Teorema Dasar Analisis Aliran Daya

Teorema Dasar Analisis Aliran Daya

[email protected]

TEOREMA DASAR ANALISIS ALIRAN DAYA

1.1 Pendahulan

Studi aliran daya, yang juga dikenal dengan aliran beban, merupakan tulang punggung dari analisis dan desain suatu sistem tenaga. Studi aliran daya dilakukan untuk mendapatkan informasi mengenai aliran daya atau tegangan sistem dalam kondisi operasi tunak. Informasi ini digunakan untuk mengevaluasi ujuk kerja sistem tenaga dan menganalisis kondisi pembangkitan maupun pembebanan, pembebanan, serta informasi keadaan sistem tenaga pada kondisi normal dan terganggu. Masala Masalah h aliran aliran daya daya sanga sangatt dibutu dibutuhka hkan n untuk untuk peren perencan canaan aan,, operas operasii dan penjad penjadwal walan an ekonomis serta transfer daya. Sebagai tambahan, analisis aliran daya dibutuhkan juga pada analisis stabilitas transient. transient. Masalah Masalah aliran aliran daya mencakup perhitungan aliran dan dan tegangan tegangan sistem sistem pada pada termin terminal al terten tertentu tu atau atau bus terten tertentu. tu. Repres Represen entas tasii fasa fasa tungg tunggal al selalu selalu dilaku dilakukan kan karena karena sistem sistem dianggap seimbang. Didalam studi aliran daya bus-bus dibagi dalam ti ga macam, yaitu : a. Slack bus atau swing bus atau bus referensi b. Voltage controlled bus atau bus generator c. Load c. Load bus atau bus beban. Tiap-tiap bus terdapat empat besaran, yaitu : a. Daya aktif P b. Daya reaktif Q c. Nilai skalar tegangan |V| d. Sudut fasa tegangan θ. Pada tiap-tiap bus hanya ada dua macam besaran yang ditentukan sedangkan kedua besaran lainnya merupakan hasil akhir dari perhitungan. Besaran-besaran yang ditentukan itu adalah : a. Slack bus ; harga skalar skalar |V| dan sudut fasanya fasanya θ. b. Voltage controlled bus ; daya aktif P dan harga skalar tegangan |V| c. Load c. Load bus; bus ; daya aktif P dan daya reaktif Q. Slack bus merupakan bus yang menyuplai kekurangan daya aktif P dan daya reaktif Q pada sistem.

1.2 Matriks Admitansi Bus

Untuk Untuk mendap mendapatk atkan an persam persamaan aan simpul simpul-teg -tegang angan, an, sebaga sebagaima imana na sistem sistem tenag tenagaa listrik listrik

visit: http://www.te.ft.unib.ac.id

1


[email protected]

sederhana pada gambar 1.1, dimana impedansinya dinyatakan dalam satuan per unit pada dasar MVA sement sementara ara untuk untuk penyed penyederh erhana anaan an resist resistans ansiny inyaa di abaika abaikan. n. Berda Berdasar sarka kan n Hukum Hukum Arus Arus Kirchhoff impedansi-impedansi di ubah ke admitansi- admitansi, yaitu : 1 1 y ij = = z ij r ij  jx ij

gambar 1.1 Diagram impedansi sistem tenaga listrik sederhana

gambar 1.2 Diagram admitansi untuk sistem tenaga listrik dari gambar 1.1

Rangkaian gambar 1.1 digambar ulang seperti gambar 1.2 dalam besaran admitansi dan pengubahan kedalam bentuk sumber arus. Simpul 0 (biasanya adalah ground) ground) diambil sebagai refe refere rens nsi. i. Deng Dengan an mene menera rapk pkan an Huku Hukum m Ar Arus us Kirc Kirchh hhof offf anta antara ra simp simpul ul 1 hing hingga ga 4 akan akan menghasilkan:


2

[email protected]


