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Curso de Relatividad Especial

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Enfoque del curso

 

 

El presente curso de Relatividad Especial est á dirigido a alumnos universitarios que están en la etapa de formación básica. Se  presupone que ya tienen conocimientos de Mec ánica de Newton, Electricidad y Magnetismo, y C álculo Diferencial, pero no han  cursado Mecánica Analítica ni Cálculo Tensorial. 

Relatividad  Especial Introducción Sistemas  Inerciales Relatividad de  Galileo Postulados de la  Teoría de  Relatividad Transformaciones de Lorentz

En consecuencia, no se presentar á la Teoría de Relatividad Especial en el espacio de Minkowski (formulación tensorial), ni se  usar án herramientas propias de la mec ánica analítica en general, salvo en ciertos temas particulares que serán incluidos en una  carpeta intitulada “Temas Especiales”.  No piense el lector que este enfoque representa una p érdida conceptual de la teor ía. En algunos aspectos podr á ser más  laborioso para obtener conclusiones, pero el contenido profundo y completo de la teor ía puede ser descrito totalmente con este  formalismo. Es opinión del autor que la Teoría de Relatividad Especial debe ser incorporada en la ense ñanza secundaria, para lo cual este  curso puede ser valioso para la elaboraci ón de la bibliograf ía adecuada en ese nivel.

Bibliografía La siguiente bibliograf ía es la recomendada para profundizar el estudio de la teoría. 1.

C. Möller ­ "The Theory of Relativity", Oxford, 1952. 

2.

A. Logunov ­ "Curso de Teoría de la Relatividad y de la Gravitación", URSS, Moscú, 1998.  

3.

W. Pauli ­ "Theory of Relativity", Pergamon Press, New York, 1958. 

Simultaneidad Contracci ón  espacial y 

Nota importante.

Dilatación 

En los últimos veinte años se ha generado una discusi ón en torno al uso de la  masa relativista. En particular, los físicos e 

temporal

investigadores cuya l ínea de trabajo es part ículas elementales suelen rechazar el uso de dicha magnitud relativista, por lo cual  hay una tendencia general a evitar su inclusi ón en artículos de investigación.  Lo contradictorio de esta postura es que para evitar el uso de la masa relativista se debe modificar la definición de la cantidad de 

Cinem ática  relativista Cantidad de  movimiento Dinámica  relativista

movimiento y limitar la validez del Principio de Equivalencia entre masa y energía. Todo ello puede hacerse válido pero resulta  más complicado y, sin duda alguna, es un capricho. Esta postura arbitraria no tiene fundamentos ya que el uso adecuado de la masa relativista no implica error alguno, ni conceptual  ni de cálculo. Más aún, en cualquier formulación teórica la variación de la masa con la velocidad (masa relativista) surge  naturalmente para la conservaci ón de la cantidad de movimiento (sin modificar su definici ón) y da validez general al Principio de  Equivalencia entre masa y energía.

Trabajo y Energ ía

En la Carpeta de Temas Especiales se incorporarán trabajos in éditos con desarrollos que muestran la necesidad y utilidad  Principio de 

conceptual de la masa relativista.

Equivalencia

Queda claro que en este curso usaremos masa relativista y la definición clásica de cantidad de movimiento. Complementos de Energía

Introducción

Masa Propia y 

En 1905 Albert Einstein (1879­1955), que era un empleado t écnico de una oficina de patentes en Suiza, publicó en una revista  científica alemana el trabajo denominado  “Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento”.  

Potencia Problemas Temas Especiales

  

En este singular y extraordinario artículo se plantea la inconsistencia de resultados obtenidos con las ecuaciones de Maxwell en  la resolución de conocidos problemas electromagn éticos para cuerpos en movimiento.  La solución propuesta para dilucidar esa cuesti ón consistió en una revisión completa y la modificación profunda de los conceptos  más básicos del conocimiento, el  espacio y el tiempo, y resultó la formulación inicial de la Teoría de Relatividad Especial.  Estos cambios conceptuales resultan como consecuencia del desarrollo de la Teoría, elaborada para sistemas inerciales, a partir  de dos Postulados basados en hechos experimentales. Uno establece que cualquier fen ómeno natural responde a la misma ley  en todos los sistemas inerciales, y el otro postula la constancia de la velocidad de  la luz en el vacío para todos los observadores. El primer postulado establece la imposibilidad de distinguir entre el reposo y el movimiento rectilíneo uniforme, en el sentido que  son estados de movimiento naturales equivalentes, haciendo inconsistente la existencia de un sistema de referencia absoluto, y  además provee la herramienta operativa fundamental para encontrar y validar todas las leyes relativistas.  El segundo postulado afecta directamente la Teor ía de Relatividad de Galileo, publicada en 1637 y aceptada como una  formulación de validez universal, con consecuencias directas en la mec ánica de Newton, madre de todas las teor ías físicas  existentes. La Teoría formulada en ese trabajo cient ífico es de una belleza inusual en la F ísica Teórica, particularmente por la sencillez del  cálculo requerido y sus consecuencias en los conceptos m ás arraigados en el conocimiento del momento. Esta simpleza en el  cálculo no es representativa de las grandes dificultades conceptuales que encierra su estudio, que requiere modificar el concepto  previamente adquirido sobre el espacio y el tiempo.    En el año 1916 Einstein present ó la Teoría de Relatividad General, luego del fracaso por incorporar el campo gravitatorio en la  Relatividad Especial. Este tema será tratado posteriormente. La formulación y desarrollo de la Relatividad General conducen a una ecuación tensorial de segundo orden no lineal, para el  campo gravitatorio, sin lograrse una soluci ón general de la misma. A pesar de ello su aplicaci ón en casos particulares dio  resultados y predicciones de tanta importancia (conocidos como  curvatura de la luz, corrimiento al rojo y desplazamiento del perihelio  de Mercurio), que práctica y lamentablemente se abandonaron otras líneas de investigación del campo gravitatorio.  La Teoría General de Relatividad de Albert Einstein, que esencialmente es una teor ía de gravitación, ha sido el modelo seguido por  varias Teorías Cosmol ógicas actuales. No obstante, en los  últimos años resultados experimentales no compatibles con las  predicciones te óricas han generado una incipiente resistencia a este modelo f ísico­matemático. En este sentido es interesante  reconocer la existencia de otras teor ías competitivas, entre las que se destaca la Teoría Relativista de Gravitación (2002) del  notable f ísico ruso Anatoly Alekseyevich Logunov.

resultados y predicciones de tanta importancia (conocidos como  curvatura de la luz, corrimiento al rojo y desplazamiento del perihelio  de Mercurio), que práctica y lamentablemente se abandonaron otras líneas de investigación del campo gravitatorio.  La Teoría General de Relatividad de Albert Einstein, que esencialmente es una teor ía de gravitación, ha sido el modelo seguido por  varias Teorías Cosmol ógicas actuales. No obstante, en los  últimos años resultados experimentales no compatibles con las  predicciones te óricas han generado una incipiente resistencia a este modelo f ísico­matemático. En este sentido es interesante  reconocer la existencia de otras teor ías competitivas, entre las que se destaca la Teoría Relativista de Gravitación (2002) del  notable f ísico ruso Anatoly Alekseyevich Logunov. El presente trabajo sobre la Teoría de Relatividad Especial est á concebido como un enfoque f ísico para la ense ñanza en un primer  nivel universitario, prestando especial atenci ón al orden y la forma en que deben ser tratados los distintos temas, que en muchos  casos difieren de la bibliograf ía usual.  Por razones did ácticas varios aspectos son tratados de manera distinta al enfoque original, incluyendo discusiones conceptuales  y deducciones propias.  Los temas a tratar ser án:            1 – Sistemas Inerciales             2 – Relatividad de Galileo            3 – Postulados de la Teor ía de Relatividad Especial. Fundamentación            4 – Transformaciones de Lorentz             5 – Simultaneidad. Causalidad             6 – Contracción Espacial y Dilatación Temporal            7 – Cinemática Relativista. Efecto Doppler            8 – Cantidad de movimiento. Masa Relativista              9 – Dinámica Relativista. Fuerzas           10 – Trabajo y Energía          11 – Principio de Equivalencia entre Masa y Energía          12 – Complementos de Energ ía          13 – Masa Propia y Potencia   Este orden en la formulaci ón de la teor ía es beneficioso pues, como veremos, evita elaborar argumentaciones complicadas  usando varillas, relojes, haces luminosos y espejos, como suele figurar en la bibliograf ía convencional, incluido el genial trabajo  original de Einstein, en un intento de elaborar conceptos nuevos sobre el espacio y el tiempo.  ___________________________________ Sigue > Sistemas Inerciales  

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Sistemas Inerciales

 

 

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La descripción del movimiento de un cuerpo requiere ineludiblemente la introducción de un sistema de coordenadas espaciales  que permitan identificar unívocamente cada punto del espacio físico de interés, y una coordenada temporal que permita 

Teoría de 

determinar el orden cronológico de sucesos en cualquier punto del espacio. A este conjunto de coordenadas espacio­temporal se  lo denomina sistema de referencia.

Relatividad  Especial Introducción Sistemas  Inerciales Relatividad de 

El número de coordenadas espaciales necesarias depender á de los vínculos del sistema físico. Por ejemplo, cuando el  movimiento esté limitado a una superficie, tal como sucede con objetos sobre una mesa, bastar á con 2 coordenadas espaciales. Históricamente, hasta el advenimiento de la Teoría de Relatividad Especial, se aceptó que la coordenada temporal era la misma  para todos los sistemas de referencia posibles, lo que la hacía independiente de la posición y del estado de movimiento relativo  entre diferentes sistemas de referencia.

Galileo

Por otro lado, la descripción de los fen ómenos (leyes) y el valor de las magnitudes involucradas resultaban diferentes 

Postulados de la 

dependiendo del sistema de referencia elegido, dando lugar a distintos grados de dificultad.

Teoría de 

Fue la obra de Galileo ( “Diálogos acerca de Dos Nuevas Ciencias”) la que permitió asumir la existencia de un grupo particular de  sistemas de referencia, llamados  inerciales o galileanos, en los que los fenómenos mecánicos sucedían de la misma manera y las 

Relatividad Transformaciones de Lorentz Simultaneidad Contracci ón  espacial y 

leyes tomaban la forma matemática más simple posible.  Galileo estableci ó, a través de sus notables observaciones sobre reposo y movimiento rectilíneo uniforme de cuerpos libres de  fuerza, que eran dos estados de movimiento equivalentes, relativos al observador.  Supongamos tener dos cuerpos, uno en reposo y el segundo en movimiento rectil íneo uniforme, respecto de un observador O.  Para otro observador O' que se moviera con la misma velocidad del segundo objeto,  éste estar ía en reposo y el primero, que  supusimos en reposo, ahora tendr ía un movimiento rectilíneo uniforme.

Dilatación 

Además, postuló que en estos privilegiados sistemas se cumplía que los fen ómenos mecánicos suced ían de la misma forma, 

temporal

respondiendo a las mismas (id énticas) leyes, por lo cual no era posible distinguir mediante experiencias mecánicas cual de ellos  estaba en reposo y cual en movimiento. Isaac Newton le dio forma a estos conceptos a través del “Principio de Inercia”, cuyo significado profundo es postular la  equivalencia entre sistemas inerciales.

Cinem ática  relativista Cantidad de  movimiento Dinámica  relativista

posible. Ambas definiciones adolecen de inconsistencias y/o falta de rigor cient ífico. 

Trabajo y Energ ía

Analicemos brevemente ambas definiciones tratando de establecer si son operativas y funcionales. 

Principio de 

La primera hace mención de estrellas fijas. Obviamente esto es una reminiscencia del modelo del éter y el sistema absoluto, que 

Equivalencia

tuvo vigencia hasta el inicio del siglo XX. Asumiremos como estrellas fijas a aquellas que est án tan alejadas que su  movimiento relativo se hace imperceptible a simple vista, es decir que la distancia aparente entre ellas permanece invariable.    En este caso la definición resulta adecuada para los sistemas de referencia que rotan respecto de ellas, dado que todos ellos  son no inerciales pues aparecen fuerzas, denominadas ficticias (centrífuga y coriolis), que provocan que no se cumpla ninguno 

Complementos de Energía Masa Propia y  Potencia Problemas Temas Especiales

  

Existen dos definiciones de sistemas inerciales de uso cotidiano que son aceptadas en forma recurrente. La primera de ellas  (históricamente) es la que establece que cualquier sistema de referencia que esté en reposo respecto de las estrellas fijas es un  sistema inercial. La segunda postula que un  sistema inercial es aquel en el que las leyes de la física adoptan la forma más simple 

de  los tres Principios de la Mecánica de Newton.  Sin embargo, la definición falla si se trata de discriminar entre dos sistemas de referencia que, sin rotar respecto de las estrellas  alejadas, tienen aceleraci ón relativa rectilínea entre ellos, pues la posición aparente de las estrellas alejadas no sufre alteraci ón  perceptible, salvo que las velocidad relativa entre los sistemas de referencia sea muy elevada o cercana a la velocidad de la luz,  en cuyo caso se detectar án modificaciones de posici ón de las estrellas alejadas.  En resumen, con esta definici ón no es posible determinar (operativamente) si un sistema es inercial o no. La otra definición hace referencia a un concepto subjetivo, tal cual es lo de la forma m ás simple posible. Este mero hecho hace  que la definición no sea precisa aunque, desde un punto de vista did áctico, tal vez sea la más recomendable si se la expone  adecuadamente. En general la “simpleza” que adoptan las leyes depende del fen ómeno particular al cual se apliquen. Nótese, por ejemplo en  fuerzas centrales, el cl ásico problema de dos cuerpos que se atraen. Por conservaci ón de momento angular el movimiento de  ambos cuerpos sucede en un plano. Si usamos un sistema de referencia (no inercial) que rota con una adecuada velocidad  angular y con su origen en el centro de masa del sistema de dos cuerpos, se obtiene un problema unidimensional de una  única  masa en un campo de fuerzas centrales, mucho  “más simple” de resolver y analizar (v éase Goldstein. ”Mecánica Clásica”, Cap.  III). Una definición más precisa es la siguiente: sistema de referencia inercial es todo sistema que esté en reposo o con  movimiento rectilíneo uniforme respecto de un objeto material sobre el cual no actúa fuerza alguna, cualquiera sea su  posición en el espacio. La dificultad (insalvable) de esta definición est á en la imposibilidad física de disponer de un cuerpo libre  de interacciones. Al no contar con una definición que operativamente permita determinar sin ambig üedad si un dado sistema de referencia es  inercial o no, debe considerarse que la existencia de sistemas de referencia inerciales es una abstracci ón que no puede ser  demostrada experimentalmente. El Principio de Inercia fue elaborado en una  época en que se asum ía que las interacciones entre cuerpos eran por contacto o por  acciones “a distancia ”, a velocidad infinita. No estaba desarrollada la Teor ía electromagn ética de Maxwell ni la noción de campo  como un ente físico real.  Los experimentos sobre fricción realizados por Galileo mostraron que si una esfera se hacía rodar sobre una tabla horizontal ella  llegaría más lejos si las superficies estaban pulidas y lustradas.  Por ello Galileo, contradiciendo las ideas aristotélicas, asever ó que la fricción era la que frenaba a la esfera, que si no hubiera  rozamiento no ser ía necesario estar empuj ándola para mantener su velocidad y el cuerpo seguir ía con movimiento rectilíneo  uniforme eternamente. Pero en este caso tendr íamos un movimiento sin que hubiera una acci ón aplicada en la direcci ón del  movimiento, condición idéntica a la de los cuerpos en reposo. 

 

como un ente físico real.  Los experimentos sobre fricción realizados por Galileo mostraron que si una esfera se hacía rodar sobre una tabla horizontal ella  llegaría más lejos si las superficies estaban pulidas y lustradas.  Por ello Galileo, contradiciendo las ideas aristotélicas, asever ó que la fricción era la que frenaba a la esfera, que si no hubiera  rozamiento no ser ía necesario estar empuj ándola para mantener su velocidad y el cuerpo seguir ía con movimiento rectilíneo  uniforme eternamente. Pero en este caso tendr íamos un movimiento sin que hubiera una acci ón aplicada en la direcci ón del  movimiento, condición idéntica a la de los cuerpos en reposo.  Si a estos conceptos le agregamos sus disquisiciones sobre c ómo suceden los fen ómenos mecánicos (caída de los cuerpos)  sobre un barco que se desplaza suavemente en l ínea recta y sin aceleraciones, obtenemos el significado del Principio de Inercia,  esto es que los sistemas inerciales son equivalentes y que no hay manera mecánica de distinguir cual de los dos está en reposo  o en movimiento. Todas las leyes de la mec ánica tienen la misma forma en dichos sistemas y las magnitudes involucradas, cuyo  valor puede ser distinto en dos sistemas inerciales, se relacionan a trav és de las Transformaciones de Galileo.  Actualmente el Principio de Inercia tiene una significación más general en virtud del conocimiento que se agregó durante 400  años. En primer lugar Einstein lo extendi ó a todos los fen ómenos, es decir que todas las leyes de la f ísica tienen la misma forma  en los sistemas inerciales. Adem ás, luego de la incorporación de la acción a través de campos, debida a Maxwell, y la constancia  de la velocidad de la luz en el vac ío para todos los sistemas inerciales, se modific ó la relación entre estos sistemas que ahora se  vinculan con las Transformaciones de Lorentz.  Los sistemas inerciales pueden ser considerados una proposici ón arbitraria y artificial generada por el desconocimiento sobre las  leyes que cumplen las interacciones de tipo gravitatorio. Si se dispusiera de un modelo matem ático que describiera al campo  gravitatorio en un sistema inercial y se conocieran los campos que generan los objetos materiales en movimiento, las fuerzas  inerciales tales como la centrífuga y la de coriolis, que aparecen en los sistemas de referencia que rotan respecto de las estrellas  alejadas, podr ían ser tratados como efectos provocados por la rotaci ón de la materia.  Corresponde aclarar que el último enfoque est á en contradicción aparente con la Teor ía General de Relatividad pues en ella la  gravitación est á íntimamente ligada con el espacio y el tiempo, relaci ón que se pierde al tratar al campo gravitatorio como un  campo clásico como el eléctrico. No obstante, no debemos olvidar que las teorías son modelos elaborados para describir la  realidad lo mejor posible, que serán reemplazados por modelos superiores.  Por último, cabe preguntarse si el concepto de equivalencia de sistemas inerciales no puede generalizarse a todos los sistemas  de referencia, incluso los acelerados, postulando que dos sistemas son equivalentes si el movimiento relativo entre ellos es a  velocidad constante, y en ellos las leyes conservan la forma asumiendo que los sistemas se relacionan a través de las  Transformaciones de Lorentz (u otras adecuadas).  Para ello deber ía disponerse de las ecuaciones (leyes) que corresponden a las distintas interacciones y los campos  correspondientes, incluidos los gravitatorios, v álidas en un sistema y que conserven la forma ante Transformaciones de Lorentz.  Lamentablemente tenemos una descripci ón completa sólo para el caso electromagnético (ecuaciones de Maxwell).    La idea resulta muy interesante pues, si fuera consistente, permitiría aplicar la física relativista de la Teoría de Relatividad  Especial en cualquier sistema de referencia.  ___________________________________ Sigue > Relatividad de Galileo 

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navigation  Home  Teoría de  Relatividad  Especial Introducción Sistemas  Inerciales Relatividad de  Galileo Postulados de la  Teoría de 

Relatividad de Galileo

 

La primera Teoría de Relatividad fue desarrollada por Galileo Galilei (1564­1642), creador del método científico, como resultado  de sus estudios sobre movimiento de cuerpos, rozamiento y caída libre.  En sus obras  “Diálogo sobre los principales sistemas del mundo" (1632) y “Diálogos acerca de Dos Nuevas Ciencias” (1636), dio las  características de los sistemas de referencia inerciales o  “galileanos ”, con una notable descripción de experimentos y su  interpretaci ón para dos observadores en movimiento relativo, uno de ellos sobre un barco que se desplaza suavemente (sin  aceleración), y el otro en tierra firme.  Las conclusiones obtenidas permiten postular en sistemas inerciales la equivalencia entre reposo y movimiento rectil íneo  uniforme para dos observadores en movimiento relativo, sentando las bases del  Principio de Inercia. Asimismo, enunció la relatividad de las trayectorias y de las velocidades de objetos respecto del observador. Veamos como se  desarrolla esta Teor ía:

Caída de los cuerpos

de Lorentz

La primera demostración rigurosa sobre que todos los cuerpos caen con la misma velocidad la dio Galileo mediante un  razonamiento por el absurdo. Supongamos tener dos cuerpos de distinto peso, material y forma, que los dejamos caer partiendo del reposo en un sistema  inercial. De acuerdo a las ideas aristot élicas el más pesado caer ía más rápido, como muestra la figura.

Simultaneidad

 

Relatividad Transformaciones

 

Contracci ón 

 

espacial y  Dilatación  temporal Cinem ática  relativista Cantidad de  movimiento Dinámica  relativista Trabajo y Energ ía Principio de  Equivalencia Complementos de Energía Masa Propia y  Potencia Problemas Temas Especiales

  

   Ahora realicemos la misma experiencia pero agregando un nuevo cuerpo formado por dos objetos id énticos a los iniciales,  ligados entre si (pegados). Para este nuevo objeto durante su ca ída el de mayor peso est á siendo frenado por el peque ño, que  cae más despacio, mientras que el peque ño est á siendo acelerado por el grande, que cae más rápido. En consecuencia el nuevo  cuerpo caerá ubicado entre los cuerpos originales, resultando una contradicción pues es el más pesado. La  única solución lógica  posible es que todos caigan con la misma velocidad. Resuelto el tema anterior, Galileo encaró descubrir la ley de caída, es decir encontrar la función que permita relacionar la posici ón  con el tiempo durante la caída.  Para ello, siendo Profesor en la Universidad de Pisa (1589), dise ñó un modelo experimental que contemplaba obtener un  conjunto de pares de datos correspondientes a posici ón y tiempo, que obtendría soltando objetos desde los distintos pisos de la  Torre de Pisa. La dificultad principal resultó la medición del tiempo de caída, que era obtenida con el pulso de un abate. Los  resultados no eran precisos ni repetitivos y no permitieron obtener la ley. Luego del fracaso inicial decidi ó determinar los tiempos utilizando una  “clepsidra”, que es un recipiente con agua que tiene una  canilla de salida (tapón cónico de madera). El proceso de medición de tiempos consist ía en abrir la canilla cuando soltaba el  cuerpo y cerrarla cuando el objeto llegaba al piso. La masa del volumen de agua recogida lo determinaba con una balanza y era  proporcional al tiempo transcurrido. Lamentablemente, este método tampoco result ó lo suficientemente preciso para asegurar un  comportamiento, por lo cual Galileo concluyó que la dificultad central de este proyecto era la rapidez con que caían los cuerpos. Era necesario entonces retrasar la ca ída de los cuerpos, es decir lograr que caigan más despacio. Luego de unos importantes  estudios sobre fricción, con esferas de madera sobre una tabla lustrada, desarroll ó el “plano inclinado” como dispositivo para  retrasar la rapidez de la ca ída de los cuerpos. No resulta pretencioso asegurar que el  Plano Inclinado de Galileo fue el primer  acelerador de part ículas en la historia, y el más importante. Con este avance experimental obtuvo un conjunto de pares ( x,t) que permiten hacer un gráfico de puntos (x,t) y ajustarle un  polinomio, resultando que una par ábola es adecuada para dicho ajuste. La ley obtenida por Galileo fue:     Siendo e el espacio recorrido en un tiempo  t, con aceleración constante  a. Nota: Sugiero al lector que analice porqu é el polinomio de ajuste no puede ser de grado impar. Es muy interesante describir, de acuerdo con datos históricos, algunos aspectos sobre c ómo Galileo obtuvo la ley de caída de los  cuerpos con el plano inclinado (actividades realizadas en la Universidad de Padua a partir de 1592). Si bien este dispositivo permite retardar la ca ída disminuyendo al  ángulo que el plano forma con la horizontal, dicho  ángulo no  pod ía ser muy chico pues, en ese caso, el rozamiento se har ía importante y no podr ía despreciarse. Por otro lado, la determinación de los intervalos no era simple, ya que la  clepsidra no brindaba la precisi ón suficiente y los datos  de pruebas repetidas presentaban gran variabilidad, no resultando adecuado para el objetivo propuesto. Aunque resulte incre íble, Galileo decidió usar un péndulo para medir los tiempos..., y una metodología genial. Determinar con precisión lapsos breves con un p éndulo suena a disparate, a menos que dichos lapsos se inicien y terminen  exactamente coincidentes con la bolita del péndulo en un extremo de la oscilación, pues ello es una condici ón fácilmente  distinguible y precisa.  Por ejemplo, si con el péndulo oscilando se suelta la esfera en el plano inclinado (inicio de la caída) exactamente en el instante 

de pruebas repetidas presentaban gran variabilidad, no resultando adecuado para el objetivo propuesto. Aunque resulte incre íble, Galileo decidió usar un péndulo para medir los tiempos..., y una metodología genial. Determinar con precisión lapsos breves con un p éndulo suena a disparate, a menos que dichos lapsos se inicien y terminen  exactamente coincidentes con la bolita del péndulo en un extremo de la oscilación, pues ello es una condici ón fácilmente  distinguible y precisa.  Por ejemplo, si con el péndulo oscilando se suelta la esfera en el plano inclinado (inicio de la caída) exactamente en el instante  en que la oscilación cambia de sentido, y luego se logra que la ca ída de la esfera concluya con el péndulo en idéntica posición al  cabo de un per íodo completo, el error de medici ón se minimiza. Luego se repite el m étodo para dos per íodos, y as í sucesivamente. Obviamente, se deben seleccionar los espacios recorridos en el plano inclinado para que se cumpla la condici ón anterior, para 1,  2, 3,..., n oscilaciones. Para ello Galileo usó un tope móvil de madera y ajustó su posición correcta del final de la caída que  corresponda, con el sonido del choque entre la esfera y el tope, coincidente con la posición del péndulo en un extremo de la  oscilación.  Así obtuvo la ley de ca ída de los cuerpos, que inicialmente se llamó la “Ley de los números impares”, debido a que los espacios  recorridos en cada oscilaci ón del péndulo ten ían esa sucesi ón numérica (ver figura).  

 

Dado que la suma de los  n primeros términos de la sucesión de números impares es  n 2, se obtiene que el espacio recorrido es  directamente proporcional al cuadrado del tiempo. 

Transformaciones de Galileo Sean dos sistemas de referencia inerciales (O y O ’). Llamaremos V (en mayúscula) a la velocidad relativa entre ellos,  v  (en  minúscula) la velocidad de un objeto respecto de O, y v ’ la velocidad respecto de O ’. Las coordenadas espaciales  x,y,z se  refieren al sistema de O, siendo  x’,y’,z’ las correspondientes al sistema del observador O’.   En general, todas las variables no primadas corresponderán al sistema O y las primadas al O ’.  Supongamos que en el instante inicial ambos sistemas coinciden. Para una mejor visualizaci ón los esquemas tendr án al sistema  O´debajo del O, y por simplicidad supondremos arbitrariamente que el O está en reposo y el O ´con velocidad constante  V en la  dirección del eje x. Supongamos un objeto en reposo en O. Para un observador fijo en O ’ este objeto se mueve con velocidad  v'=­ V con movimiento  rectilíneo uniforme seg ún el eje x’.  La posición del objeto para O ’ irá variando seg ún la relación x'=x­V t  pues V es constante.   En general, la relación funcional entre las coordenadas de ambos sistemas, conocidas como  Transformaciones de Galileo, ser án:  

La coordenada temporal es la misma en ambos sistemas. Estas transformaciones son la base conceptual que fundamentan la “Dinámica del punto material”, desarrollada por Newton.  

Relatividad de las trayectorias Se deja caer un objeto partiendo del reposo y con coordenadas iniciales (x0  ,y0  ,0), en el sistema O.    Su trayectoria es rectilínea en dicho sistema, como muestra la figura, y se pretende determinar c ómo es para un observador en  O’.    

En el sistema O el movimiento del cuerpo cumple con   

 En el sistema O ’ la trayectoria estará dada en forma param étrica, luego de resolver las relaciones     

En el sistema O el movimiento del cuerpo cumple con   

 En el sistema O ’ la trayectoria estará dada en forma param étrica, luego de resolver las relaciones     

Resolviendo este sistema de dos ecuaciones se obtiene la forma explícita     

Esta es la ecuaci ón de una par ábola invertida como muestra el gr áfico.   

 

La conclusión es que la trayectoria de un objeto es relativa al sistema de referencia. Lo que es una ca ída libre rectilínea para un  observador ser á un arco de par ábola para otro en movimiento respecto del primero. Un ejemplo interesante y cotidiano lo ofrece la lluvia. Asumamos que est á lloviendo y no hay viento. Para un observador  “en  reposo ” la lluvia cae verticalmente, mientras que para un observador en movimiento con velocidad constante las trayectorias de  las gotas de agua son rectas inclinadas como muestra la figura.   

 

 

Se deja planteado demostrar que las trayectorias para O ’ no son arcos de par ábola debido a que las gotas no caen en ca ída  libre (MRUV) sino a velocidad constante por la fricción con el aire.

Teorema de adición de velocidades Este importante Teorema fue demostrado por Galileo en una  época en que a ún no se conocían las derivadas.  El problema consiste en determinar, para un mismo objeto, como se relacionan las velocidades que le miden dos observadores  inerciales en movimiento relativo. Su demostración es muy simple y sus consecuencias eran muy conocidas pues se lo aplicaba  cotidianamente. Por ejemplo, para subirse a un carro en movimiento lo mejor es correr hasta ponerse en reposo respecto del  carro.  La importancia de este Teorema radica en que Galileo mostró matemáticamente su validez en todos los sistemas inerciales. Con las Transformaciones de Galileo podemos relacionar fácilmente las velocidades de un mismo objeto medidas desde O y O ’,  resultando:   Teorema de Adición de velocidades   

 

                          Es decir:              

La conclusión es que la velocidad de un móvil es diferente para dos  observadores en movimiento relativo.

Las aceleraciones son absolutas Siendo la aceleraci ón de un punto material la derivada de su velocidad respecto del tiempo, resulta muy simple encontrar qué  valor tendrá en dos sistemas inerciales en movimiento relativo. Derivando la expresión obtenida en el Teorema de adición de  velocidades, obtenemos:     

Siendo la aceleraci ón de un punto material la derivada de su velocidad respecto del tiempo, resulta muy simple encontrar qué  valor tendrá en dos sistemas inerciales en movimiento relativo. Derivando la expresión obtenida en el Teorema de adición de  velocidades, obtenemos:     

La aceleración de un punto material es  absoluta, es decir que su valor es el mismo medido en cualquier sistema de referencia  inercial.  Este resultado junto a la invariancia de la masa de un punto material fundamenta la aseveración de que no hay posibilidad de  determinar cual sistema est á en reposo y cual en movimiento mediante experimentos mec ánicos, pues las magnitudes Fuerza,  Masa y Aceleración son absolutas. ___________________________________ Sigue > Postulados de la Teor ía de Relatividad  

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Postulados de la Teoría de Relatividad

 

 

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Fundamentación

Teoría de 

Supongamos tener una fuente luminosa en reposo respecto de un observador O 1  en un sistema inercial, y otros dos  observadores en movimiento relativo constante respecto del primero, tal que el O 2  se acerca y el O 3  se aleja, como muestra la 

Relatividad  Especial

figura.  

Introducción Sistemas  Inerciales Relatividad de  Galileo Postulados de la  Teoría de  Relatividad Transformaciones de Lorentz

Los tres observadores miden la velocidad de la luz proveniente de S.  Asumiendo que est án en el vacío el observador O 1  mide c (300.000 Km/seg).   De acuerdo a la Teoría de Relatividad de Galileo, aplicando el teorema de adici ón de velocidades, el observador O 2  deber ía medir  c+V, y el O 3  mediría c­V. 

Simultaneidad

Una serie de experimentos ópticos muy precisos, realizados con un interferómetro por los investigadores norteamericanos  Michelson y Morley, dieron reiteradamente como resultado que los tres observadores miden la misma velocidad C. 

Contracci ón 

Ante este hecho se plantean dos soluciones posibles:

espacial y 

          1 – La medición est á mal realizada. 

Dilatación  temporal

          2 – Las transformaciones de Galileo son incorrectas.  

Cinem ática  relativista

Resulta obvio que los cient íficos especialistas de la  época se inclinaron masivamente por la opci ón 1, pues la otra implica la  invalidez del soporte de la mecánica de Newton. 

Cantidad de 

Uno de los intentos m ás elaborado que tuvo aceptaci ón parcial fue hecho por H. Lorentz (1853­1928), que propuso que dado 

movimiento

que cualquier equipamiento que se use para medir velocidad debe inexorablemente medir espacio y tiempo, el movimiento  relativo entre observadores, respecto del " éter" en un sistema de referencia "absoluto", provocaba modificaciones f ísicas en sus  respectivos equipos, tales que los espacios recorridos y los tiempos empleados se determinaban con error. Completó sus  argumentos fundament ándolos con su Teor ía del electrón (publicada un tiempo despu és) y haciendo el cálculo de las  modificaciones espaciales y temporales que deb ía sufrir el dispositivo, encontrando las relaciones de espacio y tiempo en función  de la velocidad del observador respecto de la fuente. Estas leyes se conocieron como “Transformaciones de Lorentz”. 

Dinámica  relativista Trabajo y Energ ía Principio de  Equivalencia

No todos los cient íficos compartían esta postura. Existe una an écdota atribuida al gran f ísico matemático francés Henri Poincaré 

Complementos de

(1854­1912), que habría dicho: “Es más probable que sea un error de cuenta cada vez que la hicieron, que sea cierta la propuesta de  Lorentz de errores inteligentes”. 

Energía Masa Propia y  Potencia Problemas

En el año 1900 Poincaré hace conocer su an álisis sobre la proposici ón de Lorentz, indicando que "si la Teoría de Lorentz es  correcta habría que abandonar probablemente algunos principios de la mecánica newtoniana". Agrega: "la teoría del electrón no sólo  viola el principio de acción y reacción sino la conservación del momento" (Berkson, 1981). Esto último es la principal e insalvable  inconsistencia pues la conservación del momento era (y sigue siendo) un principio universal. Sobre este tema volveremos m ás  adelante. 

Temas Especiales

  

Albert Einstein, que aparentemente desconoc ía las Transformaciones de Lorentz, eligió la opción 2.  En su trabajo científico "Sobre la Electrodinámica de Cuerpos en Movimiento", luego rebautizado como Teoría de Relatividad (por  sugerencia de Max Planck), dedujo las transformaciones espacio temporales que vinculaban a dos sistemas inerciales, que  parad ójicamente resultaron ser las Transformaciones de Lorentz, aunque con una interpretación absolutamente diferente.

Postulados de la Teoría de Relatividad Especial En su trabajo original Einstein hace inicialmente un an álisis sobre simultaneidad de eventos y lo vincula con la medición de  distancias y tiempos, detallando un método adecuado para sincronizar relojes en distintos puntos de un sistema inercial, válido  bajo condiciones de isotrop ía y homogeneidad del espacio y uniformidad del tiempo.  Por razones did ácticas un análisis sobre espacio y tiempo lo trataremos por separado en este mismo capítulo. Aceptemos, por el momento, que en un sistema inercial la métrica está establecida y el tiempo est á sincronizado. Un objeto en  reposo mide lo mismo en cualquier posici ón del espacio y orientaci ón del objeto (homogeneidad e isotrop ía), y un evento o  fenómeno bajo las mismas condiciones tarda lo mismo en cualquier lugar y momento en que ocurra (uniformidad).  Los postulados de  La Teoría de Relatividad Especial enunciados por Einstein son: 1.

Principio de Relatividad.  Las leyes que describen los cambios de  los sistemas físicos no resultan afectadas si estos cambios de estado están referidos a  uno u otro de dos sistemas de coordenadas en traslación con movimiento uniforme. 

2.

Principio de invariancia de la velocidad de la luz. Cualquier rayo de luz se mueve en el sistema estacionario con velocidad "c", tanto si el rayo es emitido por un cuerpo en reposo o  en movimiento.

El primer postulado est á indicando que en todos los sistemas inerciales todos los fen ómenos ocurren de la misma forma, es decir  que tienen el mismo comportamiento, por lo cual todos los sistemas inerciales resultan absolutamente equivalentes e  indistinguibles.  No hay posibilidad alguna de determinar cual está en reposo o en movimiento. Sin duda, este enunciado hace innecesario e  incluso contradictorio la existencia de un sistema de referencia absoluto. Asimismo, incorpora implícitamente el Principio de  Inercia. No debe confundirse lo anterior con que una magnitud f ísica tomará el mismo valor en todos los sistemas inerciales, pues una 

 

El primer postulado est á indicando que en todos los sistemas inerciales todos los fen ómenos ocurren de la misma forma, es decir  que tienen el mismo comportamiento, por lo cual todos los sistemas inerciales resultan absolutamente equivalentes e  indistinguibles.  No hay posibilidad alguna de determinar cual está en reposo o en movimiento. Sin duda, este enunciado hace innecesario e  incluso contradictorio la existencia de un sistema de referencia absoluto. Asimismo, incorpora implícitamente el Principio de  Inercia. No debe confundirse lo anterior con que una magnitud f ísica tomará el mismo valor en todos los sistemas inerciales, pues una  magnitud no es una ley. Supongamos, por ejemplo, un fenómeno eléctrico simple, una carga puntual en reposo en el origen de  coordenadas de un sistema inercial.  En este sistema un observador medir á un campo eléctrico E estacionario y un campo magnético B=0, dado que no hay corrientes  ni imanes. Otro observador en movimiento relativo constante medir á un campo eléctrico E’ que no es estacionario, pues para  este observador la carga se est á moviendo, y un campo magnético B’ distinto de cero debido a que la carga que est á en  movimiento es una corriente. O sea, las magnitudes involucradas tienen diferente valor para dos observadores en movimiento relativo. Sin embargo, las leyes  (Ecuaciones de Maxwell) que describen el fen ómeno son las mismas en los dos sistemas.  Su aplicación en cada uno de los sistemas dar á el resultado correcto, siendo diferente en cada sistema los valores de las  magnitudes que intervienen.  El segundo Postulado acepta la constancia de la velocidad de la luz como un Principio Universal, sustentado en resultados  experimentales, resultando la clave para vincular dos sistemas inerciales ya que permite encontrar las transformaciones de  coordenadas necesarias para que la velocidad de la luz sea la misma en ambos sistemas. 

Espacio y Tiempo La Teoría de Relatividad no es un modelo sobre el movimiento de los cuerpos, o de la Mec ánica o del Electromagnetismo, ni sobre  alguna disciplina particular de la Física. Es una teor ía sobre el espacio y el tiempo, que trata sobre sus propiedades y de qu é manera ellas inciden y regulan las leyes  sobre el comportamiento de los fen ómenos naturales.  Tratemos de describir brevemente algunos aspectos de inter és sobre la evoluci ón que sufrieron estos conceptos b ásicos  fundamentales. La experiencia mostró que el espacio f ísico (tridimensional) posee una  simetría particular por la cual el tamaño y la forma de los  objetos materiales en reposo respecto de un observador no dependen de la posici ón ni de la orientación del objeto. Este simple hecho permite determinar emp íricamente una unidad de medida espacial e introducir el concepto de  distancia,  requisito necesario para reconocer la geometría correspondiente al espacio, que result ó la euclídea, válida para todo observador.  Estas propiedades se conocen hoy como  homogeneidad e isotropía del espacio.  Análogamente, por observaci ón de los fen ómenos naturales peri ódicos se asumi ó que el tiempo físico, concepto que permite  ordenar la ocurrencia de sucesos (“antes ” y “despu és”), era una magnitud unidimensional mensurable que admite una definición  similar a la de distancia, llamada intervalo o duración. La experiencia mostró también que el tiempo físico pose ía una simetría  particular por la cual la duraci ón de un dado evento causal, bajo id énticas condiciones, no depend ía del lugar de ocurrencia ni del  instante de inicio.  Esta propiedad actualmente se denomina  uniformidad del tiempo. Hasta fines del siglo XIX se suponía que el espacio y el tiempo eran magnitudes independientes con valores absolutos, por lo  cual toda medición de distancia o de intervalo era id éntica para todo observador. Nuestro Universo era tridimensional, de  geometr ía euclídea, y solamente su evolución requería el análisis temporal, sin que ello incidiera en las propiedades del espacio. La métrica del espacio (euclídeo tridimensional) era invariante, condición que puede expresarse en coordenadas cartesianas  mediante:  ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2       Invariante   Esta interpretación, aceptada durante m ás de dos milenios, puede ser entendida con un ejemplo cotidiano. Supongamos tener  una dada secuencia de fotos de un móvil, obtenidas a intervalos conocidos y c ámara fija, tal que el movimiento del objeto puede  estudiarse por comparaci ón y así conocer la evolución del fenómeno dinámico. Cada foto ser á distinta pero ellas siguen siendo bidimensionales, su m étrica espacial es la misma (y su escala se conserva). Los trabajos de Lorentz y Poincar é, aparecidos alrededor del a ño 1900, mostraron que las  “distancias ” e “intervalos”, medidos  sobre un mismo fenómeno por observadores en movimiento relativo, daban resultados distintos y dependientes de la velocidad  entre observadores. La geometr ía espacial segu ía siendo eucl ídea para cada observador pero las distancias y los intervalos  medidos no eran id énticos (nacía la relatividad post Galileo), es decir que  la métrica euclídea tridimensional no era invariante. Con el advenimiento de la Teoría de Relatividad de Einstein (1905) qued ó claramente establecido que para todo observador  inercial el espacio y el tiempo conservaban las hist óricas propiedades, pero sus métricas (espacial y temporal) difer ían entre  sistemas de referencia con movimiento relativo constante. Las transformaciones de Lorentz eran las relaciones funcionales que  vinculaban dos sistemas de referencia inerciales. Sin embargo, inicialmente no se entendi ó que esta relaci ón funcional (Lorentz) entre sistemas de referencia inerciales implicaba  algo mucho más profundo: el Universo era esencialmente de cuatro dimensiones.      Este descubrimiento se debi ó a Minkowski (1908) quien se percat ó que la pérdida de invariancia de la métrica euclídea espacial  era debida a la relaci ón existente entre el espacio y el tiempo, por lo cual la m étrica correcta debía contener al tiempo.  La adecuada m étrica invariante en cuatro dimensiones se deduce fácilmente de las Transformaciones de Lorentz, resultando:   ds 2 = c 2dt 2 – (dx2+dy2+dz2)        Invariante   Debido a los signos distintos de las partes espacial y temporal en el segundo miembro, esta m étrica se denomin ó seudo euclídea  a propuesta de Klein y Hilbert.  Importantes estudios contempor áneos han mostrado que las propiedades de simetr ía del espacio y el tiempo, representadas  mediante su métrica en un espacio de cuatro dimensiones (y su invariancia), son suficientes para fundamentar la Teor ía de  Relatividad Especial, sin necesidad de recurrir a los postulados propuestos por Einstein. Espec íficamente se ha demostrado que si aceptamos que los fenómenos que ocurren en nuestro Universo responden a una  métrica cuadridimensional seudo eucl ídea del espacio ­tiempo, entonces el Principio de Relatividad y la existencia de una  velocidad tope y absoluta pueden ser obtenidos como consecuencias.   De acuerdo con el notable físico ruso A. Logunov, la Teor ía de Relatividad queda rigurosamente establecida postulando que los  fenómenos físicos suceden en un espacio cuadridimensional cuya geometría es seudo euclídea.

Consecuencias Esta formulación moderna de la Relatividad Especial (Logunov, 1996) reviste una extraordinaria importancia ya que establece  rigurosamente que las condiciones de validez de la teor ía dependen  única y exclusivamente de las propiedades del espacio y el 

métrica cuadridimensional seudo eucl ídea del espacio ­tiempo, entonces el Principio de Relatividad y la existencia de una  velocidad tope y absoluta pueden ser obtenidos como consecuencias.   De acuerdo con el notable físico ruso A. Logunov, la Teor ía de Relatividad queda rigurosamente establecida postulando que los  fenómenos físicos suceden en un espacio cuadridimensional cuya geometría es seudo euclídea.

Consecuencias Esta formulación moderna de la Relatividad Especial (Logunov, 1996) reviste una extraordinaria importancia ya que establece  rigurosamente que las condiciones de validez de la teor ía dependen  única y exclusivamente de las propiedades del espacio y el  tiempo asignadas. No es necesario postular la constancia de la velocidad de la luz ni el Principio de Relatividad. Es fundamental resaltar que la homogeneidad e isotropía del espacio, la uniformidad del tiempo, y la métrica seudo euclídea  invariante, que convalidan la Teoría Especial de Relatividad, son exactamente los mismos postulados que fundamentan los  llamados Principios Universales de conservaci ón (Teorema de Emmy Noether, 1915), por lo cual todas las leyes v álidas en esta  teoría poseen la misma jerarqu ía que las leyes de conservaci ón de la energ ía, de la cantidad de movimiento y del momento  angular.  En consecuencia, el extraordinario descubrimiento hecho por A. Logunov nos pone frente a una integraci ón histórica de las leyes  relativistas de la F ísica y los Principios Universales, generando una situación crítica, ya que el incumplimiento de cualquiera de  estas leyes relativistas que signifique invalidar sus fundamentos obligará a revisar todo el conjunto, pues todas ellas se derivan  de los mismos postulados b ásicos. Asimismo, la existencia de una velocidad m áxima posible, única y absoluta, obtenida como consecuencia de asumir una geometr ía  seudo eucl ídea del espacio ­tiempo y su métrica invariante, clarifica que cualquier modelo teórico que proponga otra alternativa,  tal como atribuir velocidades máximas diferentes para la gravedad y el electromagnetismo (T. van Flandern,  "The speed of gravity  ­ What the experiments say", 1998; S. Kopeikin, "Bi­metric theory of gravity", 2006, etc.), poseerá una métrica espacio temporal  diferente a la seudo eucl ídea. Dado que la forma matemática de una ley tiene implícita la geometría utilizada, las leyes que describen el comportamiento de los  fenómenos ser án distintas en marcos teóricos que usen diferentes m étricas. Destaquemos la evidente incompatibilidad entre las teor ías General y Especial, debida a que las propiedades establecidas en  cada caso para el espacio y el tiempo son contradictorias y antag ónicas entre sí. Ante la presencia de masa ambas teor ías tienen  métricas espacio temporales distintas, lo que implica que los fen ómenos se interpretan de manera distinta y, por supuesto,  responden a leyes diferentes. Como vemos, existe una profunda sutil diferencia entre cambiar de sistema de referencia espacio temporal, procedimiento usual,  útil y lícito, a modificar sus propiedades cambiando la m étrica.  No debemos extra ñarnos, entonces, que en la Teoría General de Relatividad no se cumplan ni los Principios Universales ni la  Relatividad Especial, dado que la métrica (espacio curvo) es dependiente de la distribución de materia. Más aún, ninguna ley  relativista en el espacio de Minkowski es v álida en la Teoría General, y ello incluye al Electromagnetismo de Maxwell. En este  sentido digamos que hay una discusi ón centenaria respecto de la validez de la mal denominada Paradoja de Born , sobre que un  electrón en movimiento hiperbólico no irradia en el espacio curvo de la Teoría General y si lo hace en el espacio de Minkowski de  la Teoría de Maxwell. Este tema puede ser profundizado con los siguientes trabajos: 1 – A. Logunov (“Curso de Teoría de la Relatividad y de la Gravitación”, Lecciones 1 y 2, 1998)  2 – N. Mermin ("Relativity without light", Am. J. Phys. 52 (2), 1984)  3 ­ S. Cacciatori, V. Gorini, A. Kamenshchik ("Special Relativity in the 21st century", 2008)  4 ­ Mitchell J. Feigenbaum ("The Theory of Relativity ­ Galileo's Child", 2008)   ___________________________________ Sigue > Transformaciones de Lorentz  

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Transformaciones de Lorentz

 

 

Los Postulados de Einstein no son consistentes con las Transformaciones de Galileo, ya que la constancia de la velocidad de la  luz para todos los observadores inerciales resulta incompatible con el Teorema de adici ón de velocidades de Galileo.

