Relatividad

´ DE LA RELATIVIDAD TEORIA

Emilio Santos Corchero

Departamento de F´ısica Moderna Universidad de Cantabria

ÍNDICE

´ Indice 1. ANTECEDENTES 1.1. Principio de relatividad de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.2. Fuerzas de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.3. Experimento de Michelson–Morley (1887) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. LA RELATIVIDAD ESPECIAL

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2.1. Principio de relatividad de Einstein (1905) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.2. Las transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.3. Contracción de longitudes y dilatación del tiempo . . . . . . . . . . . . . . .

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2.4. Transformación de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.5. Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.6. Dinámica relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.7. Masa y energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. ESPACIO-TIEMPO

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3.1. Espacio de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.2. Paradoja de los gemelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.3. Cuadrivectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.4. Pasado, presente y futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4. RELATIVIDAD GENERAL

3

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4.1. Movimiento en un campo gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.2. Cosmolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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E. Santos. Departamento de F´ısica Moderna. Universidad de Cantabria.

1. ANTECEDENTES La idea esencial de la teor´ıa de la Relatividad es que el movimiento es una relación entre varios cuerpos y no una propiedad de un solo cuerpo. Según esto, dos cuerpos se mueven uno respecto al otro si su distancia mutua var´ıa, pero no tiene sentido preguntar si un cuerpo aislado se mueve o no. Por eso se dice que el movimiento es relativo y de ah´ı el nombre de la teor´ıa.

1.1. Principio de relatividad de Galileo Las leyes de la mecánica tienen la misma forma en todos los sistemas inerciales (que se mueven con velocidad constante unos respecto a otros). En la práctica esto implica, por ejemplo, que si dejamos caer una gota de agua desde el techo del coche y señalamos el punto en el que cae, cuando repitamos la experiencia con el coche en marcha uniforme por una carretera recta y horizontal, la gota caerá en el mismo punto. Una consecuencia de este hecho es que, dentro de un sistema (como un coche sin ventanas al exterior), no es posible averiguar si está quieto o se mueve con velocidad constante. Para formalizar (darle forma matemática) al principio, vamos a considerar dos part´ıculas que forman un sistema aislado, de modo que las ecuaciones del movimiento son: m1

d 2 r1 = F1 (r1 −r2 ), d t2

m2

d 2 r2 = F2 (r2 −r1 ) . d t2

(1)

En un sistema de coordenadas que se mueva respecto al primero con velocidad constante v, las nuevas coordenadas serán r′ 1 = r1 − vt,

r′ 2 = r2 − vt .

(2)

Al llevar estas expresiones a las ecuaciones (1) es fácil ver que se obtienen otras con la misma forma, excepto que ahora escribimos r′1 y r′2 en vez de r1 y r2 . Se dice que las ecuaciones del movimiento (1) son invariantes frente a las transformaciones de Galileo (2). Se puede comprobar fácilmente que las ecuaciones del movimiento (1) son también invariantes frente a traslaciones espaciales, expresadas por r′ 1 = r1 − d,

r′ 2 = r2 − d ,

(3)

siendo d el vector de traslación. También son invariantes al cambio del instante en que se toma el origen de tiempos, es decir al paso de la variable temporal t a la t′ = t − T , lo que suele llamarse traslación temporal. Finalmente, con hipótesis naturales (que no especificaremos aqu´ı) acerca del las fuerzas Fj que intervienen en 1, las ecuaciones son invariantes frente a rotaciones. Una propiedad importante es que el conjunto de todas las transformaciones que dejan invariantes las ecuaciones (1) forman un grupo, en el sentido matemático, que se llama grupo de 5


1.2 Fuerzas de inercia

simetr´ıa de las ecuaciones. El producto de dos transformaciones se define como la realización sucesiva de ambas. El elemento neutro del grupo es la identidad (es decir r′1 = r1 y r′2 = r2 ) y el elemento inverso de uno dado es la transformación que deshace el cambio hecho, por ejemplo la inversa de (3) es r′ 1 = r1 + d,

r′ 2 = r2 + d .

El grupo de todas las transformaciones (existen infinitas) que dejan invariantes las ecuaciones (1) —todas las mencionadas hasta ahora— forman el grupo de Galileo.

1.2. Fuerzas de inercia Las ecuaciones (1) no permanecen invariantes al cambiar de un sistema de referencia a otro acelerado respecto del primero, como por ejemplo, para un caso en el que la aceleración sea constante, 1 1 (4) r ′ 1 = r1 − a t 2 , r ′ 2 = r 2 − a t 2 . 2 2 Es fácil ver que las ecuaciones (1) se transforman en m1

d 2 r′ 1 = F1 (r′ 1 −r′ 2 ) + m1 a, 2 dt

m2

d 2 r′ 2 = F2 (r′ 2 −r′ 1 ) + m2 a . 2 dt

(5)

Parece como si, en el sistema acelerado, hubieran aparecido unas fuerzas adicionales m1 a sobre la primera part´ıcula y m2 a sobre la segunda. Estas fuerzas son sólo aparentes o ficticias y se llaman fuerzas de inercia. Cuando viajamos en un coche y e´ ste toma una curva hacia la izquierda notamos como si una fuerza nos empujara hacia la derecha, fuerza que es compensada por la acción de la chapa del coche sobre nuestro lado derecho. En realidad, lo que ocurre es que la tendencia natural a seguir en l´ınea recta (principio de inercia) ha de ser vencida por la fuerza lateral del coche sobre nuestro cuerpo. En otras palabras, la fuerza lateral del coche sobre nuestro cuerpo —esa s´ı que es real— se emplea en producir una aceleración hacia la izquierda, pero no hay fuerza hacia la derecha. Una consecuencia de estos hechos es que las fuerzas de inercia nos permiten conocer si estamos en movimiento acelerado, incluso sin referencia exterior. Por ejemplo, cuando el coche va por una carretera con baches, se nota el movimiento por las aceleraciones verticales.

