ORIFICIO
1.- Generalidades Definición: Se llama orificio en hidráulica a la abertura de forma regular practicada en la pared o el fondo de un recipiente, estando este orificio siempre por debajo del nivel libre es decir manteniéndose el contorno del orificio totalmente sumergido.
Vena liquida: A la corriente de agua que sale por un orificio se la llama vena vena liquida. Carga: A la altura de agua que produce la descarga a través del orificio se la denomina carga.
Se llama orificio de pared delgada cuando el chorro tiene contacto en una Línea en todo el contorno del orificio. Se llama orificio de pared gruesa cuando el contacto del chorro se alcanza en la pared de la perforación.
Para el caso de orificio de pared delgada se producen cuando el borde del orificio agua arriba es agudo y se lo denomina de aristas vivas. Canal de llegada: Es el que conduce el liquido hasta el orificio, la velocidad media con que escurre el fluido hasta la abertura se denomina velocidad de llegada llegada y la velocid velocidad ad media media en la vena vena se se denomin denominaa velocidad en la vena.
Si la vena descarga al aire o sea a presión atmosférica se denomina descarga descarga Libre. Si la vena descarga sumergida o sea debajo de un nivel libre se denomina descarga sumergida.
Se clasifi clasifica ca a los orific orificios ios de verti vertical cal u horizon horizontal tal según se encuentren encuentren situados situados en un plano vertical vertical u horizontal respectivamente. Los orificios pueden ser circulares, rectangulares, cuadrados, o de cualquier otra forma regular.
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2.- Contracción de la vena Considerando la salida de un determinado caudal Por un orificio de aristas vivas y si los costados y fondo del recipiente o vaso de agua que suministra el caudal no están muy cercano al orificio, las partículas de agua se acercan al orificio, describiendo trayectorias convergentes, que parten de todas direcciones, y como no es posible que las partículas cambien bruscamente su dirección inmediatamente después de haber salido del orificio, ellas siguen convergiendo en una cierta distancia en la vena, según trayectorias curvilíneas convergentes, con lo que se origina la contracción de la vena liquida, pero se observa que a poca distancia del orificio la vena líquida presenta las trayectorias sensiblemente paralelas entre si, y a esta sección es la que se denomina sección contraída contraída o vena contracta contracta y la presión es prácticamen prácticamente te la misma en todo sus sus puntos e igual igual a la presión exterior que existe en el ambiente en que se produce la descarga Para un orificio circular de arista viva, la vena contracta se encuentra aproximadamente desde el orificio a una distancia igual a la mitad del diámetro del orificio. La presencia de una superficie perpendicular al plano del orificio situado a corta distancia del mismo impide el acceso libre del agua a gua en todas las direcciones, por lo que la l a contracción disminuye. Por lo que podemos decir que l a contracción de la vena liquida depende de las condiciones de bordes como por ejemplo si el orificio que se practica es tangente tangent e al plano de fondo o a uno de los costados del canal de acceso queda suprimida la contracción totalmente en la parte de tangencia
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Si se redondea también el borde interior de un orificio se restringe la contracción. Según los investigadores puede estimarse que la contracción de la vena es completa o máxima, sobre todo su perímetro, cuando los bordes del orificio distan de las paredes del recipiente tres veces la dimensión menor de la abertura y la carga sobre el borde superior no debe ser menor de 1,5 veces la altura del orificio.
3.- Gasto a través de un orificio en pared delgada y vertical, de dimensiones pequeñas respecto a la carga (de pequeña altura) Si se prescinde del fenómeno de contracción de la vena liquida y se desprecian las perdidas de energía que se producen durante el escurrimiento a través de un orificio el problema de determinar el gasto que escurre se lo resuelve aplicando la ecuación de Bernoulli. Pero ni la contracción ni las perdidas pueden dejarse de lado en las expresiones buscadas. Este hecho que la experiencia a comprobado obliga a complementar las formulas teóricas mediante coeficientes correctivos cuya determinación experimental, constituyen el principal problema que ofrece el estudio del escurrimiento a través de orificios. Sea el orificio de área que se mues muestra tra en la la figura. Si aplicamos el teorema de Bernoulli entre un punto C dentro de la masa fluida el cual describe una trayectoria y el D perteneciente a la sección (C-C) contraída y a esa trayectoria sabiendo que los filetes en dicha sección son paralelos y la presión es uniforme igual a P.
Aplicando Bernoulli se tiene:
Z c h+
P A + P A
V D =
+
V C 2 + hc + 2 g V C 2 2 g
=
V D2 2 g
+
=
P B
V D2 2 g
+
P B
....... si
h C + Z C = h
despejando ...V D
V C 2 P A P B + 2 g h + ...... (1) 2 g
Haciendo igual consideración para cada uno de los filetes que forman la vena liquida, veremos que Página 3 de 31
la velocidad dada por (1) variara en función del valor de h. Tratándose como dijimos anteriormente de orificios de pequeñas dimensiones respecto de la carga “h” puede suponerse sin error apreciable que en la sección contraída la velocidad des uniforme e igual a la correspondiente de la carga media media H. En tal caso aplicando Bernoulli a toda la corriente entre d-d y c-c se obtiene un valor teórico t eórico para la velocidad V en esta última sección.
V =
V m2 P A P B + 2 g H + 2 g
Donde: •Vm es la velocidad media de llegada en la zona próxima al orificio orificio •H : a la carga carga hidr hidrostá ostática tica medi mediaa sobre sobre la secció sección n •
distribución de velocidades en la sección d-d. 9: coeficiente que permite tener en cuenta la distribución
Si Vm=0
y
P A = PB resulta V= 2. g . H
(3) que es la fórmula de Torricelli. Torricelli .
Para tener en cuenta las perdidas de energía por rozamientos a las expresiones (2) y (3) se las afecta de un coeficiente µ que se lo determina experimentalmente, el mismo varia entre 0,96 y 0,99 con un valor medio de 0,98 y se lo denomina coeficiente de velocidad por lo tanto las expresiones (2) y (3) quedan:
V = µ V .
