Capítulo 10 Singularidades en contornos abiertos y cerrados ‐ Orificios y vertederos Contenidos 10.1
Conceptos generales ................. ................ ................. ................. ................. ................ .............. 426
10.2
Orificios ................ ................ ................. ................. ................ ................. ................. .................. 427
10.2.1 10.2.2 10.2.3 10.2.4 10.2.5 10.2.6 10.2.7 10.2.8 10.2.9 10.2.10 10.2.11 10.2.12 10.2.13 10.3
Vertederos ............... ................. ................ ................. ................. ................. ................ ............... 452
10.3.1 10.3.2 10.3.3 10.3.4 10.3.5 10.4
Cuadros
10.4.1 10.4.2 10.5
Elementos Elementos de un orificio orificio .................. ............................ ................... .................. ................... ................... ................... ................... .................. ........... 427 Orificio perfecto ................................ ................ ................................. .................................. ................................. ................................. ......................... ........ 428 Orificio en pared horizontal ................................ ............... .................................. .................................. .................................. ....................... ...... 430 Velocidad de llegada no despreciable..........................................................................431 Contracción Contracción parcialmente parcialmente suprimida suprimida .................. ............................ ................... .................. ................... ................... .................. ........... 431 Contracción Contracción incompleta incompleta .................. ........................... ................... ................... .................. ................... ................... .................. .................. ............ ...433 433 Orificios de arista redondeada......................................................................................433 Orificios de gran abertura vertical respecto a la carga.................................................434 Orificios en pared intermedia.......................................................................................436 Orificios en pared gruesa..............................................................................................436 Orificios totalmente sumergidos .................................. ................. .................................. .................................. ............................... .............. 439 Orificios parcialmente sumergidos ................................ ............... .................................. ................................... ............................. ........... 449 Orificios bajo carga variable ................................ ............... .................................. .................................. .................................. ...................... ..... 449 Elementos de un vertedero...........................................................................................453 Características del flujo sobre vertederos ............................... ............... ................................. .................................. .................... ... 453 Vertederos de pared delgada........................................................................................454 Vertederos Vertederos de pared intermedia intermedia ................... ............................ .................. .................. ................... ................... .................. ..................459 .........459 Vertederos de pared gruesa .................................. ................. ................................. ................................. .................................. ....................... ...... 462 resumen.......................................................................................................................465
Orificios........................................................................................................................465 Verdederos....................................................................................................................467
Ejercicios ................ ................. ................ ................. ................. ................ ................. ................ 469
Introducción En este capítulo se desarrollan los conceptos básicos correspondientes a dos estructuras hidráulicas importantes: los orificios y los vertederos. La importancia de estas estructuras radica en su utilización con fines de medición y regulación de caudales, en particular relacionados con el flujo a presión en conductos (orificios) y el flujo por gravedad en canales (orificios y vertederos).
425
426
CAPÍTULO 10. SINGULARIDADES EN CONTORNOS ABIERTOS Y CERRADOS
10.1 Conceptos generales El flujo a través de orificios y vertederos adquiere gran importancia ya que estas dos estructuras son las más utilizadas para la regulación y/o medición de caudales. El flujo a través de estas estructuras se caracteriza por el hecho que las líneas de corriente sólo se pueden considerar rectas paralelas en puntos singulares del flujo (usualmente la sección conocida como vena contracta). Hemos visto que el flujo potencial permite modelar flujos en los cuales las líneas de corriente no son rectas paralelas, sin embargo si se desprecian las pérdidas de forma que se producen en estas singularidades el error que se comete (en particular en el cálculo de caudal) es importante. Por lo tanto es difícil enunciar una teoría general y cada estructura debe considerarse en forma individual. Debido a lo difícil de establecer procedimi procedimientos entos totalmente totalmente analíticos analíticos para su cálculo, cálculo, en general general es necesario necesario recurrir recurrir a la experiment experimentación. ación. Cuando las estructuras hidráulicas a diseñar son de gran importancia es usual realizar su ensayo en modelos (vertederos en grandes presas por ejemplo). Sin embargo algunos estudios analíticos complementados con ensayos de laboratorio, permiten arribar en ciertos casos a resultados que coinciden con la experimentación. Algunos ejemplos de la utilización de estos elementos son: Orificios: desagüe de tanques, medición de caudales mediante placa orificio, regulación de presión mediante placa orificio, descarga de presas pequeñas. Cabe destacar que una válvula puede considerarse como un orificio cuyo pasaje es variable y sus ecuaciones son similares a las de los orificios. Vertederos: medición de caudales en canales, regulación de caudales de salida en equipos de tratamiento de aguas, regulación de caudales de riego, regulación de presas de embalses. Denominamos orificio a toda abertura practicada en la pared de un depósito, un canal o un conducto a presión y en la cual el escurrimiento llena completamente su contorno. Denominamos vertedero a toda abertura en la cual en la parte superior de la misma hay una superficie libre. De esto se desprende que un orificio que no se encuentra totalmente sumergido en el recipiente o canal se comporta como un vertedero. Tanto para los orificios como para los vertederos puede darse el caso que aguas abajo el tirante líquido se encuentre por encima del orificio (o vertedero) o bien por debajo del mismo (sin embargo el fluido en el orificio debe ocupar todo el contorno sino se comportaría como un vertedero y para su cálculo se debería aplicar las ecuaciones que corresponden a éste). En el primer caso se dice que el orificio (o vertedero) está totalmente sumergido y en el segundo que el desagüe se produce a descarga libre. En el tipo de flujo que se produce tanto para los orificios como para los vertederos es de importancia fundamental el espesor de pared de los mismos por lo cual podemos distinguir entre orificios (o vertederos) de arista viva, de pared fina o de pared gruesa. Algunos de los casos enunciados se pueden ver en la Figura 10.1. Enfatizamos, asimismo, que la presente publicación no pretende ni debe reemplazar a los buenos manuales de hidráulica (ver la bibliografía citada al final del capítulo) de donde se pueden obtener los coeficientes a utilizar en la práctica, los valores dados aquí son indicativos. La intención de este capítulo es por lo tanto resaltar las características físicas fundamentales que le permitan al ingeniero seleccionar los mismos adecuadamente, pues de ello dependerá la exactitud de los cálculos.
427
10.2. ORIFICIOS
Un orificio se considera de pared delgada cuando el espesor de la pared es menor a la mitad de la dimensión más pequeña del orificio. Si el espesor de la pared se ubica entre la mitad y tres veces la menor dimensión del orificio se dice que el espesor es intermedio. Si el espesor es superior a tres veces la menor dimensión decimos que el orificio es de pared gruesa. Para una mejor comprensión de lo dicho ver la figura que sigue:
Figura 10.1
10.2 Orificios 10.2.1 Elementos de un orificio Un orificio es, en principio, cualquier abertura practicada en una pared, de aquí se desprende que el líquido contenido se derrama a través de él. Algunos elementos caracterizan el orificio son: A0, área de su sección transversal, e, longitud o espesor de la pared, H, carga o altura de líquido desde el baricentro del orificio hasta la superficie de nivel, d0, dimensión vertical del área V H (carga)
e d0
área A0
Figura 10.2
>10º
vena contracta
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CAPÍTULO 10. SINGULARIDADES EN CONTORNOS ABIERTOS Y CERRADOS
10.2.2 Orificio perfecto Analizaremos el caudal que descarga por un orificio que cumple ciertas condiciones al que denominaremos perfecto perfecto o ideal. Luego analizaremos las variantes sobre éste para obtener la expresión de la descarga de otras posibles posibles conform conformacione acioness del orificio. orificio. El orificio perfecto cumple las condiciones mencionadas en la columna izquierda de la siguiente tabla: Orificio perfecto
Variantes
ubicado en una pared vertical la velocidad de llegada V es despreciable la contracción del chorro descargado por el orificio es completa (vena contracta) la arista del orificio es viva, el ángulo de la descarga es mayor a 10º el orificio es pequeño y la pared tiene tamaño infinito, por lo tanto la carga puede ser considerada constante la pared es delgada (e<0,5d0)
ubicado en una pared horizontal (ver 10.2.3) la velocidad de llegada no despreciable (ver 10.2.4) la contracción está parcialmente suprimida (ver 10.2.5) o es incompleta (ver 10.2.6) la arista es redondeada (ver 10.2.7) el orificio es de gran abertura vertical respecto a la carga (ver 10.2.8)
la pared tiene espesor intermedio (ver 10.2.9) o grueso (ver 10.2.10) la descarga es libre, es decir desagua a la el orificio está totalmente sumergido (ver 10.2.11) atmósfera (Figura 10.3) o parcialmente sumergido (ver 10.2.12) el flujo es estacionario, el recipiente mantiene una el flujo no es estacionario y el orificio tiene carga carga constante (H=cte) variable (ver 10.2.13)
Bajo las condiciones enunciadas para el orificio perfecto, observamos que aguas abajo del mismo el chorro se contrae hasta alcanzar una sección mínima luego de la cual el chorro se expande. En dicha sección mínima las líneas de corriente deben ser sensiblemente paralelas (pues en dicho punto las líneas de corriente pasan de convergentes a divergentes), y por lo tanto en dicha sección la distribución de presiones debe ser constante e igual a la presión del entorno. A dicha sección se la conoce como vena contracta. Obsérvese que la presión en el interior del chorro aguas arriba de la vena contracta deberá ser superior a la presión del entorno (usualmente la atmosférica) en tanto que aguas abajo será inferior a la misma, debido a la forma de las líneas de corriente (convergentes y divergentes respectivamente). 1
H1
e 2
área A 0 1
volumen de control
área A2
2
vena contracta
Figura 10.3 Cabe preguntarse ¿por qué se origina dicha vena contracta? La respuesta radica en el hecho que los filetes de fluido, que se encuentran a los costados del orificio, son obligados a girar bruscamente 90° a fin de desaguar por el orificio. orificio. Debido a ello la inercia inercia actúa haciendo haciendo que primero primero los filetes filetes de fluido converjan y luego diverjan. Si al volumen de control indicado en la página anterior le aplicamos la ecuación de la energía:
429
10.2. ORIFICIOS Q W (eje)
1 p e d u V 2 g z V dA t VC 2 SC
Siendo el flujo permanente y al no existir intercambio de potencia mecánica o calórica con el medio nos queda: 0
p 1 2 u V g z V d A 2 SC
Como sólo hay flujo a través de la superficie libre y la del orificio, y teniendo en cuenta que las líneas de corriente en la vena contracta son rectas paralelas se puede escribir: 1 1 u1 V 12 g H 1 Q u 2 V 2 2 Q 2 2
Debido a la hipótesis de pared infinita la velocidad de llegada (velocidad sobre la sección 1-1) debe ser despreciable, además la suma del término de presión más la energía potencial se mantiene constante para toda la sección y por lo tanto es igual a la aceleración de la gravedad por la altura de la superficie libre. La diferencia de energía interna entre la superficie libre y la vena contracta u mide la pérdida de energía debido a la fricción entre capas del fluido y de éste con la estructura. Finalmente la presión en la superficie libre es la atmosférica al igual que en la vena contracta (líneas de corriente rectas paralelas). Por lo tanto luego de simplificar obtenemos: 1 g H 1 V 2 2 u 2
Y por lo tanto: V 2 2 g H 1 u
Lo usual es expresar la pérdida de carga afectando la velocidad con un coeficiente que llamaremos coeficiente de velocidad , que será menor que la unidad, con lo cual se puede escribir: V 2 C v 2 g H 1
(10.1)
Nótese que la altura altura H 1 es la altura desde el baricentro de la vena contracta hasta la superficie libre del depósito, la cual en orificios practicados en paredes verticales es esencialmente igual a la altura desde el baricentro del orificio. En cambio para orificios practicados en paredes horizontales dicha altura no coincide exactamente con la altura del baricentro como se verá más adelante. El valor de C v para orificios practicados en paredes horizontales tal como la mostrada varía entre 0,96 y 0,99 siendo lo usual adoptar 0,98. De acuerdo con la ecuación de continuidad el caudal volumétrico valdrá: Q V 2 A2 C v 2 g H 1
(10.2)
Donde A2 es el área contracta. Si referimos dicha área al área del orificio ( A0) definiendo el coeficiente de contracción C c, como la relación A0 /A2, la anterior se puede reescribir: Q C v C c A0 2 g H 1
(10.3)
Este coeficiente de contracción fue determinado para algunos casos especiales en forma analítica y en general en forma experimental, dando como resultado que su valor varía entre 0,6 y 0,7 adoptándose en la práctica el valor de 0,63. Finalmente la ecuación del caudal se puede expresar: Q C d A0 2 g H 1
(10.4)
430
CAPÍTULO 10. SINGULARIDADES EN CONTORNOS ABIERTOS Y CERRADOS
En la cual C d d es el coeficiente de descarga y es igual al producto: C d C v C c
(10.5)
En general este coeficiente depende de: la forma del orificio, tiende a ser menor para el círculo que para el cuadrado y en éste menor que en el rectángulo, es mayor cuanto más alargado es el rectángulo, para grandes grandes valores valores de de la carga carga H (H 1) no interesa la posición del orificio, para una misma misma carga y forma forma de la sección sección es menor menor cuanto cuanto mayor mayor es el orificio, orificio, es función del número de Reynolds, en orificios circulares con valores del número de Reynolds mayores que 100.000 tiende a 0,6, aumenta con la temperatura del fluido. Por lo tanto el caudal para un orificio de pared delgada en posición vertical, con descarga libre y con una abertura despreciable respecto de la carga se puede establecer como: Q 0,617 A0 2 g H 1
(10.6)
Ejemplo 10.1
En el centro de la pared vertical de un tanque con nivel de líquido de 5 m se practica un orificio de 10 mm de diámetro. El tanque es suficientemente grande como para despreciar las variaciones de nivel debido al desagüe. El líquido en el tanque es agua de densidad relativa 1. Determinar el caudal desaguado por el orificio y la velocidad de salida en la vena contracta. Solución
El caudal lo obtenemos de la ecuación (10.6): Q 0,617 A0 2 g H 1 0,617
0,012 m 2 2 9,8m / s 2 5m 3600s / h 1,727m3 / h 4
Para determinar la velocidad en la vena contracta utilizamos la ecuación (10.1) con Cv=0,98: V C v 2 g H 1 0,98 2 9,8m / s 2 5m 9,7 m / s
10.2.3 Orificio en pared horizontal Cuando la pared en que se practica el orificio es horizontal en lugar de vertical (Figura 10.4), como se había anticipado la altura H 1 de la superficie libre respecto del orificio no coincide con la altura de la vena contracta, sino que ésta se encuentra más baja dando lugar a un aumento de la velocidad y por lo tanto a un aumento del caudal pues la superficie de la vena contracta no se ve influenciada por la posición del orificio. Remitiéndonos a la Figura 10.4, la velocidad en la vena contracta se modificará respecto de la encontrada para dar: V 2 C v 2 g H 1 z 2
H1
z2
2
2
e
431
10.2. ORIFICIOS
Figura 10.4 Que también se puede expresar: V 2 C v 2 g V 2 C v
H 1 z 2 H 1
H 1 z2 H 1
H 1
2 g H 1
El valor de z2 es del orden del tamaño de la abertura y en la práctica usualmente se lo desprecia.
