Control por realimentación o “feedback”
2- CONTROL POR RETROALIMENTACIÓN (O FEED BACK) 2.1 Introducción: Para el estudio del control de procesos se comenzará explicando una de las más comunes y antiguas estrategias de control: El Control Feed-Back o por retroalimentación. En estos sistemas el controlador compara el valor de la variable controlada con su valor deseado y, en función del resultado de esta comparación, modifica la variable manipulada. manipulada. Analizando este concepto sobre el ejemplo mostrado en la Figura 1-3 puede verse que el controlador compara el valor que mide la termocupla con el valor deseado (set point) y en base a este resultado abre o cierra la válvula en forma parcial o total.
Los controladores por retroalimentación se clasifican en: 1-
CONTROLADOR CON ACCIÓN INVERSA
Controlador que ante un incremento positivo (+) respecto del valor deseado de la variable controlada, responde con un incremento negativo (-) de la variable manipulada. El ejemplo analizado presenta esta característica puesto que ante un incremento de la temperatura se cierra la válvula de ingreso de vapor.
2-
CONTROLADOR CON ACCIÓN DIRECTA
Controlador que ante un incremento positivo (+) de la variable controlada, responde con un incremento positivo (+) de la variable manipulada. 2.2 El controlador en el esquema retroalimentado
El controlador es el “cerebro” del lazo de control, siendo el dispositivo que toma las decisiones: Esquema:
- Compara la señal de la variable controlada con el set point. point. - Envía la señal apropiada al elemento de acción final de control que corresponda (por ejemplo: una válvula, una resistencia variable). En la Figura 2.1 se muestra un clásico controlador PID de la década de los 70 que resuelve su algoritmo de cálculo a través de circuitos electrónicos analógicos. A pesar de su antigüedad resulta muy ilustrativo.
Figura 2-1 Panel de un controlador clásico analógico
Controlador digital
Figura 2-2: pantalla operativa para el control de una planta química mediante un sistema de control distribuido
Componentes básicos de un lazo de control En la Figura 2-3 se muestra un esquema de control de un intercambiador de calor con los componentes básicos de un lazo típico.
Figura 2-3: ejemplo de control por retroalimentación de un intercambiador de calor 2-3 Esquema Esquema general de control por retroalimentación Conceptos básicos
Se analizará el control de procesos con una de las más comunes y antigua estrategia de control : El Control Feed-Back o por realimentación. En la Figura 2-4 se muestra el esquema general de estos sistemas
Figura 2-4 esquema general del control feedback Siendo: Ysp(s) = Valor deseado de la salida (Set Point) e(s) = Y(s) – Ysp(s) u(s) = Variable de entrada del proceso a controlar Y(s)= Variable de salida del proceso a controlar Gc(s) = Función de transferencia del controlador G p(s) = Función de transferencia de la planta d(s)= Variable de entrada de la carga Gd(s) = Función de transferencia de la perturbación De acuerdo al diagrama de bloque de la Figura 1 se obtiene:
*
Se utiliza X en lugar de X(s) con el fin de abreviar la escritura
*
(1)
(2)
En el análisis del control feedback se distinguen dos dos problemas típicos: a)
Servo problema: (d = 0): Considerando una variación en el set point. En este caso el controlador actúa de forma tal de mantener la salida dentro del valor Ysp pedido.
