TEMA 7 LA LÓGICA COMO SISTEMA FORMAL AXIOMÁTICO; LOS LÍMITES DE LOS SISTEMAS FORMALES AXIOMÁTICOS. 1. Introducción
El tipo de deducción que más frecuente se utiliza en la práctica es el natural. La deducción natural se apoya en una variada serie de reglas de inferencia para extraer consecuencias derivables de ciertas hipótesis inicialmente aceptadas sin examen previo por parte del lógico. Cualquiera que sea su contenido, trátese de enunciados y datos fsicos, matemáticos, históricos o !urdicos, el establecimiento de estas hipótesis es algo en principio indiferente desde el punto de vista de la deducción natural. "odo el inter#s del análisis y del control lógico se dirige exclusivamente a la extracción de conclusiones. $ero en la práctica cientfica interesa a veces someter tambi#n a control lógico riguroso las hipótesis iniciales. "al sucede sobre todo aunque no exclusivamente, en el estudio de las teoras matemáticas. %icho control se efect&a escogiendo, de acuerdo con un determinado criterio de racionalidad que se convenga en aceptar, unos enunciados determinados de la teora de que se trate, a los que se da el nombre de axiomas o postulados, y procurando a partir de entonces no admitir en la teora en cuestión otros enunciados que los que se deduzcan de los axiomas por inferencia lógica. ' los enunciados as deducidos se les llama teoremas. "al tipo de deducción constituye el m#todo axiomático. Los primeros que cultivaron sistemáticamente el m#todo axiomático fueron Euclides en matemática y 'ristóteles en lógica (ambos en el )iglo *+ a. de C.. En la #poca moderna, el inter#s de +ieta (s. -+* por la formalización del lengua!e matemático y de Leibniz (s. -+** por la formalización de la matemática y de la lógica han contribuido notablemente al desarrollo de dicho m#todo. $ero es sobre todo a partir del siglo -*- cuando el m#todo axiomático alcanza sus más resonantes triunfos. El descubrimiento de las geometras no euclidianas euclidianas indu!o a los matemáticos matemáticos a desconfiar desconfiar un tanto de la intuición espacial espacial (en que pareca basarse la geometra euclidiana tradicional y a buscar el fundamento de la geometra, y de la matemática en general, en el rigor del análisis y de las construcciones de la lógica. Las nuevas t#cnicas de formalización introducidas en matemática y lógica por rege a fines del siglo -*-, y por $eano, /ussell y 0ilbert a principios del siglo --, se vinculaban al propósito de fundamentar axiomáticamente la ciencia matemática. 'caso el más brillante resultado de este nuevo desarrollo del m#todo axiomático sea la actual teora axiomática de con!untos. 1na teora axiomatizada es, pues, una teora deductivamente ordenada en axiomas y teoremas seg&n reglas de inferencia. inferencia. La axiomatizaci axiomatización ón adquiere adquiere máximo rigor cuando va acompa2ada acompa2ada de la formalización formalización de la teora cientfica cientfica que se trate de axiomatizar. El resultado de formalizar y axiomatizar una teora cientfica es una teora formal o sistema formal axiomático (sacado de la obra Lógica simbólica simbólica de 3. 4arrido, 5677. . L! "ó#ic! co$o %i%t&$! 'or$!" !(io$)tico .1 D&'inición * +!rt&% d& un %i%t&$! !(io$)tico
8.5.5 %efinición 1n significado originario del t#rmino 9axioma9 (:;<=>: es dignidad. $or derivación 9axioma9 significa 9lo que es digno de ser estimado, credo o valorado9. 's, en su acepción más clásica el axioma equivale al principio que, por su dignidad, es decir, por ocupar un cierto lugar en un sistema de proposiciones, debe ser estimado como verdadero (seg&n el Diccionario Diccionario de filosofía de errater 3ora, 8??8. 1n axioma es una proposición seleccionada de entre un con!unto de otras, que se presume verdadera por un sistema de lógica o una teora, y de la cual son deducibles todas las otras proposiciones que el sistema o teora tiene por verdaderas@ estas proposiciones derivadas son llamadas teoremas por el sistema o la teora. 's, el teorema de $itágoras es deducible a partir de los axiomas de la geometra euclidiana. Los axiomas y teoremas de un sistema de lógica (por e!emplo, del cálculo proposicional son considerados verdaderos con necesidad lógica. La axiomatización de un sistema formal consiste en hallar la validez formal de los razonamientos deduci#ndolos a partir de otros sin necesidad de realizar un análisis interno de #stos. 'xiomatizar una teora es organizar ese con!unto de
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enunciados de tal forma que, partiendo de algunos de sus miembros (los llamados 9axiomas9, y mediante la aplicación de una serie de reglas de transformación, se puedan derivar los restantes enunciados de la teora (aquellos a los que llamaremos 9teoremas9. %emostrar un enunciado en un sistema axiomático (demostrar, con otras palabras, que el enunciado en cuestión es un teorema del sistema consiste en derivarlo válidamente (es decir, utilizando en la derivación sólo, y de manera correcta, los recursos explcitamente admitidos a tal efecto dentro del cálculo a partir de los axiomas (o a partir de otros teoremas ya demostrados, en fundamentar su verdad en la de otros enunciados cuya verdad consta. 3ediante m#todos como el de las tablas de verdad sólo llegamos a saber que unos determinados enunciados eran verdaderos. 