TEIVIAS
CIE,I{CIA Grandes matemáti cos
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rTl J/ !_ Prensa Científicn,
S.
A.
Sumario La creación matemática
2
Leonardo de Pisa
6
Ettore Picutti
RenéDescartes..
.......18
A. C. Crontbie
PierredeFermat
.......26
Hctrold M. Edwards
ElteoremadeFermat,demostrado GaspardMonge B
.....35 ........38
runo Belhoste
AndréWeil
.
Carl Friedrich Gauss
.....46 48
Iun Stewart
Jean Baptiste Fourier
60
Rottald L. BracewelL
Augustin-Louis Cauchy Bruno Belhoste
EscheryPenrose i'
'[
EvaristeGalois
.......81 ...82
Tony Rothman
GeorgCantor
....94
Joseph W. Dauben
GottlobFrege
...106
Javier de Lorenzo
Srinivasa Ramanujan Jonathan M. B¡tntein t' Peter B. Bont'ein
120
La creación matemáíca Henri Poincaré
cquí 1* mri. sustsltt:itL! tle la cr;nfet€!'t{'it.t ¡tttttittttpritx:i¡tkss t{e siglt.t por Nesri Point:t¡ré en la Sociedad Psicolégica de Pari:¡. §u testiwoxi* es es¡;ecir:tltnenle reI.evttn.te porque Poincaré i II54- ) I 1 2 ) uttía a. la c{}x.tliciórL cl.e ser ul'¡¡t rle l*s wejorcs ,nentes flate,niilita,\ tle rorla.c las tier,;¡2cs u.¡'L clara ix.terés ¡:ot'com.prtxde r lct ,'t{ttu{a{(z{1 it:Í. tr*bajo tie*til'ito t ¡}{t{ su dittt{g*.ciótt, comtt lo rlewt¿e.sír,:¿n l¿¡:t v'«ri«:; ohras que ¡sublir'ó con e.,:tt .t'inuli' tlt¡tl. Las itleas de Point;ttré siguen resctmndts e¡t r.i/-gtrrt,tr !) ro p ut s f {r s r t t: i e *t e s ¡; a rc¡ *ze c ozt i :.ar I r; s tr; r* c e s o s m e * la I e s s't;¡seri.ores, c*n eliqLseÍ*s d.isciplinares latt ttiatws a él tcwo " ciexci« c{}gniti,*a" o " inleIigenci¿L artificia1 ". Ül¡"r:r'
r:i*da
t¿
ómo se geste la creación matemíttica es ttn probletna qlle debería interesar mucho a los psicólogos. Se trata de acluella actir.'idacl en que Ia mente humana parece recu-
rrir menos al mundo extelior.
actu¿rndo. o pareciendo actllar. por sí y para sí. por lo que podríamos esperar que el estudio clel modo de proceder del pensamiento -eeométrico nos adentrase en lo mírs esencial de la mente hurnana...
EI primer hecho que habría de sorprendet'nos. si no tuese por'
lo acostumbrados que estamos a aceptarlo. es el de cómo
es
posible que haya personas que no entiendan las matemáticas. Puesto que sólo recurren a 1as leyes de 1a lógica. que toda mente normal acepta. ¡,' dado que sus pruebas se basan ert principios comunes a todos 1os seres humanos. que nadie en su sano juicio podría negar, ¿cómo es posible que ha1'a tanta gente refrac-
talia
a ellas?
comprensible que no todo el mundo tenga capacidad inventlva v puede pasar que se olvide una demostración tras E,s
haberla aprendiclo, pero. si pensamos en ello. sí clue es mll)¡ r¿lro que alguien no comprenda un rezonatniento rnaternático que se Ie explique. Y. sin ernbargo. quienes no pueden seguir ta1 razonamicnto más que con dificultad son ma,vor'ía. conro atestisua 1a experiencia de los profesores de enseñanza secund¿iria. Aún diré más: ¿cómo es posible el error en matemáticas? Llna mente sana no incur¡e en falacías lógicas ni se trabuca en las sencillas argumentiiciones que se dan en 1a l'ida ordinaria v. sin ernbar-eo, son pocos quienes pueden repetir sin eqr.rir-ocarse 1as demostraciones matemáticas. sin duda rnás largas. pero que. en suma. se reducen a una acumuiación de pequeños lazonamientos en todo parecidos a los que realizamos sin diflcultad. No creo necesario añadir que ni siquiera los matemáticos son infalib1es... Por lo clue a rní respecta. he de confesar que soy incapaz hasta de hacer una sllma sin equivocarme... No tengo mala memoria. pero tampoco 1o suticientemente buena como para ser un jugadol de a.jedlez destacado. ¿,Por qué entonces no rne fa1la
en los momentos difíciles del razonamiento matemático.
cuando la rna¡'or parte de los ajedrecistas se perderían'l Sin duda al-uuna porque la marcha general de1 razonamiento la guía. Una demostración matemática no es una sitnple yuxtaposición de si logisrnos. sino silogisnro s c ol o c cttlo s e n tle t e rtninacl o o rcle rt, siendo este orden de coloc¿rción mucho más in-rportante que los 2
elementos mismos. Si tengo Ia sensación. la intuición. cot-t-lcr si dijéramos. de este orclen. percibo sin nr¿is elrazonauiiento.L)nrLl un todo y no tengo ya que preocltparme de qlte :e lre olr ide ninguno de sus elementos. pues cada uno de ellor oütlp3rá :Ll parte en el elenco. sin que mi memoria tenga que hacer e:iLrerz.r al-puno.
(,o abemos que esta sensación. esta nttirción del orden matemático. h que nos hace adivrnar armoní¡Ls r re1a.'iones ocultas, no pr-rede ser poseída por todo el mundo. Har quienes no tendrán esta delicada sensación. tan difícr1 de deitnir. t . Lt-r ¡ memoria o capacidad de atención no superarán 1i¡ ordinario. 1o clue Ies incapacitará por completo para comprender las t-t-iaten-ráticas superiores. Tal es e1 caso de 1a ma¡.oría. \o frltarán otros qlre. aun poseyendo la sensación en grado mínimo. estaríur dotados de una memoria inusual y de una gran capacidtd de atención. Estos se aprenderán de memoria 1os detalles. uncr tnls otro: podrán entender las matemáticas. y hasta aplicarlas. pero no podrán crear'. Y hay quienes. en fin. poseerán en mar or 1a intr-Lición especial a la que me estov refiriendo: o menor -srado éstos. no sólo entenderán 1as matemáticas. aunque \Ll ntemorlt no tenga nada de extraordinario, sino que podrán crearlas. esfo¡zándose por inlentar. empeño en e1 que tendrán más o n-ienos éxito se-qún esté de desarrollada su intuición.
u3
¿,Qué es realmente 1a creación matemátical \o con\i\te en ol'qanizar nuevas combinaciones de entidades t-natemáticas r a
corrociclas. Esto es algo que cualquiera puede hacer'. si bien tales
combinaciones son innurnerables y
1a
ma1'or parte de e1las
carece por completo de ínterés. Crear consiste prectsat-tleute ell no hacer combinaciones inirtiles ¡r sí, en cambio. aquellas qr,re son útiles. r-lue son muy pocas. La invención es discetninrrentrr.
elección. Es ho¡a de adentrarse en el alma del maten-rático r r er qué pasa allí. Cleo c1r-re 1o mejor que puedo hacer en este sentido es lecordar rnis propias experiencias. Me lirnitaré a contarle-s cónto escribí mi primer trabajo sobre las funciones fuch:ianrs. Pido peldón a1 lector. pues he de usal algunas expresione. técnicas. pero no tiene por qr,té asustarse. pues no se requiere que las entienda. Si digo. por ejemplo, que encontré la dem..stración de ta1 teorema en t¿rles y tales circunstancias. el teoret-t-ia tendrh includablemente un nombre bárbaro. descot.tocidr¡ para 1a ma1,'oría. Pero esto carece de importancia. porque lo r.erdaderamente irnportante para el psicólogo no es e1 teorem¡. sino las cilcunst¿rnc ias.
Durante quince días me esforcé por demostt ar que no podían exlstlr funciones como 1as que luego llamé fuchsianas. Entonces era mu)¡ ignorante. Me ponía cada día a trabqar en nri t¡esa, probaba un gran número de cornbinaciones durante un par de hor¿rs y no lo-uraba nada. Una tarde bebí una t¿1zi:1 de café. cosa que no solía hacer. y no pude dorrnir por la noche. Las ideas surgieror-r a borbotones. Las sentí¿i chocar unas con otras. por así decir'lo. hastir qrie se engarz¿1ron entre sí formando una combinación estable. A Ia mañana siguiente .va habÍa determinado 1a existencia de una clase de funciones tuchsianas. Ias derivadas de Ia serie hipergeométlica. Só1o rne faltaba poner por escrito 1os resultados. Io que hice en pocas horas. Quise entonces representar est¿rs funciones como el cociente de dos series. Tal idea era completamente consciente .v delibeTENTAS
1
rada, habiéndome llevado a ella la analogía con las funciones elípticas. Me pregunté qué propiedades habrían de tenet tales series. si existieran. y conseguí formarlas sin diflcr.rltad: a éstas les di el nombre de theta-fuchsianas. Por entonces salí de Caen, donde a la sazón vivía. para particlpar en una excursión geológica organizada por 1a escuela de
minas. Las incidencias del viaje me hicieron olvidar mis trabajos matemáticos. En determinado momento. estábamos en Coutances y habíarnos de subir a un ómnibus para desplazarnos a otro sitio. Justo al poner e1 pie en el estribo. sin que ninguno de mis pensamientos precedentes pareciese haberla propiciado. me vino Ia idea de que las transfonnaciones que había usado para definir las funciones tuchsianas eran idénticas a las de 1a geometría no euclídea. No proseguí el razonamielto. ui hubiese tenido ocasión de e1lo. plles me senté en rni asienttr ¡ continué una conversación previa. pero estaba completamente seguro. A mi retorno a Caen lo comprobé concienzudamente, por pundonor.
\ {.i atene ión se dirigió luego al c:tudio de ulgunas cLresliolV á nes aritntéticas que no piirecían tener ninguna relación con mis investigaciones precedentes. No obtuve muchos resultados. Molesto por mi fracaso. me ntarché unos días a 1a costa para distraerme. Una mañana. mientras caminaba por los acantilados, se me ocurrió Ia idea de que las transformaciones uritrnéticas de fórmulas cuadráticas ternarias indeterminadas eran idénticas a las de la geometría no euclídea. El hecho t,olr,ió a tener los rasgos de la brevedad. lo inesperado y 1a sensación de certeza inmediata. De vuelta a Caen medité sobre este resultado y extraje 1as consecuencias. El ejemplo de las fórmulas cuadráticas me mostraba que había grupos fuchsianos distintos de los correspondientes a las series hipergeométricas. Me di cuenta de que podía aplicarles la teoría de las series theta-fuchsianas y de que. en consecuencia. existían funciones fuchsianas distintas de 1as de 1as series hipergeométricas. que eran las que yo conocÍa. Como es natural, me puse a formular todas estas funciones. Las sometí a un ataque sistemático y fui doblegándolas. una tras otra. Quedaba una, sin embargo. que se resistía y cuya dominación hubiese significado 1a victoria total. Pero el único resultado inicial de mis esfuerzos fue permitirrne ver con claridad la dificultad de 1a empresa. que no era pequeña. Todo este trabajo fue completamente consciente. Llegó entonces el momento de que me fuese a Mont-Valérien. lugar donde había de reahzar mi servicio militar. Durante un tiempo. pues, mis ocupaciones fueron bastante diferentes. Un buen día, conforme andaba por la calle. se me presentó de improviso 1a solución de1 problema que me había bloqueado. No le di más vueltas inmediatamente. pero retomé 1a cuestión al licencia¡me. Disponía de todos 1os elementos y sólo me faltaba ordenarlos y encajarlos. La redacción de 1a memoril correspondiente la realicé de un tirón y sin dificultad.
Sería inútil repetir más casos parecidos; baste con este ejemplo.
Lo que resulta más sorprendente en principio es esta aparlción de una súbita iluntinación. signo inequívoco de una larga elaboración previa inconsciente. Me parece indiscutible el papel que desempeña esta elaboración inconsciente en la invención matemática, pudiendo rastreársela en otros casos menos evidentes. Suele pasar que, al trabajar en un tema difícil, 1os primeros intentos no den ningún resultado. Se toma entonces un descanso, más o menos largo. y se sienta uno de nue.,.o a trabajar. Como antes. durante 1a primera media hora sigue sin encontrarse nada y. de pronto. la idea decisiva se presenta por sí sola ante 1a mente... Hay que hacer otra observación sobre ias condiciones c1e esta elaboración inconsciente, a saber. la de qrie sólo es posible. e GneloEs M-rr¡t rÁrrcos
indudablemente sólo es f'ecunda. si va l) precedida y 2) seguida por un período de trabajo consciente. Estas inspiraciones súbitas nunca se producen (como 1o prueban los ejemplos mencionados) más que tr¿ls algunos días de esfuerzo Voluntario. cle apariencia inÍrtil. del que no se ha obtenldo nada y cuyo enfbque parece totalmente erróneo. Pero tales esfuerzc'rs no son tan estériles como uno piensa: han puesto en march¿r la rnaquinarie inconsciente, que sin ellos no se movería y no prodr-rciría nada... §-.l stos son los hechos. Veamos ahora las reflexiones
a
que nos
.§*-, obligan. EI inconsciente. o. como pref'erimos decir. el yo subliminal. desempeña r.rn importante papel en la creación maternática. según se deduce de 1o que hemos dicho. Pero suele considerarse que el yo subliminal es plrrarnente automático. Ahora bien. hemos visto que la tarea matemíitica no es meramente mecánica. que ninguna máquina. por perf'ecta que fuera. podría realizarla. No se trata sólo de aplicar reglas. de hacer el rnayor núrmero de combinaciones posible segúrn determinaclas leves
fijas. Las combinaciones así obtenidas serían extraordinariamente nuffrerosas. inútiles y enrevesadas. La r,'erdadera tarea del inventor consi ste en escoger entre estas combinaciones. eliminando las inútiles o. aún rnejor, no molestándose en hacerIas. Pero las reglas que guían esta e1ecclón son sutiles v delicadas en extremo, siendo casi irr-rposible enunciarlas con precisión: se 1as siente más que se l¿rs formula. ¿Cómo irnaginar. pues. un cedazo qire las aplique de modo rnecánico'l La primera hipótesis que se nos ocurre es clue el ¡,o subllminai no sea en modo alguno infelior al yo consciente: clue no sea totalmente aLrtomático. sino capaz de discernimiento: que tenga tacto. delicadeza: que sepa elegir. que adivine. ¿Qué digo'l Sabe adivinar mejor que el vo consciente. puesto que ecierta donde el otlo falla. En resumen, ¿no es el vo subliminal superior a1 consciente'l Ya se dan cuenta de toda 1a intportancia que tiene este asLlnto...
He de confesar que. por 1o que a rrí respecta. si 1os hechos que he relatado nos forzasen a una respuesta afirnrltir-a. me sentiría mur, incómodo. Veamos. pr-res. si su reconsider¿rción no uos perinite alguna otra explicación. Es indudable que las combinaciones que se ofrecen a la mente en esa suefte de iluminación súrbita. tras un periodo, a veces prolongado. de elaboración inconsciente. suelen ser útiles y fértiles. pareciendo sel el resultado de una primera impresión. ¿Se deduce de e1lo que e1 yo sublirninal. tras haber adir,inado con tina intuición 1a utilidad de estas combinaciones. no 1as haya elabolado n.rhs que a ellas? ¿,O quizás elaboró muchas otras que. por su falta de interés. han permanecido inconscientes'l
Q i consideratnos el a-sunto desde esta nueva perspectiva. el r.,-..! automatismo propio del yo sLrbliminal haría que se elaborasen todas las combinaciones. pero só1o 1as interesantes lograrían penetrar en el dominio de
l¿r consciencia. Lo cual sigue siendo bast¿rnte misterioso. ¿Cómo se eli,een. de entre 1os rnlles de productos de nuestra actividad inconsciente, Ios que pasarán 1a barrera I ¿.Es li.i mera evidencia 1¿t que otorga este pri\,ilegio? Es claro que no: de entre todos los estímulos aportados por nuestros sentidos. sólo los más intensos logran nuestra atención. saho que otras causas 1a dirijan hacia otros. En general. 1os t'enómenos inconscientes privile-uiados. los que pueden convertirse en conscientes. son aquellos que. directa o indirectrmente. afectan más profundamente a nLrestra sensibilidad emotiva. Quizá resulte sorprendente que se recurra a la sensibilidad ernotiva a 1a hora de dar cuenta de las dernostraciones matemáticas, clue. se pensarÍa. sóIo afectan al intelecto. Esta opinión olvida la sensación de belleza matemática. de la armonía de los números y las formas. de la elegancia geométrica. que es una verdadera sensación estética. conocida por todos los ma-
las de un gas en la teoría cinética de los gases. E,n tales circunstancias, sus impactos recíprocos podrían producir nuevas combinaciones. ¿Qué papel desempeña el trabajo inicial consciente? Clara-
temáticos auténticos. y que, en consecuencia. pertenece a la sen-
sibilidad emotiva. Ahora bien, ¿,cuáles son las entidades matemáticas a las que Ies atribuimos este carácter de belleza y de eiegancia, las que pueden producirnos tal emoción estética'l Son las que tienen sus elementos armoniosamenfe displlestos, de tal forma que la mente puede captar sin esfuerzo slr totalidad, al tierlrpo que percibe sus detalles. Tal armonía no sólo es satisf'actoria para nuestras necesidades estéticas, sino que presta ayuda a 1a mente, a la que sustenta y guía, al tiempo que, al poner ante nosotros un todo bien ordenado, nos permite intuir una iey rnatemática... Es, pues, esta sensibilidad estética especial la que tunciona como el cedazo delicado del que antes hablaba. lo que también esclarece suficientemente por qué quien no la posea no podrá ser un veldadero creador. A pesar de todo, sigue habiendo dificultades. Tenemos que el yo consciente está gravemente limitado, mientr¿ls que no conocelnos las limitaciones de1 -vo sublirninal. Esto es lo que nos permite suponer sin demasiada dificultad que haya podido elaborar en un corto espacio de tiernpo muchas n'rás con'rbinaciones diferentes que las qr-re podría hacer un ser consciente en toda una vida. Y. sin emb:rrgo. tales limitaciones eristen. No resulta verosímil que pueda elaborar todas las combinaciones posibles. cuyo nÍrmero supera 1o irnaginable: pero. por otro 1ado, ta1 cosa parece necesaria. pllesto qlle. si só1o produjese una pequeña parte de las mismas l' 1o hiciese al azar. 1a probabilidad de que estuviese entre ellas la D¿rc¡¡r¿ combrnación, Ia que deberíamos elegir. sería reducida.
mente el de poner en danza algunos de estos átomos, tras haberlos separado de la pared. Nos parece que hemos perdido el tiernpo porque los hemos rnovido de mil modos diferentes. t¡atando de juntarlos. y no hemos conseguido ningún agregado satisfactorio. Pero, t¡as esta agitación impuesta por nuestra voluntad, los átomos no se paran, sino que continúan la danza por su cuenta. Restrlta, empero. que nllestra voluntad no los eligió a7 azar. sino con un claro propósito. por lo que los átomos puestos en danza no son átomos cualesquiera. sino aquellos de los que razonablemente puede esperarse Ia solución buscada. Los impactos entre ellos. o con otros átomos inmór'iles. con los que cho-
can en sus desplazamientos. producen 1as combinaciones. Vuelvo a pedir disculpas por 1o tosco de la comparación. pero no se me ha ocurrido otra forma mejor de expresar
frecuentes y no es imprescindible que 1a actir.idad cerebral anormal venga causada por un excitante tísico. como en la circunstancia mencionada. En tales situaciones parece como si rino
presenciase su propio trabajo inconsciente. que conserva su naturaleza a pesar de haberse vuelto parcialmente perceptible por 1a consciencia sobreexcitada. Es entonces cuando captar-nos de rnodo impreciso lo que dif'erencia ambos urecauismos o. si se quiere, los métodos de trabajo de ambos ego.i. Las observaciones psicológicas así realizadas me parecen ratificar. en líneas generales, 1as opiniones aquí expuestas. Indudablemente es necesario que se ias confirme. puer sigLren siendo muy hipotéticas. Pero su interés es tanto que no me arrepiento de haberlas compartido con ustedes.
Por el cont¡ario. durante un periodo de descanso aparente y de trabajo inconsciente. algunos de ellos se separan de la pared y se ponen en mor,imiento. Salen disparados en todas las direc-
ciones de1 espacio (iba a decir de 1a habitación) que los contiene. como 1o haría. por ejen-rplo. un enjambre de mosquitos o, si se prefiere una comparrición más culta. conlo ias rnolécu-
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ISSN:
DIRECToR. ELECTTRoNIC puBLrsHlNC
Prirnc.l in Spai0
Martin Paul
po:i-
Quiero terminar con otra obsen,ación. Entre las anécdotas personales que conté al principio. hablé de una noche de excitación en la que traba.jé conira mi deseo. Casos como éste son
Puede que la explicación a esto havamos de busc¿irla en ese
SCIENTIFIC ANIERICAN
prenro.
bilidades de fbrmarse son aquellas en 1as que participa colno elemento uno al menos de 1os átomos que nuestra voluntad e1igió librernente. Ahora bien. es claro que 1o que he llamado la buena cotnbitmción se eni;ltentra entre éstas. Quizás así se mitigue el aspecto paradójico de la hipótesis original...
periodo de trabajo consciente que siempre precede a toda labor inconsciente fructífera. Permítaseme un símil tosct¡. Imaginémonos los eiementos de nuestras futuras combinaciones como algo parecido a 1os átomos -eanchudos de Epicuro. En los periodos de reposo mental. estos átomos están inmór'iles, colgados de la pared. como si dijérarnos...
INvESTIGACION Y CIENCI-{ DTRECToR cE\ERAL Francisco Gracia Guillén EDrcroNES Jo,sé I\{aría Valderas. tlirecÍor AD\'{rNfsrRACróN Pilar Bronchal. ¿lirector¿t eRoDLCCTóN M." Cruz Iglesias Capón Bernat Peso Inf¿inte C¿rrmen Lebrón Pérez sECRET\RÍA Puritlcación Mayoral Martínez ¡orn Prensa Científica. S. A. Muntaner, 339 pral. 1.4 0801 1 Barcelona (ESPANA) Teléfi¡no (93).+11 33 4.1 - Telefar (93).11.1 5.1 li
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hlpr.i. .r
Esp¿¡a
Teues
1
L**rcmrd* de Pisa Ettore Picutti
Lu {tctu¡"u de s¡¡ Libro dei quadrati cott{irmu t., .,.,,-,.^-^;Á,, ..\ tu,^ utl{ltrlttruLtu .1",t md,t gruttde Íu Lt)r ¡f LLruf{ ^,.:".:,,^t:.t,..1 utt J
l.t
de {os ¡natem{tticos wedieve$es, .,,,,,.,.,:5," t,,,,.1-i/,,. ,,^* {t.,1 ,.,,,,"1-,.rr. tl(rtrlt/t( 4g FibOlUtt,t,i Ittrr
E as re'laciones comelciales con el § , Oriente. iniciadas ¡ a antes del .3-*J ano 1000 por' )as republicas marítimas italianas. y, después de aquella fecha, la penetración en territorios de cultura árabe por los normandos de Sicilia, por la Reconquista española y por 1os cruzados, posibili-
taron
e1
renacimiento de la cultura
europea del siglo xII, cultura que resurgía con una impronta greco-árabe, filosófico-científica, 1- a 1a que se
superpondría un siglo más tarde la
impronta literaria Iatina.
Primordial ingrediente de aquel renacimiento fue el entusiasmo con que los estudiosos laicos y eclesiásticos de todas las partes de Europa se
dedicaron a buscar documentos de Ia antigüedad griega traducidos al árabe
y también obras árabes originales, entusiasmo de1 que dan una idea las tradiciones sobre el viaje de Gerberto de Aurillac a la España musulmana y sobre Ia conversión de Adelardo de Bath al islamismo por amor al saber, y que atestigua Ia presencia de itaIianos, ingleses, franceses
¡,
alemanes
;:-i i'Ia:¡l- t;;i"i.I f1't estudió ingeniería en el Politécnico de Nlilán y ha trabajado en cargos directivos de empresas químicas. Como historiador de la ciencia y de 1a matemática ha impartido ciclos de conferencias y ha publicado una Storia del nutnero (1976). así como dir.ersos estudios sobre la matemática medieval. Basándose en dos ma-
nuscritos de1 siglo xtt compuestos por
el l,Iaestro Benedetto da Firenze. ha ller.ado a cabo la edición en lengua vu1gar, interpretada ¡, comentad a, del Li,bro d.eí quadrafi de Leonardo de Pisa ¡r de medio centenar de problemas de análisis indeterminado, que han puesto de manifiesto la notable aportación de los maestros de la escuela toscana a ta1 disciplina. Además, ha establecido reglas de formación de las familias de los números congruo-congruentes.
entre los traductores del árabe de la escuela de Toledo. La matemática inició un vigoroso desarrollo con la traducción a1 latín deTos Elemenlos de Euclides (Adelardo de Bath y Gerardo de Cremona), de las obras de aritmética ¡r álgebra escritas a comienzos del s. rx por el persa al-Khuwariz (Adelardo de Bath, Roberto de Chester), del De mensura circuli de Arquímedes (Gerardo de Cremona, Platón de Tívoli), del. Liber trium fratrum de geometría grecoárabe del s. IX (Gerardo de Cremona). Renacía con un aspecto nuevo, casi antigriega en su espíritu. no siendo ya fin en sí misma y disfrute espiritual para el otium del filósofo, sino deliberadamente práctica, cual la exigÍan los nuevos tiempos. En este ambiente intelectual utilitario de finales del siglo xtI se formó matemáticamente Leonardo de Pisa. uno de los hijos de Bonaccio. Era la época de las hazañas de Saiadino y de Ricardo Corazón de León: mientras resonaba aún el eco de aquellas gestas, los mercaderes pisanos, genoveses y venecianos expandÍan su comercio por los puertos del Mediterráneo 5, del Mar Negro.
Leonardo nació en torno
al
1170;
era, pues, coetáneo de Santo Domingo
y unos diez años mayor que San Francisco. En el prefacio de su primera obra, el Liber oóacl, escrita en 1202, nos informa un poco sobre los comienzos de su carrera como matemático. Cuando aún era un chiquillo, su padre, que estaba a1 frente de la ofi-
cina de aduanas establecida por
1a
Ordo Mercatorum de Pisa en Bugía, Argelia, le llamó a su lado y le hizo seguir un breve curso sobre el cálculo posicional hindú, cuyas ventajas no podían ocultársele a un experto. Así empezó a aficionarse a Ia matemática; aprovechó luego sus frecuentes viajes de trabajo, hechos siempre por cuenta
L
de los mercaderes de Pisa. para conocer a los matemáticos de Ios paÍses que
visitaba-Egipto, Siria, Provenza. SiciIia, Grecia- trabando con e1los discusiones y certámene s (dispLttationis
didici conflictum), y para estudiar a fondo los Elementos, que en adelante tuvo siempre por modelo de rigor 1ógico y de estilo.
Así nació, entre contratos 1'reviir y venir de las galeras pisanas, elLiber abaci, primer e insuperado modelo de siones de cuentas y entre el
"summa" matemática medievai. en el que, según Io declara expresamente, quiso e1 autor poner todo cuanto sabía de aritmética y de álgebra "a disposición de la gens latina, de manera que fuese bien poco 1o que de ta1 temática pudiese quedar fuera del Iibro".
Ti'll la'
trtulo es desacertado. según opinu Carl Bover en su Historia de
la matem(itic¿, ácordándose quizá de que, para griegos y romanos y para los "maestros de ábaco" de los siglos anteriores al xII, eI ábaco, ya fuese de bo1as o de fichas, era un instrumento de cá1culo. Leonardo, en cambio, reserva Ia denominación de rÍóoco para desig-
nar, en general, la aritmética-álgebra aplicada; éste era ciertamente el significado que en su tiempo se daba al término y el que se 1e siguió dando en
ltalia hasta bien entrado el s. xt'tu. Trátase de una obra colosal i459 páginas tiene la edición en 4.o hecha por Boncompagni), en 1a que se presentan las nouem figura de los hindúes y el signum 0 (.quod arabice zephírum appellatur), Ias operaciones con ellos en enteros y en fracciones, las pruebas por 7 , I , ll, 13 y el criterio de divisibilidad por 9. las aplicaciones para determinar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo; a conti-
nuación se dan, acompañadas de muchos problemas, reglas sobre compraventas, permutas, sociedades, T¡lres
1
leyes y cambios con las más diversas monedas entonces en curso, propor-
ciones, regla de tres simple y compuesta, y otras cosas por el estilo. Se dedican capítulos indepedientes a la regla elchataym (o regula falsi, de la doble posición para solucionar ecuaciones de primer grado) y a las cuestiones aliebre et almucabale, relativas a
la solución, discusión y aplicación de
las ecuaciones de segundo grado. A base del Liber abaci se formaron los maestros y discípulos de la escuela
toscana durante más de tres siglos, hasta Pacioli; en él se había procurado y conseguido el equilibrio entre la teoría y la práctica ("he demostrado con pruebas ciertas casi todo lo que he
tratado"). No era, ni es, una obra fácil, y Leonardo de Pisa aconsejaba al lector que se ejercitase continuamente en las aplicaciones hasta que memoria y razonamiento, manos y números, actua-
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sen de consuno espontáneamente ("quasi uno impulsu et anelitu in uno
et eodem instanti circa idem per omnia naturaliter consonent"). Este
anhelo de perfección hará de Leonardo un matemático excepcional entre los contemporáneos y sus sucesores, que conservarán un recuerdo reverente del maestro. En el siglo XIV comentaba Antonio de'Mazzinghi: "O L.p. di quanta scien-
tia fusti, quando desti principio
a1l'Italia ad aver lume della praticha d'arismetricha!" l"¡Oh Leonardo pisano, cuán sabio fuiste introduciendo en Italia la luz de la práctica aritmética!"] (del Códice Ottoboniano 3307 de la Biblioteca Vaticana).
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1. MINIATURA DEL PRIMER FOLIO del Cód. Urb. Lat. 292 de la Biblioteca Apostólica Vaticana. Basándose en este códice, editó Baldassarre Boncompagni en el siglo pasado la Pratico geometrie de Leonardo de Pisa. Bajo la miniada R capital se quiso representar al autor en el acto de presentar su obra.
Maestro Benedetto da Firenze Ie
Consideremos que Leonardo dejó el asunto a Viéte y a Stévin, que aparecerían unos cuatro siglos después, y
traducirá, citará repetidamente sus
procedió a su manera; así, teniendo
obras y recordará su figura: "Digo que L.p. fue hombre sutilísimo en todas las
que sacar trtayezlaraíz cuadrada de 7234, añadíó quatuor zephira, calcttló
inglesa perderá sus posesiones
disputas y, según consta, fue el primero que en la Toscana supo aclarar esta práctica, que andaba perdida por muchos caminos extraños." Y añade: "El tratado de los números cuadrados es Ia [sic] [¿parte?J más difícil... Y no
la raíz (aproximada) de 72340000,
la Carta Magna. San Francisco hablaba a las ar.ecillas 1,-al Sol. a la Luna y a las estrellas. astros que los filósofos estaban procurando encajar en e1
¡{
la,
mediados del siguiente siglo el
he hallado a nadie que la trate con mayor profundidad que L.p." (Del Códice L.IV.21 de la Biblioteca municipal de Siena).
Boyer encontrará la lectura del Liber abaci"no muy apasionante para el lector moderno", reprochará a su autor el haber empleado la complicada forma de expresión algebraica que era usual en su época y les echará en cara, tanto a él como a los matemáticos de todo un milenio, el no haber aplicado las fracciones decimales. GneNor,s MerBuÁrrcos
a
saber, 8505, y luego volvió a pasar los decimales a la fracción r.otmal, l/20, obteniendo como resultado 85 1/20. De 7202 a 7220 Leonardo no escribió ninguna otra obra. Fue aquél un periodo lleno de acontecimientos históricos y culturales para la formación
de 1a civilización europea. Los excomulgados de la Cuarta Cruzadafundaban el imperio latino de Oriente, y nuevos textos, esta vez griegos, iban pasando a Europa; otros cruzados no excomulgados destruían la Provenza, degollando a sus habitantes mientras pedían a Dios que se encargase de reconocer las almas de los no heréticos. En París se prohibía bajo pena de
excomunión la lectura pública o pri-
vada de las obras científicas de Aristóteles. El año 1212 se dio por fin al traste con e1 poder de los almohades en España; dos años después la corona de Francia y se verá obiigada a conceder
monstruoso mecanismo cósmico de Aristóteles.
Tl\n el horizonte de la historia y de Ia' la cultura europeas se perliiaba por entonces 1a figura de Federico de Suabia, "stupor mundi", con su Corte de notarios y protonotarios indígenas y de "magistri" y "philosophi" de todas 1as naciones.
Leonardo de Pisa habría quizás iniciado y concluido conelLiber aóocl su actividad de matemático, de no ser por
la intervención de uno de los filósofos de Ia Corte de Federico. e1 Maestro
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decir que no lo haya conseguido. Se basa en los Elementos de Euclides (y en su hoy perdido \lbyo De la diuisión de las figuras), pero aigunas
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como para los prácticos. Y no se puede
Celentis
2. CARACTERES EMPLEADOS por los "maestros de ábaco". Leonardo de Pisa di. vulgó las cifras indias y su uso, pero desde el siglo X los "maestros de ábaco', usaban, para calcular sot¡re sus tablillas, unas fichas en las que se había marcado signos análogos a las cifras indias. Aquellos maestros indicaban tales signos con términos de probable origen áratre, pero les atribuían un origen pitagórico.
Domenico. al que nuestro autor iiamaba amigo ¡r que efectivamente se comportó como tal. va animándole a componel su segunda "summa". la Praticct geometrie iPractica geometria, en 1a edición de Boncompagni).
edición de Boncompagni. La Pratica geometrie es ciertamente menos original y variad a que el Liber cLbaci. pero se presenta. no obstante. como un corpus de excepcional valor didáctico, inclusive para el grado superior de una
ya interesándose por presentarle.
moderna escueia media. Propósito
algunos años después. a1 emperador. En el año 1220 quedó completa 1a obra, que consta de223 páginas en la
declarado del autor es ofrecer vrrperfectttnt docuntentum, que vaiga tanto para
1os
apasionados
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partes están tomadas de Arquímedes, de Herón, de Ptolomeo, de Savasorda (el judío español bar Hiyyia, "sahib al surta", o sea, capitán de Ia guardia,
autor del Liber Embadorum. traducido dei hebreo a1 latín por Platón de Tívoli a comienzos del s. xII), y otras de los "Tres hermanos". Sus fuentes son, por tanto, esencialmente griegas (ni podía ser de otro modo tratándose de geometría); pero, por su enfoque práctico v por 1a búsqueda de soluciones alternativas, su espíritu no es ciertamente griego.
p n cuanto al contenido. puede deI-¿l cirse. para abreviar. que en é'l se explica y se aplica 1a parte sustancial de los Eleme¿los, incluidos los libros xIV y xV, una vez expuestas previamente las nociones algébricas necesarias para resolver Ios problemas. Se encuentran allí demostrados de varios modos el teorema de Herón 1- el de Ptolomeo, y expresado "con números pequenos" el valor de n.
La extensa y preciosa Distinctio quartavetsa sobre ia subdivisión de las figuras. Para Ia valoración de las superficies de los campos se exponen también allí el uso de ia arquipéndola y el de un cuadrante graduado v con lanceta móvil mediante elcuaI se pueden determinar funciones trigonométricas. La Pratica geometrie del 1220 era el homenaje indirecto del matemático pisano a Federico de Suabia, quien, al finalizar aquel año y con veintiséis de edad, ceñía 1a corona imperial ¡- Ilegaría a revelarse como el más culto ¡- organizado de los emperadores germánicos. Lo mismo qtt e el Líber abaci.Ia Pratica geometrle vino a ser documento
básico para los maestros de la escueia toscana, desde Paolo de11'Abaco hasta
Luca Pacioli, pasando por Cristofano di Gherardo y el Maestro Benedetto. Mientras se redactaba laPratica geometrie abatíase desde Oriente sobre el mundo árabe una calamidad tan enorme que, al decir de Ibn al-Athir, jamás se había visto otra igual desde Ia creación del mundo: Gengis-Khan irrumpía en el Kholvarezm y en Persia. y en dos años destruÍa para siempre siglos de cultura.
Ninguna de las numerosas obras INCIPIT d,el LIBER ABACI, siglo nr (Cód. I 72 Sup., de la Biblioteca Amtrrosiana Milán). Leonardo describe aquí sus comienzos como matemático y presenta las cifras indias. Comparado con el inicio del Cód. Magliabechiano CI 2616, de Florencia, del que Boncompagni sacó su edición, falta la dedicatoria a Miguel Escoto para
3.
de
la segunda redacción de 1228. 8
compuestas a 1o largo de tres siglos por los matemáticos toscanos tuvo el honor de ser impresa durante el periodo renacentista; el recuerdo de una actividad excepcional y única en Europa TEr\,tAS
1
se desvaneció o permaneció sepultado en el fondo de las bibliotecas. Quedó todo confiado a Io que pudiera infor-
traarla Summct de Arithmetica geome-
tria. Proportiorui et proporcionalitd d,e fray Luca Pacioli, impresa en Venecia en 1494 y reimpresa en 1523 "in Toscolano su la riva del Benacense et unicarpionista Laco", por las prensas de Paganino de'Paganini de Brescia. co
Pacioli presentaba así su obra: "Y estas cosas, con todas las siguientes, serán según los antiguos... y de nues-
tros modernos Isegún] Leonardo Pisano, Giordano, Biagio da Parma, Giovan Sacrobosco y Prosdocimo Padoano, de los cuales mayormente saco el presente volumen." Ala Summct quedaba confiado en
cambio. fraccionario; c) presentaba una tabla de parejas (.C, \1 enteras, aconsejando que se buscase en ella el C dado o un múltiplo cuadrático del mismo C N2; en este segundo caso se habría obtenido 1a solución fraccionaria y2 = t2 lN'. Ponía ejemplos para C = 6 y C = 30; d) advertía la insuficiencia de unas tablas semejantes para muchos valores de C y la necesidad de recurrir entonces a "reglas extraordinarias" para llegar a la solución. Daba un esbozo de tales reglas para C = 7, obteniendo 3,2 = 7 + 127 691L4400. Daba só1o las soluciones y2 - 1,1, + 971744 para C = 5, e )'2 = 13 + 164568 247137 5584400
para C =
13.
suma de dos cuadrados. escribía así fray Luca: "...jamás falla esta regla. De dónde proceda la cual lo demuestra por medio de figuras geométricas Leo. Pi. en el tratado que hace acerca
de las
matemáticas don Pietro Cossali
quien, dándose cuenta de Ia impor-
aquella frase suya según Ia cual, de Leonardo
Pisa sobre los números cuadrados. Resultando vanas sus pesquisas, se
ld.
pe§á a tfdos 1o.
de descomponer un número en la
ingeniero, matemático e historiador tancia del asunto, se puso a buscar el perdido manuscrito de Leonardo de
1o
Pisa. Dando la solución del problema
medieval, los posteriores de Genocchi, Woepcke, Collins, Lucas y la utilización de las computadoras de la época moderna, ni siquiera se ha explorado por completo el limitado campo para C menor de mil. Durante tres siglos nadie dio especial importancia a los citados pasajes de la Summa; los términos mismos 'congruo-congruente' desaparecieron del léxico matemático. Fue un parmesano de adopción, el
significado de
¡/-\uedaba así claro
particular
el recuerdo de una obra, por demás desconocida. de Leonardo de
Mazzinghi, de Giovanni di Bartolo y del Maestro Benedetto en la época
e1
".frr"iro.del problema Pisano, las soluciones del congruo "se conviene en que hay que buscarlas a tientas (o por tanteos)". Añadamos que, a pesar de todos los esfuerzos de Leonardo, de Antonio de'
atrevió a intentar la reconstrucción de la obra, ateniéndose a los datos de Pacioli, y publicó el fruto de su intento en una cincuentena de páginas de su l1bro
Origini
e
trasporto in ltdlia dell'
de Ios números cuadrados".
I Pacioli parecia habelle inLelela, sado especial mente esta obra de Leonardo de Pisa, pues insistía sobre todo en un problema considerado en ella: "Hállame un númelo cuadrado que, sustraída de é1 cierta cantidad. siga siendo cuadrado, y' añadiéndosele la misma cantidad aún sea cuadrado. Y demandas semejantes a ésta. Las cuales son difrcilísimas en cuanto a Ia
demostración de la práctica. como Io sabe quien las haya escudriñado bien.
Máxime Leonardo Pisano en un par-
ticular tratado suyo intitulado De quadratis numeris. Donde con gran esfuerzo se ingenia en dar nolma y regla a semejantes soluciones. Sin embargo. linalmente no sirven en general para todas, y así se conviene en dedicarse a buscarlas por tanteos... Hoc opus, hic labor est."
Tal problema se puede traducir algebraicamente en la doble ecuación: I -L =ár2
y2+C=22.
siendo, según la terminología de Pacioli (retomada después por Galigai, Tartaglia y Cardano), C el número congruente eY2 eI cuadrado congruo. Pacioli dedicaba al problema una de-
_:- 4 3-az ?.--.2
cena de páginas, y concretando: a) daba
Ias resolventes C = 4ab (b
- a)(b
+ a),
Y = b2+a2, siendo (o, ó) dos números enteros; b) indicaba que C era siempre el número dado y debía ser entero; el cuadrado congruo podía resultar, en Gnexo¡s M.cr
Er,r
i'rcos
4. PROBABLE BUSTO DEL EMPER"ADOR FEDERICO II, conservado en el museo de Barletta. En realidad, su figura no debía de tener líneas tan clásicas. Los árak¡es que le conocieron durante la cruzada de L228-1229 apreciaron mucho sus cualidades, pero no quedaron tan bien impresionados por su aspecto. Sibt ibn al-Jawzi de-
cía que, "como esclavo, no hutriesen dado por él doscientos dirham".
en Europa entre Leonardo Pisano, PaoIo dell'Abaco y Prosdocimo de Beldomandis, que vivieron en el intervalo de más de dos siglos. El mayor acierto del libro de Cossali está, con todo, en su defensa a priori de Leonardo contra quien se atreviese (era un presagio) a acusarle de haber tomado de Diofanto en Alejan-queIa Arítmétidría, en el s. II, compuso ca-la única obra de aná1isis indeterminado de 1a que partiría. con Fermat, Ia matemática moderna. La ocurrencia
Ie vino de Xilander,
primer traductor
del griego delaAritmética. en 1575. el cual, enterado de "que un cierto Leo-
nardo de Pisa habÍa escrito un libro sobre los números cuadrados". comentó: "non dubito quin ex nostro transtulerit Diophanto" ["no dudo que 1o haya trasladado de nuestro Diofanto"l.
Tras despachar brevemente al incautoXilander, le asaltó a Cossali Ia duda de si Leonardo habría conocido 1a obra de Abul Wafa, matemático persa del que sabía que había escrito en el s. x unos comentarios y unas demostraciones (y a demostraciones geométricas de Leonardo había aludido Pacioli) de 1as proposiciones de Diofanto. Expresada la improbabilidad de que tal obra, poco conocida por Ios mismos árabes, fuese en cambio conocida por el matemático pisano, pasaba no obstante a hacer una confrontación directa de las soluciones dadas por Diofanto y las dadas por Leonardo a algrrnos pro-
blemas comunes, y concluía: "¿Cómo vamos a creer que Leonardo. frecuentando Ia obra de Diofanto. no hubiese aprendido Ios artificios de Diofanto?... ¿Cómo se nos va a hacer creer que
teniendo ante sus oios 1a referida cuestión de Diofanto. ante la ilimitada amplitud de Ia misma. se hubiese la edición tusculana de la SUMMA de Luca Pacioli, i¡rücando el contenido de Ia obra. Salta ya a la vista lo estrambótico del autor, que en el curso del tratado matemático insertaba comentarios de diversa naturaleza, terminología y foa' ses latinas, resultando así una obra sui generis, animada de un pintoresco desorden que, tal vez con demasiada severidad, le reprocharon al autor Tartaglia y Cossali. 5, FROI\TTISPICIO de
algebra. Storia critica di nuoue disquisizioni analitíche e metafisiche aticchíta,edttado en Parma en 1793. Digamos ante todo que tal reconstrucción só1o puede ser considerada hoy como una curiosidad histórica, incluido su intento de llegar, basándose en las teorías de Euler y de Lagrange, a Ia solución "directa" del problema congruo-congruente, o sea, sin tener que proceder por tanteos. Pero 1o que impresiona de Cossali es su intuición, io muy precisamente que
enmarca 1a figura y eI carácter
de
Leonardo de Pisa, la certeza que adquiere leyendo el Líber abaci de q:ue 10
su autor fue, indiscutiblemente, uno de ios grandes de 1a matemática. En virtud de ta1 certeza acusaba de descuido, y no sin razón, a Montucla, que era en su tiempo e1 principai historiador de la matemática: "...no dice después ni una palabra acerca del Iibro de Leonardo sobre los números cuadrados... con 1o que se Ie ha quitado un ramo a Ia guirnalda de gloria que se Ie debe, reclamando la verdad que se Ie reconozca como al primer maestro de estas regiones del análisis determinado y del indeterminado igualmente". Montucla, recuérdese, distribuía el mérito de 1a introducción del álgebra
limitado en la propuesta
)- en el desenlace? Yo me resisto, por tanto. a pensar
que Leonardo haya conocido
1a
obra de
Diofanto y haya tomado cosas de é1."
Tll la
binomio Diofanto-Leonardo apa,ecerá despues a menudo entre Ios historiadores )¡ entre ios estudioI
pregunten por las "fuentes" de Fibonacci; pero la evidente diversidad de Ios procedimientos seguidos por 1os dos matemáticos para resolr,er sos que se
problemas afines ¡. Ia comparación
1a "ilimitada amplitud" de los procedimientos del matemático griego y la genial, si se quiere, pero limitada en sus planteamientos. del matemático toscano, confirman 1a originalidad y Ia plena lndependencia del de Pisa con respecto a Diofanto. Si el dar con el Libro sui numeri
entre
quadrati hubiese sido digno premio TE\,IAS
1
para Cossali, no fue ciertamente un
bién a Leonardo alsunos
mal para la ciencia el que tal premio le
unodeloscualesrequería lasolución una ecuación a" era sobre eI congruo: "H"allar'rin
tocase después al príncipe Baldassarre Boncompagni, doctísimo e infatigable investigador y mecenas. En el Códice E.75 P.sup. de la Biblioteca Ambrosiana de Milán encontró él a comienzos del año 1853 no sólo el original latino del Liber quadratorum,
nr9bl91a¡, trt I nümefo Congnt de ' - ül
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tal que,,va añadién; t6 9. cile rcüu¿ e EDllil. r 2 o. dole ya quitándole 5, dé ¡E siemore ürEr'PrE un urr l) ' .. ztt'Ghere6u¿gcpng' 2ró' 4? cuadrado". 24o¡ 5 3 z 9§. che recue t oJllo. delarios e1',1 cl2e reccite c G)nrr. 18.4. 9l::l:.'""",'6o l sino también los del Flos y de la I habrtuales en Ia época y compla- ^4oo. : Lettera a Maestro Teodoro, escritos cíanaFederi.orr;po".o"p"Jit¿,il;;;;- /? 6 z t'cae rcÚuc c orní' i ,6 ' cuya existencia ni siquiera se sospe- do estaba acostumbrado a ellos desde g Cgfi feg][g C OCn.¡. 6 oo. chaba. Los publicó al año siguiente, y Eo eie, che recc¿re e @r0. .{S o. f:::*=*l: en :L:,"*":.91:Y^"ll entre 1857 y 1862 dio a la imprenta (seguramenre seguroa, pues no es la edición completa de las obras de difícit dehallar) tr rolo.ir,'¿u ;;; 9:' S4r, CI?e fetcUg e @nC, 8-+o. Leonardo de Pisa. brema sobre el congruo: el c""&.1191T- ¡ oyg o o.che recgue g úllg. S6 4. Se hicieron entonces patentes Ia ori*$"J:i}il''j e6 o, ginalidad del matemático pisano y el i"''"1X1"'"i;:"Jli!3"1!; r rú. r t t 6,chere .e mero cuadrado
T'l-
*
alto nivel de su aportación a la matemática, muy superior a cuanto se traslucía de la Summa y a cuanto eI propio Cossali había podido imaginar. "He tenido que ir, con fatiga ciertamente mayor que la que me hubiese causado
el original, entresacando las doctrinas de Leonardo de la colada -para decirlo con Aníbal Caro- en que las mezclóLtca", había dicho el padre teatino. Pero se engañaba en esto, ya que toda una serie de notables estudiosos, como el mismo Boncompagni, Genocchi, Woepcke, Terquem y Lebesgue, tuvieron que trabajar mucho y a fondo para entender bien los Opúsculos (así los llamó Boncompagni), el contenido de los cuales es bastante más complejo que el de las dos obras mayores. El mundo científico se llenó de sorpresa y admiración: "No se imaginaba Terquem- que un geómetra -escribía del siglo xrr hubiese superado hasta tal punto a Diofanto y a los árabes como para no ser superado más que en el xvII con Fermat."
En el prefacio de sus Opúsculos, Leonardo explicaba las vicisitudes por las que llegó a aventurarse en el campo del análisis indeterminado. En sujuventud había visto a su ciudad expandirse aI otro lado del Arno y ceñirse de murallas, había visto completar el Duomo con las broncíneas puertas de Bonanno y cómo surgía inclinada la famosa torre y se construía el baptisterio de Diotisalvi. Cuando, allá por el afro 1223, se estaban acabando las
obras del Campo dei Miracoli y a
Leonardo la ciudad, fortalecida con el apoyo imperial, le parecía estar en el culmen de su poder, Federico II pasó por Pisa y en el palacio imperial nues-
tro matemático le fue presentado al monarca por el Maestro Domenico. En presencia del emperador mantuvo discusiones matemáticas con el Maestro Giovanni da Palermo, otro filósofo de la corte. Este le propuso tamGne¡oes MATEMÁTICos
Do.
gradotardaríamás,abuenseguro, en I 23 I 2 2 t. dar respuesta, puesto,ey" prT3 d," I u . I, f 2. mostrar su insolubilidad mediante io r4? 16 oo' magnitudes eocli¿eas*lld";;t*";
Che.f.g.d. Chg.f.e.d. r cl?e'r'C'd' irracionaleshubodeestudiarafondo It9 f6Ef.C[2e.f.e.d. f'ffiffiñTíil;",?'#i::;'¿:#"!,:"i 16? zo2 r' che'r'e'{'
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i"":ftÍi:?i",:11#i
2
Aunque, según las crónicas de Fe- Z2? 1164,CF¿C.| .e,C, ))6O, dericoII,éstesólopasóporPisaeniu- r r g r t 7 7 sOO. .;he.f.e.d. 14t6. 1io d,e 7226, como el Liber quad,ratorurrt .. chc.r.e.d.. r i 2o. t225, esrá darado en ffiríá:Á z-a': cuenta esta fecha y eI tiempo que- de- 2 t" 4.21 t,CI?.f.f.d.pítt n'. 2 o | 6
)l2Í.
'i;
biódedurarracomposició:*-3^:1":: *b. )rooo.'E * q6, E- 1os6. puede concluirse que la entrevista -"-- se -produjo en torrio al ano 1;;i. 26? 46 24. C[?e.f.e.d. i S4u. UmbertoForticreeque,dadalapron- Z7? goo,C[g.f.g.d. 47Oq.
l':il#H Hi,:':T:,T#,Til1";""il r'sr ií 2r. che.r.e.d. r'¡8o. ecuacióndetercergrádo,el"torneo"d." 29? r176,C[¡g.f.g.d. ))6O, Pisaestaría"alsotrucado":.1",11"!_:: r jo2q. ¿ - "-i6 5. c[¡?.r.e.d, nardo no dice que tuviese que dar res- 1oÍ
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puesta inmediata a ninguno de
problemas.
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Or'rlll. tloo.
. \ ll 6 oE4. c[e.f .e.d. 4) z o, .J:H#Í:Tff"XxIil:',T""fl8H:: izi e qo.che.r.e.d. 6 t^14. ticaseometrie,L"o"urdJr;;;;;;;I"id" ))? 67 21.the,Í,e.d,. - z 8So. un problema de análisis indeter.miI8.4 ) !7 zz l.CD.f.g.d.píUn'.2 'É.6ooo,
fha- 'É's sqq, Cbg.f.g.d.E.6e1e l6o,
;:*Jffi:ñi1,1".:',xi:"J::,;:l
écuación y2 + 5 =e2. No se puede blar de añadidura p".T1'.r^19:^":^::-
\S?ZSeg. Z qu r. cfte.r.e.d. 6 2 qo, 7 - :-'^ pista, pues el latín y la técnica reso- )16? F r iutoria (la misma.on q'.r" enelLiber 37: ó Ioo'Ct?e'f'g'd' 7776' lEl E: E r. c[2e.r.e.d. t 8Eo.
i q9 go ¡ t' che'r'?"'{' 8661' r"ñ Acf g4og. CDg.f.e.d. g l6 O.
6. rABLA DE congruo-con'AREJAS sruente que aparece -""s"i d.l
"r
j#fr: { r I r o o o o. cf). r.
t r_7 6i q á o e. Io, 84, r - lIo2 t. Chg.f,g.fl. tar que el decimotercer eongruo es 1521. 42? F r (1s;e, 2 Faltatambiéntapareja 840). 41: I f oO. Cne.f.e.q. II6 16.
á:''rt'"f.Tf;1,1¿:*:l'Íj,t:
e.
ysBcongruenres.Genocchiharrecño:ro-
11
2
un cuadrado). Aplicando un teorema de los Elementos, llega a obtener el equivalente de la conocida igualdad alge-
braica b2 - d2)2 + Qab)2 = (b2+ a2)2. Pero también se vale de un procedimiento original suyo (basado en la propiedad que tienen los cuadrados de ser suma de los nones sucesivos a pardel 1); como mejor podemos verlo es mediante un ejemplo puesto por é1. E1íjase un número cuadrado cual-
tir
quiera, por ejemplo el 81; es divisible por 3 y,', por 1o tanto. es la suma de tles nones o impares. 25,27 -v 29, dos de ellos situados en torno al27 = 81/3. Los otros dos números cuadrados serán e1 144. suma de los nones que van del 1 ai 23 (este último. el impar que precede a1 25r.1' el225. suma de los nones que van del 1 al 29 (este último, el mayor de los nones en que descompusimos el 81).
*a
Análogamente ocurre si el cuadrado elegido es par. Leonardo sigue aquí el mismo procedimiento que había adop-
tado pala e1 ploblema indeterminado en su Prallco geometríe.
*
,rt
**."'
f)asa despues Leonaldo a demosI n'arque ob'b -a"b-a r.5j r¿. f
r
son anlbos pares o ambos impares. es nrúltiplo de 24. y 1o mismo 4ab (b - a') rá - a r. si ta. ó ) son uno par v otro impar. Primelo demuestra que son múltiplos de 8 ¡'1uego de 3. Esta segunda parte
es mur intelesante y original (e1 procedimiento 1o retomará ¡, ampliará Euler en su Algebra.). Los números (o, á t pueden ser de tres
tipos:3É. 3k + 1,3k + 2. Si uno de 1os dos es del tipo 3ft.1a tesis está demostlada. Si ambos son del tipo 3A + 7 o de1
7, PRIMER FOLIO del Cod. E-75 P. Sup. de la Biblioteca Amtrrosiana de Milán. Le es presentado el FJos al cardenal Raniero Capocci en los sigrrientes términos: "Incipit flos Leonardi bigolli pisani...". En la quinta línea inferior retoma Leonardo la carta con que había comunicado a Federico II las soluciones a los problemas que le fueron propuestos durante su entrevista de Pisa.
quadratorun? tr atar á ternas pitagóricas y congruo-congruentes) son incon-
fundiblemente suyas. Hay que pensar, por tanto, que, visto este problema, el Maestro Giovanni quisiera probarle sometiéndolo a una segunda y más dificultosa condición, la de que fuese ademásy2 - 5 = É . De todos modos, este
problema-ya
lo hemos dicho antes- no es de difícil solución. Basta, en efecto, con tabular las diferencias entre los cuadrados 12
de los números nones menores de 50
para encontrar en ese registro las soluciones relativas a seis congruos, y, entre ellas, la del problema propuesto (uéose la figura 9). Se tiene asÍ: 412 - 720 = 372 ; (47/72)2 - 5 = (31/7D2 4tz + 720 = +g2 ; (47/12)2 + 5 = (4glt»2.
Pasando al Z iber quad.ratorum, Leonardo de Pisa resuelve en primer lugar el problema de las ternas pitagóricas (hallar dos cuadrados cuya suma sea
tipo 3lr + 2, (b - a.) es del tipo 3ft ¡, 1a tesis está demostrada. Si uno es de1 tipo 3k + 1 y e1 otro del tipo 3ft + 2, (a + bt es del tipo 3,á. 1, 1a tesis está demostrada. Leonardo de Pisa conclu¡.e: "He llamado'congruo' al número así constituido 1'que siempre es múltiplo de 24." (Nos atendremos a esta definición de Leonardo; Pacioli 1o liama. en cambio, como hemos yisto, "congt-uente"
i. Llegado a este punto. pasa Leonardo a Ia solución general del problema de1 congruo.
La característica que señala como fundamentai y decisiva del congruo consiste en "ser de dos modos diversos la suma de impares sucesivos". Volüendo a 1a ejemplifrcación numérica, para (.X, Y, Z, C) (31, 41, 49, 720), se tiene: =
312=1+3+...+59+61 472=\+3+...+79+81 492=7+3+...+95+97. De donde resulta el doble origen del
congruo 720: TsMes
i
720 = 472 720 = 492
-
-
3t2
-ffi
+ 65 + ... + 79 + 81
(diez términos) 472
=83 + 85 +... + 95 + 97
(ocho términos)
y, por ende, dos modos de expresarlo como producto de las cantidades de im-
pares que 1o constituyen por el valor medio de los mismos:
720=10x72=8x90. Serán estos cuatro elementos, las dos cantidades de impares (10 y 8 en el ejemplo) y los valores medios en torno a los cuales están distribuidos (72 y 90 en el ejemplo) los auténticos goznes operativos del tratado de Leonardo Pisano; en función de ellos expresará los lados de los cuadrados congruentes, como paso final de su investigación. Uniendo después esos goznes a los
parámetros (o, b),
se
podrán expresar,
en función de ellos, cuadrados congruentes y sus lados. Los sucesores medievales del Pisano utilizarán sólo las expresiones de (C, Y en función de (a, b) C =4ab
(b-a)(b
+a)
Y=b2 +a2.
Principal responsable de Ia iniciativa lue Guillaume Libri. quien en una nota a Ia página 19 del segundo volumen de suHistoíre des sciences mathématique
s en
ltalie
(
7838 ) Iajustifi caba
así: "Fibonacci es una contracción de
filius Bonacci, contracción de la que se hallan numerosos ejemplos en la formación de Ios apellidos de las famiIias toscanas."
J-le t-f
hecho. en las cronicas pisanas
de )os siglos xn al xlv se encuentran bastantes "de Bonaccis" y "de Bo-
nagis", pero ningún rastro de Fibonacci. Se le menciona, sí. en Ios Ricordi di ser Perizolo, del año 1510. como hizo saber Bonaini en una memoria de 1867: "Lionardo Fibonacci fue conciudadano nuestro v vir,ía por el año 1203; vio todo e1 mundo; regresado a Pisa, trajo Ios números árabes v
la aritmética y compuso con ellos un libro... "
EI apellido Fibonacci le ahorró en todo caso el uso del de Bigollo ['1lo1gazán trotamundos"l, bastante menos respetable, aunque más lega1. que el primero, ya que é1 mismo presenta así
Esta es, en síntesis y referida a un ejemplo numérico (no tomado de su obra), la teoría de los congruos, que Leonardo de Pisa desarrolla mediante
el Flos: "Incipit flos Leonardi bigollt pisani..." También por iniciativa de Libri.
complej as y rigurosas demostraciones geométricas y con distinciones de casos y subcasos (a flrn de distinguir
los conciudadanos de Leonardo de Pisa. EI manuscrito del -Elos estaba por aquel entonces sepuitado en los anaqueles de la Ambrosiana. pelo
las dos situaciones que podríamos representar como X > 0, X< 0).
fueron puestos en cuestión
¡..
acusados
Libri, remitiéndose al Elogío di Leonardo Pisano publicado por Guglielmini en 1813 y a un manuscrito encontrado en la Biblioteca Real de París, que contenía la Pratíca geometrie "...composita a Leonardo Bigoilosio fillio Bonaccij", comentaba: "En premio a los inmensos servicios que había
prestado a la ciencia se le puso el
apodo lsobriquetJ de Bigollone." Recordando luego el epíteto de "Messer Millione" dado por los venecianos a Marco Po1o, añadía: "Los pisanos han llegado a llamar gandul al padre dei álgebra moderna..." Veinte años después (cuando Leonardo de Pisa era ya famoso en todo el mundo), Terquem recargaba Ia dosis en 1os "Annali di scienze matemátiche": "Muchas veces a 1os hombres superiores los inferiores 1es tienen por tontos. Así los negociantes de Pisa,
compatriotas de Leonardo, le han puesto e1 mote de Bighelone." Contribul.ó a librar de tal acusación a los pisanos Bonaini. que encontró en e1 Archivo Estatal de Florencia un documento del l24l con e1 cual, siendo "Potestá del Comune Ugone Rossi da Palma", se asignaba un estipendio anuo de 20 liras denarias al "discreto ¡-sabio Maestro Leonardo Bigollo" por
los servicios prestados a la ciudad
como consultor. Deducíase de ello que Bigollo no era
un mote y que los pisanos se habían sentido orgullosos de la capacidad de
\Jada parecido se halla en los tra\ tamientos de Diofanto ni en los
J.
?'
de los árabes para llegar a dar con las
soluciones del problema. Por fortuna, los historiadores de la matemática han seguido llamando a nuestro autor Leonardo de Pisa, o sea, el mismo nombre con que le recuer-
N I
a_
dan todos los escritos medievales y renacentistas. En cambio, para los matemáticos es Leonardo Fibonacci y le conocen, qtizámás que por su obra, por la serie recurrente (en la que cada término es la suma de los dos que lo preceden):
añ
*&
,-.Ú
B
d=tr-a2
) (2)
(tr
-
tm
(tr
(3)
(h
(1
-
a2)
-
k)2
+ (2ab)2 = a2¡12
(tr +
A
+ lm (2ab))2 = +[m (b2
+ 4hk= (h +
k)2
+
a2)]2
Y-C=X2 (1)
Y2+C=Z
(7), 7, 2,3, 5, g, 73, 21, 34, 55, ...,
Gnaxors MArEMÁrrcos
¡2
-
i2
+44=
(2)
4A -- cuadrado cuadrado
C=4abtü-a2)
puesta por Leonardo al margen del texto del conocido "problema de los conejos" del Zlber abaci, que es más un juego que un auténtico problema. Los matemáticos modernos han señalado importantes propiedades de esta serie, la han bautizado como "serie de Fibonacc7" y llaman a sus elementos "números de Fibonacci"; pero lo cierto es que el apellido Fibonacci nunca lo tuvo en vida el matemático pisano.
gt E\ B
a2)2
x=ld-a-zabl (3)
Y=ff+a2 Z=ü-a2+2ab
8. RELAC IONES EN LOS TRIANGU LOS NUMERICOS ( a I a i zq u i e rda ). La ( 1 ) con (a, ó) uno par y el otro impar, primos entre sí, da todas y solas las ternas primitivas (d, p, i); son generales la (2), de tres parámetros, y la (3), de dos parámetros pero con h x k = c,.adrado, debida a Euclides. Disponiendo ocho triángulos numéricos iguales como se ve (¿ lo d.erecha) e indicando con A el área de cada triángul o (d., p, i), se patentiza la equivalencia entre la (1) medieval y la (2) de Diofanto. Las ecuaciones (3) de la derecha son las expresiones paramétricas de C, X, Y, Z),
l3
y complicado procedimiento "por desx2
Y2
Z2
25
49
c
(a, b)
censo infinito". ber demostrado mediante largo y com-
Por otra parte, Leonardo, tras ha-
1
24
6
tr
1,2
2,3
49
169
289
120
30
IJ
49
289
529
240
15
17
1,4
289
625
961
336
21
25
3,4
1
841
1
681
840
210
29
cE
529
1
369
2209
840
210
37
1,6
961
1
681
2401
720
5
41
4,5
L CALCULANDO LAS DIFERENCIAS entre los cuadrados de los impares menores de 50 se determinan siete ternas de cuadrados congruentes, o sea, que difieren entre sÍ por un mismo congruo C, Dividiendo luego C por los factores cuadráticos que lo constituyen, se obtienen los congtuos c a cuadrados congtuentes fraccionarios. En la última fila están los elementos necesarios para dar con las soluciones del pro' blema que se le propuso a Leonardo de Pisa. El distinguió, entre otras, las siguientes características: Y es Ia suma de dos cuadrados o2 + b2; C es siempre múltiplo de 24; 24 x h2 x Sxz, siendo §s2 suma de cuadrados de enteros sucesivos o de impares sucesivos a partir de 1, es un número congYuo (todos los C de la tabla cumplen esta condición).
su conciudadano. honrándole inclusive
con el título de "\Iagister", que enaltecía a 1os doctos de la corte imperial. lgnorando e1 documento. algunos decenios después \,loritz Cantor se
imaginaba románticas andanzas
de
Leonardo, que, con\rertido en filósofo cortesano. habría ido a Tierra Santa o, de permanecer en su patria. habría intervenido en 1a guerra civil de 1os años 1228-1229. En realidad, sabemos que, efi 1229, Federico, vuelto )'a de Palestina, inició con sus cruzados. sarracenos y excomulgados. la marcha hacia el norte, y que sus "philosophi vagantes" le siguieron: pero
entre ellos no estaba ciertamente el sesentón Leonardo, que, por otro 1ado, había hecho ya suficientes viajes.
Espléndido habían pasado ya el Oder 1' se asomaban al Adriático; sólo de milagro no fue aquello e1 comienzo del f,rn de Ia civilización europea. Según resulta de dos manuscritos
]Iaestro Benedetto da Firenze, dentro del campo de los congruos mede1
nores de 100 fueron hallados en el Medievo muchos cuadrados congruentes. La empresa era particularmente ardua, ora porque intervenían con frecuencia grandes números (el cuadrado congl'uente a 37 se determinó como 107 9 + 285 6 44223 780 46286 4l I 897779605343257 99600,
é1 precedentemente demostrada de
b(b-at=a('b+o.t. Los estudiosos de1 siglo pasado con-
cluyeron, y era lógico. que esta demostración no podía considerarse completa.
fTtomó entonces la delensa de LeoI nardo el matemático piacenrino Angelo Genocchi, preocupado ante todo por alejar del t'l{a gister subtilitatumla sospecha de no haberse percatado de
1o incompleto de su demostración. En apoyo de su tesis señalaba Genocchi que Leonardo con aquel "se mostrará" inicial (ostendetur) sin duda había querido dar a entender que Ia suya era solamente un bosquejo de demostración; aun cuando debe observarse que! para nosotros los modernos. ese bosquejo es flojo. Escribía Genocchi: "Dotado de admirable perspicacia, instruido por sus profundos estudios sobre 1a geometría
de Euclides... avezado a indagar
a
londo cada cuestión y a no aceptar sin
pruebas proposición o regla alguna como verdadera, no pudo dejar de ad-
por ejemplo), ora porque, fijado un número! no se disponía de ningún criterio
vertir que la demostración dependía
n 1228. mientras Federico partta
para decidir si sería congruo, y, por
tenÍa que ser demostrada. No es. por
se
ende, en caso negativo, acabaría siendo inútil el fatigoso trabajo de buscar su cuadrado congruente. EI único criterio de exclusión conocido hasta mediados del siglo pasado
ende. probable que o'evese que equiva1ían a una plena demostración sus antecitadas pa1abras..." En cuaiquier caso, este juicio sobre el matemático
Tl\ F' para la cruzada. Leonaido
dedicó en cambio a redactar de nuevo el Liber abcLci, indttcido una vez más por 1as insistencias de un filósofo cortesano, Miguel Escoto, e1 mago-astrólogo traductor de Aristóteies, al que
Dante gratificará con el infierno, poniéndole junto a Guido Bonatti y a su docto emperador. La última información, del año 1241,
nos muestra al "matemático gandul" ya setentón, trabajando todavía como consultor técnico de su ciudad. Luego el silencio cae definitivamente sobre é1. 1241 es también e1 año de Ia última
II v de las galeras pisanas, y señala el comienzo del fin de la república marítima toscana
victoria de Federico
lrl
de 1a casa de Suabia. Aquel año las vanguar"dias mongolas de Batú el
¡.-
plicado tratamiento geométrico que 1a proposición (ó + a) : ft - a) = ó :o no pueden cumplirse con valores racionales de ro, ó r, resulta, en efecto. ó a - I + .2 '. concluía en estos sencillos términos: "Por esto se mostrará después que ningún número cuadrado puede ser un congruo, ya que, si fuese posible, Io sería también 1a proposición: la suma de dos números es a su diferencia 1o que el max-or de ellos es al menor." Así pues. para Leonardo. 1a imposibilidad de "ab h - a )(b + o,, = cuadrado" se seguía de 1a imposibilidad por
debíase una vez más a Leonardo de Pisa: "Ningún número cuadrado puede ser un congruo."
por lo tanto. si. como hemos visto. la -f expresión del congruo Aab,b2 -ct2'
da también el cuádruplo del área de un triángulo numérico, la proposición equivalía a afirmar que el área de un triángulo numérico no puede ser un cuadrado; ésta era la proposición de 1a que Fermat había dado una conocida demostración, mediante un largo
de
una proposición auxiliar ¡,'que ésta
pisano es importante por tener quien lo ha emitido especial competencia en aná1isis indeterminado ¡ un profundo conocimiento de 1os Opúsculos, como 1o demuestra en sus Arole analitiche y por sus ampliaciones de los resultados de Leonardo. "Causa sorpresa el que deje tal propo-
sición auxiliar sin decir una palabra e ilustrarla", seguía comentando Genocchi. Yes enverdad sorprendente, aun contando con el hecho de que el Pisano no podía dar al tema la importancia que 1e dio 1a posteridad.
para probarla
TE\{AS
1
Con un procedimiento geométrico largo y complicado presentaba Leonardo en el Libro dei quad.rati las relaciones (a2 +
Ü)(é
+ d2) = (ac + bdY + @c
¡
ad.P
mostrando también cómo pueden obtenerse una tercera y una cuarta descomposiciones en suma de dos cuadrados cuando, respectivamente, uno o los dos factores del primer miembro sean cuadrados. Comentaba Terquem en 1856: "Leonardo demuestra perfectamente esta proposición que, según observa Woepcke, le pertenece. Puede que Diofanto conociese esta propiedad, pero no la ha enunciado, y la demostración, sobre todo por vía gráfica, no es fácil. El nombre de Fibonacci debe quedar ligado a este teorema." Y Loria volvía a insistir en 1929: "... en memoria de
::
quien primero lo descubrió, merecería el nombre de Teorema de Fibonacci". No era del mismo parecer Ver Eecke, quien en 1952 escribía: "Esta proposición suscita una cuestión de prioridad histórica, por cuanto enuncia en términos velados las identidades atribuidas a Lagrange."
Qobre este punto. teniendo
LJ
en cuen-
ta que el enunciado de Leonardo era en realidad clarísimo, y que en 1a época de Lagrange la proposrción
bría dado por azar con su relación pero sin deducirla, siendo ella por lo demás
bien difícil de deducir a base de ir
generalizando casos numéricos. Y así, en 1979, Roshdi Rashed ha publicado un estudio del que resulta que al-Kházin, matemático árabe del
siglo x, estudiando la proposición III-19 de Diofanto, había dado con la resolvente (añadiendo y quitando 2abcd al desarrollo del primer miembro) y después había pasado aanalizar varios casos y modos de descomposi-
había pasado a ser de dominio público (1a habían redescubierto Viéte y Bachet de Méziriac más de un siglo antes y había sido luego difundida por
ción de un número en suma de dos cuadrados. Aquél sería, por consiguiente,
Euler), parecía legítimo reivindicar la prioridad para Leonardo. A 1o sumo podía quedar alguna
problema que sólo con Fermat y con Gauss alcanzaria plena solución. En 1860-1861 publicaba Woepcke la traducción con comentario de dos
duda de si el matemático pisano ha-
...a:,:j..::...::::...'a:.,:-,:a::-:::--.,:É':ia:j..:arai=a:::,r-+-l'!t.aai;l:-aa:1j!.¡:i:..a....-'i::-:ar:::r'':::::i::.::
el inicio de un nuevo análisis de Ia naturaleza del número, a partir de un
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10. ENCUENTRO DE FEDERICO II con su adversario Malik al-Kamil, durante la cruzada que le llevó a la ocupación pactada de Jerusalén. Miniatura del Cód. Chici L VIII 286 de la Biblioteca Apostólica Vaticana. El historiador árabe Ibn
Wasil refiere que, durante la cruzada, el emperador envió a
los doctos musulmanes difíciles cuestiones filosóficas y matemáticas. Un documento publicado por Amari nos infor-
ma también sobre cuestiones enviadas a los doctos musulmanes entre los años 1230 y 124O, acerca de la creación del GnaN»Bs Marer¿Áucos
el aio L224la Universidad de Nápoles, instauró en el medio. día de Italia un auténtico régimen de vanguardia cultural.
El mismo escribió elDe arte oenandi cum aaibus, obra de cariz
netamente científico qlue alcanzí amplia difusión. También tuvo mentalidad científica suhijoManfredo, que añadió algulas notas a la obra del padre y que, al decir de Jamal ad-Din, prisionero srryo en Barletta, se sabía de memoria los Elementos de Euclides. 15
manuscritos árabes del siglo x (el autor de uno de ellos es anónimo, el del otro es al-Husein), de contenido casi idéntico. Recógese allí 1a fórmula de 1as ternas pitagóricas, para pasar luego a deducir de ellas las fórmulas resolventes del problema de1 congruo; son las ya dadas por Diofanto, pero los
dos autores las deducen partiendo directamente de los El.en-L,entos. El anónimo concluye con una tabla en 1a que se dan 34 valores de (a, ó), los correspondientes triángulos primitivos y 1as respectivas parejas de con-
gruo-congruente: en definitiva, con una tabla del tipo de 1as que Pacioii aconsejaba usar.
¡11 ino Lolia, profundo analista de L"onr.do de Pisa v de srL obra. sostiene en concreto que, si eI Liber quadratorur¿ se hubiese conocido
\f
antes. la moderna teoría de los núme-
ros habría recibido e1 impulso que luego ie imprimió Fermat: tras examinar Ios dos escritos árabes -l'1a primera parte del Liber qtrcrdratr.trutn (las ternas pitagóricasr. comenta: "Si parece difícil negar que a las búsquedas hasta aquí compendiadas 1e ha1'a
inducido al Pisano ei ejemplo
de
que el maestro de las subtilitcLtes "dependa" precisamente de al-Husein, el más modesto de ios dos autores árabes, que comete errores hasta en cuestiones elementales, tanto que el
mismo Woepcke 1e reprocha por sus "méprises et inadvertances". Y además, aparte de que es improbable que Leonardo conociese esos dos textos (1os
f-tuenta Ver Eecke en su prefacio \-, qr". allá por1os años veinte. reci-
gulos rectángulos, y la conclusión a que liega de que todas eilas están incluidas entre los números de1 tipo 72m + 7 y los del tipo 12m + 5. aunque no todos los números de estos tipos son hipotenusas.
bió una copia de1 Liber quadrotorum que Ie enviaba Ettore Bortolotti, pidiéndo1e que 1o tradujera. Hojeada 1a obra, \rer Eecke, que trabajaba entonces en 1a traducción de los matemáticos griegos. 1a dejó a un iado ¡' só1o volvió a ella cuando se enteró de la muerte de su amigo. pudiera haRecordemos -polque bel condicionado. al menos en parte, su toma de posición respecto al gran pisano- que \rer Eecke era ¡'a en 1952 un traductor'-comentarista de fama mundial. elogiado ¡' premiado por 1a pubiicación en francés de las obras de Ios glandes matemáticos de 1a Grecia
únicos de procedencia árabe sobre el problema de1 congruo conocidos por nosotros hasta 1979t, no se ve parecido alguno entre los tratamientos de los dos árabes ¡, el de1 pisano, ni en 1o que respecta a las ternas pitagóricas, 'los ni en 1o que respecta a congruos. NIás bien creemos digna de nota una investigación del anónimo árabe (que Ia declara propia) sobre la naturaTeza de las hipotenusas de Ios trián-
En efecto, para ser suma de dos cuadrados, un número ha de incluir entre sus factores primos al menos uno del
clásica rArquímedes. Apolonio,
tipo 4n + 7 y, además, ninguno
Su programa de acción respecto a Leonardo se delinea en seguida en la introducción. Tras declarar que su 1atín le palece afectado de ''arabismos" tel único arabismo que señalará luego será 1a expresión 'ex ductu .e. in .2.',la cual ciertamente no es un arabismo), pasa a indicar dos comentaristas árabes de Diofanto tAbul \Yafa y Kusta ben Lucas) cul-as obras habrían podido influir en Leonardo a través de escritos o lecciones de matemáticos árabes conternporáneos suyos. Sobre este fondo surge la sensaciona1 declaración de que Leonardo ha tomado de Diofanto ias soluciones deI problema que ie propuso el Maestro Giovanni: "La soiución en números fraccionarios se da sin procedimiento algébrico, partiendo de ios tres números, 31, 4l y 49.cu¡ros cuadrados están
aquéllos que sea del tipo
4z
de 7 deberá
Mohammed ibn Husein. su independencia respecto a éste se muestra aún
estar elevado a una potencia impar: pero, para llegar a esta conclusión.
menos dudosa en lo tocante a la
también habría que esperar a Fermat. El Liber quodrotorum se tradujo por primera vez a una lengua moderna en 1952, año en que el belga Paul Ver Eecke lo publicó en francés con notas; en 1974 salió a la luz la versión (no
siguiente sección del Liber qLradrato-
rum,la que trata de los números congruos." Pero aquí hay que decir. ante todo. que es muy chocante esa admisión de
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r
11. TRá.S ERIGIRELMONUMENTO ALEONARDO,Ios pisanos colocaron en el atrio del Gran Archivo la "memoria unica sinerona" descubierta por Francesco Bonaini, incisa en el mármol y precedida de una inscripción compuesta por Michele Ferrucci. "Calumnia obtrita", la lápida se descubrió el 6 de junio de 1867, con ocasión "del maravilloso espectáculo delaLuminaria trienal", eomo consta en un opúsculo conmemorativo de la época.
16
Íntegra) al inglés, con notas, del estadounidense Edward Grant; en 1980, el autor de estas líneas se cuidó de editar y comentar Ia versión italiana del siglo X\¡ contenida en el Códice Paiatino 577, de la Biblioteca Naciona1 de Florencia.
Diofanto. Pappus, Proclo. Euclides otros menores
¡,
).
en progresión aritmética de tazón 720, número congruo. Ei autor no da explicación sobre la elección de estos tres números, que no son ni arbitrarios ni intuitivos, pero está claro que los toma indirectamente de un problema que se halla en Diofanto." En una larga nota de comentario a la Prop. XIV, tras repetir 1a acusación, resuelve el enigma del adónde haya ido Leonardo a hacerse con tales soluciones: "Ce n'est pourtant pas un énigme; car nous avons trouvé qu'il em-
prunte ces nombres..."; encontró ia fuente, la Prop. III, 7 de Ia Aritmética de Diofanto, por intermedio de algún desconocido comentador árabe, ya que TEN'IAS
I
en el siglo xrII no se conocían ni el odginal griego ni sus traducciones latinas. En realidad, Leonardo de Pisa no ha
dejado a la posteridad ningún enigma
por resolver; ni hacía falta confiar tanto en él como confiara Cossali para darse cuenta de que ciertamente no pudo haber intentado engañar a Federico y a su docta corte, o de que tan burda añagaza no habría pasado inadvertida a la competencia y diligencia de un Woepcke o de un Genocchi.
/.un\\ ).\
@,'
calcular el congruo y sus congruentes. Leonardo, por su parte, habiendo mostrado ya con cuatro ejemplos numéricos cómo se debe proceder, deja al lector el dar los pasos del quinto, consistentes en ir repitiendo servilmente para (a, b) = (4,5) los pasos que él diera para deducir de (a, b) = (1, 2) los valores (C, X, Y, Z) = (24,1, 5, 7). Y de ahí habrían salido, junto al congruo, los enigmáticos (X, Y, Z) = (37, 41, 49). Llegados a este punto, no debe silenciarse que Grant, en la edición
norteamericana del Liber quadrato-
rum de 1974, acoge de hecho la tesis de Ver Eecke, al decir que: "su traducción ha sido utilísima para interpretar los pasajes difíciles y por sus provechosas notas, la mayoría de las cuales, vertidas al inglés, se han incluido aquí".