1.3. Experimento de Michelson–Morley (1887) A finales del siglo XIX se planteó la posibilidad de medir la velocidad absoluta de la Tierra (suma de la de rotación, la de traslación alrededor del Sol, la del Sol en la Galaxia, la de la Galaxia en conjunto. . . ). Por el principio de relatividad de Galileo se sab´ıa que esa medición no era posible con experimentos mecánicos, pero se pensó que podr´ıa hacerse con experimentos o´ pticos. Michelson y Morley realizaron en USA el siguiente experimento (véase figura).

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1.3 Experimento de Michelson–Morley (1887)

E2 Una fuente luminosa F emite luz que va a un espejo semitransparente ES (que refleja la mitad de la luz y transmite la otra mitad). La luz transmitida va a un espejo ordinario E1 situado a distancia L (camino 1) y vuelve a ES (camino 2). La luz reflejada va a otro espejo E2, también a distancia L, (camino 3) y vuelve (camino 4). La luz reflejada de 2 y la transmitida de 4 se superponen y por interferencia se puede medir con precisión la diferencia de tiempos entre t1 + t2 y t3 + t4 .

3 4 L

F

L

b

ES

1 2 E1

Lo previsto era lo siguiente. Si la Tierra se mueve con velocidad v en la dirección del camino 1, el tiempo necesario para recorrer este camino será t1 =

L , c−v

siendo c la velocidad de la luz. Análogamente, t2 =

L . c+v

El cálculo de t3 y t4 es algo más complicado. Durante el tiempo t3 el espejo E2 se habrá movido una distancia v t3 , as´ı que la distancia recorrida por la luz será p L2 + (v t3 )2 = c t3 . De aqu´ı resulta

L c2 − v 2 y el mismo valor para t4 . Se ve pues que t1 + t2 > t3 + t4 , pero en el experimento no se encontró diferencia alguna. (El experimento real era más complicado1 . La luz recorr´ıa el caminos de ES a los espejos E1 y E2 muchas veces para aumentar el efecto y se pod´ıa girar todo el aparato sobre una plataforma horizontal para compensar la posible diferencia de distancias ES–E1 y ES–E2). t3 = √

La primera explicación del resultado negativo la dio Lorentz en 1895. Postul´ r o que los v2 cuerpos materiales se acortan en la dirección del movimiento por un factor 1 − 2 , que c suele llamarse contracción de Lorentz. En realidad e´ ste no es un postulado ad hoc, sino que es una consecuencia de las ecuaciones del electromagnetismo (de Maxwell). 1

Para detalles del experimento se puede consultar el cap´ıtulo Sobre el movimiento relativo de la Tierra y el e´ ter lumin´ıfero, por A. A. Michelson y E. W. Morley. de la obra La teor´ıa de la relatividad, Albert Einstein et al. Selección de L. Pearce Williams. Alianza Editorial (AU–62) (1978).

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2. LA RELATIVIDAD ESPECIAL 2.1. Principio de relatividad de Einstein (1905) Hasta Einstein se hab´ıa supuesto que existe un espacio absoluto (se imaginaba lleno de una sustancia llamada e´ ter). Según esto tendr´ıa sentido hablar del reposo absoluto (respecto al e´ ter) y del movimiento absoluto. Lorentz no rompió con esta idea y su contracción aparec´ıa como debida al empuje del e´ ter. Einstein cambia radicalmente la filosof´ıa al suponer que no existe e´ ter, ni tiene sentido de hablar de movimiento absoluto, sino que todo movimiento es relativo (entre varios cuerpos). Se basa para ello en que todos los efectos f´ısicos dependen sólo del movimiento relativo. Por ejemplo, si un imán se mueve cerca de un solenoide, se produce en e´ ste una fuerza electromotriz que da lugar a una corriente eléctrica. Si se mueve el solenoide con el imán quieto, la fuerza magnética sobre las cargas móviles (electrones del solenoide) produce una corriente que es igual que en el caso anterior, suponiendo que la velocidad relativa es la misma. Esto lleva al principio de relatividad especial (o restringida, llamada as´ı porque se limita a movimientos uniformes): Todas las leyes de la F´ısica, (en particular las del electromagnetismo y la o´ ptica), tienen la misma forma en todos los sistemas de referencia inerciales. Esto implica que ningún experimento puede permitir medir la velocidad absoluta y explica el resultado de Michelson–Morley. En resumen: para Lorentz existe el movimiento absoluto pero una cierta conspiración de la naturaleza (la contracción de longitudes) impide observarlo. Para Einstein simplemente no existe el movimiento absoluto. Una consecuencia de este principio es que la velocidad de la luz debe de ser la misma para todos los observadores inerciales. ¡Pero esto lleva a consecuencias muy extrañas! Supongamos un tren que pasa por una estación sin pararse. Una luz se enciende en la máquina del tren cuando e´ sta cruza el principio del andén y otra luz, situada en la cola, se enciende cuando e´ sta cruza el fin del andén. Supongamos que el jefe de estación situado en el centro ve encenderse las luces al mismo tiempo y deduce: a) Las luces se han encendido simultáneamente, b) el tren tiene la misma longitud que el andén. Supongamos ahora un viajero que va en la mitad del tren. El verá encenderse antes la luz de la máquina (en la práctica la velocidad de la luz es tan grande que no podr´ıa observarse la diferencia, pero podr´ıamos plantear una situación análoga con una nave espacial muy rápida, lo que importa es la cuestión de principio). El viajero podr´ıa deducir: a) Las luces no se encienden simultáneamente, b) el tren es más largo que el andén. Estaremos tentados de decir que las afirmaciones del jefe de estación son correctas y las del viajero no porque e´ ste no ha tenido en cuenta que se está moviendo. ¡Pero según Einstein los dos sistemas de referencia son igualmente válidos! La relatividad implica que el espacio no es absoluto, pues longitudes que son iguales para un observador (el tren y la estación) no lo son para el otro. El tiempo tampoco es absoluto, pues sucesos simultáneos para un observador no lo son para otro.

