télécom analogique et numérique

Principes des télécommunications analogiques et numériques M. Van Droogenbroeck Février 2008

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97)

M. Van Droogenbroeck

Table des matières – – – – – – – – –

Introduction Signaux et systèmes de télécommunications Modulation d’onde continue Variables aléatoires et processus stochastiques Introduction à la numérisation Transmission de signaux numériques en bande de base Modulation numérique Propagation et systèmes radio Principes de fonctionnement du réseau GSM



1

Détails pratiques – Examen – écrit (obligatoire) – à livre fermé – au moins une question de théorie ! – questions des années précédentes disponibles à l’adresse http://www.ulg.a .be/tele om – Notes de cours – disponibles à l’AEES – version HTML en ligne à l’adresse http://www.ulg.a .be/tele om – Transparents – version PDF en ligne à l’adresse http://www.ulg.a .be/tele om – CD-ROM – sur demande – contenu : – notes au format PDF (en couleurs) et HTML – transparents au format PDF (en couleurs) – questions d’examen des années précédentes



2

Introduction – Historique Données Voix Télécommunications

Mobilité

F IG . 1: Principaux pôles de développement en télécommunications.



3

Introduction – Historique Données Voix Télécommunications

Mobilité

F IG . 1: Principaux pôles de développement en télécommunications. – Organismes internationaux de normalisation en télécommunications – ITU : International Telecommunications Union – ISO : International Standards Organisation – ETSI : European Telecommunications Standards Institute – Normalisation Internet – IETF : Internet Engineering Task Force (produit les RFCs)



3

Structure d’une chaîne de télécommunications Destinataire

Source d’information

Transducteur

Transducteur

Récepteur

Émetteur

Canal

Système de télécommunications

F IG . 2: Structure d’une chaîne de télécommunications.



4

Structure d’une chaîne de télécommunications numérique SOURCE Message transmis

ÉMETTEUR

• • • • •

Codage de sour e Modulation Filtrage passe-bas Cal ul du spe tre Codes orre teurs d'erreurs

• • • •

Bande de base Porteuse Canal idéal Canal non-idéal (interféren es, non-linéarités, ...)

• • • • • •

Dé ision Ré epteur optimal Démodulation : ohérente ou non- ohérente Filtrage passe-bande Syn hronisation Performan es

Signal transmis CANAL DE TRANSMISSION Signal reçu

RÉCEPTEUR

Message reçu UTILISATEUR

• Cal ul du taux d'erreurs



5

Modèles de référence

Modèle OSI (Open System Interconnection)

Ordinateur A

Ordinateur B

Application

Application

Application Présentation Session Transport Réseau Liaison Physique

Protocole Protocole Protocole Protocole

Application Présentation Session Transport Réseau Liaison Physique

Réseau

Modèle de référence OSI

F IG . 3: Modèle de référence OSI. Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97)


6

Application de l’utilisateur

Service d’échange d’information

Transfert de fichiers, gestion et accès, échange de documents et de messages, transfert de processus

7. Couche Application

Service d’échange de messages indépendamment de la syntaxe

Négociation des syntaxes, présentation des données

6. Couche Présentation

Gestion et synchronisation du dialogue

5. Couche Session

Service d’échange de messages indépendamment du réseau

Transfert de messages de bout en bout (gestion de la connexion, fragmentation en paquets, contrôle d’erreur et du flux)

4. Couche Transport

Routage dans le réseau, adressage, établissement de liaison

3. Couche Réseau

Contrôle du lien physique (mise en trames, contrôle d’erreur)

2. Couche Liaison

Définition des interfaces électriques et mécaniques au réseau

1. Couche Physique

Connexion physique au réseau

Réseau

F IG . 4: Les principales fonctions des couches OSI.



7

Modèle Internet

Application de l’utilisateur

HyperText Transfer Protocol (HTTP) File Transfer Protocol (FTP) Remote terminal protocol (TELNET) Simple Mail Transfer Protocol (SMTP) Simple Network Management Protocol (SNMP) ... TCP

UDP IP IEEE802.X / X.25

7. Couche Application 6. Couche Présentation 5. Couche Session 4. Couche Transport 3. Couche Réseau 2. Couche Liaison 1. Couche Physique

Réseau

TCP = Transmission Control Protocol UDP = User Datagram Protocol IP = Internet Protocol

F IG . 5: Éléments de l’architecture TCP/IP. Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97)


8

F IG . 6: Analyse du contenu d’un paquet IP. Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97)


9





10

Signaux et systèmes de télécommunications – Signal vocal ou musical – Vidéo Porteuse Luminan e

Luminan e

Sous-porteuse Sous-porteuse Son prin ipale

ouleur (4.333619 MHz) Sous-porteuses Son auxiliaires

U et V

0

1

2

3

4

5

6

f (MHz)

Bande de fréquen e U et V Bande de fréquen e Luminan e

F IG . 7: Spectre d’un signal vidéo PAL. – Signaux numériques. Le nombre de symboles transmis pendant une seconde est mesuré en bauds.



11

Catégories de signaux – – – –

analogiques ou numériques, périodiques ou apériodiques, déterministes ou stochastiques, d’énergie ou de puissance.



12

Représentation des signaux Signal d’information analogique

Signal d’information numérique

2 1.5

101011

1 0.5 0 -0.5 -1

0

2

4

6

8

10

Représentation analogique

Représentation analogique 1.5

1.5

2 1.5

1

1

1 0.5

0.5 0

0

0.5

-0.5

-0.5

-1

0 -1

-1.5 -2

0

2

4

6

8

10

-0.5

0

1

2

3

4

5

6

-1.5

0

1

2

3

4

5

6

F IG . 8: Représentation d’un signal analogique ou numérique.



13

Déterministe ou aléatoire ?

Signal utile Bruit et interférences

Émetteur déterministe aléatoire

Récepteur aléatoire aléatoire

TAB . 1: Nature des signaux dans une chaîne de télécommunications.



14

Puissance instantanée Soit une tension v(t) qui, à travers une résistance R, produit un courant i(t). La puissance instantanée dissipée dans cette résistance est définie par |v(t)| p(t) = R

2

ou encore p(t) = R |i(t)|


(1)

2

(2)


15

Puissance instantanée Soit une tension v(t) qui, à travers une résistance R, produit un courant i(t). La puissance instantanée dissipée dans cette résistance est définie par |v(t)| p(t) = R

2

ou encore p(t) = R |i(t)|

(1)

2

(2)

À travers une charge unitaire de 1 Ohm, noté [Ω], les expressions sont même égales. Pour la facilité, on normalise l’expression pour une résistance de 1 [Ω] : Définition 1. [Puissance instantanée normalisée] p(t) = |x(t)|


2

(3)


15

Énergie et puissance Définition 2. [Énergie] L’énergie totale du signal g(t) est définie par E

= =

lim

T →+∞

Z

+∞

−∞

Z

T −T

2

|g(t)| dt

(4)

2

(5)

|g(t)| dt

Définition 3. [Puissance moyenne] Il en découle une puissance moyenne du signal g(t) s’exprimant Z T 1 |g(t)|2 dt P = lim (6) T →+∞ 2T −T



16

Décibel x ↔ 10 log10(x) [dB]


(7)


17

Décibel x ↔ 10 log10(x) [dB]

(7)

P [mW ] P [dBm] = 10 log10 1 [mW ]

(8)

x [W ] 10 log10(x) [dBW ] 1 [W ] 0 [dBW ] 2 [W ] 3 [dBW ] 0, 5 [W ] −3 [dBW ] 5 [W ] 7 [dBW ] 10n [W ] 10 × n [dBW ] 2 U U = 20 log10 10 log10 [V ] [V ] x ↔ 20 log10(x) Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97)

(9)

(10)


17

Bande passante kX (f )k2 Wequ

fc (a)

f

(b) (c) (d)

F IG . 9: Comparaison de définitions de bande passante. (a) Bande passante à 3 [dB]. (b) Bande passante équivalente. (c) Lobe principal. (d) Densité spectrale bornée.



18

Système de transmission idéal H(f ) = Ke−2πjf τ


(11)


19

Système de transmission idéal H(f ) = Ke−2πjf τ

(11)

kH(f )k

fc

−fc

f

W arg H(f )

−fc

fc

f

F IG . 10: Transmittance d’un système idéal.



19

Distorsions et bruit – Délai de groupe τg = −

1 dφ(f ) 2π df

(12)

– Délai de phase φ(f ) τp = − 2πf


(13)


20


1 dφ(f ) 2π df

(12)


(13)

y(t) = ax(t) + bx2(t)

(14)

– Distorsions non linéaires



20


1 dφ(f ) 2π df

(12)


(13)

y(t) = ax(t) + bx2(t)

(14)

– Distorsions non linéaires

– Bruit – additif – multiplicatif



20





21

Modulation d’onde continue – Introduction – Hypothèses – Modulation d’une porteuse sinusoidale – Modulation d’amplitude – Modulation d’amplitude classique – Répartition de la puissance, réalisation, discussion – Modulations d’amplitude dérivées



22

Modulation d’onde continue – Introduction – Hypothèses – Modulation d’une porteuse sinusoidale – Modulation d’amplitude – Modulation d’amplitude classique – Répartition de la puissance, réalisation, discussion – Modulations d’amplitude dérivées – Modulation angulaire – Bande passante requise – Partage du plan de fréquence – Multiplexage en fréquence – Récepteur super-hétérodyne



22

Modulation d’une porteuse sinusoïdale Définition 4. Signal modulant normalisé m(t) x(t) m(t) = xmax

(15)

Hypothèse : le signal modulant m(t) est à spectre limité, c’est-à-dire que M(f ) = 0 si |f | > W

(16)

Définition 5. [Bande de base] Dès lors que l’intervalle de fréquences est borné par la fréquence W , on appelle bande de base l’intervalle de fréquences [0, W ].



23

Paramètres de modulation d’une porteuse Définition 6. Porteuse Modulation de fréquen e

s(t) = A(t) cos (2πf (t)t + φ(t)) Amplitude

Modulation d'amplitude

Phase

Modulation de phase

F IG . 11: Paramètres d’un signal modulé.



24

Modulation d’amplitude (modulation AM) Définition 7. La modulation d’amplitude, dite modulation AM pour Amplitude Modulation, est le processus par lequel l’amplitude de la porteuse c(t) varie linéairement avec le signal modulant m(t). Après modulation, le signal modulé s(t) est décrit par la fonction s(t) = Ac (1 + kam(t)) cos (2πfct)

(17)

= Ac cos (2πfct) + kaAcm(t) cos (2πfct)

(18)

L’amplitude instantanée est donc rendue proportionnelle au signal modulant, et vaut A(t) = Ac (1 + kam(t))


(19)


25

Illustration c(t)

t

m(t)

(a) +1

t

s(t)

(b)

−1

Ac (1 + ka ) Ac Ac (1 − ka ) −Ac (1 − ka ) −Ac (1 + ka )

t −Ac (c)

F IG . 12: Illustration de la modulation d’amplitude classique. Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97)


26

Surmodulation s(t) +Ac t −Ac (a) s(t)

Inversion de la phase

+Ac t −Ac

(b)

F IG . 13: Surmodulation : (a) |kam(t)| < 1. (b) |kam(t)| > 1.



27

Analyse spectrale S(f ) =

kaAc Ac [δ(f − fc) + δ(f + fc)] + [M(f − fc) + M(f + fc)] 2 2


(20)


28

Analyse spectrale S(f ) =

kaAc Ac [δ(f − fc) + δ(f + fc)] + [M(f − fc) + M(f + fc)] 2 2

(20)

kM(f )k

−W

0 +W (a) kS(f )k Ac δ(f + f ) c 2

f

Ac δ(f − f ) c 2

BLS BLI −fc − W −fc −fc + W 0 (b)

BLI fc − Wfc

BLS f fc + W

F IG . 14: Spectres de fréquence : (a) Signal en bande de base. (b) Signal modulé.



28

Réalisation Modulation linéaire c(t) s(t) g(t)

F IG . 15: Principe de la modulation linéaire. Modulation quadratique

x(t) + c(t)

s(t) r(x(t) + c(t))

F IG . 16: Principe de la modulation quadratique.



