ETUDE DE LA DALLE PAR LA METHODE GUYON- MASSONNET PRINCIPE GENERAL DE LA METHODE: La méthode GUYON- MASSONNET est l’une des multiples méthodes pratiques utilisées pour calculer les structures composées de : - DALLES PLEINES - GRILLAGE DE POUTRES POUTRES MULTIPLES SOUS CHAUSSEE ETC...
1°/ Dans le sens Longitudinal a) Calcul des moments fléchissant permanentes G sur une bande égale à L/2 =6.5m b) Calcul des moments fléchissant dus aux surcharges roulantes par le théorème de BARRE en utilisant les lignes d’influence « Longitudinales Longitudinales » c) Calcul des coefficients coefficients de Répartition transversal pour les charges roulantes: - Kα moy en ce qui concerne le moment fléchissant Mx.
2°/ Dans le sens Transversal. a) Calcul des coefficients de répartition µα b) Convertir les charges réelles en fonctions sinusoïdales (Voir les détails de chaque type de charge)
DETERMINATION DETERMINATION DES EFFETS DANS LE SENS LONGITUDINAL: LONGITUDINAL: 1,50
3,50
3,50
x
1,50
x 70
30 20 20
1 2 3
20
90
20
-b -3b/4 -b/2
20
-b/4
0
+b/4 b/2 +3b/4
90
20
+b
-
Poids propre de la dalle: charge permanente la surface de la dalle est ;
-
S
S
= (1000 – 2 x 20) x 70 – 2 x ( S1+ S2+ S3) 20 x90 20 x30 + 90 x30 ) = 59400 cm2 = (1000 – 2 x 20) x 70 – 2 x ( 2 2
Dal le en B. A : G0 = S x 2.5 = 5.94 x 2.5 =
14.85 t/m ⇒ CP = 14. 85 t/ml t/ml
Complément des charges permanente Revêtement : = 1.23 t/ml Trottoirs : = 2 x 1 = 2 t/ml Gardes corps ; = 2 x 0.1 = 0.2 t/ml Corniches : = 2x 0.5 = 1t/ml
1. 2. 3. 4.
⇒ CC p = 4.43 t/ml
G =19.28 t/ml Détermination des moments MAX dans le sens longitudinal Calcul du moment fléchissant du aux charges permanentes: 2 19 .28 x13 2 G × L = = 407.29 t.m M=
Pour X= 0.5 L :
8
8
M/section = 407,29 / 8= 50,911 tm Application des surcharges routières: Il s’agit d’un pont de classe1, les surcharges applicables sont A (L) et Bc Evaluation de A (L) = a1 x a2 x A(Lo): a1= 1 a2 = Vo/V= 3.5/3.5 =1 36000 36000 2 A (lo)=230 + = 230 + = 1670 kg/m2 = 1.67t/m L + 12 13 + 12 1 voie chargée 2 voies chargée A(l) =1.0 x 1.0 x7.00 x 1.67 = 11.69 t/ml
A(l) =1.0 x 1.0 x3.5 x 1.67 = 5.845 t/ml M=
A( L) × L 8
2
= 123.475 t.m
M=
A( L) × L 8
Calcul le moment MAX de la surcharge BC
12t
R
2
= 246.95t.m
: par théorème de barré
12t
6t
6t a a
1.625m
4.5
1.5
4.5
0.875
S
X= 0.5 L = 6.50
x =
∑ pixXi ---/ x = 12 x4.5 + 12 x6 + 6 x10.5 = 5,25m 36 ∑ Pi
On trouve 2a = 5.25 - 4.5 ⇒ a = 0.375 m le moment est max ou point s M s = 76.89 tm M = M s x δ x b --- Le nombre maximal d’essieux à mettre sur le tablier est 5,
Soit s =12 + 12 + 6 + 12 +12 = 54 t
b c =1.1 (2 files) b c =1.2 (1 file )
S = 2 x 54 x 1.1 =118.8 t Calcul du coefficient de majoration dynamique: 0 .4 0 .6 0.4 0.6 δ = 1 + + = 1+ + G 19.28 1 + 0.2 L 1 + 0.2 × 13 1+ 4× 1+ 4× S 118.8
1voie chargée M = 76.89 x 1.2 x 1.47 = 135.65 t.m
= 1 ,47
2voies chargées M = 76.89 x 2 x 1.1 x 1.47 = 248.66 t.m
Répartition longitudinale des surcharges: Suivant la ligne d’influence Mx a mi porté (X= 0.5L) Système Bc ; A (l); trottoir
