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Tema 1

El sistema por unidad

1.1. Introducción El sistema por unidad permite realizar los cálculos necesarios para caracterizar los sistemas eléctricos de potencia de forma sencilla. El valor en por unidad de cualquier magnitud se define como la relación de dicha magnitud en unidades físicas con una magnitud de referencia denominada “base”, que posee las mismas dimensiones que la inicial. De esta forma la magnitud por unidad no tiene dimensiones. Un sistema base bien elegido puede minimizar esfuerzos computacionales, simplifica la evaluación y facilita el entendimiento de las características del sistema.

p.u. =

Magnitud en unidades físicas Base

(1. 1)

Magnitudes tales como la tensión, la corriente, la potencia y la impedancia pueden ser expresadas en por unidad. Por ejemplo, para calcular el valor de una tensión en por unidad basta con dividir el valor de la tensión por una tensión base. Si la tensión en un punto es de 18 kV y se toma toma como tensión base 20 kV el valor en por unidad unidad será:

u ( p.u.) =

18.000 V U (V ) = = 0, 9 p.u. U base (V ) 20.000 V

(1. 2)

Como puede observarse el cálculo en por unidad es equivalente al cálculo en tanto por ciento, ya que para obtener una magnitud en tanto por ciento basta con multiplicar el

Análisis y simulación de sistemas eléctricos

1

Tema 1. El sistema por unidad valor por unidad por 100, así, en el ejemplo anterior, la tensión en ese punto es un 90 % de la tensión base. El cálculo mediante magnitudes en por unidad tiene una gran ventaja frente al cálculo mediante magnitudes en tanto por ciento, ya que el producto de magnitudes en por unidad sigue siendo una magnitud por unidad mientras que en magnitudes en tanto por ciento debe dividirse el resultado por cien para que el resultado siga estando en tanto por ciento. Las principales ventajas del uso del sistema por unidad son las siguientes: -

Los valores obtenidos son más sencillos y dan más información. Por ejemplo, si la tensión en un punto es 1,5 p.u. quiere decir que la tensión en ese punto es un 50 % mayor que la tensión base. Si la tensión base elegida se corresponde con la tensión nominal en ese punto significa que existe una sobretensión de un 50 %.

-

El producto o cociente de dos magnitudes en por unidad dan como resultado una magnitud por unidad.

-

Si las bases se toman de forma adecuada, la impedancia de cortocircuito de un transformador expresada en por unidad posee el mismo valor medido en cualquiera de los devanados.

-

La impedancia por unidad de equipos similares tienen valores en por unidad similares cuando se toman como base sus valores nominales.

Uno de los puntos clave para utilizar el sistema por unidad de manera adecuada es la elección del sistema base. A continuación se describen las características que este sistema debe tener.

1.2. El sistema base Como se ha comentado anteriormente, las magnitudes base deben tener las mismas dimensiones que la magnitud que se desea expresar en por unidad. Para caracterizar los sistemas eléctricos de potencia en estado estacionario se emplean cinco magnitudes, y en régimen dinámico estas cinco magnitudes más el tiempo. En la siguiente tabla se resumen estas cinco magnitudes junto con sus unidades.

2


Tema 1. El sistema por unidad Tabla 1. 1. Magnitudes que caracterizan los sistemas eléctricos.

Magnitud Tensión Intensidad Potencia Impedancia Ángulo de fase

Símbolo

Unidades

U I S=P+jQ Z=R+jX φ, θ

V A VA Ω rad

La tensión, la corriente, la potencia y la impedancia están relacionadas de tal manera que la selección de los valores base de dos de ellos determina la base de los restantes. Generalmente, las magnitudes base independientes que se seleccionan son la tensión y la potencia, ya que la tensión nominal y la potencia nominal de los equipos que componen un sistema eléctrico de potencia son por lo general conocidos. Un método para seleccionar las bases de tensión y potencia puede ser el siguiente: -

Separar el sistema eléctrico de potencia en zonas cuyo límite sea un transformador

-

Seleccionar la tensión base para una de las zonas y calcular las tensiones base para el resto aplicando la relación de transformación.

