Exercices de Télécommunications GTR 2nde année
Télécommunications impulsionnelles semaine 8
Modulation par Impulsions et Codage (MIC) Le signal analogique est mis sous forme numérique en trois étapes: échantillonnage, quantification et codage. échantillonnage:
Le signal e(t) possède le spectre limité par f max suivant: amplitude
fréquence fmax
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Représenter le spectre du signal écantillonné e*(t). Quelle est la première fréquence "repliée dans le spectre de
e*(t) ? En réalité, le signal d'entrée est entaché de bruit et le spectre du signal plus le bruit possède des composantes de fréquences supérieures à f max; Ces fréquences introduisent une erreur au repliement, qu'il est possible d'atténuer en faisant précéder l'échantillonneur d'un filtre passe bas dit d' antirepliement . Ainsi, si l'on désire que l'influence des fréquences repliées soit inférieure à a%, il suffit que ce filtre atténue d'au moins 20 log(a) la première fréquence repliée (sans toucher f max autant que possible). Il est toujours préférable de limiter la bande de fréquences d'un système à la bande utile afin de ne pas laisser le bruit entrer. quantification:
La quantification consiste à associer la même valeur numérique à toutes les impulsions dont l'amplitude se situe dans une même plage. En général la quantification fait correspondre à l'amplitude l'amplitude d'un échantillon e(nTe)=en le nombre an si anq≤(an+1)q. q est le quantum, ou échelon. a n est le nombre issu du quantificateur qui doit ensuite être codé pour être transmis. Les nombres issus du quantificateur sont codés sur N bits, le poids fort étant le signe, les autres bits la valeur absolue de l'échantillon. Supposons N=3 et q=0.1 V. Pour en=+0.06V, on a an=100; pour en=-0.006V, an=000; pour en=-0.36V, an=111.
• • •
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3 4 est Fe=10 f.
Quelle est la valeur absolue V max du signal à l'entrée du quantificateur ? Représenter la caractéristique a(e) du quantificateur précédent. Si e(t)=7/2 q sin(2πft), indiquer la suite des codes transmis sur une période quand la fréquence d'échantillonnage
Le signal quantifié n'est pas exactement identique au signal initial. Pour chaque échantillon, l'écart εn=ε(nTe)=en-anq correspond à un bruit ε(t) dit bruit de quantification. Pour limiter ce bruit, on restitue à la réception la valeur anq+signe(an)q/2.
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Calculer pour l'exemple précédent les écarts εn obtenus avec et sans le demi quantum. Exprimer la valeur ∆max de l'écart en fonction de q pour les deux cas. Cet écart est-il indépendant du niveau du
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On suppose e(t)=E sin (2πft) et ε(t)=∆max sin (2πft). Exprimer le rapport signal sur bruit en fonction de E et
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signal ?
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∆
max.
Le rapport signal sur bruit n'est pas constant et dépend de l'amplitude du signal. On veut estimer ce rapport pour les différents niveaux possibles de quantification dans le cas du demi quantum. On utilise pour le niveau 1, E=q et ∆=∆max; pour le niveau 2, E=2q et ∆=∆max; etc.
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Exprimer les différents rapports correspondants aux différents niveaux. En conclure qu'une quantification 8 linéaire entraîne un faible rapport signal sur bruit pour un faible niveau d'entrée. Une solution consiste à augmenter augmenter le nombre de bits du code transmis, c'est à dire augmenter le nombre de plages de codage et diminuer le quantum q. • 9 Si E est l'amplitude du signal d'entrée, donner la valeur du rapport signal sur bruit si l'amplitude est codée sur 1,2,3... bits. Montrer qu'on améliore le rapport signal sur bruit de 6 dB chaque fois que l'on ajoute un bit au code. Quantification avec compression:
On peut imaginer une quantification dont le quantum varie avec l'amplitude du signal. De faible pour les niveaux d'entrée faibles, l'échelon augmente lorsque le niveau d'entrée augmente. Le codage n'est plus linéaire. Le CCITT (Comité Consultatif International Télégraphique et Téléphonique) a adopté la loi à 13 segments pour le codage des signaux téléphoniques: 8 segments sont définis dans le quadrant positif et symétriquement 8 segments dans le quadrant négatif. Les 4 segments autour de l'origine sont colinéaires (d'où en fait 13 segments): 0 ≤ x ≤ 1 / 64 segments 0 et 1 y = 16 x segment 2 segment 3
1 / 64 ≤ x
≤ 1 / 32 1 / 32 ≤ x ≤ 1 / 16
= 8 x + 1 / 8 y = 4 x + 1 / 4 y
segment 4 segment 5 segment 6 segment 7
1 / 16 ≤ x
≤ 1 / 8 1 / 8 ≤ x ≤ 1 / 4 1 / 4 ≤ x ≤ 1 / 2 1 / 2 ≤ x ≤ 1
= 2 x + 3 / 8 y = x + 1 / 2 y = x / 2 + 5 / 8 y = x / 4 + 3 / 4 y
Chaque segment est divisé en 16 plages identiques.
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Combien y a-t-il de plages au total. Montrer qu'un codage sur 8 bits est suffisant.