Teoría de  Relatividad  Especial Introducción Sistemas 

Considerando que la medici ón de velocidades implica medir espacio recorrido y tiempo empleado, no debemos anticipar o  prejuzgar caracter ísticas espaciales y/o temporales para las transformaciones de coordenadas entre sistemas inerciales. Resulta interesante remarcar que el primer desarrollo l ógico como continuación inmediata de la Teoría cuyos Postulados  acabamos de ver, ser ía encontrar, si es posible, las Transformaciones que satisfacen ese requerimiento. Debe tenerse muy  presente que las transformaciones que vinculan a los sistemas inerciales ser án la base fundamental y soporte de todas las leyes 

Inerciales

físicas, dado que las leyes deberán conservar su forma ante esas transformaciones.

Relatividad de 

Además, dado que las transformaciones buscadas son relaciones funcionales entre las coordenadas (espacio y tiempo) de dos  sistemas inerciales cualesquiera, veremos que su análisis e interpretaci ón permitirán obtener un mayor conocimiento sobre estos  dos conceptos fundamentales. 

Galileo Postulados de la  Teoría de  Relatividad Transformaciones de Lorentz Simultaneidad Contracci ón  espacial y 

Consecuentemente, corresponde establecer las hip ótesis necesarias para encontrar tales transformaciones para dos sistemas  inerciales en movimiento relativo, y que posean la propiedad de que en los sistemas el valor de la velocidad de la luz en el vacío  sea el mismo. Existen varias deducciones distintas de estas transformaciones de coordenadas en la bibliograf ía espec ífica, con distintos grados  de dificultad y enfoque. De acuerdo a mi larga experiencia docente, cualquiera de estas deducciones resulta muy complicada al  alumno tipo.   Al respecto, he desarrollado una demostraci ón que, en mi opinión y por razones did ácticas, resulta ser la más simple sin perder  rigor o generalidad, que veremos a continuaci ón.

Dilatación  temporal Cinem ática  relativista Cantidad de 

Hipótesis (fundamentadas por experimentos) En todo sistema inercial se cumple:           1. El espacio es isótropo y homogéneo           2. El tiempo es uniforme            3. La velocidad de la luz en el vacío es absoluta y vale 300000 Km/seg (Postulado de Einstein)

movimiento Dinámica  relativista Trabajo y Energ ía Principio de  Equivalencia Complementos de

Las primeras dos hip ótesis garantizan que el tama ño de un objeto ideal r ígido en reposo sea el mismo en cualquier posici ón y  orientación del espacio, y que la duración de un fenómeno bajo id énticas condiciones sea independiente del momento y lugar en  que ocurre.  Estas hip ótesis, que deber ían ser elevadas a la categor ía de postulados universales, est án fundamentadas en 400 a ños de  experiencias. Su importancia se hace notoria con los siguientes razonamientos: 1) si un objeto conserva su tamaño ello permite  definir una unidad de longitud; 2) si la duración de un determinado fen ómeno causal no depende del instante inicial del mismo,  podremos definir una unidad de tiempo.  Estas dos propiedades del espacio y el tiempo son las que definen la " m étrica" del sistema de referencia.

Energía Masa Propia y  Potencia Problemas Temas Especiales

Ello nos limita a que las transformaciones de coordenadas (x,y,z,t) entre dos sistemas inerciales deben ser lineales, pues de lo  contrario se perder ía la homogeneidad y/o la uniformidad. Aclaremos un poco más esta  última aseveración. Las transformaciones de coordenadas que permiten pasar de un sistema de referencia ( x,y,z,t) a otro (x’,y’,z’,t’) est án dadas por  4 relaciones funcionales, que en el caso m ás general pueden expresarse por: x’=f1(x,y,z,t)     y’=f2(x,y,z,t)     z’=f3(x,y,z,t)      t’=f4(x,y,z,t)  

  

Tratemos de analizar cómo deben ser estas funciones para que el espacio y el tiempo posean los mismos atributos en ambos  sistemas.  Supongamos que la función x’=f (x,y,z,t) es la siguiente relación cuadrática: x’=a.x 2, siendo a una constante.   1

En este caso un objeto r ígido de longitud L=x 2­x1 en el sistema O, cuyo tamaño es el mismo en cualquier posici ón sobre el eje x,  en el sistema O’ tendrá una longitud dada por  L’=(x’2­x’1)= a(x 22  ­ x12), cuyo valor depende de la posición en que est é ubicado  sobre el eje  x. Nótese que si desplazo el objeto en la direcci ón del eje x’ su longitud cambia. Es decir que en el sistema primado  el espacio no es homog éneo. El mismo análisis puede hacerse con las otras coordenadas, llegando a la conclusi ón de que la única manera de mantener  similares propiedades del espacio y el tiempo en ambos sistemas es que las transformaciones sean lineales, cuya expresi ón más  general para la coordenada  x' es: x’= a1 x+a 2 y+a 3 z+a 4 t+a 5  Nota: Muchas de estas constantes podr án anularse con la elección particular de ambos sistemas. Por ejemplo, si establecemos  que en el instante  t=t'=0 los sistemas coinciden, los términos independientes (a5) se anularán.  Sean dos sistemas de referencia inerciales (O y O ’), inicialmente coincidentes. Llamaremos V (en mayúscula) a la velocidad  relativa entre ellos. Cuando exista un objeto en movimiento, será v (en minúscula) su velocidad medida en el sistema O, y  v’ su  velocidad respecto de O ’.   Las coordenadas ( x,y,z,t) se refieren al sistema de O y las coordenadas ( x’,y’,z’,t’) son las correspondientes al sistema O ’.   En general, todas las variables no primadas corresponderán al sistema O y las primadas al O’.  Supongamos que en el instante inicial ambos sistemas coinciden. Para una mejor visualizaci ón los esquemas tendr án al sistema  O’ debajo del O.   Por simplicidad supondremos arbitrariamente que el O está en reposo y el O ’ con velocidad constante V en la dirección del eje x,  como muestra la figura.  

En general, todas las variables no primadas corresponderán al sistema O y las primadas al O’.  Supongamos que en el instante inicial ambos sistemas coinciden. Para una mejor visualizaci ón los esquemas tendr án al sistema  O’ debajo del O.   Por simplicidad supondremos arbitrariamente que el O está en reposo y el O ’ con velocidad constante V en la dirección del eje x,  como muestra la figura.  

Esta selección de movimiento relativo según el eje x hace que las coordenadas ( y’; z’) sean id énticas a las (y; z), de acuerdo con  las hipótesis establecidas. Las transformaciones lineales de coordenadas para relacionar ambos sistemas son de la forma:  

Mediante un c álculo simple podemos hallar la relación de velocidades (de un objeto) entre sistemas, obteniendo:  

Siendo 

  constantes arbitrarias que determinaremos mediante cuatro (4) experimentos pensados.

 

Experimento 1 ­ Objeto en reposo en O Para un observador en O ’ este objeto se mueve con velocidad  v´=­V, con movimiento rectilíneo uniforme seg ún el eje x’. 

Experimento 2 ­ Objeto con v x = V en O Para un observador fijo en O ’ este objeto est á en reposo.    

Experimento 3 – Un haz de luz se propaga según el eje x en O En ambos sistemas la velocidad medida resulta c.  

Experimento 3 – Un haz de luz se propaga según el eje x en O En ambos sistemas la velocidad medida resulta c.  

Experimento 4 – Un haz de luz se propaga según el eje y en O En ambos sistemas la velocidad medida resulta c.  

Halladas las constantes quedan determinadas las transformaciones de coordenadas que vinculan ambos sistemas, resultando  ser las Transformaciones de Lorentz, pero con diferente significado, ya que son las transformaciones lineales que relacionan la  métrica de dos sistemas de referencia inerciales. Tienen la propiedad de que la velocidad de la luz resulta la misma (c) en todos los sistemas inerciales. Esta deducción tiene la  ventaja que utiliza como argumento principal la constancia de la velocidad de la luz y el Teorema de Pit ágoras. Las mismas nos permiten pasar del sistema O al O’. Si quisiéramos encontrar las transformaciones que permiten pasar del O ’ al O  bastar ía con despejar las variables ( x, y, z, t) en función de (x’, y’, z’, t’). 

  Transformaciones de Lorentz  

Estas transformaciones no son generales pues corresponden al caso particular en que la velocidad relativa entre sistemas es  colineal con el eje x. Algunos temas particulares requieren que la dirección de la velocidad entre sistemas de referencia inerciales  sea cualquiera. En este caso las Transformaciones de Lorentz generales son más complicadas, resultando una expresión simple  si se usan las coordenadas tangencial y transversal a la velocidad V, respectivamente (Pauli,  “Theory of Relativity”, pág. 10):   

 

Estas transformaciones no son generales pues corresponden al caso particular en que la velocidad relativa entre sistemas es  colineal con el eje x. Algunos temas particulares requieren que la dirección de la velocidad entre sistemas de referencia inerciales  sea cualquiera. En este caso las Transformaciones de Lorentz generales son más complicadas, resultando una expresión simple  si se usan las coordenadas tangencial y transversal a la velocidad V, respectivamente (Pauli,  “Theory of Relativity”, pág. 10):   

 

Importante: Nótese que si la velocidad relativa entre sistemas es mayor que c se obtienen valores imaginarios de espacio y tiempo,  perdiendo su significado f ísico. Asimismo, hacer la velocidad del sistema igual a  c genera una indeterminaci ón pues el  denominador se anula en las Transformaciones de  x y t.  En consecuencia,  asignar a un sistema de referencia inercial una velocidad relativa V mayor o igual a la velocidad de la luz  carece de significado y no puede ser tratado en el marco de esta Teoría. Se podría pensar err óneamente que esto  último conforma una limitación de validez de la Teor ía de Relatividad Especial. Si se  analiza cuidadosamente se concluye que proponer una velocidad invariante tiene como consecuencia que dicha velocidad ( c) es  una cota máxima para un espacio­tiempo real, pues fija el dominio del par ámetro V tal que ­ c < V < c. En consecuencia,  proposiciones tales como fijar un sistema de referencia a un haz de luz o a un fotón en el vacío, es un error conceptual.  Algunas otras importantes conclusiones podemos obtener de un primer an álisis. Las Transformaciones de Lorentz convergen a las de Galileo si V << c. Esto resulta importante pues nos permite asegurar que la mec ánica clásica es valedera para velocidades bajas respecto de la  de la luz. Cuando  V es mucho menor que  c el tiempo resulta absoluto ( t'=t). La experiencia posterior a la Teor ía de Relatividad nos ha mostrado que todas las leyes relativistas convergen a las leyes  clásicas correspondientes cuando las velocidades involucradas son mucho menor que c, lo que se tradujo en el Principio de  Correspondencia. El Principio de Correspondencia establece como condici ón necesaria de validez que todas las leyes relativistas tiendan a las  clásicas cuando V/c tiende a cero, proveyendo una importante herramienta operativa para el desarrollo de leyes relativistas  en cualquier línea de trabajo. Tiempo y espacio están vinculados. Como veremos luego en forma más detallada, esta relaci ón funcional permitirá mostrar que la evolución temporal es diferente  entre sistemas inerciales en movimiento relativo. Este hecho genera uno de los cambios conceptuales necesarios más  importante, que trataré de explicar con un experimento pensado. Supongamos tener un p éndulo oscilando con pequeñas amplitudes. El sistema cuelga de un clavo en reposo respecto a  nuestro sistema. El movimiento resulta peri ódico y su período T medido es constante, dependiendo de la longitud del hilo ( l) y  de la aceleración de la gravedad ( g). Su expresión matemática es:                                               

                                                                                          

Ahora imaginemos otro péndulo oscilando, de igual longitud de hilo, que pasa frente a nosotros con velocidad V constante.  Midiendo adecuadamente el (pseudo) per íodo del p éndulo en movimiento encontramos, como demostraremos más adelante,  que oscila más lentamente que el nuestro.  Medir adecuadamente significa tener en cuenta que la posición inicial y la final de una oscilación del péndulo móvil son  distintas para nosotros y que, cualquiera sea la técnica de medición usada, corregiremos efectos aparentes, tales como  retrasos debido a la velocidad de la luz, paralaje, etc.  Más aún, dado que la longitud de los péndulos es la misma (y'=y) debemos asumir que la aceleración de la gravedad es  diferente en los sistemas en movimiento relativo.  Antes de la Teoría de Relatividad Especial medir implicaba tener un instrumento de medición y un objeto. Ahora medir involucra  también al observador. Todo parece indicar que "casi" todas las magnitudes f ísicas (sus valores) son relativas al sistema de referencia, como resultado  de que los sistemas en movimiento relativo tienen métricas espacio temporales distintas. Las magnitudes que tienen car ácter absoluto, adem ás de la velocidad de la luz en el vacío, son pocas y se especula que juegan  un papel fundamental en la estructura de nuestro universo. Para hallar estas magnitudes supuestamente "claves", es necesario  disponer de modelos te óricos relativistas de los distintos tipos de interacciones. En particular, las ecuaciones de Maxwell cumplen  este requisito, lo que permitió deducir que la carga es un invariante. Un electrón tendrá el mismo valor de carga eléctrica en  cualquier sistema de referencia inercial. Como veremos más adelante en detalle,  ésta creencia más la formulación de la Teoría de Relatividad en un espacio de cuatro  dimensiones (Minkowski), influyó en muchos especialistas generando una diferencia de criterios importante respecto de la masa,  aún no resuelta.

un papel fundamental en la estructura de nuestro universo. Para hallar estas magnitudes supuestamente "claves", es necesario  disponer de modelos te óricos relativistas de los distintos tipos de interacciones. En particular, las ecuaciones de Maxwell cumplen  este requisito, lo que permitió deducir que la carga es un invariante. Un electrón tendrá el mismo valor de carga eléctrica en  cualquier sistema de referencia inercial. Como veremos más adelante en detalle,  ésta creencia más la formulación de la Teoría de Relatividad en un espacio de cuatro  dimensiones (Minkowski), influyó en muchos especialistas generando una diferencia de criterios importante respecto de la masa,  aún no resuelta. En el ítem siguiente veremos otro caso de invariancia como consecuencia de las Transformaciones de Lorentz, que conforma una  propiedad fundamental de la m étrica de los sistemas inerciales.

Invariancia del Intervalo Se define suceso al conjunto (x, y, z, t) que determinan el punto en el espacio y el instante en que ocurre. Los sucesos  pertenecen a un espacio (matem ático) tetradimensional donde cada punto, llamado punto del universo, representa un suceso.  El movimiento de una partícula puntual en este espacio ser á una curva denominada  curva de universo. Tomemos ahora dos sucesos ( x1, y 1, z 1, t 1) y (x2, y 2, z 2, t 2). El cuadrado de la distancia espacial entre los sucesos est á dada por:     Llamaremos Intervalo al valor S obtenido de la relación  

Con las Transformaciones de Lorentz podemos calcular sin dificultad el intervalo de estos dos sucesos medidos por dos  observadores inerciales cualesquiera, resultando:     Llegamos a una conclusi ón muy importante:  El intervalo entre sucesos es igual en todos los sistemas inerciales.  Queda planteado demostrar que dos sucesos pueden ser causales sólo si S es real. Se propone, a modo de ejercicio usando cálculo diferencial, que se demuestre con las Transformaciones de Lorentz que el  intervalo elemental ds2 = c 2dt2 – (dx2+dy 2+dz2) es un invariante.  

Discusión Las Transformaciones de Lorentz fueron desarrolladas en el a ño 1900 como un avance para establecer las leyes del  electromagnetismo para sistemas inerciales en movimiento relativo. Lorentz mostr ó (parcialmente) que estas Transformaciones  dejaban invariantes las ecuaciones de Maxwell, sin lograr una interpretación conceptual.  La propuesta de Lorentz manten ía implícitamente la validez de las Transformaciones de Galileo, la m étrica espacial y la  coordenada temporal eran absolutas en los sistemas inerciales, asumiendo que por alguna razón física, que relacionaba con las  interacciones electromagnéticas, los objetos modificaban su tamaño y los relojes alteraban su marcha, provocando una  "aparente" constancia de la velocidad de la luz.  Las propiedades del espacio y el tiempo no eran alteradas (espacio­tiempo absoluto). Estas interpretaciones, tanto para el electromagnetismo como para la invariancia de la velocidad de la luz, tenía serias e  irreconciliables inconsistencias generadas principalmente por su interpretación dentro de un marco espacio temporal absoluto  (teoría del éter).  La deducción elaborada por Einstein se apoyaba en resultados experimentales (Postulados) y no requer ía conjeturas auxiliares,  tales como sistema de referencia absoluto, arrastre del  éter, deformación de objetos, o mal funcionamiento de relojes. Pero este  premio no era gratis, había que cambiar el concepto establecido sobre el espacio y el tiempo.  Analizando las Transformaciones de Lorentz bajo la óptica de Einstein lo primero que hay que destacar es que las coordenadas  (x, y, z, t) representan un punto del espacio y un instante, correspondientes a un sistema inercial O, y que las coordenadas (x',  y', z', t') representan ese punto del espacio y ese instante, pero correspondientes a un sistema inercial O' que se mueve  respecto del primero.  No son coordenadas particulares de un evento, ni la posici ón de un objeto o el instante inicial de un fenómeno. Son coordenadas  que dan la métrica espacio ­temporal del sistema correspondiente. Es decir que las transformaciones relacionan las m étricas del espacio y el tiempo entre dos sistemas inerciales. La interpretación de las Transformaciones de Lorentz como relación entre las métricas espacio temporales de los  sistemas inerciales debe ser considerada como uno de los avances más importantes del conocimiento universal. La gran revoluci ón conceptual la genera (principalmente) que  t' no es igual a t, como era en el marco galileano, sino que est á  relacionada tambi én con la posición.  Aclaremos un poco más este tema. Cuando decimos que el tiempo t es uniforme estamos indicando que la evolución temporal de  los fenómenos causales es constante en el sistema O. Un dado proceso, como la ca ída de una piedra o el crecimiento celular,  transcurre en el mismo lapso bajo idénticas condiciones, cualquiera sea el momento en que se inicie el proceso.  Además, al indicar que t es la coordenada temporal del sistema O hemos asumido arbitrariamente que el sistema est á  sincronizado, y en un instante cualquiera tenemos el mismo valor temporal en cualquier punto del espacio. Lo mismo vale para el sistema O', con su coordenada t' uniforme y sincronizada. La gran novedad aparece cuando vinculamos  ambas coordenadas ( t', t) con las transformaciones de Lorentz. Solamente hay coincidencia en el origen en el instante inicial  (t'=t=0) porque as í lo establecimos en la deducción de dichas transformaciones, concluyendo que para que la velocidad de la luz  sea invariante tenemos que aceptar que los sistemas inerciales en movimiento relativo tienen diferente evoluci ón temporal y  distinta métrica espacial, y que esas diferencias dependen de la velocidad relativa entre ellos. La dependencia de la coordenada temporal de un sistema con el tiempo y la posición del otro sistema provoca p érdida de  sincronización en el sistema móvil pues no da un mismo valor t' para puntos ( x) diferentes. Es decir que el sincronismo, que  requiere fijar el valor temporal simultáneamente en todo punto del espacio, es relativo al sistema.  Dicho más claramente, cada observador O y O' ve sincronizado su sistema, en el cual est á en reposo, y sin sincronismo el  sistema móvil. Si ahora consideramos un fen ómeno, como por ejemplo la caída de un cuerpo, habr á una posición inicial y una  final para cada 

La dependencia de la coordenada temporal de un sistema con el tiempo y la posición del otro sistema provoca p érdida de  sincronización en el sistema móvil pues no da un mismo valor t' para puntos ( x) diferentes. Es decir que el sincronismo, que  requiere fijar el valor temporal simultáneamente en todo punto del espacio, es relativo al sistema.  Dicho más claramente, cada observador O y O' ve sincronizado su sistema, en el cual est á en reposo, y sin sincronismo el  sistema móvil. Si ahora consideramos un fen ómeno, como por ejemplo la caída de un cuerpo, habr á una posición inicial y una  final para cada  sistema de referencia, con trayectoria y duración distintas para dos observadores en movimiento relativo constante. Será  necesario analizar en detalle las mediciones espaciales y temporales de los fen ómenos físicos. ___________________________________ Sigue > Simultaneidad 

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Simultaneidad

 

Supongamos que un observador O en un sistema de referencia inercial detecta dos sucesos ocurridos en ( x1, y 1, z 1, t 1) y (x2, y 2,  z2, t 2) respectivamente. Para que estos sucesos sean simultáneos debe cumplirse:  

Especial Introducción Sistemas  Inerciales

 

Dos eventos son simult áneos cuando suceden en el mismo instante.  

t1 = t 2   Si ahora pretendemos saber como registra estos mismos sucesos un observador O ’ que se mueve respecto de O con velocidad  V  constante, bastar á con determinar los valores (x’, y’, z’, t’) de cada uno de ellos mediante las Transformaciones de Lorentz.   Ello nos permite calcular la diferencia  t’2 ­ t’1 resultando:  

Relatividad de 

 

Galileo

 

Postulados de la  Teoría de  Relatividad Transformaciones de Lorentz Simultaneidad Contracci ón  espacial y  Dilatación  temporal Cinem ática  relativista Cantidad de 

Estos sucesos ser án simultáneos para O ’ si t’1 = t’2, condición que s ólo se cumple en el caso x1 = x 2 .  Se deja planteado demostrar que si dos eventos que suceden en distintos puntos ( x), son simultáneos para un observador O,  siempre es posible encontrar dos sistemas de referencia inerciales en los cuales el orden de los sucesos está invertido.  Con esto queda demostrado que la simultaneidad es relativa al sistema de referencia, siendo absoluta en el caso en que los  eventos sucedan en el mismo punto (choque). Esta es la raz ón por la cual un observador inercial O comprueba que otro sistema O’ en movimiento relativo no presenta su  tiempo t’ sincronizado.   También la simultaneidad de sucesos adquiere car ácter absoluto en el caso de dos eventos que ocurren sobre un  plano perpendicular a la velocidad V relativa entre los observadores O y O ’, sin necesidad de que haya choque. Es decir que dos  pelotas que golpean a diferente altura contra una pared simult áneamente para un observador en reposo respecto de la pared,  también serán sucesos simult áneos para cualquier observador que se mueva perpendicularmente a la pared con velocidad 

movimiento

constante. 

Dinámica 

Analicemos ahora un caso interesante. Supongamos que ocurre un proceso “causal” como sería por ejemplo lanzar una piedra en  el instante  t1 y romper un vidrio en t2. 

relativista Trabajo y Energ ía Principio de  Equivalencia Complementos de

Un fenómeno causal presenta las siguientes características: contiene siempre dos sucesos que, si ocurren en distintos puntos  del espacio, est án separados cronol ógicamente, y el orden de los eventos no puede invertirse.  Demostraremos que todo fenómeno causal es absoluto.  Para ello debe cumplirse (t’2 ­ t’1) > 0 para todo observador.  

Energía

Sea (t 2 – t1) la diferencia de tiempos entre el lanzamiento de la piedra en x1 y la rotura del vidrio en x2. Calculemos que 

Masa Propia y 

diferencia temporal le mide un observador O ’ en movimiento relativo. 

Potencia

 

Problemas

  Temas Especiales

  

Para que  (t’2 ­ t’1) > 0 debe ser         Dividiendo por (t 2 – t1) obtenemos     

  Siendo la variación espacial  (x2  ­ x1)   sobre la temporal (t 2 – t1) el valor de la velocidad media del objeto, que en nuestro caso  corresponde a la piedra en su viaje hacia el vidrio, será:     Dado que el segundo t érmino del primer miembro es menor que 1 pues las velocidades del observador y de la piedra siempre  son menores que la velocidad de la luz, la desigualdad es valedera y queda demostrado que un fen ómeno causal es absoluto. 

Causalidad y Determinismo No se tiene conocimiento del origen ni el momento histórico en que se incorpora en la humanidad el concepto de causalidad, en  el sentido de que cualquier cambio del estado de un sistema est á provocado por una causa anterior.  Más aún, el entrenamiento de animales dom ésticos ha demostrado que este concepto est á incorporado en los ejemplares  adultos, y se especula que todas las especies animales adquieren su conocimiento durante la gestaci ón y en la primera etapa de  su vida, como consecuencia de la repetibilidad de los fenómenos naturales, teniendo incidencia en su comportamiento particular  e incluso con el “sentido ” de preservaci ón de la especie.   

Causalidad y Determinismo No se tiene conocimiento del origen ni el momento histórico en que se incorpora en la humanidad el concepto de causalidad, en  el sentido de que cualquier cambio del estado de un sistema est á provocado por una causa anterior.  Más aún, el entrenamiento de animales dom ésticos ha demostrado que este concepto est á incorporado en los ejemplares  adultos, y se especula que todas las especies animales adquieren su conocimiento durante la gestaci ón y en la primera etapa de  su vida, como consecuencia de la repetibilidad de los fenómenos naturales, teniendo incidencia en su comportamiento particular  e incluso con el “sentido ” de preservaci ón de la especie.    La causalidad en su acepci ón básica más general es un concepto fundamentado en la observación de procesos o fen ómenos que  reúnen las siguientes caracter ísticas: 1.

Siempre que ocurre un fen ómeno se pueden encontrar dos eventos distinguibles (A y B), que están separados  cronológicamente y cumplen:

2.

Asignemos que A sea el primer suceso. Siempre que ocurre A, luego sucede B, y se conserva el orden de los sucesos. 

En este caso se postula que A y B son causa (A) y efecto (B). Adem ás, si reiteramos el fen ómeno y se repite de forma id éntica  para la observación, entonces se dice que el proceso es  “causal” y “uniforme”.   La aceptaci ón de la existencia de procesos causales uniformes es el soporte l ógico de la definición rigurosa de “tiempo”. Se  puede definir la magnitud tiempo (objetivo) como aquella que permite establecer el orden en la ocurrencia de sucesos.  Resulta evidente que, por tratarse de sucesos numerables, la magnitud es escalar. Los procesos causales uniformes, que bajo las mismas condiciones tienen la propiedad de repetirse en forma idéntica, permiten  establecer una unidad de medida, proveyendo una m étrica temporal, estableciendo cuantitativamente el pasado y el futuro, y  dándole al tiempo la propiedad de magnitud mensurable.  La consideraci ón usual del tiempo como “coordenada unidimensional continua ”, dentro de la física clásica, es una abstracción no  demostrada, sustentada principalmente por la mecánica de Newton y el éxito de los modelos te óricos posteriores desarrollados.  Es decir, que este atributo matem ático (continuidad) debe ser postulado y su validez limitada al modelo te órico correspondiente.  La física cuántica actual plantea modelos con la posibilidad de que la magnitud tiempo sea discreta. Resulta evidente que la estrecha e indisoluble relaci ón entre la magnitud tiempo y el concepto de causalidad incidió en el  desarrollo cient ífico, cuya consecuencia principal fue la postulación del Principio de Causalidad, aceptada como una ley inviolable  de la naturaleza, desde principios del siglo XIX. El Principio de Causalidad postula que todo efecto debe tener siempre una  causa. Asimismo, en ese siglo se complet ó la falsa interpretación de “causalidad lineal ” que, a grandes rasgos, afirma que los efectos de  un dado proceso resultan ser las causas de otros efectos futuros, por lo cual los fen ómenos naturales pueden interpretarse  como una sucesi ón ininterrumpida de procesos causales. Esta línea de pensamiento m ás la infundada creencia de una relaci ón  biunívoca entre causa y efecto desembocaron en el  “determinismo” a ultranza, del matemático P. Laplace (1749 ­ 1827).   Los fen ómenos naturales muestran infinidad de procesos causales peri ódicos, cuya ocurrencia repetida generó mitos y creencias  en la conciencia popular ( “el destino est á escrito”), que fueron incentivados por el determinismo mecanicista de Laplace, el que  propone que si se tiene el conocimiento completo del estado de un sistema en un momento dado, ser ía formalmente posible  conocer el estado del sistema en cualquier momento futuro.  Esta postura radical hizo que determinismo y causalidad fueran confundidos e, incluso, considerados la misma cosa. Como  veremos en este mismo capítulo, la causalidad es una ley inviolable, el determinismo no lo es. En consecuencia, cualquier ley,  teoría o modelo físico debe cumplir con el Principio de Causalidad y puede no ser determinista.  El enfoque matem ático de la causalidad, en mi opinión el más profundo, útil y preciso, se debe al genial matem ático  estadounidense Norbert Wiener (1894  ­ 1964), conocido como padre de la cibernética por su libro “Cibernética o el Control y  Comunicación en animales y máquinas“, publicado en 1948.    En el introduce la noción de “circularidad” mediante un concepto utilizado en la teoría de control, el feedback (retroalimetación),  con el cual interpreta la causalidad como la respuesta de todo sistema cuando es perturbado, y su reiteraci ón (circularidad) en la  búsqueda de un estado de equilibrio. Wiener estableci ó que el Principio de Causalidad es consecuencia de una " simetría" particular en los procesos de la naturaleza  (circulares en el tiempo), por lo cual este Principio actualmente es considerado Universal y, a los efectos de que se entienda su  importancia, de la misma jerarquía que los Principios de conservación de la energ ía, de la cantidad de movimiento y del momento  angular. Asimismo, mostró la falsedad de la causalidad lineal y estableci ó para los sistemas lineales, es decir aquellos que pueden ser  representados por ecuaciones diferenciales lineales, la condición matemática que debe cumplir una funci ón dependiente del  tiempo para ser causal. La deducci ón de la condición de Paley ­Wiener puede verse en el libro de A. Papoulis,  “The Fourier Integral  and its Applications”.   ___________________________________   Sigue > Contracción espacial y Dilatación temporal 

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Contracción espacial y Dilatación temporal

 

 

Hemos establecido a trav és de las Transformaciones de Lorentz que las m étricas de dos sistemas inerciales en movimiento  relativo son diferentes.  En consecuencia, debemos analizar qu é pasa con el tamaño de los objetos y la duración de los fen ómenos, cuando est án o  suceden en movimiento respecto de nosotros. 

Introducción

Por convención pondremos un sub índice 0 a todas las magnitudes que midamos en reposo respecto nuestro, y las llamaremos  propias. Por ejemplo, una longitud propia será la que midamos en reposo respecto del objeto. 

Sistemas 

Contracción de longitudes

Inerciales

Un observador inercial mide el largo (longitud propia) de un objeto en reposo, determinando las coordenadas espaciales de sus  extremos seg ún indica la figura, resultando l0 = x 2 – x1.  

Relatividad de 

 

Galileo Postulados de la  Teoría de  Relatividad Transformaciones de Lorentz Simultaneidad Contracci ón  espacial y  Dilatación  temporal Cinem ática  relativista Cantidad de  movimiento Dinámica  relativista Trabajo y Energ ía

Se pretende determinar qu é longitud le mediría otro observador O ’ en movimiento relativo con velocidad constante.    Debemos eliminar o corregir las ilusiones  ópticas producidas por la velocidad finita de la luz. Por ejemplo, si quisiéramos determinar la longitud de un objeto en movimiento sacándole una foto cuando se est á acercando o  alejando, tendr íamos que corregir las medidas obtenidas pues una foto, en esas condiciones, dará un tamaño aparente (ilusi ón  óptica). Se propone al lector que muestre que la foto dar á un tamaño mayor cuando se acerca y menor cuando se aleja.

Principio de  Equivalencia Complementos de

Como el objeto est á en movimiento para el observador O ´debemos ser cuidadosos y adoptar un criterio de medici ón adecuado,  como sería determinar ambas coordenadas  “simultáneamente ” en el sistema O’, lo que implica t’1 = t’2.  

Energía

Luego debemos comparar la longitud l’ = x’2 – x’1 con la longitud propia mediante las Transformaciones de Lorentz.  

Masa Propia y 

Aquí aparece algo interesante para la resoluci ón de problemas. Considerando que las Transformaciones de Lorentz directas o 

Potencia

inversas son conceptualmente la misma cosa, podemos elegir usar las que nos convengan.  En nuestro caso usaremos las inversas porque ello simplifica los cálculos debido a que t’1 = t’2, resultando:  

Problemas

  Temas Especiales

    

Despejando  l’ obtenemos:    

  Conclusión:  La longitud de un objeto en movimiento es menor que cuando el mismo objeto est á en reposo pues  V/c es siempre menor que 1.  No debe entenderse esto como un efecto  óptico o aparente, sino como el tama ño del objeto medido en movimiento, que resulta  tanto menor cuanto más rápido se mueva respecto del observador.   Ésta es una adecuada ocasi ón para discutir a qué se llama realidad en f ísica. En primer lugar digamos que la F ísica como ciencia intenta explicar cómo suceden las cosas y no porqué suceden. Todo lo que  estamos elaborando y todas las teor ías ya desarrolladas son modelos que procuran describir el comportamiento de los distintos  fenómenos naturales lo mejor posible, pero los modelos no son el fen ómeno. Esta postura es la científica y quedó plasmado  desde el inicio mismo del método científico, creado por Galileo, cuando distingui ó que la filosofía natural no incluye los mitos.  El gran físico­matemático argentino Jorge Staricco, en la introducci ón del magistral curso de Mecánica que dio en la Facultad de  Ingenier ía de la Universidad de Buenos Aires en 1965, al cual asist í como alumno, dijo: la importancia de la Ley de atracción  universal enunciada por Newton no es la relación funcional entre la fuerza y la distancia, que por otro lado hubiera sido resuelta por  Cavendish un ratito después, sino cómo la introdujo: Todo pasa como si existiera una fuerza…  Ahora permítanme que haga una pregunta directa sobre realidad: ¿Existe la fuerza de gravedad?   Recordemos que con el conocimiento funcional de la fuerza gravitatoria Newton demostr ó las Leyes de Kepler. Todo parece  indicar que dudar de la existencia de la fuerza de gravedad es demencial.

 

universal enunciada por Newton no es la relación funcional entre la fuerza y la distancia, que por otro lado hubiera sido resuelta por  Cavendish un ratito después, sino cómo la introdujo: Todo pasa como si existiera una fuerza…  Ahora permítanme que haga una pregunta directa sobre realidad: ¿Existe la fuerza de gravedad?   Recordemos que con el conocimiento funcional de la fuerza gravitatoria Newton demostr ó las Leyes de Kepler. Todo parece  indicar que dudar de la existencia de la fuerza de gravedad es demencial. En el año 1916 apareció otra Teor ía que postulaba que la fuerza gravitatoria no existe, que las masas no se atraen pero tienen  la propiedad de alterar la m étrica espacio temporal. Con ella también se demostraron las Leyes de Kepler. Su autor fue Albert  Einstein y la Teoría es la de Relatividad General. Al no tener una respuesta l ógica única, el concepto de realidad en la física se modificó durante el siglo XX, principalmente por el  desarrollo de la Mecánica Cuántica y la Teoría de Relatividad, de tal manera que su interpretaci ón fuera única. El concepto de realidad es un tema filos ófico que depende de la línea de pensamiento particular.  Realidad, para la ciencia, es lo que muestran las mediciones y es válida solamente en el marco de la teoría correspondiente, cuya  bondad y alcance no depende de las creencias del lector.  En consecuencia, digamos que  todo pasa como si el tamaño “real” de un objeto fuera mayor cuando est á en reposo que cuando  est á en movimiento, pues eso es lo que se mide. En el marco de la Teor ía de Relatividad Especial los objetos en movimiento  tienen un tamaño menor que en reposo.

Dilatación temporal Un observador inercial mide la duraci ón (tiempo propio) de dos sucesos que ocurren en un punto fijo (x 0 ; y 0 ; z 0 ), como por  ejemplo prender una lámpara en el instante  t1 y apagarla en  t2, estando en reposo respecto de la l ámpara.  Esta duraci ón resulta T0 = t 2 – t1, y se pretende determinar qu é valor T’ le medirá otro observador O ’ en movimiento relativo con  velocidad constante.  En este caso usaremos las Transformadas directas porque ello simplifica los c álculos debido a que x1 = x 2 = x 0 resultando:       

Resulta evidente que  T’ > T0 pues la velocidad relativa V debe ser menor que  c  Conclusión: Cualquier lapso medido  (t 2 – t1) de dos sucesos es relativo al sistema de referencia.   Asimismo, se demuestra que el tiempo propio de cualquier fen ómeno es el menor valor posible de la duración de dicho evento. Dado que este razonamiento es v álido para todos los fenómenos naturales, todo observador ver á que los procesos transcurren  más lentamente cuando suceden en movimiento respecto de él, y este hecho ser á tanto más pronunciado cuanto mayor sea la  velocidad relativa entre el sistema donde ocurre el fen ómeno y el observador.  Nota: Hemos calculado la contracción de la longitud de un objeto y la dilataci ón temporal de un reloj, ambos en reposo en el sistema O.  Por supuesto que si estuvieran en reposo en el sistema O’ obtendr íamos idénticas conclusiones simétricas pues todos los  sistemas inerciales son equivalentes.

Tiempo propio Cuando un cuerpo o sistema físico se mueve arbitrariamente, el tiempo propio de un proceso que ocurra en dicho objeto debe  calcularse asumiendo que se tiene un reloj fijo en el objeto.  Un sistema de referencia fijo a un cuerpo que se mueve arbitrariamente puede no ser inercial, por lo cual en general no  podremos aplicar las Transformaciones de Lorentz para comparar las métricas.  Sin embargo, si aceptamos que la aceleración no tiene influencia en la evolución temporal en dicho sistema no inercial, veremos  que es posible calcular el tiempo propio buscado.  Destaquemos que esta suposici ón no tiene respaldo te órico alguno (ver Möller “The Theory of Relativity”, pág. 49) y no es  verificada por determinaciones experimentales incuestionables (GPS), por lo cual este tema ser á tratado en detalle por  separado. Lo que sigue es el tratamiento usual del tema en la bibliograf ía clásica tradicional, sin que ello implique que sea correcto  rigurosamente. De acuerdo con la suposici ón históricamente aceptada podemos asumir que en cada instante hay un sistema inercial cuya  velocidad relativa coincide con la velocidad del cuerpo o sistema físico, lo que permitirá calcular el tiempo propio como la suma de  las variaciones infinitesimales ( dt’) en dicho sistema.    Las Transformaciones de Lorentz que hemos deducido oportunamente no son generales puesto que hemos puesto  arbitrariamente la velocidad relativa entre sistemas coincidente con el eje  x. Dado que esta condici ón no se cumplirá para un  movimiento arbitrario, debemos usar las Transformaciones de Lorentz  generales, cuya expresi ón para la coordenada temporal  es:  

Teniendo en cuenta que el proceso cuyo tiempo propio estamos midiendo est á sobre el objeto en movimiento y que la velocidad  del cuerpo corresponder á en cada instante a la velocidad del sistema inercial que le fijemos, ser á v=V. En consecuencia,  diferenciando la expresi ón anterior llegamos a:  

El tiempo elemental dt’ que medirá un reloj fijo al objeto ser á menor que el correspondiente  dt que medimos en nuestro sistema  inercial. Integrando obtenemos el tiempo propio mediante:  

 

El tiempo elemental dt’ que medirá un reloj fijo al objeto ser á menor que el correspondiente  dt que medimos en nuestro sistema  inercial. Integrando obtenemos el tiempo propio mediante:  

Es importante destacar que en esta expresión la velocidad corresponde a la del objeto y puede ser funci ón del tiempo  dependiendo del movimiento que realice el objeto. Además, dado que el integrando es siempre menor que 1, el tiempo propio siempre es el menor valor posible, cualquiera sea el  movimiento del objeto. Debe tenerse en cuenta que no podemos comparar las m étricas entre sistemas pues solamente requerimos que uno sea inercial,  sino que hallamos la expresi ón general para el cálculo de tiempo propio de un objeto, cualquiera sea su movimiento, a trav és de  mediciones temporales hechas desde el sistema inercial. Veamos un ejemplo simple: Un objeto rota alrededor de un observador inercial con movimiento circular uniforme. Se sincronizan dos relojes en t=t’=0, uno  (t’) fijo al objeto y el otro ( t) en el sistema inercial. Al cabo de una vuelta se comparan los tiempos resultando que el reloj fijo al  cuerpo atras ó. El cálculo es simple pues el módulo de la velocidad v es constante.    

Este atraso (cualitativo) no es relativo al sistema, es absoluto, y ello ocurrir á sobre cualquier reloj acelerado respecto de uno  inercial.  Una vez comprendido el concepto (hist órico) de tiempo propio y la forma de calcularlo, la maltratada "Paradoja de los gemelos"  deja de ser un misterio y puede ser analizada sin dificultad. Recomiendo su an álisis aunque advierto que este tratamiento es  incompleto pues no considera los efectos temporales debidos a la aceleración. Nota: Las correcciones temporales que se programan en el  Sistema de Posicionamiento Global (GPS) para mantener el sincronismo  entre sat élites dedicados y la Tierra, suelen describirse como efectos debidos al " cambio temporal" de la Relatividad Especial y al  "retraso temporal" causado por el campo gravitatorio, predicho por la Teoría General. En mi opinión esta manera de enfocar el tema esconde el error cometido en este tema dentro de la Teoría de Relatividad  Especial, cual es asumir que las aceleraciones no tienen influencia en la marcha de los relojes.  ___________________________________ Sigue > Cinemática relativista. Efecto Doppler 

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Cinemática relativista. Efecto Doppler

 

 

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La cinemática relativista no presenta gran dificultad en la parte operativa debido a que los cálculos son similares a los que se  realizan en cinemática clásica. Si un dado problema de movimiento de un cuerpo es complicado en el modelo relativista, también 

Teoría de 

lo es en la mecánica newtoniana. 

Relatividad  Especial Introducción

No sucede lo mismo desde el punto de vista conceptual cuando se pretende comparar  un determinado movimiento de un cuerpo  desde dos sistemas de referencia inerciales en movimiento relativo. La raz ón de que ello ocurra es que en cinemática relativista  la velocidad de la luz es un valor finito.

Sistemas 

La primera gran dificultad está con la posición de un punto material que se desplaza respecto de un observador inercial. Lo 

Inerciales

“vemos” en un punto del espacio pero sabemos que est á en otro, debido al tiempo que tardó en llegarnos la información. Es  decir que tenemos dos panoramas posibles: el  “aparente ”, que es el que vemos, y el que llaman  “real”, que ser ía el que 

Relatividad de  Galileo

corresponde a la supuesta posición calculada, teniendo en cuenta el tiempo que tarda en llegarnos la informaci ón. En realidad el  que conocemos con certeza es el aparente, que es el que medimos.

Postulados de la  Teoría de  Relatividad Transformaciones de Lorentz Simultaneidad Contracci ón  espacial y  Dilatación  temporal Cinem ática  relativista

La mayoría de los cálculos se hacen con las posiciones que denominamos reales, en razón de que las Transformaciones de  Lorentz relacionan la métrica espacio temporal de dos sistemas inerciales sin contemplar lo que medir ía un observador que no  tuvo en cuenta las correcciones relacionadas con la velocidad de la luz.  Este hecho parece resolver la cuesti ón estableciendo un criterio para la descripci ón de los movimientos, haciendo referencia  siempre a posiciones reales.  Sin embargo, veremos que ello resulta inadecuado en determinados casos. En la dinámica relativista las interacciones entre cuerpos materiales ocurren a trav és de campos cuya descripción corresponde a  la posición aparente de los cuerpos y no a las posiciones reales, debido a que los campos se propagan tambi én a velocidad  finita, que asumimos idéntica a la de la luz. En consecuencia, si suponemos conocidas las posiciones reales, debemos calcular las  aparentes para obtener el resultado correcto. En electromagnetismo las interacciones entre partículas cargadas en movimiento se calculan utilizando los “potenciales  retardados ”, que son funciones relacionadas con el campo que corresponde a las posiciones aparentes, resolviendo el planteo  anterior, y ello podemos hacerlo porque disponemos de las ecuaciones de Maxwell.

Cantidad de  movimiento

En los otros tipos de interacciones (fuerzas gravitatorias y nucleares), no tenemos las ecuaciones de campo válidas en sistemas 

Dinámica 

inerciales, simplemente porque no hemos logrado desarrollar aún un modelo teórico adecuado, por lo cual ni siquiera sabemos si  es posible obtener la expresi ón teórica de los potenciales retardados correspondientes. 

relativista Trabajo y Energ ía

En particular, los problemas que presentan interacciones gravitatorias suelen tratarse con la Ley de Newton en el marco de la  Relatividad General, aunque en rigor dicha ley es v álida solamente para cuerpos en reposo. 

Principio de 

Otro aspecto complicado, que extrañamente la bibliografía usual no trata, se refiere a la posición real de un objeto en 

Equivalencia

movimiento respecto de dos sistemas inerciales. Analicemos un caso particular:

Complementos de

Dos observadores inerciales O y O ’ est án en movimiento relativo. Supongamos que sus sistemas de referencia están alineados y 

Energía

sus or ígenes de coordenadas espaciales coinciden en el instante t=t’=0. Cada observador tiene sincronizado su sistema, lo que  significa que en un instante cualquiera su coordenada temporal tiene el mismo valor en todo el espacio, pero ambos observan 

Masa Propia y 

que en el otro sistema de referencia el tiempo indicado por el otro observador tiene valores distintos en diferentes puntos del  espacio, es decir que no est á sincronizado.

