Universidad Militar Nueva Granada Facultad de Estudios a Distancia Programa de Ingeniería Civil Investigación de Operaciones Docente: Ricardo Mancipe Olivares Taller 2
Respetado Estudiante: Debe desarrollar el Taller y subirlo en el link correspondiente a la Actividad. Si lo desarrolla a mano debe escribir tanto el enunc iado del ejercicio como el proceso de desarrollo y cargarlo en un único archivo PDF.
1. A partir de la lectura del libro digital, conteste conteste la siguiente pregunta: pregunta:
¿A qué corresponden las variables de decisión del dual en el primal? En relación a una variable de decisión, se refiere a una incógnita predeterminada para resolver un problema y en referencia la variable de decisión del dual en el primal corresponde a las restricciones. ¿Cómo se definen los precios sombra? Los precios de sombra se definen como un cambio en el valor de la función objetivo por aumento aumento unitario en su valor valor del lado derecho derecho de la restricción. Es decir que los precios sombra vienen determinados por p or los valores de las variables del programa dual de un problema de programación lineal, o en su defecto en problemas de programación no lineal, con esto concluimos que cuando el problema primal es el consistente en asignar unos recursos económicos limitados a usos productivos alternativos. Enuncie el problema y su solución que la profesora del video desarrolla en el tema de Análisis de Sensibilidad para hallar el Intervalo de Factibilidad. El problema del video es el siguiente: = 5₁ 5₁ + 6₂ 6₂
Sujeta a. ₁ + ₂ ≤ 80 3₁ 3₁ + 2₂ 2₂ ≤ 220 220 2₁ 2₁ + 3₂ 3₂ ≥ 220 ₁ ≥ 0, ₂₂ ≥ 0
x₁ hace referencia a la cantidad de escritorios tipo 1 x₂ hace referencia a la cantidad de escritorios tipo II Solución: x
x
h
h
h
5 1 3 2
6 1 2 3
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
bi
80 220 210
De acuerdo a la tabla podemos determinar tres variables de (Holgura), con ellas se realizarán las respectivas soluciones: x₁ = 0 x₂ = 0 h₁ = 80 h₂ = 220 h₃ = 210 Variables básicas: h₁, h₂, h₃. Se incluyen La contribución de pérdidas por unidad “Zj” La contribución neta por unidad “Cj – Zj” Así obtenemos x
x
h
h
h
Variable
Base
Cj
5
6
0
0
0
bi
h h h
0 0 0
1 3 2
1 3 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
80 220 210
Zj
0
0
0
0
0
0
Cj – Zj
5
6
0
0
0
Contribución por unidad Coeficientes Coeficientes Coeficientes Contribución que se pierde por unidades fabricadas Contribución neta
Encontramos el intervalo de optimización con los siguientes resultados. 4 ≤ t₁ ≤ 6
Cj – Zj ≥ 0
Cj – Zj ≤ 0
No es óptimo
Base h h x
4
Cj
Zj Cj – Zj
5 0 6
Cj – Zj ≥ 0
t₁
6
x
x
h
h
h
5 1 0 0 5 0
6 0 0 1 6 0
th₁ 3 -5 -2 3 th₁ - 3
0 0 1 0 0 0
0 -1 1 1 1 -1
no es optimo
bi
30 30 50 450
2. Encuentre los duales de los ejercicios a) y b). No los solucione.
a) = 8 + 12
2 + 2 ≥ 1 + 3 ≥ 2 ≥ 0, ≥ 0
= ₁ + 2₂
Sujeta a. 2₁ + ₂ ≤ 8 2₁ + 3₂ ≤ 12 ₁ ≥ 0, ₂ ≥ 0
b) = − + 4
+ + ≤ 9 − 2 + ≤ 6 ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0
= 94₁ + 6₂
Sujeta a.
₁+₂≥1 ₁ + 2₂ ≥ −1 ₁+₂≥4 ₁, ₂ ≥ 0
3. Resolver mediante el uso del Dual y el método simplex: + 4 ≥ 28 2 − ≥ 2 −3 + 8 ≥ 16 ≥ 0, ≥ 0
= 2 + 2
Dual = 28₁ + 2₂ + 16₃ ≤ 8
Sujeta a. ₁ + 2₂ − 3₃ ≤ 2 4₁ + ₂ − 8₃ ≤ 2 ₁ ≥ 0 ₂ ≥ 0, ₃ ≥ 0
Tabla Simplex X inicial y V. Básicas h h
y
y
h
h
Cj
28
2
16
0
0
bi
0 0
1 4 0 28
2 -1 0 2
-3 8 0 16
1 0 0 0
0 1 0 0
2 2 0
Wj Cj - Wj
Fila Wj: es la suma de los productos entre los coeficientes de las variables básicas y los coeficientes de las variables de decisión y de holgura. Fila Cj – Wj: es la diferencia entre Cj es decir los coeficientes de las variables en la función objetivo.
