Teori Ring
I RI NG DAN DAN LAPANGAN L APANGAN (RI NG AND FI EL DS) Definisi dan Beberapa Contoh Ring
Pada teori group, ki kita hanya mengenal satu operasi operasi,, yang dal dalam struktur struktur alj aljabar hanya mengenal satu operasi pada sembarang him himpunan yang tak ko kosong song yang memenuhi sifat-sifat tertentu. Struktur aljabar yang terdiri dari himpunan tak kosong dan menggunakan enggunakan dua dua operasi biner biner tambah dan kali kali dinotasi dinotasikan kan secara secara berturutberturut-turut turut + dan dan • dinam dinamakan Ring. Pada Pada bagian bagian ini akan kita ki ta membahas ring, ring, dan dan bebe beberapa rapa jeni enis-jen s-j eniis ring ring dian diantara taranya nya dae daerah inte integral gral (Inte (I ntegral gral Domai Domain dan dan L apan apanga gan). n). Definisi (Ring).
Suatu ring (R,+,•) adalah adalah him himpunan R bersama dengan dua operasi biner biner +dan •. Y ang ang diba dibaca ca den denga gan n tam tambah bah dan kali kali yang dide dideffinisi nisikan kan pada R sedem demikia kian sehi sehingg ngga a sif sifat-sif t-sifat berikut berikut berl berla aku. 1.
merupakan grup abel abelian (group kom komutati utatiff)
2.
(a • b)
3.
a • (b • c) =(a • b) • c
4.
a • (b +c) =a • b +a • c dan (b +c ) • a =b • a +c • a
∈R
Catatan:
(i) Untuk pembahasan selanjutnya, penulisan a•b sering ditulis ab bila operasi rupakan perkal perkaliian yang kita kita kena kenall seha sehari ri--hari hari dan dan a +(+(-b) ditulis a - b. • merupakan (ii) I denti dentitas tas operasi operasi jum j umlah pada pada ring ri ng (R, +, •) disimbolkan dengan “0” dan disebut unsur nol dari ring. (iii)I (iii) I nvers penj penjum umlahan ahan dari a di R disimbol –a dan disebut unsur negatif dari a.
1
(iv) J (iv) J ika ika kita ita mengatakan bahwa R ring, yang dimaksud adalah R adalah him himpunan tak tak kosong kosong den denga gan n dua operasi operasi bine binerr + dan dan
• sedemikian
sehingga sehingga (R, +, •) ring. Beberapa Contoh
Contoh: Berikut ini adalah contoh himpunan tak kosong yang merupakan ring dengan operasi yang diberikan 1)
< Z, +, • >
6)
< M (2,Z), +, • >
2)
< Q, +, • >
7)
< Z[√2], +, • >
3)
< R, +, • >
8)
< f R, +, • >
4)
< C, +, • >
9)
< RxS, +, + , • >, dengan R dan S masingasing-m masing asing merupakan ring ri ng
5)
< Zn, +, • >
• J ika ika pada ring ing R, terdapat terdapat unsur 1 sedem sedemikian ki an sehingga sehingga a • 1 =1 • a = a, ∀a ∈ R, maka R adalah Ring dengan unsur kesatuan (Ring with unit .element.)
• J ika ika pada ring ing R, berlaku sifat a • b = b • a, ∀a,b ∈ R, maka R dikatakan Ring Komutatif (Comutative Ring). Teo Teorem rema 1. Misalkan R ring, 0 adalah unsur nol di R dan a, b, c ∈ R
(a) 0a =a0 =0 (b) (b) a(-b) =(-a)b =-(ab) (c) (-a)()(-b) =ab (d) (d) a(b – c) =ab – ac dan (a – b)c =ac – bc. Jik J ika a R mempunyai punyai unsur kesatua kesatuan, maka (e) (-1)a =-a (f) (f) (-1)(-1) =1 Bukti
Drs. Drs. Rusli Rusli,, M.Si. M.Si.
2
(iv) J (iv) J ika ika kita ita mengatakan bahwa R ring, yang dimaksud adalah R adalah him himpunan tak tak kosong kosong den denga gan n dua operasi operasi bine binerr + dan dan
• sedemikian
sehingga sehingga (R, +, •) ring. Beberapa Contoh
Contoh: Berikut ini adalah contoh himpunan tak kosong yang merupakan ring dengan operasi yang diberikan 1)
< Z, +, • >
6)
< M (2,Z), +, • >
2)
< Q, +, • >
7)
< Z[√2], +, • >
3)
< R, +, • >
8)
< f R, +, • >
4)
< C, +, • >
9)
< RxS, +, + , • >, dengan R dan S masingasing-m masing asing merupakan ring ri ng
5)
< Zn, +, • >
• J ika ika pada ring ing R, terdapat terdapat unsur 1 sedem sedemikian ki an sehingga sehingga a • 1 =1 • a = a, ∀a ∈ R, maka R adalah Ring dengan unsur kesatuan (Ring with unit .element.)
• J ika ika pada ring ing R, berlaku sifat a • b = b • a, ∀a,b ∈ R, maka R dikatakan Ring Komutatif (Comutative Ring). Teo Teorem rema 1. Misalkan R ring, 0 adalah unsur nol di R dan a, b, c ∈ R
(a) 0a =a0 =0 (b) (b) a(-b) =(-a)b =-(ab) (c) (-a)()(-b) =ab (d) (d) a(b – c) =ab – ac dan (a – b)c =ac – bc. Jik J ika a R mempunyai punyai unsur kesatua kesatuan, maka (e) (-1)a =-a (f) (f) (-1)(-1) =1 Bukti
Drs. Drs. Rusli Rusli,, M.Si. M.Si.
2
Teori Ring
Misalkan R ring ri ng dengan operasi tambah tambah dan kali kali, serta misalkan salkan bahwa identi identitas tas untuk operasi operasi jumlah dan dan kal kali berturutberturut-turut turut adalah 0 dan 1, maka ∀ a, b, c ∈R, kita peroleh: (a) kita dapat menulis, a0 =a(0 +0)
[ sif sifat unsur unsur 0 di R ]
a0 =a0 +a0
[ sif sifat distri distribus busii kana kanan ]
0 +a0 =a0 +a0
[ sif sifat unsur unsur 0 di R ]
a0 =0
[ karena R grup terhadap +, maka –a0 di R, tam tambahkan bahkan kedua ruas dengan –a0 ]
Dengan cara sama, 0a = (0 + 0)a = 0a + 0a, dengan menggunakan sif si fat distri distribu busi si kiri kiri,, dipe diperoleh 0a =0. =0. (b) (b) Pertama-tamaakan ditunj ditunjukk ukkan an a(-b) =-(ab). Perhatikan bahwa: = 0 (dengan (dengan menggun enggunaka akan n sif sifat di distribusi stribusi kanan ab + a(-b) =a[b +(-b)] = a0 =0 dan dan bagi bagian (a) padalemma ini ini.. Denga engan n demikian ki an diperoleh diperoleh bahwa a(-b) =-ab. Dengan cara sama sama ab +(+(-a)b =[a +(+(-a)]b =0b =0, diperol diperole eh (-a)b =-ab. (c) (c) (-a)()(-b) =-(a(-b)
(menurut bagi bagian an (b)) (b))
=-(-(ab))
(menurut bagi bagian an (b)) (b))
=ab (d) (d) a(b – c) =a[b +(– +(–c)]
(defini (definisi si operasi rasi penguran nguranga gan)
= ab + a(-c)
(sif (sifat distibusi distibusi kana kanan)
=ab +(+(-ac)
(menurut bagi bagian an (b)) (b))
=ab – ac
(definisi operasi pengurangan)
Dengan cara cara sama (a – b)c =ac – bc. (e) Misalkan bahwa R mempunyai punyai unsur kesatuan 1, maka: maka: a +(-1)a =1a +(-1)a = [1 +(-1)]a = 0a =0
I ni berarti berarti bahwa bahwa (-1) (-1)a =-a. (f) (f) Jika J ikadipilih ipilih a =-1 pada bagian (e), diperoleh (-1)(-1) =1. 3
INTEGRAL DOMAI N DAN SUBRING Definisi
Jika R ring komutatif dan a∈R, a≠0. a dikatakan unsur pembagi nol jika terdapat b ∈R, b ≠ 0 ∋ ab=0. Definisi
Ring komutatif dengan unsur kesatuan dikatakan Daerah Integral (Integral Domain) jika tidak mempunyai unsur pembagi nol. Definisi
R ring, R dikatakan Ring Pembagian (Division Ring) jika unsur-unsur tak nol merupakan grup terhadap perkalian. Contoh
1.
