Tema 2. Potencias y Raíces de números naturales

Tema 2: Potencias y raíces de números naturales.

ÍNDICE 1. POTENCIAS

3

1.1. Definición .................................................................................................................................................... 3 1.1.1. Ejercicio .......................................................................................... ............................ ............................................................................................................................ .............................................................. 3

1.2. Potencias Potencia s de base 10 ............................................................................................................................... 4 1.2.1. Ejercicio .......................................................... ........................................................................................................................ .............................................................................................. ................................ 4

1.3. Descomposición polinómica de un número natural .......................................................................... 4 1.3.1. Ejercicio .......................................................... ........................................................................................................................ .............................................................................................. ................................ 4

1.4. Cuadrados Cuadrad os perfectos p erfectos .............................................................................................................................. 4 1.4.1. Definición ........................................................ ...................................................................................................................... .............................................................................................. ................................ 4 1.4.2. Aplicaciones ................................................................................................................. ................................ 4

1.5. Cubos perfectos ....................................................................................................................................... 5 1.5.1. Definición ........................................................ ...................................................................................................................... .............................................................................................. ................................ 5 1.5.2. Aplicaciones ................................................................................................................. ................................ 5

1.6. Signo S igno de las la s potencias poten cias ............................................................................................................................ 5 1.6.1. Base positiva ............................................................................................................................................... .................................................................................. ...............................................................5 1.6.2. Tabla-Resumen ......................................................... ....................................................................................................................... ................................................................................... ..................... 5

1.7. Propiedades Propied ades ............................................................................................................................................... 5 1.7.1. Tabla – Resumen ..................................................................................................................... ..................... 8 1.7.2. Ejercicio E jercicio ................................................................................................. ...................................................... 9

1.8. Operaciones con potencias.................................................................................................................... 9 1.8.1. Suma y Resta ................................................................................................................................... ...................................................................... ......................................................................... ............9 1.8.2. Multiplicación ................................................................................ ............... .............................................................................................................................. ...............................................................9 1.8.3. División ................................................................................ .................. ............................................................................................................................. ......................................................................... ..........9 1.8.4. Potencia ........................................................................................................................ .......................................................... ............................................................................................ .............................. 10

2. RAÍCES

10

2.1. Definición Definició n ................................................................................................................................................. 10 2.2. Tipos T ipos de raíces exactas ...................................................................................................................... 10 2.2.1. Raíz cuadrada ........................................................... ......................................................................................................................... ................................................................................. ................... 10 2.2.2. Raíz cúbica ................................................................................................................................................ 11

2.3. Tipos de raíces enteras ........................................................................................................................ 11 2.3.1. Raíz cuadrada ........................................................... ......................................................................................................................... ................................................................................. ................... 11 2.3.2. Raíz cúbica ............................................................................................... .............................. .................................................................................................................. ................................................. 12

2.4. Soluciones según el índice de la raíz y el radicando ................................................................... 12 Gema Isabel Marín Caballero

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2.4.1. Radicando positivo p ositivo ............................................................. ............................................................................................................................ ....................................................................... ........ 12 2.4.2. Tabla-Resumen ...................................................................................................................... ........................................................ ................................................................................. ................... 13

2.5. Cálculo de la raíz cuadrada entera................................................................................................... 13 2.5.1. Cálculo de forma aproximada apr oximada ................................................................ ................................................................................................................. ................................................. 13 2.5.2. Cálculo con el algoritmo .............................................................. .......................................................................................................................... ............................................................ 14 2.5.2.1. Ejercicio ............................................................ .............................................................. ................... 19

2.6. Operaciones con raíces cuadradas exactas ................................................................................. 20 2.6.1. Suma y Resta ............................................................ .......................................................................................................................... ................................................................................ .................. 20 2.6.2. Multiplicación ........................................................... ......................................................................................................................... ................................................................................ .................. 20 2.6.3. División ........................................................... ......................................................................................................................... ........................................................................................... ............................. 20 2.6.4. Potencia de una raíz ................................................................................................................................ .......................................................................................... ...................................... 21

2.7. La raíz como potencia .......................................................................................................................... 21

3. POTENCIAS Y RAÍCES

21

3.1. Recordar Record ar ................................................................................................................................................... 21