29

Schéma électronique d’un modulateur simple c(t) = Ac cos(2πfc t)

m(t)

v1 (t)

v2 (t)

Rl

(a) v2

pente = 1

0 (b)

v1

F IG . 17: Modulateur AM à diode : (a) circuit électronique. (b) caractéristique idéalisée d’entrée-sortie.



30

Contrôle de la modulation

1

s(t)

0.5

0

−0.5

−1

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0 m(t)

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

F IG . 18: Trapèze de modulation.



31

Démodulation Détection d’enveloppe

Rs

C

Rl

Sortie

s(t)

F IG . 19: Détecteur d’enveloppe.



32

Démodulation Détection d’enveloppe

Rs

C

Rl

Sortie

s(t)

F IG . 19: Détecteur d’enveloppe. Démodulation AM synchrone ou cohérente

s(t) cos(2πfct) = = +

Ac (1 + kam(t))(1 + cos(4πfct)) 2 Ac (1 + kam(t)) 2 Ac (cos(4πfct) + kam(t) cos(4πfct)) 2



32

Spe tre AM Ac /2

−fc

Spe tre de la porteuse

Ac /2

fc

1/2

Mélangeur f

−fc

1/2

fc

f

Spe tre du signal mélangé Ac /2

Ac /4 −2fc −fc−W

Ac /4

W f c

2fc

f

Spe tre du message Ac /2 −W

W

f

F IG . 20: Démodulation AM synchrone.



33

Déphasage et écart de fréquences Supposons que l’oscillateur produise un signal A′ cos(2πfl t + φ)


(21)


34

Déphasage et écart de fréquences Supposons que l’oscillateur produise un signal A′ cos(2πfl t + φ)

(21)

Le produit de ce signal par le signal réceptionné, à porteuse supprimé (pour la simplicité des propos), vaut ′ A A c m(t)(cos(2π(fl − fc)t + φ) + cos(2π(fc + fl )t + φ)) s(t)A′ cos(2πfl t + φ) = 2

(22)

Même si fl et fc concordent parfaitement, l’écart de phase joue l’effet d’un atténuateur car, après filtrage, AcA′ ′ s(t)A cos(2πfl t + φ) → (23) m(t) cos φ 2



34

Modulations d’amplitude dérivées 1. Modulation à double bande latérale et porteuse supprimée (appelée en anglais “Double sideband-suppressed carrier” ou DSB-SC). 2. Modulation en quadrature de phase (appelée “Quadrature Amplitude Modulation” ou QAM). 3. Modulation à bande unique (appelée en anglais “Single sideband modulation” ou SSB). 4. Modulation à bande latérale résiduelle (appelée en anglais “Vestigial sideband modulation” ou VSB).



35

Signal modulé en amplitude par modulation à porteuse supprimée

s(t) = m(t)c(t) = Acm(t) cos(2πfct)

Spectre : S(f ) =

Ac (M(f − fc) + M(f + fc)) 2


(24) (25)

(26)


36

Boucle de C OSTAS 1 A m(t) cos φ 2 c cos (2πfc t + φ) V CO

Signal DSB-SC Ac m(t) cos (2πfc t)

m(t)

Dis riminateur de phase

−π 2 sin (2πfc t + φ) 1 A m(t) sin φ 2 c

F IG . 21: Récepteur de C OSTAS.



37

Modulation en quadrature +

m1 (t)

s(t) +

Ac cos (2πfc t) +π 2 m2 (t)

Ac sin (2πfc t)

′ 1 2 Ac Ac m1 (t) A′c cos (2πfc t) s(t) +π 2

A′c sin (2πfc t)

1 A A′ m (t) 2 c c 2

F IG . 22: Schéma de modulation et de démodulation d’une modulation d’amplitude en quadrature.



38

Modulation à bande latérale unique Filtrage d’une bande Soit à filtrer le signal u(t) = Acm(t) cos(2πfc t) dont on ne désire garder qu’une bande. On fait passer le signal à travers un filtre de transmittance H(f ). En sortie, le signal vaut S(f ) = U(f )H(f ) Ac [M(f − fc) + M(f + fc)]H(f ) = 2

(27) (28)

Considérons la détection cohérente v(t) = A′c cos(2πfct)s(t)

(29)

Soit, dans le domaine de F OURIER, A′c [S(f − fc) + S(f + fc)] V(f ) = 2 Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97)

(30)


39

Après substitution, V(f ) = +

AcA′c M(f )[H(f − fc) + H(f + fc)] 4 AcA′c [M(f − 2fc)H(f − fc) + M(f + 2fc)H(f + fc)] 4

(31)

Le second terme est éliminé à la réception par simple filtrage. Proposition 1. À la réception, le signal en bande de base n’a subi aucune distorsion à la condition que, ∀f , H(f − fc) + H(f + fc) = 1 (32)



40

Démodulation SSB Spe tre du signal SSB

Spe tre de la porteuse

−fc

fc

1/2

Mélangeur

BLI f

−fc

1/2

fc

f

Spe tre du signal mélangé

−2fc −fc−W

W f c

2fc

f

Spe tre du message

−W

W

f

F IG . 23: Schéma de démodulation SSB.



41

Tableau récapitulatif des modulations d’onde continue s(t)

BP

||S (f )||

AM Ac (1 + ka m(t)) cos(2πfct)

lassique

2W

−fc

DSB-SC

f

Ac m(t) cos(2πfct)

2W

−fc

QAM

fc

fc

f

Ac m1 (t) cos(2πfc t) +Ac m2 (t) sin(2πfct)

2W

W

SSB −fc

fc

f

(1 + α) W

VSB −fc

FM

Ac cos(2πfct+ R 2πkf 0t m(τ )dτ )


fc

f 2(∆f +W )


42

Modulation angulaire : Ac cos φi(t) – Principes et définitions – Analyse de la modulation de fréquence analogique – Modulation par une cosinusoïde – Analyse spectrale – Bande passante requise – Réalisation



43

Tableau récapitulatif Modulation de fréquen e

s(t) = A(t) cos (2πf (t)t + φ(t)) Amplitude Modulation d'amplitude

Phase Modulation de phase

F IG . 24: Paramètres d’un signal modulé. Paramètres d’une PM φi(t) △φi(t) = φi(t) − (2πfct + φc) β = max |△φi(t)| Modulation PM φi(t) = 2πfc t + kpm(t) k fi(t) = fc + 2πp dm(t) dt


Paramètres d’une FM fi(t) △fi(t) = fi(t) − fc △f = max |△fi(t)| Modulation FM fi(t) = fc + kf m(t) Rt φi(t) = 2πfc t + 2πkf 0 m(t′ )dt′ M. Van Droogenbroeck

44

Liens entre modulation de phase et de fréquence m(t)

Intégrateur

Modulateur PM

Onde FM

Ac cos(2πfc t)

m(t)

Dérivateur

Modulateur FM

Onde PM

Ac cos(2πfc t)

F IG . 25: Liens entre modulation de phase et modulation de fréquence.



45

Comparaison 0.5 0 −0.5 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

10 0 −10 0 10 0 −10 0 10 0 −10 0

F IG . 26: Signal modulant et signaux modulés respectivement en AM, PM et FM.



46

Signal modulant pour l’analyse spectrale Prenons le signal modulant suivant : m(t) = Am cos(2πfmt) Considérons le cas d’une modulation FM avec fi(t) = fc + kf Am cos(2πfmt) = fc + △f cos(2πfmt)

(33) (34)

La phase instantanée vaut △f sin(2πfmt) fm = 2πfc t + β sin(2πfmt)

φi(t) = 2πfc t +


(35) (36)


47

Analyse spectrale Signal modulé s(t) = Ac cos(2πfct + β sin(2πfmt))

(37)

s(t) = Ac cos(2πfct) cos(β sin(2πfmt)) − Ac sin(2πfct) sin(β sin(2πfmt))


(38)


48

Analyse spectrale Signal modulé s(t) = Ac cos(2πfct + β sin(2πfmt))

(37)

s(t) = Ac cos(2πfct) cos(β sin(2πfmt)) − Ac sin(2πfct) sin(β sin(2πfmt))

(38)

Pour calculer le spectre du signal s(t), on recourt à la formule suivante

ejβ sin ψ = J0 (β) + 2

+∞ X

k=1

π j k Jk (β) cos k ψ − 2

(39)

ce qui peut encore s’écrire cos(β sin ψ) = J0(β) + 2J2 (β) cos(2ψ) + 2J4(β) cos(4ψ) + . . .

(40)

sin(β sin ψ) = 2J1 (β) sin ψ + 2J3(β) sin(3ψ) + . . .

(41)



48

Comme J2i(β) = J−2i(β) et J2i+1(β) = −J−(2i+1)(β) s(t) = Ac

+∞ X

Jn(β) cos(2π(fc + nfm)t)

(42)

n=−∞

Spectre +∞ Ac X Jn(β)[δ(f − fc − nfm) + δ(f + fc + nfm)] S(f ) = 2 n=−∞


(43)


49

Fonctions de Bessel 1

J0 (β )

J1 (β ) J2 (β )

0.5

J3 (β )

0

−0.5

β

0

2

4

6

8


10

12

14

16

18


50

Spectre FM 1 0.5 β = 1, △f = 1 0 −8 1

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

−4

−2

0

2

4

6

8

−4

−2

0

2

4

6

8

−4

−2

0

2

4

6

8

0.5 β = 2, △f = 2 0 −8 1

−6

0.5 β = 3, △f = 3 0 −8 1

−6

0.5 β = 4, △f = 4 0 −8

−6

F IG . 27: Spectre d’un signal FM (fm = 1, β variable). Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97)


51

1

β = 1, fm = 1

0.5 0 −4 1

−3

0 −8 1

0

−1

0

1

2

3

4

−2

0

2

4

6

8

β = 2, fm = 1/2

0.5

0.5

−2

−6

−4

β = 3, fm = 1/3 −15

−10

−5

0

5

10

15

1 0.5 0

β = 4, fm = 1/4 −20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

F IG . 28: Spectre d’un signal FM (△f = 1, β variable).



52

Bande passante requise Estimation empirique – [Règle de C ARSON ] La bande passante requise est B ≃ 2 (△f + fm) = 2△f

1 1+ β

β > 100

(44)

où fm correspond à la plus haute composante fréquentielle non nulle du signal modulant. – Pour une modulation à faible indice (par exemple β < 0, 5) B ≃ 2fm β < 0, 5

(45)

– Règle de C ARSON modifiée B ≃ 2 (2△f + fm) = 2△f

1 2+ β

0, 5 ≤ β ≤ 100

(46)

Estimation numérique Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97)


53

Tableau récapitulatif des modulations d’onde continue s(t)

BP

||S (f )||

AM Ac (1 + ka m(t)) cos(2πfct)

lassique

2W

−fc

DSB-SC

f

Ac m(t) cos(2πfct)

2W

−fc

QAM

fc

fc

f

Ac m1 (t) cos(2πfc t) +Ac m2 (t) sin(2πfct)

2W

W

SSB −fc

fc

f

(1 + α) W

VSB −fc

FM

Ac cos(2πfct+ R 2πkf 0t m(τ )dτ )


fc

f 2(∆f +W )


54

Multiplexage en fréquence

X1 (f ) f X2 (f )

−f1

f1

f X3 (f )

−f2

f2

f f3

f

f1

f

f2

−f3

f3

f

Signal multiplexé

−f3 −f2 −f1

f1

f2

f3

f

F IG . 29: Principe du multiplexage en fréquence. Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97)


55

Signal multiplexé

−f3 −f2 −f1

f1

f1

f2

f2

f1

f3

f

f3

f2

f3

X1 (f )

X2 (f )

X3 (f )

f

f

f

F IG . 30: Principe du démultiplexage en fréquence.



56

Récepteur super-hétérodyne Signal multiplexé

f1

f2

f

f2 + fIF

f1 + fIF

fIF

fIF

−fIF

f3

fIF

fIF

f

−fIF

fIF

f

fIF

X1 (f )

X2 (f )

f

f



57

Introduction à la modulation numérique

V

2 0 −2

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

10 0 −10 0 10 0 −10 0 10 0 −10 0

F IG . 31: Signal modulant numérique et signaux modulés respectivement en AM, PM et FM. Remarque : il existe plusieurs représentations analogiques pour un même signal d’information.



