15.4 Teoría de juegos
543
La solución del juego se basa en el principio de asegurar lo mejor de lo peor para cada jugador. Si la compañía A selecciona la estrategia A1, entonces, independientemente de lo que haga B, lo peor que puede suceder es que A pierda 3% del segmento del mercado ante B. Esto se representa por medio del valor mínimo de las entradas en la fila 1. Asimismo, con la estrategia A2, el peor resultado es que A capture 5% de B, y con la estrategia A3, el peor resultado es que A pierda 9% ante B. Estos resultados aparecen bajo fila mín. Para lograr lo mejor de lo peor, la compañía A elige la estrategia A2 porque corresponde a un valor maximin. Luego, para la compañía B, la matriz de retribuciones dada es para A, la mejor de la peor solución de B está basada en el valor minimax. El resultado es que la compañía B elegirá la estrategia B2. La solución óptima del juego exige seleccionar las estrategias A2 y B2, lo que significa que ambas compañías deben utilizar la publicidad por televisión. La retribución favorecerá a la compañía A porque su segmento del mercado se incrementará 5%. En este caso decimos que el valor del juego es 5% y que A y B están utilizando una solución de punto de silla. La solución de punto de silla impide seleccionar una mejor estrategia por parte de cualquiera de las compañías. Si B cambia de estrategia (B1, B3 o B4), la compañía A puede seguir con la estrategia A2, lo que resultaría en una pérdida peor para B (6 u 8%). Por la misma razón, A no buscaría una estrategia diferente porque B puede cambiar a B3 para obtener 9% de ganancia del mercado si se utiliza A1, y 3% si se utiliza A3.
La solución de punto de silla óptima de un juego no tiene que ser una estrategia pura. En su lugar, la solución puede requerir combinar dos o más estrategias al azar, como lo ilustra el siguiente ejemplo. Ejemplo 15.4-2 Dos jugadores, A y B, juegan a tirar la moneda. Cada jugador, sin saberlo el otro, escoge cara (H) o cruz (T). Ambos jugadores revelan sus elecciones al mismo tiempo. Si coinciden (HH o TT), el jugador A recibe $1 de B. De lo contrario, A le paga $1a B. La siguiente matriz de retribuciones para el jugador A da los valores de fila mín y columna máx correspondientes a las estrategias de A y B, respectivamente. BH
BT
Fila mín
AH
1
-1
-1
AT
-1
1
-1
Columna máx
1
1
Los valores maximin y minimax de los juegos son 2 $1 y $1, respectivamente, y el juego no tiene una estrategia pura porque los dos valores no son iguales. Específicamente, si el jugador A selecciona AH, el jugador B puede seleccionar BT para recibir $1 de A. Si esto sucede, A puede cambiar a la estrategia AT para invertir el resultado al recibir $1 de B. La constante tentación de cambiar de estrategia muestra que una solución de estrategia pura no es aceptable. Lo que se requiere en este caso es que ambos jugadores combinen al azar sus estrategias puras respectivas. El valor óptimo del juego ocurrirá entonces en alguna parte entre los valores maximin y minimax del juego; es decir, valor maximin (menor) # valor del juego # valor minimax (mayor) En el ejemplo de tirar la moneda, el valor del juego debe quedar entre 2 $1 y 1 $1 (vea el problema 5 del conjunto 15.4a).
544
Capítulo 15
Análisis de decisiones y juegos
CONJUNTO DE PROBLEMAS 15.4A 1. En los juegos (a) y (b) dados a continuación, la retribución es para el jugador A. Cada juego tiene una solución de estrategia pura. En cada caso, determine las estrategias que definan el punto de silla y el valor del juego. *(a)
(b)
B1
B2
B3
B4
A1
4
-4
-5
6
5
A2
-3
-4
-9
-2
5
A3
6
7
-8
-9
A4
7
3
-9
5
B1
B2
B3
B4
A1
8
6
2
8
A2
8
9
4
A3
7
5
3
2. En los juegos (a) y (b) dados a continuación, la retribución es para el jugador A. Determine los valores de p y q que harán de (A2, B2) un punto de silla: (a)
B1
B2
B3
A1
1
q
6
A2
p
5
A3
6
2
(b)
B1
B2
B3
A1
2
4
5
10
A2
10
7
q
3
A3
4
p
6
3. En los juegos (a) y (b) dados a continuación, la retribución es para el jugador A. Especifique el intervalo del valor del juego en cada caso. *(a)
B1
B2
B3
B4
1 2 -5 7
9 3 -2 4
6 8 10 -2
0 4 -3 -5
B1
B2
B3
A1
3
6
1
A2
5
2
A3
4
2
A1 A2 A3 A4
(c)
(b)
B1
B2
B3
B4
-1 -2 5
9 10 3 -2
6 4 0 8
8 6 7 4
B1
B2
B3
B4
A1
3
7
1
3
3
A2
4
8
0
-6
-5
A3
6
-9
-2
4
A1 A2 A3 A4
(d)
4. Dos compañías promueven dos productos competidores. En la actualidad, cada producto controla 50% del mercado. Debido a mejoras recientes en los dos productos, cada compañía planea lanzar una campaña publicitaria. Si ninguna de las dos compañías se anuncia, continuarán iguales las partes del mercado. Si alguna de las compañías lanza una campaña más agresiva, la otra compañía con toda certeza perderá un porcentaje proporcional de sus clientes. Un encuesta del mercado muestra que se puede llegar a 50% de los clientes potenciales por medio de la televisión, a 30% por medio de periódicos, y a 20% por medio de la radio. (a) Formule el problema como un juego de suma cero entre dos personas, y determine el medio publicitario para cada compañía. (b) Determine un intervalo para el valor del juego. ¿Puede operar cada compañía con una estrategia pura única?
