APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 3: NÚMEROS COMPLEJOS
1º BACHILLERATO
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Tema 3
ÍNDICE 2. Introducción ............................................... .................................................................... ................................................. ..................................................... .................................3 ........3 3. ¿Cóm ¿Cómoo se mane maneja ja 1 ?.............................................................................................................3 4. Un nuevo campo numérico C ............................................. ..................................................................... ............................................... ..................................4 ...........4 5. CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO. ............................................ ................................................................... ........................... ....44 6. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS ............................................. ....................................................................5 .......................5 6.1. Suma y Diferencia de números complejos......................................... complejos................................................................ ..................................5 ...........5 6.2. Producto Producto de un un número número complejo complejo por por un número número real............. real.................. .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .........5 ....5 6.3. Producto de dos números complejos...................................... complejos............................................................. ..............................................5 .......................5 Multiplicación de un número por su conjugado............................. conjugado.................................................... ..............................................5 .......................5 6.4. Cociente de dos números complejos. ............................................. .................................................................... ......................................5 ...............5 6.5. Propiedades de las operaciones con números complejos...................... complejos ............................................. ............................... ........66 7. AFIJO DE UN UN NÚMERO NÚMERO COMPL COMPLEJO. EJO. REPRESENT REPRESENTACIÓN ACIÓN CARTESIANA CARTESIANA DE UN UN NÚMERO COMPLEJO................................................................. COMPLEJO........................................................................................ .............................................. ............................... ........66 8. MÓDULO MÓDULO Y ARGUMENT ARGUMENTO O DE UN NÚMERO NÚMERO COMPLEJ COMPLEJO. O. ............ ................ ......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... 6 9. REPRESENTACIÓN POLAR .............................................. ..................................................................... .............................................. ............................... ........66 10. PASO ASO DE POLA POLAR R Binómica..........................................................................................6 11. OPERACIONES EN FORMA POLAR ............................................ ................................................................... ......................................7 ...............7 11.1. 11.1. Producto Producto de dos números números complejos complejos.. .......... ............... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .........7 ....7 11.2. 11.2. Cociente Cociente de dos números números complejos complejos.. .......... ............... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .........7 ....7 11.3. 11.3. Potenciac Potenciación ión de Números Números Comple Complejos. jos. .......... ............... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........7 ...7 11.4. 11.4. Radicación Radicación de un número número complejo......... complejo.............. .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........7 ...7 12. Ecuaciones y sistemas en C ........................................... ................................................................... ............................................... ..................................8 ...........8 EJERCICIOS RESUELTOS.................... RESUELTOS ........................................... .............................................. .............................................. ..............................................8 .......................8
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Tema 3
Introducción Los algebristas algebristas de los siglos xv y xvi, al resolver ecuacione ecuacioness de segundo grado del tipo x 2 – 4x + 13 = 0 y llegar a la expresión x
4 36 decían: No es posible extraer la raíz cuadrada de un número 2*1
negativo.. Por tant negativo tanto, o, la ecua ecuación ción no tien tienee solución solución.. Pero en algún momento los algebristas se decidieron a operar conestas expresiones como si se tratara de números núm eros reales reales:: x
4 36
4 36 1
2 6 1
Y seguían seguían oper operando ando con 1 comosi se trat tratara ara de un núme número ro real. En el siglo XVII XVII,Lei ,Leibnitz, bnitz, dijoque “ 1 es una espe especie cie de anfibio bio en entre treel el ser ser y la nada nada.” .” Fue en el añ Fue año o 17 1777cua 77cuan ndo Eu Eule lerr le di dio o a 1 el nomb nombre re de i (porimagina (porimaginari rio). o). El núme número ro imag imaginar inario io i, oper operado ado elem elementa entalmen lmente te con los real reales, es, dio luga lugarr a los núme números ros comp complejo lejos. s. Su represen repr esentaci tación ón gráf gráfica, ica, pasa pasando ndo de la rect rectaa realal real al plan plano o complejo complejo (Gau (Gauss, ss, fina finales les del sigl siglo o xviii xviii), ), acab acabó ó de darl darles es la entidad enti dad nece necesari sariaa para que fue fueran ran plen plenamen amente te acep aceptado tados. s.