3ediante su demostración en un sistema axiomático podemos alcanzar a averiguar cómo y por qu# lo sonA hemos de ver que las tautologas derivadas como teoremas no son otra cosa que transformaciones válidamente efectuadas de las tautologas elegidas como axiomas (sacado de Introducción a la lógica formal de '. %ea2o, 567B. 8.5.8 $artes de un sistema axiomático $ensadores de una tradición que incluye a Euclides, eDton, 0ilbert, $eano, hitehead y /ussell, además de otros, han usado el m#todo axiomático para presentar diferentes materias como teoras formales y coherentes, en las cuales todas sus proposiciones son deducibles de un con!unto claramente especificado de asunciones iniciales. 1n sistema axiomático totalmente formalizado contieneA 5 )mbolos primitivos 8 /eglas de formación que distingan las expresiones bien formadas de las mal formadas F %efiniciones G 'xiomas y B /eglas de inferencia que establezcan cómo son probados los teoremas. Los tres primeros ingredientes componen, por as decirlo, el lengua!e o 9gramática9, y los otros dos la 9lógica9 del sistema. 'l concepto de regla de inferencia va unido el de consecuencia inmediata o directa. La regla de inferencia establece que una fórmula, llamada conclusión, puede ser inferida de otra u otras, llamadas premisas de la reglaA la conclusión de la regla es consecuencia inmediata o directa de las premisas. 1na demostración o prueba es una secuencia finita de fórmulas tales que cada una de ellas o bien es un axioma o bien una consecuencia inmediata de alguna o algunas de las que le preceden por virtud de una regla de inferencia. La fórmula final de la demostración es un teorema, o fórmula derivada. Como venimos diciendo, los t#rminos teorema y axioma tienen aqu un sentido distinto al tradicional. "radicionalmente se entenda por axioma una proposición inmediatamente evidente (verdad inmediata@ por teorema, una proposición no inmediatamente evidente (verdad mediata que se deduce de los axiomas@ y por postulado, un principio que no se acepta por necesidad, como el axioma, sino por convención. 0oy se entiende por axioma, simplemente, una fórmula del sistema convencionalmente elegida, es decir, algo parecido a lo que la tradición entendera por postulado. %esde un punto de vista estrictamente formal, la diferencia entre axioma y teorema queda un tanto trivializada. El axioma puede ser considerado como un teorema obtenido mediante una demostración de cero premisas. "eorema sera entonces, o bien cualquier axioma o bien toda conclusión de una regla cuyas premisas sean teoremas. En la elaboración de un sistema formal es &til, aunque no necesario, disponer tambi#n de definiciones, que son las cláusulas por las que se introducen nuevos smbolos (smbolos definidos o derivados en función de los ya conocidos, lo cual permite abreviar cómodamente la escritura de las fórmulas del sistema. inalmente, y una vez elaborado en su dimensión sintáctica, el sistema deberá ser interpretado, esto es, puesto en relación con el con!unto de ob!etos considerados por la teora cientfica que pretenda formalizar. $or e!emplo con los n&meros naturales y sus propiedades, si se pretendiera axiomatizar la aritm#tica. 'hora bien, la lógica es una ciencia no menos rigurosa que la matemática, y sus teoras pueden ser asimismo, como de hecho han sido, axiomatizadas. $uede decirse que debemos a rege (de!ando a parte los anteriores ensayos realizados por 'ristóteles y Leibniz la primera axiomatización absolutamente formalizada de la lógica elemental. ' partir de este intento se han confeccionado algunos otros sistemas con algunas variantes de criterio, sobre todo en lo que respecta a la lógica de enunciados.
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. C!r!ct&r,%tic!% d& un %i%t&$! 'or$!" !(io$)tico
Caractersticas exigibles a los sistemas axiomáticos son la consistencia, la completud, la coherencia, la fecundidad y la independencia. 'demás los axiomas tienen que ser categóricos y simples. 5 ConsistenciaA El vocablo 9consistente9 designa uno de los conceptos fundamentales usados en metalógica. )e llama consistente a un cálculo C cuando, dada una fórmula bien formada f, de C, no es el caso de que f y la negación de f (Hf sean a la vez teoremas de C. )e llama tambi#n consistente a un cálculo C cuando hay por lo menos una fórmula bien formada de C que no es un teorema de C. Las dos anteriores definiciones corresponden a dos tipos de consistencia y son aplicadas, seg&n los casos a diversas clases de cálculos. )e dice que un con!unto de axiomas es consistente si no es posible derivar de #l una contradicción por razonamiento lógico. Esta noción queda me!or precisada si nos confinamos a axiomas expresados en un lengua!e formal definido con precisión y con reglas de inferencia dadas@ de otro modo, las parado!as lógicas podran tornar en inconsistente cualquier con!unto de axiomas. Evidentemente, la consistencia es una propiedad absolutamente básica de los axiomas, puesto que un sistema lógico con contradicciones internas se destruye a s mismo. )in embargo, es una propiedad que resulta difcil de establecer. ' lo sumo podemos estar seguros de que hasta ahora (en el actual estadio del desarrollo de un sistema no han aparecido teoremas contradictorios@ pero ello no puede de!arnos seguros de que no aparezcan alg&n da. 3ás todavaA no parece existir un m#todo general totalmente seguro de establecer la consistencia de un con!unto de axiomas. El m#todo normalmente seguido consiste en e!emplificar el sistema lógico, aplicarlo a casos concretos y ver si en este campo restringido da lugar a contradicciones. 'hora bien, evidentemente este m#todo carece de la generalidad necesaria. 