V m2 P A P B ...(4) 2 g H + + 2 g
V = µ V . 2 gH ...(5) El caudal que pasa a través del orificio puede encontrarse multiplicando las expresiones (4) y (5) por el valor de la sección @. El área de la sección contracta es menor que la del orificio se llamamos µc coeficiente de contracción. µ c
=
c
Donde @c = sección sección de de la vena vena contr contraída aída @
= sección sección del orifici orificio o
El caudal que escurre a través del orificio será: Q= V. @c= V.µc. @
V m2 P A P B Q = µ V . µ C .. 2 g H + + 2 g Q = µ V . µ C .. 2 gH y si llamamos llamamos coeficiente coeficiente de gasto gasto al producto de de µ= µc.µv µc.µv
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V m2 P A P B Q = µ .. 2 g H + + 2 g Q = µ .. 2 gH 4.- Gasto a través de un orificio de pared delgada y vertical, de dimensiones relativamente grandes (altura) (altura) resp resp ecto a la carg a (de altura altura grande grande). Para la determinación de la velocidad teórica de la expresión (2) se acepto que la velocidad en la sección contraída era uniforme pero tal simplificación n o es v a l i d a c u a n d o l a s dimens dimension iones es del del orif orificio icio son relativ relativame amente nte grande grande respect respecto o a la la carga carga ya ya que que tendremos diferentes velocidades en la vena liquida o sea difieren apreciablemente las velocidades correspondientes al extremo superior e inferior.
Dividiremos al orificio en granjas horizontales de altura infinitesimal y aplicaremos para cada franja la formula (6).
dQ = µ 1 .
V m2 P A P B b.dh 2 g h + + 2 g
El caudal en toda la sección: b2
dQ = µ 1.
b1
V m2 P A P B b.dh 2 g h + + 2 g
El valor de µ, difiere del que corresponde a orificios de pequeñas alturas. Es nece necesari sario o conoc conocer er la r e l a c i ó n que liga b con con h. Casos Particulares a) Orificio rectangular con umbral horizontal Aplicando la (8)
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Q = µ 1 .
h2
h1
Si llamo
Q = µ 1 .
h2
h1
V m2 P A P B + 2 g h + 2 g V m2 P A P B C = 2 g + 2 g (h + c ) ). B .dh = µ 1 .
h2
h1
.b.dh ......( 8)
y reempla reemplazo zo
2 g (h + c ). B.dh
3 3 2 Q = . µ 1 . 2 g . B (h 2 + c ) (h1 + c ) 2 3 si ....V m = 0 P A = P B c = o.... resulta : 3 32 2 Q = . µ 1 . 2 g . B. h 2 h12 3
2
Estos valores de caudales fueron deducidos para contracción completa, es decir cuando el borde del orificio dista en cualquier dirección con las paredes 3 veces la dimensión más pequeña del orificio y la carga sobre el borde superior del orificio excede 1,5 veces su altura. Si la contracción es incompleta se debe multiplicar el coeficiente gasto por un coeficiente de corrección CB. Estos coeficientes de corrección fueron experimentados por BIDONE y WEISBACH en orificios rectangulares y circulares.
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5.- Descarga sumergida Estableceremos la expresión que determina el gasto a través de un orificio sumergido s umergido que comunica entre si a dos grandes depósitos en el cual el liquido se mueve con velocidad despreci able. Aplicando Bernoulli entre A-A y B- B
h1 +
P A
= h2 +
2 g (h1
V =
2 g h3 +
+
V 2 2 g
P P h 2 ) + A B
V =
P B
P A
Si... P A = P B ....V =
P B 2. g .h3 ....donde ...Q = µ V . µ d .. 2 gh 3
Q = µ .. 2 g .h3 6.- Coeficiente de gasto Se denominó como coeficiente de gasto µ al producto de los coeficientes de velocidad y contracción µv y µ c µ = µv . µc =µo .C Donde µ o : coeficiente coeficiente básico de gasto en un orificio perfecto. perfecto. C: factor de corrección. En rigor el coeficiente de gasto es una función compleja en que influyen la viscosidad, la energía superficial, el modulo de elasticidad, etc., y por lo tanto la forma del orificio, sus dimensiones y la temperatura del liquido. Si las dimensiones son pequeñas: influye la energía superficial, y siendo pequeño el número de Reynolds influye la viscosidad, y por lo tanto se juntan estas 2 circunstancias. En orificios de dimensiones y cargas no muy pequeñas la energía superficial y la viscosidad pasan a tener poca influencia. Como se dijo anteriormente anteriormente µ engloba todas las variaciones de µv y µc es un coeficiente netamente experimental. 1. Se define como orificio perfecto Aquel que reúna las siguientes condiciones: Página 7 de 31
I Pared Pared delgada delgada II Contracción completa y perfecta a) Hay contracción completa y perfecta cuando los bordes del orificio distan de las paredes laterales o de fondo 3 veces la dimensión más pequeña del orificio y el borde superior esta con respecto al nivel libre a 1,5 veces la altura del orificio. b) Si hay velocidad de llegada la misma debe estar dirigida normalmente al plano del orificio. c) En la sección de contracción, como en el nivel libre rige la presión presi ón atmosférica. 2. Factores de corrección Cuando no cumplen con las condiciones de orificio perfecto puede procederse de dos maneras. a) Adoptando, en lugar del coeficiente básico µ o el coeficiente de gasto µ que corresponda al caso considerado. b) Multiplicando el coeficiente básico µ o por un coeficiente de corrección de Bidone Stewort o de Weisbach según las características del orificio. Se deben distinguir en las contracciones incompletas dos formas: - Contraccion Contracciones es imperfectas. imperfectas. - Contraccion Contracciones es suprimidas. suprimidas. 7.- Orificios con descarga sumergida parcialmente La descarga de un orificio sumergido sumergido puede ser total o parcial cuando es total se expresión (9) o sea: Q = µ . 2.g .H con KH=desnivel de los dos niveles libres
cumple la
Pero cuando funciona parcialmente sumergido el gasto total descargado por el orificio puede expresarse como la suma De Q1 y Q2
Q1 = µ1. 2.g.H y Q2 = µ 2 . 2.g.Hm
No hay investigaciones confiables acerca de los coeficientes µ Página 8 de 31
1
y
µ
2
al respecto Schlag
propone µ 1 = 0,70 y µ de la figura.
