Relatividad Pro Tejeiro Solucionario

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Relatividad especial: problemas selectos Juan

Manuel Tejeiro Sarmiento Profesor Profes or Titul Titular ar

Observatorio Astron´ omico Nacional omico Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia 2009

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´ Indice general 1. Int Introducc roducci´ i´ on on

1

2. Cin Cinem em´ ´ atica relativista

6

2.1.. Introdu 2.1 Introducc cci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. 2. 1.1. 1. Tra rans nsffor orma maccio ione ness de Lor oreentz . . . . 2.1. 2. 1.2. 2. Es Estr truc uctu tura ra ca caus usal al de dell es espa paci cioo-ti tiem empo po 2.1. 2. 1.3. 3. Ci Cine nem´ m´ atica . . . . . . . . . . . . . . 2.2.. Pro 2.2 Proble blemas mas b´ asicos de cinem´ asicos atica . . . . . . 2.3. Problemas avanzados . . . . . . . . . . . . .

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. 6 . 6 . 8 . 9 . 9 . 19

3. Efecto Doppler

24

3.0.1. Cuadrivector de onda . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.1. .1. Pr Prob oble lema mass so sobr bree el efe feccto Dop oppl pler er . . . . . . . . . . . . . 26 4. Di Din´ n´ amica relativista

28

4.1. Introdu 4.1. Introducc cci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . 4.2.. Po 4.2 Postu stulad lados os de la din´ din´ amica relativista 4.2.1. Sistema centro de masa . . . 4.2.2. Fotone otoness y estruc estructura tura at´ omica 4.3.. Pro 4.3 Proble blemas mas de de din´ dina´mica relativista .

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5. Tensores

28 28 31 32 35 41

5.1 .1.. Definicione ness fundamentales . . . . . . . . . . . . . . ´ bra y propiedades 5.1.1. Alge Algebra propiedades de simetr simetr´´ıa de tensores tensores 5.2. Transf ransformac ormaci´ i´ on general de coo oorrdenadas . . . . . . . 5.2.1. Operadores vectoriales . . 5.3.. Pro 5.3 Proble blemas mas de a´lgebra tensorial . . . . . . . . . . . .

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41 45 47 48 49

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´ INDICE GENERAL

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6. Elect Electrodin rodin´ ´ amica

6.1. 6.1. 6.2. 6.3. 6. 3. 6.4. 6.5.

Introducci Introdu cci´ oń . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . Ecua Ec uaci cion ones es de Ma Maxw xwel elll co cov var aria ian nte tess Transformaciones Gauge . . . . . . Problemas Probl emas de electr electrodin´ odin´ amica . . .

7. Cin Cinem em´ ´ atica relativista

55

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55 56 58 60 62 68

7.1. Soluciones Soluciones de de problemas problemas de cinem´ cinem´ atica . . . . . . . . . . . 68 7.2. 7. 2. So Solu luci cion ones es de pr prob oble lema mass av avan anza zado doss . . . . . . . . . . . . . 11 1144 8.

Efecto Doppler

129

8.1. 8. 1. So Solu luci cion ones es de pr prob oble lema mass del del ef efec ecto to Dop Dopple plerr . . . . . . . . 129 129 9. Di Din´ n´ amica relativista

140

9.1. Soluc Soluciones iones de de problemas problemas sobre sobre din´ amica . . . . . . . . . . 14 140 10.Tensores

175

10.1. Soluciones de problemas a´lg lgeb ebra ra te tens nsor oria iall . . . . . . . . . 175 175 11.Electrodin´ amica

198

11.1. Soluciones de problemas electrodin´ a mica . . . . . . . . . . 198 amica

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Prefacio En los difer diferentes entes curr curr´´ıculo ıculoss de las carre carreras ras de f´ısica y de alguna algunass ingenier ingeni er´´ıas la teor teor´´ıa de la relativi relatividad dad se introd introduce uce a trav´ es de un curso es dedicado a este tema, o haciendo parte de otros cursos, como los de introducci´ on a f´ısica mod on moderna. erna. La ubicaci´ u bicaci´ on de estos cursos en los planes on de estudi estudioo var var´´ıa también en entre los diferentes program programas. as. Por esta raz´ on, en la literatura especializada sobre la teor on, teor´´ıa especial de la relatividad, nos encontramos con una gran variedad de textos y libros, con diferentes enfoques y diferentes niveles de profundidad y complejidad. Textos como el de R. Resnick “Introducción on a la teor teor´´ıa especi especial al de la relatividad” [9] o el de R. Skinner “Relativity for Scientists and Engineers” [10] desarrollan la teor teor´´ıa en forma sencilla e intuitiv intuitivaa y con un lenguaje matem´ atico elemental, asumiendo que el lector posee conoatico cimientos b´ asicos de mec´ asicos anica y electromagnetismo. Otros textos m´ anica as as avanzados, como el de French [3], si bien asumen del lector una formaci´ on similar a la de los anteriores, profundizan mucho m´ on as en diferentes as temas y aplicaciones, con ejemplos y ejercicios un poco m´ as complejos. as En la carrera de F´ısica en la Universidad Nacional de Colombia (sede Bogot´ a) el curso de relatividad, el cual he venido dictando desde hace a) varios a˜ a nos n õs y par paraa el que escrib escrib´´ı un tex texto to [1] [1],, se ubi ubica ca en el qui quint ntoo semestre del programa, lo que permite profundizar un poco m´ a s en el as tema, aprovechando herramientas matem´ aticas m´ aticas as complejas como los as cuadrivectores y tensores. Una estrategia fundamental para los cursos b´ asicos de formaci´ asicos on es on el desarrollo de ejemplos y problemas que le permitan al estudiante consolidar los conocimientos te´ oricos y adquirir habilidades para el enfrenoricos tamiento de nuevos problemas. El presente libro se dedica a problemas en relatividad y sus soluciones y puede utilizarse como texto para un curso de relatividad especial o como complemento al texto del autor [1].

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Cap´ıtulo 1

Introducci´ on La Teor´ıa Esp ecial de la Relatividad es uno de los pilares fundamentales de la f´ısica, pues est´ a basada sobre los postulados del principio de relatividad y la constancia de la velocidad de la luz en el vac´ıo y un conjunto de suposiciones generales del espacio, homogeneidad, isotrop´ıa y estructura euclidiana, y del tiempo, homogeneidad e isotrop´ıa. Esto implica que la teor´ıa especial de la relatividad se constituye en el marco esencial para describir las interacciones fundamentales, electromagn´ etica, fuerte, d´ ebil y gravitacional, que rigen todos los fen´ omenos f´ısicos conocidos hasta el presente. Las ecuaciones de Maxwell, junto con la ecuaci´ on de fuerza de Lorentz, describen los fen´ omenos relacionados con la interacci´ on electromagn´ etica. En 1861 Maxwell completa las leyes del electromagnetismo y predice la existencia de las ondas electromagn´ eticas, cuya velocidad de propagaci´ on, sin referencia a ning´ un observador espec´ıfico, depende solo de dos constantes fundamentales: ǫ0 la permitividad eléctrica del vac´ıo y µ0 la permitividad magnética del vac´ıo. Este resultado implicaba que las ecuaciones de Maxwell no permanec´ıan invariantes ba jo transformaciones de Galileo, y por lo tanto las leyes del electromagnetismo eran v´ alidas solo en un sistema de referencia inercial, identificando este sistema privilegiado con el espacio absoluto. Sin embargo, los experimentos dise˜ nados para medir velocidades absolutas no arrojaron resultados positivos. La soluci´ on a las contradicciones que se presentaban entre los principios de la electrodin´ amica (ecuaciones de Maxwell) y las leyes de Newton fue dada por Albert Einstein en 1905, y publicada en sus dos famosos art´ıculos, donde se establecen los fundamentos de la teor´ıa especial de 1 

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2

´ CAP´ ITULO 1. INTRODUCCION

la relatividad: “Sobre la electrodin´ amica de los cuerpos en movimiento” y “¿Depende la inercia de un cuerpo de su contenido de energ´ıa?” Las leyes del electromagnetismo, descritas por las ecuaciones de Maxwell, satisfacen los principios de la teor´ıa especial de la relatividad y por esta raz´ on no requirieron de ninguna modificaci´ on con el surgimiento de la relatividad, pero s´ı, definitivamente, incidieron sobre la comprensi´ on y alcance de la teor´ıa electromagnética de Maxwell. Las interacciones fuerte y débil describen las fuerzas que act´ uan entre ciertas part´ıculas fundamentales y son las responsables (junto con las fuerzas electromagnéticas) de procesos que suceden a escalas nucleares y su dinámica est´ a descrita por la teor´ıa cu´ antica de campos, la cual se basa en la mecánica cu´ antica relativista formulada por Dirac en 1928. La interacci´ on gravitacional, descrita inicialmente por la ley de gravitaci´ on universal de Newton, es una fuerza que act´ ua entre todos los cuerpos en forma universal, dependiente solamente de sus masas y no de la naturaleza o constituci´ on de los cuerpos. Es importante aclarar que en f´ısica el t´ ermino masa tiene dos significados diferentes: el primero se refiere a la masa inercial de un cuerpo y el segundo a su masa gravitacional. Galileo formul´ o el principio conocido como “la ley de ca´ıda de los cuerpos”, el cual establece que, sobre la tierra y en ausencia de rozamiento, todos los cuerpos, independientemente de su naturaleza, caen con la misma aceleraci´ on. Este hecho, conocido hoy como el principio de equivalencia, implica que la relaci´ on entre la masa gravitacional y la masa inercial de un cuerpo es una constante universal, la cual puede ser elegida como la unidad. Esta elecci´ on implica que las masas gravitacional e inercial de un cuerpo se miden en las mismas unidades. En 1916 Einstein formula la teor´ıa general de la relatividad, como una necesidad de modificar la ley de gravitaci´ on universal de Newton, pues esta ley implica que la fuerza gravitacional act´ ua en forma instant´ anea, violando as´ı el principio de la constancia de la velocidad de la luz en el vac´ıo. Para desarrollar esta nueva formulaci´ on de la gravitaci´ on se hizo necesario generalizar el principio de relatividad y levantar la hip´ otesis euclidiana del espacio. En este contexto la teor´ıa de la relatividad es una teor´ıa fundamental del espacio-tiempo, y por lo tanto la formaci´ on en relatividad constituye hoy d´ıa una necesidad, no solo para los profesionales en f´ısica, sino también para otras a´reas de las ciencias básicas y aplicadas, como las ingenier´ıas y las ciencias del espacio, donde, por ejemplo, el sistema geogr´ afico de posicionamiento global (GPS) est´ a fundamentado en la teor´ıa

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3 de la relatividad. Cada cap´ıtulo se inicia con un resumen de los principales resultados de la teor´ıa, los cuales son necesarios para el desarrollo de los problemas, y es por esta raz´ on que el libro es autocontenido. Los problemas est´ an dise˜ nados para consolidar la teor´ıa, adquirir habilidades y profundizar en la teor´ıa y sus aplicaciones, ofreciendo en muchos de ellos varias alternativas de soluci´ on, discusiones adicionales y su relaci´ on con otros campos de la f´ısica o la matem´ atica, como la astronom´ıa y la teor´ıa de grupos, sin que sea necesario que el estudiante est´ e familiarizado con estos temas. En este texto utilizaremos la convenci´ on (+, , , ) para la métrica minkowskiana y la convenci´ on de suma de Einstein, donde los ´ındices griegos van de 0 a 3 y los latinos de 1 a 3, los cuales est´ an reservados para describir las coordenadas espaciales. La siguiente es una tabla de constantes fundamentales y algunas definiciones con sus correspondientes factores de conversión de unidades, que son de utilidad para el desarrollo de los problemas:

−−−

1. Constantes fundamentales: 1.1 Velocidad de la luz en el vac´ıo

c = 2,99792458

× 108 ms−1

1.2 Constante de Planck

h = 6,6260755 10−34 Js h = 1,05457266 10−34 Js ℏ 2π

×

≡

×

on universal 1.3 Constante de gravitaci´ G = 6,67259

× 10−11m3kg −1s−2

on, prot´ on y neutrón 1.4 Masa propia del electr´

× 10−31kg × 10−27kg 1,6749286 × 10−27 kg

moe = 9,1093897 m0 p = 1,6726231 m0n = on 1.5 Carga del electr´ e = 1,60217733

× 10−19C

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4

´ CAP´ ITULO 1. INTRODUCCION

on carga/masa del electr´ on 1.6 Relaci´ e/m = 1,75881962

× 1011 Ckg −1

1.7 Constante de Boltzmann

k = 1,3806568

× 10−23JK −1

1.8 Constante de Coulomb

K =

1 8,98755 4πǫ 0

× 109 Nm2C −2

1.9 Constante de Rydberg

R = 1,0973731534

× 107 m−1

2. Unidades astron´ omicas: omica AU se define como la distancia media 2.1 La unidad astron´ de la tierra al sol: 1AU = 1,495978

× 1011 m

no luz al se define como la distancia que la luz recorre en 2.2 El a˜ un a˜ no: 1al = 9,46053

× 1015m = 6,324 × 104 AU

2.3 El parsec pc, definido como la distancia a la cual una AU

subtiende un segundo de arco: 1 pc = 3,085678

× 1016 m = 3,261633al = 206265AU

3. Otras unidades de uso com´ un en relatividad y f´ısica at´ omica: etica que 3.1 El electronvoltio ev se define como la energ´ıa cin´ adquiere una part´ıcula de carga fundamental e = 1,60217733

× 10−19 C

cuando se acelera en una diferencia de potencial de 1 voltio: 1eV = 1,60217733

× 10−19 J

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5 on de equivalencia entre masa y energ´ıa E = mc 2 3.2 De la relaci´ es com´ un expresar la masa de las part´ıculas elementales en unidades de energ´ıa en electronvoltios (lo cual es equivalente a tomar c = 1): moe = 0,51099906

× 106eV = 0,51099906MeV

mon = 939,566MeV

mop = 938,27231MeV 3.3 Constante de Planck ℏ y constante de Rydberg en unidades

de electronvoltios: ℏ

= 6,5821220

× 10−16 eV s

R = 13,6056981eV

La constante de Rydberg corresponde a la energ´ıa de ionizaci´ on del átomo de hidr´ ogeno.

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Cap´ıtulo 2

Cinem´ atica relativista 2.1.

Introducci´ on

Este cap´ıtulo est´ a dedicado a la cinem´ atica relativista. En la primera parte presentaremos las definiciones y los resultados más importantes para abordar los problemas propuestos. Para un desarrollo detallado de la cinem´ atica relativista remitimos al lector a los textos [1], [2] y [3]. Hay tres art´ıculos interesantes que recomendamos como lectura complementaria, los cuales ilustran la variedad y complejidad de los problemas que pueden surgir en relatividad. El primero es de Scott y Viner ([4]), el cual trata sobre la forma aparente de los objetos, y los otros dos, de Dewan y Beran ([5]) y Dewan ([6]), discuten el problema de dos cohetes conectados por un hilo inextensible. 2.1.1.

Transformaciones de Lorentz

Consideremos dos sistemas de referencia Σ y Σ′ . Entonces la transformaci´ on de Lorentz homog´ enea m´ as general se puede escribir en la forma Λ: Σ Σ′ (2.1) x x′ = Λx

→ →

donde Λ = Λ(v,  θ)

(2.2)

con v la velocidad de Σ′ respecto a Σ, y  θ un conjunto de tres parámetros, por ejemplo los ańgulos de Euler, que determinan rotaci´ on de los 6 

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7

´ 2.1. INTRODUCCI ON

ejes espaciales. Si llamamos xα y x′α las componentes de x y x′ respectivamente, la ecuaci´ on de transformaci´ on se puede escribir en la forma: x′α = Λα β xβ (2.3) con Λα β los elementos de la matriz de transformaci´ on. Asumiendo que ′ el sistema de referencia Σ se mueve con velocidad v en la direcci´ on de ′ los ejes positivos x x , y suponiendo que los dos observadores eligen t = t ′ = 0 cuando los or´ıgenes de coordenadas coinciden y toman los ejes espaciales paralelos, las ecuaciones de transformaci´ on de Lorentz están dadas por x′0 = γ (x0 βx 1 ) x′1 = γ (x1 βx 0 ) (2.4) x′2 = x 2 x′3 = x 3

−

− −

con la siguiente notaci´ on: x0 = ct

(2.5)

r = x1 , x2 , x3 (2.6) v β = (2.7) c 1 γ = γ (v) = (2.8) 1 β 2 Para este caso los elementos de la matriz de transformaci´ on de Lorentz toman la forma





 −

Λα

β

=

  −

γ βγ 0 0

−βγ γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

 

(2.9)

La relaci´ on entre un intervalo de tiempo propio ∆τ y el intervalo de tiempo ∆t, entre dos eventos medidos por un observador inercial, est´ a dada por la ecuaci´ on: ∆t =

∆τ

 −

β 2

 −

β 2

1

(2.10)

La relaci´ on entre la longitud f´ısica de un objeto ℓ, que se mueve con velocidad v, y su longitud propia ℓ 0 es ℓ = ℓ0

1

(2.11)

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 

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´ CAP´ ITULO 2. CINEM ATICA R ELATIVISTA

2.1.2.

Estructura causal del espacio-tiempo

La estructura causal del espacio-tiempo est´ a determinada por el intervalo de distancia espacio-temporal entre eventos, el cual est´ a definido por 2 ∆S ij = (x j0

− x0i )2 − (x j1 − x1i )2 − (x j2 − x2i )2 − (x j3 − x3i )2

(2.12)

donde (2.13) P i = (x0i , x1i , x2i , x3i ) son las coordenadas del evento P i y similarmente para el evento P j . El

intervalo espacio-temporal es invariante bajo transformaciones de Lorentz. Este intervalo tambi´ en se puede escribir utilizando la matriz o tensor métrico de Minkowski η µν = en la forma

 −

+1 µ = ν = 0 1 µ = ν = 1, 2, 3 0 µ = ν

(2.14)



2 ∆S ij = η µν ∆xµ ∆xν

(2.15)

donde ∆xµ = x jµ

− xµi

(2.16)

Para generalizar este resultado, se define el producto minkowskiano entre dos cuadrivectores x y y como el invariante x y = η µν xµ yν

·

(2.17)

y la norma minkowskiana por x2 = x x = η µν xµ xν

·

(2.18)

Dada la definici´ on de norma minkowskiana, clasificamos los cuadrivectores no nulos de la siguiente forma: si x2 > 0 si x2 < 0 si x2 = 0

=

⇒ =⇒ =⇒

x

es temporal

x x

es espacial es nulo o de luz



 

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9

´ ´ 2.2. PROBLEMAS BASICOS DE CINEM ATICA

2.1.3.

Cinem´ atica

Sea

x(τ ) = (x0 (τ ), x1 (τ ), x2 (τ ), x3 (τ ))

(2.19)

el cuadrivector posici´ on de una part´ıcula como funci´ on del tiempo propio τ el cual describe la l´ınea de universo de la part´ıcula. El par´ ametro tiempo propio est´ a definido en t´ erminos de la distancia espacio-temporal entre dos posiciones sucesivas de la part´ıcula x(τ ) x(τ + dτ ) = x(τ ) + dx(τ ) as´ı

2

c2 dτ 2 = ds 2 = dx0

dx1

2

dx2

(2.20)

2

dx3

  −  −  − 

2

(2.21)

entonces la cuadrivelocidad de la part´ıcula se define como U =

dx = (U 0 , U 1 , U 2 , U 3 ) dτ

(2.22)

y su cuadrivector aceleraci´ on A =

dU = (A0 , A1 , A2 , A3 ) dτ

(2.23)

Dado que la norma al cuadrado de un cuadrivector es un invariante, las cuatro componentes del cuadrivector velocidad y el cuadrivector aceleraci´ on no son independientes, pues 2

U 2 = U 0

U 1

2

U 2

2

U 3

2

  −  −  −    −  −  − 

y

A2 = A0

2

A1

2

A2

2

A3

2

= c 2

=

−α2

(2.24) (2.25)

donde α es la aceleraci´ on propia. Adem´ as los cuadrivectores U y A son ortogonales bajo el producto minkowskiano, es decir U A = U 0 A0

·

2.2.

− U 1A1 − U 2A2 − U 3A3 = 0

(2.26)

Problemas b´ asicos de cinem´ atica

1. Estructura causal. Sea Σ un sistema de referencia inercial y sean

P 1 = (3, 2, 0, 2)

P 2 = (4, −1, 0, 2)

P 3 = (−2, −1, 0, −2)

las coordenadas de tres eventos, en unidades arbitrarias con c = 1.



 

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10


ales eventos están conectados causalmente? a ¿Cu´ al par de eventos existe un sistema de referencia Σ′ para b ¿Para cu´ el que los dos eventos son simult´ aneos? Calcular la velocidad ′ de Σ respecto a Σ. al par de eventos existe un sistema de referencia Σ′ con c ¿Para cu´ respecto al cual los dos eventos suceden en el mismo punto del espacio? Calcular la velocidad de Σ′ respecto a Σ. 2. La paradoja del garaje. Consideremos un bus de longitud propia ℓ0 = 10m moviéndose con velocidad v = 0,8c directamente hacia un garaje en reposo de longitud 6m. Debido al efecto de contracción de longitudes el bus mide, respecto al sistema de referencia garaje, v 2 ℓ = 1 ℓ0 = 6m (2.27) c2



−

As´ı, cuando la trompa del bus alcance la pared posterior del garaje, la parte trasera del bus pasa por la puerta de este y por lo tanto, respecto al observador fijo con relación al garaje el bus queda “atrapado” en él. Supongamos (sin que esto influya en la soluci´ on del problema) que la pared del garaje es lo suficientemente r´ıgida de tal manera que el bus quede atrapado en el garaje, deform´ andose por efecto del impacto contra la pared. Si analizamos la misma situaci´ on desde el punto de vista de un sistema de referencia, con respecto al cual el bus se encuentre en reposo, el garaje se mueve hacia el bus con velocidad 0,8c y por lo tanto la longitud del garaje, vista desde el bus, es de 3,6m y as´ı el bus no puede ser “atrapado” dentro del garaje. ¿C´ omo se resuelve esta aparente paradoja, pues el principio de relatividad establece que la f´ısica es la misma desde todos los sistemas de referencia inerciales? 3. Varilla inclinada. Consideremos una varilla de longitud propia ℓ0 situada en el plano x y que se mueve con velocidad v a lo largo del eje x positivo respecto a un observador inercial, la cual forma un ańgulo θ0 en su sistema de referencia propio con respecto al eje de las x. ¿Qué ańgulo forma la varilla respecto al observador inercial Σ?

−

4. Paradoja de la varilla inclinada. Una varilla de longitud propia ℓv0 se mueve con velocidad v hacia una plataforma en reposo



 

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11

que tiene una rendija de longitud propia ℓ0 . La varilla permanece paralela a la plataforma y se mueve hacia ella en la dirección que forma un ángulo de 45o con respecto a la plataforma, como se muestra en la figura (2.1).

Figura 2.1: Paradoja

de la varilla inclinada. La varilla se mueve hacia una rendija, de tal forma que su centro se dirige hacia el centro de la rendija.

Dado que la varilla se contrae con respecto al sistema de referencia de la plataforma, supongamos que la varilla pasa por la rendija exactamente. Asumir que el centro de la varilla pasa por el centro de la rendija. Si analizamos lo que sucede desde el punto de vista de un observador inercial ligado a la varilla, la rendija es la que se contrae y por lo tanto no deber´ıa pasar por la rendija. ¿C´ omo resolver esta paradoja? Tengamos en cuenta que, si desde el punto de vista de un observador la varilla pasa por la rendija, entonces esto debe suceder para todos los observadores. 5. Adici´ on de velocidades no paralelas . Considere tres sistemas de referencia inerciales Σ, Σ′ y Σ′′ . a Supongamos que el sistema Σ′ se mueve con velocidad vx res-

pecto a Σ y que Σ ′′ se mueve con velocidad vz respecto a Σ′ . Calcular los elementos de la matriz de transformaci´ on de ′′ Lorentz entre Σ y Σ .

b Si ahora Σ′ se mueve con velocidad v z respecto a Σ y Σ′′ se mue-

ve con velocidad v x respecto a Σ′ , calcular los elementos de la matriz de transformaci´ on de Lorentz entre Σ y Σ ′′ . Comparar



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 12 — #16 



12


la respuesta con la parte a: ¿la composici´ on de transformaciones puras de Lorentz es conmutativa en general? 6. Vida media de part´ıculas inestables. La mayor´ıa de las part´ıculas fundamentales son inestables, es decir, se desintegran en otras part´ıculas al cabo de un cierto tiempo τ , llamado tiempo de vida media. El tiempo de vida media de una part´ıcula elemental es una cantidad estad´ıstica definida como el tiempo necesario para que la mitad de una poblaci´ on inicial N 0 de part´ıculas se desintegre en su sistema propio de referencia, i. e., si N (t) es el n´ umero de part´ıculas que a´ un no se han desintegrado, entonces N (t) = N 0 2−t/τ

(2.28)

Un pi´ on π + (+ se refiere a la carga eléctrica del pi´ on) se desintegra en otras part´ıculas elementales seg´ un la reacci´ on π+

→ µ+ + ν

(2.29)

donde µ + es un muón positivo y ν un neutrino. Los mesones π se pueden producir en el laboratorio por choque entre protones en un acelerador. En un experimento de colisi´ on de protones se producen mesones π con velocidad v = 0,985c y se observa que 2/3 de ellos sobreviven a una distancia D = 25m del blanco. Calcular el tiempo de vida media de los mesones π. 7. Cuadrivector velocidad. Encontrar la relaci´ on entre las componentes del cuadrivector velocidad U = U 0 , U 1 , U 2 , U 3





(2.30)

y las componentes de la velocidad f´ısica de una part´ıcula u = (ux , uy , uz )

(2.31)

8. Cuadrivector aceleraci´ on entre las comon. Encontrar la relaci´ ponentes del cuadrivector aceleraci´ on A = A0 , A1 , A2 , A3





(2.32)

y las componentes de la aceleraci´ on f´ısica de una part´ıcula a =

d u dt

(2.33)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 13 — #17 




13

Mostrar que los cuadrivectores velocidad y aceleración para una part´ıcula son ortogonales, es decir U A = 0

·

9. Transformaci´ on de la velocidad. A partir de las componentes del cuadrivector velocidad y las transformaciones de Lorentz usuales, encontrar las ecuaciones de transformaci´ on para las componentes de la velocidad entre dos sistemas de referencia inerciales. 10. Velocidad relativa. Consideremos dos part´ıculas que se mueven con velocidades v1 y v2 respecto a un observador inercial Σ. Calcular la magnitud de la velocidad relativa entre las dos part´ıculas en términos de v1 y v2 . 11. Espacio-tiempo euclidiano . A partir de la definición tanh φ := β = v/c encontrar las ecuaciones de transformaci´ on de Lorentz usuales y el teorema de adici´ on de velocidades en términos del par´ ametro φ. Interpretar geométricamente el resultado. 12. Adici´ on numerable de velocidades. Supongamos que un bloque se mueve con velocidad v1 = v en la dirección del eje x positivo respecto a un sistema de referencia Σ y un segundo bloque se desliza con velocidad constante v 2 = v respecto al primer bloque y en la direcci´ on del eje x positivo. on de velocidades relativista calcua A partir del teorema de adici´ lar la velocidad del segundo bloque v 2′ respecto a Σ y demostrar que si v c entonces v2′ c.

→

→

b Consideremos un tercer bloque que se mueve con respecto al

segundo a velocidad v3 = v. Calcular la velocidad v3′ de este bloque respecto a Σ. Generalizar esta relaci´ on para n bloques y demostrar que l´ım vn′ = c (2.34) n

→∞

13. Longitud aparente . Consideremos una c´ amara fotogr´ afica situada sobre el eje y positivo de un sistema de referencia inercial y una varilla homog´ enea de longitud propia ℓ0 que se mueve con velocidad β = v/c a lo largo del eje x positivo.



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 14 — #18 



14


amara, situada a una distancia D del origen de coordenaa Si la c´ das, toma una foto de la varilla de tal manera que el centro de la varilla aparezca en el origen de coordenadas, ¿dónde aparentan estar los extremos de la varilla seg´ un la foto? ¿Cu´ al es la longitud aparente de la varilla seg´ un la foto y su relaci´ on con la longitud f´ısica? Ilustre los resultados con ejemplos numéricos y muestre que si la distancia de la varilla a la c´ amara es mucho mayor que la longitud de la varilla, entonces la longitud aparente se aproxima a la longitud f´ısica. on arb Consideremos ahora una foto de la varilla en una posici´ bitraria, cuando la l´ınea que une el centro de la varilla y la c´ amara forma un ańgulo α con respecto al eje x y suponga la aproximaci´ on de rayos paralelos, válida si D >> ℓ0 . ¿Cu´ al es la longitud aparente de la varilla seg´ un la foto? Compare el resultado con la longitud f´ısica de la varilla y con el resultado de la primera parte de este problema. 14. Comunicaci´ on espacial. Dos naves espaciales A y B viajan en direcciones opuestas a velocidad constante v respecto a la tierra. Las naves se cruzan cuando se encuentran a una distancia L de la tierra, medida en el sistema de referencia de la tierra. En el instante del cruce de las naves se env´ıa una primera se˜ nal de luz desde la tierra hacia las naves y un tiempo posterior t0 se env´ıa una segunda se˜ nal. Las se˜ nales de luz se reflejan instantáneamente en las naves regresando a la tierra. Suponga que t0 < L/v

(2.35)

Asumiendo que el movimiento de las naves y el de la tierra se encuentran sobre la misma l´ınea, esta condici´ on implica que la segunda se˜ nal es emitida antes que la nave que se acerca llegue a la tierra. a Hacer un diagrama espacio-tiempo y dibujar las l´ıneas de uni-

verso de la tierra, las naves y las se˜ nales de luz. al es la posici´ on de las naves, medida en el sistema tierra, b ¿Cu´ cuando se reciben las se˜ nales en las naves? e diferencia de tiempos, medida en el sistema tierra, c ¿Con qu´ llegan las dos se˜ nales a cada nave?



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 15 — #19 



15


d Con qué diferencia de tiempos, medida en el sistema tierra, lle-

gan las se˜ nales reflejadas a la tierra, provenientes de cada una de las naves? e Resolver las preguntas c y d anteriores respecto al sistema de referencia de cada una de las naves. 15. Velocidades superluminosas aparentes. En observaciones astron´ omicas de algunos AGN (N´ ucleos Activos de Galaxias) que se encuentran a distancias muy grandes, se han detectado movimientos propios que implican velocidades transversales aparentes vT de la fuente mayores que la luz (por ejemplo vT 10c). Una explicaci´ on, que no entra en conflicto con otras observaciones astron´ omicas y con el segundo postulado de la relatividad, está basada sobre el movimiento relativista de materia (fuente) en estos AGN. Supongamos que en un instante dado recibimos radiaci´ on electromagnética de una uńica fuente distante f y un tiempo posterior (varios a˜ nos después) recibimos se˜ nales de otra fuente f 2 que se aleja de la fuente original f (que ahora denotamos por f 1 como se muestra en la figura (2.2)).

∼

Figura 2.2: Velocidades sup erluminosas aparentes. En un instante inicial un observador distante ve una sola fuente y un tiempo posterior se observan dos fuentes alejándose.

Si la fuente f 2 se aleja de la fuente original f 1 a una velocidad v formando un ańgulo ϕ con respecto a la l´ınea de visi´ on del observador 0, calcular la velocidad transversal aparente vT = 0f 2 ∆α/∆t

(2.36)



 



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

16


de la fuente f 2 , vista por el observador en 0 y hacer un gráfico de vT en función del ańgulo ϕ, para diferentes valores de la velocidad v. Asumir que la separaci´ on angular ∆α de las fuentes es pequeña. 16. Relatividad sin el segundo postulado. Las ecuaciones de transformaci´ on de Lorentz se dedujeron a partir de los dos postulados básicos: principio de relatividad y constancia de la velocidad de la luz en el vac´ıo. En el proceso de deducci´ on de las ecuaciones de transformaci´ on de Lorentz, entre dos sistemas de referencia iner′ ciales Σ y Σ (con Σ′ moviéndose con velocidad v a lo largo de los ejes x x′ ), por la aplicaci´ on del primer postulado se obtienen las siguientes ecuaciones de transformaci´ on (ver e. g. [1]):

−

y ′ = y

(2.37)

z ′ = z

(2.38)

x′ = γ (x

− vt)

(2.39)

x = γ ´(x′ + vt ′ ) γ ´= γ

(2.40)

(2.41)

donde γ es un parámetro por determinar que depende de la velocidad v y el cual caracteriza a la transformaci´ on (independiente de las coordenadas). A partir de estas ecuaciones y sin utilizar el segundo postulado demostrar que la transformaci´ on para t′ en función de t y x se puede escribir en la forma v t′ = γ (t x) (2.42) K 2 con 1 γ = (2.43) v2 1 K 2

−

 −

y K dado por

v2 γ 2 (2.44) γ 2 1 Teniendo en cuenta que la transformaci´ on obtenida debe ser v´ alida para todos los sistemas de referencia inerciales, muestre que K es un par´ ametro independiente de la velocidad relativa entre sistemas de referencia. Ayuda: aplique la composici´ on de transformaciones ′′ ′ para pasar de Σ Σ, con Σ moviéndose con velocidad v respecto ′′ a Σ y Σ movi´ endose con velocidad u respecto a Σ′ (ambos a lo largo del eje x positivo). K =

−

→



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 17 — #21 



17


17. Viaje al pasado. El postulado de la constancia de la velocidad de la luz en el vac´ıo trae como consecuencia que las part´ıculas materiales solo pueden viajar a velocidades menores que c, lo cual implica que siempre es posible encontrar un sistema de referencia, con respecto al cual la part´ıcula se encuentra en reposo. Estas ecuaciones muestran, tambi´ en, que no tiene sentido hablar de un observador (sistema de referencia) que viaje a la velocidad de la luz, pues en este caso el factor γ de Lorentz diverge, ya que 1

l´ım γ (v) = l´ım

v

→c

v

 − → c

1

v2 c2

=+

∞

(2.45)

Sin embargo, cabe la pregunta ¿podr´ıan existir part´ıculas que via jen a velocidades mayores que c? A estas part´ıculas hipotéticas se las conoce con el nombre de tachyones. Aun cuando se han elaborado modelos te´ oricos sobre estas part´ıculas, hasta el presente no se tiene ninguna evidencia observacional sobre ellas. Una consecuencia que podr´ıamos deducir, si tuvi´ eramos a disposici´ o n un emisor de tachyones para enviar se˜ nales, es que podr´ıamos recibir una se˜ nal de respuesta antes de haber enviado la primera se˜ nal. Consideremos un observador inercial Σ, que dispone de un emisor de tachyones, situado en el origen del sistema y el cual env´ıa una señal a una velocidad v T > c hacia un segundo observador inercial Σ′ , que se mueve con velocidad v en la dirección del eje x positivo. Supongamos que el observador inercial Σ′ recibe el tachyon cuando se encuentra a una distancia D medida con respecto a Σ, y devuelve inmediatamente la se˜ nal tachy´ onica hacia el origen del sistema Σ, con velocidad vT relativa a su sistema Σ′ . Calcular el tiempo de ida y vuelta de la se˜ nal medido por Σ y mostrar que es posible recibir la se˜ nal antes que la primera salga. 18. Viaje interestelar 1. Una nave espacial parte de la tierra con aceleraci´ on propia g constante y se dirige hacia el c´ umulo abierto de las Pl´ eyades, el cual se encuentra a una distancia de nosotros de unos 425 al (a˜ nos-luz). Este c´ umulo, con una poblaci´ on estimada de unas 400 estrellas, es visible a simple vista y se pueden observar normalmente sus siete estrellas más brillantes: Alcine, Atlas, Electra, Maia, Merope, Taygeta y Pleione; algunas personas han logrado observar dos estrellas adicionales: Celaeno y Asterope. no luz al se define como la distancia que la luz recorre en a El a˜



 



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

18


un a˜ no (ver inroducci´ on sobre unidades): 1al = 9,46053

× 1015m

(2.46)

donde se ha tomado para la velocidad de la luz en el vac´ıo el valor c = 2,99792458 108 ms−1 (2.47)

×

Si medimos las distancias en al y la velocidad en unidades de c, calcular el valor de la aceleración de la gravedad terrestre g = 9,8ms−2 en estas unidades. on del tiempo b Calcular la l´ınea de universo para el cohete en funci´ propio de la nave, asumiendo que cuando la nave parte de la tierra t = 0, en el sistema de referencia tierra y τ = 0 el tiempo propio de la nave. Tomar el origen de coordenadas en la tierra. c Supongamos que el cohete, en su viaje hacia las Pléyades, parte

de la tierra con aceleraci´ on propia g = 9,8ms−2 hasta alcanzar la mitad del camino y luego frena, en el resto del viaje, con la misma aceleraci´ on propia. Calcular el tiempo en llegar hasta la mitad del camino y hasta las Pléyades, medido en el sistema tierra y en el cohete. Cuando la nave se encuentra a mitad de camino e inicia el frenado, ¿a qu´ e velocidad se est´ a moviendo el cohete respecto a la tierra? Si la nave regresa a la tierra siguiendo un recorrido similar al de ida, ¿cu´ anto tiempo tarda el viaje total, ida y regreso, para el observador en la nave y para la tierra? aneamente con la d Una segunda nave parte de la tierra simult´ primera nave, pero con aceleraci´ on propia de 10g hasta la mitad del camino a las Pléyades y luego desacelera a 10g hasta llegar al reposo. Repetir los c´ alculos de la parte c del presente problema y comparar los resultados. 19. Viaje interestelar 2. Consideremos de nuevo el viaje de un cohete que parte de la tierra hasta las Pléyades (ver problema anterior). La nave inicia su viaje con aceleración propia de 10g hasta alcanzar una velocidad de v = 0,999c, luego contin´ ua el viaje a velocidad constante y finalmente desacelera con aceleraci´ on propia de 10g, llegando a las Pl´ eyades con velocidad final cero.



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 19 — #23 



19

2.3. PROBLEMAS AVANZADOS

anto tiempo, medido desde el cohete y desde la tierra, a ¿En cu´ alcanza la nave la velocidad final v? b ¿A qué distancia de la tierra se encuentra la nave en ese instante,

medida en el sistema tierra? c Si el cohete regresa a la tierra, siguiendo un recorrido similar al

de ida, ¿Cu´ anto tiempo tarda el viaje completo para el cohete y para la tierra? Comparar el resultado con el problema anterior. 20. El horizonte de eventos. Una part´ıcula material es acelerada desde el reposo con aceleración propia constante α, con respecto a un sistema de referencia inercial Σ. La part´ıcula inicia su movimiento en el origen de Σ cuando t = 0 y se elige el eje x en la direcci´ on de movimiento de la part´ıcula. o n del a Encontrar la l´ınea de universo de la part´ıcula en funci´ tiempo propio, i. e., encontrar x(τ ) = (x0 (τ ), x1 (τ ), 0, 0) on de la part´ıcula con respecto al tiempo para b Calcular la posici´ el observador Σ, i. e., encontrar x1 = x 1 (x0 ) Hacer un gráfico espacio-tiempo del movimiento de la part´ıcula con aceleraci´ on propia constante y analizar este gr´ afico. nal de luz desde el origen un tiemc Mostrar que si se env´ıa una se˜ po c/α después de salir la part´ıcula, entonces esta se˜ nal nunca alcanza a la part´ıcula. Con base en este resultado, analizar el gr´ afico espacio-tiempo del movimiento de una part´ıcula sometida a una aceleraci´ on propia constante.

2.3.

Problemas avanzados

1. Grupo de Lorentz. Consideremos el producto minkowskiano en notaci´ on matricial x y = x T ηy (2.48)

·

donde x, y

∈ M, el espacio-tiempo de Minkowski, y con la notación x =



x0 x1 x2 x3



(2.49)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 20 — #24 



20


xT =

 

x0 x1 x2 x3

y la matriz de Minkowski dada por

η =

 

1 0 0 0

0 1 0 0

−

 

0 0 1 0

−

(2.50)

0 0 0 1

−

 

(2.51)

on de a Encontrar las propiedades generales de una transformaci´ Lorentz

Λ:

M −→ x −→

M

x′ = Λ x

(2.52)

que deja invariante el producto minkowskiano. Ayuda: de la invarianza bajo el producto minkowskiano encontrar la ecuaci´ on de restricción para la matriz Λ. A partir de esta ecuaci´ on, encontrar el determinante y el n´ umero m´ aximo necesario de par´ ametros independientes, que caracterizan una transformaci´ on general de Lorentz y analizar el resultado. on de Lorentz y sea L otra b Sea Λ una matriz de transformaci´ matriz 4

× 4 tal que

Λ = eL

(2.53)

La exponencial de una matriz se debe entender en el siguiente sentido: dado que la expansi´ on en serie de la funci´ on exponencial est´ a dada por 1 e = 1 + x + x2 + 2 x

···=

entonces

∞

1 n x n! n=0

(2.54)

1 eL = 1 + L + L2 + (2.55) 2 A partir de esta representación de una transformaci´ on de Lorentz, a través de la exponencial de otra matriz L, encontrar la forma general de una transformaci´ on de Lorentz. Ayuda: muestre en primer lugar que para una transformaci´ on propia de Lorentz tenemos

···

det Λ = eT rL

| |

(2.56)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 21 — #25 



21


donde T rL es la traza de la matriz L. Probar luego que la matriz η L es antisim´ etrica y de este resultado mostrar que la forma general de la matriz L se puede escribir como

L =

 

0 L01 L02 L03

L01 0 L12 L13

− −

L02 L03 L12 L13 0 L23 L23 0

−

 

(2.57)

c Demostrar que la matriz L se puede escribir como una combi-

naci´ on lineal de las siguientes matrices:

R1 =

R2 =

R3 =

     

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 0 1

− 0 0 0 0

0 1 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0

− 0 0 1 0

0 0 1 0

−

es decir, mostrar que L =

     

;

;

;

B1 =

B2 =

B3 =

     

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0 0

     

(2.58)

(2.59)

(2.60)

−α1R1 − α2R2 − α3R3 − ζ 1 B1 − ζ 2 B2 − ζ 3B3 (2.61)

El signo menos es arbitrario y se introduce solo por conveniencia para su interpretaci´ on f´ısica (ver parte d del presente problema). La ecuaci´ on anterior se puede escribir en forma compacta como ˜  ˜ α R ζ B (2.62) L = 

− · − ·

donde α = (α1 , α2 , α3 )

(2.63)

 ζ = (ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 )

(2.64)

y con el producto punto usual en R3 .



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 22 — #26 



22


alculo directo, que las matrices Ri y B j , i, j = d Mostrar, por c´ 1, 2, 3, cumplen con las siguientes propiedades: Los cuadrados de las seis matrices R2i y B j2 son matrices diagonales y adem´ as ( α R)3 =

·

·   ˜ ζ B

3

− α · R

˜ =  ζ B

·

(2.65)

(2.66)

para cualesquiera trivectores reales unitarios  α y  ζ . Por lo tanto, cualquier potencia de las matrices Ri y B j , i, j = 1, 2, 3, puede ser expresada como un m´ ultiplo de la matriz o de su cuadrado. e Con el resultado del numeral anterior y teniendo en cuenta la

expansi´ on en serie de Taylor de la funci´ on exponencial, ecuaci´ on (2.55), v´ alida para L un n´ umero, funci´ on, matriz o en general cualquier operador bien definido, considerar los casos particulares  α = (0, 0, 0) ζ = (ζ, 0, 0) (2.67) y α = (0, 0, α)

 ζ = (0, 0, 0)

(2.68)

y calcular las correspondientes matrices de transformaci´ on de Lorentz Λ e interpretar f´ısicamente el resultado. 2. Transformaci´ on general de Lorentz. Sean Σ y Σ′ dos sistemas de referencia inerciales tal que el sistema Σ ′ se mueve con velocidad v respecto a Σ. Si los dos observadores eligen los ejes coordenados paralelos y los or´ıgenes coinciden en t = t′ = 0, encontrar las transformaciones generales de Lorentz entre los dos observadores inerciales. ´ 3. Algebra de Lie del grupo de Lorentz. Sean A y B dos matrices cuadradas. Se define el conmutador de dos matrices [ A, B] como la matriz (2.69) C = [A, B] AB BA

≡

−

con el producto y la suma usual de matrices. a Demostrar las siguientes propiedades del conmutador:

[A, B] =

− [B, A]

(2.70)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 23 — #27 



23


[A, B + C] = [A, B] + [ A, C]

(2.71)

[A, BC] = [A, B] C + B [A, C]

(2.72)

[A, B]T = BT , AT





(2.73)

[A, [B, C]] + [C, [A, B]] + [B, [C, A]] = 0

(2.74)

La u ´ ltima igualdad se conoce como la identidad de Jacobi. b Mostrar que las matrices Ri y B j , i, j = 1, 2, 3, definidas en

(2.58), (2.59) y (2.60), satisfacen las siguientes propiedades: [Ri , R j ] = ǫ ijk Rk

(2.75)

[Ri , B j ] = ǫ ijk Bk

(2.76)

(2.77)

[Bi , B j ] =

−ǫijk Rk

donde el s´ımbolo ǫijk se define por:

 −

+1 1 0

ijk permutaci´ on par de 123 ǫijk = ijk permutaci´ on impar de 123 en los dem´ as casos (2.78) Estas propiedades se conocen como el a´lgebra de Lie del grupo de Lorentz y son de gran importancia en teor´ıa cu´ antica de campos. El primer conmutador corresponde a las relaciones de conmutaci´ on del momento angular, asociado con rotaciones. El segundo conmutador establece que el vector B se transforma como un trivector bajo rotaciones de los ejes espaciales y el tercer conmutador implica que, en general, dos transformaciones puras de Lorentz no conmutan, salvo si estas se realizan en la misma dirección, pues en este caso i = j y por lo tanto ǫiik = 0 (2.79) y las matrices conmutan.



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 24 — #28 



Cap´ıtulo 3

Efecto Doppler En este cap´ıtulo se contin´ ua con el desarrollo de la cinem´ atica relativista, pero est´ a dedicado a la relatividad de las se˜ nales de luz. El fenómeno del cambio en la frecuencia de una onda electromagn´ etica, cuando esta es medida por diferentes observadores inerciales, se conoce como efecto Doppler. Por su gran importancia pr´ actica, en diferentes campos de la f´ısica y la astronom´ıa, le dedicaremos un cap´ıtulo de problemas independiente. 3.0.1.

Cuadrivector de onda

Por el principio de superposici´ on, cualquier onda electromagnética se puede escribir como una combinaci´ on lineal de ondas planas monocrom´ aticas, descritas por una funci´ on de la forma 

Ψ(t, r) = Ae±i(ωt−k·r)

(3.1)

donde Ψ(t, r) representa la amplitud del campo (el´ ectrico, magn´ etico, potencial el´ ectrico o potencial magn´ etico) en un punto del espacio r y en un instante de tiempo t, A es la amplitud m´ axima del campo, ω la frecuencia angular de la onda y  k = (kx , ky , kz ) el vector de onda, definido como 2π  k = n ˆ (3.2) λ con λ su longitud de onda y n ˆ un vector unitario en la direcci´ o n de propagaci´ on de la onda. La frecuencia angular ω est´ a relacionada con la frecuencia ν (medida en ciclos por segundo) por la ecuación ω = 2πν =

2π T

(3.3)

24 

 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 25 — #29 



25 con T = 1/ν el per´ıodo. En la ecuaci´ on (3.1) el signo representa ondas incidentes (+) u ondas emergentes ( ). La relaci´ on de dispersión para las ondas electromagnéticas en el vac´ıo est´ a dada por la ecuaci´ on

±

−

   k =

o en forma equivalente

kx2 + ky2 + kz =

ω c

λν = c

(3.4)

(3.5)

Puesto que la fase ωt  k r de una onda electromagn´ etica plana debe ser un invariante relativista, podemos definirla como el producto interno minkowskiano ωt  k r = x k (3.6)

− ·

− ·

·

entre el cuadrivector posici´ on x = (ct, r) = (x0 , x1 , x2 , x3 )

(3.7)

y el cuadrivector de onda k, definido como ω ω k = ( ,  k) = ( , kx , ky , kz ) = (k 0 , k1 , k2 , k3 ) c c

(3.8)

La norma al cuadrado del cuadrivector de onda está dada por ω2 k = η µν k k = 2 c 2

µ ν

2

−   k

(3.9)

Debido a la relaci´ on de dispersi´ on para las ondas electromagn´ eticas, ecuaci´ on (3.4), el cuadrivector de onda es nulo, i. e., k2 = 0

(3.10)

La definici´ on del cuadrivector de onda implica que sus componentes se transforman como k′0 = γ (k 0 βk 1 ) k′1 = γ (k 1 βk 0 ) (3.11) k′2 = k 2 k′3 = k 3

− −

cuando son medidas en dos sistemas de referencia inerciales, relacionados por una transformaci´ on de Lorentz usual (2.4). Las ecuaciones (3.11) contienen todas las relaciones conocidas sobre la relatividad de las se˜ nales de luz, tales como el efecto Doppler longitudinal, transversal y la aberraci´ on de la luz estelar.

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 

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26

CAP´ ITULO 3. EFECTO DOPPLER

3.1.