8 CompletudA 1n sistema formal de lógica es semánticamente completo cuando todas las fórmulas semánticamente válidas son derivables como teoremas. 1na fórmula semánticamente válida de un sistema formal de lógica es aquella que, dada una interpretación especfica de los operadores lógicos, es verdadera ba!o cualquier interpretación de los t#rminos no lógicos. $or e!emplo, (pIHp es semánticamente válida y es tambi#n derivable como un teorema del cálculo proposicional. El cálculo de proposiciones y el cálculo de predicados son completos en este sentido. La completud en un sentido más riguroso se define sintácticamente. 1n sistema es completo en este sentido cuando al sistema se le a2ade como axioma una fórmula no derivable, es derivable en #l una contradicción. "ambi#n la completud puede ser explicada asA un sistema de axiomas es completo en el sentido de que de dos proposiciones contradictorias formuladas correctamente en los t#rminos del sistema, una debe poder ser demostrada. Esto quiere decir que en presencia de cualquier proposición del sistema, #sta se puede demostrar en cualquier momento o impugnar y, por tanto, decidir acerca de la verdad o falsedad en relación con el sistema de los postulados. En este caso, el sistema se denomina decidible. F CoherenciaA )i no son coherentes los axiomas, el sistema del que dependen resulta contradictorio. J que el sistema resulte contradictorio significa que permite deducir cualquier cosa y, con ello, que se puede demostrar una proposición cualquiera, tanto como su negación. Ja que la prueba de la no contradicción es imposible de obtener en el interior de un sistema axiomático, nos valemos habitualmente del sistema de la reducción de una teora anterior, cuya coherencia nos parece bien establecida, por e!emplo, a la geometra euclidiana. )in duda, este procedimiento no equivale a una demostración de no contradicción, pero suministra un dato importante. Ktro procedimiento es la realización, es decir, la referencia del sistema a un modelo real, sobre el supuesto de que lo que es real debe ser posible, y, por tanto, no contradictorio. $ara 'ristóteles la coherencia es cuando en un sistema no se encuentra una contradicción entre sus teoremas, cuando no se encuentra una pare!a de fórmulas tales que, una sea la negación de la otra. $ara 0ilbert, un sistema es coherente, cuando, al menos, una de las fórmulas construidas en el lengua!e de un sistema, no es uno de sus teoremas. G ecundidadA Los axiomas de un sistema lógico no se eligen porque sean más evidentes que los teoremas. %esde el punto de vista de la construcción lógica del sistema, la &nica propiedad que nos interesa en un axioma es su
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fecundidad, es decir, su capacidad de servir como premisa o supuesto para numerosas deducciones. ' la lógica no le interesa la verdad de las proposiciones que emplea, sino la existencia de relaciones de implicación entre proposiciones. B *ndependenciaA La independencia es la condición indispensable para los axiomas de un sistema cualquiera. Esto significa que no se puede deducir un axioma de los otros axiomas del mismo sistema. )e dice que un axioma es independiente cuando no se puede derivar de los otros axiomas del sistema en cuestión. La independencia equivale a la irreductibilidad recproca. Esta condición no es tan indispensable como el de la coherencia, pero es oportuna para evitar que las proposiciones primitivas resulten numerosas en exceso. ue sea independiente quiere decir que tiene que ser imposible deducir uno cualquiera de los axiomas del resto de los otrosA los axiomas deben ser mutuamente independientes. )ólo si existe esta mutua independencia entre los axiomas, podrá distinguirse claramente dentro del sistema entre axiomas y teoremas. Los intentos de establecer la independencia dentro de un con!unto de axiomas han llevado a veces a importantes descubrimientos como en el caso de la geometra. El intento infructuoso de probar que el quinto axioma dependa de los demás llevó a la constitución de las geometras no euclidianas. M CategóricoA Los axiomas de un sistema axiomático deben ser categóricos. 1n sistema axiomático es categórico si todos sus modelos son isomórficos. Cuando se intenta caracterizar a una noción por medio de un con!unto de axiomas es esencial que los axiomas sean consistentes, es decir, que exista al menos un modelo. %e no ser as cabra decir, por e!emplo, que un punto es lo que satisface tales y tales axiomas, mientras que nada puede satisfacer esos axiomas. 7 )implezaA Los axiomas de un sistema axiomático deben ser pocos y simples. El menor n&mero posible y la simplicidad de los axiomas son condiciones deseables, que confieren la elegancia lógica y la sencillez a un sistema axiomático. $ero, por otra parte, si los axiomas son consistentes, nos enfrentamos con otro problemaA puede haber demasiados modelos. 1n sistema axiomático que tenga exactamente un modelo no existe, y as, el intento de caracterizar a un modelo de forma &nica por el procedimiento de dar axiomas no puede tener #xito. "odo sistema axiomático que sea consistente tendrá un n&mero infinito de modelos. Lo más que podemos esperar, por tanto, es que los modelos del sistema axiomático, aunque pueden ser numerosos, sean isomórficos, es decir, que tengan la misma estructura. .- A(io$!ti!ción d& "! "ó#ic!/ d& "! $!t&$)tic! * d& "!% t&or,!% ci&nt,'ic!%