b)
Problema del regulador: (Ysp=0): Considerando una variación en la perturbación o carga el controlador trata de eliminar el impacto que el cambio produce produce sobre la salida y genera una señal de control para mantenerla en el valor deseado Ysp
Se deduce entonces que la función de transferencia del controlador debe ser tal que se aproxime lo más posible a anular la sensitividad y aproximar la sensitividad complementaria a 1 tal como se expresa matemáticamente en las siguientes condiciones: Sensitividad
(3)
Sensitividad complementaria ( h)=
(4) Esto implica que se anularían los efectos de la carga (d) y se mantendría la salida cercana al valor deseado (Ysp). Tener en cuenta que el concepto ideal de control perfecto es aquel que garantiza que la salida de la planta iguala en todo momento a la señal de referencia. Esta característica puede cuantificarse a través de una norma adecuada del error, definido como la diferencia entre valor deseado y salida de la planta. En el caso del control perfecto esta medida debiera ser 0 en todo instante de tiempo. 2.4 Controladores clásicos para el esquema feed back: back: En la teoría del control clásico feed back existen distintos tipos de controladores cuya función de transferencia está directamente vinculada con una determinada medida del error. En este punto se analizarán diferentes modos de funcionar dependiendo de la proporcionalidad con las distintas medidas del error. Se considera útil analizar la acción específica que realiza cada modo dependiendo de la función de transferencia de la planta a controlar. Este conocimiento previo permite generar una “librería” de casos disponible en la mente del ingeniero de control que le permitirá posteriormente determinar el tipo de controlador más conveniente para cada caso en particular en base a la experiencia ganada a través de este tipo de análisis teórico. Posteriormente se
analizará la acción combinada de estos modos aplicados a plantas cuyas funciones de transferencias se pueden aproximar a 1°, 2° orden con o sin retardo, con o sin respuesta inversa y capacitivo puro. El estudio del funcionamiento de los controladores se realizará analizando su comportamiento regulador y servo así como su comportamiento dinámico y de estado estacionario. a) Controlador On-Off El control on-off, también llamado todo-nada o abierto-cerrado, es la forma más simple de control por realimentación. Es un control de dos posiciones en el que el elemento final de control sólo ocupa una de las dos posibles posiciones.
Se puede describir matemáticamente de la siguiente manera: umax si e > 0 u(s) = umin si e < 0 Donde e = Ysp – Y (error de control) y u(s) es la variable de entrada al proceso a controlar
Figura 2 -5 variable manipulada en función del error de control para el control on-off ideal Se puede ver que cuando la variable de salida Y es menor al set point Ysp, se le asigna a la variable manipulada el valor máximo, mientras que cuando Ysp es menor a Y se le asigna el valor mínimo. (También puede darse el caso contrario) El controlador actuará de la siguiente manera: e(t)>0 => Set Point > variable de salida => Válvula abierta e(t)<0 => Set Point < variable de salida => Válvula cerrada Deduciéndose las siguientes evoluciones: a) Cuando T>Ts => Q = Qmin => la evolución dinámica es decreciente b) Cuando T Q = Qmax => la evolución dinámica tiene pendiente positiva En los gráficos siguientes se observa claramente que la variable controlada oscila alrededor de Ts
Figura 2-6 : dinámica de la variable controlada (T) y manipulada con un controlador onoff
ALGO MÁS ACERCA ACERCA DE LOS CONTROLADORES CONTROLADORES ON-OFF... ON-OFF... Controladores On-Off con histéresis Para prevenir cambios continuos en la válvula cuando la temperatura se encuentra próxima al punto de consigna, las temperaturas que hacen que la válvula se abra o se cierre deben ser ligeramente distintas, dándose el nombre de histéresis a la diferencia entre el valor de cierre y el de apertura.
Figura 2-7: Variable manipulada en función del error para el control on-off con histéresis
Del gráfico se deduce que: - Si error > +e entonces la apertura es del 100 % - Si error < -e entonces la apertura es del 0 % - Si -e < error < +e entonces no hay cambios
El ajuste de la zona muerta de histéresis produce dos efectos: 1) El tiempo entre conmutaciones aumenta cuando ∆e aumenta. 2) La amplitud del ciclo límite también aumenta cuando ∆e aumenta.
-El primer efecto es deseable, deseable, ya que reduce el deterioro del actuador final (válvula). -El segundo, normalmente, no es beneficioso ya que la variable controlada se aleja demasiado de su valor deseado. El ajuste es un compromiso entre estas dos cuestiones
Ventajas del controlador ON-OFF
• • • • •
El controlador es económico. Las válvulas de solenoides son también más económicas que los posicionadores incorporados en el elemento de acción final. El sistema es confiable. Es fácil de instalar y de ajustar. Siempre que el ciclo límite pueda tolerarse, un controlador on-off es un candidato a tener en cuenta.