2
= 0,675 en el caso de orificios que tengan el umbral en el fondo como el
8.- Compuertas (caso que el resalto esta alejado del orificio) orificio) vena libre. Una aplicación muy común es el de las compuertas, que consisten en una placa móvil plana o curva, que al levantarse permite graduar la altura del orificio, y a su vez controlar el caudal o descarga producida. El orificio generalmente se forma entre el piso del canal c anal de llegada y el borde inferior de la compuerta, por lo que su ancho coincide con el del canal en dichas condiciones el flujo puede considerarse bidimensional. Es decir que en esas condiciones tendremos t endremos solamente contracción del lado superior del orifici o.
El gasto de una compuerta y las características hidráulicas de su descarga se pueden conocer a partir de una red de flujo obtenida por cualquiera de los métodos vistos anteriormente. La red de flujo permite explicar con claridad clari dad la contracción que experimenta el chorro descargado por el orificio de altura "a", hasta alcanzar el valor Cc.a en la distancia L en que las líneas de corriente se vuelven horizontales y tienen por ello una distribución hidrostática de pr esiones. Debido al fenómeno de contracción y a la fricción con el piso se produce una perdida de carga que influye en el calculo del gasto, a si mismo la carga de velocidad medida que la relación
Y 1 a
V12 2g
Khr
con que llega el agua a
disminuye.
En el canto inferior de la compuerta las líneas de corrientes tienden a unirse y es ahí donde la velocidad adquiere su máximo valor. Debido a la curvatura de las líneas de corrientes una gran presión actúa sobre la línea de intersección del piano de la compuerta, razón por la cual se tiene una velocidad pequeña. Para obtener la ecuación que proporciona el gasto, aquí se considerara el caso más general de una Página 9 de 31
compuerta plana con una inclinación
respecto a la horizontal y un ancho "b".
Cabe aclarar que la inclinación de equivalente a la tangente en el labio inferior de la compuerta radial y con =90º estaríamos en el caso de compuerta vertical.
Volviendo al caso de la figura de una compuerta plana con inclinación ecuación de Bernoulli entre (1) y la s ección contraída (2) se tiene:
H = Y 1 +
V 12 2 g
= Y 2 +
V 22 2 g
= Y 1 +
V 12 2 g
O bien bien V 1 = V 2 .
Y 1 =
V 22 2 g
.
(C c .a)2 2 1
Y
= C c .a +
C c .a Y 1
= C c .a +
V 22 2 g
V 22 2 g
si
establecemos la
Por continuidad V 1 = V 2 .
reemplazando en la anterior:
Y 1 C c .a =
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V 22
V 22
2 g 2 g
.
(C c .a)2 2 1
Y
Y 2 Y 1
(C c .a )2 V 22 Y 1 C c .a = ..... y.....queda : 1 despejo 2 2 g 2 g Y 1 C c .a 1 .Y 1 2 Y Y 1 C c .a V 2 1 = = ...... Por ..lo... tan to 2 2 g C c .a C c .a (C .a ) 1 + .1 1 c 2 Y Y Y 1 1 1 V 22
Velocidad media real en la sección contraída:
V 22 2 g
=
Y 1 1
C c .a V 2 2 (C c .a )
=
C v . 2 gY 1 1+
2 1
Y
C c .a
donde C v coeficiente de velocidad
Y 1
El gasto es:
Q=
C c .C v .b.a 1+
2 gY 1
C c .a
Q = C d .b.a.
2 gY 1
Y 1
C d =
C c .C v 1+
C c .a
Es importante destacar que la expresión 1 +
Existen ábacos
Y 1
a.C c Y 1
Sirva para considerar el empleo de ·y·, · y·, en lugar de H. Los coeficientes de velocidad de contracción y gastos los han obtenidos investigadores experimentalmente, sin embargo, en ningún caso se ha encontrado coincidencia de resultados. 8.1.- Orificios de fondo en canales El estudio del escurrimiento a través de orificios de fondos colocados en canales presenta ciertas dificultades. Deben distinguirse diversos casos de descargas a través de compuertas de fondos. El caso mis sencillo es el de una compuerta colocada en un canal rectangular d e solera horizontal, el ancho de abertura coincide con el ancho del canal, no Página 11 de 31
existen estrechamientos laterales.
El escurrimiento puede producirse bajo las siguientes condiciones: a.En el caso que el escurrimiento agua abajo de la compuerta tenga velocidad suficiente para que el tirante sea menor que la altura A del orificio, la descarga se producirá a vena libre (a). b . Si por cualquier circunstancia el tirante de agua abajo es lo suficientemente g r a n d e p a r a q u e s e p r o d u z c a r e s a l t o d e b e n d i s t i n g u i r s e 2 c as os : A.Si el orificio esta suficientemente alejado del resalto el escurrimiento que se produce se lo considera Como si fuera a vena Libre ya que el nivel del tramo de agua abajo del canal carece de influencia en la descarga caso (b). B.Si el tirante h3 toma un cierto valor tal que el resalto alcanza la pared del orificio y la vena liquida, ahora se denomina vena ahogada, la descarga resulta influenciada por el tirante agua abajo, y la vena liquida se cubre de un movimiento en turbulencia.
Pasaremos ahora a estudiar este último caso; para tal deben plantearse ciertas hipótesis. 1.A los efectos de la aplicación del teorema de la cantidad de movimiento movimiento se considera que en las secciones I- I, II - II, III - III la velocidad en cada punto es igual a las respectivas velocidades medias (V1 en I - I, V2 en II - II, V3 en III - III).
2.En la sección que presenta torbellinos a los efectos de aplicación del mismo teorema se considera que esta inmóvil (es decir: es agua muerta). El caudal que circula por unidad de ancho, resulta igual a q=C c.A.V2 siendo Cc coeficiente de contracción. 3.En las secciones I - I, II - II y III - III las reparticiones de presiones sigue la ley hidrostática. 4.El movimiento se asimila a un movimiento bidimensional o plano tal que: i.q=h1.V1=Cc.A.V2=h3.V3 (1) 5.Se acepta que no hay pérdidas de carga en el paso del líquido desde la sección sec ción I - I a II - II. Página 12 de 31
Todas las pérdidas se concentran entre la sección II - II a III - III a raiz del ensanchamiento de la vena. Aplicando el teorema de la cantidad de movimiento e ntre II - II y III II I - III resulta que:
lq = (V 3
V 2 ) = .
h c2
.