10.2.4 Velocidad de llegada no despreciable Cuando la velocidad de llegada en la sección 1-1 es mayor o igual a 0,3 m/s, usualmente no se puede despreciar. La ecuación de la energía por lo tanto será: 1 1 V 12 g H 1 V 2 2 u 2 2
Donde es el coeficiente de corrección de la energía cinética, como se vio en el punto 3.6 del capítulo 3. Para canales, es usual adoptar para el valor de 1,1. De aquí: 1 V 2 2 g H 1 u V 12 2
Que como se ha dicho puede ser escrita como: 1 V 2 C v 2 g H 1 V 12 2
(10.7)
Y por lo tanto el caudal desaguado cuando la velocidad de llegada no es despreciable será: 1 Q C d A0 2 g H 1 V 12 2
(10.8)
10.2.5 Contracción parcialmente suprimida Como ya se ha resaltado la contracción de la vena ocurre debido a que los filetes de fluido adyacentes al orificio son obligados a girar 90° para alcanzar la salida. Obviamente que si algún lado del orificio es paralelo a una de las superficies (por ejemplo la inferior) como podría ser el caso de un canal mostrado en la Figura 10.5, la contracción no será completa se dice que la contracción está parcialmente suprimida. Vista de frente
Vista lateral
e H1
área A2
l
l a
área A0 Vena con contracción inferior suprimida
ps = l p = 2.(l+a) ps, perímetro suprimido p, perímetro del orifici o
Figura 10.5
a ps = l + 2.a p = 2.(l+a)
432
CAPÍTULO 10. SINGULARIDADES EN CONTORNOS ABIERTOS Y CERRADOS
Por otra parte este aumento de la sección producirá un aumento del caudal respecto al caudal que se obtiene con contracción completa. Llamando ps al perímetro del área suprimida y p al perímetro total del orificio se debe corregir el caudal de descarga calculado como orificio de contracción total de acuerdo a los siguientes coeficientes: Tipo de orificio según Bidone según Weisbach Rectangulares Cs=1+0,156 ps/p l>0,2m a>0,1m: Cs=1+0,157 ps/p l<0,2m a<0,1m: Cs=1+0,134 ps/p Circulares
Cs=1+0,128 ps/p
Con lo cual la fórmula de caudal se podrá expresar: 1 Q C s C d A0 2 g H 1 V 12 2
(10.9)
Ejemplo 10.2
Un canal rectangular de solera de 1 m de ancho desagua mediante una compuerta rectangular que ocupa todo el ancho del canal y tiene una altura de 0,5 m (Figura 10.6). Si el desagüe es libre y el tirante en el canal es de 2,5 m calcular el caudal que desagua la compuerta, la velocidad de llegada en el canal y comparar el resultado de caudal obtenido con el que surgiría de considerar la compuerta como orificio perfecto.
y=2,5m
H1
V1
b = l = 1m
a=0,5m
Figura 10.6 Solución
Aquí a priori no se puede despreciar la velocidad de llegada. Por otra parte la contracción de vena se encuentra restringida por el fondo y los bordes del canal. Entonces para encontrar el caudal utilizaremos la ecuación (10.9): 1 Q C s C d A0 2 g H 1 V 12 2
La velocidad V1 es la velocidad en el canal la cual no es conocida, pero como conocemos la sección y el tirante la ecuación de continuidad nos permite reemplazar la velocidad en el canal mediante: V 1
Q b y
Por lo tanto: 2 Q 1 Q C s C d A0 2 g H 1 2 b y
Despejando el caudal de la anterior resulta: Q
g H 1 1 2 C s 2 C d 2 b 2 a 2 2 b 2 y 2
433
10.2. ORIFICIOS
Adoptando el factor C s de acuerdo a Weisbach, resulta: C s 1 0,157
p s b 2a 1m 2 0,5m 1 0,157 1 0,157 1,105 p 2 b a 2 1m 0,5m
Adoptando el valor de C d d como 0,617 y el factor =1,1: Q
9,8m / s 2 2,25m
2 2 2 2 2 2 2 2 2 1,105 0,617 1 m 0,5 m 2 1 m 2,5 2 m 2 1
2,287m 3 / s
La velocidad de llegada en el canal será: V 1
2,287m3 / s 0,915m / s 1m 2,5m
Si se hubiera considerado la compuerta como un orificio perfecto el caudal habría resultado: Q 0,617 1m 0,5m 2 9,8m / s 2 2,25m 2,049m3 / s
10.2.6 Contracción incompleta Asimismo cuando la distancia del orificio a las paredes del recipiente es menor a 3 veces la menor dimensión del mismo también el alineamiento de los filetes hace que la contracción de la vena sea más suave que en el caso de la contracción completa, dando lugar a caudales mayores que en dicho caso. A este tipo de contracción se lo denomina incompleta (Figura 10.7) y los coeficientes de corrección son: Tipo de orificio Rectangulares
C s 1 0,076 9 n 1
Circulares
C s 1 0,04564 14,821n 1
Donde n es la relación entre el área del orificio y la superficie transversal del canal de llegada.
Figura 10.7
10.2.7 Orificios de arista redondeada En el orificio de aristas agudas, el objetivo es miminizar las pérdidas por fricción minimizando el contacto entre el orificio y el líquido. Por otro lado, la forma del orificio de arista redondeada acompaña las líneas de corriente en la descarga, con lo cual el coeficiente de contracción igual a Cc=1,00 y el coeficiente de descarga es de Cd=0,98.
434
CAPÍTULO 10. SINGULARIDADES EN CONTORNOS ABIERTOS Y CERRADOS
Figura 10.8
Orificio de arista redondeada
10.2.8 Orificios de gran abertura vertical respecto a la carga Como definimos al principio del capítulo, la carga del orificio es la altura de líquido desde el baricentro del orificio hasta la superficie de nivel. En el desarrollo de las ecuaciones de caudal anteriores se supuso que la velocidad del fluido no variaba en toda la abertura del orificio y se mantenía constante en toda el área del mismo. Sin embargo la velocidad del fluido varía desde la parte superior del orificio hasta la parte inferior por efecto del aumento de la carga a medida que aumenta la profundidad. Por lo tanto si la distancia entre el baricentro baricentro del orificio orificio y la superficie superficie libre respecto respecto de la altura altura de la abertura abertura del orificio orificio es pequeña será necesario tener en cuenta en el cálculo del caudal esta variación de velocidad. En lo que sigue vamos a tratar de determinar cuándo en un orificio la variación de carga se puede despreciar y cuándo no. Sea un orificio de gran abertura vertical como se muestra en la Figura 10.9 trataremos de calcular el diferencial de caudal dQ correspondiente a un diferencial de área dA:
z
H1
Hi
t
H j
l a
dz a)
Figura 10.9
b)
Orificio de gran altura respecto a la carga
1 dQ C d dA 2 g z V 12 2 1 dQ C d t z dz 2 g z V 12 2 Q C d
H j
H i
1 t z 2 g z V 12 dz 2
(10.10)
(10.11)
Donde hemos supuesto que el coeficiente de descarga se mantiene constante en toda la sección. Si consideramos una sección rectangular (Figura 10.9.b) de altura a, ancho l (es decir t(z)=cte=l) y considerando la velocidad de llegada despreciable la ecuación (10.11) se puede reescribir: Q C d l
H j
H i
2 g z dz
3 3 2 Q C d l 2 g H j 2 H i 2 3
(10.12)
435
10.2. ORIFICIOS
Si calculamos el caudal de desagüe como si se tratara de pequeña abertura (velocidad constante en toda la sección e igual a la velocidad en el baricentro) tendríamos: Qap C d l a 2 g H 1
Donde H 1 es la altura del baricentro. Si consideramos que una aproximación de 0,5% es adecuada para nuestros cálculos tendremos: 3
3
2 H 2 H i 2 Q 0,995 j 1 3 Qap a H 1 2
Y como H j=H1 + a/2 y Hi=H1 – a/2 3
3
3
3
a 2 a 2 H 1 1 2 H 1 1 2 H 1 H 1 2 2 a 2 a 2 1,495 1,495 1 1 b H 1 2 H 1 2 a
Resolviendo la anterior para H1/a=1,684 se obtiene un error de 0,5% que en general está muy por debajo de los errores que se cometen con el resto de las suposiciones. Por lo tanto y como regla general se puede decir que cuando la carga es mayor que dos veces la altura de la abertura (H1>2a) el considerar la velocidad uniforme e igual a la velocidad en el baricentro es aceptable a los fines prácticos. Siguiendo un razonamiento análogo se llegaría a una conclusión similar para un orificio de sección circular. Ejemplo 10.3
Encontrar el caudal que escurre bajo la compuerta del ejemplo 2 si el tirante en el canal es de 1 metro. Solución
En este caso la carga sobre la compuerta sería de 0,75 m, es decir una vez y media el valor de la abertura vertical, por lo tanto a fin de mantener el error por debajo del 5% deberíamos considerar a la compuerta como un orificio de tamaño vertical apreciable con respecto a la carga, y no deberíamos calcular entonces la velocidad (y el caudal) con la carga en el baricentro, sino que debemos integrar a lo largo de la compuerta. Para este caso recurriendo a lo visto en el Ejemplo 10.2 resulta: 2 Q 1 dz dQ C s C d b 2 g z 2 b y
Integrando la anterior para toda la compuerta: dQ C s C d b 2
y a
y
2 Q g z 1 b y dz 2
Realizando la sustitución: 2
Q 1 ; du g dz ; u g z 2 b y 2
Q 1 1 ; u y a g y a Q u y g y 2 2 b y b y
E integrando resulta:
2
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CAPÍTULO 10. SINGULARIDADES EN CONTORNOS ABIERTOS Y CERRADOS
Q C s C d
1 Q g y a 3 2 b y u2
b 2 3 g 2
1 Q g y 2 b y
3 22 b 2 1 Q Q C s C d 2 g Y 2 b y g 3
2
2
3 22 1 Q g y a 2 b y
Reemplazando valores: 3 22 1m 2 1 m Q 2 9,8 2 1m 1,1 Q 1,105 0,617 m 3 2 1 1 m m s 9,8 2 s
3 22 m 1 Q 9,8 2 0,5m 1,1 2 1m 1m s
Resolviendo la anterior por aproximaciones sucesivas, Newton-Raphson o cualquier otro método resulta: m3 Q 1,394 s