4. OPERACIONES COMBINADAS CON POTENCIAS Y RAÍCES

21

4.1. Introducción Introd ucción ............................................................................................................................................ 21 4.2. Reglas de prioridad ............................................................................................................................... 21 4.3. Tipos de operaciones combinadas ................................................................................................... 22 4.3.1. Operaciones combinadas con potencias y raíces cuadradas .......................................................... 22 4.3.2. Operaciones combinadas con potencias y raíces cúbicas exactas ............................................... 22 4.3.3. Operaciones combinadas con potencias y raíces exactas ....................................................... .............................................................. ....... 22

4.4. Ejercicio Ejercic io .................................................................................................................................................. 22

Gema Isabel Marín Caballero

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1. POTENCIAS 1.1. Definición Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales, es decir, una multiplicación de factores iguales . Esto es, es una multiplicación en la que el mismo número se multiplica varias veces. La expresión de una potencia es la base elevada a un exponente . an = a · a · a · a ... = n- veces “a” Base an exponente Donde: a es la base de de una potencia que es el número que multiplicamos por sí mismo. Por tanto, la base es el número que se repite . n el exponente de una potencia que indica el número de veces que multiplicamos la base. Por tanto, el exponente indica el número de veces que se repite la base . →

←





Así pues, una potencia está formada por una base y un exponente . Para resolver una potencia se multiplica la base tantas veces como indica el exponente. En la calculadora científica, se usa la tecla x y . Ejemplo:

5 · 5 · 5 · 5 = 54 La base de esta potencia es 5 y el exponente es 4. Se lee “5 elevado a 4” o “5 elevado a la cuarta”.

1.1.1. Ejercicio

1) Completa la tabla: Producto

Potencia

Base

Exponente

4 3 2

2 0

Se lee

Valor o Resultado

2·2·2 92

32 4 elevado al cubo es igual a 64

9·9·9 7 2

4

56 1 elevado a la quinta


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1.2. Potencias de base 10 El cálculo de las potencias de base 10 resulta sencillo, pues el número de ceros coincide con el exponente de la potencia . Una potencia de base 10 y exponente un número natural es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente. Ejemplo: 107 = 10.000.000 Son 7 ceros como indica el exponente de la potencia. 1.2.1. Ejercicio

1) Expresa en forma de potencias de base 10. a) 50.000 b) 3.200 c) 3.000.000

Solución: 5 · 104 Solución: 32 · 102 Solución: 3 · 106

1.3. Descomposición polinómica de un número natural Un número natural se puede descomponer utilizando potencias de base 10 . Ejemplo 1: El número 3.658 podemos descomponerlo del siguiente modo: 3.658 = 3.000 + 600 + 50 + 8 = 3 · 10 3 + 6 · 10 2 + 5 · 10 1 + 8 Ejemplo 2: El número 108.047 podemos descomponerlo del siguiente modo:

108.047 = 100.000 + 8.000 + 40 + 7 = 1 · 10 5 + 0 · 104 + 8 · 10 3 + 0 · 10 2 + 4 · 10 1 + 7 1.3.1. Ejercicio

1) Utilizando potencias de base 10, haz la descomposición polinómica de estos e stos números: a) 3.257 b) 10.256 c) 125.368

Solución: 3.257 = 3 · 10 3 + 2 · 10 2 + 5 · 10 + 7 Solución: 10.256 = 1 · 10 4 + 0 · 103 + 2 · 102 + 5 · 10 + 6 Solución: 125.368 = 1 · 10 5 + 2 · 10 4 + 5 · 10 3 + 3 · 10 2 + 6 · 10 + 8

1.4. Cuadrados perfectos 1.4.1. Definición

Los cuadrados perfectos son los valores de las potencias de exponente dos. Ejemplo: 64 es un cuadrado perfecto, per fecto, porque es el valor de d e la potencia 8 2 = 8 · 8 Ejemplo: Los cuadrados perfectos menores de 100 son: 1 4 9 16 25 36 49 64 81 Cuadrados perfectos:          2 2 2 2 2 2 2 2 Potencias: 1 2 3 4 5 6 7 8 92 1.4.2. Aplicaciones

La aplicación de los cuadrados perfectos es la resolución de raíces cuadradas exactas.


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1.5. Cubos perfectos 1.5.1. Definición

Los cubos perfectos son los valores de las potencias de exponente tres. Ejemplo: 8 es un cubo perfecto, porque es el valor de la potencia 2 3 = 2 · 2 · 2 Ejemplo: Los cubos perfectos menores de 200 son: 1 8 27 64 125 Cubos perfectos:      3 3 3 3 Potencias: 1 2 3 4 53 1.5.2. Aplicaciones

La aplicación de los cubos perfectos es la resolución de raíces cúbicas exactas.