Desventajas del controlador ON-OFF
• •
Hay una oscilación continua Si es un controlador on-off con histéresis se producen: - o grandes desviaciones respecto al punto de consigna - o constantemente se está abriendo y cerrando la válvula.
Observaciones : -
Este tipo de controlador no tiene parámetros para elegir En general se lo utiliza en sistemas donde las variables oscilan. (Obsérvese (Obsérvese que no se define u para e = 0) - Aún en pequeñas pequeñas variaciones del error los cambios en la variable manipulada tienen gran amplitud. Cuando a valores de e > 0 se incrementa el valor de la variable manipulada y a valores de e < 0 se disminuye se está en presencia de un FeedBack Negativo . Cuando a valores de e > 0 se disminuye el valor de la variable manipulada y a valores de e < 0 se aumenta se está en presencia de un FeedBack Positivo.
b) Controlador Proporcional: Se observa que el controlador on-off provoca oscilaciones en la variable de salida, esto es debido a que pequeños cambios en el error hacen que la variable manipulable cambie bruscamente. Este efecto es apaciguado por el control proporcional, donde su característica principal es que su acción sobre la variable manipulable es proporcional al error. er ror. Este tipo ti po de control está es tá caracterizado caracte rizado por la función no lineal u = f(e) (Ver fig. 2-8)
Figura 2-8 Variable manipulada en función del error
Para describir las características de un controlador proporcional se debe dar, por supuesto, los límites u max y umin de la variable manipulable y el valor de la constante de proporcionalidad K. Obteniéndose de esta manera: u(t) = K e(t) + u b
(5)
cuando el error es 0 u(t) toma el valor de u b b.1. Influencia del controlador proporcional en sistemas de primer orden:
teniendo: (6)
Donde: - kd, kp, kc, τd , τ p son constantes características - Se considera τd ~ τ p Reemplazando los valores en la ecuación (1) se obtiene:
(7) Llamando:
Resulta:
(8)
Viendo la nueva forma que adopta la variable de salida a lazo cerrado se deduce: -
Sigue siendo de primer orden con respecto a cambios en Ysp y carga. La constante de tiempo τ p’ < τ p lo que significa que la respuesta a lazo cerrado es más rápida que a lazo abierto para un ∆Ysp y ∆d La ganancia estática de lazo cerrado ha disminuido respecto de la de de lazo abierto. Esto implica que frente a una perturbación el nuevo estado estacionario estará mucho más próximo a su punto de partida cuando trabaje a lazo cerrado que cuando el controlador no esté presente.
Análisis del servo-problema y el problema del regulador: Servo problema:
Para llevar a cabo c abo este análisis se s e realiza un salto s alto escalón en el set point considerando que no ingresan preturbaciones al sistema, es decir: Ysp = 1/s
d=0
(9)
Sustituyendo (5) en la ecuación (4) y antitransformando para obtener Y en el domino temporal se tiene: (10)
Figura 2-9: respuesta del sistema frente a un cambio de set point Notar que la salida nunca alcanza el valor deseado Se define al offset como el error remanente en el estado estacionario. En el caso analizado: (11)
Observación: El offset es característico del control proporcional y decrece cuando aumenta kc
Problema del regulador:
Para llevar a cabo este análisis se produce un salto escalón en la perturbación y no hay cambios de la referencia. De esta manera: Ysp = 0 d = 1/s Sustituyendo en la ecuación (10) y antitransformado Y al domino temporal se obtiene:
(12)
Se observa nuevamente la presencia de offset
Figura 2-10: respuesta del sistema cuando ingresa una perturbación en forma de escalon unitario
Calculo del offset: (13)
Nuevamente:
Puntos de interés: -
Si bien el off-set se elimina con kc tendiendo a infinito, este valor nunca nunca se alcanza por problemas de realizabilidad física. El off-set off-set se elimina si la función de transferencia de la planta tiene el término 1/s en la función de transferencia si se lo controla con control proporcional para una variación en el set point en cambio si tiene offset para cambios en carga.