I 1 = y 10 V 1 y 12  V 1−V 2  y 13  V 1− v 3 I 2= y 20 V 2 y12  V 2−V 1 y 23  V 2−V 3  0 = y23  V 3 −V 2 y13  V 3 −V 1 y 34 V 3−V 4  0 = y34 V 4−V 3  Dengan menyusun ulang persamaan diatas maka didapat . I 1 = y 10 y 12 y 13  V 1− y 12 V 2− y 13 V3 I 2=− y12 V 1 y 20  y 12 y 23 V 2 − y 23 V 3 0 =− y 13 V 1 − y 23 V 2 y 13 y 23 y 34  V 3− y 34 V 4 0 =− y 34 V 3 y 34 V 4

Dengan admitansi sebagai berikut . Y 11= y 10 y 12 y 13 Y 22= y 20 y 12 y 23 Y 33= y 13 y 23 y 34 Y 44 = y 34 Y 12=Y 21=− y 12 Y 13=Y 31=− y 13 Y 23=Y 32=− y 23 Y 34=Y 43=− y34

Reduksi persamaan simpul menjadi. I 1 =Y 11 V 1Y 12 V 2Y 13 V 3 Y 14 V 4 I 2=Y 21 V 1Y 22 V 2Y 23 V 3 Y 24 V 4 I 3 =Y 31 V 1Y 32 V 2Y 33 V 3 Y 34 V 4 I 4=Y 41 V 1Y 42 V 2 Y 43 V 3Y 44 V 4 Pada jaringan sistem tenaga listrik sederhana di atas, karena tidak ada hubungan antara bus 1 dan bus 4, maka Y 14 14 = Y 41 41 = 0, dan Y 24 24 = Y 42 42 = 0. Dari persamaa persamaan n diatas, diatas, untuk untuk sistem sistem dengan dengan n bus, persamaa persamaan n tegangan tegangan-simp -simpul ul dalam bentuk matriks adalah :

[][

Y 11 Y 12 I 1 . . . . . . I i = Y i1 Y i2 . . . . . . I n Y n1 Y n2

.. . . . .. . . . .. .

][ ]

Y 1i ... Y 1n V 1 . . . . . . . . Y ii ... Y in = V i . . . . . . . . V n Y ni ... Y nn

(1.1)

atau


3

[email protected]


(1.2)

I bus bus = Y bus bus V bus bus

Dengan I bus bus adalah vektor arus bus yang di injeksikan. Arus bernilai positif ketika masuk menuju bus dan bernilai negatif saat meninggalkan bus V bus bus adalah vektor tegangan bus yang diukur dari simpul referensi. Y bus bus . Elemen diagonal masingbus dikenal dengan nama matriks admitansi bus. masing simpul merupakan penjumlahan admitansi bus yang terhubung padanya. Elemen diagonal ini disebut admitansi-sendiri. n

Y ii =∑ y ij

(1.3)

j =0

elemen non-diagonal bernilai negatif terhadap admitansi antar simpul. Dikenal dengan admitansi bersama. Y ijij = Y ji = -yij

(1.4)

Jika arus pada bus diketahui, dari persamaan (1.2) maka untuk tegangan n bus dapat ditentukan dengan : -1 V bus I bus bus = Y bus bus bus

(1.5)

Invers dari matriks admitansi bus dikenal sebagai matriks impedansi bus Z bus bus. Berdasarkan persamaan (1.3) dan (1.4) , matriks admitansi bus untuk jaringan pada gambar 1.2 yaitu :

[

− j 8.50

Y bus =

j 2.50 j 5.00 0

j 2.50 j 5.00 0 − j 8.75 j 5.00 0 j 5.00 − j 22.50 − j 12.50 0 j 12.50 − j 12.50

]

Contoh 1.1

Untuk Untuk jaring jaringan an gamba gambarr 1.1 diberi diberika kan n tegang tegangan an

E1=1.1 ∢ 0 °

dan

E2=1.0 ∢ 0 ° .

