LEYES FUNDAMENTALES
TEMA: TEORÍA DE EXPONENTES
1. Producto de Potencias de Igual Base
CONCEPTO
.
Estudia todas las clases de exponentes y las diferentes relaciones que existen entre ellos, mediante leyes.
xa . xb = xa+b .
Ejemplos:
La operación que da origen al exponente es la potenciación.
1. 23 . 24 = 23+4 = 27 2. 2–5 . 2-4 . 27 = 2–5–4+7 = 3–2
POTENCIACIÓN Es la operación que consiste en repetir un número denominado base, tantas veces como factor, como lo indica otro número que es el exponente,
2. Cociente de Potencias de Igual Base
el resultado de esto se le denomina potencia. .
Representación: . An A x A x A x . . . . . . . x A . Base
xa x a b . xb
x0
Ejemplos:
"n " veces
Ejemplos: 4
1. 3 3 x 3 x 3 x 3 81
1.
28 = 28–4 = 24 24
2.
2 6 = 2–6–(–5) = 2–1 2 5
4 veces
6
2. 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 64 6 veces
3. Producto de Potencias de Diferente Base
n
3. n n x n x n x n . . . . . . . x n n veces
.
5
1 1 1 1 1 1 4. x x x x 2 2 2 2 2 2 5.
3
7
Ejemplos:
5 veces
1. 23 . 43 = (2 . 4)3
3x 3x 3x 3x 3x 3x 3
2. 3 . 6 = (3 . 5)
7 veces
7
8
xa . ya = (x . y)a .
4. Cociente de Potencias de Bases Diferentes
xa x . y a y
7. Exponente Nulo o Cero
a
.
y0 1.
1.
4 4 23 3
3
2.
83 8 23 2
3
x0
Ejemplos:
Ejemplos: 3
x0 = 1 .
.
3xy 0
1 0
3y 2. 2x 1 5
8. Exponente Fraccionario 5. Potencia de Potencia
a
.
x
c a b
.
x
a .b .c
xb b xa
.
b0
. Ejemplos: 2
OBSERVACIÓN: (XA)B = (XB)A = XA
.
1. x 3 3 x 2
B
5
2. x 3 3 x 5 6. Exponente Negativo
.
x a
1 xa
.
x y
.
a
y x
9. Producto de Radicales Homogéneos
a
.
x0
y0
.
a
Ejemplos:
Ejemplos:
1. 2 1
1.
3
4 . 3 5 3 4 . 5 3 20
2.
5
1 55 5 1 5 55 . . 2 3 2 3 6
2 2. 3
2
1 2 2
32 3 2 2 2
x .a y a x .y .
10. Potencia de un Radical
n n 1 n n 1 n n 1 . . . . . . rad n
5. .
x a
b
c
a
x b .c
. 6. x x
. . . x .
11. Raíz de Raíz .
a b c
x
a .b .c
7.
x .
8.
OBSERVACIÓN: a b
x
b a
a
b
n
. . . a . ba b
xnn
b
x x x......
x
2n
x2
n 1
x
ECUACIONES EXPONENCIALES
Ejemplos:
Definición
x 24 x
1.
3
4
2.
4 3
10 3 4 10 12 10
Son aquellas ecuaciones donde la incógnita se encuentra en el exponente. Se estudiarán aquellos casos que son factibles de resolverlos utilizando los conceptos anteriores.
12. Casos Especiales 1. . A n
m n
A
m n
1. Bases Iguales m
A . . . . . . rad .
n 1
A
M
.
Si: Nx = Ny x = y OBSERVACIÓN:
2. . n
3. . 4.
a
.N > 0. .N 1.
B n B n B . . . . . . rad n 1 B .
a
aa
. . . aa .
Ejemplo:
a.
n n 1 n n 1 n n 1 . . . . . . rad . n 1
Resolver:
9x – 1 = 27x – 2
Buscamos bases iguales: Luego:
32x – 2 = 3x – 6
2x – 2 = 3x – 6 4 = x
PROBLEMAS PARA LA CLASE
2. Formas Análogas Si: .MM = MN. .M = N. 1. Reducir: OBSERVACIÓN:
1 1 M M 2 4
Ejemplo: 1. Resolver: x 5x
5
36 3
Resolución Buscando formas análogas:
x x 5
x5
62
5 5 x
3
66
x 56
81 2 1
Rpta.