58





59

Variables aléatoires, processus stochastiques et bruit – Théorie des probabilités – Variables aléatoires – Fonction de distribution et densité de probabilité – Moments d’une variable aléatoire – Changement de variable – Plusieurs variables aléatoires – Processus stochastiques – Moments – Stationnarité – Ergodicité – Densité spectrale de puissance – Processus stochastiques et systèmes – Sources de bruit



60

Problèmes à résoudre




TAB . 2: Nature des signaux dans une chaîne de télécommunications.



61

Problèmes à résoudre




TAB . 2: Nature des signaux dans une chaîne de télécommunications. – – – – – –

X +Y Y = g(X) Mélangeur X cos(2πfct) Passage au travers d’un filtre linéaire Modélisation du bruit Mesures



61

Espace probabilisé Un espace probabilisé consiste en : 1. Un espace témoin Ω d’événements élémentaires. 2. Une classe L d’événements qui sont des sous-ensembles de Ω.

3. Une mesure de la probabilité p(.) associée à chaque événement A de la classe L et qui a les propriétés suivantes : (a) p(Ω) = 1 (b) 0 ≤ p(A) ≤ 1

(c) Si la suite An∈N ∈ F avec Ai ∩ Aj = ∅ pour i 6= j alors p(

[

An) =

n∈N


X

p(An)

n∈N


62

Probabilité conditionnelle Définition 8. p(B|A) est appelée probabilité conditionnelle. Elle représente la probabilité de l’événement B , étant donné que l’événement A s’est réalisé. En supposant que p(A) 6= 0, la probabilité conditionnelle p(B|A) est définie par p(A ∩ B) p(B|A) = p(A)

(47)

où p(A ∩ B) est la probabilité conjointe de A et B . Dès lors

p(A ∩ B) = p(B|A)p(A)


(48)


63

Probabilité conditionnelle Définition 8. p(B|A) est appelée probabilité conditionnelle. Elle représente la probabilité de l’événement B , étant donné que l’événement A s’est réalisé. En supposant que p(A) 6= 0, la probabilité conditionnelle p(B|A) est définie par p(A ∩ B) p(B|A) = p(A)

(47)

où p(A ∩ B) est la probabilité conjointe de A et B . Dès lors

p(A ∩ B) = p(B|A)p(A)

(48)

Proposition 2. Formule de BAYES p(B|Ai)p(Ai) p(Ai|B) = PN j=1 p(B|Aj )p(Aj )

(49)

Elle permet le calcul des probabilités a posteriori p(Ai|B) en terme de probabilités a priori Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97)


63

p(B|Ai).



64

Variables aléatoires Définition 9. Une variable aléatoire est une fonction dont le domaine est l’espace témoin d’une expérience aléatoire et dont la valeur est un nombre réel.



65

Variables aléatoires Définition 9. Une variable aléatoire est une fonction dont le domaine est l’espace témoin d’une expérience aléatoire et dont la valeur est un nombre réel. Définition 10. La fonction de distribution cumulative, encore appelée fonction de distribution ou fonction de répartition, d’une variable aléatoire X est définie par FX (x) = p(X ≤ x)

(50)

Définition 11. La fonction de densité de probabilité d’une variable aléatoire X est définie par dFX (x) fX (x) = (51) dx



65

Moments d’une variable aléatoire Définition 12. Le n-ième moment de la variable aléatoire X est défini par n

µX n = E {X } =

Z

+∞

xnfX (x)dx

(52)

xfX (x)dx

(53)

−∞

où E désigne l’opérateur d’espérance statistique. Définition 13. [Moyenne] µX = E {X} =

Z

+∞ −∞

µX est appelée espérance ou moyenne de la variable aléatoire X . Définition 14. Le n-ième moment centré de la variable aléatoire X est défini par n

E {(X − µX ) } =

Z

+∞

−∞


n

(x − µX ) fX (x)dx

(54)


66

Variance Définition 15. [Variance] n

2 σX = E (X − µX )

2

o

=

Z

+∞

−∞

(x − µX )2 fX (x)dx

(55)

Théorème 1. [C HEBYSHEV ] Si Y est une variable aléatoire positive, alors ∀ε > 0

2 σX p (|X − µX | ≥ ε) ≤ 2 ε


(56)


67

Variable aléatoire gaussienne ou normale 2 Soit X une variable aléatoire de moyenne µX et de variance σX . Cette variable présente une densité de probabilité gaussienne ou normale si, pour −∞ < x < +∞, elle a la forme − 1 √ e fX (x) = σX 2π

(x−µX )2 2σ 2 X

(57)

Théorème 2. [Limite centrale] Si {Xi} est une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi, centrées et de variance égale à 1, alors la fonction de répartition FY (y) de la variable aléatoire N 1 X Y =√ (58) Xi N i=1

vérifie

y

1 − u2 √ e 2 du lim FY (y) = N →+∞ 2π −∞


Z

(59)


68

Cas de plusieurs variables aléatoires Définition 16. La fonction de répartition conjointe FX,Y (x, y) est définie par FX,Y (x, y) = p(X ≤ x, Y ≤ y)

(60)

c’est-à-dire que la fonction de répartition conjointe de X et Y est égale à la probabilité que la variable X et la variable Y soient respectivement inférieures aux valeurs x et y . Définition 17. La fonction de densité de probabilité conjointe fX,Y (x, y) est définie par ∂ 2FX,Y (x, y) fX,Y (x, y) = ∂x∂y


(61)


69

Moments de plusieurs variables aléatoires Définition 18. [Corrélation] La corrélation de deux variables aléatoires X et Y est définie par E {XY } =

Z

+∞ Z +∞

−∞

xyfX,Y (x, y)dxdy

(62)

−∞

Définition 19. [Covariance] La covariance de deux variables aléatoires X et Y est définie par

CXY (x, y) = E {(X − µX ) (Y − µY )} = E {XY } − µX µY


(63) (64)


70

Moments d’une somme Proposition 3. [Espérance] µX+Y = E {X + Y } = E {X} + E {Y }

(65)

Proposition 4. [Variance] n o 2 2 2 σX+Y = E (X + Y − µX+Y ) = σX + σY2 + 2CXY (x, y)


(66)


71

Probabilité conditionnelle et indépendance Définition 20. La fonction de densité de probabilité conditionnelle de la variable Y , étant donné que X = x, est définie par fY (y|x) =

fX,Y (x, y) fX (x)

(67)

où nous avons supposé que X et Y sont deux variables aléatoires continues et fX (x) est la densité marginale de X .



72

Probabilité conditionnelle et indépendance Définition 20. La fonction de densité de probabilité conditionnelle de la variable Y , étant donné que X = x, est définie par fY (y|x) =

fX,Y (x, y) fX (x)

(67)

où nous avons supposé que X et Y sont deux variables aléatoires continues et fX (x) est la densité marginale de X . Proposition 5. Si X et Y sont statistiquement indépendantes, la connaissance du résultat de X n’affecte pas la densité de probabilité de Y et nous pouvons écrire fY (y|x) = fY (y)

(68)

fX,Y (x, y) = fX (x)fY (y)

(69)

Et dès lors, Définition 21. Par définition, les variables aléatoires X et Y sont dites non − orr´ el´ ees

⇐⇒


CXY (x, y) = 0

(70) M. Van Droogenbroeck

72

orthogonales

⇐⇒


E {XY } = 0

(71)


73

Processus stochastiques Espa e témoin Ω ω1

X(tk , ω1 )

X(t, ω1 )

ω2

t

ωn

X(tk , ω2 )

X(t, ω2 ) t

X(t, ωn )

t X(tk , ωn ) k

t

F IG . 32: Un ensemble de réalisations du processus aléatoire X(t).



74

Moments temporels Définition 22. La moyenne temporelle d’un processus aléatoire X(t) est définie par 1 µX (T ) = 2T

Z

T

x(t)dt

(72)

−T

où x(t) est une réalisation du processus aléatoire. Définition 23. La fonction d’autocorrélation temporelle d’un processus aléatoire X(t) est définie par Z T 1 ΓXX (τ, T ) = (73) x(t + τ )x(t)dt 2T −T où x(t) est une réalisation du processus aléatoire.



75

Moments statistiques Définition 24. La moyenne d’un processus aléatoire X(t) observé au temps t est définie par µX (t) = E {X(t)} Z +∞ = xfX(t) (x)dx

(74) (75)

−∞

où fX(t)(x) est la fonction de densité de probabilité du premier ordre du processus aléatoire X(t). Pour t fixé, X(t) est une variable aléatoire. Définition 25. La fonction d’autocorrélation d’un processus aléatoire X(t) est définie par ΓXX (t1, t2) = E {X(t1)X(t2)} Z +∞ Z +∞ = x1x2 fX(t1),X(t2)(x1, x2)dx1dx2 −∞

(76) (77)

−∞



76

Stationnarité Deux formes – Stationnarité au sens strict – Stationnarité au sens large (dite du second ordre) Stationnarité au sens strict Le processus aléatoire X(t) sera dit stationnaire au sens strict si FX(t1),X(t2),...,X(tk)(x1, x2, ..., xk ) =

(78)

FX(t1+τ ),X(t2+τ ),...,X(tk+τ )(x1, x2, ..., xk )

(79)

pour tout τ , tout k et tous les choix possibles de temps d’observation t1, t2, ..., tk . Définition 26. Un processus aléatoire est stationnaire au sens strict si ses caractéristiques probabilistes sont invariantes pour tout changement de l’origine des temps.



77

Stationnarité au sens large (dite du second ordre) Définition 27. Un processus aléatoire est stationnaire au sens large s’il vérifie les deux conditions suivantes 1. Sa moyenne est indépendante du temps. µX (t) = µX

∀t

(80)

2. Sa fonction d’autocorrélation ne dépend que de la différence entre les temps d’observation. ΓXX (t1, t2) = ΓXX (t2 − t1) ∀t1, t2 (81)



78

Fonction d’autocorrélation d’un processus aléatoire stationnaire Fonction d’autocorrélation d’un processus stationnaire X(t) : ΓXX (τ ) = E {X(t + τ )X(t)}

∀t

(82)

Propriétés importantes : – La moyenne du carré du processus aléatoire peut être obtenue simplement en posant τ = 0: 2 ΓXX (τ ) = E X (t) (83) – La fonction d’autocorrélation ΓXX (τ ) est une fonction paire de τ : ΓXX (τ ) = ΓXX (−τ )

(84)

– La fonction d’autocorrélation ΓXX (τ ) présente son amplitude maximum en τ = 0 : |ΓXX (τ )| ≤ ΓXX (0)


(85)


79

Ergodicité Un processus est ergodique à l’ordre n si les moyennes temporelles jusqu’à l’ordre n sont indépendantes du choix de la réalisation. Si le processus est ergodique à tout ordre, on dit qu’il est ergodique au sens strict. Définition 28. Un processus aléatoire stationnaire X(t) est dit ergodique dans la moyenne si : (1) la moyenne temporelle µX (T ) tend vers la moyenne statistique µX lorsque l’intervalle d’observation 2T tend vers l’infini, c’est-à-dire lim µX (T ) = µX

T →∞

(86)

(2) la variance de la variable aléatoire µX (T ) tend vers zéro lorsque l’intervalle d’observation 2T tend vers l’infini, c’est-à-dire lim var {µX (T )} = 0

T →∞


(87)


80

Densité spectrale de puissance Définition 29. La densité spectrale de puissance γX (f ) d’un processus aléatoire stationnaire X(t) est la transformée de F OURIER de sa fonction d’autocorrélation ΓXX (τ ) : γX (f ) =

Z

+∞

ΓXX (τ ) e−2πjf τ dτ

(88)

−∞

ΓXX (τ ) =

Z

+∞

γX (f )e2πjf τ df

(89)

−∞

Propriétés γX (0) =

Z

+∞

ΓXX (τ ) dτ

(90)

−∞

2 E X (t) = ΓXX (0) =


Z

+∞

γX (f )df

(91)

−∞


81

Exemple : onde sinusoïdale avec phase aléatoire Considérons un signal sinusoïdal avec une phase aléatoire θ ∈ [0, 2π] ou [−π, +π] X(t) = Ac cos (2πfc t + Θ)

(92)

1. Moyenne statistique du processus aléatoire X(t) ?



82


(92)

1. Moyenne statistique du processus aléatoire X(t) ? µX (t) = E {X(t)} =

Z

+π

Ac cos (2πfc t + θ) −π


1 dθ = 0 2π

(93)


82


(92)


Z

+π


1 dθ = 0 2π

(93)

2. Fonction d’autocorrélation et densité spectrale ?



82


(92)


Z

+π


1 dθ = 0 2π

(93)

2. Fonction d’autocorrélation et densité spectrale ? A2c ΓXX (t1, t2) = cos [2πfc (t2 − t1)] 2 A2c γX (f ) = [δ(f − fc) + δ(f + fc)] 4


(94) (95)


82

Processus stochastiques et systèmes Filtrage des processus aléatoires stationnaires au sens large Soient X(t) un processus stochastique stationnaire au sens large, H(f ) la transmittance d’un filtre linéaire et Y (t) le processus à la sortie du système linéaire – Moyenne ?



