Materi Teori Bilangan Bilangan Pertemuan Pertemuan XIV
MF - 2011
TEOREMA SISA CINA ( CHINESE REMAINDER THEOREM ) Terca Tercatat tat dalam dalam lite literat ratur ur permasal permasalahan ahan berikut berikut..
Cin Cina, a,
pada pada abad abad
pert pertama ama Sun-T Sun-Tsu su me meng ngaju ajuka kan n
sebu sebuah ah
Tentukan bilangan yang memberikan sisa 2, 3, 2 ketika dibagi oleh 3, 5, dan 7. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan Teorema Sisa Cina. Cina .
Teorema Sisa Cina: Misalkan n1, n2, n3, ... , nr bilangan bulat positif sedemikian sehingga FPB (ni, nj) = 1, untuk i ≠ j. Sistem Kongruensi Linier x ≡ a1 (mod n1) x ≡ a2 (mod n2) x ≡ a3 (mod n3) . . . x ≡ ar (mod nr) memiliki solusi yang unik dengan modulo n 1 x n2 x n3 x ... x nr. Cont Contoh oh 1: Permasalahan yang diberikan oleh Sun-Tsu berkorespondensi dengan tiga sistem kongruen berikut: x ≡ 2 (mod 3) x ≡ 3 (mod 5) x ≡ 2 (mod 7) untuk menyelesaikan permasalahan di atas, digunakan teorema sisa cina. Penyelesaian: Cara I: Lang Langk kah I
Langk angkah ah II Langk angkah ah III
: ide ident ntif ifik ikas asii uns unsur ur yang yang dik diketah etahui ui.. a1 = 2, a2 = 3, dan a3 = 2 n1 = 3, n2 = 5, dan n3 = 7 : Cari ari ni nilai n den dengan rum umus us n = n1 x n2 x n3 x ... x nr Jadi Jadi,, n = n1 x n2 x n3 = 3 x 5 x 7 = 105. : Car Carii ni nilai Nk untuk k = 1, 2, 3 dengan rumus Nk = . N1 =
= 35, N2 =
= 21, N3 =
= 15.
: Cari nilai nilai xk, dari kongruensi linier Nkxk ≡ 1 (mod nk), dengan k = 1, 2, 3. Jadi, N1x1 ≡ 1 (mod n1) → 35x1 ≡ 1 (mod 3) → x1 = 2 N2x2 ≡ 1 (mod n2) → 21x2 ≡ 1 (mod 5) → x2 = 1 N3x3 ≡ 1 (mod n3) → 35x3 ≡ 1 (mod 3) → x3 = 1 Langkah Langkah V : Tentu Tentukan kan solusi solusi dari sistem sistem yang diberik diberikan an dengan dengan rumus, rumus, modulo n, untuk untuk k = 1, 2, ... ... , r ̅ = a1N1xk + a2N2x2 + ... + arNrxr modulo Sehingga diperoleh diperoleh solusi: solusi: ̅ = a1N1xk + a2N2x2 + a3N3x3 = 2 x 35 x 2 + 3 X 21 X 1 + 2 X 15 X 1 = 233. 233. modulo modulo 105 Jadi, solusi unik dari sistem kongruensi yang diberikan : x ≡ 233 ≡ 23 (mod 105). Langkah Langkah IV
Cara II: Untuk menyelesaikan permasalahan Sun-Tsu dapat diselesaikan dengan teorema sisa cina dengan langkah berikut. 1
Materi Teori Bilangan Bilangan Pertemuan Pertemuan XIV
MF - 2011
Langkah I : Tuliskan unsur yang diketahui. x ≡ 2 (mod 3) x ≡ 3 (mod 5) x ≡ 2 (mod 7) Langkah II : Pilih salah salah satu satu persamaan persamaan kongruensi, kongruensi, misalkan misalkan x ≡ 2 (mo (mod d 3) 3) kem kemud udia ian n ruba rubah h dal dalam am definisi. Catatan, pilih persamaan kongruensi yang bentuknya paling sederhana. Hal ini untuk mempermudah pengerjaan. Sehingg Sehingga a diperole diperoleh, h, x ≡ 2 (mod 3) → x = 2 + 3p, dengan p ∈ Z. Langkah III : Substitusikan x = 2 + 3p ke persamaan kongruensi kedua yakni x ≡ 3 (mod 5). Sehingga diperoleh, 2 + 3p ≡ 3 (mod 5) → 3p ≡ 1 (mod 5) 3p ≡ 1 (mod 5) dan 2 ≡ 2 (mod (mod 5) → 6p ≡ 2 (mod (mod 5) → p ≡ 2 (mod (mod 5) Berdasarkan definisi, p ≡ 2 (mod (mod 5) → p = 2 + 5q, 5q, deng dengan an q ∈ Z. Langkah IV : Substit Substitusik usikan an p = 2 + 5q ke persam persamaan aan x = 2 + 3p. Sehingg Sehingga a diperol diperoleh, eh, x = 2 + 3p = 2 + 3(2 3(2 + 5q) 5q) = 2 + 6 + 15q = 8 + 15q. Langkah V : Substitusikan x = 8 + 15q ke persamaan kongruensi ketiga yakni x ≡ 2 (mod 7). Sehingga diperoleh, 8 + 15q ≡ 2 (mod (mod 7) → q ≡ 1 (mod 7) Berdasar Berdasarkan kan definisi, definisi, q ≡ 1 (mod 7) → q = 1 + 7r, 7r, deng dengan an r ∈ Z. Langkah VI : Subs Substit titus usik ikan an q = 1 + 7r ke persa persama maan an x = 8 + 15q. 15q. Sehingga Sehingga diperoleh, diperoleh, x = 8 + 15q = 8 + 15(1 + 7r) = 23 + 105r 105r → x ≡ 23 (mod 105). Jadi, solusi unik dari sistem kongruensi yang diberikan : x ≡ 233 ≡ 23 (mod 105).
Contoh 2: Tentukan penyelesaian dari kongruensi linier 17x ≡ 9 (mod 276). Penyelesaian: Karena 276 = 3 . 4 . 23, kongruensi linier 17x ≡ 9 (mod 276) ekuivalen dengan sistem kongruensi berikut: 17x ≡ 9 (mod 3) a tau x ≡ 0 (mod 3) 17x ≡ 9 (mod 4) x ≡ 1 (mod 4) 17x ≡ 9 (mod 23) 17x ≡ 9 (mod 23) Langkah berikutnya, pilih kongruensi linier yang paling sederhana yakni x ≡ 0 (mod 3). Selanjutnya, x ≡ 0 (mod 3) maka berdasarkan definisi diperoleh x = 3k, k ∈ Z. Substitusikan x = 3k ke dalam kongruensi linier kedua yakni x ≡ 1 (mod 4), sehingga diperoleh: 3k ≡ 1 (mod 4). Langkah berikutnya, kalikan kedua ruas dengan 3 sehingga diperoleh 9k ≡ k ≡ 3 (mod 4). Berdasar Berdasarkan kan definisi definisi,, k ≡ 3 (mod 4) → k = 3 + 4l, l ∈ Z. Substitusikan Substitusikan k = 3 + 4l ke persamaan persamaan x = 3k, sehingga: x = 3k = 3(3 + 4l) = 9 + 12l. Substitusikan x = 9 + 12l ke kongruensi linier ketiga yakni 17x ≡ 9 (mod 23), sehingga diperoleh: 2
Materi Teori Bilangan Bilangan Pertemuan Pertemuan XIV
MF - 2011
17(9 + 12l) ≡ 9 (mod 23) → 204l ≡ -144 (mod 23) → 3l ≡ 6 (mod 23) → l ≡ 2 (mod 23). Berdasarkan definisi l ≡ 2 (mod 23) → l = 2 + 23m, m ∈ Z. Substitusikan Substitusikan l = 2 + 23m ke dalam persamaan persamaan x = 9 + 12l. Sehingga diperoleh: diperoleh: x = 9 + 12(2 12(2 + 23m) 23m) = 33 + 276l 276l → x ≡ 33 (mod 276) jadi, solusi dari 17x ≡ 9 (mod 276) adalah x ≡ 33 (mod 276).
Latihan: 1. Tentukan penyelesaia penyelesaian n dari sistem kongruensi kongruensi berikut. x ≡ 5 (mod 11) x ≡ 15 (mod 31) x ≡ 14 (mod 29) 2. Selesaikan Selesaikan kongruensi kongruensi linier 17x 17x ≡ 3 (mod 2 . 3 . 5 . 7) dengan menyelesaikan sistem kongruensi berikut. 17x ≡ 3 (mod 2) 17x ≡ 3 (mod 5) 17x ≡ 3 (mod 3) 17x ≡ 3 (mod 7)
********************
BILANGAN PRIMA DAN BILANGAN KOMPOSIT Bilangan Prima adalah bilangan asli yang hanya dapt dibagi oleh bilangan itu sendiri dan satu. Dengan Dengan perkataan perkataan lain lain bilangan bilangan prima hanya mempunyai mempunyai 2 faktor. faktor. Sementara, Sementara, bilangan asli yang mempunyai lebih dari dua faktor disebut bilangan komposit (majemuk).