1.
¿Có ¿C ómo se man ane eja 1 ?
Dijimos que "los algebristas del xvi decidieron operar con
1 como si se trata de un número real".
Vamos a hacer como ellos: operar este "extraño personaje” consigo mismo y con los números reales sido si do las reglas de las operaciones entre números Extraer fuera de Ia raíz
Observa cómo se extraen números de la raíz: = 16 16 1 4 1 Potencias de
1
De la definición de raíz cuadrada, es lógico que: ( 1) 2 1
( 1) 3 1 1 1 ( 1) 4 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) (1) 1 ( 1) 5 ( 1 ) 2 ( 1) 1 1 1 Sumas
(3 – 2 1 ) + (5 + 6 1 )=8+(-2+6)
1 =8+4 1
Multiplicaciones
(3 – 2 1 ) • (5 + 6 1 ) = 3·5 + 3·6 1 – 2· 1 · 5 – 2 1 ·6 1 = 15 + 18 1 – 10 1 – 12( ( 1) 2 )= 15 + 8 1 – 12 • (-1) = 15 + 12= 12= 27+ 8 1 Ecuacion Ecua ciones es de segundo segundo grad grado o
Observa cómo se ha resuel resuelto to la ecua ecua ción ción x 2 – 4x + 13 = 0. Se llega a la conclusión de que sus soluciones son: 2+ 3 1 y 2– 3 1 Resuelve: x 2 + 10x + 29 =0 Resuelve:x
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x2 + 25 =0
2.
Un nu nuev evo o ca camp mpo o nu numé méri rico co C
Al re so lv er x 2 - 6 x + 13 = 0, obtenemos 3 + 2 1 y 3 - 2 1 , soluciones que carecen de sentido en el conjunto conjunto de los reales porque
1 no es un número real.
Los números complejos nacen del deseo de dar validez a estas expresiones. Para ello es necesario admitir como números válidos a 1 y a todos los que se obtengan al operar con él como si se tratara de un número más. o
i=
Unidad Unidad imagin imaginaria. aria. Se llama así al nuevonúme nuevo número ro
designa por la letra i. 1 . Se designa
1 ; i2 = -1 (El nombre i viene de imaginario). Números complejos. Son las expresiones a + bi, donde a y b son números números reales reales. Componentes. La expresión a + bi se llama forma binómica de un número complejo porque
tiene dos componentes: a componente real
b componente imaginaria
También se llaman parte real y parte imaginaria.
Igualdad. Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la
misma componente imaginaria. El conjunto de todos los números complejos se designa por e : C = {a + bi / a, b R } Los números reales son complejos, R C números complejos complejos cuya cuya componente componente imaginari imaginariaa es cero: a + 0i = a o Los reales son números o
Números imaginarios son los números complejos cuya componente imaginaria no es cero. o
Por tanto, un número complejo o es real o es imaginario.
Números imaginarios puros son los imaginarios cuya componente real es cero. 5 i ; i ; i ; - i son imaginarios puros. Los números complejos a + bi y -a - bi se llaman opuestos. 3+7i 5 8i PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
3.
3 +7
5 +8
8i
9
0 +8
9 0
CONJ CO NJUG UGAD ADO O DE UN NÚ NÚME MERO RO CO COMP MPLE LEJO JO.. Dado un número complejo z=a+bi, llamamos Número Complejo Conjugado de z al número = a - bi
Representación gráfica de los números complejos.Forma biómica
Los reales llenan por completo la recta, de modo que a cada número real le corresponde un punto en la recta y a cada punto, punto, un número número real. Por eso eso hablamos hablamos de recta real.
Para representar los números complejos tenemos que salir de la recta y llenar el plano, pasando así de la recta real al plano complejo.
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Tema 3 Los números complejos se representan representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real, y el Y, eje imaginario. El número complejo a + b i se representa mediante el punto (a, b) , que se llama su afijo, afijo, o mediante mediante un vector vector (flecha) (flecha) de origen origen (0, 0) y extremo extremo (a, b) .
Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, y los imaginarios puros, sobre el eje imaginario. Cualquier ecuación de segundo grado con coeficientes reales que no tenga solución real tiene dos soluciones imaginarias que son números complejos conjugados.
