U.S.T.H.B
Compte Rendu
4ème Année Ingénieur Instrumentation
TEC 588 – TP5 JHRMTEC588TP5D2-IV-2012
Oscillateur à Pont de Wien Jugurtha Hadjar & Raouf Moualdi
« Diviseur de tension », on simplifie et on trouve l’expression suivante :
But de la manipulation Étudier un quadripôle actif comprenant un circuit de Wien bouclé sur un montage à AmpliOp. -Réponse harmonique & Auto-oscillateur : Amorçage et caractéristiques des oscillations. Note : Les schémas ont été faits à l’aide de Multisim, de National Instruments. Les simulations ont été conduites à l’aide de LT Spice, de Linear Technology Incorporated.
I. Étude d’un filtre passif : le circuit de Wien en régime harmonique Schéma
R Vs
R
C
C Ve
V 3RCω RCω j1 RCω RCωRCω V 1 RCω RCω 3RCω 3RCω Pour la résonnance, on devra avoir une partie imaginaire nulle, ce qui nous conduit à écrire :
1 RCω 0 ω étant la pulsation de résonnance. ω RC1 2πf 10 rad/s f étant la fréquence de résonnance. 1 f 2πRC f ! 1591.549431 Hz Ce qui se passe à la fréquence de résonnance: maximal est donc: donc: , le gain maximal
RCω 1
V 1 V 3 R 1 k Ω ; C .1µF Ce filtre a les caractéristiques d’un filtre passebande (gain nul aux extrémités du spectre fréquentiel). L’impédance du condensateur est infinie aux basses fréquences ce qui implique une tension de sortie nulle (pas de courant circulant via le circuit à cause du circuit-ouvert qu’est C) et elle (l’impédance du condensateur) est nulle aux hautes fréquences, ce qui force la tension à 0, vu que le condensateur devient un court-circuit.
Et le déphasage entre les signaux d’entrée et de sortie est nul.
Noter le rapport d’amplitude (1/3) et le déphasage (0°). Etudions ce système de plus près en retrouvant l’équation différentielle (et donc, sa fonction de transfert) régissant son fonctionnement et en utilisant le diagramme de Bode).
'
Soit le courant circulant dans la plus grande maille. Soit ) le courant circulant via le condensateur de gauche. Donc, le courant via la résistance de gauche (celle dont la ddp représente ) est *.
' + 1 1 +, - +, 1 +, - +, +, -
Remplaçons par son expression :
6 -
En notant et en simplifiant, nous trouvons l’équation suivante :
i
V
'' +, -1 ' .
+ 6 +, 3 +, 1 +, 6 La transformée de Laplace de cette équation, en supposant que les conditions initiales soient nulles (tension aux bornes des condensateurs) s’écrit sous la forme suivante :
7+7 16 37 67+,7
Donc :
' - +, En même temps :
' ' -1 ' . Divisons de part et d’autre par , dérivons par rapport au temps, et séparons ' et ' . ' -1 ' . ' Remplaçons ' par son expression en fonction de +, ' -1 -. +, . - +, ' 1 +, - +, Par ailleurs :
+ -1 '. .'. +, Dérivons par rapport au temps.
+ 1 ' ' +, -
La fonction de transfert normalisée à s’écrit comme suit :
6 18
7 7 ++,7 7 7 37 1 Dans notre cas, 6 0.1 :8 Nous allons utiliser l’environnement MATLAB pour tracer les diagrammes d’Amplitude et de Phase de Bode. Le
caractère
commande
de
>>
représente
‘‘Command
l’invite
Window’’et
de le
texte écrit dans cette police représente les commandes tapées sur MATLAB >>Num=[1*10^-4 0] ; >>Denum=[1*10^-8 3*10^-4 1] ; >>G=tf(Num,Denum) >>bode(G)
Le résultat est la figure suivante qui met en évidence l’aspect « passe bande » du Pont de Wien :
10 rad/s
Nous constatons qu’à la pulsation (l’axe est noté « frequency rad/s »), le gain est à son maximum (i.e, l’atténuation est à son minimum) :
;< ! 9.542425094 Cette valeur correspond à un gain d’un tiers (1/3) . En effet :
;< 20=>?@ 13 ! 9.542425094 La phase sur le diagramme de Bode à cette même pulsation n’est pas d’un zéro exact, mais est de -0.0687 degrés. Que peut-on conclure à partir de ces valeurs et du but probable du montage suivant? D’abord, concernant le Pont de Wien : A une certaine fréquence, le déphasage est nul et le gain est d’un tiers. Cela veut dire que l’on ne peut pas l’utiliser pour produire des oscillations car pour que les conditions de Barkhausen soient satisfaites, nous avons besoin que le gain soit de 1. Nous avons donc besoin d’amplification, i.e : de composants actifs qui n’existaient pas à l’époque de Wien. D’ailleurs,
Wien n’a pas utilisé son « Pont » comme oscillateur, il ne le pouvait pas. William Hewlett, dans sa thèse de master avait introduit l’amplificateur opérationnel au Pont de Wien pour produire un oscillateur aux caractéristiques respectables, notamment en ce qui concerne la distorsion qui est un paramètre très important en audio, et d’autres applications. Plus tard, William Hewlett sera co-fondateur de Hewlett-Packard (HP) dont l’un des premiers produits est justement un oscillateur basé sur le Pont de Wien et les améliorations apportées par Hewlett dans ses travaux de thèse. Grâce à l’amplificateur, nous pouvons avoir un gain de 3 multiplié au gain de 1/3 du Pont de Wien, ce qui donne un gain de 1V/V. Le déphasage en une certaine fréquence étant nul et la tension de sortie étant injectée à l’entrée inverseuse de l’ampli-op (déphasage de 180°) : Les conditions de Barkhausen sont satisfaites, et des oscillations prennent forme. Nous pouvons ainsi produire sinusoïdal à moindre coût.
