Teorema Di Fourier

Il Teorema di Fourier Fondamenti di Matematica anno accademico 2010-11

docente Riccardo Santoboni 

Teorema di Fourier Data una funzione comunque complessa, avente con un numero finito di discontinuità, purché periodica (di periodo T) è possibile approssimarla con una serie infinita di funzioni sinusoidali Tali funzioni risultano avere ognuna una propria: •Ampiezza •Frequenza •Fase Risulta inoltre che tali frequenze sono tutte multiple della frequenza fondamentale 1 e vengono dette armoniche. T

Si ricorda che una funzione sinusoidale si esprime nel seguente modo:  y ( t ) = C sin( t + ϕ ) Dove C è l’ampiezza della sinusoide, ω è la pulsazione =2πf

e ϕ è la fase iniziale

Espressione della serie trigonometrica ∞

 y ( t ) =

∑C

k 

 sen ( k ω t + ϕ k  )

k =0

 Dalle formule di addizione si ha: sin(α  +  β ) = sin α  cos β  + sin  β  cos α  =

a = C sin ϕ 

 ponendo

b = C cos ϕ 

si ottiene:  ∞

y(t) =

∑ [a

∞

k 

cos ( k ω t) + b k  sin( k ω t) ] = a o +

k=0

Per tornare alla formula iniziale basta porre:

∑ [a k =1

C k  =

2

(a k  sin ϕ k )

tan  ( ϕ k ) =

a k  b k 

2

+ (b k  cos  ϕ k  )

k 

cos ( k ω t) + b k  sin( k ω t) ]

Calcolo dei coefficienti di Fourier ao =

1 T

∫  y ( t ) dt  0

Ampiezza dei coefficienti per i termini coseno

a

n

=

2 T

Valor medio: offset della funzione y(t)

T 

Ampiezza dei coefficienti per i termini seno

T 

∫ 0

y ( t ) c o s ( n ω t ) d t  

bn =

2 T

T 

∫ 0

y ( t ) s in ( n ω  t ) d t  

Esempio di approssimazione in serie di Fourier T

In rosso l’approssimazione della funzione in serie di Fourier con incremento progressivo dei termini della serie

funzione dispari 

funzioni pari e dispari

t 

funzione pari: y(t)=y(-t) funzione dispari: y(t)=-y(-t)

T funzione pari 

In un eriodo: funzione pari * funzione dispari = funzione dispari funzione dispari * funzione pari = funzione dispari funzione pari * funzione pari = funzione pari funzione dispari * funzione dispari = funzione pari

t 

T

cos( ωt  ) t 

cos( ωt  ) è pari nel periodo T (da –T/2 a+ T/2) sin( ωt  ) sin( ωt  ) è dispari nel periodo T (da –T/2 a+ T/2) t 

Calcolo di integrali per funzioni pari e dispari, in un periodo L’integrale definito rappresenta l’area sottesa dalla funzione con l’asse delle ascisse T  2

− T  2 T  2

∫ ( funzione pari)dt ≠ 0 − T  2

T

T

Calcolo rapido dei coefficienti di Fourier a

n

=

2 T

T 

∫

y ( t ) c o s ( n ω t ) d t  

0

Se y(t) è pari

Se y(t) è dispari

b

n

=

2 T

T 

∫

y ( t ) s i n ( n ω  t ) d t  

0

y(t)=y(-t)

Sono assenti tutti i coefficienti "seno" 

y(t)=-y(-t)

Sono assenti tutti i coefficienti "coseno"

(bn=0)

(an=0)

Visualizzazione della Serie di Fourier •Utilizzare l’applet distribuita a lezione •Verificare che modificando le ampiezze dei coefficienti a k  e b k  si modifica la forma d’onda pur mantenendo la frequenza fondamentale  •Ascoltare il risultato modificando in tempo reale i coefficienti di Fourier 

Onda quadra  Amp.