-

Seleccionar una única potencia base para todo el sistema.

Normalmente, los valores base se seleccionan para que el resultado en condiciones nominales sea igual a la unidad. La Figura 1. 1 muestra un sistema eléctrico de potencia en el que hay dos transformadores. Separando este sistema en zonas en los puntos en los que existe transformación de tensión, se obtienen tres zonas cuyas tensiones base deben cumplir la relación de transformación de los transformadores. Si elegimos

U base1 el resto se

calculará de la siguiente forma:

U base 2 = U base1

U 2 U 1

(1. 3)

U base3 = U base 2

U 3 U 2

(1. 4)

Una posibilidad es elegir como tensión base de cada zona su tensión nominal, de esta forma nos aseguramos que se cumplan las relaciones mostradas anteriormente y permite conocer fácilmente los casos de sobretensión y subtensión en cada una de las zonas.


3

Tema 1. El sistema por unidad El cálculo del resto de las magnitudes base depende de si el sistema eléctrico de potencia es monofásico o trifásico. Sistema eléctrico de potencia Sbase Trafo 2 U2/U3

Trafo 1 U1/U2

M

M Zona 1 Ubase1

Zona 2 Ubase2

Zona 3 Ubase3

Figura 1. 1. Separación del sistema en zonas dependiendo de la tensión base.

1.2.1. Sistema por unidad monofásico Una vez seleccionadas la base de tensión (U base) y de potencia ( S base) pueden calcularse el resto de las magnitudes base, a partir de las ecuaciones que relacionan dichas magnitudes con la potencia y la tensión. En un sistema monofásico se cumple:

S = U ⋅ I

(1. 5)

Las magnitudes base deben cumplir la misma relación, de esta forma, despejando la intensidad de la anterior ecuación se obtiene.

I base =

S base U base

(1. 6)

De la misma forma la siguiente igualdad siempre debe cumplirse:

U = Z ⋅ I

(1. 7)

Despejando la impedancia de esta igualdad se obtiene:

Z base =

4

U base U base U 2 = = base I base S base U base S base

(1. 8)


Tema 1. El sistema por unidad Nótese que se ha seleccionado una base para la impedancia y no para la resistencia y la reactancia. Para calcular estas magnitudes en por unidad se emplea la impedancia base, ya que la resistencia y la reactancia tienen las mismas dimensiones que la impedancia. La impedancia se define como:

Z (Ω ) = R (Ω ) + j X (Ω )

(1. 9)

Si se divide todo por Z base se tiene:

Z (Ω ) R(Ω ) X (Ω ) = + j Z base (Ω ) Z base (Ω ) Z base (Ω )

(1. 10)

z ( p.u.) = r ( p.u.) + j ⋅ x ( p.u. )

(1. 11)

Además, a partir de la impedancia base ( Z base) puede calcularse también la admitancia base haciendo el inverso:

Y base =

1

Z base

(1. 12)

Con la potencia aparente ocurre lo mismo que con la impedancia, ya que la potencia activa y la potencia reactiva tienen las mismas dimensiones que la potencia aparente. La relación entre las diferentes potencias viene definida de la siguiente forma:

S (VA ) = P (W ) + jQ (Var )

(1. 13)

Si se divide todo por S base se tiene:

S (VA) P(W ) Q (Var ) = + j Sbase (VA) S base (VA) S base (VA)

(1. 14)

s ( p.u.) = p( p.u.) + j ⋅ q( p.u.)

(1. 15)

Ejemplo: Transformador monofásico

Un transformador monofásico tiene como valores nominales: S nom = 20kVA U nom = 480/120 V


5

Tema 1. El sistema por unidad

La impedancia de cortocircuito referida al devanado de 120 V es: Z cc2 = 0.0525 Ω Utilizando los valores nominales del transformador como valores base, determinar la impedancia de cortocircuito en por unidad referida al devanado 1 y al devanado 2. Trafo 1 480/120 V

Zona 1 Ubase1

Zona 2 Ubase2

Figura 1. 2. Transformador monofásico.

