Tejeiro. Relatividad Especial Problemas

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Relatividad especial: problemas selectos Juan Manuel Tejeiro Sarmiento Profesor Titular Observatorio Astronómico Nacional Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia 2009

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Índice general 1. Introducci´ on

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2. Cinem´ atica relativista 2.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Transformaciones de Lorentz . . . . 2.1.2. Estructura causal del espacio-tiempo 2.1.3. Cinemática . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Problemas b´ asicos de cinem´ atica . . . . . . 2.3. Problemas avanzados . . . . . . . . . . . . .

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6 6 6 8 9 9 19

3. Efecto Doppler 24 3.0.1. Cuadrivector de onda . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.1. Problemas sobre el efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . 26 4. Din´ amica relativista 4.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Postulados de la din´ amica relativista 4.2.1. Sistema centro de masa . . . 4.2.2. Fotones y estructura atómica 4.3. Problemas de din´ amica relativista .

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5. Tensores 5.1. Definiciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . ´ 5.1.1. Algebra y propiedades de simetr´ıa de tensores 5.2. Transformación general de coordenadas . . . . . . . 5.2.1. Operadores vectoriales . . 5.3. Problemas de ´ algebra tensorial . . . . . . . . . . . .

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28 28 28 31 32 35

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41 41 45 47 48 49

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ÍNDICE GENERAL

6. Electrodin´ amica 6.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . 6.2. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . 6.3. Ecuaciones de Maxwell covariantes 6.4. Transformaciones Gauge . . . . . . 6.5. Problemas de electrodin´ amica . . .

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55 55 56 58 60 62

7. Cinem´ atica relativista 68 7.1. Soluciones de problemas de cinem´ atica . . . . . . . . . . . 68 7.2. Soluciones de problemas avanzados . . . . . . . . . . . . . 114 8. Efecto Doppler 129 8.1. Soluciones de problemas del efecto Doppler . . . . . . . . 129 9. Din´ amica relativista 140 9.1. Soluciones de problemas sobre din´ amica . . . . . . . . . . 140 10.Tensores 175 10.1. Soluciones de problemas álgebra tensorial . . . . . . . . . 175 11.Electrodin´ amica 198 11.1. Soluciones de problemas electrodin´ amica . . . . . . . . . . 198

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Prefacio En los diferentes curr´ıculos de las carreras de f´ısica y de algunas ingenier´ıas la teor´ıa de la relatividad se introduce a través de un curso dedicado a este tema, o haciendo parte de otros cursos, como los de introducci´ on a f´ısica moderna. La ubicaci´ on de estos cursos en los planes de estudio var´ıa también entre los diferentes programas. Por esta raz´ on, en la literatura especializada sobre la teor´ıa especial de la relatividad, nos encontramos con una gran variedad de textos y libros, con diferentes enfoques y diferentes niveles de profundidad y complejidad. Textos como el de R. Resnick “Introducci´ on a la teor´ıa especial de la relatividad” [9] o el de R. Skinner “Relativity for Scientists and Engineers” [10] desarrollan la teor´ıa en forma sencilla e intuitiva y con un lenguaje matem´ atico elemental, asumiendo que el lector posee conocimientos b´ asicos de mec´ anica y electromagnetismo. Otros textos m´ as avanzados, como el de French [3], si bien asumen del lector una formaci´ on similar a la de los anteriores, profundizan mucho m´ as en diferentes temas y aplicaciones, con ejemplos y ejercicios un poco m´ as complejos. En la carrera de F´ısica en la Universidad Nacional de Colombia (sede Bogotá) el curso de relatividad, el cual he venido dictando desde hace varios a˜ nos y para el que escrib´ı un texto [1], se ubica en el quinto semestre del programa, lo que permite profundizar un poco m´ as en el tema, aprovechando herramientas matem´ aticas m´ as complejas como los cuadrivectores y tensores. Una estrategia fundamental para los cursos b´ asicos de formación es el desarrollo de ejemplos y problemas que le permitan al estudiante consolidar los conocimientos te´ oricos y adquirir habilidades para el enfrentamiento de nuevos problemas. El presente libro se dedica a problemas en relatividad y sus soluciones y puede utilizarse como texto para un curso de relatividad especial o como complemento al texto del autor [1].

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Cap´ıtulo 1

Introducci´ on La Teor´ıa Especial de la Relatividad es uno de los pilares fundamentales de la f´ısica, pues est´ a basada sobre los postulados del principio de relatividad y la constancia de la velocidad de la luz en el vac´ıo y un conjunto de suposiciones generales del espacio, homogeneidad, isotrop´ıa y estructura euclidiana, y del tiempo, homogeneidad e isotrop´ıa. Esto implica que la teor´ıa especial de la relatividad se constituye en el marco esencial para describir las interacciones fundamentales, electromagnética, fuerte, débil y gravitacional, que rigen todos los fen´ omenos f´ısicos conocidos hasta el presente. Las ecuaciones de Maxwell, junto con la ecuaci´ on de fuerza de Lorentz, describen los fenómenos relacionados con la interacci´ on electromagnética. En 1861 Maxwell completa las leyes del electromagnetismo y predice la existencia de las ondas electromagnéticas, cuya velocidad de propagación, sin referencia a ning´ un observador espec´ıfico, depende solo de dos constantes fundamentales: ǫ0 la permitividad eléctrica del vac´ıo y µ0 la permitividad magnética del vac´ıo. Este resultado implicaba que las ecuaciones de Maxwell no permanec´ıan invariantes bajo transformaciones de Galileo, y por lo tanto las leyes del electromagnetismo eran válidas solo en un sistema de referencia inercial, identificando este sistema privilegiado con el espacio absoluto. Sin embargo, los experimentos dise˜ nados para medir velocidades absolutas no arrojaron resultados positivos. La soluci´ on a las contradicciones que se presentaban entre los principios de la electrodin´ amica (ecuaciones de Maxwell) y las leyes de Newton fue dada por Albert Einstein en 1905, y publicada en sus dos famosos art´ıculos, donde se establecen los fundamentos de la teor´ıa especial de 1 i

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´ CAPÍTULO 1. INTRODUCCION

la relatividad: “Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento” y “¿Depende la inercia de un cuerpo de su contenido de energ´ıa?” Las leyes del electromagnetismo, descritas por las ecuaciones de Maxwell, satisfacen los principios de la teor´ıa especial de la relatividad y por esta raz´ on no requirieron de ninguna modificaci´ on con el surgimiento de la relatividad, pero s´ı, definitivamente, incidieron sobre la comprensión y alcance de la teor´ıa electromagnética de Maxwell. Las interacciones fuerte y débil describen las fuerzas que act´ uan entre ciertas part´ıculas fundamentales y son las responsables (junto con las fuerzas electromagnéticas) de procesos que suceden a escalas nucleares y su din´ amica est´ a descrita por la teor´ıa cu´ antica de campos, la cual se basa en la mec´ anica cu´ antica relativista formulada por Dirac en 1928. La interacci´ on gravitacional, descrita inicialmente por la ley de gravitación universal de Newton, es una fuerza que act´ ua entre todos los cuerpos en forma universal, dependiente solamente de sus masas y no de la naturaleza o constitución de los cuerpos. Es importante aclarar que en f´ısica el término masa tiene dos significados diferentes: el primero se refiere a la masa inercial de un cuerpo y el segundo a su masa gravitacional. Galileo formul´ o el principio conocido como “la ley de ca´ıda de los cuerpos”, el cual establece que, sobre la tierra y en ausencia de rozamiento, todos los cuerpos, independientemente de su naturaleza, caen con la misma aceleraci´ on. Este hecho, conocido hoy como el principio de equivalencia, implica que la relaci´ on entre la masa gravitacional y la masa inercial de un cuerpo es una constante universal, la cual puede ser elegida como la unidad. Esta elección implica que las masas gravitacional e inercial de un cuerpo se miden en las mismas unidades. En 1916 Einstein formula la teor´ıa general de la relatividad, como una necesidad de modificar la ley de gravitación universal de Newton, pues esta ley implica que la fuerza gravitacional act´ ua en forma instantánea, violando as´ı el principio de la constancia de la velocidad de la luz en el vac´ıo. Para desarrollar esta nueva formulaci´ on de la gravitación se hizo necesario generalizar el principio de relatividad y levantar la hip´ otesis euclidiana del espacio. En este contexto la teor´ıa de la relatividad es una teor´ıa fundamental del espacio-tiempo, y por lo tanto la formación en relatividad constituye hoy d´ıa una necesidad, no solo para los profesionales en f´ısica, sino también para otras ´ areas de las ciencias b´ asicas y aplicadas, como las ingenier´ıas y las ciencias del espacio, donde, por ejemplo, el sistema geogr´ afico de posicionamiento global (GPS) est´ a fundamentado en la teor´ıa

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3 de la relatividad. Cada cap´ıtulo se inicia con un resumen de los principales resultados de la teor´ıa, los cuales son necesarios para el desarrollo de los problemas, y es por esta raz´ on que el libro es autocontenido. Los problemas est´ an dise˜ nados para consolidar la teor´ıa, adquirir habilidades y profundizar en la teor´ıa y sus aplicaciones, ofreciendo en muchos de ellos varias alternativas de soluci´ on, discusiones adicionales y su relaci´ on con otros campos de la f´ısica o la matem´ atica, como la astronom´ıa y la teor´ıa de grupos, sin que sea necesario que el estudiante esté familiarizado con estos temas. En este texto utilizaremos la convenci´ on (+, −, −, −) para la métrica minkowskiana y la convenci´ on de suma de Einstein, donde los ´ındices griegos van de 0 a 3 y los latinos de 1 a 3, los cuales est´ an reservados para describir las coordenadas espaciales. La siguiente es una tabla de constantes fundamentales y algunas definiciones con sus correspondientes factores de conversi´ on de unidades, que son de utilidad para el desarrollo de los problemas: 1. Constantes fundamentales: 1.1 Velocidad de la luz en el vac´ıo c = 2,99792458 × 108 ms−1 1.2 Constante de Planck h = 6,6260755 × 10−34 Js h = 1,05457266 × 10−34 Js ℏ ≡ 2π 1.3 Constante de gravitación universal G = 6,67259 × 10−11 m3 kg−1 s−2 1.4 Masa propia del electr´ on, prot´ on y neutrón moe = 9,1093897 × 10−31 kg

m0p = 1,6726231 × 10−27 kg

m0n = 1,6749286 × 10−27 kg 1.5 Carga del electr´ on e = 1,60217733 × 10−19 C

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´ CAPÍTULO 1. INTRODUCCION

1.6 Relaci´ on carga/masa del electr´ on e/m = 1,75881962 × 1011 Ckg−1 1.7 Constante de Boltzmann k = 1,3806568 × 10−23 JK −1 1.8 Constante de Coulomb K=

1 8,98755 × 109 N m2 C −2 4πǫ0

1.9 Constante de Rydberg R = 1,0973731534 × 107 m−1 2. Unidades astronómicas: 2.1 La unidad astronómica AU se define como la distancia media de la tierra al sol: 1AU = 1,495978 × 1011 m 2.2 El a˜ no luz al se define como la distancia que la luz recorre en un a˜ no: 1al = 9,46053 × 1015 m = 6,324 × 104 AU 2.3 El parsec pc, definido como la distancia a la cual una AU subtiende un segundo de arco: 1pc = 3,085678 × 1016 m = 3,261633al = 206265AU 3. Otras unidades de uso com´ un en relatividad y f´ısica atómica: 3.1 El electronvoltio ev se define como la energ´ıa cinética que adquiere una part´ıcula de carga fundamental e = 1,60217733 × 10−19 C cuando se acelera en una diferencia de potencial de 1 voltio: 1eV = 1,60217733 × 10−19 J

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5 3.2 De la relaci´ on de equivalencia entre masa y energ´ıa E = mc2 es com´ un expresar la masa de las part´ıculas elementales en unidades de energ´ıa en electronvoltios (lo cual es equivalente a tomar c = 1): moe = 0,51099906 × 106 eV = 0,51099906M eV

mon = 939,566M eV

mop = 938,27231M eV 3.3 Constante de Planck ℏ y constante de Rydberg en unidades de electronvoltios: ℏ = 6,5821220 × 10−16 eV s

R = 13,6056981eV

La constante de Rydberg corresponde a la energ´ıa de ionizaci´ on del ´ atomo de hidrógeno.

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Cap´ıtulo 2

Cinem´ atica relativista 2.1.

Introducci´ on

Este cap´ıtulo est´ a dedicado a la cinem´ atica relativista. En la primera parte presentaremos las definiciones y los resultados m´ as importantes para abordar los problemas propuestos. Para un desarrollo detallado de la cinem´ atica relativista remitimos al lector a los textos [1], [2] y [3]. Hay tres art´ıculos interesantes que recomendamos como lectura complementaria, los cuales ilustran la variedad y complejidad de los problemas que pueden surgir en relatividad. El primero es de Scott y Viner ([4]), el cual trata sobre la forma aparente de los objetos, y los otros dos, de Dewan y Beran ([5]) y Dewan ([6]), discuten el problema de dos cohetes conectados por un hilo inextensible.

2.1.1.

Transformaciones de Lorentz

Consideremos dos sistemas de referencia Σ y Σ′ . Entonces la transformaci´ on de Lorentz homogénea m´ as general se puede escribir en la forma Λ: Σ → Σ′ (2.1) ′ x → x = Λx donde Λ = Λ(~v , ~θ)

(2.2)

con ~v la velocidad de Σ′ respecto a Σ, y ~θ un conjunto de tres par´ ametros, por ejemplo los ´ angulos de Euler, que determinan rotaci´ on de los 6 i

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´ 2.1. INTRODUCCION

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ejes espaciales. Si llamamos xα y x′α las componentes de x y x′ respectivamente, la ecuaci´ on de transformación se puede escribir en la forma: x′α = Λα β xβ (2.3) con Λα β los elementos de la matriz de transformación. Asumiendo que el sistema de referencia Σ′ se mueve con velocidad v en la direcci´ on de los ejes positivos x − x′ , y suponiendo que los dos observadores eligen t = t′ = 0 cuando los or´ıgenes de coordenadas coinciden y toman los ejes espaciales paralelos, las ecuaciones de transformación de Lorentz est´ an dadas por x′0 = γ(x0 − βx1 ) x′1 = γ(x1 − βx0 ) (2.4) x′2 = x2 x′3 = x3 con la siguiente notaci´ on: x0 = ct 1

2

(2.5) 3

~r = x , x , x (2.6) v (2.7) β= c 1 (2.8) γ = γ(v) = p 1 − β2 Para este caso los elementos de la matriz de transformación de Lorentz toman la forma   γ −βγ 0 0  −βγ γ 0 0   Λα β =  (2.9)  0 0 1 0  0 0 0 1 La relaci´ on entre un intervalo de tiempo propio ∆τ y el intervalo de tiempo ∆t, entre dos eventos medidos por un observador inercial, est´ a dada por la ecuaci´ on: ∆t = p

∆τ 1 − β2

(2.10)

La relaci´ on entre la longitud f´ısica de un objeto ℓ, que se mueve con velocidad v, y su longitud propia ℓ0 es q (2.11) ℓ = ℓ0 1 − β 2

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´ CAPÍTULO 2. CINEMATICA RELATIVISTA

2.1.2.

Estructura causal del espacio-tiempo

La estructura causal del espacio-tiempo est´ a determinada por el intervalo de distancia espacio-temporal entre eventos, el cual est´ a definido por 2 ∆Sij = (x0j − x0i )2 − (x1j − x1i )2 − (x2j − x2i )2 − (x3j − x3i )2

(2.12)

donde Pi = (x0i , x1i , x2i , x3i )

(2.13)

son las coordenadas del evento Pi y similarmente para el evento Pj . El intervalo espacio-temporal es invariante bajo transformaciones de Lorentz. Este intervalo también se puede escribir utilizando la matriz o tensor métrico de Minkowski  µ=ν=0  +1 −1 µ = ν = 1, 2, 3 η µν = (2.14)  0 µ 6= ν en la forma

2 ∆Sij = η µν ∆xµ ∆xν

(2.15)

∆xµ = xµj − xµi

(2.16)

donde

Para generalizar este resultado, se define el producto minkowskiano entre dos cuadrivectores x y y como el invariante x · y = η µν xµ y ν

(2.17)

y la norma minkowskiana por x2 = x · x = η µν xµ xν

(2.18)

Dada la definición de norma minkowskiana, clasificamos los cuadrivectores no nulos de la siguiente forma: si x2 > 0 2

2

si x si x

=⇒

x

es

temporal

< 0

=⇒

x

es

espacial

= 0

=⇒

x

es

nulo o

de

luz

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´ ´ 2.2. PROBLEMAS BASICOS DE CINEMATICA

2.1.3.

Cinem´ atica

Sea x(τ ) = (x0 (τ ), x1 (τ ), x2 (τ ), x3 (τ ))

(2.19)

el cuadrivector posici´ on de una part´ıcula como función del tiempo propio τ el cual describe la l´ınea de universo de la part´ıcula. El par´ ametro tiempo propio est´ a definido en términos de la distancia espacio-temporal entre dos posiciones sucesivas de la part´ıcula x(τ ) x(τ + dτ ) = x(τ ) + dx(τ ) as´ı c2 dτ 2 = ds2 = dx0

2

− dx1

2

− dx2

2

(2.20)

− dx3

2

(2.21)

entonces la cuadrivelocidad de la part´ıcula se define como U=

dx = (U 0 , U 1 , U 2 , U 3 ) dτ

(2.22)

y su cuadrivector aceleraci´ on A=

dU = (A0 , A1 , A2 , A3 ) dτ

(2.23)

Dado que la norma al cuadrado de un cuadrivector es un invariante, las cuatro componentes del cuadrivector velocidad y el cuadrivector aceleraci´ on no son independientes, pues 2 2 2 2 U 2 = U 0 − U 1 − U 2 − U 3 = c2 (2.24) y

A2 = A0

2

− A1

2

− A2

2

− A3

2

= −α2

(2.25)

donde α es la aceleraci´ on propia. Además los cuadrivectores U y A son ortogonales bajo el producto minkowskiano, es decir U · A = U 0 A0 − U 1 A1 − U 2 A2 − U 3 A3 = 0

2.2.

(2.26)

Problemas b´ asicos de cinem´ atica

1. Estructura causal. Sea Σ un sistema de referencia inercial y sean P1 = (3, 2, 0, 2)

P2 = (4, −1, 0, 2)

P3 = (−2, −1, 0, −2)

las coordenadas de tres eventos, en unidades arbitrarias con c = 1.

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a ¿Cu´ ales eventos est´ an conectados causalmente? b ¿Para cu´ al par de eventos existe un sistema de referencia Σ′ para el que los dos eventos son simult´ aneos? Calcular la velocidad de Σ′ respecto a Σ. c ¿Para cu´ al par de eventos existe un sistema de referencia Σ′ con respecto al cual los dos eventos suceden en el mismo punto del espacio? Calcular la velocidad de Σ′ respecto a Σ. 2. La paradoja del garaje. Consideremos un bus de longitud propia ℓ0 = 10m moviéndose con velocidad v = 0,8c directamente hacia un garaje en reposo de longitud 6m. Debido al efecto de contracci´ on de longitudes el bus mide, respecto al sistema de referencia garaje, r v2 (2.27) ℓ = 1 − 2 ℓ0 = 6m c As´ı, cuando la trompa del bus alcance la pared posterior del garaje, la parte trasera del bus pasa por la puerta de este y por lo tanto, respecto al observador fijo con relaci´ on al garaje el bus queda “atrapado” en él. Supongamos (sin que esto influya en la soluci´ on del problema) que la pared del garaje es lo suficientemente r´ıgida de tal manera que el bus quede atrapado en el garaje, deform´ andose por efecto del impacto contra la pared. Si analizamos la misma situaci´ on desde el punto de vista de un sistema de referencia, con respecto al cual el bus se encuentre en reposo, el garaje se mueve hacia el bus con velocidad 0,8c y por lo tanto la longitud del garaje, vista desde el bus, es de 3,6m y as´ı el bus no puede ser “atrapado” dentro del garaje. ¿Cómo se resuelve esta aparente paradoja, pues el principio de relatividad establece que la f´ısica es la misma desde todos los sistemas de referencia inerciales? 3. Varilla inclinada. Consideremos una varilla de longitud propia ℓ0 situada en el plano x− y que se mueve con velocidad v a lo largo del eje x positivo respecto a un observador inercial, la cual forma un ´ angulo θ0 en su sistema de referencia propio con respecto al eje de las x. ¿Qué ´ angulo forma la varilla respecto al observador inercial Σ? 4. Paradoja de la varilla inclinada. Una varilla de longitud propia ℓv0 se mueve con velocidad v hacia una plataforma en reposo

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que tiene una rendija de longitud propia ℓ0 . La varilla permanece paralela a la plataforma y se mueve hacia ella en la direcci´ on que forma un ´ angulo de 45o con respecto a la plataforma, como se muestra en la figura (2.1).

Figura 2.1: Paradoja de la varilla inclinada. La varilla se mueve hacia una rendija, de tal forma que su centro se dirige hacia el centro de la rendija.

Dado que la varilla se contrae con respecto al sistema de referencia de la plataforma, supongamos que la varilla pasa por la rendija exactamente. Asumir que el centro de la varilla pasa por el centro de la rendija. Si analizamos lo que sucede desde el punto de vista de un observador inercial ligado a la varilla, la rendija es la que se contrae y por lo tanto no deber´ıa pasar por la rendija. ¿C´ omo resolver esta paradoja? Tengamos en cuenta que, si desde el punto de vista de un observador la varilla pasa por la rendija, entonces esto debe suceder para todos los observadores. 5. Adici´ on de velocidades no paralelas. Considere tres sistemas de referencia inerciales Σ, Σ′ y Σ′′ . a Supongamos que el sistema Σ′ se mueve con velocidad vx respecto a Σ y que Σ′′ se mueve con velocidad vz respecto a Σ′ . Calcular los elementos de la matriz de transformación de Lorentz entre Σ y Σ′′ . b Si ahora Σ′ se mueve con velocidad vz respecto a Σ y Σ′′ se mueve con velocidad vx respecto a Σ′ , calcular los elementos de la matriz de transformación de Lorentz entre Σ y Σ′′ . Comparar

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la respuesta con la parte a: ¿la composici´ on de transformaciones puras de Lorentz es conmutativa en general? 6. Vida media de part´ıculas inestables. La mayor´ıa de las part´ıculas fundamentales son inestables, es decir, se desintegran en otras part´ıculas al cabo de un cierto tiempo τ , llamado tiempo de vida media. El tiempo de vida media de una part´ıcula elemental es una cantidad estad´ıstica definida como el tiempo necesario para que la mitad de una poblaci´ on inicial N0 de part´ıculas se desintegre en su sistema propio de referencia, i. e., si N (t) es el n´ umero de part´ıculas que a´ un no se han desintegrado, entonces N (t) = N0 2−t/τ

(2.28)

Un pi´ on π + (+ se refiere a la carga eléctrica del pi´ on) se desintegra en otras part´ıculas elementales seg´ un la reacci´ on π + → µ+ + ν

(2.29)

donde µ+ es un mu´ on positivo y ν un neutrino. Los mesones π se pueden producir en el laboratorio por choque entre protones en un acelerador. En un experimento de colisi´ on de protones se producen mesones π con velocidad v = 0,985c y se observa que 2/3 de ellos sobreviven a una distancia D = 25m del blanco. Calcular el tiempo de vida media de los mesones π. 7. Cuadrivector velocidad. Encontrar la relaci´ on entre las componentes del cuadrivector velocidad U = U 0, U 1, U 2, U 3 (2.30) y las componentes de la velocidad f´ısica de una part´ıcula ~u = (ux , uy , uz )

(2.31)

8. Cuadrivector aceleraci´ on. Encontrar la relaci´ on entre las componentes del cuadrivector aceleraci´ on A = A0 , A1 , A2 , A3 (2.32) y las componentes de la aceleraci´ on f´ısica de una part´ıcula ~a =

d~u dt

(2.33)

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Mostrar que los cuadrivectores velocidad y aceleraci´ on para una part´ıcula son ortogonales, es decir U ·A =0 9. Transformaci´ on de la velocidad. A partir de las componentes del cuadrivector velocidad y las transformaciones de Lorentz usuales, encontrar las ecuaciones de transformación para las componentes de la velocidad entre dos sistemas de referencia inerciales. 10. Velocidad relativa. Consideremos dos part´ıculas que se mueven con velocidades ~v1 y ~v2 respecto a un observador inercial Σ. Calcular la magnitud de la velocidad relativa entre las dos part´ıculas en términos de ~v1 y ~v2 . 11. Espacio-tiempo euclidiano. A partir de la definición tanh φ := β = v/c encontrar las ecuaciones de transformación de Lorentz usuales y el teorema de adici´ on de velocidades en términos del par´ ametro φ. Interpretar geométricamente el resultado. 12. Adici´ on numerable de velocidades. Supongamos que un bloque se mueve con velocidad v1 = v en la direcci´ on del eje x positivo respecto a un sistema de referencia Σ y un segundo bloque se desliza con velocidad constante v2 = v respecto al primer bloque y en la direcci´ on del eje x positivo. a A partir del teorema de adici´ on de velocidades relativista calcular la velocidad del segundo bloque v2′ respecto a Σ y demostrar que si v → c entonces v2′ → c.

b Consideremos un tercer bloque que se mueve con respecto al segundo a velocidad v3 = v. Calcular la velocidad v3′ de este bloque respecto a Σ. Generalizar esta relaci´ on para n bloques y demostrar que l´ım vn′ = c (2.34) n→∞

13. Longitud aparente. Consideremos una cámara fotográfica situada sobre el eje y positivo de un sistema de referencia inercial y una varilla homogénea de longitud propia ℓ0 que se mueve con velocidad β = v/c a lo largo del eje x positivo.

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a Si la c´ amara, situada a una distancia D del origen de coordenadas, toma una foto de la varilla de tal manera que el centro de la varilla aparezca en el origen de coordenadas, ¿dónde aparentan estar los extremos de la varilla seg´ un la foto? ¿Cuál es la longitud aparente de la varilla seg´ un la foto y su relaci´ on con la longitud f´ısica? Ilustre los resultados con ejemplos numéricos y muestre que si la distancia de la varilla a la cámara es mucho mayor que la longitud de la varilla, entonces la longitud aparente se aproxima a la longitud f´ısica. b Consideremos ahora una foto de la varilla en una posici´ on arbitraria, cuando la l´ınea que une el centro de la varilla y la c´ amara forma un ´ angulo α con respecto al eje x y suponga la aproximación de rayos paralelos, válida si D >> ℓ0 . ¿Cuál es la longitud aparente de la varilla seg´ un la foto? Compare el resultado con la longitud f´ısica de la varilla y con el resultado de la primera parte de este problema. 14. Comunicaci´ on espacial. Dos naves espaciales A y B viajan en direcciones opuestas a velocidad constante v respecto a la tierra. Las naves se cruzan cuando se encuentran a una distancia L de la tierra, medida en el sistema de referencia de la tierra. En el instante del cruce de las naves se env´ıa una primera se˜ nal de luz desde la tierra hacia las naves y un tiempo posterior t0 se env´ıa una segunda se˜ nal. Las se˜ nales de luz se reflejan instantáneamente en las naves regresando a la tierra. Suponga que t0 < L/v

(2.35)

Asumiendo que el movimiento de las naves y el de la tierra se encuentran sobre la misma l´ınea, esta condici´ on implica que la segunda se˜ nal es emitida antes que la nave que se acerca llegue a la tierra. a Hacer un diagrama espacio-tiempo y dibujar las l´ıneas de universo de la tierra, las naves y las se˜ nales de luz. b ¿Cu´ al es la posici´ on de las naves, medida en el sistema tierra, cuando se reciben las se˜ nales en las naves? c ¿Con qué diferencia de tiempos, medida en el sistema tierra, llegan las dos se˜ nales a cada nave?

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d Con qué diferencia de tiempos, medida en el sistema tierra, llegan las se˜ nales reflejadas a la tierra, provenientes de cada una de las naves? e Resolver las preguntas c y d anteriores respecto al sistema de referencia de cada una de las naves. 15. Velocidades superluminosas aparentes. En observaciones astron´ omicas de algunos AGN (N´ ucleos Activos de Galaxias) que se encuentran a distancias muy grandes, se han detectado movimientos propios que implican velocidades transversales aparentes vT de la fuente mayores que la luz (por ejemplo vT ∼ 10c). Una explicación, que no entra en conflicto con otras observaciones astron´ omicas y con el segundo postulado de la relatividad, est´ a basada sobre el movimiento relativista de materia (fuente) en estos AGN. Supongamos que en un instante dado recibimos radiaci´ on electromagnética de una u ńica fuente distante f y un tiempo posterior (varios a˜ nos después) recibimos se˜ nales de otra fuente f2 que se aleja de la fuente original f (que ahora denotamos por f1 como se muestra en la figura (2.2)).

Figura 2.2: Velocidades superluminosas aparentes. En un instante inicial un observador distante ve una sola fuente y un tiempo posterior se observan dos fuentes alej´ andose.

Si la fuente f2 se aleja de la fuente original f1 a una velocidad v formando un ´ angulo ϕ con respecto a la l´ınea de visión del observador 0, calcular la velocidad transversal aparente vT = 0f2 ∆α/∆t

(2.36)

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de la fuente f2 , vista por el observador en 0 y hacer un gr´ afico de vT en funci´ on del ´ angulo ϕ, para diferentes valores de la velocidad v. Asumir que la separación angular ∆α de las fuentes es peque˜ na. 16. Relatividad sin el segundo postulado. Las ecuaciones de transformaci´ on de Lorentz se dedujeron a partir de los dos postulados b´ asicos: principio de relatividad y constancia de la velocidad de la luz en el vac´ıo. En el proceso de deducción de las ecuaciones de transformación de Lorentz, entre dos sistemas de referencia inerciales Σ y Σ′ (con Σ′ moviéndose con velocidad v a lo largo de los ejes x − x′ ), por la aplicaci´ on del primer postulado se obtienen las siguientes ecuaciones de transformación (ver e. g. [1]): y′ = y

(2.37)

z′ = z

(2.38)

′

x = γ(x − vt) ′

′

(2.39)

x = γ´(x + vt )

(2.40)

γ´= γ

(2.41)

donde γ es un par´ ametro por determinar que depende de la velocidad v y el cual caracteriza a la transformación (independiente de las coordenadas). A partir de estas ecuaciones y sin utilizar el segundo postulado demostrar que la transformación para t′ en funci´ on de t y x se puede escribir en la forma v (2.42) t′ = γ(t − 2 x) K con 1 γ=q (2.43) v2 1− K 2 y K dado por

v2 γ 2 (2.44) γ2 − 1 Teniendo en cuenta que la transformación obtenida debe ser válida para todos los sistemas de referencia inerciales, muestre que K es un par´ ametro independiente de la velocidad relativa entre sistemas de referencia. Ayuda: aplique la composici´ on de transformaciones ′′ ′ para pasar de Σ → Σ, con Σ moviéndose con velocidad v respecto a Σ y Σ′′ moviéndose con velocidad u respecto a Σ′ (ambos a lo largo del eje x positivo). K=

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17. Viaje al pasado. El postulado de la constancia de la velocidad de la luz en el vac´ıo trae como consecuencia que las part´ıculas materiales solo pueden viajar a velocidades menores que c, lo cual implica que siempre es posible encontrar un sistema de referencia, con respecto al cual la part´ıcula se encuentra en reposo. Estas ecuaciones muestran, también, que no tiene sentido hablar de un observador (sistema de referencia) que viaje a la velocidad de la luz, pues en este caso el factor γ de Lorentz diverge, ya que l´ım γ(v) = l´ım q

v→c

v→c

1 1−

v2 c2

= +∞

(2.45)

Sin embargo, cabe la pregunta ¿podr´ıan existir part´ıculas que viajen a velocidades mayores que c? A estas part´ıculas hipotéticas se las conoce con el nombre de tachyones. Aun cuando se han elaborado modelos te´ oricos sobre estas part´ıculas, hasta el presente no se tiene ninguna evidencia observacional sobre ellas. Una consecuencia que podr´ıamos deducir, si tuviéramos a disposici´ on un emisor de tachyones para enviar se˜ nales, es que podr´ıamos recibir una se˜ nal de respuesta antes de haber enviado la primera se˜ nal. Consideremos un observador inercial Σ, que dispone de un emisor de tachyones, situado en el origen del sistema y el cual env´ıa una se˜ nal a una velocidad vT > c hacia un segundo observador inercial Σ′ , que se mueve con velocidad v en la direcci´ on del eje x positivo. Supongamos que el observador inercial Σ′ recibe el tachyon cuando se encuentra a una distancia D medida con respecto a Σ, y devuelve inmediatamente la se˜ nal tachyónica hacia el origen del sistema Σ, con velocidad vT relativa a su sistema Σ′ . Calcular el tiempo de ida y vuelta de la se˜ nal medido por Σ y mostrar que es posible recibir la se˜ nal antes que la primera salga. 18. Viaje interestelar 1. Una nave espacial parte de la tierra con aceleraci´ on propia g constante y se dirige hacia el c´ umulo abierto de las Pléyades, el cual se encuentra a una distancia de nosotros de unos 425 al (a˜ nos-luz). Este c´ umulo, con una poblaci´ on estimada de unas 400 estrellas, es visible a simple vista y se pueden observar normalmente sus siete estrellas m´ as brillantes: Alcine, Atlas, Electra, Maia, Merope, Taygeta y Pleione; algunas personas han logrado observar dos estrellas adicionales: Celaeno y Asterope. a El a˜ no luz al se define como la distancia que la luz recorre en

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un a˜ no (ver inroducci´ on sobre unidades): 1al = 9,46053 × 1015 m

(2.46)

donde se ha tomado para la velocidad de la luz en el vac´ıo el valor c = 2,99792458 × 108 ms−1 (2.47) Si medimos las distancias en al y la velocidad en unidades de c, calcular el valor de la aceleraci´ on de la gravedad terrestre g = 9,8ms−2 en estas unidades. b Calcular la l´ınea de universo para el cohete en función del tiempo propio de la nave, asumiendo que cuando la nave parte de la tierra t = 0, en el sistema de referencia tierra y τ = 0 el tiempo propio de la nave. Tomar el origen de coordenadas en la tierra. c Supongamos que el cohete, en su viaje hacia las Pléyades, parte de la tierra con aceleraci´ on propia g = 9,8ms−2 hasta alcanzar la mitad del camino y luego frena, en el resto del viaje, con la misma aceleraci´ on propia. Calcular el tiempo en llegar hasta la mitad del camino y hasta las Pléyades, medido en el sistema tierra y en el cohete. Cuando la nave se encuentra a mitad de camino e inicia el frenado, ¿a qué velocidad se est´ a moviendo el cohete respecto a la tierra? Si la nave regresa a la tierra siguiendo un recorrido similar al de ida, ¿cuánto tiempo tarda el viaje total, ida y regreso, para el observador en la nave y para la tierra? d Una segunda nave parte de la tierra simult´ aneamente con la primera nave, pero con aceleraci´ on propia de 10g hasta la mitad del camino a las Pléyades y luego desacelera a 10g hasta llegar al reposo. Repetir los cálculos de la parte c del presente problema y comparar los resultados. 19. Viaje interestelar 2. Consideremos de nuevo el viaje de un cohete que parte de la tierra hasta las Pléyades (ver problema anterior). La nave inicia su viaje con aceleraci´ on propia de 10g hasta alcanzar una velocidad de v = 0,999c, luego contin´ ua el viaje a velocidad constante y finalmente desacelera con aceleraci´ on propia de 10g, llegando a las Pléyades con velocidad final cero.

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2.3. PROBLEMAS AVANZADOS

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a ¿En cu´ anto tiempo, medido desde el cohete y desde la tierra, alcanza la nave la velocidad final v? b ¿A qué distancia de la tierra se encuentra la nave en ese instante, medida en el sistema tierra? c Si el cohete regresa a la tierra, siguiendo un recorrido similar al de ida, ¿Cu´ anto tiempo tarda el viaje completo para el cohete y para la tierra? Comparar el resultado con el problema anterior. 20. El horizonte de eventos. Una part´ıcula material es acelerada desde el reposo con aceleraci´ on propia constante α, con respecto a un sistema de referencia inercial Σ. La part´ıcula inicia su movimiento en el origen de Σ cuando t = 0 y se elige el eje x en la direcci´ on de movimiento de la part´ıcula. a Encontrar la l´ınea de universo de la part´ıcula en función del tiempo propio, i. e., encontrar x(τ ) = (x0 (τ ), x1 (τ ), 0, 0) b Calcular la posici´ on de la part´ıcula con respecto al tiempo para el observador Σ, i. e., encontrar x1 = x1 (x0 ) Hacer un gr´ afico espacio-tiempo del movimiento de la part´ıcula con aceleraci´ on propia constante y analizar este gr´ afico. c Mostrar que si se env´ıa una se˜ nal de luz desde el origen un tiempo c/α después de salir la part´ıcula, entonces esta se˜ nal nunca alcanza a la part´ıcula. Con base en este resultado, analizar el gr´ afico espacio-tiempo del movimiento de una part´ıcula sometida a una aceleraci´ on propia constante.

2.3.

Problemas avanzados

1. Grupo de Lorentz. Consideremos el producto minkowskiano en notaci´ on matricial x · y = xT ηy (2.48) donde x, y ∈ M, el espacio-tiempo de Minkowski, y con la notaci´ on 0 x = x x1 x2 x3 (2.49)

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 x0  x1   xT =   x2  x3 

y la matriz de Minkowski dada por  1 0 0 0  0 −1 0 0 η=  0 0 −1 0 0 0 0 −1

(2.50)

   

(2.51)

a Encontrar las propiedades generales de una transformación de Lorentz Λ : M −→ M (2.52) ′ x 7−→ x = Λx

que deja invariante el producto minkowskiano. Ayuda: de la invarianza bajo el producto minkowskiano encontrar la ecuaci´ on de restricción para la matriz Λ. A partir de esta ecuaci´ on, encontrar el determinante y el n´ umero m´ aximo necesario de par´ ametros independientes, que caracterizan una transformaci´ on general de Lorentz y analizar el resultado.

b Sea Λ una matriz de transformación de Lorentz y sea L otra matriz 4 × 4 tal que Λ = eL (2.53) La exponencial de una matriz se debe entender en el siguiente sentido: dado que la expansi´ on en serie de la función exponencial est´ a dada por ∞ X 1 n 1 2 x e =1+x+ x +··· = 2 n! n=0 x

(2.54)

entonces

1 (2.55) eL = 1 + L + L2 + · · · 2 A partir de esta representación de una transformación de Lorentz, a través de la exponencial de otra matriz L, encontrar la forma general de una transformación de Lorentz. Ayuda: muestre en primer lugar que para una transformación propia de Lorentz tenemos det |Λ| = eT rL

(2.56)

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donde T rL es la traza de la matriz L. Probar luego que la matriz ηL es antisimétrica y de este resultado mostrar que la forma general de la matriz L se puede escribir como   0 L01 L02 L03  L01 0 L12 L13   L= (2.57)  L02 −L12 0 L23  L03 −L13 −L23 0 c Demostrar que la matriz L se puede escribir como una combinaci´ on lineal de las siguientes matrices:     0 0 0 0 0 1 0 0  0 0 0 0     ; B1 =  1 0 0 0  (2.58) R1 =   0 0 0 −1   0 0 0 0  0 0 1 0 0 0 0 0 

0 0 0  0 0 0 R2 =   0 0 0 0 −1 0  0 0 0  0 0 −1 R3 =   0 1 0 0 0 0

es decir, mostrar que

 0 1  ; 0  0  0 0  ; 0  0



0  0 B2 =   1 0  0  0 B3 =   0 1

0 0 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

 0 0   0  0  1 0   0  0

(2.59)

(2.60)

L = −α1 R1 − α2 R2 − α3 R3 − ζ 1 B1 − ζ 2 B2 − ζ 3 B3 (2.61) El signo menos es arbitrario y se introduce solo por conveniencia para su interpretación f´ısica (ver parte d del presente problema). La ecuaci´ on anterior se puede escribir en forma compacta como ˜ − ~ζ · B ˜ L = −~α · R (2.62) donde ~α = (α1 , α2 , α3 )

(2.63)

~ζ = (ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 )

(2.64)

y con el producto punto usual en R3 .

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d Mostrar, por c´ alculo directo, que las matrices Ri y Bj , i, j = 1, 2, 3, cumplen con las siguientes propiedades: Los cuadrados de las seis matrices R2i y B2j son matrices diagonales y adem´ as (~α · R)3 = −~α · R

(2.65)

3 ~ζ · B ˜ = ~ζ · B ˜

(2.66)

para cualesquiera trivectores reales unitarios ~α y ~ζ. Por lo tanto, cualquier potencia de las matrices Ri y Bj , i, j = 1, 2, 3, puede ser expresada como un m´ ultiplo de la matriz o de su cuadrado. e Con el resultado del numeral anterior y teniendo en cuenta la expansi´ on en serie de Taylor de la función exponencial, ecuaci´ on (2.55), válida para L un n´ umero, función, matriz o en general cualquier operador bien definido, considerar los casos particulares ~ζ = (ζ, 0, 0) ~α = (0, 0, 0) (2.67) y ~α = (0, 0, α)

~ζ = (0, 0, 0)

(2.68)

y calcular las correspondientes matrices de transformaci´ on de Lorentz Λ e interpretar f´ısicamente el resultado. 2. Transformaci´ on general de Lorentz. Sean Σ y Σ′ dos sistemas de referencia inerciales tal que el sistema Σ′ se mueve con velocidad ~v respecto a Σ. Si los dos observadores eligen los ejes coordenados paralelos y los or´ıgenes coinciden en t = t′ = 0, encontrar las transformaciones generales de Lorentz entre los dos observadores inerciales. ´ 3. Algebra de Lie del grupo de Lorentz. Sean A y B dos matrices cuadradas. Se define el conmutador de dos matrices [A, B] como la matriz C = [A, B] ≡ AB − BA (2.69) con el producto y la suma usual de matrices. a Demostrar las siguientes propiedades del conmutador: [A, B] = − [B, A]

(2.70)

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[A, B + C] = [A, B] + [A, C]

(2.71)

[A, BC] = [A, B] C + B [A, C] [A, B]T = BT , AT

(2.72)

[A, [B, C]] + [C, [A, B]] + [B, [C, A]] = 0

(2.73) (2.74)

La u ´ltima igualdad se conoce como la identidad de Jacobi. b Mostrar que las matrices Ri y Bj , i, j = 1, 2, 3, definidas en (2.58), (2.59) y (2.60), satisfacen las siguientes propiedades: [Ri , Rj ] = ǫijk Rk

(2.75)

[Ri , Bj ] = ǫijk Bk

(2.76)

[Bi , Bj ] = −ǫijk Rk

(2.77)

donde el s´ımbolo ǫijk se define por:  ijk permutaci´ on par de 123  +1 ǫijk = −1 ijk permutaci´ on impar de 123  0 en los dem´ as casos (2.78) Estas propiedades se conocen como el álgebra de Lie del grupo de Lorentz y son de gran importancia en teor´ıa cu´ antica de campos. El primer conmutador corresponde a las relaciones de conmutaci´ on del momento angular, asociado con rotaciones. El segundo conmutador establece que el vector B se transforma como un trivector bajo rotaciones de los ejes espaciales y el tercer conmutador implica que, en general, dos transformaciones puras de Lorentz no conmutan, salvo si estas se realizan en la misma direcci´ on, pues en este caso i = j y por lo tanto ǫiik = 0 (2.79) y las matrices conmutan.

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Cap´ıtulo 3

Efecto Doppler En este cap´ıtulo se contin´ ua con el desarrollo de la cinem´ atica relativista, pero est´ a dedicado a la relatividad de las se˜ nales de luz. El fenómeno del cambio en la frecuencia de una onda electromagnética, cuando esta es medida por diferentes observadores inerciales, se conoce como efecto Doppler. Por su gran importancia pr´ actica, en diferentes campos de la f´ısica y la astronom´ıa, le dedicaremos un cap´ıtulo de problemas independiente.

3.0.1.

Cuadrivector de onda

Por el principio de superposici´ on, cualquier onda electromagnética se puede escribir como una combinaci´ on lineal de ondas planas monocrom´ aticas, descritas por una función de la forma ~

Ψ(t, ~r) = Ae±i(ωt−k·~r)

(3.1)

donde Ψ(t, ~r) representa la amplitud del campo (eléctrico, magnético, potencial eléctrico o potencial magnético) en un punto del espacio ~r y en un instante de tiempo t, A es la amplitud m´ axima del campo, ω la frecuencia angular de la onda y ~k = (kx , ky , kz ) el vector de onda, definido como ~k = 2π n ˆ (3.2) λ con λ su longitud de onda y n ˆ un vector unitario en la direcci´ on de propagación de la onda. La frecuencia angular ω est´ a relacionada con la frecuencia ν (medida en ciclos por segundo) por la ecuaci´ on ω = 2πν =

2π T

(3.3)

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25 con T = 1/ν el per´ıodo. En la ecuaci´ on (3.1) el signo ± representa ondas incidentes (+) u ondas emergentes (−). La relaci´ on de dispersi´ on para las ondas electromagnéticas en el vac´ıo est´ a dada por la ecuaci´ on q ω ~ (3.4) k = kx2 + ky2 + kz = c o en forma equivalente

λν = c

(3.5)

Puesto que la fase ωt − ~k · ~r de una onda electromagnética plana debe ser un invariante relativista, podemos definirla como el producto interno minkowskiano ωt − ~k · ~r = x · k (3.6) entre el cuadrivector posici´ on x = (ct, ~r) = (x0 , x1 , x2 , x3 )

(3.7)

y el cuadrivector de onda k, definido como ω ω k = ( , ~k) = ( , kx , ky , kz ) = (k0 , k1 , k2 , k3 ) c c

(3.8)

La norma al cuadrado del cuadrivector de onda est´ a dada por k2 = η µν kµ kν =

ω 2 ~ 2 − k c2

(3.9)

Debido a la relaci´ on de dispersi´ on para las ondas electromagnéticas, ecuaci´ on (3.4), el cuadrivector de onda es nulo, i. e., k2 = 0

(3.10)

La definición del cuadrivector de onda implica que sus componentes se transforman como k′0 = γ(k0 − βk1 ) k′1 = γ(k1 − βk0 ) (3.11) k′2 = k2 k′3 = k3 cuando son medidas en dos sistemas de referencia inerciales, relacionados por una transformación de Lorentz usual (2.4). Las ecuaciones (3.11) contienen todas las relaciones conocidas sobre la relatividad de las se˜ nales de luz, tales como el efecto Doppler longitudinal, transversal y la aberraci´ on de la luz estelar.

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CAPÍTULO 3. EFECTO DOPPLER

3.1.

