que un cliente espera hasta que se completa el trabajo de instalación. 𝑊𝑠 =

𝐿𝑠 6.32 = = 27.48 ≈ 17 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝜆 0.23


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

CONCLUSIONES

Los modelos de colas implican siempre aproximaciones a la realidad y una simplificación de ésta. Los resultados permiten apreciar el orden de importancia, los cambios con relación a un punto de referencia y las tendencias más probables. Resultados "cerrados" limitados casi siempre a situaciones de “estado estacionario" y obtenidos sobre todo (aunque no exclusivamente) para su aplicación a sistemas de nacimiento y muerte y de “fase”. Proporciona algunas cotas útiles para sistemas más generales en estado estacionario.


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BIBLIOGRAFÍA

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Eppen G.D. _ INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES EN LA CIENCIA ADMINISTRATIVA _ 5°edición _ México _ PRENTICE-HALL _ 2000

Frederick S. Hillier _ MÉTODOS CUANTITATIVOS PARA ADMINISTRACIÓN _ 3° edición _ México _ McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. _ 2008

http://cdigital.dgb.uanl.mx/la/1020151198/1020151198.PDF

https://jrvargas.files.wordpress.com/2009/01/5-teoria-de-colas.pdf

http://personales.upv.es/jpgarcia/LinkedDocuments/Teoriadecolasdoc.pdf


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ANEXOS


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Teorías de Colas Investigacion de Operaciones ll

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