Problemas sobre el efecto Doppler

1. Cuadrivector de onda. Consideremos dos sistemas de referencia inerciales Σ y Σ′ relacionados de la manera usual. Encontrar la relaci´ on entre la frecuencia, el n´ umero de onda y la longitud de onda, medidas por los dos observadores, de una onda electromagn´ etica plana. 2. Efecto Doppler longitudinal. Una fuente monocrom´ atica de ondas electromagn´ eticas se mueve con velocidad v, respecto a un observador inercial Σ y alej´ andose del observador, situado en el origen del sistema. Si la fuente emite ondas de frecuencia propia ω 0 , ¿qué frecuencia ωD mide un detector situado en el origen del sistema de referencia Σ? Repetir el c´ alculo si la fuente se mueve hacia el origen de Σ. Comparar los resultados anteriores en el l´ımite no relativista, con el efecto Doppler cl´ asico, el cual es v´ alido para todos los fen´ omenos ondulatorios ω D = ω 0

vm

−v

c

(3.12)

donde vm es la velocidad de propagación de las ondas respecto al medio. En esta ecuaci´ on se supone que la fuente de ondas está en reposo respecto al medio de propagaci´ on, y c es la velocidad de las ondas electromagn´ eticas respecto al medio de propagaci´ on. 3. Efecto Doppler transversal y aberraci´ on de la luz. Una fuente monocrom´ atica de ondas electromagn´ eticas se mueve con velocidad v con respecto a un detector en reposo y en la direcci´ on del eje x positivo de un sistema de referencia ligado al detector. Supongamos que en el instante t = 0 la fuente se encuentra en un punto situado sobre el eje y y emite un tren de ondas de frecuencia propia ω 0 (medida en el sistema de la fuente). ¿Cu´ ales son la frecuencia y el vector de onda medido por el detector? Comparar el resultado con el caso no relativista. 4. Comunicaci´ on espacial con Doppler. Dos naves espaciales A y B viajan en direcciones opuestas a velocidad constante v respecto a la tierra. Cuando las naves se cruzan se encuentran a una distancia L de la tierra, medida en el sistema de referencia de la tierra. En el instante del cruce de las naves se env´ıa una primera se˜ nal de luz desde la tierra hacia las naves y un tiempo posterior t0 se env´ıa

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 

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3.1. PROBLEMAS SOBRE EL EFECTO DOPPLER

27

una segunda se˜ nal. Las se˜ nales de luz se reflejan instant´ aneamente en las naves regresando a la tierra. Asuma que t0 < L/v y utilice el efecto Doppler para el cálculo. nales a cada nave, a ¿Con qué diferencia de tiempo llegan las dos se˜ medidas con respecto al sistema de referencia de las naves? e diferencia de tiempo, medido en el sistema tierra, b ¿Con qu´ llegan las se˜ nales reflejadas a la tierra provenientes de cada una de las naves? 5. Expansi´ o en 1929 que el union del universo. Hubble descubri´ verso se encuentra en expansión. Observando los espectros caracter´ısticos de varias galaxias, encontr´ o que las frecuencias de emisi´ on presentaban un corrimiento hacia el rojo proporcional a la distancia de las galaxias. Esta relaci´ on, conocida como ley de expansi´ on de Hubble, se expresa por la ecuación H 0 dL = cz

(3.13)

donde H 0 es la constante de Hubble, dL la distancia de luminosidad a la galaxia (la cual coincide con la distancia propia para galaxias no muy lejanas) y z es el factor de corrimiento (al rojo si z > 0 y al azul si z < 0) definido por 1 + z =

λ λ0

(3.14)

donde λ0 es la longitud de onda emitida por la galaxia y λ la longitud de onda observada en la tierra. En un espectro de emisi´ on de la galaxia N GC 4649 se observ´ o que la l´ınea H α del hidr´ ogeno ˚ tiene una longitud de onda de λ = 6650A (Angstrom). Teniendo en ˚ cuenta que la longitud de onda propia de la l´ınea H α es de 6563A, calcular el factor de corrimiento y la velocidad de la galaxia.

−

6. Ley de reflexi´ optica geométrica on en espejos planos. De la ´ usual, se sabe que el ańgulo de incidencia de un rayo de luz sobre un espejo en reposo es igual al ángulo de reflexi´ on. Considerar un espejo plano que se mueve con velocidad v normal a su plano y un rayo de luz de frecuencia ω i que incide sobre el espejo formando un ángulo θ i respecto a la normal. Calcular la frecuencia y el ángulo de reflexi´ on del rayo. Repetir el cálculo si el espejo se est´ a moviendo en su plano.

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 

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

Cap´ıtulo 4

Din´ amica relativista 4.1.

Introducci´ on

La din´ amica relativista corresponde a la generalizaci´ on de las leyes de Newton. La primera ley de Newton est´ a contenida en los dos postulados de la relatividad, el principio de relatividad y la constancia de la velocidad de la luz en el vac´ıo. La segunda ley de Newton admite una generalizaci´ on inmediata en t´ erminos de cantidades cuadrivectoriales, mientras que la tercera ley de Newton deja de ser válida en general y es remplazada por el postulado de conservaci´ on del cuadrivector momento total de un sistema aislado de part´ıculas.

4.2.

Postulados de la din´ amica relativista

Definici´ on 1 El cuadrivector momento p de una part´ıcula de masa pro-

pia m0 , con cuadrivector velocidad U , est´ a definido por p := m 0 U = m 0

dx dτ

(4.1)

Por definici´ on, la masa propia, o en reposo, de una part´ıcula es un invariante relativista que caracteriza a la part´ıcula, la cual est´ a dada por la norma del cuadrivector momento, ecuaci´ on (4.1): p2 = m 20 c2

(4.2)

dado que la norma al cuadrado del cuadrivector velocidad es c 2 . 28 

 

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“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 29 — #33 

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´ 4.2. POSTULADOS DE LA DINAMICA R ELATIVISTA

29

Teniendo en cuenta que las componentes del cuadrivector velocidad est´ an relacionadas con la velocidad de la part´ıcula a trav´ es de la ecuaci´ on U α = γ ( u)(c, u)

(4.3)

entonces las componentes del cuadrivector momento est´ an dadas por la relaci´ on (4.4) pα = (m0 γ (u)c, m0 γ (u)u) =: (E/c, p)  donde se define la energ´ıa total E de la part´ıcula por E = m 0 γ ( u)c2 = mc2

(4.5)

m = m 0 γ (u)

(4.6)

con la masa relativista y p = m  u)u = mu 0 γ (

(4.7)

el momento f´ısico de la part´ıcula. La definici´ on de energ´ıa total de una part´ıcula implica que, para el caso de una part´ıcula en reposo u = 0, tenemos que su energ´ıa total est´ a dada por E = m 0 c2 E 0 (4.8)

≡

la cual se llama energ´ıa propia o en reposo. Estas definiciones conducen a introducir el concepto de energ´ıa cinética K de una part´ıcula de masa propia m 0 por la relaci´ on K = E

− E 0 = mc2 − m0c2

(4.9)

Adem´ as, dado que la norma al cuadrado de todo cuadrivector es un invariante relativista, tenemos que si p es el cuadrivector momento de una part´ıcula, entonces p2 = =

p0

2

p  2

  −| | E 2 c2

− | p |2 = m20c2

(4.10)

es decir, la norma del cuadrivector momento mide la masa propia de la part´ıcula. Otra forma u´til y usual de escribir este invariante es E 2 = E 02 + p  2 c2

||

(4.11)



 



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

30

´ CAP´ ITULO 4. DINAMICA RELATIVISTA

que relaciona la energ´ıa total E , la energ´ıa en reposo E 0 y el momento p de la part´ıcula. A partir de la definición del cuadrivector momento de una part´ıcula, podemos mantener la misma definici´ on de la segunda ley de Newton, pero formulada para las cantidades cuadrivectoriales. As´ı

||

on de movimiento relativista est´ a dada por Axioma 2 La ecuaci´ dp = m 0 A (4.12) dτ donde A es el cuadrivector aceleraci´ on y f es el cuadrivector fuerza. f =

La tercera ley de Newton no es válida en general y por lo tanto, en dinámica relativista, se toman como postulado fundamental las leyes de conservación. Axioma 3 Para un sistema aislado de part´ıculas, con cuadrivectores

momento pi , i = 1, 2,..., entonces el cuadrivector momento total del sistema p, definido como p := pi (4.13)

 i=1

es una constante de movimiento.

Este postulado implica que si expresamos la ecuaci´ on (4.13) en componentes, con pi = (E i /c, p i ) (4.14) y p = (E/c, p) 

(4.15)

obtenemos que la energ´ıa total del sistema E , definida como la suma de las energ´ıas de las part´ıculas individuales E :=



E i

(4.16)

i=1

y el momento total del sistema, definido como la suma vectorial de los momentos individuales de las part´ıculas p := 



p  i

(4.17)

i=1

se conservan. Además, una consecuencia adicional que se deriva de la equivalencia masa-energ´ıa es que el n´ umero de part´ıculas en un sistema aislado no es constante.



 



“PR“PR-de def1 f1p” p” — 2009 2009/1 /11/ 1/18 18 — 10:5 10:533 — page page 31 — #3 #355 

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31

´ 4.2.. POS 4.2 POSTUL TULADOS ADOS DE LA DINAMICA R ELATIVIST ELATIVISTA A

4.2. 4. 2.1. 1.

Sist Si stem ema a centro centro de de masa masa

Definimos la masa re relati lativista vista tota total l m ¯ del sistema y su Definici´ on 4 Definimos on cuadrivector momento total p p como ¯ como



m ¯ :=

mi

(4.18)

i=1

p := p ¯ :=

  pi =

i=1

(mi c, p i ) = (mc, ¯ p p))

(4.19)

i=1

donde hemos definido el momento total del sistema p p en  en la ultima ´ igualdad de la ecuaci´ on (4.19). Si el sistema de part part´´ıculas es aislado, los p ostulados de conserv conservaci´ aci´ on implican que p p y, ¯ y, por tanto, m ¯ y y   p son p son constantes en el tiempo. Dado que el cuadrivector momento total p p es ¯ es un vector temporal, existe un sistema de referencia, que lo llamaremos ΣCM o sistema de referencia centro de masa, para el cual el cuadrivector momento total p p no ¯ no tenga componentes  espaciales, esto es, un sistema para el cual p p =  = 0. La velocidad  velocidad uCM del sistema de referencia centro de masa respecto a Σ est´ a dada por uCM =

p m ¯

(4.20)

A partir de la velocidad u  CM , el cuadrivector velocidad del centro de masa toma la forma U CM uCM )( )(cc, uCM ) CM = γ (

(4.21)

Entonces Enton ces,, de la defi definic nici´ i´ on del cua on cuadri drive vecto ctorr mom momen ento to tot total, al, ecu ecuaci aci´ oń on (4.19), velocidad del centro de masa, ecuaci´ on (4.20) y la definici´ on on del on cuadrivector velocidad del centro de masa (ecuación on (4.21)), tenemos p = p ¯ = (mc, ¯ p p)) = m ¯ (c, uCM ) = mγ ¯ −1 (uCM )U CM CM

(4.22)

La norma al cuadrado de esta ecuaci´ on on p¯2 = m ¯ 2 γ −2 (uCM )c2

(4.23)

permite definir la masa total del sistema de part part´´ıculas, en el sistema de referencia centro de masa Σ CM : mCM :=

m ¯ γ (uCM )

(4.24)



 






32

´ CAP´ ITULO ITU LO 4. DINAMICA RELATIVISTA

Por lo tanto, podemos escribir el cuadrivector momento total del sistema como p = p ¯ = m m CM U CM (4.25) CM Es importante aclarar que mCM , la masa en reposo del sistema en ΣCM , ex exced cedee a la sum sumaa de las mas masas as en repo reposo so de las par partt´ıcu ıculas las del sistema, sistem a, pues a ella contribuyen también en las energ energ´´ıas cinéticas eticas de las partt´ıcu par ıculas las ind indivi ividua duales. les. Por tanto ta nto la l a energ´ en erg´ıa ıa cin´ c inética etic a del d el sistem si stemaa en ΣCM est´ a dada por 2 K CM m ¯ 0 c2 (4.26) CM = m CM c

−

donde hemos definido m ¯ 0 :=



m0i

(4.27)

i

energ rg´ ´ıa umb umbral ral se defi define ne como la ene energ rg´ ´ıa m´ıni ınima ma neDefinici´ on 5 La ene on cesaria para que, en un proceso de colisi´ on, se cre creee una nueva part part´ ´ıcula de masa en reposo dada. De cualqui cualquier er manera, la energ´ıa ıa m´ınima (umbral) se tendr´ a cuando las part p art´´ıculas resulta resultantes ntes de la colisi´ col isi´ on est´ on en en reposo en el sistema de en referencia del centro de masa del sistema. Esta ultima u´ltima afirmaci´ on define on operacionalmente el concepto de energ energ´´ıa umbral. 4.2.2. 4.2 .2.

Foto otones nes y estru estructu ctura ra at´ at´ omica omica

Una part part´´ıcula de masa en reposo cero cero m m 0 = 0 implica que el cuadrivector momento sea nulo. As As´´ı, si E E es es la energ´ıa ıa total de la part´ıcula ıcula y momento p p,  , entonces E = (4.28) p = p , p c con p2 = 0 (4.29)

 

La relaci´ on ent on entre re el conce concepto pto de part part´´ıcula de masa en reposo nula y el concepto de fotón o n o qu´ antum de energ antum energ´´ıa se basa en la gene generaliralizaci´ o n de la hip´ on otesis de Einste otesis Einstein, in, para el trans transporte porte de la energ energ´´ıa en una onda electromagn´ etica. Einstein postul´ etica. o que si tenemos una onda electromagn´ electrom agnética etica monocro monocrom´ m´ atica de frec atica frecuencia uencia ν , entonces la energ energ´´ıa transportada por la onda est´ a concentrada en cantidades discretas de energ´ıa ıa dada por la relaci´ on on E = hν = hν

(4.30)



 






´ 4.2.. POS 4.2 POSTUL TULADOS ADOS DE LA DINAMICA R ELATIVIST ELATIVISTA A

33

donde h es la const constant antee de Planc Planck. k. As As´´ı, dado que la onda transporta energ´´ıa, entonces también energ en debe transp transportar ortar momento de magnit magnitud ud

| p | = E c

(4.31)

por lo tanto, se postula p ostula que una onda electromagn´ etica monocrom´ etica atica descrita por el cuadrivector de onda k =



ω , kx , ky , kz c



(4.32)

posee un cuadrivector momento dado por la relaci´ on on p = p = ℏ k

(4.33)

donde ℏ = h/ h/22π . Esta ecuaci´ on implica que la energ´ on energ´ıa asociada a la onda es E = ℏ ω (4.34) y su mom momento ento f´ısi ısico co

p = p  = ℏ  k

(4.35)

on el´ astica en relatividad como aquella paDefinici´ on 6 Se define colisi´ on ra la cual las masa masass pr propias opias de las part art´ ´ıcula ıculass inicia iniciales les (incl (incluyendo uyendo las partt´ıculas de masa en rep par reposo oso cer cero) o) antes de la coli colisi´ si´ on son las mismas despu´ desp ués es de la colisi colisi´ on. ´ Una consecuencia de esta definición on es que la ener energg´ıa cinética etic a antes y después es de la colisi colisi´ oń no cambia, como se ver´ on a en un problema. En relativi r elatividad, dad, y en general en f´ısica, ısica, el concepto co ncepto de part pa rt´´ıcula est´ a asociado cia do a un cue cuerpo rpo mat materi erial al pun puntua tual, l, car caract acteri erizad zadoo por su mas masaa pro pro-pia, carga eléctrica, ectrica, momento angular intr intr´´ınseco o spin s pin y otros otr os n´ umeros cu´ anticos. Aun cuando la may anticos. mayor or´´ıa de las part part´´ıculas conocidas presentan estructura interna y por esta razón on no son part part´´ıculas puntuales en estricto sentido, para nuestros prop´ ositos la aproximaci´ ositos on de par on partt´ıcu ıcula la puntual es suficiente. El atomo a´tomo de hidr´ ogeno es un sistema de dos part ogeno part´´ıculas, un electr´ on on y un protón, on, ligados por la fuerza el´ ectrica. La estructura interna y sus ectrica. propiedades propie dades f´ısicas ısicas son objeto de estudi estudioo de la mec´ anica cu´ antica. Sin antica. embargo, para efecto de estudiar procesos din´ amicos relativistas, como la amicos colisi´ on del atomo on a´tomo con otras part part´´ıculas, se puede considerar que el atomo a´tomo es una un a part pa rt´´ıcula eléctricamente ectricam ente neutra, caracter caracterizada izada por su masa m asa propia



 






34


y p or su estado interno de energ´ energ´ıa, el cual est´ a dado, para el atomo a´tomo de hidrógeno, ogeno, por un n´ umero entero n umero entero n relaciona relacionado do con la energ energ´´ıa interna o de ligadura del atomo a´tomo por la ecuaci´ on on E n =

13,,6056981 eV ; ; − 13 n2

n = 1, 2,...

(4.36)

donde la unidad de energ energ´´ıa es el electronv electronvoltio: oltio: 1eV = 1, 602

× 10−19 J

(4.37)

El estado base del atomo a´tomo de hidr´ ogeno corresponde al nivel n = 1 y ogeno el atomo a´tomo solam solament entee puede absor absorber ber y emiti emitirr una can cantidad tidad de energ energ´´ıa Q si esta cantidad es igual a la difer diferencia encia entre dos niv niveles eles de energ energ´´ıa permitidos, es decir si Q = = E E final f inal

= E E n − E m − E inicial inicial =

(4.38)

si n > m significa que el atomo a´tomo absorb absorbee energ en erg´´ıa y si n < m, que emite energ´ıa. ıa. La energ´ıa ıa de ionizac ionizaci´ i´ o n del átomo on atomo corresponde a la energ energ´´ıa m´ınima necesaria para quitarle un electr´ o n al atomo, on a´tomo, cuando este se encuentra en su estado base. Para el caso particular del átomo atomo de hidr´ ogeno, esto implica que la ogeno, energ´ıa ıa necesaria para que el atomo a´tomo pase del estado base n base n = = 1 al estado m = el cual representa que el electrón on y el prot´ on no interaccionan on y tienen energ energ´´ıas cinéticas eticas nulas en el infini infinito, to, corresp corresponde onde a la energ´ıa ıa de ionizaci´ on del átomo. on atomo. As´ı, ı, la ene energ´ rg´ıa ıa de io ioni nizac zaci´ i´ on del hidr´ on ogeno est´ ogeno a dada por

∞

Qion = E final f inal

E inicial inicial 13,, 6057 13 = l´ım eV n→∞ n2 = 13 13,, 6057 6057eV eV

−−

 − −

13,, 6057 13 eV 12



(4.39)

La masa propia del atomo a´tomo est´ a dada por la suma de las masas propias del electr´ on y el prot´ on on m´ on as el equivalente en as e n masa de la energ´ıa ıa interna. i nterna. As´´ı, para el atomo As a´tomo de hidr´ ogeno, su masa propia (en unidades equiogeno, valentes de energ energ´´ıa en electronvoltio electronvoltios) s) en el estado de energ´ıa ıa E n es M m0 c2 = m 0e c2 + m0 p c2 + E n

(4.40)

donde m0e es la masa propia del electr´ on y m0 p la del protón. on on. De esta forma, para todos los efectos de la din´ amica relativista, dos atomos amica a´tomos

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 

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35

´ 4.3. PROBLEMAS DE DINAMICA RELATIVISTA

qu´ımicamente iguales (e. g. de hidr´ ogeno), pero en estados internos distintos, son part´ıculas diferentes. Por ejemplo, la masa propia del electr´ on, en udidades de ev, es m0e c2 = 510999,06eV = 0,51099906MeV

(4.41)

m0 p c2 = 938272310eV = 938,27231MeV

(4.42)

y la del prot´ on

y si el a´tomo de hidr´ ogeno se encuentra en su estado base n = 1 entonces su masa propia est´ a dada por M m0 c2 = m0e c2 + m0 p c2 = =

− 13,6056981eV 510999,06eV + 938272310eV − 13,6056981eV 9. 3878 × 108 eV (4.43)

Lo que se ha dicho en esta secci´ o n es vá lido para todos los a´tomos y en general para todos los sistemas compuestos de part´ıculas, como los n´ ucleos at´ omicos; solamente que la estructura energética interna del átomo o n´ ucleo no est´ a dada por una relaci´ on tan sencilla como la encontrada para el a´tomo de hidr´ ogeno, ecuaci´ on (4.36).

4.3.

Problemas de din´ amica relativista

1. Cuadrivector momento. Sean p1 y p2 los cuadrivectores momento de dos part´ıculas de masas propias m01 y m02 respectivamente. Muestre que el momento total del sistema p = p 1 + p2

(4.44)

es un cuadrivector temporal, es decir su norma es positiva. 2. Sistema centro de masa. En un sistema de referencia inercial Σ dos part´ıculas de masas propias m01 y m02 tienen cuadrivectores momento p1 y p 2 respectivamente. Calcular la velocidad del sistema de referencia centro de masa ΣCM y la masa propia del sistema medida en Σ y en ΣCM . 3. Transformaci´ on del momento. Una part´ıcula de masa en reposo m0 tiene una energ´ıa total E y un momento p medido por un observador inercial Σ. Un segundo sistema de referencia Σ′ se

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 

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36


est´ a moviendo con velocidad v en la dirección del eje x positivo con respecto a Σ. Si los dos observadores eligen los ejes espaciales paralelos y toman t = t′ = 0 cuando los or´ıgenes coinciden, encontrar la energ´ıa total E ´, momento p ý energ´ıa cinética K ′ de la part´ıcula medidas en el sistema de referencia Σ′ , en términos de las cantidades E , p y K medidas por el observador Σ. 4. Cuadrivector fuerza. Interpretar f´ısicamente las componentes del cuadrivector fuerza, definido por la ecuaci´ on de movimiento dp = m 0 A (4.45) dτ donde m0 es la masa propia de una part´ıcula, sobre la cual act´ ua  una fuerza F y A es su cuadrivector aceleración. f =

5. Transformaci´ on de la fuerza entre sistemas de referencia. Encontrar las ecuaciones de transformaci´ on de las componentes de la fuerza f´ısica entre sistemas de referencia inerciales, relacionados por una transformaci´ on de Lorentz usual. 6. Energ´ıa disponible para crear part´ıculas. En un experimento de colisi´ on de dos part´ıculas, donde, después de la colisi´ on, emergen las dos part´ıculas iniciales m´ as una nueva part´ıcula de masa en reposo dada, surge la necesidad de considerar la m´ınima energ´ıa inicial necesaria para crear esta part´ıcula, la cual es llamada energ´ıa umbral. Otra forma de plantear el concepto de energ´ıa umbral es considerar la m´ axima cantidad de energ´ıa disponible en un proceso de colisi´ on de dos part´ıculas, las cuales emergen después del choque junto con otra part´ıcula adicional. Los experimentos de colisi´ on de part´ıculas usualmente utilizan protones contra protones y estos experimentos se pueden disponer de dos maneras: en la primera forma, un prot´ on de energ´ıa propia E 0 es acelerado hasta alcanzar cierta energ´ıa total E 1 , el cual se hace chocar contra un prot´ on en reposo. En la segunda forma los dos protones se aceleran hasta una energ´ıa final de E 2 cada uno y se hacen colisionar frontalmente. En ambos casos la energ´ıa total del sistema es E = E 1 = 2E 2 , sin embargo las energ´ıas disponibles son diferentes. Calcular la energ´ıa disponible E D en cada experimento. Asumir que E = 30Gev y E 0 = 0,94Gev para el prot´ on. 7. Sistema de dos electrones. Un electró n de masa propia m0 se está moviendo con una energ´ıa cin´ etica que es el doble de su

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 

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37

energ´ıa propia, en la direcci´ on de otro electr´ on que se encuentra en reposo en el sistema de referencia del laboratorio Σ. al es la velocidad del electr´ on m´ ovil medida en Σ? a ¿Cu´ b Calcular los cuadrivectores momento de los dos electrones y el

cuadrivector momento total del sistema en Σ. al es la velocidad del sistema de referencia centro de masa? c ¿Cu´ Calcular las componentes del cuadrivector momento de cada electr´ on en el sistema de referencia centro de masa ΣCM . d Calcular la masa propia total del sistema de dos part´ıculas, en

Σ y en el sistema de referencia centro de masa ΣCM . 8. Sistema de dos fotones. Dos fotones de la misma energ´ıa E , con respecto a un sistema de referencia inercial Σ, se propagan, el primero en la direcci´ o n del eje x positivo y el segundo en la direcci´ on del eje y positivo. a Calcular los cuadrivectores momento de los dos fotones y el cua-

drivector momento total del sistema en Σ. al es la velocidad del sistema de referencia centro de masa? b ¿Cu´ c Calcular la masa propia del sistema de dos fotones.

9. Part´ on ıcula compuesta. En el sistema de laboratorio un electr´ 2 de energ´ıa cinética 2m0 c /3 choca con un positr´ on (part´ıcula de la misma masa que el electr´ on y de carga positiva) en reposo y forma un a´tomo de positronio. al es la masa propia del positronio? a ¿Cu´ e velocidad final adquiere el átomo de positronio? b ¿Qu´ ´tomo de positronio, después de un tiempo corto se desinc Si el a tegra de nuevo en un electrón y un positr´ on, ¿cu´ al es la velocidad de las part´ıculas finales si ellas son emitidas formando el mismo ańgulo con respecto a la direcci´ on de movimiento del positronio? ¿Cu´ anto vale este ańgulo? on completo d Analizar si el proceso de colisi´ e− + e+

−→ A p −→ e− + e+

(4.46)

es el´ astico o inel´ astico, donde e − representa al electrón, e + al positr´ on y A p al a´tomo de positronio.



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10. Aniquilaci´ on que se mueve on de part´ ıculas. Considere un electr´ 2 con energ´ıa cinética de 2m0 c /3 y choca con un positr´ on en reposo aniquil´ andose el electr´ on y el positrón en dos fotones: e− + e+

−→ γ + γ

on de incidencia del electr´ on, ¿en qué dia Con respecto a la direcci´ recciones deben salir los fotones para que uno de ellos tenga energ´ıa máxima? En este caso ¿cuál es la energ´ıa de cada fot´ on? on los dos fotones salen formando b Si en el proceso de aniquilaci´ un ańgulo igual (y opuesto) con respecto a la direcci´ o n de incidencia, ¿cu´ anto vale el ańgulo? y ¿qué energ´ıa tiene cada fot´ on? c Resolver los dos numerales anteriores analizando el problema

para un observador en reposo con respecto al sistema de referencia centro de masa de las part´ıculas iniciales. 11. Absorci´ atomo de hidr´ ogeno en su estado base, on at´ omica. Un ´ con masa propia M 0 , se encuentra en reposo en el sistema laboratorio Σ. Un fot´ on de energ´ıa Q choca contra el a´tomo y es absorbido por este, pasando a su primer estado excitado n = 2. Sea ˜ 0 la masa propia del a´tomo excitado y M ˜ 0 c2 Q0 = M

− M 0c2

(4.47)

la diferencia de las energ´ıas propias del hidr´ ogeno después y antes de la colisi´ on. on para la energ´ıa Q que debe tener el a Encontrar una expresi´ fotón incidente, en función de la energ´ıa de excitaci´ on Q0 y la masa propia del a´tomo M 0 en su estado base. on incidente b Demostrar que la diferencia entre la energ´ıa del fot´ Q y la energ´ıa interna de excitación del átomo corresponde a la energ´ıa cinética del a´tomo excitado. c Calcular numéricamente Q teniendo en cuenta que Q0 corres-

ponde a la diferencia entre los niveles de energ´ıa interna n = 2 y n = 1, y calcular la velocidad con que retrocede el a´tomo al absorber el fot´ on de energ´ıa Q.

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12. Cohete fot´ axima eficiencia que se podr´ıa onico. El motor de m´ llegar a construir es el cohete fot´ onico, el cual convierte el 100 % del combustible (materia) en radiaci´ on colimada (fotones). Supongamos que en los problemas del cap´ıtulo de cinem´ atica Viaje interestelar 1 y Viaje interestelar 2 la nave dispone de un cohete fot´ onico. Calcular qué porcentaje de la masa inicial del cohete M 0 se gasta en el viaje en cada caso. 13. Dispersi´ o n el´ astica prot´ on-prot´ on. En el sistema laboratorio una part´ıcula de masa propia m0 y energ´ıa cinética K choca el´ asticamente contra otra part´ıcula id´ entica en reposo. Calcular el ańgulo entre las dos part´ıculas despu´ es de la colisi´ on en funci´ on de K y m0 , si las dos part´ıculas salen con la misma energ´ıa. Aplicar el resultado para protones, con m0 c2 = 938,27231MeV y K = 437MeV . Sutton et ál. ([8]) obtuvieron el valor experimental de 84,0o 0,2o .

±

14. Procesos prohibidos. Demostrar que los siguientes procesos de colisi´ on son prohibidos: un prot´ on en reposo emite un fot´ on y retrocede p p + γ (4.48)

−→

Un fot´ on se desintegra en un par electr´ on-positrón

−→ e− + e+

γ

(4.49)

Un par electr´ on-positr´ on se aniquila dando lugar a un fot´ on e− + e+

−→ γ

(4.50)

donde γ representa un fotón de energ´ıa dada, p un protón, e− un electr´ on y e+ un positr´ on. 15. Experimentos de coincidencia. En el experimento original del efecto Compton se midi´ o la energ´ıa del fot´ on dispersado en función del ańgulo de dispersi´ on, pero no se midi´ o el electr´ on dispersado. Calcular la energ´ıa y el ańgulo de dispersi´ on del electr´ on en función de la energ´ıa del fotón incidente y el ángulo de dispersi´ on del fot´ on. 16. Reflexi´ on de on inel´ astica de un fot´ o n en un ´ atomo. Un fot´ energ´ıa Qi choca contra un átomo de hidr´ ogeno en reposo que se encuentra en su primer estado excitado. Despu´ es de la colisi´ on el átomo pasa a su estado base y el fot´ on se dispersa con la misma energ´ıa retrocediendo.

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astico o inel´ astico? a ¿El choque es el´ al es la velocidad del átomo después de la colisión? b Cu´ al es la energ´ıa Q i del fot´ on incidente? c ¿Cu´

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Cap´ıtulo 5

Tensores En este cap´ıtulo se introducen los conceptos fundamentales del c´ alculo tensorial. Los tensores ser´ an definidos en t´ erminos de sus propiedades de transformaci´ on, bajo un cambio de sistemas de coordenadas. Todas las definiciones dadas, as´ı como sus propiedades, son generales, i. e. son válidas para transformaciones generales de coordenadas, pero este cap´ıtulo se restringir´ a exclusivamente a las transformaciones de Lorentz, aun cuando se mantiene en lo posible una notaci´ on general.

5.1.

Definiciones fundamentales

Definici´ on 7 Sean Σ y Σ′ dos sistemas de referencia inerciales y sean

xµ = (x0 , x1 , x2 , x3 ) y x′µ = (x′0 , x′1 , x′2 , x′3 ) las coordenadas de un evento f´ısico medidas en Σ y Σ′ respectivamente. Entonces una trans formaci´ on de Lorentz de las coordenadas est´ a definida como: xµ

−→ x′µ = Λ µν xν

(5.1)

tal que el producto punto minkowskiano queda invariante bajo esta trans formaci´ on de coordenadas. Definici´ on 8 Un escalar de Lorentz es una cantidad (en general una

funci´ on de las coordenadas) que es invariante bajo transformaciones de Lorentz. Ejemplos de escalares de Lorentz son: la masa propia de una part´ıcula, el intervalo de tiempo propio entre dos eventos, la norma de todo cuadrivector, el producto interno de cuadrivectores, etc. 41 

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CAP´ ITULO 5. TENSORES

Definici´ on 9 Un cuadrivector V es una cantidad cuyas componentes,

denotadas por V µ , µ = 0, 1, 2, 3, medidas por el observador inercial Σ, se transforman bajo una transformaci´ on de Lorentz de las coordenadas (ecuaci´ on (5.1)), de la misma manera que las coordenadas, es decir: V ′µ = Λµν V ν

(5.2)

donde V ′µ denota las componentes del cuadrivector V medidas en el sistema de referencia Σ′ . A las cantidades V µ se las llama las componentes contravariantes del cuadrivector V. Definici´ on 10 Un tensor T de segundo orden dos veces contravariante

es un conjunto de 42 componentes T µν ; µ, ν = 0, 1, 2, 3, medidas en un sistema de referencia Σ, tales que bajo una transformaci´ on de Lorentz (ecuaci´ on (5.1)) sus componentes se transforman como: T ′µν = Λµα Λν β T αβ

(5.3)

donde T ′µν denota las componentes del tensor T en el sistema de referencia Σ′ . on anterior se generaliza al caso de un tensor Definici´ on 11 La definici´ T contravariante de orden r, como un objeto de 4 r componentes, medidas en un sistema de referencia Σ, cuyas componentes se transforman bajo una transformaci´ on de Lorentz (5.1) en la forma: µ

µ

T ′µ1 µ2 ...µr = Λ ν 11 Λ ν 22

· · · Λµν T ν ν ...ν r r

1

2

r

(5.4)

As´ı, se define un tensor de orden cero como un escalar y un tensor contravariante de orden uno como un cuadrivector. Definici´ on 12 La distancia espacio-tiempo entre dos eventos de coor-

denadas xµ y xµ + dxµ est´ a definida por ds2 = η µν dxµ dxν

(5.5)

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5.1. DEFINICIONES FUNDAMENTALES

Esta distancia es un invariante bajo una transformaci´ on de coordenadas, es decir: ds2 = η µν dxµ dxν = η µν dx′µ dx′ν (5.6) donde la matriz de Minkowski η (también llamada tensor métrico de Minkowski) est´ a definida por: η µν :=

 −

1; si µ = ν = 0 1; si µ = ν = 1, 2, 3 0; si µ = ν

(5.7)



Entonces por la invarianza de ds 2 se tiene que ds2 = η µν dx′µ dx′ν = η µν Λµα Λν β dxα dxβ = η αβ dxα dxβ

(5.8)

por lo tanto se debe cumplir la relaci´ on: η αβ = Λµα Λν β η µν

(5.9)

Dado que det(η αβ ) =

−1

(5.10)

entonces existe la matriz de transformaci´ on inversa (η αβ )−1 , cuyas componentes se denotan por η αβ , y satisfacen la siguiente relaci´ on: ηη −1 = 1

⇐⇒

σ η αβη βσ =δ α

(5.11)

donde δ ασ son los elementos de la matriz identidad. Los elementos de la matriz inversa de Minkowski coinciden num´ ericamente con ηαβ , y adem´ as son matrices simétricas, i. e. η αβ = ηβα η αβ = ηβα

(5.12)

. La inversa de una transformaci´ on de Lorentz está dada por: xµ = Λν µ x′ν con Λν

µ

= (Λµν )−1

⇐⇒ Λν εΛν µ = δ µ ε

(5.13)

(5.14)

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Definici´ on 13 Se definen las “componentes” covariantes de un cuadri-

vector V como V α := η αβ V β

(5.15)

As´ı, dadas las componentes covariantes V µ , entonces sus correspondientes componentes contravariantes se obtienen de la transformaci´ on inversa: V µ = η µν V ν

(5.16)

Esta definici´ on se generaliza para el caso de tensores de cualquier rango. Por ejemplo, las componentes covariantes de un tensor de segundo orden est´ an relacionadas con sus componentes contravariantes por la ecuaci´ on: T µν = η µα η νβ T αβ

(5.17)

y en forma similar se pueden definir las componentes de un tensor de segundo orden una vez contravariante y una vez covariante, con las siguientes posibilidades: T αβ = η βµ T αµ

T αβ = η µα T µβ

;

(5.18)

De esta forma, T αβ , T µν , T α β y T α β son todas diferentes representaciones de un mismo tensor de segundo rango T. Las componentes covariantes de un tensor de rango uno, bajo una transformaci´ on de Lorentz, se transforman como: µ

V α′ = Λα

V µ

(5.19)

La ley general de transformaci´ on de las componentes covariantes y contravariantes de un tensor cualquiera T, r-veces contravariante y sveces covariante, est´ a dada por:

′µ µ ...µ

µ

µ

r 2 T γ 1 1γ 2 ...γ = Λ ν 11 Λ ν 22 s

· · · Λµν Λγ δ r r

1

1

δ 2 Λγ 2

· · · Λγ δ T δν δν ...δ...ν r r

1

2

1 2

r s

(5.20)

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5.1. DEFINICIONES FUNDAMENTALES

5.1.1.

´ Algebra y propiedades de simetr´ıa de tensores

Definici´ on 14 Sea

Πrs

 |

...ν r T δν 11δν 22...δ s

= T



el conjunto de todos los tensores r-veces contravariante y s-veces covariante. As´ı, en esta notaci´ on, un escalar es un elemento de Π00 , un cuadrivector contravariante es un elemento de Π10 y uno covariante de Π01 , etc. Definici´ on 15 Dados dos tensores T, S

multiplicaci´ on por un escalar λ

∈ R, por:

∈ Πrs definimos la suma y la

ν 1 ν 2 ...ν r ν 1 ν 2 ...ν r ν 1 ν 2 ...ν r 1 ν 2 ...ν r Qν δ1 δ 2 ...δs := (T + S )δ 1 δ 2 ...δs := T δ 1 δ 2 ...δs + S δ1 δ2 ...δs ...ν r ν 1 ν 2 ...ν r 1 ν 2 ...ν r P δν 11δν 22...δ := (λT )ν δ 1 δ2 ...δs := λT δ 1 δ 2 ...δs s

Definici´ on 16 Dados dos tensores T

ducto tensorial como: ν ν ...ν ν

(5.21)

(5.22)

∈ Π rs y S ∈ Π pq , se define el pro-

...ν

ν

ν

...ν

ν 1 ν 2 ...ν r r+1 r +p r+1 r +2 r +p W δ11δ22...δsrδs+1 ...δs+q := T δ 1 δ 2 ...δs S δs+1 δ s+2 ...δs+q

(5.23)

el cual es un tensor de Πr+ p s+q . Πrs se define la contracci´ on del r) con el ´ındice covariante β j ( 1

Definici´ on 17 Dado un tensor T

´ındice contravariante αi ( 1 j s) por:

≤

≤ i ≤

∈

≤

(α )

...αi ...αr α1 α2 ...σ...αr C (β i) (T β α1β α2...β ...β ) := T β β ...σ...β j

1

2

j

s

1

2

s

∈ Πrs−−11

(5.24)

La operaci´ on de subir y bajar ´ındices es un caso particular de combinar las operaciones de producto tensorial y contracci´ on. Definici´ on 18 Un tensor T de segundo rango del tipo Π20 , con compo-

nentes T αβ en un sistema de referencia Σ, se llama simétrico si T αβ = T βα

(5.25)

y antisimétrico si T αβ =

−T βα

(5.26)

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46


Esta definici´ on es válida también para las componentes covariantes de un tensor de segundo rango y puede ser generalizada a cualquier par de ´ındices de un tensor de rango n 2. Por ejemplo

≥

T αβγ = T βαγ

(5.27)

es un tensor sim´ etrico en sus dos primeros ´ındices contravariantes y T αβγ =

−T αγβ

(5.28)

es antisimétrico en sus dos u´ltimos ´ındices contravariantes. Definici´ on 19 Dado un tensor T de segundo rango del tipo Π20 , con

componentes T αβ en un sistema de referencia Σ, se define un nuevo tensor, denotado como T (αβ ) , por la operaci´ on 1 T (αβ ) := (T αβ + T βα ) 2

(5.29)

el cual por definici´ on es simétrico, es decir T (αβ ) = T (βα) . on de antisimetrizaci´ on de un tensor Definici´ on 20 Se define la operaci´ dado T αβ , que se denota como T [αβ ] , por: 1 T [αβ ] := (T αβ 2

− T βα )

(5.30)

De la misma manera se tiene que si un tensor T αβ es simétrico, entonces el tensor antisimetrizado es cero, y si T αβ es antisimétrico, entonces T [αβ ] = T αβ (5.31) Claramente estas operaciones son v´ alidas también para tensores del 0 tipo Π2 . Estas operaciones de simetrizaci´ on y antisimetrizaci´ on se pueden generalizar a tensores de orden mayor: T (α1 ···αr ) := [α1 αr ]

T ···

1 := r!

1 r!



T P σ (α1 ···αr )

(5.32)

( 1)N σ T P σ (α1 ···αr )

(5.33)

P σ

− P σ

donde la suma se realiza sobre todas las permutaciones de los ´ındices (α1 , , αr ) y N σ = 1 es el signo de la permutación.

···

±

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47

´ 5.2. TRANSFORMACION GENERAL DE COORDENADAS

La generalizaci´ o n del producto cruz del a´lgebra usual de vectores tridimensionales corresponde al producto tensorial de vectores antisimetrizado. As´ı, sean Aα y B β las componentes de dos cuadrivectores en un sistema de referencia Σ, entonces se define un nuevo tensor como el producto tensorial antisimetrizado de estos dos cuadrivectores: C αβ := A[α B β ] =

1 α β A B 2

{

− Aβ B α}

(5.34)

Un caso especial de un tensor de cuarto rango completamente antisim´ etrico es el tensor de Levi-Civita, definido por la ecuaci´ on: ε

αβγδ

:=

 −

+1 si αβγδ es permutaci´ on par de 0123 1 si αβγδ es permutaci´ on impar de 0123 0 en los dem´ as casos

(5.35)

Este tensor, al igual que el tensor m´ etrico de Minkowski, tiene la particularidad que en todos los sistemas de referencia inerciales sus componentes poseen el mismo valor numérico.

5.2.

Transformaci´ on general de coordenadas

Un cambio general de coordenadas entre los sistemas Σ y Σ′ se puede expresar como un conjunto de cuatro ecuaciones, donde las nuevas coordenadas primadas son funciones continuas, con inversa continua, de las coordenadas no primadas. As´ı la transformaci´ on de coordenadas y su inversa se pueden escribir como: x′µ = x ′µ (xα )

(5.36)

xβ = xβ (x′ν )

(5.37)

Notemos que si exigimos que las transformaciones de coordenadas sean lineales, entonces estas ecuaciones se reducen a la forma: x′µ = Λµ α xα

(5.38)

xβ = Λν β x′ν

(5.39)

con los coeficientes de las transformaciones Λµ α (y los de la transformaci´ on inversa Λν β ) constantes, independientes de las coordenadas. Con la identificaci´ on ∂x ′µ Λµ α = (5.40) ∂x α



 

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

48


Λν

β

=

∂x β ∂x ′ν

las ecuaciones que definen la ley de transformación (y su inversa), para las componentes de cualquier vector en los dos sistemas de referencia, se pueden escribir en la forma V ′µ =

∂x ′µ ν V ∂x ν

(5.41)

V µ =

∂x µ ′ν V ∂x ′ν

(5.42)

Entonces, la relaci´ on Λµ α Λν α = δ µν

(5.43)

es equivalente a

∂x ′µ ∂x α = δ µν (5.44) ∂x α ∂x ′ν Esta relaci´ on se obtiene directamente si aplicamos la regla de la cadena para las derivadas a la transformaci´ on idéntica x′µ (xα (x′ν )) x′µ .

≡

5.2.1.

Operadores vectoriales

La generalizaci´ on del vector gradiente del c´ alculo vectorial usual sobre

R3

∇ = ( ∂x∂ , ∂y∂ , ∂z∂ )

(5.45)

el cual al actuar sobre una funci´ on escalar produce un vector en la direcci´ on del m´ aximo cambio de la funci´ on, es el operador diferencial ∂ µ =

∂ ∂x µ

que al actuar sobre una funci´ on escalar de las coordenadas genera un cuadrivector covariante ∂ µ Φ = (

∂ Φ ∂ Φ ∂ Φ ∂ Φ , , , ) ∂x 0 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3

Las componentes del operador gradiente se transforman, bajo un cambio de coordenadas, como las componentes covariantes de un cuadrivector, es decir ∂ µ′ = Λ µ ν ∂ v (5.46)



 

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

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´ 5.3. PROBLEMAS DE ALGEBRA TENSORIAL

A partir de esta definición se pueden construir los operadores de uso m´ as frecuente en f´ısica, siguiendo los mismos procedimientos que en el caso del c´ alculo vectorial tridimensional est´ andar. µ Para el caso de un campo vectorial Ψ (xα ), esto es, una función vectorial de las coordenadas, si se toma el producto interno minkowskiano entre este campo vectorial y el vector gradiente:

∇ · Ψ = ∂ ν Ψν

(5.47)

se obtiene la cuadridivergencia que corresponde a la generalizaci´ on del operador divergencia tridimensional. Adem´ as, tomando el producto interno del operador gradiente consigo mismo, se obtiene el operador de DÁlembert que es un invariante (un escalar) bajo transformaciones de coordenadas, as´ı: 

= η µν ∂ µ ∂ ν = ∂ µ ∂ µ =

∂ 2 ∂x 02

− ∇2

(5.48)

Finalmente la generalizaci´ on del rotacional se define como un tensor de segundo rango antisim´ etrico obtenido p or la operaci´ on: ∂ [α Ψβ ] = ∂ α Ψβ

5.3.

− ∂ β Ψα

(5.49)

Problemas de ´ algebra tensorial

1. Transformaci´ on de componentes covariantes. A partir de la propiedad ηαβ = Λµα Λν β ηµν (5.50) que debe satisfacer una transformaci´ o n de Lorentz Λµα y de la definici´ on de componentes covariantes de un cuadrivector V α := η αβ V β

(5.51)

y de la ley de transformaci´ on para las componentes contravariantes V ′α = Λαβ V β

(5.52)

encontrar la ley de transformación para las componentes covariantes del cuadrivector V, i. e., demostrar que V α′ = Λα µ V µ

(5.53)



 



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

50


2. Componentes covariantes del cuadrivector momento. Dadas las componentes contravariantes del cuadrimomento en un sistema de referencia Σ, p = =

p0 , p1 , p2 , p2 E , px , py , pz c

 

 

(5.54)

encontrar las componentes covariantes. 3. Transformaci´ on de componentes covariantes. A partir de las ecuaciones de transformaci´ on para las componentes covariantes de un cuadrivector, mostrar que las ecuaciones de transformaci´ on para la energ´ıa y el momento de una part´ıcula son las mismas sin importar si se trabaja con sus componentes contravariantes o covariantes. 4. Propiedades de simetr´ıa. Considere un tensor de segundo rango contravariante T αβ . etrico en un sistema de referena Muestre que si el tensor es sim´ cia también es simétrico en todos los sistemas de referencia. Similarmente si es antisimétrico. b A partir de T αβ encontrar sus componentes covariantes T αβ y

mostrar que si T αβ es simétrico entonces T αβ también lo es. Similarmente si es antisimétrico. ¿Qué sucede con las componentes mixtas T α β y T α β ?

5. Tensor m´ alculo directo, etrico de Minkowski. Mostrar, por c´ que el tensor métrico de Minkowski ηαβ tiene las mismas componentes en todos los sistemas coordenados. Similarmente η αβ y el tensor métrico mixto δ αβ . ...αr α1 ...αr ´ 6. Algebra y Rβ las componentes de tensores. Sean T β α1...β s 1 1 ...β s de dos tensores r veces contravariantes y s veces covariantes medidas en un sistema de referencia Σ, y λ un n´ umero real.

−

−

a Demostrar que las cantidades α1 ...αr α1 ...αr S β ...β = λT β ...β 1

s

1

s

(5.55)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 51 — #55 



51


se transforman como las componentes de un tensor r veces contravariante y s veces covariante bajo una transformaci´ on de Lorentz.

−

−

b Demostrar que las cantidades ...αr ...αr α1 ...αr Qαβ 1...β = T β α1...β + Rβ ...β s

1

1

s

1

(5.56)

s

se transforman como las componentes de un tensor r veces contravariante y s veces covariante bajo una transformaci´ on de Lorentz.

−

−

7. Contracci´ on de tenon de tensores. Demuestre que la contracci´ sores es una operación tensorial. Es decir, muestre que el conjunto de cantidades obtenidas por la contracci´ on de cualquier ´ındice covariante con cualquier ´ındice contravariante de un tensor dado T r veces contravariante y s veces covariante, conforman las componentes de un tensor r 1 veces contravariante y s 1 veces covariante.

−

− −

−

8. Tensor de Levi-Civita. El tensor de Levi-Civita está definido por la ecuaci´ on (5.35). a Mostrar que las componentes del tensor de Levi-Civita tienen el

mismo valor en todos los sistemas de referencia inerciales. b Calcular las componentes del tensor de Levi-Civita completa-

mente covariante. c Calcular

εαβγδ εαβγδ

(5.57)

9. El tensor dual. Dado un tensor de segundo rango covariante antisimétrico, i. e. F αβ = F βα (5.58)

−

entonces: a Calcular las componentes contravariantes del tensor dual, defi-

nido como

1 ( F )αβ = εαβγδ F γδ 2

∗

(5.59)



 



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

52


etrico de Minkowski, enconb Bajando los ´ındices con el tensor m´ trar las componentes covariantes del tensor dual: ( F )αβ = η αµ η βν ( F )µν

(5.60)

1 ( F )αβ = εαβγδ F γδ 2

(5.61)

∗

∗

y demostrar que

∗

c Comparar el resultado anterior si definimos el dual de un tensor

de segundo orden contravariante antisimétrico por la relaci´ on

∗F αβ = 21 εαβγδ F γδ

(5.62)

teniendo en cuenta que las componentes covariantes y contravariantes del tensor F est´ an relacionadas por F αβ = η αµ η βν F µν

(5.63)

d Demostrar que

∗ (∗F ) = −F 10. Transformaci´ on general de coordenadas. Las ecuaciones de transformaci´ on de Lorentz usuales entre sistemas de referencia inerciales x′α = Λα β xβ (5.64) corresponden, matem´ aticamente, a una transformaci´ on de coordenadas x′α = x ′α x0 , x1 , x2 , x3 = x ′α (xµ ) (5.65)



con α = 0, 1, 2, 3.



on entre los elementos de la matriz jacobiana a Encontrar la relaci´ de la transformaci´ on de coordenadas

  ′ 

J x, x =

∂x 0 ∂x 0 ∂x 1 ∂x 0 ∂x 2 ∂x 0 ∂x 3 ∂x 0 ′

′

′

′

∂x 0 ∂x 1 ∂x 1 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 1 ∂x 3 ∂x 1 ′

′

′

′

∂x 0 ∂x 2 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 2 ∂x 2 ∂x 3 ∂x 2 ′

′

′

′

∂x 0 ∂x 3 ∂x 1 ∂x 3 ∂x 2 ∂x 3 ∂x 3 ∂x 3 ′

′

′

′

    ′  ∂x α = ∂x β

(5.66)



 



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

53


on de coordenas inversa b Calcular los elementos de la transformaci´ (el jacobiano de la transformaci´ on inversa), asumiendo que el determinante de la matriz de Jacobi no es nulo, y relacionarlos con los correspondientes elementos de la matriz de Lorentz inversa. 11. Derivada de un tensor. Sea T αβ (x) una funci´ on tensorial de las coordenadas de segundo orden contravariante. Muestre que las funciones obtenidas, diferenciando con respecto a las coordenadas las componentes del tensor T αβ , es decir ∂ αβ T ∂x γ

≡ ∂ γ T αβ ≡ T αβ ,γ

(5.67)

bajo una transformaci´ on de Lorentz se comportan como las componentes de un tensor de tercer orden, dos veces contravariante y una vez covariante, es decir α β σ µν T ′αβ ,γ = Λ µ Λ ν Λγ T ,σ

(5.68)

Este resultado se puede generalizar a tensores arbitrarios, es de...αr cir si T β α1...β es un tensor r veces contravariante y s veces 1 s covariante, entonces

−

−

∂ α1 ...αr ...αr ...αr T β ...β = ∂ γ T β α1...β = T β α1...β γ 1 1 1 s s s ,γ ∂x

(5.69)

es un tensor r veces contravariante y s+1 veces covariante. Este resultado es válido solamente si la transformaci´ on de coordenadas es lineal (ver el siguiente problema).