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2.2 Las transformaciones de Lorentz

2.2. Las transformaciones de Lorentz Las ecuaciones del electromagnetismo y de la o´ ptica (por ejemplo, que la velocidad de la luz es la misma en todas las direcciones) no son invariantes frente a las transformaciones de Galileo, dadas por las ecuaciones (2). Einstein propuso sustituir esas leyes de transformación (2) por y y′ otras nuevas, que se llaman de Lorentz (porque Lorentz las dedujo antes, aunque con otra filosof´ıa). Para deducirlas mediante un argumento simple vamos a suponer dos sistemas de referencia ~r inerciales O y O′ , el segundo moviéndose a velocidad v en la dirección x respecto al primero. Interesa relacionar las componentes del vector de posición de un cuerpo en el sistema O(x, y, z) con ~v t O O′ las componentes en O′ (x′ , y ′ , z ′ ). (Veáse la figura).

P r~′

x, x′

Vamos a buscar transformaciones lineales de la forma: x′ = A x + C t ,

t′ = B x + D t ,

y′ = y ,

z′ = z .

(6)

Debemos exigir que r 2 = x2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2

(7)

r′2 = x′2 + y ′2 + z ′2 = c2 t′2 .

(8)

se transforme en Como x′ = 0 implica x = v t, se ve que C = −Av. Sustituyendo las ecuaciones (6) en (8) y comparando con (7) se llega a las transformaciones de Lorentz: x−vt x′ = r v2 1− 2 c y′ = y (9) z′ = z v t− 2 x . t′ = r c v2 1− 2 c Se ve que las ecuaciones (9) se transforman en las de Galileo, ecuaciones (2), cuando v ≪ c.2 Nota: Para resolver problemas es conveniente pensar siempre en términos de sucesos espacio-temporales (caracterizado cada uno por un conjunto de cuatro coordenadas x, y, z, t).

2.3. Contracción de longitudes y dilatación del tiempo Si tenemos una barra de longitud L fija en O sobre el eje x, las posiciones de sus extremos en todo instante serán x1 = 0, x2 = L. En el sistema O′ serán ciertas funciones del tiempo 2

Para simplificar esas (y otras) expresiones es habitual usar la cantidad γ dada por: γ = √

1 1−v 2 /c2

> 1, (v <

c).

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2.3 Contracción de longitudes y dilatación del tiempo

x′1 (t′ ) y x′2 (t′ ), que se obtienen aplicando las transformaciones de Lorentz (9). El resultado es r v2 x′1 = −v t′ , x′2 (t′ ) = −v t′ + L 1 − 2 . c Deberemos llamar longitud de la barra en O′ a la diferencia entre x′1 y x′2 , medidos al mismo tiempo t′ . El resultado es r v2 ′ (10) L =L 1− 2 . c Obsérvese que en O la barra está en reposo, diremos que O es un sistema propio de la barra. En cambio en O′ la barra no está en reposo. En cualquier sistema, la longitud de la barra es menor que en el sistema propio. Las longitudes se relacionan mediante la ecuación (10). A esto se llama contracción de longitudes. Consideremos ahora la vida de un a´ tomo radiactivo o la duración de cualquier otro proceso. Si es T en el sistema propio, ¿cuánto será en otro sistema O′ , que se mueve con respecto al primero con velocidad v? Para ello consideraremos los sucesos comienzo del proceso (x = 0, t = 0) o, más brevemente (0, 0) y final del proceso (0, T ). Aplicando las transformaciones de Lorentz, las coordenadas de esos sucesos en O′ serán   (0, 0)

y

 −vT  T r , r ,  2 2 v v 1− 2 1− 2 c c

El tiempo entre esos sucesos, visto en O′ será T′ = r

T v2 1− 2 c

.

(11)

En cualquier sistema, el tiempo de duración de un proceso es mayor que en el sistema propio y ambos tiempos están relacionados por la ecuación (11). A esto se llama dilatación del tiempo.

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2.4 Transformación de velocidades

2.4. Transformación de velocidades Las velocidades en el sistema O′ se obtienen dividiendo3 x′ /t′ , y ′ /t′ y z ′ /t′ : x−vt Vx − v v = Vx v t− 2 x 1− 2 c c r r 2 v v2 y 1− 2 Vy 1 − 2 c = c Vy′ = v V v x t− 2 x 1− 2 c r r c 2 v v2 z 1− 2 Vz 1 − 2 c = c . Vz′ = v V v x t− 2 x 1− 2 c c

Vx′ =

(12)

Estas ecuaciones de transformación corresponden al caso en que O′ se mueve en la dirección x. Nota: Estas ecuaciones relacionan velocidades del mismo cuerpo en distintos sistemas de referencia. En cambio se aplican las ecuaciones clásicas (derivadas de las transformaciones (2)) para relacionar velocidades de distintos cuerpos medidas en el mismo sistema.

