Catalogación en la fuente Wisniewski, Piotr M. Ejercicios y problemas de teorfa de las probabilidades. -- México: Trillas, 1998. 3I7 p.; 23 cm. ISBN 968-24-0490-8
l. Distribución (Teor{a de la probabilidad). l. Bali, Guillermo. JI. t. D- 519.2'W216e
LC- QA273.25'W5.4
La presentación y disposición en conjunto de EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE TEORÍA DE LAS PROBABILIDADES son propiedad del editor. Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida o trasmitida, mediante ningún sistema o método, electrónico o mecánico (incluyendo el fotocopiado, la grabación o cualquier sistema de recuperación y almacenamiento de información), sin consentimiento por escrito del editor. Derechos reservados © I998, Editorial Trillas, S. A. de C. V., Av. Rfo Churubusco 385, Col. Pedro Maria Anaya, C.P. 03340, México, D. F. Tel. 6884233, FAX 6041364 División Comercial, Calz. de la Viga 1132, C.P. 09439 México, D. F., Tel. 6330995, FAX 6330870 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial. Reg. núm. I58
Primera edición, enero 1998 ISBN 968-24-0490-8 Impreso en México Printed·in Mexico
Prólogo
Este libro de ejercicios y problemas es el resultado de la experiencia de los autores en la enseñanza de la teoría de las probabilidades para ingenieros y de estadística para administradores, en el Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Ciudad de México (ITESM CCM). Además de problemas y ejercicios originales, se recogieron numerosos problemas clásicos y de conocimiento general. Los ejercicios y problemas se seleccionaron de acuerdo con los programas de estudio de diversos centros de enseñanza superior en México y, en parti cular, con los cursos que se imparten en el ITESM. Al final de cada capítulo se incluye una serie de problemas para cursos más avanzados de ingeniería o matemáticas superiores. El libro contiene más de 1000 problemas con respuesta, ordenados por grado de dificultad, en cada uno de los 1 8 capítulos que lo conforman. Esto permite que se pueda profundizar en los contenidos de cada tema hasta el grado que el lector decida, sin perder continuidad. Se dedicó especial atención a las partes que, por ser fundamentales para reforzar conocimientos básicos, requieren una mayor práctica, como son el conteo, el álgebra de conjuntos, la definición clásica de probabilidad y las distribuciones de probabilidad más simples, tanto discretas como continuas, para las cuales se incluyen un gran número de problemas. Aunque muchos de los ejercicios y problemas se relacionan con cuestiones prácticas de la administración y la ingeniería, donde se señalan las técnicas y aplicaciones útiles para los estudiantes, el libro es adecuado para muchas otra áreas de las ciencias. También contiene un capítulo especial de probabilidad geométrica, en el que se ha puesto énfasis, ya que, pese a ser un tema poco conocido para los estudiantes de las probabilidades, los problemas que plantea ofrecen una posibilidad muy interesante para la integración de los conocimientos. El número de ejercicios y problemas que se ofrecen, como lo ha demos trado la práctica pedagógica, no sólo es suficiente para cubrir las necesidades de los estudiantes de reforzar el conocimiento de los capítulos correspondien-
·
5
6
PRÓLOGO
tes, sino que también le da al profesor la posibilidad de hacer una selección variada de los problemas dentro de los límites de cada capítulo, y de elegir los necesarios para las tareas de resumen y las evaluaciones mediante examen. Cada capítulo inicia con una breve introducción teórica, con las definicio nes y fórmulas más importantes relativas a la parte correspondiente del curso. Asimismo, se ofrece la solución de todos los ejercicios y problemas al final de cada capítulo, con indicaciones importantes del porqué de los resultados, y para los de mayor grado de dificultad se incluyeron las demostraciones, con los pasos que los autores consideraron necesarios para la comprensión y el desarrollo lógico de las soluciones. Por último, agradecemos la colaboración de nuestros alumnos de proba bilidades para ingenieros y estadística para administradores, los cuales contri buyeron sustancialmente en la discusión y solución de muchos de los ejercicios y problemas de este libro. Agradecemos también a todos aquellos que de una manera u otra ayudaron a la realización y revisión de esta obra, y que creyeron siempre en la importancia de este trabajo.
"
Indice de contenido
Prólogo
5 9
Cap.
l. Técnicas de conteo
Cap.
2. Espacios muestrales y eventos
41
Cap.
3. Definición clásica de probabilidad
55
Cap.
4. Probabilidad condicional. Eventos independientes
93
Cap.
5. Probabilidad total y teorema de Bayes
135
Cap.
6. Probabilidad geométrica
151
Cap.
7. Variables aleatorias discretas
166
Cap.
8. Distribución binomial
177
Cap.
9. Distribución de Poisson
191
Respuestas, 29
Respuestas, 50 Respuestas, 8 1 Respuestas, Respuestas, Respuestas,
Respuestas,
Respuestas,
Respuestas,
1 20
146
154 173
187
199
Cap.
10. Distribución hipergeométrica
202
Cap.
11. Distribución geométrica y distribución de Pascal
210
Cap.
12. Distribución multinomial
219
Cap.
13. Variables aleatorias continuas
224
Respuestas, 207 Respuestas, 2 16
Respuestas, 222
Respuestas, 236
7
8
ÍNDICE DE CONTENIDO
Cap.
14. Distribución uniforme
244
Cap.
15. Distribución normal
248
Cap.
16. Distribuciones exponencial y gamma
266
Cap.
17. Distribuciones beta y de Weibull
275
Cap.
18. Funciones generatrices de momentos
281
Respuestas, 246 Respuestas, 262 Respuestas, 271
Respuestas, 278
Respuestas, 288
Apéndice Índice analítico
295 315
Capítulo 1 Técnicas de conteo
El coeficiente entero k como
binomial se define para todo número real x y todo número x x(x-l)···(x - k + l) k! k en particular, cuando x = n es un número positivo, entonces
()
=
(n ) k
n!
k!(n- k)!
es igual al número de combinaciones de n objetos distintos tomando k al mismo tiempo; (;;) también se denota como C�. (k! se lee como factorial de k o k factorial. ) a) Sea M un co�junto de n elementos distintos, entonces v(M) n es la cardinalidad del conjunto y a todo subconjunto de k elementos se le llama muestra de tamaño k. b) A una muestra ordenada de tamaño k se le llama variación de tamaño k. Entonces existen =
V" n
=
(nk)
X kl·
=
(n
n! - k) !
=
Vn"
=
n (n-l) ···(n-k + l )
variaciones de un objeto si se toma k al mismo tiempo. Una variación de tamal'io n contiene n! elementos y se denomina permutación. e) Si M se subdivide en k subconjuntos -donde el primer subconjunto contiene r1 elementos; el segundo r2 elementos, y el k-ésimo subconjunto, r¡¡ elementos-, entonces se cumple
y
la expresión de la izquierda se llama coeficiente multinominal. 9
10
CAP. l . TÉCNICAS DE CONTEO
d) e)
Si la operación A1 se puede realizar de n1 formas, la A2 de n2 formas y la h-ésima de nk formas, entonces las h operaciones pueden realizarse, según el principio de la multiplicación, en n1 x n2 x n3 x x nk formas. A una muestra ordenada de tamaño h, en la que podemos repetir h veces un mismo elemento de M, se le llama variación con repetición y existen ·
·
·
variaciones con repetición de n objetos tomando k al mismo tiempo. J) A una muestra de tamaño k de n objetos, en la que podemos repetir k veces un mismo elemento de M, se le denomina combinación con repetición y existen
combinaciones con repetición de un objeto tomando k al mismo tiempo. 1.1. Si un experimento consiste en lanzar un dado y después seleccionar 1.2.
1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 7.
1.8.
.
aleatoriamente una letra del alfabeto en inglés, ¿cuántos puntos habrá en el espacio de muestra? El candado de la bicicleta de Susana tiene una combinación de tres discos, cada uno de los cuales incluye los números enteros del O al 9. El candado se abre cuando cada disco señala la cifra correcta. Susana olvidó el número del primero, pero recuerda que el segundo está entre O y 5 y el tercero entre 6 y 9. Si Susana tiene razón, ¿cuántas posibles combinaciones diferentes hay, donde sólo una de ellas abrirá el candado? ¿cuántos números diferentes pueden formarse con 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8 si usamos todos ellos? ¿cuántos números diferentes de tres dígitos se pueden formar con 3, 4, 7, 8 y 9 si se desea que sean mayores que 500 y que no se repitan los dígitos? Dados los dígitos O, 1 , 2, 3, 4, 5, 6 y 7, ¿cuántos números diferentes de tres dígitos se pueden formar con ellos si el segundo debe ser 5, el O no puede ocupar el primer lugar y no se permiten repeticiones? ¿De cuántas maneras pUede programar un profesor las clases para cuatro estudiantes en cuatro horas distintas de clase? En una escuela, las calificaciones posibles son A, B, C, D y E. Si un alumno estudia matemáticas, inglés, física, historia, educación física y arte, ¿cuál es el número de califi�aciones diferentes que podrían aparecer en su boleta de calificaciones? Un estudiante de primer año debe tomar un curso de ciencia, uno de humanidades y otro de matemáticas. Si puede elegir entre cualquiera
TÉCNICAS DE CONTEO
1.9.
1. 10.
l.ll.
1.12. 1.13. 1.14. 1.15.
1.16. 1.17.
1.18.
1 1
de seis cursos de ciencia, cuatro de humanidades y cuatro de mate máticas, ¿en cuántas formas puede acomodar su horario? Los estudiantes de un colegio privado de humanidades se clasifican como estudiantes de primero, segundo, tercero o cuarto año, y de acuerdo con su sexo: hombres o mujeres. Encuentre el número total de clasificaciones posibles para los estudiantes de este colegio. En la etapa de contratación de personal, el presidente de una nueva corporación debe seleccionar a un gerente de ventas entre tres solici tantes, un gerente de producción entre seis aspirantes y un contralor entre cinco candidatos. ¿De cuántas maneras se pueden cubrir estos puestos? Durante una convención, a los participantes se les ofrecen seis reco rridos por día para visitar lugares de interés durante los tres días del evento. ¿En cuántas formas se puede una persona acomodar para hacer alguno de ellos? Un club femenino consta de 30 miembros. ¿De cuántas formas se pue den seleccionar tres dirigentes: presidente, vicepresidente y secretaria? ¿cuántos matrimonios diferentes se pueden efectuar entre cinco hom bres y siete mujeres? Si un club tiene cuatro candidatos para presidente, tres para vicepresi dente y dos para secretario-tesorero, ¿de cuántas formas puede elegirse la mesa directiva? En un estudio médico, los pacientes se clasifican en ocho formas según su tipo de sangre: AB+ , AB, A+, A, B+, B, o+ u O, y su presión sanguínea: baja, normal o alta. Encuentre el número de formas posibles para clasificar a un paciente. Felipe tiene cuatro corbatas, seis camisas y tres pares de pantalones. ¿cuántas combinaciones diferentes puede usar si elige una prenda de cada tipo de artículo? En un estuche de instrumentos de óptica hay seis lentes cóncavos, cuatro convexos y tres prismas. ¿En cuántas formas diferentes puedes elegir uno de los lentes cóncavos, uno de los convexos y uno de los prismas? Una tienda de artículos electrodomésticos tiene en existencia ocho tipos de refrigeradores, seis de lavadoras y cinco de hornos de micro ondas. ¿En cuántas formas distintas se pueden elegir dos artículos de cada tipo para una barata? Indique el número de placas diferentes que puede fo rmar si cada placa tiene cuatro letras Seguidas de dos dígitos y los números y las 1 tras no pueden repetirse (al respecto, considere 26 1 ·t ra.� c11 d il 1 l"ab<"l o). .
1.19.
12
CAP. l . TÉCNICAS DE CONTEO
1.2o' . Un cliente puede comprar un automóvil en modelo convertible o con 1.2 1.
1 .22.
1.23.
1 .24.
1 .25. 1.26. 1.27. 1.28.
1.29.
1.30.
toldo, en uno de seis colores y con cualquiera de tres paquetes de accesorios. ¿cuántas opciones se ofrecen al comprador? En un estudio de mercado, los jefes de familia se clasifican en seis categorías según su ingreso, cinco categorías según su grado de educa ción y cuatro categorías por su lugar de residencia. ¿En cuántas formas diferentes puede clasificarse a un jefe de familia? Un cuestionario enviado por correo en un estudio de mercado consta de ocho preguntas, cada una de las cuales puede responderse de tres formas distintas. mn cuántas formas diferentes puede una persona contestar las ocho preguntas del cuestionario? Una firma de transportes tiene un contrato para enviar una carga de mercancías de la ciudad W a la ciudad Z. No hay rutas directas que enlacen a W con Z, pero hay seis carreteras de W a X y cinco de X a Z. ¿cuántas rutas en total deben considerarse? En un estudio de economía de combustibles, se prueban tres auto móviles de carreras con cinco diferentes marcas de gasolina y en siete sitios de prueba de distintas regiones del país. Si se utilizan dos pilotos en el estudio y las pruebas se realizan una vez bajo cada conjunto de condiciones, ¿cuántas pruebas se necesitarán? A una fiesta asisten cuatro hombres y cuatro mujeres. Si todos bailan, ¿cuántas parejas diferentes se pueden formar? Un producto se arma en tres etapas. En la primera hay cinco líneas de armado; en la segunda, cuatro, y en la tercera, seis. ¿De cuántas maneras diferentes se puede realizar un producto acabado? Un contratista de construcción ofrece casas con cinco distintos tipos de distribución, tres tipos de techo. y dos tipos de alfombrado. ¿ne cuántas formas diferentes puede un comprador elegir una casa? En un estudio de investigación de mujeres que adquieren acciones con capital mancomunado, las entrevistadas se clasificaron en siete categorías de ingresos, cuatro categorías de objetivos de il!-versión, cinco categorías de lugares de residencia y dos categorías de posición ocupacional. ¿En cuántas formas puede clasificarse a una mujer que compra acciones con capital mancomunado? Un testigo de un accidente de tránsito en el que el causante huyó, le indica al policía que el número de matrícula del automóvil tenía las letras RLH seguidas de tres dígitos, el primero de los cuales era un cinco. Si el testigo no puede recordar los otros dos dígitos pero está seguro de que los tres eran diferentes, encuentre el número máximo de registros de automóvil que puede verificar la policía. Un fabricante de yates ofrece un modelo deportivo para pesca con dos, tres o cuatro camarotes; con o sin puente de flotación, con motor .
.
TÉCNICAS DE CONTEO
1.31. 1.32.
1.33.
1.34.
1.35.
de gasolina o diese! y en varios colores de casco diferentes. Si existen 72 opciones posibles abiertas a un comprador, ¿de cuántos colores se dispone para el casco? Pizza Sorrento ofrece tres opciones de ensalada, 20 clases de pizza y cuatro postres diferentes. ¿cuántas comidas de tres platillos se pueden pedir? Un investigador desea averiguar el efecto de tres variables: presión, temperatura y tipo de catalizador, sobre el rendimiento en un proceso de refinación. Si el investigador desea tres ajustes de temperatura, tres de presión y dos de tipo catalizador, ¿cuántas corridas experimentales deben llevarse a cabo si se desea probar todas las combinaciones de presión, temperatura y tipos de catalizador? Un urbanista de una nueva subdivisión ofrece a los clientes prospectos para la compra de una casa, la posibilidad de seleccionar uno de cuatro diseños diferentes, tres sistemas de calefacción, cochera con puertas o sin ellas, y patio o pórtico. ¿cuántos planes distintos están disponibles para el comprador? Puede adquirirse un medicamento para la cura del asma en forma líquida, tabletas o cápsulas, a cinco diferentes .fabricantes, y todas las presentaciones en concentración regular o alta. ¿En cuántas formas diferentes puede un doctor recetar el medicamento a un paciente que sufre este padecimiento? Un zapato determinado se fabrica en cinco estilos diferentes y en cuatro colores distintos para cada uno. Si la zapatería desea mostrar a su clientela pares de zapatos en todos los estilos y colores, ¿cuántos pares diferentes deberán colocar en el aparador? ¿Cuántos números de cinco cifras diferentes pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3, . . , 9 si: a) cada número debe ser impar? b) los dos primeros dígitos deben ser pares? De seis números positivos y ocho negativos se eligen cuatro números al azar (sin sustitución) y se multiplican. ¿cuántos números positivos diferentes se pueden formar? Se colocan k bolas no distinguibles en n urnas distinguibles. ¿De cuántas maneras se pueden colocar las bolas si en cada urna puede colocarse una bola como máximo? Considere ocho puntos en el plano, sin tres en una misma recta. ¿Cuántos triángulos pueden formarse utilizando estos puntos como vértices? Dado un conjunto de 15 puntos en un plano, ¿cuántas líneas se requie ren para unir todos los pares de puntos posibles? ·
1.36.
.
1 .37. 1.38. •
1.39. 1.40.
IJ
14
CAP. l. TÉCNICAS DE CONTEO
l,41. Suponga que una bolsa contiene cuatro pelotas negras y siete blancas.
1.42.
1.43. 1.44.
1.45. 1.46. 1.47. 1.48.
1.49.
¿De cuántas maneras puede sacarse un grupo de tres pelotas de la bolsa en las combinaciones siguientes? a) Una pelota negra y dos blancas. b) Tres pelotas de un solo color. e) Por lo menos una pelota negra. Se va a formar un comité de cuatro miembros del senado a partir de un grupo compuesto por cinco republicanos y seis demócratas. ¿ne cuántas maneras podría formarse si: a) tuviera que haber dos republicanos y dos demócratas en el comité? b) no tuviera que haber ningún republicano en el comité? e) tuviera que haber por lo menos un republicano en el comité? Se quie're dividir 10 empleados en tres puestos de modo que tres estén en el puesto I, cuatro en el II y tres en el III. ¿ne cuántos modos se puede hacer la asignación de los puestos? Ocho hombres y ocho mujeres con las mismas habilidades solicitan dos empleos. Debido a que los dos nuevos empleados deben trabajar estrechamente, sus personalidades deben ser compatibles. Para lograr esto, el administrador de personal ha aplicado la prueba y debe compa rar calificaciones para cada posibilidad. ¿cuántas comparaciones debe efectuar? Una compañía planea construir cinco almacenes adicionales en sitios nuevos. Se consideran 10 sitios. ¿cuál es el número posible de eleccio nes? Un jefe de policía necesita asignar oficiales de entre 10 disponibles para controlar el tráfico en los cruceros A, B y C. ¿ne cuántas maneras lo puede hacer? Si 12 caballos entraron a una carrera, ¿de cuántas maneras pueden quedar los primeros tres lugares ganadores? La astabandera de un barco tiene tres posiciones en las que puede colocarse una bandera. Si el barco lleva cuatro banderas distintas para hacer señales: a) ¿cuántas señales diferentes pueden hacerse con una sola bandera? (Se supone que la misma bandera, colocada en posiciones diferen tes, indica diferentes señales.) b) ¿cuántas señales diferentes pueden hacerse con dos banderas? e) ¿cuántas señales diferentes pueden hacerse con las banderas? d) ¿cuántas señales diferentes se pueden hacer, tomando en cuenta la que no•tiene bandera? Si en una mesa hay 30 naranjas, ¿de cuántas maneras se puede escoger una docena de naranjas?
TÉCNICAS DE CONTEO
15
1.50. ¿De cuántas maneras puede formarse una comisión de tres hombres y 1.51.
1.52.
1.53. 1.54.
1.55.
1.56. 1.57. 1 .58. 1.59. 1.60.
cuatro mujeres de entre un total de ocho hombres y seis mujeres? Se quiere integrar un comité de tres personas, las que se deben elegir de entre un grupo de cinco hombres y tres mujeres. ¿De cuántas maneras distintas se puede formar el comité si cada sexo debe estar representado? El gerente de una pequeña planta desea determinar el número de formas en que puede asignar trabajadores al primer turno. Cuenta con 15 hombres que sirven como operadores del equipo de producción, ocho que se desempeñan como personal de mantenimiento y cuatro supervisores. Si el turno requiere seis operadores, dos trabajadores de mantenimiento y un supervisor, ¿de cuántas maneras es posible integrar el primer turno? ¿ne cuántas maneras puede seleccionarse un comité de cinco hombres y cuatro mujeres a partir de un grupo de 10 hombres y siete mujeres? Un club de inversionistas tiene una membresía de cuatro mujeres y seis hombres. Se va a formar un comité de investigación de tres miembros. ¿ne cuántas maneras puede conformarse si: a) debe haber dos mujeres y un hombre en el comité? b) debe haber al menos una mujer en el comité? e) los tres deben ser del mismo sexo? Va a formarse un comité de cuatro personas de entre un grupo de cuatro alumnos de primer año, tres de segundo año, dos de tercero y seis de cuarto. ¿ne cuántas maneras puede hacerse si: a) cada clase debe estar representada? b) los de primer año están excluidos? e) el comité debe tener exactamente dos de cuarto año? d ) el comité debe tener al menos uno de cuarto año? De un comité de 1 1 personas, se debe escoger un subcomité de cuatro. ¿De cuántas maneras puede hacerse? ¿cuántos comités mediadores diferentes pueden formarse con dos per-. sonas de cada uno de los tres grupos diferentes: cinco representantes laborales, cuatro patronales y tres del poder público general? ¿ne cuántas maneras puede dividirse un grupo de 12 personas en tres comités que no se sobrepongan, de tamaño cinco, cuatro y tres, respectivamente? Una clase de 12 personas seleccionará un presidente, un secretario, un tesorero y un comité de programas de tres miembros sin que haya puestos comunes. ¿ne cuántas maneras puede hacerse esto? ¿ne cuántas maneras es posible formar un comité de t¡es de una clase de ocho estudiantes?
6 CAP. l . TÉCNICAS DE CONTEO 1.61. En forma casual, un químico combinó dos sustancias de laboratorio
1.62. 1.63.
1.64. 1.65. 1 .66.
1.67. 1 .68.
1.69.
l.
70.
l.
71.
que desarrollaron un producto conveniente. Por desgracia, su asis tente no registró los nombres de los ingredientes. Hay 40 sustancias disponibles en el laboratorio. Si las dos en cuestión deben encontrarse mediante experimentos sucesivos de ensayo y error, ¿cuál es el número máximo de pruebas que pueden realizarse? ¿En cuántas formas se pueden seleccionar cuatro interruptores buenos y dos defectuosos de un lote que contiene 20 interruptores buenos y cinco defectuosos? ¿De cuántas maneras se escogerí¡m dos hombres, cuatro mujeres, tres niños y tres niñas de entre seis hombres, ocho mujeres, cuatro niños y cinco niñas si: a) no se impone restricción alguna? b) es necesario elegir un hombre y una mujer concretos? Un equipo científico consta de 25 miembros de los cuales cuatro son doctores. Encuentre el número de grupos de tres miembros de modo que en cada uno haya un doctor por lo menos. Calcule el número de formas en que un supervisor puede escoger a 12 de 18 trabajadores para asignarles trabajo en tiempo extra. Entre los 10 nominados para obtener dos grados honorarios en una universidad, hay siete hombres y tres mujeres. ¿En cuántas formas se otorgarían los grados honorarios a: a) dos de los nominados? b) dos de los nominados varones? e) uno de los varones y una de las mujeres? d) ninguno de los nominados varones? Si el orden no importa, ¿en cuántas formas diferentes pueden elegirse cuatro de las 18 declaraciones de impuestos para una auditoría fiscal? Un equipo de futbol consta de 20 muchachos. Ocho pueden jugar sólo como defensas, cuatro sólo como medios y el resto como delanteros. ¿En cuántas formas puede seleccionar el entrenador un equipo inicial de cuatro jugadores en la delantera, dos en la línea media y cuatro en la defensa? La barra de una cafetería tiene siete asientos en una fila. Si cuatro personas, desconocidas entre sí, ocupan lugares al azar, ¿de cuántas maneras diferentes pueden quedar desocupados los tres asientos res tantes? ¿De cuántas maneras diferentes se enfrentarían dos equipos de una liga que tiene ocho? ¿ne cuántas maneras puede una clase de cinco niñas y cuatro niños seleccionar a:
TÉCNICAS DE CONTEO
l.
72.
l.
73.
1.74.
L75.
1 .76. 1.77.
l. 78. l. 79.
1.80.
17
a) un presidente, un vicepresidente y un secretario? b) un presidente, un vicepresidente y un secretario, si el secretario tiene que ser un niño? e ) un comité social de tres personas? d) un comité social de tres personas compuesto por dos niñas y un niño? ¿De cuántas maneras es posible seleccionar tres candidatos de un total de ocho recién graduados y con las mismas capacidades para ocupar vacantes en una firma contable? ¿De cuántas maneras se tomaría una comisión de tres estadísticos y dos economistas de entre cinco estadísticos y seis economistas si: a) no se imponen restricciones? b) dos estadísticos particulares han de figurar en ella? e ) un economista concreto tiene vetado figurar en ella? Andrés irá a un viaje de vacaciones y quiere llevar con él cinco libros de su biblioteca personal, que consiste de seis libros de ciencias y 1 O novelas. ¿De cuántas maneras puede hacer su selección si quiere llevar: a) dos libros de ciencia y tres novelas? b) por lo menos un libro de ciencias? e) un libro de un tipo y cuatro de otro? ¿De cuántas maneras pueden repartirse ocho regalos entre Jaime y Niurka si: a) cada uno va ha tener cuatro regalos? b) Jaime va a tener cinco regalos y Niurka tres? e ) no hay restricciones en cómo se repartan los regalos? ¿De cuántas formas diferentes se pueden acomodar tres focos rojos, cuatro amarillos y dos azules en un árbol de Navidad con nueve receptáculos? Una caja contiene doce focos eléctricos, entre los que hay uno defec tuoso. ¿En cuántas formas es posible seleccionar dos focos de modo que: a) no se incluya el foco defectuoso? b) se incluya el foco defectuoso? De un grupo con 30 alumnos, un profesor desea seleccionar a tres de ellos para transportar libros. ¿De cuántas formas lo puede hacer? Un estudiante está efectuando un examen que consta de dos partes: A y B. La parte A tiene seis preguntas y la B, cinco. ¿De cuántas maneras diferentes puede responder el estudiante el examen si deja sin contestar dos preguntas de cada parte? De una baraja que contiene 52 naipes se extrajeron 1 0. ¿En cuántos casos, entre los naipes que se extrajeron, habrá:
1 8 CAP. l. TÉCNICAS D E CONTEO
1.81. 1.82. 1.83.
1.84.
1.85. 1.86. 1.87. 1.88. 1.89.
1.90. 1.91.
a) por lo menos un as? b) un solo as? e) dos ases? En una clase compuesta de 10 estudiantes, ¿de cuántas formas puede seleccionarse un comité de tres estudiantes? Si se parte un mazo de 52 naipes, ¿en cuántas formas diferentes se puede dar una mano de siete naipes que contenga cuatro de una misma clase? En una clase de 30 estudiantes, hay 20 hombres y 10 mujeres. a) ¿ne cuántas formas puede seleccionarse un comité de tres hombres y dos mujeres? b) ¿ne cuántas formas puede seleccionarse un comité de cinco estu diantes? e ) ¿De cuántas formas puede seleccionarse un comité de cinco estu diantes si los cinco deben ser del mismo sexo? Una caja de cartón con 12 baterías para radio contiene una que está defectuosa. ¿En cuántas formas diferentes puede elegir un inspector tres de las baterías y obtener: a) ninguna batería defectuosa? b) una batería defectuosa? Una profesora de ciencias políticas, de un grupo de 12 alumnos debe seleccionar cuatro para una visita al Congreso del estado. ¿ne cuántas maneras puede hacerlo? En una caja hay los siguientes focos: dos de 25 watts, tres de 40 y cuatro de 100. ¿ne cuántas maneras pueden seleccionarse tres de ellos? a) ¿cuántos números de tres dígitos pueden formarse con los dígitos O, 1 , 2, 3, 4, 5 y 6, si cada uno puede utilizarse una sola vez?, b) ¿cuántos de estos números son nones?, y e ) ¿cuántos son mayores que 330? Con las letras de la palabra columna: a) ¿cuántas permutaciones diferentes pueden hacerse? b) ¿cuántas de estas permutaciones empiezan con m? Con las letras de la palabra factor (sin repetición), ¿cuántas palabras diferentes de cuatro letras pueden formarse: a) con la r en la posición inicial? b) con vocales en las dos posiciones intermedias? e) sólo con consonantes? d) con vocales y consonantes de forma alternada? ¿cuántas palabras diferentes de cinco letras pueden crearse con las letras de la palabra salsa? Considere la creación de cifras de seis dígitos con los números 1 , 2, 3, 4, 5 y 6 (sin repetición).
TÉCNICAS DE CONTEO
1.92. 1.93. 1.94. 1.95.
1.96. 1.97. 1.98. 1.99. 1.100. 1.101. 1. 102.
1. 103. 1.1 04. 1. 105. 1. 106.
19
a ) ¿cuántos de tales números hay? b) Encuentre la suma d� esos números. ¿Cuántas permutaciones distintas pueden hacerse con las letras de la palabra infinito? Cinco fichas rojas, dos blancas y tres azules se colocan en fila. Las de un color no son distintas entre sí. ¿cuántas colocaciones distintas son posibles? ¿cuántas palabras diferentes de 1 1 letras pueden crearse con las letras de la palabra Guadalajara? Con las letras de la palabra emulsión (sin repetición), ¿cuántas pala bras diferentes de cuatro letras pueden formarse: a ) con unas al principio y unan al final? b) con una consonante al principio y otra al final? e ) sólo con vocales? d) con tres consonantes? ¿En cuántas formas pueden plantarse en un círculo cinco árboles diferentes? Las letras de la palabra barbarían están escritas en nueve tarjetas. ¿cuántas palabras diferentes de nueve letras se pueden formar? Las letras de la palabra enigma están escritas en seis tarjetas. ¿cuántas palabras diferentes pueden crearse? ¿ne cuántas maneras distintas se pueden ordenar las letras a, b, e, d y e? En la temporada de Navidad, un almacén usa cajas rojas y verdes para exhibir su mercancía. ¿ne cuántas maneras pueden colocarse en fila 20 cajas si 15 de ellas son rojas y cinco verdes? ¿si hay 10 de cada color? ¿En cuántas formas diferentes se pueden arreglar las letras de la palabra especialidad? Las letras de la palabra cómodo están escritas en seis tarjetas. a ) ¿cuántas palabras de seis letras pueden obtenerse? b) ¿cuántas de estas palabras tienen las tres letras o en posiciones consecutivas? Las letras de la palabra crema están impresas en cinco tarjetas. ¿cuán tas palabras diferentes de tres, cuatro o cinco letras se pueden formar? ¿De cuántas formas diferentes se pueden colocar cinco hombres alre dedor de una mesa redonda? ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar cinco hombres en una banca? ¿cuántos arreglos diferentes se pueden hacer con ·in o p rs na
sentadas al red ·dor de dos m sas?
20 CAP. l. TÉCNICAS DE CONTEO 1 .107. Diez personas forman una fila. ¿De cuántas maneras pueden colocarse 1. 108.
1.1 09. l.llO. l.lll.
l.ll2� 1 . 1 13. •
l.ll4.
1 . 1 15. l.ll6.
l.ll7. 1.1 18.
si tres de ellas deben estar juntas? ¿De cuántas maneras pueden sentarse seis personas a una mesa re donda? (Se considera que dos ordenamientos de personas en una mesa redonda son iguales si cada uno tiene a la misma persona a la izquierda y a la derecha en ambos ordenamientos.) Cuatro parejas planean ir juntas al teatro y compran boletos para ocho asientos en la misma fila. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar las cuatro parejas sin que ninguna quede separada? ¿En cuántas formas puede acomodar un juez a seis corredores en la línea de partida de una carrera? Quiero ordenar en un estante cinco libros de historia, cuatro de mate máticas y tres de psicología. ¿De cuántas maneras puedo hacer esto si: a ) no hay restricción en el arreglo? b) coloco los cinco libros de historia a la izquierda, los cuatro de matemáticas en medio y los tres de psicología a la derecha? e ) sólo se insiste en que los libros del mismo tema estén juntos? ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar tres parejas en una hilera de 1 O asientos si cada pareja quiere permanecer junta? ¿De cuántas maneras puedo colocar ocho cuadros distintos en una fila de modo que una pintura específica quede en el centro? ¿De cuántas maneras pueden sentarse tres hombres y tres mujeres a una mesa redonda si: a ) no se imponen restricciones? b) dos mujeres particulares no pueden sentarse juntas? e) cada mujer ha de estar entre dos hombres? ¿En cuántas formas pueden sentarse en una línea cuatro niños y cinco niñas si deben colocarse de forma alternada? Cuatro matrimonios compraron ocho lugares para un concierto. ¿En cuántas formas diferentes pueden sentarse: a) sin restricciones? b) si se sientan por parejas? e) si todos los hombres se sientan juntos a la derecha de las mujeres? ¿cuántas señales diferentes se pueden hacer con siete banderas si se usan tres banderas blancas, dos rojas y dos azules? En un certamen, se otorgan tres premios diferentes y hay seis concur santes. a ) ¿De cuántas formas pueden otorgarse los premios? b) ¿De cuántas formas pueden otorgar_se seis premios a los concursan tes?
TÉCNICAS DE CONTEO 2 1 1.1 19. Si una-máquina expende un artículo a un precio de 40 centavos y el
1. 120. 1.121. 1. 122.
1. 123. 1.124.
1. 125. 1.126. 1.127. 1.128. 1.129.
1.130. 1.131.
dinero depositado en la misma debe estar formado por una moneda de 25, otra de 10 y una de 5, ¿de cuántas maneras pueden ordenarse las monedas depositadas en la máquina? Seis personas se disponen a entrar a una gruta, ¿en qué orden diferente pueden formarse en la fila para entrar? Un inspector visita seis máquinas diferentes durante el día. A fin de impedir que los operadores sepan cuándo inspeccionará, varía el orden de las visitas. ¿De cuántas maneras Jo puede hacer? Cierta sustancia química se forma mezclando cinco líquidos distintos. Se propone verter un líquido en un estante y agregar sucesivamente Jos demás. Todas las combinaciones posibles se deben probar para es tablecer cuál da el mejor resultado. ¿cuántas pruebas se deben hacer? Un constructor desea edificar nueve casas, cada una con diferente diseño. ¿En cuántas formas puede colocar estas casas si seis terrenos están de un lado de la calle y Jos otros tres en el lado opuesto? En un concurso regional de deletreo, los ocho finalistas son tres niños y cinco niñas. Encuentre la cantidad de órdenes posibles al final del evento para: a) los ocho finalistas, b) las primeras tres posiciones. De los ocho hombres de la tripulación de una barca, dos de ellos sólo pueden remar por el lado izquierdo y tres por el lado derecho. ¿De cuántas maneras diferentes se puede colocar la tripulación? ¿cuántas señales diferentes se pueden hacer con ocho banderas si se usan cuatro de color blanco, tres de color rojo y una de color azul? ¿En cuántas formas pueden plantarse, a lo largo de la línea divisoria de una propiedad, tres robles, cuatro pinos y dos arces si no se distingue entre los árboles de la misma clase? Un colegio participa en 12 partidos de futbol en una temporada. ¿De cuántas maneras puede el equipo terminar la temporada con siete victorias, tres derrotas y dos empates? Nueve personas salen de viaje, a esquiar, en tres vehículos cuyas capacidades . son de dos, cuatro y cinco plazas, respectivamente. ¿En cuántas formas es posible transportar a las nueve personas hasta el albergue con todos los vehículos? Si hay nueve autos en una carrera, ¿en cuántas formas diferentes pue den ocupar el primero, el segundo y el tercer lugar? Un inspector desea llevar a cabo ocho pruebas sobre un teclado seleccionado al azar que sale de una línea de ensamble. La secucn ·ia en la que se llevan a cabo las pruebas es importante porque varía •1 t icmpo
22
CAP. l . TÉCNICAS DE CONTEO
que se pierde entre las pruebas. Si un expertto en eficiencia estudiara las secuencias posibles para determinar la que requiere menos tiempo, ¿cuántas secuencias debería abarcar este estudio? 1.132. Un testigo de un robo a un banco dijo que el número de la licencia del automóvil de los ladrones era un número de seis dígitos, de los cuales los tres primeros eran 487. No recordó los últimos tres dígitos, pero estaba seguro que eran diferentes. Según estos datos, ¿cuántos números de licencias de automóviles tendría que investigar la policía? 1. 133. ¿De cuántas maneras puede agruparse un equipo de futbol en torno a su entrenador para recibir las órdenes de éste? 1.134. En una reunión de un comité estuvieron presentes siete personas. (En cuántas formas diferentes se les puede colocar alrededor de una mesa redonda? 1. 135. Diez caballos corren en una carrera en Culiacán, Sinaloa: a) ¿cuántas maneras diferentes de terminar hay? b) ¿cuántas posibilidades diferentes hay para los tres primeros luga res? 1.136. Tres hermanos y tres hermanas se alinean para que les tomen una fotografía. ¿cuántos arreglos posibles hay: a) si todos quedanjuntos? b) si los hermanos y las hermanas alternan posiciones? e) si las tres hermanas se colocan juntas? 1.137. Veinte automóviles van a participar en la carrera, ocho de los cuales son de la marca A, siete B y el resto C. Si solamente se lleva el control de la marca de los autos, ¿de cuántas formas pueden llegar los autos a la meta? 1.138. Si se hace una tirada con seis dados, ¿de cuántas formas diferentes pueden quedar los lados hacia arriba? 1.139. ¿cuántos diferentes resultados pueden obtenerse al lanzar dos dados si: a) ambos dados se pueden distinguir? b) ambos dados no se pueden distinguir? e) consideramos el número de sumas distintas? 1 .140. ¿Puede definirse un conjunto que tenga exactamente nueve subcon juntos? 1. 141. Una bolsa contiene pequeñas bolas de colores: una roja, una negra y una verde. Se selecciona al azar una de ellas y se anota su color. Después de regresada a la bolsa, se agita ésta y se saca una segunda bola, luego de lo cual se anota su color. Se regresa esta bola a la bolsa y se selecciona una tercera; el color de ésta también se anota. ¿cuántos casos diferentes de tres colores pueden ocurrir?
TÉCNICAS DE CONTEO 23 1.142. ¿cuántas palabras diferentes de tres letras se pueden crear con los
1. 143. 1.144. 1.145. 1.146. 1. 147. 1.148.
1.149. 1.150. 1.151.
1.152. 1. 153.
caracteres de la palabra iguales si: a ) las letras no deben repetirse? b) las letras pueden repetirse? Las placas de matrícula de automóviles emitidas por cierto estado tienen dos letras seguidas por tres dígitos. ¿cuántas placas diferentes pueden emitirse? Un estado tiene un millón de vehículos registrados y está considerando emplear placas de licencia con seis símbolos en los que los primeros tres sean letras y los últimos tres, dígitos. ¿Es factible este esquema? Las placas de automóvil del Estado de México están formadas por tres letras seguidas de tres dígitos (por ejemplo, AFF033). ¿cuántas placas diferentes se pueden emitir? ¿Cuántas palabras diferentes de cuatro letras pueden crearse con los caracteres de la palabra múltiplos? (No se deben repetir las letras.) ¿cuántos conjuntos diferentes de iniciales se pueden formar si cada persona tiene cuando más, un nombre y dos apellidos? El alfabeto griego tiene 24 letras. ¿cuántos nombres de fraternidades diferentes pueden formarse con tres letras si: a ) se permiten letras repetidas? b) no se permiten letras repetidas? ¿cuántos subconjuntos tiene un conjunto de ocho elementos? ¿cuántas diferentes sumas de dinero se pueden formar si se tiene una moneda de un centavo, una de cinco, una de diez, una de veinticinco y una de cien centavos? Un equipo de beisbol se debe formar con un conjunto de 1 2 personas. Dos equipos formados por las mismas nueve personas son diferentes si al menos alguna de ellas está asignada a una posición distinta. ¿De cuántas maneras puede formarse un equipo si: a ) no hay restricciones? b) sólo dos perso!las pueden ocupar la posición de pítcher y no jugar ninguna otra posición? e) sólo dos personas pueden ocupar la posición de pítcher y jugar también en otra posición? Si se lanzan cuatro monedas al aire, ¿de cuántas maneras pueden caer? Suponga que un club consiste de tres mujeres y dos hombres. ¿ne cuántas maneras se puede elegir un presidente y un secretario si: a ) el presidente es una mujer y el secretario un hombre? b) el presidente es un hombre y el secretario una mujer? e) el presidente y el secretario deben ser de sexo opuesto?
24
CAP. l. TÉCNICAS DE CONTEO
1.154. Érika tiene una moneda de un centavo, una de cinco centavos, una
1.155.
1. 156. 1.157. 1.158. 1.159. 1.160. 1. 161. 1.162.
1.163.
1. 164.
de 10, una de 25 y una de medio dólar en su monedero. ¿cuántas cantidades diferentes de dinero (consistente de al menos una moneda) pudo darle a su hermana Teresa? Una prueba de selección múltiple consta de cinco preguntas, cada una con cuatro posibles respuestas, de las cuales sólo una es correcta. a) ¿En cuántas formas diferentes puede un estudiante seleccionar una respuesta para cada pregunta? b) ¿En cuántas formas puede un estudiante elegir una alternativa para cada pregunta y tener todas las respuestas incorrectas? ¿En cuántas formas diferentes pueden contestarse nueve preguntas de cierto o falso? Una prueba consiste en 20 preguntas de verdadero/falso. ¿De cuántas formas diferentes se puede responder a la prueba? Cinco jefes de cocina entraron a un concurso para hornear pasteles. ¿De cuántas maneras se pueden premiar los tres mejores pasteles con un listón de color azul, uno rojo y uno amarillo? Un club consta de 20 miembros. ¿De cuántas formas pueden seleccio narse tres directivos: presidente, vicepresidente y secretario? ¿cuántos números telefónicos diferentes de siete dígitos puede formar la compañía de teléfonos si utiliza los dígitos del O al 9. ¿cuántos números de serie de cuatro dígitos se pueden formar si ninguno de los dígitos se debe repetir en cualquier número de serie? Además, el primer dígito puede ser cero. Determine si cada una de las siguientes expresiones es verdadera o falsa: a ) 9! = 9 X 8 X 7 X 6 X 5! b) 5! X 4! = 20! e ) 5! + 5! = 10! d) 7! = 8!/8 Un profesor de contabilidad puede asignar calificaciones de A, B, C, D o F a los exámenes de los alumnos. a ) ¿En cuántas formas puede el profesor asignar las calificaciones a tres diferentes exámenes? b) ¿De cuántas maneras puede asignar el maestro calificaciones de A o B a tres exámenes distintos? El representante de un sindicato desea hablar con tres de los 10 trabajadores inmiscuidos en un procedimiento que es motivo de una queja. a ) Si es importante el orden de las entrevistas, ¿en cuántas formas puede planear las entrevistas el representante del sindicato? · ·
TÉCNICAS DE CONTEO 25 b) Si no importa el orden de las entrevistas, ¿de cuántas maneras puede planearlas el representante del sindicato?
1.165. Encuentre el número de formas en las que pueden asignarse seis
profesores a las cuatro secciones de un curso básico de psicología, si ninguno cubre más de una sección. 1.166. De un grupo de 40 boletos de la lotería, se sacan tres para el primero, segundo y tercer premios. Encuentre el número de variantes distintos para otorgar los premios si cada concursante conserva sólo un boleto.
1.167. Si hay ocho vendedores en un concurso de ventas, ¿en cuántas formas pueden situarse en primero, segundo y tercer lugares?
1.168. En un grupo de 30 alumnos hay 1 8 hombres y 1 2 mujeres. Se va a elegir un comité formado por un presidente, un vicepresidente y un secretario. ¿cuántos comités se pueden formar si el puesto de secretario debe ocuparlo una mujer?
1.169. Siete personas solicitaron trabajo para cubrir dos vacantes. ¿De cuántas
maneras se pueden cubrir las vacantes si: a) la primera persona seleccionada recibe mayor salario que la segunda, y b) no hay diferencia entre las vacantes?
1.170. (En cuántas formas pueden llenarse las cinco posiciones iniciales de
un equipo de baloncesto con ocho jugadores que pueden ocupar cualquiera de ellas? 1.171. De un grupo de 30 alumnos, un profesor desea seleccionar un repre sentante, un suplente y un auxiliar. ¿cuántas formas hay de hacerlo?
1.172. ¿cuántos arreglos diferentes pueden hacerse con los signos de la siguiente sucesión: + - + - - - + + -?
1.173. De una clase de seis miembros, ¿de cuántas maneras se puede seleccio
nar un comité de cualquier tamaño (incluyendo un comité de uno)? 1.174. Tres ciudadanos destacados van a recibir premios. Si hay cuatro can didatos a estos premios, ¿de cuántas maneras diferentes pueden distri buirse éstos (bajo el supuesto que ninguna persona puede recibir más de un premio)? r
1.175. En m diferentes celdas se colocaron n bolas de color rojas y verdes de modo que en cada celda se colocó una bola como máximo ( n + r ¿De cuántas maneras pueden colocarse si:
:::; m).
a) las bolas no se pueden distinguir? b) las bolas se pueden distinguir?
1.176. Demostrar que en la ciudad de México viven por lo menos dos
personas con iniciales idénticas (suponga que las iniciales se toman de cuatro palabras para nombres y apellidos).
26
CAP. l . TÉCNICAS DE CONTEO
1.177. Se colocan k bolas distinguibles en n urnas distinguibles. ¿De cuantas 1. 178. 1.179.
1.180. 1. 181. 1. 182.
maneras se pueden colocar las bolas si no hay límite para el número de bolas en una urna? Se colocan k bolas no distinguibles en n urnas distinguibles. ¿De cuantas maneras se pueden colocar las bolas si no hay límite para el número de bolas en una urna? ¿De cuántas maneras se pueden colocar k bolas distinguibles en n urnas diferentes de modo que en la urna u ¡ puede colocarse un número cualquiera de bolas y en las restantes una bola como máximo; además, en la urna u1 debe haber exactamente s bolas? ¿se colocan k bolas distinguibles en n urnas distinguibles. ¿De cuantas maneras se puede colocar las bolas si en cada urna se pueden colocar una bola como máximo? ¿De cuántas maneras se pueden colocar en m urnas diferentes n1 bolas de color blanco, n2 bolas de color negro y n3 bolas de color azul? Cada pieza de dominó está marcada con dos números. Las piezas son simétricas, de modo que la pareja de números no está ordenada. ¿cuan tas piezas diferentes se pueden formar con los números 1, 2, , n? Con una moneda de 1 centavo, una de 5, una de 10, una de 15 y una de 50 centavos, ¿cuántas sumas diferentes se pueden hacer? Cierta comisión se reunía 40 veces. En cada sesión siempre estaban presentes 1 O hombres, con la particularidad de que dos de cualesquiera de los miembros de la comisión no presenciabanjuntos las sesiones más que una vez. Demuéstrese que el número de miembros de la comisión es superior a 60. En una oficina hay 25 empleados. Demuéstrese que de dichos empleados no pueden formarse más de 30 comisiones de cinco personas en cada una de modo que ningún par de comisiones tenga mas de un miembro común. Se tienen nueve palos de diferentes longitudes, de 1 a 9 cm. ¿De cuántas maneras y con qué lados se pueden formar cuadrados si se usan dichos palos? (No es necesario usar todos los palos y los cuadrados se consideran diferentes si se emplean palos distintos.) Una caja contiene 12 tarjetas numeradas del 1 al 12. Supóngase que se toma una tarjeta de la caja. Encuéntrese el número de maneras en que pueden ocurrir los siguientes eventos: a) El número tomado es par. b) El número es mayor que nueve o menor que tres. ¿cuántas permutaciones pueden componerse de n elementos, en las cuales los m elementos dados no se disponen juntos en cualquier orden? . . .
1. 183. 1.184.
·
1. 185.
1. 186.
1. 187.
1. 188.
·
TÉCNICAS DE CONTEO 27 1.189. Una nevería en Coyoacán tiene helados de 10 sabores diferentes.
1. 190. 1 . 191.
1 . 192. 1. 193.
1. 194. 1.195.
1. 196. 1. 197.
1.198.
¿cuántos conos dobles diferentes pueden hacerse si: a) los dos helados deben ser de diferentes sabores, pero el orden en .que se colocan en el cono no tiene importancia? b) los dos helados deben ser diferentes y el orden importa? e) los dos helados no deben ser diferentes, pero el orden importa? d) los dos helados no deben ser diferentes y el orden no importa? Van a bailar m mujeres y n hombres. ¿De cuántas maneras pueden formarse todas las posibles k parejas para bailar? (k :S mín[m, n]) El número de formas en que pueden acomodarse n objetos distintos en un círculo es (n - 1)!. a) Presente un argumento que justifique esta fórmula. b) ¿En cuántas formas pueden mantenerse 1 1 jugadores de futbol en un agrupamiento circular (si sólo importa saber quién queda a la izquierda y a la derecha de cadajugador)? e) ¿De cuántas maneras pueden montarse cinco turquesas en un brazalete de plata? ¿De cuántas maneras pueden sentarse a una mesa redonda n hombres y n mujeres de modo que cada dos personas de un mismo sexo ninguna esté sentada al lado de otra? Dado que n hombres (n > 2) se encuentran sentados a una mesa redonda, convengamos en considerar coincidentes dos disposiciones respecto a los sitios, siempre que cada hombre tenga los mismos vecinos en ambos casos. ¿De cuántas maneras pueden sentarse los hombres a la mesa? ¿De cuántas maneras se pueden formar tres pares de n ajedrecistas? Hay que colocar cuatro libros diferentes de matemáticas, seis de física y dos de química en una estantería. ¿cuántas colocaciones distintas son posibles si: a) los libros de cada materia deben estar juntos? b) sólo los de matemáticas tienen que estar juntos? Suponga que en una organización que tiene 300 miembros se van a formar dos comités. Si un comité va a tener cinco miembros y el otro ocho, ¿de cuántas formas distintas se pueden seleccionar estos comités? ¿De cuántas formas se pueden sentar siete personas en torno a una mesa redonda si: a) son libres de elegir el asiento que deseen? b) dos personas particulares no pueden sentarse juntas? Cuatro parejas van a ir juntas al teatro y compraron boletos para ocho asientos de la misma fila. ¿De cuántas maneras. diferentes se pueden colocar las cuatro parejas sin que ninguna quede separada?
28
CAP. l . TÉCNICAS DE CONTEO
1. 199. Demuestre que el número siguiente es un entero: 4155 X 4 156 X · X 42 5 0 X 42 5 1 2X3X X 96 X 97 ·
·
·
· ·
x
1.200. Para cualquier número real y para cualquier entero positivo k, el valor ·
1.201. 1.202. 1.203. 1.204.
() x
=
k
x x
( - 1)
· · ·
(x
k!
-
k + 1)
es un número bien definido. Calcular C45 ) . ¿cuántos son los números del O al 1 0n, en los cuales no figuran cifras iguales sucesivas? ¿cuántos números diferentes hay entre O y 60 000 que usen sólo los dígitos 1, 2, 3, 4 o 5? Suponga que (9i) = a y (94q) = b. Expresar C�5°) en función de a y b. Demuestre que
[(;: : ) - (;)] (;= :) 2 (
1.205. Dados
n) r
_
(
n + 1) r+ 1
(
=r
n - 1)
n> 1
O
r- 1
1 0 puntos fijos en un círculo, ¿cuántos polígonos convexos se pueden formar que tengan vértices seleccionados de entre estos puntos? 1.206. En un campeonato gimnástico dos equipos contaban con un número igual de participantes. En total, la suma general de tantos obtenidos por todos los participantes era igual a 156. ¿cuál fue el número de participantes si cada uno de ellos obtuvo notas sólo de ocho y nueve tantos? 1.207. Demostrar la siguiente igualdad: 1
2(2n)!
4"(n!)2
1.208. Demostrar que para n
b)
+ (
+2(
+ · · · + ( - 1 )" (�
+3(
X
· ··
X (2n - 1 )
(n!)2n - J
2': 2
G) ;) G) ;) ;)
a) 1 -
X3X5
+
...
)
=O
= n2 n- 1
e) 2 X 1
(;) + 3 X 2 (;)
+4
1.209. Demostrar que
n,
m
3
(:)
+
·
.
.
=
n(n-
1)2n - 2
(2n)! (2nn )2 ?:; (k! )2 [(n-k)! f
1.2 10. Demostrar que
1.2 1 1 . Si
x
29
n
=
y r son enteros positivos, demostrar que
1.212. ¿En cuántas partes dividen un plano
n rectas que se intersecan si cualesquiera tres de ellas no se cortan en un mismo punto? 1.213. ¿En cuántas partes dividen un espacio n planos, de los cuales cuatro de ellos no pasan por un mismo punto, tres no pasan por una misma recta y dos no son paralelos; además, tres tienen un punto común? 1.214. A partir de la identidad
deduzca la fórmula de Lucas para los números de Fibonacci (1 202, Leonardo de Pisa, apodado Fibonacci encontró la célebre sucesión en relación con la cría de conejos), cuyos primeros valores son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, , fn, , en términos de coeficientes binomiales:
... . . .
Jn+ 1 =
26 X 6 = 156 10 X 6 X 4 = 240 1 .3. 1680 1 .4. 3 X 4 X 3 = 36 1.5. 6 X 1 X 6 = 36 1.6. 4 X 4 = 16 1.1.
1.2.
(n) (n- ) (n- ) O
+
1
1
+
Res puestas
2
2
+ . . .
30 1.7. 1.8.
5 6 = 30 6 4 4 = 96 2=8 3 6 5 = 90 6 x 3 = 18 30 29 28 = 24 360 35 4 3 2 = 24 8 3 = 24 4 6 3 = 72 6 4 3 = 72 28 15 10 4200 23 lO 9 = 32 292 000 26 25 2 6 3 = 36 6 5 4 = 120 8 3 = 24 30 3 5 7 2 = 210 4 3 2 1 = 24 5 4 6 = 120 5 3 2 = 30 7 4 5 2 280 9 8 = 72 3 2 2 = 72, = 6 3 20 4 = 240 3 3 2 = 18 3 2 2 48 3 5 = 30 5 4 = 20 a) 8400 =·5 x v; b) 2520 = V42 Vi = 505 (�) (!) + (�) X
1.9. 4 1 . 10. 1.11. 1.12. 1 . 13. 1 . 14. 1 . 15 . 1 . 16. 1 . 17. 1 . 18. 1 . 19. i .20. 1.21. 1 .22. 1 .23. 1 .24. 1.25. 1 .26. 1 .27.. 1 .28. 1.29. 1 .30. 1.31. 1 .32.
1.35. 1 .36. 1 .37. 1.38:
1.39.
1 .40.
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
=
X
X
X
X
24
X
X
X
X
X
X
X
1.33. 4 1 .34.
X
X
X
X
2
=
X
X X
X
=
G)
+ (:) (�)
(El modelo de Fermi-Dirac)
(�)
8! 3! (8 - 3)! 56 e:) = 105 X
=
RESPUESTAS b)
84150 3915 e)e)130315 4200 28 1 0! 252 (1010!12!- 3)! 720 (12 - 3)! = 1320 G) 4= 2 G) 4x3=36 e)4x3x2=24 d)73 G�) = 86 493 225 840 + 45 (n 6G) G) G) 5605 0 e:) G) G) 882036 100 e) 24 144 330 e) 540 d) 1239 (111 80 - 4)! . 4! -= 330 . . 512! 14!2111 3!10-27720 3!8!(9 - 3)! 569! = 110 880 3!780 (8 - 3)! 4845042 000 7000 + + 1 126 840 ) = ) (�1) (: (� G) + (�1) G) + 4 = 970 G�) = 18 564 818!110!21==306045 S! 7! 21 = 21 e) 7 3 = 21 d) 3 141 41
1.41.
a)
1 .42.
a)
b)
1 .43. 1 .44.
1.45.
h1 ( :>.
X
5') = .
=
1 .46.
1 .47.
1 .48.
b)
1
a)
1.49.
1 .50.
=
1.51.
=
1 .52.
1 .53. 1.54.
a)
1 .55.
a)
b)
b)
11!
1 .56.
1.57.
X
X
1 58
1 .59.
=
X
1 .60. 1.61.
1 . 62 .
1 .63.
X
X
X
b)
a)
1 .64.
1 .65.
1 .66.
1.67.
a
)
X
X
b)
X
X
J1
32 1 .68. 1.69. 1 .70. 1.71. 1 .72. 1.73. 1.74. 1.75. 1 .76. 1 .77.
1 .78.
1 .79.
1 .80.
1.81. 1 .82. 1 .83.
(!) (:) (!) = 29400 . X
a)
.
=
1 .86. 1 .87.
e)
e)
d)
e)
e)
=
a)
cjo = a
b)
X
=
)
b)
=
e)
=
. X
a)
.
X
a)
X
a)
x
X
e)
1 .85.
b)
b) b) b)
a) a) a)
b)
1 .84.
=
3, 7! 41 35 G) 28 56504150 45224 10084 40 701 800 564116 28- 14101 = 255 G) (�) G) 1260 9!1 1 !23!°=55 0 11 ( 3 ) = 3! � �7! 4060 (�) G) = 150 G�) - G�) = 9 279 308 324 G) (�) 6 708 426 560 (:) (�8) 2264093964 7, 10!3 3' = 1208 ( \ ) (!) (� ) = 224848 17!2013013! =8!1 425062! 51300 25!201 5! - 15 756 115!1 ! 5! 1655! 5! 11 ! =55 81 121 = 495 91 21 4! ( 12 - 4)! G) = 84 210 - 30 = 6 6 5 = 180 5 5 3 = 75 90 6 + 9 = 150 -
X
+
X
___!Q!_ = X
___!2.!_ X
=
31
X
b)
X
X
b)
X
X
e)
+
RESPUESTAS 1.88. 1.89. 1.90. 1.91. 1.92.
a) 7! = 5040
a) 60
2 ., 2 ' X
b) 6! = 720
e) 24
b) 24
5!
=
33
d) 24
30
•
a) 6! = 720
-
b) 6!
8!
x
21 = 15120
= 3360 V83.2 = 1 3 . X 2, 101 5•3•2 = vJO = 2520 5! X 3! X 2! 1 1! 5! = 332 640 •
1.93. 1.94. 1.95. 1.96. 1.9 7 .
a) 30 b) 260 e) 24 d) 384 4! = 24 9! 15 120 2 ' X 3 1 X 2' 6! = 720 5! = 120 v;g· 5 = 15 504 12! - 29 937 600 V12,2.2.2 2 21 X 21 X 21 X 21 6' a) si 120 b) 4 x 3! = 24 =
•
1.98. 1.99. 1 . 100. 1.101. 1. 102. 1 . 1 O3 " 1. 104. 1. 105. 1. 106. 1 . 1 07 . 1. 108. 1. 109. 1 . 1 10. 1 . 1 1 1. 1 . 1 12. 1 . 1 13. 1 . 1 14. 1 . 1 15. 1 . 1 16. 1 . 1 17. 1 . 1 18.
•
•
=
.
51 51 + 5 1 = .300 (5 - 3)! (5 - 4)! + 4! = 24 5! = 120 5! = 120 7! X 3! X 8 241 920 5! = 120 4! X 2 = 48 6! = 720 a) 12! = 479 001 600 b) 5! X 4! =
(:) 2!
X
3! = 1 7 280
e) 3! X 5!
= 20
7! = 5040 ) 120 b) 72 e) 1 2 5! X 4 ! = 2880 a) 8! = 40 320 b) 4! x 2! = 48 e) 4! 7! 210 3 1 X 2 .' X 2 ' 6! a) 3! = 120 b) 6! = 720
a
.
=
•
x
4! = 576
X
4! X 3! = 103 680
34 1 . 1 19. 1 . 120. 1. 121. 1 . 122. 1 . 123. 1 . 124. 1 . 125. 1 . 126. 1 . 127. 1 . 1 28. 1 . 129• 1 . 130. 1.131. 1 . 132. 1 . 133. 1 . 134. 1. 135.
3! = 6 6! = 720 6! = 720 5! = 120 9! 362 880 81 a) 8! 40 320 b) SI = 336 (4!)2 3 = 1728 8! 4 1 3 1 1 1 = 280 9! 3 1 4 1 2 ' 1260 12! 71 3 1 2 1 7920 9! 9! 9! 9! 9! 5! 3! 1! + 5! 2! 2! + 4! 4! 1! + 4! 3! 2! + 3! 4! 2! = 4410 9! 6! = 504 8! = 40 320 720 10! = 3 628800 6! 720 10! a) 10! b) (10 3)! 720 a) 6! = 720 b) 3! 3! 2 72 e) 3! 4 4! 24 P:07•5 = 99 768 240 66 46 656 6 1 a) 62 b) + � + = 21 e) 11 No; número de subconjuntos 2n "/= 9 EN 33 = 27 a ) 7! = 210 b) 7 343 (7 3)! 26 25 10 9 8 = 468 000 263 103 17 576 000; Sí 263 103 17 576 000 9! (9 4)! 2 = 1680 263 = 17 576 a) 243 13 824 b) (2424!- 3)! 12 144 28 25 = =
=
X
. X
. X
. X
.
. X
. . X
.
X
X
.
X
= =
X
=
_
1 . 136. 1 . 137. 1. 138. 1 . 1 39. 1 . 140. 1 . 141. 1. 142. 1 . 143. 1 . 144. 1 . 145. 1 . 146.
=
X
1 . 148. 1 . 149. 1. 150.
X
_
x
X
32
X
X
=
=
X
X
X
X
X
para n
3
X
=
=
X
)
(
_
1 . 147.
X
=
1
=
=
=
X
=
X
X
RESPUESTAS 1.151.
(21212110!g)! 212 1 011 10 8 9 7 8 6 7 5 6 5 3 4 2(11 - 8)8)1 ! l.! 2 11 10 9 8 6 5 4 24 6 16 6 6 25-1024 3 1 243 29220 5121048576 (205 1-5! 3)! 60 7!V10 168400 1016! 5040 510!3 125720 231208 6! 360 :�: 59 280 5!1 2Vgg 33612 29 28 9744 5.8! 7! 672042 51 7! 21 2 1 V30 30!271 28 29 30 24360 2926 - 1512 63 24 4; (26)4 b) ( l O _
=
X
X
=
X
X
X
e) 1. 153. 1. 154. 1. 155. 1. 156. 1 . 157. 1. 158. 1 . 1 5 9. 1. 160. 1 . 16 1 . 1. 162. 1. 163. 1. 164. 1 . 165. 1. 166. 1 . 1 67. 1 . 1 68. 1 . 1 69. 1 . 170. 1. 171. 1 . 172. 1 . 1 73. 1 . 174.
1 . 176.
a)
=
1
b)
1
a)
9
X
X
X
=
X
1. 152.
X
_·
a)
X
X
X
X
X
X
X
7
X
X
4
X
e)
=
b)
=
=
=
=
1
-7
=
a) V
b) F
=
a)
a)
7
=
e) F d) V
b) b)
7! =
=
2! =
=
�
=
=
a)
--¡ =
3i
=
=
=
X
=
=
b)
X
=
. X
•
X
Menciones idénticas:
X
X
X
X
X
=
=
menciones diferentes:
X
X
35
36 1 . 1 77.
1. 178.
1. 179.
1. 180.
1 . 181•
1 . 182. 1 . 183. 1. 184.
(El modelo de Maxwell-Boltzman) nk (El modelo de Bose-Einstein) n+ - 1
(
�
)
k ;:::: s n - 1 ;:::: k s, 1 = (n s 1)! n! Vnk = (n _ k)! m+ - 1 m+ - 1
Si y G)
-
�:: �
( :: ) ( ()
n(n + 1) n +n= 2 2 23
::
tenemos
G)v:=�
m+
:: - 1 )
Cada mbros de la comisión pudo encont rarse en. Seunatratsola aensestioótn.al Ende cadaparreunisdeesioóminesn ehubo pares de hombres , es sdeciión.r,Sienn embargo, total fueronde porhombres lo menosse puedenparesformarde misóleombros de la comi pares . El requi nes tenga másintervideeunnemimásembroque común escomi equisióvsn.alitoeElntdenúmero e quea queninnidegúnngúntopardospardelosdecomiparescolsaioesboradores en una i g ual a el número dede pares en unadecomila comisiónsióesn iesgualiguala a El número máximo posible mi e mbros Espalofásci. Porl veresqueo noparase puedeformarformarun cua�rado se necescon unitanlanodo imenos dea sicm.ete un cuadrado n f e ri o r Poren consotraecuenci parte, ala, asupartma ider delaels lloongis estuimdesposdeiblteofdosormarlos unpalocuadrado s es igualcuyoa lacm;do slaeasisguuiperientoermanera: a cm. Se pueden formar cinco cuadrados con una longitud de 10
40
60
1 . 1 85.
)(
x
x
9/2 = 45
1800
60
59/2 = 1770 < 1800
5
1 . 186.
25 x 24/2 = 300; 4/2 = 10. 300/10 = 30
x
7 45
11
7 = 6+ 1 = 5+2 = 4+3 8 = 7+ 1 = 6+2 = 5+3 9 = 8+ 1 = 7+2 = 6+3 = 5+4 9+ 1 = 8+2 = 7+3 = 6+4 9+2 = 8+ 3 = 7+4 = 6+5
1 . 187. 1 . 188.
a) A = {2, 4, 6, 8, 10, 12} < (A) = 6 m
b) B = { 1, 2, 10, 1 1, 12} < (B) = 5
Reunamos Jos arsele eymentobteondremos s dados en uno. Entoncespermutdicahosciones enelement os pueden permut l a s que busestocsadaseleesmentos están aliado. Por consiguiente, el número de permutaciones m
m!(n - m + 1)!
m
n! - m!(n - m + 1)!.
1 189
·
·
1. 190. 1.191.
RESPUESTAS
2 X 101 101 = 90 = 45 b) 2! x ( 10 - 2)! 2! x ( I0 - 2)! (10 + 2 - 1 )! e) 10 2 d) = 55 2! X ( 1 0 + 2 - 1 - 2)!
37
a)
(;) (�)
k!
a)
Parajetoobts enenerunelcínúmero de formasarbientrarilasaquementseepueden diiósnponerde cualu ordenar ob r cul o , füamos l a pos i c quiedera deformaslos obenjetoques dentse rpueden o del círlculenaro. Deslaspués, podemos det e rmi n ar el número posiciones restantes. El número deLospermut a ci o nes ci r cul a res es las muj.eres pueden elegirse en sitios. paraEn toltoasl hombr es y paramaneras maneras hay embargo,delasrelentaacirsóenadela vecimesEl número na.dad hacetotaquel dehayapermuten taocitaolnes es igual a Sin maneras elseegiis ry sfeoirmemos s ajedrecitrsestasparesen : elmaneras . Enumerémos lorceros concuartcifraso; delelPodemos pri m eros e gundo; el t e uno al nto-sesxttaos. dentEstorosedepuedecada hacer enordenmaneras . pares Por cuantno soonelesorden des, lentosquioajncesedreci par el de l o s e nci a l e y idir en para componer manerastres. pares En totdeal exiajsedreci ten ssetaiss.ajedrecistas se pueden divmaneras Losísicadeenmatemáticlasossdee pueden coldeocar entre ysílodes tres gruposformasde ; los de fmaneras quí m i c a entre sí. Luego el número requerido es lloibsroscuat, quero dese pueden matemátcolicasocarcomode una solmaneras a obra. Ent. Enocadances nueve tunaConsenemosdeideremos están junt. Luego os. Perolaessotoluscicuatón reso se puedenellacols, loocars cuatentroredesí dematemáticas maneras ( � )( � ) a) sSententaermosde a una persfoormasna en, queunaessilela. número Entoncesto, ltaasl pediseis rdeo.stantes se pueden Consi aseseisaspersdosonaspers, queonassepartpuedenicularessentcomo unaformas sola .persPeroona.las Entdosopersncesderemos habrí a a r de coloscarituarentsreeissípersde onasmaneras ; lumesego,a elredonda númerooennasdetapartntfoormasisceulesaenrteasblqueseecepueden sefüarpueden en una juntas es= = manerasAl usdear lsaentpartarseea)con, lalasos lcondi ucióncaionesnoimespuesotrdosataque= s. Este número es �; y por tanto debe ser entero.
n
1. 192.
n- 1 (n - 1)!; b) 10! = 3 628 800; e) 24 = (5 - 1 )! 2 x (n!) x (n!)
2 x (n!)2
1. 193.
1. 194.
n!. n!/(2n) = (n - 1 ).!/2 C�
6!
6!/(23 x 3!)
C�6!/(23 x 3!) = n!/(48(n - 6)!)
n 1. 195 .
a)
b)
1 . 196. 1 . 19 7.
P4 = 4!
P2 = 2!,
P6 = 6!;
207 360.
Pg = 9!
9! X 4! = 8 709 120. 3 0 2 5 = 2.53 X 1025
P4 = 4!
6! = 720
b)
5! 2!
b)
1 . 198. 1. 199. 1.200.
X
1
X
1.5
X
( 1 . 5 - 1)
8
P3 = 3! = 4! x 6! x 2! x 3! =
6
X
1
X
4X 1
e��1)
X
X
2
X
5! x 2! = 240 . 720 - 240 480
1 = 384
5 - 2) X (1 . 5 - 3) = 0_ 02343
38 1.20 l. 1.202. 1 .203.
1 . 204.
+
9n+l 10 + 9 2 + 93 . . . + 9" = 8- 1 55 + 54 + 5 3 + 52 5 = 3905
1 + Es muy fácil verificar algebraicamente las dos siguientes identidades De esto tenemos que Por cuanto
(�n = a + b.
(nr ++ 11) = � (n) r+1
entonces
1.206.
r
y
(n)r
=
( )
� n-
1
r r- 1
,
primer miembro de la igualdad puede escribirse así:
� (� - 1 )
(
8 ( 10) = 968 10
1 .205.
�1
=
r r+ 1 n2
+
(n + 1)
r2
·
(-)
1 2 r-1 n- 1 2 r-
n
n) ( 1 )
(r l)r
n( n - r)
r(r + 1 ) = r r2 (r + 1) n(n - r)
k
Por cuanto ambos equipos contaban con un número igual de participantes, el número de todos los participantes es par. La suma máxima de tantos se puede obtener por 16 participantes y es igual a 16 x 9 = 144(144 < 156), mientras que la suma mínima de tantos puede obtenerse por 20 participantes y ser igual a 2 0 x 8 = 160(156 < 160). Además, se debe comprobar que 18 participantes pueden obtener en suma 156 tantos, es decir, existen los números naturales x e y que satisfacen el sisteñ'ta de ecuaciones
x + y =1 8 9x + 8y =156 1 . 207.
La solución existe y es única: x = 1 2 ; y = 6. Si se descompone de la siguiente forma, (2n)! y
=
((1
4" = 2"
X x
3
X
5 . . . (2n - 1)) X (2 X 4 X 6 . . . 2n))
[2(n veces)]
la demostración se obtiene mediante una simplificación adecuada.
RESPUESTAS 1 . 208.
1.209.
39
a) Desarrollar de (1 - 1t = O
b) Derivar ( 1 + xt y desarrollar en punto x = 1 e) Derivar ( 1 + x)" dos veces y desarrollar en punto x = 1
1 . 2 10.
Tenemos que
1.2 1 1 .
Tomamos n elementos y los dividimos en dos grupos con m y n - m de ellos. Cualquier r de n elementos se divide en k elementos de m y r - k de n - m, donde k = O, 1, 2, . . . , r. Sea V(n) la función buscada, se puede demostrar una relación recurrente V(k + 1 ) = V(k) + k + 1 , V( 1 ) = 2. De aquí tenemos
1.212.
V( 1) = 2 V(2) V( 1) + 2 V(3) = V(2) + 3 =
V(n)
=
V(n - 1 ) + n
Entonces, V(n)
=
2 + (2 + 3 +
· · ·
+ n) = 1 + ( 1 + 2 + 3 +
· · ·
n2 + n + 2 + n) = --:2:---
Trazar k rectas. Coloquemos adicionalmente la (k + 1 )-ésima recta. Ésta se interseca con las demás en k puntos y se divide en k + 1 partes, cada una de las cuales pertenece a una parte nueva del plano. Por consiguiente, V(k + 1 ) - V(k) = k + 1
1.213.
que es lo que se trataba de demostrar. Supongamos que ya se han trazado k - 1 planos. Coloquemos el k-ésimo plano. Éste se interseca con los planos trazados anteriormente a lo largo de k 1 rectas, las cuales lo dividen en (k2 - k + 2)/2 partes. Cada una de estas partes corresponde a la nueva parte del espacio. Por eso, n planos dividen el espacio en " 1 1 1 + - ¿: (k2 - k + 2) - (n + 1 )(n2 - n + 6) 2 6 �
partes.
k=l
=
40
CAP.
1.2 14.
l.
TÉCNICAS DE CONTEO
La identidad
implica que
Al igualar k + j = n, vemos que el coeficiente de tn es·
donde k = n
-
j, y, puesto que 2j :S j + k
=
n,
O :S j :S n/2.
Capítulo 2 Esp acios muestrales
y
eventos
El espacio muestra[ O es la totalidad de los resultados posibles de un experimento aleatorio. A los resultados individuales se les conoce como eventos elementales, eventos simples o puntos. a) Un espacio muestral discreto O está formado por un conjunto numera-
ble de eventos.
b) Los eventos son subconjuntos de O. e) Un evento A se realiza si ocurre uno de los elementos (puntos) de A. d) La unión de n eventos A1, . . . , An denotada por A 1 UA2 U · · · UAn, significa
que al menos uno de Jos eventos A¡, . . . , An ocurre.
e) La intersección de dos eventos A y B, denotada por A n B, significa que los
J)
g) h) i)
eventos A y B ocurren al mismÓ tiempo. De manera anáioga se define para n eventos. El complemento de A, denotado por A', significa que A no ocurre. La diferencia de dos eventos A y B está definida por A \ B = A n B', es decir, A ocurre pero no B; entonces, A' = O \ A. El evento cierto o seguro es el espacio muestra} O. El evento imposible 0 es el complemento del evento cierto !1, el) decir, el conjunto vacío.
2.1. ¿cuál es el espacio muestral para los siguientes experimentos aleatorios? ·Se lanzan tres monedas al aire y se multiplica el número de águilas por el número de soles obtenidos. 2. Se lanzan tres monedas al aire y se resta el número de soles menos el número de águilas obtenidas. 3. Se lanza un dado dos veces . y al número de puntos del primer lanzamiento se resta el número de puntos del segundo. l.
41
42
CAP. 2. ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS 4. Se lanzan dos dados y se suman los puntos obtenidos en las caras superiores. 5. Se tiene una caja que contiene 10 esferas de color blanco y 1 0 de color negro. Se extraen una tras otra las esferas y se anota su color. El proceso continúa hasta extraer de forma consecutiva dos esferas de color blanco, o más de cuatro esferas. 6. Una caja tiene n esferas entre las cuales r esferas son defectuosas ( r < n). Se prueban una a una las esferas hasta encontrar una defectuosa y se cuenta el número de extracciones que fueron necesarias. 7. Lanzar una moneda al aire y observar el lado que cae hacia arriba. 8. Lanzar tres veces al aire una moneda y observar el lado que cae hacia arriba. 9. Lanzar tres veces al aire una moneda y observar el número total de caras. 10. Lanzar un par de dados distinguibles y observar los números que resultan. 1 1 . Lanzar un par de dados no distinguibles y observar los números resultantes. 12. Una puerta de un automóvil se ensambla con un gran número de puntos de soldadura. Después del ensamblado, se inspecciona cada punto y se cuenta el número total de defectos. 13. Se fabrica un tubo de rayos catódicos y se somete a una prueba de duración hasta que se presenta una falla. Enseguida se registra el tiempo (en horas) de buen funcionamiento. 14. Un monitor registra los conteos de emisión de una fuente radiactiva en un minuto. 15. Dos soldaduras de amarre sobre una tablilla de circuito impreso se inspeccionan electrónica y visualmente y cada una de ellas se cataloga como buena ( G) o defectuosa (D) si requiere soldarse o desecharse. 16. En una planta química el volumen diario producido de cierto producto varía entre un valor mínimo (b) y uno máximo (e ) , que corresponde a la capacidad de producción. Se elige un día al azar y se observa la cantídad producida. 17. Una planta de extrusión produce una orden de piezas de 20 pies de largo. Debido a que la operación de recorte origina desperdicios en ambos extremos, la barra extruida debe tener más de 20 pies. A causa de los costos, la cantidad de desperdicios es crítica. La barra se extruye, recorta, termina y se mide la longitud total de la parte desperdiciada. 18. En el lanzamiento de un misil, se monitorean desde tierra los tres componentes de velocidad como una función del tiempo. Un
ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS 43 minuto después del lanzamiento se imprimen dichos componentes en una unidad de control. 19. Se prueban diodos de un lote, de uno en uno, y se marcan como defectuosos o no defectuosos. Esto prosigue hasta encontrar dos artículos defectuosos o haber probado cinco artículos. 20. Un lote de 120 tapas de baterías para celdas de marcapasos contiene varias defectuosas debido a un problema con el material de barrera que se aplica en el sistema de alimentación. Se seleccionan tres tapas al azar (sin reemplazo) y se inspeccionan con cuidado siguiendo una reducción. 2 1 . Una paleta de 1 0 piezas fundidas contiene una unidad defectuosa y nueve en buen estado. Se seleccionan cuatro piezas al azar (sin reemplazo) y se inspeccionan. 22. Un fabricante tiene cinco terminales de computadora aparente mente idénticas listas para enviarlas a su destino. No sabe que dos de las cinco son defectuosas. Recibe un pedido especial de dos ter minales y lo surte seleccionando al azar dos de las cinco disponibles. 23. Los pacientes que llegan a una clínica pueden seleccionar una de tres secciones donde se les atenderá. Supongamos que los médicos se asignan al azar a las secciones y que los pacientes no tienen preferencia especial por ninguna de las secciones. Tres pacientes llegan a la clínica y se registra la sección que elijan. 24. A un catador de té se le pide que pruebe y clasifique tres variedades de té -A, B y C- de acuerdo con su preferencia. 25. Cuatro trabajadores, de los cuales dos pertenecen a un grupo minoritario, se asignan a cuatro empleos netamente distintos. 2.2. Para construir espacios muestrales de experimentos en los que trabaja mos con datos categóricos, a menudo codificamos Ías diversas alterna tivas asignándoles números. Por ejemplo, un contador podría codificar los elementos relacionados con el activo f�o de una empresa como 1, 2, 3, 4 o 5, si el elemento debe adjudicarse a efectivo, bienes comer. . ciales, cuentas por cobrar, inventario o gastos pagados por adelantado. Exprese cada uno de Jos siguientes eventos en palabras: a) K = { 1, 5} b) L = {3, 5} e) M = { 1, 2, 3} 2.3. Una agencia automotriz vendió 47 autos en marzo de 1 995; 23 de ellos tenían dirección hidráulica, 27 eran de cambios automáticos 20 tenían radio; 7 tenían dirección hidráulica, cambios automáticos y r· adio; 3 tenían dirección hidráulica cambios automáticos, pero no tenían radio; 2 tenían cambios automáticos y radio, pero no tenían dirección hidráulica y 4 tenían dirección hidráulica y radio, pero no
y
y
44 CAP. 2. ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS tenían cambios automáticos. ¿cuántos automóviles se vendieron con solamente uno de estos accesorios?
2.4. De 150 soldados que participaron en una cruenta batalla, 80 perdieron un ojo; 70, una oreja; 50, una pierna; 20, un ojo y una oreja; 25, un ojo y una pierna; 30, una oreja y una pierna, y 10, un ojo, una oreja y una pierna. ¿cuántos escaparon ilesos?
2.5. En una clase de 30 estudiantes seleccionados de Ciencias, 20 obtuvieron
A en Matemáticas; 23, en Química; 18, en Física; 15, en Matemáticas y Química; 1 2, en Matemáticas y Física, y 14 en Química y Física. No hubo ninguno sin una A. ¿Cuántos de ellos obtuvieron A en los tres cursos?
2.6. En una muestra de 50 amas de casa, 35 tenían televisor; 20, triturador eléctrico para eliminación de desperdicios, y 15, radio de alta fidelidad. Además� 15 tenían simultáneamente televisor y triturador; 10, televisor y radio, y 12, triturador y radio. Ocho amas de casa tenían los tres aparatos. ¿cuántas de ellas no tenían ninguno de estos tres aparatos?
2.7. Supongamos que la clase de primer año de una universidad está compuesta por 100 estudiantes, de los cuales 40 son mujeres, 75 estudian historia y 12 son mujeres que no estudian historia. ¿cuántos hombres no estudian historia?
2.8. Un estudio realizado por mil suscriptores de cierta revista, con respecto
a su sexo, estado civil y educación, reveló lo siguiente: 3 1 2 varones, 470 casados, 525 profesionistas, 42 profesiorl istas varones, 147 profesionis tas casados, 86 hombres casados y 25 profesionistas varones casados. � Demuestre que los números presentados en los diversos grupos no son consistentes.
2.9. Supongamos que en un estudio efectuc::tdo con 900 profesionistas, 25
años después de su graduación, se descubre lo siguiente: 300 de ellos tuvieron éxito profesional, 300 estudiaron teoría de probabilidades en su carrera y 100 tuvieron éxito y estudiaron teoría de las probabilidades en la carrera. Encuentre para k = O, 1, 2, el número de personas del grupo que hayan hecho estas dos cosas:
a)
exactamente k, b) por lo menos k, e) no más de k.
2.10. En una encarnizada batalla de una peq1.1eña guerra combatieron 270
hombres, de los cuales, 90 perdieron un ojo, 90 un brazo y 90 una pierna; 30 perdieron un ojo y un brazo, 30 un brazo y una pierna y 30 una pierna y un ojo, y 1 O perdieron las tnes cosas. Encuentre para k = O, 1 , 2, 3, el número de hombres que sufrieron estas lesiones:
ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS
45
a) exactamente k,
2.1 1.
2.12.
b) por lo menos k, e) no más de k. La oficina de registro de una universidad informa que de 1347 estu diantes que terminaron sus estudios, 879 estudiaron inglés; 344, fran cés; 1 14, alemán; 1 44, inglés y francés; 29, inglés y alemán; 10, francés y alemán, y 4, los tres idiomas. a) ¿Cuántos no estudiaron estos tres idiomas? b) ¿cuántos estudiaron dos o 'más de estos idiomas? e ) ¿cuántos estudiaron exactamente uno de estos idiomas? En una ciudad se publican tres periódicos: A, B y C. Supóngase que 60 % de las familias de la ciudad están suscritas al periódico A; 40 %, al periódico B, y 30 %, al periódico C. Supóngase también que 20 % de las familias .están suscritas a los periódicos A y B; 10 % al A y C; 20 %al B y C, y 5 %, a los tres periódicos: A, B y C. ¿Qué porcentaje de las familias de la ciudad están suscritas al menos a uno de estos tres periódicos?' En cierta fábrica de cinta adhesiva se observaron tres tipos de defectos, los que se denotan por A, B y C. El departamento de control de calidad inspeccionó un lote de 500 cintas y obtuvo lo siguiente: 50 cintas tenían desperfectos del tipo A; 48, del tipo B; 46, del tipo C; 38 tenían desperfectos de los tipos A y B; 37 de los tipos A y C; 35 de los tipos B y C, y 433 no tenían desperfectos de los mismos. Determinar cuántas de estas cintas tenían los tres tipos de -desperfectos. Suponga que en una familia hay dos niños de diferente edad y que nos interesa conocer cuál es su sexo. Sea A el subconjunto de todas las posibilidades que no incluyen varones; B, el subconjunto que contiene dos varones, y e, el subconjunto que contiene al menos un varón. Liste los elementos de A, B, e, A n B, A U B, A n C, A U C, B n C, B U C y C n Bc. Suponga que se lanzan dos dados y que se observa el número de la cara superior de cada lado. Sea n el conjunto de todos los pares posibles que pueden observarse, defina los siguientes subconjuntos de n: A: El número en el segundo dado es par. B: La suma de los dos números es par. C: Al menos un número en el par ordenado es impar. Liste los puntos de A, CC, A n B, A n Be, N n B y N n C. En un experimento en el que se arrojan al aire dos monedas para determinar cuántas águilas o soles ocurren, respóndanse las siguientes preguntas. a) ¿cuántos eventos aleatorios simples existen? b) ¿cuál es el espacio muestra! de este experimento? e) ¿"Obtener dos águilas" es un evento simple o compuesto? ·
2.13.
