Ecuaciones de Maxwell
Las cuatro ecuaciones de Maxwell describen todos los fenómenos electromagnéticos, aquí se muestra la inducción magnética por medio de unacorriente eléctrica.
Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones (originalmente 20 ecuaciones) que describen por completo los fenómenos electromagnéticos. La gran contribución de James Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos años de resultados experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo electromagnético.1 Índice [ocultar]
1 Desarrollo histórico de las ecuaciones de Maxwell
2 Detalle de las ecuaciones
o
2.1 Conceptos previos
[3]
2.1.1 Operador nabla
2.1.2 Gradiente
2.1.3 Divergencia
2.1.4 Rotacional
o
2.2 Ley de Gauss
o
2.3 Ley de Gauss para el campo magnético
o
2.4 Ley de Faraday-Lenz
o
2.5 Ley de Ampère generalizada
3 En medios materiales
4 Ecuaciones de Maxwell
5 Potencial escalar y potencial vector
6 Consecuencias físicas de las ecuaciones
o
6.1 Principio de conservación de la carga
7 Ecuaciones originales de Maxwell
8 Expresión de las ecuaciones en relatividad
o
8.1 Primer par de ecuaciones de Maxwell
o
8.1.1 Obtención de las ecuaciones
8.2 Segundo par de ecuaciones de Maxwell
8.2.1 Obtención de las ecuaciones
9 Expresión de las ecuaciones para una frecuencia constante
10 Véase también
11 Notas y referencias
12 Enlaces externos
Desarrollo histórico de las ecuaciones de Maxwell[editar · editar código]
Retrato de Maxwell. Véase también: Electromagnetismo
Desde finales del siglo XVIII diversos científicos formularon leyes cuantitativas que relacionaban las interacciones entre los campos eléctricos, los campos magnéticos y las corrientes sobre conductores. Entre estas leyes están la ley de Ampère, la ley de Faraday o la ley de Lenz. Maxwell lograría unificar todas estas leyes en una descripción coherente del campo electromagnético.
Maxwell se dio cuenta que la conservación de la carga eléctrica parecía requerir introducir un término adicional en la ley de Ampère. De hecho, actualmente se considera que uno de los aspectos más importantes del trabajo de Maxwell en el electromagnetismo es el término que introdujo en la ley de Ampère; la derivadatemporal de un campo eléctrico, conocido como corriente de desplazamiento. El trabajo que Maxwell publicó en 1865, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, modificaba la versión de la ley de Ampère con lo que se predecía la existencia de ondas electromagnéticas propagándose, dependiendo del medio material, a la velocidad de la luz en dicho medio. De esta forma Maxwell identificó la luz como una onda electromagnética, unificando así la óptica con el electromagnetismo.2 Exceptuando la modificación a la ley de Ampère, ninguna de las otras ecuaciones era original. Lo que hizo Maxwell fue reobtener dichas ecuaciones a partir de modelos mecánicos e hidrodinámicos usando su modelo de vórtices de líneas de fuerza de Faraday. En 1884, Oliver Heaviside junto con Willard Gibbs agrupó estas ecuaciones y las reformuló en la notación vectorial actual. Sin embargo, es importante conocer que al hacer eso, Heaviside usóderivadas parciales temporales, diferentes a las derivadas totales usadas por Maxwell, en la ecuación (54). Ello provocó que se perdiera el término
que aparecía en la ecuación posterior del trabajo de
Maxwell (número 77). En la actualidad, este término se usa como complementario a estas ecuaciones y se conoce como fuerza de Lorentz. La historia es aún confusa, debido a que el término ecuaciones de Maxwell se usa también para un conjunto de ocho ecuaciones en la publicación de Maxwell de 1865, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, y esta confusión se debe a que seis de las ocho ecuaciones son escritas como tres ecuaciones para cada eje de coordenadas, así se puede uno confundir al encontrar veinte ecuaciones con veinte incógnitas. Los dos tipos de ecuaciones son casi equivalentes, a pesar del término eliminado por Heaviside en las actuales cuatro ecuaciones.
Detalle de las ecuaciones[editar · editar código] Conceptos previos 3 [editar · editar código] Antes de poder entender las ecuaciones de Maxwell es necesario entender los conceptos matemáticos de divergencia y rotacional de un vector. Se explicará de forma intuitiva el significado de los operadores diferenciales básicos, con el mínimo posible de expresiones matemáticas.
