UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD. ECUACIONES DIFERENCIALES FASE 1: PLANIFICACION – GRUPO: GRUPO: 100412_135
TAREA 1 PLANIFICACION
ESTUDIANTES: ANA GABRIELA MARULANDA; CODIGO: 1.113.664.204 JOSE RAFAEL GOMEZ; CODIGO: 1.115.911.699 SANDRA LILIANA CASTILLO; CÓDIGO: 1.114.456.149
GRUPO: 100413_135
TUTOR: JADITH ROVIRA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAS – UNAD UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍAS E INGENIERÍA PALMIRA, COLOMBIA 05 DE OCTUBRE -2016
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PRIMERA ACTIVIAD INDIVIDUAL A continuación, se presentan un contexto generalizando la temática de las ecuaciones diferenciales de primer orden, en el que posterior a él, se presentan diez (10) preguntas tipo SABER PRO, de las cuáles cada integrante debe seleccionar dos y seleccionar la respuesta correcta justificándola con todo el procedimiento empleando el método adecuado para llegar a su solución general y/o particular. 1. Una ecuación diferencial ordinal de Tercer orden Lineal corr esponde a.
7 6 5 = 2 7 6 7 = 0
5 3 6 = 1
= 0
La solución de la ecuación diferencial depende del grado de la derivada, es decir si en nuestra ecuación diferencial el mayor grado de la derivada tres
7 6 7 = 0
2. La ecuación diferencial = corresponde a: A. Ecuación diferencial Ordinal de segundo orden no lineal. B. Ecuación diferencial Ordinal de cuarto orden lineal. C. Ecuación diferencial Ordinal de segundo orden lineal. D. Ecuación diferencial Ordinal de cuarto orden no lineal. El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada mayor en la ecuación, en este caso es 4, además y es la variable independiente y la variable dependiente es x.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD. ECUACIONES DIFERENCIALES FASE 1: PLANIFICACION – GRUPO: 100412_135 3. Teniendo en cuenta la información anterior, la solución general de la ecuación diferencial homogénea.
x 2
dy dx
A. y B.e
x
D. y
x y
1
y 2
xy _ correspond ea :
c e x
y
C . y
2
cx
Inx e y
c
c x 2
y
2
x y
Despejando
y
1
xy
x
2
y
2
y
1
xy
x
2
y
x
2 2
2
y
1
y … sustitución… x x 1 1 1 1 y u (1) xu y xu y
y
x
y
x
u u1 u u 2 1 2 1 2 1 xu u u u xu u como _ u
x.du u 2 dx
xdu
u2
dx
int egrandoa _ ambos _
1 u
u 21
2 1
In x c
du
u
2
du
u2
dx x
du dx
u 2
x
u 2 .du
dx x
u 1 In x c u 1 In x c 1
In x c como _ u
x / y
dx
x
dx
y x
x
In x c
elevando _ a _ ambos _ lados _* e e e
du
x / y
y
In x c
In x c
e
e In x c c e c c, porque _ es _ una _ cons tan te.
e x / y xc e x / y cx la _ respuesta _ es _ B
4. E l tutor durante la CI PA le indica a los estudiantes que en las ecuaciones diferenciales sus soluciones son generales, pero si se asignan valores iniciales se obtiene una solución particular de dicha ecuación diferencial debido a que se conoce el valor de la constante “c”.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD. ECUACIONES DIFERENCIALES FASE 1: PLANIFICACION – GRUPO: 100412_135 Si la ecuación “c” es:
= se presenta la condición inicial de y(1)=1, el valor de la constate
D. C =0 A. C = B. C =1+
C. C =1−
= = = =2 = − = − = − = 1 = = 1 = 1 1 1 1 = 1 1 Multiplicar ambos lados by – u2
1 = 1 = ∫ = |||| = || = = 1 [ ∗ ] = 1
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD. ECUACIONES DIFERENCIALES FASE 1: PLANIFICACION – GRUPO: 100412_135 Integrar
∗ = |||| , |||| = , |||| , = ∗ ||||, = |||| = + , = ∗ || = ±, ∗ = ∗, = ±, 6. A l R esolver la ecuación diferencial corresponde a:
= ; −+
(0)= −1, el valor de la constante c
1. -1 2. 0
3. 1 4. 2
= 1 csc = 1 Dejar
=
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD. ECUACIONES DIFERENCIALES FASE 1: PLANIFICACION – GRUPO: 100412_135 Lo que da
= 1 = csc() 1 = 7. La siguiente ecuación diferencial (2 general: A. −2 ( ) 3 − 9 | | = 6 | | + B. −2 ( ) 3 − 9( ) / = 6( ) / + C. 9 | | = 6 | | + D. 9( ) / = 6( ) / +
3−3
3 ) = (2
3−
3 ) tiene como solución
8. Simultáneamente en la UNAD CEAD Ibagué un estudiante de Ingeniería industrial Observa el mismo letrero en las oficinas de la ECBTI.
