“AÑO DE LA CONSOLIDACIÓN DEL MAR DE GRAU” UNIVERSIDAD PERUANA UNIÓN FACUL ACULT TAD DE INGENIER INGENIERÍA ÍA Y ARQUITE A RQUITECTURA CTURA E.A.P INGENIERÍA AMBIENTAL
CURSO: CÁLCULO TEMA:
APLICACIÓN DEL CÁLCULO EN LA INGENIERÍA AMBIENTAL DOCENTE:
Msc. RUTH QUISPE CONDORI ALUMNA: NELLY NELL Y CAT CATACORA ACORA C HOQUEA PAZA
CICLO: II
GRUPO: 3 – C
CULLUNQUIANI – !ULIACA PUNO " PER# INDICE
E.A.P. INGENIERÍA INGENIERÍ A AMBIENTAL AMBIENTAL
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E.A.P. INGENIERÍA INGENIERÍ A AMBIENTAL AMBIENTAL 1. INTRO NTROD DUCCI UCCIÓN ÓN El descubrimiento del Cálculo es uno de los grandes logros intelectuales de la civilización, pues ha servido por más de tres siglos como una herramienta cuantitativa para la inve investi stiga gació ción n de prob problem lemas as cien científ tífic icos os.. El cálcu cálculo lo es fund fundam ament ental al para para área áreass de las las matemáticas tales como la probabilidad, la topología, la teoría de grupos aspectos del álgebra, la geometría la teoría de n!meros. "in #l, la tecnología moderna la física podrían ser difíciles de imaginar $%leiner, &''&(.
"in embargo, la ense)anza del cálculo es conocida por ser una fuente de serios problemas, tanto para los estudiantes como para los profesores, de cara a la compresión de sus ideas fundam fundamenta entales les.. *a deriva derivada da es uno de los concep conceptos tos fundam fundament entales ales para para el estudi estudio o del cálculo, cálculo, aun+ue aun+ue un tratamiento ecesivamente ecesivamente algebraico del concepto, concepto, sin la utilización utilización de otro otro tipo tipo de repr represe esent ntaci acion ones es para para su ense) ense)an anza, za, pued puedee cont contri ribu buir ir al surg surgim imien iento to de dificultades de cara car a a su comprensión. c omprensión. -/ -/I01E I01E $2334(, se)ala +ue aun+ue se puede ense)ar a los estudiantes a efectuar de forma más o menos mecánica algunos cálculos de derivadas a resolver algunos problemas estándares, se encuentran grandes dificultades para +ue logren alcanzar una comprensión satisfactoria de los conceptos m#todos de pensamiento +ue conforman el n!cleo de este campo de las matemáticas. Problema de fosa séptica sacada del primer ejemplo https://youtu.be/9WSJ76mD9s
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E.A.P. INGENIERÍA INGENIERÍ A AMBIENTAL AMBIENTAL
CAPÍTULO I MONOGRAFÍA: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
56or +u# esta magnífica tecnología científica, 7ue ahorra tu traba8o nos hace la vida más 9ácil, nos aporta felicidad: *a respuesta es Está, "implemente; por+ue a!n no hemos -prendido - usarla usarla con tino. <
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-lbert Ei Einstein
E.A.P. INGENIERÍA INGENIERÍ A AMBIENTAL AMBIENTAL 1 LOS LÍMITES 1.1.
DEFINICIÓN:
*ímite es es un concepto +ue describe describe la tendencia tendencia de una sucesión sucesión o o una función función,, a medida +ue +ue los los pará paráme metr tros os de esa esa suce sucesi sión ón o func funció ión n se acer acerca can n a dete determ rmin inad ado o valo valorr. En cálculo $especialmente cálculo $especialmente en análisis real matemático matemático(( este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia convergencia,, continuidad continuidad,, derivación derivación,, integración integración,, entre otros.
En análisis real para real para funciones funciones de de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores +ue toma la función dentro de unintervalo unintervalo se van van apro aproi ima mand ndo o a un punt punto o fi8ad fi8ado o c, inde indepe pend ndie iente nteme ment ntee de +ue +ue #ste #ste pertenezca al dominio de la función. Esto se puede generalizar a!n más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios m#tricos. m#tricos.
Informalmente, se dice +ue el límite de la función f$( es * cuando tiende a c, se escribe;
lim lim f $ x(
=
L
x →c
Si se puee e!c"!#$%$ p%$% c%% "c%si&! u! ' su(cie!#e)e!#e su(cie!#e)e!#e ce$c% e c #%* +ue e* ,%*"$ e -'/ se% #%! p$&'i)" % L c")" se esee.
