REVISION DE LA TEORIA DE VIGAS Modelo matemático simplificado que permite determinar los esfuerzos y deformaciones en elementos estructurales denominados vigas (dimensión característica de su sección transversal << longitud) sometidas a la acción de cargas transversales.
ESFUERZOS RESULTANTES: FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR La fuer fuerza za corta cortant ntee V(x) y el mome moment nto o flecto flectorr M(x) en una una secció sección n dada dada (D) representan tanto la resultante de las fuerzas R1, P1 y P2 que actúan sobre la porción de viga mostrada, así como la resultante de los esfuerzos internos que la sostienen en equilibrio y que también representan la acción de la otra porción de la viga sobre la mostrada. Se toman positivos si tienen los sentidos indicados en la figura.
Su magnitud se puede hallar a partir de las ecuaciones de estática de un cuerpo en equilibrio.
DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES. Representación grafica de la variación de V(x) y M(x) a lo largo de la viga. Se requiere conocer las fuerzas externas en la viga. V(x), suma de todas las fuerzas a la izquierda de x M(x), suma de los momentos respecto a la sección x de todas las fuerzas a la izquierda de x.
ECUACIONES DE EQUILIBRIO
∑V=0
dV + w* dx = 0
w= - dV/dx
Derivando esta ultima expresión, se tiene las siguientes ecuaciones de equilibrio: w = - dV/dx • •
•
V = dM/dx d2M/dx2 = -w
DESPLAZAMIENTOS Y DISTORSIONES
Desplazamientos: Deflexión vertical v(x) Rotación θ(x) Hipótesis de Bernoulli θ(x) = v’(x) Distorsiones (desplazamientos relativos en la viga solo entre secciones transversales): Curvatura distribuída κ = θ’(x) = 1/R, R, radio de curvatura Curvatura concentrada κα = θ(xα + 0)- θ(xα - 0) CONDICIONES DE COMPATIBILIDAD
θ(x) = v’(x) κ = θ’(x) κ = v’’(x) v (xα + 0)- v(xα - 0) = 0 θ (xα + 0) - θ (xα - 0) = κα ECUACIONES CONSTITUTIVAS Relaciones Esfuerzo vs. Deformaciones. Depende del tipo de material. Viga de material linealmente elástico Proporcionalidad entre los Esfuerzos σ y las Deformaciones (unitarias) Є σ = E * Є, donde E es el modulo de Elasticidad de Young.
Debido a la acción del momento flector M, la viga se distorsiona, secciones transversales contiguas rotan una respecto a la otra. Debido a esta rotación relativa, las fibras longitudinales sufrirán acortamientos y alargamientos. La fibra longitudinal que no sufre acortamientos ni alargamientos se denomina la Línea o Eje neutro de la viga. La viga se curva teniendo como centro de curvatura el punto O y un radio de curvatura R. El alargamiento de una fibra longitudinal situada a una distancia “y” del eje neutro, se puede obtener dibujando una línea paralela a la línea “aa”. Por semejanza de triángulos “cOd” y “edf “ se puede calcular el alargamiento de esta fibra: Є = ef/cd = de/cO = y/R De la proporcionalidad de esfuerzos y deformaciones, se obtiene que σ= E*y / R. Los esfuerzos en las fibras longitudinales son también proporcionales a su distancia “y” al eje neutro. Considerando una viga de sección rectangular, aunque estos resultados se aplican a cualquier sección con un eje vertical de simetría, se tiene que los esfuerzos siguen la distribución que se muestra en la figura.
Considerando la fuerza dF actuando sobre un diferencial de área dA tal como se muestra en la Figura, y cuya resultante en toda la sección de la viga debe ser 0 dado que solo actúa un momento flector M, se debe cumplir que:
Esta última ecuación implica que el eje neutro debe pasar por el centro de gravedad de la sección transversal. La resultante de los momentos flectores diferenciales producidos por las fuerzas que actúan sobre un diferencial de área debe ser igual al momento flector externo actuante sobre la viga, es decir,
Comparando esta ultima ecuación con la expresión anterior obtenida para el esfuerzo σ, Se obtiene la siguiente expresión para el esfuerzo σ, σ = M*y / I, donde I es el momento de inercia de la sección transversal respecto al eje horizontal que pasa por su centro de gravedad. A partir de la expresión exacta para la inversa del radio de curvatura R, y de su expresión aproximada para el caso de pequeñas deflexiones, se obtiene la siguiente relación entre el momento flector M y la deformada de la viga “v”:
ECUACION DIFERENCIAL DE LA FLEXION DE VIGAS De las expresiones anteriores se puede obtener la ecuación diferencial que gobierna la flexión de vigas: (E I(x) v’’) ‘’ = w(x) CONDICIONES DE BORDE Borde Libre M=0, V=0 Borde Empotrado v=0, θ = 0 Borde simplemente apoyado M= 0, v=0