En realidad, Grant, experto en el
DEL HOMBRE MODE,RNO
7
w
dénciase por ellos que se ha visto más
a Leonardo Pisano, que cualquier múltiplo de 24 es un congruo), no puede en consecuencia extraer de la terrible y única Prop. XI sobre la teórica de los congruos eI procedimiento mediante el cual enseña allí Leonardo a
ORIGENES
a
pese a 1a seguridad que ostenta Ver I Eecke en sus comentarios, evide una vez en apuros ante el latín y la matemática medievales; como ya desde el comienzo no se le alcanzala definición de número congruo (cree, repite en varias notas, y le hace decir
'::: ):¡:):¿!i?-4. t:.
:
ANGELO GENOCCHI (Piacer¡rzal.SlT Turín 1889), matemático de fama internacional, fue desde 1857 titular de la cá12.
integral. SusNote analitiche de
era imprescindible disponer del texto
Iatino, difícil de hallar.
En efecto, la límpida frase latina "...144, in quo divide quadratos congruentes eidem 720, quorum primus est 961...", conla que Leonardo de Pisa
dice que se dividan por 744 los tres cuadrados congruentes enteros de 720 para obtener los fraccionarios de 5, aparece deformada en ambas versiones, de tal modo que en la Prop. XfV se le hace
confesar que ha sacado, o apartado, del720 (y, por tanto, que no ha calculado) los cuadrados. Por consiguiente, sin el texto latino, nadie podría objetarles nada con sensatez a dos grandes acusadores y a un gran reo confeso.
GRANDES MATEMÁTICos
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1
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LÉo¡en» or Prs¡. LE LrvRE DES NoN,TBRES C,rnnÉs. P. Ver Eecke. Ed. Blanchard. París. l9-52.
A Sounc¡ BooK rN M¡orEvlL
IL LrBRo otr Que»n,ll Dr LEoNARDo
PrsANO. E. Picutti. en Pftr'sls. O1schki. Flo-
rencia. 1979. DTopHANTtENNE Au xe SrÉcr.n:
L'ExEupl-E o'Al-KH.lzrx. R. Rashed.
en
R¿r,¡¿e
xxxlIi3. S
d'Hi.stoire ¿les
Scienc.es.
1979.
ut Nuusnl Cor-cnuo-Cor.GRUENTI
Dt
LEONARDo Prs.\NO. E,. Picutti. en P/z,r,.sis.
It, Olschki. Florencia. 1981.
r ¿ESTA EN AFRICA NUESTRO ORIGEN?, Christopher B. Stringer o
ORIGEN AFRICANO RECIENTE
DE LOS HUMANOS, Allan C. Wilson y Rebecca L. Cann o EVOLUCION MULTIRREGIONAL DE
LOS HUMANOS, Alan G. Thorne
y Milford H. o
Wolpoff
EL HOMBRE MODERNO DE ORIENTE MEDIO, Ofer Bar-Yosef
y
Bernard Vandermeersch DIENTES Y PREHISTORIA EN ASIA Y AMERICA, Christy G. Turner ll o GENES, PUEBLOS Y LENGUAS, o
Luigi Luca Cavalli-Sforza
r ORIGENES DE LAS LENGUAS o
INDOEUROPEAS, Colin Renfrew LA PROTOHISTORIA DE LAS LENGUAS INDOEUROPEAS,
Thomas V. Gamkrelidze
y V. V.
lvanov
LA DISPERSION AUSTRONESIA Y EL ORIGEN DE LAS LENGUAS, Peter Bellwood o ORIGEN DE LAS LENGUAS o
AMER ICANAS AUTOCTONAS,
Joseph H. Greenberg y Merritt Ruhlen
. CARROÑEO Y
y John A.
Scrpxcs.
bridge. l97'1.
L'ANrr-ys¡
"-.r-W ".":#
EVOLUCION J. Blumenschine Cavallo
HUMANA, Robert
E. Grant. Harvard University Press. Cam-
Debe señalarse, en fin, que en treinta años no parece que se haya opuesto
oponerse a ella de un modo sensato,
iii
I'r.& .."ffi ll¡vrfr
1855 son
una completa versión algebraica de los Opúsculos de Leonardo de Pisa, enriquecida con comentarios, cotejos críticos y ampliaciones. La imagen aquí reproducida se conserva en la Biblioteca municipal de Piacenza.
lJ
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y* §*r*" fu¡,- ** ffi-j
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Universidad de Turín. Sus aportaciones más notables versan sobre el análisis indeterminado,los principios de la geometría, el estudio de las series y el cálculo
la versión francesa y ha eliminado
nadie a la interpretación acusatoria de Ver Eecke y Grant. Claro que, para
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. ,á,¿& a;;:ffi 'ffiffirc '*"j§;,-.
tedra de análisis y geometría en la
latín y en la matemática del Medievo, ha corregido casi todos los errores de
buena parte de los comentarios incongruentes. Pero es de lamentar que, o por con-fianza enVer Eecke o por convicción propia, reproduzca íntegra y literalmente, en la Prop. XIV, la nota con que el estudioso belga acusa a Leonardo de Pisa, acusación que, al no haber incluido Grant la traducción de la pesada pero decisiva Prop. XI, se convierte en indiscutible para el lector.
Df
CIT-NCIA
EL PENSAMIENTO VI'SUAL EN LA EDAD DE HIELO, Randall White o UN CAMPAMENTO MESOLITICO EN DINAMARCA, T. Douglas Price y Erik Brinch Petersen o LOS COMIENZOS DE o
LA AGRICULTURA EN
EL NOROESTE DE EUROPA, John M. Howell o EL HOMBRE NEOLITICO Y LA MUERTE, Alain Gallay
11
René Descartes A. C. Crombie Se recvert§a so§*re trsdrs u este.fhawcés extrt¿*rc§iwarío
pe{ sbs iwvención
c§e l{¿
ge*wzetría svzalilics,
pero hizo muchísimo más. Su logro nzás notsble fue lr¿ reducción de la noturaleza a leyes matemátícas
CC --
que no se nada
I - de fÍsica si tan solo fuese ^onsiderarra .upu, de expresar como \-/
deben set: Ias cosas, pero fuese incapaz de demostrar que /?o pueden ser de otra monero. No obstante, habiendo logrado reducir 1a física a las matemáticas, la demostración es entonces posible, y pienso que puedo realizarla con el reducido alcance de mi conoci-
miento." Con estas palabras. René Descartes e1 punto de vista que 1o situa-
expresa
ría entre los principales artífices de la rer.olución científica de1 siglo xvrt. A las "formas" ¡. 1as ''cualidades" de ia
Toda la física teórica subsiguiente
ocurrir con frecuencia con ias teorías
se ha planteado como objetivo la consecución de este ideal: ser un sistema
rer.olucionarias. el legado de Descartes no fue só1o un 1ogro. sino también además una profecía ¡,'una visión. El propio Descartes se vio obligado a reconocer que su ideal matemático de 1a ciencia, puramente deductivo,
teórico singular en el cual los más mínimos detalles de las regularidades observables fuesen reducibles a
un número mÍnimo de ecuaciones fundamentales que, a su vez, pudiesen ser descritas en una sola página. Podemos afirmar que, en el siglo xvII, Blaise Pascal e Isaac Newton lograron llevar a cabo e1 programa cartesiano, que consiste en ofrecer la explicación
del mundo físico en función de su mecanismo. En este siglo hemos sido testigos de intentos de teorías universales por parte, entre otros, de Albert
fÍsica aristoté1ica. qr-re habían resultado ser un callejón sin salida, contraponía la "idea clara y fundamen-
Einstein y Werner Heisenberg. Sin embargo, en opinión de Descartes,
tal" de que el mundo físico no
sus indiscutibles primeros principios
es más que un puro mecanismo. Y, puesto que 1as 1e¡.'es últimas de la naturaleza eran las le¡'es de la mecánica, todo en
1a
naturaleza se podrÍa reducir en
última instancia
a 1a reordenación de
partículas moviéndose de acuerdo con estas 1e¡res. En geometría analítica
quizás el logro más perdurable
-
de creó una técnica que Ie
Descartes-. permitía expresar estas le¡.es mediante ecuaciones algebraicas. Y entonces propuso el programa ideal de toda ciencia teórica: construir', con e'l mrnimo numero de principios. un sistema que diese razón de todos los
hechos conocidos y que permitiese descubrir hechos nuevos.
todos tan evidentes que bas-
-casi taba entenderlos para aceptarlos-
de Descartes, afirmó a finales de su
vida que sólo podía aceptar una pequeña parte de
A. C. CROMBIE fue profesor de historia y flilosofía de la ciencia en la Universidad de Oxford. Entre sus libros se cuentan Medieual and Earll' Modern Science y Robert Grosseteste and the Origins of Etperintental Science:
1100-1700. Es autor de numerosos libros y artículos y fue el editor inicial de Briti.slt
of
18
Sci.ence.
Journal for the Philosophl'
no
constituían el fin de la investigación, sino su principio. No podemos dudar del carácter revolucionario ni de la influencia de las ideas teóricas y del programa de Descartes. La paradoja es que ésta haya sido tan profunda en personas que consideraban su enfoque esencialmente inaceptable y que rechazaban algunos de sus presupuestos fundamentales y de sus conclusiones específicas. Christiaan Huygens, el gran matemático y astrónomo holandés, cuyo padre había sido amigo íntimo física cartesiana. Pero, al mismo tiempo, reconocía que había sido la obra Los principios de 1a
filosofía lPrincipia Philosophial de Descartes lo que inicialmente había abierto sus ojos a la ciencia. Descartes, dijo, no sólo pone de manifiesto las de la filosofia de los antiguos, sino que, "en sulugar, ofrece cau-
limitaciones
sas comprensibles de todo lo que existe en la naturaleza". Como suele
había fracasado ante 1as complejidades de la naturaleza 1'1os enigmas de la materia. Este fracaso era especialmente evidente en fisiología. ei campo en el que se había ar-enturado con mayor osadía. No obstante. de su fracaso y compromiso Descartes extrajo otra contribución para e1 pensamiento científico, en muchos aspectos tanto o
más importante que e1 propio programa teórico. Forzado a recurrir a 1a experiencia y a las hipótesis. demos-
tró ser el primer gran maestro
de1
modelo hipotético. Este se ha convertido en una herramienta esencial de cualquier investigación científi ca. En sus modelos teóricos de los procesos fisiológicos, Descartes desplegó los más ingeniosos ejercicios de su genio
imaginativo y experimental.
pene Descartes nacio el 3l de marI\ ,o de 1596 en La Ha¡a. una pe-
queña y atractiva ciudad de ia Touraine, situada a orillas de1 río Creuse, en una familia de funcionarios de la
petite-noblesse: su padre era consejero del, PcLrlemen.t de Bretaña. De su madre, que murió un mes después de su nacimiento, heredo "una tos seca y
una fisonomía pálida", que mantuvo hasta 1os veinte años. Y además una fortuna que le permitió vivir con indepedencia económica. Y, como era un niño delicado, se daba por supuesto que no vir.iría mucho tiempo. Sin embargo, é1 dedicó su forzosa inactividad a satisfacer una temprana pasión por el estudio. Cuando tuvo 10 años. su padre io mandó a La Fléche, un colegio de 1os jesuitas recientemente inaugurado, en TEN{AS
I
donde permaneció ocho años y medio y en el que recibió una educación excelente que abarcaba la lógica, la filoso-
fía moral, Ia física y la metafísica, la geometría clásica y el álgebra moderna, así como una cierta familiaridad con
el recientemente descubierto telesco-
pio de Galileo. En La Fléche surgen ya, de forma precoz, Ias características principales de su mente. Unayez introducido en eI conocimiento de los clásicos, se enamoró de la poesía. Lejos de ser un "geómetra que sóIo es un geómetra" (una descripción que, de é1, haúa Pascal), Descartes escribió un ensayo de juventud, la Olympica: "En los escritos de los poetas hay sentencias más serias que en los de los filósofos. Larazón es que los poetas las escribieron moyidos por el entusiasmo y el poder de la imaginación. En cada uno de nosotros existen, cual pedernales, chispas de conocimiento ocultas. Los filósofos las manifrestan a través de la tazón; los poetas las exteriorizan por medio de Ia imaginación, y son mucho más brillantes." Una de las cualidades más llamativas de Descartes, y alavez una de las más peligrosas, fue su fluidez mental. Uno de sus compañeros de colegio describía así su habilidad en las discusiones. En primer lugar, trataba de ponerse de acuerdo con sus oponentes sobre las definiciones y acerca del significado de los principios que estaban dispuestos a aceptar, y después cons-
de Ciencias [de París], fundada más adelante en el mismo siglo. Mersenne, además, logró mantener una amplia correspondencia, de 1a que sólo se ha publicado una parte, v de esta forma fue el centro de información científica en una época en Ia que las revistas
tidos los Países Bajos. En ese período sus inteleses fueron ios que corresponden a un oficial del ejército: la balística, la acústica, la perspectiva, 1a ingeniería militar v la navegación. Un día 10 de noviembre de 1618- se -el encontró con un grupo de
científicas todavÍa no existían. Tradujo además los Dialogi. y los Dlscorsl de Galileo a1 francés. el primero en
gente arremolinada ante un cartel que se hallaba expuesto en Ia calle. Estaba escrito en flamenco y Descartes, dirigiéndose a una de 1as personas de1
1634, un año después de ia condena final de su vida. Mersenne fue el mejor amigo de Descartes, y cuando, en 1628, por decisión propia, Descartes dejó Francia para siempre, Mersenne, desde París, le mantuvo constantemente informaclo de las novedades científicas. En 1618, Descartes se alistó en el de Galileo. Hasta el
ejército del príncipe Nlaurice
de
Nassau (posteriormente príncipe de Orange) como caballero voluntario. Fue enviado a la guarnición de Breda. en Holanda, en donde en aquel momento habÍa una tregua entre las fuerzas
francoholandesas y las españolas.
bajo cu¡,o dominio se hallaban some-
grupo. ie pidió que se 1o tradujera al o al francés. El cartel era un desafío que instaba a los que lo leían a resolver e1 problema matemático que
latín
é1 se proponía. La persona a 1a que Descartes se dirigió para que se 1o tradujera era Isaac Beeckman. uno de los matemáticos más eminentes del país. Descartes resolvió el problema y presentó su solución a Beeckman, quien reconoció al instante su genio matemático ]- se propuso reavivar el interés de1 joven por los problemas mate-
en
máticos. Durante aquel invierno Beeckman ie propuso a Descartes que encontrase Ia 1ey matemática que rige
truía con ellos una argumentación deductiva singular que era muy difíde rebatir. En La Fléche adquirió, además, un hábito que perduraría durante toda su vida. Se Ie eximió de ciertas obligaciones y se le permitía quedarse en cama hasta más tarde de lo que era habitual entre sus compañeros. Así encontró la posibilidad de dedicarse más plenamente a su inclinación natural, el pensamiento concentrado y solitario.
cil
cumplió los veinte años. ¡lluando ll-,, una vez graduado en leyes por la Universidad de Poitiers, Descartes fue a París. Allí se convirtió en un
joven elegante y desocupado. No obstante, sus pensamientos pronto volvieron a preocuparse por las matemáticas y la filosofía. Se vio animado por sus amigos, entre los que cabe destacar el padre mínimo Marin Mersenne, al
que había conocido en La Fléche. Mersenne era, a su yez, ttn, matemá-
tico competente y un hábil experimentador. Su celda del convento sito
enla Place Royale servía de lugar reunión
de lo s sctuants
,
de
convirtiéndose
así en un antecedente de la Academia GneNoss MereuÁrrcos
1. RETRATO DE DESCARTES POR FRANS HALS que se halla en el Louvre. Entre los campos en los que trabajó se cuentan la fisiología, la psicología, la óptica y la astronomía. Muchos le consideran el padre de la filosofía moderna. Murió en 16s0 siendo tutor de la reina de Suecia.
19
ia aceleración de los cuerpos que caen.
Ninguno de ellos sabía que Galileo había resuelto ya dicho problema. Su solución apareció en su obra Dialogi de 1632. Descartes estableció diversas soluciones, basadas en hipótesis diferentes. El hecho de que ninguna de ellas fuese acorde con el modo como caen realmente Ios cuerpos no le preocupó en absoluto. Por aquel entonces Descartes aún no había aprendido a conjugar el análisis matemático con la
experimentación. Debemos al diario de Beeckman, descubierto en 1905, el haber arrojado Iuz sobre este período de la vida de Descartes. Fue un período de auto-
descubrimiento; la mente del joven pasaba con gran celeridad de unas cuestiones a otras. Fue precisamente en esta época cuando Descartes dio con la pista de1 método con el que iba
a intentar unificar el conocimiento humano en base a un conjunto central de premisas.
Ef l26 de marzo de 16 l9 Descartes I-l -informó a Beeckman "acerca de una ciencia. enteramente nueva, que ie iba a permitir resolver todos los pro-
blemas que se pueden proponer acerca de cualquier clase de cantidades, con-
tinuas o discontinuas, cada una
de
acuerdo con su naturaleza.... de forma
que, en geometría, casi nada quedaría ya por descubrir". De esta manera
Descartes anunciaba el descubrimiento de 1a geometría analítica o. como 1o describiría \¡o1taire. "de1 metodo que pelmite asignar ecuaciones algebraicas a las curr.as". En ei siglo xI\: Nicole Oresme, compatriota de Descartes. hizo una ligera contribución a esta idea. En el siglo n'tI. Pierre de Fermat, contemporáneo de Descartes, había hecho e1 mismo descubrimiento de forma completamente independiente, pero no 1o 11evó adelante. Sin embargo, Descartes no publicaría su descubrimiento hasta el año 1637 cuando, en su ensayo Géométrie incluyó una exposición de los principios y de algunas de sus aplicaciones. Este texto nos ofrece 1a demostración que da Descartes de que las secciones cónicas de Apolonio se hallan todas
contenidas en un único conjunto de ecuaciones cuadráticas, y, con ello, Descartes pone de manifiesto el carác-
ter general de su descubrimiento. Pero, dado que las secciones cónicas incluyen a las circunferencias de los antiguos astrónomos, Ias elipses de Johannes Kepler y 1a parábola utilizada por Galileo para describir Ia trayectoria de un proyectil, es claro que, con esta primera invención, Descar20
tes facilitaba a los fÍsicos una poderosa herramienta. Sin dicha herramienta incluso Newton se habría visto severamente limitado. Exactamente un año después de su encuentro con Beeckman, Descartes tuvo una famosa experiencia, quizá la más importante de su vida y, sin duda, la más dramática. Se había alistado en el ejército del duque de Baviera, otro de ios aliados de Francia en la
Guerra de los Treinta Años, y
se
hallaba en los cuarteles de invierno en un remoto lugar a orillas del Danubio.
El día 10 de noviembre. abstraído en sus pensamientos, se encontró com-
pletamente solo en 1a famosa podle (literalmente "estufa", pero que. de hecho, significaba habitación caldeada). En el transculso de aquel dÍa
había tomado importantísimas decisiones. En primer 1ugar. decidió que debía dudar metódicamente de todo 1o que sabía acerca de la fÍsica ¡' de 1os restantes conocrmientos organizados. y que debía encontrar ciertos puntos de partida evidentes en sí mismos que 1e permitiesen l'econstruir todas ias ciencias. En segundo lugar, decidió que, de 1a misma forma que una obra de arte o de alquitectura perfecta es siempre eI producto de una sola mano maestra. asÍ é1 debía llevar a cabo, por sí solo. su programa.
Aquella noche. según su biógrafo del siglo rvtt Adrien Baillet, Descartes tuyo tres sueños. En el primero se hallaba en una calle barrida por un viento muv intenso. Se veía compietamente incapaz de mantener el equiliblio a causa de la debilidad de su pielna delecha. pero los compañeros que se hallabanjunto a éI Io sostenían
firmemente. Descartes despertó y se durmió de nuevo. Entonces le despertó el estruendo de un trueno que había llenado Ia habitación de chispas: era también un sueño. Se durmió de nuevo y soñó que encontraba un diccionario. encima de su mesa. Entonces, en otro libro, su vista "tropezó con las palabras Quid uítae sectabor íter? lQué clase de vida debo seguir?1. Y, a la vez, se presentó un hombre, que
le era desconocido, con unos versos que empezaban con las palabras ,Esl et non, que 1e recomendó encarecidamente". Descartes reconoció en estas
palabras 1a primera línea de dos poemas de Ausonius. Incluso antes de
despertarse definitivamente, Descartes habÍa empezado ya a interpretar el primer sueño como una advertencia hacia los errores pasados, el segundo como el descenso del espíritu de la verdad para tomar posesión de é1, y el tercero como indicándole que
se le abrÍan los tesoros de todas las
ciencias y
e1
camino del conocimiento
verdadero. No obstante, este incidente puede haber sido elaborado por
el propio Baillet como un elemento retórico que simbolizase la cet:teza que Descartes tenía en Ia validez de su forma de aproximarse al conocimiento verdadero.
Siguió como mercenario hasta 1622,halLárldose presente en 1a batalla de Praga y en 1os asedios de Pressburg ¡, Neuháuse1. Después, durante algunos años, se dedicó a viajar, recorrlendo Europa desde Polonia a Italia. En 1625 regresó finalmente a París. AquÍ volvió a entrar en contacto con ei círculo de N'Iersenne, trabajó en su "matemática universal" ¡se embarcó en especulaciones sobre gran cantidad de cuestiones diversas que iban de Ia psicoiogía moral a la prolongación de la r,ida. Al igual que
a sus ociosos contemporáneos. el torbellino de Ia vida social. la música, Ias lecturas frívolas. ¡,' el juego le distraían de tales cometidos. Su padre ilegó a expresar 1a opinión de que "no valía para nada,
sa1r,o
para acicalarse".
TIue entonces cuando ocurlio un su.tt ceso que cambio su mision en la
vida. Se hallaba presente. junto con un elegante e impresionante audito-
rio, incluidos su amigo N[ersenne y el influyente cardenal De Béru1le. en una reunión en la mansión del nuncio papal, para escuchar cómo un tal Chandoux exponía su "nuer,a ñ1osofía". Descartes fue el único de los asis-
tentes que no aplaudió. Instado a dar su opinión, habló extensamente, demostrando cómo era posible para un
hombre inteligente establecer un razonamiento aparentemente convincente de una proposición )- también de su contraria, mostrando además que, utilizando Io que é1 llamaba su "método naturai", incluso 1os pensadores mediocres podían establecer principios cuyo fundamento se hallaba enraizado en Ia verdad. Sus o¡-entes
quedaron atónitos. Cuando. unos días más tarde, Descartes visitó a Bérulle, e1 cardenal 1e encargó que dedieara su vida a conseguir que su método fuese
aplicable a Ia filosofÍa ¡' a "la mecá-
nica y la medicina". En octubre de 1628, Descartes partió hacia Holanda, en donde permaneció el resto de su vida. salvo tres bre-
ves visitas a Francia 5'su viaje
a
Estocoimo en 1649, el último que realizaría. Evitó }a compañía de todo el mundo salvo Ia de sus amigos y discípulos, y dedicó su tiempo a 1a aplicación de sus principios a la fi1osofía, 1a T¡,rrl,q.s
1
ciencia y las matemáticas y
a
la divul-
gación de sus conclusiones. Un año después de haber abandonado Ho-
landa, aceptando la invitación de la
reina Cristina de Suecia, murió en
de sus viajes y de disipación, elaboró su concepción de Ia ciencia verdadera
mera obra, Reglas para la d.irección del Espíritu, terminada en 1628, pero
ideas se hallan expuestas en su pri-
Discourse de la Méthode, que escribió después de establecerse en Holanda.
y de su método para conocerla -un método muy racionalista-. Estas
publicada póstumamente, y en el
Estocolmo en febrero de 1650.
f)odrÍamos describir a Descartes
I
como a un científico centrÍfugo:
su pensamiento emergió principalmente hacia afuera a partir de un punto teórico, central y firme, en con-
traste con pensadores como Francis Bacon e Isaac Newton. El escritor francés y cientÍfico amateur Bernard le Bovier Fontenelle, en su famoso Eloge de Newton, escrito a raiz de la muerte de Newton, estableció un elocuente contraste entre los métodos de Newton y de Descartes: "Estos dos grandes hombres, cuyas opiniones tan a menudo se nos muestran opuestas, tenían mucho en común. Ambos fueron genios de primer orden, nacidos para dominar las men-
tes de otros y para fundar imperios intelectuales. Ambos, siendo como eran geómetras excepcionales, sintie-
ron la necesidad de llevar la geometría a la física. Ambos fundamentaron su física en la geometria, la cual desarrollaron de forma casi totalmente autónoma. Sin embargo, uno de ellos [Descartes] intentó, por medio de un salto audaz, situarse en la fuente de todo a fin de hacerse con los primeros principios por medio de ciertas ideas
claras y fundamentales, a partir de las cuales podría descender simplemente a los fenómenos de la naturaleza como meras consecuencias nece-
sarias de tales principios. El otro tímido o modesto, inició su camino apoyándose en los fenómenos para poderse elevar hacia principios desconocidos, decidiendo aceptarlos sólo en cuanto Ie servían de eslabones en la cadena de consecuencias. Uno partía de lo que conocía cla[Ne¡n ton], más
ramente, para encontrar la causa de que veía. El otro partía de lo que veía, para encontrarle la causa." La dirección primaria y el movimiento que siguió la empresa filosó1o
fica y científica de Descartes se nos hace patente contoda claridad siguien-
do el orden en que compuso sus principales obras. Desde 1618 a 1628, los incansables años de su vida militar,
LAS II.IVESTIGACIONES del ojo que hillevaron a sutrstituir la retina del ojo de un buey por un ffno papel o una cáscara de huevo para poder estu2.
zo Descartes le
diar la imagen. Esta ilustración es una reproducción del libro de DescartesDiopt riq ue, pu:blicada por primera vez en 1637. GneNoss MerpuÁrtcos
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trique. Como era característico en é1, empieza enunciando 1o que intenta resolver: el problema de la construcción de un telescopio, basándose en principios científicos racionales. De acuerdo con esta premisa, emprende ante todo un análisis de la naturaleza de la luz; e1 espacio está lleno de pequeños corpúsculos de materia, contiguos entre sí, formando una especie de "éter". La ltz es un fenómeno
mecánico. una presión instantánea que. procedente de una fuente luminosa. se transmite a trar,és de este éter. Entonces Descartes nos ofrece
una demostración geométrica
mu1,
elegante de las 1e¡.es de la reflexión y de la refracción. Algunos años antes
el físico holandés \\¡illebrord Snell había establecido ¡'a ia lev de 1os senos decir, 1a le¡r correcta de la refrac-es ción-. pero no ia había publicado. La demostración de Descartes de lo que hoy se conoce como 1a 1e¡. de Snel1. fue
casi seguramente independiente. Además fue el primero en publicarla.
\f I
Puesto que 1a final idad de un t elescopio es aumentar e1 poder de la
visión, Descartes nos ofrece a continuación un aná1isis detallado del ojo humano tanto en su estado normal como en su estado patológico. Para e1lo, como muestra su correspondencia,realizó extensos estudios así como
disecciones. Repitiendo un experimento que ya había realizado Christoph Schneider, separó
1a
parte poste-
rior de un ojo de buey y'la reemplazó por una fina película de papel blanco por una cáscara de huer.o, y examinó Ia imagen invertida producida por un
o
objeto situado delante del ojo. Esta detallada investigación nos muestra
EL SISTEMA DE LOS VORTICES con el que Descartes pretendió dar una explicación del movimiento de los cuerpos eelestes consistía en torbellinos de "éter". En el caso del sistema solar los vórtices se encargaban de transportar los planetas alrededor del Sol (S). La trayectoria irregular que vemos en la parte superior de la figura corresponde a un cometa cuyos movimientos, segrin Descartes, no podían reducirse a una ley uniforme.
un conocimiento anatómico considerabie y una gran finura en 1a experimen-
Antes de completar este úitimo
lación de su cosmologÍa, que completó
comenzó a elaborar sus obras Ios
en 1633 en Le Monde, sin embargo se
Météors,Ia Dioptrique y Ia Géométrie, que presentaría como tres ejemplos concretos, ilustrativos de1 poder del método cuando se aplica a líneas de
abstuvo de publicarla a raiz de 1as noticias de la condena de Galileo. En 1644 Descartes publicaría los Principia PhilosophícLe, tna versión revisada, con su copernicanismo mitigado con la idea de que todo movimiento es relativo. Al mismo tiempo Descartes trabajaba en su concepción de la rela-
y acomodación. Entonces se consideró en posición de demostrar científicamente cuáles deberían ser las curvaturas de las lentes que eran precisas para constluir un telescopio, una situación que no habían logrado ni Kepler ni Galileo.
3.
investigación específicas, ¡r que publicaría, en 1637, como apéndices del Discourse. Entre tanto, en 1628, se había empezado a preocupar del nue-
vo estadio de sus investigaciones: el descubrimiento ¡r establecimiento de Ios primeros principios. Estos se haIlan expuestos en sus Meditaciones sobre Filosofía FundamentcLl, pwblicado en 1641. A partir de estos principios estableció rápidamente 1a elabo22
tación. Descartes describe e1 funcionamiento del iris, el músculo ciliar. Ia visión binocular, las ilusiones ópticas así como varias formas de coordinación
ción existente entre 1a mente y el mecanismo del cuerpo y, en su última
Concluyó que ias secciones deberían ser o elipses. Naturalmente no contó con la aberración cromática, un problema que, por aquel entonces, era desconocido. Finalmente nos ofrece Ia
obta, Pcrsiones del Altna (que completó en 1649), inciuyó también la psicología en los dominios de su sistema. Quizás el ejemplo más ilustrativo del poder de su método sea la Dlop-
descripción de una máquina diseñada para cortar lentes basándose en estos principios científicos. Gracias a una extensa correspondencia mantenida entre Descartes v
hipérboias
TENTAS I
un constructor de lentes francés, llamado Ferrier, sabemos que este desafortunado constructor intentó llevar a la práctica las ideas de Descartes y fracasó. De hecho, nunca se ha logrado
litativas.
construir ningún telescopio siguiendo los principios teóricos de Descartes.
producido, utilizando sus propias palabras, no fuese más que un bello
La estructura esencial y el contenido de la física y de la cosmología cartesianas descansan en las conclusio-
"romance de Ia naturaleza".
nes revolucionarias que estableció poco después de haberse retirado a Holanda, en el año 1628. Fundamentó la posibilidad y la certeza del conocimiento en el hecho mismo del pensamiento. Este hecho elemental, aprehendido con "claridad y distinción," se convirtió en su criterio para saber si algo era cierto o falso. Afirmaba que las "cualidades" de la filosofía clásica, aprehendidas por Ia simple sensación, no eran ni claras ni distintas. Así pues eliminó del mundo exterior todo salvo la extensión único aspecto men-
Se vio forzado a recurrir a Ia especulación mucho más allá de 1o que le permitía "eI pequeño alcance de mi conocimiento", con lo cual consiguió lo que realmente temía; que 1o que había
Su fracaso más desastroso tuvo lugar, de hecho, en el centro mismo de su programa, en las propias leyes del movimiento. Por medio de un proceso
análisis hechos importantes, especialmente aquellos que se hallaban involucrados en lo que llegaría a ser
la noción newtoniana de "masa". Su mecánica contiene ciertamente algunas conclusiones valiosas como, por ejemplo, la que se refiere a la conservación del movimiento y su enunciado de un principio equivalente al de inercia. Sin embargo, cuerpos geométricamente idénticos, si tienen masas dife-
rentes, no se comportan de forma idéntica cuando colisionan o interactúan de otras formas. El tratamiento que Descartes dio a este tema resultó
análisis puramente racional, había llegado a la conclusión de que la propiedad esencial de la materia era su extensión espacial. Puesto que, a priorl, se excluían otras posibilidades, no dejó ningún resquicio para la constatación empírica. Y entonces, a partir de esta base supuestamente sólida,
causa de que todo su anáIisis precedente de la materia como mera extensión era erróneo en sí mismo. A fin de explicar cómo es que los pla-
procedió a construir un sistema de mecánica que dejaba fuera de todo
Descartes propuso su famosa teoría de
de
ser desastrosamente incorrecto a
netas se mantienen en su órbita,
-el cosas y, por consisurable de las guiente, su propia naturaleza-. Esta división del mundo en dos ámbitos mutuamente excluyentes y conjuntamente exhaustivos, el del entendimiento y el de la extensión, permitió a
Descartes ofrecer
1o
que para
é1
cons-
tituía una ciencia verdadera de la naturaleza. Así Ia tarea de la ciencia consistía en deducir, a partir de estos
primeros principios, las causas de todo lo que acontece, de la misma manera que las matemáticas se deducen de sus premisas.
Tllue la misma amplitud del pro-[ g"u-u-que dehÉcho declaraque
la naturaleza física entera se puede reducir y ser comprendida por las Ieyes del movimiento- 1o que confirió a Descartes su importancia científica revolucionaria. El propio Descartes dio explicaciones, en términos de los movimientos de partículas de formas y tamaños diversos, de las propiedades químicas y sus combinaciones, gusto y sabor, calor, magnetismo, luz, del funcionamiento del corazóny
del sistema nervioso como fuente de acción del mecanismo de1 cuerpo humano, y de muchos otros fenómenos que investigó por medio de experimentos algunas veces realmente ingenuos. La amplitud del programa llevaba implícita su propia perdición. Descartes no dispuso de tiempo suficiente para poder abordar con suficiente rigor y de forma cuantitativa todas las cuestiones que se proponía. Procediendo, como proceden, de un programa que pretende matematizarlo todo, la física y cosmología de Descartes son casi totalmente cuaGraN»ns Mernrr¿Áricos
4. EL PAPEL CENTRAL DE LA GI,ANDULAPINEAL en la psicología de Descartes se halla descrita en L'Homme.Las imágenes llegan a la retina (5, 3, 1) y son transportadas
al ventrículo cerebral (6, 4, 2); éstas, a su vez, forman una imagen binocular única en la glándula pineal (H), la sede desde la cual el alma controla el cuerpo. El alma, estimulada por la imagen, inclina la glándula pineal, activando así el "sistema hidráulico" de los nervios (8) y ocasiona el movimiento de un músculo (en 7). 23
los vórtices, de acuerdo con la cual la
del cuerpo real, al igual que un inves-
fina materia del "éter" forma grandes torbellinos o vórtices alrededor del Sol y de las estrellas. Los planetas son transportados por el vórtice del Sol, al igual que una colección de barqui-
tigador moderno construye una máquina electrónica para poder imitar el proceso del cerebro. El propósito de Descartes era pro-
ducir una verdadera ciencia de Ia naturaleza en 1a que todo se deduiese matemáticamente de unos plincipios
chuelos de niños lo son en el estanque ceiestial, y la Luna se ve obligada a
moverse alrededor de 1a Tierra por Ia misma razón.Lo más sorprendente es
evidentes. Los físicos modernos rechazan, por supuesto, que los principios fÍsicos puedan ser evidentemente ciertos. Ya en e1 siglo xvII, Pascal y Huygens hicieron la misma objeción. Se-
que Descartes no se preocupó en abso-
Iuto de comprobar si esta importante parte de su física se ajustaba
o no a
los
hechos explicados por las leyes de
ñalaron que existe una diferencia
famosa teoría de los vórtices de Des-
5. LA GEOMETRIA DE DESCARTES es, en palabras de Voltaire, "un método para atribuir ecuaciones algebraicas a Ias
ticas abstractas en cuanto que los
curvas". La ilustración corresponde a
principios
cartes. En realidad, pudo haber elegido el títrlo Princípia Mathematica como contrapunto a su po1émica con los Princípia Pilosophie. Nervton trató la teoría de los vórtices como un problema serio de la dinámica de fluidos
una página en la que se discute la ecuación de la parábola.
Kepler del movimiento pianetario. Sería Newton quien destrozaría Ia
y la desmoronó completamente.
la experimentación era más necesaria. tanto para obtener información como para elegir entre diferentes
La reputación que Descartes ha
explicaciones posibles de un mismo fe-
conseguido como mero especulador se debe, en gran medida, a los historiadores de 1a mecánica que han escrito bajo la influencia de 1a po1émica con Newton. Pero. si pasamos de 1a mecánica de Descartes a su fisiología. podemos obsen,arle en un ámbito de estudio en el que 1as hipótesis cualitativas en 1as que se sustentó para tratar las demás cuestiones 1e permitieron obtener resultados más dignos de é1.
nómeno. Si bien aceptó el descu-
¡/"\on lazón podemos considei'al a \-/ Descartes. junto a \\'illiam Har'vey, el fundador de 1a fisiología mo-
derna. Harvey fue un maestro del análisis experimental, pero fue Descartes quien introdujo 1a hipótesis primordial sobre la que se ha basado toda la fisiología subsiguiente. Habiendo dividido el mundo en extensión y pensamiento, Descartes fue 1o suficientemente hábil para considerar la biología como una rama de la mecánica y nada más. En términos más modernos, este punto de vista establece que Ios organismos vivos son, en última instancia, explicables en términos de la física y química de sus partes. En el hombre, según Descartes, el ámbito del pensamiento tiene su contacto con el cuerpo en un único punto: Ia glándula pineal del cerebro.
La correspondencia de Descartes pone de manifiesto que durante su larga residencia en Holanda dedicó mucho tiempo a las disecciones anatómicas. Encontró la biología el más
frustrante de todos los campos en los que intentó llegar a conclusiones por medio de principios mecánicos. Fue precisamente en este campo en el que 21
esencial entre la física 1 1as matemáde Ia
física
explora
1o
-que concretodesconocido en un mundo se ha11an siempre expuestos a una refutación parcial o total por e1 descubrimiento de nuevos hechos.
D il:*rá r::' :lS §:#;:::':3:: "
trales, logró apreciar 1a crítica de Pascal y Huygens y darse cuenta de
brimiento de Harvey de la circulación
que su ideal matemático de deducción
de 1a sangre. se vio enzarzado con é1, sin éxito alguno. en una controversia acerca del mecanismo de la acción del corazón. presentando cada uno de ellos un experimento crucial para sostener su argumentación. De hecho,
rectilínea chocaba frontalmente con Ia dificultad de poner en contacto principios generales abstractos con hechos particulares. Con todo, en cuanto pensador científico positivo, quizá no fuese tan diferente de sus
Descartes estaba equivocado, pero puso en ciaro la cuestión esenciai de
sucesores actuales. Su investigación abarca nada menos que las causas ¡, e1 significado de todo 1o que acontece.
que no era posible establecer una explicación completa a partir únicamente del hecho de que el corazón late. sino que era preciso explicarlo, además. en términos del mecanismo sub¡-acente; en última instancia en términos de Ias leyes del movimiento corru.-ln€s a toda la materia. Si bien 1a explicación mecanicista de Descartes de este fenómeno, aún
hoy obscuro, actualmente podrÍa parecernos ingenua, el método con el que
ia abordó. así como el del funcionamiento del cuerpo como un todo, introdujo una de las herramientas más
poderosas de toda la investigación fisiológica moderna: precisamente el modelo hipotético. Los escritos fisiológicos de Descartes contienen muchas
observaciones correctas
y algunas
explicaciones mecanicistas brillantes de dichos fenómenos, como las acciones automáticas, como son los guiños y la coordinación de distintos múscu1os en movimientos complicados como
el andar. Descartes estaba predispuesto a sacrificar la anatomía real por 1a anatomía hipotética que su mecanicismo demandaba. Pero siempre afirmaba explícitamente que estaba describiendo un cuerpo hipotético, con el fin de imitar las acciones
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1596-1650). Joseph Frederick Scott. Taylor & Fr¿rncis. 1951. Dtscunso o¿r MÉro¡o. René Desc¡irtes. Alianza Editorial. N{adrid DrscuRsoo¡l N{ÉToDo. L.\ DróprRrc \. Los METEoRoS y L-r Grormrnir. Ediciones (
Alfhguara. S.A. Nrtadrid. 1981.
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Desmond N,f . Cl¿rrke. Alianza Universidad. IvIadrid. I 981.
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de otras t{os potencias n-ésimas cuarudo n es mayor que 2
ierre de Fermat, matemático francés del siglo xvII, fue fundador de la moderna teoría de números, rama de las matemáticas que estudia 1as propiedades de los números enteros. Lo mismo que tantos otros eruditos de su tiempo, estudió profundamente las obras clásicas de la antigüedad. En teoría de núme-
cuartas potencias, o en general, que ningún número que sea potencia mayor que 1a segunda pueda ser suma de dos potencias semejantes. He des-
Fermat comentó su ejemplar de esta
cubierto una demostlación r.erdaderamente marar-illosa de e.ta proposición que este margen es demasiado estrecho para contener." Tal proposición ha llegado a llamarse "último teorema" o ''teorema magno" de Fermat. A pesar de que los más sagaces matemáticos 1o intentalon en vano durante los tres siglos transcurridos, e1 ú1timo teorema de Fermat siguió
obra con numerosas notas al margen. y tras su muerte. acaecida en 1665. su
siendo uno de los grandes problemas no resueltos de 1a matemática hasta
hijo publicó una nueva edición de 1a Aritmética, esta vez, con las anota-
nuestros días.
ros, su fuente de inspiración fue Diolanto. matemalico griego cula Aritmética fue descubierta por 1os europeos a mediados de1 siglo ru.
ciones de su padre. Una de estas notas ha llegado a ser uno de los más famosos enunciados de Ia historia de las
matemáticas. A1 lado de un problema relativo a
determinar cuadrados expresables como suma de otros dos cuadrados (por ejemplo, 25 igtal a 9 más 16). Fermat escribió (traducimos del IatÍn): "Por otra parte, es imposible que un cubo sea suma de otros dos cubos.
una cuarta potencia, suma de
dos
¿Tenía r-er-daderamente Fermat 1a "maravillosa demostración" que afirmaba? Era. sin duda, un prodigioso matemático, que contribuyó a establecer 1as disciplinas ho¡,- llamadas geome-
tría analítica ( con Descartes). cálculo diferencial tcon Leibniz y Newton) y teoría de probabilidad (con Pascal). Su profesión no era 1a de matemático, sino jurista. v vir,ía en Toulouse, en 1a Francia meridional. Su amplia participación en la vida intelectual de su época se produjo enteramente me-
diante correspondencia privada con ii.\§()1.il 1l iilll\'.'\]lllS enseña matemáticas en la Universidad de Nueva York. Comenzó sus estudios en la Universidad de Wisconsin. licenciándose por la de Columbia en 1957. Se doctoró en Harvard en 196 1. Tras cuatro años de docencia en Columbia, pasó en 1966 a la universidad neoyorquina. Los principales campos de investigación de Edr¡,ards son la teoría de números y 1a historia de las matemáticas. Es autor de a nced C aLcu lus L969 ), Ríeman n's Zeta Fttnction (1974) y Ferntat's Last Theorem (1977). Edwards desea agra-
Adu
1
decer a 1a Fundación Vaughn
¡, a 1a
Na-
tional Science Foundation su ayuda económica para realizar 1a inr.estigación sobre e1 tema de su artículo.
26
otros sabios de 1os principales centros europeos del saber.
Imaginar que un jurista provin-
ciano del siglo xvrr haya podido bur-
lar con su teorema a los más capaces matemáticos de tres siglos resulta ciertamente encantador; pero 1os hechos parecen indicar que Fermat no disponía de r.erdadera demostración. A excepción de Ia nota escrita al margen del libro de Diofanto, ninguno de los escritos de Fermat que han
sobrevivido hace mención aiguna sobre 1a demostración de1 teorema.
Sí se menciona en algún otro lugar que sabía cómo probar Ia imposibilidad de soluciones para
1as
ecuaciones
+y3 = z3 y x4 + j-1 = 21. Si Fermat hubiera descubierto una demostra-
13
ción válida del teorema general (a saber, que es imposible que rn + )'n = z' siendo .r.J. ¿ y /? entel'os positivos. y n mayor que 2) sería sorprendente que
no la hubiera mencionado también. Lo más verosímil parece sel que, en el momento de escribir la nota. Fermat tenía una idea de cómo demostrarla. que más tarde resultó insuficiente. Puede decirse con casi absoluta certeza que a1 escribir sus notas Fermat no tenía el propósito de publicarlas. y pudiera ser que no tuviera ocasión de volver atrás y borrar o enmendar la citada. Desde luego, resulta mucho más
emocionante pensar que Fermat sí disponía de una demostración rigurosa del teorema, y hasta es posible que así sucediera. En cualquier caso,
1. PIERRE DE FERMAT, llamado "padre de la teoría de números", rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los números enteros. Nacido en 1601, cerca de Toulouse, Fermat pasó toda su vida en el sur de Francia, lejos de los grandes centros europeos del sat¡er. No era matemático profesional, sino jurista, y ninguno de sus trabajos de matemáticas vio la luz pública hasta después de su muerte. Su amplia participación en las matemáticas de su tiempo se realizó por completo a través de correspondencia particular con otros estudiosos, Fermat enunció muchos teoremas estimulantes, profundos y difíciles, que no fueron demostrados hasta mucho después de su muerte. Hacia 1840 solamente faltaba demostrar uno de ellos, que ha llegado a denominarse "último teorema de Fermat": cuando ¿ es un entero mayor que 2, no existe ninguna solución de la ecuació¡ xn * !o= zn formada exclusivamente por números enteros. El retrato se halla en la Académie des Sciences, Inscriptions et Belles Lettres de Toulouse; se reproduce con permiso de R. Gillis.
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572,729 y 1000. No es difícil ver que ninguno de estos números puede descomponerse en suma de otros dos cubos. Por ejemplo, si 512 fuese suma de otros dos cubos, éstos serían me-
nores que 572,y figwarían antes que él en la lista. Los cubos 216 y 343 son buenos candidatos, pero su suma es
559, demasiado grande. La suma inmediatamente menor, 2L6 más 216, es igual a432,y no 512. Así pues, 512 no es suma de ningún par de cubos.
s sencillo comprobar por este -lJ-/ procedimiento que un cubo concreto dado no es suma de ningún par de cubos. Los cálculos requeridos podrían efectuarse a gran velocidad por
un ordenador. siendo de esta forma fáci1 demostrar que ningún cubo de, pongamos por caso, menos de diez 2. UNA TABLETA BABILONICA de arcilla, grabada con caracteres cuneiformes, que data aproximadamente de 1500 a.C., y es uno de los más antiguos documentos sobre teoría de números, La tableta recopila (aunque de forma ligeramente encu. bierta) varios conjuntos de ternas pitagóricas, esto es, ternas de números enteros positivos, r, y, z tales que 12 + j-2 = 22, como, por ejemplo, 4961, 6480 y 8161. Fermat
enunció su último teorema mientras analizaba un problema referente a ternas pi. tagóricas (céose la ilustración de la púgino siguiente). Cualquiera de estas ternas prueba que su teorema es falso cuando el exponente n sea igual a 2. Las ternas pi. tagóricas reciben dicho nombre de su relación con el teorema de Pitágoras, que enuncia que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de Ios cuadrados de los otros dos Iados. No es fácil encontrar ternas por simple tanteo, sobre todo cuando los números son grandes, por lo que seguramente los babilonios tenían algún método para hallarlas. Lo más probable parece ser que su interés por ellas proviniera de las aplicaciones geométricas de estos conjuntos de números )'que, por tanto, conocieran ya el contenido del teorema de Pi. tágoras 1000 años antes que los griegos. La tal¡leta forma parte de la colección Plimpton de Ia Biblioteca Butler, de la Universidad de Columbia, por cuya gen. tileza la reproducimos.
el teorema ha tenido gran influencia en e] desarrollo de la teoría de números. Algunas de las máximas creaciones del pensamiento matemático han sido sugeridas por su estudio, y las técnicas desarrolladas en el es-
no resueltas por doquier: pala los matemáticos, la dificultad reside en dar con preguntas que puedan contestar, y no al contrario. No es fáci1. sin embargo, darle ai lego ejemplos clarosqueilustrenestepunto.porque
fuerzo de demostrarlo han contri- elenunciadodelascuestionesdeintebuido a 1a solución de otros muchos rés matemático suele requerir telmiproblemas. nología especializada y formación suficiente. Ei teoren-ra magno de Ia Fermat historia del ú]timo es rara excepción a esta regla. Iinalmente, I' teorema de Fermat proporciona Parte de la fascinación del último una excelente ilustración de la ver- teorema de Fermat procede del hecho dadera naturaleza de la indagación de ser tan sencillo de enunciar )' commatemática. Suele preguntarse a los prender: Es imposible hallar númematemáticos: "Pero, ¿cómo es
posible
ros enteros positi\.os r,1,, z ]' ¡r. donde
investigar en matemáticas?" Dudo ¿ sea mayor que 2 )' se veriñque Ia mucho que llegue a planteársele a un igualdad.r" t !" = z" . Los no iniciados
físico o biólogo semejante pregunta. Mucha gente está convencida de que las matemáticas son tema tan rutinario que en ellas el trabajo apenas puede ir más allá de Ia ordenada con-
en matemáticas sueien atacar el teorema por e1 método en apariencia más razonable: ensayando vaiores. Tomemos el caso de que i¿ sea igual a 3, a saber, el caso consistente en demostrar que 1a ecuación 13 + y3 = z3 no tiene ninguna solución. Los cubos de los l0primerosnúmerosenterosposi-
signación de los datos. Evidentemente, nada más lejos de la realidad. En matemáticas, como en cualquierotroterreno,haycuestiones tivos son l, 8, 27, 64, 725, 216, 343, 28
dígitos es suma de otros dos cubos. Sin embargo. hay una infinidad de cubos a comprobar. ]¡, así pues, por este procedimiento ni aun con auxilio del más potente ¡.rápido ordenador podrá
resolr'erse Ia cuestión de saber si a1gún cubo podrá descomponerse en suma de otros dos. Una r-ez que e1 lego en matemáticas se ha conr.encido de que los ensa¡'os no bastan para demostrar la imposibilidad de ¡3 + -r'3 = .-3 suele irse al otro extremo )' poner en tela de juicio que nadie pueda probar un enunciado semejante. La respuesta es que podría
probarse por reducción al absurdo: se supone inicialmente que 1a ecuación sí tiene solución, y de esta hipótesis
es necesario deducir un enunciado cuva falsedad sea ya conocida. De garse a un enunciado falso
11e-
-contradicción o absurdo- estaría demostrada la falsedad de la suposición inicial. 1o que significaría que no puede existir ninguna solución. )Iás concretamente, en el caso de enunciados referentes a enteros positir.os. como es evidente que ocurre en el último teorema de Fermat. las demostraciones por reducción a1 absurdo suelen adoptar 1a forma de demostraciones por descenso infinito. Fermat mantuvo haber sido el creador del método. que decía que era base de todas sus demostraciones en teoría de números. En una demostración por descenso infinito hay que probar que, de existir una solución formada por enteros positivos para la ecuación que nos ocupa, a partir de el1a puede construirse otra solución formada por en-
teros positivos más pequeños. El mismo razonamiento muestra entonces que la segunda solución permite construir una tercera todavía más pequeña; el proceso puede reiterarse T¡rms
1
indefinidamente. Estando todas las soluciones formadas por enteros posi-
tivos, es evidentemente imposible hallar soluciones cadavez más pequeñas ad infinitum.Por consiguiente, no puede existir solución alguna. No hay en todos los escritos de Fer-
mat sobre la teoría de números, que hayan llegado hasta nuestros días,
ficio permite conectar ambas proposiciones. Supongamos que 14 + y4 = z4 para ciertos enteros positivos x, y, z y hagamos ya igual a a, 2x222 igual a ó, zl + x4 igual a c y, finalmente, y2xz igual a d. Entonces, Ia sencilla identidad algebraica (r + s¡2 - rz + 2rs + s2 implica que o2 + ó2 sea igual a (24 - x4)2 + 4x121,
más que una sola demostración, des-
que es igu a7, az8 -2x424 + xt + 4x124 , o sea, a (za + xa)2, que es igual a c2. Ade-
cubierta en otra nota marginal a la Aritmética de Diofanto. Se refiere a
igual a lt2xz)2, que es igual a d2.Por
triángulos pitagóricos, es decir, triángulos rectángulos cuyos lados tienen longitudes enteras. (El nombre procede de su relación con el teorema de Pitágoras, que establece que los catetos r ey, y la hipotenusaz de un triángulo rectángulo están ligados por la relación x2 + y2 = z2) Fermat demostró que el área de un triángulo pitagórico no puede ser cuadrado perfecto de ningún número entero: sir,y yz son
enteros positivos tales que 12 + y2 = z2 , entonces (7/2)xy, no es cuadrado de ningún entero. No es difícil demostrar que alguno de los númeroslu oy, tiene que ser par, y que por consiguiente (1/2)xy es entero.
f)ara la demostración Fermat utiI lizó el método de descenso infinito. Concretamente, dio un procedimiento explícito mediante el cual, dados los enteros x,
!, z y u que cum-
plan las condiciones x2 + y2 = z2 y
(7/2)xy = u2, esposible construir otro conde números enteros X, Y, Z y U
junto
tales que)P + Y2 = 22 , que (7/2)XY = U2, y que el triángulo de lados X, Y, Z sea más pequeño que el de lados x, y, z en el sentido de que la hipotenusa Z sea más pequeña que la hipotenusa z. El método utilizado por Fermat pata X, Y, Z y U es francamente sutil y requeriría prolija explicación. No obstante, la existencia de tal método muestra que es imposible hallar soluciones enteras para el sistema de ecuaciones x2 + y2 = z2;(7/2)xy = u2, pues una tal solución conllevaría otra solución más pequeñaX, Y, Z y U, que a su vez daría
una solución X', Y', Z' y U' todavía menor, y así sucesivamente. Se deduce entonces que existiría una suce-
sión infinitamente decreciente de números enteros positivos z > Z ) Z' >...,
cual es imposible. (El signo ">" significa "mayor que".) Hecho notable, y probablemente nada casual, es que la imposibilidad de ser cuadrado perfecto el área de un triángulo pitagórico implique inmediatamente que la;u4 * y4 = z4 carezca de solución, es decir, que el teorema de Fermat sea verdadero cuando z es igual a 4. Un sencillo e ingenioso arti1o
Gnaxoss MarpuÁrrcos
o Io
más, (.llDab es igual a ( 1/2)3,+2x2 22, o sea,
consiguiente ,o2 + b2 = c2 .y (712)ab = d2,
que Fermat demostró ser imposible. Por consiguiente, 1a hipótesis de partida, que ¡4 + y4 = za tenÍa a1 menos una solución. ha de ser incorrecta. con 1o que el teorema de Fermat queda demostrado en el caso de n igual a 4. Así pues, en esencia. e1 propio Fermat demostró su teorema para el caso de cuartas potencias. La demostración anterior estal¡l ece
también que el teorema de Fermat es verdadero siempre que n sea múltiplo de 4, porque si n es igual a 4/r para aigún entero positivo ft. entonces
.r' +)'' =¿' . implrca'.1'' - .r =' ¿t'1. 1o que es imposibJe. \'a que"'ninguna cuarta potencia puede ser suma de otras dos cuartas potencias. Exactamente de la misma forma. si el teorema puede sel demostlado para un exponente determinado. ¡n. entonces el teorema es r-eldadelo pala todos los múltiplos de ¡r¡. Así pues. dado que todo entero r? que sea ma)'or que 2 es divisible bien por 4. bien por un número primo impal res decir, por un número plimo distinto de 2 r. bastará demostrar" el teolema de Fermat en todos los casos en que e1 exponente sea un numero plimo impar'. Fermat aseguró poder demostrar el teorema en el caso de ser ¡¡ igual a 3; pero no se publicó ninguna demostración de 1a imposibilidad de que haya soluciones de .rB + ,i,3 = :3 hasta cien
años más tarde. Tal demostración. obra del matemático suizo Leonhard Euler. contenía, sin embargo. un grave fal1o.
[1 I-il
ulel dio una demostlación por descenso
infinito. consistente en un
método para deducir de cada solución 3t, z de la ecuación ¡3 +.y3 = z3 una nueva solucíón X, Y, Z donde Z sea menor que z. Su método es demasiado
x,
largo para poder exponerlo aquí con detalle, peror a grandes rasgos, efectuando cáiculos relativos a las diversas características de r, y, z Euier redujo el problema de deducir una solución más pequeña al de probar Ia siguiente proposición: Si p y q son números enteros primos entre sí (es
decir, que no tienen más divisores comunes que la unidadt y si p2 + 3q2 es cubo perfecto, entonces han de existir enteros a y ó tales que p sea igual a a3 -9ab2 y qtte q sea igual a 3ab2b -3b2. Tal proposición es perfectamente correcta y puede demostrarse aplicando variantes sencillas de métodos expuestos en diversos lugares de la obra publicada de Euler. En esta ocasión, sin embargo, Euler prefirió utilizar un nuevo tipo de razonamiento que requería introducir números de la forma a + b^'[4,siendo o y b dos enteros. Para comprender por qué Euler vio útiles los números de laformaa +b{1, desar:rollaremos la expresión (o + ór/-¡)3.
Resulta ser¿3 + 3a2 brfs - 9 ab2 - 3b3{1, o sea (¿3 -gab2) + (Bazb - Bá3)r/-8, es decir,p + q^'l-1,dondep y q son núme-
ros definidos como en la conclusión de la proposición. Dicho de otra forma, Ia tesis de la proposición afirma que (a +
bl=
)3
=p + qrf-S. Ahora bien,
la proposición hace la hipótesis de qru.e p2 + 3q2 es cubo perfecto. Volviendo a escribir p2 + 3q2 en la forma (p + ql4)LD - nr/-1, la proposición puede ahora enunciarse así: Si
q^[4)@ - s{=) es cubo perfecto, entonces p + q ,'[1 ha de ser un cubo, es decir, ha de ser de Ia forma 1p +
1o +
ór/-3)3, para ciertos enteros o y á.
Por consiguiente, al introducir los números d + bl3 la proposición puede enunciarse de forma mucho más sencilla y natural. números de la forma a + ór[-3 J osconstituyen I-¡l un sistema numérico que comparte muchas propiedades de los enteros. En ambos casos, al sumar, restar o multiplicar dos números cua-
lesquiera del sistema resulta otro número perteneciente al sistema, aunque por
1o
general no ocurre así al
dividir. Por ejemplo, 5 no
es divisible entre 4 en el sistema de los números enteros (es decir, no hay ningún entero que multiplicado por 4 dé 5), y dados dos números de la forma o + ó\,f3, por lo general tampoco es posible hallar un tercer número de esa misma
forma que sea su cociente. Las semejanzas de ambos sistemas indujeron a Euler a dar un paso innovador -e incorrecto- en su demostración. Euler aplicó una propiedad válida sólo para enteros a los números a + órf-&
La propiedad de los enteros que Euler precisaba para su demostración es consecuencia de la unicidad de Ia descomposición de cada entero en un
producto de potencias de factores primos. Cada entero positivo solamente es expresable como producto de factores primos de una sola forma. Por 29
ejemplo, 124 es igual a2x2x 31;ningún número primo, salvo 2 y 31, puede dividir exactamente a l,24.Elteorema de factorización única implica en los
piedades con los enteros, hay también
enteros
-2, -7, 0,1,
la siguiente propiedad: la
única forma de que el producto de dos enteros primos entre sí sea un cubo perfecto es que cada factor sea cubo perfecto. Por ejemplo, supongamos que c y d sean números primos entre sí, y que cd sea igual a 1000, es decir, a 103. Expresado como producto de fac-
tores primos, 1000 es igual a 2:3 x í3. Las distintas descomposiciones factoriales de 1000 se obtienen todas distribuyendo sus factores primos en dos subconjuntos; tal, por ejemplo, (2 x 2 x 5) (2 x 5 x 5), o sea, 20 x 50. Si e1 reparto debe efectuarse de manera que los dos conjuntos sean primos entre sí. todos los factores 2 deberán ir a uno de los dos subconjuntos. y todos Ios factores
ir
otro. Por consiguiente, los únicos valores posibles de los factores c y d son 2" . 5''. z'. ,)'\' l-. que son todos ellos cubos perfectos. Análogamente, e1 producto de dos enteros primos entre sí solamente puede ser 5 deberán
a1
una potencia ¿-ésima cuando cada uno de e'l'los sea por si mismo potencia ¡r.-ésima.
Euler supuso que esta propiedad de los enteros era poseída también por los números a + óri-3 y demostró su proposición razonando de 1a siguiente forma: La proposición afirma que sip y q son primos entre sí y e1 producto (n + q,l-3 t(p - ql-,? ) es cubo perfecto,
entonces p + q\t-B es cubo perfecto. Euler demostró en primer lugar que sip v q son primos entre sí, entonces p + q^r-B y p - q\-3 son también primos entre sÍ. Por extensión de la propiedad de los enteros, el producto de
números primos entre sí de
1a
for-
ma ¿ + ór-3 solamente puede ser cubo perfecto si 1o son los propios factores. Por tanto, 1a hipótesis de ser
lp + qri-3)(p - qri-3) cubo perfecto implica quep + q',i-3 es cubo perfecto, 1o que demuestra la proposición.
TI ste razonamiento ciertamente F I lleva a Euler hasta Ia conclusion requerida; el problema está en que no basta razonar por analogía con 1os enteros para obtener una demostración valida. Los razonamientos por analogía son extraordinariamente sugestivos, y como demuestra Ia historia de las matemáticas, pueden ser origen de fecundas ideas, pero por sí solos no demuestran nada. Sorprende especialmente que Euler no mostrara mayor circunspección al usar este tipo
de analogías, pues aunque 1os números o + ái-3 comparten muchas pro30
muchos puntos de divergencia entre ambos sistemas. Por ejemplo, los enteros tienen una ordenación natural,... 2,... pero los números ¿ +
ói-3
y su demostración es modelo de claridad y rigor. A pesar de todo, no deja de llamar la atención que 1a experiencia adquirida en esta demostración no le previniera acerca de la
no pueden tenerla. Só1o hay una forma de estar seguros de que los números o + ó{- poseen, Io mismo que los enteros, la propiedad de que eI producto de números primos entre sí solamente es cubo perfecto cuando 10 sea cada uno de los factores, y es demostrar que así sucede.
escasa solidez de su segundo razona-
No obstante, incluso los mejores matemáticos sucumben de cuando en cuando a la tentación de hacer demostraciones por analogía, descuidando criticar suficientemente ciertos razo-
servemos que 42 + 5 x 12 es igual a 21. y que ninguno de los divisores de 21.
namientos porque saben de antemano que la conclusión a que conducen es correcta. Esta tentación alcanza espe-
cial intensidad cuando el razonamiento tiene la seductora simplicidad que posee el de Euler. Es muy posible que Euler no tuviera mayor preocupación por el rigor de su demostración porque sabía ya por consideraciones de otra especie que la conclusión final p + q',11 = (a + ó!J)3 era correcta. Muchos años antes de publicar su demostración del caso n igu,al a 3 del último teorema de Fermat, Euler había trabajado ya en otras proposiciones enunciadas, pero no demostradas, por Fermat referentes a la representación de
números en Ia forma x2 + 3y2. En particular, demostró el aserto de Fermat de que todo número primo p que sea uno más que un múltiplo de tres (p igual a 3n + L) tiene una única representación en forma de cuadra-
triple de un cuadrado (p igual a x2 + 3yz) por ejemplo, 7 es igual a 2 x3 + 7 y a 22 + 3 x 12. Las técnicas desarrolladas por Euler para demostrar este teorema se aplican sin difr-
do más
cultad para demostrar la proposición del último teorema de Fermat en el caso rz igual a 3. Es posible que
Euler
se diera cuenta de que podía demostrar Ia proposición con técnicas debidamente establecidas ya, y, por consiguiente, no sometiera Ia nueva y un
tanto insólita demostración a escrutinio suficientemente cuidadoso. En la otra demostración, anterior, Euler fue extraordinariamente cauto a la hora de utilizar razonamientos cuestionables. Por ejemplo, uno de los pasos intermedios de tal demostración requiere comprobar que si o y ó son primos entre sí, entonces todo divisor primo e impar de a2 +3ó2 puede ser descompuesto en la forma c2 + 3d2. En esta ocasión, Euler no tenía la peligrosa certidumbre de que el enunciado a demostrar fuera correcto,
miento. E1 razonamiento por analogía puede utilizarse para demostrar que todo divisor primo e impar de a2 + 3b2 es de forma c2 + 3d2, pero también podría usarse para probar que todo divisor primo e impar de a2 + 5ó2 es de Ia forma c2 + 5d2.1o que es falso. (Oba saber. ni 3 ni 7. pueden expresarse como suma de un cuadrado más cinco veces un cuadrado. ) Estas consideraciones han debido inspirar el caracte-
rístico rigor de Ia primera demostración de Euler. Sin duda. las había olr.idado cuando r-olvió sobre muchos años más tarde.
e1
tema
[l I lapsu. de rigol de Eulel está en I-¡l estlecha lelacion con sus extraordinarias dotes. su inventiva e imaglnación. Su capacidad para perciblr nuevas conexiones entre diversos problemas. ): para formularlos con originalidad ¡'perspicacia. hizo de su obra fuente de inspiracion de varias generaciones de matemáticos. La descomposición de 1os a + ór-3 en producto de
factoles primos era muestra clara de su ingenio extraordinario. De hecho, aunque la aplicación de esta idea a1 caso n igual a 3 del último teorema de Felmat fuese prematura, hechos posteriores mostraron que se trata de una idea llena de inspiración. Efectivamente. el fa11o del razonamiento de Euler'-a saber. que una propiedad deducida del teorema de factorización única de 1os enteros no tiene por qué ser r-álida forzosamente en otros sis-
temas de numelos semejante. a ellos- resultaría ser tema central de otras investigaciones de más altos vuelos sobr"e el teorema.
Aunque la demostración de Euler precisaba de algunos remiendos, en esencia sí establecía la validez del último teorema de Fermat cuando n es igual al primer número impar. o sea, 3. En la década de 1820, Gustav Lejeune Dirichlet y Adrien-I'Iarie Legendre demostraron ei teorema para e1 caso de ser n igual a 5, que es el número primo suceslvo. Su método de demostración es, básicamente. gene-
ralización del utilizado por Euler para el caso n igual a 3; siendo en esta nueva situación numérica la ecuación de Ia
p + q\i5 = lo + óri5)5 ia análoga
ecuación crucialp + qri-3 = (o + ór,-3)3. rCuando lr crece las ecuaciones que TErvrAs
1
aparecen al intentar demostraciones estilo se complican demasiado, y el método ya no funciona.) En el caso n igual a 5, para demostrar quep + qlB es una quinta potencia no solamente hay que suponer que p y g sean pride este
mos entre sí, como en eI caso de ser z
igual a 3, sino que además han
de
tener paridad contraria (es decir, ser uno par y el otro impar) y además, g tiene que ser divisible por 5. Para demostrar este hecho, Dirichlet hizo un estudio sumamente cuidadoso de Ios números de la forma xz - 5y2. Su
demostración, que tomaba por modelo
otros trabajos de Euler, incluido su riguroso anáIisis de los números de la formax2 + 3yz así como otros trabajos
de Joseph-Louis Lagrange y Carl Friedrich Gauss, no dependía de ninguna forma de analogías con las factorizaciones de los enteros.
fJubieron
I I
de
transcurrir unos
15 años
antes de que Gabriel Lamé demostrase el último teorema de Fermat para el caso del número primo sucesivo: 7. Su demostración fue un gran Iogro, pero no buen presagio, porque era larga, difícil y estaba fuertemente ligada al número 7. Había pocas esperanzas de poder aplicar tal demostración al caso siguiente, n igual a 11, o a cualquier otro caso del teorema. Se tenía entonces la impresión de que 3. EL I]LTIMO TEOREMA DE FERMAT fue consignado por primera vez en el margen d.e la Aritmética, obra dedicada a teoría de números cuyo autor fue Diofanto, matemático de la Grecia clásica. Fermat estudio cuidadosamente el li-
bro, e hizo numerosas anotaciones marginales en su ejemplar de esta obra, una traducción latina debida a C. G. Bachet. Tras la muerte de Fermat, en 1665, su hijo publicó una segunda edición de la traducción de Bachet deAritmética qae incluía en un apéndice las notas marginales de Fermat. En esta llustración se
no se conseguirían progresos substanciales en tanto no se descubriera un nueYo enfoque del problema. El propio Lamé propuso un tal método en 1847 , al intentar demostrar el teorema general introduciendo las raíces ¿-ésimas de 1a unidad: una raíz ¿-ésima de la unidad es un número
complejo
cx
ta1 que u'¿ es igual a 1, y
que s¿ no es igual a 1 para ningún entero positirro A menor que iz. Ta1 idea no era nueva. Ya en el siglo ante-
rior Lagrange había señalado que introduciendo cr en el estudio de1 ú1timo teorema de Fermat es posible descomponer r" + l'n = zlt et:r factores. cada uno de los cuales contiene -r e \ 'la elevados a primera potencia. r Por'
Io genera[.
la. potencias son
ranto
más sencillas de manejar cuanto más bajas sean.) Para obtener tal descomposición basta notar que 1, o, a2 ...an- 1 son las raíces, o soluciones, de 1a ecuación X'- 1; así en virtud del teorema fundamental del álgebra,Xr - 1 = (X- l)(X-a) (X - a2)...(X - a" - 1). Pongamos ahora
X igual a -x lt, y multipliquemos
ambos miembros de Ia ecuación pory,,.
Como sólo se toman en cuenta los casos en que n sea impar, Ia ecuación resultante serár/¿ +¡,,2 = (¡ +r,)(.r + ay)... (.x + c|' - 7t,) Cada uno de los factores de 17? + yn es un número de la forma ao + a {x + .
ct)c/,2+
... +
atl
1c(/¿
- l dondi
tzo, rz1,
son números enteros. En la actualidad los números de este tipo ...
ct,, _ 1,
I}IOPHAi§TI ALEXAI{DRIh{I
ARITHM E.TICORYhT LIBiTI SEX,
rT DE NVMERTS MVLTAKCVLI§ Ltx§,x ?§Y
{y&{ C0¡rÍ}.ÍEXf ,{Nls {5r ott{erua r tlilt bn.r
D.?./r
*tcceflit Dc&rj nc Ana
try
cx reriJs eiulárnr
§.
(i.8,4€§áfÍ f
C. . {. FER M AT Sen¿tori ¡ Tolofani.
tice i *uent*nr nou um,co I I cCt u nr de f gR¡,{AT Ipilto}i*.
I).
muestra la portada del libro. Traduciendo del latín, anuncia Seis libros d.e
aritmética y un libro sobre números poligonales, por Diofanto d.e Aleja rud.ría, "con comentarios del distinguido caballero C. G. Bachet y observaciones del Señor P. de Fermat, Senador de Tolosa,' y "un nuevo descubrimiento de Doctrina Analítica, recopilada de diversas cartas del mismo señor de Fermat,'. La histórica nota de Fermat se refería a
un problema relativo a ternas pitagóricas. He aquí sus palabras:..Por otra
parte, es impositrle... que ningún número que sea potencia mayor que la segunda pueda ser suma de dos potencias semejantes. He descubierto una demostración verdaderamente maravillosa de esta proposición, que este margen es demasiado estrecho pa-
ra contener.tt
GxeNoes Merelr¿Árlcos
TüL'*§,&,¡ , , ' *aüu&bsi*§.&.H.s,&ñ ..',W*ü¡*.xcgl*xiáall*$1:§i*iet*risiffi 4*ry*4'' : :' ::: :': :. : : . t :,, :: :, .: : :ffi*:**:::a: M. nc. Lxx. 31
pertenecientes al sistema
detectar instantáneamente eI punto
de
más débil del razonamiento de Lamé. Había, además, otros puntos vulne-
-números formado por enteros y potencias
o- se les llama enteros ciclotómicos, porque las raíces n-ésimas de la unidad están estrechamente emparentadas con el problema de división de una circunferencia en z partes iguales. (El
número complejo o puede interpretarse como un punto situado sobre una circunferencia de radio unidad y cuyo centro sea el origen del plano complejo; el arco de la circunferencia comprendido entre
1
y o es 1/n-ésimo
de la circunferencia completa.) Lo mismo que los números a + ó./-3, los enteros ciclotómicos constituyen un sistema semejante a los enteros, pues al sumar, restar o multiplicar enteros eiclotómicos resulta otro entero ciclo-
tómico, aunque al dividirlos, por lo general, no es así.
Til I tratamiento dado por Lamé a los
la
enteros ciclotómicos recuerda al de Euler para los números a + bt[4, aunque pudiera haber sido invención independiente. Dada la factoizaciín de xn + y" en enteros ciclotómicos, Lamé propuso que se aplicara eI "hecho" de que el producto de números primos entre sí (aquí, al decir números se refería a los números enteros ciclotómicos) solamente puede ser una ¿-ésima potencia si cada uno de dichos números es una n -ésima potencia. Llegado a este punto, Lamé vio abrirse ante sí un camino directo para terminar de probar que Ia igualdad xo + y'= zn es imposible. EI problema es que una propiedad deducida de la unicidad de los enteros ordinarios no es más aplicable a los enteros ciclotó-
rables. Tan exuberante era el entusiasmo de Lamé que éste pasó por alto otras varias dificultades serias. De hecho, su método resultó impracticable, ni siquiera para los valores excepcionales de n donde se verifica su hipótesis principal, a saber, n igtal a 3, 5, 7,71,13,17 y 79. Como es natural, Lamé quedó avergonzado por sus simplezas, más aún por ser publicadas en las Actas de Ia
Academia Francesa, con lo que sus errores quedaban a Ia vista de todo el mundo matemático. "Si hubieras estado en París, o yo en Berlín", Ie escribió Lamé a su amigo Dirichlet, en Berlín, "nada de esto hubiera sucedido." En realidad, habría bastado que Lamé hubiese leído las Actas de la Academia de Ciencias de Berlín, donde pocos meses antes había apa-
recido el anuncio de una nueva e importante teoría sobre la aritmética de los enteros ciclotómicos.
EI creador de Ia nueva teorÍa era Ernst Eduard Kummer. Hacía varios años que Kummer se había dado cuenta de que en problemas de teoúa de números, como el último teorema de Fermat, Ia propiedad fundamental de los enteros ordinarios es la unicidad de la descomposición en producto de facto-
res primos, y, por tanto, intentó demostrar esta propiedad para los enteros ciclotómicos. Lo que demostró, en cambio, es que en general tal propiedad no es váIida para dichos números.
(Había comunicado este descubri-
miento er,7844, pero apareció en una
micos que a los números o + ó{-3. Aunque en realidad esta propiedad sí es válida para los números de la forma a + b"'14 (si bien la raz6n no es evidente), no es en general verdadera para enteros ciclotómicos; con mayor
publicación casi desconocida.) Conforme Kummer continuaba trabajando sobre los enteros ciclotómicos,
precisión, sólo es verdadera para unos cuantos valores de ¿, donde n es un número primo impar y a es una raíz ¿-ésima de la unidad.
ciclotómicos, tampoco se necesitaba en toda su fuerza. Su teoría de 1847 ponía de manifiesto que el concepto de
El desafortunado Lamé
se vio tan
arrastrado por su propio optimismo que anunció en una sesión de la Aca-
demia Francesa de Ciencias haber demostrado por su método el último teorema de Fermat. Sin embargo, apenas hubo presentado un esquema de su demostración, Joseph Liouville
se levantó para objetar la forma en que Lamé aplicaba propiedades de los enteros ordinarios a la aritmética de los enteros ciclotómicos. No se sabe si
Liouville tenía noticia del parecido error cometido por Euler. En cualquier caso, es notable que supiera 32
fue üendo cadavez con mayor claridad que el teorem a de faetorización única,
no válido en general para los enteros
factorización única podía modifi carse de manera que en su nueva versión pudiera aplicarse a la demostración de ciertas propiedades sutiles y útiles de los enteros ciclotómicos.
La base de la teoría de Kummer consistía en introducir en Ia aritmética de enteros ciclotómicos 1o que llamó factores primeros ideales, de forma en algunos aspectos análoga a Ia introducción de] número l, o sea, r/-1, en la aritmética de los números enteros ordinarios. No examinaré el catácter ni las propiedades de los números ideales de Kummer, salvo para decir que restituyeron a los en-
teros ciclotómicos y a otros sistemas de números, como Ios de la forma ¿r + órr-3, algunas de las más importantes consecuencias del teorema de factorizacion unica. necesarias para probar el último teorema de Fermat. La teoría de Ia factorización por ideales fue sin duda uno de 1os más altos logros de la matemática decimonónica. La terminología ha evolucionado de forma extravagante y caprichosa, y los números ideaies de Kummer, así como ciertos conjuntos de números asociados a ellos. han terminado por llamarse "ideales". En la actualidad. la teoría de ideales es por sí sola una rama de ias matemáticas. nuevo testimonio de la extraordinaria importancia de 1a obra de Kummer. Su tra-
bajo pone de manifiesto un hecho extraño de la investigación matemática, a saber. que es imposible predecir qué 1íneas de investigación conducil'án a resultados útiles. Es-
tudiando cuestlones subidamente teóricas. de Ia matemática más pura, llegó a formular conceptos de extraordinario r-alor r- \-ersatilidad en toda 1a matemática. En particuiar. 1a teoría de Kummer ha permitido a\-anzar en el estudio del teorema de Fermat más que ningún otro trabajo anterior o posterior. Tan sólo unos cuantos años antes, las demostracrones de los casos /? igual a 5 ¡.ir igual a 7 habían sido consideradas logros fundamentales; pero en 1847 Kummer pudo demostrar que el teorema era cierto para todos 1os exponentes primos menores que 37;y, por tanto. el teorema estaba probado para todo exponente menor que 37. Además, estuvo cerca de probar el teorema para todos los exponentes menores que 100.
I la.
unque muchos histoliadores de ]a ciencia matemalica har-an declarado que la teoría de Kummer surgió al estudiar éste e1 último teorema de Fermat, una lectura cuidadosa de la obra de Kummer ¡' de su correspondencia muestra que su interés por el teorema de Fermat era bastante se-
cundario. El principal objetivo
de
Kummer era encontrar soiución a otro problema de Ia aritmética superior, Ilamada también teoría de números: el problema de 1as leyes de reciprocidad de grado superior. propuesto por Gauss. (El problema de 1as leyes de reciprocidad de grado superior con-
siste en generalizar para potencias mayores que dos la famosa ley de reciprocidad cuadrática, que Gauss demostró para segundas potencias. Enunciada brevemente,
1a
ley de reciTEMAS
1
procidad cuadrática establece que si
p y q son enteros primos e impares, entonces las preguntas "¿Se dife-
renciap del cuadrado de un entero en un múltiplo de q?" y "¿Se diferencia g del cuadrado de un entero en un múl-
tiplo dep?" guardan entre sí relación sencilla.) En 1847, los trabajos de Kummer sobre leyes de reciprocidad estaban todavía en sus primeras eta-
derna, los números primos que verifican tal condición se liaman regulcLres.
(Concretamente, un número primo p es regular si y solamente si no divide con solución exacta al numerador de ninguno de los primeros p - 3 números de Ia serie de fracciones hoy deno-
minadas números de Bernouili.) Si bien la condición de regularidad es suficiente para los exponentes de1 último teorema de Fermat. no es con-
Kummer se precipitó al suponer que el conjunto de números primos regulares es infinito, pero pronto se dio cuenta de que no podÍa demostrar que así ocurre. De hecho, todos los esfuerzos posteriores para conseguir demostrarlo han fracasado, a pesar de que tanto la intuición como la evidencia experimental están a favor
pas; pero hacia 1859 consiguió un gran éxito, al demostrar un teorema general que fue culminación de su
primosp que no son regulares y para
obra de teoría de números. El punto de vista tradicional, según el cual eI interés de Kummer se centraba en el úItimo teorema de Fermat, no anda,
de la proposición de que existan infinitos números primos regulares. (Bastante extrañamente, se ha demostrado que hay infinitos núme-
los cuales se ha demostrado ser imposible que rP + yP = sn. Todos los números primos menores que 100, excepto 37,59 y 67, son regulares.
ros primos irregulares. Alrededor del 60 por ciento de los números primos alcanzables mediante las actuales técnicas de cálculo son regulares, y hay
dición necesaria. Hay otros números
sin embargo, completamente errado,
ya que el teorema de Fermat está emparentado de cerca con las leyes de
reciprocidad. El propio Gauss, aunque negó siempre estar intrínsecamente interesado en el último teorema de Fermat, manifestó la esperanza de que apoyándose en sus resultados sobre leyes de reciprocidad de grado
superior pudiera algún día deducir fácilmente el teorema.
f I-l
Y
a teoría de Kummer, de 1847, era
particularmente valiosa porque proporcionaba una condición suficiente para que un número primo impar fuese un exponente de validez del teorema de Fermat. Dicho de otra forma, si un número primo impar p cumple la condición de Kummer, entonces la
e
ataciónxp
+
yp = zp carece
p
de solución. Con terminología mo-
4
4. ERNST EDUARD KUMMER tealizó
los máximos progresos que se hayan conseguido nunca respecto al teorema de Fermat. En 1847, este especialista alemán de teoría de números, trabajando sobre un sistema de números llamados
enteros ciclotómicos, descubrió una
condición suficiente para que un entero primop sea exponente de validez del teorema de Fermat, es decir, que si el nú-
mero primo p verifica la condición de Kurnmer, entonces es imposible que rn + f' = 8. Los números primos que satisfa-
cen esta condición se llaman actual-
mente primos regulares. Cuando se des-
cubrieron los primos regulares, el
1_-
*:;;;l¡ii::fr.n
tu;ffi;i¡ñ,::
r'? é"
w i':'.+
teorema de Fermat solamente estaba demostrado para los casos de z igual a B, 4,5 y 7; Kummer pudo demostrarlo para todos los números primos menores que 100, excepto tres (37, 59 y 67). Más recientemente se han descut¡ierto otras condiciones suficientes mucho más generales que la de Kummer. Todos los números primos comprendidos en el margen de trabajo de las actuales técnicas de cálculo, incluso sotrre los más grandes computadores, han resultado ser exponentes de validez del último teorema de Fermat. Gna¡o¡s Mersrr¿Árlcos
33
buenos motivos para creer que la mayoria de los números primos son regulares. Así pues, los números primos pueden dividirse en dos subconjuntos. los primos regulares y 1os primos irregulares, de los cuales, el que se supone sea el mayor de ambos conjuntos no se sabe demostrar que es infinito, mientras que sí se
ha probado que su complementario es infinito.) En años posteriores Kummer obtuvo nuevas condiciones suficientes para el último teorema de Fermat, que comprendían todavía más números primos, entre ellos, los primos 37, 59 y 67, que son irregulares. Desde los tiempos de Kummer hasta hoy se han
encontrado condiciones suficientes todavía menos restrictivas, siendo la
descubierta por el profesor H.