2
h22 h32 q.(V 3 V 2 ) = g . 2 2
h 32 2
.....( 2 )
dividido por l
(3) ye reemplazando (1) en (3) o sea:
(V 3 V 2 ) h22 h32 V 3 .(V 3 V 2 ) h22 h32 = = h3 .V 3 . g
2
2
g
q = h 3 .V 3
(4)
2.h3
Ordenando la (4) podemos escribir:
V 3 .
(V 2 V 3 ) h32 h22 =
g
2.h3
(5) reemplazando en esta ultima V 3 =
q h3
y V 2 =
q C c .
La (5) queda:
q q 2 2 2.h3 q 2 1 q C c . A h3 h3 h2 1 = = h32 h22 . . . h3 g h3 g C c . A h3 2.h3 2.q 2 1 2.q 2 h3 C c . A 1 2 2 2 2 .....(6) h2 = h3 h2 = h3 . . g C c . A h3 g C c . A.h3 Expresión que permite deducir h 2 en función de h 3 agua abajo, el caudal “q” y altura A del orificio. Perdidas de cargas entre II - II y III - III están dada por la expresión
V 22 V 32 = + h2 + h3 2 g 2 g
(7)
Donde la (7) puede expresarse combinando con la (5)
V 22 V 32 (h3 h2 )2 = 2.h3 2 g 2 g
(8)
Si por las condiciones de agua abajo h 3 es muy grande y h 2 difiere poco de h 3 la (8) puede escribirse como:
V 22 V 32 = 2 . g
(9)
Que es la expresión de Borda para ensanchamient o brusco. Página 13 de 31
Veremos ahora el criterio a seguir para calcular el caudal o gasto. La ecuación (6) nos permite escribir la expresión:
h2 = h3
2q 2 g
h3 C c . A C . A . h c 3
.
(10)
Luego aplicando aplicando Bernoulli entre I-I y II-II V 12 2 g
q2 2 gh12
+ h1 =
+ h1 =
h2 +
h2 +
V 22
la cual la podemos escribir
2 g
1 1 2 ( ) h h . 2 g = q 1 2 2 2 (C c . A)2 .2 g (C c . A) h1 q2
Lo que queda: 2 2 ( ) h C . A 2 1 c 2 q = 2 g .(h1 h2 ) q 2 (C c . A.h1 )
q=
C c . A.h1 2 1
h
(C c . A)
2
(C c . A.h1 )2 .2 g (h1 h2 ) = 2 2 h1 (C c . A)
. 2 g (h1 h2 ).......(11)
Por ejemplo si se conoce h l , h3 , A, b a) Aplicando la expresión (10) el único valor desconocido seria "q” por lo tanto h2=f(q) queda. b) Reemplazando la (11) en la (10) queda como única incógnita h2 en una ecuación cuadrática resolviendo se determina h2, con lo que se obtienen obtienen luego las demás incógnitas. Nota:
h3
C c . A 2
+
(C c . A)2 4
+
2q 2 C c . A. g
Generalmente si se cumple la relación de tirantes conjugados, o sea si se dice que la vena no es ahogada, por lo tanto estamos en el caso de vena vena libre. 9.- Orificios de pared gruesa a) Cuando la pared en el contorno de un orificio no tiene aristas afiladas, el orificio es de pared gruesa o tubo corto. En el tipo de orificios que se muestra en la figura se observa que el chorro, una vez que ha pasado la sección contraída, tiene todavía espacio dentro del tubo para expandirse y llenar la totalidad de la sección. Entre la sección contraída y el final ocurre un rápido descenso de la Velocidad acompañado de turbulencia y fuerte pérdida de energía.
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b) Si se cumple que e>2,50.D, el caudal que que sale es mucho mucho mayor que que el que escurriría escurriría por por el mismo orificio si no se tendría el tubo, en este caso se llega a que el coeficiente µ de gasto esta en el orden de los 0.82, este aumento de caudal se debe a que en la zona de la vena no adherida la presión es menor que la atmosférica, siendo el gasto aproximadamente un tercio mayor que en un orificio de pared delgada, estimándose que la depresión en la zona no adherida del orden de ¾ de H, por lo tanto aplicando Bernoulli se tiene:
3 V = µ v . 2 g H + H 4 Por su parte la velocidad de salida:
V s
c c .V = . µ . = s s v Si
µ v . V = µ c . µ
7 4
3 c 2 g H + H = .µ v . 4 s
. 2 gH
7 2 g . . H 4
o sea sea Q = µ .. 2 gH
Donde µ = µ c .µ v .
7 4
0,82
El aumento de caudal se explica debido a que la sección contraída se forma en un vació parcial con presión ligeramente menor a la atmosférica e incrementa el valor efectivo de la carga.
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b) Tubo adi cional de Borda Un tubo cilíndrico colocado normalmente al plano del orificio hacia aguas arriba, y de una longitud comprendida entre c=2a 2,5 D se denomina tubo adicional de Borda. La contracción que se produce en este tubo es mayor que si el tubo no se hubiese colocado.
La razón de esta diferencia estriba en el hecho que los filetes líquidos extremos pueden llegar a formar con el eje un ángulo de 180°, el valor de µ puede llegar a 0,50 en estos tubos. c) Tubos convergentes: Para evitar las perdidas de carga que produce la desaceleración de los filetes líquidos se usan tubos convergentes llegando los valores valores µ a variar variar entre 0,82 a 0,92 para casos casos de e=2D a 3D. d) Tubos divergentes: Mediante su use se puede aumentar aumentar considerablemente el gasto. gasto. 10.- Aforo del caudal que escurre en una tubería mediante orificio En tubería donde se puede permitir una gran perdida de energía para efectuar un aforo se puede utilizar un diafragma que estrangula la sección, s ección, y consiste en una placa en donde se le practica un orificio de área Ao la cual se inserta dentro de la tubería en la sección deseada. La modificación de velocidades ocasiona un cambio de presiones ante y después del diafragma, cuyo valor determina el gasto. Aplico Bernoulli entre 1 y 2 y se tiene:
V 12 2 g
+
P 1
=
V 1 =
P 2
A2 A1
+
V 22
.V 2
2 g (2)
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(1)
P 1 P 2 Pero
P 1 P 2
=
=
h
( m )
2
A P P 2 . 2 1 2 g 2 g A1
V 22
P 1 P 2
V 22
=
m = h. 1
A2 2 .1 2 g A1
V 22
(*)
con (*)
m 1 h . V 22 m V = C . 1 . 2 g h. = 1 2 v 2 2 g A22 A 1 2 1 22 A1
Q=
C c .C v 2
1
A2
A1
m 1
2 g h.
