VI. LENTUR MURNI BALOK Pada analisis lentur murni yang dibahas disini, penampang balok adalah prismatis (berpenampang konstan). Momen lentur yang bekerja pada balok berada pada sumbu simetri vertikal balok Asumsi Dasar Dikemukakan oleh Bernoulli dan Navier 1. Penampang-penampang sebuah balok yang tegak lurus sumbunya akan tetap merupakan bidang datar setelah terjadi lenturan. Titik pangkal sumbu x,y,z adalah titik berat penampang Sebelum balok dibebani, maka bidang ABCD (berimpit dengan bidang xy) merupakan persegi seperti terlihat pada Gambar 6.1.a dan Gambar 6.1.b.Setelah balok dibebani maka balok akan melengkung, titik A dan titik C saling mendekat, sedangkan titik B dan titik D saling menjauh, dapat dilihat pada Gambar 6.1.c. Dengan demikian serat atas balok mengalami tegangan tekan dan serat bawah balok mengalami tegangan tarik. Batas antara tegangan tekan dengan tegangan tarik disebut garis netral, pada Gambar 6.1.b, garis netral digambarkan oleh sumbu x y z x bidang ABCD
(a) y A
C
A
x B
C
M
M
D B
(b)
D
(c) Gambar 6.1. Sifat Balok dalam Lentur
2. Pada balok yang mengalami lentur, regangan yang terjadi pada penampang berbanding langsung dengan jaraknya ke garis netral. Perhatikan kembali Gambar 6.1.b dan Gambar 6.1.c, pada AC terjadi regangan sebesar
∆AC AC demikian pula pada BD akan terjadi regangan sebesar ∆BD ε BD = BD Semakin dekat ke garis netral maka nilai regangan akan semakin kecil, dan nilai regangan nol pada garis netral, seperti terlihat pada Gambar 6.2.
ε AC =
εmaks
grs netral
εmaks Gambar 6.2. Regangan Pada Penampang Balok 3. Tegangan normal yang diakibatkan oleh lentur berubah secara linier dengan jaraknya ke garis netral. Sesuai dengan hokum Hooke, nilai tegangan akan berbanding lurus dengan regangan. Dengan demikian semakin dekat ke garis netral nilai tegangan akibat lentur akan semakin kecil dan nol pada garis netral, terlihat pada Gambar 6.3.
(a) (b) Gambar 6.3. Distribusi Tegangan Akibat Lentur Diagram tegangan pada balok yang mengalami lentur merupakan benda tegangan dengan arah tegangan sesuai dengan arah momen yang bekerja, pada momen positip serat atas akan tertekan dan serat bawah akan tertarik seperti terlihat pada Gambar 6.3.a. Namun diagram benda tegangan biasanya digambar seperti pada Gambar 6.3.b
Rumus Tegangan Lentur y
-
M
y σ maks c
x
z
y
dA
y
garis netral dA
-y
c y σ maks c
σmaks Gambar 6.4. Tegangan Pada Lentur Murni y σ maks merupakan serat tekan, dan tanda positip untuk serat tarik, c demikian pula halnya dengan nilai y, pada serat tekan bertanda positip dan pada serat tarik bertanda negatip. Gaya = Tegangan x Luas penampang y Tegangan = - σ maks (dapat juga diambil tanda positip) c Luas penampang = dA y Maka gaya = - σ maks dA c Σ Fx = 0 y ∫A − c σ maks .dA = 0 σ − maks ∫ ydA = 0 c A
Tanda negatip pada
∫ ydA = yA = 0 → y adalah ordinat titik berat A
Karena A tidak nol maka y harus nol. Dengan demikian maka garis netral harus melalui titik berat penampang.
ΣM=0 Mluar = Mdalam
y M = ∫ − σ maks dA. y c A σ maks y 2 dA M= − ∫ c A σ M = − maks I x c M .c σ maks = − Ix Tanda negatip dapat dihilangkan dan disesuaikan saja dengan tanda momen yang bekerja. Apabila momen yang bekerja positip maka serat bawah tertarik, tegangan nya diberi tanda positip, dan serat atas tertekan, tegangannya diberi tanda negatip. Secara umum untuk tegangan sejauh y dari garis netral:
σ=
M .y Ix
dengan: σ : tegangan normal akibat lentur M : momen luar Y : jarak tegangan yang ditinjau ke garis netral Ix : momen inersia terhadap sumbu x Balok Dua Bahan Dalam praktek, komponen struktur tidak hanya terdiri dari satu bahan saja seperti baja atau kayu tetapi komponen struktur dapat juga terdiri dari kombinasi 2 bahan misalnya bahan beton dikombinasi dengan bahan baja, contohnya antara lain beton bertulang. Bahan kayu juga dapat dikombinasi dengan bahan baja, dengan bahan baja yang berfungsi sebagai penguat. Apabila sebuah penampang balok terdiri dari dua bahan (bahan 1 dan bahan 2) mengalami momen lentur, seperti pada Gambar 6.5.a, maka deformasi (regangan) yang terjadi pada penampang akan tetap sebanding dengan jaraknya ke garis netral, Gambar 6.5.b. Walaupun regangan yang terjadi