2.5. Efecto Doppler Se refiere a cómo cambia la frecuencia o la longitud de onda de la luz cuando se observa desde un sistema de referencia distinto. El problema es más sencillo que en el sonido, porque en el efecto Doppler de la luz sólo interviene una velocidad, la del sistema O′ respecto al O, mientras que en el sonido hay que considerar también la velocidad de ambos respecto al medio (aire, por ejemplo) por el que se transmite el sonido. Consideremos la fuente emisora de luz en reposo, (Sistema O), y el observador en movimiento, (sistema O′ ), alejándose de la fuente, con velocidad v, en la misma dirección que la emisión de la luz. Sea una onda luminosa en el sistema propio y supongamos dos máximos (crestas) consecutivos en cierto instante t, en el sistema propio. (Si considerásemos otro instante, los máximos estar´ıan desplazados pero distar´ıan lo mismo: una longitud de onda propia, λo ). Ahora bien si consideramos, también en el sistema propio, el primer máximo en un instante t1 y el segundo en un instante t2 6= t1 , no distarán una λo . Consideremos los dos sucesos correspondientes a ambos máximos, M1 y M2 , sus coordenadas respectivas serán: en O, (x1 , t) y (x2 , t) y en O′ , (x′1 , t′1 ) y (x′2 , t′2 ), pues en este u´ ltimo sistema no tienen porque ser simultáneos. 3

Podemos efectuar esos cocientes directamente debido a la linealidad de la transformación de Lorentz, es x′ d x′ decir vi′ = d t′i = t′i .

11


2.6 Dinámica relativista

Las ecuaciones que tenemos son: x1 = c t, x′1 = c t′1 ,

x2 = c t + λo , x′2 = c t′2 + λ′ .

(13)

Aplicando las transformaciones de Lorentz a estas u´ ltimas, obtenemos: x1 = c t,

obvio , v γ(x2 − v t) = c γ t − 2 x2 + λ′ , c despejando λ′ de esta u´ ltima y operando, se llega a r c+v ′ λ = λo , c−v

(14)

(15)

o, en términos de frecuencias,

′

ν = νo

r

c−v . c+v

(16)

Ejemplo: ¿A qué velocidad hay que conducir para ver de color verde un semáforo rojo?. Se sabe que λverde /λrojo = 5/6. Solución: r 5 c−v = , 6 c+v que implica v = 0,18c.

2.6. Dinámica relativista Las ecuaciones de la mecánica de Newton son invariantes a las transformaciones de Galileo, pero no a las de Lorentz. Por consiguiente, si admitimos la teor´ıa de la Relatividad, es necesario cambiar la ley de Newton. Einstein propueso sustituirla por F =

dm dv d[mv] = v+m , dt dt dt

siendo m= r

mo

. v2 1− 2 c La masa mo se llama masa en reposo y m masa en movimiento. Se ve que una parte de la fuerza se emplea en cambiar la masa y otra parte en cambiar la velocidad. Para velocidades no muy grandes, m ≃ mo y la mecánica relativista coincide con la de Newton. Como primera aplicación consideremos un cuerpo que, partiendo del reposo, está sometido a una fuerza constante en la dirección x. El movimiento es unidimensional y es fácil ver que se obtienen Ft s v= 2 . Ft mo 1 + mo c 12


2.7 Masa y energ´ıa

que para tiempos muy cortos (F t ≪ mo c) coincide con la que resulta de la ley de Newton, pero nunca se alcanza la velocidad de la luz por mucho tiempo que transcurra. Como segundo ejemplo, consideremos el movimiento circular uniforme. La fuerza centr´ıpeta necesaria para mantener el movimiento es F=m porque m no cambia con el tiempo y

dv dt

dm =0 dt

(esto deriva de que d v2 dv = 2v · = 2v · a = 0, dt dt porque la aceleración centr´ıpeta es perpendicular a la velocidad). Como la aceleración centr´ıpeta es v2 a= , R (esta relación es puramente cinemática y, por tanto, válida en relatividad) resulta F =

m v2 pv = , R R

(pero no es cierto que F = mo v 2 /R).

2.7. Masa y energ´ıa La energ´ıa cinética se define en relatividad como en mecánica newtoniana, por la condición de que su cambio sea igual al trabajo de la fuerza, es decir ! mo v d p 1 − v 2 /c2 d Ec =F·v =v· . (17) dt dt No es dif´ıcil comprobar que esta relación se satisface si mo c2 Ec = r + constante . v2 1− 2 c La constante se determina por la condición de que la energ´ıa cinética sea cero si la velocidad es cero y esto conduce a mo c2 − mo c2 = (m − mo )c2 . Ec = r v2 1− 2 c 13

(18)


2.7 Masa y energ´ıa

El que la variación de la energ´ıa cinética coincida con la variación de masa por el cuadrado de la velocidad de la luz, sugiere que toda la masa corresponde a una energ´ıa según la relación E = m c2 , que es la fórmula más famosa de Einstein. Para velocidades no muy grandes se puede desarrollar la raiz !−1 r v2 1− 2 c por el binomio de Newton y se encuentra 3 v4 1 mo v 2 + mo 2 + · · · 2 8 c El primer término coincide con la expresión newtoniana y los demás son correcciones relativistas. Ec =

Como el momento lineal o la cantidad de movimiento es p = m v, se puede escribir p E = m2o c4 + p2 c2 ,

donde E = mo c2 + Ec es la energ´ıa total.

Para part´ıculas con mo = 0, por ejemplo fotones, se cumple E = p c y, por tanto, v = c. Es interesante ver cómo se transforman la energ´ıa total y las componentes de la cantidad de movimiento al cambiar de sistema de referencia inercial. Haciendo uso de la ley de composición de velocidades se puede comprobar que, cuando los sistemas de referencia se mueven uno respecto al otro con velocidad v en la dirección x, se tiene px − p′x′ = r

vE c2 2

1−

v c2

p′y′ = py

p′z′ = pz E − v px E′ = r , v2 1− 2 c que son análogas a las transformaciones de Lorentz de las coordenadas y del tiempo.

