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FISICA III - Alexis Llontop Suyón
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FISICA III Teoría de la Relatividad
Contenido INTRODUCCIÓN............................................................................................ EL PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD DE EINSTEIN........................................... Teorías....................................................................................................... La teoría especial de la relatividad........................................................ La teoría general de la relatividad......................................................... LA RELATIVIDAD ESPECIAL........................................................................... Composición de Velocidades Relativistas.................................................. EJERCICIOS............................................................................................. Contracción de Longitudes........................................................................ EJERCICIOS............................................................................................. Dilatación del Tiempo............................................................................... EJERCICIOS............................................................................................. LA RELATIVIDAD GENERAL......................................................................... Principios Generales................................................................................ Experimento............................................................................................ Experimento 1 - Líneas "rectas" en el globo terráqueo........................ BIBLIOGRAFÍA.............................................................................................
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INTRODUCCIÓN La física relativa del siglo XX há revelado uma limitación insospechada de las ideas clásicas y há impuesto una revisión radical de muchos de nuestros conceptos básicos. El concepto de materia em la Física subatómica, por ejemplo, es totalmente diferente de la sustancia material tradicionalen la Física clásica, y otro tanto puede decirse de conceptos como los de espacio, tiempo o causalidad. Tales conceptos son, sim embargo, fundamentales para nuestra perspectiva del mundo que nos rodea, y, con la radical transformación de los mismos, toda nuestra visión del mundo ha empezado a cambiar. La teoría de la relatividad que se asigna a Albert Einstein, está vinculada con los temas de la bomba atómica, la energía nuclear y con la idea de que no hay absolutos, sino todo es relativo. Digamos que lo referente a la energía nuclear es ante todo un subproducto de los trabajos de Einstein. A diferencia de muchas teorías científicas, la relatividad es una teoría que surge a través del método científico denominado deductivo en lugar del inductivo. Esto significa que Einstein inicia su planteo con algún postulado acerca de la naturaleza sin recurrir a experiencias observables es decir sin comprobación posible de lo que postula como verdadero; vale una digresión aclaratoria: por qué o de dónde saca los postulados iniciales, mucho tienen que ver con lo que pasaba en el mundo científico en su momento; es decir Einstein no saca postulados de la galera. A partir de allí, deduce las consecuencias que se producirían si dichos postulados son correctos. Estas consecuencias se utilizan luego para predecir comportamientos de la naturaleza, y si los mismos se confirman correctos, entonces se acepta a la teoría como válida, independientemente que el o los postulados iniciales suenen extraños
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o contradictorios o no intuitivos, difíciles de entender en su significado. Entre las consecuencias que suenan como esotéricas, encontramos la equivalencia de masa y energía: la masa seria algo así como energía congelada. La relación entre ambas esta dada por un factor tan grande que es la base de los desarrollos en energía nuclear y lamentablemente también guerra nuclear.
EL PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD DE EINSTEIN Albert Einstein es sin duda la figura de la Física contemporánea. Sus estudios sobre el efecto fotoeléctrico, la naturaleza de la luz y la cosmología merecían reservarle un lugar en la historia de la Física. Pero su aportación principal ha sido su teoría de la relatividad general, que ha abierto nuevos horizontes a la ciencia y al pensamiento humano. A la revolución de la mecánica cuántica se uniría pronto, en los inicios del siglo XX, un nuevo modelo que subvertiría las bases de la ciencia: la teoría de la relatividad propuesta por Albert Einstein. Einstein desarrollo dos teorías de la relatividad:
Teorías La teoría especial de la relatividad La teoría especial de la relatividad en 1905, que se ocupa de la forma en la cual el espacio y el tiempo se manifiestan a diferentes observadores, que se mueven a velocidades relativas constantes entre ellos. Cuando en física hablamos de observadores, nos referimos a personas que pueden hacer mediciones de espacio con
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una regla, o del paso del tiempo con un reloj. Es decir esta teoría es una teoría del espacio - tiempo
La teoría general de la relatividad La teoría general de la relatividad en 1915, es una teoría que estudia las causas de la gravedad, de la atracción existente entre dos cuerpos. Pensemos por un momento lo extraño que resulta afirmar que dos cuerpos muy masivos (Ej. La tierra y la luna), ejercen entre sí una fuerza de atracción a pesar de estar separados por una gran distancia y no estar unidos por nada material. La acción a distancia sin una conexión concreta, es algo extraño, aunque al estar acostumbrados a percibirla, no nos asombra. Newton había determinado cual era la ecuación matemática que expresa la ley física de atracción entre los cuerpos, pero nunca explico el porque de la acción a distancia que ejercen los cuerpos entre si. Esta teoría de Einstein brinda de alguna manera ese por que.