83

Processus stochastiques et systèmes Filtrage des processus aléatoires stationnaires au sens large Soient X(t) un processus stochastique stationnaire au sens large, H(f ) la transmittance d’un filtre linéaire et Y (t) le processus à la sortie du système linéaire – Moyenne ? µY = µX H(0)

(96)

– Fonction d’autocorrélation et densité spectrale de puissance ?



83

Processus stochastiques et systèmes Filtrage des processus aléatoires stationnaires au sens large Soient X(t) un processus stochastique stationnaire au sens large, H(f ) la transmittance d’un filtre linéaire et Y (t) le processus à la sortie du système linéaire – Moyenne ? µY = µX H(0)

(96)

– Fonction d’autocorrélation et densité spectrale de puissance ? Proposition 6. [W IENER -K INTCHINE] Soient X(t) un processus stochastique stationnaire au sens large, H(f ) la transmittance d’un filtre linéaire et Y (t) le processus à la sortie du système linéaire 2 γY (f ) = kH(f )k γX (f ) (97)



83

Somme de processus stochastiques Y (t) = K(t) + N (t)

(98)

Pour des processus stationnaires au sens large, γY Y (f ) = γKK (f ) + γKN (f ) + γN K (f ) + γN N (f )

(99)

Si les processus sont non corrélés, γY Y (f ) = γKK (f ) + γN N (f )


(100)


84

Analyse de la modulation pour processus stochastique : principe et analyse du mélangeur “stochastique” Modulation : S(t) = M (t) cos(2πfct)


(101)


85

Analyse de la modulation pour processus stochastique : principe et analyse du mélangeur “stochastique” Modulation : S(t) = M (t) cos(2πfct)

(101)

Le processus n’est pas stationnaire en la moyenne ! Modulation avec une phase aléatoire et indépendante de M (t) : S(t) = M (t) cos(2πfc t + Φ) 1 γS (f ) = [γM (f − fc) + γM (f + fc)] 4


(102) (103)


85

Une classe de processus stochastiques importante : les sources de bruit Bruit thermique 2 E{VBT } = 4kB T R△f [V 2]

(104)

R VBT

F IG . 33: Équivalent de Thévenin d’une source de bruit thermique. Bruit de grenaille 2 E{IGr } = 2qI△f [A2]


(105)


86

Modélisation du bruit Processus gaussien Un processus aléatoire est dit gaussien si quelle que soit la suite des instants t1, t2, . . . , tn et quel que soit n, la variable aléatoire à n dimensions X1, X2, . . . , Xn est gaussienne. Propriétés – Un processus aléatoire gaussien est entièrement défini par la donnée des moments du premier et du second ordre. – Un processus aléatoire gaussien qui serait stationnaire au sens large est aussi stationnaire au sens strict. – Si les variables aléatoires X1, X2, . . . , Xn, obtenues par échantillonnage d’un processus gaussien aux temps t1, t2, . . . , tn, sont non corrélées, c’est-à-dire que E{(Xk − µXk )(Xi − µXi )} = 0, i 6= k

(106)

alors ces variables sont statistiquement indépendantes. – Toute combinaison linéaire finie de variables aléatoires gaussiennes est gaussienne. De façon plus générale, on montre que le caractère gaussien se conserve dans toute transformation linéaire et donc en particuler par filtrage linéaire. Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97)


87

Bruit blanc Définition 30. Le bruit blanc est un processus aléatoire stationnaire du second ordre centré et dont la densité spectrale de puissance est constante sur tout l’axe des fréquences : N0 γW (f ) = 2

(107)

N0 s’exprime en Watt par Hertz. La fonction d’autocorrélation s’écrit donc N0 δ(τ ) ΓW W (τ ) = 2


(108)


88

Bruit blanc Définition 30. Le bruit blanc est un processus aléatoire stationnaire du second ordre centré et dont la densité spectrale de puissance est constante sur tout l’axe des fréquences : N0 γW (f ) = 2

(107)

N0 s’exprime en Watt par Hertz. La fonction d’autocorrélation s’écrit donc N0 δ(τ ) ΓW W (τ ) = 2

(108)

Passage du bruit blanc à travers un filtre passe-bande

γW (f ) =

N0 2 ,

0,


f ∈ [±fc ± B2 ]

sinon

(109)


88

La fonction d’autocorrélation est ΓW W (τ ) = BN0

sin (πBτ ) cos(2πfc τ ) πBτ

(110)

Passage du bruit blanc à travers un filtre passe-bas γW (f ) =

η, − B2 < f < 0, |f | > B2

B 2

(111)

La fonction d’autocorrélation vaut ΓW W (τ ) = Bη


sin (πBτ ) πBτ

(112)


89

Décomposition de R ICE L’expression s(t) = A(t) cos(2πfct + φ(t))

(113)

peut aussi être écrite sous la forme de deux composantes s(t) = A(t) cos(2πfct + φ(t))

(114)

= sI (t) cos(2πfct) − sQ(t) sin(2πfc t) telles que sI (t) = A(t) cos φ(t)

(115)

sQ(t) = A(t) sin φ(t)

(116)

Propriétés : – Les composantes nI (t) et nQ(t) d’un bruit blanc à bande étroite n(t) sont de moyenne nulle. – Si le bruit n(t) à bande étroite est gaussien, ses composantes nI (t) et nQ(t) sont conjointement gaussiennes. Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97)


90





91

Introduction à la numérisation – Introduction – Conversion des signaux – Échantillonnage – Interpolation – Réalisation de l’échantillonnage – Modulation PAM – Modulation de la position des impulsions – Modulation d’impulsions codées PCM – Quantification – Bruit de quantification – Codage – Modulations dérivées



92

De l’analogique au numérique Signal analogique original

Signal analogique filtré et quantifié

Filtrage

Interpolation

Echantillonnage 125,3658 112,3401 Numérisation

Quantification 125 112

125 112

Compression

Décompression

101001 Signal numérique

101001 Signal numérique

F IG . 34: Passage de l’analogique au numérique et conversion inverse.



93

Types d’information Information numérique Mise en forme des signaux Information textuelle Information analogique

Echantillonnage

Quantification

Codage

Modulation

Emetteur

Canal

Données binaires Mise en forme des signaux Information analogique

Filtrage passe-bas

Décodage

Démodulation

Récepteur

Information textuelle Information numérique

F IG . 35: Mise en forme et transmission. Caractérisation de la qualité de la transmission au moyen du taux d’erreur par bit (bit error rate)Pe



94

Théorème de S HANNON Théorème 3. [S HANNON] Une fonction g(t) à énergie finie et à spectre limité, c’est-à-dire dont la transformée de F OURIER G(f ) est nulle pour |f | > W , est entièrement déterminée par ses échantillons g[nTs], n ∈ {−∞, +∞} pour autant que la fréquence d’échantillonnage fs soit strictement supérieure au double de la borne supérieure du spectre fs > 2W

(117)

kG(f )k

g(t)

t P

f

−W 0 W

δ(t − nTs ) t

−fs

fs

f

gs (t)

t

f

F IG . 36: Échantillonnage instantané. Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97)


95

Formule d’interpolation de W HITTAKER Soit g(t) un signal analogique intégrable de spectre borné [−W, W ]. Soit {g[nTs]} l’ensemble de ses échantillons de pas Ts = 1/fs. La fonction g(t) s’écrit comme la série de fonctions +∞ X

t − nTs g[nTs]sinc g(t) = Ts n=−∞

g(t)

g(0)

(118)

g(1) g(2)

Ts

2Ts

t

F IG . 37: Interprétation des termes de la formule d’interpolation de W HITTAKER.



96

Réalisation de l’échantillonnage Le signal échantillonné gτ (t) est le produit de g(t) par un train ps(t) de rectangles de largeur τ +∞ +∞ X X p(t − nTs) δ(t − nTs) = ps(t) = p(t) ⊗ n=−∞

avec

p(t) =

n=−∞

1 si 0
(119)

La transformée de F OURIER de p(t) étant +∞ e−πjf τ sin(πf τ ) X Ps(f ) = δ(f − nfs) Ts πf n=−∞

(120)

Celle de gτ (t), parfois appelé signal échantillonné naturel, vaut Gτ (f ) = G(f ) ⊗ Ps(f ) =

(121)

+∞ τ X −nπjfsτ sin(nπfsτ ) e G(f − nfs) Ts n=−∞ nπfsτ



97

Amplitude du spectre du signal analogique 1

||G(f)||

0.8 0.6 0.4 0.2 0 −20

0

20

40 60 80 f Amplitude du spectre d’un signal échantillonné naturel

100

||Gtau(f)||

0.3

0.2

0.1

0 −20

0

20

40 f

60

80

100

F IG . 38: Spectre d’un signal analogique et du signal échantillonné naturel.



98

Modulations – Analogiques – Pulse Amplitude Modulation (PAM) – Pulse Duration Modulation (PDM) – Pulse Position Modulation (PPM) – Numériques – Pulse Code Modulation (PCM) – Differential Pulse Code Modulation (DPCM) – Delta



99

Modulation Pulse Amplitude Modulation PAM mτ ′ (t) m(t)

t τ′ Ts

F IG . 39: Modulation PAM au moyen d’ impulsions rectangulaires.



100

Amplitude du spectre du signal analogique 1

||G(f)||

0.8 0.6 0.4 0.2 0 −20

0

20

40 f

60

80

100

Amplitude du spectre d’un signal échantillonné bloqué

||Mtau’(f)||

15

10

5

0 −20

0

20

40 f

60

80

100

F IG . 40: Spectre d’un signal analogique et du signal échantillonné bloqué.



101

Pulse Duration Modulation (PDM) m(t)

(a)

t

Ts (b)

(c)

(d)

F IG . 41: Un signal modulant, modulation PDM et modulation PPM. Ts p(t) = 0, τ = kp |m(t)|max < 2 Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97)

(122)


102

Pulse Position Modulation (PPM) Un signal PPM s’écrit

s(t) =

+∞ X

n=−∞

p(t − nTs − kpm[nTs])

(123)

où p(t) est une impulsion centrée de largeur fixe τ . Pour éviter l’interférence entre symboles successifs, il faut respecter la condition suivante qui fait intervenir la largeur de l’impulsions p(t) = 0, kp |m(t)|max <


Ts τ − 2 2

(124)


103

Pulse Code Modulation (PCM) Principe Numéro d’ordre 7

v[.]

v(t) 4

3, 5

6

2, 5

5

1, 5

4

0, 5

3

−0, 5

2

−1, 5

1

−2, 5

0

−3, 5

0

−4

m(t)

1, 3

2, 8

1, 8

0, 6

−0, 5

−2, 3

m[nTs ]

1, 5

2, 5

1, 5

0, 5

−0, 5

−2, 5

5

6

5

4

3

1

101

110

101

100

011

001

Numéro d’ordre Code PCM

F IG . 42: Échantillons instantanés, quantifiés et codes PCM.



104

Quantification Définition 31. Le processus consistant à transformer un échantillon d’amplitude m[nTs] d’un message m(t) pris au temps t = nTs en une amplitude v[nTs], choisie dans un ensemble fini de valeurs possibles, est appelé quantification. Ik m[nTs ]

Quantificateur

v[nTs ] mk−1

mk

mk+1 vk

F IG . 43: Description d’un quantificateur sans mémoire.



105

Fonctions “escalier de quantification” 4

sortie

4

2

sortie

2

entrée −4

−2

0

2

4

entrée −4

−2

0

−2

−2

−4

−4

(a)

2

4

(b)

F IG . 44: Formes alternatives pour la fonction de quantification.



