Tejeiro. Relatividad General.pdf

Principios de relatividad general Juan Manuel Tejeiro Sarmiento Profesor titular Observatorio Astronómico Nacional Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia 2005

ii

Índice general Introducción

I

VII

Fundamentos matemáticos

1. Espacios vectoriales 1.1. Introducción . . . . . 1.2. Espacios topológicos 1.3. Espacios métricos . . 1.4. Espacios vectoriales .

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1 . . . .

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3 3 3 7 9

2. Variedades 2.1. Variedades diferenciales . . . . . . 2.2. Espacio tangente . . . . . . . . . 2.3. Tensores . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Transformaciones entre variedades

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23 23 28 39 47

3. Cálculo en variedades 3.1. Derivada exterior . . . . . . . . 3.2. Derivada de Lie . . . . . . . . . 3.3. Conexión y derivada covariante 3.4. Transporte paralelo . . . . . . .

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53 53 56 60 63

iii

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iv

ÍNDICE GENERAL 3.5. Tensor de Riemann . 3.6. Tensor métrico . . . 3.6.1. Relación entre 3.7. Campos de Killing .

II

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . conexión y métrica . . . . . . . . . . .

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Relatividad general

4. Principios de relatividad general 4.1. La ley de gravitación universal . . . . . . 4.2. Postulados de la TGR . . . . . . . . . . 4.3. Tensor métrico y postulado de causalidad 4.4. Ecuaciones de campo de Einstein . . . .

69 70 75 78

83 . . . .

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. . . .

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85 85 90 92 101

5. La solución de Schwarzschild 105 5.1. Métrica para simetría esférica . . . . . . . . . . . . . . 105 5.2. Teorema de Birkho¤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.3. Propiedades de la métrica . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6. Pruebas de la relatividad general 121 6.1. Corrimiento del perihelio de Mercurio . . . . . . . . . . 121 6.2. Desviación de la luz por el sol . . . . . . . . . . . . . . 130

III

Aplicaciones astrofísicas

137

7. Colapso gravitacional 139 7.1. El tensor momentum-energía . . . . . . . . . . . . . . . 140 7.2. Movimiento geodésico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 7.3. Métrica interior de una masa esférica . . . . . . . . . . 148 8. Agujeros negros 165 8.1. Agujero negro de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . 166

ÍNDICE GENERAL

v

8.2. Coordenadas de Kruskal . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

IV

Aplicaciones cosmológicas

9. Cosmología 9.1. Métrica de Robertson-Walker . . . . . . . . . . 9.1.1. Geometría espacial de la métrica de R-W 9.2. Propiedades de la métrica de R-W . . . . . . . . 9.2.1. Horizonte de eventos . . . . . . . . . . . 9.2.2. Movimiento propio de partículas en R-W 9.2.3. Corrimiento al rojo . . . . . . . . . . . . 9.2.4. El problema de distancias en cosmología 9.3. Ley de Hubble . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

179 . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

181 182 191 196 196 198 200 203 208

10.Modelos cosmológicos 215 10.1. Ecuaciones de Friedmann-Lemaître . . . . . . . . . . . 216 10.2. Historia térmica del universo . . . . . . . . . . . . . . . 222 markboth

vi

ÍNDICE GENERAL

Introducción La teoría de la relatividad (especial y general) es considerada como uno de los logros más grandes de la mente humana y forma parte de lo que se puede llamar la cultura del hombre del siglo XX. En 1916 Einstein publica la Teoría General de la Relatividad, la cual corresponde a la formulación relativista de la ley de gravitación universal de Newton. Este trabajo, a diferencia de sus primeras publicaciones sobre la teoría especial de la relatividad, requirió una estructura matemática muy compleja: la geometría diferencial y el cálculo tensorial. Dos predicciones fundamentales surgieron de esos planteamientos: el corrimiento del perihelio de Mercurio, efecto que ya había sido observado mas no explicado por los astrónomos, y la desviación de la luz por el sol, cuya corroboración se da en 1919, aprovechando un eclipse total de sol que tuvo lugar el 29 de mayo. Más signi…cativo aún para el desarrollo de la teoría general de la relatividad fue el descubrimiento de Hubble de la expansión del universo en 1929. Si bien Einstein no había predicho este efecto, sí estaba contenido en sus ecuaciones de la relatividad general. En efecto, en 1916 Einstein soluciona sus ecuaciones de campo buscando describir un universo estático, el cual se consideraba que describía el universo observado. El problema de describir un universo estático era fundamental, pues se sabía que la ley de gravitación universal de Newton no podía dar cuenta de un universo estacionario, dado que esta ley (invii

viii

INTRODUCCIÓN

verso al cuadrado de la distancia) no permite tener una distribución estática de masas. La primera solución de las ecuaciones de campo obtenida por Einstein para una distribución homogénea e isotrópica de materia (principio cosmológico) lo condujo a una solución dinámica y por esta razón se vio forzado a introducir un término adicional en sus ecuaciones, proporcional a la constante cosmológica, la cual le permitía obtener una solución estática. Aun cuando Robertson y Walker mostraron que esta solución estática de Einstein no era matemáticamente satisfactoria, pues correspondía a una solución inestable, no fue sino con el descubrimiento de Hubble de la expansión del universo que Einstein reconoció el error de haber modi…cado sus ecuaciones al introducir una constante cosmológica sin justi…cación ni signi…cado físico. Este punto de la historia marcó el comienzo de la cosmología actual, la cual es una de las áreas de investigación más activas que se tiene hoy. Por otra parte, la teoría general de la relatividad recibió un gran impulso en los años sesenta, cuando la relatividad general comenzó a tener gran interés, no sólo por el acelerado desarrollo de la astronomía observacional, con los descubrimientos de la radiación cósmica de fondo, reliquia del universo temprano, y los objetos más lejanos observados, los quasares, sino también con el desarrollo de la física de partículas elementales, las cuales para un cabal entendimiento requieren las interacciones fundamentales, fuerte, débil y electromagnética, la cuantización de la fuerza de la gravedad. En efecto, en esa década se acuñó el término agujero negro, el cual jugó un papel fundamental en muchos desarrollos posteriores. Hoy el estudio de los agujeros negros no sólo es de interés en el contexto teórico de los problemas asociados a la teoría cuántica de la gravedad, sino también de interés observacional, pues varios fenómenos astronómicos como los AGN (núcleos activos de galaxias), requieren la presencia de agujeros negros para dar cuenta de los fenómenos observados.

ix En este libro se presentará los fundamentos de la teoría general de la relatividad y sus principales aplicaciones en agujeros negros y en cosmología. El texto inicia con tres capítulos dedicados a los fundamentos matemáticos necesarios para formular la teoría general de la relatividad. La segunda parte contiene tres capítulos dedicados a los principios básicos de la relatividad general, la solución de Schwarzschild y las pruebas clásicas de la teoría. La tercera parte se re…ere a aplicaciones astrofísicas, con un capítulo sobre el colapso gravitacional y otro sobre agujeros negros, y la última parte del texto aborda los principios de la cosmología, con un capítulo dedicado al estudio de la métrica de Robertson-Walker y un capítulo …nal sobre modelos cosmológicos.

x

INTRODUCCIÓN

Parte I Fundamentos matemáticos

1

Capítulo 1 Espacios vectoriales 1.1.

Introducción

En este capítulo se presentarán los elementos fundamentales del álgebra lineal. No pretende dar un desarrollo exhaustivo del tema, sino tan sólo de las principales de…niciones y los resultados más importantes necesarios para introducir el concepto de variedad en el siguiente capítulo.

1.2.

Espacios topológicos

A continuación se exponen algunas de…niciones fundamentales sobre espacios topológicos y espacios métricos. De…nición 1-1 Un espacio topológico T es una pareja (T; A), con T un conjunto y A una familia de subconjuntos de T , llamados los abiertos, tales que: T-1: ; T 2 A, es decir, el vacío y todo el conjunto T son abiertos. T-2: Dada cualquier colección de abiertos a 2 A;con 2 I, siendo 3

4

CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES

I un conjunto de índices, entonces [

2I a

2A

es decir, unión arbitraria de abiertos es un abierto. T-3: Para toda colección …nita de abiertos ai 2 A, i = 1; 2; :::; n, entonces \ni=1 ai 2 A es decir, intersección …nita de abiertos es abierto. La familia de abiertos A se llama topología de T . A todo conjunto se le puede asociar una topología, pues basta con de…nir como los abiertos de T a cualquier subconjunto de T . Esta topología es conocida en la literatura como topología discreta. Otra posibilidad para de…nir una topología sobre cualquier conjunto es la llamada topología trivial, cuyos abiertos se reducen al conjunto vacío y a todo el espacio. Estos dos casos extremos de espacios topológicos no son de utilidad práctica, pero sirven para ilustrar situaciones y conceptos especiales que surgen en el estudio de los espacios topológicos. Un ejemplo no trivial de una topología lo constituyen los números reales R con la llamada topología usual, donde los abiertos están conformados por todos los intervalos abiertos de la forma (a; b) R, con la identi…cación (a; a) = y ( 1; 1) = R. De…nición 1-2 Sean T y R espacios topológicos. Una función f :T

!R

(1.1)

se dice continua si para cualquier abierto b de R, la imagen inversa f 1 (b) es un abierto de T . Más adelante se verá la relación entre esta de…nición de continuidad, con la de…nición usual utilizada en espacios métricos, cuando se relacione la estructura topológica de un espacio con su estructura métrica.

1.2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS

5

De…nición 1-3 Sean T y R espacios topológicos. Una función ':T

!R

(1.2)

se llama un homeomor…smo si la función ' es continua con inversa '

1

:R !T

(1.3)

continua. Así, todo homeomor…smo ' entre espacios topológicos transforma abiertos de un espacio topológico en abiertos del otro espacio, y en este caso se dice que los dos espacios topológicos son homeomorfos. Los dos ejemplos sigientes ilustran por qué los espacios topológicos extremos, el discreto y el trivial, no son de interés práctico. Dada una función ':T

!R

(1.4)

con R un espacio topológico cualquiera y T el espacio topológico discreto, entonces toda función ' es trivialmente continua, pues dado cualquier abierto de R su imagen inversa es un subconjunto de T , que por de…nición es un abierto, mientras que si T tiene la topología trivial, entonces ninguna función ' es continua, dado que los únicos abiertos de T son el vacío y todo el espacio. De…nición 1-4 Un espacio topológico T se llama de Hausdorf o separable, si para todo par de puntos p; q 2 T , con p 6= q, existen abiertos U y V de T , con p 2 U y q 2 V tal que U\V= El espacio topológico discreto es de Hausdor¤, así como los números reales con la topología usual, mientras que un espacio topológico con la topología trivial no es un espacio topológico de Hausdor¤. De…nición 1-5 Sea T un espacio topológico y C T un subconjunto cualquiera de T . Un recubrimiento abierto de C es una colección

6


de abiertos a de T con que

2 I, siendo I un conjunto de índices, tal C

[

2I a

De…nición 1-6 Un subconjunto C T , de un espacio topológico T , se llama compacto si dado cualquier recubrimiento abierto de C, existe un subrecubrimiento …nito ai ; i = 1; 2; :::; n de C, esto es C

[ni=1 a

De…nición 1-7 Un subconjunto A T , de un espacio topológico T , se llama cerrado si su complemento, i.e., T nA, es abierto.

Dependiendo de la estructura topológica del espacio, hay conjuntos que son abiertos y cerrados a la vez; por ejemplo, cualquier subconjunto de un espacio topológico discreto. También existen subconjuntos que no son ni abiertos ni cerrados; por ejemplo, en los reales con la topología usual, cualquier intervalo semicerrado, es decir de la forma [a; b) o (a; b], no es abierto ni cerrado. Ahora, en todo espacio topológico el vacío y todo el espacio son subconjuntos abiertos y cerrados a la vez, pues ellos son mutuamente complementarios. Se puede mostrar que en un espacio topológico de Hausdor¤ los únicos conjuntos abiertos y cerrados simultáneamente son el vacío y todo el espacio. En el espacio de los números reales R con la topología usual, cualquier intervalo cerrado de la forma [a; b] es compacto, mientras que cualquier intervalo abierto no lo es. Más generalmente, en R con la topología usual, todo subconjunto cerrado y acotado es compacto. En la siguiente sección se darán las de…niciones fundamentales de espacios métricos y su relación con la estructura topológica.

1.3. ESPACIOS MÉTRICOS

1.3.

7

Espacios métricos

De…nición 1-8 Un espacio métrico M es un conjunto de puntos con una función, llamada métrica, d: M M ! (x; y) 7 !

R d(x; y)

(1.5)

tal que: M-1: 8x; y 2 M , se tiene que d(x; y)

0;

y

d(x; y) = 0 () x = y

(1.6)

M-2: 8x; y 2 M , se tiene que d(x; y) = d(y; x)

(1.7)

M-3: 8x; y; z 2 M , se satisface la desigualdad triangular, i.e., d(x; z)

d(x; y) + d(y; z)

(1.8)

Uno de los ejemplos más importantes de espacio métrico lo constituye Rn con la llamada métrica usual o euclideana, de…nida como: p d(x; y) := (x1 y 1 )2 + + (xn y n )2 (1.9)

donde

x = (x1 ; :::; xn ) y = (y 1 ; :::; y n ):

(1.10) (1.11)

Sobre Rn también es posible de…nir otras métricas, de hecho in…nitas métricas, pues la función !1=p n X dp (x; y) = (xi y i )p (1.12) i=1

8


para cada entero p satisface las propiedaes M 1 a M 3. El caso particular p = 2 corresponde a la métrica usual. Un caso especial de una métrica, de…nida como d(x; y) = 0 si x = y d(x; y) = 1; 8x 6= y

(1.13) (1.14)

muestra que todo conjunto es metrizable. Esta métrica es trivial y se utiliza solamente para construir contraejemplos. De…nición 1-9 Sea M un espacio métrico. Una bola abierta Bx (r) de radio r y centro x 2 M es el conjunto de todos los puntos y 2 M tales que d(x; y) < r (1.15) Un subconjunto A M se llama acotado si para todo par de puntos x; y 2 A existe un número real positivo r tal que d(x; y) < r. Para todo conjunto acotado de un espacio métrico se puede construir una bola centrada en cualquiera de los puntos que contenga el conjunto. De…nición 1-10 Sean M y N espacios métricos con métricas dM y dN respectivamente. Una función f : M ! N se dice continua en un punto x 2 M si dado cualquier real positivo > 0 simpre es posible encontrar un número real > 0 tal que dM (y; x) <

(1.16)

dN (f (x); d(y)) <

(1.17)

implica que Una función entre espacios métricos continua con inversa continua se llama un homeomor…smo. Para conectar la estructura de espacio métrico con la estructura de espacio topológico se introduce la siguiente: De…nición 1-11 Sea A M , con M un espacio métrico. Entonces A es un subconjunto abierto de M si 8x 2 A existe una bola abierta B(x; r) contenida en A:

1.4. ESPACIOS VECTORIALES

9

Es fácil probar, entonces, que los abiertos de un espacio métrico satisfacen las propiedades T 1; T 2 y T 3 de la de…nición 1 y por lo tanto de…nen una topología sobre M , llamada la topología inducida. Así, toda métrica induce una topología, pero no toda topología proviene de alguna métrica. Por ejemplo, la métrica trivial (1.18) (1.19)

d(x; y) = 0 si x = y; d(x; y) = 1; 8x 6= y

induce la topología trivial, pero ninguna métrica induce la topología discreta. Además, la topología usual sobre Rn es la inducida por la métrica usual. De esta forma, cuando se trabaja con espacios métricos siempre se asume la topología inducida por la correspondiente métrica.

1.4.

Espacios vectoriales

De…nición 1-12 Un grupo (G; ) es un conjunto de elementos G sobre el cual está de…nida una operación interna , es decir, una función de la forma: :

G G ! G (g1 ; g2 ) 7 ! g = g1 g2

(1.20)

tal que G-1: Exista un elemento e 2 G, llamado la identidad, con la propiedad que para todo elemento g 2 G se cumpla que (1.21)

e g=g e=g G-2: Para todo elemento g 2 G exista un elemento g llamado elemento inverso, tal que: g g

1

=g

1

g=e

1

2 G, (1.22)

10

CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES G-3: 8g1 ; g2 ; g3 2 G se cumple la asociatividad: g1 (g2 g3 ) = (g1 g2 ) g3

(1.23)

En general se tiene que g1 g2 6= g2 g1

(1.24)

y cuando la igualdad se cumple para todos los elementos del grupo, éste se llama grupo conmutativo o abeliano. Ejemplos de grupos: los números reales R con la suma, o los números enteros Z con la suma. Otro ejemplo, de mucha importancia en física, lo constituye el conjunto de transformaciones de simetría sobre un sistema, con la operación de grupo como la composición de transformaciones. Por una operación de simetría sobre un sistema se entiende una transformación que deja invariante al sistema. Por ejemplo, consideremos una molécula de amoniaco N H3 , constituida por tres átomos de hidrógeno y uno de nitrógeno. La con…guración espacial de esta molécula es una pirámide cuya base es un triángulo equilátero determinado por los tres hidrógenos y el vértice lo determina el átomo de nitrógeno. Si rotamos esta molécula en un águlo de 120 o de 240 alrededor de un eje que pase por el átomo de nitrógeno y que sea perpendicular al plano determinado por los tres hidrógenos, entonces la con…guración espacial de la molécula no cambia y se dice que la molécula posee el grupo de simetría conformado por los elementos: G = fR(0 ); R(120 ); R(240 )g

(1.25)

donde R(0 ) signi…ca rotar la molécula alrededor de su eje de simetría. El elemento identidad es R(0 ) que signi…ca no rotar, el producto de dos rotaciones es otra rotación, R( ) R(' ) = R(

+' )

(1.26)


11

e identi…cando R(0 ) R(360 ), los elementos del grupo R(120 ) y R(240 ) son mutuamente inversos. Este ejemplo lo podemos generalizar al caso de las simetrías de un polígono regular de n lados. En este caso el grupo de simetrías, rotaciones del polígono alrededor de un eje que pasa por su centro, tiene n elementos: G = fR(0 ); R(

360 360 ); R(2 ) n n

R((n

1)

360 )g n

(1.27)

Consideremos ahora el caso límite de un polígono regular de in…nitos lados, es decir, el círculo. En este caso el grupo de simetrías contiene un número in…nito no numerable de elementos y cada uno de los elementos está representado por una función R( ) que indica una rotación en un ángulo , en donde es un parámetro que toma valores en el intervalo [0; 360] y de nuevo se ha hecho la identi…cación R(0 ) R(360 ). Estos ejemplos de grupos considerados hasta ahora ilustran los tipos de grupos más comunes que encontramos en diversas aplicaciones: grupos con un número …nito de elementos, como las rotaciones de un polígono regular de n lados, o grupos con un número in…nito de elementos, pero numerable, como los enteros con la suma, y grupos con un número in…nito no numerable de elementos. Esta última clase de grupos, caracterizados por un parámetro continuo (o varios parámetros continuos, como el grupo de rotaciones tridimensional) constituye una clase particular llamada de Lie, la cual juega un papel muy importante en la matemática y en especial en la física. Volveremos sobre ella más adelante. De…nición 1-13 Un cuerpo o campo (G; +; ) es un conjunto de elementos G sobre el cual están de…nidas dos operaciones internas +, y , llamadas suma y multiplicación respectivamente, tal que (G; +) forma un grupo abeliano, y la operación satisface las siguientes propiedades:

12


C-1: Exista un elemento 1 2 G, llamado la identidad multiplicativa, con la propiedad que para todo elemento g 2 G se cumpla que 1 g = g 1 = g. C-2: Para cualesquier tres elementos g1 ; g2 ; g3 2 G se cumple que la multiplicación se distribuye sobre la suma, i.e., g1

(g2 + g3 ) = g1

g2 + g1

(1.28)

g3

C-3: La multiplicación es asociativa y conmutativa, es decir, para todo g1 ; g2 ; g3 2 G, se cumple que: g1

g2 = g2

(1.29)

g1

y g1

(g2

g3 ) = (g1

g2 )

g3 = g1

g2

g3

(1.30)

El ejemplo más común e importante de un campo lo constituyen los números reales con la suma y la multiplicación usuales. El concepto de campo es útil para nosotros en el contexto de la siguiente de…nición: De…nición 1-14 Un espacio vectorial V , sobre un campo K, es un conjunto de elementos, llamados vectores, con una operación interna + (suma de vectores) tal que: V-1: La suma de vectores es conmutativa: 8x; y 2 V , se tiene que x+y =y+x V-2: La suma de vectores es asociativa: 8x; y; z 2 V , se tiene que x + (y + z) = (x + y) + z V-3: Existe el vector nulo 0 2 V , tal que 8x 2 V se cumple 0+x=x

1.4. ESPACIOS VECTORIALES V-4: 8x 2 V , existe el vector x + ( x)

13 x 2 V , tal que x

x=0

Esto signi…ca que el conjunto V con la suma de vectores forma un grupo abeliano. Sobre V está de…nida una operación externa (multiplicación por un escalar) con el campo K, llamado los escalares, es decir una función de la forma :

K V ( ; g)

! V 7 ! h=

g

(1.31)

g

tal que: V-5: Para todo par de vectores x; y 2 V y todo escalar

2K

(x + y) = x + y V-6: Para todo vector x y todo par de escalares

;

( + )x = x + x V-6: Para todo vector x y todo par de escalares ( x) = (

;

)x

V-7: Para todo vector x 1x = x; 0x = 0y( 1)x =

x

donde 1 es la identidad multiplicativa de K, 0 2 K es la identidad aditiva y 1 2 K es el inverso aditivo de 1. El ejemplo más importante de espacio vectorial es Rn sobre los reales. Para construir otros ejemplos importantes por sus aplicaciones,

14


consideremos V y W dos espacios vectoriales sobre el cuerpo de los reales, y de…namos una transformación lineal T como una función T :

V v

! W 7 ! w = T (v)

(1.32)

tal que: T ( v + u) = T (v) + T (u);

8v; u 2 V

y

8 ;

2<

(1.33)

De…namos sobre el conjunto de todas las transformaciones lineales de V en W, i.e., L(V; W) := fT : V ! W j T es <

linealg

(1.34)

una suma y el producto por un real como: (T1 + T2 )(v) := T1 (v) + T2 (v); ( T )(v) := T (v);

8T1 ; T2 2 L(V; W) y 8v 2 V (1.35)

8T 2 L(V; W); 8v 2 V y 8 2 <

(1.36)

entonces, T1 + T2 y T también son transformaciones lineales, i.e., T1 + T2 ; T 2 L(V; W)

(1.37)

y por lo tanto el conjunto L(V; W) con estas operaciones es un espacio vectorial real. Un caso de particular importancia es el espacio vectorial L(V; <), llamado el espacio vectorial dual de V, que se denota por V y sobre el cual volveremos más adelante. De…nición 1-15 Un conjunto fv1 ; v2; :::; vr g de r vectores de V , con vi 6= 0; 8i = 1; 2; :::; r, se llama linealmente independiente si dada cualquier combinación lineal r X i=1

i vi

=0

(1.38)


15

implica que todos los i = 0: De…nición 1-16 El número máximo de vectores linealmente independientes de V se llama dimensión del espacio vectorial y por lo tanto forma una base, i.e., cualquier vector del espacio se puede escribir como una combinación lineal de estos vectores. Así, si fei g; i = 1; 2; :::; n forman una base del espacio vectorial V , entonces todo v 2 V lo podemos escribir como v = v 1 e1 + v 2 e2 +

+ v n en

(1.39)

y los números v 1 ; i = 1; 2; :::; n se llaman componentes del vector v en la base fei g. De…nición 1-17 Sea V un espacio vectorial real. De…namos una norma sobre V como una función k k

V v

! 7 !

R kvk

(1.40)

tal que: N-1: kvk > 0, si v 6= 0 y kvk = 0 si v = 0 N-2: k vk =j j kvk N-3: kv + wk kvk + kwk Toda norma sobre un espacio vectorial induce una métrica de…nida por: d(v; w) := kv wk (1.41) La última estructura de gran importancia que se puede de…nir sobre un espacio vectorial es el producto punto, llamado también producto escalar o interno: De…nición 1-18 Sea V un espacio vectorial real. De…namos un producto interno sobre V como una función h; i

V V v; w

! 7 !

R hv; wi

(1.42)

16


tal que: P-1: hv; vi > 0 si v 6= 0 y hv; vi = 0 si v = 0. P-2: hv; wi = hw; vi P-3: h v; wi = hv; wi P-4: hv + w; zi = hv; zi + hw; zi Las propiedades P-3 y P-4 signi…can que el producto punto es lineal en su primera componente, y P-2 implica que también es lineal en la segunda componente. Dado un producto punto sobre un espacio vectorial real, entonces sobre él se induce una norma de…nida por: p kvk := hv; vi (1.43) y así se induce también una métrica y por ende una topología. Con estas de…niciones podemos introducir el concepto de base ortonormal fei g i = 1; 2; :::; n de un espacio vectorial, donde los vectores de la base satisfacen la relación: hei ; ej i =

ij

(1.44)

siendo ij el delta de Kronecker de…nido como 1 si i = j y cero en los demás casos. De la desigualdad triangular, propiedad N-3 de la norma, de obtiene la desigualdad de Cauchy-Schwarz: j hv; wi j

kvkkwk

la cual nos permite de…nir el concepto de ángulo v y w a través de la relación: cos :=

hv; wi kvkkwk

(1.45) entre dos vectores

(1.46)

lo que justi…ca el nombre de base ortonormal, es decir, vectores mutuamente ortogonales y de norma unitaria.


17

Para …nalizar esta introducción veamos el concepto de espacio vectorial dual. Con este …n, sea L(V,R) el conjunto de todas las transformaciones lineales del espacio vectorial sobre los reales, es decir: L(V; <) := ff : V !< j f es linealg

(1.47)

y de…namos sobre este conjunto la suma de funciones y el producto de un número real por una función como: (f + g)(v) := f (v) + g(v)

(1.48)

( f )(v) := f (v)

(1.49)

8f; g 2 L(V,<); 8v 2 V 8 2 <, entonces estas dos operaciones de…nen una estructura de espacio vectorial real sobre el espacio de funciones L(V,R). Este espacio no es vacío, pues hv; i 2 L(V; R); 8v 2 V donde hv; i signi…ca el producto punto manteniendo la primera componente …ja. Para conocer una función f del espacio L(V,R) es necesario conocer lo que la función le hace a cada vector v 2 V, pero dado que el producto punto es lineal en cada componente, entonces para conocer f es su…ciente conocer lo que la función le hace a los vectores de una base, pues sea fei g; i = 1; 2; :::; n (1.50) una base ortonormal de V, entonces si v 2 V tenemos que v=

n X

i ei

(1.51)

i=1

donde los coe…cientes están dados por las proyecciones del vector v sobre los vectores de la base, es decir, j = hej ; vi, entonces si f es

18


una función real lineal sobre el espacio vectorial tenemos n X f (v) = f (

i ei ) =

i=1

n X

(1.52)

i f (ei )

i=1

de esta forma conocer f (v) para todo v 2 V es equivalente a conocer f (ei ) para i = 1; 2; :::; n. Por otra parte, el teorema de representación de Ritz establece que para cada función f 2 L(V,R) existe un vector w 2 V tal que f (v) = hw; vi, entonces dada una base ortonormal fei g de V, las funciones hej ; i := ei de…nen una única base para el espacio L(V,<), llamada la base dual, pues * n + n X X hw; vi = = (1.53) k ek ; v k hek ; vi =

k=1 n X k=1

=

k

k=1

*

n n X X k=1 i=1

ek ;

n X

i ei

i=1

k

i ki

=

+

n X

=

n X n X k=1 i=1

i

k

i

hek ; ei i

i

i=1

En resumen, dado cualquier espacio vectorial real V, existe el espacio vectorial dual V , el espacio de las transformaciones lineales de V sobre los reales, con la misma dimensión, y dada cualquier base fei gi=1;:::;n de V existe una única base fej gj=1;:::;n , la base dual, de…nida por la relación: hek ; ei i = ki (1.54) Se puede probar que el dual del dual V de un espacio vectorial V es isomorfo al espacio vectorial original y por lo tanto se hace la identi…cación V V . Consideremos ahora el caso de un cambio de base. Para tratar este problema introduciremos un cambio de notación, el cual será de


19

utilidad cuando trabajemos en variedades. Denotemos por fE g con = 1; 2; :::; n al conjunto de vectores de una base del espacio vectorial V. Así dado un vector v 2V entonces v=

n X

v E

(1.55)

=1

donde v son las componentes del vector v en la base fE g. Sea ! 2V un vector del espacio dual y denotemos por fE g con = 1; 2; :::; n al conjunto de vectores de la base dual de V , de…nida por la relación 1.54, esto es E (E ) E ;E = (1.56) entonces !=

n X

! E

(1.57)

=1

Consideremos ahora otra base fE g, = 1; 2; :::; n, del espacio V y su correspondiente base dual fE g, de…nida por la relación E ;E

=

(1.58)

Debido a las propiedades de las bases de un espacio vectorial, un vector de la nueva base E se puede escribir en términos de la base original: n X E = E ; = 1; 2; :::; n (1.59) =1

Los coe…cientes de esta combinación lineal constituyen la matriz de transformación cambio de base. Ahora el objetivo es encontrar cómo cambian las componentes de un vector v cuando se cambia de base y cómo cambian las componentes de un vector dual !. Consideremos en primer lugar que sucede con el cambio de base dual.

20


los elementos de la matriz de transformación de Denotemos por las bases duales, esto es

E =

n X

E ;

(1.60)

= 1; 2; :::; n

=1

y busquemos la relación entre las matrices y su…ciente tener en cuenta la ecuación 1.58, pues = =

E ;E * n X

E ;

=1

= =

n X

=

=1

n X

=1 =1 n n XX =1

n X

E

. Para este fín es

+

hE ; E i

=1

n X

(1.61)

=1

Esta ecuación implica que las matrices de cambio de base son muatuamente inversas: =

1

y

(1.62)

Con este resultado podemos encontrar como se transforman las componentes de los vectores de V y V cundo se cambia de bases. Sea v 2V, entonces si denotamos por v las componentes del vector en la


21

nueva base, se tiene que v = = =

n X

=1 n X

v E =

v E

=1

v

n X

=1 =1 n n XX =1

n X

E (1.63)

v E

=1

Dado que los vectores de una base son linealmente independientes, se debe cumplir que n X v = v (1.64) =1

De esta expresión se pueden despejar las componentes primadas v multiplicando ambos lados de la ecuación por la matriz inversa de cambio de base, así n X

v

=

=1

=

n X

=1 n X n X =1

= =

n X

=1

n n X X

=1 n X

v

=1

=1

v =v

v !

v (1.65)

=1

Es decir, bajo un cambio de base, si representa las componentes de la matriz cambio de base, entonces las componentes de un vector de

22


, de la misma manera como V se transforman con la matriz inversa se transforman los vectores de las bases duales. Por lo tanto para el caso de los vectores duales podemos encontrar, sin más cálculos, como se transforman las componentes bajo un cambio de base: si ! 2V entonces sus componentes cambian

Capítulo 2 Variedades En este capítulo expondremos los elementos básicos de la teoría de variedades y daremos los principales resultados necesarios para la formulación de la teoría general de la relatividad.

2.1.

Variedades diferenciales

Denotemos por Rn el espacio vectorial euclideano, es decir, al conjunto de n-plas (x1 ; x2 ; ; xn ) con la métrica usual. De…nición 2-1 Una función ':

A

Rn x

! 7 !

Rm x0 = '(x)

(2.1)

con A un subconjunto abierto de Rn , se llama de clase C r si las coordenadas x0 = (x01 ; x02 ; ; x0m ) del punto imagen '(x) son funciones r-veces continuamente diferenciables. Si la función ' es de clase C r para todo r 0, entonces se dice que ' es suave o de clase C 1 . De…nición 2-2 Sea M un espacio topológico. De…nimos una carta 23

24

CAPÍTULO 2. VARIEDADES

coordenada C = (' ; U ) sobre M como un homeomor…smo: ' : U p

M

! Rn 7 ! x = ' (p)

(2.2)

donde U es un abierto de M . Las componentes de un punto x bajo la función ', i.e. x = (x1 ; ; xn ) se llaman coordenadas del punto p, y n es la dimensión de la carta. De…nición 2-3 Sea M un espacio topológico. Un atlas A de clase r C sobre M es una colección de cartas fC = (' ; U )g 2I tal que: A-i- Los abiertos U cubren M , i.e.: [ U (2.3) M= 2I

A-ii- Si U \ U 6= , entonces '

'

1

:

' (U \ U ) Rn x = ' (p)

! 7 !

