Fabio Protti - Notas de Aula de Teoria Dos Grafos

Instituto de Computa¸c˜ c˜ ao ao Universidade Federal Fluminense

Notas de Aula de Teoria dos Grafos

Prof. Fábio abio Protti Niter´ oi, oi, agosto de 2015.

Conte´ udo udo 1 Conceitos B´ asicos

5

1.1 Grafos, vértices, arestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2 1.2 Vizi Vizinh nhan¸ an¸ca e grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3 Subgrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4 Uniao, ão, interse¸c˜ caõ, complemento . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5 1.5 Graf Grafoo comp comple leto to,, cliq clique ue,, conj conjun unto to inde indepen pende den nte . . . . . . . . .

9

1.6 Passeios eios,, tril rilhas, as, caminhos, ciclos . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.7 1.7 Dist Distˆância, ancia, excentricidade, diˆ ametro . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.8 Isomorfismo de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.9 Maximalidade e minimalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.10 Grafos conexos e desconexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.11 Grafos bipartidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.12 Propriedades Propriedades heredit´ heredit´ arias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.13 Graf Grafos os como omo estrutu ruturras de dados . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.14 Exe Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

´ rvores 2 A

18

2.1 2.1 Co Conc ncei eito to de a´rvore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 2.3 Cen Centro tro de de uma uma a´rvore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Pontes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ´ rvores geradoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5 A 2.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Conectividade

24

3.1 Cortes de vértices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Conte´ udo udo 1 Conceitos B´ asicos

5

1.1 Grafos, vértices, arestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2 1.2 Vizi Vizinh nhan¸ an¸ca e grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3 Subgrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4 Uniao, ão, interse¸c˜ caõ, complemento . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5 1.5 Graf Grafoo comp comple leto to,, cliq clique ue,, conj conjun unto to inde indepen pende den nte . . . . . . . . .

9

1.6 Passeios eios,, tril rilhas, as, caminhos, ciclos . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.7 1.7 Dist Distˆância, ancia, excentricidade, diˆ ametro . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.8 Isomorfismo de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.9 Maximalidade e minimalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.10 Grafos conexos e desconexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.11 Grafos bipartidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.12 Propriedades Propriedades heredit´ heredit´ arias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.13 Graf Grafos os como omo estrutu ruturras de dados . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.14 Exe Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

´ rvores 2 A

18

2.1 2.1 Co Conc ncei eito to de a´rvore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 2.3 Cen Centro tro de de uma uma a´rvore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Pontes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ´ rvores geradoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5 A 2.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Conectividade

24

3.1 Cortes de vértices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.1 3.1.1

Arti Articul cula¸ a¸c˜ co˜es e blo cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1 3.1.2

Conec nectividad adee de vérti rtices

3.1.3 3.1.3

Cami Ca minh nhos os inter internam namen ente te disj disjun untos tos em vértic e rtices es . . . . . 25

. . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Cortes de arestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2. 3.2.11

Liga Liga¸c˜ ço˜es (ou co-ciclos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.2

Conectividade de arestas . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 3.2.3

Caminhos disjun juntos tos em are arestas tas . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Grafos Eulerianos e Hamiltonianos

31

4.1 Grafos Eulerianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.1.1

Passeios Eulerianos aber bertos . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Grafos Hamiltonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Emparelhamentos

40

5.1 5.1 Defin Defini¸ i¸c˜ caõ de emparelhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.2 Teorema de Berge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.3 Teorema de Tutte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.4 Teorema de Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.5 5.5 Teorem eoremaa de K¨ onig

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6 Colo Colora ra¸¸c˜ ao de V´ ertices

45

6.1 6.1 Graf Grafos os k k--color´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6.2 Grafos cr´ıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6.3 6.3 Co Cota tass para para o n´ umero umero crom´ atico . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.3. 6.3.11

Cons Co nstr tru¸ u¸c˜ caõ de Mycielski . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.3.2

Teorema de Bro oks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7 Colo Colora ra¸¸c˜ ao de Arestas

49

7.1 7.1 Graf Grafos os k k--colo olor´ıveis em ares restas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 7.2 Teorema de Vizing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 7.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

8 Planaridade

51

8.1 8.1 Defin Defini¸ i¸c˜ caõ de grafo planar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 8.2 Fo´rmula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 8.3 8.3 Caract Caracter eriz iza¸ a¸ c˜ cões de grafos planares . . . . . . . . . . . . . . . . 52 8.4 Map apas as e o Teore eorem ma das Qua uatr troo Cores res . . . . . . . . . . . . . . 53 8.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

9 Grafos Direcionados

55

9.1 9.1 Con Conce ceit itos os b´ asicos sobre digrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 9.2 9.2 Teore eorema ma de Gall Gallai ai-H -Has asse se-R -Rooy-Vi -Vitav taver . . . . . . . . . . . . . . 56 9.2.1

Torneios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

9.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1

Conceitos B´ asicos asicos

Neste cap´ cap´ıtulo forneceremos todas as defini¸ c˜ coes o˜es e resultados fundamentais que serão ao utilizados ao longo de todo o texto.

1.1

Grafos, v´ v´ ertices, ertices, arestas arestas

Um grafo (simples) G é formado por um conjunto de v de v´értice ti ces s , denotado por de arestas , denotado por E (G). Cada aresta é um par V ( V (G), e um conjunto de arestas (não ao ordenado ord enado)) de vértices ertic es distintos. dist intos. Se xy Se xy ´ é uma aresta are sta,, então ao os vérti er tice cess x e x e y s˜ ao ao os extremos os extremos desta desta aresta a resta.. Dizemos Dizemo s tamb´ ta mbém em que qu e x e x e y y estão conectados ao conectados , ou que são adjacentes ao adjacentes ou vizinhos ou vizinhos . Um grafo pode ser representado geometricamente como um conjunto de pontos no plano (representan (representando do os vértices) ertices) e linhas linhas que ligam estes pontos (representan (representando do as arestas). arestas). Observamos Observamos que o mesmo grafo pode p ode ter v´ arias representa¸c˜ coes o˜es geométricas etric as diferentes. difere ntes. V (G) = { a,u,v,w,x,y,z } e E (G) = Exemplo 1.1. Seja G o grafo tal que V ( coes o˜es {uv,vw,wx,xy,yz,zu,av,ax,az }. Na Figura 1.1 temos duas representa¸c˜ geométricas etric as diferentes difer entes para G. y

x

a z y

z

a

w

x u v

u

v

w

Figura 1.1: Duas representa¸c˜ coes o˜es geométricas etricas diferentes para o mesmo grafo. A ordem de ordem de um grafo graf o é G é o numero u´mero de vértices ertic es de G. Util Utiliz izam amos os a seguinte nota¸c˜ cao: aõ: n = | V ( V (G)| e m = | E (G)|. O tamanho de tamanho de um grafo G é a

Prof. F´ abio Protti

Notas de Aula de Teoria dos Grafos - IC/UFF

soma n + m. Um grafo trivial é aquele com um uńico vértice (n = 1). Um grafo nulo é aquele com V (G) = ∅ (isto é, n = 0). Um multigrafo é uma generaliza¸caõ do conceito de grafo simples. Em um multigrafo podem existir arestas paralelas (arestas que compartilham os mesmos extremos) e la¸cos (um la¸co é uma aresta da forma xx). La¸cos também são chamados de loops .

1.2

Vizinhan¸ca e grau

A vizinhan¸ca aberta de um vértice v é o conjunto de seus vizinhos. Utilizamos a nota¸caõ N (v) para designar a vizinhan¸ ca aberta de v. A vizinhan¸ca fechada de um vértice v é definida como N [v] = N (v) ∪ {v }. O grau de um vértice é o n´ umero de vezes em que ele ocorre como extremo de uma aresta. (Esta defini¸caõ se aplica tanto para grafos como para multigrafos.) Utilizamos a nota¸caõ d(v) para designar o grau do vértice v. Em um grafo simples, o grau de um v´ ertice é igual ao n´ umero de vizinhos que ele possui, isto é, d(v) = | N (v)|. Um grafo é regular quando todos os seus vértices têm o mesmo grau. Um grafo é k-regular quando todos os seus vértices têm grau igual a k. O grau m´ aximo de G é definido como ∆(G) = max{d(v) | v ∈ V (G)}. O grau m´ınimo de G é definido como δ (G) = min{d(v) | v ∈ V (G)}. Dado um grafo G tal que V (G) = {v1 , v2, . . . , vn−1 , vn } e os graus dos vértices satisfazem d(v1) ≤ d(v2 ) ≤ · · · ≤ d(vn−1 ) ≤ d(vn), a sequência de graus de G é precisamente a sequência ( d(v1), d(v2 ), . . . , d(vn−1 ), d(vn) ).

Exemplo 1.2. A sequência de graus do grafo G definido anteriormente no Exemplo 1.1 é (2, 2, 2, 3, 3, 3, 3). Temos que δ (G) = 2 e ∆(G) = 3. Um vértice é isolado quando tem grau zero (n˜ ao possui vizinhos). Um vértice v é universal quando está conectado por arestas a todos os demais vértices, isto é, N (v) = V (G) \ {v }. Se v é um vértice universal então d(v) = n − 1. O seguinte teorema é conhecido como Teorema do Aperto de M˜ aos : 6



Teorema 1.1. Em qualquer grafo simples G,



d(v) = 2m.

v∈V ( G)

Demonstra¸ c˜ ao. Observe que cada aresta xy é contada duas vezes na soma v∈V (G) d(v) – uma vez na parcela d(x) e outra na parcela d(y).



1.3

Subgrafos

Um subgrafo de um grafo G é um grafo H tal que V (H ) ⊆ V (G) e E (H ) ⊆ E (G). H é um subgrafo pr´ oprio de G quando H é um subgrafo de G que não é o pr´ oprio G. Um subgrafo gerador (“spanning subgraph”) de G é um subgrafo H de G tal que V (H ) = V (G). Em outras palavras, H tem os mesmos vértices de G, mas não necessariamente todas as arestas de G. Um subgrafo H de G é um subgrafo induzido por um conjunto de vértices X ⊆ V (G) se V (H ) = X e vale a seguinte propriedade: se xy ∈ E (G) e x, y ∈ X então xy ∈ E (H ). Neste caso, utilizamos a nota¸caõ H = G[X ]. Informalmente, um subgrafo induzido por um conjunto de vértices X mantém todas as arestas originais de G que possuem seus dois extremos em X . Um subgrafo H de G é um subgrafo induzido por um conjunto de arestas E ⊆ E (G) se: ′

• E (H ) = E ′ ; • V (H ) = { x | x é extremo de alguma aresta de E ′ }. Utilizamos a nota¸caõ H = G[E ′ ] para designar que H é um subgrafo induzido por um conjunto de arestas E ′. A seguinte nota¸caõ é bastante u´til. Se S é um subconjunto de vértices de G, então G − S = G[V (G) \ S ] . Se v é um vértice de G então G − v = G −{v }. Se E ′ é um subconjunto de arestas de G, então o grafo G − E ′ é definido da seguinte forma: V (G − E ′ ) = V (G) e E (G − E ′ ) = E (G) \ E ′ . Se e é uma aresta de G então G − e = G − {e}. 7


1.4


Uni˜ ao, interse¸c˜ ao, complemento

A uni˜ ao de dois grafos G e H é o grafo denotado por G ∪ H tal que: V (G ∪ H ) = V (G) ∪ V (H ) e E (G ∪ H ) = E (G) ∪ E (H ). A interse¸c˜ ao de dois grafos G e H é o grafo denotado por G ∩ H tal que: V (G ∩ H ) = V (G) ∩ V (H ) e E (G ∩ H ) = E (G) ∩ E (H ). Dois grafos G e H são disjuntos em vértices se V (G) ∩ V (H ) = ∅ . Dois grafos G e H são disjuntos em arestas se E (G) ∩ E (H ) = ∅ . Se G e H são disjuntos em vértices, ent˜ ao é claro que s˜ ao tamb´ em disjuntos em arestas. Porém, G e H podem ser disjuntos em arestas tendo alguns vértices em comum. O complemento de um grafo G é o grafo G tal que V (G) = V (G) e E (G) = {xy | xy ∈ / E (G)}. Note que G e seu complemento s˜ ao grafos disjuntos em arestas. Portanto, G ∩ G é um grafo sem arestas. Além disso, G ∪ G é um grafo completo.

Exemplo 1.3. Se G é o grafo do Exemplo 1.1, ent˜ ao G é o grafo representado na Figura 1.2. y

x a

z

w

u

v

Figura 1.2: Representa¸ caõ geométrica de G, onde G é o grafo do Exemplo 1.1.

8


1.5


Grafo completo, clique, conjunto independente

Um grafo G é um grafo completo se quaisquer dois vértices de G são vizinhos. O número de arestas de um grafo completo é n(n − 1)/2. Denotamos por K n um grafo completo com n vértices. O grafo K 1 é o grafo trivial, o grafo K 2 é formado por dois vértices e uma aresta, e o grafo K 3 é o triângulo. A Figura 1.3 exibe os grafos K 3 , K 4 e K 5 .

Figura 1.3: Da esquerda para a direita: grafos K 3 , K 4 e K 5 . Uma clique em um grafo G é um conjunto de vértices K ⊆ V (G) tal que G[K ] é completo. Em outras palavras, quaisquer dois vértices distintos de uma clique são adjacentes. Um conjunto est´ avel ou independente em um grafo G é um subconjunto de vértices S ⊆ V (G) tal que G[S ] é um grafo sem arestas. Em outras palavras, qualquer par de vértices de um conjunto independente é formado por vértices não adjacentes. Um grafo com n vértices formando um conjunto independente é denotado por I n .