S.
Vandiver, de Ia Universidad de Texas, una de las más generales. Sin embargo, ni aun con 1as más amplias de tales condiciones ha podido demostrarse Ia validez del teorema para un conjunto infinito de números plimos. AsÍ pues, por improbable que pueda parecernos, resultaba todar'ía concebible que el teorema de Fermat sólo
fuese verdadero para un conjunto
finito de números primos. )-. por consiguiente, que existiese un número suficientemente grande M tal que el teorema fuese falso para todos 1os números primos mayores que M.
f)or otra parte. ias condiciones suI ficientes actuales son ahora tan generales que incluyen a todos los números primos que han podido ensayarse. Dicho de otra forma, todos los números primos alcanzables mediante las actuales técnicas de cómputo han resultado ser exponentes de validez del teorema de Fermat. Los algoritmos precisos para verificar si un número primo cumple estas condiciones son muy sencillos, y a 10 largo de los últimos años se han realiza-
do comprobaciones sistemáticas en grandes y modernos ordenadores, entre las que destacan Ia efectuadas por D. H. Lehmer, de la Universidad de California en Berkeley, R. G. Selfridge, de la Universidad de Florida, Wells Johnson, del Bowdoin College, y Samuel S. Wagstaff, de la Universidad de lllinois. A principios de 1970, Ios cálculos de Johnson establecían que el teorema de Fermat es verdadero para todos Ios exponentes primos menores que 30.000. Wagstaff, trabajando con técnicas muy refinadas en un gran ordenador de Ia Universidad de Illinois, llevó el limite hasta más
allá de 125.000. 34
Los cálculos anteriores muestran que si hay un contraejemplo al teorema de Fermat, es decir, si existiesen ente-
r, y, z y p tales que rP + yP = 2P. dichos números serían tan enormes
ros
que sobrepasarían con mucho no sola-
mente Ia capacidad de cáIcuio manual, sino también 1a de ios mayores sistemas de proceso de datos que puedan concebirse en un futuro remoto. Sip es un número primo situado más allá del límite de Wagstaff, pongamos por caso, del orden de 300.000, entonces puede demostrarse que es imposible Ia ecuación xP + !]' = zP a menos que r, J, o z sea divisible por p. Así pues, 27' debe ser mayor que 366.gggeoo ooo, número que consta, cuando menos, de un millón de dígi-
tos. Otros resultados muestran que un contraejemplo requeriría números todavía más descabelladamente grandes.
de que surgieran enfoques o conceptos radicalmente nuevos. Es, en cambio, desde hace mucho tiempo, uno de los temas favoritos de 1os matemáticos aficionados, juntamente con 1os probiemas de 1a cuadratura del círculo ¡r 1a trisección de un ángulo con regla y compás. La dife-
rencia entre el teorema de Fermat y estos otros problemas era que ios últimos se sabía ¡-a que eran imposibles,
por 1o que toda presunta solución
podía ser rechazada de antemano. No
había, sin embargo. tal certeza en el teorema de Fermat. Pol e1 contrario. existía una remota posibilidad de que tr'ermat descubriera una demostraclón elemental de1 teorema. Ello no obstante, raramente consiguen 1os aficionados demostrar el caso rz igual a 3, como hizo Eulel hace dos siglos. y mucho menos. 1os casos también conocidos de n igual a 5. 7 u 11. que son mucho mas dificile..
I sÍ que, en cierto sentido, el teola, r.rn, de Fermat es empírica- f)uede que la pertirracia de los matemáticos alicionados mente cierto. Si ia ecuación ¡' + y" = z" I -muchos tiene alguna solución, los números que comporta son tan inconcebiblemente grandes que 1os seres huma-
nos nunca podrán manejarlos. No obstante, desde el punto de vista matemático y filosófico, el tamaño de los números en nada afecta a la validez o falsedad del último teorema de
Fermat. Cuando un matemático afirma que un resultado es válido pala todos los números no se está
refiriendo a que el enunciado sea verdadero para los números que hayan podido encontrarse hasta entonces, o que puedan encontrarse algún día.
Por el contrario, puesto que ni siqulera se había podido demostrar que
el teorema de Fermat fuese verdadero para una colección infinita de
exponentes primos, se podría decir que todo el trabajo hasta ahora reaIizado sobre el teorema no había servido más que para comprobarlo en unos cuantos miles de casos particulares, ¡- que no existía ningún indicio seguro de que el teorema fuese verdadero. Aun siendo, sin duda alguna, uno de los más famosos problemas de la matemática contemporánea, el teorema de Fermat estuvo durante un tiempo bastante al margen de los intereses y de los esfuerzos prioritarios de los matemáticos profesionales, principalmente, porque no se sabía por dónde atacarlo. Su enorme resistencia a los persistentes y poderosos ataques de que había sido objeto en el pasado indicaba que la realización de cualquier progreso significativo dependía
de e1los convencidos de que los resui-
tados "están ahí". espelando que alguien se dé cuenta- guarde relación con la general ignorancia sobre la naturaleza del trabajo matemático. En este artÍcu1o he pletendido poner de manifiesto que 1as matemáticas ni están agotadas ni son meras rutinas; que. por el contrario, los matemáticos suelen ir a la deriva en un océano de preguntas cu\.as res-
puestas desconocen. De hecho.
a1
investigar en matemáticas. el razonamiento da tan tortuosos gilos que el investigador suele terminal hallando respuesta a cuestiones nru.v diferentes de aquellas que se propuso elucidar. Además, como bien muestra 1a historia del teorema de Felmat. hasta los más grandes matemáticos cometen errores.
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HISTORY oF THE THEOR\.OF \L\IBERS.
E. Dickson. Carnegre Ir.rstitution of Washington. 1919.
Ts¡ F¡nv.rr -r¡o Hpssr.rl Porlls or
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Tnl,rNr;l-e. H. E. Fettis en Tlte .*n¿riccut Mutltentatit:u! lult¡ntltlt. r'o1. 5i. n." l. ¡ig.. -J--8: fehrcro. lo-1n. A Sr:ppr¡rr¡rr.\R\. NorE ro : 19-16 AnTICLE oN FER\IAT.S L\ST THEORE\I. H. S. Vandiver enTlte Ant¿rictut Matltenrurícal Montlth. r'ol. 60. n.'' 3. págs. l6-l166: marzo. 1953. MooLtL.cR Er-ru,rrc
Cunvrs rro F¡nlr.rls
Llsr Trt¡ot¡u. Andleu, J. Wiles en Annul.s o.f Motlrcnofic.s. Vol. l"ll. n.o 3. pu¡s. 11.1-55
1.
nraro 1095.
TErvAs
1
i,=-= I comienzo del fin de tan larga historia se produjo del 2I !ii'"', ¿r1 23 de junio de 1993. cr-rando se congregaron en el
=a-,*;.,: Instituto Isaac Nervton de Cambridge los rnás prestigiosos expertos mundiales en georretría arinnética. La geornetría aritmética es una rama moderna de 1as matemáticas: en ella se establecen relaciones entre los números enteros -v objetos geométricos colno curvas. superticies. etc. En ei transcurso de un seminario de estudios sr-rperioLes. \-ante un púrblico formado pol unos cincuenta especialistas. el matemático l¡ritánico Andrew Wiles. prol'esor de la univclsidad de Princeton. presentó sus últimos resultados. En la comunidad mateniática Wiles tiene farna por -sr.r discreción y la potencia de sus trabajos. Sus publicacione\ no \on mlly nllmerosas, pero en ellas se han demostrad,r eotr.ietLtLu. importantes. Que anunciase tres conferencias se-uuidas era Lln buen augurio. El primer dízr expuso unas conjeturas de los años 50. ¡. lentamente. fue sentando las bases del contexto en que se mLleven sus resultados. Al final de la sesíón. sus colegas empezlr()n ii pregLrntarse si no habría demostrado 1a conjetula de Tanir ama. estrechamente asociada al teorema de Fermat. -v. con el1a. éste.
Sin ernbargo, 1a discreción cle Wiles conller'ó c¡ue el públtco respetara su Iaconismo. La conjetLrra del matemático japonés Yutaka Taniyama f ue enunciada en 1955 y prccisada. en 1 c)67. por el francés André Weil. El se-{undo día, Wiles expuso una serie de resultacios sobre curvns elípticas. y demostró que la conietura de Tanivar-na es cierta en determinados casos p¿lrticulares. Su exposicrtin concluvó con una tiase lapidaria. acompañada de una sonnsa británica. extraña en é1. lo que clecía mucho. Así las cosas, el tercer día se triplicó la audiencia: las climaras tbtogr:áficas empezaron a funcionar ¡r. a 1o largo de la se siírn. \\riles rnoslró sr.r resolución de otla parte de l:r conjetr.rra cle Taniyama. esta vez relativa al cornportamiento de las curr-as e1ípticas semiestables. E,n el transcurso de estas exposiciones. l-tizo un desplieguc increíble de recursos. que culminan un¿ se¡ie de lutsa: itlr ertigaciones. El sen'rinario concluyó una vez qlle Wiles abandonir la tiza tras haber escrito en ia pizarra que
uP+¡)+ implica
,l''P=0
¿rr.'r.r'= 0.
Con un flno sentido del humor. alguien del púrblico pre-sLutó para qué valores de p va1ía su afirm¿rción: Wiles escribió. sin decir palabra, que para p > l. Esta es una de 1as formas en las que puede presentarse la conjetura de Fermat Ilarnada. abusivamente hasta aquel momento. leorerna de Fernrat. E,l auditorio estalló en aplausos. 1'por rnedio del correo electrónico se mandaron mensajes al mundo entero. del tenor de éste: "Supongo que ya estaréis enterados de que Wiles ha anunciado que ha demostrado 1a conjetura de Taniyarna para las curvas elípticas serniestables. Este caso particular de la conjetura. gracias a un teorelna que dcmostró hace unos años, implica el Ultirno Teorema de Fermat. En aquella ocasi(rn. probé que la curva e1íptica de Frey. const¡uida a partir de una hipotética solución de la ecuacitin de Fermat. no puede ser modular: es Gn.rxoes MrrEn.rlcos
decir. no puede satisfacer 1a conjeturii de Taniyarna; por contra. cor.lo fácilmente se \¡e. es semiestable" (Kenneth Ribet, de 1a Llniversidad de Berkeley). O de este otro: "Sí. Andrew anunciti una demostración de1 Ultimo Teorema de Fennat. 1' parece qlle 1os cole-uas 1a admiten. Hoy por ho¡,, e1 mlnuscrito ha circulado muv poco. Hay pelsonas que están verificando que no hava nin-rúrn error: las eventu¿iles correcciones pueden ser mínimas. Pienso que se espera clar una versión definitiva a finales de verano. Creo que Katz ha leído la demostración a fonclo ¡ otl'os tienen e1 manuscrito desde hace al-uunas ser.nanas. Estuve presente cuanc'lo hizo su anuncíol mantur.'o 1a audiencia en vilo hasta el úrltimo momento" (R. L. Ta1'lor. alurnno directo de \\'iles). El entusiasnro n'runcLal era comprensible. La conjetura cle Fermat se considera una de las tres principales conjeturas de lrs l.rlatemáticas. juntamente con las dc Poincaré v de Riemann. SLr clilatada andadur¿r comienza con el rnagistrado dc Toulouse Pierre de Fernrat ( 160 l- 1655). uno de los -sigantes de l:.rs m¿rtentitic¿rs. Un siglo antes de que Gottfriecl Will'relni von Leibniz u- Isaac Newton sentaran las bases del cálcLrlo clif-erenci¿r1. clio con 1as ideas principales del c¿ilcLrlo dilelencial 1, obtuvo n.luchos resultados notables de 1a teoría de númert¡s.
. 'l enunciado cle la conjetura dc Fermat se presenta general,, mcnte como sigue:la ecuación,T" + l" =.-", en donde -r. . - son números enteros no nulos v n es un entero lnayor o igual que 3. carece de soluciones. Los griegos sabían qne dicha ecuación posee sol uciones (de hecho infinitas ) cnando el exponente ii es igLral a 2: por ejen'rplo. 32 + ,1r = 51. Ferrnat se preguntó si también las tenía cr.rando n es igual a 3. -1. etc.. y acabó por conl'encerse cle que ése no era ei caso. En el margen de su ejernplar cle la Arilttética de Diof¿rnto dejci escrita 1a frase que ha
.1
rnotivado tres siglos y medio de rnvestigaciones: "Por otla parte. un cubo no es nunca la sum¿r de dos cubos. Llna potencia cuart¿r no es nunca Ia suma de dos potencias cuartas y, más generalmente. ninguna potencia superior ¿r clos es suma de dos potencias análogas. De esta proposicicin he encontrado una den'rostración maravillosa, que no cabe en la estrechez cle este margen." Los numerosos intentos fallidos cle 1a con'runidad rnatemhtic¿r por reencontrar tal dcmostración han ller'¿rc1o a pensar que Fennat. como tantos aflcion¿rdos 1,' aI-uunos plofesionales. clebiri de cometer un error. Las Acadenrias de Ciencias signeLr recibiendo año tras año rnúrltiples demostraciones erróneas de1 teorema de Ferm¿rt; algúrn rnaten-rático conocido ha anunci¿ido así mismo demostraciones que no han resistido el análisis de sus colegas (conio ejernplo. véase lo que se dice al respecto en el artículo soble Cauchy de cstc mismo r"olurnen de Temas). Sin embargo. la vía de investigación que conduce ¿1 este teorema ha ido progresando desde prir.rcipios de siglo. La versi(rn geométrica del problerna consiste en cletect¿ir los puntos de coordenadas enteras por los que pas¿l la cun,a cuya ecu:ición es la de Fermat. En 1923. e1 plofesor de Cambridge Leo Mordetl formuló una conjetura que implicaba qi-re la ecuación de Fermat de exponente fl mayor o igual qr-re 3 posee a 1o sumo un nún1ero l'inito de soluciones enteras sin di'n'isores colrlrnes. 35
mos de n int-eriores a 100 salvo, quizá, para 37, 59 y 67, y por ello recibió la medalla en 1858. Se comentaba que, si ias verificaciones minuciosas del trabajo de Wiles confirmaban sus resultados. la Academia de Ciencias de París debería
remitirle los 300.000 francos de oro. Que se preparase el tesorero. pues los matemáticos confiaban en que se confirmarían. Serge Lang. especialista en el tema. creía que ia demostración de Wiles era correcta. y Enrico Bombieri. rnedalla Fields en 1974 i presente en el seminario de1 Instituto Isaac Neu'ton. declaró que la prueba era rluv sólida. De momento tenía varios centenares de páginas I ¡el mar-sen del libro de Fermat. en efecto.
habría sido insuficiente I Sotto toce se comentaba que la rnás alta distinción en matemáticas. la meda1la Fields. tradlcionaln'rente concedida a Andrew Wiles en el seminario de 1993.
En 1983. el nratenrático alemán Gerd Faltings plobó 1a conjetura de Mordell. Así. cuando el oénero de una cun a es superior a uno (es decir. cuando 1a ecr,ración de 1a curr a \e con'esponde con la superficie de una estela dotada de al rnenos dos asas). 1a cur\¡a posee únicarnente un núrnero finrtc¡ de soluciones enteras sin divisores corrLlnes. Según Pilar Bayer. profesora de la L nir ersidad de Barcelona. e1 factor decisi",o que ha permitido Ilegar hol a 1a solución del problema se encllentra en una idea de Gerl-rard Frer. director del Instituto de \.{atemática Expenr.ne ntal de E:sen. Dicha idea. aparecida en 1986. consiste en asociar a cada hrpotética solución.r. r'. : de la eclración de Fennat una cur\a e1íptica de la forma Il = X (X ,r'¡)(X + r'"). Ribet den.ri¡stró en 1990 que estas clrrvas no pr-reden ser parametrizadas pol funciones de las llarnadas modulares. Por el contrario. 1a conjetura de Tani¡'ama predice que todas las cun'as e1ípticas son r-r-rodulares. Así. por reducción al absuldo. si 1a conjetula de Tani¡ ama es cierta. la ecuacrón de Fermat no puede tener solución.
'[- ste rebrote de actir,idad sobre el problema recalcó su clitié- cultad. pero volr,ió a convertirlo en tern¿1 ¿rclecuaclo de investigación m¿ltemática profesional r' dio írnpetu a Wiles para emprender un ataque paciente ¡' sistemático contra é1. Wiles no ha probado la conjetura de Tanir.¿rma en toda su generalidad. pero sus resultados son suficientes para abarcar ia clase de cu¡vas consider¿rdas pol Frel'. Puede por tanto conch-rirse que la ecuación de Fermat carece de soluciones para los erponentes n superiores a 2. En una sesión extraordinaria de 1a Acadernia de Ciencias de París. e1 28 de junio de 1993, Jean-Pierre Selre lecalcó que. tras el hal1az-so de Wiles, el flu.jo de demostraciones falsas clel teorema de Fermat que le son remitidas por la Academia para su examen no cesará. ya que quienes se creall plecursores de Wiles no ciejarírn de reclamar su prioridad. En el transcurso de 1a misma sesión de la Academia. inusual por el gran núrnero de jóvenes matemáticos presentes en el auditorio, Gustave Choquet recordaba la promesa que en 185'l la Academia hizo de otorgar una rnedalla de oro y 300.000 francos de oro a quien lograra demostral el teorema de Fermat. Ernst Kummer, el artífice de los números algebraicos y creltdor de Ia teorÍa de ideales, probó, mediante sus notables métodos. que 1a conjetura de Fermat era cierta para los valores pri36
rnatemáticos de menos de cuarenta años.
podría ser concedida a \\.i1es. Hace tres años la recibió M. Nf ori. que tenía va más de cuarenta años. y Wiles sobrepasaba esta edad latídica sólo en Llnos pocos meses...
.1-egún Stephen Smale. otro de los Iaureados con la medalla =-...= Fields, la importancia de las conjetuÍas es discutible. Cuando se trata de puntos aislados en las matemátlc¡s. no sue1en ser abordadas con éxito. y éste era. se-eún é1. el caso del teorema de Fermat hace diez años. Con posterioridad. notables avances han permitido coneciar este teorema con dorrrinios ya explorados. Esta integración armónica en un coryus matemático es Ia que ha transfo¡mado en realidad una quimera. Podríamos mitificar ahora el asunto diciendo que no era propio de desafío tan acreditado como el qr.re nos ocupa dejarse eliminar "tan fácilmente". La realidad es más pro:rica. pero de parecidas consecuencias prácticas. Ai poco de su anuncio. Wiles presentó un manuscrito de ?00 páginas a Inventiones Motllenúticue 1. el editor de esta ler-lsta. Barry Mazur, de Ia Universidad de Harr.ard. se lo envió a seis
recensores, quienes detectaron diversas pegas. Wiles subsanó inmediatamente casi todos los problenias. de poca monta. que le plantearon. pero uno de ellos resultó ser trrenos tratable. En diciembre de 1993 Wiles tur,o que reconocer que estaba trabajando en un "cálculo" que no estaba "aún con'rp1eto". si bien manifestaba su confianza en "terminarlo en un futuro cercano". Esto reavivó el escepticismo de lnuchos sobre 1a realidad de 1a prueba y les hizo pensar en un retomo lictorioso de1 espectro de Ferm¿it. aunque los pocos especialistas que tur-ieron acceso al manuscrito apostaban por la victoria final de nuestro homble. Por lo que a éste se refiere. se retiró de 1a circulación para preparar a fondo su segundo asalto. que no tenía fecha fijada, pero cuya celebración se fue demorando más de 1o esperado, ante la impaciencia de los aficionados. E,sta circunstancia v Ia falta de noticias respecto a su quehacer au[lentaron la ernoción del asunto todo, aunque. conforme iba pasando el tiernpo. Ia natural tendencia al olvido actuaba tan-rbién en sentido contlario. Por fin. en junio de 1 995. algo menos de dos años después del anuncio inicial. y tras siete meses de exhaustiva comprobación de un manuscrito revisado. la comunidad rnaternática dio su beneplácito oficial a la validez de 1a prueba. que ocupa por sí sola un número entero de Ia revistaAn¡zals of'Mctthentct¡ic.r. Se incluyen en eila dos trabajos, uno que es básicamente el inicial de 1993 y otro, elaborado por Wiles junto con su antiguo discíTEMAS I
pulo Richard Taylor, dedicado a resolver, o por lo menos a obviar, la famosa dificultad detectada por 1os especialistas hacia el
final
de la demostración
Annais of Nfathematics. 142 (1995), .143 551
ori-
ginaria. Ahora todo el mundo reconoce que, aparte del hito llamémosle deportivo, 1o verdaderamente importante del trabajo de Wiles es la utilización de métodos matemáticos nuevos y poco conocidos, que hacen más difícil su
Modular elliptic curves and
Fermat's Last Theorem
comprensión y evaluación, pero que también han abierto nuevos caminos al quehacer matemático.
Bl Alolrn
J as explicaciones dadas por Wiles l-¡ sobre sus experiencias durante el
F¡.¡r
\\-rr.r.:s*
)'rtrlu. Clatr:. Kott anrl OLittio,
proceso no dejan de sorprender por su
C'ubutn
concordancia con las reflejadas por Poincaré en el texto que abre este volu-
itt.rolittr nullot¡t tn infinítunt tLltrrt quctclrnturrt pottslola.rn tn du¡¡s t¡r:,lt trt tLt¡r¡LitLi.; .fo.: e,st dit,idr:¡t:.: cujus re,i dr:.rnor¡ stratiottti¡t turrLlt¡l¡ nL tart. i.t(..1 í. IIonc: rnnt qinis e¡iqtLito.s
men. Wiles empezó a ocuparse del problema de Fermat en su juventud, pa.tiendo de la suposición de que Fermat decía Ia verdad al manifestar que había conseguido una prueba. La actividad que se produjo en el mundillo matemático en 1986 le proporcionó "una maravillosa excusa" para retornar a é1. A pesar de todo no sabía por dónde
empezaÍ. Era, según cuenta, como "entrar en una casa a oscuras. Se penetra a tientas en una habitación y, durante meses y hasta años, está uno dándose trompicones con los muebles. Poco a poco se va sabiendo dónde están y puede uno ocuparse de buscar el intemrptor de la luz. Cuando se le encuentra y se da la htz, todo resulta claro. Entonces se pasa a la habitación siguiente y se vuelve a empezar". Este peregrinar por los recovecos del teorema de Fermat le llevó a é1 siete años. La sensación de que iba progresando,
aun sin haber encontrado todavía el interruptor principal, le iba dando ánimos para seguir. Un paso decisivo, 1ogrado en l99l,le convenció de que "la prueba estaba a la vuelta de la esquina". Y 1o estaba, aunque, a su vez, "la esquina estaba un tanto más lejos de 1o que yo creía", confiesa con humor refiriéndose a las angustias finales.
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d¡.to.: t't.tltos. tLut tluotltutctrlua.drut,unt,i.t¡ d.u.os
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nott ctt¡ttttt. Pierre dr: Fermat
Introduction An elliptic (Lu'\'e ovel Q is,said to be ntodul¿rr ilit has a ñnite cor-erirrg bv a moclulal c'ulvc of thc, fc,ilrn,{o(-\ ) Anr-such elliptic cLrr,,'e h¡ls thc-. propeltr. that its Ha-.se-\\-ei1 zct¿r funcrtion hirs an al¿rlr'tic continlr¿rtion arrcl satisfics a functional e(lllatiuri r¡l tlrr: -starid¿ird tr"pe. Il an elliptic cllr'\'e o\-ri1 Q l'ith a given 7-invariant is nroclul¿.Ll'then it is t¡asr.to see that all elliptlc cu¡r'es u'ith the sanre.7-inr';rli;rrrt ¿1re rlrodlll¿lr (irr u'hich case \\'e s¿rr-th¿it the.j-irn'arlant is moclular'). A u'cl1-krrot'n c'orijcc'ture u,hich glex'out of the t'orli of Shirllrla and Tanir-anra in the 19:r0'-s and 19(i0's ¿rsscrts that everv elliptic'c'rrn'c ovel Q is rnodular. Hori'eler. it orrh- iicc¿rrric widel¡'knor.r.l thlough its publicatiou irr ¿r papel of \\"eil irr 1116; \\ct (ns an exercise fol the irrtercstccl rerrclerl). irr s'hich. rnorcoler. \\ei1 gale couce¡rtual er.idence fol tlx: conjcctrrre. Altlir¡rrgli it had been nunretic¿rllv velificcl itr rri¿rnr.c:rses. plior to the rc-qults
In 19¡,r Ftev rlarlc thc lcrlark¿rbk: observation that this coniecture -shoulcl irrplv Fclruirt s L¿rst Theolern. The precise tnecharrisr¡r lclating the t§'o §'¿ls fbrrnul¿itecl lx- Serre as the :-corLjecture arxl tliis l,¿rs then plovecl lrv Ribct iit the surtrnter of 19E6. Ribet's resuit onl¡. rc<|rirr-.s one to pro\-e thc c'orrjcc'ture serni-.t¿ilrle r:lli¡rtic:
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"The work on this paper wm supported by an NSF grant.
La dificultad estribaba en la utilización de un compiejo y demostración. sino simplificarbuena parte del material elabonovedoso utensilio matemático. llamado sistema de Euler. al rado con anterioridad. que Wiles había recurrido para solventar un punto muerto de Uno de los aspectos interesantes del artículo "Modular ellipsu enfoque anterior. Tras una larga e infr¡lctuosa pelea con el tic curves and Fermat's Last Theorern". 1a publicación en que sistema de Euler, "le eché un último vistazo e intenté formu- Wiles expone sus resultados es que. a1 final de su Introducción. 1ar con precisión en qué fallaba". recordaba Wiles en mayo de se incluye una detenida historia intelectual y personal Cel peri1995. "Y de pronto, el l9 de septiembre dei año pasado. tuve plose-guidoporelautorhaciasudescubrirriento.quenodejará un¿rrevelaciónmaravillosa". viendo. "comoenunLelámpago".. de proporcion¿lr tem¿l de trabajo a futuros matemírticos. histola clave del asunto. "Se habían acabado mis problemas. Esto riadores de la ciencia y estlrdiosos cle los procesos mentales y rne dejó tan sorprendido que durante r.arias horas me olvidé de cognoscitivos. ello y me dediqué a cierto papeleo administrativo, volviendo Wiles es de 1a opinión de que a Fermat le sorprendería conoluego al tema p¿lra comprobar si todavía seguía al1í. Era tan certodoel trajínproducidoporsLrnot¿imarginal,aitiernpoque senciilo y tan elegante que. de entrada, parecía demasiado le encantaría saber todo 1o que ha contribuido a la historia de bonito para ser cierto." La verdad era que ''era demasiado bonito 1a matemática. Queda ahora a los matemáticos la tare¿r de para ser falso", perrnitiéndole a Wiles no sólo completar la encontrar un reemplazo. Gne¡»Es MArEMÁTrcos
37
Gaspard Monge Bruno Belhoste
fines clel siglo XV{f Í, racion(tlizé el arte de la delíneaciów parts crtrwertirk¡ en geometría descriptiva. Gaspard f$§orzge,
a
R.enovsdor de lo,s r«tétodos geométricos en matemáticas, €s ut?o de las "furcdadores de la georuetríc diferencial
on ocasión de1 bicentenario de Ia Revolución francesa. Francia rindió homenaje a1 matemático Gaspard N{onge, "panteonizado" en compañía de Condorcet y de Grégoire. A buen seguro! por medio de Monge se quiso honrar 1a acción ejemplar de Ia comunidad científica durante la Revolución. 1. hacer olvidar 1a trágica suerte resen.ada a Lar-oisier, el más eminente de sus leplesentantes. Desde este punto de r.ista. llonge
es doblemente merecedor de recono-
cimiento oficial: para empezar, por su actuación en el año II, en el Comité de Salvación Pública, cuando fue uno de los principales organizadores de la
movilización material y científica
Monge no es solamente un adminisde Ia ciencia sino. con Laplace y Lagrange. uno de los nrejoles mate-
trador
máticos de su tiempo. Funda
1a geo-
metría descriptrr-a. clea los elementos de geometría analítica r- enuncia.
para salvar la República; en segundo
lugar, por su papel esencial, tras Termidor, en la creación de la institución de enseñanza más prestigiosa que la Revolución legó a Francia, la Escuela Politécnica.
BRt \O BELHOSTE es historiador de las ciencia,s ¡' de la educación. e investigador en e1 Selr-icio de Historia de
la Educación del INRD.
I
8 .r'¡,.:, ..: t.;,.i,.t:l:.¡:. ,: ,.,-. ::...:.;|::.;.::..:.:l,.¡l..,:'.....|..|\...
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, ..'1. ,,,. ..j.
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t
1. RETRATO DE MONGE, dibujado en 1803 por Atthalin, un alumno de la Politécnica, en su cuaderno de análisis. Su aspecto no era muy seductor, pero, según el matemático Charles Dupin, también alumno suyo, en cuanto hablaba "sus ojos adquirían un nuevo brillo, sus rasgos se animaban, su rostro, grande y chato como la faz del león, se inspiraba, y parecía ver ante sí los objetos creados por la imaginación del geómetra.,' 38
2.
EL FOLLETO Deueloppemente sur l'Enseignement se publicó
de forma anónima en septiembre de 1794 por orden del Comité de Salvación Pública, pero satremos por Hachette que fue Monge su autor, Se le considera el texto fundador de la Escuela Politécnica y en él se define con todo detalle la organización didáctica, pedagógica y material de la enseñanza. Fijémonos en la palabra fetiche de Monge "Développements" (desarrollos). Tr'-ivres
1
al tiempo que Euler y Meusnier, los primeros teoremas de geometría diferencial. Por importantes que puedan ser, los resultados obtenidos cuentan,
sin embargo, menos que la forma de obtenerlos. Toda la genialidad de Monge reside en su estilo: un agudo sentido de lo concreto aliado a una gran capacidad de abstracción; potencia de evocación geométrica; un don pedagógico nada corriente. Su obra y su enseñanza inspiraron a una generación de jóvenes matemáticos; su nombre permanece ligado a la renovación de los métodos geométricos en matemáticas. métodos que conocieron un inmenso desarrollo en eI siglo xIx.
¡/al aspard Monge nació el 9 de mayo \J ¿e 7746 en Beaune, donde su padre tenía una merceria. Realizó excelentes estudios con los oratorianos de Beaune y, más tarde, de Lyon. luego, "Estaba dotado -rememoraría evocando sujuventud- de una incon-
cebible tenacidad de espíritu, y mis
manos ejecutaban con facilidad asombrosa todo lo que concebía." 8r,7764, el segundo comandante de la escuela
del cuerpo de ingenieros militares de Méziéres, que se hallaba de paso en Beaune, se fijó en un plano de la
ficaciones, el problema de la desenfilada, que señaló el punto de partida de su carrera científica. A partir de 1766 da cursos a los alumnos de ingenierÍa, de ayudante ("répétiteur") primero y de profesor al poco. Durante casi 20 años Monge es el alma de Méziéres, donde
enseña no sólo matemáticas. sino también física y topografía.
I la.
I propio tiempo. Monge presenta
la Academ ia de Ciencias investigaciones matemáticas difíciles, consagradas esencialmente a 1a geometría u
Monge, que al igual que muchos otros científicos desea reformas de orden social y político, acoge con entusiasmo
Ios acontecimientos revolucionarios. Arrastrado por su amigo Pache, adopta posiciones cadavez más radicales. .A'1 día siguiente de la caída del rey, el 10 de agosto de 7792, Ia Asamblea legislativa Ie elige ministro de Marina, a propuesta de Condorcet. Por su experiencia de examinador y su conocimiento de los expedientes, Monge parece ser el hombre de la situación. En realidad, como más tarde Laplace,
diente en1,772 y geómetra asociado en
es un experto carente de las facultades de hombre de Estado. Durante sus
1780. En 1783 consigue, merced a su amigo Pache. secretario del nuevo ministro de Nalina. la envidiada
ocho meses de permanencia en el ministerio, en una coyuntura política que es en verdad muy difícil, Monge
plaza de "examinador de guardias
va a conocer más desengaños que éxitos. Muy a su pesar, se ve complicado en las luchas políticas entre girondinos y montañeses, siguiendo la misma evolución política que su amigo Pache. Bastante próximo a los girondinos al
diferencial. Es elegido correspon-
de1
pabellón. de guardias de 1a marina y aspirantes" debiendo renunciar. al año siguiente. a su labor docente en Nléziéres. En Par'ís. )Ionge. que apenas si hace matemáticas. participa en los trabajos de los quÍmicos reunidos en tolno a Lar-oisier. Se une a la nuer.a doctlina química 1- contribu¡'e a su desan'ollo ]' a su difusión.
principio, no tardará en aproximarse a los montañeses. Criticado severamente en Ia Convención por su gestión, dimitirá el 8 de abril de 1793.
villa
que Monge había delineado con un amigo durante el verano; le encontró mérito e invitó a su autor a ir a Méziéres. Para reclutar a sus alumnos, la escuela de ingenieros realizaba un concurso entre los jóvenes de buena familia, nobles, por Io general. El origen del joven Monge contaba a la sazón 18 años- -que era demasiado modesto para ser admitido en eIIa como alumno. Se le empleó, pues, de dibujante en el taller de la escuela, la
+, /H
"gáchette", completando así por la práctica una sólida formación clásica. Descubre entonces con entusiasmo la secreta belleza de la virtuosidad técnica, pero experimenta con no menos dolor la altivez de losjóvenes cadetesingenieros y su desprecio por los oficios manuales. Esta doble experiencia será decisiva para su porvenir como
científico y como político. Monge, en el taller, da clases de matemáticas prácticas a los niños de los alrededores de Méziéres, que se preparan para empleos subalternos en el servicio de fortificaciones. Al mismo tiempo, :utlliza Ia biblioteca de la escuela para iniciarse en las matemáticas superiores. Sus jefes pudieron darse cuenta pronto de sus aptitudes. AI poco de su llegada a la escuela, descubrió un método gráfrco,
rápido y elegante, para resolver un problema clásico del arte de las fortiGne¡oes Mer¡,rr¿Árrcos
GEOMETRIA DESCRIPTM, el objeto del espacio se proyecta sobre dos pla-É, y II, vertical y horizontal, y a continuación se abate el plano vertical, .F, sobre el horizontal,.EI, haciéndolo girar un cuarto de vuelta alrededor de la línea de tierra XY. Las dos proyecciones forman la representación del objeto. La recta AB está representada por dos rectas, ab y a'b'. El plano P está representado por sus trazas aa y aó, que cortan a la línea de tierra en un mismo punto, o. 3. EN
nos ortogonales
39
De vuelta a la vida privada, da algunas lecciones de matemáticas y reaparece en la Academia de Ciencias, que está viviendo sus últimos días. Cuando
Ia Convención decreta 1a movilización general, durante el verano de 1793, participa inmediatamente en el esfuerzo bélico. Durante un año, con responsabilidades crecientes, será uno de Ios principales organizadores de Ia moviIización material y de la política de armamento. Crea, con Hassenfratz, Ia fábrica de armas de París. A partir del mes de diciembre de 1793 trabaja en ias oficinas del Comité de Salr.ación Pú-
blica, a ias que han sido llamados dos oficiales del cuerpo de ingenieros militares, Lazare Carnot. que fue alumno
suyo en Méziéres, y Claude Prieur.
Redacta allÍ numerosas disposiciones de carácter técnico, interesándose mu¡,en especial por la fabricación de cañones. En marzo de 179.1 es uno de ios instructores de la Escuela de Almas. creada para difundir rápidamente 1os métodos revolucionarios de refino de1 salitre y de la fabricación de póh-ola y de armas. Supen-isa. por ú1timo. la construcción en Gi'enelle de una glan fábrica de pólr'ora. que hizo explosión
geometría descriptiva en la nueva
el 31 de agosto de 1794, causando más de mil víctimas. Este desastre señala el final de su participación en el es-
Escuela Normal, abierta en el Museo.
fuerzo béiico.
de
Inquieto tras los acontecimientos
Prairial, Monge se oculta algunos
meses, reanudando después sus ense-
]ll'¡ n estu época. Monge está acaparado ya por la creacion de la
ñanzas en la Escuela Politécnica.
Escuela Central de Trabajos Públicos, 1a futura Escuela Politécnica. Merced a Ia protección del Comité de Salvación Pública, Iogra imponer sus ideas en materia de educación científica y técnica: 1a nueva escuela será enciclopédica ¡' sus profesores serán los mejores sabios e ingenieros del momento. En el programa, dos disciplinas se 1levan la parte del león: Ia geometría des-
política, aprovecha
criptir.a. invención de Monge, y la nuer.a química de Lavoisier. El mate-
rial pedagógico y el personal técnico serán considerables. Monge prevé que recibir lecciones magistrales, efectúen trabajos 1os alumnos, además de
dirigidos y realicen experiencias de laboratorio. Su proyecto, concebido antes de Termidor, es Ilevado a la práctica
a
finales del año 1794. Monge
participa entonces en Ia vida del esta-
blecimiento. Al mismo tiempo, impai'te durante tres meses un curso de
Pero, temeroso siempre de
1a
reacción
1a ocasión que le
brinda una misión en Italia para ale-
jarse algún tiempo de
1a
capital. Es
entonces cuando conoce a Bonaparte. al que otorgará una amistad indefectible. Tras una breve estancia en París, retorna a Italia. donde se une a 1a expedición que parte hacia Egipto, en mayo de 1798. I,Ionge, en
El Cairo, organiza el Instituto
de
Egipto. Es entonces uno de los confidentes de Bonaparte. a quien acompaña en su peligroso viaje de regreso. Tras Brumario. )fonge es nombrado senador. Napoleón 1e colma de honores v le nombra conde de Péiuse en 1808. Continúa. no obstante. enseñando aná1isis en la Escuela Politéc-
nica hasta 1809. En 1815. Monge cuenta 69 años. Disminuido va física e
intelectualmente. asiste con desespe-
ración a la caída del Emperador. La segunda Restauración le expulsa sin contemplaciones de1 Instituto y cierra durante un tiempo 1a Escuela Politécnica. Monge no puecle soportar 1a prueba. Sombra de sÍ misnto. amurallado en el silencio, fallece e1 28 de ¡uiio de 1818, sin haber recr-rperado el ánimo.
ñon relación a sus grandes con\-/ temporáneos. EuJer'. Lagrange o Laplace, Monge desarrolla una concepción de las matemáticas completamente original. Dos rasgos caracte-
rísticos de su actividad científica merecen destacarse aquí.
En primer lugar. NIonge jan.rás separa por completo Ia creación mate-
mática de la invención técnica. En la escuela de Meziél'es sus comienzos son de "artista": dibuja. corta piedras y maderas )¡ prepala en e1 taller modelos de escayola; su habilidad es notable. Conservará toda su vida este sentido de Io concreto, que 1e liga al mundo del burily del tal lel del que pror iene. Su obra se dirige inicialmente a los "artistas". a 1os ingenieros ]-. en sentido más amplio. a 1os que él denomina. 4. DESENFILAR UNA FoRTrFrcACroN consiste en elevar su recinto de forma que su interior quede protegido de tiros directos del enemigo. Si la fortificación se construye sobre terreno llano, la desenfilada no presenta dificultad, pero en terreno accidentado el problema es más delicado. El método de Monge para desenfilar un pun-
to A consiste en construir el plano de sitio, esto es, un plano tangente al cono cuyo vértice se encuentra en A y que se apoya sobre el contorno aparente -Ér del terreno, visto desde tal punto. Monge determina gráficamente sobre el mapa la ttaza T del cono sotrre un plano horizontal zl y dibuja la recta D tangente a r, la más próxima del punto A a desenfilar. Esta tangente en B y el punto A determinan el plano de sitio. Basta entonces construir el muro de la fortificación sobre el plano de sitio, como en terreno llano. 40
en sus lecciones de 1a Escuela \ormal. hombres de genio", entiéndase. a
"1os
los que conciben, por contraposición a
quienes meramente ejecutan. Su geometría descriptiva. por ejemplo, es en primer lugar un procedimiento de dibujo técnico. que sistematiza los métodos de talla de 1a piedra.
Incluso sus trabajos de geometría diferencial, de carácter mucho más Tsr,res
I
teórico, beben y se inspiran en las "artes": forma y aparejo de las bóvedas, dibujo de las sombras, etc. A este respecto, el mejor ejemplo es
probablemente su célebre memoria sobre desmontes y terraplenados, pre-
sentada a la Academia en 7776 y publicada en7784. La fortificación exige enormes excavaciones, y de aquí el importante Iugar concedido al moümiento de tierras en las enseñanzas de Méziéres. EI problema de los desmontes y terraplenados consiste, en particular, en determinar por qué caminos se pueden transportar con trabajo mínimo
alumnos, un admirable talento pedagógico. Cautivando al auditorio con
imparte dos cursos de geometría des-
su entusiasmo, hizo así que varias
después, durante un año, enseña geome-
generaciones de alumnos descubrieran las bellezas de la geometría. Su vida científica estuvo marcada por dos largos períodos de docencia: los 20 años pasados en Méziéres, de
1764 a 1784 (además de un curso impartido en el Louvre hacia 1780), y los 15 años de la Escuela Politécnica, de 1794 a 1809 (con una interrupción
de casi cuatro años, desde 1796 a 1799). El punto culminante en esta actividad profesoral se alcanza entre enero de 1795 ymayo deL796: en 1795
criptiva, uno en la Escuela Politécnica
y el otro en la Escuela Normal;
tría analítica y geometría diferencial a Ia flor y nata de los politécnicos. De estos cursos saldrán dos obras que se
convertirán en clásicas de la literatura matemática del siglo xx: su Géométrie descriptiue, resultado de las Iecciones de la Escuela Normal, publicada como obra independiente en L799, y sr Application de I'analyse a
la géométrie, impresa en un principio en forma de hojas sueltas, que se distribuían a los alumnos, y reunida en
las partes de una masa de tierra (desmonte) para depositarlas en otro
lugar (terraplenado). El trabajo total invertido es la suma de todos los trabajos moleculares, proporcionales cada uno al producto del peso de una molécula de tierra por el espacio recorrido por ella. Monge trata sucesivamente eI problema en el plano y en el espacio. A decir verdad, los resultados obtenidos no tienen mucha aplicación práctica1, el problema en el espacio es un puro ejercicio escolástico, pero Ie da a Monge ocasión para exponer teorías de gran importancia, sobre las que volveremos más adelante: congruencias de rectas, líneas de curvatura, podarias desarrollables
,.1:,
y superficies focales. Aparte de sus trabajos matemáticos, Monge tuvo gran interés por la
I
.'
.:
técnica. Su matrimonio le convirtió,
en 1777, en maestro de forja en
Rocroi, donde se apasionó por la metalurgia del hierro, interesándose tanto por los problemas de fabricación como
por los de teoría metalúrgica; visitó un sinfín de factorías. Junto con Berthollet y Vandermonde, da en 1785 la primera teoría de la fundición
y del acero conforme con la doctrina de Lavoisier. Su íntimo conocimiento
de estas cuestiones le resultará precioso en eI año II, cuando deberá ocuparse de producciones bélicas.
I parte de este interés por los prola, ble-u. prácticos, Monge desempeñó un papel determinante en Ia enseñanza. Mientras que los matemáticos del siglo xvIII eran ante todo académicos, Monge fue sobre todo profesor. A pesar de ciertas dificultades de elocución, poseía, al decir de los
5. REPRESENTACION de dos planos tangentes a un elipsoide de revolución que pasan poruna recta dada. El elipsoide está representado por sus proyeeciones, a saber, un círculo en el plano horizontal y una elipse en el plano vertical. Gn¿.N»es
Mer¡uÁucos
11
un volumen, con complementos, en 1807.
La preocupación pedagógica impone al estilo matemático de Monge una impronta peculiar. Lo dicho vale sobre todo para la geometría descriptiva. Si Monge eleva esta técnica gráfica al rango de ciencia matemática es debido a que se trata de una disciplina a enseñar. En Méziéres se la consideraba un secreto del oficio, concebida meramente como método para tallar
piedras, y estaba prohibido darla a conocer fuera de allí. Durante Ia Revolución, al tiempo que alumbra Ia idea de una enseñanza técnica cuyos primeros grados estarían abiertos a obreros y artesanos, y cuyo grado
,/
superior sería la formación profesional del ingeniero, Monge se convence de que los métodos de dibujo geométrico utilizados en Méziéres deberían enseñárseies a todos y convertirse asÍ en el lenguaje universal de las artes mecánicas. Inventa entonces el tér-
mino "geometría descriptiva", que sale de su p'luma por primera vez en septiembre de 1793.
tentar generalizar los métodos. Euler, en la introductio in Analy sis infinitorum, de 1748, comienza el trabajo de ordenación, dando, en concreto, Ia primera clasificación general de las cuádricas. Pero es necesario esperar a Monge para encontrar la geometría de la recta y del plano expuesta analíticamente de forma sistemática. Es probable que fuese en sus cursos
La creación de la geometría anaií-
del Louvre donde enseñase por pri-
tica elementai obedeció igualmente a fines didácticos. Tras Descartes y 'los plimeros en Felmat. que luelon aplicar el álgebra a Ia geometría, los matemáticos habían tratado analíti-
rlera-vez los elementos de geometría analítica, volviendo a ocuparse de ella en el curso de la Escuela Politécnica. Deseando mostrar a los alumnos que un problema de geometría puede tratarse igualmente por el análisis que por la descriptiva, ofrece una exposición que se ha convertido en clásica de Ia geometría analítica de la recta y
camente numerosos problemas de geomel ria en el espacio. pero sin in-
del plano, que volvió a publicarse como introducción de stt Application de l'analyse d. la géométrie, en 7807.
Si la importancia concedida a las aplicaciones técnicas y el papel desempeñado por la docencia caracteri-
zan la actividad matemática de Monge, es la omnipresencia de la geometría la que establece la unidad de su obra. Como escribe René Taton en su estudio sobre Monge, éste aparece como el primer espíritu innovador de tendencia verdaderamente geométrica desde Desargues. Sus métodos son diversos, ora descriptivos, ora analíticos, pero siempre destaca la voluntad de "hacer ver" los objetos estudiados y los razonamientos
utili-
6. MONGE extrae de un protrlema de geometría descriptiva la demostración de un
teorema de carácterproyectivo de la geometría plana. Considera los dos planos
tangentes a una esfera que pasan por una recta dada, y después, cada ulo de los conos cuyo vértice se encuentra sobre la recta y atrarcan a la esfera. Cada cono toca a la esfera a lo largo de un círculo, y todos estos círculos pasan por los dos puntos de contacto de los planos tangentes con la esfera. Dicho de otro modo, los planos de estos círculos se cortan en una misma recta perpendicular al plano que pasa por la recta dada y el centro de la
esfera. Si ahora consideramos la proyección sobre este plano de la figura formada por la recta, la esfera, y los conos envolventes, podemos enunciar el siguiente teorema de geometría plana: sea un círculo y una recta D exterior a é1. Existe unpuntoÁ en el interior del círculo tal que, cualquiera que sea el punto deD por el que se tracen dos tangentes al círculo, la cuerda que une sus puntos de
contacto pasa por A. Recíprocamente, dado un punto cualquiera A en el inte-
rior
del círculo, existe una recta D exte-
rior al círcu-lo tal que, cualquiera que sea la cuerda del círculo trazado por A, las dos tangentes trazadas por sus extremidades concurren en un punto de D. 42
TEN,rAs
I
7. LA ENVOLVENTE en el plano de la familia de rectas D, que pasan por un punto K que se mueve a lo largo de una recta A, manteniéndose perpendiculares al segmento /{I' (siendo -F un punto fijo), es una parábola (izquierd.a). El punto de conlacto M de cada tecta D, con su envolvente, llamado punto característico, es el límite del punto C de intersección de una recta Dr, de la misma familia, cuando Dr, se aproxima a la recta Dr. Cada una de las rectas de la familia uniparamétrica D, es una involuta. Monge generalizó a las superficies la teoria de involutas y envolventes; así, la familia de planos P, dependiente del parámetro f envuelve una superficie que Monge denomina "desarrollatrle" (d.erecha).Larecla D es la característica del plano P, intersección de éste con un plano infinitamente próximo de la misma familia: esta recta D, es una generatriz de la desarrollable. Monge demuestra que el plano tangente a la superficie S es el mismo plano P, en todos los puntos de una generatriz Dr. Todas Ias generatrices de la desarrollatlle son tangentes a una misma curva trazada sobre la envolvente, llamada arista de retroceso o línea de estricción. Si la superficie S es cortada por un plano cualquiera que pase por M, la curva de intersección tiene un punto de retroceso en ese punto.
zados. Su estilo es Yisual, a costa a veces del rigor, 1o que se acusa sobre
todo cuando se trata de geometría
dra. Pongamos un ejemplo mr-r¡- sencillo: Ia ta11a de un fuste de columna. Para obtener' }a sr-rpelficie cilÍndrica
diferencial. Muchos jóvenes matemáticos de principios del siglo xlx, hartos de la aridez del estilo analítico tan
de una columna de un bloque vertical de piedra. puede procederse del
alabado a finales del siglo precedente, adoptaron con entusiasmo esta forma tan expresiva de hacer matemáticas.
del bloque. obtenrda con un corte a escuadla. se traza un círculo, a 1o Iargo del cuai se abate terticalmente la piedra. Geométricamente, esto equivale a consideral que el cilindro
\To creamos. sin embargo, que l\ Nlonge utilizaba figuras en'su
siguiente modo. .obre la cal'a 5uperior
recto de base cilcular está engendrado
geometrÍa. Trabajaba sobre una
por el desplazamiento de una recta,
representación rn-ental de las formas
paralelamente a sí misma, a Io largo
la extensión, entendidas en toda su generalidad. "Nadie ha concebido ni hecho más geometría sin figuras que Monge", escribiría categórico Michael Chasles, añadiendo: "Monge sabía como nadie hacer concebir en el espacio las formas más complicadas de la extensión, y penetrar en sus relaciones generales y sus propiedades más ocultas, sin otro recurso que el de sus manos, cuyos movimientos secundaban admirablemente a su palabra, a veces difícil, pero siempre dotada de la verdadera elocuencia del tema: la de
de un círculo situ.ado en un plano per-
pendicular. Se dice que el cilindro está engendrado por dos generatrices, a saber. 1a recta vertical 1- el cÍrculo. En 1a forma de ger-reración considerada, la circunfer"encia constitu)'e la curva dir"ectriz. pues ella es 1a que dirige el mor-imiento de la recta. PodrÍamos igualmente haber imaginado que e1 ciiindro estaba engendrado por el desplazamiento del círculo a Io largo de la recta. paralelamente a sí mismo. Es-
tos modos de generación no pertenecen sólo a1 cilindro recto de base circu-
pulcritud y la precisión, la riqueza y la profundidad de ideas." Para conseguir esta capacidad de evocación abstracta, Monge se apo-
1ar, sino a toda superficie engendrada por e1 desplazamiento de una recta
yaba en una concepción original de las figuras en el espacio, consideradas por Ia forma de generarse. Como siempre
de superficies, más general, recibe el nombre de superficies cilíndricas. Monge generaliza este caso a toda suerte de familias de superficies, definida cada una por su forma de generación. Considera así Ia familia muy general de las superficies regladas,
ocurre en este autor, la idea, que se desarrolla ampliamente en sus enseñanzas, se apoya sobre una experiencia obtenida de la práctica técnica, en este caso concreto Ia talla de Ia pieGn¡.No¡s MarsiuÁrrcos
parelelamente a sí misma, a lo largo de una curva cualquiera. Ta1 familia
engendradas por el movimiento de
una recta en el espacio, familia a la que pertenecen todas las superficies que aparecen en la talla de piedras; algunas son alabeadas, como los conoides, engendrados por el desplazamiento de una recta a 1o largo de otra recta y de una curva cualquiera que
no estén contenidas en eI mismo plano, recta móvil que se mantiene
siempre paralela a un plano dado; otras superficies son desarrollables, es decir, aplicables sobre el plano sin desgarros ni duplicaciones, como ocurre con las superficies cónicas o cilíndricas. El propio plano es una super-
ficie reglada, engendrada por el desplazamiento de una recta paralelamente a sí misma a lo largo de otra recta concurrente. En cuanto a las superficies de revolución, que por lo general no son regladas, están engendradas por la rotación de una curva cualquiera alrededor de un eje o, si se prefiere, por el desplazamiento de un círculo, de eje dado y radio variable, a 1o largo de una curva dada. Otra familia de superficies considerada por Monge es la de las envol-
ventes de familias de superficies dependientes de un parámetro. Estas superficies están engendradas por las características de las envueltas, es decir, las curvas de intersección de las envueltas con una envuelta infinita-
mente próxima. Una desarrollable, por ejemplo, es Ia envolvente de una familia uniparamétrica de planos. Se puede demostrar que las características de una familia de superficies uniparamétricas son tangentes a una ,13
modo de generaciórr, así como de conssus planos tangentes y normales.
truir
Permite obtener la curva de intersección de dos superficies (y desarrollarla sobre un plano, si una de estas super-
ficies es desarrollable) así como los
S.LASEVOLUTAS deunacurvaen el espacio: Huygens frre el primero en estudiar las evolventes y las evolutas de una
curva plana. Si desarrollamos un hilo inextensible arr.ollado a lo largo de una
curva mánteniendo tenso su extremo li-
bre, éste describe una segunda curva, que es una de las evolventes de la primera. Recíprocamente, ésta es la única evoluta de la curva descrita por el extremo del hilo. Geométricamente, la evoluta de una curva plana es el lugar de sus centros de curvatura. Las tangentes a la evoluta son siempre, por lo tanto, perpendiculares a la curva dada. En 1771, Monge generaliza la definición anterior a curvas en el espacio: el extremo de un hilo arrollado a lo largo de la evoluta ha de descrit¡ir la curva dada, al desenrollarlo manteniéndolo tenso. Monge demuestra que todas las evolutas de un curva (existen infiniúas) son geodésicas de la polar de la curva, superficie desarrollable engendrada por los planos normales a la eurva. Si ésta se encuentra contenida en un plano, la su-
perficie polar es un cilindro recto ele-
vado sobre la evoluta en el plano de la curva. Hemos representado aquí tres evolutas de una evolvente del círculo: un círculo y dos hélices.
misma c:u:t:ya tÍazada sobre Ia envolvente, que Monge llama arista de retroceso. El estudio de ]as envolventes y de sus aristas de retroceso llevó a Monge a resultados muy penetrantes en geometría diferencial y en teoría de ecuaciones en derivadas parciales. Me limitaré a mencionar aquí, muy brevemente, la importante contribución de Monge a la teoría de las ecuaciones en derivadas parciales. La idea básica, concebida ya en 1777 y
ampliamente desarrollada en su Application
d.e I'analyse d, la géoméfrle, consiste en asociar una ecuación en derivadas parciales con una familia de superficies. El estudio geomé-
trico de estas superficies y de los modos en que se generan proporciona
informaciones esenciales sobre la ecuación y sobre sus integrales.
La geometría descriptiva constituye un método potente y cómodo de representar sobre una hoja de papel superficies de las que conocemos un 44
perteneciente a una familia de superficies auxiliares, que generalmente lo es de planos paralelos. La geometría descriptiva no es sino lull.a teorización del arte del dibujo lineal; pero al sistematizar procedimientos casi todos preexistentes, Monge simplificó mucho su empleo y
puntos de intersección de tres superficies. Las aplicaciones al dibujo, a la topografía, a la talla de la piedra, al trabajo de la madera y a la calderería son innumerables. Recíprocamente, la geometría descriptiva permite dar demostraciones elegantes en geome-
tangente
tría plana.
ilustra la potencia del método resul-
J l-/
a idea fundamental de Ia geome-
tríadescriptiva no es nueva, pues la encontramos ya, por ejemplo, en el
dibujo arquitectónico en planta, alzado y perfil. Consiste en representar un objeto espacial por sus proyec-
ciones ortogonales sobre dos planos perpendiculares, horizontal el uno y
vertical el otro. Para obtener una representación sobre una lámina de dibujo se abate el plano vertical sobre el horizontal, dándole un giro de un cuarto de vuelta alrededor de la intersección de los dos planos, intersección representada en la hoja de papel por
una recta llamada línea de tierra. Se obtiene así una representación plana que proporciona una descripción com-
pleta del objeto. La representación de un punto del espacio está formada por dos puntos del papel, situados sobre una misma recta perpendicular a la línea de tierra. De igual forma, la representación de una recta del espacio en la hoja consiste en dos rectas, que son, respectivamente, su proyección vertical y su proyección horizontal. Con mayor generalidad, la representación de una curva está formada por sus dos proyecciones, vertical y
horizontal. Para representar una superficie
se
trazan las curvas que definen su modo de generación: un plano, por ejemplo, está representado por los dibujos de dos de sus rectas concurrentes, o mejor todavía, por las trazas de las mismas (es decir, sus intersecciones con los planos de proyección); un cilindro, por su traza horizontal y por la representación de una de sus generatrices, etc. Dado que el plano tangente a una superficie en un punto está definido por las tangentes a dos curvas trazadas sobre la superficie que pasen por ese punto, para obtenerlo será suficiente determinar las proyecciones de estas dos tangentes. Por úItimo, para construir la intersección de dos superficies se procede punto a punto, considerando cadavez la intersección de las dos superficies con una tercera,
extendió el dominio de su aplicación. Su solución al problema de la desenfilada, que equivale a construir sobre el mapa la representación de un plano a
una cierta superficie cónica,
tante. Sin embargo, para é1, el interés propiamente geométrico de Ia geometría descriptiva residía menos en los procedimientos de construcción del dibujo definitivo, que siempre podemos reducir a cambios de los planos de proyección, abatimientos y proyecciones, que en la representación subyacente: aI efectuar dibujos aprendemos a poblar el espacio de figuras; formamos y aplicamos nuestra intuición geométrica.
[ijémonos, por ejemplo. en Ia consI' trucción de dos planos tangentes a una superficie de revolución, que pasen por una recta dada. La representación subyacente a la construcción consiste en este caso en la famiIia de planos tangentes a la superficie de revolución y al hiperboloide de revolución engendrado por la recta que gira en torno al eje de revolución la superficie dada. Supongamos que se trate de la construcción de dos planos tangentes a una esfera que pasen por una recta dada. La representación subyacente, según uno de los métodos explicados por Monge, es la familia de conos tangentes a la esfera cuyo vértice está situado sobre la recta. Considerando la traza de la esfera y de los conos tangentes sobre el plano definido por Ia recta y el cen-
de
tro de la esfera, se obtiene inmediatamente para el círculo una ley de reciprocidad entre polos (que se supo-
nen exteriores al círculo) y polares, propiedad que Monge generaliza inmediatamente a las cónicas y a las cuádricas. La propiedad, por otra parte, está enunciada con toda generalidad, cualquiera que sea la posición del
polo en la figura. Este pasaje de la Géométrie d,escriptiue se encuentra en
el origen de la teoría de la transformación por polares recíprocas, creada por Brianchon, Gergonne y Poncelet.
Por grande que haya sido su influencia posterior, la geometría descriptiva ocupa en la obra matemática de Monge un lugar bastante modesto. Lo esencial de sus investigaciones geoTstvtls
1
métricas concierne en realidad a la geometría diferencial y a Ia teoría de superficies. Su primera memoria, presentada a la Academia en 1771, pero no publicada hasta 7785, trata de las curvas en el espacio. Clairaut había sido el primero en considerar las "curvas de doble curvatura" (curvas alabeadas),
aristas de retroceso de estas superficies se encuentran situadas, por 1o que se refiere a Ia sombra, en la parte trasera del cuerpo opaco, y, en cuan-
to a Ia penumbra, entre los cuerpos luminoso y opaco. Si los dos cuerpos
cuando contaba 16 años, que consti-
son esferas, como es el caso del So1 y de la Tierra, las aristas de retroceso degeneran en dos puntos y las superficies límites son dos conos, llamados conos de sombra y de penumbra.
tuye el punto de partida del trabajo de Monge. Para estudiar la curvatura
En ia memoria sobre desmontes y terraplenes, presentada a 1a Acade-
de Ia curva, Monge comienza por defi-
mia en 1776
en una célebre memoria, escrita
nir la recta polar
de un punto de la
curva como la intersección del plano normal a la curva en ese punto con un plano normal infinitamente próximo a él (se trata pues de la característica del plano normal). El centro de curvatura es entonces el pie de la perpendicular fu:azada desde el punto a su recta polar. Construye a continuación Ia envolvente de los planos normales a la curva, obteniendo una superficie desarrollable a la que da el nombre de superficie polar. Monge demuestra que una curva en el espacio admite una infinidad de evolutas, que forman sobre la superficie polar una familia de líneas geodésicas. 8n1772, un año después de la presentación de esta primera memoria de
Monge, Euler trata de determinar analíticamente las condiciones para que una superficie sea desarrollable.
Monge, que ha encontrado ya en la polar un ejemplo de superficie desaruollable, vuelve a tomar la cuestión de forma genera] en una memoria pre-
sentada a la Academia en 1775 y publicada en 1780. En ella da la ecuación en derivadas parciales de las desarro-
llables, determina la diferencia entre superficies alabeadas y superficies
¡, publicada en 1784, Monge vue'lve a encontrar un nuevo e jemplo de desarrollables en el estudio de las líneas de cun,atura de una super-
ficie. El estudio de las curvaturas de las superficies fue iniciado por Euler en 1760. Euler considera Ias secciones normales en un punto (secciones producidas por los planos normales que pasan por tal puntot, demostrando que, en general. existen en cada punto dos secciones normales ortogonales, Ilamadas secciones principales, para las cuales Ia curvatura es. respectivamente, máxima I'mÍnima, y da la expresión de 1a curvatura de una sección normal cualquiera en función de su azi m ut )' de l a. cul \ at ul as plincipaies: es el teorema de Euler. 8n1774, Monge orienta a su ahrmno ¡. discípulo Jean-Baptiste l[eu-snie1' hacia el estudio de este teolem a. JIeus n ier'. en un a memoria de l ,6. plopolciona una demostración mucho más elegante, y 1a completa relacionando Ia expresión de la curvatura de una sección oblicua cualquiera a la de una sección normal: es e1 teorema de \Ieusnier.
l\ /fonge. dulante este tiempo. elalVI rro., su leor'ra de las lrneas de curvatura. Las secciones principales
desarrollables (una desarrollable tiene el mismo plano tangente en todos los puntos de una generatriz dada) y demuestra que las desarrollables son equivalentes a las super-
definen, en cada punto. dos direcciones principales, tangentes a la superfrcie. Las líneas de cun-atura son curvas sobre 1a superficie, tangentes en cada uno de sus puntos a una de las direc-
ficies engendradas por el movimiento
ciones principales. Estas curvas forman así sobre 1a superficie dos familias de curvas ortogonales, correspondientes respectivamente a las cun,aturas máxima y mínina. Nlonge demuestra
de una recta constantemente tangente a una curva alabeada dada (la desarrollable tangencial). E sta curva, que define la superficie y la divide en dos hojas distintas, es Ia arista de retroceso de la desarrollable. También resulta posible considerar a una desarrollable como la superficie envolvente de planos tangentes a dos superficies dadas, lo que equivale a definirla como envolvente de una familia de planos dependientes de un parámetro. Se deduce de ahí que las superficies limitantes de las zonas de sombray de penumbra producidas por un cue{po opaco son desarrollables. Las GneNoss
Met¡uÁucos
que 1as normales a la superfrcie, a lo largo de las líneas de curvatura, engen-
dran dos familias de desarroilables ortogonales. Las aristas de retroceso de estas dos familias engendran, a su vez, una superficie de dos hojas, llamada focal de la superficie dada. La primera hoja es lugar de los centros de curvatura mínima de la superficie; la segunda, el lugar de Ios centros de
curvatura máxima. Monge utiliza
9. LA SUPERFICIE DEFINIDApoT el movimiento de una recta horizontal a lo largo de dos curvas, en este caso una hélice circular y el eje de la hélice, es una superficie reglada alabeada, denominada helicoide. En efecto, su plano tangente va girando a lo largo de sus rectas generatrices. Lo comprobamos al subir por una escalera de caracol: resulta más fácil subir la rampa por la parte externa, donde la pendiente es menor.
nos que resuelven con valores mínimos el problema de los desmontes y terra-
plenes, considerado en el espacio. La obra de Monge, de gran diversidad en sus métodos, posee, sin embargo, una unidad profunda, caracterizada por el punto de vista geométrico.
Este enfoque, muy original en su época, ha sido inspiración de numerosos matemáticos del siglo XIX, antes de invadir, en forma muchísimo más
abstracta, todas las matemáticas del siglo xx. Es título más que suficiente para que Monge entre en el panteón de los grandes geómetras.
l.l( X i 1( r\ i rl,\ ( "()\l I)l -tr\'l trN f .{ ii L\ L'(ELrvRE Screxrrrreris or MoxcE. René i:t I IJ
Tatr¡n. P¿rrís.
19-5 I
.
L¡ S-rvl¡¡r
A,ur DE NrpolÉox. Paul Aubr¡. París, 195.1. LA RÉPUBLreuE AvArr B¡sorN oe S.,\MoNGE
l',r¡rs. Tanis Langins. París.
1987.
THÉoRrsATroN D LNE PRATTeL¡, PR.¡.rr euE D UN¡ Tr¡r,onr¡-: DES TRAITS DE Coup¡ oss Pr¡nnss i GÉorr,rÉrnr¡ Dss cRrplvE. Joél Strln¿irovitch. Escuela de Arcluitecturtr de París-La Villette. París. I 989.
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Les Onlcr¡-ss os L'ÉcolE PoLvr¡:cur,rreuE. DES ANCTENNES Écolss » INcÉNr¡uns -\
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l Ecol¡ C¡Nrn,rl¡
o¡s
Tn."r
Pusr-rcs. Bruno Belhoste. en
re d e l' é duc: cLf ion. n.o 12, págs. I 3--53.
mayo cle 1989.
esta teoría para determinar ios cami45
1939, un matemático francés que a la sazón contaba 33 años dernostró la corrección de r-rnl uonje==-'i trru relativa al comportamiento de la tortuosa ancl¿t.ii"=....= clura de 1os nírmeros prirnos l'racia e1 infinito. en cierto númclo de c¿rsos particulares de crucial importancia. Tal logro. a saber. Ia demostración de la hipótesis de Riemann para la funci(rn Z en el caso de funciones de un cuerpo. coltstituve una.jor-a cle la teoría de nún'reros modelna. La haz¿rña es tanto mírs notable cuanto que su ¿lLrtor la consiguió est¿rndo encarcelaclo er-r r-rna prisión militar f}ancesa. La anécdota anterior es sólo una de las rnuchas cos¿ls e\traordinarias acontecidas a André Weil a 1o largo de su vida. Una r,ez recupcrada 1a libert¿rd, Weil llegaría a con\.ertir'se en Lurr) de los mírs insignes matemáticos dc este siglo. Pero tan aisladas est¿in las matemáticas de las restantes fbrntas de cultura qLre el ho,v prot-esor en-iérito del Listituto de Estuclio: Avanzaclos de Prir-rceton. Nuer.a Jersev. es casi corrpleta, mente descclr.rocido fuera del mundillo matemático. Cuandrr h¿rce tres años se publicó su autobio-erafía. titul¿ida f/¡¿, Apprertiteship of ct Mathern¿tticitut. no hubo una sola publicación extramatemática que 1a reseñara. Los colegas de Weil estiin prestos a ensalzarle. llanr¿indole "el úrltimo de los grandes matemáticos Llni\ ersales '. Destacan que fue unr¡ de los func'ladores de Bourbaki. el srlrpo legendario que. cobijado baio el nombre de un sabio f icticitr Bor-rrbaki-, ha escrito una serie de monumenta-Nicolas 1es tratados clue han aportado unidad y orden a las ntarent¡ticas. El propio Weil ha navegado por todos los tributario: plincipales de las m¿rtemáticas, sobre todo la teorÍa de núrmeros. la geometr'ía algebraica y la topología. erigiendo de¡rostraciones v conjeturas que. a moclo de diques. canalizaron e1
l=-n
üur'\r) Je ulteriorc: indlrgrre iones. á-
-'l
estilo dc Weil ha ejercido tanta influencia como
sus
,i-== iiportaciones concretas. Un especialista en teorí¿r cle núuteros le asimila a un monje n'redieval. que labora con "una sencillcz v pureza tremendas, sin ornatos superfluos''. Weil siempre ha ido en pos de 1o esencial, confinna otro. Se dice que se le temía t¿rnto por lo acerado de su lengua conto se le adn'riraba por sr-r brillantez. Un compatriota, que le compara con un violín de cuerdas dernasi¿rdo tensas, recuerda que "no soportaba a los tontos" 1, piensa que tal vez 1os años le hayan abiandado. Weil tiene casi noventa años: necesita ar-rdífono ) tiene reconstruidas en plástico las articulaciones de las caderas. Durantc la entrevista ha¡ ocrrsiones en que clsi parece apacible. A1 pre_suntarlc si le rnolestaba que fueran tan pocos quiencs conocen su trabajo y menos todar,ía quienes pueden comprenderlo. responde. encogiéndose de hornbros, "¿Por qué habría de molestarme'l En cierto sentido, así resulta más apasionante todavía." A dit'erencia de algur.ros puristas modernos. no le preocupa la creciente colaboración entre las matemáticas y Ia 16
física (acic¿rteada en parte por Edu,ard Witten. tísico teririco cuvo despacho está fiente al suyo). "He r. ir.'ido una época en Ia que 1a física no era importante en rnatemáticas". comenta. "pero ahora volr,emos a otra en la qr-re creo que vuelve a serlo. cual es un fenómeno perfectamente saludable." Hav. ernpero. destellos de ¿rcritud. Al pedirle su opir.rión sc¡bre el asalto de Wiles al último teorenla de Fernat (1o que hací¿rnros durante el período de dudas pÍrblicas acerca de 1a 1o
validez de 1a demc¡stración). Weil empieza por decir. cr.r bloma. que dentro de al-9unos siglos los historiadoles pensar'án que Wiles y, éi son una misma persona (por la homolonía de sus nontbres y apellidos). La sonrisa se le borr¿r entonces de los labios. v añade: "Admito que lWilesj ha tenido buenas ideas al tratat'de construir 1a dentostración. pero todar'ía no ha1,, demostración. Hasta cierto punto. demostrar el teorema de Ferrnat es como escalar el Everest. Si alguien se propone escalar el Er,erest r. se queda a cien metros de 1a cima. no ha escalado el Everest." A1 erplicar por qué su autobio_qrafía solamente se ocLlpa de su r.ida durante la se-sunda guerra mundial. \\'erl nos da L)tra respuest¿r acer¿ld¿r. ''No había nada que contar de mi r,ida postelior". declala. "Algunos de mis colegas han escrito Io c1r-re 11aman autobiografías. muv aburidas a mi parecer. Todo lo qLle cuentan consiste en decir 'en el año tal ¡'tal tui nombrado en tal ¡' tal il'rstitución, y en tal año demostré este o aquel teorerna'."
.:
'.,uede
decirse que la l,ida de Weil. a1 menos en su printera rn.t¿d. casi estuvo demasiado cargada de acr¡ntecilnientos. \ació en París en 1906. Tanto sr-r padre. médico. colrlo su madle se consagraron a la cultura en todos sus aspectos. Hacia 1c¡s trece o catorce años, Weil había adquirido una "apasionada adicción" por 1as matemáticas. Se graduó en la Unir ersidad de Pa¡ís en 1928. tras haber resuelto en SLl tesi\
:'
doctoral un problema sobt'e curl,as elípticas propuesro por
Henli Poincaré. que estaba pendiente desde hacía l5 años. Algunos años antes Weil había abjurado de la frlosotla. tras haber recibido nna elevada calificación en un e\amen a pesar de no haber leído ninguno de los textos necesarios. "Me pareció que una materia en la que uno podÍa defenderse tan bien sin apenas saber de qué hablaba mal podía merecer respeto". dice en su autobiografíii. No se crea que Weil carecía de otros intereses. Su fascinación por la cultllra hindú y, en particular. por 1a litelatura
épica hindú ¡, eI Bhagavad Gita, contribuyó a decidirle a aceptar un puesto docente en la India en 1 930. Dos años lnás tarde se había enredado en las compiejidades de la política académica local y fr-re despedido. pero no antes de conocer a Gandhi. Weil tomaba té con el líder indio en la época en que éste planeaba 1a revuelta qire habría de derrocar a1 Raj británico. De vuelta a Franci¿r, fue prot-esor de la Universidad de Estrasburgo. Dos años después. a caus¿r de la beligerancia T¡lr,qs
1
de Alem¿rni¿r. el gobierno tiancés orden(r a Wcil que se pre-
preocupados por Io qLle consicleraban carencia de textos acle-
sentara pala curnplir el serr"icio militar. Lo que hizo Weil fue huir a Finl¿rndia. que en aquel momento todavía no habí¿r
cuados de l.natemáticas. se comfrornetieron a escribir los su¡,os propios. Decidieron que. en lugar de pubiicar con slrs
sido invadida por
verdaderos nombres. inr"cnt¿rrían un personaj e pseudónirno. a modo de mascarón de proa: Nicolas Bourbaki, aclarnado y eminente profesor venido del no menos ficticio estado de
1a
Unicin Sr¡viética. Wcil confiesa que
hubo cierta clubitatir,a arnbivalencia en su decisión c1e escapar del sen,icio militar. "La ide¿r funclamental. que considero correcta. era qlle c«rrnr¡ soldado yo sería complctame nte inútil, mientr'¿is qLre como matcmíitico quizá pudierii hacer algo. Desde luego. eso ocurría en tiempos de Hitler. y yo estaba cornpletamente de acucrdo en clne el mundo no clebería doblegarse ante é1. pero er¿t incapaz de imaginarrle a ntí rrrirmo ttrrrunclo pJ|lc elr c:c enlpeño."
Para su desgracia,
Poldar.'i¿r. l==
. ':'
,.=,i
uy pocos. aparte de quicncs formaban su círculo inme-
diato. adivinaror.r al principio Ia vcldadera identidad = de BoLrtbaki. No obstante. las dud¿rs fueron cleciendo conforme el -grupo flle ianzando \'¿tstos tratados qlle tocaban prácticarrrentc todos los
aquel jovcn prof'esor que se pasaba horas 1' horas
eiulrp0\ rle lrr: rrtrtellláticas. En 19-19. Ralph Boas
escribiendo símbolos ¿rbstr¿rctos levantó I¿rs
pt'rrel¡¡¡¡',1r', en ult altí ulu del anunlio de ll En-
e
sospechas de los finlandeses. temerosos de una
c¡,clopaedi a Britannica
ocupación por la Unión
pseudónirno v no una pcr'\()na lí:ie r. Weil e.cribió una carta de tono
qr-re
Sor iética. La policíu l-i-
nesa 1c detuvo y. según alguien Ie cont(r posteriormente. esturrieLon a
punto de ejecutarle.
Bourbaki era iln
inclignaclo. r.regando la lreusueión. Lo: nlienrhrrrs tle Botrt'baki enrpelirfutl ctlt()nL.e\ it lropítIar cl lumor de que Boas
sir.r
saber que sólo era un mrtemitieo lirruee: huido de la leva. No acabat'on rtqtrí st¡: Ir|ol¡lettlus.
inrnediatamente 1o condenaron por descrci(rn y volvieron a encarcelarlc.
no existía. Auntltre otro\ nlJtcrniticos más jór,enes han continuacio perpetuando el legado de Bor,rlbaki. su inllLrcncia:c hr dc:r unecido. El propio Weil. que clejó el grupo a finales clel
1 n, .i eil pasó seis meses
dcccnio cle 1950. opina (luc "ün e ierto. íi:per'to:.
pues Ios finlandeses le der olr ielurr rr lrrs uutori-
dades francesas. que
't,
en pri:iórr y rrlli
lrr inl-lucnciu
cre(r su teorem¿l sobre la
hipótesis de Riernann: acabci sicndo pllesto en libertad ¿r c¿unbio de su incorporación al ejército francés. Su capacidad fura aplovechar ul nliiximo su encarcelamiento fue ocasión de brornas
hr:ido
be-
nellciosa. pcro en otros rro lo lllr :ido". Tlrl i ez lu e ontlibue ion mri. imptr'tante c1c Bourbaki hay,a r'onsi:t ido en hteer realiLrnrr I'ilmo\u prof ueslc tbrmr-rlacla cn 1900 por el
dl.l André \\'eil: "Siempre en pos de lo esencial."
-tran lnatcrníitico alenrán
Drrr itl Hilber't. en el sentido de que las matemáticas fuesen asentacl¿rs sobre bases más seguras. ''Hilbert se limitó a enunciarla: Bourbaki la ller,ó a cabo". declara Weil. El hincapié cle Bor"rlbaki en la abstracción y' 1a axiomatización fue crr oc¿isiones dentasiado lejos. pero Weil subraya que no ha sido el propio Bourbaki. sino
por parte de sus colegas. En cierta ocasión en qr-re \\'ei1. cosa rara en é1, dio un traspiés chlrante una exposición. c1 eminente matemático Herman Weyl propuso clLle se 1e clevolviese a prisión p¿lra que pudiera resolver debidamente el problema. Cuando los alem¿rnes pusieron en desbar.rdada al ejércitc¡ francés. Weil huyó a Inglaterra. Pudo tinalntente llegar hasta los Estados Unidos. donde comcnzó a buscar trabajo. La autoestilna de Weil se 'n,io muy a1-ectada cilando sltpo coll pesar que la única institución clue lc ofiecía un puesto remllnerado era 1a Unir.'ersid:rd Lehigh en Pennsyl'u,ania. lugar clue recuerda como un¿i "mediocre escuela de ingeniería asociada a Ia empresa Bethlehcm Steel". En 1911 , tras una brel'c estancia en Brasil. se traslacló a
gía. Estos esfuerzos de unificación engendr:rron cl campo de inda-eación más vivo quizá de 1a matemática lnoderna. Aunque oflcialmente sejubiló en 1976. sigue acudiendo a su despacho casi todos los clías. Cultii.,a allí unt antigua
la Unir"ersidad de Chicago. donde reanudri su trabajo en Bourbaki. El proyecto h¿rbía comenzado a mecliados del decenio de 1930. cuando Weil 1,,media docena de colegas.
pasión. la histc¡ria dc las m¿1tem¿iticas. E,n 1a actualid¿rd col¿rbora en la edición de las obras de dos gigantes fi'anceses del pasado. Jacques Bernoulli v Pierre de Fcnnat.
Gn..rxo¡s N{ATENl..irrcos
sus seguidores, quienes pel'petraron estos clesmanes.
=
,; - eil llegó al lnstituto de Estuclios Al,anzados en 1958. ? donde continuó sondeando las conexiones profun-
=
das entrc la aritnrética. el álgebla. 1a _ueontetría ¡r 1a topolo-
41
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TENIAS
1
CarL
Friedrich Gauss
Ian Stewart
f{iíío pradigio, llegó {} ser el princípal watentático de su épocct. Se desenvolvió crsn igw*l soltwra en las sbstracciones
de ls teoritt de núwceros y los cornplejos cólculos astronómicos c{}tq,to
T a Matemática es la reina de L las ciencias, dijo en cierta IJ ocasión Carl Friedrich Gauss; su propia vida sirvió de ejemplo a este aforismo. Considerado por todos, al par de Arquímedes y Newton, como uno de los matemáticos más capaces de todos los tiempos, Gauss se interesó tanto por la teoría como por las aplicaciones, y sus contribuciones van desde la más pura teoría de números hasta los problemas prácticos de astronomía, magnetismo y topografía. Realizó profundos descubrimientos en todas las ramas de la matemática en las que trabajó, introdujo ideas y métodos nuevos y estableció los cimientos de investigaciones posteriores. Da medida de su talento el que todavía hoy, más de dos siglos después de su nacimiento, sigan siendo fecundas muchas de sus ideas. Gauss fue, en muchos aspectos,
una personalidad contradictoria y enigmática. Hijo único de padres de clase obrera, ascendió hasta la cumbre de la matemática de su época; vivía, sin embargo, con modestia, y rehuía ser conocido públicamente. De suaves modales, era un hombre distante, políticamente reaccionario y frecuentemente testarudo, que tan sólo pedía poder continuar, sin per-
en los aspecÍos ruás práclicos de
turbaciones, su trabajo de creador. Siempre dispuesto a reconocer el talento matemático a1lÍ donde estuviese, por encima de prejuicios de sus contemporáneos, dejó en e1 olr,ido a varios de los mejores jóvenes matemáticos de su tiempo. en especial, a János Bolyai, uno de los pioneros de la geometría no-euclídea, 1o que tuvo consecuencias poco afortunadas. Un aspecto especialmente llamativo del carácter de Gauss fue su rotunda negativa a presentar parte alguna de su trabajo que no creyera haber puiido hasta 1a perfección.