' (U \ U ) Rn y = ' (p)

(2.4)

es un difeomor…smo de clase C r . Las funciones ' ' 1 y su inversa ' ' 1 nos dan las ecuaciones de transformación entre las diferentes coordenadas. Dos atlas A y B de clase C r sobre un espacio topológico M se llaman compatibles si la unión de los atlas es de nuevo un atlas de clase C r ; así la unión de todos los atlas compatibles sobre un espacio topológico forma una clase de equivalencia de atlas, o un atlas maximal. De…nición 2-4 Una C r variedad diferenciable M es un espacio topológico de Hausdor¤ con un atlas maximal. NOTA 1: Cada U es una vecindad coordenada local, lo cual implica que si p 2 U M, entonces las coordenadas de p son las coordenadas del punto imagen ' (p) 2 Rn ; así notaremos ' (p) = (x1 ; x2 ; :::; xn ) con xi = xi (p):

2.1. VARIEDADES DIFERENCIALES

25

La condición A-ii exige que las vecindades coordenadas sean compatibles, es decir: si p 2 U \ U , entonces (p) = (x1 ; x2 ; :::; xn ) y (p) = (x01 ; x02 ; :::; x0n ) son dos coordenadas diferentes para el mismo punto, y que las cartas ( ; U ) y ( ; U ) estén relacionadas por: 1

( (

)(x01 ; x02 ; :::; x0n ) = (x1 ; x2 ; :::; xn ) 1

)(x1 ; x2 ; :::; xn ) = (x01 ; x02 ; :::; x0n )

Las coordenadas xi = xi (x0 j ) son funciones de clase C r de las coordenadas x0 j y viceversa x0 j = x0 j (xi ): NOTA 2: Otro atlas 0 sobre M se dice C r -compatible con ; C r atlas sobre M, si [ 0 es de nuevo un C r -atlas sobre M. El atlas consistente de la unión de todos los atlas compatibles con un atlas dado se llama atlas maximal de M. Así un atlas maximal sobre M es el conjunto de todos los posibles sistemas coordenados que cubren a M: La compatibilidad de atlas es una relación de equivalencia. Una de estas clases de equivalencia es llamada una estructura diferenciable. Dada una variedad M es interesante preguntarse si ésta admite una única estructura diferencial. En 1956 Milnor demostró que S 7 posee 28 estructuras diferenciales diferentes. En 1984 se demostro que Rn admite un número in…nito de estructuras diferenciales. NOTA 3: Una C r -variedad con frontera se de…ne de la misma manera cambiando Rn por 1 n R := fx 2 Rn j xn 2

0g

26


El contorno de M, denotado por @M, se de…ne como el conjunto de todos los puntos de M cuya imagen bajo está sobre el contorno 1 n r de 2 R , y de esta forma @M es una C -variedad sin frontera de dimensión n 1. Consideremos algunos ejemplos de variedades diferenciables: R2 es una variedad bidimensional. Las coordenadas rectangulares (x; y : 1 < x; y < 1) cubren todo R2 . Las coordenadas polares (r; ) cubren sólo la vecindad coordenada (r > 0; 0 < < 2 ). Así, se necesitan por lo menos dos de tales cartas para cubrir R2: . El cilindro bidimensional C 2 es una variedad obtenida a partir de 2 R identi…cando los puntos (x; y) con (x + 2 ; y). Entonces (x; y) son coordenadas en la vecindad (0 < x < 2 ; 1 < y < 1); así se necesitan por los menos dos de tales vecindades coordenadas para cubrir C 2: . De manera similar la cinta de Möbius se obtiene identi…cando (x; y) con (x + 2 ; y). La 2-esfera unidad S 2 : f(x1 ; x2 ; x3 ) 2 R3 j (x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2 = 1g es una variedad. Las coordenadas en cada punto de las regiones x1 > 0 y x1 < 0 son: (x2 ; x3 ); 1 < x2 < 1; 1 < x3 < 1 Así se necesitan seis de tales cartas para cubrir S 2 : No se puede cubrir S 2 con un solo sistema de coordenadas. Otro ejemplo que generaliza a S 2 es la n-esfera de…nida por S n := fx 2 Rn+1 j (x0 )2 + (x1 )2 +

+ (xn )2 = 1g

(2.5)

Para de…nir una estructura de variedad diferenciable, consideremos el hiperplano H de Rn+1 de…nido por x0 = 0; consideremos el atlas

2.1. VARIEDADES DIFERENCIALES

27

de…nido por las dos cartas ('1 ; U1 ) y ('2 ; U2 ), las dos proyecciones estereográ…cas de la n-esfera sobre este plano H, de…nidas por: '1 :

'2 :

U1 = S n nfe0 g x

! 7 !

U2 = S n nf e0 g x

! 7 !

H Rn 0 '1 (x) = x1 xxoe0 H Rn x0 e0 '2 (x) = x1+x o

(2.6)

(2.7)

donde e0 = (1; 0; :::; 0) 2 S n es el “polo norte”de la n-esfera y e0 el “polo sur”. Es decir, U1 cubre la esfera menos el polo norte y U2 cubre la esfera menos el polo sur. Estas dos cartas son C 1 compatibles pues la transformación de coordenadas '2 '1 1 (y) =

y kyk

;

y 2 Rn y y 6= 0

(2.8)

es in…nitamente diferenciable. No es difícil probar que la variedad S n , a diferencia de Rn , requiere por lo menos dos cartas coordenadas para cubrir la variedad. De…nición 2-5 Una variedad M se dice orientable si existe un atlas = f ;U g 2 tal que en toda intersección no vacía U \ U de abiertos, el determinante de la matriz (@xi =@x0 j ) es positivo, donde (x1 ; x2 ; :::; xn ) y (x01 ; x02 ; :::; x0n ) son coordenadas en U y U respectivamente. De…nición 2-6 Un atlas = f ; U g 2 se dice localmente …nito si todo punto p de la variedad M tiene una vecindad abierta que intercepta sólo un número …nito de vecindades U : Una variedad M se llama paracompacta si para todo atlas = f ; U g 2 existe un atlas localmente …nito = f ; V g 2 con cada V contenido en algún U : En lo sucesivo, por variedad entenderemos una C r -variedad de Hausdor¤ paracompacta.

28


A partir de variedades dadas es posible construir nuevas variedades diferenciables tomando el producto cartesiano entre ellas, pues dadas M y N variedades suaves de dimensiones m y n respectivamente, sean A = f(U ; ' )g y B = f(V ; )g sus atlas maximales, entonces M

N := f(p; q) j p 2 M; q 2 N g

(2.9)

el producto cartesiano es una variedad n + m dimensional, con el atlas maximal de…nido como: C := f(U

V ;'

)g

(2.10)

donde '

:

U

V

M (p; q)

N

! Rm Rn 7 ! (' (p); (q))

(2.11)

Con esta de…nición podemos construir otras variedades de interés en física, como el cilindro bidimensional R S 1 ; o el toro S 1 S 1 .

2.2.

Espacio tangente

El concepto de variedad surgió como una generalización de la teoría de super…cies en R3 . Así, por una parte se hace necesario generalizar el concepto de plano tangente a una super…cie, y por otra parte la noción de vector tangente a una variedad nos permitirá generalizar también los conceptos de derivadas direccionales en Rn : Existen varios caminos equivalentes para de…nir el concepto de vector tangente a una variedad. En estas notas seguiremos un camino que, si bien puede parecer abstracto en un comienzo, permitirá construir los conceptos necesarios para introducir la noción de derivada direccional sobre una variedad y de tensor, en una forma más directa.

2.2. ESPACIO TANGENTE

29

De…nición 2-7 Sea M una variedad suave n-dimensional y M ! p 7 !

f:

R f (p)

(2.12)

una función de valor real de…nida sobre la variedad. Entonces la función f se dice de clase C k en un punto p 2 M si para toda vecindad coordenada (U ; ' ) de p la función f := f

'

1

:

' (U ) Rn x = ' (q)

! 7 !

R f (x) = f (q)

es de clase C k en el punto p 2 U M. Llamemos F(M; R) := ff : M ! Rg

(2.13)

(2.14)

al conjunto de todas las funciones de valor real de…nidas sobre la variedad. Sobre este conjunto podemos construir una estructura de espacio vectorial de…niendo la suma de funciones y el producto de un número real por una función en la forma: (f + g)(p) := f (p) + g(p); ( f )(p) := f (p);

8f; g 2 F(M; R); 8p 2 M

8f 2 F(M; R); 8p 2 M; 8 2 R

(2.15) (2.16)

La noción de diferenciabilidad de una función sólo tiene sentido para funciones de…nidas sobre los reales (más generalmente sobre espacios de Banach) y por esta razón la de…nición dada de diferenciabilidad se hace a través de las cartas coordenadas. Por lo tanto, para que esta de…nición de diferenciabilidad tenga sentido es necesario mostrar que no depende de la carta coordenada utilizada. Así, sea (U ; ' ) otra carta con p 2 U , entonces f =f

'

1

=f

'

1

('

' 1) = f

('

' 1)

(2.17)

30


dado que las cartas son compatibles, esta relación implica que si la función f es diferenciable con respecto a la carta (U ; ' ) entonces también lo es respecto a la carta (U ; ' ), y viceversa. Esta demostración de la independencia de las cartas es el ingrediente fundamental para todas las de…niciones u operaciones que se realicen sobre una variedad, en las cuales se involucren las cartas coordenadas. De…nición 2-8 Sea M una variedad suave y p 2 M . Un vector tangente vp a la variedad M en el punto p es una función vp :

F(M; R) ! f 7 !

R vp (f )

(2.18)

tal que: T-1: vp es R lineal, i.e., vp (f + g) = vp (f ) + vp (g); 8f; g 2 F(M; R);

8 2R

T-2: vp es leibnitziana, i.e., vp (f g) = f (p)vp (g) + vp (f )g(p) De…namos por Tp M al conjunto de todos los vectores tangentes a un punto p 2 M como el espacio tangente a la variedad en el punto p. Lema 2-1 El espacio tangente Tp M es un espacio vectorial real. Para ver esto basta con de…nir la suma de vectores y el producto de un escalar (real) por un vector, y mostrar que estas operaciones están bien de…nidas, es decir, satisfacen las propiedades T-1 y T-2. Sean vp ; wp 2 Tp M, entonces de…namos la suma y el producto por: (vp + wp )(f ) := vp (f ) + wp (f ); ( vp )(f ) := vp (f );

8f 2 F(M; R)

8f 2 F(M; <); 8 2 R

(2.19) (2.20)


31

La linealidad, propiedad T-1, es directa de probar pues (vp + wp )(f + g) = vp (f + g) + wp (f + g) = vp (f ) + vp (g) + wp (f ) + wp (g) = (vp + wp )f + (vp + wp )g (2.21) por de…nición, luego vp + wp 2 Tp M. Para demostrar T-2, apliquemos vp + wp al producto f g; entonces, por de…nición de suma de vectores tenemos (vp + wp )(f g) = vp (f g) + wp (f g) (2.22) puesto que vp y wp son vectores para los cuales vale T-2, y por lo tanto (vp + wp )(f g) = f (p)vp (g) + vp (f )g(p) + f (p)wp (g) + wp (f )g(p) = f (p)(vp + wp )(g) + (vp + wp )(f )g(p) (2.23) como se quería probar. Para mostrar que el espacio tangente tiene la misma dimensión que la variedad, veamos algunas de…niciones y resultados importantes. De…nición 2-9 Sea M una variedad suave y (U ; ' ) una vecindad coordenada de p 2 M y sea (x1 ; :::; xn ) = ' (p) las coordenadas del punto p. Sea f 2 F (M; R) y de…namos la "derivada parcial" de la función f con respecto a las coordenadas xi ; i = 1; :::; n en el punto p por @f @(f ) (p) := (' (p)) (2.24) @i f (p) @xi @xi Entonces Lema 2-2 Las funciones @ @xi

p

: F(M; R) ! R

son vectores tangentes de Tp M .

(2.25)

32


Para demostrar este lema veamos que las funciones @i jp satisfacen T-1 y T-2. Para este …n basta con recordar que las derivadas parciales son lineales y satisfacen la regla del producto. Sean f; g 2 F(M; R) y 2 R, entonces de la de…nición 2-9 tenemos @(f + g ) @(f + g) (p) = (' (p)) i @x @xi @(f ) @(g ) = (' (p)) + (' (p)) i @x @xi @g @f (p) + (p) = i @x @xi

(2.26)

lo cual prueba la linealidad; en el segundo paso se usó la linealidad de las derivadas parciales. Para la propiedad T-2 @(f g) @(f g ) (p) = (' (p)) (2.27) i @x @xi @(g ) @(f ) = f (' (p)) (' (p)) + (' (p))g (' (p) i @x @xi @(g) @(f ) = f (p) i (p) + (p)g(p) @x @xi donde para el tercer paso se utilizó la regla de la derivada de un producto de funciones. @f El siguiente resultado muestra que las derivadas parciales @x i (p) de…nidas anteriormente son objetos locales, es decir, sólo dependen del comportamiento de las funciones f en una vecindad del punto p 2 M. Lema 2-3 Sea vp 2 Tp M un vector tangente y f; g 2 F (M; R), entonces: i. Si f = g en alguna vecindad del punto p 2 M , entonces vp (f ) = vp (g) ii. Si la función f es constante en una vecindad del punto p, entonces vp (f ) = 0.


33

La prueba de este lema es sencilla pues toda función lineal transforma el cero en cero, y así 0 = vp (0) = vp (f

g) = vp (f )

vp (g)

(2.28)

además, si f = c = cons, entonces como vp (1) = vp (1 1) = 1 vp (1) + vp (1) 1 = 2vp (1)

(2.29)

se tiene que vp (1) = 0, y por lo tanto vp (f ) = vp (c) = cvp (1) = 0

(2.30)

El siguiente teorema constituye el resultado central de esta sección. Teorema 2-4 Sea (U ; ' ) una vecindad coordenada de un punto p 2 M , entonces los vectores coordenados @i jp i = 1; 2; :::; n conforman una base para el espacio tangente Tp M . Así, Tp M es un espacio vectorial real de la misma dimensión que la variedad. Para probar este resultado veamos primero el concepto de funciones coordenadas. Las funciones i

:

Rn x

! 7 !

R xi

(2.31)

para i = 1; 2; :::; n que a un punto de Rn le asocia su i-ésima coordenada se llaman funciones proyección o funciones coordenadas, las cuales son suaves. Entonces, dada una carta (U ; ' ) de una variedad M, de…nimos las funciones coordenadas por xi :

M ! p 7 !

R xi (p)

(2.32)

las cuales asocian a cada punto p de la variedad la coordenada i-ésima bajo la carta (U ; ' ). Las funciones coordenadas pertenecen al espacio

34


de las funciones reales de…nidas sobre la variedad, i.e., xi 2 F(M; R). Con esta de…nición podemos probar que los vectores tangente @i jp i = 1; 2; :::; n son linealmente independientes, pues @i xj jp =

@(xj ) @xj (' (p)) = = @xi @xi

j i

(2.33)

y por lo tanto cualquier combinación lineal nula de los vectores @i jp n X i=1

i

@i jp = 0

(2.34)

al aplicarla a las funciones coordenadas implica que i = 0; 8i = 1; 2; :::; n. Falta entonces probar que cualquier vector vp 2 Tp M se puede escribir como una combinación lineal de los vectores coordenados @i jp i = 1; 2; :::; n, esto es vp =

n X i=1

vpi (xi ) @i jp

vpi

@ @xi

(2.35) p

donde en la última igualdad hemos utilizado la convención de suma de Einstein, es decir, toda expresión con dos índices iguales, uno como superíndice y otro como subíndice, implica una suma sobre los valores que toma el índice. Las cantidades reales vpi (xi )

vpi

son las componentes del vector tangente en la base coordenada. Para probar esto último haremos uso del siguiente resultado del cálculo. Si F : Rn ! R es una función suave en el punto a, entonces existen n funciones suaves Hk tales que para todo x 2 Rn se tiene que F (x) = F (a) +

n X k=1

(xk

ak )Hk (x)

(2.36)


35

con Hk (a) =

@F @xk

(2.37) x=a

Sea f 2 F(M; R); entonces, aplicando este resultado a la función f = f ' con a = ' (p), tenemos que para todo q 2 U f (q) = f (p) +

n X

(xk

' (q)

xk

' (p))Hk (' (q))

(2.38)

k=1

Sea vp 2 Tp M; entonces, aplicando el vector tangente vp a la función f -usando el último resultado-, la linealidad, la propiedad leibnitziana y la propiedad ii del Lema 5.3, obtenemos vp (f ) = vp (f (p)) +

n X k=1

[ f(xk

' (q)

xk

+ Hk ' jp vp (xk ' (q) xk n X = [Hk ' (p)]vp (xk ' )

' (p))g

q=p

vp (Hk

' )

' (p))] (2.39)

k=1

de la ecuación (2.37) Hk ' es justamente @i f jp y por lo tanto para toda función f 2 F(M; R) tenemos que vp (f ) = vpi

@f @xi

(2.40) p

como se quería probar. Los coe…cientes de la expansión vpi son los valores de la función vp aplicada a las funciones coordenadas xi . Otra forma equivalente de introducir los vectores tangente es a través del concepto de derivada direccional. Para este …n de…namos primero el concepto de curva sobre una variedad.

36


De…nición 2-10 Sea M una variedad suave. Una curva suave sobre la variedad es una función :

I

R t

! 7 !

M (t)

(2.41)

donde I es un intervalo de los reales que contiene al cero y (0) = p, y si (U ; ' ) es una vecindad coordenada del punto p, entonces la curva :

I

R t

! 7 !

Rn (t) = '

(t)

(2.42)

sobre Rn es suave. Sea un vector tangente vp 2 Tp M con componentes vpi = vp (xi ) en la base coordenada (U ; ' ), i.e., vp = vpi @i

(2.43)

p

por la curva en Rn de…nida como

y de…namos una curva

xi ( (t)) = xi (p) + tvpi

(2.44)

entonces esta curva pasa por el punto p 2 M (i.e., pasa por el punto xi (p) = ' (p) 2 Rn ) para t = 0, y en este punto las componentes del vector tangente son dxi vpi = (2.45) dt t=0 así, sobre la variedad M la curva pasa por p y tiene vector tangente vp 2 Tp M. Sea f 2 F(M; R) una función de valor real sobre la variedad, entonces vp (f ) = vpi @i f jp = =

dxi ( (t)) dt

dxi dt

t=o

t=o

@f @xi

@f @xi = p

(2.46) p

@f @t


37

es decir, (@=@t) 2 Tp M y representa la derivada direccional de la función f a lo largo de la curva . De las ecuaciones diferenciales ordinarias se sigue que, dado un vector tangente vp 2 Tp M, existe una única curva que pasa por el punto p 2 M y cuyo vector tangente en el punto p es vp . Así se puede visualizar un vector tangente vp 2 Tp M como una "‡echa" en el punto p apuntando en la dirección de una curva (t) con vector tangente vp en el punto p = (0). En particular, dada una base coordenada para el espacio tangente @i jp , las correspondientes curvas son las curvas coordenadas (ver Figura 2.4). Sea fE g =1;2;:::;n una base para el espacio tangente Tp M, entonces cualquier vector v 2 Tp M (en lo sucesivo escribiremos en negrilla los vectores) se puede escribir como (2.47)

v=v E

donde v son las componentes del vector en la base fE g. En particular, si uno escoge los vectores base coordenados @i jp , entonces las componentes v i = v(xi ) son las derivadas de las funciones coordenadas xi en la dirección del vector v. De…namos, ahora, el espacio vectorial dual de Tp M. De…nición 2-11 Sea M una variedad suave y Tp M el espacio tangente en un punto p. Una 1-forma ! (vector covariante cuyo nombre se justi…cará más adelante) en el punto p es una función lineal de valor real sobre Tp M , i.e., !:

Tp M ! v 7 !

R !(v)

h!; vi

tal que: i. h!; x + zi = h!; xi + h!; zi ; 8x; z 2 Tp M ii. h!; xi = h!; xi ; 8x 2 Tp M y 8 2 R.

(2.48)

38


Esto signi…ca que las 1-formas sobre Tp M pertenecen al conjunto de L(V,R), es decir al conjunto de las transformaciones lineales de Tp M sobre los reales, y por tanto las 1-formas ! pertenecen al espacio vectorial dual Tp M del espacio tangente. Así, dada una base fE g;

= 1; 2; :::; n

del espacio Tp M, existe una única base (dual) fE g;

= 1; 2; :::; n

del espacio Tp M, el cual llamaremos espacio cotangente, de…nida por: E ;E

(2.49)

=

Así, si ! 2Tp M es una 1-forma y x 2Tp M es un vector, entonces !=! E

(2.50)

x=x E

(2.51)

y por lo tanto, aplicando linealidad y la relación 2.49, tenemos h!; xi =

! E ;x E

= ! x

(2.52)

E ;E

= ! x = ! x De…nición 2-12 Cada función f 2 F (M ) de…ne una 1-forma df en p dada por: < df ; X >= Xf ; 8X 2 Tp M

2.3. TENSORES

39

La 1-forma df la denominaremos diferencial de f en p. Si (p) = (x1 ; x2 ; :::; xn ) son las coordenadas locales, entonces las diferenciales fdx1 ; dx2 ; :::; dxn g en p forman la base de 1-formas dual a la base coordenada f

@ @x1

; p

@ @x2

; :::; p

@ g @xn p

de Tp M; pues se cumple que: < dxi ;

@ >= @xj

i j

(2.53)

En términos de esta base fdxi g de Tp M la diferencial de una función f 2 F(M) se puede escribir de la siguiente forma: @f i dx (2.54) @xi Observación: si df 6= 0, entonces las super…cies f = cte son variedades de dimensión n-1. El subespacio de Tp M, consistente en todos los vectores X tales que < df ; X >=0 (2.55) df =

está formado por todos los vectores tangentes a las curvas que están en la super…cie f = cte en el punto p. Así df se puede pensar como perpendicular o normal a la super…cie f = cte en p:

2.3.

Tensores

De…nición 2-13 De…nimos el producto cartesiano ente forma:

s r

de la sigui-

40


s r

:= Tp |

Tp

Tp {z

Tp }

r veces

T |p

Tp

Tp {z

Tp }

s veces

(2.56)

Donde intervienen r factores Tp y s factores Tp ; es decir: s r

1

= f(

r

; :::;

; Y1 ; :::; Ys ) j

i

2 Tp ; Yj 2 Tp g

(2.57)

De…nición 2-14 Un tensor T del tipo (r; s) en p 2 M es una funcional multilineal sobre sr ; es decir: T: (

1

r

; :::;

s r

!R

; Y1 ; :::; Ys ) ! T(

1

; :::;

r

; Y1 ; :::; Ys )

lineal en cada componente. El espacio de todos los tensores se llama producto tensorial Tsr : Tsr := Tp Tsr = ff :

Tp s r

Tp

Tp

Tp

Tp

(2.58)

! R j f es lineal en todas sus componentesg

Donde intervienen r factores Tp y s factores Tp . Tenemos que en particular T01 = Tp y T10 = Tp : De…nición 2-15 Sean T y T 0 2 Tsr (p) dos tensores del mismo tipo y de…nimos la suma por: (T + T0 )(

1

; :::;

r

; Y1 ; :::; Ys ) = T( 1 ; :::; r ; Y1 ; :::; Ys ) (2.59) +T0 ( 1 ; :::; r ; Y1 ; :::; Ys )

y el producto por un escalar ( T)(

1

; :::;

r

2 R como:

; Y1 ; :::; Ys ) := T(

1

; :::;

r

; Y1 ; :::; Ys )

(2.60)

2.3. TENSORES

41

Con estas reglas Tsr (p) forma un espacio vectorial real de dimensión r + s. Sean Xi 2 Tp (i = 1; :::; r) y ! j 2 Tp (j = 1; :::; s) Denotemos por X1

X2

!1

Xr

!s

!2

al elemento de Tsr (p), el cual transforma al elemento 1

(

; :::;

r

; Y1 ; :::; Ys ) 2

r s

en el número Xr ! 1 ! 2 ! s )( 1 ; :::; r ; Y1 ; :::; Ys ) < r ; Xr >< ! 1 ; Y1 > < ! s ; Ys > (2.61)

(X1 X1 : =< 1 ; X1 >

De forma similar, si R 2 Tsr (p) y S 2 Tqp (p); entonces denotaremos r+p por R S al elemento de Ts+q (p), el cual transforma al elemento 1 s+q ( ; :::; ; Y1 ; :::; Yr+p ) en el número real (R

S)(

: = R(

1

1

; :::;

; :::;

r

r+p

(2.62)

; Y1 ; :::; Ys+q )

; Y1 ; :::; Ys )S(

r+1

; :::;

r+p

; Ys+1 ; :::; Ys+q )

Con este producto el espacio de los tensores en p forma un álgebra sobre R. Lema 2-5 Sean fE g y fE g bases duales de Tp y Tp respectivamente. Entonces fE

1

E

2

E

r

E

1

E

2

E sg

(2.63)

42 con

CAPÍTULO 2. VARIEDADES = 1; 2; :::n es una base de Tsr (p). De esta forma, dado T 2 Tsr (p) escribimos: i;

i

T=T

r

1 1

s

E

1

E

E

2

E

r

E

1

E

2

s

(2.64)

Donde T 1 r1 2 s son las componentes de T en esta base. Usualmente T se llama un tensor r veces contravariante y s veces covariante, y las componentes están dadas por: T

r

1

1

(2.65)

= T(E 1 ; :::; E r ; E 1 ; :::; E s )

s

El álgebra del espacio vectorial Tsr (p) se puede escribir en términos de las componentes de los tensores en una base dada de la siguiente forma: (T + S) ( T)

1

r s

1

1 r 1

s

y el álgebra del producto (T

1

r 1

s

+S

1

r 1

s

(2.66)

r

1

1

s

como:

r+p

1

S)

= T 1 = T

s+q

=T

1

r 1

s

S

r+p

r+1

s+1

s+q

(2.67)

Si fE0 g y fE0 g son otro par de bases duales de Tp y Tp ; ellas pueden ser expandidas en términos de las bases fE g y fE g en la forma: E E

0 0

= =

0 0

(2.68) (2.69)

E E

0

Donde 0 y son matrices n n no singulares. Puesto que las bases fE0 g y fE0 g son duales, entonces: 0

0

0

= < E ; E 0 >=< = =

0 0

0 0

0

E ;

< E ; E >=

0 0

E > 0

(2.70)

2.3. TENSORES

43

0

son matrices mutuamente inversas. Es decir 0 y Las componentes de un tensor T 2 Tsr (p) con respecto a las bases fE0 g y fE0 g son: 0 1

T

0 r 0 1

0

0

(2.71)

= T(E 1 ; :::; E r ; E 01 ; :::; E 0s )

0 s

y están relacionadas con las componentes de T en las bases duales fE g y f E g por: T

0 1

0 r 0 1

0 1

=

0 s

0 r

0 1

r

1

1

T

s

0 s

r

1

1

(2.72)

s

De…nición 2-16 La contracción de un tensor T del tipo (r; s) con componentes T 1 r1 s con respecto a las bases duales fE g y fE g sobre el primer índice contravariante y el primer índice covariante es de…nida como el tensor C11 (T ) del tipo (r 1; s 1) cuyas componentes en las bases dadas son T 1 r1 2 s , es decir: C11 (T) := T

r 1 2

1

s

E

E

2

E

r

E

2

(2.73)

s

Veamos que esta operación de contracción es independiente de las bases usadas. Sean fE0 g y fE0 g otras bases duales, entonces: C01 1 (T)

:

0 1

=T

=

0 2

2

0 2

0 2

2

0 2 2

2

r r

0 r

E s

E

E s s

r 2

r

0 2

r 0 1 2

0 2 2

2

0 s

E 0 1 2

s

0 s

E

r

T s

0 1 2

E

2

r 0 1 2

s

s

r 0 1 2

s

E

2

E

s

0 s

E

E

2

2

T

E

0 1 2

E

0 2

E

0 r

T s

r

2 2

s 0 s

r

E

r 0 1 2

0 s

0 r

2

2 0 1 2

2

r

2

2

E

0 2

0 2

0 r

E = T

E

r

2

E =

0 s 0 r

0 2

=

0 r 0 1

r

E

s

2

E

s

= C11 (T )

s

44


De modo similar, se de…ne la contracción sobre cualquier par de índices n y m, es decir Cnm (T ): De…nición 2-17 La parte simétrica de un tensor T del tipo (2; 0) es el tensor S(T ) 2 T02 (p) de…nido por: 1 fT( 2!

S(T)( 1;

2)

+ T(

1;

2)

1 )g; 8 1 ;

2;

Si denotamos las componentes de S(T)

2

:

(2.74)

=

2 Tp

por T , entonces:

T ( ) = S(T)(E ; E ) 1 fT(E ; E ) + T(E ; E )g = 2! 1 = T +T 2!

S(T)

(2.75)

En general, se pueden de…nir las componentes simétricas de un tensor T 2Tsr (p) sobre cualquier número de índices covariantes o contravariantes, de la siguiente manera: T

r

1

(

1

s)

:=

1 X T s! (

1

1

r 1

(2.76)

s

s)

donde la suma es sobre todas las permutaciones de los índices por ejemplo: T

(

)

=

1 T 3!

+T

+T

+T

+T

1

s,

+T

(2.77) Un tensor se llama simétrico con respecto a ciertos índices si él coincide con su correspondiente parte simétrica, por ejemplo: T

= T(

)

() T

=T

(2.78)

2.3. TENSORES

45

De…nición 2-18 Así como se de…ne la parte simétrica, de…nimos la parte antisimétrica A(T ) de un tensor T 2 T02 (p) por: T[

A(T)

]

:=

1 T 2!

(2.79)

T

y más generalmente de cualquier tensor T 2 Tsr (p) como: T

[

1

r] 1

s

:=

1 X ( 1)p T r! (

1

1

r 1

(2.80)

s

r)

donde p es el orden de la permutación. Por ejemplo: T[

]

=

1 fT 3!

T

+T

T

+T

T

g

(2.81)

Un tensor se llama antisimétrico en ciertos índices, si éste es igual a su parte antisimétrica. Si T = T [ ] es antisimétrico, entonces ( ) 2 T = 0: Además, dado T 2 T0 (p); se cumple siempre que: T

= T(

)

+ T[

]

(2.82)

Un subconjunto particularmente importante de tensores son los del tipo (0; q), los cuales son antisimétricos en todas sus q posiciones: Aq (p) Tq0 (p): Claramente q n; con n la dimensión de la variedad, pues si q > n entonces por lo menos dos índices serían iguales y la expresión se anula. El conjunto Aq (p) se llama espacio de las q-formas sobre M en p. Si A y B son dos p- y q- formas respectivamente, podemos de…nir la (p + q)-forma A ^ B; donde ^ es el producto tensorial antisimetrizado, A ^ B :=A(A

B)

(2.83)

es decir, A ^ B es el tensor de tipo (0; p + q) cuyas componentes están dadas por:

46


(A ^ B)

p 1

1

q

:= A[

p

1

B

1

q]

(2.84)

Por ejemplo, dados A; B 2 A1 (p); entonces: (A ^ B)

= A[ B ] 1 = fA B 2!

(2.85) A B g

Por otro lado: (B ^ A)

= B[ A ] 1 = fB A B A g 2! = ( 1)1 1 (A ^ B)

(2.86)

En general: (A ^ B) = ( 1)p q (B ^ A)

(2.87)

donde A es una p-forma y B es una q-forma. Si consideramos los escalares como 0-formas, el producto ^, llamado producto exterior, de…ne un álgebra sobre el espacio de las formas, n

(p) = [ A(p)

(2.88)

p=0

llamada álgebra de Grassmann de las formas. Además, si fE g es una base de las 1-formas, entonces E 1^

Ê

(2.89)

p

es una base de las p-formas, es decir, si A es una p-forma, entonces podemos expresar A como A=A

1 ::: p

E 1^

Ê

p

(2.90)

2.4. TRANSFORMACIONES ENTRE VARIEDADES

47

donde A 1 ::: p = A [ 1 ::: p ] De…nición 2-19 Un C k -campo tensorial T del tipo (r; s) sobre un subconjunto U M es una función que asigna un elemento de r Ts (p) para cada p 2 U; tal que las componentes de T con respecto a alguna base coordenada de…nida sobre algún subconjunto abierto de U son funciones de clase C k : Denotaremos, como caso particular, por (M) al campo vectorial del tipo T01 (p).

2.4.

Transformaciones entre variedades

De…nición 2-20 Sean M y N variedades m y n dimensionales. Una función :M !N se llama de clase C k si dados sistemas de coordenadas ( ; U ) y (' ; V ) en M y N respectivamente, las coordenadas de (p) son funciones de clase C k de las coordenadas de p: '

1

:

(U ) Rm ! Rn (p) 7 ! ' ( (p))

(2.91)

1 Notemos que si m > n, entonces la función ' no es uno a uno. Así, en general, esta función no tiene inversa, y en caso de que ésta existiera, no será de clase Cr . Por ejemplo, sean M = N = R 1 y sea (x) = x3 , entonces (x) 2 C 1 , y sin embargo (x) no es diferenciable en x = 0. De…nición 2-21 Sea f 2 F (N ) y : M ! N . Entonces la función induce una función ~

~ : F(N ) ! F(M) ~f f 7 !

(2.92)

48


de…nida por: ~ f (p) := f ( (p)). De esta manera, transforma puntos de M en N y ~ convierte funciones de F(N ) en funciones de F(M) linealmente, pues: ~ ( f + g)(p) = ( f + g) (p) = f ( (p)) + g( (p)) ~ f (p) + ~ g(p) =

(2.93)

Si (t) es una curva sobre M que pasa por p 2 M; entonces la imagen ( (t)) sobre N es una curva que pasa por (p). De…nición 2-22 Dada : M ! N , de…namos la transformación : Tp M ! T X !

(p) N

X

de la siguiente manera: para cada f 2 F (N ) de…nida en el punto en (p) y cada X 2 Tp M de…nimos X 2 T (p) N así: X(f ) j

(p) :=

X( ~ f ) jp = X(f

) jp

(2.94)

es lineal, pues: ( X + Y)(f )

j

= = Así, si @ ( @t )

@ @t

p

= ( X + Y)( ~ f ) jp X( ~ f ) jp +Y( ~ f ) jp

(2.95)

(p)

X(f ) j

(p)

+ Y(f ) j

es el vector tangente a la curva

(p)

en p 2 M, entonces

es el vector tangente a la curva en (p) 2 N : recibe el nombre de diferencial de en p y en algunos textos se nota como d : De…nición 2-23 Dada : M ! N y usando la de…nición de , de…nimos la función : (p)

:T

(p) N

! Tp M


49

De tal manera que la contracción de un vector y una 1-forma sea preservada bajo transformaciones. Es decir, dado Y 2 T (p) N; entonces de…nimos Y 2 Tp M de manera que: <

Y; X >jp =< Y;

X >j

(2.96)

(p)

Ahora, si consideramos las funciones F(M) como cero formas, identi…caremos ~ : Teorema 2-6 Una consecuencia de la de…nición de es que: (2.97)

(df ) = d( f ) Demostración: Sean X 2Tp M y f 2 F(N ); entonces: < =

(df ); X >jp =< df; X >j Xf j (p) = X( ~ f ) jp

(p)

(2.98)

X( f ) jp =< d( f ); X >jp

Como esto vale para todo X 2 Tp M se sigue que: (2.99)

(df ) = d( f )

La transformación puede ser extendida naturalmente a tensores contravariantes de M a N por las reglas: : T0r (p) ! T0r ( (p)) T !

(2.100)

T

de…nida por: T(

1

:::

r

) := T(

1

:::

r

) jp ; 8

i

2T

(p) N

(2.101)

50


De la misma manera así:

se generaliza a tensores covariantes de N a M : Ts0 ( (p)) ! Ts0 (p) T !

(2.102)

T

de…nida por: T(X1 :::Xs ) jp = T( X1 ::: Xs ) j

(p)

(2.103)

De…nición 2-24 La transformación : M ! N se dice de rango s en p si la dimensión de (Tp M ) es s. Así, si en p; s = m, entonces se llama inyectiva y en este caso se debe cumplir que m n: Si en p; s = n, se llama sobreyectiva y se tiene que m n: De…nición 2-25 Una C r transformación : M ! N se llama inmersión si 8p 2 M , existe una vecindad U alrededor de p, tal que: 1

: (U)

N

!M

(2.104)

es de clase C r : Por lo tanto, si es una inmersión de M en N , entonces m n. Además, por el teorema de la función implícita es una inmersión si y sólo si es inyectiva en todo punto p 2 M ; por lo tanto, : Tp M ! (Tp M)

T

(p) N

(2.105)

es un isomor…smo. La imagen (M) es una subvariedad inmersa en N. Por ejemplo, toda curva : I R ! M es una inmersión si dxi ( (t)) 6= 0 dt

(2.106)

Así una subvariedad inmersa en N puede interceptarse a sí misma. Esto signi…ca que : M ! N no necesariamente es una función 1-1


51

de M sobre N , aunque si es uno a uno cuando se restringe a una vencidad su…cientemente pequeña de M. De…nición 2-26 Una inmersión : M ! N se llama inclusión si : M ! (M ) N es un homeomor…smo. De esta manera una inclusión es una inmersión que además es uno a uno. Pero no toda inmersión uno a uno es una inclusión. De…nición 2-27 Una transformación : M ! N se llama un 1 r r C -difeomor…smo si es una C -transformación, uno a uno, y : r N ! M es una C -transformación. En este caso m = n y es inyectiva y sobreyectiva. Por el teorema de la función implícita se ve que si es biyectiva en p, entonces es un difeomor…smo en una vecindad U de p. Si : M ! N es un difeomor…smo, entonces : Tp M ! T

(p) N

(2.107)

y (

1

) : Tp M ! T

(p) N

(2.108)

son isomor…smos, y así podemos de…nir una transformación : : Tsr (p) ! Tsr ( (p))

(2.109)

por: T(

1

:::

s

; X1 :::Xr ) j p =: T(( 1 ) 1 :::( 8 i 2 Tp M y Xi 2 Tp M

1

)

s

;

X1 ::: Xr ) (2.110)

Esta transformación envía tensores del tipo (r; s) sobre M a tensores del tipo (r; s) sobre N y preserva las relaciones de simetría y el álgebra tensorial. Por ejemplo c( T) = (cT).