Problemas sobre el efecto Doppler

1. Cuadrivector de onda. Consideremos dos sistemas de referencia inerciales Σ y Σ′ relacionados de la manera usual. Encontrar la relaci´ on entre la frecuencia, el n´ umero de onda y la longitud de onda, medidas por los dos observadores, de una onda electromagnética plana. 2. Efecto Doppler longitudinal. Una fuente monocrom´ atica de ondas electromagnéticas se mueve con velocidad v, respecto a un observador inercial Σ y alejándose del observador, situado en el origen del sistema. Si la fuente emite ondas de frecuencia propia ω 0 , ¿qué frecuencia ωD mide un detector situado en el origen del sistema de referencia Σ? Repetir el cálculo si la fuente se mueve hacia el origen de Σ. Comparar los resultados anteriores en el l´ımite no relativista, con el efecto Doppler clásico, el cual es v´ alido para todos los fenómenos ondulatorios ωD = ω0

vm − v c

(3.12)

donde vm es la velocidad de propagación de las ondas respecto al medio. En esta ecuaci´ on se supone que la fuente de ondas est´ a en reposo respecto al medio de propagación, y c es la velocidad de las ondas electromagnéticas respecto al medio de propagación. 3. Efecto Doppler transversal y aberraci´ on de la luz. Una fuente monocrom´ atica de ondas electromagnéticas se mueve con velocidad v con respecto a un detector en reposo y en la direcci´ on del eje x positivo de un sistema de referencia ligado al detector. Supongamos que en el instante t = 0 la fuente se encuentra en un punto situado sobre el eje y y emite un tren de ondas de frecuencia propia ω 0 (medida en el sistema de la fuente). ¿Cuáles son la frecuencia y el vector de onda medido por el detector? Comparar el resultado con el caso no relativista. 4. Comunicaci´ on espacial con Doppler. Dos naves espaciales A y B viajan en direcciones opuestas a velocidad constante v respecto a la tierra. Cuando las naves se cruzan se encuentran a una distancia L de la tierra, medida en el sistema de referencia de la tierra. En el instante del cruce de las naves se env´ıa una primera se˜ nal de luz desde la tierra hacia las naves y un tiempo posterior t0 se env´ıa

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3.1. PROBLEMAS SOBRE EL EFECTO DOPPLER

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una segunda se˜ nal. Las se˜ nales de luz se reflejan instantáneamente en las naves regresando a la tierra. Asuma que t0 < L/v y utilice el efecto Doppler para el cálculo. a ¿Con qué diferencia de tiempo llegan las dos se˜ nales a cada nave, medidas con respecto al sistema de referencia de las naves? b ¿Con qué diferencia de tiempo, medido en el sistema tierra, llegan las se˜ nales reflejadas a la tierra provenientes de cada una de las naves? 5. Expansi´ on del universo. Hubble descubrió en 1929 que el universo se encuentra en expansi´ on. Observando los espectros caracter´ısticos de varias galaxias, encontr´ o que las frecuencias de emisi´ on presentaban un corrimiento hacia el rojo proporcional a la distancia de las galaxias. Esta relaci´ on, conocida como ley de expansión de Hubble, se expresa por la ecuaci´ on H0 dL = cz

(3.13)

donde H0 es la constante de Hubble, dL la distancia de luminosidad a la galaxia (la cual coincide con la distancia propia para galaxias no muy lejanas) y z es el factor de corrimiento (al rojo si z > 0 y al azul si z < 0) definido por 1+z =

λ λ0

(3.14)

donde λ0 es la longitud de onda emitida por la galaxia y λ la longitud de onda observada en la tierra. En un espectro de emisi´ on de la galaxia N GC −4649 se observ´ o que la l´ınea Hα del hidrógeno ˚ (Angstrom). Teniendo en tiene una longitud de onda de λ = 6650A ˚ cuenta que la longitud de onda propia de la l´ınea Hα es de 6563A, calcular el factor de corrimiento y la velocidad de la galaxia. 6. Ley de reflexi´ on en espejos planos. De la óptica geométrica usual, se sabe que el ángulo de incidencia de un rayo de luz sobre un espejo en reposo es igual al ángulo de reflexión. Considerar un espejo plano que se mueve con velocidad v normal a su plano y un rayo de luz de frecuencia ω i que incide sobre el espejo formando un angulo θ i respecto a la normal. Calcular la frecuencia y el ángulo de ´ reflexi´ on del rayo. Repetir el cálculo si el espejo se est´ a moviendo en su plano.

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Cap´ıtulo 4

Din´ amica relativista 4.1.

Introducci´ on

La din´ amica relativista corresponde a la generalizaci´ on de las leyes de Newton. La primera ley de Newton est´ a contenida en los dos postulados de la relatividad, el principio de relatividad y la constancia de la velocidad de la luz en el vac´ıo. La segunda ley de Newton admite una generalizaci´ on inmediata en términos de cantidades cuadrivectoriales, mientras que la tercera ley de Newton deja de ser válida en general y es remplazada por el postulado de conservación del cuadrivector momento total de un sistema aislado de part´ıculas.

4.2.

Postulados de la din´ amica relativista

Definici´ on 1 El cuadrivector momento p de una part´ıcula de masa propia m0 , con cuadrivector velocidad U , est´ a definido por p := m0 U = m0

dx dτ

(4.1)

Por definición, la masa propia, o en reposo, de una part´ıcula es un invariante relativista que caracteriza a la part´ıcula, la cual est´ a dada por la norma del cuadrivector momento, ecuaci´ on (4.1): p2 = m20 c2

(4.2)

dado que la norma al cuadrado del cuadrivector velocidad es c2 . 28 i

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´ 4.2. POSTULADOS DE LA DINAMICA RELATIVISTA

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Teniendo en cuenta que las componentes del cuadrivector velocidad est´ an relacionadas con la velocidad de la part´ıcula a través de la ecuaci´ on U α = γ(~u)(c, ~u)

(4.3)

entonces las componentes del cuadrivector momento est´ an dadas por la relaci´ on pα = (m0 γ(~u)c, m0 γ(~u)~u) =: (E/c, p~) (4.4) donde se define la energ´ıa total E de la part´ıcula por E = m0 γ(~u)c2 = mc2

(4.5)

m = m0 γ(~u)

(4.6)

p~ = m0 γ(~u)~u = m~u

(4.7)

con la masa relativista y el momento f´ısico de la part´ıcula. La definición de energ´ıa total de una part´ıcula implica que, para el caso de una part´ıcula en reposo ~u = 0, tenemos que su energ´ıa total est´ a dada por E = m0 c2 ≡ E0 (4.8) la cual se llama energ´ıa propia o en reposo. Estas definiciones conducen a introducir el concepto de energ´ıa cinética K de una part´ıcula de masa propia m0 por la relaci´ on K = E − E0 = mc2 − m0 c2

(4.9)

Adem´ as, dado que la norma al cuadrado de todo cuadrivector es un invariante relativista, tenemos que si p es el cuadrivector momento de una part´ıcula, entonces p2 = =

p0

2

− |~p|2

E2 − |~p|2 = m20 c2 c2

(4.10)

es decir, la norma del cuadrivector momento mide la masa propia de la part´ıcula. Otra forma u ´til y usual de escribir este invariante es E 2 = E02 + |~p|2 c2

(4.11)

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´ CAPÍTULO 4. DINAMICA RELATIVISTA

que relaciona la energ´ıa total E, la energ´ıa en reposo E0 y el momento |~ p| de la part´ıcula. A partir de la definición del cuadrivector momento de una part´ıcula, podemos mantener la misma definición de la segunda ley de Newton, pero formulada para las cantidades cuadrivectoriales. As´ı Axioma 2 La ecuaci´ on de movimiento relativista est´ a dada por dp = m0 A (4.12) dτ donde A es el cuadrivector aceleraci´ on y f es el cuadrivector fuerza. f=

La tercera ley de Newton no es válida en general y por lo tanto, en din´ amica relativista, se toman como postulado fundamental las leyes de conservaci´ on. Axioma 3 Para un sistema aislado de part´ıculas, con cuadrivectores momento pi , i = 1, 2, ..., entonces el cuadrivector momento total del sistema p, definido como X p := pi (4.13) i=1

es una constante de movimiento.

Este postulado implica que si expresamos la ecuaci´ on (4.13) en componentes, con pi = (Ei /c, p~i ) (4.14) y p = (E/c, p~)

(4.15)

obtenemos que la energ´ıa total del sistema E, definida como la suma de las energ´ıas de las part´ıculas individuales X E := Ei (4.16) i=1

y el momento total del sistema, definido como la suma vectorial de los momentos individuales de las part´ıculas X p~ := ~pi (4.17) i=1

se conservan. Adem´ as, una consecuencia adicional que se deriva de la equivalencia masa-energ´ıa es que el n´ umero de part´ıculas en un sistema aislado no es constante.

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4.2.1.

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Sistema centro de masa

Definici´ on 4 Definimos la masa relativista total m ¯ del sistema y su cuadrivector momento total p¯ como X m ¯ := mi (4.18) i=1

p¯ :=

X i=1

X pi = (mi c, p~i ) = (mc, ¯ p~)

(4.19)

i=1

donde hemos definido el momento total del sistema p~ en la u ´ltima igualdad de la ecuaci´ on (4.19). Si el sistema de part´ıculas es aislado, los postulados de conservación implican que p¯ y, por tanto, m ¯ y p~ son constantes en el tiempo. Dado que el cuadrivector momento total p¯ es un vector temporal, existe un sistema de referencia, que lo llamaremos ΣCM o sistema de referencia centro de masa, para el cual el cuadrivector momento total p¯ no tenga componentes espaciales, esto es, un sistema para el cual ~p = ~0. La velocidad ~uCM del sistema de referencia centro de masa respecto a Σ est´ a dada por ~uCM =

p~ m ¯

(4.20)

A partir de la velocidad ~uCM , el cuadrivector velocidad del centro de masa toma la forma UCM = γ(~uCM )(c, ~uCM )

(4.21)

Entonces, de la definición del cuadrivector momento total, ecuaci´ on (4.19), velocidad del centro de masa, ecuaci´ on (4.20) y la definición del cuadrivector velocidad del centro de masa (ecuaci´ on (4.21)), tenemos p¯ = (mc, ¯ p~) = m(c, ¯ ~uCM ) = mγ ¯ −1 (~uCM )UCM

(4.22)

La norma al cuadrado de esta ecuaci´ on p¯2 = m ¯ 2 γ −2 (~uCM )c2

(4.23)

permite definir la masa total del sistema de part´ıculas, en el sistema de referencia centro de masa ΣCM : mCM :=

m ¯ γ(~uCM )

(4.24)

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Por lo tanto, podemos escribir el cuadrivector momento total del sistema como p¯ = mCM UCM (4.25) Es importante aclarar que mCM , la masa en reposo del sistema en ΣCM , excede a la suma de las masas en reposo de las part´ıculas del sistema, pues a ella contribuyen también las energ´ıas cinéticas de las part´ıculas individuales. Por tanto la energ´ıa cinética del sistema en ΣCM est´ a dada por KCM = mCM c2 − m ¯ 0 c2 (4.26) donde hemos definido m ¯ 0 :=

X

m0i

(4.27)

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Definici´ on 5 La energ´ıa umbral se define como la energ´ıa m´ınima necesaria para que, en un proceso de colisi´ on, se cree una nueva part´ıcula de masa en reposo dada. De cualquier manera, la energ´ıa m´ınima (umbral) se tendr´ a cuando las part´ıculas resultantes de la colisi´ on estén en reposo en el sistema de referencia del centro de masa del sistema. Esta u ´ltima afirmación define operacionalmente el concepto de energ´ıa umbral.

4.2.2.

Fotones y estructura at´ omica

Una part´ıcula de masa en reposo cero m0 = 0 implica que el cuadrivector momento sea nulo. As´ı, si E es la energ´ıa total de la part´ıcula y momento p~, entonces E , p~ (4.28) p= c con p2 = 0 (4.29) La relaci´ on entre el concepto de part´ıcula de masa en reposo nula y el concepto de fotón o quántum de energ´ıa se basa en la generalizaci´ on de la hip´ otesis de Einstein, para el transporte de la energ´ıa en una onda electromagnética. Einstein postul´ o que si tenemos una onda electromagnética monocromática de frecuencia ν, entonces la energ´ıa transportada por la onda est´ a concentrada en cantidades discretas de energ´ıa dada por la relaci´ on E = hν

(4.30)

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donde h es la constante de Planck. As´ı, dado que la onda transporta energ´ıa, entonces también debe transportar momento de magnitud |~p| =

E c

(4.31)

por lo tanto, se postula que una onda electromagnética monocrom´ atica descrita por el cuadrivector de onda ω k= (4.32) , kx , ky , kz c posee un cuadrivector momento dado por la relaci´ on p = ℏk

(4.33)

donde ℏ = h/2π. Esta ecuaci´ on implica que la energ´ıa asociada a la onda es E = ℏω (4.34) y su momento f´ısico

p~ = ℏ~k

(4.35)

Definici´ on 6 Se define colisi´ on el´ astica en relatividad como aquella para la cual las masas propias de las part´ıculas iniciales (incluyendo las part´ıculas de masa en reposo cero) antes de la colisi´ on son las mismas después de la colisi´ on. Una consecuencia de esta definición es que la energ´ıa cinética antes y después de la colisi´ on no cambia, como se ver´ a en un problema. En relatividad, y en general en f´ısica, el concepto de part´ıcula est´ a asociado a un cuerpo material puntual, caracterizado por su masa propia, carga eléctrica, momento angular intr´ınseco o spin y otros n´ umeros cu´ anticos. Aun cuando la mayor´ıa de las part´ıculas conocidas presentan estructura interna y por esta raz´ on no son part´ıculas puntuales en estricto sentido, para nuestros propósitos la aproximación de part´ıcula puntual es suficiente. El ´ atomo de hidrógeno es un sistema de dos part´ıculas, un electr´ on y un prot´ on, ligados por la fuerza eléctrica. La estructura interna y sus propiedades f´ısicas son objeto de estudio de la mec´ anica cu´ antica. Sin embargo, para efecto de estudiar procesos din´ amicos relativistas, como la colisi´ on del ´ atomo con otras part´ıculas, se puede considerar que el átomo es una part´ıcula eléctricamente neutra, caracterizada por su masa propia

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y por su estado interno de energ´ıa, el cual est´ a dado, para el átomo de hidrógeno, por un n´ umero entero n relacionado con la energ´ıa interna o de ligadura del ´ atomo por la ecuaci´ on En = −

13,6056981 eV ; n2

n = 1, 2, ...

(4.36)

donde la unidad de energ´ıa es el electronvoltio: 1eV = 1, 602 × 10−19 J

(4.37)

El estado base del ´ atomo de hidrógeno corresponde al nivel n = 1 y el ´ atomo solamente puede absorber y emitir una cantidad de energ´ıa Q si esta cantidad es igual a la diferencia entre dos niveles de energ´ıa permitidos, es decir si Q = Ef inal − Einicial = En − Em

(4.38)

si n > m significa que el ´ atomo absorbe energ´ıa y si n < m, que emite energ´ıa. La energ´ıa de ionizaci´ on del átomo corresponde a la energ´ıa m´ınima necesaria para quitarle un electr´ on al átomo, cuando este se encuentra en su estado base. Para el caso particular del átomo de hidrógeno, esto implica que la energ´ıa necesaria para que el átomo pase del estado base n = 1 al estado m = ∞ el cual representa que el electr´ on y el prot´ on no interaccionan y tienen energ´ıas cinéticas nulas en el infinito, corresponde a la energ´ıa de ionizaci´ on del ´ atomo. As´ı, la energ´ıa de ionizaci´ on del hidrógeno est´ a dada por Qion = Ef inal − Einicial 13, 6057 13, 6057 eV − − eV = l´ım − n→∞ n2 12 = 13, 6057eV

(4.39)

La masa propia del ´ atomo est´ a dada por la suma de las masas propias del electr´ on y el prot´ on m´ as el equivalente en masa de la energ´ıa interna. As´ı, para el ´ atomo de hidrógeno, su masa propia (en unidades equivalentes de energ´ıa en electronvoltios) en el estado de energ´ıa En es Mm0 c2 = m0e c2 + m0p c2 + En

(4.40)

donde m0e es la masa propia del electr´ on y m0p la del prot´ on. De esta forma, para todos los efectos de la din´ amica relativista, dos átomos

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´ 4.3. PROBLEMAS DE DINAMICA RELATIVISTA

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qu´ımicamente iguales (e. g. de hidrógeno), pero en estados internos distintos, son part´ıculas diferentes. Por ejemplo, la masa propia del electr´ on, en udidades de ev, es m0e c2 = 510999,06eV = 0,51099906M eV

(4.41)

m0p c2 = 938272310eV = 938,27231M eV

(4.42)

y la del prot´ on

y si el ´ atomo de hidrógeno se encuentra en su estado base n = 1 entonces su masa propia est´ a dada por Mm0 c2 = m0e c2 + m0p c2 − 13,6056981eV

= 510999,06eV + 938272310eV − 13,6056981eV

= 9. 387 8 × 108 eV

(4.43)

Lo que se ha dicho en esta secci´ on es válido para todos los átomos y en general para todos los sistemas compuestos de part´ıculas, como los n´ ucleos at´ omicos; solamente que la estructura energética interna del atomo o n´ ´ ucleo no est´ a dada por una relaci´ on tan sencilla como la encontrada para el ´ atomo de hidrógeno, ecuaci´ on (4.36).

4.3.

Problemas de din´ amica relativista

1. Cuadrivector momento. Sean p1 y p2 los cuadrivectores momento de dos part´ıculas de masas propias m01 y m02 respectivamente. Muestre que el momento total del sistema p = p1 + p2

(4.44)

es un cuadrivector temporal, es decir su norma es positiva. 2. Sistema centro de masa. En un sistema de referencia inercial Σ dos part´ıculas de masas propias m01 y m02 tienen cuadrivectores momento p1 y p2 respectivamente. Calcular la velocidad del sistema de referencia centro de masa ΣCM y la masa propia del sistema medida en Σ y en ΣCM . 3. Transformaci´ on del momento. Una part´ıcula de masa en reposo m0 tiene una energ´ıa total E y un momento p~ medido por un observador inercial Σ. Un segundo sistema de referencia Σ′ se

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est´ a moviendo con velocidad v en la direcci´ on del eje x positivo con respecto a Σ. Si los dos observadores eligen los ejes espaciales paralelos y toman t = t′ = 0 cuando los or´ıgenes coinciden, encontrar la energ´ıa total E´, momento p~ý energ´ıa cinética K ′ de la part´ıcula medidas en el sistema de referencia Σ′ , en términos de las cantidades E, p~ y K medidas por el observador Σ. 4. Cuadrivector fuerza. Interpretar f´ısicamente las componentes del cuadrivector fuerza, definido por la ecuaci´ on de movimiento dp = m0 A (4.45) dτ donde m0 es la masa propia de una part´ıcula, sobre la cual act´ ua una fuerza F~ y A es su cuadrivector aceleraci´ on. f=

5. Transformaci´ on de la fuerza entre sistemas de referencia. Encontrar las ecuaciones de transformación de las componentes de la fuerza f´ısica entre sistemas de referencia inerciales, relacionados por una transformación de Lorentz usual. 6. Energ´ıa disponible para crear part´ıculas. En un experimento de colisi´ on de dos part´ıculas, donde, después de la colisi´ on, emergen las dos part´ıculas iniciales m´ as una nueva part´ıcula de masa en reposo dada, surge la necesidad de considerar la m´ınima energ´ıa inicial necesaria para crear esta part´ıcula, la cual es llamada energ´ıa umbral. Otra forma de plantear el concepto de energ´ıa umbral es considerar la m´ axima cantidad de energ´ıa disponible en un proceso de colisi´ on de dos part´ıculas, las cuales emergen después del choque junto con otra part´ıcula adicional. Los experimentos de colisi´ on de part´ıculas usualmente utilizan protones contra protones y estos experimentos se pueden disponer de dos maneras: en la primera forma, un prot´ on de energ´ıa propia E0 es acelerado hasta alcanzar cierta energ´ıa total E1 , el cual se hace chocar contra un prot´ on en reposo. En la segunda forma los dos protones se aceleran hasta una energ´ıa final de E2 cada uno y se hacen colisionar frontalmente. En ambos casos la energ´ıa total del sistema es E = E1 = 2E2 , sin embargo las energ´ıas disponibles son diferentes. Calcular la energ´ıa disponible ED en cada experimento. Asumir que E = 30Gev y E0 = 0,94Gev para el prot´ on. 7. Sistema de dos electrones. Un electr´ on de masa propia m0 se est´ a moviendo con una energ´ıa cinética que es el doble de su

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energ´ıa propia, en la direcci´ on de otro electr´ on que se encuentra en reposo en el sistema de referencia del laboratorio Σ. a ¿Cu´ al es la velocidad del electr´ on m´ ovil medida en Σ? b Calcular los cuadrivectores momento de los dos electrones y el cuadrivector momento total del sistema en Σ. c ¿Cu´ al es la velocidad del sistema de referencia centro de masa? Calcular las componentes del cuadrivector momento de cada electr´ on en el sistema de referencia centro de masa ΣCM . d Calcular la masa propia total del sistema de dos part´ıculas, en Σ y en el sistema de referencia centro de masa ΣCM . 8. Sistema de dos fotones. Dos fotones de la misma energ´ıa E, con respecto a un sistema de referencia inercial Σ, se propagan, el primero en la direcci´ on del eje x positivo y el segundo en la direcci´ on del eje y positivo. a Calcular los cuadrivectores momento de los dos fotones y el cuadrivector momento total del sistema en Σ. b ¿Cu´ al es la velocidad del sistema de referencia centro de masa? c Calcular la masa propia del sistema de dos fotones. 9. Part´ıcula compuesta. En el sistema de laboratorio un electr´ on de energ´ıa cinética 2m0 c2 /3 choca con un positr´ on (part´ıcula de la misma masa que el electr´ on y de carga positiva) en reposo y forma un ´ atomo de positronio. a ¿Cu´ al es la masa propia del positronio? b ¿Qué velocidad final adquiere el átomo de positronio? c Si el ´ atomo de positronio, después de un tiempo corto se desintegra de nuevo en un electr´ on y un positr´ on, ¿cuál es la velocidad de las part´ıculas finales si ellas son emitidas formando el mismo ´ angulo con respecto a la direcci´ on de movimiento del positronio? ¿Cuánto vale este ángulo? d Analizar si el proceso de colisi´ on completo e− + e+ −→ Ap −→ e− + e+

(4.46)

es el´ astico o inel´ astico, donde e− representa al electr´ on, e+ al positr´ on y Ap al átomo de positronio.

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10. Aniquilaci´ on de part´ıculas. Considere un electr´ on que se mueve con energ´ıa cinética de 2m0 c2 /3 y choca con un positr´ on en reposo aniquil´ andose el electr´ on y el positr´ on en dos fotones: e− + e+ −→ γ + γ a Con respecto a la direcci´ on de incidencia del electr´ on, ¿en qué direcciones deben salir los fotones para que uno de ellos tenga energ´ıa m´ axima? En este caso ¿cuál es la energ´ıa de cada fotón? b Si en el proceso de aniquilación los dos fotones salen formando un ´ angulo igual (y opuesto) con respecto a la direcci´ on de incidencia, ¿cuánto vale el ángulo? y ¿qué energ´ıa tiene cada fotón? c Resolver los dos numerales anteriores analizando el problema para un observador en reposo con respecto al sistema de referencia centro de masa de las part´ıculas iniciales. 11. Absorci´ on at´ omica. Un átomo de hidrógeno en su estado base, con masa propia M0 , se encuentra en reposo en el sistema laboratorio Σ. Un fotón de energ´ıa Q choca contra el átomo y es absorbido por este, pasando a su primer estado excitado n = 2. Sea ˜ 0 la masa propia del átomo excitado y M ˜ 0 c2 − M0 c2 Q0 = M

(4.47)

la diferencia de las energ´ıas propias del hidrógeno después y antes de la colisi´ on. a Encontrar una expresi´ on para la energ´ıa Q que debe tener el fotón incidente, en función de la energ´ıa de excitación Q0 y la masa propia del átomo M0 en su estado base. b Demostrar que la diferencia entre la energ´ıa del fotón incidente Q y la energ´ıa interna de excitación del átomo corresponde a la energ´ıa cinética del átomo excitado. c Calcular numéricamente Q teniendo en cuenta que Q0 corresponde a la diferencia entre los niveles de energ´ıa interna n = 2 y n = 1, y calcular la velocidad con que retrocede el átomo al absorber el fotón de energ´ıa Q.

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12. Cohete fot´ onico. El motor de m´ axima eficiencia que se podr´ıa llegar a construir es el cohete fotónico, el cual convierte el 100 % del combustible (materia) en radiaci´ on colimada (fotones). Supongamos que en los problemas del cap´ıtulo de cinem´ atica Viaje interestelar 1 y Viaje interestelar 2 la nave dispone de un cohete fotónico. Calcular qué porcentaje de la masa inicial del cohete M0 se gasta en el viaje en cada caso. 13. Dispersi´ on el´ astica prot´ on-prot´ on. En el sistema laboratorio una part´ıcula de masa propia m0 y energ´ıa cinética K choca el´ asticamente contra otra part´ıcula idéntica en reposo. Calcular el ´ angulo entre las dos part´ıculas después de la colisi´ on en funci´ on de K y m0 , si las dos part´ıculas salen con la misma energ´ıa. Aplicar el resultado para protones, con m0 c2 = 938,27231M eV y K = 437M eV . Sutton et ál. ([8]) obtuvieron el valor experimental de 84,0o ± 0,2o . 14. Procesos prohibidos. Demostrar que los siguientes procesos de colisi´ on son prohibidos: un prot´ on en reposo emite un fotón y retrocede p −→ p + γ (4.48) Un fotón se desintegra en un par electr´ on-positr´ on γ −→ e− + e+

(4.49)

Un par electr´ on-positr´ on se aniquila dando lugar a un fot´ on e− + e+ −→ γ

(4.50)

donde γ representa un fotón de energ´ıa dada, p un prot´ on, e− un electr´ on y e+ un positr´ on. 15. Experimentos de coincidencia. En el experimento original del efecto Compton se midi´ o la energ´ıa del fotón dispersado en función del ´ angulo de dispersi´ on, pero no se midi´ o el electr´ on dispersado. Calcular la energ´ıa y el ángulo de dispersi´ on del electr´ on en función de la energ´ıa del fotón incidente y el ángulo de dispersi´ on del fotón. 16. Reflexi´ on inel´ astica de un fot´ on en un ´ atomo. Un fotón de energ´ıa Qi choca contra un átomo de hidrógeno en reposo que se encuentra en su primer estado excitado. Después de la colisi´ on el atomo pasa a su estado base y el fotón se dispersa con la misma ´ energ´ıa retrocediendo.

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a ¿El choque es el´ astico o inel´ astico? b Cu´ al es la velocidad del átomo después de la colisi´ on? c ¿Cu´ al es la energ´ıa Qi del fotón incidente?

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Cap´ıtulo 5

Tensores En este cap´ıtulo se introducen los conceptos fundamentales del cálculo tensorial. Los tensores ser´ an definidos en términos de sus propiedades de transformación, bajo un cambio de sistemas de coordenadas. Todas las definiciones dadas, as´ı como sus propiedades, son generales, i. e. son válidas para transformaciones generales de coordenadas, pero este cap´ıtulo se restringir´ a exclusivamente a las transformaciones de Lorentz, aun cuando se mantiene en lo posible una notaci´ on general.

5.1.

Definiciones fundamentales

Definici´ on 7 Sean Σ y Σ′ dos sistemas de referencia inerciales y sean xµ = (x0 , x1 , x2 , x3 ) y x′µ = (x′0 , x′1 , x′2 , x′3 ) las coordenadas de un evento f´ısico medidas en Σ y Σ′ respectivamente. Entonces una transformaci´ on de Lorentz de las coordenadas est´ a definida como: xµ 7−→ x′µ = Λµν xν

(5.1)

tal que el producto punto minkowskiano queda invariante bajo esta transformaci´ on de coordenadas. Definici´ on 8 Un escalar de Lorentz es una cantidad (en general una funci´ on de las coordenadas) que es invariante bajo transformaciones de Lorentz. Ejemplos de escalares de Lorentz son: la masa propia de una part´ıcula, el intervalo de tiempo propio entre dos eventos, la norma de todo cuadrivector, el producto interno de cuadrivectores, etc. 41 i

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CAPÍTULO 5. TENSORES

Definici´ on 9 Un cuadrivector V es una cantidad cuyas componentes, denotadas por V µ , µ = 0, 1, 2, 3, medidas por el observador inercial Σ, se transforman bajo una transformaci´ on de Lorentz de las coordenadas (ecuaci´ on (5.1)), de la misma manera que las coordenadas, es decir: V ′µ = Λµν V ν

(5.2)

donde V ′µ denota las componentes del cuadrivector V medidas en el sistema de referencia Σ′ . A las cantidades V µ se las llama las componentes contravariantes del cuadrivector V. Definici´ on 10 Un tensor T de segundo orden dos veces contravariante es un conjunto de 42 componentes T µν ; µ, ν = 0, 1, 2, 3, medidas en un sistema de referencia Σ, tales que bajo una transformaci´ on de Lorentz (ecuaci´ on (5.1)) sus componentes se transforman como: T ′µν = Λµα Λνβ T αβ

(5.3)

donde T ′µν denota las componentes del tensor T en el sistema de referencia Σ′ . Definici´ on 11 La definici´ on anterior se generaliza al caso de un tensor T contravariante de orden r, como un objeto de 4r componentes, medidas en un sistema de referencia Σ, cuyas componentes se transforman bajo una transformaci´ on de Lorentz (5.1) en la forma: µ

µ

µ

T ′µ1 µ2 ...µr = Λ ν11 Λ ν22 · · · Λ νrr T ν 1 ν 2 ...ν r

(5.4)

As´ı, se define un tensor de orden cero como un escalar y un tensor contravariante de orden uno como un cuadrivector. Definici´ on 12 La distancia espacio-tiempo entre dos eventos de coordenadas xµ y xµ + dxµ est´ a definida por ds2 = η µν dxµ dxν

(5.5)

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5.1. DEFINICIONES FUNDAMENTALES

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Esta distancia es un invariante bajo una transformación de coordenadas, es decir: ds2 = η µν dxµ dxν = η µν dx′µ dx′ν (5.6) donde la matriz de Minkowski η (también llamada tensor métrico de Minkowski) est´ a definida por:   1; si µ = ν = 0 η µν := −1; si µ = ν = 1, 2, 3 (5.7)  0; si µ 6= ν Entonces por la invarianza de ds2 se tiene que

ds2 = η µν dx′µ dx′ν = η µν Λµα Λνβ dxα dxβ = η αβ dxα dxβ

(5.8)

por lo tanto se debe cumplir la relaci´ on: η αβ = Λµα Λνβ η µν

(5.9)

det(η αβ ) = −1

(5.10)

Dado que entonces existe la matriz de transformación inversa (η αβ )−1 , cuyas componentes se denotan por η αβ , y satisfacen la siguiente relaci´ on: ηη −1 = 1

⇐⇒ η αβ η βσ =δ ασ

(5.11)

donde δ ασ son los elementos de la matriz identidad. Los elementos de la matriz inversa de Minkowski coinciden numéricamente con η αβ , y adem´ as son matrices simétricas, i. e. η αβ = η βα η αβ = η βα

(5.12)

. La inversa de una transformación de Lorentz est´ a dada por: xµ = Λν con Λν

µ

µ ′ν

x

= (Λµν )−1 ⇐⇒ Λν

(5.13) ε ν Λµ

= δ µε

(5.14)

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Definici´ on 13 Se definen las “componentes” covariantes de un cuadrivector V como Vα := η αβ V β

(5.15)

As´ı, dadas las componentes covariantes Vµ , entonces sus correspondientes componentes contravariantes se obtienen de la transformación inversa: V µ = η µν Vν

(5.16)

Esta definición se generaliza para el caso de tensores de cualquier rango. Por ejemplo, las componentes covariantes de un tensor de segundo orden est´ an relacionadas con sus componentes contravariantes por la ecuaci´ on: Tµν = η µα η νβ T αβ

(5.17)

y en forma similar se pueden definir las componentes de un tensor de segundo orden una vez contravariante y una vez covariante, con las siguientes posibilidades: T αβ = η βµ T αµ

Tαβ = η µα T µβ

;

(5.18)

De esta forma, T αβ , Tµν , T α β y Tα β son todas diferentes representaciones de un mismo tensor de segundo rango T. Las componentes covariantes de un tensor de rango uno, bajo una transformación de Lorentz, se transforman como: Vα′ = Λα

µ

Vµ

(5.19)

La ley general de transformación de las componentes covariantes y contravariantes de un tensor cualquiera T, r-veces contravariante y sveces covariante, est´ a dada por: ′µ µ ...µ

µ

µ

µ

...ν r 2 r = Λ ν11 Λ ν22 · · · Λ νrr Λγδ11 Λγδ22 · · · Λγδrr Tδν11δν22...δ Tγ 1 1γ 2 ...γ s s

(5.20)

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5.1. DEFINICIONES FUNDAMENTALES

5.1.1.

´ Algebra y propiedades de simetr´ıa de tensores

Definici´ on 14 Sea n Πrs = T |

...ν r Tδν11δν22...δ s

o

el conjunto de todos los tensores r-veces contravariante y s-veces covariante. As´ı, en esta notaci´ on, un escalar es un elemento de Π00 , un cuadrivector contravariante es un elemento de Π10 y uno covariante de Π01 , etc. Definici´ on 15 Dados dos tensores T, S ∈ Πrs definimos la suma y la multiplicaci´ on por un escalar λ ∈ R, por: ...ν r ...ν r ...ν r ...ν r + Sδν11δν22...δ := Tδν11δν22...δ := (T + S)νδ 11δν22...δ Qνδ11δν22...δ s s s s ...ν r ...ν r ...ν r Pδν11δν22...δ := (λT )δν11δν22...δ := λTδν11δν22...δ s s s

(5.21) (5.22)

Definici´ on 16 Dados dos tensores T ∈ Πrs y S ∈ Πpq , se define el producto tensorial como: ν ν ...ν ν

...ν

ν

ν

...ν

r+1 r+p ν 1 ν 2 ...ν r r+1 r+2 r+p Wδ 11δ22...δsrδs+1 ...δs+q := Tδ 1 δ 2 ...δs Sδs+1 δ s+2 ...δs+q

(5.23)

r+p . el cual es un tensor de Πs+q

Definici´ on 17 Dado un tensor T ∈ Πrs se define la contracci´ on del ´ındice contravariante αi (1 ≤ i ≤ r) con el ´ındice covariante β j (1 ≤ j ≤ s) por: (α )

...αi ...αr α1 α2 ...σ...αr r−1 C(β i) (Tβα1βα2...β ...β ) := Tβ β ...σ...β ∈ Πs−1 j

1 2

j

s

1 2

s

(5.24)

La operaci´ on de subir y bajar ´ındices es un caso particular de combinar las operaciones de producto tensorial y contracci´ on. Definici´ on 18 Un tensor T de segundo rango del tipo Π20 , con componentes T αβ en un sistema de referencia Σ, se llama simétrico si T αβ = T βα

(5.25)

T αβ = −T βα

(5.26)

y antisimétrico si

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Esta definición es válida también para las componentes covariantes de un tensor de segundo rango y puede ser generalizada a cualquier par de ´ındices de un tensor de rango n ≥ 2. Por ejemplo T αβγ = T βαγ

(5.27)

es un tensor simétrico en sus dos primeros ´ındices contravariantes y T αβγ = −T αγβ

(5.28)

es antisimétrico en sus dos u ´ltimos ´ındices contravariantes. Definici´ on 19 Dado un tensor T de segundo rango del tipo Π20 , con componentes T αβ en un sistema de referencia Σ, se define un nuevo tensor, denotado como T (αβ) , por la operaci´ on T (αβ) :=

1 αβ (T + T βα ) 2

(5.29)

el cual por definici´ on es simétrico, es decir T (αβ) = T (βα) . Definici´ on 20 Se define la operaci´ on de antisimetrizaci´ on de un tensor dado T αβ , que se denota como T [αβ] , por: T [αβ] :=

1 αβ (T − T βα ) 2

(5.30)

De la misma manera se tiene que si un tensor T αβ es simétrico, entonces el tensor antisimetrizado es cero, y si T αβ es antisimétrico, entonces T [αβ] = T αβ (5.31) Claramente estas operaciones son válidas también para tensores del tipo Π02 . Estas operaciones de simetrización y antisimetrización se pueden generalizar a tensores de orden mayor: T (α1 ···αr ) :=

1 X Pσ (α1 ···αr ) T r!

(5.32)

Pσ

T [α1 ···αr ] :=

1 X (−1)Nσ T Pσ (α1 ···αr ) r!

(5.33)

Pσ

donde la suma se realiza sobre todas las permutaciones de los ´ındices (α1 , · · ·, αr ) y Nσ = ±1 es el signo de la permutaci´ on.

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´ GENERAL DE COORDENADAS 5.2. TRANSFORMACION

La generalizaci´ on del producto cruz del álgebra usual de vectores tridimensionales corresponde al producto tensorial de vectores antisimetrizado. As´ı, sean Aα y B β las componentes de dos cuadrivectores en un sistema de referencia Σ, entonces se define un nuevo tensor como el producto tensorial antisimetrizado de estos dos cuadrivectores: 1 C αβ := A[α B β] = {Aα B β − Aβ B α } 2

(5.34)

Un caso especial de un tensor de cuarto rango completamente antisimétrico es el tensor de Levi-Civita, definido por la ecuaci´ on:  on par de 0123  +1 si αβγδ es permutaci´ εαβγδ := −1 si αβγδ es permutaci´ on impar de 0123 (5.35)  0 en los dem´ as casos

Este tensor, al igual que el tensor métrico de Minkowski, tiene la particularidad que en todos los sistemas de referencia inerciales sus componentes poseen el mismo valor numérico.

5.2.

Transformaci´ on general de coordenadas

Un cambio general de coordenadas entre los sistemas Σ y Σ′ se puede expresar como un conjunto de cuatro ecuaciones, donde las nuevas coordenadas primadas son funciones continuas, con inversa continua, de las coordenadas no primadas. As´ı la transformación de coordenadas y su inversa se pueden escribir como: x′µ = x′µ (xα )

(5.36)

xβ = xβ (x′ν )

(5.37)

Notemos que si exigimos que las transformaciones de coordenadas sean lineales, entonces estas ecuaciones se reducen a la forma: x′µ = Λµ α xα xβ = Λν

(5.38)

β ′ν

x

(5.39) µ

con los coeficientes de las transformaciones Λ α (y los de la transformaci´ on inversa Λνβ ) constantes, independientes de las coordenadas. Con la identificaci´ on ∂x′µ (5.40) Λµ α = ∂xα

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Λν

β

=

∂xβ ∂x′ν

las ecuaciones que definen la ley de transformación (y su inversa), para las componentes de cualquier vector en los dos sistemas de referencia, se pueden escribir en la forma V ′µ =

∂x′µ ν V ∂xν

(5.41)

Vµ =

∂xµ ′ν V ∂x′ν

(5.42)

Λµ α Λνα = δ µν

(5.43)

Entonces, la relaci´ on es equivalente a

∂x′µ ∂xα = δ µν (5.44) ∂xα ∂x′ν Esta relaci´ on se obtiene directamente si aplicamos la regla de la cadena para las derivadas a la transformación idéntica x′µ (xα (x′ν )) ≡ x′µ .

5.2.1.

Operadores vectoriales

La generalizaci´ on del vector gradiente del cálculo vectorial usual so3 bre R ~ =( ∂ , ∂ , ∂ ) (5.45) ∇ ∂x ∂y ∂z el cual al actuar sobre una función escalar produce un vector en la direcci´ on del m´ aximo cambio de la función, es el operador diferencial ∂µ =

∂ ∂xµ

que al actuar sobre una función escalar de las coordenadas genera un cuadrivector covariante ∂µ Φ = (

∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ , , , ) ∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3

Las componentes del operador gradiente se transforman, bajo un cambio de coordenadas, como las componentes covariantes de un cuadrivector, es decir ∂µ′ = Λµ ν ∂v (5.46)

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´ 5.3. PROBLEMAS DE ALGEBRA TENSORIAL

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A partir de esta definición se pueden construir los operadores de uso m´ as frecuente en f´ısica, siguiendo los mismos procedimientos que en el caso del c´ alculo vectorial tridimensional est´ andar. µ Para el caso de un campo vectorial Ψ (xα ), esto es, una función vectorial de las coordenadas, si se toma el producto interno minkowskiano entre este campo vectorial y el vector gradiente: ∇ · Ψ = ∂ν Ψν

(5.47)

se obtiene la cuadridivergencia que corresponde a la generalizaci´ on del operador divergencia tridimensional. Además, tomando el producto interno del operador gradiente consigo mismo, se obtiene el operador de DÁlembert que es un invariante (un escalar) bajo transformaciones de coordenadas, as´ı: = η µν ∂µ ∂ν = ∂ µ ∂µ =

∂2 − ∇2 ∂x02

(5.48)

Finalmente la generalizaci´ on del rotacional se define como un tensor de segundo rango antisimétrico obtenido por la operaci´ on: ∂[α Ψβ] = ∂α Ψβ − ∂β Ψα

5.3.

(5.49)

Problemas de ´ algebra tensorial

1. Transformaci´ on de componentes covariantes. A partir de la propiedad (5.50) η αβ = Λµα Λνβ η µν que debe satisfacer una transformación de Lorentz Λµα y de la definición de componentes covariantes de un cuadrivector Vα := η αβ V β

(5.51)

y de la ley de transformación para las componentes contravariantes V ′α = Λαβ V β

(5.52)

encontrar la ley de transformación para las componentes covariantes del cuadrivector V, i. e., demostrar que Vα′ = Λα

µ

Vµ

(5.53)

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2. Componentes covariantes del cuadrivector momento. Dadas las componentes contravariantes del cuadrimomento en un sistema de referencia Σ, p0 , p1 , p2 , p2 E , px , py , pz = c

p =

(5.54)

encontrar las componentes covariantes. 3. Transformaci´ on de componentes covariantes. A partir de las ecuaciones de transformación para las componentes covariantes de un cuadrivector, mostrar que las ecuaciones de transformación para la energ´ıa y el momento de una part´ıcula son las mismas sin importar si se trabaja con sus componentes contravariantes o covariantes. 4. Propiedades de simetr´ıa. Considere un tensor de segundo rango contravariante T αβ . a Muestre que si el tensor es simétrico en un sistema de referencia también es simétrico en todos los sistemas de referencia. Similarmente si es antisimétrico. b A partir de T αβ encontrar sus componentes covariantes Tαβ y mostrar que si T αβ es simétrico entonces Tαβ también lo es. Similarmente si es antisimétrico. ¿Qué sucede con las componentes mixtas T α β y Tα β ? 5. Tensor m´ etrico de Minkowski. Mostrar, por cálculo directo, que el tensor métrico de Minkowski η αβ tiene las mismas componentes en todos los sistemas coordenados. Similarmente η αβ y el tensor métrico mixto δ αβ . ...αr ...αr ´ las componentes y Rβα1...β 6. Algebra de tensores. Sean Tβα1...β 1 s 1 s de dos tensores r − veces contravariantes y s − veces covariantes medidas en un sistema de referencia Σ, y λ un n´ umero real.

a Demostrar que las cantidades ...αr ...αr = λTβα1...β Sβα1...β 1

s

1

s

(5.55)

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se transforman como las componentes de un tensor r − veces contravariante y s−veces covariante bajo una transformación de Lorentz. b Demostrar que las cantidades ...αr ...αr ...αr + Rβα1...β = Tβα1...β Qαβ 1...β 1

s

1

s

1

s

(5.56)

se transforman como las componentes de un tensor r − veces contravariante y s−veces covariante bajo una transformación de Lorentz. 7. Contracci´ on de tensores. Demuestre que la contracci´ on de tensores es una operaci´ on tensorial. Es decir, muestre que el conjunto de cantidades obtenidas por la contracci´ on de cualquier ´ındice covariante con cualquier ´ındice contravariante de un tensor dado T r − veces contravariante y s − veces covariante, conforman las componentes de un tensor r − 1 veces contravariante y s − 1 veces covariante. 8. Tensor de Levi-Civita. El tensor de Levi-Civita est´ a definido por la ecuaci´ on (5.35). a Mostrar que las componentes del tensor de Levi-Civita tienen el mismo valor en todos los sistemas de referencia inerciales. b Calcular las componentes del tensor de Levi-Civita completamente covariante. c Calcular εαβγδ εαβγδ

(5.57)

9. El tensor dual. Dado un tensor de segundo rango covariante antisimétrico, i. e. Fαβ = −Fβα (5.58) entonces: a Calcular las componentes contravariantes del tensor dual, definido como 1 (5.59) (∗F )αβ = εαβγδ Fγδ 2

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b Bajando los ´ındices con el tensor métrico de Minkowski, encontrar las componentes covariantes del tensor dual: (∗F )αβ = η αµ η βν (∗F )µν

(5.60)

1 (∗F )αβ = εαβγδ F γδ 2

(5.61)

y demostrar que

c Comparar el resultado anterior si definimos el dual de un tensor de segundo orden contravariante antisimétrico por la relaci´ on 1 ∗Fαβ = εαβγδ F γδ 2

(5.62)

teniendo en cuenta que las componentes covariantes y contravariantes del tensor F est´ an relacionadas por F αβ = η αµ η βν Fµν

(5.63)

d Demostrar que ∗ (∗F ) = −F 10. Transformaci´ on general de coordenadas. Las ecuaciones de transformación de Lorentz usuales entre sistemas de referencia inerciales (5.64) x′α = Λα β xβ corresponden, matem´ aticamente, a una transformación de coordenadas x′α = x′α x0 , x1 , x2 , x3 = x′α (xµ ) (5.65)

con α = 0, 1, 2, 3.

a Encontrar la relaci´ on entre los elementos de la matriz jacobiana de la transformación de coordenadas   ′0 ∂x′0 ∂x′0 ∂x′0 ∂x 0 1 2 3 ∂x′1 ∂x′1 ∂x′1 ∂x′1  ∂x′α ∂x ∂x ∂x   ∂x 0 1 2 3  ′ ∂x ∂x ∂x ∂x (5.66) J x, x =  ∂x′2 ∂x′2 ∂x′2 ∂x′2  = ∂xβ  ∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3  ∂x′3 ∂x0

∂x′3 ∂x1

∂x′3 ∂x2

∂x′3 ∂x3

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b Calcular los elementos de la transformación de coordenas inversa (el jacobiano de la transformación inversa), asumiendo que el determinante de la matriz de Jacobi no es nulo, y relacionarlos con los correspondientes elementos de la matriz de Lorentz inversa. 11. Derivada de un tensor. Sea T αβ (x) una función tensorial de las coordenadas de segundo orden contravariante. Muestre que las funciones obtenidas, diferenciando con respecto a las coordenadas las componentes del tensor T αβ , es decir ∂ αβ T ≡ ∂γ T αβ ≡ T αβ ,γ ∂xγ

(5.67)

bajo una transformación de Lorentz se comportan como las componentes de un tensor de tercer orden, dos veces contravariante y una vez covariante, es decir α β σ µν T ′αβ ,γ = Λ µ Λ ν Λγ T ,σ

(5.68)

Este resultado se puede generalizar a tensores arbitrarios, es de...αr es un tensor r − veces contravariante y s − veces cir si Tβα1...β 1 s covariante, entonces ∂ α1 ...αr ...αr ...αr = Tβα1...β Tβ ...β = ∂γ Tβα1...β γ 1 s ,γ 1 s 1 s ∂x

(5.69)

es un tensor r−veces contravariante y s+1−veces covariante. Este resultado es válido solamente si la transformación de coordenadas es lineal (ver el siguiente problema). 12. Transformaci´ on general de coordenadas y derivadas. Sea Vα (x) un campo tensorial covariante y considerando una transformaci´ on de coordenadas general (no lineal) x′α = x′α (xµ )

(5.70)

entonces mostrar que las cantidades ∂ Vα = ∂γ Vα = Vα,γ ∂xγ

(5.71)

no se transforman como las componentes de un tensor dos veces covariante. ¿Bajo qué condici´ on las cantidades Vα,γ corresponden a las componentes de un tensor de segundo orden?

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13. El tensor energ´ıa-momento. Muchos sistemas f´ısicos, como un fluido o el campo electromagnético, se pueden caracterizar por una cantidad f´ısica llamada el tensor energ´ıa-momento T αβ , con la propiedad que sea simétrico T αβ = T βα

(5.72)

y que cumpla con la ecuaci´ on ∂ αβ T =0 (5.73) ∂xβ El modelo simple, pero de interés f´ısico, de un fluido relativista es conocido como el fluido perfecto, el cual est´ a determinado por dos funciones escalares ρ0 (x) y p0 (x). La función ρ0 representa la densidad de energ´ıa propia del fluido en cada punto del espaciotiempo x, es decir ρ0 corresponde a la densidad de energ´ıa del fluido en cada punto del espacio-tiempo medida por un observador inercial con respecto al cual el fluido se encuentra en reposo, as´ı ρ0 = c2

dm0 dV0

(5.74)

donde dm0 es la masa propia contenida en el elemento de volumen propio dV0 , y la función p0 (x) representa la presión propia del fluido en el punto x. Las componentes del tensor energ´ıa-momento del fluido, en el sistema de referencia propio, est´ an dadas por   ρ0 0 0 0  0 p0 0 0   T0αβ (x) =  (5.75)  0 0 p0 0  0 0 0 p0

donde el sub´ındice cero se refiere al sistema de referencia propio. Utilizando la matriz de transformación de Lorentz general, ecuaci´ on (7.334), encontrar los elementos del tensor energ´ıa-momento para un observador arbitrario que se mueve con velocidad ~u y mostrar que los elementos del tensor se pueden escribir como T αβ = (p0 + ρ0 )U α U β − p0 η αβ

(5.76)

donde U α es la cuadrivelocidad del fluido respecto al observador arbitrario, definida por Uα =

dxα = γ(~u)(1, ~β) ds

(5.77)

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Cap´ıtulo 6

Electrodin´ amica 6.1.