Figura 2-11: comparación entre el sistema con y sin control proporcional
Observación:
El control proporcional, si bien introduce offset, su inclusión mejora notablemente la respuesta del sistema comparándola con la respuesta libre del sistema sometida a la misma perturbación.
b.2. Influencia del controlador proporcional en sistemas de segundo orden: Servo-Problema
(14)
(15)
Siendo:
Recordar que en un sistema si stema de segundo orden de la l a forma de la ecuación ec uación (6) cuando ζ es >1 estamos en presencia de un sistema sobreamortiguado, si es = 1 entonces estamos en presencia de un sistema con amortiguación crítica y cuando es <1 estamos en presencia de un sistema subamortiguado. Características: -
La respuesta con el controlador continúa siendo de segundo orden. La ganancia estática decrece El periodo natural y ζ decrecen.
Observación: Un proceso sobreamortiguado con controlador proporcional y apropiado Kc puede volverse subamortiguado (oscilatorio)
Analizando el caso particular en que Ysp = 1/s Se tiene:
(16)
Independientemente del valor de ζ’ el valor estado estacionario de Y(t) se obtiene aplicado el teorema del valor final :
(17)
(18) Se deduce entonces que :
-
Si ζ’ > 1 la respuesta sobre amortiguada del sistema a lazo cerrado es muy lenta. Luego, para que esto no suceda, se podría aumentar kc , disminuyendo aún más el offset, sin embargo la respuesta posiblemente se hará más oscilatoria.
Figura 2-12 Sistema de segundo orden con control P kc1>kc2>kc3
b.3 Efecto del control proporcional en sistemas capacitivos puros
qd En el caso del control de nivel de un tanque, como el que se muestra en la Figura, puede notarse que el flujo de salida q0 permanece constante debido a la presencia de la bomba. Por lo tanto dado que se trabaja con las variables desviación este término queda anulado en el balance de masa total del sistema
bomba
Figura 2-13 : nivel de un tanque con bomba de extracción
q i' = q iS − q i , q d ' = q dS − q d ' . A dh = q ' ( t ) + q ' ( t ) → porT . L → A s h ' ( s ) = q ' ( s ) + q ' ( s ) i d i d dt h ( s ) =
1
AS
q i' ( s ) +
1
AS
q d ' ( s ),
analizando el servo problema para el lazo cerrado con el control proporcional resulta:
q i' ( s ) = K C (hSP - h ) 1
h ( s ) =
1
A K C
h ( s ) =
1
A K C
luego
S + 1
K C
hSP +
A K C
1
S + 1 S
S + 1
q d ' ( s ),
si hSP
=
1
S
y q d ' ( s ) = 0
[s h ( s ) ] = 1, h ( t ) = lim → lim t→∞ s→ 0
(h SP - h ) = 1 - 1 = 0 offset = lim t→∞
analizando el resulta:
problema regulador para el lazo cerrado con el control proporcional 1
si
h SP = 0 y q d ' ( s ) =
1
S
,
h ( s ) =
K C
A K C
lim
t →∞
[s h ( s ) ] = h (t ) = lim s→ 0
1 K C
, luego
1
S + 1 S
(h SP - h ) = 0 offset = lim t→∞
1 K C
=-
1 K C
≠0
para valores grandes de K C el offset disminuye Conclusión: el control proporcional es efectivo para el control de nivel de un tanque frente a cambios de set point únicamente.
Acción integral: La función principal de la acción integral es la de actuar mientras el error sea distinto de cero y por lo tanto asegura offset cero. La función que vincula el error con la acción del controlador sobre la variable manipulable es la siguiente:
u ( t ) =
K C
τI
∫ e ( t ) d t → aplicando la TL → u(s) =
K C
τ I s
e ( s ) (19)
Considerando acción integral pura y servo problema d(s) = 0, la ecuación general de control realimentado resulta: (20)
Para una planta de primer orden:
(21)
Reemplazando (21) en (20)
(22) Se obtiene:
(23) denominando
(24)
Se observa claramente que un proceso de primer orden con un modo integral puro se vuelve de segundo orden, es decir modifica su dinámica.