−

−

12. Transformaci´ on general de coordenadas y derivadas. Sea V α (x) un campo tensorial covariante y considerando una transformaci´ on de coordenadas general (no lineal) x′α = x ′α (xµ )

(5.70)

entonces mostrar que las cantidades ∂ V α = ∂ γ V α = V α,γ ∂x γ

(5.71)

no se transforman como las componentes de un tensor dos veces covariante. ¿Bajo qué condici´ on las cantidades V α,γ corresponden a las componentes de un tensor de segundo orden?



 



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

54


13. El tensor energ´ıa-momento. Muchos sistemas f´ısicos, como un fluido o el campo electromagn´ etico, se pueden caracterizar por una cantidad f´ısica llamada el tensor energ´ıa-momento T αβ , con la propiedad que sea simétrico T αβ = T βα

(5.72)

y que cumpla con la ecuaci´ on ∂ αβ T = 0 (5.73) ∂x β El modelo simple, pero de inter´ es f´ısico, de un fluido relativista es conocido como el fluido perfecto, el cual está determinado por dos funciones escalares ρ0 (x) y p0 (x). La funci´ on ρ0 representa la densidad de energ´ıa propia del fluido en cada punto del espaciotiempo x, es decir ρ0 corresponde a la densidad de energ´ıa del fluido en cada punto del espacio-tiempo medida por un observador inercial con respecto al cual el fluido se encuentra en reposo, as´ı ρ0 = c 2

dm0 dV 0

(5.74)

donde dm 0 es la masa propia contenida en el elemento de volumen propio dV 0 , y la función p0 (x) representa la presión propia del fluido en el punto x. Las componentes del tensor energ´ıa-momento del fluido, en el sistema de referencia propio, est´ an dadas por T 0αβ (x) =

 

ρ0 0 0 0 0 p0 0 0 0 0 p0 0 0 0 0 p0

 

(5.75)

donde el sub´ındice cero se refiere al sistema de referencia propio. Utilizando la matriz de transformaci´ on de Lorentz general, ecuaci´ on (7.334), encontrar los elementos del tensor energ´ıa-momento para un observador arbitrario que se mueve con velocidad u y mostrar que los elementos del tensor se pueden escribir como T αβ = ( p0 + ρ0 )U α U β p0 η αβ

−

(5.76)

donde U α es la cuadrivelocidad del fluido respecto al observador arbitrario, definida por dxα U = = γ (u)(1,  β ) ds α

(5.77)



 



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

Cap´ıtulo 6

Electrodin´ amica 6.1.

Introducci´ on

Las leyes de la electrodinámica, constituidas por las ecuaciones de Maxwell, la ecuaci´ on de continuidad para la carga y la ley de la fuerza de Lorentz, son válidas en el marco de los p ostulados de Einstein de la teor´ıa especial de la relatividad. En efecto, las leyes que rigen los fenómenos electromagn´ eticos no dependen del sistema de referencia inercial y por lo tanto las ecuaciones de la electrodin´ amica deben permanecer invariantes bajo transformaciones de Lorentz. Esta invarianza implica que los campos el´ ectricos y magn´ eticos deben satisfacer ciertas ecuaciones de transformaci´ on entre sistemas de referencia, de tal manera que las leyes de la electrodin´ amica mantengan su forma para todos los observadores inerciales. Una consecuencia de la covarianza de las ecuaciones de Maxwell es que el campo el´ ectrico y magnético debe describirse en forma unificada a trav´ es del tensor campo electromagnético. Otra forma de ver el carácter relativista de los fen´ omenos electromagnéticos es a partir del campo eléctrico est´ atico, asumiendo la validez de la ley de Coulomb para cargas en reposo y las ecuaciones de transformaci´ on de Lorentz, y mostrar mostrar que la existencia del campo magnético es un efecto relativista. A través de los problemas del presente cap´ıtulo desarrollaremos estas dos formas de entender los fen´ omenos electromagn´ eticos en el marco de los postulados de la teor´ıa de la relatividad especial. 55 

 



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

56

6.2.

´ CAP´ ITULO 6. ELECTRODINAMICA

Ecuaciones de Maxwell

Las leyes de la electrodinámica est´ an constituidas por dos conjuntos de ecuaciones. El primer conjunto lo conforman las ecuaciones de Maxwell que est´ an dadas por (en unidades cgs):

∇ · E  = 4πρ ∇ · B = 0 

 1 ∂ E + 4π J  ∇ × B = c ∂t c 

∇ × E  + 1c ∂ ∂tB = 0

(6.1) (6.2)

(6.3) (6.4)

 y magnético B  en las cuales nos determinan los campos el´ ectrico E términos de sus fuentes (cargas y corrientes), con ρ la densidad volumé densidad de corriente eléctrica. trica de carga y J la La primera de estas ecuaciones (6.1) es la ley de Gauss y establece que las cargas el´ ectricas son fuente del campo el´ ectrico. La segunda ecuaci´ on (6.2), ley de Gauss para el campo magn´ etico, nos dice que no existen fuentes para el campo magnético. La tercera ecuaci´ on de Maxwell (6.3) contiene dos t´ erminos: la ley de Amp` ere, esto es, que las  corrientes eléctricas (representadas en el término 4π J/c) producen campos magn´ eticos y por otra parte est´ a el término 1/c∂  E/∂t, introducido por Maxwell, que nos dice que campos el´ ectricos variables en el tiempo son también una fuente de campo magnético. La ultima ´ de las ecuaciones de Maxwell (6.4) es la ley de inducci´ on de Faraday, la cual establece que campos magnéticos variables en el tiempo inducen campos eléctricos. El segundo conjunto de ecuaciones que conforman las leyes de la electrodin´ amica lo constituyen la ecuaci´ on de continuidad y la ley de la fuerza de Lorentz:  J  + ∂ρ = 0 (6.5) ∂t d p  + q u B  = q E (6.6) dt c donde q es la carga de la part´ıcula y u su velocidad medida con respecto a un sistema de referencia inercial. La primera de estas ecuaciones (6.5), la ecuaci´ on de continuidad, establece que la carga el´ ectrica es conservada en la naturaleza. Es de anotar que esta ley de conservaci´ o n de la carga est´ a contenida en las

∇·

×



 



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

57

6.2. ECUACIONES DE MAXWELL

ecuaciones de Maxwell y por lo tanto no constituye una ley independiente de la electrodin´ amica, pues si tomamos la divergencia de la ecuaci´ on (6.3) tenemos que    B  = 1  ∂ E + 4π  J  (6.7) c ∂t c intercambiando la derivada espacial y temporal, utilizando la primera ecuaci´ on de Maxwell (6.1) y teniendo en cuenta que la divergencia del rotacional se anula, obtenemos la ecuaci´ on de continuidad:

 

∇· ∇×

0 = =

∇·

∇·

 4π 1 ∂  E  J  + c ∂t c 4π ∂ρ 4π   + J c ∂t c

∇·

∇· ∇·

(6.8)

Finalmente, la u´ltima ecuaci´ on (6.6) corresponde a la ley de la fuerza de Lorentz, la cual nos da la ecuaci´ on de movimiento para una carga puntual en presencia de un campo electromagn´ etico. La ley de Coulomb describe la fuerza entre part´ıculas cargadas estacionarias:  12 = k q 1 q 2 rˆ (6.9) f r2 donde q 1 y q 2 miden las cargas eléctricas de las part´ıculas, r es la distancia entre ellas, con rˆ un vector unitario en la dirección del radio vector que une la carga 1 con la carga 2, y k es una constante de proporcionalidad que depende del sistema de unidades elegido (k = 1 en el sistema  12 nos mide la fuerza que la carga q 2 experimenta debido cgs). Entonces f a la carga q 1 , siendo esta fuerza atractiva o repulsiva dependiendo del signo de las cargas. Adem´ as esta expresi´ on de la fuerza satisface, por su definici´ on, la tercera ley de Newton, esto es  12 = f

−f  21

(6.10)

A partir de la ecuación (6.9) podemos escribir la ley de Coulomb en la forma:  12 = q 2 E  1 (r) f (6.11)  1 (r), definida como donde la cantidad E  1 (r) := q 1 rˆ E r2

(6.12)

representa el campo el´ ectrico producido por la carga q 1 en el punto r.



 



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

58


Estas expresiones para la fuerza (6.9) y el campo eléctrico (6.12) son válidas para un observador inercial Σ, con respecto al cual la carga q 1 est´ a en reposo. Es un hecho experimental que la fuerza sobre la carga de prueba q 2 es independiente del estado de movimiento de la carga de prueba, lo cual est´ a impl´ıcito en la expresión para la fuerza de Coulomb, pues ella depende solamente de la posici´ on instant´ anea de la carga q 2 . Adem´ as, tanto la fuerza de Coulomb como el campo el´ ectrico pro ducido por la carga q 1 , son independientes del tiempo siempre y cuando la carga q 1 se encuentre en reposo.  12 sobre la carga de Experimentalmente determinamos la fuerza f prueba q 2 en el sistema de referencia inercial Σ, midiendo la rata de cambio del momento  p2 de la carga q 2 , es decir midiendo d p2 /dt, as´ı como tambi´ en las otras variables cinem´ aticas y din´ amicas que entran en la definici´ o n de la fuerza de Coulomb, tales como la distancia entre la carga q 1 y la de prueba, la velocidad (nula en este caso) de la carga q 1 y el momento p  2 de q 2 .

6.3.

Ecuaciones de Maxwell covariantes

La ecuaci´ on de continuidad (6.5) la podemos escribir, en forma expl´ıcitamente covariante, como: ∂ µ J µ = 0

(6.13)

donde el cuadrivector corriente J ν se ha definido en la forma: J ν := (J 0 , J 1 , J 2 , J 3 ) = (cρ,  J )

(6.14)

La componente temporal J 0 representa la densidad de carga (siendo la carga un invariante relativista) y las componentes espaciales J i , i = 1, 2, 3 corresponden a las componentes del vector densidad de corriente eléctrica. En las ecuaciones de Maxwell (6.1) a (6.4), los campos eléctri y magnéticos B  son vectores cartesianos usuales y por lo tanto cos E no corresponden a ninguna cantidad relativista, es decir a un escalar de Lorentz, o a un cuadrivector, o a un tensor. Por esta razón se define el tensor campo electromagnético F medido por un observador inercial Σ, como un tensor de segundo rango antisim´ etrico cuyas componentes contravariantes est´ an dadas por: F 12 = F 21 = B z F 01 = F 10 = E x F αα = 0

− −

F 23 = F 02 =

−F 32 = Bx −F 20 = E y

F 31 = F 13 = By F 03 = F 30 = E z α = 0, 1, 2, 3

∀

− −

(6.15)



 



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

6.3. ECUACIONES DE MAXWELL COVARIANTES

59

Con esta definici´ on, po demos escribir las dos primeras ecuaciones de Maxwell (ecuaciones (6.1) y (6.2)) en la forma: ∂ α F αβ =

− 4πc J β

(6.16)

la cual es una ecuaci´ on covariante relativista. Esto significa que esta ecuaci´ on tiene la misma forma en todos los sistemas de referencia inerciales, es decir, en un sistema de referencia Σ′ , para el cual F ′αβ y J ′β son las correspondientes componentes del tensor campo electromagn´ etico y densidad de corriente, las dos primeras ecuaciones de Maxwell tienen la forma: 4π ′β ∂ α′ F ′αβ = J (6.17) c donde las componentes de la densidad de corriente J ′β y del tensor F ′αβ medidas en Σ′ , est´ an relacionadas con las medidas en Σ, por las ecuaciones de transformaci´ on:

−

J ′µ = Λ µα J α

(6.18)

F ′µν = Λµα Λν β F αβ

(6.19)

Estas relaciones nos dan las ecuaciones de transformaci´ on para las fuentes y los campos el´ ectricos y magn´ eticos medidas por dos observadores inerciales. Las ecuaciones de Maxwell homog´ eneas (6.2) y (6.4), con la ayuda del tensor de Levi-Civita (5.35) introducido en el cap´ıtulo anterior, las podemos escribir en la forma: εαβγδ ∂ β F γδ = 0

(6.20)

en esta u ´ltima ecuaci´ on se ha utilizado el tensor de Minkowski para bajar los ´ındices del tensor electromagnético F, esto es: F γδ = η αγ ηβδ F αβ

(6.21)

la cual nos representa las componentes covariantes del tensor campo electromagn´ etico. Finalmente consideremos la ecuaci´ on de la fuerza de Lorentz (ecuaci´ on (6.6)), que podemos escribir en forma covariante como: dpα f α = (6.22) dτ q dxγ = η βγ F βα c dτ γ q dx = F γ α c dτ



 



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

60


donde pα es el cuadrimomento de la part´ıcula de carga q , τ el tiempo propio, xγ sus coordenadas de posici´ on y F γ α las componentes mixtas del tensor campo electromagn´ etico definidas por: F γ α = η γσ F σα

6.4.

(6.23)

Transformaciones Gauge

Hay dos teoremas del cálculo diferencial en varias variables, que nos permiten escribir las ecuaciones de Maxwell en forma m´ as compacta:  funci´ on vectorial tal que su rotacional es cero, Teorema 21 Sea F una i. e.,

∇ × F  = 0

(6.24)

 puede escribir como el gradiente de una funci´ entonces la funci´ on F se on escalar Ψ(r), esto es:  =  Ψ(r) F (6.25)

∇

 una funci´ on vectorial tal que su divergencia es cero, Teorema 22 Sea F i. e.,

∇ · F  = 0

(6.26)

 puede escribir como el rotacional de una funentonces la funci´ on F se  r ), esto es: ci´ on vectorial Υ(  =  F

 r ) ∇ × Υ(

(6.27)

Si aplicamos estos dos resultados del c´ alculo vectorial, los campos eléctrico y magnético se pueden escribir en términos del potencial vec del potencial escalar Φ en la forma: torial A y   B =

∇ × A

 = E



− ∂ ∂tA − ∇ Φ

(6.28) (6.29)

El signo menos en la ecuaci´ on anterior permite interpretar directamente al potencial Φ, para el caso de campos independientes del tiempo, como el traba jo por unidad de carga realizado p or el campo eléctrico, llamado potencial electrost´ atico, el cual es un campo conservativo. Estos dos teoremas del c´ alculo vectorial corresponden a casos particulares de un teorema m´ as general de tensores:



 



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

61

6.4. TRANSFORMACIONES GAUGE

Teorema 23 Sean T αβ las componentes covariantes de un tensor de

segundo rango antisimétrico, tal que εαβγδ ∂ β T γδ = 0

(6.30)

entonces el tensor T αβ se puede escribir como el “rotacional” de una funci´ on cuadrivectorial W γ , es decir T αβ = ∂ [α W β ] = ∂ α W β

− ∂ β W α

(6.31)

As´ı, dado que las dos ecuaciones de Maxwell homog´ eneas (6.2) y (6.4) se pueden escribir en la forma εαβγδ ∂ β F γδ = 0

(6.32)

donde F γδ es el tensor campo electromagn´ etico; entonces, de acuerdo con el teorema anterior el tensor campo electromagn´ etico F γδ se puede escribir en la forma F γδ = ∂ γ Aδ

∂ Aγ δ − ∂ δ Aγ = ∂A − ∂x γ ∂x δ

(6.33)

donde el cuadrivector A µ , definido como:  Aµ := (Φ, A)

(6.34)

 potencial vectorial y Φ el potencial es llamado el cuadripotencial,con A el escalar definidos en la ecuaciones (6.28) y (6.29) respectivamente. Con esta definici´ on del cuadripotencial Aµ , podemos escribir las ecuaciones de Maxwell inhomog´ eneas en la forma: ∂ µ ∂ µ Aγ

− ∂ µ∂ γ Aµ = −4πJ γ

(6.35)

De esta manera, la u´ltima ecuaci´ on es equivalente a las ecuaciones de campo de Maxwell, pues dadas las fuentes de los campos J α y resolviendo la ecuaci´ on (6.35), conocemos el cuadripotencial Aµ y as´ı los campos electromagn´ eticos. Si realizamos la transformaci´ on Aµ ⇀ A˜µ = A µ + ∂ µ Λ

(6.36)

donde Λ es una funci´ on cualquiera de las coordenadas, la funci´ on F γδ permanece invariante bajo la transformaci´ on (6.36) y as´ı también los   campos electromagnéticos E y B. La transformaci´ on (6.36) se llama una transformaci´ on “gauge”.



 



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

62


Estas transformaciones juegan un papel fundamental en la teor´ıa cuántica de campos y en las teor´ıas de unificaci´ on de las interacciones fundamentales. Finalmente, dado que el cuadripotencial A µ no está definido de manera u ńica, entonces podemos imponer sobre él una condici´ on o ecuaci´ on de ligadura, llamada la elecci´ on de un gauge particular, la  y B.  As´ı, cual no cambia la f´ısica, es decir no cambian los campos E por ejemplo si se escoge función arbitraria Λ en la ecuaci´ on (6.36), de tal manera que el potencial cuadrivectorial Aµ cumpla con la ecuaci´ on: ∂ µ Aµ = 0

(6.37)

llamado el gauge de Lorentz, entonces la ecuaci´ on (6.35) se simplifica, reduciéndose a la ecuación: Aµ =

−J µ

(6.38)

que es la ecuación de ondas inhomogénea. El operador , el cual es invariante bajo transformaciones de Lorentz, est´ a definido por la ecuación 1 ∂ 2 = c2 ∂t 2

6.5.

− ∇ 2

(6.39)

Problemas de electrodin´ amica

1. Conservaci´ on de contio n de la carga. Muestre que la ecuaci´ nuidad para la carga ∂ α J α = 0 (6.40) implica la conservaci´ on total de la carga eléctrica. 2. Cuadricorriente de una part´ıcula. Consideremos una part´ıcula de carga q en reposo respecto a un observador inercial Σ. a Escribir las componentes del cuadrivector densidad de corriente

medidas en el sistema Σ. b Considerar un segundo sistema de referencia inercial Σ′ que se

mueve con velocidad v respecto a Σ a lo largo del eje x. Encontrar las componentes del cuadrivector densidad de corriente en Σ′ , es decir para una part´ıcula que se mueve a velocidad constante respecto a un observador inercial.

−

e sucede con la carga total del sistema medida por los dos c ¿Qu´ observadores inerciales Σ y Σ′ ?



 



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

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´ 6.5. PROBLEMAS DE ELECTRODINAMICA

3. Ecuaciones de Maxwell covariantes. Mostrar que las ecuaciones de Maxwell covariantes ∂ α F αβ =

− 4πc J β

(6.41)

εαβγδ ∂ β F γδ = 0

(6.42)

implican las ecuaciones de Maxwell vectoriales. 4. Fuerza de Lorentz. A partir de la ecuación covariante para la fuerza sobre una part´ıcula cargada en un campo electromagnético f α = = =

dpα dτ q dxγ ηβγ F βα c dτ γ q dx F γ α c dτ

(6.43)

encontrar la fuerza de Lorentz e interpretar las componentes del cuadrivector fuerza. 5. Campo el´ ectrico ectrico de carga en movimiento. El campo el´ producido por una carga estacionaria Q se define como la relaci´ on entre la fuerza sobre una carga de prueba q por unidad de carga, es decir   = l´ım F q E (6.44) q →0 q con  q = k Qq rˆ F (6.45) r2 donde asumimos que la carga Q est´ a en el origen de coordenadas y la carga de prueba q est´ a situada en un punto de coordenadas r. Notemos que la fuerza sobre q es válida independiente del estado de movimiento de la carga de prueba, es decir depende solo de su posición instant´ anea. Consideremos una part´ıcula de carga Q movi´ endose con velocidad constante v respecto a un observador inercial Σ. A partir de la ley de Coulomb encontrar el campo el´ ectrico medido en Σ debido a la carga Q. Para resolver este problema supongamos que la carga Q se encuentra en el origen de coordenadas de Σ en el instante t = 0 y se mueve en la dirección del eje x positivo y la carga de prueba q est´ a en reposo respecto a



 



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

64


Σ en un punto de coordenadas r = (x,y,z). Considere primero el caso particular r = (x, 0, 0) y luego r = (0, y, 0) y a partir de estos resultados encuentre el caso general cuando r = (x,y,z).

Figura 6.1: Causalidad y

el campo el´ ectrico de una carga en movimiento

uniforme. Campo el´ ectrico en dos instantes para una carga en movimiento uniforme.

6. Causalidad y campo el´ ectrico de una carga en movimienectrico de una carga en movimiento to uniforme. El campo el´ uniforme obtenido en el problema anterior plantea una aparente contradicci´ on con el postulado de la constancia de la velocidad de la luz y por ende con el principio de causalidad en la f´ısica, pues el resultado obtenido establece que el campo el´ ectrico de una carga en movimiento uniforme en un punto del espacio es radial y depende solo de la distancia entre la posici´ on instant´ anea de la carga y el punto de observación, como se muestra en la figura (6.1). Argumentar por qu´ e este resultado para el campo el´ ectrico no viola el principio de causalidad. Compare la situaci´ on anterior con una carga que se mueve a velocidad constante a lo largo del eje x respecto a un observador inercial y en un instante, por ejemplo t = 0, la carga es frenada rápidamente hasta alcanzar el reposo. Dibujar las l´ıneas de campo eléctrico para un tiempo t < 0 y para t > 0, con t >> δt donde δt es el tiempo que tarda la carga en alcanzar el reposo. 7. Fuerza sobre una carga en movimiento. Calcular la fuerza sobre una part´ıcula de prueba q debida a una carga fuente Q. La carga q se mueve con velocidad u respecto a un sistema de



 



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

65


referencia inercial Σ y se encuentra en el instante t = 0 en un punto de coordenadas r, mientras que la carga fuente Q se mueve a velocidad constante v en la dirección del eje x positivo y la cual pasa por el origen de Σ en t = 0 (ver figura (6.2)). Para resolver este problema considere primero los dos casos siguientes: primero la carga de prueba q est´ a en la posici´ on r = (x, 0, 0)

(6.46)

y con velocidad arbitraria. Segundo, la carga q se encuentra en la posición r = (0, y, 0) (6.47) y tiene velocidad u = (ux , 0, 0)

(6.48)

y generalice para una velocidad arbitraria. A partir de estos resultados considere la situaci´ on general.

Figura 6.2: Fuerza sobre una

carga en movimiento. En el instante t = 0 la

carga q se encuentra en la posici´ on r.

 sobre la part´ıcula En todos los casos anteriores compare la fuerza F  E calculada en el problema 5 de esta de prueba con la fuerza F secci´ on y encuentre la diferencia  M = F  F

− F  E

(6.49)

la cual se interpreta como la fuerza magnética, y muestre que se puede escribir en la forma  M = qu F

× B

(6.50)



 



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

66


8. Transformaci´ on general del campo electromagn´ etico. A αβ partir del tensor campo electromagnético F y de la ley de transformaci´ on para las componentes contravariantes bajo un cambio de sistema de referencia F ′′αβ = Λ αµ Λβ ν F µν

(6.51)

encontrar las ecuaciones de transformaci´ on de los campos eléctrico y magn´ etico, medidas por dos observadores inerciales relacionados por una transformaci´ on de Lorentz usual. 9. Campo de una carga en movimiento. Encontrar los campos eléctrico y magnético de una carga Q que se mueve a velocidad constante v a partir de las ecuaciones de transformació n de las componentes del campo electromagn´ etico encontradas en el problema anterior. Suponga que la carga pasa por el origen de un sistema de referencia inercial Σ en t = 0 y se mueve en la dirección del eje x positivo. 10. Invariantes del campo electromagn´ etico. A partir del tensor αβ campo electromagnético F construir dos invariantes bajo transformaciones de Lorentz. Ayuda: considerar el tensor dual F .

∗

 y 11. Campos ortogonales. Demuestre que si un campo eléctrico E  uno magnético B forman el mismo ańgulo para todos los observadores inerciales, entonces los campos son ortogonales, i. e.  B  = 0 E

(6.52)

·

12. El tensor energ´ıa-momento del campo electromagn´ etico. El tensor campo electromagnético est´ a definido por αβ

T

1 1 αβ σδ = η F F σδ 4π 4



ασ

− F

F β σ



(6.53)

 y B.  Moscalcular sus componentes en t´ erminos de los campos E trar que la componente 00

T

1  2  2 = E + B 8π





(6.54)

representa la densidad de energ´ıa del campo electromagnético, T 0i las componentes del vector de Pointing  = 1 E  S 4π

× B

(6.55)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 67 — #71 



67


y T ij las componentes del tensor de tensiones del campo electromagnético:



1 1  2 + B  2 T = E i E j + B i B j + δ ij E 4π 2 ij





(6.56)

13. Ecuaci´ on de continuidad del tensor T µν . Demostrar que el tensor energ´ıa-momento del campo electromagnético tiene cuadridivergencia nula si no hay fuentes, es decir probar que ∂T αβ =0 ∂x β

(6.57)

si J α = 0. ¿Qué ecuación cumple T αβ si J α = 0?



14. La traza del tensor Tµν . Demostrar que la traza del tensor energ´ıa-momento del campo electromagnético tiene traza cero, es decir T σσ = 0 (6.58) 15. Otro invariante relativista. Demostrar que T 00

2

 S

2

  − | |

(6.59)

es un invariante relativista.

16. Trayectoria en campo el´ on de carectrico constante. Un prot´ ga +e incide con velocidad v0 en una regi´ on de campo eléctrico  constante E . Si la velocidad inicial del prot´ on v0 es perpendicular al campo el´ ectrico, encontrar la trayectoria del prot´ on. 17. Trayectoria en campo magn´ o n de etico constante. Un prot´ carga +e se mueve con velocidad v constante en una regió n de  Si la velocidad es perpendicular al campo magnético constante B. campo magnético, encontrar la trayectoria del prot´ on y calcular la frecuencia de giro en funci´ on del radio de la trayectoria, el campo magn´ etico, la velocidad y la masa propia del prot´ on.

| |



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 68 — #72 



Cap´ıtulo 7

Cinem´ atica relativista 7.1.

Soluciones de problemas de cinem´ atica

1. Estructura causal. El intervalo espacio-temporal (2.12) para los eventos 1 = (3, 2, 0, 2), 2 = (4, 1, 0, 2) y 3 = ( 2, 1, 0, 2) est´ a dado por:

P

P

−

P

− −

−

2 ∆S 12 = (4

− 3)2 − (−1 − 2)2 − (0 − 0)2 − (2 − 2)2 = −8 (7.1) 2 ∆S 13 = (−2 − 3)2 − (−1 − 2)2 − (0 − 0)2 − (−2 − 2)2 = 0 (7.2) 2 ∆S 23 = (−2 − 4)2 − (−1 + 1)2 − (0 − 0)2 − (−2 − 2)2 = 20 (7.3) a Si el intervalo espacio-temporal es mayor o igual a cero, los even-

tos est´ an causalmente conectados. Por lo tanto los eventos 1 y 3 son nulos y est´ an causalmente conectados y los eventos en est´ an causalmente conec2 y 3 son temporales y tambi´ tados.

P

P P P

on para que dos eventos separados en el espacio pueb La condici´ dan ser simult´ aneos para un observador, es que no estén causalmente conectados y por lo tanto su intervalo espaciotemporal debe ser menor que cero. As´ı, para los eventos 1 y 2 existe un sistema de referencia inercial Σ′ tal que los dos eventos son simult´ aneos. Para calcular la velocidad consideremos la transformaci´ on de Lorentz usual, ecuaci´ on (2.4), 0 0 ′ ′ para las componentes temporales x 1 y x 2 de los dos eventos medidas por Σ′ , x′10 = γ (x01 βx 11 ) (7.4)

P

P

−

68 

 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 69 — #73 



69

´ 7.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE CINEM ATICA

x′20 = γ (x02

− βx 12)

(7.5)

e imponiendo la condici´ on que en Σ′ los eventos son simult´ aneos x′10 = x ′20

(7.6)

podemos encontrar la velocidad Σ′ resp ecto a Σ, as´ı: γ (x01

− βx 11) = γ (x02 − βx12)

(7.7)

despejando β de esta ecuaci´ on y remplazando los valores para las coordenadas tenemos x02 β = 1 x2

− x01 = − 1 − x11 3

(7.8)

por lo tanto la velocidad del sistema Σ′ respecto a Σ es v =

−  1 c, 0, 0 3

(7.9)

c Para que exista un sistema de referencia Σ′ con respecto al cual

los dos eventos sucedan en el mismo punto del espacio, se requiere que los dos eventos sean temporales, por lo tanto esta condici´ on se cumple para los eventos 2 y 3 . Para calcular la velocidad de Σ′ respecto a Σ aplicamos las transformaciones de Lorentz para la coordenada espacial. Dadas las coordenadas de los eventos y teniendo en cuenta que en este caso el movimiento relativo de los sistemas debe ser a lo largo de los ejes z z ′ , tenemos

P P

−

x′23 = γ (x32

− βx 02) x′33 = γ (x33 − βx 03 )

(7.10) (7.11)

igualando las coordenadas x′23 = x ′33 , despejando β y remplazando obtenemos x33 x32 2 β = 0 = (7.12) 0 3 x3 x2

− −

por lo tanto la velocidad del sistema Σ′ respecto a Σ está dada por 2 v = 0, 0, c (7.13) 3







 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 70 — #74 



70


2. La paradoja del garaje. Con respecto al sistema de referencia del garaje los eventos, llegada del frente del bus a la pared posterior del garaje y llegada de la parte posterior del bus a la puerta del garaje, son simult´ aneos y suceden en puntos diferentes del espacio, pues la longitud f´ısica del bus ℓ es ℓ = ℓ 0

 1

−

v2 = 10m c2

× 0,6 = 6m

(7.14)

Esto significa que los dos eventos son espaciales y por lo tanto no est´ an conectados causalmente.

Figura 7.1: La paradoja del garaje. Llegada del bus al garaje vista por los dos ′

observadores inerciales Σ y Σ .

Esto implica que para otros observadores los dos eventos pueden suceder en cualquier orden temporal. De esta forma, desde el punto de vista de un observador ligado al bus, primero llega la pared del fondo del garaje y un tiempo despu´ es llega la entrada del garaje a la parte posterior del bus, sin que esto implique que los eventos est´ en causalmente conectados. Para ver mejor este razonamiento consideremos dos sistemas de coordenadas, ligadas al bus (Σ′ ) y al garaje (Σ), y supongamos que elegimos los or´ıgenes de coordenadas en la puerta del garaje y en la parte posterior del bus y tomamos t = t′ = 0 cuando los or´ıgenes coinciden y el eje x positivo en la direcci´ on de movimiento del bus. Los dos eventos, 1 : llegada de la parte delantera del bus a la pared y 2 : llegada de la parte posterior del bus a la puerta del garaje, tienen las siguientes coordenadas

P

P



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 71 — #75 



71


con respecto al sistema Σ:

P 1 = (x01, x11, x21, x31 ) = (0, ℓ, 0, 0) P 2 = (x02, x12 , x22, x32) = (0, 0, 0, 0)

(7.15) (7.16)

Aplicando una transformaci´ on de Lorentz usual, las coordenadas de los dos eventos respecto a Σ ′ son: x′10 = γ (x01 =

− βx 11) −γβℓ = −βℓ 0

x′11 = γ (x11

− βx01)

= γℓ = ℓ 0

(7.17)

(7.18)

as´ı

P 1

= (x′10 , x′11 , x′12 , x′13 ) = ( βℓ 0 , ℓ0 , 0, 0)

P 2

= (x′20 , x′21 , x′22 , x′23 )

−

= (0, 0, 0, 0)

(7.19)

(7.20)

esto significa que para Σ′ el evento 1 sucede antes que el evento 2 , es decir, en el instante en que el bus impacta con la pared del garaje, la puerta del garaje a´ un no ha llegado a la parte posterior del bus. Además supongamos que en el momento del impacto se propaga una se˜ nal hacia la parte posterior del bus (por la onda de deformaci´ o n) a la m´ axima velocidad posible c, entonces esta señal alcanza la parte posterior del bus un tiempo ℓ0 /c, después del impacto, es decir en el instante

P

P

−βℓ 0 + ℓ0 = ℓ0 (1 − β ) > 0

(7.21)

lo cual significa que la informaci´ on (viajando a la velocidad c) llega a la parte posterior del bus despu´ es que ha llegado la puerta del garaje. En la figura (7.1) se ilustra en una secuencia lo que se “observa” desde cada sistema de referencia inercial.



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 72 — #76 



72


3. Varilla inclinada. Para encontrar el ańgulo que forma la varilla respecto al sistema de referencia inercial Σ, consideremos las coordenadas de los extremos de la varilla medidas por Σ y por un observador Σ′ ligado a la varilla. Sean 1 y 2 los eventos que representan la medida hecha por el observador Σ de los extremos de la varilla, entonces las coordenadas en Σ de estos eventos son

P P

P 1 = (x01, x11, x21, 0) P 2 = (x02, x12, x22, 0)

(7.22) (7.23)

asumiendo que la varilla se encuentra en el plano x y, adem´ as 0 0 x1 = x 2 pues la medida de los extremos de la varilla deber ser realizada por Σ simult´ aneamente. Por lo tanto el ańgulo de inclinaci´ on de la varilla con respecto al eje x que mide Σ es

−

x22 tan θ = 1 x2

− x21 − x11

(7.24)

Para el observador Σ′ el ańgulo θ 0 est´ a dado por tan θ0 =

x′22 x′21

− x′12 − x′11

(7.25)

Dado que la varilla se mueve a velocidad constante a lo largo del eje an relacionadas x, las coordenadas de los extremos de la varilla est´ por la transformaci´ on de Lorentz usual; as´ı, teniendo en cuenta 0 0 que x1 = x 2 , tenemos tan θ0 = = por lo tanto

x22 βx 02

x21 γ (v) x11

 −  −−  −− 

γ (v) x12

x22 x21 γ (v) x12 x11

tan θ = γ (v)tan θ0

− βx01



(7.26)

(7.27)

es decir, el ángulo que forma la varilla con respecto a su direcci´ on de movimiento medido por el observador Σ es mayor en el factor γ (v). 4. Paradoja de la varilla inclinada. Para analizar el problema consideremos dos sistemas de referencia inerciales, Σ ligado a la



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 73 — #77 



73


plataforma con origen en el centro de la rendija y Σ′ ligado a la varilla con origen en su centro y orientemos los ejes x x′ positivos en la dirección de movimiento de la varilla y tomemos t = t′ = 0 cuando el centro de la varilla pasa por el centro de la rendija. Ver figura (7.2). El ańgulo que forma la varilla y la plataforma con respecto al observador inercial Σ es θ = 45o . Del resultado obtenido en el problema anterior, ecuaci´ on (7.27), el ańgulo θ 0 que forma la varilla m´ ovil con respecto a la direcci´ on de movimiento, medido en el sistema de referencia propio de la varilla, es menor en el factor γ (v), es decir

−

tan θ0 =

1 1 tan θ = <1 γ (v) γ (v)

(7.28)

Figura 7.2: Paradoja de la varilla inclinada. Sistema de referencia de la plataforma Σ.

Adem´ as, con respecto al sistema de referencia de la varilla Σ′ la plataforma se est´ a moviendo con velocidad v y por lo tanto el ′ ángulo θ que ella forma con respecto al eje x′ es mayor en el factor γ (v) pues tan θ′ = γ (v)tan θ = γ (v) > 1

(7.29)

Estos resultados implican que, con respecto al sistema de referencia propio de la varilla, la plataforma (y por tanto el orificio) se mueve hacia la varilla con un ańgulo de inclinaci´ on mayor que el de la varilla y por lo tanto la varilla s´ı pasa por el orificio. En la



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 74 — #78 



74


figura (7.3) se muestra la secuencia del paso de la varilla por el agujero, visto en el sistema de referencia Σ′ . La parte inferior del agujero llega primero a la varilla en un instante t′1 < 0, luego en el instante t′ = 0 el centro del agujero pasa por el centro de la varilla y finalmente en un instante posterior t′2 > 0 pasa la parte superior. Para probar esta afirmaci´ on consideremos los tres eventos siguientes: 1 la parte inferior de la varilla y rendija coinciden, 2 la parte superior de la varilla y la rendija coinciden y 0 el centro de la varilla y el centro del orificio coinciden. La longitud propia de la rendija es ℓ0 y la plataforma forma un ańgulo de 45o con respecto al eje de las x, entonces, para el sistema de referencia Σ, los tres eventos son simult´ aneos y las coordenadas est´ an dadas por

P

P

P

P 0 = (0, 0, 0, 0) √ √ P 1 = (0, ℓ0 2/2, −ℓ0 2/2, 0) √ √ P 2 = (0, −ℓ0 2/2, ℓ0 2/2, 0)

(7.30) (7.31) (7.32)

Figura 7.3: Paradoja de la varilla inclinada. Sistema de referencia de la varilla ′

Σ.

Para calcular las coordenadas de estos eventos con respecto al sistema de referencia Σ′ de la varilla aplicamos una transformaci´ on de Lorentz usual. Entonces las coordenadas del evento 0 son (0, 0, 0, 0), pues elegimos los ejes de los sistemas que coincidieran en t = t ′ = 0, cuando los centros de la varilla y del agujero se crucen. Si llamamos a las coordenadas del evento 1 = (x′10 , x′11 , x′12 , x′13 ),

P

P



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 75 — #79 



75


entonces

−

−

−

(7.33)

√

(7.34)

√

−

Para el evento

√

ℓ0 2 x′10 = γ (x01 βx 11 ) = βγ 2 ℓ0 2 x′11 = γ (x11 βx 01 ) = γ 2 ℓ0 2 x′12 = x 21 = 2 ′0 ′1 ′2 ′3 2 = (x2 , x2 , x2 , x2 ) obtenemos

P

√

(7.35)

ℓ0 2 βx 12 ) = βγ 2

(7.36)

ℓ0 2 x′1 = γ (x1 − βx 0 ) = −γ

(7.37)

x′20 = γ (x02 2

−

√

2

2

2

√

ℓ0 2 x′22 = x 22 = (7.38) 2 Estos resultados muestran que el evento 1 sucede antes que el evento 0 y este antes que el evento 2 , pasando la varilla por la rendija para todos los observadores inerciales.

P

P

P

5. Adici´ on de velocidades no paralelas. Consideremos las dos transformaciones de Lorentz siguientes: Λ(vx ) : Σ x con Λα

β (vx )

y

=

  −

γ (vx ) β x γ (vx ) 0 0

Λ(vz ) : Σ′ x′

con Λα

β (vz )

=

−→ →

  −

−β xγ (vx ) γ (vx ) 0 0

−→ →

γ (vz ) 0 0 β z γ (vz )

Σ′ x′ = Λ(vx )x

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

 

Σ′′ x′′ = Λ(vz )x′ 0 0 1 0

−β z γ (vz )

donde β i = v i /c y γ i = γ (vi ), con i = x, z.

0 0 γ (vz )

(7.40)

 

(7.39)

(7.41)

(7.42)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 76 — #80 



76


on de transformaciones de Lorentz a La composici´ Λ(vx ) Σ x

−→ →

Λ(vz )

Σ′

−→ →

x′ = Λ(vx )x

Σ′′ x′′ = Λ(vz )Λ(vx )x

corresponde al producto matricial de los elementos de la transformaci´ on,

  −  −

γ z 0 0 β z γ z

=

0 1 0 0

0 0 1 0

−β z γ z 0 0 γ z

   −

γ x β x γ x 0 0

γ x γ z β x γ x γ z 0 β x γ x γ x 0 0 0 1 γ x β z γ z β x γ x β z γ z 0

−

−β z γ z

−

0 0 γ z

−β xγ x γ x 0 0

0 0 1 0

 

0 0 0 1

 

(7.43)

on de transformaciones de Lorentz b La composici´ Λ(vz ) Σ x

−→ →

Λ(vx )

Σ′

−→ →

x′ = Λ(vz )x

Σ′′ x′′ = Λ(vx )Λ(vz )x

tiene como elementos matriciales

  −   −

γ x β x γ x 0 0

=

−β xγ x

γ x γ z β x γ x γ z 0 β z γ z

−

γ x 0 0

0 0 1 0

−β xγ x γ x 0 0

0 0 0 1

   −

γ z 0 0 β z γ z

0 γ x β z γ z 0 β x γ x β z γ z 1 0 0 γ z

−

 

0 1 0 0

0 0 1 0

−β z γ z 0 0 γ z

 

(7.44)

los cuales son claramente diferentes al caso a. Este resultado muestra que, en general, la composici´ on de transformaciones puras de Lorentz no es conmutativa, salvo cuando las dos se realizan a lo largo del mismo eje. 6. Vida media de part´ıculas inestables. Dado que los mesones π se mueven a una velocidad constante v en el sistema laboratorio,



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 77 — #81 



77


el tiempo que requieren para recorrer la distancia D es t =

D v

(7.45)

En el sistema laboratorio, al cabo de este tiempo, han sobrevivido 2/3 de las part´ıculas iniciales, as´ı 2 N 0 = N 0 2−t/tM = N 0 2−D/(vtM ) 3

(7.46)

donde el tiempo de vida media t M de los mesones π, en el sistema laboratorio, est´ a relacionado con su vida media propia τ por tM = γ (v)τ entonces ln

2 = 3

y por lo tanto τ =

(7.47)

D − vγτ ln 2

(7.48)

D ln 2 − vγ (v)ln(2/3)

(7.49)

remplazando los valores para D y v obtenemos τ = 2,5

× 10−8 s

(7.50)

7. Cuadrivector velocidad. A partir de la definici´ o n de tiempo propio, ecuaci´ on (2.21), y tomando la derivada con respecto a la coordenada temporal t, obtenemos la siguiente relaci´ on: 2

c

2

  dτ dt

= c

2

dx1 dt

2

dx2 dt

2

dx3 dt

2

      − − −

(7.51)

Entonces, teniendo en cuenta que la velocidad f´ısica de una part´ıcula medida por un observador inercial Σ est´ a definida como d r = u = dt



dx1 dx 2 dx 3 = (ux , uy , uz ) , , dt dt dt



(7.52)

la ecuaci´ on (7.51) implica dt γ (u) = = dτ



| u|2 1− c2

−

1/2

(7.53)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 78 — #82 



78


Aplicando la regla de la cadena y teniendo en cuenta que x 0 = ct, las componentes del cuadrivector velocidad se pueden escribir en términos de la velocidad f´ısica de la part´ıcula: U =

dx dt dx = = γ (u)(c, ux , uy , uz ) dτ dτ dt

(7.54)

es decir U 0 = cγ (u) U i = γ (u)ui ;

(7.55)

i = 1, 2, 3

(7.56)

Similarmente, dadas las componentes del cuadrivector velocidad, entonces las componentes de la velocidad f´ısica est´ an dadas por ui U i = 0; c U

i = 1, 2, 3

(7.57)

Otra relaci´ on u ´til entre las componentes del cuadrivector velocidad la podemos obtener a partir de su norma: 0

U =



c2 + (U 1 )2 + (U 2 )2 + (U 3 )2

(7.58)

Finalmente, calculemos la norma de la velocidad f´ısica en funci´ on de la componente temporal del cuadrivector velocidad. Para este fin es suficiente despejar u de la ecuación (7.55):

| |

γ ( u) =

1 1

|u|

=

 − | |    −  u2 c2

c U 0

= c 1

U 0 c

=

⇒

2

(7.59)

8. Cuadrivector aceleraci´ on entre las on. Para encontrar la relaci´ componentes del cuadrivector aceleraci´ on y las componentes de la aceleraci´ on f´ısica de una part´ıcula medida por un observador inercial Σ, definida por la ecuaci´ on a =

d u dt

(7.60)

donde u es la velocidad de la part´ıcula medida en Σ, sean



A0 , A1 , A2 , A3 = Aα =



dU α dτ

(7.61)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 79 — #83 



79


las componentes del cuadrivector aceleraci´ on medida por Σ. Entonces, de los resultados obtenidos en el problema anterior para el cuadrivector velocidad y aplicando la regla de la cadena, tenemos d [γ (u) (c, u)] dτ dt d = [γ (u) (c, u)] dτ dt dγ (u) d = γ ( u) c , (γ (u) u) dt dt dγ (u) dγ (u) du = γ ( u) c , u + γ (u) dt dt dt

Aα =

 





(7.62)

para expresar esta relaci´ on en forma expl´ıcita, calculemos la derivada del factor gama de Lorentz γ (u), as´ı dγ (u) dt

=

=

 − | | −  | | − 

2

d 1 dt 1

−

= γ 3 (u)

u c2

1/2

3/2

u 2 c2

u a c2

·

1 du u c2 dt

·

(7.63)

donde se tuvo en cuenta la definición en la ecuaci´ on (7.60). Entonces las componentes del cuadrivector aceleraci´ on toman la forma



1 3 u a A = γ (u) γ (u) u a, γ 3 (u) 2 u + γ (u) a c c α

·

·



(7.64)

Para interpretar f´ısicamente esta ecuaci´ on consideremos el sistema de referencia propio de la part´ıcula, es decir un sistema de referencia inercial con respecto al cual la part´ıcula esté moment´ aneamente en reposo. Entonces, con respecto a este sistema de referencia inercial, la part´ıcula est´ a en reposo (u = 0) y por lo tanto las componentes del cuadrivector aceleraci´ on est´ an dadas por α

A = donde el vector

    

α =

0,

d u dt

d u dt

(7.65)

 u= 0

(7.66)

u=  0



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 80 — #84 



80


corresponde a la aceleraci´ on propia de la part´ıcula, es decir, a la aceleraci´ on de la part´ıcula medida en el sistema de referencia con respecto al cual la part´ıcula est´ a en reposo. Por lo tanto, el cuadrivector aceleraci´ on es espacial y su norma al cuadrado mide la magnitud de la aceleraci´ on propia de la part´ıcula: A2 =

−| α|2

(7.67)

Para demostrar la ortogonalidad de los cuadrivectores aceleraci´ on y velocidad podemos seguir tres métodos equivalentes: un método es calcular el producto punto minkowskiano A U = A0 U 0

·

− A1U 1 − A2U 2 − A3U 3

(7.68)

Remplazando las componentes de los cuadrivectores, ecuaciones (7.54) y (7.64), tenemos

· − γ 5 (u) uc·2a u · u − γ 3 (u)a · u |u|2 − γ 3 (u)a · u γ 5 (u)  u · a 1 −

A U = γ 5 (u)  u a

·

=



= γ 5 (u)  u a

·

c2

γ 2



1 (u)

− γ 3 (u)a · u = 0

(7.69)

Otro método, m´ as directo y que utiliza la propiedad de invarianza del producto punto minkowskiano, es calcular el producto punto en el sistema de referencia propio de la part´ıcula, pues dado que en este sistema las componentes de los cuadrivectores velocidad y aceleraci´ on est´ an dadas por U = (c, 0, 0, 0)

(7.70)

A = (0, αx , αy , αz )

(7.71)

entonces un cálculo directo muestra que A U = 0

(7.72)

·

El tercer método parte de la norma del cuadrivector velocidad U 2 = c 2

(7.73)

Derivando esta expresi´ on con repecto al tiempo propio, tenemos la relaci´ on buscada: dU 2 dU 0= = 2U = 2U A dτ dτ

·

·

(7.74)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 81 — #85 



81


9. Transformaci´ on de la velocidad. Dado que las componentes del cuadrivector velocidad U = (U 0 , U 1 , U 2 , U 3 )

(7.75)

se transforman como las componentes del cuadrivector posici´ on, cuando pasamos de un sistema de referencia inercial a otro, entonces U ′0 = γ (U 0 βU 1 ) (7.76)

− U ′1 = γ (U 1 − βU 0 )

U ′2 = U 2

(7.77)

U ′3 = U 3

(7.78)

con β = v/c, γ = γ (v) y v la velocidad de Σ′ respecto a Σ. Si llamamos u la velocidad de la part´ıcula respecto a Σ y  u′ respecto a Σ′ y remplazamos las componentes del cuadrivector velocidad en términos de la velocidad f´ısica de la part´ıcula (ver problema anterior), obtenemos cγ (u′ ) = γ (v) (cγ (u)

− βγ (u)ux) = γ (v) (γ (u)ux − βcγ (u))

γ (u′ )ux

′

(7.79) (7.80)

γ (u′ )uy = γ (u)uy

(7.81)

γ (u′ )uz = γ (u)uz

(7.82)

′

′

De la ecuación (7.79) obtenemos la ecuaci´ on para la transformaci´ on del factor γ de Lorentz para la velocidad: vux γ (u′ ) = γ (v)γ (u) 1 − 2



c



(7.83)

Remplazando este factor de Lorentz en las ecuaciones (7.80), (7.81) y (7.82) y despejando las comp onentes de la velocidad f´ısica en Σ′ , obtenemos las ecuaciones de transformaci´ on buscadas: ux = ′

uz

′′

−v − vuc

uy γ (v) 1 uz = γ (v) 1

uy = ′′

ux 1

(7.84)

x

2

vux c2

−  −  vux c2

(7.85)

(7.86)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 82 — #86 



82


10. Velocidad relativa. Sea v la velocidad de la part´ıcula 2 respecto a la part´ıcula 1. Un m´ etodo para calcular la velocidad relativa v, en función de las velocidades de las part´ıculas v1 y v2 , es utilizando transformaciones de Lorentz, sin embargo el c´ alculo es largo y algebraicamente tedioso. El método que seguiremos aqu´ı aprovecha las propiedades de los cuadrivectores y el car´ acter invariante del producto punto minkowskiano. Sean U 1 = (c, 0, 0, 0)

(7.87)

U 2 = γ (v )(c, v )

(7.88)

las comp onentes del cuadrivector velocidad de las part´ıculas 1 y 2 respectivamente, medidas en el sistema de referencia propio de la part´ıcula 1. Tomando el producto punto de estos dos cuadrivectores velocidad, obtenemos el invariante U 1 U 2 = c 2 γ (v )

(7.89)

·

Para llegar al resultado buscado basta con calcular este producto punto en el sistema de referencia Σ. As´ı, dado que las componentes del cuadrivector velocidad de las part´ıculas en Σ est´ an dadas por U 1 = γ (v1 )(c, v1 )

(7.90)

U 2 = γ (v2 )(c, v2 )

(7.91)

entonces U 1 U 2 = γ (v1 )γ (v2 ) c2

·



− v1 · v2



(7.92)

Teniendo en cuenta la ecuaci´ on (7.89) y definiendo  β = v /c tene-



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 83 — #87 



83


mos 2  β = 1

−

1

2  β 1

1

= 1

1

2

 β 1  β 2

=

2

=

 β 1

2  β 1

2  β 2

1

2

 β 1  β 2

2 2 2 β 1  β 2 +  β 1 +  β 2

 β 1  β 2

1

 β 2

2

1

1

 β 1  β 2

 β 1  β 2

2  β 2

1

 β 1  β 2

1

=

2

− ·   −  −  −   − ·  − ·  −  −  −  − ·   · − · − − ·   −   · − − ·  γ 2 ( β 1 )γ 2 ( β 2 ) 1

2

1

 β 1  β 2

2

2

+  β 1  β 2

2 2  β 1  β 2

2 2  β 1  β 2

2

(7.93)

Esta expresi´ on la podemos escribir de otra forma si tenemos en cuenta la identidad vectorial

 ×  ·  ×   ·  ·     − · ·  A

 B

 C

 D

=

 C  A

 D  B

 C  B

 D  A

(7.94)

 C  =   D =   por lo tanto, tomando A = β 1 y B = β 2 2  β =



 β 2

2

 

−  β 1 −  β 1 ×  β 2 2 1 −  β 1 ·  β 2







2

(7.95)

11. Espacio-tiempo euclidiano . A partir de la definici´ on del par´ ametro φ, en t´ erminos de la velocidad v del sistema de referencia ′ Σ respecto a Σ, v tanh φ := β = (7.96) c y las siguientes definiciones e identidades para las funciones hi-



 



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

84


perb´ olicas eφ

− e−φ

sinh φ 2 cosh φ eφ + e−φ 1 cosh φ = sech φ = 2 cosh φ 2 2 2 cosh φ sinh φ = 1 1 tanh φ = sech2 φ

(7.97)

sinh (φ1 + φ2 ) = sinh φ1 cosh φ2 + cosh φ1 sinh φ2 cosh (φ1 + φ2 ) = cosh φ1 cosh φ2 + sinh φ1 sinh φ2 tanh φ1 +tanh φ2 tanh(φ1 + φ2 ) = 1+tanh φ tanh φ

(7.98)

sinh φ =

tanh φ =

−

−

1

2

podemos obtener las transformaciones de Lorentz en t´ erminos del par´ ametro φ. A partir de la u ´ ltima identidad de las ecuaciones (7.97) se obtiene que 1

− β 2 = cosh1 2 φ

(7.99)

por lo tanto, el factor γ de Lorentz toma la forma cosh φ = γ (v)

(7.100)

sinh φ = βγ (v)

(7.101)

y as´ı Con estos resultados los elementos de la matriz de la transformaci´ on de Lorentz (2.9) se pueden escribir en la forma

Λα

β =

  −

cosh φ sinh φ sinh φ cosh φ 0 0 0 0

−

0 0 1 0

0 0 0 1

 

(7.102)

El teorema de adici´ on de velocidades se obtiene como consecuencia de la u ´ltima ecuaci´ on (7.98), pues si llamamos tanh φ1 = v1 /c y tanh φ2 = v 2 /c tanh φ1 = v 1 /c tenemos tanh(φ1 + φ2 ) = = =

β 1 + β 2 1 + β 1 β 2 1 v1 + v2 c 1 + v1c2v2 u c

(7.103)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 85 — #89 



85


con u la velocidad resultante. Esto significa que al utilizar el par´ ame1 − tro φ = tanh (v/c) para representar una transformaci´ on de Lorentz, la adici´ on relativista de velocidades se reduce a la suma usual de los correspondientes parámetros φ. La interpretaci´ on geométrica de las transformaciones de Lorentz y del teorema de adici´ on de velociades se puede obtener si tenemos en cuenta la relaci´ on entre las funciones trigonom´ etricas y las hiperb´ olicas. Para este fin es suficiente tener en cuenta las siguientes definiciones y propiedades de los n´ umeros complejos: sea z C, entonces

∈

z = x + iy = z (cos ϕ + i sin ϕ) = z eiϕ

||

x = Re z,

|z |

=

i2 =

(7.104)

||

y = Im z



x2 + y 2 ;

ϕ = arg z

(7.105)

−1

De la ecuación (7.104) podemos despejar las funciones trigonométricas sin ϕ y cos ϕ, 1 iϕ (e + e−iϕ ) (7.106) 2 1 sin ϕ = (eiϕ e−iϕ ) (7.107) 2i si hacemos el remplazo ϕ iϕ en las ecuaciones anteriores, obtenemos las siguientes relaciones con las funciones hiperb´ olicas cos ϕ =

−

→

1 cos(iϕ) = (e−ϕ + eϕ ) = cosh ϕ (7.108) 2 1 sin(iϕ) = (e−ϕ eϕ ) = i sinh ϕ (7.109) 2i Consideremos ahora la matriz de transformaci´ on de Lorentz usual, la cual se puede escribir como una transformaci´ on matricial

−

 

x′0 x′1 x′2 x′3

 

=

  −

γ βγ 0 0

−βγ γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

  

x0 x1 x2 x3

 

(7.110)

y consideremos la transformaci´ on compleja de la coordenada temporal t it, o equivalentemente

→

(x0 , x1 , x2 , x3 )

→ (ix0, x1, x2, x3 ) ≡ (˜x0 , ˜x1, ˜x2, ˜x3)

(7.111)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 86 — #90 



86


entonces las transformaciones de Lorentz, para las nuevas coordenadas, se pueden escribir en la forma

 

x ˜′0 x ˜′1 x ˜′2 x ˜′3

 

=

  −

γ iβγ 0 0

−iβγ γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

  

x ˜0 x ˜1 x ˜2 x ˜3

 

(7.112)

Teniendo en cuenta las relaciones (7.108) y (7.109), la transformaci´ on de Lorentz toma la forma final:

 

x ˜′0 x ˜′1 x ˜′2 x ˜′3

 

=

  −

cos(iϕ) sin(iϕ) 0 0

− sin(iϕ)

0 0 1 0

cos(iϕ) 0 0

0 0 0 1

  

x˜0 x˜1 x˜2 x˜3

 

(7.113)

Si comparamos esta ecuaci´ on de transformaci´ on con las ecuaciones de transformaci´ on que representan una rotaci´ on r´ıgida de ejes (ver por ejemplo la secci´ on 3.2 del libro [1]), la ecuaci´ on de transformaci´ on (7.113) se puede interpretar como una rotaci´ o n en un 0 1 ángulo iϕ del plano complejo (˜ x , ˜ x ) = (ict,x) en sentido de las manecillas del reloj. Adem´ as, teniendo en cuenta que la composici´ on de dos rotaciones r´ıgidas de los ejes en los ańgulos ϕ1 y ϕ2 , corresponde a otra rotaci´ o n en un ángulo ϕ1 + ϕ2 , el teorema de adici´ on de velocidades con par´ ametro tanh ϕ = v/c, muestra que la composici´ on de dos transformaciones de Lorentz, a lo largo del mismo eje espacial, corresponde a una rotaci´ on en el plano comple jo en un ángulo iϕ1 +iϕ2 . Para finalizar este problema, el producto punto minkowskiano en las coordenadas complejas (˜ x0 , ˜ x1 , ˜ x2 , ˜ x3 ) (salvo un signo negativo global) corresponde al producto punto euclidiano:

−(˜x0y˜0 + x˜1y˜1 + x˜2 y˜2 + x˜3y˜3) (7.114) Esta transformaci´ on t → it se conoce como la euclidianizaci´ on de x ˜ y˜ =

·

la teor´ıa y es ampliamente usada en teor´ıa cu´ antica de campos.