Introducci´ on

Las leyes de la electrodin´ amica, constituidas por las ecuaciones de Maxwell, la ecuaci´ on de continuidad para la carga y la ley de la fuerza de Lorentz, son válidas en el marco de los postulados de Einstein de la teor´ıa especial de la relatividad. En efecto, las leyes que rigen los fenómenos electromagnéticos no dependen del sistema de referencia inercial y por lo tanto las ecuaciones de la electrodinámica deben permanecer invariantes bajo transformaciones de Lorentz. Esta invarianza implica que los campos eléctricos y magnéticos deben satisfacer ciertas ecuaciones de transformación entre sistemas de referencia, de tal manera que las leyes de la electrodin´ amica mantengan su forma para todos los observadores inerciales. Una consecuencia de la covarianza de las ecuaciones de Maxwell es que el campo eléctrico y magnético debe describirse en forma unificada a través del tensor campo electromagnético. Otra forma de ver el car´ acter relativista de los fenómenos electromagnéticos es a partir del campo eléctrico est´ atico, asumiendo la validez de la ley de Coulomb para cargas en reposo y las ecuaciones de transformaci´ on de Lorentz, y mostrar mostrar que la existencia del campo magnético es un efecto relativista. A través de los problemas del presente cap´ıtulo desarrollaremos estas dos formas de entender los fenómenos electromagnéticos en el marco de los postulados de la teor´ıa de la relatividad especial. 55 i

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6.2.

´ CAPÍTULO 6. ELECTRODINAMICA

Ecuaciones de Maxwell

Las leyes de la electrodin´ amica est´ an constituidas por dos conjuntos de ecuaciones. El primer conjunto lo conforman las ecuaciones de Maxwell que est´ an dadas por (en unidades cgs): ~ ·E ~ = 4πρ ∇

(6.1)

~ ·B ~ =0 ∇

(6.2)

~ ~ ×B ~ = 1 ∂ E + 4π J~ ∇ c ∂t c ~ ~ ×E ~ + 1 ∂B = 0 ∇ c ∂t

(6.3) (6.4)

~ y magnético B ~ en las cuales nos determinan los campos eléctrico E términos de sus fuentes (cargas y corrientes), con ρ la densidad volumétrica de carga y J~ la densidad de corriente eléctrica. La primera de estas ecuaciones (6.1) es la ley de Gauss y establece que las cargas eléctricas son fuente del campo eléctrico. La segunda ecuaci´ on (6.2), ley de Gauss para el campo magnético, nos dice que no existen fuentes para el campo magnético. La tercera ecuaci´ on de Maxwell (6.3) contiene dos términos: la ley de Ampère, esto es, que las ~ corrientes eléctricas (representadas en el término 4π J/c) producen cam~ pos magnéticos y por otra parte est´ a el término 1/c∂ E/∂t, introducido por Maxwell, que nos dice que campos eléctricos variables en el tiempo son también una fuente de campo magnético. La u ´ltima de las ecuaciones de Maxwell (6.4) es la ley de inducción de Faraday, la cual establece que campos magnéticos variables en el tiempo inducen campos eléctricos. El segundo conjunto de ecuaciones que conforman las leyes de la electrodinámica lo constituyen la ecuaci´ on de continuidad y la ley de la fuerza de Lorentz: ~ · J~ + ∂ρ = 0 (6.5) ∇ ∂t d~ p ~ + q ~u × B ~ = qE (6.6) dt c donde q es la carga de la part´ıcula y ~u su velocidad medida con respecto a un sistema de referencia inercial. La primera de estas ecuaciones (6.5), la ecuaci´ on de continuidad, establece que la carga eléctrica es conservada en la naturaleza. Es de anotar que esta ley de conservación de la carga est´ a contenida en las

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6.2. ECUACIONES DE MAXWELL

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ecuaciones de Maxwell y por lo tanto no constituye una ley independiente de la electrodin´ amica, pues si tomamos la divergencia de la ecuaci´ on (6.3) tenemos que ~ ~ · ∂ E + 4π ∇ ~ · J~ ~ · ∇ ~ ×B ~ = 1∇ (6.7) ∇ c ∂t c intercambiando la derivada espacial y temporal, utilizando la primera ecuaci´ on de Maxwell (6.1) y teniendo en cuenta que la divergencia del rotacional se anula, obtenemos la ecuaci´ on de continuidad: 0 = =

~ ·E ~ 4π ~ ~ 1 ∂∇ + ∇·J c ∂t c 4π ~ ~ 4π ∂ρ + ∇·J c ∂t c

(6.8)

Finalmente, la u ´ltima ecuaci´ on (6.6) corresponde a la ley de la fuerza de Lorentz, la cual nos da la ecuaci´ on de movimiento para una carga puntual en presencia de un campo electromagnético. La ley de Coulomb describe la fuerza entre part´ıculas cargadas estacionarias: q1 q2 f~12 = k 2 rˆ (6.9) r donde q1 y q2 miden las cargas eléctricas de las part´ıculas, r es la distancia entre ellas, con rˆ un vector unitario en la direcci´ on del radio vector que une la carga 1 con la carga 2, y k es una constante de proporcionalidad que depende del sistema de unidades elegido (k = 1 en el sistema cgs). Entonces f~12 nos mide la fuerza que la carga q2 experimenta debido a la carga q1 , siendo esta fuerza atractiva o repulsiva dependiendo del signo de las cargas. Además esta expresi´ on de la fuerza satisface, por su definición, la tercera ley de Newton, esto es f~12 = −f~21

(6.10)

A partir de la ecuaci´ on (6.9) podemos escribir la ley de Coulomb en la forma: ~ 1 (~r) f~12 = q2 E (6.11) ~ 1 (~r), definida como donde la cantidad E ~ 1 (~r) := q1 rˆ E r2

(6.12)

representa el campo eléctrico producido por la carga q1 en el punto ~r.

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Estas expresiones para la fuerza (6.9) y el campo eléctrico (6.12) son válidas para un observador inercial Σ, con respecto al cual la carga q1 est´ a en reposo. Es un hecho experimental que la fuerza sobre la carga de prueba q2 es independiente del estado de movimiento de la carga de prueba, lo cual est´ a impl´ıcito en la expresi´ on para la fuerza de Coulomb, pues ella depende solamente de la posici´ on instantánea de la carga q2 . Adem´ as, tanto la fuerza de Coulomb como el campo eléctrico producido por la carga q1 , son independientes del tiempo siempre y cuando la carga q1 se encuentre en reposo. Experimentalmente determinamos la fuerza f~12 sobre la carga de prueba q2 en el sistema de referencia inercial Σ, midiendo la rata de cambio del momento p~2 de la carga q2 , es decir midiendo d~ p2 /dt, as´ı como también las otras variables cinem´ aticas y din´ amicas que entran en la definición de la fuerza de Coulomb, tales como la distancia entre la carga q1 y la de prueba, la velocidad (nula en este caso) de la carga q1 y el momento ~ p2 de q2 .

6.3.

Ecuaciones de Maxwell covariantes

La ecuaci´ on de continuidad (6.5) la podemos escribir, en forma expl´ıcitamente covariante, como: ∂µ J µ = 0

(6.13)

donde el cuadrivector corriente J ν se ha definido en la forma: ~ J ν := (J 0 , J 1 , J 2 , J 3 ) = (cρ, J)

(6.14)

La componente temporal J 0 representa la densidad de carga (siendo la carga un invariante relativista) y las componentes espaciales J i , i = 1, 2, 3 corresponden a las componentes del vector densidad de corriente eléctrica. En las ecuaciones de Maxwell (6.1) a (6.4), los campos eléctri~ y magnéticos B ~ son vectores cartesianos usuales y por lo tanto cos E no corresponden a ninguna cantidad relativista, es decir a un escalar de Lorentz, o a un cuadrivector, o a un tensor. Por esta raz´ on se define el tensor campo electromagnético F medido por un observador inercial Σ, como un tensor de segundo rango antisimétrico cuyas componentes contravariantes est´ an dadas por: F 12 = −F 21 = Bz F 01 = −F 10 = Ex F αα = 0

F 23 = −F 32 = Bx F 02 = −F 20 = Ey

F 31 = −F 13 = By F 03 = −F 30 = Ez ∀α = 0, 1, 2, 3

(6.15)

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6.3. ECUACIONES DE MAXWELL COVARIANTES

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Con esta definición, podemos escribir las dos primeras ecuaciones de Maxwell (ecuaciones (6.1) y (6.2)) en la forma: 4π β J (6.16) c la cual es una ecuaci´ on covariante relativista. Esto significa que esta ecuaci´ on tiene la misma forma en todos los sistemas de referencia inerciales, es decir, en un sistema de referencia Σ′ , para el cual F ′αβ y J ′β son las correspondientes componentes del tensor campo electromagnético y densidad de corriente, las dos primeras ecuaciones de Maxwell tienen la forma: 4π ∂α′ F ′αβ = − J ′β (6.17) c donde las componentes de la densidad de corriente J ′β y del tensor F ′αβ medidas en Σ′ , est´ an relacionadas con las medidas en Σ, por las ecuaciones de transformación: ∂α F αβ = −

J ′µ = Λµα J α

(6.18)

F ′µν = Λµα Λνβ F αβ

(6.19)

Estas relaciones nos dan las ecuaciones de transformación para las fuentes y los campos eléctricos y magnéticos medidas por dos observadores inerciales. Las ecuaciones de Maxwell homogéneas (6.2) y (6.4), con la ayuda del tensor de Levi-Civita (5.35) introducido en el cap´ıtulo anterior, las podemos escribir en la forma: εαβγδ ∂β Fγδ = 0

(6.20)

en esta u ´ltima ecuaci´ on se ha utilizado el tensor de Minkowski para bajar los ´ındices del tensor electromagnético F, esto es: Fγδ = η αγ η βδ F αβ

(6.21)

la cual nos representa las componentes covariantes del tensor campo electromagnético. Finalmente consideremos la ecuaci´ on de la fuerza de Lorentz (ecuaci´ on (6.6)), que podemos escribir en forma covariante como: dpα (6.22) fα = dτ q dxγ η βγ F βα = c dτ γ dx q F α = c γ dτ

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donde pα es el cuadrimomento de la part´ıcula de carga q, τ el tiempo propio, xγ sus coordenadas de posici´ on y Fγα las componentes mixtas del tensor campo electromagnético definidas por: Fγα = η γσ F σα

6.4.

(6.23)

Transformaciones Gauge

Hay dos teoremas del c´ alculo diferencial en varias variables, que nos permiten escribir las ecuaciones de Maxwell en forma m´ as compacta: Teorema 21 Sea F~ una funci´ on vectorial tal que su rotacional es cero, i. e., ~ × F~ = 0 ∇ (6.24)

entonces la funci´ on F~ se puede escribir como el gradiente de una funci´ on escalar Ψ(~r), esto es: ~ r) F~ = ∇Ψ(~ (6.25) Teorema 22 Sea F~ una funci´ on vectorial tal que su divergencia es cero, i. e., ~ ·F ~ =0 ∇ (6.26)

~ se puede escribir como el rotacional de una funentonces la funci´ on F ~ r ), esto es: ci´ on vectorial Υ(~ ~ × Υ(~ ~ r) F~ = ∇

(6.27)

Si aplicamos estos dos resultados del cálculo vectorial, los campos eléctrico y magnético se pueden escribir en términos del potencial vec~ y del potencial escalar Φ en la forma: torial A ~ =∇ ~ ×A ~ B

(6.28)

~ ~ ~ = − ∂ A − ∇Φ (6.29) E ∂t El signo menos en la ecuaci´ on anterior permite interpretar directamente al potencial Φ, para el caso de campos independientes del tiempo, como el trabajo por unidad de carga realizado por el campo eléctrico, llamado potencial electrost´ atico, el cual es un campo conservativo. Estos dos teoremas del c´ alculo vectorial corresponden a casos particulares de un teorema m´ as general de tensores:

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6.4. TRANSFORMACIONES GAUGE

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Teorema 23 Sean Tαβ las componentes covariantes de un tensor de segundo rango antisimétrico, tal que εαβγδ ∂β Tγδ = 0

(6.30)

entonces el tensor Tαβ se puede escribir como el “rotacional” de una funci´ on cuadrivectorial W γ , es decir Tαβ = ∂[α Wβ] = ∂α Wβ − ∂β Wα

(6.31)

As´ı, dado que las dos ecuaciones de Maxwell homogéneas (6.2) y (6.4) se pueden escribir en la forma εαβγδ ∂β Fγδ = 0

(6.32)

donde Fγδ es el tensor campo electromagnético; entonces, de acuerdo con el teorema anterior el tensor campo electromagnético Fγδ se puede escribir en la forma Fγδ = ∂γ Aδ − ∂δ Aγ =

∂Aγ ∂Aδ − γ ∂x ∂xδ

(6.33)

donde el cuadrivector Aµ , definido como: ~ Aµ := (Φ, A)

(6.34)

~ el potencial vectorial y Φ el potencial es llamado el cuadripotencial,con A escalar definidos en la ecuaciones (6.28) y (6.29) respectivamente. Con esta definición del cuadripotencial Aµ , podemos escribir las ecuaciones de Maxwell inhomogéneas en la forma: ∂ µ ∂µ Aγ − ∂ µ ∂γ Aµ = −4πJγ

(6.35)

De esta manera, la u ´ltima ecuaci´ on es equivalente a las ecuaciones de campo de Maxwell, pues dadas las fuentes de los campos J α y resolviendo la ecuaci´ on (6.35), conocemos el cuadripotencial Aµ y as´ı los campos electromagnéticos. Si realizamos la transformación Aµ ⇀ A˜µ = Aµ + ∂µ Λ

(6.36)

donde Λ es una funci´ on cualquiera de las coordenadas, la función Fγδ permanece invariante bajo la transformación (6.36) y as´ı también los ~ y B. ~ La transformación (6.36) se llama campos electromagnéticos E una transformación “gauge”.

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Estas transformaciones juegan un papel fundamental en la teor´ıa cu´ antica de campos y en las teor´ıas de unificación de las interacciones fundamentales. Finalmente, dado que el cuadripotencial Aµ no est´ a definido de manera u ńica, entonces podemos imponer sobre él una condici´ on o ecuaci´ on de ligadura, llamada la elección de un gauge particular, la ~ y B. ~ As´ı, cual no cambia la f´ısica, es decir no cambian los campos E por ejemplo si se escoge función arbitraria Λ en la ecuaci´ on (6.36), de tal manera que el potencial cuadrivectorial Aµ cumpla con la ecuaci´ on: ∂ µ Aµ = 0

(6.37)

llamado el gauge de Lorentz, entonces la ecuaci´ on (6.35) se simplifica, reduciéndose a la ecuaci´ on: Aµ = −Jµ

(6.38)

que es la ecuaci´ on de ondas inhomogénea. El operador , el cual es invariante bajo transformaciones de Lorentz, est´ a definido por la ecuaci´ on =

6.5.

1 ∂2 ~2 −∇ 2 2 c ∂t

(6.39)

Problemas de electrodin´ amica

1. Conservaci´ on de la carga. Muestre que la ecuaci´ on de continuidad para la carga ∂α J α = 0 (6.40) implica la conservaci´ on total de la carga eléctrica. 2. Cuadricorriente de una part´ıcula. Consideremos una part´ıcula de carga q en reposo respecto a un observador inercial Σ. a Escribir las componentes del cuadrivector densidad de corriente medidas en el sistema Σ. b Considerar un segundo sistema de referencia inercial Σ′ que se mueve con velocidad −v respecto a Σ a lo largo del eje x. Encontrar las componentes del cuadrivector densidad de corriente en Σ′ , es decir para una part´ıcula que se mueve a velocidad constante respecto a un observador inercial. c ¿Qué sucede con la carga total del sistema medida por los dos observadores inerciales Σ y Σ′ ?

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´ 6.5. PROBLEMAS DE ELECTRODINAMICA

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3. Ecuaciones de Maxwell covariantes. Mostrar que las ecuaciones de Maxwell covariantes ∂α F αβ = −

4π β J c

εαβγδ ∂β Fγδ = 0

(6.41) (6.42)

implican las ecuaciones de Maxwell vectoriales. 4. Fuerza de Lorentz. A partir de la ecuaci´ on covariante para la fuerza sobre una part´ıcula cargada en un campo electromagnético fα = = =

dpα dτ q dxγ η βγ F βα c dτ γ q α dx F c γ dτ

(6.43)

encontrar la fuerza de Lorentz e interpretar las componentes del cuadrivector fuerza. 5. Campo el´ ectrico de carga en movimiento. El campo eléctrico producido por una carga estacionaria Q se define como la relaci´ on entre la fuerza sobre una carga de prueba q por unidad de carga, es decir ~ ~ = l´ım Fq (6.44) E q→0 q con Qq (6.45) F~q = k 2 rˆ r donde asumimos que la carga Q est´ a en el origen de coordenadas y la carga de prueba q est´ a situada en un punto de coordenadas ~r. Notemos que la fuerza sobre q es válida independiente del estado de movimiento de la carga de prueba, es decir depende solo de su posici´ on instantánea. Consideremos una part´ıcula de carga Q moviéndose con velocidad constante v respecto a un observador inercial Σ. A partir de la ley de Coulomb encontrar el campo eléctrico medido en Σ debido a la carga Q. Para resolver este problema supongamos que la carga Q se encuentra en el origen de coordenadas de Σ en el instante t = 0 y se mueve en la direcci´ on del eje x positivo y la carga de prueba q est´ a en reposo respecto a

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Σ en un punto de coordenadas ~r = (x, y, z). Considere primero el caso particular ~r = (x, 0, 0) y luego ~r = (0, y, 0) y a partir de estos resultados encuentre el caso general cuando ~r = (x, y, z).

Figura 6.1: Causalidad y el campo eléctrico de una carga en movimiento uniforme. Campo eléctrico en dos instantes para una carga en movimiento uniforme.

6. Causalidad y campo el´ ectrico de una carga en movimiento uniforme. El campo eléctrico de una carga en movimiento uniforme obtenido en el problema anterior plantea una aparente contradicci´ on con el postulado de la constancia de la velocidad de la luz y por ende con el principio de causalidad en la f´ısica, pues el resultado obtenido establece que el campo eléctrico de una carga en movimiento uniforme en un punto del espacio es radial y depende solo de la distancia entre la posici´ on instantánea de la carga y el punto de observación, como se muestra en la figura (6.1). Argumentar por qué este resultado para el campo eléctrico no viola el principio de causalidad. Compare la situaci´ on anterior con una carga que se mueve a velocidad constante a lo largo del eje x respecto a un observador inercial y en un instante, por ejemplo t = 0, la carga es frenada r´ apidamente hasta alcanzar el reposo. Dibujar las l´ıneas de campo eléctrico para un tiempo t < 0 y para t > 0, con t >> δt donde δt es el tiempo que tarda la carga en alcanzar el reposo. 7. Fuerza sobre una carga en movimiento. Calcular la fuerza sobre una part´ıcula de prueba q debida a una carga fuente Q. La carga q se mueve con velocidad ~u respecto a un sistema de

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referencia inercial Σ y se encuentra en el instante t = 0 en un punto de coordenadas ~r, mientras que la carga fuente Q se mueve a velocidad constante v en la direcci´ on del eje x positivo y la cual pasa por el origen de Σ en t = 0 (ver figura (6.2)). Para resolver este problema considere primero los dos casos siguientes: primero la carga de prueba q est´ a en la posici´ on ~r = (x, 0, 0)

(6.46)

y con velocidad arbitraria. Segundo, la carga q se encuentra en la posici´ on ~r = (0, y, 0) (6.47) y tiene velocidad ~u = (ux , 0, 0)

(6.48)

y generalice para una velocidad arbitraria. A partir de estos resultados considere la situaci´ on general.

Figura 6.2: Fuerza sobre una carga en movimiento. En el instante t = 0 la carga q se encuentra en la posici´ on ~r. En todos los casos anteriores compare la fuerza F~ sobre la part´ıcula de prueba con la fuerza F~E calculada en el problema 5 de esta secci´ on y encuentre la diferencia ~M = F~ − F~E F

(6.49)

la cual se interpreta como la fuerza magnética, y muestre que se puede escribir en la forma ~ F~M = q~u × B

(6.50)

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8. Transformaci´ on general del campo electromagn´ etico. A partir del tensor campo electromagnético F αβ y de la ley de transformaci´ on para las componentes contravariantes bajo un cambio de sistema de referencia F ′′αβ = Λαµ Λβν F µν

(6.51)

encontrar las ecuaciones de transformación de los campos eléctrico y magnético, medidas por dos observadores inerciales relacionados por una transformación de Lorentz usual. 9. Campo de una carga en movimiento. Encontrar los campos eléctrico y magnético de una carga Q que se mueve a velocidad constante v a partir de las ecuaciones de transformación de las componentes del campo electromagnético encontradas en el problema anterior. Suponga que la carga pasa por el origen de un sistema de referencia inercial Σ en t = 0 y se mueve en la direcci´ on del eje x positivo. 10. Invariantes del campo electromagn´ etico. A partir del tensor campo electromagnético F αβ construir dos invariantes bajo transformaciones de Lorentz. Ayuda: considerar el tensor dual ∗F .

~ y 11. Campos ortogonales. Demuestre que si un campo eléctrico E ~ forman el mismo ángulo para todos los observauno magnético B dores inerciales, entonces los campos son ortogonales, i. e. ~ ·B ~ =0 E

(6.52)

12. El tensor energ´ıa-momento del campo electromagn´ etico. El tensor campo electromagnético est´ a definido por 1 1 αβ σδ ασ β αβ η F Fσδ − F F σ (6.53) T = 4π 4 ~ y B. ~ Moscalcular sus componentes en términos de los campos E trar que la componente 1 h ~ 2 ~ 2i (6.54) E +B T 00 = 8π representa la densidad de energ´ıa del campo electromagnético, T 0i las componentes del vector de Pointing ~ ×B ~ ~= 1 E S 4π

(6.55)

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y T ij las componentes del tensor de tensiones del campo electromagnético: 1 1 ~ 2 ~ 2 +B (6.56) T ij = E i E j + B i B j + δ ij E 4π 2 13. Ecuaci´ on de continuidad del tensor Tµν . Demostrar que el tensor energ´ıa-momento del campo electromagnético tiene cuadridivergencia nula si no hay fuentes, es decir probar que ∂T αβ =0 ∂xβ

(6.57)

si J α = 0. ¿Qué ecuaci´ on cumple T αβ si J α 6= 0? 14. La traza del tensor Tµν . Demostrar que la traza del tensor energ´ıa-momento del campo electromagnético tiene traza cero, es decir T σσ = 0 (6.58) 15. Otro invariante relativista. Demostrar que T 00 es un invariante relativista.

2

~ |2 −|S

(6.59)

16. Trayectoria en campo el´ ectrico constante. Un prot´ on de carga +e incide con velocidad ~v0 en una regi´ on de campo eléctrico ~ Si la velocidad inicial del prot´ constante E. on ~v0 es perpendicular al campo eléctrico, encontrar la trayectoria del prot´ on. 17. Trayectoria en campo magn´ etico constante. Un prot´ on de carga +e se mueve con velocidad |~v | constante en una regi´ on de ~ Si la velocidad es perpendicular al campo magnético constante B. campo magnético, encontrar la trayectoria del prot´ on y calcular la frecuencia de giro en función del radio de la trayectoria, el campo magnético, la velocidad y la masa propia del prot´ on.

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Cap´ıtulo 7

Cinem´ atica relativista 7.1.

Soluciones de problemas de cinem´ atica

1. Estructura causal. El intervalo espacio-temporal (2.12) para los eventos P1 = (3, 2, 0, 2), P2 = (4, −1, 0, 2) y P3 = (−2, −1, 0, −2) est´ a dado por: 2 = (4 − 3)2 − (−1 − 2)2 − (0 − 0)2 − (2 − 2)2 = −8 ∆S12

(7.1)

2 ∆S13 = (−2 − 3)2 − (−1 − 2)2 − (0 − 0)2 − (−2 − 2)2 = 0 (7.2) 2 = (−2 − 4)2 − (−1 + 1)2 − (0 − 0)2 − (−2 − 2)2 = 20 (7.3) ∆S23

a Si el intervalo espacio-temporal es mayor o igual a cero, los eventos est´ an causalmente conectados. Por lo tanto los eventos P1 y P3 son nulos y est´ an causalmente conectados y los eventos P2 y P3 son temporales y también est´ an causalmente conectados. b La condici´ on para que dos eventos separados en el espacio puedan ser simult´ aneos para un observador, es que no estén causalmente conectados y por lo tanto su intervalo espaciotemporal debe ser menor que cero. As´ı, para los eventos P1 y P2 existe un sistema de referencia inercial Σ′ tal que los dos eventos son simult´ aneos. Para calcular la velocidad consideremos la transformación de Lorentz usual, ecuaci´ on (2.4), ′0 ′0 para las componentes temporales x1 y x2 de los dos eventos medidas por Σ′ , 0 1 x′0 (7.4) 1 = γ(x1 − βx1 ) 68 i

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´ 7.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE CINEMATICA

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0 1 x′0 2 = γ(x2 − βx2 )

(7.5)

′0 x′0 1 = x2

(7.6)

e imponiendo la condici´ on que en Σ′ los eventos son simult´ aneos

podemos encontrar la velocidad Σ′ respecto a Σ, as´ı: γ(x01 − βx11 ) = γ(x02 − βx12 )

(7.7)

despejando β de esta ecuaci´ on y remplazando los valores para las coordenadas tenemos β=

1 x02 − x01 =− 1 1 3 x2 − x1

(7.8)

por lo tanto la velocidad del sistema Σ′ respecto a Σ es 1 (7.9) ~v = − c, 0, 0 3 c Para que exista un sistema de referencia Σ′ con respecto al cual los dos eventos sucedan en el mismo punto del espacio, se requiere que los dos eventos sean temporales, por lo tanto esta condici´ on se cumple para los eventos P2 y P3 . Para calcular la velocidad de Σ′ respecto a Σ aplicamos las transformaciones de Lorentz para la coordenada espacial. Dadas las coordenadas de los eventos y teniendo en cuenta que en este caso el movimiento relativo de los sistemas debe ser a lo largo de los ejes z − z ′ , tenemos 3 0 x′3 2 = γ(x2 − βx2 )

(7.10)

3 0 x′3 3 = γ(x3 − βx3 )

(7.11)

′3 igualando las coordenadas x′3 2 = x3 , despejando β y remplazando obtenemos 2 x3 − x32 (7.12) = β = 30 0 3 x3 − x2

por lo tanto la velocidad del sistema Σ′ respecto a Σ est´ a dada por 2 ~v = 0, 0, c (7.13) 3

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2. La paradoja del garaje. Con respecto al sistema de referencia del garaje los eventos, llegada del frente del bus a la pared posterior del garaje y llegada de la parte posterior del bus a la puerta del garaje, son simult´ aneos y suceden en puntos diferentes del espacio, pues la longitud f´ısica del bus ℓ es ℓ = ℓ0

r

1−

v2 = 10m × 0,6 = 6m c2

(7.14)

Esto significa que los dos eventos son espaciales y por lo tanto no est´ an conectados causalmente.

Figura 7.1: La paradoja del garaje. Llegada del bus al garaje vista por los dos observadores inerciales Σ y Σ′ .

Esto implica que para otros observadores los dos eventos pueden suceder en cualquier orden temporal. De esta forma, desde el punto de vista de un observador ligado al bus, primero llega la pared del fondo del garaje y un tiempo después llega la entrada del garaje a la parte posterior del bus, sin que esto implique que los eventos estén causalmente conectados. Para ver mejor este razonamiento consideremos dos sistemas de coordenadas, ligadas al bus (Σ′ ) y al garaje (Σ), y supongamos que elegimos los or´ıgenes de coordenadas en la puerta del garaje y en la parte posterior del bus y tomamos t = t′ = 0 cuando los or´ıgenes coinciden y el eje x positivo en la direcci´ on de movimiento del bus. Los dos eventos, P1 : llegada de la parte delantera del bus a la pared y P2 : llegada de la parte posterior del bus a la puerta del garaje, tienen las siguientes coordenadas

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con respecto al sistema Σ: P1 = (x01 , x11 , x21 , x31 ) = (0, ℓ, 0, 0)

(7.15)

P2 = (x02 , x12 , x22 , x32 ) = (0, 0, 0, 0)

(7.16)

Aplicando una transformación de Lorentz usual, las coordenadas de los dos eventos respecto a Σ′ son: x′0 = γ(x01 − βx11 ) 1

= −γβℓ = −βℓ0

x′1 = γ(x11 − βx01 ) 1 = γℓ = ℓ0

(7.17)

(7.18)

as´ı ′1 ′2 ′3 P1 = (x′0 1 , x1 , x1 , x1 )

= (−βℓ0 , ℓ0 , 0, 0)

′1 ′2 ′3 P2 = (x′0 2 , x2 , x2 , x2 )

= (0, 0, 0, 0)

(7.19)

(7.20)

esto significa que para Σ′ el evento P1 sucede antes que el evento P2 , es decir, en el instante en que el bus impacta con la pared del garaje, la puerta del garaje a´ un no ha llegado a la parte posterior del bus. Adem´ as supongamos que en el momento del impacto se propaga una se˜ nal hacia la parte posterior del bus (por la onda de deformaci´ on) a la m´ axima velocidad posible c, entonces esta se˜ nal alcanza la parte posterior del bus un tiempo ℓ0 /c, después del impacto, es decir en el instante −βℓ0 + ℓ0 = ℓ0 (1 − β) > 0

(7.21)

lo cual significa que la informaci´ on (viajando a la velocidad c) llega a la parte posterior del bus después que ha llegado la puerta del garaje. En la figura (7.1) se ilustra en una secuencia lo que se “observa” desde cada sistema de referencia inercial.

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3. Varilla inclinada. Para encontrar el ángulo que forma la varilla respecto al sistema de referencia inercial Σ, consideremos las coordenadas de los extremos de la varilla medidas por Σ y por un observador Σ′ ligado a la varilla. Sean P1 y P2 los eventos que representan la medida hecha por el observador Σ de los extremos de la varilla, entonces las coordenadas en Σ de estos eventos son P1 = (x01 , x11 , x21 , 0)

(7.22)

P2 = (x02 , x12 , x22 , 0)

(7.23)

asumiendo que la varilla se encuentra en el plano x − y, adem´ as 0 0 x1 = x2 pues la medida de los extremos de la varilla deber ser realizada por Σ simult´ aneamente. Por lo tanto el ángulo de inclinaci´ on de la varilla con respecto al eje x que mide Σ es tan θ =

x22 − x21 x12 − x11

(7.24)

Para el observador Σ′ el ángulo θ0 est´ a dado por tan θ0 =

′2 x′2 2 − x1 ′1 x′1 2 − x1

(7.25)

Dado que la varilla se mueve a velocidad constante a lo largo del eje x, las coordenadas de los extremos de la varilla est´ an relacionadas por la transformación de Lorentz usual; as´ı, teniendo en cuenta que x01 = x02 , tenemos tan θ0 = = por lo tanto

x22 − x21 γ(v) x12 − βx02 − γ(v) x11 − βx01 x22 − x21 γ(v) x12 − x11

tan θ = γ(v) tan θ0

(7.26)

(7.27)

es decir, el ´ angulo que forma la varilla con respecto a su direcci´ on de movimiento medido por el observador Σ es mayor en el factor γ(v). 4. Paradoja de la varilla inclinada. Para analizar el problema consideremos dos sistemas de referencia inerciales, Σ ligado a la

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plataforma con origen en el centro de la rendija y Σ′ ligado a la varilla con origen en su centro y orientemos los ejes x− x′ positivos en la direcci´ on de movimiento de la varilla y tomemos t = t′ = 0 cuando el centro de la varilla pasa por el centro de la rendija. Ver figura (7.2). El ángulo que forma la varilla y la plataforma con respecto al observador inercial Σ es θ = 45o . Del resultado obtenido en el problema anterior, ecuaci´ on (7.27), el ángulo θ0 que forma la varilla m´ ovil con respecto a la direcci´ on de movimiento, medido en el sistema de referencia propio de la varilla, es menor en el factor γ(v), es decir tan θ0 =

1 1 tan θ = <1 γ(v) γ(v)

(7.28)

Figura 7.2: Paradoja de la varilla inclinada. Sistema de referencia de la plataforma Σ.

Adem´ as, con respecto al sistema de referencia de la varilla Σ′ la plataforma se est´ a moviendo con velocidad v y por lo tanto el ′ angulo θ que ella forma con respecto al eje x′ es mayor en el ´ factor γ(v) pues tan θ′ = γ(v) tan θ = γ(v) > 1

(7.29)

Estos resultados implican que, con respecto al sistema de referencia propio de la varilla, la plataforma (y por tanto el orificio) se mueve hacia la varilla con un ángulo de inclinaci´ on mayor que el de la varilla y por lo tanto la varilla s´ı pasa por el orificio. En la

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figura (7.3) se muestra la secuencia del paso de la varilla por el agujero, visto en el sistema de referencia Σ′ . La parte inferior del agujero llega primero a la varilla en un instante t′1 < 0, luego en el instante t′ = 0 el centro del agujero pasa por el centro de la varilla y finalmente en un instante posterior t′2 > 0 pasa la parte superior. Para probar esta afirmación consideremos los tres eventos siguientes: P1 la parte inferior de la varilla y rendija coinciden, P2 la parte superior de la varilla y la rendija coinciden y P0 el centro de la varilla y el centro del orificio coinciden. La longitud propia de la rendija es ℓ0 y la plataforma forma un ángulo de 45o con respecto al eje de las x, entonces, para el sistema de referencia Σ, los tres eventos son simult´ aneos y las coordenadas est´ an dadas por P0 = (0, 0, 0, 0)

√ √ P1 = (0, ℓ0 2/2, −ℓ0 2/2, 0) √ √ P2 = (0, −ℓ0 2/2, ℓ0 2/2, 0)

(7.30) (7.31) (7.32)

Figura 7.3: Paradoja de la varilla inclinada. Sistema de referencia de la varilla Σ′ .

Para calcular las coordenadas de estos eventos con respecto al sistema de referencia Σ′ de la varilla aplicamos una transformaci´ on de Lorentz usual. Entonces las coordenadas del evento P0 son (0, 0, 0, 0), pues elegimos los ejes de los sistemas que coincidieran en t = t′ = 0, cuando los centros de la varilla y del agujero se crucen. ′1 ′2 ′3 Si llamamos a las coordenadas del evento P1 = (x′0 1 , x1 , x1 , x1 ),

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entonces

√ ℓ0 2 (7.33) = − = −βγ 2 √ ℓ0 2 ′1 1 0 x1 = γ(x1 − βx1 ) = γ (7.34) 2 √ ℓ0 2 2 x′2 (7.35) 1 = x1 = − 2 ′1 ′2 ′3 Para el evento P2 = (x′0 2 , x2 , x2 , x2 ) obtenemos √ ℓ0 2 ′0 0 1 x2 = γ(x2 − βx2 ) = βγ (7.36) 2 √ ℓ0 2 ′1 1 0 (7.37) x2 = γ(x2 − βx2 ) = −γ 2 √ ℓ0 2 2 (7.38) x′2 2 = x2 = 2 Estos resultados muestran que el evento P1 sucede antes que el evento P0 y este antes que el evento P2 , pasando la varilla por la rendija para todos los observadores inerciales. x′0 1

γ(x01

βx11 )

5. Adici´ on de velocidades no paralelas. Consideremos las dos transformaciones de Lorentz siguientes: Λ(vx ) : Σ −→ Σ′ x 7→ x′ = Λ(vx )x

con Λα y



γ(vx ) −β x γ(vx )  −β x γ(vx ) γ(vx )  β (vx ) =  0 0 0 0

0 0 1 0

(7.39)

 0 0   0  1

Λ(vz ) : Σ′ −→ Σ′′ x′ 7→ x′′ = Λ(vz )x′

con Λα



γ(vz )  0  β (vz ) =  0 −β z γ(vz )

0 1 0 0

 0 −β z γ(vz )  0 0   1 0 0 γ(vz )

(7.40)

(7.41)

(7.42)

donde β i = vi /c y γ i = γ(vi ), con i = x, z.

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a La composici´ on de transformaciones de Lorentz Λ(vx ) Λ(vz ) ′ Σ −→ Σ −→ Σ′′ ′ ′′ x 7→ x = Λ(vx )x 7→ x = Λ(vz )Λ(vx )x corresponde al producto matricial de los elementos de la transformaci´ on,    γz 0 0 −β z γ z γx −β x γ x 0 0    −β x γ x 0 1 0 0 γx 0 0        0 0 1 0 0 0 1 0  −β z γ z 0 0 γz 0 0 0 1   γxγz −β x γ x γ z 0 −β z γ z  −β x γ x  γx 0 0  =  (7.43)   0 0 1 0 −γ x β z γ z β x γ x β z γ z 0 γz b La composici´ on de transformaciones de Lorentz Σ x

Λ(vz ) Λ(vx ) −→ Σ′ −→ Σ′′ ′ ′′ 7→ x = Λ(vz )x 7→ x = Λ(vx )Λ(vz )x

tiene como elementos matriciales   γx −β x γ x 0 0 γz  −β x γ x   0 γx 0 0    0 0 0 1 0  −β z γ z 0 0 0 1   γ xγ z −β x γ x 0 −γ x β z γ z  −β x γ x γ z γx 0 βxγxβz γz   =    0 0 1 0 −β z γ z 0 0 γz

0 1 0 0

 0 −β z γ z  0 0   1 0 0 γz (7.44)

los cuales son claramente diferentes al caso a. Este resultado muestra que, en general, la composici´ on de transformaciones puras de Lorentz no es conmutativa, salvo cuando las dos se realizan a lo largo del mismo eje.

6. Vida media de part´ıculas inestables. Dado que los mesones π se mueven a una velocidad constante v en el sistema laboratorio,

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el tiempo que requieren para recorrer la distancia D es t=

D v

(7.45)

En el sistema laboratorio, al cabo de este tiempo, han sobrevivido 2/3 de las part´ıculas iniciales, as´ı 2 N0 = N0 2−t/tM = N0 2−D/(vtM ) 3

(7.46)

donde el tiempo de vida media tM de los mesones π, en el sistema laboratorio, est´ a relacionado con su vida media propia τ por

entonces ln

tM = γ(v)τ

(7.47)

2 D =− ln 2 3 vγτ

(7.48)

y por lo tanto τ =−

D ln 2 vγ(v) ln(2/3)

(7.49)

remplazando los valores para D y v obtenemos τ = 2,5 × 10−8 s

(7.50)

7. Cuadrivector velocidad. A partir de la definición de tiempo propio, ecuaci´ on (2.21), y tomando la derivada con respecto a la coordenada temporal t, obtenemos la siguiente relaci´ on: 2

c

dτ dt

2

2

=c −

dx1 dt

2

−

dx2 dt

2

−

dx3 dt

2

(7.51)

Entonces, teniendo en cuenta que la velocidad f´ısica de una part´ıcula medida por un observador inercial Σ est´ a definida como 1 d~r dx dx2 dx3 ~u = = , , = (ux , uy , uz ) (7.52) dt dt dt dt la ecuaci´ on (7.51) implica dt = γ(~u) = dτ

|~u|2 1− 2 c

!−1/2

(7.53)

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Aplicando la regla de la cadena y teniendo en cuenta que x0 = ct, las componentes del cuadrivector velocidad se pueden escribir en términos de la velocidad f´ısica de la part´ıcula: U=

dx dt dx = = γ(~u)(c, ux , uy , uz ) dτ dτ dt

(7.54)

es decir U 0 = cγ(~u) U i = γ(~u)ui ;

(7.55)

i = 1, 2, 3

(7.56)

Similarmente, dadas las componentes del cuadrivector velocidad, entonces las componentes de la velocidad f´ısica est´ an dadas por Ui ui = 0; c U

i = 1, 2, 3

(7.57)

Otra relaci´ on u ´til entre las componentes del cuadrivector velocidad la podemos obtener a partir de su norma: q (7.58) U 0 = c2 + (U 1 )2 + (U 2 )2 + (U 3 )2

Finalmente, calculemos la norma de la velocidad f´ısica en función de la componente temporal del cuadrivector velocidad. Para este fin es suficiente despejar |~u| de la ecuaci´ on (7.55): γ(~u) =

1 q

2

=

U0 c

1 − |~uc2| r c 2 |~u| = c 1 − U0

=⇒

(7.59)

8. Cuadrivector aceleraci´ on. Para encontrar la relaci´ on entre las componentes del cuadrivector aceleraci´ on y las componentes de la aceleraci´ on f´ısica de una part´ıcula medida por un observador inercial Σ, definida por la ecuaci´ on ~a =

d~u dt

(7.60)

donde ~u es la velocidad de la part´ıcula medida en Σ, sean dU α A0 , A1 , A2 , A3 = Aα = dτ

(7.61)

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las componentes del cuadrivector aceleraci´ on medida por Σ. Entonces, de los resultados obtenidos en el problema anterior para el cuadrivector velocidad y aplicando la regla de la cadena, tenemos d [γ (~u) (c, ~u)] dτ dt d = [γ (~u) (c, ~u)] dτ dt dγ (~u) d , (γ (~u) ~u) = γ (~u) c dt dt dγ (~u) dγ (~u) d~u = γ (~u) c , ~u + γ (~u) dt dt dt

Aα =

(7.62)

para expresar esta relaci´ on en forma expl´ıcita, calculemos la derivada del factor gama de Lorentz γ (~u), as´ı " #−1/2 |~u|2 d dγ (~u) 1− 2 = dt dt c " #−3/2 |~u|2 d~u 1 = 1− 2 ~u · 2 c c dt = γ 3 (~u)

~u · ~a c2

(7.63)

donde se tuvo en cuenta la definición en la ecuaci´ on (7.60). Entonces las componentes del cuadrivector aceleraci´ on toman la forma ~u · ~a 1 3 3 α γ (~u) ~u · ~a, γ (~u) 2 ~u + γ (~u) ~a (7.64) A = γ (~u) c c Para interpretar f´ısicamente esta ecuaci´ on consideremos el sistema de referencia propio de la part´ıcula, es decir un sistema de referencia inercial con respecto al cual la part´ıcula esté momentáneamente en reposo. Entonces, con respecto a este sistema de referencia inercial, la part´ıcula est´ a en reposo (~u = 0) y por lo tanto las componentes del cuadrivector aceleraci´ on est´ an dadas por d~u (7.65) Aα = 0, dt ~u=~0

donde el vector

d~u ~α = dt u~ =~0

(7.66)

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corresponde a la aceleraci´ on propia de la part´ıcula, es decir, a la aceleraci´ on de la part´ıcula medida en el sistema de referencia con respecto al cual la part´ıcula est´ a en reposo. Por lo tanto, el cuadrivector aceleraci´ on es espacial y su norma al cuadrado mide la magnitud de la aceleraci´ on propia de la part´ıcula: A2 = − |~α|2

(7.67)

Para demostrar la ortogonalidad de los cuadrivectores aceleraci´ on y velocidad podemos seguir tres métodos equivalentes: un método es calcular el producto punto minkowskiano A · U = A0 U 0 − A1 U 1 − A2 U 2 − A3 U 3

(7.68)

Remplazando las componentes de los cuadrivectores, ecuaciones (7.54) y (7.64), tenemos A·U

= γ 5 (~u) ~u · ~a − γ 5 (~u)

~u · ~a ~u · ~u − γ 3 (~u) ~a · ~u c!2

|~u|2 = γ (~u) ~u · ~a 1 − 2 c 5

= γ 5 (~u) ~u · ~a

− γ 3 (~u) ~a · ~u

1 − γ 3 (~u)~a · ~u = 0 γ 2 (~u)

(7.69)

Otro método, m´ as directo y que utiliza la propiedad de invarianza del producto punto minkowskiano, es calcular el producto punto en el sistema de referencia propio de la part´ıcula, pues dado que en este sistema las componentes de los cuadrivectores velocidad y aceleraci´ on est´ an dadas por U = (c, 0, 0, 0)

(7.70)

A = (0, αx , αy , αz )

(7.71)

entonces un c´ alculo directo muestra que A·U =0

(7.72)

El tercer método parte de la norma del cuadrivector velocidad U 2 = c2

(7.73)

Derivando esta expresi´ on con repecto al tiempo propio, tenemos la relaci´ on buscada: 0=

dU dU 2 = 2U · = 2U · A dτ dτ

(7.74)

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9. Transformaci´ on de la velocidad. Dado que las componentes del cuadrivector velocidad U = (U 0 , U 1 , U 2 , U 3 )

(7.75)

se transforman como las componentes del cuadrivector posici´ on, cuando pasamos de un sistema de referencia inercial a otro, entonces U ′0 = γ(U 0 − βU 1 ) (7.76) U ′1 = γ(U 1 − βU 0 )

U ′2 = U 2

U ′3 = U 3

(7.77) (7.78)

con β = v/c, γ = γ(v) y v la velocidad de Σ′ respecto a Σ. Si llamamos ~u la velocidad de la part´ıcula respecto a Σ y ~u′ respecto a Σ′ y remplazamos las componentes del cuadrivector velocidad en términos de la velocidad f´ısica de la part´ıcula (ver problema anterior), obtenemos cγ(~u′ ) = γ(v) (cγ(~u) − βγ(~u)ux )

(7.79)

γ(~u′ )ux′ = γ(v) (γ(~u)ux − βcγ(~u))

(7.80)

γ(~u′ )uy′ = γ(~u)uy

(7.81)

γ(~u′ )uz ′ = γ(~u)uz

(7.82)

De la ecuaci´ on (7.79) obtenemos la ecuaci´ on para la transformación del factor γ de Lorentz para la velocidad: vux (7.83) γ(~u′ ) = γ(v)γ(~u) 1 − 2 c

Remplazando este factor de Lorentz en las ecuaciones (7.80), (7.81) y (7.82) y despejando las componentes de la velocidad f´ısica en Σ′ , obtenemos las ecuaciones de transformación buscadas: ux ′ =

uy γ(v) 1 − uz = γ(v) 1 −

uy′′ = uz ′′

ux − v x 1 − vu c2 vux c2 vux c2

(7.84)

(7.85) (7.86)

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10. Velocidad relativa. Sea ~v la velocidad de la part´ıcula 2 respecto a la part´ıcula 1. Un método para calcular la velocidad relativa ~v , en funci´ on de las velocidades de las part´ıculas ~v1 y ~v2 , es utilizando transformaciones de Lorentz, sin embargo el cálculo es largo y algebraicamente tedioso. El método que seguiremos aqu´ı aprovecha las propiedades de los cuadrivectores y el car´ acter invariante del producto punto minkowskiano. Sean U1 = (c, 0, 0, 0)

(7.87)

U2 = γ(~v )(c, ~v )

(7.88)

las componentes del cuadrivector velocidad de las part´ıculas 1 y 2 respectivamente, medidas en el sistema de referencia propio de la part´ıcula 1. Tomando el producto punto de estos dos cuadrivectores velocidad, obtenemos el invariante U1 · U2 = c2 γ(~v )

(7.89)

Para llegar al resultado buscado basta con calcular este producto punto en el sistema de referencia Σ. As´ı, dado que las componentes del cuadrivector velocidad de las part´ıculas en Σ est´ an dadas por U1 = γ(~v1 )(c, ~v1 )

(7.90)

U2 = γ(~v2 )(c, ~v2 )

(7.91)

entonces U1 · U2 = γ(~v1 )γ(~v2 ) c2 − ~v1 · ~v2

(7.92)

Teniendo en cuenta la ecuaci´ on (7.89) y definiendo ~β = ~v /c tene-

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mos ~β 2 = 1 −

=

=

=

=

1

2 γ 2 (~β 1 )γ 2 (~β 2 ) 1 − ~β 1 · ~β 2 2 2 1 − ~β 1 1 − ~β 2 1− 2 1 − ~β 1 · ~β 2 2 2 2 1 − ~β 1 · ~β 2 − 1 − ~β 1 1 − ~β 2 2 1 − ~β 1 · ~β 2 2 2 2 2 2 ~β · ~β − 2~β 1 · ~β 2 + ~β 1 + ~β 2 − ~β 1 ~β 2 1 2 2 1 − ~β 1 · ~β 2 2 2 2 2 ~β − ~β + ~β 1 · ~β 2 − ~β 1 ~β 2 2 1 2 1 − ~β 1 · ~β 2

(7.93)

Esta expresi´ on la podemos escribir de otra forma si tenemos en cuenta la identidad vectorial ~×B ~ · C ~ ×D ~ ~ ·C ~ ~ ·D ~ A = A B ~ ·C ~ ~·D ~ − B A (7.94) ~=C ~ = ~β 1 y B ~ =D ~ = ~β 2 por lo tanto, tomando A 2 2 ~β − ~β ~β × ~β − 2 1 1 2 ~β 2 = 2 1 − ~β 1 · ~β 2

(7.95)

11. Espacio-tiempo euclidiano. A partir de la definición del par´ ametro φ, en términos de la velocidad v del sistema de referencia Σ′ respecto a Σ, v (7.96) tanh φ := β = c y las siguientes definiciones e identidades para las funciones hi-

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perb´ olicas sinh φ eφ − e−φ tanh φ = 2 cosh φ eφ + e−φ 1 cosh φ = sech φ = 2 cosh φ cosh2 φ − sinh2 φ = 1 1 − tanh2 φ = sech2 φ