Valores WJ: son los obtenidos en la fila anterior. Columna pivote: corresponde al valor mayor de Cj – Wj (28) Concluimos que la fila pivote será el menor cociente entre bi y los coeficientes de las variables en la columna pivote. La intersección entre la columna pivote y la fila pivote es el pivote en sí. En el siguiente cuadro el pivote se debe dejar como 1 aplicando las operaciones elementales en la fila pivote “Variables no básicas y en bi” y 0 en las demás posiciones de la columna pivote y correspondiente a las variables básicas. Tabla Simplex X ₂
y V. Básicas h y
y
y
h
h
Cj
28
2
16
0
0
bi
0 28
0 1 28 0
2¼ -¼ -7 9
-5 2 56 -40
1 0 0 0
-¼ ¼ 7 -7
1½ ½ 14
y
y
y
h
h
0
0
Wj Cj - Wj
Tabla Simplex X ₃
V. Básicas
Cj
28
2
16
y
2
0
1
-2
y
28
1
0
1
Wj Cj - Wj
28 0
2 0
36 -20
4
9 1
9
4 -4
bi
1
2
9 2
3 2
−
9
6 -6
3
20
Las interacciones finalizan cuando las filas Cj – Wj es 0 o en en sud efecto negativo, en este caso la solución es: W = 20 cuando h₁ =4 y h₂ = 6 Estos valores son los de x₁ y x₂ en el problema Primal. Es decir: Z = 20 cuando x₁ = 4 y x₂ = 6 4. Una compañía compara los costos de publicidad de dos medios: periódico y
radio. La tabla siguiente muestra el número de personas, por grupo de ingresos, que alcanza cada uno de los medios por cada dólar de publicidad.
Periódico Radio
Menor de $40000 40 50
Mayor o igual a $40000 100 25
La empresa quiere captar al menos 80000 personas con ingresos menores de $40000 y al menos 60000 con ingresos de $40000 o más. Utilice el Dual y el Método Simplex para determinar las cantidades que la compañía debe gastar en publicidad: periódico y radio, de modo que alcance a este número de personas con un costo mínimo. ¿Cuál es el costo mínimo de publicidad? = ₁ − ₂
Sujeta a. 40₁ + 50₂ ≥ 80000 100₁ + 25₂ ≤ 60000 ₁+₂≥0
Dual = 80000₁ + 60000₂
Sujeta a. 40₁ + 100₂ ≤ 1 50₁ + 25₂ ≤ 1 ₁, ₂ ≥ 0
Tenemos en cuenta que la restricción 1 es del tipo ≤ agregamos la variable y ₃ Tenemos en cuenta que la restricción 1 es del tipo ≤ agregamos la variable = 80000₁ + 60000₂
Sujeta a. 40₁ + 100₂ ≤ 1 50₁ + 25₂ ≤ 1 ₁, ₂ ≥ 0 = 80000₁ + 60000₂ + 0y₃
Sujeta a. 40₁ + 100₂ + 1y₃ = 1 +0 50₁ + 25₂ + 1 = 1 ₁,₂,₃, ≥ 0 Tabla 1 Base p Z
80000
60000
0
0
Cb
0 0
1 1
40 50 -80000
100 25 -60000
1 0 0
0 1 0
Entra Sale Fila 2 Pivote
Fila 1
Fila Z
1/50 = 0,02 50/50 = 1 25/50 = 0,5 0/50 = 0 1/50 = 0,02
1 – (40 * 0,02) = 0,2 40 – (40 * 1) = 0 100 – (40 * 0,5) = 80 1 * (40 * 0) = 1 0 – (40 * 0,02) = -0,8
0 – (-80000 * 0,02) = 1600 -80000 – (80000 * 1) = 0 -60000 – (-80000 * 0,5) = -20000 0 – (-80000 * 0) = 0 0 – (-80000 * 0,02) = 1600
Tabla 2 Base p Z
80000
60000
0
0
Cb
0 80000
0,2 0,02 1600
0 1 0
80 0,5 -20000
1 0 0
-0,8 0,02 1600
Sale Entra Fila 1 Pivote
Fila 2
Fila Z
0,2/80 = 0,0025 0/80 = 0 80/80 = 1 1/80 = 0,0125 -0,8/80 = -0,01
0,02-(0,5*0,025)=0,01875 1-(0,5*0)=1 0,5-(0,5*1)=0 0-(0,5*0,0125)=0,00625 0,02-(0,5*-0,01)=0,085
1600-(-80000*0,0085)=1650 0-(-20000*0)=0 -20000-(20000*1)=0 0-(-20000*0,0125)=250 1600-(-20000*-0,01)=1400
Tabla 3 Base P Z
80000
60000
0
0
Cb
60000 80000
0,0025 0,1875 1650
0 1 0
1 0 0
0,0125 -0,00625 250
-0,01 0,025 1400
Respuesta: Un periódico = $250 Publicidad en radio: $1400 Total $1650 5. Para el siguiente problema de Programación Lineal: = 18 + 20
Hallar los precios sombra. Coeficientes 1: 2 + 3 ≤ 18 2: 4 + 3 ≤ 24 3: ≤ 5 ≥ 0 ≥ 0
f(x,y)
2 + 3 ≤ 18 4 + 3 ≤ 24 ≤ 5 ≥ 0, ≥ 0
2 4 0 1 0 18
3 3 1 0 1 20
Resultado esperado Coeficientes 1: 2 + 3 ≤ 18 2: 4 + 3 ≤ 24 3: ≤ 5 ≥ 0 ≥ 0
f(x,y)
Mínimo
Máximo
Resultado Real
18 24 5
18 24 4
0 0 z=f(x,y)= 18 + 20
134 máximo
Solución: = 3 = 4 Precios sombra Restricción 1 = 4,333 »Por cada unidad que aumente, la función aumentara. Restricción 2 = 2,333 »Por cada unidad que aumente, la función aumentara. Restricción 3 = 0,000 »Por cada unidad que aumente, la función aumentara.