2
A1
m 1
Q = C d . 2 g .h.
11.- Descarga no permanente a través de orificios Hasta ahora todos los casos estudiados se refirieron a régimen permanente veremos las leyes que rigen la descarga de líquidos a través de orificios, cuando la carga sufre variaciones, haciendo que el caudal de salida sea función del tiempo. Analizaremos el tiempo que tarda la superficie libre de un liquido contenido en un recipiente en el que existe un orificio, en pasar de un nivel h 1 a otro otro h2.
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Sea el recipiente esquematizado de la figura al cual ingresa un caudal Qaf (afluente) que suponemos función conocida en el tiempo, suponiendo la velocidad de llegada igual a cero, el caudal que sale en cada instante es: Q = µ . . 2.g.h •h
(variable (variable con el tiempo) tiempo)T= área del orificio orificio
=Q.dt= µ . . 2.g.h.dt h.dt y el que entra dVe= En un dt, el volumen que sale del recipiente es dVs =Q. Qaf . dt la variación de volumen en el deposito es:dV= dVs – dVe = @.dh @ es la superficie del nivel libre del líquido cuando la carga sobre el orificio es h:
dV= ( µ . . 2.g.h Qaf).dt = V.dh De donde el tiempo que tardará en pasar de h1 a h2 es:
.d h V .dh
dt=
( µ . . 2.g .h Q af)
Aplicando las condiciones de borde la ecuación que resuelve teóricamente el problema pues decimos teóricamente ya que las funciones Q=f (h) y Qaf (t) son analíticamente complicadas sin embargo esta expresión resulta de utilidad directa si:
T=
V
h2
h1
(µ. (µ . T . 2.g. 2.g.h h -Qa -Qaf) f)
.dh
Ejemplos de aplicación a) CAF= constante, y Q= constante, si se llega a un cierto nivel “h” por donde donde el caudal entrante es igual al que sale:
h x
=
Qaf 2 2
2 µ . .2 g
ya que Qaf = µ . . 2 g .h x
µ . . 2 g .h1 Qaf Qaf T = .( h1 h2 ) + ln g gh Qaf µ . . 2 g µ . . 2 µ . . 2 2 2.Q
b) CAF=0 y Q=constanterecipiente prismático La expresión se transforma
T=
T=
V
h2
h1
(µ . T . 2. 2.g.h -Qaf) V
µ . T . 2.g. 2.g.h h
.dh .dh =
( h 2 h1 )
Y el tiempo para para que el recipiente se vacié totalmente totalmente h2 = 0 T =
µ . .
2. g .h
. h1
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V
µ . T . 2.g.h
h2
h1
dh h
Vertedero Es una escotadura de contorno abierto practicado en la pared de un depósito bien en una barrera colocada en un canal o rió y por la cual rebasa el líquido contenido
Es muy utilizado como aforador, por ser de sencilla construcción y principalmente por la facilidad de determinar con suficiente aproximación el Q que escurre sobre el mismo conociendo el espesor de la lámina vertiente. vertiente. La escotadura puede ser: rectangular, trapecial, triangular, circular, parabólicas, etc., en la práctica se utilizan los 3 primeros. El chorro o vena liquida que fluye por un vertedero se denominan lamina, la parte inferior del mismo es el umbral o cresta del vertedero. La altura o espesor de la masa liquida existente sobre el nivel del umbral aguas arriba de este se denomina carga, se mide a una distancia mayor de 4 h, debido a que la superficie libre en las proximidades del vertedero sufre una depresión gradual por la transformación de la energía potencial que posee el liquido de Energía Cinética.
Los parámetros que intervienen en estos tipos de escurrimientos cuyas variaciones nos pueden hacer variar el caudal para un cierto c ierto h dado son: •.- Contracción Contracción Lateral Lateral •.- Contracción Contracción de fondo fondo •.- Espesor Espesor de la pared •.- Inclinación Inclinación dela pared pared •.- Inclinación Inclinación de la pared del del vertedero •.- Lamin Laminaa libre libre Contracciones laterales: Cuando el ancho del canal de llegada B es igual al ancho del vertedero, la contracción lateral es nula.
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Cuando
B-b es 2
2,5 h
se dice contracción lateral completa y cuando
B-b es < 2,5 2,5 h se dice 2
contracción lateral incompleta. A igualdad de otras circunstancias el Q del vertedero variara según el grado de contracción lateral. La parte inferior de la lámina al sobrepasar el umbral se eleva sobre el nivel de Este en una magnitud e que se hace máxima cuando P+h 4 h. En este caso caso se dice dice que hay contracción de fondo completa, cuando P=0 o sea cuando el nivel del umbral coincide con el nivel de la solera del canal de llegada, no existe contracción de fondo, es un vertedero con contracción de fondo nula suprimida. En los casos intermedios son vertederos con contracción de fondo incompleta. Contracción de fondo:
Espesor de la pared: Si la lámina toca a la pared del vertedero en una única arista se dice que el vertedero es a pared delgada, para que se cumpla debe tenerse:
A pared pared delgada delgada A pared pared intermedia: intermedia: A pared gruesa:
E< 1 2
1 2
h
con E = espesor de la pared
h
E> 3h
Estos tipos de vertedero, tienen otra ley de escurrimiento y el coeficiente de gasto cambia. Inclinación de la pared del vertedero: Pueden ser vertical, inclinadas hacia aguas arriba o hacia aguas abajo. Una variación de la posición del vertedero hará variar el caudal. Lamina libre: El caso mas simple es el de un vertedero de pared delgada en el cual la lamina cae libremente en el aire, quedando su cara inferior sometida siempre a la presión atmosférica. Cuando el ancho del canal de fuga es igual al ancho del vertedero y este es igual al de llegada se logra la lámina libre mediante orificios de ventilación en la cara del vertedero las cuales se comunican a la zona debajo de la lámina con la atmósfera.