1.6

Passeios, trilhas, caminhos, ciclos

Um passeio (“walk”) é uma sequência de vértices v1, v2, . . . , vk−1, vk tal que v j −1v j ∈ E (G) para j = 2, . . . , k. Note que em um passeio pode haver repeti¸caõ de vértices e arestas. Se v1 = v k , dizemos que o passeio é fechado; caso contr´ ario, o passeio é aberto. Um passeio fechado é também denominado circuito por alguns autores. Uma trilha (“trail”) é um passeio v1 , v2 , . . . , vk−1 , vk cujas arestas s˜ ao todas distintas. Em uma trilha pode haver repeti¸ cão de vértices, mas n˜ ao 9



de arestas. Assim como no caso dos passeios, as trilhas também podem ser classificadas em fechadas e abertas. Um caminho (“path”) é um passeio v1 , v2 , . . . , vk−1 , vk onde os vértices sã o todos distintos. Note que em um caminho, como n˜ a o pode haver repeti¸caõ de vértices, n˜ a o há repeti¸caõ de arestas. Portanto, todo caminho é uma trilha (mas nem toda trilha é um caminho). O comprimento de um caminho é o número de arestas neste caminho. Observe que n˜ ao pode haver “caminho fechado”, pois em um caminho n˜ a o há repeti¸caõ de vértices. Se P é um caminho e u, v são vértices deste caminho, denotamos por P [u, v] o subcaminho de P que vai de u até v. Um ciclo (“cycle”) é um passeio v 1 , v2, . . . , vk−1, vk tal que v 1 , v2, . . . , vk−1 é um caminho e v1 = v k . Por defini¸cão, em um ciclo devemos ter k ≥ 3. O comprimento de um ciclo é o n´ umero de vértices (ou arestas) presentes no ciclo. Um ciclo de comprimento três é também chamado de triˆ angulo. Um ciclo de comprimento ´ımpar [par] é chamado simplesmente de ciclo ´ımpar [ciclo par ]. Uma corda é uma aresta que liga dois vértices n˜ ao consecutivos de um ciclo (ou caminho). Um ciclo (resp., caminho) induzido em um grafo G é um ciclo (resp., caminho) sem cordas. Um ciclo induzido de comprimento pelo menos quatro é chamado de buraco (“hole”). Utilizamos a nota¸cão C k para designar um ciclo induzido com k vértices, e a nota¸caõ P k para designar um caminho induzido com k vértices. De forma análoga, um caminho induzido é um caminho sem cordas. Utilizamos a nota¸caõ P k para designar um caminho induzido com k vértices.

Exemplo 1.4. Considere novamente o grafo G do Exemplo 1.1. Então: W 1 = u, v,a, z,y, x, a, z é um passeio aberto; W 2 = u,v,a,z,y,x,a,z,u é um passeio fechado; T = a, v,w,x,a, z,y é uma trilha aberta; P 1 = u, v,w,x,a, z,y é um caminho; P 2 = u, v,w,x,y é um caminho induzido; C 1 = u,v,w,x, y,z,u é um ciclo; C 2 = u, v,a, z,u é um ciclo induzido. ´ til considerar passeios, trilhas, camiObserva¸c˜ ao 1.1. Muitas vezes, será u nhos e ciclos como grafos (ou subgrafos), em vez de considerá-los simplesmente como sequências de vértices. Assim, por exemplo, podemos nos referir 10



a um caminho P com k vértices como um grafo P tal que V (P ) = { v1 , . . . , vk } e E (P ) = { v j −1v j | 2 ≤ j ≤ k }.

1.7

Distˆ ancia, excentricidade, diˆ ametro

A distˆ ancia entre dois vértices x e y é o comprimento do menor caminho de x a y no grafo. Utilizamos a nota¸caõ dist (x, y) para representar a distˆ ancia entre x e y. Para qualquer vértice x, vale dist (x, x) = 0. A excentricidade de um vértice v em um grafo G é definida como: exc (v) = max{dist (v, x) | x ∈ V (G)}. Já o diˆ ametro de um grafo G define-se do seguinte modo: diam (G) = max{exc (v) | v ∈ V (G)}. O centro de um grafo G é o conjunto de vértices de G com excentricidade m´ınima.

1.8

Isomorfismo de grafos

Dois grafos G e H são isomorfos se existe uma bije¸caõ f : V (G) → V (H ) tal que xy ∈ E (G) se e somente se f (x)f (y) ∈ E (H ). Informalmente, G e H são o “mesmo” grafo, a menos de rotula¸co˜es distintas para os vértices. Utilizamos a nota¸caõ G ∼ = H para designar que G e H são isomorfos. Sejam G e H grafos quaisquer. Se existir algum subgrafo G′ de G que seja isomorfo a H , dizemos que G contém H . Se existir algum subgrafo induzido G′ de G que seja isomorfo a H , dizemos que G contém H como subgrafo induzido. Se nenhum subgrafo induzido de G é isomorfo a H , dizemos que G é livre de H .

1.9

Maximalidade e minimalidade

Um conjunto S é maximal em rela¸caõ a uma propriedade P se: (i) S satisfaz P ; (ii) não existe conjunto S ′ que satisfa¸ca P e que contenha S propriamente. 11



Um conjunto S é m´ aximo em rela¸cão a uma propriedade P se: (i) S satisfaz P ; (ii) não existe conjunto S ′ que satisfa¸ca P e que possua mais elementos do que S . Todo conjunto m´ aximo é também maximal, mas nem todo conjunto maximal é máximo.

Exemplo 1.5. Considere o grafo G do Exemplo 1.1. Os conjuntos de vértices S 1 = { u,w,y } e S 2 = {a,v,x,z } são ambos conjuntos independentes maximais de G, mas apenas S 2 é um conjunto independente m´ aximo de G. De forma an´ aloga, um conjunto S é minimal em rela¸caõ a uma propriedade P se: (i) S satisfaz P ; (ii) não existe conjunto S ′ que satisfa¸ca P e que esteja propriamente contido em S . Um conjunto S é m´ınimo em rela¸caõ a uma propriedade P se: (i) S satisfaz P ; (ii) não existe conjunto S ′ que satisfa¸ca P e que possua menos elementos do que S . Todo conjunto m´ınimo é também minimal, mas nem todo conjunto minimal é m´ınimo.

Exemplo 1.6. Seja G um grafo qualquer. Um subconjunto C ⊆ V (G) é uma cobertura (por vértices) de G se toda aresta de G tem pelo menos um de seus extremos em C . Considerando os mesmos conjuntos S 1 e S 2 do exemplo anterior, temos que S 1 e S 2 são coberturas minimais de G, mas apenas S 1 é uma cobertura m´ınima de G. Os conceitos maximal/m´ aximo e minimal/m´ınimo também se aplicam a grafos e subgrafos.

1.10

Grafos conexos e desconexos

Um grafo G é conexo se existe caminho entre qualquer par de vértices de G. Caso contr´ ario, G é desconexo. Uma componente conexa de um grafo G é um subgrafo conexo maximal ´ claro de G. Denotamos por w(G) o n´ umero de componentes conexas de G. E que G é conexo se e somente se w(G) = 1.

12


1.11


Grafos bipartidos

Um grafo G é bipartido se V (G) pode ser particionado em conjuntos X e Y de modo que toda aresta de G tem um extremo em X e outro em Y . Como consequência desta defini¸caõ, X e Y são conjuntos independentes.

Exemplo 1.7. O grafo G do Exemplo 1.1 é um grafo bipartido, onde X = {a,v,x,z } e Y = { u,w,y }. Um grafo bipartido G será bipartido completo se, para qualquer par de vértices x, y com x ∈ X e y ∈ Y , vale que xy ∈ E (G). Denotamos por K p,q um grafo bipartido completo com p vértices em X e q vértices em Y . Obviamente, K p,q tem pq arestas. O seguinte teorema é uma caracteriza¸caõ de grafos bipartidos. ao contém ciclos Teorema 1.2. Um grafo G é bipartido se e somente se G n˜ ´ımpares.

Demonstra¸ c˜ ao. Suponha por absurdo que G é um grafo bipartido contendo um ciclo ´ımpar C = v 1 , v2 , . . . , v2k , v2k+1, v1 , para algum inteiro k ≥ 1. Seja X ∪ Y uma biparti¸caõ de V (G), e suponha sem perda de generalidade que v1 ∈ X . Temos ent˜ a o que v2 ∈ Y , v3 ∈ X , . . ., v2k ∈ Y e v2k+1 ∈ X . Mas isto implica que a aresta v1 v2k+1 possui seus dois extremos em X , uma contradi¸caõ. Isto completa a prova da necessidade. Suponha agora que G não contenha ciclos ´ımpares. Vamos provar que G ´ fácil ver que um grafo é bipartido se e somente se todas as é bipartido. E suas componentes conexas s˜ ao grafos bipartidos. Assim, basta considerar o caso em que G é conexo. Considere um vértice v0 qualquer de G. Defina os seguintes conjuntos: X = { v ∈ V (G) | dist (v0 , v) é par}, Y = { v ∈ V (G) | dist (v0 , v) é ´ımpar}. Para completar a demonstra¸cão, vamos mostrar que X é um conjunto independente. (A prova de que Y é um conjunto independente é similar.) Observe inicialmente que dois vértices v1 , v2 ∈ X que estã o a distâncias distintas de v 0 não podem ser adjacentes, caso contr´ ario a distância entre eles 13



diferiria no máximo em uma unidade. Considere ent˜ ao que ambos estejam a uma mesma distância d de v0 . Sejam P 1 e P 2 caminhos com comprimento d de v 0 a v1 e v 2 , respectivamente. Seja z o vértice mais próximo de v 1 tal que ´ fácil ver que z ∈ V (P 1) ∩ V (P 2 ). (Eventualmente, podemos ter z = v0.) E dist (z, v1 ) = dist (z, v2 ). Sejam P 1[z, v1 ] e P 2 [z, v2 ] os subcaminhos de P 1 e P 2 que vão de z a v1 e v2 , respectivamente. Conclu´ımos que estes subcaminhos têm o mesmo comprimento. Assim, v1 e v2 não podem ser adjacentes, caso contr´ ario haveria um ciclo ´ımpar em G, a saber (P 1[z, v1 ] ∪ P 2 [z, v2 ]) + v1 v2 . Isto completa a prova da suficiência.

Observa¸c˜ ao 1.2. Uma generaliza¸caõ da defini¸caõ de grafo bipartido completo é a defini¸caõ de grafo k-partido completo, que é aquele cujo conjunto de vértices está particionado em conjuntos independentes V 1 , V 2 , . . . , Vk , e tal que existe uma aresta entre dois vértices u e w se e somente se u e w pertencem a conjuntos distintos desta parti¸caõ.

1.12

Propriedades heredit´ arias

Dado um grafo G, uma propriedade é heredit´ aria por subgrafos [induzidos ] se, quando ela é v´ alida para G, é válida tamb´ em para todos os subgrafos [induzidos] de G.

Exemplo 1.8. Se o grafo G é livre de triˆ angulos, ent˜ ao “ser livre de triângulos” é uma propriedade heredit´ aria por subgrafos e por subgrafos induzidos. ao “possuir um Exemplo 1.9. Se o grafo G possui um vértice universal, ent˜ vértice universal” não é uma propriedade heredit´ aria por subgrafos, nem por subgrafos induzidos.

Exemplo 1.10. Se o grafo G é completo, então “ser completo” n˜ ao é uma propriedade heredit´ aria por subgrafos, mas é uma propriedade heredit´ aria por subgrafos induzidos. Obviamente, toda propriedade heredit´ aria por subgrafos quaisquer também é heredit´ aria por subgrafos induzidos.

1.13

Grafos como estruturas de dados

A matriz de adjacências de um grafo G é uma matriz An×n onde: 14



 1, se ij ∈ E (G); A[i, j] =  0, se ij ∈/ E (G). A matriz de adjacências é simétrica e possui zeros na sua diagonal principal. Utilizando a matriz de adjacências como estrutura de dados, basta armazenar o triˆ angulo superior da matriz. A matriz de adjacências gasta mem´ oria quadr´ atica (O(n2)), mas o tempo de acesso é constante – gasta-se tempo O(1) para decidir se dois vértices s˜ ao vizinhos. A lista de adjacências de um grafo G é um outro tipo de estrutura de dados para armazenar G. Neste tipo de representa¸ cão, utiliza-se um vetor de ponteiros, onde cada ponteiro est´ a associado a um vértice de G e aponta para uma lista encadeada contendo os vizinhos deste vértice. O número de células de mem´ oria em uma lista de adjacências é n + 2m. Utilizando esta estrutura, gasta-se tempo O(n) no pior caso para decidir se dois vértices são vizinhos.