LA RELATIVIDAD ESPECIAL El alemán Albert Einstein presentó en 1905 la primera versión de su teoría de la relatividad, llamada especial o restringida, que atendía a dos principios básicos:
Principio de la Relatividad. Sostiene que las leyes de la
óptica y el electromagnetismo deber tener la misma eforma en todos los sistemas de referencia inerciales. Invarianza de la Velocidad de la Luz. En el vacío tiene un valor independiente del movimiento del cuerpo que la emite.
Su teoría es capaz de explicar el comportamiento cinemático de los cuerpos en movimiento, especialmente aquellos cuerpos cuyas velocidades sean cercanas a las de la luz. La teoría también permite describir la dinámica de los campos eléctrico y magnético alrededor de cuerpos en movimiento. Esta teoría es bien conocida por romper con los esquemas tradicionales de espacio y tiempo concebidos dentro de nuestra experiencia diaria. En la relatividad especial, tanto espacio como tiempo están interrelacionados en una única entidad llamada espacio-
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tiempo (espacio de Minkowski), en la cual los famoso viajes en el tiempo son posibles.
Composición Relativistas
de
Velocidades
Einstein comprobó que su teoría era compatible com unas leyendas de transformación entre sistemas inerciales obtenidas previamente por el holandés Hendrik Lorentz (1853-1928). ct=
1 ( c t ' + β x ' ) ; x = 1 2 ( x ' + βct ) ; y= y ' ; z=z ' 2 √1−β √ 1−β
Donde β=v/c, siendo c la velocidad de la luz y v la velocidad relativa entre los dos sistemas inerciales considerados.
EJERCICIOS * Una chica se encuentra en una nave espacial viajando con una velocidad 0.5 veces la de la luz (0.5 c) respecto a su novio, que permanece en una estación espacial, que consideraremos en reposo. En el momento en el que se separan, ambos sincronizan sus relojes. 1. Al cabo de 1000 s (en su sistema de referencia) el chico le manda un mensaje a su novia. ¿A qué distancia se encuentran desde el sistema de referencia del chico? Dado que el chico está en reposo, el tiempo que medirá será el correspondiente a un observador en reposo y la distancia será igual al producto de la velocidad por el tiempo transcurrido:
2. Si el mensaje se envía a una velocidad de 0.9 c, ¿en qué instante (según el reloj del novio) recibirá el mensaje la chica? El mensaje viaja con una velocidad relativa de 0.9 c - 0.5 c = 0.4 c.
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Así, el tiempo total que tarda el mensaje en llegar a la chica será la suma de los 1000 s más el tiempo que tarde el mensaje en recorrer la distancia que los separa a la velocidad relativa:
3. ¿Cuál es la velocidad con la que verá acercarse el mensaje la novia en su sistema de referencia? Aplicando la transformación de velocidades de Lorentz, la velocidad con la que verá acercarse el mensaje será:
4. Un observador en Tierra ve a dos naves espaciales aproximarse en sentido contrario la una a la otra. ¿A qué velocidad debe ir viajando cada nave, suponiendo que ambas tienen velocidades iguales pero en sentido contrario, para que produzcan una suma relativista de velocidades resultante en una velocidad igual a 0.9c? Llamando V a la velocidad de cada nave con respecto al observador en Tierra, de acuerdo con la fórmula relativista para adición de velocidades tendríamos lo siguiente para lograr una suma relativista de velocidades igual a 0.9 c: 0.9 c=
V +V V .V 1+ 2 C
(0.9 c)(1 + V²/c²) = 2V (0.9)V²/c² - 2V + (0.9/c) = 0 0.9V² - 2Vc² + 0.9 c = 0
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Resolviendo la ecuación cuadrática, encontramos que la velocidad de cada nave espacial debe ser igual a: V = 0.627 c