, , merupakan daerah integral
2.
bukan daerah integral
Teorema J ika R integral domain, a,b,c ∈ R, a≠0 dan ab=ac, maka b=c. Definisi
S himpunan S
⊆ R, diakatakan subring dari R jika S merupakan ring
terhadap operasi padaR. Contoh <2Z,+,•> subring dari dan subring dari
Teorema R ring, S ⊆ R, S subrung jhj S memenuhi sifat berikut: 1. S≠∅ 2.
∀a,b ∈ S, a+b∈S dan a•b∈S
3.
∀a∈S, -a ∈S
Contoh
R =: , S =:{f ∈ R⏐f(1)=o}, maka S subring. Contoh 2.1.1 R adalah himpunan bilangan bulat terhadap operasi tambah dan kali
biasa, maka R merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan.
Drs. Rusli, M.Si.
4
Teori Ring
Contoh 2.1.2 R = {2z : z∈Z} terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa
merupakan ring komutatif tetapi tidak mempunyai unsur kesatuan. Contoh 2.1.3 R adalah himpunan bilangan rasional terhadap opearsi penjumlahan
dan perkalian biasamerupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan Contoh 2.1.4 R adalah himpunan bilangan bulat modulo 7 terhadap penjumlahan
dan perkalian mod 7 merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan. Contoh 2.1.5 R adalah himpunan bilangan bulat modulo 6 terhadap penjumlahan
dan perkalian mod 6 merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan. Contoh 2.1.6 Misalkan F adalah himpunan semua fungsi dari f : R→R, dengan
operasi penjumlahan dan perkalian fungsi, maka F merupakan ring komutatif. Contoh 2.1.7 Misalkan R adalah himpunan bilangan bulat modulo n, maka R merupakan ring komutatif terhadap operasi penjumlahan dan perkalian mod n. Contoh 2.1.8 Misalkan R adalah himpunan bilangan kompleks dengan operasi
penjumlahan dan perkalian biasa, R merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan. Contoh 2.1.9 Misalkan R adalah himpuanan matriks ordo nxn unsur bilangan bulat
merupakan ring yang tak komutatif dengan unsur kesatuan terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks. Contoh 2.2.1 Jika Z6 adalah himpunan himpunan bilangan bulat modulo 6. Selidiki
apakah Z6 merupakan ring dengan unsur pembagi nol.
5
Contoh 2.2.2 Jika Z5 adalah himpunan bilangan bulat modulo 5. . Selidiki apakah Z6 merupakan ring tanpaunsur pembagi nol. Contoh Misalkan R=Z5, Buktikan bahwa R=Z5 merupakan ring pembagian.
Tunjukkan bahwa , , merupakan daerah integral Tunjukkan bahwa bukan daerah integral Buktikan bahwa jika R adalah ring tanpa pembagi nol jika dan hanya jika hukum penghapusan berlaku. Buktikan bahwa jika R adalah lapangan, makaR merupakan ring tanpa unsur pembagi nol. Bukti Misalkan R lapangan, maka R merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan dimana setiap unsur tak nolnya memiliki invers di R terhadap operasi perkalian. Ambil a, b dua unsur sebarang di R, dengan ab=0. Sekarang jika a≠0, maka a-1 ada, sehingga ab=0 mengakibatkan a-1(ab) = a-10 sehingga kita punya b=0. J adi jika a≠0, ab=0, maka b=0. Dengan cara sama bila b≠0, maka b-1
ada, sehingga ab=0 mengakibatkan (ab)b-1 =0b-1 sehingga kita punya a=0. Dengan demikian jika b≠0, ab=0, maka a=0. Sehingga dapat disimpulkan bahwa R tanpa pembagi nol. Teorema 2.2.5. Daerah Integral (D) yang hingga merupakan lapangan.
Bukti Sebelum kita membuktikan teorema ini, kita kembali pada pengertian daerah integral merupakan ring komutatif sedemikian sehingga ab=0 jika dan hanya jika paling sedikit satu dari a=0 atau b=0. Sedangkan lapangan merupakan ring
Drs. Rusli, M.Si.
6
Teori Ring
komutatif dengan unsur kesatuan yang mana setiap unsur tak nol mempunyai invers. Dengan demikian untuk membuktikan bahwa daerah integral yang hingga itu merupakan lapangan, kita harus menunjukkan bahwa (a)
1 ∈D, sedemikian sehingga a1=a, untuk setiap a∈D.
(b)
untuk setiap a≠0, a∈D, terdapat b∈D, sedemikian sehingga ab=1.
Misalkan {x1, x2, …, xn}adalah semua unsur-unsur D dan misalkan a≠0∈D. karena D ring, maka x1a, x2a, …, xna semuanya juga termuat di D. Claimx1a, x2a, …, xna semuanya berbeda. Ambil xia, x ja dua unsur D dengan xia = x ja untuk i≠ j, maka (xi - x j) ja=0. Karena D daerah integral dan a≠0, maka xi - x j =0,
sehnigga xi = x j. K ontradiksi dengan xi
≠ x j.untuk i≠ j. J adi
x1a, x2a, …, xna
semuanya berbeda. Dengan demikian D tepat mempunyai n buah unsur yang berbeda. Dengan kata lain untuk setiap y∈D, dapat ditulis sebagai y = xia, untuk suatu xi
∈D. K arena a∈D, maka a=xioa, untuk suatu xio∈D. K arena D komutatif,
maka a =xioa =axio. Sekarang jika sebagai y =xia, untuk suatu xi ∈D, dan y xio= (xi a) xio=xi (a xio) =xi a= y. J adi xio merupakan unsure kesatuan dari D dan kita tulis 1.
Sekarang 1∈D, dengan menggunakan fakta bahwa setiap unsur di D, merupakan perkalian dengan suatu unsur lain dengan a. Dengan kata lain 1∈D, maka terdapat b∈D, sedemikian sehingga 1=ba, dan karena D komutatif maka 1=ba=ab. Dengan
demikian teorema telah terbukti. Akibat 2.2.6. Zp Lapangan jhj p bilangan prima.