(7.97)

sinh (φ1 + φ2 ) = sinh φ1 cosh φ2 + cosh φ1 sinh φ2 cosh (φ1 + φ2 ) = cosh φ1 cosh φ2 + sinh φ1 sinh φ2 tanh φ +tanh φ tanh (φ1 + φ2 ) = 1+tanh1φ tanh φ2

(7.98)

sinh φ =

1

2

podemos obtener las transformaciones de Lorentz en términos del par´ ametro φ. A partir de la u ´ltima identidad de las ecuaciones (7.97) se obtiene que 1 − β2 =

1 cosh2 φ

(7.99)

por lo tanto, el factor γ de Lorentz toma la forma cosh φ = γ(v)

(7.100)

sinh φ = βγ(v)

(7.101)

y as´ı Con estos resultados los elementos de la matriz de la transformaci´ on de Lorentz (2.9) se pueden escribir en la forma   cosh φ − sinh φ 0 0  − sinh φ cosh φ 0 0   Λα β =  (7.102)  0 0 1 0  0 0 0 1

El teorema de adici´ on de velocidades se obtiene como consecuencia de la u ´ltima ecuaci´ on (7.98), pues si llamamos tanh φ1 = v1 /c y tanh φ2 = v2 /c tanh φ1 = v1 /c tenemos tanh(φ1 + φ2 ) = = =

β1 + β2 1 + β 1β2 1 v1 + v2 c 1 + v1c2v2 u c

(7.103)

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con u la velocidad resultante. Esto significa que al utilizar el par´ ametro φ = tanh−1 (v/c) para representar una transformación de Lorentz, la adici´ on relativista de velocidades se reduce a la suma usual de los correspondientes par´ ametros φ. La interpretación geométrica de las transformaciones de Lorentz y del teorema de adición de velociades se puede obtener si tenemos en cuenta la relaci´ on entre las funciones trigonométricas y las hiperb´ olicas. Para este fin es suficiente tener en cuenta las siguientes definiciones y propiedades de los n´ umeros complejos: sea z ∈ C, entonces z = x + iy = |z| (cos ϕ + i sin ϕ) = |z| eiϕ x = Re z, y = Im z p x2 + y 2 ; ϕ = arg z |z| = 2

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(7.104)

(7.105)

= −1

De la ecuaci´ on (7.104) podemos despejar las funciones trigonométricas sin ϕ y cos ϕ, 1 iϕ (e + e−iϕ ) (7.106) 2 1 (7.107) sin ϕ = (eiϕ − e−iϕ ) 2i si hacemos el remplazo ϕ → iϕ en las ecuaciones anteriores, obtenemos las siguientes relaciones con las funciones hiperb´ olicas cos ϕ =

1 cos(iϕ) = (e−ϕ + eϕ ) = cosh ϕ (7.108) 2 1 (7.109) sin(iϕ) = (e−ϕ − eϕ ) = i sinh ϕ 2i Consideremos ahora la matriz de transformación de Lorentz usual, la cual se puede escribir como una transformación matricial  ′0    0  γ −βγ 0 0 x x  x′1   −βγ   γ 0 0   x1  =   (7.110) ′2  x   0 0 1 0   x2  x′3 x3 0 0 0 1

y consideremos la transformación compleja de la coordenada temporal t → it, o equivalentemente (x0 , x1 , x2 , x3 ) → (ix0 , x1 , x2 , x3 ) ≡ (˜ x0 , x ˜1 , x˜2 , x ˜3 )

(7.111)

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entonces las transformaciones de Lorentz, para las nuevas coordenadas, se pueden escribir en la forma  ′0    0  γ −iβγ 0 0 x ˜ x ˜ ′1  1   −iβγ  x  x ˜ γ 0 0 ˜ =    (7.112)  x ˜′2   0 0 1 0  x ˜2  x ˜′3 x ˜3 0 0 0 1 Teniendo en cuenta las relaciones (7.108) y (7.109), la transformaci´ on de Lorentz toma la forma final:  ′0    0  cos(iϕ) − sin(iϕ) 0 0 x ˜ x ˜ ′1    x   ˜1   ˜  =  − sin(iϕ) cos(iϕ) 0 0   x  (7.113) ′2    x   ˜ 0 0 1 0 x ˜2  x ˜′3 0 0 0 1 x ˜3

Si comparamos esta ecuaci´ on de transformación con las ecuaciones de transformación que representan una rotaci´ on r´ıgida de ejes (ver por ejemplo la secci´ on 3.2 del libro [1]), la ecuaci´ on de transformaci´ on (7.113) se puede interpretar como una rotaci´ on en un angulo iϕ del plano complejo (˜ ´ x0 , x ˜1 ) = (ict, x) en sentido de las manecillas del reloj. Además, teniendo en cuenta que la composici´ on de dos rotaciones r´ıgidas de los ejes en los ángulos ϕ1 y ϕ2 , corresponde a otra rotaci´ on en un ángulo ϕ1 + ϕ2 , el teorema de adici´ on de velocidades con par´ ametro tanh ϕ = v/c, muestra que la composici´ on de dos transformaciones de Lorentz, a lo largo del mismo eje espacial, corresponde a una rotaci´ on en el plano complejo en un ´ angulo iϕ1 +iϕ2 . Para finalizar este problema, el producto punto minkowskiano en las coordenadas complejas (˜ x0 , x ˜1 , x ˜2 , x˜3 ) (salvo un signo negativo global) corresponde al producto punto euclidiano: x ˜ · y˜ = −(˜ x0 y˜0 + x ˜1 y˜1 + x ˜2 y˜2 + x ˜3 y˜3 )

(7.114)

Esta transformación t → it se conoce como la euclidianización de la teor´ıa y es ampliamente usada en teor´ıa cu´ antica de campos. 12. Adici´ on numerable de velocidades. La forma usual del teorema de adici´ on de velocidades establece que ux′ =

ux − v x ) (1 − vu c2

(7.115)

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donde ux es la componente en la direcci´ on x de la velocidad de una part´ıcula respecto a un sistema de referencia inercial Σ, ux′ la velocidad de la part´ıcula respecto a un segundo sistema de referencia Σ′ el cual se mueve con velocidad v relativo a Σ en la direcci´ on del eje x positivo. a Para aplicar este teorema de adici´ on a los bloques, tomemos en la expresi´ on anterior v1 = v la velocidad del bloque 1 y ux′ = v2 la velocidad del bloque 2 respecto al 1. Entonces despejando ux de la ecuaci´ on (7.115) (transformación inversa) ′ e identificando ux = v2 tenemos v2′ =

2v v1 + v2 2 v1 v2 = 1 + c2 1 + vc2

(7.116)

Para demostrar que v2′ → c si v → c utilicemos las cantidades adimensionales β = v/c y β´2 = v2 /c, y veamos que β´2 → 1 si β → 1. Con esta notaci´ on la ecuaci´ on (7.116) toma la forma 2β 1 + β2

(7.117)

2β =1 1 + β2

(7.118)

β´2 = entonces l´ım

β→1

como se quer´ıa probar. b Para calcular la velocidad v3′ del tercer bloque respecto a Σ podemos aplicar dos veces el resultado de la parte a y luego proceder de la misma forma para calcular la velocidad del n-ésimo bloque respecto a Σ. Sin embargo los cálculos los podemos simplificar significativamente si utilizamos el teorema de adici´ on de velocidades en términos del par´ ametro φ definido por tan φ = v/c (ver el problema anterior). As´ı, si φ = tanh−1 β = tanh−1 (v/c)

(7.119)

es la velocidad de un bloque respecto al anterior, entonces la velocidad del bloque 2 respecto a Σ (en términos del par´ ametro φ) es tanh−1 v2′ /c = φ1 + φ2 = 2φ i

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y la velocidad del bloque n-ésimo respecto a Σ es tanh−1 vn′ /c = nφ

(7.120)

por lo tanto

v vn′ = tanh (nφ) = tanh n tanh−1 c c

(7.121)

Retomando la definición de las funciones hiperb´ olicas (problema anterior) tenemos que 2n eφ = (cosh φ + sinh φ)2n n = (1 + tanh φ)2 cosh2 φ " #n (1 + tanh φ)2 = sech2 φ #n " (1 + tanh φ)2 = 1 − tanh2 φ 1 + tanh φ n (7.122) = 1 − tanh φ entonces

1+β nφ = ln 1−β

Por lo tanto vn′ c

n/2

" # 1 + β n/2 = tanh ln 1−β

n/2

n/2

= = =

(7.123)

eln((1+β)/(1−β)) − e− ln((1+β)/(1−β)) n/2 n/2 eln((1+β)/(1−β)) + e− ln((1+β)/(1−β)) ((1 + β)/(1 − β))n/2 − ((1 − β)/(1 + β))n/2 ((1 + β)/(1 − β))n/2 + ((1 − β)/(1 + β))n/2 1 − [(1 − β)/(1 + β)]n (7.124) 1 + [(1 − β)/(1 + β)]n

Ahora, puesto que l´ım

n→∞

1−β 1+β

n

=0

(7.125)

entonces vn′ → c para n → ∞.

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13. Longitud aparente. Consideremos los eventos que se muestran en la figura (7.4). a Sea x la distancia del extremo izquierdo de la varilla en el momento en que se emite el fotón (evento P1 ), de tal manera que este alcance la cámara (evento P4 ) simult´ aneamente con el fotón emitido cuando el centro de la varilla pasa por el origen de coordenadas (evento P3 ) y con el fotón emitido desde el extremo derecho de la varilla (evento P2 ). El evento P4 corresponde a la foto tomada por la cámara.

Figura 7.4: Longitud aparente. Sucesión de los eventos emisión de fotones que llegan simult´ aneamente al observador.

La condici´ on de simultaneidad de la llegada de los fotones implica que ellos debieron ser emitidos en instantes diferentes. El tiempo t1 que tarda en llegar el fotón del evento P1 est´ a dado por √ x2 + D 2 t1 = (7.126) c Este tiempo debe ser igual al tiempo t3 que gasta el fotón emitido desde el centro de la varilla hasta la cámara D (7.127) t3 = c m´ as el tiempo t4 que gasta el centro de la varilla CM en llegar al origen de coordenadas t4 =

x− v

ℓ 2

(7.128)

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donde v es la velocidad y ℓ la longitud f´ısica de la varilla medida en el sistema de referencia de la cámara, dada por la relaci´ on r v2 ℓ0 (7.129) ℓ = ℓ0 1 − 2 = c γ(v) con ℓ0 su longitud propia. As´ı, llamando β = v/c tenemos que p ℓ 1 x− (7.130) x2 + D 2 = D + β 2 Siguiendo un procedimiento similar para el extremo derecho de la varilla, obtenemos la distancia a la cual debe ser emitido el fotón (evento P2 ) para que llegue a la cámara simult´ aneamente con el fotón emitido por el centro de la varilla. Si llamamos x ˜ esta distancia obtenemos p 1 ℓ x ˜2 + D 2 = D + −x ˜ (7.131) β 2 Las soluciones generales a las ecuaciones (7.130) y (7.131) son expresiones complicadas y por esta raz´ on, para ilustrar c´ omo se ve la varilla en la foto, consideremos un ejemplo numérico particular. Supongamos que la varilla se mueve con una velocidad β = 4/5 y tiene longitud propia ℓ0 = 2m y la c´ amara est´ a situada a una distancia de D = 10m; entonces, remplazando estos valores en las ecuaciones (7.130) y (7.131) obtenemos x = 0,615 12 (7.132) y x ˜ = 0,586 26

(7.133)

La interpretación f´ısica de estos resultados es directa: la longitud f´ısica de la varilla p medida en el sistema de referencia de la c´ amara es ℓ = ℓ0 1 − β 2 = 1, 2m, es decir, en el instante en que el centro de la varilla pasa por el origen de coordenadas, las coordenadas de los extremos de la varilla son x± ± 0, 6m; sin embargo, en la foto, lo que observamos es que cuando el centro de la varilla pasa por el origen de coordenadas, el extremo izquierdo aparenta estar en xI = −0,615 12m mientras que el extremo derecho aparenta estar en xD = 0,586 26m, es decir la longitud aparente ℓA de la varilla est´ a dada por ℓA = xD − xI = 1,20138m

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Para comparar estos resultados con la parte b de este problema (aproximación de rayos paralelos), en la siguiente tabla se muestran los resultados numéricos para diferentes distancias de la c´ amara (dejando fija la longitud propia y la velocidad) y calculando con cuatro cifras decimales: D xI xD ℓA 2 −0,693 44 0,542 24 1,235 7 10 −0,615 12 0,586 26 1,201 4 100 −0,601 45 0,598 57 1,2000 Cuando la distancia a la cámara es muy grande, la longitud aparente tiende a la longitud f´ısica, lo que significa que en estas condiciones los fotones que salen de los extremos de la varilla y del centro, pr´ acticamente salen simult´ aneamente. Este resultado numérico se puede probar formalmente si tomamos el l´ımite cuando D → ∞ en las ecuaciones (7.130) y (7.131). Por ejemplo consideremos la primera de estas ecuaciones y dividamos por D ambos lados: r 1 ℓ x2 x− (7.134) 1+ 2 =1+ D βD 2 Dado que D >> x expandimos el radical hasta términos de primer orden, entonces 1 ℓ x2 = 1+ x− =⇒ 1+ 2D2 βD 2 x2 1 ℓ = x− →0 (7.135) 2D β 2 p esto implica que x → ℓ0 1 − β 2 /2, con un resultado similar para x ˜, como se quer´ıa probar. b La aproximación de rayos paralelos es válida cuando la distancia del objeto a la cámara es mucho mayor que las dimensiones del objeto. También es posible obtener experimentalmente la aproximación de rayos paralelos cuando la distancia del objeto a la c´ amara no es mucho mayor que las dimensiones del objeto. En la figura (7.5) se muestra un posible montaje en el cual L es una lente convergente.

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Figura 7.5: Longitud aparente. Aproximaci ón de rayos paralelos.

Sean x1 y x2 las coordenadas de los extremos izquierdo y derecho de la varilla respectivamente en el instante en que se emiten los correspondientes fotones (ver figura (7.5)). As´ı la longitud aparente de la varilla ℓA (registrada en la foto) est´ a dada ℓA = x1 − x2

(7.136)

Si d representa la diferencia de caminos entre los fotones emitidos por los extremos de la varilla, entonces la distancia d est´ a dada por d = (x1 − x2 ) cos α (7.137) Esto significa que el fotón emitido desde el extremo izquierdo de la varilla debe salir en un tiempo t, dado por t=

(x1 − x2 ) ℓA d = cos α = cos α c c c

(7.138)

antes que el fotón emitido por el extremo derecho. Si ℓ es la longitud f´ısica de la varilla medida en el sistema de referencia de la c´ amara, entonces r v2 ℓA = ℓ + vt = ℓ0 1 − 2 + vt (7.139) c donde vt corresponde al espacio que avanza la varilla durante el tiempo entre las emisiones de los dos fotones. Por lo tanto,

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la longitud aparente de la varilla est´ a dada por ℓA = x2 − x1 r = ℓ0

1−

as´ı ℓA =

ℓ0

v2 + βℓA cos α c2

q

1−

v2 c2

1 − β cos α

(7.140)

Notemos que si la foto es tomada cuando el centro de la varilla aparenta estar en el origen de coordenadas α = 90o , entonces la longitud aparente corresponde a la longitud f´ısica, en acuerdo con la primera parte de este problema. 14. Comunicaci´ on espacial. Consideremos el sistema de referencia Σ ligado a la tierra, con el origen en la tierra y el eje x positivo en la direcci´ on de movimiento de la nave A y tomemos t = 0 en el instante que se emite la primera se˜ nal. a Con las coordenadas elegidas, el diagrama espacio-tiempo de las l´ıneas de universo se muestra en la figura (7.6), teniendo en cuenta las siguientes convenciones: T l´ınea de universo de la tierra, A l´ınea de universo de la nave A, B l´ınea de universo de la nave B, t1 tiempo de llegada de la primera se˜ nal a la nave B, t2 tiempo de llegada de la primera se˜ nal a la nave A, t3 tiempo de llegada de la primera se˜ nal reflejada en la nave B a la tierra T , t4 tiempo de llegada de la primera se˜ nal reflejada en la nave A a la tierra T y t01 , t02 , t03 y t04 los correspondientes tiempos para la segunda se˜ nal enviada en el instante t0 . b Consideremos primero la nave B u ńicamente, pues los cálculos para la nave A son similares cambiando v → −v. Dado que el problema es bidimensional (movimiento a lo largo del eje x) describimos las coordenadas espacio-tiempo de los eventos solo con dos componentes (ct, x, 0, 0) ≡ (ct, x). Con esta notaci´ on, sea (ct1 , x1 ) las coordenadas del evento “llegada de la primera se˜ nal a la nave B”. Dado que la nave viaja a velocidad constante y la se˜ nal parte del origen en t = 0, cuando la nave se encuentra en la posici´ on x0B = L, entonces se debe

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Figura 7.6: Comunicación espacial. L´ıneas de universo de la tierra y las dos naves.

cumplir que L = ct1 + vt1

(7.141)

as´ı, la nave B se encuentra en la siguiente posici´ on cuando la se˜ nal la alcanza L x1 = ct1 = (7.142) 1+β Para la segunda se˜ nal las coordenadas del evento “llegada de la segunda se˜ nal a la nave B” son (ct01 , x01 ). Dado que durante el tiempo t0 la nave se ha movido una distancia vt0 , entonces su posici´ on, en el instante de emisi´ on de la segunda se˜ nal, ser´ a L − vto y por lo tanto, si llamamos t˜ el tiempo que tarda la segunda se˜ nal en llegar a la nave, se debe cumplir la relaci´ on L − vto = ct˜ + v t˜ (7.143) y la posici´ on de la nave B est´ a dada por x01 = ct˜ =

L − vt0 1+β

(7.144)

Para la nave A la posici´ on cuando llega la primera se˜ nal es x2 =

L 1−β

(7.145)

y para la segunda se˜ nal est´ a dada por x02 =

L + vt0 1−β

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c Sea ∆tB el intervalo de tiempo entre la llegada de los dos pulsos a la nave B. De la parte b del presente problema, la primera se˜ nal la recibe en el instante t1 =

L/c 1+β

(7.146)

El segundo pulso llega a la nave en el instante L/c − βt0 t01 = t0 + t˜ = t0 + 1+β por lo tanto el intervalo de tiempo est´ a dado por ∆tB = t01 − t1 = t0 −

t0 βt0 = 1+β 1+β

(7.147)

El intervalo de tiempo ∆tA de la llegada de los pulsos a la nave A es t0 ∆tA = (7.148) 1−β d Para calcular los intervalos de tiempo de la llegada de las se˜ nales reflejadas a la tierra, consideremos primero el caso de la nave B. Dado que la reflexión es instantánea, la primera se˜ nal se refleja en el instante y en el punto t1 = x1 =

L/c 1+β L 1+β

(7.149)

entonces tarda un tiempo tRA =

x1 L/c = c 1+β

(7.150)

en llegar a la tierra y por lo tanto esta se˜ nal alcanza la tierra en el instante 2L/c (7.151) t3 = t1 + tRA = 1+β La segunda se˜ nal reflejada parte de la nave en el instante t01 = t0 +

L/c − βt0 1+β

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cuando la nave se encuentra en el punto x01 =

L − vt0 1+β

(7.152)

por lo tanto, la segunda se˜ nal llega a la tierra en el instante L/c − βt0 x01 = t0 + 2 c 1+β t0 − βt0 + 2L/c 1+β

t03 = t01 + =

(7.153)

entonces el intervalo de tiempo ∆tT B es ∆tT B = t03 − t3 = t0

1−β 1+β

(7.154)

y para los pulsos reflejados en la nave A el intervalo de tiempo ∆tT A est´ a dado por ∆tT A = t0

1+β 1−β

(7.155)

e Para calcular la posici´ on de las naves y los intervalos de tiempo de la llegada de los pulsos a las naves y a la tierra, basta con tener en cuenta la ecuaci´ on para la dilataci´ on temporal. Consideremos en primer lugar el intervalo de tiempo ∆t′A de la llegada de los dos pulsos a la nave A. Puesto que los eventos “llegada de cada uno de los pulsos a la nave” suceden en el mismo punto para el sistema de referencia de la nave, el intervalo de tiempo medido en A es un intervalo de tiempo propio y por lo tanto est´ a relacionado con ∆tA por la ecuaci´ on ∆tA = γ(v)∆t′A

(7.156)

Remplazando la ecuaci´ on (7.148) para ∆tA y despejando, tenemos s t 1+β 1 0 = t0 (7.157) ∆t′A = γ(v) 1 − β 1−β

Para el caso de la nave B, el intervalo de tiempo entre la llegada a la nave de los dos pulsos, medidas con respecto al sistema de referencia de la nave B, obtenemos s 1−β ∆t′B = t0 (7.158) 1+β

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Los intervalos de tiempo ∆tT A y ∆tT B , calculados en la parte d del presente problema, son intervalos de tiempo propios, por lo tanto se aplica la misma relaci´ on de dilataci´ on tem′ poral. Por ejemplo si llamamos ∆tT A el intervalo de tiempo de la llegada a la tierra de los pulsos reflejados en la nave A, medidos en su sistema de referencia, entonces este intervalo est´ a relacionado con ∆tT A por ∆t′T A = γ(v)t0

1+β 1−β

(7.159)

15. Velocidades superluminosas aparentes. Supongamos que en alg´ un instante inicial t = 0 las dos fuentes f1 y f2 est´ an juntas (fuente f en la figura (2.2)) y un tiempo posterior δt la fuente f2 se ha desplazado una distancia vδt = f1 f2 . La primera observación, cuando las fuentes se ven juntas, se mide en la tierra en un tiempo ti =

0f c

(7.160)

mientras que la segunda observación (figura (2.2) inferior) se mide en la tierra en un tiempo tf = δt +

0f2 c

(7.161)

Entonces la velocidad transversal aparente de la fuente f2 , vista desde la tierra, es vT = 0f2

∆α ∆α = 0f2 ∆t tf − ti

(7.162)

En los objetos astronómicos, como el quasar 3C-273, donde se ha observado este fenómeno, la separación angular de las fuentes, vista por el observador en tierra, es de unos pocos segundos de arco y as´ı podemos hacer la aproximación 0f ≃ 0f2 + vδt cos ϕ ∆α ≃

vδt sin ϕ 0f2

(7.163) (7.164)

entonces ∆t = δt +

0f2 0f − ≃ δt (1 − β cos ϕ) c c

(7.165)

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con β = v/c, por lo tanto la velocidad transversal est´ a dada por βT =

β sin ϕ vT = c 1 − β cos ϕ

(7.166)

Figura 7.7: Velocidades superluminosas aparentes. La velocidad transversal β T en funci´ on de β y ϕ, con −0,99 ≤ β ≤ 0,99 y -π/2 ≤ ϕ ≤ π/2 En la figura (7.7) se muestra la gr´ afica de β T en función del ángulo ϕ para diferentes valores de la velocidad β = v/c de la fuente f2 , donde, para valores suficientes de la velocidad de la fuente, la velocidad transversal aparente puede ser mayor que la velocidad de la luz. Por ejemplo, las curvas muestran un m´ aximo de β T el cual est´ a dado por la condici´ on: β(cos ϕ − β) dβ T = =0 dϕ (1 − β cos ϕ)2

(7.167)

puesto que β < 1 el denominador nunca se anula y la condici´ on del m´ aximo se obtiene para cos ϕ = β entonces

(7.168)

p

1 − β2 = βγ(v) (7.169) 1 − β2 Dado que el factor γ puede tomar valores arbitrariamente grandes, entonces es posible medir velocidades transversales aparentes mayores que c. Este fenómeno se ha observado en varios AGN, por ejemplo el quasar 3C-273 muestra este comportamiento (ver [7]). β Tmáx = β

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16. Relatividad sin el segundo postulado. Sean Σ y Σ′ dos sistemas de referencia inerciales relacionados de la manera usual. Entonces el principio de relatividad nos permite encontrar las siguientes relaciones entre las coordenadas de los dos sistemas de referencia: y ′ = y; z′ = z (7.170) x′ = γ(x − vt)

(7.171)

x = γ´(x′ + vt′ )

(7.172)

γ´= γ

(7.173)

remplazando x′ de la ecuaci´ on 7.171 en la ecuaci´ on 7.172 y despejando t′ obtenemos x = γ(γ(x − vt) + vt′ ) t′ entonces donde

= γ 2 x − γ 2 vt + γvt′ =⇒ 2 γ2 − 1 1−γ + γt = γ t − x = x vγ vγ 2 v t′ = γ t − 2 x K K2 =

v2 γ 2 γ2 − 1

(7.174)

(7.175)

(7.176)

despejando el factor γ de la u ´ltima ecuaci´ on tenemos γ2 =

1 1−

v2 K2

(7.177)

Esta ecuaci´ on implica que el factor γ es una función de la velocidad y el par´ ametro K, es decir γ = γ(v, K)

(7.178)

Aun cuando la ecuaci´ on (7.176) implica aparentemente que el par´ ametro K depende de la velocidad, esto no es as´ı, si queremos que la composici´ on de transformaciones de Lorentz sea de nuevo una transformación de Lorentz. Para este fin consideremos un nuevo sistema de referencia Σ′′ que se mueve con velocidad u respecto ˜ el par´ a Σ′ . Si llamamos K ametro para la transformación entre Σ′

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y Σ′′ , entonces las ecuaciones de transformación de Lorentz entre Σ y Σ′ son x′ = γ(v; K)(x − vt) (7.179) v (7.180) t′ = γ(v; K) t − 2 x K

y entre Σ′ y Σ′′ toman la forma

˜ ′ − ut′ ) x′′ = γ(u; K)(x

˜ t − u x′ t = γ(u; K) ˜2 K ′′

′

(7.181)

(7.182)

˜ son los correspondientes factores gamma donde γ(v; K) y γ(u; K) ˜ respectivamente. Remplazando que dependen de (v; K) y (u; K) las coordenadas primadas en las u ´ltimas ecuaciones, tenemos u+v uv ′′ ˜ (7.183) x− x = γ(u; K)γ(v; K) 1 + 2 uv t K 1+ K 2

uv ˜ t′′ = γ(u; K)γ(v; K) 1 + ˜2 K

t−

u ˜2 K

v K2 uv ˜2 K

+

1+

!

x

(7.184)

˜ la composici´ un c´ alculo directo muestra que si K = K on de transformaciones de Lorentz es de nuevo una transformación de Lorentz con velocidad u+v (7.185) w= uv 1+ K 2 pues

uv γ(u; K)γ(v; K) 1 + 2 = γ(w; K) (7.186) K El par´ ametro K debe ser determinado experimentalmente, por ejemplo con un experimento sobre dilataci´ on temporal o un experimento din´ amico, como el comportamiento de la masa inercial de una part´ıcula con la velocidad. Si experimentalmente se determina que K = ∞, las ecuaciones de transformación obtenidas se reducen a las transformaciones de Galileo, o si el experimento arroja K = c tenemos las transformaciones de Lorentz. Esto implica que el segundo postulado de la relativitad pudiera ser remplazado por otro, el cual condujera a determinar en forma expl´ıcita el par´ ametro K.

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17. Viaje al pasado. Supongamos que la primera se˜ nal tachyónica es enviada desde el origen de Σ en el instante t0 a la velocidad βT =

dx1 vT = 0 c dx

(7.187)

y es recibida por un receptor situado en el origen de Σ′ , cuando este se encuentra a una distancia D medida con respecto a Σ. Entonces, el instante en el cual la se˜ nal es recibida est´ a dado por (en unidades de c) D (7.188) ct1 = ct0 + βT La se˜ nal es devuelta instantáneamente, desde el origen de Σ′ hacia el origen de Σ a una velocidad igual de vT , pero medida con respecto al sistema Σ′ , es decir dx′ = −vT dt′

(7.189)

Para calcular el tiempo de regreso de la se˜ nal medida por Σ, debemos calcular primero la velocidad de la se˜ nal respecto al sistema de referencia Σ. Para este fin consideremos las transformaciones de Lorentz usuales x′0 = γ(x0 − βx1 ) (7.190) x′1 = γ(x1 − βx0 )

(7.191)

con β = v/c y γ = γ(v). Entonces −β T

= =

γd(x1 − βx0 ) dx1 − βdx0 dx′1 = = dx′0 γd(x0 − βx1 ) dx0 − βdx1 dx1 dx0

−β

(7.192)

1

dx 1 − β dx 0

despejando la velocidad de la se˜ nal tachyónica respecto a Σ tenemos −

β −β dx1 = T 0 dx 1 − βT β

dx1 dx0

medida con

(7.193)

as´ı, el tiempo que tarda la se˜ nal en su viaje de ida y vuelta es 1 D 1 − βT β D + dx1 = D + cttotal = (7.194) βT βT βT − β 0 dx

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por lo tanto, la se˜ nal es recibida en Σ en el instante t dado por 1 1 − βT β ct = ct0 + cttotal = ct0 + D + (7.195) βT βT − β si el factor que acompa˜ na al término D es menor que cero, entonces esto significa que la se˜ nal de regreso puede ser detectada en el origen de Σ antes que la primera se˜ nal sea enviada desde all´ı. Para ver si esto es posible analicemos la función f (β T ; β) =

1 − βT β 1 + βT βT − β

(7.196)

En primer lugar, esta función est´ a bien definida pues 0 ≤ β < 1 y β T > 1, por lo tanto los denominadores en la expresi´ on anterior nunca se anulan. Si los sistemas de referencia Σ y Σ′ est´ an en reposo relativo, entonces β = 0 y por lo tanto el tiempo total es cttotal =

2D βT

(7.197)

el cual es positivo. Por otra parte, si la se˜ nal tachyónica es enviada a una velocidad arbitrariamente grande, entonces 1 1 − βT β + l´ım = −β (7.198) β T →∞ β T βT − β y por lo tanto ct = ct0 − βD

(7.199)

lo cual significa que la se˜ nal de regreso llega un tiempo βD antes que la primera se˜ nal sea enviada. De hecho, dada la velocidad ˜ tal que relativa de los sistemas de referencia β, entonces sea β T ˜ ˜ f (β T ; β) = 0, es decir β T dado por ˜ = β T

1+

p

1 − β2 β

corresponde a la velocidad a la que se deben enviar los tachyones, para que la se˜ nal reflejada llegue en el instante en que se env´ıa la se˜ nal inicial, y por lo tanto siempre es posible encontrar velocida˜ para las cuales la se˜ des tachyónicas β T > β nal reflejada llega T

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˜ T se tom´ antes que la se˜ nal sea enviada. En el cálculo de β o la ra´ız positiva, pues p 1 + 1 − β2 < ∞ si 1 > β > 0 (7.200) 0< β y p 1 − 1 − β2 < 1 si 0 < β < 1 (7.201) 0< β Este ejemplo muestra uno de los problemas fundamentales en considerar los tachyones, pues el principio de causalidad de la f´ısica se rompe. Sin embargo, los tachyones han sido considerados en f´ısica, en el marco de algunos modelos teóricos, no solo para tratar de entender algunos problemas fundamentales y por completez de la teor´ıa, sino también para buscar qué influencia observacional pudieran tener los tachyones (si existieran) sobre las part´ıculas usuales. Hasta el presente no se ha predicho ning´ un efecto observable (lo que no significa que no pudiera existir) y por esta raz´ on los tachyones no se han desechado del todo, pero tampoco se consideran en las teor´ıas usuales. 18. Viaje interestelar 1. Aun cuando las unidades que trabajaremos en el presente problema est´ an en a˜ nos-luz y el valor de la velocidad de la luz es c = 1, en las expresiones generales mantendremos c en forma expl´ıcita y solo utilizaremos las unidades para los cálculos numéricos. a Para calcular el valor de la aceleraci´ on de la gravedad en unidades de a˜ nos-luz (al) y en unidades de c = 1, tenemos que 2,99792458 × 108 m = 1s

(7.202)

1 al 9,46053 × 1015

(7.203)

y 1m = entonces g = 9,8ms−2

= 9,8m × 2,99792458 × 108 m

= 1,090 4 × 10−16 m−1

−2

= 1,090 4 × 10−16 × 9,46053 × 1015 al−1

= 1,0316al−1

(7.204)

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Para los c´ alculos del presente problema es suficiente aproximar el valor de la aceleraci´ on de la gravedad terrestre a g = 9,8ms−2 ≃ 1al−1

(7.205)

b Dado que el movimiento del cohete es unidimensional, elijamos el eje x positivo del sistema de referencia tierra en direcci´ on de las Pléyades. En estas condiciones, la l´ınea de universo del cohete est´ a descrita por el cuadrivector posici´ on x(τ ) = x0 (τ ), x1 (τ ), 0, 0 (7.206) entonces los cuadrivectores velocidad y aceleraci´ on del cohete est´ an dados por U=

dx = (U 0 , U 1 , 0, 0) dτ

(7.207)

dU = (A0 , A1 , 0, 0) (7.208) dτ Dado que la aceleraci´ on propia es constante, entonces se deben cumplir las siguientes relaciones: A=

U2 = U0

2

− U1

2

= c2

(7.209)

= −g2

(7.210)

U · A = U 0 A0 − U 1 A1 = 0

(7.211)

A2 = A0

2

− A1

2

Despejando A0 de la ecuaci´ on (7.211) y remplazando en (7.210) tenemos que −g

2

=

1U

A

1

U0

1 2

=

A

=

A1 2

= −c

2

A1

2

− A1

U1

2

2

!

−1 (U 0 )2 2 2 ! U1 − U0 (U 0 )2

2

(U 0 )2

(7.212)

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donde se utiliz´ o la ecuaci´ on (7.209) en el u ´ltimo paso. Tomando la ra´ız positiva de esta ecuaci´ on y despejando A1 obtenemos g (7.213) A1 = U 0 c Se tom´ o la ra´ız positiva por las condiciones iniciales del problema, pues la nave parte del reposo y se acelera. Procediendo en forma similar a la anterior deducción, pero despejando A1 de la ecuaci´ on (7.211) y remplazando en (7.210), llegamos a A0 =

g 1 U c

(7.214)

Derivando la ecuaci´ on (7.213) con respecto a τ , teniendo en cuenta las definiciones (7.207) y (7.208) y utilizando la ecuaci´ on (7.214), obtenemos la siguiente ecuaci´ on diferencial de segundo orden para U 1 : g dU 0 g 2 1 d2 U 1 U = = dτ 2 c dτ c

(7.215)

Un procedimiento similar, pero partiendo ahora de la ecuaci´ on (7.214), conduce a una ecuaci´ on diferencial de segun0 do orden para U . Este procedimiento permite desacoplar el sistema de ecuaciones diferenciales (7.209), (7.210) y (7.211) y convertirlo en el siguiente sistema de dos ecuaciones de segundo orden desacopladas, para las componentes del cuadrivector velocidad: d2 U 1 g 2 1 U =0 (7.216) − dτ 2 c d2 U 0 g 2 0 U =0 (7.217) − dτ 2 c Estas ecuaciones son integrables en forma exacta, en términos de las funciones hiperb´ olicas: g g U 0 (τ ) = K1 sinh τ + K2 cosh τ (7.218) c c g g τ (7.219) U 1 (τ ) = K3 sinh τ + K4 cosh c c Las constantes de integraci´ on K1 , K2 , K3 y K4 se determinan a partir de las condiciones iniciales del problema: U (τ = 0) = (U 0 (0), U 1 (0), 0, 0) = (c, 0, 0, 0)

(7.220)

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dU = (A0 (0), A1 (0), 0, 0) = (0, g, 0, 0) dτ τ =0

(7.221)

pues la nave parte del reposo con aceleraci´ on propia g. La primera condici´ on inicial para U 1 implica K4 = 0 y la segunda condici´ on inicial para A0 nos conduce a K1 = 0, entonces g U 0 (τ ) = K2 cosh τ (7.222) c g U 1 (τ ) = K3 sinh τ (7.223) c La primera condici´ on inicial para U 0 implica que K2 = c, mientras que derivando (7.223), la segunda condici´ on implica K3 = c; as´ı el cuadrivector velocidad del cohete, en función del tiempo propio, est´ a dado por: g g τ , c sinh τ , 0, 0) (7.224) U (τ ) = (c cosh c c Para encontrar la l´ınea de universo de la nave falta integrar la ecuaci´ on (7.207), donde las componentes del cuadrivector velocidad est´ an dadas por la ecuaci´ on (7.224). Entonces integrando estas ecuaciones obtenemos: x0 (τ ) =

g c2 sinh τ + K5 g c

(7.225)

x1 (τ ) =

g c2 cosh τ + K6 g c

(7.226)

con K5 y K6 constantes de integraci´ on, que se determinan a partir de la condici´ on inicial x(τ = 0) = (x0 (0), x1 (0), 0, 0) = (0, 0, 0, 0)

(7.227)

pues, cuando la nave parte de la tierra, x1 = 0 y tomamos la condici´ on t = 0. Aplicando estas condiciones iniciales a las ecuaciones (7.225) y (7.226) obtenemos, finalmente, la l´ınea de universo de la nave: x(τ ) = (

g c2 g c2 sinh τ , (cosh τ − 1), 0, 0) g c g c

(7.228)

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c Trabajando en unidades de c = 1 y la distancia en al, la aceleraci´ on de gravedad es 1al−1 y el tiempo queda medido en a˜ nos. Cuando la nave alcanza la mitad del recorrido x1 = 212,5al y entonces 212,5al = cosh(τ ) − 1 (7.229) por lo tanto

τ = cosh−1 (213,5) = 6,056 8a˜ nos

(7.230)

el cual es el tiempo que indica un reloj que viaja en el cohete. El tiempo medido en la tierra est´ a dado por x0 = sinh (6,056 8) = 213,502a˜ nos

(7.231)

A partir de este instante la nave comienza a desacelerar a un g hasta llegar a las Pléyades. Por simetr´ıa, el tiempo que gasta la nave desde este punto hasta alcanzar el reposo en las Pléyades es igual que el tiempo calculado para la primera parte del viaje. As´ı, el tiempo total del viaje, desde la tierra hasta las Pléyades, medido en el cohete es τ ida = 2 × 6,056 8a˜ nos = 12,114a˜ nos

(7.232)

y medido desde el sistema tierra, est´ a dado por nos = 427,004a˜ nos x0ida = 2 × 213,502a˜

(7.233)

Para calcular la velocidad de la nave en el instante en que esta alcanza la mitad del viaje, utilizamos la ecuaci´ on (7.57), la cual nos da la velocidad en términos de las componentes del cuadrivector aceleraci´ on; as´ı de la ecuaci´ on (7.224) tenemos g c sinh gc τ U1 v = 0 = τ (7.234) = tanh c U c c cosh gc τ remplazando τ = 6,056 8a˜ nos en la ecuaci´ on anterior, tenemos v = tanh (6,056 8) = 0,99999 (7.235) c El viaje total de ida y regreso, para el observador del cohete es τ total = 2 × τ ida = 24,228a˜ nos (7.236)

y para la tierra

x0total = 2 × x0ida = 854,08a˜ nos

(7.237)

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d Cuando la nave alcanza la mitad del recorrido x1 = 212,5al tenemos g c2 x1 (τ ) = (cosh τ − 1) (7.238) g c entonces, en las unidades que estamos trabajando 212,5al =

1 (cosh (10τ ) − 1)al 10

(7.239)

por lo tanto 1 cosh−1 (2125 + 1) = 0,835 51a˜ nos 10 y el tiempo medido en el sistema tierra es de τ=

(7.240)

1 sinh (10 × 0,835 51) 10 = 212,59a˜ nos (7.241)

x0 (0,835 51a˜ nos) =

por lo tanto el viaje total de ida y vuelta, medido en la nave es de τ total = 4 × 0,835 51a˜ nos = 3,342a˜ nos

(7.242)

y medido desde la tierra nos = 850,36a˜ nos x0total = 4 × 212,59a˜

(7.243)

La velocidad de la nave, cuando alcanza la mitad del camino de ida, est´ a dada por v c

U1 = tanh (10τ ) = tanh (8,35 51) U0 = 0,999999889.

=

(7.244)

Notemos que el tiempo propio del cohete se puede disminuir indefinidamente, aumentando la aceleraci´ on, pero el tiempo medido en la tierra est´ a acotado por 850al que es el tiempo que gastar´ıa un rayo de luz en ir desde la tierra hasta las Pléyades y regresar. 19. Viaje interestelar 2. Tomemos el origen del sistema de referencia en la tierra, con t = 0 = τ cuando la nave parte, y el eje x en la direcci´ on de movimiento. En unidades de c = 1 las distancias y los tiempos tienen las mismas unidades de longitud, las cuales tomaremos en al (a˜ nos luz).

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a En el desplazamiento inicial, con aceleraci´ on propia constante de 10g, la velocidad de la part´ıcula est´ a dada por la relaci´ on (7.224) g c sinh gc τ U1 v = 0 = τ (7.245) = tanh c U c c cosh gc τ

entonces, cuando la nave alcanza la velocidad β = v/c = 0,999, el tiempo transcurrido en la nave (tiempo propio) es τ=

1 tanh−1 (0,999) a˜ nos = 0,380 02a˜ nos 10

(7.246)

y por lo tanto el tiempo medido desde la tierra est´ a dado por 1 sinh (10 × 0,380 02) = 2,234 4a˜ nos 10 (7.247) a partir de este instante la nave contin´ ua su viaje con velocidad constante de 0,999c. b En el instante τ = 0,38002a˜ nos la nave alcanza la velocidad v, y por lo tanto la coordenada de posici´ on x1 (τ ), que en este caso nos da también la distancia a la tierra, est´ a dada por la relaci´ on (7.238) y por lo tanto x0 (0,380 02a˜ nos) =

x1 (0,380 02) =

1 (cosh (10 × 0,380 02) − 1)al = 2,136 6al (7.248) 10

Es decir el cohete se encuentra en ese instante a mitad de camino de la estrella m´ as cercana a nosotros, Próxima del Centauro, la cual est´ a a una distancia de 4,3al de la tierra. c A partir de este momento la nave contin´ ua su recorrido a velocidad constante, hasta encontrarse a una distancia de 2,136 6al de las Pléyades, momento en el cual inicia la desaceleración a 10g para llegar con velocidad cero a su destino. Esto significa que el cohete recorre una distancia D a velocidad constante dada por D = 425al − 2 × 2,136 6al = 420,73al

(7.249)

por lo tanto el intervalo de tiempo que gasta la nave en recorrer esta distancia, medida por el sistema tierra, es de ∆x0 =

420,73 D = = 421,15a˜ nos β 0,999

(7.250)

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Teniendo en cuenta que ∆x0 corresponde al intervalo de tiempo entre los eventos, “la nave alcanza la velocidad v” y “la nave inicia la desaceleración”, medido por la tierra, entonces ∆x0 est´ a relacionado con el intervalo de tiempo propio ∆τ , entre los dos eventos, por la ecuaci´ on ∆τ ∆x0 = p 1 − β2

(7.251)

donde ∆τ corresponde al intervalo de tiempo propio medido por los relojes del cohete. As´ı, en el sistema cohete la parte del viaje a velocidad constante dura q nos (7.252) ∆τ = 421,15 1 − (0,999)2 = 18,830a˜

Por simetr´ıa, la u ´ltima parte del camino, cuando el cohete desacelera, dura un tiempo igual a la primera parte, cuando la nave est´ a acelerando, por lo tanto el tiempo total del viaje de ida y regreso a las Pléyades est´ a dado por τ total = 2 × (2 × 0,380 02 + 2 × 18,830) = 76,84a˜ nos (7.253) medido por los relojes del cohete y x0total = 2×(2 × 2. 234 4 + 2 × 421,15) = 1693,5a˜ nos (7.254) Los resultados obtenidos en este y el anterior problema los resumimos en la siguiente tabla: A B C τ total 24,228a˜ nos 3,342a˜ nos 76,84a˜ nos 0 nos 850,36a˜ nos 1693,5a˜ nos xtotal 854,0a˜ Esto muestra que, en condiciones normales, es realizable un viaje interestelar en tiempos propios razonables para los viajeros de la nave, pero su retorno a la tierra significar´ıa regresar cuando ya han pasado varias generaciones en la tierra. Este resultado de la relatividad especial, conocido como la paradoja de los mellizos de Langevan, ha sido utilizado en la literatura y el cine de ficci´ on, por ejemplo en la pel´ıcula “El planeta de los simios”. Es importante aclarar que la palabra “ficci´ on” se refiere a que a´ un no es posible realizar este tipo

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de viajes interestelares, debido a las limitaciones tecnol´ ogicas. Sin embargo, el efecto del retraso de relojes viajeros se midi´ o con relojes de alta precisión en aviones, donde los atrasos registrados son del orden de 10−9 s. 20. El horizonte de eventos. Como la part´ıcula con aceleraci´ on propia constante α parte del reposo en el origen del sistema de referencia Σ, tomamos t = τ = 0 en este punto. a Para el caso de la part´ıcula que estamos considerando, la l´ınea de universo x(τ ) ya fue calculada en un problema anterior, entonces de la ecuaci´ on (7.228) tenemos α c2 α c2 τ , (cosh τ − 1), 0, 0) (7.255) x(τ ) = ( sinh α c α c

donde solo se ha remplazado el valor de la aceleraci´ on de la gravedad g por la aceleraci´ on propia α.

b Para encontrar la trayectoria de la part´ıcula x1 = x1 (x0 ), medida por el observador inercial Σ, debemos despejar el par´ ametro τ de la ecuaci´ on (7.255) en términos de la primera coordenada x0 . Entonces como α c2 0 sinh τ (7.256) x = α c α c2 τ − 1) (7.257) x1 = (cosh α c despejamos las funciones sinh y cosh de las ecuaciones anteriores, elevamos al cuadrado, restamos y utilizamos la identidad cosh2 θ − sinh2 θ = 1 de las funciones hiperb´ olicas, obteniendo α α τ − sinh2 τ 1 = cosh2 c c 2 0 2 1 αx αx +1 − = c2 c2 Esta ecuaci´ on la podemos escribir en la forma 2 2 2 x1 + cα x0 − c4 = 1 c4 α2

(7.258)

(7.259)

(7.260)

α2

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Teniendo en cuenta que la ecuaci´ on general de una hipérbola en el plano x − y tiene la forma (x − h)2 (y − k)2 − =1 a2 b2

(7.261)

donde (h, k) es el centro de la hipérbola, con as´ıntotas b b y =± x+ k∓ h (7.262) a a la soluci´ on (7.260) representa una hipérbola en el plano x1 −x0 (recordemos que en relatividad el eje temporal x0 se toma vertical) con centro en el punto (h, k) =

c2 − ,0 α

(7.263)

y as´ıntotas con pendiente ±1. Esto implica que las as´ıntotas corresponden al cono de luz del evento 2 c 0 1 (7.264) (x , x ) = − , 0 α dadas por c2 x =± x − α 0

1

(7.265)

En la figura (7.8) se muestra la l´ınea de universo de una part´ıcula con aceleraci´ on propia constante. La parte de la hipérbola en el cuadrante superior derecho representa la l´ınea de universo de la part´ıcula, que parte del origen con aceleraci´ on propia constante y por lo tanto, asint´ oticamente, la velocidad de la part´ıcula tiende a la velocidad de la luz. La parte inferior de esta rama de la hipérbola corresponder´ıa a una part´ıcula que proviene de la regi´ on x1 → ∞ en el tiempo x0 → −∞ desacelerando, y la cual alcanza el origen con velocidad cero, en el instante x0 = 0. La rama izquierda de la hipérbola corresponde a una part´ıcula que viene de la regi´ on x1 → −∞ desacelerando con α, llegando al reposo en un punto situado en la coordenada x1 = −2c2 /α y que vuelve a acelerar dirigiendose a x1 → −∞.

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Figura 7.8: El horizonte de eventos. L´ınea de universo con aceleración propia constante.

c En la parte b del presente problema vimos que el movimiento de una part´ıcula con aceleraci´ on propia constante est´ a repre0 1 sentado por una hipérbola en el plano x − x , la cual tiene como as´ıntotas el cono de luz del punto 2 c 0 1 (7.266) (x , x ) = − , 0 α Esto significa que la recta con ecuaci´ on x0 = x1 −

c2 α

(7.267)

no intercepta a la hipérbola y representa, en el cuadrante superior derecho, un rayo de luz que parte del origen en el instante c2 x0 = ct = (7.268) α en la direcci´ on del eje x1 positivo. El diagrama espacio-tiempo, figura (7.8), muestra que ninguna se˜ nal enviada desde un punto a la izquierda de la as´ıntota (7.267) puede interceptar la l´ınea de universo de la part´ıcula acelerada del lado derecho del diagrama. Por esta raz´ on se dice que la recta (7.267) representa un horizonte de eventos para la part´ıcula. Notemos, sin embargo, que la part´ıcula s´ı puede enviar una se˜ nal hacia la regi´ on de la izquierda de esta recta. Una situaci´ on similar

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se presenta para la l´ınea de universo en los cuadrantes de la izquierda.