1.6. Signo de las potencias 1.6.1. Base positiva

1) Exponente par: el valor de la potencia es siempre positivo. 

Signo positivo:

Ejemplos: 2

2

 2 2  4

2

4

 2  2  2  2  16

2) Exponente impar: el valor de la potencia es siempre positivo. 

Signo positivo:

Ejemplos: 2

3

 2 2 2  8

2

5

 2  2  2  2  2  32

1.6.2. Tabla-Resumen

Base

Exponente

Signo del resultado de la potencia

+

Par Impar

+

1.7. Propiedades 1) Potencias de base uno: siempre valen la unidad. n

1

Ejemplos: 1  1 50

473

1

1

1

2) Potencias de base cero: siempre valen cero. 0

Ejemplos:

100

0

0


0

435

n

 0 con n  0

0

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3) Potencias de exponente cero: siempre valen la unidad. a 0  1 con a  0

Ejemplos:

34

0

1

7

0

1

4) Potencias de exponente uno: siempre valen la base. a1  a

Ejemplos:

1

34

 34

1

7

7

5) Producto de potencias con la misma base: se deja la misma base y se suman los exponentes. a m  a n  a m n

Comprobación:

33 · 35 = 38 27 · 243 = 6.561



(3 · 3 · 3) · (3 · 3 · 3 · 3 · 3) = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 27 · 243 = 6.561

Ejemplos: 11

7

 7 5  7115  716

2

5

 23  2 4  2 0  2  253 401  213

4

3

 40  410  4  430101  414

6) Cociente de potencias con la misma base: se deja la misma base y se restan los exponentes. a

m

a

n

 a m : a n  a mn

Comprobación:

35 : 33 = 32 243 : 27 = 9



(3 · 3 · 3 · 3 · 3) : (3 · 3 · 3) = 3 · 3 243 : 27 = 9

Ejemplos: 5

3

5

2

 53 : 5 2  532  51  5

14

8

8

 814 : 86  8146  88

6

7) Potencia de una potencia: se deja la misma base y se multiplican los exponentes.

a 

m n

 a mn

Ejemplos:

5  3

2

4  10

5

 532  56  4105  450

8) Producto de potencias con el mismo exponente: es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases. a n  b n  a  b

n


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Comprobación:

103 · 53 = 503 1.000 · 125 = 125.000

(10 · 10 · 10) · ( 5 · 5 · 5) = 50 · 50 · 50 1.000 · 125 = 125.000



Ejemplos: 2

 43  2  4  83 3

3

 25  45  115  1  2  4  11  885 5

5

1

9) Cociente de potencias con el mismo exponente: es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases. a

n

:b

n

 a : b

n

 a   n   b  b  an

n

Comprobación:

103 : 53 = 23 1.000 : 125 = 8

(10 · 10 · 10) : ( 5 · 5 · 5) = 2 · 2 · 2 1.000 : 125 = 8



Ejemplos: 3

15 5 8

3

5

2

3

 15      3  15  5  3

3

 15 : 5  3 3

3

3

5

 8    4 8  2  5

5

:5

5

:2

5

 8 : 2  4 5

5

10) Potencia de un producto: es igual al producto de cada uno de los factores elevado a dicha potencia.

a  bn  a n  b n Ejemplos:

2  3  2  3 7

7

7

7 11  7 11 4

4

4

11) Potencia de un cociente: es igual al cociente de cada uno de los factores elevado a dicha potencia. n

a : b

n

a  a   a :b     n b  b  n

n

n

Ejemplos: 5

 2      3  4

2

5

3

5

 2 : 3  2 5

5

5

:3

7  7   7 : 11  7    11  11  4

4

4


4

4

: 11

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1.7.1. Tabla – Resumen Resumen