P2 = 12t p3 = 12t p1= 6t
p4= 6t
Bc A(L) Trottoir 1.00
3..25
2.5
0.25
Ω2
Ω1 X= 0.5l = 6,5
6 ,5 m
Ligne d’influence du Moment a mi porté ; X =0.5l o
Surcharge Bc
M=
∑ Pi x Yi
M (x =L /2) = 6x 1+ 12 x 3.25 + 12 x 2.5 + 6 x 0.25 = 1 VOIE chargée
2 voies chargées
M = 76.5 x 1.47 x 1.2 = 134.94 t.m
o
Surcharge A (L)
M = q x l x
76.5t.m
M=76.5 x 2 x 1.1 x 1.47 = 247.40 t.m
∑
Ω i , q = intensité de la charge par unité de surface. Ω i = Aire de la ligne d’influence. = Largeur de la voie chargée. 2 voies chargées M = 1.67 x 7 x 21.125 = 246.95 t.m l
1 voie chargée M = 1.67 x 3.5 x 21.125 = 123.475 t.m
o
M = q x l x
Surcharge du trottoir)
1 trottoir chargé
∑
Ωi
2 trottoirs chargés M= 0.15 x 2 x 1.5 X 21.125 = 9.5 tm
M = 0.15 x 1.5 x (10.5625+10.5625) = 4.75 tm
CALCUL DES COEFFICIENTS DE REPARTITION TRANSVERSALE PAR LA METHODE DE GUYONMASSONNET
DEFINITIONS GENERALES: La méthode de GUYON- MASONNET permet d’étudier la répartition des charges sur un ouvrage en tenant compte de sa déformabilité traversable et, dans le cas le plus général, de sa rigidité torsionelle. Soient: L - la portée de l’ouvrage. 2 b - sa largeur. I p - le moment d’inertie des poutres. I e - le moment d’inertie des entretoises.
ρ ρ
- la rigidité flexionnelle par unité de longueur des poutres.
P
E
- la rigidité flexionnelle par unité de longueur des entretoises.
Dons les ponts dalles α =1 Paramètre de torsion On désigne par:
θ
= b/L x
4
ρ ρ
P
le paramètre d’entretoisement .
E
On notera que pour une dalle pleine
ρ = ρ P
E
et
4
ρ ρ
P
= 1.
E
Calcul de la largeur équivalente
- Le moment d’inertie de la section (1) IX =
90 × 203
- - Le moment d’inertie de la section (2) IX =
- Le moment d’inertie de la section (3) IX =
Le moment d’inertie de la dalle est IX =
+ 1.662 ×
36 20 × 303 36
90 × 20 12
+ 252 ×
20 × 90 2 20 × 30 2
= 22500 cm4 = 202500 cm4
3
+ 20 2 × 30 × 90 = 1282500 cm4
(1000 − 2 x 20) × 703 12
- 2 x (22500+202500+1282500)
= 27440000 – 3015000 = ,24425000 cm4 (2b) × 703 Le moment d’inertie de la dalle équivalente est IE X = 12
( 2b) × 70 3 12
= 24425000 ⇒ 2b = 8, 545 m ⇒ b = 4, 27m
θ = b/L ; L = 13m donc : θ = 0, 3286 d’ où : La largeur 2b de l’ouvrage à prendre en compte dans les calculs sera pour un pont Dalle égal à la largeur réelle de la dalle. En fonction de ces deux paramètres on peut lire sur les tableaux de GUYON- MASSONET les valeurs des coefficients K; µ. Etc. qui servent à dessiner les lignes d’influence des différents moments. Pour le projet et par mesures simplificatrices on s’intéresse au: 1°/ Moment fléchissant longitudinal Mx 2°/ Moment fléchissant Transversal
Etant donné que le paramètre de torsion Seront considérés. K α
My
α =1 ; seuls les tableaux de K 1 ; µ1
= Ko + (K1 - Ko)
α
→ K α
= K 1
Les valeurs moyennes des coefficients de répartition transversale seront obtenues à travers l’exploitation des courbes des lignes d’influence (voir ci-après).