(19)

Consideremos ahora un sistema de part´ıculas, por ejemplo dos, de masas propias (en reposo) m1 y m2 , que chocan generándose dos nuevas part´ıculas de masas (en reposo) m3 y m4 , se den de cumplir las leyes de conservación del momento lineal y de la energ´ıa, en el sistema de referencia de trabajo, es decir p = Σpj = p1 + p2 = p3 + p4 E = ΣEj = E1 + E2 = E3 + E4 q donde Ei = m2i c4 + p2i c2 . 14


En mecánica relativista no se puede definir un centro de masa que tenga sentido invariante Lorentz, pero s´ı se puede definir el sistema centro de masas (CM) como aquél en que Σp′ k = 0. El sistema es como una u´ nica part´ıcula con energ´ıa, (en el sistema CM), E ′ = ΣEk′ y masa propia r E 2 p2 E′ − 2 . Mo = 2 = c c4 c El centro de masa se mueve con la velocidad de la masa propia Mo v=

c2 Σpj . ΣEj

3. ESPACIO-TIEMPO 3.1. Espacio de Minkowski En 1908 Minkowski —matemático, antiguo profesor de Einstein— en un discurso ante una reunión de cient´ıficos alemanes, hizo ver la importancia de la teor´ıa de la Relatividad al decir: La visión del espacio y del tiempo que quiero presentar ante ustedes, está basada en hechos experimentales y de ah´ı deriva su importancia. Es una visión radical. Desde ahora el espacio solo o el tiempo solo están condenados a convertirse en sombras y u´ nicamente cierta unión de los dos mantendrá una realidad independiente. Minkowski se dio cuenta de que, para dos sucesos vistos según dos sistemas de referencia inerciales se cumple x′2 + y ′2 + z ′2 − c2 t′2 = x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 .

(20)

Es decir, la expresión es invariante Lorentz. Si llamamos x = x1 , y = x2 , z = x3 , c t = x4 , podemos escribir x21 + x22 + x23 − x24 = invariante , que sustituye a los dos invariantes de la f´ısica clásica x21 + x22 + x23 = d2

(d, distancia)

y

t=

x4 s

(t, tiempo) .

Por eso, en vez de un espacio tridimensional y un tiempo unidimensional, tenemos un espaciotiempo de cuatro dimensiones, que suele llamarse el espacio de Minkowski. En lo que sigue es conveniente usar unidades (llamadas naturales) en las que c = 1, as´ı todas las fórmulas resultan más sencillas de escribir. Por ejemplo, en vez de x−vt x′ = r v2 1− 2 c 15


3.1 Espacio de Minkowski

podemos escribir de forma más sencilla x−vt . x′ = √ 1 − v2 Cuando convenga podemos restituir las c por consideraciones dimensionales. Un ejemplo para ver las simplificaciones que se producen es la deducción de la ley de transformación de la energ´ıa al cambiar de sistema inercial. En E′ = √

mo , 1 − V ′2

donde V ′2 = V′ · V′ ,

sustituimos V′ en forma vectorial :

V′ =

√ √ 1 (Vx − v, Vy 1 − v 2 , Vz 1 − v 2 ) 1−V·v

y, después de simplificar, teniendo en cuenta que v = (v, 0, 0), da mo (1 − v · V) E′ = p = (1 − v 2 )(1 − V 2 ) 1 mo V · v mo √ =√ −√ = 1 − v2 1−V2 1−V2 E − v px E−p·v = √ . = √ 2 1−v 1 − v2 Desde ahora suprimiremos la c, salvo en definiciones. La relatividad reduce la cinemática a geometr´ıa del espacio de Minkowski. El movimiento de un cuerpo describe una curva en el espacio de Minkowski que se llama l´ınea de universo del móvil. Para todo cuerpo con mo 6= 0, la pendiente en un diagrama (t, x), (t abscisas), la pendiente es menor que 1 (porque v < c). Si mo = 0, v = c y la pendiente es 1. Las transformaciones de Lorentz son como rotaciones. As´ı como una rotación de a´ ngulo ϕ alrededor de Oz deja fijo z (y t) y cambia x e y, ′ cos ϕ sen ϕ x x = , ′ − sen ϕ cos ϕ y y la transformación de Lorentz deja fijos y y z y cambia x y t en la forma ′ x cosh φ senh φ x = . t′ − senh φ cosh φ t Lo mismo que cos2 ϕ + sen2 ϕ = 1 garantiza que x2 + y 2 = x′2 + y ′2 , también cosh2 φ − senh2 φ = 1 garantiza que x2 − t2 = x′2 − t′2 . (Las transformaciones de Lorentz son como rotaciones de a´ ngulo imaginario).

16

Dados dos sucesos, se llama intervalo (temporal) a la cantidad invariante Lorentz p c τ = c2 (t2 − t1 )2 − (x2 − x1 )2 − (y2 − y1 )2 − (z2 − z1 )2

(21)


3.2 Paradoja de los gemelos

cuando el integrando es positivo y, en este caso, se dice que los sucesos están temporalmente separados o con intervalo de tiempo temporal. Entonces τ es el tiempo propio entre los sucesos (tiempo medido en un sistema inercial donde los sucesos ocurren en el mismo lugar). Si el integrando es negativo, los sucesos se dicen espacialmente separados o con intervalo de tiempo espacial y entonces se define p (22) d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 − c2 (t2 − t1 )2 , que es real. A d se le llama distancia propia (distancia medida en un sistema inercial en el que los sucesos son simultáneos). Si el intervalo es nulo, la separación se dice de tipo luz. Si un cuerpo tiene movimiento arbitrario (no uniforme), su tiempo propio será r Z r 2 |∆r | v2 i 1 − = dt, τ = l´ım Σ ∆t2i − c2 c2

(23)

que es invariante Lorentz. El movimiento uniforme, v = constante, corresponde a una recta en el espacio de Minkowski. Se ve (aplicando el cálculo de variaciones4 ) que el uniforme es, entre todos los posibles movimientos, el que hace máximo el tiempo propio.