7.2.

Soluciones de problemas avanzados

1. Grupo de Lorentz. Sean x, y ∈ M dos cuadrivectores y Λ la transformación de Lorentz Λ : M −→ M

(7.269)

con x′ = Λx y y ′ = Λy. a Dado que Λ debe dejar invariante el producto minkowskiano, tenemos que x′ · y ′ = x′T ηy ′ = xT ηy = x · y

(7.270)

remplazando los cuadrivectores primados en términos de los no primados, se llega a la ecuaci´ on xT ηy = (Λx)T η (Λy) = xT ΛT ηΛy

(7.271)

Puesto que esta ecuaci´ on debe cumplirse para todos los cuadrivectores, tenemos que las matrices de transformación de Lorentz deben satisfacer la condici´ on ΛT ηΛ = η

(7.272)

La primera propiedad que se deriva de la ecuaci´ on anterior, teniendo en cuenta las propiedades de los determinantes, es que det |Λ| = ±1 (7.273)

El conjunto de todas las transformaciones de Lorentz, que en la representaci´ on matricial corresponde a todas las matrices 4 × 4 reales que satisfacen la condici´ on (7.272), forman un grupo no abeliano, llamado el grupo general de Lorentz. Las transformaciones con determinante +1 se llaman propias y forman un subgrupo, el grupo de transformaciones propias de Lorentz, pues si Λ1 y Λ2 son dos transformaciones de Lorentz con determinante +1, entonces Λ1 Λ2 es de nuevo una transformación con determinante det |Λ1 Λ2 | = det |Λ1 | det |Λ2 | = +1

(7.274)

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7.2. SOLUCIONES DE PROBLEMAS AVANZADOS

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Las transformaciones con determinante −1 se llaman impropias y no forman un subgrupo, pues dos transformaciones impropias sucesivas Λ1 y Λ2 dan una transformación de Lorentz propia, dado que det |Λ1 Λ2 | = det |Λ1 | det |Λ2 | = (−1) (−1) = +1

(7.275)

Ejemplos de transformaciones impropias son la inversi´ on de ejes espaciales   0   0  1 0 0 0 x x  0 −1 0   x1   −x1  0     ΛE x =   0 0 −1 0   x2  =  −x2  (7.276) −x3 x3 0 0 0 −1

y la inversi´ on temporal  −1 0 0  0 1 0 ΛT x =   0 0 1 0 0 0

 0 0 x   0   x1 0   x2 x3 1

 −x0   x1   =   x2  x3 



(7.277)

sin embargo la inversi´ on espacio-temporal es una transformaci´ on propia:  0 x −1 0 0 0   x1  0 −1 0 0  ΛE−T x =   0 0 −1 0   x2 x3 0 0 0 −1 

 −x0   −x1   =   −x2  (7.278) −x3 



pues det |ΛE−T | = +1. Otra propiedad que se obtiene directamente de la ecuaci´ on (7.272) es que el n´ umero de par´ ametros independientes, de una transformación de Lorentz general, es de seis, pues de las 16 ecuaciones de restricción en (7.272) hay solo 10 independientes, dado que la matriz de Minkowski es simétrica η T = η. As´ı, el sistema de 10 ecuaciones (7.272) independientes implica que, de los 16 elementos matriciales necesarios para representar una transformación de Lorentz Λ, solamente seis par´ ametros son independientes. Es decir, una transformación de Lorentz general queda determinada por seis par´ ametros libres. Estos seis par´ ametros, escogidos convenientemente, pueden ser interpretados como tres

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par´ ametros que representan rotaciones de los ejes espaciales y tres que representan las componentes de la velocidad relativa entre dos sistemas de referencia inerciales. b Dada la matriz L tal que la transformación de Lorentz Λ tiene la forma Λ = eL (7.279) obtenemos que det |Λ| = det eL = eT rL

(7.280)

donde T rL es la traza de la matriz L. Esta igualdad se puede probar teniendo en cuenta que la matriz Λ posee determinante diferente de cero y por lo tanto existe una transformación de similitud S tal que S−1 ΛS = λ

S−1 LS = ℓ

y

(7.281)

son matrices diagonales y adem´ as esta transformación deja el determinante y la traza de las matrices invariantes. Por lo tanto 3 −1 Y λαα (7.282) det |Λ| = det S ΛS = α=0

donde λαα son elementos de la diagonal de λ; entonces, dado que λαα = eℓαα (7.283) con ℓαα los elementos de la matriz diagonal ℓ, tenemos que ! 3 3 X Y ℓαα = eT rℓ = eT rL (7.284) eℓαα = exp det |Λ| = α=0

α=0

Si elegimos la matriz L real, la ecuaci´ on (7.279) excluye las transformaciones impropias y adem´ as dado que det |Λ| = 1, entonces T rL = 0 (7.285) Es decir, para transformaciones propias de Lorentz L es una matriz real sin traza. Teniendo en cuenta que la matriz de Minkowski posee las siguientes propiedades (por su definici´ on) η T = η; η2 = I (7.286)

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con I la matriz identidad, la ecuaci´ on (7.272) se puede escribir en la forma ηΛT η = Λ−1 (7.287) y de la ecuaci´ on (7.279) se obtienen las siguientes propiedades ΛT = eL

T

= eL

ηΛT η = eηL

T

T

η

Λ−1 = e−L

(7.288) (7.289) (7.290)

Estas ecuaciones se pueden probar por cálculo directo, utilizando la definición de la exponencial de una matriz. Por ejemplo veamos la primera ecuaci´ on: ΛT

T eL T 1 = 1 + L + L2 + · · · 2! T 1 = 1T + LT + L2 + · · · 2! 2 1 = 1 + LT + LT + · · · 2! LT = e =

(7.291)

como se quer´ıa probar. Entonces ηLT η = −L

(7.292)

[ηL]T = −ηL

(7.293)

o en forma equivalente

es decir la matriz ηL es antisimétrica y, por lo tanto, la forma m´ as general de la matriz L, que satisface estas propiedades, se puede escribir 

 0 L01 L02 L03  L01 0 L12 L13   L=  L02 −L12 0 L23  L03 −L13 −L23 0

(7.294)

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pues la matriz L tiene traza cero y  T  T L00 L01 L02 L03 1 0 0 0  L10 L11 L12 L13   0 −1 0 0     (ηL)T =   L20 L21 L22 L23   0 0 −1 0  L30 L31 L32 L33 0 0 0 −1   L00 −L10 −L20 −L30  L01 −L11 −L21 −L31   =  (7.295)  L02 −L12 −L22 −L32  L03 −L13 −L23 −L33 

 1 0 0 0 L00  0 −1 0   L10 0  −ηL = −   0 0 −1 0   L20 0 0 0 −1 L30  −L00 −L01 −L02 −L03  L10 L11 L12 L13 =   L20 L21 L22 L23 L30 L31 L32 L33

as´ı

Lαα = −Lαα ;

L01 L11 L21 L31 

L02 L12 L22 L32

  

 L03 L13   L23  L33 (7.296)

α = 0, 1, 2, 3

(7.297)

i = 1, 2, 3

(7.298)

y por lo tanto Lαα = 0,

L0i = Li0 ; y Lij = −Lji ;

i, j = 1, 2, 3

(7.299)

Esto muestra que una transformación de Lorentz general queda determinada por seis par´ ametros L01 , L02 , L03 , L12 , L13 y L23 independientes. c Dada la forma general de la matriz L, encontrada en la ecuaci´ on (7.294), es suficiente elegir α = (−L23 , −L13 , −L12 ); ~

~ζ = (−L01 , −L02 , −L03 )

(7.300)

de tal manera que la matriz L se puede escribir como la combinaci´ on lineal: ˜ − ~ζ · B ˜ L = −~α · R

(7.301)

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˜ yB ˜ est´ donde las componentes de los vectores R an dadas por las matrices (2.58), (2.59) y (2.60). d Consideremos primero la matriz R1 y calculemos su cuadrado: 

0  0 R21 =   0 0

 0 0 0 0 0 0   = diag(00 − 1 − 1) 0 −1 0  0 0 −1

(7.302)

la cual es diagonal. Un cálculo similar para las otras matrices conduce a R22 = diag(0 − 10 − 1) R23 = diag(0 − 1 − 10) B21 = diag(1100) B22 B23

(7.303)

= diag(1010) = diag(1001)

2 ˜ para cualquier vector real unitario Calculemos ahora ~α · R α: ~ 2 2 2 2 ˜ ~α · R = α1 R21 + α2 R22 + α3 R23 + α1 α2 R1 R2 +α1 α2 R2 R1 + α1 α3 R1 R3 + α1 α3 R3 R1 +α2 α3 R3 + α2 α3 R3 R2

(7.304)

remplazando las matrices Ri tenemos 2 ˜ α·R ~  0 0  0 α2 2 + α3 2  = −  0 −α1 α2 0 −α1 α3

0 −α1 α2 2 2 α1 + α3 −α2 α3

(7.305) 

0 −α1 α3 −α2 α3 2 2 α1 + α2

   

˜ y teniendo en cuenta la Multiplicando esta matriz por ~α · R condici´ on de unitariedad α1

2

+ α2

2

+ α3

2

=1

(7.306)

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tenemos 

0 3  0 ˜ = ~α · R  0 0

 0 0 0 0 α3 −α2   = −~α · R ˜ −α3 0 α1  α2 −α1 0

(7.307)

Un c´ alculo similar conduce al resultado 3 ~ζ · B ˜ = ~ζ · B ˜

(7.308)

por lo tanto cualquier potencia de las matrices Ri y Bj , i, j = 1, 2, 3 puede ser expresada como un m´ ultiplo de la matriz o de su cuadrado, pues, por ejemplo, si tomamos el vector unitario ~ζ = (1, 0, 0) tenemos que 3 ~ζ · B ˜ = B31 = B1

(7.309)

B41 = B31 B1 = B1 B1 = B21

(7.310)

y

con un resultado similar para las dem´ as matrices. e Consideremos en primer lugar el caso particular ~α = (0, 0, 0);

~ζ = (ζ, 0, 0)

(7.311)

Entonces la matriz de transformación de Lorentz Λ est´ a dada por ˜ ~ ˜

Λ = eL = e−~α·R−ζ·B = e−ζB1

(7.312)

Para calcular la función exponencial hacemos uso de la expansión en serie de Taylor Λ = I − ζB1 +

(ζB1 )2 (ζB1 )3 (ζB1 )4 − + −··· 2! 3! 4!

(7.313)

Utilizando el resultado de la parte d del presente problema para las potencias de la matriz B1 , la serie anterior se puede

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escribir en la forma ! (ζB1 )3 (ζB1 )5 Λ = I + −ζB1 − − −··· 3! 5! ! (ζB1 )2 (ζB1 )4 (ζB1 )6 + + +··· + 2! 4! 6! ζ3 ζ5 = I− ζ + + + · · · B1 3! 5! 2 ζ ζ4 ζ6 + + + + · · · B12 (7.314) 2! 4! 6! Las expansiones en potencias de ζ en la expresi´ on anterior corresponden a las series de Taylor del sinh y cosh respectivamente, salvo el primer término de la serie de cosh, el cual lo sumamos y lo restamos, as´ı Λ = 1 − B21 − B1 sinh ζ + B21 cosh ζ

(7.315)

Remplazando expl´ıcitamente las matrices B1 , su cuadrado y la matriz identidad I, tenemos 

cosh ζ − sinh ζ  − sinh ζ cosh ζ Λ=  0 0 0 0

0 0 1 0

 0 0   0  1

(7.316)

la cual coincide con la transformación de Lorentz usual (ver ecuaci´ on (7.102)), donde el par´ ametro ζ est´ a relacionado con ′ la velocidad v del sistema de referencia Σ respecto a Σ por la ecuaci´ on v (7.317) tanh ζ = c Consideremos ahora el segundo caso particular ~α = (0, 0, α);

~ζ = (0, 0, 0)

(7.318)

y procedamos en forma similar al caso anterior: ˜ ~ ˜ −~ α·R− ζ·B

Λ = eL = e

= e−αR1

(7.319)

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Expandiendo la exponencial en serie de Taylor y utilizando las propiedades de las potencias de la matriz R1 , tenemos (αR1 )2 (αR1 )3 − +··· 2! 3! (αR1 )2 α3 R1 + −··· (7.320) = I − αR1 + 2! 3!

Λ = I − αR1 +

remplazando las matrices I, R1 y R21 , recordando las expansiones en serie de Taylor para las funciones sin α y cos α, tenemos que la transformación de Lorentz est´ a dada por   1 0 0 0  0 cos α sin α 0   Λ= (7.321)  0 − sin α cos α 0  0 0 0 1

la cual representa una rotaci´ on r´ıgida de los ejes espaciales en un ´ angulo α alrededor del eje z. A partir de estos resultados es fácil convencerse que las matrices Ri corresponden a rotaciones r´ıgidas de los ejes espaciales y las matrices Bi a transformaciones puras de Lorentz. Por ejemplo, una transformaci´ on de la forma ˜ −~ ζ·B

Λ=e

(7.322)

representa una transformación pura de Lorentz en la direcci´ on ~ del vector ζ, el cual est´ a relacionado con la velocidad del sistema de referencia por ~ζ = β ˆ tanh−1 β

(7.323)

~β = ~v /c

(7.324)

con

2. Transformaci´ on general de Lorentz. Teniendo en cuenta el resultado del problema anterior, la transformación pura de Lorentz m´ as general est´ a dada por la ecuaci´ on (7.322), donde el par´ ametro ~ζ se relaciona con la velocidad ~v por las ecuaciones (7.323) y (7.324). Entonces, expandiendo en serie de Taylor la ecuaci´ on ˆ B ˜ tanh−1 β −β·

Λ=e

(7.325)

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ˆ es un vector unitario en la direcci´ donde β on de la velocidad, obtenemos 2 ˆ·B ˜ tanh−1 β β ˆ·B ˜ tanh−1 β + − Λ = I−β 2! 3 4 ˆ·B ˆ·B ˜ tanh−1 β ˜ tanh−1 β β β + − · · (· 7.326) 3! 4! ˜ deducidas en Teniendo en cuenta las propiedades de la matriz B, el problema anterior (ecuaci´ on (7.308)), y agrupando los términos ˜ y su cuadrado, tenemos que en ~ζ · B ! 3 −1 tanh β ˆ·B ˜ tanh−1 β + +··· (7.327) Λ = I−β 3! ! 2 4 −1 −1 2 tanh β tanh β ˆ·B ˜ + β + −··· 2! 4! Las series entre paréntesis en la ecuaci´ on anterior corresponden a la expansi´ on en serie de Taylor de sinh(tanh−1 β) y cosh(tanh−1 β); por lo tanto 2 ˜ sinh(tanh−1 β) + ~ζ · B ˜ cosh(tanh−1 β) (7.328) Λ = I − ~ζ · B teniendo en cuenta las ecuaciones (7.100) y (7.101) que relacionan la velocidad con las funciones hiperb´ olicas sinh(tanh−1 β) = βγ

(7.329)

cosh(tanh−1 β) = γ

(7.330)

la transformación de Lorentz toma la forma 2 ˜ + γ ~ζ · B ˜ Λ = I − βγ~ζ · B

(7.331)

2 ˜ y ~ζ · B ˜ , utilizando las deCalculando ahora las matrices ~ζ · B finiciones para las matrices B (ecuaciones (2.58), (2.59) y (2.60)), obtenemos

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γ ˆ  −βγ β 1 Λ=  −βγ β ˆ 2 ˆ −βγ β 

3

 ˆ ˆ ˆ −βγ β −βγ β −βγ β 1 2 3 ˆ (γ − 1) β ˆ β ˆ ˆ β ˆ  1+β β 1 1 2 (γ − 1) 1 3 (γ − 1)  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ β 1 β 2 (γ − 1) 1 + β 2 (γ − 1) β 2 β 3 (γ − 1)  ˆ β ˆ ˆ β ˆ ˆ (γ − 1) β β 1+β 1 3 (γ − 1) 2 3 (γ − 1) 3 (7.332)

Dado que ~ ˆ ,β ˆ ,β ˆ ) ˆ = β = 1 β , β , β = (β β x y z 1 2 3 β β

con β x = vx /c, etc., llegamos finalmente a la matriz general  γ −β x γ −β y γ −β z γ  (γ−1)β x β y (γ−1)β x β z (γ−1)β 2x  −β x γ 1 + β 2 β2 β2  Λ= (γ−1)β x β y (γ−1)β 2y (γ−1)β y β z  −β y γ 1 + β2 β2 β2  (γ−1)β y β z (γ−1)β x β z (γ−1)β 2z −β z γ 1 + β2 β2 β2

(7.333) de Lorentz 

    (7.334)  

A partir de esta matriz podemos obtener las ecuaciones generales para la transformación de las coordenadas entre los sistemas de referencia inerciales Σ y Σ′ ,   γ −β x γ −β y γ −β z γ  ′0  2 x  (γ−1)β x β y (γ−1)β x β z  x   −β x γ 1 + (γ−1)β 2  x′1  β β2 β2    =   2 (γ−1)β x β y (γ−1)β y (γ−1)β y β z   x′2    −β y γ 1 + β2 β2 β2   ′3 2 (γ−1)β y β z x (γ−1)β z (γ−1)β x β z 1 + −β z γ β2 β2 β2  0  x  x1   (7.335) ×  x2  x3 las cuales se pueden reescribir en la forma usual x′0 = γ(x0 − ~β · ~x) ~x′ = ~x +

(γ − 1) ~ ~ β · ~x β − γx0~β β2

(7.336) (7.337)

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´ 3. Algebra de Lie del grupo de Lorentz. La demostración de las propiedades del conmutador es directa a partir de la definición y de las propiedades del producto y la suma de matrices, recordando que el producto de matrices no es conmutativo. a De la definición de conmutador tenemos [A, B] = AB − BA = − (BA − AB) = − [B, A]

(7.338)

[A, B + C] = A (B + C) − (B + C) A = AB + AC − BA − CA = AB − BA + AC − CA = [A, B] + [A, C]

(7.339)

donde se ha hecho uso de la conmutatividad de la suma de matrices. [A, BC] = ABC − BCA

= ABC − BAC − BCA + BAC

= (AB − BA) C + B (AC − CA)

= [A, B] C + B [A, C]

(7.340)

en el segundo paso se sumó y rest´ o el término BAC. [A, B]T

= (AB − BA)T = (AB)T − (BA)T = BT AT − AT BT = BT , AT (7.341)

Para probar la identidad de Jacobi basta con desarrollar expl´ıcitamente los conmutadores y aplicar las propiedades (2.70), (2.71) y (2.72) demostradas: [A, [B, C]] + [C, [A, B]] + [B, [C, A]] = [A, BC − CB] + [C, AB − BA] + [B, CA − AC]

= [A, BC] − [A, CB] + [C, AB] − [C, BA] + [B, CA] − [B, AC]

= 2 [A, B] C + 2B [A, C] + 2 [C, A] B +2C [B, A] + 2A [C, B] + 2 [B, C] A = 2ABC − 2BAC + 2BAC − 2BCA

+2CAB − 2ACB + 2CBA − 2CAB

+2ACB − 2ABC + 2BCA − 2CBA

≡ 0

(7.342)

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b La prueba del ´ algebra de Lie para las matrices Ri y Bj se realiza directamente calculando los conmutadores. Ilustraremos un solo caso de cada una de las ecuaciones. Consideremos en primer lugar el conmutador de R1 con R2 :

 0 0 0 0   0 0  0 0 0 −1   0 0 0 −1 1 0  0 0 0 0 0 0  0 0 0 1  0 0  −  0 0 0 0  0 0 0 0 0 −1 0 0   0 0 0 0  0 0 −1 0   =   0 1 0 0  0 0 0 0 = R = ǫ123 R3 

0  0 [R1 , R2 ] =   0 0 

0 0 0 0

0 0 0 0

 0 1   0  0

 0 0 0 0   0 −1  1 0

(7.343)

Similarmente calculemos el conmutador de R1 y B1 :



 0 0 0 1   0 0  1 0 0 −1   0 0 1 0 0 0  0 1 0 0 0 0  1 0 0 0  0 0  −  0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0  0 0 0 0   =   0 0 0 0  0 0 0 0 = ǫ11k Bk = 0

0  0 [R1 , B1 ] =   0 0 

0 0 0 0

0 0 0 0

 0 0   0  0

 0 0 0 0   0 −1  1 0

(7.344)

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El conmutador de R1 con B2 est´ a dado por:   0 0 0 0 0 0  0 0 0 0  0 0  [R1 , B2 ] =   0 0 0 −1   1 0 0 0 1 0 0 0   0 0 1 0 0 0  0 0 0 0  0 0  −  1 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 1  0 0 0 0   =   0 0 0 0  1 0 0 0 = B3 = ǫ123 B3

 0 0   0  0

1 0 0 0

 0 0 0 0   0 −1  1 0

(7.345)

Finalmente calculemos el conmutador [B3 , B2 ]:  0 0 1  0 0 0   0  1 0 0 0 0  0 0 0 1 0  0 0 0 0  0  −  1 0 0 0  0 1 0 0 0 0   0 0 0 0  0 0 0 0   =   0 0 0 −1  0 0 1 0 = R3 = −ǫ321 R3 

0  0 [B3 , B2 ] =   0 1 

0 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

 0 0   0  0

0 0 0 0

 1 0   0  0

(7.346)

pues ǫ321 = −1 porque 321 es una permutaci´ on impar de 123. En general, cualquier conjunto de seis matrices (u operadores de cualquier naturaleza), que obedezcan el álgebra de Lie del grupo de Lorentz, constituyen una representación de las transformaciones de Lorentz. Teniendo en cuenta que los 6 par´ ametros necesarios para describir una transformación propia de Lorentz se pueden elegir de manera arbitraria,

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se debe utilizar, en general, otro conjunto de seis matrices de representaci´ on, las cuales, no necesariamente, tienen un significado geométrico o f´ısico expl´ıcito, como fue el caso que consideramos para las matrices Ri y Bj y los par´ ametros ~α y ~ζ.

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Cap´ıtulo 8

Efecto Doppler 8.1.

Soluciones de problemas del efecto Doppler

1. Cuadrivector de onda. Sean λ, ω y ~k la longitud de onda, la frecuencia angular y el vector de onda, medidos por el observador Σ, y λ´, ω´ y ~k′ las cantidades correspondientes para el observador Σ′ . A partir de las ecuaciones de transformación (3.11), para las componentes del cuadrivector de onda y su definición en términos de la frecuencia y n´ umero de onda, ecuaci´ on (3.8), obtenemos el siguiente conjunto de ecuaciones: ω ω´ = γ( − βkx ) c c

(8.1)

ω kx′ = γ(kx − β ) c

(8.2)

ky′ = ky

(8.3)

kz ′ = kz

(8.4)

La primera de estas ecuaciones la podemos escribir también en la forma ν´= γ(ν − vkx ) (8.5) Dado que la relaci´ on de dispersi´ on para las ondas electromagnéticas en el vac´ıo es la misma, i. e. λ´ν´= c, entonces de esta relaci´ on se obtiene la longitud de onda, dada la frecuencia. También se puede obtener la relaci´ on entre las normas del vector de onda, medidas ′ en Σ y Σ , a partir de la relaci´ on entre las longitudes de onda, 129 i

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CAPÍTULO 8.

EFECTO DOPPLER

o calcul´ andola directamente de las ecuaciones de transformación anteriores: q ′ k = kx2′ + ky2′ + kz2′ r ω2 ω = γ 2 (kx2 + β 2 2 − 2kx β ) + ky2 + kz2 c c q =

=

q

|k|2 + kx2 β 2 γ 2 + γ 2 β 2 |k|2 − 2γ 2 βkx k |k|2 γ 2 + kx2 β 2 γ 2 − 2γ 2 βkx |k|

= γ ||k| − kx β|

(8.6)

2. Efecto Doppler longitudinal. Consideremos un sistema de referencia Σ′ ligado a la fuente y con origen en ella y relacionado con el sistema Σ de la manera usual. Supongamos que en alg´ un instante t > 0 la fuente emite ondas monocrom´ aticas en la direcci´ on del eje x negativo, como se muestra en la figura (8.1).

Figura 8.1: Efecto Doppler longitudinal. Sistema de referencia inercial para el observador Σ y para la fuente Σ′ .

Las componentes del cuadrivector de onda, en el sistema de referencia Σ′ , para una onda plana monocrom´ atica que se mueve hacia el origen del sistema Σ (ver figura (8.1) superior), est´ an dadas por: ω0 (8.7) k = (k′0 , k′1 , k′2 , k′3 ) = ( , kx0 , 0, 0) c donde kx0 = − ~k x ˆ (8.8) i

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8.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS DEL EFECTO DOPPLER

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Debido a la relaci´ on de dispersi´ on, ecuaci´ on (3.9), tenemos que ω 20 ~ 2 ω 20 2 − k = 2 − kx0 =0 c2 c

(8.9)

y por lo tanto las componentes del cuadrivector de onda toman la forma ω0 ω0 k = (k′0 , k′1 , k′2 , k′3 ) = ( , − , 0, 0) (8.10) c c Para encontrar la frecuencia medida por el detector, situado en el origen del sistema Σ, aplicamos la transformación de Lorentz inversa (de Σ′ a Σ) para las componentes del cuadrivector de onda. Si llamamos k = (k0 , k1 , k2 , k3 ) = (

ωD , kxD , kyD , kzD ) c

(8.11)

a las componentes del cuadrivector de onda medidas en el sistema Σ, tenemos ω0 ωD = γ(−v)( + βkx0 ) (8.12) c c ω0 kxD = γ(−v)(kx0 + β ) (8.13) c kyD = kzD = 0 (8.14) Entonces, de la primera ecuaci´ on anterior obtenemos s 1−β ω D = γω 0 (1 − β) = ω 0 1+β

(8.15)

La segunda ecuaci´ on nos conduce a la misma relaci´ on encontrada y por lo tanto no da nueva informaci´ on. Si la fuente se est´ a moviendo hacia el detector basta con cambiar v → −v y obtenemos que la frecuencia detectada en Σ est´ a dada por s 1+β (8.16) ωD = ω0 1−β Notemos que en el primer caso, cuando la fuente se aleja, la frecuencia detectada es menor que la frecuencia emitida y se conoce en la literatura como “corrimiento al rojo”, mientras que en el segundo caso, cuando la fuente se acerca, la frecuencia medida es mayor y se conoce como “corrimiento al azul”. Esta denominación

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CAPÍTULO 8.

EFECTO DOPPLER

se refiere a que, en el espectro visible, el rojo corresponde a frecuencias menores y el azul a frecuencias mayores. El efecto Doppler longitudinal cl´ asico (no relativista) es un fenómeno t´ıpicamente ondulatorio, que se presenta en todos los fenómenos ondulatorios, incluidas las ondas electromagnéticas. Cl´ asicamente el corrimiento Doppler longitudinal est´ a dado por ωD = ω0

c−v c

(8.17)

Este resultado lo podemos obtener a partir de la ecuaci´ on (8.15), si expandimos el factor γ en potencias de v/c: γ(v) =

v2 1− 2 c

−1/2

=1+

1 v2 + O(v 4 /c4 ) 2 c2

(8.18)

remplazando en la ecuaci´ on (8.15) tenemos

ω D = ω 0 (1 −

„ « v 1 v2 v 4 4 ) 1+ + O(v /c ) = ω 0 (1 − ) + ω 0 O(v 2 /c2 ) (8.19) c 2 c2 c

donde no se han escrito expl´ıcitamente términos cuadráticos en β, los cuales corresponden a la correcci´ on relativista del resultado cl´ asico. 3. Efecto Doppler transversal y aberraci´ on de la luz. Consideremos un sistema de referencia Σ′ ligado a la fuente relacionado con el sistema Σ de la manera usual y con la fuente en alg´ un punto sobre el eje y ′ positivo. Las componentes del cuadrivector de onda, medidas en el sistema de la fuente, est´ an dadas por k = (k′0 , k′1 , k′2 , k′3 ) = (

ω0 ω0 ω0 , 0, ky0 , 0) = ( , 0, − , 0) c c c

(8.20)

donde la u ´ltima igualdad se obtiene de la relaci´ on de dispersi´ on. Las componentes del cuadrivector de onda (

ωD , kxD , kyD , kzD ) c

(8.21)

en el sistema Σ se obtienen por una transformación de Lorentz de Σ′ → Σ, as´ı ω0 ωD = γ(−v)( + β) (8.22) c c

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kxD = γ(−v)(kx0 + β

ω0 ) c

133 (8.23)

kyD = ky0

(8.24)

kzD = 0

(8.25)

Dado que en Σ′ la componente kx0 se anula, la primera ecuaci´ on implica que ω0 ωD = γ(v)ω 0 = p (8.26) 1 − β2 Esta relaci´ on es conocida como efecto Doppler transversal y coresponde a un efecto netamente relativista porque su origen se debe al efecto de dilataci´ on temporal y no tiene correspondencia a nivel cl´ asico, pues en primera aproximación γ(v) ∼ 1. Las ecuaciones de transformación (8.23) y (8.24) implican que v ω0 (8.27) c2 ω0 (8.28) kyD = − c esto significa que para el detector el frente de ondas incide formando un ´ angulo de kxD v tan θ = = −γ(v) (8.29) kyD c kxD = γ(v)

con respecto al eje y. Este efecto es conocido como aberraci´ on de la luz y fue observado con las estrellas situadas perpendicularmente al plano de la ´ orbita terrestre. El cálculo clásico y el valor observado est´ a dado por v (8.30) tan θ = − c el cual corresponde al l´ımite clásico de la ecuaci´ on (8.29), donde se hace la aproximación γ ∼ 1. 4. Comunicaci´ on espacial con Doppler. De igual manera que en el problema 10 del primer cap´ıtulo, supongamos que la nave A se est´ a alejando de la tierra. Para resolver este problema, utilizando el efecto Doppler, consideremos que las dos se˜ nales enviadas desde la tierra con una diferencia de tiempos t0 corresponden a dos frentes de onda consecutivos y por lo tanto t0 representa el periodo de una onda y as´ı la frecuencia angular de la se˜ nal es ω0 =

2π t0

(8.31)

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CAPÍTULO 8.

EFECTO DOPPLER

a Consideremos primero el caso de la nave A la cual se aleja de la fuente (tierra) y por lo tanto podemos aplicar el efecto Doppler longitudinal (problema 2 ecuaci´ on (8.15)): s 1−β (8.32) ωD = ω0 1+β as´ı, la diferencia de tiempos ∆t′A entre las dos se˜ nales medidas por la nave A es s s 1+β 2π 2π 1 + β ′ ∆tA = = t0 (8.33) = ωD ω0 1 − β 1−β Para el caso de la nave B, la cual se est´ a acercando a la fuente, basta con cambiar v → −v, por lo tanto s 1−β (8.34) ∆t′B = t0 1+β b El c´ alculo de la diferencia de tiempos de los pulsos que llegan a la tierra procede en forma similar. Para el caso de la nave A podemos considerar que los pulsos reflejados en la nave corresponden a un frente de ondas emitido por la nave A con una frecuencia ω D y por lo tanto, aplicando efecto Doppler longitudinal, en la tierra se detecta un frente de ondas de frecuencia s 1−β (8.35) ωT = ωD 1+β remplazando la ecuaci´ on (8.32) para ω D tenemos ωT = ω0

1−β 1+β

(8.36)

y la diferencia de tiempos de la llegada de los dos pulsos est´ a dada por 1+β 2π = t0 (8.37) ∆tT A = ωT 1−β Para calcular la diferencia de tiempos de la nave B es suficiente cambiar v → −v: ∆tT B = t0

1−β 1+β

(8.38)

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5. Expansi´ on del universo. El factor de corrimiento est´ a definido como λ −1 (8.39) z= λ0 Remplazando los valores para la longitud de onda propia y observada de la l´ınea Hα obtenemos z=

6650 − 1 = 1. 325 6 × 10−2 6563

(8.40)

Teniendo en cuenta que el corrimiento es hacia el rojo, pues z > 0, expresemos la velocidad en términos del corrimiento al rojo. De la ecuaci´ on (8.15) tenemos que la frecuencia detectada est´ a dada por s 1−β ω0 (8.41) ω= 1+β donde β = v/c es la velocidad con que se est´ a alejando la galaxia y ω 0 es la frecuencia propia de emisi´ on. Teniendo en cuenta la relaci´ on entre frecuencia angular y longitud de onda ω0 =

2πc λ0

(8.42)

tenemos que λ = λ0

s

1+β =z+1 1−β

(8.43)

despejando la velocidad en función de z obtenemos β=

(z + 1)2 − 1

(z + 1)2 + 1

(8.44)

entonces remplazando β=

2 1. 325 6 × 10−2 + 1 − 1

(1. 325 6

× 10−2

2

+ 1) + 1

= 1. 316 8 × 10−2

(8.45)

6. Ley de reflexi´ on en espejos planos. Considérese el sistema de referencia de laboratorio L Σ, con respecto al cual el plano del espejo est´ a en el plano y − z y se est´ a moviendo con velocidad ~v = −vˆ x y sin pérdida de generalidad el rayo de luz se mueve en el plano x − y hacia el espejo (ver figura (8.2)).

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CAPÍTULO 8.

EFECTO DOPPLER

Figura 8.2: Ley de reflexión en espejos planos. Reflexión sobre espejo móvil normal al plano del espejo.

Las componentes del cuadrivector de onda ki del rayo incidente, en el sistema laboratorio, est´ an dadas por: ki = ki0 , ki1 , ki2 , ki3 ω ω ωi i i , cos θi , sin θ i , 0 (8.46) = c c c

Considérese ahora un sistema de referencia E Σ ligado al espejo con sus ejes paralelos a los ejes del sistema L Σ. Las componentes del cuadrivector de onda incidente en el sistema de referencia del espejo E ki = E ki0 ,E ki1 ,E ki2 ,E ki3 (8.47)

se obtienen a partir de ki por una transformación de Lorentz usual de L Σ a E Σ con velocidad −v. As´ı, las componentes no nulas son E 0 ki = γ ki0 + βki1 ω ωi i + β cos θi = γ c c ωi = γ (1 + β cos θ i ) (8.48) c E 1 ki

= γ ki1 + βki0 ω ωi i cos θi + β = γ c c ωi = γ (cos θi + β) c

(8.49)

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ωi sin θi (8.50) c En el sistema de referencia del espejo, el rayo de luz se refleja siguiendo la ley de ´ angulo de incidencia igual al ángulo de reflexión; entonces el cuadrivector de onda reflejado en E Σ tiene componentes dadas por E kr = E kr0 ,E kr1 ,E kr2 ,E kr3 = ω ωi ωi i γ (1 + β cos θi ) , −γ (cos θ i + β) , (8.51) sin θi c c c Realizando la transformación de Lorentz inversa se obtienen las componentes del cuadrivector de onda reflejado kr en el sistema laboratorio, as´ı kr0 = γ E kr0 − β E kr1 ω ωi i = γ γ (1 + β cos θi ) + βγ (cos θi + β) c c 2 ωi 2 = γ 1 + 2β cos θi + β (8.52) c E 2 ki

= ki2 =

− β E kr0 ω ωi i = γ −γ (cos θi + β) − βγ (1 + β cos θ i ) c c 2 ωi 2 = −γ (8.53) cos θi + 2β + β cos θi c

kr1 = γ

E 1 kr

ωi sin θi (8.54) c por lo tanto la frecuencia del rayo reflejado cambia y est´ a dada por ω r = ω i γ 2 1 + 2β cos θi + β 2 (8.55) kr2 =E kr2 =

y el ´ angulo de reflexión θr est´ a dado por (medido con respecto a la normal) 1 1 k k r cos θr = = r0 kr ~kr γ 2 ωci cos θi + 2β + β 2 cos θi = γ 2 ωci 1 + 2β cos θi + β 2 2β + 1 + β 2 cos θi = (8.56) 1 + 2β cos θ i + β 2

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CAPÍTULO 8.

EFECTO DOPPLER

Considérese ahora el caso del espejo moviéndose con velocidad constante en el plano del espejo. Sin pérdida de generalidad, se asume que el espejo est´ a en el plano x − z y se mueve con velocidad v en la direcci´ on del eje x positivo del sistema laboratorio y el rayo de luz se mueve en el plano x − y e incide en el espejo con un ´ angulo θi , respecto a la normal. Entonces las componentes del cuadrivector de onda incidente, en el sistema laboratorio, est´ an dadas por ki0 , ki1 , ki2 , ki3 ω ω ωi i i , sin θi , cos θ i , 0 = c c c

ki =

(8.57)

Pasando al sistema de referencia del espejo (ahora con velocidad v) las componentes del cuadrivector de onda incidente E

ki =

E 0 E ki ,

ki1 ,E ki2 ,E ki3

est´ an dadas por E 0 ki

E 1 ki

= γ ki0 + βki1 ω ωi i − β sin θi = γ c c ωi = γ (1 − β sin θ i ) c = γ ki1 + βki0 ω ωi i sin θi − β = γ c c ωi = γ (sin θ i − β) c

(8.58)

(8.59)

(8.60)

ωi c cos θ i (8.61) c En el sistema de referencia del espejo el rayo de luz se refleja siguiendo la ley de ´ angulo de incidencia igual al ángulo de reflexión y por lo tanto las componentes del cuadrivector de onda reflejado en E Σ son E kr = E kr0 ,E kr1 ,E kr2 ,E kr3 = ω ωi ωi i (8.62) γ (1 − β sin θi ) , γ (sin θ i − β) , − cos θi , 0 c c c E 2 ki

= ki2 =

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Aplicando la transformación de Lorentz inversa se obtienen las componentes del cuadrivector de onda reflejado kr en el sistema laboratorio, as´ı kr0 = γ E kr0 + β E kr1 ω ωi i = γ γ (1 − β sin θi ) + βγ (sin θi − β) c c 2 ωi 2 = γ 1−β (8.63) c ωi = (8.64) c es decir la frecuencia no cambia y kr1 = γ E kr1 − β E kr0 ω ωi i = γ γ (sin θi − β) + βγ (1 − β sin θi ) c c 2 ωi 2 = γ sin θi 1 − β c ωi = sin θi c

(8.65) (8.66)

ωi cos θi (8.67) c por lo tanto el ´ angulo de reflexión es (medido con respecto a la normal) 2 2 kr k cos θr = = r0 kr ~kr kr2 =

E 2 kr

=

=−

ωi c

cos θi ωi c

= cos θi

(8.68)

es decir, para este caso se sigue cumpliendo que el ángulo de incidencia es igual al de reflexión.

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Cap´ıtulo 9

Din´ amica relativista 9.1.

Soluciones de problemas sobre din´ amica

1. Cuadrivector momento. Debemos probar que p2 > 0, si p21 > 0 y p22 > 0. Entonces p2 = (p1 + p2 )2 = p21 + p22 + 2p1 · p2

(9.1)

El producto interno minkowskiano p1 · p2 de los cuadrivectores momento, por ser una cantidad invariante, lo podemos calcular en el sistema de referencia propio de una cualquiera de las dos part´ıculas, por ejemplo de la part´ıcula 1. Entonces, en este sistema de referencia, los cuadrivectores momento de las part´ıculas est´ an dados por p1 = (m01 c, 0, 0, 0)

(9.2)

p2 = (m02 γ(v21 )c, m02 γ(v21 )~v21 )

(9.3)

donde ~v21 es la velocidad de la part´ıcula 2 respecto a la part´ıcula 1. Entonces p1 · p2 = m01 m02 γ(v21 )c2 > 0

(9.4)

pues el factor γ siempre es positivo. Por lo tanto p2 = m201 c2 + m202 c2 + 2m01 m02 γ(v21 )c2 > 0

(9.5)

como se quer´ıa probar. 140 i

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´ 9.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS SOBRE DINAMICA

2. Sistema centro de masa. El cuadrivector momento total del sistema est´ a dado por p = p1 + p2 = (m1 c, p~1 ) + (m2 c, p~2 ) = ((m1 + m2 ) c, p~1 + p~2 ) = (mc, ¯ p~)

(9.6)

donde mi = m0i γ(~vi ), i = 1, 2 con ~vi las velocidades de las part´ıculas en el sistema de referencia Σ. La velocidad ~uCM del sistema centro de masa est´ a dada por ~uCM =

m01 γ(~v1 )~v1 + m02 γ(~v2 )~v2 p~ = m ¯ m01 γ(~v1 ) + m02 γ(~v2 )

(9.7)

La masa propia del sistema de part´ıculas M0 medida por el observador Σ se puede calcular a partir de la norma al cuadrado del cuadrivector momento total del sistema, as´ı p2 = M02 c2

(9.8)

entonces p2 = (p1 + p2 )2 = p21 + p22 + 2p1 · p2

p1 · p~2 = m201 c2 + m202 c2 + 2m1 m2 c2 − 2~

= m201 c2 + m202 c2 +

2

2m01 m02 γ(~v1 )γ(~v2 )c

~v1 · ~v2 1− c2

(9.9)

Si las dos part´ıculas estuvieran en reposo en el sistema Σ, entonces la masa propia total ser´ıa la suma de las masas propias de las part´ıculas que conforman el sistema. La masa propia total del sistema medida en el sistema centro de masa ΣCM est´ a dada por M0CM =

m01 γ(~v1 ) + m02 γ(~v2 ) m ¯ = γ(~uCM ) γ(~uCM )

(9.10)

donde la velocidad del sistema centro de masa ~uCM est´ a dada por la ecuaci´ on (9.7).