10.2.9 Orificios en pared intermedia No vistos vistos en el alcance alcance del del curso. curso.
10.2.10 Orificios en pared gruesa Cuando el espesor de pared supera tres veces a la menor dimensión del orificio el orificio se comporta en forma distinta que si dicha dimensión es menor a media vez dicha dimensión, es por ello que se diferencia entre orificios de pared delgada y orificios de pared gruesa. La pregunta que nos debemos hacer es básicamente cuál es la diferencia física que produce esta diferencia de comportamiento. La respuesta es que mientras en el caso de la pared fina la vena contracta se produce en contacto con el aire en el caso de orificios de pared gruesa dicha vena se produce en el interior de la pared. Como el efecto de la contracción de la sección produce un aumento de la velocidad del fluido también aumentará la energía cinética en la sección, dicho aumento de la energía cinética respecto a la entrada y a la salida del orificio debe ser hecha a costa de disminuir la presión en la sección como se infiere de la ecuación de la energía. Ahora bien como a la salida del orificio la presión del ambiente es la atmosférica la presión en la sección contraída debe ser inferior a la atmosférica y por tanto se produce un efecto de succión adicional al correspondiente a la descarga libre que se ve reflejado en un aumento efectivo del caudal de descarga especto al caudal que escurriría en caso de la descarga libre. Esto está en línea con las mediciones experimentales. Finalmente el reflujo de líquido que se produce en la contracción produce una pérdida por fricción que atenúa parcialme parcialmente nte el efecto efecto de succión succión antes mencionado. mencionado. Sea el orificio de pared gruesa mostrado en la figura:
Figura 10.10
437
10.2. ORIFICIOS
Para encontrar la velocidad en la vena contracta aplicamos la ecuación de la energía al volumen de control mostrado resultando como en los casos anteriores: u1 g H 1 u2
p2
V 2 2 2
(10.13)
Donde el término de presión es negativo pues hemos trabajado con presiones manométricas y la presión en la sección 2-2 es una depresión es decir es menor que la atmosférica. Bernoulli determinó que esta depresión era sensiblemente igual a: 3 p2 H 1 4
(10.14)
Reemplazando la ecuación (10.14) en la ecuación (10.13): V 2 2 3 u1 g H 1 u2 g H 1 4 2 2 7 V 2 u1 u2 g H 1 2 4
7 V 2 2 u1 u2 g H 1 4 7 2 g H 1 4
V 2 C v
Y por lo tanto el caudal será: Q V 2 A2 V 2 A0 C c
Donde, como vimos anteriormente, A0 es el área a la salida y CC es el coeficiente de contracción de forma tal que CC=A0/A2. Reemplazando en la expresión hallada. Q C v .C c A0
7 2 g H 1 4
Si adoptamos para C v y C c los valores indicados para orificios de pared delgada, es decir 0,98 y 0,63 respectivamente y efectuando las operaciones indicadas resulta: (10.15)
Q 0,817 A0 2 g H 1
Valor que se aproxima mucho a los valores obtenidos experimentalmente. Esta expresión corrobora lo dicho respecto a que el caudal desaguado supera al caudal desaguado en el caso de pared delgada delgada para el cual cual el caudal caudal valía valía (punto (punto 10.2.1) 10.2.1):: Q 0,617 A0 2 g H 1
Es decir que el caudal desaguado por un orificio de pared gruesa supera en 32% aproximadamente al orificio de pared fina. fina. Sin embargo embargo hay que notar que la depresión depresión en la vena contract contractaa no puede superar superar el límite límite teórico teórico de la presión atmosférica, es decir que para valores de la carga que superen el valor: p2
patm
3 4
10,33 m para el agua 10,33 H 1 H 1 13,78 m ,
los efectos de la pared gruesa comienzan a desaparecer. Debe tenerse en cuenta que este límite es menor pues antes de esto comienza a aparecer cavitación, es decir que el agua se vaporiza y tiende a disminuir el área de pasaje con lo cual también disminuye el caudal desaguado, es decir que el límite depende fuertemente de la presión del lugar y de la temperatura del agua.
438
CAPÍTULO 10. SINGULARIDADES EN CONTORNOS ABIERTOS Y CERRADOS
Tubos adicionales, entrantes o de Borda
El caudal que desagua por un orificio puede ser modificado dentro de ciertos límites por la inclusión de tubos adicionales normales al recipiente. Cuando se agrega a un orificio de pared delgada un tubo adicional cilíndrico normal al recipiente y exterior al mismo tal como se muestra en la Figura 10.11 el efecto producido es el mismo que si el orificio se comportase como un orificio de pared gruesa y dentro de los límites establecidos se podrá advertir un aumento de caudal como el descrito. Si en lugar de un tubo cilíndrico se agrega un tubo convergente, dentro de un determinado rango del ángulo de convergencia el caudal que se obtiene es mayor que para los tubos cilíndricos. El efecto mencionado es potenciado potenciado si se hace una entrada redondeada pues los filetes filetes de fluido son mejor guiados. Con este tipo de tubos se pueden lograr coeficientes de desagüe del orden de 0,98 para ángulos del orden de los 13°. Este es el caso de las boquillas de las lanzas de incendio.
Figura 10.11 Las secciones divergentes para pequeños ángulos de divergencia se comportan como las convergentes en tanto que para ángulos mayores se comportan como descarga libre. Cuando el tubo adicional es interior y con una longitud entre 2 y 2,5 veces el tamaño de la mayor dimensión del orificio se lo denomina tubo de Borda. El agregado de este tubo hace que los filetes de fluido en las proximidades de la boca de salida en el interior del recipiente deban girar 180° en lugar de 90° y por lo tanto la vena se contrae aún más que en el caso de tubos de pared delgada, delgada, lo cual sugiere sugiere que el caudal que desagua desagua es aún menor. menor. Esto ha sido corroborado corroborado por la experimentación que ha demostrado que el coeficiente de descarga para este caso se sitúa entre 0,51 y 0,53.
Figura 10.12 Teóricamente puede encontrarse una aproximación a estos valores aplicando la ecuación de continuidad y cantidad de movimiento en la dirección del movimiento al volumen de control que se muestra en la Figura 10.12. También, aplicando la ecuación de la energía y despreciando pérdidas obtenemos la velocidad en la vena contracta (sección 2-2) resultando como ya hemos visto:
439
10.2. ORIFICIOS V 2 2 g H 1
De la ecuación de cantidad de movimiento:
F ext . t V d V V d A VC
SC
Por ser el flujo permanente la derivada de la integral sobre el volumen de control es cero. En la dirección del movimiento las únicas fuerzas externas que actúan son las debidas al desequilibrio de presión presión producido producido por el orificio, orificio, y en la única única superfi superficie cie de control control donde hay hay flujo flujo de cantidad cantidad de de movimien movimiento to es sobre la vena contracta por lo tanto según la dirección del movimiento la anterior se reduce a: g H 1 A1 V 2 2 A2
Reemplazando por el valor de velocidad encontrado: g H 1 A1 2 g H 1 A2
De donde resulta: A2 0 ,5 C c 0 ,5 A1
Como se adoptó que no había pérdidas, es decir Cv=1, resulta, Cd=0,5, valor muy próximo al encontrado experimentalmente.
10.2.11 Orificios totalmente sumergidos En lo que respecta a los orificios totalmente sumergidos se presentan tres casos de interés: desagüe de tanque a tanque a través de un orificio, desagüe de una represa a un canal a través de una compuerta, orificios en conductos a presión. 10.2.11.1 Desagüe de tanque a tanque a través de un orificio
Sean los depósitos mostrados en la Figura 10.13 de los cuales supondremos que su volumen es suficientemente grande como para considerar que su nivel no varía mientras se produce la descarga a través del orificio mostrado.
Figura 10.13 Supondremos además que las velocidades de llegada son despreciables (obvio de la hipótesis anterior). Si aplicamos la ecuación de la energía a un volumen de control tal como el mostrado: 1 1 u1 V 12 g H 1 u 2 V 2 2 g H 2 2 2
Nuevamente Nuevamente por por ser la velocidad velocidad en la sección sección 1 desprec despreciable iable podem podemos os poner: poner: 1 g H V 2 2 u 2
440
CAPÍTULO 10. SINGULARIDADES EN CONTORNOS ABIERTOS Y CERRADOS
Donde H es la diferencia de niveles entre las superficies libres de cada recipiente y es constante para toda la sección del orificio. Por lo tanto en este caso no hay orificios que se comporten como de gran altura o pequeña altura con respecto a la carga. De la anterior inferimos: V 2 g H u
Y como ya dijéramos: V C v 2 g H
Y por lo tanto el caudal se puede expresar: Q C d A0 2 g H
(10.16)
Las experiencias demostraron que el coeficiente de desagüe en este caso es levemente inferior que en el caso de desagüe a la atmósfera resultando el mismo en un 2% inferior al anterior. Dichos coeficientes se hallan tabulados en los manuales correspondientes. Esta disminución del caudal probablemente pueda adjudicarse a la mayor pérdida por fricción entre filetes del fluido que entre filetes del fluido y el aire. 10.2.11.2 Desagüe de una represa a un canal
Un caso de interés práctico es el que ocurre en la descarga de una represa a un canal a través de una compuerta. La entrega puede realizarse mediante compuertas deslizantes, compuertas radiales o compuertas de cilindro. También puede realizarse en el caso de compuertas deslizantes y de cilindro por entrega inferior y/o superior. La parte superior actúa como vertedero por lo cual es de aplicación lo que se verá más adelante, en tanto la parte inferior inferior actúa actúa como como orificio orificio (ver (ver Figura Figura 10.14)
Figura 10.14 La compuerta del canal cumple en general dos propósitos: regulación del caudal de suministro y disipación de energía. El segundo propósito usualmente se logra mediante la generación de un resalto hidráulico y tiene por objeto evitar erosionar el canal que por razones económicas generalmente será construido de tierra, excepto en
441
10.2. ORIFICIOS
la zona donde se produce el resalto hidráulico. Esto hace de suma importancia determinar la ubicación del mismo, pues las obras de protección a realizar en el canal serán función de dicha ubicación. En lo que sigue nos referiremos a las compuertas de tipo deslizante con descarga inferior y tamaño vertical de la compuerta menor que el tirante crítico en el canal. Los casos que se pueden dar son: Descarga libre: Este tipo de descarga ya ha sido cubierta en los puntos anteriores. Descarga sumergida. Pueden darse tres casos, según sea que el tirante aguas abajo del resalto (tirante conjugado) que se forma a la descarga de la compuerta: a) coincida con el nivel del tirante en el canal (sea este el uniforme o el obtenido con la interposición de un obstáculo), b) sea menor menor que el tirante tirante a la descarga descarga del canal, canal, c) sea mayor que el tirante a la descarga del canal. En la figura Figura 10.15 se muestran estos tres casos. Desde el punto de vista del control de erosión en el canal, el caso a) es muy favorable, pues ubica el resalto muy precisamen precisamente te y por lo tanto tanto la zona zona a proteger proteger queda queda bien bien definida definida.. El inconveni inconveniente ente que que presenta presenta es que sólo sólo se da para una condición de caudal, pero la demanda del canal seguramente variará con el tiempo. El caso c) si bien es el más conservador desde el punto de vista del control de la erosión tiene el inconveniente que la disipación de energía es escasa, y por lo tanto la erosión en el canal natural puede ser importante. El caso más común y general es el b).
Figura 10.15 En los tres casos la compuerta se comporta como un orificio sumergido, cuando en particular el tirante aguas abajo es el mismo que el tirante en la represa el caudal es nulo. Si se desprecia la velocidad de llegada el caudal a través de la compuerta se puede expresar mediante: Q C d l a 2 g y0
(10.17)
Donde l es el ancho de la compuerta, a la altura de la misma e y0 es el tirante en el embalse. Expresando el caudal de esta forma la ecuación puede utilizarse para descarga libre o sumergida. Henry expresó el coeficiente de descarga Cd en función de las experiencias que realizó. En la figura Figura 10.16 se encuentra el gráfico desarrollado por Henry donde en abscisas se ha representado la relación entre el tirante en el embalse y la altura de la compuerta, en ordenadas el valor del coeficiente de descarga, y como parámetros la relación entre el tirante aguas abajo del resalto y la altura de la compuerta, y el valor del número de Froude de la compuerta (F0). Otro punto importante es determinar la posición de la superficie libre. Para ello en caso de descarga libre y de los casos a) y b) vistos, es necesario posicionar la vena contracta. Lo usual es ubicar la vena contracta a una distancia de la compuerta igual a la altura de la misma (a). De esta forma ubicada la vena contracta y conociendo la pendiente del canal, se pueden determinar las curvas de la superficie libre y calcular los tirantes en que se desarrollan.