3.2. Paradoja de los gemelos Supongamos dos hermanos gemelos que se separan en (x1 , y1 , x1 , t1 ) y vuelven a encontrarse en (x2 , y2 , z2 , t2 ). Entre estos dos sucesos, el gemelo A viaja con velocidad vA (t) y B con vB (t). El tiempo propio transcurrido es: Z r Z r vA2 v2 1 − 2 d t , y, para B, τB = 1 − B2 d t . para A, τA = c c Ambos tiempos son invariantes Lorentz, pero son distintos. Al reencontrarse, es más joven el que se ha acelerado más; por ejemplo, si vB = constante y vA no, será τA < τB

3.3. Cuadrivectores Para un suceso S sus coordenadas (x, y, z, t) son las componentes de un cuadrivector como para un punto P las coordenadas (x, y, z) son las componentes de un (tri-) vector ordinario. Análogamente (px , py , pz , E/c) forman el cuadrivector momento–energ´ıa (ya vimos que sus coordenadas cambian mediante transformaciones de Lorentz, lo mismo que las coordenadas de S). También, en un rayo de luz, (kx , ky , kz , ν/c) son las componentes de un cuadrivector (k es el vector de onda). Se define producto escalar de dos cuadrivectores a y b como a · b = a4 b 4 − a1 b 1 − a 2 b2 − a3 b 3 . 4

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(24)

Este tipo de cálculo se trató brevemente en la parte de dinámica anal´ıtica del curso.


3.4 Pasado, presente y futuro

(Algunos autores lo definen cambiando todos los signos. Lo esencial es que haya tres signos √ de un tipo y uno del otro). Podr´ıamos llamar módulo de un cuadrivector u a u · u, pero esta cantidad puede ser imaginaria y no suele llamarse módulo. Este producto escalar no cumple todos los axiomas del producto escalar en los espacios eucl´ıdeos (por ejemplo, el producto de un vector por si mismo no siempre es positivo). Por eso se dice que el espacio de Minkowski es psudoecucl´ıdeo. Las ecuaciones entre cuadrivectores no se alteran con las transformaciones de Lorentz (como las ecuaciones de los vectores ordinarios no se alteran con rotaciones) y por eso son muy convenientes en la resolución de problemas.

3.4. Pasado, presente y futuro En f´ısica clásica (no relativista) se dice que un suceso S2 (x2 , y2 , z2 , t2 ) está en el futuro de otro S1 (x1 , y1 , z1 , t1 ), si t2 > t1 , en el pasado si t2 < t1 y en el presente si t2 = t1 . En relatividad, estas condiciones no son invariantes Lorentz; por ejemplo, puede ser t2 > t1 en un sistema de referencia y t′2 < t′1 en otro. Entonces, ¿cómo definiremos el futuro y el pasado? Si el intervalo entre los dos sucesos S1 y S2 es temporal (es decir, (t2 − t1 )2 c2 > |r1 − r2 |2 ) entonces t2 > t1 y t2 < t1 s´ı son invariantes Lorentz y definen el pasado y el futuro. Futuro de So (ro , to ) es el conjunto de sucesos S(r, t) tales que

futuro de So t

y So

x

|r − ro | t − to > c y pasado el conjunto de sucesos tales que pasado de So

|r − r0 | . to − t > c

So puede influir (enviar cuerpos con velocidad inferior a la de la luz) sobre su futuro y ser influido por el pasado. Dado So (ro , to ), los sucesos tales que t − to =

|r − ro | c

forman el cono de luz (en realidad es un cono de tres dimensiones inmerso en el espacio de Minkowski de cuatro). La figura representa el cono de luz para un espacio de Minkowski tridimensional, con dos dimensiones espaciales x e y y una temporal t. Los sucesos tales que |r − ro | |r − ro | < t − to < , c c no están en el pasado ni en el futuro, podr´ıan llamarse presente. −