T  ≤t<0 A per  2 y(t) =  T  A per 0 ≤ t < 2 

A

-A

T Poiché la funzione è simmetrica rispetto alle ascisse, allora il suo valor medio sarà nullo: ao =

T  2

T  2

0

  y ( t )dt  =  ∫ − Adt + ∫ Adt  =  − A⋅ t  ∫ T  T   T  1

1



− T  2

= − A⋅ 0 − A⋅

T 

2

+ A⋅

− T 

2

 T 

2

0

− A⋅ 0 = 0

1



0 − T 

2

T 

 

+ A⋅ t  02  =

t 

Coefficienti a

k

Poiché è una funzione dispari allora i coefficienti ak sono pari a 0 2

T  2

T  2

0

2

 y ( t ) cos( k ω t ) dt  =  ∫ − A cos( k ω t ) dt  + ∫ A cos( k ω t ) dt  ∫ T  T  

a k  =



− T  2

− T 

0

2



= 0

 x = dx = k ω dt  t  =

−T 

2  T 

⇒  x = −

k ωT   

=−

k 2π 

= − k π 

2 2  k ω T   k 2π  t  = ⇒  x = = = k π  2 2 2 t  = 0 ⇒  x = 0 ak  =

2 

k π 

0

∫

 − A cos( x ) dx + Tk ω   − k π 

∫ 0

0 k π    2  A cos( x ) dx  = − A cos( x ) dx + ∫ A cos( x ) dx  =  ∫  Tk 2π   − k π   0

T 

 A 

0

 ∫ − cos( x ) dx + k π   − k π 

k π 

∫ 0



cos( x ) dx  =



A

[− sin( x ) k π 

0 − k π 

k π 

+ sin( x ) 0

] =0

∀k ∈ N

Coefficienti b

k

Poiché è una funzione dispari allora i coefficienti bk sono diversi da 0   b k  =  y ( t ) sin( k ω t ) dt  = −  A sin( k ω t ) dt  + ∫  A sin( k ω t ) dt  T  −∫ T   ∫  0   2

2

T  2

T  2

T  2

0

− T 

2

 x = k ω t  dx = k ω dt  t  =

− T 

2 T 

⇒  x = −

k ω T 

2

= −

k 2 π 

= − k π 

2

k ω T  k 2 π  = = k π  ⇒  x = 2 2 2 t  = 0 ⇒  x = 0 t  =

b k  =  A 

 0  −  A sin(  x ) dx + Tk ω   − ∫k π  2

0

 − sin(  x ) dx + k π   − ∫k π   A k π  2 A k π 

[cos(

k π 



k π 

∫



0



∫ sin(  x ) dx  = 0

 A k π 

[1 − cos( k π  ) ]

Tk 

[cos(  x )

0 ) − cos( − k π  ) − cos( k π  ) + cos( 0 ) ] = poiché cos( α  ) = cos(- α  )

 0 2  −  A sin(  x ) dx + 2 π   − k π 

∫

 A sin(  x ) dx  =

 A

− cos(  x )

[1 − cos(

k π  0



∫  A sin(  x ) dx  = 0

T 

0 − k π 

k π 

k π 

]=

− k π  ) − cos( k π  ) + 1] =

Coefficienti b I termini bk assumono dunque la seguente formula:

bk  =

2 A k π 

k

[1 − cos(k π )]

Discutiamo ora il risultato in base ai valori di k pari e dispari: se k è pari allora cos(2 k π)=1 e quindi l’espressione tra parentesi quadra si annulla; se k è dispari allora cos(2 k π)= -1 e quindi l’espressione tra parentesi quadra vale 2. In conclusione i termini bk  saranno non nulli solo per k dispari, cioè per tutti i valori di k espressi come (2k+1); tali termini avranno espressione 4 A bk  = ( 2k + 1)π 

Sviluppo in serie dell’onda quadra ∞

y(t) = a o +

∑ [a

k 

cos ( k ω  t) + b k  sin(k  ω t) ] =

k =1

∞

∑

(2k  + 1) π 

4A  sin(ω t)



