Taller de Ejercicios 2o Examen Variable Compleja 2015 2

ESIME ZACATENCO ACADEMIA DE MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS DE ICE

TALLER DE EJERCICIOS PARA 2º EXAMEN DE VARIABLE COMPLEJA Funciones Complejas 1.- Expresar

las fu!"#es $%f&'( e la f#r)a f&'( % u&x*+( , " -&x*+(* #./e0a el 1#)""# 1e 1ef""!" + sus !er#s3 2 a( f  ( ( z )=  z + 2−i  .( !( 1(

 f & z ( =

z − 2i  z − i

f  ( ( z )=2 z −5 z + 4 i z 4  f & z ( = 2 4 +  z  3

2

2

 z + i

e(  f(z) = f( f  ( ( z )= Senh ( 2 z + 3 i ) 0( f  ( ( z )=cos (5 z −7 i ) * 5( f  ( ( z )= ln (− z −2 ) * "( f  ( ( z )= Sen ( 4 z +1 ) *  6( f  ( ( z )=10 ie  z− * 7( f  ( ( z )=( z + 2)i * l( f  ( ( z )=( 3− z ) zi 4

2

2

 f & z ( =

)(

 z 

& z + i (

2

4

(  f(z)%  z  z #( f  ( ( z )= z + z´  p(

1

 ( z )= Arg (  ) f  (  z

2.- De)#s/rar

l# 8ue se "1"!a9

a(  El cos ( z ) es ua fu!" per"1"!a !# per:#1# 2 π*  .(  El Senh ( z ) es ua fu!" per"1"!a !# per:#1# 2 π"* !(

cos

( )

1 ( iz ) =0  s" + sl# s:  z = n + πi,connentero * 2

1(   Senh ( iz ) =0  s" + sl# s:  z =nπ ,connentero * −e e( Sen ( i 3 z )=   Senh ( z ) * 3

i

f(

(

  cosh 4 z

)= e

4

cosh ( z )

3

If#r)a!" /#)a1a 1e la ;u:a para ETS 1e Var"a.le Var"a.le C#)ple6a C#)ple6a 1e la a!a1e)"a 1e Ma/e)  4

ESIME ZACATENCO ACADEMIA DE MATEMÁTICAS DE ICE 3.- De/er)"e

el -al#r 1e la fu!" e el ?)er# !#)ple6# 8ue se "1"!a* es!r".a el resul/a1# e f#r)a !ar/es"aa3 a( Sen ( 2 + 3 i ) *  .(   Senh ( 1− 4 i ) * !( ln (−1−2 i ) * 1(   cosh ( 4 −6 i ) * e( ln ( (−3 i−2 ) ) 3 10

 z 

f(  f(z) %  z − z  *

' % 4,2" 4

0(  f(z) % s en x + i !#s y ' % @4," 5( f  ( z )=2 x − y + i ( x y −2 x + 1) * ' % 2" + ' % 2@" "( f  ( z )=e z * ' % " + ' % @4@" 2

3

2

Transformaciones de regiones 1.- allar

la ")a0e 1e la re0" S = { z ∈ ∁| y >−1 } .a6# la /rasf#r)a!"9 $ % & 4@ " ( ' , 2"* 0raf"8ue a).#s !#6u/#s3 4

S = { z ∈ ∁| x ≥ 2 }

la ")a0e 1e la re0" .a6# la /rasf#r)a!"9 $ %  z  * 0raf"8ue a).#s !#6u/#s3 S = { z ∈ ∁| y < 1 }  .a6# la /rasf#r)a!" 3.- E!#/rar la ")a0e 1e la re0" $ % & @2 , " ( '* 0raf"8ue a).#s !#6u/#s3 S = { z ∈ ∁|}   .a6# la 4.- De/er)"e la ")a0e e el pla# $ 1e la re0" 4 w=  z * 0raf"8ue a).#s !#6u/#s3 /rasf#r)a!" 2.- allar

5.- allar

la ")a0e 1e la re0"