Se deduce también que la acción integral pura puede producir oscilaciones. Considerando un salto escalón unitario en el set point se obtiene: obtiene:
(25)
Obsérvese que, aplicando el teorema del valor final cuando el tiempo tiende a infinito el valor de la salida tiende a 1.
(26)
Esto implica que :
Lo mismo ocurre para cambios en carga.
Puntos de interés: La dinámica de la respuesta a lazo cerrado depende de ζ = f ( kc , τi ) - Cuanto mayor es kc y
ζ
- respuesta subamortiguada - crece sobrevalor - crece la relación de decaimiento −mayor oscilación - Cuanto menor es kc y ζ - Se deduce entonces que a elevado kc y bajo τi la respuesta es muy sensitiva
kc1>kc2>kc3
τi1 < τi2 < τi3
Fig. 6 Influencia de los parámetros kc y τi sobre la respuesta dinámica Figura 2-14: influencia de los parámetros Kc y Ti
Efecto de la acción derivativa pura: El propósito de la acción derivativa es la de anticiparse ante la presencia de error.
La acción de un controlador derivativo puede ser interpretada como proporcional al error que se producirá en un tiempo futuro que está vinculado con la constante de tiempo derivativa de este modo. El error se predice por medio de una serie de Taylor conociendo la pendiente de la curva del error vs. tiempo en el instante actual según se muestra en la Figura
Figura 2-15: Predicción del error (aproximado (aproximado con la derivada)
La estructura básica de un modo derivativo puro es:
u (t ) = K C τ D
de ( t ) → aplicando TL → u ( s ) = K C τ D s e ( s ) (27) dt
G c = K C τ D s Analizando la influencia de la acción derivativa sobre un sistema de primer orden:
(28)
O bien:
(29)
Algunos comentarios: - Se ve que la acción derivativa no cambia el orden del sistema de partida.
- (τ p + kp kc lenta.
τd ) > τ p lo que implica que la respuesta del sistema controlado es más
Analizando la influencia de la acción derivativa sobre un sistema de segundo orden:
(30)
Reemplazando y sustituyendo se obtiene:
(31)
Comentarios: - El período natural de la respuesta a lazo cerrado es el mismo ( τ) - Se observa que el nuevo ζ’ es mayor que ζ - Cuando crece kc y τ también lo hace ζ’, tendiendo, de esta manera, a amortiguar la respuesta implicando un comportamiento más robusto para el sistema controlado.
Efecto compuesto de de las acciones de de control:
Control PI Matemáticamente se lo puede presentar de la siguiente manera:
(32)
En general los valores de τΙ oscilan entre 0.1 y 50 minutos Haciendo un análisis de la función de transferencia que representa el controlador se observa lo siguiente: Ante una señal de cambio escalón del error
El controlador actúa de la siguiente forma:
Figura 2-16: funcionamiento de un controlador PI De la ecuación representativa del controlador se puede observar que el término integral resulta: (33)
Inicialmente la salida del controlador es kc.e, la contribución del término integral es 0. Después de un período de tiempo τι minutos la contribución del término integral es kc.e. O sea que la acción integral ha “repetido” la respuesta de la acción proporcional. Luego el tiempo de RESET es el tiempo necesario para que el controlador repita la acción proporcional . La acción integral causa que la salida del controla dor u(t) cambie siempre que haya error en la salida del proceso, implicando esto la eliminación total del error. La función de transferencia que caracteriza al controlador es:
(34)
