1 0
MATEMATIKA
M A T T E O P R I L E D A N V E L - L A T I X I A N I S H M B A S M P T N
SET 10 POLINOMIAL & TEOREMA SISA
A.
RINGKASAN MA MATERI TERI
a. Suatu polinom polinom p p(( x ) bila dibagi ( x ( x – – a) maka sisanya (S) S = p = p((a) b. Suatu polinom polinom p p(( x ) bila dibagi oleh ( x ( x – – a)( x a)( x – – b) maka sisanya (S( x (S( x )) )) S ( x ) = c.
( x − a ) b−a
p ( b ) +
( x − b ) a−b
p ( a )
Suatu polinom polinom p p(( x ) bila dibagi oleh ( x ( x – – a)( )( x x – – b)( )( x x – – c ) maka sisanya (S( x (S( x )) )) S ( x ) =
( x − b ) ( x − c ) ( x − a ) ( x − c ) ( x − a ) ( x − b ) p ( a ) + p ( b ) + p ( c ) (a − b) (a − c ) (b − a ) ( b − c ) (c − a )( c − b)
d. Bila p Bila p(( x ) habis dibagi ( x ( x – – a) p((a) = 0 p e. Bila ( x – – a) faktor dari p dari p(( x ) maka p(a) = 0 f.
Untuk polinom derajat 3, p(x) = 0 ax 3 + + bx bx 2 + cx + + d = = 0 yang memiliki akar-akar x akar-akar x 1, x 2, x 3 maka berlaku 1. 2.
x1 + x 2 + x 3 = -
b a
x1 x 2 + x1 x 3 + x 2 x 3 =
c a
1
3.
x1 × x 2 × x 3 =
d a
g. Untuk p Untuk p(( x ) polinom derajat 4 dan p dan p(( x ) = 0 ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + + e = 0 yang memiliki akar-akar x akar-akar x 1, x 2, x 3 maka berlaku b
1.
x1 + x 2 + x 3 + x 4 = -
2.
x1 x 2 + x1 x 3 + x1x 4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4 =
a
3.
x1 x 2 x 3 + x1 x 2 x 4 + x1x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4 = -
4.
x1 × x 2 × x 3 × x 4 =
c a
d a
e a
h. Mencari akar polinom derajat derajat tiga atau lebih bisa menggunakan skema Horner
Contoh Soal
1.
Jika x Jika x 4 + ax 3 + (b ( b – 10) x 10) x 2 + 15 15 x x – – 6 = f ( x )( x )( x – – 1) dengan f ( x ) habis dibagi x dibagi x – – 1, maka nilai b adalah . . . . (Soal SBMPTN Tahun 2013 Kode 130) A.
2
B.
1
C.
0
D.
-1
E.
-2
Pembahasan:
f ( x ) habis dibagi ( x ( x – – 1) f (1) (1) = 0 x 4 + ax 3 + (b (b – 10) x 10) x 2 + 15 x 15 x – – 6 = f ( x )( x )( x – – 1) ... (1) substitusi x substitusi x = = 1 1 + a + b – 10 + 15 – 6 = 0 a + b = 0 ... (2) turunkan pers (1) 4 x 3 + 3ax 3ax 2 + 2(b 2(b – 10) x 10) x + + 15 = f ’( x ’( x )( x )( x – – 1) + f ( x ) . 1 masukkan x masukkan x = = 1 4 + 3a 3a + 2b 2b – 20 + 15 = 0 3a + 2b 2b = 1 . . . (3) eliminasi (2) dan (3) akan didapat b = -1 Jawaban: D
2
2.
Diketahui g( x ) = ax 2 – bx + + a – b habis dibagi x dibagi x – – 1. Jika f ( x ) adalah suku banyak yang bersisa a ketika dibagi x – – 1 dan bersisa 3ax 3 ax + + b2 + 1 ketika dibagi g( x ), ), maka nilai a adalah . . . . (Soal SNMPTN Tahun 2011 Kode 253)
A.