12. Adici´ on numerable de velocidades . La forma usual del teorema de adici´ on de velocidades establece que ux = ′

ux (1

−v − vuc ) x

(7.115)

2



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 87 — #91 



87


donde ux es la componente en la direcci´ on x de la velocidad de una part´ıcula respecto a un sistema de referencia inercial Σ, u x la velocidad de la part´ıcula respecto a un segundo sistema de referencia Σ′ el cual se mueve con velocidad v relativo a Σ en la direcci´ on del eje x positivo. ′

on a los bloques, tomemos a Para aplicar este teorema de adici´ en la expresi´ on anterior v1 = v la velocidad del bloque 1 y ux = v2 la velocidad del bloque 2 respecto al 1. Entonces despejando ux de la ecuación (7.115) (transformaci´ on inversa) ′ e identificando ux = v 2 tenemos ′

v2′ =

v1 + v2 2v 2 v1 v2 = 1 + c2 1 + vc2

(7.116)

Para demostrar que v2′ c si v c utilicemos las cantidades adimensionales β = v/c y β ´2 = v 2 /c, y veamos que β ´2 1 si β 1. Con esta notaci´ on la ecuaci´ on (7.116) toma la forma

→

→

→

→

β ´2 = entonces

2β 1 + β 2

2β =1 β →1 1 + β 2 l´ım

(7.117)

(7.118)

como se quer´ıa probar. b Para calcular la velocidad v 3′ del tercer bloque respecto a Σ podemos aplicar dos veces el resultado de la parte a y luego

proceder de la misma forma para calcular la velocidad del n-´ esimo bloque respecto a Σ. Sin embargo los c´ alculos los podemos simplificar significativamente si utilizamos el teorema de adici´ on de velocidades en t´ erminos del par´ ametro φ definido por tan φ = v/c (ver el problema anterior). As´ı, si φ = tanh−1 β = tanh−1 (v/c)

(7.119)

es la velocidad de un bloque respecto al anterior, entonces la velocidad del bloque 2 respecto a Σ (en t´ erminos del par´ ametro φ) es tanh−1 v2′ /c = φ 1 + φ2 = 2φ

 



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 88 — #92 



88


y la velocidad del bloque n-´ esimo respecto a Σ es tanh−1 vn′ /c = nφ

   −  

por lo tanto

vn′ = tanh(nφ) = tanh n tanh c

(7.120)

v c

1

(7.121)

Retomando la definici´ on de las funciones hiperbólicas (problema anterior) tenemos que

 eφ

2n

= (cosh φ + sinh φ)2n = = =

2

(1 + tanh φ) sech2 φ

(1 + tanh φ)2 1 tanh2 φ

−

1 + tanh φ 1 tanh φ

nφ = ln

Por lo tanto vn′ c

n

 



n

n

n

 −   −    =

entonces

(1 + tanh φ)2 cosh2 φ

   

1 + β = tanh ln 1 β

−

n/2

1 + β 1 β

(7.122)

n/2

(7.123)

n/2

n/2

eln((1+β )/(1−β )) e− ln((1+β )/(1−β )) n/ n/ eln((1+β )/(1−β )) 2 + e− ln((1+β )/(1−β )) 2 ((1 + β )/(1 β ))n/2 ((1 β )/(1 + β ))n/2 ((1 + β )/(1 β ))n/2 + ((1 β )/(1 + β ))n/2 1 [(1 β )/(1 + β )]n (7.124) 1 + [(1 β )/(1 + β )]n

= =

− −

− − −

=

−

− − −

Ahora, puesto que

l´ım

n

→∞

− 1 β 1 + β

n

=0

(7.125)

entonces vn′

→ c para n → ∞.



 



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


89

13. Longitud aparente. Consideremos los eventos que se muestran en la figura (7.4). a Sea x la distancia del extremo izquierdo de la varilla en el mo-

mento en que se emite el fotón (evento P 1 ), de tal manera que este alcance la c´ amara (evento P 4 ) simult´ aneamente con el fot´ on emitido cuando el centro de la varilla pasa por el origen de coordenadas (evento P 3 ) y con el fotón emitido desde el extremo derecho de la varilla (evento P 2 ). El evento P 4 corresponde a la foto tomada por la c´ amara.

Figura 7.4: Longitud

aparente. Sucesi´ on de los eventos emisi´ on de fotones que llegan simult´ aneamente al observador.

La condici´ on de simultaneidad de la llegada de los fotones implica que ellos debieron ser emitidos en instantes diferentes. El tiempo t1 que tarda en llegar el fotón del evento P 1 est´ a dado por x2 + D 2 t1 = (7.126) c Este tiempo debe ser igual al tiempo t3 que gasta el fot´ on emitido desde el centro de la varilla hasta la c´ amara D t3 = (7.127) c m´ as el tiempo t4 que gasta el centro de la varilla CM en llegar al origen de coordenadas

√

t4 =

x

− 2ℓ v

(7.128)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 90 — #94 



90


donde v es la velocidad y ℓ la longitud f´ısica de la varilla medida en el sistema de referencia de la c´ amara, dada por la relaci´ on v2 ℓ0 ℓ = ℓ 0 1 = (7.129) c2 γ (v) con ℓ0 su longitud propia. As´ı, llamando β = v/c tenemos que 1 ℓ x2 + D 2 = D + x (7.130) β 2 Siguiendo un procedimiento similar para el extremo derecho de la varilla, obtenemos la distancia a la cual debe ser emitido el fot´ on (evento P 2 ) para que llegue a la c´ amara simult´ aneamente con el fotón emitido por el centro de la varilla. Si llamamos x˜ esta distancia obtenemos 1 ℓ x ˜2 + D 2 = D + x ˜ (7.131) β 2



−



−



 − 

Las soluciones generales a las ecuaciones (7.130) y (7.131) son expresiones complicadas y por esta razón, para ilustrar c´ omo se ve la varilla en la foto, consideremos un ejemplo numérico particular. Supongamos que la varilla se mueve con una velocidad β = 4/5 y tiene longitud propia ℓ0 = 2m y la c´ amara est´ a situada a una distancia de D = 10m; entonces, remplazando estos valores en las ecuaciones (7.130) y (7.131) obtenemos x = 0,615 12 (7.132) y x ˜ = 0,586 26

(7.133)

La interpretaci´ on f´ısica de estos resultados es directa: la longitud f´ısica de la varilla medida en el sistema de referencia de la c´ amara es ℓ = ℓ 0 1 β 2 = 1, 2m, es decir, en el instante en que el centro de la varilla pasa por el origen de coordenadas, las coordenadas de los extremos de la varilla son x ± 0, 6m; sin embargo, en la foto, lo que observamos es que cuando el centro de la varilla pasa por el origen de coordenadas, el extremo izquierdo aparenta estar en x I = 0,61512m mientras que el extremo derecho aparenta estar en x D = 0,58626m, es decir la longitud aparente ℓA de la varilla est´ a dada por

 −

±

−

ℓA = x D

− xI = 1,20138m



 






91

´ 7.1. SOLU SOLUCIO CIONES NES DE PRO PROBLEM BLEMAS AS DE CINE CINEM M ATICA

Para comparar estos resultados con la parte b de este problema (aproximaci´ on de rayos paralelos), en la siguiente tabla se on muestran los resultados num´ ericos para diferentes distancias ericos de la cámara amara (dejando fija la longitud propia y la velocidad) y calculando con cuatro cifras decimales: D 2 10 100

− − −

xI xD ℓA 0,69344 0,54224 1,2357 0,61512 0,58626 1,2014 0,60145 0,598 5 7 1,2000

Cuando la distancia a la c´ amara es muy grande, la longitud amara aparente tiende a la longitud f´ısica, ısica, lo que significa que en estas condiciones los fotones que salen de los extremos de la varilla y del centro, prácticamente acticamente salen simult´ aneamente. Este aneamente. resultado num´ erico se puede probar formalmente si tomamos erico el l´ımi ımite te cuan cuando do D en las ecuaciones (7.130) y (7.131). Por ejemplo consideremos la primera de estas ecuaciones y dividamos por D por D ambos lados:

→ ∞



x2 1 1+ 2 = 1+ D βD

− ℓ 2

x

(7.134)

Dado que D que D >> x expandimos el radical hasta t´ erminos de erminos primer orden, entonces x2 1+ 2D2 x2 2D

−  − →  −

1 = 1+ x βD 1 ℓ = x β 2

ℓ 2

0

=

⇒ (7.135)

esto implica que x ℓ0 1 β 2 /2, con un resultado similar para x ˜, como se quer quer´´ıa probar probar..

→

on de rayos paralelos es válida on alida cuando la distancia b La aproximaci´ del objeto a la c´ amara es mucho mayor que las dimensiones amara del objeto. Tambi´ en es posible obtener experimentalmente en la aproximaci´ on de rayos paralelos cuando la distancia del on objeto a la c´ amara no es mucho mayor que las dimensiones amara del objeto. En la figura (7.5) se muestra un posible montaje en el cual L es una lente convergente.



 






92

´ CAP´ ITULO ITU LO 7. CINE CINEM M ATICA R ELATIVIST ELATIVISTA A

Figuraa 7.5: Longitud aparente. Aproximaci on Figur oń de rayos paralelos.

Sean x1 y Sean x y x x2 las coordenadas de los extremos izquierdo y derecho de la varilla respectivamente en el instante en que se emiten los correspondientes fotones (ver figura (7.5)). As As´´ı la longitud aparente de la varilla ℓ varilla ℓA (registrada en la foto) est´ a dada ℓA = = x x 1

− x2

(7.136)

Si d representa Si d representa la diferencia de caminos entre los fotones emitidos por los extremos de la varilla, entonces la distancia d est´ a dada por d = (x1 x2 )cos α (7.137)

−

Esto significa que el fotón on emitid emitidoo desde el extre extremo mo izqui izquierdo erdo de la varilla debe salir en un tiempo t tiempo t,, dado por t =

d (x1 x2 ) ℓA = cos α = cos α c c c

−

(7.138)

antes que el fot´ on emitido por el extremo derecho. Si ℓ es la on longitud f´ısica de la varilla medida en el sistema de referencia de la cámara, amara, entonces ℓA = = ℓ ℓ + vt vt = = ℓ ℓ 0

 1

2

− vc2 + vt

(7.139)

donde vtt corresponde al espacio que avanza la varilla durante donde v el tiempo entre las emisiones de los dos fotones. Por lo tanto,



 






´ 7.1. SOLU SOLUCIO CIONES NES DE PRO PROBLEM BLEMAS AS DE CINE CINEM M ATICA

93

la longitud aparente de la varilla est´ a dada por ℓA = x2 = ℓ0

x1

 − 1

−

as´ı ℓA =

ℓ0 1

v 2 + β βℓℓA cos α c2

 − 1

v2 c2

− β β cos cos α

(7.140)

Notemos que si la foto es tomada cuando el centro de la varilla aparenta estar en el origen de coordenadas α = 90o , entonces la longitud aparente corresponde a la longitud f´ısica, ısica, en acuerdo con la primera parte de este problema. 14. Comunicaci´ on espacial. Consideremos el sistema de referencia on Σ ligado a la tierra, con el origen en la tierra y el eje x positivo en la direcci´ on de movimiento de la nave A on nave A y tomemos t tomemos t = = 0 en el instante que se emite la primera se˜ nal. nal. a Con las coordenadas elegidas, el diagrama espacio-tiempo de las

l´ıneas de universo se muestra en la figura (7.6), teniendo en cuenta las siguientes convenciones: T T l´ l´ınea ınea de universo de la tierra, A l l´´ınea de universo de la nave A, B l´ınea ıne a de uni universo verso de la nave B , t1 tiempo de llegada de la primera se˜ n al a la nal nave B , t2 tiempo de llegada de la primera se˜ nal a la nave nal A, t3 tiempo de llegada de la primera se˜ nal reflejada en la nal nave B nave B a la tierra T tierra T ,, t 4 tiempo de llegada de la primera se˜ nal nal reflejada en la nave A a la tierra T y t01 , t02 , t03 y t04 los correspondien corre spondientes tes tiempos para la segun segunda da se˜ nal enviada en el nal instante t0 . u ´ nicamente, pues los c´ alculos alculos b Consideremos primero la nave B unicamente, para la nave A son similares cambiando v v. Dado que el problema es bidimensional (movimiento a lo largo del eje x) describimos las coordenadas espacio-tiempo de los eventos solo con dos componentes (ct,x, (ct,x, 0, 0) ( (ct,x ct,x). ). Con esta notaci´ on, sea (ct on, (ct1 , x1 ) las coordenadas del evento “llegada de la primera se˜ nal a la nave B ”. Dado que la nave viaja a velocinal dad constante y la se˜ nal parte del origen en t = 0, cuando la nal nave se encuentra en la posición on x0B = L, entonces se debe

→ −

≡



 






94

´ CAP´ ITULO ITU LO 7. CINE CINEM M ATICA R ELATIVIST ELATIVISTA A

Figura 7.6: Comunicación on

espacial. espaci al. L´ L´ınea ıneass de univ universo erso de la tier tierra ra y las dos

naves.

cumplirr que cumpli L = = ct ct 1 + + vt vt 1

(7.141)

as´ı, la nav navee B se encuentra en la siguiente posici´ on cuando la on se˜ nal la alcanza nal L x1 = = ct ct 1 = (7.142) 1 + β + β Para la segunda se˜ nal las coordenadas del evento “llegada nal de la segunda se˜ n al a la nave B ” son (ct nal (ct01 , x01 ). Dado que durante el tiempo t0 la nave se ha movido una distancia vt 0 , entonces su posici´ on, en el instante de emisi´ on, on de la segunda on se˜ nal, ser´ nal, a L vto y por lo tanto, si llamamos ˜t el tiempo que tarda la segunda se˜ nal en llegar a la nave, se debe cumplir la nal relaci´ on on L vt o = = c c ˜t + + v v t˜ (7.143)

−

−

y la posici´ on de la nave B est´ on a dada por L vt 0 x01 = = c c t˜ = 1 + β + β

−

(7.144)

Para la nave A la posici´ on cuando llega la primera se˜ on nal es nal x2 =

L 1

− β

(7.145)

y para la segunda se˜ nal est´ nal a dada por x02 =

L + vt 0 1 β

−



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 95 — #99 



95


c Sea ∆tB el intervalo de tiempo entre la llegada de los dos pulsos a la nave B. De la parte b del presente problema, la primera

se˜ nal la recibe en el instante t1 =

L/c 1 + β

(7.146)

El segundo pulso llega a la nave en el instante L/c βt 0 t01 = t 0 + ˜ t = t 0 + 1 + β

−

por lo tanto el intervalo de tiempo est´ a dado por ∆tB = t 01

t0 0 = − t1 = t0 − 1βt+ β 1 + β

(7.147)

El intervalo de tiempo ∆tA de la llegada de los pulsos a la nave A es t0 ∆tA = (7.148) 1 β

−

nales d Para calcular los intervalos de tiempo de la llegada de las se˜ reflejadas a la tierra, consideremos primero el caso de la nave anea, la primera se˜ nal se B. Dado que la reflexión es instant´ refleja en el instante y en el punto t1 = x1 =

L/c 1 + β L 1 + β

(7.149)

entonces tarda un tiempo tRA =

x1 L/c = c 1 + β

(7.150)

en llegar a la tierra y por lo tanto esta se˜ nal alcanza la tierra en el instante 2L/c t3 = t 1 + tRA = (7.151) 1 + β La segunda se˜ nal reflejada parte de la nave en el instante t01 = t 0 +

L/c βt 0 1 + β

−



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 96 — #100 



96


cuando la nave se encuentra en el punto x01 =

L vt 0 1 + β

−

(7.152)

por lo tanto, la segunda se˜ nal llega a la tierra en el instante x 01 L/c βt 0 = t 0 + 2 c 1 + β βt 0 + 2L/c 1 + β

−

t03 = t01 + =

t0

−

(7.153)

entonces el intervalo de tiempo ∆tT B es ∆tT B = t 03

− β − t3 = t0 11 + β

(7.154)

y para los pulsos reflejados en la nave A el intervalo de tiempo ∆tT A est´ a dado por ∆tT A = t 0

1 + β 1 β

−

(7.155)

on de las naves y los intervalos de tiempo e Para calcular la posici´ de la llegada de los pulsos a las naves y a la tierra, basta con tener en cuenta la ecuaci´ on para la dilataci´ on temporal. Consideremos en primer lugar el intervalo de tiempo ∆t′A de la llegada de los dos pulsos a la nave A. Puesto que los eventos “llegada de cada uno de los pulsos a la nave” suceden en el mismo punto para el sistema de referencia de la nave, el intervalo de tiempo medido en A es un intervalo de tiempo propio y por lo tanto est´ a relacionado con ∆tA por la ecuaci´ on ∆tA = γ (v)∆t′A

(7.156)

Remplazando la ecuaci´ on (7.148) para ∆tA y despejando, tenemos 1 t0 1 + β ∆t′A = = t 0 (7.157) γ (v) 1 β 1 β



−

−

Para el caso de la nave B, el intervalo de tiempo entre la llegada a la nave de los dos pulsos, medidas con respecto al sistema de referencia de la nave B, obtenemos ∆t′B = t 0

 −

1 β 1 + β

(7.158)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 97 — #101 



97


Los intervalos de tiempo ∆tT A y ∆tT B , calculados en la parte d del presente problema, son intervalos de tiempo propios, por lo tanto se aplica la misma relaci´ on de dilataci´ on tem′ poral. Por ejemplo si llamamos ∆tT A el intervalo de tiempo de la llegada a la tierra de los pulsos reflejados en la nave A, medidos en su sistema de referencia, entonces este intervalo est´ a relacionado con ∆tT A por ∆t′T A = γ (v)t0

1 + β 1 β

−

(7.159)

15. Velocidades superluminosas aparentes. Supongamos que en alg´ un instante inicial t = 0 las dos fuentes f 1 y f 2 est´ an juntas (fuente f en la figura (2.2)) y un tiempo posterior δt la fuente f 2 se ha desplazado una distancia vδ t = f 1 f 2 . La primera observaci´ on, cuando las fuentes se ven juntas, se mide en la tierra en un tiempo ti =

0f c

(7.160)

mientras que la segunda observaci´ on (figura (2.2) inferior) se mide en la tierra en un tiempo tf = δt +

0f 2 c

(7.161)

Entonces la velocidad transversal aparente de la fuente f 2 , vista desde la tierra, es vT = 0f 2

∆α ∆α = 0f 2 ∆t tf ti

(7.162)

−

En los objetos astron´ omicos, como el quasar 3C-273, donde se ha observado este fen´ omeno, la separaci´ on angular de las fuentes, vista por el observador en tierra, es de unos pocos segundos de arco y as´ı podemos hacer la aproximaci´ on 0f

≃ 0f 2 + vδt cos ϕ vδt sin ϕ ∆α ≃ 0f

(7.163) (7.164)

2

entonces ∆t = δt +

0f 2 c

− 0f c ≃ δt (1 − β cos ϕ)

(7.165)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 98 — #102 



98


con β = v/c, por lo tanto la velocidad transversal est´ a dada por β T =

vT β sin ϕ = c 1 β cos ϕ

−

(7.166)

Figura 7.7: Velocidades

sup erluminosas aparentes. La velocidad transversal β T en funci´ on de β y ϕ, con −0,99 ≤ β ≤ 0,99 y -π/2 ≤ ϕ ≤ π/2

En la figura (7.7) se muestra la gr´ afica de β T en función del ańgulo ϕ para diferentes valores de la velocidad β = v/c de la fuente f 2 , donde, para valores suficientes de la velocidad de la fuente, la velocidad transversal aparente puede ser mayor que la velocidad de la luz. Por ejemplo, las curvas muestran un máximo de β T el cual est´ a dado por la condici´ on: dβ T β (cos ϕ β ) = =0 dϕ (1 β cos ϕ)2

−

−

(7.167)

puesto que β < 1 el denominador nunca se anula y la condición del m´ aximo se obtiene para cos ϕ = β entonces

(7.168)

 −

1 β 2 β T ma´x = β = βγ (v) (7.169) 1 β 2 Dado que el factor γ puede tomar valores arbitrariamente grandes, entonces es posible medir velocidades transversales aparentes mayores que c. Este fenómeno se ha observado en varios AGN, por ejemplo el quasar 3C-273 muestra este comportamiento (ver [7]).

−



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 99 — #103 



99


16. Relatividad sin el segundo postulado. Sean Σ y Σ ′ dos sistemas de referencia inerciales relacionados de la manera usual. Entonces el principio de relatividad nos permite encontrar las siguientes relaciones entre las coordenadas de los dos sistemas de referencia: y ′ = y; z′ = z (7.170) x′ = γ (x

− vt)

(7.171)

x = γ ´(x′ + vt ′ ) γ ´= γ

(7.172)

(7.173)

remplazando x′ de la ecuaci´ on 7.171 en la ecuaci´ on 7.172 y des′ pejando t obtenemos x = γ (γ (x t′ entonces

− vt) + vt′)

= γ 2 x γ 2 vt + γvt′ 1 γ 2 = x + γt = γ t vγ

− −

v x K 2

t′ = γ t donde

= γ 2 1 x vγ 2

 − ⇒−  − 

K 2 =

v2 γ 2 γ 2 1

−

(7.174)

(7.175)

(7.176)

despejando el factor γ de la u ´ ltima ecuaci´ on tenemos γ 2 =

1 1

2

− K v

(7.177)

2

Esta ecuaci´ on implica que el factor γ es una función de la velocidad y el par´ ametro K , es decir γ = γ (v, K )

(7.178)

Aun cuando la ecuaci´ on (7.176) implica aparentemente que el par´ ametro K depende de la velocidad, esto no es as´ı, si queremos que la composici´ on de transformaciones de Lorentz sea de nuevo una transformaci´ on de Lorentz. Para este fin consideremos un nuevo sistema de referencia Σ′′ que se mueve con velocidad u respecto ˜ el par´ a Σ′ . Si llamamos K ametro para la transformaci´ on entre Σ′



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 100 — #104 



100


y Σ′′ , entonces las ecuaciones de transformaci´ on de Lorentz entre ′ Σ y Σ son x′ = γ (v; K )(x vt) (7.179) t′ = γ (v; K ) y entre Σ′ y Σ′′ toman la forma



− v t − 2x K

˜ )(x′ x′′ = γ (u; K



(7.180)

− ut′)



˜ ) t′ − u x′ t′′ = γ (u; K ˜2 K

(7.181)



(7.182)

˜ ) son los correspondientes factores gamma donde γ (v; K ) y γ (u; K ˜ ) respectivamente. Remplazando que dependen de (v; K ) y (u; K las coordenadas primadas en las u ´ ltimas ecuaciones, tenemos

  −   −

˜ )γ (v; K ) 1 + uv x′′ = γ (u; K 2

x

K

˜ )γ (v; K ) 1 + uv t′′ = γ (u; K ˜2 K

t

 

u + v uv t 1 + K 2

u ˜2 K

v K 2 uv ˜2 K

+

1+

x

(7.183)

(7.184)

˜ la composici´ un cálculo directo muestra que si K = K on de transformaciones de Lorentz es de nuevo una transformaci´ on de Lorentz con velocidad u + v w = (7.185) uv 1 + K 2 pues

uv = γ (w; K ) (7.186) K 2 El par´ ametro K debe ser determinado experimentalmente, por ejemplo con un experimento sobre dilataci´ o n temporal o un experimento din´ amico, como el comportamiento de la masa inercial de una part´ıcula con la velocidad. Si experimentalmente se determina que K = , las ecuaciones de transformaci´ on obtenidas se reducen a las transformaciones de Galileo, o si el experimento arro ja K = c tenemos las transformaciones de Lorentz. Esto implica que el segundo postulado de la relativitad pudiera ser remplazado por otro, el cual condujera a determinar en forma expl´ıcita el par´ ametro K .



γ (u; K )γ (v; K ) 1 +



∞



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 101 — #105 



101


17. Viaje al pasado. Supongamos que la primera se˜ nal tachy´ onica es enviada desde el origen de Σ en el instante t0 a la velocidad β T =

vT dx1 = 0 c dx

(7.187)

y es recibida por un receptor situado en el origen de Σ ′ , cuando este se encuentra a una distancia D medida con respecto a Σ. Entonces, el instante en el cual la se˜ nal es recibida est´ a dado por (en unidades de c) D ct1 = ct0 + (7.188) β T La se˜ nal es devuelta instant´ aneamente, desde el origen de Σ′ hacia el origen de Σ a una velocidad igual de vT , pero medida con respecto al sistema Σ′ , es decir dx′ = dt′

−vT

(7.189)

Para calcular el tiempo de regreso de la se˜ nal medida por Σ, debemos calcular primero la velocidad de la se˜ nal respecto al sistema de referencia Σ. Para este fin consideremos las transformaciones de Lorentz usuales x′0 = γ (x0 βx 1 ) (7.190)

− x′1 = γ (x1 − βx 0 )

(7.191)

con β = v/c y γ = γ (v). Entonces

−β T

= =

dx′1 γd(x1 = dx′0 γd(x0 dx1 dx0

1

− β

− βx0) = dx1 − βdx0 − βx1) dx0 − βdx1 (7.192)

1

− β dxdx

0

dx1 medida dx0

despejando la velocidad de la se˜ nal tachy´ onica respecto a Σ tenemos

−

dx1 β T β = dx0 1 β T β

− −

con

(7.193)

as´ı, el tiempo que tarda la se˜ nal en su viaje de ida y vuelta es cttotal

D D = + dx1 = D β T 0 dx





1 1 β T β + β T β T β

− −

(7.194)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 102 — #106 



102


por lo tanto, la se˜ nal es recibida en Σ en el instante t dado por



ct = ct0 + cttotal = ct 0 + D



1 1 β T β + β T β T β

− −

(7.195)

si el factor que acompa˜ na al término D es menor que cero, entonces esto significa que la se˜ nal de regreso puede ser detectada en el origen de Σ antes que la primera se˜ nal sea enviada desde all´ı. Para ver si esto es posible analicemos la funci´ on f (β T ; β ) =

1 1 β T β + β T β T β

− −

(7.196)

En primer lugar, esta funci´ on est´ a bien definida pues 0 β < 1 y β T > 1, por lo tanto los denominadores en la expresi´ on anterior nunca se anulan. Si los sistemas de referencia Σ y Σ′ est´ a n en reposo relativo, entonces β = 0 y por lo tanto el tiempo total es

≤

cttotal =

2D β T

(7.197)

el cual es positivo. Por otra parte, si la se˜ nal tachy´ onica es enviada a una velocidad arbitrariamente grande, entonces l´ım

β T

→∞





1 1 β T β + = β T β T β

− −

−β

(7.198)

y por lo tanto ct = ct0

− βD

(7.199)

lo cual significa que la se˜ nal de regreso llega un tiempo βD antes que la primera se˜ nal sea enviada. De hecho, dada la velocidad ˜ tal que relativa de los sistemas de referencia β , entonces sea β T ˜ ; β ) = 0, es decir β ˜ dado por f (β T T ˜ = β T

1+

 − 1 β

β 2

corresponde a la velocidad a la que se deben enviar los tachyones, para que la se˜ nal reflejada llegue en el instante en que se env´ıa la se˜ nal inicial, y por lo tanto siempre es posible encontrar velocida˜ para las cuales la se˜ des tachy´ onicas β T > β nal reflejada llega T



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 103 — #107 



103


˜ T se tom´ antes que la se˜ nal sea enviada. En el c´ alculo de β o la ra´ız positiva, pues 0 <

 −  − −

1+

y

1 β

β 2

<

∞

si 1 > β > 0

(7.200)

1 β 2 0 < < 1 si 0 < β < 1 (7.201) β Este ejemplo muestra uno de los problemas fundamentales en considerar los tachyones, pues el principio de causalidad de la f´ısica se rompe. Sin embargo, los tachyones han sido considerados en f´ısica, en el marco de algunos modelos teóricos, no solo para tratar de entender algunos problemas fundamentales y por completez de la teor´ıa, sino también para buscar qué influencia observacional pudieran tener los tachyones (si existieran) sobre las part´ıculas usuales. Hasta el presente no se ha predicho ning´ un efecto observable (lo que no significa que no pudiera existir) y por esta razón los tachyones no se han desechado del todo, pero tampoco se consideran en las teor´ıas usuales. 1

18. Viaje interestelar 1. Aun cuando las unidades que trabajaremos en el presente problema est´ an en a˜ nos-luz y el valor de la velocidad de la luz es c = 1, en las expresiones generales mantendremos c en forma expl´ıcita y solo utilizaremos las unidades para los c´ alculos numéricos. on de la gravedad en unidaa Para calcular el valor de la aceleraci´ des de a˜ nos-luz (al) y en unidades de c = 1, tenemos que 2,99792458 y 1m =

× 108 m = 1s

1 9,46053

entonces

× 1015 al

(7.202)

(7.203)

g = 9,8ms−2 = 9,8m

×



2,99792458

× 108m −2



× 10−16 m−1 1,0904 × 10−16 × 9,46053 × 1015 al−1

= 1,0904

= = 1,0316al−1

(7.204)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 104 — #108 



104


Para los c´ alculos del presente problema es suficiente aproximar el valor de la aceleraci´ on de la gravedad terrestre a g = 9,8ms−2

≃ 1al−1

(7.205)

b Dado que el movimiento del cohete es unidimensional, elijamos

el eje x positivo del sistema de referencia tierra en dirección de las Pléyades. En estas condiciones, la l´ınea de universo del cohete est´ a descrita por el cuadrivector posici´ on x(τ ) = x0 (τ ), x1 (τ ), 0, 0





(7.206)

entonces los cuadrivectores velocidad y aceleración del cohete est´ an dados por U =

dx = (U 0 , U 1 , 0, 0) dτ

(7.207)

dU = (A0 , A1 , 0, 0) (7.208) dτ Dado que la aceleración propia es constante, entonces se deben cumplir las siguientes relaciones: A =

2

U 2 = U 0 A2 = A0

2

U A = U 0 A0

·

U 1

  −    −  A1

2

2

= c 2

=

(7.209)

−g 2

(7.210)

− U 1A1 = 0

(7.211)

Despejando A0 de la ecuaci´ on (7.211) y remplazando en (7.210) tenemos que

−g

2

= = = =

U 1 A1 0 U

  

1 2

A

2

 −      −     −     A1

U 1

2

(U 0 )2

1 2

A

U 1

2

2

1

U 0

2

(U 0 )2

2

−c

A1

2

(U 0 )2

(7.212)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 105 — #109 




105

donde se utiliz´ o la ecuaci´ o n (7.209) en el u´ltimo paso. Tomando la ra´ız positiva de esta ecuaci´ on y despejando A 1 obtenemos g A1 = U 0 (7.213) c Se tom´ o la ra´ız p ositiva por las condiciones iniciales del problema, pues la nave parte del reposo y se acelera. Procediendo en forma similar a la anterior deducci´ on, pero despejando A1 de la ecuaci´ on (7.211) y remplazando en (7.210), llegamos a A0 =

g 1 U c

(7.214)

Derivando la ecuaci´ on (7.213) con respecto a τ , teniendo en cuenta las definiciones (7.207) y (7.208) y utilizando la ecuaci´ on (7.214), obtenemos la siguiente ecuaci´ on diferencial de 1 segundo orden para U : d2 U 1 g dU 0 g = = 2 dτ c dτ c



2

U 1

(7.215)

Un procedimiento similar, pero partiendo ahora de la ecuaci´ on (7.214), conduce a una ecuaci´ on diferencial de segun0 do orden para U . Este procedimiento permite desacoplar el sistema de ecuaciones diferenciales (7.209), (7.210) y (7.211) y convertirlo en el siguiente sistema de dos ecuaciones de segundo orden desacopladas, para las componentes del cuadrivector velocidad: d2 U 1 g 2 1 U = 0 (7.216) dτ 2 c d2 U 0 g 2 0 U = 0 (7.217) dτ 2 c Estas ecuaciones son integrables en forma exacta, en términos de las funciones hiperbólicas:

  −  −

g g U (τ ) = K 1 sinh τ + K 2 cosh τ (7.218) c c g g U 1 (τ ) = K 3 sinh τ + K 4 cosh τ (7.219) c c Las constantes de integraci´ on K 1 , K 2 , K 3 y K 4 se determinan a partir de las condiciones iniciales del problema: 0

   

   

U (τ = 0) = (U 0 (0), U 1 (0), 0, 0) = (c, 0, 0, 0)

(7.220)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 106 — #110 



106


dU dτ

 

= (A0 (0), A1 (0), 0, 0) = (0, g, 0, 0)

(7.221)

τ =0

pues la nave parte del reposo con aceleraci´ on propia g. La 1 primera condici´ on inicial para U implica K 4 = 0 y la segunda condici´ on inicial para A 0 nos conduce a K 1 = 0, entonces 0

U (τ ) = K 2 cosh U 1 (τ ) = K 3 sinh

g τ c

(7.222)

g τ c

(7.223)

   

La primera condici´ on inicial para U 0 implica que K 2 = c, mientras que derivando (7.223), la segunda condici´ on implica K 3 = c; as´ı el cuadrivector velocidad del cohete, en funci´ on del tiempo propio, est´ a dado por: U (τ ) = (c cosh

g g τ , c sinh τ , 0, 0) c c

 

 

(7.224)

Para encontrar la l´ınea de universo de la nave falta integrar la ecuaci´ on (7.207), donde las componentes del cuadrivector velocidad est´ an dadas por la ecuaci´ on (7.224). Entonces integrando estas ecuaciones obtenemos: c2 g x (τ ) = sinh τ + K 5 g c

(7.225)

c2 g x (τ ) = cosh τ + K 6 g c

(7.226)

   

0

1

con K 5 y K 6 constantes de integraci´ on, que se determinan a partir de la condici´ on inicial x(τ = 0) = (x0 (0), x1 (0), 0, 0) = (0, 0, 0, 0)

(7.227)

pues, cuando la nave parte de la tierra, x1 = 0 y tomamos la condici´ on t = 0. Aplicando estas condiciones iniciales a las ecuaciones (7.225) y (7.226) obtenemos, finalmente, la l´ınea de universo de la nave: c2 g c 2 g x(τ ) = ( sinh τ , (cosh τ g c g c

 

 −

1), 0, 0)

(7.228)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 107 — #111 



107


c Trabajando en unidades de c = 1 y la distancia en al, la acelera-

ci´ on de gravedad es 1al−1 y el tiempo queda medido en a˜ nos. 1 Cuando la nave alcanza la mitad del recorrido x = 212,5al y entonces 212,5al = cosh(τ ) 1 (7.229)

−

por lo tanto

τ = cosh−1 (213,5) = 6,0568a˜ nos

(7.230)

el cual es el tiempo que indica un reloj que viaja en el cohete. El tiempo medido en la tierra est´ a dado por x0 = sinh (6,056 8) = 213,502a˜ nos

(7.231)

A partir de este instante la nave comienza a desacelerar a un g hasta llegar a las Pléyades. Por simetr´ıa, el tiempo que gasta la nave desde este punto hasta alcanzar el reposo en las Pl´ eyades es igual que el tiempo calculado para la primera parte del viaje. As´ı, el tiempo total del viaje, desde la tierra hasta las Pl´ eyades, medido en el cohete es τ ida = 2

× 6,0568años = 12,114años

(7.232)

y medido desde el sistema tierra, est´ a dado por x0ida = 2

× 213,502años = 427,004años

(7.233)

Para calcular la velocidad de la nave en el instante en que esta alcanza la mitad del viaje, utilizamos la ecuaci´ on (7.57), la cual nos da la velocidad en términos de las componentes del cuadrivector aceleraci´ on; as´ı de la ecuación (7.224) tenemos c sinh v U 1 = 0 = c U c cosh

g c τ g c τ

 

g τ c

 

× x0ida = 854,08años

= tanh

(7.234)

remplazando τ = 6,0568a˜ nos en la ecuación anterior, tenemos v = tanh (6,0568) = 0,99999 (7.235) c El viaje total de ida y regreso, para el observador del cohete es τ total = 2 τ ida = 24,228a˜ nos (7.236)

×

y para la tierra x0total = 2

(7.237)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 108 — #112 



108


d Cuando la nave alcanza la mitad del recorrido x1 = 212,5al

tenemos

c2 g x (τ ) = (cosh τ 1) g c entonces, en las unidades que estamos trabajando

 −

1

212,5al =

1 (cosh (10τ ) 10

− 1)al

(7.238)

(7.239)

por lo tanto 1 cosh−1 (2125 + 1) = 0,83551a˜ nos 10 y el tiempo medido en el sistema tierra es de τ =

1 sinh (10 10 = 212,59a˜ nos

x0 (0,83551a˜ nos) =

(7.240)

× 0,83551)

(7.241)

por lo tanto el viaje total de ida y vuelta, medido en la nave es de τ total = 4

× 0,83551años = 3,342años

(7.242)

(7.243)

y medido desde la tierra x0total = 4

× 212,59años = 850,36años

La velocidad de la nave, cuando alcanza la mitad del camino de ida, est´ a dada por v c

U 1 = tanh (10τ ) = tanh (8,3551) U 0 = 0,999999889. =

(7.244)

Notemos que el tiempo propio del cohete se puede disminuir indefinidamente, aumentando la aceleraci´ on, pero el tiempo medido en la tierra est´ a acotado por 850al que es el tiempo que gastar´ıa un rayo de luz en ir desde la tierra hasta las Pléyades y regresar. 19. Viaje interestelar 2. Tomemos el origen del sistema de referencia en la tierra, con t = 0 = τ cuando la nave parte, y el eje x en la direcci´ on de movimiento. En unidades de c = 1 las distancias y los tiempos tienen las mismas unidades de longitud, las cuales tomaremos en al (a˜ nos luz).



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 109 — #113 



109


on propia constante a En el desplazamiento inicial, con aceleraci´ de 10g, la velocidad de la part´ıcula est´ a dada por la relaci´ on (7.224) c sinh v U 1 = 0 = c U c cosh

g c τ g c τ

 

= tanh

g τ c

 

(7.245)

entonces, cuando la nave alcanza la velocidad β = v/c = 0,999, el tiempo transcurrido en la nave (tiempo propio) es τ =

1 tanh−1 (0,999) a˜ nos = 0,38002a˜ nos 10

(7.246)

y por lo tanto el tiempo medido desde la tierra est´ a dado por x0 (0,38002a˜ nos) =

1 sinh(10 10

× 0,380 02) = 2,2344años

(7.247) a partir de este instante la nave contin´ ua su viaje con velocidad constante de 0,999c. nos la nave alcanza la velocidad v, b En el instante τ = 0,38002a˜ y por lo tanto la coordenada de posici´ on x1 (τ ), que en este caso nos da tambi´ en la distancia a la tierra, est´ a dada por la relaci´ on (7.238) y por lo tanto x1 (0,380 02) =

1 (cosh(10 10

× 0,380 02) − 1)al = 2,1366al (7.248)

Es decir el cohete se encuentra en ese instante a mitad de camino de la estrella m´ as cercana a nosotros, Pr´ oxima del Centauro, la cual est´ a a una distancia de 4,3al de la tierra. ua su recorrido a velocic A partir de este momento la nave contin´ dad constante, hasta encontrarse a una distancia de 2,1366al de las Pléyades, momento en el cual inicia la desaceleración a 10g para llegar con velocidad cero a su destino. Esto significa que el cohete recorre una distancia D a velocidad constante dada por D = 425al

− 2 × 2,1366al = 420,73al

(7.249)

por lo tanto el intervalo de tiempo que gasta la nave en recorrer esta distancia, medida por el sistema tierra, es de ∆x0 =

D 420,73 = = 421,15a˜ nos β 0,999

(7.250)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 110 — #114 



110


Teniendo en cuenta que ∆x0 corresponde al intervalo de tiempo entre los eventos, “la nave alcanza la velocidad v” y “la nave inicia la desaceleraci´ on”, medido por la tierra, entonces 0 ∆x est´ a relacionado con el intervalo de tiempo propio ∆τ , entre los dos eventos, por la ecuaci´ on ∆x0 =

∆τ

 − 1

β 2

(7.251)

donde ∆τ corresponde al intervalo de tiempo propio medido por los relojes del cohete. As´ı, en el sistema cohete la parte del viaje a velocidad constante dura

 −

∆τ = 421,15 1

(0,999)2 = 18,830a˜ nos

(7.252)

Por simetr´ıa, la u´ltima parte del camino, cuando el cohete desacelera, dura un tiempo igual a la primera parte, cuando la nave est´ a acelerando, por lo tanto el tiempo total del viaje de ida y regreso a las Pl´ eyades est´ a dado por τ total = 2

× (2 × 0,380 02 + 2 × 18,830) = 76,84años (7.253)

medido por los relojes del cohete y x0total = 2 (2

× × 2. 234 4 + 2 × 421,15) = 1693,5años (7.254)

Los resultados obtenidos en este y el anterior problema los resumimos en la siguiente tabla: τ total x0total

A B C 24,228a˜ nos 3,342a˜ nos 76,84a˜ nos 854,0a˜ nos 850,36a˜ nos 1693,5a˜ nos

Esto muestra que, en condiciones normales, es realizable un viaje interestelar en tiempos propios razonables para los via jeros de la nave, pero su retorno a la tierra significar´ıa regresar cuando ya han pasado varias generaciones en la tierra. Este resultado de la relatividad especial, conocido como la paradoja de los mellizos de Langevan, ha sido utilizado en la literatura y el cine de ficci´ on, por ejemplo en la pel´ıcula “El planeta de los simios”. Es importante aclarar que la palabra “ficci´ on” se refiere a que a´ un no es posible realizar este tipo



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 111 — #115 




111

de viajes interestelares, debido a las limitaciones tecnol´ ogicas. Sin embargo, el efecto del retraso de relojes viajeros se midió con relojes de alta precisi´ on en aviones, donde los atrasos registrados son del orden de 10−9 s. 20. El horizonte de eventos. Como la part´ıcula con aceleraci´ on propia constante α parte del reposo en el origen del sistema de referencia Σ, tomamos t = τ = 0 en este punto. a Para el caso de la part´ıcula que estamos considerando, la l´ınea

de universo x(τ ) ya fue calculada en un problema anterior, entonces de la ecuaci´ on (7.228) tenemos c2 α c 2 α x(τ ) = ( sinh τ , (cosh τ α c α c

 

 −

1), 0, 0)

(7.255)

donde solo se ha remplazado el valor de la aceleraci´ o n de la gravedad g por la aceleraci´ on propia α. b Para encontrar la trayectoria de la part´ıcula x 1 = x 1 (x0 ), medi-

da por el observador inercial Σ, debemos despejar el parámetro τ de la ecuaci´ on (7.255) en términos de la primera coor0 denada x . Entonces como c2 α x = sinh τ α c

   −

0

(7.256)

c2 α x = (cosh τ 1) (7.257) α c despejamos las funciones sinh y cosh de las ecuaciones anteriores, elevamos al cuadrado, restamos y utilizamos la identidad 1

cosh2 θ

− sinh2 θ = 1

de las funciones hiperbólicas, obteniendo α α 1 = cosh2 τ sinh2 τ c c 2 2 αx1 αx0 = +1 c2 c2

 −     − 

(7.258)

(7.259)

Esta ecuaci´ on la podemos escribir en la forma



x1

+ c4 α2

c2 α

2

  −

x0

c4 α2

2

=1

(7.260)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 112 — #116 



112


Teniendo en cuenta que la ecuaci´ on general de una hipérbola en el plano x y tiene la forma

−

(x

− h)2 − (y − k)2 = 1 a2

(7.261)

b2

donde (h, k) es el centro de la hipérbola, con as´ıntotas y =

±

b x + k a

b h a

∓ 

(7.262)

la soluci´ on (7.260) representa una hipérbola en el plano x1 x0 (recordemos que en relatividad el eje temporal x0 se toma vertical) con centro en el punto

−

(h, k) =

c2 ,0 α

− 

(7.263)

y as´ıntotas con pendiente 1. Esto implica que las as´ıntotas corresponden al cono de luz del evento

±

0

c2 ,0 α

(7.264)

c 2 α

(7.265)

− 

1

(x , x ) = dadas por x0 =

 ±

x1

−



En la figura (7.8) se muestra la l´ınea de universo de una part´ıcula con aceleraci´ on propia constante. La parte de la hipérbola en el cuadrante superior derecho representa la l´ınea de universo de la part´ıcula, que parte del origen con aceleraci´ on propia constante y por lo tanto, asint´ oticamente, la velocidad de la part´ıcula tiende a la velocidad de la luz. La parte inferior de esta rama de la hip´ erbola corresponder´ıa a una part´ıcula que proviene de la regi´ on x 1 en 0 el tiempo x desacelerando, y la cual alcanza el origen con velocidad cero, en el instante x0 = 0. La rama izquierda de la hipérbola corresponde a una part´ıcula que viene de la regi´ on x1 desacelerando con α, llegando al reposo en un punto situado en la coordenada x 1 = 2c2 /α y que vuelve a acelerar dirigiendose a x 1 .