Contracción de Longitudes De la transformación de Lorentz para sistemas inerciales se deduce um principio teórico muy intersante. Cuando la velocidad entre los sistemas inerciales es insignificante en comparación con la velocidad de la luz, el cociente β puede considerarse nulo, con lo que las formulas de Lorentz y la composición relativista de velocidades se corresponderían con las de la mecánica clásica. Ahora bien, cuando la velocidad relativa entre los sistemas inerciales se aproxima a la de la luz, en la transformación de Lorentz se observa que el valor de las coordenadas x y x’ en ambos sistemas puede diferir. Matemáticamente puede deducirse que la longitud medida desde el segundo sistema (Δl’) es menor que la que se mediría en el sistema considerado en reposo (la llamada longitud propia (Δl). Δl ’=√ 1−β 2 x Δl
EJERCICIOS * Un ovni de 30 m de longitud propia pasa a tu lado a una velocidad de 0.6 c. Suponiendo que fueses capaz de medirlo, 1. ¿Cuál sería la longitud del OVNI que tú medirías? Su longitud sería:
2. ¿Qué velocidad debería llevar para que su longitud fuese la mitad de su longitud propia? En este caso la longitud medida sería de 30/2 = 15 m, y la velocidad será por tanto:
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3. ¿Cuál debería ser la velocidad de un cohete para que, al medir la longitud de un objeto, midiera exactamente el 75 % de su longitud natural? La velocidad puede encontrarse a partir de la expresión de contracción de la longitud:
Dilatación del Tiempo Si se analizan las ecuaciones de la transformación de Lorentz, se observa que la medida del tiempo varía de un sistema inercial a otro cuando ambos se desplazan con una velocidad relativa no insignificante frente a la de la luz. En este caso, se deduce que el tiempo medido en el sistema en movimiento (Δt’) se dilata con respecto al que se observa en el sistema inercial considerado en reposo llamado tiempo propio (Δt). Esta noción de tiempo no absoluto es uno de los grandes logros conceptuales de la mecánica relativista. Así, un intervalo Δt medido en el primer sistema se observaría en el segundo como Δt’: Δt ’=
Δt 1−β2
EJERCICIOS *Un viajero espacial de 30 años permanece 10 años terrestres en órbita, viajando a una velocidad de 0.6 c. En la Tierra deja a su madre de 55 años de edad. 1. ¿Cuál será la edad de su madre a la vuelta? Dado que la madre ha permanecido en la Tierra, a su vuelta su madre tendrá 55 + 10 = 65 años.
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2. ¿Y la suya? El astronauta ha estado desplazándose respecto a la tierra, por lo que su tiempo propio no coincidirá con el tiempo terrestre. Ambos tiempos estarán relacionados por la expresión de la dilatación del tiempo: (Se ha tenido en cuenta que 10 años = 315360000 s)
Por lo tanto, cuando vuelva tendrá 36.4 años, siendo 3.6 años más joven de lo que debería ser.
*Una nave espacial parte hacia la estrella más próxima al Sol, próxima Centauri, que se encuentra aproximadamente a 4.22 años luz de nosotros, viajando a una velocidad de 0.8 c. Calcula el tiempo que tardará en realizar el viaje según: DATO: 1 año luz es la distancia que recorre la luz en un año (9460730472580800 m) 1. Un reloj que permanece en la Tierra Para un observador en la Tierra el viaje habrá durado:
2. Un reloj que viaja en la nave Para un observador en la nave, el tiempo transcurrido será:
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LA RELATIVIDAD GENERAL En los años posteriores a la aparición de su teoría de la relatividad especial, Einstein complementó en sucesivos aspectos el alcance de este modelo. Finalmente en 1916 publicó un artículo en el que se analizaba el fenómeno de la gravitación no como una fuerza, al estilo newtoniano, sino como un cuerpo que se curvaba en el continuo espacio-tiempo, así como la no uniformidad de los movimientos acelerados. Este marco teórico se conoce globalmente como la teoría de la relatividad general.
