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Revisar Revisar conceptos básicos de probabilidad Definiciones de Probabilidad Condicional . Desarrollar el Teorema de las Bayes para el cálculo de probabilidades. probabilidades. Teorema de La Multiplicación y Adición.
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El es el proceso que permite a los investigadores observaciones o eventos. Ej: Lanzamiento de monedas Un es cada posible resultado de un experimento. Ej. Obtener un punto al lanzar un dado El es la colección de todos los posibles eventos. Ej: Las 52 cartas de un juego de barajas Ch ap
El complemento de un evento A (denotado A’): Corresponde a todos los eventos que no son parte del evento. El evento unión A y B, AUB, es el que está formado por los resultados que están en A o en B (incluyendo los que están en ambos) El evento intersección de A y B, A∩B o simplemente AB, al formado por los elementos que están en A y B Ch ap
Eventos Mutuamente excluyentes: Si ambos eventos no pueden ocurrir de manera simultánea. Ejemplo: Si A = Aprobar el curso y B = Reprobar el curso, los eventos A y B son mutuamente excluyentes.
Eventos colectivamente exhaustivos: Si uno de los eventos debe ocurrir. La colección de estos eventos cubren el entero espacio muestral. ◦
Ejemplo: los eventos cara y cruz Ch ap
Indique si los eventos son mutuamente excluyente o colectivamente exhaustivos votantes en EEUU están registrados Los como republicanos o como demócratas. respondieron fueron clasificados Quienes por el tipo de auto que manejan : estadounidense, europeo o ninguno. Se le preguntó ¿Actualmente vive en a) un departamento o b) en una casa? Un producto es clasificado como defectuoso o no defectuoso
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◦
◦
◦
◦
◦
Es posibilidad numérica de que un evento ocurra. La probabilidad del evento A se representa por P(A). La probabilidad de cualquier evento debe estar entre 0 y 1 inclusive. A es evento seguro P (A)=1 B es evento imposible P(B)=0
1
Evento seguro
0.5
0
Evento Imposible Ch ap
1. Probabilidad clásica o a priori: Si un experimento tiene n sucesos distintos y cada uno tiene la misma posibilidad de ocurrir, la probabilidad del evento A se la calcula:
P(A)
número de formas en las que el evento puede ocurrir
número total de resultados posibles Si A= Obtener cara al lanzar moneda P(A)= 1/2
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2. Probabilidad de frecuencia relativa: Realice u observe un experimento un gran número de veces cuente las veces que ocurre el evento A. Entonces P(A) se estima de la siguiente forma:
P( A)
Número de veces que ha ocurrido el evento en el pasado
Número total de observaciones
3. Probabilidad subjetiva
Un juicio individual u opinión sobre la ocurrencia de un acontecimiento que nunca antes ha sucedido.
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Diagramas de Venn Diagrama de árbol Tabla de contingencia
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Diagramas de Venn ◦
◦
A = Estudie B = Trabaje
A y B = estudie y trabaje A
A U B = jóvenes que estudian o trabajan
B Ch ap 4-
Diagramas de Arbol: Imagen de los posibles resultados de un experimento, mostrados como segmentos de linea que emanan de un punto de partida
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Clasificación de empleados Género
Analista
Auxiliar
Programador
Total
Hombre
120
150
30
300
Mujer
50
140
10
200
Total
170
290
40
500 Ch ap 4-
Probabilidad Simple: Probabilidad de ocurrencia de un evento simple
Probabilidad Conjunta: Probabilidad de ocurrencia de dos o mas eventos
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Una probabilidad condicional es la probabilidad de un evento , dada que otro evento ya ocurrió:
P(A | B)
P(B | A)
P(A y B)
P(B) P(A y B)
Probabilidad de A dado que B ocurrió
Probabilidad de B dado que A ocurrió
P(A)
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Regla de la adición : P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B) Donde P(A y B) denota la probabilidad de que ocurran tanto A como B, al mismo tiempo como resultado en un experimento.
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1) Sea A el suceso de sacar un As de una baraja estándar de 52 cartas y B sacar una carta con corazón rojo. Calcular la probabilidad de sacar un As o un corazón rojo o ambos en una sola extracción. A y B son sucesos no mutuamente excluyentes porque puede sacarse el as de corazón rojo. Las probabilidades son:
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Reemplazando los anteriores valores en la regla general de la adición de probabilidades para eventos no mutuamente excluyentes se obtiene:
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Si los eventos A y B no pueden ocurrir simultáneamente se dicen que son eventos mutuamente excluyentes cuando los eventos A y B son mutuamente excluyentes: P(A o B) = P(A) + P(B)
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Teorema de la multiplicación : P(A y B) = P(A) P(B|A) Donde P(B | A) denota la probabilidad de que B ocurra dado que A ocurrió.
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Dos sucesos son independientes si el que ocurra uno, no añade información sobre el otro. A es independiente de B
P(B|A) = P(B)
Si los eventos son independientes, la regla de multiplicación es: P(A y B) = P(A) P(B)
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De un lote de carros usados, el 70% tiene aire acondicionado (AC) y 40% tiene CD player (CD). 20% de los carros tienen ambos. ¿Cuál es la probabilidad de que un carro tenga CD player dado que tiene AC? Solución: P(CD|AC) = P(CD y AC) / P(AC) =0.2/0.7 =0.29 Ch ap 4-
Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces podemos calcular la probabilidad de B como la suma:
A2
A1
B
A3 P(B) = P(B
A4 A1) + P(B
A2) + P( B
A3) + P( B
A4)
Ejemplo: En este aula el 70% de los alumnos son hombres. De ellos el 10% son fumadores. El 20% de las mujeres son fumadoras. ¿Qué porcentaje de fumadores hay en total?
Podemos aplicar la ley de la probabilidad total: Hombres y mujeres forman un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos.
Mujeres Hombres
Fumadores
0,1
0,7
Fuma
Hombre 0,9
No fuma
Estudiante 0,2
0,3
Fuma
Mujer 0,8 No fuma
P(F) = P(F∩H) + P(F∩M) = P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M) = 0,1 · 0,7 + 0,2 · 0,3 = 0,13
Thomas Bayes nació en Londres, Inglaterra. Su padre fue ministro presbiteriano. Posiblemente De Moivre fue su maestro particular, pues se sabe que por ese entonces ejercía como profesor en Londres. Bayes fue ordenado ministro presbiteriano y muere en 1761. Sus restos descansan en el cementerio londinense de Bunhill Fields. La traducción de la inscripción en su tumba es:
"Reverendo Thomas Bayes. Hijo de los conocidos Joshua y Ann Bayes. 7 de abril de 1761. En reconocimiento al importante trabajo que realizó Thomas Bayes en probabilidad. Su tumba fue restaurada en 1969 con donativos de estadísticos de todo el mundo".
Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los n componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces…
A2
A1
…si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori ) de ocurrencia de cada Ai, (i = 1, 2, ... , n):
B P(Ai|B)
A3
P(B Ai ) P(B)
A4
donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total: n
P ( B )
P ( B Ai ) i 1
0,1
0,7
Fuma
Hombre 0,9
No fuma
Estudiante 0,2
0,3
Fuma
Mujer
En el problema anterior: Se elige a un individuo al azar y resulta fumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una mujer?
0,8 No fuma
P(M) = 0,3, P(F) = 0,13 P(M|F) = P(F ∩ M)/P(F) = P(F|M) P(M) / P(F) = 0,2·0,3 / 0,13 = 0,46