1.14

Exerc´ıcios

1.1. Prove o Teorema da Amizade: em qualquer festa com pelo menos seis pessoas, ou três se conhecem mutuamente, ou três n˜ ao se conhecem mutuamente. 1.2. Prove ou refute: se G é um grafo conexo, ent˜ ao dois caminhos de comprimento m´ aximo de G possuem necessariamente pelo menos um vértice em comum. 1.3. Prove ou refute: se G é um grafo contendo exatamente dois vértices de grau ´ımpar, ent˜ ao existe necessariamente um caminho ligando estes dois vértices em G. 1.4. Prove ou refute: se δ (G) > 21 (n − 2) ent˜ ao G é conexo. 1.5. Mostre que em uma festa com n ≥ 2 pessoas, existem pelo menos duas pessoas com o mesmo n´ umero de conhecidos. 15



1.6. Um grafo k-partido é tal que seus vértices podem ser particionados em k conjuntos V 1, V 2 ,..,V k , de tal maneira que dois vértices pertencentes um mesmo subconjunto V i são sempre n˜ a o adjacentes. Um grafo kpartido completo é aquele em que todo par de vértices pertencentes a partes distintas é adjacente. Um grafo k-partido completo em que cada parte possua ⌊n/k⌋ ou ⌈n/k ⌉ vértices é denominado grafo de Tur´ an e denotado por T k,n . (a) Determinar o n´ umero de arestas de T k,n (b) Mostrar que se G é um grafo k-partido completo ent˜ ao |E (G)| ≤ |T k,n |. 1.7. Prove que para todo grafo G vale δ (G) ≤ 2m/n ≤ ∆(G). 1.8. Resolva os itens abaixo. (a) Existe um multigrafo com a seguinte seq¨ uência de graus: (3,3,3,3,5,6,6,6,6)? (b) Existe um multigrafo com a seguinte seq¨ uência de graus: (1,1,3,3,3,3,5,6,8,9)? (c) Existe um grafo (simples) com a seq¨ uência de graus do item anterior? (d) Demonstre que a seq¨ uência (d1 , d2 , . . . , dn) de inteiros n˜ ao negativos é uma seq¨ ueˆncia de graus de algum multigrafo se e somente n se i=1 di é par.



1.9. Um grafo (simples) é auto-complementar se G ∼ = G. (a) Dê dois exemplos de pares de grafos auto-complementares. (b) Prove que um grafo auto-complementar tem 4k ou 4k + 1 vértices, para k inteiro não negativo. 1.10. Sejam u e v dois vértices em um grafo G. Mostre que existe um passeio entre u e v se e somente se existe um caminho entre u e v. 1.11. Seja G um grafo satisfazendo uma propriedade P . Classifique (se houver) o tipo de hereditariedade de P (por subgrafos quaisquer e/ou por subgrafos induzidos), nos seguintes casos: 16



(a) G é bipartido. (b) G é auto-complementar. (c) G é conexo. (d) G é k-regular. (e) ∆(G) = k. (f) G não contém ciclos.

17

2

´ Arvores

As árvores constituem uma das mais importantes fam´ılias de grafos devido a suas in´ umeras aplica¸co˜es em Ciência da Computa¸ca˜ o e outras a´reas em Ciências Exatas e Engenharias. Neste cap´ıtulo estudaremos os principais resultados sobre a estrutura das a´rvores.

2.1

Conceito de a ´rvore

Dizemos que um grafo é ac´ıclico se não possui ciclos. Uma ´ arvore é um grafo ac´ıclico e conexo. Um grafo ac´ıclico n˜ ao necessariamente conexo tamb´ em é chamado de floresta . Cada componente conexa de uma floresta é uma arvore. ´ O teorema a seguir é a primeira caracteriza¸ca˜ o de a´rvores que estudaremos.

Teorema 2.1. Um grafo T é uma arvore ´ se e somente se existe um ´ unico caminho entre cada par de vértices de T . Demonstra¸ c˜ ao. Suponha inicialmente que exista um uńico caminho entre cada par de vértices de T . Isto implica claramente que T é um grafo conexo. Além do mais, se T contivesse um ciclo, haveria pelo menos dois caminhos entre qualquer par de v´ ertices distintos neste ciclo, contrariando a hip´ otese assumida. Logo, além de conexo, T é ac´ıclico, isto é, T é uma a´rvore. Suponha agora que T seja uma a´rvore. Como T é conexo, existe pelo menos um caminho entre cada par de vértices de T . Suponha por absurdo que existam dois caminhos diferentes P 1 e P 2 entre um certo par de vértices u, v ∈ V (T ). Seja w o vértice de T com as seguintes propriedades: (a) w ∈ V (P 1 ) ∩ V (P 2); (b) P 1 [u, w] = P 2 [u, w]; (c) P 1[u, w] e P 2[u, w] têm o maior comprimento poss´ıvel. Seja agora x ∈ V (P 1) ∩ V (P 2) o vértice de T tal que P 1 [w, x] e P 2[w, x] são caminhos internamente disjuntos em vértices (isto é, possuem apenas os extremos em comum). Observe que o subgrafo P 1 [w, x] ∪ P 2[w, x] é claramente um ciclo, e isto contradiz a hip´ otese de T ser uma a´rvore. Portanto, existe necessariamente um uńico caminho entre cada par de vértices de T .


2.2


Folhas

Uma folha e´ um vértice de grau um. As folhas desempenham um papel importante nos teoremas a seguir.

Teorema 2.2. Toda arvore ´ n˜ ao trivial tem pelo menos duas folhas. ao trivial e considere um caminho Demonstra¸ c˜ ao. Seja T uma árvore n˜ P em T de comprimento máximo. Sejam u e v os vértices inicial e final de ´ claro que u tem um vizinho x em P . Se u tiver outro vizinho y  P . E = x, temos dois casos: y ∈ V (P ) e y ∈ / V (P ). O primeiro caso é imposs´ıvel, pois o grafo P [u, y] + uy seria um ciclo. O segundo caso também é imposs´ıvel, pois contradiz o fato de P ser um caminho de comprimento m´ aximo. Logo x é o u ´ nico vizinho de u em T , isto é, u é uma folha. O racioc´ıcio para mostrar que v também é uma folha é idêntico.

Teorema 2.3. Se T é uma arvore ´ ent˜ ao m = n − 1. Demonstra¸ c˜ ao. Faremos a demonstra¸caõ por indu¸caõ em n. Para a base da indu¸caõ, consideramos o caso n = 1. Nesta situa¸caõ, T é um grafo trivial, e portanto vale m = 0 = 1 − 1 = n − 1. Para o passo da indu¸ caõ, seja T uma a´rvore com n > 1 vértices e m arestas, e suponha que qualquer árvore T ′ com n′ < n vértices tem exatamente m′ = n′ − 1 arestas. Pelo Teorema 2.2, T possui uma folha x. Observe que o grafo T − x é claramente uma a´rvore com n ′ = n − 1 < n v´ ertices. Pela hipótese de indu¸cão, T − x tem n′ − 1 = (n − 1) − 1 = n − 2 arestas. Como T tem exatamente uma aresta a mais do que T − x, segue que T tem m = (n − 2) + 1 = n − 1 arestas.

2.3

Centro de uma a ´rvore

Nesta se¸caõ veremos que o centro de uma a´rvore pode ser determinado algoritmicamente de modo bastante simples. arvore com pelo menos três vértices. Seja F o Lema 2.4. Seja T uma ´ conjunto das folhas de T . Seja T ′ = T − F . Ent˜ ao, T e T ′ têm o mesmo centro.

Demonstra¸ c˜ ao. Sejam T e T ′ como no enunciado. Denote por exc (u, G) a excentricidade do vértice u no grafo G. A demonstra¸caõ se baseia nos seguintes fatos, de verifica¸cão simples: 19



(a) Nenhuma folha de T pertence ao seu centro; (b) Se v ∈ V (T ′ ) ent˜ ao exc (v, T ′ ) = exc (v, T ) − 1. Pelo item (a), os v´ ertices do centro de T estã o em T ′ . Pelo item (b), um vértice de excentridade m´ınima em T também é um vértice de excentricidade m´ınima em T ′, e vice-versa. Logo, o lema segue. ´ ou é formado por Teorema 2.5. (Jordan 1869) O centro de uma arvore apenas um vértice ou por dois vértices vizinhos.

Demonstra¸ c˜ ao. Seja T uma árvore. O lema anterior sugere um algoritmo para encontrar o centro de T : Algoritmo 1: Algoritmo para encontrar o centro de uma a´rvore T Entrada: Uma árvore T Sa´ıda: O centro de T T ′ ← T enquanto |V (T ′ )| ≥ 3 fa¸ ca F ← conjunto das folhas de T ′ T ′ ← T ′ − F retornar V (T ′ ) Pelo Lema 2.4, as sucessivas a´rvores referenciadas pela vari´ avel T ′ , geradas ao longo das itera¸co˜es do comando enquanto no Algoritmo 1, possuem todas o mesmo centro. Ao final das itera¸co˜es, é claro que T ′ possuirá um ou dois vértices. Isto completa a demonstra¸caõ.

2.4

Pontes

Uma ponte ou aresta de corte de um grafo G é uma aresta e tal que w(G−e) > w(G). Uma caracteriza¸ caõ alternativa de a´rvores pode ser formulada por meio de pontes, como veremos a seguir. ao existe Teorema 2.6. Uma aresta e é uma ponte de G se e somente se n˜ ciclo contendo e em G.

Demonstra¸ c˜ ao. Suponha por absurdo que e é uma ponte de G e que exista um ciclo C contendo e. Se existe um caminho P entre dois vértices u 20



e v contendo a aresta e, então P ∪ (C − e) é um passeio entre u e v. Pelo Exerc´ıcio 1.10, existe um caminho P ′ entre u e v que não contém a aresta e. Portanto, ap´ os a remo¸caõ de e, continua havendo caminho entre todo par de vértices pertencentes a` componente conexa de G que continha e. Isto implica w(G − e) = w(G), o que contradiz a hip´ otese de e ser uma ponte. Suponha agora que n˜ ao exista ciclo contendo e em G. Escreva e = xy. Se existisse algum caminho P entre x e y no grafo G − e, P + e seria um ciclo em G contendo e, uma contradi¸caõ. Logo, x e y pertencem a componentes conexas distintas no grafo G − e, o que implica w(G − e) > w(G); em outras palavras, e é uma ponte.

Teorema 2.7. Um grafo conexo T é uma arvore ´ se e somente se toda aresta de T é uma ponte. Demonstra¸ c˜ ao. Suponha que T é uma a´rvore. Como T é um grafo ac´ıclico, é claro que nenhuma aresta de T pode pertencer a um ciclo. Logo, pelo Teorema 2.6, toda aresta de T é uma ponte. Reciprocamente, se toda aresta de um grafo T é uma ponte, pelo Teorema 2.6 nenhuma delas pertence a um ciclo. Logo o grafo T é ac´ıclico. Como por hipótese T é conexo, segue que T é uma a´rvore.

2.5

´ Arvores geradoras

Uma ´ arvore geradora de um grafo G é um subgrafo gerador conexo e ac´ıclico de G.

Proposi¸c˜ ao 2.8. Todo grafo conexo possui uma arvore ´ geradora. Demonstra¸ c˜ ao. Seja G um grafo conexo. O seguinte algoritmo constr´ oi uma a´rvore geradora de G. Algoritmo 2: Algoritmo para determinar uma a´rvore geradora Entrada: Um grafo conexo G Sa´ıda: Uma árvore geradora T de G T ← G enquanto existe aresta e tal que T − e é conexo fa¸ ca T ← T − e retornar T 21



Observe que o grafo T retornado pelo Algoritmo 2 satisfaz V (T ) = V (G), isto é, T é um subgrafo gerador de G. Além do mais, as sucessivas remo¸co˜es de arestas no comando enquanto preservam a conexidade de T ; logo, ao final das itera¸co˜es, T será um subgrafo conexo. Finalmente, quando o teste do comando enquanto falhar, todas as arestas remanescentes em T serão pontes; pelo Teorema 2.7, o grafo T retornado é uma a´rvore. Isto conclui a demonstra¸caõ.

Teorema 2.9. Se G é conexo, ent˜ ao m ≥ n − 1. Demonstra¸ c˜ ao. Pela Proposi¸caõ 2.8, G possui uma árvore geradora T . Obviamente, |V (T )| = n e |E (T )| = n − 1. Como |E (G)| = m e E (T ) ⊆ E (G), segue o resultado. Conclu´ımos pelos Teoremas 2.3 e 2.9 que as a´rvores s˜ ao os grafos conexos que atingem o limite m´ınimo n − 1 para o n´ umero de arestas, no sentido de que todo grafo com menos do que n − 1 arestas é necessariamente desconexo. Pode-se mostrar (Exerc´ıcio 2.8) que toda floresta é um subgrafo gerador de uma a´rvore. Este resultado, juntamente com o Teorema 2.3, permite enunciar: ao m ≤ n − 1. Teorema 2.10. Se G é ac´ıclico, ent˜ Pelos Teoremas 2.3 e 2.10, as a´rvores s˜ ao os grafos ac´ıclicos que atingem o limite máximo n − 1 para o n´ umero de arestas, no sentido de que todo grafo com mais do que n − 1 arestas cont´ em pelo menos um ciclo.

Corol´ ario 2.11. Seja G um grafo qualquer com n vértices e m arestas. Ent˜ ao: (a) Se m < n − 1 ent˜ ao G é desconexo; (b) Se m = n − 1 e G é conexo ou ac´ıclico ent˜ ao G é uma arvore; ´ (c) Se m > n − 1 ent˜ ao G contém pelo menos um ciclo. Encerramos esta se¸caõ com este importante teorema:

Teorema 2.12. Seja T uma ´ arvore geradora de um grafo conexo G, e seja e ∈ E (G)\E (T ). Ent˜ ao, T + e contém um unico ´ ciclo. 22



´ nico Demonstra¸ c˜ ao. Escreva e = xy. Pelo Teorema 2.1, em T existe um u caminho P entre x e y. Logo, o subgrafo P + e é um ciclo em T + e. Se C é um outro ciclo em T + e, é claro que C contém a aresta e. Assim, C − e é um caminho entre x e y em T , donde conclu´ımos que C − e é o pr´ oprio caminho P , isto é, os ciclos C e P + e são na verdade o mesmo ciclo.