En la tabla siguiente, se presenta un resumen de las propiedades. Propiedad 1

n

1

0

 0 con n  0

n

a 0  1 con a  0

a a 1

a a  a m

a

n

m n

m

an

a

m

a 

m n

:a

m n

a

n

a

n

n

Ejemplos

Potencias de base uno

150 = 1 1-473 = 1

Potencias de base cero

0100 = 0 01.000 = 0

Potencias de exponente cero

340 = 1 (-7)0 = 1

Potencias de exponente uno

281 = 28 (-81)1 = -81

Producto de potencias con la misma base

72 · 74 = 72+4 = 76 (-2)5 · (-2)3 = (-2)5+3 = (-2)8

Cociente de potencias con la misma base

74 : 72 = 74-2 = 72 (-2)6 : (-2)3 = (-2)6-3 = (-2)3

Potencia de una potencia

mn

a  b  a  b n

Nombre

(73)6 = 73·6 = 718 (5-4)2 = 5(-4)·2 = 5-8

Producto de potencias con el mismo exponente

36 · 56 · 76 = (3 · 5 · 7) 6 (-5)3 · 43 = [(-5) · 4] 3

Cociente de potencias con el mismo exponente

85 : 45 = (8 : 4) 5 9-2 : (-3)-2 = [9 : (-3)] -2

Potencia de un producto

(2 · 3 · 5) 6 = 26 · 36 · 56 [(-6) · 8]-2 = (-6)-2 · 8-2

Potencia de un cociente

(12 : 3)4 = 124 : 34 [64 : (-8)]-3 = 64-3 : (-8)-3

a n : b n  a : b 

n

an

 a     b n  b 

n

a  b  a  b n

n

n

a : bn  a n : b n n

n

a  a     n b  b 


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1.7.2. Ejercicio

1) Escribe en forma de una sola potencia. a) 33 · 34 · 3

Solución: 38

b) 57 : 53

Solución: 54 Solución: 512 Solución: 304 Solución: 316 Solución: (512)2 = 524 Solución: [( 23)2]3 = (26)3 = 218 Solución: [(32)3]2 = (36)2 = 312 Solución: 210

c) (53)4 d) (5 · 2 · 3) 4 e) (34)4 f) [(53)4]2 g) (82)3 h) (93)2 i) 25 · 24 · 2 j) 27 : 26 k) (22)4 l) (4 · 2 · 3) 4 m) (25)4 n) [(23)4]0 o) (272)5 p) (43)2

Solución: 2 Solución: 28 Solución: 244 Solución: 220 Solución: (212)0 = 20 = 1 Solución: [(33)2]5 = (36)5 = 330 Solución: [(22)3]2 = (26)2 = 212

1.8. Operaciones con potencias 1.8.1. Suma y Resta

Para poder sumar y restar con números expresados como potencias , deben estar multiplicados por la misma potencia. Para potencias de base 10 , si no es así, debemos hacer que tengan la potencia de 10 el mismo exponente. Se usan en la notación científica. Ejemplos: 3 · 105 + 8 · 10 5 = (3 + 5) · 10 5 = 11 · 10 5 2 · 106 – 7 · 105 = 20 · 10 5 – 7 · 10 5 = (20 – 7) · 10 5 = 13 · 10 5 1.8.2. Multiplicación

Para poder multiplicar con números expresados como potencias , se aplican las propiedades: a) Producto de potencias con la misma base. b) Producto de potencias con el mismo exponente. 1.8.3. División

Para poder dividir con números expresados como potencias , se aplican las propiedades: a) Cociente de potencias con la misma base. b) Cociente de potencias con el mismo exponente.


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1.8.4. Potencia

Para calcular potencias, se aplican las propiedades: a) Potencia de una potencia. b) Potencia de un producto. c) Potencia de un cociente.

2. RAÍCES 2.1. Definición La raíz n-ésima de un número a es la operación inversa de la potencia, es decir, es un número b tal que b n  a y se representa n a  b . n

a  b  bn  a

Donde: 

n

a se llama expresión de una raíz o radical .



a es el radicando .



n el índice de la raíz .



b es el valor o resultado de la raíz .

Así pues, una raíz está formada por un radicando y un índice . Se lee “la raíz n - - ésima ésima de un número a es igual a b” o “la raíz de índice n de un número a es igual a b” .

NOTA: En la calculadora científica, se usa la tecla y x .

2.2. Tipos de raíces exactas 2.2.1. Raíz cuadrada

La raíz cuadrada exacta es la operación inversa de elevar al cuadrado . a  b  a  b2

Esto es, Radicando = (Raíz exacta) 2

La raíz cuadrada exacta de un número a es otro número b que que elevado al cuadrado da el primero, y tiene de resto 0. Se lee “la raíz cuadrada exacta de un número a es igual a b” . NOTA: 

No se pone 2 en el índice de la raíz cuando la raíz es cuadrada.



Solamente los cuadrados perfectos tienen raíz cuadrada exacta .



En la calculadora científica, se usa la tecla x .


2

a

a

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Todo cuadrado perfecto tiene una raíz cuadrada, + . Ejemplos: 1

 1  12  1

36

 6  6 2  36

4

 2  22  4

49

 7  7 2  49

9

 3  32  9

64

 8  8 2  64  9  9 2  81

16

 4  4 2  16

81

25

 5  52  25

100

Se lee “la raíz

 10  102  100

cuadrada exacta de 4 es 2”.