→∞

→ −∞

→ −∞

→ −∞

−



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 113 — #117 



113


Figura 7.8: El

horizonte de eventos. L´ınea de universo con aceleraci´ on propia

constante.

c En la parte b del presente problema vimos que el movimiento

de una part´ıcula con aceleraci´ on propia constante est´ a repre0 1 sentado por una hip´ erbola en el plano x x , la cual tiene como as´ıntotas el cono de luz del punto

−

0

1

(x , x ) =

c2 ,0 α

− 

(7.266)

Esto significa que la recta con ecuaci´ on 0

x = x

1

−

c2 α

(7.267)

no intercepta a la hip´ erbola y representa, en el cuadrante superior derecho, un rayo de luz que parte del origen en el instante c2 0 x = ct = (7.268) α en la direcci´ on del eje x1 positivo. El diagrama espacio-tiempo, figura (7.8), muestra que ninguna se˜ nal enviada desde un punto a la izquierda de la as´ıntota (7.267) puede interceptar la l´ınea de universo de la part´ıcula acelerada del lado derecho del diagrama. Por esta raz´ on se dice que la recta (7.267) representa un horizonte de eventos para la part´ıcula. Notemos, sin embargo, que la part´ıcula s´ı puede enviar una se˜ nal hacia la regi´ on de la izquierda de esta recta. Una situación similar



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 114 — #118 



114


se presenta para la l´ınea de universo en los cuadrantes de la izquierda.

7.2.

Soluciones de problemas avanzados

1. Grupo de Lorentz. Sean x, y transformaci´ on de Lorentz Λ:

∈ M dos cuadrivectores y Λ la

M −→ M

(7.269)

con x′ = Λ x y y ′ = Λ y. a Dado que Λ debe dejar invariante el producto minkowskiano,

tenemos que x′ y ′ = x ′T η y′ = x T ηy = x y

·

·

(7.270)

remplazando los cuadrivectores primados en t´ erminos de los no primados, se llega a la ecuaci´ on xT η y = (Λx)T η (Λy) = x T ΛT ηΛy

(7.271)

Puesto que esta ecuaci´ on debe cumplirse para todos los cuadrivectores, tenemos que las matrices de transformaci´ o n de Lorentz deben satisfacer la condici´ on ΛT ηΛ = η

(7.272)

La primera propiedad que se deriva de la ecuaci´ on anterior, teniendo en cuenta las propiedades de los determinantes, es que det Λ = 1 (7.273)

| | ±

El conjunto de todas las transformaciones de Lorentz, que en la representaci´ on matricial corresponde a todas las matrices 4 4 reales que satisfacen la condici´ on (7.272), forman un grupo no abeliano, llamado el grupo general de Lorentz. Las transformaciones con determinante +1 se llaman propias y forman un subgrupo, el grupo de transformaciones propias de Lorentz, pues si Λ1 y Λ2 son dos transformaciones de Lorentz con determinante +1, entonces Λ1 Λ2 es de nuevo una transformaci´ on con determinante

×

det Λ1 Λ2 = det Λ1 det Λ2 = +1

|

|

| | | |

(7.274)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 115 — #119 



115

7.2. SOLUCIONES DE PROBLEMAS AVANZADOS

Las transformaciones con determinante 1 se llaman impropias y no forman un subgrupo, pues dos transformaciones impropias sucesivas Λ1 y Λ2 dan una transformaci´ on de Lorentz propia, dado que

−

det Λ1 Λ2 = det Λ1 det Λ2 = ( 1) ( 1) = +1

|

|

| | | | − −

(7.275)

Ejemplos de transformaciones impropias son la inversi´ on de ejes espaciales

ΛE x =

 

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

−

0 0 0 1

−

−

y la inversi´ on temporal

ΛT x =

− 

0 1 0 0

− 

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

  

x0 x1 x2 x3

  

x0 x1 x2 x3

0 0 0 1

  

 

 

=

=

x0 x1 x2 x3

  −− −

x0 x1 x2 x3

− 

 

 

(7.276)

(7.277)

sin embargo la inversi´ on espacio-temporal es una transformaci´ on propia:

ΛE −T x =

1 0 0 0

−

0 0 1 0

−

−

x0 x1 x2 x3

 

=

x0 x1 x2 x3

−  −− −

 

(7.278)

pues det ΛE −T = +1. Otra propiedad que se obtiene directamente de la ecuaci´ on (7.272) es que el n´ umero de parámetros independientes, de una transformaci´ on de Lorentz general, es de seis, pues de las 16 ecuaciones de restricció n en (7.272) hay solo 10 independientes, dado que la matriz de Minkowski es simétrica η T = η . As´ı, el sistema de 10 ecuaciones (7.272) independientes implica que, de los 16 elementos matriciales necesarios para representar una transformaci´ on de Lorentz Λ, solamente seis par´ ametros son independientes. Es decir, una transformaci´ on de Lorentz general queda determinada por seis par´ ametros libres. Estos seis par´ ametros, escogidos convenientemente, pueden ser interpretados como tres

|

|



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 116 — #120 



116


par´ ametros que representan rotaciones de los ejes espaciales y tres que representan las componentes de la velocidad relativa entre dos sistemas de referencia inerciales. on de Lorentz Λ tiene b Dada la matriz L tal que la transformaci´ la forma Λ = eL

(7.279)

det Λ = det eL = e T rL

(7.280)

obtenemos que



| |

donde T rL es la traza de la matriz L . Esta igualdad se puede probar teniendo en cuenta que la matriz Λ posee determinante diferente de cero y por lo tanto existe una transformaci´ on de similitud S tal que S−1 ΛS = λ

S−1 LS = ℓ

y

(7.281)

son matrices diagonales y adem´ as esta transformaci´ on deja el determinante y la traza de las matrices invariantes. Por lo tanto 3

−  

det Λ = det S

| |

1

ΛS =

λαα

(7.282)

α=0

donde λ αα son elementos de la diagonal de λ ; entonces, dado que λαα = eℓαα (7.283) con ℓαα los elementos de la matriz diagonal ℓ, tenemos que 3

det Λ =

| |



α=0

3

ℓαα

e

= exp

 

ℓαα = e T rℓ = eT rL (7.284)

α=0

Si elegimos la matriz L real, la ecuaci´ on (7.279) excluye las transformaciones impropias y adem´ as dado que det Λ = 1, entonces T rL = 0 (7.285)

||

Es decir, para transformaciones propias de Lorentz L es una matriz real sin traza. Teniendo en cuenta que la matriz de Minkowski posee las siguientes propiedades (por su definici´ on) η T = η ; η 2 = I (7.286)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 117 — #121 



117


con I la matriz identidad, la ecuaci´ on (7.272) se puede escribir en la forma (7.287) ηΛT η = Λ −1 y de la ecuación (7.279) se obtienen las siguientes propiedades ΛT = eL



T

T

= e L

ηΛT η = e ηL

(7.288)

T η

(7.289)

Λ−1 = e−L

(7.290)

Estas ecuaciones se pueden probar por cálculo directo, utilizando la definici´ on de la exponencial de una matriz. Por ejemplo veamos la primera ecuaci´ on: ΛT =

= = = =

eL

 

T

T 1 2 1+L+ L + 2! 1 T 1T + LT + L2 + 2! 1 2 1 + LT + LT + 2! T eL

 ···   ···   ···

(7.291)

como se quer´ıa probar. Entonces ηLT η =

−L

(7.292)

−ηL

(7.293)

o en forma equivalente [ηL]T =

es decir la matriz ηL es antisimétrica y, por lo tanto, la forma m´ as general de la matriz L, que satisface estas propiedades, se puede escribir

L =

 

0 L01 L02 L03

L01 0 L12 L13

− −

L02 L03 L12 L13 0 L23 L23 0

−

 

(7.294)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 118 — #122 



118


pues la matriz L tiene traza cero y

(ηL)T =

=

−ηL

=

=

as´ı

   

L00 L10 L20 L30 L00 L01 L02 L03

 −  − 

1 0 0 0

L01 L11 L21 L31

L02 L12 L22 L32

−L10 −L11 −L12 −L13 0 1 0 0

L00 L10 L20 L30

−L20 −L21 −L22 −L23

0 0 1 0

−

−

−L01 L11 L21 L31

Lαα =

L03 L13 L23 L33

T

  

−L30 −L31 −L32 −L33

  

0 0 0 1

1 0 0 0

−Lαα;

−

0 0 1 0

−

 

L00 L10 L20 L30

− −L02 −L03 L12 L22 L32

0 1 0 0

L13 L23 L33

0 0 0 1

−

 

T

(7.295)

L01 L11 L21 L31

L02 L12 L22 L32

 

L03 L13 L23 L33

 

(7.296)

α = 0, 1, 2, 3

(7.297)

i = 1, 2, 3

(7.298)

y por lo tanto Lαα = 0,

L0i = L i0 ; y Lij =

−L ji ;

i, j = 1, 2, 3

(7.299)

Esto muestra que una transformaci´ on de Lorentz general queda determinada por seis par´ ametros L01 , L02 , L03 , L12 , L13 y L 23 independientes. on c Dada la forma general de la matriz L, encontrada en la ecuaci´ (7.294), es suficiente elegir α = ( L23 , L13 , L12 ); 

−

−

−

 ζ = ( L01 , L02 , L03 )

−

−

−

(7.300)

de tal manera que la matriz L se puede escribir como la combinaci´ on lineal: L =

− α · R˜ −  ζ · B˜

(7.301)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 119 — #123 



119


˜ y B ˜ est´ donde las componentes de los vectores R an dadas por las matrices (2.58), (2.59) y (2.60). d Consideremos primero la matriz R 1 y calculemos su cuadrado:

R21 =

 

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 1 0

−

0 0 0 1

−

 

= diag(00

− 1 − 1)

(7.302)

la cual es diagonal. Un c´ alculo similar para las otras matrices conduce a R22 R23

= diag(0 = diag(0

B21

= diag(1100)

B22

= diag(1010)

B23

= diag(1001)

2

· ˜ α R

2

·  

˜ Calculemos ahora  α R α: 

α1

=

2

− 10 − 1) − 1 − 10)

(7.303)

para cualquier vector real unitario

R21 + α2

2

R22 + α3



2

R23 + α1 α2 R1 R2

+α1 α2 R2 R1 + α1 α3 R1 R3 + α1 α3 R3 R1 +α2 α3 R3 + α2 α3 R3 R2

(7.304)

remplazando las matrices Ri tenemos ˜ α R 

=

2

·     −   −   −  − −    − − 0 0 0 0

0 2 α2 + α3 α1 α2 α1 α3

0 α1 α2 2 α1 + α3 α2 α3

2

2

(7.305)

0 α1 α3 α2 α3 2 α 1 + α2

   2

˜ y teniendo en cuenta la Multiplicando esta matriz por α  R condici´ on de unitariedad

·

α1

2

+ α2

2

+ α3

2

  

=1

(7.306)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 120 — #124 



120


tenemos

  ·   ˜ α R 

3

=

0 0 0 0

0 0 α3 α2

−

0 α3 0 α1

0 α2 α1 0

−

−

 

=

− α · R˜

(7.307)

Un cálculo similar conduce al resultado

·   ˜ ζ B

3

˜ =  ζ B

·

(7.308)

por lo tanto cualquier potencia de las matrices R i y B j , i, j = 1, 2, 3 puede ser expresada como un m´ ultiplo de la matriz o de su cuadrado, pues, por ejemplo, si tomamos el vector unitario  ζ = (1, 0, 0) tenemos que

·   ˜ ζ B

y

3

= B 31 = B 1

B41 = B 31 B1 = B 1 B1 = B 21

(7.309)

(7.310)

con un resultado similar para las dem´ as matrices. e Consideremos en primer lugar el caso particular

 ζ = (ζ, 0, 0)

α = (0, 0, 0);

(7.311)

Entonces la matriz de transformaci´ on de Lorentz Λ est´ a dada por ˜



˜

α·R−ζ ·B = e−ζ B1 Λ = eL = e−

(7.312)

Para calcular la funci´ on exponencial hacemos uso de la expansi´ on en serie de Taylor 2

Λ = I

3

− ζ B1 + (ζ B2!1 ) − (ζ B3!1)

+

(ζ B1 )4 4!

− · · · (7.313)

Utilizando el resultado de la parte d del presente problema para las potencias de la matriz B1 , la serie anterior se puede



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 121 — #125 



121


escribir en la forma

 −   − 

Λ = I+

+ = I

+

ζ B1

−

(ζ B1 )3 3!

−

 −··· 

(ζ B1 )5 5!

(ζ B1 )2 (ζ B1 )4 (ζ B1 )6 + + + 2! 4! 6!

ζ 3 ζ 5 ζ + + + 3! 5! ζ 2 ζ 4 ζ 6 + + + 2! 4! 6!

 ···  ···

···

B1

B12

(7.314)

Las expansiones en potencias de ζ en la expresión anterior corresponden a las series de Taylor del sinh y cosh respectivamente, salvo el primer término de la serie de cosh, el cual lo sumamos y lo restamos, as´ı Λ = 1

− B21 − B1 sinh ζ + B21 cosh ζ

(7.315)

Remplazando expl´ıcitamente las matrices B1 , su cuadrado y la matriz identidad I, tenemos

Λ =

  −

cosh ζ sinh ζ sinh ζ cosh ζ 0 0 0 0

−

0 0 1 0

0 0 0 1

 

(7.316)

la cual coincide con la transformaci´ on de Lorentz usual (ver ecuaci´ on (7.102)), donde el par´ ametro ζ est´ a relacionado con ′ la velocidad v del sistema de referencia Σ respecto a Σ por la ecuaci´ on v tanh ζ = (7.317) c Consideremos ahora el segundo caso particular  ζ = (0, 0, 0)

α = (0, 0, α);

(7.318)

y procedamos en forma similar al caso anterior: Λ = eL = e

˜ − ˜ α·R  ζ ·B

−

= e −αR1

(7.319)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 122 — #126 



122


Expandiendo la exponencial en serie de Taylor y utilizando las propiedades de las potencias de la matriz R1 , tenemos Λ = I

−

= I

−

(αR1 )2 (αR1 )3 αR1 + + 2! 3! (αR1 )2 α 3 R1 αR1 + + 2! 3!

−

···

−···

(7.320)

remplazando las matrices I, R1 y R21 , recordando las expansiones en serie de Taylor para las funciones sin α y cos α, tenemos que la transformaci´ on de Lorentz está dada por

Λ =

 

1 0 0 0

0 0 0 cos α sin α 0 sin α cos α 0 0 0 1

−

 

(7.321)

la cual representa una rotaci´ on r´ıgida de los ejes espaciales en un ańgulo α alrededor del eje z. A partir de estos resultados es fácil convencerse que las matrices Ri corresponden a rotaciones r´ıgidas de los ejes espaciales y las matrices Bi a transformaciones puras de Lorentz. Por ejemplo, una transformaci´ on de la forma Λ = e

 ˜ ζ ·B

−

(7.322)

representa una transformaci´ on pura de Lorentz en la dirección  del vector ζ , el cual est´ a relacionado con la velocidad del sistema de referencia por  ˆ tanh−1 β ζ = β con

 β = v /c

(7.323) (7.324)

2. Transformaci´ on general de Lorentz. Teniendo en cuenta el resultado del problema anterior, la transformaci´ on pura de Lorentz m´ as general est´ a dada por la ecuación (7.322), donde el par´ ame  tro ζ se relaciona con la velocidad v por las ecuaciones (7.323) y (7.324). Entonces, expandiendo en serie de Taylor la ecuaci´ on Λ = e

−

ˆ ·B ˜ tanh−1 β β

(7.325)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 123 — #127 



123


ˆ un vector unitario en la dirección de la velocidad, obdonde β es tenemos

Λ = I

· −  · −

− β ˆ · B˜ tanh 1 β + 3 ˆ·B ˜ tanh 1 β β



3!

+

2!

ˆ B ˜ tanh−1 β β

4!

2

 − 

ˆ B ˜ tanh−1 β β

4

− · · (· 7.326)

˜ , deducidas en Teniendo en cuenta las propiedades de la matriz B el problema anterior (ecuaci´ on (7.308)), y agrupando los términos  ˜ en ζ B y su cuadrado, tenemos que

·

Λ = I

3

 −  −   − · ···  ·    −   −  − · · · ˆ B ˜ tanh β

ˆ ˜ + β B

1

tanh 1 β β + 3!

tanh 1 β 2!

2

2

+

(7.327)

tanh 1 β + 4!

4

Las series entre par´ entesis en la ecuaci´ on anterior corresponden a la expansi´ on en serie de Taylor de sinh(tanh−1 β ) y cosh(tanh−1 β ); por lo tanto Λ = I

2

· 

 ˜ sinh(tanh−1 β ) +  ˜ ζ B ζ B

− ·

cosh(tanh−1 β ) (7.328)

teniendo en cuenta las ecuaciones (7.100) y (7.101) que relacionan la velocidad con las funciones hiperb´ olicas sinh(tanh−1 β ) = βγ

(7.329)

cosh(tanh−1 β ) = γ

(7.330)

la transformaci´ on de Lorentz toma la forma Λ = I

−

·

2

·  · 

˜ + γ  ˜ βγ  ζ B ζ B

(7.331)

2

˜ y  ˜ , utilizando las deCalculando ahora las matrices  ζ B ζ B finiciones para las matrices B (ecuaciones (2.58), (2.59) y (2.60)), obtenemos

·



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 124 — #128 



124


Λ =

  − − −

−βγ β ˆ1 1 + ˆ β 1 (γ − 1) ˆ ˆ β 1 β 2 (γ − 1) ˆ 1 β ˆ 3 (γ − 1) β

γ ˆ1 βγ β ˆ βγ β 2 ˆ3 βγ β

−βγ β ˆ2 ˆ 1 β ˆ 2 (γ − 1) β 1 + ˆ β 2 (γ − 1) ˆ 2 β ˆ 3 (γ − 1) β

−βγ β ˆ 3 ˆ 1 β ˆ 3 (γ − 1) β ˆ ˆ (γ − 1) β 2 β 3 1 + ˆ β 3 (γ − 1)

 

(7.332)

Dado que  ˆ = β = 1 β , β , β = (β ˆ , ˆ ˆ β 1 β 2 , β 3 ) β β x y z





(7.333)

con β x = vx /c, etc., llegamos finalmente a la matriz de Lorentz general

Λ =

  −  −

γ

−β xγ

(γ 1)β 2x β 2 (γ 1)β x β y β 2 (γ 1)β x β z β 2

β x γ 1 + β y γ

−β z γ

−

− −

−β y γ

(γ 1)β x β y β 2 (γ 1)β 2 1 + β 2 y (γ 1)β y β z β 2

−

−

−

  

−β z γ

(γ 1)β x β z β 2 (γ 1)β y β z β 2 2 z 1 + (γ β 1)β 2

− −

−

(7.334)

A partir de esta matriz podemos obtener las ecuaciones generales para la transformaci´ on de las coordenadas entre los sistemas de referencia inerciales Σ y Σ′ ,

 

x0 x1 x2 x3

′  ′  ′  ′

=

  −  − −  × 

γ

−β xγ

(γ 1)β 2x β 2 (γ 1)β x β y β 2 (γ 1)β x β z β 2

β x γ 1 +

− −

β y γ β z γ x0 x1 x2 x3

−

−β y γ

(γ 1)β x β y β 2 (γ 1)β 2 1 + β 2 y (γ 1)β y β z β 2

−

−

−

−β z γ

(γ 1)β x β z β 2 (γ 1)β y β z β 2 2 z 1 + (γ β 1)β 2

− −

−

 

  

(7.335)

las cuales se pueden reescribir en la forma usual x′0 = γ (x0

−  β · x)

(γ − 1)  x′ = x + β · x  β − γx 0 β 2 β

 

(7.336)

(7.337)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 125 — #129 



125


´ 3. Algebra on de las de Lie del grupo de Lorentz. La demostraci´ propiedades del conmutador es directa a partir de la definici´ on y de las propiedades del producto y la suma de matrices, recordando que el producto de matrices no es conmutativo.

on de conmutador tenemos a De la definici´ [A, B] = AB

− BA = − (BA − AB) = − [B, A] [A, B + C] = A (B + C) − (B + C) A = AB + AC − BA − CA = AB − BA + AC − CA = [A, B] + [ A, C]

(7.338)

(7.339)

donde se ha hecho uso de la conmutatividad de la suma de matrices. [A, BC] = ABC = =

− BCA ABC − BAC − BCA + BAC (AB − BA) C + B (AC − CA)

= [A, B] C + B [A, C]

(7.340)

en el segundo paso se sumó y rest´ o el término BAC. [A, B]T = (AB =

− BA)T = (AB)T − (BA)T (7.341) BT AT − AT BT = BT , AT





Para probar la identidad de Jacobi basta con desarrollar expl´ıcitamente los conmutadores y aplicar las propiedades (2.70), (2.71) y (2.72) demostradas: [A, [B, C]] + [C, [A, B]] + [B, [C, A]] = [A, BC =

− CB] + [C, AB − BA] + [B, CA − AC] [A, BC] − [A, CB] + [ C, AB] − [C, BA] + [B, CA] − [B, AC]

= 2 [A, B] C + 2B [A, C] + 2 [C, A] B +2C [B, A] + 2 A [C, B] + 2 [B, C] A = 2ABC

≡

− 2BAC + 2BAC − 2BCA +2CAB − 2ACB + 2CBA − 2CAB +2ACB − 2ABC + 2BCA − 2CBA 0

(7.342)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 126 — #130 



126


´lgebra de Lie para las matrices Ri y B j se reab La prueba del a liza directamente calculando los conmutadores. Ilustraremos un solo caso de cada una de las ecuaciones. Consideremos en primer lugar el conmutador de R1 con R2 :

[R1 , R2 ] =

 

0 0 0 0

 −   

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 1

−

       

0 0 1 0

0 0 0 0

−

0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 = 0 1 0 0 0 0 = R = ǫ 123 R3

−

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 1

−

0 1 0 0

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 0 0

 

0 1 0 0

0 0 1 0

−

 

(7.343)

Similarmente calculemos el conmutador de R 1 y B1 :

[R1 , B1 ] =

 

0 0 0 0

 −   

0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0

0 0 = 0 0 = ǫ11k Bk = 0

0 0 1 0

− 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

 

     

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 0 0

 

0 0 1 0

−

  (7.344)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 127 — #131 



127


El conmutador de R 1 con B2 est´ a dado por:

[R1 , B2 ] =

 

0 0 0 0

 −   

0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 1 0

− 1 0 0 0

0 0 0 0

 

0 0 0 1 0 0 0 0 = 0 0 0 0 1 0 0 0 = B3 = ǫ123 B3

     

0 0 1 0

0 0 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 1

 

0 0 0 0

0 0 1 0

−

  (7.345)

Finalmente calculemos el conmutador [B3 , B2 ]:

[B3 , B2 ] =

 

0 0 0 1

 −   

0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0

0 0 0 0 = 0 0 0 0 = R3 = pues ǫ 321 =

0 0 0 0

0 0 0 1

        − 

1 0 0 0 1 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 0 0

0 0 1 0

−ǫ321R3

0 0 0 0 0 0 0 0

 

1 0 0 0

  (7.346)

−1 porque 321 es una permutación impar de 123.

En general, cualquier conjunto de seis matrices (u operadores de cualquier naturaleza), que obedezcan el a´lgebra de Lie del grupo de Lorentz, constituyen una representaci´ on de las transformaciones de Lorentz. Teniendo en cuenta que los 6 parámetros necesarios para describir una transformaci´ on propia de Lorentz se pueden elegir de manera arbitraria,



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 128 — #132 



128


se debe utilizar, en general, otro conjunto de seis matrices de representaci´ on, las cuales, no necesariamente, tienen un significado geométrico o f´ısico expl´ıcito, como fue el caso que consideramos para las matrices Ri y B j y los parámetros α y  ζ .



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 129 — #133 



Cap´ıtulo 8

Efecto Doppler 8.1.

Soluciones de problemas del efecto Doppler

1. Cuadrivector de onda. Sean λ, ω y  k la longitud de onda, la frecuencia angular y el vector de onda, medidos por el observador Σ, y λ´, ωý  k′ las cantidades correspondientes para el observador Σ′ . A partir de las ecuaciones de transformación (3.11), para las componentes del cuadrivector de onda y su definici´ on en términos de la frecuencia y n´ umero de onda, ecuaci´ on (3.8), obtenemos el siguiente conjunto de ecuaciones: ω´ ω = γ ( c c

− βkx)

(8.1)

− β ωc )

(8.2)

kx = γ (kx ′

ky = k y

(8.3)

kz = k z

(8.4)

′

′

La primera de estas ecuaciones la podemos escribir también en la forma ν ´= γ (ν vkx ) (8.5)

−

Dado que la relación de dispersión para las ondas electromagnéticas en el vac´ıo es la misma, i. e. λ´ν ´= c, entonces de esta relaci´ on se obtiene la longitud de onda, dada la frecuencia. También se puede obtener la relaci´ on entre las normas del vector de onda, medidas ′ en Σ y Σ , a partir de la relación entre las longitudes de onda, 129 

 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 130 — #134 



130

CAP´ ITULO 8.

EFECTO DOPPLER

o calcul´ andola directamente de las ecuaciones de transformaci´ on anteriores:

 ′    | |  | | k

=

= = = =

kx2 + ky2 + kz2 ′

′

′

ω2 c2

− 2kx β ωc ) + ky2 + kz2 k 2 + kx2 β 2 γ 2 + γ 2 β 2 |k|2 − 2γ 2 βk x k k 2 γ 2 + kx2 β 2 γ 2 − 2γ 2 βk x |k| γ ||k| − kx β | γ 2 (kx2 + β 2

(8.6)

2. Efecto Doppler longitudinal. Consideremos un sistema de referencia Σ′ ligado a la fuente y con origen en ella y relacionado con el sistema Σ de la manera usual. Supongamos que en alg´ un instante t > 0 la fuente emite ondas monocrom´ aticas en la direcci´ on del eje x negativo, como se muestra en la figura (8.1).

Figura 8.1: Efecto Doppler longitudinal. Sistema de referencia inercial para el ′

observador Σ y para la fuente Σ .

Las componentes del cuadrivector de onda, en el sistema de referencia Σ′ , para una onda plana monocrom´ atica que se mueve hacia el origen del sistema Σ (ver figura (8.1) superior), est´ an dadas por: ω0 k = (k′0 , k′1 , k′2 , k′3 ) = ( , kx0 , 0, 0) (8.7) c donde k x kx0 = ˆ (8.8)

−  



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 131 — #135 



8.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS DEL EFECTO DOPPLER

131

Debido a la relaci´ on de dispersi´ on, ecuaci´ on (3.9), tenemos que ω 20 c2

2 2 k = ω 0 c2

−  

− kx02 = 0

(8.9)

y por lo tanto las componentes del cuadrivector de onda toman la forma ω0 ω0 k = (k′0 , k′1 , k′2 , k′3 ) = ( , , 0, 0) (8.10) c c Para encontrar la frecuencia medida por el detector, situado en el origen del sistema Σ, aplicamos la transformaci´ on de Lorentz ′ inversa (de Σ a Σ) para las componentes del cuadrivector de onda. Si llamamos

−

k = (k0 , k1 , k2 , k3 ) = (

ωD , kxD , kyD , kzD ) c

(8.11)

a las componentes del cuadrivector de onda medidas en el sistema Σ, tenemos ωD ω0 = γ ( v)( + βk x0 ) (8.12) c c ω0 kxD = γ ( v)(kx0 + β ) (8.13) c kyD = k zD = 0 (8.14)

− −

Entonces, de la primera ecuaci´ on anterior obtenemos ω D = γω 0 (1

− β ) = ω 0

 −

1 β 1 + β

(8.15)

La segunda ecuaci´ on nos conduce a la misma relaci´ on encontrada y por lo tanto no da nueva informaci´ on. Si la fuente se est´ a moviendo hacia el detector basta con cambiar v v y obtenemos que la frecuencia detectada en Σ está dada por

→ −

ω D = ω 0



1 + β 1 β

−

(8.16)

Notemos que en el primer caso, cuando la fuente se aleja, la frecuencia detectada es menor que la frecuencia emitida y se conoce en la literatura como “corrimiento al rojo”, mientras que en el segundo caso, cuando la fuente se acerca, la frecuencia medida es mayor y se conoce como “corrimiento al azul”. Esta denominaci´ on



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 132 — #136 



132

CAP´ ITULO 8.

EFECTO DOPPLER

se refiere a que, en el espectro visible, el rojo corresponde a frecuencias menores y el azul a frecuencias mayores. El efecto Doppler longitudinal cl´ asico (no relativista) es un fen´ omeno t´ıpicamente ondulatorio, que se presenta en todos los fenómenos ondulatorios, incluidas las ondas electromagnéticas. Cl´ asicamente el corrimiento Doppler longitudinal est´ a dado por c

ω D = ω 0

−v

c

(8.17)

Este resultado lo podemos obtener a partir de la ecuaci´ on (8.15), si expandimos el factor γ en potencias de v/c: γ (v) =

 − − 1

v 2 c2

1/2

= 1+

1 v2 + 2 c2

O(v4 /c4)

(8.18)

remplazando en la ecuaci´ on (8.15) tenemos

ωD

v 1 v2 = ω 0 (1 − ) 1 + + O(v4 /c4 ) 2 c 2c

„

«

= ω 0 (1 −

v ) + ω0 O(v 2 /c2 ) (8.19) c

donde no se han escrito expl´ıcitamente t´ erminos cuadr´ aticos en β , los cuales corresponden a la corrección relativista del resultado cl´ asico. 3. Efecto Doppler transversal y aberraci´ o n de la luz. Consi′ deremos un sistema de referencia Σ ligado a la fuente relacionado con el sistema Σ de la manera usual y con la fuente en alg´ un punto ′ sobre el eje y positivo. Las componentes del cuadrivector de onda, medidas en el sistema de la fuente, est´ an dadas por k = (k′0 , k′1 , k′2 , k′3 ) = (

ω0 ω0 , 0, ky0 , 0) = ( , 0, c c

− ωc0 , 0)

(8.20)

donde la u ´ltima igualdad se obtiene de la relaci´ on de dispersión. Las componentes del cuadrivector de onda (

ωD , kxD , kyD , kzD ) c

(8.21)

en el sistema Σ se obtienen por una transformaci´ on de Lorentz de ′ Σ Σ, as´ı ωD ω0 = γ ( v)( + β ) (8.22) c c

→

−



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 133 — #137 




ω0 kxD = γ ( v)(kx0 + β ) c kyD = k y0

(8.23)

−

kzD = 0

133

(8.24) (8.25)

Dado que en Σ′ la componente kx0 se anula, la primera ecuaci´ on implica que ω0 ωD = γ (v)ω 0 = (8.26) 1 β 2 Esta relaci´ on es conocida como efecto Doppler transversal y coresponde a un efecto netamente relativista porque su origen se debe al efecto de dilataci´ on temporal y no tiene correspondencia a nivel cl´ asico, pues en primera aproximaci´ on γ (v) 1. Las ecuaciones de transformaci´ on (8.23) y (8.24) implican que

 −

∼

v ω0 (8.27) c2 ω0 kyD = (8.28) c esto significa que para el detector el frente de ondas incide formando un ańgulo de kxD v tan θ = = γ (v) (8.29) kyD c kxD = γ (v)

−

−

con respecto al eje y. Este efecto es conocido como aberración de la luz y fue observado con las estrellas situadas perpendicularmente al plano de la o´rbita terrestre. El c´ alculo cl´ asico y el valor observado est´ a dado por v tan θ = (8.30) c el cual corresponde al l´ımite cl´ asico de la ecuaci´ on (8.29), donde se hace la aproximaci´ on γ 1.

−

∼

4. Comunicaci´ on espacial con Doppler. De igual manera que en el problema 10 del primer cap´ıtulo, supongamos que la nave A se est´ a alejando de la tierra. Para resolver este problema, utilizando el efecto Doppler, consideremos que las dos se˜ nales enviadas desde la tierra con una diferencia de tiempos t 0 corresponden a dos frentes de onda consecutivos y por lo tanto t 0 representa el periodo de una onda y as´ı la frecuencia angular de la se˜ nal es ω0 =

2π t0

(8.31)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 134 — #138 



134

CAP´ ITULO 8.

EFECTO DOPPLER

a Consideremos primero el caso de la nave A la cual se aleja de

la fuente (tierra) y por lo tanto podemos aplicar el efecto Doppler longitudinal (problema 2 ecuaci´ on (8.15)): ω D = ω 0

 −

1 β 1 + β

(8.32)

as´ı, la diferencia de tiempos ∆t′A entre las dos se˜ nales medidas por la nave A es ∆t′A =

2π 2π = ωD ω0



1 + β = t 0 1 β

−



1 + β 1 β

−

(8.33)

Para el caso de la nave B, la cual se est´ a acercando a la fuente, basta con cambiar v v, por lo tanto

→ −

∆t′B = t 0

 −

1 β 1 + β

(8.34)

alculo de la diferencia de tiempos de los pulsos que llegan b El c´ a la tierra procede en forma similar. Para el caso de la nave A podemos considerar que los pulsos reflejados en la nave corresponden a un frente de ondas emitido por la nave A con una frecuencia ω D y por lo tanto, aplicando efecto Doppler longitudinal, en la tierra se detecta un frente de ondas de frecuencia 1 β ω T = ω D (8.35) 1 + β

 −

remplazando la ecuaci´ on (8.32) para ω D tenemos ω T = ω 0

1 β 1 + β

−

(8.36)

y la diferencia de tiempos de la llegada de los dos pulsos est´ a dada por 2π 1 + β ∆tT A = = t 0 (8.37) ω T 1 β Para calcular la diferencia de tiempos de la nave B es suficiente cambiar v v:

−

→−

∆tT B = t 0

1 β 1 + β

−

(8.38)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 135 — #139 




135

5. Expansi´ a definido on del universo. El factor de corrimiento est´ como λ z = 1 (8.39) λ0 Remplazando los valores para la longitud de onda propia y observada de la l´ınea H α obtenemos

−

z =

6650 6563

− 1 = 1. 3256 × 10−2

(8.40)

Teniendo en cuenta que el corrimiento es hacia el rojo, pues z > 0, expresemos la velocidad en t´ erminos del corrimiento al rojo. De la ecuaci´ on (8.15) tenemos que la frecuencia detectada est´ a dada por ω =

 −

1 β ω0 1 + β

(8.41)

donde β = v/c es la velocidad con que se est´ a alejando la galaxia y ω 0 es la frecuencia propia de emisión. Teniendo en cuenta la relaci´ on entre frecuencia angular y longitud de onda ω 0 =

2πc λ0

(8.42)

tenemos que λ = λ0



1 + β = z + 1 1 β

−

(8.43)

despejando la velocidad en función de z obtenemos (z + 1) 2 1 β = (z + 1) 2 + 1

−

(8.44)

entonces remplazando 2 10−2 + 1 − 1 × = 1. 3168 × 10−2 β = 2 (1. 3256 × 10−2 + 1) + 1





1. 3256

(8.45)

6. Ley de reflexi´ erese el sistema on en espejos planos. Consid´ L de referencia de laboratorio Σ, con respecto al cual el plano del espejo está en el plano y z y se está moviendo con velocidad v = vˆ x y sin pérdida de generalidad el rayo de luz se mueve en el plano x y hacia el espejo (ver figura (8.2)).

−

−

−



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 136 — #140 



136

CAP´ ITULO 8.

Figura 8.2: Ley de reflexión

EFECTO DOPPLER

en espejos planos. Reflexi´ on sobre espejo m´ ovil

normal al plano del espejo.

Las componentes del cuadrivector de onda ki del rayo incidente, en el sistema laboratorio, est´ an dadas por: ki = =

ki0 , ki1 , ki2 , ki3 ω i ω i ω i , cos θi , sin θi , 0 c c c

 





(8.46)

Considérese ahora un sistema de referencia E Σ ligado al espejo con sus ejes paralelos a los ejes del sistema L Σ. Las componentes del cuadrivector de onda incidente en el sistema de referencia del espejo E ki = E ki0 ,E ki1 ,E ki2 ,E ki3 (8.47)





se obtienen a partir de ki por una transformaci´ on de Lorentz usual L E de Σ a Σ con velocidad v. As´ı, las componentes no nulas son

−

E 0 ki

E 1 ki

= γ ki0 + βk i1 ωi ωi = γ + β cos θi c c ωi = γ (1 + β cos θi ) c



= γ ki1 + βk i0 ωi ωi = γ cos θi + β c c ωi = γ (cos θi + β ) c



   

 

(8.48)

(8.49)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 137 — #141 



137


ωi sin θi (8.50) c En el sistema de referencia del espejo, el rayo de luz se refleja siguiendo la ley de ańgulo de incidencia igual al ańgulo de reflexi´ on; E entonces el cuadrivector de onda reflejado en Σ tiene componentes dadas por E kr = E kr0 ,E kr1 ,E kr2 ,E kr3 = ωi ωi ω i γ (1 + β cos θi ) , γ (cos θ i + β ) , sin θi (8.51) c c c Realizando la transformaci´ on de Lorentz inversa se obtienen las componentes del cuadrivector de onda reflejado kr en el sistema laboratorio, as´ı E 2 ki

= ki2 =







−

kr0 = γ

E 0 kr ωi

 

− β E kr1





ωi = γ γ (1 + β cos θi ) + βγ (cos θi + β ) c c 2 ωi 2 = γ 1 + 2β cos θi + β c

kr1 = γ



E 1 kr





(8.52)

β E kr0

 −  − − 

ωi ωi = γ γ (cos θi + β ) βγ (1 + β cos θ i ) c c ω i = γ 2 cos θi + 2β + β 2 cos θi c



−



(8.53)

ωi sin θi (8.54) c por lo tanto la frecuencia del rayo reflejado cambia y está dada por ω r = ω i γ 2 1 + 2β cos θi + β 2 (8.55) kr2 =E kr2 =





y el ángulo de reflexi´ on θr est´ a dado por (medido con respecto a la normal) cos θr =

= =

kr1

 

k r

kr1 = 0 kr

      

γ 2 ωci cos θi + 2β + β 2 cos θi γ 2 ωci 1 + 2β cos θi + β 2 2β + 1 + β 2 cos θi 1 + 2β cos θi + β 2



(8.56)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 138 — #142 



138

CAP´ ITULO 8.

EFECTO DOPPLER

Considérese ahora el caso del espejo moviéndose con velocidad constante en el plano del espejo. Sin p´ erdida de generalidad, se asume que el espejo está en el plano x z y se mueve con velocidad v en la dirección del eje x positivo del sistema laboratorio y el rayo de luz se mueve en el plano x y e incide en el espejo con un ańgulo θ i , respecto a la normal. Entonces las componentes del cuadrivector de onda incidente, en el sistema laboratorio, est´ an dadas por

− −

ki = =

ki0 , ki1 , ki2 , ki3 ω i ω i ω i , sin θi , cos θi , 0 c c c

 





(8.57)

Pasando al sistema de referencia del espejo (ahora con velocidad v) las componentes del cuadrivector de onda incidente E

ki =

est´ an dadas por E 0 ki

E 1 ki



E 0 E 1 E 2 E 3 ki , ki , ki , ki



= γ ki0 + βk i1 ωi ωi = γ β sin θi c c ωi = γ (1 β sin θ i ) c



= γ ki1 + βk i0 ωi ωi = γ sin θi β c c ωi = γ (sin θi β ) c



   

− −

 

− −

(8.58)

(8.59)

(8.60)

ωi c cos θ i (8.61) c En el sistema de referencia del espejo el rayo de luz se refleja siguiendo la ley de ańgulo de incidencia igual al ańgulo de reflexi´ on y por lo tanto las componentes del cuadrivector de onda reflejado en E Σ son E kr = E kr0 ,E kr1 ,E kr2 ,E kr3 = E 2 ki



ωi γ (1 c



= k i2 =



− β sin θi) , γ ωci (sin θi − β ) , − ωci cos θi, 0



(8.62)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 139 — #143 



139


Aplicando la transformaci´ on de Lorentz inversa se obtienen las componentes del cuadrivector de onda reflejado kr en el sistema laboratorio, as´ı kr0 = γ

E 0 kr

 

+ β E kr1



ωi ωi = γ γ (1 β sin θi ) + βγ (sin θi c c 2 ωi 2 = γ 1 β c ωi = c

−



− β )

− 

(8.63) (8.64)

es decir la frecuencia no cambia y kr1 = γ = = =

E 1 kr ωi

− β E kr0 ωi γ γ (sin θi − β ) + βγ (1 − β sin θi ) c c ω i γ 2 sin θi 1 − β 2 c

 

ωi sin θi c

kr2 =



 

E 2 kr

=

− ωci cos θi



(8.65) (8.66)

(8.67)

por lo tanto el ańgulo de reflexi´ on es (medido con respecto a la normal) cos θr = =

kr2

 

k r

ωi c

kr2 = 0 kr

   

cos θi ωi c

= cos θi

(8.68)

es decir, para este caso se sigue cumpliendo que el ángulo de incidencia es igual al de reflexión.



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 140 — #144 



Cap´ıtulo 9

Din´ amica relativista 9.1.

Soluciones de problemas sobre din´ amica

1. Cuadrivector momento. Debemos probar que p 2 > 0, si p 21 > 0 y p 22 > 0. Entonces p2 = ( p1 + p2 )2 = p21 + p22 + 2 p1 p2

·

(9.1)

El producto interno minkowskiano p1 p 2 de los cuadrivectores momento, por ser una cantidad invariante, lo podemos calcular en el sistema de referencia propio de una cualquiera de las dos part´ıculas, por ejemplo de la part´ıcula 1. Entonces, en este sistema de referencia, los cuadrivectores momento de las part´ıculas est´ an dados por

·

p1 = (m01 c, 0, 0, 0)

(9.2)

p2 = (m02 γ (v21 )c, m02 γ (v21 )v21 )

(9.3)

donde v21 es la velocidad de la part´ıcula 2 respecto a la part´ıcula 1. Entonces p1 p2 = m 01 m02 γ (v21 )c2 > 0

·

(9.4)

pues el factor γ siempre es positivo. Por lo tanto p2 = m 201 c2 + m202 c2 + 2m01 m02 γ (v21 )c2 > 0

(9.5)

como se quer´ıa probar. 140 

 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 141 — #145 



141

´ 9.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS SOBRE DIN AMICA

2. Sistema centro de masa. El cuadrivector momento total del sistema est´ a dado por p = p1 + p2 = (m1 c, p 1 ) + (m2 c, p 2 ) = ((m1 + m2 ) c, p 1 +  p2 ) = (mc, ¯ p) 

(9.6)

donde mi = m 0i γ (vi ), i = 1, 2 con vi las velocidades de las part´ıculas en el sistema de referencia Σ. La velocidad u  CM del sistema centro de masa está dada por uCM =

p m01 γ (v1 )v1 + m02 γ (v2 )v2 = m ¯ m01 γ (v1 ) + m02 γ (v2 )

(9.7)

La masa propia del sistema de part´ıculas M 0 medida por el observador Σ se puede calcular a partir de la norma al cuadrado del cuadrivector momento total del sistema, as´ı p2 = M 02 c2

(9.8)

entonces p2 = ( p1 + p2 )2 = p21 + p22 + 2 p1 p2 = =

m201 c2 m201 c2

·

+ m202 c2 + m202 c2

+ 2m1 m2 c2 + 2

2m01 m02 γ (v1 )γ (v2 )c

− 2 p1 · p 2

− ·  1

v1 v2 c2

(9.9)

Si las dos part´ıculas estuvieran en reposo en el sistema Σ, entonces la masa propia total ser´ıa la suma de las masas propias de las part´ıculas que conforman el sistema. La masa propia total del sistema medida en el sistema centro de masa ΣCM est´ a dada por M 0CM =

m ¯ m01 γ (v1 ) + m02 γ (v2 ) = γ (uCM ) γ (uCM )

(9.10)

donde la velocidad del sistema centro de masa uCM est´ a dada por la ecuaci´ on (9.7).



