TEMA 5. Propagación de incertidumbres Funciones arbitrarias de una variable Funciones de varias variables: incertidumbres o Fu independientes Propagación de errores en sumas y restas Propagación de errores en productos y cocientes Interpolación en tablas o o
In Fí Ex ntal al InInic iciicia aciaci ióción n ón a laaFla ísiFísi casica Eca xpeExpe rimperi entrime alment
5. Prop Pr agac in idum es Propag opa gaació cióión nn dede incince ercert tidurtid m bumbr res.bres
1
Funciones arbitrarias de una variable
¿Cómo se propagan las incertidumbres en una función cualquiera de una variable q=q(x) ?
( x ) ( x ) (q ) (q )
Iniciación la Física Experimental Iniciación a laaFísica Experimental
( q )
dq dx
( x)
Para un mismo valor del error sobre la variable independiente (x) , el error de la función (q) depende de la pendiente de la función en el intervalo x± x)
5. Propagación incertidumbres Propagación dede incertidumbres.
2
Funciones arbitrarias de una variable
Producto de una constante por una variable
dq ( ) ( x ) k ( x ) q dx q kx ( q ) ( q ) k ( x ) ( x ) ( x ) r r q kx x
Potencia de una variable
dq n 1 ( ) ( ) ( x ) q x nx dx n q x n 1 ( ) q nx ( x ) ( x ) ( q ) nr ( x) n r n q x x Iniciación la Física Experimental Iniciación a laaFísica Experimental
5. Propagación incertidumbres Propagación dede incertidumbres.
3
Funciones de varias variables: incertidumbres independientes
¿Cuál es la regla para el cálculo del error de una función de varias variables? Disponemos
de las medidas de x , y , ..., w con errores ( x ), (y ), ..., (w ), y utilizadas para calcular q = f ( x , y , ..., w ).
Si
los errores son independientes y aleatorios, entonces el error de q es la suma en cuadrado de: 2
( q )
2
q q x y ( ) ( ) ... x y
Expresión conocida como “Error cuadrático medio”
Iniciación la Física Experimental Iniciación a laaFísica Experimental
5. Propagación incertidumbres Propagación dede incertidumbres.
4
Propagación de errores en sumas y restas
Supongamos que partimos de los siguientes datos iniciales: x x) y y)
Queremos calcular el error (q ) que corresponde a la suma (q = x+y) y a la diferencia ( q = x y) de estas dos cantidades
Partimos de la fórmula del error cuadrático medio:
2
( q )
q x 1 q x y ( q ) q 1 y El error de la suma y la diferencia es:
Iniciación la Física Experimental Iniciación a laaFísica Experimental
2
q q x y ( ) ( ) ... x y 2 2 1 ( x) 1 ( y)
q x y (q )
5. Propagación incertidumbres Propagación dede incertidumbres.
( x ) 2 ( y ) 2 5
Propagación de errores en sumas y restas Ejemplo: En un experimento se introducen dos líquidos en un matraz y se quiere encontrar la masa total del líquido. Se conoce:
M 1 = masa del matraz 1 + contenido m 1 = masa del matraz 1 M 2 = masa del matraz 2 + contenido m 2 = masa del matraz 2
= = = =
540 10 g 72 1 g 940 20 g 97 1 g
La masa del líquido será:
M = M 1 – m 1 + M 2 – m 2 = 1311 g
Su error:
( M )
2 2 2 2 ( M1 ) (m1 ) ( M 2 ) ( m2 ) 22 g
El resultado se expresará:
M = 1310
Iniciación la Física Experimental Iniciación a laaFísica Experimental
22 g
5. Propagación incertidumbres Propagación dede incertidumbres.
6
Propagación de errores en sumas y restas Ejemplo: Volvamos al conjunto de 10 medidas de un intervalo de tiempo (en s) 26.4 , 23.9 , 25.1 , 24.6 , 22.7 , 23.8 , 25.1 , 23.9 , 25.3 , 25.4
x
1
N
xi 24.59 s
s
1
xi x N 1
2
1.06 s
i
i
El error que se asigna a cualquiera de las 10 medidas es la desviación típica de la muestra: 26.4 ± 1.1
¿Cuál es el error del valor medio?
