GOULD, EPPEN, SCHMIDT, SCHMIDT, Capitulo 3 – Programación Programación Linal Ejercicio 3.5
Planificación financiera. Willie Hanes es presidente de una microempresa de inversiones que se dedica a administrar las carteras de acciones de varios clientes. Un nuevo cliente ha solicitado que la compañía se haga cargo de administrar para él una cartera de $1!. " ese cliente le agradaría restringir la cartera a una me#cla de tres tipos de acciones nicamente! como podemos apreciar en la siguiente ta%la. &ormule usted un P' para mostrar cu(ntas acciones de cada tipo tendría que comprar Willie con el fin de ma)imi#ar el rendimiento anual total estimado de esa cartera.
Definición de variables:
x 1 : nume numerro de acci accione oness de gofer gofer crude crude x 2 : nume numerro deaccion deacciones es de can can oil oil x 3 : numer numero o de accione accioness de sloth sloth petro petroleum leum Función Objetivo:
Max Z =7 x 1 + 3 x2 + 3 x 3 Restricciones: 60 x1 + 25 x 2+ 20 x 3 ≤ 100000 60 x1 ≤ 60000 25 x2 ≤ 25000 20 x3 ≤ 30000
x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 Modelo Matemático:
Max Z =7 x 1 + 3 x2 + 3 x 3 *.". 60 x1 + 25 x 2+ 20 x 3 ≤ 100000 60 x1 ≤ 60000 25 x2 ≤ 25000 20 x3 ≤ 30000
x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0
Ejercicio 3.6
Pro%lema de integración. +ouglas ,. *tarr! administrador de la perrera Heavenl- Hound ennels! /nc.! ofrece alo0amiento en plan de pensión para mascotas. 'a comida de los perros alo0ados en la perrera se prepara me#clando tres productos granulados! con lo cual se o%tiene una dieta %ien %alanceada para los canes. 'a información so%re los tres productos se muestra en la siguiente ta%la. *i +ouglas quiere asegurarse de que cada uno de sus perros ingiera diariamente cuando menos on#as de proteínas! 1 on#a de car%ohidratos - no m(s de .2 on#as de grasas! 3qué cantidad de cada producto en grano de%er( incluirse en el alimento de los perros a fin de minimi#ar los costos de +ouglas4 56ota7 18 on#as 9 1 li%ra.:
Definición de variables:
x 1 : libras de producto en grano A x 2 : libras de producto engrano B x 3 : libras de producto engranoC Función Objetivo:
Min Z =0.45 x 1+ 0.38 x 2 +0.27 x 3 Restricciones: 0.62 x 1
+0.55 x + 0.36 x ≥ 128 2
3
0.05 x1 + 0.10 x 2 + 0.20 x3 ≥ 16 0.03 x1
+0.02 x + 0.01 x ≤ 8 2
3
x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 Modelo Matemático:
Min Z =0.45 x 1+ 0.38 x 2 + 0.27 x 3 *.". 0.62 x 1 + 0.55 x 2+ 0.36 x3 ≥ 128 0.05 x1
+0.10 x + 0.20 x ≥ 16 2
3
0.03 x1 + 0.02 x 2+ 0.01 x 3 ≤ 8
x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0
Ejercicio 3.
Un pro%lema de integración. ;c6aughton! /nc. produce dos salsas para carne7 *pic- +ia%lo litros de " - ? de =. ;c6aughton puede vender toda la salsa que ela%ore. &ormule un modelo P' cu-o o%0etivo sea ma)imi#ar las ganancias netas o%tenidas por la venta de estas salsas.
Definición de variables:
x 11 : litros delingrediente A en spicy diablo x 12 : litros del ingrediente B en spicydiablo x 21 : litros del ingrediente A en¿ baron x 22 : litros del ingrediente B en ¿ baron Función Objetivo:
Max Z =1.75 x 11+ 0.76 x 12 +1.25 x 21+0.26 x 22 Restricciones:
x 11≥ 0.25 ( x 11+ x 21) x 21 ≥ 0.75 ( x 11+ x 21) x 12 ≥ 0.50 ( x 12+ x 22) x 11+ x 21 ≤ 40 x 12 + x 22 ≤ 30 x 11 , x 12 , x 21 , x 22 ≥ 0 Modelo Matemático:
Max Z =1.75 x 11+ 0.76 x 12 +1.25 x 21+0.26 x 22 *.".
x 11≥ 0.25 ( x 11+ x 21)
x 21 ≥ 0.75 ( x 11+ x 21) x 12 ≥ 0.50 ( x 12+ x 22) x 11 + x 21 ≤ 40 x 12+ x 22 ≤ 30 x 11 , x 12 , x 21 , x 22 ≥ 0 Ejercicio 3.!