El estudiante puede afirmar que la Ecuación diferencial diferencial ordinal No lineal porque: 1. 2. 3. 4.
2 = 1 es una ecuación
La segunda derivada depende de La Ecuación diferencial no contiene variable Independiente x. La primera derivada está elevada al cuadrado. La igualdad debería ser igual a cero.
Respuesta: B; 1 y 3 son correctas. Es una ecuación diferencial ordinaria no lineal porque depende de una sola variable independiente y el coeficiente de la segunda derivada depende de la variable dependiente “y”.
9. Teniendo en cuenta que el primer método de solucionar una ecuación diferencial de primer orden es el de variables el cual tiene como forma general y al separarlas se
=
= ,
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD. ECUACIONES DIFERENCIALES FASE 1: PLANIFICACION – GRUPO: 100412_135 integra y se puede llegar a la solución general, hay ocasiones que se requiere una transformación especial de la forma donde u es una expresión en términos de x, y automáticamente se convierte en variables separables. Con base a la anterior información el método más apropiado y la solución general de la ecuación
=
general
= 1 corresponden a: 1. Variables separables.
− = 3. − = 2.
4. Transformables a variables separables. Respuesta: A; 1 y 2 Factorizamos:
Separamos las variables:
Integramos:
Hacemos la sustitución:
Remplazamos:
= 1 = [ 1] = [ 1 1] = 1 1 1 = 1 1 = 1 = → = − = 1 = 1 = = 1
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Remplazamos
:
= 1 = 3
− =
10. Teniendo en cuenta los métodos de solución de las ecuaciones diferenciales de primer orden ; el método apropiado de solución de la ecuación diferencial ( 3+ + 3) −(3 2+ + 3) = 1 y su solución general corresponden a: 1. Exactas 2. 4+ 4 4 + + 3 = 3. 4+ 4 4 + + 3 = 4. Factor integrante
PRIMERA ACTIVIDAD GRUPAL. Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden.
Problema: Conductividad del material. Bajo ciertas condiciones la cantidad constante Q calorías/segundo de calor que pasa a través de una pared está dada por.
/ x =−
Donde k es la conductividad del material, ( 2) es la superficie de una cara de la pared perpendicular a la dirección del flujo y T es la temperatura a x (cm) de esa cara, de forma que T disminuye cuando x aumenta. Hallar el número de calorías por hora del calor que pasa a través de (1 2) de la pared de una habitación frigorífica de 125 cm de espesor y k=0,0025, si la temperatura de la cara interior es de -5°C y de la cara exterior es de 75°C.
Solución: Sea X= distancia a la que se encuentra de la cara exterior un punto interno de la pared.
= ∧ = 0 , = 75 ∧ = 125 , = 5 ∧ = ? Se resuelve la ecuación diferencial. ( Q,k,A son constantes):
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= = = ∗ Se aplica la primera condición. = 0 , = 75 = ∗ 75 = ∗ 0 = 75 = ∗ Se aplica la segunda condición. = 125 , = 5 = 75 ∗ 5 = 75 ∗ 125 80 = ∗ 125 0 = 8125 4 8 0∗0. 0 025∗10 = 125 = 16 Por tanto, la cantidad de calorías por hora que pasara a través de la pared será: ∗ 360 = 16 1ℎ = 16∗360 =
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Segunda actividad Grupal: Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada: Situación y solución planteada: Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta, en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional al número de personas presentes en dicho instante. Si la población se duplica en 5 años, ¿cuánto demorará en triplicarse?, ¿Cuánto demorará en cuadruplicarse? = = − | | = − + 1 = − + =− Condición Inicial = 0 = 0 =? 0 = (0) 0 = Lo cual; = −
⨜ ⨜ Para hallar K lo que hacemos es una segunda medición. = 5 ñ = 20 20 = (5) 2 = 5 = 2 5 = 0,13 = 0,13 ¿Cuál sería el tiempo si se triplicara? 30 = 3 0,13 3 = 0,393 = 0.393 0,39 = 2,81 ñ = ¿Cuál sería el tiempo si se cuadruplicara? 40 = 0,394 = 0,394 0,13 = = 2,55ños −
Solución P: población de la comunidad en el tiempo t Po: población inicial, en t=0 t: tiempo, en años rapidez con la que aumenta la población k>0: constante de proporcionalidad De tal manera que: Sustituyendo: Sustituyendo (2) en (1) , se obtiene el valor del constante c: la población se duplicó en 5 años (5), Función La función que da la población del tiempo t, se obtiene sustituyendo (6) en (4) Cuando la población se triplica, queda Respuesta: La población se triplicará, aproximadamente a los 7.9 años; y se cuadriplicará a los 10 años.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD. ECUACIONES DIFERENCIALES FASE 1: PLANIFICACION – GRUPO: 100412_135 BIBLIOGRAFÍA
NARVAEZ, R. G. (Agosto de 2012). ECUACIONES DIFERENCIALES . Obtenido de http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100412/MODULO%20Ecuaciones%20Diferenciales% 202013-2.pdf