Bukti Berdasarkan teorema di atas, cukup kita tunjukkan bahwa ZP merupakan daerah integral. Ambil a,b dua unsur sebarang dari Zp dengan ab=0, maka ab habis dibagi oleh p dan karena p prima maka p harus membagi a atau b. Dengan kata lain jika p membagi a maka a =0 dan jika p membagi b maka b=0. J adi
∀a,b∈Zp, dan ab=0
maka a=0 atau b=0. Dengan demikian Zp merupakan daerah integral karena unsurunsur dari Zp hingga maka Zp merupakan lapangan. 7
Pertanyaan (a) apakah Ring Z[√2] merupakan daerah integral (b) apakah Ring Z[√2] merupakan lapangan (c) apakah Ring Q[√2] merupakan sublapangan dari R Teorema 2.2.8 Setiap lapangan adalah daerah integral
Bukti Misalkan F adalah lapangan, maka F adalah ring komutatif. Selanjutnya ambil a, b
unsur-unsur sebarang di F dengan ab=0.akan ditunjukan bahwa a=0 atau b=0. Misalkan a≠0, karena F lapangan maka a-1∈F . Dengan demikian a-1 (ab)=a-1 0=0., atau b=0. Dengan cara sama ditunjukkan jika b≠0 maka a=0 Definisi
Daerah Integral D dikatakan mempunyai karakteristik 0 (nol) jika na=0, dengan a ≠0dan n bilangan bulat hanya dipenuhi oleh n=0.
L atihan
Selidiki apakah Z, Q, R, C dan Zn mempunyai karakteristik nol. Definisi
DaerahIintegral D dikatakan mempunyai karakteristik hingga jika
terdapat bilangan bulat positif n sehinggana=0, ∀a∈D
Teorema 2.2.9. Karakteristik daerah integral yang hinggaselalu hingga.
Drs. Rusli, M.Si.
8
Teori Ring
Bukti Misalkan D adalah daerah integral yang hinggadan misalkan 1 unsur kesatuan di D, maka menurut definisi karakteristik D akan hingga atau tak hingga. Dengan demikian order dari 1 (D dipandang sebagai grup komutatif terhadap operasi penjumlahan) adalah 0 atau hingga. Sekarang karena order setiap unsur grup hingga adalah hingga, dan karena 1 unsur D, maka order dari 1 hingga sebut n,yaitu n1 = 0. Sekarang ambil a∈K sebarang, maka, na =a +a+…+a sebanyak n suku
=1a+1a+…+1a sebanyak n suku =(1 +1+… +1) a =(n1)a =0a (karena n1=0) =0
(karena 0 a =0, ∀a ∈D)
Jadi n adalah bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga na = 0, ∀a∈D. Karenanya karakteristik dari D hingga. Teorema 2.2.10. Jika D integral domain, maka karakteristik dari D adalah 0 atau
prima. Bukti
Misalkan D adalah integral domain dan a sebarang unsur D. Sekarang kasus jika order dari a adalah 0, bila D dipandang sebagai grup terhadap operasi penjumlahan, maka karakteristik dari D adalah 0. Dengan ini teorema telah terbukti. Selanjutnya jika order dari a adalah hingga sebut n, bila D dipandang sebagai grup terhadap operasi penjumlahan, maka karakteristik dari D adalah n dan akan kita tunjukkan bahwa D merupakan bilangan prima. Andaikan n komposit, dan misalkan n = n1n2 dengan n1≠1, n2≠1 dan 9
n1
merupakan bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga na=0, ∀a∈D, a≠0. Sehingga kita punya na =0
⇒ n1n2 a =0 ⇒ (n1n2 a)b =0b, ∀b∈D, b≠0.
Definisi S himpunan S
⊆ R, diakatakan subring dari
R jika S merupakan ring
terhadap operasi padaR. Contoh <2Z,+,•> subring dari dan subring dari
Teorema 2.2.11 R ring, S ⊆ R, S≠∅, S subring jhj S memenuhi sifat berikut: 4.
∀a,b ∈ S, a+b∈S dan a•b∈S
5.
∀a∈S, -a ∈S
Bukti Misalkan Contoh R =: , S =:{f ∈ R⏐f (1)=o}, maka S subring. Definisi
K Himpunan bagian tak kosong dari F adalah sublapangan jika K
adalah lapangan terhadap operasi yang sama pada F . Teorema 2.2.7. SubhimpunanK dari lapangan F adalah sublapangan dari F jhj
Drs. Rusli, M.Si.
10
Teori Ring
(i). ∀a,b ∈K , berlaku a-b∈K (ii) ∀ a,b ∈K dan b ≠ 0, berlaku ab-1∈K
Bukti (syarat perlu). Misalkan K adalah sub lapangan dari F, maka terhadap operasi yang dengan F, K juga merupakan lapangan. K arenanya untuk setiap b ∈K, berlaku -b∈K. J adi a+(-b) ∈ K untuk setiap a, b ∈ K. karena a - b =a
∈ K. J uga untuk setiap b ∈ K dan b ≠ 0, maka b-1 ada dan di K. Karenanya ab-1 ∈ K, untuk setiap a, b ∈ K. + (-b)
Sebaliknya (syarat cukup). Misalkan K himpunan bagian unsur tak kosong dari F sedemikian sehingga (i) a∈K, b∈K ⇒a – b ∈ K. (ii) a∈K, 0≠b ∈ K ⇒ab-1∈K
2 Homomorfisma, I deal dan Ring Faktor 2.1 Homomorfisma
Pada saat mempelajari
grup, kita telah mengenal konsep
homomorfisma pada suatu grup. Konsep homomorfisma ini juga merupakan suatu konsep yang sangat penting dalam ring. Kita kembali pada homomorfisma grup, didefinisikan sebagai pemetaan yang memenuhi relasi
φ(ab)=φ(a)φ(b). Karena ring memiliki dua operasi, maka definisi homomorfisma pada ring diberikan sebagai berikut.
11
Definisi 2.1.1
Misalkan R dan R’ masing-masing merupakan ring. Pemetaan
φ:R→R’ dikatakan homomorfisma jika untuk setiap a,b ∈R. memenuhi (1) φ (a+b)=φ(a)+φ(b) dan (2) φ (ab)=φ (a) φ(b)
L emma 2.1.1
Jika φ adalah homomorfisma dari R ke R ’, maka 1. φ (0)=0 2. φ (-a)=- φ (a), untuk setiap a∈R Bukti
(i) Jika a unsur sebarang di R, maka a+0=a=0+a, sehingga φ (a)=φ (a+0)=φ (a) +φ (0), demikain pula φ (a)=φ (0+a)=φ (0) +φ (a),
karenanyaφ (a)+φ (0)=φ (0) +φ (a)=φ (a),∀ φ (a)∈R’, akibatnya φ (0)adalah unsure nol di R’, yaitu : φ (0)=0.
(ii) Jika a unsur sebarang di R, maka a+(-a)=0 =(-a)+a, sehingga φ (0)=φ (a+(-a))=φ (a)+φ (-a) φ (0)=φ ((-a)+a)=φ (-a)+φ (a)
karenanyaφ (a)+φ (-a)=φ (-a)+φ (a)=φ (0),∀φ (a)∈R’ akibatnya -φ (a)=φ (-a) Definisi 2.1.2
Jika φ homomorfisma dari R ke R’, maka kernel I(φ), adalah himpunan semua unsur a∈R sehingga φ (a)=0 unsur nol di R’.
Drs. Rusli, M.Si.
12
Teori Ring
L emma 2.1.2
Jika φ adalah morfisma dari R ke R’ dengan kernel I (φ ), maka 1. I(φ ) adalah subgrup dari R terhadap operasi penjumlahan. 2. jika a∈I(φ ) dan r ∈R maka keduanya ar dan ra unsur kernel φ . Bukti.