2. Resolver: 3x–7 = 5x–7
m 2n
243
0,2 1 3 1
1210 185 1 85 54 6 0,5
6. Si: x, y Z+, tal que: y- x 2; hallar el valor más simple de:
4
y x
x x y . y y y x y . x x x 2 y . y x y 2x . x y
Rpta.
152n . 3m . 4 3mn 2 32m 1 . 5m . 4 3mn 2
7. Simplificar:
M
Rpta.
a2
9a
2 2
32a
90 a
2 2
2 1
x=7 Rpta.
4. Simplificar: 2 5 2 27 3 27 3 81
0,2
1 1 1 16 2 3 1 1 1 2 1 1 81 2 4 125
Rpta.
Rpta.
2. Calcular el valor de:
E
1
16 4 2 1 1 16 27
3. Simplificar:
Nota: Si: a1(x) = b1(x) f(x) = 0
Resolución x–7=0
. . . . . . .a aaaa bbbb . . . . . . . b "b " factores "a " factores
Rpta.
x5 6
5. Hallar el valor de: ab
1 2
8. Simplificar: 2y
2x
E
3 x y 6 . 3 x y
Rpta.
x y
3x y
1
PROBLEMAS PARA LA CASA
13. Si se cumple:
1 2
9. Si: a 3 ; a = R+, reducir:
a 5 3 5 3 . . . . . . .
5 . 3a 7 . a a 3a 42 10 . 3a 2a 2
2
b 3 5 3 5 . . . . . . .
Rpta.
Hallar el valor que toma: ab 10. Si: xx = 2; hallar el valor de:
A x 2x
Rpta.
1x 1x
Rpta.
14. Indique el exponente de “x” luego de reducir:
x
11. Si: 5 = 0,125; calcular:: x 64
1 2
R x
Rpta.
1 1 2 2
x
1 1 22
1 2
1 x x x 1 x x 1
1
15. Calcular “x” a partir de: x
x x
23x 22x 21x 2x 112,5
Rpta.
1 n
4. Hallar el valor de:
1 1 1 1 1 1 n . . . . . . . 1 1 1 1 n n n n . . . . . . . n n n n "n " veces "n " veces
A) n
n
D) n
n–1
B) n E) n
C) n
2
–n
2. Efectuar: b c 1
b
a .a
81 0,25 64 3 1
bc
.a
1 b 1 c
A)
5 2
D)
1 2
B) aba
D) aa
E) ac
3 2
18 12 x
y
2 . 3
6x y
B) 2 E)
x
C)
2
1 8
1 4
2 ; hallar el valor
x 2x x
x x
x x 1
1
C) aab
3. Reducir: x
0, 5 0, 5 0,5 0,5 0,25 0,25 1 1,5 0,125 3 0,125
de:
S xx A) ab
1
25 2 36 0,50
5. Si: x x
x . . . . . . . n rad
Rpta.
12. Simplificar:
1. Simplificar:
x y
1 x y
A) 17
B) 18
D) 20
E) 21
C) 19
6. Calcular “x” a partir de: xn
2 41 x x 2
n x 0
Dando como respuesta el valor
Rpta. DPTO. DE PUBLICACIONES
“Manuel Scorza” V.L.E.B.
A) 3 D)
1 2
B)
1 3
E) 6
C) 2
de:
x
x
A) –8
B) 16
D) –27
E) –9
C) 1
7. Resolver la exponencial:
27
9 x 3
9. Hallar “x”:, si:
27 8 x 3
n
8 13 5 D) 13
5 12 2 E) 3
A)
B)
C)
7 24
+
8. Si: x R - {1}; halle el valor de “n” que verifica la igualdad: 3
1 x x x
3 4
1 x
B) 2 E) 1
A)
n
m n
C)
n
m n n
E)
n
m n m
n
B)
n
m n n
D)
n
m n m
10. Hallar “x” en: 3 1 x x 12 2
n
Y coloque como respuesta el valor de (n + 3) + 7 A) 3 D) 4
n
y xx ; yy xx
3
A)
4
1 3
4 4 1 E) 2 C)
C) 5
3
4 2 3 2 D) 4 B)
3
CLAVES 1. A
6. D
2. B
7. A
3. A
8. A
4. D
9. D
5. C
10. C
17
18
