El teorema del punto fijo de Banach - Aplicaci´on on a ecuaciones diferenciales ordinarias Guido Claro Resumen
En este e ste art´ art´ıculo se presenta p resenta la demostraci´ d emostraci´on on de un teorema de existencia y unicidad de soluciones para ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden como una aplicaci´on del Teorema de punto fijo de Banach.
Teorema de Existencia y Unicidad:
Sea la la regi´ region o´n del plano
Ω = { (x, y ) ∈ R 2 a ≤ x ≤ b ; c ≤ y ≤ d } y sea el punto (x0, y0 ) ∈ Ω. Si f (x, y ) y
∂f son ∂y
cont co nt´´ınuas ınu as en Ω ⇒ Existe un intervalo I con centro en x 0 y una unica u ´nica funci´ on on y (x) que satisfacen y (x) = f (x, y ) el problema y(x0 ) = y 0
Para demostrar el teorema enunciaremos primero algunas definiciones y teoremas auxiliares. u n espacio es pacio m´etrico etric o complet co mpletoo y f : X −→ X una una funci´ on on . f se se dice Definici´ on: on: Sea (X, d) un que es una contracci´ on o aplicaci´ on contractiva si ∃ α ∈ [0 , 1) tal que d(f (x), f (y)) ≤ αd (x, y ) para todo x, y ∈ X .
Teorema del punto fijo de Banach:
Si f : X −→ X es una contracci´ on on entonces existe un unico u´nico punto fijo de f . Esto es, existe un ´unico unico punto x0 ∈ X tal que f (x0 ) = x 0 Demostraci´ on: on: Sea x1 ∈ X . Definimos xn+1 = f (xn ) Veamos que la sucesi´on on {xn }n∈N es de Cauchy: Sea n ≤ m = n + p.
Por otro lado: d(x2 , x3 ) = d (f (x1 ), f (x2 )) < αd(x1 , x2 ) d(x3 , x4 ) = d (f (x2 ), f (x3 )) < αd(x2 , x3 ) < α2 d(x1 , x2 ) d(x4 , x5 ) = d (f (x3 ), f (x4 )) < αd(x3 , x4 ) < α3 d(x1 , x2 ) Siguiendo el procedimiento inductivamente, obtenemos que d(xn , xn+1 ) ≤ α n−1 d(x1 , x2 ). Por desigualdad triangular tenemos que d(xn , xm ) = d (xn , xn+ p ) ≤ d (xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + · · · + d(xn+ p−1 , xn+ p ) por lo que d(xn , xm ) ≤ α n−1 d(x1 , x2 ) + αn d(x1 , x2 ) + · · · + αn+ p−2 d(x1, x2) =αn−1 d(x1 , x2 ) (1 + α + · · · + α p−1 ) 1 − α p αn−1 n−1 = α d(x1 , x2 ) < d(x1 , x2 ) < para n mayor a cierto N ya que α ∈ [0 , 1). 1−α 1−α Por lo tanto, {xn }n∈N es de Cauchy y como X es completo, {xn }n∈N tiene tie ne l´ımite. Sea x0 = l´ım xn
n→∞
Veamos que f es continua: Sea > 0, d(f (x), f (y )) < αd(x, y ) < αδ = ⇒ δ = α . 1
⇒ d (f (x), f (y )) < . Entonces f es continua. α Entonces f (x0) = f ( l´ım xn ) = l´ım f (xn ) = l´ım xn+1 = l´ım ım xn = x0 ⇒ f (x0) = x0 .