442
CAPÍTULO 10. SINGULARIDADES EN CONTORNOS ABIERTOS Y CERRADOS
Figura 10.16 Ejemplo 10.4
Determinar el caudal desaguado a través de una compuerta deslizante de 1 m de altura que alimenta en un canal de 5 m de ancho cuando el tirante en el embalse es de 8 m si el tirante aguas abajo es: a) de 6 m; b) de 4 m y c) de 2 m. Solución
a) Para el tirante de 6 m, ingresamos en el gráfico de la Figura 10.6 con el valor de y 0/a=8m/1m=8 e interceptamos en vertical con la curva y2/a=6m/1m=6, de la cual obtenemos el valor de Cd=0,32. Reemplazando en la ecuación. Q C d l a 2 g y0 0,32 5m 1m 2 2,8m / s 2 8m 20,035m3 / s
b) Para el tirante tirante de 4 m, ingresamos ingresamos en el gráfico gráfico de la Figura Figura 10.6 con el valor de y0/a=8 m/1m=8 e interceptamos en vertical con la curva y2/a=4m/1m=4, de la cual obtenemos el valor de C=0,5. Reemplazando en la ecuación. Q C d l a 2 g y0 0,5 5m 1m 2 2,8m / s 2 8m 31,305m3 / s
c) Para el tirante de 2 m, la relación y2/a=2 la vertical trazada por y0/a=8, no intercepta a la curva. Es decir que el escurrimiento ocurre como si se tratase de una descarga libre. El coeficiente de descarga lo obtenemos de la curva de descarga libre y es aproximadamente 0,58 resultando: Q C d l a 2 g y0 0,59 5m 1m 2 2,8m / s 2 8m 36,940m3 / s
Es decir que en los casos a) y b) la compuerta trabaja como un orificio sumergido, en tanto en el caso c) trabaja como si se tratase de una descarga libre. Calcularemos a continuación los caudales para los tres casos con los valores vistos siendo para los dos primeros casos: Q C d A0 2 g H
Siendo en ambos casos: C s 1 0,156
O sea:
ps 5m 1 0,156 1,065 12m p
para el caso a)
Q 1,065 0,617 5m 1m 2 9,8 m s 2 2m 20,571 m3 s
para el el caso caso b)
Q 1,065 0,617 5m 1m 2 9,8 m s 2 4m 29,091 m3 s
443
10.2. ORIFICIOS
para el caso caso c)
Q 1,065 0,617 5m 1m 2 9,8 m s 2 7,5m 39,835 m3 s
Valores que como se pude observar aproximan con un error no mayor al 10% los valores de ensayo. 10.2.11.3 Orificios en conductos a presión presión
Los orificios en conductos a presión sirven para propósitos de medición, regulación o reducción de presión. Los orificios pueden ser fijos o variables, dentro de los primeros se encuentran las placas orifico, los venturímetros, los diafragmas, las válvulas de seguridad, las válvulas todo-nada (on-off). En el segundo grupo se pueden reconocer las válvulas reguladoras. Aquí veremos lo concerniente a las placas orificio, cuyos conceptos básicos pueden extrapolars extrapolarsee al resto de los enunciados, enunciados, teniendo teniendo en cuenta que en las válvulas válvulas reguladoras reguladoras el coeficiente de descarga varía con la posición de apertura. En conductos a presión es usual el empleo de las llamadas “placas orificio” para la medición y/o reducción de presión. presión. La técnica técnica del empleo empleo consiste en interponer en el flujo una placa de sección circular y diámetro diámetro del orificio menor que el diámetro de la cañería y a través de la cual se produce una caída de presión que como se demostrará es proporcional al caudal que circula por el conducto, de esta forma midiendo la diferencia de presión presión entre las seccion secciones es aguas abajo abajo y aguas arriba arriba de la placa placa se puede conocer conocer el el caudal que que circula. circula. En la práctica práctica esta esta diferencia diferencia de presiones presiones usualmente usualmente es es traducida traducida a una una señal señal electrónica electrónica (corriente (corriente de de 4 a 20 mA) la la cual es enviada a un sistema de control donde se produce la medición o bien el control de la variable. En la Figura 10.17 se muestra una placa como usualmente se encuentra en la práctica. Apliquemos al volumen de control mostrado en la figura la ecuación de la energía suponiendo que el fluido que circula es incompresible (líquido): p p u1 1 V 12 1 Q u 2 1 V 22 2 Q 2 2
(10.18)
Hagua 1 2
V1
D1 D0
D2
V2 (velocidad en la contracción)
2 1
volumen de control
placa orificio orificio
Figura 10.17 Si bien en la figura se muestra una placa instalada horizontalmente, en el caso que la placa se encuentre instalada en forma vertical es lo mismo dado que el aumento o disminución de nivel será compensado por el aumento o disminución de la presión estática. Aplicando la ecuación de continuidad al volumen de control mostrado y teniendo en cuenta que las placas orificios se utilizan básicamente en conductos de sección circular: V 1
4Q 4Q ; V 2 2 D2 2 D1
Reemplazando en la ecuación (10.18): u1
8 Q 2 p1 8 Q2 p 2 u 2 2 D14 2 D24
444
CAPÍTULO 10. SINGULARIDADES EN CONTORNOS ABIERTOS Y CERRADOS 4 4 8 Q 2 D1 D2 u1 u2 p1 p2 D24 D14 2
D22 D12
Q
8 D14 D24
u1 u2
p1 p2
Donde u1 – u2 es la pérdida de energía mecánica por unidad de masa que se produce por la pérdida de carga localizada correspondiente. Como anteriormente este factor puede ser reemplazado por un coeficiente de velocidad. Además debe advertirse que D2 es el diámetro de la vena contracta que no es conocido, en la práctica lo usual es referir el caudal al tamaño de la placa D0 en lugar de la vena contracta, con lo cual la anterior se puede expresar: expresar: D0 2 D12
Q C d
8 D14 D0 4
p1 p2
(10.19)
Donde D0 y D1 representan el diámetro de la placa y el diámetro de la cañería respectivamente. Por otra parte si reemplazamos la diferencia de presión por su equivalente en metros de columna de agua: p1 p2 agua g H agua
Reemplazando en la anterior resulta: Q C d
D0 2 D12
8 D14 D0 4
agua g H agua
Como además el caudal puede expresarse mediante: Q C
D0 2 2 g H agua 4
(10.20)
Igualando con la anterior: C d
D0 2 D12
8 D14 D0 4
agua g D 2 H agua C 0 2 g H agua 4
De donde: C
C d 1
D0 4 D14
1
r
C d 1 4
1
r
(10.21)
El coeficiente C es por tanto una función de: , la relación de diámetros del orificio y de la cañería de la densidad relativa del fluido y de Cd , una función del número de Reynolds. En la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. se muestran los valores de C d / 1 4 tabulados en función del número de Reynolds de la cañería. Aunque las deducciones anteriores fueron desarrolladas para líquidos, las placas orificios también son utilizadas para medición de gases y vapores. Para ello en la fórmula anterior se incluye el llamado factor de compresibilidad Y que que tiene en cuenta esta característica de los gases y vapores. De este coeficiente se trata en el capítulo 11 sobre fluidos compresibles. El caudal que circula por la placa también es función de la temperatura del fluido, puesto que al aumentar la temperatura el material de la placa orificio (usualmente acero inoxidable 18-8) se expande y por lo tanto aumenta el tamaño del orificio. Además como los puntos de medición de presión son fijos y la vena contracta
445
10.2. ORIFICIOS
varía de acuerdo con la relación entre el diámetro de la placa y el de la cañería, también se requiere una pequeña pequeña corrección corrección de la medición. medición. Cuando se requiera requiera exactitud exactitud en las mediciones mediciones se deberá deberá consultar consultar las normas de aplicación. Para los fines de medición y control el valor de Hagua puede fijarse arbitrariamente. Lo usual es fijar este valor en 2540 mm de columna de agua (100”) y con los datos del rango de caudal proceder a determinar el tamaño de la placa a utilizar.
Figura 10.18 Ejemplo 10.5
A fin de medir el caudal de agua circulante por una cañería de 200 mm de diámetro se instalará una placa orificio. Calcular el diámetro de dicha placa para una pérdida de carga de 2540 mm de columna de agua. El caudal medio en dicha cañería es de 200 m³/h. Solución
De la ecuación (10.20) se puede despejar el diámetro de la placa: D0
4Q C 2 g H agua
El coeficiente C se puede obtener de la figura en función del número de Reynolds y de la relación de diámetros. Como la relación de diámetros requiere conocer el diámetro de la placa deberemos operar por iteración. Previamente calculamos el número de Reynolds:
V D1
3 4 200 m h 4 Q D1 Q D1 353678 A D12 3600 s 0,200m 10 6 m2 / s h
Adoptamos un valor de C arbitrario por ejemplo 0,7; calculamos el diámetro de la placa y comparamos el valor de que surge del valor calculado con el valor adoptado. Si no coincide usamos el valor de C que surge de la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. con el nuevo diámetro hasta que coincida el valor de que se obtiene con la fórmula con el valor adoptado. Como la densidad relativa es 1 el valor que obtenemos de C es directamente el que surge de la figura Figura 10.18, sino habría que afectarlo por la raíz cuadrada de la inversa de la densidad relativa:
446
CAPÍTULO 10. SINGULARIDADES EN CONTORNOS ABIERTOS Y CERRADOS D0
4 200 / 3600 0,120 0,120m 0,6 C 0,655 0,200 0,7 2 9,8 2,54
Con este nuevo valor de C calculamos el diámetro de la placa obteniendo: D0 0,1237m 0,618 C 0,655 D0 0,124m 124mm
Dado que en este último paso el valor de C convergió al valor anterior, el diámetro obtenido es el requerido. 10.2.11.4 Válvulas
Un orificio a presión de mucha utilidad práctica, al igual que las placas orificios, son las válvulas. Éstos son elementos que se intercalan en los sistemas de cañerías y que básicamente pueden cumplir tres funciones: bloqueo regulación seguridad Las válvulas de bloqueo sirven para habilitar o interrumpir la circulación del fluido. Las hay de numerosos tipos, tamaños y materiales dependiendo de la presión del sistema, tipo de fluido y tamaño de la línea entre otros factores. Debido a la resistencia de forma que generan producen una pérdida de carga localizada, como se vio en el capítulo 8 al tratar sobre pérdidas de carga localizadas. Las válvulas de regulación son válvulas que controlan una determinada variable de proceso como por ejemplo caudal, presión, temperatura, nivel, concentración, etc. Para cumplir con este cometido censan la variable a controlar y en forma directa o indirecta actúan sobre un obturador que cierra parcial o totalmente un orificio de forma y dimensión determinadas. Las válvulas de regulación más comunes son las denominadas del tipo globo. En la figura (10.20) se muestra una válvula de este tipo. El movimiento ascendente del vástago permite una mayor o menor apertura del orificio, lo cual (para una diferencia de presión dada) produce una variación del caudal tal que modifica la variable a controlar. Un sistema de posicionamiento y control asociado al vástago y no mostrado en la figura realiza la regulación de la variable deseada.
Figura 10.19 Por lo tanto una válvula reguladora es un orificio variable y el caudal a través de ella tendrá la misma expresión que para los orificios sumergidos y en particular la correspondiente a la placa orificio (ecuación (10.19)): Q C d
D0 eq 2 D12
8 D14 D0 eq 4
p1 p2
(10.22)
Donde D0eq es el diámetro equivalente del orificio de la válvula (variable) y D1 el diámetro de la cañería. Los organismos de normalización y los fabricantes de válvulas han convenido en denominar: C valv C d
D0 eq 2 D12
8 D14 D0 eq 4
447
10.2. ORIFICIOS
Que se denomina coeficiente de la válvula. Puede observarse que este coeficiente no es adimensional sino que tiene dimensiones de área. Reemplazando este valor en la ecuación (10.22) queda: Q C valv
p1 p2
Si en la ecuación anterior reemplazamos la densidad del fluido por su densidad relativa: p1 p2
Q C valv
r agua
Si la diferencia de presiones se expresa en kPa y la densidad del agua en kg/m³ la la anterior se puede reescribir: Q C valv
p1 p2
r
La cual si C valv valv se expresase en m² nos permitiría expresar Q en m³/s. Este coeficiente fue definido en dimensiones del sistema inglés como el orificio para el cual con una diferencia de presión de una libra por pulgada cuadrada por la válvula circula un galón por minuto. Entonces si además de las dimensiones indicadas se quiere expresar el caudal en m³/h, el Estándar ISA (Intrument Society of America) para dimen dimensionam sionamiento iento de válvulas válvulas de de regulació regulaciónn operando operando con con líquidos líquidos estipula: estipula: m3 p1 p2 kPa 0,0865 C valv r h
Q
Usualmente la dimensión de la válvula de control es de menor tamaño (diámetro) que la cañería en la cual se instala. Para tener en cuenta las conversiones de energía cinética y energía de presión y las pérdidas en las reducciones y expansiones, la norma define un coeficiente que se denomina factor de geometría de la cañería F p. Con lo cual la anterior se expresa: m3 p1 p2 kPa 0,0865 F p C valv r h
Q
(10.23)
El cálculo de este factor puede obtenerse de la publicación indicada. Aquí por simplicidad supondremos que la válvula es del mismo diámetro que la cañería y por lo tanto F p=1. Dado que el orificio de las válvulas es mucho menor que el de la cañería el fluido sufre un incremento de velocidad importante, a expensas de la presión, por lo cual las válvulas se deben verificar a la cavitación cuando trabajan con fluidos en condiciones cercanas a la tensión de vapor y/o con presiones relativamente bajas. Ejemplo 10.6
Una válvula de control se utilizará para regular la presión en una cañería. La presión absoluta a regular es de 1000 kPa. El caudal que circula por la línea es de 100 m³/h y la presión aguas arriba de la válvula fluctúa entre 2500 kPa y 4500 kPa. Determinar a qué porcentaje de apertura trabajará la válvula en uno y otro caso si el CV al 100% (máxima apertura de la válvula) es de 36. La válvula de control tiene la misma dimensión que la línea y el fluido que circula es agua a 10ºC y densidad relativa 1. Solución
De la ecuación (10.23):
C valv 0,0865
Q m3 h p1 p2 kPa
r
Cuando la contrapresión es de 2500 kPa el CV es: C valv _ 2500
100 29,85 0,0865 2500 1000
448
CAPÍTULO 10. SINGULARIDADES EN CONTORNOS ABIERTOS Y CERRADOS
Cuando la contrapresión es de 4500 kPa el Cv es: C valv _ 4500
100 19,54 0,0865 4500 1000
Por lo tanto: 29,85 100 82,92% 36 19,54 100 54,28% 36
%apertura2500kPa %apertura4500kPa
Puesto que las válvulas en general deben operar (por motivos de vida útil y regulación) entre un 15% y 100% de su máxima apertura, en este caso la válvula funcionará en condiciones óptimas. Las válvulas de seguridad son elementos que instalados en una línea o equipo permiten mantener la presión del mismo dentro de límites seguros evacuando fluido del mismo. Cuando la masa desalojada mantiene la presión mediante la expulsión de masa fuera del sistema en forma tal que la presión se mantiene en un nivel determinado, las mismas se denominan de alivio y operan en forma similar a lo visto para las válvulas de regulación. Las válvulas de apertura instantánea en cambio abren totalmente descargando o bien a la atmósfera o bien contra una línea colectora de venteos cuando la presión en el interior vence a la fuerza ejercida por un resorte calibrado para mantener la válvula cerrada hasta alcanzar la presión de apertura. Una válvula de este tipo se muestra en la Figura 10.20.