106

Calcul du bruit de quantification 2 2 2 Soit σM la puissance moyenne du message m(t). Le rapport signal à bruit σM /σQ est égal à

S N

q

2 σM = 2 σQ 2 3σM 2R 2 = m2max

(125)

(126)

L’ajout d’un bit supplémentaire augmente le rapport signal à bruit de 6 [dB] puisqu’en décibels, le rapport signal à bruit vaut 10 log10

S N

= 10 log10 3 + 20 log10 q

+ 20R log10 2


σM mmax

(127)


107

Modulation delta m(t) approximation

pas △

F IG . 45: L’erreur de quantification dans une modulation delta.



108





109

Transmission de signaux numériques en bande de base Table des matières – Nécessité du codage – Capacité d’un canal – Transmission de données binaires – Spectre des signaux numériques – Modèle théorique linéaire – Transmission d’impulsions en bande de base – Codes en lignes d’émission – Détection de signaux binaires en présence de bruit – Effet de la limitation de la bande passante



110

Nécessité du codage Définition 32. [Valence] La relation entre la rapidité de modulation R et le débit binaire D met en jeu la valence V ; elle est donnée par l’équation

D = R log2(V )

(128)

Capacité d’un canal Théorème 4. [S HANNON -H ARTLEY]

C = W log2 1 + Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97)

S N

(129)


111

Capacité de canal selon Shannon

4

8

x 10

7

Capacité en bits/sec

6

5

4

3

2

1

0 0

10

20

30 S/N en dB

40

50

60

F IG . 46: Capacité d’un canal téléphonique (W = 3, 7 [kHz]).



112

Transmission des données binaires Deux méthodes : – la transmission en bande de base, méthode correspondant à l’émission directe sur le canal de transmission, et – la transmission par modulation d’une porteuse, méthode permettant d’adapter le signal au canal de transmission. Caractéristiques : – le débit, exprimé en [b/s]. – les niveaux physiques associés à chaque bit (0 ou 1) ou groupes de bits. – l’encombrement spectral. – la probabilité d’erreur par bit transmis (bit error rate) ⇒ Pe Lien entre le débit et la bande passante de la représentation analogique du signal : efficacité spectrale. Définition 33. L’efficacité spectrale est définie comme le rapport entre le débit binaire et la bande nécessaire à la transmission du signal d’information numérique.



113

Spectre des signaux numériques Modèle théorique linéaire g(t) =

+∞ X

Ak φk (t − kT )

(130)

Ak F {φ(t − kT )}

(131)

k=−∞

G(f ) =

+∞ X

k=−∞

= F {φ(t)} = Φ(f )F

+∞ X

Ak e−2πjf kT

k=−∞

 +∞  X 

k=−∞


(132)

Ak δ(t − kT )

 

(133)

 M. Van Droogenbroeck

114

Train d’impulsions de D IRAC +∞ X

k=−∞

Ak δ(t − kT )

(134)

Soit donc à analyser le signal aléatoire X(t)

X(t) =

+∞ X

k=−∞

Ak δ(t − kT − T0)

Moyenne d’un train d’impulsions µX =

µA T

(135)

(136)

Densité spectrale d’un train d’impulsions +∞ X ΓAA (l) −2πjlf T e γX (f ) = T

(137)

l=−∞



115

Densité spectrale d’un signal numérique mis en forme g(t) =

+∞ X

k=−∞

Ak φ(t − kT )

(138)

est le résultat d’un train d’impulsions modulés en amplitude par la séquence Ak au travers d’un filtre de mise en forme. Par application des résultats relatifs au passage d’un signal aléatoire à travers un filtre linéaire, µA Φ(0) µg = (139) T Par W IENER-K INTCHINE , γg (f ) = kΦ(f )k2

+∞ X ΓAA (l) −2πjlf T e T

l=−∞

γA(f T ) = kΦ(f )k T 2


(140)

(141)


116

Cas particulier : signaux non-corrélés

γA(f T ) =

+∞ X

ΓAA (l) e−2πjlf T

(142)

l=−∞ +∞ X m 1 2 δ(f − ) = σA + µ2A T T m=−∞

La densité spectrale vaut donc finalement " # +∞ X 1 m 2 1 2 2 γg (f ) = kΦ(f )k σA + µA δ(f − ) T T T m=−∞

(143)

(144)

Moyennant l’hypothèse de variables à moyenne nulle (µA = 0), 2 σA γg (f ) = kΦ(f )k T 2


(145)


117

Transmission d’impulsions en bande de base Codage Deux technologies sont mises en œuvre pour coder les signaux numériques : – les codages en ligne. On parle de codes linéaires. – les codages complets, qui se réfèrent à des tables de conversion (par exemple 5B/4T, 4B/3T, 2B1Q). Codages linéaires On peut distinguer les principales catégories suivantes pour le codage linéaire de signaux PCM : 1. Nonreturn-to-zero (NRZ), 2. Return-to-zero (RZ), 3. Codage de la phase, et 4. Codage multi-niveaux.



118

Variantes de codage 0

1

0

0

1

1

1

0

0

+V NRZ unipolaire

−V +V

NRZ bipolaire

−V +V

RZ unipolaire

−V +V

RZ bipolaire

−V +V

Manchester Bi-φ-L

−V

F IG . 47: Variantes de codage en ligne PCM.



119

Codage NRZ unipolaire La modélisation complète du codage NRZ unipolaire est résumée dans le tableau suivant : Symbole 0 1

Ak 0 V

Probabilité 1−p p

Onde ... 1, 0 ≤ t < T

Moyenne µA = V p

(146)

Variance 2 σA

Filtre

2 = E (Ak − µA) = p(1 − p)V 2 2

kΦ(f )k = T

2

Densité spectrale de puissance γ(f ) = p(1 − p)V 2T


sin(πf T ) πf T

sin(πf T ) πf T

2

(147)

2

(148)

+ p2V 2δ(f )

(149)


120

Études temporelle et fréquentielle 2

1.5

1

0.5

V

0

−0.5

−1

−1.5

−2

1

2

3 Temps [s]

4

5

6 −3

x 10

PSD Function

−2

10

−3

10

−4

Power [W]

10

−5

10

−6

10

−7

10

−8

10

−9

10

0

0.5

1

1.5

2 2.5 3 Frequency [kHz]


3.5

4

4.5

5


121

Bande passante : choix pratiques Le spectre du signal mis en forme est infini. γ(f ) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.5

1

1.5

2

2.5

3

fT

Pourcentage de puissance comprise dans la bande 100 80 60 40 20 0.5

1

1.5

2

2.5

3

fT

F IG . 48: Analyse de la répartition de puissance. Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97)


122

Codage RZ unipolaire Symbole 0 1

Ak 0 V

Probabilité 1−p p

Onde ... 1, 0 ≤ t < αT (α ≤ 1)

Variance 2 σA

=E

Filtre

A2k

− µ2A = pV 2 − (pV )2 = p(1 − p)V 2 2

2

kΦ(f )k = α T

2

sin(πf αT ) πf αT

(150)

2

(151)

Densité spectrale de puissance Si on prend α = 12 , ce qui est le choix habituel, γ(f ) =

p(1 − p) 2 V T 4 +p2V 2

+∞ X

sin(πf T /2) πf T /2

2

p2 2 + V δ(f ) 4

1 (2n + 1) ) δ(f − 2 2 (2n + 1) π T n=−∞


(152)


123


1.5

1

0.5

V

0

−0.5

−1

−1.5

−2

1

2

3 Temps [s]

4

5

6 −3

x 10

PSD Function

−1

10

−2

10

−3

Power [W]

10

−4

10

−5

10

−6

10

−7

10

0

0.5

1

1.5



3.5

4

4.5

5


124

Codage Manchester Symbole

Probabilité

Ak

0

1−p

−V

1

p

V

−1, +1, −1, +1,

Onde 0 ≤ t < T /2 T /2 ≤ t < T 0 ≤ t < T /2 T /2 ≤ t < T

Variance 2 σA = 4p(1 − p)V 2

Filtre T 2

(153)

sin(πf T /2) Φ(f ) = −e−2πjf T /4 + e+2πjf T /4 πf T /2 sin(πf T /2) = T j sin(πf T /2) πf T /2 2

kΦ(f )k = T 2

sin(πf T /2) πf T /2


2

sin2(πf T /2)

(154)

(155)


125

sin4 (πf T /2) (πf T /2)2

4p(1 − p)V 2T P+∞ (2n+1) 1 2 2 + 4(2p − 1) V ) δ(f − n=−∞ (2n+1)2π2 T

γ(f ) =


(156)


126


1.5

1

0.5

V

0

−0.5

−1

−1.5

−2

1

2

3 Temps [s]

4

5

6 −3

x 10

PSD Function

−1

10

−2

10

−3

Power [W]

10

−4

10

−5

10

−6

10

0

0.5

1

1.5



3.5

4

4.5

5


127

2

PSD Function

−1

10

1.5

−2

10 1

−3

10

Power [W]

V

0.5

0

−4

10

−5

10

−0.5 −6

10

−1

−7

10

−1.5

−2

−8

1

2

3 Temps [s]

4

5

10

6 −3

0

0.5

1

1.5

x 10

2


3.5

4

4.5

5

3.5

4

4.5

5

PSD Function

−1

10

1.5 −2

10 1

−3

10 Power [W]

V

0.5

0

−4

10

−0.5 −5

10 −1

−6

10

−1.5

−2

−7

1

2

3 Temps [s]

4

5

10

6 −3

0

0.5

1

1.5

x 10

2

2 2.5 3 Frequency [kHz] PSD Function

−1

10

1.5 −2

10 1

0.5

−3

Power [W]

V

10 0

−4

10

−0.5

−1

Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) −1.5 −2

−5


10

−6

1

2

3 Temps [s]

4

5

6 −3

x 10

10

0

0.5

1

1.5


3.5

4

4.5

5

128

Codage en blocs ou complets Valeur binaire 10 11 01 00

Code quaternaire +3 +1 -1 -3

TAB . 4: Codage 2B/1Q.



129

Détection de signaux binaires en présence de bruit gaussien Position du problème g(t) =

+∞ X

k=−∞

Ak φk (t − kT )

(157)

Erreurs de transmission dues à : – du bruit (additif blanc gaussien) – présence de filtres (émission ou réception) – non-linéarité du canal – ...



130

Effet d’un bruit additif

2

V

1 0 −1 −2

1

2

3

4

5 Temps [s]

6

7

8

9 −3

x 10

2

V

1 0 −1 −2 0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005 0.006 Temps [s]

0.007

0.008

0.009

0.01

F IG . 49: Effet du bruit sur un signal M ANCHESTER . Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97)


131

Ak

1

0

1

1

0

Mise en forme g(t) 0

1

2

3

4

5 ×10−3

0

1

2

3

4

5 ×10−3

0

1

2

3

4

5 ×10−3

0

1

2

3

4

5 ×10−3

Canal n(t)

x(t) = g(t) + n(t)

Signal bruité Filtre adapté h(t)

onvolution

é hantillonnage

seuil λ=0

Dé ision

λ=0 Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97) A′k

M. Van Droogenbroeck 0

1

1

2

0

3

1

4

1

0

5 ×10−3

132

V

2

0

−2

0.5

1

1.5

2

2.5 Temps [s]

3

2.5 Temps [s]

3

2.5 Temps [s]

3

3.5

4

4.5 −3

x 10

V

5 0 −5 0 0.5 −3 x 10

1

1.5

2

3.5

4

4.5

5 −3

x 10

V

1 0 −1 0

0.5

1

1.5

2

3.5

4

4.5

5 −3

x 10

F IG . 51: Signaux typiques dans le cas d’une transmission en bande de base.



133

Modélisation Phase 1 Signal g(t)

x(t)

Phase 2

y[T ]

Filtre h(t)

Bruit additif gaussien n(t)

Décision

g ˆ(t)

T Seuil λ

F IG . 52: Structure d’un détecteur linéaire.