2.6

Exerc´ıcios

2.1. Mostre que se G é uma a´rvore com ∆(G) ≥ k, então G contém pelo menos k folhas. 2.2. Desenhe todas as a´rvores n˜ ao isomorfas com 7 vértices. 2.3. Prove que um grafo é uma floresta se e somente se o seu n´ umero de arestas é igual ao seu n´ umero de vértices menos o seu n´ umero de componentes conexas. 2.4. Prove ou refute: Se G é ac´ıclico ent˜ ao G possui no m´ınimo 2(w(G) − i(G)) vértices de grau um, onde w(G) é o número de componentes conexas de G e i(G) é o n´ umero de vértices isolados de G. 2.5. Seja G um grafo conexo e e uma aresta de G. Mostre que e está em toda a´rvore geradora de G se e somente se e é uma ponte de G. 2.6. Mostre que se G tem exatamente uma a´rvore geradora T então G = T . 2.7. Mostre que qualquer grafo G = (V, E ) contém pelo menos m − n + w ciclos distintos, onde | V | = n, | E | = m e w é o n´ umero de componentes conexas de G. 2.8. Mostre que toda floresta é um subgrafo gerador de uma arvore. ´ 2.9. A cintura de um grafo G é o comprimento de seu menor ciclo. Se G for ac´ıclico, sua cintura é infinita. Mostre que um grafo k-regular de cintura 4 possui pelo menos 2k vértices.

23

3

Conectividade

Neste cap´ıtulo estudaremos conjuntos especiais de v´ ertices e arestas cuja remo¸caõ desconecta o grafo, no sentido de que o n´ umero de componentes conexas aumenta ap´ os a remo¸caõ.

3.1

Cortes de v´ ertices

Dado um grafo G, um conjunto de vértices V ′ ⊆ V (G) é um separador ou corte de vértices de G se w(G − V ′) > w(G). Observe que um grafo completo n˜ ao admite cortes de vértices.

3.1.1

Articula¸co ˜es e blocos

Um caso especial importante ocorre quando o corte de v´ ertices é um con junto unitário. Um vértice v é chamado de articula¸c˜ ao ou vértice de corte quando w(G − v) > w(G). A seguir, vamos estudar algumas propriedades relacionadas ao conceito de articula¸caõ. ao de um grafo se e somente se Lema 3.1. Um vértice v é uma articula¸c˜ existem dois vértices distintos x, y tais que: (a) v ∈ / {x, y }; (b) x, y e v est˜ ao na mesma componente conexa; (c) todo caminho entre x e y contém v.

Teorema 3.2. Em uma ´ arvore T n˜ ao trivial, um vértice v é uma articula¸c˜ ao se e somente se v n˜ ao é folha. Corol´ ario 3.3. Todo grafo conexo G n˜ ao trivial possui pelo menos dois vértices que n˜ ao s˜ ao articula¸c˜ oes. Passemos agora ao estudo dos blocos. Um bloco de um grafo G é um subgrafo B de G tal que B é maximal conexo sem articula¸co˜es.

Observa¸c˜ ao 3.1. Um bloco B sempre conter´ a uma ou mais articula¸co˜es de G, mas por defini¸caõ elas não ser˜ ao articula¸co˜es em B. Note que dois blocos distintos em um grafo têm no m´ aximo um vértice em comum; no caso de compartilharem um vértice, tal vértice ser´ a necessariamente uma articula¸caõ.



Note também que cada aresta de um grafo G está em um u ´ nico bloco. Portanto, os blocos determinam uma parti¸caõ de E (G). Um bloco B de um grafo G é chamado de bloco folha se B contém uma u ´ nica articula¸caõ de G.

3.1.2

Conectividade de v´ ertices

A conectividade de vértices κ(G) de um grafo conexo G é a cardinalidade de um corte de vértices m´ınimo de G, desde que G não seja completo. Definimos κ(G) = n − 1 se G é um grafo completo com n vértices, e κ(G) = 0 se G ´ e desconexo. Observe que, se G é trivial, κ(G) = 0. ´ claro que Dizemos que G é p-conexo em vértices para todo p ≤ κ(G). E todo grafo conexo e n˜ ao trivial é 1-conexo em vértices. Além disso, se G é conexo, é fácil ver que κ(G) = 1 se e somente se G contém pelo menos uma articula¸caõ. Alternativamente, podemos enunciar:

Proposi¸c˜ ao 3.4. Um grafo G conexo com pelo menos três vértices é biconexo se e somente se G n˜ ao possui articula¸c˜ oes. 3.1.3

Caminhos internamente disjuntos em v´ ertices

Sejam u e v vértices distintos de um grafo G. Dois caminhos de u a v são chamados de internamente disjuntos (em vértices) se eles têm apenas os extremos u e v em comum.

Teorema 3.5. (Whitney, 1932) Seja G um grafo com pelo menos três vértices. Ent˜ ao, G ´ e biconexo se e somente se para quaisquer dois vértices de G existem dois caminhos internamente disjuntos entre eles. Corol´ ario 3.6. Um grafo G com pelo menos três vértices é biconexo se e somente se existe um ciclo que passa por cada par de vértices arbitr´ arios de G. O seguinte teorema é uma generaliza¸caõ do Teorema 3.5. Sua demonstra¸caõ ser´ a omitida.

25



Teorema 3.7. (Menger) Um grafo com pelo menos k + 1 vértices é k-conexo em vértices se e somente se para quaisquer dois vértices de G existem k caminhos internamente disjuntos entre eles.

3.2

Cortes de arestas

Um conjunto desconectante (de arestas) é um conjunto E ′ ⊆ E (G) tal que w(G − E ′ ) > w(G). ´ Observe que toda ponte define um conjunto desconectante de arestas. E fácil ver que se e é uma ponte de um grafo G então w(G − e) = w(G) + 1. Iremos estudar agora conjuntos desconectantes especiais, os cortes de arestas . Para isso, precisamos da seguinte defini¸ ca˜ o: Se S e T são subcon juntos de vértices de um grafo, ent˜ ao [S, T ] é o conjunto de todas as arestas de G que têm um extremo em S e outro em T . Seja G um grafo. Um corte de arestas de G é qualquer conjunto n˜ ao vazio da forma [S, S ], onde S é um subconjunto pr´ oprio e não vazio de vértices de G e S = V (G)\S . ´ fácil ver que todo corte de arestas é um conjunto desconectante, mas E nem todo conjunto desconectante é um corte de arestas. O teorema a seguir nos aponta conjuntos desconectantes especiais que s˜ ao cortes de arestas.

Teorema 3.8. Todo conjunto desconectante minimal em um grafo G é um corte de arestas. Demonstra¸ c˜ ao. Assuma que G é conexo. Seja F um conjunto desconectante minimal de G, e seja e ∈ F . Defina F e = F \{e}. Pela minimalidade de F , w(G − F e ) = w(G). Logo, e é uma ponte de G − F e . Escreva e = xy. Sejam Gx e G y as componentes conexas de (G − F e ) − e contendo x e y, respectivamente. Como a aresta e foi tomada genericamente e (G − F e ) − e = G − F , segue que para qualquer aresta e ∈ F as componentes conexas de (G − F e ) − e são sempre as mesmas. Fazendo S = V (Gx ) e S = V (Gy ), segue que toda aresta e ∈ F tem um extremo em S e outro em S . Logo, F = [S, S ], isto é, F é um corte. A demonstra¸caõ se adapta facilmente para o caso em que G é desconexo. Note que toda ponte define um conjunto desconectante minimal de arestas, e portanto um corte. 26


3.2.1


Liga¸ c˜ oes (ou co-ciclos)

Um corte de arestas minimal é tamb´ em chamado de liga¸cao ˜ (“bond”) ou co-ciclo. Observe que toda ponte de um grafo G é um co-ciclo. A proposi¸caõ abaixo caracteriza co-ciclos em grafos conexos. oprio e n˜ ao vaProposi¸c˜ ao 3.9. Se G é conexo e S é um subconjunto pr´ zio de V (G), ent˜ ao F = [S, S ] é co-ciclo se e somente se G − F tem dois componentes conexos.

Observa¸c˜ ao 3.2. Seja G um grafo qualquer. Denotemos por D (G) a fam´ılia de todos os conjuntos desconectantes de G, D ′ (G) a fam´ılia de todos os conjuntos desconectantes minimais de G, C (G) a fam´ılia de todos os cortes de arestas de G, e C ′ (G) a fam´ılia de todas os co-ciclos de G. Vale então que:

D ′ (G) = C ′ (G) ⊆ C (G) ⊆ D (G). Para a sequência desta se¸caõ, necessitamos das defini¸co˜es a seguir. Seja H um subgrafo de um grafo G. O complemento de H em rela¸c˜ ao a G é o grafo G − E (H ). Seja T uma árvore geradora de um grafo conexo G. A co-´ arvore de T é o complemento de T em rela¸caõ a G. Denotamos por T a co-árvore de uma árvore geradora T . O teorema a seguir é o an´ alogo do Teorema 2.12 aplicado a co-´ arvores e co-ciclos:

Teorema 3.10. Seja T uma ´ arvore geradora de um grafo conexo G. Ent˜ ao: (a) T n˜ ao contém co-ciclos de G; (b) Se e é uma aresta de T ent˜ ao T + e contém um unico ´ co-ciclo de G.

3.2.2

Conectividade de arestas

A conectividade de arestas κ′ (G) de um grafo conexo e n˜ ao trivial G é a cardinalidade de um corte de arestas m´ınimo de G. Definimos κ′ (G) = 0 se G é trivial ou desconexo. Assim como para vértices, dizemos que um grafo G é p-conexo em arestas para todo p ≤ κ ′ (G). Obviamente, todo grafo conexo n˜ ao trivial é 1-conexo em arestas. 27



ao, Teorema 3.11. (Whitney, 1932) Seja G um grafo qualquer. Ent˜ κ(G) ≤ κ ′ (G) ≤ δ (G).

Demonstra¸ c˜ ao. Se G é desconexo ou trivial, κ(G) = κ′ (G) = 0, e portanto o teorema é v´ alido. Assuma então que G é conexo e n˜ ao trivial. Demonstremos inicialmente a desigualdade κ′ (G) ≤ δ (G). Observe que as arestas incidentes a um vértice v de grau m´ınimo definem um corte de arestas F = [S, S ] onde S = { v } e | F | = δ (G). Logo, κ′ (G) ≤ |F | = δ (G). Passemos agora a` demonstra¸cão da desigualdade κ(G) ≤ κ′ (G). Seja F = [S, S ] um corte de arestas m´ınimo de G, isto é, |F | = κ′ (G). Como F é um corte m´ınimo, F é um co-ciclo de G, e pela Proposi¸caõ 3.9 o grafo G − F tem exatamente duas componentes conexas, a saber, G[S ] e G[S ]. Seja S 1 = {x ∈ S | x é extremo de alguma aresta de F }. Analogamente, seja S 2 = { x ∈ S | x é extremo de alguma aresta de F }. A seguir, analisaremos alguns casos. Se S \ S 1 contém algum vértice y1, é fá cil ver que no grafo G − S 1 o vértice y1 encontra-se num componente conexa diferente de G[S ] (observe que a remo¸cão de S 1 acarreta a remo¸caõ de todas as arestas de F ). Logo, S 1 é um corte de vértices. Como |S 1| ≤ |F |, segue que κ(G) ≤ |S 1 | ≤ | F | = κ ′ (G). No caso em que S \ S 2 contém algum vértice y2, a desigualdade κ(G) ≤ κ (G) prova-se de maneira an´ aloga. ′

Resta agora analisar o caso S = S 1 e S = S 2 . Se existem y 1 ∈ S 1 e y2 ∈ S 2 não adjacentes, segue que o conjunto R = (S 1 \ {y1 }) ∪ N (y1, S 2) é um corte de vértices, pois sua remo¸caõ acarreta a remo¸cã o de todas as arestas de F e deixa y1 e y2 em componentes conexas diferentes. Como |R| ≤ |F |, segue que κ(G) ≤ |R| ≤ |F | = κ ′ (G). Finalmente, se todos os vértices de S 1 são adjacentes a todos os vértices de S 2, suponha |S 1| = n1 e |S 2| = n2 , e considere y1 ∈ S 1. Observe que as arestas incidentes a y1 definem um corte de arestas F 1 cujo tamanho é d(y1) ≤ n1 − 1 + n 2. Como neste caso |S | = n1 n2 e S é um corte m´ınimo, segue que n1 n2 ≤ n 1 − 1+n2 . Resolvendo esta desigualdade, segue que n1 = 1 ou n2 = 1. Assuma sem perda de generalidade n1 = 1, e considere y2 ∈ S 2 . Novamente, as arestas incidentes a y2 definem um corte de arestas, e segue então que n 2 = | S | ≤ d(y2). Conclu´ımos assim que, neste caso, G é um grafo 28



completo. Para concluir a demonstra¸caõ, basta recordar que a desigualdade κ(G) ≤ κ ′ (G) vale trivialmente em um grafo completo.

3.2.3

Caminhos disjuntos em arestas

A caracteriza¸caõ de grafos k-conexos em vértices por meio de caminhos internamente disjuntos em vértices (Teorema 3.7) admite uma vers˜ ao an´ aloga para arestas:

Teorema 3.12. (Menger - versão arestas) Um grafo G é k-conexo em arestas se e somente se para quaisquer dois vértices de G existem k caminhos disjuntos em arestas entre eles.