Figura 10.20 Cuando la válvula abre la pérdida de carga en el asiento produce que la presión en la cañería o equipo sea mayor que la de apertura para compensar la misma. Los orificios de estas válvulas se encuentran calibrados y clasificados de acuerdo a una letra característica. El orificio de descarga se dimensiona para la presión de seteo de la válvula de acuerdo a la contrapresión y al tipo de fluido. La normalización de los orificios de venteo y las expresiones para el cálculo del orificio fue realizada por API API (America (Americann Petroleum Petroleum Institute). Institute). Para líquidos el diámetr diámetroo del orificio orificio se calcula calcula mediante: mediante: 11,78 Ql min A mm 2 r (10.24) K d K w K c K v p1 p2 kPa
Fórmula totalmente análoga a la de un orificio, afectada por coeficientes que pasaremos a definir: K d: Coeficiente de descarga de la válvula que se obtiene del fabricante. Se adopta para cálculos preliminares preliminares 0,65. Este coefic coeficiente iente es análogo análogo al C d d definido para orificios. K w: Factor de corrección por contrapresión. Este factor vale 1 cuando se desagua a la atmósfera y para los tipos de válvula convencionales. En lo sucesivo lo adoptaremos como unitario.
449
10.2. ORIFICIOS
K c: Factor de corrección por combinación con disco de ruptura. El disco de ruptura es una placa fina que rompe cuando se alcanza cierta presión. Si la válvula se instala sin disco de ruptura este coeficiente vale la unidad. K v: Factor de corrección por viscosidad. Este coeficiente es función del número de Reynolds y sólo supera la unidad en fluidos muy viscosos con muy bajo número de Reynolds. Para el caso del agua y los gases este coeficiente es aproximadamente 1. Ejemplo 10.7
Se desea proteger un recipiente a presión con agua a fin que la presión en el mismo no supere los 1200 kPa. El caudal máximo posible de inyección al mismo viene dado por una bomba cuya capacidad máxima es de 100 m³/h y el desagüe de la válvula de seguridad a instalar es a la atmósfera. Calcular el área de oficio necesaria para aliviar aliviar la presión, presión, si el coeficiente coeficiente de descarga descarga es de 0,65. Solución
En este caso K w, K c, K v valen la unidad. Por lo tanto la ecuación (10.24) será:
A mm2
11,78 Ql min r p1 p2 kPa K d
Reemplazando por los valores correspondientes:
A mm2
11,78 1667 1 871,8 1200 0 0,65
Con este valor del área se selecciona el orificio más cercano superior. De acuerdo a Norma API 526 (no mostrada en el texto) el orificio superior más cercano es de 1186 mm² que corresponde a un orificio tipo K.
10.2.12 Orificios parcialmente sumergidos Los orificios parcialmente sumergidos son aquellos en los cuales el caudal del depósito (o canal) aguas abajo tiene un nivel tal que se encuentra entre la parte superior e inferior del orificio tal como se muestra en la figura.
Figura 10.21
Orificio parcialmente sumergido
Se puede calcular la descarga de los mismos considerando que el caudal que escurre por la parte superior del orificio es el que corresponde a descarga libre, y el que escurre por la parte inferior es el que corresponde a descarga sumergida, siendo el caudal total la suma de ambos. Esta forma de cálculo es sólo aproximada pues los coeficientes de descarga no coinciden con los coeficientes de descarga reales. Si se requiere gran precisión en el cálculo del mismo debe recurrirse a la experimentación.
10.2.13 Orificios bajo carga variable Cuando el nivel de la superficie del recipiente varía con la descarga o la carga el flujo deja de ser estacionario. En lo que sigue consideraremos dos casos típicos: a) Vaciado de un tanque de sección prismática constante en toda su altura con un orificio que desagua por su parte inferior. inferior.
450
CAPÍTULO 10. SINGULARIDADES EN CONTORNOS ABIERTOS Y CERRADOS
b) Vaciado Vaciado desde un tanque donde desciende desciende el nivel a otro donde asciende asciende el mismo, mismo, ambos ambos de sección sección prismática prismática constante constante con con la altura. altura. a) Sea el recipiente mostrado en la figura Figura 10.22 y el volumen de control mostrado.
Figura 10.22 Donde: H1: carga inicial; S: superficie de recipiente; h: carga en el instante t genérico; A0: área del orificio de salida. Los volúmenes de control adoptados hasta ahora habían sido fijos, en cambio el volumen adoptado es ahora variable. Para hacer esto en lugar de la derivada parcial de la masa en el volumen de control se debe adoptar la derivada total de la masa en el volumen de control:
d V d A dt VC SC
El primer término constituye la variación de masa en el volumen de control que para un instante t dado dado vale:
d dh d S dt VC dt
En tanto que el flujo másico a través de la superficie de control es el flujo a través del orificio:
V d A C d A0
2 g h
SC
Igualando ambos términos: dh C d A0 2 g h dt S dh dt C d A0 2 g h
S
El tiempo T que tarda en desaguar todo el tanque lo podemos calcular integrando la altura h entre H 1 y 0: T
2 S H 1 C d A0 2 g
(10.25)
b) Sean los tanques tanques mostrados mostrados en la Figura 10.23 donde a través través de un orificio orificio sumergido sumergido se produce produce el desagote del tanque de mayor nivel de agua hacia el de menor nivel.
451
10.2. ORIFICIOS
Figura 10.23 Donde: H1: carga inicial del tanque 1. H2: carga inicial del tanque 2. S1: superficie del tanque 1. S2: superficie del tanque 2. h1: carga en el instante t genérico del tanque 1. h2: carga en el instante t genérico del tanque 2. A0: área del orificio que interconecta los tanques. De la figura Figura 10.23 y por consideraciones geométricas resulta: H 1 h1 h1 h2 h2 H 2 H 1 H 2 Diferenciando la ecuación anterior: d H 1 h1 d h1 h2 d h2 H 2 0
Planteando la descarga para el tanque 1 de la misma forma que lo visto para el caso anterior pero teniendo en cuenta que el orificio desagua sumergido: C . A d H 1 h1 S 1 C d . A0 2 g h1 h2 d H 1 h1 d 0 2 g h1 h2 dt dt
S 1
De la misma forma para el tanque 2: d h2 H 2 S 2
dt
C d . A0 2 g h1 h2 d h2 H 2
C d . A0 2 g h1 h2 dt S 2
Reemplazando en la ecuación diferencial resulta: 1 1 C d A0 2 g h1 h2 dt d h1 h2 S 1 S 2 C d . A0 2 g S 1 S 2 d h h dt 1 2 S 1 S 2 h1 h2
De esta última ecuación podemos calcular el tiempo que tarda en igualarse los niveles entre ambos tanques integrando entre la diferencia de niveles al comenzar la operación (H1-H2) y 0 con lo cual obtendremos: 0 C d . A0 2 g S 1 S 2 T d h1 h2 dt S 1 S 2 h1 h2 0 H H
1
T
2 S 1 S 2 H 1 H 2 C d A0 2 g S 1 S 2
2
(10.26)
452
CAPÍTULO 10. SINGULARIDADES EN CONTORNOS ABIERTOS Y CERRADOS
Ejemplo 10.8
Dos tanques de hormigón como se muestra en la figura están divididos por un tabique de 300 mm. Cuando se abre una compuerta se conectan mediante un orificio de 100 mm de diámetro. Si la compuerta se abre cuando la altura en el tanque de la izquierda es de 5 m sobre el centro del orificio, en tanto que el otro se encuentra vacío, determinar el tiempo requerido para que se igualen las alturas de ambos y dicha altura.
Figura 10.24 Solución
En la ecuación (10.26) reemplazamos los valores que se obtienen del enunciado y los gráficos. Como se trata de un orificio de pared gruesa (el espesor del orificio es tres veces el diámetro del mismo) el coeficiente a adoptar es el que surge de la ecuación, es decir 0,817. Además como la carga es sensiblemente inferior a 13m no existe riesgo de que se produzca cavitación. Por lo tanto el tiempo T de desagüe será: T
2 20m 20m 20m 20m 5m 31485 s 8h 45 min 0,1m 2 2 0,817 2 9,8 m s 20m 20m 20m 20m 4
La altura que alcanzará el agua será de 2,5 m pues ambos tanques son iguales, como surge de plantear la igualdad de volúmenes inicial y final. 5 20m 20m H f 20m 20m 20m 20m H f 2,5m
10.3 Vertederos En la introducción del presente capítulo se han señalado los distintos tipos de vertedero y sus aplicaciones más usuales. Respecto de las limitaciones y usos específicos podemos agregar que debido a su relativa fragilidad estructural los vertederos de pared fina se ven constreñidos a la medición (aforo) de caudales. Los vertederos de pared intermedia intermedia que copian la forma forma de la vena líquida son los más usados en los vertederos vertederos de alivio en represas, en tanto los vertederos de pared gruesa propiamente dicha se utilizan en presas de pequeños arroyos. Como ya se dijo la sección transversal de los vertederos es usualmente rectangular, trapecial o bien triangular. Los vertederos pueden estar orientados en cualquier dirección respecto al canal de llegada pero los más usuales son los normales al eje del canal y los paralelos al eje del canal, a estos últimos se los llama vertederos laterales.
Figura 10.25
453
10.3. VERTEDEROS
10.3.1 Elementos de un vertedero Los elementos que componen el vertedero son: Umbral: Es la arista o superficie inferior de la abertura del vertedero. Longitud del vertedero (l): Para vertederos rectangulares y trapeciales es la longitud del umbral. Canal de llegada: Para aquellos vertederos que se instalan en canales es el canal aguas arriba del vertedero. Velocidad de llegada: Es la velocidad media en el canal de llegada. Altura del vertedero (P): Es la altura desde el fondo del canal o presa hasta el umbral. Carga del vertedero (H1): Es la altura medida desde el umbral del vertedero la superficie libre no afectada por la presencia de éste. En la Figura 10.26 se esquematizan los diferentes elementos. b a
a
b
l
P
l
Planta
y
H1
P e
Vista
Corte a-a
Figura 10.26
10.3.2 Características del flujo sobre vertederos Si observamos atentamente el flujo en las inmediaciones y sobre el vertedero podemos advertir las siguientes singularidades: Al igual que lo visto para los orificios y por las mismas razones expuestas anteriormente, la lámina vertiente sufre contracciones inmediatamente aguas abajo de las aristas vivas de las aberturas. Para vertederos rectangulares y trapeciales se puede distinguir entre contracciones laterales y contracción de fondo. La contracción de fondo y las contracciones laterales serán máximas cuando la altura del vertedero sea mayor a tres veces la carga (P > 3H1) o bien el ancho del canal mayor que tres veces la longitud del vertedero (b > 3l), respectivamente. En caso contrario la contracción será incompleta. La línea de superficie libre se curva en las proximidades del vertedero de forma tal que las líneas de corriente convergen hacia el umbral. Esta depresión suele denominarse remanso del vertedero. Este efecto es debido a que al disminuir la sección de pasaje del líquido el fluido se acelera aumentando su velocidad y por lo tanto su energía cinética. Este aumento de energía cinética se realiza a expensas de una disminución en la energía potencial. Se considera que a una distancia aguas arriba del vertedero mayor que cuatro veces la carga (4H1), los efectos de la depresión son despreciables para cualquier tipo de vertedero. vertedero. Esa es la posición posición más conveniente para medir medir la carga en los aforos pues de hacerlo aguas arriba la medición estaría influida por la curva de remanso del movimiento uniformemente variado en el canal. La forma de la lámina vertiente depende de la relación entre la carga y la altura del vertedero. Cuanto menor es la relación menor es la sobreelevación de la lámina inferior, es decir menor es la contracción de fondo. Se ha establecido que para vertederos de pared delgada la distancia entre el borde de de ataque ataque y el punto punto donde la lámina lámina intercep intercepta ta a la horizon horizontal tal que pasa pasa por dicho punto punto es de aproximadamente 0,66H1 se concluye que los vertederos cuya pared sea mayor a la dimensión enunciada seguramente no se comportarán como vertederos de pared delgada (ver figura Figura 10.27).