4.
OPER OP ERAC ACIO IONE NES S CO CON N NÚ NÚME MERO ROS S CO COMP MPLE LEJO JOS S
La suma, la resta y la y la multiplicación de números complejos se realizan siguiendo las reglas de las operaciones de los númerosreales y y teniendo teniendo en cuenta que i 2 = - 1.
4.1. 4. 1.
Suma Su ma y Di Dife fere renci ncia a de nú núme meros ros co comp mple lejo jos. s.
Sean Sean z = a+bi a+bi y z' = c+di c+di Suma z+z' = (a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i Resta z-z' = (a+bi)-(c+di) = (a-c) + (b-d)i
4.2. 4. 2.
Prod Pr oduct ucto o de un nú núme mero ro co comp mple lejo jo po porr un nú núme mero ro rea real.l.
Sea z=a+bi z=a+bi y k un número número real real k.z = k.(a+bi) = ka + kb i
4.3. 4. 3.
Prod Pr oduc ucto to de do doss nú núme mero ross co comp mple lejo jos. s.
Sean z=a+bi y z'=c+di
z.z' = (a+bi).(c+di) = a.c+adi+bci+bdi 2 = =ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(ad+bc)i
Multiplicación de un número por su conjugado
(2 4i )(2 4i ) (2 2 8i 8i 16i 2 4 16 20 Multiplicando un número complejo por su conjugado se obtiene un número real. Este resul tado tado va a ser muy ser muy útil para dividir complejos: multiplicaremos numera dor dor y denominador por el conjugado de este último, consiguiendo así que así que en el denominador el denominador quede quede un un número real.
(c + di) • (c - di) = c2 — cdi + cdi + d 2 =
4.4. 4. 4.
c
2
d 2
Coci Co cient ente e de do doss nú núme mero ross co comp mple lejo jos. s. z z'
a b.i a b.i .c d .i ( a.c b.d ) ( bc ad).i c d.i c d.i.c d.i c2 d2
Ej em pl o
5 3i 5 3i 4 2i 20 10i 12i 6i 2 20 6 22i 14 22i 14 22 i 2 2i i 2 4 i 42 2 20 0 0
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4.5.. 4.5
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Propie Pro piedad dades es de las ope operaci raciones ones con núm número eross com comple plejos jos
elemento neutro neutro de la suma. El 0 es el elemento Todo número complejo, a + bi, tiene un opuesto. -a - bi. elemento neutro del producto producto. El 1 es el elementoneutro Todos los números números complejos complejos,, a + bi, salvo el 0, tienen tienen un invers inverso: o: Todos
(a bi)(
a bi
)
a2
abi abi abi 2 a2 2
a2
b2
a
bi
2
b2
a
1
2 2 a2 a2 En la práctica, las propiedades de estas operaciones permiten operar con los complejos de la misma forma que con los reales.
Procedemos Procedemos así: 2i)] [x - (5 + 20] = [(x - 5) + 2i] [x (5 - 2i)]
- 5) - 2i] = = (x - 5)2 - (202 = x 2 - 10x + 25
+ 4 = x 2 - 10x + 29 Una solución es, por tanto, x 2 - 10x + 29. Empezamos Empezamos desarrollan desarrollando do la expresión expresión dada: (2 + xi)2 = 4 + 4xi - x 2 = (4 - x 2 ) + 4xi Para Para que este este compl complejo ejo sea imagin imaginari ario o puro, puro, su parte parte real real debe debe ser cero: cero: 4 - x 2 = O -> x 2 = 4 x = x = + 2 Ha de ser x = x = 2 o x = -2.
5.
AFIJO DE UN NÚM AFIJO NÚMERO ERO COM COMPLE PLEJO. JO. REP REPRES RESENT ENTACI ACIÓN ÓN CARTESIANA DE UN NÚMERO COMPLEJO.
Dado el número complejo z=a+bi, al punto de coordenadas (a,b) que se llama afijo del número complejo
6.