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3. Transformaci´ on del momento. El cuadrivector momento de una part´ıcula de masa propia m0 y velocidad ~u, medidas en el sistema de referencia inercial Σ, est´ a dado por E 0 1 2 3 , p~ p = (p , p , p , p ) = c E = , px , py , pz (9.11) c donde E = mc2 = m0 γ(~u)c2

(9.12)

p~ = m0 γ(~u)~u

(9.13)

es la energ´ıa total y su momento, est´ an relacionados con las componentes del cuadrivector momento en Σ′ por la transformación de Lorentz usual: p′0 = γ(v) p0 − βp1 (9.14) p′1 = γ(v) p1 − βp0 (9.15) p′2 = p2 ′3

p =p

3

(9.16)

(9.17)

con β = v/c la velocidad de Σ′ respecto a Σ. Entonces E ′ = γ(v) (E − vpx ) v p′x = γ(v) px − 2 E c ′ py = py p′z

= pz

(9.18) (9.19) (9.20) (9.21)

La energ´ıa cinética K de la part´ıcula se define como K = E − E0 = m0 c2 (γ(~u) − 1)

(9.22)

entonces, en el sistema Σ′ tenemos que K ′ = E´− E0

= m0 c2 (γ(~u′ ) − 1)

(9.23)

donde ~u′ es la velocidad de la part´ıcula medida por Σ′ . Teniendo en cuenta c´ omo el factor γ se transforma entre sistemas de referencia, ecuaci´ on (7.83), se obtiene vux (9.24) K ′ = m0 c2 γ(v)γ(~u) 1 − 2 − 1 c

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4. Cuadrivector fuerza. Para interpretar f´ısicamente las componentes del cuadrivector fuerza, definido por la ecuaci´ on de movimiento dp (9.25) f = m0 A = dτ consideremos sus componentes medidas por un observador inercial Σ. Teniendo en cuenta la definición del cuadrivector momento p, tenemos f 0, f 1, f 2, f 3

dpα dτ dt d E , p~ = dτ dt c 1 dE d~ p = γ(~u) , c dt dt

= fα =

(9.26)

Para interpretar f´ısicamente esta ecuaci´ on consideremos el producto punto minkowskiano entre el cuadrivector fuerza y el cuadrivector velocidad: f · U = m0 A · U (9.27) Dado que el producto punto es un invariante relativista, calculemos su valor en el sistema de referencia propio de la part´ıcula, es decir en el sistema de referencia con respecto al cual la part´ıcula se encuentra en reposo, as´ı U α = (c, 0, 0, 0)

(9.28)

Aα = (0, ~α)

(9.29)

donde ~ α es la aceleraci´ on propia de la part´ıcula; entonces f ·U =0

(9.30)

Para un sistema de referencia inercial Σ, las componentes de los cuadrivectores velocidad y fuerza (ver ecuaci´ on (9.26)) est´ an dadas por U α = γ (~u) (c, ~u) (9.31) p 1 dE d~ , (9.32) f α = γ(~u) c dt dt

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entonces 0 = f ·U 2

= γ (~u)

d~ p dE − · ~u dt dt

(9.33)

~ que act´ Por lo tanto, dado que el efecto de la fuerza f´ısica F ua sobre una part´ıcula es cambiar su momento, entonces tenemos que d~ p F~ = dt

(9.34)

y si se adopta la definición usual del trabajo, realizado por una fuerza sobre una part´ıcula, como dW = F~ · d~r

(9.35)

entonces la ecuaci´ on (9.33) implica que el cambio en la energ´ıa total de la part´ıcula por unidad de tiempo d~ p dE = · ~u = F~ · ~u dt dt

(9.36)

es el trabajo por unidad de tiempo (potencia) realizado por la ~ sobre la part´ıcula, lo cual est´ fuerza externa F a de acuerdo con la interpretación de E como la energ´ıa total de la part´ıcula. As´ı, las componentes del cuadrivector fuerza se pueden escribir en la forma p 1 dE d~ α , f = γ(~u) c dt dt 1~ ~ = γ(~u) F · ~u, F (9.37) c es decir, la componente temporal representa el trabajo por unidad de tiempo realizado por la fuerza externa y las componentes espaciales (salvo el factor γ) corresponden a las componentes de la fuerza f´ısica que act´ ua sobre la part´ıcula. 5. Transformaci´ on de la fuerza entre sistemas de referencia. Consideremos dos sistemas de referencia Σ y Σ′ relacionados por una transformación de Lorentz usual. Entonces las componentes del cuadrivector fuerza se transforman como f ′0 = γ f 0 − βf 1 (9.38) i

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f ′1 = γ f 1 − βf 0 f

′2

=f

2

f ′3 = f 3

145 (9.39) (9.40) (9.41)

con γ = γ(v), β = v/c y v la velocidad del sistema Σ′ respecto a Σ en la direcci´ on del eje x positivo. La interpretación f´ısica de las componentes del cuadrivector fuerza encontradas en el problema anterior implica que 1~ 0 1 2 3 ~ F · ~u, F (9.42) f , f , f , f = γ(~u) c

donde ~u es la velocidad de la part´ıcula. Estamos interesados en ~ . Si encontrar las ecuaciones de transformación para la fuerza F llamamos ~ (9.43) F´= Fx′ , Fy′ , Fz ′

las componentes de la fuerza medida en Σ′ , de la segunda ecuaci´ on de transformación tenemos v ~ · ~u (9.44) γ(~u′ )Fx′ = γ(v) γ(~u)Fx − 2 γ(~u)F c

teniendo en cuenta la manera como el factor γ(~u′ ) se transforma, ver ecuaci´ on (7.83), vux γ(~u′ ) = γ(v)γ(~u) 1 − 2 (9.45) c entonces obtenemos

Fx′ =

Fx − cv2 F~ · ~u x 1 − vu c2

(9.46)

Para las otras dos componentes tenemos γ(~u′ )Fy′ = γ(~u)Fy

(9.47)

γ(~u′ )Fz ′ = γ(~u)Fz

(9.48)

por lo tanto Fy′ = Fz ′ =

Fy γ(v) 1 −

Fz γ(v) 1 −

vux c2 vux c2

(9.49) (9.50)

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6. Energ´ıa disponible para crear part´ıculas. Si se elige el eje x en la direcci´ on de movimiento de los protones, en el primer caso el cuadrivector momento de cada prot´ on est´ a dado por E1 E1 , p~1 = , px , 0, 0 (9.51) p1 = c c E0 , 0, 0, 0 (9.52) p2 = c

Después de la colisi´ on emergen los dos protones m´ as una nueva part´ıcula de masa propia M0 = ED /c2 , es decir, se est´ a asumiendo que toda la energ´ıa disponible en el experimento se transforma en energ´ıa propia de la nueva part´ıcula. Entonces la conservación del cuadrivector momento implica p1 + p2 = p1f + p2f + pf

(9.53)

con p1f y p2f los cuadrivectores momento finales de los protones y pf el cuadrivector momento final de la nueva part´ıcula. Elevando al cuadrado ambos miembros de esta ecuaci´ on obtenemos el invariante relativista (p1 + p2 )2 = (p1f + p2f + pf )2

(9.54)

El lado izquierdo se calcula en el sistema laboratorio, entonces (p1 + p2 )2 = p21 + p22 + 2p1 · p2 E0 E1 E2 = 2 20 + 2 2 c c

(9.55)

Para calcular el lado derecho se impone la condici´ on de energ´ıa umbral, donde las part´ıculas después de la colisi´ on quedan en reposo en el sistema de referencia centro de masa, entonces E0 E0 ED 2 2 (p1f + p2f + pf ) = + + (9.56) c c c Igualando las dos expresiones y despejando ED se tiene 2

2 E0 E1 E02 ED E0 ED E02 + 2 = 4 + +4 2 2 2 2 2 c c c c c

(9.57)

2 ED + 4E0 ED + 2E02 − 2E0 E1 = 0

(9.58)

entonces

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resolviendo la ecuaci´ on cuadrática para ED y tomando la ra´ız positiva se obtiene q (9.59) ED = −2E0 + 2E02 + 2E0 E1 Para el caso donde E1 = 30Gev y E0 = 0,94Gev la energ´ıa disponible es ED = 5. 746 7Gev (9.60)

Para el segundo caso, los cuadrivectores momento de los protones iniciales son E2 , |~p2 | , 0, 0 (9.61) p1 = c E2 p2 = , − |~p2 | , 0, 0 (9.62) c entonces (p1 + p2 )2 = p21 + p22 + 2p1 · p2 2 E02 E2 2 = 2 2 +2 + |~p2 | c c2

(9.63)

dado que p21 =

E22 E02 = − |~p2 |2 c2 c2

por lo tanto 2

(p1 + p2 )

E2 = 2 20 + 2 c E2 = 4 22 c

E22 E22 E02 + 2 − 2 c2 c c

(9.64)

Entonces, de la ecuaci´ on de conservación del cuadrivector momento al cuadrado, se tiene que 4

2 ED E22 E02 E0 ED = 4 + +4 2 2 2 2 c c c c

(9.65)

despejando la energ´ıa disponible se llega a la ecuaci´ on cuadrática 2 ED + 4E0 ED + 4E02 − 4E22 = 0

(9.66)

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cuya soluci´ on positiva est´ a dada por q 1 2 2 2 −4E0 + 16E0 − 16E0 + 16E2 ED = 2 = 2E2 − 2E0

(9.67) (9.68)

tomando E2 = 15Gev se obtiene ED = 28, 12Gev

(9.69)

lo cual implica que en el segundo experimento se tiene cinco veces m´ as energ´ıa disponible. O en forma equivalente, si se quiere tener una energ´ıa disponible de 28, 12Gev, se requiere que, en el primer experimento, el prot´ on sea acelerado a una energ´ıa de 2 + 4E E + 2E 2 ED 0 D 0 2E0 = 477, 78Gev

E1 =

(9.70)

7. Sistema de dos electrones. Elijamos el eje x del sistema de referencia del laboratorio Σ en la direcci´ on de movimiento del electr´ on y sean p1 el cuadrivector momento del electr´ on m´ ovil y p2 el cuadrivector momento del electr´ on en reposo. a La energ´ıa cinética del electr´ on 1 (m´ ovil) es K1 = E1 − E0

(9.71)

donde E1 es su energ´ıa total y E0 = m0 c2 su energ´ıa en reposo. Entonces 2m0 c2 = γ(u)m0 c2 − m0 c2

(9.72)

con u la velocidad del electr´ on. Despejando el factor γ(u) se tiene 1 =3 (9.73) γ(u) = q 2 1 − uc2 y por lo tanto la velocidad del electr´ on est´ a dada por s 1 u = βu = 1 − c γ(u)2 √ 2 2 (9.74) = 3

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b El cuadrivector momento del electr´ on 2, en reposo respecto al sistema laboratorio Σ, es E2 p2 = , p~2 = (m0 c, 0, 0, 0) (9.75) c y el del electr´ on 1 est´ a dado por E1 , p~1 = (m0 cγ(u), m0 γ(u)u, 0, 0) p1 = c √ (9.76) = (3m0 c, 2 2m0 c, 0, 0) Por lo tanto, para el cuadrivector momento total del sistema en Σ se obtiene p = p1 + p2

√ = (4m0 c, 2 2m0 c, 0, 0)

(9.77)

c La velocidad del centro de masa para un sistema de part´ıculas est´ a dada por ~p (9.78) ~uCM = m ¯ donde p~ es el momento total del sistema y mc ¯ 2 su energ´ıa total. Entonces, para el sistema de los dos electrones tenemos ! √ 2 1 √ ~uCM = c, 0, 0 (9.79) 2 2m0 c, 0, 0 = 4m0 2 Para calcular las componentes del cuadrivector momento de los electrones, en el sistema de referencia ΣCM , es suficiente tener en cuenta la transformación de Lorentz entre los sistemas Σ y ΣCM , donde ΣCM se mueve con velocidad uCM = √ 2/2 en la direcci´ on del eje x positivo (ver ecuaci´ on (9.79)). Bajo esta transformación de Lorentz las componentes del cuadrivector momento, en los dos sistemas de referencia, est´ an dadas por p′0 = γ(uCM ) p0 − β CM p1 (9.80) p′1 = γ(uCM ) p1 − β CM p0 (9.81) p′2 = p2 ′3

p =p

3

(9.82)

(9.83)

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donde β CM = uCM /c. Aplicando estas transformaciones a p1 y p2 tenemos: p′1 0 = γ(uCM ) p01 − β CM p11 ! √ √ 2 √ 2 3m0 c − 2 2m0 c = 2 √ (9.84) = 2m0 c p′1 1 = γ(uCM ) p11 − β CM p01 ! √ √ √ 2 = 2 2 2m0 c − 3m0 c 2 = m0 c2

(9.85)

y las dem´ as componentes son cero. Para el segundo electr´ on se tiene p′2 0 = γ(uCM ) p02 − β CM p12 √ 2 (m0 c − 0) = √ 2m0 c (9.86) = p′2 1 = γ(uCM ) p12 − β CM p02 ! √ √ 2 m0 c = 2 0− 2 = −m0 c Entonces

√ p′1 = 2m0 c, m0 c, 0, 0 √ 2m0 c, −m0 c, 0, 0 p′2 =

(9.87) (9.88) (9.89)

d La masa propia del sistema, por definición, es un invariante relativista y debe ser la misma calculada en cualquier sistema de referencia inercial. Para calcular la masa propia en Σ tomamos la norma del cuadrivector momento total del sistema, entonces √ p2 = (p1 + p2 )2 = (4m0 c, 2 2m0 c, 0, 0)2 = 16m20 c2 − 8m20 c2 = 8m20 c2

(9.90)

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as´ı

√ M0 = 2 2m0

En el sistema centro de masa tenemos 2 √ p′2 = p′1 + p′2 = 2 2m0 c, 0, 0, 0 = 8m20 c2

151

(9.91)

(9.92)

y se obtiene, como se esperaba, el mismo resultado. 8. Sistema de dos fotones. Sean p1 y p2 los cuadrivectores momento de los dos fotones en el sistema de referencia Σ. a La relaci´ on entre la energ´ıa E y la magnitud del momento |~p| de un fotón est´ a dada por la ecuaci´ on E (9.93) c entonces los cuadrivectores momento de los fotones toman la forma E E p1 = , , 0, 0 (9.94) c c para el fotón en movimiento a lo largo del eje x positivo, y E E p2 = , 0, , 0 (9.95) c c |~ p| =

para el fotón en movimiento a lo largo del eje y positivo. El cuadrivector momento total del sistema est´ a dado por p = p1 + p2 2E E E , , ,0 = c c c

(9.96)

b La velocidad del centro de masa para un sistema de part´ıculas est´ a dada por ~p ~uCM = (9.97) m ¯ donde p~ es el momento total del sistema y mc ¯ 2 su energ´ıa total. As´ı, para el sistema de dos fotones tenemos c2 E E ~p = , ,0 ~uCM = m ¯ 2E c c c c , ,0 (9.98) = 2 2

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la cual corresponde a la velocidad del sistema de referencia ΣCM respecto al sistema laboratorio Σ, de tal manera que en el sistema ΣCM el momento total es cero. La magnitud de la velocidad ~uCM est´ a dada por r c 2 c 2 + |~uCM | = 2 2 √ 2 c
√ 2E M0 = 2 c

(9.100)

(9.101)

√ n´ otese que la masa propia del sistema es 1/ 2, la suma de las masas equivalentes en energ´ıa asociadas a cada fotón. 9. Part´ıcula compuesta. Elijamos el eje x positivo del sistema de referencia del laboratorio Σ en la direcci´ on de movimiento del electr´ on inicial. a La energ´ıa total del electr´ on inicial est´ a dada por E = E0 + K 2 = m0 c2 + m0 c2 3 5 2 = m0 c 3

(9.102)

por lo tanto el factor γ y la velocidad inicial del electr´ on son E = γ(v)m0 c2

=⇒

γ(v) =

5 3

(9.103)

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v β= = c

s

1−

1 γ 2 (v)

=⇒

β=

4 5

153

(9.104)

Para calcular la masa propia M0 del átomo de positronio, sea p1 el cuadrivector momento del electr´ on m´ ovil, el cual est´ a dado por p1

E = , m0 γ(v)~v c 4 5 m0 c, m0 c, 0, 0 = 3 3

(9.105)

y el cuadrivector momento del positr´ on en reposo p2 = (m0 c, 0, 0, 0)

(9.106)

entonces, por conservación del cuadrivector momento total del sistema, su norma al cuadrado da la masa propia total del sistema, la cual también es la masa propia del positronio, as´ı M02 c2 = p2f = (p1 + p2 )2 2 8 4 = m0 c, m0 c, 0, 0 3 3 2 2 4 8 m0 c − m0 c = 3 3 48 2 2 = m c 9 0 entonces

√ 4 3 M0 = m0 3

(9.107)

(9.108)

b Para calcular la velocidad final vf del átomo de positronio se pueden seguir varios métodos: el primero, y m´ as directo, es notando que la velocidad final del positronio corresponde a la velocidad del centro de masa del sistema electr´ on-positr´ on, as´ı 4 p1f m0 c 1 = (9.109) β CM = β f = 0 = 38 2 pf 3 m0 c

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El segundo método utiliza la energ´ıa total del sistema: entonces de la componente temporal del cuadrivector momento total del sistema tenemos M0 γ(vf )c =

8 m0 c 3

(9.110)

y por lo tanto γ(vf ) = vf

8 3 m0 √ 4 3 3 m0

2 =√ 3

=

s

1−

γ 2 (vf )

=

r

1−

3 1 = 4 2

=⇒

1

(9.111)

Un tercer camino ser´ıa utilizando la conservación del momento f´ısico para el sistema, as´ı 4 p ~f = m0 cˆ x = M0 γ(vf )vf x ˆ 3

(9.112)

entonces

√ 4 4 3 m0 γ(vf )vf = m0 c 3 3 despejando la velocidad final, se obtiene γ(β f )β f

= =⇒

1 √ 3

=⇒

βf =

1 2

3β 2f = 1 − β 2f (9.113)

c Por conservaci´ on del momento, dado que el electr´ on inicial se est´ a moviendo en la direcci´ on del eje x positivo, entonces el electr´ on y el positr´ on deben salir en un mismo plano. Adem´ as, debido a que el electr´ on y el positr´ on tienen la misma masa propia y salen formando el mismo ángulo con respecto al eje x, su velocidad debe ser igual para que el momento total transversal a la direcci´ on de movimiento inicial se anule. Entonces, si elegimos el eje y en el plano del movimiento del sistema y se toma positivo en la direcci´ on en la cual el electr´ on se dispersa,

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las componentes del cuadrivector momento final del electr´ on p−f y del positr´ on p+f est´ an dadas por: p−f = (E−f , px−f , py−f , 0) = (m0 γ(u)c, m0 γ(u)u cos θ, m0 γ(u)u sin θ, 0)

(9.114)

y p+f = (E+f , px+f , py+f , 0) = (m0 γ(u)c, m0 γ(u)u cos θ, −m0 γ(u)u sin θ, 0)

(9.115)

donde u es la magnitud de la velocidad final y θ el ángulo con respecto al eje x. La conservación del cuadrivector momento implica que pf = p−f + p+f (9.116) con pf el cuadrivector momento del positronio; as´ı esta ecuaci´ on nos conduce al siguiente sistema de ecuaciones: M0 γ(vf )c = 2m0 γ(u)c

(9.117)

M0 γ(vf )vf = 2m0 γ(u)u cos θ

(9.118)

la tercera ecuaci´ on para la componente en y es una identidad y no arroja informaci´ on adicional. Dado que (ver parte b del presente problema) √ 2 4 3 m0 × √ c M0 γ(vf )c = 3 3 8 m0 c (9.119) = 3 entonces de la ecuaci´ on (9.117) se tiene 4 γ(u) = 3

=⇒

βu =

√

7 4

(9.120)

y de la ecuaci´ on (9.118) se obtiene el ángulo: cos θ = = =

M0 γ(vf )vf 2m0 γ(u)u √ 4 3 3 m0

×

√2 3

4 3

×

2m0 × 2 √ 7

×

√

1 2

7 4

(9.121)

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d Una colisi´ on de define inel´ astica si las part´ıculas iniciales y finales que intervienen en el proceso cambian. As´ı en la primera reacci´ on e− + e+ −→ Ap (9.122) el proceso es inel´ astico, y en la segunda reacci´ on Ap −→ e− + e+

(9.123)

las part´ıculas también cambian y el proceso es por lo tanto inel´ astico. Sin embargo, considerando la reacci´ on total e− + e+ −→ Ap −→ e− + e+

(9.124)

el proceso es el´ astico. En efecto, se puede tratar la parte c del presente problema independientemente del estado intermedio (formaci´ on del positronio), como un proceso de colisi´ on el´ astico e− + e+ −→ e− + e+ (9.125) donde un electr´ on choca contra un positr´ on en reposo, dispers´ andose el´ asticamente. As´ı, por conservación del cuadrivector momento, p1 + p2 = p−f + p+f

(9.126)

Con las mismas consideraciones que se hicieron en la parte c del presente problema, esta ecuaci´ on conduce a:

4 8 m0 c, m0 c, 0, 0 3 3

= (2m0 2γ(u)c, m0 γ(u)u cos θ, 0, 0) (9.127)

lo que lleva al siguiente sistema de ecuaciones acopladas: 8 m0 c = 2m0 2γ(u)c 3 4 m0 c = m0 γ(u)u cos θ 3 las cuales implican que √ 7 βu = 4 y 2 cos θ = √ 7

(9.128) (9.129)

(9.130)

(9.131)

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10. Aniquilaci´ on de part´ıculas. Para el sistema de referencia del laboratorio elijamos el eje x en la direcci´ on de movimiento del electr´ on inicial y los otros ejes de tal manera que el plano de la colisi´ on esté en el plano x − y. Sea m0 la masa propia del electr´ on (igual a la del positr´ on) y v su velocidad. a Los cuadrivectores momento iniciales del electr´ on y el positr´ on est´ an dados por E1 , p~1 p1 = c 5 4 = m0 c, m0 c, 0, 0 (9.132) 3 3 y

p2

E2 , p~2 = c = (m0 c, 0, 0, 0)

(9.133)

respectivamente. Supóngase que un fotón (llámese 1) sale formando un ´ angulo θ con respecto al eje x positivo y el otro fotón (2) formando un ángulo ϕ respecto al mismo eje. Entonces sus cuadrivectores momento son Eγ 1 , p~γ 1 (9.134) pγ 1 = c Eγ 1 Eγ 1 Eγ = , cos θ, 1 sin θ, 0 (9.135) c c c

y

pγ 2

Eγ 2 , p~γ 2 = c Eγ 2 Eγ 2 Eγ 2 = , cos ϕ, sin ϕ, 0 c c c

(9.136) (9.137)

La conservaci´ on total del cuadrivector momento del sistema implica p1 + p2 = pγ 1 + pγ 2 (9.138) lo cual conduce al siguiente sistema de ecuaciones acopladas Eγ 1 + Eγ 2 8 m0 c = 3 c

(9.139)

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Eγ 1 cos θ + Eγ 2 cos ϕ 4 m0 c = (9.140) 3 c Eγ 2 Eγ 1 sin θ + sin ϕ (9.141) 0= c c Este sistema de tres ecuaciones acopladas contiene cuatro inc´ ognitas, las energ´ıas de los dos fotones y los ángulos que forman con el eje de las x; as´ı se pueden despejar tres de las inc´ ognitas en términos de la cuarta, por ejemplo en términos de θ. Con esta elección la energ´ıa del primer fotón Eγ 1 depende del ´ angulo θ, y a partir de all´ı se busca el ángulo para que la energ´ıa sea m´ axima, i. e. a partir de la condici´ on dEγ 1 = 0; dθ

con

d2 Eγ 1 <0 dθ2

(9.142)

Despejando Eγ 2 de la ecuaci´ on (9.139), sin ϕ de la ecuaci´ on (9.141) y remplazando en la ecuaci´ on (9.140) y despejando de esta u ´ltima ecuaci´ on Eγ 1 obtenemos Eγ 1 =

2m0 c2 2 + cos θ

(9.143)

Aplicando la condici´ on de m´ aximo (ecuaci´ on (9.142)) se obtiene que θ=0 (9.144) Este resultado se hubiera podido anticipar, pues por conservaci´ on de energ´ıa la suma de las energ´ıas de los fotones es la energ´ıa total inicial, la cual es fija y por conservación de momento la componente perpendicular del momento total de los fotones es cero y por lo tanto la condici´ on de energ´ıa m´ axima de uno de los fotones se tiene cuando este sale en la misma direcci´ on del electr´ on incidente y por tanto el fotón 2 debe salir en la direcci´ on opuesta, con la m´ınima energ´ıa posible. As´ı para calcular las energ´ıas de los fotones, cuando uno de ellos (fotón 1) sale con la m´ axima energ´ıa, tomamos θ = 0 y ϕ = π en las ecuaciones (9.139) y (9.140); entonces Eγ 1 + Eγ 2 8 m0 c = 3 c

(9.145)

Eγ 1 − Eγ 2 4 m0 c = 3 c

(9.146)

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resolviendo este sistema de ecuaciones (sumando y restando) se tiene que Eγ 1 = 2m0 c2 (9.147) que es la m´ axima energ´ıa posible y 2 Eγ 2 = m0 c2 3

(9.148)

b En la ecuaci´ on 9.141 implica que Eγ 1 = Eγ 2 = Eγ con θ = −ϕ, entonces las ecuaciones de conservación 9.139 y 9.140 toman la forma Eγ 1 + Eγ 2 2Eγ 8 m0 c = = (9.149) 3 c c y 4 m0 c = 3 =

Eγ 1 cos θ + Eγ 2 cos θ c 2Eγ cos θ c

(9.150)

respectivamente. Dividiendo la segunda ecuaci´ on entre la primera tenemos que cos θ =

1 2

=⇒

θ=

π 3

(9.151)

A partir de la ecuaci´ on 9.149 la energ´ıa de cada fotón est´ a dada por 4 Eγ 1 = Eγ 2 = m0 c (9.152) 3 c El momento total del sistema es 4 8 m0 c, m0 c, 0, 0 p1 + p2 = 3 3

(9.153)

entonces la velocidad vCM del sistema de referencia centro de masa ΣCM est´ a dada por la relaci´ on ~β CM

= =

p~1 p0 4 1 3 m0 c x ˆ= x ˆ 8 2 3 m0 c

(9.154)

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por lo tanto las componentes del cuadrivector momento para cada una de las part´ıculas iniciales se obtienen aplicando una transformación de Lorentz usual del sistema laboratorio Σ al sistema centro de masa. Entonces, llamando p˜1 y p˜2 los cuadrimomentos del electr´ on y el positr´ on respectivamente, tenemos para el electr´ on p˜01 = γ(vCM ) p01 − β CM p11 √ 1 4 2 3 5 m0 c − × m0 c = 3 3 2 3 √ 2 3 = m0 c (9.155) 3 p˜11 = γ(vCM ) p11 − β CM p01 √ 1 5 2 3 4 m0 c − × m0 c = 3 3 2 3 √ 3 m0 c = 3

(9.156)

y para el positr´ on p˜02 = γ(vCM ) p02 − β CM p12 √ 2 3 m0 c = 3

(9.157)

p˜12 = γ(vCM ) p12 − β CM p02 √ 3 = − m0 c 3

(9.158)

Esto implica que en el sistema centro de masa la energ´ıa total del sistema es √ √ 2 3 2 3 ECM = m0 c + m0 c 3 3 √ 4 3 m0 c (9.159) = 3 y el momento total es cero. Entonces, cuando se aniquilan las part´ıculas en dos fotones, ellos deben salir en direcciones

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opuestas y con el mismo momento, y por lo tanto cada uno ˜γ dada por de los fotones tendrá la misma energ´ıa E √ 3 2 ˜γ = m0 c E 3

(9.160)

Por consiguiente los cuadrivectores momento de los fotones p˜1γ y p˜2γ est´ an dados por: ! √ √ 2 3 2 3 m0 c, m0 cˆ n 3 3

(9.161)

! √ √ 2 3 2 3 m0 c, − m0 cˆ n 3 3

(9.162)

p˜1γ =

p˜2γ =

donde n ˆ es la direcci´ on de propagación del primer fotón y por lo tanto −ˆ n la del segundo fotón. A partir de estos cuadrivectores momento en el sistema ΣCM y aplicando la transformaci´ on inversa de Lorentz se obtienen los cuadrivectores momento de fotones en el sistema Σ. La condici´ on de m´ axima energ´ıa para uno de los fotones se obtiene cuando uno de ellos sale en la direcci´ on de movimiento del electr´ on inicial; por ello en este caso se tiene que los cuadrivectores momento del electr´ on y el positr´ on en el sistema de referencia centro de masa son ! √ √ 2 3 2 3 p˜γ1 = m0 c, m0 c, 0, 0 (9.163) 3 3 p˜γ2 =

! √ √ 2 3 2 3 m0 c, − m0 c, 0, 0 3 3

(9.164)

Entonces, aplicando la transformación de Lorentz inversa para la componente cero, se tiene que p0γ1 = γ(−vCM ) p˜0γ1 + β CM p˜1γ1 ! √ √ √ 1 2 3 2 3 2 3 m0 c + × m0 c = 3 3 2 3 = 2m0 c

(9.165)

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p0γ2 = γ(−vCM ) p˜0γ2 + β CM p˜1γ2 ! √ √ √ 2 3 2 3 1 2 3 = m0 c − × m0 c 3 3 2 3 2 m0 c (9.166) 3 as´ı pues las energ´ıas de los dos fotones, uno de m´ axima energ´ıa y el otro de m´ınima, son =

Eγ 1 = 2m0 c2

(9.167)

2 Eγ 2 = m0 c2 (9.168) 3 en acuerdo con el resultado de la parte a del presente problema. Para el segundo caso, cuando los dos fotones salen formando el mismo ángulo en el sistema laboratorio, tenemos que en el sistema centro de masa los fotones deben salir en direcciones perpendiculares a la direcci´ on de movimiento del sistema centro de masa, respecto al sistema laboratorio. As´ı se puede elegir como eje y el del movimiento de los fotones y por lo tanto el cuadrivector momento de cada fotón en ΣCM ser´ a ! √ √ 2 3 2 3 m0 c, 0, m0 c, 0 (9.169) p˜γ1 = 3 3 ! √ √ 2 3 2 3 m0 c, 0, − m0 c, 0 (9.170) p˜γ2 = 3 3 Aplicando la transformación inversa de Lorentz se tiene que las componentes no nulas del cuadrivector momento en el sistema laboratorio, para el primer fotón toman la forma p0γ1 = γ(−vCM ) p˜0γ1 + β CM p˜1γ1 √ √ 2 3 2 3 × m0 c = 3 3 4 = m0 c (9.171) 3 p1γ1 = γ(−vCM ) p˜1γ1 + β CM p˜0γ1 √ √ 2 3 1 2 3 × × m0 c = 3 2 3 2 = m0 c (9.172) 3

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p2γ1

=

p˜2γ1

√ 2 3 = m0 c 3

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(9.173)

y para el segundo fotón p0γ2 = γ(−vCM ) p˜0γ2 + β CM p˜1γ2 √ √ 2 3 2 3 × m0 c = 3 3 4 = m0 c 3

(9.174)

p1γ2 = γ(−vCM ) p˜1γ2 + β CM p˜0γ2 √ √ 2 3 1 2 3 × × m0 c = 3 2 3 2 = m0 c (9.175) 3 √ 2 3 2 2 pγ2 = p˜γ2 = − m0 c (9.176) 3 as´ı el ´ angulo que forma el primer fotón respecto al eje x es tan θ

= =⇒

p2γ1 p1γ1

=

θ=

√ 2 3 3 m0 c 2 3 m0 c

=

√

3

π 3

(9.177) (9.178)

11. Absorci´ on at´ omica. Sea pγ , p0 y pf los vectores cuadrivector momento del fotón incidente, átomo inicial y átomo final respectivamente; entonces, si se toma el eje x en la direcci´ on de movimiento del fotón inicial, tenemos que Q Q pγ = , , 0, 0 (9.179) c c p0 = (M0 c, 0, 0, 0) ˜ 0 γ(vf )c, M ˜ 0 γ(vf )vf , 0, 0 pf = M

(9.180) (9.181)

a Por conservaci´ on del cuadrivector momento se tiene que pγ + p0 = pf

(9.182)

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Tomando la norma al cuadrado de esta expresi´ on se obtiene p2γ + p20 + 2pγ · p0 = p2f

(9.183)

Teniendo en cuenta que la norma al cuadrado del cuadrivector momento da la masa propia al cuadrado de la part´ıcula y realizando el producto punto minkowskiano se llega a la relaci´ on ˜ 02 c2 M02 c2 + 2M0 Q = M (9.184) Despejando la energ´ıa del fotón Q y teniendo en cuenta que ˜ 0 c2 − M0 c2 Q0 = M

(9.185)

se obtiene ˜ 2 c4 − M 2 c4 M 0 0 2M0 c2 ˜ 0 c2 + M0 c2 M = Q0 2M0 c2 Q0 + 2M0 c2 = Q0 2M0 c2 Q0 = Q0 1 + 2M0 c2

Q =

(9.186)

notemos que si la masa del átomo es mucho mayor que la energ´ıa interna de excitación, entonces la energ´ıa del fotón incidente es pr´ acticamente igual a la de excitación. b La diferencia entre la energ´ıa del fotón incidente y la energ´ıa interna de excitación Q − Q0 =

Q0 2M0 c2

(9.187)

corresponde a la energ´ıa cinética del átomo que al absorber el fotón debe retroceder por conservación del momento. De la ecuaci´ on de conservación (9.182) se obtiene el sistema de ecuaciones Q ˜ 0 γ(vf )c + M0 c = M (9.188) c Q ˜ 0 γ(vf )vf =M (9.189) c

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Entonces, de la ecuaci´ on de conservación de la energ´ıa se tiene ˜ 0 c2 = M ˜ 0 c2 (γ(vf ) − 1) Q + M0 c2 − M

(9.190)

as´ı de la ecuaci´ on (9.185) ˜ 0 c2 (γ(vf ) − 1) = K ˜ Q − Q0 = M

(9.191)

˜ es la energ´ıa cinética del átomo excitado. donde K c La energ´ıa interna de excitación entre los niveles n = 1 y n = 2 est´ a dada por Q0 = E2 − E1 = En 13,6056981 13,6056981 = − eV − − eV 22 12 = 10. 204eV (9.192) entonces, teniendo en cuenta que la masa del átomo M0 en su estado base est´ a dada por (ver ecuaci´ on (4.43)) M0 c2 = m0e c2 + m0p c2 − 13,6056981eV = 9. 387 8 × 108 eV

(9.193)

la energ´ıa del fotón incidente, necesaria para excitar el átomo del nivel base n = 1 a su primer nivel excitado n = 2 es Q0 Q = Q0 1 + 2M0 c2 10. 204eV = 10. 204eV 1 + 9. 387 8 × 108 eV = 10,20399999eV (9.194) notemos que aun para el caso del átomo m´ as liviano, el hidr´ ogeno, su masa en unidades de energ´ıa es mucho mayor que las energ´ıas de excitación y la diferencia de Q − Q0 es del orden de 10−8 . Para calcular la velocidad de retroceso del atomo excitado se divide la ecuaci´ ´ on (9.189) entre la ecuaci´ on (9.188); entonces vf c

Q Q + M0 c2 10,204eV = 10,204eV + 9. 387 8 × 108 eV = 1. 086 9 × 10−8 =

(9.195)

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i. e. vf ∼ 3m/s la cual es una velocidad muy peque˜ na comparada con las velocidades t´ıpicas en los sistemas atómicos. Por ejemplo, el principio de equipartici´ on de la energ´ıa relaciona la energ´ıa cinética promedio de una part´ıcula (e. g., átomo) con la temperatura a la cual se encuentra el gas ¯ = 3 kB T K 2

(9.196)

kB = 8,617385 × 10−5 eV K −1

(9.197)

donde es la constante de Boltzmann y T la temperatura absoluta. Si aplicamos este principio al caso de un gas de hidrógeno atómico a temperatura ambiente (T = 300K), la energ´ıa cinética promedio de un ´ atomo de hidrógeno es 3 × 8,617385 × 10−5 eV K −1 × 300K 2 = 3. 877 8 × 10−2 eV (9.198)

¯ = K

la cual es seis ´ ordenes de magnitud mayor que la energ´ıa cinética Q − Q0 que adquiere el átomo al absorber un fotón. 12. Cohete fot´ onico. Sea M = M (τ ) la masa propia del cohete en un instante dado y P = M U su cuadrimomento, donde ~ ) = (U 0 , U 1 , 0, 0) U = (U 0 , U

(9.199)

es la cuadrivelocidad del cohete, el cual se mueve a lo largo del eje x, y sea Erad Erad , p~rad = , prad , 0, 0 (9.200) prad = c c el cuadrimomento de la radiaci´ on. Por conservación de la energ´ıa, el cambio en la energ´ıa del cohete es igual al cambio en la energ´ıa radiada; entonces dErad d(M U 0 ) = − (9.201) c Como la energ´ıa radiada es en forma de fotones, se debe tener que: dErad = cdprad

(9.202)

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y por conservaci´ on del momento tenemos: dprad = d(M U 1 ) Entonces, de estas relaciones se obtiene la ecuaci´ on: d M U 0 = −d(M U 1 )

(9.203)

(9.204)

la cual se puede escribir en la forma:

d(U 0 + U 1 ) dM =− M U0 + U1

(9.205)

Integrando esta ecuaci´ on y teniendo en cuenta las expresiones para 0 1 U y U (ecuaci´ on (7.224)) se obtiene la expresi´ on para la masa propia del cohete, en función del tiempo propio τ : dM M

d (c cosh (gτ /c) + c sinh (gτ /c)) c cosh (gτ /c) + c sinh (gτ /c) d egτ /c = − gτ /c e

= −

(9.206)

integrando M = M0 e−τ g/c

(9.207)

donde M0 es la masa propia inicial de la nave. En el Viaje interestelar 1 la nave est´ a permanentemente acelerada con g, en el viaje de ida acelera la mitad del camino a las Pléyades en un tiempo propio de 6. 056 8a˜ nos y luego desacelera durante un tiempo igual, retornando a la tierra en forma similar. Entonces para el viaje completo la masa propia del cohete al llegar a la tierra es M (τ

= 4 × 6. 056 8a˜ nos) = M0 e−24. 227

= 3. 008 5 × 10−11 M0

(9.208)

Para el Viaje interestelar 2 la nave acelera a 10g durante un tiempo propio de τ = 0,380 02a˜ nos, continuando el viaje a velocidad constante, hasta llegar a una distancia de 2. 136 6al de las Pléyades, punto en el cual inicia la desaceleración a 10g. El viaje de retorno sigue una trayectoria similar. Por lo tanto, dado que el combustible se consume solo durante la aceleraci´ on, entonces la masa final de la nave al regresar a la tierra es M (τ

= 4 × 0,380 02a˜ nos) = M0 e−1. 520 1

= 0,218 69M0

(9.209)

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El primer viaje dura, en tiempo del cohete, poco m´ as de tres a˜ nos mientras que el segundo dura 76. 84a˜ nos. Sin embargo el consumo de combustible en el segundo viaje corresponde a un quinto de la masa inicial del cohete, en tanto que en el primer viaje la masa final del cohete es 10−11 veces su masa inicial. Esto quiere decir, por ejemplo, que si la nave retorna a la tierra con 100ton, entonces su masa inicial debi´ o ser de 1013 ton. 13. Dispersi´ on el´ astica prot´ on-prot´ on. Para el sistema laboratorio Σ el´ıjase el eje x en la direcci´ on de movimiento de la part´ıcula inicial. Entonces el cuadrivector momento de las part´ıculas iniciales est´ a dado por p1 = (m0 γc, m0 γv, 0, 0) (9.210) p2 = (m0 c, 0, 0, 0)

(9.211)

donde γ = γ(v), con v la velocidad de la part´ıcula inicial. El cuadrivector momento de las part´ıculas finales, las cuales emergen con la misma energ´ıa, es p1f = (m0 γ(vf )c, m0 γ(vf )~vf 1 )

(9.212)

p1f = (m0 γ(vf )c, m0 γ(vf )~vf 2 )

(9.213)

donde |~vf 1 | = |~vf 2 | = vf . Por conservación del cuadrivector momento total se tiene que p1 + p2 = pf 1 + pf 2

(9.214)

entonces (m0 c(γ + 1) , m0 v, 0, 0) = (2m0 γ(vf )c, m0 γ(vf )(~vf 1 + ~vf 2 )) Por el lema de la colisi´ on elástica entre dos part´ıculas se debe cumplir que p1 · p2 = pf 1 · pf 2 (9.215) por lo tanto m20 c2 γ = m20 c2 γ 2 (vf ) − m20 γ 2 (vf )~vf 1 · ~vf 2 ~vf 1 · ~vf 2 2 2 2 = m0 c γ (vf ) 1 − c2 ! vf2 2 2 2 = m0 c γ (vf ) 1 − 2 cos θ c

(9.216)

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donde θ es el ´ angulo entre las part´ıculas finales, as´ı 2

vf2

cos θ) (9.217) c2 Para calcular la velocidad final vf se puede utilizar la conservación de la energ´ıa total: γ = γ (vf )(1 −

(m0 c(γ + 1) = 2m0 γ(vf )c entonces γ(vf ) = y β 2f =

vf2 c2

γ+1 2

=1−

(9.218) (9.219)

1

(9.220)

γ 2 (vf )

Por lo tanto, despejando cos θ de la ecuaci´ on (9.217) y remplazando vf se obtiene γ c2 1− 2 cos θ = γ (vf ) vf2 γ 2 (vf ) γ 1− 2 = γ 2 (vf ) − 1 γ (vf )  2  =

= =

γ+1 2 2 γ+1 2

−1

(γ − 1)2 (γ + 1)2 − 4 γ−1 γ+3

γ   1 − 2  γ+1 2

(9.221)

Dado que entonces

K = m0 c2 (γ − 1)

(9.222)

K (9.223) K + 4m0 c2 Para el caso en que las part´ıculas sean protones se tiene que cos θ =

cos θ = Por lo tanto

437M eV = 0,104 29 437M eV + 4 × 938,27231M eV

(9.224)

θ = 84,014o

(9.225)

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14. Procesos prohibidos. Considérese en primer lugar el proceso p −→ p + γ

(9.226)

Sean pi , pf y pγ los cuadrivectores momento del prot´ on inicial, prot´ on final y fotón final, y sea m0 la masa propia del prot´ on; entonces por conservación del cuadrivector momento total se tiene que p1 = pf + pγ (9.227) elevando al cuadrado esta ecuaci´ on se obtiene p2i = p2f + p2γ + 2pf · pγ

(9.228)

pf · pγ = 0

(9.229)

as´ı pues p2i = p2f y p2γ = 0; por lo tanto si se calcula el producto punto invariante en el sistema de referencia propio del prot´ on, se obtiene que m0 Q = 0 (9.230) con Q la energ´ıa del fotón. Por consiguiente esta relaci´ on implica que Q = 0 o m0 = 0, lo cual no es posible. As´ı el proceso es prohibido. El segundo y el tercer procesos γ −→ e− + e+

(9.231)

e− + e+ −→ γ

(9.232)

corresponden a procesos inversos, y por esta raz´ on si uno de ellos es prohibido, el otro también lo es. Además, para darse cuenta que los procesos anteriores no son posibles es suficiente pararse en el sistema de referencia centro de masa. All´ı el momento total es cero y siempre es posible para un par de part´ıculas como el electr´ on y el positr´ on encontrar un sistema donde su momento total es cero, pero un fotón solo nunca puede tener momento nulo; as´ı los procesos son prohibidos. Otra forma de ver esto es considerando el cuadrado de la ecuaci´ on de conservación, pues (pe− + pe+ )2 = p2γ

(9.233)

2m20 c2 + 2m20 c2 γ(v) = 0

(9.234)

implica que

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lo cual no es posible. En el cálculo anterior v es la velocidad de una de las part´ıculas respecto a la otra, pues en el sistema de referencia de una de ellas, e. g. el electr´ on, el positr´ on se est´ a moviendo con velocidad v y por ello pe− · pe+ = m20 c2 γ(v)

(9.235)

15. Experimentos de coincidencia. Tomando el plano y−z como el plano de la colisi´ on, con el eje z en la direcci´ on del fotón incidente, los cuadrivectores momento del electr´ on y fotón iniciales son pie = (m0 c, 0, 0, 0) Eiγ Eiγ , 0, 0, piγ = c c

(9.236) (9.237)

y del electr´ on y fotón finales son pf e = (m0 cγ(v), 0, −m0 γ(v)v sin ϕ, m0 γ(v)v cos ϕ) pf γ =

Ef γ Ef γ Ef γ , 0, sin θ, cos θ c c c

(9.238) (9.239)

donde ϕ es el ´ angulo de dispersi´ on del electr´ on, medido con respecto al eje z, θ el ´ angulo de dispersi´ on del fotón con respecto al eje z y se ha tomado el eje y positivo en la direcci´ on del fotón dispersado. Por conservación del cuadrivector momento se tiene que pie + piγ = pf e + pf γ (9.240) entonces (pie + piγ − pf γ )2 = (pf e )2

(9.241)

pie · piγ − pie · pf γ − piγ · pf γ = 0

(9.242)

implica que por lo tanto m0 Eiγ − m0 Ef γ − As´ı Ef γ =

Eiγ Ef γ (1 − cos θ) = 0 c2

m0 c2 Eiγ m0 c2 + Eiγ (1 − cos θ)

(9.243)

(9.244)

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La ecuaci´ on de conservación (9.240) conduce al siguiente sistema de ecuaciones Ef γ Eiγ = m0 cγ(v) + (9.245) m0 c + c c Ef γ sin θ (9.246) 0 = −m0 γ(v)v sin ϕ + c Ef γ Eiγ = m0 γ(v)v cos ϕ + cos θ (9.247) c c Despejando γ(v)v de la segunda ecuaci´ on y remplazando en la tercera se obtiene tan ϕ = =

Ef γ sin θ Eiγ − Ef γ cos θ sin θ 1+

Eiγ m0 c2

− cos θ 1 +

Eiγ m0 c2

(9.248)

y la energ´ıa final del electr´ on dispersado se obtiene de la primera ecuaci´ on m0 c2 γ(v) = m0 c2 + Eiγ − Ef γ = m0 c2 + Eiγ − =

m0 c2

2

m0 c2 Eiγ m0 c2 + Eiγ (1 − cos θ)

+ Eiγ (1 − cos θ) m0 c2 + Eiγ m0 c2 + Eiγ (1 − cos θ)

(9.249)

16. Reflexi´ on inel´ astica de un fot´ on en un ´ atomo. En el sistema de referencia del laboratorio se elige el eje x en la direcci´ on de incidencia del fotón inicial. a El choque es inel´ astico puesto que la masa propia del átomo final es diferente a la masa propia del átomo inicial, debido a que el ´ atomo hace una transición interna. b Con la elecci´ on de ejes dada, los cuadrivectores momento del fotón y del ´ atomo inicial est´ an dados por Qi Qi pγi = , , 0, 0 (9.250) c c ˜ 0 c, 0, 0, 0 pi = M (9.251)

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˜ 0 es la masa propia del átomo de hidrógeno excitado. donde M Los cuadrivectores momento del fotón y del átomo final, con M0 la masa propia del hidrógeno en su estado base, son Qi Qi pγf = , − , 0, 0 (9.252) c c pf = (M0 γ(v)c, M0 γ(v)v, 0, 0)

(9.253)

con v la velocidad final del átomo. Por las leyes de conservaci´ on se tiene que pγi + pi = pγf + pf entonces

Qi ˜ 0 c = Qi + M0 γ(v)c +M c c Qi Qi =− + M0 γ(v)v c c

por lo tanto γ(v) =

˜0 ˜ 0 c2 M M E2 = = M0 M0 c2 E1

(9.254)

(9.255) (9.256)

(9.257)

Donde E1 y E2 son las energ´ıas propias totales del hidrógeno en su estado base (n = 1) y en el primer estado excitado (n = 2) respectivamente, y de la ecuaci´ on (9.192) la diferencia de las energ´ıas ˜ 0 c2 − M0 c2 = 10,204 eV Q0 = E2 − E1 = M

(9.258)

da la energ´ıa de excitación. De la ecuaci´ on para el factor γ(v) se obtiene la velocidad de retroceso del átomo s r 1 v M0 c2 = 1− 2 = 1− ˜ 0 c2 c γ M s M0 c2 1− = M0 c2 + 10,204eV s 9,387 8 × 108 eV 1− = 9,387 8 × 108 eV + 10,204eV = 1,042 6 × 10−4

(9.259)

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c De la ecuaci´ on de conservación del momento se obtiene que 2Qi = M0 γ(v)v c

(9.260)

entonces 1 10. 204eV + 9. 387 8 × 108 eV 1. 042 6 × 10−4 = 48939.eV 2 (9.261) y ˜ 0 c2 M 1 1 M0 γ(v)vc = M0 c2 β 2 2 M0 c2 1 1 ˜ 2 M0 c β = Q0 + M0 c2 β = 2 2 1 = 10,204eV + 9,387 8 × 108 eV 1,042 6 × 10−4 2 = 48,9M eV (9.262)

Qi =

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Cap´ıtulo 10

Tensores 10.1.

Soluciones de problemas ´ algebra tensorial

1. Transformaci´ on de componentes covariantes. Para encontrar c´ omo se transforman las componentes covariantes de un cuadrivector V, considérese en primer lugar que para un sistema de an relacionadas referencia Σ′ las componentes covariantes Vα′ est´ con sus componentes contravariantes por la relaci´ on Vα′ = η αµ V ′µ

(10.1)

entonces, aplicando la ley de transformación de las componentes contravariantes se tiene que Vα′ = η αµ Λµν V ν

(10.2)

Ahora, de la relaci´ on Λν

µ

= η νγ η µδ Λγδ

(10.3)

la cual se cumple para la matriz inversa de Lorentz, pues Λν

µ

Λνω = η νγ η µδ Λγδ Λνω = η µδ η νγ Λγδ Λνω = η µδ η δω = δ µω

(10.4)

dado que la matriz de Lorentz debe satisfacer que η αβ = Λµα Λνβ η µν

(10.5)

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multiplicando la relaci´ on (10.3) por η βµ a ambos lados y sumando sobre el ´ındice µ, se obtiene η βµ Λν

µ

= η βσ η νµ η σδ Λµδ = η νµ δ δβ Λµδ = η νµ Λµβ

(10.6)

Remplazando esta relaci´ on en el u ´ltimo término de la ecuaci´ on 10.2, se tiene que Vα′ = η αµ Λµν V ν = η νµ Λα = Λα

µ

µ

Vν

Vµ

(10.7)

Esta ecuaci´ on da la ley de transformación de las componentes covariantes para un cuadrivector. 2. Componentes covariantes del cuadrivector momento. Por definición, las componentes covariantes de un cuadrivector est´ an relacionadas con sus componentes contravariantes por la ecuaci´ on Vα = η ασ V σ

(10.8)

aplicando esta relaci´ on a las componentes del cuadrivector momento se tiene p0 = η 0β pβ = η 00 p0 + η 01 p1 + η 02 p2 + η 03 p3 = η 00 p0 E = c

(10.9)

p1 = η 1β pβ = η 10 p0 + η 11 p1 + η 12 p2 + η 13 p3 = η 11 p1 = −px

(10.10)

y similarmente p2 = η 22 p2 = −py

(10.11)

p3 = η 33 p2 = −pz

(10.12)

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“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 177 — #181 i

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´ 10.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS ALGEBRA TENSORIAL

177

as´ı obtenemos pµ = (p0 , p1 , p2 , p3 ) =

E , −px , −py , −pz c

(10.13)

De esta forma la interpretación f´ısica de las componentes covariantes del cuadrivector momento es, en esencia, similar a las componentes contravariantes, salvo por el signo negativo de las componentes espaciales. 3. Transformaci´ on de componentes covariantes. La ecuaci´ on de transformación para las componentes covariantes de un cuadrivector est´ a dada por Vα′ = Λα σ Vσ (10.14) donde Λα σ son los elementos de la transformación de Lorentz inversa. Si se aplica esta ecuaci´ on a las componentes covariantes del cuadrivector momento, para la transformación de Lorentz usual, se tiene que p′0 = γ(v) (p0 + βp1 ) (10.15) p′1 = γ(v) (p1 + βp0 )

(10.16)

p′2 = p2

(10.17)

p′3 = p3

(10.18)

Teniendo en cuenta la ecuaci´ on 10.13 que relaciona las componentes covariantes del cuadrivector momento de una part´ıcula con su energ´ıa y momento, se obtienen las ecuaciones que relacionan la energ´ıa y el momento de una part´ıcula medidas por dos observadores inerciales: E ′ = γ(v) (E − vpx ) (10.19) vE (10.20) p′x = γ(v) px − 2 c p′y = py

(10.21)

p′y = py

(10.22)

Estas ecuaciones también se obtienen a partir de las ecuaciones de transformación para las componentes contravariantes p′α = Λα

σp

σ

(10.23)

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“PR-def1p” — 2009/11/18 — 10:53 — page 178 — #182 i

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(ver ecuaciones (9.18), (9.19), (9.20) y (9.21)). Este resultado que era de esperar, pues dada la relaci´ on biun´ıvoca entre las componentes covariantes y contravariantes de un cuadrivector, la interpretaci´ on f´ısica de sus componentes debe ser la misma, salvo por un signo menos global en las componentes espaciales (ver ecuaci´ on (10.13)). 4. Propiedades de simetr´ıa. La ley de transformación de las componentes del tensor, bajo una transformación de Lorentz, est´ a dada por T ′αβ = Λα σ Λα ω T σω (10.24) a Si el tensor es simétrico en un sistema de referencia T αβ = T βα

(10.25)

entonces σω β σΛ ωT Λβ ω Λα σ T ωσ ′βα

T ′αβ = Λα =

= T

(10.26)

pues el producto de los elementos de la transformación de Lorentz es conmutativo. En el caso del tensor antisimétrico se tiene que T ′αβ = Λα =

β σω σΛ ωT −Λβ ω Λα σ T ωσ ′βα

= −T

(10.27)

entonces las propiedades de simetr´ıa de tensores contravariantes no dependen del sistema de referencia. Un resultado similar vale para tensores covariantes y en general para las componentes contravariantes o covariantes de tensores mixtos. b Las componentes covariantes del tensor T est´ an relacionadas con sus componentes contravariantes por Tαβ = η ασ η βτ T στ

(10.28)

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entonces, si T αβ es simétrico se tiene que Tαβ = η ασ η βτ T στ = η ασ η βτ T τ σ = η βτ η ασ T τ σ = Tβα

(10.29)

un resultado similar se obtiene si el tensor T αβ es antisimétrico, es decir Tαβ = −Tβα (10.30) Sobre las componentes mixtas no hay una relaci´ on de simetr´ıa o antisimetr´ıa general, si el tensor es simétrico o antisimétrico, an dadas pues por ejemplo, las componentes mixtas T α β est´ por T α β = η βσ T ασ (10.31) entonces T0

1

= η 1σ T 0σ = η 10 T 00 + η 11 T 01 + η 12 T 02 + η 13 T 03 = η 11 T 01 = −T 01

(10.32)

y T1

0

= η 0σ T 1σ = η 00 T 10 = T 10

(10.33)

as´ı, aun cuando el tensor es simétrico T 10 = T 01 , se tiene que T0

1

= −T 1

0

(10.34)

pero para otra componente, por ejemplo T 12 , se tiene que T1

2

= η 2σ T 1σ = η 22 T 12 = −T 12

(10.35)

T2

1

= η 1σ T 2σ = η 11 T 21 = −T 21

(10.36)

pero y aqu´ı se cumple que T1

2

= T2

1

(10.37)

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5. Tensor m´ etrico de Minkowski. Las componentes del tensor métrico de Minkowski se transforman como η ′αβ = Λα

σ

Λβ

ω

η σω

(10.38)

Considérese una transformación de Lorentz usual, donde las componentes de la matriz de transformación inversa Λα σ est´ an dadas por   γ βγ 0 0  βγ γ 0 0   Λα σ =  (10.39)  0 0 1 0  0 0 0 1 entonces

Λ0

ω

Λ0

0

η ′00 = Λ0

σ

= Λ0

0

η σω

η 00 + Λ0

1

Λ0

1

η 11

2

2

= γ η 00 + (βγ) η 11 = γ2 − β2γ2

= 1

(10.40)

donde en la suma sobre los dos ´ındices solo se han escrito los términos no nulos. Para las componentes espaciales de la diagonal η ii con i = 1, 2, 3 se tiene η ′ii = Λi σ Λi ω η σω = Λi 0 Λi 0 η 00 + Λi 1 Λi 1 η 11 + Λi 2 Λi 2 η 22 + Λi 3 Λi 3 η 33 = (βγ)2 δ 1i η 00 + γ 2 δ 1i η 11 + δ 2i η 22 + δ 3i η 33  2 2  β γ − γ 2 = −1 i = 1 = η 22 = −1 i = 2  η 33 = −1 i = 3

(10.41)

Para los términos no diagonales se obtiene: η ′01 = Λ0

σ

= Λ0

0 2

Λ1

ω

Λ1

0

η σω

η 00 + Λ0

1

Λ1

1

η 11

2

= βγ η 00 + βγ η 11 = 0

(10.42)

y para los términos η ′0i con i = 2, 3 todos los términos de la suma se anulan η ′0i = Λ0 σ Λi ω η σω = 0 (10.43)

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Para el tensor métrico contravariante se sigue un cálculo similar, donde ahora la ley de transformación es η αβ = Λα

β σω σΛ ωη

(10.44)

con Λα σ los elementos de la transformación de Lorentz directa. As´ı por ejemplo η 00 = Λ0 =

0 σω σΛ ωη Λ0 0 Λ0 0 η 00 + Λ0 1 Λ0 1 η 11 2 11 2 00

= γ η

+ (−βγ) η

2

= γ − β2γ2 = 1

(10.45)

y de manera similar para las dem´ as componentes. Para el tensor métrico mixto δ αβ la ley de transformación est´ a dada por α δ ′α β =Λ

σ Λβ

ω σ δω

(10.46)

De esta transformación se sigue inmediatamente el resultado, pues al sumar sobre ω, por las propiedades del s´ımbolo δ, todos los términos son nulos salvo cuando ω = σ; entonces = Λα δ′α β

σ Λβ

= Λα

σ Λβ

=

ω σ δω σ

δ αβ

(10.47)

donde la u ´ltima igualdad se obtiene del hecho que Λα son mutuamente inversas.