(1) (a) Ambil a, b∈I(φ ), maka φ(a)=0 dan φ(b)=0. Sekarang pandang
φ(a+b), karena φ suatu homomorfisma, maka φ(a+b)=φ(a) + φ(b) = 0+0 = 0. J adi a+b∈I(φ), dengan kata lain I(φ) tertutup terhadap operasi penjumlahan. (b) Ambil a∈ I(φ ) sembarang, maka φ (a)=0 dan karena φ (-a)=-φ (a)=(0)=0, ini berarti -a∈I(φ ). Dari (a)-(b) dapat disimpulkan bahwa I(φ ) merupakan subgrup dari R. (2) Misalkan a∈I(φ ), dan r∈R, maka φ (a)=0, perhatikan bahwa φ (ar) = φ (a)φ (r) =0φ (r) =0, dengan demikian ar∈I(φ). Dengan cara sama φ (ra)
= φ (r)φ (a) = φ (r)0 = 0, berdasarkan definisi I(φ ) diperoleh ar dan ra kedua-dunya terletak di I(φ ). Contoh 2.1.1
∀a∈R, maka φ :R→R’adalah homomorfisma, lebih dari itu I(φ)=R. φ disebut Misalkan R dan R’ sebarang ring, dan dengan φ (a)=0,
homomorfisma nol. Bukti
13
Ambil a, b sembarang dua unsur di R, maka φ (a)=0 dan φ (b)=0. Sekarang perhatikan φ (a+b)=0=0+0=φ (a)+φ (b) dan φ (ab)=0=(0)(0)=φ (a)φ(b). Jadi φ merupakan suatu homomorfisma. Contoh 2.1.2
Misalkan R ring dan R=R’dan didefinisikan φ(x)=x,∀x∈R, maka φ adalah homomorfisma dan I(φ)={0}. Bukti
Ambil x, y sembarang dua unsur di R, maka φ (x)=x dan φ (y)=y. Sekarang perhatikan φ (x+y)=x+y=φ (x)+φ (y) dan φ (ab)=xy=φ (x)φ(y). J adi φ merupakan suatu homomorfisma. Karena hanya 0∈R, yang dipetakan ke 0 pada R’, maka I (φ )={0}. Contoh 2.1.3
Misalkan Z[√2] adalah himpunan bilangan riil yang berbentuk m+n√2 dengan m, n bilangan-bilangan bulat. Dapat kita tunjukkan bahwa Z[√2] merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Didefinisikan φ : Z[√2]→Z[√2] dengan φ (m+n√2)=m-n√2, maka φ homomorfisma dan
I (φ )={0}. Bukti
Ambil x, y sembarang dua unsur di R, x= m1+n1√2, dan y= = m2+n2√2, dengan m1, n1, m2, n2 ∈ Z. maka φ (m1+n1√2)=m1-n1√2 dan φ (m2+n2√2)=m2n2√2. Sekarang perhatikan bahwa x+y=(m1+n1√2+m2+n2√2) =(m1+m2)+(n1+n2)√2
dan xy=(m1+n1√2)(m2+n2√2)=(m1m2+2n1n2+(m1n2+n1m2)√2)
maka Drs. Rusli, M.Si.
14
Teori Ring
φ (x+y)=φ (m1+n1√2+m2+n2√2)
=φ ((m1+m2)+(n1+n2)√2)
=(m1+m2)-(n1+n2)√2 =((m1-n1√2)+(m2-n2)√2)) =φ (x)+φ (y) dan φ (xy)=φ ((m1+n1√2)(m2+n2√2))
=φ ((m1m2+2n1n2+(m1n2+n1m2)√2)) =(m1m2+2n1n2-(m1n2+n1m2)√2) =(m1m2-m1n2√2-n1m2√2+2n1n2) =(m1-n1√2)(m2+-n2√2) =φ (m1+n1√2)φ (m2+n2√2) =φ (x)φ (y) Jadi φ merupakan suatu homomorfisma Contoh 2.1.4
Misalkan Zn adalah ring bilangan bulat modulo n. definisikan I : Z→Zn dengan φ (a)=sisa dari a apabila dibagi oleh n, maka φ homomorfisma. Contoh 2.1.5
Misalkan R himpunan semua fungsi-fungsi kontinu bernilai riil pada interval tutup [0,1]. R terhadap operasi penjumlahan dan perkalian fungsi merupakan ring. Selanjutnya misalkan F adalah ring bilangan riil terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, serta didefinisikan pemetaan φ R→F , dengan φ (f (x))=f (1/2).
Dengan
pengaitan
yang
demikian
φ
merupakan
homomorfisma yang bersifat pada dari R ke F .
15
Definisi 2.1.3
Suatu homomorfisma dari R ke R’ dikatakan suatu monomorfisma jika homomorfisma tersebut satu-satu. L emma 2.1.3
Homomorfisma φ dari R ke R’ dikatakan suatu monomorfisma jika dan hanya jika I (φ )=(0). Bukti
Misalkan φ monomorfisma (satu-satu). Ambil x∈I (φ ), maka kita mempunyai φ (x)=0=φ (0). K arena φ satu-satu haruslah x=0. J adi I (φ )={0}.
Sebaliknya misalkan I (φ )=0, ambil x,y∈R sembarang yang bersifat φ (x)=φ (y). K arena φ merupakan homomorfisma , maka kita punya hubungan φ (x+(-y))=φ (x)-φ (y)=0. Dengan demikian kita peroleh x-y∈I (φ ), karena
I (φ )={0}, maka x=y. I ni membuktikan bahwa φ : R→R’ bersifat satu-satu
(monomorfisma). Definisi 2.1.4
Suatu homomorfisma dari R ke R’ dikatakan suatu epimorfisma jika homomorfisma tersebut bersifat pada. Definisi 2.1.5
Suatu homomorfisma dari R ke R’ dikatakan suatu isomorfisma jika homomorfisma tersebut bersifat satu-satu dan pada. Homomorfisma yang dimaksud pada definisi di atas, merupakan homomorfisma yang memenuhi sifat monomofisma dan epimorfisma. Dengan kata lain suatu homomorfisma merupakan suatu isomorfisma jika Drs. Rusli, M.Si.
16
Teori Ring
homomrfisma tersebut merupakan suatu monomorfisma dan epimorfisma. Dengan demikian jika kita memandang pemetaan tersebut sebagai fungsi, maka homomorfisma yang bersifat isomorfisma bila berbicara pada fungsi merupakan fungsi bijektif yaitu suatu fungsi yang bersifat injektif (satu-satu) dan surjektif (pada).
17
2.2 I deal
Ide mengkonstruksi grup faktor pada saat mempelajari grup kita akan ulangi dalam mempelajari ring, ide tersebut kita terapkan untuk mendapatkan ring faktor (quotien), sehingga konsep grup faktor merupakan konsep yang sama dengan konsep ring faktor (quotien). Pada pembentukan grup faktor, terlebih dahulu kita mengkonstruksi koset dan subgrup normal, kemudian terbentuklah grup faktor. Pada bagian ini kita terlebih dahulu membicarakan ideal kemudian dari ideal ini kita mengkonstruksi suatu ring yang unsur-unsurnya merupakan ideal yang selanjutnya kita namakan dengan ring faktor atau ring quotien. Definisi 2.2.1
Suatu himpunan bagian tak kosong U dari R dikatakan ideal kiri dari R jika (1) U merupakan subgrup dari R terhadap penjumlahan, (2) untuk setiap u∈R, ru∈U.