MÓDU MÓ DULO LO Y AR ARGU GUME MENT NTO O DE UN NÚ NÚME MERO RO CO COMP MPLE LEJO JO.. Se llama módulo del número complejo z=a+bi al valor r = |z| =
a 2 b 2
a 2 b 2 . Representa la longitud del vector que representa el complejo El argumento representa el ángulo que forma el vector del complejo y la horizontal
Se llama argumento del número complejo z=a+bi al valor arg(z) = arctg
7.
REPR RE PRES ESEN ENTA TACI CIÓN ÓN PO POLA LAR R
8.
PASO DE POLAR Binómica
Se llama módulo del número complejo z=a+bi al valor r b número complejo z=a+bi al valor arg(z) = arctg a z r donde r=|z|
b a
|z| = Se llama argumento del
Si me dan el complejo complejo en forma polar polar z r
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9.
r (cos
isen donde
=arcotg(b/a)
OPER OP ERAC ACIO IONE NES S EN FO FORM RMA A PO POLA LAR R 9.1. 9. 1.
Prod Pr oduc ucto to de do doss nú núme mero ross co comp mple lejo jos. s. Sean z = r y z’ = r ' => z.z’ z.z’ = r .r '
9.2. 9. 2.
Coci Co cien ente te de do doss nú núme mero ross co comp mplej lejos os.. Sean z r y z' r '
9.3. 9. 3.
z r z' r '
Pote Po tenci nciaci ación ón de Nú Núme mero ross Co Comp mple lejo jos. s. z r z n r
n
r n n .
Si z = r .cos i. sen i1 = i i 5 = i i2 = -1 i6 = -1 i3 = -i i 7 = -i i4 = 1 i 8 = 1
9.4. 9. 4.
z n r n .cos n. i.sen.n
..... ..... ..... .....
Radi Ra dica caci ción ón de un nú núme mero ro co comp mple lejo jo..
Se pasa de binómica a polar y después:
n
r
tien tiene e n raíc raíces es que que será serán n
n r 0 n n r 2 n n r 4 n .......... .. .......... .. n r 2(n 1) n
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10.. 10
Ecua Ec uaci cion ones es y si sist stem emas as en C
Resuelve la ecuación z 3 + 27 = 0. Representa sus soluciones.
Resuelve las ecuaciones: 4 a) x + 1 = 0 6 b) x + 64 = 0
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EJERCICIOS RESUELTOS 1) Efectua las siguientes operaciones
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2) Obtén Obtén polinomio polinomioss cuyas raíces raíces sean:
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3) ¿Cuánt ¿Cuánto o debe debe valer valer x, real, para que (25 – xi ) 2 sea imaginario puro?
SOLUCIÓN
4) Representa Representa gráficamen gráficamente te z 1 = 3 + 2 i, z 2 = 2 + 5 i, z 1 + z 2. 2. Comprueba que z 1 + z 2 es una diagonal del paralelogramo de lados z 1 y z 2. 2.
SOLUCIÓN
5) SOLUCIÓN
6) Escribe en forma binómica los siguientes siguientes números números complejos: complejos: a) 5 (π /6) rad b) 2135º c) 2 495º d) 3 240º e) 5 180º f) 4 90º
SOLUCIÓN
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7) Sean los númer números os complejo complejoss z1 = 460º y z2 = 3210º. 3210º. a) Expresa Expresa z1 y z2 en forma forma binómica binómica.. b) Hall Hallaa z 1 · z 2 y z 2/ 2/z 1, 1, y pasa los resultados a forma polar. c) Compara Compara los los módulos módulos y los argum argumento entoss de z 1 · z 2 y z 2/ 2/z 1 con los de z 1 y z 2 e intenta encontrar relaciones entre ellos.
SOLUCIÓN
8) SOLUCIÓN
SOLUCIÓN z = 5 45°
w = 2 15°
t = 4i
= 490°
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9) Halla las seis raíces raíces sextas de 1. Represéntal Represéntalas as y exprésalas exprésalas en forma binómica. binómica.
SOLUCIÓN
10) Hallar la siguiente raíz
3
3 3i
SOLUCIÓN
11) Simplifica totalmente la expresión :
= 30 = 4× 7 + 2 y 31 = 4× 7 + 3 ,entonces:
=
.
Como
;
Por lo tanto,
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