TABLEAU DES COEFFICIENTS DE REPARTITION TRANSVERSALE K1 POSITIONS REELLES (POSITIONS ACTIVES) θ = 0, 30 : Y
e
-b
-3b/4
-b/2
-b/4
0
b/4
b/2
3b/4
b
0
0.9664
0.984
1.0018
1.0173
1.0244
1.0173
1.0018
0.984
0.9664
b/4
0.8776
0.9104
0.9453
0.982
1.0173
1.0451
1.0591
1.0652
1.0689
b/2
0.8012
0.8453
0.8929
0.9453
1.0018
1.0591
1.1108
1.1508
1.1849
3b/4
0.7345
0.7876
0.8453
0.9104
0.984
1.0652
1.1508
1.2351
1.3126
b
0.6733
0.7345
0.8012
0.8776
0.9664
1.0689
1.1849
1.3126
1.4474
TABLEAU DES COEFFICIENTS DE REPARTITION TRANSVERSALE K1 θ = 0, 35 : POSITIONS REELLES (POSITIONS ACTIVES) Y
e
-b
-3b/4
-b/2
-b/4
0
b/4
b/2
3b/4
b
0.9466
0.9741
1.0025
1.0279
1.0399
1.0279
1.0025
0.9741
0.9466
0.834
0.8781
0.9261
0.9777
1.0279
1.0659
1.0807
1.0824
1.0808
0.7408
0.7958
0.8568
0.9261
1.0021
1.0807
1.1496
1.1983
1.2369
3b/4
0.6624
0.7255
0.7958
0.8781
0.9741
1.0824
1.1983
1.3115
1.4123
b
0.5926
0.6624
0.7408
0.834
0.9466
1.0808
1.2369
1.4123
1.6001
0 b/4 b/2
Et par l’interpolation ; K1 (θ=0, 3286) = K1 (θ=0, 30) + 0,572 x
K1 (θ=0, 35)- K1 (θ=0, 30)
TABLEAU DES COEFFICIENTS DE REPARTITION TRANSVERSALE K1 POSITIONS REELLES (POSITIONS ACTIVES) θ = 0, 3286 : Y
e 0 b/4 b/2
3b/4
b
-b
-3b/4
-b/2
-b/4
0
b/4
b/2
3b/4
b
0.9551
0.9783
1.0022
1.0234
1.0333
1.0234
1.0020
0.9783
0.9551
0.8527
0.8919
0.9343
0.9795
1.0234
1.0570
1.0714
1.0750
1.0757
0.7667
0.8170
0.8723
0.9343
1.0020
1.0714
1.1330
1.1780
1.2146
0.6933
0.7521
0.8170
0.8919
0.9783
1.0750
1.1780
1.2788
1.3696
0.6271
0.6933
0.7667
0.8527
0.9551
1.0757
1.2146
1.3696
1.5347
TABLEAU des Moments M0 de chaque surcharge Surcharge
CAS de surcharge
Moment TOTAL
Moment / section
M0 =MT/8 A(L)
1 voie
123.475
15.434
Bc
2 voies 1 file 2 files
246.95 135.65 t.m 248.66 t.m
30,869 16.956
1 Trottoir
4.75
0.593
Trottoir
31.082
9.5 1.187 2 Trottoirs TABLEAU des coefficients de répartition transversale et des moments pour chaque section K1moy -- M xt = M0 x K 1 moy
Surch -arge
M0
Position de section 0b
Position de section b/4
Position de section b/2
K 1
K 1
K 1
moy
15.434
1A(L)
1trttoir 2trttoirs
K 1 moy
Mxt
K 1
Mxt
moy
16.189
1.095
16.900
1.142
17.625
1.180
18.211
1.012 31,300
1
30.867
1
30.868
1
30.867
1.00
30.869
1.017 17.244
1.067
18.09
1.136
19.259
1.20
19.258
1.24
21.023
1.155 35,900
1.038
32.262
1.061
32.977
1.03
32.014
1.08
33.568
0.955
0566
1.076
0.637
1.215
0,640
1.37
0.812
1.53
0.907
1.187 1,016
1,206
1.144
1.215
1.442
0.987
1.171
1.082
1.285
31.082
2BC
moy
Mxt
1.049
16.956
1BC
moy
Mxt
Position de section b
1.021 15.757
30,869
2 A(L)
Mxt
Position de section 3b/4
0.593
0.964
TABLEAU DES MOMENTS MAX DE chaque section Section Les -4Y =3b/4 sections
Charge 50,911 permanente
30.867 Surcharge A (L)
Surcharge 33.568
Surcharge 1.285
bc
De trottoir
+1.2[33.568 +1.285] final 50,911Moment MCP= +1,2 [A(L)+MT] 92.723 ou MCP+1,2[bc +MT]
Section - 1 Y=0b
50,911
30.929
35,900
1,206
50,911 +1.2[35,9 +1.206]
Section2y = b/4
= 95,438 30.867
32.262
1.144
= 90.998
50,911
Section3y =b/2
50,911
Section -4Y =3b/4
50,911
50,911 +1.2[32.262+1.144]
30.868
32.977
1.442
50,911 +1.2[32.977+1.442]
= 92.205 30.867
32.014
1.171
50,911 +1.2[32.014+1.171]
90.7205 LES SECTIONS LES PLUS sollicités est ; Section – 1 - « Y =0b »
Détermination des moments MAX dans le sens TRANSVERSALE Les moment fléchissant My , est en règle générale maximum sur l’axe longitudinal De l’ouvrage. (e = 0b) On a à mi-portée : X = L/2 Dans la pratique on se contente d’étudier les moments dans le sens transversal au Centre du pont.