Entonces, Entonces, si d(x, y ) < δ = =
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
Entonces x0 es punto fijo. Supongamos que existe y0 ∈ X tal que f (y0 ) = y 0 . Entonces d(x0 , y0 ) = d(f (x0 ), f (y0 )) ≤ αd(x0 , y0 ) ⇒ (1 − α )d(x0 , y0 ) ≤ 0 ⇒ d(x0 , y0 ) = 0 ya que 1 − α > 0. Entonces x0 = y 0 y el teorema queda demostrado. ∂f (x, y ) son continuas en Ω entonces existe L, 0 < L < ∞ tal ∂y que |f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ L |y1 − y2| para todo (x, y1), (x, y2 ) ∈ Ω
Propiedad: Si f (x, y ) y
Demostraci´ on: on: Sean (x, y1 ) , (x, y2 ) ∈ Ω , y1 ≤ y 2 ⇒ para x fijo se tiene que
∂f es funci´on on ∂y
solo de y y adem´as as es continua ⇒ por el teorema de valor medio de Lagrange, se tiene que f (x, y2 ) − f (x, y1 ) ∂f f (x, y2 ) − f (x, y1 ) ∂f = ∃ y , y1 ≤ y ≤ y 2 ⇒ | | = | (x, y )| y2 − y1 ∂y y2 − y1 ∂y Entonces |f (x, y2 ) − f (x, y1 )| = | Adem´as, as, por ser
∂f |.|y2 − y1| ∂y
∂f ∂f cont´ c ont´ınua ınu a en e n Ω, ∃ L > 0 < L ⇒ |f (x, y2 ) − f (x, y1 )| < L|y2 − y1 | ∂y ∂y
Nota: Una funci´on on que cumple la propiedad anterior se dice que es de Lipchitz .
Teorema:
Sea f (x, y ) cont´ co nt´ınua ınua ⇒ el problema
y (x) = f (x, y ) es equivalente a la y (x0 ) = y 0
x
ecuaci´on on y(x) = y 0 +
f (τ, y (τ ))dτ
x0
Esto quiere decir que si y (x) es soluci´on on de una tambi´ en en lo es de la otra.
y (x) = f (x, y ) ⇒ integrando la ecuaci´ on on entre y (x0 ) = y 0 x x x xo y x obtengo x y (τ )dτ = x f (τ, y (τ ))dτ ⇒ y (x) − y (x0 ) = x f (τ, y (τ ))dτ ⇒ y (x) = x x y (x0 ) + x f (τ, y (τ ))dτ ⇒ y (x) = y 0 + x f (τ, y (τ ))dτ Demostraci´ on: on: Si y (x) es soluci´ on on de
0
0
0
0
0
Por otro lado, si y(x) satisface la ecuaci´on on y (x) = y 0 + as as y(x0 ) = y 0 f (x, y ) y adem´
x0
x0
x0
ando ando a ambos f (τ, y (τ ))dτ , deriv´
d x ( x f (τ, y (τ ))dτ ) = f (x, y (x)).x − f (x, y (x0 )).x0 = dx f (τ, y (τ ))dτ = y 0
lados de la igualdad obtengo y (x) =
+
x
0
Por lo tanto las dos formas del problema son equivalentes. Consideremos ahora el espacio de funciones continuas en el intervalo [a, b], denotado por C [a, b]. Este espacio, con las operaciones habituales de suma de funciones y de producto de un escalar por una funci´ on, resulta ser un espacio vectorial. Sobre este espacio vamos a considerar on, la norma ∞ , definida como f ∞ = max {|f (x)| : x ∈ [ a, b]}, la cual ser´a llamada norma uniforme.
Tenemos entonces que si x ∈ [ a, b] entonces |f (x)| ≤ f ∞ . Recordemos que si X es un espacio vectorial, : X −→ R≥0 es una norma si satisface: • x ≥ 0 • λx = | λ|x • x + y ≤ x + y 2
• x = 0 ⇔ x = 0 Se dice entonces que el par (X, ) es un espacio espacio normado, haciendo referencia a dicho espacio y la norma en cuesti´on. on.