1.2. 1.2.
PROP PROPIE IEDA DADE DES S DE DE LOS LOS LÍMI LÍMITE TES} S}
1.2.1 .2.1..
Límit ímitee e e !" !"# $% $%"&t# "&t#"t "tee:
Epresión;
lim k f $ x(=
=
x → c
1.2. 1.2.2. 2.
Lími Límite te e '# (!"$ (!"$i) i)" " e e ie ie"t "ti i# #::
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k
E.A.P. INGENIERÍA INGENIERÍ A AMBIENTAL AMBIENTAL lim
x = c
x → c
1.2.*. 1.2.*.
Límite Límite e' +,% +,%!$t !$t%% e e !"# !"# (!"$i) (!"$i)" " - !"# $%"&t# $%"&t#"te "te::
lim k f $ X (
=
x →c
1.2. .2...
k lim k f $ X ( x →c
Límit ímitee e e !" !"# &! &!m# - ,e ,e&t# &t#:
lim k $ f $ x( ± g $ x(( = lim f $ x ( ± lim g $ x( x → c
x → c
1.2./ .2./..
Límit ímitee e !" +,% +,%!$t% !$t%::
lim $ f $ x (. g $ x (( x → c
1.2.0.
1.*. 1.*.
x → c
=
lim f $ x (. lim g $ x ( x → c
x → c
Límite e e !" !" $% $%$ie" ie"te
TIPO TIPOS S DE INDE INDETE TERM RMIN INAC ACIÓ IÓN N
1.*.1.
INFINITO PARTIDO POR INFINITO
0
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1.*.2.
INFINITO MENOS INFINITO
1.*.*.
CERO PARTIDO POR CERO
1.*..
CERO POR INFINITO
1.*./ .*./..
CERO ERO ELE ELEV VADO A CERO ERO
1.*.0. INFINITO ELEVADO A CERO
1.*..
UNO ELEVA ELEVADO DO A INFINITO
2 LA DERIVADA 1..
DEFINICIÓN:
En una función, función, límite hacia el cual tiende la razón entre el increm incremento ento de la funci función ón el correspondiente a la variable cuando el incremento tiende a cero.
1./.
ISTORIA
*os problemas típicos +ue dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la #poca clásica de la antigua 0recia $siglo III a.c(, pero no se encontraron m#todos
1
E.A.P. INGENIERÍA INGENIERÍ A AMBIENTAL AMBIENTAL sistemáticos de resolución hasta veinte siglos despu#s $en el siglo >?II por obra de Isaac Ne@ton 0ottfried *eibniz(.
En lo +ue ata)e a las derivadas eisten dos conceptos de tipo geom#trico +ue le dieron origen;
El problema de la tangente a una curva $-polonio de 6erge(,
El
/eorema
de
los
etremos;
máimos
mínimos
$ 6 ie r r e
de
9ermat(
En su con8unto dieron origen a lo +ue modernamente se conoce como cálculo diferencial.
"iglo >?II.
*os matemáticos perdieron el miedo +ue los griegos le habían tenido a los infinitos; Aohannes %epler Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camin camino o +ue +ue llev llevarí aríaa en medi medio o siglo siglo al descu descubr brim imie ient nto o del del cálcu cálculo lo infi infinit nites esim imal. al. - mediados del siglo >?II, las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, vol!menes los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral.
Ne@ton *eibniz.
-rtículos principales; Ne@ton *eibniz. - finales del siglo >?II sintetizaron en dos concept conceptos, os, m#todo m#todoss usados usados por sus predece predecesor sores es los +ue ho llamamo llamamoss deriv derivada adas s e integ integrale rales. s. Desarro Desarrollar llaron on reglas reglas para para manipu manipular lar las deriva derivadas das $reglas $reglas de deriva derivació ción( n( mostraron +ue ambos conceptos eran inversos $teorema fundamental del cálculo(.
Ne@ton desarrolló en Cambridge su propio m#todo para el cálculo cál culo de tangentes. En 2FF4 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraic as +ue coincidía con el descubierto por 9ermat. - finales de 2FF4 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando
E.A.P. INGENIERÍA INGENIERÍ A AMBIENTAL AMBIENTAL desligarse de los infinitesimales, e introdu8o el concepto de fluión, +ue para #l era la velocidad con la +ue una variable flue $varía( con el tiempo.