Observación: Generalmente un error no puede corregirse rápidamente, lo que implica que el término integral se vuelva cada vez más grande hasta que la acción de control se satura ( válvula completamente abierta o cerrada). Esta condición llamada “volado de la integral” generalmente se produce en una parada o arranque de un proceso con cambios de tipo manual; cuando retorna a automático la acción de control permanece saturado produciendo grandes sobrevalores. Conclusiones: -
El orden de la respuesta crece (por la acción integral) Se elimina el offset Al aumentar kc aumenta la velocidad de respuesta pero, a la vez, la hace más oscilatoria Al disminuir τι manteniendo constante kc la respuesta se hace más oscilatoria con un mayor sobrevalor
Control PID Básicamente es el PI más beneficios del control derivativo. Matemáticamente se lo representa:
(35)
Su función de transferencia característica es : (36)
Conclusiones: -Presenta problemas cuando la derivada es 0 , como así también cuando hay señales ruidosas, aunque el error = 0 su derivada tiene valores grandes tomando de esta manera acciones de control importantes. -Mejora la velocidad de respuesta sin producir serios problemas de estabilidad (ver Fig 2-17)
Kc1 > Kc2 > Kc3
Figura 2-17: efecto del parámetro Kc en un controlador PID
Si bien kc aumenta, el sobrevalor se mantiene constante y el tiempo en que se estabiliza es menor Selección del tipo de controlador: Método I
Etapas teóricas: -Definición de un criterio de performance apropiado (ISE, ITAE, IAE) -Determinar el o los valores de ISE, ITAE, IAE usando controladores P, PI, PID con los mejores settings kc, τi, τd -Seleccionar el que da el mínimo error de acuerdo al primer punto Desventajas: -Muy tedioso -Se realiza sobre funciones transformadas, las cuales pueden ser malas aproximaciones . -Incorpora ciertas ambigüedades sobre cuál es el criterio más apropiado
Método II Selección cualitativa en base a: 1-Control Proporcional a) Acelera la respuesta del proceso controlado. b) Produce offset en todos los sistemas menos en aquellos en que aparecen integradores en su función de transferencia. 2-Control Integral a) b) c) d)
Elimina el offset. Presenta mayor desviaciones. Produce respuestas oscilatorias oscilatorias y más lentas. Cuanto mayor es kc mayor es la velocidad pero pero trae problemas de estabilidad.
3-Control Derivativo a) Anticipa futuros errores. b) Introduce un efecto estabilizador en la respuesta a l azo cerrado. Aclaración: El control PID es el más completo, tiene mayor flexibilidad para ser ajustado pues tiene los 3 parámetros, sin embargo, este punto vuelve más complejo su ajuste. Reglas de selección:
1- El control proporcional proporcional se utiliza siempre que que el offset alcanzado sea aceptable para un k c moderado o en procesos cuya función de transferencia contenga 1/s (Ver ejemplo del Control de Nivel) 2- Se debería usar PI cuando el P no proporciona proporciona un offset suficientemente pequeño. (Se lo utiliza en el control de caudal; generalmente este sistema responde bastante rápido lo que implica que luego de la introducción de PI siga dando respuestas satisfactorias) 3- El PID se usa para incrementar incrementar la velocidad de de respuesta del lazo cerrado y alcanzar un cierto grado de robustez. El PI elimina el offset pero hace la respuesta más lenta. Para un proceso con múltiples elementos almacenadores cuya respuesta es muy lenta, la adición del derivativo con su efecto estabilizador permite utilizar una mayor ganancia y produce respuestas rápidas con pocas oscilaciones. La acción derivativa es recomendada para controlar la temperatura y las composiciones.