Principios Generales Las características esenciales de la teoría de la relatividad general son las siguientes:
El principio general de covariancia: las leyes de la Física deben
tomar la misma forma matemática en todos los sistemas de coordenadas. El principio de equivalencia o de invariancia local de Lorentz: las
leyes de la relatividad especial (espacio plano de Minkowski) se aplican localmente para todos los observadores inerciales. La curvatura del espacio-tiempo es lo que observamos como un campo gravitatorio, en presencia de materia la geometría del espacio-tiempo no es plana sino curva, una partícula en movimiento libre inercial en el seno de un campo gravitorio sigue una trayectoria geodésica.
Los conceptos de la geometría plana a la que estamos acostumbrados (geometría euclidiana) no siempre sirven en las geometrías noeuclidianas. En la teoría de Einstein, el espacio-tiempo se deforma en presencia de una masa, adquiriendo una geometría no-euclidiana. Por lo tanto, hay que aprender a tratar con conceptos como que la distancia más corta entre dos puntos no es siempre una "línea recta". Algunas de las propiedades de los espacios no-euclidianos son sorprendentes para la geometría plana que solemos utilizar. La genial idea de Einstein fue suponer que la gravedad (que está por todos los lados y en todo momento en el universo) está íntimamente
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unida al espacio y al tiempo (que obviamente están también por todos lados del universo y en todo instante). Propuso que el nexo de unión era la geometría: lo que ocurre, dice Einstein, es que, en presencia de una masa, el espacio-tiempo se "deforma", de modo que cualquier otra masa nota ese espacio deformado, y se ve obligada a seguir trayectorias diferentes a cuando estaba el espacio sin deformar (sin ninguna masa). ¿Qué significa la deformación del espacio? Significa que el espacio adquiere una geometría diferente de la que estamos habituados (el llamado espacio plano o euclidiano). En un espacio no-euclidiano ocurren cosas muy diferentes al normal; por ejemplo, puede que la línea más corta entre dos puntos sea una curva (y no una recta, como en el espacio plano). Puede que dos paralelas se corten en un punto o en infinitos puntos. Visualizaremos estos conceptos que parecen tan abstractos con un simple globo terráqueo.
Experimento Experimento terráqueo.
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-
Líneas
"rectas"
en
el
globo
Para visualizar esto, podemos disponer de un globo terráqueo (de los que se usan en las clases de geografía) de tal forma que podamos ir marcando con tiza las posiciones y las rutas de dos barcos imaginarios sobre el océano Pacífico. Si los barcos están suficientemente lejos uno de otro, observaremos que la línea más corta que los une sobre la esfera es el arco de círculo máximo que contiene a los dos barcos. La línea recta euclidiana simplemente no existe sobre la esfera (habría que atravesar el globo terráqueo por su interior para unir en línea recta la posición de los barcos, pero esto es salirse de la esfera, del espacio que estamos considerando. No vale). Por tanto, lo primero que aprendemos es que la distancia más corta entre dos puntos en un espacio curvo no es la recta euclidiana sino una curva que se llama geodésica o recta generalizada para ese espacio curvo. Supongamos ahora que damos la orden a los dos barcos de que partan desde dos puntos distintos del ecuador y vayan siempre perpendiculares al ecuador (o sea, irían hacia el Polo Norte por
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distintos meridianos). Con nuestras ideas euclidianas esperaríamos que no se encontraran nunca, puesto que los meridianos son perpendiculares al ecuador y, por tanto, paralelos entre ellos (recuérdese que dos paralelas no se cortan nunca en la geometría euclidiana). Sin embargo, basta seguir con el dedo la dirección de dos meridianos para observar cómo se van juntando hasta confluir en el polo Norte. En las geometrías no-euclidianas, las paralelas sí pueden cruzarse. El alumno debe imaginarse ahora que no ve el globo terráqueo y que sólo ve a los dos barcos yendo hacia el Polo Norte (imaginénse que es de noche, los barcos llevan una potente luz y los vemos desde la Luna). Entonces parecería que los barcos se atraen entre sí (como si existiera una fuerza de atracción entre ellos) según se van juntando en su camino hacía el Norte. Esta es la base de la relatividad general de Einstein: las trayectorias de los objetos bajo la fuerza de atracción gravitatoria pueden describirse como trayectorias en el espacio-tiempo curvado.
BIBLIOGRAFÍA o Einstein y la relatividad – Paul Strathern o Física, Tomo 11 – Enciclopedia Estudiantil Santillana o Relatividad sin fórmulas - Pedro Gomez Gonzales
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