Como valores base se toman los valores nominales, tal y como indica el enunciado:

S base = 20kVA U base1 = 480 V U base2 = 120 V A partir de estos valores pueden calcularse las impedancias base en el devanado secundario del transformador aplicando (1.8).

Z base 2

2 (120 V )2 U base 2 = = = 0,72 Ω S base 20.000 VA

(1. 16)

Y por tanto calcular esta impedancia en por unidad:

x2 ( p.u.) =

X 2 (Ω) 0,0525 = = 0,0729 p.u. 0,72 Z base 2 (Ω)

(1. 17)

Para referir la impedancia de cortocircuito al devanado primario sabemos que la potencia debe mantenerse a ambos lados del transformador (si se desprecian las pérdidas internas) y por tanto debe cumplirse:

6



S =

U 12 U 22 = X 1 X 2

(1. 18)

Despejando X 1 de esta expresión queda:

U 12 X 2 480 2 0,0525 = = 0,84 Ω X 1 = U 22 120 2

(1. 19)

La impedancia base de la zona del primario se calcula de la misma forma que para el secundario: 2 (480 V )2 U base 1 = = 11,52 Ω Z base1 = S base 20.000 VA

(1. 20)

Y la reactancia en por unidad referida al lado del primario queda:

x1 ( p.u.) =

X 1 (Ω) 0,84 = = 0,0729 p.u. = x2 ( p.u.) Z base1 (Ω) 11,52

(1. 21)

Por tanto, si se toman como base los valores nominales del transformador, el valor en por unidad de la reactancia de cortocircuito referida al primario es igual a la reactancia en por unidad referida al secundario del transformador.

1.2.2. Sistema por unidad trifásico equilibrado Una de las principales ventajas del uso del sistema por unidad en los sistemas trifásicos es que la relación entre magnitudes en por unidad es similar al que se tiene en los sistemas monofásicos. De esta forma la relación entre potencia tensión e intensidad en por unidad es:

s ( p.u.) = u ( p.u.) ⋅ i ( p.u. )

(1. 22)

y la relación entre tensión, impedancia e intensidad:

u ( p.u.) = z ( p.u.) ⋅ i ( p.u. ) De forma que no es necesario emplear los engorrosos

(1. 23) 3 y 3 de las relaciones

trifásicas.


7

Tema 1. El sistema por unidad En los sistemas trifásicos equilibrados podemos elegir una base “por fase” o una base “trifásica”. La base “por fase” se utiliza según las expresiones mostradas anteriormente para el sistema monofásico. Para poder utilizarlo es necesario convertir todas las impedancias en triangulo a impedancias en estrella. La relación entre las magnitudes base “por fase” y las “trifásicas” deben cumplir.

S base 3φ

S base 1φ =

(1. 24)

3

U base F =

U base L

(1. 25)

3

Donde el subíndice L indica tensión de línea, el subíndice F tensión de fase, 1φ potencia monofásica y 3φ potencia trifásica. Normalmente, se utiliza la base “trifásica”, en la que se toma como tensión base la tensión de línea y como potencia base la potencia trifásica. La intensidad base en caso de utilizar el sistema base trifásico puede calcularse aplicando la relación de la potencia trifásica con los valores de tensión e intensidad de línea:

S3φ = 3U L I L

(1. 26)

Por tanto la intensidad base debe cumplir:

I base =

S base 3φ

(1. 27)

3U base L

La intensidad base en el sistema trifásico puede relacionarse con la intensidad base en el sistema monofásico. Para obtener esta relación se sustituye S base 3φ y

U base L por S base 1φ y

U base F se obtiene: I base =

Sbase 3φ 3U base L

3Sbase 1φ

=

3

(

3U base F

)

=

S base 1φ U base F

(1. 28)

Por tanto, la intensidad base tomando el sistema “trifásico” es la misma que para el sistema “por fase”.