-1
B.
-2
C.
1
D. 2 E.
3
Pembahasan: •
g(1) = 0
→
a – b + a – b = 0
f (1) (1) = a
2a – 2b 2b = 0 a = b . . . (1)
•
f ( x ) : g( x ) → S( x ) = 3ax 3ax + + b2 + 1 f ( x ) = g( x ) . h( x ) + 3ax 3ax + + b2 + 1
substitusi x = substitusi x = 1 f (1) (1) = g(1) . h(1) + 3a 3a + b2 + 1 a = 0 . h(1) + 3a 3a + b2 + 1 2a + b2 + 1 = 0 substitusi (1) 2a + a2 + 1 = 0 (a + 1)2 = 0 a = -1 Jawaban: A
3.
Diketahui f ( x ) = x 3 – (a – b) x 2 – x + b + 1 habis dibagi oleh ( x ( x – 1). Jika kurva y = f ( x ) bersinggungan dengan garis x garis x + + y = = -1 di titik (2, -3), maka nilai a adalah . . . . (Soal SNMPTN Tahun 2011 Kode 559)
A.
-4
B.
-2
C.
1
D. 3 E.
5
Pembahasan:
f (1) (1) = 0
•
1 – (a (a – b) – 1 + b + 1 = 0 -a + 2b 2b = -1 . . . (1) •
f ( x ) bersinggungan dengan x dengan x + y + y = = -1 f ’( x ’( x ) = mgs = -1 3 x 2 – 2(a 2(a – b) x – – 1 = m gs
3
substitusi x = substitusi x = 2 3(2)2 – 2( 2(a a – b)2 – 1 = -1 12 – 4a + 4b 4b – 1 = -1 -4a -4 a + 4b 4b = -12 a – b = 3 . . . (2) (1) dan (2) dieliminasi maka a = 5 Jawaban: E
4.
2a – 3 oleh x oleh x + + 1 adalah a dan a > 0. Titik Diketahui sisa pembagian f ( x ) = x = x 4 – a2 x 3 + a2 x 2 – 2a minimum grafik f adalah adalah . . . . (SNMPTN 2011 Kode 559) A.
(1, -6)
B.
(0, -7)
C.
(2, -7)
D. (-6, 1) E.
(1, -7)
Pembahasan:
f (-1) (-1) = a
•
1 + a2 + a2 + – 2a 2a – 3 = a 2a2 – 3a 3a – 2 = 0 (2a (2 a + 1)(a 1)(a – 3) = 0 a =
•
1 2
atau a = 2
ambil a = 2 (a (a > 0) f ( x ) = x = x 4 – 4 x 4 x 3 + 4 x 4 x 2 – 7 f ’( x ’( x ) = 4 x 4 x 3 – 12 x 12 x 2 + 8 x 8 x 24 x + + 8 f f “( “( x x ) = 12 x 12 x 2 – 24 x
•
syarat maksimum, minimum f f ‘( ‘( x x ) = 0 4 x 3 – 12 x 12 x 2 + 8 x = = 0 4 x ( x 2 – 3 x 3 x + + 2) = 0 4 x ( x – – 2)( x 2)( x – – 1) = 0 f ‘(0) ‘(0) = -7
f f “(0) “(0) = 8 > 0 (minimum)
f ‘(2) ‘(2) = -7
f f “(2) “(2) = 8 > 0 (minimum)
f ‘(1) ‘(1) = 0
f f “(1) “(1) = -4 < 0 (maksimum) Jawaban: B dan C
5.
Jika suku banyak p p(( x ) dibagi dengan ( x ( x + + 1) memberikan sisa 13 dan jika dibagi ( x ( x – – 1) memberikan sisa 7, maka jumlah koefisien dari suku-suku p p(( x ) dengan pangkat x pangkat x genap genap adalah . . . . (Soal SIMAK UI Tahun 2013 Kode 131)
4
A.