2.14.
2.15.
2.16.
46
CAP. 2. ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS
2.17. Un agente visita tres clientes para tratar de venderles un artículo. Sean
2. 18.
2.19.
2.20.
2.2 1.
2.22.
2.23.
A, B y e los siguientes eventos: A: "El primer cliente compró el artículo" B: "El segundo cliente compró el artículo" e: "El tercer cliente compró el artículo" indicar el evento: "Al menos dos clientes compraron." Considere el siguiente ensayo. Se realizan tres exámenes de admisión al ITESM. Si A es el evento "Se aprobó el primer examen realizado", B es el .evento "El segundo examen revisado resultó aprobado" y e es el evento "El tercer examen revisado resultó aprobado", represente el evento "Sólo un examen fue aprobado" en términos de los eventos A, B y C. En un experimento se lanza una moneda y un dado. Sea A el evento "la moneda muestra cruz" y B e! evento "el dado muestra un dos o un cinco"; represente en términos de A y B e! evento "la moneda muestra cara o el dado no muestra un dos o un cinco". En un experimento, consideremos la selección de un número real, donde A, B y e son los eventos: A: "el número seleccionado está entre -8 y 8" B:- "el número seleccionado es un par positivo" e: "el número seleccionado es un múltiplo de 3". Indicar el evento "el número seleccionado no está entre -8 y 8, no es par positivo ni es múltiplo de tres". Un experimento consiste en sacar sucesivamente tres cartas de una baraja no marcada. Sea A el evento "as en la primera sacada", B e! evento "trébol en la segunda sacada" y e el evento "rey en la tercera sacada". Represente en términos de A, B y e el evento "en la primera sacada no aparece un as o en la segunda sacada aparece un .trébol y en la tercera sacada no aparece rey". Sean O = {cuadriláteros} , A {paralelogramos} y B = {rectángulos}. Defina los siguientes conjuntos: a) A U B b) A n B e) A n O d) n n n e) A U O Sean A, B y e los eventos. Represente en términos A, B y e los eventos: a) ocurre sólo A, b) ocurren sólo A y B, e) ocurren los tres eventos, d) por lo menos ocurre un evento, =
ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS 47
2.24.
2.25.
2.26.
2.27.
2:�8.
e) por lo menos ocurren los dos eventos, J) ocurre exactamente un evento, g) ocurren exactamente los dos eventos, h ) no ocurre ningún evento, i) ocurren no más que dos eventos. Sean A, B, C tres eventos asociados a un cierto experimento. Exprese las siguientes proposiciones verbales en notación de conjuntos. a) Al menos uno de los eventos ocurre. b) Exactamente uno de los eventos ocurre. e) Exactamente dos de los eventos ocurren. d) No ocurren más de dos eventos simultáneamente. Sean A, B y C tres sucesos arbitrarios. Encontrar las expresiones para los sucesos consistentes en que entre A, B y C a) se ha producido solamente A, b) se han producido A y B, en tanto que C no se ha producido, e ) se han producido los tres sucesos, d) se han producido al menos uno de los sucesos, e ) no se ha producido ninguno de los sucesos. De las relaciones siguientes, establecer cuáles son verdaderas y cuáles falsas. a) (A U B) \ C = A U (B \ C) b) A n B n C = (A n B) n (C U B) e) A U B u C = A U (B \ A n C) U (C \ C n A) d) A U B = (A \ A n B) U B e ) (A n B) U (B n C) U (C n A) :> A n B n C J) ((A n B) U (B n C) U (C n A)) e (A U B U C) g) (A U B) \ A = B h) A n Be n e e A u B i) (A u B u cy = N n Be n ce j) (A U BY n C = (N n C) U (Be n C) k) (A u B)< n e = N n Be n e l) (A u B)e n e = e \ e n (A u B)
¿cuáles de las siguientes relaciones son verdaderas? a ) (A U B) n (A U C) = A U (B n C) b) A U B = (A n Bc) u B e) N n B = A U B d) (A U B)e n C = N n Be n ce e ) . (A n B) n (Be n C) = 0
¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? a) (A U B) n (A u· C) = A U (B n C) b) N n B = A U B e ) (A U B)< = N U B
48 CAP. 2. ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS 2.29.
2.30.
2.3 1 .
2.32.
2.33.
2.34.
2.35.
2.36. 2.37. 2.38. 2 .39.
Si n = {x : o < X < 12}, M = {x : 1 < X < 9 } y N = {x : o < X < 5}, encuentre: a) M U N b) M n N e) M' n N' Si n = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y A = {0, 2, 4, 6, 8}, B = { 1, 3, 5, 7, 9}, C = { 2, 3, 4, 5}, D = { 1, 6, 7}, enumere los elementos de los conjuntos que correspondan a los siguientes eventos: a) A U C b) A n B e) C' d) (C' n B) U B e) (O n C)' J) A n C n D' Sea A e B. Completar las siguientes igualdades: a) A U B = . . . b) A n B = . . . e) A \ B = . . . d) A n B n C = . . . Completar las siguientes implicaciones: a) n c A * A = . . . b) A e 0 * A = . . . Completar las siguientes igualdades: a) A U A = . . . b) A n A = . . . e) A U n = . . . d) A n n = . . . Completar las siguientes expresiones: a) A n B = A U B {::::::} A = . . . b) (A n B = 0 !\ A U B = O) {::::::} B = . . . e) (A \ B) U (B \ A) :::::. 0 {::::::} A = . . . d) A \ B = A {::::::} A n B = . . . Completar las siguientes expresiones: a) A n B = A {::::::} . . . b) A U B = B {::::::} . . . e) A \ B = 0 {::::::} . . . d) N U B = n {::::::} . . . Representar la diferencia de los eventos A y B mediante el uso del evento A y la intersección del mismo con B. Representar la unión de los eventos A y B mediante el uso del evento A y la diferencia entre B y A. Representar la intersección de los eventos A y B mediante el uso del evento A y la diferencia de éste con B. La unión A U B de dos eventos puede expresarse como unión de dos eventos mutuamente excluyentes, así: A U B = A U (B \ A n B). Expresar en forma semejante la unión de tres eventos A, B y C. ·
ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS 49 2.40.
Sea A el evento "por lo menos uno de tres detalles está defectuoso" el evento "todos los tres detalles son buenos", ¿qué significan los siguientes eventos? a) A U B b) A n B e) Ae ' d) Be Sean A, B y C los eventos. ¿Podemos deducir que A = B si a) Ac = Be b) A U C = B U C e) A n C = B n C Encontrar expresiones simples de a ) (A U B) n (A U Be), b) (A U B) n (N U B) n (A u Be), e) (A U B) n (B U C) Indicar el evento X, que cumple la siguiente igualdad: yB
2.41.
2.42.
2.43.
[(X U A)' U (X U N)e] = B 2.44.
¿Qué condiciones deben cumplir los eventos A y B para que satisfagan la siguiente igualdad: (A U B) n (N U B) n (A U Be) = 0?
2.45.
2.46.
Sean A; B y C los eventos. Simplificar las siguientes fórmulas a) (A U B) n (B U C) b) (A U B) n (A U Be) e ) (A u B) n (A u Be) n (N u B) d) [(A u B) n (A u Be)] u [(N u B) n (N u Be)] e ) (A U B) n (A U Be) n (N U B) n (N U Be) Sean A, B y C los eventos. Simplificar [(A U B) n (Ae U Be)] U [(A U Be) n (N U B))
2.47.
2.48.
Demostrar que los eventos A y B son iguales si a) A U C = B U C y A n C = B n C b) A U C = B U C y A U ce = B u ce Sean A; B, C y D los eventos y sea X = (A n B) U (N n B), Y = (N n B) U (A n D), Z = [(A U B)' n C] U (A n B n D). Demostrar que para cualquier evento D a) A n X = A n B b) A U Y = A U B e) (A n B) U Z = (A U B) n (B U C)
50
Resp uestas 2.1. L 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
a = {0, 2 } a = { -3, - 1, 1, 3} a = {5, 4, 3, 2, 1, o, - 1, -2, -3, -4, -5} a = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 1 1, 12} a = {B, N, NB, BN, NN, NNB, NBN, BNB, BNN, NNN, NNNN, NNBN, NBNN, BNNN, NNNB, NNNN, BNBN, NBNB} a = { 1, 2, 3, . ' r} a = {A, S} (A = águila, S = sol) a = {AAA, AAs; ASA, ASs; SAA, SAs; SSA, SSS} (A = águila, S = sol) a = {o, 1, 2, 3 } a = {( 1, 1 )( 1, 2)(1, 3)(1, 4)( 1, 5)(1, 6) . .
( 2, (3, (4, (5, (6,
1 )(2, 2)(2, 3)(2, 4)(2, 5)(2, 6) 1 )(3, 2)(3, 3)(3, 4)(3, 5)(3, 6) 1 )(4, 2)(4, 3)(4, 4)(4, 5)(4, 6) 1 )(5, 2)(5, 3)(5, 4)(5, 5)(5, 6) 1 )(6, 2)(6, 3)(6, 4)(6, 5)(6, 6)} 1 1 . a = {(1, 1 )( 1, 2)( 1, 3)( 1, 4)( 1, 5)( 1, 6) (2, 2)(2, 3)(2, 4)(2, 5)(2, 6) (3, 3)(3, 4)(3, 5)(3, 6) (4, 4)(4, 5)(4, 6) (5, 5)(5, 6) ( 6, 6)} 12. a = {0, 1, 2, . . . , K}, donde K = Número total de puntos soldados en la puerta. 13. a = {t : t E IR, t :::: o}. 14. a = {o, 1, 2, 3, . }. 15. a = {GG, GD, DG, DD}. 16. a = {x : X E IR, b :'::: X :'::: C} 17. a = {x : X E IR, X > 0} 1 8. a = {(Vx, V,, Vz) : Vx, V,, Vz son números reales.} 19. a = {NNNNN, NNNND, NNNDN, NNDNN, NDNNN, . .
DNNNN, NNNDD, NNDND, NDNND, DNNND, NNDD, NDND, DNND, NDD, DND, DD} (N = No defectuoso; D = defectuoso) 20. a = {NNN, NND, NDN, NDD, DNN, DND, DDN, DDD} (N = No defectuoso; D = defectuoso) 2 1 . a = {NNNN, NNND, NNDN, NDNN, DNNN} (N = No defectuoso; D = defectuoso) 22. a = {(D1, D2 )(D �, B 1 )(D�, B2 )(D 1, Bg )(D2, B 1 ) (D2, B2 )(D2, Bg )(B 1 , B2 )(B 1 , Bg )(B2, Bg )} (D 1 , D2 = Terminales defectuosas; B1 , B2 , Bg = Terminales buenas)
51 23. fl = {( 1 1 1� ( 1 12� ( 1 13� ( 1 2 1 � (122� (123� (131� ( 132) ( 133� (21 1� (212� (213� (221� (222� (223� (231) (232� (233� (31 1� (312� (313� (321� (322� (323) (331), (332), (333)} 24: fl = {(ABe), (AeB), (BAe), (BeA), (eAB), (eBA)}. 25. fl = {(1234� (1243� ( 1324� ( 1342� ( 1423� (1432� (2134� (2143� (2314), (2341), (2431 ), (2413), (3124), (3142), (3214), (3241), (3412), (3421 ), (4123), (4132), (4213), (4231), (4312), (4321)}. 2.2.
a ) Efectivo y gastos hechos por anticipado. b) Cuentas por cobrar o pagos hechos con anticipación. e) Efectivo, títulos negociables o cuentas por cobrar.
2.4.
31 15
2.5.
lO
2.3.
2.6. Nueve amas de casa no tenían ninguno de estos aparatos. 2.7. Si, de 40 mujeres, 12 no estudian historia, entonces 28 sí lo hacen. Si, de los 75 estudiantes de historia, 28 son mujeres, entonces deben ser 4 7 los hombres que estudian historia. Mujeres que no estudian historia = v(M n H') = 12 Mujeres que estudian historia = v(M n H) = 40 - 12 = 28 Hombres que estudian historia = v(M' n H) = 75 - 28 47 Hombres que no estudian historia = v(M' n H') = 100 - (47 + 28 + 12) = 13 2.8. A = {hombres}; B = {profesionistas }; e = {casados} v(A U B U e) = 312 + 470 + 525 - 42 - 147 - 86 + 25 1057 > 1000 ==
·
==
2.9.
2 . 10.
2 . 1 1. 2.12. 2 . 13. 2 . 14.
k = 1, 400; k = 2, l OO k = 1, 500; k = 2, 100 e) k = O, 400; k = 2, 800; k = 3, 900 a ) k = O, 80; k = 1, 120; k = 2, 60; k = 3, 10 b) k = O, 270; k = 1, 190; k = 2, 70; k = 3, l O e) k = O, 80; k = 1, 200; k = 2, 260; k = 3, 270 a) 189 b) 175 e) 983 85 % 33 fl = {(N¡, N2 )(n¡, n2 )(N¡, n2 )(n¡, N2 )} N;-el evento "una familia tiene niña i = 1, 2" n;-e! evento "una familia tiene niño i = 1, 2 " . A = {(N¡, N2 )}; B = {(n¡, n2 )}; e = {(n¡, n2 )(N¡, n2 )(n ¡, N2 ) } ·' A n B = {0} - B· {( )} n¡, n 2 A U B = {(N¡ , N2 )(n1, n2 )}; A n e = {0} ; A u e = fl; B n e = B u e = e; e n B' = e A = {(1, 2)( 1, 4)( 1, 6)(2, 2)(2, 4)(2, 6)(3, 2)(3, 4)(3, 6) (4, 2)(4, 4)(4, 6)(5, 2)(5, 4)(5, 6)(6, 2)(6, 4)(6, 6)} e' = {(2, 2)(2, 4)(2, 6)(4, 2)(4, 4)(4, 6)(6, 2)(6, 4)(6, 6)} A n B = { (2, 2)(2, 4)(2, 6)(4, 2)(4, 4)(4, 6)(6, 2)(6, 4)(6, 6)} A n B' = {(1, 2)(1, 4)(1, 6)(3, 2)(3, 4)(3, 6)(5, 2)(5, 4)( 5, 6)} a) k = O, 400 ; b) k = O, 900;
'
2.15.
52 A' n B = {( 1, 1 )( 1, 3)(1, 5)(3, 1 )(3, 3)(3, 5)(5, 1 )(5, 3)(5, 5)} A' n e = e 2.16. a) 4 b) D. = {(AA), (AS), (SA), (SS) } e) simple. 2.17. (A n B n e') U (A n B' n e) U (A' n B n e) U (A n B n e) 2.18. (A n B' n e') U (A' n B n e') U (A' n B' n e) 2. 19. A' U B' = (A n B)' 2.20. A' n B' n e' = (A U B U e)' 2.21. A' U (B n e')' 2.22. a) {paralelogramos} b) {rectángulos} e) {paralelogramos} d) {rectángulos} e) {cuadriláteros} 2.23. a) A n B' n e' b) A n B n e' e) A n B n e d) A U B U e e ) (A n B n e') U (A n B' n e) U (A' n B n e) U (A n B n e) f) (A n B' n e') U (A' n B n e') U (A' n B' n e) g) (A' n B n e) U (A n B' n e) U (A n B n e') h) A' n B' n e' i) (A n B n e) 2.24. a) (A n B' n e') U (A' n B n e') U (A' n B' n e) U (A n B n e')l (A n B' n e) U (A' n B n e) U (A n B n e) b) (A n B' n e') U (A' n B n e') U (A' n B' n e) e) (A n B n e') u (A n B' n e) u (A' n B n e) d) (A' n B' n e') U (A n B' n e') U (A' n B n e') U (A' n B' n e (A n B n e') U (A n B' n e) U (A' n B n e) 2.25. a) A n B' n e' b) A n B n c< e) A n B n e d) (A n B' n e') u (A' n B n e') u (A' n B' n e) U (A' n B n e)L (A n B' n e) U (A n B n e') U (A n B n e) e) A' n B' n e' 2.26. e), d), e), J), h) i), k) y l) son verdaderas 2.27. a) V b) V e) F d) F e ) V 2.28. a) 2.29. M U N = {x : O < x < 9} M n N = {x : 1 < X < 5} M' n N' = { x : x :::; O y x 2 9 } 2.30. a ) {0, 2, 3, 4, 5, 6, 8} b ) { 0} e ) {0, 1, 6, 7, 8, 9 } d ) { 1, 3, 5, 7, 9} e) {0, 1, 6, 7, 8, 9} J ) {2, 4 } 2.31. a ) B b ) A e ) 0 d ) A n e 2.32. a) n b) 0
RESPUESTAS
b) A e) fl d) A b) N e) B d) 0 a) A e B b) A e B e) A e B d) A e B A \ B = A \ (A n B) A U B = A U (B \ A) A n B = A \ (A \ B) A U B U e = A U (B \ A n B) U {(e \ e n (A U B)} = A U (B n A') U (e n A' n B') a) fl b) 0 e) El evento B d) El evento A. a) b) No siempre e) No siempre. a) A b) A n B e) B U (A n e) Tenemos B = [(X U A)' U (X U A')'] = [(X' n N) U (X' n A) = X' n (A' U A) = X', X = B' AnB=0 a) (A U B) n (B U e) = [A n (B U e)] U [B n (B U e)] = [(A n B) U (A n e)] U B = [(A n B) U B] U (A n e) = B U (A n e). b) A e) A n B d) fl e) 0
2.33. a) A 2.34. a) B 2.35. 2.36. 2.37. 2.38. 2.39. 2.40. 2.41. 2.42. 2.43. 2.44. 2.45.
53
Sí
2.46. Tenemos:
[(A U B) n (A' U B')] U [(A U B') n (A' U B)] = { [A n (A' U B')] U [B n (A' U B')]} U {[A n (A' U B)] U [B' n (A' U B)]} = (A n A') U (A n B') U (B n A') U (B n B') u (A n N) U (A n B) U (A' n B') U (B n B') = 0 U (A n B') U (A' n B) U 0 U 0 U (A n B) u (A' n B') U 0 = [(A n B') U (A' n B')] U [(A n B) U (N n B)] = [B' n (A U A')] U [B n (A' U A) = (B' n fl) U (B n fl) = (B U B') = fl
2.47. Tenemos: a)
A = A n (A U e) = A n (B U e) = (A n B) U (A n e) = (A n B) U (B n e) = B n (A U e) = B n (B U e) =B b) A = A U 0 = A U (e n e') = (A U e) n (A U e') = (B U e) n (B U e') = [B n (B U e')] U [e n (B U e')] = B U (B n e) = B
2.48. Tenemos: a)
A n X = A n [(A n B) U (N n D)] o;= [A n (A n B)] U [A n (A' n D)] = [(A n A) n B] U [(A n A') n D] =AnB b) A U Y = A U [(A' n B) U (A n D)] = (A' n B) U [A U (A n D)] = (A' n B) U A = (A' U A) n (B U A) = (A U B) n fl = A U B.
54 e)
(A n B) U Z = (A n B) U [((A n B)' n C) U (A n B) n D)] = [(A n B)' n C] U [(A n B) U ((A n B) n D)] = [(A n B)' n C] U (A n B) = [(A n B)' U (A n B)] n [C U (A n B)] = n n [C U (A n B)] = C U (A n B) = (C U A) n (C U B).
Capítulo 3 Definición clásica de probabilidad
Una función de probabilidad P es una función de conjuntos en un espacio muestra! fl, el cual satisface los siguientes axiomas de Kolmogorov: l. P(fl) = l. 11. Para todo evento A, P(A) -2': O. 111 . Para toda secuencia de eventos mutuamente excluyentes A¡, A2, . . . , An, . . . , con A; n AJ = 0, i :f- j, P(A ¡ U A 2 U . . U An U . . ) = P(A ¡ ) + P(A2 ) + + P(An) + a) Sea n un espacio muestra! finito con N elementos (puntos) W¡ , ·
·
·
·
·
·
· ·
P({w;}) =
1
N'
i
=
1, . . . , N
entonces los w; son los llamados eventos (casos) equiprobables. b) Sea A e fl, donde los eventos de fl son equiprobables. Entonces, según la definición de Laplace de probabilidad, P(A) =
e
número de puntos A número de puntos de n número de casos favorables de A número de casos de n
) Las fórmulas clásicas de probabilidad son: l. P(N) = 1 - P(A) 2. P(A - B) = P(A) - P(A n B) 3. P(A U B) = P(A)+ P(B) - P(A n B), llamado teorema de la adición de probabilidades. d) Para n eventos A¡, . . . , An, según el teorema de Poincaré, se cumple
55
56 CAP. 3 . DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD donde para cada k = 1 , 2, . . . ' n, sk está definida por
es decir, la sumatoria sobre todas las combinaciones de tomando k al mismo tiempo (k = 1, . . . , n ) . 3.1. 3.2.
n
eventos
Se eligen al azar tres de ocho palitos de longitudes 1, 2, . . . , 8, respec tivamente. ¿cuál es la probabilidad de que formen un triángulo? Sea !1 el conjunto de 25 pares ordenados, que son las coordenadas de los 25 puntos de la figura ilustrada a continuación. Si un par ordenado (x, y) es seleccionado al azar de !1, ¿cuál es la probabilidad de que: a) x + y = 4 b) x + y < 5 e) ni x ni y sean 5 d) y > x?
y 5
•
•
•
•
•
4
•
•
•
•
•
3
•
•
•
•
•
2
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
2
3
4
5
X
Dos tetraedros regulares (cuyas caras son cuatro triángulos equiláteros · idénticos) tienen caras numeradas 1 , 2, 3 y 4. Suponga que se lanzan al aire y se sigue la pista de los sucesos. Para ello se listan los números de las caras que caen hacia abajo; por ejemplo, ( 1, 1 ), ( 1, 2). a) ¿cuántos resultados hay? b) ¿cuál es la probabilidad de que la suma sea siete? · e) ¿cuál es lz, probabilidad de que ia suma sea menor que siete? 3.4. Se extraen sucesivamente dos cartas de una baraja bien mezclada. Encontrar la probabilidad de que:
3.3.
DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD 57 a
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
) la primera no sea un 1 O de bastos o un as, b) la primera sea un as, pero no la segunda, e) al menos una sea de copas, d) las cartas no sean del mismo palo, e) a lo sumo una sea figura (sota, caballo, rey), J) la segunda no sea figura, g) la segunda no sea figura si la primera lo era, h ) sean figuras o espadas, o ambas. Si se sacan cuatro cartas al azar de una baraja normal, ¿cuál es la probabilidad de obtener? a) Una carta de cada palo. b) Tres tréboles y un diamante. e) Dos reyes y dos reinas. Se saca una carta de una baraja. Encuentre la probabilidad de obtener: a ) una figura (A, J, Q, K, 10), b) una carta negra o la reina de corazones. Una ruleta bien balanceada, con colores rojo, verde, amarillo, rojo, verde y rojo, está girando. ¿cuál es la probabilidad de que la aguja: a ) se pare en el color rojo? b) se pare en el color verde? e) se pare en el color rojo o el verde? d) no se pare en el verde? De una baraja de 52 naipes, se sacan cinco al azar sin remplazo. ¿cuál es la probabilidad de que todos sean rojos o de que todos sean diamantes? Dos octaedros regulares (poliedros con ocho caras idénticas) tienen caras numeradas 1, 2, . , 8. Suponga que se lanzan al aire y se anotan los resultados, para los cual se listan los números de las caras que caen hacia abajo. a ) ¿cuántos resultados hay? b) ¿cuál es la probabilidad de que la suma sea siete? e) ¿cuál es la probabilidad de que la suma sea menor que siete? Se lanzan dos dados al aire, ¿cuál es la probabilidad de que el producto de los números sea par? Si de una baraja de 52 naipes se saca uno al azar, ¿cuál es la probabi lidad de que sea: a ) · rojo? b) un diamante? e) un as? d.) un as de diamantes? . .
3.10. 3.11.
58 CAP. 3 . DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD 3.12.
3.13. 3. 14.
3 . 15.
3 . 16.
3 . 1 7.
3. 18.
3. 19.
3.20.
3.2 1 .
3.22.
Calcular la probabilidad de que al �epartir una mano de 1 3 cartas, de una baraja de 52, se obtengan cinco espadas, dos corazones, tres diamantes y tres tréboles. ¿cuál es la probabilidad de que al seleccionar tres cartas de un juego de bridge, tres sean negras y tres rojas? Todas las caras de un cubo están pintadas. El cubo se dividió en mil cubos pequeños. ¿cuál es la probabilidad de que un cubo pequeño tenga exactamente dos lados pintados? De los números 1, 2, 3, 4 y 5, se seleccionan tres al azar -uno a uno y se forma un número de tres cifras. ¿cuál es la probabilidad de que sea par? De una baraja común, se extraen dos cartas. ¿cuál es la probabilidad de que: a) ambas sean ases? b) las dos sean ases negros? e) ambas sean cartas altas (as, rey, reina, etcétera)? Supóngase que 1 O cartas -cinco rojas y cinco verdes- se introducen al azar en 10 sobres, una carta por cada sobre -también cinco de color rojo y cinco verdes-. Determínese la probabilidad de que x sobres contengan un;:t carta de su mismo color (x = O, 1, . . . , 10). De un mazo de 52 naipes, se sacan dos. a) ¿cuál es la probabilidad de sacar un as y una figura en cualquier orden? D� un mazo de 52 naipes, se sacan cinco. b) ¿cuál es la probabilidad de que los cinco naipes sean picas? e) ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo palo? Suponga que una baraja con 52 cartas contiene 13 de color rojo, 1 3 de color amarillo, 1 3 de color azul y 1 3 de color verde. Si las 52 cartas se distribuyen aleatoriamente entre cuatro jugadores de manera que cada uno recibe 1 3, ¿cuál es la probabilidad de que cadajugador reciba 1 3 cartas del mismo color? En una mano de póker que consta de cinco cartas, encuentre la probabilidad de obtener: a) tres ases, b) cuatro cartas de corazones y una de espadas. De una baraja completa, se sacan sin remplazo dos cartas, una después de la otra. ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean mayores que dos y menores que ocho? Suponga que una baraja de 25 naipes contiene 1 2 de color rojo. Además, las cartas se distribuyen aleatoriamente entre tres jugadores
DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD 59 denominados como A, B y e, de modo que el jugador A recibe 10 cartas; el B, ocho, y el e, siete. Determine la probabilidad de que el jugador A reciba seis cartas de color rojo; el B, dos de color rojo, y el e, cuatro de color rojo. 3.23. De los dígitos del uno al nueve, se eligen dos al azar y la selección es sin reemplazo (no se puede optar por el mismo dígito en ambas elecciones). Si la suma de los dígitos es par, encuentre la probabilidad de que ambos dígitos sean impares. 3 .24. Si los dígitos del uno al siete se arreglan aleatoriamente, forman un número de siete cifras. a) ¿cuál es la probabilidad de que el número pueda dividirse entre dos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el número pueda dividirse entre cuatro? e ) ¿cuál es la probabilidad de que los dígitos 1 , 2, 3 aparezcan consecutivamente en el orden propio? 3.25. De una baraja bien mezclada de 52 naipes, se sacan cinco. Hallar la probabilidad de que: a) cuatro sean ases, b) cuatro sean ases y uno rey, e ) tres sean dieces y dos sotas, d) salgan nueve, 1 0, sota, caballo y rey en cualquier orden, e) tres sean de un palo y dos de otro, J) al menos uno sea un as. 3.26. Una baraja de 52 cartas contiene cuatro ases. Si las cartas se barajan y distribuyen aleatoriamente entre cuatro jugadores de modo que cada uno recibe 13, ¿cuál es- la probabilidad de que un solo jugador reciba los cuatro ases? 3.27. ¿cuál es la probabilidad de obtener cuatro espadas en cuatro tomas aleatorias de un mazo de 52 naipes si cada carta se sustituye antes de tomar la siguiente? 3.28. Pawel elige al azar un entero entre 1 , 2 y 3, y luego tira los dados las veces que corresponden con el número que eligió. ¿cuál es la probabilidad de que tire un .total de cinco puntos? 3.29. Se selecciona un número natural al azar del 1 al 30, inclusive. Obtener la probabilidad de que el número sea primo o múltiplo de cinco. 3.30. Una caja contiene 1 O esferas enumeradas del 1 al 1 0. Se extrae una esfera y enseguida se extrae otra más de las nueve restantes. a) ¿cuál es b probabilidad de que difieran en una unidad? b) ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea mayor que la segunda?
60 CAP. 3. DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD
3.3 1 . 3.32.
3.33. 3.34.
3.35. 3.36.
3.37.
3.38.
3.39.
e) ¿cuál es la probabilidad de que la segunda divida a la primera? d) ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean múltiplos de dos? Resolver el problema 3.30, bajo la premisa de que el ensayo se realiza con reemplazo. Supóngase que en 1 O lanzamientos de un dado, el número seis apa reció tres veces. ¿cuál es la probabilidad de que en los tres primeros lanzamientos haya aparecido el número seis? ¿cuál es la probabilidad de obtener seis cruces en seis lanzamientos al aire de una moneda equilibrada? Una urna contiene tres pelotas de color rojo y siete de color verde. Se sacan dos pelotas al azar; ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean de color rojo si: a) no se remplaza la primera antes de sacar la segunda? b) se remplaza la primera antes de sacar la segunda? Láncese tres veces consecutivas un dado balanceado. ¿cuál es la probabilidad de que las tres veces caiga en uno? Se ha cargado un dado para que las probabilidades de obtener 1 , 2, 3, 4, 5 y 6 sean de 1 /3, 1 /4, 1/6, 1/ 12, 1/12 y 1/12, respectivamente. Suponga que las propiedades usuales de la probabilidad son válidas todavía en esta situación, donde los sucesos no tienen la misma probabilidad. Busque la probabilidad de obtener: a) un número par, b) un número menor que cinco, e ) un número par o menor que cinco. Se lanza una moneda cuatro veces. Encuéntrese la probabilidad de: a) jamás obtener cara, b) obtener al menos una cruz, e ) obtener tres caras. Un monedero contiene tres monedas de 5 centavos, una de 1 0, una de 25 y una de medio dólar. Si se sacan al azar tres monedas del monedero, ¿cuál es la probabilidad de que su valor sea: a) 1 5 centavos? b) 40 centavos? e) un dólar? d) más de 50 centavos? Si se lanzan juntos tres dados, ¿cuál es la probabilidad de que el total sea: a) 1 8? b) 1 6? e) mayor que cuatro?
DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD 6 1 3 .40.
3.4 1 .
3.42.
3.43.
3.44.
3.45.
3.46.
1'
Se hace un lance con un par de dados comunes. ¿cuál es la probabili dad de que: a) caiga un doble (donde ambos muestran el mismo número)? b) el número en uno de los dados sea dos veces el del otro? e) los números en los dos dados difieran por lo menos en dos? Se lanza una moneda y un dado. Supóngase que una cara de la moneda tiene un número 1 y la otra un 2. Elaborar una lista de los resultados posibles del experimento. ¿cuál es la probabilidad de que caiga: a) un total de cuatro? b) un total par? e) un total impar? Se lanzan tres monedas al aire. ¿cuál es la probabilidad de que caigan: a) tres caras? b) dos caras? e) más de una cara? De una caja que contiene 10 bolas de color rojo, 30 de color blanco, 20 de color azul y 15 de color naranja, se saca una al azar. Hallar la probabilidad de que la bola extraída: a) sea de color rojo o naranja, b) no sea ni de color rojo ni azul, e) no sea de color azul, d) sea de color blanco, e) sea de color rojo, blanco o azul. Suponga lo siguiente: la probabilidad de que un habitante de la ciudad de México sea mayor de 40 años o tenga calvicie es de 0.4. Si la probabilidad de que sea mayor de 40 años es de 0.2 y la probabilidad de que tenga calvicie es 0.3, ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor de 40 años y calvo? De acuerdo con el ejemplo 3.43, si se sacan tres pelotas para reempla zar las que se retiran, ¿cuál es la probabilidad de obtener: a) tres pelotas de color verde? b) tres pelotas de color rojo? e) tres pelotas del mismo color? d) tres pelotas de color diferente? Las dos cajas que aparecen en la figura se han agitado concienzuda mente y de cada una se saca una pelota. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) ambas sean un número uno? b) sólo una de ellas sea un número dos (un dos de la primera caja y no un dos de la segunda, o que no sea un dos de la primera caja, pero sí uno de la segunda)?
62
e) ambas sean par? d) sólo una de ellas sea par?
e)
3.47.
3.48.
3.49.
3.50.
3.5 1.
1
3.52.
1
!
3.53.
al menos una de ellas sea par? De una caja que contiene 15 tarjetas numeradas del 1 al 15, se sacan tres al azar. Encuentre la probabilidad de cada evento en el que: a) los tres números sean par, b) al menos un número sea impar, e) el producto de los tres números sea par. Cuatro pelotas con los números 1 , 2, 3 y 4 se colocan en una bolsa; luego se mezclan y se sacan de una en una. ¿cuál es la probabilidad de sacarlas en el orden 1 , 2, 3, 4? En una bolsa hay nueve pelotas numeradas 1 , 2, . . . , 9. Si se toma una al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su número sea: a) nueve? b) mayor que cinco? e) menor que seis? d) par? e ) impar? Se alinean al azar ocho bolas de color negro y dos de color rojo. ¿cuál es la probabilidad de que las dos bolas de color rojo queden juntas o de que ocupen las posiciones de los extremos? Una caja contiene cinco bolas de color rojo, cuatro de color blanco y tres de color azul. Se saca al azar una bola de la caja, se anota su color y se regresa a la caja. Hallar la probabilidad de que entre seis bolas así seleccionadas, tres sean de color rojo, dos de color blanco y una de color azul. Suponga que tres bolas de color rojo y tres de color blanco se introducen aleatoria e independientemente en tres urnas. ¿cuál es la probabilidad de que cada urna contenga una bola de color rojo y una de color blanco? Se lanza un dado común. ¿cuál es la probabilidad de que el número de puntos de la cara superior sea: a ) tres? b) mayor que tres?
DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD 63
J
\.1
e) menor que tres? d) un número par?
3.54. 3.55. 3.56.
3.57. 3.58. 3.59. 3.60.
3.6i.
3.62. 3.63.
3.64.
l.
e) un número impar? Si se lanzan al aire dos monedas no cargadas, ¿cuál es la probabilidad de que salgah dos caras iguales? ¿cuál es la probabilidad de lograr dos números seis en dos tiros de un dado equilibrado? Un saco contiene tres canicas de color rojo, cuatro de color blanco y cinco de color azul, todas del mismo tamaño y material. Si se seleccionan al azar tres de estas canicas, ¿cuál es la probabilidad de obtener una de cada color? Si se lanzan cuatro dados, ¿cuál es la probabilidad de que los cuatro números que aparecen sean distintos? Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de ellos muestre un cinco? Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que los dos muestren números menores. que tres? Una caja contiene ocho bolas de color rojo, tres de color blanco y nueve de color azul. Si se sacan tres bolas al azar, determinar la probabilidad de que: a) las tres sean de color rojo, b) las tres sean de color blanco, e) dos ·sean de color rojo y una de color blanco, d) al menos una sea de color blanco, e) sean una de cada color, J) salgan en el orden de colores siguiente: rojo, blanco, azul. Un dado tiene tres caras de color negro con los números 1, 2 y 3, respectivamente; las otras tres caras son de color blanco con los números 4, 5 y 6, respectivamente. Si se lanza este dado, ¿cuál es la probabilidad de que aparezca un número par o una cara de color blanco? Si se colocan al azar 12 bolas en 20 urnas, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de las urnas contenga más de una bola? Se selecciona una bola de una urna que contiene bolas de color rojo, azul, amarillo y verde. Si la probabilidad de seleccionar una bola de color rojo es de 1 /5 y la de seleccionar una de color amarillo es de 2/5, ¿cuál es la probabilidad de seleccionar una bola de color azul o verde? Se lanza una moneda. Si aparece águila se sacan dos cartas de una baraja normal y si aparece sol se saca una carta. Encuentre la probabi lidad de que:
64
CAP. 3. DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD a
3.65.
3.66. 3.67.
3.68.
3..69.
3. 70.
3.71.
3. 72.
3. 73.
3. 74.
3.75.
) no se saque ninguna espada, b) se saque exactamente una espada, e ) se saque al menos una espada. Se lanza un par de dados; si se sabe que uno de ellos resulta en un cuatro, ¿cuál es la probabilidad de que: a ) el otro caiga en cinco? b) el total de ambos sea mayor que siete? Se lanzan tres dados, ¿cuál es la probabilidad del evento A = {la suma y el producto de los números que aparecieron sean iguales} ? S i s e lanza u n par de dados, encuentre l a probabilidad de obtener: a ) un total de ocho, b) como máximo, un total de cinco. ¿cuál es la probabilidad de que en un grupo de 90 alumnos al menos dos cumplan años el mismo día? ¿cuál es la probabilidad de que en un grupo de 30 alumnos todos cumplan años en días diferentes? En una montaña hay cinco rutas para subir a la cima y cinco rutas para bajar de la cima. ¿cuál es la probabilidad de que se encuentren dos conocidos si uno sube y el otro baja? Un director de personal selecciona dos empleados para un puesto determinado de entre un grupo de seis; en el cual hay una mujer y cinco hombres. Calcular la probabilidad de que sea seleccionada la mujer para uno de los empleos. De un grupo de ocho estadounidenses, cinco ingleses y tres franceses, se seleccionará �n bloque un · comité de cinco hombres. ¿cuál es la probabilidad de que el comité quede compuesto por dos estadouni denses, dos ingleses y un francés? Si la probabilidad de que un estudiante A suspenda cierto examen de estadística es de 0.5, la probabilidad de que un estudiante B suspenda el examen es de 0.2 y la probabilidad de que ambos estudiantes A y B suspendan el examen es de 0. 1 , ¿cuál es la probabilidad de que ni el estudiante A ni el B suspendan el examen? Las letr�s de la palabra matemáticas están escritas en 1 1 tarjetas y ordenadas al azar en hilera. ¿cuál es la probabilidad de que en esta hilera pueda leerse matemáticas? A partir de un grupo de siete hombres, dos de los cuales son hermanos, se seleccionará en bloque un comité de cuatro personas. ¿cuál es la probabilidad de que: a ) los hermanos estén en el comité? b) por lo menos uno de los hermanos esté en el comité? Se elige al azar una letra de la palabra probabilidad. ¿cuál es la probabilidad de que sea:
DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD 65
3.76.
3. 77.
a) P? b) B? e) M? d) una vocal? Suponga que una banda escolar tiene 1 0 estudiantes de primer curso, 20 de segundo, 30 del penúltimo y 40 del último. Si se seleccionan al azar 15 estudiantes de la banda, ¿cuál es la probabilidad de seleccionar al menos un estudiante de cada curso? Si cada artículo codificado en un catálogo empieza con tres letras distintas y continúa con cuatro dígitos distintos de cero, encuentre la probabilidad de seleccionar aleatoriamente uno de los que empieza con la letra "a" y tiene un par como último dígito.
3.78.
En una escuela preparatoria se gradúan 100 estudiantes, de los cua les 54 estudiaron matemáticas, 69 historia y 35 ambas materias. Si se selecciona aleatoriamente uno de estos estudiantes, encuentre la probabilidad de que: a) se haya dedicado a matemáticas o historia, b) no haya cursado ninguna de estas materias, e) haya estudiado historia pero no matemáticas.
3. 79.
Si una permutación de la palabra white se selecciona al azar, encuentre la probabilidad de que el nuevo vocablo: a) comience con una consonante, b) finalice con una vocal, e) tenga las consonantes y las vocales alternadas. Las probabilidades de que una compañía de grúas responda a O, 1, 2, 3, 4, 5, 6 o menos de 7 llamadas de urgencia de conductores durante una tormenta son 0.03, 0. 10, 0. 17, 0.25, 0. 19, 0. 13, 0.09 y 0.04. ¿cuáles son las probabilidades que durante una tormenta una compañía de grúas responda a:
3.80.
·
3.8 1 .
3.82.
a) cuando mucho cinco llamadas? b) cuando menos tres llamadas? e ) de dos a cuatro llamadas? Suponga que debe seleccionarse un comité de 1 2 personas aleatoria mente elegidas entre un grupo de 100. Determínese la probabilidad de que dos personas concretas, A y B, estén en el mismo equipo. Si se selecciona aleatoriamente una letra del alfabeto inglés, encuentre la probabilidad de que: a) sea una vocal, b) se encuentre en algún lugar de la lista antes de la letra j, e) se encuentre en algún lugar de la lista después de la letra g.
66 CAP. 3. DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD 3.83.
3.84.
3.85.
3.86.
1'
3.87.
3.88.
1
'··
3.89.
3.90.
Si la probabilidad de que Micha! se case es de 0.8, de que se gradúe del bachillerato es de 0.5 y de que haga lo uno o lo otro es de 0.95, ¿cuál es la probabilidad de que haga ambas cosas? Las probabilidades de que un vendedor de automóviles venda en una semana cero, uno, dos, tres, cuatro, cinco o más automóviles son 0.05, 0. 1 0, 0. 18, 0.25, 0.20 y 0.22, respectivamente. a) ¿cuál es la probabilidad de que venda tres o más automóviles en una semana? b) ¿cuál es la probabilidad de que venda tres o menos automóviles en una semana? Si las probabilidades de que un estudiante reciba una calificación de A, B o C en un examen de administración son O. 06, O. 22 o O. 44, respectivamente, ¿cuál es la probabilidad de que reciba una de e stas calificaciones en el examen? La probabilidad de que un aspirante a obtener un puesto de ventas reciba el empleo es de 0.50 y la probabilidad de que se le despida durante el periodo de prueba (si obtiene el empleo) es de 0.20. ¿cuál es la probabilidad de que se contrate al aspirante y después sea despedido durante el periodo de prueba? Si se seleccionan al azar tres libros de un estante que contiene cinco novelas, tres libros de poemas y un diccionario, ¿cuál es la probabilidad de que: a) se tome el diccionario? b) se elijan dos novelas y un libro de poemas? Entre cinco generadores portátiles producidos en una línea de mon taje en un día, hay dos defectuosos. Si se seleccionan dos generadores para su venta, determinar la probabilidad de que ninguno de los dos tenga defectos. Suponer que la selección de los dos generadores para la venta se hizo de modo que todas las muestras posibles de tamaño tienen la misma probabilidad de que se las seleccione. Un paquete de seis focos tiene dos piezas defectuosas. Si se seleccionan tres focos para su uso, calcular la probabilidad de que ninguno tenga defectos. Una empresa ha hecho tres pedidos de refacciones entre cinco dis tribuidores distintos. Cada pedido se asigna al azar a uno de los distri buidores y uno de éstos puede recibir pedidos múltiples. Calcular la probabilidad de que: a) todos los pedidos sean para distribuidores distintos, b) todos los pedidos sean para el mismo distribuidor, e) exactamente dos de los tres pedidos sean para un distribuidor determinado.
DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD 67 3.9 1 .
3.92.
3 .93.
3.94.
3.95.
3.96.
3.97.
Suponga que dos niños llamados David, tres niños llamados Leonardo y cuatro niños llamados Simón se sientan aleatoriamente en una fila de nueve asientos. ¿cuál es la probabilidad de que los niños cuyo nombre es David ocupen los dos primeros asientos de la fila, los niños cuyo nombre es Leonardo ocupen los tres asientos siguientes y los niños cuyo nombre es Simón ocupen los cuatro últimos asientos? Una operación de ensamble de tarjetas de circuitos de computadora consiste en cuatro operaciones que se pueden llevar a cabo en cual quier orden. a ) ¿De cuántos modos se puede llevar a cabo la operación de ensamble? Una de la operaciones consiste en soldar conductores a un microcircuito. Si todos los arreglos cle ensamble son igualmente posibles, b) ¿cuál es la probabilidad de que la soldadura sea la primera o la segunda operación? Se dividirán nueve llaves de tuercas por igual entre tres líneas de ensamble. a ) ¿De cuántas maneras se puede llevar·a cabo lo anterior? Dos de las llaves son usadas y siete son nuevas. b) ¿cuál es la probabilidad de que una línea de ensamble determi nada, por ejemplo la línea A, tenga ambas llaves usadas? Un ingeniero de una fábrica de microcircuitos inspeccionará un lote de obleas de silicio para tratar de encontrarles defectos. Suponer que hay cuatro circuitos integrados defectuosos en un recipiente que contiene veinte obleas. Para esa inspección se seleccionan dos obleas al azar. Calcular la probabilidad de que: a) ninguna de ellas tenga defectos, b) por lo menos una de las dos no tenga defectos. Suponga que cuatro clientes dejan su sombrero respectivo en el guardarropa al llegar a un restaurante y que esos sombreros se les devuelve aleatoriamente al marcharse. Determínese la probabilidad de que ningún cliente reciba su propio sombrero. Dos jugadores apuestan $ 1 a cada lanzamiento sucesivo de una moneda y cada uno tiene una banca de $ 6. a) ¿cuál es la probabilidad de que queden empatados después de seis lanzamientos? b) ¿cuál es la probabilidad de que un jugador -Juan, por ejemplo gane todo el dinero en el décimo lanzamiento? Cuando se aproxime el tren, un operador de la estación apretará un botón con una probabilidad de O. 95; si aprieta el botón, el interruptor operará con una probabilidad de O. 99; si el interruptor opera, sonará
·
68 CAP. 3. DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD
3.98.
3.99.
3. 100.
3.101.
3. 102.
3 . 103.
3. 104.
3 . 105.
una alarma con una probabilidad de O. 9. ¿cuál es la probabilidad de que la alarma suene? Un consumidor puede adquirir un producto de la marca X o de la marca Y, pero no de ambas. La probabilidad de comprar la marca X es de 0.06 y la de comprar la marca Y es de 0.15. Dado que el consumidor compró una u otra, pero no ambas, ¿cuál es la probabilidad de que haya adquirido la marca X? Suponga que los tres últimos clientes de un restaurante perdieron las contraseñas de sus sombreros, por lo que la encargada del guarda rropa debe entregar los tres sombreros al azar. ¿cuál es la probabilidad de que: a) nadie reciba el sombrero correcto? b) sólo un hombre reciba su propio sombrero? e) los tres hombres reciban su sombrero correspondiente? "Una dama declara que, luego de probar una taza de té con leche, puede distinguir qué se sirvió primero: si el té o la leche." Por tal razón, se efectúa un experimento consistente en mezclar ocho tazas de té, cuatro de un m0do y cuatro de otro, y ofrecer la tazas en orden aleatorio a la persona participante. Si ésta no es capaz de distinguir, ¿cuál es la probabilidad de que juzgue las ocho tazas correctamente? Un cazador trata de matar un oso. La probabilidad de que aparezca un oso en un radio menor de R1 es de 0. 1, en un radio entre R¡ y R2 es de 0.3, y en un radio menor que R2 es de 0.2. Si aparece un oso en un radio menor que R1 , el cazador será capaz de matarlo con una probabilidad de O. 7; con una probabilidad de 6.5 si aparece en un radio entre R 1 y R2, y con una probabilidad de 0.2 si el radio es mayor que R2 . ¿cuál es la probabilidad de que el cazador mate un oso? Si 50 % de las familias de cierta ciudad están suscritas al periódico matinal, 65 % el periódico vespertino y 85 % a uno de los dos periódicos, ¿cuál es la proporción de familias que están suscritas a los dos periódicos? Un cartón contiene 20 huevos, cinco de los cuales están descompues tos. Si se seleccionan aleatoriamente tres huevos sin remplazo, ¿cuál es la probabilidad de que los tres estén descompuestos? Suponga que tres corredores del equipo A y tres del equipo B par ticipan en una carrera. Si los seis tienen las mismas aptitudes y no hay empates, ¿cuál es la probabilidad de que los tres corredores del equipo A lleguen en primer, segundo y tercer lugares, y de que los tres corredores del equipo B lleguen en cuarto, quinto y sexto lugares? Una caja contiene 24 bombillas, de las cuales cuatro están defectuosas. Si una persona selecciona al azar cuatro bombillas de la caja, sin remplazo, ¿cuál es la probabilidad de que las cuatro sean defectuosas?
DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD 69 Si A y B son eventos mutuamente excluyentes con P(A) = 0. 3 y P(B) = 0. 5, encuentre: . a ) P(A U B) b) P(N) e) P(N n B) 3. 107. En una caja con 24 bombillas, cuatro son defectuosas. Si una persona selecciona aleatoriamente 1 O bombillas de la caja y luego una segunda persona toma las 1 4 bombillas restantes, ¿cuál es la probabilidad de que la misma persona seleccione las cuatro bombillas defectuosas? 3. 108. Si la probabilidad de que cierta casa residencial de una colonia determinada requiera reparaciones en los techos es de 0.23, ¿cuál es la probabilidad de que tres residencias seleccionadas al azar requieran reparaciones en los techos? 3. 109. Una agrupación compuesta por 10 hombres y 10 mttieres tiene 5 matrimonios y 1 0 solteros. De esta agrupación se va a formar un comité de cuatro personas seleccionadas aleatoriaclente. ¿cuál es la probabilidad de que esté formado por: a ) un hombre casado, una mujer casada, un hombre soltero, una mujer soltera? b) dos personas casadas, un hombre soltero y una mujer soltera? 3 . 1 10. La probabilidad de que un entrenador de futbol haga cuando mucho ocho sustituciones de jugadores en unjuego es de 0.61 y de que haga de nueve a 1 2 sustituciones es de 0.3 1 . Determine la probabilidad de que el entrenador haga: a ) cuando menos nueve sustituciones, b) cuando mucho 1 2 sustituciones, e ) más de 1 2 sustituciones. 3. 1 1 1. La probabilidad de que un inspector de una fábrica de tejidos cla sifique un suéter como imperfecto, de segunda calidad o de tercera calidad es 0.04, 0.02 o 0.01 , respectivamente. ¿cuál es la probabilidad de que un suéter reciba una u otra de estas tres clasificaciones? 3. 1 1 2 . Las probabilidades de que un estudiante obtenga una A, una B o una C en un curso de contabilidad son de 0.08, 0.014 y 0.045, respectivamente. ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante reciba una calificación más baja que C? (A > B > C). 3. 1 13. Las probabilidades de que una persona olvide enviar por correo una carta, descuide la colocación de una estampilla o ambos, son 0.25, 0.20 y 0.05, respectivamente. ¿cuál es la probabilidad de que una persona olvide enviar por correo una carta o descuide la colocación de una estampilla? 3. 1 14. La probabilidad de que una mujer que se prueba un vestido pida que se le modifique la prenda es de 0.65, que se le envíe a su domicilio es 3. 106.
70 CAP. 3 . DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD
3 . 1 15.
3. 1 16.
3 . 1 17.
3. 1 18. 3. 1 19.
3. 120.
3.121.
de 0.32 y que solicite ambas cosas es de 0.2 1 . ¿cuál es la probabilidad de que una mujer que hace compras en esta tienda pida: a) que se le modifique el vestido o que se le entregue en su domicilio? b) que no se le modifique ni que se le entregue en su domicilio? Un criador de animales mete un novillo y un caballo a un concurso en la feria del estado. Él cree que las probabilidades de que gane una banda con su novillo, con su caballo o con ambos son 0.25, 0.19 y 0.16. ¿cuáles son las probabilidades de que gane a ) con el novillo o con el caballo? b) ni con el novillo ni con el caballo? e) con el novillo, pero no con el caballo? Las probabilidades de que un diseñador de interiores evalúe el aspecto estético de un mueble de oficina como deficiente, regular, bueno, muy bueno o excelente son 0. 19, 0.20, 0.35, 0.18 y 0.08, respectivamente. Determine las probabilidades de que el diseñador clasifique el mueble de oficina como: a) regular o bueno, b) cuando menos regular, e) cuando mucho regular, d) ni deficiente ni excelente. Dos objetos, A y B, se distribuyen al azar en tres celdas numeradas. Defina un espacio muestra adecuado para este experimento. Use sub índices para indicar el número de celda; por ejemplo, A1B3 significa que A está en la celda 1 y B en la celda 3. ¿cuál es la probabilidad de que: a ) la celda 2 quede vacía? d) dos celdas queden vacías? Calcular la probabilidad de que los cumpleaños de 12 personas estén distribuidos entre diferentes meses del año. Tres estaciones de radio tienen permiso de trabajar en cualquiera de tres frecuencias asignadas. Hallar las probabilidades de los even tos: A = {todas las estaciones de radio funcionan en frecuencias diferentes}; B = {dos estaciones de radio funcionan en frecuencias iguales y la tercera en otra}. Suponer que todas las selecciones posibles de las frecuencias son equiprobables. Considérese un experimento que consiste en anotar la fecha de cum pleaños para cada una de 20 personas seleccionadas al azar. Si se ignoran los años bisiestos y se supone que hay solamente 365 distintos cumpleaños posibles, ¿cuál es la probabilidad de cada persona de los 20 tenga un diferente día de cumpleaños? En una clase de 40 estudiantes, se debe seleccionar aleatoriamente un comité de cinco estudiantes. ¿cuál es la probabilidad de que un
DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD 7 1
3. 122.
3. 123. 3 . 1 24.
3. 125.
3.126.
3. 127.
3. 128.
grupo de cinco buenos compañeros de clase sea seleccionado para este comité? Una caja contiene 20 unidades de cierto producto electrónico, de las cuales cuatro están defectuosas y las 1 6 restantes están en buenas condiciones. Cuatro unidades se seleccionan aleatoriamente para su venta. Hallar la probabilidad de que: a) las cuatro unidades vendidas sean defectuosas, b) entre las cuatro unidades vendidas dos estén en buen estado y dos defectuosas, e) se venden al menos tres unidades defectuosas. Si P(A) = 1 /3, P(A U B) = 1/2 y P(A n B) = 1 /4. Encontrar P(B). Un lote tiene 15 artículos, de los cuales cinco están defectuosos. Se inspeccionan sucesivamente y sin reemplazo todos los artículos. ¿cuál es la probabilidad de que el último artículo defectuoso del lote sea el octavo? Las probabilidades de que O, 1 , 2, 3, 4, 5 o cuando menos 6 aeronaves privadas aterricen en un pequeño aeropuerto en cierto día son 0.003, 0.009, 0.090, 0. 158, 0. 197, 0.261 y 0.282, respectivamente. ¿cuáles son las probabilidades de que: a ) cuando menos aterricen cinco aeronaves privadas? b) cuando menos aterricen dos aviones? e) aterricen de dos a cinco aeronaves privadas? La probabilidad de que un hombre siga vivo dentro de 25 años es de 3/5 y la de que su esposa los esté es de 2/3. Hallar la probabilidad de que en ese momento: a) ambos estén vivos, b) sólo el hombre viva, e) sólo viva la esposa, d) al menos uno esté vivo. Supóngase que la probabilidad de que el sistema de control utilizado en una nave espacial no funcione en un vuelo concreto es de 0.00 1 . Asimismo, supóngase que l a nave también tiene instalado u n segundo sistema de control idéntico, pero completamente independiente del primero, que toma el control cuando el primero falla. Determine la probabilidad de que en un vuelo concreto la nave espacial esté bajo control, ya sea por el sistema original o por el sistema duplicado. De entre 800 familias con cuatro hijos cada una, ¿qué porcentaje puede esperarse que tenga: a) dos chicos y dos chicas? b) al menos un chico?
72 CAP. 3. DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD e) ninguna chica?
d) a lo sumo dos chicas? 3 . 1 29.
3. 130.
3.131.
3 . 132.
3.133.
3.134.
3.135.
Suponer igual probabilidad para chicos y chicas. Una agencia que renta automóviles en un aeropuerto local · tiene disponibles cinco Ford, siete Chevrolet, cuatro Dodge, tres Datsun y cuatro Toyota. Si la agencia selecciona aleatoriamente nueve de estos vehículos para transportar delegados del aeropuerto al c_entro de convenciones en el centro de la ciudad, encuentre la probabilidad de que se utilicen dos Ford, tres Chevrolet, un Dodge, un Datsun y dos Tuyota. Se pide a cada una de cinco personas identificar un helado de vainilla y un flan de vainilla (a cada persona se le da una porción de cada uno y se le pide identificar el helado). Si todas sólo adivinan, ¿cuál es la probabilidad de que todas acierten? Si todas adivinan, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos cuatro identifiquen correctamente el helado? Se colocan en fila cinco platos de colores con alimento para perros. Si un perro elige uno de ellos al azar para comer, a ) ¿cuál es la probabilidad de que seleccione el de color azul? Si se emplea un segundo perro, b) ¿cuál es la probabilidad de que elija el de color azul? e) ¿cuál es la probabilidad de que ambos seleccionen el azul? Los registros de la unión crediticia Tepic indican que de un total de 1000 clientes, 800 tienen cuentas de cheques, 600 tienen cuentas de ahorros y 500�tienen ambas. ¿cual es la probabilidad de qu'e un cliente seleccionado al azar tenga cualquiera de las dos cuentas? En una planta de plásticos, 12 tubos vacían diferentes químicos en un tanque de mezcla. Cada tubo tiene una válvula de cinco posiciones que mide el flujo dentro del tanque. Un día, al experimentar con diferentes mezclas, se obtiene una solución que emite un gas venenoso; sin embargo, no se efectuó el registro de los valores en las válvulas. ¿cuál es la probabilidad de obtener esta misma solución si se experimenta otra vez de manera aleatoria? A una persona se le muestran seis tarjetas para que las identifique. Sabe que el reverso de las tarjetas es de color rojo o blanco. Si se seleccionan tres de cada color y la persona sólo está adivinando: a ) ¿cuál es la probabilidad de que identifique las seis? b) · ¿De que identifique cinco? e ) ¿De que identifique cuatro? Cuarenta personas viajan en un mismo vagón de ferrocarril. De· .estas personas, cinco son damas irlandesas con abrigos de color azul, dos son caballeros irlandeses con abrigos de color verde, una es un
DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD 73
3. 136.
3. 13'1.
3. 138.
3. 139.
3. 140.
3 141. ..
caballero irlandés con un abrigo de color negro, siete son damas noruegas con abrigos de color café, dos son damas noruegas con abrigos de color azul, seis son caballeros noruegos con abrigos de color negro, cuatro son hombres alemanes con abrigos ae color verde, tres son damas alemanas con abrigos de color negro, cinco son damas alemanas con abrigos de color azul y cinco son caballeros alemanes con abrigos de color negro. Si se selecciona al azar una persona de este vagón, ¿cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada: a) sea un caballero? b) lleve un abrigo de color verde? e) lleve un abrigo de color café? d) sea noruego? e) sea alemán? J) sea alemán y lleve un abrigo de color verde? Nueve pasajeros suben al azar a un tren con tres vagones. ¿cuál es la probabilidad de que: a) a cada vagón suban tres pasajeros? b) al primer vagón suban cuatro, al segundo tres y al tercero dos? Supóngase que las calles de una ciudad se trazan en una red que va de norte a sur y de oriente a poniente. Considérese el planteamiento siguiente para patrullar una zona de 1 6 por 1 6 manzanas. Un patru llero comienza a caminar en el cruce central de la zona. En la esquina de cada cuadra elige al azar dirigirse al norte, al sur, al este o al oeste. a) ¿cuál es la probabilidad de que alcance el límite de su zona de patrullaje para cuando haya caminado seis cuadras? b) ¿Cuál es la probabilidad de que regrese a su punto de partida después de haber caminado exactamente cuatro cuadras? Dado un grupo de cinco hombres y 1 O mujeres, si se divide al azar estas personas en cinco grupos de tres miembros, ¿cuál es la probabilidad de que en cada grupo haya un hombre? Durante los últimos 30 años, el profesor Lezama ha dado sólo 100 calificaciones A y 200 lten matemáticas a los 1200 alumnos que se han inscrito en su clase. Con base en estos datos, ¿cuál es la probabilidad de que un alumno que se inscriba en el año próximo: a) obtenga A? b) no obtenga ni A ni B? En una repisa se coloca al azar una enciclopedia de cinco volúmenes. ¿cuál es la probabilidad de que cada volumen quede colocado en el orden correcto? Tres hombres y cuatro mujeres van a sentarse en una fila. Encuéntrese la probabilidad de cada uno de los eventos siguientes.
74 CAP. 3 . DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD
3. 142.
3. 143.
a) Un hombre y una mujer se sientan de forma alterna. b) Todas las mujeres se sientan juntas. e) Los extremos son ocupados por hombres. Se sacan seis zapatos de una fila compuesta por 10 zapatos izquierdos idénticos y siete derechos idénticos que complementan los pares. ¿cuál es la probabilidad de obtener: a) tres pares? b) dos pares? Supóngase que se hacen girar las dos ruletas dibujadas en la figura ilustrada a continuación. ¿cuál es la probabilidad de que: a) ambas caigan en rojo (esto es, A cae en rojo y B cae en rojo)? b) ninguna caiga en rojo (esto es, A no cae en rojo y B no cae en rojo)? e ) la ruleta A caiga en rojo y la B no caiga en rojo? d) la ruleta A caiga en rojo y la B caiga en rojo o en verde? e) sólo una de las ruletas caiga en verde?
A
3. 144.
3. 145.
3. 146.
8
Una secretaria escribió a máquina cuatro cartas y cuatro sobres y por descuido insertó las cartas al azar dentro de los sobres. Encuéntrese la probabilidad de cada unos de los casos siguientes. a) Ninguna carta entró en el sobre correcto. b) Al menos una carta entró en el sobre correcto. e ) Sólo una carta entró en el sobre correcto. d) Tres cartas entraron en los sobres correctos. María yJuan trabajan en forma independiente descifrando un mensaje codificado. Si sus respectivas probabilidades de descifrarlo son de 1 /2 y 2/3, encuéntrese la probabilidad de que: a) María sea la única de los dos en descifrar el mensaje, b) pueda descifrarse el mensaje. Diez trabajadores tienen que formar: a) una brigada de cuat.rt> y otra de seis personas b) un equipo de cinco, uno de tres y otro de dos personas e) cinco equipos de dos personas.
DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD 75
3 . 1 47 .
3 . 148.
3. 149.
3 . 150.
3.151.
3. 152.
3. 153.
3. 154.
Para cada división de las personas en brigadas y equipos, ¿cuál es la probabilidad de que dos trabajadores determinados se encuentren en el mismo equipo? Cierto tipo de motor eléctrico falla por obstrucción de cojinetes, por combustión del embobinado o por desgaste de las escobillas. Suponga que la probabilidad de la obstrucción es .doble que la de la combustión, la cual es cuatro veces más probable que la inutilización de las escobillas. ¿cuál es la probabilidad de que la falla sea por cada uno de estos mecanismos? Suponga que se selecciona al azar un número entero entre el 100 y el 999 inclusive. ¿cuál es la probabilidad de que el número seleccionado contenga dos veces el número tres? Los participantes de la lotería genovesa compran billetes, en los cuales figuran los números del 1 al 90. Algunos billetes tienen a la vez 2, 3, 4 o 5 números. El día del sorteo se eligen al azar cinco fichas con los números del 1 al 90. Ganan los participantes cuyos billetes tengan números que coincidan con los elegidos en el sorteo. ¿cuál es la probabilidad de ganar el premio en el caso de un billete comprado con un número? ¿con k números ( 1 :::; k :::; 5)? Calcular la probabilidad de que cinco naipes extraídos al azar de una baraja de 52 contenga: a) dos pares, b) un full (una tercia y un par), e) una jlor (los cinco naipes del mismo palo), d) una corrida (cinco naipes en secuencia; por ejemplo: 8, 9, 10,], Q). Las letras del alfabeto telegráfico de Morse están formadas por una sucesión de rayas y puntos con repeticiones permitidas. ¿cuántas pala bras se pueden formar con 10 o menos letras? ¿cuál es la probabilidad de que la palabra formada tenga sus letras diferentes? Sea N un número entero seleccionado al azar. ¿cuál es la probabilidad de que la última cifra sea uno para: a) N2 ? b) N4? e ) N x M? Suponga que A y B son los eventos para los cuales P(A) = x, P(B) = y, P(A n B) = z. Expresar cada una de las probabilidades siguientes en términos de x, y, z. a) P(N U Be) b) P(N n Be) e) P(N U B) ? 2/5, y Suponga que se tienen dos eventos A y B tal que P(A) P(B) = 2/5 y P(A U B) = 1/2. Obtener P(A n B).
76
CAP. 3 . DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD
3. 155.
Suponga que A, B, C son eventos tales que P(A) P(B) = P(C) = .25; = P(C n B) = O y P(A n C) = 1/8. Calcular la probabilidad de que al menos uno de los eventos ocurra. En el Colegio Madrid, los cursos de inglés e historia son obligatorios. En el primer intento, 30 % de los estudiantes reprueba inglés, 20 % reprueba historia y el 8 % reprueba ambas asignaturas. Encuentre: a) la probabilidad de que un estudiante repruebe uno o el otro, b) la probabilidad de que un estudiante repruebe inglés dado que ya ha reprobado historia. Las probabilidades de que el saco de un traje requiera modificaciones son de 0.20; 0.15 de que sean los pantalones los que las requieran, y 0. 10 de que ambas prendas requieran modificaciones. ¿cuál es la pro babilidad de que el saco o los pantalones requieran modificaciones? La probabilidad de que una industria mexicana se ubique en Vene zuela es de 0.7; de que se localice en Argentina, de 0.4, y de que se encuentre en Venezuela o en Argentina, de 0.8. ¿cuál es la probabili dad de que la industria se localice: a ) en ambos países? b) en ninguno de ellos? Con base en experiencias pasadas, un corredor de bolsa considera que bajo las condiciones económicas actuales un cliente invertirá con una probabilidad de 0.6 en bonos libres de impuestos, en fondos mutualistas con una probabilidad de 0.3 y en ambos instrumentos con una probabilidad de 0.15. En este momento, encuentra la probabilidad de que el cliente invierta: a ) ya sea en bonos libres de impuestos o en fondos mutualistas, b) en ninguno de los dos instrumentos. De 150 pacientes examinados en una clínica, se encontró que 90 tenían enfermedades cardiacas, 50 padecían diabetes y 30 sufrían ambos padecimientos. ¿Qué porcentaje de los pacientes tenía uno u otro padecimiento? Se examinaron las tarjetas de registro de 200 estudiantes en relación a ciertos idiomas. Se encontró que 100 estudiaban francés, 80 español y 60 los dos idiomas. Si de este grupo de 200 estudiantes, se selecciona uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya estudiado francés o español? De un grupo de 100 estudiantes universitarios del último año, 60 estu diaron biología, 20 geología y 10 astronomía. 15 estudiaron biología y geología, siete biología y astronomía y tres geología y astronomía. Tres de Jos estudiantes cursaron las tres materias. Si se selecciona al azar un estudiante del uftimo año, ¿cuál es la probabilidad de que haya estudiado por lo menos una de estas materias? =
P(A n B)
3. 156.
3. 157.
3. 158.
3 . 159.
3. 160.
3. 1 6 1 .
3. 162.
DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD 77 3. 163.
La probabilidad de que el señorJiménez invierta en acciones comunes
A es de 0.20; en acciones comunes B, de 0.30, y en ambas, de 0 . 1 0. ¿cuál es la probabilidad de que no invi�rta ni en A ni en B? 3. 164.
Suponga que una bolsa contiene 1 0 esferas marcadas con los números 1, 2, 3, . . . , 1 O. Sea E el evento de extraer una esfera marcada con un número par y F el evento de extraer una esfera marcada con un número cinco o mayor, ¿son E y F mutuamente excluyentes? Calcule P(E U F).
3. 165. 3. 166.
Tenemos como datos las probabilidades de los eventos. A y A n B. Calcula P(A n Be). Sean A y B dos eventos. Demuestre que P(N n Be)
3 . 167.
Demostrar que para los eventos A y B cualesquiera P(A nB) - P(A)P(B)
3. 168. 3. 169.
1 - P(A) - P(B) + P(A n B)
=
=
P(N)P(B) - P(N n B)
= P(A)P(Be) - P(A n Bc)
Demostrar que P(A n B) :S P(A) :S P(A U B� :S P(A) + P(B) Sean A y B dos eventos. Demuestre que P(A n B) 2: 1 - P(N) - P(Bc)
3. 170.
Esto es una versión simplificada de la desigualdad de Bonferroni. Demostrar que para cualesquiera eventos A y B a) P(A n B) 2: P(A) + P(B) - 1 b) La probabilidad de que suceda exactamente uno de los eventos es P(A) + P(B) - 2P(A n B).
3. 1 7 1 .
Demostrar que: P
n n Ak
n
(k=l ) ¿ k= l =
P(Ak ) -
n-1 n
n-2 n-I n +L L L
k= l j=k+l i=j+ l
3. 172. 3. 173.
1
¿ ¿ P(A" U AJ ) h=l J=k l +
P(A K U Aj U A ;) -
· ·
·
n + (-l)n -Ip U Ak
(
h= l
)
Se lanzan n dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos sea no menor que 6n - 1 ? De un conjunto�,rle números 1, 2, 3, . . . , n, se eligen dos núme.ros al azar. ¿cuál es la probabilidad de que un número sea menor y el otro sea mayor que un número dado k?
j
78
CAP. 3. DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD
3. 1 74.
En una sala se encuentran n personas. Calcular la probabilidad de que cuando menos dos tengan el mismo mes de nacimiento. Dar el valor de esta probabilidad para n = 3, 4, 5, 6.
3. 175.
En un torneo, se encuentran n ajedrecistas, los que tienen a su disposición k tableros n 2:: 2k. a) ¿ne cuántas maneras se pueden formar k parejas de ajedrecistas para jugar la primera partida? b) ¿De cuántas maneras se pueden formar k parejas de ajedrecistas para jugar la primera partida si queremos distinguir a los que juegan con blancas? e) ¿cuántos posibles resultados se obtienen de la primera partida en el caso del inciso a?
3. 1 76.
En una urna hay n bolas con números de 1 a n. Sacamos las bolas una a una sin regresadas a la urna. ¿cuál es la probabilidad de que al extraer k bolas el número de la bola coincida con el número de la extracción?
3. 1 77.
En un grupo de 2n personas hay n hombres y n mujeres. Todos se acomodan alrededor de una mesa redonda. Calcular la probabilidad de que dos personas del mismo sexo se sienten juntas.
3. 178.
¿Qué es más probable: tirar por lo menos un uno cuando se tiran cuatro dados o tirar por lo menos una vez dos unos cuando se tiran 24 veces dos dados?
3. 179.
Si se lanza una moneda n veces, ¿cuál es la probabilidad de que salga águila un número impar de veces?
3. 180.
Un laberinto consiste en pasillos igualmente espaciados en dirección norte-sur y pasillos igualmente espaciados en dirección este-oeste, que se entrecruzan formando una especie de tablero de ajedrez. Una rata comienza a caminar en una de las intersecciones y vaga por el laberinto sin propósito alguno, haciendo un alto en cada intersección y escogiendo en ella al azar una de las cuatro direcciones. Encontrar la probabilidad de que la 2n-ésima intersección que se alcance será precisamente la intersección en la que comenzó su movimiento.
3.181.
Alma, Beatriz y Clara to¡nan turno (en ese orden) para lanzar una moneda en buen estado hasta que una de ellas gana obteniendo una cara. Encuéntrese la probabilidad que cada una de ellas tiene de ganar.
3. 182.
Los números 1, 2, . . . , n están colocados en orden aleatorio. Encontrar la probabilidad de que los dígitos a) 1 y 2 b) 1 , 2 y 3, sigan el orden mencionado.
DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD 79 3. 183.
3. 184.
3. 185. 3. 186.
3 . 187.
3. 188.
3. 189.
3.190.
3.191.
3. 192. 3 . 193.
Un grupo de 2N niños y 2N niñas se divide en dos grupos iguales. Encontrar la probabilidad p de que cada grupo esté igualmente dividido en niños y niñas. Un grupo de n personas se sienta al azar alrededor de una mesa redonda. ¿cuál es la probabilidad de que dos personas que se eligen de forma determinada: a ) se sientenjuntas? b) no sean vecinos? Calcule la probabilidad de que cuando se lanzan simultáneamente m dados y n monedas se obtengan sólo seises y caras? ¿cuál es la probabilidad de que, al comprar un billete de lotería deportiva, puedan adivinarse: a ) k números (k = 1 , 2, . . . , 6) de 49? b) por lo menos k números? Una caja contiene esferas numeradas del 1 a n. Se seleccionan dos esferas al azar. ¿cuál es la probabilidad de que los números sobre las esferas sean consecutivos si: a ) las esferas se seleccionan sin reemplazo? b) las esferas se seleccionan con reemplazo ? En un librero se colocan 10 libros. Calcular la probabilidad de que: a ) tres libros en particular queden juntos, b) k-libros, donde 2 ::; k ::; 1 0, queden juntos. De una población de cinco símbolos a, b, e, d, e, se toma una muestra de tamaño 25. Encontrar la probabilidad de que la muestra contenga cinco símbolos de cada clase. Una compañía compra refacciones a M distribuidores y desea ordenar n pedidos (n < M). Suponga que la compañía hace los pedidos de tal manera que cada distribuidor tiene las mismas posibilidades de surtir cualquiera de los pedidos y que no existe ninguna restricción con respecto al número de pedidos que se pueden ordenar con cualquier vendedor. Obtener la probabilidad de que un distribuidor en particular ten!?a exactamente k pedidos (k ::; n). Se somete a un estudiante a un examen del tipo verdadero-falso, el que contiene 1 0 preguntas; para aprobar, debe responder correctamente ocho o más preguntas. Si el estudiante adivina, ¿cuál es la probabilidad de que apruebe el examen? ¿cuál es la probabilidad de que en cualquier permutación de n elementos, dos elementos A y B no aparezcan juntos? Si k personas se s�ntan aleatoriamente en una fila de n asientos (n > k), ¿cuál es la probabilidad de que ocupen k asientos contiguos en la fila?
'.j
80 CAP. 3 . DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD 3. 194.
3. 195.
3. 196.
Si n personas se sientan aleatoriamente en una fila de 2n asientos, ¿cuál es la probabilidad de que no haya dos personas sentadas en asientos contiguos? Cada una de n varillas de madera se quebraron en dos piezas, una pieza de tamaño largo y otra de tamaño corto. De esta manera se obtuvieron 2n partes. Después se volvieron a unir todas al azar formando n nuevas varillas. ¿cuál es la probabilidad de que: a) todas queden como al principio, b) siempre quede unida una parte larga con una corta? Se hace un lance de n dados. ¿cuál es la probabilidad de que aparezcan n¡ uno, n2 dos, . . . , n6 seis con n¡ + n2 + · + n6 = n? De n personas que forman una fila, calcule la probabilidad de que entre dos personas A y B queden exactamente r personas con r < n - 2. En cada una de n bancas se sientan m personas. Calcule la probabilidad de que dos personas determinadas se sientenjuntas. La probabilidad que un deportista mejore su resultado anterior en una prueba es igual a p. ¿cuál es la probabilidad de que mejore su resultado si tiene derecho a dos pruebas? Una urna contiene r bolas de color rojo y b bolas de color azul. Se extrae una bola al azar y se observa el color. Se devuelve la bola a la urna y se introducen también k bolas adicionales del mismo color. Se extrae aleatoriamente una segunda bola, se observa el color y se devuelve a la urnajunto con k bolas adicionales del mismo color. Cada vez que se extrae una bola se repite el mismo proceso. Si se extraen cuatro bolas, ¿cuál es la probabilidad de que las tres primeras bolas sean de color rojo y la cuarta de color azul? Dosjugadoresjuegan veinte partidas de ajedrez, donde la probabilidad de ganar de cada jugador en cualquier partida es de 0.2. ¿Cuál es la probabilidad de que una vez jugadas todas las partidas el resultado sea de 12 a 8? Un ropero contiene n pares de zapatos. Si se eligen al azar 2r zapatos con 2r < n, ¿cuál es la probabilidad de que: a ) no haya ningún par completo? b) haya exactamente un par completo? e) haya exactamente dos pares completos? Cada una de n personas eligen un número del conjunto { 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } de manera independiente. Sean Sn y lln la suma y el producto · de los números elegidos. Calcule la probabilidad de los eventos: a ) A = { Sn 2:: n + 4} b) B {lln es divisible �ntre 70}. De una urna que contiene n bolas de color blanco y n de color negro se eligen al azar un número par de bolas. Bajo el supuesto de que el ·
3. 197. 3. 198. 3. 199.
3.200.
3.20 l.
3.202.
3.203.
=
3.204.
·
RESPUESTAS 8 1
3.205.
3.206.
espacio muestra! es equiprobable, ¿cuál es la probabilidad de que entre las bolas elegidas el número de color blanco y de color negro sea igual? En términos P(A), P(B), P(e), P(AnB), P(An C), P(Bne) y P(AnBne), expresar, para k = O, 1, 2, 3, la probabilidad de que: a) exactamente k de los eventos A, B, e ocurran, b) al menos k de los eventos A, B, e ocurran. Entre n2 cuadrados iguales, n x k son de color rojo y los restantes son de color blanco, con k < n l. Los cuadrados se colocaron al azar formando un tablero con n x n. ¿cuál es la probabilidad de que n cuadrados de color rojo se encuentren en una fila, una columna o una diagonal? -
Resp uestas 3. 1. 3.2. 3.3. 3.4.
22/56 a) 3/25 b) 7/25 e) 16/25 d) 10/25 a) 16 b) 1/8 e) 1 3/ 1 6 a) 47/52 b ) 16/221 e ) 15/34 d ) 13/17 h) 77/442 3.5. a) 0 . 1 055 b) 0.0137 e) 0.000133 3.6. a) 5/13 b) 27/52 3.7. a) 1/2 b) 1/3 e) 5/6 d) 2/3 3.8.
G) (5 n
=
253 = o.o253; 9996
3.9. a) 64 b) 3/32 3. 10. 27/36 3. 1 1 . a) 1/2 b) 1/4 3.12. 3. 13. 3. 14. 3.15. 3.16. 3 . 1 7.
(13) (13) (13) (13) 5 2(�;)3 3
e) 15/64 e) 1/13
(�) (552)
=
e) 210/22 1
·
j ) 1 0 / 1 3 g) 40/51
33 = o.ooo49 66640
d) 1/52
= 0.0 129
0.332 96/1000 = 0.096 2 x v¡ ¡vJ = 24/60 = 0.4 a) 1/221 b) 1/1326 e) ( 20 x 19)(52 x 5 1 ) = 0. 143
C)(�o) (s�J , donde r = x y x = O, 2, . . . , 10 2
3.18. a) (4/52 ) x ( 1 2/51 ) = 0.018 b) ( l 3/52) x (12/51) x ( l l/50) x ( l0/49) x (9/48) = 0.00049 e ) 0.0019& 3. 19. 4!(13!)4 /52! = 0.44 x 10_ 26 3.20. a) 0.00 1 7 b) 0.0035
82 3.21. 3.22. 3.23.
X
(12!(20/52) /v:6!2!4!(2019/51)13!/4!=6!0.3!1)4/(325!/ 10!8!7!) = 0.0395 v5 6! 3/7!= -3=2 3=/70.=6250.4286 10 5!/7! = 0.2381 5 4!/7! = 0. 0238 1/54145 1/649 740 1/108 290 64/162 435 429/41 65 �4 18482/54145 =4 o.o 1o5 (11/108 0.25) = 0.00390625 0.,59/903 45/90 17/90 9/90 1/Cf1/29/100 7!)/10! = 0.027/100 083 14/100 =60 (3! 45/100 (1/2163/10) (2/9) = 1/1 5 (0. 3)2 = 9/100 5/12 10/12 = 5/6 11/12 4 (1/200.5) = 0.3/20 0625 1 - (0.15/5)4 = 0.9375 4 (0.5)4 = 0.25 1/216 1/61/36 5/953/54 1/6 a =1/6{( 1, 1)(1/21, 2)( 1, 3)1/2(1, 4)( 1, 5)( 1, 6)(2, 1)(2, 2)(2, 3)(2, 4)(2, 5)(2, 6)} 1/2 2/5 4/5 1/8 33/5/8 11/15 1/3 0. 1.0=270.2 + 0..0308- 0.4 . 1 6 .18 0.1/130238 12/130.2619 57/650.2142 0.3571 0.5714 1/241/9 4/9 5/9 4/9 5/9 9 .��; 21 = 1/5 (10!:8!2!) = 1/45 P{rojaP{azul en cualenquicualer extquireaccir extórn}=acció5/12n} =P{bl3/12;ancaluegoenP{tcualreqsuiseornextdercolacciorón}= 4/12, rojo, dos3! de3!/col36 o=r bl4/81anco, una de color azul} = 625/5184 X
-2 2
3.24. a) 3.25. a)
+V 4 X
b)
/)
3.26. 3.27. 3.28. 3.29. 3.30. 3.31. 3.32. 3.33. 3.34. 3.35. 3.36. 3.37. 3.38. 3.39. 3.40. 3.4 1 .
i. 1
3.5 1 . 3.52.
X
d)
( ) en
a) a)
e)
b) b)
x
d)
e)
x
a)
a) a) a) a) a)
e)
b)
b) b) b)
e) O
e)
·
e)
e) e)
b)
b)
d)
e)
e)
e)
d)
e)
b)
X
e)
d)
e)
b) b) b)
b)
d)
b)
b)
a) 3.42. a) 3.43. a ) 3.44. 3.45. a) 3.46. a ) 3.47. a ) 3.48. 3.49. a ) 3.50.
e)
b)
e)
d)
d)
e
)
e)
e)
X
e)
RESPUESTAS 83 3.53. 3.54. 3.55. 3.56. 3.57. 3.58. 3.59. 3.60. 3.6 1. 3.62. 3.63. 3.64. 3.65. 3.66.
b) 1/2
a) 1/6
e) 1/3
e) 1/2
d) 1/2
1 /2 1/36 0.2727 5/18 1 1/36 4/36 = 1/9 a ) 14/285 b) 1/1 140 e) 7/95 d) 23/57 e) 18/95 f) 3/95 2/3 = 0.6666 v:l 2 . ��2 = 8 '20' 1 2 = 0.0 1 47 20 v2o 2/5 a) 0.6544 b) 0.3162 e) 0.3456 fl = {(1, 4)(2, 4)(3, 4)(5, 4)(6, 4)(4, 1)(4, 2)(4, 3)(4, 5)(4, 6)} a) 0.2 b) 0.4 Sean a, b y e los números en cada lado, los cuales pertenecen al conjunto { 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Si el evento A ocurre, entonces se debe cumplir a + b + e = abe, lo que implica ·;}¡; + � + fc = l. Esto significa que a, b y e son igual a un tercio o al menos uno es diferente. El caso de la igualdad no es posible ya que por ejemplo nunca se cumple a2 = 3. Para � > �' Puede ser ab = 1 o ab = 2, pero tendríamos como única solución ab = 2, la cual se puede descomponer en (a = 1 y b = 2) o (a = 2 y b = 1). Si se soluciona a + b + e = abe con los valores anteriores, obtenemos e = 3. Con el conjunto { 1, 2, 3} se pueden formar 3! triadas distintas, por lo que obtenemos -
·
P(A) = �3 6
B
36
=
=
v:go
___lli_
3.68. 1
�
·
y:3o
li_ 1 ,· ___l 3
365 0 36590 1 5 = 5 = 0.20 3.69. 25 3.70. 1/3 -
mm · · c56)
3 71
__!_
{(3, 5)(5, 3)(4, 4)(2, 6)(6, 2)} y P(A) = 5/36 = 0. 1923 {(1, 1)(1, 2)(2, 1 )(2, 2)( 1, 3)(3, 1)(1, 4)(4, 1)(2, 3)(3, 2)} P(B) = 10/36 = 0.2777}
3.67. a) A b)
=
m
=
o. 02937
= o 1923
·
·
3.72. P(A' n B') = 0.4 3 . 73. (3! X 2! X 2!)/ 1 1 ! = 24/ 1 1 ! = 0.000014 3.74. a ) 0.285 b) 0.857 3.75. a) 1 / 1 2 b ) 1/6 e ) O d ) 5/12 1 -
c�n { [ G�)
+
G�) G�) +
+
(��) J } -
84 3 '76 · 3.77. 3.78. 3.79. 3.80. 3.81 .