Definisi 2.2.2
Suatu himpunan bagian tak kosong U dari R dikatakan ideal kanan dari R jika (1) U merupakan subgrup dari R terhadap penjumlahan, (2) untuk setiap u∈R, ur∈U.
Berdasarkan definisi 2.2.1 dan 2.2.2 kita definisikan bahwa suatu himpunan bagian tak kosong U dari R dikatakan ideal dari R, jika merupakan ideal kiri sekaligus merupakan ideal kanan dari R. J elas bahwa {0} dan R merupakan ideal dari sembarang ring R. Ideal yang demikian disebut ideal trivial atau sering juga disebut denganimproper ideal. Semua ideal dari U dari R yang berbeda dari {0} dan R disebut proper ideal atau ideal sejati.
Drs. Rusli, M.Si.
18
Teori Ring
L emma 2.2.1
Syarat perlu dan cukup bahwa himpunan bagian tak kosong U dari R, merupakan ideal dari R bila memenuhi (i) jika a∈U, dan b∈U, maka a-b∈U, dan (ii) jika u∈U, dan r∈R, maka ur∈U dan ru∈U. Bukti
⇒(syarat perlu). Misalkan U ideal dari ring R, maka U merupakan subgrup dari R terhadap operasi penjumlahan dan untuk setiapu∈U, dan r∈R berlaku ur∈R dan ru∈R. tetapi syarat perlu dan cukup bahwa U merupakan subgrup
terhadap penjumlahan adalah jika a, b∈U sembarang, maka a-b∈U. Dengan demikian kita punya jika U ideal dari R, maka berlaku (i) jika a∈U, dan b∈U, maka a-b∈U, dan (ii) jika u∈U, dan r∈R, maka ur∈U dan ru∈U.
⇐(syarat cukup). Misalkan U himpunan tak kosong dari R, yang memenuhi sifat (i) jika a∈U, dan b∈U, maka a-b∈U, dan (ii) jika u∈U, dan r∈R, maka ur∈U dan ru∈U. Dari sifat (i) kita peroleh bahwa U merupakan subgrup dari R terhadap operasi penjumlahan, sehingga kita punya sifat bahwa jika sifat
(i) jika a∈U, dan b∈U, maka a-b∈U, dan (ii) jika u∈U, dan r∈R, maka ur∈U dan ru∈U berlaku, maka
(1) U merupakan subgrup dari R terhadap penjumlahan (2) untuk setiap u∈R, ur∈U. Dengan demikian U merupakan ideal dari R. L emma 2.2.2
Irisan sembarang dua ideal dari R juga merupakan ideal dari R Bukti
Misalkan U1 dan U2 sembarang dua ideal dari R, maka U1 dan U2 merupakan subgrup dari R terhadap operasi penjumlahan. Karenanya U1∩U2 juga merupakan subgrup dari R. Sekarang misalkan u∈ U1∩U2 sembarang dan 19
r∈R. K arena U1 dan U2 merupakan ideal-ideal dari R, maka ur∈U1, ru∈U1
dan ur∈U2 dan ru∈U2, akibatnya ur∈U1∩U2 dan ru∈U1∩U2 merupakan ideal dari R. L emma 2.2.3
Misalkan M himpunan bagian tak kosong dari ring R, maka irisan semua koleksi ideal-ideal dari R yang memuat M merupakan ideal terkecil yang memuat M. Bukti
Misalkan {Sα |α ∈Λ} adalah koleksi semua ideal-ideal dari R yang memuat M, maka menurut definisi ideal setiap Sα merupakan subgrup dari R terhadap
operasi penjumlahan. Karena irisan subgrup-subgrup dari R yang memuat M juga merupakan subgrup yang memuat M, kita peroleh bahwa ∩{Sα |α ∈Λ} adalah subgrup dari R yang terkecil yang memuat M. Selanjutnya ambil u∈∩{Sα |α ∈Λ} sembarang dan r∈R sembarang, maka u∈Sα untuk setiap α ∈Λ, dan karena Sα merupakan ideal untuk setiap α ∈Λ, maka ur∈Sα dan
ru∈Sα , untuk setiap α ∈Λ. Akibatnya ur∈∩{Sα |α ∈Λ} dan ru∈∩{Sα |α ∈Λ}.
Dengan demikian
∩{Sα |α ∈Λ} merupakan ideal dari
R dan karena
∩{Sα |α ∈Λ} himpunan terkecil yang memuat M, maka dapat disimpulkan bahwa ∩{Sα |α ∈Λ} merupakan ideal terkecil yang memuat M. Ideal yang kita bicarakan pada lemma 2.2.3 biasanya dikenal juga dengan nama ideal yang dibangun oleh M. ideal yang demikian selanjutnya ditulis (M). Definisi 2.2.3
Suatu ideal yang dibangun oleh satu unsur disebut dengan ideal utama (principal ideal). Drs. Rusli, M.Si.
20
Teori Ring
Definisi 2.2.4
Misalkan R ring komutatif dengan unsur kesatuan dan tanpa unsur pembagi nol disebut ring ideal utama jika setiap ideal dari R merupakan ideal utama. Ekivalen dengan definisi 2.2.4 di atas adalah bahwa bila R merupakan daerah integral dengan unsur kesatuan merupakan ring ideal utama jika setiap ideal U dari R dibangun oleh satu unsur, yaitu U=(a), untuk suatu a∈R. Contoh 2.2.1
Misalkan Q himpunan semua bilangan rasional dan Z himpunan semua bilangan bulat. Jelas Z merupakan himpunan bagian dari Q. Pembaca dapat menunjukkan bahwa Q merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dan Z merupakan grup terhadap operasi penjumlahan. Tetapi Z bukan merupakan ideal kiri maupun kanan, sebab perkalian antara bilangan rasional dengan bilangan bulat tidak senantiasa merupakan bilangan bulat demikian pula bahwa perkalian antara bilangan bulat dengan bilangan rasional tidak senantiasa merupakan bilangan bulat. Berdasarkan contoh di atas, dengan mudah kita dapat menemukan bilanagn rasionan dan bilangan bulat yang memenuhi contoh 2.2.1 di atas, yaitu dengan memilih 2/3∈Q, dan 5∈Z, maka (2/3)(5)=10/3∉Z demikian pula 5(2/3)=10/3∉Z, dan masih banyak lagi bahkan tak terhingga banyaknya bilangan rasional dan bilangan bulat yang dapat kita pilih sedemikian sifat ini tidak berlaku. Contoh 2.2.2 21
Misalkan R himpunan semua bilangan riil dan Q himpunan semua bilangan rasional, maka jelas sekali bahwa Q⊆R, dan pembaca dengan mudah dapat menunjukkan bahwa R merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian serta Q merupakan grup terhadap operasi penjumlahan. Tetapi Q bukan merupakan ideal kiri maupun ideal kanan. Sebagai latihan pembaca di minta untuk menemukan bilangan rasional Q dan bilangan riil R yang bersifat bahwa a∈Q, r∈R, tetapi ar∉Q a∈Q, r∈R, tetapi ra∉Q
dan Contoh 2.2.3
Misalkan R ring semua matriks ordo 2x2 dengan unsur-unsur bilangan bulat,
⎧⎛ a ⎩⎝ b
yaitu R=⎨⎜⎜
⎫ ⎟⎟ a,b, c, d ∈ Z⎬ dan d ⎠ ⎭ c ⎞
⎧⎛ a 0 ⎞ ⎫ ⎟⎟ a,b∈ Z⎬ , maka ⎩⎝ b 0 ⎠ ⎭
H=⎨⎜⎜
H
merupakan ideal kiri dari R, tetapi H bukan ideal kanan dari R. Contoh 2.2.4
Misalkan R seperti pada contoh 2.1.3, dan S=himpunan matriks 2x2 yang berbentuk
⎧⎛ 0 a ⎞ ⎫ ⎨⎜⎜ 0 b⎟⎟ a,b∈ Z⎬ , maka H merupakan ideal kiri dari ⎭ ⎩⎝ ⎠
R tetapi H
bukan ideal kanan. Contoh 2.2.5 Misalkan m sembarang bilangan bulat positif tetapi tetap dan T={ma|a∈Z}, maka untuk sembarang dua unsur ma dan mb di T, berlaku ma-mb=m(ab)∈ T, karena a∈Z dan b∈Z, maka a-b∈Z. Jadi T merupakan grup terhadap
Drs. Rusli, M.Si.