On disposera les convois sur les lignes d’influence des « µ » pour déterminer :
µ max > 0 µ max < 0
d’ ou
My max > 0
d’ou
My max < 0
θ = 0, 30 : TABLEAU DES μ1 x 10-4 POSITIONS REELLES (POSITIONS ACTIVES) y e
-b
-3b/4
-b/2
-b/4
0
b/4
b/2
3b/4
b
734.1
1820.55
734.1
102.5
-787.36
-1401.34
106.16 200.19 230.77
810.65
1764.97
532.19
-480.51
-1389.52
212.24
776.33
1560.43
108.57
-1195.94
-46.46
208.53
567.03
1072.76
-762.34
0
0
0
0
0
0
0
1401.34 787.36 -102.5 b/4 1265.04 871.88 432.67 b/2 -993.38 766.73 513.06 3b/4 -580.08 -480.7 369.19 b 0 0 0
θ = 0, 40 : TABLEAU DES μ1 x 10-4 POSITIONS REELLES (POSITIONS ACTIVES) y e 0 b/4 b/2
3b/4 b
-b
-3b/4
1016.48 616.52 -884.18 660.13 -678.82 568.18 -393.82 353.78 0
0
-b/2
-b/4
0
b/4
b/2
131.42 546.21 1563.32 546.21 -131.42 386.57 1.69 596.48 1530.71 416.12 -431.7 233.31 79.66 584.96 1397.86 303.53 227.65 -102.61 107.16 455.09 0
0
0
0
3b/4
b
-616.52
-1016.48
-390.73
-1059.01
106.2
-967.12
1021.08
-658.96
0
0
0
Et par l’interpolation : μ1 (θ=0, 3286) = μ1(θ=0, 30) + 0,286x μ1(θ=0, 40)- μ1(θ =0, 30)
θ = 0, 3286: TABLEAU DES μ1 x 10-4 POSITIONS REELLES (POSITIONS ACTIVES) y e 0
-b
-3b/4
-b/2
-b/4
-1291.27 -738.50 -110.77 680.36
0
b/4
b/2
3b/4
b
1746.98
680.36
+ 35.60
-738.50
-1291.27
b/4
-1156.11 -811.32 -419.48
b/2
3b/4 b
76.28
749.40
1697.97
+ 499.00
-454.83
-1294.99
-903.42
-709.94 -489.79 -209.66
174.32
721.60
+1513.95
107.89
-1130.50
-526.81
-444.40 -350.41 -229.88
-62.52
179.54
+535.02
1058.00
-732.77
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Rappel des formules Charge répartie uniformément sur L. q
My = µ x 4q sin My = µ x Z Z =4q sin
L
les charges concentrées
- Convoi de charges P1
P2
P3
Pn
My = µ x P sin . Sin Z = P sin. Sin My = µ x Z
d1 d2
d3 dn L
Définition des paramètres qui figuraient dans les deux formules précédentes: L: Longueur du pont. b: ½ Largeur équivalente du pont. p: Charge concentrée. q: Charge linéaire par mètre linéaire. µ : Coefficient de répartition transversal déterminé à partir des lignes d’influence de µ x : Position de l’entretoise dans le sens longitudinal par rapport à l’appui. d : Position du point d’application de la charge par rapport à l’appui.
Remarques: Pour déterminer les valeurs maximales des moments fléchissant transversaux, il faut chercher la position la plus efficace du chargement (pour avoir
∑ µ
max) dans le sens transversal en se basant
sur les lignes d’influence et dans le sens longitudinal se placer au droit d’une des charges.