Ningún resultado. por importante que fuese, se publicó hasta que
é1
no
Io consideró completo y terminado. Tan elaboradas son sus demostraciones matemáticas, que el camino
que siguió para obtenerlas se esfuma completamente. Sus trabajos publi-
cados tienen Ia calidad, austera e inabordable, la gracia y la elegancia clásicas. Muchas de sus ideas más fecundas no aparecen explícitamente en su obra impresa, y es preciso inferirlas reconstruyendo los pasos que
debieron conducirle a su descubrimiento. De resultas, muchas nociones importantes no han visto la luz del día hasta ser independientemente descubiertas por otros.
1. LA CONSTRUCCION GEOMETRICA de un polígono regrrlar de 17 lados, usando sólo regla y compás, fue el primer descubrimiento de este tipo desde los tiempos de Euclides; marcó, en 1796, el comienzo de la carrera matemática de Gauss, cuando contal¡a 18 años. En la página opuesta se ofrece una versión simplificada de su construcción, preparada por H. W. Richmond en 1898. Se procede del modo siguiente: (1) Se trazaruna circunferencia de centro O y radio OPo de longitud arbitraria. Se traza la recta OB, perpendicular a OP o. Se determina un punto J a la cuarta parte del recorrido OB. Se halla un punto.E tal que el ángulo OJE sea cuarta parte del ángulo OJP' (lo que puede hacerse mediante doble bisección de este ángulo). Se deterrnina un punto F tal que el ángulo FJE trrrid.a 45 grados. (Puede otrtenerse por bisección de un ángulo recto.) (2) Se construye una circunferencia de diámetroFPo. Esta circunferencia corta a OB en el punto I{. (3) Se traza otra circunferencia dé centro -E y radio EK. Esta circunferencia define los puntos Ns, y Ns. (4) Se trazan las rectas Nf, y N5!s, perpendiculares a OPo. (5) Se traza la bisectriz del arco Pfu, a fin de obtener el punto Pr. (6) Se lleva sucesivamente la cuerda PrPu sobre lá éircunferencia, a partir de Po. Los puntos obtenidos se unen por segmentos rectilíneos para formar el polígono.
GnqNoss M,qrsuÁrrcos
lafisica aplicada
Gauss publicó en vida unos 155 títulos, y dejó tras sí gran cantidad de trabajos inéditos. En esta breve exposición abordaré algunos de sus más importantes, y fecundos, des-
cubrimientos, e intentaré, en pequeña medida, explicar cómo llegó a obtenerlos. auss nació el 30 de abrtl de 1777
en Brunswick (Alemania). Su
padre pasó por diversos oficios: jardinero, guarda de canales y albañil. Su hijo lo describiría más tarde como "hombre totalmente honesto, y, en muchos aspectos, estimable y ge-
nuinamente respetable, pero en
casa... dominante, grosero y rudo". La madre de Gauss, hija de un cantero, era mujer inteligente y de recio carácter. Su hermano Friedrich tuvo importante papel en la vida del joven Gauss. Trabajaba de tejedor de damascos frnos, pero su campo de inte-
rés era insólitamente amplio. Pasó mucho tiempo animando a Gauss y aguzando su espíritu crítico. Hay entre los grandes matemáticos tantos que hayan mostrado talento matemático en su infancia como quienes no mostraron ninguno
hasta mucho más tarde. Gauss ha sido, incuestionablemente, el más precoz de todos ellos. Solía decir, bromeando, que había aprendido a IAN STEWART dirige el programa de investigación interdisciplinar del Instituto Matemático de Warwick. Tras graduarse por la Universidad de Cambridge, se doctoró en ciencias exactas en la de Warwick. En 1974 estuvo en Tübingen becado por la fundación Humboldt. Su principal campo de investigación son las álgebras infinito-dimensionales de Lie. Ha publicado más de 60
libros y es autor de la sección men-
sual de "Juegos matemáticos" de
I¡rt-
\TSTIGACIÓN Y CIENCIA.
49
contar antes de aprender a hablar; muchas anécdotas atestiguan sus extraordinarias dotes. Se cuenta que un día, antes de cumplir los tres años, su padre estaba preparando la paga semanal de los obreros a su cargo, sin darse cuenta de que su hijo observaba el proceso con gran interés.
Al finalizar sus cálculos, Gauss padre
quedó sorprendido al oír una vocecita que Ie decía: "Padre, la cuenta está mal hecha. Debería dar...". Al repasar los cálculos comprobó que la cifra dada por el niño era la correcta.
Lo notable de esta historia es que nadie le había enseñado aritmética. Otras anécdotas refreren la continua
precocidad que Gauss demostró en
la escuela. A los 10 años fue admitido en la clase de aritmética. El maestro propuso un problema del tipo siguiente: hallar la suma de | + 2 + 3 + ... + 100, donde hay 100 números, y Ia diferencia entre cada sumando y su siguiente es siempre igual a uno. Hay un método sencillo patateahzar tales sumas, que el maes-
tro conocía, pero los escolares no. Se tenía la costumbre de que el primer muchacho que resolviese un problema dejase su pizarra con el resultado sobre la mesa del maestro.
el siguiente en terminar dejase ia suya sobre la primera, y así sucesivamente. Apenas el maestro había terminado de plantear
e1 problema
cuando Gauss puso su pizarra sobre
la mesa. "Ahí lo tiene", dijo Gauss. Durante toda la hora siguiente permaneció cruzado de brazos, recibiendo ocasionalmente alguna escép-
tica mirada del maestro, mientras Ios demás alumnos bregaban con tan larga suma. Al final de la hora, el maestro examinó las pizarras. En la de Gauss había tan sólo un número.
Ya en su vejez, a Gauss le encantaba contar cómo, entre todas las respuestas, 1a suya fue la única correcta. Es preciso decir en honor del maestro que éste quedó tan impresionado que compro con su propio dinero un libro de aritmética y se 1o regaló a Gauss, quien Io devoró rápi-
damente. Gauss tuvo también Ia suerte de que el ayudante de aritmética del maestro, un joven de 17 años
ir' l]ra:n'. .dl.!¡r!.
,
llamado Johann Martin Bartels, fuera un apasionado de las matemáticas, con Io que ambos pasaron muchas horas estudiando juntos. A1 11egar al teorema deL binomio,
que enuncia que, para todo número n, la expresión (1 + ¡)' es una serie, y que cuando n no es entero positi-
infinita, Gauss quedó la falta de rigor del libro que el maestro le había dado, v construvó una demostración. A pesar de no ser más que un escolar, fue e1 primer matemático que prestó
vo esta serie es
descontento de
seria atención a los problemas creados por 1os infinitos. Pocos niños pro-
digio en matemáticas van más allá
de una gran facilidad de cálculo, pero el talento de Gauss alcanzaba, claramente, 1os más elevados dominios del pensamiento humano.
A la edad de 14 años, Gauss fue A p."."n,ado al Duque de Brunswick, quien había oído hablar de su reputación y se convirtió en protector suyo.
Al año siguiente,
Gauss entró
en el Collegium Carolinum, de Bruns-
wick, donde estudió, y pronto dominó, las obras de Newton, Leonhard Euler y Joseph Louis Lagrange. A
rilY
.
#:
w*;-'-M
prim¿r término) y del físico Wilhelm Wet¡er (1804-91)' con quien colaboró en muchos experimentos prácticos sobre magnetismo y telegrafía. La inscripción griega de la orla dice: "Dios hace aritmética"; la inscripción latina del lado derecho sigtrifica: "El fin corona la obra". La cita en griego de la par' te inferior, que está tomada de La República, del filósofo ateniense Platón, se traduce por: "Los que tienen las antorchas se las pasarán a otros".
2. RETRATOS de Gauss (en
50
los 19 años, había descubierto por sí solo, y demostrado, un notable teorema de la teoría de números conocido como ley de reciprocidad cuadrática (dei que hablaré más tarde). Para poder apreciar cuán importante fue esto, hay que darse cuenta de que
anteriormente Euler había ya des-
cubierto el teorema, y tanto é1 como Adrien Marie Legendre fracasaron en sus intentos de demostrarlo. Cuando Gauss abandonó el Collegium Carolinum, en octubre de 1795, para ir a estudiar a la Universidad de Góttingen, se vio en el dilema de TE\.ÍAS I
decidirse entre las matemáticas y su otro gran amor: eI estudio de las lenguas antiguas, donde no era menos brillante. Se decidió el 30 de matzo de 1796, trasrealizar uno de los descubrimientos más sorprendentes de Ia historia de las matemáticas.
Para poder contemplar este resul-
oaaaaa oaaaaoa aaaaaaaa aaaaaaaoa aaaaaaaaaa aaaaaaaaaaa aaaaaaaaoaaa aaaaaaaaaaaao aaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaoaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaoaoaaaa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 210 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a231
tado con alguna perspectiva, retrocedamos dos milenios, hasta la Grecia clásica. La principal contribución griega a las matemáticas se halla en la floreciente escuela geométrica ligada a los nombres de Pitágoras, Eudoxo, Euclides y Arquímedes. Probablemente fueron los griegos los primeros en reconocer Ia importancia del rigor de las demostraciones matemáticas; y al perse-
guir este rigor impusieron cierto
número de restricciones a los métodos de demostración. Una de ellas, que en las construcciones geométricas tan sólo podrían utilizarse regla
y
compás. En efecto, las únicas líneas geométricas permitidas eran Ia recta y la circunferencia. Euclides demostró que se pueden
construir, con regla y compás, polígonos regulares de tres, cuatro, cinco y 15 lados, así como todos los dedu-
cidos de los anteriores por bisección
reiterada de sus lados. Estos eran, sin embargo, todos los polígonos
regulares que los griegos sabían construir; no conocían ningún método geométrico para construir polígonos de siete, nueve,17,73, 14 y 17 lados, por ejemplo. Durante los 2000 años siguientes parece que nadie llegó a sospechar que sería posible construir alguno de estos otros polígonos. El resultado de Gauss consistió en dar una construcción del polígono regular de 17 lados,
que inscribió en una circunferencia
usando tan sóIo regla y compás. Además, caracterizó exactamente los polígonos que podrán construirse por este método: el número de sus lados ha de ser potencia de 2 (2n) o bien, potencia de 2 multiplicada por uno o más números primos impares distintos del tipo llamado "números primos de Fermat" (en honor de su des-
cubridor, Pierre de Fermat). Un número primo es aquel que no pue{e
dividirse exactamente por ningún número, excepto por sí mismo y por
la unidad; un número primo de Fermat tiene la propiedad adicional de ser una unidad mayor que 2 elevado a una potencia de 2, o sea, 22n+7. Los únicos números primos de Fermat conocidos son 3, 5, 17, 257 y 65.537. Tenemos, pues, el notable resultado de que, a pesar de Gn¡¡¡oss Mer:suÁucos
LOS NIIMEROS TRIANGULARES son números de la fotr¡¡a n(n + 1)/2, siendo z un entero positivo cualquiera. Puede también representarse mediante una disposición triangular de puntos. En sus Disgaisitiones Arithrnetice, publicada en el año 1801, cuando tenia 24 años, Gauss demostró que todo entero positivo es suma de tres números triangulares. El 10 de julio de 1796 anotó el descubrimiento en su diario, con una críptica inscripción: ¡Eureka! núm = A + + A. 3.
^
ser posible construir con regla y compás po1ígonos regulares de 17 lados, no es posible hacerlo así para polÍ-
gonos de siete. nueve, 11, 13
y
14
lados.
ft auss demostró este teorema tf r.,.,r.rdn contaba 18 añosl combinando un razonamiento algebraico con otro geométrico. Demostró que construir un polígono de 17 lados es
equivalente a resolver la ecuación 116+r15+ ... + r + 1 = 0. Como 17 es primo y 16 es potencia de 2, resulta
que esta ecuación puede reducirse a una serie de ecuaciones de segundo g-rado (ecuaciones de la fot:ma axz + bx + c = 0, siendo a, b y c números
dados,
y ¡ el valor a
determinar).
Como se había ya demostrado que las ecuaciones de segundo grado pueden
resolverse mediante construcciones con regla y compás, la demostración está completa. Aparte de la importancia que esta demostración tuvo
para inducir a Gauss a seguir la carrera de matemáticas, la demostración es notable porque constituye
el primer ejemplo real (además de la introducción de coordenadas, debida a Descartes) de una técnica que, a partir de entonces, se ha conver-
tido en una de las más fecundas de las matemáticas: trasladar un problema desde su dominio inicial (la geometría, en este ejemplo) a otro (álgebra) y resolverlo en este último. Gauss escribió en cierta ocasión que, a la edad de 20 años, estaba tan sobrecargado de ideas matemáticas
que no tenía tiempo de consignar sino una pequeña fracción de ellas. Muchas de las que pudo desarrollar aparecieron después en sus Disquisitiones Arithmetica, publicadas
en 1801 cuando contaba 24
años. Puede decirse que esta obra hizo por la teoría de números lo que Euclides por la geometría: organizó conoci-
mientos dispersos sobre el sistema de los números enteros, que Gauss complementó con algunas de sus más profundas ideas propias. Gauss fundamentó su teorÍa sobre la noción de números congruentes, que se defrnen como dos números o y ó que tie-
nen eI mismo resto al diüdirlos por un número m dad,o. Dos números cualesquiera que satisfagan esta condición se llaman "congruentes módulo rz", siendo m un número fijo dad'o, llamado módulo. Por ejemplo, al dividir por 7 los números 16 y 23 ambos tienen el mismo resto, así 51
(a,bl=a+bi
pues, son congruentes módulo 7. Siete y 9 son congruentes módulo 2, pues ambos tienen resto 1 aI dividirlos por 2. Evidentemente, dos núme-
ros pares y dos números impares cualesquiera serán siempre con-
gruentes módulo 2. Gauss señaló también la posibili-
dad de realizar una aritmética de números congruentes. Demostró que,
J ru.rrrcecoru pon¡
(-b, a) = -6
para cualesquiera enteros a, b, c y d, siendo módulo un número rL, a es congruente con ó y c es congruente corr d, entonces ¿ + c es congruente con ó + d y ac es congruente cola bd. Así pues, podemos sustituir enteros por números congruentes en la arit-
mética sin incurrir en contradicciones. Nos encontramos, sin embargo, con algunas sorpresas, como, por ejemplo, que módulo 3, 1 + 1 + 1 es
¡ ,¡
congruente con 0.
sta aritmética de números congruentes se enseña en muchos cursos de "matemática moderna", con
eI nombre de aritmética modular
o
de cálculos de congruencias. Me pregunto cuántos profesores saben dónde se originó esta teoúa y con qué objeto fue desarrollada por Gauss, quien la necesitaba como instrumen-
to de demostración de profundos y J
,rrrt.,co",ot to*,
difíciles teoremas. Quizás el más valioso de todos ellos, y con certeza, el favorito de Gauss, sea Ia ley de reciprocidad cuadrática, que Gauss 11amó teorema áureo. Se hace necesaria
ahora alguna terminología adicional. Gauss definió en primer lugar los
"residuos cuadráticos", diciendo que si rn es un entero positivo, y o es un
entero que no tiene divisores en común cot.:' tn, entonces a es residuo cuadrático de ¡r¿ si es congruente, módulo m, cor, un cuadrado perfecto. También podemos enunciarlo del modo siguiente: Si o es residuo cuadrático de m, se puede hallar al meJ rumpr-rcRcro*ro*,
4. LOS NIIMEROS COMPLEJOS son de la forma a + ái (donde a y b son números reales, e i esraíz cuadrada de -1). Pue-
den representarse mediante pares or-
denados de números (o,ó), esto es, como puntos de un plano, de la misma forma
que los números reales pueden representarse mediante puntos de una recta. Los números complejos pueden mane-
jarse así geométricamente. Por ejemplo, girar 90 grados una recta que una el origen con el punto (¿,á) equivale a multiplicar el complejo (o"b) por i. (Se muestran en la figura tres giros de este tipo.) Gauss fue el primer matemático que observó que esta interpretación geométrica podía utilizarse para obtener defini-
ciones puramente algebraicas de la adición y la multiplicación.
52
r
cuyo cuadrado dividido por Así, 13 es residuo cuadrático de 17, porque el enunciado "r2 es congruente con 13 módulo 17" nos un
nz dé resto o.
es verdadero si
r
toma el valor
8
(entre otros posibles). Gauss demostró que si p y q son números primos impares distintos, entoncesp es residuo cuadrático de q si y solamente si g es residuo cuadrático de p. Hay tan sólo urra excepción a esta regla: si p y q son ambos de la forma 4n + 3, entonces uno es residuo cuadrático del otro, pero eI segundo no 1o es de
éste. Esüe resultado es, a primera vista, de gran especialización; pero nos permite decir si un número primo impar es residuo cuadrático de otro número primo haciendo una pregunta que, con frecuencia, es más sencillo responder: ¿Es el segundo primo residuo cuadrático del primero? Este teorema ha inspirado algunas ideas
nucleares del álgebra moderna y reviste gran importancia en toda la teoría de números y en otras rarnas de Ia matemática. Tal era eI valor que el propio Gauss le concedía que a lo largo de su vida llegaría a demostrarlo de ocho formas distintas. as Disquisitlo¿es mostraron una tendencia que en Gauss se convertirÍa en modo de üda. Las demostraciones se pulen hasta relucir, su-
primiéndose, si ello es posible, toda traza del proceso por el que han sido obtenidas, a frn de que tan sólo per-
rnartezca la estructura terminada. Gauss dijo en cierta ocasión: "Cuando se frnaliza un noble edifrcio no deben quedar visibles los andamios." Las generaciones posteriores, que han tenido que afrontar el problema de comprender los métodos de Gauss, y no solamente sus resultados, pueden muy bien ser disculpadas de acusarle no sólo de haber reti-
rado los andamios, sino de haber destruido los planos. En la investigación matemática, frecuentemente revisten mayor importancia las ideas y los métodos que los teoremas para los que fueron desarrollados. IJna idea genuinamente buena puede ser generalizada a nuevos campos y dar en ellos los frutos que no pudieron preverse por adelantado. Dos aspectos de la matemática se encuentran aquí en conflicto: las matemáticas
como forma del arte y las matemáticas como disciplina viva. Este punto de vista no es entera-
mente moderno. Karl Gustav Jacobi, contemporáneo de Gauss, diio de é1: "Sus demostraciones son rígidas, heladas... lo primero que hay que hacer TF.MAS I
decidirse entre las matemáticas y su otro gran amor: el estudio de las lenguas antiguas, donde no era menos brillante. Se decidió eI 30 de rnarzo de 1796, tras realizar uno de los descubrimientos más sorprendentes de Ia historia de las matemáticas. Para poder contemplar este resultado con alguna perspectiva, retro-
cedamos dos milenios, hasta la Grecia clásica. La principal contribución griega a las matemáticas se halla en la floreciente escuela geométrica ligada a los nombres de Pitágoras, Eudoxo, Euclides y Arquímedes. Probablemente fueron los griegos los primeros en reconocer la importancia del rigor de las demostraciones matemáticas; y al perse-
guir este rigor impusieron cierto
número de restricciones a los métodos de demostración. IJna de ellas, que en las construcciones geométricas tan sólo podrÍan utilizarse regla
y
compás.
En efecto, las únicas
Iíneas geométricas permitidas eran la recta y la circunferencia. Euclides demostró que se pueden construir, con regla y compás, polígonos regulares de tres, cuatro, cinco y 15 lados, así como todos los deducidos de los anteriores por bisección reiterada de sus lados. Estos eran, sin embargo, todos los polígonos regulares que los griegos sabían construir; no conocían ningún método geométrico para construir polígonos de siete, nueve, LL, L3, L4 y 17 lados, por ejemplo. Durante los
0
; aa 3 aaa 6 aaaa 10 aaaaa 15 aoaaaa 21 aoaaaao 28 aaaaaaaa 36 aaaoaaaaa 45 aaaaaaaaaa 55 aaaaaaaaaaa 66 aaaaaaaaoaaa aaaaaaaaaaaaa 91 ooaaaaaaaaaaaa 105 aaaaaaaaaaaaaaa 120 aaaaaaaaaaaaaaaa 136 '153 aaaaaaaaaaoaaaaaa aaaoaaaaaaaaaaaaaa 171 aaaaaaaaaooaaaaaaaa 190 a a a a a a a a a a a a a a a a a a o a 210 a o a a a a a a a o a a a a a a a a a a a231 1
NIIMEROS TRIANGIILARES son números de la forma ¿(n + l)12, siendo ¿ un entero positivo cualquiera. Puede tamt¡ién representarse mediante una disposición triangular de puntos. En sus Disqzisitiones Arithtnetiee, publicada en el año 1801, cuando tenía 24 años, Gauss demostró que todo entero positivo es suma de tres números triangulares. El 10 de julio de 1796 anotó el descut¡rimiento en su diario, con una críptica inscripción: ¡Eureka! núm = A + A +
3. LOS
^.
ser posible construir con regla y compás polígonos regulares de 17 lados, no es posible hacerlo asÍ para polí-
gonos de siete. nueve, 11, 13
y
14
2000 años siguientes parece que nadie llegó a sospechar que sería posible construir alguno de estos otros polígonos. El resultado de
1ados.
Gauss consistió en dar una construcción del polígono regular de 17 lados,
binando un razonamiento algebraico con otro geométrico. Demostró que
que inscribió en una circunferencia usando tan sólo regla y compás.
construir un po1ígono de 17 lados es equivalente a resolver la ecuación 116+ 11ó+ ... + r + 1 = 0. Como 17 es primo y 16 es potencia de 2, resulta
Además, caracterizó exactamente los polígonos que podrán construirse por este método: el número de sus lados ha de ser potencia de 2 (2n) o bien, potencia de 2 multiplicada por uno o más números primos impares distintos del tipo llamado "números primos de Fermat" (en honor de su des-
cubridor, Pierre de Fermat). Un número primo es aquel que no puede
dividirse exactamente por ningún número, excepto por sí mismo y por
la unidad; un número primo
de
Fermat tiene la propiedad adicional de ser una unidad mayor que 2 elevado a una potencia de 2, o sea, 22"+L. Los únicos números primos de Fermat conocidos son 3, 5, 17, 257 y 65.537. Tenemos, pues, el notable resultado de que, a pesar de Gn¡N»¡s Merur¡Árrcos
f'l auss demostro este teorema \f rcuando contaba l8 añosl com-
que esta ecuación puede reducirse a una serie de ecuaciones de segundo grado (ecuaciones de la forma ar2 + bx + c = 0. siendo a, b y c números
y r el valor a
tido en una de las más fecundas de las matemáticas: trasladar un problema desde su dominio inicial (la geometría, en este ejemplo) a otro (álgebra) y resolverlo en este último. Gauss escribió en cierta ocasión que, a la edad de 20 años, estaba tan sobrecargado de ideas matemáticas
que no tenía tiempo de consignar sino una pequeña fracción de ellas. Muchas de las que pudo desarrollar aparecieron después en sus Disquisitiones Arithmetica, publicadas
en 1801 cuando contaba 24
añ,os.
Puede decirse que esta obra hizo por la teorÍa de números 1o que Euclides por la geometría: organizó conocimientos dispersos sobre el sistema
determinar).
de los números enteros, que Gauss
Como se había ya demostrado que las ecuaciones de segundo grado pueden
complementó con algunas de sus
dados,
resolverse mediante construcciones con regla y compás, la demostración está completa. Aparte de la importancia que esta demostración tuvo
para inducir a Gauss a seguir la carrera de matemáticas, la demostración es notable porque constituye
el primer ejemplo real (además de la introducción de coordenadas, debida a Descartes) de una técnica que, a partir de entonces, se ha conver-
más profundas ideas propias. Gauss fundamentó su teoría sobre la noción de números congruentes, que se defrnen como dos números o y ó que tie-
nen el mismo resto al dividirlos por un número m dado. Dos números cualesquiera que satisfagan esta condición se llaman "congruentes módulo m", síerrdo rn un número fijo dado, llamado módulo. Por ejemplo, al dividir por 7 los números L6 y 23 ambos tienen eI mismo resto, así -51
(a,b¡=6¡6¡
pues, son congruentes módulo 7. Siete y 9 son congruentes módulo 2, pues ambos tienen resto 1 al dividirlos por 2. Eüdentemente, dos núme-
ros pares y dos números impares cualesquiera serán siempre congruentes módulo 2. Gauss señaló también la posibilidad de realizar una aritmética de números congruentes. Demostró que,
para cualesquiera enteros a, b, c y d, siendo módulo un número n'1, a es congruente con ó y c es congruente
OE
z
o uJ =
-
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J
(-b, a) = -6
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con d, entonces @ + c es congruente con ó + d y ac es cong:ruente con bd. Así pues, podemos sustituir enteros por números congruentes en Ia aritmética sin incurrir en contradicciones. Nos encontramos, sin embargo,
con algunas sorpresas, como, por ejemplo, que módulo 3, 1 + 1 + 1 es
6¡
congruente con 0.
psta aritmética de números conI)l gruentes se enseña en muchos cursos de "matemática moderna", con
el nombre de aritmética modular
o
de cálculos de congruencias. Me pregunto cuántos profesores saben dónde se originó esta teoría y con qué objeto fue desarrollada por Gauss, quien la necesitaba como instrumen-
to de demostración de profundos y J ,urrr.,coc,o,
"o*,
dificiles teoremas. Quizás el más valioso de todos ellos, y con certeza, el favorito de Gauss, sea la ley de reciprocidad cuadrática, que Gauss llamó teorema áureo. Se hace necesaria ahora alguna terminología adicional. Gauss defrnió en primer lugar los
"residuos cuadráticos", diciendo que si rz es un entero positivo, y o es un
entero que no tiene divisores en común cotr n1,, entonces o es residuo cuadrático de r¿ si es congruente, módulo nx, con un cuadrado perfecto.
(a,
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-¿-
También podemos enunciarlo del
6¡
modo siguiente: Si ¿ es residuo cuadrático de rz, se puede hallar al meJ uu,-rrrcoc'o*
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4. LOS NLIMEROS COMPLEJOS son de la foma o + ói (donde o y ó son números reales, e i es taíz cuadrada de -1). Pue-
den representarse mediante pares or-
denados de nriLmeros (06ó), esto es, como puntos de un plano, de la misma forma
que los núneros reales pueden representarse mediante puntos de una recta. Los números complejos pueden mane-
jarse así geométricamente. Por ejemplo, girar 90 grados una recta que una el origen con el punto (¿Aá) equivale a multiplicar el complejo (o¡,ó) por i. (Se muestran en la frgura tres giros de este tipo.) Gauss fue el primer matemático que observó que esta interlrretación geométrica podía utilizarse para obtener deffni-
ciones puramente algebraicas de la adición y la multiplicación.
52
nos un r cuyo cuadrado dividido por m dé resto o. Así, 13 es residuo cuadrático de 17, porque el enunciado "r2 es congruente con 13 módulo 17"
es verdadero si
r toma el valor 8
(entre otros posibles). Gauss demostró que si p y q son números primos impares distintos. entoncesp es residuo cuadrático de q si y solamente si q es residuo cuadrático de p. Hay tan sólo una excepción a esta regla: si p y g son ambos de la forma 4n + 3, entonces uno es residuo cuadrático del otro, pero el segundo no 1o es de
éste. Este resultado es. a primera vista, de gran especialización; pero nos permite decir si un número primo impar es residuo cuadrático de otro número primo haciendo una pregrrnta que, con Í?ecuencia, es más sencillo responder: ¿Es el segundo primo residuo cuadrático del primero? Este teorema ha inspirado algunas ideas
nucleares del álgebra moderna y reviste gran importancia en toda la teoría de números y en otras ramas de la matemática. Tal era el valor que ei propio Gauss le concedÍa que a Io largo de su vida llegaría a demostrarlo de ocho formas distintas.
f L/
as Disquisitiones mostraron una tendencia que en Gauss se convertiría en modo de vida. Las demostraciones se pulen hasta relucir, su-
primiéndose, si ello es posible, toda traza del proceso por el que han sido obtenidas, a fin de que tan sólo permanezca la estructura terminada. Gauss dijo en cierta ocasión: "Cuando se finaliza un noble edificio no deben quedar visibles los andamios." Las generaciones posteriores, que han tenido que afrontar el problema
de comprender los métodos de Gauss, y no solamente sus resultados, pueden muy bien ser disculpadas de acusarle no sólo de haber reti-
rado ios andamios, sino de haber destruido los planos. En la investigación matemática, frecuenlemente revisten mayor importancia las ideas y los métodos que los teoremas para los que fueron desarroilados. Una idea genuinamente buena puede ser generalizada a nuevos campos y dar en ellos los frutos que no pudieron preverse por adelantado. Dos aspectos de Ia matemática se encuentran aquí en conflicto: las matemáticas
como forma del arte y las matemáticas como disciplina viva. Este punto de vista no es entera-
mente moderno. Karl Gustav Jacobi, contemporáneo de Gauss, dijo de él: "Sus demostraciones son rígidas, heladas... 1o primero que hay que hacer T¡uas
1
es descongelarlas." Otro contemporáneo, Niels Henrik Abel, observó: "Es como el zorro, que borra con la cola sus huellas de la arena." ¿Por qué quiso Gauss ocultar sus métodos, prefiriendo dar solamente una síntesis y suprimiendo el análi-
sis? Asumió el lema Pauca sed matura (Pocos, pero maduros), reflejo de su insatisfacción con los incompletos teoremas de sus colegas.
Es imposible saberlo con certeza, pero quizá la penuria de su infan-
cia le hizo circunspecto al ofrecer sus ideas. Tal vez pudo ocurrir también
que no quisiera exponer trabajos incompletos por temor a verse ridiculizado en caso de error. Este temor es frecuente entre grandes matemáticos; a Newton, por ejemplo, hubo que persuadirle de que publicase sus
Prirucipia. Puede que esta actitud esté justificada; véase el caso de Georg Cantor, cuya obra sobre teoría de conjuntos y números transfinitos abre una nueva era de las ma-
temáticas. Ridiculizado por sus más
eminentes contemporáneos, esta amarga experiencia fue, al parecer, causa de su locura.
Gran parte de lo mejor de la obra de Gauss en teorÍa de números estuvo relacionado con el problema de los números complejos, que se defrnen como números de la forma
a + bi, donde a y b son números reales e i es raíz cuadrada de -1 (es decir, i2 - -1). Los números complejos
fueron introducidos por los algebris-
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5. LOS NUMEROS PRIMOS GAUSSIANOS son números complejos de la forma a + bi qae carecen de factores de este tipo; se encuentran irregularmente distribuidos en el plano complejo. Gauss descubrió tres clases de tales números: (1) tl ci, que forman los vértices de un cuadrado; (2) tp y GnaNoss Mersrr¿Áucos
tpi (donde p es un número primo real de la forma 4n + 3) que forman un diamante; (3) to r,bi y x.b ;ai, qrre forman un cuadrado truncado. Ese tipo de números complejos que constituyen los primos gaussianos aparecen siempre en una de estas disposiciones. 53
tas del Renacimiento, quienes les asignaron en generosa proporción propiedades místicas y descripciones caprichosas, como "real" e "imagina-
rio". Incluso un hombre tan inteligente como Lelbniz estuvo terrible-
MERCURIO
5
mente confundido en este tema. Leibniz produjo auténticas antologías de disparates al tratar estos números, que no son ni positivos ni negativos. "El Divino Creador", escribió, "ha encontrado ocasión de manifestar su sublime inteligencia en esta maravilla del análisis, este portento del mundo ideal, este anfibio entre el ser y el no-ser que llamamos raíz imaginaria de la unidad
6
negativa."
7
prefi rió representar geométricamen-
I
te los números complejos mediante puntos de un plano. A pesar de que en 1797 se publicó ya una exposi-
Gauss fue mucho más prosaico, y
9 10
ción de este tipo. debida a un agrimen-
sor noruego llamado Capar Wessel, quien preparó una representación analítica de la geometúa plana esencialmente equivalente a los números complejos, este descubrimiento no
fue conocido hasta 1897. Un contaCEFES (ASTEROTDE)
ble suizo, Jean Robert Argand, desarrolló una descripción parecida en 1806, y todavía hoy se le reconoce en los libros de texto la paternidad de la representación geométrica de los complejos. La contribución de Gauss
consistió en ir más allá de la defrnición puramente geométrica de los números complejos. En una carta escrita en 1837 dice que en 1831 ha-
60
geométrica
niciones puramente algebraicas
la adición y la multiplicación.
de
Me-
diante pares ordenados mostró que las operaciones aritméticas con números complejos están definidas por
las reglas: (a,b) + (cd) es igual
600 700 800 900 1
000
-5¿+
ticos genuinos.
pn IJ
su tesis doctoral. presentada en la Univelsidad de Heimstedt
en 1799, Gauss dio Ia primera demos-
tración del "teorema fundamental del Algebra" (que ho¡.' es más 1ógico demostrar como teorema topológico), a saber, que toda ecuación polinómica tiene una raíz compleja. También en este caso cre¡,ó Gauss que el teorema
era muy importante. ¡-. también. a largo de su vida llegó a demostrario de hasta cuatro maneras distintas. La tercera demostración es particularmente típica de su estilo impenetrable ]- su original mentali1o
dad. A
partir
de una ecuación polinó-
mica. Gauss constru).e una complicada expresión en forma de integral doble. Si el polinomio carece de raíces. la integral doble dará el mismo valor calcuiándola por integración reiterada respecto de una variable y
luego de
la otra que al invertir
el
1766.
cas ordinarias de variable real. Los
(Una unidad es igual a 14,9 millones de kilómetros.) La laguna de la serie que se
resultados de Ia traducción son rigu-
cubridor fue Johann Titius, en
PLUTON
los números complejos y les dio acep-
tación plena como objetos matemá-
6. LAS DISTANCIAS de los planetas al §ol quedan aproximadamente descritas por la ley de Bode, cuyo verdadero des-
usando pares ordenados de la forma (a,b) en lugar de a + bi, dando defi-
NEPTUNO
-1. No se com-
compleja, pero no los había publicado. Su demostración es traducción de un razonamiento de teoría de funciones de variable compleja a técni-
tar toda interpretación
80
SATURNO
cuadrada de
a
bía comprendido que era posible evi-
90
i, raíz
prendió el verdadero valor de esta exposición hasta que fue publicada por Wiliiam Rowan Hamilton en 1837. Gauss fue el primer matemático que hizo amplio y libre uso de
orden de integración. Gauss demuestra que no es asÍ. sino que los distintos órdenes de integración dan a Ia integral valores distintos. Por consiguiente, Ia hipótesis de inexistencia de raíces tiene que ser fa1sa. esto es. existe ula raí2. Para comprender de dónde vino Ia demostración hay que tener presente que Gauss poseía los teoremas fundamentales de1 análisis de r,ariable
70
100
(a + c, b + d) y (.a,b) (c,d) es igual a - bd, ad + bc). Es fácil comprobar que el par (o,0) se comporta exactamente igual que el número real cL y que (0,1)2 es igual a (-1,0). Así pues, el par (0,1) es el misterioso número (ac
conocía en 1800 precipitó la búsqueda del "planeta ausente", que culminó con
el descubrimiento del asteroide Ceres en 1801. Gauss realizó la difícil tarea de calcular la órbita de Ceres a partir de los escasos datos disponibles. Ceres vol-
vió a ser otrservado donde él predijo. (Los planetas descut¡iertos después de
1800 se han representado en
color. Obsérvese que la ley de Bode presenta aproximaciones mediocres para los planetas situados más allá de Urano.)
rosos desde el punto de vista 1ógico.
pero hay una cierta perversidad en su formulación, que oscurece Ia idea inicial. Al parecer, Gauss creía que sus teoremas de variable compleja no estaban todavía suficientemente terminados como para publicarios. y,
por consiguiente, refundió convenientemente su razonamiento. Gauss hizo mucho más con los números complejos. En 1811 descubrió TE\IAS I
#Ei+ii-¡***
7. LA TEORIA INTRINSECA DE SUPERFICIES, desarrollada por Gauss, permite calcular la curvatura de una superficie midiendo solamente la longitud de las curvas contenidas en esa
superficie. La curvatura de una superficie convexa se halla del modo siguiente: primero, usando un plano paralelo al plano tangente en el punto P, se rebana la superficie cercana a P a lo largo de una elipse (color oscuro). Se trazan los ejes mayor y menor de esta elipse, señalados A-B y CD, y se proyectan sobre la superficie, obteniéndose las curvas APB y CPD, Se hallan
eI hoy llamado teorema de Cauchy: la integral de una función analítica compleja a Io largo de una curva cerrada que no rodee ninguna singularidad es igual a cero. Augustin Louis Cauchy convirtió este teorema en fundamento del análisis de varia-
ble compleja, y todavía hoy sigue siéndolo. No se le llama teorema de Gauss porque Gauss no llegó nunca
a publicarlo. Parece verosímil que tuviera la intención de preparar una obra definitiva sobre análisis de variable compleja, pero que no tuvo nunca tiempo suficiente para desarrollarla a su satisfacción.
ft auss elaboró también un método (J p.." descomponer números primos en producto de números com-
plejos, obteniéndose algunos resultados dignos de mención. Por ejemplo, el número primo 2 puede descomponerse en la forma (1 + i) (1 - ,). Así, 5 es expresable como (2 + i) (2 - i),29 es (5 + 2i) (5 - 2i), etc. Sin embargo,
continuación dos circunferencias ("osculatrices") que tengan en el punto P el máximo grado de contacto con las curvas de proyección. Sean sus radios,R y r. Entonces, conforme el plano secante se aproxima a P y la elipse se contrae a este mismo punto, la curwatura tenderá hacia el valor 1/Er. En ó, la superficie presenta una ensilladura, y el plano la corta a lo largo de dos hipér' bolas, Se conviene en que uno de los radios (y, por tanto, la curvatura) es negativo. En el caso de un plano, uno y otro radio, R y r, son de longitud infinita, y la curvatura es cero. a
para resoir"er problemas que en apariencia no tenían relación alguna con los numelos complejos. En particular. Gauss utilizó números complejos de ia forma a + bi, con o y ó números enteros (llamados en la actualidad enteros de Gauss), para enunciar ¡,- demostrar una versión de 1a Ie¡' de reciprocidad cuadrática para residuos bicuadráticos. Se dice que el número ft es residuo bicuadrático de otro número m si k es congruente módu1o m a la cuarta potencia de un entero. Así, los residuos bicuadráticos de 10 son 0, 1, 5
y 6. La
ley- de reciprocidad bicuadrática enuncia que para dos números primos p ¡; q existen ciertas relaciones entre los enunciados 'b es residuo bicuadrático de q" y "q es residuo bicuadrático de p", con un cúmulo de condiciones relativas a p v a q. Este teorema es aná1ogo al de
reciprocidad cuadrática, pero es mucho más fatigoso de enunciar matemáticamente (y, por consiguiente, es
ciertos números primos no pueden descomponerse, y permanecen primos (entre ellos, 7, 11 y 19). Gauss descubrió que aparte de 2, que es caso especial, los únicos números primos así descomponibles con números complejos son los de la forma 4n + L, y que en tales casos la des-
muy difícil conjeturarlo, y, no digamos ya, demostrarlo). Si el teorema se generaliza al caso de ser p y q
composición factorial es única. Más tarde se usaron métodos de este tipo
sencillo,
GneNoss MarEuÁrrcos
enteros de Gauss de Ia forma ct + bi,
pueden simplificarse notablemente tanto el enunciado del teorema como su demostración. Así, el paso a númee1 problema más
ros complejos hace
y, su resolución, más
na-
tural que en el caso puramente real.
La demostración de Gauss de la ley de reciprocidad cuadrática utiliza enteros de Gauss, y constituye un modelo arquetípico de resolución de problemas de teoría de números. Primero, el problema se generaliza a un dominio de números complejos convenientemente elegido, llamado un cuerpo numérico, en el cual el problema admite un análisis más natural; a continuación. el problema se
resuelve en este dominio. volviéndose a los enteros ordinarios al final de la demostración. Este potente método abrió las puertas de la hoy denominada teoría algebraica de números.
Tll n I80.l . Causs se interesó por Ja 11 astronomla. con lo que su tiabajo matemático .uibi¿ bruscamente de dirección. A ello contribuyó, sin duda,
su gusto por el cálculo. En toda su obra, incluso 1a más pura y erudita, hay largos cálculosl algunos de sus teoremas más profundos de Ia teoría de números fueron inducidos del exa-
men de largas series de cifras. Además, Gauss so1ía proseguir muchos de sus cálculos hasta 21 cifras decimales, y esto, mucho antes de aparecer
ningún tipo de máquina de calcular. El interés de Gauss por la astronomía puede hacerse arrancar de un des-
cubrimiento de Johann Titius, quien formuló, en 7776, una regla empírica para las distancias entre el Sol y los 55
planetas. Titius dio inicialmente la serie 0, 3, 6, L2, 24, 48 y 96, en la que cada término es doble de su antecesor; más tarde, sumó 4 a todos los
términos, con 1o que se obtienen 4, 7, 1,0, 16, 28, 52 y 100. Resultó que estos números eran muy aproximadamente proporcionales a las distancias desde el Sol a Mercurio, Venus, la Tierza, Marte, Júpiter y Saturno, con la salvedad de que no había ningún planeta a la distancia 28. Esta regla, conocida hoy como ley de Bode (debido a que Johann Bode se la apropió sin mencionar su primitivo autor), no fue hasta 1781 sino una curiosidad,
año en que William Herschel descubrió lJrano, a distancia aproximada de 196 unidades. Como el siguiente término de la sucesión de Titius-Bode sería 2(96) + 4 = 196, Ios astrónomos centraron su interés en la laguna correspondiente a 28. En la Nocheüeja de 1800 a 1801, Giuseppe Piazzi descubrió lo que pensó sería el planeta que faltaba. Se trataba de Ceres, que ahora sabemos que es uno de los millares de pequeños cuerpos del cinturón de asteroides situado entre Marte y Júpiter. Uraa vez divisado Ceres era importante calcular la órbita etíptica del nuevo cuerpo celeste antes de que los observadores lo perdieran de vista.
La difrcultad de observar un cuerpo
tan pequeño hacía que los datos disponibles fueran escasos y poco fiables, y tanto más difícil la exacta determinación de su órbita. El propio Newton había hecho notar cuán difícil era la determinación de órbitas
a partir de escasos datos. Para Gauss era Ia oportunidad de seguir las huellas del hombre más admirado.
tan sólo tres observaciones. ñoo lr.-/ Gauss preparo una tecnica de cálculo de componentes orbitales tan precisa que a finales de 1801 y comienzos de 1802 varios astrónomos pudieron localizar Ceres sin ninguna dificultad. Parte de su técnica consistió en mostrar cómo las variaciones inherentes a Ia información de origen experimental podÍan representarse mediante una curva acampanada (muy conocida ho¡-con el nombre de distribución de Gauss). También diseñó el método de mínimos cuadrados. mediante el
cual el r,alor estimado óptimo se determina haciendo mínima una suma de cuadrados de diferencias con los valores particulares de una serie de observaciones. Sus métodos.
expuestos en 1809 en
un artículo tituiado "Teoría del movimiento de los cuerpos celestes que giran alrededor de1 Sol según secciones cónicas". son válidos todavía hoy. Tan
8. MAPAMAGNETICO de la fienra, basado en un übqio pubücado en 1840 enelAtlas des Erdm4nztisrurzs, preparado conjuntarnente
56
sólo han sido necesarias unas cuan-
tas modificaciones para adaptarlos a los modernos computadores. Gauss tuvo parecido éxito en la determinación de Ia órbita del asteroide Pallas, para el que refinó sus
cálculos con el fin de tomar en cuenta las perturbaciones de la órbita creadas por los otros planetas del sistema solar. En 1807 llegó a profesor de astronomía del nuevo observatorio de Ia Universidad de Góttingen, donde permaneció el resto de su vida. Su primera esposa murió en 1809. poco después del nacimiento de su tercer hijo. Se casó por segunda vez y tuvo otros dos varones y una hija. Hacia 1820, Gauss volvió su atención hacia la geodesia, que estudia
la
determinación de 1a forma
maño de
la Tierra. Dedicó a
y
ta-
esta
cuestión gran parte de los ocho años
siguientes, tanto en estudios teóricos como en trabajos de campo. En 1821 fue nombrado consejero científico de los gobiernos de Hannover y Dinamarca, que 1e encargaron un estudio geodésico de Hannover mediante técnicas de triangulación. A tal fin, Gauss puso a punto e1 heliotropo, instrumento que refleja la luz del sol en dirección exactamente especificada, haciendo así posible alinear a grandes distancias los ins-
trumentos topográficos.
porGaussyWeber.Ambosobtuvieronlasmediciones experirnentales necesarias organizando una red de otrservadores por todo el mundo.
Trlr,rs
I
Los esfuerzos de Gauss para determinar la forma de Ia Tierra a par-
tir
de mediciones geodésicas reales
le condujeron a la teoría pura. Trabajando con datos obtenidos en sus observaciones, desarrolló una teoría
de superficies curvas mediante la cual las características de una superficie pueden determinarse con tan sólo medir la longitud de las curvas contenidas en ella. Esta teoría intrínseca de superficies inspiró a uno de sus discípulos, Bernhard Riemann, a desar:rollar una geometría
intrínseca general de espacios de tres
o más dimensiones.
Unos 60 años
más tarde, las ideas de Riemann constituyeron la base matemática de
la teoría general de la relatiüdad
de
Albert Einstein. A partir de 1831, año en que el físico Wilhelm Weber llegó a Góttingen, Gauss trabajó en estrecha colaboración con él en Ia investigación, tanto teórica como experimental, del magnetismo. Ambos inventaron un magnetómetro, y como resultado de su común interés por el magnetismo
terrestre, organizaron a través de toda Europa una red de observadores a frn de meür las variaciones del campo magnético terrestre. Gauss pudo demostrar teóricamente que el
campo surgía del interior de la
Tierra, resultado de considerable importancia, porque delimitaba los posibles orígenes del campo, y hacía que
la atención se concentrase en
los mecanismos geofísicos que lo engendraban. Su contribución queda recogida en el "gauss", unidad de densidad de flujo magnético.
ft auss v Weber estuvieron tam\f bi"r'"r,tre los primeros en señalar la posibilidad de transmitir
9. LA GEOMETRIA HIPERBOLICA es un sistema no euclídeo construido por Gauss. En él se puede hallar el área de un triángulo conociendo sus ángulos, lo que es falso en geometría euclídea. El diagrama aquí mostrado es parte de la demostración dada por Gauss de que el área del triángulo es proporcional a la diferencia entre 180 grados y la suma de los ángulo s A, B y C. Debido a que el triángulo está dibujado en un plano euclídeo sus lados aparecen curvos, pero en el espacio hiperbólico son rectos. Además, las líneas que aparecen agYupadas de tres en tres en los bordes del diagrama son todas ellas paralelas, con lo que la línea de apariencia curvada XY es paralela tanto a XQ como a PY, situación que resulta del todo imposible en geometría euclídea. Aunque todos los vértices del triárr.grlJo XYZ se encuentran en el infinito, su área es finita.
bilidades en total): el dispositivo funcionó tan bien que 1os dos hombres lo utilizaban regularnente para comu-
y también es igual a f(z + ó). La situación es análoga a las de las funciones trigonométricas, que tienen periodicidad simple. Así, por ejemplo, sen(e) = sen(z + 2tc). El descubrimiento de Gauss tuvo vigorosas implicaciones, debido a las numerosas conexiones entre la teoría de funciones de variable compleja y la teoría de números. También estuvo Gauss entre los
Hacia L827 se transmitió un impulso eléctrico a más de 250 metros, lo que inmediatamente sugirió que la electricidad podría servir para 1a telegrafia. Se diseñaron diversos telégrafos eléctricos, pero ninguno llegó a ponerse a punto hasta 1832, año en
nicarse entre sí. E1 te1égrafo de GaussWeber fue probablemente el primero que funcionó. en el sentido práctico del término, 1. se adelantó, en siete años. a la famosa patente de Morse. La enorme fama de Gauss aumentó todavía más después de su muerte, al descubrirse, inéditos, numerosos resultados que anticipaban muchos de los principales progresos del siglo xrx. Además del teorema de Cauchy, había descubierto Ia doble perio-
que se conectaron los palacios de verano y de invierno delZar, en San Petersburgo. Un año más tarde, Gauss
que, en manos de AbeI y Jacobi, llega-
samiento humano. La geometría sintética de Euclides se basaba en ciertos axiomas, o proposiciones fundamen-
ron a ser el núcleo de la teoría
tales, consideradas verdaderas por
mensajes por medio de la electricidad. Larga es la historia de la telegrafía,
pero antes de 1800, o aledaños, tan sólo se usaban métodos no eléctricos.
y Weber disponían de un telégrafo que corría sobre los tejados de Góttingen, con longitud de 2,3 kilóme-
tros. Las señales transmitidas consistían en una sucesión de cinco deflexiones de una aguja, bien a Ia derecha, bien a la izquierda (32 posiGneNops MerpuÁucos
dicidad de las funciones elípticas, de
funciones del siglo xtx. Las funciones elípticas son funciones especiales fl.z) de una variable compleja z. Su doble periodicidad significa que hay
dos constantes complejas distintas, que llamaremos a y ó, tales que para todo valor de z, f(z) es igual a fQ + a),
primeros que pusieron en tela
de
jui-
cio que la geometría euclídea fuese la
inherente a la naturaleza y al pen-
su propia evidencia. Todo el sistema
geométrico se construía mediante razonamiento lógico sobre estos cimientos no demostrados. El axioma de las paralelas afirma que, por un punto exterior a una recta, solamente puede trazarse una paralela a ella. 5'7
El axioma de las paralelas ha
sido exhaustivamente estudiado a lo largo de toda la historia. No se impone aI pensamiento con tanta fuerza como los restantes; además conlleva la noción de infrnitud. Ya en la antigüedad, los matemáticos intentaron sustituirlo por axiomas más evidentes.
[lste problema. todavÍa no resuelI:l to en el siglo xvltt, recibió renovada atención, y muchos matemáti-
y amateurs se esforzaron en demostrar que el axioma de las paralelas podía deducirse, lógicamente, de los restantes axiomas de Euclides. Todas las presuntas demostraciones que se obtuvieron resultaron contecos
ner falacias. Gauss tuvo noticia de Ia controversia siendo aún estudiante en Góttingen. En 1804 escribió una carta al matemático húngaro Farkas Bolyai donde le indicaba que la demostración que había dado
Bolyai del axioma de las paralelas erafalaz, porque había sustituido un razorl,amiento infinito por otro frnito. Gauss incluyó en su refutación un comentario, donde expresaba haber tropezado ya con la misma dificultad. En 1815, no obstante, Ias recen-
siones que hizo de ciertos libros dejaban ver que en su opinión podría
existir una geometrÍa en Ia que no se verificase eI axioma de las paralelas, y, a pesar de eso, fuese internamente coherente y libre de contradicciones. Dada la habitual circunspección de Gauss a la hora de manifestar sus
propias ideas, las anteriores afirmaciones inducen fuertemente a pensar que él ya disponía con qué respaldarlas. Quizá porque su pensamiento iba contra la coniente de sus contemporáneos prefirió reservarlas; qtizá creyera, probablemente cort razórt, que habrían de ser mal entendidas. En 1820, el hijo de Bolyai, János,
contagiado también de la fanática obsesión de su padre por demostrar
el axioma de las paralelas, lIegó a
la
conclusión de que
tal
demostra-
ción era imposible, y corr,enzó
a
desarrollar una nueva geometría que no utilizara el axioma de Euclides.
Tres años más tarde había finalizado una memoria en la que proponía un sistema coherente de geometría no euclídea, que publicó como apéndice a un libro de su padre, Ensayo sobre elementos de matemó,ticas para jóuenes estud,iosos. Gauss leyó esta memoria en 1832, y escribió a Bolyai padre que no podría ser elogioso con ella, porque hacerlo sería lo mismo que elogiar trabajos que él 58
mismo había realizado 30 años antes.
El joven Bolyai quedó muy
decep-
cionado por la displicente respuesta de Gauss, y murió sin que casi nadie
reconociese que habÍa resuelto un problema enormemente importante, pendiente de solución durante mu-
chísimo tiempo (problema que fue resuelto independiente y casi simultáneamente, de forma muy parecida, por Nikolai Ivanovich Lobachevsky). La actitud de Gauss fue muy injusta, en vista de que é1 mismo nunca tuvo Ia suficiente seguridad de su propio trabajo como para hacerlo púb1ico. Quizás estuviera algo celoso del éxito de Bolyai.
En muchos aspectos, Gauss
se
encontró en una encrucijada. Puede ser igualmente considerado como el primero de los matemáticos modernos que como el último de los grandes clásicos. La paradoja es fácil de resolver; sus métodos son de espíritu moderno, pero ios problemas que afrontó fueron clásicos. Ei marchamo de la obra de Gauss, muy especialmente en matemática pura, es su hábito de razonar con Io particular como si fuera general. Para usar con éxito esta técnica es
utilizar solamente aquellas propiedades de1 caso particular que tengan contlapartida general. Al afrontar un problema, Gauss combina la amplitud de los métodos generales con la intensidad y simplicidad de ios casos particulares. necesario
Así. por ejemplo, su trabajo sobre los números complejos contiene en sí la simiente de la teoría general de los
números algebraicos. Sus escritos dejan siemple en el lector la impresión de que Gauss sabía más de Io que decía, de que al explicar un resultado. estaba ¡,a pensando en los
problemas más generales que
1o
rodean. y que tenía ya idea de cómo
empezar a resol rer''los. Podemos hacernos idea de la pro-
fundidad y fecundidad del pensa-
miento de Gauss observando aigunas investigaciones recientes inspiradas por é1. Por ejemplo, en 1947, André Weil, partiendo de ciertos teoremas de Gauss relativos al número de soluciones distintas y no congruentes módulo un número primo de las ecuaciones algebraicas, se vio conducido a formular tres conjeturas de gran trascendencia acerca de las variedades algebraicas sobre cuerpos finitos. LIn cuerpo finito es un conjunto de elementos algebraicos, en número finito, que, además de reunir algunos
otros requisitos, pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse
entre sí, dando siempre resultados
pertenecientes al mismo conjunto. Así, por ejemplo, las clases de res-
tos de números enteros módulo uno primo p, forman un cuerpo finito. Las conjeturas de Weil dan fórmulas que permiten calcular el número de soluciones de una ecuación algebraica en un cuerpo finito. Permiten,
en particular. deducir si una ecuación tiene soluciones o no; información que. con 'las modificaciones necesarias. puede utilizarse para ecuacio-
nes análogas en números enteros
o
números algebraicos. Como es obvio, Ias conjeturas de Weil son de carácter especializado, .v están formula-
das en lenguaje muy técnico. Han sido recientemente demostradas por
Pierre Deligne.
¡l't auss enuncio en alguno de sus \f trabajos la conjetura de que existe descomposición única en factores primos para números de la formap + qti-D, donde D es un entero positivo, tan sólo cuando D sea uno de los números 1, 2, 3, 7, 17, 19, 43,
67 y 163. Este resultado, que é1 indujo por observación directa de series numéricas. ha sido demostrado recientemente por Harold M. Stark
y Alan Baker, y conduce a nuevos e importantes resultados en teoría de números.
La importancia de Gauss es consecuencia de su capacidad para com-
binar 1o general y 1o específico. Forma un puente entre 1o nuevo y lo viejo; sus ideas contienen la semilla de amplias teorías e importantes resultados. Es el más brillante caso de matemáti co capaz de extraer todo el jugo posible de un ejemplo maduro
mediante razonamiento inductivo (pasando de los casos particulares a teorías generales) con preferencia
a1
razonamiento deductivo (obtención de conclusiones específicas a partir de principios generalesl. En 1937,
Eric Temple Bell escribió acerca de la influencia ejercida por Gauss sobre sus sucesores: "Vive en la totaIidad de Ia Matemática." Afirmación que, en todo caso, es hoy aún más cierta que nunca.
illllI.:i.]{;F:.-ifjii.. a,i-r":::': :r1.ii:1 i 1ii:
:l
MExot M.rrHErr.srtcs. Eric T. Bell. Simon & Shuster. Inc.. 1937, Drsr¡ursnronrs AntrHlr¡'rrc,rE. Carl Friedrich Gauss. Yale Universit.v Press. 1966.
Cenl Fnrsonrcs C,russ: A Brocnrpuy. Tord Hall. The MIT Press. 1970. W¡nx¡. Carl Friedrich Causs. G. Olms Verlag, Hildesheim-Nueva York. 1973.
Tr-nes I
Jean Baptiste Fourier Ronald L. Bracewell §-a dob§e §zélic* Cel
A*N,
y §ss seña§es
l«
f:lara calcular una transformada.escuche. El oido electúa V I automáticamente el calculo,
{r§e* qwe su§sv*ac€
{Á Lsv?{á
{¿
wyts seyíe
La transformación de Fourier ha llegado a ser un poderoso instrumento en dir.ersos campos de la cien-
al-
cia. En ciertos casos. proporciona
métodos para Ia resolución de ecuaciones difíciles de manejar, verbigracia. las ecuaciones que describen las respuestas dinámicas de los sistemas
ción matemática. El oído ejecuta la transformación convirtiendo el sonido de presion que riajan a -ondas través del tiempo y de la atmósferaen un espectro. que es una descripción del sonido mediante una serie de volúmenes de diferentes tor.ros. El cerebro se encarga de conrel'til'esa información en sonido percibido. Resulta posible efectuar por métodos matemáticos operaciones similares sobre las ondas sonoras l'. con mayor generalidad, sobre casi todo fenómeno fluctuante, desde las ondas luminosas, pasando por las maleas oceánicas, hasta los ciclos solares. Dichas herramientas matemáticas permiten descomponer las funciones que representan las fluctuaciones en un conjunto de componentes sinusoidales, curvas ondulantes que oscilan de un máximo a un mínimo y viceversa, a modo de crestas y senos de las ondas del océano. La transformación de Fourier es una función que describe la amplitud y la fase de cada sinusoide, con una frecuencia específica. (La amplitud expresa la altura de la sinusoide; Ia fase, el punto de arranque dentro del ciclo de la sinusoide.l
eléctricos. térmicos o lumínicos. En
otros casos, permite identificar las aportaciones de índole regular a una señal fluctuante, contribuyendo así a dar sentido a las observaciones de la astronomía, la medicina y Ia química.
El mundo tuvo por vez primera noticia de esta técnica merced al matemático de quien la transformación recibe su nombre, el barón JeanBaptiste-Joseph Fourier. No sentía
por el calor mero interés: le
it 1i,\i',it11
l.t
1,i.
pertenece
al claustro de la facultad de ingeniería e1éctrica de la Universidad de Stanford desde 1955. Se formó en la Universidad de
Sydneyyen
e1
laboratorio Cavendish,
en Cambridge, donde se doctoró. Entre 1as materias que ha inr.estigado se cuen-
tan el radar de microondas. la física ionosférica y la radioastronomía. En Stanford, es catedrático emérito de informática y numerario de1 laboratorio del espacio. telecomunicaciones y radiociencia.
noble caideada hasta el punto de resultar incómoda, de lo cual solían quejarse sus visitas. Y mientras, iba forrado en gruesas capas y abrigos. Quizá fuera el atractivo de climas
más cálidos 1o que, en 1798, indujo
a Fourier a unirse a la comitiva
de
165 sabios que acompañaron la expe-
dición de Napoleón a Egipto. Mientras Napoleón combatía a Ios sirios en Palestina, expulsaba de Egipto a los turcos y perseguía a Nlurad Bey, jefe de los mamelucos, ambiciosos estudios de geografía, arqueología, medicina, agricultura e
historia natural. Fourier fue nombrado secretario del organismo científrco conocido por Instituto de Egrpto. Tal era su competencia en despachar tareas administrativas, que le fueron encomendadas no pocas m isiones diplomáticas. Lo cual no le impidió Ilevar a cabo una exhaustiva investigación de las antigüedades egipcias
y pergeñar una teoría sobre las raíces de las ecuaciones algebraicas.
60
solares
§* e§ectrówicg t¿tíliz{¿
*§.e
cwn,as ondulsnles.
Poco antes de que 1os franceses fueran arrojados de Egipto, en 1801, Fourier y sus colegas se hicieron a
la mar para volver a Francia. El comandante de la Flota Británica, almirante Sir Sidney Smith, no tardó en apoderarse del navío y de su cargamento de documentos y reliquias egipcias. Con el honorable espíritu propio de 1a época, Smith desembarcó a los científicos sanos y salvos en Aiejandría. E1 comandante inglés acabaría finalmente viajando a París para devolver el material confiscado, a excepción de la piedra Rosetta (la clave de 1os jeroglíficos eglpcios), que se conserva todavía hoy en el Museo Británico, como monumento a Ia derrota militar de Napoleón y su contribución a la egiptologra.
obse-
sionaba. Mantenía su casa de Gre-
los científicos franceses emprendieron
li{)¡i,\Lt } i,.
z.t'¿*rsciuls
p*r§er*s* lcer¡,*rwiewta def aruálisis
canza a realizar tras años de forma-
un cálculo que el intelecto sólo
cicÍo de lus
ase¡"rr¿t§r¿s qwe
se reducew ¡ruaíerszálíc*wew{e Ts§ es
e§
ffiras retornar a Francia, relalivaI mente inciemne. l.ourier se centró en cuestiones matemáticas, en su puesto de profesor de análisis de
la Escuela Politécnica, aunque en 1802 volvió a entrar al servicio de Napoleón. Fourier se convirtió en
prefecto del departamento de Isére. Mientras se esforzaba por remediar los desgarros originados en la Revolución de 1789, construyó el tramo francés de la carretera a Turín y desecó 80.000 kilómetros cuadra-
dos de ciénagas que provocaban malaria endémica. Durante aquel tiempo, dedujo una ecuación que describía la conducción del calor en los cuerpos sólidos. Y hacia 1807, había inventado un método para resolver tal ecuación: Ia transformación de Fourier.
Se sirvió de su técnica matemática para explicar muchos ejemplos de conducción dei calor. Tenemos uno particularmente instructivo, que evita las complicaciones del cálculo, en el flujo de calor en torno a un anillo de ancla anillo de hierro
-un
TEN,rAs
I
que sujeta el ancla de un barco a su cadena- introducido a medias en un fuego. Cuando parte de la circunferencia se pone al rojo vivo, se retira el anillo del fuego y, antes de que haya podido perder mucho calor en
el aire, el anillo se entierra en arena refractaria fina y se mide la tempe-
ratura en torno a la curva exterior luéase la figura 21. La distribución de temperatura es,
en un comienzo, irregular: parte del
1. EN EL ESPECTRO de un haz de luz solar encontramos una analogía física de Ias transformaciones matem.álicas (arriba).La intensidad de la luz solar que penetra en el prisma varía de un instante a otro (abajo). La luz saliente del prisma se ha separado y descompuesto, y atraviesa el espacio en colores puros, esto es, en frecuencias simples. La intensidad de cada color equivale a la amplitud correspondiente a cada
GneNoes MersuÁrrcos
anillo se encuentra uniformemente frío y parte, uniformemente caliente; en Ia zona media, la temperatura
cambia con brusquedad. Sin embargo, debido a la transmisión de calor desde la parte caliente hacia la fría,
frecuencia. Así, la amplitud, que era función del tiempo, se trasforma en una función que da la amplitud correspondiente a cada frecuencia. La transformada de Fourier permite representar una señal que varía en el tiempo corno una función de la frecuencia y la amplitud; facilita, además, información sol¡re la fase. (Otras aplicaciones de interés se dan en biología.)
6l
o
la distribución de temperaturas
co-
fiienza a suavizarse. La distribución de temperaturas en torno al anillo alcanza pronto una forma sinusoidal; al representar gráficamente la temperatura, vemos una curva que sube y baja suavemente, a modo de una S, de forma exactamente igual a la de variación de las funciones seno y coseno. La sinusoide se va
I80
aplanando gradualmente, hasta que
todo el anillo llega a una tempera-
tura constante. Fourier propuso que la iregular distribución inicial podía descomponerse en multitud de sinusoides sim-
POSICION
ples, provista cada una con su propia temperatuta máxima y su propia
t
fase, esto es, su posición relativa dentro del anillo. Además, cada componente sinusoidal variaba un número entero de veces de un máximo a un mínimo e inversamente en cada vuelta completa en torno al anillo. La variación que poseía un solo ciclo
(I = F (I
ul I
UJ
F
dio en llamarse armónico funda-
POSICION
mental, mientras que las variaciones con dos, tres o más ciclos por giro
en torno al anillo son el segundo armónico, el tercer armónico, etcéte-
ra. La función matemática que describe la temperatura máxima y la posición fase- de cada uno de -la es la transformada los armónicos de Fourier de la distribución de temperaturas. Fourier había cambiado una distribución única, cuya descripción matemática era difícil,
Í.
f F (I
por una serie más manejable de fun-
ciones trigonométricas periódicas que, aI sumarse, engendraban Ia distribución original.
uJ
oUJ
F
L l aplicar el análisis anterior a la la, conducción de calor en torno al anillo, razonó que, cuanto mayor fuera el número de períodos de una componente sinusoidal, tanto más TEMPERATIIRAde los distintos puntos de un anillo de hie¡ro. Fue éste uno de los primeros fenómenos analizados mediante la técnica de Fourier, Vemos en (o) una distribución de calor en torno a un anillo; la temperatura es más elevada cuanto más intenso es el color. 2.
r80 POSICION
360
Para comenzar el análisis, el anillo se ttdesarrolla'' (b) y se mide su temperatura en cada punto, lo cual nos proporcio-
na una distribución de temperaúura en
t
torno a la circunferencia (c). La distribución de temperatura se descompone entonces en multitud de curvas sinusoidales con uno, dos, tres o más ciclos (d). Si luego nos limitamos a sumar üeciséis de estas curvas (línea conünua en e), se obtiene una buena aproximación de la primitiva distribución de temperaturas (lhtea dz trazos en e).
fI l F É. UJ (L UJ
F
POSICION
62
Teues
1
TEMPERATURA
180
360
POSTCTON
3. CONDUCCION DE CALOR a través de un anillo de hierro. Provoca que la distribución de temperaturas camt¡ie con el tiempo (izquierd.a\. AI igual que la distribución de temperatura puede ser descrita mediante una serie de curvas sinusoidales, la evolución temporal de una distribución de temperatura puede quedar descrita mediante cambios en las sinusoides. Vemos aquí la distribución nonocíclica, llama-
deprisa decaería tal componente. Podemos seguir su razonamiento examinando la relación entre eI armó-
nico fundamental y el segundo armónico de la distribución de temperaturas. La temperatura de1 segundo armónico varía dos veces de
caliente a fría al ir recorriendo la circunferencia del anillo, mientras que la del armónico fundamental lo hace solamente una vez. Así pues, la distancia que debe viajar el calor desde la cresta térmica hasta el valle frío es, para el segundo armónico, la
mitad sólo de la correspondiente al fundamental. Además, el gradiente de temperatura es, en ese segundo armónico, el doble de abrupto que en
la variación fundamental. Dado que un flujo calorífico doble ocupa la mitad de la distancia, el segundo armónico se extinguirá cuatro veces antes que el fundamental.
T os armónicos de órdenes supeIJ riores se amortiguarán con mayor celeridad aún. Por tanto, al tender al equilibrio la temperatura en el anillo, tan sólo persistirá una variación sinusoidal, la correspon-
diente al armónico fundamental.
Fourier estaba convencido de que la evolución temporal de cualquier dis-
tribución calórica inicial podría calcularse merced a su técnica.
El análisis de Fourier
ponía en
entredicho ciertas concepciones
matemáticas por las que sus contemporáneos sentían inquebrantable adhesión. A principios del siglo xx,
a muchos de los más distinguidos matemáticos parisienses -entre ellos Lagrange, Laplace, Legendre, Blot y Poisson- les resultaba impoGnq.Nops
Mer¡uÁucos
180
360
POSTCTON
r80 POSTCTON
da primer armónico (centro), y la distribución de dos ciclos, o segundo armónico (.derecha). Fourier estableció que el segundo armónico se amortigua cuatro veces más rápidamente que el primero, y que los armónicos de orden superior decaen antes aún. Dado que el primer armónico es el de más larga persistencia, la distribución general tiende hacia la forma sinusoidal del mismo.
sible aceptar la tesis de Fourier, que
analytique de la chaleur (Teoría ana-
sostenía que Ia distribución de temperaturas podía descomponerse en
Iítica del calor).
una sencilla suma aritmética, compuesta por una variación fundamental más sus armónicas de frecuencias más elevadas. También Leonhard Euler hubiera hallado in-
se centraban en su proposición de que una función en apariencia discontinua pudiera representarse mediante una suma de funciones sinusoidales, todas ellas continuas. Las gráficas de las funciones disconti-
correctas las ideas de Fourier, no obs-
tante haber él mismo propuesto que ciertas funciones eran representables mediante sumas de funciones sinusoidales. Y así. cuando Fourier defendió esa tesis en una sesión de la Academia Francesa de Ciencias, Lagrange, puesto en pie, sostuvo que aquello era imposible. Mas ni siquiera en esas circunstancias podía 1a Academia ignorar la
importancia de los resultados
de
Fourier; le concedio un premio por su teoría matemática de 1as leyes de propagación del calor ¡. la concordancia
de los resultados de su teoría con
experimentos cuidadosamente reaiizados. A pesar de todo, la concesión del premio se anunció con 1a siguiente reserva: "La novedad del tema, sumada a su importancia, nos ha decidido a otorgarle el premio, haciendo notar, empero, que eI modo en que el autor llega a sus ecuaciones no carece de dificultades, y que el análisis que efectúa para integrarlas deja todavía algo que desear, tanto en Io tocante a generalidad como en lo concerniente al rigor." La gran desconfianza con que los colegas de Fourier consideraban el trabajo de éste fue Ia causa de que su publicación se demorase hasta 1815. De hecho, el trabajo no quedó plenamente descrito hasta la publicación, en 1822, de su libro Théorie
Las objeciones aI método de Fourier
nuas presentan saltos o rupturas. Por ejemplo, la función llamada de Heaviside tiene el valor cero en toda su
porción izquierda y salta bruscamente a l- en su mitad derecha. (Tal
función puede describir la intensidad en un circuito eléctrico antes y después del cierre de un internrptor.) Los coetáneos de Fourier jamás habían visto que una función discontinua estuviese descrita por una combinación de funciones continuas ordinarias, como las funciones lineales, cuadráticas, exponenciales o sinusoidales. Sin embargo, de estar Fourier en lo cierto, la suma de un número infinito de sinusoides podría ser con-
vergente y representar, con exactitud, funciones cuyos valores saltasen bruscamente, y no sóIo una, sino muchas veces. En su época, tal idea parecía manifrestamente absurda.
¡l pesar de las citadas objeciones, la. muchos investigadores, entre ellos la matemática Sophie Germain y el ingeniero Claude Navier, comen-
zarorr a generalizar el trabajo de Fourier, extrapolindolo a campos distintos del análisis del calor. Pero los matemáticos seguían dándole vueltas al problema de si una serie de
funciones sinusoidales podría converger y representar con exactitud una función discontinua dada. 63
Siempre que es preeiso sumar una serie infinita de números, se plantea Ia cuestión de la convergencia. Tome-
mos un ejemplo clásico: ¿podremos llegar a una pared si en cada paso avanzamos la mitad de Ia distancia que nos separa de ella? El primer paso llevará la punta de nuestro pie hasta la marca de mitad del camino; eI segundo, hasta las tres cuartas partes; al frnal del quinto llevaremos andado casi el 97 por ciento del camino. Cierto es que estamos a punto de alcanzar el muro; pero también lo es
octavo, más un dieciseisavo, y así sucesivamente, tiende a uno.) La cuestión de Ia convergencia de las series de Fourier volvió a surgir en las postrimerías del siglo xD(, en
las tentativas de predecir el flujo y reflujo de las mareas. Lord Kelvin había inventado un ordenador analógico
destinado a proporcionar información sobre mareas a las tripulaciones
de los navíos mercantes y de Ia armada. Los primeros conjuntos de amplitudes y fases fueron calculados
que, sea cual fuere eI número de
manualmente, a partir de un registro de alturas de las mareas y de los
pasos que demos, nunca llegaremos a alcanzarlo del todo. Podemos de-
tiempos correspondientes, cuidadosamente medidos a lo largo de un año
mostrar matemáticamente, eso sí, que podríamos acercamos a la pared hasta quedar de ella a menor distancia que cualquiera que se esti-
en un puerto determinado.
pule de antemano. (La demostración
equivale a demostrar que la suma de un medio, más un cuarto, más un
4.
t^lada amplitud y fase represen\-r t.b, una componente sinusoidal
de la función que daba la altura de la marea en función del tiempo y ponía de manifiesto una de las contri-
PREDICTOR DE MAREAS FERREL, un ordenador analógico
construido a frnes del siglo ru( que efectuaba una síntesis de Fourier para predecir el flujo y reflujo de las mareas. Los datos sobre alturas de la marea recogidos en un puerto podían reducirse, por cálculo manual, a una colección de nriuneros, cada 64
buciones periódicas a la marea. Los resultados se suministraban entonces al ordenador de Lord Kelvin, y
el ingenio sintetizaba una curva que predecía las alturas de la marea correspondientes al año siguiente. Pronto se generaron curvas de mareas para puertos de todo el mundo. Parecía evidente que una máquina de predicción de mareas compuesta por mayor número de elementos podría calcular más amplitudes y más fases y proporcionar así mejores predicciones. Tal presunción resultó no ser completamente cierta cuando Ia función de alturas de mareas a sintetizar contenía un salto brusco, esto es, describía una función discontinua. Supongamos que ta1 función fuese reducida a un pequeño conjunto de amplitudes y fases, esto es, a unos pocos coeficientes de Fourier. La fun-
ción original puede reconstruirse entonces a partir de las componen-
uno de los cuales representaba una contribución periódica a la marea. Los valores correspondientes a un puerto se introducían en el predictor ajustando unos mandos g'iratorios en el dorso de la máquina (izquierd.a). Al colocar una hora en el frente de la máquina (derecha),laaltura de la marea se Ieía en un dial.
Tnr¡,ls
1
tes sinusoidales asociadas a esos coe-
ficientes, pudiéndose medir en cada punto la discrepancia o error entre la función original y la reconstruida. Se repite el procedimiento de detección de errores, calculando cada vez
un número mayor de coeficientes, incorporándolos a la reconstrucción. En cada caso, el valor del error máximo no disminuye. Por otra parte, el error llega a quedar confinado a la región de la curva situada en las inmediaciones de la discontinuidad, por lo que en cualquier punto dado
eI error acababa por tender a cero. En 1899, Josiah Willard Gibbs, de
otro cuando consiste en una multitud de mediciones discretas. Cuando la función se obtiene de una lista de valores tomados a intervalos discretos, es posible descomponerla en una serie de funciones sinusoidales de frecuencias discretas, que parten de una frecuencia mínima, Ia fundamental, v pasan por una serie de frecuencias que son dos, tres o más veces la fundamental. Esta suma de sinusoides recibe el nombre de serie de Fourier.
Si la función original proporciona un valor para cada número real, se 1a descompone en funciones sinusoi-
ciones pueden relacionarse por una ecuación cuya solución es trivial. En nuestros días, el estudio de las transformadas de Fourier consiste, en gran medida, en la adquisición de técnicas que permitan moverse libre-
mente entre las funciones
y
sus
transformadas. Es posible aplicar métodos analíticos para evaluar la
integral de Fourier y obtener la transformada. Aunque tales métodos
pudieran resultar difíciles a los no especialistas, son muchas las integrales de Fourier que ya se han calculado y tabulado y pueden verse en
obras de referencia. Estos métodos se enriquecen con un puñado de teoremas atinentes a las transforma-
les, una serie de Fourier será con-
dales de todas las flecuencias. combinadas mediante una operación conocida por integrai de Fourier. La transformada de Fourier de ia función original no es ni 1a serie ni la integral. En ei caso de ia función discreta, es ia lista de amplitudes y fases dependientes de 1a frecuencia que aparecen en la serie de Fourier;
vergente cuando su función original provenga de la medición de una mag-
en el caso de ia función definida de fbrma continua. la transformada es
nitud física.
la función de la frecuencia resultante de evaluar Ia integral de Fourier.
rimentales, o cuyas integrales de Fourier no sean fáciles de calcular
¡l1on independencia del metodo por
analíticamente, o no figuren en las tablas. Antes de los ordenadores electrónicos, Ia computación numérica de
la Universidad de Yale, confirmó teóricamente dicho resultado. El análisis de Fourier no se puede aplicar todavía a funciones muy insólitas. como las que poseen, en un intervalo frnito, un número infinito de discontinuidades con salto infinito. Empero, en condiciones muy genera-
Cte han desarrollado vastas áreas L) de nuevas matemáticas a partir de la investigación de la convergencia
de
la serie de Fourier de funciones
concretas. Tenemos un ejemplo en la
teoría de funciones generalizadas, que se asocia a los nombres del inglés George F. J. Temple, del polaco Jan G. Mikusinski y del francés Laurent Schwartz. La teoría estableció en 1945 bases firmes para el tratamiento de la función escalonada de Heaviside y para la función delta de Dirac; esta última describe una unidad de área concentrada en un punto.
La teoría permitió aplicar la transformación de Fourier a la resolución de ecuaciones basadas en nociones intuitivas aceptadas; verbigracia: masas puntuales, cargas puntuales, dipolos magnéticos y la concentración de una carga sobre una üga. Después de casi dos siglos de desa-
rrollo, la teoría subyacente a la trans-
formación de Fourier ha quedado sólidamente establecida y explicada. Como hemos visto, el análisis de Fourier descompone una función del espacio o del tiempo en componentes
sinusoidales de frecuencias, amplitudes y fases variables. La transformada de Fourier es una función
que representa
la amplitud y fase a cada frecuencia.
correspondiente Disponemos de dos métodos mate-
máticos diferentes para deducir la transformada, aplicable uno cuando Ia función original es continua y el GneNoss MereuÁrrcos
L,t el que \ a.va a declucirse la transformada. es necesario especificar dos números para cada frecuencia. Estos podrían ser 1a amplitud y la fase; no obstante, la misma información podría estar codificada en otros pares de números. Tales valores podrían expresarse mediante un solo número complejo. rUn número complejo es la
suma de un número real y de otro número real multiplicado por 7a raiz cuadrada de -1.) Esta representación es mu)'popular, porque invita a utilizar el áigebra de los números com-
plejos. Las funciones de variable compleja y- la transformación de Fourier
se han convertido en instrumentos indispensables para 1os cálculos numéricos necesarios en el diseño de circuitos eléctricos. e1 análisis de las vibraciones mecánicas y el estudio de la propagación de ondas. La representación de una función dada por medio de su transformada
de Fouliel compleja proporciona cierto número de ventajas para e1
cálculo. Un problema típico es conocer con seguridad qué intensidad de corriente fluye cuando se le aplica a
un circuito una tensión eléctrica
conocida. Ei método directo requiere Ia resolución de una ecuación diferencial que relaciona entre sí las funciones que describen a Ia tensión y la intensidad. En cambio, las trans-
formadas de Fourier de dichas fun-
das. Con ayuda de dichos teoremas, se nos faculta para manipular formas de onda más o menos complicadas por reducción a componentes más sencillas. Por fortuna, se dispone de métodos numéricos para calcular las transformadas de Fourier de funciones cuyas formas se basen en datos expe-
una transformada era bastante tediosa, porque exigía un elevado número de operaciones aritméticas que era preciso realizar corrlápiz y papel. Era posible reducir un poco el tiempo preciso mediante formularios y plan-
tillas que orientaban a los investigadores aI efectuar sus cálculos; aun así, la tarea que suponía podía toda-
vÍa ser apabullante.
Ti'll número exacto de operaciones lA aritméticas que era preciso efec-
tuar dependía del número de datos necesarios para describir la onda. El número de adiciones era comparable al número de datos, y el número de multiplicaciones, igual al cuadrado del número de datos. Por ejemplo, eI análisis de una onda especificada mediante mil datos tomados a intervalos regulares requería del orden de mil operaciones de adición y exactamente un millón de multiplicaciones. Tales cálculos resultaron progresivamente más factibles conforme se fueron desarrollando ordenadores y programas capaces de llevar a la práctica nuevos métodos de análisis de Fourier. Uno de ellos fue el elaborado, en 1965, por James W. Cooley, de1 Centro de Investigación Thomas J. Watson de la empresa IBM, y por John W. Tukey, de los Laboratorios Bell. El trabajo de ambos dio lugar 65
Transformaciones de Fourier y de Hartley
a un programa conocido por transformación rápida de Fourier. La transformación rápida logra eco-
Las transformaciones de Fourier y de Hartley convierten funciones cuya variable es el t¡empo en funciones de la frecuencia, que codifican informac¡ón relativa a amplitudes y fases. Las gráficas que damos segu¡damente representan la función "continua" g(t) y la función discreta g(c), donde t es el tiempo y r es un número des¡gnado en cada punto-dato.
nomizar tiempo reduciendo el número de mult iplicaciones necesarias para analizar una curva. Larazón de que se hiciera hincapié en el número de multiplicaciones se debió a que, en esa época, la multiplicación constituía
una operación lenta en comparación F t¡J
z tr z o 9 z Io z
con otras de 1as operaciones del ordenador, como la adición o 1a búsqueda y almacenamiento de datos.