*eibniz, por su parte, descubrió comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 2FG4. 9ue el primero en publicar los mismos resultados +ue Ne@ton descubriera 2' a)os antes. En su investigación conservó un carácter geom#trico trató a la derivada como un cociente incr increm emen enta tall no como como una una velo veloci cida dad. d. 9ue 9ue +uiz +uizás ás el ma maor inve invent ntor or de símb símbol olos os matemáticos. matemáticos. - #l se deben los nombres de; cálculo diferencial diferencial cálculo integral, integral, así como los símbolos el símbolo de la integral.
1.0.
CLASES
PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS egla de la Constante "i f es la función;
"iendo c una constante.
DE LA FUNCIÓN IDENTIDAD *a derivada de es igual a 1. Es decir, la derivada de la función identidad es igual a la unidad.
DE LA POTENCIA *a derivada de una potencia o función potencial, es igual al eponente por la base elevada al eponente menos uno por la derivada de la base.
E.A.P. INGENIERÍA INGENIERÍ A AMBIENTAL AMBIENTAL
"i la base es la función identidad, la derivada es igual al eponente por la base elevada al eponente menos uno.
DE LA DERIVA D ERIVADA DA DE UNA U NA SUMA *a derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones. Esta regla se etiende a cual+uier n!mero de sumando, a sean positivos o negativos.
DE LA DERIVADA DE UN COCIENTE *a derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.
egla de la Derivada de un 6roducto
*a derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero.
DERIVADA DERIVADA DE UNA RAÍ3 CUADRADA
E.A.P. INGENIERÍA INGENIERÍ A AMBIENTAL AMBIENTAL *a derivada de la raíz cuadrada de una función es igual a la derivada del radicando partida por el duplo de la raíz.
DERIVADA DERIVADA DE UNA RAÍ3 *a derivada de la raíz en#sima de una función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raíz en#sima de la función radicando elevada a n menos uno.
*a Derivada de f en a, denotada por f H$a(, es el siguiente límite;
*a Deri Deriva vada da f J$a( J$a(,, por ser ser un límit límite, e, pued puedee o no eis eisti tirr. En el caso caso de +ue eis eista ta
diremos +ue la función de f es diferenciable en el punto punto a. En esta definición definición está implícito +ue f debe estar definida en un intervalo abierto +ue contiene a.
-l límite anterior lo podemos epresar en otra forma ligeramente diferente.
Li"4 +#,# '%& e5e,$i$i%& E6ERCICIO DE LÍMITES: En una empresa +ue etrae petróleo, traba8an con má+uinas etractoras las cuales tienen
El volumen de un gas a presión constante es directamente proporcional a la temperatura absoluta a la temperatura de 2G4K C el gas ocupa 2'' m L.
E.A.P. INGENIERÍA INGENIERÍ A AMBIENTAL AMBIENTAL I.
Encuentre un modelo matemático +ue eprese el volumen como una función de la temperatura.
II.
5Cuál debe ser la temperatura del gas si Meste ocupa un volumen entre G3.4 '.4 mL:
"olución
I.
"ea f$( metros c!bicos el volumen de un gas cua temperatura es grados. Entonces, por la definición de variación directamente proporcional,
9$( O P.
$2(
Donde P es una constante. Como el volumen del gas es 2'' m L a la temperatura de 2G4oC, se sustitue por 2G4 f$( por 2'' en $2(, de donde se obtiene P O GQR . Entonces; Entonces;
f$( O RQG .
II.
$&(
De $&( tenemos +ue f $2R'( O ', el gas ocupa ' m L a una temperatura de 2R'K C. "e desea determinar +u# tan cerca debe estar de 2R' para +ue f$( no est# a más de '.4 de ' i.e., para S O '.4 se desea determinar una T U ' tal +ue si
' V W X 2R'W VT
6
Wf$( 7 'W V '.4
' V W X 2R'W VT
6
W 7 2R'W V '.G4
"ea T O '.G4, entonces
' V W X 2R'W V'.G4
6 RQG W X 2R'W V RQG $'.G4( 6 WRQG X 'W V'.4 2
E.A.P. INGENIERÍA INGENIERÍ A AMBIENTAL AMBIENTAL En consecuencia, si ' V W X 2R'W 2R'W V '.G4 entonces Wf$( X 'W V '.4. En conclusión, para +ue el gas ocupe un volumen entre G3.4 '.4 m L su temperatura debe estar entre 2L3.2&4K 2R'.G4K C.
Yacer con ob8etivo ob8etivo buscar editar ecuaciones
lim
x → x
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