{ [ Gn + (��) + G�) + G�) + G�) J + [ G�) G�) + G�) J } +
24 X 8 X 7 X 6 X 4)/(26 X 25 X 24 X 9 X 8 X 7 a ) 0.88 b) 0.12 e ) 0.69 - 0.35 = 0.34 a) 3 x 4!/5! = 0.6 b) 2 x 4!/5! = 0.4 e) 12/5! = 0. 1 a) 0.87 b) 0.70 e) 0.61
p = ( 25
(i�)\ m ( 020)
X
= 0. 0133
a) 5/26 = 0. 1 923 b) 9/26 = 0.3461 P(C n G) = 0.35 a) 0.67 b) 0.58 0. 72 0.5 X 0. 2 = 0. 1 a) 0.3333 b) 0.3571 0.3 4/20 = 0. 2 a) 0. 1 6 b) 0.008 e ) 0.096 2 ! = 0.0007936 3.9 1 .
3.82. 3.83. 3.84. 3.85. 3.86. 3.87. 3.88. 3.89. 3.90. 3.92. 3.93. 3.94. 3.95. 3.96. 3.97. 3.98. 3.99. 3. 100. 3. 101. 3.102. 3. 103.
!�:4
a) 4! = 24
b) 0.5 b) 21/ 1680 = 0.0125 a) 0.6315 b) 0.9684 a) 1680
9/24 a) 20/64 = 0.3125 b) 0.2051 0.846 0.29 a) 0.33 b) 0.50 e) 1/6 1 /70 = 0.0 142 0.07 + 0. 15 0.04 = 0.26 + 0.50 + 0.65 - 0.85 = 0.30
c g) m = 0. 0087 m
3.104. ( 3!)2 /6! = 0.05 3.105. 0.000094 3.106. a) 0.8 b) 0.7 e) 0.5 3.107.
X
(20) + (20) 6 (i�) 1 0
=
0. 1 139
3.108. ( 0.23)3 = 0.0 1 2 1
e) 19/26
=
0.7307
6) = 0.017
85 3. 109. a) (54 X 4!)/(20 X 19 X 1 8 X 17) = 0. 129 b) (53 X 9 X 4!)/(20 X 1 9 X 18 X 17) = 0.2321 3.1 10. a) 0.39 b) 0.92 e) 0.08 3. 1 1 1. 0.07 3.1 12. 0.861 3. 1 13. 0.25 + 0.20 - 0.05 = 0.40 3.1 14. a) 0.65 + 0.32 - 0.21 = O. 76 b) 0.24 3. 1 15. a) 0. 25 + 0. 19 - 0. 16 = 0.28 b) 0.72 e) 0.06 3. 1 1 6. a) 0.55 b) 0.81 e) 0.39 d) 0.73 3. 1 17. a) 4/9 = (2/3) x (2/3) b) 1/3 3.1 18. 12!/1212 = 0.0000537 3.1 19. P(A) = 3!/33 = 2/9; P(B) = (3 x 2 x 3)/33 3. 120. Si A es el evento en el que cada persona tiene un día de cumpleaños diferente, entonces 365 X 364 X . . . X 346 P(A) = (365)20
.
3.121. P(A)
VÍ = (;?) = 0. 000 18
3.122. a) 1 /4845 3.123. 5/12
·
b) 720/4845
e) 65/4845
3. 124.
C;) G) = 0.533 m
3. 125. 3. 126. 3. 127. 3. 128.
a) 0.543 b) 0.988 e) 0.706 a) 2/5 b) 1/5 e) 4/15 d) 13/15 1 - 1 /106 a) 37.5 % b) 93.75 % e) 6.25 % d) 68.75 %
3. 129. 3. 130. 3.131. 3.132. 3. 133. 3. 134. 3. 135. 3. 136.
m G)SJ)m G)
=
o.o3o8
1 /55 5 X ( 1 /55) + 1 /55 = 6/55 a) 1 /5 b) 1/5 e) 1/25 0.8 + 0.6 - 0.5 = 0.9 P(A) = 1 /5 12
a) 1 /20 b) O e) 9/20 a) 18/40 b) 6/40 c) 7/40 d) 15/40 a) 9!/[(3!)3 (39 )] . b) 9!/[4!3!2!(39 ) ]
m
m =· 0.0234 3. 137. a) -;¡6 = 0.0073 b) -:¡¡5! ° m m m 5 ! 1 0!(3!)5 3.138. c2 ) mm (�) en m m = 15 , (2!)5 = o.o8o9
e) 17/40
J) 4/40
86 3.139. 3. 140. 3. 141. 3. 142. 3. 143. 3. 144. 3. 145.
b)
11/120/12 3/4 (0.43! 3933!)/7! 0.41/35835 (4! 3! 4)/7! 4/35 (5! 6)/7! 1/7 0.11//64816 5/63/80.625 1/8 1/3 1/2 m m(;)m 0.4666 m C 0) m m o. o2h6 s 5(2!)5 5@ 0.000044 m m G)@ O:C: D:P(O) P(C) P(D) 1 2P(P(OC) ) 8/13P( P(C) .C2)5P(C4/) 13P(1, D) 1 /13 9 2 18 a)
a) a) a) a) a)
X
b)
b)
m
3. 146. a )
3. 147.
e)
e)
c2o)
=
e
)
X
=
d) O
=
m+ m G)
m+
b)
X
d)
e)
b)
b)
X
b)
=
=
=
a
10!
=
evento "falla por obstrucción de cojinetes" evento "falla por combustión del embobinado" evento "falla por desgaste de las escobillas" +
+
=
+
+
=
=
=
entonces =
3. 148. Si el primer dígito es un tres, entonces uno de los siguientes dígitos debe ser un tres y el otro cualquiera de los nueve dígitos restantes. Estos dos dígitos consec�tivos pueden ocurrir en cualquiera de dos órdenes, de manera que hay x = números de tres dígitos que tienen un tres en la primera posición, además de contener dos veces el número tres. Si el primer dígito no es un tres, entonces esta posición puede llenarse de ocho maneras (no se puede usar ni el cero ni el tres), pero las dos últimas posiciones deben contener el número tres varias veces. Por lo tanto,
P(B) =
C€0
26/900 0.029 =
3.149. En total existen maneras de sacar cinco fichas. Supongamos que el parti cipante de la lotería haya comprado un billete con un número. Para ganar el premio es necesario que una de las cinco fichas coincida con el número del billete. Los demás se eligen de números restantes. Por eso, existen resul tados favorables y la probabilidad de ganar el premio es igual a c¿g¡cgo = Jugando con dos números, llegamos al resultado de que la probabilidad de ganar el premio es igual a = con tres números = = con cuatro números y con cinco números
89 11 /Cg/110748;1/43949268. C�8/CgC�1;0/Cg0 2/801;1/51 1038, en (�52�) (4n 0. 0475 1 3 1 2 (i) (�) 0.0014 =
3. 150. a)
b)
=
X
es2)
=
C;t9 1/1 8. C�7/C�0
e)
d)
(�) (552)
4
RESPUESTAS 87 = 0.0019
(i)55 10 ( 52) = 0.0039
3.151. 2 1 + 22 + . . . + 2 10 = 2 X (2 10 - 1); 0.00195 3. 152. a) 1/5, si se escribe N de la forma N = a+ 1 O x b+ 100 ·x e . . . , entonces se cumple la igualdad N 2 = a2 + ·lOO x b2 , por lo que la última cifra sólo depende de a2, lo que significa que los únicos casos favorables son 9 x 9 y 1 x l. b) 2/5, el mismo tipo de razonamiento que el del ejercicio a). e) 4/100, el mismo tipo de razonamiento que el del ejercicio a). 3.153. a) 1 - z b) 1 - x - y + z e) 1 3.154. 0.3 3. 155. 0.625 3. 156. a) 0. 3 + 0.2 - 0. 08 = 0.42 b) (0.08)/(0.20) 0.40 3.157. 0. 2 + 0. 1 5 - 0. 1 0.25 3. 158. a) O. 7 + 0.4 - 0. 8 = 0. 3 b) 1 - 0. 8 0. 2 3. 159. a) 0. 6 + 0.3 - 0. 15 = 0.75 b) 1 - 0.75 = 0.25 3. 160. 9/15 + 5/15 - 3/15 = 0. 7333(73.33 %) 3.161. 0.5 + 0.4 - 0.3 = 0. 6 3. 162. B : evento "el estudiante estudia biología" G : evento "el estudiante estudia geología" A : evento "el estudiante estudia astronomía" . . •
=
=
=
P(B U G U A) = P(B) + P(G) + P(A) - P(B n G) - P(B n A) - P(G n A) - P(B n G n A) = 0. 6 + 0. 2 + 0. 1 - 0. 1 5 - 0.07 - 0.03 + 0.03 = 0.68
3. 163. PW n B') = P(A U B)" 1 - P(A U B) = 1 - [0.2 + 0.3 - 0. 1 ] = 0. 6 3. 164. E = {2, 4, 6, 8, 10} F {5, 6, 7, 8, 9, 10} E n F i- 0 (no son mutuamente excluyentes). P(E U F) = P(E) + P(F) - P(E n F) 0.5 + 0.6 - 0.3 = 0.8 3.165. P(A n B') = P(A) - P(A n B) 3.166. 1 = P[(A U B) U (A U BYJ P(A) + P(B) - P(A U B) + P(A' n B') 3. 167. P(A n B) - P(A)P(B) = P(A n B) - [ 1 - P(N)]P(B) = P(A')P(B) - [P(B) - P(A n B) ] P(N)P(B) - P(A' n B)P(A n B) - P(A)P(B) . = P(A n B) - [1 - P(B')]P(A) P(A)P(B') - [P(A) - P(A n B)] = P(A)P(B') - P(A n B') =
=
=
=
=
=
3. 168. Para demostrar que P(A n B) :::; P(A): P(A) P(A n B) + P(A n B'), pero P(A n B') 2 O, luego P(A n B) :::; P(A). Para probar que P(A) :::; P(A U B): P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A . n B) = P(A) + P(A' n B), pero P(A' n B) 2 O, luego P(A) :::; P(A U B). =
88 CAP. 3 . DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD Para probar que P(A U B) ::::; P(A) + P(B): P(A U B) B), P(A U B) ::::; P(A) + P(B).
3. 169. Sabemos que
+
P(A) P(B) - P(A n
+
P(A U B) = P(A) P(B) - P(A n B) ::::; 1
Entonces,
3.170.
=
-P(A n B) ::::; 1 - P(A) - P(B) -P(A n B) ::::; P(Ac) - P(B) P(A n B) ::::: 1 - 1 + P(B) - PW) P(A n B) ::::: 1 - PW) - PW)
a) Sabemos que
::::; P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A n B) ::::; l. Entonces, P(A n B) :::0: P(A) + P(B) - l. b) P(N n B) + P(A n Be) = P(A U B) - P(A n B) = P(A) P(B) - 2P(A n B). O
+
3.171. Para demostrar esta fórmula es necesario aplicar identidad
P y
la fórmula de Poincaré
( ) n.
P U A; i=l
1 '
n
n- 1
=
1 -P
n
(ü A ) k=l
3.178.
vi2
x
x
1-
(5) 4 > 1 6
k
n-2 n-1
n
L P(A;) - L L P(A; n Aj ) + L L L P(A; n Aj n Ak ) i=l i=I j=i+l i=l j=i+I k.=j+l
(n + 1)/6" 2 (k - 1) (n - k)/n (n - 1) 3.174. p = 1 - ;,. para n ::::; 12 1 (2k)! ) (; k 3 175 a ) k!2k . . (2�)(2k)! b) -:-: -='-'/dG�) (2k)!3k e) -'='-::-:c:..,.k!2: k 1- . . . --- (n - k)! 3.176. .!. . n n - 1 n -k+ 1 n! 1 n 1 n 2( n! )2 n _ 3.177. 2 . ..::._ . __ . ___ . _ _ . . . .!. . 1 ___ 2n 2n - 1 2n - 2 2n 2 (2n)! 3. 172. 3.173.
¡ ¡
=
(nk=l Ak )
x
-
( 35) 24 3 36
=
RESPUESTAS 89
Tenemos que 4 4 4 (3356 ) 2 - (�)6 = 654 ( 516207212 ) ( 556176 ) ( 55761 6 - ) Pero, !. .) 5 .!. ) 6 36 6 - ( 36 ) 6 6 6 61 1 6 AplicamosEnaquíconsleacuenci desiguala: dad de Bernoulli: para cualquier (3356 ) 24 - (�)6 4 .. Siconsejuntlaonzadelanúmeros monedadel veces , loslaresultadossel opuedenPordesejemplcribiors, eJocomo unos t i p o águi s event sseeríleaccin odenarla fáguiormalas sería . etc. El número de maneras de Sea el evento {el número de águilas es impar}, entonces +1
)
5 5 76 - 1 = ( 1 =
+1
1
1 = ( 1 - _!_) 5 2 - 1 >
(1 +
.
1-�
2-1
217 1 > o. 21
( 1 + xt 2 1 + nx,
y x 2 l.
n
> o.
3.179.
n
k
.
3. 180.
(A) y AAAAASSSSAAAASSS . .
(S).
(�) .
A=
r- 1 2"
JSeao que Im{pllaicrata quea regresa=al mismo punt1 o después de pasos}. En total tiene 2den posregresibilidoades; porparalo tanteleogi. lra camiprobabino. lPeroidad tresieneultaque: elegir caminos de ida (= _2n6n_) 2 P(LosAlresm=a)ultados ta?(mbiBeaténrisze)=pueden deduci P(Clara)r de la siguiente manera: Para que. Alma gane:oportunidad solamente si ella, Beatriz puesClarato quefal anAlenmalatiprienemunaera segunda prueba = es su probabilidad de ganar (Deen manera caso(pderobabitanáleneroliga,dunaadparasegundaBeatroport u ni d ad) iz: = para Clara: 4 n
A=
.
P(A)
=
2·
2n
P(A)
3. 181. P(A) + P(B) + P(C) = 1 P(B) = ( 1/2)P(A) P(C) ( 1 /4)P(A) = 4/7,
1
y
n
2/7 y
( 1 /2)1 + ( 1/2)4 + ( l/2f + ·
n
= 1 /7.
· ·
= 4/7,
( 1 /2) x ( l /2) x ( 1 /2)
y
l /8), y 1 /2. ( l /2)2 + (1/2)5 + ( 1/2)8 + ( 1/2)3 + ( 1/2)6 + ( 1/2)9 + . . . = 1 /7.
· · ·
2/7,
y
90 CAP. 3 . DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD (n - 1 )!/n! = 1 /n b) (n - 2)!/n! = 1 /[n x (n - 1 )] )2 3.183. p - c: � !2 3. 182. a)
y ¡:;¡:;
GZ)
3. 184. a) [2 x (n - 2)!]/[(2 x )!] 3. 185. 1 /(6"' X 2"]
=
2/(n - 1 ) b) 1 - 2/(n - 1 )
( �") m(�') 6 6 ( 6 ) 43 b) """"' ( 6-i) L..- (49)
3 . 186 . . a)
i
i=fl
6
3.187. a ) ( 1 /n) x ( 1 /n - 1 ) b) 1 j n2 3.188. a ) 1 / 15 (7! X 3! X 8)/ 10! b) ( 10 - /¡ + 1 )! 3. 189. 25!/[(5!)5 X 5 25 = 0. 002 1 3. 190. A =
X
h!
X
( 10!)- J
SeaEntoelncesevent, o]que el distribuidor reciba exactamente pedidos de entre los
n.
P(A) =
JO
h
(") (M - 1)"-" M"
""" "-" --:-:
k=B Ck0) 2.::::
56 1024 3. 192. [n! - (n - 1 )!]/n! n+ 1 -k 3. 193. 3"191.
�
G)
n+ 1 3.194. (� 3.195. a )
;·)
[(2!)" x n!]/(2n)! = 1 /[(2n - 1)!!
término, sólo definido para impares)] (factorial con dos unidades entre cada r - son todas las posibilidades para que dejan r-personasdonde entre ellos.donde son los posibles lugares distintos para la pareja de personas.
b) [(2!)" x (n!)2 ]/(2n)! = n!/[(2n - 1)!!] 3. 196. n!/(nd x n2 ! x · · · x n5! x 6") 3. 197. [2 x (n - r - 1 ) x (n - 2)!]/n!, (n AyB 3. 198. 2 x [(m x n - 2) x (m x n - 2)!]/(m x n)!, 3. 199.
1)
mxn-2
p(2 - p)
r(1· + h)(r + 2h)b (r + b)(r + b + h)(r + b 2h)(r + b + 3h) 3 1 6 -2k 20! 8 3"201 . 2 ° 52 k=O h!(h + 4)!( 16 - 2k)!
3.200.
¿
3 16-2"
+
16
donde se tomade esa forma, yaque puede haber empates como máximo.
3.202. a) p(A)
(2 ) 22r 11
=
'. " (2 ) 2 ·r
b) p(B) =
e) p(C) =
RESPUESTAS 9 1
)2 (;�) (;) (;��:) 22r- 4 (;�) (
2r- 2 n- 1 n _= 2r - 2 ----= �,..---
3
3.203. a) P(A) = 1 - P(S, < n + 4) = 1 - � P(S, = n + k)
[( ) =l"
n
+
k=O
( ) ( ) + ( ) ( ) + 2( ) + ( ) n
n-1
gn
+
n n-2
n n-1
gn
+
n
11
"
n-1
n-2
n-3
9"
]
b) Sea el evento B2 = {El número elegido es par}, B5 = {Se seleccionó al menos un 5} y B7 = {Se seleccionó al menos un 7}, entonces P(B) = P(B2 n Bs n B7) = 1 - P(B� n .8';, n B7)1 - P(B� U B� U B7) = 1 - [P(BD + P(B';,) + P(B7 ) - P(B2 n B�) - P(B':¡ n B7) - P(B� n B7 ) + P(B2 n .8';, n m )J =
1 -
[
(�r (�r (�r - (�r - (�r - Gr (�rJ +
+
+
3.204. 2(2n)!/(4"(n!n = ( 1 x 3 x 5 (2n - 1 )]/[(n!)2"- 1 ] 3.205. Sea pk = ?(exactamente h de los eventos A, B, C ocurran]. Entonces, · ·
·
Po = P(A' n Be n Ce) = P(A U B U C)'
= 1 - P(A U B U C) = 1 - P(A) - P(B) - P(C) + P(A n B) + P(A n C) + P(B n C) - P(A n B n C): p¡ = P[(A n B' n C') u (A ' n B n C') U (A' n B' n C)] = P[(A n (B U C)'] + P[(B n (C U A)'] + P[(C n (A U B)'] = P(A) - P[(A n B) U (A n C)] + P(B) - P[(B n C) U (B n A )] + P(C) - P[(C n A) U (C n B)] = P(A) - P(A n B) - P(A n C)] + P(A n B n C) + P(B) - P(B n C) - P(B n A) + P(A n B n C) + P(C) - P(C n A) - P(C n B) + P(A n B n C) = [P(A) + P(B) + P(C)] - 2[P(A n B) + P(A n C) + P(B n C)] + 3P(A n B n C), jN = P[(A n B n C') U (A n Be n C) U (A' n B n C)] = P(A n B) - P(A n B n C) + P(A n C) - P(A n B n C) + P(B n C) - P(A n B n C) = [P(A n B) + P(A n C) + P(B n C)] - 3P(A n B n C), p3 = P(A n B n C). b) P(al menos k ocurran) =
3
� P¡. i=k
92 3.206. Sea A = { n cuadrados cayeron en una fila, en una columna o en una diagonal}. El total de cuadrados de color rojo los puedo descomponer en n + k en las primeras filas sin llenarlas necesariamente y los restantes en los espacios que 2 me quedan. Por lo que obtengo C�k ) combinaciones posibles. Para que los casos sean favorables, debo garantizar la posibilidad de llenar una fila, una columna o una diagonal, esto es, debo colocar n lugares para k de mis cuadrados de color rojo, por lo que tengo ("2;") posibilidades; sin embargo, tengo n filas, n columnas y dos diagonales, lo que significa que P(A) =
2
2(n + 1)(" ;") ( ) n+k
--::.c.:.....:... ,.2-'--
Capítulo 4 Probabilidad condicional. Eventos independientes
La probabilidad condicional de B dado A está dada por: . P(B 1 A)
=
P(A n B) P(A) '
con P(A) > O.
Entonces, la fórmula de multiplicación para probabilidades es igual a P(A n B) = P(B 1 A) · P(A)
=
P(A 1 B) P(B) ·
En general
Dos eventos A y B son estadística o estocásticamente independientes si P(A n B) = P(A) · P(B). a) A 2, . . . A n son n eventos independientes. Si
para 1 :::; i¡ < i2 < · · < ik :::; n, 2 :::; k :::; n. b) Sean E1, E2, . . . , En n experimentos con igual oportunidad de ocurrir y M1, . . . , Mn , sus correspondientes espacios muestrales. A los experi mentos se les llama estocástica o estadísticamente independientes si para todo A; e � (i = 1, 2, . , n) se cumple ·
. .
93
94
CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL e) A los experimentos físicamente independientes se les considera esta dísticamente independientes, por ejemplo, el lanzamiento sucesivo de unas monedas, unos dados, etcétera.
4. 1 .
"
4.2. 4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
Supóngase que A y B son dos eventos independientes asociados con un experimento. Si la probabilidad de que A o B ocurra es igual a 0.6, mientras que la probabilidad de que A ocurra es igual a 0.4, determinar la probabilidad de que B ocurra. Supóngase que A y B son eventos tales que P(A) = 1/3, P(B) = 1 /5 y P(A 1 B) + P(B 1 A) = 2/3. Calcular P(N U Be). Se sabe que P(A) = 1 /3, P(B 1 A ) = 1 /3, P(A 1 B) = 1 /3. Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas. a) A, B son independientes b) A e B e) A, B son mutuamente excluyentes d) P(N 1 B< ) = 2/3 En cierta universidad para varones, 5 % de los estudiantes del último año eran miembros del equipo de futbol, 10 % de la clase eran vegetarianos y 1 O % de los vegetarianos eran miembros del equipo de futbol. Si se selecciona al azar un estudiante del último año, ¿cuál es la probabilidad de que sea vegetariano o haya pertenecido al equipo de futbol como vegetariano? La probabilidad que ocurra un evento A por lo menos una vez en cuatro ensayos es 1/2. Calcular la probabilidad de que el evento A ocurra en un ensayo si todos los ensayos son·equiprobables. Sean P(A) = 0. 6, P(B) = 0.4 y P(A n B) = 0. 1 8. Obtenga: a ) P(B 1 :4) b) P(A 1 B) Dados P(A) = 0.4, P(B 1 A) = 0. 3 y P(Bc 1 N) = 0. 2, determine a) P{N) b) P(B 1 N ) e) P(B) d) P(A n B) e) P(A 1 B)
Supóngase que: a ) los eventos A y B son mutuamente excluyentes; ¿en qué condiciones son mutuamente excluyentes Ac y Be? b) los eventos A y B son independientes; ¿en qué condiciones son independientes N y Be? 1:_9. Supóngase que A, B y e son tres eventos tales que A y B son mutua mente excluyentes, que A y e son independientes, y que B y e son
4.8.
·¡
EVENTOS INDEPENDIENTES 95 independientes. Suponga, además que 4P(A) = 2P(B) = P(C) > O y P(A U B U C) = P(A). Determínese el valor de P(A). 4.10.
)
4. 1 1 .
Sean A 1 , Az, A3 los eventos y se sabe que P(A 1 ) 0. 50, P(A2) 0. 30 . . . , P(A3) = 0. 40, P(A¡ n A2) = 0. 15, P(A1 n A3) = 0. 1 0, P(Az n A3) = 0.20 y P(A¡ n Az n A3) = 0.05. Calcular la probabilidad de que a) ocurran al menos dos de los eventos A 1; A2, A3, b) ocurran exactamente dos eventos, e) ocurran un máximo de dos eventos. Si A y B son eventos independientes y P(A) = 0. 30 y P(B) = 0.60, determine: a) P(A 1 B) b) P(A n B) e) P(A U B) =
=
d) P(N n Bc) 4.12.
4. 13.
Dados P(A) = 0.30, P(B) = 0.50 y P(A n B) 0. 15, verifique que: a ) P(A 1 B) = P(A) . b) P(A 1 Be) = P(A) e ) P(B 1 A) = P(B) d) P(B 1 N) = P(B) Sean A y B dos eventos asociados con un experimento. Supóngase que P(A) 0. 4 mientras que P(A U B) O. 7. Sea P(B) = p. a) ¿Para qué elección de p son A y B mutuamente excluyentes? b) ¿Para qué elección de p son A y B independientes? La probabilidad de que una compañía emplee una nueva estrategia de mercado es de 0.54; la probabilidad de que la nueva estrategia de mer cado sea adoptada y que las ventas crezcan a los nivelés proyectados es de 0.39. ¿cuál es la probabilidad de que si la nueva compañía emplea la nueva estrategia de ventas las ventas crezcan a los niveles proyectados? Ocho boletos con los números 1 1 1 , 1 2 1 , 122, 122, 2 1 1 , 2 1 2, 2 1 2, 221 están dentro de un sombrero, revueltos. Si se va a selección uno al azar, muéstrese que los eventos A: "El primer dígito .del boleto seleccionado será 1 " ; B: "El segundo dígito del boleto seleccionado será 12, y C: "El tercer dígito del seleccionado será 1 , no son independientes por parejas aun cuando =
=
4. 14.
4.15.
=
"
P(A n B n C) = P(A)P(B)P(C). 4. 16.
La señora L tiene cuatro anillos en un joyero. Un anillo tiene un dia mante y una esmeralda; otro, un diamante y un topado; el tercero, umi esmeralda y un topacio, y el último, cinco perlas. La señora L
·
96 CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL
4. 17.
4. 18.
4. 19.
4.20. 4.2 1.
seleccionará un anillo al azar. Muéstrese que los eventos A: "Seleccio nará un anillo con un diamante"; B: "Seleccionará un anillo con una esmeralda", y e: "Seleccionará un anillo con un topacio" son indepen dientes por parejas, pero no mutuamente independientes. Sean A, B y e tres eventos. Demuestra que si A y B son independientes, A y e son independientes, y B y e son mutuamente excluyentes, entonces los eventos A y B n e son independientes. Demostrar que si los eventos A y B tienen probabilidades diferentes de cero y son mutuamente excluyentes, entonces no son eventos independientes. Probar que si los eventos A y B tienen probabilidades diferentes de cero y son eventos . independientes, entonces no son mutuamente excluyentes. Demostrar que si los eventos A y B son mutuamente excluyentes e independientes, entonces P(A) = O, o P(B) = O. Demostrar que para los eventos independientes A y B se tiene que P(A U B) = 1
4.22.
4.23. 4.24. 4.25. 4.26.
-
P(N)P(Be)
Demuestra que si A y B son eventos independientes, entonces a) A y Be b) N y B e) N y Be son eventos independientes. Demuestra que si P(B 1 A) = P(B 1 N), entonces los eventos A y B son independientes. Demostrar que si A y B son eventos para los que se cumple P(A) > O, P(B) > O y P(A 1 B) > P(A), entonces P(B 1 A) > P(B). Sean A y B eventos mutuamente excluyentes con P(A) i= O y P(B) i= O. ¿son los eventos A y B independientes? Demostrar que si los eventos A y B son independientes con A e B, entonces se cumple que P(A) O o P(B) = l. Si los eventos A 1, A2, . . . , An son mutuamente independientes, entonces =
4.27.
4.28.
4.29.
Se tira una sola vez un par de dados. Si la suma de los dos es cuando menos igual a siete, calcular la probabilidad de que sea igual a i para i = 7, 8, 9, 1 0, 1 1, 12. Una urna contiene cuatro pelotas de color rojo, cinco de color blanco y siete de color negro. Se sacan cuatro pelotas de la urna sin reemplazar cada vez que se las retira. ¿cuál es la probabilidad de que:
EVENTOS INDEPENDIENTES 97
4.30.
4.3 1 .
4.32.
4.33.
4.34.
4.35.
4.36.
4.37.
4.38.
a) todas sean de color blanco? b) al menos una sea de color rojo? e) la segunda pelota que se saca sea de color negro? Determinar la probabilidad de que dos cartas, extraídas de un mazo ordinario de 52, sean ases. (Hay alguna diferencia entre sacar las dos cartas a la vez o sacarlas de una en una? (Cuál es la probabilidad de que la segunda carta sea un as si la primera fue un as y se extrajeron de una en una? Se tira un par de dados no cargados una vez y se establece que los dos números que aparecen no son los mismos. Calcular la probabilidad de que la suma sea siete, cuatro o 12. De un saco que contiene cinco canicas de color negro y 3 de color blanco, se extraen tres de ellas en sucesión y sin reemplazo. (Cuál es la probabilidad de que las tres sean de color negro? En cuatro cartas tapadas se han anotado las cifras 1, 2, 3 y 4. Se selecciona la primera carta al azar, se anota el número correspondiente y se vuelve a tapar. Una vez que se ha barajado se selecciona la segunda carta. ¿cuál es la probabilidad de que el número de la segunda carta sea mayor que el de la primera? En una urna se tienen n¡ esferas de color blanco y n2 esferas de color negro. De la urna se elige al azar una esfera y ésta resulta de color blanco. Después se elige una segunda esfera al azar de la urna. ¿cuál es la probabilidad de que: a) la esfera sea de color blanco? b) la esfera sea de color negro? Cada uno de N individuos lanzan una moneda al aire. Exprésese en términos de N la probabilidad de que: a) ninguno lance sol, b) todos lancen sol, e ) al menos caiga un sol. Una caja contiene tres canicas de color rojo y ocho canicas de color negro, todas ellas del mismo material y del mismo tamaño. Si se extraen dos canicas en sucesión y sin remplazo, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean de color rojo? Se sacan dos cartas en sucesión, sin remplazo. ¿cuál es la probabilidad de que a) ambas sean rojas? b) ambas sean mayores que 3 pero menores que 8? Se lanza tres veces una moneda. Sea el evento que en el primer lanzamiento aparece cara, B el evento que por lo menos aparezcan dos caras y e el evento en el que todos los resultados son iguales. ¿son los eventos A, B y e independientes de dos a dos?
.
' \
98 CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL 4.39.
4.40.
4.4 1 .
Consideramos una muestra de tamaño tres, extraída de la siguiente manera. Se empieza con una urna que contiene cinco bolas de color blanco y siete de color rojo. En cada ensayo se extrae una bola y se anota su color. La bola extraída se devuelve a la urna junto con una bola adicional del mismo color. Encuéntrese la probabilidad de que, entre los colores anotados, la muestra contenga: a) cero bolas de color blanco, b) una bola de color blanco, e) tres bolas de color blanco. Dado un experimento, cuyo espacio muestra! es O = {w1, w2, ·w3, w4, w5 }, con P( w ¡ ) = 1/8, P(w2 ) = P( w3 ) = P(w4 ) = 3/ 1 6 y P(w5 ) = 5/16. Consideramos los eventos A¡ = { w¡, w2, ws}, A2 = { w¡, w2, w4} y A3 = { w 1, wg, w4 }. Demostrar que los eventos A 1, A2 y A3 satisfacen la igualdad P(A ¡ n A2 n As) = P(A ¡ )P(A2 )P(As), pero no son indepen dientes. Considere el diagrama de un sistema electrónico que muestra las probabilidades de que los componentes del sistema operen de modo apropiado. ¿cuál es la probabilidad de que el sistema opere si el ensamble III y al menos uno de los componentes en los ensambles I y II deben operar para que funcione el ensamble? Suponga que los componentes de cada ensamble operan independientemente y que la operación de cada ensamble también es independiente.
11
. 4.42. 4.43. 4.44.
111
Se saca una carta de un paquete normal y se dice que es roja. ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor que dos pero menor que nueve? ¿cuántas veces se deben lanzar dos dados para que la probabilidad de que la suma sea igual a 1 2 result� mayor que 0.5? Una urna contiene 3 pelotas rojas, 2 blancas y 5 negras. Si se saca una pelota al azar, se remplaza, y después se saca una segunda pelota, ¿cuál es la probabilidad de que: a ) ambas sean de color rojo? . b) una sea de color blanco y otra de color negro?
EVENTOS INDEPENDIENTES 99 e) ambas pelotas tengan el mismo color?
d) las pelotas tengan distintos colores? 4.45. 4.46.
4.47.
4.48.
4.49.
4.50.
4.5 1 .
4.52.
¿cuál es la probabilidad de obtener dos ases al tomar dos naipes en un juego de cartas si la extracción es con remplazo? La urna A tiene dos canicas de color rojo y una canica de color blanco; la urna B tiene una de color rojo y cinco de color blanco. Una persona transfiere una canica de la urna A a la urna B sin ver su color. Después saca una canica de la urna B y resulta ser de color rojo. a) ¿cuál es la probabilidad de que la canica transferida sea de color blanco? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea de color rojo? ¿cuántas veces se debe lanzar un dado para que la probabilidad de que se obtenga por lo menos un seis sea mayor que: a) 0.5? b) 0.8? e) 0.9? Una urna contiene cuatro pelotas de color rojo, cinco de color blanco y siete de color negro. Se sacan dos pelotas en forma consecutiva. ¿cuál es la probabilidad de sacar dos pelotas de color blanco si la primera pelota a) es remplazada antes de sacar la segunda? b) no es remplazada antes de sacar la segunda? Suponer que se tienen tres urnas de apariencia externa idéntica y que contienen canicas de colores. La urna A contiene una negra, dos rojas y tres verdes; la urna B contiene dos negras, una roja y una verde; la urna C contiene cuatro negras, cinco rojas y tres verdes. Las canicas se revuelven en las urnas y éstas últimas se revuelven entre sí. Después, se selecciona una de las urnas al azar y se extraen dos canicas. Si se extrajeron una negra y una verde, ¿cuál es la probabilidad que se hayan sacado de la urna B? En el conjunto de números { 1, 2, . . . , N} se eligen tres números sin remplazo. Calcular la probabilidad de que el tercer número se en cuentre en el intervalo formado por los dos primeros, si se sabe que el primer número es menor que el segundo? Se extraen naipes de una baraja ordinaria. Si los naipes que se han extraído no se remplazan antes de extraer el siguiente, ¿cuál es la probabilidad de extraer a) cuatro ases y después cualquiera de los otros naipes? b) tres ases y después dos reyes? e) cinco naipes del mismo palo? Una urna contiene 1 O bolillas o canicas de las cuales cinco son de color verde, dos de color· azul y tres de color rojo. Se sacan tres canicas de
1 00 CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL la urna, sin remplazo. ¿cuál es la probabilidad de que las tres canicas sean de color verde? 4.53. De una caja que contiene seis pelotas de color negro y cuatro de color verde, se sacan tres en sucesión, remplazándose cada pelota en la caja antes de extraer la siguiente. ¿cuál es la probabilidad de que: a) las tres sean del mismo color? b) al menos dos sean del mismo color? 4.54. Se han lanzado dos dados. ¿cuál es la probabilidad de que salgan dos "3" si se sabe que la suma de los puntos obtenidos se divide por tres? 4.55. Si se lanza cuatro veces consecutivas una moneda, ¿cuál es la probabi lidad de que todas caigan en águila? 4.56. Hay tres jugadores y una baraja de 40 cartas. Se reparten dos cartas a cada jugador. ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de los jugadores reciba dos figuras? (La baraja tiene 12 figuras.) 4.57. Se lanzará un dado cuatro veces consecutivas. Encuentre la probabili dad de cada uno de los siguientes eventos. a) Los números 1, 2, 3 y 4 aparecen en este orden. b) Los números 1, 2, 3 y 4 aparecen en cualquier orden. e) Al menos aparece un seis. d) El mismo número aparece cada vez. 4.58. Una valija contiene dos frascos de aspirinas y tres tabletas para la tiroides. Una segunda valija contiene tres frascos de aspirinas, dos de tabletas para la tiroides y tabletas laxantes. Si se toma un frasco aleatoriamente de cada valija de equipaje, encuentre la probabilidad de que: a) ambos frascos contengan tabletas para la tiroides, b) ningún frasco contenga tabletas para la tiroides, e) los dos frascos contengan diferentes tabletas. 4.59. Se tienen tres monedas. La primera tiene dos caras de color blanco, la segunda dos de color negro y la tercera una de color blanco y otra de color negro. Se elige una moneda al azar y se lanza. Si la cara que aparece es de color blanco, ¿cuál es la probabilidad de que el reverso sea también del mismo color? 4.60. Una caja .contiene dos bolas de color negro, tres de color blanco y cuatro de color rojo. Se extraen dos bolas sin remplazo. ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea de color negro y la segunda de color blanco? 4.6 1 . Se lanzan dos dados. Sea A 1 el evento en que el primer dado aparece un número impar, A 2 el evento en que en el segundo dado también aparece un número impar y A3 el evento en que la suma de los números de ambos dados es impar.
EVENTOS INOEPENDIENTES 1 0 1
4.62.
4.63.
4.64.
4.65.
4.66.
4.67.
4.68.
a) ¿son los eventos A ¡ , A2 y As independientes dos a dos? b) ¿son los eventos A ¡ , A2 y As estócasticamente independientes? Suponga que una caja tiene cuatro esferas de color rojo y seis de color negro. Se selecciona una esfera al azar de la caja; de las restantes, se vuelve a seleccionar otra esfera. Encontrar la probabilidad de que: a ) ambas esferas sean de color rojo, b) la primera esfera sea de color rojo y la segunda de color negro, e) la primera esfera sea de color negro y la segunda de color rojo, d) ambas esferas sean de color negro. Cuatro hombres lanzan cada uno un dado. ¿cuál es la probabilidad de que: a ) cada uno lance un cuatro? b) cada uno lance un número par de puntos? e ) todos lancen el mismo número? Una caja tiene 10 esferas de color rojo y cinco de color negro. Se selecciona una esfera de la caja. Si la esfera es de color rojo, regresa a la caja. Si es de color negro, se regresa a la caja junto con dos más del mismo color. Encontrar la probabilidad de que la segunda esfera sea: a ) de color rojo, b) de color negro. Se tira un dado hasta que salga un uno. Calcular la probabilidad de que: a ) se necesiten 1 O intentos, b) se necesiten menos de cuatro intentos, e) se necesite un número impar de intentos. Una caja contiene tres esferas de color blanco y dos de color negro. Si se extraen sin remplazo dos esferas, ¿cuál es la probabilidad de que: a ) la segunda esfera sea de color negro si se sabe que la primera lo es? b) la segunda esfera sea del mismo color que la primera? e ) la primera esfera sea de color blanco dado que la segunda lo es? ¿cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados, la suma de los números que aparecen hacia arriba exceda de 1 0, dado que uno de ellos es seis? En cada uno de los casos siguientes, indíquese si los dos eventos parecen independientes o no. Explíquese. a ) Obtener una A en matemáticas y una A en física. b) Obtener una A en matemáticas y ganar un partido de tenis. e ) Obtener una nueva camisa para su cumpleaños y golpearse un dedo al día siguiente.
1 02 CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL d) En el lanzamiento de dos dados, obtener un total impar y obtener
4.69.
4.70.
4.7 1 .
4.72.
4.73.
· 4.74.
4.75.
un cinco en uno de los dados. e) Ser mujer y ser doctora. J) Caminar debajo de una escalera y tener un accidente el día si guiente. Una bolsa contiene 10 canicas marcadas con los números del O al 9. Se saca una canica y se vuelve a colocar en la bolsa; después, se saca una segunda canica. (Cuál es la probabilidad de que: a) en la segunda ocasión se saque el mismo número? b) la suma de los números sacados sea mayor que 18? e) cada número sacado sea impar? Las caras numeradas 1, 2 y 3 de un dado, son de color rojo; las caras numeradas 4 y 5 son de color blanco; y la cara numerada 6 es de color azul. Al lanzar este dado, (cuál es la probabilidad de que ·, a) aparezca una cara roja o el 5? b) aparezca una cara roja o un número impar? e) si la cara que aparece es roja, aparezca también el número dos? Un colegio está compuesto por 70 % de hombres y 30 % de mujeres. Si se sabe que 40 % de los hombres y 60 % de las mujeres fuman cigarrillos, (cuál es la probabilidad de que un estudiante que está fumando sea hombre? Una caja contiene cinco canicas de color rojo, 10 de color blanco y 15 de color azul, todas ellas del mismo material y del mismo tamaño. Si se extraen tres en sucesión y sin remplazo, (cuál es la probabilidad de que sean de colores diferentes? Las caras numeradas 1 , 2 y 3 de un dado son de color blanco y las numeradas 4, 5 y 6 son de color negro. Al lanzar el dado, a) (cuál es la probabilidad de que, si la cara es de color negro, aparezca también un número impar? Si se lanzan dos de estos dados, b) (cuál es la probabilidad de que en ambos aparezca el mismo color o que ambos aparezca el mismo número? Un grupo de estudiantes enciende una fogata en el bosque, pero sólo hay dos cerillos. Los estudiantes pueden elegir uno de dos métodos para prender la fogata. El primero consiste en prender un cerillo y luego el otro; el segundo consiste en prender juntos los dos cerillos. (Cuál de los dos métodos es el más seguro si sabemos que la probabilidad de que se prenda con un solo cerillo es de O. 7 y la probabilidad de que se prenda con los dos cerillos juntos es de 0.95? La urna I contiene -10 bolas de color blanco y tres de color rojo; la II, tres bolas de color blanco y cinco de color rojo. Se transferirán dos
EVENTOS INDEPENDIENTES 1 03
4. 76.
4. 77.
4.78.
� \4. 1'iy � 4.80.
bolas de la urna I a la II y luego se seleccionará una bola de la urna II. ¿cuál es la probabilidad de que las dos bolas de la urna 1 sean a ) de color blanco? b) una de color blanco y otra de color rojo? e) de color rojo? d) ¿cuál es la probabilidad de que se seleccione una bola de color blanco de la urna II? Un laberinto está formado por dos niveles en forma de cuadrados, uno dentro del otro. En cada cuadrado hay dos puertas de entrada y dos de salida, las que no pueden distinguirse. Si se confunde una puerta de entrada con una salida y viceversa se muere electrocutado. Calcular la probabilidad de: a ) salir del laberinto si uno está dentro del cuadrado pequeño, b) regresar de nuevo al interior del cuadrado pequeño si se ha salido una vez desde éste. Una caja contiene diez esferas, de las cuales cinco son de color blanco, tres de color rojo y dos de color negro. Se extrae aleatoriamente una esfera sin reemplazo. ¿cuál es la probabilidad de extraer a ) dos esferas de color blanco, una después de la otra? b) una esfera de color rojo y luego una de color negro? e) tres esferas de color rojo, una después de otra? d) una esfera de color negro, luego una roja y por último una blanca? Tres estudiantes A, B y e están inscritos en la misma clase. Supóngase que A asiste a clase 30 % de las veces; B, 50 %, y e, 80 %. Si estos estudiantes asisten a clase independiente uno de otro, ¿cuál es la probabilidad de que: a) al menos uno de ellos esté en clase un día concreto? b) exactamente uno de ellos esté en clase un día concreto? Una urna contiene tres cartas. Una carta es de color rojo por ambos lados, otra es de color verde por ambos lados, y la última es de color rojo por un lado y verde por el otro. Se extrae al azar una carta de la urna y se observa el color de uno de sus lados. Si este lado es de color verde, ¿cuál es la probabilidad de que el otro también sea de color verde? Supóngase que una urna contiene una carta de color azul y cuatro de color rojo: A, B, e y D. Suponga también que dos de estas cinco cartas se extraen al azar sin remplazamiento. a) Si se sabe que se ha extraído la carta A, ¿cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean de color rojo? b) Si se sabe que se ha extraído una carta de color rojo, ¿cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean de color rojo?
1 04 CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL 4.8 1 .
4.82.
l � 1
4.83 .
4.84.
4.85.
Se seleccionan al azar dos bolas sin remplazo de una urna que contiene cuatro de color blanco y ocho de color negro. Calcular la probabilidad de que: a) ambas sean de color blanco, b) la segunda bola sea de color blanco. En una urna hay cinco bolas de color blanco y cuatro de color negro. Sacamos dos bolas, una a una, sin regresarlas. ¿cuál es la probabilidad de que: a) ambas bolas sean de color blanco? b) la primera sea de color negro y la segunda de color blanco? Con base en su experiencia, un médico ha recabado la siguiente información relativa a las enfermedades de sus pacientes: 5 % cree tener cáncer y lo tiene; 45 % cree tener cáncer y no lo tiene; 1 O % no cree tener cáncer, pero lo tiene y, por último, 40 % cree no tenerlo, lo cual es cierto. Calcular la probabilidad de que: a) un paciente tenga cáncer, b) un paciente tenga cáncer cuando cree no tenerlo, e) un paciente crea tener cáncer y no lo tenga, d) un paciente crea que tiene cáncer y sí lo tenga. Rtoip -el diseñador de proyectiles dirigidos- acude con Ilab -el experto en confiabilidad- con un problema: "El vehículo está diseñado. Podemos usar dos motores grandes o cuatro pequeños y obtener el mismo empuje y el mismo peso. Sin embargo, sabemos que los motores están sujetos a fallas catastróficas y el diseño es tal que el proyectil queda en órbita aunque la mitad de los motores fallen. Ahora, si usted me puede decir cuál es la probabilidad de que un motor falle en el tiempo requerido para entrar en órbitc., yo puedo decir si utilizo dos o cuatro motores." Ilab le responde: "Hemos analizado los datos de prueba de los motores y hemos encontrado que los grandes y los pequeños tienen la misma probabilidad de fallar en un momento dado. Le puedo asegurar que no hay diferencia alguna si utiliza dos o cuatro motores. Sin embargo, esta probabilidad de falla está clasificada como secreta y no puedo dársela." Rtoip dice: "No importa. Por lo que acaba de decirme, puedo calcular la probabilidad de falla yo mismo, para un motor y para el proyectil completo." ¿cuál es la falla de un motor y del proyectil completo? Considere e! � �g-mento siguiente de un circuito eléctrico (véase la figura) con tres relevadores. La corriente pasa de a a b si por lo menos hay una trayectoria cer::-ada cuando los relevadores se cierran. Sin embargo, los relevadores podrían no trabajar biell'. Suponer que
EVENTOS INDEPENDIENTES 1 05 cierran en forma correcta sólo con una probabilidad de 0.9 cuando se acciona el interruptor, y que trabajan en forma independiente uno.del otro. Sea A e! evento que denota que la corriente pasa de a a b cuando los relevadores se cierran. a) Calcular P(A). b) Calcular la probabilidad de que el relevador 1 cierre en forma correcta, dado que se sabe que la corriente pasa de a a b.
1---...
0 -----l
b
'------1 3 }-------' 4.86.
De las personas que llegan a un aeropuerto pequeño, 60 % vuela en aerolíneas grandes, 30 % en aeroplanos privados y 1 O % en aeroplanos comerciales que no pertenecen a una aerolínea. De las personas que llegan por las aerolíneas principales, 50 % viaja por negocios, mientras que esta cifra es de 60 % para los que llegan en aeroplanos privados y de 90 % para los que llegan en otros aviones comerciales. Para una persona que se seleccione al azar de entre un grupo de llegadas, calcular la probabilidad de que: a) la persona esté en viaje de negocios, b) !á per�ona esté en viaje de negocios y llegue en un aeroplano privado, e) la persona esté en viaje de negocios, y se sabe que llegó en un aeroplano comercial, d) la persona haya llegado en un aeroplano privado, dado que viajá por negocios. Negocios Otros Total
4.87.
Grandes Privados Comerciales Total 0.09 0.3 0.18 o�s7 0.3
0.12
0.01
0.43
0.6
0.3
0.1
1.0
Supóngase que dos refrigeradores defectuosos han sido incluidos en un envío de seis. El comprador empieza a probar Jos seis refrigeradores uno por uno. a) ¿cuál es la probabilidad de que encuentre el último refrigerador defectuoso en la cuarta prueba?
1 06 CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL b) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya necesidad de probar más e
4.88.
4.89.
4.90.
4.91.
4.92.
4.93.
4.94.
de cuatro refrigeradores para encontrar los dos defectuosos?
) Dado que uno de los defectuosos ha sido identificado en las
primeras .dos pruebas, ¿cuál es la probabilidad de que el otro se encuentre en la tercera o cuarta prueba? Sean A, B, C los eventos mutuamente independientes con probabilida des a, b, e, respectivamente. Calcular la probabilidad de que: a) ocurran exactamente dos de ellos, b) ocurran al menos dos de ellos, e ) ocurran no más de dos de ellos. Un inversionista compra cinco viviendas como parte de su plan de inversión. Suponer que la probabilidad de obtener utilidad de cada una de ellas es de 0.9. En el supuesto de que hay independencia: a) ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga utilidades en cada una? b) ¿cuál es la probabilidad de que pierda en cada una de ellas? Una universidad procesa 100 000 calificaciones en determinado se mestre. En ocasiones anteriores, se ha descubierto que 0.1 % de todas las calificaciones estaban equivocadas. Suponer que una persona es tudia cinco materias en esta universidad en un semestre. ¿cuál es la probabilidad de que todas las calificaciones estén correctas? Una compañía está considerando introducir dos nuevos productos en un mercado local. El gerente cree que la posibilidad de éxito es de casi 50 % para el primero y 75 % para el segundo. ¿cuál es la probabilidad de que ambos productos tengan éxito? Un supervisor toma tres bolsas con alimento de la máquina que las llena y pesa su contenido. Por registros pasados sabe que la máquina 'sobrellena las bolsas 10 % del tiempo, por lo asigna una probabilidad de 0 . 1 0 al suceso "Bolsa demasiado llena". También sabe que esas bolsas defectuosas ocurren al azar, y que el llenado de una bolsa es independiente del de las otras. ¿cuál es la probabilidad de que en una muestra de tres sólo una bolsa esté muy llena? Un jugador de los Pumas de la UNAM que participa en un juego de futbol tiene una probabilidad de 0.6 de completar un pase. Si se considera que cada pase es independiente de otro, ¿cuál es la probabilidad de que complete un pase por primera vez en el tercer intento? La probabilidad de que un hombre casado vea un cierto programa de televisión es de 0.4 y la de que una mujer del mismo estado civil lo haga, de 0.5. La probabilidad de que un hombre vea el programa, dado que su esposa lo hace, es de 0.7. Encuentre la probabilidad de que:
EVENTOS INDEPENDIENTES 1 07
4.95.
4.96.
4.97.
a) una pareja de casados vea el programa, b) una esposa vea el programa dado que su esposo lo hace, e ) al menos una persona de un matrimonio vea el programa. Para parejas de casados que viven en una cierta·ciudad de los subur bios, la probabilidad de que el esposo vote en alguna elección es de 0.2 1; la de que la esposa lo haga, de 0.28, y la de que ambos voten, de 0. 15. ¿cuál es la probabilidad de que: a) al menos un miembro de la pareja de casados vote? b) vote una esposa, dado que su esposo lo hace? e) vote un esposo, dado que su esposa no lo hace? La probabilidad de que una persona que visita a su dentista requiera de una placa de rayos X es de 0.6; la de que una persona a la que se le toma una placa de rayos X también tenga un tapón, de 0.3, y la de que a una persona que se toma una placa de rayos X y que tiene un tapón, tenga también un diente extraído, de O. l. ¿cuál es la probabilidad de que a una persona que visita a su dentista se le t�me una placa de rayos X, presente un tapón y se le haya extraído un diente? Se dice que tres eventos A, B y C son independientes si: P(A n B) = P(A)P(B)
P(A n C) P(B n C)
y
P(A n B n C)
=
P(A)P(C)
=
P(B)P(C)
=
P(A)P(B)P(C)
Supo!fer que se lanza una moneda normal, dos veces, en forma independiente. Definir lo eventos siguientes: . A: Aparece águila en el primer lanzamiento, B: Aparece águila en el segundo lanzamiento, C: Ambos lanzamientos dan el mismo resultado.
4.98.
4.99.
¿son estócasticamente independientes A, B y C? En cierta ciudad, 40 % de los votantes son conservadores y 60 % son liberales; 70 % de los conservadores y 80 % de los liberales están a favor de una emisión particular de bonos. Al seleccionar al azar un votante de la ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que esté a favor de la emisión de bonos? Una persona posee dos automóviles, un modelo compacto y uno estándar. Usa el vehiculo compacto para trasladarse a su trabajo las tres cuartas partes del tiempo; el tiempo restante usa el carro más grande. Cuando emplea el auto compacto llega a su casa a las 1 7:30, 75 % de
1 08 CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL las veces; si utiliza el carro de tamaño estándar llega a la misma hora 60 % de las veces. Si llega a su casa después de las 17:30, ¿cuál es la probabilidad de que haya usado el auto compacto? 4. 100.
Un examen contiene ocho preguntas del tipo verdadero-falso, en el que se requiere responder un mínimo de seis preguntas para aprobar. En el supuesto de que se esté adivinando para contestar cada una, ¿cuál es la probabilidad de aprobar el examen? b) En el supuesto de que se conozca la respuesta a la primera pregunta y que, en consecuencia, sólo se deba adivinar de la segunda a la séptima, y en el supuesto también de que la primera respuesta estuvo correcta, ¿cuál es la posibilidad de aprobar el examen? e) Si se conocen las respuestas de las dos primeras preguntas, ¿cuál es la probabilidad de aprobar el examen?
a)
4.10 1 .
1
1 1 ¡
4. 102.
¡ 1
Suponer que los números iguales de familias que tienen dos hijos que son niño-niño, niño-niña, niña-niño y niña-niña y que el oraen dentro de los múltiplos de dos indica el correspondiente a los nacimientos. Se selecciona al azar una familia con dos hijos, a ) ¿Cuál es la probabilidad de que la familia tenga dos hijos varones, si ya se tiene por lo menos un hijo? b) Se toma una persona casada que en la actualidad tiene un niño, y espera un segundo hijo. Desde luego, una vez que nazca su segundo hijo, tendrá por lo menos un niño. ¿se puede decir que la respuesta en a ) es la probabilidad de que el segundo hijo sea un niño?
En cierta universidad, la distribución geográfica de los estudiantes varones es como sigue: 50 % viene del este del país; 30 %, del centro, y 20 %, del oeste. Las siguientes proporciones de estudiantes usan corbata: 80 % de los que vienen del este, 60 % de los que vienen del centro y 40 % de los que vienen del oeste. ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante que use corbata a
)
venga del este?
b) venga del centro?
e) venga del oeste?
4. 1 03.
Durante el primer año de uso de un amplificador de radio se pueden requerir tres tipos de reparaciones y las probabilidades correspondien tes son 0.05, 0.04 y 0.02. ¿cuál es la probabilidad de que un amplifica dor, seleccionado al azar, requiera reparación durante su primer año de uso? Cada tipo de reparación es independiente de los otros dos.
4. 1 04.
Se ha encontrado que, en la ciudad de México, la distribución de los cuatro grupos sanguíneos básicos es como sigue: O, 45 %; A, 40 %; B, 10 %; AB, 5 %; ¿cuál es la probabilidad de que en una pareja de cónyuges de la ciudad de México, seleccionada al azar,
EVENTOS INDEPENDIENTES 1 09 a) ambos cónyuges sean del tipo A? b) ninguno de los cónyuges sea del tipo O? e) la esposa sea del tipo A y el esposo del B? el) uno sea del tipo A y otro del B? e ) los dos cónyuges sean de tipos diferentes?
4.105.
La �robabilidad de que un cliente de un restaurante ordene una hamburguesa es de 0.65 y la probabilidad de que ordene una cerveza es de 0.35. Si se supone independencia entre los dos eventos, ¿cuál es la probabilidad de que un cliente ordene una hamburguesa y una cerveza?
4. 106.
Un jugador arroja dos dados. Si en la primera jugada hace un total de 7 u 1 1 gana; si hace un total de 2, 3 o 12, pierde; si hace un total de 4, 5, 6, 8, 9 o 10, sigue arrojando los dados hasta que duplica el total obtenido en su primera tirada o hace 7. En el primer caso gana; en el segundo, pierde. ¿cuál es la probabilidad de que ga'ne?
4. 107.
Considere el ensamble serie-paralelo que se muestra abajo. Los valores = 1 , 2, 3, 4, 5) son las confiabilidades de los cinco componentes indicados, esto es, R¡ = probabilidades de que la unidad i funcione de manera adecuada. Los componentes operan (y fallan) de manera mutuamente independiente y el ensamble falla sólo cuando se rompe la trayectoria de A a B. Exprese la confiabilidad del ensamble como una función de R¡ , R2 , R3, 14 y Rs.
R¡ (i
4. 1 08.
En una escuela, de 700 alumnos de primer grado, 150 tienen auto móvil. De 200 alumnos de primer grado, provenientes de otra locali dad, 90 poseen automóvil. Encontrar las siguientes probabilidades. a)
Un estudiante es residente y posee automóvil.
b) Un estudiante es no residente y posee automóvil. e) Un estudiante es residente y no posee automóvil. R
= Residente
C = Tiene auto
Re = No residente ce = No tiene auto
1 1o R
Re
60 90 440 1 10 ce Totales 500 200 e
Totales 1 50 550 700
4.109. Entre las 90 cartas entregadas a una oficina, 50 están dirigidas al
4. 1 10.
4. 1 1 1.
4. 1 12.
departamento de Contabilidad y 40 al de Mercadotecnia. Si dos de estas cartas se entregan a la oficina del gerente por error, y la seleción es aleatoria, ¿cuáles son las probabilidades de que: a) ambas debían entregarse al departamento de Contabilidad? b) ambas debían entregarse al departamento de Mercadotecnia? e) una debía entregarse al departamento de Contabilidad y la otra a Mercadotecnia? La probabilidad de que los ejecutivos de grandes corporaciones hayan participado en actividades deportivas en la preparatoria 'es de 0.70. La probabilidad de que los ejecutivos hayan jugado en un equipo de la universidad y también en la preparatoria es de 0.35. ¿cuál es la probabilidad de que un ejecutivo haya participado en un equipo en la universidad dada su participación en una actividad deportiva en la preparatoria? En el último año de la escuela, en un grupo de 100 alumnos se encontró que 42 cursaron matemáticas, 68 psicología, 54 historia, 22 matemáticas e historia, 25 matemáticas y psicología, siete historia pero no matemáticas ni psicología, 1 O las tres materias y ocho ninguna de las tres. Si se selecciona un estudiante aleatoriamente, encuentre la probabilidad de que: a) una persona inscrita en psicología haya estudiado las tres materias, b) una persona que no se inscribió en psicología haya tomado historia y matemáticas. Si las probabilidades de que una persona compre un diario, una revista o ambos en un puesto de periódicos s6n de 0.36, 0.28 y 0. 17, determine la probabilidad de que: a) una persona que compre en el puesto de periódico un diario también compre una revista, b) una persona que compre en el puesto de periódicos una revista también compre un diario. La probabilidad de que a �n automóvil al que se le llena el tanque de gasolina necesite también un cambio de aceite es de 0.25; la de que requiera un nuevo filtro de aceite, de 0.40, y de que le haga falta tanto cambio de aceite como de filtro, de 0. 14. a) Si debe cambiarse el aceite ¿cuál es la probabilidad de que necesite un filtro nuevo? ·
4.1 13.
1
l
l.
EVENTOS INDEPENDIENTES 1 1 1 b) Si necesita un filtro nuevo, ¿cuál es la probabilidad de que requiera cambio de aceite?
4. 1 14.
4. 1 15.
Una encuesta entre los consumidores en una comunidad particular mostró que 1 O % quedó inconforme con los trabajos de plomería efectuados en sus casas. La mitad de las quejas se referían al plomero A. Si se sabe que el plomero A realiza 40 % de los trabajos de plomería de la ciudad, encuentre las siguientes probabilidades: a) de que el consumidor reciba un trabajo de plomería que no le satisfaga, dado que se trata del plomero A . b) de que el consumidor reciba un trabajo de plomería satisfactorio, dado que se trata del plomero A. Las enfermedades 1 y 1 1 son comunes entre la gente de cierta pobla ción. Se supone que 1 0 % de la población contraerá la enfermedad 1 alguna vez durante su vida, 15 % contraerá eventualmente la enferme dad 11 y 3 % contraerá ambas. a) Encuentre la probabilidad de que una persona elegida al azar de esta población contraiga al menos una enfermedad. b) Encuentre la probabilidad condicional de que una persona elegida al azar de esta población contraiga ambas enfermedades, dado que una persona haya contraído al menos una de ellas.
4. 1 16.
4. 1 17.
Tres equipos de radar que trabajan de manera independiente están disponibles para detectar cualquier avión que vuele sobre cierta área. Cada equipo tiene una probabilidad de 0.02 de no detectar un avión que vuele en el área, si un avión entra por casualidad al área a ) ¿cuál es la probabilidad de que no sea detectado? b) ¿cuál es la probabilidad de que sea detectado por los tres equipos de radar? Un detector de mentiras muestra una lectura positiva (es decir, indica una mentira) en 1 O % de los casos cuando la persona dice la verdad y en 95 % de los casos cuando la persona miente. Suponga que se sospecha de dos personas de haber cometido un delito que fue ejecutado por una sola persona y, de hecho, sólo una de ellas es la culpable. a ) ¿cuál es la probabilidad de que el detector muestre una lectura positiva para los dos sospechosos? b) ¿cuál es la probabilidad de que el detector muestre una lectura po sitiva para el sospechoso culpable y una negativa para el inocente? e) ¿cuál es la probabilidad de que esté completamente equivocado el detector, es decir, que indique una lectura positiva para el inocente y una lectura negativa para el culpable? d) ¿cuál es la probabilidad de que el detector dé una lectura positiva para cualquiera de los dos o para ambos sospechosos?
.
1 12
CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL
4. 1 18. Una sección de un circuito eléctrico tiene dos relevadores en paralelo,
como se ilustra en la figura. Los relevadores trabajan en forma independiente y, cuando se conecta un interruptor, ambos cierran en forma correcta con una probabilidad de tan sólo 0.8. Si ambos relevadores están abiertos, calcular la probabilidad de que la corriente pasa de s a t cuando se conecta el interruptor. S
4.1 19. Cierto equipo de futbol tiene una probabilidad de 0.75 de ganar
1
4.120.
l·
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¡
4. 121.
i
4. 122.
4.123.
a cualquiera de cuatro equipos en su división. Si los juegos son independientes, ¿cuál es la probabilidad de que el equipo gane todos los juegos de su división? Suponer que ocho jugadores con la misma capacidad participan en un torneo de eliminación sencilla (no se permiten los empates). a) ¿Cuál es la probabilidad de que cada uno sea el ganador del torneo? b) ¿cuál es la probabilidad de que el jugador uno gane sus primeros dos juegos y pierda el final? Una red de comunicaciones tiene un sistema incorporado de seguri dad contra fallas. Si es este sistema falla la línea 1, se utiliza la línea 11 como emergencia; si también falla la línea 11, se utiliza la línea 111 como una desviación. La probabilidad de que falle cualquiera de estas tres líneas es de 0.1 y las fallas de estas líneas son independientes. ¿cuál es la probabilidad de que este sistema de tres líneas no falle totalmente? Una estación estatal de inspección de automóviles utiliza dos equipos de inspección. El equipo 1 es tolerante y aprueba todos los coches de tipos recientes; el equipo 11 rechaza todos los coches en la primera ins pección, porque los "faros están mal enfocados". Cuatro conductores llevan sus coches a la estación para la inspección sin sospechar nada en cuatro días diferentes y seleccionan al azar uno de los dos equipos. Si los cuatro coches son nuevos y están en excelentes condiciones: a ) ¿cuál es la probabilidad de que sean rechazados tres de los cuatro? b) ¿cuál es la probabilidad de que pasen los cuatro? Dos estudiante, A y B, están inscritos en un curso. Si el estudiante A asiste a las clases 80 % de las veces y el estudiante B, 60 %, y si las ausencias de los dos estudiantes son independientes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes esté en clase un día concreto?
EVENTOS INDEPENDIENTES 1 1 3 4.124. Los dos problemas más importantes con una máquina que llena
4. 125.
4. 126. 4. 127.
4.128.
botellas es que las llena de más o de menos. Si la máquina que llena de más 4 % del tiempo y de menos 3 % del tiempo, calcular la probabilidad de que la siguiente botella esté llena de manera adecuada. Se sabe que 25 % de las personas que realizan el examen TOFEL en cierta ciudad, asistieron al curso de repaso en una universidad local. De los que asistieron al curso, 60 % pasó el examen. ¿cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar haya realizado el curso y pasado el examen? Si se elige una familia del conjunto de todas las que tienen dos niños, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean varones si se sabe que por lo menos hay un varón en esa familia? En un cajón hay 16 calcetines. Ocho de color marrón, seis de color verde y dos de color amarillo. Se extraen dos calcetines, uno después de otro sin reemplazo. ¿cuál es la probabilidad de que ambos calceti nes sean del mismo color? La probabilidad de cerrar cada uno de los relés de los circuitos que se muestran en las figuras a, b y e está dada por p. Si todos los relés funcionan de forma independiente, ¿cuál es la probabilidad de que exista una corriente en las terminales 1 y D?
a
b)
)
D
e)
4. 129. Suponga que un impulso eléctrico debe pasar del punto 1 al 11
para producir una señal. Para llegar al punto 11 debe pasar por dos componentes electrónicos Et y E2 . La trayectoria del impulso se interrumpe si falla cualquiera de los componentes. La probabilidad
1 1 4 CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL
4. 130.
4.131.
4. 132.
4.133.
4.134.
4.135.
de que el componente E1 no falle es de 0.7 y la probabilidad de que el componente E2 no falle es de 0.8. Además, la probabilidad de que al menos uno no falle es de 0.94. ¿cuál es la probabilidad de que la señal se produzca? Entre cinco aspirantes a puestos de ingeniero químico en una empresa, a dos se les considera excelentes, y a los demás buenos. Un gerente elige al azar dos de los cinco para la entrevista. Calcular la probabilidad de que el gerente elija: a) a los dos excelentes, b) por lo menos a uno de los excelentes, e) a los dos excelentes, dado que ya se sabe que uno de los dos seleccionados es excelente. Una empresa produce resistencias y las vende como resistencias de 1 0 ohms. Sin embargo, los ohms reales d e los resistores pueden variar. Se observa que 5 % de los valores son menores que 9.5 ohms y 10 % son mayores que 10.5. Si en determinado sistema se usan dos de esas resistencias, seleccionadas al azar, calcular la probabilidad de que: a ) ambas tengan valores reales entre 9.5 y 1 0.5, b) al menos una tenga un valor real mayor que 1 0.5. Una persona tiene un despertador que sonará a la hora puesta con una probabilidad de 0.7. Si suena, lo despertará con una probabilidad de 0.8; si no despertara a tiempo para tomar su primera clase, con una probabilidad de 0.3. ¿cuál es la probabilidad de que tome su primera clase? Para el sistema del grupo sanguíneo ABO, la probabilidad de que un hombre tenga sangre tipo AB es de 0.03. Si este hombre tiene una esposa tipo O, la probabilidad de que su hijo sea de tipo A es 1/2. ¿cuál es la probabilidad de que una mujer del grupo O se case con un hombre del grupo AB y tengan un hijo que pertenezca al grupo A? Suponga que hubo una prueba para detectar cáncer con la propiedad de que 95 % de las personas con cáncer reaccionan positivamente y 5 % de los que no tienen cáncer también reaccionan positivamente. Si se asume que 1 % de los pacientes de un hospital tiene cáncer, ¿cuál es la probabilidad de que un paciente seleccionado al azar y que reacciona positivamente a esta prueba tenga cáncer? Una caja contiene 100 focos de los cuales 10 son defectuosos. Dos focos son seleccionados al azar sin remplazo. a) ¿cuál es la probabilidad de que los focos seleccionados sean defectuosos? b) ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos sea defec tuoso?
EVENTOS INDEPENDIENTES 1 1 5 4. 136. La experiencia demuestra que 20 % de la gente que reserva mesa en cierto restaurante nunca llega. Si el restaurante tiene 50 mesas y acepta 40 reservaciones, ¿cuál es la probabilidad de que se presenten todos?
4.137. La probabilidad de que un vehículo que llega a Palenque tenga placas
de Sinaloa es de 0. 12; de que sea para acampar, de 0.28, y de que además tenga placas de Sinaloa, de 0.09. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) un vehículo para acampar en palenque tenga placas de Sinaloa? b) un vehículo con placas de Sinaloa que llega a palenque sea para acampar? e) un vehículo que llega a Palenque no sea para acampar o no tenga placas de Sinaloa? 4. 138. Los datos históricos muestran que 1 5 % de las lavadoras de una lavandería automática necesitan motor nuevo durante los primeros dos años de operación. De aquellas que necesitan motores nuevos, 80 % también necesita una correa de trasmisión nueva durante el mismo periodo. ¿cuál es la probabilidad de que una lavadora necesite tanto un nuevo motor como una correa de trasmisión nueva durante los primeros dos años?
4. 139. La probabilidad de que la señora de la casa esté cuando una represen tante de Avon llama es de 0.6. Si se encuentra, la probabilidad de que realice una compra es de 0.4. Calcular la probabilidad de que la señora esté en casa y de que realice una compra cuando la representante de Avon llame. 4.140. La probabilidad de que un médico diagnostique correctamente una enfermedad particular es de 0.7. Dado que realice un diagnóstico incorrecto, la probabilidad de que el paciente levante una demanda es 0.9. ¿cuál es la probabilidad de que el médico realice un diagnóstico incorrecto y de que el paciente lo demande?
4. 141. Un agente de bienes raíces tiene ocho llaves maestras para abrir varias
casas nuevas. Sólo una de ellas abre una casa determinada. Si 40 % de ellas generalmente se dejan sin cerrar, ¿cuál es al probabilidad de que el agente de bienes raíces puede entrar a una casa específica si selecciona tres llaves maestras aleatoriamente cuando deja la oficina? 4. 142. Un pueblo tiene dos camiones de bomberos que operan de manera independiente. La probabilidad de que un vehículo específico esté disponible cuando se necesite es de O. 96. a) ¿cuál es la probabilidad de que ninguno esté disponible en caso necesario? b) ¿cuál es la probabilidad de que alguno esté disponible cuando se le necesite?
1 1 6 CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL 4. 143. La probabilidad de que Luis sobreviva 20 años más es 0.7 y la de que 4. 144.
4.145.
4. 146.
4. 147.
4.148.
Ana lo haga, de 0.9. Si se supone independencia para ambos, ¿cuál es la probabilidad de que ninguno sobreviva 20 años? En cierta región del país se sabe por experiencia que la probabilidad de seleccionar a un adulto mayor de 40 años de edad con cáncer es de 0.02. Si la probabilidad de que un médico le diagnostique correctamente a una persona con cáncer que tiene la enfermedad es de 0.78 y la de que se equivoque, de 0.06, ¿cuál es la probabilidad de que a una persona se le diagnostique cáncer? Si la probabilidad de que una persona cometa un error al hacer su declaración de impuestos es de 0 . 1 , encuentre la probabilidad de que: a) cuatro personas ajenas unas de otras se equivoquen, b) el Sr. Guillermo y la Sra. Sandra lo hagan y que el Sr. David y la Sra. Cecilia no. La probabilidad de que un paciente se recupere de una delicada operación del corazón es de 0.8. ¿cuál es la probabilidad de que: a) sobrevivan dos de los siguientes tres pacientes a los que se ha aplicado esta intervención quirúrgica? b) sobrevivan los tres siguientes pacientes que han sufrido esta inter vención? La probabilidad de que una máquina produzca un artículo sin defectos es de 0.7. Otra máquina realiza lo mismo con una probabilidad de 0.8. Se produjeron dos artículos en la primera máquina y tres en la segunda. ¿cuál es la probabilidad de que todos los artículos sean buenos? Calcule la probabilidad de que los siguientes circuitos no se interrum pan, si se sabe que la probabilidad de que funcione cada foco es igual a p y estos trabajan de manera independiente.
e)
J0-L .L[D-J
1 17
i)
j)
/)
m)
n)
ñ)
4.149. Un elevador tiene dos sistemas de freno que se activan automática mente en caso de una rotura de cable principal. La probabilidad de que cada uno de ellos frene el elevador después de una rotura es de 0.99.
1 1 8 CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL a
4.150.
4.151. 4.152.
4. 153.
4. 154.
4.155.
4.156.
) ¿cuál es la probabilidad de que el elevador se frene? b) ¿cuál es la probabilidad de que el elevador se frene, si en caso de que falle el primer sistema, siempre funciona el otro? En un circuito eléctrico sucede una interrupción si falla el elemento K o los elementos K1 y K2 , que trabajan de forma independiente. Si se sabe que K, K¡ y K2 tienen una probabilidad de fallar de 0.3, 0.2 y 0.2, respectivamente, calcule la probabilidad de que ocurra una interrupción en el circuito. Una máquina produce tornillos que son colocados en una caja. Se sabe que una de cada 1 0 cajas son defectuosas. ¿cuál es la probabilidad de que un cliente que ordenó tres cajas obtenga puros tornillos buenos? Suponga que, a lo largo de un año, la probabilidad de ser hospitalizado es de 0. 152 y suponga que los miembros de una familia son hospitali zados de fonna independiente uno del otro. ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de una familia de cinco sea hospitalizado,este año? Sara Téllez, una candidata a gobernadora, estima que la probabilidad de ganar la nominación de su partido es de 2/3 y que si gana la nominación, la probabilidad de su triunfq en las elecciones es de 5/8. Encuéntrese la probabilidad de que: a) sea nominada en su partido y después pierda las elecciones, b) gane las elecciones. Se construye un sistema electrónico complejo con determinado nú mero de componentes de respaldo en sus subsistemas. Un subsistema tiene cuatro componentes idénticos, cada uno de los cuales tiene una probabilidad de 0.2 de fallar en menos de 1 000 horas. El subsistema trabaja si dos o más de los cuatro componentes trabajan. Si se supone que los componentes trabajan en forma independiente, calcular la probabilidad de que: a) dos de los cuatro componentes duren más de 1000 horas, b) el subsistema trabaje más de 1 000 horas. Para evitar que un automóvil patine, se diseña un dispositivo de frenado que incluye un sistema electrónico e hidráulico. El sistema completo puede descomponerse en tres subsistemas en serie que operan de manera independiente: un sistema electrónico, un sistema hidráulico y un accionador mecánico. En un frenado particular, las confiabilidades de estas unidades son aproximadamente O. 995, O. 993 y 0.994, respectivamente. Estime la confiabilidad del sistema. De los muchos automóviles que se guardan en el estacionamiento de empleados de un edificio de oficinas, 75 % sólo transporta a un empleado y el resto transporta a dos o más empleados. 60 % de los automóviles son modelos anteriores a 1984 y el resto son de 1984 o de dos años más recientes. De los automóviles de modelos anteriores
EVENTOS INDEPENDIENTES 1 1 9 a 1984, dos tercios sólo transportan a un empleado y el resto a dos o más empleados. Si se selecciona un automóvil al azar de todos los que están en el estacionamiento, ¿cuáles son las probabilidades de que este automóvil a) sea un modelo anterior a 1984 que transporta a un solo empleado? b) no transporte a dos o más empleados ni sea un modelo anterior a 1984? e) transporte a dos o más empleados o sea un modelo anterior a 1984? d) transporte a dos o más empleados dado que no se trata de un modelo anterior a 1984?
Antes de 1984 Después de 1 984 Total
Transporta a un empleado 0.4 0.35 0.75
Transporta a dos o más empleados Total 0.2 0.60 0.05 0.40 0.25
4.157. Tres compañías, X, Y y Z, tienen probabilidades de obtener un pedido
4.158. 4. 159.
4. 160.
4. 161.
4. 162.
4. 163.
de un tipo particular de mercancía de 0.4, 0.3 y 0.3, respectivamente. Tres pedidos se van a asignar en forma independiente. ¿cuál es la probabilidad de que una compañía reciba los tres pedidos? En una urna se encuentran m bolas de color blanco y n bolas de color negro. Sacamos al azar k bolas que son del mismo color. ¿cuál es la probabilidad de que las bolas sean de color negro? Dos urnas contienen m 1 y m2 bolas de color blanco y n 1 y n2 de color negro, respectivamente. De cada urna se saca una bola y después, de entre estas bolas, se saca una. ¿cuál es la probabilidad que sea de color blanco? Si A, B, e y D dicen la verdad una de cada tres veces (de manera independiénte), y A afirma que B niega que e declara que D es un mentiroso, ¿cuál es la probabilidad que D haya dicho la verdad? (El prcblema de los cuatro mentirosos. ) El numerador y el denominador de una fracción son números esco gidos al azar del conjunto de los naturales de forma independiente. ¿cuál es la probabilidad de que la fracción esté compuesta por núme ros primos entre sí? Se lanza al aire una moneda no cargada hasta que salga un águila. a) Calcular la probabilidad de que se necesiten menos de cuatro tiradas para terminar el experimento. b) Calcular la probabilidad de que se requiera un número par de tiradas para terminar el experimento. Supóngase que una urna contiene n fichas marcadas del número uno al número n y que las fichas se extraen al azar, una a la vez,
1 20 CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL hasta que la urna queda vacía. ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los números extraídos coincida con el número de orden de extracción de la ficha? (En este caso se dice que ha ocurrido un apareamiento. ) ¿cuál es la probabilidad de que ocurran m apareamientos, para m = O, 1, . . . , n? 4.164. suponga que para los eventos independientes A, B y e tenemos P(A) = a, P(A U B U e) = 1 - b, P(A n B n e) = 1 - e, y P(A' n Be n e) = x. Demostrar que la probabilidad x satisface la siguiente ecuación: ax2 + [ab - ( 1 - a)(a - e - 1 )]x + b( 1 - a)( 1 - e) = O. Demostrar también que
e>
( 1 - af + ab 1 -a
y
( 1 - e )(x + b) P(e) = _!_ ax x+ b 4. 165. Los eventos A, B y e son independientes dos a dos, pero no estocás ticamente. Sea P(A) = P(B) = P(C) = x. Calcular el valor máximo de x. P(B) =
Respuestas
4.1 . P(N n B') P(A')P(B') = 0.4 y P(B) 1/3 4.2. P(A' UB') P(AnB)' = 1 -P(AnB). Pero, 8 x P(AnB) = 2/3 y P(AnB) = 1/12 y finalmente P(A' U B') = 1 1/12 4.3. a) V b) F e) F d) V 4.4. 0.05 + 0. 1 - 0. 1 . 0.05 0. 145 4.5. 1 .,.. ( 1 - p)4 = 0.5, p � 0. 159 4.6. a) 0.3 b) 0.45 4.7. a) 0.6 b) 0.8 0.88, entonces 0.88 e) P(B' n A') = 0.6 x 0.2 = 0. 12 y P(A U B) 0.4 + P(B) - 0. 12 y tenemos P(B) = 0.6 d) P(A n B) P(A)P(B 1 A) = 0. 12 e ) P(A 1 B) P(A n B) 1 P(B). 0. 12/0.6 0.2 4.8. a) Si y sólo si A U B = !1 b) Siempre 4.9. 1/6 4.10. a) 0.35 b) 0.30 e) 0.95 4.1 1. a) P(A 1 B) P(A) = 0.3 =
=
=
=
=
=
=
=
=
RESPUESTAS 1 2 1 b) P(A n B) = 0. 18 e ) P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B) = O. 72
d) P(A" n B') = 0.7 x 0.4 = 0. 28 4.12. a) P(A 1 B) = P(A n B)/P(B) = 0. 15/0.50 = 0.30 b) P(A 1 B') = P(A n B')/P(B') = 0. 15/0.50 = 0.30 e ) P(B 1 A) = P(B n A)P(A) = 0. 15/0.30 = 0.50 d) P(B 1 A') = P(B n A')/P(A') = 0.35/0.70 = 0.50 4.13. a ) p = 0.3 b) P(A' n B') = 0.3 y P(B) = 0.5 4.14. A: el evento "La compañía emplee una nueva estrategia de mercado" B: el evento "Las ventas crezcan" P(A) = 0.54; P(A n B) = 0.39 y P(B 1 A) = P(A n B)/ P(A) = O. 7222 4.15. P(A) = 1/2; P(B) = 1/2; P(C) = 1/2; P(A n B) = 1/8; P(A n C) = 2/8; P(B n C) = 2/8; P(A n B n C) = 1/8 4.16. P(A) = 2/4 = 1/2; P(B) = 1/2; P(C) = 1/2; P(A n B) = 1/4; P(A n C) = 1/4; P(B n C) = 1/4; P(A n B n C) = O i= ( 1 /2) x ( 1 /2) x ( 1 /2) 4.17. P[An(BUC)] = P[(AnB)U(AnC)] = P(AnB)+P(AnC) = P(A )P(B)+P(A)P(C) = P(A)[P(B) + P(C)] = P(A)P(B U C) 4.18. P(A) i= O; P(B) i= O, pero P(A n B) = O y esto implica que A y B no son independientes 4. 19. Tenemos P(A) i= O; P(B) i= O y P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A n B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B) = P(A)P(B') + P(B) i= O, que implica que A y B no son mutuamente excluyentes. 4.20. Tenemos, A n B = 0; P(A n B) = O; P(A)P(B) O y esto implica que P(A) = O o P(B) = O 4.2 1. P(A U B) = P(A)+P(B) - P(A nB) = P(A)+P(B) - P(A)P(B) = P(A)[1 - P(B)] + P(B) = P(A)P(B') + P(B) = 1 - 1 + P(A)P(B') + P(B) = 1 - P(A')P(B') 4.22. a ) P(A) = P(A n B) + P(A n B') P(A) - P(A)P(B) = P(A n B') P(A n B') = P(A)P(B') b) P(B) = P(A n B) + P(A' n B) P(B) - P(A)P(B) = P(A' n B) P(N n B) = P(A')P(B) e) P(A U B) = P(A n B') + P(A n B) + P(N n B) P(A U B) = P(A)PW) + P(A)P(B) + P(A')P(B) P(A U B) = P(A) + P(A')P(B) P(A U B) = 1 - P(N) + P(A')P(B) P(A U B) = 1 - P(N)[1 - P(B)] P(A U B) = 1 - P(A')P(B') 1 - P(A U B) = P(A')P(B') P(A U B)' = P(N)P(B') P(N n B') = P(A')P(B') 4.23. P(B) = P(A n B) + P(N n B) = P(A)P(B 1 A) + P(A')P(B 1 A') = [P(A) + P(A')]P(B 1 A) = P(B 1 A) B) B) p p 4.24. P(B 1 A) = P(B) > P(B) ( ) ( ) =
��
=
�� �i!� p�l�) =
1 22
CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL
4.25. Los eventos son dependientes: P(A 1 B) = P(A n B)/P(B ) = O -/= P(A) 4.26. P(A n B ) = P(A)P(B). Pero A e B, entonces P(A n B) = P(A). Esto implica que:
P(A) = P(A)P(B), P(A)[ 1 - P(B)] = O. 4.27. P(A U B U e) es la probabilidad de A, B o e; dos de estos eventos o los tres. P(A U B U e) es la probabilidad de todos los posibles eventos que implican A, B, e, excepto N n B' n C'. P(A u n u e) = 1 - PW n B' n e' ),
que, si A, B, e son mutuamente independientes se reduce a P(A U B U e) = 1 - P(A')P(B' )P( e').
De forma análoga, P(A u n u e u . . . ) = 1 - PW)PW)P(e') . . .
si A, B, e son mutuamente independientes. 4.28.
n
= { ( 1, 6)(2, 6)(3, 6)(4, 6)(5, 6)(6, 6) (2, 5)(3, 5)(4, 5)(5, 5)(6, 5) (3, 4)(4, 4)(5, 4)(6, 4) ( 4, 3)(5, 3)(6, 3) (5, 2 )(6, 2 ) (6, 1 )}
i = 7, p = 6/2 1 ; i = 8, p = 5/2 1 ; p = 2 / 2 1 ; i = 1 2 , p = 1/2 1
i
= 9, p = 4/2 1 ;
i=
10, p = 3/2 1 ;
i=
11,
4.29. a) 0.0027 b) 0.728 e) 0.4375 4.30. (4/52) X (3/5 1 ) = 1/22 1 ; No; 1 3/ 2 2 1 = 1 / 1 7 4.3 1 . A: el evento "Los dos números que ocurren son diferentes" B: el evento "La suma es siete" e: el evento "La suma es cuatro" D: el evento "La suma es 1 2 " P(A) = 5/6, P(A n B) = 1 /6,
Tenemos que
P(B) = 1 /6, P(A n e) = 1 / 1 8,
P(e) = 1 / 1 2,
P(D) = 1 /36,
P(A n D ) = O.