134

Première phase : filtrage ou corrélation Critère

|gh(T )|2 η= E {n2h(t)} Z +∞ 2 2 kG(f )k df η≤ N0 −∞

Résultat

D’où la valeur maximale ηmax

2 = N0

Z

+∞ −∞

(158)

(159)

2Eb kG(f )k df = N0 2

(160)

Définition 34. [Énergie du signal] Eb =

Z

+∞ −∞

2

kG(f )k df =

Z

0

T

2

|g(t)| dt

(161)

On peut écrire le filtre optimal par hopt(t) =

kg(T − t) 0 ≤ t ≤ T 0 ailleurs


(162)


135

Implémentation du filtre adapté En pratique, on dispose de plusieurs moyens de réaliser le filtre adapté : 1. Par convolution. y(t) =

Z

+∞ −∞

x(τ )h(t − τ )dτ

(163)

On échantillonne ce signal à l’instant t = T pour obtenir la valeur y[T ]. 2. Par corrélation. Considérons l’expression de y(t) y(t) =

Z

+∞ −∞

x(τ )g(T − t + τ )dτ

(164)

à partir de quoi y[T ] =

Z

T

x(τ )g(τ )dτ

(165)

0

3. Par intégration. Dans le cas particulier d’un fonction g(t) = 1 sur [0, T ], la formule de z(t) se réduit à Z t z(t) = (166) x(τ )dτ 0



136

Seconde phase : détection par maximum de vraisemblance Le signal reçu durant l’intervalle de temps T est g0(t) + n(t), 0 ≤ t ≤ T x(t) = g1(t) + n(t), 0 ≤ t ≤ T

pour pour

0 1

(167)

Par exemple, pour un signal NRZ, g0(t) = −V et g1(t) = +V . Au moment de prendre une décision, on peut faire deux types d’erreur 1. Sélectionner le symbole 1 alors qu’on a transmis le symbole 0 ; c’est l’erreur de type 1. 2. Sélectionner le symbole 0 alors qu’on a transmis le symbole 1 ; c’est l’erreur de type 2.



137

Démarche – Probabilité d’erreur lors de l’envoi du signal g0(t) – Probabilité d’erreur lors de l’envoi du signal g1(t) – Probabilité d’erreur moyenne Probabilité d’erreur pour un signal g0(t) Supposons que l’on ait transmis un symbole 0, autrement dit le signal g0(t). Le signal reçu au récepteur est alors x(t) = −V + n(t) 0 ≤ t ≤ Tb (168)



138

Résultats σY2

N0 = 2Tb (y+V )2

1

Résultat final :

(169)

− N /T e 0 b

fY (y|0) = p πN0 /Tb Z +∞ (y+V )2 1 − e N0/Tb dy Pe0 = p πN0/Tb λ Pe0 =

1 erf c 2


r

Eb N0

!

(170)

(171)

(172)


139

Densités de probabilité fY (y|0) Pe0

−V

y

λ

fY (y|1)

Pe1 +V

λ

y

F IG . 53: Forme des densités de probabilités fY (y|0), fY (y|1) et probabilités d’erreur. fY (y|0)

p1 p0 −V

fY (y|1)

y (T ) +V λ=0

y

F IG . 54: Densités de probabilité conditionnelles.



140

Probabilité d’erreur moyenne 1 Pe = erf c 2

r

Eb N0

!

(173)

Probabilité d’erreur pour un signal NRZ bipolaire

0

10

−2

10

−4

10

−6

10

−8

10

−10

10

−12

10

−14

10

−16

10

−2

0

2

4

6 8 Eb/No [dB]


10

12

14

16


141

Effet de la limitation de la bande passante

V

2 0 −2

1

2

3

4

V

2

5 Temps [s]

6

7

8

9 −3

x 10

0 −2 0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005 0.006 Temps [s]

0.007

0.008

0.009

0.01

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005 0.006 Temps [s]

0.007

0.008

0.009

0.01

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005 0.006 Temps [s]

0.007

0.008

0.009

0.01

V

2 0 −2 0

V

2 0 −2 0

F IG . 55: Effet de la limitation de la bande de fréquence sur un signal NRZ bipolaire : (a) signal original, (b) signal filtré à 5fb, (c) signal filtré à 0, 6fb et (d) signal filtré à 0, 4fb.



142

Diagramme de l’œil

Tb

Ts

F IG . 56: Diagrammes de l’œil obtenus à travers un canal à réponse impulsionnelle finie pour un système à 2 et 4 états. Instant d'é hantillonnage idéal Distorsion d'amplitude Marge par rapport au bruit

In ertitude de syn hronisation Intervalle de temps permettant un é hantillonnage orre t

F IG . 57: Interprétation du diagramme de l’œil. Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97)


143

Types de transmission Deux modes logiques : – Transmission synchrone Données

n−1

n

n+1

n+2

n+3 t

– Transmission asynchrone Données

n

n+1

n+2 t

Start

Stop

Deux modes physiques : – série – parallèle



144





145

Modulation numérique Table des matières – Modulation et démodulation cohérente ou incohérente – Modulation d’amplitude cohérente – Modulation de phase numérique cohérente – Modulation de fréquence numérique cohérente



146

Modulation cohérente ou incohérente On peut distinguer deux grandes classes de modulation numérique : – la modulation cohérente : la fréquence de la porteuse fc est un multiple entier du rythme d’émission 1/Tb, n fc = (174) Tb – la modulation incohérente : la fréquence de la porteuse fc n’est pas un multiple entier du rythme d’émission 1/Tb

Démodulation cohérente ou incohérente



147

Exemples de modulation numérique Hypothèse : fc =

nc Tb

(modulation cohérente)

V

2 0 −2

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

10 0 −10 0 10 0 −10 0 10 0 −10 0

F IG . 58: Signal modulant numérique et signaux modulés respectivement en AM, PM et FM.



148

Modulation d’amplitude numérique cohérente s0(t) =

+∞ X

k=−∞

Ak Rect[0,T ](t − kTb) cos(2πfc t)


(175)


149

Modulation d’amplitude numérique cohérente s0(t) =

+∞ X

k=−∞

Ak Rect[0,T ](t − kTb) cos(2πfc t)

(175)

Occupation spectrale ? Développement en série de F OURIER de la forme m0(t) =

s0(t) =

1 4 3 4 A0 cos(2π( fb)t) + . . . 1 + cos(2π( fb)t) − 2 π 2 3π 2

A0 [cos(2πfct) 2 2 fb 2 fb + cos(2π(fc + )t) + cos(2π(fc − )t) π 2 π 2 3fb 2 3fb 2 )t) − cos(2π(fc − )t) + . . . − cos(2π(fc + 3π 2 3π 2



149

γ(f ) = =

"

2

#

δ(f − fc) + δ(f + fc) + ⊗ p0(1 − (176) 4 2 2 2 2 p0(1 − p0)A0Tb sin(π(f + fc)Tb) p0(1 − p0)A0Tb sin(π(f − fc)Tb) + 4 π(f − fc)Tb 4 π(f + fc)Tb p0)A20Tb

sin(πf Tb) πf Tb

p20A20δ(f )

p20A20 p20A20 δ(f − fc) + δ(f + fc) + 4 4


(177)


150

Efficacité spectrale Définition 35. L’efficacité spectrale est définie comme le flux binaire par Hz . La limite supérieure de l’efficacité spectrale pour l’ASK est 1 [b/s/Hz]. En pratique, elle est plutôt entre 0,65 [b/s/Hz] et 0,8 [b/s/Hz].



151

Démodulation cohérente

Diagramme de l’oeil

−4

6

x 10

V

1

5

0 −1

4 0

0.5

1

1.5

2

2.5 Temps [s]

3

3.5

4

4.5

5 −3

x 10

3

V

2 0

2 −2 0 0.5 −4 x 10

1

1.5

2

2.5 Temps [s]

3

3.5

4

4.5

5 −3

x 10

1

V

5

0

0 −5 0

0.5

1

1.5

2

2.5 Temps [s]

3

3.5

4

4.5

5 −3

x 10

−1 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 1.2 Temps [s]

1.4

1.6

1.8

2 −3

x 10

F IG . 59: Signal ASK en présence d’un faible bruit. Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97)


152

Diagramme de l’oeil

−4

8

x 10

V

1 0

6 −1 0

0.5

1

1.5

2

2.5 Temps [s]

3

3.5

4

4.5

5 −3

x 10

4

V

5 0

2

−5 0 0.5 −3 x 10 1

1

1.5

2

2.5 Temps [s]

3

3.5

4

4.5

5 −3

x 10

V

0 0

−1 0

0.5

1

1.5

2

2.5 Temps [s]

3

3.5

4

4.5

5 −3

x 10

−2 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 1.2 Temps [s]

1.4

1.6

1.8

2 −3

x 10

F IG . 60: Signal ASK en présence d’un bruit important.



153

Modulation de phase numérique cohérente

s0(t) = − s1(t) = −

r r

2Eb cos(2πfct) Tb

(178)

r

2Eb cos(2πfct + π) = + Tb

2Eb cos(2πfct) Tb

(179)

Il s’agit donc, dans ce cas, d’une modulation équivalente à une modulation d’amplitude à deux états de valeurs opposées. – Occupation spectrale ?



154

Démodulation cohérente ψ(t) = Dès lors,

r

2 cos(2πfct), 0 ≤ t ≤ Tb Tb

(180)

p s0(t) = − Ebψ(t), 0 ≤ t ≤ Tb p s1(t) = + Ebψ(t), 0 ≤ t ≤ Tb

(181) (182)

Pour une réception cohérente, le corrélateur fournira l’un des deux résultats suivants ρ0 =

Z

Tb

0

ρ1 =

Z

0

Tb

p s0(t)ψ(t)dt = − Eb

(183)

p s1(t)ψ(t)dt = + Eb

(184)



155

Résultat 1 Pe = erf c 2


r

Eb N0

!

(185)


156

Modulation de fréquence numérique cohérente si(t) =

( q

2Eb Tb

cos(2πfi t), 0 ≤ t ≤ Tb

0, tels que les fréquences instantanées respectent

nc + i fi = Tb

(186)

ailleurs

(187)

nc et i étant des entiers. – Occupation spectrale ?



157

Démodulation cohérente Dans le cas d’une modulation de fréquence binaire, les signaux sont r

s0(t) =

r

s1(t) =

2Eb cos(2πf0 t) Tb

(188)

2Eb cos(2πf1 t) Tb

(189)

Fonctions de corrélation normalisées comme suit ψj (t) =

ρij

= =

Z

r

2 cos(2πfj t), 0 ≤ t ≤ Tb, j ∈ {0, 1} Tb

Tb

si(t)ψj (t)dt = 0

√

Eb, i = j 0, i 6= j

Z

Tb 0


r

2Eb cos(2πfi t) Tb

r

(190)

2 cos(2πfj t)dt Tb

(191)

(192)


158

Le vecteur d’observation ~x est défini par

x0 x1

 R Tb

=

0 R Tb 0

x(t) x(t)

x1

q

q

2 Tb 2 Tb

cos(2πf0t)dt cos(2πf1t)dt



(193)



cos(2πf1 t)

p Eb 0 1

0 1

1111111 0000000 p 0000000 1111111 2Eb 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111

1 0 p 0 1

Eb

x0 cos(2πf0 t)

F IG . 61: Espace de décision pour la démodulation cohérente d’une FSK binaire.



159

Changement de variable On définit une nouvelle variable aléatoire gaussienne L telle que L = X0 − X1

(194)

Moyenne et variance de L ?



160


(194)

Moyenne et variance de L ? – La moyenne de cette variable aléatoire, conditionnellement à 0, vaut µL|0 = µX0|0 − µX1|0


p = Eb

(195)


160


(194)

Moyenne et variance de L ? – La moyenne de cette variable aléatoire, conditionnellement à 0, vaut µL|0 = µX0|0 − µX1|0

p = Eb

(195)

– La variance de L ne dépend pas du symbole. Comme les variables X0 et X1 sont statistiquement indépendantes et de variance N0/2, 2 2 2 σL = σX + σ = N0 X 0 1


(196)


160

Probabilité d’erreur conditionnelle Supposons que le symbole 0 ait été transmis, la densité de probabilité conditionnelle de L vaut √ (l− Eb )2 1 − 2N 0 e fL(l|0) = √ (197) 2πN0



161

Probabilité d’erreur conditionnelle Supposons que le symbole 0 ait été transmis, la densité de probabilité conditionnelle de L vaut √ (l− Eb )2 1 − 2N 0 e fL(l|0) = √ (197) 2πN0 Soit Pe0 la probabilité d’erreur conditionnelle tenant compte de l’émission du symbole 0. L’organe de décision va préférer le symbole 1 lorsque l < 0. Dès lors,

Pe0 = p(l < 0|0) Z 0 = fL(l|0)dl −∞

=

1 √ 2πN0


Z

0

(198) (199) √

(l− Eb )2 − 2N 0

e

dl

(200)

−∞


161

Après le changement de variable z =

Pe0 = =

√

l− √

Eb , 2N0

1 √ π

on obtient

Z √Eb/N0

e

−∞

1 erf c 2

r

−z 2

Eb 2N0

dz

!