2.2.2. Raíz cúbica

La raíz cúbica exacta es la operación inversa de elevar al cubo . 3

Esto es, Radicando = (Raíz exacta) 3

a  b  a  b3

La raíz cúbica exacta de un número a es otro número b que que elevado al cubo da el primero, y tiene de resto 0. Se lee “la raíz cúbica exacta de un número a es igual a b” . NOTA: Solamente los cubos perfectos tienen raíz cúbica exacta . 



En la calculadora científica, se usa la tecla x . 3

Todo cubo perfecto tiene una raíz cúbica, + . Ejemplos: 3

1

 1  13  1

3

216

 6  6 3  216

3

8

 2  23  8

3

343

 7  7 3  343

3

27

 3  33  27

3

512

 8  83  512

3

64

 4  43  64

3

729

 9  93  729

3

125

3

1.000

 5  53  125

Se lee “la raíz

 10  103  1.000

cúbica exacta de 8 es 2”.

2.3. Tipos de raíces enteras 2.3.1. Raíz cuadrada

La raíz cuadrada entera de un número a es el mayor número entero b cuyo cuyo cuadrado es menor que el primero, y no tiene de resto 0. a  b  a  b 2  resto

Esto es, Radicando = (Raíz entera) 2 + Resto

NOTA: 



Si un número no es cuadrado perfecto, su raíz es entera. El resto de la raíz cuadrada entera debe ser menor que el doble de la raíz más 1. Resto < 2 · Raíz + 1


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Comprobación: Una raíz cuadrada está bien calculada si cumple estas dos condiciones: 1) (Raíz)2 + Resto = Radicando 2) Resto < 2 · Raíz + 1 Ejemplos: a)

26

 5  26  5 2  1

25  5

2

 26  6 2  36

Se lee “la raíz cuadrada entera de 26 es 5”.

b)

 b  18  16  2  18  4 2  2  b  4

18

16  4

2

 18  52  25

Se lee “la raíz cuadrada entera de 18 es 4”.

c)

 b  55  49  6  55  7 2  2  b  2

55

Se lee “la raíz

49  7

2

 55  8 2  64

cuadrada entera de 55 es 7 ”.

2.3.2. Raíz cúbica

La raíz cúbica entera de un número a es el mayor número entero b cuyo cuyo cubo es menor que el primero, y no tiene de resto 0. a  b  a  b 3  resto

Esto es, Radicando = (Raíz entera) 3 + Resto

NOTA: Si un número no es cubo perfecto, su raíz es entera. Comprobación: Una raíz cúbica está bien calculada si cumple la siguiente condición:

(Raíz)3 + Resto = Radicando Ejemplos: a)

3

29

 3  29  33  2

Se lee “la raíz

b)

3

29

c)

3

20

 29  43  64

27  3

3

 29  43  64

cúbica entera de 29 es 3 ”.

 2  20  23  12

Se lee “la raíz

3


 3  29  33  2

Se lee “la raíz

27  3

82

3

 20  33  27


2.4. Soluciones según el índice de la raíz y el radicando 2.4.1. Radicando positivo

Si el radicando es positivo, existe siempre el valor de la raíz. 1) Índice de la raíz par. Tiene siempre una solución positiva . Ejemplos: 4

 2  22  4  5  5 4  625

4

625

6

1.000.000

 10  106  1.000.000


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2) Índice de la raíz impar. Sólo tiene una solución positiva . Ejemplos:  3  33  27

3

27

3

125

5

32

 5  53  125

 2  25  32

2.4.2. Tabla-Resumen

Radicando

Índice de la raíz Resultado de la raíz Par 1 solución + Impar 1 solución +

+

Ejemplo 4  2 porque 2  4 8  2 porque 2  8 2

3

3

2.5. Cálculo de la raíz cuadrada entera Dos formas de calcular la raíz cuadrada entera: a) Cálculo de forma aproximada. b) Cálculo con el algoritmo. 2.5.1. Cálculo de forma aproximada

La raíz cuadrada entera de un número es el mayor entero cuyo cuadrado es menor que dicho número . El resto de la raíz cuadrada de un número es igual a la diferencia entre el número y el cuadrado de su raíz . Ejemplo 1:

43

El número 43 no es un cuadrado perfecto, por lo tanto no tiene raíz cuadrada exacta. Si observamos 6 2 = 36 < 43 < 49 = 7 2 Luego, 6 es el mayor entero cuyo cuadrado es menor que 43. Se dice que 6 es raíz cuadrada entera de 43 y se escribe: 43  6

Como 43 - 6 2 = 43 – 36 = 7, el resto de la raíz cuadrada entera es 7. Solución: 43

43  6

y resto = 7

 6  43  6 2  7

Se lee “la raíz

cuadrada entera de 43 es 6 y su resto 7 ”.