Un pro%lema de integración. 'a @ore- "nderAs *pice @ompan- dispone de una cantidad limitada de tres ingredientes que se utili#an en la producción de condimentos. @ore- emplea los tres ingredientes 5H=1! H=B - H=?: para la ela%oración de crcuma - pimentón. ,l departamento de mercadotecnia informa que la compañía puede vender todo el pimentón que sea capa# de producir! pero solamente puede vender un m()imo de 1!C %otellas de crcuma. 'os ingredientes no utili#ados podr(n venderse en el mercado. 'os precios est(n e)presados en $Don#a. 'os precios actuales son7 H=1! $.8E H=B! $.CE H=?! $.22. "dem(s! @oreha firmado un contrato para suministrar 8 %otellas de pimentón a WalF;art. ,n la siguiente ta%la se ofrece información adicional. &ormule el pro%lema de @ore- como un modelo de programación lineal para ma)imi#ación de ingresos.
Definición de variables:
x 1 : botellas de curcuma x 2 : botellas de pimenton x 3 : onzas dehb 01 nousado x 4 : onzas de hb 02 nousado x 5 : onzas dehb 03 nousado Función Objetivo:
Max Z =3.25 x 1+ 2.75 x 2 + 0.60 x 3+ 0.70 x 3 + 0.55 x 3 Restricciones:
x 1 ≤ 1700 x 2 ≤ 600 4 x 1
+ 3 x + x ≤ 8000 2
3
2 x 1 + 2 x2 + x 4 ≤ 9000 1 x 1
+ 3 x + x ≤ 7000 2
5
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x5 ≥ 0 Modelo Matemático:
Max Z =3.25 x 1+ 2.75 x 2 + 0.60 x 3+ 0.70 x 3 + 0.55 x 3 *.".
x 1 ≤ 1700 x 2 ≤ 600 4 x 1
+ 3 x + x ≤ 8000 2
3
2 x 1 + 2 x2 + x 4 ≤ 9000 1 x 1
+ 3 x + x ≤ 7000 2
5
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x5 ≥ 0 Ejercicio 3."#
Un pro%lema de producción. 'a ,%el ;ining @ompan- es propietaria de dos minas que producen cierto tipo de mineral. +ichas minas est(n locali#adas en distintas partes del país -! en consecuencia! presentan diferencias en sus capacidades de producción - en la calidad de su mineral. +espués de ser molido! el mineral se clasifica en tres clases dependiendo la calidad7 alta! mediana - %a0a. ,%el ha sido contratada para suministrar semanalmente a la planta de fundición de su compañía matri# 1B toneladas de mineral de alta calidad! toneladas de calidad mediana - B> toneladas de calidad %a0a. " ,%el le cuesta $B! diarios operar la primera mina - $18! la segunda. *i em%argo! en un día de operación! la primera mina produce 8 toneladas de mineral de alta calidad! B toneladas de mediana - > toneladas de %a0a! mientras que la segunda produce B toneladas diarias de material de alta calidad! B de mediana - 1B de %a0a. 3@u(ntos días a la semana tendría que funcionar cada mina para cumplir los compromisos de ,%el de la manera m(s económica posi%le4 5,n este caso resulta acepta%le programar la operación de las minas en fracciones de día.:
Definición de variables:
x 1 : numero dedias deoperacion parala mina 1 x 2 : numero de dias de operacion para la mina2 Función Objetivo:
Min Z =20000 x 1+ 16000 x 2 Restricciones: 6 x 1+ 2 x 2 ≥ 12 2 x 1
+ 2 x ≥ 8 2
4 x 1 + 12 x 2 ≥ 24
x 1 ≤ 7 x 2 ≤ 7 x 1 , x 2 ≥ 0 Modelo Matemático:
Min Z =20000 x 1+ 16000 x 2 *.".
6 x 1+ 2 x 2 ≥ 12 2 x 1
+ 2 x ≥ 8 2
4 x 1 + 12 x 2 ≥ 24
x 1 ≤ 7 x 2 ≤ 7 x 1 , x 2 ≥ 0
Ejercicio 3.""