Operador nabla[editar · editar código] Se define como:
Gradiente[editar · editar código] Si se aplica este operador a un campo escalar, se obtiene un vector con módulo y dirección, representado por una flecha en el espacio, según la siguiente expresión:
El vector representa cuánto varía el campo escalar respecto a cada uno de sus ejes. Si el campo escalar es un potencial, entonces su gradiente será una fuerza.
Divergencia[editar · editar código] El concepto se entiende a partir del teorema de la divergencia o teorema de Gauss. La divergencia del vector φ representa el flujo neto que emerge por unidad de volumen de una superficie cerrada. Pero ese volumen es infinitesimal. Debe haber un sumidero o una fuente de flujo para que entre flujo o salga flujo de un volumen respectivamente; en el caso de que el flujo salga de una fuente se representa con vectores saliendo del punto que las genera (div φ > 0) o vectores entrando hacia un punto en el caso contrario (div φ < 0). Si en la unidad de volumen (imagínese una esfera) entra el mismo flujo que sale, representándose por los vectores que pasan a través de dicho volumen, entonces no existe nada dentro de ese volumen que provoque flujo en uno u otro sentido (div φ = 0).
Rotacional[editar · editar código] El rotor se entiende a partir del teorema de Stokes. Del cual se infiere que el rotor tiene que ver con el significado de torbellinos. El vector φ rota en torno a un punto, se producen circulaciones en trayectorias cerradas del vector φ, en este caso el rot φ != 0. Rotor distinto de 0.
Ley de Gauss[editar · editar código] Artículo principal: Ley de Gauss
Flujo eléctrico de una carga puntual en una superficie cerrada.
La ley de Gauss explica la relación entre el flujo del campo eléctrico y una superficie cerrada. Se define como flujo eléctrico (
) a la cantidad de fluido eléctrico que atraviesa una superficie
dada. Análogo al flujo de la mecánica de fluidos, este fluido eléctrico no transporta materia, pero ayuda a analizar la cantidad de campo eléctrico (
) que pasa por una superficie
S.4 Matemáticamente se expresa como:
La ley dice que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga (q) o la suma de las cargas que hay en el interior de la superficie y la permitividad eléctrica en el vacío (
), así:5 6
La forma diferencial de la ley de Gauss es
donde
es la densidad de carga en el vacío. Intuitivamente significa que el
campo E diverge o sale desde una carga
, lo que se representa gráficamente
como vectores que salen de la fuente que las genera en todas direcciones. Por convención si el valor de la expresión es positivo entonces los vectores salen, si es negativo estos entran a la carga.
Para casos generales se debe introducir una cantidad llamada densidad de flujo eléctrico (
) y nuestra expresión obtiene la forma:
Ley de Gauss para el campo magnético[editar · editar código] Artículos principales: Ley de Gauss y Monopolo magnético.
Las líneas de campo magnético comienzan y terminan en el mismo lugar, por lo que no existe un monopolo magnético.
Experimentalmente se llegó al resultado de que los campos magnéticos, a diferencia de los eléctricos, no comienzan y terminan en cargas diferentes. Esta ley primordialmente indica que las líneas de los campos magnéticos deben ser cerradas. En otras palabras, se dice que sobre una superficie cerrada, sea cual sea ésta, no seremos capaces de encerrar una fuente o sumidero de campo, esto expresa la inexistencia del monopolo magnético. AL encerrar un dipolo en una superficie cerrada, no sale ni entra flujo magnético por lo tanto, el campo magnético no diverge, no sale de la superficie. Entonces la divergencia es cero7 Matemáticamente esto se expresa así:6
donde
es la densidad de flujo magnético, también llamada inducción
magnética. Es claro que la divergencia sea cero porque no salen ni entran vectores de campo sino que este hace caminos cerrados. El campo no diverge, es decir la divergencia de B es nula. Su forma integral equivalente:
Como en la forma integral del campo eléctrico, esta ecuación sólo funciona si la integral está definida en una superficie cerrada.