52


Capítulo 3 Cálculo en variedades En este capítulo veremos tres operaciones de derivadas, las cuales juegan un papel fundamental para el cálculo diferencial sobre variedades.

3.1.

Derivada exterior

De…nición 3-1 El operador diferenciación exterior d es un operador lineal d : r ! r+1 (3.1) de…nido por la forma en que actúa sobre una 0-forma f 2F (M ) < df; X >:= Xf ; 8X 2 Tp M y actuando sobre un campo de r-formas A = A el campo de (r+1)-formas dA := dA

1

r

^dx 1 ^ 53

1

^ dx

(3.2) r

r

dx

1

^

dx

r

da

(3.3)

54

CAPÍTULO 3. CÁLCULO EN VARIEDADES

Veamos que esta de…nición de dA es independiente de la base escogida. Consideremos otra base fx0 g: A = A0 1 donde las componentes A0 1 A0 1

r

=

r

r

dx0 1 ^

dx0

(3.4)

r

están dadas por:

@x @x0

1 1

@x r A @x0 r

1

(3.5)

r

Así, dA en la coordenada primada está dada por: dA = dA0 1 r ^dx0 1 ^ dx0 r @x r @x 1 A 1 r ) ^ dx0 1 ^ ^ dx0 r = d( 0 1 0 r @x @x @x r @x 1 dA 1 r ^dx0 1 ^ ^dx0 r = @x0 1 @x0 r @ 2 x 1 @x 2 @x r dx0 1 ^dx0 1 ^ A ^dx0 r + 0 @x 1 @x0 1 @x0 2 @x0 r 1 r @x 1 @2x r + 0 1 A 1 r dx0 1 ^dx0 1 ^ ^dx0 r (3.6) 0 0 r 1 @x @x @x Analicemos ahora un término que contenga segundas derivadas: @2x r dx0 1 ^dx0 @x0 1 @x0 1 @2x r @x0 1 @x0

es simétrico en simétrico, por lo tanto: 1

1

y

1;

mientras que dx0 1 ^dx0

@2x r dx0 1 ^dx0 @x0 1 @x0 r

1

(3.7)

1

=0

1

es anti-

(3.8)

3.1. DERIVADA EXTERIOR

55

Entonces: @x @x0 @x = @x0 @x = @x0 1 = 1 = dA

dA =

@x r ^ dx0 r dA 1 r ^dx0 1 ^ 0 r 1 @x 1 @x0 1 @x0 r @x r 1 dA ^ ^ ^ dx r dx r 1 1 @x0 r @x 1 @x r 1 @x0 1 @x r @x0 r dA 1 r ^dx 1 ^ ^ dx r 1 @x 1 @x0 r @x r r dA 1 r ^dx 1 ^ ^ dx r r 1 ^ ^ dx r (3.9) r ^dx 1 1

Nótese que esta de…nición no sería independiente de las coordenadas si en vez de usar el producto exterior ^ se hiciera para el producto tensorial. De la de…nición se sigue que: d(A ^ B) = dA ^ B + ( 1)r A ^ dB; 8A 2

r ; 8B

2

s

(3.10)

Dada una 0-forma f , tenemos que en una base coordenada: df =

@f dxi @xi

(3.11)

entonces: d(df ) =

@2f dxj ^dxi j @xi | {z } @x | {z }

(3.12)

antisimetrico

simetrico

Teorema 3-1 Para toda p-forma:

d(dA) = 0 La demostración se deja como problema.

(3.13)

56

3.2.


Derivada de Lie

Lema 3-2 Dado un campo vectorial X sobre M , existe una única curva maximal (t) sobre M que pasa a través de cada p 2 M tal que (0) = p y cuyo vector tangente en el punto (t) es el vector Xj (t) . Demostración: Si fxi g son coordenadas locales, tal que la curva (t) tiene coordenadas xi (t), y el vector X tiene componentes X i en esta base, entonces la curva es solución del sistema de ecuaciones diferenciales: dxi = X i (x1 (t) dt

xn (t))

(3.14)

Cuya solución está garantizada por el teorema general de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales ordinarias. De…nición 3-2 El ‡ujo de un campo vectorial X sobre M es una transformación: :M R !M (p; t) ! (p; t) :=

p (t)

donde p (t) es la curva integral maximal del campo X que en t = 0 pasa por p 2 M . Si en (p; t); p es mantenido …jo, entonces (p; t) es justamente la curva integral p (t): Por otro lado, si mantenemos t = cte, (p; t) de…ne un difeomor…smo: t

:M !M

p !

t (p)

el cual envía un punto p de la variedad al punto t (p); que está localizado a una distancia paramétrica t sobre la curva integral p (t). Lema 3-3 t es un grupo local uniparamétrico de difeomor…smos, es decir t satisface:

3.2. DERIVADA DE LIE i.

0

es la identidad:

57 0

= id : M ! M

0

= id : M ! M

(3.15)

ii. La ley de composición: t

s

=

t+s

(3.16)

t

(3.17)

iii. Existe un inverso: 1 t

=

De la de…nición de un C r -difeomor…smo se sigue que si difeomor…smo, entonces:

t

es un

( t ) : Tsr (p) ! Tsr ( t (p)) T ! ( t ) T jp Esta última relación permite de…nir la derivada de Lie de un tensor a lo largo de un campo vectorial: De…nición 3-3 La derivada de Lie, LX T; de un campo tensorial T con respecto al campo vectorial X es de…nida por: n o (3.18) LX T jp := l m T jp ( t ) T jp t!0

Lema 3-4 Dados T1 ; T2 2 Tsr (M ); X; Y campos vectoriales sobre M y f 2 F (M ), la derivada de Lie cumple las siguientes propiedades: 1. LX es R-lineal: LX (T1 + T2 ) = LX T1 + LX T2 2. LX es una derivación, es decir, satisface la regla de Leibniz: LX (T1

T2 ) = LX (T1 )

T2 + T1

(LX T2 )

58

CAPÍTULO 3. CÁLCULO EN VARIEDADES 3. 4. 5. 6.

LX (Tsr (M )) Tsr (M ) LX conmuta con la operación de contracción. LX f = Xf =< df; X > De…niendo el conmutador de dos campos vectoriales por [X; Y](f ) := X(Yf )

Y(Xf )

entonces el conmutador [X; Y ] satisface la identidad de Jacobi: [[X; Y]; Z] + [[Y; Z]; X] + [[Z; X]; Y] = 0 Esta operación de conmutación forma la llamada álgebra de Lie del espacio @(M ) 7. Es fácil comprobar esta álgebra si trabajamos en una base coordenada fxi g, donde X=X i @i y Y =Y i @i ; entonces: [X; Y]f = (X i

@Y j @xi

Yi

@X j @f ) @xi @xj

(3.19)

Así, el vector [X; Y ] tiene como componentes en la base coordenada fxi g: @X j @ @Y j Yi i ) j (3.20) [X; Y] = (X i i @x @x @x entonces: LX Y = [X; Y] (3.21) 8. LX+

YT

(3.22)

=LX T + LY T

9. L[X;Y] = [LX ; LY ] = LX LY

LY

LX

10. Las siguientes tres proposiciones son equivalentes: i. [X; Y ] = 0 ii. LX LY = LY LX

(3.23)

3.2. DERIVADA DE LIE

59

iii. Si s y t son los difeomor…smos generados por los campos X y Y respectivamente, entonces: s

=

t

t

(3.24)

s

11. Dado T 2 Tsr (M ) y una base coordenada fxi g, entonces: (LX T)

1

r

1

s

=

@T

1

r

1

s

@xi T +

T

Ti

Xi

r 1i

1

s

1

r s

1

@X 1 s @xi

r

@X r + T i 12 i @x @X i 1 i @x s

1

1

2

r

@X i s @x 1 (3.25)

Para una prueba de estas propiedades, véase por ejemplo el libro de Foundations of Di¤erential Geometry; S. Kobayashi y K. Nomizu. Interscience Publishers. John Wiley & Sons, New York. Veamos la interpretación geométrica de LX T: De la propiedad 10 se sigue que si la derivada de Lie de dos campos vectoriales se anula o, equivalentemente, los campos conmutan, entonces si un vector v 2 Tp M se desplaza una distancia paramétrica t a lo largo de la curva integral de X y luego una distancia s a lo largo de la curva integral del campo Y, se llega a un punto q, el cual también se obtiene si primero se desplaza s a lo largo de la curva integral de Y y luego una distancia t a lo largo de X. La derivada de Lie de un campo tensorial LX T depende no solamente de la dirección del campo vectorial X en p, sino también de la dirección de X en puntos vecinos, y en este sentido es un objeto no local; por lo tanto, la generalización del concepto de derivada sobre Rn no es adecuada para escribir las ecuaciones de campo para la física.

60


3.3.

Conexión y derivada covariante

La generalización adecuada de derivada parcial sobre una variedad es la derivada covariante, la cual para de…nirse requiere una estructura adicional de…nida sobre la variedad llamada conexión. De…nición 3-4 Una conexión r en un punto p 2 M es una función que asigna a cada campo vectorial X en p un operador diferencial rX de…nido por rX :

(M) ! (M) Y 7 ! rX Y

tal que: c-1. rX Y es un tensor en el argumento X, i.e.: rf X+gY Z = f rX Z + grY Z 8f; g 2 F(M);

(3.26)

8X; Y; Z 2 (M)

esto quiere decir que el operador rX (derivada) en p depende solamente de la dirección de X en el punto p. c-2. rX Y es lineal en Y , es decir, rX ( Y + Z) = rX Y + rX Z 8 2 R;

(3.27)

8X; Y; Z 2 (M)

c-3. rX f Y = X(f )Y + f rX Y 8f 2 F(M);

(3.28)

8X; Y 2 (M)

Entonces decimos que rX Y es la derivada covariante del campo vectorial Y con respecto a la conexión r en la dirección del vector X en el punto p.

3.3. CONEXIÓN Y DERIVADA COVARIANTE

61

De la propiedad c-1, rY es un campo tensorial del tipo (1; 1), la derivada covariante de Y, el cual cuando se contrae con el campo vectorial X produce el vector rX Y; así, la propiedad c-3 se puede escribir como r(f Y) = df Y + f rY (3.29) Dadas las bases duales fE g y fE g en alguna vecindad U M, denotaremos a las componentes de rY en estas bases como Y; , así: rY = Y; E

(3.30)

E

Si n es la dimensión de la variedad, la conexión está determinada por las n3 funciones sobre U M: (3.31)

= E ; rE E o equivalentemente rE =

E

(3.32)

E

Así, para un campo vectorial Y su derivada covariante está dada por: rY = r(Y E ) = dY E +Y

E

(3.33)

E

Si tomamos una base dual coordenada f@ g y fdx g, las componentes de rY están dadas por: Y; =

@Y + @x

(3.34)

Y 0

0

Bajo un cambio de base fE g,fE g ! fE g,fE g, la ley de transformación de las componentes de la conexión se pueden encontrar

62


con la ayuda de las propiedes c-1, c-2 y c-3 en la de…nición de conexión: E D 0 0 0 = E ; rE0 E D E = E ;r E E =

E ;

=

E ;

=

rE

E

E +

E

E ;E

=

E

=

E

=

E

E

+

hE ; E i +

rE E

E ; rE E

+

(3.35)

+

Si se utilizan bases coordenadas, f@ g,fdx g y f@ 0 g,fdx0 g, entonces = @x0 =@x y = @x =@x0 , y tenemos que la ley de transformación de las componentes de la conexión toma la forma: 0

=

@x0 @x @x @2x @x0 @x + @x @x0 @x0 @x0 @x @x0 @x0

(3.36)

Debido al primer término en la anterior ecuación las componentes de la conexión no se transforman como las componentes de un tensor. La derivada covariante puede ser extendida a tensores arbitrarios por las siguientes reglas: q i. Si T 2 Trq , entonces rT 2 Tr+1 ii. r es lineal y conmuta con las contracciones. iii. r es leibniziana, es decir, 8T; S campos tensoriales cualesquiera, se cumple que: r(T

S) = rT

S+T

rS

(3.37)

iv. 8f 2 F(M), entonces rf = df

(3.38)

3.4. TRANSPORTE PARALELO

63

Para encontrar las componentes de la derivada covariante de un tensor arbitrario, consideremos las bases duales fE g y fE g; entonces, teniendo en cuenta las propiedades ii y iii anteriores, se puede probar que (problema) rE E =

(3.39)

E

y de esta relación se obtienen las componentes en una base coordenada de la derivada covariante de un tensor: T

1 1

r s;

@T

=

s

@x r T 11 :::

3.4.

r

1 1

+

1

T

r

2 1

s

r 1 1

s

T s

1

r

1

s 1

T

+ ::: +

(3.40)

r

1 2

s

Transporte paralelo

Sea T un campo vectorial y una curva sobre la variedad M, entonces de…nimos DT = r@t T (3.41) @t como la derivada covariante del campo T a lo largo de la curva ; así, si X es el vector tangente a la curva (t), entonces DT

1

r 1

@t

s

=T

1

r 1

s;

X

(3.42)

Consideremos el caso particular de un campo vectorial Y y escojamos una base coordenada, donde la curva tiene coordenadas x (t) y X = dx =dt; entonces, DY @Y = + @t @t

Y

dx dt

(3.43)

64


De…nición 3-5 Un tensor T se dice transportado paralelamente a lo largo de la curva si DT =0 (3.44) @t Dada la curva (t) con puntos extremos p y q, se sigue de la teoría de las ecuaciones diferenciales que si la conexión r es por lo menos de clase C 1 , entonces se obtiene un único tensor en el punto q transportando paralelamente al tensor dado en el punto p a lo largo de la curva . Así el transporte paralelo a lo largo de la curva es una transformación lineal del espacio Tsr (p) a Tsr (q), la cual preserva el álgebra tensorial y la operación de contracción y así, en particular, si transportamos paralelamente una base de Tp al punto q obtenemos un isomor…smo entre Tp y Tq . Si la curva es cerrada, los puntos p y q pueden coincidir. El caso particular de transportar paralelamente el vector tangente a la curva a lo largo de ella misma nos conduce a la siguiente de…nición: De…nición 3-6 Sea X el vector tangente a la curva , entonces la curva es una geodésica si su vector tangente es transportado paralelamente a lo largo de la curva, i.e. D @t

@ @t

= rX X = 0

(3.45)

La condición que el vector tangente a la curva no cambie cuando se transporta paralelamente se puede remplazar por una condición más débil, pues lo que se exige es que el vector tangente permanezca paralelo a sí mismo cuando se transporta a lo largo de la curva, es decir, rX X = f X (3.46) con f una función arbitraria sobre la curva. Sin embargo, no es difícil probar que por una reparametrización de la curva siempre se puede encontrar un f = 0.


65

Consideremos una base coordenada f@=@x g y fdx g, entonces la ecuación de las geodésicas, teniendo en cuenta las ecuaciones 3.43 y 3.45, toma la forma d2 x + dt2

dx dx =0 dt dt

(3.47)

Dados el punto y la velocidad inicial de la curva geodésica (0) y _ (0), existe una única geodésica maximal (t) como una consecuencia de los teoremas de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales ordinarias; en otras palabras, dado el punto p 2 M y Xp 2 Tp M, existe una única curva maximal (t) tal que (0) = 0 (@=@t) j t=0 = Xp

(3.48)

y la cual depende continuamente de los valores iniciales. Este resultado nos permite de…nir una base coordenada especial, llamada coordenadas normales de Riemann, las cuales son de gran utilidad cuando se trabaja localmente, es decir, en una vecindad de un punto de la variedad. Para construir estas coordenadas es necesario de…nir la transformación exponencial: De…nición 3-7 De…nimos la transformación exponencial exp : Tp M ! M X 7 ! q = exp(X) por la relación exp(X) := (1)

(3.49)

donde (t) es la única geodésica que pasa por el punto p y tiene vector tangente X. Como se puede demostrar, la transformación exponencial siempre existe y es uno a uno en alguna vecindad del punto p. Puesto que Tp M

66


es un espacio vectorial real n-dimensional, éste es isomorfo a Rn , y lo podemos identi…car con él, y así usar la transformación exponencial para de…nir una carta coordenada en la vecindad del punto p 2 M, llamada coordenadas normales de Riemann. Asociándole el origen de Rn al punto p, estas coordenadas tienen la propiedad que las geodésicas a través del punto p son transformadas en líneas rectas que pasan a través del origen de Rn . De la ecuación de las geodésicas en coordenadas de Riemann (ver ecuación 3.47) se deduce que las componentes de la conexión se anulan, y es por esta razón que las coordenadas normales de Riemann tienen una especial utilidad para efectos de cálculo; además, como veremos más adelante, también tienen un signi…cado físico. De…nición 3-8 Dada una conexión r sobre la variedad M , de…nimos la torsión como una transformación T:

(M) (M) ! (M) (X; Y) 7 ! T (X; Y)

de…nida por T (X; Y) := rX Y

rY X

[X; Y]

(3.50)

Dos primeras propiedades que se pueden deducir de la de…nición de la torsión son: T (X; Y) = T (Y; X) (3.51) T (f X; gY) = f gT (X; Y) ; 8f; g 2 F(M)

(3.52)

rf X gY = f rX gY = f X(g)Y + f grX Y

(3.53)

Problema: demostrar estas propiedades. Ayuda:

[f X; gY] = Lf X gY = f X(g)Y + gLf X Y = f X(g)Y gLY f X

(3.54)


67

De…nición 3-9 De…namos el tensor torsión T 2 T21 por: T(!; X; Y) := h!; T(X; Y)i

(3.55)

A partir de esta de…nición, y tomando una base coordenada, veamos que las componentes del tensor torsión están dadas por: T

(3.56)

=

Para demostrar esta relación consideremos las bases duales coordenadas f@=@x g y fdx g. De la de…nición del tensor torsión tenemos h!; T(X; Y)i = h!; rX Y

[X; Y]i

rY X

(3.57)

entonces, de las expresiones para las derivadas covariante y de Lie de un tensor en componentes rX Y =

@Y X + @x

Y X

@ @x

(3.58)

rY X =

@X Y + @x

X Y

@ @x

(3.59)

[X; Y] = LX Y =

@Y X @x

Y

@X @x

@ @x

(3.60)

entonces rX Y

rY X

[X; Y] =

X Y

@ @x

(3.61)

a partir de la cual se llega a la ecuación 3.56. Si tomamos una base cualquiera fE g y fE g, el tensor torsión toma la forma T=

E

E

E

(3.62)

68


De…nición 3-10 Una conexión r se llama libre de torsión si T 0, o equivalentemente las componentes son simétricas en sus índices inferiores, i.e. si (3.63) = En lo sucesivo trabajaremos con conexiones libres de torsión, y por lo tanto en este caso se tiene la siguiente relación entre la derivada de Lie y la derivada covariante: LX Y = rX Y

(3.64)

rY X

que para el caso de un tensor cualquiera, en componentes coordenadas, toma la forma (problema): (LX T)

1

r

1

s

= T

r

1

s;

1

T

2 1

+T

X r 1 s 1 1

T

r

2 1

s

X; r + T r X; s s 1

X;

1 2

1 r s

X;

1

+ (3.65)

También podemos encontrar la relación entre la derivada covariante y la exterior: (dA) = ( 1)p A[ (3.66) ; ] o equivalentemente dA = A

;

dx ^dx ^dx ^

^dx

(3.67)

donde A es una p-forma. Problema: Demostrar esta relación por inducción. A pesar de estas relaciones entre las derivadas exterior y de Lie con la derivada covariante, las primeras son independientes de la conexión de…nida sobre la variedad.

3.5. TENSOR DE RIEMANN

3.5.

69

Tensor de Riemann

Volvamos al concepto de transporte paralelo a lo largo de una curva. Consideremos una curva cerrada y supongamos que partimos de un punto p y transportamos paralelamente al vector Xp a lo largo de la curva regresando al punto inicial. Entonces obtendremos el vector X0p que en general será diferente al vector inicial. Si consideramos ahora otra curva (t) cerrada que pase también por el punto p y transportamos de nuevo al vector Xp a lo largo de esta nueva curva, obtendremos un vector X00p , que, en general, será diferente a Xp y X0p . Esta no integrabilidad del transporte paralelo corresponde al hecho que, en general, las derivadas covariantes no conmutan. El tensor curvatura de Riemann nos da una “medida”de esta no conmutatividad. De…nición 3-11 De…namos la función curvatura por la relación: R:

(M)

(M) (X; Y; Z)

de…nida por R(X; Y; Z) := rX (rY Z)

(M)

! (M) 7 ! R(X; Y; Z)

rY (rX Z)

r[X;Y] Z

(3.68)

Problema: A partir de esta de…nición, mostrar que la función curvatura es lineal en las tres entradas X; Y y Z. De…nición 3-12 De…namos el tensor de Riemann R 2 T31 por la relación: R: (M) (M) (M) (M) ! R (!; X; Y; Z) 7 ! R(!; X; Y; Z) de…nido por

R(!; X; Y; Z) = h!; R(X; Y; Z)i

(3.69)

Problema: Eligiendo una base coordenada, mostrar que las componentes del tensor de Riemann están dadas por @ @ + (3.70) R = @x @x

70


Problema: A partir de la de…nición, mostrar que el tensor de Riemann tiene las siguientes propiedades de simetría: R R[

]

=

R

() R

= 0 () R

+R

(

)

(3.71)

=0

+R

=0

(3.72)

Además, la derivada covariante del tensor de Riemann satisface las identidades de Bianchi: R [ ; ]=0 (3.73) es decir R

;

+R

;

+R

;

=0

(3.74)

Una contracción del tensor de Riemann nos conduce a otro tensor, el cual juega un papel importante, no solo en la geometría, sino también en la física. De…nición 3-13 De…nimos el tensor de Ricci por: R

:= R

(3.75)

Nota: Se puede probar que el transporte paralelo de un vector cualquiera a lo largo de toda curva cerrada sobre la variedad es localmente integrable, es decir, si Xp = X0p para cada p 2 M, si y solamente si R = 0; 8p 2 M (3.76) en este caso se dice que la conexión es plana.

3.6.

Tensor métrico

De…nición 3-14 Un tensor métrico g en un punto p 2 M es un tensor simétrico del tipo T20 (p). Así, una métrica sobre M es un campo tensorial simétrico g.

3.6. TENSOR MÉTRICO

71

Ahora, dada una métrica podemos de…nir la función “norma” de un vector X 2 Tp M como j jg : Tp M ! R p X 7 ! jXjg := jg(X; X)j

(3.77)

A partir de esta de…nición podemos introducir el concepto de ángulo entre vectores por la relación (si no se presenta inconsistencia no escribiremos el subíndice g para referirse a la norma inducida por la métrica): g(X; Y) cos ] (X; Y) := (3.78) [jg(X; X)j jg(Y; Y)j]1=2 la cual es válida 8X; Y 2Tp M, con jXj = 6 0 y jYj = 6 0. Teniendo en cuenta esta de…nición llamaremos vectores ortogonales a aquellos que cumplan la condición g(X; Y) = 0. Dadas las bases duales fE g y fE g, el tensor métrico g en componentes toma la forma g = g E E g = g(E ; E )

(3.79) (3.80)

Las magnitudes de…nidas por la métrica en el espacio tangente están relacionadas con las magnitudes sobre la variedad por la siguiente de…nición: De…nición 3-15 La longitud del camino entre los puntos de la variedad p = (a) y q = (b) situados sobre la curva (t), con vector tangente @=@t, y tal que g(@=@t; @=@t) tiene el mismo signo sobre todos los puntos a lo largo de la curva (t), está de…nida por la integral Lab =

Z

a

b

jg(@=@t; @=@t)j1=2 dt

(3.81)

72


En una base coordenada la ecuación anterior toma la forma explícita Z b dx dx g Lab = dt (3.82) dt dt a

y por esta razón escribiremos, simbólicamente, la distancia a lo largo de una curva entre dos puntos in…nitesimalmente cercanos en la forma ds2 = g dx dx

(3.83)

De…nición 3-16 Una métrica g se llama no degenerada en un punto p de la variedad si no existe un vector no nulo X 2 Tp M tal que g(X; Y ) = 0 para todo vector Y 2 Tp M . En términos de componentes coordenadas de g, la métrica es no degenerada si det jg j = 6 0 (3.84) En estas condiciones podemos de…nir un tensor del tipo T02 tal que sus componentes g , en la base coordenada dada, están determinadas por la relación g g = (3.85)

es decir, la matriz g formada con las componentes del tensor es la inversa de la matriz (g ) formada con las componentes de g. Las componentes g se llaman componentes contravariantes del tensor métrico, y esta denominación queda justi…cada, pues la de…nición 3.85 implica que podemos establecer un isomor…smo entre las componentes covariantes y contravariantes de tensores de la siguiente forma: Lema 3-5 Sea g una métrica no degenerada en el punto p 2 Tp M , entonces la transformación Tp M ! Tp M 1 X 7 ! C1 (g X) de…ne un isomor…smo.


73

Si g y X son las componentes del tensor métrico g y del vector X, entonces las componentes de la 1-forma C11 (g X), que las denotaremos por X , están dadas por (3.86)

X =g X

y puesto que la métrica es no degenerada, utilizando la ecuación 3.85 podemos despejar las componentes del vector X en términos de las componentes de C11 (g X), pues g X

= g g X = X = X

(3.87)

Esta transformación y su inversa se conocen en la literatura como “subir” y “bajar” índices. Así, dada una métrica no degenerada podemos hablar de las componentes covariantes X y contravariantes X de un “vector” X, las cuales están relacionadas biunívocamente por las ecuaciones 3.86 y 3.87. Esta operación se puede extender para subir o bajar cualquier índice tensorial (o índices por aplicación sucesiva de la misma operación). Por ejemplo, consideremos un tensor de rango 3 del tipo T12 , con componentes T , entonces aplicando las ecuaciones 3.86 y 3.87 podemos obtener los siguientes tensores: T

=g T

T

=g T

T

= g g "T

"

(3.89)

T

= g "g T

"

(3.90)

T T

(3.88)

=g T

(3.91)

=g g g T

(3.92)

74

CAPÍTULO 3. CÁLCULO EN VARIEDADES T

(3.93)

=g g T

El isomor…smo inducido por el tensor métrico signi…ca que podemos considerar a todos los tensores de tercer rango, cuyas componentes están relacionadas por las ecuaciones anteriores, como diferentes representaciones del mismo objeto abstracto T. En lo sucesivo se asumirá esto para todos los tensores. Es de anotar que en este caso se hace necesario respetar el orden de los índices en las componentes de tensores tanto covariantes como contravariantes. Un caso de particular importancia lo constituye el tensor métrico g, donde las componentes covariantes g , contravariantes g y mixtas , relacionadas por la ecuación 3.85, constituyen diferentes representaciones del mismo objeto geométrico, el tensor g. De…nición 3-17 De…nimos la signatura del tensor métrico g por: sig:(g) = # de valores propios positivos menos # de valores propios negativos Si el campo tensorial g es no degenerado y continuo, entonces la signatura del tensor métrico g es constante sobre toda la variedad. Siempre es posible elegir una base adecuada fE g para el espacio tangente Tp M, de tal forma que las componentes covariantes del tensor métrico tomen los valores 1, i.e. g donde los elementos

(3.94)

= g(E ; E ) = están de…nidos por

= diag:(+1; +1; ; +1; 1; 1; {z } | {z | 1 1 (n + s) (n s) 2 2 donde s = sig:(g)

; 1) }


75

y n la dimensión de la variedad. Para el caso particular de sig:(g) = n la métrica es de…nida positiva, y en este único caso el tensor métrico de…ne una métrica en sentido estricto. Otro caso de importancia en física es la métrica con sig:(g) = 2 n, es decir g

= diag:(+1; 1; 1;

; 1)

(3.95)

la cual se conoce con el nombre de métrica lorentziana o minkowskiana. Para efectos de la física, esta métrica es equivalente a otra con signatura n 2, pues el único valor propio positivo, en el primer caso y negativo en el segundo, se interpreta como la coordenada temporal. En las presentes notas asumiremos la métrica con signatura 2 n, y de…niremos la estructura de conos de luz del espacio-tiempo de la siguiente forma: De…nición 3-18 Una métrica lorentziana g sobre la variedad M divide a los vectores no nulos de Tp M en tres clases disjuntas: 1- X 2 Tp M se llama “de tiempo” si g(X; X) > 0 2- X 2 Tp M se llama “de espacio” si g(X; X) < 0 3- X 2 Tp M se llama “de luz o nulo” si g(X; X) = 0 Si la métrica es no degenerada y continua, los vectores nulos de Tp M forman un doble cono (el cono de luz), el cual separa a los vectores de tiempo de los vectores de espacio.

3.6.1.

Relación entre conexión y métrica

Hasta el momento la conexión y la métrica son dos objetos de…nidos sobre la variedad de manera independiente. Pero existe una relación entre ellos si consideramos la conexión que deje invariante el producto punto entre vectores, es decir, dada una métrica existe una única conexión libre de torsión, de…nida por la condición rg = 0 () g

;

=0

(3.96)

76


y así, con esta condición el transporte paralelo de vectores preserva el producto escalar de…nido por g. Para encontrar la forma explícita de la conexión consideremos la expresión explícita de la derivada covariante de un tensor (ecuación 3.40); entonces, 0=

@g @x

g

(3.97)

g

si de…nimos g

(3.98)

=

y rotamos cíclicamente los índices , y sumamos las dos primeras ecuaciones y sustraemos la tercera, y asumiendo que = obtenemos @g @g + @x @x

@g @x

=

+

+

+ (3.99)

= 2 = 2g

(3.100)

y despejando los elementos de la conexión, llamados símbolos de Christoffer de segunda clase, obtenemos 1 = g 2

@g @g + @x @x

@g @x

(3.101)

Con esta conexión métrica el tensor de Riemann tiene las propiedades de simetría adicionales R(

)

= 0 () R

=

R

(3.102)


77 R

=R

(3.103)

Estas relaciones implican que el tensor de Ricci es simétrico: R

=R

(3.104)

Problema: Probar estas relaciones de simetría, y mostrar que el número de componentes independientes del tensor de Riemann es n2 (n2

1)=12

(3.105)

con n la dimensión de la variedad, y por tanto n(n + 1)=2

(3.106)

de estas componentes pueden estar dadas en términos de las componentes independientes del tensor de Ricci. Para los siguientes casos particulares tenemos: Si n = 1 entonces R =0 Si n = 2 entonces R sólo tiene una componente independiente, la cual es proporcional al escalar curvatura R, de…nido por R=g R

=R

(3.107)

Si n = 3 el tensor de Riemann tiene 6 componentes independientes y por lo tanto las 6 componentes independientes del tensor de Ricci determinan completamente al tensor de Riemann. Si n = 4 el tensor de Riemann tiene 20 componentes independientes y el tensor de Ricci tiene 10 componentes independientes. Es de anotar que el tensor de Riemann contiene todas las propiedades geométricas de una variedad métrica.

78

3.7.


Campos de Killing

De…nición 3-19 Un difeomor…smo : M ! M se llama una isometría si éste deja la métrica invariante, i.e., si la métrica transformada g = g en todo punto de M . Esto implica, entonces, que la transformación : Tp M ! T

(p) M

preserva el producto escalar: g(X; Y)

j p = g( X; Y) j = g( X; Y) j (p)

(p)

(3.108)

Ahora, si el grupo uniparamétrico de isomor…smos t generado por un campo vectorial K es un grupo de isometrías (es decir, si para cada t la transformación t es una isometría), entonces el campo vectorial K se denomina campo vectorial de Killing. Así, la derivada de Lie de la métrica con respecto al campo vectorial K se anula: 1 (g !0 t

LK g = l m t

t

g) = 0

(3.109)

pues g=

t

g

por de…nición de isometría. Ahora, de la de…nición de derivada de Lie (LK g)

= 2K(

; )

(3.110)

Problema: Demostrar esta relación. Por lo tanto, un campo vectorial de Killing satisface la ecuación diferencial: K

;

+K

;

=0

llamada ecuación diferencial de Killing.

(3.111)

3.7. CAMPOS DE KILLING

79

Inversamente, si K es un campo vectorial que satisface la ecuación diferencial de Killing, entonces Z t d ( t g) jp dt0 t g jp = g jp + 0 0 dt por el teorema fundamental del cálculo integral, Z t d 0 ( t0 s g)s=0 jp dt t g jp = g jp + ds 0 puesto que

t

es un grupo uniparamétrico de isomor…smos y así t

s

=

s

=

t

(3.112)

t+s

entonces t

g

j

p = g jp + Z t = g jp 0

Z

t

0

t0

d ds

t0

LK g j

t

s

g s=0

jp dt0

jp dt0

= g jp

pues de la de…nición de derivada de Lie se obtiene que (LX Y) =

d ( dt

t

Y)

(3.113)

por lo tanto, Teorema 3-6 K es un campo vectorial de Killing si y sólo si satisface la ecuación diferencial de Killing. En general, una variedad no tiene simetrías y no admite campos vectoriales de Killing. Sin embargo, una variedad especial puede admitir r campos vectoriales de Killing linealmente independientes Ki

80


i = 1; 2; :::; r. Además, se puede mostrar que el conmutador de dos campos de Killing es de nuevo un campo de Killing, i.e., [Ki ; Kj ] = clij Kl

(3.114)

Esto signi…ca que el conjunto de campos vectoriales de Killing sobre una variedad dada forman un álgebra cerrada bajo el producto de…nido por el conmutador, la cual recibe el nombre de álgebra de Lie asociada a las simetrías de la variedad. Las constantes clij se llaman constantes de estructura del correspondiente grupo de Lie. Además, si n es la dimensión de la variedad, entonces el número r de campos de Killing está acotado, i.e., 1 0 r n(n + 1) (3.115) 2 así, el grupo local de difeomor…smos generado por estos campos vectoriales de Killing es un grupo de Lie de r parámetros, llamado grupo de simetrías de la variedad. Una variedad puede poseer otras simetrías, tales como la inversión en un punto, o la re‡exión en un plano, pero estas simetrías no están generadas por un campo vectorial de Killing. La conexión de estas simetrías con la física está en el teorema de Noether que establece que para cada simetría de la variedad, generada por un campo vectorial de Killing, existe una cantidad dinámica del sistema que se conserva. Una variedad que admite 1 r = n(n + 1) 2 campos vectoriales de Killing se llama de simetría maximal. Lema 3-7 La variedad lorentziana n-dimensional plana es de simetría maximal. Por variedad plana se quiere decir una variedad para la cual las conexiones son nulas globalmente o equivalentemente el escalar de curvatura se anula en toda la variedad R = 0.