454
CAPÍTULO 10. SINGULARIDADES EN CONTORNOS ABIERTOS Y CERRADOS
Figura 10.27
10.3.3 Vertederos de pared delgada 10.3.3.1
Vertedero perfe Vertedero perfecto cto
Es el vertedero mostrado en la Figura 10.28 y que admitiremos cumple con las siguientes condiciones: Contracción lateral nula: b=l Contracción de fondo máxima: P > 3H1 Velocidad de llegada despreciable. Pared delgada e < 0,5H1, vertical y normal a la dirección de la corriente. Umbral horizontal y sección rectangular. Caída libre y lámina destacada (aireada). V1 1
H1
2
H1
z dz
l
2
V2 (z)
y P
P
1
b
volumen de control
Figura 10.28 Si le aplicamos la ecuación de la energía a un volumen de control tal como el mostrado en punteado la figura, resulta: .
.
Q W
p 1 2 e d u V g h V d A 2 t VC SC
Que como siempre, tratándose de flujo permanente y sin transferencia de calor o potencia en ejes podemos reescribir: 0
p 1 2 u V g z V d A 2 SC
Como sólo hay flujo másico en las secciones 1-1 y 2-2, la integral la debemos evaluar únicamente sobre éstas, y además siendo el fluido incompresible, resulta:
455
10.3. VERTEDEROS p1 1 2 p2 1 2 V d A u V g z V d A u V g z 1 1 1 2 2 2 2 2 SC 1 SC 1
(10.27)
Analizaremos los componentes de la energía en la sección 1-1: energía interna: u1=cte energía de presión y energía potencial:
p1
g z1
patm g H 1 z
g z
patm
g H 1
energía cinética: la velocidad V 1 no es realmente constante, sino variable con la altura, pero se podrá tomar la V 1 media en la sección, corrigiéndola con el coeficiente de Coriolis , quedando:
V 12 cte 2
Analizaremos ahora los componentes de la energía en la sección 2-2: En esta sección sólo hay flujo sobre el vertedero. Se puede considerar sin mayor error que las líneas de corriente son rectas paralelas y si además en la superficie libre y en la superficie inferior del chorro hay presión atmosférica, la distribución de presiones en el interior de la sección es uniforme e igual a la atmosférica. Con respecto a la velocidad, no se considerará uniforme en toda la sección, sino variable en función de z, como se verá a continuación, con una variación parabólica. Resulta entonces: energía interna: u2=cte energía de presión y energía potencial:
p2
g z2
patm
g z
energía cinética: V 2=V 2(z) 2(z) Reemplazando todos estos valores analizados en la ecuación (10.27) y sacando los términos constantes fuera de la integral, resulta: patm V 2( ) 2 V 2 p u1 g H 1 1 dQ u 2 atm dQ g z z dQ 2 SC 2 SC SC 2 1 2
Si diferenciamos la anterior, resulta: patm V 2 V 2 p u1 g H 1 1 dQ u 2 atm dQ g z 2( z ) dQ 2 2 patm V 2( z ) 2 patm V 12 g H 1 u2 g z Dividiendo m. a m. por dQ, resulta: u1 2 2
De la anterior, despejaremos el valor de la velocidad en la sección 2-2
V 2( z ) 2 u1 u 2 g H 1 g z
V 12 2
Consideraremos la pérdida de carga, dentro del factor de velocidad:
V 2( z ) C V 2 g H 1 z
V 12 2 g
Si se desprecia la velocidad de llegada, la expresión de la velocidad quedaría similar a lo visto para orificios: V 2( z ) C V 2 g H 1 z
(10.28)
A continuación calcularemos el caudal de un elemento de área diferencial de la sección 2-2 y lo integraremos por el ancho del del verteder vertederoo l y la altura H 1:
456
CAPÍTULO 10. SINGULARIDADES EN CONTORNOS ABIERTOS Y CERRADOS dQ V 2( z ) dz l Q
V 2( z ) dz l
22
El límite inferior de integración de z es el borde de ataque del vertedero: z=0, el límite superior es la superficie libre, pero ésta no se conoce exactamente, por lo cual integraremos hasta z=H 1, que es la carga, y se afectará el caudal a un coeficiente de contracción, como se hizo en el caso de orificios. 1 2 2 V 1
H 1
Q C C C V 2 g l
H 1 z 2 g
dz
(10.29)
3 2 2 V H 1 1 2 g
(10.30)
0
La integral se podrá resolver por sustitución, llamando: m H 1 z V 2 1 2 g
1 u2
V 2 H 1 1
2 g
du
3 2 2 u
3
V 12 , y dm=-dz 2 g
3 2 2 V 2 1 2 g 3
Y finalmente, reemplazando la (10.30) en la (10.29), resulta: 3 2 2 2 V Q C C C V 2 g l H 1 1 3 2 g
3 V 12 2 2 g
Si al término Cc·Cv·2/3 lo denominamos Cd (coeficiente de descarga), podemos reescribir la ecuación anterior de la siguiente manera: 3 2 V 2 Q C d 2 g l H 1 1 2 g
3 2 2 V 1
2 g
(10.31)
En particular, para el vertedero perfecto, la velocidad de llegada puede ser despreciada (V1=0), con lo que resulta: 3
Q C d 2 g l H 1 2
(10.32)
El coeficiente de descarga fue encontrado en forma analítica por Boussinesq y en forma experimental por numerosos investigadores. El valor de Cd según estos estudios varía entre 0,407 y 0,435, siendo en casi todos los casos función de la carga y de la altura del vertedero. Boussinesq determinó analíticamente un valor de 0,423. Como se puede observar, adoptando este último valor, el error esperado estará en el entorno de ±5%, lo cual es suficiente en la mayoría de los casos. Sin embargo, si se requiere mayor precisión, será necesario consultar manuales de hidráulica específicos y aplicar el coeficiente dentro del rango de validez de los ensayos efectuados para determinarlo. Cuando el canal de llegada es más ancho que la sección del vertedero se producirá la contracción de la vena con la correspondiente disminución del caudal. En particular si la distancia entre las paredes del canal y la arista del vertedero es mayor a tres veces la menor dimensión del vertedero la contracción de la vena será completa. Este efecto usualmente es tenido en cuenta modificando la longitud del umbral del vertedero y disminuyendo su valor en un 10% respecto a la altura por cada contracción es decir que para un vertedero rectangular con contracción en ambas aristas la longitud de cálculo lc será: lc l 0,2 H 1
(10.33)
457
10.3. VERTEDEROS Ejemplo 10.9
En el extremo de un canal de 1 m de ancho se dispone un vertedero rectangular que ocupa todo el ancho del canal. Si el tirante aguas arriba del vertedero es de 1 m y la altura H1 (carga) sobre el vertedero es de 0,2 m, determinar cual es el caudal circulante por el canal. Solución
Dado que no podemos a priori despreciar la velocidad de llegada, utilizaremos para el cálculo de caudal la ecuación (10.31), reemplazando en la misma la velocidad de llegada por su expresión en función del caudal: 3 2 2 Q Q C d 2 g l H 1 2 g l y1 2
3 2 2 Q 2 2 g l y1
Vamos a adoptar C d d=0,41 y =1,1; valores que reemplazamos en la ecuación anterior. 3 2 2 1,1 Q Q 0,41 2 9,8 m s 2 lm 0,2m 2 9,8 m s 2 lm 1m 2
3 2 2 1,1 Q 2 2 2 9,8 m s lm 1m
De donde podemos calcular el valor del caudal mediante aproximaciones sucesivas, resultando: Q 0,1641 m3 s 10.3.3.2
Vertederos con sección no rectangular
Además de los vertederos de sección rectangular son muy usados los vertederos de sección triangular y los vertederos de sección trapecial. Para estos vertederos resulta que la sección de pasaje es función de la carga H1 y por lo tanto el caudal debe ser calculado teniendo esto en cuenta. Sea el vertedero de sección triangular que se muestra en la figura Figura 10.29:
Figura 10.29 De acuerdo a lo visto para el vertedero perfecto (ecuación (10.28)): V 2 C V 2 g H 1 z
Expresión que no depende de la forma de la sección (aunque como veremos el coeficiente de velocidad no resulta el mismo). Por lo tanto el caudal se podrá calcular como: dQ C c C v z tg1 z tg 2 dz dQ C c C v 2 g H 1 z z tg1 tg 2 dz Si adoptamos: 1=2=/2 resultará tg (/2) + tg (/2)=2 tg (/2) y podemos reescribir la anterior de la siguiente forma: Q C c C v 2 g H 1 z z 2 tg
dz 2
Reemplazando como antes: H1 – z=y dm=– dz, resulta: dQ C c C v 2 g m H 1 m 2 tg
dm 2
458
CAPÍTULO 10. SINGULARIDADES EN CONTORNOS ABIERTOS Y CERRADOS 1 H 1 3 H 1 Q C c C v 2 g 2 tg H m 2 m 2 dm 2 0 0
Q C c C v 2 g 2 tg Q
2 5 2 5 H 1 2 H 1 2 2 3 5
5 8 C c C v 2 g 2 tg H 1 2 15 2
(10.34)
Si llamamos: C
8 C C 2 g 15 c v
Y teniendo presente que el vertedero triangular más usual es el de 90° resulta la siguiente expresión: 5
Q C d H 1 2
(10.35)
El valor de C d d es aproximadamente 1,346 y casi independiente de la velocidad de llegada. También es casi independiente de la distancia al fondo y las paredes laterales lo cual lo hace muy adecuado para ser usado en aforos. Los canales trapeciales son también muy usados porque las aberturas del trapecio sirven para compensar la disminución de caudal que se produce en vertederos rectangulares debido a la contracción lateral. Uno de los vertederos trapeciales más difundidos es el vertedero Cipolletti muy usado en canales de riego y cuyo gasto se puede calcular calcular mediant mediante: e: 3
Q 1,86 l H 1 2
(10.36)
Las ecuaciones (10.35) y (10.36) no son dimensionalmente coherentes, por lo que hay que utilizar las siguientes unidades: [l]=[m], [H1]=[m], [Q]=[m³/s] Ejemplo 10.10
A los fines de suministrar la cuota de riego correspondiente a un propietario, se ha dispuesto un vertedero triangular de ángulo 90º. Si el caudal de agua a suministrar es de 10 l/s: ¿para que carga se deberá ajustar el mismo? Si se reemplaza el vertedero por un vertedero trapecial tipo Cipolletti con umbral de 30 cm. ¿cuánto valdrá la carga? Solución
Para responder a la primera pregunta despejamos de la ecuación (10.35) la carga H1, tomando como coeficiente de descarga 1,464: 2 Q 5
2 0,01 5
0,141m 141mm H 1 C 1,346
En caso de utilizar un vertedero tipo Cipolletti utilizamos la ecuación (10.36): 2 3
2 3
Q Q 0,068m 68mm H 1 1,86 l 1,86 0,03 10.3.3.3
Aireación Aireación de la napa inferior en inferior en un vertedero de pared de pared fina fina
En la descarga libre de cualquier líquido a la atmósfera parte del aire circundante es ocluido dentro del chorro de líquido inyectado. Este efecto se puede visualizar fácilmente pues las napas en contacto con el aire tienen una velocidad finita y por lo tanto transfieren cantidad de movimiento (arrastrando) al aire circundante. Cuanto
459
10.3. VERTEDEROS
más turbulento sea el flujo mayores serán las componentes aleatorias y por lo tanto mayores las posibilidades de oclusión de aire en el chorro. Si por algún motivo las napas no se encuentran suficientemente aireadas (es decir el caudal de aire que ingresa es inferior al caudal de aire ocluido) se producirá un vacío y el correspondiente descenso de la presión circundante con respecto a la atmosférica. Esto puede ocurrir en la napa inferior de los vertederos de cresta delgada cuando, por razones estructurales, en los costados del vertedero es necesario incluir paredes laterales (por ejemplo vigas estructurales). Esta disminución de presión de la napa inferior tiene los siguientes efectos: La presión atmosférica actuando sobre la parte superior es mayor que la presión inferior de la vena y por lo tanto hace que ésta tienda a pegarse pegarse o directame directamente nte se pegue contra la pared del vertedero (Figura 10.30). Debido a que la presión en la salida disminuye por debajo de la atmosférica el caudal del vertedero es mayor que el caudal con descarga aireada. Este efecto usualmente es acompañado con inestabilidad debido a que cuando la presión disminuye la aireación tiende a aumentar y por lo tanto la presión vuelve a subir manteniendo ciclos en los cuales varía la carga y el caudal lo que perjudica sensiblemente cuando el vertedero se quiere usar con propósito de aforo. La presión puede disminuir tanto que se ubique por debajo de la presión de vapor del agua dando lugar a cavitación. Este fenómeno es destructivo y se debe prevenir especialmente en estructuras importantes como el caso de vertederos de presas.
