Luego de realizar el análisis podemos ver que la selección de z1=x1 es el único caso donde las variables z no presentan el valor de u (Ley de control), ya que al usar z1=x2 ó z1=x3, vemos que rápidamente parece u y no se puede aplicar lo enseñado en clase. Luego de realizar los cálculos analíticos llegamos a una expresión de u que posteriormente se pasara al MATLAB para realizar la simulación respectiva. El procedimiento es algo laborioso pero vemos que la variable de control sale derivando z3, que es lo que se esperaba.
2) Analizar la convergencia de las variables que se pueden controlar. Para analizar la convergencia hacemos que las derivadas de las variables de estado sean iguales a cero:
̇ ̇ ̇ A partir del cual analizamos: Para que la primera ecuación se c umpla:
̇
Entonces :
,
De la tercera ecuación tenemos Para
Tenemos:
De donde tenemos: Para
̇
Tenemos:
De donde tenemos:
̇
De esto tenemos:
Y el tercer punto lo obtenemos haciendo:
De donde:
̇ Finalmente hallamos u:
De donde tenemos el último punto:
En concreto tenemos los siguientes puntos:
Reemplazando los valores en el denominador tenemos:
Como podemos ver en los dos últimos casos el denominador de la ley de control se hacen cero al considerar los valores de los puntos por lo cual solo vamos a considerar el primer caso para el análisis puesto que los otros dos van a tener error yaque el denominador se hará cero y en ese momento el sistema se desestabilizara. Luego de implementar las ecuaciones en el programa de matlab tenemos lo siguiente: numu = k1*(x1-x1ast) + k2*(x3+x2*x3 -(x3ast+x2ast*x3ast)) + k3*(((x2+x2^2)*(1+x1)+x1*x3)-
((x2ast+x2ast^2)*(1+x1ast)+x1ast*x3ast))(x1+3*x1*x2+x2*x3+3*x1^2*x2+2*x2^2*x3+x1^2+x3^2+x2*x3^2+x2^3*x3); denu = 1+x1+3*x2+3*x1*x2-x1*x3+2*x2^2+2*x1*x2^2; u = numu/denu;
Y también implementamos las ecuaciones de estado: x1p = x3+x3*x2; x2p = x1 + (1+x2)*u; x3p = x2*(1+x1)-x3*u;
3) Analizar las gráficas Del análisis anterior podemos ver que el único caso que se puede controlar es el P1 y se controla la variable
.
Luego de realizar varias pruebas vimos que para e l punto P3,
No se desestabiliza pero para los valores en el que el sistema es estable por más que los
se le
ponga un valor de igual forma todos convergen a cero. Esto se puede dar puesto que cercano al valor (0,0,0) existe un nodo atractor que hacer que todo converja hacia ese valor. Luego de simular tenemos lo siguiente:
Luego realizamos las simulaciones respectivas para el valor de P1
Para valores de
, para diferentes puntos iniciales.
Luego de realizar la simulación tenemos:
Como podemos ver para los casos de co ndiciones iníciales diferentes cumple y converge, se debe tener en cuenta que los puntos x2 y x3 son cercanos a los valores del punto de equilibrio, mientras en x1 si hay una rango mayor. Luego de simular se puede ver que los valores convergen según los cálculos presentados en la parte analítica. Se puede comprobar que la linealizacion por realimentación cumple su objetivo para x1 , mientras que para las demás variables convergen a los atractores en el caso de P3 y en el caso P2 el sistema es inestable. Luego de realizar la linealizacion se debe analizar los resultados del denominador porque en algunos casos este puede hacer cero y hacer infinito la señal del control. Para el caso de P1, vemos que se cumple que u=-x1*, como se puede ver en la grafica.
