TEOREMA DE LOS EJES PERPENDICULARES
Este teorema establece que, para un sistema rígido plano, el momento de inercia respecto de un eje perpendicular al sistema, es igual a la suma de los momentos de iner inerci cia a cont conten enid idos os en el plan plano o de sist sistem ema a y concu oncurr rren ente te con con el prim primer ero. o. La demostración es fácil. Consideremos un cuerpo plano situado sobre el plano coordenado XY !igura ".#$% el momento de inercia respecto al eje &', ( )), *endrá dado, de acuerdo con
∫ δ dm
I eje=
2
, por+
∫ ( y + x ) dm=∫ y
I zz =
onde
2
2
2
∫
2
dm + x dm
0$
( x , y ) son las coordenadas del elemento de masa dm. -ora bien, por estar
el cuerpo sobre el plano XY, la primera integral del /ltimo miembro de 0$ es el momento de inercia del cuerpo respecto del eje &X, Ixx, en tanto que la segunda corresponde al momento momento de inercia inercia respecto respecto del eje &Y, &Y, Iyy, de modo que la ecuación anterior se reduce a+ I zz = I xx + I yy
Lo que demuestra nuestra proposición. Momento Polar de Inercia
El momento de inercia de un área en relación a un eje perpendicular a su plano se llama momento polar de inercia, y se representa por 1. 2omento polar de inercia es una cantidad utili)ada para predecir el objeto abilidad para resistir la torsión, en los objetos o segmentos de los objetos$ con un in*ariante circular de sección trans*ersal y sin deformaciones importantes o fuera del plano de defor de formac macion iones es.. 3e uti utili) li)a a pa para ra cal calcu cular lar el de desp spla) la)ami amien ento to an angul gular ar de un ob objet jeto o sometido a un par. Es análogo a la )ona de momento de inercia que caracteri)a la capacidad de un objeto para resistir la fle4ión y es necesario para calcular el despla)amiento. 2omento polar de inercia no debe confundirse con el momento de inercia, que caracteri)a a un objeto de la aceleración angular debido a la torsión.
Limitaciones
El momento polar de inercia no se puede utili)ar para anali)ar los ejes de sección circular. En tales casos, la constante de torsión puede ser sustituida en su lugar. En los objetos con una *ariación significati*a de cortes trans*ersales a lo largo del eje del par aplicado$, que no puede ser anali)ado en segmentos, un enfoque más complejo que tenga que ser utili)ado. 3in embargo, el momento polar de inercia puede ser utili)ado para calcular el momento de inercia de un objeto con sección trans*ersal arbitraria. Definición
El momento polar de (nercia de un área con respecto a un eje perpendicular a su plano es igual a la suma de los momentos de inercia respecto a dos ejes perpendiculares contenidos en dico plano y que pasen por el punto de intersección del eje polar y del plano. J zz = I xx + I yy TEOREMA DE STEINER
El teorema de 3teiner, tambi5n llamado de los ejes paralelos, establece que el momento de inercia de un sólido rígido respecto de un eje cualquiera Ieje$, es igual a la suma de su momento de inercia respecto de un eje paralelo al anterior que pasa por su centro de masas ICM$ y el producto de la masa del sistema m$ por la distancia entre ambos ejes al cuadrado d 6$. I eje= I CM + m d
2
7ara su demostración, procederemos como sigue. El momento de inercia de un sólido rígido, respecto de un eje *iene dado por elemento de masa denotamos por
u
∫ δ dm
I eje=
r
'
r = r + R
δ
es la distancia del
a un *ersor característico de la dirección del mismo, entonces+
el *ector posición de
!igura ".8
, donde
dm al eje !igura ".8$. 3i & es un punto cualquiera del eje, y
δ =|r ×u|
3iendo
2
6$
dm respecto de &. 7or otra parte, de acuerdo con la
9$
r
onde
'
dm
es el *ector de posición de
respecto del centro de masas, y
R
, el
*ector de posición de este punto respecto de &. :$
e acuerdo con 6$ y 9$, se tiene+ 2
δ =[( r + R ) ×u ] '
2
=[ ( r ' × u ) +( R × u )] =( r × u) +( R× u ) + 2 ( r ' ×u ) ∙ ( R ×u )
Lle*ando :$ a
∫ δ dm
I eje=
2
2
2
, y considerando nue*amente la !igura ".8, se infiere+ δ
#$
¿ ¿ ¿2 ¿ I eje=∫ ¿
El primer t5rmino del segundo miembro de la ecuación anterior, es el momento de inercia del sistema respecto de un eje paralelo al dado, por el centro de masas% el segundo t5rmino, y dado sistema
∫d m
d
2
es constante *ale
md
2
, siendo
m
la masa total del
$ y el /ltimo t5rmino es nulo, dado que+
∫ (r ×u ) dm=[∫ r' dm] ×u '
y
∫ r ' d m= r
CM
∙m
7or definición de centro de masas, siendo
r CM
el *ector de posición de este punto en
el referencial considerado, aora bien, en dico referencial, el centro de masas coincide r CM =0 con el origen de coordenadas, por lo que , quedando así completada la demostración, y por consiguiente, la *alide) de+ I eje= I CM + m d
2