P(B 1 A) = ( 1 /6)/(5/6) = 1/5,
P(e 1 A) = ( 1 / 1 8)/(5/6) = 1 / 1 5,
P(D 1 A) = O.
4.32. A: el evento "La primera canica de color negro" B: el evento "La segunda canica de color negro" e: el evento "La tercera canica de color negro" P(A n Bn e) = P(A)P(B 1 A)P(e 1 A n B) = (5/8)
x
(4/7)
x
(3/6) = 0. 1 785
RESPUESTAS 1 23 4.33. 4.34. 4.35. 4.36.
0.375 b) n2 /(nl + n2 a) (n¡ - 1 )/(n¡ + n2 - 1 ) t t b ) ( 1 /2 a ) ( 1 /2 e ) 1 - ( 1 /2 t A: el evento "La primera canica roja" B: el evento "La segunda canica roja"
1)
P(A n B) = P(A)P(B 1 A) = (3/ 1 1 )
x
(2/ 1 0)
=
0. 0545
4.37. a) (26/52) X (25/5 1 ) = 0. 245 b) ( 1 6/52) X ( 15/5 1 ) = 0.09 4.38. Tenemos: A = {CCC, ces, ese, css}, B = { CCC, ces, ese, scc}, e = {ccc, SSS}, A n B = { CCC, CCS, CSC}, A n C = {CCC}, B n C = { CCC}. Para P(C) = P(S) = 1 /2 calculamos P(A) P(B) = 1 /2, P(C) = 1 /4, P(A n B) = 3/8, P(A n C) = P(B n C) = 1 /8. =
Entonces, A y B son independientes, B y C son independientes, pero A y B no son independientes.
4.39. a) (7 / 1 2) X (8 / 1 3 ) b ) 5 / 1 3 0.3846 e) 5/52
=
=
X
(9/ 14) = 3/13 = 0. 23
0. 0961
4.40. Tenemos, A 1 n A2 n Ag = {w 1 }, A 1 n A2 = {w 1, w2 } , P(A I )
= 1 /2, P(A 2 ) = 1 /2, P(A ) = 1 /2, P(A 1 n A 2 n A3 ) 1 /8 = ( 1 /2)3 = P(A 1 )P(A 2 )P(A3 ), pero 3 P(A 1 n A2 ) = 5 / 1 6 =f. ( 1 /2)2 = P(A1 )P(A 2 ). . 4.41. [ 1 - (0. 2)3) [ 1 - (0. 1 )2 ) X 0.99 = 0.972
=
4.42. W: el evento "La carta es mayor que dos pero menor que nueve" R : el evento "La carta es roja",
P( W 1 R) = P(W n R)/P(R) = ( 1 2/52)/(26/52) = 0.46 1 5
4.43. 1 - (35/36)" > 0. 5, n > 25 4.44. a) 9/ 100 b) l/5 e) 19/50 d) 3 1/50 4.45. (4/52) X (4/52) = 0. 0059 4.46. a) ( 1 /2 1 )/(5/ 2 1 ) = 1 /5 b) (4/2 1 )/(5/2 1 ) = 4/5 4.47. a) 1 - (5/6t > 0.5, n 2: 4 b) n 2: 9 e) n 2: 1 3 4.48. a) (5/ 1 6) 2 = 25/256
4.49. 55/ 1 18 4.50. l/3 4.5 1. a) (4/52)
b ) (5/ 16)
x
(4/ 15) = 1 / 1 2
X (3/5 1 ) X (2/50) X ( 1 /49) X (48/48) = 0.0000037 b) (4/52) X (3/5 1 ) X (2/50) X (4/49) X (3/48) = 0.00000092 e) 4 X ( 1 3/52) X ( 1 2/5 1 ) X ( 1 1 /50) X ( 1 0/49) X (9/48) 0.00 1 98
4.52.
(g
=
= 1/12
4.53. a ) 0. 43 + 0.63 = 0.28 0. 42 X 0. 6 + 0. 62 4.54. El espacio muestra] reducido es:
b)
n
=
X
0. 4 + 0. 28 = 0.52
{ ( 1, 2)( 1, 5)(2, 1 )(2, 4)(3, 3)(3, 6)(4, 2)(4, 5)(5, 1 )(5, 4)(6, 3)(6, 6)}
1 24 = 1/12
p 4.55. 4.56.
(0.5)4 = 0.0625 Sea A;: el evento "El jugador i recibe dos figuras" i = 1, 2, 3. Tenemos que calcular P(A¡
U A2
U Ag) = P(A ¡ ) + P(A2) + P(Ag) - P(A¡ n A2) - P(A¡ n A3) - P(A2 n A3) + P(A 1 n A2 n Ag ).
Pero P(A ¡ ) = P(A2) = P(Ag)
=
( 12/40)
x
( 1 1/39)
P(A 1 n Ag) = P(A2 n Ag) = ( 12/40) X ( 1 1 /39) X ( 1 0/38) P(A¡ n A2 n A3) (12/49) X ( 1 1/39) X ( 10/38) = 0. 00024 P(A 1 n A2)
=
=
= X
X
0.08462;
(9/37) = 0.00541 y (9/37) X (8/36) X (7 /35)
y Finalmente P(A t 4.57.
) 1/6 4
U A2 U A3)
=3
x
0.08462 - 3
x
0. 00541 + 0.00024 = 0.2378
1 / 1296 b) 4!/64 1/54 4 e) 1 - 5 /64 = 671/1296 d) 6/64 1/216 a ) (3/5) x (2/5) = 0.24 (2/5) X (3/5) = 0.24 e) (2/5) X (3/5) + (3/5) X (2/5) = 0.48 A: el evento "La cara blanca" B: el evento "El reverso blanco" a
=
=
=
4.58.
4.59.
b)
P(B 1 A) = P(A n B)/P(A) 4.60. 4.6 1 . 4.62.
4.63. 4.64. 4.65. 4.66. 4.67.
=
2/3
(2/9) X (3/8) = 0.083 a ) P(A ¡ ) = P(A2) = P(Ag) = 0.5, P(A 1 nA2) = P(A 1 nAg) = P(A2 nA3) = 0.25 b) P(A1 n A2 n A3) -:f 0.5 x 0. 5 x 0.5 a ) 0.4 x 0.4 = 0. 1 6 0 . 4 X 0.6 0.24 e) 0.6 x 0.4 = 0.24 d) 0.6 X 0.6 = 0.36 b) ( 1/2)4 e) ( 1 /6)3 a) ( 1 /6)4 a) 0.444 a ) 0.137 a) (5/6)9(1 /6) = 0.032 b) 0.385 e) 6/1 1 = 0.545 (2/5) X ( 1 /4) + (3/5) X (2/4) = 0.4 ( (3/5) X a) (2/5) X ( 1 /4) = 0. 1 (2/4)]/ ((3/5) X (2/4) + (2/5) X (3/4)] = 0.5 n = { ( 1, 6)(2, 6)(3, 6)(4, 6)(5, 6)(6, 1 )(6, 2)(6, 3)(6, 4)(6, s)}
b)
=
b)
P(A 1 B) = 0.2
RESPUESTAS 1 25 4.68. 4.69. 4.70. 4. 71. 4.72. 4.73. 4.74. 4.75. 4.76. 4.77.
4.78. 4.79. 4.80. 4.81.
b)
·
b)
4.83.
b)
b)
b)
b)
4.82.
b) b)
Sí e) Sí d) No e) No f) Sí b) 0.00 e) 0.25 a) 2/3 2/3 e) ( 1 /6)/(3/6) = 1/3 (0. 7 X 0.4)/0.46 = 0.6087 750/4060 = 0. 185 a ) 1/3 1/2 P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A) P(B) = O. 7 + O. 7 - 0.49 = O. 91. Es más seguro el segundo método. 5/13 e) 1/26 d) 59/ 130 a) 15/26 a) 1/4 2/3 d) (5/ 10) X (4/9) = 0.22 (3/ 10) X (2/9) = 0.066 e ) (3/ 1 0) X (2/9) X ( 1 /8) = 0.0083 d) (2/ 10) X (3/9) X (5/8) = 0. 0416 a ) 0.93 b) 0.38 2/3 a ) 3/4 3/5 A: el evento "La primera bola es blanca" B: el evento "La segunda bola es blanca" C: el evento "Ambas bolas son blancas" Entonces, a ) A n B C y P(C) = P(A n B) = P(A)P(B 1 A) = (4/12) x (3/ 1 1 ) = 1 / 1 1 B = (A n B ) U (A' n B) y (A n B ) n (A' n B ) = 0, P(B) = P(A n B) + P(A' n B) = P(A)P(B 1 A) + P(A')P(B 1 A') = 1/3. Sea A; = { Bola de color blanco en la i-ésima extracción} B; = { Bola de color negro en la i-ésima extracción, i = 1, 2}. a) P(A 1 n A2 ) = P(A¡ )P(A2 1 A ¡ ) = (5/9) x (4/8) = 5/18 P(B¡ n A2 ) P(B¡ )P(A2 1 B 1 ) = (4/9) x (5/8) = 5/18. A: el evento "El paciente cree tener cáncer" B: el evento "El paciente tiene cáncer". Entonces P(A n B) = 0.05, _P(A n B') = 0.45, P(A' n B) = O. 1, P(A' n B') = 0.4 a) No
a) 0. 1
b)
=
=
Se tiene, por tanto, que P(A) = P(A n B) + P(A n B') = 0.5 P(B) = P(A n B) + P(A' n B) = 0. 15 Con base en lo anterior a ) P(B 1 A) = (0.05)/(0.5) = 0. 1, P(B 1 A') = (0. 1 )/(0. 5) = 0. 2, e) P(A 1 B' ) = (0.45)/(0.85) = 9/17, d) P(A 1 B) = (0.05)/(0. 15) = 0.33.
b)
1 26 CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL 4.84.
4.85. 4.86. 4.87. 4.88. 4.89. 4.9o. 4.9 1 . 4.92. 4.93. 4.94.
La probabilidad de que tres o cuatro motores pequeños fallen es p4 + x p3 x - p ). La probabilidad que dos motores grandes fallen es p2 . Si se igualan ambas ecuaciones y se resuelve la ecuación de segundo grado que se obtiene al simplificar, se obtiene p =
4 (1 1/3. a) 3 (0. 9) - 3 (0.81) (0. 9)3 = 0. 999 b) 0.9009 a) 0.57 b) 0.18 e) 0.09/0.1 = 0.9 0.18/0. 57 = 0. 3 157 a) 1/5 b) 2/5 e) 1/2 a) ab + ae + be - 3abe b) ab ae be - 2abe e) 1 - abe a) (0.9)5 0. 5905 b) (0.1)5 = 0.00001 (o. 99W = o. 995 0.50 0.75 = 0.375 3 (0.9) (0.9) (0.1) = 0.243 0.4 0. 4 0.6 = 0.096 H: el evento "Hombre casado" M: el evento "Mujer casada", P(H) = 0.4 P(M) = 0.5 ; P(H 1 M) = 0.7; a)b) P(M P(H M) = P(H 1 M)P(M) = 0.7 0.5 = 0.35 1 H) = P(H M)/ P(H) = 0. 3 5/0. 4 = 0.875 e) 1 P(H' n M') = P(H U M) = P(H) + P(M) - P(H M) 0. 5 5 A: el evento "Esposo vote en elección" B: el evento "Esposa vote en elección", P(A) = 0.21; P(B) = 0.28; P(A B) = 0.15; 1 - P(A' n B') = P(A B) = P(A) + P(B) - P(A n B) = 0.34 b)e) P(A P(B \ A) = P(A B)/P(A) = 0.15 /0.21 = 0. 7 142 \ B') = P(A B') = .(0. 2 1 - 0.15)/0. 72 = 0. 0 833 +
X
X
d)
+
+
=
X
X
X
X
X
X
x
n
4.95.
-
a)
4.96.
4.97.
4.98.
n
n
n n
U
=
n
A: el evento "Persona requiera una placa de rayos X" B: el evento "Persona tenga un tapón" C: el evento ':Persona tenga un diente extraído" x = x P(A n B n C) = P(A)P(B 1 A)P(C 1 A n B) = P(B) = A = {(A, A)(A, S)}; B = {(A, A)(S, A)}; C = {(A, A)(S, S)} P(A) = P(A n B) = P(A n C) = P(B n C) = P(C) = No P(A n B n C) =
1 /2;
Sea
1 /0.25; 2;
0.6 0.3 0.1 0.018 0.25; 0.25; 1 /2; 0.25;
. F: el evento "En favor de la emisión de los bonos" R: el evento "Sea elegido conservador" D: el evento "Sea elegido un liberal"
Entonces,
P(F) =P[(F n R) U (F n D)] = P(F n R) + P(F n D) P(F n R) =P(F 1 R)P(R) = O. x = O. = x P(F n D) =P(F 1 D)P(D) = y
7 0. 4 28 0.8 0.6 0.48 P(F) = 0.28 0. 4 8 = 0.76 +
RESPUESTAS 1 27 4.99.
C: el evento "Utiliza el vehículo compacto" G: el evento "Utiliza el vehículo grande" el evento "Llega a su casa a las
17:30", P ( C ) = 0.75;P(G) = 0. 2 5;P(L 1 C) = 0.75;P(L G) = 0.60; y P(L) = 0.7125, P(C L' ) = P(L' C)P(C)]/P(L' ) = 0. 652 37 (0.5)8 = 0.1445 b) 29 (0.5)7 = 0.2266 22 (0.5)6 = 0.3437 l/3 b) No 20/3;3 b) 9/33 = 0.2727 4/33 = 0.1212 Q05xQ96xQ98 o.0.10624 96 O. 02 +o. 95+Q95xQ04xQ98+Q95xQ96xQ02 O. 04 O. 02 + O. 05 o. 04 o. 02 =+Q05xQ04xQ98 1 -O. 95 O. 96 +o.Q05x 98 = 0.4 x 0.4 = 0.16 b) 1 - 0. 4 5 0. 4 5 - 2 (0.45 0.4 + 0. 4 5 0.1 + 0. 4 5 0. 0 5) = 0. 3 025 0.4 x 0.1 = 0.04 d) 2 0. 4 0.1 = 0. 08 2 x (0.45 x 0.4+0.45 x O. 1 +0.45 x O. 05+0.4 x 0.1 +0.4 x O. 05+0. 1 x O. 05) = O. 625 H: el evento ''Cliente ordene una hamburgesa", C: el evento "Cliente ordene una cerveza" P(H C) = P(H)P(C) = 0.2275 P( gana en su primera jugada) = 6/36 + 2/36 = 8/36. ?(gana con 4) = (3/36) x [(3/36) + (27/36) x (3/36) + (27/36)x (27/36) (3/36) + · · ·] = (3/36) x (3/36) x· [ 1/(l - (27/36))] = 1/36 P(gana con 5) =(4/36) x [(4/36) + (26/36) x ( 4/36) (26/36)x (26/36) (4/36) · · · ] = (4/36) (4/36) [l/(1 - (26/36))] = 16/360 P(gana con 6) =(5/36) x [(5/36) + (25/36) x (5/36) + (25/36)x (25/36) (5/36) . ] = (5/36) (5/36) [ 1 /( 1 - (25/36))] = 25/396 P(gana con 8) = P(gana con 6) ?(gana con 9) = P(gana con 5) ?(gana con 10) = P(gana con 4) P(gana) = 8/36 + 2 (l/36) + 2 (16/360) + 2 (25/396) = 0. 4 929 R = R1 {1 - [1 - (l - (1 - R2 )(1 - .R¡ ))R5 ]( 1 - R3 )} 60/700 = 3/35 b) 90/700 = 9/70 440/700 = 22/35 (50/90) x (49/89) = 0.3058 b) (40/90) x (39/89) = 0.1947 0.4993 0.35/0.7 = 0.50 L:
1
4. 100. 4. 1 0 1 . 4. 102. � 1 03.
4. 104.
a)
a)
4. 105.
X
X
X
a)
e)
X
e)
e)
a)
e)
1
1
[
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
n
4. 106.
X
X
X
X
4. 107. 4. 108. 4. 109. 4. 1 10.
a)
a)
X
X
X
X
X
+
+
+
. .
X
e)
e)
1 28 CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL 4. 1 1 1 .
4. 1 1 2. 4. 1 13.
4. 1 14. 4. 1 15. 4. 1 1 6. 4. 1 1 7. 4. 1 1 8.
M: el evento "El alumno cursa matemáticas" S: el evento "El alumno cursa psicología" H: el evento "El alumno cursa historia" a) P(M n S n H 1 S) = P(M n S n H)/P(S) = 10/68 = 0. 147 P(H n M 1 S') = P(H n M n S')/P(S') = 12/32 = 0.375 a) 0. 17/0.36 = 0.4722 0. 17/0.28 = 0.6071 B: el evento "Cambio de aceite" C: el evento "Nuevo filtro de aceite" P(B) = 0.25; P(C) = 0.40; P(B n C) = 0. 14 a) P(C 1 B) = P(C n B)/P(B) = 0. 14/0.25 = 0.56 P(B 1 C) = P(C n B)/P(C) = 0. 14/0.40 = 0.35 a ) 0. 125 0.875 a) 1 - P(I n II)' = 1 - 0.88 = 0. 12 (0.03)/(0.22) = 3/22 a) (0. 02)3 (0.98)3 = 0.9412 a ) (0. 1 ) x (0.95) = 0.095 b) (0.9) X (0.95) = 0.855 d) 0. 1 + o. 95 - 0.095 = 0.955 e) (0. 1 ) x (0.05) = 0. 005 Sea A: el evento "Un relevador abierto" C: el evento "Un relevador cerrado" El espacio muestra! es n {(A, A)(A, C)(C, A)(C, C)} Como los relevadores
b)
b)
b)
b) b)
b)
=
trabajan en forma independiente, se pueden calcular las probabilidades de estos resultados como sigue:
P(A n A) = (0.2) x (0.2) = 0.04 P(A n C) = (0.2) x (0.8) = 0. 16 P(C n A) = (0. 8) x (0.2) = 0. 16 P(C n C) = (0.8) x (0.8) = 0. 64.
' ·
4. 1 1 9. � 120. 4. 1 2 1 . 4. 1 22. 4. 123. 4. 124. 4. 125.
4. 126. 4. 127. 4. 128.
Si B es el evento que "la corriente pasa de s a t", entonces B = (A n C) U (C n A) U (C n C) y, por último, P(B) = 0.96. (0. 75t = 0. 3 164 a) 1/8 1/8 1 - (0.01)3 = 0. 9999 a ) 1/4 1/16 1 - 0. 2 X 0.4 = 0.92 (0.94) X (0.97) = 0.9312 A: el evento "Pasar el examen" B: el evento "Asistir al curso" P(A n B) = P(B) x P(A \ B) = (0.25) x (0.60) = 0. 15 il = {(W), (VN), (NV )}, P(A \ B) = 1/3 (8/16) X (7 /15) + (6/16) X (5/.15) + (2/16)(1 /15) = 0.366
b) b)
a) Sea
A;: el evento "Relé i está cerrado", i = 1, 2, 3, 4, 5. B: el evento "La corriente pasa de I a D" P(B) = P(A , n A2 ) + P(As) + P(A3 nA4 ) - P(A, nA2 nAs) = p+2p2 - 2p3 - p4 +p5 2p2 + 2p3 - 5p4 + 2p5
b)
RESPUESTAS 1 29 e) p + 3p2 _ 4p3 p4 + 3ps _ pfi o. 7 + 0. 8 - 0.94 = 0.56 0.1 b) 0.7 e) 0.25 (0.85)2 = 0.7225 b) 2 X 0. 1 X 0.9 + 0. 1 X 0. 1 = 0. 19 0.65 0.03 X (1/2) = 0.015 4/9 (10 X 9)/(100 X 99) = 0.0091 b) 1 - (90 X 89)/(100 X 99) = 0. 191 0.1398 C: el evento "Vehículo que tenga placas de Sinaloa" A: el evento "Vehículo que entra sea para acampar" P(C) = 0. 12; P(A) = 0.28; P(C n A) = 0.09; P(C 1 A) = 0.3214 b) P(A 1 C) = O. 75 e) P(N U C') = P(A n C)' = 0.91 (0. 15) X (0.80) = 0. 12 A: el evento "La representante de Avon llama" C: el evento "Señora realice una compra" P(A) = 0.6; P(C 1 A) = 0.4; P(A n C) = 0. 24 D: el evento "El médico diagnostique correctamente" L: el evento "El paciente levante una demanda" P(D) = 7; P(L 1 D') = O. 9; P(D' n L') = P(D' )P(L' 1 D') = 0.03 A: el evento "Elige la llave correcta" B: el evento "La casa está cerrada" P(A 1 B) = P(A n B)/P(B) = (3/8)/(3/5) = 5/8 = 0.625 0.04 X 0.04 = 0.0016 b) 2 X (0.04 X 0.96) = 0.0768 T: el evento "Luis sobreviva 20 años" N: el evento "Ana sobreviva 20 años" P(T' n Nc) = 0.3 x 0. 1 = 0.03 0.02 x 0. 78 + 0.98 x 0.6 = 0.0744 a) (0. 1 )4 = 0.0001 b) 0. 1 X 0. 1 X 0.9 X 0.9 = 0.0081 3 X 0.82 X 0.27 = 0.384 b) 0.83 = 0.512 p � 0.251 p2 ; b) 2p - p2 ; e ) p3 ; d) p(p2 - 3p+ 3); e) p2 (2 -p); f ) p(1 +p - p2 ); g) p(p2 - 3p + p); h ) p3 (2 - p); i) p2 (2 - p)2 ; j) p2 + p2 - p4 ; k) p(3p - 3p2 + p3 ); l) p x p(1 +p - p2 ); m) p + p3 - p4 ; n) p + p3 - p4 ; ñ) 2p2 - p4 a) 0.99 + 0.99 - 0.99 X 0.99 = 0.9999 O 1 - 0.01 X 0.01 = 0.9999 b) 0.99 + 0.01 X 0.99 = 0.9999 1 - (1 - 0. 3)(1 - 0.22 ) = 0.328 (O.W = o. 729 (0.848)5 = 0.4385 _
4.129. 4.130. 4. 1 3 1 . 4. 132. 4.133. 4.134. 4.135. 4. 136. 4. 137.
a) a) a)
a)
4.138. 4. 139.
4. 140.
4. 14 1 .
4. 142. 4. 143.
4.144. 4. 145. 4.146. 4. 147. 4.148.
4. 149. 4.150. 4. 1 5 1 . 4.152.
O.
a)
a) a)
1 30 4. 153. 4.154. 4.155. 4. 156. 4. 157. 4. 158.
(3/8) = 1/4 b) (2/3) X (5/8) = 5/12 a) 0. 1536 b) 0.9728 = (0.995) X (0.993) X (0.994) 0.9821 a) 0.40 b) 0.35 e) 0.25 + 0.40 - 0.20 = 0.45 d) 0.05 (0.4)3 X (0.3)0 X (0.3)0 + (0.4)0 X (0.3)3 X (0.3)0 + (0.4)0 X (0. 3)0 X (0.3)3 = 0. 1 18 Si A es el evento {k bolas del mismo color} y B es el evento {k bolas de color a) (2/3)
X
R
=
negro}, entonces
Pero A n B = B, entonces tenemos
( nk) P(B \ A) = P(B n A) = P(B) = �--'--'-e� P(A) P(A) [W + (;) ] .
4. 159.
4 . 1 60.
Sea el evento A = {la bola elegida es de color blanco}, H¡ = {se eligió una bola de la urna uno} y H2 = {se eligió una bola de la urna dos}, entonces P(H1 ) = 1/2 y P(H2 ) = 1/2, además P(A 1 H¡ ) = m¡ /(n¡ + m¡ ) y P(A 1 H2 ) = m2 /(n2 + m2 ), por lo que P(A) = 1/2 x (m¡ /(n¡ + m¡ )] + 1/2 x [m2 /(n2 + m2 )]. Sea A = {A dice la verdad}, D = {D dice la verdad}. Tenemos
El evento D ocurre sólo si los cuatro dicen la verdad, dos dicen la verdad y dos mienten o los cuatro mienten. Tenemos
P(D 1 A) =
G f + G) Gf � = �;
Con la condición de que B recibió la verdad de parte de A, el evento d ocurre sólo si B, C y D dicen la verdad o dos de ellos mienten. Entonces
P(A n D)
=
P(A)P(D 1 A) =
Para la probabilidad condicional tenemos
P(A 1 D) = 4. 1 6 1 .
P(A n D) P(D)
=
13 41
=
�:
O. 317
1 - 1¡ 2 ) . . . 1 - 52 ( 1 - _!_) ( 1 - 2_!_) 2 ( 1 - _!_) 72 ( _ 32 ( _!_) 1 -..; :::::: O. 608 donde k es el número primo. 7T
RESPUESTAS I J 1 4. 162.
El espacio muestra! es n = {A, SA, SSA, . . . }, donde A significa que se obtiene un águila en la primera tirada; SA significa que la primera águila aparece en la segunda tirada; SSA quiere decir que la primera águila aparece en la tercera tirada, etc. Sean B: el evento "El experimento termina en menos de cuatro tiradas" C: el evento "Se necesita un número par de tiradas para terminar el experi mento". Lo que es igual:
B = {A, SA, SSA }, C = { SA, SSSA, SSSSSA, . . . }. Entonces
4. 1 63.
P(B) = 1/2 + 1 /4 + 1/8 = 7/8 P(C) = 1/4 + 1 / 1 6 + 1 /64 + 1/256 +
· · ·
= 1/3.
Sea Ak el evento de que el número k sea seleccionado en la extracción de orden
k, k = 1 , 2, 3, . . . , n. Tenemos
P(Ak) = (n - 1 )!/n!; P(Ak n Aj) = (n - 2)!/n!; P(Ak n Ai n A¡) = (n - 3)!/n!;
Ahora usando· la fórmula de Poincaré, tenemos
P(A) =
(n1 ) (n -n! 1 )! _ (n2) (n -n! 2)! + (n3) (n -n! 3)! _ . . . + ( _ 1 r- 1 _!_n!
= 1 - _!_ + _!_ 2!
3!
n
· · ·
k "' ( - 1 ) = 1 - e - 1 + ( - 1 )n - 1 _!_ = 1 - � k! n! k=O
Para n > 5 el valor de P(A), calculado a tres decimales, permanece constante e igual a 0.632. En caso m apareamientos, tenemos la fórmula:
_!_ e
_!_ � � ( - 1 / IdI. = m! m! k=O
-I
para valores grandes de n - m.
Se puede formular el problema de los apareamientos en diferentes maneras: l . Si n hombres casados y sus esposas sacan boletos para bailar unos con otros de manera que cada uno tenga la misma probabilidad de bailar con cualquiera de las n esposas, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente m hombres bailen con sus esposas? 2. Si la señorita encargada del guardarropa de un establecimiento olvidó colocar la tarjeta de identificación a los sombreros que dejaron bajo su cuidado y posteriormente los distribuyó al azar a sus propietarios, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos una persona reciba su propio sombrero?
1 32
CAP. 4. PROBABILIDAD CONDICIONAL 3. Si n soldados que duermen en la misma barraca llegan una noche tan
borrachos que cada soldado elige al azar una cama donde dormir, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente m soldados duerman en sus camas? 4. Si una secretaria distraída escribe a máquina n cartas y sus n sobres correspondientes y si pone las cartas en los sobres de manera que cada sobre contenga una carta, con la misma probabilidad de que sea cualquiera de las n cartas, ¿cuál es la probabilidad de poner exactamente m cartas en los sobres correspondientes? 5. Si dos barajas similares de n cartas (numeradas de uno a n) se barajan y reparten simultáneamente tomando una carta de baraja a la vez, ¿cuál es la probabilidad de que en m ocasiones las dos cartas repartidas tengan el mismo número? 4. 1 64.
x = P(Ac n Be n C) = P[(A U B)' n C] = P(C) - P[(A U B) n C] = P(C) - P[(A n C) U (B n C)] = P(C) - P(A n C) - P(B n C) + P(A n B n C) = P(C) - P(A)P(C) - P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C). Sea P(A) = a, tenemos x = (1 - a)(l - P(B))P(C). b = 1 - P(A u B u C) = P(Ae n Be n e') = P(Ae)P(Be)P(Ce) = ( 1 - P(A))( l - P(B))(l - P(C)) b = (1 - a)(l - P(B))( 1 - P(C)). e = 1 - P(A n B n C) = 1 - P(A)P(B)P(C) = 1 - aP(B)P(C). De estas relaciones tenemos X
b
y
P(C) X - P( C) = 1 - P( C) x+b P(B) =
Entonces
(
(1 - e)(x - b) ax
)
( l - c)(x + b) _x_ ax x+b ax(x + b) = (1 - a)ax - (1 - a)(l - e)(x + b) ax2 + abx = (1 - a)ax - (1 - a)(l - c)x - ( 1 - a)(l - e)b ax2 + ab - ( 1 - a)(a + e - 1 )x + ( 1 - a)( 1 - e)b = O. x = (l - a) l -
x es la probabilidad, entonces las raíces deben ser positivas, lo que significa /!;. > O, esto es,
-
2 ( 1 - a)(a + e - 1 ) - ab > O, a - l + e > ab e > (1 - a) + ab l -a l - a'
RESPUESTAS 1 33 4. 165.
Tenemos l
= P[(Ac n Be n C) U (Ae n Be n e)'] = P(Ac n Be n C) + P(A U B U Ce) = P(A' n Be n C) + P(A) + P(B) + P(Cc) - P(A n B) - P(A n Ce) - P(B n Ce) + P(A n B n e< ).
Pero A n B n ce = (A n B n ce) U (A n B n C) = A n B. Esto implica que
P(Ac n Be n C) = l - 2x - ( 1 - x) + x2 + 2x(1
-
x) - x2
=
x ·- 2x2 2: O,
esto es x :S 1/2. Por otra parte,
A U B U C = A U (B n Ae) u (C n Ae n E) e O y y
P(A) + P(B n Ac) + P(C n Ac n B< ) = a :S 1, de ambas resulta
P(Ac n Be n C) = a - X - x( 1 - x). Entonces x cumple la ecuación x - 2x2 = a - 2x + x2 • Las raíces son x 1,2 = 3 ±� Para a = 3/4 tenemos x = 1/2 el valor máximo para x.
Capítulo
5
Probabilidad total y teorema de Bayes
Si B; n B1 = 0, i =1- j(i, j = 1, . . , n) y A la fórmula de probabilidad total es
e
.
P(A ) = P(A 1 B¡ )(B ¡ ) +
·
·
·
(B 1 U B2 U . . . U Bn)
=
!1,
entonces
+ P(A 1 Bn)P(Bn)·
La probabilidad de P(B; 1 A) se calcula mediante la fórmula del teorema de Bayes: P(A 1 B;)P(B;) P(B . 1 A ) + P(A 1 Bn)P(Bn) , - P(A 1 B; )P(B;) + _
· ·
·
Considér�nse dos urnas, una con tres pelotas de color rojo y siete de color blanco, la otra con seis pelotas de coior rojo y seis de color blanco. Si se elige una urna al azar y después se saca una pelota, ¿cuál es la probabilidad de que sea de color rojo? _,.5.2. La urna I contiene una bola de color blanco y tres de color negro. La urna II contiene tres bolas de color blanco y dos de color negro. Se elige una urna aleatoriamente y se extrae una bola de ella. En el supuesto de que la bola extraída es de color negro, ¿cuál es la probabilidad de que la urna seleccionada sea la I? Fernando López conoce a una nueva chica en la mitad de las fiestas a las que asiste. Tres cuartas partes de las veces en que conoce a una nueva joven, se divierte, pero la probabilidad de que se divierta cuando no conoce una nueva chica es solamente de 0.10. Fernando López acaba de decir que se está divirtiendo, ¿cuál es la probabilidad de que haya conocido una nueva joven? 5.4. Una caja contiene cinco canicas de color blanco y dos de color negro. Una segunda caja contiene tres canicas de color blanco y cinco de color
_
1 35
1 36
5.5.
5.6.
5.7.
. �9. /
5.11.
CAP. S. PROBABILIDAD TOTAL negro. Si se selecciona al azar una de estas cajas y se extrae una canica, ¿cuál es la probabilidad de que sea de color blanco? Se tienen dos monedas, ambas cargadas; la primera tiene probabilidad 0.3 de "caer cara"; la segunda, 0.6. Un jugador elige al azar una de las monedas y la lanza dos veces obteniendo dos caras. ¿cuál es la probabilidad de que obtenga una tercera cara? Una urna contiene dos bolas de color rojo, dos de color blanco y dos de color azul. Se seleccionan al azar y sin remplazo dos bolas de la urna. Calcular la probabilidad de que la segunda bola extraída sea de color rojo. Una bolsa contiene cuatro pelotas de color blanco y tres de color negro: una segunda bolsa contiene tres de color blanco y cinco de color negro. Se saca una pelota aleatoriamente de la segunda bolsa y se coloca, sin verla, en la primera. ¿cuál es la probabilidad de que una de las pelotas extraída en estas condiciones de la primera bolsa sea de color blanco? A una rata se le permite seleccionar al azar uno de cinco laberintos diferentes. Si las . probabilidades de que pase por cada uno de los diferentes laberintos en tres minutos son de 0.6, 0.3, 0.2, 0. 1 y 0.1, respectivamente, y la rata escapa en tres minutos: a) ¿cuál es la probabilidad de que haya escogido el primer laberinto? b) ¿cuál es la probabilidad de que haya escogido el segundo? Se tienen cinco cajas que contienen cada una 100 focos para cámara fotográfica. Dos de las cajas tienen 10 focos defectuosos cada una; dos de ellas tienen cinco focos defectuosos cada una, y una tiene dos focos defectuosos. Si se selecciona al azar una de estas cajas y de ella se toma un foco, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? Un estudiante contesta una pregunta que ofrece cuatro soluciones posibles en un examen de opción múltiple. Suponga que la probabilidad de que el estudiante sepa }a respuesta a · ¡a pregunta es de 0.8 y la probabilidad de que tenga que contestar al azar es de 0.2. Suponga además que la probabilidad de seleccionar la respuesta correcta al azar es de 0.25. Si el estudiante contesta correctamente la pregunta, ¿cuál es la probabilidad de que realmente sepa la respuesta correcta? Una urna contiene dos bolas de color blanco y cuatro de color negro; otra urna, tres de color blanco y una de color negro. Dos bolas pasan de la primera urna a la segunda. Hallar la probabilidad de que la bola extraída de la segunda urna, después de pasar a ella dos bolas de la primera, sea de color blanco. Un bolso contiene dos monedas de plata y cuatro de cobre, y otro contiene cuatro de plata y tres de cobre. Si se elige al azar una moneda de uno de los bolsos, ¿cuál es la probabilidad de que sea de plata?
TEOREMA DE BAYES 1 37 5.13. Considérense tres urnas. Cada una de las dos primeras tienen tres
pelotas de color rojo y siete de color verde, pero la tercera tiene cuatro pelotas de color rojo y cuatro de color verde. Si se elige una urna al azar y después se saca una pelota, ¿cuál es la probabilidad de que sea de color rojo?
5. 14. La urna 1 contiene dos bolas de color rojo y cuatro de color azul; la urna 2 contiene 10 bolas de color rojo y dos de color azul. Si se elige al azar una urna y se saca una bola de ésta:
a) ¿cuál es la probabilidad de que la bola seleccionada sea de color azul? b) ¿De que sea de color rojo?
5.15. Se tienen dos urnas. La primera contiene cinco bolas de color blanco,
.5 . 16.
� )Y. t'f.
5.18.
5.19.
1 1 de color negro y ocho de color verde. La segunda 10 bolas de color blanco, ocho de color negro y seis de color verde. De cada urna seleccionamos una bola; ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean del mismo color? Un estudiante presenta un examen de selecciól} múltiple en el cual cada pregunta tiene cinco posibles respuestas, de las cuales una es correcta. Suponga que el estudiante conoce la respuesta de 70 % de las preguntas. a) ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante, sobre una pregunta dada, conteste la respuesta correcta? b) Si el estudiante contesta correctamente la pregunta, ¿cuál es la probabilidad de que conozca la respuesta? Se supone que una cierta máquina detecta el cáncer con probabilidad de 0.8, entre gente que padece de cáncer, y no detecta el 20 % restante. Si una persona no padece cáncer. la prueba indicará este hecho 90 % de las veces e indicará que tiene cáncer 10 % de ellas. Supondremos que 5 % de las personas de la población de prueba padecen cáncer y la prueba de una persona determinada, seleccionada al azar, indica que tiene cáncer. ¿cuál es la probabilidad de que efectivamente padezca dicha enfermedad? Una urna contiene dos bolas de color negro y cinco de color café. Se selecciona una bola al azar. Si la bola es de color café, se devuelve a la urna y se agregan otras dos bolas de color café. Si la bola es de color negro, entonces no se remplaza en la urna, y tampoco se agregan bolas adicionales. Se saca de la urna una segunda bola. ¿cuál es la probabilidad de que sea de color café? Se tienen tres urnas idénticas cada una con dos cajones. La primera urna contiene una moneda de oro en cada cajón; la segunda, una de oro en el primero y una de plata en el segundo, y la tercera, una de plata en cada cajón. Se elige una urna al azar y luego uno de sus caj o ne s en ,
1 38
CAP. 5. PROBABILIDAD TOTAL
el que se encuentra una moneda de oro. ¿cuál es la probabilidad de que el otro cajón contenga una moneda de plata? , 5.20. En tres urnas se colocan canicas de color rojo, de color blanco y de color azul, distribuidas como se indican en la siguiente tabla: Urna ! Urna 2 Urna 3
Rojas Blancas Azules 3 5 2 1 8 1 3 1 6
Si se selecciona una urna al azar y se saca una canica, también al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la urna haya sido la número tres, si la canica es de color rojo? En una fábrica hay dos máquinas, A y B, que realizan 60 y 40 % de la producción total, respectivamente. De su producción, la máquina A produce 3 % de material defectuoso, y la B, 5 %. Encontrar la probabilidad de que dado un material defectuoso, provenga de la máquina B. .-22. Supongamos que 5 % de todos los hombres y 0.25 % de todas las mujeres !i r son daltonianos. Una persona elegida al azar resulta ser daltoniana. ¿cuál es la probabilidad de que esta persona sea un hombre? (Se considera que la cantidad de hombres y mujeres es igual.) La caja 1 contiene cuatro focos defectuosos y 16 focos en buen estado. La caja 2 contiene un foco defectuoso y uno en buen estado. Se tira un dado no cargado una sola vez. Si sale un uno o un dos, entonces se saca al azar un foco de la caja 1; de lo contrario, se selecciona un foco de la caja 2. ¿cuál es la probabilidad de que el foco seleccionado sea defectuoso? Se supone que 0.95 es la probabilidad de que un jurado seleccionado para juzgar un caso criminal emita el veredicto .adecuado. Esto significa que si se presenta ajuicio un individuo culpable, la probabilidad de que el jurado lo condene es de 0.95; además, recíprocamente, si el individuo juzgado es inocente, la probabilidad de que el jurado lo absuelva es de 0.95. Se supone también que el cuerpo de la policía local realiza su labor a conciencia, de manera que 99 % de las personas que se presentan en la corte para ser juzgadas son verdaderamente culpables. Se pide calcular la probabilidad de que el acusado sea inocente, si el jurado lo encuentra inocente. 5.25. Suponer que la ciencia médica ha desarrollado una prueba para el diag nóstico del SIDA que tiene 95 % de exactitud, tanto en los que pade cen SIDA como entre los que no lo padecen. Si 0.005 de la población realmente tiene SIDA, calcular la probabilidad de que determinado in dividuo tenga SIDA si la prueba indica que lo tiene.
TEOREMA DE BAYES 1 39 ji.-26: Dos proveedores, A y B, entregan la misma pieza a un fabricante, el
3�21":
5.28.
5.-- 2 9.
5.31.
5,...� 2 .
mismo que guarda todas las existencias de esta pieza en un mismo lugar: los antecedentes demuestran que 5 % de las piezas entregadas por A estaban defectuosas, y que 9 % de las piezas entregadas por B también lo estaban. Además, A entrega cuatro veces más piezas que B. Si se saca al azar una pieza y se encuentra que no está defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que la haya fabricado A? Un sospechoso es juzgado en el tribunal y la probabilidad de que se le encuentre culpable es de 0.8, siempre. que cierto testigo no sea llamado a declarar por el fiscal. La probabilidad de que el testigo sea llamado a declarar es de 0.1 y la probabilidad de que al sospechoso se le halle culpable si se llama al testigo a declarar es de 0.9. a) ¿cuál es la probabilidad de que al sospechoso se le halle culpable? b) Si al sospechoso se le encuentra culpable, ¿cuál es la probabilidad de que el testigo no haya sido llamado a declarar? De los artículos producidos diariamente por cierta fábrica, 40 % pro viene de la línea I y 60 % de la línea II. El porcentaje de artículos defec tuosos de la línea I es 8 %, mientras que el porcentaje de defectuosos de la línea II es 10 %. Si se elige un artículo al azar de la producción diaria; calcule la probabilidad de que no sea defectuoso. Una agencia de publicidad se da cuenta de que casi uno de cada 50 compradores potenciales de un producto ve cierto anuncio en una revista y uno de cada cinco ve un anuncio correspondiente en la televisión; uno de cada tres compra realmente el producto si vio el anuncio, y de cada 10 que no han visto el anuncio, uno lo compra. ¿cuál es la probabilidad de que un comprador potencial selecionado al azar compre el producto? Se ha observado que los hombres y las mujeres reaccionan de una ma nera diferente en ciertas circunstancias: 70 % de las mujeres reaccionan positivamente en dichas circunstancias, mientras que el porcentaje en los hombres es solamente de 40 %. Se sometió a prueba un grupo de 20 personas -15 mujeres y 5 hombres- y se les pidió llenar un cuestio nario para descubrir sus reacciones. Una respuesta elegida al azar de las 20 resultó negativa. ¿cuál es la probabilidad de que haya contestado un hombre? Cuando los artículos llegan al final de una línea de producción, un supervisor escoge los que deben pasar por una inspección completa; 10 % de todos los artículos producidos son defectuosos; 60 % de todos los artículos defectuosos y 20 % de todos los artículos buenos pasan por una inspección completa. ¿cuál es la probabilidad de que un artículo sea defectuoso dado que pasó por una inspección completa? De acuerdo con los registros de una gran compañía de seguros, 20 % de las personas que preguntan acerca de las pólizas de seg u ro ele v ida
1 40 CAP. S. PROBABILIDAD TOTAL terminan comprando una póliza y 80 % no. Además, 30 % de las personas que preguntan y compran seguros de vida tienen un ingreso anual entre $ 15 000 y $ 30 000, mientras que solamente 20 % de aquellos que preguntan pero no compran tienen el mismo nivel de ingreso. Una persona que pregunta por el seguro de vida tiene un ingreso anual de $ 20 000. a) ¿cuál es la probabilidad de que compre una póliza de seguro de vida? b) ¿cuál es la probabilidad de que una persona que pregunta y tiene un ingreso de $ 50000 adquiera una póliza de seguro de vida? _§.. 3'�En cierta población de votantes 40 % son conservadores y 60 % liberales. Se reporta que 30 % de los conservadores y 70 % de los liberales están a favor de cierta elección. Se elige una persona al azar de esta población y declara a favor de dicha elección. Encuentre la probabilidad condicional de que esta persona sea un liberal. Cierto artículo es manufacturado por tres fábricas, designadas éstas como 1 , 2 y 3. Se sabe que la primera produce el doble de artículos que la segunda y que ésta y la tercera producen el mismo número de artículos. Se sabe también que 2 % de los artículos producidos por las dos primeras es defectuoso mientras que 4 % de los manufacturados por la tercera es defectuoso. Se colocanjuntos todos los artículos producidos en una fila y se elige uno al azar. a) ¿cuál es la probabilidad de que este artículo sea defectuoso? b) Supongamos que del depósito se elige un artículo y que es defec tuoso. ¿cuál es la probabilidad de que se produjo en la primera fábrica? ·5 . Los porcentajes de votantes clasificados como liberales en tres distritos j> 3 electorales distintos se reparten como sigue: en el primer distrito, 2 1 %; en el segundo, 45 %, y en el tercero, 75 %. Si un distrito se selecciona al azar y un votante del mismo se selecciona aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que sea liberal? En las semifinales de un torneo de tenis, A jugará contra B y e contra D. Los ganadores se encontrarán en la final. La probabilidad de que A derrote a B es de 2/3; de que e derrote a D, de 5/6, de que A derrote a e (si juegan), de 1/4, y de que A derrote a D (si juegan), de 4/5. Encuéntrese la probabilidad de que A gane el torneo. Supóngase que en una población de 50 % de hombres y 50 % de mujeres, � . 37 . 4 % de los hombres son daltónicos y 1 % de las mujeres son daltónicas. Si una persona es elegida al azar, ¿cuál es la probabilidad de que esa persona sea daltónica? 5t' . 3'S. En una escuela, 35 % de los alumnos son de primer grado; 25 %, de segundo; 20 %, del penúltimo grado, y 20 %, del último. Todos los de
TEOREMA DE BAYES 1 4 1 primer grado cursan matemáticas, pero sólo 50 % de los de segundo, 20 % de los del penúltimo y 1 O % de los del último grado. Si se elige al azar un alumno y éste cursa matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que sea de segundo grado?
&.39. Supóngase que 30 % de las botellas fabricadas en una planta son
defectuosas. Si una botella es defectuosa, la probabilidad de que un controlador la detecte y la saque de la cadena de producción es de 0.9. Si una botella no es defectuosa, la probabilidad de que el controlador piense que es defectuosa y la saque de la cadena de producción es de 0.2. a) Si una botella se saca de la cadena de producción, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa? b) Si un cliente compra una botella que no ha sido sacada de la cadena de producción, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa?
5.40. Una clase de matemáticas avanzadas está formada por 10 estudiantes de
segundo año, 30 de cuarto año y 1 0 graduados. Tres estudiantes de segundo año, 10 de cuarto año y cinco graduados obtuvieron una calificación de A. Si se selecciona al azar un estudiante de esta clase y se encuentra que su califi<;ación es A, ¿cuál es la probabilidad de que sea un graduado?
5 .4 1 . Tres máquinas tragamonedas se arreglan de modo que, en general, .
paguen aljugador una de cada 10 veces y que eljugador pierda nueve de cada 10. Sin embargo, una de las máquinas está descompuesta y paga al jugador tres de cada 1 O veces, pero no se sabe cuál es la máquina descompuesta. Si usted elige una máquina, juega una vez y gana, ¿cuál es la probabilidad de que haya seleccionado la máquina descompuesta?
5.42. Supóngase que 80 % de los estadísticos son tímidos, mientras que
solamente 15 % de los economistas lo son. Supóngase también que 90 % de las personas en una reunión son economistas y el l O % restante son estadísticos. Si en la reunión se conoce a una persona tímida, ¿cuál es la probabilidad de que esa persona sea un estadístico?
5,43. Suponga que una población de trabajadores, 40 % son graduados de
escuela primaria, 50 % de secundaria y 1 O % de la universidad. Entre los trabajadores con educación primaria hay 5 % de desempleo; y sólo 2 % entre los trabajadores con educación secundaria. Si se elige un trabajador al azar y se encuentra que es un desempleado, ¿cuál es la probabilidad de que haya terminado sus estudios secundarios?
5.44: Una compañía emplea a 100 personas -75 hombres y 25 mujeres-.
El departamento de contabilidad da trabajo a 12 % de los hombres y 20 % de las mujeres. Si se elige un nombre la azar del departamento de contabilidad, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre? ¿ne que sea mujer?
1 42
5 .45'.
).4'7.
5.48.
5.50.
/
CAP. S .
PROBABILIDAD TOTAL
Por la noche, dos automóviles se aproximan uno al otro en una auto pista. Si ninguno de los conductores está adormecido, ambos pasarán a salvo con una probabilidad de 0.999. Cada uno puede estar adormecido con una probabilidad de 0 . 1 ; la probabilidad de que ambos estén ador mecidos es de 0.01. Si sólo el conductor A esta adormecido, pasarán a salvo con una probabilidad de 0.7. Si sólo el conductor B está ador mecido, pasaran a salvo con una probabilidad de 0.8. Si ambos están adormecidos, pasarán sin peligro con una probabilidad de 0.4. ¿cuál es la probabilidad de que pasen a salvo? Un armador de ventiladores eléctricos usa motores de dos proveedores. La compañía A le surte 90 % de los motores, y la compañía B, el 1 0 % restante. Supóngase que se sabe que 5 % de los motores que suministra la compañía A son defectuosos y que 3 % de los que suministra la compañía B también lo SOl].. Se encuentra que un ventilador ya armado tiene un motor defectuoso. ¿cuál es la probabilidad de que ese motor lo haya suministrado la compañía B? Se dice que una prueba de diagnóstico para determinada enfermedad tiene 90 % de exactitud y que, si una persona tiene la enfermedad, la prueba la detectará con una probabilidad de 0.9. También, si una persona no tiene la enfermedad, el resultado del diagnóstico será que no la tiene, con una probabilidad de 0.9. Sólo 1 % de la población tiene la enfermedad en cuestión. Si se selecciona una persona al azar de entre la población, y la prueba de diagnóstico asegura que tiene la enfermedad, ¿cuál . es la probabilidad condicional de que la tenga en realidad? ¿Le sorprende la respuesta? ¿Diría que esta prueba de diagnóstico es confiable? Se dispone de dos métodos, el A y el B, para enseñar determinada destreza en manufactura. El índice de reprobados es de 20 % para el método A y 10 % para el B. Sin embargo, el método B es más caro y, por lo tanto, sólo se usa 30 % del tiempo, y el A, el 70 % restante. A un trabajador se le capacita con uno de los métodos, pero no puede aprender en forma correcta. ¿cuál es la probabilidad de que se le haya capacitado con el método A? Los motores eléctricos que salen de dos líneas de ensamble se almace nan en una bodega común. Dicha bodega contiene un número igual de motores de cada línea. Los motores se muestran en forma periódica, en esa bodega, y se prueban. Se sabe que 10 % de los motores de la línea 1 son defectuosos y 15 % de los de la línea 11. Si se selecciona un motor al azar en la bodega y se encuentra que tiene defectos, calcule la probabilidad de que provenga de la línea l. La policía planea reforzar el respeto a los límites de velocidad mediante la utilización de sistemas de radar en cuatro diferentes sitios dentro de la ciudad. Los sistemas de radar en cada sitio L 1 , L2 , L3 y L4 se ponen
TEOREMA DE BAYES 1 43
5.5Í.
5.52.
5,53':
5.54.
5.5!'-'
a funcionar, respectivamente, 40 %, 30 %, 20 % y 30 % del tiempo, y si una persona que conduce a gran velocidad rumbo a su trabajo tiene, respectivamente las probabilidades de 0.2, 0.1, 0.5 y 0.2 de pasar por alguno de estos sitios, ¿cuál es la probabilidad de que le levanten una multa? En una fábrica, una línea de producción termina dos tipos de piezas ensambladas por dos autómatas. El primer autómata ensambla tres partes de la producción, y en 65 % de los casos del acabado es de primera calidad. El segundo autómata ensambla dos partes de la producción y en 85 % de los casos es de primera calidad. a) Si en esta línea se elige una pieza, ¿cuál es la probabilidad de que sea de primera calidad? b) Si una pieza es de primera calidad, ¿qué es más probable: que sea del primer autómata o del segundo? Se conduce una investigación detallada de accidentes aéreos. La proba bilidad de que una accidente por falla estructural se identifique correc tamente es de 0.9 y la probabilidad de que un accidente no se deba a una falla estructural y se identifique en forma incorrecta como un accidente por falla estructural es de 0.2. Si 25 % de los accidentes aéreos se deben a fallas estructurales, determine la probabilidad de que un accidente aéreo debido a una falla estructural se diagnostique como falla de este tipo. Se están estudiando tres teorías económicas. A partir de la información que se tiene, cada una de ellas parece ser un modelo tan bueno para una economía dada, como para cualquiera de las otras. Estas teorías predicen la probabilidad de una recesión para el año siguiente: la teoría I, P(R) = 0. 6; la teoría II, P(R) = 0.3 y la teoría III, P(R) = 0. 2. Si en realidad ocurre una recesión, ¿cuál es la probabilidad de que la teoría Il sea la correcta? En una ciudad determinada, 30 % de las personas son conservadores, 50 % son liberales y 20 % son independientes. Los registros muestran que en unas elecciones concretas, votaron 65 % de los conservadores, 82 % de los liberales y 50 % de los independientes. Si se selecciona al azar una persona de la ciudad y se sabe que no votó en las elecciones pasadas, ¿cuál es la probabilidad de que sea liberal? Tres servicios de mensajería anuncian que entregarán un paquete en cualquier parte de México en 24 horas o menos. Las compañías A, B y e transportan 55, 35 y 10 %, respectivamente, del número total de paquetes que se entregan. Si 0.65 % de los paquetes entregados por la compañía A, 0.35 % de los paquetes entregados por la compañía B y 2. 1 % de la compañía e fueron entregados con retraso, ¿cuáles son las probabilidades de que un paquete entregado con retardo haya sido llevado por:
1 44 CAP. 5. PROBABILIDAD TOTAL
j-5-6.
/
5.57.
5.58.
5.59.
a) la compañía A? b) la compañía B? e) la compañía C? En un almacén se encuentran 80 cajas con 100 fusibles cada una. 20 cajas contienen fusibles producidos por la máquina A; 30 cajas contienen fusibles producidos por la máquina B, y 30 cajas tienen fusibles producidos por la máquina C. Las cajas están almacenadas al azar, sin que importe la máquina de procedencia. La máquina A produce 5 % de fusibles defectuosos; la B, 3 %, y la C, 2 %. Si se selecciona una de estas cajas al azar, se toma uno de sus fusibles y se encuentra que es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la máquina E? En cierto país llueve 40 % de los días y 60 % de los días son claros. Un fabricante de barómetros probó su instrumento en un laboratorio y descubrió que a veces fallaba, porque en días lluviosos hacía predic ciones de "claro" 10 % de las veces y en días claros hacía predicciones de "lluvia" 30 % de las veces. a) Al predecir el tiempo del día siguiente antes de mirar el barómetro, la probabilidad a priori de que llueva es de 40 %. Después de ver el barómetro, y su pronóstico de "lluvia", ¿cuál es la probabilidad a posteriori de que llueva? b) ¿cuál es la probabilidad a posteriori de lluvia si un barómetro corregido (con tasas de error de 10 % y 20 % respectivamente) predice "lluvia"? e) ¿cuál es la probabilidad a posteriori de que sea un día claro si el barómetro corregido predice "lluvia"? Tres máquinas producen piezas fundidas de metales no ferrosos. La máquina A produce 1 % de piezas defectuosas; la máquina B, 2 %, y la máquina C, 5 %. Cada máquina produce 1/3 de la producción total. Un inspector examina una pieza fundida y determina que no está defectuosa. Estime las probabilidades de que dicha pieza haya sido producida por cada máquina. La larga experiencia de una clínica en el diagnóstico de pacientes que acuden a ella es de 1/ 1 O tiene la enfermedad A, 2/ 1 O la enfermedad B y 7/ 1 0 goza de buena salud. De los enfermos de A, 9/10 padece dolores de cabeza, 1/2 de los enfermos de B sufre de dichos dolores y ocurre lo mismo con 1/20 de quienes están sanos. Si usted debe diagnosticar a un paciente en esta clínica y éste tiene dolor de cabeza, ¿cuál es la probabilidad de que tenga: a) la enfermedad A? b) la enfermedad B? e ) buena salud?
TEOREMA DE BAYES 1 45 5<60. Un invitado a un día de campo selecciona al azar dos latas de refresco
·
5:61:
5.62.
5.63.
5 .64.
de un paquete de seis de marca X, que contiene cuatro latas de refresco de cola y dos de ginger ale; o de un paquete de seis latas de marca Y, que contiene cuatro latas de ginger ale y dos de refresco de cola. Pero el invitado tiene tres veces mayor probabilidad de seleccionar la marca Y que la marca X. a) ¿cuál es la probabilidad de que ambas latas seleccionadas por el invitado sean de ginger ale? b) Si ambas latas seleccionadas por el invitado son de ginger ale, ¿cuál es la probabilidad de que sean de la marca Y? e) Si el invitado selecciona cuando menos una lata de refresco de cola, ¿cuál es la probabilidad de que el refresco sea de la marca X? A y B participan en un duelo. A, cuya probabilidad de acertar es de 0.2 si dispara primero; el segundo disparo (de haberlo) puede hacerlo cualquiera de ellos con igual probabilidad, y, por último, puede haber un tercer disparo que hará B si es que aún está ileso. B tiene una probabilidad de acertar de 0.3. ¿cuál es la probabilidad de que: a ) B mate a A? b) ambos salgan ilesos? e) A salga ileso sabiendo que hubo tres disparos? d) A haya disparado dos veces sabiendo que salió ileso? En el juego de ping-pong los dos participantes juegan hasta que alguno de los dos haya ganado tres juegos consecutivos o no. Se supone que el jugador A tiene probabilidad 0.6 de ganar el primerjuego; O. 7 de ganar cualquier juego posterior si gano también el anterior, y 0.5 si perdió el anterior. Calcular la probabilidad de que: a ) A gane el encuentro pero sólo después de cinco juegos, b) A pierda el encuentro, e) se jueguen exactamente cuatro juegos, d) A haya perdido el encuentro sabiendo que ganó el primer juego, e) A haya ganado el encuentro sabiendo que se jugaron más de tres juegos. Una bolsa contiene un millar de monedas, una de las cuales tiene águila en los dos lados. Se extre una Ínoneda al azar. ¿cuál es la probabilidad de que si se lanza la moneda y sale águila: a ) tres veces seguidas, sea la moneda sesgada? b) 1 O veces seguidas, sea la moneda sesgada? e) 20 veces seguidas, sea la moneda sesgada? En una línea de aviación se envían dos tipos de señales con códigos 1 1 1 o 000, con probabilidad 0 . 1 5 y 0.35, respectivamente. Estas señales son distorsionadas por ruidos, lo que provoca que al enviarse un 1 pueda recibirse como O con probabilidad 0.2, y con la misma probabilidad el
1 46
CAP. S.
PROBABILIDAD TOTAL
cero puede recibirse como l . Supongamos que los símbolos 1 o O sufren de estos ruidos de manera independiente. a) ¿cuál es la probabilidad que en la salida recibamos las señales 1 1 1 , 000, 010? b) Si se recibió la señal 0 10, ¿cuál es la probabilidad de que se haya mandado el 000? e) Calcular la probabilidad de que se envió un 1 1 1 y se recibió el 1 1 1 . 5.65. Cada una d e N urnas contiene m bolas de color blanco y n de color negro. De la primera urna se sacó una bola y se colocó en la segunda. Después de la segunda, se seleccionó una más y se colocó en la tercera, y así sucesivamente ¿cuál es la probabilidad de que la bola que se elige de la última urna sea de color blanco? 5.66. Una urna contiene n boletos entre los cuales m ganan (m < n) 10 pesos y el resto pierde. Cada uno de n jugadores selecciona los boletos en orden. ¿Tendrán todos los jugadores la misma oportunidad de ganar? ¿cuál será el mejor momento para seleccionar los boletos? 5.67. Demostrar la igualdad:
Respuestas
5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8. 5.9. 5.10. 5. l l. 5.12. 5.13. 5. 14. 5. 15.
0. 15 + 0.25 = 0.40 (0. 75 X 0.5)/0.575 = 0.652 (0.75 X 0.5)/0.425 = 0.882 ( 1/2) X (5/7 + 3/8) = 0.545 2 X (0.3 X 0.6) + 0.3 X 0.6 = 0.54 (2/6)( 1/5) + (2/6)(2/5) + (2/6)(2/5) = 1/3 (3/8) X (5/8) + (5/8) X (4/8) = 0.547 a) (0.6 X 0.2)/0.26 = 0.461 b) (0.3 X 0.2)/0.26 = 0.23 (1/5) X (0. 1 + 0. 1 + 0.05 + 0.05 + 0.02) = 0.064 0.8/0.85 = 0.9412 (5/6) X (1/15) (3/6) X (6/15) + (4/6) X (8/15) = 55/90 = 1 1/18 = 0.61 1 1 19/42 (0.3 + 0.3 + 0.5)/3 = 0.3666 (1/2)(4/6) + ( 1/2)(2/12) = 5/12; (1/2)(2/6) + ( 1/2)(10/12) = 7/12 f4 X � + * X � + � X � = 0.3229
+
RESPUESTAS 1 47 5.16. 5. 17. 5.18. 5. 19. 5.20.
) 0.76 b) 0.92 (0. 8) X (0.05)/[(0.8)(0. 05) + (0. 1)(0.95)] = 0.04/0. 135 = 0.2962 (5/7)(7/9) + (2/7)(5/6) = 0.794 1/3
a
"La canica es de color rojo" RA;:: elel evento evento "La urna elegida tiene número i"; i = 1, 2, 3.
P(R 1 A3)P(A3) = .!_ P(A3 l R) = 3 P(R) 5.2 1 . 5.22. 5.23.
(0.05 X 0.4)/0.38 = 0.05263 (0.05) X (0.05)/0.02625 = 0.952 A: el evento "Se selecciona un foco de la caja 1 " B : el evento "El foco seleccionado está defectuoso" Entonces,
P(A) = 1/3, P(A') = 2/3, P(B 1 A) = 1/5 y P(B 1 A') = 1/2 ya que
B = (B n A) U (B n A') y (B n A) n (B n A') = 0
se tiene entonces
P(B) = P(B n A) + P(B n A') = P(A)P(B 1 A) + P(A')P(B n A') = ( 1/3)( 1/5) + (2/3)( 1/2) = 2/5 5.24.
G: el evento "El acusado sea culpable" ] : el evento "El jurado lo encuentra culpable" Entonces,
P( ] I G) = P(] ' I G') = 0. 95, P(G) = 0.99 y G U G' = il y G n G' = 0 por lo que, con base en el teorema de Bayes
P(j' 1 G')P( G') P(G , 1 j, ) = P(j' 1 G' )P(G< ) + P(j' 1 G)P(G) (0.95)(0. 01) = 0 161 (0.95)(0.01 ) + (0.05)(0.99) " 5.25. 5.26.
(0. 95 X 0.005)/0.0545 = 0.087 D : el evento "Pieza defectuosa" P(D 1 A) = 0.05; P(D 1 B) = 0.09, P(A)
=
0.8 P(B) = 0.2
Entonces,
P(D) = 0.058; P(D') = O. 942 y P(A 1 D') = (0. 95 x 0.8)/0. 942 = 0.807
1 48 5.27. 5.28. 5.29. 5.30. 5 .3 1 . 5.32. 5.33.
a) 0.81 b) 8/9 = 0.8888 (0.4) X (0.92) + (0.6) X (0.9) = 0.908 0. 149 0.4 ((0.6) X (0. 1)]/(0.24) = 0.25 a) 3/1 1 = 0.2727 b) 7/39 = 0. 1795 D: el evento "Liberal" R: el evento "Conservador" F: el evento "A favor de cierta elección" P(R) = 0.4; P(D) = 0.6; P(F 1 R) = 0.3; P(F 1 D) = 0.7 P(F) = (0.4) X (0.3) + (0.6) X (0. 7) = 0.54 P(D 1 F) = [(0. 7) x (0.6)]/(0.54) = 7/9
5.34. 5.35. 5.36. 5.37. 5.38.
a) 0.025 0.47
b) 0.40
� ( � X i + i X � ) + � X 0 = 0. 2277 0. 02 + 0.005 = 0.025 M: el evento "Alumno cursa matemáticas" A¡: el evento "Alumno es de grado i"; i = 1, 2, 3, 4. P(M 1 A 2 )P(A 2 ) = 0. 125 = O. 233 P(A2 l M) = 0.535 P(M)
5.39. 5.40. 5.41. 5.42. 5.43. 5.44. 5.45. 5.46. 5.47. 5.48. 5.49. 5.50. 5.51. 5.52. 5.53. 5.54.
a) 0.659 b) 0.051 (1/5) X ( 1/2)/0.36 = 0.277 ( 1 /3) X 0.3/0. 166 = 0.6 0.372 (0.5 X 0.02)/0.03 = 1/3 0.64; 0.36 0.948 (0.03 X 0. 1 )/0.048 = 0.0625 [(0.9) x (0.01)]/(0. 108) = 0.0833, no es confiable (0.2 X 0.7)/0. 1 7 = 0.8235 (0. 1 X 0.5)/0. 125 = 0.40 0.2 X 0.4 + 0. 1 X 0.3 + 0.5 X 0.2 + 0.2 X 0.3 = 0.27 a) 3/5(0.65) + 2/5(0.85) = O. 73 b) P(A 1 1 B) = 39/73 y P(A2 1 B) = 34/74, el primero ((0.25) X (0.9)]/((0.25) X (0.9) + (0.75) X (0.2)] = 0.225/(0.225 + 0. 150) = 0.6 (0.3) X (0.333)/0.366 = 0.273 18/59
RESPUESTAS 1 49 5.55.
a) (0.55 x 0.0065)/0.0069 = 0.518
5.56.
0.0 1 1 25/0.03125 = 0.36
5.57.
a) 0.36/0.54 = 0.67
5.58.
5.59.
b) 0.177 e) 0.304
b) 0.75 e) 0.25 P(A) = (0.99 x 0.33)/0. 973 = 0.339 P(B) = (0.98 x 0.33)/0.973 = 0.332 P(C) = (0.95 x 0.33)/0.973 = 0.325 La probabilidad total de que tenga dolor de cabeza (0. 1 )
X
(0. 9) + (0.2)
X
(0.5) + (0. 7)
X
(0.05) = 0.225
a ) (0.9)/0.225 = 0.40
5.60. 5.61.
b) 0. 100/0.225 = 0.44 e ) 0.035/0.225 = 0. 16 a) 1 9/60 = 0.3 1 66 b) 18/1 9 = 0.9474 e) 14/41 = 0.3415 Probabilidad de acierto
Disparo
1 2 3
A
B
0.2 (0. 5) X (0.2) (0.5) X (0.3) 0.3
X [(0.5) X (0. 3)] + (0.8) X [(0.5) X (0. 7)] X (0.3) + (0.8) X [(0.5) X (0. 8) ] X (0. 3)0 = 0. 12 + 0.084 + 0.096 = 0.30 b) (0. 8) x [(0. 5) x (0.8)] x (0.7)+(0.8) x [(0.5)x (0.7)] x (0.7) 0. 224+0. 196 0.42 e) [0.42+0.084]/0.60 = 0.504/0.60 = 0.84. Cabe destacar aquí comojuega con los números el concepto de probabilidad. Hay que sumar en el numerador 0.084, porque si B realiza el segundo disparo, A ya sabe de antemano la ocurrencia del tercer disparo aunque B !o acierte. d) (0.42 + 0.32)/(0.42 + 0.32 + 0. 2 + 0. 096) = 0.7142; razonamiento igual que e). Con el mismo razonamiento del problema del duelo (5.61) se obtiene a) 0.1675 b) 0.3145 e) 0.3290 d) 0.1 725 e) 0.6460 A: el evento "la moneda es sesgada" a) Probabillidad total 0.999 x ( 1/8) + 0.001 x ( 1 ) = 0. 1258 P(A) = 0.001/0. 1 258 = 0. 0079 b) 0.999 X ( 1 /21 0 ) + 0.001 X ( 1 ) = 0. 0019 P(A) = 0.001/0. 0019 = 0.5263 e) 0.999 X ( 1/220 ) + 0.001 X ( 1 ) = 0. 001 P(A) = 0.001/0.001 = 1 Definamos los siguientes eventos:
a) (0. 8)
=
5.62. 5.63.
5.64.
A 1 = {Se envío la señal 1 1 1 } A2 = {Se envío l a señal 000} B 1 = {Se recibió la señal 1 1 1} B2 = {Se recibió la señal 000}
. B3 = {Se recibió la señal 010},
=
1 50 CAP. S. PROBABILIDAD TOTAL entonces obtenemos las siguientes probabilidades condicionales, P(B¡ 1 A ¡ ) = 0. 5 1 2 ;
P(B¡ 1 Az) = 0. 008
P(Bg 1 A ¡ ) = 0. 032;
P(Bg 1 A2) = 0. 128
P(Bz 1 A ¡ ) = 0.008;
5.65.
P( Bz 1 Az) = 0. 5 1 2
a) En el caso 1 1 1 , probabilidad de P( B ¡ ) = P(A 1 )P( B 1 1 A 1 ) + P(A2)P(B1A2) = 0.3356, para 000, P(Bz) = 0. 1 844 y entonces para 0 1 0, P(B3) = 0.0656 b) P(A2 1 Bg ) = [P(Az)P(Bg 1 Az)]/P(Bg) = 0.683 e ) P(A ¡ 1 B ¡ ) = [P(A ¡ )P(B ¡ 1 A¡ )]/P(B¡ ) = 0.992
Sean los eventos Hil = {De la urna i se sacó una bola de color blanco} H;2 = {De la urna i se sacó una bola de color negro}, entonces se cumple n m y ; P( H¡z) = m+n m+n m m+l n m + -- X ----=X P ( H2J ) = m+n+ 1 m+n m+n+l m+n P ( Hn ) =
--
--
m m+n
--
De la misma forma se puede verificar que P( H22) = .::n . Por inducción se puede demostrar de manera sencilla que P( H;¡ ) = ,�n P( H;z) = : para cualquier i, por lo que la probabilidad de que la bola que se elige en la última urna sea de color blanco es igual a m':n . Sea el evento Ak = {Después de seleccionar k boletos, se eligió un boleto que gana}. Para los resultados anteriores tenemos k + 1 hipótesis Hks = {s de k boletos ganan},
y
5.66.
y
"'
"
s = O, 1, 2, 3, . . . , k, pero
y
O para s > m P(Ak 1 Hks) = :�¡ entonces por la fórmula de probabilidad total la probabilidad de ganar es:
P (Hks) =
m n
5.67.
por lo que la probabilidad es igual para todos y no depende del orden en que se seleccione. Utilizar propiedades de series con combinaciones de ejercicios anteriores.
Capítulo
6
Probabilidad geométrica
Sean X un conjunto de objetos o figuras geométricas y p., una función de valores reales con dominio en todos los subconjuntos de n, con n e X tales que: p.,(O) 2: o y p.,( O¡ u 02 ) = p.,( O¡ ) + p.,(ü2 ). Si, p.,(O) <
oo
para cualquier A e O P(A) =
p.,(A) p.,( O)
se llama probabilidad geométrica en el conjunto n a) Si X es una recta real entonces O es un intervalo finito, por lo tanto, p., es la medida de Lebesgue en !R l, es decir, p.,([e, d]) = d - e, y en este caso P(A) = es la probabilidad geométrica en un intervalo. b) En los ejercicios de probabilidad geométrica cada experimento con resultados aleatorios tiene como espacio muestral un conjunto de objetos geométricos como puntos, rectas, planos, esferas, etcétera.
���i
6.Í. José es un niño de 2 años y, según su historia familiar, parece razonable
suponer que cuando sea adulto su estatura tenga la misma probabilidad de estar comprendida entre 5 pies 9 pulgadas y 6 pies 2 pulgadas. Con base en esta suposición, ¿cuál es la probabilidad de que tenga al menos 6 pies de estatura cuando sea adulto? 6.2. Una persona viaja diariamente en el tren suburbano para ir de su casa a su trabajo. Los trenes salen de la estación a las 7, 7: 13, 7:20, 7:25, 7:32, 7:45 y 7:55 a.m. y esta persona aborda el primero, tan pronto llega a la estación. Debido a que se levanta a diferentes horas y a las condiciones variables del tránsito, las horas en que esa persona llega a la estación, tienen la misma probabilidad de estar comprendidas entre las 7: 15 y las 7:45 a.m. De acuerdo con lo anterior, ¿cuál es la probabilidad de que
151
1 52 CAP. 6. PROBABILIDAD GEOMÉTRICA
6.3. 6.4.
tenga que esperar en la estación menos de 5 minutos un día cualquiera? ¿Menos de 1 0 minutos? En el supuesto de que los trenes de las 7:25 y las 7:45 son expresos, ¿cuál es la probabilidad de que aborde uno de ellos en determinado día? Se rompe una regla de 12 pulgadas al azar en dos partes a lo largo. ¿cuál es la probabilidad de que la longitud de la parte más larga sea al menos el doble de la más corta? Se selecciona un puri:to (x, y) del cuadrado S que contiene todos los puntos (x, y) tales que O :::; x :::; 1 y O :::; y :::; l. Supóngase que la probabi lidad de que el punto seleccionado pertenezca a cualquier subconjunto específico de S es igual al área de ese subconjunto. Determínese la pro babilidad de cada uno de los siguientes subconjuntos: a) el subconjunto de puntos tales que (x - i ) 2 + (y - i ) 2 2 i b) el subconjunto de puntos tales que � < x + y < i e) el subconjunto de puntos tales que y :::; 1 x2 d) el subconjunto de puntos tales que x = y A y B deciden encontrarse entre las tres y cuatro de la tarde, pero acuerdan que cada uno no espera más de 1 0 minutos al otro. Hallar la probabilidad de que se encuentren. Dado un triángulo cualquiera con un punto O colocado en su interior, con la condición de que cada vértice del triángulo se identifica con un solo lado del mismo. Sean P1 , P2 y P3 la probabilidad de que la recta l corte el correspondiente lado del triángulo. Demostrar que P¡ + P2 + P3 = 2 (Problema de Buffon) En el plano horizontal se dib�an dos rectas paralelas de distancia 2L. Calcular la probabilidad de que, si se lanza aleatoriamente una aguja con longitud 2l, corte una de las rectas. -
6.5. 6.6.
6.7.
2L
6.8. (Problema de Laplace) En el plano se encuentran dibujados rectángulos con lados a y b. Si se lanza al azar una aguja de tamaño l con l < mín(a, b), ¿cuál es la probabilidad que la aguja no intercepte ningún lado del rectángulo? 6.9. (Paradoja de Bertrand) En una circunferencia con radio R se eligió al azar una secante. Calcular la probabilidad de que la distancia de ambos puntos extremos de una cuerda no exceda al lado de cualquier triángulo inscrito.
PROBABILIDAD GEOMÉTRICA 1 53 6.10. En un segmento de longitud l se seleccionaron al azar dos puntos. 6.11. 6.12. 6.13. 6.14.
6. 15.
6.16.
6.17. 6.18.
6.19.
6.20.
¿cuál es la probabilidad de que ninguna de las tres partes obtenidas del segmento sea menor que a, donde O :::; a :::; 1 /3? Un piso de madera está formado por triángulos equiláteros de lado a. Se lanzó una moneda sobre el piso con el radio r < a '{( . Calcular la probabilidad de que no intercepte el perímetro de ningún triángulo. De un segmento se seleccionaron dos puntos que lo dividen en tres partes. ¿cuál es la probabilidad de que se pueda construir un triángulo? De manera aleatoria se lanzan tres puntos en un segmento AB. Calcular la probabilidad de que con las longitudes de A a cada uno de los puntos, se pueda formar un triángulo. En dos tiempos aleatorios tx y ty del intervalo [0, T], deberían ocurrir los eventos X y Y de manera independiente. Dichos eventos se dice que coinciden si - a :::; tx - ty :::; b con a > O y b > O. Calcular la probabilidad de que: a ) X ocurra antes que Y, b) X y Y coincidan, e ) Y ocurra antes que X, dado que X y Y coincidan. Se elige al azar un punto en un cuadrado de lado 1, con O :::; x :::; 1 y O :::; y :::; l . Calcular la probabilidad de que: a) x � 1/2 dado que x + y � 1/3, b) x � y dado que xy � 4, e ) x :::; 1/2 dado que x = 1/2; En un segmento con longitud l se escogió un punto al azar que divide este segmento en dos partes. Calcular la probabilidad de que con estos dos segmentos y con un segmento de longitud l/2 se pueda construir un triángulo. En un segmento con longitud unitaria se seleccionaron dos puntos al azar, X y Y Calcular la probabilidad de que · l a distancia entre estos dos puntos sea mayor que x, con O < x < l. En el plano se trazan dos familias de rectas paralelas distintas, las cuales dividen este plano en rectángulos con lados a y b con a :::; b. Si se lanza al azar una moneda con diámetro 2r :::; a. Calcular la probabilidad de que no intercepte ninguna de estas dos rectas. En un plano, se trazó un haz infinito de rectas paralelas con una distancia alterna entre las rectas de 3 y 16 cm. ¿cuál es la probabilidad de que un disco circular con radio de 5 cm lanzado al azar sobre el plano no c'orte ninguna de las rectas? En el interior de un hexágono regular con lado a se escogió un punto al azar. ¿cuál es la probabilidad de que la distancia de este punto al centro del hexágono no sea mayor que x, donde O < x < a'(!?
1 54 CAP. 6. PROBABILIDAD GEOMÉTRICA 6.2 1. Un evento A puede ocurrir con igual probabilidad en cada momento del intervalo de tiempo [0, T]. La probabilidad de que A ocurra en este intervalo es igual a p. Se sabe que A no ocurrió hasta el tiempo t con O < t < T. Calcular la probabilidad que el evento A ocurra en el intervalo [t, T]. 6.22. Un alambre de cobre con longitud de 20 cm se dobló en un punto de manera aleatoria. La parte mayor se volvió a doblar .en dos puntos de manera tal que se pudo construir un rectángulo. Calcular la probabili dad de que el área de este rectángulo no exceda de 2 1 cm2 • 6.23. En el segmento AB de tamaño 1 se colocaron al azar dos puntos L y M. Calcular la probabilidad de que L está más cerca de M que de A. 6.24. Sean a y b la longitud de dos lados de un triángulo. El tercer lado es un segmento con longitud de un número elegido al azar en el intervalo (a - b, a + b) con a > b. ¿cuál es la probabilidad de que el triángulo sea acutángulo? 6.25. Se colocaron aleatoriamente tres puntos en un círculo. ¿cuál es la probabilidad de que el triángulo que se forma sea acutángulo? 6.26. Sean C(O, R) y C1 (0, R¡ ) dos circunferencias concéntricas con R 1 < R. Se selecciona al azar una recta que corta la circunferencia C. Calcular la probabilidad de que la recta corte también la circunferencia C1 . 6.27. En una circunferencia se inscribió un cuadrado. Calcular la probabili dad de que: a) un punto que se lanzó al azar sobre la circunferencia se encuentre dentro del cuadrado b) de cinco puntos lanzados sobre la circunferencia, uno caiga dentro del cuadrado y los cuatro restantes en cada una (indistintamente) de las regiones formadas por los cuatro arcos y lados del cuadrado. 6.28. Calcular la probabilidad de que las raíces de la ecuación cuadrática x2 + 2ax + b O sean reales si los coeficientes pueden tomar cada valor en el rectángulo -k :S: a :S: k, -l :S: b :S: l. =
6.29. En el interior de una circunferencia se seleccionaron al azar dos puntos: A y B . Calcular la probabilidad que la circunferencia con centro en A y radio AB esté dentro de la primera circunferencia. 6.30. En el interior de una esfera se eligen al azar dos puntos: A y B. Calcular la probabilidad que la esfera con centro en A y radio AB esté dentro de la primera esfera. 6.3 1. Se escogieron al azar tres puntos sobre una circunferencia. Calcular la probabilidad de que los tres puntos pertenezcan a un arco de longitud a radianes.
RESPUESTAS 1 55
Resp uestas 6. 1 .
Espacio muestra! (en pulgadas)
!1 = {x : 69 :S x :S 74} A: el evento "al menos 6 pies de estatura" A = {x : 72 :::; x :::; 74} Entonces,
JL(!1) = 5 JL(A) = 2
y 6.2.
P(A) = 2/5.
Espacio muestra! fl
= {x : 0 :S X :::; 30}.
Se definen los eventos
A: el evento "Espera menos de 5 minutos" B: el evento "Espera menos de 10 minutos" C: el evento "Puede tomar el expreso". Entonces,
y Por tanto 6.3. 6.4. 6.5. 6.6.
2/3 1 - 7Tj4; 1 1/36
a)
A = {x : O :::; x < 10 o 12 :::; x < 17 o 25 :::; x < 30} B = {x : O :::; x < 17 o 20 :::; x < 30} C = {x : 5 :S X < 10 O 17 :S X < 30} JL(!1) = 30 ¡.t(A) = 20 ¡.t(B) = 27 ¡.t(C) = 18. P(A) = 2/3 P(B) = 9/10 P(C) = 3/5. b) 3/4;
e
)
2/3;
d) O
Construyamos una gráfica de ayuda. Según la identificación de los lados podemos representar el triángulo como: 3
1 56 CAP. 6. PROBABILIDAD GEOMÉTRICA Sea P; = P(A¡), donde A¡ es el evento que la recta corte del lado i, entonces A 1 n A 2 = A3, A2 n A3 = A� y A3 n A ¡ = A2, y para que la probabilidad se cumpla:
P(A 1 n A2 ) = 1 - P3 P(A2 n A3) = 1 - P¡ P(A3 n A ¡ ) = 1 - h pero P(A 1 n A 2 n Ag) = P(A\ n A2 n Af¡) = O = 1 - P(A¡ U A2 U A3).
6. 7.
Si se aplica la propiedad aditiva a los tres conjuntos obetenemos: 1 - P1 - P2 P3 + ( l - P3) + (1 - P¡ ) + ( 1 - P2 ) = O, de donde resulta P¡ P2 + P3 = 2. Sea x la distancia del punto más cercano de la recta al punto medio M de la aguja de longitud 2l, como se muestra en la figura del ejercicio 6.7. Una condición necesaria y suficiente para que la aguja corte la recta es
+
x
:=:; l sen( a) con O ::; x ::; L y O ::; a ::; 7T,
entonces la probabilidad requerida es p
2z 1 = 7TL Jor l sen(a)da = 7TL .
6.8.
Con la misma idea del problema de Buffon, es fácil darse cuenta que la probabilidad de que la aguja corte el lado de longitud b es 2lj7Ta, y para el lado de longitud a se obtiene 2l/7Tb. La probabilidad de que no corte el rectángulo entonces es
6.9.
No se dice cómo se eligió la secante, por lo que el ejercicio se puede solucionar de distintas maneras.
M
b)
e
)
a) (Primera solución) Se elige una secante en una dirección, entonces su punto medio cae sobre el diámetro perpendicular MN (figura a). La longitud de la secante AB es mayor que el lado del triángulo inscrito en esta circunferencia si la distancia de OX es menor que R/2. Pero tenemos dos regiones PO =
RESPUESTAS 1 57 OQ = R/2, entonces los eventos favorables de X se encuentran en PQ por lo que la probabilidad buscada es p = R/(2R) = 1/2. b) (Segunda solución) Se toma la secante sobre el vértice A del triángulo (figura b). En este caso los resultados favorables caen sobre los arcos AC y BA, por lo que p = (1r60 + 7T60)/7T360 = 1/3. e) (Tercera solución) Se traza una secante al azar sobre la circunferencia; se marca el punto medio (figura e) y se considera su distancia hacia el centro de la circunferencia. La longitud de la secante excede el lado del triángulo si el punto medio cae sobre la circunferencia inscrita en el mismo. La probabilidad que la secante esté sobre la circunferencia inscrita es p = (1/4 x 1rR2 )j1TR2 = 1/4. Entonces la probabilidad buscada es 3/4. 6. 10.