3.7. CAMPOS DE KILLING

81

Para demostrar este lema veamos en primer lugar que cada campo de Killing dado K (si éste existe) está determinado unívocamente por los valores de K jp y K ; jp en cualquier punto p 2 M. Para este …n, notemos que el conmutador de las segundas derivadas covariantes del campo K está dado por: K

; ;

K

=

; ;

R

K

(3.116)

Ahora, de la relación R[

]

=0

para el tensor de Riemann se tiene que, como K satisface la ecuación de Killing, entonces K ; ; = R K (3.117) Por lo tanto, dados K y K ; para algún punto p 2 M, entonces, por la teoría de las ecuaciones diferenciales, conocemos K sobre la variedad. Para el caso de una variedad plana esta ecuación se reduce a @2K =0 (3.118) @x @x cuya solución general es de la forma K (x) = a + b x

(3.119)

donde a y b son constantes de integración, con la condición b = b , lo cual se sigue de la ecuación de Killing. Así, tenemos 21 n(n 1) constantes independientes b más n constantes a , que conduce a un total de 12 n(n + 1) campos vectoriales de Killing independientes, los cuales pueden ser escogidos de la siguiente manera: ( índice de componentes de vectores y j índice que numera los diferentes vectores) K (j) (x) =

j

;

; j = 1; 2; :::; n

(3.120)

82

CAPÍTULO 3. CÁLCULO EN VARIEDADES K (ij) (x) =

i

xj

j

xi ;

; i; j = 1; 2; :::; n

(3.121)

Los n vectores K(i) representan traslaciones y los 21 n(n 1) vectores K(ij) representan rotaciones, lo cual, dada la signatura lorentziana de la métrica, contiene tanto transformaciones de Lorentz puras como rotaciones espaciales de los ejes.

Parte II Relatividad general

83

Capítulo 4 Principios de relatividad general En este capítulo daremos los postulados fundamentales en los cuales se basa la teoría general de la relatividad. En la primera parte mostraremos cómo el principio de equivalencia conduce a una “geometrización” de la fuerza de gravedad, lo cual nos conducirá a la formulación de los postulados.

4.1.

La ley de gravitación universal

La ley de gravitación universal establece que entre todo par de cuerpos en el universo existe una interacción (fuerza atractiva), que sólo depende de la posición relativa de los cuerpos y de una propiedad intrínseca, llamada carga o masa gravitacional, la cual satisface la tercera ley de Newton: F~1

2

=

G GmG 1 m2 r^ = r2

85

F~2

1

(4.1)

86

CAPÍTULO 4. PRINCIPIOS DE RELATIVIDAD GENERAL

G donde mG r1 y ~r2 los vectores 1 y m2 son las masas gravitacionales, ~ posición de los cuerpos, ~r = ~r2 ~r1 , G una constante (la constante de gravitación universal G = 6;67259 10 11 m3 kg 1 s 2 ) y F~1 2 es la fuerza que el cuerpo 2 ejerce sobre el 1. A partir de esta expresión, es claro que no está en acuerdo con los principios de la teoría especial de la relatividad, pues la ley de fuerza es independiente del tiempo y por lo tanto describe una interacción instantánea. Esta situación motivó a Einstein a buscar la forma relativista de la ley de gravitación universal. Esta ley de gravitación universal de Newton contiene dos postulados fundamentales, los cuales se constituirán en el punto de partida para la formulación de la teoría general de la relatividad: En primer lugar, esta interacción gravitacional es universal, es decir, todos los objetos del universo tienen “carga gravitacional” (compare la situación con la carga eléctrica). En segundo lugar, si consideramos la fuerza que un cuerpo dado, e.g. la Tierra con masa gravitacional MTG , ejerce sobre otros, con masa gravitacional mG , y aplicamos la segunda ley de Newton para estudiar el movimiento de estas masas en presencia de la primera, tenemos que

GMTG mG r^ = mI~a r2

(4.2)

donde mI denota la masa inercial del cuerpo con masa gravitacional mG ; entonces, la aceleración del cuerpo debido a MTG está dada por ~a =

GMTG mG r^ r 2 mI

(4.3)

Si …jamos la masa de la Tierra, la aceleración de cualquier otro cuerpo depende solamente de la relación entre su masa gravitacional e inercial. Galileo fue el primero en mostrar que la aceleración de un cuerpo cualquiera en un punto dado sobre la super…cie terrestre era independiente de su masa inercial; este hecho, conocido como ley de

4.1. LA LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

87

caída de los cuerpos de Galileo, muestra, por la ecuación anterior, que para todos los cuerpos la relación entre su masa gravitacional y su masa inercial es independiente de la naturaleza (composición, forma, etc.) del cuerpo. Este principio adoptado por Newton, lo que explica la introducción de la constante de gravitación universal, condujo a medir la masa gravitacional en las mismas unidades que la inercial, aún cuando los dos conceptos de masa son completamente independientes. Este principio, hoy conocido como Principio de Equivalencia Débil (PED) implica entonces que el movimiento de cualquier cuerpo, independiente de su masa, es el mismo dadas las mismas condiciones iniciales de posición y velocidad. Otra manera de formular el PED es a través del famoso experimento imaginario (gedanken Experiment) del ascensor. Consideremos un ascensor y un observador en su interior, y supongamos las siguientes dos situaciones: el ascensor está en el espacio libre y es acelerado por alguna fuerza (motores) a 9;8m=s, y el ascensor está en reposo sobre la super…cie de la Tierra. Entonces, debido a la equivalencia entre masa inercial y gravitacional, dejando caer partículas en el interior del ascensor no se puede determinar si éste se encuentra en reposo en el campo gravitacional, o si está acelerado por una fuerza externa, asumiendo que el ascensor es lo su…cientemente pequeño para que el campo gravitacional en su interior sea uniforme. Por otra parte, de acuerdo con la teoría especial de la relatividad, y en particular teniendo en cuenta la equivalencia entre masa y energía, Einstein generalizó el PED y postuló que ningún experimento realizado dentro de la caja podía determinar la diferencia entre un sistema uniformemente acelerado y un campo gravitacional uniforme. Este principio se conoce como e Principio de Equivalencia de Einstein (PEE). Por ejemplo, para el caso de un átomo de hidrógeno la relación entre su masa inercial y gravitacional sigue siendo una constante, aún cuando la masa propia del átomo es menor que la suma de las masas del electrón y del protón que lo constituyen, pues es un sistema ligado

88


al cual hay que darle energía para separar las partículas que lo conforman. Así, de acuerdo con el PEE, el campo gravitacional se acopla de la misma manera con todas las formas de energía y materia. El PEE tiene consecuencias profundas sobre la estructura del espacio-tiempo. En relatividad especial, al igual que en cualquier teoría física que no involucre el campo gravitacional, se parte de la de…nición de sistema de referencia inercial, considerando una partícula libre, la cual, por de…nición, se encuentra no acelerada. Entonces, con respecto a ella podemos de…nir el concepto de clase de sistemas de referencia inerciales como aquellos para los cuales esta partícula se encuentra en reposo o movimiento uniforme. La descripción matemática de estos sistemas se hace a través de un sistema de reglas y relojes, calibrados adecuadamente, los cuales se extienden a todo el espacio y conducen a describir el espacio-tiempo como una variedad 4-dimensional plana, es decir, libre de conexión, y para la cual podemos elegir las coordenadas naturales, de…nidas por las curvas integrales de los campos de Killing (j) K (x) = j ; ; j = 1; 2; :::; n. El punto de partida básico para la anterior construcción está en la suposición de considerar la existencia de una partícula libre de fuerzas, con respecto a la cual podemos de…nir el movimiento acelerado. Dado el carácter universal de la gravedad, todas las formas de materia interactúan gravitacionalmente; no es posible disponer de una partícula “gravitacionalmente neutra”con respecto a la cual podamos de…nir la aceleración debida a la gravedad. Así, la “aceleración de la gravedad” no es un concepto que pueda ser de…nido independiente de la materia y por lo tanto carece de signi…cado experimental, y remplazaremos el concepto de movimiento libre (no acelerado) por el de sistema en “caída libre”. Así, siguiendo los pasos para construir un sistema de referencia inercial en física no gravitacional, iniciamos con una partícula en caída libre, es decir, sobre la cual no actúan fuerzas (electromagnéticas, débil, etc.). Notemos en este punto de la discusión que estamos traba-

4.1. LA LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

89

jando en el espíritu de Mach, en cuanto a que ya no hacemos referencia a una partícula libre de fuerzas (incluyendo la gravitacional). Si asociamos a esta partícula en caída libre un sistema de reglas rígidas y relojes calibrados de la manera usual, nos encontramos con el problema, debido a la inhomogeneidad del campo gravitacional, que otra partícula en caída libre no seguiría las líneas “rectas” de…nidas por el sistema de coordenadas canónicas asociadas al sistema de referencia de la primera partícula, es decir partículas en caída libre en otras regiones del espacio aparecerían como “aceleradas” con respecto a la primera. El concepto de sistema de referencia inercial asociado a una partícula en caída libre sólo tiene sentido para una región lo su…cientemente pequeña en la vecindad de la partícula. Notemos que este hecho corresponde, en el contexto de las variedades, a la existencia, en todo punto de la variedad, de un sistema de coordenadas normales de Riemann, con respecto a las cuales se anulan las componentes de la conexión en ese punto. Además, ya no es posible comparar velocidades, aceleraciones, etc., entre partículas localizadas en otras regiones, pues los sistemas de referencia inerciales asociados a las diferentes partículas son independientes. Este hecho de no poder comparar vectores en diferentes puntos de la variedad signi…ca la dependencia del transporte paralelo de vectores, y por lo tanto la dependencia de la curvatura de la variedad. Aun cuando los argumentos anteriores, sobre el comportamiento de la fuerza de la gravedad (PEE) y su relación intuitiva con las variedades, no son una demostración de la necesidad de describir la gravitación a través de la geometría del espacio-tiempo, estas consideraciones fueron su…cientes para que Einstein postulara la idea que la gravitación es una manifestación de la curvatura del espacio-tiempo, y que esta curvatura sería determinada por todas las formas de materia-energía.

90


4.2.

Postulados de la TGR

Habiendo motivado la geometrización de la fuerza de la gravedad, pasaremos a establecer los cuatro postulados fundamentales de la teoría general de la relatividad. Postulado 4-1 La variedad espacio-tiempo El espacio-tiempo lo constituyen todos los eventos físicos, el cual será descrito por el par (M; g), donde M es una variedad suave ( C 1 ) 4-dimensional conectada de Hausdorf y g es una métrica lorentziana sobre M . Sobre la variedad M están de…nidos todos los campos de materia que se consideren; por ejemplo, el campo electromagnético, el campo de neutrinos, etc., los cuales describen el contenido de materia en el espacio-tiempo. Los campos de materia obedecen a ecuaciones que se expresan como relaciones entre tensores sobre M, en las cuales las derivadas con respecto a las coordenadas son derivadas covariantes, con respecto a la conexión simétrica de…nida por la métrica g. Si denotamos los campos de materia incluidos en la teoría por ::: (i) ::: (x), donde el sibíndice i denota los diferentes campos de materia, entonces los siguientes dos postulados sobre la naturaleza de los campos (i)::: ::: son comunes a la teoría especial y a la teoría general de la relatividad: Postulado 4-2 Causalidad local Las ecuaciones que satisfacen los campos de materia deben ser tales que, si U M es una vecindad convexa y p; q 2 U , entonces una señal puede ser enviada en U entre p y q sí y solamente si p y q pueden ser unidos por una c1 curva contenida en U , cuyo vector tangente en todas partes es diferente de cero y es como de tiempo o como de luz (esta curva se llama no como de espacio). Otra forma equivalente de establecer este postulado, y físicamente más signi…cativa, se puede dar en términos del problema de Cauchy

4.2. POSTULADOS DE LA TGR

91

para los campos de materia: Sea p 2 U tal que toda curva no como de espacio a través de p intercepta la super…cie como de espacio x0 = cte: dentro de U. Sea F el conjunto de puntos en la hipersuper…cie x0 = cte:, los cuales pueden ser alcanzados por curvas no como de espacio en U a través de p. Entonces, se exige que los valores de los campos de materia en p deben estar unívocamente determinados por los valores del campo y sus derivadas a un orden …nito sobre F. O sea, las ecuaciones de movimiento (ecuaciones diferenciales) que determinan los campos (leyes de la física) involucran derivadas hasta un orden n …nito (usualmente hasta orden 2), tienen solución única, la cual está determinada por las condiciones de frontera, es decir, el valor de los campos y sus primeras n 1 derivadas, dadas sobre la hipersuper…cie interceptada por el cono de luz pasado del punto p. Postulado 4-3 Conservación local de la energía Existe un tensor simétrico T = T ( i ; r i ; :::) = T que es función de los campos de materia y sus derivadas, hasta un orden …nito, tal que: i. T = 0 sobre U M abierto, si y sólo si i = 0 para todo i sobre U . ii. T ; = 0 La primera condición expresa que todos los campos de materia contribuyen a la energía. A partir de la segunda condición, si la variedad espacio-tiempo admite un campo vectorial de Killing K, entonces obtenemos una ley de conservación, pues sea p =T

(4.4)

K

las componentes del vector P obtenido por contracción del tensor momentum-energía con el campo de Killing, entonces p; = T; K +T

K

;

=0

(4.5)

pues T ; = 0 y K satisface la ecuación de Killing, i.e., K( ; ) = 0. Así, si D es una región compacta y orientable, por el teorema de Gauss se

92


tiene que

Z

@D

p d

=

Z

p ; dv = 0

(4.6)

D

por lo tanto, este resultado se puede interpretar físicamente, pues el ‡ujo de la componente del tensor momentum-energía en la dirección del campo de Killing sobre una super…cie cerrada se anula, lo cual es la generalización del teorema de Noether, el cual establece que a toda simetría le corresponde una ley de conservación. En el caso particular de la variedad lorentziana plana, asociado a los diez vectores de Killing linealmente independientes, están las diez leyes de conservación usuales, para la energía, el momentum y el momentum angular total.

4.3.

Tensor métrico y postulado de causalidad

Consideremos la ecuación de las geodésicas en alguna base coordenada d2 x dx dx + =0 (4.7) 2 ds ds ds donde s es un parámetro afín. El parámetro afín de una curva geodésica está determinado salvo un factor aditivo y uno multiplicativo constantes, es decir, salvo una transformación de la forma s0 = as + b, con a; b constantes. La libertad de escoger b corresponde a la libertad para elegir el punto inicial de la curva (0), y el parámetro a corresponde a la libertad de normalizar el vector tangente a la curva X por un factor de escala constante, X0 = a1 X. Por otra parte, dada una cr conexión, los teoremas de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales ordinarias aplicados a la ecuación geodésica muestran que para cualquier punto p 2 M y Xp 2

4.3. TENSOR MÉTRICO Y POSTULADO DE CAUSALIDAD 93 Tp M existe una geodésica maximal X (s) en M, con p = (0) y @ = Xp . Si r 1 la geodésica es única y depende continua@s s=0 mente de los valores iniciales. Esta situación nos permite de…nir la transformación exponencial exp : Tp M ! M X 7 ! exp(X) :=

X (1)

siendo X (0) = p. Es decir, a cada vector X 2Tp M se le asocia el punto q 2 M que está a una distancia paramétrica unidad del punto inicial a lo largo de la única geodésica que se inicia en p y cuyo vector tangente es X. Esta transformación exponencial no necesariamente está de…nida para todos los vectores X 2Tp M pues la geodésica no necesariamente está de…nida para todo s. Entonces De…nición 4-1 Una geodésica X (s) se llama completa si está de…nida para todo s. De…nición 4-2 Una variedad se llama geodésicamente completa si todas las geodésicas sobre M son completas. En este caso la transformación exp está de…nida para todo X 2Tp M. @ = X, entonces Sean X 2Tp M y a 2 R …jos con @s s=0 X

[a; b] s

R

! 7 !

M X (as)

tiene velocidad inicial @ @t así,

X (as)

=

aX (s)

= t=0

d(as) @ ds @as

= aX

(4.8)

s=0

y por lo tanto la transformación exp(aX) =

aX (1)

=

X (a)

(4.9)

es decir, la transformación exp convierte rectas aX de Tp M en geodésicas sobre M.

94


Si M es geodésicamente completo o no, la transformación exp es de rango n en p (n = dim M). Así, por el teorema de la función implícita existe una vecindad abierta V0 del origen de Tp M y una vecindad abierta Vp del punto p 2 M tal que exp : V0

Tp M

! Vp

M

es un C r -difeomor…smo de V0 sobre Vp . La vecindad Vp se llama vecindad normal de p: Además, podemos escoger Vp convexa, esto es, tal que todo punto q 2 Vp puede ser unido a cualquier otro punto r 2 Vp por una única geodésica que parte del punto q y que está totalmente contenida en Vp . En el interior de una vecindad normal convexa V es posible escoger coordenadas (x1 ; x2 ; :::; xn ) con origen en cualquier punto p 2 V, y tomando una base fE g de Tp M de…nimos las coordenadas de un punto r 2 V por la relación r = exp(x E ), es decir, se asigna al punto r las coordenadas del punto exp 1 r con respecto a la base fE g de Tp M. Entonces, si E = @=@x jp de la ecuación de = 0. Estas coordenadas se llaman las geodésicas se obtiene que p coordenadas normales centradas en el punto p. Este comportamiento de las geodésicas en una vecindad normal no se da, en general, sobre toda la variedad, pues es posible que dados dos puntos cualesquiera de M no se puedan unir por una geodésica y, por otra parte, algunas de las geodésicas a través de un punto p 2 M pueden converger a un “foco” en otro punto de M, por ejemplo las geodésicas sobre una 2esfera son círculos máximos que convergen siempre al punto antípoda del cual partieron. Consideremos de nuevo el postulado de causalidad. Este postulado sitúa a la métrica g aparte de los otros campos de materia sobre M, dado su carácter geométrico especial. Si fx g son coordenadas normales en una vecindad del punto p 2 U M y con origen en p, entonces los puntos en U que pueden ser alcanzados a partir del punto p por curvas no como de espacio en U, son aquellos cuyas coordenadas

4.3. TENSOR MÉTRICO Y POSTULADO DE CAUSALIDAD 95 satisfacen (x0 )2

(x1 )2

(x2 )2

(x3 )2

(4.10)

0

El contorno de la región determinada por estos puntos está formado por la imagen del cono de luz de p bajo la transformación exponencial, i.e., el conjunto de geodésicas nulas a través de p. Así, observando cuáles puntos de U M pueden comunicarse con p, se puede determinar el cono nulo Np en Tp M. Conocido Np , la métrica en p se puede determinar salvo un factor conforme, donde De…nición 4-3 Dos métricas g y g 0 sobre M se llaman conformes si g0 = 2 (x)g (4.11) donde

2

(x) es una función suave y no nula, y por lo tanto g0 (X; Y) g(X; Y) = 0 g(Z; W) g (Z; W)

(4.12)

Para determinar la métrica a partir del cono nulo Np , sean X; Y 2Tp M vectores como de tiempo y como de espacio, respectivamente. Entonces, la ecuación g(X + Y; X + Y) = g(X; X) + 2 g(Y; Y) + tiene dos raíces reales

1

y

(g(X; X))2

2,

2

g(X; Y)

(4.13)

pues el discriminante es positivo, 4g(X; X)g(Y; Y) > 0

(4.14)

pues g(X; X) > 0 y g(Y; Y) < 0. Por lo tanto, si Np es conocido, entonces 1 y 2 pueden ser determinados, y de estos valores podemos obtener la relación g(X; X) (4.15) 1 2 = g(Y; Y)

96


i.e., la razón de las magnitudes de un vector como de tiempo y uno como de espacio puede ser determinada. Ahora, si W; Z son dos vectores no nulos en p, entonces g(W; Z) =

1 (g(W + Z; W + Z) 2

g(W; W)g(Z; Z))

(4.16)

y por lo tanto cada una de las magnitudes del lado derecho de la ecuación anterior puede ser comparada con las magnitudes de X o de Y y así podemos determinar, por ejemplo, la razón g(W; Z)=g(X; X). Esto signi…ca que la causalidad local permite determinar la métrica, salvo un factor conforme. En la práctica estas medidas se realizan usando el hecho que las señales electromagnéticas viajan sobre geodésicas nulas, hecho que es consecuencia de las ecuaciones de Maxwell y no de la teoría de la relatividad. Para determinar el factor conforme se hace uso del segundo postulado, dejando así todos los elementos de la teoría físicamente observables, pues podemos comparar los factores conformes en diferentes puntos de la variedad espacio-tiempo M. Esto se obtiene por el hecho que las ecuaciones de conservación T

;

=0

(4.17)

pueden no cumplirse para una conexión derivada de otra métrica g0 =

2

g

(4.18)

Una forma práctica de determinar el factor conforme es observando pequeñas partículas de prueba libres y determinando sus geodésicas como de tiempo. Por ejemplo, consideremos un conjunto de sistemas idénticos (e.g. los estados electrónicos internos de los átomos) cuyos cambios internos de…nen el conjunto de eventos a lo largo de las líneas de universo de cada sistema. Si se aísla cada sistema de los campos externos, entonces ellos siguen geodésicas como de tiempo. Si (t) es

4.3. TENSOR MÉTRICO Y POSTULADO DE CAUSALIDAD 97 una de las geodésicas con vector tangente (@=@t) , entonces podemos medir la longitud de arco entre eventos vecinos para cualquiera de estos sistemas y determinar g (@=@t) ; (@=@t)

(4.19)

en cada punto del espacio-tiempo y …jar así el factor conforme, salvo un factor multiplicativo constante, el cual lo de…ne la escala. Los postulados de causalidad y conservación no nos dicen cómo construir T para un conjunto de campos de materia dados. Sin embargo, existe una manera única y bien de…nida de calcular el tensor momentum-energía, si las ecuaciones de movimiento para los campos se derivan de una lagrangiana, como es el caso para los campos de materia usuales y de interés físico. Sea L la densidad lagrangiana, la cual es función de los campos de materia i , sus derivadas covariantes, hasta un orden …nito y de la métrica. Entonces, las ecuaciones de movimiento de los campos se obtienen a partir de la acción Z S = Ldv (4.20) exigiendo que S sea estacionaria bajo variación de los campos en el interior de una región compacta 4-dimensional D, i.e., S=0

(4.21)

Esta condición conduce a las ecuaciones de Euler-Lagrange ! @L @L @ =0 (4.22) @ (i) @ @ (i) El tensor momentum-energía se obtiene a partir de la densidad lagrangiana L considerando las variaciones de la acción bajo cambios

98


en la métrica: T

S jg(x)j g

=p

2

(4.23)

Por ejemplo, un campo escalar (x), el cual representa partículas de escalares de masa m, sin carga y espín cero, está descrito por la densidad lagrangiana L=

1p jg(x)j g 2

;

m2

;

2

(4.24)

donde se han utilizado unidades de h/ = 1 y c = 1. Las ecuaciones de Euler-Lagrange para este sistema conducen a la ecuación de KleinGordon + m2 =0 (4.25) donde el d’alembertiano está dado por: =g

(4.26)

;

y el tensor momentum-energía es: T

=

;

;

1 g 2

g

;

;

+ m2

2

(4.27)

Otro ejemplo, de importancia en cosmología, es el de ‡uido perfecto. Un ‡uido describe un sistema físico de muchas partículas (1023 que en este límite se puede considerar como un sistema continuo) a través de las cantidades que determinan el sistema, tales como densidad, presión, temperatura, viscosidad, etc. Aun cuando no hay una de…nición única de ‡uido perfecto, éste se puede de…nir como un sistema en el cual no hay conducción térmica ni viscosidad, o como lo describe equivalentemente Weinberg: como un ‡uido tal que en su sistema en reposo es isotrópico. En estas condiciones un ‡uido perfecto es descrito por la función densidad de energía y la densidad de presión.

4.3. TENSOR MÉTRICO Y POSTULADO DE CAUSALIDAD 99 Consideremos, en primer lugar, un gas de partículas en reposo relativo (polvo), así este sistema es descrito como un gas ideal con presión cero. Para un observador inercial todas las partículas se mueven con la misma velocidad, y así con la misma cuadrivelocidad U . De…namos, entonces, el cuadrivector ‡ujo N = nU

(4.28)

donde n es la densidad propia de partículas, i.e., la densidad de partículas medida en el sistema en reposo. Ahora, si todas las partículas tienen la misma masa en reposo m, la densidad de energía propia está dada por: = nmc2 (4.29) La densidad de energía caracteriza completamente al ‡uido, pero la anterior ecuación es solamente válida en el sistema en reposo del ‡uido; así, para encontrar la expresión covariante de la densidad de energía (válida para cualquier observador inercial), recordemos que mc2 es la componente temporal del cuadrivector momentum de una partícula en su sistema en reposo, p = (mc; 0; 0; 0) y para este sistema N = nU = (nc; 0; 0; 0). Por lo tanto, la densidad de energía propia corresponde a la componente 00 del tensor p N medida en su sistema en reposo; de…nimos el tensor momentum-energía para el gas de polvo como: (4.30) T = p N = nmU U = 2 U U c donde es de…nida como la densidad de energía en el sistema en reposo. Para el caso más general de un ‡uido perfecto con presión, asumiremos la de…nición de Weinberg: el que es isotrópico en su sistema en reposo. Esto signi…ca que T es diagonal, es decir, no hay ‡ujo neto de momentum en la dirección ortogonal. Además, sus componentes espaciales deben ser todas iguales, por isotropía: T 11 = T 22 = T 33 . Si llamamos T 00 = la densidad de energía, T ii = p la densidad de

100


presión, tenemos que las componentes del tensor momentum-energía en el sistema en reposo están dadas por: 0 1 0 0 0 B 0 p 0 0 C C T =B (4.31) @ 0 0 p 0 A 0 0 0 p

la cual, para un sistema de referencia inercial cualquiera, se puede escribir en la forma (con c = 1): T

= (p + )U U + p

(4.32)

donde es el tensor métrico de Minkowski. La generalización para una variedad con métrica g es directa, T

= (p + )U U + pg

(4.33)

El tipo de materia especí…co que se considere está determinado por la ecuación de estado del sistema, es decir f (p; ) = 0, una función que relaciona la densidad de energía y materia; por ejemplo, para un gas de polvo la ecuación de estado es p = 0. Este tensor momentum-energía se puede encontrar a partir de una densidad lagrangiana. Siguiendo la de…nición de Weinberg, sea U el campo de cuadrivelocidades y de…namos la cuadricorriente por J = U, con la densidad de partículas. La ecuación de continuidad exige que J; = 0, y la densidad lagrangiana está dada por: L=

2 (1 + ")

(4.34)

donde " = "( ) es el potencial elástico. La acción S es estacionaria cuando las líneas de ‡ujo se varían, ajustando J para mantener la corriente conservada. Entonces la ecuaciones de Euler-Lagrange conducen a las ecuaciones de movimiento para el ‡uido: U + ( + p)U; = 0 ( + p)U_ = p; (g + U U ) ;

(4.35)

4.4. ECUACIONES DE CAMPO DE EINSTEIN

101

donde = (1+") es la densidad de energía, p = 2 d"=d la densidad de presión, y U_ = U; U . Así, la aceleración de las líneas de ‡ujo U_ es proporcional al gradiente de presión ortogonal a las líneas de ‡ujo. A partir de la densidad lagrangiana obtenemos el tensor momentumenergía.

4.4.

Ecuaciones de campo de Einstein

Hasta el presente la métrica g no ha sido explícitamente dada. En la teoría especial de la relatividad, la cual no incluye los efectos gravitacionales, la métrica es plana, i.e., g = . En la discusión al comienzo del capítulo se vió cómo la fuerza de la gravedad, por su carácter universal, debe ser excluida como un campo de fuerzas en un espacio plano, si queremos mantener la idea que una partícula libre sigue “líneas rectas” o que la velocidad de la luz en el vacío es constante. Para mantener el principio de relatividad, es decir, la física es la misma para todos los observadores o, equivalentemente, las leyes de la física deben ser independientes del sistema de coordenadas, las ecuaciones de campo para determinar la métrica deben ser relaciones tensoriales, que involucran la materia a través del tensor momentumenergía, si queremos mantener el principio de equivalencia; es decir, si dos campos de materia contribuyen con la misma densidad de energía a un sistema, entonces las ecuaciones de campo para la métrica deben conducir al mismo resultado. Por el lado de la geometría, como Hilbert se lo sugirió a Einstein, el único objeto geométrico, salvo identidades o múltiplos, el cual está determinado por el tensor métrico y primeras derivadas de sus componentes, es el tensor de Riemann, o tensores derivados de ellos, y por lo tanto la única posibilidad es una combinación lineal del tensor de Ricci, el escalar curvatura y una constante, proporcional al tensor momentum-energía, dadas las condiciones que sobre él se imponen, que sea simétrico y que satisfaga el principio de

102


conservación local, así: Postulado 4-4 La métrica sobre la variedad espacio-tiempo (M; g) está determinada por las ecuaciones de campo de Einstein 1 8 G Rg + g = T (4.36) 2 c4 G =constante de gravitación universal = constante cosmológica Este es un sistema de 10 ecuaciones diferenciales acopladas no lineales para la métrica y sus primeras derivadas. Sin embargo, dado que la divergencia covariante de cada lado de las ecuaciones se satisface independientemente R

1 Rg 2

R

+ g

=0= ;

8 G T c4 ;

(4.37)

entonces el número de ecuaciones independientes se reduce a seis. Este es el número correcto de ecuaciones, porque de las diez componentes independientes del tensor métrico, cuatro de ellas se pueden elegir arbitrariamente. Esto proviene del hecho que las componentes del tensor métrico son únicas, salvo una transformación de coordenadas. Así, las ecuaciones de campo de Einstein determinan el tensor métrico, salvo la clase de equivalencia de difeomor…smos : (M; g1 ) ! (M; g2 ) donde dos métricas de…nen el mismo espacio-tiempo si entre las variedades (M; g1 ) y (M; g2 ) existe un difeomor…smo. Para establecer la relación entre las ecuaciones de campo de Einstein y la teoría de la gravitación universal de Newton, consideremos una partícula de prueba que se mueve lentamente (comparada con la velocidad de la luz) en un campo gravitacional débil. Si el campo es débil, la métrica se puede escribir en la forma (c = 1) g

=

+ h ; jh j << 1

(4.38)

4.4. ECUACIONES DE CAMPO DE EINSTEIN

103

Si U son las componentes de la cuadrivelocidad de la partícula, entonces dx0 dxi t 1; << 1 (4.39) d d y de la ecuación de las geodésicas tenemos d2 xi d2 xi t = dt2 d2

dx dx t d d

i

i 00

(4.40)

Ahora, el coe…ciente de la conexión está dado por i 00

1 = h00;i 2

h0i;0

(4.41)

donde la coma signi…ca la derivada usual. Si el campo gravitacional es estacionario h0i;0 = 0, y con la notación ~x = (x1 ; x2 ; x3 ), se obtiene d2~x = dt2

1~ rh00 2

(4.42)

que al compararla con la ecuación de Newton d2~x = dt2

~ r

(4.43)

tenemos que h00 = 2 + cte:

(4.44)

Puesto que el potencial gravitacional y h00 se anulan para grandes distancias, y reintroduciendo la velocidad de la luz, obtenemos g00 = 1 +

2 c2

(4.45)

104


El término 2 =c2 determina cuándo una región del espacio-tiempo es fuertemente curvada, por ejemplo 2 =c2 10 9 10 6 10 4 10 1 10 39

Sobre la superf icie tierra sol enana blanca estrella neutronica proton

Capítulo 5 La solución de Schwarzschild Karl Schwarzschild, tan sólo dos meses después de haberse publicado las ecuaciones de campo, encontró la primera solución analítica de las ecuaciones de campo, para el exterior de una distribución de materia estática y esféricamente simétrica. A partir de esta solución calculó el corrimiento del perihelio de mercurio y la desviación de un rayo de luz que pasa cerca del sol, con…rmando los resultados previos obtenidos por Einstein en la aproximación posnewtoniana (aproximación de campo débil).

5.1.