22
Teori Ring
operasi penjumlahan. Sekarang ambil ma∈ T sembarang dan b∈Z, maka (ma)b=m(ab)∈ T, karena Z bersifat assosiatif terhadap operasi perkalian dan b(ma)=(bm)a=m(ba)∈ T, karena Z bersifat komutatif dan assosiatif terhadap
operasi perkalian. Definisi 2.2.4
Suatu ideal M≠R dalam ring R, dikatakan ideal maksimal dari R jika terdapat ideal U dari R sedemikian sehingga M⊆U⊆R, maka R=U atau M=U. Ekivalen dengan definisi di atas, adalah M ideal dari R dan M≠R, dikatakan ideal maksimal jika tidak terdapat ideal sejati dari R yang memuat M.
Berikut ini akan diberikan beberapa sifat yang berhubungan dengan ideal. L emma 2.2.4
Lapangan tidak mempunyai ideal sejati Bukti
Misalkan S ideal tak nol dari lapangan F dan misalkan a sembarang unsur tak nol dari S, maka S merupakan himpunan bagian dari F , akibatnya berlaku Jika a∈S, maka a∈F , karena F ring, maka a-1∈F Sekarang karena S ideal dari F , maka berlaku Jika a∈S, dan a-1∈F , maka 1=aa-1∈S Sehingga diperoleh bahwa 1∈S. Selanjutnya ambil x∈F sembarang, dan karena S ideal dari F , maka berlaku atau x∈S karena 1∈S, dan x∈F , maka 1x∈S, dan karena x∈F diambil sembarang, mengakibatkan x∈S, maka F ⊆S, tetapi karena S ideal dari F , maka kita punya juga relasi S⊆F . Dengan 23
demikian kita simpulkan bahwa S=F . J adi setiap ideal tak nol dari F merupakan ideal yang sama dengan F , dengan kata lain bahwa ideal dari F hanya {0} dan F sendiri. K arenanya suatu lapangan tidak mempunyai ideal sejati. L emma 2.2.5
Jika R ring komutatif dan a∈R, maka Ra={ra|r∈R} merupakan ideal dari R. Bukti
Ambil x,y sembarang dua unsur di Ra, maka x=r1a dan y=r2a, untuk suatu r1,r2 di R, maka x-y =r1a-r2a =( r1-r2)a∈Ra. Dengan demikian Ra merupakan
subgrup dari Ra terhadap operasi penjumlahan. Sekarang ambil r∈R dan r1a∈Ra sembarang, maka r(r1a)= (rr1)a∈Ra dan (r1a)r= (r1r)a∈Ra.
Karenanya Ra merupakan ideal dari R. L emma 2.2.6
Ring komutatif dengan unsur kesatuan yang tidak mempunyai ideal sejati senantiasa merupakan lapangan. Bukti Misalkan R adalah ring komutaif dengan unsur kesatuan dan tidak mempunyai ideal sejati. Dengan kata lain ideal dari R hanyalah {0} dan R sendiri. Untuk menunjukkan bahwa R lapangan, akan ditunjukkan bahwa untuk setiap unsur tak nol dari R, mempunyai invers di R. Ambil sembarang a∈R dengan a≠0, definisikan himpunan Ra={ra|r∈R}, maka menurut lemma 2.2.5, Ra merupakan ideal dari R. K arena 1∈R, maka a=1a∈Ra, dan karena a≠0, maka Ra merupakan ideal dari R yang tak nol.
Berdasarkan hipotesis bahwa R tidak mempunyai ideal sejati dan Ra ideal tak nol di R, maka haruslah R=Ra. Selanjutnya karena 1∈R dan Ra=R, maka Drs. Rusli, M.Si.
24
Teori Ring
mesti terdapat unusr b∈R sedemikian sehingga ba=1, tetapi karena R komutatif, maka ab=1. J adi a-1=b∈R. Dengan demikian bahwa untuk setiap unsur tak nol dari R, senantiasa mempunyai invers atau dengan kata lain bahwa R merupakan lapangan. L emma 2.2.7
Jika a unsur pada suatu ring komutatif dengan unsur kesatuan, maka himpunan Ra={ra|r∈R} merupakan ideal utama dari R yang dibangun oleh a. Bukti
Telah ditunjukkan bahwa pada lemma 2.2.5 bahwa Ra merupakan ideal , juga karena R merupakan dengan unsur kesatuan maka a=1a∈Ra. Jadi Ra merupakan ideal yang memuat unsur a. Selanjutnya untuk menunjukkan bahwa Ra merupakan ideal utama, maka akan ditunjukkan bahwa Ra adalah ideal terkecil dari R yang memuat a, dengan kata lain akan ditunjukkan bahwa setiap ideal dari R yang memuat a, juga memuat Ra. Misalkan S ideal dari R yang memuat a dan ra sembarang unsur dari Ra, maka r∈R. K arena S ideal dari R yang memuat a, maka ra∈S. jadi ra∈Ra, mengakibatkan ra∈S, karena ra diambil sembarang di ra, maka
berarti bahwa setiap unsur di Ra, juga merupakan unsur S, atau Ra⊆S. Akibatnya Ra termuat pada setiap ideal dari R yang memuat a, dengan demikian Ra merupakan ideal terkecil yang memuat a. Dengan kata lain Ra merupakan ideal utama dari R yang dibangun oleh a. L emma 2.2.8
Ring bilangan bulat Z merupakan ring ideal utama Bukti
Karena ring bilangan bulat ring komutatif dengan unsur kesatuan dan tanpa unsur pembagi nol, sehingga untuk menujukkan bahwa Z merupakan ring 25
ideal utama, cukup ditunjukkan bahwa setiap ideal dari Z merupakan ideal utama. Misalkan S sembarang ideal dari Z. J ika s={0}, maka jelas S merupakan ideal utama. Sekarang misalkan S≠{0}, maka S senantiasa mempunyai unsur paling sedikit satu yang tak nol, sebut 0≠a∈S. Selanjutnya, karena S ideal maka S merupakan subgrup dari Z terhadap operasi penjumlahan, dengan demikian jika a∈S, maka -a∈S, sehingga S memiliki paling sedikit satu unsur positif. Sekarang, misalkan s unsur positif yang terkecil dalam S. Claim bahwa S merupakan ideal utama yang dibangun oleh s. Sebagaimana telah ditunjukkan bahwa himpunan yang berbentuk Zs={as|a∈Z} adalah ideal utama yang dibangun olehs. Sehingga kita akan tunjukkan bahwa Zs=S. Ambil as sembarang unsur dari Zs, maka a∈Z, dan karena S ideal dari Z, maka as∈S. jadi kita punya bahwa jika as∈Zs, maka as∈S. Ini berarti bahwa Zs⊆S
…(1)
Sekarang ambil n sembarang unsur di S, maka menurut algoritma pembagian yang dikenakan pada n dan s, terdapat bilangan bulat q dan r sedemikian sehingga n=qs+r, dengan 0 ≤ r < s
karena s∈S, dan q∈Z, maka qs∈S, juga karena n∈S, maka r=n-qs∈S (S subgrup dari Z), sehingga r∈S. Tetapi karena 0 ≤ r
< s dan s unsur positif terkecil dari S, maka haruslah r=0, karenanya n=qs∈Zs (karena q∈Z, maka qs∈ZS). J adi setiap unsur di S juga merupakan unsur di Zs, dengan demikian S⊆Zs
…(2)
Dari (1) dan (2) kita punya S=Zs
Drs. Rusli, M.Si.