Potencia Problemas Temas Especiales

Asumamos arbitrariamente que O está en reposo y O ’ en movimiento uniforme según el eje x, con velocidad V respecto de O, y  que tenemos un cuerpo que se mueve con velocidad  v respecto de O, seg ún muestra la figura. Sea x0 la coordenada  x del cuerpo  en el instante  t=0.   

  

 

Se pretende saber cu ál es la posición x’ del objeto para O ’ en el instante  t’=0.  Usando las Transformaciones de Lorentz obtenemos lo que medir ía O’:   

 

Se pretende saber cu ál es la posición x’ del objeto para O ’ en el instante  t’=0.  Usando las Transformaciones de Lorentz obtenemos lo que medir ía O’:   

 

Nótese que la posici ón del objeto en nuestro caso est á determinada para  t’0 < 0, es decir que O’ no obtiene la posici ón del  objeto (x’0) cuando ambos sistemas est án coincidentes en el espacio, sino un rato antes ( t’0) de que O’ se cruce con O.  En consecuencia, para determinar la posici ón que ambos observadores le miden a un objeto en movimiento en el instante  t=t’=0,  en que ambos sistemas son coincidentes, debemos conocer el movimiento completo en alguno de los dos sistemas, es decir su  trayectoria y tipo de movimiento, que nos permita calcular dónde estar á en el otro. Veamos un caso simple. Si el objeto se mueve con velocidad v constante podemos hacer el c álculo de cuánto avanzar ía respecto de O ’ hasta que los  sistemas coincidan, y así obtener la posición x’t’=0 que le mediría O’ en t’=0, resultando:      

Siendo v’ la velocidad del objeto medida por O ’, cuyo cálculo se mostrará luego con el teorema de adición de velocidades.    En el segundo miembro de la igualdad, el último término representa lo que avanz ó el objeto. Esta expresión puede ponerse de la  siguiente forma:    

Si el cuerpo está en reposo respecto de O, la velocidad v’ medida por O’ será ­V, y la coordenada x’0 valdrá:     

Este resultado muestra el efecto de la contracción de longitudes ya visto. De éste an álisis obtenemos una consecuencia muy importante para el estudio de los sistemas de muchos cuerpos no  estacionarios, como por ejemplo el Universo. Supongamos que en un sistema inercial queremos obtener la configuraci ón dinámica de un determinado conjunto de cuerpos  puntuales en movimiento. Para ello debemos conocer simultáneamente la posición y la velocidad de cada uno de los puntos  materiales.  Si ahora deseamos saber qu é configuración se obtendr ía en otro sistema inercial en movimiento relativo, deberemos hacer  correcciones que contemplen le p érdida de sincronismo entre sistemas.  Nota: En el apartado de Temas Especiales se adjunta un desarrollo original (no publicado) que demuestra que la expansi ón del  Universo es absoluta, es decir que en todos los sistemas inerciales las galaxias se alejan de un punto (centro), y en todos ellos  se cumple la forma de la Ley de Hubble (velocidad proporcional a la distancia).  

Teorema de adición de velocidades Dado un cuerpo que se mueve con velocidad v respecto de un sistema inercial O, se pretende determinar qué velocidad le mide  otro observador O ’ en movimiento relativo uniforme. En la figura, por razones did ácticas, se indica solamente la componente en  la dirección x.  

Usando las Transformaciones de Lorentz podemos calcular las velocidades medidas por un observador O ’.   

Usando las Transformaciones de Lorentz podemos calcular las velocidades medidas por un observador O ’.   

 

Se destacan las siguientes particularidades:   1 – Para velocidades del objeto ( v) y del sistema (V) mucho menores que c se obtienen las relaciones de Galileo.    2 – Las velocidades transversales ( vy; v z) dependen de la velocidad seg ún x.   3 – Si el objeto fuera luz en el vac ío, los dos sistemas medir ían lo mismo (c).  El cálculo de las aceleraciones se deja planteado como ejercicio, destacando que se obtienen con el mismo procedimiento  empleado y que la aceleración no resulta una magnitud absoluta (como sucede en la mec ánica clásica).

Efecto Doppler La frecuencia de una onda emitida por una fuente resulta diferente si dicha fuente est á en reposo o en movimiento relativo al  observador, aumenta cuando la fuente se acerca y disminuye cuando se aleja.  El fenómeno fue descrito y explicado te óricamente en forma clásica (no relativista) por el f ísico y matemático austríaco Christian  Doppler (1803­1853) en el año 1842, en una monograf ía sobre espectroscop ía en estrellas binarias.  La ley original obtenida relaciona la frecuencia de una onda luminosa con la velocidad relativa entre el observador y la fuente de  las ondas, y no es consistente con la teor ía de relatividad (desarrollada posteriormente) pues se fundamenta en las  Transformaciones de Galileo. La formulaci ón relativista rigurosa del fen ómeno fue elaborada por Einstein en su principal  publicación de 1905. El efecto es de naturaleza ondulatoria y su estudio aparentemente resulta complejo en virtud de que intervienen tres actores: la  fuente de ondas, la onda que se propaga y el observador. Sin embargo, veremos que el fenómeno puede ser explicado como un  efecto relativista sobre la propagaci ón ondulatoria.  Por razones pr ácticas, en general sólo nos interesar á el punto de vista del observador, es decir la frecuencia que un observador  inercial le mide a una onda emitida por una fuente m óvil, y su relación con la frecuencia propia y velocidad instant ánea de dicha  fuente. Los procesos ondulatorios fueron convenientemente explicados por el matem ático francés D’Alembert (1717­1783), cuyos  aportes en el planteo y soluci ón de ecuaciones diferenciales a derivadas parciales le permitieron elaborar la teor ía matemática de  las ondas en 1747, estableciendo su famosa “ecuación de ondas ”:        

Toda solución Ф(x,y,z,t) de esta ecuaci ón es una onda cuya velocidad de propagación es v. Asimismo, si una función no satisface  esta ecuaci ón no puede ser asignada a un fen ómeno ondulatorio. La soluci ón más simple posible, conocida como “onda  armónica simple”, que se propaga en el sentido positivo de las  x, corresponde a la expresi ón:   

 

Al respecto, aunque en este curso se asume que el lector conoce la teor ía de ondas, es conveniente recordar algunas  particularidades: x (dirección de propagaci ón) es un punto del espacio y  t un instante de tiempo. Al argumento (kx­w t) se lo denomina fase y debe ser un n úmero adimensional, es decir sin unidades.  En consecuencia,  k (número de onda) tiene unidades de  1/longitud y w (frecuencia angular) de 1/tiempo. El sentido de propagaci ón queda determinado por el signo de los 2 t érminos de la fase. Si son distintos la onda se propaga en  el sentido creciente de  x; si son iguales será en sentido opuesto. La función verifica la ecuación de ondas si se cumple v=w/k. A es la amplitud máxima de la onda. Sus unidades quedar án determinadas por el tipo de onda que se trate. Por ejemplo, si es  una onda sonora, A podr á tener unidades de presi ón. En ambos sistemas inerciales la onda tiene la misma forma funcional pues la ecuación de ondas es relativista. Se deja planteado demostrar que dicha ecuaci ón conserva su forma ante Transformaciones de Lorentz.  Primero mostraremos que la frecuencia de una onda, cualquiera sea su naturaleza, es una magnitud relativa al sistema de  referencia. Supongamos tener dos observadores inerciales en movimiento relativo, como muestra la figura, que miden la frecuencia y la  velocidad de una onda armónica simple que se propaga de izquierda a derecha en la direcci ón del eje x.

una onda sonora, A podr á tener unidades de presi ón. En ambos sistemas inerciales la onda tiene la misma forma funcional pues la ecuación de ondas es relativista. Se deja planteado demostrar que dicha ecuaci ón conserva su forma ante Transformaciones de Lorentz.  Primero mostraremos que la frecuencia de una onda, cualquiera sea su naturaleza, es una magnitud relativa al sistema de  referencia. Supongamos tener dos observadores inerciales en movimiento relativo, como muestra la figura, que miden la frecuencia y la  velocidad de una onda armónica simple que se propaga de izquierda a derecha en la direcci ón del eje x.  

Aplicando las Transformaciones de Lorentz podemos encontrar la correspondiente expresi ón en el sistema primado:  

     

En el sistema en movimiento se cumple:  Comparando con la relaci ón anterior se obtiene:

 

Para evitar confusiones llamaremos  vP a la velocidad de propagaci ón.    Reemplazando  k = w / v P  obtenemos la relaci ón buscada:    

Si se trata de ondas luminosas en el vac ío la velocidad de propagaci ón es la misma en ambos sistemas de referencia pues la luz  se propaga con la misma velocidad c en todos los sistemas inerciales. En este caso tenemos:    

Fácilmente puede verse que  w’ < w si el sistema primado se mueve en la dirección de propagaci ón, y w’ > w si es en sentido  contrario (V<0).  Este resultado muestra que la frecuencia de una onda es una magnitud relativa al observador, y ello es independiente del  movimiento de la fuente de ondas.  En rigor, la frecuencia de cualquier sistema o proceso f ísico periódico resulta ser una magnitud relativa al sistema de referencia  en el que se mide. Dos observadores con distinto estado de movimiento medirán distinta frecuencia de un mismo proceso  periódico.  Por supuesto que si la fuente se encuentra en reposo en uno de los dos sistemas de referencia, el observador en dicho sistema  medirá la misma frecuencia de la onda y de la fuente (frecuencia propia), mientras que el observador en movimiento medirá  distintas frecuencias no coincidentes, tanto de la fuente en movimiento como de la onda. La conclusión global será que la  frecuencia de una onda aumenta si la fuente se mueve hacia el observador, disminuye si se aleja, y en estos casos no  coincide con la frecuencia de la fuente en movimiento.

En rigor, la frecuencia de cualquier sistema o proceso f ísico periódico resulta ser una magnitud relativa al sistema de referencia  en el que se mide. Dos observadores con distinto estado de movimiento medirán distinta frecuencia de un mismo proceso  periódico.  Por supuesto que si la fuente se encuentra en reposo en uno de los dos sistemas de referencia, el observador en dicho sistema  medirá la misma frecuencia de la onda y de la fuente (frecuencia propia), mientras que el observador en movimiento medirá  distintas frecuencias no coincidentes, tanto de la fuente en movimiento como de la onda. La conclusión global será que la  frecuencia de una onda aumenta si la fuente se mueve hacia el observador, disminuye si se aleja, y en estos casos no  coincide con la frecuencia de la fuente en movimiento. Finalmente, siendo w0 la frecuencia propia y (Vf  ) la velocidad de la fuente de ondas, que arbitrariamente definimos positiva si la  fuente se aleja al observador y negativa si se acerca, la relaci ón funcional entre la frecuencia medida (w) y la velocidad de la  fuente (Vf  ), estará dada por:    

Esto  último parece estar en contradicción con el hecho aceptado por el cual la frecuencia de una onda debe ser la misma que la  de la fuente que la produce, cosa que solo sucede para un observador en reposo respecto de la fuente periódica.  La explicación de esta aparente contradicci ón es sutil pero simple. Nótese que la forma en que se miden las frecuencias de la  fuente y de la onda es diferente: la correspondiente a la onda se mide en un punto fijo (reposo) respecto del observador,  mientras que la de la fuente se mide en movimiento. La frecuencia de un sistema peri ódico, medida por un observador en movimiento relativo, se modifica de acuerdo a la ley de  “dilatación temporal”:      

Siendo T0 el período propio del sistema peri ódico y T el “pseudo ” período que le mide el observador inercial al sistema peri ódico  en movimiento, que resulta siempre mayor que el período propio e independiente del sentido de la velocidad del sistema f ísico. Por otro lado, una onda es un proceso espacio temporal y su frecuencia se determina como la inversa del tiempo que tarda en  pasar una longitud de onda por un punto fijo respecto del observador. 

Efecto Doppler Transversal Se denomina as í al cambio de frecuencia de una onda que ocurre cuando la fuente de ondas se mueve en direcci ón transversal a  la recta que une la fuente y el observador. Este efecto, predicho por Einstein, fue detectado experimentalmente en 1938. La explicación relativista es muy simple: la fuente que se mueve transversalmente está sujeta a la  “dilatación temporal”, por lo  cual su frecuencia se modifica de acuerdo a la última relación vista y coincide con la frecuencia de la onda medida debido a que la  fuente no se aleja ni se acerca del observador:    

Siendo w0 la frecuencia propia de la fuente,  w la frecuencia (de la onda y de la fuente) medida por el observador, y V la velocidad  transversal de la fuente. Nótese que el efecto Doppler transversal siempre da corrimiento al rojo (w < w0).  Este planteo último y el tratamiento anterior pueden inducir al error de creer que el efecto Doppler tangencial y transversal  son dos fenómenos distintos, cuando en realidad se trata de un único efecto: el cambio de frecuencia de una onda debido al  movimiento relativo entre la fuente y el observador. En el planteo inicial por razones did ácticas se propuso arbitrariamente que la onda se propagaba seg ún el eje x, para luego  tratar en forma independiente el caso de una fuente con movimiento transversal.  Si hubiéramos analizado los cambios que se producirían sobre una onda cuando la fuente se mueve en cualquier dirección,  obtendr íamos una  única relación general válida para el Doppler transversal y longitudinal respectivamente. Esto lo haremos a  continuación. 

Tratamiento general del efecto Doppler luminoso (enfoque ondulatorio) Nos interesa determinar la frecuencia medida por un observador inercial de una onda emitida por una fuente m óvil con velocidad  vs , en relación a la frecuencia propia de la fuente (en reposo).  Supongamos tener una fuente de ondas monocromática en reposo en un sistema inercial y un observador O en el punto A, como  muestra la figura.  

  El observador medir á la misma frecuencia a la onda y a la fuente (w0).   Para evitar confusiones llamaremos  u x y u y a las componentes de la velocidad (c) de propagación de la onda.   A los efectos de estudiar solamente el cambio de frecuencia que medirá un observador O ’ en movimiento respecto de O, la onda  (con simetría esférica) que llega al punto A puede ser considerada una onda escalar plana (fuente alejada). La dirección de  propagaci ón queda determinada por los cosenos directores del vector velocidad de propagaci ón (c). La expresión matemática es 

  El observador medir á la misma frecuencia a la onda y a la fuente (w0).   Para evitar confusiones llamaremos  u x y u y a las componentes de la velocidad (c) de propagación de la onda.   A los efectos de estudiar solamente el cambio de frecuencia que medirá un observador O ’ en movimiento respecto de O, la onda  (con simetría esférica) que llega al punto A puede ser considerada una onda escalar plana (fuente alejada). La dirección de  propagaci ón queda determinada por los cosenos directores del vector velocidad de propagaci ón (c). La expresión matemática es  de la forma:  

 

Para un observador O ’ con velocidad V respecto de O, la fuente de ondas se mueve con  vS = ­V, formando un ángulo con la  dirección de propagaci ón. Podemos calcular la función de la onda para O ’ aplicando las Transformaciones de Lorentz    

 

En el sistema primado la función de onda tendr á la misma forma matemática, aunque sus parámetros pueden tomar valores  distintos que en el sistema O.  

Ahora podemos dar la expresión general del efecto Doppler (tangencial y transversal) y una regla para evitar posibles errores de  signos.  Si establecemos arbitrariamente que la velocidad de la fuente VS sea positiva si se aleja del observador y negativa si se  acerca, y el coseno del  ángulo lo tomamos siempre positivo, la frecuencia que éste le mide est á dada por:    

Dado que 

, siendo e el versor con la dirección y sentido de propagación de la luz, la relación anterior 

Ahora podemos dar la expresión general del efecto Doppler (tangencial y transversal) y una regla para evitar posibles errores de  signos.  Si establecemos arbitrariamente que la velocidad de la fuente VS sea positiva si se aleja del observador y negativa si se  acerca, y el coseno del  ángulo lo tomamos siempre positivo, la frecuencia que éste le mide est á dada por:    

Dado que 

, siendo e el versor con la dirección y sentido de propagación de la luz, la relación anterior 

puede expresarse (M öller, "The Theory of Relativity", pág 62):    

Nota: Este efecto tambi én puede ser tratado desde el punto de vista corpuscular, considerando a la luz formada por fotones con  cantidad de movimiento y energ ía. En este caso se puede realizar el mismo tipo de análisis anterior y determinar c ómo se  modifica la energía del fotón, llegando al mismo resultado final del efecto Doppler.  Se propone al lector que haga el c álculo utilizando las transformaciones de Lorentz de la cantidad de movimiento y la energ ía  (E/c), que tienen la misma forma que las del espacio y el tiempo respectivamente.  

  ___________________________________ Sigue > Cantidad de movimiento  

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Cantidad de movimiento

 

 

En Mecánica Clásica la forma más usual de introducir la cantidad de movimiento es mediante su definición como el producto de la  masa de un cuerpo material por su velocidad, para luego analizar su  relación con la ley de Newton a trav és del teorema del  impulso y la variación de la cantidad de movimiento.  No obstante, luego del desarrollo de la F ísica Moderna, esta manera de hacerlo no resultó la más conveniente para abordar esta  magnitud fundamental. El defecto principal es que esta forma esconde el concepto inherente a la magnitud, que resulta ser una propiedad de cualquier  ente físico con o sin masa, necesaria para describir las interacciones.  Los modelos actuales consideran que no s ólo los cuerpos masivos poseen cantidad de movimiento, también resulta ser un  atributo de los campos y los fotones.

Relatividad de  Galileo

Para abordar el tema con un enfoque m ás moderno primero se deben analizar las interacciones en sus diferentes  manifestaciones de acuerdo a los modelos cl ásicos convencionales: 

Postulados de la  Teoría de  Relatividad

La primera, que resulta clásica en mecánica racional, es considerar el choque entre cuerpos materiales, aceptando  implícitamente que entre ellos no hay fuerzas atractivas o repulsivas, siendo fortuito el encuentro. Aqu í aparece la cuesti ón  sobre choque el ástico perfecto y choque plástico con pérdida de energ ía.

Transformaciones de Lorentz Simultaneidad Contracci ón  espacial y  Dilatación  temporal Cinem ática  relativista Cantidad de  movimiento Dinámica  relativista Trabajo y Energ ía Principio de  Equivalencia Complementos de Energía Masa Propia y  Potencia

El siguiente tipo,  campo­partícula sin pérdida de energ ía (choque el ástico), resulta de considerar que cada part ícula posee  un campo asociado capaz de interactuar con la otra, modificando sus trayectorias, velocidades y energ ías. Un ejemplo típico  es el estudio de  fuerzas centrales en mecánica analítica.  En este modelo se considera que los campos actúan instant áneamente, es decir a velocidad infinita, perdiendo su significado  como ente físico real, para ser un formalismo auxiliar que simplifica su análisis. En esta categoría est án la Ley de Coulomb y la  Ley de gravitación universal de Newton. El caso de interacción campo­partícula con pérdida de energ ía resulta más complejo pues aparece un tercer participante, un  fotón con la energía disipada.  Un ejemplo importante e ilustrativo que permite explicar el espectro continuo de emisión de rayos x, es el estudio de la  radiación de frenado que ocurre con electrones r ápidos obligados a cambiar bruscamente de direcci ón por acción del campo  eléctrico de un  núcleo atómico, con pérdida de energ ía por emisión de radiación (fotón de radiación x).  La interacción radiación­ materia es el caso más ilustrativo de la limitación de la definición usual de la cantidad de movimiento  (p=mv ). El efecto Compton, que ocurre entre fotones de rayos x o rayos gamma con electrones cuasi libres, es explicado  convenientemente si el fotón posee una cantidad de movimiento cuyo m ódulo est á dado por:                    p= , siendo h la constante de Planck y v la frecuencia. El fotón y la partícula material modifican sus trayectorias, cantidades de movimiento y energías como resultado de una  interacción. Los cuatro casos descriptos tienen en com ún la transferencia de energ ía durante la interacci ón y/o cambios de dirección del  movimiento. A los efectos de poder predecir las consecuencias de una interacción de acuerdo a lo mostrado por la experiencia, es  necesario hacer extensivo el concepto de cantidad de movimiento a todos los entes f ísicos capaces de transferir energ ía, siendo  una magnitud vectorial con direcci ón y sentido de la velocidad de la partícula y cuyo comportamiento responde a leyes de  conservación. 

Problemas

Esta magnitud, que nos permitir á calcular el estado final de los participantes luego de una interacción, resulta ser:  Temas Especiales

1.

Para part ículas masivas p=mv

2.

Para fotones en el vacío p=

    

c

Las leyes de conservación postuladas como Principios, necesarias para el an álisis de las interacciones entre part ículas en un  sistema aislado (sin fuerzas exteriores), sean partículas masivas o no, son: 1.

El Principio de conservación de la energ ía

2.

El Principio de conservación de la cantidad de movimiento

3.

El Principio de conservación del momento angular 

La gran matemática Emmy Noether (1882­1935) demostró en 1915 que estos Principios son propiedades de leyes de simetr ía del  espacio y el tiempo. Una demostraci ón de estos "Principios" en el marco de la mec ánica analítica puede verse en el libro 1 de  Landau ­Lifshitz "Curso abreviado de Física Teórica". Se demuestra que: 1.

La conservaci ón de la energ ía sale de la uniformidad del tiempo.

2.

La conservaci ón de la cantidad de movimiento es consecuencia de la homogeneidad del espacio.

3.

La conservaci ón del momento angular resulta de la isotrop ía del espacio.

Vamos a dedicarle atenci ón al de la conservación de la cantidad de movimiento. En el apartado que sigue incorporo una demostración propia, válida para sistemas inerciales en el marco de la mec ánica  newtoniana. 

Conservación de la cantidad de movimiento (no relativista). La isotrop ía y la homogeneidad espacial requieren que las transformaciones de coordenadas entre sistemas inerciales sean  lineales.  La uniformidad del tiempo y la suposici ón de que su evoluci ón es la misma en todos los sistemas inerciales hace que la  coordenada temporal sea absoluta. Estas propiedades del espacio y el tiempo permiten deducir f ácilmente las Transformaciones de Galileo. Veamos su desarrollo: Sean dos sistemas inerciales O y O’ en movimiento relativo con velocidad V seg ún el eje x, coincidentes en el instante  t=0. 

Conservación de la cantidad de movimiento (no relativista). La isotrop ía y la homogeneidad espacial requieren que las transformaciones de coordenadas entre sistemas inerciales sean  lineales.  La uniformidad del tiempo y la suposici ón de que su evoluci ón es la misma en todos los sistemas inerciales hace que la  coordenada temporal sea absoluta. Estas propiedades del espacio y el tiempo permiten deducir f ácilmente las Transformaciones de Galileo. Veamos su desarrollo: Sean dos sistemas inerciales O y O’ en movimiento relativo con velocidad V seg ún el eje x, coincidentes en el instante  t=0.  Las transformaciones lineales son x’ = a 1  x + a 2  t           y’ = y            z’ = z   Consideremos un objeto en reposo en O en la coordenada x. Para cualquier observador de O’ el objeto se mueve con velocidad  v’x’ = ­ V  Derivando obtenemos: v’x ’  = ­ V = a 1  vx  + a 2  = a 2            a 2  = ­V  Consideremos ahora un objeto con velocidad  V en O. Para el observador O’ el objeto est á en reposo respecto de  él.  Derivando obtenemos: v’x ’ = 0 = a 1  vx  + a 2  = a 1  V – V           a 1  = 1   Reemplazando resultan las Transformaciones de Galileo x’ = x ­ V t        y’ = y        z’ = z  Mostraremos ahora que el Principio de conservación de la cantidad de movimiento se obtiene como consecuencia de las  Transformaciones de Galileo. Estas transformaciones tienen una propiedad muy interesante: la diferencia de dos velocidades cualesquiera, sean de un objeto  o de cuerpos diferentes y en el mismo instante o en instantes distintos, es la misma para todo observador inercial, es decir que  es absoluta. Ello se debe a que las velocidades medidas por dos observadores inerciales están relacionadas por:  v’x ’  = vx  – V         v’y’  = vy         v’z’ = vz   Nótese que cuando se calcula la diferencia entre dos velocidades se simplifica la velocidad V, con lo cual se hace independiente  de la velocidad relativa entre sistemas.  Ahora analicemos el caso de una interacci ón entre dos cuerpos. Consideremos dos part ículas (1 y 2) que interactúan. Midiendo su velocidad antes (a) y despu és (d) de la interacción podemos  plantear las siguientes relaciones absolutas, v álidas para las tres componentes:  v1d  – v1a  = cte = k 1            v 2a  – v2d  = cte = k 2   Si las partículas son masivas, con masas  m1 y m2 respectivamente, puede determinarse la relación k1 / k 2  en concordancia con la  definición de masa relativa de Mach (1838 ­1916). Se define como masa inercial relativa entre dos part ículas que interact úan, a la relación de los módulos de las aceleraciones  medias sufridas en la interacción.  m21  = m2  / m1  = a 1  / a 2   Siendo la aceleraci ón media la diferencia de velocidades dividida el tiempo de interacción, que es el mismo para ambas  partículas, resulta: m21  = m2  / m1  = a 1  / a 2  = Δv1  / Δv2  = k 1  / k 2   En consecuencia, reemplazando obtenemos el Principio de conservación de la cantidad de movimiento. m1  v1a  + m2  v2a  = m1  v1d  + m2  v2d    Nota:  Un aspecto interesante es que la demostraci ón es aplicable a todo tipo de part ículas, incluyendo aquellas cuya masa propia sea  nula (fotones). Sin embargo, si consideramos válida la definición de masa dada por Mach, toda part ícula con la capacidad de  interactuar tiene masa asociada. Este hecho genera un nuevo dilema, pues en el caso de fotones se acepta que no son masivos  (masa propia nula). Más adelante, en din ámica relativista, veremos que este tema admite distintos tratamientos y es  actualmente un motivo de discusi ón.  

Conservación de la cantidad de movimiento en Relatividad Especial. Masa relativista. El Principio de Relatividad establece que las leyes válidas de la física deben ser invariantes ante transformaciones de Lorentz,  esto es que conserven su forma en todo sistema inercial.  Las leyes describen comportamientos mediante ecuaciones que relacionan magnitudes, las cuales pueden tomar valores  distintos respecto de diferentes sistemas, es decir ser relativas al sistema de referencia. En consecuencia, el Principio de Relatividad nos brinda una herramienta muy importante para la formulaci ón y/o verificación de  leyes.  El procedimiento es el siguiente: definidas las magnitudes involucradas en una ley clásica, válida en un sistema inercial, se  aplican las transformaciones de Lorentz y se determina cómo deben modificarse dichas magnitudes para que la ley conserve su  forma. Luego, usando el Principio de Correspondencia, se verifica que la ley relativista se transforme en la clásica para c  tendiendo a infinito . Finalmente, se analiza la conveniencia que dicha formulaci ón tiene frente a otras opciones posibles. Puede suceder que existan diferentes opciones para obtener una dada ley. De hecho ese fue el caso cuando se intentó  establecer le ley fundamental de la mec ánica relativista. Einstein utilizó inicialmente la Ley de Newton expresada mediante  F=ma. La forma en que se transforman la Fuerza y la aceleraci ón cuando se pasa de uno a otro sistema de referencia es diferente, y  esa diferencia es distinta seg ún se trate de las componentes paralelas a la velocidad relativa entre sistemas o transversales a  ella. En consecuencia, si se pretende que la ley de Newton as í expresada ( F=ma) sea relativista, la masa debe tomar valores  distintos seg ún sea una dirección paralela a su velocidad o transversal a ella.  Esta  p érdida de isotrop ía de la masa no result ó “atractiva” conceptualmente, y se resolvi ó proponiendo  F=dp/dt como ley de la  mecánica, pues esta forma de expresar la Ley de Newton conserva su forma ante Transformaciones de Lorentz, sin que la masa  pierda su isotrop ía.   Si aceptamos como definición de cantidad de movimiento p=mv , siendo m la masa, debemos determinar cómo se modifican las  magnitudes involucradas para que la ley de conservaci ón de la cantidad de movimiento sea v álida en todos los sistemas de 

esa diferencia es distinta seg ún se trate de las componentes paralelas a la velocidad relativa entre sistemas o transversales a  ella. En consecuencia, si se pretende que la ley de Newton as í expresada ( F=ma) sea relativista, la masa debe tomar valores  distintos seg ún sea una dirección paralela a su velocidad o transversal a ella.  Esta  p érdida de isotrop ía de la masa no result ó “atractiva” conceptualmente, y se resolvi ó proponiendo  F=dp/dt como ley de la  mecánica, pues esta forma de expresar la Ley de Newton conserva su forma ante Transformaciones de Lorentz, sin que la masa  pierda su isotrop ía.   Si aceptamos como definición de cantidad de movimiento p=mv , siendo m la masa, debemos determinar cómo se modifican las  magnitudes involucradas para que la ley de conservaci ón de la cantidad de movimiento sea v álida en todos los sistemas de  referencia inerciales. La modificación de las velocidades ya fue resuelta con el teorema de adición de velocidades, por lo cual nos queda por  determinar cómo debería modificarse la masa para que la Ley tenga la misma forma en todos los sistemas inerciales.     Existen diversas maneras de encarar el tema. La mayor ía (sino todos) de los enfoques existentes en la extensa bibliograf ía  sobre Relatividad Especial lo analizan mediante choque entre dos part ículas, ya sea elástico con cambio de dirección o inelástico.  Al respecto, desarroll é una demostración que se distingue por su simpleza y porque no requiere choque entre part ículas.  Veamos su desarrollo: Dos partículas idénticas se mueven seg ún muestra el esquema. Por isotropía espacial sus masas deben ser iguales.  

En estas condiciones el centro de masa del sistema permanece en reposo y su cantidad de movimiento es nula. Al sistema de  referencia en el cual el centro de masa está en reposo se lo denomina  Sistema de centro de masa (o inercia). Dado que es un planteo unidimensional ( x;x’) no indicaremos los sub índices de los ejes.   Para otro observador que se mueva con velocidad  V = v, la partícula 1 está en reposo y el centro de masa posee una velocidad  v ’CM = ­ v . A este sistema de referencia en el cual una partícula está en reposo se lo denomina  Sistema de Laboratorio.  La cantidad de movimiento en el Sistema de Laboratorio es:  

 

Siendo m’ la masa de la partícula 2, con velocidad v’2 y m0 la masa de la partícula 1, en reposo. Aqu í la condición de simetría no  corresponde pues las part ículas tienen distinto estado de movimiento.  Despejando obtenemos:    

Aplicando las transformaciones de las velocidades podemos calcular v’2     

Resolviendo esta ecuaci ón algebraica podemos hallar  v’CM en función de v’2. Por tratarse de una ecuaci ón de segundo grado  tendrá dos soluciones, pero una sola con significado f ísico (pues v'CM  < v' 2  ). Con la condición de que el módulo de la velocidad  del centro de masa debe ser menor que el de la velocidad de la partícula 2, obtenemos:  

Reemplazando en la expresi ón de la masa y operando obtenemos:    

Siendo m0 la masa de la partícula 1, en reposo,  y m’ la masa de la partícula 2 en movimiento.    Dado que las part ículas son idénticas en reposo, podemos generalizar la expresi ón anterior y aplicarla para una partícula en  movimiento. Esta masa variable con la velocidad, junto al Principio de Equivalencia entre masa y energ ía, dieron lugar a la definición de masa  relativista. Volveremos a tratar el tema luego del estudio sobre energ ía relativista. Es muy importante destacar dos cosas: 1.

En la expresión anterior no aparece expl ícitamente la velocidad relativa entre sistemas de referencia.  La masa relativista expresa el valor de la masa en funci ón de la velocidad que posee respecto de cada observador inercial.  La inercia de un cuerpo material es relativa al observador y depende de su velocidad.

2.

Hemos supuesto que la masa propia de la part ícula m0  es invariante, es decir que toma el mismo valor en cualquier sistema  de referencia inercial. Ello no es arbitrario pues si as í no fuera los sistemas inerciales no ser ían equivalentes ya que habr ía  una forma de distinguirlos.

Operando la  última expresión y usando la definición clásica de cantidad de movimiento (p=mv ), obtenemos:  

La masa relativista expresa el valor de la masa en funci ón de la velocidad que posee respecto de cada observador inercial.  La inercia de un cuerpo material es relativa al observador y depende de su velocidad. 2.

Hemos supuesto que la masa propia de la part ícula m0  es invariante, es decir que toma el mismo valor en cualquier sistema  de referencia inercial. Ello no es arbitrario pues si as í no fuera los sistemas inerciales no ser ían equivalentes ya que habr ía  una forma de distinguirlos.

Operando la  última expresión y usando la definición clásica de cantidad de movimiento (p=mv ), obtenemos:  

 

Siendo m la masa relativista y m0 la masa en reposo que, rigurosamente, deber ía llamarse masa propia.   La formulación de la Relatividad en un espacio de 4 dimensiones (Minkowski, 1864 ­1909) dio lugar, en los  últimos 20 años, a que  especialistas reconocidos tuvieran extensas, caprichosas e innecesarias discusiones, sobre la conveniencia o no de utilizar la  masa relativista.  En el caso en que se quiera evitar el uso de masa relativista debe redefinirse la cantidad de movimiento (ver la expresión  siguiente). Finalmente llegamos a la conclusi ón que la cantidad de movimiento es v álida en el marco de la Relatividad Especial si en cualquier  sistema de referencia inercial queda determinada por la relaci ón:    

Siendo m0 la masa en reposo y  v  la velocidad de la part ícula en dicho sistema.   Esta definición de cantidad de movimiento es compatible con p=mv  sólo si aceptamos que la masa varía con la velocidad. Por ello  resulta conveniente, cuando se traten relaciones o leyes que involucren a la masa, indicar a la masa en reposo con el subíndice  0. En este Curso utilizaremos  m en el sentido de masa relativista y m0 para la masa en reposo, manteniendo la definici ón  “newtoniana ” de la cantidad de movimiento.  Luego de este an álisis es fácil mostrar para una interacción entre dos part ículas en un sistema aislado, que el Principio de  conservación de la cantidad de movimiento se cumple en todos los sistemas de referencia inerciales.  Nota: De acuerdo con la definición clásica de cantidad de movimiento (p=mv ) debemos aceptar que esta Ley de conservaci ón resulta  válida si aceptamos que la masa de un cuerpo depende de su velocidad (m ás rigurosamente de su contenido energético). El concepto de masa establecido por la mecánica clásica es que su valor es una medida de su inercia, es decir la tendencia a  conservar su velocidad. Aceptar que la inercia de un cuerpo material aumenta con la velocidad, hecho que fue confirmado  experimentalmente, tiene otras implicancias muy profundas. Tal vez la más importante sea su relaci ón con la masa gravitatoria.  El estudio de ca ída libre relativista da resultados diferentes si el campo gravitatorio se aplica sobre la masa relativista (caso  correcto) o sobre la masa en reposo.  En la carpeta Temas Especiales se trata la  “Caída libre relativista”, con ambos tratamientos.    ___________________________________ Sigue > Dinámica relativista 

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Dinámica relativista

 

 

La Teoría Mecánica puede ser formulada de manera axiomática de varias maneras, lo que hist óricamente dio lugar a diferentes  enfoques (Newton, Lagrange, Poincar é, Einstein). Sin embargo, todos ellos tienen en com ún que sus postulados b ásicos, de una  u otra forma, se fundamentan en los mismos tres aspectos distintivos del comportamiento de la naturaleza, que son:

Relatividad  Especial Introducción Sistemas  Inerciales Relatividad de  Galileo Postulados de la  Teoría de  Relatividad Transformaciones de Lorentz Simultaneidad Contracci ón  espacial y  Dilatación  temporal Cinem ática  relativista

1.

Cómo suceden los fen ómenos para observadores distintos ( relatividad).

2.

Cómo responden cuerpos distintos ante un mismo requerimiento ( causalidad).

3.

Cómo se comportan los cuerpos entre s í (interacciones).

Para  Newton (1643­1727) la formulación es con sus tres leyes (Principios), que en conjunto responden exactamente a cada uno  de los puntos anteriores, y es de validez limitada a sistemas de referencia inerciales.  Este enfoque no requiere de ning ún otro postulado b ásico, que alguna bibliografía redundantemente incorpora, como por  ejemplo el llamado Principio de independencia de los movimientos, que resulta una consecuencia matem ática del carácter  vectorial de las magnitudes (velocidad, aceleración, fuerza). Muchos autores, particularmente los correspondientes a la denominada “escuela americana” (Sears, Ingard y Kraushaar,  Feynman), no suelen analizar en profundidad la fundamentaci ón de la Mecánica, y tratan al Principio de Inercia (primera ley)  como si estuviera contenido en la segunda ley de Newton, despreciando o ignorando un aspecto fundamental del enunciado, por  el cual la primera ley es un Principio.  Como veremos, esta paup érrima interpretación induce a cometer dos errores graves: no comprender el significado del Primer  Principio y creer que un Principio es demostrable.  Veamos más en detalle el tema en cuestión. La primera ley de Newton establece que " Si sobre un cuerpo no actúa fuerza alguna éste permanece en su estado de reposo o de  movimiento rectilíneo uniforme (MRU)". No hay duda que el mismo describe explícitamente la ley de inercia de los cuerpos, desarrollada por Galileo.  Sin embargo, un aspecto muy significativo de este enunciado es que implícitamente contiene el Principio de Relatividad de los  movimientos, ya que trata a ambos estados (reposo y MRU) como  estados naturales equivalentes (ver A. Sommerfeld, "Lectures  on Theoretical Physics ­ Mechanics"). Este simple hecho tiene varias consecuencias importantes:  

Cantidad de  movimiento

Relaciona a observadores inerciales en movimiento relativo, pues un cuerpo en reposo para un observador se mover á con  MRU para el otro.

Dinámica  relativista Trabajo y Energ ía Principio de  Equivalencia Complementos de Energía Masa Propia y  Potencia Problemas Temas Especiales

  

Incorpora las transformaciones de Galileo, ya que son las  únicas que satisfacen la equivalencia entre reposo y MRU  conservando el car ácter absoluto del tiempo. Generaliza la teor ía a todos los sistemas inerciales conteniendo, en consecuencia, el Principio de Relatividad de Galileo. En mi opinión, postular la equivalencia entre el reposo y el MRU es el aspecto clave de este enunciado y le da entidad de Principio  a la primera ley de Newton. Si el objetivo de la primera ley tan sólo fuera establecer que la velocidad es constante cuando no hay fuerzas aplicadas, ello ya  estar ía contenido en la segunda ley y no har ía falta referirse al estado de reposo (V=0) pues éste ser ía un caso particular.  Obviamente, con esta interpretación parcial la primera ley de Newton no tendría razón de ser.  Probablemente esta interpretación incompleta del Principio de Inercia tenga su origen en la forma en que fuera enunciado por  Newton, qui én debió desterrar las ideas aristot élicas propias de esa  época, por las cuales se asum ía que para que un cuerpo se  mueva hay que estar empuj ándolo. Aunque este Curso de Relatividad no requiere el conocimiento de  Mecánica Analítica (Euler, Lagrange, Hamilton), señalemos  que su formulación se basa en un Principio extremal que resulta válido en cualquier sistema de referencia (inercial o no),  mientras que las interacciones se tratan asumiendo que pueden ser descritas por funciones continuas que cumplen ciertos  requisitos. Este enfoque es más general que el newtoniano y su estudio es necesario para la fundamentaci ón y desarrollo de la  Mecánica Cuántica. Siguiendo las ideas de  Poincaré y Einstein, la teoría de la mecánica, ya sea clásica o relativista, puede fundamentarse en las  propiedades de simetr ía del espacio y del tiempo, y en el Principio de Relatividad, indicando con esto  último que las leyes de la  mecánica son las mismas en todos los sistemas inerciales.  La homogeneidad e isotrop ía del espacio y la uniformidad del tiempo, aceptados como postulados v álidos para los sistemas  inerciales, permiten deducir como teorema las transformaciones de coordenadas que correspondan, las de Galileo (mecánica  clásica) si asumimos que el tiempo es absoluto, o las de Lorentz (mecánica relativista) si aceptamos que la velocidad de la luz en  el vacío es la misma para todos los observadores inerciales (ver Transformaciones de Lorentz ).   En este enfoque la segunda ley de Newton ya no es un Principio, es la definición de fuerza. Resumiendo, los axiomas de la teoría mecánica bajo este encuadre son: Principio de Relatividad. Homogeneidad e isotrop ía del espacio. Uniformidad del tiempo. Válidos para todo observador inercial. Nota importante:  Estudios más profundos sobre las propiedades del espacio y el tiempo, iniciados por Poincar é (1904) y Minkowski (1908), y  continuados por N. Mermin ("Relativity without light", Am. J. Phys. 52 (2), February 1984) y A. Logunov (1998), permitieron mostrar  que la Teoría de Relatividad queda rigurosamente establecida postulando que los fenómenos físicos suceden en un espacio  cuadridimensional cuya geometr ía es pseudo euclídea. Al fijar la métrica no es necesario incorporar el Principio de Relatividad ni la constancia (absoluta) de la velocidad de la luz, pues  ello se obtiene como consecuencia. Un análisis completo puede verse en el extraordinario libro de A. Logunov ( "Curso de Teoría de la Relatividad y de la Gravitación",  lecciones 1 y 2).

continuados por N. Mermin ("Relativity without light", Am. J. Phys. 52 (2), February 1984) y A. Logunov (1998), permitieron mostrar  que la Teoría de Relatividad queda rigurosamente establecida postulando que los fenómenos físicos suceden en un espacio  cuadridimensional cuya geometr ía es pseudo euclídea. Al fijar la métrica no es necesario incorporar el Principio de Relatividad ni la constancia (absoluta) de la velocidad de la luz, pues  ello se obtiene como consecuencia. Un análisis completo puede verse en el extraordinario libro de A. Logunov ( "Curso de Teoría de la Relatividad y de la Gravitación",  lecciones 1 y 2). La condición de invariancia de la velocidad de la luz en el vacío provocó la revisión de los conceptos sobre el espacio y el tiempo,  modificando la formulación de la mecánica desde sus cimientos. Las Transformaciones de Lorentz ocuparon el lugar de las de  Galileo y el Principio de Relatividad brindó la herramienta para la formulaci ón de leyes relativistas. Una ley clásica resulta relativista s ólo si conserva su forma en los sistemas inerciales. Como vimos, esto condiciona a las  variables físicas que intervienen en ella pues, ante transformaciones de Lorentz, deben modificarse de tal manera que la  expresión de la ley sea la misma.  Pedir que las leyes conserven su forma no es un nuevo requisito. Cuando en mec ánica clásica decimos que las leyes de Newton  son válidas en todos los sistemas inerciales es exactamente decir que conservan su forma ante transformaciones de Galileo. Tal  vez esto no era tan notorio en la mec ánica clásica debido a que la fuerza, la masa y la aceleraci ón son magnitudes invariantes  ante transformaciones de Galileo, es decir, no modifican su valor al cambiar de un sistema inercial a otro inercial. Lo nuevo en Relatividad Especial es el grupo de transformaciones que utilizamos (Lorentz), cuya aplicación usualmente provoca  que las magnitudes involucradas en una ley sean relativas al sistema de referencia. En consecuencia, corresponde ser muy  cuidadoso en la definici ón de las mismas.

Masa El concepto básico que asumiremos es que la masa de un cuerpo, part ícula o ente físico capaz de interactuar con otro,  es una  medida de su inercia, y su definición debe ser compatible con la conservaci ón de la cantidad de movimiento, tema ya tratado. Llamaremos partículas masivas a toda part ícula que posea masa en reposo distinta de cero. Por razones hist óricas, las  radiaciones (campos y fotones) se denominan arbitrariamente no masivas pues no poseen masa propia, aunque s í poseen masa  relativista si se adopta p=mv  como definición de cantidad de movimiento.  Como veremos oportunamente, la masa inercial de un cuerpo depende de su contenido energético, por lo cual el concepto de  masa como cantidad de materia no resulta muy adecuado en esta formulación. La definición de Newton, como la constante de proporcionalidad entre la fuerza y la aceleración, que se mide con una balanza,  hay que descartarla totalmente pues la fuerza y la aceleraci ón no resultan colineales en mec ánica relativista. Dado que ésta  definición es utilizada por algunos pocos autores, digamos que en ese caso la masa deja de ser una magnitud escalar pues  toma valores distintos seg ún la dirección que se trate. Una definición adecuada parece ser la de Maupertuis ( m=p/v): la masa inercial es el cociente entre los m ódulos de la cantidad  de movimiento y de la velocidad de la partícula. Esta definición fue analizada por el matem ático Hermann Weyl (1885­1955) y  puede adaptarse para part ículas no masivas (fotones). Tiene el inconveniente que requiere previamente la definici ón de la  cantidad de movimiento. La definición operativa de Mach de masa relativa, utilizada en un apartado anterior, tiene una restricci ón formal menor, su  definición no puede aplicarse a un sistema de más de dos cuerpos. Sin embargo, resulta una opci ón atractiva y es posible  adecuarla incluso para partículas no masivas (fotones). En todos los casos las mediciones se deben realizar antes y despu és  de la interacción.  Nosotros vamos a mantener el concepto de masa como una medida de la inercia. Nota: Un análisis más profundo nos demuestra que el fen ómeno de inercia de los cuerpos tiene dos causas de distinta naturaleza: la  masa relativista, que es una propiedad del cuerpo, y la imposibilidad de superar la velocidad de la luz, que es una consecuencia  de las propiedades del espacio y del tiempo.  Por el momento, para  partículas masivas, adoptaremos la definición de masa de Mach. Esta magnitud es relativa al sistema de  referencia, y queda determinada por la expresión de masa relativista, ya vista en el apartado anterior.    

Para  partículas no masivas (fotones) aceptemos por ahora que su masa inercial est á dada por:  

El caso de masa inercial distribuida sobre un campo de radiaci ón electromagnética es más complejo y requiere el conocimiento  del vector de Poynting, por lo cual no ser á tratado en este curso inicial. Luego, cuando veamos energía y el Principio de equivalencia entre masa y energía, daremos una definición precisa, más  amplia y general, aplicable en todos los casos.

Cantidad de movimiento Definimos como cantidad de movimiento a la magnitud vectorial p=mv , siendo m la masa inercial. 