APPLICATION NUMERIQUE Détermination de « Z » à mi-portée (X= L/2 ) b = 4 ,27m
a) surcharges uniformément réparties A(l) = 1.67 t/m² ; X= 6,5 m
Z
4 x1.67 =
x 4.27 x sin
π 6.5
13
π
9.08
=
Trottoirs : q = 0,15 t/m² ; X = 6,5 m
. Z =
4 x0,15
π
x 4,27 x sin
π 6.5 13
=
0,816 =
Le système Bc:
x = 6,5 m P2=6 p3=6t
p4=3t
P1=3t
d1=2.00m d2=6.5m d3 = 8m d4=12,5m 2b = 13 m
P1 = 3.0 t d1 = 2,0m
Z =
2 x 4,27 13
x 3 sin
2π 13
P2 = 6.0 t P3 = 6.0 t P4 = 3,0 t d2 = 6.5 m d3 = 8.0 m d4 = 12.5 m
+ 6 sin
6.5π 13
+ 6 sin
8π 13
+3 sin
12.5π 13
x sin
6.5π 13
=
8,78 t.m/ml
+b
N .B : Le poids propre n’intervient pas dans le My. Puisque
∫ µ .dy = 0
−b
TABLEAU RECAPITULATIF DES My TABLEAU de M y = £ .Z.µ /ml
SECTION y = « 0.b »
∑ µ £ A (L) 1 voie
a 1 x a2 = 1 A(L) 2 voies 1 1Bc (une file)
1.47x1.2
Z
∑ µ
>0
My = £ .
∑ µ
<0
∑ µ x Z
My > 0
My < 0
0
+ 2,907
0
+ 1885.98
0
+ 1,712
0
+ 1400.30
- 225.60
+ 2,169
- 0,349
x10-4
x10-4
9.08
+ 3201.72
9.08 8,78
2Bc (deux files)
+ 230.50
1.47x1.1
0
M max 1 trottoirs
0.816
1
2 trottoirs
0.816
+ 0,327
0
+ 2,907
- 0.349
0
- 921,62
0
-0.0753
0
- 1843,25
0
- 0.150
+ 3,488
- 0.600
M Y = 1,2 x (M max +Mmax trottoir)
SECTION y = « b/4 »
∑ µ £
∑ µ
Z
∑ µ
>0
a1 x a2 = 1 A(l) 2 voies 1 1Bc (une file)
1.47x1.2
2Bc (deux files)
1.47x1.1
<0
2 trottoirs
My < 0
9.08
+ 3587,96
- 1268 ,30
+ 3,258
- 1,151
9.08
+ 1448,64
0
+ 1,315
0
8,78
+ 1550,58 + 2025,60
-880,70 0
+ 2,402 + 2,876
- 1,364 0
+3,258
- 1,364
0.816 0.816
1
My > 0
x10
-4
M max 1 trottoirs
∑ µ x Z
x10
-4
A(L) 1 voie
My = £x
0
-777 ,55
0
-0.0633
0
- 1504 ,25
0
- 0.123
+3,91
- 1,784
M Y = 1,2 x (M max +Mmax trottoir)
SECTION y = « b/2 »
∑ µ £ A(l) 1 voie A(l) 2 voies 1
∑ µ
Z
>0
My = £x
∑ µ
<0
My > 0
My < 0
- 1169.4
+ 2,529
-1.062
+ 1257,16
0
+ 1,141
0
+ 1738 ,95 +1075 ,85
- 975,55 0
+ 2.693 + 1.527
- 1.511 0
+ 2,693
-1.062
0
- 0.05
x10-4
x10-4
9.08
+ 2785,60
9.08 8,78
a1 x a2 = 1
1Bc(une file)
1.47x1.2
2Bc(deux files)
1.47x1.1
M max 1 trottoirs
∑ µ x Z
0
- 617 ,75
0.816 0.816
1
2 trottoirs
-1133,548
0
M Y = 1,2 x (M max +Mmax trottoir)
0
-0.0923
+ 3,232
- 1,385
SECTION y = « 3b/4 »
∑ µ £
A(L) 1 voie
a1 x a2 = 1 A(L) 2 voies 1 1Bc (une file)
1.47x1.2
2Bc (deux files)
1.47x1.1
∑ µ
Z
>0
My = £x ∑ µ x Z
∑ µ
<0
My > 0
My < 0
- 975,85
+ 1,344
-0.886
+ 515,42
0
+ 0,468
0
+ 1250,70 + 1050,60
- 720,30 - 695 ,40
+ 1.937
-1.115
+ 1.492
-0.987
+ 1.937
-1.115
x 10-4
x 10-4
9.08
+ 1480,20
9.08 8,78
M max 1 trottoir 2 trottoirs
1
0.816 0.816
0
- 374,30
0
-0.03
0
- 529,82
0
- 0.0433
+ 2.324
- 0,088
M Y = 1,2 x (M max +Mmax trottoir)
Pour la SECTION y = « + b» le moment est nulle Les sections les plus sollicités sont :- - SECTION y = « b/4 » -- M max = +3,91t.m/ml --
SECTION y = « b/4» ---M max
=-
1,784.m/ml