8


Tema 1. El sistema por unidad De la misma forma, para el cálculo de la impedancia base:

Z base

2 2 U base U base U base L = = = I base S base S base 3φ

(1. 29)

Sustituyendo de nuevo S base 3φ y U base L por S base 1φ y U base F se obtiene:

Z base =

(

3U base F

)

2

3S base 1φ

2 U base F = S base 1φ

(1. 30)

Por tanto, al igual que sucedía para la intensidad, la impedancia base tomando el sistema “trifásico” es la misma que para el sistema “por fase”. Ejemplo: Sistema trifásico

La siguiente figura muestra una fuente conectada en estrella que alimenta a una carga conectada en triangulo a través de una línea de impedancia Z L por cada fase. Calcular el valores por unidad de la intensidad de fase en la línea utilizando como potencia base S base 3φ = 10 kVA y como tensión base U base L = 480 V. ZL=1 85o

o

Z Δ=30 40

o

Z Δ=30 40

o

Eab=480 0o ZL=1 85o

Z Δ=30 40

o

ZL=1 85

Figura 1. 3. Sistema a resolver en el ejemplo

En primer lugar, para obtener el circuito equivalente monofásico, es necesario convertir la impedancia en triángulo de la fase a una impedancia en estrella equivalente, para ello basta con dividir para tres:

Z Y =

Z Δ


3

=

30 40 o 3

= 10 40

o

(1. 31)

9

Tema 1. El sistema por unidad La impedancia base se calcula aplicando (1.29):

Z base

2 2 U base 480 L = = = 23,04 Ω S base 3φ 10.000

(1. 32)

y por tanto

Z Y 10 40o o = = 0, 434 40 p.u. z ( p.u.) = Z base 23,04

(1. 33)

1 85o Z L −2 = = 4,34 10 85 o p.u. z ( p.u.) = Z base 23,04

(1. 34)

Para la línea:

El equivalente monofásico queda: 4,34 10

0,434 40

-2

o

85

i

o

o

1 0

Figura 1. 4. Sistema del ejemplo en por unidad.

Y la intensidad se calculará simplemente dividiendo tensión por impedancia en por unidad: 1 0o u 2,147 −43,77 o i= = o o = −2 z 4,34 10 85 + 0, 434 40

(1. 35)

Para calcular la intensidad en amperios es necesario calcular la intensidad base:

I base =

S base 10.000 = = 12,028 A 3U base L 3 ⋅ 480

(1. 36)

Finalmente, la intensidad, en amperios, que circula por la línea será:

10



I = i( p.u.) Ibase = 2,14 ⋅12, 028 = 25,82 A

(1. 37)

1.3. Cambios de base Las impedancias de transformadores, generadores y motores normalmente viene dadas por el fabricante en por unidad o tanto por ciento tomando como base los valores nominales de la máquina. Si la base elegida para el análisis a realizar no son iguales a los valores nominales de la máquina es necesario realizar un cambio de base para convertir el valor proporcionado por el fabricante a la potencia base del sistema. Supongamos que se dispone del valor de la impedancia de una máquina en la base 1, y para el análisis del sistema al que dicha máquina está conectada se ha elegido la base 2. Recordemos que para calcular la impedancia en por unidad en la base 1 es necesario solucionar la siguiente ecuación:

z ( p.u.)base1 =

Z (Ω ) Z base1 (Ω )

(1. 38)

Despejando Z( Ω ) de esta expresión:

Z (Ω ) = z ( p.u.) base1 ⋅ Z base1 (Ω )

(1. 39)

y pasando la Z( Ω ) a la nueva base:

z ( p.u.)base 2 =

Z (Ω ) Z (Ω ) = z ( p.u.)base1 base1 Z base 2 (Ω ) Z base 2 (Ω )

(1. 40)

Sustituyendo Z base por U base y S base se obtiene:

z ( p.u.)base 2

2 U base S = z ( p.u.)base1 2 1 base1 U base 2 S base 2

(1. 41)

En caso de que la tensión base coincida con la tensión nominal de la máquina

U base1=U base2 y por tanto: z ( p.u.)base 2 = z ( p.u.)base1

S base 2 S base1

(1. 42)