8.F.5 La axiomatización de rege de la lógica formal La principal venta!a de los sistemas de 9primera generación9 es la simplicidad de sus reglas de derivación, que eran básicamente dosA 5 /egla de separación (o modus ponens o silogismo hipot#ticos@ tenemos 9'9 y 9' N9, por tanto 9N9. 8 /egla de sustitución en los axiomas y teoremas. rege propuso un sistema axiomático que tena sólo tres axiomas, para los que se vala exclusivamente de los operadores 9H9 y 99. Los axiomas seranA 5. O p(q p 8. O (p(qr((pq(pr F. O (Hp Hq(q p Con estos axiomas rege demostrara que la fórmula (p q, que parece expresar una verdad lógica más primaria que cualquiera de los anteriores tres axiomas, es, en realidad un teorema, obtenido por demostraciónA al substituir en el segundo axioma 9q9 por (9p p9 y 9r9 por 9p9, se obtiene una fórmula cuya forma es el axioma primeroA axioma 5 (axioma 5 (p p, con lo que dos aplicaciones de la regla de separación permiten obtener (p p. 8.F.8 La axiomatización de /ussell y hitehead de la lógica de proposiciones Ktro sistema axiomático para presentar la lógica de enunciados es el de '. . hitehead y N. /ussell, que dieron a conocer en sus Principia Mathematica (565?P565F. El sistema $3 está compuesto porA ' )mbolos primitivosA 5. +ariables proposicionalesA p, q, r, s, t, p 5, q5, r 5, s5, t5, Q, pn, qn, r n, sn, tn. 8. Conectivas o functores de enunciadoA H, I (0ay que recordar que las conectivas se pueden reducir entre ellas a funciones primitivas no definidas. F. )ignos de puntuaciónA par#ntesis diversos, como 9(,9, 9R,S9, 9T,U9. N )mbolos definidosA (V -VJW %. H(H-IHJ
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( -JW %. H-IJ (X -XJW %. HRH(H-IJ IH(HJI-S C /eglas de formaciónA /5 1na variable proposicional sola es una expresión bien formada del cálculo (como abreviatura de 9expresión bien formada del cálculo9 utilizaremos 9ebf.9. /8 )i - es una ebf., entonces H - tambi#n lo es. /F )i - e J son ebfs., entonces -IJ tambi#n lo es. /G Estas son todas las reglas de ormación del cálculo. % 'xiomasA '5 (pIp p '8 q(pIq 'F (pIq(qIp 'G RpI(qIrSRqI(pIrS 'B (qrR(pIq(pIrS E /eglas de transformaciónA /"5 %ada una tesis (axioma o teorema del cálculo, en la que aparecen variables de enunciado, el resultado de sustituir una, algunas o todas esas variables tambi#n es una tesis del cálculo. J ello con una restricción, si bien importanteA cada variable ha de ser sustituida siempre que aparece, y siempre por el mismo sustituto. %icho de modo más rigurosoA si - es una tesis del sistema en la que aparecen distintas variables p 5, p8, Q, pn, e J5, J8, Q, Jn son expresiones bien formadas del cálculo, la expresión resultante de sustituir en -p 5 por J5, p 8 por J8, Q, pn por Jn será asimismo una tesis del sistema. )e le llama a esta regla 9/egla de )ustitución9A /"8. )i 9-9 es una tesis del sistema, y lo es tambi#n la expresión 9- J9, entonces 9J9 es una tesis del sistema. Es fácil ver que esta regla (a la que se da el nombre de /egla de separación (/% por /ule of %etachment para que no coincida con /) de la anterior no es otra cosa que una traducción metalingYstica de la ley lógica que hemos llamado 9modus ponendo ponens 9A R(pqVpSq. %educción de teoremasA $artiendo de esta base es posible (porque seg&n vemos más adelante, el cálculo que estamos presentando es completo demostrar como teoremas todas las expresiones formalmente verdaderas construibles en el lengua!e del cálculo. $uesto que esas expresiones son infinitas en n&mero, es obvio que no podemos demostrarlas todas, una a una. os limitaremos a mostrar, mediante unos cuantos e!emplos la posibilidad de hacerlo. 'lgunas demostraciones fáciles seranA ZEs un teorema la expresión 9p (pIp9[ Lo es. 0e aqu la demostraciónA 5. q(pIq '8 8. p(pIp /)(q\p, 5 La expresión 9p(pIp9 se obtiene a partir del 'xioma 8 mediante una aplicación (correcta de la /egla de )ustitución. Es, pues, un teorema. Le llamaremos "eorema 5. ZEs un teorema la expresión 9Rp (qrSRq(prS9[ ]uzgue el lectorA 5. RpI(qIrSRqI(pIrS 'G 8. RHpI(HqIrS R HqI(HpIrS /)(p\Hp,q\Hq,5 F. Rp(qrSRq(prS %f. 8 Lo anterior da lugar al "eorema 8. "eorema F. (prR(pq(prS %emostraciónA 5. (qrR(pIq(pIrS 'B 8. (qrR(HpIq( HpIrS /)(p\Hp,5 F. (qrR(pq(pr %. 8 "eorema G. (pqR(qr(prS %emostraciónA 5. Rp(qrSRq(prS "8
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8. T(qrR(pq(qrSUT(pqR(qr(prSU /)Rp\(p r, q\(q, r\(pr, 5 F. (qrR(pq(prS "F G. (pqR(qr(prS /%, 8, F $odramos seguir deduciendo hasta conseguir demostrar como teorema un axioma. Lo cual, a su vez, quiere decir que el axioma no sera independiente (caracterstica básica del sistema axiomático de los restantes, que puede ser demostrado a partir de ellos. $or tanto, todo lo que se puede demostrar a partir de este axioma puede demostrarse tambi#n a partir no sólo de los otros cuatro. J habida cuenta de que, en la presentación de un cálculo se tiende siempre al ahorro de elementos primitivos, nada tiene de extra2o que el <imo de los axiomas (a partir de la demostración del lógico $. Nernays en 568M haya sido eliminado de la lista de axiomas y reducidos #stos a cuatro. J a&n a tres. En efecto Lu^asieDicz mostró que tomando como funciones primitivas la negación y el condicional (como rege, los cuatro axiomas de Principia Mathematica podran ser sustituidos por estos otros tresA '5. (pqR(q(pS '8. (Hp p p 'F. p(Hpq $ero a&n hay más. Los axiomas podran reducirse a uno. En este sentido ]ean icod (que fue qui#n mostró esta posibilidad no hizo sino, como alguien ha dicho, extraer las consecuencias axiomáticas de los resultados de )heffer relativos a la reducción de todas las funciones monádicas y diádicas a unaA la incompatibilidad, por e!emplo. "omando esta función como la &nica primitiva, es posible (mediante la utilización de dos reglas de inferencia, la regla de sustitución y una regla de separación distinta de la que emplearon /ussell y hitehead proceder a una axiomatización completa de la lógica de enunciados. Completa, pero no cómoda. 