Tentukan matriks impedansi bus dengan cara inversi matriks, dan tentukan nilai tegangan busnya. Penyelesaian

Dengan menggunakan python kita akan mencoba menyelesaikan contoh soal 1.1 diatas : (catatan: dalam python, matriks dimulai dari titik [0,0] bukan dari [1,1] ). Berikut ini skrip yang dapat digunakan untuk menyelesaikan contoh soal 1.1, buatlah skrip ini di teks teks edito editorr ubuntu ubuntu (penul (penulis is menggu menggunak nakan an softwa software re geany) geany ) anda, anda, pastik pastikan an anda anda telah telah memasang library scipy dengan benar. visit: http://www.te.ft.unib.ac.id

4


[email protected]

#Contoh Soal 1.1 from scipy import * z = matrix([[1.0j], # impedansi dari simpul 0 ke 1 [0.8j], # impedansi dari simpul 0 ke [0.4j], # impedansi dari simpul 1 ke [0.2j], # impedansi dari simpul 1 ke [0.2j], # impedansi dari simpul 2 ke [0.08j] # impedansi dari simpul 3 ke ]) # Menentukan nilai y y = 1/z

2 2 3 3 4

# Menentukan komponen matriks Ybus Y11 = y[0,0]+y[2,0]+y[3,0] Y22 = y[1,0]+y[2,0]+y[4,0] Y33 = y[3,0]+y[4,0]+y[5,0] Y44 = y[5,0] Y12 = y[2,0] Y21 = Y12 Y13 = y[3,0] Y31 = Y13 Y23 = y[4,0] Y32 = Y23 Y34 = y[5,0] Y43 = Y34 Y14 = 0.0 Y41 = Y14 Y24 = 0.0 Y42 = Y24 # Matriks Ybus Ybus = matrix ([[Y11,Y12,Y13,Y14],[Y21,Y22,Y23,Y24], [Y31,Y32,Y33,Y34],[Y41,Y42,Y43,Y44]]) # Menentukan Matriks Zbus Zbus = Ybus.I E1 = 1.1 + 0.0j # tegangan E1 E2 = 1.0 + 0.0j # tegangan E2 # dengan transformasi sumber, sumber arus ekivalennya adalah : I1 = (E1/(z[0,0])) I2 = (E2/(z[1,0])) # Matriks Ibus Ibus = matrix ([[I1],[I2],[0],[0]])


5


[email protected]

# Menentukan Magnitude Vbus Vbus = abs(Zbus * Ibus)

print print print print print print

"Y = " Ybus "Zbus =" Zbus "Vbus = " Vbus

Simpan skrip diatas dengan nama ex_1.1.py lalu eksekusi program tersebut melalui terminal ubuntu anda seperti dibawah ini :

1.3 Penyelesaian Persamaan Aljabar Nonlinear

Teknik Teknik-te -tekni knik k yang yang paling paling umum umum diguna digunakan kan untuk untuk menye menyeles lesaik aikan an persa persamaa maan n aljaba aljabarr nonlinear secara iterasi adalah motode Gauss-Seidel, Newton-Raphson, dan Quasi-Newton. 1.3.1 Metode Gauss-Seidel

Meto Metode de Gaus Gausss-Se Seid idel el juga juga dike dikena nall deng dengan an meto metode de perg pergan antia tian n suks sukses esif if ( successive displacement ). ). Sebagai gambaran untuk teknik ini, temukan penyelesaian persamaan persamaan nonlinear yang diberikan oleh : f(x) = 0

(1.6)

Fungsi di atas disusun ulang dan ditulis menjadi :


6

[email protected]


x = g(x)

(1.7)

Jika x Jika x(k) merupakan nilai perkiraan awal dari variabel x, x, maka bentuk urutan iterasinya adalah : x(k+1)=g(x(k) )

(1.8)

Penyelesaiannya Penyelesaiannya ditemukan ketika ketika perbedaan antara nilai mutlak iterasi suksesifnya suksesifnya kurang dari akurasi yang ditentukan, yaitu : |x(k+1)-x(k)| ≤ є

(1.9)

dimana є adalah akurasi yang ditetapkan.