Modificaciones al algoritmo PID El algoritmo PID se representa clásicamente por la forma paralelo o no interactuante que responde a la siguiente función de transferencia. (37)
Aquí se advierte que el modo integral no afecta al derivativo y de allí el nombre de este algoritmo. Este presenta una forma más general y es el que se utilizará habitualmente en el futuro. Una versión levemente diferente en los controladores comerciales es la denominada forma serie o interactuante ya que aquí sí los modos integral y derivativos se interfieren. Estos presentan la ventaja de un ajuste más sencillo en modo manual. La función de transferencia que la representa es la siguiente: (38) Históricamente los controladores interactuantes era los preferidos para implementarlos en forma neumática ya que resultaba más sencilla su construcción. Con el cambio de tecnología a controladores analógicos eléctricos y luego digitales mantuvieron el uso de la forma interactiva. La relación entre los coeficientes del controlador interactuante puede representarse por los coeficientes de la estructura no interactuante de acuerdo a las siguientes relaciones: (39)
Es importante tener presente que diferentes controladores pueden tener diferentes estructuras, en especial cuando se cambia un controlador por otro con estructura diferente los parámetros deben modificarse de acuerdo con las relaciones arriba mostradas. Se debe notar que las formas interactuantes y no interactuantes se diferencian sólo si se utiliza en su forma PID pero son totalmente equivalentes en la forma P, PI o PD.
Ponderación de la referencia o set-point El controlador genera una señal de control en base al error definido como la diferencia entre set point y valor actual de la variable de salida. Un controlador PID de la forma t
u (t ) = K (e P + ∫ e( s )ds + T d 0
ded ) dt
( 40)
donde las respuestas frente a los cambios de set- point dependerán de los valores de b y c en las distintas definiciones de error
error proporcion al e P = by SP − y
error derivativo ed = cy SP − y error int egral e = y SP − y En la siguiente figura pueden observarse las respuestas de un sistema controlado con PID frente a cambios de set point y perturbaciones en carga y ruido para diferentes valores de b. El sobrevalor es el más bajo para b = 0 y crece a medida que b crece. El parámetro c normalmente se elige igual a cero para evitar grandes cambios durante el transitorio debido a los cambios de set point. El controlador con b = 0 y c = 0 se denomina generalmente PI- D.
Salida y
Señal de control u
perturbaciones
Figura 2-18: respuesta con set point ponderado
Efecto de saturación ( windup) debido al modo integral Muchos aspectos de los sistemas de control pueden tratarse adecuadamente con los elementos de la teoría lineal sin embargo existen otros aspectos del comportamiento
del sistema bajo control que reflejan los efectos no lineales del mismo. Es sabido que todos los actuadores tienen limitaciones. Un motor tiene limitaciones en la velocidad, una válvula alcanza su máximo al estar totalmente abierta o cerrada y es probable que el sistema de control alcance los límites del actuador para alguna dada condición de operación. Cuando esto ocurre la realimentación se rompe y el sistema trabaja a lazo abierto debido a que el actuador permanece en su posición límite independientemente de cual sea la salida del proceso. Si se emplea un controlador con acción integral mientras exista error éste modo lo integrará, es decir que éste será el principal elemento que ocasionará la saturación del actuador o también denominad “wind up” cuya traducción literal es “volado”. Debido a ello es necesario producir la acumulación por cierto período de error de signo opuesto para la salida de la variable manipulada retome valores normales. Por tanto la consecuencia es que controladores que poseen el modo integral pueden presentar largos transientes cuando el actuador se satura.
Ilustración del efecto de saturación En la siguiente figura se muestra el efecto de saturación producido por un control PI.
Figura 2-19: ilustración de la respuesta con wind up del modo integrador El cambio de set point inicial es tan grande que el actuador se satura en su límite superior. El término integral inicialmente crece debido a que el error es positivo y alcanza su máximo valor en t = 10 cuando el error alcanza el valor cero. La salida del control u permanece saturada en este punto debido al alto valor alcanzado por el modo I (integral). Esta no abandona el límite superior de saturación hasta que el valor negativo del error hasta producir que el modo I disminuya disminuya al cabo de cierto tiempo. Notar que que la señal de control u en esta etapa se mueve entre el límite superior e inferior de saturación. Mientras esto ocurre el efecto neto es que la variable de salida del proceso y presenta un importante sobrevalor y oscilaciones. Finalmente la sali da se va aproximado al valor de set point, la variable de control u ya no satura y el sistema vuelve a presentar características lineales. El efecto de windup del integrador puede producirse por grandes cambios de setpoint o magnitudes importantes de perturbaciones que ingresan al sistema o mal funcionamiento de equipos. Este fenómeno es bien conocido por los fabricantes de controladores que crearon diferentes alternativas para manejar adecuadamente este efecto, sin embargo la capacidad de solucionar el problema algunas veces está bastante
limitada en las aplicaciones analógicas. Las diferentes soluciones permanecen guardadas secretamente por los fabricantes sin embargo en los ámbitos científicos permanentemente aparecen artículos proponiendo metodologías alternativas para atacar el problema de windup. Con la aparición de los controladores digitales el efecto windup fue redescubierto. Aquí se presentarán algunas alternativas que contribuyen a solucionar el problema.