Métrica para simetría esférica

Consideremos una distribución esférica de masa m y busquemos una solución de las ecuaciones de campo de Einstein que describa la métrica en el exterior de la distribución, es decir, buscamos las componentes del tensor métrico g = g dx 105

dx

(5.1)

106

CAPÍTULO 5. LA SOLUCIÓN DE SCHWARZSCHILD

tal que g satisfaga las ecuaciones de Einstein en el vacío R

1 Rg 2

=0

(5.2)

donde los índices griegos recorren de 0 a 3, esto es, x = (x0 ; x1 ; x2 ; x3 )

(5.3)

x0 = ct

(5.4)

y La solución de este problema debe satisfacer las siguientes condiciones: 1. Estática 2. Esféricamente simétrica 3. Asintóticamente (lejos de la distribución) se debe reducir a la métrica minkowskiana Dada la simetría esférica del problema es útil trabajar en coordenadas espaciales esféricas (r; ; ') = x1 ; x2 ; x3

(5.5)

eligiendo el origen de las coordenadas en el centro de la distribución de masa. La primera condición, métrica estática, signi…ca que si g es independiente del tiempo, entonces las componentes del tensor métrico deben ser invariantes si hacemos la transformación x0 !

x0

(5.6)

5.1. MÉTRICA PARA SIMETRÍA ESFÉRICA

107

lo que implica que las componentes del tensor métrico de la forma g0i con i = 1; 2; 3 no deben aparecer. Así, el tensor métrico que estamos buscando debe ser de la forma dx0 + gij dxi

g = g00 dx0

dxj

i; j = 1; 2; 3

(5.7)

Introduciendo en forma explícita las coordenadas esféricas y la coordenada temporal x0 = ct, y debido a la simetría esférica del problema, en el tensor métrico no deben aparecer términos espaciales de la forma dr d , dr d' y d d', y por lo tanto el tensor métrico toma la forma g = g00 c2 dt dt+grr dr

dr +g r2 d

d +g'' r2 sin2 d' d' (5.8)

donde los coe…cientes métricos g00 , grr , g y g'' son funciones solamente de la coordenada radial r. Veamos que las componentes métricas g y g'' deben ser iguales. Para este …n supongamos que hacemos un desplazamiento in…nitesimal con = r a partir del polo norte ( = 0) con t; r y ' constantes; entonces ds2 = g

2

(5.9)

Si realizamos ahora el mismo desplazamiento pero en el plano ecuatorial ( = =2) con idéntico r, = rd', entonces ds2 = g''

2

(5.10)

y por lo tanto, dada la simetría esférica de la distribución de materia, se debe tener que g = g'' . Sea d

2

=d

d + sin2 d'

(5.11)

d'

entonces el tensor métrico toma la forma g = g00 c2 dt dt + grr dr dr + g r2 d = g00 c2 dt2 + grr dr2 + g r2 d 2

2

(5.12)

108


lo cual signi…ca que faltan por determinar solamente tres funciones de r: g00 (r), grr (r) y g (r). Esta expresión se puede simpli…car aún más reduciendo el problema solamente a dos funciones desconocidas, pues si se realiza el cambio de variable p r ! r~ = g (r)r (5.13) entonces

g r2 = r~2 2~ rd~ r = dr =

=) dg dr 2g rdr r2 dr r~ r dg 1+ g r 2g dr

=) 1

d~ r

(5.14)

Así grr dr

2

grr r dg = 1+ g 2g dr 2 = g~rr (~ r) d~ r

2

d~ r2 (5.15)

Remplazando las ecuaciones de transformación anteriores en el tensor métrico 5.12, tenemos g = g00 c2 dt2 = g00 c2 dt2

g~rr (~ r) d~ r2 r~2 d grr dr2 r2 d 2

2

(5.16)

donde se ha rede…nido r~ ! r

(5.17)

g~rr ! grr

(5.18)

y en la última igualdad, para regresar a la notación usual de la variable radial. De esta forma el problema se ha reducido a sólo dos funciones,


109

las cuales se determinan a partir de las ecuaciones de campo de Einstein y las condiciones de frontera adecuadas. Dada la signatura de la métrica, g00 > 0 y grr > 0, se puede reescribir el tensor métrico en la siguiente forma: g = eh(r) c2 dt2

eg(r) dr2

r2 d

2

(5.19)

Las nuevas funciones a determinar, h(r) y g(r), deben satisfacer la condición asintótica l m h(r) = 0

r!1

(5.20)

l m g(r) = 0

r!1

para obtener el límite minkowskiano de la condición 3. Las componentes del tensor métrico deben satisfacer las ecuaciones de campo de Einstein en el vacío 5.2. Antes de remplazar los coe…cientes métricos en este sistema de ecuaciones, veamos un teorema que nos permite simpli…car los cálculos: Teorema 5-1 Las ecuaciones de campo de Einstein en el vacío sin constante cosmológica son equivalentes a la anulación de las componentes del tensor de Ricci, i.e. R

1 Rg 2

=0

Demostración:((=) Si R (=)) Si

() R

=0

= 0; entonces R = 0

1 Rg = 0 2 subiendo el primer índice covariante y contrayendo tenemos R

0 = R = R = R

1 g R 2 2R

(5.21)

110


entonces R = 0 y por lo tanto R = 0. A partir de las condiciones de simetría del problema se pudo determinar la forma general y más simple del tensor métrico, antes de entrar en el problema de resolver las ecuaciones de campo, lo cual constituye un método usual de trabajo en física. Sin embargo, aún con esta métrica simpli…cada es necesario calcular 40 símbolos de Christo¤el que aparecen en las ecuaciones de campo. Un método ágil que permite calcular las componentes no nulas de los símbolos de Christo¤el es el método variacional (ecuaciones de Euler-Lagrange) para la ecuación de las geodésicas: dx dx d2 x + =0 (5.22) dt2 dt dt las cuales contienen todos los símbolos de Christo¤el y pueden ser obtenidas a partir del principio variacional Z 0 = F ds Z dx dx = g ds (5.23) ds ds con las ecuaciones de Euler-Lagrange d ds

@F @ x_

=

@F @x

; x_ =

dx ds

(5.24)

Así, para la métrica de Schwarzschild el elemento de distancia espacio-tiempo está dado por F = eh(r) x_ 0

2

eg(r) x_ 1

2

r2 x_ 2

2

r2 sin2

x_ 3

2

(5.25)

donde x0 = ct, x1 = r, x2 = y x3 = '. Consideremos en primer lugar la ecuación de Euler-Lagrange para la coordenada temporal x0 , y denotemos las derivadas con respecto a


111

la coordenada radial por primas, así: d 2eh(r) x_ 0 = 0 ds x•0 + h(r)x_ 1 x_ 0 = 0

=) (5.26)

La ecuación de las geodésicas correspondiente se obtiene a partir de la ecuación 5.22 para = 0, d2 x0 dx dx + 0 2 dt dt dt 0 0 0 0 = x• + 00 x_ x_ + 001 x_ 0 x_ 1 +

0 =

+

0 3 3 _ x_ 33 x

(5.27)

Entonces, comparando las dos últimas ecuaciones, se tiene que los únicos símbolos de Christo¤el no nulos son: 0 10

=

0 01

1 = h(r) 2

(5.28)

Para la coordenada r la ecuación de Euler-Lagrange está dada por: d ds

2eg(r) x_ 1

=

2g (r)eg(r) x_ 1

= h(r)eh(r) x_ 0 2r x_

2 2

mientras que la ecuación geodésica para

2

2

2eg(r) x•1 g (r)eg(r) x_ 1

2r sin2

x_

2

(5.29)

3 2

= 1 es

dx dx d2 x1 + 1 2 dt dt dt 1 1 0 0 = x• + 00 x_ x_ + 101 x_ 0 x_ 1 +

0 =

+

1 3 3 _ x_ 33 x

(5.30)

112


y comparándolas, los símbolos de Christo¤el no nulos están dados por: 1 00 1 11 1 22 1 33

1 h(r)eh(r) g(r) 2 1 = g (r) 2 = re g(r) = re g(r) sin2 =

Procediendo de forma similar para las coordenadas bolos no nulos que se obtienen son: 2 12

=

2 33

=

3 13

=

3 23

=

1 r sin cos ' 1 3 31 = r 3 32 = cot 2 21

(5.31) y ' los sím-

=

(5.32)

Remplazando los símbolos de Christo¤el obtenidos en las ecuaciones de campo en el vacío: 0 = R =R @ @ + = @x @x

(5.33)

obtenemos R

0 si

y de los términos diagonales R

6=

(5.34)

=0

se llega al siguiente sistema de ecuaciones diferenciales acopladas: 1 h + h2 2

1 2 hg + h = 0 2 r

(5.35)

5.1. MÉTRICA PARA SIMETRÍA ESFÉRICA 1 h + h2 2 re

g

2e

g

sin2

1 hg 2

1 + re

g

g

re

2 g=0 r h+g 2 + 2 r

113 (5.36) =0

(5.37) (5.38)

1 =0

Restando las ecuaciones 5.35 y 5.36 se obtiene h+g =0

(5.39)

h + g = cte:

(5.40)

entonces y de la condición asintótica se tiene (5.41)

h+g =0

Con esta condición la ecuación 5.36 toma la forma 2 (5.42) g g2 + g = 0 r Esta ecuación diferencial de segundo orden se puede escribir como: g

re

=0

(5.43)

= K1

(5.44)

la cual admite una primera integral re

g

Antes de integrar esta ecuación, veamos que las otras dos ecuaciones diferenciales 5.37 y 5.38 sean consistentes con lo encontrado hasta ahora. De la ecuación 5.37 se obtiene re

g

2e re

g

1 + re g

2e

g

g

0 2 + = 0 2 r 1 + 2e g = 0 = 1 re g

=) =) (5.45)

114


lo que implica que la constante de integración K1 = 1. La ecuación 5.38 no da información adicional pues se satisface idénticamente debido a la última relación encontrada (ecuación 5.45). Integrando la ecuación 5.45 se obtiene K2 e g(r) = eh(r) = 1 (5.46) r donde K2 es una constante de integración. Así, la métrica de Schwarzschild toma la forma g=

1

K2 r

dx

0 2

1

K2 r

1

dr2

r2 d

2

(5.47)

Notemos que hasta el presente en la deducción de la métrica de Schwarzschild sólo se ha utilizado la simetría de la distribución de materia y el carácter asintótico, pero no la masa total de la distribución ni su radio. Es de esperar que la constante de integración K2 involucre, de alguna manera, esta información que caracteriza la distribución de materia que produce el campo gravitacional en su exterior. Para calcular esta constante se puede utilizar el siguiente razonamiento: la solución de Schwarzschild es válida para el exterior de cualquier distribución esférica de materia, y por lo tanto debe describir el campo gravitacional de cualquier cuerpo celeste usual conocido, tal como el Sol o la Tierra, y se espera que esta métrica represente los fenómenos que conocemos, y en particular se espera que en el límite de bajas velocidades y campos gravitacionales débiles los resultados obtenidos se aproximen a los encontrados por la ley de gravitación universal de Newton. Así se puede trabajar la aproximación posnewtoniana, vista en el capítulo anterior, y utilizar la ecuación 4.45 que relaciona el potencial gravitacional newtoniano con la componente g00 del tensor métrico. Por lo tanto, dado que el potencial gravitacional newtoniano en el exterior de una distribución esférica de masa m está dado por Gm (5.48) (r) = r

5.2. TEOREMA DE BIRKHOFF

115

y la componente para la métrica de Schwarzschild (ecuación 5.47) es g00 = 1

K2 r

(5.49)

entonces g00 = 1 + 1

K2 = 1 r

2 =) c2 2Gm =) rc2

2Gm c2 De esta manera la métrica de Schwarzschild está dada por K2 =

g=

1

2Gm c2 r

dx

0 2

1

2Gm c2 r

(5.50)

1

dr2

r2 d

2

(5.51)

El método utilizado para calcular la constante de integración K2 , aún cuando conduce al resultado correcto, deja la pregunta abierta de la interpretación física de la masa como fuente del campo, a través del tensor momentum-energía. Para este …n es necesario desarrollar el concepto de las leyes de conservación para el campo gravitacional. Este campo de trabajo está abierto a investigación y se dejará para un capítulo posterior su formulación.

5.2.

Teorema de Birkho¤

En este punto es importante enfatizar en que el radio de la distribución no debe aparecer en forma explícita en la solución, debido a la simetría esférica del problema. Es decir, la solución de Schwarzschild obtenida es válida solo para r > R, donde R es el radio de la

116


distribución, y de manera similar a la situación que se presenta en electrostática, el campo eléctrico en el exterior de una distribución esférica de carga, para puntos exteriores, se comporta como el campo de una carga puntual, es decir como si toda la carga estuviera concentrada en el centro, y la solución no involucra, en forma explícita, el radio de la distribución. Esta situación se puede ver mejor en el siguiente resultado debido a Birkho¤, el cual establece que la solución para el exterior de una distribución de masa esférica es la de Schwarzschild, independientemente de que esta distribución esté variando radialmente, es decir, si la distribución está colapsando o expandiéndose. Para ver esto, consideremos una situación en la cual la distribución esférica de masa total m está variando su radio en el tiempo, i.e., R = R(t), y busquemos una solución de las ecuaciones de campo de Einstein para el exterior de esta distribución, es decir, en el vacío. Dado que los elementos de simetría utilizados para construir la forma general de la solución buscada (ecuación 5.19) no se ven afectados por el comportamiento del radio de la distribución, podemos asumir que la métrica buscada tiene la forma general g = eh(r;t) c2 dt2

eg(r;t) dr2

r2 d

2

(5.52)

pero ahora las funciones h(r; t) y g(r; t) deben depender del tiempo. Si se procede como antes, es decir, si se introduce esta métrica en las ecuaciones de campo, se llega a una relación similar a la ecuación 5.39: (5.53)

h+g =0

donde la prima signi…ca derivada respecto a la coordenada r, entonces integrando h + g = cte(t) = (t) (5.54) donde ahora la constante de integración puede depender del tiempo. Así, continuando con este procedimiento se obtiene …nalmente g=e

(t)

1

2Gm c2 r

dx0

2

1

2Gm c2 r

1

dr2

r2 d

2

(5.55)

5.3. PROPIEDADES DE LA MÉTRICA

117

Si se rede…ne la coordenada temporal como t~ =

Z

1

e2

(t)

dt

(5.56)

entonces la métrica toma la forma de Schwarzschild, es decir, la métrica en el exterior de la distribución sólo depende de la masa total, y no del radio de la distribución, así este radio sea o no una función del tiempo. Este importante resultado signi…ca que la solución de Schwarzschild obtenida es la única solución que representa la métrica en el vacío producida por cualquier distribución de materia con simetría esférica.

5.3.

Propiedades de la métrica

La métrica de Schwarzschild representa la solución a las ecuaciones de campo de Einstein para el exterior de una distribución esférica de materia, y por esta razón es válida para r > R, donde R es el radio de la distribución. Sin embargo, en la expresión para la métrica (ecuación 5.51) aparece una singularidad coordenada, en el sentido que 2 el coe…ciente de (dx0 ) se anula y el coe…ciente de dr2 diverge a +1, cuando r ! 2Gm=c2 por la derecha. Este valor de la coordenada radial, denotado por rs , se conoce como radio de Schwarzschild de la distribución 2Gm (5.57) rs = 2 c el cual sólo depende de la masa total y por lo tanto es un parámetro que caracteriza la distribución, independientemente del radio R. Si se calcula el valor de este parámetro para un cuerpo como la Tierra,

118


tenemos rs =

2

10 11 m3 kg 1 s 2 5;9742 (2;99792458 108 m s 1 )2 10 3 m

6;67259

= 8: 870 8

1024 kg (5.58)

es decir, del orden de 9 milímetros, que en comparación con el radio de la Tierra, RT = 6;5 106 m, es despreciable. Esto muestra por qué esta singularidad no es relevante para los objetos celestes usuales. De hecho, Schwarzschild notó este problema que surgía en su solución y calculó de nuevo la métrica para una distribución de masa con una densidad de energía constante y obtuvo que el radio de la distribución debería ser mayor a 9rs =8, resultado que lo dejó satisfecho pues aun en este caso la singularidad no jugaba papel alguno. En 1923 Birkho¤ mostró que una solución esféricamente simétrica de las ecuaciones de campo en el vacío era necesariamente estática para r > rs y por lo tanto la solución para cualquier distribución esférica de masa no estática era la de Schwarzschild si r > rs ; por esta razón, el argumento que utilizó Schwarzschild no es válido. Sin embargo, dado que rs es muy pequeño no se esperaba encontrar una distribución de materia donde el radio de la distribución R fuera menor que rs . Pues esto implicaba, por ejemplo, que un cuerpo como la Tierra tuviera una densidad del orden de 5;9742 1024 kg 4 (8: 870 8 10 3 m)3 2: 0 1030 kg = m3

=

3

(5.59)

lo cual no se veía factible para la materia ordinaria que se conocía. Un resultado conocido de la ley de gravitación universal de Newton, debido al comportamiento de la fuerza gravitacional con el inverso del cuadrado de la distancia, es el hecho de que la fuerza sobre una masa

5.3. PROPIEDADES DE LA MÉTRICA

119

en el interior de un cascarón esférico de materia se anula. Para ver qué sucede en el caso de la relatividad general, consideremos una distribución esférica de materia de radio R, con un hueco interior concéntrico de radio a < R; entonces busquemos una solución de las ecuaciones de campo en el interior de esta cavidad. Es claro que por simetría se puede seguir el mismo procedimiento que se vió para encontrar la solución de Schwarzschild, y podemos proponer llevar los mismos argumentos hasta plantear la forma general de la solución como g = eh(r) c2 dt2

eg(r) dr2

r2 d

2

(5.60)

La primera diferencia que surge con respecto a la solución de Schwarzschild es en la condición asintótica, la cual ya no es más aplicable en el presente caso y por lo tanto en la ecuación 5.40, h + g = k~ = cte:

(5.61)

la constante k~ ya no es cero. Así, continuando con el procedimiento se encuentra (ecuación 5.46) e

g(r)

~

= e k eh(r) = 1

K2 r

(5.62)

Para hallar la solución en el interior del cascarón esférico se puede comparar la solución encontrada en la aproximación posnewtoniana con el potencial clásico, teniendo en cuenta que el potencial gravitacional newtoniano en el interior del cascarón es constante (i.e., la fuerza es cero sobre la partícula de prueba); entonces g00 = 1 + ~

g00 = ek

2 = cte: c2 K2 1 r

=) (5.63)

120


lo que implica que K2 = 0, y por lo tanto la métrica toma la forma ~

g = ek c2 dt2

dr2

r2 d

2

(5.64)

la cual, salvo un factor de escala temporal que depende del potencial constante en el interior del cascarón, se reduce a la métrica minkowskiana. Este resultado representa la versión relativista de la anulación de la fuerza gravitacional en el interior de un cascarón esférico de materia. Esta situación se puede entender como una consecuencia del comportamiento con el inverso al cuadrado de la distancia de la fuerza de gravitación universal. Este resultado justi…ca ciertas consideraciones newtonianas que se hacen en cosmología.

Capítulo 6 Pruebas de la relatividad general En esta sección se analizará el movimiento de partículas materiales de prueba y de rayos de luz (fotones) en el campo de una distribución esférica de masa, y nos concentraremos en dos efectos particulares: el corrimiento del perihelio del planeta Mercurio y la desviación de un rayo de luz que pasa muy cerca de la super…cie solar. Estos resultados constituyen los paradigmas históricos de las pruebas observacionales de la teoría general de la relatividad.

6.1.

Corrimiento del perihelio de Mercurio

Consideremos en primer lugar el cálculo de las geodésicas como de tiempo para la métrica de Schwarzschild, las cuales describen las trayectorias seguidas por partículas materiales (i.e., de masa propia diferente de cero). Estas geodésicas se pueden deducir a partir del 121

122 CAPÍTULO 6. PRUEBAS DE LA RELATIVIDAD GENERAL elemento de línea por el principio variacional 5.23: F = 1

rs r

x_ 0

2

1

rs r

1

x_ 1

2

r2 x_ 2

2

r2 sin2

x_ 3

2

(6.1)

donde x0 ; x1 ; x2 ; x3 = (ct; r; ; ')

(6.2)

y x_ = dx =ds Entonces las ecuaciones de Euler-Lagrange están dadas por ( = 0; 1; 2; 3): d @F @F (6.3) = ds @ x_ @x Considérese primero la ecuación para la coordenada x2 = , entonces d (6.4) r2 _ = r2 sin cos '_ 2 ds y por lo tanto, si las condiciones iniciales del movimiento son tales que (0) = =2 y _ (0) = 0, entonces (t) = =2, es decir, si el cuerpo se está moviendo inicialmente en el plano ecuatorial = =2 con _ (0) = 0, entonces el movimiento continúa siempre en este plano. Por esta razón, siempre se pueden elegir los ejes coordenados espaciales con el eje z normal al plano del movimiento. De esta forma se asumirá que = =2 y por lo tanto la funcional F se reduce a F = 1

rs 2 _2 ct r

1

rs r

1

r_ 2

r2 '_ 2

(6.5)

A partir de esta funcional, las ecuaciones de Euler-Lagrange para las coordenadas t y ' toman la forma d 2 r '_ = 0 ds

(6.6)

6.1. CORRIMIENTO DEL PERIHELIO DE MERCURIO d rs _ c2 1 t =0 ds r Estas ecuaciones implican entonces que

123 (6.7)

r2 '_ = L = cte:

(6.8)

rs _ t = E = cte: (6.9) r Para encontrar la ecuación para la coordenada radial, dividamos (formalmente) el elemento de arco (distancia espacio-tiempo) por ds, entonces rs _2 rs 1 2 1= 1 t 1 r_ r2 '_ 2 (6.10) r r al remplazar las ecuaciones 6.8 y 6.9 en la ecuación anterior se obtiene 1

1= 1

rs r

1

E2

1

rs r

1+

rs r

1

r_ 2

L2 r2

(6.11)

o equivalentemente r_ 2 + 1

L2 r2

= E2

(6.12)

Esta ecuación se puede escribir en la forma r_ 2 + V (r) = E 2

(6.13)

donde el potencial efectivo V (r) está dado por V (r) = 1

rs r

1+

L2 r2

(6.14)

Las ecuaciones 6.8 y 6.9 representan leyes de conservación pues para la métrica de Schwarzschild @=@t y @=@' son campos vectoriales de Killing. Este resultado se puede ver del siguiente teorema:

124 CAPÍTULO 6. PRUEBAS DE LA RELATIVIDAD GENERAL Teorema 6-1 Sea (s) una geodésica con vector tangente u = (@=@s) j y un campo vectorial de Killing, entonces g (u; ) = cte: a lo largo de la geodésica (s). Demostración: Calculemos la derivada covariante del tensor métrico a lo largo de la curva (s), entonces D g (u; ) @s

j

= ru g (u; )

= (g u ); u = g u; u + g u ; u g (ru u; ) + g (u; ru ) como la curva es una geodésica con vector tangente u, por de…nición ru u = 0, y por lo tanto ru g (u; ) = g u ; u = u u ; 1 = u u ; +u u 2

;

donde la última igualdad se obtiene del hecho que los índices y son mudos. Dado que es un campo vectorial de Killing satisface la ecuación ; + ; = 0 y por lo tanto 1 u u 2 1 = u u 2 = 0

ru g (u; ) =

;

+u u

;

+

;

;

6.1. CORRIMIENTO DEL PERIHELIO DE MERCURIO

125

lo cual demuestra el teorema. Así, para el caso de la métrica de Schwarzschild se tiene que los vectores de Killing @=@t y @=@' tienen componentes (1; 0; 0; 0) y (0; 0; 0; 1) respectivamente; por lo tanto, g (u; @=@t) = g00 u0 =

1

=

1

rs dx0 r ds rs _ t r (6.15)

= cte:

g (u; @=@') = g33 u3 dx3 = r2 ds = r2 '_ = cte:

(6.16)

Aquí se está interesado en la órbita de la partícula de prueba r = r ('), entonces dr r_ r= = (6.17) d' '_ y de las ecuaciones 6.8 y 6.13 se obtiene L2 r = E2 r4

(6.18)

V (r)

Para integrar esta ecuación se realiza el siguiente cambio de variable u=

1 r

=)

r=

u u2

(6.19)

126 CAPÍTULO 6. PRUEBAS DE LA RELATIVIDAD GENERAL entonces u2 + u2 =

E2 1 rs + 2 u + rs u 3 2 L L

(6.20)

diferenciando con respecto a ' se tiene

2uu + 2uu 2u u + u

rs u 3rs u2 u = 0 2 L rs 3 2 rs u = 0 2 2L 2

=) (6.21)

Una solución de esta ecuación corresponde a movimiento circular, i.e., u = 0 implica r = cte:, y las otras soluciones se obtienen a partir de la ecuación diferencial

u+u

3 2 rs u = 0 2

rs 2L2

(6.22)

Si se compara esta ecuación con la obtenida en mecánica newtoniana u+u

Gm =0 L2

(6.23)

donde L = r2

d' dt

(6.24)


127

y notando que r2 '_ = L, la relación entre las dos ecuaciones es rs Gm = 2 2 2 2L cL Gm = c2 (r2 ') _ 2 Gm = 2 c2 r2 d' ds Gm = d' 2 c2 r2 cdt Gm = 2 r2 d' dt Gm (6.25) = L2 donde se ha utilizado la aproximación ds ' cdt válida para velocidades pequeñas en comparación con la velocidad de la luz. Así, teniendo en cuenta la de…nición del radio de Schwarzschild rs = 2Gm=c2 , se tiene que cL = L. Se observa entonces que la ecuación relativista contiene el término adicional 3=2rs u2 , el cual, para el caso de la órbita de Mercurio, es pequeño comparado con el témino rs =2L2 , pues tomando en cuenta que ds ' cdt, tenemos 3=2rs u2 = 3L2 u2 rs =2L2 1 = 3 2 r2 '_ r 3 d' ' 2 r c dt 2 v ' 3 ?2 c 7; 7 10

2 2

8

(6.26)

128 CAPÍTULO 6. PRUEBAS DE LA RELATIVIDAD GENERAL donde v? es la velocidad de Mercurio perpendicular al radio vector. Por esta razón, se puede resolver la ecuación de movimiento relativista para la órbita de Mercurio, tratando el término 3=2rs u2 como una perturbación. La aproximación de orden cero (newtoniana) está dada por rs u(0) = (1 + e cos ') (6.27) 2L2 donde la excentricidad e está de…nida como a 1

e2 =

2L2 rs

(6.28)

siendo a el semi-eje mayor de la órbita. Introduciendo esta solución de orden cero en la ecuación diferencial para la órbita (ecuación 6.22) se tiene 3rs3 rs + (1 + e cos ')2 (6.29) u+u= 2L2 8L4 Para encontrar la solución a esta ecuación diferencial no homogénea, nótese que las siguientes tres ecuaciones diferenciales 8 K < K cos ' u+u= (6.30) : 2 K cos ' poseen las soluciones particulares

K 1 K 2

1 K' sin ' 2 1 K cos (2') 6

(6.31)

Puesto que la solución perturbativa u que se está buscando es de la forma u = u(0) + u(1) , donde u(1) es la solución de la ecuación 6.29, entonces de las tres soluciones particulares la primera K = cte no es de interés, pues solamente cambia los parámetros de la órbita no perturbada, y la tercera solución 21 K 16 K cos (2') tampoco es interesante


129

pues es periódica y por lo tanto no es observable. Así, la solución que presenta una perturbación interesante a la órbita no perturbada es la segunda, pues lleva a un cambio secular de la órbita. De esta forma la solución que se está interesado corresponde a la ecuación diferencial u+u=

3rs3 rs + e cos ' 2L2 4L4

(6.32)

la cual se obtiene a partir de la ecuación 6.29 manteniendo solamente el término en cos '. La solución a esta ecuación diferencial está dada por rs 3rs2 u= e' sin ' (6.33) 1 + e cos ' + 2L2 4L2 Teniendo en cuenta que el término 3rs2 =4L2 es pequeño para órbitas planetarias, pues, e.g., 3rs2 3rs2 = 4L2 4 (r2 ') _ 2 3rs2 = 4 (r2 ') _ 2 3rs2 c2 ' 4r2 r d' dt 7

10

8

2

(6.34)

para Mercurio, entonces se puede reescribir la ecuación 6.33 en la forma rs 3rs2 u= 1 + e cos ' ' (6.35) 2L2 4L2 El término 3rs2 '=4L2 introduce una aperiodicidad en la órbita del planeta, la cual tiene como consecuencia un corrimiento en el perihelio

130 CAPÍTULO 6. PRUEBAS DE LA RELATIVIDAD GENERAL de la órbita. El perihelio de una órbita sucede cuando r es un mínimo, o equivalentemente u es un máximo. Así, u es máximo cuando ' 1

3rs2 4L2

entonces ''

n2N

= 2 n;

1+

3rs2 4L2

(6.36)

(6.37)

2 n

y por lo tanto perihelios sucesivos ocurren a intervalos de '=2

1+

3rs2 4L2

(6.38)

y así el corrimiento del perihelio por revolución para la órbita de Mercurio es 3rs2 4L2 = 42;89=siglo

' = 2

El valor medido para Mercurio es de 42;6

6.2.

(6.39) 1;0=siglo.

Desviación de la luz por el sol

Para describir las geodésicas nulas el parámetro s no es apropiado puesto que ds = 0. Sea q un parámetro cualquiera, entonces la ecuación de las geodésicas se puede obtener a partir del principio variacional Z dx dx g dq = 0 (6.40) dq dq Así como se procedió en la sección anterior para obtener las trayectorias de partículas, se puede restringir, sin pérdida de generalidad, el

6.2. DESVIACIÓN DE LA LUZ POR EL SOL

131

movimiento de los rayos de luz al plano = =2. Entonces las ecuaciones para las coordenadas t y ' están dadas por ~ r2 '_ = cte: = h

(6.41)

rs _ ~ t = cte: = L (6.42) r La ecuación para la coordenada r se obtiene a partir de la condición ds = 0 válida para geodésicas nulas, así: 1

1

rs r

1

~2 c2 L

1

rs r

1

r_ 2

~2 h =0 r2

(6.43)

Eliminando el parámetro q, y haciendo el cambio u (') = 1=r ('), la ecuación anterior se transforma en ~2 c2 L

~ 2 u2 h

~ 2 u2 (1 h

rs u) = 0

(6.44)

y diferenciando esta ecuación con respecto a ', se tiene u u+u

3rs 2 u 2

=0

(6.45)

Descartando la solución u = cte: se obtiene …nalmente u+u=

3rs 2 u 2

(6.46)

Puesto que se está interesado en la trayectoria de rayos de luz en el campo del sol, y en particular para rayos de luz que pasan cerca de la super…cie solar, el término 3rs u=2 es pequeño 3rs u ' 10 2

6

(6.47)

132 CAPÍTULO 6. PRUEBAS DE LA RELATIVIDAD GENERAL y por lo tanto se puede considerar el término 3rs u2 =2 como una perturbación; así, la solución a la ecuación no perturbada u+u=0

(6.48)

u(0) = A cos (' + )

(6.49)

está dada por con A y constantes de integración. Esta solución representa una línea recta (no hay desviación) y si se escoge el origen de los ejes en el centro del sol, se considera un rayo proveniente de y ! 1, y se de…ne como xm n = r0 el punto de máximo acercamiento (que coincide con el parámetro de impacto), entonces la solución no perturbada se puede escribir en la forma 1 cos ' r0 r cos ' = r0 u(0) =

() (6.50)

La solución a primer orden en teoría de perturbaciones de la ecuación 6.46 se puede escribir como u = u(0) +

3rs v 2

(6.51)

donde v satisface la ecuación 2

u(0) () 1 v+v = (1 + cos 2') 2r0 v+v =

(6.52)

cuya solución es v=

2 3r02

1 cos2 ' 3r02

(6.53)


133

y por lo tanto la solución hasta términos de orden rs toma la forma u=

1 cos ' r0

rs rs 2 cos ' + 2r02 r02

(6.54)

El efecto de la perturbación es producir una desviación global de la trayectoria. El punto de máximo acercamiento está dado para ' = 0, entonces r0 rm n = 1 + 2rrs0 rs (6.55) ' r0 2 Las asíntotas de la trayectoria corresponden a los valores de ' para los cuales r ! 1 o u ! 0; así, 1 cos '1 r0

rs rs cos2 '1 + 2 = 0 2 2r0 r0 2r0 cos2 '1 2 = 0 rs

entonces cos '1

" r0 = 1 rs

s

2r2 1 + 2s r0

=)

#

(6.56)

(6.57)

Para que el cos '1 1 se toma el signo negativo y se expande el radical hasta términos de primer orden; entonces cos '1

r0 ' 1 rs rs = r0

1

rs2 r02 (6.58)

Por lo tanto el ángulo de de‡exión total está dado por =

2rs 4Gm = 2 r0 c r0

(6.59)

134 CAPÍTULO 6. PRUEBAS DE LA RELATIVIDAD GENERAL Para el caso de un rayo de luz que pasa muy cerca del sol, se obtiene para la desviación total (tomando r0 el radio del sol) = 1; 75"

(6.60)

La primera observación directa de este efecto la realizó Eddington en 1919 aprovechando el eclipse total de sol. Para las primeras observaciones de este efecto se utilizaban placas fotográ…cas de estrellas cercanas, comparando dos imágenes tomadas con seis meses de diferencia. El error observacional debido a esta técnica era apreciable, con un rango de valores entre 1; 5" y 3". En la actualidad, utilizando técnicas interferométricas (long-base-line) se alcanzan precisiones del orden de las milésimas de segundo de arco. Es importante anotar que la predicción de la desviación de la luz por un cuerpo masivo como el sol ya se había planteado en el contexto de la gravedad newtoniana. En efecto, en el modelo newtoniano corpuscular de la luz se espera que, al igual que cualquier objeto masivo, sea afectado por un campo gravitacional. Dada la equivalencia entre masa inercial y gravitacional, todos los cuerpos, independientemente de su masa, son desviados de la misma forma por la gravedad. Mitchell en 1800 calculó que un rayo de luz que pase cerca de la super…cie solar desviaba su trayectoria un ángulo dado por =

2Gm c 2 r0

(6.61)

Einstein en 1911 repitió este cálculo con gravedad euclideana, teniendo en cuenta la equivalencia masa-energía para las ondas electromagnéticas, y obtuvo el mismo resultado que Mitchell. Nótese que la predicción clásica (newtoniana) es la mitad de la predicción en relatividad general, lo cual es un hecho muy signi…cativo, pues determina un efecto que no es tán sólo una pequeña corrección a los cálculos clásicos (como es el caso que se verá para órbitas planetarias) y mani…esta en forma explícita los efectos de curvatura del espacio.


135

La primera observación realizada por Eddington en 1919, debido al error observacional tan grande (rango entre 1; 5" y 3"), no se podría considerar una prueba contundente de la relatividad general de Einstein, en el sentido de probar la predicción de 1; 75". Sin embargo, esta observación de 1919 es considerada una de las pruebas clásicas de la relatividad general. Esta situación se puede entender en el sentido que la expedición de 1919 liderada por Eddington tenía como objetivo primordial determinar si existía o no el fenómeno de desviación de la luz por un campo gravitacional, y teniendo en cuenta que la predicción newtoniana es la mitad que la propuesta por Einstein, el experimento sí podía decidir sobre estas dos posibilidades. La desviación de la luz por un cuerpo masivo, y en particular el resultado obtenido por Einstein del ángulo de desviación de la luz por un cuerpo esféricamente simétrico E

=

4Gm c 2 r0

llamado ángulo de Einstein, es el punto de partida para estudiar lentes gravitacionales, un campo de aplicación de la relatividad general que ha cobrado recientemente una gran importancia para la astronomía observacional.

136 CAPÍTULO 6. PRUEBAS DE LA RELATIVIDAD GENERAL

Parte III Aplicaciones astrofísicas

137

Capítulo 7 Colapso gravitacional En el capítulo anterior, en la sección sobre características de la solución de Schwarzschild, se vió que la aparente singunlaridad que presenta la métrica para r = rs no se consideraba signi…cativa, pues esto implicaba densidades de materia extremadamente altas que no se esperaba que se presentaran en el universo, como lo estableció Schwarzschild. En este capítulo se presentarán algunos resultados sobre el comportamiento de la métrica en el interior de una distribución esférica de materia y se analizarán sus consecuencias. En particular, se verá que en relatividad general se predice que bajo ciertas condiciones (densidad crítica) el colapso es inevitable. Se estudiarán las propiedades más signi…cativas de los agujeros negros y se expondran los resultados más importantes sobre el comportamiento de una partícula de prueba en el campo de un agujero negro. 139

140

7.1.