un
signal
I J KLE IE I J KGE M I II E N E J
II. Étude d’un filtre actif : Pont de Wien bouclé sur un montage amplificateur. II.1. Réponse en régime harmonique L’oscillateur à Pont de Wien à base d’ampli-op utilise les contre-réactions négative et positive (positive & negative feedback).
Multiplions le dénominateur et le nominateur par E J.
I I
KLE IJ KGE IE IJ IE Divisons par
IE KLE IIJE KGE E IEIIJ E
Forme canonique d’une fonction de transfert en boucle fermée :
P O EPQ R@ 2.4 kΩ , R potentiomètre 10 kΩ Quelle est la fonction de transfert en boucle fermée (FTBF) du système ? Nous avons déjà établi la fonction de transfert notée G, du Pont de Wien (en boucle ouverte). Pour rappel, c’est le rapport entre la tension de sortie du pont (ou l’entrée non inverseuse B de l’ampli-op dans notre cas) et de la tension d’entrée du pont (ou la tension de sortie DE de l’ampli-op dans notre cas).
A
En d’autres termes :
AB DE Quelle est la tension à l’entrée inverseuse ? En appliquant le théorème de Millman, on trouve :
J K IE K G IEII J GE IE IJ LE En égalisant G et AB : IJ KGE IE KLE DE IE IJ IE IJ DE IEIEIJ IEIJIJ KGE
Dans le contexte de systèmes électriques/électroniques, on utilise la notation
O ES IIJE J S IEII E S est ce qui est appelé « loop gain ». Pour que le système oscille, il faut que sa fonction de transfert ne puisse pas être satisfaite, autrement dit que son dénominateur s’annule, et donc que .
S E IEIEIJ E IE IJ E IE
Nous savons que
@ . ET à la fréquence f U* E IIJE T IJ J IE
La sortie essaiera donc de tendre vers l’infini aussi rapidement qu’elle le puisse. Cela aurait été dangereux si ce n’est que le système est rappelé à la réalité physique qu’est son énergie limitée (+VCC et –VCC).
Il y a des circuits appelés « Automatic Gain Control circuits », ou AGC, où le gain est contrôlé. La figure suivante montre un de ces montages :
II.2. Mise en évidence des oscillations GBF débranché et borne d’entrée circuitée.
V@
court+VCC
On rompt la chaîne de contre-réaction positive, ce qui ne modifie pas le gain de l’ampli-op. Le gain étant de 1/3, il faut que le gain de l’ampli soit de 3 pour avoir . D’où X .
|S| 1
Y
2
L’oscillateur peut présenter des distorsions causées notamment par l’écrêtage à + ou – VCC. Des harmoniques peuvent être observées.
R
R3 D1
R2
R4
R1 e-
e+
2R
Lorsque l’on augmente (plus que @ ), on a des distorsions, et lorsque l’on diminue sa valeur, les oscillations cessent (le système devient stable, car les pôles sont sur la partie gauche du plan p, i.e : Les solutions sont à parties réelles négatives).
R R
R5 C
C
D1 R6
Il faut donc un mécanisme pour limiter le gain à une valeur exacte : entre en scène un élément non linéaire, comme une lampe incandescente à la place de @. (Schéma proposé par William Hewlett dans sa thèse).
R
La résistance de la lampe est proportionnelle à la température. Lorsque la lampe est froide, sa résistance Z est petite, le gain est donc important (X >2 et donc le gain >3). Le courant
R [
chauffe le filament de la lampe, sa température augmente, sa résistance augmente, et donc le rapport X diminue, le gain diminue, la lampe
[
refroidit, sa résistance augmente et on a un nouveau cycle.
Cet élément non-linéaire qu’est la lampe évite la saturation de l’amplificateur, et évite que les oscillations ne cessent. Il améliore considérablement les performances de l’oscillateur, en évitant les distorsions. Cela dit, cette solution a ses inconvénients naturellement.
-VCC
Les résultats des manipulations effectuées lors de la séance de TP seront joints, écrits à la main.
Références : Ron Mancini – Design Reference : Op-Amps for Everyone – Texas Instruments. (Chapitre 15 : Sine Wave Oscillators) Jim Williams – Application Note 43 : Bridge Circuits, Marrying Gain and Balance – Linear Technology Corporation.