Limitación del set point Una forma para tratar de evitar el efecto windup es limitando las variaciones del set point de forma que la salida del controlador no alcance alc ance los valores límites del actuador. Este tipo de estrategia puede perjudicar el buen desempeño del controlador y no tiene efecto cuando la saturación se produce por perturbaciones.
Retro cálculo El método del Retro cálculo funciona cuando se satura el actuador, la acción integral se recomputa de forma que el nuevo valor no alcance la magnitud de saturación. Es ventajoso ya que no se produce un apagado del modo I sino que se lo conduce dinámicamente empleando una constante T t En la Figura siguiente se muestra un diagrama en bloques del control PID con anti-windup basado en el método del retro cálculo. El sistema tiene un paso retro alimentado extra que se genera al medir la salida del actuador directamente o como en este caso de un modelo del mismo conformando una señal de error es dado por la diferencia entre la salida del controlador v y la del actuador u. Luego e s es alimentada a la entrada del modo integrador pasando por la ganancia 1/ Tt . La señal es es nula siempre que no haya saturación. De este modo no producirá ningún efecto mientras el sistema sis tema funcione normalmente. Cuando el actuador satura es será distinto de cero y tendrá el signo correspondiente al tipo de saturación que se produzca incorporándole al modo I suficiente magnitud de error de signo adecuado para evitar el crecimiento de la señal s eñal de control v
Modelo del actuador
actuador
Figura 2-20: Controlador con estrategia anti windup
La entrada al integrador resulta
1 dado que
es
+
K
T t Ti e s = u - v
e, en estado estacionar io
→ es = -
K T t Ti
e
(41)
v = u lim +
K T t Ti
e
(42)
dado que u lim es el valor de saturación de la variable de control y que tiene el mismo signo que e, v es siempre mayor que u lim en magnitud. De esta forma es posible prevenir al modo I del wind up. T t puede interpretarse como la constante de tiempo que gobierna la velocidad con que el modo integral se actualiza a valores que no son peligrosos para la saturación. El esquema de control mostrado en la Figura 2-20 corresponde al caso en que no se puede medir adecuadamente la salida del actuador y por ello se utiliza un modelo del mismo. La Figura 2-21 muestra el efecto del control con anti wind up cuando es implementado a un sistema cuya dinámica se mostró en la Figura 2-19 y que presentaba el efecto de saturación. Bajo las mismas condiciones el sistema con anti wind up es capaz de poner poner en cero al modo I rápidamente mientras la salida del controlador está en el límite de la saturación en la fase inicial tomando valores negativos. Este comportamiento es significativamente diferente al observado para el sistema sin anti wind up. De esta forma se logra mejorar sensiblemente el desempeño global del sistema tanto para la salida controlada como para la variable de control.
Figura 2-21: ilustración del efecto de la inclusión de anti wind up sobre el mismo sistema de la Figura 2-19 El efecto de cambiar los valores de Tt se ilustra en la Figura 2-22 donde puede apreciarse que es más ventajoso que Tt tome valores pequeños ya que posibilita anular rápidamente el modo I. Sin embargo cuando se lo utiliza conjuntamente con el modo derivativo se deben tomar precauciones de que algunos errores espurios puedan causar saturación y que pudieran anular accidentalmente al modo I. Una regla heurística recomienda el uso de
T t = Ti Td
Figura 2-22: Efecto de los valores de Tt que se adoptan para el sistema anti wind up