Contoh 1.2

Gunakan metode Gauss-Seidel untuk menentukan akar dari persamaan berikut : f(x) = x 3 - 6x2 + 9x - 4 = 0 Penyelesaian

Penyelesaian untuk x untuk x,, persamaan di atas ditulis kembali menjadi : 1 9

3

x = − x 

6 2 4 x 9 9

= g  x  Dengan menerapkan algoritma Gauss-Seidel dan menggunakan nilai pendekatan awal yaitu : x(0) = 2 Dari persamaan (1.8), didapat iterasi pertama, yaitu :  1

1 9

6 9

3

2

4 9

x = g  2=−  2   2   =2,2222 Iterasi keduanya adalah :  2

1 9

3

6 9

2

4 9

x = g  2,2222=−  2,2222   2,2222   = 2,5173

Hasil dari tahapan-tahapan iterasi yang dilakukan adalah 2.8966, 3.3376, 3.7398, 3.9568, 3.9988 dan 4.000. Prosesnya akan berulang sampai perubahan pada variabel mencapai akurasi yang telah ditetapkan. ditetapkan. Dapat Dapat dilihat dilihat bahwa bahwa metode metode Gauss-Sei Gauss-Seidel del memerluka memerlukan n banyak banyak iterasi iterasi untuk untuk mencapai akurasi yang ditentukan, dan tidak ada jaminan penyelesaiannya penyelesaiannya konvergen. Skrip berikut ini akan menunjukkan prosedur penyelesaian persamaan yang diberikan pada contoh 1.2 untuk nilai perkiraan awal x awal x(0) = 2. 2. # Contoh 1.2


7

[email protected]


dx = 1.0

# Set perubahan variabel awal

x = 2.0

# nilai perkiraan awal

iter = 0

# penghitungan iterasi

while abs(dx) >= 0.001 : iter = iter + 1

# nomor iterasi

g = ((1.0/9.0)*(x*x*x)) + ((6.0/9.0) * (x*x)) + (4.0/9.0) dx = gx

# perubahan variabel

x = g

# pendekatan suksesif

print "iterasi : ", iter, "g = ", g, "dx = ", dx, " x = ", x

Simpan skrip diatas dengan nama ex_1.2.py lalu jalankan melalui terminal linux anda, maka hasilnya adalah sebagai berikut :

Dapat dilihat bahwa akar persamaan nonlinear contoh soal 1.2 ditemukan (konvergen) pada iterasi ke-9 dengan nilai g = 4.0 (akar persamaan) persamaan ). Dalam Dalam beberapa beberapa kasus, kasus, faktor faktor akselaras akselarasii dapat dapat digunakan digunakan untuk meningka meningkatkan tkan tingkat tingkat konvergensi. Jika α > 1 adalah faktor akselarasi, maka algoritma Gauss-Seidel menjadi : x k 1= x  k α [ g  x k  – x k  ]

(1.10)

Contoh 1.3

Tentukan akar persamaan dalam contoh 1.2, menggunakan metode Gauss-Seidel dengan faktor akselarasi α = 1.25. Penyelesaian # Contoh 1.3


8

[email protected]


dx = 1.0


x = 2.0

# nilai perkiraan awal

iter = 0



# nomor iterasi

g = ((1.0/9.0)*(x*x*x)) + ((6.0/9.0) * (x*x)) + (4.0/9.0) dx = gx x = x + 1.25 1.25 * dx

# perubahan variabel # pende pendeka katan tan suks suksesi esif f dg fakt faktor or

akselarasi print "iterasi : ", iter, "g = ", g, "dx = ", dx, " x = ", x

Hasilnya adalah :

Terlihat Terlihat bahwa bahwa faktor faktor akselaras akselarasii dapat dapat mempercepa mempercepatt konvergen konvergensi si sehingga sehingga iterasi dapat dapat lebih sedikit, namun faktor akselarasi yang tidak tepat dapat membuat perhitungan menjadi lebih lama dengan jumlah iterasi yang lebih banyak bahkan dapat tidak terkendali atau over flow semisal, jika anda ganti faktor akselarasi menjadi 1.8, maka akan terjadi iterasi sebanyak 26 kali untuk mencapai konvergensi. Python sebenarnya menyediakan satu fungsi khusus untuk menentukan akan dari suatu persamaan yaitu dengan fungsi roots( ). Jika kita gunakan gunakan fungsi ini untuk menentukan menentukan akar dari persamaan pada contoh soal 1.2 maka hasilnya adalah :