Fuerza La mecánica relativista puede formalmente proponerse partiendo de la definici ón de fuerza a través de la relación vectorial:  

Siendo p=mv  la cantidad de movimiento, con  m la masa inercial que es la masa relativista, recientemente vista.  Considerando que  ésta ley debe conservar su forma ante Transformaciones de Lorentz, se pueden obtener las fórmulas de  transformación de las tres (3) componentes de la fuerza, resultando expresiones complicadas (ver M öller, “The Theory of  Relativity”), debido a que la fuerza y la aceleraci ón pueden no ser paralelas.    Desarrollando la expresión anterior obtenemos:    

Considerando que  ésta ley debe conservar su forma ante Transformaciones de Lorentz, se pueden obtener las fórmulas de  transformación de las tres (3) componentes de la fuerza, resultando expresiones complicadas (ver M öller, “The Theory of  Relativity”), debido a que la fuerza y la aceleraci ón pueden no ser paralelas.    Desarrollando la expresión anterior obtenemos:     Resulta evidente que la fuerza y la aceleración no son colineales en general. Ésta caracter ística es una de las principales diferencias con la mec ánica clásica y es la raz ón por lo que se dice que la fuerza es  “conceptualmente ” diferente en relatividad a la aceptada en la mecánica newtoniana.   Asimismo, corresponde reiterar que la expresi ón F=ma no es válida pues no es equivalente a la definición de fuerza que hemos  adoptado y no deber ía ser utilizada. El Teorema del Impulso y la variación de la cantidad de movimiento sale naturalmente de la definición de fuerza.  

Resulta claro que si no hay fuerzas exteriores aplicadas se cumple la conservaci ón de la cantidad de movimiento. Permítanme ahora tratar una relaci ón muy importante, derivada de la definición de fuerza, cuya demostración será dada luego de  tratar el tema de energ ía relativista. Ella es:    

Siendo v  la velocidad de la part ícula. Si descomponemos esta relación vectorial en dos componentes, transversal y tangencial a  la velocidad, obtenemos:    

Esta última expresión muestra claramente que si la velocidad de una partícula tiende a la velocidad de la luz (c), la aceleración en  la dirección del movimiento tiende a cero (0), cualquiera sea el valor de la fuerza aplicada. En consecuencia, ningún cuerpo  material puede alcanzar la velocidad de la luz en un tiempo finito.  Ahora supongamos que tenemos una part ícula (fotón) que se desplaza a la velocidad de la luz, sobre la cual actúa una fuerza. Las expresiones vistas muestran claramente que la aceleraci ón tangencial siempre ser á nula, por lo cual no es posible modificar  el módulo de su velocidad (c). Sólo es posible modificar su dirección pues la aceleraci ón transversal puede no ser nula. Como  veremos, la masa relativista del fotón es m = hv/c 2.   f 

En la carpeta Temas Especiales se tratará el tema “Curvatura de la luz en Relatividad Especial".   Por otro lado, si reemplazamos la masa relativista y despejamos F, resulta:  

 

Estas expresiones han dado lugar a que algunos autores que usan solamente la masa en reposo consideren, erróneamente,  que la partícula posee una inercia  “longitudinal” diferente de la “transversal ”. Obviamente el error consiste en aceptar como  válida la expresión F=ma. En la formulación planteada en este curso la masa que mide la inercia es la masa relativista, que es  isótropa.  

Conclusiones Ningún cuerpo material puede alcanzar la velocidad de la luz en el vac ío. Ninguna radiación puede modificar el módulo de su velocidad en el vacío. Las radiaciones poseen masa inercial m>0  y masa propia nula. Fuerza y aceleración no son colineales en general. Nota: Un fotón puede ser considerado una part ícula pues re úne las tres características necesarias: 1.

Posee energ ía (hv).

2.

Posee cantidad de movimiento ( hv/c).

3.

Posee estructura (campo, longitud de coherencia).

___________________________________ Sigue > Trabajo y Energia 

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Trabajo y Energía

 

 

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Comenzaremos el estudio sobre energ ía tratando el caso de una part ícula (puntual) de masa propia  m0, en estado libre en un 

Teoría de 

sistema inercial. Cuando aplicamos una fuerza externa ello provocar á un cambio de su cantidad de movimiento que podemos  calcular con el Teorema del Impulso, como vimos en el apartado anterior.

Relatividad  Especial

Ahora vamos a profundizar el estudio de las modificaciones dinámicas que sufre la partícula sobre la que actúa una fuerza  externa, a trav és del Trabajo (W) que realiza la fuerza aplicada. El trabajo elemental de una fuerza se define como:

Introducción

  Sistemas  Inerciales

Usando la definición de fuerza obtenemos:

Relatividad de 

 

Galileo Postulados de la  Teoría de  Relatividad Transformaciones de Lorentz Simultaneidad

Recordando la expresi ón de la masa relativista, tenemos:  

Contracci ón  espacial y  Dilatación  temporal Cinem ática 

En consecuencia, despejando  m v dv, quedará

relativista

 

Cantidad de  movimiento Dinámica  relativista

Reemplazando en la ecuación del trabajo elemental dW, queda una expresión muy sencilla:  

Trabajo y Energ ía Principio de 

Resulta evidente que el trabajo elemental realizado se tradujo en una variación de su masa relativista. Dado que la misma sólo  depende de la velocidad, es inmediato ver que la variación de la masa se debe a la variaci ón de la velocidad de la part ícula.

Equivalencia

El Trabajo de la Fuerza a lo largo de un camino quedar á expresado por: Complementos de

 

Energía Masa Propia y  Potencia Problemas

Siendo m 1  y m 2  la masa de la partícula en el punto inicial y final, respectivamente. Reemplazando la masa relativista queda:    

Temas Especiales

  

En mecánica clásica el trabajo realizado por la fuerza es igual a la variaci ón de la energ ía cinética de la partícula (Teorema de las  fuerzas vivas). Veamos si el cálculo relativista es compatible con dicho Teorema, como deber ía ser de acuerdo al Principio de  Correspondencia. Para ello debemos analizar qu é sucede cuando   .  Debemos ser cuidadosos como hacemos este an álisis, pues si tomamos límite para   , resulta W=0. En la aproximación  hemos tirado el agua de la tina con el beb é (v) y el patito (c), es decir que directamente eliminamos las velocidades.  Para evitar esto último desarrollemos en serie de McLaurin (1698 ­ 1746) la siguiente expresi ón gen érica:   

Haciendo cálculos y quedándonos con la aproximación de primer orden, tenemos:  

Reemplazando en la ecuación original y operando, se obtiene el resultado esperado.  

En consecuencia, para una partícula sobre la cual aplicamos una fuerza a lo largo de un camino,  el Trabajo de la fuerza es igual  a la variación de su energía cinética, y ella está implícitamente incorporada en la variación de la masa relativista.   

Reemplazando en la ecuación original y operando, se obtiene el resultado esperado.  

En consecuencia, para una partícula sobre la cual aplicamos una fuerza a lo largo de un camino,  el Trabajo de la fuerza es igual  a la variación de su energía cinética, y ella está implícitamente incorporada en la variación de la masa relativista.      Nótese que la trayectoria, la masa y la posición son relativas al sistema de referencia. En consecuencia, el trabajo de una fuerza  será también una magnitud relativa al sistema de referencia.   Ahora veamos cómo se calcula la energía cinética que posee una part ícula. Si en la posición inicial la partícula está en reposo,  entonces el trabajo ( W) de la fuerza será igual a la energ ía cinética final. Es decir:    

Fuerza relativista En el apartado anterior (el de din ámica) definimos la fuerza por la relaci ón F=dp/dt. Desarrollando esta expresi ón tenemos:     Utilizando la expresi ón dW=c 2dm se obtiene:      

Despejando se llega a la importante relaci ón    

Esta expresi ón tiene varias consecuencias destacables, ya vistas: Demuestra que ning ún cuerpo material puede alcanzar la velocidad de la luz en el vac ío (ver apartado anterior). Demuestra que ninguna radiaci ón o partícula no masiva puede modificar el módulo de su velocidad (ver apartado anterior). Muestra la inconsistencia relativista de la Ley de Newton si la misma es expresada por F=ma (ver apartado anterior).  ___________________________________ Sigue > Principio de Equivalencia 

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Principio de Equivalencia entre Masa y Energía

 

 

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En un breve trabajo (septiembre de 1905) intitulado  “¿Depende la inercia de un cuerpo de su contenido energético?”, Einstein 

Teoría de 

concluye que si un cuerpo irradia luz de energ ía L, la masa del cuerpo debe disminuir en L/c 2, proponiendo una forma de  verificación utilizando un elemento radiactivo (Radio). Esta publicaci ón científica condujo a la más célebre fórmula en la historia de  la ciencia, conocida como Principio de equivalencia entre masa y energ ía.

Relatividad  Especial

E = m c 2  

Introducción

Esta relación es considerada un Principio debido a que no tiene una demostraci ón general y se comprob ó que es v álida  Sistemas  Inerciales Relatividad de  Galileo Postulados de la  Teoría de  Relatividad

universalmente para toda forma de energ ía. La demostraci ón vista en el apartado anterior solamente vincula la variaci ón de la  energ ía cinética con el incremento de masa de una partícula puntual, equivalente al Teorema de las fuerzas vivas de la mecánica  de Newton. La energ ía total relativista (E) es una propiedad de todo sistema físico, masivo o no masivo, cuyo valor aumenta (disminuye)  cuando se le entrega (quita) energ ía por cualquier proceso, y toma el valor cero s ólo cuando el sistema se aniquila (desaparece).  En consecuencia, para un determinado sistema de referencia inercial, su valor depende del estado del sistema físico y sólo será  constante si el sistema f ísico está aislado. Resulta evidente, adem ás, que la magnitud Energía total es relativa al sistema de  referencia. 

Transformaciones de Lorentz Simultaneidad

Calentar un sistema macroscópico, darle cuerda a un reloj, aumentar la velocidad de una part ícula, o la absorción de radiación por  parte de un gas, son distintos ejemplos de procesos que provocan un incremento de la inercia (masa) del sistema que se trate,  que cumple con:

Contracci ón 

   

espacial y  Dilatación  temporal Cinem ática  relativista Cantidad de  movimiento Dinámica  relativista Trabajo y Energ ía Principio de  Equivalencia Complementos de Energía Masa Propia y  Potencia Problemas Temas Especiales

  

Siendo   la energía entregada al sistema en el proceso. La magnitud que mide la inercia es la  masa relativista.  Por supuesto que si el sistema pierde energ ía por algún proceso cualquiera (radiación, enfriamiento, etc.), el sistema disminuye  su masa de acuerdo con la misma relación.  Para una part ícula puntual, que asumimos sin estructura, el  único proceso de transferencia de energ ía que se considera  posible es el trabajo mec ánico (fuerza aplicada), producto de una interacción campo­partícula, cumpliéndose la relación  dE=dW=F.ds=v.dp. En este caso se considera que  toda la energía entregada se transforma en cinética (ver capítulo anterior),  variando la masa relativista sin modificar la masa propia. Esta suposición es la única razón por la cual la masa propia resulta un  invariante. Corresponde aclarar que las part ículas reales, incluso las fundamentales, podr ían no ser puntuales (y tener estructura). En este  caso s ólo podemos asegurar que la masa propia es un invariante sólo si la partícula está libre de interacciones externas, pues de  lo contrario los sistemas de referencia inerciales serían distinguibles. Por otro lado, si una partícula real está sometida a una interacción tiene fuerzas aplicadas, aspecto que Poincaré analizó para el  caso del electr ón (tensiones de Poincaré), que muy probablemente modifiquen su morfolog ía y configuración espacial. En  consecuencia, en el marco de la Teor ía Especial de Relatividad, no es posible asegurar la invariancia de la masa propia de una  partícula acelerada. Alguna bibliografía propone la invariancia de la masa propia aduciendo que es un resultado de la formulación de Minkowski, sin  reconocer que dicha "demostraci ón" es válida exclusivamente para part ículas "puntuales". Agreguemos también que existe una posibilidad de modificación de la masa propia de una part ícula puntual que no ha sido  considerada ni estudiada en profundidad. Se trata de la hip ótesis de Mach sobre la dependencia de la masa de un cuerpo por la  presencia cercana de otros cuerpos. Este tema ser á tratado en la carpeta de "Temas Especiales". Este Principio establece nuevos conceptos que deben destacarse: 1.

2.

3.

La energ ía relativista E representa la  energía total que se podr ía obtener (en forma de radiación) si lográramos convertir  toda la masa relativista en energ ía, tal como sucede en el fenómeno conocido como "aniquilación de pares". Por primera vez  se dispone de un c álculo de energ ía total válido para cualquier sistema físico, cuyo valor tiene significado físico. Se hace  notar que las magnitudes tales como Energ ía interna (Termodin ámica), Energía potencial (Campos conservativos), Energ ía  mecánica (Mecánica clásica), están definidas a menos de una constante arbitraria y su valor num érico no tiene significado  físico.   La energ ía total de una partícula en reposo, “almacenada ” en su masa propia, est á dada por  E=m 0  c2.  Los mecanismos de conversi ón de masa en energ ía radiante y viceversa, fueron estudiados durante la primera mitad del  siglo XX, principalmente con el formalismo de la Teor ía Cuántica de Campos (iniciada en la década del 20), actualmente en  desarrollo.  El Principio permite dar una definición de masa (relativista) compatible con part ículas no masivas, es decir sin masa propia  (fotones), generando una coherencia l ógica, general y sin limitaciones, con la definici ón de cantidad de movimiento  propuesta (p=mv ). Se define como masa de cualquier sistema físico, sea puntual o extenso, masivo o no masivo (masa propia nula), al escalar  obtenido del cociente entre la Energía total E del sistema y el cuadrado de la velocidad de la luz en el vac ío.  Su expresión matemática es:     m= E/c 2  En consecuencia, podemos dar una definici ón precisa para la cantidad de movimiento, válida para part ículas masivas y no  masivas:     p = E/c 2 v , siendo E la energía total   En el apartado Temas Especiales se tratará la aplicación de este concepto en el art ículo “Curvatura de la luz en Relatividad  Especial ”. 

4.

Los Principios de conservación de la masa y de la energía, que se formularon de manera independiente para sistemas  aislados, ahora se relacionan en un  único Principio pues masa y energ ía est án relacionadas por el Principio de Equivalencia  entre masa y energ ía.  

En consecuencia, podemos dar una definici ón precisa para la cantidad de movimiento, válida para part ículas masivas y no  masivas:     p = E/c 2 v , siendo E la energía total   En el apartado Temas Especiales se tratará la aplicación de este concepto en el art ículo “Curvatura de la luz en Relatividad  Especial ”.  4.

Los Principios de conservación de la masa y de la energía, que se formularon de manera independiente para sistemas  aislados, ahora se relacionan en un  único Principio pues masa y energ ía est án relacionadas por el Principio de Equivalencia  entre masa y energ ía.  

En consecuencia, el Principio de Equivalencia podría (y debería) ser formulado de la siguiente manera: El contenido total de energía de un ente físico cualquiera es igual a su masa relativista multiplicada por el cuadrado de la  velocidad de la luz  Nota: Muchos autores, especialmente los dedicados a la f ísica de partículas, proponen su validez solamente para cuerpos en reposo,  con argumentos poco convincentes que resultan ser los mismos por los cuales tampoco aceptan la masa relativista. Lo más  inexplicable es que luego usan los conceptos que rechazan. En su trabajo original de tres carillas, Einstein analiza la emisión de radiación y la variación de la masa en la forma usual del  formalismo de la teoría, es decir desde el punto de vista de dos observadores inerciales, uno en reposo respecto del cuerpo y el  otro en movimiento con velocidad constante.  Proponer que esa demostraci ón es s ólo válida para cuerpos en reposo es falso, sin criterio y ridículo. 

Creación y Aniquilación de pares Este singular fenómeno no se conoc ía en el inicio de la Teoría de Relatividad y su descubrimiento se debi ó justamente a dicha  teoría. En 1928 el ingeniero electricista (luego matemático y posteriormente doctor en f ísica) Paul Dirac (1902­1984) predijo la  existencia de antimateria al relacionar la mecánica cuántica con la relatividad.  El positrón (e+), que es la antipartícula del electrón (e­ ) y posee sus mismas propiedades salvo la carga, que es positiva, fue  observado por primera vez por Anderson en 1932.  La creación de pares es el proceso por el cual una partícula (masiva o no), de energía suficiente y bajo ciertas condiciones, crea  dos o más partículas diferentes.  Este fen ómeno es t ípico en los aceleradores de partículas, en las reacciones nucleares y en la radiación cósmica. Nos interesa tratar el caso de creación de pares obtenidos de fotones de alta energía. La cantidad de movimiento de un fot ón es distinta de cero cualquiera sea el sistema de referencia que se elija, mientras que para  dos part ículas masivas, en el particular sistema de su centro de masa, resulta nula.  En consecuencia, teniendo en cuenta que en ausencia de fuerzas exteriores la conservación de la cantidad de movimiento debe  ser válida en todos los sistemas inerciales, la creación de pares a partir de un fot ón aislado no es viable. Debe recordarse que en  este marco te órico la velocidad relativa entre sistemas inerciales (V) siempre es menor que c. Para fotones, la ocurrencia del fenómeno indefectiblemente requiere que el fot ón interactúe con algún otro ente físico real, dado  que esta condici ón es consistente con el Principio de conservaci ón de la cantidad de movimiento.  A modo de ejemplo vamos a describir la fenomenología de un caso caracter ístico, en el sistema de referencia en el que el agente  perturbador est é en reposo luego de la interacci ón: Si un fotón de alta energ ía (gamma) es perturbado (se desconoce c ómo es el proceso disparador del fen ómeno) por un núcleo, el  fotón se aniquila y se crean dos o m ás partículas masivas. El caso más frecuente es la creación de un electrón y un positrón. La energ ía de un electrón (positrón) en reposo es  E 0 = m 0  c2 = 0.511 Mev. En consecuencia, para la creación de un par electrón­ positrón la energía del fotón debe ser mayor que  1.022 Mev. Si el fotón es más energ ético (E fotón > 1.022 Mev) las partículas creadas tendr án también energ ía cinética (en general idéntica),  cumpliéndose las leyes de conservaci ón de la energ ía y de la cantidad de movimiento. Cuanto mayor sea la energía del fotón  madre, mayor será la energ ía cinética de las partículas creadas. Por conservación del momento angular el fotón gamma inicial, el electrón y el positrón, tienen sus velocidades en un mismo plano.  Suponiendo que el plano es el ( x,y) y que la dirección inicial del fotón es coincidente con el eje x, tenemos:  

                  

Este fen ómeno, que es tratado en la Teoría Cuántica de Campos (QFT), ha tenido diferentes interpretaciones (Fock, Feynman,  Stueckelberg), particularmente en el tratamiento cu ántico. En todas ellas se cumplen las relaciones relativistas antes y despu és  del proceso, pero no necesariamente durante el mismo, lo cual puede ser considerado una limitaci ón del modelo te órico utilizado  (QFT).  En las relaciones anteriores no se ha tenido en cuenta la energ ía de enlace entre electrón y positrón que se atraen, pues se  considera que es despreciable frente a la energ ía del fotón madre aunque, como veremos, esto es seriamente discutible.  Analicemos algunas dificultades del modelo teórico desde el punto de vista relativista. Por el Principio de conservación de la  carga, que postula la conservaci ón de la carga total del universo, las dos part ículas deben crearse  simultáneamente y ello sólo  es posible si los eventos ocurren en el mismo punto (ver el capítulo de simultaneidad). Si la aniquilación del fotón y la creación del  par ocurren en un mismo punto, la energía necesaria para separarlas se hace infinita por la atracci ón eléctrica entre electrón y  positrón, y no se cumple la conservación de la energía.  En el tratamiento cuántico Feynman utilizó el Principio de Incerteza (no se conserva la energ ía durante el tiempo del proceso de  creación ni está definida la posición de cada part ícula), y la postulación de fotones "virtuales" con velocidades mayores que c para  no violar el principio de causalidad, con lo cual el modelo se ajust ó muy bien a los resultados experimentales.  No obstante y dadas las transgresiones relativistas, considero que no sabemos mucho sobre el proceso real.  Se ha confirmado experimentalmente que una vez creado un positr ón su condición más probable es que se vincule con un  electrón formando un sistema metaestable excitado, llamado “positronio ”, con niveles de energ ía, y cuya vida media es del orden  de 10 ­7 seg. Aparentemente no tiene un nivel fundamental estable.   Durante este lapso el positronio (en reposo) decae emitiendo fotones poco energ éticos (como cualquier átomo excitado), y  finalmente se aniquila en dos fotones gamma idénticos de 0.511 Mev de energ ía, emitidos en oposición (180 0 ), requisito  necesario para la conservaci ón de la cantidad de movimiento.

No obstante y dadas las transgresiones relativistas, considero que no sabemos mucho sobre el proceso real.  Se ha confirmado experimentalmente que una vez creado un positr ón su condición más probable es que se vincule con un  electrón formando un sistema metaestable excitado, llamado “positronio ”, con niveles de energ ía, y cuya vida media es del orden  de 10 ­7 seg. Aparentemente no tiene un nivel fundamental estable.   Durante este lapso el positronio (en reposo) decae emitiendo fotones poco energ éticos (como cualquier átomo excitado), y  finalmente se aniquila en dos fotones gamma idénticos de 0.511 Mev de energ ía, emitidos en oposición (180 0 ), requisito  necesario para la conservaci ón de la cantidad de movimiento. Nótese que a pesar de que la energ ía del fotón inicial es mayor que la necesaria para crear el par electrón­positrón, luego de su  aniquilación obtenemos dos fotones gamma id énticos y de energía exactamente igual a la energ ía en reposo de cada part ícula. El  exceso de energ ía del fotón inicial se consumió luego de la creaci ón del positronio en estado excitado, por decaimiento del mismo  con emisión de fotones de baja energ ía. Sin embargo, hay un caso muy importante en el que el par electrón­positrón no forma el positronio. Si las partículas chocan con  velocidades diferentes, ambas cercanas a las de la luz, como puede suceder en experimentos en aceleradores (CERN),  éstas se  aniquilarán “al vuelo” sin formar un estado metaestable previo. En ese caso, los dos fotones gamma resultantes de la  aniquilación serán idénticos, podrán formar ángulos distintos de 180 º en sus trayectorias de salida y serán más energ éticos (E f  >  0.511 Mev). Este hecho experimental muestra la conversión total de la masa relativista en radiación.  En este caso para cada fot ón gamma emitido se cumple:    

Los super índices e­  y e+ son usados para evitar que se confunda la masa relativista con la masa propia.  

Relación entre Energía y Cantidad de movimiento La equivalencia entre masa y energ ía puede ser expresada en relaci ón a la cantidad de movimiento.  

Esta expresi ón corresponde a un invariante importante que trataremos a continuaci ón. La masa en reposo de una  partícula libre debe ser la misma en cualquier sistema de referencia, pues de lo contrario los sistemas  inerciales no serían equivalentes ya que podr ían ser distinguibles. Lo mismo sucede con la longitud propia de un objeto o el  tiempo propio de un fenómeno. Si ahora le aplicamos una fuerza durante un tiempo, asumimos que le entregamos energía mediante un trabajo mecánico que,  por definición (dW = F.ds), solo produce un desplazamiento modificando su velocidad (Teorema de las fuerzas vivas).  Es evidente que este proceso solamente es v álido si la masa propia permanece invariante.  En consecuencia, para dos observadores inerciales tendremos:  

 

Este invariante es similar al del “Intervalo” tratado en el apartado de Transformaciones de Lorentz.    Nota: Su demostración en el espacio de Minkowski es elegante y simple, basada en que la cantidad de movimiento se transforma como  las coordenadas (x, y, z) y la energía como el tiempo. 

La masa en reposo En el ítem anterior hemos tratado el caso de la invariancia de la masa en reposo para una partícula libre. Veremos que esto no es  general y que la masa en reposo puede ser modificada bajo ciertas condiciones. Previamente hagamos algunas aclaraciones para  evitar que los amantes de la bella formulaci ón geométrica de la Relatividad se suiciden en masa. Los invariantes obtenidos en  ese modelo son rigurosos matem áticamente, tal como sucede con la masa propia ( m0), y ello es consecuencia de c ómo se  transforman las "variables" relacionadas (E,p). La masa propia resulta entonces un invariante simplemente porque hemos  establecido que, para una part ícula puntual, la única modificación posible cuando le entregamos energ ía es que cambie su  cantidad de movimiento.  En consecuencia, aunque poco probable, si encontráramos algún mecanismo de transferencia de energ ía que no modificara su  velocidad, sería inevitable que cambie la masa propia de una partícula puntual.  En primer lugar digamos que existen otros procesos (no aplicables a partículas puntuales), adem ás del trabajo mecánico ya visto,  capaces de transferir energ ía (calentamiento, deformaci ón, fricción, absorción, etc). Por ejemplo, si el cuerpo material es un  sistema macroscópico en reposo, podemos entregarle o quitarle energía (Q) por intercambio de calor.  Dado que este mecanismo puede ser hecho sin necesidad de modificar su velocidad, debemos concluir que tiene que modificarse  su masa en reposo, que en el caso en que se le entregue energía ser á:     Si el sistema pierde energía bastar á con cambiar el signo en la relaci ón anterior y la masa propia final ser á menor. Para un sistema macroscópico, la masa en reposo del mismo es función de la temperatura. En general, si a un sistema físico, sea puntual o extenso, podemos entregarle o quitarle energ ía sin modificar su velocidad, el  sistema cambiará su energ ía total, su masa relativista y su masa propia, de acuerdo con el Principio de Equivalencia entre masa y  energ ía.

Si el sistema pierde energía bastar á con cambiar el signo en la relaci ón anterior y la masa propia final ser á menor. Para un sistema macroscópico, la masa en reposo del mismo es función de la temperatura. En general, si a un sistema físico, sea puntual o extenso, podemos entregarle o quitarle energ ía sin modificar su velocidad, el  sistema cambiará su energ ía total, su masa relativista y su masa propia, de acuerdo con el Principio de Equivalencia entre masa y  energ ía. En la carpeta Temas Especiales se agregar án dos trabajos:  “El Corrimiento al Rojo en Relatividad Especial”, y “El Efecto  Mössbauer en Relatividad Especial ”, vinculados con la variaci ón de la masa de un sistema.    De acuerdo al Principio de equivalencia entre masa y energía, cualquier sistema f ísico formado por componentes que interact úan  entre s í debe tener una masa diferente a la suma de las masas de sus componentes en estado libre (no vinculado). Analicemos el caso más simple posible, que consiste en un sistema formado por dos part ículas que se atraen, y supongamos que  inicialmente están juntas y en reposo. Para separarlas debemos realizar un trabajo mínimo (W), cuyo valor representa la energía  que se debe entregar al sistema para desvincular las part ículas y que ellas queden en reposo. Si se le entrega más energ ía que  la necesaria (W), las partículas libres (no vinculadas) tendrán energ ía cinética.   En consecuencia, el sistema con las part ículas “pegadas ” posee menos energ ía que el mismo sistema de dos part ículas cuando  ellas no est án vinculadas. En general, si el sistema y las part ículas (idénticas) están en reposo, en su condici ón de mínima  energ ía (pegadas), su energ ía ser á:     Siendo m0 la masa propia de cada partícula y W el trabajo necesario para desvincularlas (separarlas).   Es evidente que la masa del sistema es menor que la suma de las masas de sus componentes ( 

).

 

Cuando el sistema no est á vinculado (partículas libres en reposo), su masa ser á 2m 0.  Queda planteado mostrar que si las part ículas del sistema se repelen, la masa del mismo ser á mayor cuando estén “pegados ”  sus componentes. Ahora veamos el caso del átomo de Hidrógeno, formado por un electr ón y un protón. La energ ía de ionización es 13.5984 eV, que representa la energ ía mínima que debo suministrarle al  átomo para desvincular su  electrón. Esta energ ía es muy peque ña para que pueda detectarse la diferencia de masa entre el átomo en estado fundamental  y la suma de las masas de sus dos componentes. De acuerdo a lo visto, la masa del  átomo de Hidrógeno en estado fundamental debe ser menor que la suma de las masas del  protón y el electrón. Hagamos las cuentas:   Masa del prot ón: 1.6726 × 10 ­27  kg   Masa del electrón: 9.11 x 10 ­31  kg       Masa del electrón + Masa del protón: 1.673511 × 10 ­27  kg   2 Masa del H (estado fundamental): m p +me  – 13.5984 eV/c  = 1.673510976 × 10 ­27  kg   Diferencia de masa: 2.4 x 10 ­35  kg  Nótese que  la diferencia de masa es 100 millones de veces menor que la masa del sistema. Considerando que todos los  átomos de la Tabla periódica tienen energ ías de v ínculo de electrones del mismo orden que la del  Hidrógeno, la diferencia de masa por el enlace con sus electrones no ser á significativa. Sin embargo, en el átomo hay energías de v ínculo muchísimo más grandes, que son las que ligan a las partículas del núcleo  atómico (nucleones), relacionadas con las fuerzas nucleares, que trataremos a continuaci ón.

Defecto de masa Se denomina defecto de masa a la diferencia de masa de un núcleo atómico, medida experimentalmente (masa del sistema), y la  que corresponde a su n úmero atómico (suma de las masas de sus componentes). Esto es exactamente lo que acabamos de  analizar en el  ítem anterior pero, en este caso, con fuerzas de ligadura muchísimo más grandes. Veamos un caso real, el Deuterio (is ótopo del Hidrógeno) ionizado, cuyo n úcleo está formado por un protón y un neutrón. Los  valores de las masas correspondientes son:  Masa prot ón: 1.0073 u Masa neutr ón: 1.0087 u Masa Deuterio: 2.0136 u Defecto de masa: (m p +mn ) ­ mD = 0.0024 u    u = uma (unidad de masa at ómica) = 1.66053886x10 ­27  kg   La energ ía correspondiente a un uma es de 931.5 Mev. La energ ía de ligadura del Deuterio es 2.23 MeV. En este caso  la diferencia de masa es 1000 veces menor que la masa del sistema. Si se compara con el caso anterior (átomo de Hidrógeno) se puede obtener una idea cualitativa de la magnitud de las fuerzas  nucleares respecto de las electromagn éticas. No obstante, el Deuterio es un n úcleo poco ligado si se lo compara con otros.  Las mediciones de defecto de masa de los distintos átomos tienen mucha importancia dentro de la Física Nuclear y en el estudio  de las reacciones nucleares, como as í también en la Astrofísica, en los modelos sobre la evoluci ón de las estrellas. Este  último ítem (defecto de masa) puede resultar interesante o no, pues se trata simplemente de informaci ón sobre datos  reales medidos. Sin embargo, destaco que para los fines de este curso, lo realmente importante es que verifican el Principio de  Equivalencia y la variación de la masa propia del sistema.

Relatividad de la energía Es evidente que la energ ía de un sistema f ísico es una magnitud relativa al sistema de referencia. Tomemos, por ejemplo, la  energ ía total de una partícula libre, de masa propia m0 y velocidad constante  v, cuya expresión est á dada por      

Para dos observadores inerciales en movimiento relativo la  única magnitud que tiene distinto valor en la expresi ón anterior es la  velocidad de la part ícula. 

Relatividad de la energía Es evidente que la energ ía de un sistema f ísico es una magnitud relativa al sistema de referencia. Tomemos, por ejemplo, la  energ ía total de una partícula libre, de masa propia m0 y velocidad constante  v, cuya expresión est á dada por      

Para dos observadores inerciales en movimiento relativo la  única magnitud que tiene distinto valor en la expresi ón anterior es la  velocidad de la part ícula.  Nota: En este marco te órico toda magnitud propia de un cuerpo en movimiento uniforme es invariante. De lo contrario los  sistemas inerciales ser ían distinguibles, invalidando el Principio de Relatividad.  No debe interpretarse que la masa propia no pueda variar ante determinados procesos, sino que en movimiento uniforme  (energ ía constante) la masa propia es la misma para todos los observadores inerciales. Hallemos la ley de transformación de la energ ía para dos sistemas inerciales, usando el teorema de adición de velocidades.   

 

Operando el radicando del denominador en el segundo miembro se obtiene la siguiente igualdad    

Reemplazando en la expresi ón de la energ ía obtenemos  

 

Esta expresi ón es válida sólo si la velocidad relativa (V) entre sistemas inerciales está seg ún el eje x. En el caso general la ley de  transformación es:     

La transformación inversa la obtenemos reemplazando  V por ­ V, quedando:  

___________________________________ Sigue > Complementos de Energ ía 

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Complementos de Energía ­ Los Campos Vectoriales 

 

 

En el desarrollo de este cap ítulo haremos uso de herramientas matemáticas propias del análisis vectorial, cuyo conocimiento  resulta indispensable para comprender el comportamiento de los campos físicos vectoriales, tales como el electromagn ético y el  gravitatorio. Si el lector no maneja estas herramientas deber á “creer” las conclusiones pero no deber ía saltear este  ítem.   En el apartado Temas Especiales hay un cap ítulo extenso sobre las ecuaciones de Maxwell (que son relativistas de nacimiento),  que requieren este conocimiento. Un posible y adecuado tratamiento de los fen ómenos se logra cuando disponemos de un modelo matem ático consistente con los  comportamientos observados.  Para ello es com ún definir magnitudes asociadas al fenómeno, algunas de las cuales pueden depender de la posici ón y/o el  tiempo, dando lugar a relaciones funcionales o campos matem áticos, de distinta dificultad y naturaleza. Un objetivo concreto de  la Física es obtener las leyes que cumplen esos campos, usualmente expresadas con ecuaciones diferenciales, y hallar su  solución matemática compatible con la geometría y las condiciones de contorno del problema particular dado. Estos campos suelen ser  escalares, vectoriales o tensoriales, dependiendo ello de la variable considerada y las caracter ísticas del  sistema en cuesti ón.  Por ejemplo, la temperatura de la atmósfera puede ser representada por un campo escalar  T(x,y,z,t), el campo eléctrico asociado  a un cuerpo cargado se describe con un campo vectorial  E(x,y,z,t), y las deformaciones de un sólido deformable sometido a  presiones externas pueden ser calculadas por un campo tensorial  Dij  de segundo orden, con componentes que son funciones del  espacio y del tiempo.

Simultaneidad Contracci ón  espacial y 

En este cap ítulo trataremos sobre campos escalares y vectoriales, prestando especial atenci ón a estos  últimos.  Suele indicarse que las propiedades de un campo vectorial quedan totalmente establecidas si conocemos su divergencia y su  rotor. Tratemos de comprender el significado de esta aseveración.

Dilatación  temporal Cinem ática  relativista Cantidad de 

Divergencia Recordemos que la divergencia de un campo vectorial es una funci ón escalar que permite relacionar a un campo vectorial con las  “fuentes ” y “sumideros ” del mismo.  Diremos que en todo punto ( x,y,z) donde la divergencia da un resultado positivo hay fuente del campo, si da negativo hay  sumidero, y si es nulo puede existir el campo pero no  “nace “ ni “muere“ en dicho punto.   

movimiento

 

Dinámica  relativista Trabajo y Energ ía Principio de  Equivalencia Complementos de Energía Masa Propia y  Potencia Problemas Temas Especiales

En general no se conoce el campo A pero sí su divergencia (fuentes y sumideros). Procediendo de manera inversa podría suponerse que si conocemos las fuentes y sumideros de un campo podríamos determinar  unívocamente la forma funcional del mismo mediante la solución de la ecuación diferencial de la divergencia. Ello no es correcto  pues quedar ía determinado a menos de otra funci ón vectorial cualquiera de divergencia nula. Podemos se ñalar algunos aspectos interesantes relacionados con la divergencia. Todo campo de divergencia nula en todo el espacio tiene l íneas de corriente (también llamadas líneas de fuerza) cerradas. Tal  es el caso del campo magn ético B(x,y,z,t).   

  

 

Campo magnético de una corriente filiforme. Todo campo uniforme (constante) en todo el espacio tiene divergencia nula. Es fácil mostrar que el único campo radial con simetría esférica que tiene divergencia nula en todo el espacio (excepto en el  origen), varía como 1/r 2 .   

 

Este comportamiento corresponde tanto al campo eléctrico de una carga puntual en el origen como al campo gravitatorio de una  masa puntual en el origen, que para cuerpos en reposo en interacciones campo ­partícula conducen a la ley de Coulomb y a la ley  de Newton de gravitaci ón universal, respectivamente.  En el origen el campo no est á definido (singularidad). 

Este comportamiento corresponde tanto al campo eléctrico de una carga puntual en el origen como al campo gravitatorio de una  masa puntual en el origen, que para cuerpos en reposo en interacciones campo ­partícula conducen a la ley de Coulomb y a la ley  de Newton de gravitaci ón universal, respectivamente.  En el origen el campo no est á definido (singularidad).  Para el caso el éctrico las cargas positivas son las fuentes donde  “nace ” el campo y las negativas los sumideros donde “muere”,  mientras que en el gravitatorio las masas son siempre sumideros (la constante es negativa).

Rotor El rotor de un campo vectorial da otra función vectorial (pseudovector). Por definición es:    

Las líneas de corriente del rotor de un campo vectorial son siempre cerradas, lo que significa que su divergencia es nula. Se deja  al lector mostrar que la divergencia del rotor de un campo vectorial es siempre nula (sugerencia: use el Teorema de Schwartz de  la igualdad de las derivadas cruzadas). Alguna bibliografía suele destacar como importante utilidad del rotor la relaci ón que dicho cálculo tiene con la descripción de  “torbellinos ”, en particular cuando se trata de un campo de velocidades de un fluido.    Sin negar que tal relaci ón exista (de ella salió la denominación de rotor) es mi opinión que esta interpretaci ón no es relevante y  esconde la importancia conceptual que tiene esta operación. Cuando el rotor se aplica a un campo f ísico asociado a interacciones, el aspecto m ás fundamental del mismo es que su cálculo  permite reconocer si dicho campo admite o no una funci ón escalar potencial, tal que su gradiente determina al campo.  En efecto, si en todo punto del espacio se cumple:    

Cuando el rotor es nulo diremos que el campo es conservativo, caso que trataremos en detalle más adelante en este cap ítulo. En general no conocemos ni A(x,y,z,t) ni R(x,y,z,t), pero en algunos casos es posible saber por consideraciones f ísicas si es  conservativo (o no).  Esto implica disponer de tres ecuaciones diferenciales a derivadas parciales de primer orden, una para cada componente del  rotor, cuya solución no es suficiente para determinar un ívocamente el campo vectorial  A(x,y,z,t), pues queda determinado a  menos de otro campo vectorial de rotor nulo.  Vemos entonces que conocer s ólo la divergencia o el rotor de un campo vectorial no es suficiente para hallar dicho campo  vectorial. En cambio, puede mostrarse que si conocemos ambos el campo  A queda determinado (unicidad de la soluci ón). Para hallar la ecuación que relaciona al campo vectorial con su divergencia y su rotor usaremos una identidad vectorial.  

 

La última relación representa tres ecuaciones diferenciales a derivadas parciales, de segundo orden, cuya solución formal  determina el campo  A unívocamente. Nótese que en el caso en que el campo sea conservativo su rotor es nulo resultando la ecuación de Poisson vectorial (tres  ecuaciones). Como veremos, el planteo se simplifica pues existe una funci ón potencial escalar, quedando finalmente una  única  ecuación de Poisson. Nota En física tienen notable importancia aquellos campos que est án relacionados con las interacciones entre sistemas y, en  consecuencia, tienen relaci ón funcional con los intercambios de energ ía. Por ello deben ser compatibles con la Teor ía de  Relatividad Especial y con el Principio de Causalidad, por lo cual ante procesos no estacionarios los campos deben cumplir  también con la ecuación de ondas (velocidad finita de propagación).

Campos conservativos I ­ Mecánica clásica  Teorema de conservación de la energía mecánica  Se dice que un campo vectorial F es conservativo si se cumple que la circulación de dicho campo a lo largo de cualquier curva  cerrada es cero.   

 

Si el campo F es un campo de fuerzas, la expresi ón anterior equivale a calcular el trabajo W realizado por la fuerza a lo largo del  camino cerrado C, resultando nulo cualquiera sea el camino elegido. Como veremos, si el trabajo W es nulo para toda curva  cerrada entonces se puede definir la Energ ía Potencial de una part ícula en presencia de dicho campo de fuerzas, y definir la  magnitud “Energ ía Mecánica”, que resulta constante para dicho sistema, siendo esto último el origen de la denominaci ón  “conservativo ”.  Para que esa integral curvil ínea (“circulación de F”) sea nula para cualquier camino C, su integrando debe ser un diferencial  exacto (Pfaffiano).     

“conservativo ”.  Para que esa integral curvil ínea (“circulación de F”) sea nula para cualquier camino C, su integrando debe ser un diferencial  exacto (Pfaffiano).     

Desarrollando el producto escalar y el diferencial total, obtenemos:     , llamada función potencial.  

Resulta evidente que  F puede ser puesto como el gradiente de la funci ón escalar   

 

Hasta aqu í hemos mostrado que si un campo vectorial es conservativo siempre tiene una funci ón potencial tal que su gradiente  nos da el campo.  Discutiremos algunos aspectos que no suelen tratarse en la bibliograf ía técnica.  1.

El primero es respecto de la información que poseen un campo vectorial y uno escalar. Un campo vectorial nos da tres (3) datos en cada punto (m ódulo, dirección y sentido), mientras que un campo escalar sólo  da un (1) número. ¿Cómo es posible que el campo escalar tenga toda la informaci ón del campo vectorial?   Si se observa la igualdad resulta claro que la informaci ón del campo vectorial est á incorporada en la forma de la función  escalar y no en su valor en un punto, y que esa información se obtiene a través de las derivadas con la operaci ón gradiente.

2.

El segundo aspecto se refiere a la existencia y al Teorema de unicidad de la función potencial. Si un campo vectorial es  conservativo siempre existe una funci ón potencial y es única a menos de una constante arbitraria (que al derivar se anula).  En consecuencia, el valor numérico de la función potencial en un punto del espacio no tiene significado físico, pero sí la  diferencia de valores de la funci ón potencial entre dos puntos del espacio. Si el campo no es conservativo no existe función potencial.

Si ahora calculamos el trabajo W sobre una part ícula entre dos puntos cualesquiera (curva C abierta), obtenemos:  

  Recordando que el trabajo W es igual a la variación de la Energ ía Cinética, quedará:    

Si ahora definimos Energía Potencial (E P) de una partícula (en presencia de un campo de fuerzas conservativo), a la funci ón  potencial del campo cambiada de signo, tenemos 

. Nótese que la Energ ía Potencial queda determinada a menos de una 

constante, pues la función potencial tiene la misma indeterminación. Asimismo, el valor numérico de la Energ ía Potencial carece de  significado físico, pero sí lo tiene la diferencia de valores de la Energía Potencial entre dos puntos del espacio. Reordenando,  queda:   Dado que los puntos 1 y 2 son dos puntos cualesquiera del espacio, llegamos a la conclusión que para una part ícula en presencia  de un campo conservativo, la suma de su energ ía cinética y su energía potencial es un valor constante.  Se define como Energía Mecánica de una part ícula a la suma de su Energ ía Cinética y su Energía Potencial.  El desarrollo que acabamos de ver es el Teorema de conservación de la Energ ía, cuyo enunciado dice: En todo sistema inercial aislado, si las fuerzas son conservativas, la Energía Mecánica es una constante. Notas importantes:  1.

El valor numérico de la Energ ía Mecánica carece de significado físico. Se deja al lector que analice esta aseveración.  Solamente le indico que la utilidad del Teorema de Conservación de la Energ ía Mecánica reside en que sea aplicado en dos  puntos separados.

2.

Asimismo, muestre que la Energía Potencial no puede depender del tiempo. No obstante, es com ún encontrar en la bibliografía expresiones sobre la funci ón potencial dependiente del tiempo para  sistemas no conservativos (reales). Ello es correcto y no se refiere al tema visto en este cap ítulo. Será tratado en el  apartado que se agregar á sobre Ecuaciones de Maxwell.  

3.

Los campos f ísicos de los procesos reales no son conservativos. Si bien esto es una especulaci ón, el conocimiento actual lo  confirma. El tema se tratará en la carpeta de Temas Especiales, analizando las condiciones que debe cumplir un campo f ísico  vectorial para ser relativista.

4.

Para saber si un campo vectorial es conservativo basta con calcular su rotor. Veamos cómo se vincula el rotor de un campo con que sea conservativo. Con el Teorema de Stokes, que relaciona la circulaci ón de un campo vectorial con el flujo del rotor de dicho campo a través  de cualquier superficie que tenga por borde a la curva C, se puede demostrar que la circulaci ón de un campo vectorial (en  una curva cerrada) es nula si el campo tiene rotor nulo en todo el espacio. Matemáticamente es:    

Si el rotor es nulo en todo el espacio, el campo es conservativo.  II ­ Mecánica relativista  Se puede demostrar que las propiedades de un campo vectorial quedan totalmente determinadas si se conocen su divergencia y  su rotor. La divergencia es una operación que relaciona al campo con las “fuentes y sumideros ” del mismo. Hemos visto que el  rotor nos dice si el campo es conservativo o no. Ahora mostraremos que la condición de un campo de ser conservativo no es una ley relativista, es decir que es una caracter ística  solamente v álida en un dado sistema de referencia (lo mismo sucede en el caso no relativista). 

II ­ Mecánica relativista  Se puede demostrar que las propiedades de un campo vectorial quedan totalmente determinadas si se conocen su divergencia y  su rotor. La divergencia es una operación que relaciona al campo con las “fuentes y sumideros ” del mismo. Hemos visto que el  rotor nos dice si el campo es conservativo o no. Ahora mostraremos que la condición de un campo de ser conservativo no es una ley relativista, es decir que es una caracter ística  solamente v álida en un dado sistema de referencia (lo mismo sucede en el caso no relativista).  Para ello analicemos el siguiente ejemplo: Sea un sistema formado por una carga puntual en reposo en el origen de coordenadas de un sistema inercial. El campo eléctrico correspondiente es conservativo, con rotor nulo en todo el espacio, excepto en el origen donde no est á  definido. Su función potencial es fácilmente calculable y no depende del tiempo. Otro observador inercial O ’ en movimiento relativo verá una carga puntal moviéndose con velocidad constante. En cada punto del  sistema primado tendremos un campo el éctrico y un campo magnético, ambos dependientes del tiempo, que cumplen con las  ecuaciones de Maxwell. Matem áticamente describiremos esta situaci ón en ambos sistemas de referencia:  

 

Es evidente que en el sistema primado el campo no es conservativo pues su rotor no se anula. Teorema de conservación de la energía (caso relativista) Hemos mostrado en forma general que si un campo de fuerzas tiene rotor nulo, entonces es conservativo y existe la funci ón  energ ía potencial. En este caso se cumple:     Siendo F la fuerza sobre una part ícula y E P la energía potencial.   También demostramos (en un apartado anterior) que  dw = F.ds = c2dm, y lo interpretamos como la variación infinitesimal de la  energ ía cinética de una part ícula. Vinculando las relaciones obtenemos:  

 

Integrando esta expresi ón para dos puntos del espacio, quedar á:  

 

La última igualdad es la expresi ón matemática del Teorema de conservación de la energía, cuyo enunciado es: En todo sistema inercial aislado, si las fuerzas son conservativas, la suma de la energía total (mc 2) y la energía potencial  es una constante. Nótese que para el caso de una part ícula cuya masa en reposo es un invariante, si restamos la constante m0  c2 en ambos  miembros, el Teorema sigue siendo válido. En este caso el enunciado es el mismo que en Mec ánica clásica (no relativista):  En todo sistema inercial aislado, si las fuerzas son conservativas, la suma de la energía cinética y la energía potencial es  una constante. En mi conocimiento, este importante Teorema extra ñamente no figura en la bibliografía espec ífica, aunque es utilizado con mucha  frecuencia.  Veamos un ejemplo (Cullwick  – “Electromagnetism and Relativity ”, pág. 79):  Un electrón inicialmente en reposo es acelerado por un campo electrost ático, sin irradiar. Se pide la variación de la masa del  electrón luego de ser acelerado por una diferencia de potencial. Las caracter ísticas del problema son: El campo electrost ático es conservativo.    