26
Teori Ring
Tetapi karena Zs merupakan ideal utama yang dibangun olehs, maka S juga merupakan ideal utama yang dibangun oleh s, dan karena S diambil sembarang ideal dari Z, maka setiap ideal dari Z, merupaka ideal utama. Dengan kata lain bahwa Z merupakan ring ideal utama. L emma 2.2.9
Irisan sembarang dua ideal pada suatu ring R, senantiasa merupakan ideal pada ring R. Bukti Misalkan U1 dan U2 sembarang dua ideal dari ring R, maka U1 dan U2 merupakan subgrup dari R terhadap operasi penjumlahan. Karena irisan dua subgrup dari R juga merupakan subgrup dari R, maka U1∩U2 subgrup dari R. Sekarang ambil sembarang a∈U1∩U2 dan r∈R, maka a∈U1 dan a∈U2. Sehingga ar∈U1, ra∈U1 dan ar∈U2, ra∈U2, maka ar∈U1∩U2 dan ra∈U1∩U2. Ini menunjukkan bahwa U1∩U2 merupakan ideal dari R.
L emma 2.2.10
Misalkan M himpunan bagian tak kosong dari ring R, maka irisan koleksi semua ideal padaR yang memuat M adalah ideal terkecil yang memuat M. Bukti
Misalkan {Sα | α ∈Λ} koleksi semua ideal-ideal dari R yang memuat M, maka setaip Sα merupakan subgrup dari R (terhadap operasi penjumlahan) yang memuat M. Karena irisan semua subgrup dari R yang memuat M adalah subgrup terkecil yang memuat M, maka ∩{Sα |α ∈Λ} adalah subgrup terkecil yang memuat M. Sekarang ambil a∈{∩{Sα |α ∈Λ}} sembarang dan r∈R sembarang, maka a∈Sα , untuk setiap α ∈Λ. Sehingga ar dan ra unsur di Sα , untuk
setiap α ∈Λ
(Mengapa),
akibatnya ar∈{∩{Sα |α ∈Λ}} dan 27
ra∈{∩{Sα |α ∈Λ}}. Dengan ini maka ∩{Sα |α ∈Λ} adalah ideal terkecil yang
memuat M dan sering dikatakan ideal yang dibangun oleh M dan ditulis (M). 3.3 Ring Faktor
Misalkan bahwa U adalah ideal (kiri dan kanan) dari ring R. Kita mengkonstruksi suatu himpunan baru yaitu R/U yaitu himpunan yang unsurunsurnya adalah semua koset-koset yang berbeda dari U dalam R. K arena U adalah ideal dari R, maka menurut definisi ideal, U merupakan subgrup dari R terhadap operasi penjumlahan, dan karena R merupakan grup komutatif
terhadap operasi penjumlahan, maka koset kiri dari U dalam R juga merupakan koset kanan dari U dalam R, sehingga kita lebih senang menyebut kata koset. K arena R/U memuat semua koset-koset dari U dalam R, maka R/U merupakan himpunan yang unsur-unsurnya berbentuk U+a,
dengan a sembarang unsur dari ring R. lebih dari itu R/U juga merupakan grup terhadap operasi penjumlahan. Himpunan R/U ternyata merupakan suatu ring (ditunjukkan pada sifat berikut), ring yang demikian disebut dengan ring faktor (Ring Quoti en). L emma 3.3.1
Misalkan U ideal (ideal kiri dan kanan) dari ring R, maka himpunan R/U yaitu himpunan yang unsur-unsurnya adalah semua koset-koset dari U+a, a sembarang unsur dari ring R. Dengan operasi (U+a)+(U+b)=U+(a+b) (U+a)(U+b)=U+ab maka R/U merupakan ring. Bukti
Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa operasi yang didefinisikan di atas terdefinisi dengan baik. Misalkan Drs. Rusli, M.Si.
28
Teori Ring
S+a =S+a′ dan S+b =S+b′
Sehingga a′∈S+a dan b′∈S+b, karenanya terdapat α dan β di S sedemikian sehingga a′=α +a dan b′= β +b
akibatnya, a′+b′=(α +a)+( β +b)=(a+b)+(α + β )
sehingga
(a′+b′)-(a+b)=(α + β )∈S
(karena S subgrup)
karenanya S+(a′+b′)=S+(a+b) atau (S+a′)+(S+b′)=(S+a)+(S+b), sehingga penjumlahan dalam R/S terdefinisi dengan baik. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa operasi perkalian di R/S terdefinisi dengan baik. Y aitu akan ditunjukkan, jika U+a=U+a′ dan U+b=S+b′; maka dengan operasi perkalian (U+a)(U+b)=(U+a′)(U+b′). Dengan kata lain akan ditunjukkan bahwa ab+U=a′b′+U. K arena U+a=U+a′ dan U+b=S+b′, maka a=a′+u1, dimana u1∈U, dengan cara sama b=b′+u2, dimana u2∈U. Jadi ab=(a′+u1)(b′+u2)=a′b′+u1b′+a′u2+u1u2; karena U ideal dari R, maka u1b′∈U, a′u2∈U, u1u2∈U. Akibatnya u3=u1b′+a′u2+u1u2∈U, sehingga ab= a′b′+u3. Akibatnya ab+U= a′b′+u3+U=a′b′+U (karena u3∈U, maka u3+U=U). Selanjutnya dengan kedua operasi tersebut di R/S memenuhi sifat.
(i) Penjumlahan assosiatif di R/S, Ambil (S+a), (S+b), dan (S+c) sembarang tiga unsur di R/S, maka {(S+a)+(S+b)}+(S+c) ={S+(a+b)}+(S+c) =S+{(a+b)+c} =S+{a+(b+c)}[penjumlahanassosiatif di R] =(S+a)+{S+(a+b)} =(S+a)+{(S+b)+(S+c)}. (ii) Identitas penjumlahan ada di R/S, yaitu koset (S+0), sebab jika diambil (S+a) sembarang unsur di R/S, maka 29
(S+a) +(S+0)=(S+(a+0)=S+a dan
(S+0)+(S+a)=S+(0+a)=S+a.