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Donner la valeur de l'échelon de quantification dans chaque segment en fonction de V max.
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12 Quel serait le nombre de bits nécessaires à une quantification aussi fine pour les bas niveaux ? (segments 0 et 1). Même question pour le segment 7.
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13 Exprimer le rapport signal sur bruit pour le premier et le dernier échelon des segments 0,1,4 et 7 (échelons 1, 16, 17, 32, 65, 80, 113, 128). En conclure que ce rapport est sensiblement constant sauf pour le segment 0. Codage:
Pour le MIC, le code a 8 bits. Le bit de poids fort définit la polarité de l'échantillon (le bit S vaut 0 si le signe est négatif, 1 pour un échantillon positif). Les trois bits suivants ABC définissent l'appartenance de l'échantillon à l'un des sept segments de la caractéristique du quantificateur. Les quatre derniers bits WXYZ définissent le niveau de l'échantillon sur le segment.
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Pour en=Vmax /20, donner le code généré par le codeur.
Exercices de Télécommunications GTR 2nde année
Télécommunications impulsionnelles 25 Octobre 1999 CORRIGÉ
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1
Le spectre de e*(t) est périodique de période F e: amplitude
fréquence fmax
Fe-fmax
Fe
Fe+fmax
La première fréquence repliée est F e-Fmax. Le filtre antirepliement devrait idéalement
supprimer toutes les fréquences
supérieures à f max.
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Les valeurs maximales codables codables correspondent aux nombres 111 et 011. Elles sont supérieures en valeur absolue 2 à 3q et sont situées dans la plage [3q,4q]. Donc Vmax=4q. Un signal d'amplitude supérieure sera écrêté à ±Vmax.
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3
La caractéristique du quantificateur est: a 111 110 101 -3
-2
-1
100 000 1 001
e/q 2
3
010 011
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4
Nous avons Fe=10 f et e(t)=7/2 sin( πFet/5). Les nombres a n correspondent aux échantillons e(nT e), c'est à dire:
e(nTe)=7/2 sin(πn/5):
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5
n e(nTe)/q an code 0 0 0 100 1 2.066 2 110 2 3.33 3 111 3 3.33 3 111 4 2.06 2 110 5 0 0 100 6 -2.06 -2 010 7 -3.33 -3 011 8 -3.33 -3 011 9 -2.06 -2 010 n ε On obtient les écart suivants: n sans demi quantum avec 1 0. 0 6 -0.44 2 0. 3 3 -0.17 sans le demi quantum: q; avec on a ±q/2. Cet écart est une caractéristique du quantificateur. Il ne dépend pas du
6 • signal d'entrée. 7 La puissance dissipée dans une résistance unité par un signal périodique est égale au carré de sa valeur efficace, • donc le rapport signal sur bruit est: E 2 S E = 10 log = 20 log ∆ N ∆2
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niveau S/N (dB) 1 6 2 12 3 15.56 ... ... n 20 log(2n) Plus le niveau du signal d'entrée est faible, plus le rapport signal sur bruit est faible. E est l'amplitude du signal d'entrée. Pour N=1 q=E (S/N) = 6 dB N=2 q=E/2 (S/N) = 12 dB N=3 q=E/4 (S/N) = 18 dB ... N=n q=E/2n-1 (S/N) = 20 log (2n) = 6n dB Le rapport signal sur bruit s'améliore de 6 dB par bit de code. Le nombre de plages est 64+12*16=256. Un nombre de 8 bits convient très bien. Tracer au tableau la caractéristique: 1
7 6 5 4
1/2 3 2 1/4 1 0 1/8
1/4
1/2
1
x
1/128
•
11
segment 0 1 2 3 4 5 6 7
•
12
échelon Vmax
128 × 16 V max 2048 V max 64 × 16 V max 32 × 16 Vmax
=
= = =
V max 2048
V max 1024 V max
512 V max
16 × 16 256 Vmax V max = 8 × 16 128 Vmax V max 4 × 16 Vmax 2 × 16
= =
64 V max 32
Une quantification aussi fine pour les bas niveaux serait q
bits. Le même raisonnement pour le segment 7 donne N=4 bits.
=
V max
2048
=
2V max , soit N 2
2N-1=2048 donc N=12
•
•
13
segment échelon
E
∆ max
V max 2048 V max
V max 4096 V max
128 V max
4096 V max
128 V max
4096 V max
64 V max
4096 V max
16 V max
512 V max
8
512 V max
0
1
0
16
1
17
1
32
4
65
4
80
7
113
V max 2
7
128
V max
64 V max
S/N 6 dB 30 dB 30 dB 36 dB 30 dB 36 dB 30 dB
36 dB 64 Le rapport signal sur sur bruit varie de 30 à 36 dB, sauf pour pour le segment 0 où il part de 6 dB. 14 en=Vmax /20. L'échantillon étant positif, le bit de signe S vaut 1. Il appartient au segment 3, donc ABC=011. Le
quantum q vaut alors Vmax /512. Vmax Vmax
20
=
V max 32
+ xq
finalement, nous avons:
donc
x=
V max 20 32 = 9.36 36 V max 512 SABCXYZ=10111010
−
soit a=10 d'où WXYZ=1010.