Al elegir al azar dos puntos se obtienen las tres longitudes X, Y, Z. Estas tres longitudes se pueden considerar como las distancias de los lados a un punto M en el interior de un triángulo equilátero de altura 1 y lado � V3, como se ilustra en la figura a.
a
)
Para X, Y y Z se debe cumplir X 2 a, Y 2 a, Z 2 a , lo que significa que el área del triángulo sombreado representa los casos favorables del problema (figura b ).
b)
1 58
e) Ahora bien, si trazamos una perpendicular del punto Q al iado correspondiente (igual que en la figura e), esta distancia es a', entonces los otros lados del triángulo sombreado cumplen la relación: X - = cos 60 y
o
y = 2x x = a cot 60
y'3 y y = 2 -a 3
o
pero QP = y, por lo tanto el lado del triángulo buscado es
-3
v'3 (2 6a). 3 De esta manera el área del triángulo pequeño resulta ser [ '? (2 - 6a)r v'3 -2 v'3 - 2x - 2y = -2 v'3 - 2a v'3 - 4a 3
3
por l o que l a probabilidad buscada es:
!(2 - 6a)2 P(A) = 3 v'3
·
3
6. 1 1 .
4
v'3
3
=
=
-
·
1',
( 1 - 3af
Sea A el evento "la moneda no intercepte el perímetro". La probabilidad de que la moneda intercepte el perímetro es equivalente a calcular la probabilidad de que caiga en la región entre los dos triángulos que se ilustran en la figura. Los casos favorables a la probabilidad que buscamos son los que se encuentran en la región dentro del triángulo pequeño. Este tipo de problemas ya lo resolvimos en otras ocasiones. En este caso, la distancia a es igual a la proporción r/h, que, como máximo, puede alcanzar el valor 1/3, donde h = "f3 . La probabilidad 2 buscada es en consecuencia P(A) = 1 2r .
(-
¿)
RESPUESTAS 1 59 6. 1 2 .
Con la idea de ejercicios anteriores, las condiciones que deben cumplir los lados del triángulo caen en una región como la de la figura, donde M, N y P son puntos medios.
A
6.13.
6. 14.
"'------1:-B-+ X
El triángulo sombreado corresponde a los casos favorables, por lo que la probabilidad es p = 1/4. Si tomamos los tres puntos X, Y y Z, se pueden representar como un punto de un cubo M(x, y, z) en el espacio dentro de un cubo de lado AB. Si definimos las longitudes AX = x, AY = y y AZ = z, entonces se deben cumplir las siguientes desigualdades: X + y > Z, Z + y > X y Z + X > y las cuales son válidas sólo para un prisma triangular dentro del cubo. Si hiciéramos una proyección ortogonal sobre el plano XY, el resultado sería equivalente al del dibujo del problema anterior. La probabilidad buscada es entonces p = 1/4. Los eventos elementales que son los tiempos cuando ocurren X y Y se pueden representar como puntos M(tx, ty) en un cuadrado de lados O :S lx :S T y O :S ty :S T, como se ilustra en la figura a. T 1------,
t,
T
a)
b)
T 1----;----,
a o
B
e)
b
T
d)
1 60 CAP. 6. PROBABILIDAD GEOMÉTRICA Sean los eventos: A = {X ocurre antes que Y} (figura b); B = {X y Y coinciden} (figura e); C = {A n B} (figura d); '
entonces, si se calculan las áreas de las regiones señaladas sobre el área del cuadrado, se cumple: a) p(A) = i; a+b a2+b2 b ) p(B ) = --;¡- 2-fT ; l p(A'nB) P(C) 2bT - b2 ' B ) - p(B) - l'(ll) C ) P (A - 2T(a+b)-a2 -b2 . a ) 1 8/34 b) 3/4 - (In 2)/2 = 0.4034 e) O Sea el evento A = {Con los tres segmentos escogidos se puede construir un triángulo}. Los tres segmentos sólo formarían un triángulo si se cumple las siguientes desigualdades para los tres lados: _
6. 15.
6. 16.
_
_
x + (l - x) > l/2 (l - x) + l/2 > x l/2 + X > [ - X. De resolver estas desigualdades obtenemos las condiciones x < 3l/4 y x > l/4, que significa gráficamente el área de un rectángulo dentro de un cuadrado de lado l, como se representa en la figura.
l/2
6. 1 7.
La probabilidad buscada es entonces P(A) = (l2 /2)/Z2 = 1/2. Sea A = {la distancia entre los puntos es mayor que x} Como estamos en un intervalo en que la distancia de los dos puntos seleccionados al azar es mayor que x, significa que se cumple la desigualdad y - x > x; de la cual obtenemos y > 2x. Si se representa el área sobre un cuadrado de lado 1 , como en la figura, el área de los casos favorables siempre está dada por un triángulo de base ( 1 - x) y altura y.
161
1-x
6. 18.
x2•
La probabilidad buscada es entonces P(A) = 2x Sea A = {La moneda no intercepta ninguno de los lados del rectángulo}. Si la moneda cae dentro de uno de los rectángulos, entonces la longitud máxima que puede cubrir será la de su diámetro. En la dirección de es - 2r, y en la r��b dirección de b es b- 2r; por lo que la probabilidad buscada es p(A) =
a a
(a-2 -2r) .
b
6. 19.
Sea el evento A "el disco no corta ninguna de las rectas" 3
6.20.
16
El disco circular lanzado no tiene probabilidad de no cortar las rectas sólo si cae entre dos rectas con distancia de 16 cm, como se ilustra en la figura. En caso de que caiga entre dos rectas de este tipo, siempre se cumplirá la igualdad 2 x 5+x+y = 16, donde x es la distancia a la recta de la izquierda, y y, la distancia a la recta de la derecha. Por lo tanto, se cumple siempre x + y = 6. La longitud total de dos rectas alternadas es de 19 cm. Entonces, 6/ 19 es la probabilidad buscada. El área total del hexágono es J.L
(!1)
=
6a24v'3 = 3a22v'3'
1 62
pero el área de los puntos que no son mayores que x están sobre una circunfe rencia de radio x (ver figura 6.20), por lo que p.(A) = Trx2 , entonces
P(A) = 6.21.
2Trx2 = 2Trx2 v'3 . 9a2 3a2y'3
Sean los eventos:
B = {A ocurre en el intervalo [0, t]} e = {A ocurre en el intervalo [t, T]}. Según estos eventos encontramos las siguientes probabilidades: P(B U e) = p y P(B)/P(e) = t/(T - t), lo que implica que P(B) = tp/T y P(e) = p(T - t)/T. La probabilidad de que A no ocurra en el intervalo [t, T] es entonces igual a P(ejBc) = P(e n Bc )/P(Bc) = P(e)j(l - tp/T) = (pT(T - t))/((T - tp)/T) = p(T - t)/(T - tp). 6.22.
Para que se cumpla la propiedad la longitud del lado del rectangulo debe satisfacer la desigualdad x(20;-2x) :::; 2 1 . Si se simplifica, se obtiene la desigualdad x2 + lOx + 2 1 2: O. Al integrar conveniente en los intervalos [0, 3] y [0, 5], la probabilidad requerida es p = 0.6.
6.23.
Si definimos las distancias x = ML y y = L, entonces L está más cerca de M que de A si se cumplen las desigualdades x < 1/2 y x < y. Al representar estas condiciones sobre un cuadrado de lado 1 se obtiene la probabilidad p = 1/4.
6.24.
La longitud del intervalo es igual a 2b. El máximo ángulo que pueden formar los lados con longitud a y b respectivamente para que el triángulo sea ocutángulo es de 90 grados, lo que implica que la longitud del tercer lado es Ja2 + b2. El mínimo ángulo se alcanza cuando el tercer lado mide Ja2 - b2. Bajo estas restricciones, la probabilidad buscada es p =
6.25.
6.26.
vd4b2-Ja2 - b2 b 2
•
Se pueden colocar dos puntos en la circunferencia y dos de ellos deben distar TT/2 sobre una circunferencia de radio l . El tercer punto puede colocarse entonces sólo en la región comprendida por la intersección de los diámetros definidos por el centro y los dos puntos anteriores. Esta región tiene también longitud a, la que a su vez puede tomar cualquier valor del intervalo (O, TT /2) y el triángulo sigue siendo ocutángulo. Bajo estas condiciones, la probabilidad buscada es 1/4.
a menor que
Sea O el conjunto de todas las rectas que interceptan a e y A el conjunto de todas . las rectas que interceptan a e¡ . Si se representan las rectas de O en coordenadas polares (cf>, p) según la siguiente figura,
1 63
se cumple para il y A , n = {(p,
) : o � � 21r, o �
� R} A = {(p, ) : O � � 27T, O � p � R¡ }.
Entonces la probabilidad buscada es igual a p = 6.27.
a)
P
_
-
2R2 _ _g_ 7rR'2 '" .
P
:��\ = � = !Jf.
b) El área que se forma entre cada uno de los arcos y el lado del cuadrado
6.28.
2
es igual a 11 (�-2) , por lo que se obtiene para todas las regiones: p =; 5! ( 1T4�2 f � · Si se observa l a solución del discriminante de la ecuación cuadrática sobre la región del rectángulo se obtienen las probabilidades p = 1 '{¡, para l � k2 y k2 1 p = 2 + 61, para l 2: k2 . Los puntos A y B se pueden representar por un punto (x, y, z, t) en un espacio de cuatro dimensiones, donde x, y son las coordenadas de A y z, t son las de B. Los puntos A y B están dentro de una circunferencia si y sólo si se cumple: -
6.29.
x2 + / � R2 / + t2 � R2.
El volumen de una figura con las restricciones anteriores está dado por:
JJJJ dxdy dz dt = 1r2R4. x2+l5.R2 z2+t2 '5R2
La propiedad de que la circunferencia con centro en A y radio AB esté contenida dentro de la primera circunferencia es equivalente a que B esté dentro de la primera circunferencia y la circunferencia con centro en A y radio AB sea tangente a la circunferencia mayor de la figura.
1 64
Esta condición la podemos escribir mediante coordenadas x, y, z, t , de la forma j(x - z)2 + (y - t ) 2 ::; R - Jx2 + y2 . Entonces, el volumen se puede calcular con
JJJJ dx dy dz dt = JJ 1r(R - �) dx dy = � 7T2�4 . D¡
6.30.
6.3 1 .
D2
Donde D 1 = {(x, y, z, t) : x2 l ::; R2, j(x - z)2 (y - t)2 ::; R - Jx2 + y2 } y + + D2 = {(x, y) : x2 + l :S R2}. Por lo que la probabilidad buscada es p = �· La probabilidad puede calcularse con la idea del ejercicio anterior, pero aquí hay que tomar las coordenadas en seis dimensiones. En este caso de la esfera, la probabilidad es p = to · Sea un punto F [�o, y tomemos x y y con (O :S x < 27T) y (O :S y < 27T) como el tamaño del arco de dos puntos elegidos al azar sobre la circunferencia respecto a F. Bajo estas condiciones, un arco de tamaño a radianes contiene los tres puntos sólo en los casos siguientes: l. x < a y y < a 2. x > 27T y > 27T - a 3. x - y > 27T a
y
-
Estas condiciones están representadas en la figura siguiente.
o
a
RESPUESTAS 1 65 l . Para a �
7T, estas cuatro condiciones se pueden representar como el área sombreada. Entonces, de la figura, la probabilidad es
2. Para 7T � a � � 7T, la probabilidad es
Advierta que si se traza el mismo cuadrado que en l. las áreas se interceptan, por lo que en este caso el dibujo no refleja las condiciones mencionadas. No obstante, podemos pensar de la misma manera que en 1, pero mediante el dibujo de tres cuadrados. 3. Para a 2:: �7T, p = 1
Capítulo 7 Variables aleatorias discretas
Una función estrictamente medible X ( w) definida sobre el espacio mues tra! n se denomina variable aleatoria o estocástica. a) Una variable aleatoria es discreta si toma valores con probabilidad mayor que cero a lo sumo en un conjunto numerable de puntos. Esto significa que existe una secuencia x 1 , x2, . con . .
P [X = X¡] = p; > o
y
L Pi =
1
i= l
A la secuencia {pn , n = 1 , 2, } se le llama función de probabilidad (densidad) o función de frecuencia de X. b) Una función acumulativa o de distribución para una variable aleatoria discreta está definida por . . .
=
F(x) L P[X = x;] x;::::=;x
e) Suponga que X es una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad f(x). Si y = u(x) define una transformación uno a uno entre los valores de X y Y de tal forma que la ecuación y = u(x) se puede resolver únicamente para x en términos de y de la forma x w(y). Entonces la distribución de probabilidad de Y es: =
g(y) = P( Y = y ) = P [X = w(y) ] = f[w(y) ] d) El valor esperado, esperanza, valor medio o simplemente la media de una variable aleatoria discreta X denotada por E(X), se define por
E(X) = ¿ x; P [ X = x;] 1 66
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 1 6 7 e) El valor esperado cumple con la propiedad de linealidad si. E(X) < E( Y) < oo; entonces; para toda constante a y b tenemos
oo,
E[aX + bY] = aE(X) + bE(Y) J) Si X es una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es p(x). y si g(X) es cualquier función de X con valor real, entonces E[g(X)] =
L g(x) p(x) X
"
g) Si X es una variable aleatoria discreta cuyo valor esperado E(X) = ¡..t , entonces podemos definir la varianza de X, denotada por V(X), como
7 .l. Encontrar la función de distribución de la variable aleatoria X número de águilas que se obtienen al lanzar cuatro monedas. 7.2. Encontrar la función de probabilidad de la variable aleatoria X producto de los dos números que se obtienen al lanzar dos dados. 7 .3. Dos tiradores disparan sobre el mismo blanco un tiro de forma inde pendiente. Investigaciones estadísticas registraron la probabilidad de acierto P1 y P2 para el tirador 1 y el tirador 2, respectivamente. a) Determine la función de probabilidad respecto a la variable aleatoria X = X¡ + X2, donde X; es el número de aciertos del tirador i(i = 1, 2). b) (Cuáles valores se obtienen en especial para P1 = 0.9 y P2 = 0. 8? 7 .4. De una caja con cuatro pelotas de color negro y dos de color verde, se seleccionan tres en sucesión con reemplazo. Encuentre la distribución de probabilidad para el número de pelotas de color verde. 7.5. Encontrar la función de probabilidad de la variable aleatoria X = suma de los dos números que se obtienen al lanzar dos dados. 7.6. Suponga que se lanzan dos dados equilibrados y sea X el valor absoluto de la diferencia entre los dos números que aparecen. Determine la función de densidad de X. 7.7. De un paquete de cartas se sacan tres en sucesión sin reemplazo. Encuentre la distribución de probabilidad para el número de cartas de espadas. 7.8. En un problema de una prueba aplicada a niños pequeños, se les pide que hagan corresponder cada uno de los tres dibujos de animales con la palabra que identifica al animal respectivo. Si un niño asigna aleato riamente las tres palabras a los tres dibujos, encuentre la distribución de probabilidad para X, el número de correspondencias correctas. ·
1 68 CAP. 7. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 7.9. Con el propósito de verificar la exactitud de sus estados financieros, las compañías tienen auditores permanentes para verificar los asientos contables. Supóngase que los empleados de una compañía efectúan asientos erróneos 5 % de las veces. Si un auditor verifica tres asientos al azar, encuentre la distribución de probabilidad para X, el número de errores detectados por el auditor. 7.10. Un vendedor de equipos pesados puede entrevistar a uno o dos clientes por día, con probabilidad 1/3 y 2/3, respectivamente. Cada entrevista produce una venta de 50 mil pesos o ninguna venta cori probabilidades 1/ 1 0 y 9/ 1 0, respectivamente. ¿cuál es el valor esperado de sus ventas diarias? 7 . 1 1. Un vendedor calcula que cada entrevista con un cliente conduce a una venta con probabilidad 0.2. Cierto día, entrevista a dos clientes. Calcule la distribución de probabilidad del número X de clientes que firman un contrato de ventas. 7.12. Un llavero contiene cuatro llaves casi idénticas de una oficina, pero sólo una abre la puerta de la oficina. Supongamos que se selecciona una al azar y se prueba. Si no es la llave adecuada, se selecciona al azar una de las tres restantes. Si ésta tampoco es la llave adecuada, se selecciona al azar una de las dos restantes. Sea X igual al número de llaves que pueden probarse hasta encontrar la llave que abre (X = 1, 2, 3, 4). Encuentre la distribución de probabilidad de X. 7. 13. Suponga que se ha cargado un dado de modo que la probabilidad de que salga un número determinado es proporcional al mismo. Calcular las probabilidades de los eventos de un solo elemento y usarlas para calcular la probabilidad de ocurrencia de a) un número par, b) un número mayor que cuatro. 7. 14. En un tablero de ajedrez de tamaño 8 x 8 se coloca al azar un caballo. Sea X el número de casillas a donde puede moverse el caballo desde la posición en que está colocado. ¿cuál es la distribución de probabilidad de X? 7. 15. Los registros de una compañía de seguros de automóviles dan la siguiente información sobre accidentes: la probabilidad de que un conductor asegurado tenga un accidente automovilístico es de 0.15. Si ocurre un accidente, el daño al vehículo es 20 % de su valor en el mercado con probabilidad 0.80; 60 % de su valor con probabilidad 0.12, y una pérdida total con probabilidad 0.08. ¿Qué prima debe cobrar la compañía por un automóvil de cuatro mil pesos para que la ganancia esperada de la compañía sea cero? 7. 16. Un embarque de siete televisores contiene dos aparatos defectuosos. Un hotel realiza una compra aleatoria de tres de ellos. Si X es el número
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 1 69
7.17. 7.18.
7.19. 7.20. 7.2 1 .
7.22.
7.23.
7.24.
7.25.
7.26.
de unidades defectuosas que se adquieren, encuentre la distribución de probabilidad de X. Exprese los resultados gráficamente como un histograma de probabilidad. De una caja que contiene cuatro monedas de mil pesos y dos de 500, se seleccionan tres monedas al azar sin remplazo. Determine la distribución de probabilidad para el total T de las tres monedas. En una urna hay cinco pelotas con los números 1, 2, 3, 4 y 5. Se sacan dos pelotas al azar y se anotan sus números respectivos. Encuentre la distribución de probabilidad para: a) el mayor de los dos números seleccionados, b) la suma de los dos números seleccionados. Supóngase que en una lotería se venden 1 0 mil boletos de un peso cada uno. El ganador recibirá un premio cuyo valor es de 500 pesos. Si alguien compra boleto, ¿cuál es su esperanza? ¿cuál es el precio justo que debe pagarse para entrar en un juego en el que se pueden ganar 100 pesos con 0. 1 de probabilidad, cinco pesos con 0.4 de probabilidad y nada con 0.5 de probabilidad? Un piloto de automóviles de carreras estima que las posibilidades de que se presenten O, 1 ,, 2 o 3 fallas durante una carrera larga son 0.33, 0.28, 0.24 y 0.15. La probabilidad de que haya más de tres fallas es insignificante. ¿cuántas fallas puede esperar el piloto durante la carrera? Un equipo electrónico contiene seis transistores, dos de los cuales son defectuosos. Se seleccionan tres transistores al azar, se sacan del equipo y se inspeccionan. Sea X el número de transistores defectuosos obser vados, donde X = O, 1 , 2. Encuentre la distribución de probabilidad de X. Al evaluar la calificación que puede obtener en el examen final de contabilidad, un estudiante considera que las probabilidades de recibir una calificación de 1 00, 90, 80 o 60 % son de 0. 10, 0. 15, 0.35 y 0.40, respectivamente. ¿Cuál es la calificación esperada? A un distribuidor de software para computadoras se le ofrece un embarque valuado en $ 35 000. Las posibilidades de que venda el software en $ 39 000, $ 37 000, $ 35 000 o $ 33 000 son de 0.25, 0.50, 0.15 y 0. 1 0. Si compra el software, ¿cuál es la utilidad bruta esperada? Una inversión puede producir uno de tres resultados: una ganancia de siete mil pesos, una ganancia de cuatro mil pesos o una pérdida de 1 0 mil pesos con probabilidades 0.55, 0.20 y 0.25, respectivamente. Encuentre la ganancia esperada del inversionista. Las probabilidades de que una persona compre O, 1 , 2, 3 o 4 artículos al hacer compras en una miscelánea son de 0.05, 0.07, 0.23, 0.45 y 0.20.
1 70 CAP. 7. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
7.27.
7.28.
7.29.
7.30.
7.3 1.
¿Cuántos artículos puede esperarse que adquiera una persona que hace compras en esta tienda? Un juego de azar justo es aquel en que la probabilidad de que gane un jugador es 1/2. De los siguientes juegos, ¿cuáles son justos? Si el juego no es justo, ¿cuál es la probabilidad de que gane el jugador? a) Se corta un juego de cartas que están dispuestas al azar. Si aparece un diamante, un as, un rey, una reina o una sota, gana el jugador. b) Un pequeño tetraedro regular tiene sus cuatro caras con los núme ros 1 , 2, 3 y 4, respectivamente. Un jugador hace dos lanzamientos y gana si la suma de los números que aparece es par. e) Se lanza un par de dados. Gana el jugador si obtiene una suma de siete o 12, o si aparece un cinco en uno o ambos dados. Un juego de azar se realiza de la manera siguiente: el tallador baraja cuatro cartas, cada una de palo diferente, y entrega una carta abierta a cada jugador. Si se da una carta de color rojo, el juego termina en ese momento. Sin embargo, si se da una de color negro, el jugador recibe una carta adicional (sin cambiar la primera) y después de eso el juego termina en forma definitiva. Si el jugador recibe $ 1.00 por cada carta de color negro entregada y pierde $ 1.00 por cada carta de color rojo, ¿cuál es su esperanza? Una bolsa con paquetes sorpresa contiene cinco paquetes que valen $ 1 cada uno, otros cinco que valen $ 3 la pieza y 10 que valen $ 5 por paquete. ms lógico pagar $ 4 por tener el privilegio de escoger uno de estos paquetes al azar? Encuentre la distribución de probabilidad para el número de discos de jazz cuando cuatro se seleccionan al azar de una colección formada por cinco discos de jazz, dos de música clásica y tres de polka. Exprese el resultado mediante una fórmula. ¿cuáles de las funciones siguientes son distribuciones de probabilidad discretas? 1 x=O 3
a) p(x) =
2
x= 1
{ (5) ( ) ( ) 3 o
para las demás x
2 x 1 5 -x X = O, 1, 2, 3, 4, 5 b) p(x) = x 3 3 O para las demás x 7.32. Encuentre una fórmula para la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X que representa el resultado de un solo lanzamiento de un dado.
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 1 7 1 7.33. Si llueve, un vendedor de paraguas gana $ 30 al día; si no llueve, pierde $ 6 al día. ¿cuál es su esperanza matemática si la probabilidad de lluvia es de 0.3? 7.34. Supóngase que se realiza una sucesión de lanzamientos independientes con una moneda para la cual la probabilidad de obtener una cara en cualquiera de los lanzamientos es de 1/30. a) ¿cuál es el número esperado de lanzamientos que se necesitarán para obtener cinco caras? b) ¿cuál es la varianza del número de lanzamientos que se necesitarán para obtener cinco caras? 7.35. ¿cuál es el precio justo para participar en un juego en el que se ganan $ 25 con probabilidad de 0.2 y $ 10 con probabilidad de 0.4? 7.36. Dos agentes de bienes raíces, A y B, tienen lotes de terrenos que ofrecen en venta. Las distribuciones de probabilidad de los precios de venta por lote se muestran a continuación. Precios A B
7.37.
7.38.
7.39.
7.40.
$ 1000 $ 1 050 $ 1 100 $ 1 1 50 $ 1200 $ 1350 0.3 0. 1 0.3 0.05 0.05 0.2 0.1 0. 1 0.3 0.3 0.1 0. 1
Suponiendo que A y B trabajan en forma independiente, calcule: a) el precio de venta esperado de A y de B, b) la probabilidad de que tanto A como B tengan el mismo precio de venta. Suponer que se tiene un dado cargado de modo que el número que salga sea inversamente proporcional al mismo. Calcular las probabili dades de todos los eventos de un solo elemento y usarlas para calcular la probabilidad de ocurrencia de: a) un número par, b) un número mayor que cuatro. Una fábrica de helados fabrica paletas de chocolate que se venden a 1 0 centavos. Suponer que se pone una estrella cada 5 0 paletas; cualquiera que compra una paleta con una estrella obtiene otra en forma gratuita. Si se decide comprar paletas hasta obtener una paleta gratuita, ¿cuántas se deberán comprar antes de obtener una gratis? La demanda de un producto es de - 1 , O, 1 y 2 por día con las probabilidades 0.2, 0 . 1 , 0.4 y 0.3, respectivamente. Una demanda de - 1 implica que se regresa una unidad. Encuentre la demanda esperada y la varianza. Encontrar la media y la varianza de la variable aleatoria X = al número de caras en un solo lanzamiento de una moneda.
1 72
CAP. 7. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
7.41. Si dos finalistas de un juego de tenis participan en un set cuyo ganador
7.42.
7.43.
7.44.
7 .45. 7.46.
recibirá un premio de $ 24 000 en efectivo y el perdedor uno de $ 1 6 000, ¿cuáles son las esperanzas matemáticas de los dos jugadores si: a) quedan empatados en la clasificación? b) sus probabilidades de ganar son de 3/4 y 1/4? Si los dos campeones de la liga están empatados en la clasificación, las probabilidades de q{_¡e la serie final de baloncesto entre "los siete mejores" dure 4, 5, 6 o 7 partidos son de 1/8, 1/4, 5/ 16 y 5/ 16. En estas condiciones, ¿cuántos juegos se puede esperar que dure esta serie final? Un tallador ofrece realizar eljuego siguiente con un mazo bien barajado de 52 cartas ordinarias. a) El jugador apuesta $ 100 y toma al azar una carta de la baraja. Si la carta es un rey o un as, el jugador gana $ 550; pero si toma cualquier otra carta, pierde la apuesta. ¿Es éste un juego justo? b) ¿cuál es la esperanza matemática si el tallador hace trampa y subrepticiamente quita un rey o un as antes de que el jugador tome una carta? La paradoja de San Petersburgo (D. Bernoulli). Se lanza al aire repetida mente una moneda y se le paga a B cuando cae por primera vez un águila. El juego termina cuando se le paga a B. Si el águila aparece en la primera tirada, B recibe un peso; si aparece en la segunda, dos pesos, si aparece en la tercera, cuatro pesos; si aparece en la k-ésima tirada, 2"- 1 pesos. ¿cuál es el pago de entrada con el que el juego será imparcial? La variable aleatoria X toma valores 1, 2, 3, . . , con probabilidades P(X = r) = k( 1 - ¡3)' - 1 0 < {3 < l. Calcular la constante k. Supóngase que una variable aleatoria X tiene una distribución discreta con la siguiente función de densidad .
J(x) =
{ i2
X = 1, 2, . . .
,
para las demás
Encontrar el valor de la constante c. 7.47. El gerente de un almacén de ropa para caballeros está interesado en el inventario de trajes, que en ese momento es de 30. El número de trajes vendidos a partir de este momento hasta el final de la temporada se distribuye como p(x) =
{ 2
e - 0 20x x! O
x = 0, 1 , 2, . . . , 30 para las demás x
RESPUESTAS 1 73 Encuentre la probabilidad de que le queden trajes sin vender al final de la temporada. 7.48. De una urna que contiene nueve canicas de color azul y tres de color negro, se extraen ocho sin reemplazo. Encontrar la probabilidad de obtener x canicas de color azul. 7.49. Supóngase que una urna contiene siete bolas de color rojo y tres de color azul. Si se seleccionan cinco bolas aleatoriamente y sin reemplazo, . determine la función de densidad del número de bolas de color rojo que se obtienen. 7 .50. Una variable aleatoria X puede tomar cuatro valores con probabilidades ( 1 + 3x)/4, ( 1 - x)/4, ( 1 + 2x)/4 y ( 1 - 4x)/4. ¿rara qué valores de X es ésta una distribución de probabilidades?
Res p uestas
7. 1 .
7.2.
7.3.
1/16, para X = O, 4 4/ 16, para X = 1, 3 6/ 16, para X = 2. p = 1/36, para X = 1 , 9, 16, 25, 36 p = 2/36, para X = 2, 3, 5, 8, 10, 15, 18, 20, 24, 30 p = 3/36, para X = 4 p = 4/36, para X = 6, 12. a) 1 p= p= p=
2
b) o 0.02
xi pi
7.4.
X
o 8/27
p(x)
2 0.72
1
0.26 1 12/27
2 6/27
3 1/27
7.5.
12 1/36
xk Pk 7.6.
. 7.7.
X
p ( x)
P�x)
1
o 1/6
1 ) 1 259 1 ' 1�6 1 1:9 1
o 703/1 700
s 18
1 741/ 1700
2 234/ 1 700
5 1/ 18 3 22/ 1 700
1 74 7.8.
1 l/2
o
X
p(x)
l/3
2
o
7.9.
o
X
p(x) 7. 1 0.
X
50 000 l/30
o
p(x)
2 0.007 1
0 . 1 353
0.8573
1
27/30
E(X)
=
3 l/6
1
3 0.0001 1 00 000 2/30
8333. 3316
7. 1 1 .
7.12.
1 0.32
o
X
p(x)
0.64
X
o
p(x)
1/4
l/4
2 l/4
2 0.04 3 l/4
4 l/4
7. 13.
Número
6 6/2 1
p
a)12/21
b) l l/ 2 1
7. 14. X
8 16/64
6 16/64
p(x) 7.15. X
p - 800 0.12
p(x)
E(X)
=
X
p(x) 7. 17.
p(T = t ) 7. 18.
a) X
p(x)
o
p
4000 0.01 2 '--
1 87. 2 (corresponde a l o que debe cobrar)
7. 16.
t
p - 2400 0.0 1 8
1
o 2/7
1
2000 l/5
2 l/ 1 0
1 4/7 2500 3/5
3 2/ 1 0
2 l/7 3000 l/5
4 3/ 1 0
5 4/ 1 0
1 75 b) 9 1/ 1 0
X
p(x) 7.19.
E(X)
7.20.
$
7. 2 1 .
1 . 2 fallas P(X O )
7.22. 7.23.
=
- 0.95
12
=
=
0. 2; P(X
$ 36 800
7.25.
E(G)
=
7000
2.68 7.27. a) Injusto, p 7.26.
X
=
$ - 1 /6
7.29.
No ( �o) !(x ) - (�)(¿)
7.31.
a) y b)
7.32. 7.33.
1 /6 x J(x) $ 4.80 diarios
7.34.
a) 150
7.35.
$9
=
(0.55) + 4000 25/52
=
7.28.
7.36.
1)
0.6; P(X
=
2)
=
0.2
75. 5%
7.24.
7 · 30 ·
=
para x
=
O
,
X
(0.20) - 1 000
b)Justo, p
=
O
,
=
X
(0. 25)
=
e) Injusto, p
1/2
2 1 50 pesos =
4/9
1, 2, 3, 4
1 , 2, . . . , 6
b) 4350
a) E(A) 1 000 X (0. 2) + 1 050 X (0. 3) + 1 1 00 X (0. 1 ) + 1 150 X ( 0. 3) + 1 200 X (0.05) + 1 350 X (0. 05) 1 097.5; E(B) 1 135 b) (0. 1 ) X (0. 2 ) + (0.3) X (0. 1 ) + (0. 1 ) X (0.3)+ (0. 3) .X (0. 3)+ (0. 05) X (0. 1 ) + (0.05) X (0. 1 ) 0. 1 8 =
=
=
=
7.37.
Número
6 1 0/ 147
p
a
7.38. 7.39. 7.40. 7.4 1 . 7 .42. 7.43. 7.44.
E(X) E( X) E(X)
=
1 /50
=
) 55/147
b) 22/ 147
$5
=
0. 8; V(X)
=
1 /2; V(X)
=
=
1. 1 6 1 /4
a) $ 20 000 b) $ 22 000 para el mejor jugador y $ 18 000 para el peor.
Ocho juegos a) Sí b) - $ 1 0. 78 (favorece al tallador) 1/2 X 1 + 1/2 X 2 + 1/8 X 4 + . . . 1 /2 + 1 /2 + 1 /2 + . . . ; =
1 76 CAP. 7. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
y
El derecho de entrada es infinito los recursos, finitos; por ello, nadie pagaría una suma tan grande como para esperar a que se realice la ganancia. En consecuencia, no es posible evaluarlo. 7.45. k = {3 7.46. Euler demostró que
1
=
� L n2 n= 1
7.47. P(X :S 29) = 1 - P(X
=
30)
-
=
=
7r2
-
6
0.99 16
) (: (s�J para x 5 6 7, 8 Cs2) C) (s�J x 2 3 4 5 7.49. j(x) para las demás x 0 ( �)
7 .48 . P
=
=
7.50. o ::; 0 :S O :S 0 :S
{
=
=
,
'
,
'
1 + 3x :S 4 1 - x :S 4 1 + 2x :S 4 1 - 4x :S 4 y por último - 1/3 :S x :S 1/4
1
'
6
entonces e = 7r2
-
Capítulo 8 Distribución binomial
Sea X una variable aleatoria discreta que toma sólo los valores O y 1 (éxito o fracaso) con probabilidad p para el éxito y 1 - p para el fracaso. Entonces X tiene una distribución de Bernoulli y se cumple para la función de probabilidad de X que: p(x) = ·px con
X
( 1 - p) l -x x = O, 1 para O :::; p :::; 1 E(X) = p y V(X) = 1 - p.
Un experimento binomial consiste en un número füo de n intentos independientes idénticos donde p es la probabilidad del éxito y 1 - p la del fracaso. Si se define X como el número de éxitos en n intentos, entonces X tiene una distribución binomial y su función de probabilidad es p(x) = b(x; n, p) = con
(:) px ( 1 - p)n-x
siendo O :S p :=:; 1
E(X) = np y V(X) = np( 1 - p)
Si X es igual a la suma de n variables aleatorias independientes que se distribuyen Bernoulli con probabilidad de éxito p, entonces X se distribuye binomial. 8.1. Se extraen seis cartas con reemplazo de un juego de bridge. Encontrar / la probabilidad de obtener al menos tres ases. 8.2. Determinar la probabilidad de sacar tres seises en cinco tiradas de un dado. 8.3. Un ingeniero de control de tráfico informa que 75 % de los vehículos que pasan por un punto de verificación tienen matrículas del estado. ¿cuál es la probabilidad de que más de cuatro de los siguientes nueve vehículos no sean del estado?
1 77
1 78 CAP. 8. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL ,8.4. Una moneda se lanza 10 veces. Obtener la probabilidad de que caigan 1 seis, siete u ocho caras. '8 .5. En una gran compañía, 20 % de los empleados son miembros de algún club deportivo. En una muestra aleatoria de 30 empleados, ¿cuál es la probabilidad de que tres, cuatro o cinco pertenezcan a un club de deportes? 8.6. Supóngase que la probabilidad de que una partícula emitida por un material radioactiva penetre en cierto campo es de 0.0 1 . Si se emiten 10 partículas, ¿cuál es la probabilidad de que sólo una de ellas penetre en el campo? 8. 7. Entre personas que donan sanagre a una clínica, 80 % tiene Rh+ ; es decir, tienen el factor Rhesus en la sa_ngre. Cinco personas donan sangre en la clínica un día determinado. a ) Calcular la probabilidad de que al menos una de las cinco no tenga el factor Rh. b) Calcular la probabilidad de que cuando mucho cuatro de las cinco tengan sangre Rh+ . 8.8. Suponga que 1 O aparatos de radar están operando independientemente uno del otro y que la probabilidad de que sólo uno de los aparatos detecte un cohete enemigo es de 0.80. ¿cuál es la probabilidad de que nueve aparatos de radar detecten el cohete? 8.9. Considérese uri experimento en el cual se lanza una moneda equilibrada hasta que aparece un águila por primera vez. Si el experimento se.repite tres veces, (cuál es la probabilidad de que se necesite exactamente el mismo número de lanzamientos para cada una de las tres repeticiones? 8.10. Un sistema para detectar incendios utiliza tres celdas sensibles a la temperatura que actúan de forma independiente, de modo que una o más pueden activar la alarma. Cada celda tiene una probabilidad p = 0. 8 de activar la alarma al alcanzar 100 grados Celsius o más. Encuentre la probabilidad de que la alarma funcione cuando la temperatura llegue a los 1 00 grados. 8. 1 1. Suponga que para cierta clase de flores cerca de 5 % de las semillas no germina. Las semillas se empaquetan y venden en cajas de 10, con la garantía de que al menos nueve germinarán. Hallar la probabilidad de que una caja f�a arbitraria no tenga la propiedad garantizada. 8.12. Una nueva técnica quirúrgica tiene una probabilidad p de éxito. Su ponga que la operación se efectúa cinco veces y que los resultados son independientes uno de otro. a) ¿cuál es la probabilidad de que las cinco operaciones sean exitosas, si p = 0. 8? b) ¿cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro operaciones sean exitosas, si p = 0.6? ·
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 1 79 e ) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de dos operaciones sean exitosas, si p 0. 3? =
8.13. Un informe reciente declara que 70 % de los habitantes de Cuba ha reducido bastante el uso de energía eléctrica para disfrutar de descuentos en las tarifas. Si se selecciona al azar cinco residentes de la Habana, encuentre la probabilidad de que: a
) los cinco califiquen para tarifas más favorables, b) al menos cuatro califiquen para tarifas más favorables.
8. 14. Un examen de opción múltiple está compuesto de 15 preguntas, con cinco respuestas posibles para cada pregunta, de las cuales sólo una es correcta. Suponga que uno de los estudiantes que realiza el examen contesta las preguntas al azar. ¿cuál es la probabilidad de que conteste correctamente al menos 10? 8.15. La probabilidad de que un enfermo se recupere de un padecimiento gástrico es de 0.8. Suponga que 20 personas han contraído dicho padecimiento. a
) ¿cuál es la probabilidad de que sobrevivan exactamente 14? b) ¿cuál es la probabilidad,de que sobrevivan al menos 10? e ) ¿cuál es la probabilidad de que sobrevivan al menos 14, pero no más de 18? d) ¿Cuál es la probabilidad de que sobreviva un �áximo de 1 6?
8.16. Un complejo sistema electrónico está construído con cierto número de componentes de apoyo en sus subsistemas. Un subsistema contiene ' cuatro componentes idénticos, cada uno con una probabilidad de 0.2 de fallar en menos de mil horas. El subsistema funciona si dos o más componentes cualesquiera de los cuatro trabajan en forma adecuada. Además, se supone que los componentes operan de forma independiente. a
)
Encuentre la probabilidad de que exactamente dos de cuatro com ponentes resistan más de mil horas. b) Encuentre la probabilidad de que el sistema funcione por más de mil horas.
H
8. 17. ¿cuál es la probabilidad de que una auditora de Hacienda detecte solamente dos declaraciones de impuestos con deducciones ilegales si se selecciona aleatoriamente seis de 18 declaraciones, ocho de las cuales contienen deducciones ilegales? 8.18. Un ingeniero de control de calidad inspecciona una muestra aleat0ria de tres acumuladores de cada lote de 24 que están listos para ser em-. barcados. Si un lote contiene seis acumuladores con pequeños defectos, ¿cuáles son las probabilidades de que la muestra del inspector:
1 80 CAP. 8. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL a
) no contenga ninguna batería con defectos? b) contenga sólo una batería defectuosa? e) contenga al menos dos de las baterías con defectos leves? 8. 19. Entre las 1 6 ciudades que una sociedad profesional está considerando como futura sede para sus próximas tres convenciones anuales, siete están en la parte occidental de MéXico. Para evitar problemas, la selección se deja al azar. Si ninguna de las ciudades se puede elegir más de una vez, ¿cuáles son las probabilidades de que: a ) ninguna de las convenciones se celebre en la parte occidental de México? b) todas las convenciones se efectúen en la parte occidental de México? 8.20. Si seis de 18 nuevos edificios en una ciudad violan el código de cons trucción, ¿cuál es la probabilildad de que un inspector de edificios, quien selecciona aleatoriamente cuatro de ellos para inspección, descu bra que: a ) ninguno de los nuevos edificios viola el código de construcción? b) uno viola el código de construcción? e) dos violan el código de construcción? d) al menos tres violan el código de construcción? 8.21. Considérese que 50 % de los empleados de una gran compañia están casados. Sea X el número de empleados casados. En una muestra aleatoria de 100 empleados, obténgase la media y la desviación típica de X. · 8.22. Una clínica necesita cinco donadores Rh+ en un día determinado. ¿cuántas personas deben donar sangre para que haya una probabilidad mayor que 0.9 de que por lo menos la sangre de cinco donadores sea Rh+? 8.23. Una moneda se lanza al aire ocho veces, cargada de modo que la pro babilidad de que caiga águila una vez es de 0.6. Encuéntrese la proba bilidad de obtener: a ) al menos un águila, b) al menos siete soles. 8.24. La probabilidad de que Elena derrote a Saúl en un juego de ajedrez es de 2/3. ¿cuál es la probabilidad de que derrote a Saúl dos veces en tres juegos de ajedrez? 8.25. Una empresa vende cuatro artículos seleccionados al azar entre un , lote grande del que se sabe que contiene 10 % de piezas defectuosas. Sea X el número de piezas defectuosas de entre las cuatro que se vendieron. El comprador del artículo regresa las piezas defectuosas para su reparación y el costo de la reparación es C = 3X2 + X + 2. Calcular el co.sto de reparación esperado.
1
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 1 8 1 8.26. La probabilidad de un submarino hunda un barco enemigo con un disparo de sus torpedos es de 0.8. Si los disparos son independientes, determine la probabilidad de un hundimiento tanto en los primeros dos disparos como en los primeros tres. 8.27. Un dado se lanza tres veces. ¿cuál es la probabilidad de que aparezca al menos un cinco o un seis? 8.28. De un lote grande de neumáticos nuevos, un comprador potencial se lecciona n y se registra el número de neumáticos defectuosos X. Si se observa por lo menos uno defectuoso en la muestra n, el cliente poten cial rechazará el lote completo. Calcular n de modo que la probabilidad de que se descubra por lo menos un neumático defectuoso sea aproxi madamente de 0.90, en caso de que: a) 10 % del lote sea de neumáticos defectuosos, b) 5 % del lote sea de neumáticos defectuosos. 8.29. En un gran lote de bombas usadas, 20 % no sirven y necesitan repa ración. Se manda a un mecánico con tres juegos de refacciones, quien selecciona bombas al azar y las prueba una tras otra. Si funciona una bomba, prosigue con la siguiente; si no funciona, le instala uno de sus juegos de refacciones. Supóngase que tarda 1 0 minutos en probar si una bomba funciona o no, y 30 en probar y reparar una que no funciona. Calcular el valor esperado y la variancia del tiempo total que le llevará terminar con sus tres juegos. 8.30. Un experimento consta de cuatro ensayos de Bernoulli independientes con probabilidad de éxito p en cada uno de ellos. La variable aleatoria X es el número de éxitos. Enumere la distribución de probabilidad de X. 8.3 1. La compañía XYZ ha planeado presentaciones de ventas a una docena de clientes importantes. La probabilidad de recibir un pedido como resultado de tal presentación se estima en 0.5. ¿cuál es la probabilidad de recibir cuatro o más pedidos como resultado de las reuniones? 8.32. Un proceso de producción que manufactura transistores genera, en promedio, una fracción de 2 % de piezas defectuosas. Cada dos horas se toma del proceso una muestra aleatoria de tamaño 50. Si la muestra contiene más de dos piezas defectuosas, el proceso debe interrumpirse. Determine la probabilidad de que el proceso deba interrumpirse me diante el esquema de muestreo indicado. 8.33. Se planean seis misiones espaciales independientes a la luna. La pro babilidad estimada de éxito de cada misión es de 0.95. ¿cuál es la probabilidad de que al menos cinco de las misiones planeadas tengan éxito? 8.34. Un proceso de grabación de discos produce 20 % de unidades defec tuosas. Suponga que se toma una muestra de tamaño ocho. ·
•
1 82
CAP. 8. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL a
8.35.
8.36.
) ¿cuál es la probabilidad de que no se encuentren discos defectuosos en la muestra? b) ¿cuál es la probabilidad de que se encuentren cinco o más discos defectuosos? Un corredor de bolsa llama a sus 20 clientes más importantes cada mañana. Si la probabilidad de que efectúe una transacción como resultado de dichas llamadas es de uno a tres, ¿cuál es la probabilidad de que maneje 1 0 o más transacciones? Una máquina para llenar cajas no llena por completo una proporción p de ellas. Si de las producidas por esa máquina, se seleccionan 25 al azar, calcular la probabilidad de que no haya más de dos cajas incompletas cuando: a) p 0. 1 b) p = 0. 2 Sea X una variable aleatoria que tiene distribución binomialcon p O. 4 y n = 20. Utilizar la tabla A del apéndice para evaluar: a ) P(X :::; 6) b) P(X � 12) e) P(X = 8) Un laberinto para ratas tiene un corredor recto, al final del cual hay una bifurcación en la que la rata debe ir a la derecha o a la izquierda. Suponer que se colocan 1 0 ratas en el laberinto, de una en una. Si cada rata toma al azar una de las dos alternativas del camino: a ) ¿cuál es la distribución del número de las que van a la derecha? b) ¿cuál es la distribución de las que van a la izquierda? e) ¿cuál es la probabilidad de que cuando menos nueve vayan al mismo lado? Suponga la probabilidad de que al tirar un dado y quede un número non hacia arriba es 0.4. ¿cuál es la probabilidad de que en cinco tiradas de un dado, el número de veces que aparece un non sea: a ) menos de dos? b) más de dos? e) entre dos y cuatro inclusive? En el curso de psicología se distribuye un examen con 10 preguntas de selección múltiple. Para aprobarlo es necesario responder correc tamente siete o más preguntas. Si se supone que se está adivinando la respuesta en cada pregunta, ¿cuál es la probabilidad de aprobar el examen si: a) cada pregunta tiene tres respuestas opcionales? b) cada pregunta tiene cuatro respuestas opcionales? e ) las cinco primeras preguntas tienen tres respuestas opcionales y las últimas dnco tienen cuatro respuestas opcionales? =
8.37.
8.38.
8.39.
8.40.
=
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 1 83 8.4 1. Un fabricante de piezas las envía a sus clientes en lotes de 20. Suponer que la probabilidad de que cualquiera de ellas esté defectuosa es de 0.05. a) ¿cuál es el número esperado de piezas defectuosas por lote? b) ¿cuál es la probabilidad de que determinado lote no contenga piezas defectuosas? 8.42. Un vendedor de radios y televisores otorga créditos a sus clientes. Suponer que con anterioridad 10 % de todos los deudores no pagaron y que el vendedor tuvo que absorber la pérdida de cada venta; el 90 % restante pago todos sus créditos y el vendedor tuvo una utilidad eü esas ventas. Suponer que ese vendedor tiene 10 televisores idénticos que va a vender individual e independientemente a crédito a 1 O personas. Si el comprador no paga, la pérdida es de $ 200; si el comprador paga, entonces su utilidad es de $ 1 00. a) ¿Cuál es la distribución del monto de la ganancia obtenida en esas 1 0 ventas? b) ¿cuál es su ganancia esperada en esas 1 0 ventas? 8.43. Suponga que el gerente de una compañía manufacturera considera que tres de cada 10 personas que lean su folleto de los nuevos automóviles camprarán uno en una de las distribuidoras. Si se selecciona aleatoria mente cinco personas que hayan leído el folleto, ¿cu'ál es la probabilidad de que: a) ninguna compre un auto? b) las cinco compren uno? e) cuando mucho tres compren uno? d) al menos tres compren uno? 8.44. Al determinar la concentración letal de una sustancia presente en aguá contaminada se encuentra que cierta concentración mata a 20 % de los 'peces que se exponen a ella durante 24 horas. Se colocan 20 peces en un tanque con esta concentración de la sustancia. Calcular la probabilidad de que a las 24 horas: a ) sobrevivan sólo 1 4, b) sobrevivan por lo menos 1 0, e) sobrevivan cuando mucho 16. 8.45. Demostrar que para la distribución binomial la función de densidad P(k; n, p) cumple la siguiente relación de recursividad: ·
P(k + 1; n, p) =
n-k p --P(k; n, p) k - 1 1 -p
--
Si se sabe que P(3; 7, 1 /4) = 0. 173, calcular P(4; 7, 1/4). 8.46. Las apue'stas a favor de que A gane una partida de ajedrez contra B están 3:2. Si se disputan tres partidas, ¿cuáles son las apuestas:
1 84 CAP. 8. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
8.47.
8.48. 8.49.
8.50.
8.5 1 .
¡·.
8.52.
8.53.
8.54.
a) a favor de que A gane al menos dos? b) en contra de que A pierda las dos primeras? Una caja contiene un gran número de fichas de colores rojo, blanco, azul y amarillo, en proporción 4 : 3 : 2 : 1, respectivamente. Hallar la probabilidad de que en 10 extracciones salgan: a) cuatro de color rojo, tres de color blanco, dos de color azul y una de color amarillo, b) ocho de color rojo y dos de color amarillo. Hallar la probabilidad de no sacar 1, 2 o 3 en cuatro tiradas de un dado. Se lanza un dado seis veces. Hallar la probabilidad de que: a) salgan un número 1, dos números 2 y tres números 3, b) que salga cada número una vez. Un agente de bienes raíces estima que la probabilidad de vender una casa es de 0. 10. El día de hoy debe ver a cuatro clientes. Si tiene éxito en las tres primeras visitas, (cuál es la probabilidad de que la cuarta no sea exitosa? En una fábrica se observa que, en promedio, 20 % de las tuercas producidas por una máquina son defectuosas. Si se toman 10 tuercas al azar, hallar la probabilidad de que: a) sólo dos sean defectuosas, b) dos o más sean defectuosas, e) más de cinco sean defectuosas. Noventa por ciento de todas las familias tiene automóvil. En una muestra de 20 familias, (cuál es la probabilidad de que: a) sólo 18 tengan automóvil, b) 1 8 o más familias tengan automóvil, e) dos o menos familias tengan automóvil? De la clase del último semestre, 60 % son muchachas. (Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 10 estudiantes seleccionados aleatoriamente haya: a) cinco muchachas? b) al menos cinco muchachas? e) cuando más cinco muchachas? d) entre cuatro y seis muchachas inclusive? Durante la temporada, un equipo profesional de futbol está progra mado para jugar 15 partidos. Supóngase que en el área donde se realiza rán los partidos, 20 % de l�s días son lluviosos. (Cuál es la probabilidad de que: a) tres partidos se jueguen en días lluviosos? b) cuando menos tres partidos se jueguen en la lluvia? e) cuando más tres partidos se jueguen en la lluvia?
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 1 85
8.55.
8.56.
8.57.
8.58.
8.59.
¿cuál es la media y la varianza para el número de partidos que se jueguen en la lluvia? El departamento de investigación de una fábrica de focos ha perfeccio nado un recubrimiento para los filamentos capaz de prolongar la du ración de aquellos. Para comparar las duraciones de los focos nuevos con la de los focos anteriores, se seleccionan 10 focos fabricados con el nuevo procedimiento y 10 normales, y se forman parejas: un foco nuevo con uno anterior. Se someten los 10 pares a prueba y se anota cuál de los focos de cada par falla primero, si el nuevo o el anterior. Su poniendo que el nuevo proceso realmente no prolonga la duración de los focos, ¿cuál es la probabilidad de que el foco anterior falle primero, en por lo menos nueve de los 10 pares? Si se efectúa el experimento y se encuentra que los focos anteriores fallaron primero en nueve de los pares, ¿se debería adoptar el nuevo proceso de fabricación? Una cooperativa agrícola asegura que 90 % de los melones embarcados están maduros y listos para comer. Encuéntrese la probabilidad de que entre 1 8 melones: a) todos estén maduros y listos para comer, b) al menos 16 estén maduros y listos para comer, e) un máximo de 1 4 estén maduros y listos para comer. Muchos jefes se dan cuenta de que algunas de las personas que contra taron no son lo que pretenden ser. Detectar personas que solicitan un trabajo y que falsifican la información .en su solicitud ha generado un nuevo negocio: agencias investigadoras de antecedentes. El periódico El Financiero notificó sobre este problema mencionando que una agencia, en un periodo de dos meses encontró que 35 % de los antecenden tes examinados habían sido alterados. Suponga que usted contrató la semana pasada cinco nuevos empleados y que la probabilidad de que hayan falsificado la información en su solicitud es de 0.35. a) ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de esas cinco solicitu des sea falsificada? b) Wos o más? Si en el experimento del nacimiento de un solo hijo los resultados nacimiento de un niño y nacimiento de una niña son igualmente probables y si suponemos independencia de ensayos repetidos, ¿cuál es la probabilidad de que una familia con cuatro hijos tenga: a) dos niños y dos niñas? b) tres niños y una niña? , e) cuatro niños? Un sistema de protección contra misiles está construido con n unidades de radar que funcionan de forma independiente, cada uno con una probabilidad de 0.9 de detectar un misil:
1 86
CAP. 8. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL a) Si n 5 y pasa un misil, ¿cuál es la probabilidad de que cuatro unidades detecten el cohete? b) ¿cuál debe ser el valor de n para que la probabilidad de detectar un misil sea de 0.999? Vn fabricante de cera para pisos desarrolla dos productos nuevos, A y B, que desea someter a la evaluación de amas de casa para determinar cuál es el mejor. Las ceras A y B se aplican en los pisos de 15 casas. Se supone que en realidad no hay diferencia en calidad entre las dos marcas. a) ¿cuál es la probabilidad de que 10 o más amas de casa prefieran la marca A? b) ¿cuál es la probabilidad de que 10 o más amas de casa prefieran a A o B? De todas las unidades producidas en cierto proceso, 1 0 % es defec tuosa. ¿cuál es la probabilidad de que en una muestra de 12 unidades producidas en este proceso: a) al menos dos unidades sean defectuosas? b) cuatro unidades máximo sean defectuosas? e) entre dos y seis unidades sean defetuosas? De todos los votantes registrados, 60 % son liberales y 40 % conserva dores. En una muestra aleatoria de 1 6 votantes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos la mitad sea de conservadores? Un fabricante de cereales desea cambiar el diseño de la caja de uno de sus productos, por lo que a cada persona de un grupo de seis se le muestra la caja anterior y la nueva y se le pide que indique su preferencia. Suponiendo que cada una de las personas no tenga una preferencia verdadera por ninguna, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos cinco de las seis personas prefieran el diseño? Si 1 0 % de las partes producidas en cierto proceso es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que en 20 partes seleccionadas aleatoriamente haya: a) al menos dos defectuosas? b) un máximo de tres defectuosas? e) entre dos y cinco defectuosas inclusive? Un empresario de la industria alimenticia asegura que a lo sumo 1 0 % de sus frascos de café instantáneo contiene menos café del que garantiza en la etiqueta. Para probar esta afirmación, 16 frascos de su café instantáneo son aleatoriamente escogidos y se pesa el contenido; su afirmación es aceptada si menos de tres frascos contienen menos café del que se garantiza en la etiqueta. Encucintrese las probabilidades de que la afirmación del empresario sea aceptada cuando el porcentaje =
·
8.60.
8.6 1.
8.62. 8.63.
¡
[·
8.64.
8.65.
RESPUESTAS 1 87 real de sus frascos que contienen menos café del que se indica en la etiqueta es a) 5 % b) 1 0 % e) 15 % d) 20 % 8.66. Un fumador lleva siempre dos paquetes de cerillos. Cada vez que necesita un cerillo lo saca al azar de uno de los dos paquetes. Después de un tiempo se percata que uno de los paquetes está vacío ¿cuál es la probabilidad de que cuando uno de los paquetes se termina el otro tenga k cerillos, si originalmente cada uno tenía n cerillos (problema de Banach)? 8.67. ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par de éxitos en n ensayos de Bernoulli con probabilidad de éxito p? 8.68. Se hizo una serie de experimentos según el esquema de Bernoulli, donde la probabilidad del éxito es igual a p. Calcule la probabilidad de obtener el r-ésimo éxito exactamente en el k + r ensayo (k = O, 1, 2, . . . ).
Respuestas 8.1.
0.0076
8.2.
125/3888
8.3.
P(X > 4) = 0.0489 P(X :S 8) - P(X :S 5) = 0.3663 P(X :S 5) - P(X :S 2) = 0.3833
8.4. 8.5.
X
8.6.
10
8.7.
a) 0.672
8.8. 8.9. 8 . 1 0. 8. 1 1 .
(0. 0 1 )
j.1< (0.8)9 Ij7
X
(0.99)9
= 0. 09 1 35
b) 0.672
x
( 0.2) = 0.24 1 6
0.992
P(X 2: 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [(0. 05)0(0.95) 1 0 + 10
8.12.
a) 0.3276
b) 0.2592
8.13.
a) 0. 1 6 8 1
b ) 0.5282
8 . 1 4.
0.0000
8.15.
a) 0. 1 09 1
b) 0.9994
8. 1 6.
a ) 0. 1 536
b) 0.9728
e) 0.5282
e) 0.844 1
8 . 1 7.
0.3 1 67
8-18.
a) 0.4032
8. 19-
a) 0 . 1 5
8-20.
a) 0 . 1 975
8.2 1 .
1 00; p = 0.5; q = 0.5 E(X) = np = 50 u=5
n =
b) O.c4536
d) 0.5886
c)0. 1432
b) 0.0625 b) 0.395
c) 0.296
d) O. l l 1 5
x
(0.05)(0.95)10] = 0.0861
1 88 8.22. 8 8.23. a) 1 - (0.4)8 = 0. 9993 b) 8 X (0.4f X (0.6) + (0.8)8 = 0.0085 8.24. 3 X (2/3)2 X (1/3) = 4/9 8.25. 3.96 8.26. a) P(X 2) = P(X = 1) + P(X = 2) = 0.8 + (0.8)(0.2) = 0.96 b) P(X 3) = 0.992 8.27. 1 - (4/6)3 = 0.7037 8.28. a) 22 b) 45 8.29. JL = 42 minutos; u2 = 192 minutos 8.30.
:S:S
X
p(x) 8.3 1. P(X :2: 4) = 1 - P(X < 4) = 1 - [(0.5) 1 2 + (0.5) 1 2 X 12 + (0.5) 1 2 X 66 + (0. 5) 12 = 1 - 0.0729 = 0.927 5 0 o.02)k (0.98)50 - k 8.32. P(X > 2) = 1 = 0.078 k
t( }
X
220]
=
0.0918
8.33. P(X :2: 5) = 6 x (0.95)5(0.05) + (0.95)6 = 0.9672 8.34. a) 0.1677 b) 0.0104 8.35. P(X :2: 10) = 1 - P(X 8.36. 8.37. 8.38. 8.39.
8.40.
8.41. 8.42.
a) a)
:S 9)
=
1-
t (�) G) G ) k
20 - k
0.098 b) 0.057 e) 0.180 a ) binomial; n = 10; p = 0.5 b) binomial; n = lO; p = O. 5 e) P(X :2: 9) = P(X = 9) + P(X = 10) = 0. 0107 p = 0.4; q = O. 6; n = 5 a ) P(x < 2) = 0.3370 b) P(x > 2) = 1 - 0.6826 = 0.3 174. e) P(2 :S X :S 4) = 0.9898 - 0.3370 = 0.6528 X - el número de respuestas correctas 0 0 + ° a ) P(X :2: 7) = + + g 8 10 o = 0.0.2 b) 0.0035 e) 0.0087 a ) JL = 1 b) (0.95)20 = 0.358 a) La ganancia es: g = utilidad - pérdida. Si X es el número de los que no pagan, entonces g = 1000 - 300X, donde X es una variable aleatoria binomial con n = 10 = 0. 1 . 0.537 0.250
b)
(\ ) Gf G ) 3 G�) G) G)
yp
c ) G) 8 G f c ) (Üg (D
RESPUESTAS 1 89
8.43.
b) E(g) = E( 1000 - 300X) = 1000 - 300E(X) = 1000 - 300( 1) = 700, porque, E(X) = np = 10 x (0. 1) = l. p = 0.3; q = O. 7; n = 5 a) 0.1681 b) P(X :S 5) - P(X :S 4) = 0.0024 e) P(X 3) = 0.9692 d) 1 - P(X < 3) = 0. 1631. a) 0.109 b) 0.999 e) 0.589
:S
8.44. 8.45.
( n 1)
n! n - h k n-k P(X = k + 1 ) = k + pk+1 qn -k- 1 = /!. q (n - k - 1)!(h + 1)! k - 1 p q k P n-h P n! k n- k q = nk + 1 1- p P(k; n, p) k + 1 1 - p (n - k)!k! p P(4; 7, 1/4) = 0.058 8.46. 8.47. 8.48. 8.49. 8.50. 8.5 1 . 8.52. 8.53.
8.54.
8.55. 8.56.
8.57. 8.58. 8.59. 8.60. 8.6 1 .
a) 81:44 b) 21:4 a) 0.0348 b) 0.000295 l/ 16 a) 5/3888 b) 5/324 P(A 1 n A2 n A3 n A� ) = 0. 1 x 0. 1 x 0. 1 x O. 9 = 0. 0009 a) 0.3020 b) 0.6242 e ) 0.00637 a) P(X :S 18) - P(X :S 17) = 0.2852 b) 0.6769 e) 0.0000 p = 0.6; q = 0.4; n = 10 a) P(X :S 5) - P(X :S 4) = 0.2007 b) P(X 5) = 1 - P(X < 5) = 0.8338 e ) P(X :S 5) = 0.3669 d) P(X 6) - P(X :S 3) = 0.5629. p = 0.2; q = 0.8; n = 15 a) P(X = 3) = 0.000 b) P(X � 3) = 0.602. e) P(X :S 3) = 0.6482 E(X) = 3 Var(X) = 2.4 1 1 /1024 = 0.01074 p = 0. 9; q = 0. 1; n = 18 a) P(X = 18) = P(X :S 18) - P(X :S 17) = 0. 15 b) P(X � 16) = 1 - P(X < 16) = 0.7338 e) P(X :S 14) = 0.0982. a) 0.8840 b) 0.5716 a) 6/16 b) 4/16 e) l/16 a) 0.32805 b) n = 3 a) 0.151 b) 0.302 a) 0.341 b) 0.9957 e ) 0.3409
:S :S
1 90 8.62. 8.63. 8.64.
8.65. 8.66.
0.2839 7/64
p = 0. 1 ; q =: 0.9; n = 20 a ) P (X 2: 2 ) = 1 - P( X < 2 ) b) P(X :::; 3) = 0.8670. e) P( 2 :::; X :::; 5) = 0.597
=
0.6083.
b) 0.7892 e ) 0.5614 d) 0.35 18
a) 0.9571 k cnk- )
2 2n - k 8.67. Sea Pk la probabilidad de obtener un número par de éxitos después de k
primeros ensayos. Antes de hacer el k-ésimo ensayo sólo hay dos probabilidades para el ensayo k- 1 , se obtuvo un número par o impar de éxitos con probabilidad Pk - 1 o 1 - Pk - 1 respectivamente. Entonces se cumple que Pk Pk- 1 x ( 1 - p) + ( 1 - P1,_1 ) x p , y en forma de recurrencia se puede escribir de lo anterior que Pk = p + Pk - 1 x ( 1 - 2p), por lo que Pk - 1 /2 = ( Pk - 1 - 1 /2 )( 1 - 2p) para h = 1, 2, . . n. Como Po = 1 (cero éxitos en cero ensayos"), se obtiene para P,,, la igualdad Pn = 1 /2 x ( 1 + ( 1 - 2p)" ) , que es.Ia probabilidad buscada. Si tenemos k + r - 1 ensayos con r - 1 éxitos, entonces para el r-ésimo éxito en el h + r ensayo se cumple: =
.
8.68.
(
k+r- 1 r_ 1
)
X
p'
-1
X
( 1 - p)
k
X
p=
(
k+r- 1 k
)
X
p'
X
(q)k,
además ( +rk- l ) = ( - 1 )k x ( �,') , lo que implica que obtenemos una probabilidad k binomial negativa P(A ) = ( -¡,r) x pr x ( -q ) como resultado. k
Capítulo
9
Distribución de Poisson
Sea una sucesión de eventos aleatorios que ocurren en el tiempo que se representan como una sucesión de puntos en el eje del tiempo y sea X el número de eventos que ocurren dentro de un intervalo de longitud f�a, entonces X sigue una distribución de Poisson y su función de probabilidad está dada por AX P[X = x] = p(x; A) = e -A _ x = O, 1, 2, . . . x! con E(X) = A y V(X) = A. a) El parámetro A es una constante que representa la densidad o el promedio de eventos que ocurren en un determinado periodo de tiempo. b) Para todo experimento binomial con n grande y p pequeña, se cumple la aproximación b(x; n, p) � p(x; A), donde lím np = A. n-+oo
9. 1. Un distribuidor vende semillas de cierta · clase de tulipán rojo en paquetes de mil y sabe, por experiencia, que casi 1 % de un gran número de semillas no serán de la clase deseada. ¿cuál es la probabilidad de que un paqueté dado contenga más de 1 % de semillas de otra clase? 9.2. Supóngase que 0.005 % de la población de un país muere debido a cierto tipo de accidente cada año y que una compañía de seguros tiene entre sus clientes 1 0 mil que están asegurados contra este tipo de accidente. Hallar la probabilidad de que la compañía deba pagar más de tres pólizas en un año dado. 9.3. Si la probabilidad de que una persona sufra una reacción nociva debido a una inyección de cierto suero es de 0.001 , ¿cuál es la probabilidad de que entre mil personas, dos o más sufran esa reacción? 9.4. En un almacén particular, los clientes llegan al mostrador de caja conforme una distribución de Poisson en un promedio de siete por hora. En una hora dada, ¿cuál es la probabilidad de que:
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.)
1 92 CAP. 9. DISTRIBUCIÓN DE POISSON
9.5.
9.6. 9.7.
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9.8.
9.9; 9. 10.
9. 1 1.
9. 12.
a) no lleguen más de tres clientes? b) lleguen al menos dos clientes? e) lleguen cinco clientes? Un estacionamiento tiene dos entradas. Los automóviles llegan a la entrada 1 de acuerdo con una distribución de Poisson de tres por hora, y a la entrada 11 de acuerdo con una distribución de Poisson con una media de cuatro por hora. ¿cuál es la probabilidad de que tres .automóviles lleguen al estacionamiento durante una hora dada? (Se supone que el número de autos que llegan a las dos entradas son independientes.) Una vendedora se da cuenta de que la probabilidad de venta en una entrevista única es aproximadamente de 0.03. ¿cuál es la probabilidad de que haga al menos una venta al tener 100 compradores posibles? La probabilidad de que un ratón inoculado con un suero contraiga la enfermedad es de 0.2. Mediante el uso de una aproximación por Poisson, encuentre la probabilidad de que un máximo de tres ratones entre 30 contraigan la enfermedad. Suponga que en promedio una de cada mil personas comete un error numérico al preparar su declaración de impuestos. Si se seleccionan al azar 10 mil formas, encuentre la probabilidad de que seis, siete u ocho tengan error. Si 0.8 % de los fusibles depositados en un lote están defectuosos, úsese la aproximación de Poisson para determinar la probabilidad de que cuatro fusibles estén defectuosos en una muestra aleatoria de 400. El número de rayos gamma que emite por segundo cierta sustancia radiactiva es una variable aleatoria que tiene distribución de Poisson con A = 5. 8. Si un detector deja de operar cuando hay más de 12 rayos por segundo, ¿cuál es la probabilidad de que este instrumento deje de funcionar durante un segundo cualquiera? En el supuesto de que el conmutador de una oficina de asesoría recibe un promedio 0.6 llamadas por minuto, calcúlese las probabilidades de que: a) en un minuto cualquiera haya al menos una llamada, b) en un intervalo de cuatro minutos haya al menos tres llamadas. El arribo de camiones de carga a un muelle es un proceso de Poisson, con una tasa promedio de llegadas de dos por hora. Los camiones se descargan con una tasa promedio de tres por hora y · el servicio de descarga continúa ininterrumpidamente hasta que todos los camiones han sido descargados. a) ¿cuál es el número promedio de camiones a los que se está descar gando o que esperan ser descargados? b) ¿cuál es el número promedio de camiones en la fila? •
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e) ¿cuál es el tiempo promedio que un camión debe esperar en la fila? d) ¿cuál es la probabilidad de que no haya camiones en espera de ser descargados? El número de errores tipográficos cometidos por una mecanógrafa en particular tiene una distribución de Poisson con una media de cuatro errores por página. Si una página dada tiene más de cuatro errores, la mecanógrafa tendrá que repetir la página entera. ¿cuál es la probabilidad de que no repita la página? Si la probabilidad de que un perno esté defectuoso es de 0. 1 , calcular: a) la media, b) la desviación típica para la distribución de pernos defectuosos en un total de 400. El número de nudos en un tipo particular de madera tiene una distri bución de Poisson con una media de 1.5 nudos por 1 0 pies cúbicos de madera. Encuentre la probabilidad de que un bloque de esta madera de 1 O pies cúbicos tenga un nudo como máximo. El promedio de automóviles que entran a la montaña por el túnel es de uno cada dos minutos. Si un número excesivo de autos entra por el túnel en un periodo corto se produce una situación peligrosa. Encuentre la probabilidad de que el número de automóviles que entra al túnel durante un periodo de dos minutos exceda a tres. ¿Parece razonable el uso de Poisson en este problema? Una compañía de exploración petrolera va a perforar 10 pozos y cada uno de ellos tiene una probabilidad 0 . 1 de producir petróleo en forma comercial. A la compañía le cuesta 1 0 mil dólares perforar cada pozo. Un pozo comercial saca petróleo por valor de 500 mil dólares. a) Calcular la ganancia que espera obtener la compañía por los 1 0 pozos. b) Calcular la desviación estándar de las ganancias de la firma. El número de llamadas telefónicas que entra a una central de edificio de oficinas es de cuatro por minuto en promedio. a) Calcular la probabilidad de que no lleguen llamadas en un determi nado periodo de un minuto. b) Calcular la probabilidad de que por lo menos lleguen cuatro llama . das en un periodo de un minuto. e) Calcular la probabilidad de que por lo menos lleguen dos llamadas en un periodo determinado de dos minutos. Se certifica la calidad de los discos para computadora pasándolos por un certificador que cuenta el número de pulsos faltantes. Una determinada marca de discos para computadora tiene en promedio 0. 1 pulsos faltantes por disco.
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9.25.
) Calcular la probabilidad de que al siguiente disco que se inspeccione no le falten pulsos. b) Calcular la probabilidad de que al siguiente disco que se inspeccione le falte más de un pulso. e) Calcular la probabilidad de que a ninguno de los dos discos inspec cionados le falten pulsos. En un sistema de cómputo de tiempo compartido, el número de peticiones de telepuerto es de O .2 por milisegundo, en promedio, y sigue una distribución de Poisson. a ) Calcular la probabilidad de que no lleguen peticiones durante el siguiente milisegundo. b) Calcular la probabilidad de que no lleguen peticiones durante los tres siguientes milisegundos. Un taller aeronáutico reconstruye sistemas de ignición con una frecuen cia de tres por hora en promedio. La línea de montaje necesita cuatro sistemas en la siguiente hora. ¿cuál es la probabilidad de que se cuente con ellos? La llegada de clientes en un torniquete de una tienda de departamentos tiene una distribución de Poisson con un promedio de ocho por hora. Para una hora determinada, calcular la probabilidad de que: a ) lleguen ocho clientes, b) no lleguen más de tres clientes, e) lleguen por lo menos dos clientes. El número de imperfecciones en el tejido de una tela tiene una distri bución de Poisson con un promedio de cuatro por yarda cuadrada. a ) Calcular la probabilidad de que una muestra de una yarda cuadrada tenga por lo menos un defecto. b) Calcular la probabilidad de que una muestra de tres yardas cuadra das tenga al menos un defecto. El número de colonias de bacterias en determinado tipo de muestras de agua contaminada tiene una distribución de Poisson cuyo promedio es dos por centímetro cúbico. a ) Si se seleccionan en forma independiente cuatro muestras de un centímetro cúbico de agua, calcular la probabilidad de que por lo menos una muestra (:Ontenga una o más colonias de bacterias. b) ¿cuántas muestras de un centímetro cúbico de agua deben selec cionarse para alcanzar una probabilidad aproximada de 0.95 de ver por lo menos una colonia de bacterias? El número de automóviles que entra a un estacionamiento es una variable aleatoria con distribución de Poisson con un promedio de cuatro por hora. El estacionamiento tiene lugar sólo para 12 vehículos y está vacío al principio.
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9.3 1.
a) Calcular la probabilidad de que el estacionamiento se llene durante la primera hora. Suponer que todos los vehículos permanecen en el estacionamiento más de una hora. b) Calcular la probabilidad de que lleguen menos de 12 vehículos en un turno de ocho horas. Tres por ciento de cierto tipo de arbustos híbridos de rosa de té no florecerán durante la primera temporada de crecimiento. Calcular la probabilidad de que en una muestra de 1 00 arbustos tomada al azar, tres arbustos no florezcan durante su primera temporada de crecimiento. Por investigaciones, se sabe que 4.5 % de toda la correspondencia que se recibe en un domicilio residencial puede clasificarse como "correspondencia de desecho". Determinar la probabilidad de que entre 200 cartas recibidas, cinco de ellas puedan clasificarse como correspondencia de desecho. Si 2.5 % de los conductores de automóviles que pasan por una caseta de cobro tienen el cambio exacto, ¿cuál es la probabilidad de que una muestra tomada al azar de 250 automóviles que pasan por la caseta, cinco tengan el cambio exacto? Si el número de solicitudes de información sobre cruceros que recibe una agencia de viajes por día es una variable aleatoria que tiene la distribución de Poisson con A = 2.5, determine las probabilidades de que en cualquier día dado la agencia de viajes: a) no reciba ninguna solicitud sobre cruceros, b) reciba cuando menos una solicitud sobre cruceros, e ) reciba dos solicitudes sobre cruceros, d) reciba cuatro solicitudes sobre cruceros. El número de vuelos que llegan a un aeropuerto privado durante el día es una variable aleatoria que tiene distribución de Poisson con A = 3. ¿cuáles son las probabilidades de los siguientes números de llegadas de vuelos en una hora del día seleccionada al azar: a) cero? b) uno? e) dos? d) cuando mucho dos? Suponga que durante un periodo de inventario en una gran tienda departamental el número de errores de conteo que un empleado comete es una variable aleatoria que tiene distribución de Poisson con A = 2. 3. Determine las probabilidades de que, durante un periodo de inventario, un empleado: a) no cometa ningún error, b) cometa un error,
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9.32.
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e) cometa dos errores, d) cometa cuando menos tres errores. Se sabe que el proceso de producción de luces de un tablero de automóvil de indicador giratorio produce uno por ciento de luces defectuosas. Si este valor permanece invariable y se selecciona al azar una muestra de 1 00 luces, encuentre P(X :S 3), donde X es el número de defectos de la muestra. El número de células de sangre por unidad cuadrada visible bajo el microscopio sigue una distribución de Poisson con media cuatro. Encuentre la probabilidad de que más de cinco de tales células de sangre sean visibles para el observador. Una compañía grande de seguros ha descubierto que 0.2 % de la población de una ciudad está lesionada como resultado de algún tipo de accidente particular. Esta compañía tiene 15 mil asegurados protegidos contra tal accidente. , a) ¿cuál es la probabilidad de que tres o menos reclamos se entablen en relación con estas pólizas de seguro durante el siguiente año? b) ¿cinco o más reclamos? Un telar experimenta una rotura aproximadamente cada 1 0 horas. Se está produciendo un estilo particular de tela que requiere 25 horas de trabajo. Si con tres o más roturas el producto no es satisfactorio, en cuentre la probabilidad de que la tela se termine con calidad aceptable. Un libro de texto de matemáticas tiene 200 páginas en las que pueden ocurrir errores tipográficos en las ecuaciones. Si hay cinco errores dispersos de manera aleatoria entre las 200 hojas, a) ¿cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 50 páginas haya al menos un error? b) ¿qué tan grande debe ser la muestra aleatoria para asegurar que al menos dos errores se encontrarán con probabilidad de 90 % La probabilidad de que un vehículo tenga un accidente en un cruce en particular es de 0.0001 . Suponga que 1 0 mil vehículos circulan diariamente por este cruce. a) ¿cuál es la probabilidad de que no ocurran accidentes? b) ¿cuál es la probabilidad de que ocurran dos o más accidentes? Si la probabilidad de que un automóvil esté implicado en un accidente es de 0.01 durante cualquier año, ¿cuál es la probabilidad de tener dos o más accidentes durante cualquier periodo de manejo de 1 0 años? Se ha observado que el tránsito promedio de automóviles en determi nado punto de un camino rural es de tres por hora. Suponer que los instantes en que pasan los mismos son independientes, lo que provoca que X represente el número de los que pasan por este punto en un intervalo de 20 minutos. Calcular P(X =;= 0), P(X ?: 2).
DISTRIBUCIÓN DE POISSON 1 97 9.40. Se ha observado en forma empírica que las muertes ocasionadas por accidentes de tráfico ocurren a razón de ocho por hora en los largos fines de semana feriados. En el supuesto de que estas muertes ocurren en forma independiente, calcular la probabilidad de que: a) transcurra una hora sin que haya muertes, b) transcurra un periodo de 15 minutos sin muertes, e) transcurran cuatro periodos consecutivos, que no se traslapen, sin que haya muertes. 9.41. Se ha observado que los paquetes de cierta cerveza se toman de los estantes de cierto supermercado a razón de 10 por hora durante los periodos de mayor venta. a) ¿cuál es la probabilidad de que se saque al menos un paquete durante los seis primeros minutos de un periodo de mayor venta? b) ¿cuál es la probabilidad de que se tome del estante al menos un paquete durante cada uno de tres intervalos consecutivos no traslapados de seis minutos? 9.42. En determinada planta manufacturera han ocurrido accidentes a razón de uno cada dos meses. En el supuesto de que ocurren en forma independiente, a) ¿cuál es el número esperado de accidentes al año? b) ¿cuál es la desviación estándar del número de accidentes al año? e) ¿cuál es la probabilidad de que no haya accidentes en un mes determinado? 9.43. Suponer que uno de cada 1 0 mil bebés nace ciego. Si en un hospital grande de una ciudad hubo cinco mil naCimientos en 1970: a) calcular la probabilidad de que ninguno de los nacidos en ese año estuviera ciego al nacer, b) calcular la probabilidad de que haya nacido exactamente un bebé ciego, e) calcular la probabilidad de que hayan nacido al menos dos ciegos. 9.44. Suponer que un neumático nuevo de cada mil tiene un punto débil en su cara. Si se compran cuatro automóviles nuevos, calcular la probabilidad de que ninguno de ellos tenga un neumático con un punto débil. 9.45. Una panadería hace galletas con pedacitos de chocolate; un lote tiene mil galletas. Se agregan tres mil pedacitos de chocolate a la masa para un lote y se mezcla bien toda la masa. Si se elige al azar una galleta de un lote, a) ¿cuál es la probabilidad de que no contenga ningún pedacito de chocolate? b) ¿cuál es la probabilidad de que contenga tres pedacitos? e) ¿cuántas galletas' con un solo pedacito de chocolate pod rfa ha)) ··· ,:::. n
11n
T nt,:::. )
1 98 CAP. 9. DISTRIBUCIÓN DE POISSON 9.46. En un conmutador telefónico se reciben llamados de acuerdo con un proceso de Poisson con parámetro A 5 por hora. Si hay una persona en el conmutador, ¿cuál es la probabilidad de que: a) transcurran al menos 15 minutos antes de la siguiente llamada? b) no pasen más de 10 minutos antes de la siguiente llamada? e) de que transcurran exactamente cinco minutos antes de la siguiente llamada? 9.47. Un voceador vende periódicos en una esquina. Los periódicos que vende son eventos de un proceso de Poisson con parámetro A 50 por hora. Si alguien acaba de comprarle un periódico: a) ¿cuál es la probabilidad de que transcurran al menos dos minutos antes de que venda otro? Si ya transcurrieron cinco minutos desde la última venta. b) ¿cuál es la probabilidad de que transcurran al menos dos minutos más para su siguiente venta? 9.48. En cierta intersección ocurren tres accidentes viales por mes, en pro medio. ¿cuál es la probabilidad de que en un mes determinado: a) ocurran cinco accidentes en está intersección? b) ocurran menos de tres accidentes en está intersección? 9.49. Una secretaria comete dos errores por página en promedio. ¿cuál es la probabilidad de que en la siguiente página: a) cometa cuatro o más errores? b) no cometa errores? 9.50. Cierta área del este de México resulta afect�da, en promedio, por seis huracanes al año. Encuentre la probabilidad de que en un año determinado esta área resulte afectada por: a) menos de cuatro huracanes, b) cualquier cantidad entre seis y ocho huracanes. 9.5 1. En un estudio de inventario se determinó que, en promedio, la demanda por un artículo en particular en una bodega era de cinco veces al día. ¿cuál es la probabilidad de que en un día determinado: a) soliciten el artículo más de cinco veces? b) no soliciten el artículo ni una sola vez? 9.52. El número promedio de ratas de campo por acre en un campo de trigo de cinco acres se estima es de 12. Encuentre la probabilidad de que menos de siete ratas de campo se encuentren: a) en un acre de terreno determinado, b) en dos de los siguientes tres acres inspeccionados. 9.53. En un restaurante preparan una ensalada que contiene en promedio cinco verduras diferentes. Encuentre la probabilidad de que la ensalada contenga más de cinco verduras: =
=
RESPUESTAS 1 99
9.54.
9.55. 9.56.
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9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6. 9.7. 9.8.
a) en un día determinado, b) en tres de los siguientes cuatro días, e) por primera vez el cinco de abril. Suponga que en promedio una de cada mil personas comete un error numérico al preparar su declaración de impuestos. Si se seleccionan al azar 1 O mil formas y se examinan, encuentre la media y la variancia de la variable aleatoria X que representa el número de personas de entre 1 O mil que cometen un error al preparar su declaración de impuestos. La probabilidad de que una persona muera debido a cierta infección respiratoria es de 0.002. Encuentre la probabilidad de que mueran menos de cinco de las próximas dos mil personas infectadas. La probabilidad de que un estudiante presente problemas de escoliosis (desviación lateral sufrida por la columna vertebral) en una escuela de la localidad es de 0.004. De los siguientes 1875 estudiantes revisados, encuentre la probabilidad de que: a) menos de cinco presenten este problema, b) !)Cho, nueve o 1 O presenten este problema. Suponga que 3 % de los pernos hechos por una máquina son defectuo sos y que aparecen al azar durante la producción. Si se empaquetan 50 pernos por caja, ¿cuál es la aproximación de Poisson para la probabili dad de que cierta caja contenga k pernos defectuosos? Se estima que el número de automóviles que pasa por un cruce particular por hora es de 25. Obtega la probabilidad de que menos de 1 O vehículos crucen durante cualquier intervalo de una hora. Suponga que el número de vehículos sigue un distribución de Poisson .. Una caja de caramelos contiene 24 barras. El tiempo entre pedidos por barra se distribuye exponencialmente con media de 10 minutos. ¿cuál es la probabilidad de que una caja abierta a las 8:00 a. m. se haya terminado al medio día?
Resp uestas
10; 10) = 1 10) = 1 - 0.5830 = 0.4170 0.5; 3) = 1 3) = 1 - ó. 9982 = 0.0018 1; 2: 2) = 1 1) = 1 - O. 7358 = 0.2642 Á = 7; a) 3) = 0.0818 b) 2: 2) = 0.9927 e) Á = 7; = 3) = 0.0818 - 0.0296 = 0.0522 1) = 1 - (0.97) 1 00 = 0.9524 Á = 6; 3) = 0. 1512 0.2657.
P(X> P(X > P(X P(X :S P(X P(X > P(X :S Á=
Á� Á=
P(X :S P(X :S P(X :S
P(X
P(X
=
5) = 0. 1277
200 9.9. 9. 10. 9.11. 9.12. 9. 13. 9. 14. 9. 15. 9. 16. 9. 17. 9. 1 8. 9. 19. 9.20. 9.2 1 . 9.22. 9.23. 9.24. 9.25. 9.26. 9.27. 9.28. 9.29. 9.30. 9.3 1 . 9.32. 9.33. 9.34. 9.35. 9.36. 9.37. 9.38. 9.39. 9.40.
9.4 1 . 9.42.