Comprobación: 1) 62 + 7 = 36 + 7 = 43 2) 7 < 2 · 6 + 1 = 13


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Ejemplo 2:

26

1º Buscamos dos cuadrados perfectos cercanos a 26, que son: 52 = 25 < 26 62 = 36 > 26 2º Elegimos el cuadrado perfecto que más se aproxima por debajo de 26, que es 25. 3º Después, calculamos el resto, que es la diferencia entre el número dado a y el cuadrado de la raíz entera b. 26 – 25 = 1 4º Probamos que el resultado de la raíz cuadrada sea correcto, para ello, se tiene que cumplir que Radicando = (Raíz entera) 2 + Resto . 26 = 252 + 1 26  5

Solución:

26

y resto = 1

 5  26  52  1

Se lee “la raíz


Comprobación: 1) 52 + 1 = 25 + 1 = 26 2) 5 < 2 · 5 + 1 = 11 2.5.2. Cálculo con el algoritmo

Ejemplo 1:

149

1º Si el radicando tiene más de dos cifras , separamos las cifras en grupos de dos empezando por la derecha . 2º Calculamos la raíz cuadrada (entera o exacta) del primer grupo de cifras por la izquierda . ¿Qué número elevado al cuadrado da 1? 1 es un cuadrado perfecto porque (1 2 = 1). La primera cifra de la raíz r aíz cuadrada es 1 y la colocamos en la casilla correspondiente.

3º El cuadrado de la raíz obtenida se resta al primer grupo de cifras que aparecen en el radicando.

El cuadrado de la raíz 1 es 1, se lo restamos a 1 y obtenemos 0.


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4º Detrás del resto colocamos el siguiente grupo de cifras del radicando y separamos del número formado su última cifra.

Bajamos 49, siendo la cantidad operable del radicando 049. 5º Debajo de la raíz hallada escribimos su doble y dividimos lo que resta por el doble de la raíz anterior . El cociente obtenido se pone a la derecha del doble de la raíz y el número formado se multiplica por este cociente.

04 : 2 = 2 < 9 Tomamos como resultado 2, ya que es una única ú nica cifra que va del 0 al 9. 6º Comprobamos que el número formado es inferior a la cantidad operable del radicando . Pues si hubiésemos obtenido un valor superior a la cantidad operable del radicando, habríamos probado por la anterior cantidad operable y así sucesivamente hasta encontrar un valor inferior. 22 · 2 = 44 < 49 7º El cociente obtenido se añade a la derecha de la raíz . Subimos el 2 a la raíz. 8º Después, restamos a la cantidad operable del radicando el número hallado debajo de la raíz.

49 – 44 = 5 9º Probamos que el resultado de la raíz cuadrada sea correcto, para ello, se tiene que cumplir que Radicando = (Raíz entera) 2 + Resto . 149 = 122 + 5 Solución:

149 149

 12 y resto = 5

 12  149  122  5

Se lee “la raíz


Comprobación: 1) 122 + 5 = 144 + 5 = 149 2) 12 < 2 · 12 + 5 = 29


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Ejemplo 2:

89225

1º Si el radicando tiene más de dos cifras , separamos las cifras en grupos de dos empezando por la derecha . 2º Calculamos la raíz cuadrada (entera o exacta) del primer grupo de cifras por la izquierda . ¿Qué número elevado al cuadrado da 8? 8 no es un cuadrado perfecto, pero está comprendido entre dos cuadrados perfectos: 4 y 9. Tomamos la raíz cuadrada del cuadrado perfecto que se acerque más a 8, que es: 2 2 (2 = 4). La primera cifra de la raíz r aíz cuadrada es 2 y la colocamos en la casilla correspondiente. 3º El cuadrado de la raíz obtenida se resta al primer grupo de cifras que aparecen en el radicando.

El cuadrado de la raíz 2 es 4, 4 , se lo restamos a 8 y obtenemos 4. 4º Detrás del resto colocamos el siguiente grupo de cifras del radicando y separamos del número formado su última cifra.

Bajamos 92, siendo la cantidad operable del radicando 492. 5º Debajo de la raíz hallada escribimos su doble y dividimos lo que resta por el doble de la raíz anterior . El cociente obtenido se pone a la derecha del doble de la raíz y el número formado se multiplica por este cociente.