q x y ( q) x
1
N
xi
1 N
( x ) 2 ( y ) 2
( x1 x2 x N ) ( x )
( xi ) s , xi ( x )
1 N
N s 2
s N
1
( x1 ) 2 ( x N ) 2
N
1 N ( N 1)
2 x x i i
1.06 5
0.47
x 24.6 0.5 Iniciación a a la la Física Experimental Iniciación Física Experimental
Propagación de 5. Propagación deincertidumbres. incertidumbres
7
Propagación de errores en productos y cocientes
Consideremos las siguientes datos iniciales: x ( x )
y ( y )
¿Cuál es la incertidumbre (q ) del producto q = x y ? 2
2
Aplicando la fórmula general: (q)
q y x q x y
q q x y ( ) ( ) ... x y
2 2 y ( x ) x ( y )
( q )
El error relativo del producto q = x y es:
r (q)
( q ) q
1 x y
2
2
y( x) x( y ) 2
2
2 2 ( x ) ( y ) x y r ( x) r ( y )
Para el producto los errores relativos se suman cuadráticamente Iniciación la Física Experimental Iniciación a laaFísica Experimental
5. Propagación incertidumbres Propagación dede incertidumbres.
8
Propagación de errores en productos y cocientes
Consideremos, igual que antes, los siguientes datos iniciales: x ( x)
¿Cuál es la incertidumbre (q ) del cociente q = x /y ? 2
2
r (q)
q q x y ( ) ( ) ... x y
Apliquemos la fórmula general: (q)
q 1 x y q x 2 y El error relativo es: y
2
( x ) x (q ) ( y ) 2 y y 2
2
y ( x ) y x ( q ) ( y ) 2 q x x y x y
( q )
y
y ( y )
2
2
( x ) ( y ) x y
2
Exactamente igual que para el producto
Para el producto y el cociente los errores relativos se suman cuadráticamente
r (q) Iniciación la Física Experimental Iniciación a laaFísica Experimental
2 2 r ( x) r ( y)
5. Propagación incertidumbres Propagación dede incertidumbres.
9
Ejemplo Para
medir la altura de un árbol, L , se mide la longitud de su sombra, L 1, la altura de un objeto de referencia, L 2, y la longitud de su sombra, L 3. Resultando las siguientes medidas:
L 1 = 375
2 cm
L 2 = 100.0
0.2 cm
L 3 = 125.1
0.3 cm
Por semejanza de triángulos:
El error relativo: 2
2
( L1 ) ( L2 ) ( L3 ) L L 1 2 L3
r ( L) 2
2
2 0.2 0.3 375 100 125.1
2
2
0.0062 0.62%
El error absoluto:
( L) 299.76 0.0062 1.86 cm
Por tanto, el resultado de la medida será:
Iniciación la Física Experimental Iniciación a laaFísica Experimental
5. Propagación incertidumbres Propagación dede incertidumbres.
10
Interpolación en tablas. x
Interpolación en tablas de simple entrada.
Determinación del valor de z para un valor de x (donde x1 < x < x2 ) que no figura en la tabla. Con la hipótesis de que z = f(x) es lineal en el intervalo [x1 , x2] , tenemos:
z z1
z2 z1 x2 x1
( x x1 )
...
x1
x2
...
...
...
...
...
...
z1
z2
...
...
...
...
...
z
El error de z será:
( z )
z2 z1 x2 x1
( x)
Expresión que coincide con la del error cuadrático medio.
Iniciación a la Física Experimental Iniciación a la Física Experimental
5. Error Propagación incertidumbres absoluto y de relativo. Gráficas
11
Interpolación en tablas (2/2) Ejemplo de tabla de simple entrada. Aplicación
¿Cuál es la densidad del agua a (22.5 en función de T (agua) T (ºC)
Cálculo de la densidad: z
(g/cm3)
Cálculo del error:
Densidad del agua en función de T d ) a 3 d i m s c n / e g D (
Iniciación la Física Experimental Iniciación a laaFísica Experimental
z1
( z )
z2 z1 x2 x1
z2 z1 x2 x1
( x x1 )
( x)
( z )
T
0.2) ºC ?
Resultado:
(ºC)
5. Propagación incertidumbres Propagación dede incertidumbres.
12
