UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA FACULTA DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
TALLER 02-UI.MAS CURSO
: FISICA II
CICLO
: TERCERO
ESTUDIANTE
: QUISPE MENDIZABAL Julio Cesar : CATACHURA CATACHURA Wilfreo APAZA LARICO Ale!is "er#a$ "er#a $ : APAZA
: OSORIO BENA%IDES Os&ar GRUPO' DOCENTE
: (C) : I$*+ HUA,TA CURO Je$$- "a.riela
TACNA / PER0 1234
1. SOLUCI5N a El periodo
b
1
1
2
20
T = =
=0.05 s
w =2 πf =2 π x 20 s −1=40 π rad / s
2. SOLUCION Calculando la posición del movimiento: w=
2 π
2 π
T
1.25
=
=1.6 π rad / s
Ahora la ecuación del MAS: S = A . Sen ( ωt + φ ) S =0.05 . Sen ( 1.6 π t + φ )
El cálculo del ángulo de fase: 0.05
= 0.05 sen ( φ )
φ =π / 2
S =0.05 . sen
(
)
+ π
1.6 π t
2
S =0.05 . cos ( 1.6 π t )
3. SOLUCION a Si:
ω =2 π f =2 π ( 0.5 )= πrad / s
b
A =1 S = A . Sen ( πt + φ ) ω =π
rad s
Si :
−1 =Sen ( φ ) − π =φ 2
π S = sen ( πt − ) 2
c
Para t = 0!s S = Sen
(
−
0.5 π
)
π 2
S = Sen ( 0 ) S =0
d Para :
v=
ds π = π . cos ( πt − ) 2 dt
4. SOLUCION
Comparando la expresión general de la aceleración (a = - ω2·s) con la particular que corresponde a este movimiento (a = - π2·s ), resulta: ω = π rad/s. or otra parte, la distancia entre las dos posiciones extremas es el do!le de la amplitud: "2 = # m = 2 $. or tanto $ = 2 m, % la posición de equili!rio (centro de vi!ración) ser& el punto ' (",2) a ecuación de este movimiento armónico es: s = 2 sen (πt ϕ') ara el c&lculo de ϕ' tenemos en cuenta que en el instante inicial el móvil se encuentra en 2 (s = 2). *ustitu%endo o!tenemos: 2 = 2·sen ϕ' , de donde ϕ' = π /2. or tanto la ecuación de la elongación es: s = 2 sen (π π/2) = 2 sen (+π/2) = -2 or tanto el móvil se encuentra en el punto extremo de su tra%ectoria acia la iquierda, es decir en el punto (-", 2).
a ecuación de la velocidad se o!tiene derivando la elongación respecto al tiempo: v = 2π sen (πt π/2) (*) a velocidad al ca!o de ", segundos es: v = 2π sen (πt π/2) =2πcos2π = 2π m/s. 5. SOLUCION
0l punto vi!rante recorre, si el tiempo de recorrido es un periodo, # veces la amplitud, seg1n los siguientes pasos (tomando como eemplo un movimiento en el ee vertical): a) *u!e desde la posición de equili!rio !) 3aa desde la m&xima elongación a la posición de equili!rio. c) 3aa desde la posición de equili!rio asta la m&xima elongación d) *u!e desde la m&xima elongación asta la posición de equili!rio.
6. SOLUCION Comparando con
S = A . cos ( ωt + φ )
A = 2 m ;ω =π y como ω =2 πf f =0.5 Hz
T =
1
f
T =2 s
φ =πt +
"a fase viene dada por
φ =2 π +
π
9 π
4
4
=
4
rad
πt +
#elocidad
π
v=
π 4
$ ds =−2 π.Sen ¿ dt
a=
Aceleración
dv π =−2 π 2 . cos ( πt + ) dt 4 S =−1.4142 m
Sustituimos valores V = 4.44 m / s 2
a =13.96 m / s
V max =± 6.29 m / s V min =± 19.72 m / s
2
El despla%amiento se calcula por diferencia ∆ S=S t = 1− St =0 ∆ S=−2.83 m
7. SOLUCION m=1440 k
360 k
& de resortes = ' la frecuencia de las osilaciones será : 1
f = = T
1
(√ )
2 π
=1.19 Hz
! m
8. SOLUCION
√
T =2 π
(espe)amos *
m k
2
k =
4 π 2
T
=49.3 " / m
9. SOLUCION
! =
# =25 "m ∆S
Al a+adir una masa de ,0 gramos- la masa total suspendida es m. = 0-/ *g
√
T =2 π
0.14 25
=0.47 1
1recuencia
1
=2.13 s v = = T 0.47
10.SOLUCION
a. a energ4a total del sistema es: 0 5 = ("/2) 6$ 2 = ("/2) 2'·','2 = ','2 7. a m&xima velocidad de la masa tendr& lugar en la posición de equili!rio ( s = ' ), en la que se cumple: 0 5 = 0cmax = ("/2) mv2 max = 2,·"'-2 7 8 por tanto vmax = ', m/s !) la pulsación del movimiento armónico es % la velocidad de la masa en la posición indicada: , donde los signos positivo % negativo indican que la masa en ese instante podr4a estar movi9ndose acia la iquierda o acia la dereca. c) 0c = ("/2) mv 2 = ",·"'-2 7 0px = ("/2) 6s 2 = ',;·"'-2 7 d) , sustitu%endo los valores resulta que s = ±#,<·"'-2 m = ±#,< cm.