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LAMINA VERTIENTE EN VERTEDERO DE PARED DELGADA. Esbozadas algunas consideraciones de la lámina vertiente, nos detendremos ahora a analizarlas más detenidamente: La superficie libre del liquido aguas arriba del vertedero, sufre una curva de depresión llamada remanso, motivada por la transformación de energía potencial en cinética acuerdo a la característica del vertedero. Esta transformación de energía en la corriente puede explicarse observando la figura aguas arriba de la barrera la Línea (AC.D) define una zona (C) de aguas muertas, lo cual al reducir la sección de escurrimiento aumenta su velocidad media y este aumento de energía cinética se realiza a expensas de la energía potencial.
Esta depresión se extiende teóricamente hasta una distancia infinita agua arriba del vertedero, pero solo es perceptible hasta una distancia a=3h del umbral (según Bazin); es decir, a partir de esa distancia la depresión es despreciable. Claro que este valor no es absoluto, depende de las características del vertedero del tipo de canal de llegada, etc. De cualquier forma, puede estimarse que a una distancia 4h la influencia del remanso es despreciable, no se tenía a mayor distancia debido a la influencia que pudiera tener la pendiente del pelo libre del canal de llegada. Por las mismas causas que una vena liquida se contrae al salir por un orificio también en los vertederos ocurre lo mismo, ya que las velocidades no pueden cambiar de dirección bruscamente en las trayectorias, según Bazin la sección contraída (E-F) estaría próxima a un valor de 0,14h. Por cierto es un valor relativo, varía de acuerdo a la característica del vertedero. De acuerdo a las características del vertedero pueden anularse ya sea las contracciones laterales o bien las de fondo.
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Se estima la distancia de la sección contraída al umbral del vertedero en
2 3
h
a) La contracción de fondo máxima se consigue cuando h > 3h, de no cumplirse esta relación la contracción es incompleta. b) Las contracciones laterales serán máximas (completa) en el caso que las escotaduras laterales del vertedero estén respecto de las Paredes laterales del canal de llegada a L > 3l 3l . siendo L ancho del canal de llegada y L` longitud del vertedero
Pese a sobreelevarse la cara inferior de la vena hasta un cierto valor e respecto del umbral y deprimirse apreciablemente la superior dando lugar a una cierta distancia del umbral una sección contraída, no puede hablarse rigurosamente que esta posee idénticas características que en los orificios. Pues es tanto la presión como la velocidad en la sección (A-B) que la lamina vertiente no es uniforme así como en la cara superior e inferior es igual a la atmosférica, en la inferior es mayor que esta y al no existir presiones uniforme en todos los puntos de la sección las velocidades difieren Para cada uno de ellos.
Una parecida distribución de velocidades y presiones se obtiene sobre el umbral del vertedero.
La Forma de la Lamina Vertiente, depende de la l a relación
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h h+h 0
Esta relación es importante para el diseño de vertedero de demasías de Presas (embalses), ya que cuando la cara inferior de la lamina vertiente no esta bien aireada ( o sea que actué la presión atmosférica) debido a impedimentos de orden estructurales, que impiden la salida total o parcialmente del aire liquido entre el paramento y la cara inferior el aire es arrastrado progresivamente por las partículas liquidas originándose de la lamina presiones negativas que pueden provocar un fenómeno de capitación y poner en peligro la obra (para el caso de d e las Laminas que deben estar adherida).
Cuando se producen presiones menores que la atmosférica entre el paramento de las laminas y la cara inferior de la lamina vertiente se establece así una diferencia de presión entre las caras superior e inferior, lo que provoca que la lamina sea empujada hacia el paramento produciendo un cambio de forma de la lámina vertiente denominándose lamina deprimida esta variación de forma de la lamina vertiente va acompañada de un aumento de caudal; este aumento estaría según Bazin en el orden del 8%. Si se aumenta la carga ha la disminución de presión bajo la cara inferior de la lamina deprimida también crece, por lo que llega a adherirse al paramento (si el tiene un espesor pequeño), Bazin la llamó lámina adherente, que a igualdad de carga da un un gasto mucho mucho mayor que la netamente netamente destacada o libre y que la deprimida. Tiene un espesor pequeño) Bazin la llamo lamina adherente, que a igualdad de carga da un gasto mucho mayor que la netamente destacada o libre y que la deprimida. Un aumento de carga en un vertedero con lamina adherente, empieza por deformarla llenándola de estrías verticales pronunciadas que semejan al decir de Bazin a los pliegues de una cortina y esta lamina concluye separándose bruscamente del paramento de la barrera, totalmente llena de agua tumultuosa en su parte inferior, razón por la cual Bazin la llamo “lamina ahogada”. Al cambio brusco de lámina adherente en ahogada corresponde un cambio brusco en la carga en esta disminución. Al cambio de deprimida en adherente, corresponde un cambio brusco en la carga en este aumento. Cuando por razones de la forma de la barrera no es posible la formación de una lámina adherente la lámina deprimida se transforma en ahogada. Con relación al nivel de agua abajo del canal de Página 23 de 31
salida, pueden ocurrir los siguientes casos: Los valores limites por la cual la lamina va adquiriendo las distintas características citadas dependen de varios factores, siendo función también de la forma como se consigue cada estado del escurrimiento, así, si los sucesivos tipos de laminas se logran por un aumento progresivo de la carga sobre el umbral, dichos valores difieren (son mayores) para los que se obtiene para los mismos estados de escurrimientos conseguidos mediante la progresiva disminución de la carga.
