UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOJA ÁREA DE LA ENERGÍA LAS INDUSTRIAS INDUSTR IAS Y LOS RECURSOS NATURALES NO RENOVABLES CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS Tarea en clase Nombre: Gabriela Cuenca Fecha: 10-07-2015 Paralelo: 3ro “B” Tema: Teoría de grafos Ejercicios.
El ciclo euleriano 1. La ciudad de Königsberg está atravesada por un rio que que tiene 2 islas y 7 puentes como muestra la figura 1. Se pregunta si es posible partir del sector A y, haciendo una caminata, pasar por cada puente una sola vez volviendo al punto de partida. En el grafo de la figura 2 el problema se traduce en partir de A y recorrer las 7 ramas sin repetir ninguna y volver a A (ciclo euleriano). Este problema fue encarado por Euler en 1736 y es el origen de la teoría de grafos.
SOLUCIÓN: Euler determinó, en el contexto del problema, que los puntos intermedios de un recorrido posible necesariamente necesariamente han de estar c onectados a un número par de líneas. En efecto, si llegamos a un punto desde alguna línea, entonces el único modo de salir de ese punto es por una línea diferente. Esto significa que tanto el punto inicial como el final serían los únicos que podrían estar conectados con un número impar de líneas. Sin embargo, el requisito adicional del problema dice que el punto inicial debe ser igual al final, por lo que no podría existir ningún n ingún punto conectado con un número impar de líneas.
El ciclo hamiltoniano. 2. A un dodecaedro, cuerpo solido regular con doce caras pentagonales, se la ha quitado una cara y se lo ha aplastado en el plano como muestra la figura 3
Imaginemos a los vértices de esta figura como ciudades y a las aristas como tramos de caminos entre dos ciudades. Se pregunta si hay un camino formado de tramos que partiendo de una ciudad visite todas las ciudades una sola vez v olviendo a la ciudad de partida (ciclo hamiltoniano)
2
Coloreado de mapas 3. La figura 4 muestra un mapa con 4 distritos A, B, C y D. Se trata de pintar cada distrito con un color de forma que dos regiones con un borde común (que no sea un punto) tengan distintos colores y queremos hacer esto usando un mínimo número de colores. La figura 5 muestra un grafo homeomorfo al mapa, en el sentido que los vértices del grafo se corresponden con las regiones del mapa y dos vértices están conectados por una rama cuando las regiones correspondientes tienen un borde común. El problema se traduce en el grafo a minimizar el número de colores al asignar un color a cada vértice de forma que cualquier rama tenga extremos de distinto color.
Respuesta
El recorrido del cartero
4. Imaginemos un grafo que representa el mapa de las calles de un barrio. Una calle va de una esquina a la otra. En una esquina está ubicada una oficina de correos. Un cartero sale de la oficina de correos y tiene que recorrer todas las calles y volver a la oficina. Se plantea el problema de un recorrido que minimice el número de calles que está obligado a recorrer más de una vez.
SOLUCIÓN: Sea V0(G)={u1, u2, …., u2n} el conjunto de vértices de grado impar de G.Recordamos que son un número par. Definimos una partición emparejada de V o(G) como una partición de Vo(G) En n conjuntos de dos elementos: Π={ {u11, u12}, {u21, u22}, … , {un1,un2} } Se define la distancia de la partición emparejada como d(Π)= ∑ d (ui1,ui2) Y m(G)= min ( d(Π) )
3
El camino euleriano se obtendría duplicando únicamente las aristas de los caminos que van de u i1 a ui2.
El problema del caballo en el juego de ajedrez 5. Consideremos un tablero de ajedrez y un caballo. Se pregunta si es posible que el caballo parta de un casillero y visite todos los otros 63 casilleros una solo vez volviendo al punto inicial. (ciclo hamiltoniano)
El problema de cruzar el rio
6. Tenemos 3 misioneros y 3 caníbales y un bote para cruzar el rio. El bote tiene capacidad para 2 personas a lo sumo. Se trata que los 6 individuos crucen el rio de forma que en ningún momento haya más caníbales que misioneros en cualquiera de los dos márgenes del rio. Indiquemos con (i,j) el hecho que haya i misioneros y j caníbales en un dado margen. Entonces (i,j) (i-1, j-1) significa una posible transición, es decir, cruzan el rio un misionero y un caníbal. A continuación (i-1, j-1) (i, j-1) significa que volvió el misionero solo. Imaginemos que dibujamos todos los pares (i,j) como puntos en el plano (i j) y unimos por flechas los pares que representan transiciones posibles. Se trata de hallar una sucesión de flechas consecutivas que parta de (3,3) y termine en (0,0)
7. Determine V, E, todas las aristas paralelas, lazos, vértices aislados e indique si G es una gráfica simple.
4
Respuesta: No tiene aristas paralelas, no tiene lasos, no tiene vértices aislados y no es un grafo simple porque tiene un lazo ya que una gráfica simple es a que no tienes lazos ni aislados y múltiples.