(201)

(202)

Par un raisonnement similaire, on obtient Pe1 et Pe toutes deux égales à 1 erf c 2

r

Eb 2N0

!

(203)

Dans le cas du GSM : Gaussian Minimum-shift keying (GMSK)



162

Modems Rec. V21 V22 V22bis V23 V29 V32 V32bis V33 V34 V90

Mode duplex duplex duplex semi-duplex duplex duplex duplex

Débit [b/s] 300 1200 2400 1200/75 9600 9600 14400 14400 33600 56000

Modulation FSK PSK QAM FSK QAM QAM QAM QAM QAM PCM

Réalisation du mode multiplex multiplexage en fréquence multiplexage en fréquence multiplexage en fréquence voie de retour optionnelle multiplexeur optionnel annulation d’écho annulation d’écho annulation d’écho annulation d’écho

TAB . 5: Recommandations ITU-T.



163





164

Propagation et systèmes radio



165



166

Propagation et systèmes radio Table des matières – Introduction – Propagation des ondes électromagnétiques – Équations de M AXWELL – Antennes – Propriétés – Antennes simples – Bilan de puissance – Directivité, gain – Propagation en espace libre : équation de Friis – Modèles de propagation – Domaines d’application de la radio



167

Nomenclature Fréquences < 3 [kHz] 3 − 30 [kHz] 30 − 300 [kHz] 300 − 3000 [kHz] 3 − 30 [M Hz] 30 − 300 [M Hz] 300 − 3000 [M Hz] 3 − 30 [GHz] 30 − 300 [GHz] 300 − 3000 [GHz] 3 − 30 [T Hz] 30 − 430 [T Hz] 430 − 860 [T Hz]

λ [m] > 100 [km] 10 − 100 [km] 1 − 10 [km] 100 − 1000 [m] 10 − 100 [m] 1 − 10 [m] 10 − 100 [cm] 1 − 10 [cm] 1 − 10 [mm] 0, 1 − 1 [mm] 10 − 100 [µm] 0, 7 − 10 [µm] 0, 35 − 0, 7 [µm]

Dénomination ELF VLF LF MF HF VHF UHF SHF EHF

TAB . 6: Nomenclature de l’ITU-R.



168

Propagation des ondes électromagnétiques Équations de M AXWELL (dans le domaine temporel et sous forme locale) − → ∂ B − → ▽ ×E = − ∂t

− → ∂ D − → − → ▽×H = J + ∂t − → ▽. D = ρ − → ▽. B = 0

(204)

(205) (206) (207)

Énergie, puissance et impédance électromagnétiques



169

Propagation des ondes électromagnétiques Équations de M AXWELL (dans le domaine temporel et sous forme locale) − → ∂ B − → ▽ ×E = − ∂t

− → ∂ D − → − → ▽×H = J + ∂t − → ▽. D = ρ − → ▽. B = 0

(204)

(205) (206) (207)

Énergie, puissance et impédance électromagnétiques − → Définition 36. [Vecteur de P OYNTING] Le vecteur de P OYNTING S est défini comme le produit vectoriel − → − → − → S = E ×H Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97)

(208) M. Van Droogenbroeck

169

− → − → → ∂B − → ∂D − +H· )dv − (E · ∂t ∂t s v v H − → − Deux composantes contribuent au flux entrant,− s S · d→ s R − → − → – v E · J dv, la puissance dissipée, − → → − R − → → ∂− D + H · ∂ B )dv – le terme v ( E · ∂t ∂t Sous la forme intégrale, I

− → − S · d→ s =

Z

− → − → E · J dv +

Z

2 2 → − → − Z ǫ E Z 2 µ H ∂ → − → − + )dv ( − ∇ · S = σ E dv + ∂t 2 2 v v


(209)

(210)


170

Antennes Propriétés générales à l’émission Équations de M AXWELL en notation phasorielle ˆ ∇×E ˆ ∇×H

ˆ = −jω B ˆ = Jˆ + jω D

ˆ = ρˆ ∇·D ˆ = 0 ∇·B

(211) (212) (213) (214)

En espace libre, les rotationnels s’écrivent ˆ ∇×E ˆ ∇×H

ˆ = −jωµ0H ˆ = Jˆs + jωǫ0E


(215) (216)


171

Calculs des champs ˆ = −jω Aˆ − ∇Vˆ E

(217)

∇2Aˆ + ω 2µ0ǫ0Aˆ = −µ0Jˆs

(218)

Après calcul et grâce à la condition de L ORENTZ qui stipule que ∇ · Aˆ = −jωµ0ǫ0Vˆ ,

√ Définissant β = ω µ0ǫ0, la solution est Z ˆ −jβ0r µ0 Jse Aˆ = dv 4π v r


(219)


172

Antennes simples Doublet de H ERTZ z

θ

P r

dl

Iˆ y

x

φ

F IG . 62: Doublet électrique. Si le doublet est aligné sur l’axe z, le potentiel vecteur se réduit à −jβr e µ 0 ˆ Aˆz = Idl 4π r


(220)


173

Champs En coordonnées sphériques, on en déduit ˆr H ˆθ H ˆφ H

= 0

(221)

= 0 ˆ Idl 1 1 2 = β sin θ(j + 2 2 )e−jβr 4π βr β r

(222)

Quant au champ électrique, il vaut (η0 = ˆr E ˆθ E

q

µ0 ǫ0

= 120π = 377 [Ω])

ˆ Idl 1 1 = 2 η0β 2 cos θ( 2 2 − j 3 3 )e−jβr 4π β r β r ˆ 1 1 1 Idl η0β 2 sin θ(j + 2 2 − j 3 3 )e−jβr = 4π βr β r β r

ˆφ = 0 E


(223)

(224)

(225)


174

Puissance (I) Hypothèse dite du champ éloigné ˆ jβ Idl ˆ sin θe−jβR~aφ H= 4πR

(226)

ˆ jη0β Idl ˆ sin θe−jβR~aθ E= 4πR

(227)



175

Puissance (I) Hypothèse dite du champ éloigné ˆ jβ Idl ˆ sin θe−jβR~aφ H= 4πR

(226)

ˆ jη0β Idl ˆ sin θe−jβR~aθ E= 4πR

(227)

Aussi, comme η0 = 120π,

ˆ

Sav =


2

ˆ

Eφ 120π

(228)


175

Puissance (II) La puissance rayonnée moyenne est fournie par Sâv

Prad =

2 dl ˆ 2 sin2 θ ~ar = 15π

I 2 λ R I

s

Sâv · ds = 80π 2


(229)

2 2 ˆ I

dl λ

2

(230)


176

Directivité et gain

Lobe principal

θ3dB

0 [dB] -3 [dB]

Lobes secondaires

F IG . 63: Angle d’ouverture à 3 [dB]. Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97)


177

z θ

|S| y

F IG . 64: Diagramme de rayonnement d’un doublet électrique.



178

Doublet magnétique z

θ

P r

Iˆ

r′ dl y

x

Le vecteur de P OYNTING vaut, en champ éloigné, Sâv

2 2 A

ˆ 2 sin θ ~ar = 1860

I 2 2 λ R

(231)

Il en résulte une puissance de rayonnement de

2 A 2

Prad = Sâv · ds = 15, 585 Iˆ λ2 s I


(232)


179

Antennes longues ˆ I(z) 0

ˆ I(z) 0 ˆ I(z)

ˆ I(z)

ˆ I(z)

ˆ I(z) 0

ˆ I(z)

ˆ I(z)

ˆ I(z)

F IG . 65: Distributions de courant le long d’une antenne longue. Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97)


180

z ˆ I(z)

z = l/2 θ′ ˆ I(z) θ

dz

r′

P

r

ˆ I(z) = Im sin β0 (l/2 − z) 0 < z < l/2 ˆ I(z) = Im sin β0 (l/2 + z) − l/2 < z < 0

x

z = −l/2

θ′ ≃ θ z

r′

θ

r

z cos θ

F IG . 66: Configuration géométrique pour le dipôle allongé. ˆφ = 60Iˆme−jβR cos(πl/λ cos θ)−cos(πl/λ) ~aθ À grande distance E R


sin θ


181

Diagrammes de rayonnement du champ électrique 90

90

2

120

150

30

1.5

150

30

1

0.5

0

0

180

330

210

300

240

0.5

180

330

210

300

240

270

270

1

1

0.5

0.5

0.5

0

0

0

−0.5

−0.5

−0.5

−1 1

−1 1

−1 1

1

0.5 0.5

0

1

0.5 0.5

0

0 −0.5

−0.5 −1

λ 2

1

0.5 0.5

0

0 −0.5

0 −0.5

−0.5

−1

−1

l=λ

l=

−1

l=

330

210

1

−1

0

300

240

270

30

1

0.5

180

−0.5

60

1.5

1

2

120

60

1.5

150

90

2

120

60


−1

3λ 2


182

Antenne demi-longueur d’onde (l = λ2 ) ˆφ = Pour l = λ2 , E

60Iˆme−jβR cos(π/2 cos θ) ~aθ R sin θ

1

0.5

0

−0.5

−1 1 1

0.5 0.5

0 0 −0.5

−0.5 −1


−1


183

Réseaux d’antennes

z

z

θ I2 r2

d I1

r1 φ

r

P

r2

I2

d

r

y

x

vers P y

I1

r1

x

F IG . 67: Réseau d’antennes. Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97)


184

d = λ0 /2

x φ

I ∠0

I ∠α

d = λ0 /2, α = 0

y d = λ0 /2

x

I ∠α

I ∠0

d = λ0 /2, α = π

φ y d = λ0 /4

x φ

I ∠0

I ∠α

d = λ0 /4, α = π/2

y

F IG . 68: Diagrammes de rayonnement.



185

Gain Définition 37. L’ITU définit le gain d’une antenne comme le “ratio, généralement exprimé en décibels, entre la puissance nécessaire à l’entrée d’une antenne de référence sans perte à la puissance effective fournie à l’antenne considérée de manière à ce qu’elle fournisse le même champ électrique ou la même puissance dans une direction donnée”. Antenne isotrope

GE = 1 d PE

Aire totale = 4πd2 Antenne réelle GE 6= 1 PE

Aire A Angle solide = A/d2

d

F IG . 69: Gain d’antenne. Définition 38. La Puissance Isotrope Rayonnée Équivalente (PIRE) est le produit de la puissance d’émission d’une antenne par le gain dans la direction d’observation Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97)


186

Niveau du champ électrique en réception en radio-diffusion FM Utilisation d’une antenne généralement isotrope PE 4πd2

(233)

E2 S= 120π

(234)

S= En espace libre :

Au droit du récepteur, le champ électrique vaut |E| =


√

30PE d

(235)


187

Couplage entre antennes IbA

IbB

d

ZS b V A

b V S

b V B

ZL

F IG . 70: Schéma électrique d’une liaison entre antennes.

Schéma en T

VÂ = ZÂAIÂ + ZÂB IˆB VˆB = ZˆBAIÂ + ZˆBB IˆB

IbA ZAA − ZM ZBB − ZIbM B

ZS b V S

(236)

b V A

ZM

IbA + IbB

b V B

ZL

F IG . 71: Circuit électrique d’une liaison entre antennes.



188

Calcul du couplage IbA

ZS b V S

b V A

ZB ZA

b V BA

b V B

ZL

F IG . 72: Circuit électrique équivalent d’une liaison entre antennes. – PE = 21 VÂIÂ? – PR = 12 VˆB IˆB ?



189

Aire effective Définition 39. L’aire effective d’une antenne est définie comme le rapport entre la puissance disponible à ses bornes au vecteur de P OYNTING incident Aef f


PR = Sef f

(237)


190

Aire effective Définition 39. L’aire effective d’une antenne est définie comme le rapport entre la puissance disponible à ses bornes au vecteur de P OYNTING incident Aef f

PR = Sef f

(237)

La surface effective d’une antenne est liée à son gain par la relation Aef f


λ2 = GE 4π

(238)


190

Propagation en espace libre : équation de F RIIS

d

PR

PE

F IG . 73: Schéma de liaison entre antenne.



