TEORIA DE HIPERBOLAS: Ing. Eliezer Rojas
-
Definición:
Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de las diferencias de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos. -
Elementos de la hipérbola:
Y (l’)
A F’
L
V’ C
V
X (l)
A’
L’
V, V’: Vértices F, F’: Focos l: Eje focal l’: Eje normal C: centro VV ' : Eje transverso AA' :
Eje conjugado V(a,0) A(0,b) V’(-a,0) A’(0,-b) Longitud del eje transverso= 2.a Longitud del eje conjugado=2.b - 1era Ecuación ordinaria de la hiperbola: C(h,k) = C(0,0) X a
2
2
Y −
b
2
2
=
1
Y a
-
2
2
X −
2
b
2
=
1
TEOREMA :
La ecuación de la hipérbola de centro en el origen, eje focal coincide con el eje X, y focos los puntos F(c,0) y F’(-c,0) es: X a
-
a
c
Y −
2
b
2
2
=
1
Si el eje focal focal coinc coincide ide con con el eje Y, Y, de manera manera que que las coord coordenad enadas as de los los focos focos sean F(0,c) y F’(0,-c), entonces la ecuación es: Y
2
2
2
2
X −
b
2
2
=
1
NOTA: 2
2
= a + b , para cada hipérbola, la longitud de cada uno de sus lados rectos es
2b 2 a
,y
la excentricidad e esta dada por: e
c =
a
a =
2
+b
2
a
; e〉1
- Asintotas de la hipérbola: Ecuación canónica de la hipérbola: 2 2 2 2 2 2 b X − a Y = a b ; Se despeja Y: Y= ± Y= ±
b
X
2
a
b
X
a
1−
− a 2 , se puede escribir de la forma: a
2
X
1
2
La ecuación tiende a la forma: Y = ±
Las rectas -
Y
=
b
X
a
y
Y
=−
b a
X ;
b
X
a
representan asintotas oblicuas.
TEOREMA:
La hipérb hipérbola ola bX+aY =0.
2
b X
2
tienee por por asin asinto tota tass las las rect rectas as bX-a bX-aY Y =0 y − a 2Y 2 = a 2 b 2 , tien
- 2da Ecuación ordinaria de la hipérbola: De centro C(h,k) y eje focal paralelo al eje X, es de la forma:
( X
−
a
-
−
a
(Y
−
−
2
b
k )
2 =
2
1
k )
2
( X −
2
−
b
h)
2 =
2
1
Ecuación general de una hipérbola: A. X
-
2
Si el el eje eje focal focal es es paral paralelo elo al eje eje Y, su ecuació ecuación n es: es: (Y
-
h)
2
C .Y −
2
D. X + E .Y + F +
0 =
Propiedades Propiedades de la hipérbola:
Muchas Muchas propiedades propiedades de la hipérbola están asociadas asociadas con sus tangentes. tangentes. Como la ecuación de una hipérbola es de segundo grado, sus tangentes pueden obtenerse empleando la condición para tangencia, ya visto anteriormente. -
TEOREMA:
La ecuación de la tangente a la hipérbola:
2
b X
2
− a 2Y 2 = a 2 b 2 en cualquier punto
P 1 (X 1 ,Y 1 ) de la curva es: b
-
2
. X 1 . X
a
−
2
.Y .Y 1
a
=
2
.b
2
TEOREMA:
Las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola m, son: Y =m. X ±
a
2
.m
2
2
b X
−b
2
2
− a 2Y 2 = a 2 b 2 , de pendiente