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4. RELATIVIDAD GENERAL Según Einstein, las leyes de la f´ısica deben ser válidas en sistemas de referencia con cualquier tipo de movimiento (Principio general de relatividad). En consecuencia, desde dentro de un sistema no debe ser posible determinar el estado de movimiento, lo cual no parece cierto: cuando un coche acelera o frena lo notamos aún sin mirar al exterior. ¡Pero no sabemos si el coche está acelerado o hay una fuerza actuando sobre nosotros! Eso s´ı, una fuerza que produce la misma aceleración sobre todos los objetos. Entonces, si el principio general de relatividad es correcto, deben existir fuerzas en la naturaleza que sean proporcionales a las masas. Son precisamente las fuerzas gravitatorias. (Einstein dijo que darse cuenta de esto fue la mejor idea que tuvo en su vida). Otra forma de verlo es diciendo que cualquier campo gravitatorio puede eliminarse localmente escogiendo de forma adecuada el sistema de referencia. Por ejemplo, un hombre en el interior de un ascensor en ca´ıda libre (si el cable de sujeción se rompe) no notar´ıa la fuerza gravitatoria. (Localmente quiere decir que sólo puede lograrse eso en el entorno de un punto; as´ı, no hay sistema de referencia que anule el campo gravitatorio en todos los puntos de la Tierra a la vez). En el sistema propio de un observador todo pasa como si fuese inercial. La total indistinguibilidad local entre aceleración y gravitación suele llamarse principio de equivalencia. Según esto, las fuerzas gravitatorias no son esencialmente distintas de las aceleraciones; son la misma cosa vista desde dos sistemas de referencia diferentes. Es decir, las fuerzas gravitatorias son ficticias, como lo es, por ejemplo, la centr´ıfuga. Como en Relatividad la cinemática no es más que geometr´ıa, también la gravitación es´sólo geometr´ıa. En relatividad especial vimos que el movimiento inercial, (es decir, en ausencia de fuerzas) entre dos sucesos (r1 , t1 ) y (r2 , t2 ), está determinado por la condición geométrica de que el tiempo propio del móvil entre los sucesos sea máximo, lo que implica movimiento uniforme. ¿Será posible determinar el movimiento bajo fuerzas gravitatorias, (como es la de la Tierra alrededor del Sol), por condiciones puramente geométricas? La respuesta es s´ı, si el el espacio-tiempo es curvo. Luego veremos cómo. Hay otro argumento independiente que indica la necesidad de un espacio-tiempo curvo. Lo dio Einstein en su art´ıculo fundamental de 1916. Supongamos un cuerpo extenso que gira con velocidad angular constante, de modo que uno de sus puntos describe una circunferencia. Supongamos que un observador en reposo mide el radio R y la longitud L de la circunferencia. Otro observador que se mueva por la circunferencia medirá el mismo radio, pero distinta longitud L′ . Esto es porque las longitudes se acortan, para el observador móvil respecto al fijo, en la dirección del movimiento (contracción de Lorentz) pero no en la dirección perpendicular. (Aunque el movimiento circular no es inercial, el argumento es válido). Entonces si L/2R = π = 3,14159... resulta que L′ /2R 6= π. El espacio no puede ser plano (eucl´ıdeo) para todos los observadores. Vemos cómo al admitir la relatividad general del movimiento nos obliga a admitir que el espacio-tiempo es curvo. El ejemplo t´ıpico de un espacio curvo de dos dimensiones es la superficie de una esfera. La longitud de una circunferencia trazada sobre ella es menor que π veces el diámetro (definiendo el diámetro como la m´ınima distancia, medida sobre la superficie, entre dos puntos opuestos de la circunferencia); se dice que 19


4.1 Movimiento en un campo gravitatorio

la esfera tiene curvatura intr´ınseca positiva. (Una silla de montar tiene curvatura intr´ınseca negativa, mientras que un plano o la superficie de un cilindro carecen de curvatura intr´ınseca).

4.1. Movimiento en un campo gravitatorio Puesto que la gravitación no es más que un aspecto de la inercia, el movimiento en un campo gravitatorio debe ser inercial, es decir, según una recta del espacio-tiempo. Pero como e´ ste es curvo, no existen rectas; lo que sustituye al concepto re recta es el de geodésica, la l´ınea más corta entre dos puntos. Por ejemplo, en una superficie esférica como la Tierra no se pueden trazar restas y las geodésicas son arcos de c´ırculo máximo. Pero en el espacio-tiempo de la relatividad no se define la geodésica como la l´ınea más corta entre dos puntos, sino como la l´ınea (de universo) de tiempo propio más largo entre esos sucesos. Necesitamos ahora dar forma matemática a esas ideas. En un plano pueden introducirse coordenadas cartesianas x y y, y la longitud de una curva se calcula mediante la integral curvil´ınea Z s = d s , d s 2 = d x2 + d y 2 . (25)

En una superficie curva no pueden usarse coordenadas cartesianas y la expresión es más complicada. Por ejemplo, en una superficie esférica se pueden usar como coordenadas los a´ ngulos θ y ϕ y la longitud de la curva se obtiene de d s2 = R2 (d θ2 + cos2 ϕ d ϕ2 ) .

(26)

En el espacio de Minkowski (espacio-tiempo plano) vimos que el tiempo propio se calcula mediante Z (27) τ = d τ , d τ 2 = d x24 − d x21 − d x22 − d x23 . En el espacio-tiempo curvo se toma la expresión más general d τ 2 = Σgij d xi d xj ,

(28)

(que se reduce a lo anterior si g44 = 1, g11 = g22 = g33 = −1 y los demás 0). Las funciones gij (x1 , x2 , x3 , x4 ) se llaman potenciales de Einstein y sustituyen al u´ nico potencial gravitatorio φ(x, y, z) de la teor´ıa de Newton. Determinan la geometr´ıa del espacio-tiempo, que es lo que sustituye al campo gravitatorio en Relatividad. Las gij son las componentes de un tensor simétrico, es decir gij = gji , y por tanto hay diez distintas como máximo. Las gij se relacionan con la distribución de masas (y su movimiento) mediante unas ecuaciones diferenciales no lineales (complicadas) que se llaman ecuaciones de Einstein. Para campos débiles y velocidades pequeñas (v 2 ≪ φ ≪ c2 , en la Tierra, donde φ/c2 ∼ = 10−9 , basta v < 100 km/s) se tiene g44 = 1 +

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2φ , c2

g11 = g22 = g33 = −1,

las demás 0 .