CAPÍTULO 7. COLAPSO GRAVITACIONAL

El tensor momentum-energía

Consideremos en primer lugar el modelo más simple de ‡uido (campo de materia) constituido por partículas no interactuantes y sobre las cuales no actúa fuerza externa y trabajemos inicialmente en el contexto de la teoría especial de la relatividad. Describir físicamente el ‡uido, signi…ca conocer la trayectoria en función del tiempo de un elemento de masa de este ‡uido medida por algún observador inercial. En estas condiciones, para una descripción covariante del ‡uido, éste se puede describir por una función densidad de energía propia 0 (x) y un campo vectorial de cuadrivelocidad U (x). 0 (x) signi…ca la densidad que mide un observador inercial que se mueve con el ‡uido, es decir, 0 (x)

= c2 dm0 =dV0

(7.1)

donde dm0 es la masa propia contenida en el elemento de volumen propio dV0 situado en el punto de coordenadas (x1 ; x2 ; x3 ) en el instante t, i.e. x = (ct; x1 ; x2 ; x3 ) = (x0 ; x1 ; x2 ; x3 ) (7.2) y U (x) =

dx dx =c d ds

(7.3)

U U = c2 es la cuadrivelocidad de este elemento de masa, donde ds2 = dx0

2

dx1

2

dx2

2

dx3

2

(7.4)

El tensor simétrico de momentum-energía que describe el ‡uido está dado por 1 (7.5) T = 2 0 (x)U (x)U (x) c

7.1. EL TENSOR MOMENTUM-ENERGÍA

141

Para ver la interpretación física del tensor momentum-energía se considerará en primer lugar la componente T 00 =

1 c2

0 0 0U U =

dx0 dx0 0 ds ds

(7.6)

Teniendo en cuenta la ecuación 7.4, dx0 dt = c =c ds ds = c c2

ds dt 1=2

~u2

1

= (~u)

(7.7)

entonces T 00 =

2 0

donde (~u) = q

(~u)

1

(7.8) (7.9)

~ u2 c2

1

es el factor gamma de Lorentz de la velocidad del ‡uido ~u en el punto x. Esta cantidad se interpreta como la densidad de energía relativista del ‡uido en el punto x, pues 0 c2 es la densidad de energía propia y un factor surge por el aumento de la masa con la velocidad y el segundo factor por la contracción del volumen. Para interpretar físicamente las otras componentes considérese primero los términos 1 c2 1 = 2 c

T 0i =

=

0

=

0

0U

0

Ui

dx0 dxi ds ds dxi dt (~u) dt ds ui 2 (~u) c 2 0c

(7.10)

142


donde ui es la componente i esima de la velocidad del ‡uido. De manera similar las otras componentes del tensor están dadas por T ij = = Por lo tanto, el tensor ractuante toma la forma 0 1 B ux =c T = 0 2B @ uy =c uz =c

1 c2

0U 2u

i

Uj

i j

u c2

0

(7.11)

momentum-energía para el ‡uido no inte1 ux =c uy =c uz =c u2x =c2 ux uy =c2 ux uz =c2 C C uy ux =c2 u2y =c2 uy uyz =c2 A uz ux =c2 uz uy =c2 u2z =c2

(7.12)

La interpretación física del tensor momentum-energía se basa en la ecuación de conservación @T @x por

T

;

=0

(7.13)

Considérese primero la componente 0 de esta ecuación (denotemos = 0 c2 2 ): 0 = T0

; 00

@T @T 01 @T 02 @T 03 + + + @x0 @x1 @x2 @x3 1 @ ~ ( ~u) = +r c @t =

(7.14)

entonces esta ecuación representa la conservación de la masa-energía y corresponde a la ecuación de continuidad de la hidrodinámica clásica.

7.1. EL TENSOR MOMENTUM-ENERGÍA

143

Para ver el signi…cado de las otras tres componentes de la ecuación 7.13 se escribe la componente i, i = 1; 2; 3 en forma explícita (con la notación u1 = ux etc.): Ti

;

@T i0 @T i1 @T i2 @T i3 + + + @x0 @x1 @x2 @x3 1 @ ( u i ) @ ( ux u i ) @ ( uy ui ) @ ( uz ui ) = 2 + + + c @t @x @y @z i i i i @ (u ) @ (u ) @ (u ) @ (u ) + ux + uy + uz = 2 + c @t @x @y @z ui @ @ ( ux ) @ ( uy ) @ ( uz ) + + + (7.15) 2 c @t @x @y @z =

el segundo término de la última igualdad es cero debido a la ecuación de continuidad, así esta ecuación se puede escribir en la forma Ti

;

=

c2

@ (ui ) ~ i + ~u ru @t

(7.16)

Esta ecuación también es usual en la hidrodinámica y representa el movimiento de un campo de materia libre de fuerzas, y por tanto corresponde a la conservación del momentum. El operador @ D ~ $ + ~u r Dt @t

(7.17)

se llama derivada de Euler. Así la ecuación T i ; = 0 se puede escribir como Dui @ (ui ) ~ i = 0; i = 1; 2; 3 = + ~u ru (7.18) Dt @t Esta ecuación, llamada ecuación de Euler, es una consecuencia del principio de conservación del momentum. Por lo tanto, la ecuación 7.13 representa las leyes de conservación de energía y momentum.

144


Consideremos ahora la descripción de un ‡uido perfecto sobre el cual actúan fuerzas internas descritas por la presión. Un ‡uido perfecto se de…ne como aquel para el cual un observador que se mueve con la velocidad v del ‡uido en un punto ve el ‡uido isotrópico. Esta de…nición supone que el camino libre medio entre colisiones de las partículas que componen el ‡uido es pequeño en comparación con la escala de longitud utilizada por el observador. Así un ‡uido perfecto queda descrito por la función densidad propia 0 (x), el campo de cuadrivelocidades U y el campo escalar de presión propia p0 (x). Para encontrar la forma general del tensor momentum-energía, considérese un observador con respecto al cual un elemento de volumen del ‡uido situado en un punto x del espacio-tiempo está en reposo. Entonces, por hipótesis de ‡uido perfecto (isotrópico) en el sistema de referencia propio, el tensor toma la forma 2

0

6 0 T0 = 6 4 0 0

3 0 0 0 p0 0 0 7 7 0 p0 0 5 0 0 p0

(7.19)

donde el subíndice cero se re…ere al sistema de referencia propio. Transformando el sistema de referencia del laboratorio con respecto al cual el ‡uido en el punto x se está moviendo con velocidad ~u, tenemos T = (~u) (~u) T0 (7.20) donde los coe…cientes de la transformación de Lorentz están dados por 2

6 6 =6 4

x y z

x 2 1 + ux (u2 1) ux uy ( 1) u2 ux uz ( 1) u2

y ux uy ( 1) u2 u2y ( 1) 1 + u2 uy uz ( 1) u2

z ux uz ( 1) u2 uy uz ( 1) u2 u2z ( 1) 1 + u2

3 7 7 7 5

(7.21)

7.2. MOVIMIENTO GEODÉSICO

145

con = (~u) y i = ui =c. Entonces las componentes del tensor momentum-energía son T

=

1 c2

0U

U + p0

1 U U c2

(7.22)

donde U es la cuadrivelocidad del ‡uido en el punto x, y satisface la ecuación de conservación T =0 (7.23) @x La generalización del tensor momentum-energía al espacio-tiempo curvo es inmediata: T

=

0U

1 U U c2

U + p0

g

(7.24)

con la ecuación de conservación local T

;

=0

(7.25)

En el capítulo sobre cosmología se trabajará el ‡uido perfecto como un modelo para describir la materia del universo.

7.2.

Movimiento geodésico

Como postulados básicos de la relatividad general están las ecuaciones de campo de Einstein, las cuales determinan la métrica a partir del tensor momentum-energía de la materia, y el postulado del movimiento geodésico de una partícula de prueba libre de fuerzas, i.e., de una partícula en caída libre. En esta sección se verá cómo las ecuaciones de campo de Einstein contienen el movimiento geodésico de las partículas de materia, las cuales determinan a su vez el tensor métrico. Esta situación era de

146


esperarse teniendo en cuenta el carácter no lineal de las ecuaciones de campo. Es decir, si se considera una distribución de materia y se estudia el movimiento de una partícula de prueba (que forma parte de la distribución de materia), entonces la partícula de prueba debe seguir una geodésica de la variedad, la cual está determinada por el tensor métrico (el campo gravitacional); así se espera que las ecuaciones de campo determinen el movimiento de las partículas, que a su vez determinan el campo. El carácter no lineal de las ecuaciones de campo signi…ca que no es válido el principio de superposición, el cual está en la base de la gravedad newtoniana. Esto signi…ca que si a un sistema dado, i.e. una distribución de materia, que produce un campo gravitacional, se le adiciona una partícula, entonces el nuevo campo gravitacional no es la superposición del campo gravitacional de la distribución más el campo producido por la partícula. En este punto es importante anotar que cuando se resolvió el problema del campo producido por una distribución esférica de materia (métrica de Schwarzschild) y se estudió el movimiento de partículas de prueba, trayectorias de planetas y desviación de un rayo de luz, se asumió la aproximación que estas partículas (el planeta o el fotón) no afectaban apreciablemente el campo de la distribución esférica de materia. Para simpli…car, consideremos un gas de partículas puntuales no interactuantes (a parte de su propia interacción gravitacional) descrito por el tensor momentum-energía 7.5: T

=

1 c2

0 (x)U

(x)U (x)

(7.26)

entonces las ecuaciones de campo de Einstein G

=

8 G T c4

(7.27)

7.2. MOVIMIENTO GEODÉSICO

147

garantizan que se cumpla la ecuación T

;

(7.28)

=0

Para ver las consecuencias de esta ecuación sobre el movimiento de las partículas que conforman el ‡uido, se escribe de manera explícita la ecuación 7.28 para el tensor 7.26: ( 0 U ); U +

0U

U

(7.29)

=0

;

Teniendo en cuenta que la cuadrivelocidad satisface la relación U U

= g U U dx dx g = d d dx dx = c2 g ds ds = c2

(7.30)

entonces tomando la derivada covariante de esta ecuación y contrayendo con el cuadrivector U , tenemos 0 = (U U ); U =

g U U

;

U

= g U U ; +g U = 2U ; U U

;

U

U

(7.31)

multiplicando la ecuación 7.29 por U tenemos ( 0 U ); U U + 0 U U ; U ( 0 U ); U U

= =

( 0 U ); c2 = 0

(7.32)

148


es decir, la cantidad 0 U , la cual se interpreta como la conservación de la densidad de momentum, implica que en la ecuación 7.29 el segundo término debe ser nulo U U ; =0 (7.33) Escribiendo esta ecuación en forma explícita tenemos que U

U

;

+

U

(7.34)

=0

Dado que el cuadrivector U representa la cuadrivelocidad de una partícula del gas, entonces U =

dx dx =c d ds

(7.35)

por tanto, la ecuación 7.34 se puede escribir en la forma dx @ ds @x

dx dx dx + ds ds ds 2 dx dx dx + ds2 ds ds

= = 0

(7.36)

la cual corresponde a la ecuación geodésica para las partículas del ‡uido, como se quería mostrar.

7.3.

Métrica interior de una masa esférica

Considérese ahora la solución de las ecuaciones de campo de Einstein para el interior de una distribución esférica de materia, donde se asume que la materia está descrita por el tensor T

=

1 p U U + 2 (U U 2 c c

g )

(7.37)

7.3. MÉTRICA INTERIOR DE UNA MASA ESFÉRICA

149

con = (r) y

(7.38)

p = p(r)

y la ecuación de estado (7.39)

f ( ; p) = 0

Dada la simetría esférica del problema se puede mostrar (en forma similar al caso de la métrica de Schwarzschild) que las componentes del tensor métrico para el interior de la distribución deben tener la forma general g = g00 c2 dt2 grr dr2 r2 d 2 (7.40) en coordenadas espaciales esféricas, y ahora las funciones g00 y grr se determinan a partir de las ecuaciones de campo de Einstein. Como se está asumiendo que la materia está descrita por un tensor momentum-energía para un ‡uido perfecto (ecuación 7.37) y la distribución es estática, entonces en las coordenadas elegidas las partículas del ‡uido están en reposo y por lo tanto las componentes del cuadrivector velocidad son U = (U 0 ; 0; 0; 0)

(7.41)

Así, sobre la línea de universo de cada partícula del ‡uido la relación entre el tiempo propio y la coordenada temporal está dada por ds2 = g00 dx0

2

= g00 c2 dt2

(7.42)

y como c2 = U 2 = g U U = g00 U 0

2

(7.43)

entonces las componentes covariantes de la cuadrivelocidad toman la forma U = g U =) p U0 = g0 U = g00 U 0 = c g00 Ui = 0 i = 1; 2; 3

(7.44)

150


Con estas relaciones las componentes mentum-energía están dadas por p T = U U + 2 (U U g ) 0 c 1 g00 0 0 0 B 1 0 0 0 0 C C p = 2 B @ 0 0 0 0 A c2 c 0 0 0 0

covariantes del tensor mo-

0

1 0 0 0 0 B 0 g11 0 0 C B C @ 0 0 g22 0 A(7.45) 0 0 0 g33

Teniendo en cuenta la ecuación 7.40 para el tensor métrico, se tiene 1 0 1 g 0 0 0 00 2 c p C B 0 g 0 0 c2 rr C B (7.46) T =@ p 2 A r 0 0 0 2 c p 2 0 0 0 r sin2 c2

el cual describe un ‡uido perfecto en reposo. Para obtener las funciones desconocidas g00 y grr se utilizan las ecuaciones de campo de Einstein 1 g R= 2

R

8 G T c4

(7.47)

las cuales se pueden escribir en forma equivalente como (problema) R

=

8 G c4

T

1 g T 2

(7.48)

donde T =T es la traza del tensor momentum-energía, la cual se obtiene fácilmente a partir de la ecuación 7.46: T = g T =

c2

3p c2

(7.49)


151

Entonces los términos no nulos del lado derecho de las ecuaciones de campo 7.48 son ( = 8 G=c4 ) T00

1 g00 T 2

1 g00 2 3p + 2 c

3p c2

p 1 grr + grr 2 c 2 p 1 grr = 2 c2

3p c2

=

g00 1 g00 2

=

T11

1 g11 T 2

T22

T33

1 g22 T 2

1 g33 T 2

(7.50)

=

(7.51)

p 2 1 2 r + r c2 2 p 1 2 r = 2 c2

3p c2

=

(7.52)

p 2 2 1 r sin + r2 sin2 2 c 2 1 2 2 p r sin = 2 c2

=

3p c2 (7.53)

Las componentes del tensor de Riemann no nulas ya fueron obtenidas cuando se trabajó la métrica de Schwarzschild R00 =

eh g 2

h

1 2 1 h + hg 2 2

1 1 R11 = h + h2 2 4

1 hg 4

2 h r 1 g r

(7.54) (7.55)

152

CAPÍTULO 7. COLAPSO GRAVITACIONAL g

R22 = e

1+

rh 2

rg 2

(7.56)

1

R33 = R22 sin2

(7.57)

donde se utilizan las de…niciones g00 = eh(r) grr = eg(r) :

(7.58) (7.59)

Entonces las ecuaciones de campo de Einstein toman la forma e

g

e

g

e

h2 hg + 4 4

h 2

1 1 h + h2 2 4 g

h 1 + r2 2r

h r

=

1 hg 4

g r

g 2r

1 = r2

2

=

2 2

+

3p 2c2 p 2c2 p 2c2

(7.60) (7.61) (7.62)

donde la última ecuación para la componente R33 no contribuye pues es proporcional a la ecuación para R22 . Para resolver este sistema de ecuaciones acopladas, se suma en primer lugar las ecuaciones 7.60 y 7.61 para obtener e

h r

g

g r

=

+

p c2

(7.63)

y sumando y restando esta ecuación con la ecuación 7.62, para despejar y p respectivamente, se tiene e 1 r2

g

1 r2 e

g

g r 1 h + 2 r r

1 = r2 =

(7.64) p c2

(7.65)


153

La tercera ecuación diferencial se obtiene restando las ecuaciones 7.61 y 7.62, e

g

1 1 h + h2 2 4

1 hg 4

g+h 2r

1 r2

+

1 =0 r2

(7.66)

la cual es independiente de la densidad y la presión. Este sistema de tres ecuaciones acopladas más la ecuación de estado determinan la métrica en términos de las propiedades de la materia que se quiera modelar a través de la función (r) y constituyen de esta forma el punto de partida para estudiar diferentes modelos de estructura estelar. Teniendo en cuenta que la métrica para el exterior de una distribución esférica de materia está dada por la métrica de Schwarzschild, por continuidad de la métrica de…namos la función m(r) por e

g

=1

2Gm(r) c2 r

(7.67)

Para interpretar el signi…cado de esta función calculemos su derivada: c2 d r 1 e g 2G dr c2 1 e g + rg e g = 2G c2 = e g (1 rg ) + 1 2G g 1 1 4 r2 = e g 2 r r r2

m(r) =

donde

=

(7.68)

8 G=c2 . Comparando esta ecuación con 7.64 tenemos que m(r) = 4 r2

(7.69)

154


entonces, integrando esta ecuación, con la condición m(0) = 0 para quitar la singularidad en r = 0, obtenemos Z r Z m 4 r2 (r)dr (7.70) dm = m(r) = 0

0

Aun cuando esta expresión corresponde en gravedad newtoniana a la masa contenida en una esfera de radio r, esta cantidad, llamada masa geométrica, no corresponde a la masa propia contenida en el volumen esférico de radio r pues el elemento de volumen propio está dado por p dV = j 3 gjd3 x 1=2 2 = grr r sin drd d' (7.71) donde j 3 gj es el determinante del tensor métrico espacial, y por lo tanto la masa propia contenida en el radio r está dada por Z 2 Z Z r (r)dV mp (r) = 0

= 4

Z

0

0 r

0

(r)r

2

1

2Gm(r) c2 r

1=2

dr

(7.72)

Notemos que la masa propia siempre es mayor que la masa geométrica, y su diferencia EL = mp c2 mc2 (7.73) se puede interpretar como la energía de ligadura gravitacional. Si se integra hasta la super…cie de la distribución de materia de radio R se puede identi…car m(R) con la masa total de cuerpo y se obtiene la solución de Schwarzschild. De esta forma se obtiene una solución continua en todo el espacio. Como se vió, para encontrar una solución explícita para la métrica se requiere conocer la ecuación de estado de la materia; sin embargo,


155

con la función de masa geométrica encontrada se puede obtener una ecuación para la derivada de la presión, en términos de , p, m y r, la cual permitirá llegar a resultados generales muy importantes en estructura estelar. Despejando h de la ecuación 7.65 y tomando en cuenta 7.67 se llega a la ecuación

= = =

p c2

1 r2

h = reg

2Gm(r) c2 r

1

1 r 1

1 8 Gpr + r c4

1 r

2Gm(r) c2 r 2 2Gm(r) 1 c2 r 3 2Gm(r) + 8 Gpr c2 c4 r r 2Gm(r) c2

8 Gpr c4

+

(7.74)

Para relacionar la derivada de la presión con h, derivemos la ecuación 7.65 respecto a r: p = c2

2 +e r3

g

hg 2 h + 3+ 2 r r r

g r2

h r

(7.75)

utilizando la ecuación 7.66 para eliminar h, tenemos p = c2 =

2 +e r3

g

g+

2 h + 2 3 r r

1 g e h (g + h) 2r

e

gh

r (7.76)

Comparando esta ecuación con 7.63 se obtiene p 1 = 2 c 2

+

p h c2

(7.77)

156


Si se despeja p de esta ecuación y se remplaza h dado por la ecuación 7.74, se obtiene …nalmente

p=

Gm(r) c2

+

4 Gpr3 c4

r r

+

p c2

c2

2Gm(r) c2

(7.78)

que es la ecuación de equilibrio hidrostático de Tolman-OppenheimerVolko¤ (TOV). Para ver el signi…cado físico de la ecuación de TOV, veamos que ésta corresponde a la generalización relativista de la ecuación de equilibrio hidrostático de Newton para una distribución uniforme de materia. Considérese una distribución uniforme de materia en equilibrio en el contexto de la gravedad newtoniana. Sea dm la masa de un elemento de volumen dV = dAdr (como se muestra en la …gura) situado a una distancia r del centro. Las fuerzas que actúan sobre este elemento de masa son: su peso Gm(r)dm r^ (7.79) dF~ = r2 donde m(r) es la masa de la distribución contenida en un volumen de radio r, y las fuerzas de presión p(r + dr)dA^ r sobre la cara superior de área dA y +p(r)dA^ r sobre la cara inferior. Entonces, la condición de equilibrio signi…ca Gm(r)dm r^ r2

p(r + dr)dA^ r + p(r)dA^ r=0

(7.80)


157

y teniendo en cuenta que dm = dV se obtiene

Gm(r) (7.81) r2 que representa la ecuación newtoniana de equilibrio hidrostático. Si se considera el límite no relativista de la ecuación de TOV, es decir para v << c, entonces se obtiene la ecuación de equilibrio newtoniana. En resumen, para encontrar la métrica en el interior de una distribución esféricamente simétrica de materia y su con…guración de equilibrio, donde el valor para la densidad central c y presión central pc se …jan arbitrariamente, se siguen estos pasos: p(r) =

1. Se debe conocer la ecuación de estado (7.82)

p = p( )

2. A partir de esta función se integran las ecuaciones para la masa geométrica Z m Z r m(r) = dm = 4 r2 (r)dr (7.83) 0

0

y para el gradiente de presión p=

Gm(r) c2

+

4 Gpr3 c4

r r

2Gm(r) c2

+

p c2

c2 (7.84)

desde r = 0 hasta la super…cie de la estrella donde (R) = p(R) = 0.

158


3. Finalmente, se resuelve la ecuación para h(r):

h=

2Gm(r) c2

r r

8 Gpr3 c4 2Gm(r) c2

+

(7.85)

sujeta a la condición de frontera que para r = R la métrica interna se debe reducir a la métrica externa dada por Schwarzschild. Aún cuando la con…guración de equilibrio newtoniana es un caso límite de la relativista (ecuación de TOV), surge una diferencia fundamental, en el sentido que la ecuación newtoniana permite siempre una con…guración de equilibrio para cualquier valor de la densidad y del radio de la distribución, mientras que la ecuación relativista impone un límite máximo, a partir del cual no es posible una con…guración de equilibrio, i.e. para un radio dado existe una masa dada, a partir de la cual el colapso es inevitable. Para ver cómo surge esta situación, considérese un ejemplo donde la densidad es uniforme: =

0

0

r R r>R

(7.86)

y por lo tanto integrando 7.83 se obtiene m(r) =

4 3 r 3

0

(7.87)

el cual es un resultado válido tanto para el caso relativista como para el newtoniano. Con este resultado se integra primero la ecuación de equilibrio

7.3. MÉTRICA INTERIOR DE UNA MASA ESFÉRICA hidrostático newtoniana 7.81 Z p(r) dp(r) =

Z

159

r

Gm(r) dr r2 R r r2 4 G 20 3 2 R

0

=

2 G 20 R2 r2 (7.88) 3 por lo tanto, la presión central en el caso newtoniano para una estrella de densidad uniforme está dada por 2 G 20 R2 (7.89) pc = p(0) = 3 Esta presión también se puede expresar en términos de la masa total M y la densidad, o la masa total y el radio de la estrella: =

1=3

pc =

6

GM 2=3

4=3 0

(7.90)

3 M2 G 4 (7.91) pc = 8 R Nótese que la presión central siempre es …nita para todos los valores de densidad, masa y/o radio. La ecuación relativista de equilibrio se puede integrar en forma exacta, obteniendo q q 8 G 0 2 8 G 0 2 1 R 1 r 3c2 3c2 2 q (7.92) p = 0c q 1 8 3cG2 0 r2 3 1 8 3cG2 0 R2

Remplazando la densidad en términos de la masa total y el radio de la estrella, se tiene q q 1 2GM 1 2GM r2 2 c R c2 R 3 2 q (7.93) p = 0c q 2GM 2 1 2GM r 3 1 c2 R 3 c2 R

160


Por lo tanto, la presión en el centro de la distribución, requerida para el equilibrio, está dada por q 1 8 3cG2 0 R2 1 2 q pc = 0 c (7.94) 1 3 1 8 3cG2 0 R2

en términos de la densidad, y por q pc =

0c

2

1

2GM c2 R

1

q 3 1

1 (7.95) 2GM c2 R

en términos de la masa total. Nótese que la ecuación 7.94 se reduce, para bajas velocidades, a pc ' '

2 0c

2 G 3

2

4 G 0 2 R 3c2 4 G 0 2 + c2 R

2 2 0R

lo cual corresponde al límite newtoniano. Sin embargo, la presión central relativista, a diferencia de la newtoniana, diverge para (ver ecuación 7.95) r 2GM 3 1 =1 (7.96) c2 R esto signi…ca que si un objeto de masa dada colapsa hasta alcanzar un radio de 9GM R= (7.97) 4c2 entonces se requeriría una presión in…nita para mantener el equilibrio, es decir el colapso sería inevitable, o equivalentemente un objeto de


161

esta masa y radio no puede existir. Este resultado relativista de la existencia de una cota superior para la masa se debe al modelo simpli…cado de un objeto con densidad uniforme, que por cierto está lejos de ser un modelo realista de un objeto celeste típico. De hecho, para un objeto como una estrella, en cualquiera de sus etapas de evolución, se espera que la densidad aumente hacia su interior. En términos más generales: si se considera una distribución esférica de masa monotónicamente decreciente d =dr 0 entonces se debe tener que 0, pues al llegar a la super…cie del cuerpo la solución debe coincidir con Schwarzschild para la cual = 0. Inversamente, si se supone que se tiene un ‡uido con 0 descrito por una ecuación de estado p = p( ) con p 0 y dp=d 0, entonces la ecuación 7.84 implica dp=dr 0 y por lo tanto d =dr 0. Se puede mostrar que bajo la suposición general de una distribución esférica de masa no negativa 0 y por tanto monótona decreciente de r, existen dos tipos de límites superiores para la masa de una estrella en relatividad general: el primero, para una estrella de radio R dado, la máxima masa posible es Mmax =

4Rc2 9G

(7.98)

y el segundo, dada una ecuación de estado razonable para densidades por debajo de alguna densidad dada 0 existe un límite superior de la masa cuando la densidad alcanza valores superiores a 0 independiente de la ecuación de estado. Es importante anotar en este punto que, clásicamente, para cada ecuación de estado hay un límite superior de la masa para la cual la presión central no puede mantener el equilibrio y el colapso es inevitable, pero lo que establece la relatividad general es que aparece un límite superior de la masa independiente de la ecuación de estado, lo cual indica un colapso inevitable independientemente de las condiciones físicas de la materia, i.e. de la ecuación de estado asumida. Para …nalizar esta sección veamos algunos resultados cualitativos

162


del colapso estelar. Para esto consideremos primero una distribución de materia fría, esto es, los efectos de la presión de radiación serán despreciados. Es conocido el comportamiento de la materia para densidades por debajo de la densidad de la materia nuclear ( 1014 grcm 3 ). Para esta situación la contribución dominante a la presión proviene de la presión de degeneración electrónica. Para una densidad ne de electrones baja ne m3e c3 =~3 1031 cm 3 (7.99) la presión de degeneración está dada por 2=3

~2 (3 2 ) p= 5me

n5=3 e

(7.100)

mientras que para densidades mayores a 1031 cm 3 la presión toma la forma 1=3 ~c (3 2 ) n4=3 (7.101) p= e 4 Esta presión del gas de electrones es la que en últimas determina las con…guraciones de equilibrio de las estrellas hasta un cierto límite de masa, calculado por primera vez por Chandrasekhar en 1939, y dado por la relación Mc ' 1;4

2 N

2

Ms

(7.102)

donde N es el número de nucleones por electrón y Ms 2 1033 gr la masa solar. En la …gura 7.2 se muestra un grá…co cualitativo del comportamiento de las posibles con…guraciones de una estrella, con la masa en unidades de la masa solar en función del radio de la estrella. La parte de la curva entre los puntos 1 y 2 representa las con…guraciones de equilibrio soportadas por la presión del gas de electrones y corresponden a las estrellas conocidas como enanas blancas. A partir del punto


163

2, que representa el límite de Chandrasekhar para enanas blancas, si la densidad sigue aumentando se entra en una situación donde no se puede alcanzar una con…guración de equilibrio, es decir, la presión del gas de electrones ya no es su…ciente para mantener el equilibrio y la masa comienza a colapsar. En esta situación se inicia una reacción de conversión de electrones y protones en neutrones p + e ! n+ e donde e son neutrinos. Cuando la densidad de la materia se acerca a la densidad nuclear, se alcanza el punto 3 de la curva, a partir del cual se entra en una región de con…guraciones de equilibrio, donde ahora es la presión del gas degenerado de neutrones la que mantiene el equilibrio. Esta es la región de las estrellas neutrónicas. El punto 4 de la curva representa la máxima masa a partir de la cual el equilibrio se pierde y el colapso es inevitable. Este valor máximo tiene una mayor incertidumbre debido a que la ecuación de estado para la materia no se conoce. Sin embargo, se ha calculado un límite superior del orden de 5Ms . El análisis anterior se realizó para materia fría. En la realidad la componente fundamental para la presión proviene de la radiación debido a las reacciones nucleares que tienen lugar al interior de las estrellas y por tanto los límites superiores de masas son mayores. Pero debido a que esta radiación escapa de las estrellas, éstas se van enfriando y los cálculos anteriores para materia fría se aplican. Por ejemplo, si la masa de la estrella es inferior al límite de Chandrasekhar, la estrella se enfriaría lentamente hasta apagarse, llegando a una con…guración …nal de enana blanca. Pero si la masa es superior a este límite, comenzaría un proceso muy lento de colapso, mientras la estrella radia, y luego entraría en la etapa de una estrella neutrónica. En este proceso, debido a la fusión nuclear del hidrógeno en helio y luego en núcleos más pesados, se forma una corteza de níquel y hierro, la cual es mantenida en equilibrio por la presión del gas de neutrones. En esta fase del colapso, de la corteza de níquel y hierro, es probable que se produzca una onda de choque que se propaga desde el interior

164


de la estrella, expulsando la materia exterior a la corteza y dando lugar a un evento de supernova.

Capítulo 8 Agujeros negros Como vimos en el capítulo anterior, el colapso gravitacional de estrellas cuya masa supera el límite de Chandrasekhar es inevitable, pues, independientemente de la ecuación de estado que rige para la materia, no es posible alcanzar una con…guración de equilibrio. En este punto surgen dos preguntas fundamentales: ¿cuál es el estado …nal de un objeto que colapsa? y ¿cómo se describe la métrica del campo gravitacional de este objeto? Teniendo en cuenta el teorema de Birkho¤ (visto en el capítulo 5), sabemos que la única solución para el exterior de una distribución esférica de materia está dada por la métrica de Schwarzschild. Esto signi…ca que el campo gravitacional en el exterior de un objeto bajo colapso esféricamente simétrico está dado por la métrica de Schwarzschild, lo cual respondería a la segunda pregunta. Por tanto, dedicaremos la primera sección a complementar el estudio de las propiedades de esta métrica. Los resultados de esta sección nos darán, de paso, una respuesta a la primera pregunta: el resultado …nal de una estrella que colapsa es un estado de densidad in…nita y radio cero, denominada una singularidad o agujero negro, que deja como único parámetro observable la masa total. Evidentemente esta respuesta, más que resolver 165

166

CAPÍTULO 8. AGUJEROS NEGROS

la pregunta, plantea nuevos interrogantes, los cuales han dado lugar a nuevos campos de investigación, tanto en el ámbito matémático (estructura matemática del espacio-tiempo y teoría de singularidades) como en la construcción de una teoría cuántica de la gravedad y el papel fundamental de los agujeros negros en la astronomía y astrofísica observacional.

8.1.

Agujero negro de Schwarzschild

En el capítulo 4 encontramos la solución de las ecuaciones de campo de Einstein para el exterior de una distribución esférica de materia, dada por la métrica se Schwarzschild: g=

1

2Gm c2 r

dx0

2

1

2Gm c2 r

1

dr2

r2 d

2

(8.1)

La métrica presenta dos comportamientos singulares: el primero para el radio 2Gm (8.2) r rs = 2 c llamado el radio de Schwarzschild y el segundo para r = 0. Esto quiere decir que los coe…cientes del tensor métrico divergen o se anulan. Además, cuando la coordenada radial r toma valores entre 0 y rs , los signos de los coe…cientes métricos g00 y grr cambian y por lo tanto la coordenada radial r pasa ahora a tomar el carácter de una coordenada temporal y la coordenada t toma el carácter de una coordenada espacial. Este comportamiento de la métrica y su signi…cado debe ser cuidadosamente analizado, pues la interpretación física debe ser independiente de las coordenadas. Un primer resultado importante que podemos obtener es el cálculo de las componentes del tensor de Riemann, evaluadas en el radio de

8.1. AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD

167

1 1 Schwarzschild rs . Por ejemplo, las componentes R212 = R313 están dadas por: 1 1 R212 = R313

1 = r

1

2Gm c2 r

d dr

2Gm c2 r

ln 1

1

!

1 r3

(8.3)

las cuales son …nitas para r ! rs = 2Gm=c2 , pero divergen para r ! 0. Antes de continuar con el comportamiento de la métrica para coordenadas radiales menores que el radio de Schwarzschild, consideremos la trayectoria de una partícula que cae radialmente desde un punto con r0 > rs . Del intervalo espacio-tiempo para la métrica de Schwarzschild, una partícula en movimiento radial, d 2 = 0, y por lo tanto 2

2

ds = c d

2

=

1

2Gm c2 r

dx

0 2

1

2Gm c2 r

1

dr2

(8.4)

La ecuación para la geodésica radial está dada por la ecuación 6.12 con L2 = 0, entonces rs r

r_ 2 + 1

= E2

(8.5)

Consideremos una partícula de prueba que se deja caer libremente desde un punto r = R; entonces, de la ecuación anterior tenemos que la constante E está dada por 1

rs R

= E2

(8.6)

y por lo tanto la ecuación de movimiento radial toma la forma r_ =

rs r

rs R

1=2

(8.7)

168


Teniendo en cuenta que r_ =

dr dr = ds cd

(8.8)

podemos integrar la ecuación 8.7 en forma paramétrica r= =

1 c

R (1 + cos ) 2 R3 4rs

(8.9)

1=2

( + sin )

(8.10)

con la condición inicial r( = 0) = R y ( = 0) = 0. Cuando la partícula alcanza el origen r = 0, entonces = y el tiempo propio es …nito 1=2 R3 (8.11) = 2c rs es decir, para un reloj que viaja con la partícula, ésta cae en un tiempo …nito. Calculemos ahora el tiempo coordenado, el cual corresponde al tiempo medido por un observador situado en la región asintótica (i.e. lejos de la masa). Para este …n, consideremos la ecuación 6.9 para la coordenada radial: rs _ t=E (8.12) 1 r entonces dr dt dr E r_ = = (8.13) dt ds dt 1 rrs Para integrar esta ecuación es conveniente de…nir una nueva coordenada radial r r = r + rs ln 1 (8.14) rs pues dr dr rs 1 dr 1 dr = + r = (8.15) dt dt 1 rs dt 1 rrs dt rs

8.1. AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD

169

entonces la ecuación 8.13 toma la forma r_ = E

dr dt

(8.16)

Remplazando esta ecuación en 8.5 tenemos E

dr dt

2

+ 1

rs r

= E2

(8.17)

Aun cuando esta ecuación no se puede integrar en forma cerrada, podemos encontrar el comportamiento del radio en función de la coordenada temporal cuando r ! rs . En este límite la ecuación anterior se aproxima a dr ' 1 (8.18) dt Se ha tomado el signo menos dado que la partícula está en caída. Integrando esta ecuación, y remplazando r por su de…nición, tenemos r = r + rs ln

r rs

1

=

Kt

(8.19)

donde K es una constante de integración. Entonces en la aproximación que estamos considerando obtenemos ~ r ' rs + Ke

t=rs

(8.20)

lo cual implica que la partícula requiere un tiempo in…nito para llegar a r = rs para un observador asintótico. En la …gura ?? se muestra la comparación entre el tiempo de caída medido por un observador asintótico (tiempo coordenado) y el tiempo medido por un observador que cae con la partícula (tiempo propio).