Ley de Faraday-Lenz[editar · editar código] Artículo principal: Ley de Faraday
La ley de Faraday nos habla sobre la inducción electromagnética, la que origina una fuerza electromotriz en un campo magnético. Es habitual llamarla ley de Faraday-Lenz en honor a Heinrich Lenz ya que el signo menos proviene de la Ley de Lenz. También se le llama como ley de FaradayHenry, debido a que Joseph Henry descubrió esta inducción de manera separada a Faraday pero casi simultáneamente.8 Lo primero que se debe introducir es la fuerza electromotriz (
), si tenemos un campo magnético
variable con el tiempo, una fuerza electromotriz es inducida en cualquier circuito eléctrico; y esta fuerza es igual a menos la derivada temporal del flujo magnético, así:9
, como el campo magnético es dependiente de la posición tenemos que el flujo magnético es igual a:
. Además, el que exista fuerza electromotriz indica que existe un campo eléctrico que se representa como:
con lo que finalmente se obtiene la expresión de la ley de Faraday:6
Lo que indica que un campo magnético que depende del tiempo implica la existencia de un campo eléctrico, del que su circulación por un camino arbitrario cerrado es igual a menos la derivada temporal del flujo magnético en cualquier superficie limitada por el camino cerrado. El signo negativo explica que el sentido de la corriente inducida es tal que su flujo se opone a la causa que lo produce, compensando así la variación de flujo magnético (Ley de Lenz). La forma diferencial de esta ecuación es:
Se interpreta como sigue: si existe una variación de campo magnético B entonces este provoca un campo eléctrico E o bien la existencia de un campo magnético no estacionario en el espacio libre provoca circulaciones del vector E a lo largo de líneas cerradas. En presencia de cargas libres como los electrones el campo E puede desplazar las cargas y producir una corriente eléctrica. Esta ecuación relaciona los campos eléctrico y magnético, y tiene otras aplicaciones prácticas cómo los motores eléctricos y los generadores eléctricos y explica su funcionamiento. Más precisamente, demuestra que un voltaje puede ser generado variando el flujo magnético que atraviesa una superficie dada.
Ley de Ampère generalizada[editar · editar código] Artículo principal: Ley de Ampère generalizada
Ampère formuló una relación para un campo magnético inmóvil y una corriente eléctrica que no varía en el tiempo. La ley de Ampère nos dice que la circulación en un campo magnético (
) a lo largo de
una curva cerrada C es igual a la densidad de corriente (
) sobre la superficie encerrada en la
curva C, matemáticamente así:6
donde
es la permeabilidad magnética en el
vacío. Pero cuando esta relación se la considera con campos que sí varían a través del tiempo llega a cálculos erróneos, como el de violar la conservación de la carga.10 Maxwell corrigió esta ecuación para lograr adaptarla a campos no estacionarios y posteriormente pudo ser comprobada experimentalmente por Heinrich Rudolf Hertz. z. Maxwell reformuló esta ley así:6
En el caso específico estacionario esta relación corresponde a la ley de Ampère, además confirma que un campo eléctrico que varía con el tiempo produce un campo magnético y además es consecuente con el principio de conservación de la carga.10 En forma diferencial, esta ecuación toma la forma:
En forma sencilla esta ecuación explica que si se tiene un conductor, un alambre recto que tiene una densidad de corriente J, esta provoca la aparición de un campo magnético B rotacional alrededor del alambre y que el rotor de B apunta en el mismo sentido que J.
En medios materiales[editar · editar código] Para el caso de que las cargas estén en medios materiales, y asumiendo que éstos son lineales, homogéneos, isótropos y no dispersivos, podemos encontrar una relación entre los vectoresintensidad eléctrica e inducción magnética a través de dos parámetros conocidos como permitividad eléctrica y la permeabilidad magnética:11
Pero estos valores también dependen del medio material, por lo que se dice que un medio es lineal cuando la relación entre E/D y B/H es lineal. Si esta relación es lineal, matemáticamente se puede decir que
y
están
representadas por una matriz 3x3. Si un medio es isótropo es porque esta matriz ha podido ser diagonalizada y
consecuentemente es equivalente a una función
; si en
esta diagonal uno de los elementos es diferente al otro se dice que es un medio anisótropo. Estos elementos también son llamados constantes dieléctricas y, cuando estas constantes no dependen de su posición, el medio es homogéneo.12 Los valores de
y
en