4.1 Movimiento en un campo gravitatorio

Por consiguiente, el movimiento se determina mediante (suprimimos la c) Z p gij d xi d xj = τ= Z p = (1 + 2φ)d t2 − d r2 = Z p = (1 + 2φ − v 2 ) d t = máximo , que, desarrollando hasta primer orden en c−2 , se reduce a Z 1 2 τ= 1+φ− v d t = máximo, 2 Z 1 2 v − φ ) d t = mínimo , o bien, 2

(29)

(30)

problema variacional5 cuya ecuación de Euler es la conocida expresión dv = −grad φ , dt

(31)

que determina el movimiento en la teor´ıa newtoniana de la gravitación. Se ve también cómo el principio de Hamilton se relaciona con el movimiento según geodésicas, pues 1 2 m v −φ 2 es precisamente la lagrangiana para el movimiento en un campo gravitatorio. Una propiedad notable de las ecuaciones de Einstein es que implican automáticamente la conservación de la energ´ıa, la cantidad de movimiento y el momento angular. Podr´ıamos decir que estas leyes de conservación son propiedades geométricas. En otras palabras, si imaginásemos un conjunto de cuerpos con un movimiento tal que la energ´ıa, por ejemplo, no se conservase, entonces las ecuaciones de Einstein no tendr´ıan solución, no existe un conjunto de gij correspondiente a ese movimiento de masas. También la dinámica es geometr´ıa. En vista de ello Einstein y otros trataron de reducir también el electromagnetismo (y otras fuerzas) a geometr´ıa, pero en eso no tuvieron e´ xito. Para campos gravitatorios débiles, las predicciones de la relatividad general son casi indistinguibles de la predicciones de la gravitación de Newton. Sólo cuando los campos son muy intensos pueden medirse las diferencias y, siempre que esto ha sido posible, se ha encontrado un perfecto acuerdo con las predicciones de Einstein. Un ejemplo notable es el pulsar doble (dos estrellas de neutrones, de masa como el Sol, pero radio de pocos kilómetros cada una) descubierto por Hulse y Taylor en 1976, que le valió a estos autores el premio Nobel de F´ısica 1993. Este pulsar doble ha sido llamado por eso la joya de la relatividad general. 5

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Ver nota 4 en una página anterior.


4.2 Cosmolog´ıa

4.2. Cosmolog´ıa 6

En 1917 Einstein aplicó sus ecuaciones al universo en conjunto, tratado como un gas de densidad constante (las galaxias hacen el papel de moléculas). Buscó una solución estática y comprobó que no la hab´ıa. Entonces modificó las ecuaciones introduciendo un nuevo parámetro, llamado constante cosmológica, con dimensiones de densidad (una especie de densidad constante negativa). As´ı obtuvo que, en cada instante, el universo es finito pero ilimitado, como una superficie esférica, pero con tres dimensiones en vez de dos (¡no es una esfera tridimensional). ¿Quiere decir esto que las galaxias se acaban a una cierta distancia? No, quiere decir que se acaba el espacio, pero todo el espacio está lleno. Poco después, Hubble astrónomo norteamericano, descubrió un corrimiento hacia el rojo en los espectros de las galaxias, proporcional a su distancia a nosotros. Lo interpretó como un efecto Doppler debido a que todas las galaxias se alejan unas de otras (como puntos marcados sobre un globo cuando el globo se hincha). Esto se llama la expansión del universo. En seguida se demostró que las ecuaciones de Einstein sin modificación predec´ıan precisamente eso, un universo que partiendo de un punto se expande para luego contraerse otra vez a un punto. No sólo el espacio es finito sino también el tiempo. (Einstein dijo que modificar las ecuaciones en 1917 fue el mayor error de su vida, porque podr´ıa haber predicho la expansión del universo antes de observarse). En realidad, existen modelos (soluciones de las ecuaciones de Einstein) abiertos, con espacio infinito y tiempo infinito hacia el futuro; todav´ıa no está claro cuál es la situación real. El suceso donde empezó el tiempo suele llamarse el big bang. Ocurrió hace unos quince mil millones de años. (Antes de eso no sólo no exist´ıa materia, tampoco exist´ıan el tiempo y el espacio). Todav´ıa se discute sobre qué ocurrió en los primeros tres o cuatro minutos de vida del universo, pero se acepta que a partir de ese momento hay preferentemente protones y electrones, separados, en forma de un plasma, hasta la edad de un millón de años y unidos formando hidrógeno desde entonces. La radiación producida en esa unión (recombinación) se ha ido enfriando debido a la expansión y hoy forma la radiación cósmica de microondas, que tiene un espectro de cuerpo negro de 2,7 K. Fue observada por primera vez en 1965 y constituye la prueba más importante a favor del modelo descrito. Esta radiación permite establecer un sistema de referencia privilegiado, aquél en que la radiación es isótropa. Su casi perfecta isotrop´ıa en ese sistema de referencia prueba la homogeneidad del universo a gran escala (de millones de galaxias). En los u´ ltimos años se ha logrado medir nuestra velocidad respecto a la radiación cósmica y ha resultado ser de unos 360 km/s, de los que buena parte corresponde al movimiento del Sol en la Galaxia. Desde hace casi 20 años se sabe que existen anisotrop´ıas de la radiación de fondo, las cuales se midieron por primera vez con el satélite COBE, descubrimiento que se anunció en 1992. (A finales de 1993 COBE dejó de mandar información). Ese descubrimiento está de acuerdo con lo predicho por el modelo del big bang. Estas anisotrop´ıas indican la existencia de inhomogeneidades en el universo en el momento de la recombinación. En los máximos 6 Este apartado se trata con much´ısimo más detalle en el libro El mundo natural según la teor´ıa de la relatividad de Einstein del autor de estas notas. En la actualidad puede encontrarse en la dirección http: //personales.unican.es/duquef/mecanicayrelatividad/problemas1112/.

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4.2 Cosmolog´ıa

de densidad, por condensación de grandes nubes de hidrógeno se formaron las galaxias y en ellas las estrellas, que se encienden (comienzan a convertir hidrógeno en helio), cuando su temperatura y presión aumentan por contracción gravitatoria. A partir de los resultados proporcionados por COBE el tema de las anisotrop´ıas de la radiación cósmica de fondo de microondas se ha desarrollado de forma que en la actualidad hay centenares de art´ıculos escritos sobre ese tema, tema que sigue siendo objeto de investigación a partir de observaciones recientes realizadas con otros satélites.

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Relatividad

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