Un pro%lema de producción. @ada una de las tres m(quinas fa%rica dos productos. Para ela%orar una li%ra de cada producto se requiere una cantidad determinada de horas de tra%a0o en cada m(quina! como se indica en la siguiente ta%la. 'as horas disponi%les en las m(quinas 1! B - ? son 1! 18 - 1B! respectivamente. 'as contri%uciones a las ganancias correspondientes a cada li%ra de los productos 1 - B son $> - $?! respectivamente. +efina las varia%les de decisión! formule este pro%lema como un programa lineal para la ma)imi#ación de ganancias resuélvalo.
Definición de variables:
x 1 : librasde producto 1 x 2 : libras de producto 2 Función Objetivo:
Max Z = 4 x 1+ 3 x 2 Restricciones: 3 x1
+ 2 x ≤ 10 2
1 x 1 + 4 x 2 ≤ 16 5 x1
+ 3 x ≤ 12 2
x 1 , x 2 ≥ 0 Modelo Matemático:
Max Z = 4 x 1+ 3 x 2 *.". 3 x1
+ 2 x ≤ 10 2
1 x 1 + 4 x 2 ≤ 16 5 x1
+ 3 x ≤ 12 2
x 1 , x 2 ≥ 0
Ejercicio 3."!
Un pro%lema de producción. Una planta tiene suficiente capacidad para manufacturar cualquier com%inación de cuatro productos diferentes 5"! =! @! +:. Para cada producto se requiere invertir tiempo en cuatro m(quinas distintas! el cual est( e)presado en minutos por Gilogramo de producto! como podemos apreciar en la siguiente ta%la. @ada m(quina tiene una disponi%ilidad de 8 horas por semana. 'os productos "! =! @ - + pueden venderse a $! $C! $8 - $2 por Gilo! respectivamente. 'os costos varia%les de mano de o%ra son de $B por hora para las m(quinas 1 - B! - de $? por hora para las m(quinas ? - >. 'os costos de material para cada Gilo del producto " son de $>. 'os costos de material para cada Gilo de los productos =! @ - + son de $1. &ormule un modelo de P' que ma)imice las ganancias! dada la demanda m()ima por producto que se muestra a continuación! - luego resuélvalo.
Definición de variables:
x 1 : kilos de producto A x 2 : kilos de producto B x 3 : kilos de producto C x 4 : kilos de producto D Función Objetivo:
Max Z =9 x 1 + 7 x 2+ 6 x 2 + 5 x2 − Restricciones:
2
3 15 x + 9 x + 9 x + 6 x )− ( ( 9 x +12 x + 6 x + 3 x ) −4 x −1 x −1 x −1 60 60 1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
3
5 x1 + 3 x 2+ 4 x 3 + 4 x 4 ≤ 3600 10 x1
+ 6 x + 5 x + 2 x ≤ 3600 2
3
4
6 x 1+ 4 x 2+ 3 x 3 + 1 x 4 ≤ 3600 3 x1
+ 8 x +3 x + 2 x ≤ 3600 2
3
4
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0 Modelo Matemático:
Max Z =9 x 1 + 7 x 2+ 6 x 2 + 5 x2 − *.". 5 x1
+ 3 x + 4 x + 4 x ≤ 3600 2
3
4
10 x1 + 6 x 2+ 5 x 3 + 2 x 4 ≤ 3600 6 x 1
+ 4 x + 3 x + 1 x ≤ 3600 2
3
4
3 x1 + 8 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 ≤ 3600
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0
2
3 15 x + 9 x + 9 x + 6 x )− ( ( 9 x +12 x + 6 x + 3 x ) −4 x −1 x −1 x −1 60 60 1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
3
T!H!, H!MD" Capitulo # – M$to%o Gra&co Ejercicio 5
Una compañía fa%rica dos productos! " - =. ,l volumen de ventas de " es por lo menos I de las ventas totales de " - =. *in em%argo! la compañía no puede vender m(s de 1 unidades de " por día. "m%os productos utili#an una materia prima! cu-a disponi%ilidad diaria m()ima es de B> l%. 'as tasas de consumo de la materia prima son de B l% por unidad de " de > l% por unidad de =. 'as utilidades de " - = son de $B - $2! respectivamente. +etermine la com%inación óptima de productos para la compañía. Definición de variables
x 1 : unidades de A x 2 : unidades de B Función Objetivo:
Max Z =20 x 1+ 50 x 2 Restricciones 2 x 1
+ 4 x ≤ 240 2
−0.2 x 1+ 0.8 x2 ≤ 0
x 1 ≤ 100 x 1 , x 2 ≥ 0 Modelo Matemático:
Max Z =20 x 1+ 50 x 2 *.". 2 x 1 + 4 x 2 ≤ 240
−0.2 x + 0.8 x ≤ 0 1
x 1 ≤ 100 x 1 , x 2 ≥ 0
Re$orte E%cel
2
Jalor o%0etivo7 B8 Unidades en "7 Unidades en =7 B
&rafico
Ejercicio
Una persona desea invertir $2 durante el pró)imo año en dos tipos de inversión. 'a inversión " redita 2I - la inversión = I. 'a investigación de mercado recomienda una asignación de por lo menos B2I en " - cuando mucho 2I en! "dem(s! la inversión " de%e ser por lo menos de la mitad de la inversión =. 3@ómo de%en asignarse los fondos a las dos inversiones4 Definición de variables
x 1 : participacionen A x 2 : participacion en B Función Objetivo:
Max Z =250 x 1+ 400 x 2
Restricciones
x 1+ x 2=1 x 1 ≥ 0.25 x 2 ≤ 0.50 x 1 ≥ 0.5 x 2 x 1 , x 2 ≥ 0 Modelo Matemático:
Max Z =250 x 1+ 400 x 2 *.".