3.3

Exerc´ıcios

3.1. Prove: qualquer conjunto de 7 arestas no grafo K 3,3 é um conjunto desconectante, mas n˜ ao um corte. 3.2. Prove ou refute: O grafo K 4,4 não possui corte com exatamente 10 arestas. 3.3. Mostre que se G é conexo e não trivial, qualquer a´rvore geradora T de G e qualquer conjunto desconectante n˜ ao vazio F ⊆ E (G) ter˜ ao pelo menos uma aresta em comum. 3.4. Determine κ(G) e κ ′ (G) para os grafos abaixo. Para cada p, que grafos são p-conexos em vértices? Que grafos s˜ ao p-conexos em arestas?

3.5. Prove que se G é 3-regular, então κ(G) = κ ′ (G). 3.6. Existe algum grafo G que é 3-regular, 3-conexo em arestas e n˜ a o 3conexo em vértices? 29



3.7. Prove que o grafo de Petersen é 3-conexo em vértices. 3.8. Prove ou refute: Se G é conexo e possui exatamente dois vértices que não são articula¸co˜es, ent˜ ao G é um caminho. 3.9. Um cacto é um grafo conexo no qual todo bloco é uma aresta ou um ciclo. Prove que o n´ umero m´ aximo de arestas num cacto com n vértices é ⌊ 3(n − 1)/2⌋. Dica: ⌊x⌋ + ⌊y ⌋ ≤ ⌊x + y ⌋.

30

4

Grafos Eulerianos e Hamiltonianos

Neste cap´ıtulo estudaremos dois tipos especiais de passeios em grafos. O primeiro tipo é formado pelos passeios que visitam todas as arestas do grafo, sem repeti¸co˜es, e o segundo pelos passeios fechados que visitam todos os vértices, também sem repeti¸co˜es (a menos dos vértices inicial e final, claro). Como nem todo grafo admitir´ a tais tipos de passeios, veremos sob quais condi¸cões garante-se sua existência.

4.1

Grafos Eulerianos

Um passeio Euleriano ou passeio de Euler ou trilha Euleriana ou trilha de Euler de um grafo G é uma trilha fechada que cont´ em cada aresta de G exatamente uma vez. Um grafo é Euleriano se ele possui uma trilha de Euler.

Teorema 4.1. (Euler, 1736) Um grafo G conexo é Euleriano se e somente se todo vértice de G possui grau par. Demonstra¸ c˜ ao. Assuma que G não é trivial. A demonstra¸cã o da necessidade é simples: numa trilha Euleriana, cada ocorrência de um vértice v interno a` trilha acrescenta duas unidades ao grau de v. Além disso, é fácil ver que o vértice inicial (e final) da trilha também tem grau par. A demonstra¸ cão da suficiência consiste em executar o Algoritmo de Tucker: particionar G em ciclos e compor os ciclos até formar uma trilha Euleriana. Este algoritmo é O(m). Estes são os passos do algoritmo: (a) Se todos os vértices de G têm grau par, G não contém folhas. Logo, pelo Teorema 2.2, G não pode ser uma a´rvore. Como G é conexo, G deve conter um ciclo C 1. Note que todos os v´ ertices do grafo G1 = G − E (C 1 ) também possuem grau par. Eventualmente, G1 poder´ a conter vértices isolados, e até ser um grafo sem arestas; mas, se E (G1 )  = ∅, nenhuma das componentes conexas n˜ ao triviais de G1 será a´rvore, e nesse caso G1 conter´ a um ciclo C 2. O racioc´ıcio se aplica novamente ao grafo G2 = G1 − E (C 2 ), e assim sucessivamente. No final, para um certo valor de k, Gk será um grafo sem arestas e a cole¸caõ C = { C 1, C 2, . . . , Ck } define uma parti¸caõ das arestas de G em ciclos.



(b) Como um ciclo é um caso particular de trilha fechada, a cole¸ cão C pode ser vista agora como uma cole¸caõ de trilhas fechadas. Como G é conexo, se k ≥ 2 é claro que existem duas trilhas desta cole¸ cão que compartilham um vértice comum. Assuma sem perda de generalidade que C k−1 e C k possuam um vértice em comum. Estas trilhas podem ser facilmente concatenadas, resultando numa u ńica trilha fechada C k′ −1 . Novamente, se k − 1 ≥ 2, deve haver duas trilhas na cole¸caõ {C 1 , . . . , Ck −2, C k′ −1} compartilhando um vértice comum, digamos C k−2 e C k′ −1. A concatena¸ caõ destas duas trilhas numa ′ nova trilha fechada C k−2 resulta numa nova cole¸caõ { C 1, . . . , Ck −3, C k′ −2}. O processo continua até que haja uma unica ´ trilha fechada C 1′ contendo todas as arestas de G, exatamente uma vez cada.

Observa¸c˜ ao 4.1. O Teorema 4.1 vale também para multigrafos. Enunciamos a seguir um problema de log´ıstica bastante conhecido, que pode ser resolvido por algoritmos de tempo polinomial no tamanho do grafo de entrada. ao negativos Problema do Carteiro Chinês: Dado um grafo G com pesos n˜ nas arestas, deseja-se um passeio fechado de comprimento m´ınimo que passe por todas as arestas de G. Um algoritmo para a solu¸caõ do problema acima consiste em executar os seguintes passos: 1. Localizar os vértices de grau ´ımpar em G. Sejam v1, v2 , . . . , vk estes vértices. Como o n´ umero de vértices de grau ´ımpar em qualquer grafo é par, k é par. 2. Construir um grafo auxiliar completo G′ tal que V (G′ ) = { v1, v2 , . . . , vk } e o peso de uma aresta vi v j , i < j, é igual ao custo cij de um caminho de custo m´ınimo P ij entre vi e v j em G. 3. Determinar um emparelhamento de custo m´ınimo M ′ em G′ . (Para mais informa¸co˜es sobre emparelhamentos, consultar o pr´ oximo cap´ıtulo.) ´ fácil 4. Para cada aresta vi v j ∈ M ′ , acrescentar a G as arestas de P ij . E ver que o multigrafo resultante G+ é Euleriano. Uma trilha Euleriana de G+ , que pode ser obtida utilizando o algoritmo de Tucker, é uma solu¸ cão do problema. O custo desta trilha será e∈E (G) custo(e) + vi vj ∈M cij .



32



′



Todas as estapas do algoritmo descrito acima podem ser executadas em tempo polinomial. Portanto, o Problema do Carteiro Chinês pertence a` classe P .

4.1.1

Passeios Eulerianos abertos

Um passeio Euleriano aberto é um passeio aberto em G tal que toda aresta de G ocorre exatamente uma vez no passeio.

Corol´ ario 4.2. Um grafo conexo G admite um passeio Euleriano aberto se e somente se existem exatamente dois vértices de grau ´ımpar em G. Demonstra¸ c˜ ao. A demonstra¸caõ da necessidade é trivial. Para a demonstra¸caõ da suficiência, sejam u e v os dois vértices de grau ´ımpar em G. Considere um grafo auxiliar G′ constru´ıdo a partir de G pelo acréscimo de ´ claro que G′ é Euleriano. Pelo Teoum novo vértice x e arestas ux,vx. E rema 4.1, seja T ′ uma trilha Euleriana de G′ . A remo¸caõ de x da trilha T ′ (juntamente com as arestas ux e vx) resulta em um passeio Euleriano aberto em G.

4.2

Grafos Hamiltonianos

Um ciclo [caminho] Hamiltoniano em um grafo G é um ciclo [caminho] que contém todos os vértices de G, uma vez cada. O grafo G é Hamiltoniano quando possui um ciclo Hamiltoniano. ´ fácil observar que todo grafo Hamiltoniano é biconexo. E O teorema a seguir fornece uma condi¸caõ necess´ aria para a Hamiltonicidade de um grafo. ao todo subconjunto Teorema 4.3. Se G é um grafo Hamiltoniano ent˜ S ⊆ V (G) pr´ oprio e n˜ ao vazio satisfaz w(G − S ) ≤ |S |.

Demonstra¸ c˜ ao. Considere um ciclo Hamiltoniano C em G. Seja S um subconjunto de vértices de G, próprio e não vazio. Denotemos por G 1 , . . . , Gk as componentes conexas de G − S , e sejam P 1, . . . , Pk subcaminhos maximais de C onde V (P i ) ⊆ V (Gi ), 1 ≤ i ≤ k. Observe que o vértice u i que imediatamente precede P i em C não pode pertencer a nenhuma componente conexa 33



G j , j  = i, caso contr´ ario haveria uma aresta conectando estas componentes. Logo, { u1 , . . . , uk } ⊆ S . Além disso, os u i ’s são mutuamente distintos. Logo w(G − S ) = k ≤ |S |.

Exemplo 4.1. Considere o grafo G na Figura 4.1. Este grafo é chamado grafo de Petersen . Observe que para todo S ⊆ V (G), próprio e não vazio, vale w(G − S ) ≤ |S |. No entanto, G não é Hamiltoniano. Isto mostra que a condi¸caõ do Teorema 4.3, embora seja necess´ a ria, n˜ ao é uma condi¸caõ suficiente para um grafo ser Hamiltoniano. 1 5

6 10

2

7 9

8

4

3

Figura 4.1: O grafo de Petersen não é Hamiltoniano. Veremos agora algumas condi¸co˜es suficientes para a Hamiltonicidade de um grafo.

Teorema 4.4. (Dirac, 1952) Todo grafo com n ≥ 3 e δ (G) ≥ n/2 tem um ciclo Hamiltoniano. Teorema 4.5. (Ore, 1960) Se G é um grafo com n ≥ 3 e tal que para todo par de vértices distintos n˜ ao adjacentes u e v vale d(u) + d(v) ≥ n, ent˜ ao G é Hamiltoniano. Observe que o Teorema de Ore é mais forte do que o de Dirac, no sentido de que o Teorema de Dirac é um corol´ ario do Teorema de Ore. Demonstraremos ent˜ ao o Teorema de Ore.

Demonstra¸ c˜ ao do Teorema 4.5. Suponha o teorema falso. Seja G um grafo com pelo menos três vértices e tal que d(u)+ d(v) ≥ n para todo par u, v de vértices não adjacentes, e suponha que G é n˜ ao Hamiltoniano maximal. 34



´ claro que G não é um grafo completo. Escolha um par u, v de vértices E não adjacentes de G, e considere o grafo G + uv. Pela maximalidade de G, segue que G + uv é Hamiltoniano. Além do mais, todo ciclo Hamiltoniano de G + uv contém uv. Claramente, G contém um caminho Hamiltoniano v 1, v2 , . . . , vn com v 1 = u e vn = v. Sejam S = {vi | uvi+1 ∈ E (G)} e T = {vi | vi v ∈ E (G)}. Observe que vn  ∈ S e vn  ∈ T . Logo, |S ∪ T | < n. Além disso, temos que |S ∩ T | = 0, pois se existisse vi ∈ S ∩ T o grafo G conteria o ciclo Hamiltoniano v1 v2 . . . vi vnvn−1 . . . vi+1 v1 . (Veja a Figura 4.2.) Assim, d(u) + d(v) = | S | + |T | = | S ∪ T | + |S ∩ T | < n. Mas isto contradiz a hipótese do teorema.

u = v 1

v2

vi

vi+1

vn−1

vn = v

Figura 4.2: Demonstra¸cão do Teorema 4.5. Um racioc´ınio alternativo para a demonstra¸caõ acima consiste em utilizar o Princ´ıpio Combinat´ orio da Casa de Pombo: “Se existirem n pombos em m < n casas, então existe pelo menos uma casa com no m´ınimo dois pombos.” Observe que vn  ∈ S ∪ T , d(u) = |S |, d(v) = |T | e d(u) + d(v) ≥ n. Temos assim n − 1 “casas” numeradas de 1 a n − 1 (´ındices), onde vamos distribuir os elementos de S e T , em quantidade maior do que n − 1 (levando em conta poss´ıveis elementos repetidos). Um certo ´ındice i dever´ a estar portanto associado a dois elementos idênticos, um de S e outro de T . Isto é, dever´ a existir vi ∈ S ∩ T . Mas vimos que isto gera uma contradi¸caõ. Descreveremos agora uma condi¸caõ necess´ aria e suficiente para Hamiltonicidade. Antes, precisaremos de uma nova defini¸ cão e dois lemas preparat´ orios. 35



O fecho de um grafo G é o grafo C (G) obtido de G por sucessivas adi¸co˜es de arestas ligando pares de vértices n˜ ao adjacentes cuja soma de graus seja maior ou igual a n.