170

8.2.


Coordenadas de Kruskal

Como vimos en la sección anterior, a pesar del comportamiento singular de la métrica de Schwarzschild, en el punto r = rs el tensor de Riemann es …nito, lo que implica que este comportamiento singular se debe a las coordenadas y no es una característica intrínseca de la métrica. Además, si escribimos la ecuación geodésica nula radial ds = 0, i.e., la ecuación que describe un rayo de luz que incide o sale radialmente, en coordenadas de Schwarzschild, tenemos que dr = dt

c 1

2Gm c2 r

(8.21)

lo cual implica que la velocidad coordenada radial del fotón, para el observador asintótico tiende a cero, cuando r ! rs . Adicionalmente, para 0 < r < rs la métrica es de nuevo regular, pero el signo de las coordenadas radial y temporal cambia, es decir, r se comporta ahora como una coordenada temporal y t como una coordenada espacial; la métrica pierde así su carácter estático. Para abolir este comportamiento anómalo de las coordenadas y para extender la solución de las ecuaciones de campo de Einstein en el vacío con simetría esférica más allá de r = rs , en 1960 Kruskal buscó una transformación de coordenadas de tal manera que la métrica exhibiera un comportamiento regular en el radio de Schwarzschild. Para este …n se propone encontrar una transformación de coordenadas (t; r) ! (u; v), manteniendo las coordenadas angulares, de tal manera que la métrica tome la forma ds2 = f 2 (u; v)(dv 2

du2 )

r2 (d

2

+ sin2 d'2 )

(8.22)

donde la función f (u; v) no se anule para r = rs . Notemos que en estas coordenadas la métrica es conforme a la métrica de Minkowski y la ecuación geodésica para fotones radiales (conos de luz radiales) toma la forma du = 1 (8.23) dv

8.2. COORDENADAS DE KRUSKAL

171

Para encontrar la función f y las ecuaciones de transformación de las coordenadas, escribamos en forma explícita la ecuación de transformación para las componentes del tensor métrico: g

=

@ x~ @ x~ g~ @x @x

(8.24)

donde x son las coordenadas de Schwarzschild, x~ las coordenadas de Kruskal que estamos buscando, g las componentes del tensor métrico en coordenadas de Schwarzschild y g~ en coordenadas de Kruskal. Remplazando en la ecuación 8.24 las componentes del tensor métrico, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales " # 2 2 @v @u rs = f2 (8.25) 1 r @x0 @x0 1

rs r

1

= f2

"

2

@v @r

@u @r

2

#

@v @v @u @u 0 @x @r @x0 @r De…niendo una nueva coordenada radial, como en 8.14, 0=

r = r + rs ln y la función 1

r rs

(8.26) (8.27)

(8.28)

1

rs r

(8.29) f2 donde se ha asumido que la función f sólo depende de r. Entonces las ecuaciones 8.25, 8.26 y 8.27 toman la forma F (r ) =

F (r ) =

@v @x0

2

@u @x0

2

(8.30)

172

CAPÍTULO 8. AGUJEROS NEGROS F (r ) =

@v @r

2

@u @r

2

(8.31)

@u @u @v @v = (8.32) 0 @x @r @x0 @r Sumando las dos primeras ecuaciones y sumando y restando dos veces la tercera obtenemos @v @v + @x0 @r

2

@v @x0

2

@v @r

@u @u + @x0 @r

2

=

2

=

@u @x0

@u @r

(8.33)

(8.34)

Tomando la raíz de la primera ecuación con signo relativo positivo y la raíz de la segunda ecuación con signo negativo (si se toma el mismo signo relativo en las raíces de las dos ecuaciones el jacobiano de transformación podría anularse) y sumando y restando las ecuaciones resultantes, tenemos que @u @v = (8.35) 0 @x @r @v @u = (8.36) @r @x0 y derivando llegamos al sistema de ecuaciones @2u @x02

@2u =0 @r 2

(8.37)

@2v @2v =0 @x02 @r 2 cuya solución general (DÁlembert) es de la forma u = h(r + x0 )

g(r

x0 )

(8.38)

(8.39)


173

v = h(r + x0 ) + g(r

x0 )

(8.40)

Remplazando estas soluciones en el sistema de ecuaciones 8.30, 8.31 y 8.32, la tercera ecuación se satisface idénticamente, mientras que las dos primeras ecuaciones conducen a la ecuación 4h(r + x0 )g (r

x0 ) = F (r )

(8.41)

Para resolver esta ecuación, diferenciemos con respecto a x0 y r para obtener las siguientes ecuaciones diferenciales F (r ) h(r + x0 ) g (r = + F (r ) h(r + x0 ) g (r 0=

h(r + x0 ) h(r + x0 )

g (r g (r

x0 ) x0 ) x0 ) x0 )

(8.42)

(8.43)

donde la prima representa derivada con respecto al argumento de la función. Remplazando la ecuación 8.43 en 8.42 tenemos que [ln F (r )] = 2 ln h(r + x0 )

(8.44)

si tratamos r y r +x0 = y como variables independientes, entonces la ecuación anterior implica que los dos lados de la ecuación son iguales a una constante: [ln F (r )] = 2 ln h(r + x0 ) =

(8.45) (8.46)

integrando estas ecuaciones y eligiendo la constante de integración adecuada, la soluciones se pueden escribir en la forma F (r ) = h(r + x0 ) =

2 2 r

e

1 e 2

(r +x0 )

(8.47) (8.48)

174


y remplazando esta última ecuación en 8.43 tenemos que 1 e 2

x0 ) =

g(r

x0 )

(r

(8.49)

donde se ha tomado el signo de g y h diferente para mantener la función F > 0 (ver ecuación 8.41). Con estos resultados las coordenadas u y v toman la forma u = h(r + x0 ) g(r x0 ) 1 (r +x0 ) 1 (r x0 ) e + e = 2 2 = e r cosh( x0 ) r = e r+rs lnj rs 1j cosh( x0 ) rs r r cosh( x0 ) = e 1 rs

(8.50)

de forma similar v = h(r + x0 ) + g(r x0 ) rs r = er 1 sinh( x0 ) rs

(8.51)

y la función f está dada por F (r ) =

rs r

1

(8.52)

f2

entonces f

2

= =

rs r 2 e2 r

1

rs e 2r

2 r

r rs

1 2rs

1

(8.53)


175

Finalmente se escoge la constante de integración de tal manera que la función f 2 sea diferente de cero para r = rs , así se requiere que 1

(8.54)

2rs = 0

Con esta escogencia tenemos que la transformación de coordenadas está dada por 1=2 ct r er=2rs cosh( ) u= 1 (8.55) rs 2rs v=

r rs

1=2

er=2rs sinh(

1

ct ) 2rs

(8.56)

y la función f f2 =

4rs3 e r

r=rs

(8.57)

Por lo tanto, la métrica de Schwarzschild en coordenadas de Kruskal (v; u), ds2 = f 2 (u; v)(dv 2

du2 )

r2 (u; v)(d

2

+ sin2 d'2 )

(8.58)

es …nita para r ! rs , donde r es una función implícita de u y v. Para entender el signi…cado de estas nuevas coordenadas consideremos un grá…co espacio-tiempo en el plano (v; u). A partir de las ecuaciones 8.55 y 8.56 podemos despejar las coordenadas r y x0 = ct: u2

v2 =

r rs

v = tanh u

1 er=rs ct 2rs

(8.59)

(8.60)

176


En primer lugar, en las coordenadas de Schwarzschild se debe cumplir que r > rs , lo cual equivale a la región I en la …gura ??, es decir u2 v 2 > 0 () u > jvj (8.61) y los puntos r = const: corresponden a hipérbolas en esta región, mientras que la coordenada t = cont: corresponde a rectas que pasan por el origen. Esto signi…ca que la región I, que está limitada por las rectas u = v con u > 0, corresponde a la región r > rs y 1 < t < 1 en coordenadas de Schwarzschild, pues la recta u = v representa t = 1 y la recta u = v representa t = +1. Las hipérbolas en esta región tienen como asíntotas a las rectas u = jvj y cuando r ! rs entonces la hipérbola degenera en el punto u = v = 0. Sin embargo, la región (en coordenadas de Kruskal) para la cual la métrica 8.58 es no singular corresponde a todos los valores de las coordenadas tales que la función f 2 sea …nita y no nula, lo cual sucede para r 6= 0. Es decir, la región para la cual las coordenadas de Kruskal es regular está delimitada por la curva r = 0 o equivalentemente (ver ecuación 8.59) v2

u2 = 1

(8.62)

Notemos además que la coordenada r está unívocamente de…nida como una función de (u; v) si v 2 u2 < 1, pues la función r rs

1 er=rs

(8.63)

es monótona para r > 0. En la derivación de las coordenadas de Kruskal se escogió (arbitrariamente) el signo de h positivo y así g negativo. Si se escoge el signo al contrario obtenemos la transformación (u; v) ! ( u; v). Es decir las regiones I y III en la …gura son isométricas. Un cálculo directo muestra que la solución de Schwarzschild para 0 < r < rs también es solución de las ecuaciones de Einstein en el


177

vacío, pero ahora la coordenada r se comporta como una coordenada temporal mientras que t se comporta como una coordenada espacial. Además, la solución para esta región se puede transformar isométricamente en la región II de la …gura ??. Para ver esto consideremos de nuevo la deducción de la métrica de Kruskal. Dado que 0 < r < rs entonces F (r ) < 0 y por lo tanto los signos de h y g deben ser iguales. Si se escogen los signos positivos, obtenemos u=

1

r rs

1=2

er=2rs sinh(

t ) 2rs

(8.64)

1=2

t r er=2rs cosh( ) (8.65) rs 2rs con esta transformación la métrica de Kruskal y la función f son las mismas. Así bajo esta transformación la imagen de la región 0 < r < rs es la región II en la …gura. La transformación inversa está dada por v=

1

v2

u2 =

1

r rs

er=rs

(8.66)

ct u = tanh (8.67) v 2rs Si se escogen los signos de las funciones g y h negativos, entonces es equivalente a la transformación (u; v) ! ( u; v), lo que implica que las regiones II y IV son isométricas. Sobre la hipérbola v 2 u2 = 1 la métrica es singular, pues allí el tensor de Riemann diverge. Las cuatro regiones de la …gura, I, II, III y IV, constituyen la variedad de Schwarzschild-Kruskal. Finalizaremos esta sección enunciando (sin demostración) el teorema de Birkho¤ generalizado: Teorema 8-1 Toda solución de clase C 2 de las ecuaciones de Einstein en el vacío la cual es esféricamente simétrica en un subconjunto abierto U es localmente isométrica a una porción de la variedad de Schwarzschild-Kruskal

178


Parte IV Aplicaciones cosmológicas

179

Capítulo 9 Cosmología La hipótesis fundamental sobre la cual se basa el modelo estándar de la cosmología es el principio cosmológico, el cual establece que a gran escala el universo es homogéneo e isotrópico. Esto signi…ca que el universo observado es el mismo para cualquier observador, sin importar el punto desde el cual se esté observando o la dirección, es decir, a gran escala la distribución de materia en el universo (la densidad de galaxias y su movimiento) es independiente de la dirección y el lugar desde el cual se observe. La hipótesis cosmológica se basa en la observación de la distribución de galaxias y la radiación cósmica de fondo. Las ecuaciones de campo de Einstein permiten describir la geometría del espacio-tiempo, determinada por la distribución de materia en el universo. La forma más sencilla para describir la distribución de materia en el universo que satisface el principio cosmológico es el modelo del ‡uido perfecto, en el cual las galaxias son las partículas que conforman el ‡uido cósmico. Al igual que en la dinámica de ‡uidos, donde la materia está constituida por partículas, se asume que las escalas de observación son lo su…cientemente grandes para que el elemento de volumen contenga un número su…ciente de partículas y 181

182

CAPÍTULO 9. COSMOLOGÍA

el ‡uido, visto como una distribución continua de materia, sea una buena aproximación para describir la dinámica de este sistema.

9.1.

Métrica de Robertson-Walker

Antes de entrar a resolver las ecuaciones de Einstein para este modelo de universo, los argumentos de simetría establecidos por el principio cosmológico nos permiten avanzar en la forma general de la métrica, independientemente de la forma explícita del tensor momentumenergía que describa la materia en el universo. Para encontrar la forma más general de la métrica que satisface el principio cosmológico, estableceremos las siguientes hipótesis, como punto de partida: H-1. Postulado de Weil: Las líneas de universo de las galaxias forman un haz de geodésicas f g que no se interceptan y ortogonales a una familia de hipersuper…cies f g como de espacio. H-2. A cada hipersuper…cie le corresponde una coordenada temporal x0 . H-3. Cada hipersuper…cie es locamente isotrópica. H-4. Todos los puntos sobre cada hipersuper…cie son equivalentes. Los postulados H-1 y H-2 corresponden a la escogencia de un sistema de coordenadas gaussiano: Sea una hipersuper…cie de la familia f g de H-1 y sea n un vector unitario normal a , entonces se debe satisfacer que g(n; n) = g n n > 0

(9.1)

Sea x~i = (~ x1 ; x~2 ; x~3 ) las coordenadas de un punto p~ 2 y la geodésica que pasa por este punto p~ 2 con vector tangente n. Sobre la geodésica de…namos las coordenadas (x0 ; x1 ; x2 ; x3 ) de un punto

9.1. MÉTRICA DE ROBERTSON-WALKER p2

183

por: x0 = longitud de arco p~p sobre xi = x~i

(9.2) (9.3)

así, las coordenadas espaciales (x1 ; x2 ; x3 ) permanecen constantes a lo largo de cualquier geodésica normal a , y por lo tanto a lo largo de una de tales geodésicas se debe cumplir que ds2 = g00 dx0

2

(9.4)

Esto implica que siempre podemos reescalar la coordenada tempop ral x0 ! g00 x0 de tal manera que ds2 = dx0

2

(9.5)

y por lo tanto la coordenada temporal x0 corresponde al tiempo propio medido por un observador en reposo en una galaxia. Por esta razón, todos los observadores sobre la misma hipersuper…cie registran el 0 mismo tiempo x , lo cual justi…ca el nombre de "tiempo cósmico". La ortogonalidad de la geodésica a la hipersuper…cie signi…ca que en estas coordenadas se debe tener que g01 = g02 = g03 = 0

(9.6)

y por lo tanto el elemento de arco toma la forma ds2 = dx0

2

+ gij dxi dxj

(9.7)

Ésta es la razón por la cual las coordenadas elegidas se llaman “comóviles”, pues a lo largo de cada una de las líneas de universo de las galaxias, geodésicas , las coordenadas espaciales xi de las galaxias no cambian, es decir, las galaxias permanecen en reposo respecto a estas coordenadas.

184


El postulado H-3 (isotropía local) implica que siempre es posible escoger coordenadas de tal manera que re‡ejen la simetría esférica, es decir, el elemento de línea espacial debe ser de la forma d

2

= dx2 + dy 2 + dz 2 = dr2 + r2 d 2

(9.8)

Por lo tanto, el intervalo espacio-tiempo en estas coordenadas debe ser de la forma 0 2 ds2 = dx0 eG(x ;r) d 2 (9.9) donde la función G no depende de las coordenadas angulares y ' por la hipótesis de isotropía local y al escribir el elemento de arco de esta forma se está garantizando que la signatura de la métrica se mantiene invariable en toda la variedad. El postulado H-4 exige que dos observadores cualesquiera en puntos diferentes sobre una hipersuper…cie observen una física similar, es decir, lo único que puede diferir para los dos observadores es la escala de medida. Esto signi…ca que la razón de las distancias propias entre dos puntos del espacio, con coordenadas (r1 ; 1 ; '1 ) y (r2 ; 2 ; '2 ), debe permanecer …ja en el tiempo, esto es, debe ser independiente de x0 , así: 0 eG(x ;r1 ) = F (r1 ; r2 ); independiente de x0 (9.10) eG(x0 ;r2 ) lo cual implica que la función G(x0 ; r) debe ser de la forma G(x0 ; r) = g(x0 ) + h(r)

(9.11)

con g y h funciones arbitrarias. Entonces la forma más general de la métrica que satisface los postulados H-1 al H-4, es decir el principio cosmológico, está dada por ds2 = dx0

2

0

eg(x ) eh(r) d

2

(9.12)

9.1. MÉTRICA DE ROBERTSON-WALKER

185

Consideremos ahora las ecuaciones de campo de Einstein. Para este …n calculemos primero los símbolos de Christo¤el a partir de la ecuación de las geodésicas y las ecuaciones de Euler-Lagrange (se deja como ejercicio). Denotando por una prima las derivadas de una función respecto a su argumento, los símbolos de Christo¤el no nulos son los siguientes: 0 11

1 = g eg+h ; 2 1 01 1 22

=

r2

1 = g r2 eg+h ; 2

0 22

=

2 02

3 03

=

1 1 h+ 2 r

0 33

1 = g; 2 1 33

;

1 11

r2

=

1 = g r2 eg+h sin2 2 1 = h 2 1 1 h+ 2 r

sin2

1 1 2 3 sin cos ; cot = h+ ; 33 = 23 = 2 r A partir de estos símbolos, las componentes no nulas del tensor de Ricci están dadas por (ejercicio): 2 12

=

3 13

3 3 R00 = g + g 2 2 4 1 R11 = h + h r R22 = r2

eg+h

1 31 1 h + h2 + h 2 4 2r

(9.13)

1 3 g + g2 2 4

eg+h

1 3 g + g2 2 4

R33 = sin2 R22

(9.14) (9.15) (9.16)

además, las componentes contravariantes del tensor métrico son g

= diagonal 1; eg+h ;

1 g+h e ; r2

1 eg+h r2 sin2

(9.17)

186


A partir de las ecuaciones anteriores, el escalar curvatura toma la forma 1 2 2eg+h h + h2 + h R = 3 g + g2 (9.18) 4 r Por lo tanto las ecuaciones de campo de Einstein, en componentes mixtas, con constante cosmológica 1 Rg 2

R

+ g

=

8 G T c2

(9.19)

conducen al siguiente sistema de ecuaciones acopladas e

g h

e

e

h+ g h

g h

h2 2h + 4 r

3g 2 + 4

h2 h + 4 r h h + 2 2r

g

g

3g 2 + 4 3g 2 + 4

8 G 0 T c2

=

=

= =

(9.20)

0

8 G 1 T c2

(9.21)

1

8 G 2 T c2 8 G 3 T c2

2

3

(9.22)

8 G T ; 6= (9.23) c2 La forma del tensor momentum-energía también debe manifestar la simetría exigida por el principio cosmológico. Así, por isotropía local, las componentes espaciales del tensor momentum-energía T ij ,bajo una transformación ortogonal de las coordenadas espaciales, no cambian y por lo tanto todos sus valores propios deben ser iguales. Esto signi…ca que las componentes T ij deben ser un múltiplo de la matriz unidad: 0=

T ji = A

i j

(9.24)


187

donde A es un escalar que sólo depende de x0 y r. Puesto que ij = gji , esta ecuación es tensorial y por lo tanto es válida en todos los sistemas de coordenadas; así, se debe cumplir la condición T 11 = T 22 = T 33

(9.25)

entonces, de las ecuaciones 9.21 y 9.22 la función h debe satisfacer la siguiente condición:

h

h2 h h h + = + 4 r 2 2r 1 2 1 h h = 0 2 r

, (9.26)

Esta ecuación admite una primera integral h = areh=2

(9.27)

donde a es una constante de integración. Esta ecuación admite la solución general b2 (9.28) eh = 2 1 ab r2 4 con b otra constante de integración. Si de…nimos jabj =

1 r02

(9.29)

entonces la ecuación 9.28 la podemos escribir en la forma 1= (a2 r02 ) eh = h i2 2 1 + k4 rr2

(9.30)

0

donde k = 0; +1; 1 dependiendo si ab = 0, ab < 0 o ab > 0 respectivamente. Además, dado que la constante b2 se puede absorber en la

188


función eg , entonces la métrica se simpli…ca tomando la forma general 2

ds = dx

0 2

h

eg(x 1+

0)

k r2 4 r02

i2 d

2

(9.31)

La constante k determina, como veremos, un espacio plano (k = 0), esférico (k > 0) o hiperbólico (k < 0). Si utilizamos la expresión obtenida para la función h(r) para calcular el paréntesis del lado izquierdo de las ecuaciones 9.21 y 9.22, obtenemos h2 h a e h + (9.32) = = const: 4 r b entonces, teniendo en cuenta la ecuación 9.25 el sistema de ecuaciones 9.21 y 9.22 se reducen a e b

g

g

3g 2 + 4

=

8 G 1 T = c2 1

8 G 2 T = c2 2

8 G 3 T c2 3

(9.33)

Dado que el lado izquierdo de estas ecuaciones no depende explícitamente de r, esto demuestra la homogeneidad del triespacio. Antes de continuar con las ecuaciones de campo de Einstein, las cuales serán el tema central del próximo capítulo, reescribamos el elemento de línea, ecuación 9.31, 2

2

2

ds = c dt

g dr

e

2

+ r2 d 2 + r2 sin2 d'2 i2 h 2 1 + k4 rr2

(9.34)

0

en la forma estándar utilizada comúnmente. Para este …n realizaremos las siguientes transformaciones de coordenadas; en primer lugar, con el …n de simpli…car las expresiones escribamos el elemento de línea en la forma ds2 = c2 dt2 eg F (r)dr2 + r2 F (r)d 2 (9.35)

9.1. MÉTRICA DE ROBERTSON-WALKER donde

189

2

k r2 F (r) = 1 + = 1 4 r02 De…namos una nueva coordenada x por

r2

2

x2 = r2 F (r)

(9.36)

(9.37)

diferenciando esta expresión tenemos 2xdx = (r2 F + 2rF )dr

(9.38)

despejando dr y remplazando en la expresión F (r)dr2 obtenemos 4x2 F dx2 2 2 (r F + 2rF ) 1 = dx2 rF 2 1 + 2F

F (r)dr2 =

(9.39)

De la de…nición 9.36 para la función F tenemos que F =

4 r (1 r2 )3

(9.40)

entonces

F = 4 rF 1=2 F remplazando este resultado en la ecuación 9.39 se obtiene F (r)dr2 =

1 (1 + 2

2 dx r2 F 1=2 )

2

(9.41)

(9.42)

para simpli…car esta ecuación consideremos primero el denominador y remplacemos la función F , entonces: 2 r2 1 r2 1 + r2 = 1 r2

1 + 2 r2 F 1=2 = 1 +

(9.43)

190


despejando la coordenada r de la ecuación 9.37 p 1 + 1 + 4 x2 r= (9.44) 2 x donde se ha tomado el signo positivo de la ecuación cuadrática dado que r 0. Remplazando este resultado en la ecuación 9.43 tenemos p 1 + r2 1 + 4 x2 1 + 4 x2 p = (9.45) 1 r2 1 + 1 + 4 x2 y racionalizando esta expresión obtenemos 1 + r2 p = 1 + 4 x2 1 r2

(9.46)

remplazando esta expresión en la ecuación 9.42 F (r)dr2 =

1 dx2 1 + 4 x2

(9.47)

así, el elemento de línea 9.35 toma la forma ds2 = c2 dt2 = c2 dt2

eg

dx2 + x2 d 1 + 4 x2

eg

dx2 2 2 + x d 1 k xr2 0

2

2

!

de…namos …nalmente la transformación x x!r= r0

(9.48)

(9.49)

donde la nueva coordenada r es adimensional y no corresponde a la coordenada radial inicialmente utilizada. Con esta última de…nición obtenemos la métrica de Robertson-Walker (R-W) ds2 = c2 dt2

R2 (t)

dr2 + r2 d 1 kr2

2

(9.50)


191

donde se ha absorbido una constante r0 en la función eg y se ha remplazado la función resultante por la función R2 (t), llamado el factor de escala, por las razones que se verán más adelante.

9.1.1.

Geometría espacial de la métrica de R-W

La parte espacial de la métrica de Robertson-Walker (ecuación 9.50) admite una interpretación geométrica sencilla. Veamos inicialmente el caso k = 1, y consideremos la longitud de la curva con r = cte: (círculo) en el plano ' = cte: Entonces Z Z p C=2 g d =2 rRd = 2 rR (9.51) 0

y el área de la 2-esfera r = cte: está dada por A=

Z

d

0

Z

2

d'r2 R2 sin = 4 r2 R2

(9.52)

0

sin embargo, la distancia física radial (el radio físico del círculo y la 2-esfera) desde el origen de coordenadas a un punto de coordenada r es Z Z r dr p rf = ds = R(t) 1 r2 t; ;'=cte: 0 = R arcsin r 6= rR (9.53) Este resultado ilustra la interpretación física de la función R como un factor de escala. Para sustentar más claramente la interpretación geométrica de la métrica de Robertson-Walker, escribamos el elemento de arco ds en la forma ds2 = dx0

2

hij dxi dxj

(9.54)

192


donde hij son las componentes espaciales del tensor métrico. Las componentes del tensor de Riemann, de Ricci y el escalar curvatura para la parte espacial (3-variedad espacial), las cuales denotaremos por 3 Rijkl , 3 Rij y 3 R respectivamente, están dadas por: 3

Rijkl = 3

k (hik hjl R2

Rij =

hil hkj )

2k hij R2

(9.55) (9.56)

6k (9.57) R2 Notemos que para k = 0 se anulan y por lo tanto tenemos un 3-espacio euclideano (tensor de Riemann globalmente nulo). Por completez, escribamos las componentes del tensor de Ricci y del escalar curvatura para la métrica de Robertson-Walker (incluyendo los símbolos de Christo¤el no nulos): 3

i jk

@hlj @hlk + @xk @xj

1 = hil 2 0 ij

=

R=

R_ hij R R00 =

3

=

R_ R

• R R

• R R_ 2 2k +2 2 + 2 R R R

Rij =

R=

i 0j

@hjk @xl

6

i j

(9.58)

(9.59) (9.60)

!

• R_ 2 R k + 2+ 2 R R R

gij

!

(9.61)

(9.62)


193

notemos que en este caso si k = 0 el tensor de Ricci y el escalar curvatura no se anulan, pues en general el factor de escala es una función de la coordenada tempotal R = R(t). Consideremos ahora el caso simpli…cado de un espacio bidimensional homogéneo e isotrópico e ilustremos el caso de un espacio esférico S 2 (k = 1). Para el espacio plano R2 (k = 0) y un espacio hiperbólico H 2 (k = 1) se puede seguir un procedimiento similar. Una 2-esfera de radio R se puede visualizar en R3 como una inmersión de la super…cie curva bidimensional en el espacio euclideano de coordenadas (x1 ; x2 ; x3 ) por la ecuación: x1

2

+ x2

2

+ x3

2

= R2

(9.63)

con el elemento de línea euclideano dado por d~`2 = dx1

2

+ dx2

2

+ dx3

2

(9.64)

Si eliminamos la coordenada x3 de la ecuación 9.63, el elemento de línea toma la forma 2

d~`2 = dx1

2

+ dx2

2

+

(x1 dx1 + x2 dx2 ) R2 (x1 )2 (x2 )2

(9.65)

De…namos las nuevas coordenadas r~ y ~ en términos de x1 y x2 por x1 = r~ cos ~

(9.66)

x2 = r~ sin ~

(9.67)

Geométricamente r~ y ~ corresponden a coordenadas polares en el 2 plano x3 = cte ((x3 ) = R2 r~2 ), como se muestra en la …gura ??. En estas coordenadas el elemento de línea se puede escribir en la forma: r~2 d~ r2 R2 d~ r2 2 2 d~`2 = d~ r2 + r~2 d~ + 2 = + r~2 d~ 2 2 2 R r~ R r~

(9.68)

194


Si de…nimos la coordenada adimensional r= con 0

r

r~ R

(9.69)

1, el elemento de línea toma la forma …nal d~`2 = R2

dr2 2 ~2 + r d 1 r2

(9.70)

que es similar a la métrica de Robertson-Walker para k = 1. Otra manera de enunciar el elemento de línea consiste en expresar las coordenadas de un punto sobre la 2-esfera en coordenadas esféricas y ', para las cuales tenemos las siguientes relaciones: x1 = R sin cos '

(9.71)

x2 = R sin sin '

(9.72)

x3 = R cos

(9.73)

entonces d~`2 = R2 d

2

+ sin2 d'2

(9.74)

la cual muestra de manera mani…esta que el 2-espacio es una esfera de radio R. El volumen de esta 2-esfera (área de la esfera) se puede obtener a partir de la integral Z 2 Z Z p 2 jhjd x = d' d R2 sin = 4 R2 (9.75) V = 0

0

donde h es el determinante del tensor métrico hij , como era de esperarse. La esfera S 2 es homogénea e isotrópica y todos los puntos son equivalentes. No hay fronteras y el espacio no es acotado, aun cuando su volumen es …nito. Si el radio R de la esfera varía, se expande o se


195

contrae, los puntos sobre la esfera no cambian sus coordenadas, lo cual justi…ca el nombre de coordenadas comóviles. Además, la distancia física entre dos puntos se escala con R y es por esta razón que R se llama factor de escala. El espacio de curvatura global negativa (k = 1) no es posible representarlo por una inmersión en R3 , pero su representación bidimensional se puede obtener a partir de la anterior para la esfera haciendo el cambio de R ! iR, y el elemento de línea se puede escribir como d~`2 = R2

dr2 2 + r2 d~ 2 1+r

(9.76)

o en la forma d~`2 = R2 d

2

+ sinh2 d'2

(9.77)

El espacio hiperbólico es homogéneo e isotrópico, no acotado y de volumen in…nito. En el caso del espacio con curvatura espacial nula (el plano k = 0), el factor de escala no representa un radio, como en el caso de la 2-esfera, sino el factor en el cual se escalan las distancias físicas entre puntos comóviles. Para …nalizar esta sección, la métrica de Robertson-Walker se puede expresar en términos del tiempo conforme, de…nido como d =

dt R(t)

(9.78)

entonces ds2 = R2 ( ) d

2

dr2 1 kr2

r2 d

2

r2 sin2 d'2

(9.79)

lo cual muestra que la métrica de Robertson-Walker es conforme a la métrica minkowskiana. Una condición necesaria y su…ciente para que una métrica sea conforme a la métrica de Minkowski es que el tensor curvatura de Weyl

196


se anule. El tensor de Weyl se de…ne como la parte sin traza del tensor curvatura de Riemann, dado por C

9.2.

=R

2

[ [

R

] ]

+

1 3

[

] [

]R

(9.80)

Propiedades de la métrica de R-W

La métrica de Robertson-Walker se obtuvo a partir de consideraciones de simetría (principio cosmológico) y está determinada salvo el factor de escala R y la constante k que determina la geometría espacial. Las formas precisas del factor de escala y de la constante k se obtienen a partir de las ecuaciones de campo de Einstein, sobre la base de un modelo para la distribución de materia, i.e., el tensor energíamomentum, lo cual será el tema del siguiente capítulo. Sin embargo, independientemente del modelo adoptado para la materia, es posible obtener varias propiedades físicas a partir de la métrica de RobertsonWalker. Esta sección se dedica a estudiar algunas consecuencias de la métrica de Robertson-Walker.

9.2.1.

Horizonte de eventos

Un primer resultado importante que presenta la métrica de Robertson-Walker lo constituye la pregunta sobre el contacto causal. Es decir, sabemos que nuestro universo está en expansión, lo cual se re‡eja en la métrica a través del factor de escala y por lo tanto se plantea la pregunta: para un observador como nosotros, ¿qué parte del universo está en contacto causal con nosotros?, o en otros términos: para un observador comóvil situado en las coordenadas (t; r0 ; 0 ; '0 ), ¿para cuáles valores de (r; ; ') una señal de luz emitida en este punto en t = 0 alcanzaría al observador en o antes del instante t?

9.2. PROPIEDADES DE LA MÉTRICA DE R-W

197

Para responder a esta pregunta consideremos una señal de luz que sigue una trayectoria que satisface la ecuación ds = 0. Dada la homogeneidad del espacio, sin pérdida de generalidad y para simpli…car los cálculos, tomemos r0 = 0, entonces las geodésicas de luz que pasan por r0 = 0 son curvas de y ' constante, y por lo tanto d = d' = 0, y además la isotropía del espacio hace que la escogencia de 0 y '0 sea irrelevante. Con estas consideraciones un rayo de luz que parte del punto (rH ; 0 ; '0 ) en el instante t = 0 sigue una geodésica tal que ds2 = c2 dt2

R2 (t)

dr2 =0 1 kr2

y alcanza el punto r0 = 0 en el instante t dado por 8 Z t Z rH k=1 < arcsin rH cdt dr p arcsinh rH k = 1 = = 1 kr2 : 0 R(t) 0 rH k=0

(9.81)

(9.82)

La coordenada rH se llama radio del horizonte. La distancia propia del origen r0 = 0 al radio del horizonte en el instante t está dada por: Z rH Z rH p dr p grr dr = R(t) dH (t) = (9.83) 1 kr2 0 0 la cual se puede escribir solamente en términos del factor de escala, utilizando la ecuación 9.82, Z t cdt (9.84) dH (t) = R(t) 0 R(t) Si la distancia al horizonte dH es …nita, esto signi…ca que nuestro cono de luz pasado está limitado por un horizonte de partícula, una super…cie bi-dimensional como de espacio, la cual constituye la frontera entre el universo visible y la parte del universo (sea …nito o in…nito) de

198


la cual la luz no ha llegado a nosotros. Si la distancia al horizonte dH es in…nita, signi…ca que todo el universo es observable y todos los puntos están en contacto causal. El comportamiento del factor de escala R(t) en las vecindades de t = 0 determina si la distancia al horizonte es …nita o no. En el modelo estándar de la cosmología veremos que dH (t) t y por lo tanto es …nito.

9.2.2.