x 1+ x 2=1 x 1 ≥ 0.25 x 2 ≤ 0.50 x 1 ≥ 0.5 x 2 x 1 , x 2 ≥ 0
Re$orte E%cel
Jalor o%0etivo7 ?B2 Participación en " 9 .2 Participación en = 9 .2
&rafico
Ejercicio '
@hem'a%s utili#a las materias primas / - // para producir dos soluciones de limpie#a doméstica! " - =. 'as disponi%ilidades diarias de las materias primas / - // son de 12 - 1>2 unidades! respectivamente. Una unidad de solución " consume .2 unidades de la materia prima /! - .8 unidades de la materia prima //! en tanto que una unidad de la solución = consume .2 unidades de la materia prima /! - .> unidades de la materia prima //. 'as utilidades por unidad de las soluciones " - = son de $ - $1! respectivamente. 'a demanda diaria de la solución " es de entre ? - 12 unidades! - la de la solución = va de > a B unidades. +etermine las cantidades de producción óptimas de " - =. Definición de variables
x 1 : cantidad en A x 2 : cantidad enB Función Objetivo:
Max Z =8 x 1 +10 x 2 Restricciones 0.5 x1
+ 0.6 x ≤ 150 1
0.5 x1 + 0.4 x 1 ≤ 145
x 1 ≤ 150 x 2 ≤ 200 x 1 ≥ 30 x 2 ≥ 40 x 1 , x 2 ≥ 0 Modelo Matemático:
Max Z =8 x 1 +10 x 2 *.". 0.5 x1
+ 0.6 x ≤ 150 1
0.5 x1 + 0.4 x 1 ≤ 145
x 1 ≤ 150 x 2 ≤ 200 x 1 ≥ 30 x 2 ≥ 40 x 1 , x 2 ≥ 0
Re$orte E%cel
Jalor o%0etivo7 B> @antidad en " 9 8 @antidad en = 9 B
&rafico
Ejercicio ""
KacG es un estudiante novato en la Universidad de Ulern. *e da cuenta de que Lsólo tra%a0o nada de diversión me hacen ser un chico a%urridoM. KacG desea distri%uir su tiempo disponi%le de apro)imadamente 1 horas al día entre las tareas - la diversión. ,stima que divertirse es dos veces m(s entretenido que hacer tareas. Pero tam%ién desea estudiar por lo menos el mismo tiempo que le quiere dedicar a la diversión. *in em%argo! KacG comprende que para cumplir con sus tareas no puede divertirse m(s de > horas al día. 3@ómo de%e distri%uir su tiempo para ma)imi#ar su placer tanto de tra%a0ar como de divertirse4 Definición de variables
x 1 : horas de tareas x 2 : horas de diersion Función Objetivo:
Max Z = x 1 + 2 x 2 Restricciones
x 1+ x 1 ≤ 10 x 1 ≥ 4 x 2 ≥ 4 x 1 , x 2 ≥ 0 Modelo Matemático:
Max Z = x 1 + 2 x 2 *.".
x 1+ x 1 ≤ 10 x 1 ≥ 4 x 2 ≥ 4 x 1 , x 2 ≥ 0
Re$orte E%cel
Jalor o%0etivo7 18 Horas de tarea 9 > Horas de diversión 9 8
&rafico