π  

spar n cat con

4A

k = 0

=

∑b k = 1

ovvero, essen o term n

 y(t) =

∞

1

+

sin [( 2 k  + 1) ω t ] =

sin(3ω t) 3

+

+

sin(5ω t) 5

 

+ L

k 

sin(k  ω  t)

Spettro di un’onda quadra  y(t)=

4 A

 π  

4A/ π

4A/3π 4A/5π

sin ( t) sin ( 3 t) sin ( 5 t) sin ( 7 t) L + + +  1 3 5 7

Onda triangolare  y t  =

 − t 

-

+ t  

0≤t≤

T

≤t<0

T 2

-T/2

T/2

0

 T  = + 2 0 4 

La funzione non è simmetrica rispetto alle ascisse

 1  t 2 1 1 a0 = ∫ y (t )dt  =  ∫ − tdt + ∫ tdt  = − T  − T   −  T   2 0  T  2

T  2

0

T  2

T  2

− T  2

2

t 

T  2

Coefficienti ak ak  =

2

T  2

∫

 y (t ) cos(k ω t ) dt  =

T  −T 

0 2

  ∫ − t cos(k ω t )dt + ∫ t cos(k ω t )dt  = T  −  0  T  2

T  2

2

Risolvo l’integrale per sostituzione:  x1 = −k ω  ; 2

ak  =

2

0

 x 2 = k ω  ; 2

 x

dx

 − + cos( x) T   − k ∫ω  k ω  k ω   T  2

k ω T  2

∫ 0

= k  t 

dx = k ω dt   x k ω 

cos( x)

dx 

 

k ω 

Ora applico l’integrazione per parti per risolvere i singoli integrali  x2

∫ x cos( x)dx = x sin( x)

 x1

 x2  x1

 x 2

∫

− sin( x ) dx  x1

Coefficienti ak quindi k ω  0  1 2 0 k ω  − x sin( x) −k ω  + ∫ sin( x)dx + x sin( x) 0 − ∫ sin( x)dx  = ak  = 2 (k ω ) T    − k ω  0 T  2

T  2

T  2

T  2

k ω T   T    T   T    T   2 0 2 k  k   x k  x ω  ω  ω  ω  = + − − + = 0 sin cos( ) sin cos( ) k ω T  + k        2 0 − 2   2  2   2  (k ω ) T  2 

1

Poiché ω  =

=

1

2 2

2π 

si ha

T 

[k π sin(−k π ) − 1 + cos( −k π ) + k π sin(k π ) + cos( k π ) − 1]

(k ω ) T 

=

1

2 2

[k π sin(−k π ) − 1 + cos( −k π ) + k π sin(k π ) + cos(k π ) − 1]

(k ω ) T 

Se k è ari:

a =

Se k è dispari ak  =

2 k 

T 

2

(k ω )2 T 

−1 + 1 + 1 −1 = 0

[k π (0) − 1 + (−1) + 0 − 1 − 1] = −

2T  1

π 2 k 2

Coefficienti bk

Poiché la funzione è pari allora i termini b k sono nulli

Riepilogo

a0 =

T 

4

a =−

2T  1

π  k 

bk  = 0

E lo sviluppo in serie di Fourier sarà  y ( t ) =

 T 

4

−

2T 

1

1

1

cos(ω t ) + 2 cos(3ω t ) + 2 cos(5ω t ) + ... +  2 cos[(2 k + 1)ω t ] 3 5 π 2  (2 k + 1) 

Quindi la forma d’onda avrà uno spettro composto da sole armoniche dispari 1 con ampiezza pari a 2 (2 k + 1)

Dente di sega Esercizio: Sviluppare in Serie di Fourier la seguente funzione

 y ( t ) = t 

-

T 2

< t  <

T 2

y(t)

t 

T

Segnali non periodici Passaggio dalla serie alla trasformata di Fourier