Figura 10.30
10.3.4 Vertederos de pared intermedia Los vertederos de pared delgada usualmente no son apropiados para usar en grandes estructuras debido a su inherente debilidad estructural. Por lo tanto para vertederos de presas de embalse se requiere utilizar vertederos más anchos. Además estos vertederos requieren el uso de paredes laterales por lo cual deben ser diseñados cuidadosamente a fin de evitar la cavitación. En la figura se muestra el vertedero de la represa del dique Tierras Blancas del complejo El Nihuil. En el costado izquierdo del vertedero se advierte las esclusas de derivación. Para diseñar la forma del vertedero sin que se produzca disminución de la presión en la napa inferior el primer intento fue diseñar el fondo del vertedero con la misma forma que tendría la napa inferior para una descarga libre. Para diseñar la forma del vertedero sin que se produzca disminución de la presión en la napa inferior el primer intento fue diseñar el fondo del vertedero con la misma forma que tendría la napa inferior para una descarga libre.
460
CAPÍTULO 10. SINGULARIDADES EN CONTORNOS ABIERTOS Y CERRADOS
Figura 10.31 Para diseñar la forma del vertedero sin que se produzca disminución de la presión en la napa inferior el primer intento fue diseñar el fondo del vertedero con la misma forma que tendría la napa inferior para una descarga libre. Si suponemos que la única fuerza actuante sobre una partícula de fluido en dicha napa es la gravitatoria su trayectoria sería similar a la de un proyectil. De acuerdo a la figura:
Figura 10.32 x V 0 t cos 1 y V 0 t sen g t 2 C 1 2
Despejando de t la ecuación en x y reemplazando en la ecuación en y: t
x V 0 cos
(10.37)
461
10.3. VERTEDEROS 2
x 1 x C 1 sen g y V 0 2 cos V 0 cos V 0
Si adimensionalizamos la ecuación dividiendo ambos miembros por la carga H 1: y x H 1 H 1
2
g H 1 x C tg 1 2 V 2 cos 2 H 1 H 1 0
Ecuación que puede ser reescrita: 2
x x y A B C H 1 H 1 H 1
La cual es la ecuación de una parábola. Los valores de A, B y C han sido determinados experimentalmente por el U.S. Bureau of Reclamation. Sin embargo en la realidad existen otras fuerzas actuantes además de las gravitatorias como por ejemplo la presión, presión, la cual es mayor mayor que la atmos atmosféric féricaa porque en en el vertedero vertedero las líneas líneas de corriente corriente no no son paralelas paralelas sino sino convergentes. Adicionalmente en los vertederos de presa aparece la fricción sobre el piso de los mismos lo que hace imposible anular las presiones negativas (aunque sí se las puede mantener bien por encima de la presión de vapor a fin de evitar la cavitación). Los estudios del Waterways Experiment Station (WES), dependiente del U.S. Army Corps, determinaron que para vertederos vertederos con paredes paredes verticales verticales la curva de fondo respondía adecuadamente adecuadamente si se la construía construía con un exponente de 1,85 en lugar de 2 como es en la parábola. En la figura se muestra un vertedero de este tipo: V1²/2g H
x
H1
1,85
y= xA P
y Figura 10.33 La ecuación de la curva del vertedero se obtiene mediante: x n K H 1n 1 y
(10.38)
Donde K y y n dependen de la pendiente de la pared del vertedero aguas arriba. Para una pendiente vertical como se muestra en la figura: n=1,85 y K =2 =2 El caudal de descarga de este tipo de vertederos puede calcularse mediante la siguiente ecuación: Q C d
3 l H 2
(10.39)
Siendo H=H1+V12/2g, es decir H es la carga del vertedero más la altura de energía cinética. Mediante ensayos se ha comprobado que la velocidad de aproximación (V1) es insignificante en vertederos altos (P/H1>1,33). En estas condiciones el coeficiente Cd será de 2,225. y H=H1 para unidades unidades SI. En vertederos bajos (con P/H1<1,33) la velocidad de aproximación influye mucho en el caudal y los valores de Cd no son constantes sino que varían de acuerdo con la relación H/H1. Dichos valores se encuentran tabulados en manuales específicos (ver bibliografía). Asimismo, existen tablas de corrección en el caso de que la pared aguas arriba no sea vertical. Ejemplo 10.11
462
CAPÍTULO 10. SINGULARIDADES EN CONTORNOS ABIERTOS Y CERRADOS
Un vertedero tipo WES con cara aguas arriba vertical operará con un caudal de diseño de 3000 m³/s. El vertedero tiene una longitud de 100 m. La cota de nivel del embalse es de 500 m sobre el nivel del mar y la cota de fondo de 450 m. Determinar el valor de la carga y la forma de la sección. Solución
Mediante la ecuación (10.39) podemos calcular el valor de la carga más la altura de energía cinética. 3
3
Q 2 3000 2 H 2,225 100 5,665m C l d
Entonces podemos determinar la carga del vertedero H1 mediante la siguiente expresión: 3 3000 m s
2
V 12 Q2 H 2 5,665m 5,647m H 1 H 2g A 2 g 500 450m 100m2 2 9,8 m2 s
Verificaremos ahora la condición de vertedero alto: P/H1=50/5,647, en efecto es mayor a 1,33 Ahora determinaremos la forma de la curva entre la cresta del vertedero y el punto tangente. Utilizando la ecuación 10.38, y utilizando n=1,85; K=2 y H1=5,647m. x1,85 2 5,647 0,85 y
Y la curva se puede construir mediante la ecuación: y 16 32 48 64 y ( x) 80 96 112 128 144 160
x1,85 8,711
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
x
10.3.5 Vertederos de pared gruesa Los vertederos de pared gruesa como queda dicho son aquellos en los cuales el espesor de pared es mayor que tres veces la carga H y no mayores que 15 veces la misma. Cuando el espesor supera dicho valor el vertedero se considera un canal más. Sea un vertedero de pared gruesa tal como se muestra en la Figura 10.34 .V1²/2g H V2²/2g
H H1
H2
3H1
P
H :
V 12 2g
pérdida de carga en el vertedero
e
Figura 10.34 Aplicando al volumen de control, mostrado en la figura Figura 10.34, la ecuación de la energía:
463
10.3. VERTEDEROS .
.
Q W
p 1 2 e d u V g z V d A 2 t VC SC
u1 g H 1
V 12 V 2 u12 g H 2 2 2 2 2 V 2 V 2 u1 u2 g H 1 H 2 1 2 2
Y siendo u1 u2 H g la pérdida por fricción, resulta: V 2 V 2 2 g H 1 H 2 H 1 2 g
(10.40)
Donde hemos supuesto que las líneas de corriente son rectas paralelas en las secciones 1 y 2 lo cual está alejado de la realidad pero dicho apartamiento puede tenerse en cuenta en el factor de desagüe. Si analizamos atentamente el flujo vemos que el mismo se acelera sobre el vertedero a medida que se acerca a la descarga. De aquí surge una pregunta: ¿cómo la naturaleza decide el caudal de desagüe para una carga dada? Esta decisión no es aleatoria pues para un vertedero dado y un caudal determinado el nivel a la salida es siempre el mismo. En el capítulo 9 (9.3.3. Energía específica) analizamos que variando el nivel del líquido hay un valor para el cual la energía específica es mínima y el caudal máximo. Como la naturaleza siempre tiende a minimizar la energía puesta en juego, es lógico pensar que la altura del vertedero a la salida va a alcanzar ese valor de tirante. Como vimos dicha sección es la crítica. El valor del caudal en la sección 2 será: Q V 2 l H 2
y el caudal por unidad de longitud: q
Q V 2 H 2 l
Reemplazando el valor de V2 obtenido en la ecuación (10.40) y reemplazando en la anterior se obtiene: q 2 g H H 2 H H 2
(10.41)
Para determinar el valor de H2 que hace el q máximo, debemos derivar la expresión e igualarla a cero. 1 dq 1 2 g H H 2 H 2 2 g H 2 2 g H H 2 H dH 2 2 H 2 g 2 g H H 2 H 0 2 g H H 2 H H 2 2 H H 2 H 3 H 2 2 H H
2 H 2 H H 3
(10.42)
Finalmente, reemplazando el valor H2 encontrado en la ecuación (10.42) en la (10.41), se obtendrá el caudal por unidad de longitud del umbral:
464
CAPÍTULO 10. SINGULARIDADES EN CONTORNOS ABIERTOS Y CERRADOS q=
2 2 H H 2 g H H H H 3 3
q=
2 2 H H g H H 3 3
q=
3 2 1 2 g H H 2 3 3 3
3
q C d 2 g
3 H 2
2 1 H 2 2 g 1 q= H 2 3 3 H
Y recordando que: (10.43)
3
3
2 1 H 2 H 2 1 C d 0,385 1 3 3 H H
Si las pérdidas son despreciables Cd=0,385 valor que coincide bastante bien con las experiencias realizadas. Ejemplo 10.12
Calcular la carga sobre un vertedero de cresta ancha por el cual circula un caudal de 50 m³/s. El vertedero tiene una longitud de 10 m y una altura de 10 m. Solución
El caudal por unidad de longitud del vertedero es de 5 m³/s. De la (10.43) se puede despejar el valor de H: 2
2 3
3 5 m2 s q H 2,049m C 2 g 2 d m s 0 , 385 2 9 , 8
Para obtener el valor de la carga H1 indicado en la figura Figura 10.34: H 1 H
V 12 q2 H 2 g P H 1 2 2 g
Reemplazando valores: H 1 2,049m 1,1
52 m 4 / s 2 10m H 1 2 2 9,8 m s 2
Obteniendo el valor de H1 por aproximaciones sucesivas: H 1 2,040m
465
10.4. CUADROS RESUMEN
10.4 Cuadros resumen 10.4.1 Orificios Descar ga
Tipo de pared
Denominación Denominación
Velocidad
Libre
pared pared delgada e<0.5 d0
Contracción completa 1
A0
>10º
2
A2 2 1
volumen de control
Contracción incompleta e H1 A0
A2
<3xdimensión más pequeña del orificio
l
1 Q Cd A 0 2 g H1 V12 2
Si V1<0,3 m/s se puede despreciar y resulta:
Si V1<0,3 m/s se puede despreciar y resulta:
V2 C v 2 g H1
Q Cd A0 2g H1
0,96
lo más usual Cd=0,617 [Q]=m³/s; [H1]=m; [V1]=m/s
d0
rectangular
Contracción suprimida
e H1 A0
A2
l a
pared pared gruesa gruesa e>3d0
d0
e H1
Cd=0,617; A0=área orificio; =1,1; V1=Q/(b.y) Cs según siguiente tabla: Rectangulares Rectangulares 1+0,076 · (9n-1) Circulares 1+0,04564·(14,821n-1) n : relación entre el área del orificio y la superficie transversal del canal de llegada A0 b y
circular
parcialmente
rectangular
1 Q C s C d A 0 2 g H1 V12 2
n
a
Sección del orificio
1 V2 C v 2 g H1 V12 2 e
H1
Sección del orificio
Caudal de descarga
1 Q Cs Cd A 0 2 g H1 V12 2
Cd=0,617; A0=área orificio; =1,1; V1=Q/(b.y) Cs según siguiente tabla: Bidone Weisbach Rectangulares Rectangulares 1+0,156 ps/p l>0,2m a>0,1m: 1+0,157 ps/p l<0,2m a<0,1m: 1+0,134 ps/p Circulares 1+0,128 ps/p ps= perímetro del área suprimida; p=perímetro del orificio
circular
V Cv
7 2 g H1 4
lo más usual Cv=0,98 d0
[H1]=m; [V]=m/s
Q Cd A 0 2 g H1 lo más usual Cd=0,817 Verificar que H1>13,78 m para que en la vena contracta no se supere el límite teórico de la presión atmosférica. [Q]=m³/s; [H1]=m; [V]=m/s; [lc]=m
466 Descar ga
CAPÍTULO 10. SINGULARIDADES EN CONTORNOS ABIERTOS Y CERRADOS Tipo de pared
Denominación
Velocidad
A superficie libre
Tanque a tanque
Q C d A 0 2 g H
Caudal de descarga
Parcial mente sumerg ida
Totalm ente sumerg idos
e
H1
H H2
A0
A2
Represa a canal
Q Cd l a 2 g y0 Cd se obtiene de la figura ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.