11 ¿E !"# $%&'('%)& * ) !"# '&+,+)& &) ,() '",/)& /,& )),& ('#+'(, * $%+)(',/ )/&+'(, ) " (")$% !") )&(') " MAS Sol: 1
$c = ∗k ( A − S 2
2
2
1
$%x = k s
)
2
2
1 2
S=
1
∗k ( A − S ) = k s 2
2
2
2
A
√ 2
12 C",% /, )/%,(' ) " '/ !") )&(') " ,& )& /, '+, ) /, ,$/'+" ¿!"# $%()+,) ) &" )), +%+,/ (%)&$%) , /, )), ('#+'(, * !"# $%()+,) , /, $%+)(',/ )/&+'(, Sol: s=
$%x =
A 2
∗ A
0.5
4
2
A − A 4
2
2
1
= A
2
8
= 3 A
2
8
$c =0.5∗¿
Por lo tanto la energía cinetica es tres veces mayor que la elástica, eso representa el 75 % del total y la elástica 25 %
13 D)/ );+)% ) ", ")//) (")/, ", ,&, ) 500 ,%&. S' , (%+'",(' &) /) ,<,) %+, ) 500 ,%& )/ ")//) &) ,/,, 2 (. A/ )+', )&+, &)", ,&, /, $'), (%')=, , %&('/, (% " MAS. ¿C"/ &) /, >)(")(', ) )&+,& %&('/,('%)& Sol: # K = s =
m∗ = 25 !"m s
#=2$
√
0.5 250
1
=
t =
= 0.281 s 1
0.281
= 2.5 s−
1
14 L, /%'+" ) " $#"/% !") ,+) &)"%& ) )/ )(",% +))&+) )& 09910 * /, )/ !") ,+) &)"%& ) )/ $%/% )& 09962 . ¿C"+% $)&, " (")$% &'+",% ) )/ )(",% +))&+) &' ) )/ $%/% $)&, 10 ? Sol:
∗
4 π 0.9910 m
gecuador =
2
2s
∗
4 π 0.9962 m
g polo =
2s
2
=¿
=¿
&'(7) m"s2
&'(*2 m"s2
P = m + g y el cuerpo dado, en el polo, pesa &(') !, su masa será: =
& %o'o 98.1 = =9.978 k (%o'o 9.832
gecuador = m + g ecuador = &'&7( + &'7() = &7'5& !
15 ¿E !"# (,&%& $")) (%&'),&) " %'')+% $)"/, (%% ',+%'% ,'(% &'$/) -nicamente en aquellos casos en los que la amplitud de la oscilaci.n sea menor de 5/' 0n la práctica si la amplitud no supera los )5/ el movimiento del p1ndulo simple puede, sin grave error, considerarse asimismo viratorio arm.nico'