Á = 3.2; P(X = 4) = 0. 178 0.007 a) 0.451 2 b) Á = 2.4; 0.4304 a) 5 b) 2 e) 1 hora d) 0.05 Á = 4; P(X :S 4) = 0.6288 a) JL = 40 b) u = 6 Á = 1.5; P(X :S 1 ) = 0.5578 Á = 1; P(X 3) = 1 - P(X :S 3) = 1 - 0.9810 = 0.019 a) $ 400 000 b) $ 474 341.65 a) 0.0183 b) 0.5665 e) 0.997 a) 0.9048 b) 0.0952 e ) 0.819 a) 0.8187 b) 0.5488 0.353 a) 0. 140 b) 0.042 e ) 0.997 a) 1 - e- 4 b) 1 a) 1 - e-8 b) 2 a) 0.00 1 b) 0.0000017 Á = 3; P(X = 3) = 0.224 Á = 9; P(X = 5) = 0.0607 Á = 6.25; P(X = 5) = 0. 1534 a) 0.082 b) 0.9179 e ) 0.2562 d) 0. 1336 b) 0. 1493 e) 0.224 a) 0.0497 d) 0.423 b) 0.2306 e) 0.2652 d) 0.404 a) 0. 1 002 Á = 1; P(X :S 0.03) = 0.981 Á = 4; P(X 5) = 1 - P(X :S 5) = 1 - 0.785 = 0.215 a) Á = 30; P(X :S 3) = e- 30 X [30° /0! + 30 1 /1! + 30 /2 ! + 303 /3!] = 4.66 x 10- 1 1 b) P(X � 5) = 1 - P(X :S 4) = 0.999999996 Á = 2.5; P(X :S 2) = 0.543 a) Á = l. 25; P(X � 1) = 1 - P(X = O) = 1 - 0.2865 = O. 7135 b) Á = n/40; P(X :S 2) = 0.9; n = 160 Á = 0.000 1 x 10 000 = 1 a) P(X = O) = 0.3679 b) P(X � 2) 1 - P(X :S 1 ) = 0.2642 Á = 0. 1 ; P(X � 2) = 1 - P(X :S 1 ) = 1 - 0.9953 = 0.00467 Á = 1; a) 0.368; b) 0.264 a) Á = .8; P(X = O) = 0.0003 b) Á = 2; P(X = O) = 0. 135 e) (0. 1 35)4 = 0.0003 a) Á = 1; P(X � 1) = 1 - P(X = O ) = 0.632 b) (0.632)3 = 0.2524 a) 6 b) u = 2.4495 e) Á = 0.5; P(X = O) = 0.607
>
e-12
>
2
20 1 9.43.
a) A = 0.5; P(X = O) = 0.607 1) = 0.303 e) P(X 2: 2) = 1 - P(X S 1) = 0.09 A = 0.004; P(X = O) = e- 0 004 = 0.996 a ) P(X = O) = e-3 = 0.0497 b) P(X = 3) = 0.224 e) P(X = 1) = 0. 1493 x 1000 = 149 b) A = 5/6; 0.7979 a ) A = 6/5; 0.7135 a) A = 5/3; 0.8111 b) 0.8111 a) A = 3; 0.1008 b) A = 3; 0.4232 a) A = 2; 0.1429 b) A = 2; 0.1353 b) 0.4015 a ) 0.1512 b) A = 5; 0.0067 a ) A = 5; 0.3840
b) P(X =
9.44. 9.45.
9.46. 9.47. 9.48. 9.49. 9.50. 9.5 1 . 9.52.
9.53.
9.54. 9.55. 9.56. 9.57.
9.58.
a ) A = 2.4; 0.988 b) P(X = 2) =
G}o.988)2(0.012) = 0.035 a ) A = 5; 0.3840 b) P(X = 3) = (:}0.384)3(0.616) = 0.1395 e) 0.0553 = (0.616)4(0.384) E(X) = V(X) = 10 A = 4; P(X s 4) = 0. 6 288 a ) A = 7.5; P(X S 5) = 0.1321 b) 0.3376 k P(X = k) = (\�) e - 1 5 k = 1, 2, . . . , 50 9 k P(X < 10) = P(X S 9) = e-25 L � = 0.0002215 para
k=O
9.59.
e) A = 5/12; 0.2746
P(X 2: 9) = 1 - P(X ·s
23 - 4 4 = 0.5272 23) = 1 - L e 2k�
k=O
k
Capítulo
10
Distribución hi pergeométrica •
Sea X una variable aleatoria discreta que representa el número de éxitos en una muestra aleatoria de tamaño n seleccionada de ¡q resultados posibles, de los cuales k son considerados como éxito y N - k como fracasos, entonces X tiene una distribución de probabilidad hipergeométrica y su función de proba bilidad está dada por: p(x) = h(x; N, n, k) = con
E(X) =
nk N
(:) (��Z) , (�)
y V(X) =
x = O, 1, 2, . . . , n
( !:._) .
N-n n .!:._ 1 N-1 N N ·
·
El número de éxitos en un experimento hipergeométrico es una variable aleatoria hipergeométrica. 10. 1 . Un anup.,cio contiene fotografías de 10 piezas de joyería. Ocho son piezas baratas y dos son gemas muy costosas. Si no pueden distinguirse las piezas de fantasías de las gemas, ¿cuál es la probabilidad de elegir. dos piezas del total de 1 0 y descubrir que ambas son gemas? ¿cuál es la probabilidad de elegir al menos una gemaP 10.2. Un motor de automóvil de ocho cilindros tiene dos bujías que fallan. Si se quitan las cuatro bttiías de un lado del motor, ¿cuál es la probabilidad de que entre éstas estén las dos que fallan? 10.3. En una jaula hay 1 0 roedores recién nacidos: cinco machos y cinco hembras. Si se eligen cinco al azar, ¿cuál es la probabiliOad de que se tenga al menos uno de cada sexo?
202
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA 203 10.4, Hay siete hombres y tres mujeres en una clase. Cada estudiante tiene la misma probabilidad que los demás de estar ausente. Dado que usted sabe que hay dos alumnos ausentes, ¿cuál es la probabilidad de que sean un hombre y una mujer? 10.5. Suponga que tres pilas secas defectuosas están mezcladas con siete sin defectos y que usted las prueba de una en una. ¿cuál es la probabilidad de que en la sexta prueba encuentre la última pila defectuosa? 10.6. Luego de usarlas, se regresan unas máquinas fotocopiadoras al pro veedor para que las limpie y devuelva según el convenio de arrenda miento. No se llevan a cabo las reparaciones principales y, como re sultado, algunos clientes reciben máquinas en mal estado. Entre ocho fotocopiadoras usadas que se suministrarán ahora, tres funcionan mal. Un cliente desea rentar de inmediato cuatro de estas máquinas. En con secuencia, se seleccionan rápidamente cuatro máquinas y se le mandan sin verificarlas. Calcular la probabilidad de que el cliente: a ) no reciba ninguna de las máquinas que funcionan mal, b) reciba por lo menos una de las máquinas que funcionan mal, e) reciba tres máquinas que funcionan mal. 10.7. Un supervisor tiene 1 0 empleados de los cuales debe seleccionar a cuatro para llevar a cabo cierto trabajo desagradable. Entre los 1 O em pleados, tres pertenecen a un grupo étnico minoritario. El supervisor seleccionó a esos tres empleados (y a otro más) para dicha tarea. El grupo minoritario protestó contra el supervisor ante el representante sindical alegando discriminación. El supervisor dijo que la selección fue completamente al azar, ¿qué piensa el lector? 10.8. Una empresa tjene un conjunto de seis compañías a las que compra determinadas refacciones; cuatro de esas compañías son locales. Si se seleccionan al azar tres compañías, sin remplazo, calcular la probabili dad de que: a) por lo menos una de las compañías seleccionadas sea local, b) · las tres compañías sean locales. 10.9. En un almacén hay 10 impresoras, cuatro de las cuales son defectuosas. Una compañía selecciona al azar cinco de ellas para comprarlas. ¿cuál es la probabilidad de que las cinco máquinas seleccionadas no tengan defectos? 10. 10. Unas especificaciones piden que un tipo de termistor soporte entre 9 y 1 0 mil ohm a 25 'C. De 10 termistores disponibles, se seleccionarán tres para usarlos. Sea X el número entre los tres que no se apegue a las especificaciones. Calcular la distribución de probabilidad de X, en forma tabular, si: a ) entre los 1 O ha}(._.dos que no se apegan a las especificaciones, b) entre los 10 hay cuatro que no se apegan a las especificaciones.
204 CAP.
1 O.
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
10. 1 1. De una urna que contiene cuatro bolas de color blanco y tres de color rojo, se seleccionan dos bolas al azar, sin remplazadas. Calcular la probabilidad de que: a) se seleccione una sola bola de color blanco, b) se seleccione por lo menos una bola de color blanco, e) se seleccionen dos bolas de color blanco dado que por lo menos se seleccionará una bola de color blanco, d) la segunda bola que se tome sea de color blanco. 10.12. Si se sacan al azar cuatro pelotas de una bolsa que contiene cinco pelotas de color rojo y tres de color negro, ¿cuál es la probabilidad de obtener: a) una pelota de color negro y tres de color rojo? b) dos pelotas de cada color? e ) al menos una pelota de color negro? 10. 13. Muchas veces se estima el tamaño de las poblaciones de animales mediante el método de captura-marcaje-recaptura. Bajo este método se capturan k animales, se les marca y se les suelta en la población. Tiempo después se capturan n animales, se .anota X, el número de animales marcados entre los n. Las probabilidades asociadas a X son una función de N, el número de animales en la población y el valor observado de X contiene información sobre el valor desconocido de N. Supóngase que k = cuatro animales son marcados y después soltados. Se toma una muestra al azar de n = 3 animales de la misma población. Encuentre P(X = 1 ) como una función de N. ¿cuál valor de N maximiza P(X = 1 )? 10. 14. Un problema importante que enfrentan los jefes de personal y otras personas encargadas de la selección de los mejores de un conjunto finito de elementos, se describe mediante la situación siguiente. Se seleccionan 10 p�rsonas para un trabajo de un grupo de 20 ingenieros con doctorado. ¿cuál es la probabilidad de que el grupo de los 10 ingenieros seleccionados incluya a los cinco mejores del grupo de 20? 10. 15. Se definen los requisitos del "peor de los casos" como objetivos de diseño de una marca de terminales de computadora. Una prueba preliminar rápida indica que cuatro de 10 terminales no pasan la prueba del "peor de los casos". Se seleccionan al azar cinco de las 10 para pruebas posteriores. Sea Y el número que no pasó la prueba preliminar entre las cinco terminales. Calcular a) P(Y � 1 ) b) P(Y � 3) e ) P(Y � 4) d) P(Y � 5) 10. 16. Suponga que un radiorreceptor contiene seis transistores, de los cua les dos son defectuosos. Se quitan y prueban tres transistores seleccio nados al azar. Sea X el número de transistores defectuosos encontrados, donde X = O, 1 o 2. Encuentre la distribución de probabilidad para X.
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA 205 10. 17. Se formó un jurado de seis personas de un grupo de 20 posibles miembros, de los cuales ocho eran negros y 1 2 eran blancos. El jurado se seleccionó aleatoriamente, pero sólo contenía a un miembro negro. ¿Tiene usted algún motivo para dudar de la aleatoriedad de selección? 10. 18. En un almacén se tienen 10 impresoras, de las cuales ·cuatro están defectuosas. Una compañía selecciona cinco de las máquinas al azar, bajo el supuesto de que todas funcionan bien. ¿cuál es la probabilidad de que en las cinco máquinas no haya ninguna de las defectuosas? 10. 19. Entre 100 artículos de un lote hay cinco defectuosos. Calcular la probabilidad de que entre 1 O artículos seleccionados al azar no haya más que un artículo defectuoso. 10.20. De un lote de 30 televisores, se selecciona una muestra de tres televi sores. Si en el lote hay cinco elementos defectuosos, ¿cuál es la proba bilidad de que: a) la muestra no contenga elementos defectuosos? b) los tres sean defectuosos? e) uno sea defectuoso y los otros dos no? 10.2 1. Un producto industrial determinado se embarca en lotes de 20. La prueba para determinar si un artículo es defectuoso es costosa y por lo tanto el productor saca una muestra de su producción en lugar de utilizar un plan de inspección al 100 %. Un proyecto de ll),Uestreo ' elaborado para minimizar el número de artículos defectuosos surtidos a los consumidores exige un muestreo de cinco artículos de cada lote y el rechazo del lote si se encuentra más de un artículo defectuoso. Si un lote contiene cuatro defectuósos, ¿cuál es la probabilidad de que sea rechazado? 10.22. El señor López es responsable de la compra de cajas de vino para el restaurante Casa Blanca. De manera periódica elige una caja de prueba ( 12 botellas por caja) para determinar si el proceso de selfado es adecuado. Para esta prueba, selecciona al azar cuatro botellas de la caja para catar el vino. Si una caja contiene dos botellas de vino en mal estado, calcular la probabilidad de que precisamente una de ellas aparezca en la muestra del señor López. 10.23. Un lote de 25 cinescopios para televisor a color se somete a un procedimiento de pruebas de aceptación. El procedimiento consiste en extraer cinco tubos al azar, sin remplazo, y probarlos. Si dos o menos tubos fallan, los restantes se aceptan. De otro modo, el lote se rechaza. Suponga que el lote contiene cuatro tubos defectuosos, ¿cuál es la probabilidad exacta de que el lote se acepte? 10.24. Un distribuidor tiene 20 ratones hembras y 10 machos; selecciona cinco al azar para venderlos a un laboratorio. Determine la distribución de probabilidad del número de ratones hembra seleccionados.
1 .
206 CAP.
1 O.
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
10.25. Entre 1 6 máquinas nuevas que se vendieron a un distribuidor, hay siete con defectos mínimos. Si el departamento de control de calidad selecciona al azar dos de estas máquinas para revisar si hay defectos, ¿cuál es la probabilidad de que: a) ninguna de las máquinas revisadas tenga defectos? b) una de las máquinas tenga defectos? e) ambas máquinas tengan defectos? 10.26. Si siete de 14 maletas contienen artículos de contrabando, determine la probabilidad de que exactamente cuatro de seis maletas seleccionadas al azar en la inspección de pasajeros contengan artículos de contra bando. 10.27. Un grupo de programas de cómputo disponibles para resolver un problema de programación lineal se clasificó del 1 al 1 6 (del mejor al peor). Una empresa de ingeniería selecciona dos de esos paquetes para comprarlos, sin consultar la clasificación. Sea X el número de paquetes que adquirió la firma clasificados como 3, 4, o 6. Indicar en forma tabular la distribución de probabilidades de X. 10.28. Un auditor comprueba la contabilidad de una empresa y toma como muestra tres cuentas de una lista de ocho cuentas por cobrar. Calcular la probabilidad de que el auditor revise por lo menos una cuenta vencida si hay -¡. a) dos de éstas entre las ocho, AL M e;¡; -.,¡ oS -;. b) cuatro de éstas entre las ocho, '/. e) siete de éstas entre las ocho. 10.29. En un mazo hay 10 cartas, de las cuales cinco son corazones. Se desea tomar cuatro cartas y se quiere determinar la probabilidad de que dos de las extraídas sean corazones. 10.30. Una bolsa contiene 10 focos, de los cuales ocho están en buen estado. Si se eligen al azar cinco focos: a) ¿cuál es la función de probabilidad para los focos que sirven? b) ¿cuál es la función de probabilidad para el número de focos que no sirven? 10.3 1. De una urna que contiene nueve canicas de color azul y tres de color negro se extraen ocho sin remplazo. Encontrar la probabilidad de obtener precisamente x canica de color azul. 10.32. Una caja contiene cinco canicas, de las cuales tres están dañadas. Se eligen dos canicas al azar sin remplazo. ¿cuál es la función de probabilidad para el número de canicas dañadas en la muestra? 10.33. De una baraja normal de 52 naipes, se sacan 13 al azar sin remplazo. a) ¿cuál es la función de probabilidad para el número de naipes rojos en la muestra?
5
RESPUESTAS 207 b) ¿cuál es la media y la variancia del número de naipes rojos? 10.34. Demostrar que para la distribución hipergeométrica la función de densidad P(k; N, A{ n) cumple la siguiente relación de recursividad:
M -k P(k + 1 ; N, M, n) = nk -+ 1k N - M - n + k + 1 P(k ; N, M, n) Si se sabe que P(2; 1 0, 4, 5) = 0.476, calcular P( 3; 10, 4, 5). 10.35. En un lote de N elementos, se investigan n de ellos al azar. El lote es aprobado si dentro de los elegidos para el control de calidad se descubren menos de m dañados. ¿Cuál es la probabilidad que se acepte el lote si contiene M elementos dañados?
Respuestas 10. 1 . 10.2. 10.3. 10.4. 10.5. 10.6. 10. 7. 10.8. 10.9. 10.10.
0.0222; 0.3777 3/14 0.996 0.4666 0.1468 a) 1/14 b) 13/14 e) 1/14 1/30; Bueno, tal vez n o se trata de una selección al azar. a ) 4/5 b) 1/5 1/42 q,)
X p(X)
o
7/1 5
7/15
b)
1 0. 1 1 . 10.12. 10. 13.
10. 1 4. 10. 15.
o 1 2 X 1/2 1/6 p(X) 3/10 a) 4/7 b) 6/7 e) 1/3 d) 4/7 a) 3/7 b) 3/7 e) 13/14 N = 1 1 o 12 P(x = 1). = m G�n �
(�) = 21 = 0.0162 p = (;)(��) 1292 a ) 4 1/42 b) 1 1/42 e) 1/42
()
d) O
2 1/15 3 1/30
208 10. 16. 10. 17. 10. 18.
P(X = O) = 0.2; P(X = 1) = 0.6; P(X = 2) = 0.2 0.1634; No 1/42
. . m m) + m e:) = o. 9231 (\o;)
lo 19
10.2 1.
b) 0.00246 e) 0.3694 Sea X el número de artículos defectuosos en la muestra. ?(rechazar lote) = 1 - P(O) - P(1 ) = 1 - 0.2817 - 0.4696 = 0.2487
10.22.
P(X = 1)
10.20.
1 0 23
. .
10.24.
a) 0.5665
=
(��2�D = 0.4848
2 P(x < 2) = G) ( D
-
(�)
+
m (�') m en = o 9838 (�) . e:) +
4 0.34
1
X p(X)
O 1/15
10.28.
a) 9/1 4 b) 13/14 e ) 1
10.29.
0.4762
1 0.30.
a) P(X = k) =
m(��;k)
b) P(X = k) = {!) (s�k)
. . P = C) (s�J Ci)
lo 31
10.33.
(�o)
1 8/15
k = 3, 4, 5 k = O, 1, 2
para x = 5, 6, 7, 8
a ) P(X = k) = (�6) (,;�k)
GD
k = 0' 1' 2, . . . , 13
b) E(X) = 13/2; V(X) = 169/68
2 6/15
5 0.1 1
209 10.34.
P(' + 1 '. N' M' n) = ( � ) (�)(,:-(,�>) k l
(N-M)! M! (M- k� ( N - M - n+k+ l)!(n-k - 1 )
(�)
M!(M-k) (N-M)!(n-k) (M- k)!k!(k+ l ) (N-M- n+k)!(N -M -n+k+J)(n-k)!
P(3;
10.3 5 .
� (�) (.��7) 1<=0
(�) M k n k = N - M - n + k+ 1 P(k; N, n) 10, 4, 5) = k+l
0.238
!'{
Capítulo 1 1 Distribución geométrica
y
distribución de Pascal
Dada una sucesión de variables aleatorias de Bernoulli independientes que sólo toman los valores O y 1 con probabilidad de éxito constante igual a p, si X es una variable aleatoria discreta que representa el número del intento en el que se obtiene el primer éxito, entonces X tiene una distribución de probabilidad geométrica y su función de probabilidad está dada por:
-
P(X = x) = p( 1 - pt 1 , x = 1, 2, . . . para 0 < p < 1 con
E(X) =
�
p
y
V(X)
=
1
-/
p
Bajo las condiciones anteriores, si X es una variable aleatoria que repre senta el número de intentos requeridos para que se obtengan r éxitos, enton ces se dice que X tiene una distribución de Pascal con parámetros p y r (binomial negativa) y su función de probabilidad está dada por: P(X = x) = para con
G = �) ( l - pt-rpr
x = r; r + 1, r + 2, r + 3, . . . r r( 1 - p) E(X) = Y V(X) = p p2
1 1.1. Se tira una moneda no cargada hasta que aparece un águila. a) ¿cuál es la probabilidad de que se necesiten menos de tres intentos? b) ¿cuál es la probabilidad de que se necesiten menos de cuatro intentos?
210
DISTRIBUCIÓN DE PASCAL 2 1 1 1 1.2. Se lanza al aire cuatro veces una moneda no cargada. ¿cuál es la proba bilidad de que en la cuarta vez aparezca águila si en las cuatro tiradas aparecen tres águilas? ¿o si aparecen dos águilas en las cuatro tiradas? 1 1.3. Se tira un par de dados hasta que aRarece un siete (la suma de los dos números de los dados). Calcular la probabilidad de que: a) se necesiten dos intentos, b) se necesite un número par de intentos. 1 1.4. Una persona se presenta a examen de manejo varias ocasiones hasta que lo aprueba. Suponer que la probabilidad de que lo apruebe en cual quier momento dado sea de 0. 1 y que las pruebas sean independientes. Calcular la probabilidad de que: a) le tome más de cuatro intentos, b) le tome más de 1 0 intentos. 1 1.5. Se repite un experimento en el que un evento tiene una probabilidad p de suceder hasta que el evento ocurre por primera vez. Calcular la probabilidad de que el evento ocurra exactamente en k + 1 ensayos. 1 1.6. Un tirador experto da en el blanco % de las veces. ¿cuál es la probabilidad de que falle por primera vez en su decimoquinto disparo? 1 1.7. Se supone que 30 % de los aspirantes para cierto trabajo industrial tiene un entrenamiento avanzado en programación computacional. Los aspirantes son entrevistados, uno tras otro, y son seleccionados al azar del conjunto de aspirantes. Determine la probabilidad de que se encuentre el primer aspirante con un entrenamiento avanzado en programación en la quinta entrevista. 1 1.8. Un explorador de petróleo perforará una serie de pozos en cierta área para encontrar un pozo productivo. La probabilidad de que tenga éxito en una prueba es de 0.2. a) ¿cuál es la probabilidad de que el primer pozo productivo sea el tercer pozo perforado? b) ¿cuál es la probabilidad de que el explorador no vaya a encontrar un pozo productivo si sólo puede perforar un máximo de 1 0 pozos? 1 1.9. Dado que ya se ha lanzado una moneda normal 10 veces y se han obtenido cero caras, ¿cuál es la probabilidad de que se tenga que lanzar al menos dos veces más para obtener la primera cara? 1 1. 10. Se estima que 60 % de una población de consumidores prefiere una marca particular de pasta de dientes A. ¿Cuál es la probabilidad, al entrevistar a un grupo de consumidores, de que se tenga que entrevistar: a) exactamente a cinco personas para encontrar el primer consumidor que prefiere la marca A? b) al menos cinco personas?
95
212
CAP.
1 l.
DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
l l. l l . Se aplican análisis a los obreros de una empresa que fabrica material aislante, a fin de detectar la existencia de asbesto en sus pulmones. La fábrica tiene que mandar tres obreros, con indicaciones positivas de asbesto, a un centro médico para realizar más pruebas. Si 40 % de los trabajadores tienen indicaciones p ositivas de asbesto en los pulmones, encuentre la probabilidad de que se tengan que examinar a 1 0 operarios para encontrar tres "positivos". 1 1. 12. Diez por ciento de las máquinas producidas en una línea de montaje resultan defectuosas. Si se selecionan máquinas aleatoriamente de una por una para probarlas, ¿cuál es la probabilidad de encontrar la primera máquina defectuosa: a) en la segunda prueba? b) en la quinta prueba? e ) en la quinta prueba Q antes? 1 1 . 13. Las líneas telefónicas de la oficina de reservaciones de cierta línea aérea se encuentran ocupadas casi 60 % del tiempo. a) Si se llama a esta oficina, ¿cuál será la probabilidad de que le contesten en el primero, segundo y tercer intentos? b) Si un amigo suyo y usted tienen que llamar a esta oficina, ¿cuál será la probabilidad de tener que hacer en total cuatro intentos para que ambos obtengan comunicación? 1 1. 14. Suponer que 1 0 % de los motores fabricados en determinada línea de montaje son defectuosos. Si se seleccionan al azar, uno a uno, los motores para probarlos, calcular la probabilidad de que se encuentre el primer motor no defectuoso en el segundo intento. 1 1. 15. Una compañía aeroespacial ha construido cinco misiles. La probabi lidad de un disparo exitoso es, en cualquier prueba, de 0.95. Si se suponen lanzamientos independientes, ¿cuál es la probabilidad de que la primera falla ocurra en el quinto disparo? 1 1. 16. Un agente de bienes raíces estima que la probabilidad de vender una casa es de 0 . 1 O. El día de hoy tiene que ver cuatro clientes. Si tiene éxito en las primeras tres visitas, ¿cuál es la probabilidad de que su cuarta visita no sea exitosa? l l. 17. En Chihuahua la probabilidad de que ocurra una tormenta en c.ual quier día durante la primavera es de 0.05. Bajo el supuesto de indepen dencia, ¿cuál es la probabilidad de qúe la primera tormenta ocurra el 5 de abril? Suponga que la primavera empieza el 1 de marzo. l l. 18. La probabilidad de que un experimento tenga resultado exitoso es de 0.75. El experimento se repetirá hasta que ocurran cinco resultados exitosos. ¿cuál es el número esperado de repeticiones necesarias? ¿cuál es la varianza?
DISTRIBUCIÓN DE PASCAL 2 1 3 1 1. 19. Sea X una variable aleatoria con distribución geométrica con paráme tro p, y Y es una variable aleatoria distribuida exp onencialmente con parámetro A. Encontrar A tal que P(X > l ) = P(Y > 1 ). 1 1.20. Tres personas lanzan una moneda y la que salga dispareja paga los cafés. Si todas las monedas-caen iguales, se lanzan nuevamente. Encuentre la probabilidad de que se necesitan menos de cuatro lanzamientos. 1 1.2 1 . Sea X una variable aleatoria geométrica con la probabilidad de tener éxito igual a p. a) Demuestre que para un entero positivo a, P(X > a) = qa . b) Demuestre que para los enteros positivos a y b, P(X > a + b 1 X > a) = qb = P(X > b). 1 1 .22. Un embarque de 10 focos contiene dos defectuosos. Si se eligen al azar los focos, ¿cuál es la probabilidad de que: a) los dos primeros sean buenos? b) el primer foco defectuoso se extraiga en el sexto lugar? e) el primer foco defectuoso no se extraiga sino hasta el noveno intento? 1 1 .23. Un contador público ha encontrado que nueve de 10 auditorías de compañías contienen errores importantes. Si el contador revisa la contabilidad de una serie de compañías, ¿cuál es la probabilidad de que: a) la primera contabilidad con errores . sustanciales sea la tercera contabilidad revisada? b) la primera contabilidad con errores importantes se encotrara des pués de revisar la tercera? 1 1 .24. Se examina a los empleados de un negocio de fabricación de aislantes para ver si tienen asbesto en los pulmones. Se pide a la empresa que mande a tres empleados con resultados positivos a un centro médiéo para mayores exámenes. Si 40 % de los empleados obtuvieron resultados positivos en la detección de asbesto, calcular la probabilidad de que se deba analizar a 1 O empleados para encontrar a tres con asbesto en los pulmones. 1 1.25. Si la tercera parte de las personas que donan sangre a una clínica son del grupo o+, calcular la probabilidad de que: a) el primer donador o+ sea el cuarto donador del día, b) el segundo donador o+ sea el cuarto donador del día. 1 1.26. Un estudio geológico indica que un pozo de exploración perforado en determinada zona debe encontrar petróleo con una probabilidad de 0.2. Calcular la probabilidad de que: a) el primer hallazgo de petróleo se tenga al tercer pozo perforado, b) el tercer hallazgo de petróleo se obtenga con el quinto pozo perfo rado.
214
CAP. 1 1 .
DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
1 1.27. Un gran lote de llantas contiene 1 O % de defectuosas; del lote se elegirán cuatro para colocarlas en un automóvil. a) Encuentre la probabilidad de que seis llantas deban seleccionarse del lote para obtener cuatro en buen estado. b) Calcule el valor esperado y la varianza del número de elecciones que deben efectuarse para obtener cuatro llantas sin defectos. 1 1.28. Un electrodoméstico se vende en dos colores -blanco y café-, los que tienen igual demanda. Un vendedor de electrodomésticos tiene tres de cada color en existencia, aunque esto no lo saben sus clientes. Dichos clientes llegan y piden en forma independiente estos electrodomésti cos. Calcular la p�obabilidad de que: a ) el quinto cliente pida el tercer electrodoméstico de color blanco, b) el quinto cliente se lleve el tercero de color café, e ) se pidan todos los de color blanco antes del primero de los de color café, d) se pidan todos los de color blanco antes que se agoten los de color café. 1 1.29. Un gerente de personal está entrevistando a empleados potenciales con el fin de cubrir dos vacantes. La probabilidad de que el entrevistado tenga las cualidades necesarias y acepte un ofrecimiento es de 0.8. a) ¿cuál es la probabilidad de que sea necesario entrevistar exacta mente a cuatro personas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario entrevistar a menos de cuatro personas? 1 1.30. Demostrar que el valor esperado para la distribución de probabilidad geométrica es E(X) = � . 1 1 .3 1. Un cliente potencial entra a una agencia de automoviles cada hora. La probabilidad de que una vendedora cierre una transacción es de 0. 10. Si está determinada a continuar trabajando hasta vender tres automóviles: a) ¿cuál es la probabilidad de que tenga que trabajar exactamente ocho horas? b) ¿cuál es la probabilidad de que tenga que trabajar más de ocho horas? 1 1.32. Un comandante del ejército desea destruir un puente enemigo. Cada vuelo de aviones que envía tiene una probabilidad de 0.8 de conseguir un impacto directo sobre el puente. Para destruirlo por completo se requieren cuatro impactos directos. Si puede preparar siete asaltos antes de que el puente pierda importancia desde el punto de vista táctico, ¿cuál es la probabilidad de destruir el puente? 1 1.33. La probabilidad de que un cliente acuda al mostrador de una tienda de abarrotes en cualquier periodo de un segundo es igual a 0. 1 . Supóngase
•
..
DISTRIBUCIÓN DE PASCAL 2 1 5 que los clientes llegan de manera aleatoria y que, en consecuencia, las llegadas en cada intervalo de un segundo son independientes. a) Encuentre la probabilidad de que la primera llegada ocurra durante el tercer intervalo de un segundo. b) Encuentre la probabilidad de que la primera llegada no ocurra hasta al menos el tercer intervalo de un segundo. 1 1.34. Demostrar que para la función de distribución de Pascal, la función de densidad P(k;r,p) cumple la siguiente relación de recursividad: P(k + 1; r, p) =
1 1.35. 1 1.36.
1 1.37.
1 1 .38.
1 1.39.
1 1.40.
k
k _ r + l q P(k; r, p)
Si se sabe que P(6; 4, �) = 12 , calcular P(7; 4, VCalcular la media y la variancia de una variable aleatoria de Pascal (binomial negativa). La probabilidad de que una persona que vive en cierta ciudad posea un perro se estima en 0.3. Encuentre la probabilidad de que la décima persona entrevistada aleatoriamente en esta ciudad, sea la quinta persona que posee un perro. Un científico inocula, de uno a uno, varios ratones con un germen de una enfermedad hasta que obtiene dos que la han contraído. Si la probabilidad de contraer la enfermedad es de � , ¿cuál es la probabilidad de que se requieran ocho ratones? Suponga que la probabilidad de que una persona determinada crea una historia acerca de los atentados a una famosa actriz es de 0.8. ¿cuál es la probabilidad de que: a) la sexta persona que escucha tal historia sea la cuarta que la crea? b) la tercera persona que escucha tal historia sea la primera en creerla? Encuentre la probabilidad de que una persona que lanza una moneda obtenga: a) la tercera cara en el séptimo lanzamiento, b) la primera cara en el cuarto lanzamiento. De acuerdo con un estudio publicado por un grupo de sociólogos de la Universidad de Massachusetts, alrededor de las dos terceras partes de los 20 millones de personas en Estados Unidos que consumen Valium son mujeres. En el supuesto de que ésta sea una estimación válida, encuentre la probabilidad de que un determinado día la quinta receta médica por Valium sea: a) la primera prescripción de Valium para una mujer, b) la tercera prescripción de. Valium para una mujer.
2 1 6 CAP. 1 l . DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA 1 1.41. La probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el examen escrito para obtener su licencia de piloto privado es de 0.7. Encuentre la probabilidad de que una persona apruebe el examen: a) en el tercer intento, b) antes del cuarto intento. 1 1.42. Dos chicos A y B lanzan una pelota a un blanco. Supóngase que la probabilidad de que el chico A dé en el blanso es de � y que la proba bilidad de . que el chico B dé en el blanco es de i· Supóngase también que el chico A lanza primero y que los dos chicos se van turnando para lanzar. Determínese la probabilidad de que el primer lanzamiento que dé en el blanco sea el tercero del chico A. 1 1.43. Un estudio geológico indica que un pozo exploratorio debería dar petróleo con una probabilidad de 0.2. ¿cuál es la probabilidad de que: a) el primer descubrimiento ocurra en la tercera perforación? b) el tercer descubrimiento ocurra en la quinta perforación? e) Determine la media y la varianza del número de pasos que hay que perforar si la compañía quiere establecer tres pasos con producción petrolera.
Respuestas 1 1.1. 1 1 .2. 1 1 .3. 1 1 .4.
1 1 .5. 1 1 .6. 1 1 .7. 1 1 .8. 1 1 .9. 1 1 . 10. 1 1. 1 1. 1 1 . 12. 1 1 . 13. 1 1 . 14. 1 1 . 15 . 1 1 . 16. 1 1. 17.
b) 7/8 a) 3/4 3/4; 1 /2 a) 5/36 0. 1388 b) 5/1 1 = 0.4545 a ) P(X > 4) = 1 - P(X :S 4) = 1 - [0. 1 + 0. 1 · 0.9 + 0. 1 · (0.9)2 + 0. 1 · (0.9)3 ] = (0.9)4 0.6561 b) (9)10 0.3486 (véase también ejercicio 1 1.21) (1 (0.95)14 (0.05) 0.0244 (0.7)4 (0.3) 0.072 b) (0.8)10 = 0. 1073 ) (0.8)2 (0.2) = 0. 128, 0.5 b) 0.0256 a) 0.01536 0.06 b) (0.9)4 (0. 1) = 0.0656 e) 0.4095 a ) 0.9 0. 1 = 0.09 b) 0.1 728 a ) primero, 0.4; segundo, 0.24; tercero, 0.144 0.09 P(X = 5) = (0.95)4 (0.05) = 0.0407 (0. 1 )3 (0.9) 0.0009 P(X 36) = (0.95)35 (0.05) 0.0083 =
p )k p
a
X
=
X
x
=
=
=
X
x
X
=
=
x
x
=
217 1 1 . 19.
= 6.6666; u2 = 2. 2222 1 - p = e-\ A = - ln( 1 - p)
1 1 .20.
63/64
1 1 . 1 8. ¡.L
1 1.21.
·a
P(X > a) = 1 - P(X :S a) = 1 - L l- 1 p = 1 - p( 1 + q + l + =
k= l 1 - qa 1 - p -1 -q
a b P(X .> a + b 1 X > a) = P(X >P(X+ >na)X > a) = = . qb 1 1.23.
a) a)
1 1 .24.
O. 0645
1 1 .25. 1 1 .26. 1 1 .27. 1 1 .28. 1 1 .29. 1 1 .30.
28/45
= 0.62
b) 4/45 = 0. 089
+ qa - l )
e)
1 /45
I: l-l p
k =a
+b+ l q"
qb pqa 1 q qa
= 0.022
a) 8/81 b) 4/27 a) 0. 128 b) 0.03072 b) ¡.L = 40/9 e) u2 )40/ 8 1 a) 0.065 6 1 a) 3/ 1 6 b) 3 / 1 6 e ) 1 /8 d) 1 /2 a) P(X = 4) = 3 X (0.8/ X (0. 20)2 = 0.0786 b) P(X < 4) = (0. 8)2 X (0. 2)0 + 2 X (ü. W X (0.2) 1 = 0.896
� � [- : ] ( : [� ] ) ( : e � ) ) ( � G)) � � e; } � e; ) 6) � e; }
=p -
a) P(X = 8) = 2 1
x
P(X 2':
7)
(1
-
=p -
(0. 10)3 (0.9W 1
=
=p
p
p
- ( - p)
o. I 0)3 (0.90)k - 3
1
_
= 0. 0 1 24
3 3 (0. 1 0) (0. 90)k -
= P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 7
p)x- l
=
b) P(X > 8) =
=1
xp
( 1 - pr
p
=P -
1 1.32.
·
b) 0.0 1
0. 009
E(X) = E(p( 1 - p)" - 1 ) =
1 1.31.
·
= qa 00
1 1 .22.
·
1
o. 8)4 (0. 2)k -4
= o. 9958
+ P(X = 7)
= 0. 9666
( 1 - p)"
218 1 1 .33. 1 1 .34.
a)
0.081
b)
0.81
P(k + 1; r, ) = (r -k 1 ) p p = (k -r + k!1)!(r - 1) qp p = (k - kr 1) (k(k -- 1r)!)! qp, q = k -rk + 1 q (r -k 1 ) p q (k - kr + l)qP(k; r, p) P(7; 4, 1 /2) = (6/3) (1 /2) (5/32) 5/32 Es fácil observar que una variable aleatoria X con distribución de Pascal es igual donde las W; son independientes cada una tiene distribución geométrica._ Entonces: r
P
k-r+ l
r
k-r
+
¡1 .
1 1.35.
r
=
X
X
y
i= l
1
E(X) = L E(W;) = Lr p-1 pr � 1 - r(I - ) V(X) = � f;;( V(W;) = f;;( jJ2 p p2 p ( 15o -- 11) (0.3)5(0. 7)5 = 0.0514 (a)�=0.1638U Gr b)GY0.032= 0.0651 a) 0.1172 b) 1 / 16 a) 2 / 243 b) 16 / 81 a) (0.3)2 (0.7) 0. 0 630 b) 0.9730 1/ 12 a ) 0.128 60 b) 0. 0 3072 e) ¡.t = 15; r
_. ,
i= l
1 1 .36. 1 1 .37. 1 1 .38. 1 1 .39. l l .40. 1 1 .4 1 . 1 1 .42. 1 1 .43.
x
i= l
=
-,
=
=
a-2
k-r
=
k-r
Capítulo 1 2 Distribución multinomial
Sea una s�cuencia de n experimentos indépendientes donde cada uno de ellos puede tener k resultados con probabilidades constantes p¡, . pk con p 1 + · · · + pk l . Si X1 . . . Xk son las variables aleatorias que representan el número de ocurrencias de cada resultado, entonces se dic.,e que tienen una distribución multinomial y su función de probabilidad conjunta está dada por:
..
=
p(X¡ - x¡, . . . xk - xk ) _
____,
n!
_
-
X¡ 1
. • . .
Xk .1
x P 1 XJ · · · PkXk
.
-(
_
n
X¡X2 · · · Xk
)p
Xt
. . . PXk
para valores enteros no negativos de x; ( i 1 . k) que satisfacen x1 + · + xk n. Las variables aleatorias x1 . Xk tienen esperanzas y varianzas dadas por: =
.
E(X; )
=
.
np; y V(X)
=
.
·
·
=
np;(l - p;) para i = l . . . k,
pero esto no significa que sean independientes. 12. 1. Se saca una carta de un paquete de 52 previamente barajado, se registra el resultado y la carta se reemplaza. Si el experimento se repite cinco veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener dos cartas de espadas y una de corazones? 12.2. En un tablero para dardos circular, se tiene un pequeño círculo que se llama centro y 20 áreas numeradas del 1 al 20. Cada una de estas áreas se divide a su vez en tres partes, de tal forma que una persona que lanza un dardo y que acierta en un número determinado, obtiene un marcador sencillo, doble o triple del número, según donde haya acertado. Si la probabilidad de que una persona atine en el centro es de 0.0 1 , de que sea doble es de 0.10, de que sea triple es de 0.05 y de que no atine es de 0.02, ¿cuál es la probabilidad de que en siete lanzamientos no atine ninguno al centro, no haga triples} haga un doble dos veces y no atine una vez al tablero?
219
220
CAP.
1 2.
DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL
12.3. De acuerdo con la teoría de la genética, cierto cruce de conejillos de indias resultará en una descendencia roja, negra y blanca, en la relación 8 : 4 : 4. Encuentre la probabilidad de que de ocho descendientes cinco sean rojos, dos negros y uno blanco. 12.4. Las probabilidades de que un delegado llegue por avión, autobús, automóvil o tren a cierta convención son de 0.4, 0.2, 0.3 y 0. 1 , res pectivamente. ¿cuál es la probabilidad de que entre nueve delegados seleccionados aleatoriamente, tres hayan llegado por avión, tres en · autobús, uno en automóvil y dos en tren? 12.5. Como puede verificarse fácilmente, las probabilidades de obtener 0, 1 o 2 lados A con un par de monedas balanceadas son de 1 /4, 1 /2 y 1 /4, respectivamente. ¿cuál es la probabilidad de obtener dos lados A dos veces, una A y una B tres veces y dos B una vez en seis lanzamientos de un par de monedas legales? 12.6. Las probabilidades de que al conducir en cierta ciudad un modelo específico de automóvil importado se obtenga en promedio menos de 22 millas por galón, entre 22 y 25 millas por galón o más de 25 millas por galón son de 0.40, 0.40 y 0.20, respectivamente. Calcúlese la probabilidad de que entre 1 2 de tales automóviles probados, cuatro den en promedio menos de 22 millas por galón; seis, entre 22 y 25 millas por galón, y dos más. 25 millas por galón. 12.7. Las probabilidades de que una declaración de impuestos se llene correctamente, que contenga un error que favorezca al declarante, que lleve un error que favorezca al fisco o que contenga ambos tipos de errores son de 0.60, 0.20, 0 . 1 0 y 0.10, respectivamente. Calcule la probabilidad de que entre 10 de tales declaraciones de impuestos aleatoriamente elegidas para una auditoría, cinco estén correctas, tres contengan un error que favorezca al declarante, una lleve un error que favorezca al fisco y una contenga ambos tipos de errores. 12.8. Un supermercado suburbano vende los siguientes porcentajes de tres tipos de carne de res según la oficina de inspección de alimentos: 1 0 % de primera calidad, 60 % de carne selecta y 30 % de carne buena. ¿cuál es la probabilidad de que entre nueve clientes s<:;leccionados al azar tres compren carne de primera calidad; tres, carne selecta, y tres, carne de buena calidad? 12.9. Si cuatro empleados elaboran todas las facturas de la oficina de una companía y se ha determinado que 40 % de todas las facturas con errores son elaboradas por el empleado A, 20 % por el empleado B, 10 % por el C y el resto por el empleado D, ¿cuál es la probabilidad de que entre siete facturas con errores elegidas al azar dos hayan sido elaboradas por el empleado A, una por B, una por C y tres por D? 12. 10. Cuatro compañías están entrevistando a cinco estudiantes universita rios para ofrecerles trabajo luego de que se gradúen. Suponer que los
DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL 22 1 cinco reciben ofertas de cada compañía y que las probabilidades de que las compañías los contraten son iguales. a ) ¿Cuál es la probabilidad de que una compañía emplee a los cinco? b) ¿Cuál es la probabili_dad de que una compañía no emplee a nin guno? 12. 11. Se fabrican lápices mecánicos mediante un proceso que implica una gran calidad de mano de obra en las operaciones de ensamble. Este es un trabajo altamente repetitivo y hay un pago de incentivo. La inspección final ha revelado que 85 % del producto es bueno, 1 O % es defectuoso pero que puede elaborarse de nuevo y 5 % es defectuoso para desecharse. Estos porcentajes se mantienen constantes en el tiempo, se selecciona una muestra aleatoria de 20 artículos y si designamos k1 números de artículos buenos, k 2 números de artículos defectuosos que pueden elaborarse otra vez y k3 números de artículos que son para desecharse, ¿cuál es la función de probabilidad? 12. 12. Los artículos que se inspeccionan está stüetos a dos clases de defectos. Se supone que 70 % de los artículos de un lote grande no tienen defectos, en tanto que 20 % tiene un defecto tipo A solo y 1 O % tiene un defecto tipo B solo. (Ninguno tiene ambas clases de defectos). Si se extraen al azar seis de tales artículos del lote, calcular la probabilidad de que tres no tengan defectos, uno tenga defecto tipo A y dos tengan defecto tipo B. 12. 13. Entre un gran número de aspirantes a determinado puesto, 60 % sólo tiene estudios de bachillerato, 30 % no ha terminado estudios universitarios y 10 % ya terminaron estudios universitarios. Si se seleccionan cinco aspirantes para la entrevista, calcular la probabilidad de que por lo menos uno tenga grado universitario. 12. 14. Los usuarios que salen de una estación del tren subterráneo pueden pasar por cualesquiera de tres puertas. Si se supone que es igualmente probable que cualquier usuario seleccione cualquiera de la tres puer tas, calcular la probabilidad de que: a) dos seleccionen la puerta A, uno la B y uno la C, b) cuatro seleccionen la misma puerta, e) se usen las tres puertas. 12. 15. En la inspección de aeronaves comerciales se informa que no hay grie tas en las alas que sean detectables o que sean decisivas. Los antece dentes de una flota determinada muestra que en 70 % de las aeronaves que se inspeccionan no hay grietas en las alas, que 25 % tiene grietas detectables y que 5 % tiene grietas decisivas. Calcular la probabilidad de que en los siguientes cinco aviones que se inspeccionen:
222 CAP. 1 2. DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL
12. 16.
12. 17.
12.2 1.
1
1.
r
12.22.
a) uno tenga una grieta crítica, dos tengan grietas detectables y dos no tengan grietas, b) se observe por lo menos una grieta decisiva. En los incendios de casas habitación, casi 73 % se da en casas solas, 20 % en apartamentos y 7 % ocurre en otros tipos de departamentos. Si en un determinado día se informa independientemente de cuatro incendios, calcular la probabilidad de que dos sean en casas solas, uno en un apartamento y uno en otro tipo de departamentos. Los vehículos que llegan a un cruce pueden virar a la izquierda o la derecha o continuar de frente. En un estudio sobre los patrones del tránsito en este cruce, realizado durante un largo periodo, los ingenieros han observado que 40 % de los vehículos da vuelta a la izquierda, 25 % a la derecha y el resto continúa de frente. a) Calcular la probabilidad de que, de los siguientes cinco automóviles que lleguen al cruce, uno dé vuelta a la izquierda, uno dé vuelta a la derecha y tres sigan de frente. b) Determinar la probabilidad de que, de los siguientes cinco auto móviles que lleguen al cruce, por lo menos uno dé vuelta a la de recha. ms válido C2�7) como coeficiente multinomial? ¿Por qué? Un dado se lanza cinco veces. Encuentre la probabilidad de obtener: a) tres unos, un 1 y un 6, b) tres cuatros y dos números tres, e) únicamente unos. Una caja contiene un gran número de canicas, 50 % de ellas son moradas, 30 % rojas y 20 % negras. Suponga que se eligen al azar 10 canicas de la caja. ¿cuál es la probabilidad de que: a) haya cinco canicas rojas, dos moradas y tres negras? b) tengamos tres canicas moradas y cinco rojas? e) logremos cinco canicas moradas y cinco canicas rojas? Suponga que se tiran 18 veces un dado azul y uno verde. a ) Encuentre la probabilidad de que siete de las veces el dado azul tenga un número mayor y que cuatro veces empaten. b) Calcule la probabilidad de que empaten cuatro veces. Si un par de dados se lanza ocho veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener tres veces una suma de 7, un par una vez y cualquier otra combinación cuatro veces?
Res puestas 12.1.
15/128 = 0. 1 1 72
RESPUESTAS 223 12.2. 1 2.3. 1 2.4. 12.5. 12.6. 12.7. 1 2.8. 12.9. 12. 10.
12. 1 1 .
12.12. 12. 13. 12. 14. 12. 15. 12. 16. 12. 17. 12. 18. 12. 19. 12.20. 12.2 1 . 12.22.
0. 0095 21/256 = 0.082 0.0077 0. 1 1 7 0.058 [ 10!/(5! 3! 1 ! J ! )] (0.60)5 (0.20)3 (0. 10) (0. 10) = 0.0313 [9!/(3! 3! 3!)] (0. 1 )3 (0.6? (0.3)3 = 0.0099 [7!/(2! 1 ! 1 ! 3!)] (0. 4)2 (0.2)1 (0. 1)1 (0.3)3 = 0.036 0 (0.25)0 (0.25)0 \ a) 4 2 6 51 ! (0.25) 0. 25) 10 30 1 5) 4(5 0 + + + + = 0.76 56 b) 1 45 p k ¡ !k201!k ! (0.85)k ' (O. l)k2(0.05)k3 2 3 Buenos 16; defectuosos para elaborarse de nuevo dos; defectuosos para desecharse dos p = 0.0539 X
X
X
=
X
X
X
[ 0��!0
X
X
X
X
X
X
=
P = (X, = 3, X2 = 1, Xg 0.4095 a) 4/27 b) 1/27 a) 0.0459 b) 0.2262 0.0895 a) 0.0857 b) 0.7627 No, 1 + 2 + O + 7 # 9 b) 0.001 a) 0.003 a) 0.01 2 b) 0.023 a) 0.039 b) 0. 184 0.043 '-. ___.-'
X
X
X
X
X
]
=
X
X
�
2) = 36!1 2 1 = (0.7)3 (0.2)(0. 1)2 = 0.041 e) 4/9
e) 0.000 e) 0.019
Capítulo 1 3 Variables aleatorias •
continuas
Una variable aleatoria X se conoce como continua (estricta y absoluta mente continua) si para cada real e existe una función f (casi continua en cualquier parte) tal que P[X :::; e] =
¡�= f(x) dx
A la función f se llama le función de densidad de probabilidad o simplemente densidad de X. a) La función de densidad acumulativa o función de distribución se define como F(x) = f(t) dt para toda x
¡x=
Si F es diferenciable en x, entonces dF(x) = f(x) dx b) La diferencial de probabilidad f(x) dx se puede interpretar como f(x)dx = [x < X < x + dx] Para una variable aleatoria continua X, tenemos P[a < X < ¡3] = P[a :::; X :::; {3] = P[a < X < {3] = P[ a :::; X :::; ¡3] es decir, ningún punto lleva probabilidad positiva y cada conjunto A de la recta real de medida cero lleva probabilidad cero.
224
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 225 e) Si suponemos que X es una variable aleatoria continua con distribu ción de probabilidad J(x). Si Y = u(X) define una correspondencia uno a uno entre los valores de X y Y de tal forma que la ecuación y u(x) puede resolverse sólo para x en términos de y, de la forma x = u(y), entonces la distribución de probabilidad de Y es: =
g(y) = J[w(y)J I J I donde J = w' (y) recibe el nombre de jacobiano de l a transformación. d) El valor esperado, esperanza, valor medio o media de una variable aleatoria continua esta definida por
oo + E(X) = J- oo xf(x)dx
Si X es una variable aleatoria continua, cuya función de probabilidad es p(x) y si g(X) es cualquier función de X con valor real, entonces: E[g(X)] =
¡+: g(x)J(x)dx
Si X es una variable aleatoria continua, cuyo valor esperado E(X) = J.L, entonces podemos definir la varianza de X, denotada por V(X), como:
13.1. Establezca si las siguientes variables aleatorias son discretas o conti nuas: a) El numero de errores encontrados en una auditoria de los registros financieros de una compañía. b) Tiempo que espera un cliente para que le atienda la cajera en un supermercado. e) Número de automóviles que General Motors retirará el próximo año. d) Cantidad real de onzas de cerveza que contiene una lata de 12 onzas. 13.2. Sea X una variable aleatoria que puede tomar cualquier numero real como valor. ¿cuáles son los complementos de los eventos X ::; b, X < b, X 2: e, b ::; X ::; e y b < X ::; e? 13.3. ¿Qué valor debe tener la constante k para que J(x) =
{
kx o ::; x ::; 2 O para las demás x,
sea una función de densidad.
226
CAP. 1 3.
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
13.4. Supóngase que la función de densidad de una variable aleatoria X es la siguiente: �X ::S X ::S 4 para las demás
j(x) = { O 0
x
== 0.0. 520.5.
a) Calcular el valor t tal que P(X :::; t) b) Calcular el valor t tal que P(X 2:: t) 13.5. Sea la función de densidad de una variable aleatoria X dada por:
f(x)
f(x) = { 06
1.. ( 9
-
,;2)
-3 3 par las emás
< O) 1) 1 e) 2)
Calcular a) P(X b) P( :::; X :::; P(X > 13.6. E l tiempo de vida útil, en días, de los frascos de cierto medicamento es una variable aleatoria que tiene la función de densidad
{ 20000 x f(x) = ¿ 100)3 x +
>
O
para las demás
x
Encuentre la probabilidad de que un frasco de este medicamento tenga una vida útil de: a) al menos días, b) cualquier duración entre y días. 13.7. La humedad relativa X, medida en cierto lugar, tiene una función de densidad de probabilidad dada por
200
80 120
j(x) = { e0�(1 -x)2 0 :::::: X 1 x e f(x) ::S
para las demás
Encontrar el valor de que hace de una función de densidad. 13.8. Suponga que la variable aleatoria X tiene una función de densidad de probabilidad dada por
x O x e f(x) f(x) = { e�O 0 para las demás
Encuentre el valor de que hace de una función de densidad. 13.9. Si la densidad de probabilidad de una variable aleatoria esta dada por para las demás
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 227 Encuentre el valor de e y la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor: a) entre 1 /4 y 3/4, b) mayor que 2/3. 13.10. Si la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria esta dada por j(x)
{
=
x 0
Calcúlese las probabilidades de que una variable aleatoria con esta densidad de probabilidad tome un valor: a) entre 0.2 y 0.8, b) entre 0.6 y 1 .2. 13.1 1. Supóngase que el error de fase de un dispositivo de rastreo tenga la siguiente densidad de probabilidad
f( { X)
=
COS X
O
0
Calcúlese la probabilidad de que el error de esta fase esté: a ) entre O y 7T/4, b) mayor que 7T/3. 13.12. En cierta ciudad, el consumo diario de energía eléctrica (millones de kilowatt-hora) es una variable aleatoria con densidad de probabilidad x>O para las demás x Si la planta de energía de la ciudad tiene una capacidad diaria de 1 2 millones de kilowatt-hora, ¿cuál es la probabilidad de que e l abasteci miento de energía sea inadecuado en un día cualquiera? 13. 13. Por experiencia, el señor Arenas sabe que el precio más bajo de una obra de construcción puede considerarse como una variable aleatoria que tiene densidad uniforme ·
J(x)
={t
� < x < 2e 3 para las demás x
donde e es su propia estimación del costo de la obra. ¿Qué porcentaje debe agregar el señor Arenas a su costo cuando presente ofertas a fin de maximizar su utilidad esperada?
228
CAP. 1 3. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
13. 14. La distribución de densidad J(x) = 7T(l:x2} se llama distribución de Cauchy, la que fue introducida por Cauchy en 1853. Probar que esta distribución no tiene media. 13.15. Demostrar que V(X) E(X - c)2 - ( e - EX)2 =
donde e es una constante. 13. 16. Encontrar la media de la distribución que tiene densidad x J( )
=
{
xe -x x > O O x ::; O
Encuentre la función de densidad acumulativa y calcule P(X � 2). 13. 17. La producción de artículos en gran escala. siempre ocasiona una variación aleatoria, debida a influencias que son impredecibles e incontrolables. Así, en la producción de pernos, el di:ímetro X( cm) de los mismos se debe considerar como una variable aleatoria. Suponga que la distribución de X tiene densidad J(x) =
{
k(x - 0. 9)( 1. 1 - x) 0. 9 < x < 1. 1 0 para las demás x
Determinar k y encontrar J1, y u. 13. 18. Sea X con la función de densidad representada por J(x) =
{
cx2 + x Ü < x < 2 O para las demás x
a) Calcular c. b) Determinar F(x). e ) Calcular P(O < X < 0. 5). d) Calcular la media y la varianza de X. 13. 19. Considere la siguiente función de densidad de probabilidad: J(x) =
{
kx O
a ) Encuentre el valor de k para el cual J(x) es una función de densidad de probabilidad. b) Encuentre la media y la varianza de X. e) Encuentre la función acumulativa.
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 229 13.20. Suponga que X tiene la función de densidad j(x) =
{
ex O < x < 2 O pa-;:a 1� demás x
a) Encontrar el valor de e que hace de j(x) una función de densidad de probabilidad. b) Obtener la función de densidad acumulativa F(x). e ) Utilizar F(x) para encontrar P( 1 ::::; X ::::; 2). 13.2 1. El periodo de funcionamiento hasta su primera falla (en ciento de horas) de cierto transistor es una variable aleatoria X con una función de distribución acumulativa dada por x :::: o x
{
a ) Determinar el valor c. b) Obtener F(x). e) Utilizar F(x) para encontrar F(- 1 ), F(O) y F( l ).
230 CAP. 1 3. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS d) Calcular la probabilidad de que un estudiante termine en menos de media hora. 13.24. Sea X una variable aleatoria con una función de densidad dada por J(x) =
{�
0. 2 - 1 < X :::; 0 - 2 + ex O < x :-:::; 1 para las demás x
a) Determinar el valor c. b) Obtener F(x). e) Utilizar F(x) para encontrar F(- 1 ), F(O) y F( 1 ). d) Calcular P(O :::; X :::; 0.5). 13.25. Sea X una variable aleatoria con la siguiente función de distribución acumulativa x :::; O O < x :-:::; 2 F(x) = 2 < x :::; 4 16 1 x>4
{i
a ) Obtener la función de densidad para x. b) Calcular P( 1 :::; X :::; 3). e) Calcular P(X :::; 1.5). 13.26. Sea X una variable aleatoria con función de densidad j(x) =
{
X 0 :::; x < 1 2 - X 1 :::; X < 2 para las demás x O
Obtener la función de densidad acumulativa F(x). 13.27. En una ciudad la temperatura T es una variable aleatoria con función de densidad dada por 1 J(t) = - e - l t l 2 Calcular la función de distribución acumulativa F(t) y calcular P( I T I < 2). 13.28. Calcular y de modo que la función
AB
J(x) =
{A+B O 1
are eos x lxl < 1 x :::; - 1 X� 1
es una función de densidad acumulativa. Obtener la función de den sidad J(x).
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 23 1 13.29. Sea X una variable aleatoria con función de dens'idad .
J(x)
=
{
�Vx
0
a) Determine el valor de c. b) Encuentre F(x) y utilícela para evaluar P(0.3 < X < 0. 6). 13.30. Sea X una variable aleatoria con una función de densidad dada por J(x) =
{
xe -x x � O O x
Encontrar la función de densidad acumulativa F(x) y calcular P(X � 2). 13.3 1. Sea X una variable aleatoria con función de densidad J(x)
=
{ 0c sen x
O :::; x :::; 7T x
a) Determinar el valor c. b) Obtener F(x). e) Calcular P( I X I :S 7T/3). 13.32. Calcular a de modo que la función x :S 1 1 < x :S a x>a es una función de densidad acumulativa. Calcular P( - 1 :::; X :::; 1.5). 13.33. Una firma de inversiones ofrece a sus clientes bonos municipales que vencen después de diferente numero de años. Dada la distribución acumulativa de T, el numero de años para el vencimiento de un bono seleccionado aleatoriamente es
F(x)
Calcular: a) P(T = 5) b) P(T > 3) e) P( l.4 < T < 6)
=
{�
t :::; 1 1 < t :S 3 3 < t :S 5 3 4 5 < t :<:; 7 1 t>7
232 CAP. 1 3. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 13.34. La proporción del tiempo X que un autómata industrial trabaja du rante una semana de 40 horas es una variable aleatoria con la siguiente función de densidad de probabilidad: f(x)
=
{�
x o ::; x ::; 1 para las demás x
a ) Encuentre E(X) y V(X). b) La ganancia semanal Y para este autómata está dada por Y 200 X - 60, determine E( Y) y V(Y). 13.35. Supóngase que X tiene la densidad f(x)
=
{
6x( 1 - x) O < x < 1 para las demás x 0
Compruebe que f(x) es una densidad. a) Encuentre P(O < X < 0.75). b) Encuentre la media y la varianza de X. 13.36. Supóngase que X tiene la densidad f(x) =
{
kx 0 < x < 4 O para las demás x
Calcule k y F(x) y determine el valor e tal que P(X :::; e) = 81 % 13.37. Encuentre la media y la varianza de la distribución que tiene densidad f(x) =
{
0.5x O < x < 2 O p;a l � demás x
13.38. Supóngase que una pequeña estación de gasolina es abastecida cada sábado por la tarde. Su volumen de ventas X, en miles de litros, es una variable aleatoria y suponemos que la función de densidad de X es f(x)
=
{
6x( 1 - x) O :::; x :::; 1 0 para las demás x
Determine la media y la varianza. 13.39. Para ciertas muestras de minerales la proporción de impurezas por muestra X es una variable aleatoria con una función de densidad dada por 1.5x2 + X 0 < X < 1 f(x) = O pa-;a 1� demás x
{
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 233 El valor en pesos de cada muestras es Y = 5 - 0.5X. Encuentre el valor esperado y la varianza de Y. 13.40. La proporción del tiempo por día en que todas las cajas registradoras están ocupadas a la salida de cierto supermercado es una variable aleatoria X con una función de densidad O :::; x :::; 1 para las demás x a) Determine el valor de e que hace de J(x) una función de densidad de probabilidad. b) Obtenga E(X). 13.41. La temperatura X, para la que un interruptor eléctrico controlado por un termostato se cierra, tiene una función de densidad de probabilidad dada por 59 :::; X :::; 61 J(x) = para las demás x
{t
Obtenga E(X) y V(X). 13.42. Sea X una variable aleatoria con función de densidad J(x) =
{!
1 sen xl 0 :::; X :::; 27T para las demás x
Calcule E(X). 13.43. Sea X una variable aleatoria con función de densidad j(x) =
{ é'
lxl > 1 lxl :::; 1
Calcule E(X) y V(X). 13.44. El tiempo de espera, en horas, que tarda un radar en detectar dos con ductores sucesivos a alta velocidad es una variable aleatoria continua con una distribución acumulativa F(x) =
{
O 1
x
-
e - Bx x 2: O
Encuentre la probabilidad de esperar menos de 12 minutos entre dos conductores sucesivos. 13.45. Un autómata produce balines con diámetro X (en centímetros). El diámetro X es una variable aleatoria con función de densidad f(x) =
{
5 O. 4 < X < O. 6 O par;lasdemás x
234 CAP. 1 3. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Calcular el valor esperado del volumen de los balines. 13.46. Las variables aleatorias X y Y (independientes) tienen la misma función de densidad dada por 1 1 /3
o 1/3
2 1 /3
Sean: U¡ = X + Y; U2 = 2X; U3 = XY; U4 = X2 . Para las variables aleatorias U; (i = 1, 2, 3, 4), calcular: a) la función de densidad b) la media e) la varianza. 13.47. La función de densidad de una variable aleatoria esta dada por X
p;;
1 1 1 1 -2 0. 3
-1 0. 1
2 0. 2
0.4 5
Calcular la media y la varianza de la variable aleatoria U = 2X - 3 . 13.48. El contenido de magnesio de una aleación e s una variable aleatoria, dado por la siguiente función de densidad de probabilidad: f(x)
=
{ Js
o ::; x ::; 6 para las demás x
La utilidad que se obtiene de esta aleación es P = 10 + 2X. a ) Determine la distribución de probabilidades de P. b) ¿cual es la utilidad esperada? 13.49. Suponga que una variable aleatoria continua X tiene la distribución de probabilidad x ;::: O para las demás x Determine la distribución de probabilidad de Z = X2 • 13.50. Una variable aleatoria X tiene la siguiente función de densidad: f(x)
=
{e-x O
X>O p�a las demás x
a) Desarrolle la función de densidad para Y b) Desarrolle la densidad V = VX e ) Desarrolle la densidad para W = lnX.
=
2X2 .
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 235 13.5 1. Suponga que X tiene la función de densidad de probabilidad J(x) =
{
e -x X > O O p;a las demás x
Encuentre la función de densidad de probabilidad Y = (l!x)' . 13.52. Una antena rotatoria de dos lados recibe señales. La posición de rotación (ángulo) de la antena se denota con la letra X y puede suponerse que esta posición al momento en que se recibe una señal es una variable aleatoria con la densidad que se indica adelante. En realidad, el sentido aleatorio está en la señal. J(x) =
{ Ó�
Ü � X � 27T para las demás x
Encuentre la función de densidad para Y = tan X. 13.53. Una función de densidad que a veces emplean los ingenieros como modelo de la duración de componentes electrónicos es la densidad de Rayleigh, dada por x>O para las demás x a) Si X tiene la función de densidad de Rayleigh, obtener la función de densidad de probabilidad para y = X2 b) Calcular E(X) y V(X) . 13.54. La velocidad de una mólecula en un gas uniforme en equilibrio es una variable aleatoria V cuya función de densidad está dada por J(v) =
{
av2 e - bv2 v > O para las demás v O
donde b m/(2kT); k, T y m representan la constante de Boltzmann, la temperatura absoluta y la masa de la molécula, respectivamente. 2 a ) Obtener la distribución W = mV j2, la energía cinética de la mo lécula. b) Calcular E(W). 13.55. Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme en intervalo ( -7T/2, 7T/2). Calcular la función de densidad de la variable aleatoria Y = sen X. 13.56. Sea X una variable aleatoria con función de densidad f . Calcular la función de densidad de la variable aleatoria Y = aX + b, a =1 O. =
236
CAP. 1 3. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
13.57. Calcular A y
13.58. 13.59. 13.60.
13.61.
13.62.
B
B
de modo que la función F(x) = A + are tanx, para sea a) función de densidad acumulativa de la variable aleatoria X. b) Calcular la función de densidad J(x). Calcular la función de densidad de distribución lognormal, que se define como la distribución de probabilidad de una variable aleatoria cuyo logaritmo sigue la distribución normal. Sea X una variable aleatoria con función de densidad J(x) > O para x E IR. Calcular la función de densidad para la variable aleatoria Y = X2 . Se sabe que las variables aleatorias X y Y son independientes y E( X) = -3, E(X4 ) = 100E(Y) = 4, E(X4 ) = 500, V(X) = 0.5, V(Y) = 2. Calcular la media y la varianza para las variables aleatorias a) U1 = 3X - 2Y b) u2 = X2 - Y2 Sean E(X) = 2, V(X) = 1, E(X4 ) = 34. Calcular la media y la varianza para las siguientes variables aleatorias a) U1 = 2X + 1 b) u2 = X2 e) U3 = -X2 + 2 La resistencia X (en kilogramos) de un hilo de yute en un lote de hilo tiene distribución con función de densidad xE
IR,
J(x) =
[
1 (x - 1 )2 exp 0.08 0.2 �
]
Calcular el valor medio de la resistencia del hilo.
13.63. La duración de cierto tipo de lámparas muestra una distribución de Rayleigh con la siguiente función de distribución acumulativa: F(x) =
{�-
exp
(i�o)
x>O para las demás x
Calcular: a) la función de densidad de la variable aleatoria y = X2 , b) E(Y). 13.64. La variable aleatoria R, que toma valores según la distancia entre el centro de un blanco y el punto de tiro, muestra una distribución de Rayleigh con función de densidad definida por r
>O para las demás r
RESPUESTAS 237 Calcular C.
Res p uestas 13. 1 . 13.2. 13.3. 13.4. 13.5. 13.6. 13.7. 13.8. 13.9. 13.10. 13. 1 1 . 13.12. 13. 13. 13. 14. 13.15.
13. 16.
13. 17. 13. 18.
a) Discreta
b) Continua e) Discreta d) Continua X > b; X :0:: b; X < e; X E (- oo, b) U (e, +oo); X E (-oo, b] U (e, +oo ) k = 1 /2 a) t = 2 b) t = 2.8284 a) 1 /2 b) 13/27 e) 2/27 a) 1 /9 b) 0. 1020 e = 60 e = 1/96 e=4 a) 0.3125 b) 0.8024 a ) 0.3 b) 0.5 a ) 0.707 b) 0. 1 339 0.091 6 50 % EX = 1 :x2 dx esta integral no converge
� ¡:
E(X - EX)2 = E[(X - e) + (e - EX) f = E[(X - el + 2(X - e)(e - EX) + (e - EX)2 ] = E(X - e)2 - 2(e - EX)E(e - X) + (e - EX)2 = E(X - e)2 - 2(e - EX? + (e - EX)2 = E(X - e)2 - (e - EXt En caso e = O tenemos V(X) = EX2 - (EX)2 EX = 2; P(X :0:: 2) = 3/e2 V(X)
=
h = 750; EX = 1; u = 0.0447 a ) e = -(8/3) O xSO
x3 + x2 0 < x < 2 8 2 X > 2 0 e) P(O < X < 0.5) = 0. 109375 d) E(X) = 1. 1 6, V(X) = 0.2388 a) k = 1 /4 b) F(x) =
13.19.
{
{
F(x) = 01 - e-x(l + x) x > O x :S O
- -
-
238 b) e
13.20.
)
a)
b)
e)
13.2 1 .
a)
e
a
) )
b)
e)
d) 13.24.
a)
b) e
)
d) 13.25.
=
e =
x-+oo
b) 13.23.
=
a) lím
b)
13.22.
= 2, a2 o 2/3 x:SO 04 l /2 x:SO F(x)� n 02 F(x) =O J(x) { 2xe-x O xO x ox2 x:SO l f(x) X - 0.5 O< X1.5:S 1.5 1 0.0.512575 3/2 x:SO F(x)� { \' O 1 = 1.2 { o 1 x:S + 0. 2 ( x +l) 1 O
¡.t
a)
=
=
{
=
2
lím
x- - oo
:2::
para las demás
2
e =
e
_
para las demás
b)
e
13.26.
13.27.
{o
)
13/16
xSO l2 x2 O2 ] ' 1 , tS° e F(t) = -� 1- 2e t > 0 P( lt l < 2) = 1 - e- 2
{
13.28.
A = 1 ; B = -lj7T; J(x) =
13.29.
a
13. 30.
F(x) =
)
e =
{o
{ 0P
lx l < 1 para las demás x
b) P(0.3 < X < 0.6) = 0.3004;
3/2
b) F(x) =
{ �Vx
xSO O 1
13.45.
xSO 1 e -"( 1 + x) x > O P(X � 2) = 3e- 2 a ) e = 1/2 O xSO b) F(x) = -� ( 1- cos x) O < x S 7T X > 7T 1 e ) 1/4 a = 2; P(- 1 S X S 1.5) = 2/3 b) 1/2 e) 1/2 a ) 1/4 a ) E(X) = 2/3; V(X) = 1/18 b) E(Y) = 73.333; V(Y) = 2222.222 a ) 0.0234 b) E(X) = f.L = 1/2; V(X) = CT2 = 1/20 k = 1/8; e = 2.54 xSO 2 x F(x) = - O < x <4 8 1 X>4 EX = 4/3; V(X) = 2/9 EX = 0.5; V(X) = 0.05 E(Y)4.65; V(Y) = 0. 012 a ) e = 105 b) 3/8 E(X) = 60; V(X) = 0.3333 E(X) = 7T E(X) y V(X) no existen 1 2 minutos = 1/5 de hora; 0.7981 (4/3)7T(0.25)3 = 0.0208
13.46.
a1
13.3 1 .
13.32. 13.33. 13.34. 13.35. 13.36.
13.37. 13.38. 13.39. 13.40.
�,
RESPUESTAS 239
13.4 1 . 13.42. 13.43. 13.44.
_
{
{o
)
240
a2 )
Ui
qi
ag)
1/3o 1/32 1/34
Ui
1/94
qi
a4 )
Ui
1/34 b) E( U¡) = 2 ; E(U2 ) = 2 ; E(U3) = 1; E(U4 ) = 1. 6 7 entonces, E(X+ Y) = E(2X), pero E(XY) E(2X) V(U¡ ) = 4/3; V(U2) = 8/3; V(U3) = 16/9; V(U4 ) = 20/9 E(U) = 0.4; V(U) = 36.84 . 10 a) F(p) = P(P :S p) = P (X :S p-2- ) = 1 � 18 dx = 1441 (p2 -20p +100) Ya, sabemos que F(p) = j(p), entonces 22 10 :S lasp :Sdemás J(x) = { 012 (P - 10) para p 22 b) E(P) = 1 P-12(P - 10)dp = 18 F(z) = P(Z :S z) = P(X2 :S z) = P(I X I :S = 2 J/' xe-x2 dx = 1 e-z j(z) = { eO-z zp;< aOlas demás z a) F(y) = P(2X2 :S y) = P ( -v¡ x :S v¡) = 1JI e -xdx = 1 - e - JI F'(y) = J(y) = O41 V(2y e- JI ypara> Olas demás y qi
13.47. 13.48.
13.49.
13.50.
#
e)
0
10
X
yÍz )
{
-
:S
z
F' (v) = j(v) = { O2ve-v2 vpara> Olas demas,
v
e) F(w) = P(ln X � w) = P(X � e'") =
13.5 1 .
y=
3
x= ( 1 + x)2 =>
{3 VY
e (e -
"-
e-•"
ru)
w>O
-1 => 1 3 {i
J(y) = 13.52.
{
F' (w) = f (w) =
1-
RESPUESTAS 24 1
{
O
para las demás w
dx = -2 dy Ji V 3
3 e 1 - v1Y 21 V/I 31
O
3
O
1 P( Y > y) = P(tan X > y) = P(X > are tan y) = � F (y) =
1- 1 1 1 1 7T 1 +
P(Y > y) = e¡ + -:;;. arc tan y; y 2: O 1T]) y E rn.
F (y) = j(y) = - y2 ; 1
13.53.
a)
fY { ( )=
are tan y
1
oe
O
_l o
27T 1
� ¡ dx +
are tan y+1T
27T1
dx
y>o para las demás y
¡=
2
Para calcular la media y la varianza podemos observar que
o
13.54.
xe
2
{ 1 -w/kt (-7T/2,7T) (3/2)(-k7TT/2,7T/2] (7T/2,7T) -7Tl/)2-1/2 -1 7T, 1/(12) 7T/2 -7T/2 1/(1 - l)-1/2
a ) j(w) =
------::-3 r
O
(�) (kt) 2
w l2 e
2
_¿dx = --j27i
w>O para las demás w
b) E(W) =
13.55.
1
= U y en estos dos intervalos la función y = - sen x es estrictamente monótona y podemos calcular la función inversa. 1 ) para < x < x = are sen y con < y < y derivada dx = < y < l. en para < x < 7T podemos observar que y = sen x toma los mismos valores que y = - sen x para < x < O. Entonces, x = are sen( -y) en O < y < y dx = con O < y < l .
-1
1
242 X
La función de densidad para la variable aleatoria es: J(x) = { t paraO J(x) = { ;�x para las demás x entLaingenirdiestleorríisbaucique. Enónselalsoiaplgnormal ncluicyenaciolnessaes hacideeaplnciestiaacsadoúlfítsiimencasa,,unalaladis amplsbitroiblóuciiagivaricóasn,eloldadagsnormal sodeciacampos lesseyhala, utel i"tlizieadompoparade reparaci describirón"el "entiempola ingenide fearlíaa"deenmantla inegeninimeiríenta deo. confiabilidad y -i
v
y'l"=Y2
13.56. 13.57.
4
E IR
a)
x--++oo
x-+ - CX)
x--++oo
x--++oo
=
E
1ll>
b)
13.58.
IR
Y
�
N(¡.¡, a) .
X
eY .
IR
E
eY
X
oo)
RESPUESTAS 243 13.59.
El intervalO] o(0, ), en lopodemos desncicóomponerl o enestdosrictaiment ntervale monót os: ona. La es s que l a f u n x funciparaónxinversa enO)estetnemos os intervalx os es: parax ( 0 , t e nemos x -l/2( ) 1 1 2 y . Entonces la función de densidad para la variable aleatoria está dada por J(y) { oJ(2,fi-,fi) J2,fi(,fi) para las demás -17, 2.5 -8.5 109. 7 5 5, 5 3 25 9 1-0.2J27T--3, }{oo_00 xexp9 [- (x0.-08 ] Con el cambio de variable x se obtiene -0.2J27T-1 }_00( e p (-L) 0.08 -0.2J27T-1 j_00� exp ( 0.08 ) tegradae que:es impar, lo1quekg significa que la integral es igual aLacero.fLauncifuEntóncinounaóncesn devez, sedensincumpl idad de la variable aleatoria x es x>O para las demás x Con el cambio de variable x tenemos J(y) { O3�0 exp (- 3�0 ) y>para0las demás 3 00 2 = (oo,
U
( -oo, +oo) +oo
E ( -oo, E +oo)
l.
2.
( -oo, +oo)
y= 2
-(y)112 y dx = - 1/2(y)-112 y 1 12 y dx = Y
=
=
+
=
O < y < oo
y
13.60.
a ) E(U¡ )
=
V(U¡ ) = 1
b) E(U2 ) = E(X2 - Y2) = E(X2) - E(Y2)
V(X) + (EX)2 - V(Y) - (EY)2 = V(X2) = E(X2 - EX2 )2 EX4 - (EX2 l V(U2 ) V(X2 - Y2) V(X2) + V(Y2) = a) E(U1 ) V(U¡ ) = 4 b) E(U2 ) = EX2 = V(X) + (EX)2 = V(U2 ) = V(X2) = E(X4) - (EX2)2 = 4 e) E(Ug ) = V(U3 ) = 1 )2 x d E(X) = =
=
=
13.6 1 .
13.62.
=
=
=
y= - 1
E(X)
13.63.
f y+ 1 )
=
x
dy
-L
=
E(X) =
a)
= ,¡y
=
y
b) E(Y)
13.64.
e
=
h2
=
dy+1
Capítulo 14 Distribución uniforme
Sea un experimento que consiste en observar los eventos que suceden en determinado marco de tiempo (a, b), y se supone que es igualmente probable que X quede en cualquier subintervalo pequeño, de longitud d, sin importar dónde queda ese subintervalo dentro de (a, b), entonces X tiene una distribución uniforme de probabilidad y su función de densidad está dada por: a
x 1 dt = F(x) = 1 a b-a --
{O
x :s; a x-a a < x ::;; b x-b X>b 1 --
y se cumple para la esperanza y la varianza que: E(X) =
a+b 2
y
V(X) =
1 (b - a)2 . 12
14. 1. Se elige un punto al azar en el segmento de la línea [ 0, 4]. a) ¿cuál es la probabilidad de que el punto se encuentre entre 0.5 y 1 .75? b) ¿cuál es la probabilidad de que el punto se encuentre entre 9/4 y 27/8? 14.2. El precio por inauguración de determinado tipo de mercancías se distribuye de manera uniforme en el intervalo [35 �' 44 �].
244
DISTRIBUCIÓN UNIFORME 245
14.3. 14.4.
14.5.
14.6. 14.7. 14.8. 14.9.
14. 10.
14. 1 1 .
14. 12.
)
¿cuál es la probabilidad de que algún día este precio sea menor que 40? b) ¿cuál es la probabilidad de que algún día este precio sea entre 40 y 42? La variable aleatoria X se distribuye uniformemente en el intervalo [0, 2]. Obtenga la distribución de la variable aleatoria Y = 5 + 2X. Un corredor de bienes raíces carga comisión f�a de $ 50 más el 6 % a las ganancias de los propietarios. Si la ganancia se distribuye de modo uniforme entre $ O y $ 2000, obtenga la distribución de probabilidad de las remuneraciones totales del corredor. Suponer que X está distribuida uniformemente en el intervalo ( 1, 2) y que se forma un cuadrado con lados de longitud X. 2 a ) Obtener la función de densidad de la variable aleatoria Y = X • b) Calcular P(Y > 2). Si X está distribuida uniformemente en el intervalo ( 1, 4), obtener la función de densidad de Y = VX. La variable aleatoria X está distribuida uniformemente en (0, 2) y la variable aleatoria Y tiene distribución exponencial con parámetro A. Encontrar el valor de A tal que P(X < 1) = P(Y < 1 ). Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme en ( - 1, 3) y Y una variable aleatoria distribuida exponencialmente con parámetro A. Encontrar A tal que a� = ar La cantidad diaria en litros de café despachada por una máquina ubicada en la sala de espera de un aeropuerto es una variable aleatoria X, la que tiene una distribución uniforme continua con a = 7 y b = 10. Encuentre la probabilidad de que en un determinado día la cantidad de café despachada por esta máquina sea: a ) cuando mucho 8.8 litros, b) más de 7.4 litros, pero menos de 9.5, e) al menos 8.5 litros. Dado un cubo cuyo lado X se distribuye de manera uniforme en el intervalo ( 1, 2), calcular: a) la media del volumen y el área total del cubo, b) la distribución de probabilidad del volumen del cubo. Se fabrica una barra de un largo específico. En el supuesto de que el largo verdadero X (en centímetros) es una variable aleatoria distribuida uniformemente en ( 1 O, 1 2), si se fabrican 1 O barras de este tipo, calcular la probabilidad de obtener exactamente cinco barras de longitud menor que 10.5 cm y exactamente 2 de longitud mayor que 1 1 . 8 cm. Suponer que X está distribuida uniformemente en ( -a, a ) , donde a > O. Cada vez que sea posible, determinar a de modo que se satisfaga lo siguiente: a
246 a) P(X > 1 ) = 1/3 b) P(X > 1 ) = 1/2 e) P(X < 0.5) = 0. 7 d) P(X > 0.5) = 0.3 e) P( I X I < 1 ) = P( I X I > 1 ) 14.13. Si la variable aleatoria R está distribuida uniformemente en [0, 5] , ¿cuál es la probabilidad de que las raíces de la ecuación 4.x2 + 4Rx + R + 2 = O sean reales? 14.14. Una corriente eléctrica 1 fluctuante puede considerarse como una variable aleatoria distribuida uniformemente en el intervalo (9, 1 1 ). Si esta corriente pasa por una resistencia de 2 ohm, encontrar la función de densidad de la potencia P = 2/2 • 14. 15. La variable aleatoria X tiene una distribución uniforme en el intervalo ( -2, 8). Calcular la función de densidad de X y P(O < X < 7).
Resp uestas 14. 1 .
= 1/4; O < X< 4 0.3125 b) 0.28125 = 4/34, 143/4 < < 177/4 a) P(X < 40) = 0.5 b) P(40 < X < 42) = 0.2353 5
J(x) para J(x) para x { i para las demás J(x) { para las demas x a)
14.2.
14.3.
14.4.
=
P(Y � y) y - 50 1 20
Entonces
=
F'(y) = J(y) = 14.5.
14.6. 14.7.
{ 0�
o
50 < y < 170
para las demás { 2� para las demas { � para las demás
1 2) = 2 - vf2 1
J(y) =
(
F(y) = P(50 + 0.06X) = P X
y
:S
�
y � 0 ) = � 1 dx 00 }0o 2000
r
=
RESPUESTAS 247 14.8.
16 _ __!_ A _ VS 12 - A2 => 2 a) 0.6 b) 0.7 e) 0.5 a) E(V) = E(X3 ) = 15/4; E(A) = E(6X2 ) = 14 1 < <8 b) = O A 1 = {X < 10.5}; A2 = {10.5 ::; X ::; 1 1.8}; A3 = {X > 1 1.8} P(A ¡ ) = 0.25; P(A2 ) = 0.65; P(A3) = 0. 10 y, 10 ! 5 3 2 5 1 3 1 2 1 (0. 25) (0.65) (0. 10) = o.oo67 a) 4a = 3( 1 + a); a = 1/3; e) O. 7 = 2a(0.5 + a); a = 5/4. 2 2: O R - R - 2 2: O y P(A) = 3/5. -
14.9. 14. 10.
14. 1 1 .
14. 12. 14. 13. 14. 14. 14. 15.