CE ()
a o
z
Io
T a transformacion rapida de FouL ,ie. divide una r'ur'\ a en un gran número de muestras equi-
zl
l
LL
distantes. EI número de multiplicaTTEMPO
(r)
"TTEMPO" (r)
Ambas funciones parten de cero, saltan a un valor posit¡vo y decaen después exponenc¡almente. La definición de transformada de Fourier de la función continua es una integral impropia, F(f), mientras que la definición para una función discreta es una suma f
inta, F(v').
r(0 =
is(fl
(cos
2rlt-
isen 2nft) dt
F(v)
r l:1g(f) (cos 2nvr - I sen 2nvr) = n _-^)
En esta fórmula. f es la frecuencia, v está relacionada con la frecuencia, n es el número total de muestras e I es la unidad imaginaria, cuyo cuadrado es -1 . La representación integral resulta más adecuada para manipulaciones teóricas, mienlras que la representación med¡anle sumas finitas se presta más a las aplicaciones de cómputo en ordenador. La transformada de Hartley y la transformada discreta de Hartley tienen defin¡ciones similares. n-'1 1 H(n = [g(f) (cos 2nft+ sen 2nft) dt H(v¡ = I S(t) (cos 2¡r't + sen 2¡¡vt) n
definiciones de Fourier y de Hartley es el factor -l antepuesto a la función seno, una y otra transformadas son totalmente d¡ferentes, pues la de Fourier consta de parte real e imaginaria, mientras que la de Hartley es enteramente real, Las transformadas discretas de Fourier y de Hartley tienen esencialmente la misma forma que sus análogas continuas.
A pesar de que la única diferencia notacional enlre as
fI
UJ
n l
o II t¡J
o o CE
o lr o
z
É.
F
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IMAGINARIA
rj,
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CE
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z (f F
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V V FRECUENCIA
o LL
,/ FRECUENCTA
FRECUENCIA
La amplitud de Fourier es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las partes real e ¡mag¡naria. La ampl¡tud de Hartley es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de H(-v) y H(v). La fase de Fourier es el arco tangente del cociente de la parte imag¡naria entre la real, mientras que la fase de Hartley se obtiene sumando 45o al arco tangente del cociente de H(v) y H(v).
66
sería de 8 al cuadrado, o sea, 64. El total correspondiente a los dos segmentos es 128. la mitad del número de multiplicaciones requerido antes.
Si al dividir por dos la secuencia dada se logra una ganancia doble, ¿por qué no insistir en la estrategia? Por subdivisión reiterada obtenemos
falta multiplicaciones en e1 proceso de combinación de las transformadas bipuntuales para construir 1a transformación completa. Se combinan primero ocho transformadas bipuntuales y se forman cuatro trans-
formadas de cuatro puntos, dos transformadas octopuntuales después y, finalmente, la transformada de dieciséis puntos requerida. Las tres etapas de comblnación de las piezas exigen 16 multiplicaciones cada una; por tal motivo, el número total de multiplicaciones será de 48, o sea, 3/16 de las 256 primitivas. Podemos seguir la pista de esta estrategia encaminada a reducir el número de computos necesarios hasta tiempos mu]¡ anteriores al tra-
I,JJ
U)
=
zas de ocho puntos cada una. El número de multrplicaciones necesarias para analizar cada segmento
ocho piezas irreducibles de dos pun-
Aunque las gráficas parezcan muy diferentes, la ¡nformación sobre ampl¡tud y fase que puede extraerse de una y otra es la misma, como vemos al pie.
(L
el número de muestras se divide por dos. Por ejemplo, si en una curva se hubieran tomado 16 muestras. harían falta normalmente 162 = 256 multiplicaciones. Supongamos ahora que Ia curva se dividiera en dos pie-
tos cada una. Las transformadas de Fourier de estas piezas bipuntuales pueden computarse sin efectuar multiplicación alguna, pero sí hacen
FRECUENCIA
tJ
ciones necesarias para analizar una curva se reduce a ia mitad cuando
bajo de Cooley y Tukey, concretamente, hasta los trabajos astronó-
micos de Carl Friedrich Gauss. Quería
éste calcular órbitas de asteroides y cometas a partir de un número pequeño de observaciones. Tras descuTENTAS
I
5. PERMITE EL ANALISIS DE FOIIRIER transformar pautas de difracción de rayos X en modelos molecufares. Los rayos X dispersados por los electrones de un virus, por ejemplo, gene-
ran configuraciones geométricas sobre una película fotográfrca (izquierda). Tales confrguraciones representan parte de la
brir una solución, halló también una forma de reducir la complejidad del cálculo, basada en principios similares a los de la transformada rápida de Fourier. En un artículo de 1805, donde describía su trabajo, Gauss escribía: "La experiencia enseñará al
usuario que este método reduce grandemente el tedio de los cálculos mecánicos". Como vemos, el problema planteado por el movimiento de los cuerpos celestes no sólo nos proporcionó el cálculo diferencial y las tres leyes del movimiento, sino que estimuló también el descubrimiento de una moderna herramienta de cómputo.
transformada de Fourier de Ia estructura molecular del virus. Invirtiendo el proceso de transformación, se deduce la distribución de los electrones y, en consecuencia, la disposición de los áÍotnos kentro).Apartir de estas distribuciones se elat¡oran modelos del virus (d,erecha). Los colores representan proteínas.
dirección de 1a que emana un sonido. Después de la guerra, trabajando en los Laboratorios Bell. Hartle¡r formuló un importante principio de la tecno'logra de inlormacion. que enuncia que
la cantidad total cle información que un sistema puede transmitir es proporcional a1 producto de la banda de frecuencias que el sistema transmite por el tiempo durante el cual el sistema está disponible para transmitir. En 1929 renunció a la dirección de
gonométricas
y llevar a
cabo otras
operaciones preliminares, el tiempo invertido en Ia ejecución de las eta-
pas correspondientes a la translormación de Hartley es la mitad del requerido por Ia de Fourier. Sin embargo, no estaba claro al principio que una transformada de
estudios teóricos que condujeron a la transformación de Hartley.
Hartley proporcionase la misma información que una de Fourier. En consecuencia, cuando se confeccionaron los primeros programas destinados al cálculo de Ia transformación de Hartley, se introdujo una etapa más, con eI fin de convertirla a la forma de Fourier, más conocida.
su grllpo, por enfermedad. Cuando su salud mejoró. se consagró a los Esta proporciona una posibilidad
Empero, quienes trabajaban con ella
alternatir.a para analizar mediante
cayeron pronto en la cuenta de que
Tl'lísicos e insenieros. indoctrinados .tl con el áigebra de los números complejos desde los primeros años de
sinusoides una función dada. Se diferencia de 1a transformación de Fourier en algo bastante sencillo. X{ien-
su formación, encuentran de su gusto
tras en la transformación de Fourier intervienen números reales e imagi-
resultaba posible deducir directamente, de la transformación de Hartley, las intensidades y las fases, sin necesidad del paso adicional. Un poco más de reflexión hizo ver que cada uno de los dos tipos de transformada proporciona, para cada frecuencia, un par de números que representan en amplitud y fase una
la representación de sinusoides. La comodidad que supone la representa-
ción de la transformada de Fourier mediante una función compleia nos permite olvidar que las componentes sinusoidales subyacentes a ella son reales, y no necesariamente complejas. Este hábito mental ha oscurecido la importancia de una transformación
similar a la de Fourier, concebida, en 1942, por Ralph V. L. Hartley, y ha retardado su adopción. Hartley, que trabajaba en los laboratorios de investigación de la compañía Western Electric, dirigió los primeros trabajos de desarrollo de receptores de radio destinados a un radioteléfono transatlántico. Inventó
el circuito oscilante que lleva
su
nombre. Durante la primera guerra mundial, investigó la forma en que el oyente, por medio de mecanismos auditivos y cerebrales, percibe la Gnaxoss Mersrr¿Árrcos
narios y una suma compieja de funciones sinusoidales, en la de Hartley aparecen solamente números reales y una suma real de funciones sinusoidales.
En 1984. el autor de este artículo desarrolló un algoritmo destinado a efectuar la transformación rápida de Hartley. Medida en tiempo de cómputo, la diferencia entre las transformadas rápidas de Fourier ¡r
de
Hartley depende de1 ordenador, del lenguaje de programación utilizado y del estilo de programación. Si dichos factores se mantienen constantes y no se cometen deslices en la programación, los programas para
la transformada rápida de Hartley operan más velozmente que los de Ia transformación rápida de Fourier. Aunque ambos pr¡ogramas requieren el mismo tiempo para recuperar los datos, proporcionar las funciones tri-
oscilación física.
\To 1\
obstante, otra reserva que se oponía a ia transformación de Hartley era que la transformación de Fourier describía los fenómenos
físicos de modo más natural. Son muchos los fenómenos, como la respuesta de un sistema simple a las vibraciones, que se describen comúnmente por medio de una suma compleja de funciones senoidales, algo
que viene a ser el marchamo de la transformación de Fourier. Podría parecer, en consecuencia, que las transformadas de Fourier son más idóneas para describir el comportamiento de Ia naturaleza. 61
En realidad, tal conclusión es más un reflejo de la formación matemática que hemos recibido que de su naturaleza. Después de todo, cuando se procede a medir objetos físicos, los datos que proporcionan son números reales, no complejos.
Tll I advenimiento de la transforla mación r'ápida de Hartley ha tornado obsoletas ciertas adaptacio-
producidas por compuestos químicos similares. A partir de la información sobre la intensidad y la fase de los rayos X, los biólogos lograron remontarse hasta la estructura cristalina, o sea, hasta la función original. En años recientes, los estudios de difracción de rayos X, combinados con las técnicas del análisis de Fourier "inverso", han revelado Ia estructura de muchas otras biomoléculas y de estructuras más com-
nes de Ia transformación rápida de Fourier, como las utilizadas para eli-
plejas, como los virus.
minar el ruido de la música registrada por medios digitales. Dichas adaptaciones requieren dos progra-
EstadounidenJI-¿la Administración Aeronáutica y
mas: uno de ellos transforma funciones reales para llevarlas al dominio complejo propio de 1a transformación de Fourier, mientras que el otro convierte funciones complejas del dominio de Fourier en funciones reales.
El ruido de alta frecuencia de los
discos de grabación digital puede e1iminarse por filtrado de ciertas porciones de la transformada producida por el primer programa. El segundo programa reconvierte la transfor-
mada así alterada en una señal musical mejorada. Aunque individualmente estos ingeniosos programas funcionan a velocidades que rivalizan con la transformación rápida de Hartley, un único programa de Hartley basta tanto para transformar una función rea'l en una transformada de Hartley como para reconvertir nuevamente Ia transformada en una función real. tras el filtrado deseado. Así pues, no hace falta memoria extra para almacenar
se de del Espacio (uasa) se vale de la transformación de Fourier para mejorar Ia calidad y detalle de las imágenes de los objetos celestes tomadas en el espacio. Las sondas planetarias y los satélites en
reforzar ciertas caracteústicas y elimi-
nar otras, de forma muy similar
a
tentes en biología. De hecho,
1a
forma de la doble hélice fue descubierta, en 1962, gracias a las técnicas de difracción de rayos X y al aná-
lisis de Fourier. Se enfocaba un haz de rayos X sobre un cristal de hebras de ADN: los rayos X eran difractados por las moléculas de ADN y su espectro de difracción se registraba en una película fotográfica. La pauta geométrica de 1os rayos difractados proporcionó la información referente a Ia amplitud de la transformada de Fourier de Ia estructura del cristal. La información sobre Ia fase, que 1as fotografías no proporcionaban directamente. se dedujo por comparación con las pautas de difracción 68
lunares.
También he aplicado la transformación de Hartley a otros estudios.
ondas. Estoy preparando ahora artícu-
los sobre física solar, cuyos métodos de análisis de datos procedentes del
recuento de manchas solares y de los espesores de las capas sedimentarias de la Tierra se inspiran en técnicas de Fourier.
la
música grabada. Finalmente, los datos alterados se reconvierten a frn de reconstruir la imagen. Este proceso puede ag:uzar el enfoque, eliminar niebla de fondo y modificar el contraste.
La transformación de Fourier
es
también valiosa en física de plasmas,
la química, tenemos eI espectrómetro de trans-
tes. Por consigtr.iente, su campo de apli-
mapas solares por su contribución a
la seguridad de los astronautas
como se elimina el ruido de las trans-
las transformaciones de Fourier y de Hartley se han aplicado en campos que se ocupan de fenómenos fluctuancación es verdaderamente amplio. Son muchas las aplicaciones exis-
Tales métodos condujeron a la primera antena con resolución más fina que el ojo humano; esos métodos se han difundido desde entonces a la tecnología general de antenas. La Nasa elogió la confección de los
formadas de Fourier de
generales,
En sus términos más
diotelescopio de exploración que pudiera confeccionar diariamente mapas de temperaturas de microondas de la superficie solar durante 11 años.
Mi colega John Villaseñor y yo heórbita terrestre transmiten imáge- mos descrito un método óptico para nes a la Tierra en forma de series hallar la transformada de Hartley, de impulsos de radio. Un ordenador desarrollo que permite codificar la transforma estos impulsos mediante fase y amplitud de Fourier en una técnicas de Fourier. Seguidamente, sola imagen real. Hemos creado un el ordenador ajusta diversas compo- dispositivo que construye la transnentes de cada transformada para formada de Hartley usando micro-
en física de semiconductores, en acústica de microondas, en sismografía, oceanografía, en cartografía por medio del radar y en confección
dos programas.
tronomía. Deseaba localizar exactamente, sobre la superficie del Sol, las fuentes de emisión de ondas de radio, por lo que aplicó métodos de transformación al diseño de un ra-
de imágenes en medicina. Entre las
muchas aplicaciones a
formación de Fourier, utilizado en análisis químico. El análisis de Fourier ha demostrado su utilidad en el propio trabajo del autor sobre construcción de imágenes bidimensionales. En 1956, di con un teorema de "proyección por rebanadas" que proporcionó una vía para la reconstrucción de imágenes a partir de integrales extendidas a una banda, problema hoy ampliamente conocido con el nombre de reconstrucción tomográfica. Más tarde, acerté con el "algoritmo modificado de proyección retrógrada", hoy universalmente utilizado en tomografía
por rayos X computarizada, conocida por "escáner TAC".
El autor estaba asimismo interela reconstrucción de imá-
sado por
genes basadas en datos de radioas-
lT.. difundido está el empleo del I método de Fourier y de las técnicas analíticas con él emparentadas, que las palabras de Lord Kelvin
resultan tan válidas hoy como lo eran en 1867: "El teorema de Fourier no es solamente uno de los resultados más hermosos del análisis mo-
derno, sino que puede decirse además que proporciona un instrumento
indispensable en el tratamiento de casi todas las cuestiones de la física moderna, por recónditas que sean."
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Jos¡pg Founrr.n: Tun MlN AND THE PHysrctsr. John Herviel. Clarendon Press. t975.
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Irs Appll-
cATIoNS. 2.t' edición revisada. Ronald N. Bracewell. McGraw-Hill Book ComPan¡', 1986' THn Hlnrl¡y Tn,rNsponu. Ronald N.
Bracewell. Oxford University Press. l9rJ6. Opr'r(:er. PH,rsg OsreNE»
sy AN.ALOcun Henrl¡r- TneNs¡
señor y R. N. Bracewell en N¿/¡¿Ir¿, volumen 330. n.o 6l-50, págs. 73-5-737; 2zl de
diciembre de 1987.
TsM,A.s I
Augustin-Louis Cauchy Bruno Belhoste Lrs i¡q.{r"*?zsigewcí* da Crxwcl«y en *s¡.¿t'tt<;s
n* §we wz€§z{}l"
{dz.é€ sts
exigewci*
p*§itic*s v r-elígf*sos t§e
rigor
¡xr¿te¡«zálítCI"
Fawtló la teoría de vc¿riable cotnysle.i*, qwe
§] variste Galois es. sin duda. el ffi , más celeble de todos los matel--c ¡¡5¡¡.os ñ'anceses de la primede1 sigloxx. La personalidad extraordinaria de este sabio excep-
ra mitad
cionalmente precoz!
1a
profundidad y
Ia fecundidad de sus descubrimientos
en la teoría de ecuaciones y las dramáticas condiciones de su prematura
muerte en 1832, justifican su gloria póstuma. Existe. sin embargo. otro matemático francés de Ia misma época, mucho menos conocido del gran público, cuyo recuerdo merecería mejor fortuna, pues su obra ocupa. en la historia de las matemáticas, un lugar al menos igual de importante. Este ma-
temático
es Augustin-Louis Cauch¡-. es que este último nada tiene
Cierto de héroe romántico. Su larga vida no refulge con ese relámpago efímero ¡* prodigioso que fascina en e1 caso de Galois. Católico cercano a los jesuitas, monárquico ultra, Cauch¡. llega pronto a ser un sabio reconocido que ocupa desde muyjoven cargos oficiales en las instituciones científicas de su tiempo. Pero es también. a su modo, un ser apasionado, a1 que nin-
guna consideración de interés o de conveniencia puede detener cuando se trata de defender e ilustrar lo que considera ser la verdad. En política, por ejemplo, su fidelidad a los Borbones es absoluta, tanto para
1o
bueno
como para Io ma1o. Cómplice de las depuraciones de 1816, de las que se beneficia, prefiere en 1830 e1 exilio al perjurio, negándose a prestar juramento de fidelidad a los regímenes que se sucedieron en Francia hasta la hora de su muerte, a pesar de los graves inconvenientes de tal actitud. De igual lorma. su le cristiana no pareció conocer la duda, fe que practicó toda su vida con el celo de un neófito y el ardor de un misionero. Su forma de abordar las matemáticas procede de Ia misma necesidad de 70
abrié
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nuevo dowzi*irs «
§r¿s
ncstewú{icos
loabsoluto.Consideraqueeltrabajodel Ia burguesía acomodada. Su padre,
sabioeslabúsquedadelaverdad."La Cauchy en L842-escribe constituye un tesoro inestimable, cuya adquisición no va seguida de
verdad
Louis-Frangois, hijo de un maestro cerrajero de Ruán, ocupaba el im-
portante cargo de primer secretario del teniente de policía Thiroux de Crosne, quien le había tomado a su
remordimiento alguno y no perturba jamás la paz del alma. La contempla- servicio en 1783, cuando todavía era ción de estos celestes encantos, de su intendente en Ruán. Louis-Franqois belleza divina, basta para compen- secasó enL787 conlahijadeunujier sarnos de los sacrificios que hacemos del Consejo de Estado, Marie-Mapara descubrirla, y Ia bondad misma deleine Desestre, con cuya dote adquidel cielo no consiste sino en la pose- rió una casa de campo enArcueil. Por sión completa y plena de la inmortal una desdichada coincidencia, cuando verdad." Matemático meticuloso, naciósuhijoacababadeperdersuemCauchy construyó una obra inmensa, pleo, a resultas de los acontecimientos cuyos cimientos echó, en Io esencial, revolucionarios dejulio de 1789. Con-
yaenlosprimerosañosdesuüdacien- vertido en jefe de la adminisitración tíflrca, pero que siguió erigiendo
hasta
de hospicios, durante el Terror prefi-
sumuerte,publicandoconregularidad rió ocultarse enArcueil con su esposa a lo largo de 45 años una miríada de y sus dos hijos, Augustin-Louis y otro
memorias diversas. Lainmensidad de su obra, a menudo redundante, tiene algo de sobrecogedora. En ella aborda casi todos los dominios de las matemáticas, desde la aritmética a la física matemática, pasando por el álgebra,
el análisis, la estadística, la geome-
recién nacido, Alexandre. Después de Termidor regresó a París y ocupó, hasta el 18 Brumario, el puesto dejefe de la división de artes y manufacturas del ministerio del interior. El golpe de estado de Bonaparte le resultó beneficioso a Louis-Franqois: en 1800 se instaló en el Palais du Lu-
tría,lamecánica, etc., siendo más frecuente que publique sus resultados xembourg,dondeacababadesernom-
dosvecesqueuna.Entreellos,algunos brado secretario del recién creado
son de máxima importancia, como los relativos a la teoría de sustituciones, a la teoría de funciones imaginarias y a la teoría de elasticidad, por aludir sólo a tres dominios muy diferentes. Augustin-Louis Cauchy nació el21 de agosto de 1789 en una familia de
Senado. AIIí prestó sus servicios,
jun-
tamente con sus dos hijos menores, Alexandre y Eugéne, bajo tres regímenes, hasta 1848. El joven Augustin-Louis recibió las
primeras enseñanzas de su padre, quien escribiapara sus niños trata-
1. RETRATO DE CAUCIfY, fotografrado por el autor; no está fechado, pero podemos suponer que fue pintado hacia 1840. El matemático, que cuenta entonces unos cincuenta años, acaba de regresar de su exilio en Praga. Para agradecerle sus buenos y leales servicios como preceptor del Duque de Burdeos, Carlos X le ha concedido el título de t¡arón. El pintor, anónimo, ha sabido plasmar toda la nobleza de su modelo: fijémonos en el hermoso porte de la catreza y en la ancha corbata que contribuye a su prestancia. La elevada frente y la vivacidad de la mirada expresan la inteligencia del sabio, mientras que la parte baja del rostro, cuya solidez está suavizada por un estrozo de sonrisa, proporciona al personaje la tranquila seguridad del creyente. Este cuadro, conservado durante mucho tiempo por la familia Cauchy, fue legado hace algunos años al Museo de la Ile de France en Sceaux; antes de su redescubrimiento, la fisonomía de Cauchy sólo era conocida por litografías.
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ditos didácticos en verso. Ya desde su edad más temprana sintióse atraído por el cálculo y la geometría, pero Louis-Franqois, siguiendo los conse.ios
del matemático Lagrange, que era senador, quiso que hiciese primero humanidades y le envió entre 1802 y 1804 a la escuela central del Panteón (en la actualidad el liceo Henri IV), del
que salió con varios premios en los exámenes finales. Decidido a ingresar en la Escuela Politécnica, preparó las pruebas de ingreso en la clase de Dinet, futuro examinador de Galois
en 1829, consiguiendo ingresar el
y de elevado nivel a los futuros ingenieros de los servicios públicos, civiIes y militares, y reformada por razones políticas en 1804 por Bonaparte, disponía de un claustro docente muy notorio. Cauchy asistió a Ias lecciones
de análisis impartidas por Lacroix. Este buen matemático, más dotado para la docencia que para Ia investigación, enseñaba el cá1cu1o infinitesimal por ei "método de límites", que
habría de convertirse, bajo una forma más rigurosa, en la base del curso de análisis de Cauchy.
segundo sobre 293 candidatos, de los que en octubre de 1805 fueron admi-
[1n octubre de 1807. AugustinI-l Louis termino sus estudios en Ia
tidos 125.
Escuela, siendo el tercero de todos 1os alumnos y el primero de entre quienes optaron por la Escuela de Caminos v Puentes para 1as prácticas. Confirmó en ella su categoría, logrando r-arios
La Escuela Politécnica, creada bajos los auspicios de la Convención de Termidor para proporcionar una formación científica bastante general
primeros premios en los concursos de los alumnos de 1808 y 1809, y desen-
volviéndose brillantemente en las tareas que le fueron confiadas durante su campaña, o sea, durante sus prácticas en el canal de Ourcq. A1 terminar, en enero de 1810, fue destinado con el grado de ingeniero-aspirante a Cherburgo, donde se estaba construyendo el puerto militar y el arsenal. Cauchy, que no tardó en ser nombrado ingeniero ordinario, participó muy activamente en las obras de Cherburgo, que se contaban entre las más importanles del Imperio. A pesar de lo exigente que era este trabajo, a Cauchy Ie quedaron tiempo ¡ energías para perleccionar sus conocimientos de matemáticas y de mecánica y, sobre todo, para preparar sus primeras memorias, presentadas a 1a Academia el 11 de febrero de 1811 y el 20 de enero de 1812. Consistían en investigaciones sobre los poliedros, emprendidas, según parece, por consejo de Lagrange. En 1a primera, Cauch¡, demostraba que tan sólo existen nueve poliedros regulares, generalizando a continuación Ia fórmula de Euler al caso de una red de poliedros. En la segunda de estas memorias, daba una demostración por reducción al absurdo de una proposición conocida desde tiempos de Euclides, pero
no demostrada hasta entonces, a saber, que dos poliedros convexos, compuestos por caras iguales y dispuestas de forma similar son necesariamente, o idénticos. o simétricos. Este descubrimiento permitió al jor.en ingeniero de Cherburgo hacerse una reputación en París; dos meses después se convertía en miembro correspondiente de la Academia, con 1a perspectiva de un pronto ingreso
en ella.
Ctin embargo. su salud. r-a fragil. se LJ lesintió por el exceso de trabajo en Cherburgo. A finales del año 1812 tuvo que volver a París en estado calamitoso. Con baja de tres meses e ins-
talado en casa de sus padres en el Palais du Luxembourg, prosiguió sus
investigaciones, consiguiendo en G¡I 2.
Los PoLrEDRos R"EGtrraRES: desde la antigüedad
se conocían los cinco poliedros regulares convexos, a saber, el tetraedro (o), el cutro (á), el octaedro (c), el dodecaedro (d) y el icosaedro (¿). Kepler fue el descubridor del dodecaedro estrellado de caras ordinarias (l). Poinsot añadió, en 180g, tres nuevos poliedros regulares no eonvexos (9, h ei).cauchy, respondiendo a un problema planteado por poinsot, consigu.ió demostrar que solamente existían estos nueve poliedros regulares. En efecto, todo poliedro regular no convexo se obtiene prolongando los lados de un poliedro regular convexo que le sirve de núcleo, como puede verse en el dodecáedro estrellado de caras ordinarias de Kepler (l), que es prolongación del dodecaedro (d). 72
matzo de 1813 que se le destinase al canal de Ourcq, en París. Los reiterados permisos y los dramáticos acontecimientos de 1814 y 1815 parecen sugerir que no fue mucho Io que allÍ trabajó. Los años comprendidos entre 1812
y 1815 constituyen un período extre-
madamente fecundo de la vida científica de Cauchy. Al poco de su regreso de Cherburgo presentó a la Academia
dos memorias preciosas sobre la teo-
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1
ría de grupos de permutaciones, teoría sobre Ia cual habría de volver una vez más en 1845. Estas memorias. que
llevan igual título que las de Galois, han desempeñado un papel esencial en Ia génesis de la teoría de grupos. Dos años después, el 22 de agosto de 1814, presentó su primera memoria de
análisis, Sur les intégrales définies,
punto de partida de la teoría de funciones de una variable compleja, que sigue conociéndose como teoría de Cauchy. Volveremos a ocuparnos de
ella. Señalemos, por último, las dos memorias de 1815, un poco olvidadas dentro de la obra inmensa del sabio, pero que en su época ayudaron mucho
a confirmar su nombradía. La primera, Sur la théorie des ondes, remitida de forma anónima el 2 de octubre, acabó mereciendo el gran premio de matemáticas. En la segunda, sobre la cual ya trabajaba durante su estancia en Cherburgo, daba la demostra-
ción del teorema de Fermat concerniente a números poligonales. Los números poligonales son enteros de1 tipo n + n(n - l)b I 2. Un número
triangular (ó = 7) obedece a la fórmula n(n + 1) 12, mientras que un número cuadrado (b = 2) serepresenta cott n2. Según Fermat, todo número entero puede expresarse mediante
la suma
de n números n-gonales como máximo. En srts Disquisitiones arithmetica, Gauss había demostrado rigurosamente Ia conjetura para los números triangulares y los cuadrados. Cauchy, por un método completamente diferente, consiguió dar una demostración general. De todas las conjeturas de Fermat sólo quedaba por demostrar el "teorema magno", tan fácil de enunciar como difícil de demos-
trar: la ecuaciónxn
+
yn = zn no admite
soluciones con números enteros cuando ¿ es mayor que 2. En el caso n = 2 existe una infrnidad de soluciones, las ternas pitagóricas, como (3,4, 5), que verifican larelaciónx2 +y2 =22,
y pueden ser, por consiguiente, las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. Cauchy trató de resolver también este problema y en 1847 cre-
yó durante un tiempo que lo había conseguido merced a una descomposición en factores complejos primos. El episodio es uno de los más curiosos de la historia de las matemáticas: la Aca-
demia estaba en ebullición, con muchos matemáticos lanzados tras la pista, cuando de pronto se supo. gracias
a Liouville, que Kummer. un joven alemán desconocido en París, había demostrado tres años antes que tal factorización no era única, lo que aniquilaba la pretendida demostración. GneNoes MarsuÁucos
Todas estas notables memorias
de castigar a las personalidades comprometidas con el régimen precedente y, al mismo tiempo, de recompensar a
hacían ya de Cauchy el matemático más brillante de su generación. Pero su situación seguía siendo precaria, porque no acababa de conseguir un cargo que Ie permitiera trocar su profesión de ingeniero por una carrera de
los fieles de Ios tiempos difíciles. Entre los grupos de presión ocultos que desempeñaron un papei importante en los nuevos nombramientos, uno de los más conocidos es la
matemático profesional. Varias tentativas, en particular tres candidatu-
Congregación, creada en 1804 y prohi-
bida por Napoleón a resultas de
ras a la Academia de Ciencias en 1813, 1814 y 1815, terminaron en fracasos, a pesar del apoyo de Poisson y de
nían aristócratas ultras y jóvenes intelectuales católicos. Cauchy había
Laplace.
ingresado en 1a Congregación en 1808, por intermedio de Teysseyrre. un pro-
7Tlodo iba a cambiar tras los Cien I DÍas. Waterloo, que permitió al rey volver a París el 18 de julio de 1815, hizo sonar la hora de la revancha para los monárquicos ultras. La depuración administrativa, apenas
fesor a¡rudante de la Escuela Politécnica. Iba a cosechar los beneficios en 1816.
Por real orden de 21 de marzo de é1 y Bréguet ocuparon en el Instituto las piazas de Monge ¡, de Carnot, expuisados por razones políticas 1816,
iniciada durante la primera Res-
se llevó a cabo plenamente en los meses que siguieron. Se trataba
tauración,
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conflictos con PÍo VII. En ella se reu-
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3. LOS NLIMEROS POLIGONALES
ejercieron siernpre una gran fascinación sobre
los matemáticos, pero fue Cauchy quien remató el problema de la descomptrsición de números enteros en números poligonales. Demostró que un número cualquiera es, a lo sumo, la suma de tres números triangulares, de cuatro números cuadrados, de cinco números pentagonales, etc. Matemáticos prestigiosos anteriores a é1, entre quienes descollaban Lagrange y Gauss, habían descubierto casos particulares de es-
ta descomposición. 13
demia. En la Escuela Politécnica,
nes y para ciertos valores de las cantidades que contienen. Al determinar estas condiciones y estos valores, y al fijar de forma precisa el significado de 1as notaciones que utilizo, hago desa-
donde había sustituido interinamente a Poinsot desde 18 15 como profesor de análisis, fue nombrado. a comienzos del curso de 1816, profesor titular de análisis y de mecánica, tras una reor-
parecer toda incertidumbre."
ganización de la Escuela. Cauchy
enseñó también como profesor susti-
tuto en
Facultad de Ciencias
preocupaciones eran com[lsta= | '/ partidas por otl os matemáticos
partir de 1821 e impartió física matemática en el Collége de France en 1817 y desde 1825 a 1830. Aunque no se pueden negar los méritos científicos de Cauchy, quien, 1a
a
de Ia época. como Gauss, Abel o Bolzano, pero Cauchy fue e1 único que, pensando en su enseñanza, construyó todo el edificio del análisis sobre bases
por otra parte, disponía de eficaces
CUBO
V=8,C=5,A=12 ^
\/
apoyos entre 1os sabios, en especiai el de Lagrange. .Í es preciso l'econocel
e1
que las consideraciones políticas de-
sempeñaron un papel esencial
autores de tratados de análisis del siglo rtx.
comienzo de su carrera de matemático
La piedra angular del nuer-o edificio era el concepto de 1Ímite. cu1,-a
profesional.
importancia habia sido va subravada con fuerza por d'Alembe1't en un artrculo de la E¡, it lopet1i a. r' que. como hemos visto, era utiiizado por Lacroix en sus cursos para presentar el cálcu1o infinitesimal. Antes de Cauch¡-. la noción de lÍmite resultaba extraordi-
¡l'\ onviene detenelse un moment n en \.2 el curso enseñado pol Ca uchr el
como el de
naliamente desdibujada, en la DESCOI\IPOSICION DEL CUBO EN 6 PIRAI,I]DES
v=9.c=18,A=20,P=6
V+C=A+P+l
infinito. de infinitamente
poner orden. Algunos 1o habían intentado, como Lagrange con su célebre Théorie des fctnt'tiotts onah'tiques, de 1797. sin conseguirlo pol completo.
indefinidamente a un valor fijo, de modo que acaben pol diferir de él tan poco como se quiela. a este último se le denomina límite de todos los de-
Cauchy, en sus lecciones. emprendió una verdadera reforma del análisis, al que puso bajo el signo del rigor. como explicaba en su Cours cl'arnlt,se, de 1821: "En Io tocante a métodos. he
una amplitud indefinida, mientras
11
de
cantrdad variable, es decir, de una sucesión de números reales, en los siguientes términos: "Cuando los r,alores sucesivamente atribuidos a una misma valiable se aploriman
de
que, en 1a realidad, Ia ma1.oría de ellas sólo son válidas bajo ciertas condicio-
mérito
con.io é1 mismo escribió. situando nue\-amente e1 concepto de límite en el marco homogéneo de las funciones numér'icas. Definió el límite de una
frecuentemente mu1- objetables desde e1 punto de vista de1 rigor. Los mate-
álgebra. Las razones de este tipo. aunque bastante aceptadas por lo común (... ), no pueden considerarse, me parece, sino como inducciones adecuadas para hacer presentir la verdad en ocasiones. pero concuerdan poco con la exactitud de que tanto se jactan las ciencias matemáticas. Es preciso observar además que propenden a atribuir a las fórmulas algebraicas
e1
apa]'tar del análisis toda metafísica,
seguían siendo osculos. v los métodos, caso de los desai'rollos en serie utilizados sin g[arrdes p]'ecauciunes, er.an
buscado darles todo el rigor que se exige en geometría, de forma que no se recurra jamás a Ia generalidad del
n-redida en que, incluso aplicada a los númelos. obligaba a recurrir a la intuición geométrica, lo que a la sazón se denominaba "la metafísica del cálcu1o infiniteslmai". En su Cours d'analyse
de 1821. Cauchy tuvo
grande o de infinitamente pequeño,
máticos pelcibían 1a necesidad
modelo en el que se inspiraron todos
1os
a1
Ia Escuela Politécnica porque ejerció una influencia decisir.a sobre e1 desarrollo ulterior del análisis en el siglo xtx. A finales del siglo precedente, el análisis estaba atravesando una crisis de fundamentos. El cálculo infinitesimal se había ampliado extraordinariamente desde Neu'ton y Leibniz, gracias a matemáticos como el genial Euler. Pero los conceptos de base,
más rigurosas ), con los conceptos clar.e definidos colt ma]'or precisión. Su curso se convirtió rápidamente en
ANILLO CUBICO
v=16,C=16,A=32 V+C=A
t A FORMIILA DE EULER y la fórmula de Cauchy: la fórmula de Euler para un poliedro se escribe V+ C =A + 2, siendo Vel número de vértices, C el número de caras yA el de aristas. La fórmula de Cauchy generaliza la fórmula de Euler 4.
a redes de P poliedros; su expresión es V + C = A+ P + 1. En realidad, la fórmula de Euler (y, en consecuencia, la de Cauchy) vale solamente para una clase
particular de poliedros, los poliedros eulerianos, homeomorfos a una esfera
(esto es, que pueden ser deformados de manera continua hasta haóerlos coincidir con la esfera). Por ejemplo, para los poliedros anulares, homeomorfos al toro, se verifica V + C = A, como señaló en 1813 el matemático ginebrino Lhuillier.
más." En cuanto a las cantidades
infi-
nitamente pequeñas, se trata de cantidades variables cuvo 1ímite es 0, definición que permitía traducir fácilmente ei método de 1ímites al lenguaje de los inlinitamenle pequeños. Los matemáticos del siglo xrru só1o
utilizaban las funciones que Euler denominaba "continuas". Estas funciones venían representadas en todo su dominio de definición por una misma "expresión analítica", compuesta de funciones algebraicas, posiblemente iteradas un número infinito de veces, como en el caso de las series, y de funciones trascendentes, como los logaritmos y las exponenciales. Eran conocidas, claro está, funciones no Tpues
1
"continuas"; por ejemplo, la función flr) definida en [0, 1], igual a +1 entre 0 y ll2 y a -1 desde 1/2 a 1. Pero el lugar que debían ocupar en el análisis era motivo de controversias. Hasta Cauchy se pensaba que todas las funciones "continuas" admitían un desarro1lo en serie entera merced a la fórmula de Taylor, salvo en ciertos puntos aislados, como por ejempio, 0 en el caso de riz. En st Théorie de 1797, Lagrange se valió de esta propiedad para definir 1as funciones derivadas y fundar el análisis. Añadamos que sustituyó el término "función continua" por el de función analÍtica, que habría de imponerse después de é1.
pequeña. Cauchy creía
mente-
que toda función -erróneacontinua es
derivable. La definición de derivada le permitía introducir de modo esencialmente correcto la noción de diferencial de una función de una sola variable como un incremento infinitamente pequeño de la función, cosa que hasta entonces se había presentado de forma muy oscura. Otra importante innovación del culso era la definición de integral de una función continua como límite de "sumas de
Riemann". En 1o tocante a la fórmu1a de Taylor con resto integral, hasta entonces tenida como base del cálculo diferencial, 1a demostración quedaba relegada al final del curso de cálculo
integral.
I pesal de numetosas insulicienla. cia". como. pol ejemplu. la ausencia dc las nociones de continuidad uniforme I' de convergencia uniforme, el culso de Cauch¡,- en ia Escuela Politécnica definió durante mucho tiempo
Sin embargo, ni Euler ni Lagrange
demostraban 1a conr.ergencia de sus desarrollos en serie. Cauchy, por el contrario. valiéndose de Ia noción de límite que acababa de definir, en su Co¿¿rs
de 1821, estudiaba con cuidado
los principales criterios de convergencia de las series, y en particular, su célebre "criterio de Cauch1,". Rechazaba el punto de vista de Lagrange, porque sabía que la serie de Taylor de una función indefinidamente deri-
vable podía ser divergente y que,
incluso siendo convergente, su suma podía tener diferente valor que la función. Así ocurría. en efecto, en el caso de erp( 1/.r2), que se anula en 0 junto con todas sus derivadas (y, por consiguiente, su serie de Taylor es nula en este puntot; sin embargo. la función no es idénticamente nula en el entorno de 0. ste fue el motivo de que Cauch¡r, en lugar de edificar el análisis basándose únicamente en el estudio de 1as series enteras, lo ampliara a una clase más general de funciones, la clase de las funciones continuas.
pero entendiendo e1 término "continuidad" en un sentido mu¡'diferente del de Euler. Una función es continua en un intervalo. en el sentido de Cauchy, si un incremento infinitamente pequeño de la variable en este inter'valo produce un incremento infinitamente pequeño de 1a función. Esta es la definición moderna de continuidad, dada también por Bolzano en 1817, con independencia de Cauchl'. EIRésum,é des legons données d I'Eco-
le Ro7'ale Pctlytec:hníqtte sur le <:alcul
infinitésímal de 1823 aplicaba al cálculo infinitesimaL las nociones de 1ímite, de continuidad y de infinitamente pequeño. La noción ciave era el concepto de delivada de una función continua de una soia variableflr/:1a derivada es el cociente lf(x + h) -flx)ll h, siendo á una cantidad infinitamente Gn.rNDr,s NIATEr.rirrc os
DEMOSTRACION DE LA FORMULA DE EULER POR CAUCITY. Supongamos que trate de un cubo, es decir, de un poliedro regular de seis caras. Comencemos por suprimir la cara superior del cubo y proyectemos el cubo así amputado sotrre un plano, de manera que el "mapa" obtenido constituya una red de cinco polígonos. De esta forma, la fórmula de Euler V + C =A + 2 queda convertida en una fórmula relativa al mapa correspondiertte, P + V = A + 1, donde P es el número de polígonos de la red, V es el número de vértices, y A el número de lados. Para el mapa del cutro se ha de tener P = 5, V = 8, A = 12, cosa fácil de verificar en el dibujo. Si esta fórmula 5.
se
estuviera demostrada para una red cualquiera de polÍgonos, habríamos demostrado al mismo tiempo la fórmula de Euler para todo poliedro que pueda ser cartografiado así. Para demostrarla, dividamos cada polígono de la red en triángulos, trazanrdo n diagonales. Obtenemos así P + z triángulos, A + z lados y V vértices. A continuación, destruyamos sucesivamente todos los triángulos en los que al menos un lado pertenezca al contorno exterior de la red. Por ejemplo, para el mapa del cubo se obtienen por triangulación, diez triángulos. Tras la destrucción de los triángrrlos a, b, c, d se pierden cuatro triángulos y cuatro lados. El número de vértices no camtria. Después de destruir los triángulos e, f, 9, h y tam}ién i, la red restante, reducida únicamente al triánguloj, ha perdido esta vez cinco triángulos, diez lados y cinco vértices. Le quedan tres vértices y tres lados. Tenemos pues gn sistema de tres ecuaciones: V - 5 = 3, A + n - !4 = 3, P + n - I = 1, que podemos reducir a la fórmula P + V - A = 1. Resulta fácil generalizar este procedimiento de reducción a una red cualquiera y obtener la misma fórmula. Sin embargo, el razonamiento supone que siempre es posible reducir la red por destrucción sucesiva de los triángulos exteriores a un solo triángulo, lo cual no está demostrado. Y sobre todo, la demostración solamente es válida para poliedros cartografiables, es decir, para una clase reducida de poliedros. 15
el territorio del nuevo análisis. Pero, ¿eran tales innovaciones propias de la
enseñanza de una escuela de ingenieros? Sea como fuere, los alumnos solían pensar que las lecciones de
Cauchy eran demasiado largas y demasiado difíciles. Varios de sus colegas y la administración de la
escuela hicieron suyas tales críticas.
Cauchy se defendió como un gato panza arriba: "... la experiencia demostrará pronto que los nuevos métodos [es decir, los suyos],lejos de entorpecer la instrucción de los alumnos, les permiten aprender en menos tiempo y con menos trabajo todo
1o
que
entrañaba un trabajo considerable, al que Cauchy se consagró casi exclusivamente hasta 1820. Pero en el transcurso de los años siguientes preparó un gran número de artículos y memorias sobre los temas más diversos. Las
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más importantes trataban, por una parte. de 1a teoría de Ia eiasticidad, cuvo marco conceptual estableció en 1822 y que trató de aplicar, en su forma molecular, a la teoría de la 1uz de Fresnel, y, por otra, de 1a teoría de funciones de una r.ariable compleja y
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del cálcu1o de residuos. cuyas aplica-
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partir de 1826. Estas memorias fueron redactadas, al parecer, con ocasión de sus cursos en 1a Facultad de Ciencias ¡, en e1 Col1ége de France. nuevo ejemplo de relaciones fecundas entre la investigación y 1a docencia. ciones multiplicó a
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6. LAME HABIAANUNCTADO el 1 de marzo de 1847 haber encontrado una demos-
tración del teorema de Fermat, basada én una descomposición completa de xe + yn en ¿ factores lineales, primos entre sí, que contenían números imaginarios. pero su demostración era incompleta, pues no había protrado la unicidad de esta descomposición. Este fue el punto que cauchy creyó poder demostrar. se estatrleció entre cauchy y Lamé una verdadera carrera de velocidad; el 17 de ,rr,arzo de !g47,
ambos depositaron pliegos sellados que contenían los principios de sus demostraciones. Las sesiones siguientes de la Academia estuvieron ocupadas por numerosas comunicaciones de arrrtros sabios. Pero el 17 de mayo, Kummer anunciaba, en una carta leída por Liouville, que él había demostrado ya que tal des-
composición no era única. Los pliegos sellados del 17 de marzo permanecieron cerrados hasta 1980; fueron abiertos a petición del autor de este artículo. El de cauchy es muy curioso, porque está escrito en italiano y en caracteres gtiegos difíciles de descifrar (Cauchy poseía cierto sentido del humor). En el recuadro se ofrece la traducción del texto de Cauchy. 76
auchy tenia .10 años cuando estallo la Revolución de 1 830. La partida del rey legítimo, Ia participación de los politécnicos en la insurrección r- los actos de violencia anticlerical le afectaron en lo más profundo. Fue como si le hubiera alcanzado un rayo.
f't \-¡
tt'l',ll-ti., ; :¡t1y+' fl " tr+ ritS| f;.¡r,¡',i.l .lí,r.rl't'
!-,
Résunté des legons de segundo curso en 7824 y que respetar los nuevos programas oficiales de análisis de la escuela, que, en 1825, redujeron Ia parte teórica en beneficio de la aplicada.
La preparación de las lecciones impartidas en la Escuela Politécnica
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*ta¡>tlnt
aprendían anteriormente." Pero no con-
siguió que su causa triunfase. Tuvo que interrumpir Ia publicación del
Durante 1a Restauración había combatido 1a opinión de los liberales y había defendido sin reservas a los jesuitas. Por iniciativa propia había participado con celo en las numerosas actividades de 1a Congregación, llegando a ser, en 1824. uno de los directores de Ia Sociedad Católica de buenos libros ¡'. más tarde. en 1828. de Ia Asociación para 1a defensa de la religión cató1ica. Todo eso desaparecería en 1a tormenta. Agotado por el intenso trabajo de 1os años precedentes, con los nervios rotos por los últimos acontecimientos. abandonó París a comienzos del mes de septiembre para viajar a Suiza y a Italia. Dejó en casa de sus suegros Debure, editores insta-
lados en-los el Barrio Latino- a su esposa, Aloise, con quien se había casado en 1818, y a sus dos hijas. El viaje, que estaba previsto que durase varias semanas, se trocó rápidamente
en un exilio voluntario. En efecto, Cauchy se negó a prestar juramento de fidelidad al nuevo rey y prefirió organizar una universidad católica en
Friburgo, proyecto que quedó aborTt,trtls
I
tado aI cabo de dos meses. Retirado en
Suiza, Cauchy, normalmente tan fecundo, permaneció callado, por así decirlo, durante casi un año. Su retorno a Ia escena matemática fue espectaqular. El 11 de octubre de
1831 presentaba a la Academia de Turín una memoria en la que demostraba un teorema fundamental relativo al desarrollo en serie de funciones holomorfas. Volveremos sobre el tema. En Turín, las autoridades crearon especialmente para él una cáte-
dra de física sublime en la Univer-
de funciones una variable compleja sigue siendo su mayor título de gloria. Se trata de una teoría difícil. Además, como suele ocurrir en la historia de las ciencias, Cauchy llegó a sus mejores descubri-
holgadamente. En la Oficina de
mientos por vías indirectas y las
Longitudes, donde había sido elegido, fue su intransigente negativa a prestar juramento io que obligó al ministerio a anular Ia eiección. En el Collége de France, en plena polémica sobre losjesuitas, fueron los profesores quienes prefirieron al
nociones básicas, que hoy nos parecen Ias más simples, no se desentrañaron, porlo general, sino después de muchos
sidad. Pero Cauchy sólo enseñó en eIIa durante año y medio. En efecto, en
mediocre Libri, personaje de dudosa categoría, pero que exhibía e1 mérito de haberse pronunciado públicamente
dirigirse aPraga, donde Carlos X, allí exilado, le confió la educación cientí-
contra las formas de actuar de 1a Compañía de Jesús. El más grande
fica de su nieto, el Duque de Burdeos,
matemático francés de su época fue objeto, pues, de diez años de ostracismo. Su comportamiento de emi-
julio de 1833 abandonó Turín para
pretendiente legitimista al trono de Francia. Cauchy hizo venir a su familia, que había permanecido en París desde su partida, y cumplió su función de preceptor con gran entrega, pero sin mucho éxito. Relativamente aislado, acaparado por la preparación de sus lecciones, su producción científica se redujo. No regresó a Francia
hasta 1838, al llegar el Duque de Burdeos a la mayoría de edad, reemprendiendo a ritmo sostenido la publicación de sus investigaciones, aprovechando la creación, en 1836, de las Cornptes Rendus de la Academia. En esta época, Cauchy ya no desem-
peñaba puestos oficiales en las instituciones científicas, exceptuado su
La"teoria de Cauchy"
un nuevo puesto, primero, en 1839 en Oficina de Longitudes, y más tarde, en7842,en el Collége de France. Pero, en ambas ocasiones, consideraciones de orden político impidieron Ios nombramientos que su talento merecía 1a
grado del interior era, evidentemente,
responsable en buena medida de tal
situación. a revolución de 1848. acogida pol Cauch.y con un cielto jubilo que contrastaba con su desasosiego de 1830, eliminó el problema de1 jura-
J I-l
mento, que fue abolido por 1a República. En 1849. Cauch¡'. nombrado profesor de astronomía matemática en la Sorbona, pudo por fin reanudar, a los 60 años, 1a docencia. Napoleón IIl ie eximió de1 juramento por una medida excepcionai, y de esta
sillón de académico. A lo largo de los
forma Cauchy pudo continuar ocupando su cátedra en 1a universidad
años siguientes se esforzó en conseguir
hasta su muerte, en 1857.
de
tanteos, tras una investigación que duró más de cuarenta años. Nos contentaremos aquí con dar una idea de los problemas tratados por Cauchy. Veamos, para empezar, qué es para Cauchy un número complejo o imaginario. Los matemáticos del siglo xl'ur,
y Euler en particular, manipulaban cada vez con mayor frecuencia este tipo de número, descubierto por los algebristas italianos en el siglo xrT, sin preocuparse demasiado del rigor ni de las definiciones. ¿Qué significado dar, por ejemplo, a la raíz cuadrada de un número negativo? ¿Qué sentido deberíamos asignar al símbolo r/-1? Cauchy, incómodo, trató primero, en 1814, de reducir su empleo.
Más tarde, en su Cours d'analyse de 1821, propuso una interpretación simbólica de los números imaginarios, a la que se mantuvo fiel hasta el final del decenio de 1840. El número complejo o + B!-1 es para Cauchy una "expresión simbólica" que representa aI par de números reales (ct, F). Por lo que al símbolo i-1 se refiere, no es más que "un útil, un instrumento de cálculo" que no significa nada por sí mismo, pero que permite llegar más
EJE II\,4AGINARIO l\,4
M
= lV'M' = p'p"lCOS(o
+0') + i SEN(0' + 0")l
PLANO COMPLEJO
fA + tBl =,,rCOSu + i SENe)
0 +0"
lV'=p"(COS0"+iSENO') M'=p(COS0'+iSEN0')
EJE REAL
7. LA REPRESENTACION GEOMETRICA adoptada por Cauchy en 1849, a resultas de los trabajos de su discípulo Ba' rré de Saint-Venant (1797-1886), con el nombre de teoría de las cantidades geométricas, tardó bastante en imponerse. Las primeras tentativas se remontan en torno a 18O0 y son obra de matemáticos poco célebres, como Wessel y Argand. Gauss, que conocía esta representación desde 1799, se declaró públicamente en su favor en 1831, Es fácil explicar las reservas de GneNoBs
MerpuÁucos
los matemáticos al respecto: para ellos, el álgebra no se funda en intuiciones, sino en convenios; una imagen geométrica no
puede, por lo tanto, eonstituir una definición. Finalmente, fueron las necesidades del análisis las que convencieron a Gauss, como a Cauchy, para adoptar la representación geométrica. Tal representación permitía ver, por ejemplo, que existen infinitas maneras de pasar continuamente de un valor complejo a otro. 17
rápidamente a la solución de problemas que se plantean. Para definir, por ejemplo, el producto de dos expresiones imaginalias. basta opel'al comu ¡i de números reales se tratase. teniendo en cuenta
que,
I ,l
=-1
:rct +
ll
.-I,
t=cr.'l I to§+ 87, . -l + fSErr-l ,2 B6, + ro6 + Il7, _1. LIna "ecua-
'7+6.-1
- t o:l
cion imaginaria" o. + fl -1 = 7 + 6\-l es 1a representación simbólica de dos ecuaciones entre magnitudes reales, lu = y, F - 61. Esta concepción tan formalista de las expresiones imaginarias tenía el mérito de 1a claridad, pero no podía explicar el papel creciente que desempeñaban en análisis.
filampoco lograba hacello mejor'
I
1a
teorra de las equivalencias alge-
bricas, desarrollada por Cauch-'-- en 1847. a resultas de sus invesrigacio-
nes sobre e1 último teorema
de
Fermat. Echemos un vistazo a esta teoría: cualesquiera que sean 1os poli-
nomiosAlil y B(x), se sabe qr-re exi-rte siempre un único polinomio Qt.rr.11amado cociente, ¡. un irnico poliitomio Á/¡,r, llamado resto. de grado estlictamente menor que el de B¡.r',. de manera queAt.rr - Br ¡ tQt.t, + fi,.r,. La división de Ar.tr entre B/.{-r consiste precisamente en buscar Q¡.rr r El.rr. Dado un poiinomio cualquiera A/.r,.
Cauchy consideraba el resto de su división por 12 + 1, al que denotaba simbólicamente A(l). Tal resto es
l, utilizado ya por Euler, y al inter-
necesariamente un polinomio de grado 0 sear un número real- o de grado-o1, es decir, de la forma ar + b,
restos de la división entre x2 +
pues su grado ha de ser estrictamente menor que el de 12 + 1. Por ejemplo, si tomamos para A(r) el polinomio rll
-2x + 3, dado que es igrraL a (r2 + 1) (r + 1) + (-3¡ + 2), el resto es. en este caso, -Br + 2. Cauch¡'se valió entonces de una idea de Kunrmer. quien + x2
había generalizado
a los
Recordemos que dos númelos entet'os sorl congruentes módulo ¡r si dan el
mismo resto al dir.idirlos por /?: por ejemplo, 7 y'3 son congruentes módulo 2. De igr-ral forma. puesto que .r'l + .r': 2.,; + 3 y-3-r + 2 tienen el mismo lesto
al clir.idirlos enti'e .r'l + 1.
poclemos
decrr que son congl'uentes módulo t.r'l + 1 r o. con telminología cle Cauchr'. que son algébl.icantellte equi!a1e1ttes. Sr do,s
polinomios A .r r-8,.r' r solt a1gé-
b,icanrelle
eqr.r
ivalcltlr.-. re tiene
B ¿ r. Se tendr'á. en palticulal'. ¿l = -1. puesto que.tl = ,.r'l + 1 -1 es
Ar¿ r =
a1géblicamente equivalente a 1, Al sustiturl en las canticlacles imaginarias el símbolo', 1 por el simbolo
PLANO DE LA VAR ABLE COIMPLEJA Z
8. EL TEOREMA DE CAUCIIY estipula que para las funciones holomorfas f(z) dela variable compleja z, la integral a lo largo de un camino que conecte los puntos A y B no depende del camino que los conecta. De esta forma, el valor de la integral es el mismo al calcularla a lo largo del camino (f ) y del camino (2). Se deduce de aquí que la integral a lo largo de un camino cerrado (en color) (1) - (2) es nula. Este teorema solamente es aplicable si la funciónf(z) es derivable en el dominio del plano complejo donde se toman los caminos; tales funciones se llaman holomorfas. Este teorema fue demostrado en 1814, enunciado en forma bastante burda, para caminos paralelos a los ejes de coordenadas; su generalización a caminos cualesquiera es de 1825. Cauchy consideró por vez primera caminos cerrados en 1831. 78
polinomios la
teorÍa de congruencias, cleada por Gauss para los números entet'os.
pretar según el convenio recién explicado las expresiones obtenidas como
l.
Cauchy redujo las operaciones sobre las cantidades imaginarias, adición y
multiplicación, a operaciones con polinomios. Por ejemplo, para definir el producto de dos cantidades imaginarias basta considerar (a + ib) (c + id)
= ,.tt. ltr'l , - itoel ócr como una equir.alencia algébrica. Es fáci1, en efecto, verificar que la división de (r¿ + ¡ó) ic + ¡d) por:r2 + 1 da un resto igual a
(ac-bd)+x(acl+bc).
La teoría de las equivalencias a1gé-
bricas creada por Cauch¡. pr-rede ser generalizada utilizando en lugar del .r2 + 1 otros polinomios dir.isores. Constituye un potente instrumento para c1'ear tanto objetos matemáticos nuevos como operaciones sobre estos objetos deducidas de otras con 1os poli-
nomios. En el lenguaje del álgebra rloderna, se dice que se constru.ven anillos cocientes del anillo de polinon-rios. En general, sin embargo, mien-
ti'as que todo número complejo no nu1o. z, posee un inl,erso z 1 ta1 que :.--l = 1, los objetos creados al reemplazar :r2 + 1 por otros polinomios no po-ieen esta propiedad. Para que exista este inverso. o sea, en el lenguaje del
PLANO DE LA VARIABLE COÍ\IPLEJA Z
EL TEOREMADE LOS RESIDUOS, demostrado también por Cauchy, indica que si una función f(z) dela variable compleja z es holomorfa en un cierto dominio, salvo en un punto aislado ¿ llamado polo, donde toma un valor infinito, pero en eI cual, para m suficientemente grande, g(z) = (z - a)nf(z) esholomorfa, entonces el valor de la integral de f(z) tomado a lo largo de un camino cerrado como el C, que rodea una sola vez a a, es igual a 2zlí multiplicado por el residuo de la función en a. Si m = 1, es decir, sig (z) = (z - a)f(z) es holomorfa, se dice que el polo a es simple, y esta integral es igual a2ni g(a).Pot ejenplo, si f(z) = ll(z - ¿d y si el camino cerrado C da ¿ wueltas alrededor del polo simple a, la integral de ll(z - ¿) sobre este contorno es igual a Znin; siendo ¿ lo que Cauchy llamaba índice de cr con respecto al camino C. 9.
Tr.lrrs
I
álgebra moderna, para que el anillo cociente sea un cuerpo, es necesario y suficiente que el polinomio divisor sea irreductible, esto es, que solamente sea divisible por 1 y por sí mismo,
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4a¿:F./i:ér
salvo un coeficiente multiplicador
',
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-r*f*e;¿;r--,§4,i.",
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constante. TaI es el caso de12 + 1, que irreductible porque no posee raíces
-
es
t"tL'
al J*
:.Lr jl*Xi
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reales. Si establecemos un paralelismo entre Ia teorÍa de congruencias
'-
de números enteros y la teoría de con-
tl"'r'
gruencias de polinomios, se comprueba que los polinomios irreductibles desempeñan así el mismo papel que los números primos en aritmética. Por fin, en 1849, dos años después de la invención de su teoría de equivalencias algébricas, Cauchy se avino
t'*'b,
a la interpretación geométrica de los
números propuesta por varios mate-
máticos a comienzos de siglo. El número complejo a + ib está representado por el punto M de abscisa a y de ordenada ó en el plano complejo provisto de ejes rectangulares. En coordenadas polares, está definido por
la longitud del radio vector OM que va del origen O alpmto M (módulo p) y por el ángulo (definido salvo 2hn qtte forrnaOM con la semirrecta real positiva Ox (argumento 0). Las operaciones con números complejos se reducen a movimientos en el plano. Por ejemplo, multiplicar el número de módulo
p
y argumento 0 por el número
de módulo
p'y
de argumento 0'equi-
vale a construir el número de módulo pp' y argumento 0'. Este recurso a la
intuición geométrica permite comprender mejor cómo se efectúa eI paso de lo real a lo imaginario en el estudio de funciones, paliando hasta cierto punto la carencia de nociones topológicas.
para simplificar, vamos a presentar I la teoría de funciones de Cauchy en el marco de esta interpretación geométrica, aunque el propio Cauchy la adoptase tardíamente. De forma muy general, una función de una variable compleja hace corresponder a cada valor de z un valor determinado Z, es decir, le asocia a cada punto del plano un punto y sólo otro punto del plano. Señalemos que de esta forma dejaba de lado las "funciones multiformes", que pueden tomar muchos valores para un mismo valor de la variable:
por ejemplo, Cauchy reducía los logaritmos imaginarios de Euler a su única determinación principal. De hecho, Cauchy trabajaba solamente sobre una clase particular de funciones de variable compleja de compor-
tamiento muy regular, a saber, las funciones que son derivables, u holomorfas, excepto en puntos aislados. GneNoes
M¡r¡uÁrrcos
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10. CAUCHY PRESENTO. el 15 de febrero de 1825, una nota de cuatro páginas en la que anunciaba su descubrimiento de la integración en eI plano complejo. El último
párrafo (añadido. como muestra la tachadura de "Paris, le 7 février
1825, A.-L. Cauchy" en la página 3, entre el 7 y el 15 de febrero) constituye el primer borrador de la célebre memoria S¿¿¡'/es intégroles prises entre des limites imaginaires, ptesentada el 28 de febrero siguiente, en Ia cual Cauchy enunciaba los teoremas "de Cauchy" ¡' de los residuos. El autor cita en este párrafo a dos matemáticos que le han inspirado: Brisson, un ingeniero jefe de Puentes y Caminos, y Ostrogradski, joven ruso llegado a Francia err1822.
En 1814. daba la condición de holo- plo, o es un polo simple de f(zl = l/G morfía de una funcrón en forma de sis- -al, porque Q alf(z)= 1 es holomorfa. tema diferencial tcondición de CauMucho antes de definir las funciochy), pero sólo tras haber dado en nes holomorfas Cauchy sabía ya intel85llaprimeradefinicióncorrectade grar las funciones de una variable Ia derivada de una fi-rnción de variable compleja, y fue justamente la intecompleja pudo llegar ai año siguiente gración en el plano complejo la que
que constituyó, en 1814, el punto de parLos tida de su teoría. En 1825 le consagró puntos aisiados considerados por a esta cuestión una de sus mejores Cauchy eran siempre polos, esto es, memorias, cuyotítulo et:aSurlesintépuntos zo en los que una fur'cíón f(z) grales défínies prises entre des limites toma un valor infinito, pero en los cua- itnaginaíres. Resulta posible extender les, para un entero positivo m su- al campo complejo Ia definición de ficientemente grande, e1 producto integral de una función de una varia(z - zo)"'f(2.) es función holomorfa. Si ble real como límite de "sumas de Riem, = 7, zo es un polo simple. Por ejem- mann", pero hay que tener en cuenta a la noción de función holomorfa,
denominaba función sinéctica.
19
que dos puntos del plano complejo pueden ser unidos por una infinidad de caminos distintos. Las conclusiones de Cauchy se concretan en dos LIBROSDE INvESTIG{(]ION Y
CIENCIA
MENTE
Y
CEREBRO
+
-/*\ ,/q,Al
-r*\ =-{*
'-L-,'-f,i'
teoremas fundamentales. Por una parte, mientras Ia función sea holomorfa, el valor de la integral es el mismo cualquiera que sea el camino que se tome: éste es el llamado "teorema de Cauchy". Por otra parte, si existe un polo z0 en el interior de Ia porción de plano complejo comprendida entre dos caminos que unen los dos puntos, ios valores de las integrales tomadas a 1o largo de estos dos caminos son diferentes. La diferencia es igual a 2ni -t mr-iltiplicada por una cantidad liamada residuo de Ia función en ei poio.-,,: éste es el teorema de los resicluos. Si el polo:, es simple. el residuo es igual a1 r'alor de ¿: zotfr2l en 2,,. Pol ejemplo. el re,siduo de 1,'/z
.
DESARROLLO CEREBRAL, Carla
J.
.
Shatz
QUII,4ICA
DE LAS COMUNICA-
CIONES CEREBRALES, Jean-
Pierre Changeux
Apartilde
1826. Car-rch¡desarroiló numel'osas aplicacior-res de su "calculo de Ie.rduo-- '.
-a)e:na
es 1.
pue por aplicacion de una lornrLlla I' obtenrda glaciai al teolenla de los residuos como Cauchr- demosti'ó en 1831 el teorema de Tur'ín. un teorema fundamental )' \-erdaderamente milagroso. Este teorema muestra que
pleja resultaba posible, con las funciones holomorfas, retornar al punto de vista de las funciones analíticas, es decir, desarrollables en serie entera en todo punto de su dominio, de las que se había servido Lagrange para
fundar
e1 anáIisis. La obra de Cauchy es inmensa. Sus (Euures contplétes, cuya edición se ha
prolongado durante casi un siglo, desde 1882 hasta 1975. consta de 27 volúmenes en cuarto. ¡r contiene, además de cinco obras dedicadas a 1a enseñanza, cerca de 800 artículos v memorias. Cauchy. que no se encontraba cómodo en su época. fiecuentemente incomprendido por sus contemporáneos, encontró en Ia producción matemática un refugio, en el cual.lejos de1 mundo real, su genio creador pudo dar toda su medida. Sin embargo. su
concepción de las matemáticas es expresión de preocupaciones de su época. Rechazando el racionalismo optimista del Siglo de las Luces. se obliga, como los mejores de sus contemporáneos, a encerrar en el marco cle una exposición rigurosa 1a extraordinaria expansión del análisis de1 sigio xvIII. Esta exigencia de rigor no
taldó, por otra parte, en revelar
pronto su extraordinaria fecundidad. Ha¡- que añadir que las necesidades pedagógicas, en una época en que se asiste en matemáticas a una aproxi-
o LA IMAGEN VISUAL EN tA MENTE Y EN EL CEREBRO,
las funciones de una \:ariable compleja se comportan de manera mu¡diferente a las funciones de una valia-
o
FISIOLOGIA DE LA PERCEPCION. Walter J. Freeman
.
BASES BIOLOGICAS DEL APRENDIZAJE Y DE LA INDIVIDUALIDAD, Eric F. Kandel
ble real: una función holomorfa en un disco abierto centrado en O puede, en efecto, ser siempre desarrollada en serie entera. Dicho de otra forma. Ias nociones de holomorfía y de analitici-
mación entre investigación y enseñanza, constituyeron para é1, desde este punto de vista, un poderoso estimulante.
dad son equivalentes. Una función
egislador e inventor a un mismo tiempo, heredero de ios grandes matemáticos del siglo x\rIU, Cauchy forma con Gauss 1a primera clase de
Semir Zeki
y Robert D.
Hawkins
O EL CEREBRO Y EL LENGUAJE, Antonio R. Damasio y Hanna Damasio
. LA
MEMORIA FUNCIONAL Y LA MENTE, Patr¡cia S. Goldman-Rakic
.
CEREBRO DE VAFON Y CEREBRO DE MUJER, Doreen Kim
.
u
ra
. EL PROBLEMA DE LA CONSCIENCIA. Francis Crick y Christof Koch . TRASTORNOS PRINCIPALES
DE LA MENTE Y DEL CEREBRO, Eliot S. Gershon y Ronald
.
Rieder
ENVEJECIMIENTO CEREBRAL MENTAL, Dennis J Selkoe
Y
O TRATAMIENTO DEL ACCIDENTE CEREBROVASCULAR, Justin A.
Zivin
.
y
automáticamente, infinitamente derivable, mientras que una función derivable de variable real ;ni siquiera tiene siempre derivada continua! Esta propiedad sorprendente de
1as
funciones holomorfas explica la
matemáticos modernos. Por ello merece sin duda ser mejor conocido por quienes se interesan por la historia de las ciencias.
potencia de los métodos de paso de Io
REDES NEURONALES QUE APRENDEN DE LA EXPERIENCIA, Geoffrey E. H¡nton
O.
derivable de una variable compieja es,
Dennis W. Choi
SUPERACION DE LA BARRERA HEMATOENCEFALICA, Elaine Tuomanen
real a Io imaginario utilizados por Cauchy a partir de 1814. Por otra parte, fenómenos que resultaban incomprensibles al limitarse únicamente a valores reales de la variable
encontraban ahora su explicación
natural. Por ejemplo, la función
expGllx2 ) es indefinidamente derivable en el punto O cuando la consideramos como función de variable real, pero no es derivable cuando extendemos los valores de Ia variable a todo el plano complejo. y no es. por consi-
guiente, holomorfa en ningún disco abierto de centro O. Esa es la razón de que difiera de su serie de Taylor en O. En resumen, en el nuevo marco de
lJllii,ta-]l;i. -!i'i
I í,:,;'\:i::,, '.:r': . r-:i, r.
(Euvnns Cr¡rrpr.Ér¡s. A.-L. Caucir¡. Cauthier-Villars. París. I t8l- I 97-1.
Le Vrs er lrs Tn.rr':ux t¡u B.rnox C,rucny. C. A. Valson. Gauthier-Villars. I 868. reeditado por A. Blanchard. París. 1910.
C.rucuv. H. Freudenthal. en Dictiorttut of St:ientifit' Bíogrctpln'. Charles Scribner's Sons. Nueya
York. I 970- I 980.
ÉqurrrroNs D¡rrÉnrNrterles ORDTNATREs. A.-L. Cauch¡,. Curso inéclito (tiagn-rento), Etudes vivantes. París. 98 l. Clucnr- ll r..r Pn..rrtgLrg o¡s Sct¡xcgs Ex,rcr¡s EN FRA\crE At.r xrxc SrÉcrL.E. B. Belht¡ste. Tesis de tercer cic1o. Uni1
versiclad cle París
l.
I
982.
las funciones de una variable comu0
Tslres
1
ogcr Penrose. hoy prof-esor de la Unir"ersid¿rd de Oxfbrd, no era más que un posgraduado de 23 años cr-rando se
. topó con el geométrico arte de Maurits C. E,scher. Aconteció con motivo cle un congreso de matcmáticas celebrado en Amsterdam en 19-5;1. Desde entonces. este físico y matemático británico parece haber cornparticlo con el artista holandés, ya fallecido. lazos rnisterio\o\ quc truscienden del espacio y el tiernpo.
Lo mismo
qLle tantos matcmáticos. Penxrse sintióse fasci-
comunicarlas). Apelan para ello a propiedades indetectables. Peres ofieció una nueva demostración. más breve y rnanejable que Ia original. de un conocido teorema (llamado en honor a sLrs ¿rutores de Kochen-Specker) que demuestra la incoherenci¿r interna cle toda una clase de teorías de variables ocultas. En la versión cle Peres, el teorema dice que hay treinta y tres vectores tridimensionales tales, que no puede asignarse sin contradicción el valor I a un vector de cada tríada ortogonal que se ft¡rme con ellos 1,el l'alor'0 a los otros dos. Pues bien: las
teorías de variables ocultas de ¡ierla elase:e basrn en asignacio-
nado por la lúdica explolaciiin que Escher ef'ectúa en nociones matemáticas como la simetría l 1a regle-
sión infinita. y por ias manipula-
ciones a que somete
1a
-eeornetría
t
1'
nes de ese tipo; no son. plres. coherente s.
Penrose. que üco\tumbra visua-
Lrnr
expresión geométrica, le preguntó a Peres si sus coordenadas se correspondían con poliedros interesantes. "Se quedó mirándome inexpresivamente". rememora Penrose, "así que opté
"tribarra" cornpuesta pol tres listones ensamblados. La tribarra no
por trazar unas cuantas figuras, para ver si tenían sentido". Y a1 ir
tiene nurlu
Penrose representando las coordenadas de Peres. fue tom¿rndo forma
li zar conceptos dándoles
la perspectiva para construir objetos "imposibles" que infrin-sen 1as reglas de la realidad tridin'rensronal. Los dibujos tle E.. lrer i¡1.prreron a Penrose
e1
esbozo de un objeto
impo:ible de co'e.hu propir.
lg ¡s¡cciul r ¡tintcra
vista. pero al dibujar los listones que la componen nos percatamos de que éstos
en el papel un polieclro complejo, compllesto por tres cubos que se interpenetran, girado cada uno de ellos 90 grados con respecto a los demás. "Lo estuve mirando'', dice Penrose. "y pensé, ¡caramba, esto ya 1o he visto arltes!" Se acordó de pronto: Escher había colocadojustamente un poliedro así sobre la torre izquierda de su "cascada". El curioso hallazgo de Penrose quedará recogido en un volumen de artículos que va a ser publicado en memoria de John Bel1. gran teórico de la mecánica cuántica. Desdicha-
r'ez e1 cspacio -¿o mismo l- h¿rn cle estar retorcicios. Penrose 1e rnostrci 1a tribarra a su padre. Lionel. distin-uuido profesor de genética. de quien Rogel ha ta1
heredado el gusto por paradojas y rompecabezas. Lionel respondió dibujando una e\calrnelir tmpo¡'ible. que parece ascender sin fin. pero que en realidad se muerde la cola. cerrándose sobre sí misma. Padre e hijo prepuraron e un.irrntumente Lln artículo donde describían 1a tribarra y la escalinata. y se lo
enviaron a Escher. El artículo. publicado en el British Joumal oJ P.stcholog en 1958. espoleó a ':' Escher para crear dos de sus iitografías más famosas: Ascettdütg cutd De.scending (Ascenso y Descenso), en el que una procesión de rnonjes
damente. Penrose no puede esta vez enviarle e1 artículo a Escher, pues el artista mulió hace tiempo.
Penrose sí llegó a conocer Un poliedro cuántico adorna una de las torres de "Cascada", de Escher.
a
Escher. con quien se reunió en una ocasión. en 1961. ''E:taba 1o r ra-
jando en automóvil por Holanda, y suben y bajan en fila por una escalinata sisíf'ea. ,-- \\'ttterfoll se me ocurrió telefonearle: Escher me intitó a tomar té en su (Cascada), que transforma la tribarra de Penrose en un cilcuito casa". recuerda Penrose. Le propuso a Escher un rompecabez¿ts: un conjunto de polígonos idénticos que adecuadamente de a-uua que corre sin cesar. La historia se reanudó tres decenios clespués. en m¿i),o de ¿rdos¿rdos pudieran teselar el piano infinito. Escher resolvió el 1991, cuando Penrose asistió en Copenhague a un congreso de problema más adelante: 1a clave consistía en darle la vuelta a física cuántica. A1lí acudió a 1a disertación del físico Asher ciertos polígonos, conr,irtiéndolos asÍ en sus imágenes espePeres, de Ia Universidad Technion de lsracl. que trataba sobre cularmente simétricas. En 191 I Escher dibujó una figura que teorías de variables ocultas. Tales teorías qr-rieren explicrr desde ie irtspiraba en el rontpecabezas. la física clásica ciertos efectos cuánticos como Ia no-localiza- Ei encuentro resultó un poco decepcionante en un aspecto. ción: las partículas que ernite una fuente común están correla- "Me esperaba que su casa tuviera una escalera que saliese por cionadas sin que haya entre ellas transmisión al-9una de infor- una \¡entana. o algo por ei estilo". señala Penrose. "Pero todo mación (ni Ia propia correlación puede ser empleada para ela de una pulcritud y organización perfectas." GnlNoEs M,rrrrtÁrrcos
8r
Evariste Galois Tony Rothman SegȤn
l¿¿ §,svepzdc¿, e st*
*yz
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j*,**¡'¿
tw.e¿scrczút§*rt
ret§**tó
w"rs*ke s¡'¡fe¡"§rt¡" c¿l clwek* €§2 Et§€
UBz* ír¿,-estígaciórz ¡eeás c»sídr¡dos* §ccsce
ideas de GsÍr:is
f]t variste Galois. joven prodigio y t{ , matemático frances, contaba J.-l tan sólo 20 años de edad cuando en la madrugada de1 30 de mayo de
1832 escribía a sus amigos Napoléon
Lebon y V. Delauney:
"He sido provocado por dos patriotas... Me es imposible rehusar. Os ruego vuestro perdón por no habéroslo di-
cho. Pero mis adversarios me han exigido palabra de honor de no informar a ningún patriota. Vuestra tarea
"He hecho algunos descubrimientos
nuevos en análisis. El primero concierne a la teoría de ecuaciones; Ios otros, a las funciones enteras. TONY ROTHMAN se licencio en 1975 por el Swarthmore College y se doctoró en física por Ia Universidad de Texas en Austin, en 1981. Sus campos de investigación son, principalmente, eI estudio de los agujeros negros, Ia formación de bariones en los comienzos de la historia del universo y Ia síntesis primordial de núcleos atómicos en las estrellas. "En realidad, mi interés por Ga-
lois es consecuencia de una obra
teatral... que escribíhace algunos años, sobre
e1
poeta ruso Pushkin y sobre Ga-
lois. Durante la preparación histórica descubrí que las narraciones habituales de la vida de Galois disponibles en inglés eran, cuando menos, inexactas."
82
v€r
qr.é€
l,*s or{ginrzles
en esta teoría ¡, describir todas las transformaciones posibles en una
L,I de l7
ecuación, aun cuando no sea posible resolverla por radicales. Todo ello puede verse aqui. en lles nrenrorlas... "Haz petición púb1ica a [Car] Gustav Jacobl Jacobi o a [Carl Fnedrich] Gauss para que den su opinión. no acelca
veracidad. sino sobre
1a
cle 1a
importancia de
algunos hombres encuentren de provecho organizar todo este embro1lo."
Esa misma noche, Galois escribía
¡,ecíhió w* tira.fatal.
ilación capaz de encajar y explicar el melodrama evidente en sus escritos.
estos teoremas. Confío en que despué,s
también a su amigo Auguste Chevalier:
$.u¿p{}s
"En teoría de ecuaciones he investigado Ias condiciones de solubilidad de ecuaciones por medio de radicales; con ello he tenido ocasión de profundizar
sencilla: demostrad que he de com-
agotado todos los medios de reconciliación posibles; decid si soy capaz de mentir ni siquiera en io más baladí. Por favor, recordadme, ya que el destino no me ha dado vida bastante para ser recordado por mi patria. Muero amigo vuestro, E. Galois"
§*r;r{* de
fard*¿§'eyz t§.grt rzzás erc ¡¡zdzdura?"
batir contra mi voluntad, tras haber
es
§*.
El desesperado estado de ánimo en que se encontraba Galois al escribir estas cartas estaba plenamente justificado, como tristemente habrían de pro-
Cle
sabe. por ejemplo. que a la edad
años Galois contribuvo a crear una rama de la matemática que hoy estructura y facilita la comprensión de campos tan diversos como Ia aritmética, Ia cristalografía, Ia física de partículas elementales y las posiciones accesibles del cubo de Rubik. Asimismo, existe prueba documental de que a igual edad Galois suspendió por segunda vez el examen de matemáticas para ingresar en la École Polvtechnique. Tuvo que estudiar, en cambio. en la Ecole Normale de París. Empero, a los 19 años ya había sido expulsado de esta escuela, y por dos r-eces detenido y encarcelado a causa
bar los acontecimientos inmediatos.
de sus actividades políticas. Poco antes del duelo se enredó en un des-
Poco después del amanecer de esa misma noche, Galois abandonó su habita-
de sus cartas últimas parecía relacio-
ción de 1a pensión Sieur Faultrier. en París, y se enfrentó en duelo de honor
a un activista político llamado
Pes-
cheux d'Herbinville, a las orillas de un estanque cercano. Al1í Galois recibió un balazo en el abdomen, quedando aban-
donado. Más tarde un transeúnte 1o encontró y llevó al Hópital Cochin, donde murió al día siguiente. Catorce años después, los manuscritos que dejó para Chevaiier fueron publicados por
el matemático francés Joseph Liouville, naciendo de esta forma Ia rama, excepcionalmente fecunda, de Ia matemática conocida hoy por teoría de grrrpos.
En Ia historia de la ciencia pocos reiatos pueden igualar en contenido novelesco y romántico los hechos conocidos sobre Ia vida y muerte de Galois.
Empero, justamente por la fuerza coercitiva de estos hechos, es fácil excederse en la lectura de las cartas de Galois, y tentador ir espigando en los acontecimientos que tuvieron conclusión en el duelo, en búsqueda de una
clichado asunto amoroso, que en una
nar con el duelo mismo. "lluero cribió- vÍctima de una coqueta -esinfame v de sus dos encandilados." Desafortunadamente. algunos de Ios biógrafos que Galois ha tenido en nuestro siglo no han resistido la tentación de aderezar. interpretar y embeIlecer tales hechos. Lo que Ia mayoría de la gente conoce acerca de Ia vida de Galois se funda en relatos populares, como los del físico Leopold Infeld o el astrónomo Fred Hoyle. La versión que mayor influencia ha tenido en Ia creación del mito de Galois ha sido Ia de Eric Temple Be11, matemático cuya
obra Men of Mathemafzcs (versión españo1a, "Los grandes matemáticos"), pr-rblicada en 1937, es seguramente 1a más famosa recopilación de vidas de grandes matemáticos.
En las repeticiones populares de esta historia, Galois es presentado como genio incomprendido, sojuzgado por 1a estupidez de sus maestros, olvidado por 1a organización matemática Tel¡es I
institucional y espoleado y arrastrado por los acontecimientos de la época a
un activismo político que habría de mermar sus energías y, finalmente, costarle la vida. Lo más notable de todo es que, según estas versiones, durante todo el período de agitación polÍtica, e incluso durante su estancia en
ser recordada en el 150 aniversario de
lan más acerca de los estereotipos de genio científico que tanto atraen a la imaginación popular de Io que realmente revelan de Galois. La novela auténtica de Évariste Galois es fasci-
su muerte.