El campo eléctrico E está dado por 

  La fuerza es 

. Como q < 0 (electrón) el movimiento será hacia donde crece el potencial.

La energ ía potencial est á dada por la relación 

 , siendo V(x,y,z) la función potencial del campo el éctrico y 

C1 una constante arbitraria.   Aplicando el Teorema de conservación de la energ ía obtenemos:  

  Asumiendo que en el punto 1 estaba en reposo y despejando, se obtiene:

 

 

Su velocidad puede hallarse de la expresi ón de masa relativista    

Su velocidad puede hallarse de la expresi ón de masa relativista    

Se deja planteado como ejercicio demostrar que el trabajo el éctrico es igual a la variación de energ ía cinética del electrón. 

Campos no conservativos Un campo de fuerzas no es conservativo si su rotor es distinto de cero, lo que es equivalente a decir que la energía del sistema  no permanecer á constante si el móvil realiza cualquier trayectoria cerrada. En efecto, si el rotor no es nulo, aplicando el Teorema  de Stokes tenemos:     En este caso no vale el Teorema de conservación de la energ ía ni existe Energ ía Potencial del sistema. La experiencia nos muestra que muchas veces son reconocibles los mecanismos que causan que un campo de fuerzas no sea  conservativo. Entre ellos se distinguen los siguientes tres procesos que provocan p érdidas irreversibles de energ ía del sistema:  rozamiento, deformación plástica y/o radiación térmica. En estos casos es posible asumir que el campo de fuerzas puede ser expresado como la suma de uno conservativo y otro no  conservativo, quedando    

Corresponde se ñalar que la energ ía disipada en general no es calculable mediante la integral curvilínea (circulación) de una  función analítica, tal como fue indicada en la expresi ón anterior. Cuando las fuerzas presentes no son conservativas el Teorema de conservaci ón de la energ ía no es aplicable.  No obstante, por razones emp íricas se acepta que la energ ía total de un sistema, incluyendo la energía disipada, permanece  constante.  Esta afirmación, no demostrable te óricamente, constituye el  Principio de conservación de la energía. ___________________________________ Sigue > Masa Propia y Potencia  

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Masa Propia y Potencia

 

 

La formulación de Minkowski de la Relatividad Especial (1907) trata sobre las propiedades que asignamos al espacio  (homogeneidad e isotrop ía) y al tiempo (uniformidad), de acuerdo con el comportamiento observado de los fen ómenos naturales,  y las relaciones funcionales que esas magnitudes fundamentales cumplen en los sistemas inerciales.  Este modelo matemático, escrito en un espacio de Riemann de 4 dimensiones, denominado Espacio de Minkowski, provee un  método anal ítico que fue fundamental para toda la F ísica Relativista.  En su aplicación a la Mecánica y por razones matem áticas, Minkowski sostuvo que la masa propia deb ía ser un invariante.  Aunque no es objetivo de este curso plantear la Relatividad en lenguaje tensorial, resulta conveniente describir algunos  aspectos contradictorios de esta formulación inicial que, en mi opinión, condujeron a malas interpretaciones posteriores. Minkowski, usando cuadrivectores, propuso varias formas distintas (equivalentes) como ley fundamental del movimiento (ley  tensorial, que representa cuatro ecuaciones escalares):  

Postulados de la  Teoría de  Relatividad

 

Transformaciones de Lorentz Simultaneidad Contracci ón  espacial y  Dilatación 

Sin necesidad de un an álisis o explicación extensa de esta ley, invariante por construcción, señalemos que  u i es el cuadrivector  velocidad, que fi es el cuadrivector fuerza, y que en todas las ecuaciones propuestas la masa o densidad propia están fuera de  la derivada temporal. 

temporal Cinem ática 

Desde el siglo XVII sabemos que la fuerza está relacionada con la variación de la cantidad de movimiento y que en el caso en  que m sea invariante, como supuso Newton, se puede expresar como:

relativista

   

Cantidad de  movimiento Dinámica  relativista Trabajo y Energ ía Principio de  Equivalencia

Aparentemente, el matemático Minkowski siguiendo estas ideas asumi ó que la masa propia era invariante, sin contemplar que  ello conduce a resultados incorrectos si las interacciones involucran cambios de energía diferentes a los del trabajo mecánico  sobre el centro de masa del sistema, tales como absorci ón o emisión de radiación, efecto Joule, cambios de estado, procesos  termodinámicos con intercambio de calor, compresiones, rozamiento, deformación plástica, etc. Poincaré, Einstein y Abraham (y seguramente otros f ísicos) hicieron notar que la propuesta inicial de Minkowski era incorrecta y  que su uso en sistemas reales conduc ía a resultados inaceptables. De acuerdo al enfoque f ísico de la Relatividad de Einstein  (1905) y al Principio de Equivalencia (1907), la masa propia no pod ía ser un invariante. 

Complementos de Energía Masa Propia y 

Abraham en 1909 demostr ó que la correcta formulación tensorial de la ecuación invariante de movimiento, expresada a  continuación, debe considerar variable a la masa propia del sistema, poniendo orden en el modelo tensorial de la Mec ánica  Relativista. 

Potencia Problemas

   

Temas Especiales

  

Asimismo, Pauli y Möller más tarde mostraron que si la masa propia se considera invariante, la Termodinámica Relativista deja de  ser válida desde sus fundamentos.  Este tema puede verse con más detalle en el tratado de Pauli ( “Special Theory of Relativity”, Cap. 3 – pág. 108) y en el libro de  Möller (“The Theory of Relativity”, Cap. 4 – pág. 106).  Aparentemente ello no fue incorporado convenientemente por parte de otros especialistas pues, salvo raras excepciones, la  bibliografía y trabajos científicos, usualmente referidos a la f ísica de partículas, tratan a la masa propia como si fuera un  invariante en todos los casos, incluso algunos de manera expl ícita a pesar de los innumerables ejemplos que contradicen dicha  postura, y modifican por conveniencia las leyes de acuerdo al problema.  Esta mala práctica tuvo consecuencias académicas lamentables, como rechazar la masa relativista como una propiedad  fundamental de los sistemas físicos, desvirtuando el concepto relativista de inercia, o limitar el Principio de Equivalencia entre  masa y energía sosteniendo ins ólitamente que sólo es válido para cuerpos en reposo (y ciertas formas de energ ía), o redefinir la  cantidad de movimiento para acomodar la teor ía a sus torpezas.  En definitiva, un conjunto de arbitrariedades innecesarias y perjudiciales, sobre todo para la ense ñanza de la Relatividad, que  costar á años revertir.   Veamos cómo debe ser tratado el tema de la masa propia de manera simple. Se define como masa propia de un sistema físico al valor de su masa medida en reposo en un sistema de referencia inercial.  Mostraremos que la masa propia de sistemas no puntuales no s ólo no es un invariante, sino que necesariamente debe variar  durante las interacciones si aceptamos v álido el Principio de conservación de la energ ía. Prestaremos mucha atenci ón a cualquier magnitud relacionada con cambios de energía de un sistema f ísico, tal como la potencia,  debido a que ello sucede en presencia de procesos causales, que denominamos interacciones. La magnitud que mide la variación temporal del contenido de energ ía de un sistema f ísico es la potencia. Se define como potencia  instant ánea a la relación:  

De acuerdo con el Principio de Equivalencia entre masa y energía, el contenido de energ ía de un sistema f ísico es directamente  proporcional a su masa relativista, resultando:

debido a que ello sucede en presencia de procesos causales, que denominamos interacciones. La magnitud que mide la variación temporal del contenido de energ ía de un sistema f ísico es la potencia. Se define como potencia  instant ánea a la relación:  

De acuerdo con el Principio de Equivalencia entre masa y energía, el contenido de energ ía de un sistema f ísico es directamente  proporcional a su masa relativista, resultando:     Veamos ahora como relacionar la variaci ón de la masa relativista de un sistema f ísico con los efectos de una interacción  cualquiera. Por simplicidad supondremos que no hay rotaci ón. Para ello usaremos el teorema que vincula el trabajo de la fuerza total aplicada al centro de masa del sistema y la variación de la  energ ía cinética que le provoca.    

Hemos asumido que la masa propia m0 de un sistema físico real puede variar durante una interacci ón (ver Möller “The Theory of  Relativity”, pág. 106).   Al respecto, veamos un caso particular muy ilustrativo. Sea un átomo excitado en reposo que vuelve a su estado fundamental con emisi ón de un fotón. La energ ía del átomo  excitado antes de la emisi ón es:     La masa del átomo es la masa propia pues inicialmente est á en reposo. El super índice indica su estado excitado. Con la emisión del fotón el átomo vuelve a su estado fundamental y adquiere movimiento uniforme en sentido contrario al del  fotón emitido, que asumimos propagándose en sentido negativo de las  x, cumpliéndose la conservaci ón de la cantidad de  movimiento del sistema. Dado que el problema es unidimensional no indicaremos componentes según los ejes del sistema de  referencia. Además, por conservación de la energ ía, se cumple que la energía del átomo excitado antes de la emisi ón es igual a la suma de  la energ ía del átomo en estado fundamental y en movimiento uniforme, m ás la energ ía del fotón emitido.     

La masa relativista del átomo en estado fundamental tiene movimiento uniforme y cumple con:    

Siendo m0  la masa propia del  átomo en estado fundamental. Operando obtenemos:     

 

Queda demostrado que la masa propia de un átomo excitado es mayor que cuando está en su estado fundamental, y con  ello que la masa propia no es un invariante. Por supuesto, es inmediato obtener (ver balance energ ético anterior) que el exceso de masa del átomo excitado es exactamente  la masa relativista del fot ón posteriormente emitido.     Calculemos ahora cuanto aumenta la masa propia de un  átomo excitado en las condiciones establecidas, respecto de su masa  propia en estado fundamental.    

Nótese que el aumento de masa propia del  átomo excitado es exactamente la masa que corresponde a la energ ía cinética  adquirida por el átomo, luego de la emisión, más la del fotón emitido. Nota: Este tipo de an álisis es aplicado de manera sistem ática en el reconocimiento de productos de reacciones nucleares.  En consecuencia, la potencia instant ánea de un sistema (no puntual) ser á:     El trabajo mecánico elemental, sobre un cuerpo masivo, es dW=F.ds , siendo F la fuerza total aplicada (en su centro de masa),  que debe incluir la reacción de radiación en el caso en que el sistema irradie de manera anisótropa. 

Nota: Este tipo de an álisis es aplicado de manera sistem ática en el reconocimiento de productos de reacciones nucleares.  En consecuencia, la potencia instant ánea de un sistema (no puntual) ser á:     El trabajo mecánico elemental, sobre un cuerpo masivo, es dW=F.ds , siendo F la fuerza total aplicada (en su centro de masa),  que debe incluir la reacción de radiación en el caso en que el sistema irradie de manera anisótropa.  La variación de energ ía por unidad de tiempo debida al trabajo mec ánico es:      La variación de energ ía por unidad de tiempo debida a procesos que no realizan trabajo mec ánico sobre el centro de masa del  sistema es:     Veamos otros dos ejemplos que tratan con cambios de la masa propia del sistema. 1 – Enfriamiento o calentamiento de un cuerpo en reposo.  Sea dQ/dt la potencia calórica (o frigorífica) instantánea del sistema, es decir la cantidad de calor (en Joules) intercambiada por  unidad de tiempo. Por el Principio de Equivalencia entre masa y energ ía, la variación de la masa del sistema estar á dada por:     Dado que el sistema permanece en reposo en todo momento, no hay trabajo mec ánico, y su masa es (por definición) la masa  propia del sistema, que resulta función de la temperatura. La potencia instant ánea del sistema ser á:     Como demostraremos, luego de estos ejemplos, esta Potencia instant ánea es absoluta, es decir que todo observador inercial  medirá el mismo valor de potencia calórica o frigorífica instantánea. 2 – Energía radiante y pérdida de masa del Sol  Para un observador terrestre y para intervalos temporales breves (un segundo en nuestro caso) el sol puede ser considerado en  reposo en un sistema inercial. Se ha estimado en  3.65 x 10 23 kW la energía radiante total del Sol emitida por unidad de tiempo.    De acuerdo con el Principio de Equivalencia entre masa y energía, cada segundo el sol pierde  4.05 millones de toneladas,  disminuyendo su masa propia. El cálculo simple es:  

 

La interpretaci ón elaborada en este ejemplo (p érdida de masa propia) es utilizada en la teor ía de evoluci ón estelar dando  resultados consistentes con la observaci ón. Nota: Estos dos ejemplos muestran que en los sistemas físicos reales, si las interacciones no modifican su cantidad de movimiento, la  variación de su masa propia es indispensable para el cumplimiento del Principio de conservaci ón de la energ ía.  La potencia instant ánea, en su expresi ón más general, est á dada por:      

       (1)

Relatividad de la Potencia Usaremos las transformaciones relativistas generales de Lorentz para la energía y el tiempo, obtenidas para dos observadores  inerciales (O,O’) con velocidad relativa  V (constante).   

Siendo p=mv  la cantidad de movimiento del sistema físico, medida por O. La potencia instant ánea cumplirá con:  

 

Siendo p=mv  la cantidad de movimiento del sistema físico, medida por O. La potencia instant ánea cumplirá con:  

 

Siendo a la aceleración del sistema f ísico, medida por O. La última expresión (2) debe ser analizada en detalle pues permite obtener conclusiones importantes sobre las características de  las interacciones.   1 – Potencia Radiante  Si consideramos el sistema f ísico en un sistema aislado (sin campo gravitatorio), formado sólo por radiación, es inmediato ver que  la potencia radiante (instantánea) en cada punto del espacio es la misma para todo observador inercial (P‘=P), pues la  aceleración (a) de la radiación es siempre nula. En presencia de un campo gravitatorio externo (con interacci ón campo­fotón), ello no se cumple pues hay aceleraci ón transversal  a la velocidad (c), salvo que la acción del campo tenga la misma dirección que la velocidad de la radiación. 2 – Interacciones con fuerza total aplicada nula  No se modifica la cantidad de movimiento del centro de masa del sistema, tal como ocurre en compresiones o expansiones  isótropas, procesos t érmicos de intercambio de calor con simetría esférica, emisión electromagnética de dipolo radiante en  reposo, etc. En todos estos casos la aceleraci ón a es nula, resultando  P’ = P.   Es decir que durante la interacción la potencia instant ánea del sistema es la misma para todo observador inercial.  Nota: Este resultado es consistente con el caso anterior pues, si un cuerpo en reposo irradia, la energía que pierde por unidad de  tiempo debe ser igual a la potencia radiada, por el Principio de conservaci ón de la energ ía.  Ambas potencias instant áneas son absolutas, por lo cual este proceso existe para todo observador y no puede ser eliminado  con la elección de un sistema de referencia particular, siendo esto  último una característica de todos los fen ómenos causales.   Por supuesto, la energ ía ganada o perdida por el sistema en un dado lapso es relativa al sistema de referencia debido a que la  evolución temporal es distinta en diferentes sistemas inerciales.  Supongamos que el sistema f ísico está en reposo ( v  = 0) para el observador O y sufre un incremento  dE sin modificar su estado  de reposo. En ese caso para un observador O ’ que se mueve con velocidad V, el incremento será:    

 

3 – Observador inercial comóvil (instantáneo) con el sistema físico  Primero destaquemos que si un sistema f ísico está acelerado, un observador inercial s ólo estará comóvil con su centro de masa  en un instante  único, cuando V = v, es decir que para mantenerse com óvil con el objeto acelerado se requieren infinitos  sistemas inerciales. La expresi ón (2), que relaciona la potencia instantánea de un mismo proceso medida por dos observadores inerciales distintos,  puede ponerse en funci ón de la Fuerza total aplicada.  

 

Para el observador inercial com óvil instantáneo se cumple V = v, quedando:  

 

Reemplazando  P por su expresi ón general (1) obtenemos:     Durante una interacción aparecen fuerzas aplicadas no nulas, por lo cual un sistema f ísico no puntual debe sufrir modificaciones  geométricas y dinámicas que alteran su contenido de energía total y también su masa propia.  La explicación de ello es que los procesos causales tienen un inicio y, dado que las fuerzas aplicadas no se transmiten a  velocidad infinita a todos los puntos del sistema, aparecer án tensiones que alteran el sistema modificando su geometría y masa  propia. Lo importante, desde un punto de vista teórico, no es el valor de la modificación de la masa propia, que puede ser muy peque ña  o incluso despreciable, sino la existencia de ella.  Dado que la masa propia de un sistema f ísico no puntual necesariamente debe modificarse durante una interacci ón, se concluye  que todo observador com óvil podría medir potencia no nula de un sistema f ísico real, al menos en alg ún instante del proceso, y  su valor depender á de la variación temporal instantánea de la masa propia del sistema. Podr ía plantearse que este  último resultado no es aceptable f ísicamente porque la masa propia podr ía agotarse completamente 

Lo importante, desde un punto de vista teórico, no es el valor de la modificación de la masa propia, que puede ser muy peque ña  o incluso despreciable, sino la existencia de ella.  Dado que la masa propia de un sistema f ísico no puntual necesariamente debe modificarse durante una interacci ón, se concluye  que todo observador com óvil podría medir potencia no nula de un sistema f ísico real, al menos en alg ún instante del proceso, y  su valor depender á de la variación temporal instantánea de la masa propia del sistema. Podr ía plantearse que este  último resultado no es aceptable f ísicamente porque la masa propia podr ía agotarse completamente  si se le saca energ ía durante un tiempo suficiente.  Si el sistema está acelerado el planteo no es correcto ya que para un único observador la ley es v álida sólo en un instante, por lo  cual no es lícito sacar conclusiones que requieren  “integrar” la ley en el tiempo. Nótese que en este caso un observador com óvil  durante un tiempo finito corresponde a infinitos sistemas inerciales distintos, lo que equivale a decir que para un  único sistema  inercial hay trabajo mecánico pues el móvil posee aceleración y, en consecuencia, cambio de la masa propia. Si el sistema físico está en reposo o con movimiento uniforme, como podr ía suceder con un cuerpo calent ándose o enfri ándose, el  planteo tiene respuesta inmediata. Su masa propia aumentar á mientras sea posible entregarle energía y disminuirá si la pierde,  aunque en este  último caso la experiencia y el Teorema de Nernst nos muestran que esas interacciones en sistemas  macroscópicos no pueden mantenerse indefinidamente, por lo cual la masa propia alcanzar á un valor mínimo no nulo. Finalmente digamos que estas conclusiones (1, 2 y 3) invalidan la falsa creencia de que un electr ón con aceleración propia  constante (en movimiento hiperbólico) no irradia y que por ello el observador com óvil no detecta radiaci ón (ver “La Paradoja de  Born”).   En consecuencia, si un sistema irradia ello suceder á para todo observador, sea o no inercial.   add comment

 

AGRADECIMIENTO  Posted by  Anonymous User  at  2009 ­09 ­28 07:30   

SOY MAESTRA DE BACHILLERATO UNIVERSITARIO Y QUIERO AGRADECER POR ESTE CURSO QUE ME PERMITIO DAR UNA  EXPLICACIÓN A MIS ALUMNOS MÁS ACORDE A SU NIVEL DE CONOCIMIENTOS, LA MATERIA QUE IMPARTO ES "TEMAS  SELECTOS DE FÍSICA" EN EL CUAL ABORDAMOS TRES UNIDADES RELATIVIDAD, MECÁNICA CUÁNTICA Y ASTRONOMIA Y  ESTE CURSO ME ESTA AYUDANDO MUCHO.   reply  

Muy amable  Posted by  Hugo Fern ández  at  2009 ­09 ­29 22:56   

Gracias por su atento comentario.* Hugo Fern ández   reply  

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Si no se indica lo contrario, asuma que todos los sistemas de referencia son inerciales 

Teoría de 

(Nota: Se están incorporando las respuestas y algunas soluciones completas).

Relatividad 

1. ¿Cuál ha de ser la velocidad relativa de dos observadores inerciales para que sus medidas de intervalos de tiempo difieran en  1% ?              (Respuesta:      V=0.99995 c). Solución 

Especial Problemas Temas Especiales

  

Problemas de Relatividad Especial

2. El período propio de vida de un mes ón pi es de 2.6x10 ­8 seg. Si un haz de estas partículas tiene una velocidad de  0.9 c,  indicar:         a. ¿Cuál es el período de vida de esos mesones con respecto al laboratorio?                (Rta.:    5.96x10 ­8 seg)          b. ¿Qué distancia recorren en el laboratorio antes de desintegrarse?                (Rta.:    16.1 m)  3. En el caso de los mesones pi considerados en el ejercicio anterior, indicar qué distancia habrá recorrido el laboratorio en el  sistemas de referencia de los mesones.               (Rta.:    7.02 m) 4. ¿Cuántas veces aumentar á la vida de una partícula inestable (para un observador en reposo), si se mueve a una velocidad  0.99 c ?              (Rta.:    T´/ T0= 7.09)  5. Un avión vuela a 3x10 ­6 c (3240 Km/h). Asumiendo que la Tierra fuera un sistema inercial, indicar:           a. ¿En qué proporción se verá contraída la longitud del avi ón con respecto a la Tierra?           b. ¿Durante un a ño medido en tierra (3.16x10 7 seg), qué intervalo de tiempo marcará el reloj del avión?   (Rta: No se detectarán cambios, ni de longitud ni de tiempo) 6. Demuestre que si un fenómeno es causal no puede existir un sistema de referencia en el cual el orden de los sucesos esté  invertido.             (Solución en la última parte del cap ítulo de Simultaneidad)  7. Dos naves espaciales se aproximan desde posiciones opuestas en un sistema inercial. Si la velocidad de cada una de ellas es  de 0,9 c, calcule la velocidad relativa entre las naves.             (Rta.: Vel rel = ­ 0.994 c)  Solución  8. Un haz luminoso se mueve a lo largo del eje y’ del sistema inercial S’ con velocidad c. S’ se est á moviendo con respecto a  S según el eje x con una velocidad V constante. Se pide:         a. Hallar las componentes vx y vy del haz con respecto a S.               (Rta.: v = V    v = [c2­V2] 1/2 )        x

y

        b. Demostrar que la velocidad de la luz con respecto a S es c.             (Rta.: c2 = v 2  + v 2)  x

y

9. Un cuerpo se mueve a una velocidad  v3 = 0.9 c a lo largo del eje x ” de un sistema inercial S”. S” se mueve hacia la derecha a  una velocidad v2 = 0.9 c sobre el eje x’ de un sistema S ’, y S’se mueve hacia la derecha a una velocidad v1 = 0.9 c sobre el eje x  de un sistema S. Se pide hallar la velocidad del cuerpo con respecto a S.             (Rta.: v = 0.9997 c) 10. Dos naves espaciales de 100 m de longitud propia se mueven en sentido opuesto a velocidad 0.8 c respecto a la Tierra  (suponga el sistema inercial). Se pide:         a. Indicar que longitud tiene cada nave con respecto a la otra.             (Rta.: L' = 21.95 m)         b. En el instante t = 0, medido en Tierra, las proas de las naves se cruzan. Calcular la diferencia de tiempo que marcar á el  reloj de la Tierra cuando se crucen sus popas.             (Rta.: T = 2.5x10 ­7  seg)  11. Un tren cuya longitud propia es de 1200 m pasa a gran velocidad por una estaci ón cuyo andén mide 900 m, y el jefe de la  estaci ón observa que al pasar el tren ocupa exactamente toda la longitud del andén. Se pide calcular la velocidad del tren.              (Rta.: 0.66 c) 12. Una nave espacial pasa frente a la Tierra (suponga inercial el sistema) a una velocidad  v = 0.6 c. En ese instante un  observador en la Tierra y el tripulante de la nave ponen simultáneamente sus relojes en cero. Cuando el tripulante de la nave  lea 60 seg en su reloj mandará una se ñal luminosa hacia la Tierra. Cuando el observador de la Tierra reciba la se ñal, a su vez  mandará hacia la nave una se ñal de confirmación. Se pide:         a. ¿A qué hora seg ún él reloj de la Tierra llega la señal de la nave?                (Rta.: 120 seg)         b. ¿A qué hora seg ún el reloj de la nave recibirá la señal de confirmación?               (Rta.: 240 seg) 13. Sea un tren que camina a una velocidad  V con respecto a la Tierra. Sobre los extremos del tren caen rayos que dejan marcas  P’ y Q’ sobre  él, y P y Q sobre la Tierra. Un observador O que esté sobre la Tierra a mitad de camino entre P y Q ve caer los rayos  en forma simultánea. Indicar si ocurrirá o no lo propio para un observador O ’ situado en el punto medio del tren (ejemplo  propuesto por Einstein).              Solución  14. Sea un sistema S en el cual ocurren dos sucesos E 1  y E 2  (fenómeno causal).   E 1  determina a E 2 , y por lo tanto t1< t 2. Demostrar que seg ún un sistema S’ cualquiera que se mueve con respecto a S hacia la  derecha con una velocidad  V, E 1  y E 2  ocurrirán en instantes    t’1 y t’2, siendo t’1 <  t’2. 

P’ y Q’ sobre  él, y P y Q sobre la Tierra. Un observador O que esté sobre la Tierra a mitad de camino entre P y Q ve caer los rayos  en forma simultánea. Indicar si ocurrirá o no lo propio para un observador O ’ situado en el punto medio del tren (ejemplo  propuesto por Einstein).              Solución  14. Sea un sistema S en el cual ocurren dos sucesos E 1  y E 2  (fenómeno causal).   E 1  determina a E 2 , y por lo tanto t1< t 2. Demostrar que seg ún un sistema S’ cualquiera que se mueve con respecto a S hacia la  derecha con una velocidad  V, E 1  y E 2  ocurrirán en instantes    t’1 y t’2, siendo t’1 <  t’2.               Solución en la última parte del cap ítulo de Simultaneidad   15. Un electrón se mueve a una velocidad v = 1.8 x 10 8 m/seg con respecto a un observador inercial. Indicar:           a. Su masa.                                 (Rta.: m=1.25 m 0=1.14x10 ­30 Kg)                   b. Su energía cinética.                 (Rta.: 0.128 Mev)         c. Su energía total.                      (Rta.: 0.638 Mev) 16. Un protón es acelerado hasta que su energ ía cinética es igual a su energ ía en reposo ( 938,28 MeV).  Hallar la relación v/c.                            (Rta.: 0.866    El dato de la energía en reposo no es necesario) 17. Un electrón es acelerado hasta que su energ ía cinética es 1000 MeV. Indicar:         a. La relación m/m o.                     (Rta.: 1958)          b. La relación v/c.                         (Rta.: 0.999...) 18. ¿Qué potencial eléctrico constante debe usarse para llevar un protón a la velocidad 0.6 c?. ¿Cuál será su energ ía total?.  ¿Cuál será su energ ía cinética?. ¿Cuál será su cantidad de movimiento?.              (Rta.: E =1172.85 MeV; E =234.57 MeV; V=2.34x10 8 Volts; p=3.75x10 ­19 Kg m/seg)  TOTAL

CINÉTICA

19. Indicar el trabajo necesario para llevar un electrón de la velocidad 0.6 c a la velocidad 0,9 c.             (Rta.: W=0.533 MeV) 20. Cuánta energ ía en MeV es necesaria para llevar la masa de un electrón al doble de su masa en reposo?              (Rta.: Energía necesaria=0.511 MeV)  Indicar:         a. La velocidad del electrón.         (Rta.: 0.86 c)         b. Su energía cinética.                  (Rta.: 0.511 MeV) 21. En un sistema inercial actúa una fuerza constante  F sobre un cuerpo inicialmente en reposo, durante un tiempo t. Demostrar  que se cumple p = F t              (Rta.: Usar definición de fuerza e integrar) 22. Una partícula de masa  mo en reposo tiene una energ ía total E. Mostrar que la velocidad de dicha part ícula es:    

            (Rta.: Usar Principio de Equivalencia y masa relativista) 23. Indicar la cantidad de movimiento de un electr ón cuya energ ía cinética es de  1 MeV.             (Rta.: p=7.58x10 ­22 Kg m/seg)  24. ¿Cuál es la velocidad de un electrón que ha sido acelerado por una diferencia de potencial de 105 KVolts?  25. ¿Cuál es la energ ía cinética de un electrón cuya cantidad de movimiento es de 2 MeV/c ?  26. Calcular la cantidad de movimiento de un electrón cuya velocidad es  0,8 c. 27. La masa en reposo de un mu ón es de  105 MeV/c 2 y su tiempo de vida media es de 2x10 ­6 seg. Calcular la masa del muón en  movimiento, referida al laboratorio, si su tiempo de vida media medida es  7x10 ­6  seg. Calcular la velocidad del muón.   28. En el sistema S un electrón se mueve hacia la derecha a una velocidad  0.6 c. Un observador se mueve a una velocidad 0.8 c  en la misma dirección y sentido que el electr ón. Indicar la energ ía del electrón que mediría el observador. 29. Un fotón gamma tiene una energía de 6 MeV. Determine su cantidad de movimiento. 30. Un cuerpo tiene una masa m y una velocidad v según un sistema inercial S. Indicar la masa que tendrá seg ún un sistema S’  que se desplaza con velocidad V constante hacia la derecha con respecto a S. 31. Un cuerpo de masa  mo en reposo se desplaza con velocidad  0.8 c en el sentido positivo del eje x del sistema inercial S, y  choca plásticamente con un cuerpo de masa 3 m o, en reposo sobre el eje x de S. Indicar la masa del cuerpo unificado resultante  del choque, su masa en reposo y su velocidad. 32. En un tubo de rayos X un electr ón es acelerado por una diferencia de potencial de  0,2x10 5 Volt.  Indicar la cantidad de movimiento de este electr ón despu és de sufrir dicha aceleraci ón. 33. La longitud de una varilla con 10 MeV de energ ía total se contrae  6.2 % con respecto a su longitud propia. Se pide hallar:         a. Su masa en reposo.         b. Su velocidad.         c. Su energía cinética. 34. Un mesón cuya energ ía en reposo es de  140 MeV se creó a 100Km sobre el nivel del mar y se mueve verticalmente hacia  abajo. Tiene una energ ía total de  1,5x10 5 MeV y se desintegra en  2,6x10 ­8 seg seg ún su propio sistema de referencia. Indicar a  que altura sobre el nivel del mar tendr á lugar la desintegración del mesón. 35. Sean dos part ículas idénticas que se mueven en sentido contrario y velocidad  v con respecto a un sistema inercial. Si su  masa en reposo es  mo, se pide indicar:          a. La energía total del sistema, su cantidad de movimiento y la energ ía cinética de cada partícula.         b. La energía total del sistema y la energ ía cinética de cada partícula desde el punto de vista de un observador situado en  una de las part ículas. 36. Sean dos part ículas idénticas cuya masa en reposo sea  mo y que se desplazan con respecto al sistema inercial S según el eje  x con velocidades  v y ­2v respectivamente. Indicar:         a. La energía total del conjunto, su cantidad de movimiento y la energía cinética de cada partícula.         b. Idem a) pero para un observador situado en la part ícula con velocidad v. 37. Sea un triángulo rectángulo de 6 m de base y  8 m de altura, tal como se indica en la figura adjunta. Este tri ángulo es  solidario con un sistema S ’ que se mueve a una velocidad  0.8 c seg ún el eje x de un sistema S. Se pide indicar la superficie de  dicho triángulo seg ún S’ y según S. 

36. Sean dos part ículas idénticas cuya masa en reposo sea  mo y que se desplazan con respecto al sistema inercial S según el eje  x con velocidades  v y ­2v respectivamente. Indicar:         a. La energía total del conjunto, su cantidad de movimiento y la energía cinética de cada partícula.         b. Idem a) pero para un observador situado en la part ícula con velocidad v. 37. Sea un triángulo rectángulo de 6 m de base y  8 m de altura, tal como se indica en la figura adjunta. Este tri ángulo es  solidario con un sistema S ’ que se mueve a una velocidad  0.8 c seg ún el eje x de un sistema S. Se pide indicar la superficie de  dicho triángulo seg ún S’ y según S.   

38. Sean dos sucesos E 1  y E 2  que ocurren en puntos separados sobre el eje x de un sistema inercial S. E 1  se produce antes que  E 2 . Analizar que condiciones deben cumplirse para que en otro sistema de referencia S ’, E 2  se produzca antes que E 1 .   39. Sean tres partículas idénticas de masa  mo en reposo, que con respecto a un sistema S tienen velocidades tales como est á  indicado en la figura adjunta.  

    A. Se pide indicar para un observador situado en S:         a. La energía total del sistema.         b. La cantidad de movimiento del sistema.         c. La energía cinética de cada partícula.     B. Lo mismo para un observador en B. 40. Un fotón gamma de 4 Mev se aniquila creando un par electr ón positrón. Determinar:         a. La energía cinética de cada partícula.         b. El ángulo de salida entre electr ón y positrón. 41. Un observador inercial nota que dos naves espaciales se aproximan entre s í en una misma dirección, y hacia él. La velocidad  de ambas naves con respecto al observador es de 0.8 c y están separadas por  600000 Km para el observador. Se pide  averiguar:         a. En cuanto tiempo, seg ún el observador, chocarán ambas naves.         b. La velocidad de cada nave con respecto al piloto de la otra nave.         c. El tiempo que tiene el piloto de una de las naves para evitar una colisi ón.         

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Ecuaciones de Maxwell

 

 

Hugo A Fernández  ­ [email protected] 

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Profesor Titular de F ísica Moderna ­ Universidad Tecnológica Nacional ­ Argentina 

Teoría de  Relatividad 

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ 

Especial

El presente cap ítulo fue elaborado asumiendo que el lector maneja el an álisis vectorial y tiene los conocimientos de electricidad y  Problemas Temas Especiales Ley de Hubble Ca ída Libre

magnetismo que se adquieren en un curso inicial. En consecuencia, no trataremos las definiciones de los campos  E, D, B y H ni  discutiremos aquellos fenómenos b ásicos que pueden encontrarse en la abundante bibliografía existente. Como libros de  referencia destacamos los siguientes: J. Jackson – "Electrodinámica Clásica”.  A. Sommerfeld, vol. 3 – "Electrodynamics". 

Efecto Mössbauer 

L. Landau et al; vol. 8 – "Electrodynamics of Continuous Media".  Corrimiento al  Rojo Masa, Inercia y  Fotones

El objetivo central de este trabajo es elaborar una discusi ón conceptual profunda de los Postulados del Electromagnetismo, es  decir las Ecuaciones de Maxwell, aspecto que no suele tratarse con la atenci ón necesaria.

INTRODUCCIÓN La Teoría Electromagnética del físico escocés James Clerk Maxwell (1831­1879) es una de las obras intelectuales más importante 

La Paradoja de  Born ECUACIONES DE  MAXWELL

en la historia de las ciencias.  Su aparición se inicia en 1861 ("On Physical Lines of Force") y se completa en un tercer trabajo en 1865 ( "A Dynamical Theory of  the Electromagnetic Field”).  Es interesante remarcar que en esa época ya se conoc ían muchas leyes individuales sobre el comportamiento de la electricidad y  el magnetismo, pero no se ten ía una teor ía formal que usando el menor n úmero posible de Postulados explicara los fen ómenos  de naturaleza electromagn ética conocidos. 

  

Maxwell supo seleccionar cuatro fen ómenos b ásicos fundamentales como Principios, con los cuales armó un modelo físico  matemático capaz de explicar la totalidad de las leyes en esa disciplina y predecir fenómenos desconocidos. Esta teor ía es considerada el nacimiento de la F ísica Moderna debido a que sus consecuencias incidieron dr ásticamente en todas  las ramas de la Física, ya sea permitiendo fijar las condiciones de validez de los modelos existentes o generando bases  conceptuales m ás profundas. Además de conformar un modelo completo para los fen ómenos clásicos del electromagnetismo,  explicó de manera consistente toda la  óptica ondulatoria y, en parte, la naturaleza de la luz. Predijo la existencia de ondas  electromagnéticas y demostró que el campo es un ente físico real e independiente de la materia.  El desarrollo del Electromagnetismo permitió comprender el mecanismo de interacción entre cuerpos, invalidando la denominada  “acción a distancia” que implícitamente establec ía la Ley de Coulomb. Nótese que si en la ley de Coulomb una de las dos cargas  modificara su valor, la fuerza sobre la otra carga cambiar ía simultáneamente, lo que implica una acción a velocidad infinita entre  las cargas, mecanismo m ágico que no soporta razonamiento alguno.  La interpretaci ón de las interacciones entre cuerpos por medio de campos asociados que se propagan a velocidad finita, hoy  llamada interacción “campo­partícula”, resultó consistente con el Principio de Causalidad y con la posterior Teoría de Relatividad  Especial, por lo cual se la asumi ó de validez general e independiente de la naturaleza particular del fenómeno.  Por último corresponde se ñalar que la Teoría de Relatividad Especial est á implícita en las ecuaciones de Maxwell pues ellas se  cumplen con rigor en todos los sistemas inerciales, lo que permite deducir naturalmente las Transformaciones de Lorentz como  relaciones únicas de transformación de coordenadas entre sistemas inerciales. La formulación moderna del electromagnetismo fue elaborada en 1884 por el gran cient ífico autodidacta Olivier Heaviside (1850 ­ 1925), para lo cual estructuró el análisis vectorial y replanteó la formulación de Maxwell, llevándola a la forma que trata la  bibliografía actual mediante ecuaciones diferenciales a derivadas parciales.

FUNDAMENTOS DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL  Los cuatro fen ómenos b ásicos tomados como Postulados del electromagnetismo son: 1 – Ley de Faraday sobre la fuerza electromotriz inducida   Esta ley fue descubierta por Michael Faraday en 1831, quien se desempe ñaba como encargado del pa ñol del laboratorio  (ordenanza) de la  “Royal Institution” de Inglaterra, usando un dise ño propio muy simple, como muestra la figura 1.   

 

Figura 1 – Dispositivo de Faraday   Al mover el imán dentro del cart ón, que tenía enrollado un alambre de cobre, las láminas metálicas del electroscopio se abrían,  indicando la acumulación de cargas el éctricas en ambas hojuelas como consecuencia de una corriente el éctrica por el alambre de  cobre, simultánea con el movimiento.  Ello nos indica que en el conductor de cobre existe un campo el éctrico, condición que s ólo se cumple cuando hay movimiento 

 

Figura 1 – Dispositivo de Faraday   Al mover el imán dentro del cart ón, que tenía enrollado un alambre de cobre, las láminas metálicas del electroscopio se abrían,  indicando la acumulación de cargas el éctricas en ambas hojuelas como consecuencia de una corriente el éctrica por el alambre de  cobre, simultánea con el movimiento.  Ello nos indica que en el conductor de cobre existe un campo el éctrico, condición que s ólo se cumple cuando hay movimiento  relativo entre el imán y el conductor.  De esta manera contundente Faraday descubrió que la electricidad y el magnetismo se relacionaban funcionalmente si los  campos eran variables en el tiempo. La forma matemática de la ley de Faraday es:     

El primer miembro (circulación del campo eléctrico) es la definición de la denominada fuerza electromotriz inducida en el  conductor, siendo C la curva definida por el alambre de cobre.  El segundo miembro es la variación temporal (debida al movimiento del im án) del flujo magnético a través de la superficie que  tiene por borde a la curva C. Debe destacarse que inicialmente esta importante ley fue mal interpretada, asumiendo que el campo eléctrico era “creado ” por el  campo magnético variable, como si fueran causa y efecto, sin reconocer que el comportamiento de ambos campos ( E y B) está  provocado por el movimiento relativo (causa). Este error, que aún figura en muchos libros sobre el tema, quedará totalmente  explicado cuando analicemos las ecuaciones de Maxwell.   2 – Ley de Gauss­Faraday sobre inducción eléctrica  Los experimentos de inducci ón eléctrica realizados por Faraday (antes del a ño 1831) mostraron que si una carga Q es encerrada  por un recipiente conductor inicialmente neutro, pero sin establecer contacto directo con el cuerpo cargado (ver figura 2), el  recipiente conductor reordena sus cargas (fen ómeno de inducción) de tal manera que las superficies interior y exterior del  recipiente quedan cargadas con signo opuesto.  La carga total inducida en cada superficie resulta de magnitud exactamente igual a la de la carga encerrada.   

 

Figura 2 – Fenómeno de inducción  El hecho de que la carga inducida en cada superficie sea igual en magnitud a la carga encerrada es algo realmente asombroso,  que nos muestra aspectos fundamentales de la electricidad.  Los variados experimentos de Faraday sobre inducci ón permitieron comprender que los medios conductores poseen una  cantidad inmensa de cargas libres en su interior que pueden reordenarse, y mostraron que la carga neta de un conductor  permanece constante ante fen ómenos inductivos, confirmando la conservación de la carga.  Asimismo, se verificó que para cuerpos en reposo el interior de los conductores es neutro, sin campo el éctrico, aún en presencia  de cuerpos externos cargados. Ello implicaba que en el interior de un medio conductor el campo electrost ático es nulo, por lo cual  la carga inducida sobre su superficie debe anular la acci ón de cualquier carga, externa o encerrada, fen ómeno que se conoce  como “apantallamiento ”.  La expresi ón matemática de esta ley fue dada por Gauss y reformulada por Heaviside con la actual forma vectorial, utilizando el  campo de “inducción” D, que fuera definido y medido por Faraday, cuyo m ódulo en un punto cualquiera del espacio representa la  densidad de carga inducida máxima que podría obtenerse si ubic áramos una plaquita metálica (transversal al campo).      El primer miembro es el flujo del campo  D a través de cualquier superficie que encierre la carga  Q, mientras que el segundo  miembro representa la carga total encerrada. Nótese que hemos asumido que la carga de un cuerpo puede ser representada por una funci ón continua integrable, la densidad  volumétrica de carga (p), suposición que entra en conflicto con la naturaleza discreta de la electricidad. No obstante, la validez  matemática de la ley de Gauss ­Faraday y su aplicación quedan satisfechas con la generalizaci ón de la integraci ón elaborada por  Stieltjes. 3 – La ley de Ampère  Hasta el a ño 1820 se pensaba que la electricidad y el magnetismo eran fen ómenos no relacionados. En una conferencia que  daba el dinamarqu és Oersted (para conseguir fondos para sus proyectos), justamente mientras intentaba mostrar dicha  independencia, pos ó una brújula sobre un conductor con corriente provocando que la aguja se orientara de manera transversal  al conductor. Así, de casualidad, descubri ó que una corriente eléctrica está rodeada por un campo magn ético (ver figura 3).   

 

Hasta el a ño 1820 se pensaba que la electricidad y el magnetismo eran fen ómenos no relacionados. En una conferencia que  daba el dinamarqu és Oersted (para conseguir fondos para sus proyectos), justamente mientras intentaba mostrar dicha  independencia, pos ó una brújula sobre un conductor con corriente provocando que la aguja se orientara de manera transversal  al conductor. Así, de casualidad, descubri ó que una corriente eléctrica está rodeada por un campo magn ético (ver figura 3).   

 

Figura 3 – Ley de Ampère  Luego, Oersted repiti ó el experimento ante sus alumnos y, aunque no logró dar una explicación satisfactoria, lo publicó. Fue el gran físico matemático francés A. Ampère (1775­1836) quien  interpret ó y dio la expresión matemática del fenómeno (que  lleva su nombre), además de proponer a las corrientes como  única “causa ” del magnetismo, propuesta conocida como la  Hipótesis de Ampère.  Hoy sabemos que las corrientes eléctricas y el campo magnético asociado no son causa y efecto ya que ambos, corriente y  campo, aparecen simultáneamente con el movimiento (causa) de cargas. Matemáticamente la ley de Ampère se expresa:     El primer miembro es la circulación de H, siendo C cualquier curva cerrada que rodee a la corriente I concatenada. Esta ley es  válida sólo para corrientes constantes.  La ley de Ampère puede ser expresada usando el vector densidad de corriente, cuya relaci ón con la corriente est á dada por:     Siendo S la sección del conductor donde circula la corriente. Dado que el contorno C de la ley de Ampère encierra la corriente y  que fuera del conductor el vector J es nulo, podemos extender el recinto de integración hasta el borde  C, quedando:     Nótese que si la corriente es constante, J debe ser estacionario, es decir no depender del tiempo. 4 – No existencia de monopolos magnéticos  La experiencia mostró que no existen polos magn éticos aislados. Si un imán se parte al medio se obtienen dos imanes de menor  intensidad.  Esto muestra una particular propiedad del campo magnético (B), cuyas líneas de fuerza son necesariamente cerradas pues no  tienen ni fuentes ni sumideros.   