J(v) { kv- � paravlas demás v
Debe ser� que significa que J(p) { lf para las demás p { para las demás 162 < p < 242 � O P(O < X < 7) = 0.7 ...!_ J(X ) = 1 0 -2 < X < 8 O x =
por último, finalmente
Capítulo
15
Distribución normal
La distribución normal o Gaussiana es una distribución continua. Su función de densidad de probabilidad es:
J( x ) =
_1_e -
para - oo :::; x :::;
oo,
¡.t < oo, con E(X) = ¡.t y V(X) = cr2 La notación X N(¡.t, cr) significa que la variable aleatoria .continua X tiene una distribución normal con media ¡.t y desviación estándar Una distribución normal con media ¡.t = O y varianza cr2 = 1 se conoce
que depende de los parámetros cr > O,
-oo
<
rv
cr.
como distribución normal estándar, para la cual la probabilidad se calcula mediante la tabla del apéndice. Para el cálculo de probabilidades de cualquier distribución normal se utiliza la propiedad: si X N(¡.t, cr)_, entonces z = X�p. N( O, 1). rv
rv
'
15. 1 . Sea Z una variable aleatoria normal estándar, calcule-las siguientes
probabilidades: a) P(O :::; Z :::; 2) b ) P( -1 :::; Z :::; + 1) e) P(Z :::; 1.65) d) P(Z 2: l. 96) e) P( J Z J > 1.5) f) P( - 1.9 :::; Z :::; 2) g) P(Z :::; 1.37) h) P( JZJ :::; 2.57) 15.2. Determine el área situada bajo la curva normal estándar que se encuen tra: a) entre z = O y z = 0. 65, b) a la izquierda de z = 2. 74,
. 248
DISTRIBUCIÓN NORMAL 249
15.3.
15.4.
15.5.
15.6.
15.7.
e) a la derecha de z = - 1. 63, d) a la derecha de z = 1. 59, e ) a la izquierda de z = - l. 63. Encuéntrese el valor de z si la probabilidad de que una variable aleatoria con distribución normal estándar tome un valor: a) menor que z es de 0.99 1 1 , b ) mayor que z es de 0.1093, e) mayor que z es de 0.6443, d) menor que z es de 0.02 1 7, e ) entre - z y z es de 0.9298. Si una variable aleatoria tiene una distribución normal estándar, cal cúlese las probabilidades de que tome un valor: a ) menor que 1. 50, b) menor que - l . 20, e) mayor que 2. 1 6, d) mayor que - l . 75. Determinar las probabilidades a ) P(X S 2. 44) e) P(X S 1.923) b) P(X S - 1.66) f) P(2 S X S 10) d) P(X :::: 1) e ) P(X :::: -2. 9) suponiendo que. X es normal con media 0.8 y variancia . . 4. . Sea X normal con media O y variancia l . Determinar la constante e tal que b) P(X S e) = 0. 05 . a ) P(X :::: e) = 0. 1 e) P(O S X S c) = 0.45 d) P(-e S X S e) = 0.99 Sea X normal con media 10 y variancia 4. Determinar e tal que P(X < e) = 5 % P(X > e) = l % P( 10 - e < X < 10 + e) = 50 %
15.8. Sea X normal con media 1 00 y varianza 36. Encontrar e) P(90 < X < 1 10) b) P(X < 105) a ) P(X > 1 1 0) 15.9. Seá X normal con media -2 y variancia 0.25. Determinar la constante e tal que: b) P( -e S X S - 1 ) = 0. 5 a ) P(X :::: e) = 0. 2 e) P( -2 - e :::; X :::; -2 + e) = O. 9 d) P( -2 - e :::; X :::; -2+ e) = 99. 6 % 15.10. Qué porcentaje de observaciones de una variable aleatoria se espera que se localice: a ) entre f:.L - a/4 y f:.L + u/4 b) entre f:.L - a/2 y f:.L + a/2 15. 1 1. Un fabricante de resistencias sabe por experiencia que el valor de las resistencias que produce es normal con media de 100 ohm y desviación estándar de 2 ohm.
250
15.12.
15.13.
·15.14.
CAP. 1 S .
DISTRIBUCIÓN NORMAL
a) ¿Qué porcentaje de resistencias tendrán valor entre 98 y 1 02 ohm? b) ¿Qué porcentaje entre 95 y 1 05 ohm? Las longitudes de las bananas tienen una media de ocho pulgadas y una desviación típica de 1 .44 pulgadas. Una muestra aleatoria de 36 bananas da una media, ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor que 8.3 pulgadas? Supóngase que el contenido de azúcar por naranja se distribuye normalmente, con media 0.5 oz y desviación típica de 0.05 oz. ¿cuál es la probabilidad de que una naranja seleccionada aleatoriamente tenga un contenido de azúcar de entre 0.54 y 0.6 15 oz? Los tiempos de la primera avería de una unidad de cierta marca de impresoras de inyección de tinta tienen aproximadamente una distri�ución norrrial X N( 1 500; 1.9 OOp). ¿Qué fracción de esas impresoras fallarán antes de mil horas? Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir un promedio de 200 mililitros por vaso. Si la cantidad de refresco es normalmente distribuida con una desviación estándar igual a 15 mililitros: a ) ¿Qué fracción de los vasos contendrá más de 224 mililitros? b) ¿Cuál es la probabilidad de ' que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros? e ) ¿cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros en los siguientes mil refrescos? d) ¿Debajo de qué valor se obtiene el refresco 25 % más pequeño? Supóngase que el contenido de azúcar por cada naranja se distribuye normalmente con media de 0.5 y desviación de 0.05. ¿cuál es la probabilidad de que una naranja seleccionada aleatoriamente tenga un contenido de azúcar entre 0.54 y 0.61 ? Las arandelas de metal maquinadas por una máquina automática tie nen un diámetro distribuido normalmente, con una media de 0.373 pulgada y una desviación estándar de 0.002 pulgada. Las especificacio nes exigen que los diámetros sean de 0.371 a 0.379 pulgada. Indicar el porcentaje de la producción que resulta defectuoso. Una operación de llenado de botellas con leche está diseñada para llenar botellas con 32 oz de leche con desviación de l . O oz. Considérese que la cantidad de llenado se distribuye normalmente. ¿Cuál es la probabilidad de que una botella seleccionada aleatoriamente contenga menos de 30 oz? El tiempo de servicio de cierta marca de' llantas de automóviles sigue una distribución normal con una media y una desviación estándar de 32 mil y mil kilómetros, respectivamente. Indicar el porcentaje de "'
15.15.
15. 16.
15. 17.
15.18.
15.19. 1
DISTRIBUCIÓN NORMAL 25 1
15.20.
15.21. 15.22.
15.23. 15.24.
15.25. 15.26. 15.27.
15.28.
15.29.
llantas vendidas que se requiere remplazar si esta marca de llantas es garantizada por 30 mil kilómetros. La altura de los alumnos de una escuela es una variable aleatoria normal con media de 1 .70 m y varianza de 0.0 1 . Si se selecciona un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su altura esté entre 1 .64 y 1 .80 m? Supóngase que la temperatura t durante el mes de agosto está distri buida normalmente con media de 38 • C y varianza de nueve. Encuentre la probabilidad de que la temperatura sea mayor que 40 · c . Supóngase que los diámetros de los tornillos fabricados por una compañía están distribuidos normalmente con media de 0.6 cm y desviación estándar de 0.05 cm. Un tornillo se considera defectuoso si su diámetro es menor que 0.5 cm o mayor que 0.75 cm. Indique el porcentaje de tornillos defectuosos producidos por esa compañía. Supóngase que las alturas de 900 personas están distribuidas normal mente con media de 1 65 cm y desviación estándar de 12 cm. Indicar el número de personas cuya estatura: está entre 140 y 1 60 cm. Una empresa productora de harinas utiliza una manta para empacar sacos. El cupo de harina en tales sacos sigue una distribución normal con media y desviación estándar igual a 12.5 y 0.25 kilogramos, respectivamente. Encuentre la probabilidad de que al seleccionar un saco aleatoriamente, tenga un contenido de 12.15 kilogramos o más. Si el tiempo (en segundos) que una bacteria resiste a determinado anti biótico se distribuye N( 1200; 120), ¿cuál es la proporción de bacterias que resisten más de mil segundos? Supongamos que la variable aleatoria X tiene una distribución normal con media 5 y desviación estándar 2. Indicar la probabilidad de que X sea positiva. Los puntajes de una prueba de promoción de una academia militar tienen una distribución normal con una media de 70 y desviación estándar de 12. Se rechazará a 15 % de los que presenten esta prueba. Indicar el puntaje mínimo para no ser rechazado. Supóngase que los diámetros de los tornillos fabricados por una com pañía están distribuidos normalmente con media de 0.25 pulgada y desviación estándar de 0.02 pulgada. Un tornillo se considera defec tuoso si su diámetro es menor que 0.2 pulgada o mayor que 0.28 pul gada. Indique el porcentaje' de tornillos defectuosos producidos por esa compañía. El tiempo medio de vida d!=! ·cierto dispositivo electrónico tiene una distribución normal con media de 120 horas y desviación estándar de siete horas. Indicar la probabilidad de que el dispositivo siga funcionando después de 1 30 horas.
252 CAP. 15. DISTRIBUCIÓN NORMAL 15.30. Una serie de medidas se distribuye normalmente. ¿cuál es el porcentaje 15.3 1. 15.32. 15.33.
15.34.
15.35.
15.36. 15.37.
15.38. 15.39.
de tales medidas que difiere de la media en menos de la mitad de la desviación típica? La variable aleatoria X tiene una distribución normal N(3, 4). Calcular el valor e tal que P(X > e) = 2P(X ::; e). Supóngase que X tiene una distribución N(,u, a2 ). Determine e (como una función de JL y a) tal que P(X ::; e) = 2P(X > e). Si los diámetros de los cojinetes de bolas se distribuyen normalmente con media de 0.614 pulgada y desviación estándar de 0.0025 pulgada. Indique el porcentaje de diámetros entre 0.6 1 y 0.618 pulgada, inclu sive. Si los diámetros de cojinetes de bolas se distribuyen normalmente con media de 0.614 pulgada y desviación estándar de 0.0025 pulgada, indique el porcentaje de cojinetes con diámetro superior a 0.615 pulgada. Las puntuaciones de una práctica de laboratorio fueron de O, 1 , 2, . . . , 10. L a puntuación media fue de 6 . 7 con una desviación estándar de 1 .2, en el supuesto de que las puntuaciones siguen una distribución normal. Indique la puntuación máxima del 10 % de los estudiantes peor evaluados. Los pesos de 500 estudiantes están distribuidos normalmente con media de 68.5 kg y desviación estándar de 1 0 kg. Indicar el número de estudiantes que pesan entre 48.5 y 7 1 .5 kg. El diámetro interior de los cilindros producidos por una máquina sigue una distribución normal con media de 1 .275 cm y una desviación estándar de 0.0 125 cm . . El propósito para el cual se han diseñado esos cilindros permite una tolerancia máxima en el diámetro de 1 .26 a 1 .29 cm; en caso contrario, los cilindros se consideran defectuosos. Indicar cual de las porciones siguientes contiene el porcentaje de cilindros defectuosos. Si las estaturas de 300 estudiantes están distribuidas normalmente con media de 1 . 7 m y desviación de 10 cm, indicar cuál de las opciones éontiene el número de estudiantes con una estatura superior a 1 .85 m. Una universidad espera recibir para el siguiente ciclo escolar 16 mil solicitudes de ingreso al primer semestre de licenciatura. Se supone que las calificaciones obtenidas por los aspirantes en la prueba pueden calcularse de manera adecuada por una distribución normal con media 950 y varianza 10 mil si la universidad decide admitir 25 % de todos los aspirantes que obtengan las calificaciones más altas en la prueba. Seleccione la opción que da la calificación mínima que es necesario obtener en esta prueba para ser admitido en la universidad.
DISTRIBUCIÓN NORMAL 253 15.40. Una fábrica produce pistones cuyos diámetros tienen una distribución
normal con media igual a 5 cm y una desviación estándar de 0.001 cm. Para que un pistón sea aceptado su diámetro debe encontrarse en el intervalo [4. 998, 5.002]. Si el diámetro del pistón es menor que 4.998, se desecha. Seleccione la opción que representa el porcentaje de pistones que se desechará. 15.41. Una fábrica produce pistones cuyos diámetros tienen una distribución normal con media igual a 5 cm y una desviación estándar de 0.001 cm. Para que un pistón sea aceptado su diámetro debe encontrarse en el intervalo [4.998, 5.002]. Si el diámetro del pistón es mayor que 5.002, se reprocesa. Seleccione la opción que representa el porcentaje de pistones que se volverá a procesar.
15.42. Si un conjunto de observaciones tiene una distribución normal, selec cione la opción que da la probabilidad de que dichas observaciones difieran de la media por más de 1.3 desviaciones estándar.
15.43. El tiempo necesario para armar cierta unidad es una variable aleatoria
normalmente distribuida con una media de 30 minutos y una varianza igual a cuatro minutos. Seleccione la opción que da el tiempo de armado de modo que la probabilidad de exceder dicho tiempo s�a de 0.02. 15.44. Una fábrica produce pistones cuyos diámetros tienen una distribución normal con media igual a 5 cm y una desviación estándar de 0.001 cm. Para que un pistón sea aceptado su diámetro debe encontrarse en el intervalo [4. 998, 5.002]. Si el diámetro del pistón es mayor que 5.002, se reprocesa. Seleccione la opción que representa el porcentaje de pistones que se rechaza. 15.45. Para un grupo de hombres de cierta edad se determinó que su estatu ra X está distribuida normalmente con una media de 1 .74 m y una desviación estándar de 10 cm. Una industria de la confección está interesada, debido a problemas de planeación, en el porcentaje de los hombres con una estatura entre l . 70 y l . 75 m. Calcule dicho porcentaje. 15.46. Sea X una variable aleatoria con distribución N( 1.5; 2). Calcular las probabilidades: a) b) e) d)
P(X < 2.5) P(X > -0.5) P(0. 5 < X < 2) P( [2X - 1 [ < 1 ) e) P([X[ > 0.5).
15.47. El tiempo de espera entre un autobús y otro de un sistema de trans porte público es una variable aleatoria que tiene distribución normal
254 CAP. 1 5. DISTRIBUCIÓN NORMAL
15.48.
15.49.
N( 1 0.5; 0. 25, en minutos). ¿cuál es la probabilidad de que la espera entre un autobús y otro sea: a) menor que 9.75 minutos? b) mayor que 1 1. 1 5 minutos? e) entre 10.40 y 1 0.60 minutos? Una variable aleatoria tiene una distribución normal con desviación estándar de u = 12. Si la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor que 193.4 es de 0.8023, ¿cuál es la probabilidad de que tome un valor mayor que 1 89.8? Una variable aleatoria tiene una distribución normal con desviación estándar de u = 3. 75. Si la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor que 145.6 es de 0.9961 , ¿cuál es la probabilidad de que tome un valor entre 1 25.8 y 1 29.0? El gerente de una compañía financiera sabe por experiencia que el número de solicitudes de préstamo que se reciben en su oficina durante una semana es una variable aleatoria con distribución normal N(66.4, 1 0. 9). ¿cuál es la probabilidad de que en una semana la oficina reciba: a) más de 75 solicitudes? b) cuando menos 75 solicitudes? e) entre 65 y 75 solicitudes? En un proceso de copiado, el tiempo en que se reproduce una página puede considerarse como una variable aleatoria que tiene una distri bución normal N( 12. 32; O. 08) segundos. Determine la probabilidad de que el tiempo requerido para copiar una página sea: a) cuando menos de 12.50 segundos, b) menor que 1 2.20 segundos, e) entre 12.30 y 1 2.50 segundos. La cantidad semanal que una compañía gasta en mantenimiento y repa raciones tiene una distribución normal N( 400; 20). Si el presupuesto para cubrir los gastos de reparación para la semana siguiente es de $ 450: a) ¿cuál es la probabilidad de que los costos reales sean mayores que la cantidad supuesta? b) ¿De cuánto debe ser el presupuesto semanal para mantenimiento y reparaciones para que tan sólo se rebase con una probabilidad de 0. 1 ? Una operación de maquinado produce ejes de acero cuyos diámetros están distribuidos normálmente N(1.005; 0. 0 1 ) pulgadas. Las especifi caciones piden diámetros que queden en intervalo (0.98; 1 .02) pulga das. ¿Qué porcentaje de la producción no cumplirá las especificacio nes? .
15.50.
15.51.
15.52.
15.53.
DISTRIBUCIÓN NORMAL 255 15.54. Una variable aleatoria tiene una distribución normal N( 1 25. 6; 4. 25).
15.55.
15.56.
15.57.
15.58. ·
15.59.
15.60.
¿cuáles son las probabilidades de que esta variable aleatoria toma un valor: a) menor que 130.8? b) mayor que 1 22.7? e) entre 120.3 y 127.6? d) entre 1 15.1 y 126.2? Los conductores que se fabrican para utilizarse en determinado sistema de cómputo necesitan resistencias que varíen entre 0.12 y 0.14 ohm. Las resistencias reales medidas de los conductores que produce la compañía A tienen una distribución normal N(O. l3; 0.005) ohm. a) ¿cuál es la probabilidad de que un conductor seleccionado al azar de la producción de la compañía A cumpla con las especificaciones? b) Si se usan cuatro de e�os conductores en el sistema y son de la compañía A, ¿cuál es la probabilidad de que los cuatro cumplan con las especificaciones? Las resistencias de un termistor de determinado tipo tienen distribu ción normal N( 10 000; 4000) ohm. Los termistores se clasificarán para enviar a un cliente los que tengan resistencias entre 8000 y 15 000 ohm. ¿Qué fracción de los termistores debe enviarse? El peso medio de 500 estudiantes varones de cierta universidad es de 151 libras y la desviación típica es de 1 5 libras. En el supuesto de que los pesos estén normalmente distribuidos, hallar cuántos estudiantes pesan: a) entre 1 20 y 155 libras, b) más de 185 libras. Las ausencias por enfermedad de los empleados de una empresa en un mes tienen una distribución normal N(200, 20) horas. a) Calcular la probabilidad de que el mes próximo el ausentismo total por enfermedad sea menor que 150 horas. b) Para planear el programa del mes próximo, ¿cuánto tiempo debe suponer darse al ausentismo por enfermedad, si aquella cantidad sólo se debe superar con una probabilidad de tan sólo 0 . 1 0? Si un conjunto de observaciones están normalmente distribuidas, ¿qué porcentaje de éstas difiere de la media en: a) más de 1 .3 u? b) menos de 0.52 u? Sea X � N( 10, 9). Determine: a) P(X :::; 8) b) P(X 2:: 12) e) P(2 :::; X :::; 10)
256
CAP. 15. DISTRIBUCIÓN NORMAL
15.61. El gerente de personal de una gran compañía requiere que los solici
15.62.
15.63.
15.64.
15.65.
15.66.
tantes a un puesto efectúen cierta prueba y alcancen una calificación de 500. Si las calificaciones de la prueba se distribuyen normalmente con media de 485 y desviación estándar de 30, ¿qué porcentaje de los solicitantes pasará la prueba? La vida de servicio de un tipo particular de batería de celda seca se distribuye normalmente con media de 600 días y desviación estándar de 60 días. a) ¿Qué fracción de estas baterías se esperaría que dure más allá de 680 días? b) ¿Qué fracción se esperaría que fallara antes de 560 días? Si X "' N(80, 1 02 ). Determine: a) P(X :::; 1 00) b) P(X :::; 80) e ) P(75 :::; X :::; 1 00) d) P(75 :::; X) e ) P( I X - 80 1 :::; 19.6) Se sabe que cierta bombilla eléctrica tiene una salida que se distribuye normalmente con media de 2500 pie-candela y desviación estándar de 75 pie-candela. Determine un límite de especificación inferior tal que sólo 5 % de las bombillas fabricadas sea defectuoso. Un gerente de planta ordena interrumpir un proceso y efectuar un ajuste de lecturas siempre que el pH del producto final sea mayor de 7.20 o menor de 6.80. El pH de muestra se distribuye normalmente con J-t desconocida y desviación estándar O' = 0. 1 0. Determine las siguientes probabilidades: a) El reajuste se realizará cuando el proceso opere como se propuso con J-t = 7. 0. b) El reajuste se realizará cuando el proceso se desvíe ligeramente de lo planeado con el pH medio de 7.05. e) El reajuste fallará cuando el proceso sea demasiado alcalino y el pH medio sea J-t = 7.25. d) El reajuste fallará cuando el proceso sea demasiado ácido y el pH medio sea J-t = 6. 75. La dureza de Rockwell, una aleación particular, se distribuye normal mente con media de 70 y desviación estándar de 4. a) Si un espécimen se acepta sólo si su dureza está entre 62 y 72, ¿cuál es la probabilidad de que un espécimen elegido al azar tenga una dureza aceptable? b) Si el intervalo aceptable de dureza fue (70 - e, 70 + e) , ¿ para qué valor de e, 95 % de los espécimenes tendría una dureza a cptabl ·?
DISTRIBUCIÓN NORMAL 257 e ) En el caso de que el intervalo aceptable sea el indicado en la
15.67.
15.68.
15.69.
15. 70.
15.71.
pregunta a) y la dureza de cada uno de los nueve especímenes seleccionado al azar se determine en forma independiente, ¿cuál es el número esperado de especímenes aceptable de entre los nueve? Un ensamble consta de tres componentes colocados uno al lado de los otros. La longitud de cada componente distribuye normalmente con media de 2 pulgadas y desviación estándar de 0.2 pulgadas. Las especificaciones requieren que todos los ensambles estén entre 5. 7 y 6.3 pulgadas de longitud. ¿Cuántos ensambles cumplirán con estos requerimientos? Sea X el coeficiente intelectual (C.I.) de cualquier estudiante univer sitario. Considérese que X se distribuye normalmente con una media de 107 y una varianza de 225. Si se selecciona al azar un estudiante universitario, ¿cuál es la probabilidad de que tenga un C.l.: a) mayor de 125? b) mayor de 131? e ) de menos de 98? d) de menos de 1 10? e ) de entre 1 04 y 1 40? J) de entre 77 y 92? Un profesor de inglés ha determinado que el tiempo necesario para que los estudiantes concluyan un examen final se distribuye normalmente con media de 1 10 min y desviación típica de 10 min. a) ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante de inglés elegido aleatoriamente concluya el examen en menos de dos horas? b) ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante de inglés seleccionado aleatoriamente concluya el examen en 125 min. o más? e) Si hay 50 estudiantes en la clase, ¿cuántos de ellos concluirán el examen antes de una hora y 50 minutos? La producción por hora de los trabajadores en una fábrica se considera distribuida normalmente con media de 240 unidades y desviación típica de 20 unidades. Considérese que en esta fábrica trabajan en la producción 10 mil trabajadores. a) ¿cuántos trabajadores tienen una producción de más de 250 uni dades por hora? b) Si cualquier trabajador que produzca menos de 200 unidades por hora debe recibir entrenamiento posterior, ¿cuántos recibirán entrenamiento? Los salarios por hora de los trabajadores de cierto oficio se consideran distribuidos normalmente con media de $ 5.50 y desviación típica de $ 0.50. Supóngase que un trabajador de este oficio se seleccioJ;Ya : aleatoriamente. Obténgase la probabilidad de que gane:
258 CAP. 1 5 . DISTRIBUCIÓN NORMAL
15. 72.
15. 73.
:[
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15.74. 15.75.
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1!
15. 76.
15.77.
15. 78.
a) más de $ 7.00/h, b) menos de $ 4.75/h, e) entre $ 4.90 y $ 6.45/h. Supóngase que el tiempo promedio de la estancia de los pacientes en cierto hospital es de 1 O días y la desviación típica es de dos días. Considérese que tales duraciones se distribuyen normalmente. a) ¿cuál es la probabilidad de que el siguiente paciente que se reciba permanezca más de nueve días? b) Si el día de hoy se admitieron más de 100 pacientes, ¿cuántos continuarán en el hospital dentro de dos semanas? Supóngase que durante el invierno la factura mensual de gas por familia se distribuye normalmente con una media de $ 30 y una desviación típica de $ 5. a) ¿cuál es la probabilidad de que una factura seleccionada aleatoria mente sea de menos de $ 35? b) ¿cuál es la probabilidad de que una factura seleccionada aleatoria mente sea de más de $ 45? e) ¿cuál es la probabilidad de que una factura seleccionada aleatoriamente esté entre $ 27.50 y $ 32.50? Una variable aleatoria tiene una distribución normal con ¡.t = 62.4. Encuéntrese su desviación estándar si la probabilidad de que tome un valor mayor que 79.2 es de 0.20. El tiempo requerido para ensamblar una pieza mecánica es una variable aleatoria cuya distribución es aproximadamente normal, con ¡.t = 12.9 y u = 2. 0 min. ¿cuáles son las probabilidades de que el ensamblado de tal pieza mecánica tarde: a) al menos 1 1 .5 min? b) entre 1 1 .0 y 14.8 min? En un proceso fotográfico el tiempo de revelado de las copias es una variable aleatoria cuya distribución normal tiene una media de 16.28 seg. y una desviación estándar de 0.12 seg. Calcúlese la probabilidad de que el revelado de una de las copias tarde: a ) entre 1 6.00 y 1 6.50 seg, b) al menos 16.20 seg, e) un máximo de 16.35 seg. Una máquina troqueladora produce tapas para latas cuyos diámetros están normalmente distribuidos con una desviación estándar de 0 . 1 pulgadas. m n qué diámetro "nominal" (promedio) debe ajustarse a la maquina de modo que no más de 5 % de las tapas producidas tengan diámetros que excedan las tres pulgadas? Las especificaciones de cierta tarea recomienda lavadoras con un diámetro interno de 0.300 :1: 0.005 pulgadas. Si los diámetros internos
DISTRIBUCIÓN NORMAL 259
15. 79.
15.80.
15.81.
15.82.
15.83.
15.84.
de las lavadoras proporcionadas por un fabricante determinado puede considerarse como una variable aleatoria cuya distribución es normal con J.L = O. 302 pulgadas y a = O. 003 pulgadas, ¿qué porcentaje de las lavadoras cumplen las especificaciones? Un servicio de ambulancias ha determinado por experiencia que su tiempo de respuesta a llamadas de urgencia dentro de los límites de la ciudad es una variable aleatoria con distribución normal .Af(6.2; 3.6) minutos. ¿Cuáles son las probabilidades de que una ambulancia res ponda una llamada de urgencia dentro de los límites de la ciudad: a) en menos de 5 minutos? b) en 5 a 7 minutos? e) en más de 7 minutos? Un proveedor de alimentos de gastronomía mezcla café para venderlo. Un libra de la marca A rinde, en promedio, 50.8 tazas de café con una desviación estándar de 3.3 tazas. Un libra de la marca B rinde, en promedio, 5 1 .2 tazas de café con una desviación estándar de 4.6 tazas. En el supuesto de una distribución normal, ¿qué marca de café tiene mayor probabilidad de rendir cuando menos 50 tazas de café por libra? Una tienda de artículos domésticos sabe por experiencia que el número de televisores que vende al mes es una variable aleatoria con distribu ción normal .Af(32.3; 4.2). ¿cuáles son las probabilidades de que en un mes determinado se vendan: a ) 25 televisores? b) cuando mucho 25 televisores? Un análisis de la duración de llamadas telefónicas locales hechas desde la oficina de una empresa muestra que el tiempo de las llamadas es una variable aleatoria que tiene una distribución normal .J\((1 25. 7; 30) segundos. ¿Qué porcentaje de estas llamadas: a ) es mayor que tres minutos? b) es, cuando mucho, de dos minutos? e) está entre 120 y 1 80 segundos? Una ciudad grande auspicia una serie de conciertos de verano diarios en un parque del centro. Si el número de conciertos a los que asiste un espectador individual es una variable aleatoria con distribución normal .Af( 17.2; 2.8), ¿cuáles son las probabilidades de que un espectador individual asista a: a ) más de 20 conciertos? b) menos de 10 conciertos? La experiencia indica que el tiempo de revelado para un papel de impresión fotográfica se distribuye como X .Af(30 segundos, 1 .2 1 segundos2 ). Determine la probabilidad de que: "'
260
CAP. 1 5 .
DISTRIBUCIÓN NORMAL
a
15.85.
15.86.
) X sea al menos 28.5 segundos, b) X sea a lo más 3 1 segundos, e ) X difiera de su valor esperado en más de dos segundos. El precio que se pide por cierto seguro se distribuye normah;nente con media de $ 50.00 y desviación estándar de $ 5.00. Los compradores están dispuestos a pagar una cantidad que también se distribuye normalmente con media de $ 45.00 y desviación estándar de $ 2.50. ¿cuál es la probabilidad de que la transacción se lleve a cabo? Un eje con diámetro exterior de X2 N( 1.20; 0. 0016) se inserta en un cojinete de manguito que tiene un diámetro interior X1 N( 1 . 25; 0. 0009). Determine la probabilidad de interferencia. Suponer que el tiempo X requerido para que un corredor fondista recorra una milla es una variable aleatoria normal con parámetros JL = 4 minutos, 1 segundo y cr = 2 segundos. a ) ¿cuál es la probabilidad de que este atleta recorra la milla en menos de cuatro minutos? b) ¿En más de tres minutos y 55 segundos? El diámetro interno ya terminado de un anillo de pistón está normal mente distribuido con una media de 10 cm y una desviación estándar de 0.03 cm. a ) ¿Qué proporción de los anillos tendrá un diámetro interno que exceda de 1 0.075 cm? b) ¿cuál es la probabilidad de que un anillo de pistón tenga un diámetro interno de entre 9.97 y 10.3 cm? e) ¿ Debajo de qué valor de diámetro interno caerá 1 5 % de los anillos de pistón? La longitud X de un bacalao adulto capturado es una variable aleatoria normal con parámetros JL = 30 in y cr = 2 in. Si se captura uno de estos peces, a) ¿cuál es la probabilidad de que mida al menos 31 in de longitud? b) ¿Qué no tenga más de 32 in de longitud? e ) ¿Qué su longitud esté entre las 24 y las 28 in? Una compañía paga a sus empleados un salario promedio de $ 9.25 por hora con una desviación estándar de 60 centavos. Si los salarios están distribuidos casi en forma normal y los montos se cierran a centavos: a) ¿Qué porcentaje de los trabajadores recibe salarios entre $ 8. 75 y $ 9.69 por hora inclusive? b) ¿el 5 % más alto de los salarios por hora de empleado es mayor a qué cantidad? Los pesos de un gran número de perros de lana miniatura están distribuidos casi en forma · normal con una media de 8 kg y u n a rv
rv
' '
.
15.87.
15.88.
15.89.
15.90.
15.91.
DISTRIBUCIÓN NORMAL 26 1
15.92.
desviación estándar de 0.9 kg. Si se registran las mediciones y se cierran a décimas de kg, encuentre la fracción de estos perros de lana con pesos: a) arriba de 9.5 kg, b) cuando mucho de 8.6 kg, e) de entre 7.3 y 9. 1 kg inclusive. La resistencia a la tensión de cierto componente metálico está normal mente distribuida con una media de 1 0 000 kg por centímetro cua drado y una desviación estándar de 1 00 kg por centímetro cuadrado. Las mediciones se registran y se redondean a 50 kg. a) ¿cuál es la porción de estos componentes que exceden de 10 150 kg por centímetro cuadrado de resistencia a la tensión? b) Si las especificaciones requieren que todos los componentes tengan una resistencia a la tensión de entre 9800 y 1 200 kg por centímetro cuadrado inclusive, ¿qué proporción de piezas se esperaría que se desecharan? La elongación de una barra de acero bajo una carga particular está distribuida normalmente con ¡;., O. 05 in y una O" = 1 in. Encuentre la probabilidad de que la elongación sea: a) mayor que 0.0 in, b) menor que 0.04 in, e) de entre 0.025 y 0.065 in. El diámetro interior de un anillo de pistón se distribuye noqnalmente con media de 1 2 cm y desviación estándar de 0.02 cm. a) ¿Qué fracción de los anillos de pistón tendrá diámetros que exce derá de 1 2.05 cm? b) ¿Qué valor de diámetro interior e tiene una probabilidad de ser excedido de 0.90 cm? e) ¿cuál es la probabilidad de que el diámetro interior se encuentre entre 1 1 .95 y 12.05 cm? Si la temperatura en grados Fahrenheit de cierta localidad se distribuye normalmente con una media de 68 grados y una desviación típica de cuatro grados, ¿cuál es la distribución de la temperatura en grados centígrados en la misma localidad? Supóngase que el voltaje medido en cierto circuito eléctrico tiene una distribución normal con media de 120 y desviación típica de 2. Si se toman tres medidas independientes del voltaje, ¿cuál es la probabilidad de que las tres medidas estén entre 1 16 y 1 18? Una barra recta se forma conectando tres secciones A, B y C, cada una fabricada con una máquina distinta. La longitud de la sección A, en pulgadas, tiene una distribución normal con media 20 y varianza 0.04. La longitud de la sección B tiene una distribución normal con media
O
15.93.
=
15.94.
15.95.
O.O
·
15.96.
15.97.
262 CAP.
1 5.
DISTRIBUCIÓN NORMAL
14 y varianza 0.0 l. La longitud de la sección C tiene una distribución normal con media 26 y varianza 0.04. Como se indica en la figura, las tres secciones se unen de forma que se superponen 2 pulgadas en cada conexión. Supóngase que la barra se puede utilizar en la construcción del ala de un avión si su longitud total en pulgadas está entre 55.7 y 56.3. ¿cuál es la probabilidad de poder utilizar la barra? A
e 2
2 B
15.98. Demostrar que si X es una variable aleatoria con distribución N(J.L, 0'), entonces:
E IX
-
JLI
=
1!0'
15.99. Demostrar que si X es una variable aleatoria con distribución N( O, 0'), entonces:
1 '
Resp uestas 15;1
15.2 15.3. 15.4. 15.5.
a) e) e) g) a)
(2) - F(O) = 0.4772; b) 2F(1) - 1 0.6827; F(l.65) 0.9505; d) 1 - F(l.96) = 1 - 0.975 0.025; 2 [1 - F(1.5)] = 0.1336; J) F(2) - [1 - F(1.9)] 0.9485; F(1.37) 0.9146; h) 2 F(2.57) - 1 = 0. 9 898 0.2422 b) O.9969 e) O.9484 e) 0.0516 d) 0.0559 a) 2.37 b) 1.23 e) -0.37 d) -2.02 e) 1.81 a ) 0.9394 b) 0.1057 e) 0.0154 d) 0.9599 b) 1 - F(1.23) 0.1093 a) F(0.82) 0.7939 d) 1 - F(0.1) 0.4602 e) F(0.56) = 0.7123 e) 1 - (1 - F(1.85)) = 0.96784 f) F(4.6) - F(0.6) = 1 - 0.7257 = 0.2743 b) - 1.645 ) 1.645 d) 2.575 a ) 1.285 b) 14.646 e) 1.35 a) 6.71 a ) 1 - F(l.66) = 0.04846 b) F(0.83) 0.7967 e ) 2F(l.66) - 1 0.90308 a) -1.5775 b) 2.01 e) 0.8225 d) 0.72 =
X
=
=
=
X
=
=
=
=
15.6. 15.7. 15.8.
e
=
=
'1
15.9.
RESPUESTAS 263 1 5 . 1 0. 15. 1 1 . 15. 12. 15.13. 15. 14. 15.15. 15. 1 6. 15. 17. 15. 18. 15. 19. 15.20. 15.2 1. 15.22. 15.23. 15.24. 15.25. 15.26. 15.27. 15.28. 15.29. 15.30. 15.31. 15.32. 15.33. 15.34. 15.35. 15.36. 15.37. 15.38. 15.39. 15.40. 15.4 1 . 15.42. 15.43. 15.44. 15.45.
b) 38.3 % 19.F(1)74%- F(- 1)=0. b)F(2.5)-F( -2.5)=0.987698.76% 6 828;68. 2 8% 10.2-0118F(1. 25) = 0. 1056 N(8, 0.24) 1000) = 2. 5 ) = b 0.16%1985.48% ) 0.4514 e) 22 189.875 0.2.022287% 0.0.2.2455461671% 2900.9192 0.5139-F(.2938- 1.67) = O.9525 7.0.037640% 8.30% [F (e � 3) ] =a/2)� ,por= 0.lo38ta3nt, o3encont r amos que e= 1. 2 8 e89%= 0.433a 34.5.1466 % 29823% 201018 2.2.2288 %% 0.34.191326 4.5195% """ 20 % a) a)
X�
P(X < a)
P(Z <
P(IX - 11-1 <
+ ¡.t-
o.
�2
d)
264 15.46. 15.47. 15.48. 15.49. 15.50. 15.5 1. 15.52. 15.53. 15.54. 15.55. 15.56. 15.57. 15.58. 15.59.
15.60. 15.6 1 . 15.62. 15.63. 15.64. 15.65. 15 .66.
0.6915 b) 0.8413 e) 0.2902 0. 1747 e) 0.8502 0.0013 b) 0.0047 e) 0.3108 1-L = 183.2 P(X 189.8) = 1 - F(0.55) = 0.2912 1-L = 135.625 P(125.8 < X < 129.0) = F( -1. 76) - F(-2.62) = 0.0348 b) F(0.79) = 0.7852 a) 1 - F(0.79) = 0. 2 148 e) F(0.79) - F(-0. 13) = 0.3369 a) F(2.25) = 0. 9 878 b) F(-1.15) = 0.0668 e) F(2.25) - F(-0.25) = 0.5865 a) 0.0062 b) $ 425.60 0.073 = 7.3 % b) 1 - F(-0.68) = F(0.68) = 0.7517 a) F(1.22) = 0. 8 888 e) F(0.47) - F(-1.25) = 0.5752 d) F(0.14) - F(-2.47) = 0.5489 a) 0.9544 b) (0.9544)4 = 0. 8 297 0.5859 = 38.59 % a) P(120 < X < 155) = 0.6000 entonces 500 (0.6000) = 300 estudiantes b) P(X 185) = 0.0116 entonces 500 (0.0116) = [5. 8 ] = 6 estudiantes a) 0.0062 b) 225.6 a) P(IX - 1-LI 1.3u) = P(IZI 1. 3 ) = 1 - P(IZI < 1. 3 ) = 1 [F(1.3) F( -1.3)] = 1 - (0.9032 - 0.0968) = 0. 1936, 19.36 % b) 39.70 % a) 0.048 b) 0.048 e) 0.496 P(X 500) = 1 - F(0.5) = 0.3085; 30.85 % a) (P(X 680) = 1 - F(l.33) = 0.0917 b) P(X < 560) = 1 - F(0.67) = 0.2514 a) 0.9772 b) 0.5000 e) 0.6686 d) 0.6914 e) O. 9500 Tenemos que P(X < e) = 0.05 esto implica P(Z < (e - 2500)/75) 0.05. Entonces e = 2376.63 a) 0.0455 b) 0.0730 e) 1 - F(0.5) = 0.3085 d) 0.3085 a) 0.6687 b) e = (1.96u) = 7. 8 4 e) 9 (0.6687) = 6.018 N(2; 0.2), i = 1, 2, 3, Y = Xt + X2 X3 � N(6; 0.12) Entonces P(5.7 < Y < 6.3) = F(0.866) - F(-0.866) = 0.6156, 61.56 % a) 0.1151 b) 0.0548 e) 0.2743 d) 0.5793 J) 0. 1359 e ) 0.5654 a) 0.8413 b) 0.0668 e) 25 estudiantes b) 228 trabajadores a) 3085 trabajadores a) 0.0013 b) 0.0668 e) 0.8562 a) 0.6915 b) 2.28 o dos pacientes b) 0.0013 e) 0. 3 83 a) 0.1587 a) d) a)
15.67. X; 15.68. 15.69. 15.70. 15.71. 15.72.
1
15.73.
y
>
y
x
>
>
x
>
�
>
>
=
y
�
y
x
+
265 15.74. 15.75. 15.76.
15.77. 15.78. 15.79. 15.80. 15.8 1 . 15.82. 15.83. 15.84. 15.85. 15.86. 15.87. 15.88. 15.89. 15.90. 15.9 1 . 15.92. 15.93. 15.94. 15.95. 15.96. 15.97. 1 5.98.
P(X > 79.2) = 0.2; P(X < 79.2) = 0.8; P(Z < (79.2-62.4)/u) 0.8;u = 19.76 a) F(0.7) = 0. 7 580 b) 2 F(0.95) - 1 = 0.6578 a ) F(1.83) - [1 - F(2. 3 3)] = 0.9565 b) F(0.66) = 0.7454 e) F(0.58) = 0.7190 P(X > 3) 0.05; P[Z < (3 - p,)/0.1] 0.95; = 2.8355 F(1) - [1 - F(2.33)] = 0.8314, 83.14 % a ) 1 - F(0.33) = 0.3707 b) F(0.22) - F(-0.33) = 0.2164 e) 1 - F(0.22) = 0.4129 P(B) > P(A) a) 0.0212 b) 0.0526 a) 1 - F(l.81) 0. 0 351, 3.51 % b) 42.47 % e) 54.02 % a ) 0.1210 b) 0.0030 a) P(X > 28.5) 0.9131 b) P(X :::; 31) = 0.819 e) 0.0703 X � N(50; 25); Y � N(45; 6.25). Y - X ::::: O Y - X � N(-5; 31.25) y P(Y - X ::::: O) = 0.1867 Y = X¡ - X2 � N(O. 05; O. 0025 ); P(Y < O) = 1 - F( 1) = 0. 1586 a) 0.3085 b) 0.9987 a) 0.0062 b) 0.6826 e) 9.969 b) 0.8413 e) 0.1574 a) 0. 3 085 a ) 56.99 % b) $10.23 b) 0.7642 e) 0.6964 a) 0. 0 427 b) 0.0244 a ) 0.0401 a) 1 b) 0.1587 e) F(l.5) - F(-2.5) = 0.927 b) P(X > e) = 0.9; e = 11.97 e) 0.9908 a) 0. 0 062 F = 1.8 e+ 32 e = 0. 5 55 F - 160/9 e � N(20; 20/9) 0.0025 0.6826 Y=XN(O, u). EJ Y I = J!u = 1 ¡ Jo 2 [ ( 2u2 ) ( 2u22 ) ] EIYI = u-fo 1 !2 u-/2ii Jor= ( 2u2 ) = u y ; =
x
=
JL
=
esto es,
=
=
Si
la transacción se l eve a cabo.
cm
X
·
X
entonces Sea Debemos demostrar que: L L - yexp - dy+ yexp - dy yexp - l dy =' ( 2 ) 2 ¡ exp 2u2 E(IXI" ) (u.J2)" ( a 1 ) = u"(.J2)" 100 u du = -2 fo JL
implica que con distribución _ 00
15.99.
= --
-/2ii
,¡p
o
0
� o
-�
(a•ll _ ¡
2
e
_u
dx
r
+
--
Capítulo
16
Distribuciones exponencial
y
gamma
La distribución exponencial es una distribución continua. Su función de densidad de probabilidad es:
para {3 > O, con
J
(x)
=
E(X)
{ 0/3
l e -x/{3
=
X
>O
en lo demás
{3 y V(X) = [32
La distribución gamma es una distribución continua. Su función de densi dad de probabilidad es: j(x) =
{ 0r(a1)f3a Xa-1
e -x/{3
X
0
en lo demás
para a > O y {3 > O, donde
con
>
E(X) = af3 y V(X)
=
a{32
Caso especial de Ia distribución gamma se obtiene haciendo a � y {3 2, donde v es un entero positivo. El resultado se llama distribuc�ón ji cuadrada. La distribución tiene un parámetro sencillo, v, que recibe nombre de grados de libertad. Su función de densidad es: =
=
x>O
para las demás x
266
DISTRIBUCIONES EXPONENCIAL Y GAMMA 26 7 Hay una relación entre integrales gamma incompletas y sumas de proba bilidades de Poisson, que está expresada por 1 f( a )
a - 1 J,.Xe-A = ¡ x = A x e dx = L � x=O a-1
para valores enteros de a . 16. 1 El tiempo que transcurre antes de que atiendan a una persona en . una cafetería es una variable aleatoria, que tiene una distribución exponencial con una media de cuatro minutos. ¿cuál es la probabilidad de que atiendan a una persona antes de que transcurran tres minutos en al menos cuatro de los seis días siguientes? 16.2. ¿Hay una densidad exponencial que cumple la siguiente condición? P{X :::; 2}
= 2/3P{X :::; 3}
Si es así, encuentre el valor de {3.
16.3. Se estima que el tiempo transcurrido hasta la falla del cinescopio de un televisor se distribuye exponencialmente con media de tres años. Una compañía ofrece garantía por el primer año de uso. ¿Qué porcentaje de las pólizas tendrá que pagar una reclamación? 16.4. En una investigación sismológica se observó que hay una relación entre la intensidad de las vibraciones en un lugar de la tierra Y y la intensidad de los terremotos X en un epicentro, donde e depende de la distancia entre dicho lugar y el epicentro. Supongamos que X es una variable aleatoria con distribución exponencial definida por
= cex
J(x) =
O
{ Ae-Ax
x>O
para las demás x
Calcular la función de distribución acumulativa de la variable Y. 16.5. La duración (en horas) X de cierto componente electrónico es una variable aleatoria con la función de densidad
x>O
para las demás x
Tres de estos componentes trabajan independientemente en una pieza de un equipo. El equipo falla si al menos dos de los componentes fallan. Encuentre la probabilidad de que el equipo funcione al menos durante 200 horas sin fallar.
268 CAP. 1 6. DISTRIBUCIONES EXPONENCIAL Y GAMMA 16.6. Un fabricante de un monitor de televisor comercial garantiza el ci
16.7.
16.8.
16.9
16.10 16. 1 1. 16.12. 16. 13.
16.14.
nescopio o tubo de imagen por un año (8760 horas). Los monitores, empleados en terminales de aeropuerto para programas de vuelo, es tán encendidos continuamente. La vida media de los tubos es de 20 000 horas y siguen una densidad de tiempo exponencial. El costo de fabri cación, venta y entrega para el fabricante es de $ 300 y el monitor se vende en el mercado en $ 400. Reemplazar un tubo que falla cuesta $ 150, incluyendo materiales y mano de obra. El fabricante no tiene obligación de sustituir el tubo si ya hubo una primera sustitución. ¿cuál es la utilidad esperada del fabricante? Cierta fábrica manufacturera requiere de un producto específico a granel. La operación utilizada en un día se puede modelar por una distribución exponencial {3 = 4 variaciones en toneladas. Encuentre la probabilidad de que la fábrica vaya a utilizar más de cuatro toneladas en un día determinado. Suponga que el tiempo, en horas, que toma reparar una bomba es una variable aleatoria X que tiene una distribución gamma con parámetros a = 2 y {3 = 1 /2. ¿cuál es la probabilidad de que en el servicio siguiente tome cuando mucho una hora reparar la bomba? En una ciudad cualquiera el consumo de energía eléctrica, en millones de kilowatt-hora, es una variable aleatoria X que tiene una distribución gamma con media JL = 6 y u2 = 12. a) Encuentre los valores de a y {3 . b) Encuentre la probabilidad de que en un determinado día el con sumo de energía eléctrica se exceda por 12 kW-hora. Si una variable aleatoria X tiene la distribución gamma con a = 2 y {3 = 1 , encuentre P( l.8 < X < 2.4). Demuestre que f (�) fo. Calcular la media y la varianza de una función gamma. El motor y el tren de trasmisión de un automóvil nuevo están garantiza dos por un año. Las vidas medias de estos componentes se estiman en tres años y el tiempo transcurrido hasta la falla tiene una exponencial. a ) La ganancia en un automóvil nuevo es de $ 1 000. Incluyendo los costos de refacciones y de mano de obra, la agencia debe pagar $ 250 para reparar cada falla. ¿cuál es la utilidad esperada por automóvil? b) ¿Qué porcentaje de automóviles tendrán fallas en el motor y el tren de trasmisión durante los primeros seis meses de uso? El tiempo para entregar pedidos de diodos a cierto fabricante cumple con la distribución gamma con una media de 20 días y una desviación estándar de 1 0 días. Determine la probabilidad de enviar una orden dentro de los 1 5 días posteriores a la solicitud. =
DISTRIBUCIONES EXPONENCIAL Y GAMMA 269 16.15. El tiempo de reabastecimiento para cierto producto cumple con una 16. 16.
16. 17.
distribución gamma con media de 40 y varianza de 400. Determine la probabilidad de que un pedido se envíe dentro de los primeros 60 días. En una ciudad cualquiera el consumo de energía eléctrica, en millones de kilowatt/hora, es una variable aleatoria X que tiene una distribución gamma con media E(X) = 6 y V(X) = 12. a) Encuentre los valores de a y {3. b) Encuentre la probabilidad de que en un determinado día el con sumo de energía eléctrica se exceda por 12 kilowatt/hora. Si X tiene una distribución gamma con a = 2 y {3 1 , determinar P(X > 1 ). Los ingresos anuales de los jefes de familia de cierta área de una ciudad tienen una distribución gamma con a = 1 000 y {3 = 20. Encuentre la media y la varianza de estos ingresos. En una ciudad cualquiera, el consumo diario de agua (en millones de litros) sigue aproximadamente una distribución gamma con a = 2 y {3 = 3. Si la capacidad diaria para esta ciudad es de nueve millones de litros de agua, ¿cuál es la probabilidad de que un determinado día el suministro de agua sea inadecuado? ¿En qué punto la función de densidad gamma tiene un máximo? La cantidad X total de lluvia durante cuatro semanas en una región del centro de México tiene casi una distribución tipo gamma con a = l. 6 y {3 = 2. Determine la media y la varianza de la cantidad total de lluvia durante cuatro semanas. El tiempo semanal X (en horas) en el que no funciona cierta máquina industrial tiene casi una distribución gamma con a = 3 y {3 = 2. La pérdida, en dólares, para la operación industrial debido a esta baja está dada por L 30X + 2X2 • Calcule el valor esperado y la varianza de L. Suponga que el tiempo en horas que toma reparar una bomba es una variable aleatoria X con una distribución gamma con parámetros a = 2 y {3 = 1/2. ¿cuál es la probabilidad de que en el siguiente servicio: a ) tome cuando mucho una hora reparar una bomba? b) al menos se requieran dos horas para reparar una bomba? Cierta fábrica manufacturera requiere de un producto específico a granel. La cantidad del producto utilizada en un día se puede modelar por una distribución exponencial con {3 = 4 (mediciones en toneladas). Encuentre la probabilidad de que la fábrica vaya a utilizar más de cuatro toneladas en un día determinado. Considere una tasa de falla de un componente eléctrico de una vez cada cinco horas. Es importante considerar el tiempo requerido para que fallen dos componentes. Si se sabe que se aplica la distribución gamma: =
16.18. 16.19.
16.20. 16.2 1.
O.
16.22.
=
16.23.
·
16.24.
16.25.
270 CAP. 1 6. DISTRIBUCIONES EXPONENCIAL Y GAMMA a) ¿cuál es el tiempo medio que tardan en fallar dos componentes? b) ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran 12 horas antes de que fallen los dos componentes? 16.26. La cantidad de tiempo que un reloj funciona sin necesidad de ajuste es una variable aleatoria con distribución exponencial con {3 50 días. Calcule las probabilidades de que tal reloj: a) deba ajustarse en menos de 20 días, b) no deba ajustarse en 60 días por lo menos. 16.27. El kilometraje (en miles de kilómetros) que alcanzan los automovilistas con cierto tipo de neumático es una variable aleatoria con densidad de probabilidad x>O para las demás x =
16.28. 16.29.
16.30.
16.31.
Calcule las probabilidades de que uno de los neumáticos dure: a) a lo sumo 1 O mil kilómetros, b) entre 1 6 mil y 24 mil kilómetros, e) al menos 30 mil kilómetros. Si una variable aleatoria tiene la distribución gamma con a = 2 y {3 = 2, encuentre la media y la desviación estándar de esta distribución. El tiempo de paro semanal, en horas, para una línea de producción tiene distribución gamma con a = {3 = 2. Calcular la probabilidad de que el tiempo de paro para una semana dada no sea mayor que 1 0 horas. Un transbordador lleva a sus clientes a través de un río una vez que abordan 10 automóviles. La experiencia muestra que los automóviles arriban al transbordador de manera independiente a una tasa media de siete por hora. Obtenga la probabilidad de que el tiempo entre viajes consecutivos sea al menos de una hora. Demostrar que si X es una variable aleatoria con distribución expo nencial, entonces P(X > a + biX > a)
=
P(X > b)
16.32. La distribución exponencial, empleada en muchas aplicaciones de
la teoría de la confiabilidad, consiste en la elaboración de modelos para saber cuán confiables (o no) son los componentes y sistemas. La confiabilidad de un componente en medio durante un periodo t se define como la probabilidad de que su tiempo para fallar exceda t (por tanto, ha trabajado en forma satisfactoria durante el periodo t), lo que significa que: R(t) = P(X > t)
=
1
-
F(t)
· 1
1
RESPUESTAS 27 1 Si el tiempo X para fallar es una variable aleatoria exponencial, calcular R(t). 16.33. El tiempo que transcurre antes de que atiendan a una persona en una cafetería es una variable aleatoria X que tiene una distribución exponencial con una media de cuatro minutos. ¿cuál es la probabilidad de que atiendan a una persona antes de que transcurran tres minutos en al menos cuatro de los seis días siguientes? 16.34. Un transistor tiene una distribución de tiempo de falla exponencial con tiempo medio de falla de 20 mil horas. El transistor ha durado 20 mil horas en una aplicación particular. ¿cuál es la probabilidad de que el transistor falle a las 30 mil horas? 16.35. Si el tiempo X de que tarde en realizarse cierta tarea clave en la construcción de una casa es una variable aleatoria con una distribución exponencial con {3 = 1 0 horas. El costo C para completar esta tarea está relacionado con el cuadrado del tiempo que tarda en completarse mediante la fórmula C
= 100 + 40X + 3X2
Encontrar el valor esperado y la varianza de C.
Res puestas
16. 1 . 16.2. 16.3. 16.4.
16.5. 16.6.
0.3968 No,debe porque = 1 significa que f3 = O para la distribución exponencial s e r f3 O P(X 1) = 1 - = 0.2811; 28.11 % 2: c ypara F(y) = P(Y < y) = { � l a s demás y 0.050 G = ganancia del fabricante 8760 G(x) = { $-$100,50,8760 Xx <2: 8760 (X) ¡ ¡ 1 E(G) = -50 20 000 100 8760 20 1000 = $ 46.79 e - 213
>
<
y
e- 1 13
ur,�.
X
o
16.7. 16.8. 1 6.9.
--e- WOOil dx +
P(X 4) = e-4x(l/4) = e- 1 P(X < 1) = 0.5940 a) a = 3, 2; b) 0.0620 >
f3
=
X
--
e- 2oooo dx
272 16. 10.
0.1545
f(a) = ¡·oo x"- J e-xdx.
16. 1 1 .
2
Sea x = u y dx = 2u du. Tenemos
Sea x = p cos () y u = p sen (), entonces
y, por último, 16.12.
[
r
1 ) ] 2 4 1 � 1 "" pe dpd() = 2 l(% d() = 7T o o (2 o "
-p
=
1 oo xa- 1 e -"dx = {3af(a)
Tenemos que
P
o
1 1 "" xae-" dx E(X) = lr=o x/3""e-f(a)� dx = /3af(a) o 1 af(a) =_ {3"f_(a) [/3a+If(a + = {3f(a) = af3 Al sustituir en la expresión de V(X) las expresiones para E(X) y E(X2 ), se obtiene
y
P
1 )]
1 6 . 13.
a
16. 14. J.L
x
+
x
E(U) = 1000 P(X 1) 750 P(X ::; 1) P(X < 1/2) = 1 0.84 = 0.16 16 % = af3 = 20; u = a/32 lO P(X ::; 15) = 1 - L e k!3
)
b)
-
>
�
=
$ 929.73
=
3
k=O
-3
k
= 0.3527
RESPUESTAS 273 1 6. 15.
E(X) = af3 = 40 Tenemos
16. 17. 16. 18. 16.19. 16.20. 16.2 1 . 16.22.
16.23. 16.24. 16.25. 16.26. 16.27.
16.30.
entonces a = 4 3
O
y
A
= 1/{3 = O. l.
==
•
k=O
cuando
16.28. JL 16.29.
V(X) = af32 = 400,
o 60) = Jr �(�) (0.1x)3e - lxdx = 1 - ¿_:>-(0.1 )(60) ((0. 1��60)] = 0.8488 o a) E(X) = a{3 = 6; V(X) = a{32 = 12, a = 3; {3 = 2 b) P(X > 12) = 0.0619 0.736 20 000; 400 000 0.1992 x = f3(a - 1), a>1 E(X) = af3 = (1.6)2 = 3.2; V(X) = af32 = 1.6 4 = 6.4 E(L) = E(30X) + E(2X2) = 30E(X) + 2E(X2) = 76 " E(X2) = {32a(a + 1) = 48 V(L) = V(30X) + V(2X2) = 900V(Y) + 4V(Y2) = 10 800 + 4(EX4 - EX2)2 = 10 800 - 9216 + 4(1 1 520) = 47 664 a) 0.5940; b) 0.0916 e -1 a ) 0.0352; b) 0.0472 a) 0.3296; b) 0.3011 a ) 0.3934; b) 0.1482; e) 0.2231 E(X) = 4, = 2.8284 P(X < 10) = 1 - 22�(2) �000 x2- 1 e- �dx = 1 - e-5 Y a A = 1/ {3, a A" (distribución Erlang). Y P(X <
16.16.
y
x
u
e aleatoriaalmesentlae,sucadama deuno variconaparámet bles aleatroorias independientoencesntes di"Ssittilreainebvariuiunadaasblexponenci Tenemos densidad gamma con parámetros Y= +... ? i = 1, 2, . . . , 10 g(x¡ ) = { O7e- x; Xpara las demás9 ¡00 y
+
x1 + x2
de
x10
Xi
P(Y > 1) =
16.3 1 .
f(�0) (7y)9e-7Ydy = ¿:::e- 7�! = 0.8305 k
1
k=O
A-el eventoo "X"X >> b"a" BG--elel event evento "X >=a +entb" onces Tenemos, Luego, = e->-a, = e-=Ah = AnC C P(A) P(B) P(C 1 A) = P(C)/P(A)
P(C 1 A) = P(C)/P(A).
e - >-b, P(C) = e->.(a+b)
P(B).
con lo que se puede ver que
274 CAP.
1 6.
DISTRIBUCIONES EXPONENCIAL Y GAMMA
Encomoconslaevaricuenciableaal, puede decigeométrse querica notanttoienenla varimemori able alae. atoria exponencial e at o ri a P(X > = e-M
16.32.
R(t) =
16.33.
p = P(X < 3) = 0.5276 P(4 S X S 6) = 15 (0.5276)4(0.4724)2 + 6 (0.5276)5 (0.4724) 1 + (0.5276)6(0.4724)0 = 0.3967 P(X > 20 000+ 10000 1 X > 20000) = P(X > 10000) = e-10000120000 = e- 0·5 = 0.6064 P(X < 30 000 1 X > 20 000) 1 - 0.6064 = 0.3936 f3 = 10 a=1 E(C) = E(100) + E(40X) + E(3X2 ) = 100 + 40E(X) + 3E(X2 ) 1100 E(X2) = {32a(a + 1) = 200 E(X4) = {34a(a + 1)(a + 2)(a + 3) = 240 000 V(C) V(40X) + V(3X2 ) = 1600V(X) + 9V(X2 ) 1600 9(EX4 - (EX2 )2 ) 1600 100 + 9(240 000 - 40 000) = 1 960 000 =
16.34.
16.35.
t)
X
X
Entonces
=
=
= =
X X
l OO +
Capítulo 1 7 Distribuciones
y
beta
de Weibull
La distribución beta es una distribución continua. Su funqón de densidad de probabilidad es
{ ga)f(/3)
� ,¿x- 1 ( 1
J(x) =
13 1 - X) -
0
para a > O y {3 > O, con E(x)
=
a y V(X) a + {3
-
af3 (a + {3)2(a + {3 + 1 )
La distribución Weibull es una distribución continua. Su función de densi dad de probabilidad es j(x)
=
para {3 > O y 1' > O, con
{
' � Xy- 1 e-x /13 0
X>0
en lo demás
17 .l. Determine la media y la varianza de la distribución beta. 17.2. Considere la función de densidad de probabilidad J(x) =
{
c( l - x)a 1 xl3 - 1 -
O
O :S x :S 1 ; a > O; {3 > O para las demás x
275
276 CAP. 1 7. DISTRIBUCIONES BETA Y DE WEIBULL
17.3. 17.4. 17.5.
17.6.
17.7.
17.8.
17.9. 17 . 10. 17 . 1 1.
a) Evalúe la constante c. b) Determine la media. e) Encuentre la varianza. Determine la media y la varianza de la distribución Weibull. El diámetro de ejes de acero sigue la distribución Weibull con paráme tros y = 2.0 pulgadas y O = 2. 25. Encuentre la probabilidad de que un eje seleccionado al azar no excederá 1 .5 pulgadas de diámetro. El tiempo de falla por fugas de cierto tipo de batería de celda seca se espera que tenga una distribución de Weibull con y = 0. 5, O = 20. ¿cuál es la probabilidad de que la batería dure más de 800 horas en uso? La densidad del tiempo de falla correspondiente a un sistema de computadora pequeño tiene una densidad de Weibull con y = 0.25 y (J = 5. a) ¿Qué fracción de estas unidades durará mil horas? b) ¿cuál es el tiempo medio de falla? El tiempo necesario para lograr una mezcla correcta de polvos de cobre antes de sintetizarlos tiene una probabilidad de Weibull con y = 1. 1 y (J = 2. Calcular la probabilidad de que una mezcla adecuada tome menos de dos minutos. Suponga que la vida útil X, en años, de una batería para audífonos es una variable aleatoria que tiene una distribución de Weibull con O = 2 y 'Y = 2. a) ¿cuánto tiempo se espera que dure esa batería? b) ¿cuál es la probabilidad de que dicha batería siga funcionando después de dos años? Suponga que X tiene una distribución beta con parámetros a y {3, y sean r y s enteros positivos. Determinar el valor de E[X' ( 1 - X)']. Suponga que X tiene una distribución beta con parámetros a y {3. ¿cuál es la distribución de la variable aleatoria 1 - X? Represente la función de densidad de la distribución beta para cada una de las siguientes parejas de valores de los parámetros: a) a = 1 /2 y {3 = 1 /2 b) a = 1 /2 y {3 = 1 e) a = 1 /2 y {3 2 d) a = 1 y {3 = 1 e) a = 1 y {3 = 2 f) a = 2 y {3 = 2 g) a = 25 y {3 = lOO h) a = 100 y {3 = 25. ¿cuál es la función de densidad de la distribución beta en un intervalo [a, b]? =
17.12.
DISTRIBUCIONES BETA Y DE WEIBULL 277 17 . 13. Sea X una variable aleatoria con distribución beta j(x) =
{ �2x( 1 - x)2
0
Calcular la función de densidad para la variable aleatoria Y, si a ) Y = 2X3 b) Y = arc sen X e) y = e' 17 . 14. Si la proporción de televisores de una marca que requiere servicio durante el primer año de operación es una variable aleatoria que tiene una distribución beta con a = 3 y {3 = 2. ¿cuál es la probabilidad de que al menos 80 % de los nuevos modelos que se vendan este año requieran servicio durante su primer año de operación? 17 . 15. Suponga que la proporción de unidades defectuosas embarcadas por un vendedor, las cuales varían de un cargamento a otro puede conside rarse como una variable aleatoria que tiene una distribución beta con a = 1 y {3 = 4. a) Encuentre la media de unidades defectuosas en un cargamento de este vendedor. b) Calcule la probabilidad de que un embarque de este vendedor contenga 25 % o más de unidades defectuosas. 17. 16. El porcentaje de impurezas por unidad de producción en cierto pro ducto químico es una variable aleatoria X que tiene una función de densidad 12x2 ( 1 - x) O < x < 1 j(x) = , x O para las demas
{
No es posible vender una unidad de producción con más de 40 % de impurezas. ¿cuál es la probabilidad de que una unidad de producción seleccionada al azar no pueda venderse por tener demasiadas impure zas? 17. 17. Un distribuidor mayorista de gasolina dispone de tanques de almace naje que contienen una cantidad füa de gasolina y que se llenan cada lunes. La proporción de esta reserva que se vende durante la semana es de sumo interés para el distribuidor. Mediante observaciones durante muchas semanas se encontró que se podría representar el modelo de esta proporción mediante una distribución beta con a = 4 y {3 = 2. Encuentre la probabilidad de que el mayorista venda al menos 90 % de su reserva durante una semana dada. 17 . 18. Verificar que la distribución beta se reduce a una distribución uniforme sobre el intervalo (0, 1 ) si a = {3 = l .
278
Resp uestas 17. 1 .
f(a + ,B) xa-1 (1 - x)/3- l dx = f(a + ¡3) ( xa (1 - x)/3 - l dx E(X) = lo( x f(a)f( f(a)f(¡3) lo ¡3) f(a + ¡3) f(a + 1)f( ¡3) a f(a)f(¡3) f(a + ¡3 + 1) a+ ¡3
Con pasos semejantes, tenemos que
V(X) -- (a + ¡3)2a(a¡3+ ¡3 + 1) 17.2.
a) Tenemos que
Al cambiar las variables en función gamma u = v2 =? du = 2v dv, tenemos
Sea s = p sen O y t = p cos O
f(a)f(¡3) =
4
=
4
==>
Jacobian = p, entonces
1 1 � (p cos 0)2a-l (p sen 0)2/3-l p dO dp 1 /a+2¡3- l dp 1 � cos 0)2a-l (sen 0)2/3- l dO =
=
e -p•
e -p•
(
Al cambiar en el primer integral p2 = y y en el segundo sen2 O = x, tenemos
Entonces
f(a)f(,B) = ( �-1 ( I - x)"-1dx =? c = f(a+ ¡3) f(a)f(¡3) f(a + ¡3) lo
279
b)
f(a + ,B) ((l - xt-1J!+k-1dx E(Xk) = f(a)f(.B) Jo f(a + .8) f(a)f(.B +k) f(a)f(.B) f(a + .B + k) f(a + ,B)f(.B +k) f(,B )f(a + .B + k) =
Para k = 1 tenemos: E(X) - (a(a- +1).B!(,8- -1)!1)! De manera análoga, tenemos _
e) V(X) =
17.3.
.B a + .B
a,B (a + .B)2 (a + .B + 1)
Untransmodo calcular lquea media la varianza consiste en usar la formacicómodo ón Y =paraXY. Tenemos y
1 od = -1 1"" y re ody E(X) = E( Y>1 ) = 1"" o y r -e 8 y 8 = � r ( 1 + �) 8(1•1 /y) = 8 11Yr ( 1 + �) 1
_z
Con pasos semejantes, tenemos que v(x)
17
.4.
=
821Y { r (1 + �)
-
o
1
_
[r ( 1 + �) J 2}
La función de distribución acumulativa para distribución de Weibull es ¡X
y -1 e ¡!o dt = 1 - e i!_o F(x) = o -tY 8 P(X :S 1.5) F(l 5) 1 - e- 1 = 0.6321 =
17.5.
z
_
.
_
=
P(X 800) = 1 - F(800) = e- ../'1. = 0.2431 17.6. a) 1 - F(lOOO) = 1 - e-u247 = 0.6752; b) E(X) = 15000 17.7. P(X < 2) = 0.6576 17.8. a) E(X) = 1.2533; b) 0.1353 . . (a + r - 1),8(,8 + 1) . . . (.8 + s - 1) 17.9. a(a(a+ +1),B. )(a + ,8 + 1) . . . (a + ,B +r+s - 1) >
280 17.10.
f(a+ {3) (1-Xt- 1 [1-(1-X)t- 1 = f(a)f({3) f(a+ ,xfl- 1 (1-X)"- 1 X = f(a)f({3) que significa una distribución beta con parámetros {3 y a.
f(1- ) 1 7. 1 1.
1
-
a)
�
b)
e)
d) j(
17.12.
g)
x
h)
x
<
a
(b -
a)X,
a)"- 1 (b l a)<>- 1 (b - a)/3- 1 (b - a)
(a+f3) a¡a"Jl r(a)f(f3f)(bo
17. 13.
a)"- l (b -
b
a)
Í
b)
e)
17. 14.
0.1808
Y
RESPUESTAS 28 1 17. 15. 17. 16. 17. 17.
a) f.L =
=
1/5 0.2; b) P(0.25 < X < 1.0) 0.3164 =
0.8208 Sea X la proporción vendida durante la semana, entonces o
=
y
P(X 0.9) >
17. 18.
=
Si se sustituye a = {3 usa f(2) = 1, tenemos
1
=
11 20x3(1 - x)dx 0.9
=
0.08
en la función de densidad de probabilidad beta y se
Capítulo 1 8 Funciones generatrices de momentos
1· 1
La función generatriz de momentos para una variable aleatoria X se define como el valor esperado de la función eitx, donde t E IR con i = R, y se denota por M(t) = E(eitX) \:1 t E R A partir de la fórmula de Euler ieitx ¡ = 1 cos tx + i sen txi = v'cos2 tx + sen2 tx = 1
para x E IR y t E IR se puede constatar que la fórmula de M(t) define la función generatriz de momentos para cualquier variable aleatoria. Ahora bien, según la definición de valor esperado, la función generatriz de momentos M(t) está dada por
M(t) =
¡"'
� " pkeitx,,
para el caso de una variable aleatoria discreta con P(X = xk ) = Pk. Lk Pk = 1 para el caso de una variable aleatoria continua oo eitx J(x) dx, f� con función de distribución f(x). A esto se le llama transformada de Fourier.
La M(t) para X es una función compleja de la variable real t, con las siguientes propiedades:
a) M(O) = 1 b) \:1 t E IR M(t) = M( -t), donde M( -t) es el conjugado de M( -t). e) \:1 t E IR IM(t)l :::; 1 d) M(t) es continua en R e) M(t) es función real si y sólo si la distribución de la variable aleatoria X es simétrica con respecto a x = O.
282
FUNCIONES GENERATRICES DE MOMENTOS 283 J) Si la integral f�oo IM(t)ldt existe, entonces se cumple para la función de distribución J(x) que: J(x)
=
F'(x)
=
1 27T
-
¡=
-oo
e- itxM(t) dt,
y
J(x) es continua para x
E R
g) Si M ( t) es periódica con periodo 2 7T, entonces toma sólo valores enteros y se cumple
1 f"'
Pk = 27T
-7T
eitkM(t) dt
\f
kEZ
h) Si M(x) es una función generatriz de momentos y F(x) una función acumulativa diferenciable en los puntos x, x + h, entonces se cumple F(x + h) - F(x)
=
1 27T
-
¡=
e- ixt
_00
_
.
zt
eit(x+h}
M(t)dt
=
P(x � X � x + h)
El uso de la función generatriz de momentos está relacionado con las siguientes propiedades: l . Si existe el k-ésimo momento para la variable aleatoria X con función generatriz de momentos M(t), entonces M(t) es k veces diferenciable y se cumple:
En el caso que M(t) tenga un desarrollo en una serie de Maclaurin, entonces se cumple que:
De esto se deduce que si se conocen los coeficientes ak podemos calcular cualquier momento según la fórmula
2. Si X1 , X2, . . . , Xn son variables aleatorias independientes con fun ción generadoras de momentos Mx1 (t), Mx2 (t), . . . , Mx. (t), respec tivamente, y Y = X¡ + X2 + + Xn, entonces · · ·
My(t)
=
Mx1 (t)Mx2 (t)
· ·
·
Mx. (t).
284
CAP. 1 8.
FUNCIONES GENERATRICES DE MOMENTOS
Si X y Y son dos variables aleatorias con funciones generadoras de momentos Mx (t) y My(t), respectivamente, con Mx (t) My (t) \:1 t E entonces X y Y tienen la misma distribución de probabilidad. Además, para la función generadora de momentos se cumplen las pro piedades: Mx+a (t) eat Mx (t) y
IR,
=
=
Max (t)
=
Mx (at).
Funciones generatrices de momentos para algunas distribuciones de probabilidades
Núm. Distribución 1 Binomial 2
Pascal (Binomial negativa)
3 4
Uniforme
5
Normal
6
Gamma
Poisson
Punción de densidad
Función generatriz de momentos M(t) = (pi + qt
Pk = (�) lq"-k, y k = O, 1, . .. , n p, q > O, p + q = 1 eit Pk = (kr _- 11 ) PTqk-T, k = r + 1, . . . M(t) = ( -1-p q-e•.t p, q > O, p + q = 1 , r E N M(t) = exp[A(i - 1)] Pk = e--• Ak k E No, A > O itb - ila 1 para a < x < b b1 e e M(t) = j(x) = -b-a - a it u2 t2 JL)2 (x ] 1 exp [f(x) = u ../27i 2u2 , M(t) = exp (i�tt - ) u > O, JL E R X) 1 exp ( - M(t) = 1 j(x) = -r,
L
1 1- ,
-
2
APf(p) X
�>- 1
(1
A
> O, A > O, p > o 7 Laplace j(x) = 4 e- lxl, x E IR 8 Cauchy J(x) = 7T[Jt2 + (xA - �t?J A > O, JL E R 9 Exponencial j(x) = ± exp ( -D, x > O
- Ait)P
M(t) = 1 +1 t2 M(t) = exp(i�tt - Altl) M(t) = 1 -1 Ait
18. 1. El tiempo de reparación X ( en horas ) para cierta máquina de molienda controlada electrónicamente sigue la función de densidad. f(x) =
{
4xe - 2x x > O para las demás x O
FUNCIONES GENERATRICES DE MOMENTOS 285
18.2.
18.3. 18.4. 18.5.
Determine la función generatriz de momentos para X y emplee esta función para evaluar E(X) y V(X). Un vendedor de automóviles usados encuentra que vende X = 1, 2, 3, 4, 5 o 6 autos a la semana con igual probabilidad. a) Determine la función generatriz de momentos de X. b) Mediante el uso de la función generatriz de momentos determine E(X) y V(X). Evalúe la función generatriz de momentos para la distribución geo métrica y utilice el resultado para calcular el valor esperado y la va rianza de ella. Determinar la función generatriz de momentos para una variable aleatoria del tipo Bernoulli. Demostrar que la función generatriz de momentos para una variable aleatoria X binomial está dada por Mx(t) = [pe1 + ( 1 - p}t.
A partir de este resultado, deducir el valor esperado y la varianza de la distribución binomial. 18.6. Determinar la función generatriz de momentos para la variable aleato ria X con distribución exponencial. f(x)
=
{S 1
exp (
- x-aA ) -
para x > a para las demás x
18.7. Determinar la función generatriz de momentos para la distribución Laplace con distribución
1 J(x) = - e - ixi x E R 2
18.8. Demostrar que las siguientes funciones no pueden ser las funciones generatriz de momentos. a) M(t) = exp( -it2 ) 1 b) M(t) = 1 + iiti ltl para ltl < 2 e) M(t) = para ltl ;::: 2
{�-
18.9. Encontrar la función de densidad para la variable aleatoria X con función generatriz de momentos. a ) M(t) = exp(2it - 3ltl) b) M(t) = exp ( - � t2 )
286 CAP. 1 8. FUNCIONES GENERATRICES DE MOMENTOS
e)
{
1 - ltl para lt l ::::; 1 O para ltl > 1 d) M(t) = cos(t) M(t) =
e) M(t) = L ( � r cos(kt) f) M(t) = e2it g) M(t) = i(l + eit )2 h) M(t) = (2 - eit ) - 1 i) M(t) = cos2 (t) j) M(t) = eA(i'-ll; A > 0 La variable aleatoria X se distribuye con función generatriz de momen 2 ). Calcular el cuarto momento normal para X. k
18.1 O.
tos M(t) = exp( - � t 18.11. Usando la función generatriz de momentos calcular: a) El segundo momento normal para la distribución de Poisson b) El tercer momento normal para la distribución binomial. e) k-ésimo momento normal para la distribución exponencial con función de densidad. f (x) =
� exp ( - �)
para x > O, A > O.
d) k-ésimo momento normal para la distribución gamma, con función de densidad J(x) =
18. 12. Demostrar, si
X
�p/P-le-ax p
para x > O, a,
p>O
y Y son las variables aleatorias independientes, con distribución gamma
entonces la variable aleatoria Z = la función de densidad
18.13. La variable aleatoria
X
X+ Y se distribuye como gamma con X2?
se distribuye normalmente N(O, 1 ) ¿cuál es la distribución de la variable aleatoria Y =
FUNCIONES GENERATRICES DE MOMENTOS 287 18.14. Sean X y Y las variables aleatorias independientes con idénticas fun ciones generatriz de momentos M(t). Calcular la función generatriz de momentos para la variable aleatoria Z=X-Y y Y las variables aleatorias independientes con la misma distribución exponencial
18.15. Sean X
j(x) =
{�
-x para x > O
para las demás x.
Calcular la función de densidad para la variable aleatoria Z = X - Y. 18. 16. Calcular la función generatriz de momentos para la variable aleatoria X con función de densidad J(x) =
{t
( 1 - ! l xl )
para lxl ::::; 2 para las demás x.
[Aplicar la fórmula de Euler eix = cos(x) + i sen(x)]
18. 17. Demostrar en el caso de una variable continua que para cualquier función M(t) se cumple:
1 + M(2t) 2': 2[M(t)] 2
18. 18. Sea X la variable aleatoria discreta con función de densidad P(X = k) =
( 1 a+ a ) A A(A + 1)( 1. +. .a)(Ak k!+ k - 1 ), para k = 1, 2, . .
y P(X = O) =
.
( 1 :a )
A,
donde a > O, A
>
O.
Encontrar la función generatriz de momentos M(t) para la variable aleatoria X. Calcular E(X) y V(X). 18.19. Sea X la variable aleatoria con distribución binomial negativa con parámetros p E (0, 1 ) y r > O, esto es P(X = k + r ) = c -/)P'(-q)k, q = 1 - p, k = O, 1 , 2, . . . Encontrar la función generatriz de momentos para la variable aleatoria X.
288
CAP. 1 8. FUNCIONES GENERATRICES DE MOMENTOS
18.20. Encontrar la función generatriz de momentos para las siguientes distribuciones de probabilidad: a) o x-a+e e2 J(x) = x-a-e e2 o
para x ::::; a - e para a - e < x < a para a ::::; x < a + e para x 2: a + e
donde a y e pertenecen a Jos reales. b) X se distribuye en forma uniforme en el intervalo [a, b]. e) X tiene distribución de Laplaee, esto es J(x)
=
1
2<7
exp
(
- Jx - aJ u
) , para x
E
donde a y u > O.
IR,
d) X tiene distribución beta con parámetros a y {3 esto es,
J(x) =
{�
f(a + {3) a - ! x ( 1 - x) {3- 1 (a)r({3)
para O ::::; x ::::; 1 para las demás x
18.21. Se tira dos dados. Sea Z la variable aleatoria que representa la suma de
los puntos obtenidos en ambos dados. Encontrar la función generatriz de momentos para la variable aleatoria Z. 18.22. Encontrar la función generatriz de momentos de la variable aleatoria X que tiene una distribución ji cuadrada con v grados de libertad.
Respuestas 18.1.
Mx(l) = ¡= ix4xe- 2xdx ¡= 4xex(ti- 2)dx ( 1 - �) -2 ; E(X) = M( 1 )(0) = 1, V(X) = M(2)(0) - [M( 1)(0)¡2 = !2 6 ) Mx(t) = '""' 61 eitx =
18 . 2 .
a
L....
x= l
=
289
RESPUESTAS
18.3.
Para la variable aleatoria X con distribución geométrica tenemos, 00
00
x= l
x= l
+
00
x=l
= pi { 1 [(1 - p)eit ] + [(1 - p)eit]2 = peit
[
1 1 - ( 1 - p)eit
]
+
. .
·}
Ahora podemos calcular el valor esperado mediante
-
1 - ( 1 - p)eit ]peit i - peit[ ( 1 p )eiti] Mx(I) (t) = [ [1 - (1 p)eit ]2 peit [ 1 - ( 1 - p)ei1]2'
-
-
y evaluando en t = O obtenemos el resultado deseado
p
Mx( 1 ) (O) = - [ 1 ( 1 p)]2
1
p
En el caso de la varianza, es necesario primero calcular Ahora bien,
y
evaluando nuevamente en t
= O, resulta p + 2(1 - p)
p2
es fácil ver entonces que: V(X) = E(X2 ) - (EX)2 =
p +2(1p2 - p) - p2__!_ = 1 p2-
P.
- p + peit = + peit
18.4.
Mx(t) = 1
18.5.
Para la distribución binomial se cumple:
q
P(X = k) = (�) l(l - pt-k,
k = 0, 1, 2,3,
. . .
, n
para O < p <
1
290
CAP. 1 8. FU NCIONES GENERATRICES DE MOMENTOS
entonces
=
Mx(t) = � eitk (�)lqn-k � (�}pi/qn -k = (p/1 q t donde q = 1 - p M�>(t) = npii[1 + p(eit - 1)f -2 MJc2> (t) = npi i(1 - p + npii)[1 + p(i - l)r- 2, +
en consecuencia resulta para el valor esperado y la varianza que:
= np y V(X) = np(1 - p + np) - n2p2 = np( l - p). eait 1 ( x-a ) dx = -1 100 e(itx- �+ª ) dx = -Mx (t ) = 100 e -e A a 1 - Ait a A r = eitx � e - lxl dx = � ¡o e(it><>x)dx + � {oo e(itx-x>dx = l: Mx(t) = 1-� t2 1-� h ) y b) no cumplen la condición M(t) = M( -t) ) no cumple condición M(O) = 1 ) La función M(t) cumple la condición f::'oo I M (t)l . dt < entonces IM(t)l = e- 3111 1 cos(2t) + i sen(2t)l = e-31 1 1 y esto significa que E(X)
itx
18 • 6 .
-
-.--
A
A
18.7. 18.8. e
18.9.
a
oo ,
a
de aquí se deduce
J(x) = 2� ¡: exp( -itx + 2it - 3ltl ) dt -3 + i(2 - x) - 3 - i(2 - x) ] = ..!_ 3 . = _!_ i2 (2 - x)2 - 9 7T (x - 2)2 + 9 27T
[
La última expresión corresponde a una función de distribución de Cauchy con parámetros JL = 2, A = 3. b) J(x) = exp - � x2 ) ) J(x) = 1 - cos(x) ; x i= 0 e
� (
7TX2 d) M(t) = cos t = � (eit + e-it ) = � eit(-I) + � eit(I) entonces, P(x = 1 ) = 4 , P(x = -1) = 4 e) P(x = k) = 21 ( 21 ) lkl para k = ±1, ±2, ±3, ±4, . . . j) Se cumple en este caso que I M (t)l = lo que integral J:"oo I M (t)ldt. Por otra parte M(t) l,
-
f'211
significa qu ·s 1 1 na
·
1 10
t·xisl<' l a
fu ! lciÓII pc•t ic dira.
29 1
entonces la variable aleatoria es de tipo discreta y para k l, =
± ±2, ±3, ±4, ...
pk = 27Tl }{" [cos(2 = { o k #- 2 2 l - -rr
k)t + i sen(2
- k)t]dt
=
pk
l {" ;. Jo cos(2 - k)tdt
k=
g)
De aquí se deduce que M(t) = lit es una función de generatriz de momentos para una variable aleatoria con función de densidad igual l P(X = M ( t) � ( l +e;1)2 �+*e;1+�eit2 . Entonces tenemos la siguiente distribución de X =
2)
=
=
o
X
l
1 4
2
1 2
1 4
-1 it = * ( 1 - *eit r1 = * + (D 2 e;12 + · . Entonces P(x e ) (22 - (k+l) para = O, l, 2, 3, . . . i) P(X -2) i , P(X O) 4 , P(X 2) = i t) = e- [exp(Ae M(distribución )] = e- L..k =O + X es una variable aleatoria con de Poisson. =
h) M(t) j)
=
18. 10. l.
