U n i v e r s i d a d N a c io io n a l A u t ó n o m a d e M éx éx i c o Fa c u l t a d d e I n g e n i e r í a L a b o r a t o r i o d e S i st st e m a s d e C Co om unicación O r e n d a R o d r í g u e z Jo Jo r g e A n t o n i o Grupo: 20
MATLAB Objetivos: •
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Conocer más sobre la programación en matlab, así como utilizar esta herramienta para la el aboración de graficas de señales Aplicar la Transformada de Fourier Rápida en matlab, grafi carla en tiempo t iempo y frecuencia Conocer el Teorema del muestreo de Nyquist-Shannon
Introducción: Teorema de Nyquist-Shannon (Teorema del muestreo): Hablamos de muestreo periódico de una señal analógica cuando tomamos mediciones de la misma a intervalos iguales. Por ejemplo cuando se graba una señal de audio a la PC mediante una placa de sonido, el conversor A/D de la PC estará digitalizando la señal a una cierta frecuencia tal como 11, 22, ó 44 kHz, denominada frec fr ecuenc uencia ia de muest muest reo . Es evidente que si la frecuencia de muestreo es muy baja, es decir mediciones demasiado espaciadas, se perderán “detalles” de la señal original. Mediante una simple demostración gráfica se puede ver. En las figuras A-B-C-D hemos representado r epresentado cuatros señales distintas (en línea azul) muestreadas periódicamente a igual frecuencia (los círculos rojos denotan las “muestras”). En A y B las señales aparecen correctamente representadas por las muestras, en C l a velocidad de muestreo parece insuficiente, y en D las muestras repres repr esent entan an una señal señal como la l a de B, B, es decir la señal de D es un “alias” de la señal de B. Este efecto se denomina en ingl és “aliasing”. El Teorema del Muestreo, o Teorema de Nyquist-Shannon, establece que la frecuencia mínima de muestreo necesaria para evitar el “aliasing” debe ser.
f m>2.BW con f m: frecuencia de muestreo, BW: ancho de banda de la señal a muestrear (BW=f max max-f min min) Para señales con f min min = 0, se puede expresar como
f m>2.f max max Para demostrar este teorema debemos aplicar conceptos básicos de series de Fourier y t rigonometría.
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A
B
C
D
La Transformada Rápida de Fourier: Es un algoritmo que se utiliza en diversos programas computacionales, los cuales calculan la (FFT) de manera rápida y eficaz. Cooley y Tuckey que fueron acreditados con el descubrimiento de la FFT en 1967 , la cual ya existía desde antes, aunque sin las computadoras que se necesitaban para explotarla. El algoritmo pone algunas limitaciones en la señal y en el espectro resultante. La Transformada de Fourier se encarga de transformar una señal del dominio del tiempo, al dominio de la frecuencia, de donde se puede realizar su antitransformada y volver al dominio temporal. En matemáticas, la transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función f con valores complejos; definida en la recta, otra función g definida de la manera siguiente:
Donde f es L1, o sea f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. También es correcto utilizar la fórmula alternativa:
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de forma que la constante beta cancela la dimensiones asociadas a las variables obteniendo un exponente adimensional. La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas.
Desarrollo: clear all clc f=1000; % frecuencia a 1 [KHz] T=1/ f; % periodo fs=64*f; % frecuencia de muestreo ts=1/ fs; % tiempo t=0: ts: 4*T fi=0 % defasamient o o fase w=2*pi*f % frecuencia y=sin (w* t+fi) plot (t, y)
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clear all clc n=20; %elemento deseado N=12; %número máximo i=1:N/ n:N length (i) % tamaño de i j=0:N/ n:N-1 length (j) %tamaño de j
clear all clc A=4; f=100 %Hz fs=4400; T=1/ f %período de la señal Tm=3* T %Duración de muestra w0=2*pi*f N=50 %Número de muestras
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tao=Tm/ N %Intervalo de muestreo t=0:tao:Tm fs=1/ tao %Frecuencia de muestreo df=fs/ N fref=-fs/ 2:df:fs/2 %Frecuencia de referencia fase=pi/ 6 senoidal=A* sin(w0*t+fase) figure(1) %Título de la ventana plot (t,senoidal) %Gráfica en tiempo figure(3) %Título de la ventana tfsin=abs(fftshift(fft(senoidal))) %fft=transformada rápoida de Fourier %Shift=desplazamiento de la tranformada stem(fref,tfsin) %Gráfica discreta de la frecuencia
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clear all clc f=100 %Hz fs=4400; T=1/ f %período de la señal Tm=3* T %Duración de muestra w0=2*pi*f N=15 %Número de muestras tao=Tm/ N %Intervalo de muestreo t=0:tao:Tm fs=1/ tao %Frecuencia de muestreo df=fs/ N fref=-fs/ 2:df:fs/2 %Frecuencia de referencia u* [zeros(1,10),ones(1,6)] %Función escalón u1* [ zeros(1,10),ones(1,6)] u2* [ zeros(1,6),ones(1,10)] pulso:u1-u2 %Función para obtener un pulso trans=abs(fftshift(fft(pulso))) %Tranformada del pulso figure(1) %Título de la ventana
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A=1; Ancho=0.5; triangular=A* sawtoorh(w0*t+ancho) %Función triangular genfuncion=triangular figure(2) %Título de la ventana plot (t,genfuncion) %Gráfica en tiempo tfourier=abs(fftshift(fft(genfuncion))) %fft=transformada rápoida de Fourier %Shift=desplazamiento de la tranformada figure(3) stem(fref,tfourier) %Gráfica discreta de la frecuencia
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Conclusiones: Esta práctica fue muy sencilla ya que vimos cómo graficar funciones en tiempo y en frecuencia de manera discreta,comprenidimos el Teorema del muestreo de Nyquist-Shannon el cual nos sirve para trabajar con lo que son graficas en cuanto a frecuencia y tiempo, también aprendimos a calcular la Tranformada Rápida de Fourier de una señal y observamos que para situaciones más complejas es muy útil y rápido usar este medio. Aunque como todo programa que es nuevo, debemos saber bien los parámetros que debe llevar, sino no obtendremos un buen resultado. Vimos también lo que son algunas palabras reservadas para matlab, lo que hace más sencillas algunas operaciones y también vimos como generar y simular una señal por medio de simulink