sama pada pertemuan kedua bahan, berdasarkan hukum Hooke tegangan yang terjadi pada serat penampang pada masing-masing bahan akan berbeda besarnya, hal ini diakibatkan oleh nilai modulus elastisitas yang berbeda pada masing-masing bahan, Gambar 6.5.c. Dalam menghitung tegangan pada penampang dengan dua bahan maka penampang dibuat menjadi salah satu bahan padanan dengan ukuran penampang sesuai dengan perbandingan nilai modulus elastisitas kedua bahan tersebut (n =E1/E2), terlihat pada Gambar 6.6.a dan Gambar 6.6.b. Selanjutnya dihitung posisi garis netral sesuai dengan prinsip penampang satu bahan. Nilai tegangan yang diperoleh disesuaikan dengan perbandingan nilai modulus elastisitas kedua bahan tersebut. εa
εaE1
1
(a)
h
2
(b)
(c) εb
1
b1 εbE2
b2
Gambar 6.5. Diagram Tegangan dan Regangan pada Penampang Dua Bahan
h b2/n b1
nb1 b2 (b)
(a)
Gambar 6.6. (a) Padanan dalam bahan 1 (b) Padanan dalam bahan 2
Contoh 6.1. Balok dengan penampang seperti tergambar, memikul beban sebesar 5 kN/m. 1. Hitunglah tegangan normal akibat momen lentur maksimum pada penampang 2. Gambarkan diagram tegangan pada penampang 12 kN/m
60 mm
30 mm
60 mm
30 mm
12 m 200 mm
30 mm 40 mm
30 mm 40 mm
Penampang Balok Penyelesaian Titik berat penampang akan berada pada sumbu simetri vertikal, oleh sebab itu untuk menentukan titik berat hanya nilai ordinat saja yang perlu dihitung. y YA = y1A1 + y2A2 + y3A3 Y (150.30 + 200.30 + 110.30) = 150.30.245 + 200.30.130 + 110.30.15 1932000 = 140 mm Y= 13800
1 105
120
x 10 125
2 140
3
Ix = Ixo + Ay2 Ix = 112 150.30 3 + 150.30.105 2 + 112 30.200 3 + 30.200.10 2 + 112 110.30 3 + 110.30.125 2 Ix = 122360000 mm4 Nilai jarak 125 mm dan 10 mm semestinya ditulis minus, tetapi karena dikwadratkan, dapat tidak ditulis Momen maksimum balok Mmaks =
σa =
1
8
ql 2 =
1
8
.5.12 2 = 90 kNm
M . y a 90.10 6.120 = = 88,26 MPa (tekan) Ix 122360000
M . y b 90.10 6.140 = = 102,97 MPa (tarik) Ix 122360000 a singkatan dari atas b singkatan dari bawah
σb =
88,26 MPa
102,97 MPa Diagram Regangan Pada Penampang Contoh 6.2 Balok overstek, terjepit di A dengan penampang seperti tergambar, memikul beban terbagi rata sebesar q 1. Hitung besar beban q (dalam kN/m) apabila tegangan lentur maksimum pada penampang di perletakan jepit sebesar 140 MPa 2. Gambarkan diagram tegangan normal lentur pada penampang di perletakan jepit. q 25 mm
225 mm
2,5 m 25 mm
150 mm
25 mm
Penyelesaian: y 1
25 mm
99,04 x 2
2
225 mm 150,96
25 mm
150 mm
Ix = Ixo + Ay’2 Ix1 = 112 .200.25 3 + 200.25.86,54 2 Ix2 = 2. 112 .25.225 3 + 2.25.225.38,46 2
25 mm
= 37706274,67 mm4 = 64101618,00 mm4 + = 101807892,67 mm4
Ix Mmaks = ½ q.l2 = ½ .q.2,52 M . yb σ= Ix (dipakai yb supaya tegangan pada serat bawah akan maksimum 140 MPa) 1 .q.2,5 2.10 6 .150,96 140 = 2 101807892 ,7 q = 30,21 kN/m Mmaks = ½ .30,21.2,52 = 94,40625 kNm
σa =
M . y a 94,40625 .10 6.99,04 = = 91,84 MPa Ix 101807892 ,7
σb =
M . y b 94,40625 .10 6.150,96 = = 140 MPa Ix 101807892 ,7
91,84 MPa
garis netral
140 MPa Diagram Regangan Pada Penampang Contoh 6.3. Balok baja dengan penampang I dibebani dengan dua beban terpusat seperti tergambar. Akibat beban maka serat bawah penampang mengalami perpanjangan sebesar 0,12 mm, yang diamati pada titik ukur A dan B. Hitung besar beban P, E baja = 200 GPa P
P 200 mm
2m
2m
2m
16 mm 10 mm 460 mm 16 mm 191 mm Penyelesaian: Luas penampang, A = 191.16.2 + 428.10 = 10392 mm2 Momen Inersia Ix = Ixo + Ay’2 Ix = 2( 112 .191.163 + 191.16.2222) + Hukum Hooke σ = ε .E 0,12 σ= 200.10 3 200 σ = 120 MPa
1 12
.10.4283 = 366689824 mm4
M = P.2000 M .y I 2000 .P.230 120 = 366689824
σ=
P = 95658 N = 95,658 kN Contoh 6.4 Sebuah balok dengan penampang terdiri dari dua bahan, bagian atas adalah kayu dengan ukuran 150 mm x 250 mm sedangkan bagian bawah terdiri dari baja dengan ukuran 150 mm x 10 mm, seperti terlihat pada gambar. Apabila penampang balok memikul momen lentur sebesar 30 kNm, hitunglah tegangan maksimum dalam dalam kayu dan baja. E kayu = 10 GPa, E baja = 200 GPa.
250 mm
10 mm 150 mm
Penyelesaian: Perbandingan E baja dengan E kayu: Ebaja 200 = = 20 Ekayu 10 Kedua bahan tersebut dijadikan bahan satu bahan yaitu bahan padanan baja, sehingga ukuran penampang menjadi: n=