Movimiento propio de partículas en R-W

Consideremos ahora el comportamiento de una partícula en caída libre en la métrica de Robertson-Walker. Sea U las componentes de la cuadrivelocidad de la partícula con respecto al sistema de coordenadas comóviles. Entonces, dado que la partícula está en caída libre su línea de universo sigue la ecuación geodésica dU + ds

U

dx =0 ds

(9.85)

donde

dx (9.86) d Las componentes de la cuadrivelocidad están relacionadas con la velocidad de la partícula v i = dxi =dt a través de la relación U =

U = (U 0 ; U i ) = (c (v); (v)v i ) donde (jvj) = q

1 1

dU 0 1 + 2 ds c

(9.88)

jvj2 =c2

jvj2 = hij v i v j

Consideremos la componente geodésico para la partícula

(9.87)

(9.89)

= 0 de la ecuación de movimiento

0

U U =0

(9.90)


199

y utilizando la ecuación 9.59 para las conexiones, la ecuación anterior toma la forma dU 0 1 R_ + 2 hij U i U j = 0 (9.91) ds c R llamando jUj2 = hij U i U j , la ecuación anterior se puede escribir dU 0 1 R_ + 2 jUj2 = 0 ds c R

(9.92)

Puesto que c2 = g U U = U 0

2

hij U i U j = U 0

2

jUj2

(9.93)

implica que U 0 dU 0 = jUj d jUj

(9.94)

y por lo tanto la componente 0 de la ecuación de movimiento geodésico se transforma en la ecuación 1 R_ 1 d jUj + jUj = 0 U 0 ds c2 R

(9.95)

teniendo en cuenta que ds = cd , entonces U 0 = dx0 =d = c2 dt=ds

(9.96)

y esta ecuación se puede escribir …nalmente en la forma 1 d jUj = jUj dt

1 d R R dt

(9.97)

lo cual implica (integrando y llamando C la constante de integración) que ln jUj + ln R = C =) jUj / R 1 (9.98)

200


Si expresamos esta ecuación en términos de la velocidad de la partícula jUj = (v) jvj, entonces (v) jvj / R

1

(9.99)

teniendo en cuenta que el cuadrimomentum físico de una partícula está dado por p = m0 U , la relación anterior implica que la magnitud del momentum de la partícula disminuye (se corre hacia el rojo) si el factor de escala aumenta (expansión del universo): jpj / R

1

(9.100)

Es decir, en un universo en expansión, si una partícula se está moviendo respecto a un observador comóvil (tiene una velocidad peculiar), entonces la partícula tiende al reposo a medida que el universo se expande.

9.2.3.

Corrimiento al rojo

Consideremos ahora la luz emitida por un objeto que se propaga en el espacio-tiempo de…nido por la métrica de Robertson-Walker. Teniendo en cuenta la relación entre momentum y frecuencia (o longitud de onda) para un fotón p = }k (9.101) con jkj = 2 = el número de onda, y notando que los resultados encontrados en la sección anterior son independientes de la parametrización utilizada en la ecuación geodésica, entonces la ecuación 9.100 implica que considerando una partícula que en el instante t1 tiene momentum p1 y en un tiempo posterior t0 tendrá un momentum p0 , entonces los momentos están relacionados por la ecuación: jp1 j R(t1 ) = jp0 j R(t0 )

(9.102)


201

entonces de la ecuación 9.101 tenemos que se cumple la relación 1 0

=

R(t1 ) R(t0 )

(9.103)

La interpretación física de esta ecuación es inmediata: si en el instante t1 se emite un rayo de luz de longitud de onda 1 , entonces un tiempo después t0 la longitud de onda del rayo ha cambiado de acuerdo con la relación 9.103; si el universo se está expandiendo la longitud de onda aumenta proporcionalmente al factor de escala (corrimiento al rojo); si el universo se está contrayendo la longitud de onda disminuye (corrimiento al azul). Este mismo resultado se puede obtener, y es ilustrativo de la metodología empleada, considerando la propagación de la luz como un fenómeno típicamente ondulatorio. Supongamos que en el instante t1 se emite un frente de ondas desde el punto de coordenadas r1 y de longitud de onda 1 , el cual es detectado en el origen r0 = 0 en el instante t0 . Dado que el frente de ondas sigue una geodésica nula ds2 , entonces la coordenada radial y la temporal están relacionadas por Z r1 Z t0 dr cdt p = f (r1 ) (9.104) = 1 kr2 0 t1 R(t) Consideremos un segundo frente de ondas emitido en r1 en un instante posterior t1 + t1 y detectado en r = 0 en el instante t0 + t0 , entonces este frente también sigue una geodésica nula y por lo tanto se debe cumplir que Z t0 + t0 Z r1 cdt dr p = = f (r1 ) (9.105) 1 kr2 t1 + t1 R(t) 0 dado que el lado derecho de las ecuaciones 9.104 y 9.105 es igual e independiente del tiempo, entonces tenemos que Z t0 Z t0 + t0 cdt cdt = (9.106) t1 R(t) t1 + t1 R(t)

202


aplicando las propiedades de la integral de…nida, la expresión anterior toma la forma Z t1 + t1 Z t0 + t0 cdt cdt = (9.107) R(t) R(t) t1 t0 Si el intervalo de tiempo t es su…cientemente pequeño, entonces la ecuación anterior se puede integrar para obtener t0 t1 = R(t1 ) R(t0 )

(9.108)

Si t es el tiempo entre dos crestas sucesivas, entonces c t = es la longitud de onda de la luz; así obtenemos de nuevo la relación 9.103. En astronomía se de…ne el factor de corrimiento z de un objeto en términos de la razón de la diferencia de las longitudes de onda recibida y emitida con respecto a la longitud de onda emitida z=

0

1

(9.109)

1

o en forma equivalente, la cual es de uso más frecuente, como 1+z =

0 1

=

R(t0 ) R(t1 )

(9.110)

Así, si el factor de escala está aumentando entonces z > 0 y se llama corrimiento al rojo, en caso contrario, z < 0 es el factor de corrimiento al azul. Es importante aclarar que un objeto celeste, además del factor de corrimiento debido a la expansión del universo, puede tener también un cambio en la frecuencia detectada debido a su velocidad peculiar respecto al observador, conocido como efecto Doppler. La expansión del universo fue sugerida por primera vez en 1929 por Hubble, quien encontró una relación entre el corrimiento al rojo que presentaban varias galaxias y la distancia a la Tierra. Esta relación,


203

conocida como ley de Hubble, se puede obtener a partir de la métrica de Robertson-Walker, sin necesidad de resolver las ecuaciones de campo de Einstein para algún modelo concreto. Antes de entrar en la deducción de la ley de Hubble, de…niremos el concepto fundamental de distancia el cual juega un papel muy importante en cosmología y su relación con la astronomía a gran escala.

9.2.4.

El problema de distancias en cosmología

En la ecuación 9.83 de…nimos el concepto de distancia propia Z r Z r p dr p (9.111) grr dr = R(t) dp (t) = 1 kr2 0 0 entre el origen de coordenadas y un punto de coordenada radial r. Esta de…nición corresponde al concepto de distancia propia de…nido en relatividad especial. Aun cuando esta de…nición de distancia corresponde a la idea que tenemos de distancia, por ejemplo entre el Sol y la Tierra, para efectos de la astronomía a gran escala esta de…nición no es muy relevante. Observacionalmente la distancia entre objetos celestes se puede medir a partir de diferentes técnicas y por esto se hace necesario de…nir diferentes conceptos de distancia dependiendo del método utilizado. Claramente estas distancias no son independientes y existe una relación entre ellas. Además, para objetos cercanos con coordenada radial r << 1 (o equivalentemente para objetos cuyas distancias propias estén por debajo de 109 a~ nos luz) todas las distancias que de…niremos prácticamente coinciden con la distancia propia de…nida en la ecuación 9.111. Observacionalmente dos de…niciones de distancia son relevantes en astronomía: la distancia de luminosidad dL y la distancia diametral angular dA . La primera se basa en la relación entre la luminosidad propia de un objeto y su luminosidad aparente, y la segunda en la

204


relación entre el diámetro propio de un objeto y el diámetro angular observado. En el caso de un espacio euclideano estático, las tres distancias, dp , dL y dA , son equivalentes, como veremos. Pero cuando el espacio no es euclideano y/o no es estático, la relación entre estas distancias depende, en general, de la métrica del espacio. Distancia de luminosidad Consideremos en primer lugar la distancia de luminosidad dL . Para este …n de…namos en primer lugar la luminosidad aparente de una fuente medida por un observador para el caso de un espacio euclideano estático. Para de…nir la luminosidad aparente consideremos un telescopio de espejo circular de área A, con el origen de coordenadas en el centro del espejo y la normal al espejo en su centro n ^ en la dirección del objeto observado. Si la distancia euclideana de la fuente al espejo la llamamos dL , entonces el ‡ujo F que llega al espejo del telescopio (energía incidente por unidad de área y por unidad de tiempo) es igual a la energía por unidad de tiempo emitida por el objeto L (su luminosidad propia o intrínseca) dividida entre el área total de la esfera de radio dL , es decir F=

L 4 d2L

(9.112)

Para el caso general de un espacio no euclideano, de…nimos la distancia de luminosidad como la relación entre la luminosidad propia del objeto L y el ‡ujo F medido por el observador, como d2L =

L 4 F

(9.113)

Notemos en primer lugar la diferencia entre las ecuaciones 9.112 y 9.113, aparentemente idénticas. En el caso euclideano (ecuación 9.112) dL corresponde a la distancia euclideana entre la fuente y el observador,


205

pero en el caso general (ecuación 9.113) dL no corresponde ni a la distancia a la cual se encontraba la fuente del observador en el instante t1 de emisión de la radiación, ni a la distancia entre fuente y observador en el instante t0 de observación. La razón para esto es la siguiente: consideremos una fuente co-móvil situada en la coordenada r1 que emite un frente de radiación en el instante t1 , el cual es detectado por el observador situado en r = 0 en el instante t0 ; entonces la conservación de la energía implica que F=

4

L

R2 (t0 )r12 (1

+ z)2

(9.114)

Para entender el origen de esta última ecuación notemos en primer lugar que en el instante t0 de la llegada de la radiación al espejo del telescopio, el área de la 2-esfera que rodea la fuente (de radio coordenado r1 ) es 4 R2 (t0 )r12 (9.115) (ver ecuación 9.52), y por lo tanto la fracción del área cubierta por el espejo es A (9.116) 2 4 R (t0 )r12 Por otra parte, debido a la expansión la energía por unidad de tiempo emitida por la fuente decrece en un factor (1 + z)2 cuando llega al espejo, pues de la relación 9.103 la energía hc= de un fotón emitido en r1 en el instante t1 cuando se detecta en el instante t0 decrece en un factor R(t0 ) 0 = =1+z (9.117) R(t1 ) 1 y el otro factor (1 + z) surge de la relación 9.108, pues si dos fotones son emitidos con una diferencia de tiempo t en la fuente, ellos llegan al observador con una diferencia de tiempos de t(1 + z). Así, de la

206


de…nición de distancia de luminosidad (ecuación 9.113), la ecuación 9.114 implica que dL = R(t0 )r1 (1 + z) (9.118) la cual también se puede escribir en la forma dL = R2 (t0 )

r1 R(t1 )

(9.119)

teniendo en cuenta la ecuación 9.110. Distancia diametral angular La distancia diametral angular se basa en la relación entre el diámetro propio del objeto emisor y el diámetro angular aparente. Sea D el diámetro propio de la fuente situada en el punto de coordenada radial r1 y sea t1 el instante de emisión de la señal. El observador situado en el origen de coordenadas detecta esta señal en el instante t0 . Sin pérdida de generalidad podemos elegir las coordenadas angulares para que el centro de la fuente esté en = 0. Como se muestra en la …gura ??, los rayos de luz que salen de los bordes opuestos de la fuente, llegan al punto de observación forman un ángulo . De la métrica de Robertson-Walker (r = cte, y ' = cte), el diámetro propio de la fuente, con = (aproximación válida para << 1), está dado por D = R(t1 )r1 (9.120) entonces el diámetro angular de la fuente es =

D R(t1 )r1

(9.121)

En geometría euclideana el diámetro angular de una fuente de diámetro D situado a una distancia d está dado por = D=d; por


207

lo tanto, de…nimos la distancia diametral angular dA , en el caso general, de una fuente de diámetro propio D, como dA =

D

(9.122)

y llegamos a la ecuación para la distancia diametral angular de un objeto celeste dA = R(t1 )r1 (9.123) como una función de su coordenada radial y del factor de escala del universo en el instante de emisión de la luz. Finalmente, podemos obtener la relación entre la distancia de luminosidad y diametral angular, teniendo en cuenta las ecuaciones 9.110, 9.119 y 9.123: R(t1 )r1 R2 (t1 ) dA = 2 = (1 + z) = 2 r1 dL R (t0 ) R(t R (t0 ) 1)

2

(9.124)

Para objetos cercanos, es decir para r1 << 1 o equivalentemente z << 1, las distancias propia, de luminosidad y diametral angular coinciden aproximadamente: dp

dL

dA

R(t0 )r1

(9.125)

Para …nalizar esta sección mostraremos una relación de las unidades de distancia comúnmente utilizadas en astronomía: 1. La distancia promedio entre la Tierra y el Sol se de…ne como la unidad astronómica (a.u.) 1a:u: = 1;49589

108 km

2. Un parsec (pc) se de…ne como la distancia propia a la cual una estrella presenta un paralaje trigonométrico de 1; dado que en un radian hay 206;264; 8 segundos de arco, entonces 1pc = 3;0856

1013 km

208


3. Un año luz (a.l.) se de…ne como la distancia recorrida por la luz en un año; entonces 1a:l: = 9: 460 7

1012 km

4. Por lo tanto, la relación entre estas unidades 1pc = 206264;8a:u: 1pc = 3;2615a:l: 1a:l: = 63242a:u

9.3.

Ley de Hubble

En esta sección derivaremos la ley de Hubble como una consecuencia de la métrica de Robertson-Walker. Hubble reportó en 1929 el resultado observacional más importante de la astronomía en gran escala, pues con este resultado se demostró que el universo no era estático, como se creía hasta entonces, y se dio origen al modelo estándar de la cosmología actual. Las observaciones de los espectros de varias galaxias distantes mostraban que ellas se estaban alejando de nosotros, pues sus espectros presentaban un corrimiento al rojo, el cual dependía de la distancia. Para este …n expresemos la distancia de luminosidad dl en términos de z, para lo cual debemos eliminar la dependencia explícita de r1 . Deberíamos disponer de una expresión explícita del factor de escala R(t), lo cual requiere resolver las ecuaciones de campo de Einstein. Sin embargo, aun sin conocer R(t) podemos expresar los resultados en términos del valor del factor de escala en la época actual, i.e. R(t0 ). En lo sucesivo, como es usual en cosmología, t0 representa el tiempo presente. Para este …n expandiremos en serie de Taylor las expresiones alrededor del tiempo presente, esto es, en potencias de (t t0 ).

9.3. LEY DE HUBBLE

209

Sea f (t) =

R(t) R(t0 )

t0 ) +

1 d2 f 2! dt2

(9.126)

entonces f (t) = f (t0 ) +

df dt

(t t0

de…niendo H0 =

(t

t0 )2 +

(9.127)

t0

_ 0) R(t R(t0 )

(9.128)

llamada la constante de Hubble, y q0 =

• 0) R(t R(t0 ) = R_ 2 (t0 )

• 0) R(t R(t0 )H02

(9.129)

el parámetro de desaceleración, la ecuación 9.127 se puede escribir, hasta términos de segundo orden, en la forma R(t) = 1 + H0 (t R(t0 )

t0 )

1 q0 H02 (t 2

t0 )2 +

(9.130)

Teniendo en cuenta que R(t0 ) =1+z R(t)

(9.131)

la ecuación anterior la podemos escribir como 1+z =

1 1 + H0 (t

t0 )

1 q H 2 (t 2 0 0

t0 )2 +

(9.132)

Para valores pequeños de H0 (t t0 ) esta ecuación se puede invertir (expandiendo el lado derecho) para obtener: z = H0 (t0

1 t) + 1 + q0 H02 (t0 2

t)2 +

(9.133)

210


A partir de esta ecuación, resolviendo la ecuación cuadrática para (t0 t) y expandiendo el radical del discriminante de la ecuación obtenemos 1 (t0 t) = H0 1 z 1 + q0 z 2 + (9.134) 2 De la ecuación 9.104, que relaciona las coordenadas radial y temporal para un frente de ondas emitido por la fuente ubicada en r en el instante t, integrando la parte real y expandiendo el resultado Z t0 Z r cdt dr p = = f (r) = R(t) 1 kr2 t 0 8 r3 + k=1 < arcsin r = r + 31 r =r k = 0 (9.135) = : r3 arcsinh r = r 31 + k= 1

Para calcular la integral del lado izquierdo podemos utilizar la expansión 9.130, y reteniendo términos hasta orden 2 en las expansiones obtenemos: Z t0 Z t0 cdt c dt = 1 R(t) R(t0 ) t 1 + H0 (t t0 ) 2 q0 H02 (t t0 )2 + t Z t0 c 1 = 1 H0 (t t0 ) + 1 + q0 R(t0 ) t 2 2 2 H0 (t t0 ) + dt (9.136) 1 c = (t0 t) + H0 t0 (t0 t) H0 t20 t2 + R(t0 ) 2 1 c = (t0 t) + H0 (t0 t)2 + (9.137) R(t0 ) 2 entonces, de la ecuación 9.135, la coordenada r en primera aproximación está dada por r=

c (t0 R(t0 )

1 t) + H0 (t0 2

t)2 +

(9.138)

9.3. LEY DE HUBBLE

211

Si remplazamos la ecuación 9.134 para (t0 t) en la ecuación anterior, obtenemos una relación para r en términos de z (reteniendo términos hasta z 2 ): c 1 1 1 + q0 z 2 + H0 H0 2 (z H0 1 z R(t0 ) 2 2 1 c (1 + q0 ) z 2 + = z R(t0 )H0 2

r =

)2 + (9.139)

Finalmente, la ecuación 9.118 para la distancia de luminosidad la podemos expresar en función del corrimiento al rojo z y de la constante de Hubble H0 y del parámetro de desaceleración q0 actual: dL = R(t0 )r1 (1 + z) = R(t0 )(1 + z) =

c z R(t0 )H0

c 1 z + (1 H0 2

1 (1 + q0 ) z 2 + 2

q0 ) z 2 +

esta última ecuación la podemos escribir en la forma c H0 dL = cz + (1 q0 ) z 2 + 2

(9.140)

(9.141)

la cual constituye la ley de Hubble. Notemos que para q0 6= 1 la ley de Hubble no es lineal con z. La forma precisa de la ley de Hubble depende del modelo especí…co que se asuma para la distribución de masa. En el siguiente capítulo resolveremos las ecuaciones de campo de Einstein para diferentes modelos y por ejemplo veremos que para un modelo de universo dominado por materia encontraremos la forma exacta para la coordenada r como función de z, lo cual nos conduce a la siguiente forma de la ley de Hubble: i p c h 2q0 z + 1 1 (9.142) H0 dL = 2 zq0 + (q0 1) q0

212


Si expandimos esta expresión para valores pequeños de z tenemos c 1 2 2 zq0 + (q0 1) q0 z q z + 2 q0 2 0 c 1 1 3 2 q0 z = 2 zq0 + q02 z q0 z + q02 z 2 + q0 2 2 c = cz + (1 q0 ) z 2 + 2

H0 dL =

(9.143)

la cual se reduce a la ecuación 9.141 como era de esperarse. La ley de expansión de Hubble es la relación entre los observables z y dL y por lo tanto ella nos permitiría, en principio, determinar q0 , es decir, el modelo cosmológico. La di…cultad observacional está en la medida de la distancia de luminosidad dL , pues esta distancia depende de la luminosidad propia o absoluta de objetos distantes, como galaxias o supernovas, que puedan ser utilizados como fuentes patrón, a diferencia de la medida del factor de corrimiento z cuya determinación es muy precisa por técnicas espectroscópicas. Otra relación importante entre cantidades observables y los parámetros cosmológicos es la relación entre la distancia diametral angular dA y z. Teniendo en cuenta la ecuación 9.124 que relaciona la distancia diametral angular con la distancia de luminosidad, podemos utilizar la relación 9.141 para encontrar una expansión, válida para pequeños corrimientos z: dA = (1 + z) 2 dL = (1

2z +

c z+ H0 c = z H0

=

)

1 c z + (1 H0 2

1 (1 q0 ) z 2 2z 2 + 2 1 (3 + q0 ) z 2 + 3

q0 ) z 2 +

(9.144)

9.3. LEY DE HUBBLE

213

La expresión exacta para el modelo de universo dominado por materia está dada por dA =

h c 1 zq0 + (q0 H0 q02 (1 + z)2

1)

p 2q0 z + 1

1

i

(9.145)

la cual se reduce a 9.144 para z << 1. Esta relación entre el corrimiento al rojo z y la distancia diametral angular es de gran utilidad en el estudio de lentes gravitacionales, las cuales nos ofrecen otras técnicas observacionales para determinar los parámetros del modelo cosmológico. En efecto, uno de los resultados más importantes derivados de la observación de lentes gravitacionales fue la determinación de una cota inferior para la constante cosmológica, utilizando estadística de lentes, es decir, el conteo del número de lentes gravitacionales por unidad de volumen y por unidad de ángulo sólido para corrimientos entre z y z + dz. Finalizaremos este capítulo con la expresión para el conteo de galaxias como función del corrimiento al rojo, la cual constituye otra herramienta observacional para determinar el modelo cosmológico. Para este …n, sea r2 drd (9.146) dVc = p 1 kr2 el elemento de volumen comóvil en coordenadas de Robertson-Walker, entonces si llamamos nc (t) la densidad de galaxias comóvil (número de galaxias por unidad de volumen comóvil), el número de galaxias contenido en el elemento de volumen está dado por dNgal = nc (t)dVc = nc (t) p

r2 1

kr2

drd

(9.147)

Utilizando la expansión para la coordenada r en términos de z

214


(ecuación 9.139), tenemos dNgal = nc (t) q

c2 R2 (t0 )H02

1

1 2

z 2

k R2 (tc0 )H 2 z 0

2

(1 + q0 ) z 2 + 1 2

(1 + q0 ) z 2 +

c [dz (1 + q0 ) zdz + ] R(t0 )H0 c3 = nc (t) 3 z 2 (1 + q0 ) z 3 + R (t0 )H03 c 1 z 2 (1 + q0 ) z 3 + 1+ k 2 R(t0 )H0 [dz (1 + q0 ) zdz + ] nc (t)c3 = z 2 2 (1 + q0 ) z 3 + dz 3 3 R (t0 )H0

2

(9.148)

entonces, el número de galaxias por unidad de ángulo sólido y por unidad de intervalo de corrimiento toma la forma 1 dNgal nc (z) = 3 [1 2 z dzd R (t0 )H03

2 (1 + q0 ) z +

]

(9.149)

A partir de esta relación es posible determinar el modelo cosmológico (i.e. medir q0 ) contando el número de galaxias en un volumen dado con corrimientos al rojo entre z y z + dz. Al igual que en los casos anteriores, para un modelo de universo dominado por la materia la función conteo de galaxias está dada por p zq0 + (q0 1) 2q0 z + 1 1 dNgal nc (z) p = 3 z 2 dzd R (t0 )H03 (1 + z)3 q04 1 +2q0 (1 + z)

1

2

(9.150) expresión que de nuevo se reduce a la ecuación 9.149 para z pequeño.

Capítulo 10 Modelos cosmológicos En el capítulo anterior encontramos la forma más general de la métrica, la cual satisface el principio cosmológico. La métrica encontrada (de Robertson-Walker) quedó determinada salvo la función R(t), llamado factor de escala, la cual debe ser determinada a partir de las ecuaciones de campo de Einstein. Para este …n se hace necesario adoptar un modelo que describa el contenido de materia del universo, con la condición que este modelo satisfaga el principio cosmológico. Como se dijo en la introducción al capítulo anterior, el modelo de materia más sencillo que se puede considerar es el de un ‡uido perfecto caracterizado por una densidad de energía (t) y una densidad de presión p(t), en general funciones del tiempo. En la ecuación 7.24 encontramos la expresión general que describe un ‡uido perfecto: T

=

1 U U +p c2

1 U U c2

g

(10.1)

donde se suprimió el subíndice 0 en y p. En nuestro modelo las partículas que constituyen el ‡uido son las galaxias, las cuales se encuentran en reposo respecto a las coordenadas de Robertson-Walker. Así, si escribimos el tensor momentum-energía en componentes mixtas 215

216

CAPÍTULO 10. MODELOS COSMOLÓGICOS

tenemos T

1 g U U +p c2 1 1 = 2 U U + p 2U U c c = g T

=

1 g U U c2

g g (10.2)

teniendo en cuenta que las galaxias están en reposo, entonces U = (c; 0; 0; 0) y por lo tanto 0 1 0 0 0 B 0 p 0 0 C C T =B (10.3) @ 0 0 p 0 A 0 0 0 p

10.1.

Ecuaciones de Friedmann-Lemaître

El objetivo central de esta sección es encontrar, a partir de la métrica de Robertson-Walker y dada la ecuación de estado f ( ; p) = 0 para la materia, las ecuaciones que determinan el factor de escala R(t). Para este …n consideremos las ecuaciones de campo de Einstein con constante cosmológica: R

1 Rg 2

+ g

=

8 G T c4

(10.4)

En el capítulo anterior calculamos las componentes del tensor de Ricci y del escalar curvatura para la métrica de Robertson-Walker: R00 =

Rij =

3

• R R

• R R_ 2 2k +2 2 + 2 R R R

(10.5) !

gij

(10.6)

10.1. ECUACIONES DE FRIEDMANN-LEMAÎTRE R=

6

• R_ 2 R k + 2+ 2 R R R

!

217 (10.7)

= g R , T 11 = T 22 = T 33 , Entonces, teniendo en cuenta que R las ecuaciones de campo 10.4 conducen al siguiente sistema de dos ecuaciones acopladas: 4 G 3p ( + 2)= 2 c c

• 3R c2 R 2

(10.8)

• 4 G p k R_ 2 RR ( + ) = + (10.9) c2 c2 R2 c2 R 2 A partir de la ecuación para la conservación local de la energíamomentum T ; =0 (10.10) se obtiene la ecuación d 2 3 d c %R + p R3 = 0 dt dt

(10.11)

Sin embargo, las tres ecuaciones 10.8, 10.9 y 10.11 no son independientes, pues cualesquiera dos implican la tercera, como se puede probar fácilmente. Por ejemplo, derivando la ecuación 10.8 con respecto a t, remplazando la ecuación 10.9 y reagrupando términos obtenemos 10.11. Este sistema de ecuaciones se puede escribir en muchas otras formas equivalentes encontradas en la literatura. Una forma usualmente utilizada es la siguiente: •= R

c2 4 G 3p ( + 2 )R + R 3 c 3

8 G 2 c2 R_ 2 = R + R2 3 3

c2 k

(10.12) (10.13)

218


d 2 3 d (10.14) c %R + p R3 = 0 dt dt Este sistema de ecuaciones se llama de Friedmann-Lemaître y junto con la ecuación de estado f ( ; p) = 0 asumida para el modelo de materia determinan el modelo cosmológico, i.e. R(t), (t) y k. Como se mencionó, de las tres ecuaciones anteriores dos son independientes y usualmente se toman las ecuaciones 10.13 y 10.14 como independientes. La ecuación 10.14 admite una interpretación física directa, pues si consideramos 4 %R3 =3 = M como la masa, entonces la ecuación 10.14 se puede escribir en la forma dE + pdV = 0

(10.15)

donde E = M c2 es la energía total y pdV el trabajo hecho contra las fuerzas de presión; esta ecuación corresponde a la segunda ley de la termodinámica. En las ecuaciones de Friedmann-Lemaître representa la densidad de materia y p la presión cuya ecuación de estado más simple se puede escribir como p = w , donde w es una constante independiente del tiempo. La contribución de la materia a la densidad proviene, en las diferentes épocas del universo, de las partículas materiales (partículas elementales, átomos, iones, moléculas, etc.) y de la radiación (fotones, y en general partículas de masa en reposo cero). La ecuación de estado para describir un gas de fotones (radiación) está dada por w = 1=3, es decir 1 (10.16) p = c2 ; Radiacion 3 mientras que la ecuación de estado para describir un gas de partículas materiales no interactuantes (por ejemplo, átomos neutros) está dada por w = 0, esto es p = 0; M ateria (10.17)

10.1. ECUACIONES DE FRIEDMANN-LEMAÎTRE

219

Es evidente que en cualquier época de evolución del universo la contribución a proviene tanto de la radiación como de la materia: =

M

+

rad

(10.18)

e incluso de materia interactuante para la cual la ecuación de estado no corresponde a w = 0. Para efectos de estudiar procesos dinámicos que tuvieron lugar en diferentes épocas del universo, como por ejemplo en la época de la nucleosíntesis, es necesario contar con la ecuación de estado completa que describa el contenido de materia del universo. Sin embargo, para describir la evolución del universo y compararla con la observación actual (constante de Hubble H0 , parámetro de desaceleración q0 , densidad de materia 0 , edad del universo t0 , etc.), tres épocas de evolución del universo son determinantes y admiten una descripción de la ecuación de estado sencilla. Se estima que a densidad de materia actual en el universo es del orden de 10 29 gr=cm3 (10.19) 0M constituida fundamentalmente por átomos neutros de hidrógeno (76 %) y helio (23 %), mientras que la densidad de radiación 0rad

8

10

34

gr=cm3

(10.20)

constituida fundamentalmente por la radiación cósmica de fondo, es cuatro órdenes de magnitud inferior. Además, dado que la interacción de la radiación electromagnética con la materia neutra es prácticamente nula, M y rad se conservan separadamente de acuerdo con la ecuación 10.14. Esto nos indica que la estructura en gran escala del universo actual está determinada fundamentalmente por la materia neutra, cuya ecuación de estado está dada por la ecuación 10.17. La ecuación de conservación 10.14 nos permite estimar cómo ha sido la

220


evolución de la densidad de materia como función del factor de escala, pues d 2 (10.21) c %M R3 = 0 =) %M / R 3 dt mientras que para la densidad de radiación rad tenemos que d 2 d c2 3 c %rad R + %rad R3 = 0 dt 3 dt

(10.22)

entonces 4 % d R3 + R3 d%rad = 0 3 rad

=)

%rad / R

4

(10.23)

estas relaciones indican que en una época temprana del universo %M y %rad eran iguales (t 103 a~ nos) y en épocas anteriores dominaba la radiación sobre la materia, lo cual se puede entender si tenemos en cuenta que en épocas tempranas del universo la temperatura era tan alta que la energía cinética promedio de las partículas era mucho mayor que su energía en reposo, de tal manera que toda la materia del universo se podía tratar como un gas de radiación. La tercera época de evolución del universo la constituye la era in‡acionaria. En esta época ( 10 35 s) el universo pasó por una fase de expansión exponencial, donde el factor de escala aumentó 1043 veces en una fracción de tiempo ( 10 32 s). Para la descripción de la materia en esta época de evolución, hay que recurrir al concepto de vacío de la teoría cuántica de campos. En mecánica cuántica la energía del vacío está asociada al estado de mínima energía de un sistema cuántico. Por ejemplo, consideremos un oscilador de frecuencia propia !; entonces la ecuación de Schödinger de valores propios implica que los niveles de energía del oscilador están dados por En =

1 + n }!; 2

n = 0; 1; 2;

(10.24)

10.1. ECUACIONES DE FRIEDMANN-LEMAÎTRE

221

Esta ecuación implica que la energía asociada al nivel base (mínima energía) es 1=2}! diferente de cero, pero esta energía del estado base no es observable directamente, pues sólo se pueden medir las transiciones entre diferentes niveles de energía En Em , por absorción o emisión de fotones de energía }!. Este ejemplo ilustra un resultado general de la mecánica cuántica: que como consecuencia del principio de incertidumbre, el nivel mínimo de energía de un sistema acotado no puede ser cero, pero su valor absoluto no es observable pues, por de…nición, un sistema que se encuentre en el estado base no puede decaer a un estado de energía cero. La teoría cuántica de campos describe las interacciones fundamentales, electromagnética, fuerte y débil, que rigen el comportamiento de las partículas elementales. Su descripción se realiza a través de un campo de materia, el cual, se puede representar como una superposición de osciladores armónicos de frecuencia ! con 0 ! < 1 (transformada de Fourier), y por lo tanto la energía del estado base E0 de un campo de materia (e.g., el campo electromagnético) está dada por la suma de las energías de los osciladores que conforman el campo, así E0 =

X1 !

2

}!

(10.25)

llamada la energía del vacío, es in…nita. Sin embargo esta divergencia que surge en la teoría de campos se puede eliminar formalmente teniendo en cuenta, como lo mostramos en el caso del oscilador armónico, que sólo son observables las transiciones de un sistema, así la energía total (renormalizada) ER de un campo de materia se de…ne como ER = E E0 (10.26) dando como resultado cantidades …nitas. En particular, la energía del estado base renormalizada es E0R = E0 E0 = 0. Este método, que corresponde formalmente a restar una cantidad in…nita para obtener

222


un resultado …nito, es conocido como renormalización de la teoría y tiene un soporte formal. Sin embargo, a pesar de aparecer la energía del vacío como un concepto inobservable directamente, su existencia se mani…esta en diferentes procesos físicos, los cuales han sido observados. Por ejemplo en el corrimiento Lamb, el cual, como consecuencia de la interacción del átomo de hidrógeno con el campo de ración del vacío, algunos de sus estados degenerados se desdoblan.

10.2.

Historia térmica del universo

El fondo de radiación cósmica de microondas (CMBR), detectada por primera vez por Penzias y Wilson en 1965, fue interpretado en ese mismo año por Dicke, Peebles, Roll y Wilkinson como una reliquia del temprano universo que demostraba su origen térmico, con base en un trabajo pionero de Alfer R.A., Bethe H.A. y Gamow G. de 1948 (Phys. Rev 73 803). El CMBR corresponde al espectro de radiación de cuerpo negro a una temperatura de t = 2; 75 0; 015o K. La isotropía observada del CMBR T =T . 10 4 sobre escalas angulares que van desde 10arco hasta 1800 constituye una de las evidencias más fuertes del principio cosmológico. El punto fundamental para entender la historia térmica del universo está en la hipótesis del equilibrio termodinámico (aproximado) en las diferentes etapas de evolución, donde el equilibrio termodinámico es alcanzado si la rata a la cual las partículas colisionan, en un tiempo dado, es mayor que la rata a la cual el universo se está expandiendo en ese momento. Sin embargo, el universo no es un sistema que desde su inicio ha estado en equilibrio termodinámico aproximado, pues ha pasado por algunas etapas fuera del equilibrio (transiciones de fase), las cuales han sido determinantes para su evolución.

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Tejeiro. Relatividad General.pdf

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