0e aqu, en efecto, ese axioma omnipotente, que más tarde Lu^asieDicz y )obocins^i conseguiran acortar, y a!sberg (en un alarde digno de ser cantado por Norges dedu!o de otro de la misma longitudA Rp_q(_rS_TRt_(t_tS_`(s_q_R(p_s_(p_sSU 's pues, cuando hablamos de 9el cálculo de enunciados9 lo hacemos por abreviar. $orque hay distintos cálculos de enunciados, distintas posibilidades de presentar axiomáticamente la teora de las relaciones de inferencia entre proposiciones sin analizar (sacado de Introducción a la lógica formal de '. %ea2o, 567B. 8.F.F El sistema axiomático de 0ilbert %avid 0ilbert (nigsberg 5M8 4ttingen 56GF fue un matemático alemán, reconocido como uno de los más influyentes del siglo -*- y principios del --. ' #l le debemos, a parte de la teora de invariantes y los fundamentos del análisis funcional, la axiomatización de la geometra. Las investigaciones de 0ilbert que más directamente han incidido en el desarrollo de la Lógica 3atemática son las referentes a los undamentos. En sus Grundlagen der Geometrie (566 presenta la 4eometra, como antes hiciera Euclides, como una ciencia deductiva que procede de manera puramente lógica a partir de unos pocos axiomas establecidos. El m#todo axiomático en 3atemáticas es atribuido, seg&n la tradición, a $itágoras, pero es a trav#s de los Elementos de Euclides como ha llegado hasta nosotros. 'hora bien, la axiomática tradicional era una axiomática intuitiva. En ella, los conceptos básicos son considerados como intuiciones, y las proposiciones fundamentales como evidencias. El progreso de la axiomática consiste, precisamente, en la eliminación progresiva de la intuición. En la axiomática formal todas las evidencias no controladas han de quedar eliminadas. 'xiomas tan evidentes como 9el todo es mayor que la parte9 carecen de sentido cuando se consideran colecciones infinitas. %e ah surge la idea de evitar todo recurso a evidencias no controladas y la renuncia a apoyarse en representaciones sensibles para figurar ob!etos ideales. Lo que se exige en la axiomática moderna es, en cambio, la formalizaciónA los ob!etos de la teora estudiada y las relaciones que entre ellos se establecen son expresados por smbolos 9desprovistos de todas significación9. /eciben, solamente a trav#s de los axiomas, de modo que en todas sus consideraciones la axiomática formal no utiliza más relaciones primitivas que las formuladas expresamente por los axiomas. La formalización estricta de una teora exige, pues, la abstracción total de cualquier significado, dando como resultado un sistema formal axiomático. $or sistema se entiende un con!unto (clase o dominio de ob!etos entre los que se establecen ciertas relaciones (y operaciones. Cuando los ob!etos del sistema son conocidos exclusivamente a trav#s de las
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relaciones del sistema, el sistema es abstracto o formal. uedan entonces, sin especificar lo que son los ob!etos en particular, apareciendo, as, como ob!etos indeterminados, pero queda establecida la estructura del sistema. Cualquier especificación ulterior de lo que sean los ob!etos suministra, entonces, una interpretación (o modelo del sistema abstracto, esto es, un sistema de ob!etos que satisface las relaciones del sistema formal. J cuando los ob!etos indeterminados del sistema formal no se definen o generan recursivamente (m#todo gen#tico, sino que entre ellos se establecen relaciones que satisfacen ciertas suposiciones o condiciones y que se denominan axiomas del sistema formal, o estructura, entonces el sistema formal es axiomático (sacado de Historiad e la lógica de ]ulián +elarde Lombra2a, 566 La teora as formalizada está constituida por las consecuencias deducidas de los axiomas mediantes reglas de deducción lógicas, y eso, por tanto, aplicable a cualquier sistema de ob!etos que satisfaga los axiomas. 8.F.G La axiomatización de la matemática de $eano El matemático italiano 4iuseppe $eano (5BP56F8 elaboró a fines de siglo un sistema axiomático de aritm#tica elemental, tomando como base nociones primitivas (no definidas y cinco axiomas. La teora de $eano es un logicismo, es decir, considera que la matemática es reducible a la lógica y que la matemática es una rama de la lógica, o sea, que todas las proposiciones de las matemáticas se pueden enunciar mediante vocabulario y la sintaxis de la lógica matemática, que resulta as ser la disciplina matemática por excelencia. Las tres nociones primitivas son cero, n&mero y sucesor. Los cinco axiomas del sistema de $eano sonA 5. Cero es un n&mero. 8. El sucesor de un número es un número. F. )i dos números tienen un mismo sucesor , es que son iguales. G. Cero no es sucesor de ning&n número. B. "oda propiedad que convenga a cero y al sucesor de cualquier número, supuesto que convenga tambi#n a ese cualquier número, conviene a todo número. $ara destacar los elementos no lógicos (en este caso, aritm#ticos de los lógicos, se ha escrito en cursiva a los primeros. Las palabras que no van escritas en cursiva representan el marco lógico en el que se insertan y al que se sobrea2aden los ingredientes especficos que constituyen la base de la aritm#tica. La diferencia entre unos y otros elementos y la estructura de cada uno de esos axiomas se