49 : 4 = 12,25 > 9 Tomamos como resultado 9, ya que sólo puede ser una única cifra que vaya del 0 al 9. 6º Comprobamos que el número formado es inferior a la cantidad operable del radicando . Pues si hubiésemos obtenido un valor superior a la cantidad operable del radicando, habríamos probado por la anterior cantidad operable (8, 7, …) y así sucesivamente hasta

encontrar un valor inferior. 49 · 9 = 411 < 491 7º El cociente obtenido se añade a la derecha de la raíz . Subimos el 9 a la raíz. Gema Isabel Marín Caballero

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8º Después, restamos a la cantidad operable del radicando el número hallado debajo de la raíz.

492 – 441 = 51 9º Bajamos el siguiente par de cifras .

Bajamos 25, siendo la cantidad operable del radicando 05125. 10º Repetimos los pasos anteriores. 512 : 58 = 8,8 > 8, probamos por 9.

Como 589 · 9 = 5.301 > 5.125, probamos pr obamos por 8. Como 588 · 8 = 4.704 < 5.125, subimos el 8 a la raíz.

Restamos a la cantidad operable del radicando 5.125 el número hallado debajo de la raíz 4.704.

11º Probamos que el resultado de la raíz cuadrada sea correcto, para ello, se tiene que cumplir que Radicando = (Raíz entera) 2 + Resto . 89.225 = 2982 + 421


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Solución:

89.225 89.225

 298 y resto = 421

 298  89.225  2982  421

Se lee “la raíz

cuadrada entera de 89.225 es 298 y su resto 421”.

Comprobación: 1) 2982 + 421 = 88.804 + 421 = 89.225 2) 298 < 2 · 298 + 421 = 1.017 Ejemplo 3:

643

Para el cálculo de la raíz cuadrada de 643, seguimos estos pasos: 1º Dividir el radicando en grupos de dos cifras, empezando por la derecha . El número de grupos es igual al número de cifras de la raíz cuadrada. 6 2º Calcular la raíz cuadrada del primer grupo de la izquierda . Luego 2 es el número de decenas de la raíz 3º Restar del primer grupo el cuadrado de su raíz entera . Añadir a la diferencia las dos cifras siguientes del radicando. 2?

6 -4 2 43

4º Multiplicar por dos la primera cifra de la raíz (2 · 2 = 4). Calcular el menor entero d tal que 4 d · d se puede restar del radicando; d será la segunda cifra de la raíz. 42 · 2 = 84 ; 43 · 3 = 129 , 44 · 4 = 176, 45 · 5 = 225 46 · 6 = 276 > 243 6

2?

-4

45 · 5 = 225 2 43


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5º Restar de la diferencia anterior 45 · 5. El resto de la raíz es la nueva diferencia. 6

25

-4

45 · 5 = 225 2 43 -2 25 18

Solución:

643  25

y resto = 18

643  25  643  25

2

Se lee “la raíz

 18


Comprobación: 1) (25) 2 + 18 = 625 + 18 = 643 2) 18 < 2 · 25 + 1 =51 2.5.2.1. Ejercicio

1) Calcula las siguientes raíces: a)

264

Solución:

b)

6.256

Solución:


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c)

72.675

Solución:

2.6. Operaciones con raíces cuadradas exactas 2.6.1. Suma y Resta

Para sumar y restar raíces , deben tener el mismo índice de la raíz y contener el mismo radical. Si es así, se suman los números que están fuera de ellos (coeficientes) y el radical se deja igual. Ejemplos: 3 2 3

4 7

5

2



2

 3  5  1

 23

7

3

7

 4  2  1

7

2 3

7

2

3

3

7

2.6.2. Multiplicación

El producto de dos o más raíces cuadradas exactas : a) Es una raíz cuadrada exacta. b) Su radicando es igual al producto de los radicando de los factores. Ejemplos: 36 

81  6  9

 54 

36 

81 

25 

49

 5  7  35 

25 

49



36  81  25  49

6



 9 2  6  9  54

2

5

2

 7 2  5  7  49

2.6.3. División

El cociente de dos o más raíces cuadradas exactas : a) Es una raíz cuadrada exacta. b) Su radicando es igual al cociente de los radicando de los factores. Ejemplos:  6:3  2 

36 :

9

64 :

16

 8:4  2 


36 : 64 :