Exemplo 4.2. Se G é o grafo formado pelo ciclo a, b, c, d, e, f,a acrescido das cordas ac e ae então C (G) é o grafo K 6. Uma poss´ıvel sequência de arestas a serem acrescentadas na determina¸caõ do fecho é: ad,ec, eb, cf, bf, df, bd. Lema 4.6. C(G) é bem definido (´ unico). Demonstra¸ c˜ ao. Sejam G1 = G + {e1 , e2, . . . , ek } e G2 = G + {f 1 , f 2, . . . , fl } dois grafos obtidos pela aplica¸caõ exaustiva de adi¸co˜es de arestas de acordo com a regra de constru¸caõ do fecho de um grafo. Suponha que exista alguma aresta em G1 que não esteja em G2 . Seja e j a primeira aresta da sequência e1, e2 , . . . , ek que não pertence a G2 . Escreva e j = uv, e defina H = G + ´ claro que dH (u)+dH (v) ≥ n, pois e j dever´ a ser acrescentada {e1 , . . . , e j −1}. E a H . Observe também que H é um subgrafo de G2 , pois por defini¸caõ todas as arestas e1 , . . . , e j −1 estã o em G2 . Logo, dG (u) + dG (v) ≥ n. Mas isto implica que e j = uv deve ser acrescentada a G 2 , uma contradi¸caõ. Logo toda aresta de G 1 está em G2, e de modo análogo pode-se provar que toda aresta de G2 está em G1 . 2

2

Lema 4.7. Seja G um grafo e a, b dois vértices n˜ ao adjacentes de G satis fazendo d(a) + d(b) ≥ n. Ent˜ ao, G é Hamiltoniano se e somente se G + ab é Hamiltoniano. Demonstra¸ c˜ ao. A prova da necessidade é trivial. A prova da suficiência segue diretamente da demonstra¸cão do Teorema de Ore: se G + ab é Hamiltoniano ent˜ ao G possui um caminho Hamiltoniano iniciando no vértice a e terminando no vértice b. A partir da´ı podemos construir dois conjuntos S e T exatamente como na demonstra¸caõ do Teorema 4.5, e concluir que G é Hamiltoniano. Finalmente, podemos enunciar:

Teorema 4.8. (Bondy e Chvátal, 1976) Um grafo G é Hamiltoniano se e somente se C (G) é Hamiltoniano. Demonstra¸ c˜ ao. A prova da necessidade é trivial. J´ a a prova da suficiência consiste em sucessivas aplica¸co˜es do Lema 4.7. Escreva C (G) = 36



G + {u1v1 , u2v2 , . . . , uk vk }. Defina G 0 = G e G j = G + {u1 v1, u2 v2 , . . . , u j v j }, 1 ≤ j ≤ k. Como dGk (uk ) + d Gk (vk ) ≥ n e Gk é um grafo Hamiltoniano, segue pelo Lema 4.7 que Gk−1 é Hamiltoniano. Da mesma forma, como d Gk (uk−1) + dGk (vk−1) ≥ n e G k−1 é Hamiltoniano, segue que G k−2 é Hamiltoniano. Aplicando sucessivamente este racioc´ıcio, conclu´ımos que G0, G1, . . . , Gk são todos Hamiltonianos. −1

−2

−1

−2

O seguinte corol´ ario ser´ au ´ til em muitos casos: ao G é Hamiltoniano. Corol´ ario 4.9. Se C (G) é completo ent˜ Conclu´ımos este cap´ıtulo enunciando um dos problemas mais importantes ´ um problema da Ciência da Computa¸caõ, devido a suas várias aplica¸co˜es. “E de otimiza¸caõ NP-dif´ıcil inspirado na necessidade dos vendedores em realizarem entregas em diversos locais (as cidades) percorrendo o menor caminho poss´ıvel, reduzindo o tempo necess´ ario para a viagem e os poss´ıveis custos com transporte e combust´ıvel.” (Fonte: Wikipedia)

Problema do Caixeiro Viajante: Dado um grafo completo G com pesos nas arestas, deseja-se obter um ciclo Hamiltoniano de G com peso m´ınimo.

4.3

Exerc´ıcios

4.1. Existe algum grafo euleriano com n par e m ´ımpar? Em caso positivo, descreva-o. Em caso negativo, justificar a n˜ ao existência. 4.2. Prove que se G é 4-regular então G não contém pontes. 4.3. Verdadeiro ou Falso? Se G é bipartido e 3-regular ent˜ ao G não contém pontes. 4.4. Se G é um grafo euleriano com arestas e1 e e2 que têm um vértice em comum, ent˜ ao G tem uma trilha Euleriana no qual e1 e e2 aparecem consecutivamente? Prove, se for verdadeiro. Caso contr´ ario justifique convenientemente. 4.5. Verdadeiro ou Falso? Se G é Euleriano, então todo bloco de G é Euleriano. 4.6. Verdadeiro ou Falso? Todo bloco de um grafo G possui caminho Hamiltoniano. 37



4.7. Uma grade de dimens˜ ao p × q (onde p, q são inteiros tais que p, q ≥ 2) é um grafo G em que V (G) é o subconjunto dos pontos de coordenadas inteiras (x, y), 1 ≤ x ≤ p e 1 ≤ y ≤ q , e tal que se dois vértices são adjacentes ent˜ a o a distância entre os pontos respectivos é um. Uma grade completa contém todas as arestas poss´ıveis. Mostre que uma grade completa é um grafo hamiltoniano se e somente se p.q for par. 4.8. Um grafo G é hipo-hamiltoniano quando G − v é hamiltoniano para todo vértice v, mas G não o é. Justificar porque o grafo de Petersen é hipo-hamiltoniano. 4.9. O grafos abaixo s˜ ao Hamiltonianos?

4.10. Proponha altera¸co˜es m´ınimas no conjunto de arestas de cada grafo do exerc´ıcio anterior de modo a converter sua Hamiltonicidade em n˜ aoHamiltonicidade, ou o contrário. 4.11. Um passeio fechado de cavalo é uma sequência de movimentos de cavalo em um tabuleiro com m linhas e n colunas, onde, partindo de uma casa inicial e sem passar duas vezes pela mesma casa, o cavalo retorna a` casa inicial após visitar todas as casas do tabuleiro. Pergunta-se: o tabuleiro 4 × 4 admite um passeio de cavalo fechado?

38



4.12. Estude o problema da questão anterior, verificando para quais valores de m e n o tabuleiro m × n admite um passeio de cavalo fechado.

39

5

Emparelhamentos

O conceito de emparelhamento é muito util ´ para modelar problemas de aloca¸ca˜ o em pares de objetos: oper´ arios/máquinas, turmas/salas-de-aula, professores/disciplinas, processadores pareados etc. Em muitas aplica¸ co˜es, o grafo subjacente é naturalmente bipartido. Por´ em, iniciaremos nosso estudo em grafos gerais.

5.1

Defini¸ c˜ ao de emparelhamento

Dado um grafo G, um emparelhamento de G é um subconjunto M ⊆ E (G) que não contém arestas com extremos em comum. Em outras palavras, G[M ] é um grafo 1-regular se M  = ∅ . Um emparelhamento M satura um vértice v se alguma aresta de M é incidente a v. Neste caso, v é dito M -saturado, ou simplesmente emparelhado. Caso contr´ ario, v é M -insaturado. Um emparelhamento M será maximal se não existir nenhum outro que o contenha propriamente, e ser´ a m´ aximo se não existir nenhum outro de ´ claro que todo emparelhamento m´ cardinalidade maior. E aximo é maximal, mas nem todo emparelhamento maximal é m´ aximo.

5.2

Teorema de Berge

Nesta se¸cão estudaremos um modo de caracterizar emparelhamentos m´ aximos em grafos gerais. Seja M um emparelhamento em um grafo G. Um caminho M -alternante em G é um caminho tal que suas arestas alternadamente pertencem a M ou não. Este caminho ser´ a dito M -aumentante se os seus extremos inicial e final não são M -saturados. O comprimento de um caminho M -aumentante é sempre ´ımpar. Além disso, a existência de um caminho M -aumentante P indica uma forma de construir um emparelhamento M ′ com |M ′ | > | M |. Basta remover de M as arestas de E (P ) ∩ M , e a seguir acrescentar as arestas de E (P ) \ M . Esta opera¸caõ pode ser melhor formalizada utilizando a diferen¸ca simétrica de



conjuntos . A diferen¸ca simétrica entre dois conjuntos A e B, denotada por A △ B, é definida da seguinte forma: A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B). Assim, utilizando a nota¸caõ acima, o emparelhamento M ′ é definido precisamente como M ′ = M △ E (P ). Observe que |M ′ | = | M | + 1. O teorema seguir relaciona o conceito de caminhos M -aumentantes com emparelhamentos m´ aximos.

Teorema 5.1. (Berge, 1957) Um emparelhamento M em um grafo G é m´ aximo se e somente se G n˜ ao contém nenhum caminho M -aumentante.

5.3

Teorema de Tutte

Um emparelhamento é perfeito se satura todo vértice do grafo. Obviamente, todo emparelhamento perfeito é m´ aximo. Além disso nem todo grafo admite emparelhamento perfeito; por exemplo, um grafo com n´ umero ´ımpar de vértices não admite emparelhamento perfeito. O grafo K 1,3 , embora tenha número par de vértices, também n˜ ao admite emparelhamento perfeito. O próximo teorema fornece uma condi¸ caõ necess´ aria e suficiente para a existência de um emparelhamento perfeito em um grafo. Mas antes é necess´ ario apresentar alguns conceitos. Uma componente conexa H de um grafo G é uma componente ´ımpar se o n´ umero de vértices de H é ´ımpar. Denotamos por o(G) o n´ umero de componentes ´ımpares de um grafo G. Sejam S um subconjunto pr´ oprio de V (G) e M um emparelhamento de G, e considere uma componente ´ımpar H de G − S . Observe que, se M satura todos os vértices de H , pelo menos um deles deve estar emparelhado com algum vértice de S . Obviamente, no m´ aximo |S | vértices podem estar emparelhados com vértices de G − S . Logo, pelo menos o(G − S ) − |S | componentes ´ımpares contêm vértices M -insaturados. Se U M é o conjunto de vértices M -insaturados, temos que

|U M | ≥ o(G − S ) − |S |, para todo S ⊂ V (G).

41



Note que |U M | = n − 2 |M |. Se a igualdade for verificada na express˜ ao acima para algum subconjunto pr´ oprio S = B, isto é, | U M | = o(G − B) −|B |, tal subconjunto B é precisamente um certificado de que o emparelhamento M produz o menor n´ umero poss´ıvel de vértices insaturados. Em outras palavras, B é um certificado de que M é máximo. Neste caso, dizemos que B é uma barreira de G. Pode-se provar que qualquer grafo G possui uma barreira. Este resultado é conhecido como Teorema de Tutte-Berge , e será utilizado como ferramenta na prova do pr´ oximo teorema.

Teorema 5.2. (Tutte, 1947) Um grafo G admite um emparelhamento per feito se e somente se o(G − S ) ≤ |S |, para todo S ⊆ V (G). Um corolário do teorema acima é o conhecido Teorema de Petersen, de 1891:

Teorema 5.3. (Petersen, 1891) Todo grafo 3-regular sem pontes contém um emparelhamento perfeito.

5.4

Teorema de Hall

Passamos agora a estudar emparelhamentos em grafos bipartidos. Iniciamos com o seguinte problema, conhecido como o Problema do Casamento: “Dado um conjunto Y de rapazes e um conjunto X de mo¸cas com | Y | ≥ |X |, qual é a condi¸caõ necess´ aria e suficiente para que cada mo¸ca se case com um rapaz de que ela goste?” A resposta para esta quest˜ ao est´ a no pr´ oximo teorema. Dado um subconjunto S de vértices de um grafo G, denotamos por N (S ) ao conjunto de todos os vértices adjacentes a vértices de S .

Teorema 5.4. (Hall, 1935) Seja G um grafo bipartido com parti¸ c˜ ao de vértices V (G) = X ∪ Y . Ent˜ ao, G contém um emparelhamento que satura todo vértice de X se e somente se

|N (S )| ≥ |S |, para todo S ⊆ X. ao G admite Corol´ ario 5.5. Se G é um grafo bipartido k-regular, k > 0, ent˜ um emparelhamento perfeito. 42


5.5


Teorema de K¨ onig

Vamos agora apresentar uma condi¸cão que permite confirmar que um dado emparelhamento em um grafo bipartido é de fato m´ aximo. Esta confirma¸caõ se dar´ a pela existência de um certificado baseado no conceito de cobertura . Uma cobertura de um grafo G é um conjunto K ⊆ V (G) tal que toda aresta de G tem pelo menos um de seus extremos em K . A cobertura ser´ a m´ınima se não houver nenhuma outra de cardinalidade menor.

Proposi¸c˜ ao 5.6. Para qualquer emparelhamento M e para qualquer cobertura K de um grafo G vale |M | ≤ | K |. O seguinte lema ser´ au ´til, e decorre imediatamente da proposi¸caõ anterior.

Lema 5.7. Sejam M um emparelhamento e K uma cobertura de um grafo G tais que |M | = | K |. Ent˜ ao, M é m´ aximo e K é m´ınima. O próximo teorema diz que, para os grafos bipartidos, a igualdade do lema anterior é sempre atingida.

Teorema 5.8. (König, 1931) Em um grafo bipartido, o n´ umero de arestas em um emparelhamento m´ aximo é igual ao n´ umero de vértices em uma cobertura m´ınima. O problema de determinar um emparelhamento m´ a ximo em um grafo bipartido pode ser resolvido pelo Algoritmo de Egerváry, também conhecido como Algoritmo H´ ungaro. Este algoritmo é de tempo polinomial e devolve, juntamente com o emparelhamento m´ aximo, uma cobertura m´ınima de mesmo tamanho, que serve como um certificado de sua corretude.

5.6

Exerc´ıcios

5.1. Determine condi¸co˜es necess´ arias e suficientes para que uma a´rvore possua um emparelhamento perfeito. 5.2. Mostre que se G é Hamiltoniano e 3-regular ent˜ ao G tem emparelhamento perfeito.