0
B.
3
C.
6
D.
10
E.
20
Pembahasan:
p(-1) p (-1) = 13 p(1) p (1) = 7 bila p(( x ) = an x n + an-1 x n-1 + an-2 x n-2 + . . . + a0 p bila n ganjil maka p(-1) p (-1) = -a -an + an-1 – an-2 + . . . + a0 p(1) p (1) = an + an-1 + an-2 + . . . + a0
+
13 + 7 = 2[a 2[an-1 + an-3 + . . . + a0] 10 = an-1 + an-3 + . . . + a0 Jawaban: D
6.
Diketahui suku banyak f ( x ) bersisa -2 bila dibagi x + + 1, bersisa 3 bila dibagi x – 2. Suku banyak g( x ) bersisa 3 bila dibagi x dibagi x + + 1 dan sisa 2 bila dibagi x dibagi x – – 2. Jika h( x ) = f ( x ) . g( x ), ), maka sisa h( x ) dibagi x dibagi x 2 – – x x – – 2 adalah . . . . (Soal SNMPTN Tahun 2011 Kode 659/578/559) A. 3 x – – 2 B.
4 x – – 2
C.
3x + 2
D. 4 x + + 2 E.
5 x – – 2
Pembahasan: •
f (-1) (-1) = -2 f (2) (2) = 3
•
g(-1) = 3 g(2) = 2 – x x – – 2 memiliki sisa S( x ) = ax + + b, maka h( x ) dibagi x dibagi x 2 – h( x ) = ( x ( x – – 2)( x 2)( x + + 1) + ax + + b f ( x ) . g(x) = ( x ( x – – 2)( x 2)( x + + 1) + ax + + b x = = -1 → f (-1) (-1) . g(-1) = -a -a + b = -6 x = = 2 → f (2) (2) . g(2) = 2a 2a + b = 6 – -3a -3 a = -12 a = 4 → b = -2
sehingga S( x ) = 4 x 4 x – – 2 Jawaban: B
5
7.
Diketahui f ( x ) suku banyak derajat tiga dengan koefisien x 3 sama dengan 1, yang habis dibagi ( x ( x – – 3)( x 3)( x + + 1). Jika f (4) (4) = 30, maka f (2) (2) = . . . . (Soal UM UGM Tahun 2006 Kode 372) A.
-8
B.
-7
C.
-12
D. 0 E.
7
Pembahasan:
misal •
f ( x ) = ( x ( x – 3)( x 3)( x + 1)( x 1)( x + p p)) x = = 4 f (4) (4) = 5(4 + p p)) = 30 p = p = 2
•
f ( x ) = ( x ( x – – 3)( x 3)( x + + 1)( x 1)( x + + 2) f (2) (2) = (-1)(3)(4) f (2) (2) = -12 Jawaban: C
8.
– 1, dengan a dan b konstan. Jika p Jika p(( x ) dibagi dengan ( x ( x – – 2.006) Diketahui p(( x ) = ax 5 + bx – Diketahui p bersisa 3, maka bila p bila p(( x ) dibagi dengan ( x ( x + + 2.006) akan bersisa . . . . (Soal SPMB Tahun 2006 Kode 420)
A.
-1
B.
-2
C.
-3
D.
-4
E.
-5
Pembahasan: •
p(2.006) p (2.006) = 3 a(2.006)5 + b(2.006) – 1 = 3 a(2.006)5 + b(2.006)
•
=4
p(-2.006) p (-2.006) = a(-2.006)5 + b(-2.006) – 1 = -a -a(2006)5 – 2.006b 2.006b – 1 = -(a -(a(2006)5 + b(2.006)) – 1 = -4 – 1 = -5 Jawaban: E
6
9.