9


[email protected]

Dapat dilihat bahwa ada tiga akar yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan pada contoh soal 1.2 yaitu 4.0, 1.00000002, 1.00000002 , dan 0.99999998 atau dapat kita simpulkan lagi bahwa ada dua akar persamaan yang dapat digunakan yaitu 4.0 dan 1.0. 1.0.

1.3.2 Metode Newton-Raphson

Metode Metode yang paling luas digunakan digunakan dalam menyelesaika menyelesaikan n persamaan persamaan aljabar aljabar nonlinea nonlinearr simultan ialah metode Newton-Raphson. Metode ini menggunakan pendekatan suksesif berdasarkan nilai perkiraan awal yang tidak diketahui dan menggunakan perluasan deret Taylor. Tentukan penyelesaian persamaan persamaan satu-dimensi berikut ini : f(x) = c

(1.11)

Jika x(0) adalah nilai perkiraan awal dari penyelesaian persamaan tersebut, dan Δx(0) adalah nilai deviasi dari penyelesaian sebenarnya, maka f  x 0 Δx0 =c Dengan menggunakan perluasan deret Tylor pada bagian sebelah kiri persamaan di atas untuk x(0) maka didapat : 2f df 0  1 d 0  0  2 f  x    x    x  . . .=c 2 0  dx 2 ! dx

 0

Dengan mengasumsikan bahwa eror Δx(0) sangat kecil, maka bagian berorde-tinggi dapat diabaikan, sehingga : df 0   0  c ≃   x dx 0 

dimana Δc  0=c – f  x 0  Tambahkan Δx(0) ke nila nilaii perk perkira iraan an awal awal maka maka akan akan meng mengha hasi silk lkan an pend pendek ekat atan an kedu keduan anya ya


10

Teorema Dasar Analisis Aliran Daya  1

 c  0

0 

x = x 

[email protected]

0 

df   dx

Penggunaan metode suksesif pada prosedur ini menghasilkan apa yang disebut algoritma NewtonRaphson Δc  k = c – f  x k   k 

Δx =

(1.12)

 c k   k 

df   dx

x k 1= x  k  Δx  k 

(1.13) (1.14)

persamaan (1.16) dapat disusun ulang menjadi : Δc  k = j k  Δx  k 

(1.15)

dimana df  k  j =  dx  k 

Contoh 1.4

Gunakan metode Newton-Raphson untuk mencari akar persamaan yang diberikan pada contoh 1.2. Asumsikan nilai perkiraan awal x awal x(0) = 6 Penyelesaian

Penyelesaian secara analitik diberikan oleh algoritma Newton-Rapshon sebagai berikut: df  x  =3x 2−12 x 12 x 9 dx

 c 0 =c − f  x 0 =0 −[ 6 3 −6  6 2 9  6 − 4 ]=−50  0

df   =3  6 2−12  6 9 =45 dx  0 −50 0   c  x = = =−1.1111 0  45 df



dx



Sehingga, hasil akhir pada iterasi pertama adalah x 1= x 0  x 0= 6−1.1111 =4.8889

Akar persamaan akhirnya daat ditemukan pada iterasi ke-5 dengan nilai masing-masing iterasi yaitu 4.2789, 4.0405, 4.0011, 4.000. Dapat Dapat kita kita lihat lihat bahwa bahwa metod metodee Newton Newton-Ra -Raphs phson on lebih lebih cepat cepat konver konvergen gen diband dibanding ingka kan n visit: http://www.te.ft.unib.ac.id

11

[email protected]


metode Gauss-Seidel. Berikut Berikut ini skrip yang menunjuk menunjukkan kan prosedur prosedur untuk penyelesaia penyelesaian n dari persamaan persamaan yang diberikan dengan metode Newton-Raphson.