medios lineales no dependen de las intensidades del campo. Por otro lado, la permitividad y la permeabilidad son escalares cuando las cargas están en medios homogéneos e isótropos. Los medios heterogéneos e isótropos dependen de las coordenadas de cada punto por lo que los valores, escalares, van a depender de la posición. Los medios anisótropos son tensores.11 Finalmente, en el vacío tanto
como
son
cero porque suponemos que no hay fuentes. En la siguiente tabla encontramos a las ecuaciones como se las formula en el vacío y en la forma más general.13
En el vacío
Caso general
Ecuaciones de Maxwell[editar · editar código] Las ecuaciones de Maxwell como ahora las conocemos son las cuatro citadas anteriormente y a manera de resumen se pueden encontrar en la siguiente tabla:
No Forma di mb Forma integral ferencial re
Le y de Ga uss :
Le y de Ga uss par a el ca mp o ma gn éti co:
Le y de Far ada y:
Le y de A mp ère ge ner ali zad a:
Estas cuatro ecuaciones junto con la fuerza de Lorentz son las que explican cualquier tipo de fenómeno electromagnético. Una fortaleza de las ecuaciones de Maxwell es que permanecen invariantes en cualquier sistema de unidades, salvo de pequeñas excepciones, y que son
compatibles con la relatividad especial y general. Además Maxwell descubrió que la
cantidad
era
simplemente la velocidad de la luz en el vacío, por lo que la luz es una forma de radiación electromagnética. Los valores aceptados actualmente para la velocidad de la luz, la permitividad y la permeabilidad magnética se resumen en la siguiente tabla:
Uni dad Sí Nom Valor de Ti mb bre numérico med po olo ida SI
Velo cidad de la luz en el vacío
metr os def por ini segu do ndo
Perm itivid ad
fara dios der por iva metr do o
Perm eabili dad magn ética
henr ios p def or ini metr do o
Potencial escalar y potencial vector[editar · editar código] Artículo principal: Potencial
vector magnético Como consecuencia matemática de las ecuaciones de Maxwell y además con el objetivo de simplificar sus cálculos se han introducido los conceptos de potencial vector ( ) y potencial escalar (
).
Este potencial vector no es único y no tiene significado físico claro pero se sabe que un elemento infinitesimal de corriente da lugar a una contribución
paralela a la
14
corriente. Este potencial se obtiene como consecuencia de la ley de Gauss para el flujo magnético, ya que se conoce que si la divergencia de un vector es cero, ese vector como consecuencia define a unrotacional, así:15
A partir de este potencial vector y de la ley de Faraday puede
definirse un potencial escalar así:13
donde el signo menos (
) es por
convención. Estos potenciales son importantes porque poseen una simetría gauge que nos da cierta libertad a la hora de escogerlos.13 El camp o eléctrico en función de los potenciales:
Hallamos que con la introducción de estas cantidades las ecuaciones de Maxwell quedan reducidas solo a dos, puesto que, la ley de Gauss para el campo
magnético y la ley de Faradayquedan satisfechas por definición. Así la ley de Gauss para el campo eléctrico escrita en términos de los potenciales:
y la ley de ampère generalizada
Nótese que se ha pasado de un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales parciales de primer orden a solo dos ecuaciones diferenciales parciales pero de segundo orden. Sin embargo, estas ecuaciones se pueden
simplificar con ayuda de una adecuada elección del gauge.
Consecuen cias físicas de las ecuaciones[ editar · editar código]
Principio de conservació n de la carga[editar · editar código] Artículo principal: Carga
eléctrica Las ecuaciones de Maxwell llevan implícitas el principio de conservación de la carga. El principio afirma que la carga eléctrica no se crea ni se destruye, ni global ni localmente, sino que únicamente se transfiere; y
que si en una superficie cerrada está disminuyendo la carga contenida en su interior, debe haber un flujo de corriente neto hacia el exterior del sistema. Es decir la densidad de carga
y la
densidad de corriente satisfacen una ecuación de continuidad. A partir de la forma diferencial de la ley de Ampère se tiene:
que al reemplazar la ley de Gauss y tomar en cuenta que
(para cualquier vector obtiene:
), se
o bien en forma integral:
Ecuaciones originales de Maxwell[edit ar · editar código] En el capítulo III de A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, titulado "Ecuaciones generales del campo electromagnético" , Maxwell formuló ocho ecuaciones que nombró de la A a la H.16 Estas ecuaciones llegaron a ser conocidas como "las ecuaciones de Maxwell", pero ahora este epíteto lo reciben las ecuaciones que agrupó Heaviside. La versión de Heaviside de las ecuaciones de