Definisi: Bilangan bulat p > 1 disebut bilangan prima jika pembagi positif bilangan bulat tersebut adalah 1 dan p. p. Bilangan bulat bulat yang bukan bukan satu selain selain bilangan prima prima disebut bilangan bilangan komposit. Teorema 1: Jika p Jika p adalah bilangan prima dan p dan p| |ab, ab, maka p|a maka p|a atau p|b atau p|b.. Bukti 1: Jika p|a, Jika p|a, maka tidak perlu ada langkah lain. Sekarang buktikan dengan pengandaian p|a pengandaian p|a.. Karena p adalah bilangan prima, maka pembagi positif p positif p adalah 1 dan p. p. Hal ini mengakibatkan, Fpb( p, p, a) = p = p atau Fpb( p, p, a) = 1. Karena p|a Karena p|a,, maka yang memenuhi adalah Fpb( p, p, a) = 1. Selanjutnya, berdasarkan Lemma Euclid jika p|ab jika p|ab dan Fpb( p, p, a) a) = 1 maka p|b maka p|b.. Demikian juga untuk menunjukkan bahwa p|a, p|a, andaikan saja p|b. p|b. Dengan langkah yang sama, kita telah membuktikan teorema di atas.
Corollary 1: Jika p adalah bilangan prima, dan p|a1a2...an, maka p|ak untuk sembarang k, dimana 1≤ ≤ .
Coro Coroll llar ary y 2: Jika p, Jika p, q 1, q 2, dan p|q 1q 2...q n, maka p maka p = q k untuk sembarang 2, ...q n semuanya bilangan prima dan p|q k, dimana 1 ≤ ≤ . 3
Materi Teori Bilangan Bilangan Pertemuan Pertemuan XIV
MF - 2011
Teorema 2: Fundamental Theorem of Arithmetic Setiap bilangan bulat positif n > 1, dapat diekspresikan sebagai hasil perkalian dari bilangan-bilangan prima. Representasi tersebut adalah unik/ tunggal, sebagai faktorisasi prima dari bilangan tersebut. *******************
TOPIK ERATOSTHENES Teorema: Untuk setiap bilangan komposit n, ada bilangan prima p prima p sehingga p|n sehingga p|n dan Makna: “jika ada bilangan prima p prima p yang dapat membagi n dengan bilangan prima”.
≤ √ .
≤ √ , maka n adalah
Contoh: Tentukan bilangan-bilangan berikut merupakan bilangan prima atau komposit. a. 157 b. 221 Penyelesaian: a. Bilangan-bilangan Bilangan-bilangan prima ≤ √ 157 < 13 adalah 2, 3, 5, 7, 11. 11. Karena ∄ bilangan-bilangan prima 2, 3, 5, 7, 11 yang dapat membagi 157, maka 157 merupakan bilangan prima. b. Bilangan-bilangan Bilangan-bilangan prima ≤ √ 221 < 15 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13. 13. Karena 13|221, maka 221 merupakan bilangan komposit. Latihan: 1. Tentukan apakah apakah bilangan bulat 701 merupakan merupakan bilangan bilangan prima? 2. Tentukan apakah apakah bilangan bulat 1009 merupakan merupakan bilangan bilangan prima? 3. Pelajari konsep Saringan Saringan Eratosthenes, Eratosthenes, dengan menggunakannya menggunakannya untuk menentukan menentukan bilangan prima sampai dengan 100! 4. Dengan Dengan mengguna menggunakan kan Saring Saringan an Eratost Eratosthene heness tentukan tentukan bilanga bilangan n prima dianta diantara ra 100 dan 200!
***************** Disusun Oleh: Meti Faroka/ Prodi Pendidikan Matematika UIN Sunan Gunung Djati Bandung. Referensi: - Burt Burton on,, Dav David id M. 1998 1998.. Elementary Elementary Number Number Theory Fourth Edition Edition. New York: The McGraw-Hill Companies. - Sembiring, Sembiring, Suwah. Suwah. __. __. Olimpiade Olimpiade Matematik Matematika a SMU. SMU. Bandung: Bandung: Yrama Yrama Widya. Widya.
4