Diketahui h( x ) = x = x 2 + 3 x 3 x – – 4 merupakan salah satu faktor dari g( x ) = x = x 4 + 2 x 2 x 3 – ax 2 – 14 x 14 x + + b. Jika g( x ) dibagi dengan x dengan x + + 1 akan bersisa . . . . (Soal SPMB Tahun 2006 Kode 121) A.
0
B.
3
C.
9
D.
12
E.
24
Pembahasan:
– 4 g( x ) : x : x 2 + 3 x – g( x ) : ( x ( x + + 4)( x 4)( x – – 1) g(1) = 0 g(-1) = y = y 1 + 2 – a – 14 + b = 0 1 – 2 – a + 14 + b = = y y – 4 – 28 = - y - y maka y maka y = = 24 Jawaban: E
10.
– 2) q( x x ) + ax + + b dengan q( x ) suatu suku banyak. Jika p p(( x ) Diketahui p(( x ) = (x – 1)( x Diketahui p 1)( x 2 – x – dibagi dengan ( x ( x + + 1) bersisa 10 dan jika dibagi dengan ( x ( x – – 1) bersisa 20, maka jika p p(( x ) dibagi dengan ( x ( x – – 2) bersisa . . . . (Soal SPMB Tahun 2006 Kode 320) A. -10 B.
0
C.
5
D.
15
E.
25
Pembahasan:
p(( x ) = (x – 1)( x p 1)( x 2 – – x x – – 2) q( x ) + ax + + b •
-(-1) = 10 -a + b = 10 . . . (1)
•
p(1) p (1) = 20 a + b = 20 . . . (2)
eliminasi (1) dan (2) didapat a = 5
b = 15
maka p maka p(( x )) )) = ( x ( x – – 1)( x 1)( x – – 2)( x 2)( x + + 1) + 5 x 5 x + + 15 sisa pembagian p pembagian p(( x ) oleh x oleh x – – 2 adalah p(2) p (2) = 5(2) + 15 p(2) p (2) = 25 Jawaban: E
7
Soal Latihan
1.
Jika x 4 + ax 3 + (b Jika x ( b – 10) x 10) x 2 + 15 x 15 x – – 6 = f ( x )( x )( x – – 1) dengan f ( x ) habis dibagi x dibagi x – – 1, maka nilai b adalah . . . . (Soal SBMPTN Tahun 2013 Kode 130)
2.
A.
2
B.
1
C.
0
D.
-1
E.
-2
5 x 3 + 5 x 5 x 2 + 5 x 5 x – – 6 = 0 adalah 2. Jumlah akar-akar yang lain Salah satu akar persamaan persamaan x x 4 – 5 x persamaan tersebut adalah . . . . (Soal SPMB Tahun 2005 Kode 480) A.
6
B.
5
C.
4
D. 3 E. 3.
2
Diketahui f ( x ) = x = x 3 – 5 x 5 x + + 20, g( x ) = 2 x 3 + 5 x 2 + 11, dan h( x ) = x = x + + 3. Jika a dan b merupakan masing-masing sisa hasil pembagian f ( x ) dan g( x ) oleh h( x ), ), maka a + b = . . . . (Soal SPMB Tahun 2005 Kode 280)
4.
A.
-20
B.
10
C.
34
D.
118
E.
142
Jika salah satu akar suku banyak f ( x ) = 0 adalah a, maka salah satu akar ( x ( x 2 + 3 x + + 6) f ( x + + 2) = 0 adalah . . . . (Soal SPMB Tahun 2006 Kode 521) A.
a + 2
B.
a + 3
C.
a – 3
D. 2a E.
8
a – 2
5.
Diketahui suku banyak g( x ) = ax 2 – bx – (a + b) habis dibagi x – 4 dan salah satu akar persamaan suku banyak f ( x ) = 0 adalah 4. Jika f ( x ) dibagi g( x ) sisanya ax + + b – 2, maka nilai a adalah . . . . (Soal SNMPTN Tahun 2011) A. B. C. D. E.
6 7 5 7 4 7 2 7 1 7
9