43



5.3. Duas pessoas disputam um jogo sobre um grafo G escolhendo alternadamente vértices distintos v1 , v2 , . . . formando um caminho. Ganha quem for a u ´ltima pessoa a conseguir escolher um vértice. (a) Mostre que quem come¸ca o jogo tem um estratégia vencedora caso G não tenha emparelhamento perfeito. (b) Mostre que a segunda a jogar tem uma estratégia vencedora caso G tenha um emparelhamento perfeito. 5.4. Um k-fator de G é um subgrafo gerador k-regular de G. Um grafo é k-fator´ avel se existirem k-fatores disjuntos em arestas H 1 , H 2 ,...,H p , tal que G = H 1 ∪ H 2 ∪ ... ∪ H p. Responda, justificando:

(i) K n,n é 1-fatorável? (ii) K 4,4 é 2-fatorável? 5.5. Seja um tabuleiro de xadrez de dimensão 8 × 8, em que dois cantos opostos (isto é, os extremos 1 × 1 de uma mesma diagonal) foram retirados. Moste que é imposs´ıvel cobrir este tabuleiro com retˆ angulos de dimensão 1 × 2.

44

6 6.1

Colora¸c˜ ao de V´ ertices Grafos k -color´ıveis

Uma k-colora¸c˜ ao de vértices é uma atribui¸caõ de k cores aos vértices de um grafo. Esta colora¸caõ é pr´ opria quando vértices adjacentes recebem cores distintas. Uma k-colora¸caõ pr´ opria particiona o conjunto de vértices do grafo em k conjuntos independentes. Um grafo G é k-color´ıvel se G admite uma k-colora¸caõ pr´ opria de vértices. O n´ umero crom´ atico de G, denotado por χ(G), é o menor inteiro k para o qual G é k-color´ıvel. Obviamente, χ(G) ≤ n. Teremos χ(G) = n se e somente se G = K n .

6.2

Grafos cr´ıticos

Um grafo G é cr´ıtico se χ(H ) < χ(G) para todo subgrafo pr´ oprio H de G. Um grafo G é k-cr´ıtico quando for cr´ıtico e k-cromático. Observe que todo grafo cr´ıtico é conexo, e todo grafo k-cromático tem um subgrafo k-cr´ıtico. ao δ (G) ≥ k − 1. Teorema 6.1. Se G é k-cr´ıtico ent˜

Demonstra¸ c˜ ao. Seja v um vértice de grau m´ınimo em G, isto é, d(v) = δ (G). Como G é k-cr´ıtico, χ(G − v) ≤ k − 1. Considere uma (k − 1)colora¸caõ de G − v que define uma parti¸caõ de V (G − v) em k − 1 conjuntos independentes V 1, V 2 , . . . , Vk −1. Claramente, devemos ter V i  = ∅ para todo i ∈ {1, . . . , k − 1}, caso contr´ ario G não teria n´ umero crom´ atico igual a k. Observe que, para todo i ∈ {1, . . . , k − 1}, deve existir em G uma aresta de v para algum vértice em V i , pois se v não fosse conectado a nenhum vértice de V i ter´ıamos que V i ∪{v } seria um conjunto independente em G, e portanto G seria (k − 1)-color´ıvel, o que é uma contradi¸caõ. Logo, d(v) ≥ k − 1, e o teorema vale.

Corol´ ario 6.2. Todo grafo k-crom´ atico possui pelo menos k vértices de grau maior ou igual a k − 1.



Demonstra¸ c˜ ao. Todo grafo k-cromático G contém um subgrafo k-cr´ıtico H . (Para provar este fato, basta remover sucessivamente arestas ou vértices isolados enquanto o grafo n˜ ao é cr´ıtico.) Como χ(H ) = k, o subgrafo H contém pelo menos k vértices. Como H é k-cr´ıtico, pelo Teorema 6.1 todos estes vértices têm grau pelo menos k − 1.

6.3

Cotas para o n´ umero crom´ atico

Iniciamos esta se¸caõ exibindo cotas inferiores para o n´ umero crom´ atico.

Proposi¸c˜ ao 6.3. Para qualquer grafo G, vale que: (a) χ(G) ≥ ω(G), onde ω(G) é o n´ umero de vértices da maior clique de G. (b) χ(G) ≥ α(nG) , onde α(G) é o numero de vértices do maior conjunto independente de G. A próxima proposi¸caõ exibe um limite superior simples para o n´ umero cromático.

Proposi¸c˜ ao 6.4. Para qualquer grafo G, vale que χ(G) ≤ ∆(G) + 1. 6.3.1

Constru¸ c˜ ao de Mycielski

Seja G um grafo com n vértices v1 , v2, . . . , vn . O grafo de Mycielski de G, denotado por µ(G), é formado por uma c´ opia de G mais n + 1 vértices novos w, u1, u2, . . . , un conectados da seguinte forma: cada ui é conectado a w e a todos os vizinhos de v i em G. A constru¸c˜ ao de Mycielski , concebida pelo matem´ atico Jan Mycielski em 1955, consiste numa sequência de grafos M 2 , M 3, M 4 , . . . tal que M 2 = K 2 e M k = µ(M k−1 ) para k ≥ 3. Assim, teremos: M 2 = K 2, M 3 = C 5 , e M 4 é o grafo de Gr¨ otzsch , representado na Figura 6.1. A constru¸caõ de Mycielski é importante porque mostra que o n´ umero cromático pode se afastar arbitrariamente do tamanho da maior clique (veja Proposi¸caõ 6.3(a)). Pode-se provar que ω(M k ) = 2 e χ(M k ) = k, para todo k ≥ 2 (veja Exerc´ıcio 6.5).

46



v2

u2 v3

v1 u3

u1 w

u4

u5

v4

v5

Figura 6.1: Grafo de Grötzsch.

6.3.2

Teorema de Brooks

O seguinte teorema fornece um limite superior mais justo do que aquele na Proposi¸caõ 6.4:

Teorema 6.5. (Brooks, 1941) Se G é conexo e n˜ ao é completo nem um ciclo ´ımpar ent˜ ao χ(G) ≤ ∆(G).

6.4

Exerc´ıcios

6.1. Suponha que quaisquer dois ciclos ´ımpares de um grafo G possuem pelo menos um vértice em comum. Mostre que χ(G) ≤ 5. 6.2. Prove: se toda aresta de G ocorre no m´ a ximo em um ciclo, ent˜ ao χ(G) ≤ 3. 6.3. Prove ou refute: Se |E (G)| > 1 e y é uma ponte de G então χ(G) = χ(G − y). 47



6.4. Mostre que existe uma ordena¸ cão dos vértices de G tal que o método guloso de colora¸caõ aplicado a esta ordena¸caõ usa χ(G) cores. 6.5. Sejam M 2 , M 3 , M 4, . . . os grafos da constru¸caõ de Mycielski, onde M 2 = K 2 . Mostre que: (a) Todo M k é k-cr´ıtico. (b) Todo M k é livre de triˆ angulos. 6.6. Um grafo G é unicamente k-color´ıvel se quaisquer duas k-colora¸co˜es de G induzem a mesma parti¸caõ de V (isto é, coincidem a menos de uma permuta¸caõ de cores). Mostre que nenhum corte de vértices de um grafo k-cr´ıtico induz um subgrafo unicamente (k − 1)-color´ıvel.

48

7 7.1

Colora¸c˜ ao de Arestas Grafos k -color´ıveis em arestas

Uma k-colora¸cao ˜ de arestas de um grafo G é uma atribui¸ca˜ o de k cores 1, 2, . . . , k a`s suas arestas. Esta colora¸cão ser´ a pr´ opria se arestas adjacentes tiverem cores diferentes; neste caso, cada conjunto de arestas de mesma cor é um emparelhamento. Um grafo é k-color´ıvel em arestas se admitir uma k-colora¸cão pr´ opria de arestas. Obviamente, todo grafo é m-color´ıvel em arestas, onde m = | E (G)|. Além disso, se G é k-color´ıvel em arestas, ent˜ ao G é r-color´ıvel em arestas para todo r ≥ k. O ´ındice crom´ atico χ′(G) de um grafo G é o menor k para o qual G é k-color´ıvel. Obviamente, χ′ (G) ≥ ∆(G).

Exemplo 7.1. O ´ındice cromático do grafo de Petersen é 4. Para provar este fato, é necessário mostrar que: (a) o grafo de Petersen é 4-color´ıvel em arestas; (b) o grafo de Petersen n˜ ao é 3-color´ıvel em arestas. A demonstra¸ caõ de (a) e (b) fica como exerc´ıcio para o leitor.

7.2

Teorema de Vizing

Dada uma colora¸caõ de arestas de um grafo, dizemos que uma certa cor j está representada no vértice v quando alguma aresta incidente a v possui a cor j . ao é um ciclo ´ımpar. Ent˜ ao existe Lema 7.1. Seja G um grafo conexo que n˜ uma 2-colora¸c˜ ao de arestas de G tal que, em todo vértice de grau maior que um, as duas cores est˜ ao representadas. Denotemos por c(v) o n´ umero de cores representadas no vértice v em uma k-colora¸cão de arestas C de um grafo G. Observe que C é pr´ opria se e somente se c(v) = d(v). Uma k-colora¸cão C ′ é uma melhoria de uma k-colora¸caõ C se a soma dos valores c′ (v) é estritamente maior que a soma dos valores c(v). Uma k-colora¸caõ é plena quando não admite melhoria.



Para o lema a seguir, utilizamos a seguinte nota¸caõ: dada uma colora¸caõ de arestas de um grafo, E j é o conjunto de arestas com a cor j. ao plena tal que existe um Lema 7.2. Seja G um grafo com uma k-colora¸c˜ vértice u onde uma certa cor 0 n˜ ao est´ a representada em u e uma certa cor 1 est´ a representada pelo menos duas vezes em u. Ent˜ ao, a componente conexa H de G[E 0 ∪ E 1 ] que contém u é um ciclo ´ımpar. ao χ′ (G) = ∆(G). Teorema 7.3. Se G é bipartido ent˜

Teorema 7.4. (Vizing - 1964, Gupta - 1966, Fournier - 1973) Para qualquer grafo G, χ′ (G) ≤ ∆(G) + 1. Pelo teorema acima, conclu´ımos que o ´ındice crom´ atico de um grafo G vale ∆(G) ou ∆(G) + 1. Grafos que têm ´ındice cromático ∆ são chamados grafos Classe 1, enquanto que os demais são grafos Classe 2 . O grafo de Petersen, por exemplo, é um grafo Classe 2. O problema de decidir se um dado grafo é Classe 1 ou Classe 2 é NP-dif´ıcil.

7.3

Exerc´ıcios

7.1. Pinte as arestas de K m,n com ∆ cores. 7.2. Prove que se um grafo G tem 2k + 1 vértices e mais do que k.∆ arestas, então χ′ (G) = ∆ + 1. 7.3. Seja G um grafo c´ ubico hamiltoniano. Mostre que χ′ (G) = 3. 7.4. Mostre que se G é um grafo não vazio, regular e tal que | V (G)| é ´ımpar então χ′ (G) = ∆ + 1. 7.5. Descrever um método algor´ıtmico para colorir as arestas de um grafo bipartido com ∆ cores.

50

8 8.1

Planaridade Defini¸ c˜ ao de grafo planar

Um grafo G é planar se existe uma representa¸c˜ ao (ou desenho, ou imers˜ ao) de G no plano de modo que as arestas se encontrem somente nos v´ ertices, isto é, de modo que as arestas n˜ ao se cruzem. Uma tal representa¸caõ de G é dita plana ou planar . Uma representa¸ caõ planar divide o plano em regi˜ oes chamadas faces . Existe sempre uma u ´ nica face que não est´ a limitada (isto é, tem a´rea infinita); tal face é chamada externa ou infinita . Qualquer representa¸caõ planar de G possui sempre o mesmo número de faces; portanto, o n´ umero de faces de um grafo planar é uma invariante do mesmo. Note que se G é planar ent˜ ao todo subgrafo de G também é planar. Além disso, G é planar se e somente se todas as suas componentes conexas s˜ ao planares.

8.2

F´ ormula de Euler

A fronteira de uma face f de um grafo planar conexo é um passeio fechado que limita e determina a face. Neste passeio, cada ponte é atravessada duas vezes. Nota¸caõ: b(f ) denota a fronteira da face f . O grau de uma face f é o comprimento do passeio fechado que determina sua fronteira. Nota¸caõ: d(f ) denota o grau da face f . Seja F (G) = { f 1 , f 2 , . . .} o conjunto de faces de um grafo planar conexo G, e seja F = |F (G)|.

Proposi¸c˜ ao 8.1. Se G é conexo e planar ent˜ ao



F i=1

d(f i ) = 2m.

Teorema 8.2. (Fórmula de Euler) Para todo grafo conexo e planar vale: F = m − n + 2.

Corol´ ario 8.3. Se G é um grafo planar simples com n ≥ 3 ent˜ ao m ≤ 3n−6.



angulos com Corol´ ario 8.4. Se G é um grafo planar simples livre de triˆ n ≥ 3 ent˜ ao m ≤ 2n − 4. ao s˜ ao planares. Corol´ ario 8.5. Os grafos K 5 e K 3,3 n˜

Exemplo 8.1. O grafo de Petersen (Figura 4.1) tem n = 10 e m = 15. Portanto, satisfaz a`s desigualdades apresentadas nos Corol´ a rios 8.3 e 8.4. Em outras palavras, n˜ ao podemos utilizar estas desigualdades para provar a não-planaridade do grafo de Petersen. ao existe um vértice Corol´ ario 8.6. Se G é um grafo planar simples ent˜ v ∈ V (G) tal que d(v) ≤ 5. A espessura (thickness ) t(G) de um grafo G é o menor número de grafos planares cuja uni˜ ao é G. Claramente, G é planar se e s´ o se t(G) = 1. A proposi¸caõ a seguir fornece um limite inferior para t(G):

Proposi¸c˜ ao 8.7. Para qualquer grafo G vale que t(G) ≥ ⌈ 3nm−6 ⌉.