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 142 — #146 



142


3. Transformaci´ on del momento. El cuadrivector momento de una part´ıcula de masa propia m0 y velocidad u, medidas en el sistema de referencia inercial Σ, está dado por 0

1

2

3

p = ( p , p , p , p ) = = donde



E , px , py , pz c



E , p c

 

(9.11)

E = mc2 = m 0 γ (u)c2

(9.12)

es la energ´ıa total y p = m  u)u 0 γ (

(9.13)

su momento, est´ an relacionados con las componentes del cuadrivector momento en Σ′ por la transformaci´ on de Lorentz usual: p′0 = γ (v) p0

− βp1 p′1 = γ (v) p1 − βp 0

 

p′2 = p 2

 

(9.14)

(9.15) (9.16)

p′3 = p 3

(9.17)

con β = v/c la velocidad de Σ′ respecto a Σ. Entonces E ′ = γ (v) (E p′x = γ (v)

− vpx) v px − 2 E c



p′y = p y



p′z = p z

(9.18)

(9.19)

(9.20)

(9.21)

La energ´ıa cinética K de la part´ıcula se define como K = E

− E 0 = m0c2(γ (u) − 1)

(9.22)

entonces, en el sistema Σ′ tenemos que K ′ = E ´ E 0

−

= m0 c2 (γ (u′ )

− 1)

(9.23)

donde u′ es la velocidad de la part´ıcula medida p or Σ′ . Teniendo en cuenta c´ omo el factor γ se transforma entre sistemas de referencia, ecuaci´ on (7.83), se obtiene vux K ′ = m 0 c2 γ (v)γ (u) 1 1 (9.24) c2



 − − 



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 143 — #147 



143


4. Cuadrivector fuerza. Para interpretar f´ısicamente las componentes del cuadrivector fuerza, definido por la ecuaci´ on de movimiento dp f = m 0 A = (9.25) dτ consideremos sus componentes medidas por un observador inercial Σ. Teniendo en cuenta la definici´ on del cuadrivector momento p, tenemos



0

1

2

3

f , f , f , f



α

= f = =

   

dt d dτ dt

= γ (u)

dpα dτ E , p c 1 dE d p , c dt dt

(9.26)

Para interpretar f´ısicamente esta ecuaci´ on consideremos el producto punto minkowskiano entre el cuadrivector fuerza y el cuadrivector velocidad: f U = m 0 A U (9.27)

·

·

Dado que el producto punto es un invariante relativista, calculemos su valor en el sistema de referencia propio de la part´ıcula, es decir en el sistema de referencia con respecto al cual la part´ıcula se encuentra en reposo, as´ı U α = (c, 0, 0, 0)

(9.28)

Aα = (0, α) 

(9.29)

donde  α es la aceleración propia de la part´ıcula; entonces f U = 0

(9.30)

·

Para un sistema de referencia inercial Σ, las componentes de los cuadrivectores velocidad y fuerza (ver ecuación (9.26)) est´ an dadas por U α = γ (u) (c, u) (9.31)





1 dE d p f = γ (u) , c dt dt α

(9.32)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 144 — #148 



144


entonces 0 = f U

·



dE = γ 2 (u) dt

−

 ·

d p u dt

(9.33)

 que act´ Por lo tanto, dado que el efecto de la fuerza f´ısica F ua sobre una part´ıcula es cambiar su momento, entonces tenemos que p  = d F dt

(9.34)

y si se adopta la definici´ on usual del trabajo, realizado por una fuerza sobre una part´ıcula, como  d dW = F r

·

(9.35)

entonces la ecuaci´ on (9.33) implica que el cambio en la energ´ıa total de la part´ıcula por unidad de tiempo dE d p  u = u = F dt dt

·

·

(9.36)

es el trabajo por unidad de tiempo (potencia) realizado por la  sobre la part´ıcula, lo cual est´ fuerza externa F a de acuerdo con la interpretaci´ o n de E como la energ´ıa total de la part´ıcula. As´ı, las componentes del cuadrivector fuerza se pueden escribir en la forma α

f

 

 

1 dE d p = γ (u) , c dt dt 1  = γ (u) F u,  F c

·

(9.37)

es decir, la componente temporal representa el trabajo por unidad de tiempo realizado por la fuerza externa y las componentes espaciales (salvo el factor γ ) corresponden a las componentes de la fuerza f´ısica que act´ ua sobre la part´ıcula. 5. Transformaci´ on de la fuerza entre sistemas de referencia. Consideremos dos sistemas de referencia Σ y Σ ′ relacionados por una transformaci´ on de Lorentz usual. Entonces las componentes del cuadrivector fuerza se transforman como f ′0 = γ f 0



− βf 1



(9.38)



 



“PR“PR-de def1 f1p” p” — 2009 2009/1 /11/ 1/18 18 — 10:5 10:533 — page page 145 145 — #1 #149 49 



145

´ 9.1. SOLU SOLUCIO CIONES NES DE PROB PROBLEMA LEMAS S SOBRE DIN AMICA

f ′1 = γ f 1



− βf 0

f ′2 = f 2



(9.39) (9.40)

f ′3 = f 3

(9.41)

con γ = γ (v), β = v v/c /c y v la velocidad del sistema Σ′ respecto a Σ en la direcci´ on del eje x on eje x positivo. La interpretaci´ on f´ısi on ısica ca de las componentes del cuadrivector fuerza encontradas en el problema anterior ante rior implic implicaa que







1  f 0, f 1 , f 2 , f 3 = = γ γ (u) F u, u,  F c



· ·

(9.42)

donde u  es la ve velocidad locidad de la part part´´ıcula. Estamo Estamoss int interesa eresados dos en  . Si encontrar encon trar las ecuac ecuaciones iones de transf transformac ormaci´ i´ on para la fuerza F on F . llamamos  ´= F x , F y , F z F (9.43)



′

′

′



las componentes de la fuerza medida en Σ′ , de la segunda ecuaci´ on on de transformaci´ on tenem on tenemos os v  u γ (u′ )F x = γ (v ) γ (u)F x γ (u)F (9.44) c2



′

 · ·

−

teniendo en cuenta la manera como el factor γ (u′ ) se transforma, ver ecuación on (7.83), vu v ux γ (u′ ) = γ (v)γ (u) 1 − 2



entonces obtenemos

c



− cv F  · · u − vuc

F x F x = 1 ′

2

(9.45)

(9.46)

x

2

Para las otras dos componentes tenemos γ (u′ )F y = γ (u)F y

(9.47)

γ (u′ )F z = γ (u)F z

(9.48)

′

′

por lo tanto F y = ′

F y γ (v) 1

vux c2

F z =

F z γ (v ) 1

vux c2

′

−  − 

(9.49)

(9.50)



 






146


6. Energ Ene rg´ ´ ıa disp disponibl onible e para crea crear r par partt´ ıculas. ıcul as. Si se elige el eje x en la dirección on de movimiento de los protones, en el primer caso el cuadrivector momento de cada prot´ on est´ on a dado por p1 =

      E 1 , p 1 = c

E 1 , px , 0, 0 c

E 0 , 0, 0, 0 c

p2 =

(9.51)

(9.52)

Después es de la colisi colisi´ oń emergen los dos protones más on as una nueva 2 part´ıcula ıcula de masa propia propia M M 0 = = E E D /c , es decir, se está asumiendo que toda to da la energ energ´´ıa disp onible en el experimento exp erimento se transforma en energ´ıa ıa propia de la nueva part par t´ıcula. Entonces la conservaci´ on del on cuadrivector momento implica p1 + + p p2 = = p p1f + p2f + pf

(9.53)

con p1f y p2f los cuadrivectores momento finales de los protones y pf el cuadrivec cuadrivector tor momento final fi nal de la nuev nuevaa part part´´ıcula. Elev Elevanando al cuadrado ambos miembros de esta ecuación on obtenemos el invariante inv ariante relativista ( p1 + + p p2 )2 = ( p1f + p2f + pf )2

(9.54)

El lado izquierdo se calcula en el sistema laboratorio, entonces ( p1 + + p p2 )2 = p21 + + p p22 + 2 p 2 p1 p2 E 2 E 0 E 1 = 2 20 + 2 2 c c

·

(9.55)

Para calcular el lado derecho se impone la condici´ on de ene on e nerg´ rg´ıa ıa um um-bral, donde las part´ıculas ıculas después es de la colisi´ on quedan en reposo on en el sistema de referencia centro de masa, entonces 2

( p1f + p2f + pf ) =



E 0 E 0 E D + + c c c

2



(9.56)

Igualando las dos expresiones y despejando E despejando E D se tiene 2

2 E 02 E 0 E 1 E 02 E D E 0 E D + 2 = 4 + + 4 c2 c2 c2 c2 c2

(9.57)

entonces 2 E D + 4E 4 E 0 E D + 2E 2 E 02

− 2E 0E 1 = 0

(9.58)



 






147


resolviendo la ecuaci´ on cuadr´ on atica para E atica para E D y tomand tomandoo la ra ra´´ız positiva se obtiene E D =

−2E 0 +



2E 02 + 2E 0 E 1

(9.59)

Para el caso donde E donde E 1 = 30 30Gev Gev y E 0 = 0,94 94Gev Gev la la ener energg´ıa dis dispo po-nible es E D = 5. 7467 7467Gev Gev (9.60) Para el segundo caso, los cuadrivectores momento de los protones iniciales son E 2 p1 = , p  2 , 0, 0 (9.61) c p2 =

 

E 2 , c

 

| |

− | p 2| , 0, 0

(9.62)

entonces ( p1 + + p p2 )2 = p21 + + p p22 + 2 p 2 p1 p2 E 2 E 22 = 2 20 + 2 + p  2 c c2



·

|

|

E 22 E 22 + 2 c2 c

E 02 c2

2

(9.63)

dado que p21 =

E 02 E 22 = c2 c2

− | p 2|2

por lo tanto 2

( p1 + + p p2 )

E 2 = 2 20 + 2 c E 22 = 4 2 c



−

 (9.64)

Entonces, de la ecuaci´ on de conserv on conservaci´ aci´ on del cuadrivector momento on al cuadrado, se tiene que 4

2 E 22 E 02 E D E 0 E D = 4 + + 4 c2 c2 c2 c2

(9.65)

despejando la energ´ıa ıa disp onible se llega a la ecuaci´ on cuadr´ on atica atica 2 E D + 4E 4 E 0 E D + 4E 4 E 02

− 4E 22 = 0

(9.66)



 






148


cuya soluci´ on positiva est´ on a dada por E D

− 

1 4E 0 + = 2 = 2E 2 2E 0

16E 16 E 02

−

16E 16 E 02

+ 16E 16E 22

−



(9.67) (9.68)

tomando E tomando E 2 = 15 15Gev Gev se se obtiene E D = 28 28,, 12 12Gev Gev

(9.69)

lo cual implica que en el segundo experimento se tiene cinco veces m´ as energ´ıa as ıa disponible. O en forma equiv equivalente, alente, si se quiere tener una energ energ´´ıa disp disponibl oniblee de 28 28,, 12 12Gev Gev,, se requiere que, en el primer experiment experim ento, o, el prot´ on sea acelerado a una energ on energ´´ıa de 2 + 4E E D 4 E 0 E D + 2E 2 E 02 2E 0 = 477, 78 78Gev Gev

E 1 =

(9.70)

7. Sistema de dos electrones. Elijamos el eje x eje x del del sistema de referencia del laboratorio Σ en la direcci´ on de movimiento del electr´ on on on y sean p1 el cuadrivector momento del electr´ on m´ on ovil y p ovil y p 2 el cuadrivector momento del electr´ on en reposo. on energg´ıa cinética eti ca del elec electr´ tr´ on 1 (m´ on ovil) es ovil) a La ener K 1 = = E E 1

− E 0

(9.71)

donde E 1 es su energ energ´´ıa total y E 0 = m0 c2 su ener energg´ıa en reposo. Entonces 2m0 c2 = γ (u)m0 c2

− m0c2

(9.72)

con u la velocidad del electrón. on. Despejando el factor γ (u) se tiene 1 γ (u) = =3 (9.73) u2 1 c2

 − 

y por lo tanto la velocidad del electr´ on est´ on a dada por u c

= β u = =

√

2 2 3

1

− γ (1u)2

(9.74)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 149 — #153 



149


on 2, en reposo respecto al b El cuadrivector momento del electr´ sistema laboratorio Σ, es p2 =

 

E 2 , p 2 = (m0 c, 0, 0, 0) c

(9.75)

y el del electr´ on 1 est´ a dado por p1 =

 

E 1 , p 1 = (m0 cγ (u), m0 γ (u)u, 0, 0) c

√

= (3m0 c, 2 2m0 c, 0, 0)

(9.76)

Por lo tanto, para el cuadrivector momento total del sistema en Σ se obtiene p = p1 + p2

√

= (4m0 c, 2 2m0 c, 0, 0)

(9.77)

c La velocidad del centro de masa para un sistema de part´ıculas

est´ a dada por

p  (9.78) m ¯ donde p es el momento total del sistema y mc ¯ 2 su energ´ıa total. Entonces, para el sistema de los dos electrones tenemos uCM =

uCM =

  √ 

 √

1 2 2m0 c, 0, 0 = 4m0

2 c, 0, 0 2

(9.79)

Para calcular las componentes del cuadrivector momento de los electrones, en el sistema de referencia ΣCM , es suficiente tener en cuenta la transformaci´ on de Lorentz entre los sistemas Σ y ΣCM , donde ΣCM se mueve con velocidad uCM = 2/2 en la direcci´ on del eje x positivo (ver ecuaci´ on (9.79)). Bajo esta transformaci´ on de Lorentz las componentes del cuadrivector momento, en los dos sistemas de referencia, est´ an dadas por p′0 = γ (uCM ) p0 β CM p1 (9.80)

√

 

− p′1 = γ (uCM ) p1 − β CM p0 p′2 = p 2 p′3 = p 3

 

(9.81) (9.82) (9.83)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 150 — #154 



150


donde β CM = u CM /c. Aplicando estas transformaciones a p 1 y p 2 tenemos: p′1 0 = γ (uCM ) p01 = =

− β CM p11 √ 2 √ √ 2 3m0 c − 2 2m0 c 2 √







2m0 c

p′1 1 = γ (uCM ) p11 =

 (9.84)

− β CM p01 √ 2 √ √ 2 2 2m0 c − 3m0 c 2









= m0 c2

(9.85)

y las demás componentes son cero. Para el segundo electrón se tiene p′2 0 = γ (uCM ) p02 = =



− β CM p12

√ √ 2 (m0c − 0) 2m0 c

p′2 1 = γ (uCM ) p12 =

√



2 0



−

− β CM p02 √ 2 2





m0 c



=

Entonces

−m0c √ p′1 = 2m0 c, m0 c, 0, 0 √ p′2 = 2m0 c, −m0 c, 0, 0

(9.86)

 

 

(9.87)

(9.88)

(9.89)

on, es un invariante red La masa propia del sistema, por definici´ lativista y debe ser la misma calculada en cualquier sistema de referencia inercial. Para calcular la masa propia en Σ tomamos la norma del cuadrivector momento total del sistema, entonces

√

p2 = ( p1 + p2 )2 = (4m0 c, 2 2m0 c, 0, 0)2 = 16m20 c2 = 8m20 c2

− 8m20c2

(9.90)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 151 — #155 



151


as´ı

√

M 0 = 2 2m0

(9.91)

En el sistema centro de masa tenemos p′2 =

 ′ ′   √ p1 + p2

2



= 2 2m0 c, 0, 0, 0

= 8m20 c2

(9.92)

y se obtiene, como se esperaba, el mismo resultado. 8. Sistema de dos fotones. Sean p1 y p2 los cuadrivectores momento de los dos fotones en el sistema de referencia Σ. on entre la energ´ıa E y la magnitud del momento p  a La relaci´

| |

de un fotón est´ a dada por la ecuaci´ on

| p | = E c

(9.93)

entonces los cuadrivectores momento de los fotones toman la forma E E p1 = , , 0, 0 (9.94) c c para el fot´ on en movimiento a lo largo del eje x positivo, y p2 =

 

 

E E , 0, , 0 c c

(9.95)

para el fot´ on en movimiento a lo largo del eje y positivo. El cuadrivector momento total del sistema est´ a dado por p = p1 + p2 2E E E = , , , 0 c c c





(9.96)

b La velocidad del centro de masa para un sistema de part´ıculas

est´ a dada por

p  (9.97) ¯ m donde p es el momento total del sistema y mc ¯ 2 su energ´ıa total. As´ı, para el sistema de dos fotones tenemos uCM =

uCM

p  c2 E E = = , , 0 m ¯ 2E c c c c = , ,0 2 2

 



 (9.98)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 152 — #156 



152


la cual corresponde a la velocidad del sistema de referencia ΣCM respecto al sistema laboratorio Σ, de tal manera que en el sistema ΣCM el momento total es cero. La magnitud de la velocidad u  CM est´ a dada por

|uCM |

    

=

√ 2

=

2

c 2

2

c 2

+

2

c

(9.99)

c La masa propia M 0 del sistema de dos fotones se puede calcular

a partir de la norma del cuadrivector momento total, as´ı M 02 c2 = ( p1 + p2 )2 = =

2

2

2

  −  −  2E c 2E 2 c2

E c

E c

entonces M 0 =

(9.100)

√ 2E

c2

(9.101)

√

nótese que la masa propia del sistema es 1/ 2, la suma de las masas equivalentes en energ´ıa asociadas a cada fot´ on. 9. Part´ ıcula compuesta. Elijamos el eje x positivo del sistema de referencia del laboratorio Σ en la direcci´ on de movimiento del electr´ on inicial. on inicial est´ a dada por a La energ´ıa total del electr´ E = E 0 + K 2 = m0 c2 + m0 c2 3 5 = m0 c2 3

(9.102)

por lo tanto el factor γ y la velocidad inicial del electr´ on son E = γ (v)m0 c2

=

⇒

γ (v) =

5 3

(9.103)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 153 — #157 



153


β =

v = c

 1

− γ 21(v)

=

β =

⇒

4 5

(9.104)

Para calcular la masa propia M 0 del átomo de positronio, sea p1 el cuadrivector momento del electr´ o n m´ ovil, el cual est´ a dado por p1 = =

 

E , m0 γ (v)v c 5 4 m0 c, m0 c, 0, 0 3 3





(9.105)

y el cuadrivector momento del positr´ on en reposo p2 = (m0 c, 0, 0, 0)

(9.106)

entonces, por conservaci´ on del cuadrivector momento total del sistema, su norma al cuadrado da la masa propia total del sistema, la cual también es la masa propia del positronio, as´ı M 02 c2 = p2f = ( p1 + p2 )2 = = = entonces

2

    −  8 4 m0 c, m0 c, 0, 0 3 3

8 m0 c 3 48 2 2 m c 9 0

2

√

4 3 M 0 = m0 3

2

4 m0 c 3

(9.107)

(9.108)

´tomo de positronio se b Para calcular la velocidad final vf del a pueden seguir varios métodos: el primero, y m´ as directo, es notando que la velocidad final del positronio corresponde a la velocidad del centro de masa del sistema electrón-positrón, as´ı 4 p1f m0 c 1 β CM = β f = 0 = 38 = (9.109) 2 pf 3 m0 c



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 154 — #158 



154


El segundo m´ etodo utiliza la energ´ıa total del sistema: entonces de la componente temporal del cuadrivector momento total del sistema tenemos 8 m0 c 3

M 0 γ (vf )c =

(9.110)

y por lo tanto 8

m0

3 γ (vf ) = √ 4 3 3

vf = =

m0

 − 

=

√ 23

1

1 γ 2 (vf )

1

− 34 = 21

=

⇒

(9.111)

Un tercer camino ser´ıa utilizando la conservaci´ on del momento f´ısico para el sistema, as´ı 4 p  f = m0 cˆ x = M 0 γ (vf )vf x ˆ 3 entonces

(9.112)

√

4 3 4 m0 γ (vf )vf = m0 c 3 3 despejando la velocidad final, se obtiene γ (β f )β f

= =

⇒

√ 13

=

β f =

⇒ 1 2

3β 2f = 1

− β 2f (9.113)

on del momento, dado que el electr´ on inicial se c Por conservaci´ est´ a moviendo en la direcci´ on del eje x positivo, entonces el electr´ on y el positr´ on deben salir en un mismo plano. Adem´ as, debido a que el electr´ on y el positrón tienen la misma masa propia y salen formando el mismo ángulo con respecto al eje x, su velocidad debe ser igual para que el momento total transversal a la dirección de movimiento inicial se anule. Entonces, si elegimos el eje y en el plano del movimiento del sistema y se toma positivo en la direcci´ on en la cual el electr´ on se dispersa,



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 155 — #159 



155


las componentes del cuadrivector momento final del electr´ on p−f y del positrón p+f est´ an dadas por: p−f = (E −f , px−f , py−f , 0) = (m0 γ (u)c, m0 γ (u)u cos θ, m0 γ (u)u sin θ, 0)

(9.114)

y p+f = (E +f , px+f , py+f , 0) = (m0 γ (u)c, m0 γ (u)u cos θ, m0 γ (u)u sin θ, 0)

−

(9.115)

donde u es la magnitud de la velocidad final y θ el ańgulo con respecto al eje x. La conservaci´ on del cuadrivector momento implica que pf = p −f + p+f (9.116) con p f el cuadrivector momento del positronio; as´ı esta ecuaci´ on nos conduce al siguiente sistema de ecuaciones: M 0 γ (vf )c = 2m0 γ (u)c

(9.117)

M 0 γ (vf )vf = 2m0 γ (u)u cos θ

(9.118)

la tercera ecuaci´ on para la componente en y es una identidad y no arroja informaci´ on adicional. Dado que (ver parte b del presente problema)

√

4 3 M 0 γ (vf )c = m0 3 8 = m0 c 3

× √ 23 c

(9.119)

entonces de la ecuaci´ on (9.117) se tiene 4 γ (u) = 3

=

⇒

β u =

√ 7 4

(9.120)

y de la ecuación (9.118) se obtiene el ańgulo: cos θ =

M 0 γ (vf )vf 2m0 γ (u)u

√

= =

4 3 3 m0

× √ 23 × 12 √ 2m0 × 43 × 47 √ 27

(9.121)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 156 — #160 



156


on de define inelástica si las part´ıculas iniciales y finad Una colisi´ les que intervienen en el proceso cambian. As´ı en la primera reacci´ on e− + e+ A p (9.122)

−→

el proceso es inelástico, y en la segunda reacci´ on

−→ e− + e+

A p

(9.123)

las part´ıculas tambi´ en cambian y el proceso es por lo tanto inel´ astico. Sin embargo, considerando la reacci´ on total e− + e+

−→ A p −→ e− + e+

(9.124)

el proceso es elástico. En efecto, se puede tratar la parte c del presente problema independientemente del estado intermedio (formaci´ on del positronio), como un proceso de colisi´ on el´ astico e− + e+ e− + e+ (9.125)

−→

donde un electrón choca contra un positrón en reposo, dispers´ andose el´ asticamente. As´ı, por conservaci´ on del cuadrivector momento, p1 + p2 = p −f + p+f

(9.126)

Con las mismas consideraciones que se hicieron en la parte c del presente problema, esta ecuaci´ on conduce a:



8 4 m0 c, m0 c, 0, 0 3 3



= (2m0 2γ (u)c, m0 γ (u)u cos θ, 0, 0) (9.127)

lo que lleva al siguiente sistema de ecuaciones acopladas: 8 m0 c = 2m0 2γ (u)c 3

4 m0 c = m 0 γ (u)u cos θ 3 las cuales implican que β u =

√ 7

y cos θ =

4

√ 27

(9.128)

(9.129)

(9.130)

(9.131)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 157 — #161 



157


10. Aniquilaci´ on de part´ ıculas. Para el sistema de referencia del laboratorio elijamos el eje x en la direcci´ on de movimiento del electr´ on inicial y los otros ejes de tal manera que el plano de la colisi´ on esté en el plano x y. Sea m 0 la masa propia del electr´ on (igual a la del positr´ on) y v su velocidad.

−

on y el positr´ on a Los cuadrivectores momento iniciales del electr´ est´ an dados por p1 = = y

E 1 , p 1 c 5 4 m0 c, m0 c, 0, 0 3 3

  



 

E 2 , p 2 c = (m0 c, 0, 0, 0)

p2 =

(9.132)

(9.133)

respectivamente. Sup´ ongase que un fotón (ll´ amese 1) sale formando un ańgulo θ con respecto al eje x positivo y el otro fot´ on (2) formando un ańgulo ϕ respecto al mismo eje. Entonces sus cuadrivectores momento son pγ 1

= =

y pγ 2 = =

   

E γ 1 , p γ 1 c E γ 1 E γ 1 E γ , cos θ, 1 sin θ, 0 c c c



(9.134)



E γ 2 , p γ 2 c E γ 2 E γ 2 E γ , cos ϕ, 2 sin ϕ, 0 c c c





(9.135)

(9.136) (9.137)

La conservaci´ on total del cuadrivector momento del sistema implica p1 + p2 = p γ 1 + pγ 2 (9.138) lo cual conduce al siguiente sistema de ecuaciones acopladas E γ 1 + E γ 2 8 m0 c = 3 c

(9.139)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 158 — #162 



158


E γ 1 cos θ + E γ 2 cos ϕ 4 m0 c = (9.140) 3 c E γ 1 E γ 2 0= sin θ + sin ϕ (9.141) c c Este sistema de tres ecuaciones acopladas contiene cuatro inc´ ognitas, las energ´ıas de los dos fotones y los ańgulos que forman con el eje de las x; as´ı se pueden despejar tres de las inc´ ognitas en términos de la cuarta, por ejemplo en términos de θ. Con esta elecci´ on la energ´ıa del primer fot´ on E γ 1 depende del ańgulo θ, y a partir de all´ı se busca el ańgulo para que la energ´ıa sea m´ axima, i. e. a partir de la condici´ on dE γ 1 = 0; dθ

con

d2 E γ 1 <0 dθ2

(9.142)

Despejando E γ 2 de la ecuaci´ on (9.139), sin ϕ de la ecuaci´ on (9.141) y remplazando en la ecuaci´ on (9.140) y despejando de esta u ´ltima ecuaci´ on E γ 1 obtenemos 2m0 c2 E γ 1 = 2 + cos θ

(9.143)

Aplicando la condici´ o n de m´ aximo (ecuaci´ on (9.142)) se obtiene que θ=0 (9.144) Este resultado se hubiera podido anticipar, pues por conservaci´ on de energ´ıa la suma de las energ´ıas de los fotones es la energ´ıa total inicial, la cual es fija y p or conservaci´ on de momento la componente perpendicular del momento total de los fotones es cero y por lo tanto la condici´ on de energ´ıa m´ axima de uno de los fotones se tiene cuando este sale en la misma direcci´ on del electr´ on incidente y por tanto el fot´ o n 2 debe salir en la direcci´ on opuesta, con la m´ınima energ´ıa posible. As´ı para calcular las energ´ıas de los fotones, cuando uno de ellos (fot´ on 1) sale con la m´ axima energ´ıa, tomamos θ = 0 y ϕ = π en las ecuaciones (9.139) y (9.140); entonces E γ 1 + E γ 2 8 m0 c = 3 c

(9.145)

E γ 1 E γ 2 4 m0 c = 3 c

(9.146)

−



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 159 — #163 



159


resolviendo este sistema de ecuaciones (sumando y restando) se tiene que E γ 1 = 2m0 c2 (9.147) que es la máxima energ´ıa posible y 2 E γ 2 = m0 c2 3

(9.148)

on 9.141 implica que E γ 1 = E γ 2 = E γ con θ = b En la ecuaci´

−ϕ,

entonces las ecuaciones de conservaci´ on 9.139 y 9.140 toman la forma E γ 1 + E γ 2 8 2E γ m0 c = = (9.149) 3 c c y 4 m0 c = 3 =

E γ 1 cos θ + E γ 2 cos θ c 2E γ cos θ c

(9.150)

respectivamente. Dividiendo la segunda ecuaci´ on entre la primera tenemos que cos θ =

1 2

=

⇒

θ =

π 3

(9.151)

A partir de la ecuación 9.149 la energ´ıa de cada fot´ on est´ a dada por 4 E γ 1 = E γ 2 = m0 c (9.152) 3 c El momento total del sistema es

p1 + p2 =





8 4 m0 c, m0 c, 0, 0 3 3

(9.153)

entonces la velocidad v CM del sistema de referencia centro de masa ΣCM est´ a dada por la relaci´ on p  1  β CM = p0 4 m0 c 1 = 38 x ˆ = x ˆ 2 m c 0 3

(9.154)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 160 — #164 



160


por lo tanto las componentes del cuadrivector momento para cada una de las part´ıculas iniciales se obtienen aplicando una transformaci´ on de Lorentz usual del sistema laboratorio Σ al sistema centro de masa. Entonces, llamando p˜1 y p˜2 los cuadrimomentos del electr´ on y el positr´ on respectivamente, tenemos para el electrón p˜01 = γ (vCM ) p01 = =

β CM p11 − √ 2 3 5 1 4 m0 c − × m0 c 3 3 2 3 √ 2 3







m0 c

3

p˜11 = γ (vCM ) p11 = =



β CM p01 − √ 2 3 4 1 5 m0 c − × m0 c 2 3 √ 33 3





m0 c

3



(9.155)



(9.156)

y para el positr´ on p˜02 = γ (vCM ) p02 =



√

2 3 m0 c 3

p˜12 = γ (vCM ) p12 =

−

√ 3 3



− β CM p12

− β CM p02

m0 c



(9.157)



(9.158)

Esto implica que en el sistema centro de masa la energ´ıa total del sistema es E CM = =

√

√

2 3 2 3 m0 c + m0 c 3 3 4 3 m0 c 3

√

(9.159)

y el momento total es cero. Entonces, cuando se aniquilan las part´ıculas en dos fotones, ellos deb en salir en direcciones



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 161 — #165 



161


opuestas y con el mismo momento, y por lo tanto cada uno ˜γ dada por de los fotones tendr´ a la misma energ´ıa E

√

˜γ = 2 3 m0 c E 3

(9.160)

Por consiguiente los cuadrivectores momento de los fotones p˜1γ y p˜2γ est´ an dados por:

 √  √

p˜1γ =

p˜2γ =

√

 

2 3 2 3 m0 c, m0 cˆ n 3 3

2 3 m0 c, 3

−

√

(9.161)

(9.162)

2 3 m0 cˆ n 3

donde n ˆ es la dirección de propagaci´ on del primer fotón y por lo tanto n ˆ la del segundo fot´ on. A partir de estos cuadrivectores momento en el sistema ΣCM y aplicando la transformaci´ on inversa de Lorentz se obtienen los cuadrivectores momento de fotones en el sistema Σ. La condici´ o n de máxima energ´ıa para uno de los fotones se obtiene cuando uno de ellos sale en la direcci´ on de movimiento del electr´ on inicial; por ello en este caso se tiene que los cuadrivectores momento del electr´ on y el positr´ on en el sistema de referencia centro de masa son

−

p˜γ 1 =

p˜γ 2 =

 √

√ 2 3



2 3 m0 c, m0 c, 0, 0 3 3

 √

2 3 m0 c, 3

−

√



2 3 m0 c, 0, 0 3

(9.163)

(9.164)

Entonces, aplicando la transformaci´ on de Lorentz inversa para la componente cero, se tiene que p0γ 1 = γ ( vCM ) p˜0γ 1 + β CM p ˜1γ 1 =



− √ √ 2 3 2 3 3



= 2m0 c

3

m0 c +

1 2

×



√ 2 3 3



m0 c

(9.165)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 162 — #166 



162


p0γ 2 = γ ( vCM ) p˜0γ 2 + β CM p˜1γ 2 =



− √ √ 2 3 2 3 3



3

m0 c

1 2

− ×



√



2 3 m0 c 3

2 m0 c (9.166) 3 as´ı pues las energ´ıas de los dos fotones, uno de m´ axima energ´ıa y el otro de m´ınima, son =

E γ 1 = 2m0 c2

(9.167)

2 E γ 2 = m0 c2 (9.168) 3 en acuerdo con el resultado de la parte a del presente problema. Para el segundo caso, cuando los dos fotones salen formando el mismo ańgulo en el sistema laboratorio, tenemos que en el sistema centro de masa los fotones deben salir en direcciones perpendiculares a la direcci´ on de movimiento del sistema centro de masa, respecto al sistema laboratorio. As´ı se puede elegir como eje y el del movimiento de los fotones y por lo tanto el cuadrivector momento de cada fot´ on en ΣCM será p˜γ 1 = p˜γ 2 =

 √

√



2 3 2 3 m0 c, 0, m0 c, 0 3 3

 √

2 3 m0 c, 0, 3

−

√



2 3 m0 c, 0 3

(9.169)

(9.170)

Aplicando la transformaci´ on inversa de Lorentz se tiene que las componentes no nulas del cuadrivector momento en el sistema laboratorio, para el primer fot´ on toman la forma p0γ 1 = γ ( vCM ) p˜0γ 1 + β CM p ˜1γ 1 = =

− √ 2 3 3

×

4 m0 c 3



√

2 3 m0 c 3

p1γ 1 = γ ( vCM ) p˜1γ 1 + β CM p ˜0γ 1 = =

− √ 2 3 3

1 2



× ×

2 m0 c 3



√

2 3 m0 c 3

(9.171)

 (9.172)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 163 — #167 



163


p2γ 1 = p˜2γ 1

√

2 3 = m0 c 3

(9.173)

y para el segundo fot´ on p0γ 2 = γ ( vCM ) p˜0γ 2 + β CM p˜1γ 2 = =

− √ 2 3 3

×

4 m0 c 3



√

2 3 m0 c 3

(9.174)

p1γ 2 = γ ( vCM ) p˜1γ 2 + β CM p˜0γ 2 = =

− √ 2 3 3

1 2



× ×

2 m0 c 3



√

2 3 m0 c 3



(9.175)

√

2 3 p2γ 2 = p˜2γ 2 = m0 c (9.176) 3 as´ı el ańgulo que forma el primer fot´ on respecto al eje x es

−

tan θ

p2γ 1 = p1γ 1

= =

⇒

θ =

√

2 3 3 m0 c 2 3 m0 c

√

=

π 3

3

(9.177)

(9.178)

11. Absorci´ o n at´ omica. Sea pγ , p0 y pf los vectores cuadrivector momento del fot´ on incidente, a´tomo inicial y a´tomo final respectivamente; entonces, si se toma el eje x en la direcci´ on de movimiento del fot´ on inicial, tenemos que pγ =



Q Q , , 0, 0 c c



(9.179)

p0 = (M 0 c, 0, 0, 0)



(9.180)



˜ 0 γ (vf )c, M ˜ 0 γ (vf )vf , 0, 0 pf = M

(9.181)

on del cuadrivector momento se tiene que a Por conservaci´ pγ + p0 = pf

(9.182)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 164 — #168 



164


Tomando la norma al cuadrado de esta expresi´ on se obtiene p2γ + p20 + 2 pγ p0 = p 2f

·

(9.183)

Teniendo en cuenta que la norma al cuadrado del cuadrivector momento da la masa propia al cuadrado de la part´ıcula y realizando el producto punto minkowskiano se llega a la relaci´ on ˜ 02 c2 M 02 c2 + 2M 0 Q = M (9.184) Despejando la energ´ıa del fot´ on Q y teniendo en cuenta que ˜ 0 c2 Q0 = M

− M 0c2

(9.185)

se obtiene Q = = = =

˜ 2 c4 M 2 c4 M 0 0 2M 0 c2 ˜ 0 c2 + M 0 c2 M Q0 2M 0 c2 Q0 + 2M 0 c2 Q0 2M 0 c2 Q0 Q0 1 + 2M 0 c2

−





(9.186)

notemos que si la masa del átomo es mucho mayor que la energ´ıa interna de excitaci´ on, entonces la energ´ıa del fot´ on incidente es prácticamente igual a la de excitaci´ on. on incidente y la energ´ıa b La diferencia entre la energ´ıa del fot´ interna de excitaci´ on Q

Q0 − Q0 = 2M c2

(9.187)

0

corresponde a la energ´ıa cinética del a´tomo que al absorber el fot´ on debe retroceder por conservación del momento. De la ecuaci´ on de conservación (9.182) se obtiene el sistema de ecuaciones Q ˜ 0 γ (vf )c + M 0 c = M (9.188) c Q ˜ 0 γ (vf )vf = M (9.189) c



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 165 — #169 



165


Entonces, de la ecuaci´ on de conservaci´ on de la energ´ıa se tiene Q + M 0 c2

− M ˜ 0 c2 = M ˜ 0c2 (γ (vf ) − 1)

(9.190)

as´ı de la ecuación (9.185) Q

− Q0 = M ˜ 0c2 (γ (vf ) − 1) = K ˜

(9.191)

˜ donde K es la energ´ıa cinética del a´tomo excitado. on entre los niveles n = 1 y n = 2 c La energ´ıa interna de excitaci´ est´ a dada por Q0 = E 2 E 1 = E n 13,6056981 = eV 22 = 10. 204eV

−

 − −

−



13,6056981 eV 12 (9.192)

entonces, teniendo en cuenta que la masa del a´tomo M 0 en su estado base est´ a dada por (ver ecuación (4.43)) M 0 c2 = m0e c2 + m0 p c2 = 9. 3878

− 13,6056981eV

× 108 eV

(9.193)

la energ´ıa del fot´ on incidente, necesaria para excitar el átomo del nivel base n = 1 a su primer nivel excitado n = 2 es Q = Q0



Q0 1+ 2M 0 c2



10. 204eV = 10. 204eV 1 + 9. 3878 108 eV = 10,20399999eV



×



(9.194)

notemos que aun para el caso del a´tomo m´ as liviano, el hidrógeno, su masa en unidades de energ´ıa es mucho mayor que las energ´ıas de excitaci´ on y la diferencia de Q Q0 es 8 − del orden de 10 . Para calcular la velocidad de retroceso del átomo excitado se divide la ecuaci´ on (9.189) entre la ecuaci´ on (9.188); entonces

−

vf c

Q Q + M 0 c2 10,204eV = 10,204eV + 9. 3878 = 1. 0869 10−8 =

×

× 108 eV

(9.195)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 166 — #170 



166


i. e. v f 3m/s la cual es una velocidad muy pequeña comparada con las velocidades t´ıpicas en los sistemas at´ omicos. Por ejemplo, el principio de equipartici´ on de la energ´ıa relaciona la energ´ıa cinética promedio de una part´ıcula (e. g., atomo) ´ con la temperatura a la cual se encuentra el gas

∼

¯ = 3 kB T K 2

(9.196)

× 10−5 eV K −1

(9.197)

donde kB = 8,617385

es la constante de Boltzmann y T la temperatura absoluta. Si aplicamos este principio al caso de un gas de hidr´ ogeno at´ omico a temperatura ambiente (T = 300K ), la energ´ıa cinética promedio de un a´tomo de hidr´ ogeno es 3 8,617385 10−5 eV K −1 2 = 3. 8778 10−2 eV

¯ = K

×

× 300K

×

(9.198)

×

la cual es seis o´rdenes de magnitud mayor que la energ´ıa cinética Q Q0 que adquiere el a´tomo al absorber un fot´ on.

−

12. Cohete fot´ onico. Sea M = M (τ ) la masa propia del cohete en un instante dado y P = M U su cuadrimomento, donde U = (U 0 ,  U ) = (U 0 , U 1 , 0, 0)

(9.199)

es la cuadrivelocidad del cohete, el cual se mueve a lo largo del eje x, y sea prad =



 

E rad , p rad = c



E rad , prad , 0, 0 c

(9.200)

el cuadrimomento de la radiaci´ on. Por conservaci´ on de la energ´ıa, el cambio en la energ´ıa del cohete es igual al cambio en la energ´ıa radiada; entonces dE rad d(MU 0 ) = (9.201) c Como la energ´ıa radiada es en forma de fotones, se debe tener que:

−

dE rad = cdprad

(9.202)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 167 — #171 




167

y por conservación del momento tenemos: dprad = d(MU 1 )

(9.203)

Entonces, de estas relaciones se obtiene la ecuación: d MU 0 =

 

−d(MU 1)

(9.204)

la cual se puede escribir en la forma: dM = M

0

1

+ U ) − d(U 0 U + U 1

(9.205)

Integrando esta ecuaci´ on y teniendo en cuenta las expresiones para 0 1 U y U (ecuaci´ on (7.224)) se obtiene la expresi´ on para la masa propia del cohete, en función del tiempo propio τ : dM = M =

cosh (gτ/c) + c sinh (gτ/c)) − d (cc cosh (gτ/c) + c sinh(gτ/c)

−

d egτ/c egτ/c

 

(9.206)

integrando M = M 0 e−τg/c

(9.207)

donde M 0 es la masa propia inicial de la nave. En el Viaje ina permanentemente acelerada con g, en terestelar 1 la nave est´ el viaje de ida acelera la mitad del camino a las Pléyades en un tiempo propio de 6. 0568a˜ nos y luego desacelera durante un tiempo igual, retornando a la tierra en forma similar. Entonces para el viaje completo la masa propia del cohete al llegar a la tierra es

× 6. 0568años) = M 0e−24. 227 3. 0085 × 10−11 M 0

M (τ = 4 =

(9.208)

Para el Viaje interestelar 2 la nave acelera a 10g durante un tiempo propio de τ = 0,38002a˜ nos, continuando el viaje a velocidad constante, hasta llegar a una distancia de 2. 1366al de las Pléyades, punto en el cual inicia la desaceleraci´ on a 10g. El viaje de retorno sigue una trayectoria similar. Por lo tanto, dado que el combustible se consume solo durante la aceleraci´ on, entonces la masa final de la nave al regresar a la tierra es M (τ = 4 0,380 02a˜ nos) = M 0 e−1. 5201 = 0,21869M 0

×

(9.209)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 168 — #172 



168


El primer viaje dura, en tiempo del cohete, poco m´ as de tres a˜ nos mientras que el segundo dura 76. 84a˜ nos. Sin embargo el consumo de combustible en el segundo viaje corresponde a un quinto de la masa inicial del cohete, en tanto que en el primer viaje la masa final del cohete es 10−11 veces su masa inicial. Esto quiere decir, por ejemplo, que si la nave retorna a la tierra con 100ton, entonces su masa inicial debi´ o ser de 1013 ton. 13. Dispersi´ on el´ astica prot´ on-prot´ on. Para el sistema laboratorio Σ el´ıjase el eje x en la direcci´ on de movimiento de la part´ıcula inicial. Entonces el cuadrivector momento de las part´ıculas iniciales est´ a dado por p1 = (m0 γc,m0 γv, 0, 0) (9.210) p2 = (m0 c, 0, 0, 0)

(9.211)

donde γ = γ (v), con v la velocidad de la part´ıcula inicial. El cuadrivector momento de las part´ıculas finales, las cuales emergen con la misma energ´ıa, es p1f = (m0 γ (vf )c, m0 γ (vf )vf 1 )

(9.212)

p1f = (m0 γ (vf )c, m0 γ (vf )vf 2 )

(9.213)

donde vf 1 = vf 2 = vf . Por conservaci´ on del cuadrivector momento total se tiene que

| | | |

p1 + p2 = p f 1 + pf 2

(9.214)

entonces (m0 c(γ + 1) , m0 v, 0, 0) = (2m0 γ (vf )c, m0 γ (vf )(vf 1 + vf 2 )) Por el lema de la colisi´ o n el´ astica entre dos part´ıculas se debe cumplir que p1 p2 = p f 1 pf 2 (9.215)

·

·

por lo tanto m20 c2 γ = m20 c2 γ 2 (vf ) = =

− m20γ 2(vf )vf 1 · vf 2 vf 1 · vf 2 m20 c2 γ 2 (vf ) 1 − c2 m20 c2 γ 2 (vf )

 

1

vf 2

− c2 cos θ

 

(9.216)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 169 — #173 




169

donde θ es el ańgulo entre las part´ıculas finales, as´ı 2

γ = γ (vf )(1

vf 2

− c2 cos θ)

(9.217)

Para calcular la velocidad final v f se puede utilizar la conservación de la energ´ıa total: (m0 c(γ + 1) = 2m0 γ (vf )c entonces

γ + 1 2

γ (vf ) = y β 2f

vf 2

=

c2

(9.219)

− γ 2(v1 f )

=1

(9.218)

(9.220)

Por lo tanto, despejando cos θ de la ecuaci´ on (9.217) y remplazando vf se obtiene cos θ = =

=

= =

c2 1 vf 2

−

γ γ 2 (vf )

γ 2 (vf ) 1 γ 2 (vf ) 1



−  −    −  −  γ +1 2 2 γ +1 2

γ 2 γ (vf )

2

1

1

(γ 1)2 (γ + 1) 2 4 γ 1 γ + 3

−

−

γ γ +1 2



   2

−

(9.221)

Dado que K = m 0 c2 (γ entonces

− 1)

(9.222)

K (9.223) K + 4m0 c2 Para el caso en que las part´ıculas sean protones se tiene que cos θ =

cos θ = Por lo tanto

437MeV = 0,104 29 437MeV + 4 938,27231MeV

(9.224)

θ = 84,014o

(9.225)

×



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 170 — #174 



170


14. Procesos prohibidos. Considérese en primer lugar el proceso p

−→ p + γ

(9.226)

Sean pi , pf y pγ los cuadrivectores momento del prot´ on inicial, prot´ o n final y fotó n final, y sea m0 la masa propia del prot´ on; entonces por conservación del cuadrivector momento total se tiene que p1 = p f + pγ (9.227) elevando al cuadrado esta ecuaci´ on se obtiene p2i = p 2f + p2γ + 2 pf pγ

·

(9.228)

as´ı pf pγ = 0

(9.229)

·

pues p 2i = p 2f y p 2γ = 0; por lo tanto si se calcula el producto punto invariante en el sistema de referencia propio del prot´ on, se obtiene que m0 Q = 0 (9.230) con Q la energ´ıa del fot´ on. Por consiguiente esta relaci´ on implica que Q = 0 o m0 = 0, lo cual no es posible. As´ı el proceso es prohibido. El segundo y el tercer procesos

−→ e− + e+ e− + e+ −→ γ γ

(9.231)

(9.232)

corresponden a procesos inversos, y por esta razón si uno de ellos es prohibido, el otro también lo es. Adem´ as, para darse cuenta que los procesos anteriores no son posibles es suficiente pararse en el sistema de referencia centro de masa. All´ı el momento total es cero y siempre es posible para un par de part´ıculas como el electr´ on y el positrón encontrar un sistema donde su momento total es cero, pero un fot´ on solo nunca puede tener momento nulo; as´ı los procesos son prohibidos. Otra forma de ver esto es considerando el cuadrado de la ecuaci´ on de conservaci´ on, pues ( pe + pe+ )2 = p 2γ −

(9.233)

implica que 2m20 c2 + 2m20 c2 γ (v) = 0

(9.234)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 171 — #175 



171


lo cual no es posible. En el c´ alculo anterior v es la velocidad de una de las part´ıculas respecto a la otra, pues en el sistema de referencia de una de ellas, e. g. el electr´ on, el positr´ on se está moviendo con velocidad v y por ello pe

−

· pe

+

= m 20 c2 γ (v)

(9.235)

15. Experimentos de coincidencia. Tomando el plano y z como el plano de la colisi´ on, con el eje z en la dirección del fot´ on incidente, los cuadrivectores momento del electr´ on y fotón iniciales son

−

pie = (m0 c, 0, 0, 0) piγ =



E iγ E iγ , 0, 0, c c

(9.236)



(9.237)

y del electrón y fot´ on finales son pf e = (m0 cγ (v), 0, m0 γ (v)v sin ϕ, m0 γ (v)v cos ϕ)

(9.238)

−

pf γ =



E f γ E f γ E f γ , 0, sin θ, cos θ c c c



(9.239)

donde ϕ es el ángulo de dispersi´ on del electrón, medido con respecto al eje z, θ el ańgulo de dispersi´ on del fot´ on con respecto al eje z y se ha tomado el eje y positivo en la direcci´ on del fot´ on dispersado. Por conservaci´ on del cuadrivector momento se tiene que pie + piγ = p f e + pf γ (9.240) entonces ( pie + piγ pf γ )2 = ( pf e )2

(9.241)

pie piγ pie pf γ piγ pf γ = 0

(9.242)

− m0E f γ − E iγ cE 2 f γ (1 − cos θ) = 0

(9.243)

−

implica que

· − ·

− ·

por lo tanto m0 E iγ As´ı E f γ =

m0 c2 E iγ m0 c2 + E iγ (1 cos θ)

−

(9.244)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 172 — #176 



172


La ecuaci´ on de conservación (9.240) conduce al siguiente sistema de ecuaciones E f γ E iγ m0 c + = m 0 cγ (v) + (9.245) c c E f γ 0 = m0 γ (v)v sin ϕ + sin θ (9.246) c E f γ E iγ = m0 γ (v)v cos ϕ + cos θ (9.247) c c Despejando γ (v)v de la segunda ecuació n y remplazando en la tercera se obtiene

−

tan ϕ = =

E f γ sin θ E iγ E f γ cos θ sin θ

−

1+

E iγ m0 c2

− cos θ



1+

E iγ m0 c2



(9.248)

y la energ´ıa final del electr´ on dispersado se obtiene de la primera ecuaci´ on m0 c2 γ (v) = m0 c2 + E iγ =

=

m0 c2

 

2

− E f γ m0 c2 E iγ m0 c2 + E iγ − m0 c2 + E iγ (1 − cos θ)

+ E iγ (1 cos θ) m0 c2 + E iγ m0 c2 + E iγ (1 cos θ)

−

−





(9.249)

16. Reflexi´ on inel´ astica de un fot´ o n en un ´ atomo. En el sistema de referencia del laboratorio se elige el eje x en la direcció n de incidencia del fot´ on inicial. astico puesto que la masa propia del a´tomo a El choque es inel´ final es diferente a la masa propia del a´tomo inicial, debido a que el átomo hace una transici´ on interna. on de ejes dada, los cuadrivectores momento del b Con la elecci´ fot´ o n y del átomo inicial est´ an dados por pγi =

 

 

Qi Qi , , 0, 0 c c

˜ 0 c, 0, 0, 0 pi = M

(9.250) (9.251)



 






173


˜ 0 es la masa propia del atomo donde M a´tomo de hidr´ ogeno excitado. ogeno Los cuadrivectores momento del fot´ o n y del átomo on atomo final, con M 0 la masa propia del hidr´ ogeno en su estado base, son ogeno pγf =



Qi , c

−



Qi , 0, 0 c

(9.252)

pf = (M 0 γ (v)c, M 0 γ (v )v, 0, 0)

(9.253)

con v la velocidad final del atomo. a´tomo. Por las leyes de conservaci´ on se tiene que on pγi + + p pi = = p p γf + pf entonces

Qi ˜ 0 c = Qi + M 0 γ (v )c + M c c Qi Qi = + M 0 γ (v)v c c

−

por lo tanto

(9.254)

˜0 ˜ 0 c2 M M E 2 γ (v) = = = 2 M 0 M 0 c E 1

(9.255) (9.256)

(9.257)

Donde E 1 y E 2 son las energ Donde E energ´´ıas propias totales del hidr´ h idr´ ogeno ogeno en su estado base (n (n = 1) y en el primer estado excitado (n = 2) respectivamente, y de la ecuaci´ on (9. on (9.192 192)) la dif difeerencia de las energ´ıas ıas Q0 = E 2

10,,204 e V − E 1 = M ˜ 0c2 − M 0c2 = 10

(9.258)

da la energ´ıa ıa de excitación. on. De la ecuaci´ on para el factor γ on factor γ (v ) se obtiene la velocidad de retroceso del átomo atomo v c

= = = =

 −  −  −  ×

M 0 c2 ˜ 0 c2 M

1

1 = γ 2

1

M 0 c2 M 0 c2 + 10, 10,204 204eV eV

1

8

10 eV − 9,38789,×3878 108 eV + 10, 10,204 204eV eV 1,0426 × 10−4 1

(9.259)



 






174


on de conservaci´ on on del momento se obtiene que on c De la ecuaci´ 2Qi = M 0 γ (v )v c

(9.260)

entonces 1 10.. 204 10 204eV eV + 9. 9. 3878 2 y



× 108eV



1. 0426

48939.eV × 10−4 = 48939.eV

(9.261)

˜ 0 c2 1 1 M M 0 γ (v)vc vc = = M 0 c2 β 2 2 M 0 c2 1 ˜ 2 1 = M 0 c β = = Q0 + + M M 0 c2 β 2 2 1 = 10,,204 10 204eV eV + 9, 9,3878 108 eV 1,0426 2 = 48 48,,9M eV

Qi =





×





× 10−4 (9.262)



 






Cap´ıtulo 10

Tensores 10.1.