8. Determine un camino de longitud mínima de V a W en la siguiente gráfica, que pase por cada vértice exactamente una vez. A. b a e
B. c a d
Respuesta: El camino corto es el de longitud 21
9. En la siguiente gráfica, los vértices representan ciudades y los números sobre las aristas representan los costos de construcción de los caminos indicados. Determine el sistema de carreteras más barato que una todas las ciudades.
Respuesta: El sistema de carreteras más barato que una todas las ciudades es el recorrido de (e,g,f,b,d,c,a) lo cual nos arroja un resultado de 62 por ende para otros recorridos el valor es más alto .
10. En al grafica del problema 9 determine un circuito de Euler y un circuito de Hamilton. Circuito de Euler .El que contiene todas las aristas del grafo:
5
Sea G un grafo sin vértices aislados. Un circuito que contiene todas las aristas de G recibe el nombre de circuito euleriano. Un circuito euleriano es una trayectoria que empieza y termina en el mismo vértice y recorre cada arista exactamente una vez. Desde el vértice f a f no admite ningún circuito euclidiano ya que debería de ser los grados de los vértices de 2
Circuito de Hamilton. Sea G un grafo conexo con n vértices, donde n≥3. Si la suma de los Grados de cada par de vértices no adyacentes es mayor o igual a n, entonces G tiene Un circuito hamiltoniano
11. Suponga que un ciclo contiene un lazo. ¿Cuál es su longitud? Respuesta: La longitud de un ciclo con lazo es la suma de su arista que tiene.
12. ¿Puede un ciclo contener dos lazos? Respuesta: Si porque no hay estricciones para no poder tener una arista con el mismo vértice en sus extremo
13. Enumera tres situaciones, en que un grafo pueda ser útil. *su utilidad puede ser muy amplia se lo a plica en divisiones de comunidades o carreteras. *es una herramienta de gran potencial a la hora de resolver problema como por ejemplo encontrar rutas más cortas en carreteras *organizar la distribución de mercancías para distribuirlas desde una serie de puntos de almacenaje a otros puntos de venta.
14. Para el grafo de la figura, determina a) un camino de b a d que no sea un recorrido; b) un recorrido b-d que no sea un camino simple; c) ¿Cuántos caminos simples existen de b a f?
a. b-e-d
6
b. b-c-d c. 3 caminos de (b-a-c-d-e-f) ,(b-e-f) y (b-c-d-e-g-f) y (b-e-f)
15. ¿Cuántos caminos simples diferentes existen entre los vértices h y c en el grafo dado en la figura?
Respuesta: Existen 3*2*2*2*2=48;
16. Sea G = (V, E) el grafo no dirigido de la figura, ¿cuántos caminos simples existen en g de e a h? ¿Cuántos de ellos son de longitud 5?
a. existen 4 caminos simples de (e) a (h); b. 3 son de longuitud cinco.
17. Para el grafo de la figura a. b. c. d.
Determina un camino para ir de Barcelona a Sevilla ¿Cuántos ciclos tiene? ¿Existe una recorrido en la que puedas visitar todas las ciudades?, si existe, ¿cuál?
Respuesta: a. Barcelona-Zaragoza-Madrid-Jaen-Seviila. b. 16 ciclos. c. No porque para que se de este recorrido los vértices tienen que ser pares y en este caso no lo es.
18. Para el grafo de la figura, determina
7
a. ¿Cuántos ciclos tiene?, ¿cuáles? 1. a-b-c 2. b-c-d-e 3. a-b-e-d-c 4. e-f-g b) Traza un camino simple de g a c 1. g-f-e-b-c
19. ¿Cuántos caminos simples diferentes existen entre los vértices a y c en el grafo dado en la figura?
Respuesta: Existen 24 caminos simples ya que 3*2*1*2*2*1*1=24.
20. Dibuja, si existen, grafos con a. 5 vértices, 6 aristas y sin ciclos de longitud 3
No imposible: b. 5 vértices con grados 0, 5, 1, 3 y 2 A
D
D
C
B NO imposible:
8
21. Dibuja, si existen, grafos de cuatro vértices con los siguientes grados: a). 2, 2, 2, 3
b). 2, 2, 2, 4
c). 2, 1, 2, 1
22. En el siguiente grafo, los números en las aristas representan los kilómetros
a.
v-15-b-4-g-6-h-3-w=28
9
b. c.
v-4-a-10-f-14-w=28 v-6-c-13-g-6-h-3-w=28
