Multiplicar y dividir radicales
Repaso Simplificar: 53 2
73 2000 4 50 23
128
5 2 73 10002 4
53 2 7 103 2 4 5 2 2 43 2
3
252 23 642
53 2 703 2 20 2 83 2
(5 70 8)3 2 20 2
(57)3 2 20 2
3
20 2 57 2
Multiplicación de radicales Si
n
a
y n
n
b
a n b
son números reales,
n
ab
Podemos decir que cuando multiplicamos radicales con el mismo índice, el producto será un radical con el mismo índice y un radicando formado del producto de los radicandos.
Ejemplos a) 2 3 5 6
25 3 6
10 18
92 10 9 30 2 103 2
b) 23 5 33 25 c)
5
15
6
10
233 5 3 25
63 125
65 30
5156 55332
25 9 2 53 2
2
15 2
2592
División de radicales Si
n
a
n
y n n
a b
b
n
son números reales,
a b
si b 0
O sea, si tenemos dos radicales con el mismo índice y se están dividiendo, el resultado será un radical con el mismo índice y con la división de los radicandos.
Ejemplos a)
48
48
3
3 b) 2 15 5 c)
21
12
2
15 5
16
4
2 3
ó
37 3 7 34 3 4
2 15 5
7 4
2 5 3 5
7 2
Tenemos que hacer enfatizar, que estas dos propiedades aplican sólo a radicales con el mismo índice.
2 3
Operaciones combinadas Ahora veamos algunos ejemplos donde se combinan las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de radicales. Suponga que tenemos el siguiente ejercicio:
2 3 (5 3 9 2 ) En este caso, utilizamos la propiedad distributiva, al igual que la usamos si tuviésemos la multiplicación de dos binomios.
Operaciones combinadas Simplificar: (3 2
5 3 )(3 3 2 2 )
3 2 (3 3 2 2 ) 5 3 (3 3 2 2 ) :propiedad distributiva (3 2 )(3 3 ) (3 2 )(2 2 ) (5 3 )(3 3 ) (5 3 )(2 2 )
9 6 6 4 15 9 10 6
:multiplicando
9 6 6(2) 15(3) 10 6
:raíces exactas
6 12 45
:términos semejantes
6 33
:combinando términos
Operaciones combinadas Simplificar: 2 3 (5 3 9 2 )
2 3 (5 3 ) 2 3 (9 2 ) (5 2) 3 3 (2 9) 3 2
:propiedad distributiva :multiplicando
10 3 3 18 3 2 10 9 18 6 10(3) 18 6
30 18 6
:raíces exactas
Radicales en el denominador En ocasiones tenemos expresiones irracionales en el denominador de una fracción. Ejemplo:
5 2
2 3 5
2 7 7 6
El procedimiento que se usa para crear una expresión equivalente, sin radical en el denominador, se conoce como it is r aci onali zar el denomi nador . Este proceso envuelve multiplicar el cociente por una forma de 1 que eliminará el radical del denominador.
Racionalizar el denominador.
Ejemplos
3
a)
2
2
2
3 2
2 2
6
4
6 2
Multiplicar el cociente por una forma de 1 que convertirá el radicando del denominador en un cuadrado perfecto.
b)
6 3
9
3
3
3 3
3
6 3 3
3
9 3
3
6 3 3
27
63 3 3
3
2 3
Multiplicar el cociente por una forma de 1 que convertirá el radicando del denominador en un cubo perfecto.
Conjugados Cuando un cociente tiene en el denominador una suma o diferencia de términos con radicales, debemos multiplicar por el conjugado del denominador para racionalizar. El conjugado tiene los mismos términos pero con la operación opuesta. (+ o ).
El producto de un binomio por su conjugado es una diferencia de cuadrados.
Racionalizar el denominador Cuando multiplicamos dos expresiones como (a+b)(a-b) tenemos como resultado
a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2, pues los términos centrales son opuestos y se cancelan. Por ejemplo:
(3 5 )(3 5 )
9 3 5 3 5 ( 5)
95
4
2
Ejemplo Racionalice el denominador.
2 3 5
Debemos multiplicar el numerador y el denominador del cociente por el conjugado de denominador para formar un a dif er encia de cuadrados .
2
3 5
3 5 3 5
62 5 9 25
2(3 5 ) (3)(3) 3 5 3 5 5 5
De forma alterna:
62 5 4 6 4
2 5 4
2(3 5 ) (2)(2)
3 2
5 2
3 5 2 3 5 2
Ejemplo: Racionalice el denominador: a)
3 3 7 1
3 3
7 1
7 1 7 1
3 21 3
3 3 ( 7 1)
( 7 )( 7 ) ( 7 )1 ( 7 )1 (1)1
7 1 3( 21 3 ) 6
3( 21 3 ) (3)(2)
21 3 2
Ejemplo 11
Racionalice el denominador:
7 3
11 7 3
7 3 7 3
11( 7 3 ) 7 7 7 3 3 7 3 3
11( 7 3 ) 73 77 33 4
11( 7 3 ) 4
11( 7 3 ) 49 9
Radicales con variables
Radicales con variables •
•
•
Los radicales pueden contener variables y potencias de variables. Para los ejemplos en este curso, asumimos que las variables representan números positivos . Para simplificar una expresión que contiene la potencia de una variable en el radicando o Divida la potencia de la variable entre el índice del radical. o La parte entera de la división, es la potencia de la variable que sale del radical. o El residuo de la división, es la potencia de la variable que se queda dentro del radical.
Ejemplo
64 x10
64 x
10
8 x5
Como 10÷2=5,
Radicales con variables Ejemplo Simplifique la siguiente expresión. 3
32 x
5
3
3
32 x
5
3
3
8 4 x
5
3
3
3
8 4 x
5
3
2 4 x5 3
Para simplificar la parte variable del radicando, dividimos 5÷ 3 = 1 y sobra 2. Por lo tanto,
3
3
2 4x x 3
2x 4x
2
2
Multiplicar, dividir y simplificar expresiones con radicales Ejemplo Simplifique las siguientes expresiones.
a)
x
7
b)
x
20 x
Para simplificar la parte variable del radicando, dividimos 7÷ 2 = 3 y sobra 1. Por lo tanto, la simplificación del radical es
16
3
x 20 16
x
45 x
16
4 5 x
8
2 5 x
8
Para simplificar la parte variable del radicando, dividimos 16÷ 2 = 8 y sobra 0. Por lo tanto,
Multiplicar, dividir y simplificar expresiones con radicales Ejemplo Simplifique las siguientes expresiones.
a)
3y 5x 7
b)
a b 3
a b
6 2
15 xy 7
a b
6
3
2
a b
4
a b
4
2
a b
2
Multiplicar, dividir y simplificar expresiones con radicales (cont.) Ejemplo Simplifique las siguientes expresiones.
c) d)
25a 2 b 20 3
128a 10 b
9
25 a 3
2
b
20
128 3 a 10 3
b
9
5ab10 3
64 3 2a 3 3 a b
3
4a 3 3 2a b 3