8.3

Caracteriza¸ co ˜es de grafos planares

Uma subdivis˜ ao de um grafo G é um grafo obtido de G pelo acréscimo de ´ fácil ver que se G é planar v´ ertices de grau 2 ao longo das arestas de G. E então toda subdivis˜ ao de G também é planar.

Teorema 8.8. (Kuratowski, 1930) Um grafo G é planar se e somente se nenhum subgrafo de G é uma subdivis˜ ao de K 5 ou K 3,3 . Uma contra¸c˜ ao de G é um grafo obtido de G pela identifica¸caõ de dois vértices adjacentes. A vizinhan¸ca do novo vértice é igual a` união das vizinhan¸cas dos vértices originais. Um grafo H é um menor de um grafo G se H pode ser obtido a partir de G através das seguintes opera¸co˜es: remo¸caõ de um aresta; remo¸ca˜ o de um vértice; contra¸caõ de dois vértices adjacentes. ao Teorema 8.9. (Wagner, 1937) Um grafo G é planar se e somente se G n˜ admite K 5 ou K 3,3 como menor.

Exemplo 8.2. O grafo de Petersen (Figura 4.1) contém uma subdivis˜ ao de K 3,3 . Além disso, K 5 e K 3,3 são menores do grafo de Petersen. Logo, ele n˜ ao é planar. (Veja Exerc´ıcio 8.5.) 52


8.4


Mapas e o Teorema das Quatro Cores

Dado um grafo planar G, definimos o grafo dual G ∗ de G da seguinte forma: a cada face f de G corresponde um vértice f ∗ de G ∗ , e a cada aresta e de G corresponde uma aresta e ∗ de G ∗ ; além disso, dois vértices f ∗ e g ∗ de G ∗ são ligados por uma aresta e ∗ se e somente se as faces f e g em G são separadas pela aresta e.

Proposi¸cão 8.10. Se G é planar ent˜ ao G∗ é planar. Observe que se G é planar e conexo ent˜ ao (G∗ )∗ é isomorfo a G. Apresentamos a seguir um dos mais famosos teoremas da Teoria dos Grafos, cuja demonstra¸caõ transcende o n´ıvel destas notas:

Teorema 8.11. (Teorema das Quatro Cores - Appel e Haken, 1976) Todo grafo planar é 4-color´ıvel. Dualizando, temos:

Teorema 8.12. (Teorema das Quatro Cores - vers˜ ao mapas) Em qualquer mapa, as regi˜ oes podem ser coloridas com até 4 cores, de modo que regi˜ oes adjacentes recebam cores distintas.

8.5

Exerc´ıcios

8.1. Mostre que todo grafo planar é 6-color´ıvel em vértices. 8.2. Falso ou verdadeiro? Se G é planar e tem 11 vértices ent˜ ao G não é planar. 8.3. Mostre que se G é um grafo conexo planar com cintura k ≥ 3, então m ≤ k(kn−−22) . (Obs: A cintura de um grafo G é o comprimento de seu menor ciclo.) Use este fato para mostrar que o Grafo de Petersen n˜ ao é planar. 8.4. Construa um grafo planar auto-complementar com oito vértices. 8.5. Mostre que: (a) O grafo de Petersen contém uma subdivis˜ a o de K 3,3 . 53



(b) K 5 e K 3,3 são menores do grafo de Petersen. 8.6. O grafo de Grötzsch (Figura 6.1) é planar? 8.7. Seja T uma a´rvore geradora de uma representa¸ caõ plana G de um grafo ∗ ∗ planar conexo, G seu grafo dual, e seja E = { e∗ ∈ E (G∗ )|e  ∈ E (T )}. ∗ ∗ ∗ ∗ Mostre que T = G [E ] é uma a´rvore geradora de G .

54

9

Grafos Direcionados

9.1

Conceitos b´ asicos sobre digrafos

Um digrafo D é formado por um conjunto de vértices , denotado por V (D), e um conjunto de arcos , denotado por A(D). Cada arco é um par ordenado de vértices distintos. Se xy é uma arco, então os vértices x e y são os extremos deste arco, onde x é o extremo inicial e y é o extremo final . Dizemos também que x é vizinho de entrada de y, e que y é vizinho de sa´ıda de x. O arco xy é divergente de x, e convergente a y. Observe que podem coexistir em um digrafo os arcos xy e yx, que são distintos por defini¸cão. O conjunto de vizinhos de sa´ıda de um vértice v é denotado por N + (v), e é denominado vizinhan¸ca de sa´ıda de v. Da mesma forma, denotamos a vizinhan¸ca de entrada de v por N − (v). O grau de sa´ıda de v é definido como d+ (v) = |N + (v)|, e o grau de entrada como d−(v) = |N − (v)|. Uma fonte é um vértice com grau de entrada zero, e um sumidouro é um vértice com grau de sa´ıda zero. Assim como para grafos, definimos analogamente para digrafos: passeios direcionados , caminhos direcionados e ciclos direcionados . Basta tomar as mesmas defini¸co˜es da Se¸caõ 1.6 e substituir arestas por arcos . Por exemplo, um passeio direcionado é uma sequência de vértices v1 , v2 , . . . , vk−1 , vk tal que v j −1v j ∈ A(D) para j = 2, . . . , k. Observe, portanto, que as dire¸cões dos arcos s˜ ao fundamentais nestas defini¸co˜es. Uma diferen¸ca importante entre ciclos em grafos e ciclos direcionados em digrafos é que um ciclo possui no m´ınimo três vértices distintos, ao passo que um ciclo direcionado pode possuir apenas dois vértices distintos x e y (basta que coexistam os arcos xy e y x). Se existe um caminho direcionado iniciando em um vértice v e terminando em um vértice w, dizemos que v alcan¸ca w, e que w é alcan¸cado por v. Se v alcan¸ca w, dizemos que w é um sucessor de v, e que v é um predecessor de w. Consideramos que todo vértice é sucessor e predecessor de si mesmo. A alcan¸cabilidade R(D) de um digrafo é o conjunto de pares ordenados xy tais que xy ∈ R(D) se e somente se x alcan¸ca y em D. Um digrafo D ′ é um subdigrafo de um digrafo D se V (D ′ ) ⊆ V (D) e



A(D′ ) ⊆ A(D). Se D′ é um subdigrafo de D, dizemos que D é um superdigrafo de D ′ . Se D ′ é um subdigrafo (resp., superdigrafo) de D com V (D ′ ) = V (D), dizemos que D′ é um subdigrafo gerador (resp., superdigrafo gerador ) de D. Um digrafo D é fortemente conexo se, para todo par v, w de vértices de D, v alcan¸ca w e w alcan¸ca v. Uma componente fortemente conexa de um digrafo D é um subdigrafo fortemente conexo maximal de D. Obviamente, D é fortemente conexo se e somente se possui uma unica ´ componente fortemente conexa. Um digrafo D é ac´ıclico se não contém ciclos direcionados. Dado um grafo (simples) G, uma orienta¸c˜ ao de G é um digrafo D obtido pela atribui¸caõ de uma dire¸caõ a cada aresta xy de G. Isto é, A(D) é obtido determinando-se, para cada aresta xy ∈ E (G), qual dos dois arcos poss´ıveis (xy ou yx) será inclu´ıdo em A(D). Aqui, é importante frisar que em qualquer orienta¸caõ D n˜ ao existem ciclos direcionados com apenas dois vértices , pois se xy ∈ A(D) ent˜ ao yx ∈ / A(D). Se D é uma orienta¸caõ de um grafo G, dizemos que G é o grafo subjacente de D. Uma orienta¸caõ D de um grafo G é denominada orienta¸c˜ ao ac´ıclica se D não contém ciclos direcionados. O fecho transitivo de um digrafo D, denotado por C (D), é o superdigrafo gerador de D tal que existe um arco xy em C (D) se e somente se existe um caminho direcionado de x a y em D. A redu¸c˜ ao transitiva de um digrafo D é um subdigrafo gerador de D que possui a mesma alcan¸cabilidade de D e o menor n´ umero pos´ıvel de arestas. Um digrafo D pode possuir v´ arias redu¸co˜es transitivas diferentes.

9.2

Teorema de Gallai-Hasse-Roy-Vitaver

O seguinte teorema relaciona as orienta¸co˜es de um grafo com o seu n´ umero cromático:

Teorema 9.1. (Vitaver - 1962, Hasse - 1965, Roy - 1967, Gallai - 1968) Para qualquer grafo G, valem as seguintes afirma¸coes: ˜ 56



(a) Toda orienta¸c˜ ao de G possui um caminho direcionado com pelo menos χ(G) vértices. (b) Existe uma orienta¸c˜ ao ac´ıclica de G que possui um caminho direcionado com exatamente χ(G) vértices.

Demonstra¸ c˜ ao. A demonstra¸caõ de (a) consiste em, dada uma orienta¸caõ D de G, considerar um caminho direcionado P em D cujo comprimento em vértices seja máximo. Digamos que este comprimento seja igual a k. Basta então mostrar que G é k-color´ıvel, donde conclu´ımos que χ(G) ≤ k. Para mostrar que G é k-color´ıvel, seja D′ um subdigrafo gerador ac´ıclico maximal de D. (O digrafo D′ pode ser obtido removendo-se sucessivamente arcos pertencentes a ciclos direcionados, até que n˜ ao haja mais nenhum ciclo direcionado no digrafo.) Denote por l(v) o n´ umero de vértices no maior caminho direcionado de D′ que termina em v. Observe que l(v) ≤ k para todo v ∈ v(D ′), uma vez que D′ é subdigrafo de D e k é o comprimento em v´ ertices do caminho direcionado mais longo de D. Além do mais, se existe um arco de v para w em D′ , é claro que l(w) ≥ l(v) + 1, isto é, l(w)  = l(v). Seja agora xy um arco em A(D) \ A(D′ ). Por constru¸caõ, existe um ciclo direcionado em D do qual xy faz parte. Logo, existe um caminho direcionado em D′ iniciando em y e terminando em x. Como neste caminho os rótulos l(v) s˜ ao estritamente crescentes, segue que l(y)  = l(x). Como D′ é gerador, conclu´ımos que os r´ otulos l(v) determinam uma k-colora¸ca˜ o do grafo subjacente a D, isto é, o grafo G. A demonstra¸cão de (b) é feita da seguinte forma: suponha que χ(G) = k, e considere uma k-colora¸caõ dos vértices de G. Seja D a orienta¸ca˜ o de G obtida direcionando cada aresta do extremo de menor cor para o extremo de maior cor. Note que D é uma orienta¸caõ ac´ıclica. Além do mais, teremos que ao longo de qualquer caminho direcionado de D as cores ser˜ ao estritamente crescentes. Logo, nenhum caminho direcionado de D poder´ a ter mais do que k vértices. Porém, pela parte (a), D possui um caminho direcionado com pelo menos k vértices. Logo, (b) vale. O teorema acima possui uma formula¸caõ equivalente que explicita uma forma de dualidade entre as colora¸co˜es dos vértices e as orienta¸co˜es das arestas de um grafo. Esta formula¸caõ se enuncia do seguinte modo: k é o menor número de cores entre todas as colora¸co˜es de um grafo G se e somente se k é o maior n´ umero para o qual toda orienta¸caõ de G possui um caminho dire57



cionado com k vértices. Em outras palavras, dada uma orienta¸ caõ D de um grafo G, seja λ(D) o comprimento em vértices do caminho direcionado mais longo de D, e seja λ(G) = min{λ(D) | D é uma orienta¸caõ de G}. Então o Teorema 9.1 diz que χ(G) = λ(G). Além disso, entre as orienta¸co˜es D que satisfazem λ(D) = λ(G), pelo menos uma delas é ac´ıclica.

9.2.1

Torneios

Um torneio é uma orienta¸caõ de um grafo completo. Como corol´ ario do teorema de Gallai-Hasse-Roy-Vitaver, temos:

Teorema 9.2. Todo torneio possui um caminho Hamiltoniano. Demonstra¸ c˜ ao. O grafo G subjacente ao torneio satisfaz χ(G) = n. Pelo Teorema 9.1(a), existe um caminho direcionado neste torneio contendo todos os n vértices de G. Logo, este caminho é Hamiltoniano. Um rei é um vértice que alcan¸ca qualquer outro vértice do grafo com no máximo dois arcos.

Teorema 9.3. Todo torneio tem um rei. Demonstra¸ c˜ ao. Seja v um vértice do torneio cujo grau de sa´ıda seja máximo. Se d+(v) = n − 1, v alcan¸ca qualquer vértice do torneio com um arco, e portanto é rei. Se d+(v) < n−1, seja W  = ∅ o conjunto de vértices que não são vizinhos de sa´ıda de v. Se todo w ∈ W é vizinho de sa´ıda de algum vértice em N + (v) ent˜ ao v alcan¸ca qualquer vértice do torneio com no m´ aximo dois arcos, e portanto é rei. Caso contr´ ario, se existe w ∈ W que não é vizinho + de sa´ıda de nenhum vértice em N (v), temos que N + (v) ∪{v } ⊆ N + (w), isto é, d+(w) > d+ (v). Mas isto é uma contradi¸caõ. Logo, o teorema vale.

9.3

Exerc´ıcios

9.1. Mostre que se um digrafo é ac´ıclico ent˜ ao ele possui pelo menos uma fonte e pelo menos um sumidouro. 9.2. Falso ou verdadeiro? As componentes fortemente conexas de um digrafo definem uma parti¸caõ do seu conjunto de arcos. 58

Fabio Protti - Notas de Aula de Teoria Dos Grafos

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