(iii) Setiap Koset di R/S mempunyai invers penjumlahan di R/S. Sebab Jika diambil sembarang koset (S+a) di R/S, maka dapat dipilih (S+(-a)) juga unsur di R/S (kenapa?) sedemikian sehingga (S+a)+(S+(-a))=(S+0)=(S+(-a))+(S+a) Karenanya setiap unsur (S+a) di R/S mempunyai invers penjumlahan di R/S
(iv) dengan operasi penjumlahan komutatif di R/S, sebab jika diambil dua unsur sembarang (S+a) dan (S+b) di R/S, maka (S+a)+(S+b)=S+(a+b)=(S+b+a)=(S+b)+(S+a) (v) operasi perkalian assosiatif di R/S, sebab jika (S+a), (S+b), dan (S+c) sembarang tiga unsur di R/S, maka {(S+a)(S+b)}(S+c)=(S+(ab)(S+c) =S+(ab)c) =S+a(bc) =(S+a)(S+bc) =(S+a){(S+b)(S+c)} (vi) operasi perkalian bersifat distributif terhadap penjumlahan di R/S, sebab jika diambil (S+a), (S+b), dan (S +c) sembarang tiga unsur di R/S, maka (S+a){(S+b)+(S+c)}=(S+a)(S+b+c) =(S+a(b+c)) =(S+ab+ac) =(S+ab)+(S+ac) =(S+a)(S+b)+(S+a)(S+c) Dengan cara sama {(S+a)+(S+b)}(S+c)=(S+a)(S+c)+(S+b)(S+c) Dengan demikian R/U adalah ring, dan disebut dengan ring faktor (Quotien ring), atau ring kelas residu, atau ring differens.
Drs. Rusli, M.Si.
30
Teori Ring
Catatan (i) J ika R komutatif, maka R/S juga komutatif, sebab jika (S+a) dan (S+b) dua unsur sembarang di R/S, maka (S+a)(S+b)=(S+ab)=(S+ba)=(S+b)(S+a) (ii) J ika R ring dengan unsur kesatuan, maka R/S juga merupakan ring dengan unsur kesatuan, dengan unsur kesatuan (S+1), sebab jika jika diambil (S+a) sembarang unsur di R/S, maka (S+a)(S+1)=(S+a+1)=(S+a) dan
(S+1)(S+a)=(S+1+a)=(S+a)
L emma 3.3.2
Misalkan S suatu ideal pada ring komutatif R dengan unsur kesatuan adalah maksimal jika dan hanya jika ring R/S adalah lapangan. Bukti Karena R ring komutatif dengan unsur kesatuan. Maka ring faktor R/S merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan dan unsur identitas terhadap operasi penjumlahan dan perkalian berturut-turut adalah (S+0) dan (S+1), dengan 0 dan 1 berturut-turut merupakan unsur nol dan unsur kesatuan pada R. Selanjutnya misalkan S adalah ideal maksimal, akan ditunjukkan bahwa R/S adalah lapangan. Dengan kata lain akan ditunjukkan bahwa setiap unsur tak nol di R/S mempunyai invers terhadap operasi perkalian. Ambil S+a ∈R/S sembarang unsur tak nol di R/S, maka S+a≠S+0, karenanya a∉S [karena S+a=S+0⇔a∈S]. Selanjutnya misalkan T ideal utama yang dibangun oleha, sebut T={α a:α ∈R}
Karena jumlah dua ideal dari R, juga merupakan ideal dari R, maka S+ T T dan ideal dari R yang memuat S. Sekarang, karena a∉S dan a=0+1a∈S+
karena S ideal maksimal di R, maka haruslah S+ T=R. Sekarang karena 1∈R, 31
T], sehingga 1kita punya 1=b+α a, untuk suatu b∈S dan α ∈R [karena R=S+ α a=b∈S.
Akibatnya S+1=S+α a
Atau
S+1=(S+a)(S+α ), dengan α ∈R.
Dengan cara sama, (S+1)=(S+α )(S+a) Dengan demikian (S+a)-1=(S+α )∈R/S. Sehingga untuk setiap unsur tak nol di R/S mempunyai invers terhadap operasi perkalian. Karenanya R/S lapangan. Sebaliknya, misalkan S ideal dari R sedemikian sehingga R/S lapangan. Akan ditunjukkan bahwa S ideal maksimal dari R. Misalkan T ideal di R yang memuat S, maka setiap unsur-unsur di R yang termuat di S juga termuat di T. Sehingga akan ditunjukkan bahwa R= T, yaitu cukup ditunjukkan bahwa setiap unsur dari R yang tak termuat di S termuat di T. Misalkan a∉S, maka S+a≠S+0, dengan kata lain S+a bukan unsur nol di R/S. K arena T memuat S,
maka terdapat unsur b∈ T, sedemikian sehingga b∉S, akibatnya S+b bukan unsur nol di R/S. Sekarang R/S lapangan, sehingga bila (S+a)∈R/S, dan (S+b)∈R/S, maka S+(ab-1)=(S+a)(S+b-1)=(S+a)(S+b)-1∈R/S
Sehingga ab-1∈R, dan karena T ideal dari T, serta b∈ T, maka a=ab-1b∈ T.
Jadi setiap unsur R yang tidak termuat di S, termuat di T, dengan demikian R⊆ T, tetapi karena T⊆R, maka R= T. Hal ini menunjukkan bahwa S ideal
maksimal di R. Soal-Soal 1. Jika U ideal dari R dan 1∈U, buktikan bahwa U=R. 2. Jika F lapangan, buktikan ideal dari F hanya (0) dan F sendiri. Drs. Rusli, M.Si.
32
Teori Ring
3. Jika R ring komutatif dan a∈R, (a) tunjukkan bahwa aR ={ar|r∈R} merupakan ideal dari R. (b) Tunjukkan dengan contoh, bahwa sifat (a) tidak benar bila R tidak komutatif. 4. Jika U dan V ideal-ideal dari R, misalkan U+V={u+v | u∈U, v∈V}. Buktikan bahwaU+V juga merupakan ideal dari R. 5. Jika U dan V ideal-ideal dari R. Misalkan UV adalah himpunan semua unsure yang berbentuk uv, dengan u∈U dan v∈V, yang jumlahnya hingga. Buktikan bahwa UV merupakan ideal dari R. 6. Dalam soal 5. Buktikan bahwa UV⊆U∩V. 7. Jika R ring bilangan bulat dan U ideal kelipatan 17. Buktikan bahwa jika V ideal dari R dan R⊇V⊇U, maka V=R atau V=U.
8. Jika U ideal dari R, misalkan r(U)={x∈R | xu=0,
∀u∈U}. Buktikan
bahwa r(U) merupakan ideal dari R. 9. Jika U merupakan ideal dari R, misalkan [R:U]={x∈R|rx∈U,∀r∈R}. Buktikan bahwa [R:U] ideal dari R dan memuat U. 10. Misalkan R ring dengan unsur kesatuan. Dengan unsur-unsur pada R, kita akan mendefinisikan ring R′, dengan operasi a ⊕ b = a + b +1 dan a⊗b=ab+a+b, dengan a, b, ∈R.
(a) Tunjukkan bahwa R′ merupakan ring terhadap operasi ⊕ dan ⊗ (b) Sebutkan unsur yang merupakan unsur nol di R′ (c) Sebutkan unsur yang merupakan unsur kesatuan di R′. (d) Buaktikan bahwa R isomorfik dengan R′. 11. Untuk a∈R, misalkan Ra={xa|x∈R}. Buktikan bahwa Ra adalah ideal kiri. 12. Buktikan bahwa irisan dua ideal kiri dari R juga merupakan ideal kiri dari R. 33