σ

y Λβ

σ

´ 6. Algebra de tensores. Sea Σ′ un sistema de referencia relacionado con Σ por una transformación de Lorentz. a Sea ...αr ...αr = λTβ′α1...β Sβ′α1...β 1

s

1

(10.48)

s

las cantidades medidas en un sistema de referencia Σ′ ; enton...αr son las componentes de un tensor ces, por hip´ otesis Tβ′α1...β 1 s y as´ı ellas est´ an relacionadas con las componentes del tensor en el sistema Σ por la ecuaci´ on (5.20) γ ...γ

...αr = Λαγ1 1 · · · Λαγr r Λβσ1 · · · Λβσs Tσ11...σsr Tβ′α1...β 1

s

1

s

(10.49)

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por lo tanto remplazando en la ecuaci´ on (10.48) se tiene γ ...γ

= λΛαγ1 1 · · · Λαγr r Λβσ1 · · · Λβσs Tσ11...σsr

...αr Sβ′α1...β s

1

s

1

γ ...γ

= Λαγ1 1 · · · Λαγr r Λβσ1 · · · Λβσs λTσ11...σsr s

1

γ ...γ

= Λαγ1 1 · · · Λαγr r Λβσ1 · · · Λβσs Sσ11...σsr s

1

(10.50)

γ ...γ

lo cual demuestra que las cantidades Sσ11...σsr se transforman como las componentes de un tensor r − veces contravariente y s − veces covariante.

b Para un sistema de referencia Σ′ tenemos que

...αr ...αr ...αr + R´βα1...β = Tβ′α1...β Qβ′α1...β 1

s

s

1

1

(10.51)

s

entonces, como T y R son tensores, sus componentes en dos sistemas de referencia est´ an relacionadas por la ecuaci´ on (5.20), as´ı γ ...γ

= Λαγ1 1 · · · Λαγr r Λβσ1 · · · Λβσs Tσ11...σsr

...αr Tβ′α1...β s

1

γ ...γ

= Λαγ1 1 · · · Λαγr r Λβσ1 · · · Λβσs Rσ11 ...σrs(10.52)

...αr Rβ′α1...β s

1

s

1

s

1

remplazando estas expresiones en la ecuaci´ on (10.51) tenemos ...αr Qβ′α1...β 1

s

γ ...γ

= Λαγ1 1 · · · Λαγr r Λβσ1 · · · Λβσs Tσ11...σsr + s

1

γ ...γ

Λαγ1 1 · · · Λαγr r Λβσ1 · · · Λβσs Rσ11 ...σrs (10.53) s

1

factorizando los elementos de la transformación de Lorentz se obtiene γ ...γ γ ...γ ...αr = Λαγ1 1 · · · Λαγr r Λβσ1 · · · Λβσs Tσ11...σsr + Rσ11 ...σrs Qβ′α1...β 1

s

s

1

γ ...γ

= Λαγ1 1 · · · Λαγr r Λβσ1 · · · Λβσs Qσ11 ...σrs s

1

(10.54)

lo cual demuestra que la suma de tensores del mismo tipo es un tensor. 7. Contracci´ on de tensores. Sean α ...α

α

α ...α

...α

σα

...α

Qβ 1...β i−1 β i+1 ...βr = Tβ 1...β i−1δβ i+1...β r 1

j−1 j+1

s

1

j−1

j+1

s

(10.55)

las cantidades obtenidas por la contracci´ on de la i-ésima componente contravariante y la j-ésima componente covariante del tensor T medidas en un sistema de referencia Σ. Consideremos un

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segundo sistema de referencia Σ′ relacionado con Σ por una transformaci´ on de Lorentz. Sean ′α ...α

α

′α1 ...αi−1 σαi+1 ...αr 1 ...β j−1 δβ j+1 ...β s

...α

Qβ 1...β i−1β i+1...β r = Tβ j−1 j+1

1

s

(10.56)

las cantidades medidas en Σ′ , entonces aplicando la ecuaci´ on (5.20) se tiene que ′α ...α

α

...α

Qβ 1...β i−1β i+1...β r 1

j−1 j+1

s

αi+1 αi−1 σ γ i−1 Λ γ i Λ γ i+1

= Λαγ1 1 · · · Λ Λαγr r Λβ ··

ω j−1

ω1

···

ω ω Λσ j Λβ j+1

· · · Λβ j−1 γ σs 1 ...γ i−1 γ i γ i+1 ...γ r Λβ Tω 1 ...ωj−1 ω j ωj+1 ...ωs 1

j+1

·

(10.57)

s

teniendo en cuenta que ωj

Λσγ i Λσ

ω

= δ γ ij

(10.58)

ω

puesto que Λσγ i y Λσ j corresponden a las componentes de la transformaci´ on de Lorentz y su inversa, obtenemos ′α ...α

α

...α

i−1 i+1 r Qβ11...βj−1 β j+1 ...β s

=

· · · Λαγr r Λβω1 1 · · Λαγi+1 Λαγ1 1 · · · Λαγi−1 i+1 i−1 ω

γ ...γ

ω

γ γ

...γ

j+1 j−1 1 i−1 i i+1 r j · · · Λβσs s δ ω Λβj+1 Λβj−1 γ i Tω 1 ...ωj−1 ω j ω j+1 ...ωs

=

· · · Λαγr r Λβω1 1 · · Λαγi+1 Λαγ1 1 · · · Λαγi−1 i+1 i−1 ω

γ ...γ

ω

ωj γ

...γ

j+1 j−1 i−1 i+1 r · · · Λβσs s Tω11...ωj−1 Λβj+1 Λβj−1 ω j ω j+1 ...ωs

=

· · · Λαγr r Λβω1 1 Λαγi+1 Λαγ1 1 · · · Λαγi−1 i+1 i−1

··

ω j+1 ω j−1 Λβj+1 ·Λβj−1

σs

· · · Λβ s

(10.59)

γ ...γ γ i+1 ...γ r Qω11 ...ωi−1 j−1 ω j+1 ...ωs

como se quer´ıa demostrar. 8. Tensor de Levi-Civita. Las componentes del tensor de LeviCivita est´ an dadas por  si αβγδ es permutaci´ on par de 0123  +1 αβγδ ε := −1 si αβγδ es permutaci´ on impar de 0123  0 en los dem´ as casos

a Bajo una transformación de Lorentz usual las componentes del tensor de Levi-Civita se transforman como ε′αβγδ = Λαµ Λβν Λγ σ Λδ ω εµνσω

(10.60)

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Consideremos primero el elemento con α, β, γ, δ = 0, 1, 2, 3 respectivamente, entonces ε′0123 = Λ0 µ Λ1 ν Λ2 σ Λ3 ω εµνσω = det |Λ|

= 1

(10.61)

para una transformación de Lorentz usual. Si consideramos una permutaci´ on cualquiera de los ´ındices de ε′ , por ejemplo α, β, γ, δ = 3, 0, 1, 2, la cual es una permutaci´ on impar, tenemos que ε′3012 = Λ3 µ Λ0 ν Λ1 σ Λ2 ω εµνσω = −Λ3 ω Λ0 µ Λ1 ν Λ2 σ εωµνσ

= −Λ0 µ Λ1 ν Λ2 σ Λ3 ω εωµνσ = − det |Λ|

= −1

(10.62)

donde en el segundo paso se ha hecho la misma permutaci´ on de los ´ındices del tensor de Levi-Civita, la cual cambia el signo por ser una permutaci´ on impar. As´ı, procediendo de la misma forma sobre todas las permutaciones posibles encontramos que ε′αβγδ = ±1 (10.63) dependiendo de si (αβγδ) es una permutaci´ on par(+) o impar() de (0123). Finalmente, si dos ´ındices son iguales, por ejemplo el primero y el tercero, desarrollando la suma sobre ´ındices repetidos se tiene que ε′αβαδ = Λαµ Λβν Λασ Λδ ω εµνσω = Λα0 Λβ1 Λα2 Λδ 3 ε0123 + Λα0 Λβ1 Λα3 Λδ 2 ε0132 + · · · + Λα2 Λβ1 Λα0 Λδ 3 ε2103 + · · · = Λα0 Λβ1 Λα2 Λδ 3 ε0123 + ε2103 + · · ·

= Λα0 Λβ1 Λα2 Λδ 3 (+1 − 1) + · · ·

= 0

(10.64)

anul´ andose todos los términos dos a dos.

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b Las componentes covariantes del tensor de Levi-Civita están dadas por εαβγδ = η αµ η βν η γσ η δω εµνδω (10.65) Consideremos primero el caso en que los ´ındices (αβγδ) son todos diferentes. Entonces a partir de la definición del tensor métrico de Minkowski  α=β=0  +1 η αβ = −1 α = β = 1, 2, 3 (10.66)  0 α 6= β

tenemos que en la ecuaci´ on (10.65) los términos de las sumas sobre los ´ındices repetidos µ, ν, σ y ω se anulan salvo cuando α = µ, β = ν, γ = σ y δ = ω; entonces εαβγδ = η αµ η βν η γσ η δω εµνδω = η αα η ββ η γγ η δδ εαβγδ = (+1) (−1)3 εαβγδ = −εαβγδ

(10.67)

Para los dem´ as casos, cuando dos o m´ as ´ındices del tensor εαβγδ est´ an repetidos, la expresi´ on se anula, pues por ejemplo, si el segundo y el cuarto ´ındice son iguales, se tiene que εαβγβ = η αµ η βν η γσ η βω εµνδω = η αα η ββ η γγ η ββ εαβγβ = 0

(10.68)

por la definición de las componentes contravariantes del tensor de Levi-Civita. As´ı la relaci´ on entre las componentes contravariantes y covariantes del tensor est´ a dada por εαβγβ = −εαβγβ

(10.69)

c Por el resultado anterior (ecuaci´ on (10.69)) tenemos que αβγδ

εαβγδ ε

=−

3 X

α,β,γ,δ=0

αβγδ 2 ε

(10.70)

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pero de los 44 = 256 términos de las sumas, solamente 4! = 24 son diferentes de cero, los cuales corresponden a las permuta ciones de los ´ındices αβγδ, y puesto que εαβγδ = 1, tenemos αβγδ

εαβγδ ε

=−

3 X

α,β,γ,δ=0

1 = −24

(10.71)

9. El tensor dual. Sean

Fαβ



 0 F01 F02 F03  F10 0 F12 F13   =  F20 F21 0 F23  F30 F31 F32 0

(10.72)

las componentes del tensor antisimétrico; entonces a De la definición de tensor dual tenemos (escribiendo solo los términos no nulos) 1 αβγδ ε Fγδ 2 1 αβ01 = [ε F01 + εαβ02 F02 + εαβ03 F03 2 +εαβ10 F10 + εαβ12 F12 + εαβ13 F13

(∗F )αβ =

+εαβ20 F20 + εαβ21 F21 + εαβ23 F23 +εαβ30 F30 + εαβ31 F31 + εαβ32 F32 ](10.73) dado que εαβ01 = −εαβ10 y F01 = −F10 , y similarmente con los dem´ as términos, obtenemos (∗F )αβ = εαβ01 F01 + εαβ02 F02 + εαβ03 F03 +εαβ12 F12 + εαβ31 F31 + εαβ23 F23 (10.74) A partir de esta relaci´ on podemos obtener directamente las componentes del tensor dual, pues de la definición del tensor de Levi-Civita, para los diferentes ´ındices α y β solo sobrevive

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un término de la relaci´ on anterior, as´ı

(∗F )αβ



 =  



 =  

 ε0123 F23 ε0231 F31 ε0312 F12 ε1023 F23 0 ε1203 F03 ε1302 F02   2031 2103 ε F31 ε F03 0 ε2301 F01  ε3012 F12 ε3102 F02 ε3201 F01 0  0 F23 F31 F12 −F23 0 F03 −F02   (10.75) −F31 −F03 0 F01  −F12 F02 −F01 0 0

notemos que el tensor dual también es antisimétrico: (∗F )αβ = − (∗F )βα

(10.76)

b Las componentes covariantes del tensor dual est´ an dadas por (∗F )αβ = η αµ η βν (∗F )µν

(10.77)

Entonces, de la definición del tensor métrico de Minkowski, los u ńicos términos no nulos de la doble suma son para α = µ y β = ν, as´ı (∗F )αβ

=  0 − (∗F )01 − (∗F )02 − (∗F )03  − (∗F )10 0 (∗F )12 (∗F )13    20 21  − (∗F ) (∗F ) 0 (∗F )23  − (∗F )30 (∗F )31 (∗F )32 0   0 −F23 −F31 −F12  F23 0 F03 −F02   =  (10.78)  F31 −F03 0 F01  F12 F02 −F01 0 

c De la definición 1 (∗F )αβ = εαβγδ F γδ 2

(10.79)

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tenemos que (∗F )αβ =

1 [εαβ01 F 01 + εαβ02 F 02 + εαβ03 F 03 2 +εαβ10 F 10 + εαβ12 F 12 + εαβ13 F 13 +εαβ20 F 20 + εαβ21 F 21 + εαβ23 F 23 +εαβ30 F 30 + εαβ31 F 31 + εαβ32 F 32 ]

= εαβ01 F 01 + εαβ02 F 02 + εαβ03 F 03 +εαβ12 F 12 + εαβ31 F 31 + εαβ23 F 23 (10.80) Entonces, a partir de esta ecuaci´ on las componentes covariantes del tensor dual est´ an dadas por

(∗F )αβ

0 ε0123 F 23  ε1023 F 23 0 =   ε2031 F 31 ε2103 F 03 ε3012 F 12 ε3102 F 02  0 −F 23 −F 31  F 23 0 −F 03 =   F 31 F 03 0 F 12 −F 02 F 01 

 ε0231 F 31 ε0312 F 12 ε1203 F 03 ε1302 F 02   0 ε2301 F 01  ε3201 F 01 0  12 −F F 02   (10.81) −F 01  0

pues εαβγδ = −εαβγδ

(10.82)

Para comparar estas componentes covariantes del tensor dual, con las obtenidas en la parte b del presente problema, remplacemos las componentes F αβ en términos de sus componentes covariantes, relacionadas por la ecuaci´ on F αβ = η αµ η βν Fµν

(10.83)

entonces, de las propiedades del tensor métrico de Minkowski, tenemos F αβ = η αα η ββ Fαβ

(10.84)

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as´ı (∗F )αβ   0 −η 22 η 33 F23 −η 33 η 11 F31 −η 11 η 22 F12  η 22 η 33 F23 0 −η 00 η 33 F03 η 00 η 22 F02   =  33 11 00 33  η η F31 η η F03 0 −η 00 η 11 F01  η 11 η 22 F12 −η 00 η 22 F02 η 00 η 11 F01 0   23 31 12 0 −F −F −F 03  F 23 0 F −F 02   (10.85) =   F 31 −F 03 0 F 01  F 12 F 02 −F 01 0 el cual coincide con las componentes obtenidas en la parte b. Esta relaci´ on se puede mostrar en forma directa pues (∗F )αβ = η ασ η βτ (∗F )στ 1 = η ασ η βτ εστ γδ Fγδ 2 1 γδ = ε Fγδ 2 αβ 1 γµ δν = η η εαβµν Fγδ 2 1 εαβµν η γµ η δν Fγδ = 2 1 = εαβµν F µν 2

(10.86)

como se quer´ıa probar. d Para probar esta relaci´ on aplicamos la definición del tensor dual ∗F , i. e., (∗ (∗F ))αβ = = =

1 αβδγ ε (∗F )δγ 2 1 αβδγ 1 ε εδγµν F µν 2 2 1 αβδγ ε εδγµν F µν 4

(10.87)

calculemos ahora el tensor: εαβδγ εδγµν

(10.88)

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entonces realizando la doble suma y escribiendo solo los términos no nulos, y teniendo en cuenta que εαβδγ = −εαβγδ (similarmente para las componentes covariantes), tenemos εαβδγ εδγµν

= 2εαβ01 ε01µν + 2εαβ02 ε02µν +2εαβ03 ε03µν + 2εαβ12 ε12µν +2εαβ13 ε13µν + 2εαβ23 ε23µν (10.89)

recordemos que los ´ındices del tensor de Levi-Civita deben ser todos diferentes para que este no sea nulo. As´ı de los seis términos de la suma para cada par de valores que tomen los ´ındices libres α y β, solamente un término sobrevive y adem´ as los ´ındices µ y ν también toman los mismos valores de α y β, es decir se debe cumplir uno de los siguientes casos: α=µ yβ=ν

(10.90)

α=ν yβ=µ

(10.91)

o por lo tanto, dado que α 6= β, tenemos que

εαβδγ εδγµν = −2 si α = µ y β = ν

εαβδγ εδγµν = 2 si α = ν y β = µ

(10.92) (10.93)

esta relaci´ on se puede escribir en forma tensorial como α β α β (10.94) εαβδγ εδγµν = −2δ αβ = −2 δ δ − δ δ µν µ ν ν µ

donde el segundo término define al tensor 1 αβδγ εδγµν δαβ µν = − ε 2 Por lo tanto utilizando este resultado tenemos que 1 αβδγ ε εδγµν F µν (∗ (∗F ))αβ = 4 1 = − δ αβ F µν 2 µν 1 = − δαµ δ βν − δ αν δ βµ F µν 2 1 = − F αβ − F βα 2 = −F αβ

(10.95)

(10.96)

como se quer´ıa probar.

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10. Transformaci´ on general de coordenadas. Sean x′α = Λαβ xβ

(10.97)

las ecuaciones de transformación de Lorentz usuales entre sistemas de referencia inerciales, las cuales se pueden escribir como el conjunto de cuatro transformaciones de coordenadas x′α = x′α xβ ;

α, β = 0, 1, 2, 3

(10.98)

a Tomando las diferenciales de las funciones de transformación de coordenadas, ecuaci´ on (10.98), y aplicando la regla de la cadena tenemos ∂x′α β dx (10.99) dx′α = ∂xβ Diferenciando las ecuaciones de transformación de Lorentz, ecuaci´ on (10.97), y teniendo en cuenta que los coeficientes de la transformación Λαβ son constantes independientes de las coordenadas, tenemos que dx′α = Λαβ dxβ

(10.100)

por lo tanto, comparando las dos ecuaciones anteriores se obtiene ∂x′α (10.101) Λαβ = ∂xβ esto significa que los elementos de la matriz de transformaci´ on de Lorentz corresponden a los elementos de la matriz jacobiana de la transformación de coordenadas. b Si el determinante de la matriz de Jacobi de la transformaci´ on de coordenadas es diferente de cero det J(x, x′ ) 6= 0

(10.102)

xα = xα (x′β )

(10.103)

entonces podemos despejar las coordenadas x en función de las x′ , es decir

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y por lo tanto el jacobiano de esta transformación est´ a dado por  0 0 0  0 J x′ , x =

=

∂x ∂x′0  ∂x1  ∂x′0  ∂x2  ∂x′0 ∂x3 ∂x′0 α ∂x

∂x ∂x′1 ∂x1 ∂x′1 ∂x2 ∂x′1 ∂x3 ∂x′1

∂x ∂x′2 ∂x1 ∂x′2 ∂x2 ∂x′2 ∂x3 ∂x′2

∂x′β

∂x ∂x′3 ∂x1 ∂x′3 ∂x2 ∂x′3 ∂x3 ∂x′3

   

(10.104)

Si remplazamos en la transformación de coordenadas, ecuaci´ on (10.98), la ecuaci´ on para la transformación inversa (10.103), obtenemos la transformación identidad, es decir x′α (xβ (x′γ )) = x′α

(10.105)

diferenciando esta identidad, aplicando la regla de la cadena, tenemos ∂x′α ∂xβ ′γ dx (10.106) dx′α = ∂xβ ∂x′γ por lo tanto, dado que las coordenadas son independientes, se debe cumplir que ∂x′α ∂xβ = δ αγ ∂xβ ∂x′γ

(10.107)

esto significa que la matriz de Jacobi correspondiente a la transformación inversa de coordenadas es la inversa de la matriz de Jacobi de la transformación: J(x′ , x) = J −1 (x, x′ )

(10.108)

As´ı los elementos de la transformación de Lorentz inversa est´ an dados por ∂xα (10.109) Λβα = ∂x′β 11. Derivada de un tensor. Del problema anterior vimos que una transformación de Lorentz se puede expresar en la forma x′α = x′α (xµ ) x

′α

α

= Λ

x′α =

µ

µx ∂x′α

∂xµ

xµ

⇐⇒

⇐⇒

(10.110)

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Entonces, para un sistema de referencia Σ′ tenemos T ′αβ ,γ =

∂T ′αβ ∂x′γ

(10.111)

Para relacionar estas cantidades con las correspondientes en el sistema de referencia Σ tengamos en cuenta que las componentes del tensor est´ an relacionadas por la transformación T ′αβ = Λα µ Λα ν T µν

(10.112)

y para calcular la derivada debemos aplicar la regla de la cadena, pues T µν = T µν (x) = T µν (x(x′ )) (10.113) con x(x′ ) la transformación inversa de Lorentz, as´ı ∂ ′αβ = T ′αβ T ,γ ∂x′γ ∂ Λα µ Λα ν T µν = ′γ ∂x ∂ = Λα µ Λα ν ′γ (T µν (x)) ∂x ∂xσ ∂ = Λα µ Λα ν ′γ σ (T µν ) ∂x ∂x σ α α ∂x = Λ µ Λ ν ′γ T µν ,σ ∂x

(10.114)

teniendo en cuenta la ecuaci´ on (10.109) obtenemos el resultado α β σ µν T ′αβ ,γ = Λ µ Λ ν Λγ T ,σ

(10.115)

12. Transformaci´ on general de coordenadas y derivadas. Consideremos una transformación general de coordenadas x′α = x′α (xµ )

(10.116)

Entonces, en las coordenadas primadas tenemos Vα,γ =

∂ V′ ∂x′γ α

(10.117)

Teniendo en cuenta la ley de transformación para las componentes de un tensor una vez contravariante Vα′ =

∂xµ Vµ ∂x′α

(10.118)

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remplazando esta ecuaci´ on en (10.117) tenemos Vα,γ

∂ = ∂x′γ

∂xµ Vµ ∂x′α

(10.119)

aplicando la regla para la derivada de un producto de funciones y notando que ahora el jacobiano de la transformación es una funci´ on de las coordenadas, a diferencia del caso restringido de las transformaciones de Lorentz, tenemos que ∂ ∂xµ ∂xµ ∂ ′ Vα,γ = (Vµ ) + Vµ ∂x′α ∂x′γ ∂x′γ ∂x′α ∂ 2 xµ ∂xµ ∂xσ ∂ (V ) + Vµ = µ ∂x′α ∂x′γ ∂xσ ∂x′γ ∂x′α ∂xµ ∂xσ ∂ 2 xµ = V + Vµ (10.120) µ,σ ∂x′α ∂x′γ ∂x′γ ∂x′α as´ı el primer término de esta expresi´ on corresponde a la ley de transformación de tensores 2-veces covariantes, pero el u ´ltimo término, salvo que este se anule, indica que Vα,γ no se transforma como las componentes de un tensor 2-veces covariante. La condici´ on para que la ley de transformación se cumpla se obtiene anulando el segundo término, es decir si ∂ 2 xµ =0 ∂x′γ ∂x′α

(10.121)

esta condici´ on significa que ∂ ∂ 2 xµ J(x′ , x) = 0 = ′γ ′α ′γ ∂x ∂x ∂x

(10.122)

esto es, si los elementos de la matriz jacobiana de la transformaci´ on de coordenadas son constantes (independientes de las coordenadas), lo cual implica que las ecuaciones de transformación de coordenadas deben ser lineales. 13. El tensor energ´ıa-momento. La ecuaci´ on de transformación para las componentes de un tensor de segundo rango contravariante est´ a dada por T ′αβ = Λαµ Λβν T0µν

(10.123)

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donde T0µν corresponden a las componentes del tensor en el sistema de referencia propio y T αβ las componentes respecto al observador inercial Σ que se mueve con velocidad −~u respecto al sistema propio, y los elementos de la matriz de transformación de Lorentz est´ an dados por (ecuaci´ on (7.334)):

Λαµ



γ

 β γ  x =  β γ  y βz γ

βxγ

(γ−1)β 2x β2 (γ−1)β x β y β2 (γ−1)β x β z β2

1+

βy γ

(γ−1)β x β y β2 (γ−1)β 2y 1 + β2 (γ−1)β y β z β2

βz γ (γ−1)β x β z β2 (γ−1)β y β z β2 (γ−1)β 2z 1 + β2

     

(10.124)

con γ = γ(~u) y β i = ui /c, i = x, y, z. As´ı, considerando que el tensor T0αβ es diagonal, tenemos T 00 = Λ0µ Λ0ν T0µν

donde

= Λ00 Λ00 T000 + Λ01 Λ01 T011 + Λ02 Λ02 T022 + Λ03 Λ03 T033 = γ 2 ρ0 + γ 2 β 2x + γ 2 β 2y + γ 2 β 2z p0 = γ 2 ρ0 + p0 β 2 (10.125)

|~u|2 c2 Para α = i = 1 y β = 0 se obtiene β2 =

(10.126)

T 10 = Λ1µ Λ0ν T0µν = Λ10 Λ00 T000 + Λ11 Λ01 T011 + Λ12 Λ02 T022 + Λ13 Λ03 T033 (γ − 1)β 2x β x γp0 = β x γ 2 ρ0 + 1 + β2 (γ − 1)β x β y (γ − 1)β x β z + β y γp0 + β z γp0 2 β β2 (γ − 1)β x 2 2 2 β + β + β = β x γ 2 ρ0 + β x γp0 + γp 0 x y z β2 = (ρ0 + p0 ) β x γ 2 (10.127) este resultado nos permite extrapolar para los casos α = i = 2, 3 y β = 0, as´ı T i0 = Λiµ Λ0ν T0µν = (ρ0 + p0 ) β i γ 2 ;

i = 1, 2, 3

(10.128)

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Falta por calcular T ij para i, j = 1, 2, 3. Consideremos primero los casos con i = j, entonces T 11 = Λ1µ Λ1ν T0µν = Λ10 Λ10 T000 + Λ11 Λ11 T011 + Λ12 Λ12 T022 + Λ13 Λ13 T033 2 (γ − 1)β 2x 2 2 p0 + = β x γ ρ0 + 1 + β2 (γ − 1)β x β y 2 (γ − 1)β x β z 2 p0 + p0 (10.129) β2 β2 Desarrollando los términos cuadráticos y reagrupando, teniendo en cuenta que β 2 = β 2x + β 2x + β 2x (10.130) obtenemos (γ − 1)2 β 2x (γ − 1)β 2x p + p0 0 β2 β2 β2 γ 2β 2 = p0 + β 2x γ 2 ρ0 − x2 p0 + 2 x p0 β β β2 = p0 + β 2x γ 2 ρ0 + γ 2 − 1 x2 p0 β 2 2 = p0 + (ρ0 + p0 ) β x γ (10.131)

T 11 = β 2x γ 2 ρ0 + p0 + 2

As´ı, los términos diagonales espaciales del tensor energ´ıa-momento se pueden escribir en la forma T ii = p0 + (ρ0 + p0 ) β 2i γ 2 ,

i = 1, 2, 3

(10.132)

Consideremos ahora los elementos del tensor T ij , con i 6= j: T 12 = Λ1µ Λ2ν T0µν = Λ10 Λ20 T000 + Λ11 Λ21 T011 + Λ12 Λ22 T022 + Λ13 Λ23 T033 (γ − 1)2 β x β y (γ − 1)β x β y 2 p0 + p0 = β x β y γ ρ0 + 2 β2 β2 (γ 2 − 1)β x β y = β x β y γ 2 ρ0 + p0 β2 = β x β y γ 2 (ρ0 + p0 ) (10.133)

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Finalmente los elementos del tensor energ´ıa-momento se pueden escribir en una forma m´ as compacta como T 00 = γ 2 ρ0 + p0 β 2 (10.134) T ij = p0 δ ij + (ρ0 + p0 ) β i β j γ 2

T 0i = (ρ0 + p0 ) β i γ 2 Estos elementos del tensor los podemos reescribir en forma covariante, es decir en términos de cantidades tensoriales, si tenemos en cuenta el tensor métrico de Minkowski y la definición de la cuadrivelocidad del fluido, es decir dado que Uα =

dxα = γ(1, β x , β y , β z ) ds

(10.135)

y η αβ

 α=β=0  1 = −1 α = β = 1, 2, 3  0 α 6= β

(10.136)

entonces las ecuaciones (10.134) se pueden reescribir en términos de las componentes de la cuadrivelocidad: T 00 = γ 2 ρ0 + p0 β 2 = γ 2 ρ0 + γ 2 β 2 p0

= U 0 U 0 ρ0 + p0 (γ 2 − 1)

= U 0 U 0 (ρ0 + p0 ) − p0 η 00

(10.137)

T ij = p0 δ ij + (ρ0 + p0 ) β i β j γ 2 = p0 δ ij + (ρ0 + p0 ) U i U j = −p0 η ij + (ρ0 + p0 ) U i U j

(10.138)

T 0i = (ρ0 + p0 ) β i γ 2 = (ρ0 + p0 ) U 0 U i − p0 η 0i

(10.139)

Por lo tanto, las tres ecuaciones anteriores se pueden escribir en forma covariante como T αβ = (p0 + ρ0 )U α U β − p0 η αβ

(10.140)

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Cap´ıtulo 11

Electrodin´ amica 11.1.

Soluciones de problemas electrodin´ amica

1. Conservaci´ on de la carga. A partir de la ecuaci´ on de continuidad para la carga ∂α J α = 0

⇐⇒

∂ρ ~ ~ +∇·J =0 ∂t

(11.1)

e integrando en todo el espacio tenemos Z

∂ρ ~ ~ + ∇ · J dV = 0 ∂t

(11.2)

entonces, sacando la derivada parcial con respecto al tiempo de la integral y aplicando el teorema de la divergencia de Gauss se obtiene Z Z d ~ · JdV ~ ρdV + ∇ 0 = dt Z I d = ρdV + J~ · d~σ (11.3) dt Σ

La primera integral nos da la carga total en todo el espacio, mientras que la segunda integral cerrada de superficie nos da el flujo de la carga a través de la superficie que delimita el volumen de integraci´ on. As´ı, debido a que estamos considerando todo el espacio y asumiendo que la distribución de corrientes es finita en todo el 198 i

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´ 11.1. SOLUCIONES DE PROBLEMAS ELECTRODINAMICA

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espacio, es decir no se tienen corrientes en el infinito, entonces la integral de superficie se anula y por lo tanto Z dQ d (11.4) ρdV = 0= dt dt implica que la carga total es una constante (se conserva) Q = constante

(11.5)

2. Cuadricorriente de una part´ıcula. Sea Σ un sistema de referencia inercial y Σ′ un segundo sistema de referencia que se mueve con velocidad −v respecto a Σ, entonces las ecuaciones de transformaci´ on de coordenadas est´ an dadas por las relaciones x′0 = γ(x0 + βx1 ) ′1

= γ(x + βx )

′2

= x2

x x

1

(11.6)

0

x′3 = x3 a Consideremos en primer lugar que la part´ıcula de carga q est´ a situada en el origen de coordenadas del sistema Σ, entonces la densidad de carga se puede escribir en términos de la distribuci´ on δ (~r) de Dirac definida por las relaciones

As´ı

δ (~r) = 0 si ~r 6= ~0 Z δ (~r) f (~r) d3 r = f (~0)

(11.7)

ρ(~r) = qδ (~r)

(11.9)

(11.8)

la cual representa una densidad de carga, que es nula en todo el espacio salvo en el punto ~r = 0 y cuya carga total es q, pues Z Z ρ(~r)d3 r =

qδ (~r) d3 r = q

(11.10)

dado que la carga est´ a en reposo respecto al sistema de referencia Σ, la densidad de corriente se anula: J~ = ~0

(11.11)

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por lo tanto el cuadrivector densidad de corriente est´ a dado por J α = (cρ, Jx , Jy , Jz ) = (cqδ (~r) , 0, 0, 0)

(11.12)

En el caso m´ as general, cuando la carga en Σ est´ a situada en un punto arbitrario ~r0 , entonces las componentes del cuadrivector densidad de corriente toman la forma J α = (cqδ (~r − ~r0 ) , 0, 0, 0)

(11.13)

b Para encontrar las componentes del cuadrivector densidad de corriente con respecto al sistema Σ′ aplicamos las ecuaciones de transformación (11.6) a las componentes del cuadrivector (11.12); as´ı tenemos J ′0 = γ(J 0 + βJ 1 ) = γJ 0 = cγ(v)δ(~r)

(11.14)

pero para referir esta densidad de carga al sistema Σ′ debemos cambiar la dependencia de ~r en términos de las coordenadas de Σ′ ; as´ı, aplicando las transformaciones de Lorentz inversas tenemos ~r = (x, y, z) = (x1 , x2 , x3 ) = (γ(x′1 − βx′0 ), x′2 , x′3 )

= (γ(v)(x′ − vt′ ), y ′ .z ′ )

(11.15)

J ′0 = cqγ(v)δ(γ(v)(x′ − vt′ ), y ′ .z ′ )

(11.16)

entonces

por la definición de la distribución de Dirac esta ecuaci´ on admite una interpretación f´ısica directa, pues representa una densidad de carga variable en el tiempo, la cual es nula en todo el espacio salvo en el punto x′ = vt′ , y ′ = 0, z ′ = 0, es decir esta densidad de carga corresponde a la de una part´ıcula puntual de carga q que se mueve con velocidad v en la direcci´ on del eje x′ positivo. Notemos adem´ as que la densidad de carga aumenta en un factor γ, el cual corresponde a la disminuci´ on

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de la unidad de volumen debibo a la contracci´ on de la longitud en la direcci´ on de movimiento. Las otras componentes del cuadrivector corriente son Jx′

= J ′1 = γ(J 1 + βJ 0 ) = γβJ 0 = γ(v)ρv

(11.17)

y Jy′ = Jz ′ = 0

(11.18)

por lo tanto J ′α = cqγ(v)δ(γ(v)(x′ − vt′ ), y ′ .z ′ ), γ(v)ρv, 0, 0

(11.19)

c En el sistema de referencia inercial Σ la carga total del sistema est´ a dada por la integral de la densidad de carga en todo el espacio; entonces Z Q = ρ(t, ~r)d3 r Z = qδ(~r)d3 r Z = qδ(~r)dxdydz = q

(11.20)

por las propiedades de la distribución de Dirac; as´ı la carga total del sistema es q, la carga de la part´ıcula. Para el sistema de referencia Σ′ tenemos que Q´ = =

Z

Z

ρ´(t′ , ~r´)d3 r´ qγ(v)δ(γ(v)(x′ − vt′ ), y ′ , z ′ )dx′ dy ′ dz ′

(11.21)

para hacer esta integral realizamos el siguiente cambio de variable u = γx′ − vγt′ du dx′ = γ

=⇒

(11.22) (11.23)

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entonces Q´ = =

Z

Z

= q

qγδ u, y ′ , z ′

du ′ ′ dy dz γ

qδ u, y ′ , z ′ dudy ′ dz ′

(11.24)

es decir la carga es un invariante relativista. 3. Ecuaciones de Maxwell covariantes. Consideremos en primer lugar la ecuaci´ on homogénea εαβγδ ∂β Fγδ = 0

(11.25)

Teniendo en cuenta la definición del tensor de Levi-Civita y la antisimetr´ıa del tensor campo electromagnético tenemos, para α = 0 0 = ε0βγδ ∂β Fγδ = ε0123 ∂1 F23 + ε0132 ∂1 F32 + ε0213 ∂2 F13 +ε0231 ∂2 F31 + ε0312 ∂3 F12 + ε0321 ∂3 F21 = 2∂1 F23 + 2∂2 F31 + 2∂3 F12

(11.26)

Por otra parte, las componentes covariantes del tensor campo electromagnético est´ an dadas por Fαβ = η αµ η βν F µν

(11.27)

Dado que el tensor de Minkowski es simétrico entonces el tensor covariante electromagnético también es antisimétrico; as´ı es suficiente calcular los seis términos independientes F0i , i = 1, 2, 3 y F12 , F31 y F23 . Consideremos primero F0i . Entonces para i = 1, 2, 3 tenemos que el u ńico término no nulo de la doble suma en la ecuaci´ on (11.27) se obtiene para µ = 0 y ν = i pues η αβ = 0 si α 6= β, as´ı F0i = η 0µ η iν F µν = η 00 η ii F 0i = −F 0i

(11.28)

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De manera similar, para los términos Fij con ij = 12, 31, 23 tenemos = η iµ η jν F µν

Fij

= η ii η jj F ij = Fij

(11.29)

Por lo tanto, teniendo en cuenta la definición del tensor contravariante electromagnético, ecuaci´ on (6.15), las componentes covariantes del tensor est´ an dadas por

Fαβ

 α, β     −E  x 0, 1     −Ey 0, 2 −Ez 0, 3 =   Bx 2, 3      By 3, 1   Bz 1, 2

(11.30)

Entonces la ecuaci´ on (11.26) toma la forma 0 = ∂1 F23 + ∂2 F31 + ∂3 F12 ∂Bz ∂Bx ∂By + + = ∂x ∂y ∂z

(11.31)

la cual corresponde a la ley de Gauss para el campo magnético. Para α = i = 1, 2, 3 tenemos 0 = εiβγδ ∂β Fγδ = εi0jk ∂0 Fjk + εi0kj ∂0 Fkj + εij0k ∂j F0k +εijk0 ∂j Fk0 + εik0j ∂k F0j + εikj0 ∂k Fj0 = 2εi0jk ∂0 Fjk + 2εij0k ∂j F0k + 2εik0j ∂k F0j

(11.32)

donde i 6= j 6= k y no hay suma sobre los ´ındices latinos repetidos. Entonces remplazando las componentes covariantes del tensor campo electromagnético y asumiendo el orden de los ´ındices (ijk) = (123) y sus permutaciones c´ıclicas, es decir (kij) y (jki), tenemos ∂Ej ∂Bi ∂Ek + − =0 (11.33) − j c∂t ∂x ∂xk

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o en forma equivalente ~ ×E ~ + 1 ∂Bi = 0 ∇ c ∂t i

(11.34)

la cual, para i = 1, 2, 3, nos da la ley de Faraday en componentes. Consideremos ahora las ecuaciones de Maxwell inhomogéneas: ∂α F αβ = −

4π β J c

(11.35)

Desarrollando la suma sobre el ´ındice α, para β = 0, suprimiendo los términos nulos, tenemos ∂1 F 10 + ∂2 F 20 + ∂3 F 30 = −

4π 0 J c

(11.36)

y remplazando los términos obtenemos la ley de Gauss −

∂Ez ∂Ex ∂Ey − − = −4πρ ∂x ∂y ∂z ~ ·E ~ = 4πρ ∇

⇐⇒ (11.37)

Para β = i = 1, 2, 3, donde de nuevo no hay suma sobre ´ındices latinos (j y k) y con i 6= j 6= k, obtenemos ∂0 F 0i + ∂j F ji + ∂k F ki = −

4π i J c

(11.38)

entonces asumiendo los ´ındices latinos (ijk) = (123) y sus permutaciones c´ıclicas, tenemos ∂Bk 4π ∂Ei ∂Bj + − = − Ji c∂t ∂xk ∂xj c

(11.39)

donde ahora los sub´ındices latinos i, j, k significan x, y, z. As´ı la ecuaci´ on anterior, para i = x, y, z corresponde a cada una de las componentes de la ecuaci´ on de Maxwell ~ ~ ×B ~ = 1 ∂ E + 4π J~ ∇ c ∂t c

(11.40)

4. Fuerza de Lorentz. Consideremos la ecuaci´ on de movimiento en la forma dxγ q (11.41) f α = η βγ F βα c dτ

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y tomemos primero el caso α = i = 1, 2, 3; entonces sumando sobre el ´ındice repetido β tenemos dxγ q η βγ F βi c dτ γ dx q dxγ q η 0γ F 0i + η 1γ F 1i = c dτ c dτ γ γ q q 2i dx 3i dx + η 2γ F + η 3γ F c dτ c dτ

fi =

(11.42)

esta ecuaci´ on se puede escribir en forma m´ as compacta si tenemos en cuenta que para cada i = 1, 2, 3 uno de los tres u ´ltimos términos de la suma debe anularse debido a la antisimetr´ıa del tensor campo electromagnético, as´ı dxγ dxγ dxγ q q q + η jγ F ji + η kγ F ki f i = η 0γ F 0i c dτ c dτ c dτ

(11.43)

con i 6= j 6= k y no hay suma sobre los ´ındices latinos repetidos (jk). Teniendo en cuenta la definición del tensor métrico de Minkowski, podemos hacer la suma sobre el ´ındice γ obteniendo dx0 q dxj dxk q q + η jj F ji + η kk F ki f i = η 00 F 0i c dτ c dτ c dτ

(11.44)

Si recordamos la interpretación f´ısica de las componentes del cuadrivector fuerza, ecuaci´ on (9.37), entonces la ecuaci´ on anterior toma la forma (con i = x, y, z) dt q dt q dt q + Bk uj − Bj uk γ (~u) Fi = Ei c c dτ c dτ c dτ

(11.45)

simplificando y teniendo en cuenta que γ (~u) = dt/dτ , obtenemos ~ = qE ~ + q ~u × B ~ F c

(11.46)

Consideremos finalmente el caso α = 0; entonces desarrollando la doble suma sobre los ´ındices β y γ en la ecuaci´ on (11.41) y reteniendo solo los términos no nulos, tenemos

f0

= =

dxγ q η βγ F β0 c dτ dx1 q dx2 q dx3 q η 11 F 10 + η 22 F 20 + η 33 F 30 c dτ c dτ c dτ

(11.47)

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Teniendo en cuenta que la componente temporal del cuadrivector fuerza representa el trabajo por unidad de tiempo realizado por la fuerza externa sobre la part´ıcula γ(~u)

q 1 dE ~ · ~u = γ(~u)E c dt c

(11.48)

es decir

dE ~ · ~u = qE (11.49) dt entonces esta ecuaci´ on implica que solamente el campo eléctrico hace trabajo sobre la carga. 5. Campo el´ ectrico de carga en movimiento. Para resolver este problema aplicando la ley de Coulomb consideremos un segundo sistema de referencia inercial Σ′ que se mueve con velocidad v respecto a Σ. Entonces con respecto al sistema de referencia inercial Σ′ la carga Q est´ a en reposo en el origen de coordenadas, mientras que la carga de prueba q se est´ a moviendo respecto a Σ′ con velocidad ~v = (−v, 0, 0). Por otra parte, en el sistema de referencia Σ consideremos los dos eventos siguientes: la carga Q se encuentra en el origen en el instante t = 0 y la carga de prueba q est´ a en reposo situada en el punto de coordenadas ~r = (x, 0, 0); as´ı las coordenadas de los dos eventos est´ an dadas por P1 = (x01 , x11 , x21 , x31 ) = (0, 0, 0, 0)

(11.50)

P2 = (x02 , x12 , x22 , x32 ) = (0, x, 0, 0)

(11.51)

y Por lo tanto las coordenadas de estos dos eventos medidas en el sistema de referencia Σ′ est´ an dadas por la transformación de Lorentz usual: ′1 ′2 ′3 P1 = (x′0 1 , x1 , x1 , x1 ) = (0, 0, 0, 0)

y ′1 ′2 ′3 ′ ′ P2 = (x′0 2 , x2 , x2 , x2 ) = (ct , x , 0, 0) v = (−γ(v) x, γ(v)x, 0, 0) c

(11.52)

Notemos que los dos eventos P1 y P2 son simult´ aneos en Σ, pues estamos interesados en medir la fuerza (y as´ı el campo eléctrico)

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sobre la carga de prueba q cuando la carga fuente Q se encuentra en el origen en t = 0 y por lo tanto x representa la distancia f´ısica entre la carga Q y la carga de prueba q. Sin embargo, para el sistema Σ′ estos dos eventos no son simult´ aneos y por lo tanto la coordenada x′ no representa la distancia f´ısica entre las cargas, pues la carga q se encuentra en el punto x′ en un instante t′ < 0 cuando los or´ıgenes de Σ y Σ′ se cruzan. Pero debido a que la carga Q est´ a en reposo en el origen de Σ′ , entonces cuando la carga q pasa por x′ en el instante t′ la carga Q se encuentra en x′ = 0 en ese instante, y por lo tanto la fuerza sobre la carga de prueba en el instante t′ est´ a dada por la ley de Coulomb ~ ′ = Fx′ , Fy′ , Fz ′ = F

Qq k ′2 , 0, 0 x

(11.53)

Apliquemos, ahora, las ecuaciones de transformación de la fuerza entre sistemas de referencia inerciales. A partir de las ecuaciones (9.46), (9.49) y (9.50) podemos obtener las ecuaciones de transformaci´ on inversas (pues conocemos las componentes de la fuerza en Σ′ ) cambiando v por −v y ~u′ = (−v, 0, 0); entonces aplicando estas ecuaciones tenemos que las componentes de la fuerza sobre la carga q en el sistema Σ est´ an dadas por ~ F

= (Fx , Fy , Fz ) = = =

v2 Qq c2 k x′2 2 1 − vc2

k xQq ′2 −

Qq k ′2 , 0, 0 x

! ~ ′ · ~u′ Fx′ + cv2 F , 0, 0 vu 1 + c2x′ !