 

Figura 4 – Líneas de fuerza de  B 

LAS ECUACIONES DE MAXWELL Los tres primeros fen ómenos descritos responden a ecuaciones integrales, es decir que su cumplimiento requiere conocer el  recinto de integración y su cálculo particular. Las ecuaciones integrales son muy elegantes pero no son v álidas en un punto ya que describen un fenómeno extenso, por lo  cual no siempre es posible encontrar una relación funcional válida punto a punto entre las magnitudes que intervienen en una  ecuación integral.  El primer mérito destacable de Maxwell fue justamente lograr una descripción (leyes) de los fenómenos anteriores mediante  ecuaciones diferenciales, en una época en que a ún no se hab ía desarrollado el an álisis vectorial.  Recordemos que si una ecuaci ón integral presenta el mismo recinto de integraci ón en ambos miembros, sus integrandos son  iguales. En consecuencia, si logramos expresar una ecuación integral con un único recinto de integración, lograremos obtener la  ley con una ecuación diferencial.  Por razones did ácticas veamos el procedimiento que elabor ó Heaviside para tal fin. Usaremos dos teoremas centrales del an álisis vectorial. Teorema de Gauss         

La superficie encierra el volumen  Teorema de Stokes        La curva es el contorno de la superficie Estos dos teoremas deben ser tratados como igualdades sin interpretarlos  “físicamente” de manera ridícula y forzada como  suelen hacer varios autores, es decir que hacer el c álculo del primer miembro da un resultado exactamente igual al cálculo del 

La superficie encierra el volumen  Teorema de Stokes        La curva es el contorno de la superficie Estos dos teoremas deben ser tratados como igualdades sin interpretarlos  “físicamente” de manera ridícula y forzada como  suelen hacer varios autores, es decir que hacer el c álculo del primer miembro da un resultado exactamente igual al cálculo del  segundo miembro, y nada más.  Lo realmente importante de estos teoremas es el cambio de dimensi ón en la igualdad establecida (cambio de recinto de  integración).  Para evitar confusiones se aclara que estamos refiri éndonos al concepto de  "dimensión topológica", la cual asigna dimensión 0 al  punto, dimensión 1 a cualquier curva (que puede ser descrita en R 3 ), dimensión 2 a las superficies, etc., concepto que resulta  equivalente al de "grado de libertad".  El teorema de Gauss pasa de un c álculo sobre una superficie (2 dimensiones) a uno en un volumen (3 dimensiones).  En la igualdad de Stokes se pasa de un c álculo sobre una curva (1 dimensión) a uno sobre una superficie ( 2 dimensiones). 1 – Primera ecuación de Maxwell  Partimos de la Ley de Faraday sobre la fuerza electromotriz inducida.     

Usando el Teorema de Stokes queda:    

Si en el segundo miembro pudiéramos conmutar las operaciones de derivada temporal y la integral, podríamos igualar los  integrandos de la ecuaci ón porque tendr ían el mismo recinto de integraci ón.  Para ello debemos exigir que dicho recinto no dependa del tiempo, lo que físicamente significa que los puntos de la superficie de  integración se mantengan estacionarios.  En ese caso quedar á:    

Como los puntos de inter és deben estar en reposo se cumple:     Ahora podemos igualar los integrandos obteniendo la primera ecuación de Maxwell.     Nótese que es una ecuaci ón vectorial lo que implica tres ecuaciones escalares. El artificio que usamos para llegar a una ecuaci ón diferencial tiene su precio, ya que impone una condici ón de validez que la Ley  (integral) de Faraday no tiene, ello es que la ecuaci ón debe ser aplicada en  puntos en reposo.  Ahora podemos analizar la relación entre los campos en un punto fijo del espacio. Esta ecuaci ón nos muestra que en un punto cualquiera pueden coexistir  E y B, con sus formas funcionales relacionadas por la  ecuación dada.  En rigor, si muevo un imán o una carga tendré ambos campos, magnético y eléctrico, en todos los puntos del espacio. El  fenómeno ocurre en todo el espacio y no necesita que en el punto haya un conductor, otra carga u otro imán que, en el caso de  existir, sólo pondrían en evidencia el fen ómeno pues habr ía interacción campo­objeto. 2 – Segunda ecuación de Maxwell  Partimos de la ley de Gauss­Faraday sobre inducci ón eléctrica.     Usando el teorema de Gauss queda:     Dado que las integrales tienen el mismo recinto de integración podemos igualar los integrandos y obtenemos la segunda  ecuación de Maxwell.  

 

Esta ley escalar nos indica que las fuentes del campo  D son las cargas positivas y los sumideros las cargas negativas. El campo  eléctrico asociado a una carga nace en ella (si es positiva) o muere en ella (si es negativa). 3 – Tercera ecuación de Maxwell. La Hipótesis de Maxwell  Partimos de la ley de Ampère     Usando el teorema de Stokes queda:    

Partimos de la ley de Ampère     Usando el teorema de Stokes queda:     Dado que las integrales tienen el mismo recinto de integración podemos igualar los integrandos y obtenemos la llamada  “Ley de  Ampère microscópica”.   

 

Como la ley de Ampère vale sólo para corrientes constantes, la anterior ecuaci ón es válida si el vector J es estacionario.  Cabe preguntarse c ómo será la ecuación en el caso general. No tenemos elementos de juicio o experimentos que nos permitan  contestar el requerimiento para corrientes variables en el tiempo.  No obstante, hay un razonamiento que puede ayudarnos a encontrar la respuesta. Se basa en el Principio de Conservación de la carga, por lo cual se acepta que la carga neta total del Universo permanece  constante. En consecuencia, si en un volumen dado la carga neta cambi ó, ello indica que ha salido o entrado carga desde el  exterior al volumen elegido, implicando corrientes durante el cambio. Tomemos una superficie cerrada cualquiera y calculemos el flujo de J a través de ella. Si da positivo (negativo) indica que está saliendo (entrando) carga, si da cero la carga neta en su interior permanece constante.  Fácilmente podemos establecer la siguiente relaci ón:    

Siendo la integral del segundo miembro la carga neta en el volumen  V. Aplicando el teorema de Gauss obtenemos    

Para poder igualar los integrandos de esta ecuaci ón integral, debemos lograr que conmuten la derivada temporal con el cálculo  integral en el segundo miembro. Para ello bastar á con pedir que los l ímites de integración no dependan del tiempo, condición que  se cumple si los puntos que pertenecen al volumen permanecen en reposo.    

Esta última ecuación diferencial escalar se conoce como  Ecuación de Continuidad, y tiene validez general.  De acuerdo con la segunda ecuación de Maxwell, la densidad de carga en un punto est á dada por la divergencia de  D en dicho  punto, lo que permite la siguiente relación:    

Ahora podemos proponer c ómo será la ley de Ampère generalizada (tercera ecuaci ón de Maxwell).  Dado que la divergencia de un rotor es siempre nula, la  única manera de lograr que se cumplan la ley de Ampère microscópica y  la ecuación de continuidad es agregando la variaci ón temporal de  D en el segundo miembro de la ley.  Nótese que en el caso estacionario (corriente constante) queda la ley cl ásica de Ampère.        

La variación temporal de  D agregada por Maxwell es llamada  corriente de desplazamiento, horrible y confusa denominación que  usa alguna bibliograf ía. Esta denominada corriente de desplazamiento no es una corriente el éctrica. Lo más significativo de la genial  Hipótesis de Maxwell es que al poner la variaci ón temporal de  D en la tercera ecuación est á  incorporando la existencia de ondas electromagn éticas, tal como Maxwell deseaba, pues estaba convencido de que la luz tenía  naturaleza electromagn ética. La existencia de ondas electromagn éticas es un aspecto tan importante que la relaci ón entre la Hipótesis de Maxwell y la  existencia de ondas ser á tratada por separado 4 – Cuarta ecuación de Maxwell  Si aceptamos que las líneas de fuerza del campo magn ético son cerradas, hecho verificado experimentalmente, la expresión  matemática es inmediata pues el campo magn ético B no tiene fuentes ni sumideros. En consecuencia, su divergencia es nula.  

 

RESUMEN Las cuatro ecuaciones de Maxwell, descritas por Heaviside, son consideradas los Principios de la Teoría Electromagnética, que  corresponden a cuatro fen ómenos b ásicos que no tienen demostración teórica. Es importante recalcar que de estas ecuaciones  se deducen todas las leyes conocidas del electromagnetismo, conformando una teor ía clásica completa. Ellas son:  

 

Las cuatro ecuaciones de Maxwell, descritas por Heaviside, son consideradas los Principios de la Teoría Electromagnética, que  corresponden a cuatro fen ómenos b ásicos que no tienen demostración teórica. Es importante recalcar que de estas ecuaciones  se deducen todas las leyes conocidas del electromagnetismo, conformando una teor ía clásica completa. Ellas son:  

 

Estudios posteriores mostraron que si aceptamos el Principio de Conservación de la carga, las ecuaciones escalares 2 y 4 son  demostrables, dejando de ser postulados, por lo cual en este modelo sólo tendríamos dos ecuaciones vectoriales  independientes (1 y 3), es decir seis ecuaciones escalares. No obstante, es usual que la bibliografía especializada contin úe  tratando a las cuatro ecuaciones de Maxwell como Postulados de la teoría. Las ecuaciones son lineales y s ólo son aplicables con rigor en puntos en reposo en un sistema inercial. Esto  último no debe llevar  a confusión, la validez de las ecuaciones es para puntos en reposo pero, una vez conocidos los campos, sus efectos sobre  cargas externas (o corrientes) en movimiento es calculable mediante la Fuerza de Lorentz.

LOS CAMPOS E, D, B y H Un tema que no suele tratarse en la bibliograf ía es la necesidad de explicar los fenómenos electromagn éticos usando dos  campos para la electricidad y dos para el magnetismo. ¿Por qu é no tenemos un único campo para la electricidad o el magnetismo?   La respuesta es inmediata si recordamos, por ejemplo, que el campo eléctrico E asociado a una carga en reposo resulta  diferente si el medio es aire o agua. En consecuencia, conocer el campo  E en todo el espacio no es suficiente para saber el valor  de dicha carga asociada en reposo (fuente). Análogamente, si conocemos el campo  D en todo el espacio podremos calcular las fuentes pero no podemos determinar la fuerza  que aparecer ía sobre otra carga externa.  Brevemente, ya sea en electricidad o en magnetismo, un campo permite tratar las acciones y el otro est á referido a sus fuentes. En general, podemos clasificar los campos en intensivos (E y B) y extensivos (D y H). De manera simplificada podemos indicar: Fenómenos eléctricos  E para determinar acciones.­­­­­­­ F = q E (Fuerza eléctrica) 

D para calcular las fuentes.­­­­­­­­ 

 (Ley de Gauss ­Faraday)

 

Fenómenos magnéticos B para determinar acciones.­­­­­­­ F = q v  x B (Fuerza magnética) 

H para calcular las fuentes.­­­­­­­­ 

 (Para el caso  I constante)

 

La relación entre los campos correspondientes permite caracterizar los medios, cuyo comportamiento queda establecido  midiendo ambos campos relacionados. Por ejemplo, el vacío queda caracterizado el éctricamente mediante su constante dieléctrica, y magnéticamente a través de su  permeabilidad magnética, cumpliéndose:    

Nota: Debe quedar claro que para determinar estas constantes del vac ío es necesario medir los cuatro campos.  Si pretendemos que las ecuaciones de Maxwell sean generales, es decir v álidas para todos los medios y geometr ías arbitrarias,  su formulación deber á tener explícitamente los cuatro campos electromagn éticos. 

SOLUCIÓN FORMAL DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL Diremos que un problema matemático tiene solución formal si reúne las condiciones y requisitos m ínimos, necesarios y  suficientes, para tener una posible solución. De ninguna manera debe suponerse que si un problema dado tiene soluci ón formal, dicha solución será obtenida, pues ello  depender á de las dificultades metodol ógicas del cálculo necesario.  Encontrar la solución rigurosa de un capacitor plano infinito es un problema simple, pero si le damos un martillazo a una placa  haciéndole una peque ña deformación, con la abolladura se complic ó el cálculo y, muy probablemente, también se acab ó la  solución rigurosa aunque tenga soluci ón formal.  En general, la simetr ía juega un papel muy importante en la resolución de los problemas en electromagnetismo.  Veamos que requisitos mínimos necesitamos para tener posibilidades de soluci ón de un problema arbitrario. Supongamos conocidas la funci ón densidad de carga y la geometr ía del problema. Nuestras inc ógnitas E, D, B, H y J son quince funciones escalares y s ólo tenemos seis ecuaciones escalares independientes  (ecuaciones de Maxwell 1 y 3), es decir que nos faltan nueve ecuaciones escalares independientes para tener un sistema de  ecuaciones resoluble.  Estas nueve ecuaciones faltantes las proveen los medios que intervienen en el problema, a trav és de las denominadas  “Ecuaciones Constitutivas”, que son:      

En los medios homog éneos e is ótropos los tres par ámetros 

 son constantes y su conocimiento facilita la resolución de 

las ecuaciones, ya que su aplicación permite reducir nuestro sistema de ecuaciones, quedando s ólo seis incógnitas, por ejemplo 

(ecuaciones de Maxwell 1 y 3), es decir que nos faltan nueve ecuaciones escalares independientes para tener un sistema de  ecuaciones resoluble.  Estas nueve ecuaciones faltantes las proveen los medios que intervienen en el problema, a trav és de las denominadas  “Ecuaciones Constitutivas”, que son:      

En los medios homog éneos e is ótropos los tres par ámetros 

 son constantes y su conocimiento facilita la resolución de 

las ecuaciones, ya que su aplicación permite reducir nuestro sistema de ecuaciones, quedando s ólo seis incógnitas, por ejemplo  E y B. La condición de homogeneidad de un medio suele estar relacionada con la temperatura del mismo, requiriendo temperatura  constante, mientras que la de isotropía se vincula con la estructura de la sustancia que compone el medio. En general, los  medios no cristalinos o amorfos son is ótropos, mientras que ciertos medios de estructura cristalina, como el cuarzo, son  anisótropos y sus  “constantes ” constitutivas son representadas por un tensor.   Resumiendo, la solución formal de un problema arbitrario requiere el conocimiento (m ínimo) de los medios que intervienen, con  sus condiciones de contorno, la geometr ía del problema y la densidad volumétrica de carga.  Cumplido esto, la solución concreta depender á de las dificultades de cálculo.

LA HIPÓTESIS DE MAXWELL Y LA EXISTENCIA DE ONDAS La primera ecuación de Maxwell, que se cumple en todo punto del espacio en reposo, describe un fen ómeno que debemos  analizar en detalle de manera conceptual.      Supongamos que tenemos un im án en movimiento armónico, por lo cual se verifica que hay un campo magnético dependiente del  espacio y del tiempo en todo punto del espacio. Desconocemos de qu é manera el movimiento del imán (y su campo) se transmite  a los puntos fuera del imán, modificando el valor existente del campo en cada punto. Veremos que la Hipótesis de Maxwell  resuelve el misterio. Desde un punto de vista matem ático, en un punto cualquiera del espacio y en un instante dado, la derivada temporal de  B  existirá siempre y cuando exista campo magn ético antes y despu és del instante elegido, pues para que exista derivada temporal  la función debe estar definida en el entorno (temporal). Simultáneamente existir á también en ese punto un campo el éctrico cuyo  rotor es, en módulo, igual a la derivada temporal del campo magnético pero, dado que el rotor requiere derivadas espaciales,  este campo el éctrico variará también en el entorno (espacial) del punto. Aunque es algo burda, la representación de la figura 5  permite entender el proceso, el campo  B varía temporalmente en el punto  P y el campo E lo hace también en el entorno espacial.  

 

Figura 5 Se concluye que si en un punto del espacio hay un campo magn ético variable en el tiempo, en el entorno del punto habrá  también un campo eléctrico variable. Esto no es suficiente para transmitir la perturbación magnética a un punto contiguo, a  menos que exista otro proceso similar al estudiado pero con los campos conmutados, es decir que un campo eléctrico variable en  el tiempo coexista con uno magn ético variable en el entorno espacial. Exactamente este nuevo proceso es el que provee la Hipótesis de Maxwell incorporada en la tercera ecuación. Este mecanismo de vinculación entre campos variables en el tiempo, hist óricamente se lo denominó concatenación de campos, lo  que es una manera tonta de decir propagaci ón ondulatoria. La Hipótesis de Maxwell no s ólo explica cómo se transmiten las perturbaciones, tambi én predice la existencia de ondas  independientes de la materia.

EL NACIMIENTO DEL CAMPO y LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS Pasemos a la sala de parto para asistir al nacimiento del campo, uno de los acontecimientos más importante en la historia de las  ciencias. Supongamos estar en el vac ío, es decir sin materia ni cargas ni corrientes, y asumamos válidas y sin restricciones las ecuaciones  de Maxwell que, en estas condiciones, son las siguientes:  

 

Cabe esperar que los campos sean idénticamente nulos en todo el espacio, puesto que, adem ás de ser la solución trivial de las  ecuaciones planteadas, estamos acostumbrados a asociar los campos con sus fuentes, en este caso inexistentes.  Una vez más la intuición nos enga ña pues, como veremos, este sistema de ecuaciones tiene soluci ón distinta de cero, siendo ello  un resultado asombroso y extraordinario por el cual el campo electromagnético adquiere categor ía de ente f ísico real. Veamos la demostraci ón matemática. Aplicando rotor en ambos miembros de la primera ecuación de Maxwell y usando la igualdad vectorial    , resulta:      

Usando la segunda ecuaci ón (divergencia nula) y considerando que la derivada temporal y el rotor son operaciones que 

Veamos la demostraci ón matemática. Aplicando rotor en ambos miembros de la primera ecuación de Maxwell y usando la igualdad vectorial    , resulta:      

Usando la segunda ecuaci ón (divergencia nula) y considerando que la derivada temporal y el rotor son operaciones que  conmutan pues operan sobre variables independientes, queda:     Finalmente, reemplazando el rotor (tercera ecuaci ón) obtenemos    

Esta es una ecuaci ón vectorial de ondas, es decir tres ecuaciones escalares de D ’Alembert, que admiten solución no nula.   

Siendo v la velocidad de propagaci ón. Por ejemplo, una solución simple es la de una onda plana propag ándose seg ún el eje x.    

Por comparación con la ecuación de D’Alembert, podemos determinar la velocidad de propagación de las ondas  electromagnéticas en el vacío, cálculo simple que da como resultado (maravilloso) la velocidad de la luz:    

Análogamente, haciendo el mismo procedimiento completo a partir de la tercera ecuación, llegamos a la siguiente relaci ón:    

Los campos  E y B se propagan, como era obvio de acuerdo al an álisis de la Hipótesis de Maxwell, en conjunto. Ha nacido el beb é que cambió la física newtoniana. El campo electromagn ético tiene existencia propia, independiente de la  materia, pero sólo en forma de onda.  Estudios más avanzados (Teorema de Poynting) demuestran que una onda posee energ ía y cantidad de movimiento. En  consecuencia, no puede aparecer de la nada pues ello violaría Principios Universales aceptados, tal como el de conservación de  la energ ía. Asimismo, se demuestra que para que exista una onda electromagnética debemos tener aceleración de su fuente (cargas), lo  que implica que la onda aparece como un efecto de un proceso causal y, una vez creada, es un ente físico independiente tan real  (o más real) que la fuente que la originó.  Cuando tengamos campos estacionarios ellos estarán asociados siempre a sus fuentes.   add comment

 

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La Ley de Hubble en la Relatividad Especial

 

 

Trabajo original (no publicado). Fecha: 11/11/06 (corregido 20/2/07) 

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Hugo A Fernández  ­ [email protected] 

Teoría de  Relatividad 

Profesor Titular de F ísica Moderna ­ Universidad Tecnológica Nacional ­ Argentina 

Especial Problemas Temas Especiales Ley de Hubble Ca ída Libre Efecto Mössbauer  Corrimiento al  Rojo

INTRODUCCIÓN En 1929 el astr ónomo Edwin Hubble, utilizando datos de 46 galaxias, relacion ó en cada caso el “corrimiento al rojo” de su  espectro luminoso con la distancia de la galaxia, obteniendo una funci ón lineal entre ambas variables. El corrimiento al rojo  puede ser interpretado como un efecto debido a la velocidad de recesión o alejamiento de las galaxias, por lo cual concluyó que  las galaxias se alejaban radialmente de nosotros, tanto m ás rápido cuanto más lejos estaban. Esta idea condujo al modelo de  expansi ón del universo.  Esta formulación est á basada en observaciones y c álculos complejos, particularmente en la determinaci ón de las distancias, lo  que dio lugar a discrepancias notables. Asimismo, al incorporar la ley a distintos modelos cosmológicos se encontr ó que su  dependencia funcional no era necesariamente lineal, acept ándose actualmente que su linealidad es v álida (con certeza) para  galaxias cercanas. 

Masa, Inercia y  Fotones La Paradoja de  Born ECUACIONES DE  MAXWELL

  

Por otro lado, desarrollos te óricos (Friedmann, Robertson, Walker) mostraron que cualquier modelo sobre la estructura del  universo que postule la  homogeneidad e isotropía espacial (invariante en el tiempo) requiere que los objetos (galaxias) que lo  componen se alejen de cualquier observador en una relaci ón lineal entre la velocidad de alejamiento y la distancia, dando origen  a la denominada Ley de Velocidad y Distancia (E. Harrison, 1993, "The redshift­distance and velocity ­distance laws"), y esta  relación lineal es válida para todo el espacio. Si bien ambas leyes (Hubble y Velocidad­Distancia) son diferentes, el uso cotidiano y la difusión no especializada provocaron que  se llame Ley de Hubble a la ley entre Velocidad y Distancia. La ley de Hubble (estrictamente Velocidad y Distancia) puede expresarse v = H 0  r , siendo:    v la velocidad de fuga r la distancia H0  la constante de Hubble (70 Km/seg/Mpc)

 

Este descubrimiento más el hecho de observarse una distribuci ón espacial uniforme de las galaxias provocaron una serie de  consideraciones e interrogantes, entre los cuales, desde el punto de vista de la Relatividad Especial, pueden enumerarse los  siguientes: 1.

Nuestro universo observable ser ía finito, tiene simetría esférica y su radio máximo actual podría ser calculado si asumimos  que la velocidad límite de las galaxias es la de la luz.

2.

El universo en expansión habría tenido un inicio (Big Bang). La edad m ínima del universo podría ser calculada con la  velocidad máxima de fuga detectada.

3.

Si el universo es finito resulta muy poco probable que estemos ubicados en su centro por casualidad. 

Los dos primeros puntos son especulaciones compatibles con la Teor ía de Relatividad Especial y no tienen dificultad en su  tratamiento. El tercer punto resulta más complejo pues requiere un an álisis de la validez de la ley de Hubble (consistencia relativista), con las  transformadas de Lorentz. Debemos verificar si la expansión del universo cumple con el Principio de Relatividad. Estos y otros aspectos vinculados fueron abordados casi con exclusividad utilizando la Teoría General de Relatividad con  modificaciones, en un intento de elaborar una teor ía cosmológica consistente. Extra ñamente no hay muchos desarrollos o  investigaciones sobre estos temas en el marco de la Relatividad Especial. Esta asimetr ía en el estudio del universo no resulta un  hecho menor pues la concepci ón del espacio y el tiempo en ambas teor ías resulta absolutamente diferente.  En la Teoría General la materia, el espacio y el tiempo están indisolublemente ligados y en este marco teórico la Relatividad  Especial es inaplicable en presencia de masas.  En la Especial el espacio y el tiempo resultan independientes de la materia, y el campo gravitatorio, cuyas ecuaciones  desconocemos, es tratado en la misma categor ía que el electromagn ético o el nuclear.  El presente trabajo es un estudio relativo de la configuraci ón dinámica del universo vista por dos observadores inerciales en  movimiento relativo, y sobre la consistencia de la Ley de Hubble.

DESARROLLO La configuración dinámica de muchos cuerpos está determinada por la posición y la velocidad de los objetos, medidas en un  instante cualquiera (simultáneamente). Sean dos observadores inerciales O y O ’ con velocidad relativa V.  El observador O mide la configuraci ón en el instante  t=0, obteniendo la relación v = H 0  r  (Ley de Hubble)   Siendo v la velocidad de una galaxia ubicada en r. Las líneas de corriente del campo de velocidades son rectas que se cortan en el origen de O. Esta relación vectorial es válida para todos los cuerpos (galaxias), dando lugar a las siguientes ecuaciones escalares: vx  = H 0  x        v y = H 0  y        v z  = H 0  z   En consecuencia se cumple:          

 

Las líneas de corriente del campo de velocidades son rectas que se cortan en el origen de O. Esta relación vectorial es válida para todos los cuerpos (galaxias), dando lugar a las siguientes ecuaciones escalares: vx  = H 0  x        v y = H 0  y        v z  = H 0  z   En consecuencia se cumple:          

Con las Transformadas de Lorentz para t=0 obtenemos las coordenadas (x’,y’,z’,t’) que no corresponden a la configuraci ón que  observa O ’ debido a que no son las posiciones simult áneas para dicho observador.    

Para determinar la configuraci ón que vería O’ en el instante t ’=0 se deben corregir las coordenadas espaciales pues puede verse  claramente que la posici ón (x’,y’,z’) de un objeto est á dada para t ’≠ 0, dependiendo de la coordenada x, excepto en el origen.  Ello se debe a que la simultaneidad no es absoluta.  La corrección necesaria de la posici ón es simple de calcular si consideramos que las galaxias se alejan con velocidad constante. Para ello debemos calcular las velocidades que poseen en el sistema primado y con ello calcular el espacio recorrido hasta que  t’=0. Las siguientes relaciones vinculan las componentes de la velocidad de un objeto medidas en los sistemas O ’ y O.   

Por simetría las coordenadas transversales (y,z) tendrán el mismo comportamiento respecto de x, por lo cual bastará con  analizar la coordenada "y" corregida.  Las posiciones corregidas son:  

 

El subíndice de las coordenadas espaciales est á indicando el instante en que esa coordenada es medida. Estas relaciones  obtenidas son v álidas para t=t’=0, y deben interpretarse como la posición de un mismo objeto medida por dos observadores  inerciales. Si ahora relacionamos  x e y con la ley de Hubble, obtenemos:  

 Haciendo un corrimiento de origen en el sistema O’, dado por:       ,

obtenemos la misma forma de la Ley de Hubble:  

  CONCLUSIONES 1.

La ley de Hubble es relativista pues conserva la forma. Su expresión más general es  v = H 0  (r­r0), siendo r0  la distancia O­

 

  CONCLUSIONES 1.

La ley de Hubble es relativista pues conserva la forma. Su expresión más general es  v = H 0  (r­r0), siendo r0  la distancia O­ Centro de simetría.  El Universo conserva su simetría esférica en todos los sistemas inerciales.  Resulta oportuno resaltar que la descripci ón que figura en la bibliograf ía espec ífica, sobre cómo cambia la configuración del  universo para un observador que modifica su velocidad, atribuida a la aberración de la luz, resulta inadecuada por la  invariancia de la simetría. 

2.

La constante de Hubble  H0 es relativa al sistema de referencia y su relación para dos observadores inerciales est á dada  por  

Nótese que la relatividad de la “constante ” de Hubble implica que la velocidad de expansión, el radio máximo y la  antigüedad del universo tambi én son relativos. 3.

El centro de simetría se corre en el sentido de la velocidad relativa entre sistemas, con un desplazamiento dado por  

Para un observador inercial que inicialmente est á en reposo en el centro de simetr ía, que acelera en una dirección hasta  adquirir una velocidad V,  “arrastra ” su centro del universo con  él.  Dependiendo de la aceleraci ón empleada, su posici ón estar á más o menos alejada del  centro de simetría propio (sistema  de referencia com óvil), pudiendo incluso coincidir con él.  En el caso en que no coincida, la configuración del universo no ser á isótropa para el observador, que adem ás detectar á  (desde su posici ón) un universo con simetr ía cilíndrica con el eje en la dirección observador ­centro propio del universo. Es  probable que esta particularidad est é vinculada con la anisotropía de la Radiación de Fondo de Microondas observada.   add comment

 

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Caída Libre Relativista (Un Tema Fundamental)

 

 

Trabajo original (no publicado). Fecha: marzo 15, 2007  

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Hugo A. Fernández  – [email protected] 

Teoría de  Relatividad 

Profesor Titular de F ísica Moderna – Universidad Tecnológica Nacional ­ Argentina 

Especial Problemas Temas Especiales Ley de Hubble Ca ída Libre Efecto Mössbauer  Corrimiento al  Rojo

INTRODUCCIÓN La teor ía de Relatividad Especial es esencialmente un modelo físico­matemático que trata sobre conceptos de simetr ía y  propiedades del espacio y el tiempo, consistentes con el comportamiento observado de los fenómenos naturales. Una virtud  destacable de la teor ía es que provee una metodolog ía para adaptar las leyes clásicas conocidas. Su aplicaci ón sistemática  histórica generó nuevas leyes que fueron verific ándose con una coherencia notable con los resultados experimentales. Hasta la  fecha esta teor ía no tuvo limitaciones en su aplicaci ón ni contradicciones verificadas, hecho inusual en los modelos te óricos, lo  que sugiere una solidez muy importante de sus fundamentos. La teor ía Electromagnética resultó ser relativista de nacimiento y no fue necesario modificar sus postulados, las ecuaciones de  Maxwell. No obstante, su interpretaci ón desde el punto de vista relativista, permiti ó comprender la electrodin ámica de los cuerpos  en movimiento y significó un avance importante en la teoría de campos.

Masa, Inercia y  Fotones La Paradoja de  Born ECUACIONES DE  MAXWELL

  

La similitud funcional entre la ley de Coulomb y la ley de Gravitaci ón de Newton hicieron creer que el campo gravitatorio podría ser  descrito sin dificultad por una teoría clásica de campos, pues se contaba con el formidable modelo de Maxwell. Por todo ello resultó realmente desconcertante que la gravitaci ón no pudiera ser descrita con ecuaciones de campo v álidas en  ese marco teórico. Hasta el momento, en mi conocimiento, todo intento por obtener una teoría de campos para la gravitaci ón,  consistente con la Relatividad Especial, condujo a resultados incorrectos.  ­ Nota del autor (junio 12 de 2009): Es oportuno destacar la producci ón científica del grupo de f ísica teórica liderado por el físico  ruso A. Logunov, que en los  últimos años publicaron importantes contribuciones sobre gravitaci ón en el espacio de Minkowski. En  este enfoque te órico el campo gravitatorio es considerado un campo f ísico real de igual jerarquía que el nuclear o el  electromagnético y, por supuesto, consistente con la Teor ía Especial. Entre estos trabajos se destaca la  Teoría Relativista de  Gravitación (revisión 2002), cuyo análisis, discusión y desarrollo podría significar un avance significativo de la f ísica teórica en los  próximos años y, eventualmente, una superior teoría de gravitación que la Teoría General de A. Einstein pues resultaría  consistente con la Relatividad Especial. ­    Tratemos de comprender qu é aspectos de la gravitaci ón generan las dificultades para elaborar una teor ía clásica de campos que  se ajuste al comportamiento observado.   En primer lugar está que la masa, fuente del campo y objeto de su acci ón, no es un invariante, a diferencia de lo que sucede con  la carga eléctrica, lo que provoca que la fuerza gravitatoria sobre un cuerpo material dependa de la velocidad del mismo y, más  estrictamente, de su contenido energ ético.   La segunda cuesti ón es que las ecuaciones del campo gravitatorio no pueden ser lineales, como sucede con las ecuaciones de  Maxwell, debido a que las “fuentes ” (en realidad  “sumideros ”) varían con los intercambios de energ ía, de acuerdo al Principio de  equivalencia entre masa y energ ía.   Es decir, las fuentes del campo generan acciones que modifican a las propias fuentes.    En 1934 Einstein publicó un documento (“El mundo como yo lo veo”) que relata sus intentos anteriores a la Teor ía General de  Relatividad. Uno de sus p árrafos, cuya traducción se transcribe a continuación, muestra claramente que  el problema de la caída  de los cuerpos le resultó un obstáculo insalvable. “El camino más simple era, por supuesto, retener el potencial escalar de Laplace y completar la ecuación de Poisson de una manera  obvia, de tal forma que se satisficiera la teoría especial de relatividad. La ley de movimiento de una masa puntual en un campo  gravitatorio tendría también que adaptarse a la teoría especial de relatividad. El camino aquí no dejaba de ser errático, pues la masa  inercial de un cuerpo podría depender del potencial gravitatorio. De hecho, cabría esperar que así fuera debido al principio de la inercia de  la energía. Estas investigaciones, sin embargo, llevaron a resultados que me generaron fuertes sospechas. De acuerdo a la mecánica clásica, la  aceleración vertical de un cuerpo en un campo gravitatorio vertical es independiente de la componente horizontal de la velocidad. De aqu í  se sigue que en tal campo gravitatorio la aceleración vertical de un sistema mecánico, o de su centro de gravedad, opera en forma  independiente a su energía cinética interna. Pero en la primera teoría que investigué, la aceleración del cuerpo que cae no era  independiente de la velocidad horizontal ni de la energía interna del sistema. Lo anterior no se ajusta al viejo hecho experimental según el cual todos los cuerpos tienen la misma aceleración en un campo  gravitatorio.”  Curiosamente, Max Born (1882 ­1970) en 1909, y Arnold Sommerfeld (1868 ­1951) en 1910, antes de la aparición de la Teoría  General, publicaron (por separado) la solución relativista del movimiento de partículas en un campo de fuerzas constante,  indicando la fuerza como F = m 0 g (Möller, “The Theory of Relativity”).   Esta soluci ón, conocida como “movimiento hiperbólico”, fue adaptada y resuelta para campos el éctricos constantes y se aplica  bien en el caso de part ículas cargadas, pero da resultados incorrectos para un campo gravitatorio constante. Nótese que la ca ída de los cuerpos, tema fundamental de la din ámica clásica, no está tratado en ninguno de los libros  tradicionales de Relatividad Especial y, sin duda, esto no es por olvido. En mi opini ón, su tratamiento es ineludible pues, a ún en el  fracaso, se pondr ían en evidencia las sutiles diferencias conceptuales con la electrodinámica y las condiciones necesarias que  deben cumplirse para una formulación correcta.  Un aspecto inicial (histórico) es si se acepta o no que la masa gravitatoria var ía con su energ ía.  En el caso afirmativo es inmediato ver que el movimiento hiperbólico no corresponde al caso de un campo gravitatorio  constante pues la fuerza que provoca sobre el móvil resulta variable.  Si aceptamos que la masa gravitatoria no cambia entramos en conflicto insalvable con el Principio de equivalencia entre masa y  energ ía, y con la especulación de que la propuesta de Galileo sobre la ca ída de los cuerpos es de validez universal.  En la primera parte de este trabajo se mostrará que el “movimiento hiperbólico” no es una soluci ón válida para el caso  gravitatorio, lo que implica en forma indirecta que la masa gravitatoria necesariamente tiene que variar con la energía del cuerpo.

Un aspecto inicial (histórico) es si se acepta o no que la masa gravitatoria var ía con su energ ía.  En el caso afirmativo es inmediato ver que el movimiento hiperbólico no corresponde al caso de un campo gravitatorio  constante pues la fuerza que provoca sobre el móvil resulta variable.  Si aceptamos que la masa gravitatoria no cambia entramos en conflicto insalvable con el Principio de equivalencia entre masa y  energ ía, y con la especulación de que la propuesta de Galileo sobre la ca ída de los cuerpos es de validez universal.  En la primera parte de este trabajo se mostrará que el “movimiento hiperbólico” no es una soluci ón válida para el caso  gravitatorio, lo que implica en forma indirecta que la masa gravitatoria necesariamente tiene que variar con la energía del cuerpo. Luego se encontrar á una solución relativista completa, compatible con las condiciones impuestas. Finalmente se probar á que la solución hallada cumple con el Principio de Equivalencia mediante una importante relaci ón funcional  entre masa y campo gravitatorio. 

Caída Libre Relativista El problema consiste en encontrar la ley de ca ída de los cuerpos materiales en un  campo gravitatorio constante (vertical), que  cumpla con las siguientes condiciones:  El movimiento transversal al campo debe cumplir con la conservación de la cantidad de movimiento. La aceleración de un cuerpo en la direcci ón del campo es independiente de la masa del cuerpo y de su velocidad transversal. El movimiento de dos cuerpos, como muestra la figura, es tal que deben llegar al piso al mismo tiempo.  

 

Primero mostraremos la inconsistencia del  “movimiento hiperbólico”.  En dicho planteo (Born; Sommerfeld) se propone:   Hallemos la expresi ón general de la aceleración que provoca dicha fuerza en un cuerpo, en la direcci ón del campo (eje z), usando  la siguiente relación relativista entre aceleraci ón y fuerza (Möller, “The Theory of Relativity”), cuya demostraci ón puede verse en  el capítulo Trabajo y Energía:   

Para la componente (z) en la direcci ón del campo, quedar á:  

 

Este resultado muestra que la aceleraci ón en la dirección del campo depende de la velocidad transversal (vx), por lo cual este  caso (F= m 0 g) no es consistente con la condici ón impuesta.   Queda demostrado que  el “movimiento hiperbólico” no es válido para un campo gravitatorio constante.   Veamos ahora qu é sucede con la ca ída de un cuerpo si postulamos que su masa (inercial y gravitatoria) es la masa relativista.  La fuerza propuesta es:      F= m g = ­ m g k  (m  es la masa relativista)  Para la componente ( z) en la dirección del campo, obtenemos:    

En este caso ( F= m g) la aceleración en la dirección del campo gravitatorio resulta independiente de la masa y de la  velocidad transversal.  En consecuencia, la hip ótesis de que el campo gravitatorio actúa sobre la masa relativista es consistente con la propuesta de  Galileo sobre caída de los cuerpos.  Debemos resolver la ecuación diferencial y verificar si corresponde al comportamiento esperado. Se concluye que se cumple la independencia de los movimientos pero con sentido restrictivo: solamente vale para la aceleraci ón  en la dirección del campo gravitatorio. En la direcci ón transversal al campo se debe conservar la cantidad de movimiento  correspondiente pues no hay fuerza aplicada. Dado que el cambio de velocidad durante el movimiento modifica la masa  relativista, la velocidad transversal deberá adecuarse para tal conservaci ón. Esto lo analizaremos luego, en detalle.

Ecuaciones de Movimiento (Caída Libre) Dado que el movimiento en la dirección del campo es independiente de la velocidad transversal del móvil, estudiaremos primero el  movimiento en esa dirección (vertical), para una part ícula con velocidad inicial vz= 0, cuya ecuación diferencial es la última relación  anteriormente vista.   

correspondiente pues no hay fuerza aplicada. Dado que el cambio de velocidad durante el movimiento modifica la masa  relativista, la velocidad transversal deberá adecuarse para tal conservaci ón. Esto lo analizaremos luego, en detalle.

Ecuaciones de Movimiento (Caída Libre) Dado que el movimiento en la dirección del campo es independiente de la velocidad transversal del móvil, estudiaremos primero el  movimiento en esa dirección (vertical), para una part ícula con velocidad inicial vz= 0, cuya ecuación diferencial es la última relación  anteriormente vista.   

  

El gráfico que sigue permite analizar el comportamiento funcional de vz   

 

Para tiempo infinito se cumple 

  

Para peque ñas velocidades debe ser  gt/c ≈ 0, y la expresión anterior tiende a la ley clásica v = ­ gt, siendo consistente con el  Principio de Correspondencia. La ecuación horaria la obtenemos integrando la ecuaci ón anterior, resultando:    

Esta expresi ón tiende a la ley clásica de la caída de los cuerpos.  Haciendo el reemplazo  Ch (x) = 1 + 2 Sh 2 (x/2)  ≈ 1 + x 2/2 (para peque ños valores de  x), y luego aproximando la exponencial con  un desarrollo en serie, obtenemos la relaci ón clásica:     Los resultados son consistentes con el Principio de Correspondencia. MOVIMIENTO TRANSVERSAL AL CAMPO Veamos ahora c ómo es la aceleración seg ún el eje x para la caída libre con velocidad inicial horizontal  vx = V 0x .  La componente horizontal de la fuerza aplicada es nula, cumpli éndose  

 

Esta última relación muestra que existe aceleraci ón transversal al campo gravitatorio a pesar de que no hay fuerza aplicada en  esa dirección, y su valor depende también de la velocidad en la dirección del campo (Vz). Esta aceleración resulta necesaria para  la conservación de la cantidad de movimiento en la dirección horizontal. Reemplazando  vz en la expresión anterior queda:    

 

El siguiente gráfico muestra la dependencia (temporal) de la velocidad transversal  

El siguiente gráfico muestra la dependencia (temporal) de la velocidad transversal  

 

Este comportamiento está de acuerdo con lo esperado. El aumento de la masa con la velocidad  v debe compensarse con una  disminución de la velocidad (seg ún x) para la conservación de la cantidad de movimiento en esa direcci ón. El coseno hiperb ólico (para valores positivos de su argumento) es una funci ón creciente cuyo valor mínimo es 1, por lo cual la  velocidad transversal  vx resulta una magnitud monótona decreciente con el tiempo, anulándose para tiempo infinito,   La ecuación horaria para la posición seg ún x resulta de integrar  vx  , obteniéndose:      

Es fácil (aunque laborioso) mostrar que esta ecuación horaria converge a la expresión clásica x ­ x0  = V0x  t , para peque ñas  velocidades.   La trayectoria en forma param étrica queda determinada por las dos ecuaciones horarias halladas:  

 

Se ha encontrado la soluci ón completa del movimiento de un cuerpo en un campo gravitatorio constante, consistente con la  Relatividad Especial y con las condiciones propuestas. 

TEMAS COMPLEMENTARIOS Relación funcional de la masa con el tiempo y con la altura, para caída libre. La ley fundamental de la din ámica relativista establece:     Para la componente ( x) transversal al campo la fuerza es nula, resultando:    

Integrando esta ecuaci ón (entre 0 y t) y reemplazando  vx por la expresión hallada anteriormente, obtenemos el valor de la masa  en función del tiempo:    

Siendo mt=0  la masa relativista del cuerpo en el instante inicial, m0 la masa propia, y  V0 la velocidad (total) del cuerpo en el  instante inicial. De la ecuación horaria seg ún z podemos despejar  Ch (gt/c) y reemplazarlo en la última igualdad, obteniendo el valor de la  masa  en función de la altura.  De esta  última relación sale una ley de conservaci ón interesante.  

En la última relación (ley de conservación) las masas son las relativistas. El sub índice de la masa indica que corresponde al  instante inicial. Resulta claro que esta relaci ón funcional debe cumplirse en todo instante para que se conserve la cantidad de movimiento según  el eje x.  Dado que el potencial de un campo gravitatorio constante es 

, podemos proceder en forma heur ística y hacer 

la sustitución de g z por el potencial. En este caso encontramos la ley de conservación entre la masa relativista y el potencial  gravitatorio, que en nuestro caso resulta:

En la última relación (ley de conservación) las masas son las relativistas. El sub índice de la masa indica que corresponde al  instante inicial. Resulta claro que esta relaci ón funcional debe cumplirse en todo instante para que se conserve la cantidad de movimiento según  el eje x.  Dado que el potencial de un campo gravitatorio constante es 

, podemos proceder en forma heur ística y hacer 

la sustitución de g z por el potencial. En este caso encontramos la ley de conservación entre la masa relativista y el potencial  gravitatorio, que en nuestro caso resulta:  

 

Veremos que esta relaci ón es general y se deduce del Principio de Equivalencia entre Masa y Energ ía. En mi conocimiento esta  importante ley de conservaci ón no figura en la bibliograf ía espec ífica.

LEY DE CONSERVACIÓN DE LA MASA Y EL POTENCIAL GRAVITATORIO Mostraremos que un cuerpo material en un campo gravitatorio conservativo cumple con la siguiente (general) ley de  conservación.  

Siendo m la masa relativista y  

 el potencial gravitatorio en el punto donde est á la masa.  

El Principio de Equivalencia entre Masa y Energía establece que el contenido total de energ ía de un cuerpo es igual al producto de  su masa relativista por el cuadrado de la velocidad de la luz. Cualquier modificación de su contenido energ ético, sin importar el  mecanismo que la produzca, ir á acompañada por un cambio de su masa relativista, cumpli éndose:     Si el cuerpo está en presencia (solamente) de un campo gravitatorio conservativo, el trabajo elemental realizado es igual a la  variación de su energ ía, resultando:    

Integrando esta ecuaci ón diferencial entre dos puntos ( 1 y 2) obtenemos la ley general de conservaci ón de la masa relativista y  el potencial gravitatorio.  

  Corresponde destacar los siguientes aspectos:

La ley de conservación hallada se deduce del Principio de Equivalencia entre Masa y Energ ía, el cual está fundamentado en la  conservación de la energ ía, y es válida para una partícula (masiva o no) en presencia de un campo gravitatorio en un sistema  inercial aislado.  De acuerdo con los resultados experimentales, que lo confirman sin excepci ón, hemos aceptado sin restricciones el Principio de  Equivalencia entre Masa y Energ ía, por lo cual debemos incluir también los intercambios energ éticos debido a las interacciones  gravitatorias. En este caso, la ley de conservaci ón hallada es de  cumplimiento estricto y general.  La demostración requiere la igualdad entre masa gravitatoria y masa inercial.  En efecto, en la expresión 

 la masa del primer miembro corresponde a la masa gravitatoria, mientras que la del 

segundo miembro se refiere a la masa inercial, por lo cual la deducción de ésta ley de conservaci ón sólo es viable si ambas masas  son la misma (masa relativista). En consecuencia, todo parece indicar que la igualdad entre masa inercial y gravitatoria no es  una casualidad sino una necesidad. Algunas consecuencias importantes merecen ser descritas: Supongamos tener una part ícula inicialmente en reposo de masa propia m0 y un campo gravitatorio conservativo cualquiera.  En cualquier punto de dicho campo se cumple:  

 

Usando el Teorema de conservación de la energ ía (ver Complementos de energ ía), podemos obtener la expresi ón general de  la energ ía potencial gravitatoria de una masa relativista  m:     . 

Para campos gravitatorios d ébiles la expresión anterior converge a la cl ásica 

Recordando que el gradiente de la energía potencial es la fuerza (cambiada de signo), obtenemos la definici ón correcta de la  fuerza gravitatoria, lo cual conforma una prueba indirecta de consistencia.  