9



16

36 : 9





64 : 16

2

6 :3



2

2

 6:3  2

8 :4

2

 8: 4  2

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2.6.4. Potencia de una raíz

La potencia de base una raíz cuadrada exacta : a) Es una raíz cuadrada exacta. b) Su radicando es igual al radicando de partida elevado al exponente de la potencia. Ejemplos: 4

25 6

81



25



81

4

6

4



6





25 81



25 

25 

81 

81 

25  81 

25 81 



4

25

81 

81 

6

81

2.7. La raíz como potencia La raíz de una potencia es igual al radicando elevado al resultado de dividir su exponente por el índice de la raíz. m n

8

Ejemplos:

5

8



2

5

8

5

2

x

m

 x n

10 3

10

2

23

3. POTENCIAS Y RAÍCES 3.1. Recordar a) Descomponer los números en factores primos. b) Simplificar los números aplicando las propiedades correspondientes. c) Una vez obtenidos los números simplificados, usad la calculadora para calcular el número resultante.

4. OPERACIONES COMBINADAS CON POTENCIAS Y RAÍCES 4.1. Introducción Al resolver expresiones con operaciones combinadas, debemos tener en cuenta las normas del lenguaje matemático . Estas normas aseguran que cada expresión tenga un significado y una solución únicos.

4.2. Reglas de prioridad Las reglas para realizar las operaciones de números naturales o prioridad de las operaciones son las siguientes: 1) Efectuamos las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 2) Calculamos las potencias y raíces. 3) Efectuamos los productos (multiplicaciones) y cocientes (divisiones) de izquierda a derecha. 4) Realizamos las sumas y restas. NOTA: Es importante respetar el orden de las operaciones para obtener el resultado correcto.


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4.3. Tipos de operaciones combinadas 4.3.1. Operaciones combinadas con potencias y raíces cuadradas

Para resolverlas, primero efectuaremos las potencias y las raíces cuadradas, con lo cual nos quedaremos con operaciones combinadas de números enteros y seguimos el orden de las mismas. NOTA: En las raíces cuadradas, hay una solución + . Ejemplos: a) 35 : 33 +

144

· 52 = 9 + 12 · 25 = 9 + 300 = 309

35 : 33 = 32 = 9 b)

625

144

· ( 33 – 5) + 4 0 +

625

121

= 12

52 = 25

= 25 · 22 + 1 + 11 = 550 + 1 + 11 = 562

33 – 5= 27 – 5 = 22

= 25

40 = 1

121

= 11

4.3.2. Operaciones combinadas con potencias y raíces cúbicas exactas

Para resolverlas, primero efectuaremos las potencias y las raíces cúbicas, con lo cual nos quedaremos con operaciones combinadas de números enteros y seguimos el orden de las mismas. NOTA: En la raíces cúbicas, hay una solución + . Ejemplos: a)

3

343 3

· ( 10 3 – 82 ) +

343

b) 103 + 72 – 3

27

27

8

: 40 = 7 · 36 + 8 : 1 = 252 + 2 = 254

103 – 82 = 100 – 64 = 36

= 25 3

3

40 = 1

3

8

= 2

: 60 = 1.000 + 49 + 3 : 1 = 1.049 – 3 = 1.046 60 = 1

= 3

4.3.3. Operaciones combinadas con potencias y raíces exactas

Ejemplos: a)

10.000

–

3

729

· 23 : 3 –

3

125

: 5 = 100 – 9 · 8 : 3 – 5 : 5 = 100 – 72 : 3 – 1 =

= 100 – 24 – 1 = 75 10.000

b) 83 –

64 64

= 100

: 22 +

= 8

3

3

64 3

729

= 9

3

125

= 5

· 41 = 512 – 8 : 4 + 4 · 4 = 512 – 2 + 16 = 526

64

= 4

4.4. Ejercicio 1) Realiza las siguientes operaciones combinadas teniendo en cuenta su prioridad: a) 2 + 5 · (2 · 3)³

Solución: 2 + 5 · (6)³ = 2 + 5 · 216 = 2 + 1.080 = 1.082

b) 7 · 3 + [6 + 2 · (2 3 : 4 + 3 · 2) – 7 ·

4

]+9:3

Solución: 21 + [6 + 2 · (2 3 : 22 + 6) – 14] + 3 = = 21 + [6 + 2 · (2 + 6) – 14] + 3 = 21 + (6 + 2 · 8 – 14) + 3 = = 21 + ( 6 + 16 – 14) + 3 = 21 + 8 + 3 = 32 Gema Isabel Marín Caballero

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Tema 2. Potencias y Raíces de números naturales

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