Resumen: La descarga libre puede presentarse: a)Lamina netamente destacada, o libre b)Lamina deprimida c)Lamina adherente d)Lamina ahogada con resalto rechazado e)Lamina ahogada con resalto al pie La descarga sumergida puede presentarse: a) Lamina sumergida con resalto rechazado b) Lamina sumergida c) Lamina ondulada Página 24 de 31
La cota del nivel de aguas abajo no significa necesariamente que dicho nivel tenga influencia en el escurrimiento sobre el vertedero aunque sea superior al umbral, porque puede suceder que no la tenga y en cambio otro aun inferior a la cota del umbral si. Para estudiar esta influencia de los niveles del canal aguas abajo sobre el escurrimiento sobre el vertedero, se construyeron gráficos en los cuales se colocaron en las abscisas la razón h/h entre la carga y altura de la barrera y en ordenada la razón h/h entre la profundidad del canal de salida y la altura de la barrera sea resalto rechazado o no, de donde se averigua si el escurrimiento esta influenciado o no. VERTEDERO DE PARED DELGADA Ecuación general del Gasto
Considere un vertedero de pared delgada y sección geométrica como se observa. En la sección se cumple: H = h +
Si h es muy grande
V 0 2 2 g
V 0 2 2
es despreciable y
H=H. Aplicando la ecuación de Bernoulli para una línea de corriente entre 0 y 1, se tiene: V 0 2
V 2
= h h+ y + Energía 2 g 2 g sección 0 y 1. O bien: V 0 2 V 2 H = h + = y+ 2 g 2 g I 0
h +
si
V 0 2 2
I 0
es despreciable, la velocidad en cualquier punto de la sección 1, vale:
V = 2 g (h y) . El gasto a través del área elemental de la figura es entonces:
dQ = 2 2 g µ x h y dy En donde µ considera el efecto de contracción de la lámina vertiente. Página 25 de 31
en
la
h
Q = 2 2 g µ x h y dy 0
que es la ecuación general del gasto para un vertedero de pared delgada, la cual es posible de integrar si se conoce la forma del vertedero. En la deducción de la formula se han considerado hipótesis únicamente aproximadas, por ejemplo: a) No se considero las perdidas de cargas que se consideran incluidas en b) Todos los puntos de las sección 2, las velocidades tienen dirección horizontal y con distribución parabólica c) Distribución de velocidades uniformes para Vo y V, y para todos los puntos de las secciones 1 y 2 resp respec ecti tiva vame ment ntee d) Lamina perfectamente ventilada y no influenciada por el nivel de aguas abajo e) Sin contraction de fond. VERTEDERO RECTANGULAR.
Donde
b
x =
2
, reem reempl plaza azand ndo o en la ecua ecuació ción n
general:
h
Q =
2
2
g
µ
b
2
h
1 h 2 0
y
y 2
(
g
dy)
0
h
Q =
2
g
µ
b
1 2
dy =
2
g
b
h 2
2
3
µ
h
b
( h y) 32 0
Finalmente nos queda: Q =
2 3
2
g
µ
3
Que es la formula para calcular vertedero de sección rectangular, cuya carga de llegada es despreciable, también suele considerarse: C =
2 3
Q = C
2
b
g
µ
!
3
h 2
A pesar de que las ecuaciones 1 y 2 deducidas anteriormente valen únicamente únicamente para velocidades de llegada nulas, diferentes autores han investigado y obtenido formulas para evaluar en las cuales se incluya dicho efecto para permitir que tales ecuaciones conserven su validez, en efecto cuando en un vertedero de sección rectangular se cumplen las contracciones laterales y de fondo totalmente se utiliza en lugar de h de modo que la ecuación queda: 2 3
µ
1
+
3 2
2 g V0
2
Página 26 de 31
g
b
3
h 2
La cual puede escribirse: Q = k
2
µ
1
g
3 2
b
h
Si: k =
2
3
3 2
g
V0
+
2
VERTEDERO TRIANGULAR:
Vertedero de sección triangular simétrica respecto al eje vertical:
de
sección
Aplicando (1) h
Q = 2
2
g
µ
"
y tg 2
h
y
dy
h
y
dy
0
Integrando:
Q = 2
Por un procedimiento de sustitución tal que Z = h – y, Q =
Q =
2 2
2
2
g
g
µ
µ
" 2
h
" tg 2
0
tg
Z
h
Z
2
g
µ
h
y
0
y = h – Z; dy = -dZ -dZ,, y reemp reempla lazan zando do::
dZ =
0
1 Z 2
*
(h Z)
dZ
h
0 0 3 5 " 2 2 Z 2 Q = 2 2 g µ tg 2 3 Z2 hh 5 h " 2 h32 h + 2 h52 Q = 2 2 g µ tg 2 3 5 " 2 h32 + 2 h52 = Q = 2 2 g µ tg 5 2 3 5 " 2 + 2 = 2 2 Q = 2 2 g µ tg h 2 2 3 5 5 " 8 2 g µ tg Q = h2 15 2 ver el tema de la extracción del factor común!!
* Ya que que los limites limites de la integración integración serian: y = 0
Q =
" tg 2
8 15
C =
8 15
Q = C h
" 2
.h 5 / 2
µ
!
90, ento entonc nces: es: " = 90,
2 g tan 5
Z = h; y = h, Z
2 g µ tan
El vertedero tipo Thompson, le corresponde un valor
g
2
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" 2
!
" 2
tg
0.
5 2
h
4
15
VERTEDEROS TRAPECIALES: El gasto en un vertedero trapecial puede calcularse suponiendo la suma del gasto correspondiente a un rectangular con longitud de umbral igual a “b” y triangular formado por las dos orillas.
Q =
Q = Q =
2 3 2 3 2 3
2
g
2
g
µR
2
g
µR
µ
b
+
b
h
4
5
h
3 2 +
h b
8 15 µT
2
tg
g
" 2
µT
b
" 2
tg
h
5 2
3 2
h
3 2
Por lo que es posible aplicar la formula de vertedero rectangular. La geometría de este vertedero ha sido obtenida de manera que las ampliaciones laterales compensen el gasto disminuido por las contracciones laterales de un vertedero rectangular, de longitud de cresta o umbral “b”. 5
# µ D 2 se usan ábacos o tablas que son de forma de dos columnas, una donde estan los valores de h / D, y la otra los valores de #, donde donde se pueden pueden encontrar encontrar los valores # en función de “h” y D. Para un vertedero circular,
Q =
METODO DEL VERTEDERO PERFECTO: Características: 1) Contracción lateral nula 2) Contracción de fondo máxima (prácticamente h0 > 3h , o bien bien otro otross aut autor ores es toma toman n h0 > 4h . 3) Velocidad de llegada nula 4) Pared delgada, e < 0.50h , umbral umbral horizontal y sección rectangular. rectangular. 5) Pared vertical (90º) 6) Dirección Normal respecto a la corriente 7) Caída libre y lamina netamente destacada
Cuando no se verifican algunas condiciones destacadas anteriormente que caracterizan al vertedero perfecto, el coeficiente de gasto µ debe multiplicarse por los factores de corrección C1, C2, …, correspondientes.