Soluciones de problemas algebra a ´lgebra tensorial

1. Transformaci´ on de compo on componen nentes tes co cov varian ariantes. tes. Para encontrar c´ omo se transforman las componentes covariantes de un cuaomo drivector V, consid´ erese en primer lugar que para un sistema de erese ′ referencia Σ las componentes covariantes V α′ est´ an relacionadas an con sus componentes contravariantes por la relaci´ on on V α′ = = η η αµ V ′µ

(10.1)

entonces, aplicando la ley de transformaci´ on de las componentes on contravariantes se tiene que V α′ = = η η αµ Λµν V ν

(10.2)

Ahora, de la relaci´ on on Λν

µ

= η νγ η µδ Λγ δ

(10.3)

la cual se cumple para la matriz inversa de Lorentz, pues Λν µ Λν ω = η νγ η µδ Λγ δ Λν ω = η µδ η νγ Λγ δ Λν ω = η µδ η δω = δ µω

(10.4)

dado que la matriz de Lorentz debe satisfacer que ηαβ = Λµα Λν β ηµν

(10.5)

175 

 






176

CAP´ ITULO ITU LO 10. TENS TENSORES ORES

multiplicando la relaci´ on (10.3) por η on por η βµ a ambos lados y sumando sobre sob re el ´ınd ındice ice µ, se obtiene ηβµ Λν

µ

= η βσ ηνµ η σδ Λµδ = η νµ δ δβ Λµδ = η νµ Λµβ

(10.6)

Remplazandoo esta relac Remplazand relaci´ i´ o n en el ultimo on u ´ltimo t´ ermino de la ecuaci´ ermino on on 10.2, se tiene que V α′ = ηαµ Λµν V ν = ηνµ Λα = Λα

µ

µ

V ν

V µ

(10.7)

Esta ecuaci´ on da la ley de transformación on on de las componentes covariantes para un cuadrivector. 2. Componentes covariantes covariantes del cuadrivecto cuadrivector r momen momento. to. Por definici´ on, las componentes covariantes de un cuadrivector est´ on, an an relacionadas con sus componentes contravariantes por la ecuaci´ on on = η V α = η ασ V σ

(10.8)

aplicando esta relaci´ on a las componentes del cuadrivector momenon to se tiene p0 = η 0β pβ = η 00 p0 + η 01 p1 + η 02 p2 + η 03 p3 = η 00 p0 E = c

(10.9)

p1 = η 1β pβ = η 10 p0 + η 11 p1 + η 12 p2 + η 13 p3 = η 11 p1 =

− px

(10.10)

y similarmente p2 = = η η 22 p2 = py

− p3 = = η η 33 p2 = − pz

(10.11)

(10.12)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 177 — #181 



177

´ 10.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS ALGEBRA TENSORIAL

as´ı obtenemos pµ = ( p0 , p1 , p2 , p3 ) =



E , px , py , pz c

− − −



(10.13)

De esta forma la interpretaci´ on f´ısica de las componentes covariantes del cuadrivector momento es, en esencia, similar a las componentes contravariantes, salvo por el signo negativo de las componentes espaciales. 3. Transformaci´ on on de componentes covariantes. La ecuaci´ de transformaci´ on para las componentes covariantes de un cuadrivector est´ a dada por V α′ = Λα σ V σ (10.14) donde Λα σ son los elementos de la transformaci´ on de Lorentz inversa. Si se aplica esta ecuaci´ on a las componentes covariantes del cuadrivector momento, para la transformaci´ on de Lorentz usual, se tiene que p′0 = γ (v) ( p0 + βp 1 ) (10.15) p′1 = γ (v) ( p1 + βp 0 )

(10.16)

p′2 = p 2

(10.17)

p′3 = p 3

(10.18)

Teniendo en cuenta la ecuaci´ on 10.13 que relaciona las componentes covariantes del cuadrivector momento de una part´ıcula con su energ´ıa y momento, se obtienen las ecuaciones que relacionan la energ´ıa y el momento de una part´ıcula medidas por dos observadores inerciales: E ′ = γ (v) (E vpx ) (10.19) p′ = γ (v) x

− vE px − 2 c





(10.20)

p′y = p y

(10.21)

p′y = p y

(10.22)

Estas ecuaciones también se obtienen a partir de las ecuaciones de transformaci´ on para las componentes contravariantes p′α = Λα σ pσ

(10.23)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 178 — #182 



178


(ver ecuaciones (9.18), (9.19), (9.20) y (9.21)). Este resultado que era de esperar, pues dada la relaci´ on biun´ıvoca entre las componentes covariantes y contravariantes de un cuadrivector, la interpretaci´ on f´ısica de sus componentes debe ser la misma, salvo por un signo menos global en las componentes espaciales (ver ecuaci´ on (10.13)). 4. Propiedades de simetr´ıa. La ley de transformación de las componentes del tensor, bajo una transformaci´ on de Lorentz, est´ a dada por T ′αβ = Λα σ Λα ω T σω (10.24) a Si el tensor es simétrico en un sistema de referencia

T αβ = T βα

(10.25)

entonces T ′αβ = Λα =

β σω σ Λ ω T Λβ ω Λα σ T ωσ βα

= T ′

(10.26)

pues el producto de los elementos de la transformaci´ o n de Lorentz es conmutativo. En el caso del tensor antisim´ etrico se tiene que T ′αβ = Λα = =

β σω σ Λ ω T Λβ ω Λα σ T ωσ βα

− −T ′

(10.27)

entonces las propiedades de simetr´ıa de tensores contravariantes no dependen del sistema de referencia. Un resultado similar vale para tensores covariantes y en general para las componentes contravariantes o covariantes de tensores mixtos. an relacionadas b Las componentes covariantes del tensor T est´ con sus componentes contravariantes por T αβ = η ασ ηβτ T στ

(10.28)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 179 — #183 




179

entonces, si T αβ es simétrico se tiene que T αβ = ηασ η βτ T στ = ηασ η βτ T τ σ = ηβτ η ασ T τ σ = T βα

(10.29)

un resultado similar se obtiene si el tensor T αβ es antisimétrico, es decir T αβ = T βα (10.30)

−

Sobre las componentes mixtas no hay una relaci´ on de simetr´ıa o antisimetr´ıa general, si el tensor es simétrico o antisimétrico, pues por ejemplo, las componentes mixtas T α β est´ an dadas por T α β = η βσ T ασ (10.31) entonces T 0

1

= η 1σ T 0σ = η 10 T 00 + η 11 T 01 + η 12 T 02 + η 13 T 03 = η 11 T 01 =

−T 01

(10.32)

y T 1

0

= η 0σ T 1σ = η 00 T 10 = T 10

(10.33)

as´ı, aun cuando el tensor es simétrico T 10 = T 01 , se tiene que T 0 1 =

−T 1 0

(10.34)

pero para otra componente, por ejemplo T 12 , se tiene que

pero

T 1 2 = η 2σ T 1σ = η 22 T 12 =

−T 12

(10.35)

T 2 1 = η 1σ T 2σ = η 11 T 21 =

−T 21

(10.36)

y aqu´ı se cumple que T 1 2 = T 2

1

(10.37)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 180 — #184 



180


5. Tensor m´ etrico de Minkowski. Las componentes del tensor métrico de Minkowski se transforman como σ

η ′αβ = Λα

Λβ ω ησω

(10.38)

Considérese una transformación de Lorentz usual, donde las componentes de la matriz de transformaci´ on inversa Λα σ est´ an dadas por γ βγ 0 0 βγ γ 0 0 Λα σ = (10.39) 0 0 1 0 0 0 0 1

 

entonces η ′00 = Λ0

σ

= Λ0

0

 

Λ0

ω

Λ0

0

ησω

η 00 + Λ 0

1

Λ0

1

η 11

= γ 2 η 00 + (βγ )2 η 11 = γ 2 = 1

− β 2γ 2

(10.40)

donde en la suma sobre los dos ´ındices solo se han escrito los términos no nulos. Para las componentes espaciales de la diagonal η ii con i = 1, 2, 3 se tiene η ′ii = Λi σ Λi ω η σω = Λi 0 Λi 0 η 00 + Λ i 1 Λi 1 η 11 + Λ i 2 Λi 2 η 22 + Λ i 3 Λi 3 η 33 = (βγ )2 δ 1i η 00 + γ 2 δ 1i η 11 + δ 2i η22 + δ 3i η 33 β 2 γ 2 γ 2 = 1 i = 1 = η22 = 1 i = 2 η33 = 1 i = 3

 

−

− − −

(10.41)

Para los t´ erminos no diagonales se obtiene: η ′01 = Λ0

σ

Λ1

ω

= Λ0

0

Λ1

0

ησω

η 00 + Λ 0

1

Λ1

1

η 11

= βγ 2 η00 + βγ 2 η11 = 0

(10.42)

y para los términos η ′0i con i = 2, 3 todos los t´ erminos de la suma se anulan η′0i = Λ0 σ Λi ω η σω = 0 (10.43)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 181 — #185 



181


Para el tensor métrico contravariante se sigue un c´ alculo similar, donde ahora la ley de transformaci´ on es η αβ = Λα

β σω σΛ ωη

(10.44)

con Λα σ los elementos de la transformaci´ on de Lorentz directa. As´ı por ejemplo η 00 = Λ0 =

0 σω σΛ ωη Λ0 0 Λ0 0 η 00 + Λ0 1 Λ0 1 η 11 2 11 2 00

= γ η 2

= γ

+ ( βγ ) η

−

2 2

− β γ

=1

(10.45)

y de manera similar para las dem´ as componentes. Para el tensor α métrico mixto δ β la ley de transformaci´ on est´ a dada por δ ′β α = Λα

σ Λβ

ω σ δ ω

(10.46)

De esta transformaci´ on se sigue inmediatamente el resultado, pues al sumar sobre ω, por las propiedades del s´ımbolo δ , todos los términos son nulos salvo cuando ω = σ; entonces δ ′β α = Λα

σ Λβ

= Λα

σ Λβ

=

ω σ δ ω σ

δ αβ

(10.47)

donde la u ´ltima igualdad se obtiene del hecho que Λα son mutuamente inversas.

σ

y Λβ

σ

´ 6. Algebra de tensores. Sea Σ′ un sistema de referencia relacionado con Σ por una transformaci´ on de Lorentz. a Sea

′α1 ...αr = λT ′α1 ...αr S β ...β β ...β 1

s

1

(10.48)

s

las cantidades medidas en un sistema de referencia Σ′ ; enton...αr ces, por hip´ otesis T β ′α1...β son las componentes de un tensor 1 s y as´ı ellas están relacionadas con las componentes del tensor en el sistema Σ por la ecuaci´ on (5.20) ...αr T β ′α1...β = Λαγ 1 1 1

s

...γ · · · Λαγ Λβ σ · · · Λβ σ T σγ ...σ r

s

1

r

1

s

1 1

r s

(10.49)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 182 — #186 



182


por lo tanto remplazando en la ecuaci´ on (10.48) se tiene ...γ · · · Λαγ Λβ σ · · · Λβ σ T σγ ...σ ...γ · · · Λαγ Λβ σ · · · Λβ σ λT σγ ...σ ...γ · · · Λαγ Λβ σ · · · Λβ σ S σγ ...σ (10.50)

′α1...αr = λΛα1 S β γ 1 ...β s

1

= Λαγ 1 1 Λαγ 1 1

=

r

s

1

r

r

r

s

1

r

s

1

r



s

1

s

1

r s

1 1

s

1

r s

1 1

r s

1 1



γ ...γ

lo cual demuestra que las cantidades S σ11...σrs se transforman como las componentes de un tensor r veces contravariente y s veces covariante.

−

−

b Para un sistema de referencia Σ ′ tenemos que ...αr ...αr ...αr Q′β α1...β = T β ′α1...β + R´αβ 1...β 1

s

s

1

1

(10.51)

s

entonces, como T y R son tensores, sus componentes en dos sistemas de referencia están relacionadas por la ecuaci´ on (5.20), as´ı ...γ · · · Λαγ Λβ σ · · · Λβ σ T σγ ...σ · · · Λαγ Λβ σ · · · Λβ σ Rσγ ...γ ...σ (10.52)

...αr T β ′α1...β = Λαγ 1 1

r

s

1

′α1 ...αr = Λα1 Rβ γ 1 ...β

1

r

1

r

s

1

1

r

s

1 1

r s

s

1 1

r s

s

1

s

remplazando estas expresiones en la ecuación (10.51) tenemos ...αr Q′β α1...β 1

s

= Λαγ 1 1 Λαγ 1 1

...γ · · · Λαγ Λβ σ · · · Λβ σ T σγ ...σ + · · · Λαγ Λβ σ · · · Λβ σ Rσγ ...γ ...σ (10.53) r

1

r

1

r

1

s

1 1

r s

s

1 1

r s

s

r

1

s

factorizando los elementos de la transformaci´ on de Lorentz se obtiene ...αr Q′β α1...β 1

s

= Λαγ 1 1 Λαγ 1 1

=

...γ γ ...γ · · · Λαγ Λβ σ · · · Λβ σ T σγ ...σ + Rσ ...σ · · · Λαγ Λβ σ · · · Λβ σ Qγ σ ...γ (10.54) ...σ r

s

1

r

s

1

r

s

1

r

s

1



r s

1 1

1 1

r s

1 1

r s



lo cual demuestra que la suma de tensores del mismo tipo es un tensor. 7. Contracci´ on de tensores. Sean α ...α

Qβ 1...β i 1

1 αi+1 ...αr

−

1 β j +1 ...β s

j−

α ...α

= T β 1...β i 1

1 σα i+1 ...αr

−

j −1 δβ j+1 ...β s

(10.55)

las cantidades obtenidas por la contracci´ on de la i-´ esima componente contravariante y la j-´ esima componente covariante del tensor T medidas en un sistema de referencia Σ. Consideremos un



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 183 — #187 



183


segundo sistema de referencia Σ′ relacionado con Σ por una transformaci´ on de Lorentz. Sean

′α

...α

Qβ 1...β i 1

−

1 αi+1 ...αr

j −1 β j+1 ...β s

′α

...α

= T β 1...β i

−

1 σαi+1 ...αr

(10.56)

j −1 δβ j +1 ...β s

1

las cantidades medidas en Σ′ , entonces aplicando la ecuaci´ on (5.20) se tiene que

′α

...α

Qβ 1...β i 1

−

j−

1 αi+1 ...αr

1 β j+1 ...β s

· · · Λαγ Λσγ Λαγ · · · ω ω ω Λαγ Λβ ω · · · Λβ Λσ Λβ · ...γ γ γ ...γ (10.57) · · Λβ σ T ωγ ...ω ω ω ...ω

= Λαγ 1 1

i−1 i−1

r

j −1

1

r

j +1

j +1

i−1 i i+1 j −1 j j +1

1 1

s

j

j −1

1

s

i+1 i+1

i

r

s

teniendo en cuenta que ωj

Λσγ i Λσ

ω

= δ γ ij

(10.58)

ω

puesto que Λσγ i y Λσ j corresponden a las componentes de la transformaci´ on de Lorentz y su inversa, obtenemos α ...α

′

α

...α

+1 r Qβ11...βji−−11β ji+1 ...βs

= Λαγ 1 1 ω

αi−1 αi+1 γ i−1 Λ γ i+1

···Λ

ω

1 j+1 Λβj−j− Λβ j+1 1

= Λαγ 1 1 ω

1

=

Λαγ 1 1

· · ·Λ

···

+1

··

σ s ω j γ 1 ...γ i−1 γ i γ i+1 ...γ r β s δ γ i T ω 1 ...ωj−1 ω j ω j+1 ...ωs

ω1 αr γ r Λβ 1 γ ...γ 1 ω j γ i+1 ...γ r Λβσ s T ω11...ωji− −1 ω j ω j+1 ...ωs

αi−1 αi+1 γ i−1 Λ γ i+1

ω

ω1 αr γ r Λβ 1

···Λ

···Λ

Λβj−j−1 Λβ j j+1

···Λ

···

···

··

s

ω1 αr (10.59) γ r Λβ 1 γ ...γ γ ...γ r Λβσs Qω11 ...ωij−−11 ωi+1 j+1 ...ωs

Λαγ i−i−1 1 Λαγ i+1 i+1

ω j−1 ω j+1 β j−1 Λβ j+1

···Λ ···Λ s

como se quer´ıa demostrar. 8. Tensor de Levi-Civita. Las componentes del tensor de LeviCivita est´ an dadas por αβγδ

ε

:=

 −

+1 si αβγδ es permutaci´ on par de 0123 1 si αβγδ es permutaci´ on impar de 0123 0 en los dem´ as casos

on de Lorentz usual las componentes del a Bajo una transformaci´ tensor de Levi-Civita se transforman como ε′αβγδ = Λαµ Λβ ν Λγ σ Λδ ω εµνσω

(10.60)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 184 — #188 



184


Consideremos primero el elemento con α,β,γ,δ = 0, 1, 2, 3 respectivamente, entonces ε′0123 = Λ0 µ Λ1 ν Λ2 σ Λ3 ω εµνσω = det Λ = 1

| |

(10.61)

para una transformaci´ on de Lorentz usual. Si consideramos una permutaci´ on cualquiera de los ´ındices de ε′ , por ejemplo α,β,γ,δ = 3, 0, 1, 2, la cual es una permutaci´ on impar, tenemos que ε′3012 = Λ3 µ Λ0 ν Λ1 σ Λ2 ω εµνσω = = = =

−Λ3ω Λ0µΛ1ν Λ2σ εωµνσ −Λ0µΛ1ν Λ2σ Λ3ω εωµνσ − det |Λ| −1

(10.62)

donde en el segundo paso se ha hecho la misma permutaci´ on de los ´ındices del tensor de Levi-Civita, la cual cambia el signo por ser una permutaci´ on impar. As´ı, procediendo de la misma forma sobre todas las permutaciones posibles encontramos que ε′αβγδ = 1 (10.63)

±

dependiendo de si (αβγδ ) es una permutaci´ on par(+) o impar() de (0123). Finalmente, si dos ´ındices son iguales, por ejemplo el primero y el tercero, desarrollando la suma sobre ´ındices repetidos se tiene que ε′αβαδ = Λαµ Λβ ν Λασ Λδ ω εµνσω = Λα0 Λβ 1 Λα2 Λδ 3 ε0123 + Λα0 Λβ 1 Λα3 Λδ 2 ε0132 +

· · · + Λα2Λβ 1 Λα0Λδ 3ε2103 + · · ·

= Λα0 Λβ 1 Λα2 Λδ 3 ε0123 + ε2103 +



= Λα0 Λβ 1 Λα2 Λδ 3 (+1 = 0



− 1) + · · ·

··· (10.64)

anulándose todos los t´ erminos dos a dos.



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 185 — #189 



185


an b Las componentes covariantes del tensor de Levi-Civita est´ dadas por εαβγδ = η αµ η βν η γσ ηδω εµνδω

(10.65)

Consideremos primero el caso en que los ´ındices (αβγδ ) son todos diferentes. Entonces a partir de la definici´ on del tensor métrico de Minkowski η αβ =

 −

+1 α = β = 0 1 α = β = 1, 2, 3 0 α = β

(10.66)



tenemos que en la ecuación (10.65) los términos de las sumas sobre los ´ındices repetidos µ, ν , σ y ω se anulan salvo cuando α = µ, β = ν , γ = σ y δ = ω; entonces εαβγδ = η αµ η βν η γσ η δω εµνδω = η αα η ββ η γγ η δδ εαβγδ = (+1)( 1)3 εαβγδ =

−

αβγδ

−ε

(10.67)

Para los dem´ as casos, cuando dos o más ´ındices del tensor εαβγδ est´ an repetidos, la expresi´ on se anula, pues por ejemplo, si el segundo y el cuarto ´ındice son iguales, se tiene que εαβγβ = η αµ η βν η γσ η βω εµνδω = η αα ηββ η γγ η ββ εαβγβ = 0

(10.68)

por la definici´ on de las componentes contravariantes del tensor de Levi-Civita. As´ı la relaci´ on entre las componentes contravariantes y covariantes del tensor est´ a dada por εαβγβ =

−εαβγβ

(10.69)

on (10.69)) tenemos que c Por el resultado anterior (ecuaci´ 3

αβγδ

εαβγδ ε

=

−

   εαβγδ

2

(10.70)

α,β,γ,δ=0



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 186 — #190 



186


pero de los 44 = 256 términos de las sumas, solamente 4! = 24 son diferentes de cero, los cuales corresponden a las permutaciones de los ´ındices αβγδ , y puesto que εαβγδ = 1, tenemos 3 αβγδ

εαβγδ ε

=

−



 

1=

α,β,γ,δ=0

−24

(10.71)

9. El tensor dual. Sean

F αβ =

 

0 F 01 F 02 F 03 F 10 0 F 12 F 13 F 20 F 21 0 F 23 F 30 F 31 F 32 0

 

(10.72)

las componentes del tensor antisimétrico; entonces on de tensor dual tenemos (escribiendo solo los a De la definici´ términos no nulos) 1 αβγδ ε F γδ 2 1 αβ 01 = [ε F 01 + εαβ 02 F 02 + εαβ 03 F 03 2 +εαβ 10 F 10 + εαβ 12 F 12 + εαβ 13 F 13 +εαβ 20 F 20 + εαβ 21 F 21 + εαβ 23 F 23

( F )αβ =

∗

+εαβ 30 F 30 + εαβ 31 F 31 + εαβ 32 F 32 ](10.73) dado que εαβ 01 = εαβ 10 y F 01 = los dem´ as términos, obtenemos

−

−F 10, y similarmente con

( F )αβ = εαβ 01 F 01 + εαβ 02 F 02 + εαβ 03 F 03 +εαβ 12 F 12 + εαβ 31 F 31 + εαβ 23 F 23 (10.74)

∗

A partir de esta relaci´ on podemos obtener directamente las componentes del tensor dual, pues de la definici´ on del tensor de Levi-Civita, para los diferentes´ındices α y β solo sobrevive



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 187 — #191 



187


un término de la relación anterior, as´ı

( F )αβ =

∗

=

    −−

ε0123 F 23 ε0231 F 31 ε0312 F 12 0 ε1203 F 03 ε1302 F 02 ε2103 F 03 0 ε2301 F 01 ε3102 F 02 ε3201 F 01 0

0

ε1023 F 23 ε2031 F 31 ε3012 F 12

−

0 F 23 F 31 F 12

F 23 0 F 03 F 02

−

F 31 F 03 0 F 01

F 12 F 02 F 01 0

−

−

 

 

(10.75)

notemos que el tensor dual también es antisimétrico: ( F )αβ =

∗

− (∗F )βα

(10.76)

an dadas por b Las componentes covariantes del tensor dual est´ ( F )αβ = η αµ η βν ( F )µν

∗

∗

(10.77)

Entonces, de la definici´ on del tensor m´ etrico de Minkowski, los u ńicos términos no nulos de la doble suma son para α = µ y β = ν , as´ı ( F )αβ =

∗

− (∗F )01 − (∗F )1202 − (∗F )1303 0 (∗F ) (∗F ) 21 (∗F ) 0 (∗F )23 (∗F )31 (∗F )32 0 F 23 −F 31 −F 12 0 F 03 −F 02 (10.78) F 03 0 F 01 F 02 −F 01 0

0 ( F )10 ( F )20 ( F )30

=

  − ∗ −∗ −∗−  − 0 F 23 F 31 F 12

 

 

on c De la definici´ 1 ( F )αβ = εαβγδ F γδ 2

∗

(10.79)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 188 — #192 



188


tenemos que ( F )αβ =

∗

1 [εαβ 01 F 01 + εαβ 02 F 02 + εαβ 03 F 03 2 +εαβ 10 F 10 + εαβ 12 F 12 + εαβ 13 F 13 +εαβ 20 F 20 + εαβ 21 F 21 + εαβ 23 F 23 +εαβ 30 F 30 + εαβ 31 F 31 + εαβ 32 F 32 ]

= εαβ 01 F 01 + εαβ 02 F 02 + εαβ 03 F 03 +εαβ 12 F 12 + εαβ 31 F 31 + εαβ 23 F 23 (10.80) Entonces, a partir de esta ecuaci´ on las componentes covariantes del tensor dual est´ an dadas por

( F )αβ =

∗

=

   

0 ε0123 F 23 ε0231 F 31 ε0312 F 12 ε1023 F 23 0 ε1203 F 03 ε1302 F 02 ε2031 F 31 ε2103 F 03 0 ε2301 F 01 ε3012 F 12 ε3102 F 02 ε3201 F 01 0 0 F 23 F 31 F 12

−F 23 −F 31 −F 12 0 F 03 F 02 − F 03 0 −F 01 −F 02 F 01 0

 

 

(10.81)

pues εαβγδ =

−εαβγδ

(10.82)

Para comparar estas componentes covariantes del tensor dual, con las obtenidas en la parte b del presente problema, remplacemos las componentes F αβ en términos de sus componentes covariantes, relacionadas por la ecuaci´ on F αβ = η αµ η βν F µν

(10.83)

entonces, de las propiedades del tensor métrico de Minkowski, tenemos F αβ = η αα η ββ F αβ

(10.84)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 189 — #193 




189

as´ı ( F )αβ =

=

∗   

−η22η33F 23 −η33η11F 31 −η11 η22 F 12 0 −η00η33F 03 η00η22 F 02 η 00 η 33 F 03 0 −η00 η11 F 01 0 −η00η22F 02 η00η11F 01 −F 23 −F 31 −F 12 0 F 03 −F 02 (10.85) −F 03 0 F 01 F 02 −F 01 0

 

0 22 η η 33 F 23 η 33 η 11 F 31 η 11 η 22 F 12 0 F 23 F 31 F 12

 

el cual coincide con las componentes obtenidas en la parte b . Esta relaci´ on se puede mostrar en forma directa pues ( F )αβ = η ασ η βτ ( F )στ 1 = η ασ η βτ εστγδ F γδ 2 1 γδ = ε F γδ 2 αβ 1 γµ δν = η η εαβµν F γδ 2 1 = εαβµν η γµ η δν F γδ 2 1 = εαβµν F µν 2

∗

∗

(10.86)

como se quer´ıa probar. on aplicamos la definici´ on del tensor dual d Para probar esta relaci´

∗F , i. e., ( ( F ))αβ =

∗∗

= =

1 αβδγ ε ( F )δγ 2 1 αβδγ 1 ε εδγµν F µν 2 2 1 αβδγ ε εδγµν F µν 4

∗

(10.87)

calculemos ahora el tensor: εαβδγ εδγµν

(10.88)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 190 — #194 



190


entonces realizando la doble suma y escribiendo solo los términos no nulos, y teniendo en cuenta que εαβδγ = εαβγδ (similarmente para las componentes covariantes), tenemos

−

εαβδγ εδγµν = 2εαβ 01 ε01µν + 2εαβ 02 ε02µν +2εαβ 03 ε03µν + 2εαβ 12 ε12µν +2εαβ 13 ε13µν + 2εαβ 23 ε23µν (10.89) recordemos que los ´ındices del tensor de Levi-Civita deben ser todos diferentes para que este no sea nulo. As´ı de los seis t´ erminos de la suma para cada par de valores que tomen los ´ındices libres α y β , solamente un término sobrevive y adem´ as los ´ındices µ y ν también toman los mismos valores de α y β , es decir se debe cumplir uno de los siguientes casos: α = µ y β = ν

(10.90)

α = ν y β = µ

(10.91)

o por lo tanto, dado que α = β , tenemos que εαβδγ εδγµν =



−2 si α = µ y β = ν

εαβδγ εδγµν = 2 si α = ν y β = µ

(10.92)

(10.93)

esta relaci´ on se puede escribir en forma tensorial como ε

αβδγ

εδγµν = −2δ αβ µν = −2





δ αµ δ β ν

− δ αν δ β µ

donde el segundo t´ ermino define al tensor 1 αβδγ δ αβ ε εδγµν µν = 2 Por lo tanto utilizando este resultado tenemos que 1 αβδγ ( ( F ))αβ = ε εδγµν F µν 4 1 αβ µν = δ F 2 µν 1 α β µν = δ µ δ ν δ αν δ β µ F 2 1 = F αβ F βα 2 = F αβ

−

(10.94)

(10.95)

∗∗

− − − −

 

− −

 

(10.96)

como se quer´ıa probar.



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 191 — #195 




191

10. Transformaci´ on general de coordenadas. Sean x′α = Λαβ xβ

(10.97)

las ecuaciones de transformaci´ on de Lorentz usuales entre sistemas de referencia inerciales, las cuales se pueden escribir como el conjunto de cuatro transformaciones de coordenadas



x′α = x ′α xβ ;

α, β = 0, 1, 2, 3

(10.98)

on a Tomando las diferenciales de las funciones de transformaci´ de coordenadas, ecuaci´ on (10.98), y aplicando la regla de la cadena tenemos ∂x ′α β dx′α = dx (10.99) ∂x β Diferenciando las ecuaciones de transformaci´ on de Lorentz, ecuaci´ on (10.97), y teniendo en cuenta que los coeficientes de la transformaci´ on Λαβ son constantes independientes de las coordenadas, tenemos que dx′α = Λαβ dxβ

(10.100)

por lo tanto, comparando las dos ecuaciones anteriores se obtiene ∂x ′α Λαβ = (10.101) ∂x β esto significa que los elementos de la matriz de transformaci´ on de Lorentz corresponden a los elementos de la matriz jacobiana de la transformaci´ on de coordenadas. on b Si el determinante de la matriz de Jacobi de la transformaci´ de coordenadas es diferente de cero det J (x, x′ ) = 0





(10.102)

xα = x α (x′β )

(10.103)

entonces podemos despejar las coordenadas x en funció n de las x ′ , es decir



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 192 — #196 



192


y por lo tanto el jacobiano de esta transformaci´ on est´ a dado por ∂x 0 ∂x 10 ∂x ∂x 20 ∂x ∂x 30 ∂x ∂x 0 ∂x α

  ′     ′

J x , x

=

′

′

′

=

∂x 0 ∂x 11 ∂x ∂x 21 ∂x ∂x 31 ∂x ∂x 1 ′

′

′

′

∂x 0 ∂x 12 ∂x ∂x 22 ∂x ∂x 32 ∂x ∂x 2 ′

′

′

′

∂x 0 ∂x 13 ∂x ∂x 23 ∂x ∂x 33 ∂x ∂x 3 ′

′

′

′

∂x ′β

  

(10.104)

Si remplazamos en la transformaci´ on de coordenadas, ecuaci´ on (10.98), la ecuaci´ on para la transformaci´ on inversa (10.103), obtenemos la transformaci´ on identidad, es decir x′α (xβ (x′γ )) = x ′α

(10.105)

diferenciando esta identidad, aplicando la regla de la cadena, tenemos ∂x ′α ∂x β ′γ dx′α = dx (10.106) ∂x β ∂x ′γ por lo tanto, dado que las coordenadas son independientes, se debe cumplir que ∂x ′α ∂x β = δ αγ β γ ′ ∂x ∂x

(10.107)

esto significa que la matriz de Jacobi correspondiente a la transformaci´ on inversa de coordenadas es la inversa de la matriz de Jacobi de la transformaci´ on: J (x′ , x) = J −1 (x, x′ )

(10.108)

As´ı los elementos de la transformaci´ on de Lorentz inversa est´ an dados por ∂x α Λβ α = (10.109) ∂x ′β 11. Derivada de un tensor. Del problema anterior vimos que una transformaci´ on de Lorentz se puede expresar en la forma x′α = x′α (xµ ) x′α = Λα µ xµ x′α =

∂x ′α µ x ∂x µ

⇐⇒ ⇐⇒ (10.110)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 193 — #197 




193

Entonces, para un sistema de referencia Σ′ tenemos T ′αβ ,γ =

∂T ′αβ ∂x ′γ

(10.111)

Para relacionar estas cantidades con las correspondientes en el sistema de referencia Σ tengamos en cuenta que las componentes del tensor est´ an relacionadas por la transformaci´ on T ′αβ = Λα µ Λα ν T µν

(10.112)

y para calcular la derivada debemos aplicar la regla de la cadena, pues T µν = T µν (x) = T µν (x(x′ )) (10.113) con x(x′ ) la transformaci´ on inversa de Lorentz, as´ı T ′αβ ,γ = = = = =

∂ T ′αβ ∂x ′γ ∂ Λα µ Λα ν T µν γ ′ ∂x ∂ Λα µ Λα ν ′γ (T µν (x)) ∂x ∂x σ ∂ Λα µ Λα ν ′γ σ (T µν ) ∂x ∂x ∂x σ Λα µ Λα ν ′γ T µν ,σ ∂x

   

(10.114)

teniendo en cuenta la ecuación (10.109) obtenemos el resultado α β σ µν T ′αβ ,γ = Λ µ Λ ν Λγ T ,σ

(10.115)

12. Transformaci´ on general de coordenadas y derivadas. Consideremos una transformaci´ on general de coordenadas x′α = x ′α (xµ )

(10.116)

Entonces, en las coordenadas primadas tenemos V α,γ =

∂ ′ V ∂x ′γ α

(10.117)

Teniendo en cuenta la ley de transformación para las componentes de un tensor una vez contravariante V α′ =

∂x µ V µ ∂x ′α

(10.118)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 194 — #198 



194


remplazando esta ecuaci´ on en (10.117) tenemos ∂ V α,γ = ∂x ′γ



∂x µ V µ ∂x ′α



(10.119)

aplicando la regla para la derivada de un producto de funciones y notando que ahora el jacobiano de la transformaci´ o n es una función de las coordenadas, a diferencia del caso restringido de las transformaciones de Lorentz, tenemos que V ′

α,γ

= = =

∂x µ ∂ ∂ ∂x µ (V µ ) + V µ ∂x ′α ∂x ′γ ∂x ′γ ∂x ′α ∂x µ ∂x σ ∂ ∂ 2 xµ (V ) + V µ µ ∂x ′α ∂x ′γ ∂x σ ∂x ′γ ∂x ′α ∂x µ ∂x σ ∂ 2 xµ V µ,σ + V µ ∂x ′α ∂x ′γ ∂x ′γ ∂x ′α





(10.120)

as´ı el primer término de esta expresión corresponde a la ley de transformaci´ on de tensores 2-veces covariantes, pero el u ´ltimo término, salvo que este se anule, indica que V α,γ no se transforma como las componentes de un tensor 2-veces covariante. La condici´ on para que la ley de transformación se cumpla se obtiene anulando el segundo término, es decir si ∂ 2 xµ =0 ∂x ′γ ∂x ′α

(10.121)

esta condici´ on significa que ∂ 2 xµ ∂ = J (x′ , x) = 0 γ α γ ′ ′ ′ ∂x ∂x ∂x





(10.122)

esto es, si los elementos de la matriz jacobiana de la transformaci´ on de coordenadas son constantes (independientes de las coordenadas), lo cual implica que las ecuaciones de transformaci´ on de coordenadas deben ser lineales. 13. El tensor energ´ıa-momento. La ecuaci´ on de transformaci´ on para las componentes de un tensor de segundo rango contravariante est´ a dada por T ′αβ = Λαµ Λβ ν T 0µν

(10.123)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 195 — #199 



195


donde T 0µν corresponden a las componentes del tensor en el sistema de referencia propio y T αβ las componentes respecto al observador inercial Σ que se mueve con velocidad u respecto al sistema propio, y los elementos de la matriz de transformaci´ on de Lorentz est´ an dados por (ecuaci´ on (7.334)):

−

     Λαµ

=

γ

β x γ

β x γ 1 +

β y γ

(γ −1)β 2x

(γ −1)βx β y

β2 (γ −1)β x β y β2 (γ −1)β x β z β2

β y γ β z γ

β z γ

1+

(γ −1)β x β z

β2 (γ −1)β 2y β

β2

(γ −1)β y β z

2

(γ −1)β y βz β2

β

1+

2

(γ −1)β2z β2

  

(10.124)

con γ = γ (u) y β i = ui /c, i = x,y,z. As´ı, considerando que el tensor T 0αβ es diagonal, tenemos T 00 = Λ0µ Λ0ν T 0µν = Λ00 Λ00 T 000 + Λ01 Λ01 T 011 + Λ02 Λ02 T 022 + Λ03 Λ03 T 033 = γ 2 ρ0 + γ 2 β 2x + γ 2 β 2y + γ 2 β 2z p0



= γ 2 ρ0 + p0 β 2 donde







2

β

| u|2 =

(10.125)

c2

(10.126)

Para α = i = 1 y β = 0 se obtiene T 10 = Λ1µ Λ0ν T 0µν = Λ10 Λ00 T 000 + Λ11 Λ01 T 011 + Λ12 Λ02 T 022 + Λ13 Λ03 T 033 (γ 1)β 2x 2 = β x γ ρ0 + 1 + β x γp 0 β 2 (γ 1)β x β y (γ 1)β x β z + β γp + β z γp 0 0 y β 2 β 2 (γ 1)β x = β x γ 2 ρ0 + β x γp 0 + γp 0 β 2x + β 2y + β 2z 2 β = (ρ0 + p0 ) β x γ 2 (10.127)

−





−

−

−





este resultado nos permite extrapolar para los casos α = i = 2, 3 y β = 0, as´ı T i0 = Λiµ Λ0ν T 0µν = (ρ0 + p0 ) β i γ 2 ;

i = 1, 2, 3

(10.128)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 196 — #200 



196


Falta por calcular T ij para i, j = 1, 2, 3. Consideremos primero los casos con i = j, entonces T 11 = Λ1µ Λ1ν T 0µν = Λ10 Λ10 T 000 + Λ11 Λ11 T 011 + Λ12 Λ12 T 022 + Λ13 Λ13 T 033 =

β 2x γ 2 ρ0 +



(γ



1+

− 1)β xβ y β 2

(γ

− 1)β 2x β 2

2

  p0 +

2



(γ

p0 +

− 1)β xβ z β 2

2



p0 (10.129)

Desarrollando los t´ erminos cuadr´ aticos y reagrupando, teniendo en cuenta que β 2 = β 2x + β 2x + β 2x (10.130) obtenemos 11

T

=

(γ β 2x γ 2 ρ0 + p0 + 2

= p0 + β 2x γ 2 ρ0 = p0 +

− 1)β 2x p0 + (γ − 1)2 β 2x p0 β 2

2

β 2

2 2

− β β x2 p0 + γ β β 2 x p0

β 2x γ 2 ρ0 +

2

β 2x 1 2 p0 β

 − γ

= p0 + (ρ0 + p0 ) β 2x γ 2

(10.131)

As´ı, los términos diagonales espaciales del tensor energ´ıa-momento se pueden escribir en la forma T ii = p 0 + (ρ0 + p0 ) β 2i γ 2 ,

i = 1, 2, 3

(10.132)

Consideremos ahora los elementos del tensor T ij , con i = j:



T 12 = Λ1µ Λ2ν T 0µν = Λ10 Λ20 T 000 + Λ11 Λ21 T 011 + Λ12 Λ22 T 022 + Λ13 Λ23 T 033 (γ 1)β x β y (γ 1)2 β x β y 2 = β x β y γ ρ0 + 2 p0 + p0 β 2 β 2 (γ 2 1)β x β y 2 = β x β y γ ρ0 + p0 β 2 = β x β y γ 2 (ρ0 + p0 ) (10.133)

−

−

−



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 197 — #201 




197

Finalmente los elementos del tensor energ´ıa-momento se pueden escribir en una forma más compacta como T 00 = γ 2 ρ0 + p0 β 2





(10.134)

T ij = p0 δ ij + (ρ0 + p0 ) β i β j γ 2 T 0i = (ρ0 + p0 ) β i γ 2 Estos elementos del tensor los podemos reescribir en forma covariante, es decir en t´ erminos de cantidades tensoriales, si tenemos en cuenta el tensor m´ etrico de Minkowski y la definici´ o n de la cuadrivelocidad del fluido, es decir dado que dxα U = = γ (1, β x , β y , β z ) ds α

(10.135)

y η αβ =

 −

1 α = β = 0 1 α = β = 1, 2, 3 0 α = β

(10.136)



entonces las ecuaciones (10.134) se pueden reescribir en términos de las componentes de la cuadrivelocidad: T 00 = γ 2 ρ0 + p0 β 2





= γ 2 ρ0 + γ 2 β 2 p0

= U 0 U 0 ρ0 + p0 (γ 2 1) = U 0 U 0 (ρ0 + p0 ) p0 η 00

− −

(10.137)

T ij = p0 δ ij + (ρ0 + p0 ) β i β j γ 2 = p0 δ ij + (ρ0 + p0 ) U i U j =

− p0ηij + (ρ0 + p0) U i U j

(10.138)

T 0i = (ρ0 + p0 ) β i γ 2 = (ρ0 + p0 ) U 0 U i

− p0η0i

(10.139)

Por lo tanto, las tres ecuaciones anteriores se pueden escribir en forma covariante como T αβ = ( p0 + ρ0 )U α U β p0 η αβ

−

(10.140)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 198 — #202 



Cap´ıtulo 11

Electrodin´ amica 11.1.

Soluciones de problemas electrodin´ amica

1. Conservaci´ on de continuion de la carga. A partir de la ecuaci´ dad para la carga ∂ α J α = 0

∂ρ   + J = 0 ∂t

⇐⇒

(11.1)

∇·

e integrando en todo el espacio tenemos

 

 ∇·

∂ρ   + J dV = 0 ∂t

(11.2)

entonces, sacando la derivada parcial con respecto al tiempo de la integral y aplicando el teorema de la divergencia de Gauss se obtiene d 0 = dt d = dt

 

ρdV + ρdV +

 ∇ ·  ·

 JdV 

 d J σ

(11.3)

Σ

La primera integral nos da la carga total en todo el espacio, mientras que la segunda integral cerrada de superficie nos da el flujo de la carga a través de la superficie que delimita el volumen de integraci´ on. As´ı, debido a que estamos considerando todo el espacio y asumiendo que la distribución de corrientes es finita en todo el 198 

 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 199 — #203 



199

´ 11.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS ELECTRODIN AMICA

espacio, es decir no se tienen corrientes en el infinito, entonces la integral de superficie se anula y por lo tanto d 0= dt



ρdV =

dQ dt

(11.4)

implica que la carga total es una constante (se conserva) Q = constante

(11.5)

2. Cuadricorriente de una part´ıcula. Sea Σ un sistema de referencia inercial y Σ′ un segundo sistema de referencia que se mueve con velocidad v respecto a Σ, entonces las ecuaciones de transformaci´ on de coordenadas est´ an dadas por las relaciones

−

x′0 = γ (x0 + βx 1 )

(11.6)

x′1 = γ (x1 + βx 0 ) x′2 = x2 x′3 = x3 a sia Consideremos en primer lugar que la part´ıcula de carga q est´ tuada en el origen de coordenadas del sistema Σ, entonces la densidad de carga se puede escribir en términos de la distribuci´ on δ (r) de Dirac definida por las relaciones δ (r) = 0



As´ı

si

r =  0

(11.7)



δ (r) f (r) d3 r = f ( 0)

(11.8)

ρ(r) = qδ (r)

(11.9)

la cual representa una densidad de carga, que es nula en todo el espacio salvo en el punto r = 0 y cuya carga total es q , pues



3

ρ(r)d r =



qδ (r) d3 r = q

(11.10)

dado que la carga est´ a en reposo respecto al sistema de referencia Σ, la densidad de corriente se anula:  =  J 0

(11.11)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 200 — #204 



200


por lo tanto el cuadrivector densidad de corriente está dado por J α = (cρ,J x , J y , J z ) = (cqδ (r) , 0, 0, 0)

(11.12)

En el caso más general, cuando la carga en Σ est´ a situada en un punto arbitrario r0 , entonces las componentes del cuadrivector densidad de corriente toman la forma J α = (cqδ (r

− r0) , 0, 0, 0)

(11.13)

b Para encontrar las componentes del cuadrivector densidad de

corriente con respecto al sistema Σ′ aplicamos las ecuaciones de transformaci´ on (11.6) a las componentes del cuadrivector (11.12); as´ı tenemos J ′0 = γ (J 0 + βJ 1 ) = γJ 0 = cγ (v)δ (r)

(11.14)

pero para referir esta densidad de carga al sistema Σ′ debemos cambiar la dependencia de r en términos de las coordenadas de Σ′ ; as´ı, aplicando las transformaciones de Lorentz inversas tenemos r = (x,y,z) = (x1 , x2 , x3 ) = (γ (x′1 βx ′0 ), x′2 , x′3 )

−

= (γ (v)(x′

− vt′), y′.z′)

(11.15)

entonces J ′0 = cqγ (v)δ (γ (v)(x′

− vt′), y′.z′)

(11.16)

por la definici´ on de la distribuci´ on de Dirac esta ecuación admite una interpretaci´ on f´ısica directa, pues representa una densidad de carga variable en el tiempo, la cual es nula en todo el espacio salvo en el punto x ′ = vt′ , y ′ = 0, z ′ = 0, es decir esta densidad de carga corresponde a la de una part´ıcula puntual de carga q que se mueve con velocidad v en la dirección del eje x ′ positivo. Notemos adem´ as que la densidad de carga aumenta en un factor γ , el cual corresponde a la disminuci´ on



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 201 — #205 



201


de la unidad de volumen debibo a la contracci´ o n de la longitud en la direcci´ on de movimiento. Las otras componentes del cuadrivector corriente son = J ′1 = γ (J 1 + βJ 0 )

J x

′

= γβJ 0 = γ (v)ρv

(11.17)

y J y = J z = 0 ′

(11.18)

′

por lo tanto J ′α = cqγ (v)δ (γ (v)(x′



− vt′), y′.z′), γ (v)ρv, 0, 0



(11.19)

c En el sistema de referencia inercial Σ la carga total del sistema

est´ a dada por la integral de la densidad de carga en todo el espacio; entonces Q = = =

  

ρ(t, r)d3 r qδ (r)d3 r qδ (r)dxdydz

= q

(11.20)

por las propiedades de la distribuci´ on de Dirac; as´ı la carga total del sistema es q , la carga de la part´ıcula. Para el sistema de referencia Σ′ tenemos que Q´ = =

 

ρ´(t , r´)d3 r´ ′

′

qγ (v)δ (γ (v)(x

′

′

′

′

′

− vt ), y , z )dx dy dz

′

(11.21)

para hacer esta integral realizamos el siguiente cambio de variable u = γx ′ du dx′ = γ

− vγt′

=

⇒

(11.22) (11.23)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 202 — #206 



202


entonces Q´ = =

  ′ ′   ′ ′ qγδ u, y , z

du ′ ′ dy dz γ

qδ u, y , z dudy′ dz′

= q

(11.24)

es decir la carga es un invariante relativista. 3. Ecuaciones de Maxwell covariantes. Consideremos en primer lugar la ecuaci´ on homogénea εαβγδ ∂ β F γδ = 0

(11.25)

Teniendo en cuenta la definici´ on del tensor de Levi-Civita y la antisimetr´ıa del tensor campo electromagnético tenemos, para α = 0 0 = ε0βγ δ ∂ β F γδ = ε0123 ∂ 1 F 23 + ε0132 ∂ 1 F 32 + ε0213 ∂ 2 F 13 +ε0231 ∂ 2 F 31 + ε0312 ∂ 3 F 12 + ε0321 ∂ 3 F 21 = 2∂ 1 F 23 + 2∂ 2 F 31 + 2∂ 3 F 12

(11.26)

Por otra parte, las componentes covariantes del tensor campo electromagnético están dadas por F αβ = η αµη βν F µν

(11.27)

Dado que el tensor de Minkowski es simétrico entonces el tensor covariante electromagnético también es antisimétrico; as´ı es suficiente calcular los seis t´ erminos independientes F 0i , i = 1, 2, 3 y F 12 , F 31 y F 23 . Consideremos primero F 0i . Entonces para i = 1, 2, 3 tenemos que el u ´ nico término no nulo de la doble suma en la ecuaci´ on (11.27) se obtiene para µ = 0 y ν = i pues η αβ = 0 si α = β , as´ı



F 0i = η0µ η iν F µν = η00 ηii F 0i = F 0i

−

(11.28)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 203 — #207 




203

De manera similar, para los t´ erminos F ij con ij = 12, 31, 23 tenemos F ij = η iµ η jν F µν = η ii η jj F ij = F ij

(11.29)

Por lo tanto, teniendo en cuenta la definición del tensor contravariante electromagnético, ecuaci´ on (6.15), las componentes covariantes del tensor est´ an dadas por

F αβ =

  −  −−  

E x E y E z Bx By Bz

α, β 0, 1 0, 2 0, 3 2, 3 3, 1 1, 2

(11.30)

Entonces la ecuaci´ on (11.26) toma la forma 0 = ∂ 1 F 23 + ∂ 2 F 31 + ∂ 3 F 12 ∂B x ∂B y ∂B z = + + ∂x ∂y ∂z

(11.31)

la cual corresponde a la ley de Gauss para el campo magnético. Para α = i = 1, 2, 3 tenemos 0 = εiβγδ ∂ β F γδ = εi0 jk ∂ 0 F jk + εi0kj ∂ 0 F kj + εij0k ∂ j F 0k +εijk0∂ j F k0 + εik0 j ∂ k F 0 j + εikj0 ∂ k F j0 = 2εi0 jk ∂ 0 F jk + 2εij0k ∂ j F 0k + 2εik0 j ∂ k F 0 j (11.32) donde i = j = k y no hay suma sobre los ´ındices latinos repetidos. Entonces remplazando las componentes covariantes del tensor campo electromagn´ etico y asumiendo el orden de los ´ındices (ijk) = (123) y sus permutaciones c´ıclicas, es decir (kij) y ( jki), tenemos ∂B i ∂ E k ∂ E j + j =0 (11.33) c∂t ∂x ∂x k

 

−

−



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 204 — #208 



204


o en forma equivalente  + 1 ∂B i = 0 E c ∂t i

∇ ×  

(11.34)

la cual, para i = 1, 2, 3, nos da la ley de Faraday en componentes. Consideremos ahora las ecuaciones de Maxwell inhomog´ eneas: ∂ α F αβ =

− 4πc J β

(11.35)

Desarrollando la suma sobre el ´ındice α, para β = 0, suprimiendo los términos nulos, tenemos

− 4πc J 0

∂ 1 F 10 + ∂ 2 F 20 + ∂ 3 F 30 =

(11.36)

y remplazando los t´ erminos obtenemos la ley de Gauss ∂ E y ∂E z x − ∂E − − ∂x ∂y ∂z ∇ · E 

=

−4πρ

= 4πρ

⇐⇒

(11.37)

Para β = i = 1, 2, 3, donde de nuevo no hay suma sobre ´ındices latinos ( j y k) y con i = j = k, obtenemos

 

∂ 0 F 0i + ∂ j F ji + ∂ k F ki =

− 4πc J i

(11.38)

entonces asumiendo los ´ındices latinos (ijk) = (123) y sus permutaciones c´ıclicas, tenemos ∂E i ∂ B j + c∂t ∂x k

− ∂∂xB jk = − 4πc J i

(11.39)

donde ahora los sub´ındices latinos i, j, k significan x,y,z. As´ı la ecuaci´ on anterior, para i = x,y,z corresponde a cada una de las componentes de la ecuaci´ on de Maxwell 

 1 ∂ E + 4π J  ∇ × B = c ∂t c

(11.40)

4. Fuerza de Lorentz. Consideremos la ecuaci´ on de movimiento en la forma q dxγ f α = η βγ F βα (11.41) c dτ



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 205 — #209 



205


y tomemos primero el caso α = i = 1, 2, 3; entonces sumando sobre el ´ındice repetido β tenemos q dxγ η βγ F βi c dτ q dxγ q dxγ = η 0γ F 0i + η 1γ F 1i c dτ c dτ γ q dx q dxγ + η 2γ F 2i + η 3γ F 3i c dτ c dτ

f i =

(11.42)

esta ecuaci´ on se puede escribir en forma más compacta si tenemos en cuenta que para cada i = 1, 2, 3 uno de los tres u ´ltimos términos de la suma debe anularse debido a la antisimetr´ıa del tensor campo electromagnético, as´ı q dxγ q dxγ q dxγ f i = η 0γ F 0i + η jγ F ji + ηkγ F ki c dτ c dτ c dτ

(11.43)

con i = j = k y no hay suma sobre los ´ındices latinos repetidos ( jk). Teniendo en cuenta la definici´ on del tensor métrico de Minkowski, podemos hacer la suma sobre el ´ındice γ obteniendo

 

0 j k q q q 0i dx ji dx ki dx f = η00 F + η jj F + η kk F c dτ c dτ c dτ i

(11.44)

Si recordamos la interpretaci´ on f´ısica de las componentes del cuadrivector fuerza, ecuación (9.37), entonces la ecuaci´ on anterior toma la forma (con i = x, y,z) γ (u) F i =

q dt q dt E i c + Bk u j c dτ c dτ

dt − q cB j dτ uk

(11.45)

simplificando y teniendo en cuenta que γ (u) = dt/dτ , obtenemos  = q E  + q u F c

× B

(11.46)

Consideremos finalmente el caso α = 0; entonces desarrollando la doble suma sobre los ´ındices β y γ en la ecuaci´ o n (11.41) y reteniendo solo los t´ erminos no nulos, tenemos

f 0

= =

q dxγ η βγ F β 0 c dτ 1 2 3 q q q 10 dx 20 dx 30 dx η F + η 22 F + η 33 F (11.47) c 11 dτ c dτ c dτ



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 206 — #210 



206


Teniendo en cuenta que la componente temporal del cuadrivector fuerza representa el trabajo por unidad de tiempo realizado por la fuerza externa sobre la part´ıcula γ (u)

1 dE q   = γ (u)E u c dt c

·

(11.48)

es decir

dE  u = q E (11.49) dt entonces esta ecuaci´ on implica que solamente el campo el´ ectrico hace trabajo sobre la carga.