A modo de ejemplo, este método debe aplicarse para transformar los valores proporcionados por el fabricante de los ensayos de transformador a la potencia base del


11

Tema 1. El sistema por unidad sistema. El valor de las tensiones en cortocircuito de un transformador ( ε cc(%)) se corresponde con la tensión de cortocircuito en por unidad cuya tensión base es la nominal del transformador. El ensayo en cortocircuito de un transformador se suele hacer alimentando el transformador desde el primario, en ese caso, la tensión de base será la tensión del primario:

U cc L

ε cc =

U cc L 3 Z cc ,Y I 1N ,Y = 100 = U1 N L U 1N L U 1 N L 3

(1. 43)

3

Generalizando lo visto para la impedancia, para hacer el cambio de base de cualquier magnitud, la expresión a resolver será:

p.u.base 2 = p.u.base 1

base1 base2

(1. 44)

Ejemplo: Cambios de base

En el sistema de la figura: -

Calcular el circuito equivalente en por unidad

-

Si los motores absorben 16.000 y 8.000 kW respectivamente con tensión 12,5 kV y cos ϕ = 1, calcular la tensión en terminales del generador.

M1 ZL

Generador 1 Transformador 1

Transformador 2

M2

Figura 1. 5. Sistema a resolver en el ejemplo.

El sistema trifásico de la figura tiene las siguientes características: Generador 1: S nom = 30.000 kVA

12



U nom = 13,8 kV X d = 15 % Transformador 1: S nom = 35.000 kVA U nom = 13,2 / 115 kV X 1 = 10 % Transformador 2: Banco formado por tres transformadores monofásicos cuyos valores nominales son: S nom = 10.000 kVA U nom = 12,5 / 67,5 kV X 1 = 10 % Línea: Z L = 80 Ω Motor 1: S nom = 20.000 kVA U nom = 12,5 kV X d = 20 % Motor 1: S nom = 10.000 kVA U nom = 12,5 kV X d = 20 % El transformador 2 está formado por tres transformadores monofásicos conectados en estrella triángulo. Esto es equivalente a tener un solo transformador trifásico de las siguientes características:


13


S nom3 = 3 S nom1 = 30.000 kVA U nom = 12,5 / 67

kV

X 1 = 10 % El primer paso para calcular el circuito equivalente en por unidad es seleccionar la base que va a utilizarse. Para ello, siguiendo el método comentado anteriormente, el primer paso es dividir el sistema en zonas cuya tensión base esté relacionada mediante la tensión de transformación de los transformadores, el segundo paso será elegir la tensión base para cada una de estas zonas y por último elegir una potencia base para todo el sistema. Zona A

Zona B

Zona C M1

ZL

Transformador 2

Generador 1 Transformador 1

M2

Figura 1. 6. División del sistema del ejemplo en zonas según su tensión base.

Como tensión base para la zona A se ha tomado la nominal del generador y como potencia base su potencia nominal. El resto de tensiones base se calcularán a partir de ésta aplicando la relación de transformación. Estos valores se resumen en la siguiente tabla: Tabla 1. 2. Valores base de las diferentes zonas.

Zona S base (MVA) U base (kV)

Z base ( Ω )

A

30

13,8

13,8

B

30

13,8

C

30

120

2

= 6,348

30

115 13,2 12,5 367

1202

= 120

= 481,82

30

= 12, 9

12,9 30

2

= 5,508

Como los datos de cada una de las máquinas conectadas al sistema vienen dados en tanto por ciento respecto a sus valores nominales será necesario realizar un cambio de base para adecuarlos a la base del sistema. No es necesario hacer este cambio de base

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Tema 1. El sistema por unidad con el generador puesto que se han tomado como tensión y potencia base los nominales de dicho generador. Transformador 1 2 U base S = x1 ( p.u.)base1 2 1 base1 U base 2 S base 2

x1 ( p.u.)base 2

2 10% 13,2 35 = ⋅ = 0,0784 p.u. 100 13,82 30

(1. 45)

Transformador 2. Al estar formado por un banco de transformadores monofásicos, la impedancia de cortocircuito ha sido calculada tomando como base los valores nominales del transformador monofásico. 2 U base S = x1 ( p.u.)base1 2 1 base1 U base 2 S base 2

x1 ( p.u.)base 2

=

10%

⋅

100

67 2 10

(67 3 )

2

= 0,1 p.u.