patentiza con más nitidez empleando lengua!e formal. )i convenimos en designar a las tres nociones primitivas del sistema axiomático de $eano por los smbolos ?, y (y estipulando que el tercero de los smbolos mentados se adosará a un n&mero 9el sucesor de x 9, los anteriores axiomas podran ser formalizados de este modoA $5 ? $8 ∀x(x x $F ∀x∀y(xVyVxWyxWy $G ∀x(xxW? $B ∀$($?V∀x(xV$x$x∀y(y$y $eano elaboró la primera versión de su sistema en 56, en su obra !rithmetices principia, con cuatro ideas fundamentales y nueve axiomas. $osteriormente, en su "ormulaire de math#mati$ue (567P66, estimó que algunos de esos axiomas pertenecan más bien a la lógica y redu!o el sistema a cinco proposiciones. ' esa #poca corresponde la versión en lengua!e ordinario reproducida aqu. El sistema de $eano sirve hoy, en lo esencial, de base a las modernas axiomatizaciones de la aritm#tica. $ero con algunas precisiones y modificaciones que podemos resumir asA $rimero. La idea primitiva de 9n&mero9, simbolizada , denota el universo de discurso o dominio al que originariamente hace referencia el sistema, y no necesita ser explcitamente relacionada como tal idea básica ni explcitamente mencionada en los axiomas. $or esta razón los dos primeros axiomasA 9? es un n&mero9, 9el sucesor de un n&mero es un n&mero9 no son propiamente axiomas, sino reglas de formación de fórmulas y t#rminos, y pueden pasar por tanto a la parte meramente gramatical del sistema (9cero es un t#rmino9, 9si a es un t#rmino, x es un t#rmino9, sin, evidentemente, reglas gramaticales de formación de t#rminos. )egundo. En cambio resulta conveniente a2adir al sistema dos nuevos signos primitivosA y , denotativos, respectivamente, de las operaciones de adición y producto. Ello lleva consigo la anexión de cuatro axiomas, dos para cada uno de estos dos nuevos signos a los que definen recursivamenteA 'xiomas de adiciónA y ∀x(x?Wx ∀x∀y(xyW(xy 'xiomatización de productoA ∀x(x?W? y ∀x∀y(xyWxyx
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"ercero. 'simismo conviene precisar los lmites de la plataforma lógica sobre la cual se hace descansar la aritm#tica. El axioma correspondiente al principio de inducción matemática comienza haciendo referencia a 9toda propiedad9. $ero esta referencia sólo puede ser formalmente explicitada de manera satisfactoria recurriendo a la lógica de segundo orden, que permite la cuantificación de letras predicativas. %e hecho, la quinta fórmula (el axioma formal $B no pertenece a la lógica elemental, dado que contiene la cuantificación de un predicado, $. En lógica de primer orden, sin embargo, cabe formalizar ese principio, aunque sólo sea limitadamente, teniendo en cuenta que en este plano elemental las letras predicativas no son variables, sino parámetros (y un parámetro predicativo puede ser interpretado en principio como 9cualquier9 predicado. Cuarto. inalmente y en orden a precisar los lmites de la plataforma lógica de la aritm#tica, hay que especificar si esa plataforma es la lógica elemental sin la idea de igualdad o con esa idea. El sistema que hemos denominado L es la lógica elemental pura (sin igualdad. $ara ser sobrea2adida a la lógica elemental pura, la aritm#tica de $eano necesita ser provista además, por tanto de la idea de igualdad y axiomas complementarios. 8.F.M La axiomatización de teoras cientficas La lógica formal ofrece un marco dentro del cual resulta posible controlar de modo riguroso la axiomatización de teoras cientficas no estrictamente lógicas, en especial las teoras matemáticas. 'unque no se recurra a la formalización, la mera ordenación deductiva de los enunciados de una teora cientfica en axiomas y teoremas permite distinguir claramente en ella entre lo que se considera básico y lo que se considera derivado. $ero la inserción explcita de los axiomas dentro del marco de la lógica formal proporciona además innegables venta!asA permite distinguir tambi#n con análoga nitidez entre aquellas piezas estructurales que son especficas de la teora y las que no lo son, como tambi#n y sobre todo, asegurar al máximo el control racional de las consecuencias obtenidas. $or fundamentación lógica de una teora suele entenderse muchas veces, precisamente, la exposición axiomática de la misma dentro del marco explcito de la lógica formal. ' las teoras que pueden ser formalizadas y axiomatizadas con la sola ayuda de la lógica elemental o de primer orden, se las llama teoras de primer orden. El aparato de la lógica de primer orden es ciertamente muy sencillo. )in embargo es suficiente para servir de marco a la mayor parte de las teoras matemáticas, siempre, naturalmente, que se le adicionen conceptos y principios propios de la teora que se pretenda axiomatizar. *ncluso la teora de con!untos (que pretende servir a su vez de marco general al que pudiera reducirse toda teora matemática puede ser formalizada y axiomatizada con el elemental aparato de la lógica de primer orden. $or otra parte, aunque el campo propio de la aplicación del m#todo axiomático sean las ciencias formales, como la matemática y la lógica, tambi#n cabe ensayar el intento de aplicarlo a teoras empricas. )obre el valor epistemológico de este intento se dividen las opiniones. La axiomatización no influye en la expansión de las ciencias empricas tan directamente como influye en la expansión de la matemática. $ero es sin duda alguna &til para la clarificación y el análisis lógico y metodológico de las hipótesis y teoras que interesan a las ciencias empricas. El lógico alemán 0ermes confeccionó en 56F una axiomatización de la mecánica general. 0enry oodger ha ultimado recientemente una valiosa axiomatización de la gen#tica en la que vena traba!ando desde varias d#cadas. +on emann y 3orgenstern en 56G y más recientemente )uppes han axiomatizado la teora económica de la decisión y la utilidad. -. Lo% ",$it&% d& "o% %i%t&$!% 'or$!"&% !(io$)tico%0 Li$it!cion&% d&" 'or$!"i%$o