191


d

PR

PE

F IG . 73: Schéma de liaison entre antenne. 2 PE 4πd 1 ǫ= = PR λ GE GR En unités logarithmiques, relation de F RIIS

(239)

ǫ = 32, 5 + 20 log f[M Hz] + 20 log d[km] − GE [dB] − GR [dB]



191


d

PR

PE

F IG . 73: Schéma de liaison entre antenne. 2 PE 4πd 1 ǫ= = PR λ GE GR En unités logarithmiques, relation de F RIIS

(239)

ǫ = 32, 5 + 20 log f[M Hz] + 20 log d[km] − GE [dB] − GR [dB] c2 d2 λ2d2 = ǫ= AE AR f 2AE AR Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97)

(240)


191

Modèles de propagation Dire te Sour e

Réé hie

F IG . 74: Rayon direct et réfléchi.



192

Modèles de propagation Dire te Sour e

Réé hie

F IG . 74: Rayon direct et réfléchi. P

z d1 z0 d2

Idl θ2

β0 β1

−z0

F IG . 75: Antenne linéaire au-dessus d’un plan conducteur. −jβ d −jβ0 d2 −jβ0 d2 ˆ 0 1 e e µ0Idl e + Kv + f (d2, θ2) Aˆ = 4π d1 d2 d2 Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97)


192

Autres effets

Ionosphère

Onde

F IG . 76: Réflexion sur l’ionosphère.

F IG . 77: Diffusion sur une surface irrégulière. Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97)


193

Illumination

0dB

−6dB

F IG . 78: Exemple de diffraction.



194

Multitrajet

Obstacle

d2 Source

d1

Récepteur

F IG . 79: Bilan de liaison en présence d’une réflexion. Principes des télécommunications analogiques et numériques (version 3.97)


195

−40

−60

Attenuation [dB]

−80

−100

−120

−140

−160

−180 2 10

3

4

10

10

5

10

d1 [km]

F IG . 80: Affaiblissement de puissance ǫ en fonction de la distance : (a) en espace libre (trait continu) et (b) en présence d’une réflexion (traits interrompus).



196

Domaines d’application de la radio Radiodiffusion sonore Amplitude Signal pilote Signal mono stéréo Signal différence (information stéréo) RDS G+D

G-D 15 19 23

G-D 38

53

57 60 f [kHz]

F IG . 81: Signal modulant en radiodiffusion stéréophonique.



197





198

Principes de fonctionnement du réseau GSM Table des matières – Principales caractéristiques – L’architecture du réseau et les éléments – Le canal physique – Les protocoles – La typologie des paquets (bursts)



199

Le concept cellulaire

2 3 7 1 4 6 5

2 3 7 2 1 3 7 4 1 6 4 5 6 5 2 3 7 1 4 6 5

F IG . 82: Figure représentant un motif élémentaire et un ensemble de motifs. Un cellule se caractérise par :



200

Le concept cellulaire

2 3 7 1 4 6 5

2 3 7 2 1 3 7 4 1 6 4 5 6 5 2 3 7 1 4 6 5

F IG . 82: Figure représentant un motif élémentaire et un ensemble de motifs. Un cellule se caractérise par : – sa puissance d’émission, – la fréquence de porteuse utilisée pour l’émission radio-électrique et – le réseau auquel elle est interconnectée.



200

Estimation du rapport de puissance porteuse à bruit Signaux perturbateurs : 1. Les interférences de puissance totale I qui sont dues aux signaux émis par les autres stations : (a) Les interférences co-channel qui sont dues aux signaux émis par les autres stations de base utilisant la même fréquence. (b) Les interférences de canaux adjacents dues aux signaux émis par les stations de base utilisant des fréquences voisines. 2. Le bruit, de puissance N, provenant principalement du bruit de fond du récepteur. Dès lors, on a le rapport

C N +I


(241)


201

Synthèse des principales caractéristiques du GSM La norme GSM prévoit que la téléphonie mobile par GSM occupe deux bandes de fréquences aux alentours des 900 [M Hz] : 1. la bande de fréquence 890 − 915 [M Hz] pour les communications montantes (du mobile vers la station de base) et 2. la bande de fréquence 935 − 960 [M Hz] pour les communications descendantes (de la station de base vers le mobile).



202

Comparaison des normes GSM et DCS-1800

Bande de fréquences (↑) Bande de fréquences (↓) Nombre d’intervalles de temps par trame TDMA Écart duplex Rapidité de modulation Débit de la parole Débit maximal de données Accès multiple Rayon de cellules Puissance des terminaux

GSM 890, 2 − 915 [M Hz] 935, 2 − 960 [M Hz] 8

DCS-1800 1710 − 1785 [M Hz] 1805 − 1880 [M Hz] 8

45 [M Hz] 271 [kb/s] 13 [kb/s] 12 [kb/s] Multiplexage fréquentiel et temporel 0, 3 à 30 [km] 2 à 8 [W ]

95 [M Hz] 271 [kb/s] 13 [kb/s] 12 [kb/s] Multiplexage fréquentiel et temporel 0, 1 à 4 [km] 0, 25 et 1 [W ]

TAB . 8: Comparaison des systèmes GSM et DCS-1800.



203

Architecture du réseau L’architecture d’un réseau GSM peut être divisée en trois sous-systèmes : 1. Le sous-système radio contenant la station mobile, la station de base et son contrôleur. 2. Le sous-système réseau ou d’acheminement. 3. Le sous-système opérationnel ou d’exploitation et de maintenance.



204

1 0 0 1 0 1 00 11 0 1 0 1 00 11 0 1 0 1 00 11 0 1 1 0 00 11 0 1 1 0 00 11 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 11 00 1 0 1 0 11 00 1 0 0 1 0 1 11 00 1 0 11 00 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1

1 0 0 1 VLR BTS

1 0 0 1

MSC

BTS HLR

AuC

1 0

00 11 1 0 1 0 11 00 1 0 1 0 11 00 1 0 1 0 00 11 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 00 11 0 1 00 11 0 1 1 0 00 11 0 1 1 0 00 11 0 1 1 0 00 11 0 1 0 1

BSC

BTS

BSC

11 00

OMC

MSC

BTS

BSC

BTS = Base Transceiver Station BSC = Base Station Controller VLR = Visitor Location Register MSC = Mobile Switching Center HLR = Home Location Register AuC = Authentication Center = Operation and Maintenance Principes des télécommunicationsOMC analogiques et numériques (versionCenter 3.97)

VLR

F IG . 83: Architecture du réseau GSM.


205

Le sous-système radio Le sous-système radio gère la transmission radio. Il est constitué de plusieurs entités dont – le mobile, – la station de base (BTS, Base Transceiver Station) et – un contrôleur de station de base (BSC, Base Station Controller).



206

Antenne GSM (Rockhampton, Queensland, Australie)



207

Antenne GSM (station de métro Rogier, Bruxelles)



208

Le téléphone et la carte SIM (Subscriber Identity Module) Paramètres Données administratives PIN/PIN2 Données liées à la sécurité Clé Ki Données relatives à l’utilisateur IMSI MSISDN Données de “roaming” TMSI Données relatives au réseau Mobile Country Code (MCC), Mobile Network Code

Commentaires Mot de passe demandé à chaque connexion Valeur unique, connue de la seule carte SIM et du HLR Numéro international de l’abonné Numéro d’appel d’un téléphone GSM Numéro attribué temporairement par le réseau à un abonné Identifiants du réseau mobile de l’abonné



209

Le sous-système réseau, appelé Network Switching Center (NSS) Le NSS est constitué de : – Mobile Switching Center (MSC) – Home Location Register (HLR) / Authentication Center (AuC) – Visitor Location Register (VLR) – Equipment Identity Register (EIR)



210

L’enregistreur de localisation nominale (HLR) Le HLR contient à la fois – toutes les informations relatives aux abonnés : le type d’abonnement, la clé d’authentification Ki –cette clé est connue d’un seul HLR et d’une seule carte SIM–, les services souscrits, le numéro de l’abonné (IMSI), etc – ainsi qu’un certain nombre de données dynamiques telles que la position de l’abonné dans le réseau –en fait, son VLR– et l’état de son terminal (allumé, éteint, en communication, libre, . . .).



211

Canal physique Combinaison d’un multiplexage fréquentiel (FDMA) et d’un multiplexage temporel (TDMA). Multiplexage fréquentiel Aussi, si on indique par Fu les fréquences porteuses montantes et par Fd les fréquences porteuses descendantes, les fréquence porteuse sont : Fu(n) = 890, 2 + 0, 2 × (n − 1) [M Hz]

Fd(n) = 935, 2 + 0, 2 × (n − 1) [M Hz]

(242) (243)

où 1 ≤ n ≤ 124.



212

La modulation La technique de modulation utilisée pour porter le signal à haute fréquence est la modulation GMSK (Gaussian Minimum Shift Keying). Séquence originale

t Après XOR

t Signal GMSK

t

F IG . 84: Création d’un signal modulé par MSK au départ d’un train d’impulsions.



213

Multiplexage temporel Chaque canal de communication est divisé en 8 intervalles de temps de 0, 577 [ms] chacun. Définition 40. [Trame] Ainsi, on définit une trame élémentaire de 8 intervalles pour une durée de 8 × 0, 577 = 4, 615 [ms].



214

Hiérarchie de trames Hypertrame 0

1

2

0

1

4

3 2

2043 2044 2045 2046 2047 46 47 48 49 50

4

3

1

0

5

24

2

25

Supertrame 51 Supertrame 26

Multitrame 51 11 00 00 11 00 11 000000000 111111111 00 11 00 11 00000000 11111111 000000000 111111111 000 111 00000000 11111111 Trame 000000000 111111111 000 111 000 111 00000000 11111111 000000000 111111111 000 111 000 111 000 111

Multitrame 26 0

1

2

24 25

0

Signal level [dB]

1

2

1

0

3

4

5

6

2

49 50

7

Slot

148 bits =0.428 ms

156.25 bits =0.577 ms temps [ms]

F IG . 85: Organisation des multiples de trames.



215

Le saut de fréquences ou Frequency Hopping Fréquences porteuse C3

porteuse C2

11 00 00 11 00 11 00 11

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1 0 1 0 1 11 00 00 11 00 11 00 11

porteuse C1

porteuse C0

1 0 0 1 0 1 0 1

1 0 0 1 0 1 0 1 11 00 00 11 00 11 00 11

1 0 0 1 0 1 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1 0 1 0 1 11 00

slot

1 0 0 1 0 1 0 1

11111111 00000000 trame TDMA

temps

Canal physique sans saut de fréquences

F IG . 86: Principe du saut de fréquence.



216

Configuration du Frequency Hopping La configuration des sauts se fait au moyen de paramètres tels que : – le Cell Allocation, la liste des numéros des fréquences utilisées dans une cellule, – le Mobile Allocation, la liste des numéros des fréquences disponibles pour les sauts, – le Hopping Sequence Number, une valeur comprise entre 0 et 63, servant à initialiser le générateur pseudo-aléatoire, – le Mobile Allocation Index Offset, une valeur comprise entre 0 et 63 qui identique quel décalage doit être utilisé. Cette valeur de décalage est convenue à l’initialisation de l’appel et elle diffère d’un mobile à l’autre.



217

Pile de protocoles Terminal mobile

Station de base

Contrôleur de station de base

Commutateur CC SMS SS

CC SMS SS MM

MM

RR

RR

LAPDm

LAPDm LAPD radio

radio

RR

MIC

Air

A−bis

LAPD

LAPD

LAPD

MIC

MIC

MIC A

F IG . 87: Piles de protocoles de différents sous-systèmes du réseau GSM.



218

Typologie des paquets (bursts) 0

1

2

3

4

5

6

7

burst d’accès TB

36 bits chiffrés

41 bits de synchro

TB

GP de 68,25 bits

burst de synchronisation TB

39 bits chiffrés

39 bits chiffrés

TB

GP

TB

GP

142 bits fixes (tous à 0)

TB

GP

142 bits prédéfinis

TB

GP

64 bits de synchro

burst normal TB

57 bits

1

26 bits chiffrés 1

57 bits

burst de correction de fréquence TB

burst de bourrage TB

F IG . 88: Structures des 5 types de burst définis par la norme GSM.



219

télécom analogique et numérique

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