Maxwell realmente contiene solo una ecuación de las ocho originales, la ley de Gauss que en el conjunto de ocho sería la ecuación G. Además Heaviside fusionó la ecuación A de Maxwell de la corriente total con la ley circuital de Ampère que en el trabajo de Maxwell era la ecuación C. Esta fusión, que Maxwell por sí mismo publicó en su trabajo On Physical Lines of Force de 1861 mo difica la ley circuital de Ampère para incluir la corriente de desplazamiento d e Maxwell. Las ocho ecuaciones originales de
Maxwell pueden ser escritas en forma vectorial así:
De no mi nac ión
N o m Ecuación br e
A
Le y de co rri en tes tot ale s
B
De fin ici ón de v ect or po te nc ial m ag né tic o
C
Le y cir cu ita l de A
m pè re
D
Fu er za de Lo re nt z
E
Ec ua ci ón de ele ctr ici da d elá sti ca
F
Le y de O h m
G
Le y de Ga us s
H
Ec ua ci ón de co nti
nu id ad de ca rg a
donde:
es
el vector intensida d de campo magnético (llama do por Maxwell como intensidad magnética); es la densidad de corriente eléctrica y
es la
corriente total incluida la corriente de desplazamiento; es el campo desplazamiento (desplazamiento eléctrico);
es la
densidad de carga libre (cantidad libre de electricidad); es el vector potencial magnético (impuls o magnético); es el campo eléctrico (fuerza electromotriz [no
confundir con la actual definición de fuerza electromotriz]); es el potencial eléctrico y
es
la conductividad eléctrica (resisten cia específica, ahora solo resistencia). Maxwell no consideró a los medios materiales en general, esta formulación inicial usa la permitividad y la permeabilidad en medios lineales, isótropos y no dispersos, a pesar que también se las puede usar en medios anisótropos. Maxwell incluyó el término en la expresión de la fuerza electromotriz de la ecuación D, que corresponde
a la fuerza magnética por unidad de carga en un conductor que se mueve a una velocidad
.
Esto significa que la ecuación D es otra formulación de la fuerza de Lorentz. Esta ecuación primero apareció como la ecuación 77 de la publicación On Physical Lines of Forcede Maxwell, anterior a la publicación de Lorentz. En la actualidad esta fuerza de Lorentz no forma parte de las ecuaciones de Maxwell pero se la considera una ecuación adicional fundamental en el electromagnetis mo.
Expresión de las ecuaciones en
relatividad[e ditar · editar código] En la relatividad especial, las ecuaciones de Maxwell en el vacío se escriben mediante unas relaciones geométricas, las cuales toman la misma forma en cualquier sistema de referencia inercial. Éstas están escritas en términos de cuadrivectores y tensores contra variantes, que son objetos geométricos definidos en M4. Estos objetos se relacionan mediante formas diferenciales en relaciones geométricas que al expresarlas en componentes de los sistemas coordenados
Lorentz proporcionan las ecuaciones para el campo electromagnético. La cuadricorriente está descrita por una 1-forma y lleva la información sobre la distribución de cargas y corrientes. Sus componentes son:
Que debe cumplir la siguiente relación geométrica para que se cumpla la ecuación de continuidad.
Escrito en componentes de los sistemas coordenados Lorentz queda:
Para poner en correspondencia objetos del mismo rango, se utiliza el operador de LaplaceBeltrami o laplaciana definida como:
Podemos poner en correspondencia el cuadrivector densidad de corriente con otro objeto del mismo rango como es el cuadripotencial, que lleva la información del potencial eléctrico y elpotencial vector magnético.
O escrito en coordenadas Lorentz obtenemos que:
Expresión que reproduce las ecuacion es de onda para los potenciales electromagné ticos. La 1-forma A lleva la información sobre los potenciales de los observadores inerciales siendo sus componentes :
Para obtener el objeto geométri co que contiene los campos, tenemos que subir el rango de A
mediant e el operador diferenci al exterior
obtenie ndo la 2forma F campo electrom agnético. En forma geométri ca podemo s escribir:
Que expr esa do para un s iste ma iner cial Lore ntz t ene mos que:
C o n
l o
q u e
o b t e n e m o s
e l
t e n s o r
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c a m p o
e l e c t r o m a g n é t i c o .
P r i m e
r p a r d e e c u a c i o n e s d e M a x w e l l [ e d i t a
r · e d i t a r c ó d i g o ] L a s
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p r e s i o n e s
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P a r a
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P o r
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Forma Geométrica
Covariante Lorentz
Descripción
Condición/gauge
de Lorenz (*)
Definición de Campos Electromagnéticos
Ecuaciones de Ondas
Ecuaciones de Maxwell
Ley de conservación de la Carga