En la d#cada de los a2os treinta quedó truncada la fe que los formalistas haban puesto en el m#todo axiomático y en la posibilidad de resolver por procedimientos mecánicos cualquier problema lógico o matemático. El problema de la decisión recibe una solución definitivamente negativa. F.5.5 "eorema de 4del En el a2o 56F5 publica 4del su famosa memoria y que más impacto ha producido en la lógica modernaA %obre sentencias formalmente indecidibles de Principia Mathematica & sistemas afines . En la demostración de su primer teorema de incompletud, 4del utiliza un ingenioso procedimiento que permite construir enunciados aritm#ticos que expresan proposiciones metateóricas. 1n procedimiento seme!ante ya haba sido previsto por Leibniz, aunque en forma
inacabada y en un contexto diferente. 1na tpica sugerencia a la que recurrió Leibniz en sus escritos filosóficos fue la siguienteA las ideas simples pueden ser expresadas mediante diferentes n&meros primos, y las ideas comple!as mediante n&meros compuestos (productos de primos. $or descabellada que nos parezca, esta idea fue la clave para que 4del encontrara la manera de construir fórmulas de corte aritm#tico que expresasen la propiedad de que determinados sistemas formales fuesen consistentes. 'l procedimiento por #l utilizado se le conoce como m#todo de la aritmetización. Grosso modo, el m#todo consiste en asociar biunvocamente n&meros primos a los smbolos primitivos del sistema, y n&meros compuestos a los demás ob!etos del mismo (fórmulas, derivaciones. Este m#todo hace posible formular, mediante procedimientos recursivos, un extenso n&mero de enunciados y razonamientos metateóricos en la aritm#tica misma. %e este modo, una operación aplicable a una determinada categora de ob!etos queda representada mediante una función aritm#tica, y una relación entre ob!etos del sistema queda representada por medio de una relación aritm#tica entre los n&meros correspondientes. Cuando el sistema formal considerado es una formalización '/ de aritm#tica recursiva, lo anterior da lugar a una situación sui generisA los enunciados aritm#ticos que expresan sus propiedades metateóricas pueden formalizarse en el sistema mismo, y #ste contendrá parte de su metateora (descripción, propiedades de sus ob!etos. 4del lleva esta situación al punto de construir una fórmula 4 (con n&mero g que, en tanto enunciado metateórico, afirma lo siguienteA la fórmula correspondiente al n&mero g no es derivable en '/. 's, la fórmula 4 9afirma9 ser inderivable en '/ y es de tal naturaleza que sucede lo siguienteA 5 )i 4 es derivable en '/, entonces es falsa en tanto que enunciado aritm#tico. 8 )i 4 es derivable en '/, entonces es verdadera en tanto que enunciado aritm#tico. La conclusión a la que llega 4del es que si el sistema es consistente ni 4 ni su negación son derivables en el sistema. En otras palabrasA si el sistema es consistente, la fórmula 4 es indecidible y el sistema incompleto. Esta demostración puede ser llevada a una gran variedad de sistemas formales, probándose con ello, y en contra de lo que se podra haber esperado, que la completabilidad de la matemática es un hecho básico. Continuando por el mismo camino, 4del construye una fórmula aritm#tica C que expresa la condición de que el sistema es consistente, y prueba que #sta es formalmente equivalente a la fórmula 4, en el sentido de que si una de ellas fuese derivable, la otra tambi#n lo sera. %e aqu su segundo teorema de incompletudA si el sistema '/ es consistente, la fórmula C que expresa su consistencia no es derivable en el sistema. Esta demostración puede ser llevada a una gran variedad de sistemas formales, probándose con ello, en contra de lo que de facto esperaba la escuela formalista, que la imposibilidad de probar la consistencia de los más importantes sistemas formales en el interior de ellos mismos tambi#n es un hecho básico. 1na consecuencia de este resultado es la siguienteA si se logra demostrar por alg&n medio la consistencia de un sistema formal capaz de formalizar la aritm#tica recursiva, la prueba no admite formalización en el sistema, a menos que #ste sea inconsistente. Esto significa, entre otras cosas, que para demostrar la no contradicción de un sistema que no sea demasiado restringido es necesario recurrir a procedimientos de prueba que le son extra2os y, en cierto sentido, más poderoso de los que #ste se vale. Esto se2ala un lmite al modo en que podemos conocer las propiedades de los sistemas formales y, aunque no despo!a de todo sentido a las pruebas de no contradicción, modifica considerablemente su alcance. La solución planteada por el segundo teorema de 4del al problema de la consistencia de las teoras matemáticas es exactamente la opuesta a la esperada por 0ilbert. )eg&n 0ilbert, las teoras matemáticas habrán de formar una suerte de pirámide, en cuya base se encontrara aquella formada por los elementos más simples. Esta base autovalidativa, en el sentido de que encerrara la garanta de su no contradicción. ' partir de ella se ira probando la consistencia de los formalismos más poderosos, quizá con la ayuda de otras teoras cuya consistencia ya se hubiese resuelto. o obstante, a la luz del teorema de 4del, la situación es opuesta. En efecto, si acabar un sistema significa probar su consistencia, es imposible contentarse con las suposiciones que en #l se hacen, pues es necesario hacer la siguiente presuposición, aquella que nos permita probar su consistencia. $or tanto, siguiendo con la metáfora, la pirámide ha de ser invertidaA para consolidar un piso, es necesario construir el siguiente (para asegurar un sistema es necesario acabar el sistema que formaliza la prueba de su consistencia. En tal caso, la base de la pirámide se encuentra suspendida