# Contoh 1.4 from math import * dx = 1.0


x = input( input("Ma "Masuk sukkan kan Nilai Nilai Pendek Pendekata atan n Awal Awal : ")

#

nilai nilai

perkir perkiraan aan

awal iter = 0



# nomor iterasi

deltaC = 0(pow(x,3) (6 * (pow(x,2))) + (9 *x) 4) J = 3 * pow(x,2) 12 * x + 9 dx = deltaC/J

# perubahan variabel

x =

# pendekatan suksesif

x + dx

print "iterasi : ", iter, "dC = ", deltaC, "J = ", J, " dx = ", dx, " x = ",x

# hasil

Hasilnya adalah

Sekarang, jika n-dimensi persamaan yang diberikan oleh persamaan(1.11). Perluasan bagian kiri persamaan(1.11) dalam deret Tylor dengan nilai perkiraan awal dan persamaan orde tingginya diabaikan, maka akan menghasilkan


12

[email protected]

Teorema Dasar Analisis Aliran Daya 0  ∂ f 1  0 ∂ f 1  0  0 ∂ f 1  0    f 1  =   x1    x 2  . . .    x n0 =c 1 ∂ x1 ∂ x2 ∂ x n 0  ∂ f 2 0 ∂ f 2  0  0  0 ∂ f 2  0  f 2  =   x 1    x 2  . . .   x n0 =c 2 ∂ x1 ∂ x2 ∂ x n  0

. . .  

 

 

0 ∂ f n 0 ∂ f n 0  0 ∂ f n 0     f n  =   x 1    x 2 . . .   x n0 =c n ∂ x1 ∂ x 2 ∂ x n

0 

atau dalam bentuk matriks

[ ]  0

c 1− f 1 

[

 0

∂ f  1 ∂ x1

 0

∂ f  1 ∂ x 2

 0

 0

∂ f 2 ∂ f 2  0 c 2− f 2      ∂ ∂ x x 1 2 = . . . . . .  0 c n− f n   0  0 ∂ f n ∂ f n 

∂ x1



 0

∂ f . . .  1 ∂ x n



∂ x 2



 0

. .

. 

. . . .

. .

. .

. 

∂ f 2  ∂ x n . . ∂ f n

∂ x n

 0



]

[]  0

 x 1

 0

=

 x 2

. .  0  x n

Dalam bentuk sederhana dapat ditulis menjadi :

 X  k = J  k   X  k  atau

 X  k =[ J  k  ]−1  C k 

(1.17)

dan Algoritma Newton-Raphson untuk persamaan n-dimensi menjadi X  k 1= X  k  X  k 

(1.18)

dimana

[] [ ]  

 X  k =

 0

 x 1k    x 2k . .    x nk

c 1− f 1 

 0

dan

c 2− f 2   k   C = . .  0 c n− f n 


(1.19)

13

[email protected]


[

∂ f 1  0 ∂ f 1  0 ∂ f 1  0      . . .  ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ xn  

 

∂ f 2 0   k  ∂ x 1 J =

∂ f 2 0   ∂ x 2

. . . .  0  0 ∂ f n ∂ f n     ∂ x 1 ∂ x 2

 

∂ f 2 0  . . .  ∂ xn . . . . . .

. .  0 ∂ f n  . . .  ∂ xn

]

(1.20)

J (k) disebut dengan matriks Jacobian. Elemen pada matriks ini hasil dari turunan parsial pada X (k). diasumsika diasumsikan n bahwa bahwa J (k ) memili memiliki ki invers invers pada pada tiap tiap iteras iterasiny inyaa ( tidak singular singular). ). Metode ini digunakan untuk meningkatkan akurasi dari nilai perkiraan yang dihasilkan.