Aparte de cartas, registros oficiales
y otros documentos de la época, Ia fuente principal sobre la vida de
nante por derecho propio, y merece
Galois es una biografía, fechada en
la cárcel, Galois continuase desarrollando sus ideas matemáticas "de cabeza", para acabar poniéndolas por escrito la noche anterior al duelo. Vale la pena reproducir aquí la descripción que da Bell de esta noche última, porque probablemente sea la que mayor impulso ha dado al mito de Galois:
"Durante toda la noche estuvo
febrilmente luchando contra las fugaces horas, garrapateando su testamento científrco y su úItima voluntad, espigando, con el tiempo en contra, algunas de las grandes cosas que había elaborado su mente fecunda, antes de que la muerte, que ya veía,
ry
dffi'- -a:-
-
le diese alcance. Una y otra vez se de-
tuvo para anotar al margen'No tengo tiempo, no tengo tiempo', para continuar enseguida esbozando velozmente otro tema. Lo que Galois escribió antes del amanecer, en aquellas horas desesperadas, mantendrá ocupadas a
generaciones de matemáticos, durante cientos de años." Recientemente, con ayuda de Marc Henneaux y Cecile DeWitt-Morrette, de Ia Universidad de Texas en Austin, he leído algunos de los trabajos de Galois, así como los últimos trabajos
doctos acerca de su vida. Aunque de la lectura de estos materiales resulta evidente que todos los acontecimientos relevantes de la vida de Galois se conocen desde hace tiempo, la reconstrucción de Bell (y las de otros) reve-
1.
ÉVARISTE GALOIS, por
Daüda John-
son. El matemático aparece ahí a los 17 años, cuando era alumno del Collége Royal de Louis-le-Grand. Aunque hasta esa fecha sólo había estudiado lnatemáticas durante dos años, ya había publicado un ürabajo sobre fracciones continuas y emprendido los estudios de
teoúa de ecuaciones que habúan de llevarle a la teoría algebraica abstracta de sistemas de objetos, que él llamó grupos. Es preciso reconocer también a otros matemáticos de finales del siglo xvrrr y comienzos del xlx el mérito de haber creado y desarrollado lateoría de grupos, particularmente, a Paulo Ruffrni, Neils Henrik Abel y Joseph Louis Lagrange. Empero, suele otorgarse a Galois el título de fundador de la teoría de grupos. El ditrujo de Johnson está trasado en los dos retratos de Galois que se conocen. Uno, realizado cuando Galois contaba 15 años y el otro, terrninado en 1848, a los 16 años de la muerte de Évariste. GnaNoss MerBuÁucos
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1896, escrita por Paul DuPuy, histo-
riador y superintendente general de la École Normale, facultad a la que había asistido Galois 66 años antes. Según Dupuy, Galois nació el 25 de octubre de 1811, en Bourg-la-Reine, cer-
ca de París. Su padre, Nicholas-Gabriel Galois, era partidario de Napoleón y cabeza del partido liberal en Ia localidad, llegando, durante los Cien Días, al retornar Napoleón de su exilio, a ser elegido alcalde de Ia villa.
Durante los primeros 12 años de su vida, ÉVariste fue educado por su madre, Adelaide-Marie Demante Galois, quien proporcionó a su hijo una sólida formación básica en latín y griego, y al que traspasó su escepticismo por las formas institucionalizadas de religión. No obstante, es poco verosímil que eljoven Galois se viera expuesto en matemáticas a mucho más de las habituales lecciones de aritmética; en aquel entonces no se consideraba importante la formación matemática. Tampoco se tiene noticia de que se hayan dado casos de talento matemático especial en las ramas paterna o materna de la familia.
T a educación regular de Galois L¡ .orn"n, ó en 7823,cuando ingresó en el Collége Royal de Louis-le-Grand,
la capilla, a recitar en clase y a brindar por Luis XVIII en un banquete colegial. En represalia, el provisor expulsó sumariamente a 40 alumnos sospechosos de haber encabezado la rebelión. Aunque Galois no fue expulsado (y se ignora si participó o no en
el plante), la arbitraria acción
de1
provisor contribuyó sin duda a fomentar los recelos que Galois pudiera sentir hacia ia autoridad. Pocas pruebas hay de que Galois fuese ma1 estudiante, o de que su desa-
3. NOCION DE GRUPO, ilustrada por el grupo S(3), que es el grupo de permuta-
tan referir Ias biografÍas más difundidas. En sus primeros años de liceo, Galois ganó varios premios de griego y Iatín, amén de media docena de men-
ciones de tres objetos. Cada elemento de S(3) actúa sotrre los objetos, reordenríndolos. La permutación (123) traslada el objeto situado en el primer recuadro al segundo, el objeto del segundo cuadro al tercero, y el objeto colocado en el tercer cuadro, al primero. Dado
se resintiera a causa de un profesorado mediocre, como gus-
ciones honoríficas. Un historiador de 1a ciencia, René Taton, califica sus
progresos de brillantes. Empero, durante el tercer año, su trabajo en retórica fue considerado insufi ciente. y Galois tuvo que repetir curso. Contrariamente a lo afirmado por Bell, Ios deficientes resultados en retórica no fueron consecuencia de su pasión por el álgebra, pues fue después de este tropezón cuando Galois recibió su pri-
mer curso de matemáticas. Tenía entonces 15 años.
El curso, impartido por Hippolyte genio mate-
Jean Vernier. despertó
Victor Hugo (abierta todavía hoy). En
velocidad los manuales al uso, fue
el Louis-le-Grand, Galois comenzó inmediatamente a sensibilizarse políticamente; sus simpatías liberales y antimonárquicas, adquiridas de sus padres, estaban en consonancia con las simpatÍas políticas de la mayoría de los alumnos. No obstante, durante el primer año de Galois en el Louis-le-Grand, las re-
laciones entre el alumnado v eI provisor recién nombrado fueron ásperas y tirantes. Los alumnos sospechaban
que el nuevo provisor se proponía
devolver el colegio a los jesuitas, vanguardia de la reacción derechista que siguió a la era napoleónica. Los alumnos hicieron un plante sin excesiva trascendencia: se negaron a cantar en 2. LA NOTA
e1
mático de Galois. Tras engullir
a
toda
derecho hacia 1as obras maestras de la epoca. derorando los Elements de Géométrie de Adrien )farie Legendre, emprendiéndola inmediatamente con las memorias originales de Joseph
Louis Lagrange La resolución de
ecuaciones algebraicas, La teoría de funciones anctlíticcts 5, 7as Lecciones sobre el calculo de funcíones. Fue sin duda de Lagrange de quien aprendió por vez primera la teoría de ecuaciones, teoría a ia que é1 mismo habría de realizar contribuciones fundamen-
tales a Io largo de los cuatro años siguientes. Según parece, Vernier sí supo apreciar el talento de su discípulo: en los informes trimestrales, al hablar de Galois,
se
leen elogios tales
AL MARGEN de uno de los artículos que Galois dejó tras sí en la ma-
drugada del duelo es el más famoso documento citado en respaldo de la leyenda de que Galois puso por escrito sus ideas sobre teoría de grupos en una sola noche. En la nota dice: "IIay cosas que terminar en esta demostración. No tengo tiempo. (Nota del autor.)" ("Il y a quelque chose á completer dans cette démostration. Je n'ai pas le temps. (Note de lA.).") Segrin el conocido relato de la wida de Galois escrito por Eric Temple Bell, la frase "No tengo tiempo" aparece frecuentemente en los manuscritos. En realidad, tal frase se encuentra únicamente en la página reproducida aquí. La escritura rápida de la nota contrasta nítidamente con la cuidada caligrafía del cuerpo del texto, lo que hace pensar que Galois no redactó la monografía durante la noche anteriór al duelo, sino que tan sólo hizo en ella correcciones. En realidad, el trabajo había sido presentado a la Academia de Ciencias y devuelto a Galois por Siméon Denis Poisson, para que lo reelaborara. GRANDES Mersrr¿Árrcos
-..\
,1 '. \ ...i:
rrollo intelectual
de París, escuela preparatoria que
frle alma mater de Robespierre y
1
que tres objetos pueden alinearse de seis formas distintas, el grupo §(3) contendrá pues seis eleirentos.
como "celo y éxito" y "celo con muy sobresalientes progresos".
TII descubrimiento de las matemál1 ti.u, provocó un sorprendente cambio en la personalidad de Galois. Empezó a descuidarlas otras materias, atrayendo hacia sí la hostilidad de los profesores de humanidades. Sus profesores de retórica lo tildaron de "disoluto" en las califrcaciones trimestrales; en sus evaluaciones se leen palabras "introvertido y reservado", "excéntrico" y "original". Incluso Vernier, aunque sin pretender enfriar la pasión matemática de Galois, le insistió en la necesidad de trabajar más sistemáticamente. Galois no siguió sus consejos; decidió en cambio presentarse al examen de ingreso en la École Polytechnique con un año de anticipación y sin el curso de pre-
paración matemática habitual. Careciendo, como es obvio, de parte de la formación fundamental, fue rechazado.
Galois consideró su fracaso como
una injusticia, y ello endureció su rechazo de la autoridad. No obstante, continuó progresando rápidamente en
matemáticas, matriculándose en el curso superior de esta ciencia en el Louis-le-Grand, impartido por un dis-
tinguido profesor, Louis-Paul-Emile Richard. Richard se percató inmediatamente de las dotes de Galois, solicitando que fuera admitido sin examen previo en la Ecole Polytechnique. Aunque su recomendación no fue atendida, el estímulo de Richard produjo en Galois resultados espectaculares. En marzo de 1829, siendo todavía estudiante, Galois logró publicar su primer trabajo. Se titulaba "Demostra85
ción de un teorema sobre fracciones continuas periódicas", y apareció en Annales de mathématiques pures et appliquées, de Joseph Diaz Gergonne. Este artículo, sin embargo, no fue sino un pequeño aparte. Galois había ya dirigido su atención hacia Ia teoría de ecuaciones, tema que había explorado por primera vez en las obras de Lagrange. A sus 17 años estaba atacando uno de los más difíciles probiemas de 1as matemáticas; un problema que había tenido en jaque a los matemáticos durante más de un siglo.
tf n 1829 el problema central de la -l]./ teoria de ecuaciones era: ¿bajo que condiciones puede resolr.erse una ecua-
ción? Con mayor precisión. 1o que se buscaba era un método para resolver ecuaciones polinómicas con una sola incógnita f, cu)¡os coeficientes fuesen todos números racionales v cuvo tér-
z no exigiera operaciones que trascendieran de la extracción de raíces ¿-ésimas. La solución de la ecuación general de segundo grado, ctx2 + bx + c = 0,
conocida ya por los babilonios, re-
quiere extraer ia raíz cuadrada de una función de los coeficientes, a saber, su discriminante, b2 - 4oc. Por consi-
guiente, la ecuación general de
se-
gundo grado es resoluble por radicales. Análogamente, la solución general de la ecuación cúbica, conseguida por los matemáticos italianos Scipione dal Feno y Niccoló Fontana (conocido por Tartaglial, a principios del siglo xvr,
requiere calcular raíces cúbicas
de
multiplicaciór'r
máticos habían llegado a sospechar que sería imposible alcanzar seme-
soluciones -también llamadas raÍcesde la ecuación pueden deducilse de los coeficientes r.ahéndose rinicamente de estas operaciones. se dice que 1a ecua-
ción es resoluble por radicales. En vista del desarrollo histórico del problema. era natul'al esperar que la resolución de las ecuaciones de grado
de
vida habrían de tomar un desdichado giro. El 2 de julio, apenas unas semanas antes dei examen, el padre de Évariste puso fin a su vida, asfixiándose, en su apartamento de ParÍs. El párroco de Bourg-la-Reine. jesuita, había imitado el nombre de Galois padre en cierto número de malicio-
de Galois. Tras casi trescientos años de esfuerzos no se había alcanzado la resolución genelal de la ecuación de quinto g1'ado -o supef ior- por medio de radicales..r'cierto nirmelo de mate-
división r. asÍ como en
Academia
de raíces cuartas.
fuese ¡7¿. El método debía sel general, aplicabie a todas 1as ecuaciones de este tipo, y debía apovarse solamente en las cuatro operaciones elementales de 1-
l¡
Ciencias Francesa sus primeros artículos sobre la que llegaría a ser teoría de grupos el 25 de mayo y el 1 de
junio de 1829, casi al final de su último año en el Louis-le-Grand. Le faltahan
Tal era la situación en los tiempos
ia extracción de laíces. Cuando las
¡11 alois presento a
\f
ciertas funciones de los coeficientes. La resolución de 1a ecuación general de cuarto grado, conseguida aproximadamente en esa misma época por el matemático italiano Lodor.ico Ferrari. exige a su vez la extlacción
mino principal. el de grado n.ráximo.
la aritmética (adición. sustracción.
mica podrán o no calcularse por radicales. Sin embargo, más notables quizá q:ue los descubrimientos de Galois en teoría de ecuaciones fuesen los métodos que ideó para estudiar el problema. Sus investigaciones abrieron las puertas de una teoría cuyas aplicaciones desbordan con mucho los límites de la teoría de ecuaciones. teorÍa hoy conocida con el nombre de teoría de grupos.
jante objetir-o. a pesar de que en ciertos casos particulares, como la ecuación.r';-2 = 0.las soiuciones sípueden
calculalse por radicales. lEn este ejenrplo. una de las soluciones es i2
Lo que Galois consiguió fue dar cnterios definitivos para determinar si las
soluciones de una ecuación polinó-
menos de dos meses para examinarse
por segunda vez de las pruebas
de
acceso a7a Ecole Po\,technic¡ue, pero en el Ínterin los acontecimientos de su
sos epigramas dirigidos contra
1os
propios parientes de Galois; no tuvo fuerzas para arrostrar el escándalo. Las circunstancias en que se planteaba el examen de ingreso eran las peores posibles. Además, a1 parecer, Evariste declinó seguir en su exposición las indicaciones del examinador ¡'fue suspendido por segunda y definitir.a vez. Estos dos desastres hicieron cristalizar su odio por lajerarquía
conservadora, entonces gobernante en Francia.
Viéndose obligado a tomar en con-
sidelacion'la menos prestigiosa Ecole
2
..:
(12)*(123)=(13) "MULTTPLTGAR" un elemento de s(3) por otro consiste en determinar la colocación primera perrnutación y aplicar a la disposición resultante la segunda permutación. La permutación que por sí sola produciría
4.
de los objetos resu-ltantes de ejecutar la
lareordenaciónfinaleselproductodelasdospermutaciones. Engeneral,enlosgrupos la murtiplicación no es conmutativa: el producto de dos elementos depende del orden en que se apliquen. Así, (12)*(123) es igual a (13), mientras que (128)x(12) es (28). 86
Normale (a 1a sazón llamada Ecole Préparatoire ). Galois se presentó a los exámenes de bachi'llerato. necesa rio para ser admitido. en noviembre de 1829. Esta vez fue aprobado en razón de una excepcional calificación en matemáticas, recibiendo la categoría de universitario aproximadamente al mismo tiempo que sus trabajos sobre teoría de grupos iban a ser presentados a la Academia de Ciencias. Sus artículos, sin embargo, nunca llegarían a ver ia luz del día. Cuando sus trabajos fueron recibidos por la Academia, fue designado
para informarlos Augustin Louis Cauchy, a 1a sazón el más eminente de los matemáticos franceses y decidido partidario de la restauración conservadora. Aunque según la leyenda Cauchy perdió, olvidó o desechó los manuscritos de Galois. es mucho más TEN{AS
1
verosímil que Cauchy se percatase de su importancia y que les prestase atención. En efecto, una carta descubierta por Taton en los archivos de la Academia, en 1971, prueba que Cauchy proyectaba someter aI juicio de Ia Academia los resultados de Galois el
SEGUNDO ELEMENTO
/x
18 de enero de 1830. Cauchy escribía:
(1)
"Estaba previsto que yo presentase hoy a la Academia... un informe sobre el trabajo del joven Galois. ... Me encuentro indispuesto, en casa. Lamentando no poder asistir a la sesión de hoy, me gustaría figurar en el orden del día de la próxima reunión... para (tratar) los temas indicados." Empero, la siguiente semana, oca-
sión en que Cauchy leyó un trabajo propio ante laAcademia, no hizo mención del trabajo de Galois. Por qué ocu-
(1
23)
(1)
(123)
(132)
(121
(1
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(1
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rrió así es materia de especulación. Taton conjetura que Cauchy debió insistirle a Galois para que desarrollase más su trabajo y Io presentara aI concurso del Gran Premio de Matemáticas de la Academia. Aunque Ia conjetura de Taton todavía no ha podido
3)
(23)
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(123)
tener confirmación documental, la verdad es que Galois sí presentó en febrero -un mes antes del límite del plazo_ una monografía, aspirando al premio. El trabajo fue enviado a Jean Baptiste Joseph Fourier, matemático
inventor del hoy llamado análisis armónico o análisis de Fourier, en su calidad de secretario perpetuo de laAca-
demia. Desgraciadamente, Fourier murió en mayo, y el manuscrito de Galois no pudo hallarse entre los efectos de Fourier. Más tarde, Galois atribuiría sumala suerte a unintento malicio-
so de la Academia, acusando al jurado del premio de rechazar su trabajo de antemano, por ser su autor de nombre Galois y, además, tan sóIo un estudiante. La leyenda construida en torno a Galois ha dado pábulo a estas acusaciones, aceptándolas prima facie; pero pocas dudas caben hoy de que la actitud de Galois hacia las autoridades empezaba a mostrar rasgos paranoides.
pesar de esos retrasos y desengaño., Galois continuó siendo matemático productivo y empezó a publicar en el Balletin des sciences mathé' matiques, astronomíques, physiques et chimiques del Barón de Férussac, foro mucho menos llamativo, sin embargo, que las sesiones de la Academia. Sus artículos prueban claramente que en 1830 había ido más allá que ningún otro matemático en la búsqueda de las condiciones que determinan la solubilidad de las ecuaciones, si bien no disponía todavía de un análisis completo. No obstante, en
A 11
GRANDES Mersrr¿Áucos
(1
32)
(1)
TABLA DE MIILTIPLICAR de las seis permutaciones de tres objetos, que permite de gtupo. La tabla muestra que para cualesquiera dos perrnutaciones o y ó, su producto ¿*á es también una permutación. Existe un elemento neutro, la permutación identidad (1), tal que ¿x(l) es siempre igrral a a,Para cada elemento a existe un elemento llamado inverso de o y denotado a-1 tal que o*¿-1 es igrral a (1). El inverso de (123), por ejemplo, es (132). Finalmente, la ley asociativa, que establece que para cualesquiera permutaciones a, b y c los productos (o*ó)xc y a*(b*c) son iguales, puede comprobarse con auxilio de la tabla. Las permutaciones en color forman un subconjunto de las seis permutaciones. Su tatrla de multiplicar, enmarcada asimismo en color, muestra que tarrrbién ellas forman grupo. Un grupo de este tipo, que forma parte de otro, se conoce colno subgrupo propio del primero. 5.
verificar que éstas satisfacen las condiciones
enero de 1831 sí habia llegado a una conclusión. que sometió a laAcademia en una nueva memoria. escrita a petición clel matemático Siméon Denis Poisson. Esta memoria es la más importante de las oblas de Galois, y su exrstencia. más de un año antes del duelo. rluestra cuán absurda es la pretensión de que todo el trabajo de Galois sobre teorÍa de grupos fuese redactado en una sola noche. Para comprender el trabajo de GaIois no resulta ventaioso el estudio de sus trabajos originales. Poisson hizo cuanto pudo para comprender el manuscrito en 1831, pero acabó recomendando a la Academia que Io rechazase, y animando a Galois a desarrollar y explicitar su exposición. Poisson criticó también una de las demostraciones de Galois, considerándola inadecuada, si bien 1a validez del enunciado
en cuestión podía probarse gracias a
un resultado de Lagrange. Según Peter Neumann, de la Universidad de Oxford, la crítica de Poisson es completamente atinada. Galois presen-
taba sus razonamientos en forma sumamente concisa, lo que hace muy difícil recomponerlos y, además, no carecían de errores. Con la ventaja que nos proporciona siglo y medio de clarificación, ya puede presentarse lo esencial de la teoría de Galois en forma accesible. A este frn he contado con la ayuda del astrónomo y físico Adrian C. Ottewill, de Oxford. ¿Qué es un grupo? En su nivel más profundo, la teoría de grupos se ocupa
de las simetrías intrínsecas de un sistema cualquiera. Imaginemos un copo de nieve, cuyas puntas o vértices se encuentran uniformemente espaciadas según ángulos de 60 grados. Al 87
girar el copo de nieve
60 grados, o
múl-
tiplos enteros de esta magnitud, en torno
a
un eje que lo atraviese perpen-
dicularmente por su centro, el aspecto de la configuración permanece invariable, si bien cada uno de sus vértiha cambiado de posición. Las operaciones que dejan "invariante", en el sentido anterior, a una configuración dada, se llaman operaciones de simetría de la configuración. Al efectuar en sucesión dos rotacioces
nes de amplitud múltiplo de 60 grados, el copo de nieve permanece invariante,
pudiendohaberse alcanzadolaposición
final
de los vértices con una sola ope-
it-,
ración. Por ejemplo, un giro de 60 grados en sentido antihorario, seguido de otro giro de 240 grados en sentido horario equivale a un giro de 180 grados en
sentido horario. En general, si denotamos R(n ) al giro de amplitud 60n grados, y si e1 resultado de efectuar primero una de estas operaciones y ense-
guida la otra se denotaR(n)'lR(rn1,resulta que -R(n )':'R(¡¿) es igU al a R(. n + m ). Desde el punto de vista matemático, esta equivalencia enuncia que e1 "producto" de dos operaciones de simetría es también una operación de simetría. Los giros del copo de niere gozan
también de otras tres importantes
propiedades. Ante todo, un giro de 0 grados, denotado E(0), deja la configuración invariante, pues nada le hace. El producto de una rotación cualquiera.R(n ) y de.E(0) es R(n), con lo que
E(0) tiene respecto de las rotaciones un papel muy semejante al del número 1 en la multiplicación ordinaria. Por este motivo,.R(0) se denomina giro o rotación identidad. En segundo lugar, un giroE(z) seguido de otro giro de igual amplitud y sentido contrario, que podemos denotar R(-n), devuelve la
figura a su posición inicial. Por consiguiente, el producto R(n)*R(-n) es equivalente a -R(0). Al giro R(-z) se te
N=¿"y': og¿ \
& é.fl
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:.N,,.*" G:,* q_-)> ,,aA)
88
TEN,rAs I
llama giro inverso del
E(¡¿).
Tercero,la
expresión.R( nt)'rR(.n)':'R(p ) no es ambi-
gua, porque [R(m)*ñ(n )]'iE(p) equi-
vale a R( m')':'lB(n)':'
l). Tenemos aquí una propiedad formal de Ia operación 'r' de composición de giros, l1amada propiedad asociativa. Rl p
J as cuatro propiedades mencionaI r das de la composicion de giros que dejan invariante ai copo de nieve son características del conjunto de todas las operaciones de simetría de un sistema cualquiera: son las llamadas propiedades de grupo. No es preciso que el sistema sea una figula geométrica, como el cristai de nieve. También una ecuación es un sistema cu1-as
La teoría de grupos es uno de los más fructíferos campos de investiga-
el denotado (12), que toma el objeto situado en la casilla 1 y lo lleva a la
ción matemática; Bell tiene razón cuando escribe que mantendrá ocu-
número 2,y recíprocamente, el objeto de la casilla 2 es llevado a la 1. El
pados alos matemáticos durante cien-
efecto de la permutación (12) sobre la
tos de años. Uno de los log.ros recientes de más importancia en teoría de gru-
disposición torre-caballo-áIfi I es intercambiar (trasponer) torre y caballo,
de
generando la disposición caballotorre-álfil. A1 ejecutar por segunda vez la permutación (12) vuelven a
1981. debida a Daniel Gorenstein, de 1a Universidad Rutgers. Demostró
primero y segundo, recreando la colo-
pos ha sido una demostración, anunciada en una reunión de la American
Mathematical Society en enero
Gorenstein que una lista de 26 grupos. los llamados grupos finitos esporádicos, es una lista exhaustiva. En cierto sentido este descubrimiento con-
lleva que Ios componentes,los bloques consl ructivos. de cualquier grupo con
des-
un número finito de elementos han
cribirse por 1as propiedades de grupo. En general, y de forma abstracta. un grupo está formado por una colección
quedado definitivamente clasifi cados.
"simetrías algebraicas" pueden
de elementos (operaciones de simetría) ct, á, c,... etcétera. juntamente con una regla, que denotaremos por':'. para combinar o componer ordenadamente dos cualesquiera elementos a y ó de1 grupo. Se supone que los elementos del grupo y la legla 'r' satisfacen el criterio de grupo cellado. según e1 cual. tomados dos elementos cualesquiera a y ó del grupo. o'á es también elemento de1 grupo. El grupo ha
de contener también un elemento ideniidad, denotaclo 1. tal que cualquiera que sea el elemento rl que se tome en e1 grupo. e1 producto o':'1 es igual a a. Además. para todo elemento a tiene que existir un elemento inverso
o
1,
que, r.erifique que o|:n-7 = 1.
Finalmente, los elementos del grupo y 1a operación han de r,erificar 1a pro-
piedad asociatira. que exige que (.a'"b)'t'c sea igual que a'i'(|'r'6).
Otro sistema de elementos no numéricos que satisface las condiciones de grupo es el grupo de permutaciones de una colección dada de objetos.
Los objetos a permutar pueden ser o letras del alfabeto, por ejemplo. Es indispensable darse cuenta, sin embargo, de que los ele-
piezas de ajedrez,
mentos del grupo no son ni las piezas de ajedrez ni las letras, sino las funciones que generan las diversas reordenaciones. Para hallar el "producto" de dos elementos a y ó de este grupo (es
decir, para hailar o*ó') se determina primero e1 resultado de la primera permutación sobre el conjunto de objetos y después se aplica 1a segunda permutación a1 resultado de Ia primera. Supongamos tres piezas de ajedrez dispuestas así: una torre en la casilla número 1. un caballo en la número 2 y un álfil en el escaque número 3. Entre los elementos del grupo de permutaciones de estos obietos tenemos
PERMUTACIONES DE S(3). Pueden sin excepción expresarse como producto de permutaciones particulares que sólo intercamtrian dos objetos. Cuando la permutación es descomponitrle en número par de tales trasposiciones,la permutación se llama par; en otro caso la permutación es impar. Cuando las permutaciones pares (círculos de color) se multiplican por permutaciones pares (flechas d'e color) los productos son permutaciones pares; si las permutaciones pares se multiplican por permutaciones impares (flechas negras) los productos son irnpares. Análogamente' cuando las permutaciones impares (círculos negros) se multiplican por permutaciones pares, los productos son impares, mientras que al multiplicarlas por permutaciones impares, los productos son pares. Las permutaciones pares forman un sub' grupo, a saber, el recuadro en color de la figura 5. Este subgrupo se llama grupo alternado, denotado A(3). Un subgrupo, como el A(3)' se denomina subgrupo normal de S(3) si para todo elemento h de A(3) y todo elemento g de S(3) el elemento g*á*g-1 pertenece también a A(3). Para demostrar que A(3) es un subgrupo normal de S(3)' srrpongamos que g sea permutación par. Entonces g*h*gt es producto de tres per' mutaciones pares, y por tanto, también permutación par, es decir, elemento de A(3). Si g es una permutación impar, g*h*g-r es producto de una permutación impar, por otra par, por otra impar, y resulta nuevamente permutaciónpar. Unrazonamiento parecido permite demostrar que para todo entero z, el subgrupoA(z) es normal en S(¿). El número de elementos de un subgrupo ha de dividir exactamente, sin resto, al número de elementos del grupo paterno. Como A(¿) tiene la mitad de elementos de S(z), ningún subg¡upo propio de S(z) puede contener más elementos queA(z); por ello,A(z) es el subgrupo normal maximal de S(z). Recordemos que los elementos del grupo son las funciones, no las piezas.
6.
GnaNoss MarBrrrÁrrcos
trasponerse las piezas de los cuadros cación torre-caballo-á1fi1. Por tanto, el elemento (12) del grupo de permutaciones es inverso de sí mismo.
Otro de los elementos del grupo, designado (123), traslada el objeto del cuadro 1 al cuadro 2, el objeto del cuadro 2 al cuadro 3 y eI emplazado en el
3 al cuadro número 1. Supongamos que la disposición inicial torre-caba-
llo-áIfil vuelva nuevamente a ser sometida a la acción de (12), dando la colocación caballo-torre-áIfil. Ahora aplicamos el elemento (123), gene-
rándose la disposición álfil-caballotorre. Esta colocación final podría haberse alcanzado en un solo paso a partir de la inicial, sin más que aplicar la permutación (13), que intercambia et objeto del cuadro 1 con el objeto del cuadro 3. Por tanto, el resultado de la permutación (12) seguida de la (123) genera la misma ordenación que (13). Simbólicamente, (12)* (1,23) = ( 13).
TI Jl
número de oermutaciones o reordenaciorr". d", objetos es "factorial de 2", denotado r¿! El factorial de un número ¿ es el producto de todos los números enteros desde t hasta z inclusive. Así, 5! es igual a 1x2x3x4 x 5 = 120. Por tanto, el número de elementos de S(n), grupo de permutaciones de z objetos, es zl El número de elementos de un grupo se llama I
"orden" del grupo. El grupo S(3) de permutaciones de 3 elementos contiene las seis permutaciones siguientes: (1), (12), (13), (23), (123), (L32). Aquí (1) denota la permutación identidad, que no efectúa modificación alguna en la colocación de los objetos.
Resulta que ciertos subconjuntos del conjunto de elementos de un grupo
pueden en ciertos casos satisfacer por sí solos todas las condiciones exigidas al grupo; en tal caso se dice que dichos subconjuntos son subgrupos del grupo. Cuando el subgrupo no contiene todos los elementos del grupo "paterno", se dice que el subgrupo es "propio". Por ejemplo, es fácil comprobar que t(1), (12)l es un grupo y, por tanto, subgrupo propio de S(3).
A cada subgrupo propio 11 de un grupo dado G se le puede asociar un n9
número, llamado índice o factor
de
Galois introduio tres nociones cru-
composición de -FI respecto de G, igual al orden del grupo paterno dividido por el orden del subgrupo, y comúnmente denotado lG I 111. Así, el factor de com-
ciales, cuyas relaciones mutuas le per-
posición del subgrupo [(1), (12)] con respecto al grupo S(3) es 6/2, o sea,3. De acuerdo con un teorema elemental que no se demostrara aqtí, el orden de cualquier subgrupo divide exactamente al orden del grupo paterno, por lo que el factor de composición es inva-
riablemente un número entero.
Para hacernos una idea de las propiedades del grupo de Galois, fijémonos en cualquier ecuación de tercer grado cuyos coeficientes sean números racionales. Es posible demostrar que tal ecuación tendrá tres raíces, pero esta demostración no revela si las raíces serán calculables mediante radicales. Designando a estas raíces por u, u y zo, podemos formar funciones polinómicas de ellas; por ejemplo:
mitieron demostrar que no existe un método general para resolver ecuacio-
nes de erado quinto o superior si se exige que todas las soluciones sean calculables por radicales. En primer lugar, Galois observó que a cada ecuación puede asociársele un grupo de permutaciones. Ta1 ¡yupo es una repi"esentación de las propiedades "de simetría" de la ecuación. que ho¡.' se denomina grupo de Galois de ia ecuación.
ECUACIONES DE TERCER GRADO:
u-u,ouu +w -
1.
Cualquiera de estas
funciones puede transformarse en
EXISTEN a. b, c Y d TALES OUE Et GRUPO DE GALOIS DE LA ECUACION
ax3+bx2+cx+d=0
¿r - br -
cx
EI
- d:0
ES S(3).
SUBGRUPO NORI\4AL I\4AXIMAL DE S{3) ES A(3), EL SUBGBUPO NORMAL MAXIMAL DE A(3) ES / is 3r Ai3r : 31,'3 : 6/3 = 2.
iA,3 / =31:3.
m I W s(3)
CON¡O 3 Y 2 SON NUI\4EBOS PRII\4OS, S(3) ES SOLUBLE, DADO OUE SU GRUPO DE GALOIS ES SOLUBLE, LA ECUACION
¿r - Dr -
cx
- d-
OTAMBIEN ES SOLUBLE.
ECUACIONES DE OUINTO GRAD( ): I
ax5+bx4+cx3+dx2+e) t *l
= 0
I
llr'
6 I dr2,4r-. .,-
l,ur'
A* @)
-4,,'r .a ).4,'l.r I
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f,,,Y'\-A l) -@, I .-l,uo
EX STEN e. b, c, d, e Y TTALES OUE EL CRUPO DE GALOIS DE LA ECUACION
¿'
al - r
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e¡-f,OESS{5).
EL SUBGBUPO NORMAL I\4AXII\4AL DE S{5) ES A{5), EL SUBGRUPO NORI\4AL MAXIMAL DE 4(5) ES i,
.S15
Ar5.
:
5ti15tr2¡ = 120/60 = 2. ,'2!,1 :60/'1 = 60. co[,,]o 60 No ES NUMERO pRtMO, S(5) NO ES SOLUBLE. DADO OUE SU GRUPO DE GALOIS NO ES SOLUBLE,
iA\5 l.: ,5
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Tpl,res
1
permu- representación de las propiedades de permu- simetría de las ecuaciones. tación (12) intercambia u y u, convir- Por lo general el cálculo del grupo tiendo Ia función u - u en la u - u. de Galois de una ecuación dada es diSemejantes permutaciones cambian fícil, aunque en principio siempre el valor de muchas de las funciones de cabe hacerlo sin conocer siquiera los las raíces, pero no el de todas ellas. valoresdelasraíces.Empero,paralos Por ejemplo, la función u + u + a, no cam- propósitos de Galois, tal cálculo no era bia de valor sea cual fuere la permu- necesario. Todo cuanto precisaba detación de u, u y w que se efectúe. como mostrar era que invariablemente exisel grupo S(3) contiene todas las posi- ten ecuaciones de grado ¿ cuyo grupo blespermutaciones deu,uyw,sedice de Galois es el máximo grupo posible
otra seme.iante, sin más que tar las raíces u, u y w. Así,la
qúeu+u+w
esinvariantefrenteaS(3). de permutaciones de las raíces,
a
saber, S(¿). La segunda de las nociones introducidas por Galois es la de subgrupo normal. se dice que un subgrupoÉlde un
T)uede demostrarse que el valor de .f u + u + ¿, es un número racional en toda ecuación de tercer grado de coeficientes racionales. Otras funcio- grupoGesnormalenGcuandoysolanes polinómicas de las raíces pueden mente cuando se verifica la siguiente tomar valores racionales en ciertas ecuaciones y valores irracionales en otras, según los coeficientes de la ecuación. Cuando el valor de tal función es racional, existe un grupo de permutaciones de u, u y ru que dejan invariable el valor de la función. El grupo de Galois de una ecuación es el máximo grupo de permutaciones que
condición: al "multiplicar" pot: la izquierda cualquier elemento á del subgrupo f/ por un elemento cualquiera g del grupo paterno Gy"multiplicar" después por la derecha el producto anterior por 8l_1 (elemento inverso de g), el resultado es todavía elemento del subgrupofl. simbólicamente, siIl es
normal en G, cualesquiera que sean
verifican el requisito anterior para áperteneciente aHy gperteneciente toda función polinómica de las raíces a G existe un elemento h' de H talqru]e cuyo valor seá racional. Dicho de otra h'= €* h*g-7.Por ejemplo, puede comforma, cada una de las permutaciones probarse que [(1), (723), (732)] es subdel grupo de Galois de una ecuación grupo normal de S(3).
una sucesión de subgruPos, cada uno
normal y maximal en el Precedente. Denotando esta sucesión G,
H,I, J,...
podemos definir una sucesión de fac-
tores de composición normales maximales : I G I H), lH I I, I l,I), etcéter a. I
La tercera noción fundamental ideada por Galois fue la noción de grupo soluble. Galois llama soluble a un grupo cuando cada factor de composición normal maximal generado por el grupo es número primo. El subgrupo normal maximal de S(3), por ejemplo, es l( 1), (123), (132)1. A su vez, e1 subgrupo normal maximal de [(1), ( 123 ). ( 132 ) | es I( 1)1. El factor de com-
posición definido por S(3) y eI subgrupo l(1), ¡23),,132)) es 6/3, es decir, 2. y el factor de composición correspondiente al grupo l(1), (123), t132)l y su subgrupo [(1)l es 3/1, o sea,3. Como 2 y 3 son ambos números primos, el grupo St3) es soluble.
f,!I- ¡ termino "grupo soluble" queda | bien .iustificado por la teoría de
Galois, quien pudo demostrar que una ecuación es soluble por radicales si y solamente si el grupo de Galois de 1a
ecuación es grupo soluble. Para demostrar que las ecuaciones de grados quinto o superior no pueden resolverse por radicales en el caso general,
fun- cuando un grupo finito G tiene Galois tuvo que demostrar que hay tome algún subgrupo normal propio, tiene ecuaciones de estos grados para los valor racional. cuando una permuta- también alguno cuyo orden séa máxi- cuales el grupo correspondiente no es ción de las raíces deja inalterable el mo entre los subgrupos normales que soluble. Resulta que el grupo S(n) no valor de todas las funciones polinó- contiene; son los llamados subgrupos es soluble cuando rz es igual o mayor micas de valor racional construidas a normales maximales de G. Análo- que 5 [uéorzse las fígttras 6y 7J. Puesto partir de las raíces, la permutación es gamente, un subgrupo normal maxi- que para todos estos valores de ¿ exis,,distinguir" las raíces. Por malllpuede a su vez contener un sub- ten ecuaciones cuJlo grupo de Galois írrlcapaz de consiguiente, cuanto mayor sea el grupo normal maximal I (que qtizá es S(/?1.la ecuación general de grado número de elementos del grupo de Ga- sea sólo normal con respecto a H); la quinto o superior no podrá resolverse lois, tantas más permutaciones habrá sucesión de subgrupos normales ma- por radicales. deja invariable el valor de toda
ción polinómica de las raíces que
incapacesdedistinguirunasraícesde ximales continuará de esta forma
otras. Por este motivo, el grupo de Ga- hasta llegar al mínimo subg:rupo norlois es un poderoso instrumento de mal posible. Todo grupo genera así
7.
t
A RESOLUCION DE ECUACIONES fue el problema para el que Galois desarro-
lló la teoría de grupos. Los métodos generales de resolución de ecuaciones consi' derados aceptatrles deberían trasarse únicamente en las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y extracción de raíces, y tendrían que ser aplicables a cualquier ecuación de grado z, siendo ,, la máxima potencia a que viene elevada la incógrrita. Galois demostró que no existe ningún método así a partir del caso r¿ = 5. Cada ecuación de grado ntiene asociado el grupo S(z) o algún subgru-
po de S(z); hoy, al grupo asociado a una ecuación se le llama grupo de Ga-lois de la ecuación. Galois demostró que solamente serán resolubles por medios aritméticos y extracción de raíces aquellas ecuaciones cuyo grupo de Galois sea soluble, noción definida por é1. Un grupo se llama soluble cuando genera una serie de subgrupos normales maxirnales cuyos factores de composición (que se determinan a partir de los números de elementos del grupo paterno y de los subgfupos) sean todos ellos primos. Los factores de composición generados por S(3) y su serie de subglupos normales son todos números primos; por ello todas las ecuaciones de tercer grado son resolubles. Sin embargo, cuando n es mayor o igual que 5, puede demostrarse
que el subgtupo normal maximal de A(n) es el grupo identidad, que contiene úni' camente la permutación identidad. Como A(z) es el sutrgrupo normal maximal de S(¿) los factores de composición de S(z) no son todos primos cuando z es mayor o igual que 5. Hay pues ecuaciones de grado 5 o superior no resolubles por los métodos permisibles. Ditrujo de llil Arbel. GBeNoes
Mar¡vÁrtcos
Por la época en que Galois había terminado casi su trabaio en teoría de grupos, los acontecimientos de su vida habían cobrado fuerte tinte político. En julio de 1830 la oposición republicana a Ia restaurada monarquía borbónica tomó las calles y obligó a exiliarse al rey Carlos X. Mientras los estudiantes izquierdistas de Ia École Polytechnique tuvieron en Ia lucha un papel activo. Galois y sus companeros de la Ecole Préparatoire fueron ence-
rrados en la escuela por su director. Indignado, Galois intentó sin éxito escalar los muros; al no conseguirio, no tomó parte en la breve revolución. Aunque los republicanos consideraron una gran victoria Ia abdicación del Borbón, su triunfo fue efímero. Para
frustración de Galois y de otros liberales de ideología afín, el trono fue nuevamente ocupado, esta vez por Luis Felipe de Orleans. En losmeses inme91
diatos a la revolución. Galois entró en
contacto con líderes republicanos (particularmente con Frangois Vincent Raspail), ingresó en sociedades republicanas y, verosímilmente, intervino en las algaradas y manifestaciones que por entonces atormentaban París. En diciembre, la ruptura con la Ecole Préparatoire era ya oficial. Galois había escrito una carta a su director, donde le llamaba traidor por su actitud durante la revolución dejulio. No sorprende, pues, que le expulsaran. La impresión que Galois nos produce en los sucesos de este período no es Ia de una víctima de ias circunstancias, como gustan perfilarlo las 1e-vendas. Más bien nos parece un exaltado cuya fogosidad y extremismo le crea-
lado durante más de un mes en Ia prisión de Sainte-Pélagie.
[I |
juicio subsiguiente, la delensa de Galois sostuvo que el brind is
n el
'
había sido: "¡Por Luis Felipe, si tra.iciona!" pero que la frase "si traiciona" había quedado ahogada por el clamor de los comensales. No se sabe si los jurados se creyeron este alegato o si se conmovieron por la juventud de Galois, quien contaba entonces 19 años; lo cierto es que le absolvier.on en pocos minutos. Sin embargo, en el Día de Ia Basti11a, el 14 de julio de 1831. menos de un mes después de su absolución. Galois fue nuer-amente detenido. esta vez por vestir ilegaLmente el uniforme
de 1a Guarclia de Artillería. Considerado amenaza para el trono, este
ban continuos problemas. Una carta de la matemática Sophie Germain
cuerpo había sido disueito;
deja entender que Galois asistía regu-
Galois fue, por consiguiente. un acto
larmente a las sesiones de 1a Academia de Ciencias, insultando habitualmente a los oradores. Tras su expulsión de la École Préparatoire se mudó al piso de su madre, en París: tan
difícil resultaba convivir con
é1. que
su propia madre le abandonó.
El
suceso culminante de la turbulenta primavera de 1831 ocurrió el 9 de mayo, durante un banquete r.epublicano donde se celebraba Ia absolución de 19 oficiales de artillería que habían sido acusados de conspirar contra el gobierno. Según las memorias de Alejandro Dumas r padre ), GaIois se puso en pie para proponer un brindis: ";Por Luis Fe1ipel", dijo, alzando al mismo tiempo su copa ¡'un puñal.
A causa de esta acción desafiante fue detenido al día siguiente )¡ encarce-
e1
gesto de
de desafío. E-
La permanencia en prisión tuvo sobre Galois efectos der.astadores, quien pasaba del más profundo desaliento a la ira ciega. Raspail, que estaba cum-
pliendo sentencia al mismo tiempo, recordó más talde que en cierta oca-
sión, estando Galois bebido, había pretendido suicidarse. Posteriormente. según Raspail, Galois le con-
fió una deprimente visión del fin de sus días: "Moriré en duelo a causa de alguna coquetuela de baja estofa
(quelque coquette de bas étage.r. ¿Por qué? Porque el1a me pedirá vengar su honor, que algún otro habrá puesto en entredicho." Con ocasión de la muerte, de un tiro, de un compañero de prisión, parece que Galois acusó al super-
intendente de la cárcel de haber amañado el incidente. Galois fue entonces encerrado en celda de castigo, quizás a consecuencia de la acusación. Pese a todas estas calamidades, quizás el peor golpe para Galois fuera ver
sutrabajo de 1831 rechazado porlaAcademia. En el acerado prefacio de sus memorias, que escribió estando en prisión, declaraba: "Anadie digo que cuanto en mi trabajo pueda haber de valioso se debe a su estímulo y consejo. Nada de esto digo, porque sería mentira." Los imaginativos han encontrado siempre particularmente fascinante el final de la üda de Galois. Pero 1os biógrafos se han resistido a aceptar sin más sus propias palabras. a saber, que el duelo era consecuencia de una desavenencia personal. y se han dedicado a buscar 1a explicación en prostitutas, agentes provocadores ¡' rivales politicos. No existen pruebas que respalden estas conjeturas. A mediados de marzo de 1832 se le trasladó de Sainte-Pélagie a la casa de salud Sieur Faultrier, a causa de la epidemia de cólera que sufrió París. A.1 parecer fue allí donde conoció a la "infame coqueta". La relación que
ambos sostuvieron tuvo que ser de
poca duración, y es absurdo sugerir que la muchacha fuese una prostituta o una conspiradora, cómplice en el asesinato de Galois. EI epíteto "infame coqueta" ha sido asociado con ias palabras "quelque coquette de bas étage", para prestar apoyo a la teoría de la prostituta. Sin embargo, de acuerdo con ei relato de Raspail, esta última frase fue pronunciada por Galois un
año antes del duelo; puede incluso
,\i
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L
l¿ ,*,ú-
LA "INFAME COQUETA'a quien Galois culpa de sus desgracias en una carta escrita la noche anterior al duelo era seguramente la misrna mujer cuyo nombre aparece con frecuencia en los márgenes de los papeles de Galois. En el manuscrito reproducido arriba, por cortesía de la Bibliothéque de I'Institut de France, puede leerse el nombre ,.Stéphanie', por debajo del nombre 8.
92
rd
4
ar á, á) ,,
&
á%
? ft 'Evariste"; Galois comtrinó también las iniciales,,S,' y,T,' formando con ellas un anagyama. Por ciertas cartas y otros manuscritos resulta claro que el áspero epíteto de Galois fire provocado porun desdichado lance amoroso conurla mujer que conoció uno o dos meses antes del duelo, y que ha sido identificada como Stéphanie-Félicie Poterin du Motel, hija de un médico de parís. T¡nes
I
haber sido invención del propio Raspail. Además, el 25 de mayo, seis días antes de su muerte, Galois menciona en una carta a su amigo Auguste Chevalier el triste fin de un episodio amoroso: "¿Cómo puedo consolarme, cuan-
do, en un mes, he agotado la más rica fuente de felicidad que pueda tener el hombre, cuando Ia he agotado sin feli-
cidad, sin esperanza, cuando estoy cierto de haberla secado de por vida?" ¿,Quién era la mujer? Dos cartas fragmentarias le fueron escritas a Ga-
lois en las semanas anteriores al duelo, cartas que hacen pensar en una disputa de carácter personal en la que tomó mayor parte de lo que reconoce. La primera carta comienza'. "Por fa-
vor, Tompamos nuestras relaciones. No tengo ánimo para proseguir una correspondencia de esta nattttaleza, aunque me esforzaré en reunir el suficiente para conversar contigo como lo hacía antes de que nada sucediera..." La segunda carta es de contenido semejante, y la primera de ellas lleva la firma "Stéphanie D.". En los manuscritos de Galois, Carlos Alberto Infantozzi, de la Universidad de la República de IJruguay, ha conseguido leer un nombre que Galois había borrado: Stéphanie Dumotel. Un trabajo detec-
tivesco más amplio realizado por I¡fantozzi ha mostrado que ella era Stéphanie-Félicie Poterin du Motel, hija de un médico residente en Sieur Faultrier. Stéphanie se casaría con un profesor de lengua. Tampoco es verosímil que el hombre que mató a Galois fuese un agente
pagado por algrrna conjura antirrepublicana, a pesar de que el hermano de Galois, Alfred, afirmase que Eva-
riste fue asesinado. Según Dumas, el adversario de Galois era Pescheux d'Herbinville, no enemigo político de Galois, sino, como éI, ardiente republicano. Más aún, d'Herbinville era uno de los 19 oficiales de la Guardia de
Artillería cuya absolución fue
oca-
sión del desafiante brindis que Galois ofreció al rey. Además, cuando tras la revolución de 1848 quedaron al des-
cubierto los agentes de la corona, d'Herbinville no se encontraba entre
ellos. Un resumen de un artículo que me ha enviado Taton indica que el duelo fue entre amigos y que se desarrolló como una especie de ruleta rusa, estando cargada solamente una de las
pistolas. Los escritos matemáticos de Galois en la noche anterior aI duelo se redujeron en realidad a corregir Ia redacción de dos manuscritos y a resumir los contenidos de éstos y de otro artículo
en una larga misiva dirigida a CheGnaNo¡s MArEuÁrrcos
valier. Ei primer trabajo era el rechazado por Poisson; el segundo, una ver-
sión fragmentaria de un artículo ya publicado en el Bulletin de Férussac. El tercero no ha sido hallado, y su contenido se conoce únicamente por el resumen dado en la carta; al parecer trataba de las integrales de 1as funciones algebraicas generales. ¿Qué hay de las famosas palabras "No tengo tiempo" que, según se dice, Galois escribió repetidamente, desesperado al verse incapaz de concluir su obra? La frase aparece, en efecto, pero sólo una vez, en una nota marginal de la primera memoria. A ella se añade el
comentario: "Nota
de1
autor."
No considero que Ios hechos relativos a la vida de Galois, en Ia forma en que
LA CIE}lCIA El\l IIYIAO
E
ltl ES
IENCIA
yo los he presentado aquí, rebajen en
mínimo su talia como matemático. Muchos fragmentos de ma-
1o más
nuscritos muestran que prosiguió con sus investigaciones matemáticas no sólo durante su encarcelamiento. sino hasta Ia hora de su muerte. Que fuera capaz de trabajar con provecho en me-
dio de semejante agitación 1' turbulencia es testimonio de Ia fertilidad extraordinaria de su imaginación. Prescindiendo por completo de las circunstancias en que
se
desarrolló su
trabajo, no cabe duda de que Galois hizo nacer una de las ideas más originales de la historia de las matemáticas.
[1mpero. ningun selvicio le plesta J.-l a su repulación. ni a la historia de la ciencia, una leyenda que se em-
peña en sostener que el genio científico ha de encontrarse por encima de todos los reproches que pueda merecer su vida personal, o que cualquiera de sus contemporáneos que no sepa reconocel su talento ha de ser un necio, un asesino o una prostituta. La idea
de que el genio resulta intolerable a los mediocres está demasiado manida, es un lugar común demasiado triliado como para aceptarlo como verdad histórica a pies juntillas. Desde semejante punto de vista sería necesario reconocer a un genio como tal cuando, puesto en pie, blande un cuchillo en un banquete.
ha publicado sobre el tema, entre otros, los siguientes artículos:
Reoresentación visual de'biomoléculas, de Arthur J. Olson y David S. Goodsell Enero 1993
Técnica y arte c¡nét¡co, de GeorÉe Rickey
Abril 1993 El poder de los mapas, de Denis Wood Julio 1993
Un universo de color, de David F. Malin
Octubre 1993 ¿Ver es creer?, de William J. Mitchell
Abril1994
Visiones astronóm¡cas de Chesley Bonestell, de Ron Miller Julio 1994
Microscopía confocal, de jeff W. Lichtman
Octubre 1994 Las metáforas de Escher, de Doris Schattschneider
Enero 1 995 E I li: .i{
}aii{ ¿FiA
crJ\tIji_El
iE
Nl'Alti,-\
EvARrsrE Gelcxs- René Taton en Diúionar .t' ol Scientifit' Biogropl». dirigido por Charles Coulston Gillispie. Ch¿rrles Scribncr's Sons. 1972. G¡Ntus -rxo BloGn,rpu¡Bs: Tu¡ FtctrtoN,r]-IZATIO){ OF EVARISTE G,TTOTS. Ton1, Rothman en The Antericuu Matltenutitul Mt¡nthly, r,ol. 89. n." 2. párgs. 84-106; f'e-
La Tierra vista desde el cielo, de D. L. Evans, E. R. Stofan,
T. D. lones y L. M. Codwin Febrero 1995
a Prensa Científi ca,
sA,
brero. 1982.
93
Georg Cantor Joseph
W. Dauben ¿Cwáw grande €s un cr:wjuwto
infinito?
C{}r'ztor hizo ver que lza1, wna jerarqwía de infinítos,
ccttlo Ltno "m{tyor" qlte su precedente. Sw teori{¿ es uwt de las
a
naturaleza del infinito ha sido siempre objel o de cont rover>ia. Las famosas paradojas de Ze-
nón de E1ea, quien explicó con inquie-
tante lucidez que el mor.imiento
es
imposible, porque exige que el móvil pase por una infinidad de puntos en un tiempo finito, suscitaron ya el problema en la antigüedad. El éxito de 1a
física newtoniana es en gran parte consecuencia de haber introducido Newton el cálcuio de tasas de variación de 1o infinitamente pequeño, y ello a pesar de que durante más de 200 años no pudo ofrecerse una formulación matemáticamente rigurosa eficacia es tan grande cuan delicado su manejo. En tiempos modernos han aparecido nuetros problemas asociados con el infinito en la teoría de conjuntos abstractos, teode esta idea, cu¡ra
piedras angulares de la matewzática
en 1a vida ¡- obra dei matemático Georg Cantor. La obra a Ia que Cantor dedicó -.u vida es, en substancia. bier-r conocida. Al desarrollar 1a que él mi-smo bautizó "aritmética de 1os númelos transfinitos", dotó de contenido matemático al concepto de infinito actual. Y al hacerlo así puso los cimientos de la teoría de conjuntos abstlactos. contribuyendo además. de forma importante, a fundamentar el cálculo diferencial y e1 continuo de los nirmeros reales. El más notable logro de Cantor' consistió en demosl rar. con lignr
matemático, que la de infinito no ei'a una noción indiferenciada. No todos Ios conjuntos infinitos son de igual tamaño; por consiguiente, es posible establecer comparaciones entre e11os. trl conjunto de todos los puntos de una
1972, se lo otorgó la Universidad de Harvard. En 1973 y 1974 permaneció American Academy de Roma, donde estudió matemática, perspectir.a y arte del Renacimiento itaiiano. En 1977 y 1978 estaba en el Instituto de Estudios Ar.anzados. En 1980 fue profesor visitante del Oberlin Co11ege. En 1981 lo fue en Harvard. en
94
1a
de 1a persecución de sus contemporáneos. que, no obstante padecer colapsos nerviosos cada vez más frecuen-
tes. se esforzaba en defender su compleja teoría.
[la1e" re]alos deforman la verdad. I pues tlivializan'las autenticas y de la oposición todo la más meditada- con -sobre que sus contemporáneos recibieron la teoría. Son igual-
todos
llege en 1966. Su doctorado, recibido en
sentarle como víctima desventurada
números lraccional ios son. ambos, conjuntos infinitos. Demostró que, en un sentido bien definido, el pri-
cimentación a prácticamente 1a totalidad de las matemáticas contemporáneas. Además.la idea de infinito ha estado siempre, a través de la historia, cargada de tintes y matices teológicos, que han pesado en 1a acepta-
York. Se licenció por el Claremont Co-
logos de la Halle Nervenklinik (hospital para enfermedades mentales de 1a ciudad de Hai1e, en Alemania), que Cantor era víctima de psicosis maníaco-depresiva. Empero, nada más fácil para sus primeros biógrafos que pre-
plofundas preocupaciones de carácter intelectual que motivaron parte
recta, por ejemplo, y el conjunto
JOSEPI{ \\-" I]AUllEN es profesor de historia y de historia de la ciencia en el Herbert H. Lehman College de 1a Universidad de la ciudad de Nueva
de Ia matemática, sugiere, fundándose en una evaluación del historiai clínico de Cantor realizada por psicó-
de
ría que proporciona fundamento y
ción o en el rechazo de este concepto y de las doctrinas matemáticas o filosóficas con él asociadas. Todas estas corrientes de pensamiento convergen
llevado a cabo por Ivor Grattan-Guinness, especiaiista inglés en historia
'los
mero de tales conjuntos es de tamaño mayor que el segundo. Resultaron tan chocantes a 1a intuición de sus contemporáneos las ideas de Cantor, que
el eminente matemático francés Henri Poincaré condenó 1a teoría de números transfinitos como una "enfermedad", de la que algún día llegarían las matemáticas a curarse. Leopoid Kronecker, que fue uno de los maestros de Cantor, y miembro pree-
minente de la matemática institucional alemana, ilegó incluso a atacarle directa y personalmente, calificándolo de "charlatán científico". "renegado" y "corruptor de 1a juventud". Es también sabido que Cantor padeció toda su vida de una serie de "colapsos nerviosos", que conforme envejecía iban haciéndose más frecuentes y agotadores. Estos colapsos nerviosos eran, seguramente, sínto-
ma de una enfermedad mental
de
carácter orgánico. Un estudio reciente
mente insuficientes
a 1a
justrcia al alcance
1-
hora de hacer
potencia de ios a]'gumentos que Cantor esgrimió en defensa de sus ideas. Al principio, él
mismo se resistió a aceptar 1a existencia de números transfinitos. conr.encido como estaba de que era imposible formular coherentemente Ia noción de infinito actual. sin cabida por tanto en matemática rigurosa. No obstante, según refiere. pronto superó su "prejuicio" al respecto de los núme-
ros transfinitos, por encontrarlos indispensabies para e1 desarrollo ulterior de sus ideas matemáticas. Justamente a causa de sus dudas iniciales pudo Cantor prever la oposición que iba a encontrar en diversos campos, que intentó vencer aplicando no só1o
razonamientos matemáticos sino
también filosóficos y teológicos.
Cuando fue convocado para responder a sus críticos, congregó sus ideas con fuerza considerable. Su enferTel,r.qs
1
medad mental, Iejos de desempeñar un papel enteramente negativo, pudo muy bien haber proporcionado, durante sus fases maníacas, la energÍa y Ia tenacidad obsesiva con que promovió su teoría.
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor nació el 3 de rr,arzo de 1845 en San Petersburgo. Su madre, Maria Anna Bóhm, procedía de una familia
que contaba entre sus miembros
vatorio y fundador de una escuela de violinistas donde se formaron muchos virtuosos de Ia época. El padre de Georg, Georg Woldemar Cantor, era un próspero comerciante y luterano devoto, que comunicó a su hijo profundas convicciones religiosas. Según el muy leído libro de Eric Temple Bell, Men of Mathematlcs ("Los grandes matemáticos"), cuya primera edición data de 1937, la inseguridad que
varios músicos de talento; entre todos
el más notable fue su tío Joseph
más tardíamente experimentaría Cantor hijo emanaba de un conflicto
Bóhm, director en Viena de un conser-
freudiano con su padre; pero las car-
RETRATO DE CANTORysuesposa, tomadohacia 1880, cuando cenit de su carrera. Había comenzado ya a crear malestar entre las instituciones matemáticas alemanas con una demostración de que el corfunto infinito de los números reales, representado por el continuo de los puntos de una recta, es mayor que el conjunto infinito de todas las fracciones. Cantor demos1.
se hallaba en el
GnaNo¡,s
M¡.reuÁlcos
tas que han llegado hasta nosotros, así como otras pruebas sobre Ia reiación entre padre e hijo, más bien indican 1o contrario. E1 padre parece
haber sido un hombre de sentimientos, que prestó atención a sus hijos y que se tomó un interés especial, pero no coercitivo, por Ia educación y bienestar del mayor. Siendo todavía niño, la familia se mudó de Rusia a Alemania, y fue en este país donde Cantor comenzó a estudiar matemáticas. En 1868 recibió el títu1o de doctor por 1a Universi-
tró tamt¡ién ser posible definir cantidades infinitas, llamadas números transfinitos, que describieran tales diferencias. Algunos años después de hacerse esta fotografía, sufrió un grave ata-
que de psicosis maníaco-depresiva que terminaría por dar al traste con su trabajo de creación matemática. La fotogtafía original pertenece a la colección particular de Egtrert Schneider. 95
dad de Berlín, con una tesis sobre teo-
ría de números; dos años más tarde, aceptaba un puesto de Privatd.ozent en la Universidad de Halle, institución respetada, si bien no de tan gran prestigio en matemáticas como las universidades de Gtittingen o Berlín. Uno de sus colegas en Halle, Heinrich Eduard Heine, estaba ala sazóntrabajando en la teoría de series trigonométricas; Heine animó a Cantor a atacar el difícil problema de la unici-
matemático francés Jean Baptiste Joseph Fourier. En 1822 Fourier había mostrado que la gráfica de cuaiquier curva "razonablemente lisa" (es decir, una curva que presentase tan sólo un número finito de puntos de discontinuidad) podía representarse en todo un intervalo como suma de
una serie trigonométrica infinita. Dicho de otro modo, superponiendo unas sobre otras un número infinito de ondas sinusoidales y cosinu-
dad de tales series. En1872, contando
soidales, en todos 1os puntos del in-
Cantor 27 aios, publicó un artículo donde presentaba una solución muy general a tal problema, juntamente
tervalo, exceptuados 1os correspon-
con el germen de lo que llegaría a con-
vertirse en Ia teoría de conjuntos transfinitos. El problema que Heine sugirió a
Cantor arrancaba del trabajo del
por doquier". EI resultado de Fourier es de importancia matemática capital, porque sugiere que ciertas funciones complicadas podrían representarse o descomponerse en sumas de senos y cosenos, matemáticamente mucho más fáciles de manipular que ellas. A fin de justificar tal sustitución, hacía
falta, sin embargo, alguna garantía de que hubiera sólo una de tales series trigonométricas que convergiera hacia la función. Cantor comenzó a investigar condiciones bajo las cuales una
serie trigonométrica convergente
dientes a discontinuidades, podía
hacia una lunción es única.
aproximarse 1a curva con 1a precisión que se quisiera (uéctse la figura 2 t. Se dice que entonces la serie con\erge
[ln1870 logró su primer resultado: Ll si una función es conl,inua en
hacia la cun,a
----o
hacia la función que
la define- en casi todos 1os puntos. o también, que ha¡- convergencia "casi
todos los puntos de un intervalo, su representación trigonométrica está
unÍvocamente determinada. Su paso siguiente consistió en relajar la exigencia de que la función fuese continua sobre la totalidad del intervalo. Supongamos, por ejemplo, que la función que debamos aproximar en serie sea como sigue: la gráfica de la función es una recta paralela al eje r ----eI eje horizontal- de la representación gráfrca, a excepción del punto del eje * correspondiente a 1/2. Para el punto 2. UNA GRAFICA CONTINUAY LISA, cuya altura en cada punto depende del valor del punto correspondiente del eje r,
puede ser aproximada con la precisión que se desee mediante una serie trigonométrica, esto es, mediante una suma de senos y cosenos. Así, por ejemplo, una línea recta y horizontal trazada a la altura de una unidad por encima del eje r (línea de coZor) puede ser aproximada superponiendo unas sobre otras ondas sinusoidales (euraas grises); hemos representado en la ilustración las dos primeras etapas de la aproxim aci6n (curaas negras de las figuras superior y central\. La serie trigonométrica que converge hacia la gráfrea es única. Empero, aunque la gráfrca no sea continua, con ftecuencia es posible aproximarla median-
te una única serie trigonométrica. Por ejemplo, si la altura de la gráfrca es en todo punto igual a una unidad, exceptuado el punto donde.r es igual a t/2,|a serie trigonométrica que convergla ha' cia la línea continua converge también hacia esta otra fragmentada, excepto en el punto ll2 (punto de color, abajo). Cantor demostró que una gráfica puede ser
aproximada por una única serie trigonométrica incluso si el número de puntos donde la gráfica no es continua es un
número infinito, con tal de que los puntos de discontinuidad se encuentren distribuidos sobre el eje r de cierto modo es-
pecífico. Ello le condujo a analizar las propiedades estructurales de los conjuntos infinitos atrstractos y los infinitos modos en que los elementos de los con-
juntos infinitos pueden ser ordenados unos con relación a otros. 96
Tutrl,rs
1
de abscisa 1/2. ia función toma el valor 0, en lugar del valor 1 que le corresponde en todo el resto del eje. Cantor
pudo demostrar que, sacrificando el requisito de convergencia en el punto donde r es igual a 1/2, sigue existiendo una única serie trigonométrica que converja a Ia función en todos Ios restantes puntos. No existe ninguna otra serie trigonométrica de forma similar que también sea aproximación de la función.
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Fue entonces cosa sencilla para Cantor generalizar su resultado anterior para dar cabida a todas las funciones que presenten un número finito de puntos de discontinuidad, puntos
que Cantor llamaba "puntos excepcionales".
TI n 1872. buscando Cantol un enunF' .irdo más genelal pala iu teorema de unicidad, pubiicó un notable descubrimiento: que en tanto los puntos excepcionales se encuentren distribuidos sobre el eje -r en fbrma cui-
dadosamente especificada podría haber incluso un númelo infinito de ellos. El paso más impoltante de la demostración residía en la descripción
precisa del conjunto infinito de puntos excepcionales. ¡- Cantor comprendió que para ta1 propósito necesitaba proporcionai' un método satisfactorio de anaiizar el continuo de puntos situado sobre ei eje .r'. De esta forma, el estudio que Cantor había efectuado
para las sei'ies ti'igonométricas provocó en su pensamiento una notable transición: prestal ma]'or atención a las relaciones entre los puntos del continuo que a los teoremas sobre series
trigonométricas. Cantor consideraba axiomático que a cada punto de una recta continua le
correspondía un número, llamado "real" para distinguirlo de los números "imaginarios", que eran los múitiplos de ri-1. Recíprocamente, a cada nírmero real le correspondía un punto, y exactamente un punto, de una recta
continua. Por consiguiente. blema de describir
e1
e1 pro-
continuo de pun-
tos de una recta era equivalente al problema de definir e investigar las propiedades del sistema de números reales. Uno de los principales logros del artículo de 1872 fue Ia exposición rigurosa de tales propiedades. Las teorías de números reales encuentran sus máximas dificultades en
números que. como
r ¡ r 2. no son
racionales. (Números racionales son Ios expresables por cociente de dos números enteros. Desde la antigüedad es conocido que ,7. ,5 5." ollas muchas raíces son irracionales.) Puesto Gn,r¡r ors
Nf
.,rrrrr.rrrcos
3. PARA COMPARAR LOS TAMANOS de dos
conjuntos infinitos se van emparejan-
do los elementos del primer conjunto con los del segrrndo. Por ejemplo, para determinar si enun cubo hay más o menos bolas rojas que bolas negras, podemos irlas sacando por pares de una roja y una negra. Cuando ya no puedan formarse nuevas parejas, las bolas restantes en el cubo, si las hubiere, ser"virían de base de comparación, Cantor se valió de este principio elemental para comparár tamaños de conjuntos infinitos.
que nadie ponía en tela de juicio 1a legitimidad de los numelo5 r'aciona1es, Cantor enfocó e1 problema de los números reales desde un ángulo que ya había sugerido Karl Weierstrass, uno de sus profesores de la Universidad de Berlín. Cantor propuso que todo número irracional podía representarse por una sucesión infinita de números racionales. Así, eI número \i2, por ejemplo. puede representarse por una sucesión infinita de números racionales: 1,1,4,7.41..., y así sucesivamente. De esta forma, todos los números irracionales pueden ser ima-
ginados como puntos geométricos situados sobre una "recta numérica", al igual que había podido hacerse con 'los numeros racionalet. No obstante sus ventajas, algunos
matemáticos encontraron difícil admitir el método de Cantor, pues presuponia'la existencia de sucesiones o conjuntos formados por infinitos elementos. Fi1ósofos y matemáticos habían venido rechazando desde 1os tiempos de Aristóteles la noción de infinitud compieta, a causa, sobre
todo, de las paradojas que parecía plantear. Galileo, por ejemplo, había ya hecho notar que, si en matemáticas fueran admisibles conjuntos infinitos completos, habría tantos núme-
ros enteros pares cuantos pares
e
impares reunidos. Cada número entero par puede ser emparejado biunívocamente con eI número entero de va-
lor mitad, quedando así definida una correspondencia biunívoca entre los elementos de uno y otro conjuntos. Otras de las voces que manifestaban tradicionalmente oposición a Ia idea de infinidad completa eran las alzadas porteóIogos como santo Tomás deAquino, por considerar que tal noción comportaba un desafío directo a la naturalezaítnica, infinita y absoluta de Dios.
Para evitar semejantes tropiezos, los matemáticos habían venido trazando una distinción taxativa entre lo
infinito
en tanto que cantidad com-
pleta, el infinito actual, y lo infinito en potencia, como podría quedar representado por una suma indefinida que se llama serie-lo hacia un cierto límite. que convergiera
e ilimitada
91
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4. PoDEMos EMPAREJAR, uno por uno, los números enteros con los números pares, sin que ninguno de ambos conjuntos llegrre a agotarse. Por consig'uiente, aunque pueda parecer que hay más números enteros que números pares, ambos conjuntos tienen en realidad el mismo número de elementos. Muchos otros conjuntos, como el de los cuadrados per{ectos multiplicados por mil millones, pueden también ser biunívocamente comparados con los números enteros. Tales coniuntos se llaman,,numerables".
Tan
estaban los matemáticos dispuestos a tolerar infinitos potenciales. En 1831, Carl Friedrich Gauss había só1o
ya expresado su oposición a que se
uti-
Iizasen infinitos completos. manifestándose en términos que Cantor calificó de "autoritarios". En una carta a Heinrich Schumacher. Gauss escribía: "Pero con respecto a su demostración, yo protesto sobre todo del uso que se hace de una cantidad infinita como cantidad cotnpletct. 1o que en matemáticas jamás está permitido.
luego Cantor confería mayor precisión: "La recta es infinitamente más rica en puntos individuales que lo es el dominio... de los números racionales
hablarse de límites." Hablando de límites era posible eludir las paradojas que comportaban los infinitos actuales. Por ejemplo, aña-
tiva considerando la distribución de los puntos que en un segmento rectilíneo corresponden a números racionales, o brevemente, los puntos racionales. Por muy pequeño que sea tal segmento, hay en él infinitos puntos
en la que propiamente debería
diendo nuevas cifras al desarrollo decimal de n se puede aproximar el verdadero valor de n con precisión creciente. Gauss insistía, sin embargo, en que jamás deberían suponerse dados todos los términos del desarrollo decimal, con 1o que el valor de 7r quedaría
racionales. Así pues, el quid de la observación de Dedekind se encontraba en que a pesar de que los números racionales forman un conjunto denso en todo segmento rectilíneo, queda en éste suficiente sitio para alode
jar todavía un número infinito
números irracionales. Los puntos irracionales como ./7 caen entre los puntos racionales, y por ello el conjunto de números racionales, aunque denso, se encuentra acribillado de
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poros, y no es continuo. Si bien Ia observación de Dedekind es coherente con una correcta comprensión del continuo, esconde una
grave flaqueza. De haberle alguien preguntado a Dedekind cuánto más
rico en puntos era eI continuo que el respuesta. La fundamental aportación de Cantor a este problema fue 5. CONJUNTO INFIMTO de los números racionales: es decir, de los números expresables como cociente de dos números
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zc./'
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1/^ /t)
conjunto infinito de los números racionales, Dedekind hubiera quedado sin
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6,' 212
211
6lj
detallada y rigurosamente. En 1872, el mismo año en que fue publicado el artículo de Cantor, publicaba también el matemático alemán Richard Dedekind un análisis del continuo basado en conjuntos infinitos. En su artículo, Dedekind exponía una idea a la que
en números individuales." Podemos dar a tal propiedad algo de perspec-
de
'.v
111
\To fue Cantor el único en estudiar 1\ las propiedades del conrinuo
parler,
El infinito es sólo vnafaqon
i
lr
exactamente determinado. Hacerlo así equivaldría a tomar y comprender en su totalidad un conjunto infinito de números, operación que Gauss rechazaba.
enteros. Puede parecer mucho mayor que el conjunto de los números enteros. Por ejemplo, entre dos enteros consecutivos, así 0 y 1, hay una infinidad de números racionales. No obstante, Cantor mostró en el año 1874 d.e qué forma podían los números racionales ser emparejados biunivocamente con los números enteros. Cada número racional se halla encuadrado en la formación de la figura; a cada número racional puede entonces asociársele un número entero conforme se va recorriendo la trayec-
toria señalada con flechas de color. Así pues, el conjunto de los números racionales es numerable. 9E
T¡ves
1
publicada en 1874, en el Journal fiir die reine und angeuartdte Mathematik de August Leopold Crelle, más conocido por eI Journal de Crelle, segura-
.sur o
2
mente la publicación matemática de carácter periódico de mayor prestigio en aquella época.
1
que el conjunto de los números ene1 conjunto de Ios números rea1es 1o sería también.
2
teros,
.4 7m1 2 .6 o rgl s .6 e 8 el*a
3 4 s
Tll n efecto: Cantol tomo prestada la 11 paradoja citada por Galileo ¡'la convirtió en un procedimiento
[] r r 1
r
diendo solamente a los números reacomprendidos entre 0 y 1. Si este conjunto de números ya fuera mayor
1es
Supongamos, por consiguiente, que 1os números reales comprendidos entre 0 y 1 pudieran quedar uno por
uno emparejados con números enteros. Establecer Lrna tal correspondencia equivaldría a dar una lista de los
de com-
paración del tamaño de conjuntos infinitos. Cantor definió como equir-alen-
.9 1111
tes dos conjuntos cuando podía definirse entre los elementos de uno
de comparación de tamaños. Ima-
CONJUNTO de los números reales, representado por el continuo de los puntos de una recta; dicho conjunto no es numerat¡le. Si lo fuera, los números reales entre 0 y 1, por ejemplo, podrían ser
ginemos, por ejemplo. un cubo 11eno de bolas de color rojo y coloi'negro. La forma más sencilla de ar,ei'iguar si ha)-
uno, con los números enteros. Cada número real de la lista está representado por un número decimal ilimitado. (Los
otro conjuntos una correspondencia biunívoca. Una tal correspondencia proporciona un procedimiento natural
¡r
el mismo número de bolas rojas ¡' negras es irlas sacando del cubo en parejas de una bola roja )' un¿r negra. De ser posible emparejal cada bola con otra de distinto color' los clos coniuntos de bolas son equivalentes. Si no es así, las boias sobl'antes en el cubo permiten decidir 1a cuestión. Aplicando el mismo plincipio de correspondencia. demostró que 1a propiedad que Galileo había considerado paradójica era, en realidad. una propiedad natural de 1os conjuntos infinitos. El conjunto de los números pares es equivalente al conjunto de todos los numeros entel'os positii o-. pares e impares reunidos, porque los emparejamientos entre miembros de uno y otro conjunto pueden proseguir pol siempre, sin omitir a miembro alguno de ninguno de ambos conjuntos. Cantor pudo también exhibir un método, tan refinado como ingenioso, gracias al cual el coniunto de los números racionales podía quedar en correspondencia con el de todos los enteros (uéase lafigura 51. Cantor Ilamó numerabies a aquellos conjuntos cuyos elementos pueden ser puestos en correspondencia, uno con uno, con los números del conjunto de enteros positivos. io que equivale a poderlos contar. En vista de la densidad de 1os números racionales sobre 1a recta, ¡r la relativa tareza de los números enteros ai ser situados sobre e1la, puede
parecer burdamente contrario a ia intuición que ambos conjuntos resulten ser de igual tamaño. El siguiente paso de Cantor fue, empero, todar,ía mucho más impresionante: demostró que no puede existil ninguna col respondencia biunívoca como las explicadas entre el conjunto de los números enteros y el conjunto de los puntos ClnrNo¡s NI-\TENrÁTrcos
6.
biunívocamente emparejados, uno
a
decimales infinitos como 0,5000... han de ser representados por otro decimal
infi-
nito, tal como 0,4999... ) Independientemente de la ordenación que se dé a una tal lista de números decimales ilimitados, siempre puede ser construido un
nuevo decimal que defina un número real no contenido en ella: como primera cifra decimal del número a construir se escribe un 9 si es que el primer decimal del número que encatreza la lista es un 1; de no ser así, se escritre un 1. A continuación se cambia la segunda cifra decimal del segundo número real; después,
la tercera del tercero, y así sucesivamente. El número decimal de esta forma
construido representa un número real comprendido entre 0y 1, yque habráforzosamente de diferir al menos en una ci-
fra decimal de cada uno de los números de la lista. Por tanto, la hipótesis de que los números reales puedan ser biunívocamente emparejados con los números enteros conduce a contradicción. La idea clave de esta demostración es conocida
números reales, cada uno representado por un número decimal infinito. Es entonces posible definir un nllevo número real comprendido entre 0 y 1 y no incluido en la Iista. Fijémonos en Ia primera cifra del primer desarrollo decimal de Ia lista de números reales. Si esta cifra es un l, como printera
cifra decimal del número que estamos definiendo escribiremos un 9. Si 1a primera cifra del primero de los números de la lista no es un 1, en el número a definir tomaremos como plimela cifra un 1. Continuamos construyendo
el número a definir cambiando la segunda cifra de1 segundo desarrollo decimal de la lista por igual procedi-
miento, la tercera del tercero, etcétera. El númeiro real así construido difiere al menos en una cifra de cada uno de los números que componen Ia
lista, y representa un número comprendido entre 0 y 1. Se ha construido, pues, un número que no se encuentra en la lista de números reales y, por tanto, la hipótesis de que es posible confeccionar una lista donde figuren todos los números reales conduce a contradicción.
Til n aqosto de I 874. Cantol contt ajo 11 rrlut.i-oniocon Yalh'Guttmann:
por'¡método de diagonalización".
la joven pareja pasó el verano en Ias montañas del Harz. donde se reu.nie-
de una recta, es decir, el conjunto de
ron también con Dedekincl. Este
Ios números reales. Brevemente: los
período fue extraordinariamente fruc-
números reales forman un conjunto no numerable. La demostración que de este aserto dio Cantor en 1874 es
tífero para el trabajo de Cantor. En
un tanto complicada; presentaré aquí,
en cambio, la idea principal de una
versión simplificada y mucho más
potente dada por él en 1891. Cantor comenzó su demostración
suponiendo que exista una correspondencia biunívoca entre los conjuntos de los números reales y de los números enteros. Su razonamiento consiste en ver que tal hipótesis lleva a contradicción; se deduce entonces que la suposición inicial tiene que ser falsa,
o sea,
que es imposible que exis-
época anterior de ese mismo año. Cana Dedekind el plo-
tor había propuesto
blema inmediatamente siguiente en importancia al lecién explicado. a saber: "¿Sería posible poner en cori'espondencia una superficie t tal vez un cua-
drado. incluido su contorno) con una 1ínea i'ecta tquizás un intervalo, juntamente con sus extremos), de mane-
ra que a cada punto de la superficie colrespondiera un único punto de ia recta, y recÍprocamente?" Aunque Cantor opinaba que la respuesta debiera ser negativa, no conseguía, ni
1e
tampoco Dedekind, dar razón para
tal
ta una correspondencia biunívoca
creencia.
entre ambos conjuntos. Su razonamiento puede ser simplificado aten-
do enviar a Dedekind 1a estupefa-
Sin embargo, hacia 1877 Cantor pu-
99
ciente noticia de que, contrariamente
a la opinión matemática prevaleciente, no era imposible establecer una correspondencia biunÍvoca entre recta y plano. La demostración consiste en representar cada punto de un
cuadrado por un par ordenado
cubrimiento, y 1o envió, como había hecho con su artículo de 1874. al Journal d.e Crelle. Aunque e1 artículo de Cantor revestía una importancia fundamental, fue también la primera ocasión de abierta declaración de hos-
de
tilidades entre Cantor y Kronecker,
coordenadas en notación decimal. Las
su maestro de antaño. Siendo uno de los editores dd Journal, Kronecker se
representaciones decimales de
1as
coordenadas se entremezclan enton-
ces conforme a un procedimiento estrictamente especificado,
a
frn de en-
gendrar un único desarrollo decimal; este decimal es asociado luego con un punto del segmento rectilíneo. E1 proceso completo es reversible (.t,éase la figura 8). Tal resultado cogió desprevenido al propio Cantor: tanto que le hizo exclamar "¡Lo veo, pero no lo creol"
Cantor preparó inmediatarnente un
manuscrito donde exponía su
cles-
encontraba en situación de bloquear la publicación de cualquier artículo, y
quejándose del tratamiento dado a su artículo y mencionando la posibilidad de retirarlo de 1a revista. Dedekind,
recordando experiencias propias en
tales asuntos, persuadió a Cantor para que esperase. Al cabo, Dedekind
resultó tener razón. El ar:tículo apareció en e1 volumen de 1878; pero Cantor quedó tan ofendido por el incidente que se negó a publicar nada más en el Journal.
hacia 1877 quedó tan consternado por 1a dirección que estaba tomando el trabajo de Cantor, que eso fue precisamente 1o que hizo. Aunque éste
Aunque Ia controversia surgida entre Cantor y Kronecker estuviera
había presentado su escrito el 12 de
las concepciones, tajantemente dife-
julio. no se hizo preparati\.o alguno
para publicario. r- no apareció en el volumen de 1877. Cantor. sospechando
1a
escribió
a
intervenciór-r de Kronecker. Dedekind una amarga carta
tsl rc
entenebrecida por animosidades personales, su causa más radical 1,acía en
rentes, que de Ia matemática tenían ambos. Concepciones que todar,ía hoy se reflejan en el debate entre mate-
máticos formalistas y matemáticos
constructivistas. Kronecker, precursor de los constructivistas, es famoso por una irónica agudeza que capta muy bien la esencia de sus convicciones: "Dios creó los números enteros; todo Io demás es obra de1 hombre." En este espíritu, Kronecker abogaba por 1a construcción de una matemática fundada en ios números enteros ¡, en combinaciones finitas de e1los. En los
rl+ rtlrc
pr:imeros años del decenio de 1870 comenzó a rechazar los procesos de paso al límite del cálculo infinitesimal tradicional, oponiéndose a que pudieran definirse objetos matemáticos mediante 1ír¡ites. Así pues, incluso los números irracionales, que durante siglos habÍan encontrado cobijo en 1as matemáticas. habrÍan de ser expulsados de ellas, a menos que pudiese hallarse algún procedimiento pa1'a consti'uirlos, como se construl.en ios racionales, a partir de los enteros.