 

CONCLUSIONES Se ha demostrado que el “movimiento hiperbólico” (Born; Sommerfeld) no es una soluci ón válida para el movimiento de un  cuerpo masivo en un campo gravitatorio constante. Se encontró una solución completa del movimiento de una part ícula en un campo gravitatorio constante, consistente con la  Relatividad Especial y con la especulación de Galileo sobre la caída de los cuerpos. Este hecho es muy importante y estimulante pues avala la suposici ón de que la gravitaci ón puede ser incorporada en la  Relatividad Especial. Se ha mostrado la importancia conceptual de la masa relativista.  El uso incorrecto de la masa por parte de especialistas es poco frecuente y puede pasar desapercibido debido a que los  resultados obtenidos son aproximados a los correctos. Por ejemplo, en la ca ída libre tratada como movimiento hiperb ólico,  cuando el objeto alcanza la velocidad  0.7 c, el valor correcto (para un mismo tiempo) es 0.76 c.  La experiencia ha mostrado que para el movimiento (masa inercial) y para el campo, tanto en sus acciones como en sus 

Este hecho es muy importante y estimulante pues avala la suposici ón de que la gravitaci ón puede ser incorporada en la  Relatividad Especial. Se ha mostrado la importancia conceptual de la masa relativista.  El uso incorrecto de la masa por parte de especialistas es poco frecuente y puede pasar desapercibido debido a que los  resultados obtenidos son aproximados a los correctos. Por ejemplo, en la ca ída libre tratada como movimiento hiperb ólico,  cuando el objeto alcanza la velocidad  0.7 c, el valor correcto (para un mismo tiempo) es 0.76 c.  La experiencia ha mostrado que para el movimiento (masa inercial) y para el campo, tanto en sus acciones como en sus  causas (masa gravitatoria, activa y pasiva), el uso de la masa relativista da los resultados correctos. Resulta inconcebible que  alguien promueva rechazar su uso en lugar de realzar su importancia conceptual. Se estableció una importante ley de conservaci ón, como consecuencia del Principio de Equivalencia entre masa y energía, que  relaciona la masa relativista con el potencial gravitatorio.  En mi experiencia personal, he podido usarla convenientemente en varias aplicaciones interesantes tales como curvatura de la  luz, efecto Mössbauer  y la ley de corrimiento al rojo.     add comment

 

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El Efecto Mössbauer en la Relatividad Especial

 

 

Trabajo original (no publicado). Fecha: abril 1, 2007  

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Hugo A Fernández  ­ [email protected] 

Teoría de  Relatividad 

Profesor Titular de F ísica Moderna ­ Universidad Tecnológica Nacional ­ Argentina 

Especial Problemas Temas Especiales Ley de Hubble Ca ída Libre Efecto Mössbauer  Corrimiento al  Rojo

INTRODUCCIÓN Una de las predicciones m ás notables de la Teor ía General de Relatividad fue el efecto conocido como  “corrimiento al rojo”  gravitatorio, indicando con ello la modificaci ón que sufre el espectro en el rango visible, obtenido de la luz emitida por una  estrella, que resulta desplazado hacia el rojo por acción del campo gravitatorio. Aclaremos un poco más el tema. Se denomina espectro al conjunto de colores que forman un haz luminoso. Los gases a muy alta  temperatura (incandescentes) tienen la particularidad de emitir y absorber solamente ciertos colores, formando un espectro de  líneas que es  único y representativo del gas, y que corresponde a la superposici ón de los espectros de los elementos qu ímicos  que lo componen. Todos los elementos de la tabla periódica tienen un espectro distinto, que los caracteriza, por lo cual podemos  identificar (y cuantificar) la presencia de un determinado elemento en una sustancia analizando el espectro de la luz emitida por  la sustancia en estado gaseoso.

Masa, Inercia y  Fotones La Paradoja de 

Los espectros obtenidos de la luz proveniente de estrellas son m ás complejos que lo relatado, pero dan una configuraci ón  común con líneas de absorci ón reconocibles que permiten su análisis. La imagen que sigue muestra el espectro obtenido de la  luz solar (en la parte superior) y de luz proveniente de un cluster de galaxias muy distante. 

Born

 

ECUACIONES DE  MAXWELL

  

Se observa que la distribuci ón de líneas tiene el mismo patr ón pero con un corrimiento notable del espectro de l íneas hacia el  rojo. El análisis de este resultado experimental no es simple debido a que, además del corrimiento por campo gravitatorio, existe  otro fen ómeno, el efecto Doppler, que tambi én podría producir corrimiento del espectro.  En 1842 el físico y matemático austríaco Christian Doppler (1803­1853) dio la teoría que explica el cambio de la frecuencia de una  onda, medida por un observador, cuando la fuente emisora se mueve respecto del mismo.  En consecuencia, en el corrimiento del espectro podemos tener contribuci ón de ambos efectos (gravitatorio y Doppler). En este art ículo nos limitaremos a tratar solamente el corrimiento debido al campo gravitatorio, en el marco de la Relatividad  Especial.  El desplazamiento de una l ínea del espectro se mide por la relaci ón:    

En 1957 el joven físico alemán Rudolf Mössbauer, mientras realizaba su tesis de doctorado en el Instituto Max Planck (Heidelberg  ­ Alemania), descubrió el efecto que lleva su nombre, con el que se desarrolló una técnica espectrosc ópica de muy alta resolución  que permite, entre muchas otras aplicaciones, determinar con much ísima precisión cambios insignificantes de la energía de  fotones gamma.  Por este descubrimiento recibi ó el premio Nobel de Física en 1961, a la edad de 32 a ños. Una descripción del efecto Mössbauer puede verse en: http://fisica.facyt.uc.edu.ve/einstein/8.doc  Una de las aplicaciones más importante y más citada en publicaciones científicas fue el magnífico experimento de Pound y  Rebka, realizado en 1960, para la determinación de la diferencia de energ ía entre fotones gamma emitidos por una misma  sustancia, medidos en puntos con distinto potencial gravitatorio, cuyo resultado fue considerado una prueba de consistencia de  la Teoría General de Relatividad. El experimento fue hecho en la torre del Harvard´s Jefferson Physical Laboratory, con la fuente de radiaci ón gamma en el piso y  el absorbente a una altura de  h = 22.6 m.  Un cambio de frecuencia de la radiaci ón implica un cambio de energía de los fotones correspondientes. El resultado obtenido fue:     La Teoría General de Relatividad predice un corrimiento relativo de energía dado por:    

Siendo G la constante gravitatoria,  M la masa puntual “fuente ” del campo, y r la posición del observador (coordenada de  Schwarzschild). En nuestro caso debemos adaptar la relaci ón anterior para dos puntos separados por  22.6 m sobre la superficie terrestre.  Luego, desarrollando en serie para diferencias peque ñas de potencial y operando, obtenemos:

 

Siendo G la constante gravitatoria,  M la masa puntual “fuente ” del campo, y r la posición del observador (coordenada de  Schwarzschild). En nuestro caso debemos adaptar la relaci ón anterior para dos puntos separados por  22.6 m sobre la superficie terrestre.  Luego, desarrollando en serie para diferencias peque ñas de potencial y operando, obtenemos:     Siendo g la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre.  Para esa altura el corrimiento calculado da 2.5x10 ­15 , mostrando un excelente ajuste con el resultado experimental.   La interpretaci ón dada por la Teor ía General de Relatividad se basa en el cambio que sufre la evolución temporal en presencia de  masas. Suponiendo una  única masa M importante, la evolución temporal comparativa en cada punto del espacio es m ás lenta a  medida que nos alejamos de ella. De acuerdo con esta idea, un fotón emitido desde una estrella tendr ía una frecuencia (   ) que va disminuyendo a medida que se aleja de la masa, pues su período T aumenta, dando lugar al fenómeno  observable de corrimiento al rojo gravitatorio.  Debe aclararse que en este modelo las interacciones gravitatorias no existen y el fen ómeno no tiene una explicación dinámica,  que muchos autores utilizan, sino que resulta una consecuencia geom étrica. Como veremos a continuación, este efecto puede ser perfectamente explicado en el marco de la Relatividad Especial, aunque con  una interpretaci ón (dinámica) totalmente distinta.

DESARROLLO En la Teoría Especial de Relatividad el campo gravitatorio debe tratarse con igual jerarquía que cualquier otro tipo de campo f ísico  capaz de producir efectos din ámicos sobre otros cuerpos.  Si bien desconocemos las ecuaciones generales de campo, la experiencia (Newton) muestra que en el caso estacionario el campo  gravitatorio puede ser considerado conservativo y, en consecuencia, posee un potencial gravitatorio (escalar). Asimismo, en este modelo te órico cualquier ente capaz de interactuar posee energía, masa relativista y cantidad de movimiento.  En particular, los fotones son partículas que presentan las siguientes características:   

El Principio de Equivalencia entre Masa y Energía establece que el contenido total de energ ía de una part ícula es igual al  producto de su masa relativista por el cuadrado de la velocidad de la luz. Cualquier modificaci ón de su contenido energ ético, sin  importar el mecanismo que la produzca, irá acompañada por un cambio de su masa relativista, cumpli éndose:   Si la partícula (fotón) está en presencia de un campo gravitatorio conservativo, el trabajo elemental realizado por el campo es  igual a la variación de energ ía del fotón, resultando:  

Integrando esta ecuaci ón diferencial entre dos puntos (1 y 2) obtenemos la Ley de Conservación de la Masa (relativista) y el  Potencial Gravitatorio.  

Para el caso de un fot ón emitido en el punto 1 y detectado en el punto 2, la relación anterior conduce a la expresi ón de la ley de  corrimiento gravitatorio:  

 

Para peque ñas diferencias de potencial gravitatorio podemos desarrollar en serie la exponencial, obteniendo la misma expresión  que fuera predicha con la Teoría General de Relatividad.    En nuestro caso particular resulta  

  , quedando:  

CONCLUSIONES La ley de corrimiento al rojo gravitatorio es obtenida en el marco de la Relatividad Especial como consecuencia del Principio de  Equivalencia entre Masa y Energ ía y la Ley de Conservaci ón entre Masa y Potencial Gravitatorio. El mecanismo por el cual sucede el efecto es din ámico, pues se trata de pérdida de energ ía del fotón por el trabajo realizado  por la fuerza gravitatoria. Por supuesto que si se invierten las posiciones del emisor gamma y el colector, el trabajo provoca  un aumento de la frecuencia (corrimiento al azul), como se observa experimentalmente.

CONCLUSIONES La ley de corrimiento al rojo gravitatorio es obtenida en el marco de la Relatividad Especial como consecuencia del Principio de  Equivalencia entre Masa y Energ ía y la Ley de Conservaci ón entre Masa y Potencial Gravitatorio. El mecanismo por el cual sucede el efecto es din ámico, pues se trata de pérdida de energ ía del fotón por el trabajo realizado  por la fuerza gravitatoria. Por supuesto que si se invierten las posiciones del emisor gamma y el colector, el trabajo provoca  un aumento de la frecuencia (corrimiento al azul), como se observa experimentalmente. La expresi ón general hallada para z es diferente a la deducida en la Teor ía General de Relatividad, aunque luego de la  aproximación obtenemos el mismo comportamiento. Esta diferencia funcional y conceptual podr ía dar lugar a experimentos de consistencia de contenido muy significativo y  trascendente, por lo cual el tema ser á tratado por separado.   add comment

 

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Corrimiento al Rojo en Relatividad Especial

 

 

Trabajo original (no publicado). Fecha: setiembre 17, 2007 

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Hugo A Fernández  ­ [email protected] 

Teoría de  Relatividad 

Profesor Titular de F ísica Moderna ­ Universidad Tecnológica Nacional ­ Argentina 

Especial Problemas Temas Especiales Ley de Hubble

INTRODUCCIÓN Los espectros de la radiación proveniente de estrellas resultan complejos pero tienen en com ún las líneas caracter ísticas de  elementos tales como el Hidrógeno y el Helio, por lo cual presentan un patr ón distinguible. Más complicados aún para la  obtención y análisis son los espectros de las galaxias, debido a la baja intensidad de la radiación incidente y a su origen 

Ca ída Libre

estad ístico proveniente de poblaciones no homog éneas (emisores).  Una información más detallada de los espectros estelares y gal ácticos se adjunta en el anexo de este art ículo.

Efecto Mössbauer 

El estudio comparativo entre el espectro (visible y no visible) obtenido del Sol y los espectros de estrellas y galaxias ha 

Corrimiento al  Rojo

demostrado que  éstos  últimos están desplazados hacia las longitudes de onda mayores salvo casos excepcionales. El nombre de “corrimiento al rojo” comenzó a usarse a partir del a ño 1908, luego del trabajo " Dos métodos de investigación de la  naturaleza del corrimiento al rojo nebular", del astrónomo norteamericano W. Adams.

Masa, Inercia y  Fotones La Paradoja de 

Podemos definir como corrimiento al rojo al fenómeno por el cual el espectro de emisión y/o absorción de radiación,  proveniente de un objeto cosmol ógico, resulta desplazado hacia longitudes de onda mayores debido a la acci ón de algún  proceso independiente del mecanismo de emisión o absorción de radiación.

Born

Este fen ómeno adquirió una relevancia notable por dos motivos principales: ECUACIONES DE  MAXWELL

1.

El primero está vinculado al corrimiento provocado por el campo gravitatorio de un cuerpo masivo, predicho por la Teor ía  General de Relatividad (1916), que lo interpreta geométricamente debido a la distorsi ón espacio ­temporal provocada por la  materia. 

  

Este fen ómeno, llamado “corrimiento gravitatorio” o “Efecto Einstein”, fue comprobado experimentalmente en 1960 por los  investigadores Pound y Rebka con una aplicaci ón notable del Efecto M õssbauer.  Este singular experimento y otras verificaciones posteriores deber ían actualmente ser consideradas pruebas de  consistencia y no pruebas de validez de la Teor ía General, como históricamente se tomó. El Efecto Einstein puede ser  explicado rigurosamente de forma general con la Teor ía Especial de Relatividad, sin la solución particular de Schwarzschild  que se utiliza en la Teor ía General, y con una interpretaci ón dinámica consistente. 2.

El segundo motivo tiene que ver con la Teoría General y el descubrimiento de la Ley de Hubble en el año 1929, que  describe una relaci ón lineal entre el corrimiento al rojo relativo de cada línea del espectro y la distancia de la galaxia a la  Tierra. El auge y desarrollo de la Teor ía General en esa  época provocaron las conjeturas de Lemaitre sobre la  “Expansión del  Universo” (1927) y el “Big Bang” (1931), que incidieron en los modelos cosmológicos basados en la Teor ía General. El  fenómeno del corrimiento fue entonces considerado como un soporte experimental muy importante de dichas conjeturas, a  mi parecer con exagerado optimismo.

Corresponde aclarar que la interpretaci ón actual de la Expansión del Universo como el crecimiento continuado de la m étrica  espacial (expansión del espacio), conjetura aceptada masivamente debido a que la Teor ía General admite una métrica espacial con  esa caracter ística (Friedmann­Lemaître­Robertson ­Walker), entra en contradicci ón con la Teoría Especial a menos que en esta  última se postule la existencia de un campo de fuerzas central cosmol ógico que provoque la “fuga” de los cuerpos y su  correspondiente variaci ón de la cantidad de movimiento.  Nótese que esa interpretaci ón, analizada en la métrica de Minkowski, requiere que las galaxias posean velocidad radial variable  en el tiempo y en un sistema inercial eso sólo es posible si hay fuerzas aplicadas. No debe confundirse la Expansión del Universo, que hace referencia al supuesto aumento de las distancias entre galaxias a  medida que transcurre el tiempo, con la interpretaci ón llamada Expansión del espacio, que intenta explicar al fenómeno con una  propiedad particular del espacio. Debemos agregar que si bien la expansi ón del universo es un hecho aparentemente comprobado por mediciones (Ley de  Hubble), su interpretaci ón como la expansión del espacio agrega comportamientos no verificados por la observación, tal como la  aceleración aparente de los cuerpos que se mediría en una métrica de Minkowski.  En consecuencia, la expansi ón del espacio es una conjetura compatible con la Teor ía General pero no tiene soporte experimental  alguno, e incorpora “ad hoc” varios comportamientos no comprobados. Que se observe que una galaxia lejana posee mayor  velocidad de fuga que una cercana nada dice sobre su aceleraci ón ni sobre su estado de movimiento pasado o futuro, sobre lo  cual no tenemos informaci ón.  Es muy probable que en los pr óximos años se pueda determinar la aceleraci ón de las galaxias, ya sea mediante el estudio de  sus variaciones temporales de corrimiento al rojo u otra t écnica alternativa, con lo cual recién entonces sabremos si la expansi ón  del espacio es una interpretaci ón posible o una quimera. Encarar la elaboraci ón fundamentada de un modelo cosmológico con el conocimiento e información existente en la actualidad,  cualquiera sea el marco teórico que se utilice, es una tarea con muy pocas probabilidades de  éxito. Por esta misma razón no  deber ía extrañarnos que los ajustes de los modelos actuales agreguen propuestas tales como materia oscura, energía oscura,  expansi ón acelerada, inflación, Big Crunch, energía negativa y otras yerbas. Otra interpretaci ón de la Expansi ón del Universo, compatible con la Teoría Especial y sin la especulaci ón de una fuerza  cosmológica, considera la velocidad de las galaxias como velocidades instantáneas de los objetos en una m étrica espacial  estacionaria no distorsionada por la materia, condición inconsistente con la Teor ía General. En este enfoque las variaciones de la cantidad de movimiento de cualquier cuerpo s ólo son posibles por acción de fuerzas de  naturaleza gravitatoria. Lamentablemente esta propuesta actualmente no tiene posibilidades de desarrollo pues desconocemos  las ecuaciones del campo gravitatorio en este marco teórico. Las ecuaciones de Einstein del campo gravitatorio de la Teoría  General no pueden ser expresadas en la m étrica de Minkowski y no son compatibles con la Teoría Especial.  Asimismo, resulta paradójico y extraño que alguna bibliografía e incluso reconocidos especialistas se refieran a la Teoría General  como una generalizaci ón de la Especial o, más grave aún, que la contiene, cuando de hecho son dos teor ías diferentes, sobre 

estacionaria no distorsionada por la materia, condición inconsistente con la Teor ía General. En este enfoque las variaciones de la cantidad de movimiento de cualquier cuerpo s ólo son posibles por acción de fuerzas de  naturaleza gravitatoria. Lamentablemente esta propuesta actualmente no tiene posibilidades de desarrollo pues desconocemos  las ecuaciones del campo gravitatorio en este marco teórico. Las ecuaciones de Einstein del campo gravitatorio de la Teoría  General no pueden ser expresadas en la m étrica de Minkowski y no son compatibles con la Teoría Especial.  Asimismo, resulta paradójico y extraño que alguna bibliografía e incluso reconocidos especialistas se refieran a la Teoría General  como una generalizaci ón de la Especial o, más grave aún, que la contiene, cuando de hecho son dos teor ías diferentes, sobre  temas y objetivos distintos y con fundamentos mutuamente excluyentes.  El hecho de que en ausencia de materia la Teor ía General puede describir un espacio homog éneo e is ótropo en cada instante,  carece de significado físico y solo indica una propiedad matem ática de la geometr ía de Riemann para la m étrica elegida. Uno de los falsos argumentos m ás usado refiere que la Teoría General, en ausencia de materia, se reduce m ágicamente a la  Teoría Especial, sin reconocer que ello es un requisito que debe cumplir cualquier teor ía consistente y que la Teor ía General sólo  lo cumple cuando deja de ser una Teor ía de Gravitación (sin masa).  Por ejemplo, todas las leyes de la Electrodinámica en ausencia de cargas y corrientes, también se reducen a las relaciones  básicas de la Relatividad Especial o son id énticamente nulas, y a nadie se le ocurre decir que la Teoría Electromagnética es una  generalizaci ón de la Teoría Especial.  Este grave error epistemológico y conceptual no se cometer ía si se recordara que la Teoría Especial es un modelo físico­ matemático para describir todos los fen ómenos naturales postulando  propiedades de simetría del espacio­tiempo de acuerdo a  la fenomenolog ía observada (homogeneidad e isotrop ía del espacio y uniformidad del tiempo), las cuales permiten demostrar los  Principios de Conservaci ón Universales, que dicho sea de paso no se cumplen en la General, mientras que la Teoría General es  un modelo para explicar la gravitación postulando  asimetrías particulares del espacio tiempo, dependientes de la materia, y la  inexistencia de interacciones entre masas.   Tampoco debemos olvidar que la formulación de la Teoría General fue obtenida luego del fracaso te órico de los múltiples intentos  fallidos entre 1905 y 1914 (Einstein, Weyl, Nordstrom, Mie, etc.) y otros posteriores, para incorporar las interacciones  gravitatorias en la Teor ía Especial de forma consistente (v éase " Ca ída Libre Relativista – Un tema fundamental ").  Al respecto, es oportuno destacar la producci ón científica del grupo de f ísica teórica liderado por el físico ruso A. Logunov, que en  los últimos años publicaron importantes contribuciones sobre gravitaci ón en el espacio de Minkowski. En este enfoque te órico el  campo gravitatorio es considerado un campo f ísico real de igual jerarquía que el nuclear o el electromagnético y, por supuesto,  consistente con la Teoría Especial. Estas publicaciones pueden obtenerse en: http://eprintweb.org/S/authors/All/lo/Logunov   Entre estos trabajos se destaca la  “Teoría Relativista de Gravitación” (revisión 2002), cuyo análisis, discusión y desarrollo podría  significar un avance significativo de la f ísica teórica en los próximos años y, eventualmente, una superior teoría de gravitación  pues resultar ía consistente con la Relatividad Especial.  El objetivo de este trabajo es analizar en el marco de la Teoría Especial cuales de las distintas hip ótesis propuestas pueden  provocar el corrimiento al rojo observado, como así también su interpretaci ón y aplicación.

DESARROLLO El desplazamiento de cualquier l ínea del espectro se mide por la relaci ón:  

En 1981 H. Reboul publicó un catálogo con 780 referencias y una clasificaci ón en 17 grupos distintos de corrimiento al rojo  anómalos, indicando con ello interpretaciones que no corresponden a los tres casos denominados cl ásicos (Doppler, Gravitatorio  y Cosmológico), que fue enriquecido por varias publicaciones posteriores. Describiremos algunos de los distintos procesos propuestos que podrían modificar la frecuencia de la radiación, indicando  aquellos que est án comprobados experimentalmente. 1.

“Efecto Doppler”. Este fen ómeno, demostrado experimentalmente a mediados del siglo XIX, consiste en el cambio de  frecuencia que ocurre en la onda emitida por una fuente en movimiento. La formulaci ón rigurosa de este efecto se obtiene  con la Teoría Especial (ver el cap ítulo de cinemática relativista) y es de naturaleza relativista, siendo válido también para el  caso de fotones pues admite un tratamiento corpuscular. Este fen ómeno de cambio de frecuencia sucede en el emisor en  movimiento y no durante la propagaci ón.

2.

“Corrimiento gravitatorio” (Efecto Einstein). Predicho por Einstein y verificado en Laboratorio por la genial experiencia de  Pound y Rebka (1960). En la Teor ía Especial se interpreta como un proceso dinámico debido a la interacción fotón­campo.  Se demuestra que el efecto depende de la diferencia de potencial gravitatorio entre el punto donde est á la fuente emisora y  el punto donde est á el observador, y ocurre durante la propagación. Se destaca que la ley de corrimiento deducida con la  Teoría Especial es diferente a la que se obtiene en Relatividad General con la soluci ón de Schwarzschild, aunque ambas  llegan al mismo resultado para campos débiles. Esta diferencia reviste gran importancia para el análisis del fenómeno en un  sistema inercial, pues la solución rigurosa de la Teor ía Especial es de alcance general.

3.

“Corrimiento cosmológico” (Conjetura basada en la expansi ón del espacio). Esta propuesta no tiene verificaci ón  experimental y no es válida en la Relatividad Especial debido a que la interpretación de la expansi ón del espacio como  modificación de la métrica espacial es inconsistente en un sistema inercial.

4.

“Luz cansada” (Interacción radiación materia). El fenómeno de p érdida de energ ía por interacción radiación­materia es un  fenómeno estad ístico comprobado e inevitable cuando la radiaci ón se propaga por un espacio con part ículas distribuidas,  provocando la dispersión de los fotones que interactúan. Estos fotones pierden energ ía (corrimiento al rojo) modificando  también su trayectoria, por lo cual no integran el haz que llega al instrumento de medición. Obviamente la radiación que se  recibe en el telescopio est á compuesta por fotones que no han sido dispersados, lo que implica que no sufrieron la  interacción radiación­materia. En consecuencia, este fenómeno comprobado no puede ser la causa del corrimiento al rojo  medido. Nota (29/10/07): Varias publicaciones sobre absorción­emisión en medios gaseosos, sin cambio de direcci ón de la radiación,  incluso como el proceso m ás probable en la interacción fotón­materia, sugieren que este mecanismo deba ser tenido en  cuenta como posible causa del corrimiento al rojo. Un tratamiento descriptivo del reconocido astrofísico canadiense Paul  Marmet (1932­2005) puede verse en su art ículo "Big Bang Cosmology Meets an Astronomical Death".  

5.

“Corrimiento por radiación” (Conjetura por analog ía con el Electromagnetismo sin soporte teórico suficiente). Se asume  que los fotones (como part ículas con masa relativista) en un campo gravitatorio tienen un comportamiento similar al que  poseen los electrones acelerados, emitiendo ondas gravitatorias. Si este fen ómeno existiera no podr ía ser causa del  corrimiento por las mismas razones que el caso anterior (luz cansada). La emisi ón de energ ía requiere el cambio de la  dirección del fotón para que se cumpla la conservaci ón de la cantidad de movimiento, provocando la dispersión.  En mi opinión este fen ómeno no existe pues si ocurriera no podr íamos ver los objetos “puntuales ” alejados debido a que el 

Marmet (1932­2005) puede verse en su art ículo "Big Bang Cosmology Meets an Astronomical Death".   5.

“Corrimiento por radiación” (Conjetura por analog ía con el Electromagnetismo sin soporte teórico suficiente). Se asume  que los fotones (como part ículas con masa relativista) en un campo gravitatorio tienen un comportamiento similar al que  poseen los electrones acelerados, emitiendo ondas gravitatorias. Si este fen ómeno existiera no podr ía ser causa del  corrimiento por las mismas razones que el caso anterior (luz cansada). La emisi ón de energ ía requiere el cambio de la  dirección del fotón para que se cumpla la conservaci ón de la cantidad de movimiento, provocando la dispersión.  En mi opinión este fen ómeno no existe pues si ocurriera no podr íamos ver los objetos “puntuales ” alejados debido a que el  fenómeno es global afectando a la totalidad de los fotones, que serían dispersados por el inevitable campo gravitatorio  intermedio.

6.

“Corrimiento cuántico”. Esta especulaci ón se basa en la modificaci ón de los niveles de energ ía de los  átomos emisores  debido a la interacción campo gravitatorio átomo, resultando en una disminución de sus niveles de energ ía. Esta conjetura  asume que el potencial gravitatorio tiene diferencias significativas en distancias del orden del tama ño del átomo (campo  gravitatorio muy intenso). Si este fen ómeno existiera su efecto sería muy peque ño por la desigualdad de intensidades entre las interacciones  eléctricas y las gravitatorias, ya que las líneas que registramos en los espectros provienen de  átomos de la atmósfera  estelar o de los gases interestelares, ambos fuera de la zona de gravedad extrema.  En mi opinión, este fen ómeno es indetectable o no existe y, por otro lado, no veo la manera de relacionarlo con la distancia  observador ­galaxia.

7.

“Corrimiento por variación temporal de la gravitación” (Conjetura de Logunov, basada en la variaci ón cíclica de la  gravitación). Esta especulación no ha sido tratada en profundidad por los especialistas y se enmarca en la reciente ( última  revisión 2002) cosmología sustentada por la Teor ía Relativista de Gravitación del Prof. A. Logunov. La propuesta es un  fenómeno de corrimiento gravitatorio en un campo variable en el tiempo, de tal manera que se encuentra una relación con  la distancia de las galaxias. Esta conjetura es imposible de demostrar experimentalmente y se basa en una teor ía  cosmológica que aún no ha sido discutida en profundidad. En mi opinión, cualquier propuesta basada en teor ías cosmológicas no deber ía ser seriamente tenida en cuenta en la  actualidad y ello incluye al masivamente aceptado corrimiento cosmol ógico por expansi ón del espacio. 

Luego del breve an álisis anterior corresponde analizar en detalle los dos efectos que sabemos con certeza que intervienen en el  fenómeno de corrimiento al rojo. 

EFECTO DOPPLER RELATIVISTA Fue comprobado experimentalmente por Fizeau en 1848 y se debe al movimiento de la fuente emisora de radiaci ón respecto del  observador.  Su aplicación tiene vigencia en ambos marcos te óricos (General y Especial), pero de manera totalmente diferente debido a la  distinta interpretaci ón que ambas teor ías dan a la Expansi ón del Universo. Nos interesa su interpretaci ón en un sistema inercial. La expresi ón que vincula la frecuencia medida w con la frecuencia propia w 0  de la fuente emisora que posee velocidad (VS),  deducida con la Teoría Especial, es:  

Reemplazando en el c álculo de z y operando obtenemos:    

Es importante destacar que el ángulo (Theta), formado por la dirección de la velocidad de la fuente y la recta que une el  observador con dicha fuente ( “línea de visi ón”), siempre debe considerarse menor o igual a 90 º si VS se toma negativo cuando la  fuente se acerca y positivo cuando se aleja (regla mnemotécnica).  En la práctica cotidiana y también en muchas publicaciones los cálculos de velocidad de las galaxias lejanas se suelen hacer  asumiendo nula la componente transversal de la velocidad, debido probablemente a la dificultad de su determinación. En este  caso (sin componente transversal) las expresiones anteriores quedan:  

Veremos que ignorar la componente transversal de la velocidad, como sucede en muchos trabajos relacionados con  observaciones astron ómicas (comenzando con el de Hubble), puede conducir a conclusiones falsas, particularmente para z  grandes.  La tabla siguiente da el valor de velocidades relativas versus z, para dos casos: n

La galaxia sólo tiene velocidad radial (fuga).

n

La velocidad de la galaxia forma un ángulo de 60 º con la línea de visi ón.   

n

La galaxia sólo tiene velocidad radial (fuga).

n

La velocidad de la galaxia forma un ángulo de 60 º con la línea de visi ón.   

La segunda columna corresponde a los valores relativos de la velocidad de fuga para el caso que no tiene componente  transversal. La tercera y la cuarta columna dan los valores de velocidad total y componente radial respectivamente, para una velocidad que  forma un ángulo de 60 º con la línea de visi ón.  Nótese que para valores peque ños de  z el error que se cometer ía al no considerar la componente transversal es chico, lo cual  justifica el cumplimiento de la Ley de Hubble. Por ejemplo para z=0.01 el error es 2%.  En cambio para z=3 el valor de la velocidad de fuga (0.46c) es aproximadamente la mitad de lo que se calcular ía sin considerar la  componente transversal (0.88c).

CORRIMIENTO GRAVITATORIO La demostración general de la Ley de corrimiento gravitatorio válida para un observador en reposo en un sistema inercial, vista  anteriormente en el trabajo “El efecto Mössbauer en la Relatividad Especial ”, se fundamenta en el Principio de Equivalencia entre  Masa y Energ ía. Veamos su desarrollo: En la Teoría Especial el campo gravitatorio debe tratarse con igual jerarqu ía que cualquier otro tipo de campo f ísico capaz de  producir efectos din ámicos sobre otros cuerpos. Asimismo, cualquier ente capaz de interactuar posee energía, masa relativista y  cantidad de movimiento. En particular, los fotones son part ículas que presentan las siguientes características:   

El Principio de Equivalencia entre Masa y Energía establece que el contenido total de energ ía de una part ícula es igual al  producto de su masa relativista por el cuadrado de la velocidad de la luz. Cualquier modificaci ón de su contenido energ ético, sin  importar el mecanismo que la produzca, irá acompañada por un cambio de su masa relativista, cumpli éndose:   Si la partícula (fotón) está en presencia de un campo gravitatorio conservativo, el trabajo elemental realizado por el campo es  igual a la variación de energ ía del fotón, resultando:  

Integrando esta ecuaci ón diferencial entre dos puntos (1 y 2) obtenemos la  Ley de Conservación de la Masa (relativista) y el  Potencial Gravitatorio.  

Para el caso de un fot ón emitido en el punto 1 y detectado en el punto 2, la relación anterior conduce a la expresi ón de la ley de  corrimiento gravitatorio:  

 

Cuando se analiza el corrimiento debido a radiaci ón proveniente de galaxias lejanas suele considerarse a este efecto  despreciable frente al Doppler, lo cual puede ser un error de método muy grave dada la diversidad de galaxias distintas.  Observamos que el corrimiento depende del potencial gravitatorio del sistema y no del valor local del campo, lo que introduce  un elemento que puede provocar variaciones importantes de z cuando se aplica a galaxias distintas.  Aclaremos lo anterior con un gr áfico cualitativo del potencial gravitatorio (newtoniano) de dos cuerpos puntuales con sus masas  ubicadas en cada extremo del eje horizontal. La línea de trazo rojo corresponde a dos cuerpos de igual masa, la azul es para dos cuerpos de masa distinta en relaci ón 4/1, es  decir que el cuerpo de la izquierda tiene 4 veces la masa del de la derecha (n ótese la deformación que provoca al potencial)

despreciable frente al Doppler, lo cual puede ser un error de método muy grave dada la diversidad de galaxias distintas.  Observamos que el corrimiento depende del potencial gravitatorio del sistema y no del valor local del campo, lo que introduce  un elemento que puede provocar variaciones importantes de z cuando se aplica a galaxias distintas.  Aclaremos lo anterior con un gr áfico cualitativo del potencial gravitatorio (newtoniano) de dos cuerpos puntuales con sus masas  ubicadas en cada extremo del eje horizontal. La línea de trazo rojo corresponde a dos cuerpos de igual masa, la azul es para dos cuerpos de masa distinta en relaci ón 4/1, es  decir que el cuerpo de la izquierda tiene 4 veces la masa del de la derecha (n ótese la deformación que provoca al potencial)  

Del análisis del gráfico se obtiene que el valor de la diferencia de potencial entre un punto cercano a la masa de la izquierda y el  otro punto cercano a la de la derecha, es muy dependiente de la posición de los puntos de inter és y de la masa de los cuerpos,  particularmente entre puntos cercanos a las masas. Debemos agregar que el potencial newtoniano que utilizamos para este an álisis básico es válido con certeza solamente para el  caso de campos d ébiles, por lo cual desconocemos como es su comportamiento cerca de las masas. Sin embargo, existen fuertes  argumentos te óricos (radio de Schwarzschild) que indican que el potencial gravitatorio tiende a infinito fuera del centro de masa  de cada galaxia, tanto m ás lejos del centro de la galaxia cuanto mayor sea su masa total.  Este tema ser á tratado por separado en un art ículo posterior (“Masa y Gravedad ”) en el marco de la Teoría Especial.  Ahora podemos analizar el efecto para el caso de galaxias.  El corrimiento al rojo correspondiente a una galaxia se determina de un espectro que est á formado estad ísticamente por fotones  que provienen de la corona estelar de miles de millones de estrellas y gases distribuidos en la galaxia. La galaxia entera est á en  movimiento de rotación y sus estrellas poseen velocidades y parámetros diferentes entre si. En consecuencia, el espectro  obtenido corresponder á al subconjunto más populoso de  espectros similares, provenientes de un inmenso n úmero de estrellas  y gases distribuidos en la galaxia. Probablemente los elementos de ese subconjunto est én mayoritariamente ubicados en el  borde del n úcleo galáctico. Evidentemente, la posici ón de un emisor único no existe pero podemos asumir una “posición equivalente ” como si fuera un  emisor único que nos da el mismo corrimiento de espectro, al que le corresponde una posición y un potencial gravitatorio  definido, el cual depender á del tipo de galaxia particular, sus características, orientación en el espacio y el grado de evoluci ón de  la misma. Corresponde señalar que no existen determinaciones experimentales de corrimiento gravitatorio provocado por  galaxias pues el fen ómeno coexiste con el efecto Doppler sin poderse discriminar sus efectos actualmente. No queda duda alguna que los corrimientos gravitatorios de las galaxias pueden dar valores muy distintos. Posiblemente  ésta  sea la raz ón de la diferencia del corrimiento correspondiente a cuásares y galaxias ligadas, comunicado por el astr ónomo H. Arp. 

CONCLUSIONES Considerando que ambos efectos (Doppler y corrimiento gravitatorio) son concurrentes e inevitables, y que los dos presentan  problemas metodol ógicos importantes para su utilización por el desconocimiento, en un caso del ángulo de la velocidad con la  línea de visi ón, y en el otro de los potenciales gravitatorios de los puntos de emisión y recepción de radiación, su aplicación como  método cuantitativo está seriamente cuestionada y las anteriores conclusiones obtenidas con estos efectos deben ser  revisadas.   

Anexo Espectroscopía Se denomina espectro visible al conjunto de colores que forman un haz de luz luego de ser separado en sus componentes por  un elemento dispersor. El mismo concepto de espectro se aplica a radiaciones en rangos no visibles por el ojo humano, tales  como el infrarrojo y el de microondas, más allá del rojo, o el ultravioleta, el de rayos X y el de rayos gamma, más allá del violeta.  La separaci ón de las radiaciones que componen un haz puede realizarse de varias formas, siendo las más usuales por medio de  prismas, redes de difracci ón o una combinación de ambos tipo de elementos dispersores. La espectroscopia astron ómica cuantitativa fue iniciada en el año 1814 por el óptico e inventor Joseph von Fraunhofer (1787 – 1826), cuyos desarrollos tales como la red de difracción y el espectroscopio de anteojo  óptico, hicieron que esta t écnica resultara  la principal herramienta de análisis de las radiaciones. Los espectros del Sol obtenidos por este singular cient ífico autodidacta le  permitieron determinar la longitud de onda de 574 l íneas de absorci ón en el rango visible. Asimismo, al obtener y analizar el  espectro visible de otras estrellas, demostr ó que hab ía diferencias entre s í, iniciando lo que hoy se conoce como espectroscop ía  estelar.  En general el espectro visible de las estrellas es complejo y est á constituido por un fondo brillante continuo de todo el rango  visible, desde el rojo al violeta, sobre el que se superponen líneas de absorci ón (oscuras) y, ocasionalmente, l íneas de emisi ón  (más brillantes), emitidas por elementos constitutivos de la atm ósfera estelar. El espectroscopio posee un colimador y un anteojo ocular montados sobre una escala circular. El colimador tiene por función  lograr un haz paralelo de la radiación cuyo espectro desea conocerse. El anteojo permite enfocar el espectro que se obtiene  luego de ser dispersado el haz. La figura muestra el esquema de un espectroscopio simple de prisma.  

El espectroscopio posee un colimador y un anteojo ocular montados sobre una escala circular. El colimador tiene por función  lograr un haz paralelo de la radiación cuyo espectro desea conocerse. El anteojo permite enfocar el espectro que se obtiene  luego de ser dispersado el haz. La figura muestra el esquema de un espectroscopio simple de prisma.  

Los espectros se clasifican en continuos, de bandas y discretos (o de l íneas).  Los continuos presentan todos los colores sin interrupci ón. Son producidos por los sólidos incandescentes, como es una l ámpara  de filamento. Los de bandas tambi én son continuos pero a tramos, es decir que presentan zonas sin radiaci ón. Se obtienen de líquidos o  gases poliat ómicos complejos incandescentes.  Los discretos o de l íneas est án formados por colores bien definidos. Son producidos por gases simples incandescentes.  Los espectros pueden ser de emisi ón, cuando el haz proviene directamente de un objeto emisor, o de absorción, cuando una  sustancia se interpone entre la fuente de luz (usualmente un filamento incandescente) y la rendija de entrada. Los de emisión  sirven para obtener informaci ón de la sustancia incandescente, mientras que los de absorci ón lo serán para la sustancia  absorbente. Las l íneas que emite un gas simple incandescente son las mismas que dicho gas absorbe. La imagen siguiente  muestra tres ejemplos diferentes.  

Los espectros de l ínea son los de mayor inter és debido a que todos los elementos de la tabla periódica, en estado gaseoso,  poseen espectros diferentes entre si, lo que permite un método óptico de análisis de composición de extraordinaria precisión. 

Espectros estelares Actualmente en Astronomía se utilizan espectrofot ómetros, que son dispositivos similares a los espectroscopios pero que tienen  reemplazado el anteojo ocular por un sensor (fotoel éctrico o ccd), lo que permite registrar un gráfico de alta resolución,  obteniendo espectros estelares muy precisos.  La figura muestra el espectro visible de la estrella Vega. Este y otros registros pueden verse en http://www.regulusastro.com/regulus/spectra/vega.html    

 

Espectro visible de Vega (Cortes ía John Blackwell) El eje de las abcisas es la longitud de onda expresada en Angstrom (10 ­10  metros); el eje de las ordenadas es una medida  relativa de intensidad. Las líneas con referencia indicadas en el gr áfico corresponden a la absorci ón de la radiación en la atmósfera estelar,  característica del Hidrógeno presente.  El estudio sistemático de los espectros estelares permiti ó elaborar una clasificaci ón muy detallada de las estrellas. Ello puede  verse en: http://www.espacioprofundo.com.ar/verarticulo/Clasificacion_de_los_espectros_estelares.html 

Espectros galácticos Los espectros de radiaci ón proveniente de galaxias, como el caso de una galaxia activa (líneas de emisi ón muy  brillantes) que se  muestra en el gr áfico siguiente, son los más difíciles de obtener y analizar.  

verse en: http://www.espacioprofundo.com.ar/verarticulo/Clasificacion_de_los_espectros_estelares.html 

Espectros galácticos Los espectros de radiaci ón proveniente de galaxias, como el caso de una galaxia activa (líneas de emisi ón muy  brillantes) que se  muestra en el gr áfico siguiente, son los más difíciles de obtener y analizar.  

 

Espectro (rango visible) galaxia espiral NGC 4750  Las líneas hacia  “arriba” se deben a la emisi ón característica de gases presentes en la atm ósfera estelar, en este caso  Hidrógeno (H) y Oxígeno (OII). Los picos hacia “abajo ” nos indican absorci ón de radiación.  Los espectros de diferentes galaxias puede verse en: http://www.astro.ugto.mx/cursos/astrofisicaII/AstrofisicaII_Parte_II/capitulo_7/cap_7_docs/Espectros_deGalaxias.htm  Nota. Es importante destacar que el espectro de una galaxia est á conformado de manera estad ística por radiación proveniente en  general de más de cien mil millones de estrellas. Las l íneas de absorci ón que forman el espectro caracter ístico tienen su origen  en la atmósfera estelar y en la materia interestelar existente.  En consecuencia, cabe esperar que el espectro (de emisi ón) que se registre en cada caso corresponda al subconjunto de  estrellas con caracter ísticas similares de emisión, más significativo estadísticamente, hecho que est á relacionado con la  intensidad de la radiación y con la subpoblación espectral homog énea más numerosa.  No existe aún un modelo teórico satisfactorio sobre el espectro de emisi ón y absorción de radiación de galaxias, en parte debido  a la gran diversidad de galaxias diferentes observadas.  No obstante, se especula que en la mayor ía de los casos los espectros corresponden al denso subconjunto de estrellas  pertenecientes al borde del n úcleo central de la galaxia.   add comment

 

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Masa, Inercia y Fotones en Relatividad Especial

 

 

Hugo A Fernández  ­ [email protected] 

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Profesor Titular de F ísica Moderna ­ Universidad Tecnológica Nacional ­ Argentina 

Teoría de  Relatividad 

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ 

Especial Problemas Temas Especiales Ley de Hubble Ca ída Libre Efecto Mössbauer  Corrimiento al  Rojo Masa, Inercia y 

Masa La masa es una de las magnitudes f ísicas que más veces ha sufrido modificaciones debidas al avance del conocimiento, tanto en  su definición como en su interpretaci ón conceptual. La mecánica de Newton asumió que la masa (inercial y gravitatoria) era un invariante, e introdujo el fundamental concepto de que  la masa inercial es la magnitud escalar que mide la inercia del cuerpo, entendiendo con esto último la resistencia a modificar su  estado de movimiento, mientras que la masa gravitatoria es la magnitud escalar que determina la magnitud de la fuerza de  naturaleza gravitatoria que act úa sobre  él.  Experimentalmente se ha comprobado con alt ísima precisión la igualdad entre masa inercial y gravitatoria, hecho que confirma la  famosa conjetura de Galileo sobre que todos los cuerpos caen con la misma aceleraci ón.   Este tratamiento inicial no tuvo contradicciones con la antigua propuesta elemental que consideraba a la masa como una medida  de la cantidad de materia. 

Fotones La Paradoja de  Born ECUACIONES DE  MAXWELL

  

Su definición operativa admite varios tratamientos distintos, entre los que se destacan el de Mach y el de Maupertuis. El primero  de ellos (Mach) permite determinar la masa relativa entre dos part ículas que interact úan, postulando que las aceleraciones  sufridas por ellas son colineales durante toda la interacci ón, de acuerdo con el Principio de Acci ón y Reacción. La definición de  Maupertuis surge de un principio extremal que se traduce finalmente a la conservaci ón de la cantidad de movimiento total para  partículas que interact úan en un sistema aislado. La aparición de la mecánica relativista introdujo cambios drásticos. En primer lugar, si mantenemos la definición clásica de  cantidad de movimiento y su conservación en ausencia de fuerzas exteriores, la masa inercial de un cuerpo deja de ser  invariante, tomando su menor valor cuando est á en reposo respecto del observador. M ás aún, la masa inercial de cualquier ente  físico capaz de interactuar pasa a ser una magnitud relativa al sistema de referencia y por ello se la denomin ó masa relativista.  Es evidente que la masa como cantidad de materia no es aceptable en este enfoque. Por otro lado, las definiciones de Mach y  Maupertuis no son aplicables en su forma convencional debido a la existencia de una velocidad tope y a que las interacciones  instant áneas entre part ículas (acción a distancia) no tienen validez rigurosa.   El estudio particular de la caída libre relativista en presencia de un campo gravitatorio constante nos indica que una descripción  consistente del movimiento de un cuerpo material se obtiene si utilizamos la masa relativista, tanto para su masa gravitatoria  como para su masa inercial. En consecuencia, la masa relativista adquiere un papel fundamental en los procesos din ámicos y,  como veremos, resulta ser una  “propiedad din ámica” o “parámetro de estado din ámico” del cuerpo.   La masa relativista puede ser rigurosamente descrita por dos relaciones distintas (vinculadas) y de validez universal, dando el  mismo resultado numérico, una de ellas fundamentada en el Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento y la otra en  el Principio de Equivalencia entre Masa y Energía.    

Resulta importante destacar que la usual creencia sobre que la masa relativista de un cuerpo depende sólo de su velocidad,  como aparentemente se infiere de la primera expresión, no es rigurosamente cierta pues la masa en reposo de un cuerpo no es  en general un invariante. Este error histórico se debe a que los especialistas dedicados a part ículas elementales asumen que  ellas no poseen niveles discretos de energ ía, por lo cual cualquier interacción solamente puede provocar cambios de su  velocidad.  Por otro lado, los m últiples experimentos sobre  “defecto de masa ” confirman que un núcleo atómico excitado, al igual que un  átomo excitado, posee distinta masa propia que cuando est á en su estado fundamental. El Principio de Equivalencia entre Masa y Energía permite dar una definici ón rigurosa de la masa relativista, como la magnitud  que mide el contenido de energía total de cualquier sistema físico. En consecuencia,  la masa de un sistema físico presenta un sólo grado de libertad, por lo cual su valor queda unívocamente  determinado en cada instante por el contenido de energ ía, cualquiera sea el proceso involucrado.  Esta nueva definición incorpora naturalmente el concepto de masa a los campos y las radiaciones (fotones), tema que ser á  tratado por separado. Dado que la masa relativista de un sistema es directamente proporcional a su energía, y que el contenido de energ ía de un  sistema es una propiedad del mismo, resulta claro que la masa relativista es una propiedad din ámica de los sistemas, sean  masivos o no masivos, indicando con esto  último la existencia o no de masa propia.  La condición de propiedad de una magnitud puede ser tratada matem áticamente.  Una vez definida una magnitud f ísica cualquiera corresponde indicar sobre qué tipo de fenómenos se intenta analizar su rol.  Decimos que una magnitud h es una propiedad de un sistema f ísico real si cumple con:     Siendo C cualquier trayectoria cerrada (proceso físico relacionado con h). En nuestro caso de inter és resulta inmediato ver que la masa relativista de un sistema dado debe ser una propiedad del mismo  pues solamente depende de una variable que es una propiedad del sistema, el contenido energ ético del mismo, por lo cual dm  es un diferencial exacto.