Teorema:
El espacio espacio normado (C [a, b], ∞ ) es completo.
on on de Cauchy en (C [a, b], ∞ ). Entonces, dado > 0, Demostraci´ on: on: Sea { f n } una sucesi´ existe un N tal que para todo n,m > N se se verifica f n − f m ∞ = max {|f n (x) − f m (x)| : x ∈ [ a, b]} < Entonces, fijado x ∈ [a, b] tenemos que |f n (x) − f m (x)| < lo que implica que la sucesi´on on num´ nu m´erica {f n (x)}n∈N es de Cauchy, Cauchy, por lo tanto tiene l´ımite. Llamemos f (x) = l´ım ım f n (x). De n→∞
esta manera, podemos asociarle a cada x ∈ [ a, b] un unico u ´ nico numero f (x) definiendo defini endo as´ as´ı punto a punto una funci´ on on f sobre el intervalo [a, b]. Probemos que dicha f es continua c ontinua y que l´ım f n = f : n→∞
Dado > 0 existe N ∈ N tal que si n, m ≥ N y x ∈ [a, b] entonces |f n (x) − f m (x)| ≤ f n − f m < por lo tanto haciendo m tender hacia infinito obtenemos f n − f < por lo que on de funciones funciones continuas continuas { f n } converge |f n (x) − f (x)| ≤ si n > N . Esto significa que la sucesi´on on on f es continua, entonces uniformemente hacia f . Como la convergencia es uniforme, la funci´ f ∈ C [a, b] lo que implica que C [a, b] es completo. Estamos ahora en condiciones de dar la demostraci´ on del teorema de existencia y unicidad on de soluciones del problema y (x) = f (x, y ) y (x0 ) = y 0
Para esto consideraremos el problema en su forma integral
x
y(x) = y 0 +
f (τ, y (τ ))dτ
x0 x
−→ C [a, b]φ(y )(x) = y (x) = y 0 + y definam defi namos os as´ as´ı un operador φ : C [a, b] −→
f (τ, y (τ ))dτ .
x0
Entonces para hallar una soluci´ on on y(x) de nuestro problema basta encontrar y(x) tal que φ(y) = y . x
(φ(y1 ) − φ(y2 ))(x) = φ (y1 )(x) − φ(Y 2 )(x) =
f (τ, y1 (τ )) − f (τ, y2 (τ ))dτ
x0
x
Entonces |(φ(y1 ) − φ(y2 ))(x) | ≤
x
|f (τ, y1 (τ )) − f (τ, y2 (τ ))|dτ ≤
x0
L|y1 (τ ) − y2 (τ )|dτ ≤
x0
ax ax{|y1 (τ ) − y2 (τ )|} ≤ LK m´ m´ax ax |y1 (τ ) − y2 (τ )| L|x − x0 | m´ Siendo K = m´ax ax{|x − x0 |, x ∈ [ a, b]}. Entonces m´ ax ax{|φ(y1 ) − φ(y2 )} ≤ LK m´ m´ax ax{|y1 (τ ) − y2(τ )}. Recordando la norma y∞ = m´ax ax{|y (x)|, x ∈ [ a, b]} tenemos φ(y1) − φ(y2 )∞ ≤ LK y1 − y2 ∞ 1 Sea α ∈ [0, 1) entonces haciendo K < tenemos φ(y1 ) − φ (y2 )∞ ≤ LK y1 − y 2 ∞ = L
on contractiva con la distancia on αy1 − y2 ∞ con α = K L ∈ [0, 1) y φ resulta ser una aplicaci´ inducida por la norma ∞ .
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Entonces, por el Teorema del Punto Fijo de Banach, φ tiene un unico u ´ nico punto fijo y (x) dentro 1 del intervalo centrado en x0 , |x − x0 | < , lo que resulta ser una soluci´ on on del problema en L cuesti´on. on.
Referencias [1] E. Kreyszig, Kreyszig, Introductory Functional Analysis With Aplications. John Wiley and Sons. [2] Rodri odrigo go Varga argass, Te ınea].. Direc Direcci ci´o´n Teorema del punto fijo [En l´ınea] http://vargasmat.files.wordpress.com/2011/05/teorena-del-punto-fijo.pdf .
UR L :
[3] S/A, Teorema de la semana: el de punto fijo de Banach. [En l´ınea]. DirecS/A, Te ci´on on URL: http://serie http://seriesdiv sdivergen ergentes.w tes.wordpress ordpress.com/201 .com/2012/02/05/t 2/02/05/teorema-d eorema-de-la-s e-la-semana-el emana-el-de-punto-fijo-de-banach/. [4] Gabriel Vera, Vera, Lecciones de an´ alisis matem´ atico II.
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