l: longitud de la compuerta a: altura de la abertura de la compuerta y0: profundidad del flujo aguas arriba Conductos a presión presión
Placa orificio
Q C Hagua
D02 2 g H agua 4
C: coeficiente que se obtiene de la figura ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. referencia. D1
D0 D2
placa orificio
Válvulas de regulación
Q 0,0865 F p C valv
p1 p 2 r
F p=1 (si válvula y cañería tienen igual diámetro) Cvalv=según especificaciones del fabricante [Q]=m³/hr; [p1]=[p2]=kPa; Válvula de seguridad
Q A K d K w K C K V
p1 p 2 r
K d: Coeficiente de descarga, según especificaciones del fabricante (se adopta para cálculos cálculos prelim preliminare inaress 0,65). 0,65). K w: Factor de corrección por contrapresión. Vale 1 cuando se desagua a la atmósfera K c: Factor de corrección por combinación con disco de ruptura. Vale 1 sin disco de ruptura. K v: Factor de corrección por viscosidad. Este coeficiente es función de (para el caso del agua y los gases este coeficiente es aproximadamente aproximadamente 1) 2 [Q]=l/min; [A]=mm ; [p1]=[p2]=kPa Referencias: Referencias:
467
10.4. CUADROS RESUMEN e H 1
d 0 Q
espesor de la pared del orificio Altura desde el baricentro de la vena contracta hasta la superficie libre del depósito diámetro del orificio circular Caudal de descarga
A0 A2
Área del orificio Área de la vena contracta
C d d C v
coeficiente de descarga Coeficiente de velocidad
V 1 V 2
Velocidad de llegada Velocidad de la vena contracta
C c
Coeficiente de contracción A/ A0 Coeficiente de corrección de la energía cinética
Verificar siempre La velocidad no es despreciable La velocidad V 2 no se puede tomar como uniforme e igual a la del baricentro, hay que integrar (orificios de gran abertura). En orificios circulares H 1<2d 0
V 1>0,3 m/s H 1<2a
10.4.2 Verdederos Tipo de pared
Denominación
Vista frontal
pared pared delgada delgada e<0.5H e<0.5H1
Vertedero rectangular
con contracción lateral
V1
1
2
H1
h
2
0,1H1
Caudal de descarga
0,1H1 H1
V2 (h)
lc
dh
l P
y P
b
1
sin contracción lateral
3 3 2 2 V1 2 2 V 1 Q C d 2g l H 1 2g 2g
Cd=0.423 Si la velocidad de llegada no es despreciable (V1>0.3m/s): V1=Q/(b·y) y =1.1 Si la velocidad de llegada es despreciable (V1<0.3m/s): adoptar V1=0 y resultará: 3
Q C d 2 g l H 1 2 H1
Con contracción lateral: l=l C=l-0.2·H1 [Q]=m³/s; [H1]=m; [V]=m/s; [l]=m
l P
b
Vertedero triangular
5 Q C d tan H 1 2 2
H1
Cd=1.346 [Q]=m³/s; [H1]=m;
l P
b
Vertedero trapecial Cipolletti
3
Q C d l H 1 2 H1
4 1
l
Cd=1.86 [Q]=m³/s; [H1]=m; [l]=m
P
b
pared pared intermed intermedia ia 0,5H1
Vertedero tipo WES (Waterways Experiment Station)
3
Q C d l H 2 P/H1>1.33 => Cd=2,225 P/H1<1.33 => Cd=F (H/Hd) consultar manuales específicos
468
CAPÍTULO 10. SINGULARIDADES EN CONTORNOS ABIERTOS Y CERRADOS
Tipo de pared
Denominación
Vista frontal
Caudal de descarga
1²/2g
H
H 1 H
x
H1
V 12 2g
Ecuación de la curva del vertedero:
y=(x^1,85)/A
x n K H1n 1 y , siendo n y K función del tipo
P
de pendiente de la pared de aguas arriba. Para pared vertical vertical n=1.85 n=1.85 y K=2 [Q]=m³/s; [H]=m; [l]=m
y pared pared gruesa gruesa 3H 3H1
H
Vertedero de pared pared gruesa gruesa
3
Q C d l 2 g H 2 3
H 2 C d 0 ,385 1 H para pérdidas pérdidas despre despreciab ciables les H= 0 y Cd=0.385 [Q]=m³/s; [H]=m; [l]=m
V2²/2g H H 1
H2
P e
H 1 H
V 12 2g
e>15H1 : se comporta como canal Referencias: Referencias:
e V 1 l
espesor del vertedero velocidad de llegada en el canal longitud del umbral
H 1 P
carga del vertedero altura del vertedero
b C d d Q
ancho del canal coeficiente de descarga Caudal de descarga
Referencias bibliográficas SILVA, FERNANDO. Escurrimiento en canales en régimen permanente. Buenos Aires: CEIT FRBA, 1998. ISA (I NSTRUMENT NSTRUMENT SOCIETY OF AMERICA). S75.01-1985 (R 1995). Flow Equations for Sizing Control Valves. North Carolina, Carolina, USA. USA. Editorial Editorial ISA, 1995. 1995. R OSE Hidráulica. Mecánic Mecánicaa elemental elemental de de fluidos fluidos. España: Editorial Dossat, 1951. 337 p. OSE, HUNTER . Hidráulica. VENNARD, J; STREET, R. Elementos Elementos de mecánica mecánica de fluidos fluidos. 3a. ed. México: CECSA, 1993. 851 p. BALLOFET, A; GOTELLI, L. M. Y MEOLI, G.A. Hidráulica. Hidráulica. Tomos I y II. Buenos Buenos Aires: Ediar SA, 1948. 354 p. VEN TE CHOW. Hidráulica Hidráulica de canales canales abiertos abiertos. Colombia: M. Suárez, 1994. 667 p. UIZ, LORENZO. Hidráulica FACORRO R UIZ Hidráulica y máquinas máquinas hidráulicas hidráulicas con 150 problemas problemas. 10a. ed. Buenos Aires: Nueva Librería, Librería, 2009. 2009. 372 p. CADAVID R., JUAN H. Hidráulica Hidráulica de Canales. Canales. Fundamento Fundamentoss. Medellín: Universidad Eafit, 2006. 369 p. SILVA MEDINA, GUSTAVO A. Vertederos Laterales. Bogotá: Universidad Eafit, 2003. 369 p. I NTERNET NTERNET, HTTP://WWW.GEOCITIES.COM/GSILVAM/GSM.HTM/ consultado 19 de marzo de 2013.
Referencias audiovisuales NSTITUTE OF HYDRAULIC R ESEARCH ESEARCH. HUNTER R OSE OSE. Fluid motion in a gravitacional field. Iowa, University I NSTITUTE of Iowa Productions.
469
10.5. EJERCICIOS
10.5 Ejercicios Categoría de los ejercicios: Orificios: 1-15 | Vertederos: 16-22 Ejercicio 10.1:
Calcular el diámetro del orificio de arista viva requerido para desaguar 10 m³/h de líquido del recipiente de la figura. La carga sobre el orificio es de 5 m y constante. Si el orificio se ubica 1 m sobre el terreno calcular la distancia x a que impacta respecto del reservorio
H1=5m
d0 1m x
Respuesta: d0=24 mm; x=4,38 m Ejercicio 10.2:
Calcular la presión requerida para desaguar 400 m³/h de agua (=1000 kg/ m³) por un orificio circular de 50 mm de diámetro como se muestra en la figura P
P
0,2m
0,2m
d0 0,2m
z
z
0,2m
0,4m
Ejercicio 10.3:
Para el orificio de la figura, calcular el caudal del líquido desaguado.
4m 0,5m
1m
Vista lateral
2m
Vista frente
Respuesta: Q=2,36 m³/s Ejercicio 10.4:
Determinar el tirante y requerido en el canal para que circulen 50 m3/s por la compuerta de la figura.
470
CAPÍTULO 10. SINGULARIDADES EN CONTORNOS ABIERTOS Y CERRADOS
y
H1 a=2m
a=2m
l=b=5m
Vista lateral
Vista frente
Ejercicio 10.5:
Calcular el caudal que circula por el desagüe de la figura. La velocidad de llegada es despreciable. 1m
a=0,5m
0,5m
Vista lateral
l=b=1m
Vista frente
Respuesta: Q=1,509 m³/s Ejercicio 10.6:
Calcular el caudal que circula por el desagüe de la figura y la velocidad de llegada al mismo.
2,2m a=0,5m
0,3m
a=0,5m
Vista lateral
l=b=1m
Vista frente
Ejercicio 10.7:
Para el desagüe de la figura calcular la carga requerida para que circule un caudal de 20 m³/s H1
a=1m
Vista lateral
Respuesta: H1=7,64 m Ejercicio 10.8:
l=2m
a=1m
Sección del orificio
471
10.5. EJERCICIOS
Calcular el caudal desaguado por el orificio de la figura si la carga sobre el mismo es de 5 m. Despreciar la velocidad de llegada.
H1=5m
5m
d0=1m
Sección del orificio
d0=1m
Vista lateral Ejercicio 10.9:
En el sistema de la figura circula agua (=1000 kg/ m³; ν=10-6 m²/s). Siendo la cañería de acero y despreciando las pérdidas de carga localizadas, determinar el diámetro de la placa orificio a instalar para que el caudal sea de 300 m³/h. z=10m
L=200m =200mm
4 2 3
Placa orificio
Respuesta: d=131 mm Ejercicio 10.10:
Por una cañería de 200 mm de diámetro circula un caudal de agua de 200 m³/s. La presión en un punto de la misma es de 50 N/cm². Para dicho caudal se requiere disminuir la presión a 40 N/cm² intercalando una placa orificio. Determinar el diámetro de placa necesario. Considerar =1000 kg/ m³ y ν=10-6 m²/s. Ejercicio 10.11:
En una cañería que conduce agua, de diámetro 50 mm la caída de presión a través de una placa de 35 mm es de 5000 mm de columna de agua. Determinar el caudal que circula por la misma. Considerar =1000 kg/ m³ y -6 ν=10 m²/s. Respuesta: Q=24,36 m³/h Ejercicio 10.12:
La válvula LCV mostrada en la figura controla el nivel de un tanque elevado como se muestra en la figura. Calcular el máximo caudal que puede circular por la cañería de acero de 150 mm de diámetro y longitud equivalente (excluida la válvula LCV) de 200 m si el CV de la válvula al 100% de apertura (apertura total) es de 100. El fluido es agua (=1000 kg/ m³; ν=10-6 m²/s). Considerar que la válvula de control tiene el mismo diámetro que la cañería.
472
CAPÍTULO 10. SINGULARIDADES EN CONTORNOS ABIERTOS Y CERRADOS z=90m
Patm
P=22kg/cm² LCV
Ejercicio 10.13:
Calcular el orificio requerido por la válvula de seguridad (PSV) para la condición de apertura total de la válvula de control (PCV). El fluido es agua (=1000 kg/ m³; ν=10-6 m²/s). El CV de la válvula de control para apertura total (100%) es de 256. La presión de seteo de la reguladora es de 15 kg/cm² y la presión aguas arriba de la válvula reguladora de 20 kg/cm². Despreciar la pérdida de carga entre la reguladora y la válvula de seguridad. La válvula de seguridad desagua a la atmósfera y no posee disco de ruptura. Considerar =1000 kg/ m³ y ν=10-6 m²/s. PSV PCV
20kg/cm²
15kg/cm²
Respuesta: A=3862 mm2 Ejercicio 10.14:
Un tanque de agua de 10000 m³ y diámetro 40 m va a ser vaciado para su reparación a través de un drenaje de diámetro 100 mm. Calcular el tiempo requerido para el vaciado total considerando al drenaje como un orificio.
Volumen=10.000m³
orificio circular de Ø=100mm
Ejercicio 10.15:
Determine el tamaño del orificio de forma tal que la nivelación entre las esclusas de la figura se produzca en 20 min. Desprecie el efecto de supresión de vena. El ancho de la compuerta inferior es de 3 m. 10m
Vista lateral e=0.5m a 2 00 m
2 0 0m
Vista l=3m
Respuesta: a=1,93 m Ejercicio 10.16:
30m superior
473
10.5. EJERCICIOS
Calcular el caudal que escurre sobre un vertedero rectangular perfecto de 1m de longitud y carga de 0,2 m. Compare el valor obtenido con el valor calculado en el ejemplo 9. ¿Cuál hubiese sido el error si se hubiese despreciado la velocidad de llegada? Ejercicio 10.17:
Calcular el caudal para el vertedero de la figura ¿Se puede despreciar la velocidad de llegada? H1=0.2m
l=1m P=2m
P=2m
Respuesta: Q=0,161 m³/s; V1=0,037 m/s (despreciable) Ejercicio 10.18:
Calcular el caudal que circula por el vertedero de la figura.
H1=0,3m
Ejercicio 10.19:
Calcular el caudal que circula por un vertedero Cipolletti de 0,5 m de umbral si la carga es de 30 cm. H1=0,30m
4 1
l=0,5m
Respuesta: Q=0,153 m³/s Ejercicio 10.20:
Un vertedero tipo WES debe desaguar 600 m³/s. Para su óptimo funcionamiento se requiere una carga H1=3m. Determinar la longitud de umbral requerida. La altura de la pared aguas arriba es vertical y su altura P=30 m. H1=3m
P=30m
Ejercicio 10.21:
Para el vertedero de la figura calcular el caudal por unidad de longitud que circula con la carga indicada.
474
CAPÍTULO 10. SINGULARIDADES EN CONTORNOS ABIERTOS Y CERRADOS H1=1m
P=3m
e=4m
Respuesta: q=1,729 m³/(s·m) Ejercicio 10.22:
En un canal de gran anchura se instala un vertedero de arista viva como se indica la figura. Se pide determinar: a) el caudal por unidad de longitud que circula b) el tirante tirante normal, normal, el tirante tirante crítico crítico y el tipo de escurrim escurrimiento iento H1=1m P=3m
S0=0,002; n = 0,015