·
A
=
k
{
it
=
Á
M( 3 )
'"'oo
=
;,k
iAk
y
= -t exp ( - 4 t2 )
M( l ) M( 2)
M(4)
Entonces
=
= k) =
1) exp ( - * t2 ) ( -t3 + 3t) exp ( - 4 t2 ) = ( -t3 - 6t2 + exp ( * t2 )
= =
(t2 -
3) a4 = M(4)(0) = �3 = 3 l
11. Podemos desarrollar M(t) que para todos t E R.
=
exp ( - 4 t2 ) en serie de Maclaurin. Sabemos
00
k
L k=O ij entonces oo -(-1/ - para e- ;¡t = L k=O 2k i
1 2
=
t2k k!
tER
En este desarrollo no aparecen impares potencias de t, entonces todos los momentos impares son iguales a cero. Los coeficientes que aparecen con potencias pares son iguales
292
a2k = (2-k1k!l para k y finalmente a2k = ( -12k)k!k(2k)! i2k = (2k)! 2kk! para k Para k 2 tenemos a4 = 3. a)b) aa2 A.2 +Á2(n 3 np[p - 1)(n - 2) + 3p(n - 1) + 1 ] e) Desarrollar en serie de Maclaurin ak = Akk!; k d) ak p(p + 1) . . a. k(p +k - 1) La función generatriz de momentos para X es E
N.
E
1 8. 1 1.
=
=
=
=
18. 12.
N.
M(t)
'--"--'----, :'!--....:.
Mx (t)
= f(�¡ ) ¡= ix:!¡- l e-xdx
E
N
f(�¡ ) ¡= :!'-l e-(1 -it)xdx
=
r(p1 f()(1p-¡) it)P' ( 1 -1 cambiando p 1 por P2 tenemos la función generatriz de momentos para Y = 1 1 it)h
My(t)
(
-
it)1'2
X y Y son independientes, entonces Mz(t) = Mx (t)My (t)
18. 13.
= (1
it1 )P,+f'2
es la función generatriz de momentos para la distribución gamma con paráme tro P2 · La función generatriz de momentos para la variable aleatoria Y es
p¡ +
= ¡ 2 exp (itx2 - �x2 ) dx E( exp X = v� 2 7T = [ (xv"f=2ltl 1 ). _ 1 ¡ ] ( d exp 2 1 V2ii Esta es la función de generatriz de momentos para distribución gamma, entonces Y tiene distribución ji-cuadrada con 1 grado de libertad para la cual la función de densidad es j(x) = v'2r1 O ) x 2e 2, para > O = E(eit(X-Y)) M(t)
=
it
)
- oo
_ x-
--
- 00
_l
18. 14.
_
M(t)
=
=
M(t)M( -t)
-'
M(t)M(t)
x
=
I M(t) l2
--
2it
!
293 18. 15. 18. 16. 18. 17.
= ie- 1•1 { se�2 t M(t) = 1 J(z)
para t i= O para t = O Para la primera parte de la desigualdad podemos escribir, 1 + M(2t) =
1 + 1: ei2txf(x)dx = 1: (1 + cos 2tx)J(x)dx,
y aplicando la desigualdad de Schwarz obtenemos
1:(1 +·cos 2tx)J(x)dx = 2 1:(cos2(tx))J(x)dx 2 ;::: 2 [1: cos(tx)J(x)dx] = 2[M(t)]2,
18. 18.
que es el resultado deseado. La función generatriz de momento es igual a
a ) A � /'k (Ak ) _ 1 _k � ei'kP(X = k) = ( 1 +a (1 +a) k=O k=O ;' = ( 1 a+a ) ( 1 - 1 e+a ) '
M(t) = L.,;
A
-A
L..t
entonces obtenemos para el valor esperado y la varianza:
18. 19.
18.20.
E(X) = �a V(X) = A(aa;A) .
Basados en el ejercicio podemos construir p y q de la forma p J�a ; . ! Entonces para la variable aleatoria Y = (donde es la q 1 1a variable
18.18
-p =
18.18) pe" )r My ( t ) = ( -1 - qe''
i'a a) M(t) = 4eitbsen2eita2(tite) 2 e
b ) M(t) = . ( b_ zt eita ) e) M(t) = ( l + u2t2) - a
X+ k
= X
Apéndice!
1 FUENTE: Said Infante y Guillermo P. Zárate, Métodos estadísticos. Un enfoque interdisciplinario,
2a. ed., 3a. reim p resión, Trillas, México,
1996.
1
296 Tabla A. Probabilidades acumuladas de la distribución binomial2 e
O.OS
0. 1 O
O. l S
0.20
0.2S
p
0.30
0.3S
0.40
0.4S
O.SO
n=
1
O 1
1 .0000
n=
2
O
0.902S 0.8 1 00 0.722S 0.6400 O.S62S 0.4900 0.422S 0. 3600 0.302S 0.2SOO
1
0.997S 0.9900 0.977S 0.9600 0.937S 0.9 1 00 0.877S 0.8400 0.797S 0. 7SOO
n=
3
n=4
n=
n=
n=
n=
S
6
7
8
1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
1 .0000 1 .0000 1 .0000
1 .0000 1 .0000
1 .0000
1 .0000 1 .0000
1 .0000 1 .0000
1 .0000
2
1 .0000
O
0.8S74 0.7290 0.6 1 4 1
1
0.9928 0.9720 0.9393 0.8960 0.8438 0.7840 0.7 1 82 0.6480 O.S748 o.sooo
2
1 .0000
0.9999 0.9990 0.9966 0.9920 0.9844 0.9730 0.9S7 1 0.9360 0.9089 0.87SO
O.S I 20 0.42 1 9 0.3430 0.2746 0.2 1 60 0. 1 664 0. 1 2SO
3
1 .0000 1 .0000 1 .0000
O
0.8 1 4S 0.6S 6 1 O.S220 0.4096 0.3 1 64 0.240 1 0. 1 78S 0. 1 296 0.09 1 S 0.062S
1
0.9860 0.9477 0.890S 0.8 1 92 0.7383 0.6S I 7 O.S630 0.47S2 0.39 1 o 0.3 1 2S
2
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000 1 .0000 1 .0000
1 .0000
0.999S 0.9963 0.9880 0.9728 0.9492 9.9 1 63 0.873S 0.8208 0.7S8S 0.687S
3
1 .0000 0.9999 0.999S 0.9984 0.996 1 0.99 1 9 0.98SO 0.9744 0.9S90 0.937S
4
1 .0000
O
0.7738 O.S90S 0.4437 0.3277 0.2373 0. 1 68 1
1
0.9774 0.9 1 8S 0.83S2 0.7373 0.6328 O.S282 0.4284 0.3370 0.2S62 0. 1 87S
2
0.9988 0.99 1 4 0.9734 0.942 1 0.896S 0.8369 0.7648 0.6826 O.S93 1
3
1 .0000 0.999S 0.9978 0.9933 0.9844 0.9692 0.9460 0.9 1 30 0.8688 0.8 1 2S
4
1 .0000
S
1 .0000
1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
O
0.73S I
O.S3 1 4 0.377 1 0.262 1 0. 1 780 0. 1 1 76 0.07S4 0.0467 0.0277 O.O I S 6
1
0.9672 0.88S7 0.776S 0.6SS4 O.S339 0.4202 0.3 1 9 1 0.2333 0. 1 636 0. 1 094
1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 0. 1 1 60 0.0778 O.OS03 0.03 1 3 O.SOOO
1 .0000 0.9999 0.9997 0.9990 0.9976 0.9947 0.9898 0.98 1 S 0.9687 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
1 .0000
2
0.9978 0.984 1
3
0.9999 0.9987 0.994 1 0.9830 0.9624 0.929S 0.8826 0.8208 0. 7447 0.6S63
4
1 .0000 0.9999 0.9996 0.9984 0.99S4 0.989 1
S
1 .0000
1 .0000 1 .0000 0.9999 0.9998 0.9983 0.9982 0.99S9 0.99 1 7 0.9844
6
1 .0000
1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
O
0.6983 0.4783 0.3206 0.2097 0. 1 33S 0.0824 0.0490 0.0280 0.0 I S2 0.0078
0.9S27 0.90 1 1 0.8306 0.7443 0.647 1 O.S443 0.44 1 S 0.3438
1
0.9SS6 0.8S03 0.7 1 66 O.S767 0.4449 0.3294 0.2338 O. I S86 0. 1 024 0.062S
0.9777 0.9S90 0.9308 0.8906 1 .0000 1 .0000 1 .0000
1 .0000
2
0.9962 0.9743 0.9262 0.8S20 0.7S64 0.647 1
3
0.9998 0.9973 0.9879 0.9667 0.9294 0.8740 0.8002 0.7 1 02 0.6083 0.5000
0.5323 0.4 1 99 0.3 1 64 0.2266
4
1 .0000 0.9998 0.9988 0.99S3 0.987 1 0.97 1 2 0. 9444 0.9037 0.847 1
S
1 .0000
1 .0000 0.9999 0.9996 0.9987 0.9962 0.99 1 0 0.98 1 2 0.9643 0.937S
6
1 .0000
1 .0000
1 .0000
7
1 .0000
1 .0000
1 .0000 1 .0000 1 .0000
O
0.6634 0.430S 0.272S 0. 1 678 0. 1 00 1
0.7734
1 .0000 0.9999 0.9998 0.9994 0.9984 0.9963 0.9922 1 .0000
1 .0000
1 .0000 1 .0000
1 .0000
O.OS76 0.03 1 9 0.0 1 68 0.0084 0.0039
1
0.9428 0.8 1 3 1
2
0.9942 0.96 1 9 0.8948 0.7969 0.678S 0.5S I 8 0.4278 0.3 1 54 0.220 1
3
0.9996 0.99SO 0.9786 0.9437 0.8862 0.80S9 0.7064 O.S94 1 0.4770 0.3633
0.6S72 O.S033 0.367 1 0.2S53 0. 1 69 1 0. 1 064 0.0632 0.03S2 0. 1 445
4
1 .0000 0.9996 0.997 1 0.9896 0.9727 0.9420 0.8939 0.8263 0.7396 0.6367
S
1 .0000
1 .0000 0.9998 0.9988 0.9958 0.9887 0.9747 0.9S02 0.9 1 1 S 0.8SSS
6
1 .0000
1 .0000 1 .0000 0.9999 0.9996 0.9987 0.9964 0.99 1 5 0.98 1 9 0.9648
7
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000 1 .0000 0.9999 0.9998 0.9993 0.9983 0.996 1
8
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000 1 .0000
2 Si X
I::=O
0.9SOO 0.9000 0.8SOO 0.8000 0.7SOO 0.7000 0.6SOO 0.6000 O.SSOO O.SOOO
Bin(n, jJ), (:)ji'( 1 . . . p) �
n-x.
la tabla de valores de
P(X
1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
::;
e), e
=
O, 1, . . . ,
n,
P(X
::; e) =
297
n = l n = 2
n = 3
n = 4
n = S
n = 6
n = 7
n = 8
e
p
O.SS
0.60
0.6S
0.70
0.7S
0.80
0.8S
0.90
0.9S
o
0.4SOO
0.4000
0.3SOO
0.3000
0.2SOO
0.2000
O. I SOO
0. 1 000
o.osoo
1
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
o
0.202S
0. 1 600
0. 1 22S
0.0900
0.062S
0.0400
0.022S
0.0 1 00
0.002S
1
0.697S
0.6400
O.S77S
O.S I OO
0.437S
0.3600
0.277S
0. 1 900
0.097S
2
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
o
0.09 1 1
0.0640
0.0429
0.0270
O.O I S6
0.0080
0.0064
0.00 1 0
0.000 1
1
0.42S3
0.3S20
0.28 1 8
0.2 1 60
O. I S63
0. 1 040
0.0608
0.0280
0.0073
2
0.8336
0.7840
0.72S4
0.6S70
O.S78 1
0.4880
0.38S9
0.27 1 0
0. 1 426
3
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
o
0.04 1 0
0.02S6
O.O I SO
0.008 1
0.0039
0.00 1 6
o.ooos
0.000 1
0.0000
1
0.24 1 S
0. 1 792
0. 1 26S
0.0837
O.OS08
0.0272
0.0 1 20
0.0037
O.OOOS
2
0.6090
O.S248
0.4370
0.3483
0.26 1 7
0. 1 808
0. 1 09S
O.OS23
0.0 1 40 0. 1 8SS
3
0.908S
0.8704
0.82 1 S
0.7S99
0.6836
O.S904
0.4780
0.3439
4
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
o
0.0 1 8S
0.0 1 02
O.OOS3
0.0024
0.00 1 0
0.0003
0.000 1
0.0000
0.0000
1
0. 1 3 1 2
0.0870
O.OS40
0.0308
O.O I S6
0.0067
0.0022
O.OOOS
0.0000
2
0.4069
0.3 1 74
0.23S2
0. 1 63 1
0. 1 03S
O.OS79
0.0266
0.0086
0.00 1 2
3
0.7438
0.6630
O.S7 1 6
0.47 1 8
0.3672
0.2627
0. 1 648
0.08 1 S
0.0226
4
0.9497
0.9222
0.8840
0.83 1 9
0.7627
0.6723
O.SS63
0.409S
0.2262
S
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
o
0.0083
0.004 1
0.00 1 8
0.0007
0.0002
0.000 1
0.0000
0.0000
0.0000
1
0.0692
0.04 1 0
0.0223
0.0 1 09
0.0046
0.00 1 6
0.0004
0.000 1
0.0000
2
0.2SS3
0. 1 792
0. 1 1 74
O.Q70S
0.0376
0.0 1 70
O.OOS9
0.00 1 3
0.000 1
3
O.SS8S
0.4SS7
0.3S29
0.2SS7
0. 1 694
0.0989
0.0473
O.O I S9
0.0022
4
0.8364
0.7667
0.6809
O.S798
0.466 1 . 0. 3446
0.223S
0. 1 1 43
0.0328
S
0.9723
0.9S33
0.9246
0.8824
0.8220
0.7379
0.6229
0.4686
0.2649
6
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
0.0006
0.0002
0.000 1
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000 0.0000
o 1
0.0037
0.00 1 6
0.03S7
0.0 1 88
0.0090
0.0038
0.00 1 3
0.0004
0.000 1
0.0000
2
O. I S29
0.0963
O.OSS6
0.0288
0.0 1 29
0.0047
0.00 1 2
0.0002
0.0000
3
0.39 1 7
0.2898
0. 1 998
0. 1 260
0.0706
0.0333
0.0 1 2 1
0.0027
0.0002
4
0.6836
O.S80 1
0.4677
0.3S29
0.2436
0. 1 480
0.0738
0.02S7
0.0038
S
0.8976
0.84 1 4
0.7662
0.6706
O.SSS I
0.4233
0.2834
0. 1 497
0.0444
6
0.9848
0.9720
0.9S I O
0.9 1 76
0.866S
0.7903
0.6794
O.S2 1 7
0.30 1 7
7
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
o
0.00 1 7
0.0007
0.0002
0.000 1
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
1
0.0 1 8 1
0.008S
0.0036
0.00 1 3
0.0004
0.000 1
0.0000
0.0000
0.0000
2
0.088S
0.0498
0.02S3
0.0 1 1 3
0.0042
0.00 1 2
0.0002
0.0000
0.0000
3
0.2604
0. 1 73 7
0. 1 06 1
O.OS80
0.0273
0.0 1 04
0.0029
0.0004
0.0000
4
O.S230
0.40S9
0.2936
0. 1 94 1
0. 1 1 3 8
O.OS63
0.02 1 4
o.ooso
0.0004
S
0.7799
0.6846
O.S722
0.4482
0.32 1 S
0.203 1
O. I OS2
0.038 1
O.OOS8
6
0.9368
0.8936
0.8309
0.7447
0.6329
0.4967
0.3428
0. 1 869
O.OS72
7
0.99 1 6
0.9832
0.968 1
0.9424
0.8999
0.8322
0.727S
O.S69S
0.3366
8
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
1 .0000
298 Tabla A.
(Continuación) e
p
0.05
0. 1 O
0. 1 5
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.6302 O. 9288 0.99 1 6 0.9994 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0. 3874 O. 7748 0.9470 0.99 1 7 0.999 1 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.23 1 6 0.5995 0.859 1 0.966 1 0.9944 0.9994 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0. 1 342 0.4362 0.7382 0.9 1 44 0.9804 0.9969 0.9997 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.075 1 0.3003 0.6007 0.8343 0.95 1 1 0.9900 0.9987 0.9999 1 .0000 1 .0000
0.0404 0. 1 960 0.4628 0.7297 0.90 1 2 0.9747 0.9957 0.9996 1 .0000 1 .0000
0.0207 0. 1 2 1 1 0.3 373 0.6089 0.8283 0.9464 0.9888 0.9986 0.9999 1 .0000
0.0 1 O 1 0.0705 0.23 1 8 0.4826 0.7334 0.9006 0.9750 0.9962 0.9997 1 .0000
0 .0046 0.0385 0. 1 495 0.36 1 4 0.62 1 4 0.8342 0.9502 0.9909 0.9992 1 .0000
0.0020 0.0 1 95 0.0898 0.2539 0.5000 0 . 746 1 0.9 1 02 0.9805 0.9980 1 .0000
n
=
n
=
10
0.5987 0.9 1 3 9 0.9885 0. 9990 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 . 0000 1 .0000
0.3487 0.73 6 1 0.9298 0.9872 0.9984 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0. 1 969 0.5443 0.8202 0.9500 0.990 1 0.9986 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0. 1 074 0.3758 0.6778 0.879 1 0.9672 0.9936 0.999 1 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0563 0.2440 0.5256 0. 7759 0.92 1 9 0.9603 0.9965 0.9996 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0282 0. 1 493 0.3828 0.6496 0.8497 0.9527 0.9894 0.9984 0.9999 1 .0000 1 .0000
0.0 1 35 0.0860 0.26 1 6 0.5 1 38 0.75 1 5 0.905 1 0.9740 0.9952 0.9995 1 .0000 1 .0000
0.0060 0.0464 0. 1 673 0.3823 0.633 1 0.8338 0.9452 0.9877 0.9983 0.9999 1 .0000
0.0025 0.0233 0.0996 0.2660 0.5044 0.7384 OJJ980 0.9726 0.9955 0.9997 1 .0000
0.00 1 0 0.0 1 07 0.0547 0. 1 7 1 9 0.3770 0.6230 0.828 1 0.9453 0.9893 0.9990 1 .0000
n
=
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1o
1 1
0.5688 0.898 1 0.9848 0. 9984 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.3 1 38 0.6974 0.9 1 04 0.98 1 5 0.9972 0.9997 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0. 1 673 0.4922 0.7788 0.9306 0.984 1 0.9973 0.9997 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0859 0.322 1 0.6 1 74 0.8389 0.9496 0.9883 0.9980 0.9998 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0422 0. 1 97 1 0.4552 0.7 1 3 3 0.8854 0.9657 0.9924 0.9988 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0 1 98 0. 1 1 30 0.3 1 27 0.5696 0.7897 0.92 1 8 0.9784 0.9957 0.9994 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0088 0.0606 0.200 1 0.4256 0.6683 0.85 1 3 0.9499 0.9878 0.9980 0.9998 1 .0000 1 .0000
0.0036 0.0302 0. 1 1 89 0.2663 0.5328 0.7535 0.9006 0.9707 0.994 1 0.9993 1 .0000 1 .0000
0.00 1 4 0.0 1 39 0.0652 0. 1 9 1 1 0.397 1 0.633 1 0.8262 0.9390 0.9852 0.9978 0.9998 1 .0000
0.0005 0.0059 0.0327 0. 1 1 3 3 0.2744 0.5000 0.7256 0.8867 0.9673 0.994 1 0.9995 1 .0000
n
=
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1
12
0.5404 0.86 1 6 0.9804 0.9978 0.9998 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.2824 0.6590 0.889 1 0.9744 0.9957 0.9995 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0. 1 422 0.4435 0.7358 0.9078 0.976 1 0,9954 0,9993 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0687 0.2749 0.5583 0.7946 0.9274 0.9806 0.996 1 0.9994 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.03 1 7 0. 1 584 0.3907 0.6488 0.8424 0.9456 0.9857 0.9972 0.9996 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0 1 38 0.0850 0.2528 0.4925 0.7237 0.8822 0.96 1 4 0.9905 0.9983 0.9998 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0057 0.0424 0. 1 5 1 3 0.3467 0.5833 0.7873 0.9 1 54 0.9745 0.9944 0.9992 0.9999 1 .0000 1 .0000
0.0022 0.0 1 96 0.0834 0.2253 0.4382 0.6652 0.84 1 8 0.9427 0.9847 0.9972 0.9997 1 .0000 1 .0000
0.0008 0.0083 0.042 1 0. 1 345 0. 3044 0.5269 0.7393 0.8883 0.9644 0.992 1 0.9989 0.9999 1 .0000
0.0002 0.0032 0.0 1 93 0.0730 0. 1 938 0. 3872 0.6 1 28 0.8062 0.9270 0.9807 0.9968 0.9998 1 .0000
n
=
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1o 1 1 12
13
O 1 2 3 4
0.5 1 3 3 0.8646 o. 9755 0.9969 0.9997
0.2542 0.62 1 3 0.866 1 0.9658 0.9935
0. 1 209 0.3983 0.6920 0.8820 0.9658
0.0550 0.2336 0.50 1 7 0.7473 0.9009
0.0238 0. 1 267 0.3326 0.5843 0.7940
0.0097 0.0637 0.2025 0.4206 0.6543
0.0037 0.0296 0. 1 1 32 0.2783 0.5005
0.00 1 3 0.0 1 26 0.0579 0. 1 686 0.3530
0.0004 0.0049 0.0269 0.0929 0.2279
0.000 1 0.00 1 7 0.0 1 1 2 0.046 1 0. 1 334
9
299 e
p
o.ss
0.60
0.6S
0.70
0.7S
0.80
0.8S
0.90
0.9S
n = 9
o 1 2 3 4 S 6 7 8 9
0.0008 0.009 1 0.0498 0. 1 6S8 0.3786 0.6386 0.8SOS 0.96 1 S 0.99S4 1 .0000
0.0003 0.0038 0.02SO 0.0994 0.2666 O.S I 74 0. 7682 0.929S 0.9899 1 .0000
0.000 1 0.00 1 4 0.0 1 1 2 O.OS36 0. 1 7 1 7 0.3 9 1 1 0.6627 0.8789 0.9793 1 .0000
0.0000 0.0004 0.0043 0.02S3 0 .0988 0.2703 O.S372 0.8040 0.9S96 1 .0000
0.0000 0.000 1 0.00 1 3 0.0 1 00 0.0489 0. 1 6S7 0.3993 0.6997 0.9249 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0003 0.003 1 0.0 1 96 0.08S6 0.26 1 8 O.S638 0.86S8 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0006 O.OOS6 0.0339 0. 1 409 0.400S 0.7684 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.0009 0.0083 O.OS30 0.22S2 0.6 1 26 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0006 0.0084 0.07 1 2 0. 3698 1 .0000
n = 10
o 1 2 3 4 S 6 7 8 9 10
0.0003 0.004S 0.0274 0. 1 020 0.26 1 6 0.49S6 0.7340 0.9004 0.9767 0.997S 1 .0000
0.000 1 0.00 1 7 0.0 1 23 O.OS48 0. 1 662 0.3669 0.6 1 77 0.8327 0.9S36 0.9940 1 .0000
0.0000 o.ooos 0 .0048 0.0260 0 ,0949 0.248S 0.4862 0.7384 0.9 1 40 0.986S 1 .0000
0.0000 0.000 1 0.00 1 6 0.0 1 06 0.0473 O. I S03 0 .3S04 0.6 1 72 0.8S07 0.97 1 8 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0004 0.008S 0.0 1 97 O.D78 1 0.224 1 0.4744 0.7S60 0.9437 1 .0000
0.0000 0.0000 0.000 1 0.0009 0.0064 0.0328 0. 1 209 0.3222 0.6242 0.8926 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.00 1 4 0.0099 O.OSOO 0. 1 798 0.4SS7 0.803 1 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.00 1 6 0.0 1 28 0.0702 0.2639 0.6S I 3 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.00 1 0 O.O I I S 0.086 1 0.40 1 3 1 .0000
n = 1 1
o 1 2 3 4 S 6 7 8 9 10 1 1
0.0002 0.0022 0.0 1 48 0.06 1 0 0. 1 738 0.3669 0.6029 0.8089 0.9348 0.986 1 0.9986 1 .0000
0.0000 0 .0007 O.OOS9 0.0293 0.0994 0.246S 0.4672 0.7037 0.88 1 1 0.9698 0.9964 1 .0000
0.0000 0.0000 0 .0002 0 .0000 0 .0020 0 .0006 0.0 1 22 0.0043 O.OSO I 0.02 1 6 0. 1 487 0.0782 0.33 1 7 0.2 1 03 O.S744 0.4304 0.7999 0.6873 0.9394 0.8870 0.99 1 2 0.9802 1 .0000 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.0000 0.00 1 2 0.0002 0.0076 0.0020 0.0343 0.0 1 1 7 0. 1 1 46 O.OS04 0.2867 0. 1 6 1 1 O.S448 0. 3826 0.8029 0.6779 0.9S78 0.9 1 4 1 1 .0000 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0027 O.O I S9 0.0694 0.22 1 2 O.S078 0.8327 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0028 0.0 1 8S 0.0896 0.3026 0.6862 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.00 1 6 O.O I S2 0. 1 0 1 9 0.43 1 2 1 .0000
o 1 2 3 4 S 6 7 8 9 10 1 1 · 12
0.000 1 0.00 1 1 0.0079 0.03S6 0. 1 1 1 7 0.2607 0.473 1 0.69S6 0.86SS 0.9S79 0.99 1 7 0.9992 1 .0000
0.0000 0.0003 0.0028 O.O I S3 O.OS73 O. I S82 0.3348 O.S6 1 8 0.7747 0.9 1 66 0.9804 0.9978 1 .0000
0.0000 0.000 1 0.0008 O.OOS6 0.02SS 0.0846 0.2 1 27 0.4 1 67 0.6S33 0.8487 0.9S76 0.9943 1 .0000
0 .0000 0 .0000 0 .0002 0.00 1 7 0.009S 0.0386 0 . 1 1 78 0.2763 O.S07S 0.7472 0.9 1 so 0.9862 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0004 0.0028 0.0 1 43 O.OS44 O. I S76 0.3S I 2 0.6093 0.84 1 6 0.9683 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.0006 0.0039 0.0 1 94 0.0726 0.20S4 0.44 1 7 0. 72S I 0.93 1 3 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.0007 0.0046 0.0239 0.0922 0.2642 O.SS6S 0.8S78 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 o.ooos 0.0043 0.02S6 0. 1 1 09 0.34 1 0 0.7 1 76 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0022 0.0 1 96 0. 1 1 84 0.4S96 1 .0000
o
0.0000 O.OOOS 0.004 1 0.0203 0.0698
0.0000 0.000 1 0.00 1 3 0.0078 0.032 1
0.0000 0.0000 0.0003 0 .002S 0.0 1 26
0.0000 0 .0000 0.000 1 0 .0007 0.0040
0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.00 1 0
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
n
n
=
12
=
13
1
2 3 4
o
300 Tabla A.
(Continuación) e
O.OS
0. 1 O
O. I S
0.20
0.2S
p
0.30
0.3S
0.40
0.4S
O.SO
n=
13
S 6 7 8 9 10 1 1 12 13
1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.999 1 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.992S 0.9987 0.9998 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.9700 0.9930 0.9988 0.9998 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.9 1 98 0.97S7 0,9944 0.9990 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.8346 0.9376 0.98 1 8 0.9960 0.9993 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.7 1 S9 0.870S 0.9S38 0.9874 0.997S 0.9997 1 .0000 1 .0000 1 .0000
O.S744 0.77 1 2 0.9023 0.9679 0.9922 0.9987 0.9999 1 .0000 1 .0000
0.4268 0.6437 0.82 1 2 0.9302 0.9797 0.99S9 0.999S 1 .0000 1 .0000
0.290S 0.5000 0.709S 0.8666 0.9S39 0.9888 0.9983 0.9999 1 .0000
n=
14
O 1 2 3 4 S 6 7 8 9 1o 1 1 12 13 14
0.4877 0.8470 0.9699 0.99S8 0.9996 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.2288 O.S846 0.84 1 6 0.9SS9 0.9908 0.998S 0.9998 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0. 1 028 0.3S67 0.6479 0.8S3S 0.9S33 0.988S 0.9978 0.9997 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0440 0. 1 979 0.448 1 0.6982 0.8702 0.9S6 1 0.9884 0.9976 0.9996 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0 1 78 0. 1 0 1 0 0.28 1 1 O.S2 1 3 0.74 1 S 0.8883 0.96 1 7 0.9897 0.9978 0.9997 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0068 0.047S 0. 1 608 0.3SS2 O.S842 0.780S 0.9067 0.968S 0.99 1 7 0.9983 0.9998 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0024 0.020S 0.0839 0.220S 0.4227 0.640S 0.8 1 64 0.9247 0.97S7 0.9940 0.9989 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0008 0.008 1 0.0398 0. 1 243 0.2793 0.48S9 0.692S 0.8499 0.94 1 7 0.982S 0.996 1 0.9994 0.9999 1 .0000 1 .0000
0.0002 0.0029 0.0 1 70 0.0632 0. 1 672 0.3373 Q.S46 1 0.74 1 4 0.88 1 1 0.9S74 0.9886 0.9978 0.9997 1 .0000 1 .0000
0.000 1 0.0009 0.006S 0.0287 0.0898 0.2 1 20 0.39S3 0.6047 0.7880 0.9 1 02 0.97 1 3 0.993S 0.999 1 0.9999 1 .0000
n=
IS
O 1 2 3 4 S 6 7 8 9 lO 1 1 12 13 14 IS
0.4633 0.8290 0.9638 0.994S 0.9994 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.20S9 O.S490 0.8 1 S9 0.9444 0.9873 0.9978 0.9997 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
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0.0 1 34 0.0802 0.236 1 0.46 1 3 0.686S 0.8S I 6 0.9434 0.9827 0.99S8 0.9992 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
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O.OOOS O.OOS2 0.027 1 0.090S 0 .2 1 73 0.4032 0.6098 0.7869 0.90SO 0.9662 0.9907 0.998 1 0.9997 1 .0000 1 .0000 1 .0000
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0.0000 o.ooos 0.0037 0.0 1 76 O.OS92 O. I S09 0.3036 O.SOOO 0.6964 0.849 1 0.9408 0.9824 0.9963 0.999S 1 . 0000 1 .0000
n=
16
O 1 2 3 4 S 6 7 8 9 1o
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30 1 e
p
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0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
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0.85
0.90
0.95
n=
13
5 6 7 8 9 10 1 1 12 13
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n=
14
o
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0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.00 1 5 0.0092 0.044 1 0. 1 684 0.4 1 54 0.77 1 2 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0004 0.0042 0.030 1 0. 1 530 0.5 1 23 1 .0000
n=
15
o
12 13 14 15
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0.0000 0.0000 0.0003 0.00 1 9 0.0093 0.0338 0.0950 0.2 1 3 1 0.3902 0.5968 0.7827 0.9095 0.9729 0.9948 0.9995 1 .0000
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0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.0000 0.0008 0.000 1 0.0042 0.0006 0.0 1 8 1 0.0036 0.06 1 1 0.0 1 68 0. 1 642 0.06 1 7 0.35 1 8 0. 1 773 0.6020 0.3958 0.8329 0.68 1 4 0.9648 0.9 1 26 1 .0000 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0022 0.0 1 27 0.0556 0. 1 84 1 0.45 1 0 0.794 1 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.0006 0.0055 0.0362 0. 1 7 1 0 0.5367 1 .0000
o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.0000 0.000 1 0.0006 0.0035 0.0 1 49 0.0486 0. 1 24 1 0.2559 0.43 7 1 0.6340 0.8024
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
.l f
n=
16
302 Tabla A.
n=
16
(ContinuQción) e
O.OS
0. 1 O
0. 1 S
0.20
0.2S
p
0.30
0.3S
0.40
0.4S
O.SO
1 1 12
1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 0.9997 0.9987 0.99S I 0.98S I 0.96 1 6 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 O. 9998 O. 999 1 O. 996S O. 9894
13 14 1S 16
1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.9994 0.9999 1 .0000 1 .0000
0.9979 0.9997 1 .0000 1 .0000
n=
17
O 1 2 3 4 S 6 7 8 9 10 1 1 12 13 14 1S 16 17
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0.022S 0. 1 1 82 0.3096 O . S489 0. 7S82 0.8943 0.9623 0.989 1 0.9974 0.999S 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.007S o.oso 1 0. 1 637 0.3S30 O.S739 0.76S3 0.8929 0.9S98 0.9876 0.9969 0.9994 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0023 0.0 1 93 0.0774 0.20 1 9 0.3887 O.S968 0.77S2 0.89S4 0.9S97 0.9873 0.9968 0.9993 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0007 0.0067 0.0327 0. 1 028 0.2348 0.4 1 97 0.6 1 88 0.7872 0.9006 0.96 1 7 0.9880 0.9970 0.9994 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
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0.0000 0.0006 0.004 1 0.0 1 84 O.OS96 0. 1 47 1 0.2902 0.4743 0.6626 0.8 1 66 0.9 1 74 0.9699 0.99 1 4 0.993 1 0.9997 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0 .0000 0.000 1 0.00 1 2 0.0064 0.024S 0.07 1 7 0. 1 662 0.3 1 4S o.sooo 0.68SS 0.8338 0.9283 0.97S6 0.9936 0.9988 O. 9999 1 .0000 1 .0000
n=
18
O 1 2 3 4 S 6 7 8 9 10 1 1 12 13 14 1S 16 17 18
0.3972 0.773S 0.94 1 9 0.989 1 0.998S 0.9998 .0000 .0000 . 0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
0. 1 SO 1 0.4S03 0.7338 0.90 1 8 0.97 1 8 0.9936 0.9988 0.9998 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
O.OS36 0.224 1 0.4797 0.7202 0.8794 0.9S 8 1 0.9882 0.9973 0.999S 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0 1 80 0.099 1 0.27 1 3 O.SO I O 0.7 1 64 0.867 1 0.9487 0.9837 0.99S7 0.999 1 0.9998 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
O.OOS6 0.039S 0. 1 3S3 0.30S7 O.S I 87 0.7 1 7S 0.86 1 0 0.943 1 0.9807 0.9946 0.9988 0.9998 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.00 1 S 0.0 1 42 0.0600 0. 1 646 0.3327 O.S 344 0.72 1 7 0.8S93 0.9404 0.9790 0.9939 0.9986 0.9997 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0004 0.0046 0.0236 0.0783 0. 1 886 0.3SSO O.S49 1 0.7283 0.8609 0.9403 0.9788 0.9938 0.9986 0.9997 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.000 1 0.00 1 3 0.0082 0.0328 0.0942 0.2088 0.3743 O.S634 0.7368 0.86S3 0.9424 0.9797 0.9942 0.9987 O. 9998 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0000 0.0003 0.002S 0.0 1 20 0.04 1 1 0. 1 077 0.22S8 0.39 1 S O.S778 0.7473 0.8720 0.9463 0.98 1 7 0.99S 1 O. 9990 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0000 0.000 1 0.0007 0.0038 O.O I S4 0.048 1 0. 1 1 89 0.2403 0.4073 O.S927 0.7S97 0.88 1 1 0.9S 1 9 0.9846 O .9962 0.9993 0.9999 1 .0000 1 .0000
n=
19
O 1 2 3 4 S 6 7
0.3 774 0.7S47 O. 933S O. 9868 0.9980 0.9998 1 .0000 1 .0000
0. 1 3 S 1 0.4203 O. 70S4 0.88SO 0.9648 0.99 1 4 0.9983 0.9997
0.04S6 0. 1 98S 0.44 1 3 0.684 1 0.8SS6 0.9463 0.9837 0.99S9
0.0 1 44 0.0829 0.2369 0.4SS 1 0.6733 0.8369 0.9324 0.9767
0.0042 0.03 1 0 0. 1 1 1 3 0.263 1 0.46S4 0.6678 0.82S 1 0.922S
0.00 1 1 0.0 1 04 0.0462 0. 1 332 0.2822 0.4739 0.66SS 0.8 1 80
0.0003 0.003 1 0 .0 1 70 O.OS9 1 0. 1 soo 0.2968 0.48 1 2 0.66S6
0.000 1 0.0008 O.OOSS 0.0230 0.0696 0. 1 629 0.308 1 0.4878
0.0000 0.0002 0.00 1 S 0.0077 0.0280 0.0777 0. 1 727 0.3 1 69
0.0000 0.0000 0.0004 0.0022 0.0096 0.03 1 8 0.083S 0. 1 796
303
n
= 16
n
=
17
n
=
18
n
=
e
0.6S
0.70
p
0.7S
0.80
0.8S
0.90
0.9S
0.9 1 47 0.97 1 9 0.9934 0.9990 0.9999 1 .0000
0.8334 0.9349 0.98 1 7 0.9967 0.9997 1 .0000
0.7 1 08 O.SSO I 0.3698 0.866 1 0.7S4 1 O.S9SO 0.9S49 0.9006 0.8029 0.9902 0.9739 0.936S 0.9990 0.9967 0.9900 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.20 1 8 0.40 1 9 0.6482 0.8S93 0.97 1 9 1 .0000
0.079 1 0.2 1 0 1 0.4386 0. 7 1 6 1 0.92S7 1 .0000
0.0 1 70 0.0684 0.2 1 08 0.48S3 0.8 1 47 1 .0000
0.0009 0.0070 0.0429 0. 1 892 O.SS99 1 .0000
o
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.000 1 0.00 1 9 o.ooos 0.0086 0.002S 0.030 1 0.0 1 06 0.0826 0.0348 0. 1 834 0.09 1 9 0.3374 0. 1 989 O.S2S7 0.3S9S 0.7098 O.SS22 0.8S29 0.736 1 0.9404 0.8740 0.98 1 6 0.9S36 0.99S9 0.9877 0.9994 0.9979 1 .0000 0.9998 1 .0000 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.0000 0.0000 0.0006 0.000 1 0.0000 0.0030 0.0007 0.000 1 0 .0 1 20 0.0032 0.0006 0.0383 0.0 1 27 0.003 1 0.0994 0.0403 0.0 1 24 0.2 1 28 0. 1 046 0.0402 0.38 1 2 0.2248 0. 1 07 1 O.S803 0.4032 0.2347 0.76S2 0.6 1 1 3 0.426 1 0.8972 0. 798 1 0.6470 0.9673 0.9226 0.8363 0.9933 0.9807 0.9499 0.9993 0.9977 0.992S 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 o.ooos 0.0000 0.0026 0.0003 0.0 1 09 0.00 1 7 0.0377 0.0083 O. I OS 7 0.03 1 9 0.24 1 8 0.0987 0.4S 1 1 0.2444 0.6904 0.4802 0.88 1 8 0.747S 0.977S 0.9369 1 .0000 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.0008 0.0047 0.022 1 0.0826 0.2382 O.S I 82 0.8332 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.00 1 2 0.0088 O.OS03 0.2078 O.S8 1 9 1 .0000
o
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.00 1 0 0.0002 0.0000 0.0000 0.0049 0.00 1 3 0.0003 0.0000 0.0 1 83 O.OOS8 0.00 1 4 0.0003 O.OS 3 7 0.0203 0.0062 0.00 1 4 0. 1 280 O.OS76 0.02 1 2 0.006 1 0.2S27 0. 1 347 O.OS97 0.02 1 0 0.4222 0.2632 0. 1 39 1 O.OS96 0.608S 0.4366 0.27 1 7 0. 1 407 0.7742 0.62S7 0.4S09 0.2783 0.8923 0.79 1 2 0.64SO 0.46S6 0.9S89 0.90S8 0.8 1 1 4 0.6673 0.9880 0.9672 0.92 1 7 0.83S4 0.997S 0.99 1 8 0.9764 0.9400 0.9997 0.9987 0.99S4 0.98S8 1 .0000 0.9999 0.9996 0.9984 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.00 1 2 O.OOS4 0.0 1 93 O.OS69 0. 1 390 0.282S 0.48 1 3 0.6943 0.8647 0.960S 0.9944 1 .0000
0.0000
0.0000
0.0000 0.0000 0 .0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0009 0.0043 0.0 1 63 O.OS I 3 0. 1 329 0.2836 0.4990 0.7287 0.9009 0.9820 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 O.OOOS 0.0027 0.0 1 1 8 0.04 1 9 0. 1 206 0.2798 O.S203 0.77S9 0.9464 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.00 1 2 0.0064 0.0282 0.0982 0.2662 O.S497 0.8499 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 O.OO I S 0.0 1 09 O.OS8 1 0.226S 0. 6028 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 2 3 4 S 6 7 8 9 10 1 1 12 13 14 IS 16 17 1 2 3 4 S 6 7 8 9 10 1 1 12 13 14 IS 16 17 18 19
0.60
1 1 12 13 14 IS 16
o
1 2 3 4 S 6 7
o.ss
0.0000 0.0000 0.000 1
o.ooos
0.0028 0.0 1 09 0.0342 0.087 1
0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.0006 0.003 1 0.0 1 1 6 0.03S2
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.0007 0.003 1 0.0 1 1 4
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.0006 0.0028
o.ooos
0.0000
o,oooo 0.0000 0.0000
304 Tabla A.
n
=
19
n
=
n
= 21
20
(Continuación) e
O.OS
0. 1 O
8 9 10 1 1 12 13 14 IS 16 17 18 19
.0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
O 1 2 3 4 S 6 7 8 9 10 1 1 12 13 14 IS 16 17 18 19 20 O 1 2 3 4 S 6 7 8 9 10 1 1 12 13 14 IS 16 17 18
p
O. I S
0.20
0.2S
0.30
0.3S
0.40
0.4S
O.SO
.0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
0.9992 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.9933 0.9984 0.9997 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.97 1 3 0.99 1 1 0.9977 0.999S 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.9 1 6 1 0.9674 0.989S 0.9972 0.9994 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.8 1 4S 0.9 1 2S 0.96S3 0.9886 0.9969 0.9993 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.667S 0.8 1 39 0.9 1 1 S 0.9648 0.9884 0.9969 0.9994 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.4940 0.67 1 0 0.8 1 S9 0.9 1 29 0.96S8 0.989 1 0.9972 0.999S 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.3238 0.6762 0.8204 0.9 1 6S 0.9682 0.9904 0.9978 0.9996 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0 . 3 S8S O. 73S8 0.924S 0.984 1 0.9974 0.9997 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 1 .0000
0. 1 2 1 6 0.39 1 7 0.6769 0.8670 0.9S68 0.9887 0.9976 0.9996 0.9999 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
0.0388 0. 1 7S6 0.4049 0.6477 0.8298 0.9327 0.978 1 0.994 1 0.9987 0.9998 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0 l i S 0.0692 0.206 1 0.4 1 1 4 0.6296 0.8042 0.9 1 33 0.9679 0.9900 0.9974 0.9994 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0032 0.0243 0.09 1 3 0.22S2 0.4 1 48 0.6 1 72 0.78S8 0.8982 0.9S9 1 0.986 1 0.996 1 0.999 1 0.9998 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0008 0.0076 0.03SS 0. 1 07 1 0.237S 0.4 1 64 0.6080 0.7723 0.8867 0.9S20 0.9829 0.9949 0.9987 0.9997 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0002 0.002 1 0.0 1 2 1 0.0444 0. 1 1 82 0.24S4 0.4 1 66 0.60 1 0 0.7624 0.8782 0.9468 0.9804 0.9940 0.998S 0.9997 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0000 O.OOOS 0.0036 0.0 1 60 O.OS I O 0. 1 2S6 0.2SOO 0.4 1 S9 O.S9S6 0.7SS3 0.872S 0.943S 0.9790 0.993S 0.9984 o. 9997 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0000 0.000 1 0.0009 0.0049 0.0 1 89 O.OSS3 0. 1 299 0.2S20 0.4 1 43 O.S9 1 4 0.7S07 0.8692 0.9420 0.9786 0.9936 o. 998S 0.9997 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0002 0.00 1 3 O.OOS9 0.0207 O.OS77 0. 1 3 1 6 0.2S I 7 0.4 1 1 9 O.S88 1 0.7483 0.8684 0.9423 0.9793 o. 994 1 0.9987 0.9998 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0. 3406 0.7 1 70 0.9 1 S I 0.98 1 1 0.9968 0.9996 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0. 1 094 0.3647 0.6484 0.8480 0.9478 0.98S6 0.9967 0.9994 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0329 O. I SSO 0. 370S 0.6 1 1 3 0.802S 0.9 1 73 O. 97 1 3 0.99 1 7 0.9980 0.9996 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0092 O.OS76 0. 1 787 0.3704 O.S860 0 . 7693 0.89 1 S 0.9S69 0.98S6 0.99S9 0.9990 0.9998 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0024 0.0 1 90 0.074S 0. 1 9 1 7 0.3674 O.S666 O. 7436 0.870 1 0.9439 0.9794 0.9936 0.9983 0.9996 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0006 O.OOS6 0.027 1 0.08S6 0. 1 984 0.3627 O.SSOS 0.7230 0.8S23 0.9324 0.9736 0.99 1 3 0.9976 0.9994 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.000 1 0.00 1 4 0.0086 0.033 1 0.0924 0. 2009 0.3S67 O.S36S 0.70S9 0.8377 0.9228 0.9687 0.9892 0.9969 0.9993 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0000 0.0003 0.0024 0.0 1 1 o 0.0370 0.09S7 0.2002 0.349S O.S237 0.69 1 4 0.82S6 0.9 1 S I 0.9648 0.9877 0.9964 0.9992 0.9998 1 .0000 1 .0000
0.0000 0.000 1 0.0006 0.003 1 0.0 1 26 0.0389 0.0964 0. 1 97 1 0.34 1 3 O.S I I 7 0.6790 0.8 1 S9 0.9092 0.962 1 0.9868 0.9963 0.9992 0.9999 1 .0000
0.0000 0.0000 0.000 1 0.0007 0.0036 0.0 1 3 3 0.0392 0.0946 0. 1 9 1 7 0.33 1 8
o.sooo
o.sooo
0.6682 0.8083 0.90S4 0.9608 0.9867 0.9964 0.9993 o. 9999
305 e
p
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
0.90
0.95
n = 19
8 9 10 1 1 12 13 14 15 16 17 18 19
0. 1 84 1 0.3290 0.5060 0.683 1 0.8273 0.9223 0.9720 0.9923 0.9985 0.9998 1 .0000 1 .0000
0.0885 0. 1 86 1 0.3325 0.5 1 22 0.69 1 9 0.83 7 1 0.9304 0.9770 0.9945 0.9992 0.9999 1 .0000
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0.0 1 05 0.0326 0.0839 0. 1 820 0.3345 0.526 1 0 . 7 1 78 0.8668 0.9538 0.9896 0.9989 1 .0000
0.0023 0.0089 0.0287 0.0775 0. 1 749 0.3322 0.5346 0.7369 0.8887 0.9690 0.9958 1 .0000
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0.85
0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.00 1 7 0.0086 0.0352 0. 1 1 50 0.2946 0.5797 0.8649 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0020 0.0 1 32 0.0665 0.2453 0.6226 1 .0000
n = 20
o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.00 1 5 0.0064 0.02 1 4 0.0580 0. 1 308 0.2493 0.4086 0.5857 0.7480 0.870 1 0.9447 0.98 1 1 0.995 1 0.999 1 0.9999 1 .0000 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.00 1 6 0.0065 0.02 1 0 0.0565 0. 1 275 0.2447 0.4044 0.584 1 0. 7500 0.8744 0.9490 0.9840 0.9964 0.9995 1 .0000 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.00 1 5 0.0060 0.0 1 96 0.0532 0. 1 2 1 8 0.2376 0.3990 0.5834 0 .7546 0.88 1 8 0.9556 0.3879 0.9979 0.9998 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.00 1 3 0.005 1 0 .0 1 7 1 0.0480 0. 1 1 3 3 0.2277 0.3920 0.5836 0.7625 0.8929 0.9645 0.9925 0.9992 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0009 0.0039 0.0 1 39 0.0409 0. 1 0 1 8 0.2 1 42 0.3828 0.5852 0.7748 0.9087 0.9757 0.9968 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.0006 0.0026 0.0 1 00 0.032 1 0.0867 0. 1 958 0.3 704 0.5886 0.7939 0.9308 0.9885 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0. 0002 0.00 1 3 0.0059 0.02 1 9 0.0673 0. 1 702 0.3523 0.595 1 0.8244 0.96 1 2 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.0004 0.0024 0.0 1 1 3 0.0432 0. 1 3 30 0.323 1 0.6083 0.8784 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0026 0.0 1 59 0.0755 0.2642 0.64 1 5 1 .0000
n = 21
o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 13 14 15 16 17 18
0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.0008 0.0037 0.0 1 3 2 0.0379 0.0908 0. 1 84 1 0.32 1 0 0.4983 0.6587 0.8029 0.9036 0.96 1 1 0.9874 0.9969 0.9994
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0008 0.0036 0.0 1 23 0.0352 0.0849 0. 1 744 0.3086 0.4763 0.6505 0.7998 0.9043 0.9630 0.9890 0.9976
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.0007 0.003 1 0 .0 1 08 0.03 1 3 0.0772 0. 1 623 0.294 1 0.4635 0.6433 0.799 1 0.9076 0.9669 0.99 1 4
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.0000 0.0000 0 .0006 0.000 1 0.0000 0.0024 0.0004 0.0000 0.0087 0.00 1 7 0.0002 0 .0264 0.0064 0.00 1 0 0.0676 0.0206 0.004 1 0. 1 477 0.056 1 0.0 1 44 0.2770 0. 1 299 0.043 1 0.4495 0.2564 0. 1 085 0.6373 0.4334 0.2307 0.80 1 6 0.6326 0.4 1 40 0.9 1 44 0.8083 0.6296 0.9729 0.9255 0.82 1 3
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.0004 0.0020 0.0083 0.0287 0.0827 0. 1 975 0.3887 0.6295
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.0006 0.0033 0.0 1 44 0.0522 0. 1 520 0.35 1 6
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 o.oooo · 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0004 0.0032 0.0 1 89 0.0849
306 Tabla A.
(Continuación) e
0.05
0. 1 O
0. 1 5
0.20
0.25
p
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
n
=
21
19 20 21
n
=
22
O 1 2 3 4 5
0.3235 0.6982 O. 9052 0.9778 0.9960 0.9994
0.0985 0.3392 0.6200 0.828 1 0.9379 0.98 1 8
0.0280 0. 1 367 0.3362 0.5752 0.7738 0.900 1
0.0074 0.0480 0. 1 545 0.3 320 0.5429 0.7326
0.00 1 8 0.0 1 49 0.0606 0. 1 624 0.3235 0.5 1 68
0.0004 0.004 1 0.0207 0.068 1 0. 1 645 0.3 1 34
0.000 1 0.00 1 o 0.006 1 0.0245 0.07 1 6 0. 1 629
0.0000 0.0002 0.00 1 6 0.0076 0.0266 0.0722
0.0000 0.0000 0.0003 0.0020 0.0083 0.027 1
0.0000 0.0000 0.000 1 0.0004 0.0022 0.0085
6 7 8 9 10 1 1 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
0.9999 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
0.9996 0.999 1 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.9632 0.9886 0.9970 0.9993 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.8670 0.9439 0.9799 0.9939 0.9984 0.9997 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.6994 0.8385 0.9254 0.9705 0.9900 0.99 7 1 0.9993 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.4942 0.67 1 3 0.8 1 25 0.9084 0.96 1 3 0.9860 0.9957 0.9989 0.9998 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0. 3022 0.4736 0.8466 0.79 1 6 0.8930 0.9526 0.9820 0.9942 0.9964 0.9997 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0. 1 584 0.2898 0.4540 0.6244 0.7720 0.8793 0.9449 0.9785 0.9930 0.998 1 0.9996 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0705 0. 1 5 1 8 0.2764 0.4350 0.6037 0.7543 O:S672 0.9383 0.9757 0.9920 0.9979 0.9995 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0262 0.0669 0. 1 43 1 0.26 1 7 0.4 1 59 0.584 1 0.7383 0.8569 0.933 1 0.9738 0.99 1 5 0.9978 0.9996 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2-2 23
0. 3 074 0.6794 0.8948 O. 9 742 0.995 1 0.9992 0.9999 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
0.0886 0.3 1 5 1 0.5920 0.8073 0.9269 0.9774 0.9942 0.9988 0.9998 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
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0.0059 0.0398 0. 1 332 0.2965 0.5007 0.6947 0.8402 0.9285 0.9727 0.99 1 1 0.9975 o. 9994 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
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n
=
23
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307 p
e
o.ss
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0.6S
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0.7S
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0.9S
= 21
19 20 21
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n - 22
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o 1 2 3 4 S 6 7 8 9 10 1 1 12 13 14 IS 16 17 18 19 20 21 22 23
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n
n
=
23
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g
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·'
'
�
'· '
j
��
. �� f.:�
�-�
(
308 Tabla A.
(Continuación) e
0.05
0. 1 O
0. 1 5
0.20
0.25
p
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
n=
24
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
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0.0202 0. 1 059 0.2798 0.5049 0.7 1 34 0.8606 0.9428 0.980 1 0.994 1 0.9985 0.9997 0.9999 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
0.0047 0.03 3 1 0. 1 1 45 0.2639 0.4599 0.6559 0.8 1 1 1 0.9 1 08 0.9638 0.9874 0.9962 0.9990 0.9988 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
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n=
25
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
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0.07 1 8 0.27 1 2 0.5 3 7 1 0.7636 0.9020 0.9666 O. 9905 0.9977 0.9995 o 9999 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
0.0 1 72 0.093 1 0.2537 0.47 1 1 0.682 1 0.8385 O. 9305 0.9745 0.9920 0.9979 0.9995 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
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0.000 1 0.00 1 6 0.0090 0.0332 0.0905 0. 1 935 0.3407 0.5 1 1 8 0.6769 0.8 1 06 0.9022 0.9558 0.9825 0.9940 0.9982 0.9995 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
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0.0000 0.000 1 0.0004 0.0024 0.0095 0.0294 0.0736 0. 1 536 0.2735 0.4246 0.5858 0.7323 0.8462 0.9222 0.9656 0.9868 0.9957 0.9988 0.9997 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
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309 e
0.55
p
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.00 1 0 0.0060 0.0298 0. 1 1 59 0.3392 0.7080 1 .0000
n =
24
n =
0.0000 o 1 0.0000 0.0000 2 0.0000 3 4 0.000 1 5 0.0007 6 0.0028 7 0.0095 8 0.0269 0.0648 9 10 0. 1 34 1 1 1 0.2420 12 0.3849 0.546 1 13 0. 7009 14 0.8270 15 16 0.9 1 3 7 0.9636 17 18 0.9873 19 0.9964 0.9992 20 0.9999 21 22 1 .0000 23 ' 1 .0000 1 .0000 24
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0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.0005 0.002 1 0.0072 0.02 1 3 0.0547 0. 1 2 1 3 0.2338 0.3926 0.5778 0.7534 0.8850 0.9602 0.99 1 0 0.9990 1 .0000
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0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.0003 0.00 1 5 0.0059 0.0 1 99 0.0572 0. 1 394 0.2866 0.495 1 0.7202 0.894 1 0.9798 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.0003 0.00 1 7 0.0075 0.0277 0.085 1 0.2 1 43 0.4357 0.7075 0.9202 1 .0000
25
o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0. 0004 0.00 1 6 0.0058 0.0 1 74 0.0440 0.0960 0. 1 827 0.3063 0.4574 0.6 1 57 0.7576 0.8660 0.93 6 1 0.9742 0.99 1 4 0.9977 0.9995 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.0003 0.00 1 2 0.0043 0.0 1 32 0.0344 0.0778 0. 1 538 0.2677 0.4 1 42 0.5754 0.7265 0.8464 0.9264 0.9706 0.9905 0.9976 0.9996 0.9999 1 .0000 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0008 0.0029 0.0093 0.0255 0.0604 0. 1 254 0. 2288 0.3697 0.5332 0.6939 0.8266 0.9 1 74 0.9680 0.9903 0.9979 0.9997 1 .0000 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0 .0000 0.0000 0.000 1 0.0000 0.0005 0.0000 0.00 1 8 0.0002 0.0060 0.0009 0.0 1 75 0.0034 0.0442 0.0 1 07 0.0978 0.0297 0. 1 894 0.07 1 3 0.323 1 0. 1 494 0.4882 0.2735 0.6593 0.4389 0.8065 0.62 1 7 0.9095 0.7863 0.9668 0.9038 0.99 1 0 0.9679 0.9984 0.9930 0.9999 0.9992 1 .0000 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.0004 0.00 1 5 0.0056 0.0 1 73 0.0468 0. 1 09 1 0.2200 0.3833 0.5793 0.7660 0.90 1 8 0.9726 0.9962 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.0005 0.002 1 0.0080 0.0255 0.0695 0. 1 6 1 5 0.3 1 79 0.5289 0.7463 0.9069 0.9828 1 .0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.0000 0.0005 0.0000 0.0023 0.0000 0.0095 0.0002 0.0334 0.00 1 2 0.0980 0.0072 0.2364 0.034 1 0.4629 0. 1 27 1 0. 7288 0.3576 0.9282 0.7226 1 .0000 1 .0000
310 Tabla B. Probabilidades acumuladas de la distribución de Poisson 3 e
o
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 13 14 15 16 17 18 19 20
e
o
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 11 14 15 16 17 18 19 20
,.\
1 .0
1 .5
2.0
2.5
3.0
0.3679 0.7358 0.9 1 97 0.98 1 0 0.9963 0.9994 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.223 1 0.5578 0.8088 0 .9344 0.98 1 4 0.9955 0.999 1 0.9998 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0. 1 353 0.4060 0.6767 0.85 7 1 0.9473 0.9834 0.9955 0.9989 0.9998 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.082 1 0.2873 0.5438 0.7576 0.89 1 2 0.9580 0.9858 0.9958 0.9989 0.9997 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0498 0. 1 99 1 0.4232 0.6472 0.8 1 53 0.9 1 6 1 0.9665 0.988 1 0.9962 0.9989 0.9997 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
1 1 .0
1 1 .5
1 2.0
1 2. 5
1 3 .0
0.0000 0.0002 0.00 1 2 0.0049 0.0 1 5 1 0.0375 0.0786 0. 1 432 0.2320 0.3405 0.4599 0.5793 0.6887 0.78 1 3 0.8540 0.9074 0.944 1 0.9678 0.9823 0.9907 0.9953
0.0000 0.000 1 0.0008 0.0034 0.0 1 07 0.0277 0.0603 0. 1 1 37 0. 1 906 0.2888 0.40 1 7 0.5 1 98 0.6329 0.7330 0.8 1 5 3 0.8783 0.9236 0.9542 0.9738 0.9857 0.9925
0.0000 0.000 1 0.0005 0.0023 0.0076 0.0203 0.0458 0.0895 0. 1 550 0.2424 0.3472 0.46 1 6 0.5760 0.68 1 5 0.7720 0.8444 0.8987 0.9370 0.9626 0.9787 0.9884
0.0000 0.000 1 0.0003 0.00 1 6 0.0053 0.0 1 48 0.0346 0.0698 0. 1 249 0.20 1 4 0.297 1 0.4058 0.6 1 90 0.6278 0.7250 0.8060 0.8693 0.9 1 58 0.948 1 0.9694 0.9827
0.0000 0.0000 0.0002 0.00 1 1 0.0037 0.0 1 07 0.0259 0.0540 0.0998 0. 1 658 0.25 1 7 0.3532 0.463 1 0.5730 0.675 1 0.7636 0.8355 0.8905 0.9302 0.9573 0.9750
3
Si
X
�
P(A), la tabla de valores de P(X
::;
A
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
0.0302 0. 1 359 0.3208 0.5366 0.7254 0.8576 0.9347 0.9733 0.990 1 0.9967 0.9990 0.9997 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0 1 83 0.09 1 6 0.238 1 0.4335 0.6288 0 . 785 1 0.8893 0.9489 0.9786 0.99 1 9 0.9972 0.999 1 0.9997 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0 1 1 1 0.06 1 1 0. 1 736 0.3423 0.5 3 2 1 0.7029 0.83 1 1 0.9 1 34 0.9597 0.9829 0.9933 0.9976 0.9992 0.9997 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.0067 0.0404 0. 1 247 0.2650 0.4405 0.6 1 60 0.7622 0.8665 0.93 1 9 0.9682 0.9863 0.9945 0.9980 0.9993 0.9998 0�9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.004 1 0.0266 0.0884 0.20 1 7 0.3575 0.5289 0.6860 0.8095 0.8944 0.9462 0.9747 0.9890 0.9955 0.9983 0.9994 0.9998 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000 1 .0000
1 3 .5
1 4.0
1 4.5
1 5 .0
1 5 .5
0.0000 0.0000 0.000 1 0.0007 0.0026 0.0077 0.0 1 93 0.04 1 5 0.0790 0. 1 353 0.2 1 1 2 0.3045 0.4093 0.5 1 82 0.6233 0.7 1 78 0.7975 0.8609 0.9084 0.942 1 0.9649
0.0000 0.0000 0.000 1 0.0005 0.00 1 8 0.0055 0.0 1 42 0.03 1 6 0.062 1 0. 1 094 0. 1 75 7 0.2600 0.3585 0.4644 0.5704 0.6694 0.7559 0.8272 0.8826 0.9235 0.95 2 1
0.0000 0.0000 0.000 1 0.0003 0.00 1 2 0.0039 0.0 1 05 0.0239 0.0484 0.0878 0. 1 449 0.220 1 0.3 1 1 1 0.4 1 25 0.5 1 76 0.6 1 92 0.7 1 1 2 0.7897 0.8530 0.90 1 2 0.9362
0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0009 0.0028 0.0076 0.0 1 80 0.0374 0.0699 0. 1 1 85 0. 1 848 0.2676 0.3632 0.4657 0.568 1 0.664 1 0.7489 0.8 1 95 0.8752 0.9 1 70
0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.0006 0.0020 0.0055 0.0 1 3 5 O.Q288 0.0552 0.096 1 0. 1 538 0.2283 0.3 1 7 1 0.4 1 54 0.5 1 70 0.6 1 54 0.7052 0.7825 0.8455 0.8944
e), e = O,
1, . . . , 20,
P(X
::;
e) =
¿e
x=O
- 1\ ¡.:(
T.
31 1 Tabla B. e
o
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 13 14 15 16 17 18 19 20
e
o
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 13 14 15 16 17 18 19 20
(Continuación)
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
0.0025 0.0 1 74 0.0620 0. 1 5 1 2 0.285 1 0.4457 0.6063 0.7440 0.8472 0.9 1 6 1 0.9674 0.9799 0.99 1 2 0.9964 0.9986 0.9995 0.9998 0.9999 1 .0000 1 .0000 1 .0000
0.00 1 5 0.0 1 1 3 0.0430 0. 1 1 1 8 0.2237 0.3690 0.5265 0.6728 0.79 1 6 0.8774 0.9332 0.966 1 0.9840 0.9929 0.9970 0.9988 0.9"996 0.9998 0.9999 1 .0000 1 .0000
0.0009 0.0073 0.0296 0.08 1 8 0. 1 730 0.3007 0.4497 0.5982 0. 729 1 0.8305 0.90 1 5 0.9467 0.9730 0.9872 0.9943 0.9976 0.9990 0.9996 0.9999 1 .0000 1 .0000
0.0006 0.0047 0.0203 0.059 1 0. 1 32 1 0.24 1 4 0.3782 0.5246 0. 6620 0. 7764 0.8622 0.9208 0.9573 0.9784 0.9897 0.9954 0.9980 0.9992 0.9997 1 .9999 1 .0000
0.0003 0.0030 0.0 1 38 0.0424 0.0996 0. 1 9 1 2 0 .3 1 34 0.4530 0.5925 0.7 1 66 0.8 1 59 0.888 1 0.9362 0.9658 0.9827 0.99 1 8 0.9963 0.9984 0.9993 0.9997 0.9999
1 6.0
1 6.5
1 7.0
1 7. 5
1 8.0
0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.0004 0.00 1 4 0.0040 0.0 1 00 0.0220 0.0433 0.0774 0. 1 270 0. 1 93 1 0.2745 0.3675 0.4667 0.5660 0.6593 0.7423 0.8 1 22 0.8682
0.0000 0.0000 0 .0000 0.000 1 0.0003 0.00 1 0 0.0029 0.0074 0.0 1 67 0.03 3 7 0.06 1 9 0. 1 04 1 0 . 1 62 1 0.2357 0.3225 0.4 1 80 0.5 1 65 0.6 1 20 0.6996 0.7757 0.8385
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0007 0.002 1 0.0054 0.0 1 26 0.026 1 0.049 1 0.0847 0. 1 350 0.2009 0.2808 0.37 1 5 0.4677 0.5640 0.6550 0.7363 0.8055
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.0005 0.00 1 5 0.0040 0.0095 0.020 1 0.0387 0.0684 0. 1 1 1 6 0. 1 699 0.2426 0.3275 0.4204 0.5 1 60 0 .6089 0 .6945 0 .7694
0 .0000 0 .0000 0.0000 0.0000 0 .000 1 0.0003 0.00 1 0 0.0029 0.007 1 0.0 1 54 0.0304 0.0549 0.09 1 7 0 . 1 426 0.208 1 0.2867 0.375 1 0.4686 0.5622 0.6509 0.7307
A
A
8.5
9.0
9.5
1 0.0
1 0.5
0.0002 0.00 1 9 0.0093 0.030 1 0.0744 0. 1 496 0.2562 0.3856 0.523 1 0.6530 0.7634 0.8487 0.909 1 0.9486 0.9726 0.9862 0.9934 0.9970 0.9987 0.9995 0.9998
0.000 1 0.00 1 2 0.0062 0.02 1 2 0.0550 0. 1 1 5 7 0.2068 0.3239 0.4557 0.5874 0.7060 0.8030 0.8758 0.926 1 0.9535 0.9730 0.9889 0.9947 0.9976 0.9989 0.9996
0.000 1 0.0008 0.0042 0.0 1 49 0.0403 0.0885 0. 1 649 0.2687 0.39 1 8 0.52 1 8 0.6453 0.7520 0.8364 0.898 1 0.9400 0.9665 0.9823 0.99 1 1 0.9957 0.9980 0.999 1
0.0000 0.0005 0.0028 0.0 1 03 0.0293 0.06 7 1 0. 1 30 1 0.2202 0.3328 0.4579 0.5830 0.6968 0.79 1 6 0.8645 0.9 1 65 0.95 1 3 0.9730 0.9857 0.9928 0.9965 0.9984
0.0000 0.0003 0.00 1 8 0.007 1 0.02 1 1 0.0504 0. 1 0 1 6 0. 1 785 0.2794 0.397 1 0.5207 0.6387 0.7420 0.8263 0.8879 0.93 1 7 0.9604 0.978 1 0.9885 0.9942 0.9972
1 8.5
1 9.0
1 9.5
20.0
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.0002 0.0007 0.002 1 0.0052 0.0 1 1 7 0.0237 0.0438 0.0748 0 . 1 1 89 0. 1 77 1 0.2490 0.332 1 0.4226 0.5 1 56 0.606 1 0.6898
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0005 0.00 1 5 0.0039 0.0089 0.0 1 83 0.0347 0.0606 0.0984 0. 1 497 0.2 1 48 0.2920 0.3784 0.4695 0.5606 0.6472
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.0004 0.00 1 1 0.0028 0.0067 0.0 1 4 1 0.0273 0.0488 0.0809 0. 1 257 0. 1 840 0.2550 0.3364 0.4246 0.5 1 5 1 0.5034
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000 1 0.0003 0.0008 0.002 1 0.0050 0.0 1 08 0.02 1 4 0.0390 0.066 1 0. 1 049 0. 1 565 0.22 1 1 0.2970 0.38 1 4 0.4703 0.559 1
312 Tabla C. Probabilidades acumuladas de la distribución
Normal estándar. La tabla da el área a la izquierda
de un valor de
z
0.0
0.0 1
Z o sea: f�ooke-'212dt. 0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
-3.5
0.0002
0.0002
0.0002
0.0002 0.0002 0.0002
0.0002
0.0002
0.0002
0.0002
-3.4
0.0003
0.0003
0.0003
0.0003
0.0003
0.0003
0.0003
0.0003
0.0003
0.0002
-3. 3
0.0005
0.0005
0.0005
0.0004
0.0004
0.0004
0.0004
0.0004
0.0004
0.0003
-3.2
0.0007
0.0007 0.0006 0.0006
0.0006
0.0006
0.0006
0.0005
0.0005
0.0005
- 3. 1
0.00 1 0
0.0009
0.0009
0.0009
0.0008
0.0008
0.0008
0.0008
0.0007
0.0007
-3.0
0.00 1 3
0.00 1 3
0.00 1 3
0.00 1 2 0.00 1 2
0.00 1 1
0.00 1 1
0.00 1 1
0.00 1 0
0.00 1 0
-2. 9
0.00 1 9
0.00 1 8
0.00 1 8
0.00 1 7
0.00 1 6
0.00 1 6
0.00 1 5
0.00 1 5
0.00 1 4
0.00 1 4
-2.8
0.0026
0.0025
0.0024
0.0023
0.0023
0.0022
0.002 1
0.002 1
0.0020
0.00 1 9
-2.7
0.0035
0.0034
0.0033
0.0032
0.003 1
0.0030
0.0029
0.0028 0.0027
0.0026
-2.6
0.0047
0.0045
0.0044 ' 0.0043
0.004 1
0.0040
0.0039
0.0038
0.0037
0.0036 0.0048
-2. 5
0.0062
0.0060
0.0059
0.0057 0.0055
0.0054 0.0052
0.005 1
0.0049
-2.4
0.0082
0.0080
0.0078
0.0075
0.0073
0.007 1
0.0069
0.0068
0.0066
0.0064
-2. 3
0.0 1 07
0.0 1 04
0.0 1 02
0.0099
0.0096
0.0094
0.009 1
0.0089
0.0087
0.0084
-2. 2
0.0 1 39
0.0 1 3 6
0.0 1 32
0.0 1 29
0.0 1 25
0.0 1 22 0.0 1 1 9
0.0 1 1 6
0.0 1 1 3
0.0 1 1 0
-2. 1
0.0 1 79
0.0 1 74
0.0 1 70
0.0 1 66
0.0 1 62
0.0 1 58
0.0 1 54
0.0 1 50
0.0 1 46
0.0 1 43
-2.0
0.0228
0.0222
0.02 1 7
0.02 1 2
0.0207
0.0202
0.0 1 97
0.0 1 92
0.0 1 88
0.0 1 83
- 1.9
0.0287
0.028 1
0.0274 0.0268
0.0262
0.0256
0.0250
0.0244
0.0239
0.0233
- 1 .8
0.0359
0.035 1
0.0344
0.0336
0.0329
0.0322
0.03 1 4
0.0307
0.03 0 1
0.0294
- 1 .7 - 1 .6
0.0446
0.0436
0.0427
0.04 1 8
0.0409
0.040 1
0.0392
0.0384
0.0375
0.0367
0.0548
0.05 3 7
0.0526
0.05 1 6
0.0505
0.0495
0.0485
0.0475
0.0465
0.0455
- 1 .5
0.0668
0.0655
0.0643
0.0630
0.06 1 8
0.0606
0.0594
0.0582
0.057 1
0.0559
- 1 .4
0.0808
0.0793
0.0778
0.0764
0.0749
0.0735
0.072 1
0.0708
0.0694
0.068 1
- 1 .3
0.0968
0.095 1
0.0934
0.09 1 8
0.090 1
0.0885
0.0869
0.0863
0.0838
0.0823
- 1 .2
0. 1 1 5 1
0. 1 1 3 1
0. 1 1 1 2
0. 1 093
0. 1 075
0. 1 056
0. 1 038
0. 1 020
0. 1 003
0.0985
- 1. 1
0. 1 3 5 7
0. 1 335
0. 1 3 1 4
0. 1 292
0. 1 27 1
0. 1 25 1
0. 1 230
0. 1 2 1 0
0. 1 1 90
0. 1 1 70
- l . O 0. 1 587 0. 1 562 0. 1 539 0. 1 5 1 5 0. 1 492 0. 1 469 0. 1 446 0. 1 423 0. 1 40 1
0. 1 379
-0.9
0. 1 84 1
0. 1 8 1 4
0. 1 788
0. 1 762
0. 1 736
0. 1 7 1 1
0. 1 685
0. 1 660
0. 1 635
0. 1 6 1 1
-0. 8
0.2 1 1 9
0.2090
0.206 1
0.2033
0.2005
0. 1 977
0. 1 949
0. 1 922
0. 1 894
0. 1 867
-0. 7
0.2420
0.2389
0.2358
0.2327
0.2296 0.2266
0.2236
0.2 1 77
0.2 1 48
-0. 6
0.2743
0.2709 0.2676
0.2643
0.26 1 1
0.25 1 4
0.2483
0.245 1
-0. 5 -0.4
0. 3085
0.3050
0.30 1 5
0.298 1
0.2946
0.29 1 2
ó.2.54-6. -.....oJ
0.2206
0.2877
0.2843
0.28 1 0
0.2776
0.3446
0.3409
0.3372 0.3336
0.3 300
0.3264
0.3228
0.3 1 92 0.3 1 56
0.3 1 2 1
-0. 3
0.382 1
0.3783
0.3745
0.3707
0.3669
0.3632
0.3594
0.3557
0.3520
0.3483
-0. 2
0.4207
0.4 1 68
0.4 1 29
0.4090
0.4052
0.40 1 3
0.3974
0.3936
0.3897
0.3859
-0. 1
0.4602
0.4562
0.4522
0.4483
0.4443
0.4404
0.4364
0.4325
0.4286
0.4248
0.4880
0.4840 0.480 1
0.476 1
0.472 1
0.468 1
0.464 1
-O. O
0.5000
0.4960
0.4920
0.2578
313 0.04
0.05
0.06
0.07
0.5 1 20
0.5 1 60
0.5 1 99
0.5239
0.55 1 7
0.5557
0.5596
0.5636
0.59 1 0
0.5948
0.5987
0.6255
0.6293
0.63 3 1
0.6628
0.6664
0.6950 0.6985
0.70 1 9
0.02
0.0
0.0 1
0.0
0.5000
0 .5040
0.5080
0. 1
0.5 398
0.5438
0.5478
0. 2
0.5793
0.5832 0.587 1
0. 3
0 .6 1 79
0.62 1 7
0.4
0.6554
0.659 1
0. 5
0.69 1 5
z
0.03
0.08
0.09
0.5279
0.53 1 9
0.5359
0.5675
0.57 1 4
0.5753
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0.6064
0.6 1 03
0.6 1 4 1
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0.6443
0. 6480
0.65 1 7
0.6700
0.6736
0.6772
0.6808
0.6844
0.6879
0.7054
0. 7088
0. 7 1 23
0.7 1 57
0.7 1 90 0.7224
0. 6
0.725 7
0.729 1
0]324
0.7357
0.7389
0.7422
0.7454
0.7486
0.75 1 7
0.7549
0. 7
0 . 7580
0.76 1 1
0.7642
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0.7704
0.7734
0.7764
0.7794
0.7823
0.7852
0.8
0. 788 1
0.79 1 0
0.7939
0.7967
0.7995
0.8023
0.805 1
0.8078
0.8 1 06
0.8033
0. 9
0 .8 1 59
0.8 1 86
0.82 1 2
0.8238
0.8264
0.8289
0.83 1 5
0.8340
0.8365
0.8389
1 .0
0.84 1 3
0.8438
0.846 1
0.8485
0.8508
0.85 3 1
0.8554
0.8577
0.8599
0.86 2 1
1.1
0.8643
0.8665
0.8686
0.8708
0.8729
0.8749
0.8770
0.8790
0.88 1 0
0.8830
1.2
0.8849
0.8869
0.8888
0.8907
0.8925
0.8944
0.8962
0.8980
0.8997
0.90 1 5
1 .3
0.9032
0.9049
0.9066
0.9082
0.9099
0.9 1 1 5
0.9 1 3 1
0.9 1 47
0.9 1 62
0.9 1 77
1 .4
0.9 1 92
0.9207
0.9222
0.9236
0.925 1
0.9265
0.9279
0.9292
0.9306
0.93 1 9
1.5
0.9332
0.9345
0.93 5 7
0.9370
0.9382
0.9394 0.9406
0.94 1 8
0.9429
0.944 1
1.6
0.9452
0.9463
0.9474
0.9484
0.9495
0.9505
0.95 1 5
0.9525
0.9535
0.9545
1.7
0.9554
0.9564
0.9573
0.9582
0.959 1
0.9599
0.9608 0.96 1 6
0 . 9625
0.9633
1.8
0.964 1
0.9649
0.9656
0.9664
0.967 1
0.9678
0.9686
0.9699
0.9706 0.9767
0.9693
1 .9
0.97 1 3
0.97 1 9
0.9726
0.9732
0.9738 0.9744
0.9750
0.9756
0.976 1
2.0
0.9772
0.9778
0.9783
0.9788
0.9793
0.9798
0.9803
0.9808
0 . 98 1 2
0.98 1 7
2. 1
0.982 1
0.9826
0.9830
0.9834
0.9838 0.9842
0.9846
0.9850
0. 9854
0.9857
2.2
0.986 1
0.9864
0.9868
0.98 7 1
0.9875
0.9878
0.988 1
0.9884
0.9887
0.9890
2. 3
0.9893
0.9896
0.9898
0.990 1
0.9904
0.9906
0.9909
0.99 1 1
0.99 1 3
0.99 1 6
2.4
0.99 1 8
0.9920
0.9922
0.9925
0.9927
0.9929
0.993 1
0.9932
0.9934
0.9936
2. 5
0.9938
0.9940
0.994 1
0.9943
0.9945
0.9946
0.9948
0.9949
0.995 1
0.9952
2. 6
0.9953
0.9955
0.9956
0.9957
0.9959
0.9960
0.996 1
0.9962
0.9963
0.9964
2.7
0.9965
0.9966
0.9967
0.9968
0.9969 0.9970 0.997 1
0.9972
0.9973
0.9974
2. 8
0.9974
0.9975
0.9976
0.9977
0.9977 0.9978 0.9979
0.9979
0.9980
0.998 1
2.9
0.998 1
0.9982
0.9982
0.9983
0.9984
0.9984
0.9985
0.9985
0.9986
0.9986
3.0
0.9988
0.9989
0.9989
0.9989
0.9990
0.9990
3. 1
0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9990 0.999 1 0.999 1 0.999 1
0.9992
0.9992
0.9992
0.9992
0.9993
0.9993
3.2
0.9993
0.9993
0.9994
0.9994
0.9994
0.9994
0.9994
0.9995
0.9995
0.9995
3. 3
0.9995
0.9995
0.9995
0.9996
0.9996
0.9996
0.9996
0.9996
0.9996
0.9997
3.4
0.9997
0.9997
0.9997 0.9997
0.9997 0.9997
0.9997
0.9997
0.9997
0.9998
3. 5
0.9998
0.9998
0.9998
0.9998
0.9998 0.9998
0.9998
0.9998
0.9998
0.9998
Indice analítico
Adición de probabilidades, teorema de la, 55 Axiomas de kolmogorov, 55
·
Cálculo de probabilidades de cualquier distribución normal, 248 Coeficiente binomial, 9 multinominal, 9 Combinación con repetición, 10 Conjunto, probabilidad geométrica en el, 151 Defi_nición de Laplace de probabilidad, 55 Densidad acumulativa, función de 224 de la distribución ji cuadrada, función de, 266 de probabilidad, función de, 224 de una distribución uniforme de probabilidad, función de, 244 Densidad de probabilidad(es) de la distribución beta, 275 exponencial, función de, 266 gamma, función de, 266 normal, función de, 248 Weibull, función de, 275 Diferencia de dos eventos, 41 Diferencial de probabilidad, 224 Distribución beta, 275
función de densidad de probabilidad de la, 275 binomial, 177 probabilidades acumuladas de la, 296t-309t de Bernoulli, 177 función de probabilidad de la, 177 de- Pascal con parámetros p y r, 210 función de probabilidad de la, 210 de Poisson, 191 función de probabilidad de la, 191 probabilidades acumuladas de la, 310t-3llt exponencial, 266 función de densidad de probabilidad de la, 266 gamma, 266 función de densidad de probabilidad de la, 266 ji cuadrada, 266 función de densidad de la, 266 multinomial, 219 función de probabilidad conjunta de la, 219 uniforme de probabilidad, 244 función de densidad de una, 244 Welbull, 275 función de densidad de probabilidad de la, 275 Distribución de probabilidad, 166, 225 geométrica, 210 función de probabilidad de la, 2 10 hipergeométrica, 202 315
3 1 6 ÍNDICE ANALÍTICO
función de probabilidad de la, 202 de distribución. Véase Función de Distribución normal, 248 densidad acumulativa cálculo de probabilidades de cualquier, de probabilidad, 55, 166 248 conjunta de la distribución estándar, 248 multinomial, 219 función de densidad de probabilidad generatriz de momentos, 282 de la, 248 propiedades de la, 282-284 probabilidades acumuladas de la, 3 12t- Función de densidad de probabilidad de la distribución 3 13t beta, 275 exponencial, 266 Espacio muestra!, 41 gamma, 266 discreto, 41 normal, 248 Evento(s) Weibull, 275 cierto o seguro, 41 Función de probabilidad de la diferencia de dos, 41 distribución elementales, 41 de Bernulli, 177 equiprobables, 55 de Pascal con parámetros y 210 estadística o estocásticamente de Poisson, 191 independientes, 93 de probabilidad imposible, 4 1 geométrica, 210 independientes, 93 hipergeométrica, 202 intersección de dos, 4 1 promedio de, 191 Intersección de dos eventos, 41 unión de n, 41 Intervalo, probabilidad geométrica en Experimento(s) un, 151 binomial, 177 estocástica o estadísticamente independientes, 93 Jacobiano de la transformación, 225 físicamente independientes, 94 Linealidad, propiedad de, 167 Factorial de k, 9 Fórmula(s) Media de una variable aleatoria de Euler, 282 continua, 225, 244 de multiplicación para probabilidades, discreta, 166 93 Momentos probabilidad, 55 función generatriz de, 282 total, 135 propiedades de la función generatriz del teorema de Bayes, 135 de, 282-284 Función Muestra de tamaño k, 9 acumulativa, 166 Multiplicación para probabilidades, de una variable aleatoria continua, fórmula de, 93 244 de densidad Parámetros y r acumulativa, 224 de la distribución ji cuadrada, 266 distribución de Pascal con, 210 función de probabilidad de la de probabilidades, 224 distribución de Pascal con, de una distribución uniforme de 210 probabilidad, 244
p
p
r,
ÍNDICE ANALÍTICO J 1 7
Permutación, 9 Probabilidad( es) acumuladas de la distribución binomial, 296t-309t de Poisson, 3 1 Ot-3 1 1 t normal estándar, 3 12t-313t condicional de B, 93 conjunta de la distribución multinomial, 219 de cualquier distribución normal, cálculo de, 248 definición de Laplace de, 55 diferencial de, 224 distribución de, 166, 225 fórmula(s) de, 55 de multiplicación de, 93 función de, 55, 166 densidad de, 224 de una distribución uniforme de, 244 geométrica distribución de, 210 en el conjunto, 151 en un intervalo, 151 hipergeométrica, distribución de, 202 teorema de la adición de, 55 total, fórmula de, 135 Probabilidad( es) de la distribución beta, funeión de densidad de, 275 de Bernoulli, función de, 1 77 de Pascal con parámetros y función de, 210 de Poisson, función de, 191 de probabilidad geométrica, función de, 2 1 O hipergeométrica, función de, 202 exponencial, función de densidad de, 266
p
r,
gamma, función de densidad de, 266 normal, función de densidad de, 248 Weibull, función de densidad de la, 275 Promedio de eventos, 191 Propiedad( es) de linealidad, 167 de la función generatriz de momentos, 282-284 Repetición combinación con, 10 variación con, 1 O Tamaño k muestra de, 9 variación de, 9 Teorema de Bayes, fórmula del, 135 de la adición de probabilidades, 55 de Poincaré, 55-56 Transformación, jacobiano de la , 225 n
Unión de eventos, 41 Variable aleatoria, 166 continua, 224 función acumulativa de una, 244 media de una, 225 discreta, 166 media de una, 166 hipergeométrica, 202 Variación con repetición, 10 de tamaño k, 9 Varianza, 167, 225, 244
