INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II TEORÍA DEL JUEGO 1. Defina los siguientes términos: términos: a) Juego suma cero b) Jugador c) estrategia pura y mix mixta. ta. d) Punto de silla. e) Juego estable (inestable), justo (injusto). 2. Considere un juego de mesa entre dos personas. Cada una comienza con tres fichas: una roja, una blanca, y una azul. Cada ficha se puede usar sólo una vez. Para comenzar, cada jugador elije una de sus fichas y la coloca sobre la mesa, tapada. Después ambos la destapan y determinan el pago para el ganador. En particular, si ambos tienen el mismo color, es un empate. De otra manera, la tabla que sigue indica el ganador y el pago que deben recibir del otro jugador. Ficha Ganadora
Pago
Rojo gana a blanco Blanco gana azul Azul Gana rojo Fichas iguales
90 70 50 0
En seguida, cada jugador elije una de sus dos fichas restantes y se repite el proceso con un nuevo pago de acuerdo a la tabla. Por último, cada jugador juega la ficha que le queda y se determina el tercer pago. Formule este problema como un juego de suma cero entre dos personas, e identifique la forma de las estrategias y pagos. 3. Para las siguientes matrices de pagos determine la estrategia óptima de cada jugador. Para ello elimine de manera sucesiva las estrategias dominadas (indique el orden en el que elimina las estrategias). estrategias). a)
Jugador 1
Jugador 2 Estrategia 1 A -3 B 1 C 1
2 1 2 0
3 2 1 -2
b)
Jugador 1
Jugador 2 Estrategia A A -3 B 1 C 1
B 1 2 0
C 2 1 -2
Encuentre el punto de silla del juego que tiene la siguiente matriz de pagos Jugador 2 Estrategia A B C Jugador A 1 -1 1 1 B -2 0 3 C 3 1 2 Utilice el criterio minimax para encontrar la mejor estrategia de cada jugador. ¿Se trata de un juego estable? 4. Para la siguiente matriz de pagos utilice el procedimiento gráfico para determinar el valor del juego y la estrategia mixta óptima de cada jugador según el criterio mini-max
Jugador 1
Jugador 2 Estrategia A2 B2 A1 4 3 B2 0 1
C2 1 2
5. Considere el juego que tiene la siguiente matriz de pagos.
Estrategia A Jugador 1 B C
Jugador 2 A 5 2 3
B 0 4 2
C 3 3 0
D 1 2 4
a) Encuentre las estrategias mixtas óptimas de acuerdo con el criterio minmax, b) Aplique el método simplex para encontrar las estrategias óptimas.
PROGRAMACIÓN POR METAS 6. El Centro Comercial NW gestiona eventos especiales para atraer clientes potenciales. Entre los eventos que parecen atraer a los adolescentes, al grupo de jóvenes de mediana edad y a los
adultos mayores, los dos más populares son los conciertos de bandas y las exposiciones de arte. Sus costos por presentación son de $1500 y $3000, respectivamente. El presupuesto anual (estricto) total asignado a los dos eventos es de $15,000. El gerente del centro comercial estima la asistencia como sigue: Cantidad de personas que asisten por presentación Adolescentes Mediana Edad Adultos Mayores Concierto de Bandas 200 100 0 Exposición de arte 0 400 250 Evento
El gerente ha fijado metas mínimas de 1000, 1200 y 800 para la asistencia de adolescentes, personas de mediana edad y adultos mayores, en ese orden. a) Formule el problema como un modelo de programación de metas. b) suponga que la meta de atraer personas de mediana edad es dos veces más importante que la de las otras dos categorías (adolescentes y adultos mayores). Encuentre la solución asociada, y verifique si todas las metas se han cumplido. 7. La oficina de admisión de la Universidad de Ozark está recibiendo solicitudes de estudiantes de primer año para el año académico venidero. Las solicitudes caen dentro de tres categorías: estudiantes del estado, de fuera del estado, e internacionales. Las relaciones hombres-mujeres de los solicitantes del estado y de fuera del estado son 1:1 y 3:2; para estudiantes internacionales, la relación correspondiente es de 8:1. La calificación en el Examen de Universidades Americanas (ACT, por sus siglas en inglés) es un importante factor en la aceptación de nuevos estudiantes. Las estadísticas recopiladas por la universidad indican que las calificaciones promedio de estudiantes del estado, fuera del estado e internacionales, son de 27, 26 y 23, respectivamente. El comité de admisiones ha establecido las siguientes metas deseables para la nueva clase de primer año:
Que la clase que empieza sea por lo menos de 1200 estudiantes. Que la calificación promedio de todos los solicitantes sea por lo menos de 25. Que los estudiantes internacionales constituyan por lo menos 10% de la clase. Que la relación mujeres-hombres sea por lo menos de 3:4. Que los estudiantes de fuera del estado comprendan por lo menos 20% de la clase. a) Formule el problema como un modelo de programación de metas. b) suponga que se debe cumplir con el límite en el tamaño de la clase de estudiantes de primer año, pero los requisitos restantes pueden tratarse como metas flexibles. Suponga, además, que la calificación del examen ACT es dos veces más importante que cualquiera de las metas restantes. • • • • •
8. Mantel produce un carruaje de juguete, cuyo ensamble final debe incluir cuatro ruedas y
dos asientos. La fábrica que produce las piezas trabaja tres turnos al día. La siguiente tabla proporciona las cantidades producidas de cada pieza en los tres turnos .
Turno 1 2 3
Unidades producidas por carrera de producción Ruedas Asientos 500 300 600 280 640 360
Idealmente, la cantidad de ruedas producidas es el doble de la de asientos. Sin embargo, como las tasas de producción varían de turno a turno, el balance exacto en la producción puede no ser posible. A Mantel le interesa determinar la cantidad de corridas de producción en cada turno que minimice el desbalance en la producción de las piezas. Las limitaciones de la capacidad restringen las corridas a entre 4 y 5 para el turno 1; 10 y 20 para el turno 2, y 3 y 5 para el turno 3. a) Formule el problema como un modelo de programación de metas. b) determine la solución, y especifique si puede balancearse o no la producción diaria de ruedas y asientos.
PROGRAMACIÓN DETERMINÍSTICA 9. Un barco de toneladas puede cargarse con uno o más de tres artículos. La siguiente tabla da el peso unitario, , en toneladas y el ingreso unitario en miles de dólares, , para el artículo . El objetivo es determinar la cantidad de unidades de cada artículo que maximizará el rendimiento total. a) Con = 6 Artículo 1 4 2 1 3 2
70 20 40
b) Con = 4 Artículo 1 1 2 2 3 3
30 60 80
10. Tengo un pequeño jardín de 10 3 20 pies. Esta primavera pienso plantar tres tipos de hortalizas: tomates, chícharos y maíz. El jardín está organizado en filas de 10 pies. Las filas del maíz y de los tomates son de 2 pies de ancho, y las de los chícharos son de 3 pies de ancho. Me gustan más los tomates y menos los chícharos, y en una escala del 1 al 10 asignaría un 7 a los tomates, un 7 al maíz y un 3 a los chícharos. A pesar de mis preferencias, mi esposa insiste en que plante al menos una fila de chícharos y no más de dos filas de tomates. ¿Cuántas filas de cada legumbre debo plantar?