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en la c&spide, una c&spide inconclusa por s misma, y que debe ser elevada sin cesar. ' fin de cuentas, si fundamentar las matemáticas, como 0ilbert pretende, consiste en probar la coherencia de sus principales teoras, la matemática se fundamenta en la nada. J esto es un resultado de innegable valor epistemológico. F.5.8 "eorema de Church Ja en el siglo -+** Leibniz so2aba con presentar los resultados de las matemáticas de forma tal que su necesidad fuese consecuencia de su forma. 'nhelaba llevar el estudio de los n&meros y de las lneas a su perfección, al menos en cuanto a los m#todos de solución o a la demostración de la imposibilidad de hacerlo. $or e!emplo, habla de un m#todo que permitiese decidir si una ecuación diofántica tiene o no solución en n&meros enteros, as como de un procedimiento para dar cuadraturas para la geometra ordinaria. Leibniz imaginaba igualmente una lingua philosophica o characterística uni'ersalis que no sólo sirviese para comunicar el pensamiento sino tambi#n para pensar, una especie de hilo de 'riadna que nos guiase a trav#s del laberinto del raciocinio. sta habra de seme!arse al álgebra, y so2aba con construir una especie de cálculo que facilitase el pensamiento formal. El sue2o leibniciano debió aguardar más de doscientos a2os para al menos encontrar un lengua!e capaz de refle!ar la estructura lógica de las proposiciones. Couturat, ya en el siglo --, sostiene, entusiasmado, que el simbolismo lógico debe ser un algoritmo que permita extraer de los primeros datos (los axiomas todas las conclusiones lógicas que contengan, esto por medio de reglas de transformación de fórmulas análogas a las del álgebra. Clama, en otras palabras, por un simbolismo que permita remplazar el razonamiento por el cálculo. $or su parte, 0ilbert ve en los sistemas formales un medio para decidir si son resolubles los problemas matemáticos expresables en ellos (a trav#s de pruebas de consistencia. Church, más sensible a las condiciones del problema, !uzga imposible tal acontecimiento. Con su teorema demuestra que ning&n algoritmo o procedimiento mecánico podrá haber que nos permita distinguir las fórmulas que son válidas de las que no lo son. La idea misma era descabelladaA un procedimiento de tal ndole permitira conocer la verdad (relativa a los axiomas de todo enunciado matemático que se pudiese expresar en el sistema. $ermitira, por e!emplo, decidir la verdad de la con!etura de 4olbach o de las hipótesis de /iemann con sólo tener a la mano una máquina computadora suficientemente poderosa como para llevar a cabo la e!ecución del algoritmo. En este sentido, lo que el teorema de Church nos dice es, simplemente, que dicho procedimiento no existe, que en el cálculo de predicados y varias de sus extensiones no se puede decidir algortmicamente cuáles fórmulas son derivables y cuales no (sacado de Perspecti'as en las teorías de sistemas , de ++''. 5666. F.5.F La tesis de "uring 'l mismo resultado se llegó por las máquinas de "uring. stas dieron respuesta negativa a la pregunta de 0ilbert Zexiste alg&n proceso definido (algoritmo que pueda decidir cualquier enunciado matemático[ "uring expuso su tesis como un teorema demostrado. 1tilizando su concepto de máquina teórica, logró demostrar que existen funciones que no son calculables o resolubles por un m#todo definido y en concreto que el jEntscheidungsproblemk era uno de estos problemas. $or este motivo tanto la tesis de "uring como la de Church son similares, al fin vienen a decir lo mismo, y se fusionanA La tesis de "uring afirma que el con!unto de las funciones computables coincide con el n&mero de las funciones que puede calcular la máquina de "uring. 'mbas tesis "uring y Church, son equivalentes. $or eso nos referimos a ambas tesis como tesis de ChurchP"uring. . Conc"u%ión
Como se ve, la matematización de ciertos problemas epistemológicos llevó a resultados irrebatibles que, no se prevean en absoluto a comienzos del siglo --. )e trata de teoremas limitativos, que imponen un lmite a la capacidad de formalización y expresión de los sistemas formales. En este sentido, las deficiencias se2aladas por los llamados teoremas limitativos pusieron fin a algunos de los vie!os sue2os de la razón, y esto de manera irrebatible. Ja no podemos imaginar una razón matemática autovalidativa y encerrada en s misma, sin saber que esto no es más que una elucubración fantástica ale!ada de la verdad. N*NL*K4/''A
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4'//*%K, 3., Lógica %imbólica, "ecnos, 3adrid, (5677
%E'K, '., Introducción a la lógica formal , 'lianza, 3adrid, (567B
E//'"E/ 3K/', ]., Diccionario de filosofía, 'lianza, 3adrid, (8??8
CKC0K, 4., Perspecti'as en las teorías de sistemas , )iglo --*, 3adrid (5666
LK3N/'', ]., +., Historia de la lógica, 1niversidad de Kviedo, (566
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