Contoh soal 1.5

Gunakan metode Newton-Raphson untuk menentukan menentukan interseksi dari kurva berikut : x 21 x 22=4 x 1

e  x 2=1 Penyelesaian

Dengan Dengan mengambil mengambil turunan parsial parsial dari kedua persamaan persamaan diatas maka didapat matriks Jacobian sebagai berikut J =

[

2 x 1 2 x 2 x1

e

1

]

Skrip python untuk untuk menyelesa menyelesaikan ikan persamaa persamaan n di atas dengan dengan metode metode Newton-Rap Newton-Raphson hson adalah sebagai berikut. # Contoh 1.5 from scipy import matrix from math import pow, exp

x1 = input ("Nilai Perkiraan Awal Persamaan 1 :") x2 = input ("Nilai Perkiraan Awal Persamaan 2 :") x = matrix([[x1],[x2]]) C = matrix ([[4],[1]])


14


[email protected]

Dx = matrix ([[1],[1]]) iter = 0

while max(abs(Dx)) >= 1e4 : iter=iter+1 f

=

matrix matrix

([[pow ([[pow(x[0 (x[0,0], ,0],2)+p 2)+pow(x ow(x[1,0 [1,0],2) ],2)],[ ],[exp exp (x[0,0]) (x[0,0]) +

x[1,0]]]) DC = C f J = matrix ([[2*x[0,0],2*x[1,0]],[exp(x[0,0]),1]]) Dx = J.I * DC x = x + Dx print "iterasi ke : ", iter ," x1 = ", x[0,0], " x2 = " , x[1,0], "Dx max = ", max (abs(Dx))

Jika skrip ini dijalankan maka hasilnya adalah

Dengan nilai pendekatan awal 0.5 dan -1 maka ditemukan penyelesaian yang konvergen pada iterasi ke-5 dengan nilai x1 = 1.00416873847 1.00416873847 dan dan x x2 = -1.72963728703. -1.72963728703.

Contoh 1.6

Mulai dengan nilai awal, x1 =1, x2 = 1, x 3 = 1, selesaikan persamaan berikut ini dengan menggunakan metode Newton-Rapshon. Newton-Rapshon. x12− x 22  x32= 11 2

x 1 x 2 x 2 − 3x3= 3 x 1− x 1 x 3 x 2 x 3=6 Penyelesaian

Dengan menurunkan secara parsial ketiga persamaan di atas, maka didapat matrik Jacobian sebagai berikut.


15


[

−2 x 2 2 x 1 2 x 3 J = x 2 −3 x 12 x2 − x 1 x 2 1− x 3 x 3

[email protected]

]

Skrip berikut dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang diberikan pada contoh 1.6 di atas. # Contoh 1.6 from scipy import matrix from math import pow

x = matrix([[1],[1],[1]]) C = matrix ([[11],[3],[6]]) Dx = matrix ([[10],[10],[10]]) iter = 0

while max(abs(Dx)) >= 1e4 : iter=iter+1 f = matrix ([[pow(x[0,0],2)pow(x[1,0],2)+pow(x[2,0],2)], [(x[0,0]*x[1,0]) + pow(x[1,0],2)3*x[2,0]],[x[0,0]x[0,0]*x[2,0]+ x[1,0]*x[2,0]]]) DC = C f J = matrix ([[2*x[0,0],2*x[1,0],2*x[2,0]],[x[1,0],x[0,0]+ 2*x[1,0],3],[1x[2,0],x[2,0],x[0,0]+x[1,0]]]) Dx = J.I * DC x = x + Dx print "iterasi ke : ", iter ," x1 = ", x[0,0], " x2 = " , x[1,0], "Dx max = ", max (abs(Dx))

Jika dijalankan maka skript ini akan menghasilkan penyelesaian penyelesaian untuk contoh 1.6 sebagai berikut


16


[email protected]

Dapat dilihat bahwa penyelesaian konvergen pada iterasi ke-6 dengan nilai x1 = 2.0 dan x dan x2 = 3.0, 3.0, metode Newton-Raphson memiliki keunggulan saat melakukan konvergensi secara kuadratik ketika akar persamaan yang dicari sudah dekat.


17

Teorema Dasar Analisis Aliran Daya

Recommend Documents