16 D)")&+, !") /, >"/, )/ $)'%% ) %&('/,(' ) " $#"/% &'$/) )& %%#),.
√
2 π
#=
√¿
2 π
1
;|T |= T
1
3 =
√¿
) −2
=√ T =T 2
17 D%& $#"/%& +')) '&+'+, /%'+": /, ) "% )& %/) !") /, )/ %+%. ¿@"# )/,(' );'&+) )+) &"& $)'%%& ) %&('/,(' Sol:
√
# ) =
2 π
# 2 =
2 π
√
T 1 1 = T 2 √ 2
' 2'
18 U $#"/% )&+ (%&+'+"'% $% ", ,&, $"+",/ ) 500 ,%& &"&$)', ) " '/% ) 1 ) /%'+". , C,/("/, )/ $)'%% ) %&('/,(' ) )&) $#"/% $,, $)!")<,& ,$/'+")&. S' &) )&$/,=, /, ,&, $"+",/ " "/% ) 60B )&$)(+% , &" $%&'(' ) )!"'/''% ¿(% !"# )/%(', $,&, ) ")% $% '(, $%&'(' Sol:
a # =
√
2 π
1 9.8
=2 s
4l desplaarse con un ángulo de 6/ asciende a = )89 se deduce en un triángulo ;os 6/ = 9 " )m = cos 6/ = '5m 1
m + g y =
2
mv
< = *')6 m"s
2
RESPONDA A LAS SIGUIENTES PREGUNTAS, FUNDAMENTANDO SUS RESPUESTAS:
1 S' &) "$/'(, /, $"/&,(' ) " ,& ''(, (%% ,,: , &" $)'%%. S" >)(")(',. ( L, ,$/'+". L, >,&) ''(',/. R,=%, /, )&$")&+,. esp: a3 0l periodo se >ace la mitad ? # es inversamente proporcional a la pulsaci.n3' @3 Aa Brecuencia se >ace el dole ?Aa Brecuencia es inversa del periodo3' ;3 y C3 Aa amplitud y la Base inicial son independientes de la pulsaci.n'
2 D%& (")$%& ) '",/ ,&, &) (")/, ) %& )&%+)& !") $%&)) /, '&, (%&+,+) )/&+'(, $)% +,/)& !") /, /%'+" )/ $')% )& %/) !") /, )/ &)"%. ¿C"/ ) )//%& ', (% ,*% >)(")(', ¿P% !"# Sol:
D
2
2
2
= ?# 8) 3n √ ) = ?# 8) 3n A 2
A + # 8) = A + # 8n n = )
3. E " ,& /, )/%(', /, $"/&,(' ω /, ,$/'+" A * /, )/%,(' & &) )/,('%, &) /, &'"')+) );$)&': n v =ω √ A − s D)+)', $% ,/'&'& ')&'%,/. 2
2
ara que la ecuación sea omog9nea: ·5 -" = ·5 -n. e donde n = ". 4. U '/ ,',% ) " MAS +')) ", ,()/),(' ) 5 &2 (",% &" )/%,(' )& 5 (. ¿C"+% ,/) &" $)'%%
0l valor de la aceleración es proporcional al de la elongación, siendo el cuadrado de la pulsación la constante de proporcionalidad: a = ω2·s de donde
5. U $"+% ,+)',/ ) 25 );$)')+, " %'')+% ,'(% &'$/) ) 3 F= ) >)(")(',. F,//,: , &" $"/&,('. S" ,()/),(' (",% /, )/%,(' )& ) 5 (. ( E/ ,/% ) /, >")=, )("$),%, $,, )&, )/%,('.
a pulsación se relaciona con la >recuencia mediante la expresión: a) ω = 2πυ = 2π·+ = π rad. !) a = ω2·s = (π)2·',' = "?,< m/s. c) @ = m·s = 2, ·"?,< = ##,# A. de prescinde del signo B-B en la expresión de la aceleración pues tal signo 1nicamente indica que el sentido de esta magnitud es contrario al de la elongación. 6. U /%!") ) 1 &) (")/, ) " )&%+) ) (%&+,+) )/&+'(, ? 25 N. S' )&$/,=,%& '(% /%!") 10 ( ,(', ,,% * /")% &) &")/+,: , ¿C% !"# )/%(', $,&, $% /, $%&'(' ) )!"'/''% ¿C"/ )& )/ $)'%% ) /,& %&('/,('%)& !") ),/'=,
a) rescindiendo de la energ4a gravitatoria se admite que la energ4a potencial el&stica del resorte de>ormado se trans>orma 4ntegramente en cin9tica al pasar por la posición de equili!rio:
7. U, ,&, ) 150 ,%& &) &"&$)) )/ );+)% ) " )&%+) * &) %&), !") /, /%'+" )/ '&% &) ,/,, 04 . ¿C"+% ,/) /, (%&+,+) )/&+'(, )/ )&%+) S' )&$"#& &) ,,%, , & '&,
)&$/,=%/, ,(', ,,% )/ )&%+) %&('/,. ¿C"+% ,/) )/ $)'%% ) %&('/,(' $plicando la expresión correspondiente a la le% de ooDe % despeando 6 o!tenemos:
0l periodo de oscilación viene dado por:
8. C",% &%) " ")//) )/&+'(% ,(+, ", >")=, ) 50 N );$)')+, " ,/,,')+% ) 4 (. C,/("/, )/ +,,% !") )& )()&,'% ),/'=, $,, )&+', )/ ")//) 10 (. Como el alargamiento es proporcional a la >uera de>ormadora, se tiene, de acuerdo con la le% de ooDe: @ = 6·x8 de donde 6 = @/x = ".2' A/m 0l tra!ao necesario para estirar el muelle "' cm es:
9. A/ ,$%*, (% )/%(', "/, " (")$% ) 20 ) ,&, &%) " ")//) )/&+'(% '&$")&+% )+'(,/)+) )&+) &) (%$') 10 (. C,/("/, /, )>%,(' !") );$)')+, '(% ")//) &' )/ (")$% &) ), (,) )&) 2 $% )(', ) #/. a constante del muelle es: 6 = @/s = (2' 6g/ "' cm)·(;,< A / " 6g)·("'' cm/ " m) = ";' A/m. Cuando deamos caer un cuerpo de masa m so!re el muelle, desde una altura , % el muelle se acorta en una longitud a, la energ4a potencial gravitatoria del cuerpo mg(a), se invierte en tra!ao de de>ormación del muelle. 0ste tra!ao tiene por valor:
% sustitu%endo en esta ecuación los valores num9ricos del enunciado del pro!lema: ·a2 Ea -2 = ' % resolviendo a = ',?# m. (a otra solución carece de signi>icado >4sico)
10.S) (")/, ", ,&, ) 100 ,%& ) " )&%+) ("*, (%&+,+) )/&+'(, )& 10 N &) /, )&$/,=, /")% 10 ( ,(', ),% ) &" $%&'(' ) )!"'/''% * &) /, ), /")% ) /')+, $,, !") $"), %&('/, /'))+). C,/("/,: , E/ $)'%% )/ %'')+%. L, )(",(' )/ %'')+%. ( L, )/%(', * /, ,()/),(' ;',. L, ,()/),(' (",% /, ,&, &) )(")+, 4 ( $% )(', ) /, $%&'(' ) )!"'/''%. ) S"& )),& ('#+'(, * $%+)(',/ )/&+'(, ) )&) $"+%.
a la amplitud del movimiento es el m&ximo desplaamiento del punto vi!rante % la velocidad angular (pulsación) se deduce a partir del periodo: ω =2π / 5 = "' rad /s or otra parte, a% que considerar que el movimiento se inicia con una >ase inicial de ;'F acia a!ao (negativo). or tanto, la ecuación del movimiento es: s = $·sen(ωt ϕ)= ',"·sen("'·t π/2) ! a maxima velocidad: vmax = ±$ω = ',"m·"'m/s = ±" m/s. a m&xima aceleración: amax = ±$ω2 = ',"m·("'m/s)2 = ±"' m/s2 d) a = - ω2·s = -"'2·','# = -#m/s2 e) 0c = ("/2)D($2 - s2 )= ','#2 7 0p = ("/2)D·s2 = ',''< 7 11. U '/ )&(') " %'')+% ,'(% &'$/) ) 20 ( ,$/'+" * 25 &)"%& ) $)'%%. E&('' /, )(",(' ) &" )/%,(' ) /%& (,&%& &'"')+)&: , E/ +')$% )$')=, , (%+,&) (",% /, )/%,(' )& ;', * $%&'+',. H) (",% /, )/%,(' )& "/, * )/ %'')+% ,(', /, ))(,. ( H) (",% /, )/%,(' )& "/, * )/ %'')+% ,(', /, '=!"'),. a) a amplitud $ del movimiento es ',2 m % la pulsación: ω = 2π / 5 = ',<π rad/s. *i se empiea a contar el tiempo cuando el móvil est& en la m&xima elongación positiva es que a% una >ase inicial de ;'F. a ecuación del movimiento es: s = ',2·sen(',<π·t π/2) (*) a 0n este supuesto el origen de tiempos coincide con el de >ases, % por tanto, no a% >ase inicial. a ecuación del movimiento es: s = ',2·sen ',<π·t (*)
c) 0n este caso a% una >ase inicial de "<'F: s = ',2·sen(',< π·t π) (*) 12.U '/ !") ))("+, " MAS )(%) 6 ) ", %&('/,(' (%$/)+, * &" ,()/),(' ;', )& ) 150 & 2. E&(') /, )(",(' ) &" )/%,(' &,')% !") &) (%')=, , (%+, )/ +')$% (",% /, )/%,(' )& 075 ) &" %'')+% ,(', /, ))(,. *i el recorrido de una oscilación completa es m, la amplitud del movimiento es m/# = ", m. 0l valor de la pulsación se deduce a partir
de la ecuación de la aceleración:
*i se empiea a contar el tiempo cuando el punto vi!rante tiene una elongación de ',? m la >ase a la que corresponde esa elongación es +'F positivos8 o, lo que lo mismo π/ rad. a ecuación del movimiento ser&: s = ",·sen("'·t π/) (*)
13.SOLUCIN: A 6ar7ir e la e!6resi8$ #a7e#97i&a' 2
! :
Ae#9s'
4 π
2
rn
:
2
T
(
4 π 0.5 2
)
2
:
4.93
" m
# 0.5 * 9.8 =1 m ∆ '= = 4.93 !
A6li&a$o Hoo;e' 1 2
2
1
! * = m v
%:
2
2
√
2
√
! A =2 π m
(
4.93 0.2 0.5
14.SOLUCIN: a< A 6ar7ir e la f8r#ula el Perioo'
2
)
=0.628 m s
2
4 π
=:
2
T
m
2
=
( 4 π )( 0.002) 2
0.5
=0.316
" m
.< Si'
() 1
ET :
2
2
! A =¿ A =
√
2 $T
!
=0.56 +
&< Te$ie$o e$ &ue$7a >ue la (E=) e$ el 6u$7o >ue se 6ie es la'
( $T − $ &! )=¿ V =6.96
m s
15.SOLUCIN: El #o?i#ie$7o se ri*e .a@o la e&ua&i8$' 2
2
2
, S = 4 π f S 2
4 π
A#9!+ :
: Ha&ia arri.a
2
f A
:
Cua$o es7a l7i#a su6era a la *ra?ea e
la &a@a e &erillas e@ar9 e es7ar e$ &o$7a&7o &o$ la #a$o+
2
4 π
2
f A = (- V =2.23 Hz
16.SOLUCIN: a< Sie$o la e&ua&i8$ ?elo&ia' V = Aωosωt −4
A =5.8 * 10
()
$T =
()
$T =
1 2
1 2
2
m
2
m. A . ω
4 2
( m ) ( 5.8 x 10− ) . ω −8
$T =6.6 x 10 /
2
17.SOLUCIN: 6eroo e os&ila&i8$ e u$ 6$ulo - u$ os&ilaor sie#6re es e6e$ie$7e e la #asa el 6u$7o ?i.ra$7e - os&ila$7e 6ero 6ara a#6li7ues #e$ores a G si se a la i$e6e$e$&ia e la #asa 6ara el &9l&ulo e 6eroo+ 18.SOLUCIN: El #o?i#ie$7o e u$ 6$ulo si#6le se asi#ila a u$ ?i.ra7orio ar#8$i&o e$ a#6li7ues #e$ores a los G+ 19.SOLUCIN: La 7e$si8$ el ilo $i&a#e$7e &o$7rarres7a al 6eso el &uer6o >ue os&ila e$ los si*uie$7es &asos' a< El &uer6o es79 e$ re6oso - e$ 6osi&i8$ e E>uili.rio+ .< Cua$o el &uer6o es79 e$ a#6li7u e ?i.ra&i8$'
√
' = 4 m ; T = 4 s =¿ T =2 π
' 2
¿> T 2 = ' 4 π 2
¿>
4 π
2
T
¿> 9.87
'
=
m s
2
=
2
' 2=0 ; T 2=2 s =¿
T . 2
4 π
= '
2
2
¿> T 2 = ' 4 π ¿> 1 m='
20.SOLUCIN:
2
Da7os' M : 22*r L : 3#
≅
2+ ;*
T:
√
T =2 π
:
√
T =2 π
)
1 9.8
T =2 s
21.SOLUCIN: El 6eroo e os&ila&i8$ el 6$ulo' T =
200 50
=4 S
A 6ar7ir e la E!6resi8$' 2
'=
T 2
4 π
=3.97 m
Al7ura e 7e&o' 3.97
+ 0.2
≅
4.17 m
22.SOLUCIN: Si el eifi&io e$7ra e$ reso$a$&ia &o$ el &a#i$ar e los #oraores 6uee 6ro?o&arse su es7ru&&i8$ Ku$i#ie$7o<+