{ | }

S =  z ∈ ∁  y ≤

4

1

4

.a6# la /rasf#r)a!"9 $ %  z  *

0raf"8ue a).#s !#6u/#s3 4

S = { z ∈ ∁|}

la ")a0e 1e la re0" .a6# la /rasf#r)a!" $ %  z  * 0raf"8ue a).#s !#6u/#s3 S = z ∈ ∁||ℜ( z )|< 2 }  .a6# la 7.- E!#/rar la ")a0e 1e la re0" &fra6a "f""/a( /rasf#r)a!" w = z  + E * 0raf"8ue a).#s !#6u/#s3 6.- E!ue/re

8.- E!#/rar

la ")a0e 1e la re0" &fra6a "f""/a(

{ |

S =  z ∈ ∁ |ℑ( z )|≤

 π  2

}   .a6# la

/rasf#r)a!" $ % @ " '* 0raf"8ue a).#s !#6u/#s3  Límites y Continuidad  9.- E!#/rar

el s"0u"e/e l:)"/e9

If#r)a!" /#)a1a 1e la ;u:a para ETS 1e Var"a.le C#)ple6a 1e la a!a1e)"a 1e Ma/e)  2

ESIME ZACATENCO ACADEMIA DE MATEMÁTICAS DE ICE  z 2 + 4F

lím a(  z →−Ci  z + Ci

 z 2 + 2 z + 2

lím  .(  z →−4+i  z + 4 − i

l")

!(  z 1(

e(

→−

i

 z 2

+

4

 z

+

i −2

lim ( 1 + z

)

 z → ∞

lim  z → 0

(

❑

xy 2

2

 x + y −1

10.- De/er)"e

 f & z ( =

s" la fu!" es !#/"ua e el pu/# Z =9 Re (  z 2 )  z 2

a)  f & z ( =

b)  f & z (

=

 z − z  *  Z 0 =2-3i z Re z 

!(  f & z ( =

1(  f & z ( = 11.- GEs

*  Z 0 =i

z 

 z 

e(

)

2

* Z 0 =1-2i

I) z 

( 4 +  z  )

* Z 0 =0

Re z  & x 2 − y 2 + z ( * Z  =4 0

!#/"ua la fu!" e Z =%4 + e @4H  z E − 4 *  z  ≠ ±4  2 −  z  4  f & z ( =   E *  z  = ± 4  2

12.- GEs

!#/"ua la fu!" e Z =% @"H

{

2

 z + 1 f  ( z )=  z + i , z ≠ −i ¿ 1 + i , z =−i If#r)a!" /#)a1a 1e la ;u:a para ETS 1e Var"a.le C#)ple6a 1e la a!a1e)"a 1e Ma/e)  

ESIME ZACATENCO ACADEMIA DE MATEMÁTICAS DE ICE 13.- GEs

!#/"ua la fu!" e Z =% @"H

{

2

 z + 16 f  ( z )=  z + 4 i , z ≠ − 4 i ¿−8 i , z =−4 i 14.- GEs

!#/"ua la fu!" e Z =% "H z +9 f  ( z )=  z −3 i 2

 Derivada de Funciones Complejas 15.- De/er)"ar

el !#6u/# 1#1e la fu!" es 1er"-a.le + #./eer su 1er"-a1a3

a( f  ( z )= 4 z −10 z + 3 z −7 3

2

4

 .( f&'( % 4 +  z  !( f&'( % Se&'2( @ '  f & z ( =

1(

4  senh ( z 2 )

x f&'( % &!#s 2x+ , " se 2x+( e e(

f(

f&'( %

4 E

 xE

+

xy 2

+

i& x 2

+

2

− y2

4F y (

−i y 2 0(  f  & z ( = ( z  − 2) e

5( f&'( % ' 2 "( f&'(%Cs!5 &'(

If#r)a!" /#)a1a 1e la ;u:a para ETS 1e Var"a.le C#)ple6a 1e la a!a1e)"a 1e Ma/e)  