·

5. Campo el´ ectrico de carga en movimiento. Para resolver este problema aplicando la ley de Coulomb consideremos un segundo sistema de referencia inercial Σ′ que se mueve con velocidad v respecto a Σ. Entonces con respecto al sistema de referencia inercial Σ′ la carga Q est´ a en reposo en el origen de coordenadas, mientras que la carga de prueba q se est´ a moviendo respecto a Σ′ con velocidad v = ( v, 0, 0). Por otra parte, en el sistema de referencia Σ consideremos los dos eventos siguientes: la carga Q se encuentra en el origen en el instante t = 0 y la carga de prueba q est´ a en reposo situada en el punto de coordenadas r = (x, 0, 0); as´ı las coordenadas de los dos eventos están dadas por

−

y

P 1 = (x01 , x11 , x21 , x31 ) = (0, 0, 0, 0)

(11.50)

P 2 = (x02 , x12 , x22 , x32 ) = (0, x, 0, 0)

(11.51)

Por lo tanto las coordenadas de estos dos eventos medidas en el sistema de referencia Σ′ est´ an dadas por la transformaci´ on de Lorentz usual: P 1 = (x′10 , x′11 , x′12 , x′13 ) = (0, 0, 0, 0) y P 2 = (x′20 , x′21 , x′22 , x′23 ) = (ct′ , x′ , 0, 0) v = ( γ (v) x, γ (v)x, 0, 0) c

−

(11.52)

Notemos que los dos eventos P 1 y P 2 son simult´ aneos en Σ, pues estamos interesados en medir la fuerza (y as´ı el campo el´ ectrico)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 207 — #211 



207


sobre la carga de prueba q cuando la carga fuente Q se encuentra en el origen en t = 0 y por lo tanto x representa la distancia f´ısica entre la carga Q y la carga de prueba q . Sin embargo, para el sistema Σ′ estos dos eventos no son simult´ aneos y por lo tanto ′ la coordenada x no representa la distancia f´ısica entre las cargas, pues la carga q se encuentra en el punto x′ en un instante t′ < 0 cuando los or´ıgenes de Σ y Σ′ se cruzan. Pero debido a que la carga Q est´ a en reposo en el origen de Σ ′ , entonces cuando la carga q pasa por x′ en el instante t′ la carga Q se encuentra en x′ = 0 en ese instante, y por lo tanto la fuerza sobre la carga de prueba en el instante t′ est´ a dada por la ley de Coulomb

 



 ′ = F x , F y , F z = k Qq , 0, 0 F x′2



′

′

′

(11.53)

Apliquemos, ahora, las ecuaciones de transformaci´ on de la fuerza entre sistemas de referencia inerciales. A partir de las ecuaciones (9.46), (9.49) y (9.50) podemos obtener las ecuaciones de transformaci´ on inversas (pues conocemos las componentes de la fuerza ′ en Σ ) cambiando v por v y u′ = ( v, 0, 0); entonces aplicando estas ecuaciones tenemos que las componentes de la fuerza sobre la carga q en el sistema Σ están dadas por

−

−



 = (F x , F y , F z ) = F = =

 

k xQq2 ′

 ′ u′ F x + cv2 F , 0, 0 vu 1 + c2x

2

′

′



·

− vc k xQq , 0, 0 1 − vc 2



2

′

2

2



Qq k ′2 , 0, 0 x

(11.54)

es decir la fuerza sobre la carga q medida en el sistema de referencia Σ en el instante t = 0 tiene el mismo valor que la fuerza sobre la carga q medida en el sistema Σ′ en el instante t′ , pero la distancia x entre las cargas Q y q medida en Σ en el instante t = 0 es menor que la distancia entre las cargas en Σ′, pues x′ = γ (v)x y por lo tanto la fuerza sobre la carga de prueba q en Σ est´ a dada por  = (F x , F y , F z ) = k Qq , 0, 0 (11.55) F γ 2 (v)x2







 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 208 — #212 



208


y por consiguiente el campo el´ ectrico producido por la carga Q, que se mueve con velocidad constante v en la dirección del eje x positivo, a una distancia x de la carga es   = (E x , E y , E z ) = l´ım F = E q →0 q





1 kQ , 0, 0 γ 2 (v) x2

(11.56)

notemos que el campo es el mismo si cambiamos v por v. Es decir, el campo el´ ectrico producido por una carga en movimiento a velocidad constante, a lo largo de la direcci´ on de movimiento, depende de la posici´ on instant´ anea del punto de observaci´ on del 2 campo y es menor, en un factor γ (v), que el campo si la carga estuviera en reposo. Consideremos ahora el caso cuando la carga de prueba, en el sistema de referencia Σ, se encuentra en reposo en un punto de coordenadas r = (0, y, 0) y la carga Q se mueve con velocidad constante v en la dirección del eje x positivo y pasa por el origen de Σ en el instante t = 0 y el sistema de referencia Σ′ que se mueve con velocidad v en la dirección positiva x relativo a Σ y con respecto al cual la carga Q se encuentra en reposo en su origen. Los dos eventos, simult´ aneos en Σ, tienen coordenadas dadas por P 1 = (x01 , x11 , x21 , x31 ) = (0, 0, 0, 0) (11.57)

−

y P 2 = (x02 , x12 , x22 , x32 ) = (0, 0, y, 0)

(11.58)

mientras que con respecto al sistema Σ′ sus coordenadas son P 1 = (x′10 , x′11 , x′12 , x′13 ) = (0, 0, 0, 0) y P 2 = (x′20 , x′21 , x′22 , x′23 ) = (ct′ , x′ , y ′ , z ′ ) = (0, 0, y, 0)

(11.59)

es decir los eventos son también simult´ aneos respecto al observador ′ Σ . Aplicando la ley de Coulomb en Σ′ tenemos

 

 ´= F x , F y , F z = F



′

′

′



Qq 0, k ′2 , 0 y

(11.60)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 209 — #213 



209


y aplicando las ecuaciones de transformaci´ on para las componentes ′ de la fuerza, cambiando v por v y  u = ( v, 0, 0), obtenemos

−

−

 = (F x , F y , F z ) F  ´ u′ F x + cv2 F F y = , vux 1 + c2 γ (v) 1 + = =

  

′

′

·



′



0, γ (v)F y , 0 Qq 0, γ (v)k ′2 , 0 y ′



vux c2



′



,0

(11.61)

en este caso la fuerza es diferente entre los dos sistemas, pero la distancia entre las cargas es la misma y = y ′ , as´ı





 = (F x , F y , F z ) = 0, γ (v)k Qq , 0 F y2

(11.62)

por lo tanto el campo el´ ectrico est´ a dado por  F kQ  E = (E x , E y , E z ) = l´ım = 0, γ (v) 2 , 0, q →0 q y





(11.63)

Es decir, el campo el´ ectrico producido por una carga en movimiento a velocidad constante, en una direcci´ on perpendicular a la direcci´ on de movimiento, depende de la posici´ on instant´ anea del punto de observación del campo y es mayor en un factor γ (v) que el campo de la carga, si esta estuviera en reposo. Finalmente consideremos el caso general, cuando la carga de prueba q se encuentra en reposo respecto al sistema Σ en un punto arbitrario de coordenadas r = (x,y,z) y con la carga fuente Q moviéndose en la direcci´ on x positiva y pasando por el origen de coordenadas de Σ en t = 0. Procediendo en forma similar a los dos casos considerados, tenemos que las coordenadas de los dos eventos, medidas por Σ, est´ an dadas por P 1 = (x01 , x11 , x21 , x31 ) = (0, 0, 0, 0)

(11.64)

P 2 = (x02 , x12 , x22 , x32 ) = (0,x,y,z)

(11.65)

y y sus coordenadas medidas en Σ′ son P 1 = (x′10 , x′11 , x′12 , x′13 ) = (0, 0, 0, 0)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 210 — #214 



210


y P 2 = (x′20 , x′21 , x′22 , x′23 ) = (ct′ , x′ , y ′ , z ′ ) v = ( γ (v) x, γ (v)x,y,z) c

(11.66)

−

Aplicando la ley de Coulomb en el sistema de referencia Σ′ tenemos

donde

′

′

′

Qqx ′ Qqy ′ Qqz ′ k ′3 , k ′3 , k ′3 r r r

  ′

 ´= F x , F y , F z = F



r´= x 2 + y ′2 + z′2





(11.67)

1/2

(11.68)

Aplicando las ecuaciones de transformaci´ on inversas para las com′ ponentes de la fuerza, con u = ( v, 0, 0), obtenemos

−

 = (F x , F y , F z ) F  ´ u′ F x + cv2 F F y = , vux 1 + c2 γ (v) 1 + = =

  

′

′

·

′

 

vux c2

′

,

F z γ (v) 1 + ′

  ′

F x , γ (v)F y , γ (v)F z Qqx′ Qqy ′ Qqz k 3 , γ (v)k 3 , γ (v)k 3 r´ r´ r´ ′

′

′

vux c2

′





(11.69)

Dado que las coordenadas primadas est´ an relacionadas con las coordenadas en Σ por la ecuación 11.66, entonces la fuerza sobre la carga de prueba está dada por  = (F x , F y , F z ) F Qqx Qqy Qqz = γ (v)k 3 , γ (v)k 3 , γ (v)k 3 r´ r´ r´



con r´= γ 2 (v)x2 + y 2 + z 2 y en notaci´ on vectorial



 = γ (v)k F





1/2

Qq (γ 2 (v)x2 + y2 + z 2 )3/2

(11.70)

(11.71)

r

(11.72)

Por lo tanto el campo el´ ectrico producido por una carga que se mueve a velocidad constante en la direcci´ on del eje x positivo



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 211 — #215 



211


est´ a dado por   = (E x , E y , E z ) = l´ım F E q →0 q Q = γ (v)k r (γ 2 (v)x2 + y 2 + z 2 )3/2

(11.73)

Notemos que esta ecuación se reduce a los dos casos anteriores y si la velocidad de la carga se anula, obtenemos el campo electrost´ atico usual de una carga puntual en reposo. Este campo es radial y depende solamente de la posici´ on instant´ anea de carga fuente y de la distancia. Pero a diferencia del caso de una carga puntual en reposo, para la cual el campo es esféricamente simétrico, el campo de la carga en movimiento tiene simetr´ıa cil´ındrica alrededor de la direcci´ on de movimiento de la carga y la magnitud del campo var´ıa seg´ un la direcci´ on de observaci´ on: para puntos a lo largo de la l´ınea de movimiento de la carga el campo eléctrico es menor en un factor γ 2 (v) (que el correspondiente valor si la carga estuviera quieta) y aumenta en un factor γ (v) para puntos en el plano perpendicular a la l´ınea de movimiento de la carga. 6. Causalidad y campo el´ ectrico de una carga en movimiento e no hay violaci´ on del uniforme. Para entender claramente por qu´ principio de la constancia de la velocidad de la luz, debemos recordar las condiciones bajo las cuales la ley de Coulomb y la definici´ on de campo eléctrico est´ atico es v´ alida: dos cargas q 1 y q 2 situadas en los puntos del espacio de coordenadas r1 y r2 , respectivamente, con relaci´ on a un observador inercial Σ, ejercen mutuamente una fuerza dada por la ley de Coulomb  12 = k q 1 q 2 (r2 r1 ) = F  21 (11.74) F r2 r1 3

| − |

−

−

 12 es la fuerza sobre la carga q 2 debida a la carga q 1 , la donde F  21 cual es igual en magnitud y de sentido contrario a la fuerza F sobre la carga q 1 debida a la carga q 2 , es decir la ley de Coulomb satisface la tercera ley de Newton. La condición para la validez de esta relaci´ on es que las cargas estén en reposo en Σ y hayan permanecido en reposo en sus correspondientes posiciones durante un tiempo t suficiente. Por “un tiempo t suficiente” queremos decir que r2 r1 t> (11.75) c

| − |



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 212 — #216 



212


Esta condici´ on la explicaremos detalladamente m´ as adelante, cuando analicemos qu´ e sucede con la carga que es frenada. El concepto de campo el´ ectrico surge cuando consideramos la fuerza sobre diferentes cargas (cargas de prueba) situadas en diferentes puntos del espacio, debida a una carga dada (carga fuente). Sin p´ erdida de generalidad, consideremos la carga fuente Q situada en el origen de coordenadas del sistema Σ y la carga de prueba q en un punto de coordenadas r ; entonces a partir de la ley de Coulomb la fuerza sobre la carga de prueba es  = k Qq r F r3

(11.76)

Esta relaci´ on nos permite definir el concepto de campo eléctrico  E (r) producido por la carga Q en un punto r del espacio por la relaci´ on  = q E  (r) F (11.77) donde

  (r) = l´ım F = k Q r E q →0 q r3

(11.78)

Para que esta relaci´ on sea v´ alida en todo el espacio, es decir para cualquier punto r , la condici´ on (11.75) implica que la carga Q ha permanecido en reposo desde siempre. Sin embargo, dado que la fuerza sobre una carga de prueba q en un instante dado, solo depende del campo el´ ectrico de la carga fuente Q en el punto r donde se ubica la carga q , entonces esta fuerza es independiente del estado de movimiento de la carga de prueba q . Este resultado fue el que se aplicó para resolver el problema anterior. ¿Qué sucede si consideramos esta situaci´ on desde otro sistema de referencia ′ ′ inercial Σ ? Para Σ la carga fuente se mueve con velocidad constante v (con v la velocidad de Σ′ respecto a Σ) desde siempre, y por lo tanto el campo el´ ectrico medido en Σ′ corresponde a la transformaci´ on de Lorentz del campo de una carga estacionaria (campo medido en Σ), dado que con respecto al observador Σ todos los puntos del espacio tienen la informaci´ on (a través del campo eléctrico) de la posici´ on de la carga (pues ha estado fija en un punto desde t ). Para ilustrar esta situaci´ on consideremos una carga fuente Q que se ha estado moviendo con velocidad constante desde t , respecto a un observador inercial Σ, y que en el instante t = 0 es frenada rápidamente hasta alcanzar el

−

→ −∞ → −∞



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 213 — #217 




213

reposo. Para t < 0 el campo el´ ectrico medido en Σ es el obtenido en el problema anterior, el cual se ilustra en la figura (11.1).


el camp o el´ ectrico de una carga en movimiento uniforme. L´ıneas de campo el´ ectrico de una carga en movimiento uniforme.

Siguiendo la convenci´ on usual para dibujar las l´ıneas de campo, la densidad de l´ıneas, es decir el n´ umero de l´ıneas por unidad de área, indica la intensidad del campo y la flecha su direcci´ on. As´ı, en la figura se ilustra el resultado obtenido para el campo el´ ectrico de una carga en movimiento: el campo es radial en la direcci´ on de la posici´ on instant´ anea de la carga y su intensidad es menor en la direcci´ on de movimiento de la carga y mayor en la direcci´ on perpendicular al movimiento, y con simetr´ıa cil´ındrica alrededor de la direcci´ on de la velocidad. Consideremos ahora el camp o eléctrico para un tiempo t > 0, entonces las l´ıneas del campo toman la forma que se ilustra en la figura (11.2): para distancias menores a ct las l´ıneas de camp o corresponden a las de una carga en reposo y si suponemos que el proceso de frenado de la carga duró un tiempo δt, entonces para distancias mayores a c(t + δt) el campo eléctrico corresponde al de una carga moviéndose a velocidad constante y cuya posici´ on instant´ anea se encuentra en el punto A de la figura (11.2) y representa la posici´ o n que la carga tendr´ıa si ella hubiera continuado moviéndose a la velocidad constante v. La regi´ on intermedia representada por los dos c´ırculos concéntricos separados una distancia cδt corresponde a las l´ıneas de campo eléctrico emitidas por una carga acelerada (ondas electromagn´ eticas o campo de radiaci´ on), las cuales se propagan a la



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 214 — #218 



214



el camp o e l´ ectrico de una carga en movimiento

uniforme. L´ıneas de campo el´ ectrico de una carga que se frena en un tiempo δ t.

velocidad de la luz y llevan la informació n que la carga ha sido acelerada (frenada en este caso). 7. Fuerza sobre una carga en movimiento. Para el primer caso, cuando la carga fuente est´ a, en el instante t = 0, en la posici´ on r = (x, 0, 0) y se mueve con velocidad u, transformemos a un sistema de referencia inercial Σ′ con respecto al cual la carga fuente se encuentra en reposo. En este sistema el campo eléctrico de la carga fuente Q en reposo, en un punto de coordenadas (x′ , 0, 0), est´ a dado por  ´= k Q E x′2

(11.79)

y por lo tanto la fuerza sobre una carga de prueba en ese punto, independientemente de su velocidad, est´ a dada por

 

 ´= F x , F y , F z = F



′

′

′



Qq k ′2 , 0, 0 x

(11.80)

En el sistema de referencia Σ′ la velocidad de la carga de prueba es u = (ux , uy , uz ) y por lo tanto las ecuaciones de transformaci´ on ′

′

′



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 215 — #219 



215


inversas para la fuerza medida en el sistema Σ implican que  = (F x , F y , F z ) = F = = =

  



 ´ u′ F x + cv2 F , 0, 0 vu 1 + c2x ′

′



·



Qq 1 + cv2 ux k ′2 , 0, 0 x 1 + vuc2x ′

′



Qq k ′2 , 0, 0 x Qq k 2 , 0, 0 γ (v)x2



(11.81)

el cual es el mismo resultado obtenido en el problema 5 de esta secci´ on, donde la carga de prueba se encontraba en reposo en el punto r = (x, 0, 0). Consideremos ahora la carga q situada en el punto de coordenadas r = (0, y, 0) en t = 0 y con velocidad u = (ux , 0, 0). Pasando al sistema de referencia Σ′ donde la carga fuente se encuentra en reposo en el origen, el campo el´ ectrico en el punto ′ r´= (0, y , 0) est´ a dado por  ′ = 0, k Q , 0 E ′2





y

(11.82)

y por lo tanto la fuerza sobre la carga de prueba es  ′ = F





Qq 0, k ′2 , 0 y

(11.83)

Transformando esta expresi´ on al sistema de referencia Σ, teniendo en cuenta que la velocidad de la carga de prueba es u′ = (ux , 0, 0), obtenemos ′

 = F =

 

 ´ u′ F x + cv2 F F y , vux 1 + c2 γ (v) 1 + ′

′

0,

·

F y γ (v) 1 +

′

′



vux c2

′

considerando que y = y ′ y



vux c2

′

,0

ux = ′

 

ux 1

,

F z γ (v) 1 + ′

 

−v − vuc

x

vux c2

′





(11.84)

(11.85)

2



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 216 — #220 



216


tenemos que la u ńica componente no nula de la fuerza sobre la carga de prueba está dada por F y = k = k

Qq 1 1 −vx v 2 y γ (v) 1 + c2 1u−xvu Qq 1 1 y2 γ (v) 1

Qq = γ (v)k 2 y



c2

vu x c2 v2 c2

− − vux 1− 2 c



(11.86)

En el problema 5 de esta sección encontramos que la fuerza sobre una carga de prueba en reposo situada en el eje y, debida a la carga Q que se mueve con velocidad constante v a lo largo del eje x positivo, cuando la carga est´ a pasando por el origen en t = 0, es





 = 0, γ (v)k Qq , 0 F y2

(11.87)

esto significa que sobre la carga de prueba en movimiento aparece una fuerza adicional, la cual es una funci´ on de la velocidad ux de la carga q , dada por la expresión  M = F



=

−



Qq vu x 0, γ (v)k 2 2 , 0 y c vux  F E c2

−

(11.88)

 E la fuerza de origen eléctrico dada por la ecuaci´ con F on (11.87)  M hace referencia a la fuerza magnética como veremos m´ (F as adelante). Consideremos ahora c´ omo se modificar´ıa la fuerza en el caso anterior si la carga de prueba se mueve con velocidad arbitraria u = (ux , uy , uz ). El cambio para este caso surge de la transformaci´ on de las componentes de la fuerza del sistema Σ′ al sistema Σ, pues de la ecuaci´ on (11.83) tenemos  = F =

 

 ´ u′ F x + cv2 F F y , vux 1 + c2 γ (v) 1 + ′

′

v F u c2 y y vu 1 + c2x ′

′

′

·

′

F y , γ (v) 1 + ′





vux c2

′



F z , γ (v) 1 + ′

vux c2

′



,0

 

vux c2

′





(11.89)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 217 — #221 



217


Transformando las cantidades primadas al sistema Σ, con ux

′

uy

′

ux 1

−v − vuc

=

uy γ (v) 1

=

 = k Qq F y2 Qq = k 2 y = k

vux c2

− 

se obtiene

    

(11.90)

x

2

(11.91)

“ uy vux ”

 −     − − − −  “ ”  −−   −   −  

v γ (v) 1 c2 1 , ,0 u v v 2 c 1 + c2 1 xvux γ (v) 1 + v uxvuvx c2 1 c2 c2

uy

v c2

γ (v) 1 1 γ 2 (v)

1

vux c2

vux c2

, γ (v) 1

Qq vu y γ ( v) , γ (v) 1 y2 c2

vux ,0 c2

vux ,0 c2

(11.92)

De acuerdo con el problema 5 de esta sección, en el sistema Σ la carga de prueba experimenta una fuerza debida al campo el´ ectrico de la carga fuente dada por la ecuaci´ on (11.87):





 E = 0, γ (v)k Qq , 0 F y2

(11.93)

y por lo tanto de la ecuación (11.92) tenemos que sobre la part´ıcula de prueba act´ ua una fuerza adicional  M = F  F  E F Qq vu y vux = k 2 γ (v) 2 , γ (v) 1 ,0 y c c2 Qq v Qq v = k 2 γ (v) 2 uy , k 2 γ (v) 2 ux , 0 y c y c

−





−

 −  − 



Qq 0, γ (v)k 2 , 0 y

(11.94)

la cual depende de la velocidad u de la carga de prueba. Esta fuerza  M la identificamos con la fuerza magnética, pues si definimos F vQ  B = γ (v) 2 (0, 0, 1) cy

(11.95)

como el campo magnético debido a la carga Q en el punto de coordenadas r = (0, y, 0), entonces la fuerza magnética se puede escribir en la forma  M = q u B  F (11.96) c

×



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 218 — #222 



218


pues q u c

× B

v qQ (ux , uy , uz ) (0, 0, 1) c y2 Qq v Qq v k 2 γ (v) uy , k 2 γ (v) ux , 0 y c y c

= γ (v) =

×



−



(11.97)

(11.99)

Adem´ as podemos encontrar la relaci´ on entre el campo eléctrico y el campo magnético producido por la part´ıcula de prueba, pues  = γ (v) v Q (0, 0, 1) B c y2 vQ = γ (v) 2 (1, 0, 0) (0, 1, 0) cy 1  = v E (11.98) c Veamos ahora el caso general donde la part´ıcula de prueba en el instante t = 0 se encuentra en el punto r = (x,y,z) y posee una velocidad u = (ux , uy , uz ). La fuerza en el sistema de referencia Σ ′ est´ a dada por (ver problema 5 de esta secci´ on, ecuaci´ on (11.67))

×

×

Qqx′ Qqy ′ Qqz ′ ′  F = F x , F y , F z = k ′3 , k ′3 , k ′3 r r r donde



′

′

′

 



r´2 = x ′2 + y ′2 + z ′2

(11.100)

Transformando las componentes de la fuerza al sistema de referencia Σ tenemos que  ′ u′ F x + cv2 F F x = vu 1 + c2x ′

′

·

(11.101)

y teniendo en cuenta que x′ = γ (v)x y′ = y z′ = z

(11.102)

y aplicando las ecuaciones de transformaci´ on para las componentes de la velocidad se tiene que 1 1 = vux −vx 1 + c2 1 + v2 uxvu ′

c

−  − 

= γ 2 (v) 1

1

c2

vux c2

(11.103)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 219 — #223 



219


entonces F x

vux v  ′ ′ = γ (v) 1 F + F u x c2 c2 Qq vux vux v = k ′3 γ 2 1 γx(1 + 2 ) + 2 (yu y + zuz ) 2 r c c c Qq vux γx v yuy + zu z = k ′3 γ 2 1 + vu 2 x x r c c2 γ 1 vu γ 2 1 c2 c2 2

= k

− − − 

  ·         − −  ′

′

′

Qq vuy vuz γ x + 2 y + 2 z 3 ′ r c c

con

r ′ =

′

(11.104)

γ 2 x2 + y2 + z 2

(11.105)

Para las otras componentes de la fuerza tenemos F y vu γ (v) 1 + c2x Qq vux = k ′3 yγ 1 r c2 ′

F y =



y

′



− 

F z vu γ (v) 1 + c2x Qq vux = k ′3 zγ 1 r c2

(11.106)

(11.107)

′

F z =



′



− 

Por lo tanto la fuerza sobre la carga de prueba q , de origen magnético, est´ a dada por  M = F  F  E F Qq vuy vuz = k 3 γ y + z, c2 c2 r´

−



−

vu x y, c2

−

esta expresión la podemos escribir en la forma  M = F = identificando

q u c q u c

 × ×

Q v k 3 γ (0, z, y) r´ c  B

−

Q v  B = k γ (0, z, y) r´3 c

−

vux z (11.108) c2



 (11.109)

(11.110)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 220 — #224 



220


con el campo magnético producido por la carga fuente Q en el punto r , el cual está relacionado con el campo el´ ectrico por  1 v B = c

× E 

(11.111)

8. Transformaci´ on general del campo electromagn´ etico. Las componentes del tensor campo electromagn´ etico est´ an dadas por:

F αβ =

  −− −

0 E x E y E z

E x 0 Bz By

E y Bz 0 Bx

−

−

E z By Bx 0

−

 

(11.112)

y los elementos de la matriz de transformación de Lorentz usual son γ βγ 0 0 βγ γ 0 0 Λαβ = (11.113) 0 0 1 0 0 0 0 1

  −

 

−

donde β = v/c es la velocidad del sistema de referencia Σ ′ respecto a Σ a lo largo de los ejes x x′ . Entonces, de las ecuaciones de transformaci´ on para las componentes contravariantes de un tensor de segundo orden F ′αβ = Λαµ Λβ ν F µν (11.114)

−

tenemos que E x = F ′01 = Λ0µ Λ1ν F µν ′

(11.115)

realizando la doble suma sobre los ´ındices repetidos, y reteniendo solo los términos no nulos, obtenemos E x

′

= Λ00 Λ11 F 01 + Λ01 Λ10 F 10 = γ 2 E x = E x

− γ 2β 2E x

(11.116)

Procediendo en forma an´ aloga para las otras componentes del campo eléctrico, tenemos E y

′

= F ′02 = Λ 0µ Λ2ν F µν = Λ00 Λ22 F 02 + Λ01 Λ22 F 12 = γE y βγBz

−

(11.117)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 221 — #225 




E z

′

221

= F ′03 = Λ 0µ Λ3ν F µν = Λ00 Λ33 F 03 + Λ01 Λ33 F 13 = γE z + βγBy

(11.118)

y las componentes del campo magn´ etico est´ an dadas por Bx

′

= F ′23 = Λ2µΛ3ν F µν = Λ22 Λ33 F 23 = Bx

By

′

(11.119)

= F ′31 = Λ3µ Λ1ν F µν = Λ33 Λ10 F 30 + Λ33 Λ11 F 31 = βγE z + γBy

Bz

′

(11.120)

= F ′12 = Λ1µ Λ2ν F µν = Λ10 Λ22 F 02 + Λ11 Λ22 F 12 =

−βγE y + γB z

(11.121)

9. Campo de una carga en movimiento. Para aplicar los resultados obtenidos en el problema anterior, consideremos un sistema de referencia Σ′ relacionado con Σ de la manera usual. As´ı, con respecto a Σ′ la carga Q est´ a en reposo en su origen y por lo tanto el campo de la carga en un punto r ′ = (x′ , y ′ , z′ ) es solamente eléctrico y está dado por la ley de Coulomb:  ′ = E =

 



E x , E y , E z Qx′ Qy ′ Qz′ k ′3 , k ′3 , k ′3 r r r ′

′

′



(11.122)

Para utilizar las ecuaciones de transformaci´ on de los campos obtenidas en el problema anterior, debemos aplicar las ecuaciones de transformaci´ on inversas, las cuales se obtienen cambiando v por v. Entonces, de las ecuaciones (11.116), (11.117) y (11.118), las componentes del campo el´ ectrico en el sistema de referencia Σ est´ an dadas por: Qx′ E x = E x = k ′3 (11.123) r

−

′



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 222 — #226 



222


teniendo en cuenta las ecuaciones de transformación de Lorentz para las coordenadas, x′ = γ (v)x (11.124) entonces E x = k

γQx (γ 2 x2 + y 2 + z2 )3/2

(11.125)

Para las otras componentes del campo el´ ectrico obtenemos E y = γE y + βγ Bz Qy′ = γk ′3 r γQy = k (γ 2 x2 + y 2 + z 2 )3/2 ′

′

(11.126)

(11.127)

y E z = γE z + βγ By Qz ′ = γk 3 r´ γQz = k (γ 2 x2 + y 2 + z 2 )3/2 ′

′

Este resultado coincide con el obtenido en el problema 5 de este cap´ıtulo (ver ecuaci´ on (11.73)). Para obtener las componentes del campo magn´ etico, consideremos ahora las inversas de las ecuaciones (11.119), (11.120) y (11.121) del problema anterior. Entonces Bx = Bx = 0

(11.128)

′

By = = =

−βγE z + γB y Qz′ −βγk r′3 −k 2 2 βγQz 2 ′

′

(γ x + y + z 2 )3/2

Bz = βγE y + γB z Qy′ = βγk ′3 r βγQy = k (γ 2 x2 + y 2 + z 2 )3/2 ′

(11.129)

(11.130)

′



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 223 — #227 




223

escribiendo el resultado en forma vectorial obtenemos Q v  B = k γ (0, z, y) r ′3 c2

−

(11.131)

de acuerdo con la ecuaci´ on (11.110) del problema 5. 10. Invariantes del campo electromagn´ etico. A partir del tensor αβ campo electromagnético F podemos construir un primer invariante considerando la traza del tensor, es decir F αα = η ασ F ασ = 0

(11.132)

el cual es idénticamente nulo, pues F αβ es antisimétrico. Consideremos ahora la contracci´ on del tensor F αβ consigo mismo, esto es (escribiendo solo los términos no nulos) F αβ F αβ = F 01 F 01 + F 02 F 02 + F 03 F 03 + F 10 F 10 + F 12 F 12 + F 13 F 13 + F 20 F 20 + F 21 F 21 + F 23 F 23 + F 30 F 30 + F 31 F 31 + F 32 F 32 = 2[F 01 F 01 + F 02 F 02 + F 03 F 03 + F 12 F 12 + F 31 F 31 + F 23 F 23 ]

(11.133)

donde se ha utilizado la propiedad antisimétrica del tensor F αβ para la u´ltima igualdad. De las ecuaciones (6.15) y (11.30) que nos dan las componentes contravariantes y covariantes del tensor F αβ en t´ erminos de las componentes de los campos el´ ectrico y magnético, tenemos F αβ F αβ = 2[ E x2 E y2 E z2 + Bz2 + By2 + Bx2 ]  B  E  E  ] = 2[B (11.134)

− − − · − ·

Otro invariante que podemos construir es la contracci´ on del tensor αβ F con su dual, as´ı 1 ( F )αβ F αβ = εδγαβ F δγ F αβ 2

∗

(11.135)

Desarrollando la suma sobre los cuatro ´ındices (sin escribir los



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 224 — #228 



224


términos nulos), tenemos ( F )αβ F αβ =

∗

1 [ε0123 F 01 F 23 + ε0132 F 01 F 32 + ε0213 F 02 F 13 2 +ε0231 F 02 F 31 + ε0312 F 03 F 12 + ε0321 F 03 F 21 +ε1023 F 10 F 23 + ε1032 F 10 F 32 + ε1203 F 12 F 03 +ε1230 F 12 F 30 + ε1302 F 13 F 02 + ε1320 F 13 F 20 +ε2013 F 20 F 13 + ε2031 F 20 F 31 + ε2103 F 21 F 03 +ε2130 F 21 F 30 + ε2301 F 23 F 01 + ε2310 F 23 F 10 +ε3012 F 30 F 12 + ε3021 F 30 F 21 + ε3102 F 31 F 02 +ε3120 F 31 F 20 + ε3201 F 32 F 01 + ε3210 F 32 F 10 ]

= 4[ε0123 F 01 F 23 + ε0213 F 02 F 13 +ε0312 F 03 F 12 ]

(11.136)

Remplazando las componentes del tensor F αβ en términos de los campos, obtenemos ( F )αβ F αβ = 4 [ E x Bx

∗

−

−4E  · B

=

− E y By − E z Bz ]

(11.137)

as´ı  B  = E

·

=

− 14 (∗F )αβ F αβ − 18 εδγαβ F δγ F αβ

(11.138)

11. Campos ortogonales. En el problema anterior encontramos dos invariantes formados a partir del tensor campo electromagn´ etico αβ F :  2 E  2 = 1 F αβ F αβ B (11.139) 2 1  B =  E εδγαβ F δγ F αβ (11.140) 8  2 ni B  2 son invariantes indepenesto muestra adem´ a s que ni E dientes; de hecho no existen m´ as invariantes construidos a partir αβ de F que no sean m´ ultiplos o combinaci´ o n lineal de los dos  y B forman  invariantes anteriores. Supongamos que los campos E un ańgulo φ para un sistema de referencia inercial Σ, entonces

−

·

−

cos φ =

 B  E  B  E

 · 

(11.141)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 225 — #229 



225


esto significa que para Σ

  

  

 = 0 y E

 = 0 B

(11.142)

por lo tanto, si por hip´ otesis los campos forman el mismo ańgulo en todos los sistemas de referencia inerciales, entonces en Σ′ tenemos  E cos φ =  ´ E

 B  ´ B

 ′· ′

(11.143)

Puesto que el producto punto es un invariante  B =  E  ′ B  ′ E

·

·

(11.144)

mientras que las normas de los campos eléctrico y magnético no lo son, se debe tener que  B  = 0 E (11.145)

·

para todos los observadores y adem´ as en ning´ un sistema de referencia se puede anular uno de los campos. 12. El tensor energ´ıa-momento del campo electromagn´ etico. El tensor campo electromagnético est´ a definido por la expresión αβ

T




ασ

− F

F β σ



(11.146)

entonces consideremos primero la componente temporal: 00

T



1 1  2 = B 4π 2



1 1 00 σδ = η F F σδ 4π 4  2

− E

−

01

F

F 01

0σ

− F

02

− F

F 02

F 0σ



03

− F

F 03



(11.147)

por otra parte tenemos que F αβ = η βσ F ασ

(11.148)

entonces, para i = 1, 2, 3 obtenemos F 0i = η iσ F 0σ = η ii F 0i =

−E i

(11.149)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 226 — #230 



226


por lo tanto 00

T

  − −   

1 1  2  2 B E 4π 2 1  2  2 E + B 8π

= =

 2 E

(11.150)

la cual corresponde a la densidad de energ´ıa del campo electromagnético. Consideremos ahora los términos T 0i , con i = 1, 2, 3: 0i

T

= = =





1 1 0i σδ η F F σδ F 0σ F iσ 4π 4 1 0σ i F F σ 4π 1 F 01 F i1 + F 02 F i2 + F 03 F i3 4π

− −

−



puesto que

F ji = η jσ F iσ = η jj F ij =



−F ij

(11.151)

(11.152)

as´ı T 01 = = =

− 4π1 F 02F 12 + F 03F 13 − 4π1 [ −E y Bz + E z By ] 1   E × B 4π x



 

 (11.153)

y de forma similar para las otras componentes, esto es 1  T = E 4π 0i

×  B

i

(11.154)

con i = x, y, z, las cuales corresponden a las componentes del vector de Pointing  = 1 E  B  S (11.155) 4π Para las componentes i, j = 1, 2, 3 se obtiene

×

ij

T

= =





1 1 ij σδ η F F σδ F iσ F jσ (11.156) 4π 4 1 1 F i0 F j0 + F i1 F j1 + F i2 F j2 + F i3 F j3 + δ ij F σδ F σδ 4π 4

−

−







 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 227 — #231 



227


teniendo en cuenta que F j0 = η 0σ F jσ = η 00 F j0 = F j0

(11.157)

el primer t´ ermino de la expresi´ on anterior (ecuaci´ on (11.156)) da F i0 F j0 = E i E j

(11.158)

Para los otros tres términos, con i = j, tenemos F i1 F i1 + F i2 F i2 + F i3 F i3 = B i

2

 −

 2 B

(11.159)

con la notaci´ on B i = Bx , By , Bz para i = 1, 2, 3, pues, por ejemplo, para i = j = 1 se obtiene F 11 F 11 + F 12 F 12 + F 13 F 13 =

−Bz Bz − By By Consideremos ahora los términos con i =  j,

F i1 F j1 + F i2 F j2 + F i3 F j3 = B i B j

(11.160)

(11.161)

Por ejemplo si i = 1 y j = 2 tenemos que F 11 F 21 + F 12 F 22 + F 13 F 23 = By Bx

(11.162)

Por lo tanto



1 1  2 + B  2 T = E i E j + B i B j + δ ij E 4π 2 ij





(11.163)

el cual corresponde al tensor de tensiones tridimensional del campo electromagnético. 13. Ecuaci´ on de continuidad del tensor T µν . A partir de la definici´ on del tensor energ´ıa-momento del campo electromagnético tenemos ∂T αβ = T αβ ,β ∂x β 1 ∂ 1 αβ σδ = η F F σδ F ασ F β σ β 4π ∂x 4 1 αβ ∂ 1 ∂ σδ = η F F F ασ F β σ δ σ β β 16π ∂x 4π ∂x 1 αβ σδ = η F ,β F σδ + F σδ F σδ,β 16π 1 ασ β F ασ,β F β (11.164) σ + F F σ,β 4π









−



−





−





 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 228 — #232 



228


El primer término de la u´ltima igualdad lo podemos escribir en la forma 1 αβ σδ 1 η F ,β F σδ + F σδ F σδ,β = F σδ F σδ,α 16π 8π



 

donde se ha utilizado el hecho que



(11.165)

F σδ F σδ = F σδ F σδ

(11.166)

y η αβ F σδ ,β = η αβ

∂F σδ ∂F σδ = = F σδ,α ∂x β ∂x α

(11.167)

por lo tanto

T αβ,β

= =

1 1 F σδ F σδ,α F ασ,β F βσ + F ασ F βσ,β 8π 4π 1 1 F ασ F βσ,β + F ασ,β F βσ F σδ F σδ,α (11.168) 4π 2

−



− 





−



De la ecuación de Maxwell en ausencia de fuentes tenemos ∂ α F αβ =

− 4πc J β = 0

(11.169)

entonces el primer t´ ermino de la ecuaci´ on (11.168) se anula, pues ασ βγ F ασ F β σ,β = η σγ F F ,β = 0

(11.170)

As´ı, subiendo y bajando el ´ındice β en el segundo t´ ermino de la ecuaci´ on (11.168) e intercambiando los ´ındices mudos de suma de este término en la forma β σ y σ δ , tenemos

→

T αβ ,β

→



  

1 1 = F ασ,β F β F σδ F σδ,α σ 4π 2 1 1 = F σδ F σδ,α F ασ,β F βσ 4π 2 1 1 = F σδ F σδ,α F αδ,σ F σδ 4π 2 1 1 = F σδ F σδ,α F αδ,σ 4π 2

−

 

−

− −



−



(11.171)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 229 — #233 



229


Esta ecuaci´ on la podemos transformar teniendo en cuenta la antisimetr´ıa del tensor campo electromagnético, y redefiniendo ´ındices mudos en el u ´ltimo término σ δ y δ σ, obtenemos

→

F σδ



1 σδ,α F 2

αδ,σ

− F



→

1 F σδ F σδ,α + F δα,σ + F δα,σ 2 1 F σδ F σδ,α + F σδ F δα,σ + F δσ F σα,δ 2 1 F σδ F σδ,α + F σδ F δα,σ + F σδ F ασ,δ 2 1 F σδ F σδ,α + F δα,σ + F ασ,δ 2 0 (11.172)

=

 

= = = =









 

pues el término entre paréntesis corresponde a la ecuaci´ on de Maxwell homogénea, i. e. F σδ,α + F δα,σ + F ασ,δ = 0

(11.173)

es decir, en ausencia de fuentes externas la cuadridivergencia del tensor energ´ıa-momento del campo electromagnético se anula: ∂T αβ = T αβ ,β = 0 β ∂x

(11.174)

Si hay fuentes entonces obtenemos que T αβ ,β = F ασ J σ

(11.175)

14. La traza del tensor T µν . Dado el tensor energ´ıa-momento αβ

T




ασ

− F

F β σ



(11.176)

su traza la podemos calcular a través de la relaci´ on T αγ = ηγβ T αβ = = =





1 1 ηγβ η αβ F σδ F σδ F ασ F β σ 4π 4 1 1 η γβ η αβ F σδ F σδ η γβ F ασ F β σ 4π 4 1 1 α σδ δ γ F F σδ F ασ F γσ 4π 4

 

− −

−



 (11.177)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 230 — #234 



230


entonces T αα

1 1 α σδ = δ α F F σδ F ασ F ασ 4π 4 1 = F σδ F σδ F ασ F ασ 4π = 0

 

−



−

 (11.178)

pues δ αα = 4

(11.179)

15. Otro invariante relativista. De la definició n de densidad de energ´ıa y del vector de Pointing tenemos que 2

2

  −       −  ×      − ·  −   ·     −   00 2

T

=

2

 = S

1 8π

 2 + B  2 E

1  4 + B  4 + 2E  2 B  2 E 2 64π =

1 64π 2

 2 E

 2 B

1  E 4π

2

 B

 2 B  2 + 4 E  B  4E

2

 B  + 4 E

2 1 1 αβ F F εδγαβ F δγ F αβ αβ 2 256π 4 el cual es un invariante relativista.

=

2

2

2

(11.180)

16. Trayectoria en campo el´ ectrico constante. Eligiendo un sistema de coordenadas con su origen en el instante y en el punto donde el prot´ on entra a la región de campo eléctrico, y tomando el 1 eje x = x en la direcci´ on de incidencia del prot´ on y el eje y = x 2 en la dirección del campo, tenemos que la cuadrivelocidad inicial del prot´ on est´ a dada por U 0 = γ (v0 ) (c, v0 , 0, 0)

(11.181)

La ecuaci´ on de movimiento viene dada por la fuerza de Lorentz dpα q dxγ = ηβγ F βα (11.182) dτ c dτ Las componentes del tensor campo electromagn´ etico est´ an dadas por 0 0 E 0 0 0 0 0 F βα = (11.183) E 0 0 0 0 0 0 0 f α =

  −

 



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 231 — #235 



231


por lo tanto las componentes del cuadrivector fuerza de Lorentz son: la temporal dp0 dτ

e dxγ e dx2 ηβγ F β 0 = η 22 F 20 c dτ c dτ e 2 EU c e Eγ (v )vy c

= = =

(11.184)

la componente en la direcci´ on del eje x γ dp1 e β 1 dx = η βγ F =0 dτ c dτ

(11.185)

en la direcci´ on del eje y dp2 dτ

e dxγ e dx0 ηβγ F β 2 = η 00 F 02 c dτ c dτ e 0 = EU c = eEγ (v ) =

(11.186)

y en la dirección del eje z dp3 e dxγ = η βγ F β 3 =0 dτ c dτ

(11.187)

De la ecuaci´ on (11.185) para la componente x tenemos que p1 (τ ) = m 0 U 1 (τ ) = C 1 = const.

(11.188)

donde m0 es la masa propia del protón y por la condición inicial (ecuaci´ on (11.181)) obtenemos p1 (τ = 0) = m0 γ (v0 )v0

(11.189)

(11.190)

(11.191)

y por lo tanto dx1 = U 1 (τ ) = γ (v0 )v0 dτ Integrando esta ecuaci´ on tenemos x1 (τ ) = γ (v0 )v0 τ + C 2



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 232 — #236 



232


y puesto que hemos elegido x1 = 0 en τ = 0 la constante de integraci´ on C 2 = 0. As´ı x1 (τ ) = γ (v0 )v0 τ

(11.192)

Por las condiciones iniciales la componente z (ecuaci´ on (11.187)) y por tanto la coordenada z son nulas. Las ecuaciones (11.184) y (11.186) las podemos reescribir en la forma dU 0 e m0 = EU 2 dτ c

(11.193)

dU 2 e = EU 0 (11.194) dτ c derivando la segunda ecuaci´ on y remplazando la primera tenemos m0

d2 U 2 e dU 0 e2 m0 = E = E 2 U 2 2 2 dτ c dτ m0 c

(11.195)

Integrando esta ecuaci´ on

 

 

eE eE U (τ ) = C 3 sinh τ + C 4 cosh τ m0 c m0 c 2

(11.196)

de la condici´ on inicial U 2 (τ = 0) = 0

(11.197)

obtenemos C 4 = 0 y para establecer la otra constante de integraci´ on utilizamos la ecuaci´ on (11.194) en τ = 0, as´ı dU 2 (τ ) m0 dτ pero

   

dU 2 (τ ) m0 dτ

τ =0

τ =0

e = EU 0 (τ = 0) = eEγ (v0 ) c

  

eE eE = m0 C 3 cosh τ m0 c m0 c eE = C 3 c

(11.198)

τ =0

(11.199)

y por lo tanto C 3 = cγ (v0 )

(11.200)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 233 — #237 



233


De esta forma obtenemos dx2 = U 2 (τ ) = cγ (v0 )sinh dτ

  eE τ m0 c

(11.201)

Integrando esta ecuaci´ on tenemos m0 c eE x (τ ) = cγ (v0 ) cosh τ + C 5 eE m0 c

 

2

(11.202)

La constante de integraci´ on se determina con la condici´ on inicial 2 que x = 0 para τ = 0, as´ı m0 c2 eE x (τ ) = γ (v0 ) cosh τ eE m0 c

  − 

2

1

(11.203)

De la ecuaci´ on (11.194) podemos obtener la componente U 0 de la cuadrivelocidad 0

U

=

m0 c dU 2 eE dτ

= cγ (v0 )cosh

  eE τ m0 c

(11.204)

As´ı el cuadrivector velocidad del prot´ on est´ a dado por U =



cγ (v0 )cosh

 

 

eE eE τ , γ (v0 )v0 , cγ (v0 )sinh τ , 0 m0 c m0 c

cuya norma al cuadrado es 2

U

(11.205)

 −  

eE τ m0 c eE c2 γ 2 (v0 )sinh2 τ m0 c = c2 γ 2 (v0 ) γ 2 (v0 )v02 2 2

2

= c γ (v0 ) cosh

−

= c2

−

γ 2 (v0 )v02

(11.206)

como debe ser. Notemos que, a diferencia del caso no relativista, la velocidad del prot´ on no es constante en la dirección normal al campo, pues lo que se conserva en esta direcci´ on es el momento y debido a que la part´ıcula est´ a acelerada en la direcci´ on del campo,



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 234 — #238 



234


su velocidad va aumentando y por lo tanto su masa inercial relativista, lo que exige que la velocidad en la dirección del eje x, dada por vx U 1 v0 = 0 = (11.207) c U c cosh eE τ

  m0 c

disminuya. La l´ınea de universo de la part´ıcula est´ a dada por x(τ ) = x0 (τ ), x1 (τ ), x2 (τ ), x3 (τ ) =





m0 c2 eE x , γ 0 v0 τ , γ 0 cosh τ eE m0 c



0

  −   1 ,0

(11.208)

donde γ 0 = γ (v0 ). Para encontrar la coordenada temporal ct = x0 (τ ) integramos la ecuaci´ on (11.204) con la condici´ on inicial t = 0 en τ = 0: m0 c2 γ (v0 ) eE x0 (τ ) = sinh τ (11.209) eE m0 c

 

Para encontrar la trayectoria del prot´ on, es decir r(t) =

x1 (t), x2 (t), x3 (t)





= (x(t), y(t), z(t))

(11.210)

despejamos τ en función de t de la ecuaci´ on (11.209) m0 c τ = sinh−1 eE





eE t m0 cγ (v0 )

(11.211)

y lo remplazamos en las coordenadas x 1 y x 2 . As´ı m0 c x1 (t) = γ (v0 )v0 sinh−1 eE c2

m0 x (t) = γ (v0 ) eE 2

   − 1





eE t m0 cγ (v0 )

 − 

(11.212)

2

eE t m0 cγ (v0 )

1

(11.213)

La curva que sigue el protón y = y(x) en el campo eléctrico constante la podemos obtener eliminando el tiempo en las dos ecuaciones anteriores. Sin embargo es m´ as sencillo si utilizamos la ecuaci´ on 1 (11.192) para eliminar τ en función de x = x y remplazamos en la ecuaci´ on para x 2 = y; de esta forma obtenemos m0 c2 eE = γ ( ) cosh y(x) v0 x eE m0 cγ (v0 )v0

 

−  1

(11.214)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 235 — #239 




235

En el caso no relativista sabemos que la trayectoria que sigue una part´ıcula cargada en un campo el´ ectrico uniforme, con velocidad inicial perpendicular al campo, est´ a dada por la relaci´ on para el tiro parab´ olico; as´ı, eligiendo las mismas coordenadas anteriores, la trayectoria que sigue el prot´ on est´ a dada por x(t) = v 0 t y(t) =

(11.215)

1 eE 2 t 2 m0

(11.216)

y por lo tanto la curva es una parábola y =

1 eE 2 x 2 m0 v02

(11.217)

Calculemos el l´ımite de ba jas velocidades de la ecuaci´ on (11.214), teniendo en cuenta que la expansi´ on en serie de Taylor de la función cosh est´ a dada por 1 cosh z = 1 + z 2 + 2

···

(11.218)

reteniendo t´ erminos hasta segundo orden: tenemos m0 c2 y = γ (v0 ) cosh eE

  

eE x m0 cγ (v0 )v0

m0 c2 eE x = γ (v0 ) 2eE m0 cγ (v0 )v0 1 eE = x 2 γ (v0 )m0 v02 1 eE 2 x = 2 m0 v02

∼ ∼

2



−  1

(11.219)

∼

con γ = 1 para v 0 << c. 17. Trayectoria en campo magn´ etico constante. Dado que el campo magn´ etico no hace trabajo sobre la part´ıcula cargada, la magnitud de la velocidad no cambia y la trayectoria de la part´ıcula es un c´ırculo de radio R. Si tomamos el eje z en la direcci´ on del campo magnético, entonces el cuadrimomento del prot´ on est´ a dado por pα = (γ (v )m0 c, γ (v )m0 vx , γ (v)m0 vy , 0) (11.220)



 



“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 236 — #240 



236


donde v = (vx , vy , 0), pues la velocidad del prot´ on es perpendi = B zˆ. La ecuaci´ cular al campo magnético B on de movimiento viene dada por la fuerza de Lorentz γ dpα q βα dx f = = ηβγ F dτ c dτ α

(11.221)

Las componentes del tensor campo electromagn´ etico est´ an dadas por 0 0 0 0 0 0 B 0 F βα = (11.222) 0 B 0 0 0 0 0 0

 

Por lo tanto

 

−

dp0 q dxγ = η βγ F β 0 =0 (11.223) dτ c dτ  = F 01 , F 02 , F 03 = 0. Para las pues el campo eléctrico es cero: E otras componentes de la cuadrifuerza tenemos (escribiendo solo los t´ erminos no nulos de la doble suma): f 0 =



1

f

= = = =

2

f

= = = =

y f 3 =

γ dp1 q β 1 dx = η βγ F dτ c dτ 2 q dx η 22 F 21 c dτ q 2 BU c q Bγ (v )vy c γ dp2 q β 2 dx = η βγ F dτ c dτ 1 q dx η 11 F 12 c dτ q 1 BU c q Bγ (v )vx c

− −

dp3 q dxγ = η βγ F β 3 =0 dτ c dτ



(11.224)

(11.225)

(11.226)



 



Relatividad Pro Tejeiro Solucionario

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