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VERTEDEROS DE PARED GRUESA: Un vertedero de pared delgada quedaba caracterizado por el hecho que la lamina solo toca la barrera en una arista o línea a lo largo del umbral, y se denominaba vertederos de pared gruesa aquellos en que la lamina vertiente toca su umbral en una superficie mas o menos grande, circunstancias que hacen que el escurrimiento tenga características distintas a las anteriores. El vertedero mas simple de este tipo es el representado en la figura que consiste en una pared gruesa con umbral horizontal al que se adhiere la lamina vertiente. Para que se produzca la adherencia, es necesario que la distancia “a” sea mayor que la longitud definida entre la cresta de un vertedero de pared delgada y la intercepción de la línea de la cara interior de la lamina vertiente y el plano horizontal o sea a > x. De x. De no cumplirse esta condición el vertedero funciona como de pared delgada.
Como limite mínimo “a” para que la adherencia tenga lugar no puede darse un valor único, ya que no solo depende de la carga, sino de la forma como se opera. Si en un vertedero que esta funcionando con lámina destacada se disminuye progresivamente su carga, se consigue la adherencia cuando h = 1.5a , es deci decir: r: a = 0.66h Si partimos un estado de adherencia, la separación de la lamina se produce para h = 2a , es deci decirr a = 0.50h (aumentando progresivamente la carga). Como regla general, puede decirse que cuando el espesor: • a > 0.66h hay adherencia • a < 0.50h no hay adherencia Esto quiere decir que entre 0.66 h y 0.50 h la adherencia es inestable. Cuando a > 3h las condiciones del escurrimiento cambian apreciablemente. Entonces se clasificaran los vertederos de pared gruesa de la siguiente forma: •Para valores 0.66h < a < 3h , “vertedero “vertedero de pared pared intermedia” intermedia” •Para valores a > 3h “vertedero de pared gruesa propiamente dicho”. Para los vertederos de pared intermedia ( 0.66h < a < 3h ) generalmente generalmente se utiliza utiliza la expresión expresión de gasto de pared delgada, aplicando coeficientes de gasto adecuados. Si se redondea la arista de aguas arriba de umbral del vertedero se aumenta apreciablemente el caudal pudiéndose estimar en el orden del 15%, variaciones del coeficiente de descarga, se producen también inclinando el paramento de aguas abajo o aguas arriba dándole una forma adecuada para guiar la lamina vertiente, resultando de esta forma innumerables perfiles a los que les corresponden otros tantos coeficientes de descarga. Como es de suponer, fueron numerosas las experiencias realizadas en este tipo de barrera, las cuales se hallan ordenadas en los manuales de la hidráulica, por lo que omitimos su inclusión. Ante problemas particulares en los que se necesite tener un valor suficientemente exacto del caudal y no existan experiencias, experiencias, se se debe recurrir recurrir al ensayo ensayo en modelos modelos o bien recurrir recurrir a medicio mediciones nes Página 29 de 31
exactas sobre el prototipo. VERTEDERO DE PARED GRUESA PROPIAMENTE DICHA. Según se vio anteriormente, es cuando a > 3h y el límit límitee super superior ior a < 14h , aproxi aproximad madame amente nte valor limite superior; ya que superadas las características del escurrimiento son similares a los que se producen en un canal con movimiento cercano al crí tico. El problema que nos interesa fundamentalmente, es la determinación del coeficiente de gasto de este tipo de vertedero.
La experiencia indica que sobre el umbral s forma una depresión en la superficie libre con relación al nivel aguas arriba y luego esta escurre con tirante más o menos constante hasta el borde del vertedero donde disminuye según corresponde a la “llamada” de la caída. Ahora bien, en la sección A-A aguas arriba del vertedero el escurrimiento es tranquilo (casi en la totalidad de los casos); en cambio en la sección C-C (de caída) ocurre en régimen torrencial, en consecuencia existirá un punto intermedio entre ambos y sobre el plano horizontal de la cresta del vertedero donde el régimen es critico como transición obligada del tranquilo al torrencial RECORDANDO DE CANALES: Denominamos energía específica
H =
V
2
2
Q
+ h = h +
2 g 2 g particular de un canal rectangular b · h, la hc corresponde al valor N
valor:
dH dh
= 0,
2
entonc entonces: es: dH dh dH dh
= 1
2
Q
= 1
2
g
3
b
h
2
V
g
h
Así la velocidad crítica será: Vc =
g
hc
El valor del tirante hc en funcion del caudal es: 2
hc =
Q
3
g
2
b
.
Como el número de Froude: Vc
g
hc
= 1,
podemos decir: V 2
2
g
=
hc 2
Volviendo a Hmin:
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= 0;
!
H = f(h ) ,
min ,
para el el ca caso
o sea sea para para enc encon ontra trarr su su
2
v
Hmin = hc + 3
Hmin =
2
2
g
3
hc =
=
2
2
2
hc
= hc +
Q
3
g
2
b
Si consideramos la variación del Q en función del tirante manteniendo constante la energía propia o especifica, esto se consigue variando la pendiente: 2
Q
H = h +
!
2 g (H h) 2
Q =
2
g
= f(h)
Para el caso del escurrimiento sobre la cresta del vertedero y de sección rectangular, se puede expresar el gasto como: Q = b h 2 g (H h) (Considerando b el ancho del vertedero o longitud de su umbral o cresta). Aplicándola a la sección donde se produce el tirante critico, para lo cual sustituiremos a H (energía especifica) por la carga del vertedero suponiendo velocidad de llegada suficientemente pequeña, como ocurre en la mayoría de los casos, cas os, y el valor de h = h crit., por lo tanto se tendrá: Q = b
hcrit
2
g
(h
hcrit ) ,
pero pero ant antes es diji dijimo moss que que
3
h =
2
hc
!
1
hc =
2 3
h,
entonces
queda: 2
Q = b
3
h
2
h
g
2 3
h = b
2 3
2
b
h
3
h
Expresión que deberá ser igual a la del vertedero de pared delgada: 2 3
3
µ
b
2
g
h2 =
2 3
1 3
3
b
2
g
h2 ,
De donde se deduce que el coeficiente de gasto de un vertedero de pared gruesa es:
2 3
µ =
2 3
1 3
3
entonces,
Q = m
experimentalmente
b
m =
2 2 3
g
1 3
h2 ,
valor valor deducid deducido o teóricam teóricament entee pero que que fue confirm confirmado ado
, dond dondee le corr corres espo pond ndee un un val valor or de
ecuación queda: Q=
2 3
3
µ
2 g h 2
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µ = 0.578 ,
ento enton nces ces la la