 

    Siendo C cualquier trayectoria cerrada (proceso físico relacionado con h). En nuestro caso de inter és resulta inmediato ver que la masa relativista de un sistema dado debe ser una propiedad del mismo  pues solamente depende de una variable que es una propiedad del sistema, el contenido energ ético del mismo, por lo cual dm  es un diferencial exacto. Cualquier proceso que en su desarrollo contenga modificaciones de energ ía implicará cambios proporcionales de su masa  relativista, la cual volverá a tomar el mismo valor inicial si el sistema recupera su estado energético inicial, cumpliéndose:    

Nota: Resulta parad ójico y lamentable que algunos especialistas promuevan abolir sin motivo real el uso de esta magnitud  fundamental para la mec ánica, para lo cual apelan a argumentos matemáticos de escaso o nulo contenido f ísico y opiniones  subjetivas sin fundamento (Okun – 1989). Ello implica un desconocimiento concreto de profundos conceptos f ísicos que contiene  la Teoría Especial de Relatividad.

Inercia El fenómeno de inercia de los cuerpos materiales resulta m ás complejo de analizar que en mec ánica clásica debido a que en  mecánica relativista la fuerza aplicada y la aceleraci ón adquirida pueden tener distinta direcci ón y, además, a que la velocidad de  un objeto no puede superar la velocidad de la luz.  La tendencia de los cuerpos a conservar su estado de movimiento y los factores que intervienen en el fenómeno pueden ser  estudiados con la expresi ón relativista de la aceleraci ón (ver “Dinámica relativista”):     

Resulta evidente que la masa relativista no es suficiente para caracterizar la inercia de un cuerpo, ya que la aceleraci ón adquirida  depende tambi én de una relación vectorial entre la velocidad y la fuerza aplicada. Aclaremos un poco más este tema. La expresi ón anterior muestra que si solamente aumentamos la masa de un cuerpo su  aceleración disminuye, lo cual es consistente con el concepto de masa como una medida de la inercia.  Sin embargo, para un mismo cuerpo de masa m, el segundo t érmino del numerador nos indica que la aceleración depende  también de la velocidad del cuerpo, requisito necesario para que un cuerpo masivo no pueda alcanzar la velocidad de la luz bajo  ninguna circunstancia. Nótese que el segundo t érmino es un vector con el sentido de la velocidad, por cuya raz ón el módulo de la  aceleración tangencial a la velocidad será menor cuanto mayor sea la velocidad.  En consecuencia, podemos concluir que la inercia de un cuerpo depende de la masa del mismo y de su estado de movimiento.     Las componentes de la aceleraci ón (longitudinal y transversal a la velocidad) permiten una determinación experimental de la  masa relativista de un cuerpo material que no requiere conocer "a priori" su masa propia  m0  , lo que resulta de gran utilidad si se  trata de part ículas cargadas en presencia de campos el éctricos y/o magnéticos.  En efecto, despejando la masa relativista m en cualquiera de las dos componentes, preferentemente la transversal pues resulta  independiente de la velocidad, obtenemos:    

La Teoría Especial de Relatividad nos demuestra entonces que el fenómeno de inercia de los cuerpos tiene dos causas de  distinta naturaleza: la masa relativista, que es una propiedad del cuerpo, y la imposibilidad de superar la velocidad de la luz.   Como vemos, el concepto de masa como la medida única de la inercia de un cuerpo deja de ser rigurosamente válido en la Teoría  Especial. 

Fotones La teor ía de Einstein del efecto fotoel éctrico (1905) postula que la luz está formada por part ículas no masivas (fotones) que se  propagan con velocidad  c en el vacío. Un fotón posee una energ ía  , siendo  h la constante de Planck y v la frecuencia  (color) de la radiación. Por otro lado, la Teoría electromagn ética, que es relativista de nacimiento, demuestra que el campo se propaga en el vacío con la  velocidad de la luz (c), cualquiera sea la forma (estructura) que adopte dicho campo.  La Física Moderna y la Mec ánica Cuántica hicieron extensivo este concepto de fotón a todas las radiaciones no masivas emitidas  o absorbidas por la materia.  Obviamente, este nuevo ente físico no result ó consistente en mec ánica clásica pues una part ícula con energ ía cinética sin masa  resulta una contradicci ón, pero puede ser bien tratado en el marco relativista y sus propiedades dinámicas pueden ser obtenidas  sin dificultad, como veremos a continuación. La Teoría de Relatividad permite demostrar que si aceptamos como hipótesis que los fotones se propagan a la velocidad de la  luz, entonces necesariamente tienen masa propia nula, masa relativista y cantidad de movimiento no nulos, y el m ódulo de su  velocidad no puede ser modificado. De esta manera, procesos tales como el efecto Compton, el efecto Doppler, el efecto  Mössbauer y el efecto Einstein, entre muchos otros, pueden ser te óricamente tratados con la mecánica relativista. Por definición, la masa relativista de un fotón est á dada por:      Nótese que la masa relativista de un fot ón siempre es >0. Por definición de cantidad de movimiento obtenemos:     En consecuencia, la cantidad de movimiento de un fotón no puede ser nula. La masa propia de un fotón es nula y ello puede ser demostrado de varias maneras.  Veamos un razonamiento físico (1) y otro matemático (2):     1 ­ El Principio de Equivalencia entre masa y Energía establece:  

    En consecuencia, la cantidad de movimiento de un fotón no puede ser nula. La masa propia de un fotón es nula y ello puede ser demostrado de varias maneras.  Veamos un razonamiento físico (1) y otro matemático (2):     1 ­ El Principio de Equivalencia entre masa y Energía establece:    

 

Reemplazando la energ ía y la cantidad de movimiento por sus expresiones genéricas, obtenemos  m0=0      2 – La masa relativista siempre debe cumplir con la expresión general:     

En el caso de fotones la velocidad es  c, haciendo nulo el denominador en la expresión anterior y la relación pasa a ser una  indefinición numérica. La única posibilidad matemáticamente compatible con una masa relativista m finita (número real), que  evita la indefinición, es que la masa propia del fotón también sea nula. En este caso la relaci ón queda  indeterminada pero no  resulta inconsistente con una masa relativista finita.  El módulo de la velocidad de los fotones no puede ser modificado. Ello puede demostrarse con la expresión general de la  aceleración tangencial, que ocurriría debido a una interacción, dado que esta componente de la aceleraci ón es la única que  produciría cambios del módulo de la velocidad.    

Claramente se observa que para un fot ón con velocidad c la aceleración tangencial se anula, lo que implica que no hay  posibilidad alguna de modificar el módulo de su velocidad. Se concluye que los fotones s ólo pueden tener una  única velocidad (c),  que resulta ser la misma para todo observador (es absoluta). Esto  último parece estar en contradicción con la propagaci ón de la luz en medios transparentes, pues la  óptica ondulatoria  asume que la velocidad de propagaci ón de la luz depende del  índice de refracción del medio.  La teor ía cuántica de radiación explica la propagaci ón en un medio material como una consecuencia de múltiples interacciones  radiación materia, predominando el proceso de absorci ón emisión por parte de los componentes del medio.  Los fotones son absorbidos y emitidos posteriormente, pero ello ocurre en un tiempo caracter ístico, lo que se manifiesta como  una velocidad media de la radiaci ón, menor que la velocidad instant ánea (c) de cada fotón. 

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La Paradoja de Born

 

 

Trabajo original (no publicado). Fecha: abril 23, 2008. Última modificación: febrero 21, 2009  

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Hugo A. Fernández  – [email protected] 

Teoría de  Relatividad 

Profesor Titular de F ísica Moderna – Universidad Tecnológica Nacional ­ Argentina 

Especial

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­  Problemas Temas Especiales Ley de Hubble Ca ída Libre Efecto Mössbauer 

“Debe hacerse notar que un electrón en movimiento hiperbólico no tiene radiación propia, sin importar cuan  grande sea su aceleración, pero arrastra su campo consigo. Hasta ahora esta circunstancia era reconocida  solamente para electrones en movimiento uniforme. La radiación sólo se muestra en casos que se apartan del  movimiento hiperbólico. La radiación y la resistencia a la radiación sólo aparecen fuera del movimiento  hiperbólico.”  Max Born

Corrimiento al  Rojo Masa, Inercia y  Fotones

Introducción

La Paradoja de 

El párrafo inicial, extraído de un art ículo publicado por Max Born en 1909 [1], dos años despu és de que Einstein bas ándose en la 

Born

igualdad entre masa inercial y gravitatoria postulara el Principio de Equivalencia, constituye lo que posteriormente se denomin ó la  “Paradoja de Born”.  

ECUACIONES DE  MAXWELL

  

(Movimiento hiperbólico se denomina al que realiza una partícula sometida a una fuerza constante, cuya solución rigurosa aparece por  primera vez con la Teoría Especial de Relatividad)

Su trabajo, basado en el modelo del electr ón rígido de Abraham, contiene una de las propuestas que mayor controversia entre  especialistas ocasion ó hasta nuestros d ías, principalmente porque se relaciona con la Teor ía General de Relatividad.  La cantidad de art ículos vinculados que se han publicado a favor o en contra de su validez en aproximadamente un siglo es  abrumadora, lo que muestra su trascendencia en temas fundamentales y también que su proposición es muy cuestionable [2] [3]  [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15].  La paradoja describe un extra ño comportamiento inesperado del electrón acelerado por una fuerza constante, ya que de  acuerdo con la teoría establecida hasta ese momento toda carga acelerada emite radiaci ón.  En efecto, en un sistema inercial las ecuaciones de Maxwell permiten determinar el campo electromagn ético en cualquier punto  del espacio utilizando los potenciales retardados, como así también la potencia total radiada, lo que se resume en la ley  relativista de Liénard (1898):     

  Siendo 

 , y 

 el factor de Lorentz ( 

 )

En el caso unidimensional (fuerza colineal con la velocidad) el producto vectorial es nulo, quedando una expresi ón más simple de  analizar:  

Esta ley es relativista rigurosa y contradice la conjetura de Born.  La radiación ocurrirá cualquiera sea la aceleraci ón existente no nula.  La propuesta tampoco tiene suficiente respaldo te órico pues se basa en un modelo del electrón no puntual pero utilizando  resultados obtenidos para cargas puntuales.  Es bien sabido que la radiación de un electrón o de cualquier otra part ícula elemental con carga no puede ser tratada  rigurosamente sin conocerse su estructura espacial y la distribución de su carga, conocimientos que actualmente no disponemos  [16].  El tema fue tratado anteriormente por Abraham [17], Lorentz [18], Laue [19] y Poincar é [20], entre otros, quedando claro que  sin un modelo adecuado del electr ón [16] no es posible determinar la forma funcional de su campo asociado cuando el electrón  est á acelerado. Todos estos modelos han sido grandes contribuciones para entender el comportamiento real, pero en todos los  casos no llegaron a expresiones rigurosas sino a descripciones aproximadas. Por otro lado, as í como considerar que un electrón es “puntual ” conduce a resultados f ísicos inaceptables (por ejemplo, energ ía y  masa en reposo infinitas), el modelo r ígido de Max Born resulta inconsistente con la relatividad especial [21]. Poincaré propuso un muy interesante modelo de electrón deformable, dinámicamente estable por medio de fuerzas de ligadura  (tensiones de Poincaré) de naturaleza no electromagn ética, el cual fuera abandonado con la aparici ón de la mecánica cuántica  ante la evidencia de que la física clásica no resulta estrictamente aplicable [16].  No obstante, su an álisis cualitativo (en un sistema inercial) permitió comprender que la estructura de una carga acelerada es  variable en el tiempo, por lo cual su geometría y su distribución de carga también son funciones dependientes del tiempo.  En consecuencia y hasta tanto no tengamos un modelo consistente del electrón y las partículas elementales, ningún desarrollo  actual puede describir con rigor matemático la radiación de un electrón acelerado.  Por tal motivo sostener o rechazar la Paradoja de Born o el Principio de Equivalencia de Einstein con argumentos que requieren  la forma funcional del campo de una carga acelerada no es aceptable, simplemente porque no sabemos con certeza cómo es su  campo cuando est á acelerada.  En este sentido, llama la atenci ón la subsistencia de artículos científicos que obtienen conclusiones utilizando estos falsos  razonamientos en uno u otro sentido, como el muy citado trabajo de Boulware [22], sobre que el observador (comóvil) con la 

variable en el tiempo, por lo cual su geometría y su distribución de carga también son funciones dependientes del tiempo.  En consecuencia y hasta tanto no tengamos un modelo consistente del electrón y las partículas elementales, ningún desarrollo  actual puede describir con rigor matemático la radiación de un electrón acelerado.  Por tal motivo sostener o rechazar la Paradoja de Born o el Principio de Equivalencia de Einstein con argumentos que requieren  la forma funcional del campo de una carga acelerada no es aceptable, simplemente porque no sabemos con certeza cómo es su  campo cuando est á acelerada.  En este sentido, llama la atenci ón la subsistencia de artículos científicos que obtienen conclusiones utilizando estos falsos  razonamientos en uno u otro sentido, como el muy citado trabajo de Boulware [22], sobre que el observador (comóvil) con la  carga no detecta radiaci ón, y el de Parrott [23], que lo discute mostrando lo contrario.  Esos art ículos pueden ser considerados muy importantes contribuciones para describir o entender el comportamiento de manera  aproximada, pero no deber ían ser usados como pruebas de validez de nada. Cabe preguntarse entonces con qu é argumentos Born propone un comportamiento como el descrito. La respuesta, si bien es  una suposici ón, es que ello se deber ía a una curiosa conjunción de aportes te óricos importantes ocurridos entre 1903 y 1908, y  un sutil pero grave error sobre el tipo de movimiento que realiza un cuerpo en ca ída libre, inducido por el enfoque geométrico de  la Relatividad Especial de Minkowski, hechos que mencionaremos en orden cronol ógico. 1.

Un modelo del electrón (rígido) de Abraham (1903) [17] [24] y otro (deformable) de Lorentz (1904) [18], ambos no  relativistas y válidos en sistemas inerciales, condujeron a una relaci ón aproximada de la fuerza de frenado (reacción de  radiación), reconocida como la Ley de Abraham­Lorentz, que aparece cuando una carga puntual acelerada irradia. Su  expresión matemática es:    

Claramente se obtiene una fuerza de frenado nula cuando la aceleraci ón es constante. Además de que la deducci ón de la ley de Abraham­Lorentz es para una carga puntual, y por lo tanto inv álida para el caso  real que nos interesa, varios estudios posteriores mostraron que presenta serias inconsistencias [16] [28] y su aplicaci ón  es limitada.     Algunos notables autores [1] [25] [26] [27] han sostenido que la fuerza de frenado es nula porque la aceleración propia de  la carga es constante en este tipo de movimiento, expresando la ley de manera covariante en el espacio de Minkowski. Sin  entrar a discutir la validez de la dudosa ley y de su aplicaci ón e interpretación covariante, corresponde se ñalar que para un  observador inercial  único se debe considerar la aceleración referida a dicho observador inercial y no la (propia) referida a los  infinitos observadores inerciales comóviles instant áneos.  En consecuencia, la aceleración no es constante y esta ley bien usada tambi én predice que hay fuerza de frenado para una  carga en movimiento hiperbólico.  2.

En 1905 aparece la Teor ía de Relatividad Especial cuyo fundamento teórico son las ecuaciones de Maxwell, que son  relativistas de nacimiento. Queda bien establecida la electrodinámica de los cuerpos en movimiento y c ómo se transforman  los campos para observadores inerciales diferentes (relatividad de los campos).  Varios trabajos usan la relatividad del campo electromagn ético para demostrar que la radiación de una carga puntual  acelerada en un sistema inercial no es detectada por un observador comóvil con la carga, conclusión que no corresponde al  fenómeno para una carga real (no puntual), por lo cual no es relevante en nuestro caso si tal conclusión es cierta o no. Es importante agregar que dicha postura también desconoce la causalidad del proceso de radiaci ón. La Relatividad Especial  permite demostrar fácilmente que si una onda electromagn ética existe en un dado sistema inercial, ella existe para todo  otro sistema inercial, lo que permite asegurar que si un observador detecta radiaci ón, ella será detectada por cualquier otro  observador inercial, lo que es equivalente a decir que el fenómeno de radiación es absoluto. Asimismo, toda radiación causal cumple con las condiciones de Paley­Wiener [29] y es expresable por una integral de Fourier  sobre infinitas ondas electromagnéticas, cuya existencia individual es absoluta.  Este aspecto ser á desarrollado más en detalle en este trabajo como argumento para discutir la validez de la Paradoja de  Born. En el enfoque de la Relatividad Especial las interacciones son consideradas procesos causales independientes del  observador, y por ello no pueden ser eliminadas mediante la elecci ón de un sistema de referencia particular.  De acuerdo con la mecánica clásica relativista todo cuerpo acelerado en un sistema inercial est á sometido a una interacci ón  causal, que en este marco te órico se describe mediante fuerzas aplicadas, provoc ándole aceleraci ón y también cambios  propios a cualquier sistema f ísico con estructura no puntual y acelerado. Estos efectos pueden ser relativos al observador, incluso anularse alguno de ellos, tal como la aceleraci ón del cuerpo para  un observador comóvil con él, pero no la totalidad de los mismos pues un fen ómeno causal no puede desaparecer. Ello  permite asegurar que en rigor no es aceptable la creencia, a la que muchos adhieren, que en un sistema de referencia  comóvil con una carga acelerada su campo ser á similar a cuando ella está en reposo y libre de acciones externas.  Por supuesto, esta visi ón de la aceleración como efecto de un proceso causal entra en conflicto con la Teor ía General de  Relatividad cuando la causa de la aceleraci ón es un campo gravitatorio. Para quienes consideran la Teoría General con  validez universal las interacciones gravitatorias no existen, y ello limita seriamente a la Teor ía Especial, ya que si un cuerpo  se acelerara sin causa ello violaría el Principio de Inercia, o sea que la presencia de gravedad impediría la existencia de  sistemas inerciales y la Teoría Especial dejar ía de ser aplicable. Por otro lado, quienes creen que la Teoría Especial tiene alcance general, imponen la existencia del campo gravitatorio y sus  interacciones, con lo cual la Teor ía General es tan s ólo un modelo matemático aproximado para describir la gravitación, pero  sin tener incidencia en las propiedades del espacio y el tiempo.

3.

El Principio de Equivalencia, que Einstein calific ó como la idea más feliz de toda su vida, se publica en 1907 y se basa en la  aparente igualdad entre masa inercial y masa gravitatoria de un cuerpo. Por ello propuso que un campo gravitatorio  uniforme pueda ser reemplazado por un sistema de referencia acelerado, propuesta descrita de forma simple en su famosa  experiencia pensada del ascensor, punto de partida de la Teor ía General de Relatividad.  Reemplazar una fuerza (gravitatoria) por otra (inercial) no era algo nuevo y se lo usaba cotidianamente, por ejemplo en la  resolución teórica de sistemas que rotan, mediante un cambio de sistema de referencia inercial a uno rotante no inercial. Lo audaz y revolucionario fue que tambi én postul ó que para un observador en ca ída libre se cumplen todas las leyes de la  física de igual manera que en un sistema inercial galileano, es decir que también es inercial.  Resumiendo, para Einstein un observador no puede discernir mediante experimentos de ning ún tipo si est á en reposo en un  sistema inercial galileano libre de gravedad o est á cayendo en un campo gravitatorio uniforme. En consecuencia, una carga y una part ícula neutra deben caer de igual manera en un campo gravitatorio uniforme en un  sistema galileano, condición que s ólo se cumpliría si la carga no irradia en su ca ída, ya que si existiera radiación habría  fuerza de frenado y podr íamos distinguir si estamos en presencia de un campo gravitatorio.  Por otro lado y en contradicci ón con lo anterior, la teoría electromagn ética predice que toda carga acelerada emite ondas 

física de igual manera que en un sistema inercial galileano, es decir que también es inercial.  Resumiendo, para Einstein un observador no puede discernir mediante experimentos de ning ún tipo si est á en reposo en un  sistema inercial galileano libre de gravedad o est á cayendo en un campo gravitatorio uniforme. En consecuencia, una carga y una part ícula neutra deben caer de igual manera en un campo gravitatorio uniforme en un  sistema galileano, condición que s ólo se cumpliría si la carga no irradia en su ca ída, ya que si existiera radiación habría  fuerza de frenado y podr íamos distinguir si estamos en presencia de un campo gravitatorio.  Por otro lado y en contradicci ón con lo anterior, la teoría electromagn ética predice que toda carga acelerada emite ondas  electromagnéticas, cualquiera sea la causa de la aceleración y cualquiera sea la estructura de la carga y su distribuci ón,  pues las ecuaciones de Maxwell son lineales y admiten la superposici ón.  Esta incompatibilidad entre el Principio de Equivalencia y el Electromagnetismo crea una situaci ón crítica, ya que la validez  estricta de la teoría de Maxwell es esencial para la Teoría Especial de Relatividad y el cumplimiento del Principio de  Equivalencia es indispensable para la Teor ía General. En mi opinión la causa más básica de esta incompatibilidad est á en la interpretaci ón del fenómeno de gravedad. Asumir que  el campo gravitatorio puede ser anulado con un sistema de referencia acelerado es rechazar la existencia del campo  gravitatorio como ente f ísico real. De esta manera desaparecen las fuerzas gravitatorias y sus posibles interacciones, en  clara contradicción con la Teoría Especial de Relatividad y con la Teor ía de la Mecánica Clásica, que en un sistema inercial  aceptan como única causa de aceleraci ón a las interacciones causales (fuerzas).  De acuerdo con el notable físico ruso A. Logunov, en el marco de la Teoría Especial de Relatividad la gravitación debe ser  considerada un campo f ísico real [30]. 4.

La formulación de Minkowski de la Relatividad Especial [31], aparecida en 1907, es el modelo matem ático más adecuado  para la Teor ía Especial descrita en un espacio de Riemann de cuatro dimensiones y, sin duda, su aparici ón facilitó el  desarrollo de toda la f ísica relativista. Sin embargo, una mala aplicaci ón e interpretación elaborada con ella condujo a una conclusión errónea que no se ajusta al  comportamiento real observado, que influyó en muchos especialistas.  Me refiero explícitamente a la falsa conclusión de que la masa propia es un invariante, aseveraci ón que s ólo vale si la  variación de energ ía de un sistema f ísico masivo se debe únicamente a cambios de su cantidad de movimiento, hecho que ni  siquiera con las part ículas elementales sabemos que ocurra con certeza. Bastaría recordar que cualquier sistema f ísico macroscópico tiene una masa propia dependiente de la temperatura o que la  masa propia de un átomo excitado es mayor que la que tiene en estado fundamental, para concluir que la masa propia no  es en general un invariante. Este error conceptual inicial, a ún no erradicado del todo, tuvo efectos secundarios en los distintos intentos fallidos (Einstein,  Weyl, Nordstr öm, Mie) para elaborar una teor ía de campos para la gravitaci ón consistente con la Relatividad Especial, al  considerar que la masa propia era el sumidero del campo, y no la masa relativista, como hoy sabemos que corresponde.  Einstein en su propuesta plante ó, para el caso estacionario de una masa “sumidero” única, la ecuación de Poisson usando la  masa propia [32]. Con ese criterio la fuerza provocada por un campo gravitatorio uniforme es constante y el movimiento resultante para ca ída  libre es el llamado hiperbólico, movimiento que no corresponde al caso real. 

5.

En 1908 Minkowski, al año de publicar su formulación geométrica de la Relatividad Especial, realizó el estudio de un  movimiento simple denominado “hiperbólico” [33], el cual tiene una característica distintiva respecto de cualquier otro  movimiento, todo objeto que lo cumpla posee aceleración propia constante.  Aunque resulte trivial aclaremos que la aceleración propia de un cuerpo es la que mide un observador  inercial que est á en  reposo relativo instantáneo con el cuerpo.  Esta magnitud no suele ser usada en la Mecánica Clásica ni tiene relevancia pues su valor en cada instante corresponde a  distintos sistemas inerciales. Un observador com óvil con el cuerpo en caída libre mide aceleración nula. El movimiento hiperbólico puede definirse como aquel que realiza un cuerpo sometido a una fuerza constante, cuya solución  rigurosa aparece por primera vez con la Teor ía Especial de Relatividad, sin que ello presente resultados extraños. En consecuencia, si en un sistema inercial se asume (incorrectamente) que el campo gravitatorio act úa sobre la masa propia  [1] [34], la fuerza sobre una part ícula en caída libre resulta constante, resultando un movimiento hiperb ólico.  Es muy simple demostrar que la ca ída libre en un campo uniforme no sigue el movimiento hiperb ólico si se tiene en cuenta  que la masa gravitatoria corresponde a la  masa relativista, por lo cual la acción gravitatoria sobre la partícula resulta una  fuerza variable con la velocidad, la aceleración propia no es constante y el movimiento no puede ser el hiperb ólico.  La creencia generalizada de que la ca ída libre en un campo gravitatorio uniforme era con movimiento hiperbólico tuvo gran  incidencia en el desarrollo te órico posterior. Este error hist órico, que aún continúa para muchos especialistas, en mi conocimiento nunca fue publicado, ni discutido ni  tratado en la abundante bibliograf ía espec ífica, por lo cual sigue instalado en general.  Al respecto, como simple ejemplo demostrativo, se transcribe un p árrafo del muy famoso y citado art ículo de T. Fulton y F.  Rohrlich [6] publicado en Annals of Physics en 1960, “Classical Radiation from a Uniformly Accelerated Charge”, donde resalto  en negrita el error aludido. “A particle is said to be in uniformly accelerated motion when it experiences constant acceleration [a'" = (0,a'), a' = const.] in its  instantaneous rest system S'[v'" = (1,0,0,0)]. Such motion can be produced by a constant, homogeneous gravitational  field or, when the particle is charged, by a constant, homogeneous electric field.”  

En el presente trabajo mostraremos, en el marco de la Relatividad Especial, aspectos particulares del movimiento hiperbólico, del  movimiento de caída libre en un campo uniforme, y de la causalidad de la radiación de una carga acelerada. Con el objeto de permitir un análisis más simple consideraremos el caso en que el campo gravitatorio uniforme es colineal con la  velocidad (movimiento unidimensional) y con el mismo sentido.

Aspectos del movimiento hiperbólico relativista Este tipo de movimiento simple ocurre cuando la fuerza aplicada es constante, y su denominación se debe a que la ecuaci ón  horaria correspondiente es la ecuaci ón de una hip érbola [35]. La expresi ón general rigurosa de la aceleraci ón de una part ícula es [35]:     

Siendo m la masa relativista y v la velocidad de la part ícula.

        (1)

Este tipo de movimiento simple ocurre cuando la fuerza aplicada es constante, y su denominación se debe a que la ecuaci ón  horaria correspondiente es la ecuaci ón de una hip érbola [35]. La expresi ón general rigurosa de la aceleraci ón de una part ícula es [35]:     

        (1)

Siendo m la masa relativista y v la velocidad de la part ícula. Siguiendo la nomenclatura clásica [35], llamaremos F = m 0 g  a la fuerza constante, pero haciendo la aclaraci ón que ello es  incorrecto si se refiere a una fuerza de origen gravitatorio, lo que sin duda genera confusi ón. En nuestro caso unidimensional de la (1) f ácilmente obtenemos     

        (2)

La aceleración que le mide un observador inercial disminuye con la velocidad, tal como debe suceder para que la part ícula no  supere la velocidad de la luz. N ótese que la aceleración para un observador inercial no es constante. Para hallar la  aceleración propia basta con aplicar la transformaci ón de la aceleración (Lorentz) en el sistema en el que la partícula  est é en reposo ( v=V), obteniendo    

         (3)

El resultado (3) muestra que la aceleración propia es constante e independiente del sistema inercial instantáneo que corresponda,  vale lo mismo para todo observador inercial, siendo una caracter ística que s ólo cumple el movimiento hiperbólico. Aclaremos un error común que figura en alguna bibliografía, donde se indica que esta aceleraci ón propia es la que “siente” un  observador com óvil con la partícula. En caída libre la partícula y el observador comóvil no “sienten” aceleración alguna (de  arrastre). Si hubiéramos sido cuidadosos la fuerza constante habría sido designada  F0.  En ese caso la aceleración propia ser ía:     

        (4)

No resulta extraño que se haya considerado que este tipo de movimiento correspond ía al de caída libre, pues es el único en el  que la aceleración propia es constante e id éntica para todo observador inercial. Más aún, el sentido común nos indicaría que  cualquier observador inercial que calcule la aceleración propia de un objeto en ca ída libre en un campo uniforme g obtendr ía  siempre la misma aceleración propia, lo cual mostraremos que no es correcto.

Aspectos de la caída libre relativista Nos interesa establecer algunos aspectos din ámicos de la caída libre en un campo  g constante, correspondientes a dos sistemas  inerciales SI y SI P , siendo SI P  el sistema propio instantáneo.   La fuerza aplicada es  F = m g, siendo m la masa relativista. Partiendo de la (1) obtenemos, para el problema unidimensional visto desde SI,     

        (5)

La aceleración que ocasiona el campo gravitatorio  g constante en el sistema SI es una función monótona decreciente con la  velocidad de la part ícula y, por supuesto, con el tiempo. La aceleraci ón es máxima y vale g sólo en el instante en que la part ícula  est á en reposo respecto del observador. La aceleraci ón tiende a cero cuando la velocidad de la part ícula tiende a la de la luz (c). Procediendo de igual manera que en (3) obtenemos la aceleración propia en SI P :     

         (6)

Siendo V=v la velocidad relativa entre SI y SI P .  Este resultado, muchas veces ignorado, es muy importante pues nos demuestra que en ca ída libre en un campo uniforme la  aceleración propia no es constante en el tiempo, pues la velocidad relativa entre SI y SI P  cambia continuamente.   Para un mismo observador inercial la aceleraci ón propia de la partícula aumenta con la velocidad que ella tiene respecto del  observador, tal como debe suceder para una part ícula en movimiento en un campo gravitatorio constante debido a la relatividad  del campo gravitatorio. Analicemos como se modifica el campo gravitatorio para un observador inercial que esté en reposo instant áneo con el cuerpo  (sistema primado). En dicho sistema la masa es la propia. Para su c álculo usamos las transformaciones de Lorentz, que en  nuestro caso unidimensional (seg ún el eje x) resulta muy simple.  

 

         (7)

­ El campo gravitatorio no es absoluto, es relativo al sistema de referencia y su valor es distinto para observadores  inerciales en movimiento relativo.

Analicemos como se modifica el campo gravitatorio para un observador inercial que esté en reposo instant áneo con el cuerpo  (sistema primado). En dicho sistema la masa es la propia. Para su c álculo usamos las transformaciones de Lorentz, que en  nuestro caso unidimensional (seg ún el eje x) resulta muy simple.  

 

         (7)

­ El campo gravitatorio no es absoluto, es relativo al sistema de referencia y su valor es distinto para observadores  inerciales en movimiento relativo. La partícula tiene una aceleración propia idéntica al campo gravitatorio  relativo en su sistema de referencia instantáneo SI P , que  resulta distinto para cada observador, como corresponde, siendo  v la velocidad de la part ícula en el sistema SI y también la  velocidad relativa entre los sistemas inerciales SI y SI P .   La solución completa de la caída libre puede verse en: http://www.fisica­relatividad.com.ar/temas­especiales/caida ­libre  Nótese que la ca ída libre en un campo gravitatorio uniforme converge al movimiento hiperbólico para v << c. La caída libre de una part ícula en un campo gravitatorio g constante se caracteriza por tener una aceleraci ón monótona  decreciente con la velocidad y una aceleración propia monótona creciente. Nunca la aceleraci ón de la partícula (común y propia)  resulta constante, hecho que invalida todos los innumerables artículos publicados que usan la ley de Abraham ­Lorentz para  proclamar que una carga no irradia en ca ída libre.   En general y para cualquier campo gravitatorio, considerar que la aceleraci ón propia de una part ícula en caída libre es g, sólo es  válido para bajas velocidades, debido a que en ese caso la masa relativista tiende a la masa propia.

Causalidad de la radiación de una carga acelerada Ya hemos nombrado que varios autores aducen que si bien es cierto que la radiaci ón se detecta en todo sistema inercial, no  sucede as í en un sistema acelerado com óvil con la carga. Corresponde se ñalar una propiedad fundamental de la Potencia, relacionada con el Principio de Causalidad. Si la Potencia de un  sistema físico cualquiera es distinta de cero estamos en presencia de un proceso causal.  La emisión de radiación por un electrón acelerado implica pérdida de energ ía de la carga que irradia, proceso que no es casual  sino causal, ya que sucede cuando la carga es acelerada por una fuerza externa. Ello nos permite identificar a la interacción  carga­campo (externo) como la causa del fen ómeno de radiación. Por otro lado, la Relatividad Especial y el Principio de Causalidad consideran que los fen ómenos causales son absolutos y no  pueden ser evitados mediante la elecci ón particular de algún sistema de referencia, inercial o no inercial.  Recordemos, adem ás, que la radiación electromagnética posee y transporta energ ía y cantidad de movimiento, aún en ausencia  de materia, es decir que la radiación de una carga acelerada, a partir de su emisi ón, tiene existencia independiente de la carga  (ver el capítulo “Ecuaciones de Maxwell”).   Pretender que un observador no inercial com óvil con la carga no detecte su radiaci ón es equivalente a negar la causalidad del  fenómeno, condición que no soporta argumento alguno. Durante una interacción aparecen fuerzas aplicadas en la carga no puntual, por lo cual debe sufrir modificaciones geom étricas y  dinámicas que alteran su contenido de energía total y también su masa propia.  La explicación de ello es que los procesos causales tienen un inicio y, dado que las fuerzas aplicadas no se transmiten a  velocidad infinita a todos los puntos del sistema, aparecer án tensiones que alteran el sistema modificando su geometría y masa  propia. Lo importante, desde un punto de vista teórico, no es el valor de la modificación de la masa propia, que puede ser muy peque ña  o incluso despreciable, sino la existencia de ella.  Dado que la masa propia de un sistema f ísico no puntual necesariamente debe modificarse durante una interacci ón, se concluye  que todo observador com óvil podría medir potencia no nula de una carga acelerada, al menos en algún instante del proceso, y  su valor depender á de la variación temporal instantánea de la masa propia del sistema (ver el cap ítulo “Masa Propia y Potencia”).  Por el Principio de conservación de la energ ía sabemos que la Potencia instant ánea en nuestro caso se debe s ólo a dos  contribuciones de distinto signo, la potencia radiada por la carga y la potencia entregada por el campo gravitatorio. Que la potencia total est é integrada por dos componentes se debe a que la interacci ón carga­campo involucra a dos procesos  independientes, uno mec ánico relacionado con la masa y otro electromagnético relacionado con la carga, ambos causales. Una verificación experimental de ambos procesos lo brinda el ciclotrón, en el cual hay radiaci ón de frenado durante toda la  trayectoria curva en cada ciclo a pesar de que solamente hay trabajo mec ánico en dos peque ños arcos de la misma.  Otro caso interesante lo ofrece el movimiento de una carga en un plano transversal a un campo magn ético constante, cuya  fuerza es normal a la velocidad por lo cual la potencia entregada por el campo externo es nula. La trayectoria de la carga es una  espiral en el caso relativista, con pérdida continua de su energ ía cinética por emisión continua de radiaci ón, como claramente  puede observarse en la imagen registrada para un electr ón en la figura 1.    

espiral en el caso relativista, con pérdida continua de su energ ía cinética por emisión continua de radiaci ón, como claramente  puede observarse en la imagen registrada para un electr ón en la figura 1.    

Fig. 1 – Electrón relativista en un campo magnético transversal constante  

La potencia total del sistema en este caso s ólo se debe a la radiaci ón que consume la energ ía cinética de la carga pues el campo  magnético externo no realiza trabajo mec ánico. Una interesante y rigurosa demostraci ón de que la radiaci ón es absoluta también en el espacio curvo (sistemas no inerciales),  fue publicada por el físico croata H. Nicolic [28]. Que la potencia sea una magnitud absoluta tiene otras implicancias importantes, ya que si esta magnitud es distinta de cero  entonces el vector de Poynting no es nulo al menos en alguna regi ón no estacionaria del espacio, contigua a la carga acelerada  [16], por lo cual existe campo magnético no nulo para todo observador, incluido el com óvil con la carga.  En definitiva, el Principio de Causalidad nos garantiza que si hay radiaci ón de campo electromagn ético existirá vector de Poynting  no nulo en todo sistema de referencia, lo que invalida la creencia de que la radiaci ón y su campo magnético pueden ser anulados  eligiendo un sistema comóvil con la carga acelerada.

Discusión y conclusiones El comportamiento de una carga acelerada por un campo gravitatorio uniforme ha sido tratado brevemente con un enfoque  clásico mediante la Teoría Electromagnética, la Teoría de Relatividad Especial y el Principio de Causalidad.  De acuerdo con ello se ha mostrado que un error histórico sobre el movimiento en caída libre condujo a muchas conclusiones  falsas, en particular sobre el controvertido tema de si existe o no radiaci ón de una carga en ca ída libre.  Considerando el movimiento correcto de un cuerpo en ca ída libre no hay controversia posible, pues aún aplicando la dudosa ley  de Abraham ­Lorentz, sea con la aceleraci ón respecto de un observador inercial o con la aceleración propia, resulta una fuerza de  frenado no nula, lo que s ólo es posible si hay radiaci ón.  Sin duda este resultado tiene incidencia directa sobre el Principio de Equivalencia y la Teoría General de Relatividad, cuyas  condiciones de validez deben ser revisadas. Las conclusiones principales de este trabajo son: 1.

La Paradoja de Born no es v álida.  Más correcto ser ía decir que no existe paradoja pues su formulaci ón no es consistente con el conocimiento establecido y  aceptado, ya sea la Electrodinámica, la Relatividad Especial o el Principio de Causalidad.  Un electrón acelerado en un sistema inercial emite radiación cualquiera sea la causa que la provoque y tipo de movimiento  que realice, de acuerdo con las ecuaciones de Maxwell.  El fenómeno de radiación es causal y por ello ocurre para todo observador, inercial y no inercial, inclusive para aquel que  est é en reposo respecto de la carga.

2.

El Principio de Equivalencia no es v álido. Una carga en caída libre irradia ondas electromagn éticas y ello permitiría formalmente distinguir si se está en presencia de  un campo gravitatorio o no Hay una incompatibilidad insalvable entre este Principio y el Electromagnetismo, la Relatividad Especial y el Principio de  Causalidad, debido a que el Principio rechaza la existencia de las interacciones part ícula­campo gravitatorio. 

3.

La Teoría General de Relatividad deja de tener validez universal y sus limitaciones deben ser analizadas cuidadosamente.  En este sentido todo parece indicar que puede ser considerada correcta para bajas velocidades. ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ 

Referencias [1] M. Born ­ The theory of the rigid electron in the kinematic of the relativity principle. Traducción de: Die Theorie des starren  Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips, Annalen der Physik, 1909, Bd 30, S 1. http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/born_ap_30_1_09.pdf   [2] D. Drukey ­ Radiation from a Uniformly Accelerated Charge, Phys. Rev. 76, 543­544 (1949).  http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/drukey_pr_76_543_49.pdf  [3] W. Thirring ­ Principles of Quantum Electrodynamics (Academic Press, New York, 1958), Cap. 2.  [4] H. Bondi; T. Gold ­ The field of a uniformly accelerated charge, with special reference to the problem of gravitational acceleration,  Proc. Roy. Soc. (London) 229A, 416­424 (1955). http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/bondi_prsla_229_416_55.pdf   [5] B. DeWitt and R. Brehme ­ Radiation Damping in a Gravitational Field, Ann. Phys. 9, 220­259 (1960).  http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/dewitt_ap_9_220_60.pdf   [6] T. Fulton; F. Rohrlich ­ Classical Radiation from a Uniformly Accelerated Charge, Ann. Phys. 9, 499­517 (1960).  http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/fulton_ap_9_499_60.pdf   [7] F. Rohrlich ­ The Equations of Motions of Classical Charges, Ann. Phys. 13, 93­109 (1961).  http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/rohrlich_ap_13_93_61.pdf 

http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/bondi_prsla_229_416_55.pdf   [5] B. DeWitt and R. Brehme ­ Radiation Damping in a Gravitational Field, Ann. Phys. 9, 220­259 (1960).  http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/dewitt_ap_9_220_60.pdf   [6] T. Fulton; F. Rohrlich ­ Classical Radiation from a Uniformly Accelerated Charge, Ann. Phys. 9, 499­517 (1960).  http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/fulton_ap_9_499_60.pdf   [7] F. Rohrlich ­ The Equations of Motions of Classical Charges, Ann. Phys. 13, 93­109 (1961).  http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/rohrlich_ap_13_93_61.pdf  [8] N. Rosen ­ Field of a Particle in Uniform Motion and Uniform Acceleration, Ann. Phys. 17, 26­275 (1962).  http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/rosen_ap_17_26_62.pdf  [9] T. Bradbury ­ Radiation Damping in Classical Electrodynamics, Ann. Phys. 19, 323­347 (1962).  http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/bradbury_ap_19_323_62.pdf  [10] C. Leibovitz; A. Peres ­ Energy Balance of Uniformly Accelerated Charge, Ann. Phys. 25, 400­404 (1963).  http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/liebovitz_ap_25_400_63.pdf  [11] C. DeWitt; B. DeWitt ­ Falling Charges, Physics 1, 3­20 (1964).  http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/dewitt_physics_1_3_64.pdf   [12] F. Rohrlich ­ Classical Charged Particles (Addison­Wesley, Reading, MA, 1965).  [13] A. Nikishov; V. Ritus ­ Radiation Spectrum of an Electron Moving in a Constant Electric Field, Sov. Phys. JETP 29, 1093­1097  (1969). http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/QED/nikishov_spjetp_29_1093_69.pdf   [14] J. Herrera ­ Relativistic Motion in a Constant Field and the Schott Energy, Nuovo Cim. 70B, 12­20 (1970).  [15] S. Coleman ­ Classical Electron Theory from a Modern Standpoint, in Electromagnetism: Paths to Research, D. Teplitz, ed.  (Plenum, New York, 1982), pp. 183­210. http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/coleman_epr_183_82.pdf  [16] J. Jackson ­ Electrodinámica Clásica. Edit. Alhambra, 1966, Cap. 14/17.  [17] M. Abraham ­ Zur Theories der Strahlung and des Strahlungsdruckes, Ann. Phys. 14, 236­287 (1904).  http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/abraham_ap_14_236_04.pdf   [18] H. Lorentz ­ Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of light.  http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/lorentz_pknaw_6_809_04.pdf  [19] M. von Laue ­ Die Wellenstrahlung einer bewegten Punktladung nach dem Relativitätsprinzip, Ann. Phys. 28, 436­442 (1909).  http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/vonlaue_ap_28_436_09.pdf   [20] H. Poincaré ­ Sur la dynamique de l'electron, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 21, 129 (1906).   http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/poincare_ajp_39_1287_71.pdf  [21] F. Noether  ­ Zur Kinematik des starren Körpers in der Relativtheorie, Ann. der Physik, t. 31, 1910, p. 919­944.   [22] D. Boulware ­ Radiation from a Uniformly Accelerated Charge, ­ Annals of Physics 124, 169­188, 1980.  http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/poincare_ajp_39_1287_71.pdf  [23] S. Parrott ­ Radiation from a Uniformly Accelerated Charge and the Equivalence Principle, arXiv:gr­qc/9303025v8, 5 Oct 2001.  http://xxx.lanl.gov/PS_cache/gr ­qc/pdf/9303/9303025v8.pdf  [24] M. Abraham ­ Theorie der Electrizität.  [25] G. Nordström, Note on the circumstance that an electric charge moving in accordance with quantum conditions does not radiate ,  Proc. Roy. Acad. Amsterdam 22, 145­149, 1920. http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/nordstrom_praa_22_145_20.pdf  [26] W. Pauli ­ Relativitätstheorie, Enzyl. Math. Wiss. Vol. V, part II, no. 19, 543 ­773 (1921) ­ Theory of Relativity, Pergamon Press,  New York, 1958, pág 98. [27] Discussion of how Feynman indicated that he agreed (at one time) that a uniformly accelerated charge does not radiate.  http://www.mathpages.com/home/kmath528/kmath528.htm  [28] H. Nikolic ­ Notes on covariant quantities in noninertial frames and invariance of radiation in classical and quantum field theory,  arXiv:gr­qc/9909035v1, 10 Sep1999. http://arxiv.org/PS_cache/gr­qc/pdf/9909/9909035v1.pdf  [29] A. Papoulis ­ The Fourier integral and its applications, Mc Graw Hill, pág. 215, 1962.   [30] A. Logunov ­ The Theory of Gravity, 2002.  http://arxiv.org/PS_cache/gr­qc/pdf/0210/0210005v2.pdf  [31] H. Minkowski ­ Das Relativitätsprinzip. The Report to Mathematics Society in Göttingen of 5th November, 1907. Published in  Jahresber, Math. Ver., 1915, Bd 24, S. 372; Annalen der Physik, 1915, Bd 47, S. 927. [32] A. Einstein ­ Mein Weltbild, 1934.  [33] H. Minkowski ­ Die Grundgleichungen für Elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern, Gött. Nachr., 1908, S. 53; Math.  Ann., 1910, v. 68, p. 472 ­ Raum und Zeit, The Report, Read to Naturalists' Society in Kologne, 1908, Phys. Ztschr., 1909, Bd 10, S.  104. [34] A. Sommerfeld ­ Zur Relativitätstheorie. II. Vierdimensionale Vektoranalysis, Oktober 1910; Annalen der Physik, Bd. 33, 1910,  S. 649­689 [35] C. Möller ­ The Theory of Relativity, Oxford, 1952, cap. III, pág. 75.    add comment

 

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