(1. 46)

30

Como puede observarse, el valor de impedancia por unidad para el banco trifásico coincide con el valor monofásico. Para pasar este valor a la base del sistema para la Zona B

x1 ( p.u.)base 2

=

10% 100

⋅

2 U base S = x1 ( p.u.)base1 2 1 base1 U base 2 S base 2

67 2 10

(120 )2

30

= 0,094 p.u.

(1. 47)

Motor 1

xd 1 ( p.u.)base 2 = xd 1 ( p.u.)base1

2 U base 1 S base1 2 U base 2 S base 2

2 20% 12,5 20 = ⋅ = 0,284 p.u. 100 12,92 30


(1. 48)

15

Tema 1. El sistema por unidad Motor 1

xd 1 ( p.u.)base 2

2 U base S = xd 1 ( p.u.)base1 2 1 base1 U base 2 S base 2

2 20% 12,5 201 = ⋅ = 0,567 p.u. 100 12,9 2 30

(1. 49)

Línea

x L ( p.u.)base 2 =

Z (Ω) 80Ω = = 0,166 p.u. zbase (Ω) 480Ω

(1. 50)

El circuito equivalente del sistema queda por tanto, de la siguiente forma: Trafo 1 j 0,0784

Línea j 0,166

Trafo 2 j 0,094

Motor 1 j 0,284

j 0,15 ug

Motor 2 j 0,567

Figura 1. 7. Sistema ejemplo en por unidad.

En el apartado b de este ejemplo se pide calcular la tensión ug representada en la figura. En primer lugar será necesario pasar los valores que nos indica el enunciado a valores por unidad:

U (kV ) 12,5 = = 0,972 p.u. U base (kV ) 12,9

(1. 51)

p1 ( p.u.) =

P 1 ( MW ) 16 = = 0,533 p.u. S base ( MW ) 30

(1. 52)

p2 ( p.u.) =

8 P 2 ( MW ) = = 0,266 p.u. S base ( MW ) 30

(1. 53)

u ( p.u.) =

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Tema 1. El sistema por unidad Como el factor de potencia de los dos motores es la unidad, los valores de potencia aparente serán iguales a los de potencia activa. La Intensidad consumida por los dos motores puede calcularse de la siguiente manera:

i M =

s M 0,533 + 0,266 = = 0,823 p.u. 0,969 u M

(1. 54)

Si tomamos como origen de fases i M :

i M = 0,823 0 o Y como el factor de potencia es uno:

u M = 0,972 0o Resolviendo el circuito podemos obtener el valor de la tensión uG:

u G = i M ⋅ z + u M

(1. 55)

u G = 0,823 ⋅ ( j 0, 0784 + j 0,166 + j 0, 094 ) + 0,972

u G = 1,01116o

(1. 56)

Para obtener el valor en unidades físicas es suficiente con multiplicar el resultado por la tensión base de la zona correspondiente:

U G = uGU base = 1,011 p.u. ⋅ 13,8 kV = 13,96 kV


(1. 57)

17


1.4. Bibliografía P.M. Anderson, “Analysis of Faulted Power Systems”, IEEE Press Power Systems Engineering Series, Ed Wiley-Interscience, 1995 J. Grainger, W.D. Stevenson Jr., “Análisis de Sistemas de Potencia”, Mc Graw Hill, 1995 P. Kundur, “Power System Stability and Control”, McGraw-Hill, New York 1994 J.D. Glover, M.S. Sarma, “Power System. Analysis and Design”, Brooks/Cole, Thomson Learning, 3ª edición, 2002 L.M. Faulkenberry, W. Coffer, “Electrical Power Distribution and Transmission”, Prentice-Hall 1996

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