¡'1 antor'. que en sus tiempos de estuL-i ciio,,te habra lerlacrado dos importantes ar"tÍcu1os bajo 1a dirección de Klonecker'. ien ra per'[ecta concjencia de 1a posición exn'ema que éste había adoptado, r.no dejaba de percibir sus
7.
LA PROBABILIDAD DE QUE AL ELEGIR AL AZAR UN PUNTO DEL CONTINUO
de los números reales el punto seleccionado corresponda a un número racional nos da indicación de los tamaños relativos de los conjuntos de números racionales y números reales. La probabilidad es la razón del número de puntos de valor racional contenidos en un cierto intervalo al número total de puntos situados sobre é1. El in-
tervalo entre 0 y t ha sido representado en Ia ilustración por la circunferencia de una rueda de la fortuna. (Los valores 0 y 1 se eonsideran idénticos sobre la rueda.) Se supone que al hacer girar y luego dejar detenerse la rueda queda seleccionado aleatoriamente un solo punto. Los puntos representantes de números racionales forman un conjunto infinitamente denso, en el sentido de que a lo largo de cualquier arco comprendido entre dos puntos racionales de la circunferencia, por pequeño que sea, se encuentran un número infinito de puntos racionales en su interior. Vemos en la figura algunos puntos de ésos. Empero, el conjunto de los puntos situados sobre la circunferencia es infinitamente mayor que el conjunto de puntos racionales; la probabilidad de que la rueda de la fortuna se detenga en un punto racional es cero. Con mayor precisión, tal probabilidad es menor que cualquier número positivo dado de antemano. 100
ventajas, al garantizar e1 máximo de certidumbre 1- corrección en 1as demostraciones matemáticas ]' poder ser aplicada como corl'ectivo a la especulación matemática más desbocada. Cantor adujo. no obstante, que aceptar la postura de Kronecker con-
ilevaría eliminar muchos de los más prometedores desarrollos matemáticos y, 10 que es más, podría gravar la investigación matemática más novedosa con escrúpulos metodológicos demasiado estrictos y, en ú1tima instancia, caducos. La definición de número irracionai dada en el artículo de Cantor de 1872 equivalía a aceptar Ia existencia de TEt\,rAS
1
conjuntos infinitos completos. Cantor abrazó una postura formalista acerca de la existencia de los irracionales, arguyendo que la única razón y fundamento para poner en tela de juicio su existencia matemática habría de ser
su coherencia formal e interna. "Al introducir nuevos números ----escribió en una ocasión- la matemática tan sólo está obligada a dar definiciones de ellos,
Io
mediante las cuales... puedan
l*--V------J
ser definitivamente distinguidos unos
oo
lo 6lo
o
1 "'
x
de otros. En cuanto un número satis-
faga todas estas condiciones puede y
x=.6
tiene que ser considerado en matemática como existente y real." Este punto de vista, que alude
lo o 5lo 3lo
o
I .'.
a los
irracionales, resultó cruciai para 1a justificación que dio para introducir 1os números transfinitos. En su artículo de 1872 había definido coniuntos de puntos excepcionales introdu-
ciendo 1a noción de punto 1ímite (también llamados puntos de acumulaciónr. El numelo inacional .2. po,' ejemplo, es punto de acumulación de 1a
f
o3_l
sucesión 1. 1,,1. 1,,11,... Con mayor
generalidad. se dice que un punto es de acumuiación de un conjunto si el
t
t-r. -
-\
conjunto contiene siempre una infinidad de puntos arbitrariamente próximos a1 punto.
CI
6lTloosloo6lo
3l o 6lo o
1
lo o 1 ...
:
T\ado un coniunto inlinito cualLlqri"l u P. Cantor delinia el con-
junto deri',,ado
de P, P1, como conjunto puntos de acumuiación de P. Análogamente. si P1 fuese también un conjunto infinito su conjunto derivado P2 está definido como conjunto de todos los puntos de acumulación de P1. Demostró que la relación de ser subconjunto establece una ordenación natural de los conjuntos: resulta que cada elemento de P2 es también elede todos 1os
mento de P1, es decir, que P2 es subconjunto de P1. Análogamente. P3 1o es de P2, y así sucesivamente.
Puede suceder que, para algún número entero finito n, el conjunto
P/7
0
-........._
8. PUEDE\ PO\TRSE LOS PUNTOS DEL PLANO en correspondencia biunívoca con los puntos de Ia recta. Cada punto del plano está representado por un par de decimales infinitos¡ éstos son fragmentados en gLupos: cada cifra, excepto si es 0, da motivo a un nuero grupo. Los gmpos son refundidos en un nuevo número decimal único por el procedimiento de ir tomándolos alternativamente; este número decimal representa un punto de la recta. El proceso es reversible. IJna demostración parecida prueba que el número de puntos de un espacio de dimensión finita es equi' valente aI número de puntos de una recta.
de puntos comunes a todos los con-
juntos delilados: a partir de
1880
comenzó a refelirse a1 superíndice con el cai'áctel de símbolo transfinito.
sea un conjunto finito; cuando tal condición se verifique, e1 conjunto infinito P de puntos que dará lugar al P" será el conjunto de punros excepcionales requeridos para demostrar la versión general del teorema de Cantor
Además. si P'' constase de infinitos puntos. podr'ía formarse el conjunto derivado P-- 1, el cual, a su vez, abriría las puertas de toda una sucesión y side conjuntos derivados:
sobre unicidad de las representacio-
guientes.
"-+2
nes en serie trigonométrica de las fun-
Cantor pudo haber añadido que ios
ciones. Por otra parte, puede suceder que ninguno de los conjuntos derivados que integran Ia sucesión P1, P2,
+ 2 Y sucesivos constituyen en realidad números de
P3,... sea un conjunto finito. Cantor argumentó que también en este caso
tenía sentido considerar el conjunto de los puntos que sean comunes a todos los conjuntos derivados P|, P2, P3,...,P" ,... Designó por P- al conjunto Gn,c.Nons Nf ATEN{ÁTICos
,t
*
eran meras etiquetas de identificación de conjuntos. Sin embargo, en 1883 deló de lado sus reticencias y 1os presentó como números transfinitos, a modo de extensión autónoma y sistemática de 1os números naturales.
T a razon inmediata pal'a intloIJ ducirlos. mantenia Cantol'. estaba en que el'an necesarios pat'a seguir avanzando en Ia teoría de con-
1o
juntos y en e1 estudio de los númelos reales. No obstante, para poder responder a críticos como Kronecker,
hizo así. En 1872 había tenido el cuidado de analizar'los numet'os il racionales tan só1o en términos de su-
Cantor argumentó desde una postura filosófica formalista: una vez reconocida 1a consistencia interna de los
superÍndices
-, -
+ 1,
un tipo nuevo, pero
a1
principio no
cesiones de números racionales; análogamente, al principio consideraba que los simbolos -. - + l. - + 2. ...
números transfinitos no podía negárseles un puesto junto a otros miembros otrora controvertidos y hoy admi101
1 -+ {1}
)-!'t
)\
3 --; {1. 2, 3}
tidos en matemáticas, como por ejemp1o los números irracionales. Habiendo formuiado una teoría de lo infinito capaz de sortear ias conocidas
finito solamente si su número cardinal y su número ordinal son iguales.
paradojas matemáticas, Cantor es-
finitos
taba convencido de haber eliminado la ro
-+ {1. 2, 3,
única obieción que ]
{2,4.6,
or+1 ¡{2,3,4,.
adoptaría en arios posteriores. a saber, la primera leti'a de1 alfabeto hebreo, li aleph. Los alephs designan
{1,3,4, ot + 2
-+ {3, 4,5,
., 1, 2j
,4,5,
.2,3j
. o+
Irt üJü
{1
(r)= 2Cl)+ {1. 3, {1
+
¿(t)
|
históf ico c[re los primelos nur-neI'os tl.an-rfinitos que CantoI rntr.odujo no fuei'an cardrnales srno oldrr-rale-.. Los r-rumelos oldin¿-rles quedar-i definidos por el orden o posición que ocllpan en una 1ista. E1 núiler.o oldinal
2cl+ro=3ro r,U
=Or2 I
asociado con un conjur-rto finito se colresponde con el número caldinal de ese conjunto. Por ejemplo. cualqr,rier.
:
c,¡2
+
la cardinalidad. o numero de elementos. de 1os conjr,rnto-. infinitos. r' por el lo las equ ir alerrciai entre conj.Lrrto. infinitos que Cantol puso de manifiesto en el decenio de 1E70 son fi'ecuentenlente erp].esacla-. con auxiiio de los r-ilimeros tlansfinitos. los alephs, Tier.re. pues. consider.able interé-s
:
Or
L
.2.5 6. ...3.4 7 8.
2r,¡ + 2
(r)'+
JJ
5,7, ..., 2 4. 6.
1os matemáticos
podran oponeI para negarse a considerar en sus trabajos conjuntos infinitos completos. Los números transfinitos que finalmente Cantor introdujo son hov conocidos por una notación que para e11os
('.t
(D2+(t)+1 :
ro2+ro+(,)=(,)2*2r,1
conjunto formado por cinco elementos ( esto es. cualquier conjunto cuvo numelo cardinal sea cinco) puede en un
cierto sentido ser considerado
:
(D2+(l)xr¡=2¡.,t2
2a2+1 t¡xco2=co3 tD"+ I
:
a6rXbar)n-7+ (Do
o.)o
+
como
sucesor inmediato de cualquiel conjunto formado por cuatro elementos. Dicho de otra forma, el ordinal del con, junto es también cinco; e1 conjunto ocupa e1 quinto lugar dentro de una lista de conjuntos. Sin embargo. para +Z
conjuntos infinitos es preciso distinsu número cardinal de su número oi'dinal. En efecto. Cantor descubrió
guil
nras ta|de que es posible convel.tir esra 1
:
(l)(! + (t)
pi'opiedad de 1os conjuntos infinitos en un cfiterio para distinguirlos de los
conjuntos finitos. Un conjunto
es
Cantor hizo notar que el número or-
clinal de una sucesión de conjuntos de tamaños crecientes 7,2,3, ... etc., está basado en la adición repetitiva de unidades. No ha¡r un ordinal máximo asociado con la sucesión de conjuntos finitos, pero al igual que es posible definir rc como límite de una sucesión de números racionales sin que por ello haya de ser n un número racional, así, creía Cantor. es lícito definir un número ordinal. transfinito v nuevo, (D, como primero de ios números situados a continuación de 1a sucesión completa de números ordinales ordinarios, 7,2,3, ... etcétera. LIna vez definido o es posible. por adición repe-
tida de unidades, generar nueyos
ordinales transfinitos sucesivos. co + 1. co + 2, ro + 3. etcétera. Puesto que esta sucesión carece igualmente de ele-
mento maximo podrramos inraginar
otlo número ordinal tamos
co
+
co,
que deno-
definido por ser e1 primer ordinal posterior a la sucesión ot + 1. o¡ + 2. co + 3. . . . Por repetición alternada c1e estos dos principios de generación, Cantor pudo definir unajerarquía de números ordinales transfinitos progresitamente mavores (.uéase la figura g). 2co.
.,Y cómo podremos distinguir, por e1 número ordinal co del ro + 1? La cliferencia queda determinada por el orden de los elementos que forman palte de los conjuntos representantes c1e t» ¡- de ro + 1. Por ejemplo. el conjr:r-rto de 1os números naturales, dispuestos en 1a secuencia (1. 2. 3, ...) tiene número ordinal ot, que denota la sucesirin de números naturales orclenada en 1a forma familiar. Sin embargo. e1 conjunto de 1os númelos natulales. escrito con un último elemento como en i2. 3. 4, .... 1r. o el conjunto eiemplo.
de númelos natulales de la ,sucesión ro + l.
r10. 30. .10. .... 20 r tiene ordinal
Con otras palabras. la distinción se funda en el orden correlativo de los
:
(0(0 + (Dc)
Los NUMEROS ORDTNALES rRANSFrNrros quedan determinados por el lugar de orden, o posición, q,e ocupan en una lista. La lista está generada de conformidad con dos principios. Primero, cada número ordinal transfinito se deduce del inmediatamente precedente añadiéndole una unidad, como si estuviéramos ,,contando más allá del ordinal transfinito ro asociado con el conjunto de los números 9.
ú)X(0()=0)o+1
1¡o.o-1¡,,2 :
(r)
1
)
''l
:. (o t'l
I02
"l
naturales dispuestos en un orden habitual. segundo, cuando se tiene una sucesión de ordinales transfinitos que carece de último elemento, o elemento máximo, queda definido un nuevo ordinal transfinito, que es el primero mayor que todos los otros. Tales nuevos números figuran en la lista inmediatamente a continuación de puntos suspensivos verticales; así, por ejemplo, 2co es el primer ordinal transfinito mayor que todos los números c'r, co + 1, ro + 2 y sucesivos. Es el emplazamiento de las lagunas infinitas (los puntos suspensiaos horizontales) situados en el seno d.e los conjuntos asociados con los números ordinales lo que distingue unos de otros a los ordinales transfinitos. Así, en el diagrama se dan para cada uno de los ordinales o:, co + 1, o.l + 2 y 2a dos ejemplos de conjuntos con ellos asociados. cada conjunto infinito de los representados por los ordinales de la lista tiene, sin embargo, el mismo número cardinal, a saber, aleph subcero (No); es decir, que cada uno de estos conjuntos está formado por igual número de elémentos. TErvrAS
I
elementos de la sucesión y en el emplazamiento de la laguna infinitamente larga, que está denotada por los puntos suspensivos; si solamente es desplazado un número al final de la sucesión, el número ordinal de 1a nueva sucesión será ro + 1. La sucesión (2, 4, 6, ...,1, 3, 5, ... ) tiene dos lagunas infinitas, y su número ordinal será entonces o + (D, o sea, 2 r¡. Observemos que todos los conjuntos tienen igual número de elementos, es decir, sus elementos pueden ponerse siempre en correspondencia biunívoca con los elementos de los otros y con los números enteros positivos. Por
tanto, sus números cardinales son iguales, a pesar de que sus ordinales sean muy diferentes.
ordinales transfinitos de acuerdo con dos principios de generación. Al objeto de poder introducir en 1a sucesión divisiones naturales. había añadido un tercer principio. Tomemos el conjunto de todos los números enteros finitos, conjunto al que Cantor llamó primera clase numérica. Su potencia, o número cardinal, es mayor que cualquiera de los elementos del conjunto. Análogamente, observó, podríamos considerar el conjunto de todos los ordinales transfinitos correspondientes a conjuntos denumerablemente
infinitos, o sea, conjuntos cuya potencia sea la misma que Ia potencia del conjunto de todos 1os números enteros. Cantor llamó "segunda clase numérica" a este conjunto de ordinaIes
transfinitos. Resuita que 1a poten-
Kronecker, quien aseguraba estar preparando un artículo donde demostraría que "los resultados de la moderna teoría de funciones y de la teoría de conjuntos carecían de importancia en realidad".
Poco después, en mayo de 1884, Cantor sufrió el primer colapso nervioso verdaderamente gIave. Aunque
la frustración de no poder avanzar y la tensión de ánimo que suponían los duros ataques de Kronecker contribuyeran quizás a desencadenar Ia crisis, parece hoy claro que tales acontecimientos poco tuvieron que ver con la causa subyacente. La enfermedad se impuso con rapidez sorprendente, y duró algo más de un mes. En la época tan sólo se reconocía la fase maníaca
de Ia psicosis maníaco-dePresiva; cuando Cantor se "recobró", a frnales de junio de 1884, entrando en la fase depresiva, se quejó de carecer de la
T Tna vez delinidos los números U transfinitos, Cantor procedió a
cia de Ia segunda clase numérica es estrictamente malior que 1a potencia
describir sus propiedades aritméticas. Era preciso hacer al respecto de Ia propiedad conmutativa de la suma y la
juntos ordinales transfinitos que
multiplicación una importante distinción entre números transfinitos y
b1e. Y aunque Cantol janrás loglase
la universidad de las más baladíes
demostrarlo, estaba convet-rcido de qr-re 1a potencia de esta segunda clase numérica era equir-alente a ia potencia del continuo de 1os nirmelos reaies.
cuestiones administrativas, incapaz
números ordinarios. Para dos números
ordinarios, la propiedad conmutativa expresa queA + B es igual que B + A, y queA xB es igual queB xA, cualesquiera que sean A y B.Al definir la adición y multiplicación también para números transfinitos no puede quedan: garantizada en todos los casos la propiedad conmutativa. Por ejemplo, o + 2, que representa la sucesión (1, 2, 3, ..., 1,2) no es igual qu.e 2 + cD, que representa la sucesión ( 1, 2,7,2,3, ...).
Aunque para conjuntos finitos la distinción entre sus números cardinal y ordinal esté muy difuminada, ayuda a explicar cómo la aplicación del concepto de número a un conjunto infinito podía conducir a confusión y paradoja. Puesto que para conjuntos infinitos los conceptos de número cardinaly número ordinal son fundamentalmente distintos, todo razonamiento que analice el número asociado a un conjunto infinito sin plantear claramente esta distinción está sujeto a ambigüedad. Por tanto, no es legítimo extender las propiedades en apariencia bien definidas de los conjuntos
finitos
a los conjuntos
infinitos, como
Galileo y otros habían hecho. No obstante los logros alcanzados por Cantor en la década de 1880, quedaba por llenar una grave laguna. La
cuestión del número cardinal (la potencia, en la primitiva terminología de Cantor) que debía asignarse al
continuo de los números reales se encontraba todavía sin respuesta. Recordemos que en su artículo de 1883 había definido Ia sucesión de Gn,qNops M,q,tsN4Árrcos
asociada con cualesquiera de
1os
con1a
componen. En brer-e. la segunda clase numerica no es un conjunto nunlera-
Tal conjetura ha llegado a ser conocida por hipótesis del continuo de Cantor, 1- jamás ha sido demostrada. En 1963. Paul J. Cohen. de la Universidad de Star¡.fold. constru¡rendo sobre la obla de Kult Gódel. de1 Ins-
tituto
Estudios -\r'anzados. demos1a hipótesis del continuo es coherente con los axiomas de de
tró que aunque
una versión estándar de 1a teoría de coniuntos. es también independiente hipótesis del continuo desempeña en teoría de conjuntos un papel análogo al que en geometría tiene e1 postulado euclídeo de de el1os. De hecho. la
Ias paralelas. Es posible construir diferentes velsiones de 1a teoría de conjuntos según que la hipótesis del continuo se suponga verdadera o falsa, lo mismo que pueden construirse geometrías euclídeas o no-euclídeas según se admita que se cumPle o no el postulado de 1as paralelas. Los infructuosos esfuerzos de Cantor para demostrar 1a hipótesis del continuo le provocaron no poca ansiedad y fatiga mental. A comienzos de
1884 creyó haber descubierto una demostración, pero unos cuantos días después mudó de opinión completa-
mente, seguro de poder refutar 1a hipótesis. Finalmente, se dio cuenta de que no había progresado lo más mí-
largo de todo este período 1as amenazas Y la oposición, cada vez más fuertes, de
nimo. A
1o
tuvo que soportar
energía e interés necesarios Para retornar al pensamiento matemático riguroso, contentándose con cuidar en
de acometer otras tareas.
Ct i bien acabó retornando a las matemáticas, fue también interesándose, de forma cada vez más absor-
D
bente, por otros temas. Emprendió un estudio de la historia y la literatura inglesas, progresivamente más y más embebido en una cuestión académica, que muchos de sus contemPoráneos se tomaron con notable seriedad: Ia conjetura de que la obra dramática de Shakespeare la compuso Francis Bacon. Aunque sin éxito, Cantor Probó suerte un tiempo como profesor de filosofía, y comenzó a mantener
correspondencia con teólogos interesados por las consecuencias filosófrcas de sus teorías acerca del infinito. Tal correspondencia revestía para é1 especial importancia, pues estaba convencido de que los números transfinitos le habían Jlegado como mensaje divino, y ansiaba que sus oPiniones fuesen cuidadosamente examinadas por teólogos, a fin de reconciliar su concepto matemático del infinito con
las doctrinas de la Iglesia. Lo, que es más importante, Georg Cantor tuvo un papel esencial en la creación de una sociedad profesional para el desarrollo de las matemáticas en Alemania: la Deutsche Mathematiker- Vereinigung. Convencido como estaba de que su propia carrera había padecido grave daño al haber sido su trabajo rechazado en forma prematura y cargada de prejuicios por el
aparato matemático institucional, 103
10. UNA SUCESION INFINITA de conjuntos, donde cada uno es mayor que el
M
a
o
a o {
precedente, puede construirse tomando para cada conjunto dado el conjunto de todos sus subconjuntos. Podemos utilizar acltí una ingeniosa variante del método de diagonalización de Cantor para mostrar que, de suponer existente una
) ]'
correspondencia biunívoca .;lr entre un conjunto cualquiera M y el conjunto N
)
de todos sus subconjuntos, siempre podemos construir un subconjunto S que carece de homólogo en Ia correspondencia, sea f la que fuere. Para comprender su construcción, tomemos el conjunto finito Mformado por un disco rojo, un disco azul y un disco verde. Este conjunto
O l
a o o *)
) )
tiene ocho subconjuntos (contando entre ellos aI conjunto vacío, O, que care-
ce de elementos). Definamos S como con de todos los elementos rn de M q:ue
junto
OOO
no sean miembros del sutrconjunto ;f (.m) que les corresponde. Para el ejemplo de la ilustración superior, S contiene únicamente al disco azul. Puesto que S es subconjunto de M, y puesto que se supone que la correspondencia.f es biunívoca, ha de existir algún elemento o per. teneciente aMque se encuentre asociado con S, esto es, un elemento ¿ para el cual
I
)
SEA m UN ELEMENTO CUALQUIERA DEL CONJUNTO M. pOR EJEtv{pLO,
srm= O r@)=r(!l=rf l srm= O r@\=r(l)={Oe)} srm= O r@)=\) )={OOO
/(o)
I
SEA S= {ELEMENTOS m DE MQUE SON ELEMENTOS DE f(m)} POR EJEMPLO,
a O O
ESELET\,,IENroDEi(O) poReuEr(
O )={ a } O )={ a O
No ESELEMENToDET(!) eonouer(
}
ESELEMENrooeri!) poFOUEr(
}
POR TANTO S= {
O
O)={OO a
}; OBSERVESE QUE S ES ELEMENTO DE N
confiaba en que una organización
valencia) con otro con.junto
cr-ral-
independiente serviría para alentar y acicatear a los matemáticos jór,enes y para servir de foro de ideas nuevas. por radicaies o extremas que fueran. Quedaba en la teoría de conjuntos transfinitos un último eiemento a1 que Cantor debía plantar cara, a saber. Ia naturaleza y status de los números cardinales transfinitos. Es curiosa la evolución que experimentó su pensa-
quiera, inicialmente eludió toda sugerencia de que la potencia de un conjunto infinito pudiera ser considerada como un número.
miento. Los cardinales transfinitos fueron los últimos en ser definidos rigurosamente o recibir notación especial. Es, en efecto, difícil reconstruir desde la claridad de Ia retros-
a 1os cardinales transfinitos. Puesto que había ya adoptado el símbolo (D para designar a1 mínimo de los ordinales transfinitos, es er.idente que los ordinales fueron mucho más importantes
pectiva las obscuridades entre 1as que a ciegas Cantor tuvo que tantear su camino; hasta aquÍ he venido comentando su obra como si Cantor hubiese comprendido ya que Ia potencia de un
conjunto podía ser entendida como número cardinal. De hecho, si bien Cantor había comprendido que es 1a potencia de un conjunto 1a que establece su equivalencia (o su no equir0.+
comenzo a consideral conro identicos ambos conceptos alla por septiembre de 1883; empero. no propuso todavía ningún símbolo que sirviera para distinguir unos de otros
¡l-tantol
\J
que los cardinales en las primeras fases de1 desarrollo conceptual de la teoría de conjuntos cantoriana. Cuando, finalmenbe, Cantor introdu.jo un símbolo para denotar al primero de los cardinales transfinitos fue tomándolo prestado de Ia simbología va en
servicio para ordinales transfinitos, v así, el primer cardinal transfinito fue
denotado é.
sea
idéntico a S. Ahora, o bien a
es
elemento de S, o bien no lo es. Si ¿ es elemento de S, ha de serlo también de -f(¿l), pues /(a) es igual a S; por otra parte, si r¡ es elemento de S no puede serlo de .ftn). en vista de como ha sido definido S. Por tanto, o no es elemento de S, Pero, de nuevo, si a no es elemento de S, por la definición de § a tiene que ser elemento de /(o), ¡r puesto que /(a) es igual a S. a tiene también que ser elemento de S. -{sí pues, sea cual fuere la situación de r¡. al suponer que el conjunto M p:ue-
de ser. elemento a elemento. biunívo. camente emparejado con eI conjunto de totlor strs subconjuntos se produce una contradicción. Es por tanto forzoso desechar tal hipótesis. De igual forma se demuestra que incluso si un conjunto es infinito. el conjunto de todos sus subconjuntos es mayor que el coniunto original. Es posible construir una sucesión de conjuntos progresivamente mayores formando el conjunto -Y de todos los subconjuntos de un conjunto infinito M, luego, el conjunto P de todos los subconjuntos de -\, :' así sucesivamente.
La sucesión no contiene un conjunto máximo.
Cantor no se resoh'ió poi' la notación de alephs hasta 1893. Por entonces. el matemático italiano Giulio Vivanti estaba preparando una exposición sistemática de la teor.ra de con-
juntos, ¡'Cantor complenclió qlre era hora de adoptar una notación bien tipificada. Decidió representar mediante alephs los cardinales transfinitos porque consideraba que los alfa-
betos griego v romano habituales estaban 1-a demasiado utilizados en matemáticas para otros fines. Sus nue\¡os números merecían algo úrnico
y distinto. Así, eligió la letra N, de la TEN,rAs
I
que la tipografía alemana disponía de
surtido suficiente. Y como Cantor admitió complacido, ta1 elección fue perspicaz. pol'q ue en e1 aleph es también símbolo del número 1. Puesto que los números cardinales transfinitos eran a su \¡ez unidades infinitas. con el
particularment
e
el alfabeto hebreo
aleph podía darse a entender un nuevo punto de partida de las matemátjcas. Cantor designó por ll o (alephsuhcero) al número cardinal de Ia primera clase numérica infinita, nú-
mero al que hasta entonces había venido llamando io; el número carcli-
nal de la segunda clase infinita designó N, (a1eph-subuno
T IJ
as dos
se
r.
ultimas c,,ntliLruciones im-
po,'tanres que Cantnt' hizo a la teoría de conjuntos fuerott un pal de artículos publicados en 1895 ¡' 1897. Había demostrado !'a. e11 un artículo presentado antes de la pt'intela teunión de la Deutsche ]IatirematikerVereinigung. ocurrida en 1891, que e1
número cardinal de cuaiquier conjunto es siempi'e nleno1'que el número cardinal del cor.rjunto formado por todos sus subconjunto-s. ISe da una versión de la clemostr"ación en 1a 10.1 Algunos arios más tarde dedujo de este lesultado un corolario,
figura
a saber. que el núntelo cardinal del continuo es igual a un número cardina1 que designó 2N0. Confiaba él en que este resultado concluciría pronto a una solución de la hipótesis del con-
po1'que tal hipótesis podía ahora enunciarse en folma aigebraica
tinuo,
muy clara: 2¡io = ¡( 1. Empero, los razonat-t-tientos de 1a demostración de Cantor acerca del número cardinal del coniunto de subconjuntos condujeron a muy diferentes conclusiones. La más importante de eilas fue la obtenida por Bertrand Russell en 1903. Russell mostró que a1 considerar la colección de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos se planteaba en teoría de con-
juntos una paradoja. La paradoja
de
maníaca, y no se han encontrado pruebas que sugieran que Cantor llegase nunca a tener conocimiento de1 resultado de Russell. De hecho, Ia enfer-
medad Ie movió a solicitar licencia
para abandonar la Universidad de Hal1e durante el otoño de 1899, Permiso que 1e fue concedido. En noviembre de ese mismo año, Cantor notificaba al Ministerio de Cultura que deseaba renunciar por completo a la labor docente. contentándose con un modesto puesto en 1a biblioteca, siempre que no 1e fuese por el1o reducido
su salario. Al reseñar sus méritos.
Cantor hacía hincapié en sus publicaciones sobre 1a cuestión shakespealiana, ¡- su petición concluía con la extraordinaria demanda de que el N inisterio ie diera respuesta en el plazo de dos días. De no ofrecérsele más alternativa que seguir ejerciendo la docencia, escribió, entonces, como
persona nacida en Rusia que era, buscaría entrar a1 servicio del cuerpo diplomático ruso.
Ningún resultado parece haber tenido la demanda de Cantor; tamPoco entró a1 servicio del zar Nicolás II. No obstante, todo
e1
episodio es cohe-
rente con su línea de conducta
de
1884, cuando consideró seriamente abandonar las matemáticas y dedica|se a la lilosofía. lras su primera crisis nerviosa de importancia. Al igual que entonces fue hospitalizado por depresión maníaca a finales de 1899. ¡r de nuevo en los cursos de 1902 y 1903, y a partir de entonces, Por
períodos cada vez más frecuentes Y largos. Cantor falleció el 6 de enero de 1918. en la Halle Nervenklinik, a causa de un fallo cardíaco.
T]lxisten entre la enlermedad menF ' tul de Cantor v las matematicas que creó impo,'tantes conexiones. Cieltos documentos sugieren que proocasionalmente porcionó periódicos respiros de los 1a
enfermedad
1e
asuntos cotidianos. durante 1os cuaIes pudo insistir con ahínco en sus
Russell hacía pensar qtie 1a definición de conjunto dada por Cantor adolecía de algo esencialmente erróneo. y las consecuencias que ha tenido el comprenderlo así han llegado a constituir uno de 1os problemas fundamentales
ideas matemáticas, va fuera en la soledad del hospital, ya en la tranquilidad de su casa. La enfermedad pudo también alentar su convicción de que los números transfinitos 1e habían sido comunicados por Dios.
de la 1ógica matemática en nuestro siglo. Mas. ninguno de Ios resultados importantes alcanzados por Cantor en
ción, en 1908, Cantor le escribió a una
matemática transfinita ha quedado invalidado por estos desarrollos posteriores. Desdichadamente, hacia 1903 Can-
tor estaba padeciendo cada vez
con
más frecuencia ataques de depresión Gn
rross X'lrrt'rtÁ ttctts
Tras un largo período de hospitalizaamiga de Góttingen, la matemática inglesa Grace Chisholm Young.
Según éi mismo Ia describía. su enfer-
medad maníaca tomó una sorprendente cualidad generatir.a: "Un sino peculiar, que gracias a Dios no me ha roto en forma algunal antes bien. me
ha vuelto interiormente más vigoroso, feliz y lleno de gozo expectante de Io que he estado durante un par de años, me ha tenido apartado de mi hogar, Y puedo decir que también del mundo...
En mi largo aislamiento, ni las matemáticas ni más en particular la teoría de números transfinitos han dormido o estado en barbecho en mi interior." En otra ocasión, Cantor describió en términos casi religiosos su convicción en la veracidad de su teoría: "Mi teoría se yergue firme como la roca; las flechas que contra ella se lancen, rápidamente se volverán contra su arquero. ¿Cómo Puedo Yo saberlo? Porque Ia he estudiado desde todos los ángulos durante muchos años; porque he examinado todaslas objeciones que
hayan podido hacerse contra los números infinitos, y sobre todo Porque, por así decirlo, he seguido sus raíces hasta la causa primera e infaIible de todas las cosas creadas."
¡ñ eneraciones posteriores podrán \f trt vez prescindir de las conno-
taciones filosóficas de Cantor, mirar desdeñosos sus abundantes referencias a santo Tomás o a los Padres de la Iglesia, hacer caso omiso ile sus proriunciamientos metafísicos y no com-
prender lo más mínimo de las Profundas raíces religiosas de la fe que finalmente tendría Cantor enla abso-
luta veracidad de su teoría. Todos estos compromisos ayudaron a consolidar su decisión de no abandonar los números transfinito§. Parece como si la oposición con que debió luchar con-
tribuyese a refórzan: su determinación. Su paciencia, no menos que cual-
quier otra co'sa que Cantor haYa podido aportar, aseguró que la teoría de conjuntos sobreviviera a los años
iniciales de duda y denuncia, floreciendo finalmente con fuerza vigorosa y revolucionaria en el pensamiento científico del siglo rc<.
ii;i:: i!:¡,:.. :r i ..i .:r:i,l i ':ll ', i il,tl,\ WH,\'t IS C:-r ron s Corlrutlt Pnt¡el-Elt l Kurt Gijdell et ['ltiloxt¡tltt of ivltLthenttttic.¡; S¿'lectetl R¿arllrig.r. clirigido por Par-rl
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{.« pwb§§cc¿cíón de §egriffsschrift en } 8Tg sttpüwe el rzacíwiento de
!* {ógíc* ¡¡eatemática.
Su o§s;jetivr; centrsl: fwnda*rcentar la aritmética en
I año
1879 se viene considerando como una de las fechas
mismas fechas a Kummer, quien jamás llegó a profesor universitario;
clave en la 1ógica matemática:
a Cantor, qlle no pudo lograr su aspi-
Ia de su nacimiento. Es el año en que se publica Begriffs sc hrift, e in e der ari t h metísc hen nac hg ebil dete F or m el s p r a che des reinen Denkens. esclito por el
matemático Gottlob Frege. y que traduzco por "IdeografÍa. un lenguaje de fórmulas para el pensamiento puro modelado en el lenguaje de la aritmética" y que citaré. en adelante. por Bs. Frege nació en 1848 en \Yismar v murió en 1925 en Bad Kleinen. Estudió y se habilitó en Góttingen. en 1873. pasando aser prit'at-dozent enla Unlversidad de Jena desde 1874 hasta 1896 y profesor honorario desde ese año hasta 1917. Trabajó en soledad ¡sin muchos reconocimientos en vida.
Según el secretario de 1a Uni-
versidad de Jena "su actividad académica carecía de interés para ia Universidad", 1o que vendría corroborado por 1a afirmación de Carnap a1 contar qlre, en 1913, sólo asistían al curso de Frege. con
é1,
otros dos aiumnos, uno
de ellos comandante retirado que deseaba estar a1 tanto de Ias "últimas" novedades. Hecho bastante más norma1 de Io que parece, aunque algunos comentaristas quieran descargar su
conciencia hablando de1 genio incomprendido, etc. Y si digo "normal", bas-
ta mencionar en el entorno de esas JAi:i¡.H lli'l L{}ilE};ZO es doctor en fi1osofía y licenciado en matemática por la Llniversidad de l\{adrid. Catcdrátimatemática del instituto de bachillerato "Zorrilla" de Valladolid. Dedica su atención preferente a la 1ógica y filosofía de la matemática. temas en Los que ha publicado varios ensayos ¡r libros. entre los cuales t.abe ment.ionar, por su enlace con ei tema desarrollado en este número. "La filosofÍa de la n-ratemática de Poincaré" y "La maternática y el problema de su historia". co de
106
ración de 11egar
a
BerlÍn;
a
Kronecker,
que si dio clases en Ia Universidad, las dio no pol cateclrático o profesor ordinario. sino por académico: a Dedekind, que se mantu\-o en su Escuela Técnica de Brunsx-ick, alejado de1 "académico rulitersilal'io rLrido".
.r
Frege estudió en Góttingen. Y Góttingen ha sido el centro de la matemática durante el siglo xlx y prirleros años de1 Lr. Desde Gauss hasta Hilbert pasando por Riemann y Weierstrass. Naturalmente, el estudiante de Góttingen se encontraba en ei centro de los motivos y de 1os problemas vivos de la matemática. Y Frege no pudo sustraerse a e1los. Especialmente
a
uno: fundamentar la
aritmética y aclarar de una vez para siempre la naturaleza de Ios números e1 objetivo de su vida. que se condensa en 1o que viene estinrándose programo loglclsfo en la
naturales. Es
fundamentación de 1a matemática: reducir la aritmética a Ia 1ógica. es decir, derivar los conceptos de 1a aritmética de conceptos lógicos ¡,'dedr-rcir 1os principios aritméticos de los principios 1ógicos. La aritmética. ei número naturai. como elementos del pensamiento puro. sin intervención de imágenes, percepción. objetos rnateriales. Frege crel-ó por un momento que había conseguido su objetivo hacia 1902, pero 1as antinomias dejaron al descubierto que no habÍa analizado bastante. que 1a construcción en la que había empeñado su r.ida se venía abajo. En su diario escribirá un año
antes de su muerte: "Nlis esfuerzos por aclarar lo que sean los números han conducido
a
un complete fracaso."
Y posteriormente: "Me he visto obligado a abandonar la opinión de que la aritmética sea una rama de la 1ógica
e§
¡tensamieruto puro
y, por tanto, que todo en la aritmética
puede ser probado lógicamente."
dicho Góttingen. y no solo en Cottir-,gen se hacra marenrarica. En otros lugares he estudiado el proceso que sufre Ia matemática en los entornos de 1827. Nuevos temas
f_fe fl
metría proyectiva, geometría-geodiferencial, anáIisis...- y, fundamentalmente, nuevo enfoque en el hacer
matemático. Enfoque que se centra en
hallar la razón y no ir de Io particular a io general, sino de 1o general a lo particular (Abel). Un hallar la razón inberna a la matemática y no supeditado a las ciencias de Ia naturaleza, a1 empirismo utilitario. Un haltar la razón que. por no poseer criterio extrÍnseco, sólo podrá realizarse apo¡,ándose en criterios estrictamente racionales: realizar las demostraciones con todo rigor, para 1o cual es preciso un previo análisis de los conceptos que entran en juego. A pesar de las nLlevas geometrías, 1a representación geométrica se conr.ierte. de a¡.r-rda, en
constante peligro. \Veierstrass constlu\ e una cur'\'a que. contilrua en todos sus puntos. carece de tangente en cada uno de ellos. y da paso a toda una
farnilia de cun as teratológicas. Desde sus comienzos. el cálculo hace uso de
la noción de nirmero real. del continuo. que no está definido. E1 único carnpo aparentemente seguro es 1a aritmética. Y sobre él se pretenderá
fundamentar el análisis. Es
1o que
r.ino a denominarse "proceso de aritmetización de1 análisis". Proceso que cuhnina en 1872 con 1a caracterización de los números reales por Weierstrass, Cantor. N,Iéray, Dedekind
simultánea, independientemente y con procesos diferentes. Culminación
que supone un cambio cualitativo.
una ruptura epistemológica radical en el interior de 1a matemática y un inicio de un nuevo tipo
de
hacer mateTEMAS
1
mático. Nuevo tipo que, en los terrenos de Ia geometría, tiene su paralelo con el programa de Erlangen enunciado por Klein el mismo año de 1872. Suponen, Los años que entornan 1875, un cambio en e1 estatuto de1 hacer matemático. Ya no se trata de manejar elementos y correspondencias de elemento a elemento, o magnitudes que impliquen una medida Y un contar, sino de manejar sistemas, cLases o conjuntos dados en acto y establecer aplicaciones y relaciones
entre ellos. así como entre los elementos v 1os sistemas a los cuales pertenecen. Conjuntos o sistemas que pueden poseer infinitos elementos. Para manejarlos, surgeu, como conceptos básicos, Ios de función o aplicación con sus diversos tipos ¡r la relación de equivalencia con su conjunto cociente asociado. Son los que permitirán probar teoremas fundamentaies de 1a continuidad de funciones de variable rea1. tema que surge nuevo o, en manos de Dedekind, ios que van a permitir la caracterización no sólo de los números reales mediante su proceso de cortaduras sino Ia creación de1 álgebra moderna tras la eiaboración de1 concepto de i deal , con Ia convicción
signo material y 1os postulados que regulan tales signos. Convicción de mero inscripcionismo que confunde signo con lo representado por dicho signo y que, por ello, muestra una debilidad conceptual absoluta desde su inicio. A pesar de esta convicción, más o
rnenos difundida en e1 trabajador n-ratemático, y ya desde Ia nueva ruptura conceptuai, se pretende fundamentar la propia aritmética 1- no sólo tomarla como mero modelo. Fundamentación. por supuesto. no psicológica o imaginativa, sino 1ógica. Fundamentación que no só1o indique qué sea un número natural, sino que regule logicanrente el tipo de razonantiento
específico de la aritmética, el principio de inducción completa, si es que ello es posible. Y a esta labor se verán llevados, por unos u otros caminos, matemáticos como Cantor, Dedekind, Schróder, Peano, Peirce, Frege... Desde otro
enfoque, también se ligará al tema Husserl, que prefiere abandonar en 1884Ia a¡rrdantía conWeierstrass y su tesis doctoral sobre el cálculo de variaciones para, desde el terreno fenome-
nológico, fundamentar la aritmética,
realizar st Fílosofía de la aritmética. Por supuesto, los nombres que he citado no son los únicos, ni el intento de
fundamentar la aritmética el tema
único de estos matemáticos, salvo en
'
,,i'..;':#l;*iffHffidffi ."": -": :. ¡a¡t¡¡.i!::l:l^ii'";:i"::::r.i-* :: ":"=-=.=:-;i*.ffi ".¿'!r,reCü!*§1!{E^tqIH
subyacente de que esos sistemas o con-
juntos no pueden ser reuniones arbitrarias de elementos cualesquiera, sino
de elementos con una determinada estructura. que hay que caracterizar mediante "1eyes formales", estrictamente lógicas, entendiendo por tales 1as que emanan de1 pensamiento puro, y no las procedentes de la experiencia sensible o psicológica.
f1 omo obietos de la "matemática (-,, .o¿.Áa" se estimaran Ios con.'iuntos y las ap'licaciones. como esct i-
birá Clifford en 1872, y posterior-
mente recordará Frege en 1884. Y si éstos son los conceptos básicos de 1a matemática, surgidos tras los intentos de fundamentar en la aritmética el resto de las disciplinas matemáticas! se tiene que esa misma aritmétifundarnento. No parece bastar una convicción. como 1a que después enunciará Kronecker, de que los números naturales son obra de Dios y el resto, de los hombres. Tampoco que existen unas leyes formales aritméticas que deben mantenetse en ca carece, a su vez! de
toda ampliación de sistemas. Aunque es este tipo de convicción el que predomina en el ambiente matemático que rodea este período de creación y que plasmó Hankel en 1867 con su principio de permanencia de leyes formales. Convicción de que, a partir de 1a aritmética, Io único que importa es el GRANDES
M,rrrltÁrtcos
1. GOTTLOB FREGE nació en 1848 en Wismar y murió en 1925 en Bad Kleinen. Estudió y se habilitó en Gdttingen, en 1873, pasando a ser priuat'dozerut ett la Universidad de Jena desde 1874 hasta 1896 y profesor honorario desde ese año hasta 1917. Según el secretario de dicho centro "su actividad académica carecía de interés para la Universidad". Actualmente se le estima como el lógico más grande de todos los tiempos, sólo equiparatrle a la figura de Aristóteles, quien fundó la lógica en sto.s Analíticos. 101
Frege. Precisamente no cabe olvidar que, a partir de Boole, De Morgan, Hamilton... se había producido en los terrenos lo que considerar lógica una
cierta renovación. Especialmente,
George Boole, desde 1847, y partiendo del hacer matemático, había r e alizado la construcción de un álgebra lógica. Iniciaba así un proceso de algebrización de la lógica, de aplicar el álgebra
para fundamentar la lógica. Boole parte de las nociones de clase, ele-
mento de clase y operaciones con cla-
El enfoque estriba en que las leyes pensamiento,las leyes de la lógica, deben ser del n-rismo tipo que las que gobiernan el álgebra; es decir, la validez de los procesos dei álgebra no depende de la interpretación de los signos, sino de ias leyes de combinación de los mismos. Con estas ideas. Boole algebriza la lógica obtenienclo un sistema algebraico que es, en términos actuales. un retículo booleano. Dicho retícuio. como álgebra 1ógica o álgebra ses. de1
sil¡bolica. plesenla dos intelplera-
BX§RITF§§THRI3?, EINE DER ARITH}f ETISCHEN NACHGEBILDETE
ciones: por un lado, un álgebra de clases; por otro, un álgebra proposicional. En el fondo, una misma teoría formal
con dos interpretaciones diferentes; según el modo de lectura o ia interpretación que se asigne a las variables y a 1os operadores. En su construcción. Boole utiliza ia aritmética no sólo como modelo, sino que 1os mismos signos aritméticos son empleados en una nueva acepción; así. la suma ¡'el producto serán ahora suma y producto 1ógicos: una ecuación como Jú = 1 será ahora "'¡' es verdadero" en interpretación proposicional, 1a clase universal en interpretación de álgebra de clases...
\Z "n la misma orienracion de Boole I de fundamenral la logica en la matemática, de construirla como una estructura simbólica formal con ulteriores interpretaciones, se encontrar'án Jevons, Schróder... Este último pr-rblica en 1877 un breve folleto en el qr-re.
apoyándose en Ia línea booleana,
trata de perfeccionarla. Posteriormente. consigue for:mular un sistema
FOR'I§LSPRACH§
DE§ REINEI{ DENKEN§.
ariornático, hoy c1ásico, caracterizador de la noción de retícuio, con su principio de dualidad. Es línea de decisiva importancia en el ulterior desarroilo de la lógica matemática, por'la influencia no sólo de Peano, sino polque füe retomada por Skolem, Ia escneia polaca y, fundamentalmente,
pol Talski v quienes siguen la ten-
DU. GOTTIOB
rR§Gg
pRrvaTDocE:t1EN DER MATHEMATIX Ati IjER UXtVrn§tÁt .¡eNa.
dencia semántica, que acaba reflejándose en la teoría de modelos y en los intentos de algebrizar los sistemas Iógicos de primer orden mediante 1as algeblrs cilindricas de Tarski. las poli:ldicas de Halmos. Igr-ralmente. ¡r con parecida tendencia. pero ahora muv condicionada por la aritmética. se manifiesta esta tendencia en la teoría de fi-rnciones recursir-as. o en la construcción de rlodelos no canónicos del análisis a partir de ultrafiltros... Habría que agregar 1a figura del nortear¡ericano Peirce. Pero sus tra-
2. GOTTLOB FREGE publicó, hace aho-
ra cien aios, Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formels-
HALLE
a/§.
VERLAG VO§ LOUI§ IT§B§BT. 18?9.
108
prache des reinen Denhens ("Ideografía, un lengrraje de fórmulas para el pensamiento puro modelado en el lengrraje de la aritmética"), primer tratado sistemático de lógica matemática. No pretende ser un mero simbolismo del lenguaje ordinario, o un cálculo, sino una conceptografÍa que permita la traducción a signos que reflejen las relaciones entre los
conceptos simbolizados mediante un
manejo por reglas estrictamente especificadas. Es simbolismo apto para expresar el pensamiento puro.
TENr.\s I
bajos, bastante dispersos, en su aislamiento propio, só1o cobrarán todo su valor desde Ia perspectiva de los Iogros posteriores.
Admitido por 1os matemáticos, a partir de 1872, que todos los conceptos de la matemática pueden reducirse a 1os de la aritmética y los de ésta a los números naturales, Frege adopta sobre sí la tarea de derivar estos últimos por medios estrictamente lógicos. Con ello lograría establecer que toda 1a matemática es reducible a 1a 1ógica. Para esta labor tiene que cumplir dos objetivos: (1) precisar qué entiende por Iógica ¡'enumerar los conceptos lógicos con
1os qr-re
poder definir los aritméticos; (2) demostrar que los teoremas aritméticos son derivables de los principios 1ógicos mediante el único proceso válido, la deducción. Esto último obliga a especificarcr-ráles son los primeros plincipios lógicos y cuáles son 1as reglas de inferencia. Y en vista de estos objetivos. Frege
dará un primer paso: construir una lógica que le sea válida para su objetivo. una lógica del perr¡amiento puro. alejada de la influencia de la gramática y
de1
lenguaje usua1. para
1o
que
debe crear un simbolismo adecuado. Y este primer paso: construcción de un simbolismo en e1 que poder expresar una lógica pura. independiente de la
gramática, de1 lenguaje ordinario, de la psicología, es el que se contiene en el Begriffsschrilú de 1879.
TII oaso sipu.iente se centra en Ia la ¡ áefinicion de número cardinal, que plasma en 1884 en Fundamentos de la aritmética, un ensa!o lógico-ma' temdtico sobre el concepto de número. trs libro no menos fundamentai de
Frege, por la exposición, sin empleo
de simbolismo ideográfico, de sus ideas y la crÍtica de las concepciones
concepto y objeto", "¿Qué es una función?", "Sobre 1a 1ógica en la matemática", "Investigaciones lógicas", en varias entregas... Ensayos que suelen reunirse bajo la etiqueta de escritos filosóficos o I ógíc o s - serníLntico s. Se señala en el prefacio de Begriffsschrift que existen dos tipos dejuicios, ios anaiÍticos y Ios sintéticos. Frege es-
tima que los arjtmelicos son juicios analíticos, contra el sentir kantiano.
pero entiende porjuicio analítico aquel que puede derivarse, en forma estric-
tamente lógica, de Ias definiciones. No se tiene en cuenta, aquí, el contenido de dicho juicio sino su derivabilidad. Es punto que Frege precisará en escritos posteriores, sin entrar en más deta1les. Explica, a continuación, que 1a etapa inicial de su trabajo se centra en
reducir el concepto de orden en una sucesión a1 de consecuencia Iógica, para proceder desde al1í al concepto de número. Para realizar esta tarea encuentra e1 lenguaje ordinario inadecuado. No só1o para esta labor. Agregará que una de las tareas de la filosofía debe consistir en liberar el espíritu humano de los errores que, en cuanto al concepto, presenta el lenguaje ordinario. En particular, clebe eliminarse 1a confusa terminologÍa entre "sujeto" ¡r "predicado" en beneficio de "argumento" y "función". Para conseguir estos fines. dedica su atención a construir un lenguaje cie fórn-rulas, a semejanza del aritrrético. pero
yes físicas de la aritmética, donde afirma, en el primer tomo: "Con este libro
Ilevo a ejecución un proyecto que tenía planteado desde mi Begriffsschrift , de
1879, y que empecé en mis Funda' mentos de la aritmétlca de 1884." Y, en medio, y al final, ensayos de
precisión como "Función y concepto", "Sobre sentido y referencia", "Sobre Gn.l¡¡ ors M..rrglrlÁrtcc'ls
T-\ebo pl ecisar los motivos que FreLl g" udr." pu,'u la cleacion de su Ideografía. No mera búsqueda de un simbolismo más o menos arbitrario y que refleje e1 lenguaje ordinario. Este tipo de sirnboiismo es, en el fondo, el propio del lenguaje matemático no formal, que por ello constituye una jerga especial formada por palabras ¡'frases del lenguaie usual y por signos especiales. Jerga que no satisface a Frege por no ser válida para la bÍ1squeda de precisión conceptual, aunque sea úti1 en la práctica. La Ideografía o conceptografía que logra debe permitir, por un lado, el que sea un cálculo iógico al estilo de Io preconizado por Leibniz, pero también que
refleje el pensamiento puro y ello en e1
sentido de que, para Frege, el signo
es inseparable pero consecuente a1 contenido que representa. Y este
último punto deseo remarcarlo porque es convicción que se ligará siemes el concepto; Io segundo, e1 signo con
samiento puro. Aplicado en particr-rlar a la aritmética en Bs. es posible generalizarlo tanto a Ia geometría como a la física; en generai. se 1e muestra como herramienta úti1 para la ñ1oso-
el cual se represente este concepto. Y es 1a creencia condicionadora de todo e1 trabajo de Frege Lo que se ha venido a denominar su platonismo: el hombre no crea los conceptos, los aprehende; el hombre no crea sistemas matemáticos, sino que éstos preexis-
fía en generai. Y ello porque el
1en-
guaje de fórmulas es al habla ordinaria como e1 ojo al microscopio. En este punto, Frege se remonta al intento de
Estos objetir.os conducen a escindir en dos grandes apartados su opúscu1o:
leerán.
nición del soporte matemático de dicha sucesión. el número natural.
razonamiento matemático. de1 pen-
híbrido, ya que los filósofos 1o estimarán como maternático y los matematicos como filosoñco. y ni unos ni 1o
describirse por medio de su ldeogra-
fÍa. Deja para obra posterior la defi-
pre a Frege y a 1a que el matemático alemán permanecerá fiel: 1o primero
Leibniz de un colcultts ratiocinator, reconociendo que Leibniz só1o se quedó en el intento, sin llevarlo a la
Y por último, coronando su labor, Ios dos voiúmenes, 1893 y 1903, de Las le-
cadena, así como mostrar que el principio de inducción completa puede
de1
que permita un análisis 1ógico
opuestas. Es libro dei que Frege , qtizá con un punto de amargura por el nulo éxito obtenido por Bs, señalará que para muchos no será otra cosa que un
otros
el segundo apartado, o capítu1o tercero, Frege aplicará su Ideografía para definir, por los medios estrictamente lógicos creados en la misma, la noción de "sucesión", y 1a de orden lineal o
práctica, como
é1
ha logrado.
primero dará, primer capítulo, una descripción semántica de los símbolos que emplea; en el segundo capitulo, realizará una representación sistemática, deductiva, de algunos juicios del pensamiento puro. En otras palabras, expone, en el primer apartado, por vez primera, 1o que hoy viene considerándose como lógica de primer orden incluye, por supuesto, 1a lógica -que proposicional-. Y ésta es la clave del tópico al estimar 1879 como el nacimiento de la 1ógica matemática. En en
e1
ten conceptualmente al mismo; Ios contenidos conceptuales puros son independientes a que ei hombre los perciba, los imagine, los piense... Un ejemplo que Frege expone en 1914 es que el pensamiento qlle se tiene en el
teorema de Pitágoras es el mismo para todo ser humano, y sr-r verdad es independiente de que sea o deje de ser pensado por algún individuo determinado. Y en lógica, en rnatemática, io que importa es el pensamiento puro. no la genesis del mismo.
Es convicción que Ie lieva a oponerse a los métodos de Boole. radicalmente, porque en el fondo Boole parte en su labor de la construcción de un cálculo formal que permite ulteriores
interpretaciones, distintas; para Frege e11o equivale a partir de1 signo material para alcanzar el concepto. Y 109
q
Frege insistirá en que tales cálculos, por su punto de partida, se mostrarán impotentes para ia expresión, precisamente, de 1os conceptos y relaciones estrictamente lógicos. Es punto que explica cómo posteriormente Frege polemizará con Hilbert negándose a admitir el método axiomático formal.
a
b
]1] a+(b+a)
A.1.
a
a
Para Frege, asÍ,
c b
A.2. 12)
@
-+((c+
- tb -) a')) ) 0)(c+a\)
c a
b C
a
d b
A.s.
lBl @-@=a))e -r
(b -+ (d
)
a))
1o
primero es eI
contenido conceptual o dejuicio:1o segundo, el signo con que pueden representarse tales contenidos o pensamientos. Y un contenido que no hace referencia, en momento alguno. a 1os aspectos psicológicos. De aquí su rechazo, incluso, de las concepciones de Husserl, porque la 1ógica hace referencia a1 pensamiento puro y no a función psíquica alguna. Como rluy posteriol mente precisara. una ploposicion lógica no es mas que un signo contpuesto con arreglo a una regla determinada; signo que posee un "sentido" que se mantendrá en cualquier lengua a la que se traduzca Ia proposición
anterior. Y es este "sentido" el que Frege denomina pensamíento. independiente, por tanto, de la representación sensorial del mismo, de Ia actir.idad psicológica o espiritual más o menos subjetiva. Lógica frente a gramática, psicología, teoría dei conoci-
a
b
d b
miento. A.4. )281 (b - a) -+
(a
-,>
[l
para expresar la generalidad y letras para representar aquello que posea un significado completamente determinado. no pretenda ser un cálculo sino una conceptografía que permita Ia traducción a signos que reflejen las relaciones entre 1os conceptos simbo-
b a
A.5
131
s por ello por lo que su ldeogralia,
-lJ-/ aunque se inspire en la aritmetica en cuanto ai uso de letras como variables y como constantes, letras
-b)
I
lizado. mediante un rnanejo por
reglas estrictamente especificadas. Y
es punto que mantendrá frente a
A.6.
411
Schróder. quien en 1880 critica el ern-
a-)--a
I
f(d)
3. PARA LA PRESENTACION de su sistema, Frege elige un total de nueve axiomas
que, junto a las cuatro reglas, implican
que dicho sistema de axiomas es completo,
AT.lszl ("= o) +(/(c)-+
/(d1)
r
(c)
(c= d)
y
A.8.
A.e
54
c=c
ise) ¡x¡r6¡-rg¡
(54)
(58)-
meración en Begriffischrift (izquierda) simbolizados también con notación no fregeana (derecha). Junto a las reglas de
(c:c)
J
4_.,a,
en el sentido de completitud de sistemas formales posterior (para Ia lógica de primer orden). La elección está presidida por el uso de cada una de las cuatro constantes lógicas primitivas. En c¡ se dan los axiomas que Frege establece, con su nu-
l(c)
separación o Modus ponen.s y la de sustitución, estos axiomas constituyen un sistema completo para el cálculo proposicional. En B se dan los axiomas de identidad y, en
110
7,
el de cuantificación. TEN,rAs
I
pleo en el Bs de signos diferentes a los
aritméticos para expresar el pensamiento puro, la lógica. Frege replicará en 1882 indicando: "Enrealidad, yo no
he querido hacer un simple calculus ratiocinator sino una lingua characterica lsicl en el sentido de Leibniz." Y ello hasta eI extremo de que si se partiera de un cálculo al estilo del álgebra lógica se está condenando a mantenerse en una especie de álgebra
abstracta, vacía, mientras que puede concebirse una língua characterica que no aboque en un cálculo por el mero cálculo. El cálculo no debe considerarse como otra cosa que como un complemento de dicha lingua. Y es lo que Frege mostrará en Bs. Tras indicar el manejo de Ietras, con
su diferencia de constantes y variables, al modo de la aritmética, Frege pasa a determinar el elemento básico de su Ideografía: eljuicio o la aserción. No el concepto, como venía siendo
en Ia tradicional en lógica -salvo venÍa siénestoica-, o la clase como dolo en la lÍnea booleana. Bien entendido que sin dar, en su ldeografía, una definición de lo que entender porjuicio,
ya que en la Ideografía se manejan un lenguaje de fórmulas, por lo que sóIo podrá establecer reglas
fórmulas,
es
o instrucciones para la manipulación de los signos que en ella se utilizan. Es
advertencia válida para todos los restantes elementos lógicos que Frege introduce. Yes punto que novio Russell, por ejemplo, en Ia crítica de las ideas de Frege que agrega como apéndice a Los principios de la matemá.tica,L903, donde señala que Frege no define qué
eljuicio, la negación. Só1o años después Frege indicará el concepto de proposición al que antes he aludido, sea
pero apoyado ya no en el contenido de un juicio, sino en su distinción entre sentido y referencia.
Frente a los formalistas que llegan identificar numeral y número, Frege distingue tres planos: expresión, contenido judicativo de esa expresión y aserción ojuicio del contenido o pensamiento. Lo único que importa en la Ideografía es el contenido judicativo. a
"Los griegos vencieron a los persas en
Platea" y "los persas fueron vencidos por los griegos en Platea" son dos expresiones diferentes, pero presentan el mismo pensamiento, el mismo contenido. Contenido que puede ser convertido en aserción, aunque sea
Ia expresión gramatical y no para e1 contenidojudicativo ni para e1 conceptual. Es punto de partida que conduce a que la única diferencia que importa entre contenidos judicativos sea Ia que existe entre universales y particulares, porque dicha distinción 1o es en cuanto a contenido conceptual y no sóIo en cuanto a expresiones. De esta manera quedan fuera de Ia lógica las viejas distinciones entrejuicios categóricos, hipotéticos, disjuntivos... Igualmente, conduce a admitir que ia negación se aplica a contenidos de juicios y no a la sola expresión de 1os mismos, contenidos a los que harán referencia. por modo exclusivo, 1as restantes constantes 1ógicas que explicitará Frege. Desde este enfoque que diferencia radicalmente lógica de gramática y de teoría de1 conocimiento. Frege se ve obligado a rechazar 1a posibilidad de distinciones modales como tema propio de 1a lógica. Así, "es posible que la Tierra choque algún día con otro cuerpo celeste" es una expresión en 1a cual quien la afirma no conoce 1as ler,es de las cuales pueda seguirse 1a negación:
en otras palabras. una drstinción modal de posibilidades o de necesidad se refiere más a1 fundamento cognoscitivo que se tiene en el momento de enunciarla, que al contenido de1 juicio. Desde esta posición. aliada con 1a negatir-a a cornenzar por el cálculo para alcanzal el concepto, se invalida cualquier construcción lógico-modal.
para poder reflejar los tres planos: I expresion-contenido judicativoaserción de ese contenido, Frege crea un simbolismo especial. La expresión del contenido de juicio la representa
por una mera abreviatura, una letra gótica que aquí reemplazo por letra 1atina como A. Ei contenido del juicio que se abrevia en la expresión porA, r.,endrá representado por
un trazo
horizontal o trazode contenido: A, - de que indica una simple conexión expresa si reconoce
o
no su verdad". Y
la aserción de ese contenido. cuando puede convertirse en juicio, vendrá dada por un trazo vertical antepuesto
a la lÍnea de contenido'. trazo de juicio. Así, el pensamiento "los polos
incluso puedan existir contenidos que carezcatr de la expresión asociada correspondiente. Ello conduce a rechazar la distinción entre sujeto y predicado, válida fundamentalmente para
1os
GneNoss MATEMÁTICoS
e
ralidad, identidad de contenido y aquellas mediante las cuales se establezcan las relaciones entre contenidos judicativos elementales dadas por la condicionalidad y Ia negación. En otras palabras, los contenidos de pensamiento puro serán aquellos que pueden representarse con ayuda de 1a 1ógica proposicional y de Ia 1ógica de predicados con identidad. La descripción semántica de estas constantes 1ógicas prirnitivas y de Ias que pueden definirse en términos de 1as rnismas.
completará Ia prinlera parte. el prirner capitulo, de este apartaclo. La condicional idad r-iene lepresen-
tada por un trazo de condición vertical que afecta a1 contenido dejuicio y está estudiada de manera veritativofuncional, en paralelo al condicional lónico, aunque probablemente Frege no conoció 1a construcción de Filón de fi
l{egara, por
1o
cual podría afirmarse
que redescubrió independientemente Io que después se calificaría de "implicación material". Es punto, en cuanto
a posibles influencias históricas, váIido para el empleo de letras corno variables ya utilizado porAristóteles, en el que estimo que tales influencias no
existieron en Frege,
a
pesar de sus
11a-
madas a Leibniz. Lo que expresa el esquema
F--A
lB
es Ia exclusión del caso'A es negado y B afirmado", mientras que tiene Iugar uno de los otros tres casos. Es
decir,
e1
esquema sóio excluye el caso
en el que ".B" es verdadero ¡, "4" es fa1so, ya que: "Si A y B se ponen por
contenidos que puedan hacerse juicios, hay las cuatro posibilidades:
ideas "sobre Ia cual el escritor no
magnéticos opuestos se atraen entre sí" es, como pensamiento, un contenido de juicio y puede representarse por " donde A es la abreviatura, -4", material del contenido:1a Ia expresión conversión de ese pensamiento en juicio vendrá representada por " FA". De esta forma Frege indicará: "EI signo l- es el predicado común para todos
independiente de tal aserción
Establecido el modo básico de representación de la aserción de un contenido judicativo, Frege pasa a describir las constantes Iógicas primitivas. Serán, exclusivamente, las de gene-
juicios."
1. Se afirma A y se afirma B 2. Se afirma A y se niega B 3. Se niega A y se afirma B 4. Se niegaA y se niega 8".
Frege precisa que la traducción, Ia lectura de esta representación del condicional por "si... ", no es totalmente adecuada. saivo en el caso en que exisque es imta una relación causal posición excesivamente-1o restrictivaentre 1os contenidos representados por A y B.Lo cual viene a indicar que el condicionai no tiene por qué darse precisamente con relaciones causales entre los contenidos de los juicios.
lH
a'+
1.
11l
2.
l2l (c
-->
(b -+ a)) -+ ((c -+ b) -+ (c
+
+
a))
-->
((c
b)
+
(c -+ a))) + ((b -+ a) -+ ((c
((c -+ (b -+ a)) -+ ((c,+ b)
-+ ((b -+ a) + ((c -+ b) Sust. en A.2. a
(b
-->
> b) -+ (c -+ a)))
+
(c
+ a))) -+ (((b )
a)
+ (c + (b -+ a)))
-++ (c --> a))))
I (c -+ b) -+ (c-+ a), b I c-+ (b + a): c I b )
lal ((b -+ a) -> (c -+ (b + a))) + ((b
-->
a
a) + ((c -+ b) + (c, a))) M.P.4.5.
(b -+ a) -+ (c + (ó -+ a))
7,
Sust. en A.1 . a o.
a)) A.2.
l3l (b -+ a) > ((c -+ (b + a)) -+ ((c --» b) -+ (c -+ a))) M.P.2.3. ((b --; a)
6.
r
+
- a)) -+ ((c Por Sust. en A.1. a I (c --> (b -+ a)) -+ ((c -+ b) : (c -+ a)); b I b -+ a
(c -+ (b
3.
4.
(b -+ a) A.1.
l5l (b
9.
-->
I b -: a; b I
c
a) -+ ((c -+ b) ,+ (c -+ a)) M.P.6.7.
(b --: a) -+ ((d
+
b) -+ (d
-->
a))
Sust.enBcld 10.
((b -+ a) -+ ((d -+ b) -+ (d J a))) + ((c -+ (b + a)) -: (c + ((d - b) ; (d -+ a)))) Sust. en I a I (d+ b) + (d -+ a); b I b -+
11.161
(c+ (b-+ a)) + (c-+ ((d-+ b) :
12.
((b
-->
a) -+ ((c -+ b) -+ (c
Sust. en 11. a 13.171 (b
)
a)
)
+
a)))
(d -+ a)))M.P,9.10.
=
((b -> a) -+ ((d
(c
-->
b))
> (d -+ (c -+ a))))
((d -+ (c -+ b)) -+ (d -+ (c -+ a)))M.P.8.12
señalando entre corchetes la equivalencia con las originales. Se indican las sustituciones simultáneas que deben hacerse en cada una de las líneas indicadas. Estas fórmulas sólo utilizan
La escritura del condicional obliga a que el antecedente se escriba deba-
jo y el consecuente arriba. La aparente arbitrariedad de esta colocación se justifica en el modo de inferencia fregeano. Las dos aserciones juntas, la dada por el condicional y la dada por el antecedente, aseguran la aserción "FA". Basta borrar el antecedente. Que la afirmación de las dos aserciones indicadas dé paso a Ia aserción del consecuente, constituyendo
así un modo de inferencia, viene asegurado porque de los cuatro casos posibles antes reseñados, eI tercero queda eliminado por eI condicional,
mientras que la aserción del antecedente elimina el segundo y el cuarto, por lo que sólo queda la primera 112
-->
/ c ) a; b I c -+ b; c I b --> a
4. PRIMERAS SIETE FORMULAS que Frege demuestra en su Ideografía. Se las ha "traducido" a una notación más actual,
posibilidad.
a
los dos primeros axiomas del cálculo proposicional y, además de la regla de sustitución, aunque Frege no la enuncia de modo explícito en parte alguna, se emplea la regla de derivación
Mod,us ponens (que dice que, dada
una fórmula condicional, probado el antecedente, se sigue el consiguiente).
Esquema de inferencia que Frege propone como único afirmando que toda inferencia puede reducirse a este modo, al menos en la lógica proposicional: "empleo únicamente éste (modo de inferencia), al menos en todos aquellos casos en los que un nuevo juicio se deriva de más de uno" (parágrafo 6). Ello implica, sin embargo, un problema: la posibilidad y la conveniencia de que existan otros modos de inferencia. Un modo único quizá sea poco en e1 sentido de que las deducciones se hacen muy largas y exige un número mayor de premisas de las que partir, por lo que en ocasiones conviene introducir abreviaturas y nuevas reglas de inferencia; pero un único modo permite un rigor absoluto. Y éste es uno de los objetivos fre-
geanos. Otro problena se centra en si Frege, de hecho. maneja con exclusividad este modo de inferencia que no
otro q:ue el moclu.s poltens o regla de derivación o separación. Y. de hecho, y a pesar de las afirmaciolres constantes de que es su único mocio de inferencia, se manejan ott'as tres reglas, aunque se regule su Llso en cuanto al manejo de 1as letras; en particular, para el cáiculo proposicional, una regla de sustitución para variables es
proposicionales.
¡l'I omo segunda consl a nre Jogica p ri\-/ mitiva para 1a lógica proposicional Frege caracteriza
1a
negación con
las palabras: "Si un pequeño trazo vertical se liga por debajo a la línea de contenido, se expresará la circunsTENTAS
1
tancia de que el contenido no tiene lugar" (parágrafo 7). Así
-
r--4 I
en que se aplica a nombres y no
se presente en metalenguaje. La
significará "A no tiene lugar".
expresión es
condicional y de La combinación la negación permite definir 1os restantes conectivos proposicionales: así, Ia conjunción y Ia disjunción de la que de1
Frege empleará únicamente su sentido no excluyente (frente a Boole, por ejemplo, quien manejaba la disjunción excluyente). Se reconoce, igualmente, e1 hecho de que el condicional podía tomarse como una constante 1ógica no primitiva, definido en términos. por ejemplo, de conjunción y negación. Sin embargo, la facilidad para el manejo de la inferencia es 1a que ha conducido a la elección de dicho condicional como constante Iógica pr"imitiva. En la elección pulamente convencional, por adecuada ai sinlbolismo y
a la inferencia. difiere Frege de
a
contenidos." No es, por tanto, identidad de objetos; de aquí que la definición fregeana
l__
(A
= B)
que significa "el signo A y el signo B tienen el mismo contenido conceptual, de forma que en lugar de A se puede poner siempre B y viceversa". trl juicio de identidad no es otra cosa que 1a aserción de que, en ocasiones, puede
representarse el mismo contenido mediante dos maneras diferentes de
determinación y Frege aclara este
hecho con un ejemplo ton-rado de Ia
1a
f(A)
f
a
r(x)
b
s(x)
*l-
d
-$, I
s(c)
1.
(d -+ (b -+ a)) -+ (b
2.
(a) r(a)
-->
4
s(c)
su)
(d -+ a)) A.3.
+
-+ (9(x) -+ l(x)) Sust. en 2. f(A) I g(A); c I x
f(a)) -+ (s(x) -+ f(x)) -+ (s(x)
">
(((a)(s(a) + f(a))) -+ (x)))
identidad. Introducción que preten-
gs Iv{ATE\{ÁTrcos
((a)(s(a)
-->
n",
/(c) A.9.
lo pronto, comienza con Ia introducción
o
L
¡16¡
3, (a)(SG) '-> f(a))
GR.rx
(a)
r(x) (8)
a una copiosa y amplia literatura en la filosofía de la lógica posterior. Por
yaba en el principio ontológico de los indiscernibles. Frege comienza su parágrafo 8 afirmando: "La identidad de contenido se diferencia de la condicionalidad y de Ia negación
"I
o
su)
s(c)
Descritos los elementos básicos
de ser, y es, Ia primera definición de carácter estrictamente 1ógico de esta relación, dado que 1a definición aportada por Leibniz, por ejemplo, se apo-
puede hacerse por ia mera observación de dichas expresiones ni por La obsen ación del contenido de cada una de ellas. sino que se obtiene después
(Aj
para la lógica proposicional, se pasa a una introducción semántica de 1a teo-
1a
Pero es juicio de identidad que no
slA)
tencia no iógica, pero no asegrrrada sino puesta como antecedente de las proposiciones que constituyen 1a clase.
de un predicado de dos argumentos:
por "el centro de la circunferencia circunscrita a un triángulo rectángulo" y B por "el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo". La identidad fregeana indica que las dos expresiones, diferentes, poseen el mismo sentido, e1 mismo contenido.
r(x)
sentido de estimar que en la matemática todos los teoremas r.ienen establecidos bajo una estructura implicacional. Tesis de Peano retomada por Russell al sostener que la matemática no es otra cosa que el conjunto de proposiciones de la forma "si -81 entonces 7". Argumento que esbozará, nuevamente, para hacer aceptable axiomas como el de existencia dei infrnito, exis-
sión conceptual por parte de Frege y
geano, puede estimarse queA se pone
(o)
tipo de implicación. Implicación convertida en elerlento base de Ia lógica matemática a partir de Peano en el
no es fregeano) con identidad. Es paso que va a dar origen a una continua revi-
que uno y el mismo punto queda "determinado" de dos maneras distintas. Aunque no sea el ejemplo fre-
r(c)
posición de I'IcCo11. quien desde 1877 sostenía el punto de r-ista de que la lógica tenía como objetivo fundamental el cálculo proposicional en el que el principal conectivo debía ser algún
ría de Ia cuantificación (término que
geometría donde obtiene, realtipo de identidad- en el mente, este-de
5.
g(x) -+ ((a)(g(a) --; l(a)) -+ f(x))M.P.3.a.
5. FORMA EN QUE FREGE demuestra el modo de inferencia Bárbara cuando la premisa menor, g(r), posee un contenido particular @rriba). En la parte inferior se indica, en símbolos actuales, ese mismo modo de inferencia indicando los axiomas que se utilizan y dónde realizar las sustituciones debidas. 113
r0) F(v) F(e) F(x, e)
F(d) F(c , d)
F(c)
en lógica vuelve a renacer como problema, aunque en general se vuelva a Ia concepción de identidad no entre nombres sino entre objetos. Por otro 1ado, la distinción fregeana entre "sentido" y "referencia" va a constituir el punto de apoyo de gran parte de Ia semántica filosófica de este siglo, aunque es distinción ausente de1 Bs.
Para poder establecer la nuel,a constante lógica de generalidad, la cuantificación, Frege pasa a elaborar 1o
F(a) F(b , a)
F(b) F(x) 6.
PRINCIPIO DE INDUCCION comple-
ta, que, en Frege, adopta la sigrriente
for.
mulación: "Si ¡ tiene la propiedad -F que es hereditaria en Ia /-sucesión, e -r sigue a r en la.7'-sucesión, entonces -r' tiene la propiedad F." La ilustración reproduce, sin utilizar ninguna abreviatura, la forma que adquiere el principio en la Ideografía. Indica, a la vez, las dificultades del simbolismo fregeano.
de realizar unas pler-ias determinaciones o constl'ucciones. El
asercion eue tr'á:
juicio.la
c:t3: col):tluccio-
nes se logra. es qr-re at-nbos puntos son el mismo. Y esta aset'ción es lo que ex-
presa e1 juicio de identidad. -\serción que Frege caliñca como juicro sir.rté-
que considera uno de sus hallazgos
fundamentales: el de función. Concepto que adopta del hacer matemático, así como la notación empleada. pero que estima de un caráctel más general. al igual que adoptara de 1a aritmética 1a distinción de leti.as para variables ¡' letras para constante,{: \-
adopción, pero ampliada. polque estima que ambos casos poseen L1n carácter más gener"al que el que 1es
\Zparahac€r rrlá¡ clalu. o aci pr¡ble. I esra introduccion. F''ese c¡rtivnza por unos ejemplos quÍmicos con 1os cuales muestra cómo analrza una proposición no en sr-rjeto r pt'edicado sino en al'gumento r lunc.,,r. Sea
Lrna
expresión como 'Juancrto come hierba" (ei ejemplo no es de Flege. clar.amente). Si en lugal de Juancito" se pone "Jaimito". 1a e:plesión seguir.á siendo r-álida. Se pr-rede leemplazar.el tér'mino''Juancito' por ott'os tér'minos o. con generalidad. pol un lugalvacío: "t ) come hielba . r'ello de manera
tal que. a1 cubrrl ese espacio vacío por: un término conr-eniente se tenga 1a
J o qtre pleterrde hacer r el Flege es J-./ q,-,e el sieno - " simboliza la iden-
judicable. Y lo ser'á cuando e1 término sea conr"eniente. en cu).o caso dicho tér'mir.ro poseer.á la pi'opiedad indi-
tidad de 1os contenidos de las expresiones entre las cuales se intercala. Pero el1o supone una dificultad. ¡.a que si el juicio se refiere a los nombres.
a las expresiones entre las cuales se intercala. entonces la formulación de dicha identidad no sería un problema Iógico ni geométrico, sino estrictamente gramatical. Es dificultad vista por Frege posteriormente al Bs: -t'a que si en "A = B" se hablara sólo de los signos "4" y "8" entonces "no interesarían ¡,a 1as cosas mismas, sino tan sólo nuestra manera de referirlas". Es
dificultad que pretenderá superar mediante el abandono del "contenido" que jamás ha definido, creando 1a distinción entre "sentido" y "referencia". Distinción que le conduce a Ia posterior supresión de este tipo de identidad en beneficio de la igualdad matemática. Ei problema de Ia jdentidad 1 1.1
1a
pro-
pia función se representará, igualmente, por una letra. Representación que Frege hacepor"0 (A)" para la función de un argumento y "O (A, B 1" pa¡a la de dos argumentos. Si al reemplazar "convenientemente" 1a letra entre paréntesis resulta que el contenido obtenido es capaz de ser convertido en juicio, en aserción, entonces es que el
argumento satisface 1a función,
es
decir, posee la propiedad determinada por la misma. Y ello es lo que expresa
la aserción correspondiente que vendrá representada por "l-OtAr" que indica'A tiene ia propiedad O";mien-
tras que la as erción" I O (A. B l" puede leerse como "B está en la relación O con 4". Si se intercambian 1os argumentos A y B entre sí en una función de dos argumentos, puede no tenerse una aserción y, de tenerse, puede no
coincidir con
1a
original.
sirr.e de modelo tpar'ágrafo 10'.
tico en terminología kantiana e incl uso afir'ma que e1 mecari:nto pa|a alcanzaljuicios de esre ripo e. un nlecanismo r.álido para la creación de
tales juicios.
indeterminadas, mientras que
expresión completa
qr-re
podrá
o
no ser
cacla por la otla par"te de 1a expresión; en este ejemplo. "Juancito" poseerá la
plopiedad de comer hierba. Todos aquellos términos que permitan cubrir
e1
espacio \-acío constituirán
1os
arguntentos. mientras que 1a propie-
dad que 1os mismos poseen, Ia de "comer hierba". constituye la función
pala tales argumentos. Si ahora se toma 1a expresión "Juancito ama a Juancita". en lugar de "Juancito" y "Juancita" pueden colocarse otros términos por argumentos, por Io que la expresión general tendría dos espacios vacíos "( ) ama a ( ),,y la fun_ ción "ama a" será una función de dos argumentos; como "( ) es menor que ( )". E1 proceso puede continuar generalizándose para obtener funciones piuriargumentales. Los espacios vacíos se representa-
rán por letras entre paréntesis, como
[f n la Ideografia. Frege no da defi-L./ niciones. si no meramente reg'las
de manejo de fórmulas. De aquí que Fi'ege no establezca definición aiguna
que sea una función. Tema al volverá posteriormente en varios ensa\-os como los que he mencionado antes. Tampoco indica cómo establecer la 'conr.eniencia" en el reemplazo de una indeterminada en el espacio vacÍo pala obtener la aserción de una lunción. Igualmente, se mantiene alede
1o
qr-re
jado de los conceptos matemáticos de dominio ]' contradominio o recorrido que podrÍan entrañar un aspecto extensional a1 interpretarse como conjuntos o clases. aunque ambos estén pr'ácticamente expiicitados. dado que aquellos indeterminados que reempiacen e1 lugar r.acío constituirán el dominio de'la lultciolt. mienLlas que 1os que sirvan pala dar la aserción constituirán el i'ecolrido de 1a misma. Será posteriol'mente cuando introduzca la noción de "recorrido de valores", obligado pal'a 1a calacterización del número natural como cardinal. Y así, en el parágrafo 9 de las le1,es basi-
de la ctritntétícc¿. de 1893. afirmará: "La introduccrón de 1a forma de simboiización de extensión de conceptos (recorrido de r.aloresl me parece ccLs
que es una de las más fructíferas extensiones de mi ideoglafía que he hecho desde mi primera publicación sobre esta materia". Introducción que, sin embargo, le alejará. como reconoce
en 1910. del carácter estrictamente formal explicitado en Bs. Alejamiento en el que ve una posible causa de la aparición de las antinomias, iigadas, precisamente, a 1a noción de "extensión de concepto". TE\'rAS
1
Además, Frege, en 1a explicación que hace de la noción de función viene a indicar 1a posibilidad de 1a cuantificación de predicado. Sus palabras: "también podemos considerar a O (A¡ como una función del argumento @" (parágrafo 10). Una exposición sistemática de la 1ógica como cálcu1o puede no hacer uso de este tipo de cuantificacion. Frege la emp'lea en varias oca-
siones, fundamentalmente en su último capítulo, al tratar de definir, por medios estrictamente lógicos, Ia noción de sucesión y el principio de inducción completa. Es el análisis de una proposicion en
letra funcional y argumento el que permite superar a Frege la clásica distinción, de origen gramatical, entre sujeto y predicado. Análisis por el cual puede establecer uno de los logros más definitivos de 1a Iógica matemática:1a
teoría de la cuantificación. Siguiendo con Ia función, puede ocurrir que todo término que se reemplace en e1 argumento de una función posea esta propiedad; y la expresión de este hecho viene simbolizada por Frege dotando al trazo de contenido de una concavidad en Ia cual se coloque una letra gótica
minúscula. 1a misma que debe situarse en el argumento de la función. Es la aserción de que fodo cumPle la propiedad O, v viene representada por
ig-o
ü)
Y según se vayan reemplazando las le-
tras góticas pueden irse obteniendo
aserciones particulares. La concavidad aon la negación permite la expresión de aserciones existenciales, en el sentido de la lógica clásica. El manejo del cuantificador exige
algunas condiciones. Por Io pronto, debe estar sometido a que cualquier
sustitución que pueda hacerse en una
función tiene que dar un contenido que pueda convertirse en juicio: "Si una combinación de signos que siguen
a un trazo de contenido puede convertirse en juicio, entonces esa posibilidad permanece inalterada por una sustitución" (parágrafo 11). Además, la letra gótica situada en la concavidad del trazo de contenido aparece como una variable ligada y, por ello, es diferente a una variable libre (términos que no son de Frege, sí su concepto). La concavidad "delimita eI alcance que cubre la generalidad indicada por la letra. La letra gótica retiene un significado fijo sólo dentro de su alcance propio; dentro de un juicio, la misma Ietra gótica puede ocurrir en alcances diferentes, sin que eI significado atribuido a ella en un alcance se extienda a ningún otro". Igualmente, eI alcance
GBeNoss MATEMÁTICos
deseo de
distinguir estas dos posibili-
dades introduce otra notación para expresar 1a generalidad: emplear una letra itálica no precedida de cuantificación; así, "l--X(a)". Pero, condición
que Frege impone, debe quedar
abierta la posibilidad del paso de una a otra expresión. "Por ejemplo, en lugar de
l-
X (a¡
podemos escribir
* g _x
trtr
si a ocurre únicamente en los lugares de argumento de X (o.)." No voy a detenerme más en 1o que no es otra cosa que una descripción de
las reglas básicas de la lógica cuantificacional o de predicados. Reglas con 1as que cualquier tratado comien-
casos en los
za hoy día. Me bastaba indicar que ellas están expuestas con nitidez y rigor en este libro de 1879, cuando todavía en 1894 Peano estimaba que la teoría de 1a cuantificación era complicada, por lo que se limitaba a dar, no la teoría, sino ejemplos de la misma, aunque posteriormente, en 1897. la restableciera e incluso diera nombres a Ios distintos tipos de varia-
ciales la sustiiución no es posible, como cuando el contenido del juicio está bajo el alcance de la letra gótica,
ficación que fue redescubierta no sólo
de una letra gótica puede incluir
otras, pero en este caso debe tomarse la precaución de que las letras deban ser elegidas diferentes, sin confun-
dirlas.