, 0, 0

(11.54)

es decir la fuerza sobre la carga q medida en el sistema de referencia Σ en el instante t = 0 tiene el mismo valor que la fuerza sobre la carga q medida en el sistema Σ′ en el instante t′ , pero la distancia x entre las cargas Q y q medida en Σ en el instante t = 0 es menor que la distancia entre las cargas en Σ′ , pues x′ = γ(v)x y por lo tanto la fuerza sobre la carga de prueba q en Σ est´ a dada por Qq , 0, 0 (11.55) F~ = (Fx , Fy , Fz ) = k 2 γ (v)x2

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y por consiguiente el campo eléctrico producido por la carga Q, que se mueve con velocidad constante v en la direcci´ on del eje x positivo, a una distancia x de la carga es 1 kQ F~ ~ = , 0, 0 E = (Ex , Ey , Ez ) = l´ım q→0 q γ 2 (v) x2

(11.56)

notemos que el campo es el mismo si cambiamos v por −v. Es decir, el campo eléctrico producido por una carga en movimiento a velocidad constante, a lo largo de la direcci´ on de movimiento, depende de la posici´ on instantánea del punto de observación del campo y es menor, en un factor γ 2 (v), que el campo si la carga estuviera en reposo. Consideremos ahora el caso cuando la carga de prueba, en el sistema de referencia Σ, se encuentra en reposo en un punto de coordenadas ~r = (0, y, 0) y la carga Q se mueve con velocidad constante v en la direcci´ on del eje x positivo y pasa por el origen de Σ en el instante t = 0 y el sistema de referencia Σ′ que se mueve con velocidad v en la direcci´ on positiva x relativo a Σ y con respecto al cual la carga Q se encuentra en reposo en su origen. Los dos eventos, simult´ aneos en Σ, tienen coordenadas dadas por (11.57) P1 = (x01 , x11 , x21 , x31 ) = (0, 0, 0, 0) y P2 = (x02 , x12 , x22 , x32 ) = (0, 0, y, 0)

(11.58)

mientras que con respecto al sistema Σ′ sus coordenadas son ′1 ′2 ′3 P1 = (x′0 1 , x1 , x1 , x1 ) = (0, 0, 0, 0)

y ′1 ′2 ′3 ′ ′ ′ ′ P2 = (x′0 2 , x2 , x2 , x2 ) = (ct , x , y , z )

= (0, 0, y, 0)

(11.59)

es decir los eventos son también simult´ aneos respecto al observador Σ′ . Aplicando la ley de Coulomb en Σ′ tenemos ~ F´= Fx′ , Fy′ , Fz ′ =

Qq 0, k ′2 , 0 y

(11.60)

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y aplicando las ecuaciones de transformación para las componentes de la fuerza, cambiando v por −v y ~u′ = (−v, 0, 0), obtenemos ~ F

= (Fx , Fy , Fz ) ~ ~u′ Fx′ + cv2 F´· Fy′ , = vux′ 1 + c2 γ(v) 1 + = 0, γ(v)Fy′ , 0 Qq = 0, γ(v)k ′2 , 0 y

!

vux′ , 0 c2

(11.61)

en este caso la fuerza es diferente entre los dos sistemas, pero la distancia entre las cargas es la misma y = y ′ , as´ı Qq ~ F = (Fx , Fy , Fz ) = 0, γ(v)k 2 , 0 (11.62) y por lo tanto el campo eléctrico est´ a dado por ~ F kQ ~ E = (Ex , Ey , Ez ) = l´ım = 0, γ(v) 2 , 0, q→0 q y

(11.63)

Es decir, el campo eléctrico producido por una carga en movimiento a velocidad constante, en una direcci´ on perpendicular a la direcci´ on de movimiento, depende de la posici´ on instant´ anea del punto de observaci´ on del campo y es mayor en un factor γ(v) que el campo de la carga, si esta estuviera en reposo. Finalmente consideremos el caso general, cuando la carga de prueba q se encuentra en reposo respecto al sistema Σ en un punto arbitrario de coordenadas ~r = (x, y, z) y con la carga fuente Q moviéndose en la direcci´ on x positiva y pasando por el origen de coordenadas de Σ en t = 0. Procediendo en forma similar a los dos casos considerados, tenemos que las coordenadas de los dos eventos, medidas por Σ, est´ an dadas por P1 = (x01 , x11 , x21 , x31 ) = (0, 0, 0, 0)

(11.64)

P2 = (x02 , x12 , x22 , x32 ) = (0, x, y, z)

(11.65)

y y sus coordenadas medidas en Σ′ son ′1 ′2 ′3 P1 = (x′0 1 , x1 , x1 , x1 ) = (0, 0, 0, 0)

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y ′1 ′2 ′3 ′ ′ ′ ′ P2 = (x′0 2 , x2 , x2 , x2 ) = (ct , x , y , z ) v = (−γ(v) x, γ(v)x, y, z) c

(11.66)

Aplicando la ley de Coulomb en el sistema de referencia Σ′ tenemos ′ ′ ′ Qqx Qqy Qqz ~ F´= Fx′ , Fy′ , Fz ′ = k ′3 , k ′3 , k ′3 (11.67) r r r donde

r´= x′2 + y ′2 + z ′2

1/2

(11.68)

Aplicando las ecuaciones de transformación inversas para las componentes de la fuerza, con ~u′ = (−v, 0, 0), obtenemos F~

= (Fx , Fy , Fz ) ~ ~u′ Fx′ + cv2 F´· Fy′ Fz ′ , = vux′ vux′ , 1 + c2 γ(v) 1 + c2 γ(v) 1 + = Fx′ , γ(v)Fy′ , γ(v)Fz ′ Qqx′ Qqy ′ Qqz ′ = k 3 , γ(v)k 3 , γ(v)k 3 r´ r´ r´

vux′ c2

!

(11.69)

Dado que las coordenadas primadas est´ an relacionadas con las coordenadas en Σ por la ecuaci´ on 11.66, entonces la fuerza sobre la carga de prueba est´ a dada por F~

= (Fx , Fy , Fz ) Qqy Qqz Qqx = γ(v)k 3 , γ(v)k 3 , γ(v)k 3 r´ r´ r´

con r´= γ 2 (v)x2 + y 2 + z 2 y en notaci´ on vectorial F~ = γ(v)k

1/2

Qq (γ 2 (v)x2 + y 2 + z 2 )3/2

(11.70)

(11.71)

~r

(11.72)

Por lo tanto el campo eléctrico producido por una carga que se mueve a velocidad constante en la direcci´ on del eje x positivo

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est´ a dado por ~ ~ = (Ex , Ey , Ez ) = l´ım F E q→0 q Q ~r = γ(v)k 2 2 (γ (v)x + y 2 + z 2 )3/2

(11.73)

Notemos que esta ecuaci´ on se reduce a los dos casos anteriores y si la velocidad de la carga se anula, obtenemos el campo electrost´ atico usual de una carga puntual en reposo. Este campo es radial y depende solamente de la posici´ on instantánea de carga fuente y de la distancia. Pero a diferencia del caso de una carga puntual en reposo, para la cual el campo es esféricamente simétrico, el campo de la carga en movimiento tiene simetr´ıa cil´ındrica alrededor de la direcci´ on de movimiento de la carga y la magnitud del campo var´ıa seg´ un la direcci´ on de observación: para puntos a lo largo de la l´ınea de movimiento de la carga el campo eléctrico es menor en un factor γ 2 (v) (que el correspondiente valor si la carga estuviera quieta) y aumenta en un factor γ(v) para puntos en el plano perpendicular a la l´ınea de movimiento de la carga. 6. Causalidad y campo el´ ectrico de una carga en movimiento uniforme. Para entender claramente por qué no hay violación del principio de la constancia de la velocidad de la luz, debemos recordar las condiciones bajo las cuales la ley de Coulomb y la definición de campo eléctrico est´ atico es válida: dos cargas q1 y q2 situadas en los puntos del espacio de coordenadas ~r1 y ~r2 , respectivamente, con relaci´ on a un observador inercial Σ, ejercen mutuamente una fuerza dada por la ley de Coulomb q1 q2 (~r2 − ~r1 ) = −F~21 (11.74) F~12 = k |~r2 − ~r1 |3 donde F~12 es la fuerza sobre la carga q2 debida a la carga q1 , la ~21 cual es igual en magnitud y de sentido contrario a la fuerza F sobre la carga q1 debida a la carga q2 , es decir la ley de Coulomb satisface la tercera ley de Newton. La condici´ on para la validez de esta relaci´ on es que las cargas estén en reposo en Σ y hayan permanecido en reposo en sus correspondientes posiciones durante un tiempo t suficiente. Por “un tiempo t suficiente” queremos decir que |~r2 − ~r1 | (11.75) t> c

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Esta condici´ on la explicaremos detalladamente m´ as adelante, cuando analicemos qué sucede con la carga que es frenada. El concepto de campo eléctrico surge cuando consideramos la fuerza sobre diferentes cargas (cargas de prueba) situadas en diferentes puntos del espacio, debida a una carga dada (carga fuente). Sin pérdida de generalidad, consideremos la carga fuente Q situada en el origen de coordenadas del sistema Σ y la carga de prueba q en un punto de coordenadas ~r; entonces a partir de la ley de Coulomb la fuerza sobre la carga de prueba es ~ = k Qq ~r F r3

(11.76)

Esta relaci´ on nos permite definir el concepto de campo eléctrico ~ r) producido por la carga Q en un punto ~r del espacio por la E(~ relaci´ on ~ = q E(~ ~ r) F (11.77) donde

~ ~ r ) = l´ım F = k Q ~r E(~ q→0 q r3

(11.78)

Para que esta relaci´ on sea válida en todo el espacio, es decir para cualquier punto ~r, la condici´ on (11.75) implica que la carga Q ha permanecido en reposo desde siempre. Sin embargo, dado que la fuerza sobre una carga de prueba q en un instante dado, solo depende del campo eléctrico de la carga fuente Q en el punto ~r donde se ubica la carga q, entonces esta fuerza es independiente del estado de movimiento de la carga de prueba q. Este resultado fue el que se aplic´ o para resolver el problema anterior. ¿Qué sucede si consideramos esta situaci´ on desde otro sistema de referencia ′ ′ inercial Σ ? Para Σ la carga fuente se mueve con velocidad constante −v (con v la velocidad de Σ′ respecto a Σ) desde siempre, y por lo tanto el campo eléctrico medido en Σ′ corresponde a la transformación de Lorentz del campo de una carga estacionaria (campo medido en Σ), dado que con respecto al observador Σ todos los puntos del espacio tienen la informaci´ on (a través del campo eléctrico) de la posici´ on de la carga (pues ha estado fija en un punto desde t → −∞). Para ilustrar esta situaci´ on consideremos una carga fuente Q que se ha estado moviendo con velocidad constante desde t → −∞, respecto a un observador inercial Σ, y que en el instante t = 0 es frenada r´ apidamente hasta alcanzar el

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reposo. Para t < 0 el campo eléctrico medido en Σ es el obtenido en el problema anterior, el cual se ilustra en la figura (11.1).

Figura 11.1: Causalidad y el campo eléctrico de una carga en movimiento uniforme. L´ıneas de campo eléctrico de una carga en movimiento uniforme.

Siguiendo la convenci´ on usual para dibujar las l´ıneas de campo, la densidad de l´ıneas, es decir el n´ umero de l´ıneas por unidad de area, indica la intensidad del campo y la flecha su direcci´ ´ on. As´ı, en la figura se ilustra el resultado obtenido para el campo eléctrico de una carga en movimiento: el campo es radial en la direcci´ on de la posici´ on instantánea de la carga y su intensidad es menor en la direcci´ on de movimiento de la carga y mayor en la direcci´ on perpendicular al movimiento, y con simetr´ıa cil´ındrica alrededor de la direcci´ on de la velocidad. Consideremos ahora el campo eléctrico para un tiempo t > 0, entonces las l´ıneas del campo toman la forma que se ilustra en la figura (11.2): para distancias menores a ct las l´ıneas de campo corresponden a las de una carga en reposo y si suponemos que el proceso de frenado de la carga duró un tiempo δt, entonces para distancias mayores a c(t + δt) el campo eléctrico corresponde al de una carga moviéndose a velocidad constante y cuya posici´ on instantánea se encuentra en el punto A de la figura (11.2) y representa la posici´ on que la carga tendr´ıa si ella hubiera continuado moviéndose a la velocidad constante v. La regi´ on intermedia representada por los dos c´ırculos concéntricos separados una distancia cδt corresponde a las l´ıneas de campo eléctrico emitidas por una carga acelerada (ondas electromagnéticas o campo de radiaci´ on), las cuales se propagan a la

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Figura 11.2: Causalidad y el campo eléctrico de una carga en movimiento uniforme. L´ıneas de campo eléctrico de una carga que se frena en un tiempo δt.

velocidad de la luz y llevan la informaci´ on que la carga ha sido acelerada (frenada en este caso). 7. Fuerza sobre una carga en movimiento. Para el primer caso, cuando la carga fuente est´ a, en el instante t = 0, en la posici´ on ~r = (x, 0, 0) y se mueve con velocidad ~u, transformemos a un sistema de referencia inercial Σ′ con respecto al cual la carga fuente se encuentra en reposo. En este sistema el campo eléctrico de la carga fuente Q en reposo, en un punto de coordenadas (x′ , 0, 0), est´ a dado por ~ kQ E´= x′2

(11.79)

y por lo tanto la fuerza sobre una carga de prueba en ese punto, independientemente de su velocidad, est´ a dada por

~ F´= Fx′ , Fy′ , Fz ′ =

Qq k ′2 , 0, 0 x

(11.80)

En el sistema de referencia Σ′ la velocidad de la carga de prueba es ~u = (ux′ , uy′ , uz ′ ) y por lo tanto las ecuaciones de transformación

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inversas para la fuerza medida en el sistema Σ implican que ! ~ ~u′ Fx′ + cv2 F´· , 0, 0 F~ = (Fx , Fy , Fz ) = vu 1 + c2x′ ! Qq 1 + cv2 ux′ = k ′2 , 0, 0 x 1 + vuc2x′ Qq = k ′2 , 0, 0 x Qq = k 2 , 0, 0 (11.81) γ (v)x2 el cual es el mismo resultado obtenido en el problema 5 de esta secci´ on, donde la carga de prueba se encontraba en reposo en el punto ~r = (x, 0, 0). Consideremos ahora la carga q situada en el punto de coordenadas ~r = (0, y, 0) en t = 0 y con velocidad ~u = (ux , 0, 0). Pasando al sistema de referencia Σ′ donde la carga fuente se encuentra en reposo en el origen, el campo eléctrico en el punto ~r´= (0, y ′ , 0) est´ a dado por ~ ′ = 0, k Q , 0 (11.82) E y ′2 y por lo tanto la fuerza sobre la carga de prueba es Qq F~ ′ = 0, k ′2 , 0 y

(11.83)

Transformando esta expresi´ on al sistema de referencia Σ, teniendo en cuenta que la velocidad de la carga de prueba es ~u′ = (ux′ , 0, 0), obtenemos ! ~ ~u′ Fx′ + cv2 F´· ′ ′ F F y z ~ = F , vu vu , vu 1 + c2x′ γ(v) 1 + c2x′ γ(v) 1 + c2x′ ! Fy′ = 0, (11.84) vu , 0 γ(v) 1 + c2x′ considerando que y = y ′ y

ux ′ =

ux − v x 1 − vu c2

(11.85)

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tenemos que la u ńica componente no nula de la fuerza sobre la carga de prueba est´ a dada por Fy = k = k

1 Qq 1 ux −v v 2 y γ(v) 1 + c2 1− vux Qq 1 y 2 γ(v)

= γ(v)k

x 1 − vu c2 2 1 − vc2

c2

Qq vux 1 − y2 c2

(11.86)

En el problema 5 de esta secci´ on encontramos que la fuerza sobre una carga de prueba en reposo situada en el eje y, debida a la carga Q que se mueve con velocidad constante v a lo largo del eje x positivo, cuando la carga est´ a pasando por el origen en t = 0, es ~ = F

Qq 0, γ(v)k 2 , 0 y

(11.87)

esto significa que sobre la carga de prueba en movimiento aparece una fuerza adicional, la cual es una función de la velocidad ux de la carga q, dada por la expresi´ on ~M F

=

0, −γ(v)k

= −

vux ~ FE c2

Qq vux , 0 y 2 c2 (11.88)

con F~E la fuerza de origen eléctrico dada por la ecuaci´ on (11.87) (F~M hace referencia a la fuerza magnética como veremos m´ as adelante). Consideremos ahora cómo se modificar´ıa la fuerza en el caso anterior si la carga de prueba se mueve con velocidad arbitraria ~u = (ux , uy , uz ). El cambio para este caso surge de la transformaci´ on de las componentes de la fuerza del sistema Σ′ al sistema Σ, pues de la ecuaci´ on (11.83) tenemos F~

=

~ ~u′ Fx′ + cv2 F´· Fy′ , vux′ 1 + c2 γ(v) 1 +

=

v F ′u ′ c2 y y vu , 1 + c2x′

Fy′ γ(v) 1 +

Fz ′ vux′ , γ(v) 1 + c2 !

vux′ , 0 c2

vux′ c2

!

(11.89)

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Transformando las cantidades primadas al sistema Σ, con ux′ = =

uy ′

ux − v x 1 − vu c2 uy γ(v) 1 −

(11.90) vux c2

se obtiene F~

= k

= k

= k



” “ uy γ(v) 1− vu2x

Qq  v  y 2 c2 1 + 

Qq  v  y 2 c2

c

v ux −v c2 1− vu2x

,

c

” “ uy γ(v) 1− vu2x

1 γ 2 (v)

(11.91)

1

γ(v) 1 +

v ux −v c2 1− vu2x c



, 0 

 vux  c , 0 vux , γ(v) 1 − c2 1 − c2

Qq vux vuy , γ(v) 1 − γ(v) ,0 y2 c2 c2

(11.92)

De acuerdo con el problema 5 de esta secci´ on, en el sistema Σ la carga de prueba experimenta una fuerza debida al campo eléctrico de la carga fuente dada por la ecuaci´ on (11.87): Qq ~ FE = 0, γ(v)k 2 , 0 (11.93) y y por lo tanto de la ecuaci´ on (11.92) tenemos que sobre la part´ıcula de prueba act´ ua una fuerza adicional F~M

= F~ − F~E vuy vux Qq Qq = k 2 γ(v) 2 , γ(v) 1 − 2 , 0 − 0, γ(v)k 2 , 0 y c c y Qq v Qq v = k 2 γ(v) 2 uy , −k 2 γ(v) 2 ux , 0 (11.94) y c y c

la cual depende de la velocidad ~u de la carga de prueba. Esta fuerza F~M la identificamos con la fuerza magnética, pues si definimos ~ = γ(v) v Q (0, 0, 1) B c y2

(11.95)

como el campo magnético debido a la carga Q en el punto de coordenadas ~r = (0, y, 0), entonces la fuerza magnética se puede escribir en la forma q ~ (11.96) F~M = ~u × B c

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pues q ~ = γ(v) v qQ (ux , uy , uz ) × (0, 0, 1) ~u × B c c y2 Qq v Qq v = k 2 γ(v) uy , −k 2 γ(v) ux , 0 (11.97) y c y c

Adem´ as podemos encontrar la relaci´ on entre el campo eléctrico y el campo magnético producido por la part´ıcula de prueba, pues ~ = γ(v) v Q (0, 0, 1) B c y2 vQ = γ(v) 2 (1, 0, 0) × (0, 1, 0) cy 1 ~ ~v × E (11.98) = c Veamos ahora el caso general donde la part´ıcula de prueba en el instante t = 0 se encuentra en el punto ~r = (x, y, z) y posee una velocidad ~u = (ux , uy , uz ). La fuerza en el sistema de referencia Σ′ est´ a dada por (ver problema 5 de esta secci´ on, ecuaci´ on (11.67)) ′ ′ ′ ~ ′ = Fx′ , Fy′ , Fz ′ = k Qqx , k Qqy , k Qqz (11.99) F r ′3 r ′3 r ′3 donde

r´2 = x′2 + y ′2 + z ′2

(11.100)

Transformando las componentes de la fuerza al sistema de referencia Σ tenemos que Fx =

Fx′ + cv2 F~ ′ · ~u′ vu 1 + c2x′

(11.101)

y teniendo en cuenta que x′ = γ(v)x y′ = y z′ = z

(11.102)

y aplicando las ecuaciones de transformación para las componentes de la velocidad se tiene que 1 1 = vux′ ux −v 1 + c2 1 + cv2 1− vux c2 vu x = γ 2 (v) 1 − 2 (11.103) c

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entonces v vux Fx′ + 2 F~ ′ · ~u′ Fx = γ 2 (v) 1 − 2 c c vux v vux′ Qq 2 γx(1 + 2 ) + 2 (yuy′ + zuz ′ ) = k ′3 γ 1 − 2 r c c c ! vux Qq 2 γx v yuy + zuz + 2 = k ′3 γ 1 − 2 x x r c c γ 1 − vu γ 2 1 − vu c2 c2 vuy vuz Qq (11.104) = k ′3 γ x + 2 y + 2 z r c c

con

r′ =

p γ 2 x2 + y 2 + z 2

(11.105)

Para las otras componentes de la fuerza tenemos Fy′ vu γ(v) 1 + c2x′ vux Qq = k ′3 yγ 1 − 2 r c

Fy =

y

Fz ′ vu γ(v) 1 + c2x′ Qq vux = k ′3 zγ 1 − 2 r c

(11.106)

Fz =

(11.107)

Por lo tanto la fuerza sobre la carga de prueba q, de origen magnético, est´ a dada por F~M

~E = F~ − F vuz vux vux Qq vuy y + z, − y, − z (11.108) = k 3γ c2 c2 c2 c2 r´

esta expresi´ on la podemos escribir en la forma Q v q ~ ~u × k 3 γ (0, −z, y) FM = c r´ c q ~ = ~u × B c identificando

~ = k Q γ v (0, −z, y) B r´3 c

(11.109)

(11.110)

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con el campo magnético producido por la carga fuente Q en el punto ~r, el cual est´ a relacionado con el campo eléctrico por ~ = 1 ~v × E ~ B c

(11.111)

8. Transformaci´ on general del campo electromagn´ etico. Las componentes del tensor campo electromagnético est´ an dadas por:   0 Ex Ey Ez  −Ex 0 Bz −By   F αβ =  (11.112)  −Ey −Bz 0 Bx  −Ez By −Bx 0

y los elementos de la matriz de transformación de Lorentz usual son   γ −βγ 0 0  −βγ γ 0 0   Λαβ =  (11.113)  0 0 1 0  0 0 0 1

donde β = v/c es la velocidad del sistema de referencia Σ′ respecto a Σ a lo largo de los ejes x − x′ . Entonces, de las ecuaciones de transformación para las componentes contravariantes de un tensor de segundo orden F ′αβ = Λαµ Λβν F µν (11.114) tenemos que Ex′ = F ′01 = Λ0µ Λ1ν F µν

(11.115)

realizando la doble suma sobre los ´ındices repetidos, y reteniendo solo los términos no nulos, obtenemos Ex′

= Λ00 Λ11 F 01 + Λ01 Λ10 F 10 = γ 2 Ex − γ 2 β 2 Ex = Ex

(11.116)

Procediendo en forma an´ aloga para las otras componentes del campo eléctrico, tenemos Ey′

= F ′02 = Λ0µ Λ2ν F µν = Λ00 Λ22 F 02 + Λ01 Λ22 F 12 = γEy − βγBz

(11.117)

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Ez ′

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= F ′03 = Λ0µ Λ3ν F µν = Λ00 Λ33 F 03 + Λ01 Λ33 F 13 = γEz + βγBy

(11.118)

y las componentes del campo magnético est´ an dadas por Bx′ = F ′23 = Λ2µ Λ3ν F µν = Λ22 Λ33 F 23 = Bx

(11.119)

By′ = F ′31 = Λ3µ Λ1ν F µν = Λ33 Λ10 F 30 + Λ33 Λ11 F 31 = βγEz + γBy Bz ′

(11.120)

= F ′12 = Λ1µ Λ2ν F µν = Λ10 Λ22 F 02 + Λ11 Λ22 F 12 = −βγEy + γBz

(11.121)

9. Campo de una carga en movimiento. Para aplicar los resultados obtenidos en el problema anterior, consideremos un sistema de referencia Σ′ relacionado con Σ de la manera usual. As´ı, con respecto a Σ′ la carga Q est´ a en reposo en su origen y por lo tanto el campo de la carga en un punto ~r ′ = (x′ , y ′ , z ′ ) es solamente eléctrico y est´ a dado por la ley de Coulomb: ~ ′ = Ex′ , Ey′ , Ez ′ E Qx′ Qy ′ Qz ′ (11.122) = k ′3 , k ′3 , k ′3 r r r Para utilizar las ecuaciones de transformación de los campos obtenidas en el problema anterior, debemos aplicar las ecuaciones de transformación inversas, las cuales se obtienen cambiando v por −v. Entonces, de las ecuaciones (11.116), (11.117) y (11.118), las componentes del campo eléctrico en el sistema de referencia Σ est´ an dadas por: Qx′ (11.123) Ex = Ex′ = k ′3 r

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teniendo en cuenta las ecuaciones de transformación de Lorentz para las coordenadas, x′ = γ(v)x (11.124) entonces Ex = k

γQx (γ 2 x2 + y 2 + z 2 )3/2

(11.125)

Para las otras componentes del campo eléctrico obtenemos Ey = γEy′ + βγBz ′ Qy ′ = γk ′3 r γQy = k 2 2 (γ x + y 2 + z 2 )3/2

(11.126)

y Ez = γEz ′ + βγBy′ Qz ′ = γk 3 r´ γQz = k 2 2 (γ x + y 2 + z 2 )3/2

(11.127)

Este resultado coincide con el obtenido en el problema 5 de este cap´ıtulo (ver ecuaci´ on (11.73)). Para obtener las componentes del campo magnético, consideremos ahora las inversas de las ecuaciones (11.119), (11.120) y (11.121) del problema anterior. Entonces Bx = Bx ′ = 0 By = −βγEz ′ + γBy′ Qz ′ = −βγk ′3 r βγQz = −k 2 2 (γ x + y 2 + z 2 )3/2 Bz = βγEy′ + γBz ′ Qy ′ = βγk ′3 r βγQy = k 2 2 (γ x + y 2 + z 2 )3/2

(11.128)

(11.129)

(11.130)

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escribiendo el resultado en forma vectorial obtenemos ~ = k Q γ v (0, −z, y) B r ′3 c2

(11.131)

de acuerdo con la ecuaci´ on (11.110) del problema 5. 10. Invariantes del campo electromagn´ etico. A partir del tensor campo electromagnético F αβ podemos construir un primer invariante considerando la traza del tensor, es decir F αα = η ασ F ασ = 0

(11.132)

el cual es idénticamente nulo, pues F αβ es antisimétrico. Consideremos ahora la contracci´ on del tensor F αβ consigo mismo, esto es (escribiendo solo los términos no nulos) F αβ Fαβ = F 01 F01 + F 02 F02 + F 03 F03 + F 10 F10 + F 12 F12 + F 13 F13 + F 20 F20 + F 21 F21 + F 23 F23 + F 30 F30 + F 31 F31 + F 32 F32 = 2[F 01 F01 + F 02 F02 + F 03 F03 + F 12 F12 + F 31 F31 + F 23 F23 ]

(11.133)

donde se ha utilizado la propiedad antisimétrica del tensor F αβ para la u ´ltima igualdad. De las ecuaciones (6.15) y (11.30) que nos dan las componentes contravariantes y covariantes del tensor F αβ en términos de las componentes de los campos eléctrico y magnético, tenemos F αβ Fαβ = 2[−Ex2 − Ey2 − Ez2 + Bz2 + By2 + Bx2 ] ~ ·B ~ −E ~ · E] ~ = 2[B (11.134) Otro invariante que podemos construir es la contracci´ on del tensor F αβ con su dual, as´ı (∗F )αβ F αβ =

1 εδγαβ F δγ F αβ 2

(11.135)

Desarrollando la suma sobre los cuatro ´ındices (sin escribir los

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términos nulos), tenemos (∗F )αβ F αβ =

1 [ε0123 F 01 F 23 + ε0132 F 01 F 32 + ε0213 F 02 F 13 2 +ε0231 F 02 F 31 + ε0312 F 03 F 12 + ε0321 F 03 F 21 +ε1023 F 10 F 23 + ε1032 F 10 F 32 + ε1203 F 12 F 03 +ε1230 F 12 F 30 + ε1302 F 13 F 02 + ε1320 F 13 F 20 +ε2013 F 20 F 13 + ε2031 F 20 F 31 + ε2103 F 21 F 03 +ε2130 F 21 F 30 + ε2301 F 23 F 01 + ε2310 F 23 F 10 +ε3012 F 30 F 12 + ε3021 F 30 F 21 + ε3102 F 31 F 02 +ε3120 F 31 F 20 + ε3201 F 32 F 01 + ε3210 F 32 F 10 ]

= 4[ε0123 F 01 F 23 + ε0213 F 02 F 13 +ε0312 F 03 F 12 ]

(11.136)

Remplazando las componentes del tensor F αβ en términos de los campos, obtenemos (∗F )αβ F αβ = 4 [−Ex Bx − Ey By − Ez Bz ] ~ ·B ~ = −4E

(11.137)

as´ı ~ = − 1 (∗F ) F αβ ~ ·B E αβ 4 1 = − εδγαβ F δγ F αβ 8

(11.138)

11. Campos ortogonales. En el problema anterior encontramos dos invariantes formados a partir del tensor campo electromagnético F αβ : ~2 − E ~ 2 = 1 F αβ Fαβ B (11.139) 2 ~ ·B ~ = − 1 εδγαβ F δγ F αβ (11.140) E 8 ~ 2 ni B ~ 2 son invariantes indepenesto muestra adem´ as que ni E dientes; de hecho no existen m´ as invariantes construidos a partir αβ de F que no sean m´ ultiplos o combinaci´ on lineal de los dos ~ yB ~ forman invariantes anteriores. Supongamos que los campos E un ´ angulo φ para un sistema de referencia inercial Σ, entonces ~ ·B ~ E cos φ = ~ ~ B E

(11.141)

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esto significa que para Σ ~ E 6= 0 y

~ B 6= 0

225

(11.142)

por lo tanto, si por hip´ otesis los campos forman el mismo ángulo en todos los sistemas de referencia inerciales, entonces en Σ′ tenemos ~′ · B ~′ E cos φ = ~ ~ B´ E´

(11.143)

Puesto que el producto punto es un invariante ~ ·B ~ =E ~′ · B ~′ E

(11.144)

mientras que las normas de los campos eléctrico y magnético no lo son, se debe tener que ~ ·B ~ =0 E (11.145) para todos los observadores y adem´ as en ning´ un sistema de referencia se puede anular uno de los campos. 12. El tensor energ´ıa-momento del campo electromagn´ etico. El tensor campo electromagnético est´ a definido por la expresi´ on 1 1 αβ σδ η F Fσδ − F ασ F βσ (11.146) T αβ = 4π 4 entonces consideremos primero la componente temporal: 1 1 00 σδ 0σ 0 00 η F Fσδ − F F σ T = 4π 4 1 1 ~ 2 ~ 2 01 0 02 0 03 0 B −E −F F1−F F2−F F3 = 4π 2

(11.147)

por otra parte tenemos que

F αβ = η βσ F ασ

(11.148)

entonces, para i = 1, 2, 3 obtenemos F 0i = η iσ F 0σ = η ii F 0i = −Ei

(11.149)

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por lo tanto T

00

= =

1 4π 1 8π

1 ~ 2 ~ 2 ~ 2 B −E −E 2 h i ~2 + B ~2 E

(11.150)

la cual corresponde a la densidad de energ´ıa del campo electromagnético. Consideremos ahora los términos T 0i , con i = 1, 2, 3: 1 1 0i σδ 0σ i 0i η F Fσδ − F F σ T = 4π 4 1 = − F 0σ F iσ 4π 1 01 i = − F F 1 + F 02 F i2 + F 03 F i3 (11.151) 4π puesto que

F ij = η jσ F iσ = η jj F ij = −F ij

(11.152)

as´ı 1 02 1 F F 2 + F 03 F 13 4π 1 = − [−Ey Bz + Ez By ] 4π i 1 h~ ~ = E×B 4π x

T 01 = −

(11.153)

y de forma similar para las otras componentes, esto es T 0i =

i 1 h~ ~ E×B 4π i

(11.154)

con i = x, y, z, las cuales corresponden a las componentes del vector de Pointing ~= 1 E ~ ×B ~ S (11.155) 4π Para las componentes i, j = 1, 2, 3 se obtiene 1 1 ij σδ iσ j ij η F Fσδ − F F σ T = (11.156) 4π 4 1 1 ij σδ i0 j i1 j i2 j i3 j = − F F 0 + F F 1 + F F 2 + F F 3 + δ F Fσδ 4π 4

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teniendo en cuenta que F j0 = η 0σ F jσ = η 00 F j0 = F j0

(11.157)

el primer término de la expresi´ on anterior (ecuaci´ on (11.156)) da F i0 F j0 = Ei Ej Para los otros tres términos, con i = j, tenemos 2 ~2 F i1 F i + F i2 F i + F i3 F i = B i − B 1

2

3

(11.158)

(11.159)

con la notaci´ on B i = Bx , By , Bz para i = 1, 2, 3, pues, por ejemplo, para i = j = 1 se obtiene F 11 F 11 + F 12 F 12 + F 13 F 13 = −Bz Bz − By By

(11.160)

Consideremos ahora los términos con i 6= j, F i1 F j1 + F i2 F j2 + F i3 F j3 = B i B j

(11.161)

Por ejemplo si i = 1 y j = 2 tenemos que F 11 F 21 + F 12 F 22 + F 13 F 23 = By Bx

(11.162)

Por lo tanto T

ij

1 1 ij ~ 2 ~ 2 i j i j = E E +B B + δ E +B 4π 2

(11.163)

el cual corresponde al tensor de tensiones tridimensional del campo electromagnético. 13. Ecuaci´ on de continuidad del tensor Tµν . A partir de la definici´ on del tensor energ´ıa-momento del campo electromagnético tenemos ∂T αβ ∂xβ

= T αβ,β = = =

1 αβ σδ 1 ∂ ασ β η F Fσδ − F F σ 4π ∂xβ 4 1 αβ ∂ σδ 1 ∂ ασ β η F F − F Fσ σδ 16π ∂xβ 4π ∂xβ 1 αβ σδ F ,β Fσδ + F σδ Fσδ,β − η 16π 1 ασ β (11.164) F ,β F σ + F ασ F βσ,β 4π

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El primer término de la u ´ltima igualdad lo podemos escribir en la forma 1 αβ σδ 1 (11.165) Fσδ F σδ,α F ,β Fσδ + F σδ Fσδ,β = η 16π 8π

donde se ha utilizado el hecho que

F σδ Fσδ = Fσδ F σδ

(11.166)

y η αβ F σδ ,β = η αβ

∂F σδ ∂F σδ = = F σδ,α ∂xβ ∂xα

(11.167)

por lo tanto

T αβ,β

= =

1 ασ β 1 F ,β F σ + F ασ F βσ,β Fσδ F σδ,α − 8π 4π 1 1 β ασ ασ β σδ,α − F F σ,β + F ,β F σ − Fσδ F (11.168) 4π 2

De la ecuaci´ on de Maxwell en ausencia de fuentes tenemos ∂α F αβ = −

4π β J =0 c

(11.169)

entonces el primer término de la ecuaci´ on (11.168) se anula, pues F ασ F βσ,β = η σγ F ασ F βγ ,β = 0

(11.170)

As´ı, subiendo y bajando el ´ındice β en el segundo término de la ecuaci´ on (11.168) e intercambiando los ´ındices mudos de suma de este término en la forma β → σ y σ → δ, tenemos 1 1 αβ σδ,α ασ β T ,β = − F ,β F σ − Fσδ F 4π 2 1 1 σδ,α ασ,β = Fσδ F −F Fβσ 4π 2 1 1 σδ,α αδ,σ Fσδ F −F Fσδ = 4π 2 1 1 = Fσδ F σδ,α − F αδ,σ (11.171) 4π 2

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Esta ecuaci´ on la podemos transformar teniendo en cuenta la antisimetr´ıa del tensor campo electromagnético, y redefiniendo ´ındices mudos en el u ´ltimo término σ → δ y δ → σ, obtenemos i h 1 σδ,α 1 αδ,σ σδ,α δα,σ δα,σ −F Fσδ F +F +F Fσδ F = 2 2 i 1h Fσδ F σδ,α + Fσδ F δα,σ + Fδσ F σα,δ = 2 i 1h Fσδ F σδ,α + Fσδ F δα,σ + Fσδ F ασ,δ = 2 i h 1 = Fσδ F σδ,α + F δα,σ + F ασ,δ 2 = 0 (11.172) pues el término entre paréntesis corresponde a la ecuación de Maxwell homogénea, i. e. F σδ,α + F δα,σ + F ασ,δ = 0

(11.173)

es decir, en ausencia de fuentes externas la cuadridivergencia del tensor energ´ıa-momento del campo electromagnético se anula: ∂T αβ = T αβ,β = 0 ∂xβ

(11.174)

Si hay fuentes entonces obtenemos que T αβ,β = F ασ Jσ

(11.175)

14. La traza del tensor Tµν . Dado el tensor energ´ıa-momento 1 1 αβ σδ αβ ασ β T = η F Fσδ − F F σ (11.176) 4π 4 su traza la podemos calcular a través de la relaci´ on T αγ = η γβ T αβ 1 αβ σδ 1 ασ β η η F Fσδ − F F σ = 4π γβ 4 1 1 αβ σδ ασ β η η F Fσδ − η γβ F F σ = 4π 4 γβ 1 1 α σδ ασ = δ F Fσδ − F Fγσ 4π 4 γ

(11.177)

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entonces 1 4π 1 = 4π = 0

T αα =

1 α σδ δ F Fσδ − F ασ Fασ 4 α i h F σδ Fσδ − F ασ Fασ

(11.178)

pues δ αα = 4

(11.179)

15. Otro invariante relativista. De la definición de densidad de energ´ıa y del vector de Pointing tenemos que 2 2 2 2 2 ~ ×B ~ ~2 + B ~2 − 1 E ~ = 1 E T 00 − S 8π 4π 2 1 4 4 2 ~2 2~2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ E + B + 2E B − 4E B + 4 E · B = 64π 2 2 2 1 2 2 ~ ~ ~ ~ = E −B +4 E ·B 64π 2 2 2 1 1 δγ αβ αβ εδγαβ F F (11.180) = F Fαβ − 256π 2 4 el cual es un invariante relativista. 16. Trayectoria en campo el´ ectrico constante. Eligiendo un sistema de coordenadas con su origen en el instante y en el punto donde el prot´ on entra a la regi´ on de campo eléctrico, y tomando el 1 eje x = x en la direcci´ on de incidencia del prot´ on y el eje y = x2 en la direcci´ on del campo, tenemos que la cuadrivelocidad inicial del prot´ on est´ a dada por U0 = γ(v0 ) (c, v0 , 0, 0)

(11.181)

La ecuaci´ on de movimiento viene dada por la fuerza de Lorentz dxγ q dpα = η βγ F βα (11.182) dτ c dτ Las componentes del tensor campo electromagnético est´ an dadas por   0 0 E 0  0 0 0 0   F βα =  (11.183)  −E 0 0 0  0 0 0 0 fα =

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por lo tanto las componentes del cuadrivector fuerza de Lorentz son: la temporal dp0 dτ

e dxγ e dx2 η βγ F β0 = η 22 F 20 c dτ c dτ e 2 EU c e Eγ(~v )vy c

= = =

(11.184)

la componente en la direcci´ on del eje x dp1 dxγ e = η βγ F β1 =0 dτ c dτ

(11.185)

en la direcci´ on del eje y dp2 dτ

e dxγ e dx0 η βγ F β2 = η 00 F 02 c dτ c dτ e 0 = EU c = eEγ(~v )

=

(11.186)

y en la direcci´ on del eje z dxγ e dp3 = η βγ F β3 =0 dτ c dτ

(11.187)

De la ecuaci´ on (11.185) para la componente x tenemos que p1 (τ ) = m0 U 1 (τ ) = C1 = const.

(11.188)

donde m0 es la masa propia del prot´ on y por la condici´ on inicial (ecuaci´ on (11.181)) obtenemos p1 (τ = 0) = m0 γ(v0 )v0

(11.189)

dx1 = U 1 (τ ) = γ(v0 )v0 dτ

(11.190)

y por lo tanto

Integrando esta ecuaci´ on tenemos x1 (τ ) = γ(v0 )v0 τ + C2

(11.191)

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y puesto que hemos elegido x1 = 0 en τ = 0 la constante de integraci´ on C2 = 0. As´ı x1 (τ ) = γ(v0 )v0 τ

(11.192)

Por las condiciones iniciales la componente z (ecuaci´ on (11.187)) y por tanto la coordenada z son nulas. Las ecuaciones (11.184) y (11.186) las podemos reescribir en la forma m0

e dU 0 = EU 2 dτ c

(11.193)

e dU 2 = EU 0 (11.194) dτ c derivando la segunda ecuaci´ on y remplazando la primera tenemos m0

m0

e2 d2 U 2 e dU 0 E = = E2U 2 dτ 2 c dτ m0 c2

(11.195)

Integrando esta ecuaci´ on eE eE 2 τ + C4 cosh τ U (τ ) = C3 sinh m0 c m0 c

(11.196)

de la condici´ on inicial U 2 (τ = 0) = 0

(11.197)

obtenemos C4 = 0 y para establecer la otra constante de integraci´ on utilizamos la ecuaci´ on (11.194) en τ = 0, as´ı dU 2 (τ ) e m0 = EU 0 (τ = 0) = eEγ(v0 ) (11.198) dτ c τ =0

pero

dU 2 (τ ) = m0 dτ τ =0

eE m0 C3 cosh m0 c eE = C3 c

eE τ m0 c τ =0

(11.199)

y por lo tanto C3 = cγ(v0 )

(11.200)

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De esta forma obtenemos dx2 = U 2 (τ ) = cγ(v0 ) sinh dτ

eE τ m0 c

(11.201)

Integrando esta ecuaci´ on tenemos m0 c eE 2 x (τ ) = cγ(v0 ) cosh τ + C5 eE m0 c

(11.202)

La constante de integraci´ on se determina con la condici´ on inicial 2 que x = 0 para τ = 0, as´ı eE m0 c2 2 τ −1 (11.203) cosh x (τ ) = γ(v0 ) eE m0 c De la ecuaci´ on (11.194) podemos obtener la componente U 0 de la cuadrivelocidad m0 c dU 2 eE dτ

U0 =

= cγ(v0 ) cosh

eE τ m0 c

(11.204)

As´ı el cuadrivector velocidad del prot´ on est´ a dado por U=

cγ(v0 ) cosh

eE τ m0 c

, γ(v0 )v0 , cγ(v0 ) sinh

cuya norma al cuadrado es U

2

eE τ m0 c

(11.205) ,0

eE = c γ (v0 ) cosh τ − γ 2 (v0 )v02 m0 c eE 2 2 2 τ −c γ (v0 ) sinh m0 c 2 2

2

= c2 γ 2 (v0 ) − γ 2 (v0 )v02 = c2

(11.206)

como debe ser. Notemos que, a diferencia del caso no relativista, la velocidad del prot´ on no es constante en la direcci´ on normal al campo, pues lo que se conserva en esta direcci´ on es el momento y debido a que la part´ıcula est´ a acelerada en la direcci´ on del campo,

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su velocidad va aumentando y por lo tanto su masa inercial relativista, lo que exige que la velocidad en la direcci´ on del eje x, dada por U1 v0 vx = 0 = (11.207) c U c cosh eE τ m0 c

disminuya. La l´ınea de universo de la part´ıcula est´ a dada por x(τ ) = x0 (τ ), x1 (τ ), x2 (τ ), x3 (τ ) eE m0 c2 0 τ − 1 ,0 (11.208) cosh = x , γ 0 v0 τ , γ 0 eE m0 c

donde γ 0 = γ(v0 ). Para encontrar la coordenada temporal ct = x0 (τ ) integramos la ecuaci´ on (11.204) con la condici´ on inicial t = 0 en τ = 0: m0 c2 γ(v0 ) eE x0 (τ ) = sinh τ (11.209) eE m0 c Para encontrar la trayectoria del prot´ on, es decir ~r(t) = x1 (t), x2 (t), x3 (t) = (x(t), y(t), z(t))

despejamos τ en funci´ on de t de la ecuaci´ on (11.209) m0 c eE −1 τ= sinh t eE m0 cγ(v0 ) y lo remplazamos en las coordenadas x1 y x2 . As´ı m0 c eE x1 (t) = γ(v0 )v0 sinh−1 t eE m0 cγ(v0 )  s 2 2 eE m c 0  1− t − 1 x2 (t) = γ(v0 ) eE m0 cγ(v0 )

(11.210)

(11.211)

(11.212)

(11.213)

La curva que sigue el prot´ on y = y(x) en el campo eléctrico constante la podemos obtener eliminando el tiempo en las dos ecuaciones anteriores. Sin embargo es m´ as sencillo si utilizamos la ecuaci´ on (11.192) para eliminar τ en función de x1 = x y remplazamos en la ecuaci´ on para x2 = y; de esta forma obtenemos eE m0 c2 x −1 (11.214) cosh y(x) = γ(v0 ) eE m0 cγ(v0 )v0

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En el caso no relativista sabemos que la trayectoria que sigue una part´ıcula cargada en un campo eléctrico uniforme, con velocidad inicial perpendicular al campo, est´ a dada por la relaci´ on para el tiro parabólico; as´ı, eligiendo las mismas coordenadas anteriores, la trayectoria que sigue el prot´ on est´ a dada por x(t) = v0 t y(t) =

1 eE 2 t 2 m0

(11.215) (11.216)

y por lo tanto la curva es una par´ abola y=

1 eE 2 x 2 m0 v02

(11.217)

Calculemos el l´ımite de bajas velocidades de la ecuaci´ on (11.214), teniendo en cuenta que la expansi´ on en serie de Taylor de la función cosh est´ a dada por 1 cosh z = 1 + z 2 + · · · 2

(11.218)

reteniendo términos hasta segundo orden: tenemos eE m0 c2 y = γ(v0 ) x −1 cosh eE m0 cγ(v0 )v0 2 eE m0 c2 ∼ x = γ(v0 ) 2eE m0 cγ(v0 )v0 eE 1 = x 2 γ(v0 )m0 v02 1 eE 2 ∼ x (11.219) = 2 m0 v02 con γ ∼ = 1 para v0 << c. 17. Trayectoria en campo magn´ etico constante. Dado que el campo magnético no hace trabajo sobre la part´ıcula cargada, la magnitud de la velocidad no cambia y la trayectoria de la part´ıcula es un c´ırculo de radio R. Si tomamos el eje z en la direcci´ on del campo magnético, entonces el cuadrimomento del prot´ on est´ a dado por pα = (γ(~v )m0 c, γ(~v )m0 vx , γ(~v )m0 vy , 0) (11.220)

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donde ~v = (vx , vy , 0), pues la velocidad del prot´ on es perpendi~ = B zˆ. La ecuaci´ cular al campo magnético B on de movimiento viene dada por la fuerza de Lorentz fα =

dxγ q dpα = η βγ F βα dτ c dτ

(11.221)

Las componentes del tensor campo electromagnético est´ an dadas por   0 0 0 0  0 0 B 0   F βα =  (11.222)  0 −B 0 0  0 0 0 0

Por lo tanto

q dxγ dp0 = η βγ F β0 =0 (11.223) dτ c dτ ~ = F 01 , F 02 , F 03 = 0. Para las pues el campo eléctrico es cero: E otras componentes de la cuadrifuerza tenemos (escribiendo solo los términos no nulos de la doble suma): f0 =

f1 = = = =

dxγ q dp1 = η βγ F β1 dτ c dτ 2 q dx η F 21 c 22 dτ q 2 BU c q Bγ(~v )vy c

dp2 dxγ q = η βγ F β2 dτ c dτ 1 dx q η F 12 = c 11 dτ q 1 = − BU c q = − Bγ(~v )vx c

(11.224)

f2 =

y f3 =

dxγ q dp3 = η βγ F β3 =0 dτ c dτ

(11.225)

(11.226)

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Bibliograf´ıa [1] Tejeiro J.M. Sobre la teor´ıa especial de la relatividad. Facultad de Ciencias. Universidad Nacional. 2005. [2] Smith J.H. Introduction to Special Relativity. Benjamin, New York, 1965. [3] French A.P. Relatividad especial, curso de F´ısica del M.I.T. Editorial Reverté S. A., 1988. [4] Scott G.D. and Viner M.R. Am. J. Phys., 33, 534 (1965). [5] Dewan E. and Beran M. Am. J. Phys., 27, 517 (1959). [6] Dewan E. Am. J. Phys., 31, 383 (1963). [7] Peterson B.M. An introduction to Active Galactic Nuclei. Cambridge University Press (1997). [8] Sutton R.B., Fields T.H., Fox J.G., Kane J.A., Mott W.E. and Stallwood R.A. Proton-proton scattering at 437Mev. Phys. Rev. 97, 783 (1955). [9] Resnick R., Introducci´ on a la teor´ıa especial de la relatividad. Limusa (1981) [10] Skinner R., Relativity for Scientists and Engineers. Dover Publishing N.Y. (1982)

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Tejeiro. Relatividad Especial Problemas

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