Tllrege reconoce que hay
-tl
MAQUINA CALCUIADORA diseñada por Gottfried Wilhelm Leibniz, para multiplicar y dividir mediante la adición y la sustracción iterada. Quizá no llegó a construirse en su tiempo. Este modelo es una versión aplicada siguiendo sus indicaciones, construido en 1923. Frege pretende que su Ideo' 7.
es decir, cuando esta letra tiene por alcance a la totalidad de 1a expresión en Ia cual interviene. En este caso, sobra expresar 1a cuantificación. Y con
bles bajo los términos de real y aparente o libres y ligadas. Cuanti-
grafía sea un cálculo lógico, pero también que refleje el pen' samiento puro y ello en el sentido de que, para é1, el signo es inseparable pero consecuente al contenido que representa. Los elementos fundamentales de la máquina eran ocho cilindros que portaban dientes de distinta longitud. 115
mero cálculo. Sin embargo, tal construcción puede enfocarse de esta última manera tras ia exposición de la morfología correspondiente y en-
u (coNJUNTO UNTVERSO)
v (vERDADERO)
o (coNJUNTO VACTO)
F (FALSO)
el enfoque muy posterior a Frege, pero que ha prevalecido en 1a exposición de
p,q,a... (PROPOSICIONES)
Ias teorías formales, especialmente desde los entornos de 1930, tras los teoremas de incompletitud de siste-
a,b,c,.." (CONJUNTOS, SUBCONJUNTOS, ELEMENTOS)
a
u
pv
q (DISYUNCION: O BIEN pSOLO O q SOLO, O AMBOS, SON VERDADEROS)
b (REUNION: TODO a Y TODO b)
a n b (INTERSECCION: LO QUE a Y b TIENEN EN COMUN)
p.
a=b(IDENTIDAD: aYbSON
p = q (EQUIVALENCIA, Sl Y SOLO Sl p ES VERDADERO, g ES VERDADERO)
VERDADEROS)
EL MrSMO CONJUNTO) á' (COMPLEMENTARIO: RESTO DEL CONJUNTO UNIVERSO QUE NO ES a)
a
e b (INCLUSION: a ES ELEMENTO DE
q (CONJUNCION: AMBOS, p Y q, SON
-
b)
p (NEGACION:p ES FALSO)
p:
q (IMPLICACION: Sl p ES
VERDADERO, q ES VERDADERO)
8. GEORGE BOOLE, desde 1847, y partiendo del hacer matemático, había realizado la construcción de una álgebra lógica, esto es, aplicar el rálgebra para fundamentar la lógica. Boole parte de las nociones de clase, elemento de clase y operaciones con clases. El enfoque estriba en que las leyes del pensamiento, las leyes de la lógica, deben ser del mismo tipo que las q,e gobiernan el rílgebra; es decir, la validez de los procesos del álgebra no depende de la interpretación de los siglr.os, sino de las leyes de combinación de los mismos. con estas ideas, Boole algebriza la lógica obteniendo un sistema algebraico que es, en términos actuales, un retículo booleano. Dicho retículo, como álgebra lógica o álgebra simbólica, presenta dos interpretaciones: por un lado, una álgebra de clases; por otro, una álgetrra proposicional.
por Peano, sino por Mitchell y por
cionesenloslugaresdeargumentode
Peirce independientemente de Frege O (a)".
y entre sí.
El hecho es que Frege agrega a las dosreglasdelcálculoproposicional(la
f)odría indicarse que las cuatro -F reglas no están establecidas
explícita delmodusponensylairnplí- como modos de inferencia salr¡o eI cita de sustitución simultánea de mod,us ponens, porque las mismas se variables proposicionales) otras dos justifican por modo exclusivo en para el cálculo de predicados. La ter- cuanto al uso simbólico. y ello quizás cera regla no es otra que la señalada aparezca más claro en el capítulo 2, más arriba: el paso de la expresión de en la exposición sistemática de la la generalidad sin cuantifrcador a la lógica, ahora como cálculo, presentaexpresión con cuantificador; es la que ción que no es la de una teoría formal 'hoysedenomina"regladegeneraliza- axiomática, sino más bien presentacíón" . La cuarta regla la enuncia Fre- ción sistemática de la lógica con ayuda ge inmediatamente tras la anterior: de la Ideografía, de un simbolismo "Es claro también que de adecuado. Realizada la descripción del simbolismo y, con é1, una serie de principios del pensamiento puro, Frege pasa a =-a-_AA@) podemos derivar
o@)
A
si A es una expresión en la que tz no ocurre y si a ocupa únicamente posil16
tonces queda englobada como una exposición más formal axiomática. Es
mas formales; concepto de sistema formal inexistente en Frege e incluso opuesto a su concepción de 1a lógica, como he venido indicando.
El objetivo de Frege es: "Parece natural derivar los juicios más complejos de los más simples, no para hacerlos más ciertos, 1o que sería innecesario en muchos casos, sino en función de hacer manifiestas las relaciones de unosjuicios con otros. Conocer meramente las leyes no es evidentemente 1o mismo que conocerlas junto con las
conexiones que tienen con otras"
(parágrafo 13). De aquí que pueda llegarse a un pequeño número de leyes
que, junto a las contenidas en 1as reglas, posean el contenido de todas 1as demás, aunque en estado no explicitado, no desarrollado. Y Frege señala cómo, para hacer ese desarrollo ),'esas conexiones visibles, es el modo deductivo de presentación el más adecuado. Bien entendido que no para hacer valer la certeza del pensamiento pu1'o. o para construir
ner conceptos
a
partir
juicios u obte-
de otros concep-
tos componiéndolos entre sí, sino para n-ranrfestar 1as relaciones de losjuicios de ese pensamiento puro entre sí. EI método deductivo como meramente organizativo. no como método de construc-
ción de sistemas ni de obtención de nuevas proposiciones. Es una concepción, nuevamente. encontrada respecto al enfoque estrictamente formai axiomático del hacer matemático. E1 problema se centrará. entonces, en Ia elección de aquellas ler.es que se adoptan como punto de partida; Ieyes que posean en sí todo el contenido de las restantes, junto a ias reglas, y que por e1lo mismo permitan obtenerlas. Frege reconoce que pueden adoptarse distintos conjuntos de leyes de par-
tida. Pero con esta breve presentación, perfila con relativa claridad lo que constituye un sistema 1ógico deductivo alavez que establece, esta
dar un tratamiento sistemático en su capítulo dos. Es la exposición del cálculo proposicional y del cálculo de predicados con identidad que, según acabo de indicar, aparece como expo-
ejemplo. Como indicará posterior-
sición sistemática y no como una mera construcción formal axiomática, como
mente, Ias expresiones "por Io tanto", "por consiguiente"... indican inferen-
vez con radical precisión,
1a distinción entre ley y regla. En este punto Frege se aparta mu-
cho más de 1a tendencia booleana, por
TENTAS
1
cias, pero nunca explicitan las leyes por las cuales se realizan dichas inferencias. Y lo que importa en el pensamiento puro no es sólo asegurarse de la certeza de la proposición inferida,
sino poner de relieve la justificación de dicha inferencia. De Io contrario, incluso pueden emplearse palabras como las anteriores sin que, de hecho, se tenga inferencia alguna. De aquí que en el Bs se expongan unos cuantos pensamientos puros en forma de cálculo, pero no en el aspecto booleano, no como mero algoritmo manipulador al estilo del álgebra lógica o de la suma y el producto, sino al estilo de un algoritmo como conjunto de reglas que regulen el paso de una o dos Proposiciones a una tercera. Con ello lo que se asegura es Ia exactitud del proceso demostrativo y no Ia certeza de la proposición obtenida. De aquí su permanente afirmación de que sólo hace uso de un único modo de inferencia, como regla, punto que fue descuidado, por ejemplo, por los constructores del álgebralógica (y no sólo por Euclides, quien no explicita las reglas de derivación de las que hace uso).
para la presentación de su sistema -f Frege elige un total de nueve axiomas que, junto
a
las cuatro reglas
ya mencionadas, implican que el siseI tema fregeano es comPleto -en sentido de completitud de sistemas
símbolo, del argumento al que sea idéntico. Ya apunté 1os problemas que el concepto de identidad entre nombres, no entre obietos, implicaba y los
posteriores cambios que el mismo
Frege tuvo que realizar en este campo. Por úItimo, Frege agrega una fórmula para reguiar la cuantificación, y que constituye su fórmula (58). De esta forma, Frege se Permite escindjr su sistema en varias zonas que
van superponiéndose: cá1culo implicacional y afirmativo; cálculo proposicional completo; cálculo de predicados; 1ógica de primer orden. Incluso al final de Bs, como apéndice, incorPora un cuadro en el que va señalando qué fórmulas se han ido utilizando para obtener cada una de las establecidas en Bs. La independencia o no de unas lespecto a otras leyes tomadas como axiomas no parece p'lanteat'se rti siquiera como problema. ]'Ienos airn. 1os problemas de completitud o consistencia. Ello exigiría un cambio epistemoló-
gico y admitir como punto de paltida no el concepto, sino el sistema formal. Y ya he indicado r-arias veces que e1lo supondría una posiciól-r opuesta a Ia
sostenida por Frege. En cuanto a 1a independencia. como demostró Lukasiewicz en 1930. la tercera lev de condicionalidad es consecuencia de las dos
primeras 1' el sistema proposicional
puede leducilse a solo tres axiomas.
siendo los dos primeros Ios de Frege y
formales posterior-. La elección está presidida por el uso de cada una de las cuatro constantes lógicas primitivas.
reemplazando 1os otros tres Por el
explicita en bloque, sino que va derivando de cada grupo de axiomas algunas de sus consecuencias. Así, las fórmulas que enumera por (1), (2) Y (8) constituyen los axiomas de condicionalidad; a ésta se agrega la negación y los axiomas que regulan ambos conectivos vienen dados por las fórmulas i23¡, (31) y (41). Son los seis axiomas que regulan el cáIculo pro-
escrito en notación. por supuesto, no
Y de tal manera que Frege no las
posicional. Dos leyes más para la identidad de contenido (52) y (54). Esta última no es otra que la ley reflexiva de identidad, mientras que la primera expresa
la ley de sustitución de la identidad. Es una expresión que manifiesta el carácter extensional de la ley de identidad en el sentido de que se Pueden reemplazar dos variables de individuo
entre sí en cualquier contexto sin el valor veritativo de las expre-
variar
siones en que se intercambian. Axioma que puede interpretarse extensionalmente en el sentido de que todo lo que se predique de un símbolo, de un argumento, tiene que predicarse del Gn¿.NoBs
MetsvÁrtcos
axioma
F ia -+ b¡ --> i-b -) -a), fregeana.
Construida la Ideografía, Frege
se
cree en condiciones de pasar a su obje-
tivo central: fundamentar Ia aritmética. Y, para ello, en Bs, en su tercer y último capítulo, muestra la posibilidad de este lenguaje de fórmulas para el pensamiento puro, para la construcción de la aritmética con independencia a cualquier contenido de 1os sentidos o de cualquier intuición a príori. Especialmente, se limita a una de 1as claves en dicha aritmética: la noción de sucesión que entraña una teoría de ordinales finitos. En particular introduce las nociones de antecesor, antecesor propio, corresponden-
cia unír'oca y orden lineal (fórmuias, respecti\¡amente, 76, 99, 115 Y 133, con la que termina Bs). Y trata de mos-
trar que la inducción completa puede ser incluida, con estas nociones, bajo e1 proceso de deducción, bajo e1 único modo de inferencia deductivo válido.
l\To iov a tratar. aqur. de este asI\ p*" final de Bs. qre solo constitu-v-e un inicio de 1a fundamentación
de la aritmética por parte de Frege ¡'
que, por ello, éste modifica en obras posteriores. Voy a mencional'. por modo exclusivo, no ya algunas proposicio-
nes, con sus demostraciones, sino algunas de las definiciones que indiquen tanto
1a
potencia de la Ideografía
como el peligro de dicha Potencia, especialmente las nociones de "propiedad hereditaria" y "antecesor de", por su influencia en Ia obra de Carnap, Quine y, por supuesto, Russell.
La noción de antecesor 1a trata de caractet:izar Frege en términos, siempre, de una relación binaria J, dada,
,r, TFOREIVIA 1 ., TEOREMA 2
ALFABETO
. O
TtrñPtrIVIA 3
GRAMATICA
\ Z
AXIOMAS
TEOREMA 4 al .aa
BEGLAS INFERENCIA
TEoBEN/A
5
: -.
¡l
9. SISTEMAS FORMALES ideados
por David Hilbert. contienen un algoritmo que
verifica de un modo mecánico la validez de todas las pruetras que puedan cons' truirse a partir de un sistema. El sistema formal consta de: un alfatreto de símbolos con ayod-a de los cuales puedan escribirse todas las proposiciones; una gramática que dltermina cuál es la forma como deben combinarse los símbolos; un conjunto para reduáe a"ioma", o principios adoptados sin demostrar, y reglas de inferencia cir los teorem-as a partir de los axiomas. Se obtienen los teoremas al escribir todas las proposiciones gramaticales posibles en el sistema y verificarlas para deter' minar áuáles son los concordes con las reglas de inferencia y, por tanto, válidas, Por ser esta operación realizable a través de un algoritmo puede llevarla a cabo un ordenador.-En 1931 Kurt G6del demostró que todos los sistemas formales venían a ser incompletos. 111
aunque indeterminada. Para hacer claro su pensamiento, aunque estima que el lenguaje ordinario, aquí, muestra aún más claramente su impoten-
cia para la auténtica expresión de eslas nociones. Frege pone un ejemplo. Sea f (.x, y,) la relación que indica que y es hijo de r, y sea -Fa la circunstancia, la propiedad de que a es un ser humano. Entonces cabe indicar que la propiedad F es hereditaria respecto a
1a
relación J ya que siy
es
r, y x es un ser humano, entonces y también es un ser humano. La hijo
de
propiedad de "ser humano" es hereditaria respecto a 1a relación "ser hijo de", ya que el hijo de un ser humano es un ser humano. Es la clave de la
afirmación de que una propiedad F hereditaria respecto a una /-sucesión. Que en formalización no fregeana sería: Her F = (b) (Fb --> ta t( J(b, a.t -> Fct )t sea
Inmediatamente pasa a caracterizar la relación "¡ es antecesor de.r' en Ia /-sucesión" o "r' sigue a.r en la J-sucesión", en términos de 1a noción de propiedad hereditaria F. Si se tiene Ia relación Jt,r'. r'r ;. si se r-erifica que cualquier elemento que esté J-relacionado con .r posee 1a propiedad .P, entonces.r, también posee la propiedad F,, cabe decir que -r' es sucesor de r. Es 1o que constitu¡.e la Def. 76 en Frege
y que voy' a representar en la forma :l,Ar-
l(.a)
rf(t,
= tFt( HerF__; a)
) Fa)+
4r ll
¡ determinado. Es lo que precisará Frege en su Def. 99, donde establece: "Si z es idéntico con x o sigue a r en la J-sucesión, entoncomience por un
ces digo: 'z pertenece a la J-sucesión que comienza con ¡'o'r pertenece a la /-sucesión que termina con z'."
fI ,o que quielo destacar es qtre en la delinición de anlecesor riene que utilizar la cuantificación de predicado. Interviene ya el "para toda propiedadl/". Le es inevitable para poder caractet:izat: 1a inducción completa
que enuncia en los términos: "Si ¡ tiene la propiedad F que es hereditaria en 'la /-sucesión. ¡ si.r, sigue a x en 1a f-sucesión, entonces;r tiene la propiedad F."
lr,.HerF -+
(rAy -+
ry)l
Como el punto de partida, la aritmética, es el mismo, Frege ha de coincidir aquí, anticipándose, con Dedekind
y Peano. La diferencia estriba en que estos dos últimos tratan de escribir
las propiedades aritméticas fun118
miento inductivo matemático, el número natural, ya que el concepto de sucesión introducido en Bs se le muestra como más general que el de cadena (de hecho,
e1
ejemplo aducido
permite la ordenación no lineal. sino arbórea), siendo esta última propiedad la caracterizadora de los naturaIes. Para e11o debe introduclr 1a extensión del concepto, adoptando como
paradigma 1a definición por abstracción mediante Ia reiación de
equivalencia. Y en esta línea coincide
también con Cantor. quien 1a inicra hacia 187,1 en corl'espondencia con Dedekind. Este
il
más allá I'especto a
Dedekind v Peano 1o manife,rtará
Frege en 1884. en los Fu¡tclontentos cle ctritntética. )-a que el Bs no contiene las nociones de clase o de extensiór-i de conceptos. manteniéndose en un plano lcL
de carácter estrictamente formal como comentará Frege en 1910. Plalro formal en ei que cree ver ia posibilidad
de evitar antinomias.
I rrepentimiento tar.dio. per.o que Il, tampoco hubiera impedido dicha aparición, porque
1a
misma
se
encuen-
tra larvada en Bs, en la afirmación que he citado de que una función O(A puede servir como argumento para O. junto al uso sin limitaciones dei cuantificador funcional. Es lo que aparece en la definición de antecesor, en algunas demostraciones de propiedades de
r
Eilo no significa que la f-sucesión
Fx -+
damentales, Ia estructura que subyace a las mismas, limitándose a establecerlas de modo axiomático. encubierto en Dedekind, explícito en Peano. Frege quiere ir más allá y tratará de definir el soporte del razona-
las sucesiones, donde rozala antinomia, como en la fórmula (91), que explicita: "De ia proposición
(¿¿),
'todo resul-
tado de una aplicación del proceso
¡ tiene Ia propiedad F',
/
a
puede inferirse, para toda F, que todo resultado de una aplicación del proceso / a r tiene Ia propiedadF'. De aquí también
inferir de Ia proposición (¿) ¡, la proposición de que la propiedad se puede
.E es
hereditaria en 1a /-sucesión, para
todo F, que todo resultado de una aplicación del proceso / a r tiene la pro-
piedad F."
Origen larvado de las antinomias, de la impredicatividad o círculo vicioso, es el "todas las propiedades" junto a la admisión de que una propiedad pueda ser propiedad de ella misma. En otras palabras, se centra en la potencia de la Ideografía para poder expresar cualquier tipo de cuan-
tificación, sin limitación alguna y no, como por otro lado es correcto, en la
afirmación de encontrarse en sólo la
extensión de un concepto. Potencia que sólo posteriormente precisará Frege al distinguir entre "función" y "concepto" de forma tal que impida que un predicado pueda ser predicado
de sí mismo, al admitir como argumentos sólo objetos.
H";"i::i,*"":ffi
:ft'iÍ:iÍ
'-'"1fl temático de 1ógica matemática.
A1
paso que otros autores (fundamentalmente 1os seguidores de 1a línea algebrizadora de Ia 1ógica, opuesta a la fregeana, iniciada por Boole ¡. seguida por Peano y su escuelal fueron avanzando en 1íneas parecidas. redescu-
briendo y reelaborando elementos de esta 1ógica. como por ejemplo la clave
de la misma, la cuantificación.
Elementos que plasmará Russell en la obra de propósitos de 1903, Los principios cle la ¡natentttíco ¡- culmlnarán
Russell ¡' Whitehead en Principia
)Ictthet¡taticn. Pero. como primer trabajo que condensa en sí todas 1as innor-aciones de la lógica matemática, el
Bs constituve un libro modelo. En é1, ¡- en los dos primeros capítulos, se e\ponen con total precisión y nitidez, como he intentado indicar. no sólo la
cuantificación y 1as reglas de su uso, sino la previa distinción del concepto cle furrcion logica de uno o tarios argumentos. la distinción y uso sistemático de letras para variables y constantes. qué sea un sistema lógico deductir-o v una exposición de dicho ¡iste m& donde Ias derivaciones se realizan atendiendo exclusivamente a 1a forma de 1as expresiones. se distingue entre lev y regla (distinción que sólo desde I 93 1 puede vol ver a supri mirse gracias a 1os teoremas de completitud
¡'de Herbrand, aunque a costa
de
sacrificar el concepto estricto de sistema iógico deductivo). Desde este
punto de vista, como liblo de centenario de 1a 1ógica matemática. y a
pesar de que contiene muchos otros puntos de indudable va1or, el tópico puede admitirse respecto a1 "naci-
miento" de 1a lógica matemática.
Quizá también la afirmación de Bochenski de que sólo puede compararse con otra obra: con Los analíticos primeros de Aristóteles. Una obra de este valor debería haber comportado una indudabie e inmediata repercusión. Sin embargo. a 10 largo del breve recorrido. he ido indi-
cando que muchas innovaciones de Frege fueron redescubiertas posteriormente al Bs, después de 1879. Lo cual implica Ia afirmación de que tal influencia directa e inmediata sobre Tgues
1
1a
lógica matemática no existió. Hubo
influencia. pero posterior. aunque ciertamente no en el centenario; sí a partir de 1a obra de Russell, fundamentalmente. Ello obliga a unas consideraciones, especialmente referidas al simboli.smo creado Por Frege. Es simbolismo que muestra una serie de ventajas indudables para el maneio estrictamente formal. La combinación del condicional con 1a negación y 1a concavidad permiten obtener cualquier tipo de expresiones. polque Ia flexibilidad de este simbolismo es muy superior a cualquier otro. Logra tanto 1a supresión de paréntesis como
mostrar cuál es la estructura de 1a explesión total: cosa que no consigue Ia notación polaca, por ejemplo. Sin embargo, también presenta algunas desventajas. Por Io pronto. 1a ocupación de mucho espacio para las derivaciones, a pesar de todos los procesos
abreviadores que se pr-reclen ir creando. Además, no es fácil para la imprenta. Razones, ambas. a 1as que e1 mismo Frege replicó en 1896. comparando su Ideografía con la obla de Peano, al indicar que no es ante 1as dificultades deI impresor ante las que e1 lógico matemático debe rendilse, porque "1a comodidad del impresor no es ciertamente eI suntmut¡t bonu.tn" .Igualmente. el hecho de que no siga 1a escritura tradicional de izquierda a derecha y de arriba abajo. sino que invierta este
orden. puede suponel ttn Primer punto de falta de habito.
\To 1\
son, sin embargo, objeciones
que puedan estimarse suficientemente fuertes, aunque 1as esgri-
miera el propio Russell. No constituyen, desde mi punto de vista, Y contra 1o que ha venido sosteniéndose, los motivos únicos por los cuales Ia Ideografía contenida en Bs, Y continua-
mente modificada por Frege hasta
alcanzan: Io que estima su perfección en-L¿s leyes basicas de la cu-itmético,no
fuera asumida por el hacer lógico matemático. Hacer que llegó a preferir 1a notación de Peano y su escuela. aceptada por Russell y Whitehead con algunas modificaciones, o 1a de Hilbert Y su escuela. Veo dos motivos, cuando menos, por 1os cuales el simboiismo
fregeano no fue admitido ni en su época, ni posteriormente, Y con el rechazo de su simbolismo se recha-
zaba e1 contenido que comPortaba. Por un lado, existe un factor Psicológico que enlaza pensamiento y lenguaje y que Frege no tuvo en cuenta. Y si lo tuvo fue, precisamente, Para
combatirlo. EI pensamiento dirigido,
conceptual, exige 1a maniPulación G
nrNr¡ ¡,s
]VIATE \I Á.IIC OS
mental de palabras como asidero
cantoriana y la de Frege, con elogio del mismo tipo que el russelliano Para
de
la construcción y el razonamiento. En el caso matemático, requiere una jerga que permite una mezcla entre signos
este último.
La consecuencia me parece muy clara: no se tenía necesidad de leer a Frege, de hacer el esfuerzo de romper con hábitos muy arraigados de lectura
especiales y palabras del lenguaje
ordinario para vehicular el pensamiento. Si éste carece de dicho sopor-
para alcanzar lo ya alcanzado y puesto en notación más clara y legible, más
te, tendrá que recurrir al proporcioimagen sígnica. nado por algún tipo Es lo que viene a ofrecer Frege. Pero una imagen despojada de su condición de imagen y, por tanto, inútiI Para eI pensamiento dirigido, conceptual; que dejaría de ser pensamiento dirigido, pensamiento puro en cuanto se dejara de
apta para el pensamiento dirigido,
conceptual. Incluso hoy, Ia vuelta a la lectura de Frege se realiza no en función de su Ideografía o de su sistema lógico (que no constitu¡ren en ei momento actual más que un mero Primer curso iniciai de 1ógica matemática) sino en función de sus ensayos 1ógicosemánticos, en función de la profundidad de sus análisis respecto a puntos clave de Io que estimar filosofía de
arrastrar estrictamente por la imagen sígnica, ya que alcanzaría, en todo caso, no eI estado intelectual, sino el de ensoñación. Por otro lado, fue el propio hecho de que Peano y sobre todo Russell hubieran llegado a las mismas consecuencias de construcción lógica de Frege, y Russell lo hiciera saber así, incluso publicando un elogioso resumen de las ideas del matemático alemán Para, a
la lógica. sto ultimo no implica, en modo ulg.,no. qre su influencia no hala sido extraordinaria, pero a trar'és, por
Tll I1
una parte, de Russell y Russell-Whitehead enPrln cipia Matemathica,y por
lavez, señalar la aparición de la antinomia que invalidaba el sistema fre-
otra, de Carnap
geano. Y si esto ocurría en la construcción lógica, se debe tener presente otro
punto. Frege había creado la IdeogTafía con un objetivo: fundamentar Ia aritmética y no con el puro y exclusivo deseo de crear un sistema lógico en sí. Sistema lógico que no era para Frege más que una pura herramienta. Y en esta labor se había oPuesto, Por un lado, a la tradición booleana Y no sólo en cuanto aI simbolismo aritmé-
tico
(1o
cual sería secundario, como
mostró Peano con su simbolismo), sino
fundamentalmente al Punto de Par-
tida, a la creencia base de Boole
Y de
prácticamente todos los matemáticos
:
la axiomatización
como elemento constitutivo central del hacer matemático. Por otro lado, Frege, al fun-
damentar la aritmética, tiene que introducir Ia noción de clase, aunque pretenda realízarlo con un enfoque intensional y no extensional. Y en este aspecto, Dedekind y Cantor habían logrado no sólo los puntos alcanzados por Frege, sino que habían permitido ir más allá en el hacer estrictamente matemático creando nuevos campos de investigación. Punto en el que fueron ayudados por Peano, quien no se limitó a formular un simbolismo ade-
cuado para realizar una crítica del pensamiento puro, sino que ideó un simbolismo apto y flexible para representar cualquier tipo de expresión matemática, alrnque el rigor conceptual fuera menor que el de Frege. Antes de Russell, Dedekind había indicado Ios paralelos entre su construcción,
la
1,
Wittgenstein, quie-
nes aceptaron, entre otras cuestiones. 1a distinción fregeana de Ia existencia de sólo dos tipos de juicios, analíticos
y sintéticos. distinción base para
e1
neopositivismo lógico, así como el criterio de aplicar la lógica matemática para un análisis profundo del lenguaje, tanto del fi1osófico como del científico. Bien entendido que como aplicación. no como campo de estudio propio.
Influencia determinante para 1o que vino en estimarse problema filosófico
central del siglo x\: 1a sen.rántica, inconcebible sin la obra de Frege en Ia forma que adoptó. Influencia que no
ha tenido paralelo en el hacer i.ntrínseco matemático, ya que éste siguió ia paralela a Ia línea cantoriana -1ínea de Frege si se identifica conjunto con extensión de concepto- a la vez que dicho hacer se orienta por la axiomatización formal, orientación opuesta y contraria a las creencias de partida fregeanas. Frege, en este punto, quedó
fuera de cauce.
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Los FLTND.\uENTOS »¡
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rrÉr'rc¡ »p Fnrcr. (Apéndice de Frege. Fundanrentos clc la Arinnética.l CI. Imhert. Ed. Lai¡. lL)72. Versitin c1e Ulises Mc¡ulines.
EL D¡-s,rntot-t-o DE I.A Lcictc,r. W ¡' NI Kneale. Ed. Tecnos. 1971. Tradn. de Javier Nfuguerza.
S¡rrr»o v Rr¡gnplct-r r-l l-r LÓclcr o¡
Corrlos FnecE. Christian Thie1. Ed. Tecnos. 1972. Tradn. de José Sanmartúi. 119
Srinivasa Ramanujan Jonathan M. Borwein y Peter B. Borwein
§ste gewio wt*¿feywdt{c* i¡adío ideó uw zeeét*d* r{e e.xsrr¿ort§ícr$r{{r e§cwir"z psr{§ tsscust¿r eL vatl|
procedinniento forma parte cle algoritmos
que lo calculan can miÍlones de cifras decimales
Tft I numero r. que es la razón de ft , la circunferencia de un círcu-*-J lo cualquiera al diámetro del mismo, se calcuió en 1987 con una precisión sin precedentes: más de 100 millones de cifras decimales. Ese mismo año se cumplió también el centenario del nacimiento de Srinivasa Rama-
nujan, genio matemático indio. bastante enigmático, que pasó gran parte de su breve vida solo y enfermo. La verdad es que ambos acontecimientos
estaban estrechamente emparentados, porque e1 método básico que subyace a los cálculos más recientes de n lo ideó Ramanujan, por mucho que su puesta en práctica hubiera de esperar a Ia formulación de ios correspondientes aigoritmos (lo que han conseguido diversos investigadores, entre ellos, ios autores), al advenimiento de Ios modernos superordenadores y a la invención de nuevos procedimientos para 1a multiplicación de números. Aparte de constituir un campo donde establecer marcas exóticas, el empeño puesto en determinar millones de cifras decimales dei número ir parece, a primera vista, bastante fútil.
Bastarían 39 cifras decimales de n para calcular con error menor que el radio de un átomo de hidrógeno el perímetro de una circunferencia capaz de abarcar la totalidad del universo conocido. Cuesta imaginar si-
tuaciones lísicas que requieran mayor número de cifras decimales. ¿Por qué razón no se dan por satisfechos los matemáticos con los 50 primeros decimales de ñ, por poner una cifra? Son varias las respuestas que pueden darse. Una, que el cálculo cie n se ha convertido en una especie de banco
JONATHAI{ M" BORITEiN y PETER
B. BORWEIN son hermanos y profesores universitarios de matemáticas.
de pruebas computacional: ploporciona una medida dei refinamiento ¡.fiabili-
dad de los ordenadores que lo efectúan. Por otra parte, la búsqr-reda de valores de n cada vez más precisos lleva a los
matemáticos a desconcertantes e inesperados reductos de la teoi.ía de números. Otro motir-o. más ingenuo.
es sencillamente que
e1
problema
"está ahí". Y en efecto. desde hace más de dos milenios ¡'medio. el número n
viene constitu¡.endo un elemento per-
manente de 1a cultura matemática. Además. siempre cabe la posibilidad de que tales cálculos arrojen luz sobre algunos de los misterios que rodean a 7r. una constante universai que. a pesar de 1o relatir.amente e1emental de su naturaleza. no acaba de comprenderse. Pol ejemplo. aunque se ha demostlado que jamás podrá evaluarse Í con exactitud sometiendo enteros positir.os a una combinación de operaciones de adición, sustracción. multiplicación, dir-isión y extracción de raÍces, hasta Ia fecha no se ha probado que 1as cifras de n sigan una
distribución aleatoria (¡'. por tanto,
que todas las cifras, de 0 a 9, aparezcan con la misma frecuencia). Cabe en lo posible, aunque es sumamente improbable que! a partir de un momento dado, todos los dígitos de ¡ sean exclusivamente 0 o 1. o que presenten
alguna otra reguiaridad. Además, n aparece en toda clase de lugares inesperados, que nada tienen que ver con
las circunferencias. Por ejempio,
tomando un número aI azat: en el con-
junto de todos los enteros, Ia pro-
babilidad de que tal número catezca de factores primos repetidos es seis dividido por el cuadrado de n. Igual que otros eminentes matemáticos, Ramanujan quedó cautivado por la
fascinación que ejerce el número n. Los ingredientes de las modernas técnicas de cálculo de n se cuentan entre los tesoros matemáticos que han
ido aflorando a causa dei renovado interés por 1a obra de Ramanujan. No obstante, gran parte de su obra sigue inaccesible a los investigadores. El cuerpo principal de 1os trabajos de Ramanujan está recogido en sus "Cuadernos", conjuntos de anotaciones personales que Ramanujan redactó con una nomenclatui.a plopia y particular. Por si los matemáticos que han estudiado los "Cuadernos,, no tur-ieran suficientes dificultades, se da 1a cilcunstancia de que Ramanujan i-ro solía consignar demostraciones formales de sus teoremas. Parece pró-
xima a concluir la tarea de desciframiento r- pleparación de esos "Cuadernos" que está reaiizando Bruce C.
Berndt. de 1a Universidad de Illinois en Urbana-Champaign.
f\r. l^, \{.v
:epamos, iamás se ha r.ealizado una recopllación matemátrca de alcance ¡ diliculrad semejantes. E1 empeño ciertamente valdrá la
pena. La herencia que Ramanujan
dejó en sus "Cuadernos'' no só1o pro-
mete enriquecer a la matemática
pura. sino que hallará aplicaciones en diversos campos de la fÍsica matemática. Por ejemplo, Rodney J. Baxter, de 1a Universidad Nacional Australiana, reconoce que 1os descubrimientos de
Ramanujan le ayudaron a resolver
problemas de mecánica estadística, como el Ilamado modelo del hexágono
duro, que estudia el comportamiento de un sistema de partículas que inte-
ractúan entre sí y se hallan repartidas sobre una rejilla similar a un panal. Análogamente, Carlos J. NIoreno,
de la Universidad de Ia Ciudad de Nueva York, y Freeman J. Dyson, del Instituto de Estudios Avanzados, han señalado que 1os físicos están comenzando a aplicar trabajos de Ramanujan en la teorÍa de supercuerdas. La talla matemática de Ramanujan
nos deja todavía más asombrados
120 TENTAS l
habida cuenta de 1o reducida que fue su educación formal. Nació el 22 de diciembre de 1887 en Erode (India me-
ridional)
en e1 seno de una
familia ve-
nida a menos de la casta de los brahmanes. Se crió en Kumbakonam, donde su padre ejercía de contable de un panero. Pronto se reconoció su precocidad matemática, concediéndosele. a la edad de siete años, una be-
ca para asistir a la escuela pública del lugar. Según parece, les recitaba fórmulas matemáticas a sus compañeros de clase. entre otras. muchas cilras decimales del numero lT. A los doce años, Ramanujan dominaba ei contenido de1 tratado de tri-
gonometría de S. L. Loney, PlcLne Tri, obra bastante comPleta sobre el tema, en Ia que figuraba un aná1isis de las sumas y productos de sucesiones infinitas que más adelante
gonometryt
desempeñarían en sus trabajos tan prominente pape1. (Una sucesión infinita es una ristra de términos que no tiene fin, a menudo generados mediante un sencilla formula. En el contexto que nos ocupa, las sucesiones de interés son aquellas cuyos términos producen, al sumarlos o multiplicarlos, un valor finito 1' perfectamente identificable. En el caso de que se proceda a sumar los sucesivos términos de una sucesión. la expresión resultante se denomjna serie: y si a multiplicarlos, producto.) Tres años después 1e prestaron la SYnoPsis of ELetnentcLrl, Resu.lts in Pure Mothema' flcs, una relación de unos 6000 teoremas (1a mayorÍa de 1os cuales venían sin demostración) recopilada por G. S. Carr, un profesor de la Uni-
presidida por un ingeniero británico, Sir Francis Spring, y cuyo director
gerente era V. Ramaswami AiYar, fundador de Ia Sociedad Matemática India. Ambos animaron
a
Ramanujan
para que comunicase sus resultados a
tres distinguidos matemáticos britá-
nicos. Según parece, dos de ellos no le
respondieron; sí le contestó G. H. Hardy,
de
Cambridge, tenido en nues-
tros días por el más eminente de los matemáticos británicos de la época. Hardy, habituado como estaba a recibir cartas de excéntricos convencidos de ser grandes matemáticos, estuvo a punto de desechar a primera vista la carta de Ramanujan el día mismo que larecibió, el 16 de enero de 1913. Pero aquella noche, después de la cena, Hardy y un colega amigo suYo, John E. Littlewood, se sentaron a descifrar una lista de 120 fórmulas y teoremas
que Ramanujan había añadido a Ia
carta. Algunas horas más tarde habían llegado a un veredicto: tenían
ante sí la obra de un genio, no la de un chiflado. (Según su propia "escala de talento puro" con Ia que graduaba a los matemáticos, más tarde HardY concedería un 100 a Ramanujan, un 30 a Littlewood y un 25 a sí mismo. El matemático alemán David Hilbert, el más influyente de su época, sólo merecería un 80.) Hardy describió Ia revelación y sus consecuencias como el incidente más romántico de su vida. Escribió que algunas de las fórmulas de Ramanujan le desbordaron Por completo y que, ello no obstante, "forzoso era que fueran verdaderas, porque de no serlo, nadie habría tenido la imaginación necesaria para inventarlas".
Hardy invitó inmediatamente
a
Ra-
manujan a Cambridge. Pese a las fuertes objeciones de su madre, por no hablar de sus propias reservas, Rama-
versidad de Cambridge. Esos dos libros constituyeron 1a formación matematica básica de Ramanujan.
TIn 11
1903 Ramanuian fue admitido un colegio u"niversjtario de la
"n Sin embargo, Ia absoluta localidad. dedicación a sus diversiones matemáticas le hizo fracasar en los exámenes, situación que se repitió cuatro años después en otro centro universitario de Madrás. Ramanujan dejó a un menos temPolado su vocación
-al un empleo tras ralmente- para buscar
contraer matrimonio, en 1909. R. Ramachandra Rao. un adinerado mecenas matemático, le concedió un estipendio mensual basándose en las favorables recomendaciones de varios matemáticos indios y en los hallazgos que Ramanujan había anotado Ya en sus "Cuadernos".
En 1912, deseando un trabajo más normal, ocupó una plaza en las oficinas de la Junta del Puerto de Madrás, Cr
rrur't-rrtcrts
1. SRINMSA RAMANUJAN nació en la India en 1887. Pese a la escasa educación formal que recibió, reconstruyó casi por sí solo glan parte del edificio de la teoría de númáros y lo llevó a nuevas alturas, aportándole numerosas fórmulas y teore' mas originales. como tantos otros ilustres matemáticos antes que é1, Ramanujan sucumt¡ió a la fascinación del número n, que es la razón entre la circunferencia de un circulo cualquiera y su diámetro. Basándose en su investigación de las funciones modulares laéa,se el recuad,ro d.e la pdgina T24f,Rarnanwian dio expresiones
exactas de n y dedujo para ellas valores aproximados.
t2t
nuj an partió para Inglate rr a en rrrar zo
ración sin par. Publicaron conjunta-
de 1914. Durante los cinco años si-
cuántas maneras distintas puede expresarse un número en forma de suma de enteros positivos menores que él? En 1917 Ramanujan fue admitido como miembro numerario de la Royal Society de Londres y también del Trinity Co1lege, siendo el primer indio al que se concedía tal honor. Empero,
mente una serie de artículos seminales sobre las propiedades de diversas funciones aritméticas y prepararon el
guientes, Hardy y Ramanujan trabacodo con codo en el Trinity Col-
jaron
lege. La destreza técnica de Hardy, unida a la brillantez "ertrarr'a" de Ramanuian, fructificaron en una colabo-
terreno para afrontar problemas
co-
mo: ¿cuántos divisores primos es probable que tenga un número dado? ¿De
conforme crecía su importancia, su sa-
PERIMETRO PERIMETRO DEL POLIGONO INSCHITO
DEL POLIGONO CIRCUNSCRITO
Pc:ntan(ry') SIENDO n = NUMERO DE LADOS
Iud se deterioraba gravemente, en un declive acelerado tal v ez por la difi cul-
tad de mantener una dieta estrictamente vegetariana en una Inglaterra sometida a racionamiento a causa de la guerra. Sus reiteradas
f:nsen($')
j r i\ ', i ,ro" :
n-6
Pc-3.464
1/
,'.-{ /
'
',i
Pi:
visitas
a sanatorios no impidieron que Ramanujan mantuviera la producción
de nuevos resultados. En 1g19, cuando Ia paz devoh,ió Ia seguridad a
viajes, Ramanujan regresó a 1a India. Convertido en ídolo de tosjóvenes intelectuales indios, Ramanujan murió el 26 de abril de 1920. de una enfermedad diagnosticada a ia sazón como tuberculosis, pero que, según parece hoy, debió estar causada por una grave deficiencia vitamínica. Fiel 1os
hasta el fin a Ias matemáticas, 3,000.,.
Ramanujan no aflojó el paso a pesar de los sufrimientos de los últimos meses de su vida, y produjo una notable obra recogida en el Ilamado "Cuaderno perdido". E1 trabajo de Ramanujan sobre el número n fue fruto, en buena medida. de sus investigaciones sobre 1as ecua-
ciones modulares, posiblemente e1 tema que más a conciencia abordan sus "Cuadernos". A grandes rasgos, una ecuación modular es una relación algebraica entre una función expresada mediante una variable r
n-12
matemática/(r)- y esa -en misma función dada a partir de potencias enteras de r; por ejemplo f (x2). f(,.x9) notación
Pc- 3.215
P.- 3.10s...
f (x.4 ). E1 "orden" de la ecuación moduiar está determinado por el expoo
nente de la potencia entera. La ecuación modular más sencilla es la de segundo orden: f(¡) = 2!(fx2) / [1 + f(,r2)1. Evi-
dentemente, no todas las funciones
satisfarán una ecuación modular.
n:24
pero existe una clase de funciones. las llamadas modulares, que sí la verifi-
can. Estas funciones tienen diversas y sorprendentes propiedades de sime-
tría que les reserrran un lugar Pc
-
3.159
,
Pi- 3132...
METoDo DE ARQUTMEDES para el cálculo del número rc; consistía en inscribir y circunscribir polígonos regulares (polígonos cuyos lados tienen todos la misma longitud) en un círculo de diámetro unidad. Los perímetros de los polígonos inscritos y circunscritos servían de cota inferior y superior para el valor-d. ,,I p"*. cular los perímetros de los polígonos pueden utilizarse hoy las funciones seno y tan"rlgente, como se muestra aquÍ, pero Arquímedes tuvo que desarrouar reraciones 2.
equivalentes basadas en construccione-s geométricas. valiéndose de polígonos de g6 lados determinó que 7[ es mayor que 810!1, y menor que Srlr. t22
espe-
cial en las matemáticas. Ramanujan no tut,o par en su capacidad para encontrar soluciones de ecuaciones modulares que verifi casen además otras condiciones. Tales solu-
ciones reciben el nombre de valores singulares. Resulta que, en ciertos casos, al resolver 1a ecuación en busca de valores singulares surgen números cuyos logaritmos naturales coinciden Tr-:lt,rs
I
con ,r (multiplicado por una constante ) de cifras decimales luéa.se el recuct.clro tle la pdgina 7241. Aplicando con extraordinario virtuosismo esa técnica ge-
hasta un número sorprendente
neral, Ramanujan produjo muititud de notables series
infinitas, amén
de
expresiones explícitas. que son aproxi.maciones de n. Algunas de ellas se
dan en el único artículo formal que Ramanujan dedicó al tema, MoclulcLr Equations and Approximations to n, publicado en 1914.
T L
PRODUCTO DE WALLIS (166s)
¡ 2.2 4 4^6 6^8 8^... f| .4!' tL,4nt 2 1 3 3 5 5 7 l 9
1
SEBIE DE GREGOBY (1671)
1 r,1'1 4 ' 3'5I
1)' \-( Lo2n
1
FORMULA DE MACHIN (1706)
;
4 arcran
11
5)
a'ctan (1
239).
srendo arcla^
x
x §J X.t ) I't
> 1 rl'!i"' 7o
os esfuel'zos de Ramanuian por ob-
tenel aptoximacione" de n
[or'-
man parte de una tradición venerable. Las primeras civilizaciones indoeuropeas ya tenían conciencia de que el área del círculo es proporcional al cuadrado de su radio, y de que su circunferencia es directamente proporcional al diá-
metro. Sin embargo. lesulta mucho menos claro cuándo se comprendió por vez primera que la razón de la circunfel:encia de un cír'culo cualquiera a su diámetro ¡' la razón del área de cualquier circulo al cuadrado de su radio
eran 1a misma constante. simbolizada en nuestros días por la letra griega n. (El símbolo. de1 que toma nombre Ia constante. se incorporó tardíamente a las matemáticas;1o introdujo en 1706 el escritor v matemático inglés William Jones 1. 1o popr-rlarizó el matemático suizo Leonhard Euler en el siglo xvIII.l Arquímedes de Siracusa, e1 mayor matemático de la antigüedad, estableció rigurosamente 1a equivalencia de ambas razones en su tratado Medl-
ción de un círculo. Calculó asimismo un valol'de n basandose en principios
matemáticos y no en la medición directa de la circunferencia. área ¡, diámetro del círcu1o. En efecto. Arquímedes inscribió y circunscribió a un círculo (cuyo diámetro se suponía a la unidad) polígonos regular"es (polígonos cuyos lados y ánguJos son todos iguales) y consideró que 1os respectir.os perímetros de tales polígonos eran cotas inferiores y superiores de los posibles valores de 1a circunferencia del círculo, que es numéricamente
igual
igual a nluéctse la figura 2). Tal método de aproximación del var no era nuevo. La idea de inscribir polígonos de número de lados progresi\¡amente mayor había sido propuesta ya por Antllono. y un contemporáneo de éste, Brisón de Heraclea, había añadido al procedimiento los polígonos circunscritos. La nove-
1or de
dad de Arquímedes radicaba en
1a
correcta determinación del efecto de duplicar e1 número de lados tanto en 1os polígonos inscritos como en 1os cirGn.rxr¡¡s
N'I .\TLNIÁ
llcos
1'
RAMANUJAN (1914)
1 \8 ¡ L - qSOj 'n0
(4n)!11,103 26,390n1, se"oo (nl)¿ 3964"
n! n (n-1) (n-2) ...
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BORWEIN Y BORWEIN (1987) 1
s r-', 6-r )12't5.710.g12.61 1,657:4\'217)55
I '2 n=0
nr13,7/J,980,892,672t
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107578229'8C,75At'
(n)l (Jnlrl5,280{236.674 lO.:O:r 6tr¡'
I)oR SUMAS O PRODUCTOS de términos de sucesiones infinitas apropiadas se otrtienen valores de ¡ (dividido por una constante) o de su recíproco. Las dos primeras sucesiones, descutriertas por los matemáticos John wallis y James Gregory, se cuentan seguramente entre las más conocidas, pero resultan inútiles para realizar el cómputo. cien años de cálculo ininterrumpido en un superordenador proSrrmado para sumar o multiplicar los términos de una cualquiera de esas sucesiones ni siquiera proporcionarían 100 cifras exactas de ¡. La fórmula descubierta por John Machin facilitó la evaluación de la constante, pues el cálculo diferencial permite expresar el arco tangente de un número, *, mediante la suma de los términos de una serie, cuya convergencia hacia el verdadero valor del arco tangente es tanto más rápida cuanto menor es f. Los cálculos del valor de ¡ realizados desde principios del siglo xlrrr hasta principios de la década de 1970 se fundaron en variantes de la fórmula de Machin. La suma de la serie de Ramanujan converge hacia el verdadero valor de 1/r mucho más rápidamente: cada uno de los sucesivas términos aporta alrededor de 8 dígitos exactos más. La última serie, formulada por los auto' res, añade unas 25 cifras por término; el primer término (para el que z es igual a cero) proporciona un número que coincide con ¡ hasta 24 cifras decimales. 3.
cunscritos, determinación que Ar-
químedes realizó. De ello extrajo un
el número de lados, hasta 96, estrechó la gama de v_alores limitantes de
procedimiento que, iterándolo sufi- rchasta 310171131/r, obteniendola esciente número de veces, permite en timación r = 3,14. Parece haber ciertas principio calcular n con cualquier nú- pruebas de que el texto de Me,dición mero de cifras. (Es preciso que pueda de un círculo que nos ha llegado calcularse fácilmente el perímetro de constituye sólo un fragmento de otra un polígono cualquiera con el auxilio obra más extensa, en la cual Arde iunciones trigonométricas senci- químedes describía cómo, partiendo llas, como seno, coseno y tangente. de decágonos y duplicándolos seis
Pero en tiempos de Arquímedes, en el veces, se obteníauna aproximación de siglo rrr a. de C., se poseía un conoci- cinco cifras: n = 3,7416. El método de Arquímedes resulta miento parcial de esas funciones. Arquímedes tuvo, por consiguiente, que conceptualmente sencillo. Ahorabien, fundarse casi exclusivamente en cons- si se calece de un método 1ápido para trucciones geométricas, porlo que los calcular los valores de las funciones
más trigonométricas, resulta obligada la parecer.) extracción de raíces, operación muy Arquímedes empezó inscribiendo y lenta y penosa cuando se realiza a circunscribiendo hexágonos, lo que le mano. Además, las estimaciones así proporcionó la desigualdad 3 < ?i < 2{3. obtenidas convergen lentamente a n;
cálculos resultaban bastante duros de Io que hoy pueda
Al duplicar cuatro
veces
consecutivas su erlor decrece en un factor de alre123
r, de dicho punto; Ia tangente del ángulo es, sencillamente, y/r.) No obstante, a Ios efectos del cálculo de n, más importancia reviste el hecho de que una función trigonométrica inversa admita un "desarrollo" en serie, cuyos términos son calculables a partir de ias derivadas sucesivas de Ia abscisa,
LAS FUNCIONES MODULARES Y LAS APROXIMACIONES DE
PI
una función modular es una función ),(q), que puede relacionarse mediante una expresión algebraica. llamada ecuación modular, con la misma función expresada mediante la misma variable q elevada a una potencia entera: )"(f). El exponente p, que ha de ser entero, determina el "orden" de la ecuación modular. Un ejemplo de función modular es ,r(q)
-
roqli,
{,\ff),
su ecuación modular asociada es de séptimo orden. Belaciona i(q) con ).(q?), y está dada por
r
ñd;GT \r¡ -.(q-ll1_).G4l
1
.
Aquellas soluciones de la ecuación modular que satisfacen además otros requisitos especiaies reciben el nombre de valores singulares. Una de las clases de valores singüiaies pro-áede Oel cálculo de una sucesjón de valorés, k , donde
k, - Vxle .r"r¡
.l¿ ^.
ii'ont;'l coincide con muchas de las prrmeras cifras decimales de pi. El número de cÍfras que esta expresión tiene en común con pl aumenla al crecer ef valor de p. Ramanuian no tuvo rival en ef cálculo de estos valores singulares. uno de los más famosos el valo¡ correspondiente al caso p : 210, que ya figurabain su primera carta a G. H. Hardy. Hélo aquí:
es.
k210
- (\ 2-i
¡z1z-r 3X\ 7
-r
o)z(s
¡r
7)tr
ro ¡)z(r,ts r
14X¿_\ 1s)2(6 \6s)
.
Al introducir el valor de este número en la expresión logaritmica, el lesultado coincide con las primeras veinte cifras decimales de pi. En comparació-n con é1, k2ao proporciona-un-rurmero que coincide con pi a lo largo de más de un millón de cjfras. Aplicando esta técnica general, Ramanujan construyó varias series notables asociadas con el número pi, entre ellas, la de la fjgura 3. Esa mismatécnica general subyace a ios átgoritmos iterativos, en dos pasos, de la figura 4. El primer paso de óada iteración 1el cárcuiá áe y,) corresponde al cálculo de uno de los términos de una sucesión de valores iingulares que se obtiene resolviendo una ecuación modular de orden apropiado. El segundo páso 1et iatcuto de a") equivale a tomar el logaritmo del vaior srngular.
dedor de cuatro en cada iteración. A pesar de ello, todos los intentos de calcular el número n realizados en Euro-
pa hasta mediados del siglo x\¡rr se fundaron de un modo u otro en ese método. Ludolph van Ceuien. mate-
mático holandés del siglo X\¡r, dedicó gran parte de su carrera al cálculo de n. Casi al final de su vida obtuvo una aproximación de 32 cifras calculando el perímetro de polígonos inscritos y circunscritos de 262 (unos 101E) Iados. Se dice que el t alor de n que obtuvo así, denominado número ludolfiano en ciertas regiones de Europa, fue su epitafio.
desarrollo del cálculo diferencial. obra en gran parte de Isaac Nervton y Gottfried Wilhelm Leibniz, permitió calcular tT de forma mucho más expedita. El cálculo proporciona métodos eficaces de obtener Ia derivada de una función (1a tasa de cambio del valor de 1a función al cambiar los valores de su variabl") y s., integral (la suma de ios infinitos valores de la función
[1 I-il
I
correspondientes a un determinado intervalo de su variable). Aplicando
cuantos de los primeros términos de una serie que se puede deducir como expresión de Ia inversa de la función seno. Posteriormente confesó a un colega: "Me da vergüenza confesar a cuántas cifras llevé estos cá1cu1os. que
en la cual p toma valores enteros. Estos valores tienen la curiosa propredad de que la expresión logarítmica
)
función. El propio Nervton calculó n con 15 cifras decimales sumando unos
esas técnicas se demuestra que las funciones trigonométricas inversas están
dadas mediante integrales de funciones cuadráticas que describen la curva de un círculo. (La inversa de una funcióntrigonométrica da el ángulo correspondiente a cada valor particular de la función. Por ejemplo, el valor de la inversa de la tangente-llamada "arco tangente"- cuando ¡ vale 1 es 45 grados o, lo que es igral,n/4 radianes.) (Se aprecia la conexión subyacente entre las funciones trigonométricas y
Ias expresiones algebraicas considerando un círculo de radio 1 y centro el origen de un plano cartesiano.r -y. La ecuación de la circunferencia correspondiente, que encierra un área de valor numérico igual a fi, es x2 .r y2 = l, fórmula que no es más que una refor-
mulación del teorema de Pitágoras correspondiente a un triángulo rectángulo de catetos xc e y ctya hipotenusa mida 1. Además, el seno y el coseno del ángulo comprendido entre el semieje r positivo y cualquier punto
de la circunferencia son, respectivamente, iguales a la ordenad a, y , y ala
realicé por no tener otra cosa que hacer en aquel momento." En 1674 Leibniz dedujo la formula 7 - 1/3 + 1/5 - ll7 ... =tt/4, que es el arco tangente de 1. (La serie general de1 arco tangente la había descubierto el matemático escocés James Gregorv. Al parecer, varios siglos antes se desarlollaron en'la India expresiones simiiares.I El error de aproximación, que se define como 1a diferencia entre la
suma de ¡¿ términos y el valor exacto de nl4, es sensiblemente igual al (¡¿
+ 1)-ésimo término de Ia serie. Dado e1 denominador de cada uno de los
que
sucesivos términos tan sólo aumenta en 2. es preciso sumar alrededor de 50 términos para lograr una precisión de 2 cifras. 500 términos para dispo-
ner de 3. ¡' así sucesivamente. Como
es obvio. resulta inabordable dedicarse a sumar 1os términos de la serie si aspiramos a calcular un valor de n que supere 1as pocas cifras.
C'tin embargo. una observación realizada por John Machin hizo
L)
practicable el cáIculo de n mediante un desarrollo en serie asociado a Ia
función arco tangente. Machin señaló q:u.e rl4 es igual a 4 veces el arco tangente de 1/5 menos el arco tangente de 71239. Dado que la serie asociada al arco tangente converge tanto más rápidamente cuanto menor es el valor del argumento, Ia fórmula de Nlachin simplificó los cálculos. Combinando su fórmula con el desarrollo en serie del arco tangente, Machin calculó en 1706 las cien primeras cifras de ¡r. En efecto, su técnica se demostró tan potente que todas las evaluaciones posteriores del numero n, desde comienzos del siglo xvrrl hasta tiempos recientes, se lundaron en variantes de su método. Dos son los cálculos realizados en el siglo xlx dignos de especial mención. En 1844, Johann Dase computó en cosa de meses 205 cifras del numero ft por el procedimiento de calcu-
111
TE\'IAS I
4. ALGORITMOS ITERATTVOS (que to-
man como entrada de cada ciclo la sali' da del precedente) preparados por los
(a) Sea y6
1'l oo:2
:
yz
autores. Proporcionan valores muy exactos de ¡. (Un algoritmo iterativo consta de una serie finita de operaciones sucesivas que se repiten cíclicamente de tal modo que la salida de cada ciclo constituye la entrada del siguiente.) El algoritmo ¿ converge cuadráticamente en 1/n; es decir, el número de cifras colTectas proporcionadas por o. se duplica y más cada vez que ,x crece en una unidad. El algoritmo ó converge cuárticamente, y el c lo hace quínticamente, con lo cual el número de cifras correctas obtenidas tras cada iteración se multiplica, respectivamente' por un factor mayor que cuatro o que cinco. Posiblemente el algoritmo ó sea el más eficiente de los conocidos para el c¿ílculo de ¡. Durante su análisis de los algoritmos, los autores ad-
v
r \.j] 'l +
resultaron ser erróneas. El trabajo de Shanks le IIevó muchos años y fue fruto de una aplicación bastante rutinaria, aunque laboriosa, de la fórmula de Machin. (Sí parece constituir una plusmarca que se tardara 92 años en detectar eI error de Shanks, que salió alaluz al comparar su valor con una aproximación de 530 cifras obtenida porD. F. Ferguson ayudándose de una calculadora mecánica.) El advenimiento del ordenador digital trajo consigo un renacer de los esfuerzos por calcular todavía más cifras de 7[, pues esas máquinas se avienen de forma ideal a "masticar números" de modo repetitivo. En junio de 1949, John von Neumann y sus colegas aplicaron a la tarea uno de los
primeros ordenadores electrónicos, el sxr,A,c, que generó 2037 dígitos en 70 horas. En 1957, G. E. Felton trató de calcular 10.000 dígitos de n; mas, por un error de la máquina, sólo resultaron ser correctos los 7480 primeros. La meta de las 10.000 cifras la alcanzó
el año siguiente F. Genuys, con un GneNoss MATEMÁTICos
+yn-1)2o,J -2n+1yn+1
z
1lcq 1lt,
llq
o o
lla¿
zuJ O
z
ó
v
O
-t' l-yl 1 +\'tyl
l(1
l,!l
1
an*1:
[(1
+yn-,)aorl -2zn+3yn-1(1+yn
+
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a F y2n-1)
1lq 1la,
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Io
1la¡
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7 ' 1 )n s.e*xrz
srelro0^ : lYr sienoox s
t,l' y-(x-1)2 Y-(2
yz-\xrv
,,ry:
7
axr)
o¡*1:sio, - 5'[s2'-5 + r sJq--s, + 9]
to orden descubierta por Ramanujan.
a capacidad de memorización se refiere.) En 1853, William Shanks rebasó de largo a Dase con Ia Publicación de] cálculo de ¡r hasta las 607 cifras, si bien las posteriores ala527
[(1
- \2- 1 0o: 6 4\tZ
,, !n-1
había seguido métodos similares para otrtener sus aproximaciones de ¡. De he' cho, en el algoritmo c el cálculo de s, se funda en una ecuación modular de quin-
superordenadores, al menos en lo que
on*1=
y¿
o (b) Sea yo
virtieron claramente que Ramanujan
lar los valores de tres arcos tangentes valiéndose de una fórmula similar a la de Machin. Dase era un calculador prodigioso, capaz de multiplicar de memoria dos números de 100 cifras, proeza que Ie llevó aproximadamente ocho horas. (Se diría que fue el precursor inmediato de los modernos
\"1
o-
y¿
ordenador IBNI 704. En 1961, Daniel Shanks y John W. Wrench, Jr., calcularon 100.000 cifras de ,T en menos
de t horas con un ordenador tnll 7090. EI millón de cifras se rebasó en 1973; Jean Guilloud y M. Bou¡'er reaiizaron la proeza, que llevó un poco menos de un día a un CDC 7600. (En realidad, Ios cálculos de Shanks v Wrench v de
1
1la, 1la, 1/a, llao
Guilloud y Bouyer se realizaron
dos
veces, usando, para obtener rc, diferentes identidades del arco tangente. En vista del historial de errores en que
han incurrido tanto humanos como máquinas, los modernos "cazadores de cifras" no le dan validez oficial a ningún récord hasta que no
se
realiza
tal verificación.)
00.000.000
10.000.000
1.000.000
L ul
ó a
1
00.000
o F
l.ll
10.000
o
o cc I.JJ
.1000
l
z 100
10
1
PREHISTORIA
-1450
incrementado en dos órdenes de magnitud (productos por diez) durante el decenio pasado gracias al desarrollo de algoritmos iterativos capaces de operar en superordenadores equipados con métodos de multiplicación nuevos y eficaces, de velocidad muy superior.
5. NIIMERO DE DIGITOS conoeidos de n, se ha
t25
La causa principal de que se calculara un número cadayez mayor de cifras exactas de r fue el aumento de la velocidad de las máquinas, pero pronto quedó clara la existencia de límites insuperables. Si se utilizan los métodos tradicionales de realizar operaciones aritméticas en los ordenadores, la duplicación del número de cifras a
calcular multiplica como mínimo por un factor 4 el tiempo de cómputo. Por consiguiente, incluso admitiendo que lavelocidad de cómputo se multiplicase por 100, el programa de Guilloud y Bouyer hubiera exigido al menos un cuarto de siglo para dar un valor de n de mil millones de cifras. Desde Ia perspectiva de los primeros años de la década de 1970, tal computación no
parecía abordable. Sin embargo, hoy resulta factible esa tarea, merced no sólo a que los ordenadores son más rápidos, sino, sobre todo, a métodos nuevos y más eficaces
de multiplicar mediante ordenador dos números grandes. Tuvo igual impor-
tancia un tercer acontecimiento: el ad-
venimiento de algoritmos iterativos que convergen rápidamente hacia
¡¡.
(Los algoritmos iterativos vienen a ser programas de ordenador que efectúan reiteradamente unas mismas operaciones aritméticas, tomando como entrada de cada ciclo la salida del precedente.) Tales algoritmos, algunos de los cuales son obra de los autores, fueron anticipados en muchos aspectos por Ramanujan, a pesar de que nada podía
saber de programación de ordenadores. En realidad, los ordenadores no sólo han posibilitado la aplicación de los trabajos de Ramanujan, sino que también han ayudado a descifrarlos. Me-
aumenta en proporción a /? \'.
1a
mul-
tiplicación de dos números de ru dÍgitos. en proporción a r¿2 A1 aplicar
\Jo ob'tante. como demosrlalon en J' \ 1971 A. Schonhager \'. Srrassen.
aplicando las Ilamadas "transformadas rápidas de Fourier", o FFr (porfos¿ F o urier tra n sforn¿s ). La multiplicación
0o-6-4\2
de dos números grandes por medio de
or -
(1 +y1)4
«6
23y1(1 +y1 +!12)
12
-
(1 +y2)4
or
25y2( -y2+y22)
G3
-
(1
-y3)4 cr2 27y3(1-y:-y¡2)
- (1 + ya)a i'3 aE (l +ys)4 q
29y4(1
u6 (l'ye)4 o,
213y6(1 I y6ry62)
¡, -
215y7(1
cio
08
-
"s -
(1
+y)a ou
+ya+\a2)
211y5( +ys+ys2)
-yt-yt2i
(1 +y8)4
e,
211ys(1-ys-ys2)
-ye)4
rr
2leye(1
(1
-ys-yg2)
ri16
-
(1 + y16)a
ct9 221yrc(
t11
-
(1 +y11)4
ir19 223yu( +yy+yy2)
r\13 o14 :
(1 + y12)4
tr11 225yp(1 +yp-yp2)
(1 +y13)a
u,,
(1
-y1f4 .13 229y,0( . yÁ+yttz)
-
(1
-yrs)4..10 23ty,t(1 +y5+y52)
,r12
«15
en teoría, Ia complejidad de 1a multiplicación de dos números puede ser. sólo ligeramente superior a la de la adición. Se 1ogra, por ejemplo, esa
reducción potencial de 1a complejidad
.,
yrc+yrc2)
227y¡(1+y,r+y132)
1ra,, coincde con pi en más de dos m lmi ones cle ctfras decimales .Porsupuesto lacaiculadorahadetenerunapanta acapez.lepresentardosmlmi ones de cfras: en una calculadora de bolsilo e cácuo carecerÍa de interés tras a segunda terac ón.
INSTRUCCIONES DPLICITAS para ejecutar el algoritmo b de la figrrra 4. permiten, en teoría, calcular en pocos minutos los dos mil primeros millones de cifras del numero ¡. Todo cuanto se precisa es una calculadora que disponga de dos registros de memoria y que sea capaz de efectuar las operaciones habituales de suma, resta, multiplicación, diüsión y extracción de raíces. Desafortunadamente, las pantallas de la mayoría de Ias calculadoras tan sólo muestran ocho cifras, lo cual convierte tal c¿ilculo en pura frcción. 126
multiplica cada
proseguirse la exploración de las sendas que Ramanujan hubo de recorrer en solitario y sin ayuda en su época.
Sea
6.
de veces que se suma o
dígito ai aplicar el algoritmo. De acuerdo con esta medición. la complejidad de la suma de dos nirmeros de n dígitos por ei método habitual
diante programas muy refinados de manipulación algebraica ha podido
CON UNA CALCULADORA-
1
mos. Los teóricos calibran la eficiencia de un algoritmo determinando su complejidad en bits, esto es, e1 número
métodos tradicionales. 1a mr-rltiplicacion resulta mucho rt1ás "pe lro:a eue la adición, en el sentido de que cor.rsLlme un tiempo mucho mayol'.
METODO DE OBTENCION DE DOS MIL MILLONES DE CIFRAS DE PI
yo-\2 yt - [1 \' 1 yo4]1[1+\'t -r¿ Y2 [1 \"1 y.¿] tl \1 yfl y3 Il ( I y24l lt \' 1 y2¿l yt [1 \'1 y34llf \t yr4] y: [1 \' 1 yoal 1t t t yaal y6 [1 \" 1 y54] 11 -\" 1 yfl y7 [1 \" 1 y64] t1 t I %¿l y8 tl (1 yTal tl tt y/l yg tl ( i y84l [t \' ] y84l ylo ll t I ye4l [1 \" aye4l yll t1 ( 1 y.oal [1 \' 1 yrsal ye tl t 1 y.,41 [1 \'t,,ol yr¡ 11 (1 yr,,4l Il-t1 V,tl yA Il (l yr¡aj [1 (l v,/l yrs ¡t tt yr¿4jlt rl ytqa)
Una de las lecciones más interesantes de la informática teórica es que muchos de los algoritmos que nos son familiares, como 1a regla de multiplicación que se Ies enseña a los niños en la escuela, distan mucho de ser ópti-
1as transformadas rápidas permite orquestar cuidadosamente 1os cóm-
putos intermedios entre dígitos y, de ese modo, evitar las redundancias. Dado que la división I 1a extracción de raÍces pueden reducirse a una secuencia de multiplicaciones, también la complejidad, en bits, de estas opera-
ciones puede ser só1o ligeramente mayor que Ia de la adición. Se logra así un tremendo ahorro de complejidad y, por consiguiente, de tiempo de computación. Por este motivo. todos ios esfuerzos recientes en e1 cá1culo de n se fundan en alguna variante de la técnica de multiplicación mediante 1a
transformada rápida de Foulier. Empero, para
e1
cálculo
r"ea1 de
cen-
tenares de millones de dígitos de
n
lue preciso redescubl'il' urra plecio:a fórmula que ya conocía Cai'l Friedrich Gauss hace siglo y medio. A mediados del decenio pasado. Richard P. Brent y Eugene Salamin observalon. independientemente, que 1a fórmula producía un algoritmo para e1 círculo de n cuya convergencia era cuadrática. esto es, era tal que el número de dígitos se duplicaba en cada iteración. A partir de 1983, Yasumasa Kanada \- sus colegas, de la Universidad de Tokl-o. se han valido de ese algoritmo en el establecimiento de varios récoi'ds mundiales en el número de cifras de n. Trraes
1
Por nuestra parte, nos preguntamos cuá1 era la razón de la notable convergencia en ¡ del algoritmo Gauss-
Brent-Salamin. A1 analizarlo, Ilusi-
mos a punto técnicas generales para la redacción de simiiares algoritmos de convergencia rápida, en n o en otras cantidades. Al trabajar en una teoría esbozada en 1829 por el matemático alemán Karl Gustar. Jacobi. advertimos que, en principio. cabía 11egar a
valores próximos a n efectuando la evaluación de integrales de una clase
llamada "integrales e1ípticas", que permiten calcuiar el perímetro de una elipse. (El círcu1o, fundamento geométrico de 1os anteriores esfr:elzos por calcular aproximadamente el número ,T, no es más que una elipse cutos ejes
tienen la misma longitud. En general, aunque 1as integi'a1es elípticas no pueden calcularse direct
tamente por los métodos de integración explícita. sus r-alores sí se evalúan fácilmente pol medio de pro-
cedimientos iterativos fundados en Ias ecuaciones modulales. Hemos hallado que el algolitmo Gauss-
,l
Brent-Salamin con.Litur € un czso particular de una técr-tica nuestra más general, basada en una ecuación
s
modular de segundo orden. Se alcanzaría una convergencia todar.ía más rápida hacia el r.alor de Ia integral y,
;3
': ...',
en consecuencia. un algoritmo más rápido para el cá1culo de n, utilizando
,
ecuaciones modulat'es de orden superior; por ese motivo. hemos redactado diversos algoritmos basados en ecua-
ciones modulares de grados tercero, cuarto y superiores.
Tll n enero de I986, Dar id H. Baile¡ . F' del Centro cle Investigación Ames, de la N.qs.{, generó 29.360.000 cifras decimales de n por iteración de uno de nuestros algoritmos en un superordenador Cray-2. Dado que e1 algoritmo se basa en una ecuación modular de cuarto orden, converge hacia n cuárticamente, con lo que, en cada ite-
lación, el número de cifras determinadas se multiplicapormás de cuatro. Un año más tarde, Kanada y sus colegas lealizaron una iteración más, alcanz¡rndo 134.217.000 cifras decimales en
-rr superordenador NEC SX-2,lo cual
-=. pelmitió asimismo verificar un anterior que habían realizado lar-ido el algoritmo Gauss-Brent-
-..--,: 11o
.. -.
..::-rir-r.
tlterando nuestro algoritmo
--.,., cle r.eces más
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per-
.'.rp realizable -hazaña si se nos per-
: ' ::r ,nopolizar un superordena- rr- -u unas pocas semanas- se ': - - -..r- ::rás de dos mil millones de .'-
r--illtel'o,I.)
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9e{
"CUADERNOS" DE RAMANUJAN, archivos personales en los que anotaba muchas de sus fórmulas. La página aquí mostrada contiene diversas ecuaciones modulares de ter-
7.
cer orden, todas ellas expresadas en la notación particular que usaba Ramanujan.
Los métodos iterativos resultan es- simple hasta que tropezamos con las pecialmente idóneos para el cálculo ecuaciones modulares de Ramanujan de n mediante ordenadores, pero no a del mismo orden.
mano; por el1o, ma1 puede sorprender Recíprocamente,hemoslogradodeque Ramanujan no se tomase jamás ducir la totalidad de las series de Ra1a molestia de efectuarlos. Sí se en- manujan a partir de las fórmulas gecuentranenlaobradeRamanujanlos nerales desarrolladas por nosotros. ingredientesbásicosdelosalgoritmos La deducción de una de ellas, cuya iterativos para el cálculo de n, en par- convergencia hacia tt era más rápida ticular 1as ecuaciones modulares. que ninguna de las series que entonCiertas partes de su deducción de ces conocíamos, se logró por 1a ayuda series y aproximaciones infinitas de1 que nos brindó una fuente insospenúmero n tuvieron que correr paralelas chada. Habíamos justificado la totaa nuestros esfuerzos por obtener algo- lidad de las cantidades que figuran en ritmos para,r. En efecto, las fórmulas la expresión de la serie, a excepción quemencionaensus"Cuadernos"nos de una: el coeficiente 1103, que aparesultaron de gran ayuda en la cons- rece en el numerador de la expresión trucción de algunos de nuestros algo- luéase la figuro 31. Estábamos contuvo que estarlo ritmos. Por ejemplo, si bien logramos vencidos -como demostrar la existencia de un algorit- Ramanujan de que el valor 1103 era mo de orden 11, y aunque conocíamos correcto. Para demostrar que así era su formulación general, no logramos teníamos dos opciones: simplificar
descubrir su forma inesperadamente una ecuación capaz de amilanar a 121
cualquiera, donde aparecían variables elevadas a potencias de varios millares, o sumergirnos a profundi-
COLABORADORIIS DE ESTE NUMERO Traducción: Luis Bou: La creucirht nLt¡emríÍi(:a. Pierre de Fermat. Gaspard Monge, Carl Frietlrich Gauss, Je¿tn Baptiste FouriergLrs t i n - Lo tti s C aLtc ht, - Ev u' i s f e Gal o i s, G, t'rq Cont,'r. Srinira:,t Runtottttjun: J. M. García de la Mora: Leonurtlo tle Pisu: Josep PIa: René De.scartes.
Atr
Página
7 8 9 10-1
I
Biblioteca Apostólica Vaticana. Roma E. Picutti (u'riba). Biblioteca Ambrosiana. Milán (.abaj o) Museo de Barletta Sociedad Histórica Lonrbarda.
Milán
12 13-14 15 16 l'7 1,9 2l-24 27
Brblioteca Ambrosiana. Milán E. Picuui Biblioteca Apostólica Vaticana. Roma Archivo del Estado. Pis¿r Biblioteca Comunale de Piacenza Por cortesía del Museo de Louvre. París. O Photo
R.M.N. Scientific American Dominique Berretty. Black Star
lq
3l
Biblioteca Butter Biblioteca Pública de New
York
33 38-45 48 50 5 I -54 55 56-51 61 62-63 64 66 61 7l-19 83 84
Springer Verlag Documentos Pour la Science Gabor Kiss Biblioteca Burnd¡, Gabor Kiss Dan Todd Gabor Kiss Quesada/Burke (.aniba). Thomas C. Moore (aDzrTo) Thomas C. Moore
92
David A. Johnson Jean Dubout. cortesía de la de
llil
Arbel Jean Dubout. cortesía de Ia Bibliothéque de l'lnstitud de F-rance
95 96-
Egbert Schneider Jerome Kuhl Universidad de Jena
116-111
Javier de Lorenzo Museo de Munich Scientiflc American John Moss. cortesía de The Royal Society de Londres
l0:l 107 I 10-l l4 115 l2l
122
Michael Goodr.nan
123-121 Edu,ard Bell
125 t26 121
128
bía decidido en 1985 sacar partido de esa m'isma serie de Ramanujan para calcular un valor más preciso de n que los conocidos. Cuando efectuó el cáIculo, llevándolo a más de 17 millones de
cifras, no existía, que
supiera, ninguna demostración de que la serie realmente convergiera hacia zr. Por supuesto, Gosper sabía que millones de cifras del valor que había calculado coincidían con las de un cálculo anteriormente realizado por Kanada meé1
diante el algoritmo Gauss-Brent-
Salamin; la posibilidad de error era, pues, infinitesimalmente pequeña.
Sin embargo, en cuanto Gosper completó su cálculo y lo cotejó con el de Kanada, dispusimos de Io necesario para demostrar que el número requerido para hacer que la serie diera valores de fi con error menor que uno entre
1010'000 000 era 1103. Por un razonamiento muy similar al de que si dos enteros se diferencian en menos de una unidad tienen que ser iguales, su resultado fue suficiente para especificar el número en cuestión: tiene que ser exactamente 1103. De hecho, el cóm-
puto realizado por Gosper pasó a formar parte de nuestra demostración. SabÍamos que la serie (y su algoritmo asociado) era tan sensible a las más
biera utilizado para el coeficiente
Quesada,/Burke
France 87-90
f)or coincidencia, R. William GosI per, Jr., de Symbolics, Inc., ha-
leves inexactitudes que, si Gosper hu-
Thomas C. Moore Michael G. Rossmann y Sharun S. Wil,ler. Uniiersiilarl de Purdue Documentos Pour la Science
Bibliothdque de 1'Institud
dades considerablemente mayores en Ios arcano§ de la teoiía de números.
Edward Bell (arriba). Laurie Grace (abajo) Edward Bell John Moss. cortesía de The Royal Society de Londres
cualquier otro valor, si el ordenador
o, por otra parte, hubiera introducido una
sola cifra errónea en el proceso de cálculo, el resultado hubiera sido un galimatías numérico, en lugar de rm valor de ¡r. Se demuestra que los algoritmos de
tipo Ramanujan para la determinación de valores aproximados de zr se hallan muy cerca de los óptimos posibles. Teniendo en cuenta todas las operaciones que intervienen en la ejecución de los algoritmos (dando por supuesto que
para efectuar la adición, la multiplicación y la extracción de raíces se aplican las mejores técnicas conocidas), la complejidad, en bits, del cáIculo de z cifras de ¡r sólo resulta marginalmente mayor que la de multiplicar dos números de n cifras. Pero la multiplicación de dos números de ¿ cifras mediante la transformada rápida de Fourier es sóIo marginalmente más complicada que la adición de dos números de z cifras, que es la más sencilla de las operaciones aritméticas posibles en un ordenador.
Es probable que las matemáticas no
hayan acusado en toda su plenitud el impacto del genio de Ramanujan. Hay en los "Cuadernos" otras muchas fór-
mulas mararrillosas, que giran en tG mo a integrales, series infrnitas y fracciones continuas (en las que aparece un número más una fraccióncuyo denominador es a su \-ez erpresable como un número más rrna fracción, y así sucesivamente ). Por desdicha, las fórmulas de Ramanujanestán
dadas sin apenas indicación
-si alguna- del método de que se valió para demostrarlas. Littlewood e-ccribió al respecto: "Si en un lugar cualquiera
se presentaba un razonamiento importante, y la conjunción total de pruebas e intuición Ie proporcionaba certeza, no seguía examinándolo.'
l I
hercúlea labor de prepararpara
{ i
"Cuadernos-iniciada hace 60 años por los analistas británicos G. N. Watson y B. N. \filson, y que hoy está rematando Bruce Berndt, exige una demostración, una fuente y alguna que otra corrección ocasional a cada uno de los muchos miles de teoremas e identidades en
t
a
JI t publicación ios
ellos enunciados. Una soia línea de los
"Cuadernos" puede fácilmente susci-
tar muchas páginas de comentarios.
Dificulta aún más la tarea Ia notación, no habitual, en que están escritas las fórmulas, por cuyo motivo gran parte de la obra de Ramanujan no accederá a la comunidad matemática hasta que concluya el proyecto de Berndt.
La capacidad excepcionalyúnica de Ramanujan para trabajar intuitivamente con fórmulas complicadas le permitió plantar semillas en un jardín
matemático que (tomando prest¿da de Freeman Dysonla metáfora) sólo ahe ra está comenzando a florecer. Juntamente con otros muchos matemáticos. esperamos ansiosos cuáles serán l¿5 semillas que germinen los años reni-
jardín.
deros y embellezcan aú¡ más el
ljll:i: ii rr,:.i 'ri i r r , '.1: : '. : :. ,:- 1.., ,.'.:r. N,loourrR EqL rit-r: TIO\Sro;t. S. R;rn:,.r-,,: :- -" r' r)-,.,¡:
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